Основы теории множеств и теории отображений. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ "МИФИ"

М.В. Медведева

Основы теории множеств и теории отображений

Рекомендовано УМО "Ядерные физика и технологии" в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2011

УДК 517.982(075) ББК 22.162я7 М42 Медведева М.В. Основы теории множеств и теории отображений. Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 52 с. Подробно изложены основы теории множеств и теории функций, начиная с простых понятий и последовательно усложняя их структуру. Большая часть излагаемой здесь теории читается для определенных пространств в различных курсах лекций МИФИ, таких как ”Теория функций действительных переменных”, ”Теория функций комплексного переменного”, ”Теория дифференциальных уравнений”, ”Теория интегральных уравнений”. В написании первых двух глав принимала участие Н.А. Дружинина, преподаватель математики ГОУ СОШ № 550 г. Москвы. Пособие предназначено для студентов МИФИ. Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Рецензент проф., д-р физ.-мат. наук Н.А. Кудряшов ISBN 978-5-7262-1465-8 c Национальный исследовательский ядерный университет

”МИФИ”, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Элементы теории множеств ............................................

4

Глава 2. Функции (отображения) .................................................. 9 Глава 3. Метрические пространства .............................................. 13 Глава 4. Последовательности. Отображения метрических пространств ................................................................................ 19 Глава 5. Полные метрические пространства ................................. 23 Глава 6. Компактные метрические пространства ......................... 28 Глава 7. Нормированные пространства ......................................... 34 Глава 8. Евклидовы и унитарные пространства ........................... 46 Список рекомендуемой литературы ............................................. 52

3

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Если A – произвольное множество элементов, то утверждение "элемент a принадлежит множеству A" принято записывать так: a ∈ A. Если элемент a не принадлежит множеству A, то записывают a 6∈ A. Если все элементы множества A принадлежат и множеству B, то говорят, что A является подмножеством множества B, и пишут A ⊂ B. Если все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A, то говорят, что множества A и B равны, и пишут A = B. Итак, A = B тогда и только тогда, когда A ⊂ B и B ⊂ A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅. Пустое множество является подмножеством любого множества A. Определение 1.1. Объединением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B. Записывают C = A ∪ B. Замечание. Если x ∈ A∪B, то часто говорят: "элемент x принадлежит множеству A или множеству B". При этом в данном выражении допускается, что x принадлежит и множеству A и множеству B. Определение 1.2. Пересечением двух множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B. Записывают C = A ∩ B. Если пересечение множеств A и B пустое, то есть A ∩ B = ∅, тогда говорят, что множества A и B не пересекаются.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Из этих определений непосредственно следует, что операции объединения и пересечения множеств коммутативны и ассоциативны, то есть A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), 4

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Докажем не столь очевидные свойства этих операций. Утверждение 1.1. Для любых множеств A и B выполняются равенства (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (1) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

(2)

Доказательство. Докажем равенство (1). Если x ∈ (A ∪ B) ∩ C, то по определению пересечения двух множеств получим x ∈ (A ∪ B) и x ∈ C. Отсюда следует, что элемент x принадлежит хотя бы одному из множеств A или B и при этом x принадлежит множеству C. Поэтому x принадлежит хотя бы одному из множеств A ∩ C или B ∩ C. Отсюда следует x ∈ (A∩C)∪(B∩C). Итак, получили, что множество (A∪B)∩C является подмножеством множества (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Пусть теперь x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Это означает, что элемент x принадлежит хотя бы одному из множеств A ∩ C или B ∩ C. Следовательно, x принадлежит множеству C и при этом x ∈ A или x ∈ B. Значит, x ∈ C и x ∈ A ∪ B, то есть x ∈ (A ∪ B) ∩ C. Итак, теперь получили, что множество (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) является подмножеством множества (A ∪ B) ∩ C. Тогда (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C. Докажем равенство (2). Если x ∈ (A ∩ B) ∪ C, то по определению объединения двух множеств получим x ∈ A ∩ B или x ∈ C. Отсюда следует, что или элемент x принадлежит и множеству A и множеству B, или x принадлежит множеству C. Поэтому x принадлежит хотя бы одному из множеств A или C и при этом принадлежит хотя бы одному из множеств B или C , то есть x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C. Значит, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Итак, получили, что множество (A ∩ B) ∪ C является подмножеством множества (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Пусть теперь x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Это означает, что элемент x принадлежит и множеству A ∪ C и множеству B ∪ C. Следовательно, x принадлежит или множеству C или множеству A и при этом принадлежит или множеству C или множеству B. Если x – элемент множества C, то по определению объединения двух множеств получим, что x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Если же x не является элементом множества C, то тогда x принадлежит множеству A и при этом множеству B, то есть x ∈ A ∩ B, а значит, x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Итак, теперь получили, что множество (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) является подмножеством множества (A ∩ B) ∪ C. Поэтому (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C. Утверждение доказано. 5

Определение 1.3. Разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B. Записывают C = A\B. Разность множеств A\B, вообще говоря, не совпадает с разностью B\A. Например, для A = [0, 2] и B = [1, 3] множество A\B = [0, 1), а B\A = (2, 3], и потому A\B 6= B\A. Определение 1.4. Если B является подмножеством A, то разность A\B называется дополнением множества B до множества A или просто дополнением множества B. Заметим, что если B ⊂ A, то A = (A\B) ∪ B. Рис. 1.3 Определение 1.5. Симметрической разностью двух множеств A и B называется объединение множеств A\B и B\A. Записывают A4B = (A\B) ∪ (B\A).

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Утверждение 1.2. Для любых множеств A и B выполняется равенство A4B = (A∪B)\(A∩B), то есть множество A4B является дополнением множества A ∩ B до множества A ∪ B. Доказательство. Пусть x ∈ A4B. Если при этом x ∈ A\B, то получим x ∈ A, x 6∈ B. Из определений объединения и пересечения множеств следует, что тогда x ∈ A ∪ B, x 6∈ A ∩ B. Поэтому x ∈ (A ∪ B)\(A ∩ B). Если же x 6∈ A\B, то тогда x ∈ B\A, так как x ∈ A4B = = (A\B) ∪ (B\A). Значит, x ∈ B, x 6∈ A. Отсюда получим x ∈ A ∪ B, x 6∈ A ∩ B, то есть x ∈ (A ∪ B)\(A ∩ B). Это означает, что множество A4B является подмножеством (A ∪ B)\(A ∩ B). Пусть теперь x ∈ (A ∪ B)\(A ∩ B). Тогда x ∈ A ∪ B, x 6∈ A ∩ B. Если при этом x ∈ A, то тогда x 6∈ B (иначе x ∈ A ∩ B), а значит, x ∈ A\B. Если же x 6∈ A, то тогда x ∈ B, так как x ∈ A ∪ B. 6

И, значит, x ∈ B\A. Получили, что x ∈ A\B или x ∈ B\A, то есть x ∈ (A\B)∪(B\A) = A4B. Это означает, что множество (A∪B)\(A∩B) является подмножеством A4B. Поэтому A4B = (A ∪ B)\(A ∩ B). Утверждение доказано. Аналогично понятиям объединения и пересечения двух множеств определяются понятия объединения и пересечния любого (конечного или бесконечного) числа множеств. Если задано множество M и каждому µ ∈ M сопоставлено некоторое множество Aµ , то говорят, что задано семейство множеств {Aµ }, µ ∈ M . Определение 1.6. Пусть задано семейство множеств Aµ , µ ∈ M . Тогда объединением этих множеств называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из S множеств Aµ . Записывают C = Aµ . µ∈M

Определение 1.7. Пусть задано семейство множеств Aµ , µ ∈ M . Тогда пересечением этих множеств называется множество C, состоящее из всех элементов, T принадлежащих каждому из множеств Aµ . Записывают C = Aµ . µ∈M S T Иногда пишут немного короче: Aµ и Aµ . Для множества натуµ

ральных чисел вместо записи

S

µ

Aµ часто используют запись

T µ∈N

Aµ – запись

An ,

n=1

µ∈N

а вместо записи

∞ S

∞ T

An .

n=1

Например, рассмотрим отрезки A1 = [0, 1], A2 = [0, 21 ], A3 = [0, 13 ], ..., то есть An = [0, n1 ], n ∈ N. Пересечением этих отрезков явля∞ ∞ T T ется точка 0, при этом пишут An = [0, n1 ] = {0}. Или расn=1  n=1  смотрим семейство отрезков Aα = α1 , α−1 Объединеα , α ∈ [3, +∞). S нием этих отрезков является интервал (0, 1), то есть Aα = α∈[3,+∞)  1 α−1  S = = (0, 1). α, α α∈[3,+∞)

Далее при доказательстве некоторых теорем будет использоваться следующая теорема, которая называется принципом двойственности. Теорема 1.1 (принцип двойственности). Пусть задано семейство множеств Aµ , µ ∈ M . Тогда для любого множества B выполняется: 7

1. B\

S

T

Aµ =

µ∈M

(B\Aµ ) (дополнение объединения равно пересе-

µ∈M

чению дополнений). T S 2. B\ Aµ = (B\Aµ ) (дополнение пересечения равно объедиµ∈M

µ∈M

нению дополнений).

Рис. 1.7

Рис. 1.8

Доказательство. 1. Пусть x ∈ B\

S

Aµ . Тогда из определения S разности множеств следует, что x ∈ B и x 6∈ Aµ . Значит, x не µ∈M

µ∈M

принадлежит ни одному из множеств Aµ и при этом принадлежит множеству B, то есть элемент T x принадлежит каждому из множеств B\Aµ . Следовательно, x ∈ (B\Aµ ). T µ∈M Обратно, пусть x ∈ (B\Aµ ). Тогда для всякого µ ∈ M имеем µ∈M

x ∈ B\Aµ .SПоэтому x ∈ B и для всех µ ∈SM выполняется x 6∈ Aµ , то есть x 6∈ Aµ . Следовательно, x ∈ B\ Aµ . µ∈M S T µ∈M Это означает, что B\ Aµ = (B\Aµ ). µ∈M T µ∈M T 2. Пусть x ∈ B\ Aµ . Тогда x ∈ B и x 6∈ Aµ . Поэтому x µ∈M

µ∈M

принадлежит множеству B, и при этом для некоторого µ ∈ M элемент x не принадлежит множеству Aµ . То есть x принадлежит хотя бы S одному из множеств B\Aµ . Отсюда следует, что x ∈ (B\Aµ ). µ∈M

8

S

Пусть теперь x ∈

(B\Aµ ). Тогда для некоторого µ ∈ M имеем

µ∈M

x ∈ B\A T µ . Значит, x ∈ B и xT6∈ Aµ для некоторого µ ∈ M , то есть x 6∈ Aµ . Поэтому x ∈ B\ Aµ . µ∈M T µ∈M S Это означает, что B\ Aµ = (B\Aµ ). µ∈M

µ∈M

Теорема доказана. В некоторых вопросах используется понятие произведения множеств. Определение 1.8. Множество всех упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A, b ∈ B, называется произведением множеств A и B и обозначается A × B. То есть A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Отметим, что A × B, вообще говоря, не совпадает со множеством B × A.

ГЛАВА 2. ФУНКЦИИ (ОТОБРАЖЕНИЯ) Определение 2.1. Пусть A и B — два произвольных множества. Если каждому элементу x множества A поставлен в соответствие некоторый элемент y множества B, то говорят, что задано отображение (функция) множества A в Рис. 2.1 множество B. Пишут f : A → B, y = f (x). Элемент y называют образом элемента x. Образом множества X ⊂ A при отображении f называется множество всех элементов f (x), где x ∈ X. Этот образ обозначается f (X). Записывают f (X) = = {f (x) ∈ B : x ∈ X}. Если y ∈ B, то множество всех элементов x из A для которых f (x) = y называется прообразом элемента y и обозначается f −1 (y), то есть f −1 (y) = {x ∈ A : f (x) = y}. Аналогично определяется понятие прообраза для всякого множества Y ⊂ B: прообразом множества Y при отображении f называется множество всех элементов из A, образы которых принадлежат Y , то есть f −1 (Y ) = {x ∈ A : f (x) ∈ Y }. Прообраз множества может оказаться пустым множеством. 9

Пример. Рассмотрим отображение f : R → R, f (x) = x2 . Для этого отображения f (3) = 9, f ([1, 2]) = [1, 4], f −1 (9) = {−3, 3}, f −1 (−2) = ∅, f −1 ([−3, −2]) = ∅, f −1 ([1, 4]) = [−2, −1] ∪ [1, 2]. Докажем теперь общие свойства функций. Теорема 2.1. Пусть задано отображение f : A → B. Тогда для любых множеств M1 ⊂ B и M2 ⊂ B выполняется f −1 (M1 ∪ M2 ) = f −1 (M1 ) ∪ f −1 (M2 ) (прообраз объединения двух множеств равен объединению их прообразов). Доказательство. Пусть x ∈ f −1 (M1 ∪ M2 ). Тогда f (x) ∈ M1 ∪ M2 и, значит, f (x) ∈ M1 или f (x) ∈ M2 . Поэтому x ∈ f −1 (M1 ) или x ∈ f −1 (M2 ). Следовательно, x ∈ f −1 (M1 ) ∪ f −1 (M2 ). Если x ∈ f −1 (M1 ) ∪ f −1 (M2 ), то тогда x ∈ f −1 (M1 ) или x ∈ f −1 (M2 ). Поэтому f (x) ∈ M1 или f (x) ∈ M2 . Следовательно, f (x) ∈ M1 ∪ M2 . Отсюда получим x ∈ f −1 (M1 ∪ M2 ). Это означает, что f −1 (M1 ∪ M2 ) = f −1 (M1 ) ∪ f −1 (M2 ). Теорема 2.2. Пусть задано отображение f : A → B. Тогда для любых множеств M1 ⊂ B и M2 ⊂ B выполняется f −1 (M1 ∩ M2 ) = f −1 (M1 ) ∩ f −1 (M2 ) (прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов). Доказательство. Пусть x ∈ f −1 (M1 ∩ M2 ). Тогда f (x) ∈ M1 ∩ M2 , то есть f (x) ∈ M1 и f (x) ∈ M2 . Значит, x ∈ f −1 (M1 ) и x ∈ f −1 (M2 ). Поэтому x ∈ f −1 (M1 ) ∩ f −1 (M2 ). Пусть теперь x ∈ f −1 (M1 ) ∩ f −1 (M2 ). Тогда x ∈ f −1 (M1 ) и x ∈ f −1 (M2 ). Следовательно, f (x) ∈ M1 и f (x) ∈ M2 . Поэтому f (x) ∈ M1 ∩ M2 . Значит, x ∈ f −1 (M1 ∩ M2 ). Отсюда следует, что f −1 (M1 ∩ M2 ) = f −1 (M1 ) ∩ f −1 (M2 ). Теорема 2.3. Пусть задано отображение f : A → B. Тогда для любых множеств M1 ⊂ A и M2 ⊂ A выполняется f (M1 ∪ M2 ) = f (M1 ) ∪ f (M2 ) (образ объединения двух множеств равен объединению их образов). Доказательство. Рассмотрим y такой, что y ∈ f (M1 ∪ M2 ). Найдется x ∈ M1 ∪ M2 для которого f (x) = y. Тогда x ∈ M1 или x ∈ M2 . 10

Поэтому f (x) ∈ f (M1 ) или f (x) ∈ f (M2 ). Следовательно, f (x) ∈ ∈ f (M1 ) ∪ f (M2 ), то есть y ∈ f (M1 ) ∪ f (M2 ). Рассмотрим теперь элемент y такой, что y ∈ f (M1 ) ∪ f (M2 ). Тогда y ∈ f (M1 ) или y ∈ f (M2 ). Если y ∈ f (M1 ), то найдется элемент x1 ∈ M1 , для которого f (x1 ) = y. Из условия x1 ∈ M1 следует, что x1 ∈ M1 ∪ M2 . Поэтому f (x1 ) ∈ f (M1 ∪ M2 ), то есть y ∈ f (M1 ∪ M2 ). Если же y ∈ f (M2 ), то найдется x2 ∈ M2 , для которого f (x2 ) = y. Следовательно, x2 ∈ M1 ∪ M2 , а потому f (x2 ) ∈ f (M1 ∪ M2 ), то есть y ∈ f (M1 ∪ M2 ). Отсюда следует равенство f (M1 ∪ M2 ) = f (M1 ) ∪ f (M2 ). Покажем, что образ пересечения двух множеств может не совпадать с пересечением их образов. Пример. Рассмотрим функцию f : R → R, f (x) = sin x. Возьмем M1 = [0, π2 ], M2 = [ π2 , π]. Пересечением этих отрезков является точка π2 . Поэтому образ этого пересечения – точка 1, то есть f (M1 ∩ M2 ) = {1}. При этом f (M1 ) = = f ([0, π2 ]) = [0, 1], f (M2 ) = f ([ π2 , π]) = = [0, 1], и потому f (M1 ) ∩ f (M2 ) = [0, 1]. Отсюда следует, что f (M1 ∩ M2 ) 6= Рис. 2.2 6= f (M1 ) ∩ f (M2 ). Теорема 2.4. Пусть задано отображение f : A → B. Тогда для любого множества M ⊂ B выполняется f −1 (B\M ) = A\f −1 (M ) (прообраз дополнения равен дополнению прообраза). Доказательство. Если элемент x ∈ f −1 (B\M ), то f (x) ∈ B\M . Значит, f (x) 6∈ M , и поэтому x 6∈ f −1 (M ). Следовательно, x ∈ A\f −1 (M ). Если же x ∈ A\f −1 (M ), то x 6∈ f −1 (M ). Тогда f (x) 6∈ M , то есть f (x) ∈ B\M . Поэтому x ∈ f −1 (B\M ). Отсюда следует, что f −1 (B\M ) = A\f −1 (M ). Заметим, что образ дополнения, вообще говоря, не совпадает с дополнением образа. Пример. Для функции f : [−2, 2] → [0, 4], f (x) = x2 , и множества M = [0, 2] имеем f ([−2, 2]\M ) = f ([−2, 0)) = (0, 4], [0, 4]\f (M ) = = [0, 4]\f ([0, 2]) = [0, 4]\[0, 4] = ∅, то есть f ([−2, 2]\M ) 6= [0, 4]\f (M ). 11

Дадим еще несколько определений. Определение 2.2. Отображение f : A → B для которого выполняется f (A) = B называется сюръекцией. Для сюръекции говорят, что f является отображением множества A на множество B, поскольку для каждого y ∈ B имеется x ∈ A такой, что y = f (x). Пример. Отображение f : R → R, f (x) = x2 , не является сюръекцией, так как f (R) = [0, +∞) 6= R. Но функция f : R → [0, +∞), f (x) = x2 , является сюръекцией. Определение 2.3. Отображение f : A → B называется инъекцией, если для любых двух различных элементов x1 и x2 множества A их образы f (x1 ) и f (x2 ) также различны. Рис. 2.3 Пример. Функция f : R → R, f (x) = x3 , — инъекция. А для функции f : R → [0, +∞), f (x) = x2 , образы f (−2) = f (2), то есть эта функция не является инъекцией. Определение 2.4. Если отображение f : A → B является сюръекцией и инъекцией, то оно называется взаимно однозначным соответствием (биекцией) между множеством A и множеством B. Из определения следует, что если функция f : A → B является биекцией, то прообраз каждого элемента y ∈ B состоит ровно из одного элемента множества A. На основании этого свойства определяется понятие обратной функции. Определение 2.5. Пусть отображение f : A → B является биекцией. Тогда на множестве B определено отображение, которое каждому элементу y ∈ B ставит в соответствие тот элемент x ∈ A для которого f (x) = y. Это отображение обозначается f −1 : B → A и называется обратным для отображения f (обратная функция). Пишут x = f −1 (y). Обратим внимание на то, что ранее символ f −1 использовался для обозначения прообразов. В случае, если f является взаимно однозначным соответствием между A и B, запись x = f −1 (y) означает и прообраз элемента y при отображении f и образ элемента y при отображении f −1 . 12

Отметим также, что если f −1 – обратная функция для f , то, очевидно, функция f является обратной для функции f −1 . Поэтому эти две функции называются взаимно обратными. Определение 2.6. Пусть заданы два отображения f : A → B и g : B → C. Каждому x ∈ A поставим в соответствие элемент g(f (x)) множества C. Таким образом определено отображение, которое обозначается g ◦ f : A → C и называется сложным отображением (сложной функцией).

Рис. 2.4 Таким образом, (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Часто еще используют названия "композиция отображений (функций)" и "суперпозиция отображений (функций)". Пример. Для отображения f : R → [−1, 1], f (x) = sin x, и отображения g : [−1, 1] → [0, 1], g(x) = 1 − x2 , имеем (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = = 1 − (sin x)2 = cos2 x, g ◦ f : R → [0, 1]. Заметим, что если f : A → B и f −1 : B → A – взаимно обратные функции, то для всякого x ∈ A и y ∈ B из определения сложной функции следует, что (f −1 ◦ f )(x) = x и (f ◦ f −1 )(y) = y.

ГЛАВА 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 3.1. Пусть задано множество M и каждой паре (x, y) элементов множества M сопоставлено действительное, неотрицательное число ρ(x, y) так, что выполняются следующие три аксиомы: для любых элементов x, y, z множества M 1) ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y, 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (симметрия), 3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (неравенство треугольника). Функция ρ называется метрикой, а число ρ(x, y) – расстоянием между элементами x и y множества M . Множество M с введенной метрикой ρ называется метрическим пространством. 13

Иначе говоря, метрика ρ — это функция ρ : M × M → [0, +∞), удовлетворяющая указанным трем аксиомам. Обозначается метрическое пространство обычно так: (M, ρ) или просто M , если ясно, о какой метрике идет речь. Для одного и того же множества M можно ввести различные метрики. Пример. Для множества R всех действительных чисел можно определить метрику ρ(µ, η) = |µ − η|, а можно определить другую метрику  1, µ 6= η, ρ(µ, η) = Легко проверить, что все аксиомы метриче0, µ = η. ского пространства в обоих случаях выполняются. Часто, говоря о метрическом пространстве R без указания метрики, подразумевают именно ρ(µ, η) = |µ − η|. Пример. Множество Rn всех упорядоченных наборов из n действительных чисел (µ1 , ..., µn ) с расстоянием p ρ(µ, η) = (µ1 − η1 )2 + ... + (µn − ηn )2 , где µ = (µ1 , ..., µn ), η = (η1 , ..., ηn ), является метрическим пространством. Действительно, ρ(µ, η) ≥ 0 для всех µ = (µ1 , ..., µn ), η = (η1 , ..., ηn ) из Rn . Расстояние ρ(µ, η) = 0 тогда и только тогда, когда µ1 = η1 , ..., µn = ηn , то есть µ = η. Очевидно ρ(µ, η) = ρ(η, µ). Докажем теперь,что ρ(µ, τ ) ≤ ρ(µ, η) + ρ(η, τ ) для всех µ, τ, η из Rn . Имеем ρ2 (µ, τ ) =

n X

(µk − τk )2 =

k=1

=

n X

n X

(µk − ηk + ηk − τk )2 =

k=1

( (µk − ηk )2 + 2(µk − ηk )(ηk − τk ) + (ηk − τk )2 ) ≤

k=1

≤

n X

( (µk − ηk )2 + 2|µk − ηk | · |ηk − τk | + (ηk − τk )2 ) =

k=1

=

n X k=1

(µk − ηk )2 + 2

n X

|µk − ηk | · |ηk − τk | +

k=1

n X k=1

14

(ηk − τk )2 ≤

≤

n X

v u n uX 2 |µk − ηk |2 (µk − ηk ) + 2t

v u n n X uX ·t |ηk − τk |2 + (ηk − τk )2 =

k=1

k=1

k=1

k=1

= ρ2 (µ, η) + 2ρ(µ, η) · ρ(η, τ ) + ρ2 (η, τ ) = (ρ(µ, η) + ρ(η, τ ))2 . (Здесь мы использовали неравенство для вещеp p Коши–Буняковского ственных чисел : a1 b1 + ... + an bn ≤ a21 + ... + a2n · b21 + ...b2n .) Следовательно, ρ(µ, τ ) ≤ ρ(µ, η) + ρ(η, τ ). Все аксиомы метрического пространства выполняются. Пример. Возьмем множество Rn из предыдущего примера. Для этого множества можно определить другую метрику: ρ(µ, η) = |µ1 − η1 | + ... + |µn − ηn | ( здесь легко проверить справедливость аксиом метрического пространства). Пример. Пусть M0 — множество всех функций f : [0, 1] → [0, 1]. Для функций f и g этого множества M0 обозначим ρ(f, g) = sup |f (x) − g(x)|. x∈[0,1]

Тогда ρ(f, g) ≥ 0. При этом ρ(f, g) = 0 тогда и только тогда, когда f (x) = g(x) при всех x ∈ [0, 1], то есть f = g. Ясно, что ρ(f, g) = ρ(g, f ). Поскольку |f (x) − h(x)| = |f (x) − g(x) + g(x) − h(x)| ≤ |f (x) − g(x)|+ +|g(x) − h(x)| при всех x ∈ [0, 1], то ρ(f, h) = sup |f (x) − h(x)| ≤ x∈[0,1]

≤ sup |f (x) − g(x)| + sup |g(x) − h(x)| = ρ(f, g) + ρ(g, h). x∈[0,1]

x∈[0,1]

Итак, выполняются все аксиомы из определения 3.1. Поэтому M0 – метрическое пространство с метрикой ρ(f, g) = sup |f (x)−g(x)|. x∈[0,1]

Пусть (M, ρ) – метрическое пространство и D – некоторое подмножество в M , то есть D ⊂ M . Тогда D с тем же расстоянием ρ(x, y), определенным теперь для пар элементов множества D, также является метрическим пространством. Тогда (D, ρ) называется подпространством пространства (M, ρ). Часто элементы x метрического пространства называют точками независимо от свойств этих элементов. В метрическом пространстве M0 из последнего примера каждая функция f : [0, 1] → [0, 1] является точкой пространства M0 . 15

Введем основные понятия теории метрических пространств. Определение 3.2. Открытым шаром O(x0 , r) с центром в точке x0 и радиусом r в метрическом пространстве (M, ρ) называется совокупность всех точек x ∈ M таких, что ρ(x, x0 ) < r. Открытый шар радиуса ε, ε > 0, с центром x0 называется также ε-окрестностью точки x0 и обозначается Oε (x0 ). В пространстве R с метрикой ρ(µ, η) = |µ − η| окрестность Oε (x0 ) – это интервал (x0 − ε, x0 + ε). p В пространстве R2 с метрикой ρ(µ, η) = (µ1 − η1 )2 + (µ2 − η2 )2 окрестность Oε (x0 , y0 ) – круг p {(x, y) ∈ R2 : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ε2 }. 3 В R с метрикой ρ(µ, η) = (µ1 − η1 )2 + (µ2 − η2 )2 + (µ3 − η3 )2 : Oε (x0 , y0 , z0 ) – шар {(x, y, z) ∈ R3 : (x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 < ε2 }. Определение 3.3. Замкнутым шаром Z(x0 , r) с центром в точке x0 и радиусом r в метрическом пространстве (M, ρ) называется совокупность всех точек x ∈ M таких, что ρ(x, x0 ) ≤ r. Определение 3.4. Множество A ⊂ M называется открытым в пространстве (M, ρ), если для каждого x ∈ M существует ε-окрестность Oε (x) ⊂ M . В частности, всякий открытый шар O(x0 , r) – открытое множество (и этим объясняется такое название шара). Пустое множество ∅ и все множество M являются открытыми в пространстве (M, ρ). Открытые множества обладают следующими свойствами. Теорема 3.1. 1. Объединение любого числа (конечного или бесконечного) открытых множеств является открытым множеством. 2. Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством. Доказательство 1. Пусть задано семейство множеств Aδ , δ ∈ ∆, где все множества S Aδ являются открытыми. Рассмотрим произвольную точку x ∈ Aδ . δ∈∆

Тогда существует δ из множества ∆ такое, что x ∈ Aδ . Поскольку Aδ – открытое множество, то существует ε >S0 для которого ε-окрестность Oε (x) ⊂ Aδ . Следовательно, Oε (x) ⊂ Aδ . Получили, что множеδ∈∆ S ство Aδ вместе со своей точкой x содержит и некоторую ее εδ∈∆ S окрестность. Значит, Aδ – открытое множество. δ∈∆

2. Пусть T T A1 , A2 , ..., An – открытые множества, а точка x ∈ A1 ... An . Тогда точка x принадлежит каждому из множеств 16

A1 , ... , An . Так как они все открыты, то существуют ε1 > 0, ..., εn > 0 такие, что Oε1 (x) ⊂ A1 , ..., Oεn (x) ⊂ An . Возьмем ε = min{ε1 , ..., εn }. Для этого ε и каждого номера k, 1 ≤ k ≤ T n, имеем Oε (x) ⊂ Oεk (x), T а значит, Oε (x)T⊂ A . Поэтому O (x) ⊂ A ... A . ε 1 n Следовательно, Tk множество A1 ... An является открытым. Определение 3.5. Пусть множество A ⊂ M . Точка x ∈ M называется изолированной точкой множества A, если существует ε > 0 такое, что окрестность Oε (x) не содержит точек из M , отличных от точки x. Определение 3.6. Пусть множество A ⊂ M . Точка x называется предельной точкой множества A, если для любого ε > 0 окрестность Oε (x) содержит бесконечно много точек из M . Предельная точка может принадлежать множеству A и может не принадлежать A. Определение 3.7. Пусть A ⊂ M . Замыканием множества A называется объединение множества A и всех его предельных точек и обозначается A. Теорема 3.2. Операция замыкания обладает свойствами: 1) множество A состоит из всех точек x таких, что любая ε-окрестность точки x содержит хотя бы одну точку из A; 2) A ⊂ A; 3) (A) = A; 4) если A1 ⊂ A2 , то A1 ⊂ A2 ; 5) A1 ∪ A2 = A1 ∪ A2 . Доказательство. Свойства 1, 2 следуют непосредственно из определения. 3. Пусть x ∈ (A). Рассмотрим произвольное ε > 0. Тогда по свойству 1 получим, что существует точка y ∈ Oε (x) такая, что y ∈ A. Обозначим число ε0 = ε − ρ(x, y). Снова по свойству 1 получим, что существует точка z ∈ Oε0 (y) такая, что z ∈ A. Тогда ρ(z, x) ≤ ≤ ρ(z, y) + ρ(y, x) < ε0 + ρ(y, x) = ε − ρ(x, y) + ρ(y, x) = ε. Получили, что во всякой ε-окрестности точки x найдется точка множества A, что по свойству 1 означает x ∈ A. Итак, (A) ⊂ A. По свойству 2 имеем A ⊂ (A). Значит, (A) = A. 4. Это свойство следует из того, что предельные точки множества A1 являются заодно и предельными точками множества A2 . 5. Имеем A1 ⊂ A1 ∪ A2 и A2 ⊂ A1 ∪ A2 . По свойству 2 отсюда следует, что A1 ⊂ A1 ∪ A2 и A2 ⊂ A1 ∪ A2 . Поэтому A1 ∪ A2 ⊂ A1 ∪ A2 . 17

Рассмотрим теперь точку x ∈ A1 ∪ A2 . Докажем, что тогда x ∈ A1 ∪ A2 . От противного. Предположим, что x 6∈ A1 ∪ A2 . Отсюда получим x 6∈ A1 и x 6∈ A2 . Значит, существует ε1 > 0, для которого окрестность Oε1 (x) не содержит точек множества A1 , и существует ε2 > 0, для которого Oε2 (x) не содержит точек из A2 . Обозначим через ε наименьшее из чисел ε1 и ε2 . Тогда Oε (x) не содержит точек из A1 и не содержит точек из A2 . Поэтому Oε (x) не содержит точек из A1 ∪A2 . Следовательно, x 6∈ A1 ∪ A2 . Противоречие. Значит, A1 ∪ A2 ⊂ A1 ∪A2 . Таким образом, A1 ∪ A2 = A1 ∪ A2 . Определение 3.8. Множество A ⊂ M называется замкнутым, если A = A, то есть A содержит все свои предельные точки. Из предыдущей теоремы следует, что замыкание A любого множества A – замкнутое множество. Пустое множество ∅ и все множество M являются замкнутыми в пространстве (M, ρ). Заметим, что эти два множества ∅ и M одновременно и открытые и замкнутые в метрическом пространстве (M, ρ). Теорема 3.3. Множество A замкнутое тогда и только тогда, когда его дополнение M \A до всего множества M является открытым. Доказательство. Если A замкнуто, то A = A, и, значит, A состоит из всех точек x таких, что любая ε-окрестность точки x содержит хотя бы одну точку из A. Поэтому для каждой точки x 6∈ A, то есть x ∈ M \A, найдется ε > 0 такое, что Oε (x) не содержит точек множества A. Это означает Oε (x) ⊂ M \A. Следовательно, по определению, множество M \A открыто. Пусть теперь M \A открыто. Тогда для каждой точки x ∈ M \A, найдется ε > 0 такое, что Oε (x) ⊂ M \A. Значит, Oε (x) не содержит точек множества A. Поэтому все точки x ∈ M \A не являются предельными для множества A. Следовательно, множество A содержит все свои предельные точки, что означает замкнутость A. Поскольку M \(M \A) = A, то есть дополнением множества M \A до всего множества M является множество A, эту теорему можно сформулировать по-другому: Теорема 3.4. Множество A открытое тогда и только тогда, когда его дополнение M \A до всего множества M является замкнутым. С помощью принципа двойственности легко доказать следующие свойства замкнутых множеств. 18

Теорема 3.5. 1) Пересечение любого числа (конечного или бесконечного) замкнутых множеств является замкнутым множеством. 2) Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством. Доказательство. 1. Пусть задано семейство множеств Aδ , δ ∈ ∆, где все множества Aδ замкнуты. Тогда все множества M \Aδ являются S открытыми и по теореме 3.1 их объединение (M \Aδ ) также открыδ∈∆ S T то. По принципу двойственности M \ Aδ = (M \Aδ ), и, значит, δ∈∆ δ∈∆ T дополнение множества Aδ до всего множества M открыто. Следоδ∈∆ T вательно, само множество Aδ замкнуто. δ∈∆

2. Пусть A1 , A2 , ..., An – замкнутые множества. Тогда множества M \A1 , ..., \An являются открытыми. По теореме 3.1 их пересечение T MT (M \A1 )S ...S (M \An ) открыто. T TВ силу принципа двойственности M \(A1 ...S AS ... (M \An ). Значит, дополнение мноn ) = (M \A1 ) жества A1 ... An до всего множества M является открытым. ПоS S этому само множество A1 ... An замкнуто. Замечание. Замкнутый шар (см. определение 3.3) Z(x0 , r) в метрическом пространстве (M, ρ) – замкнутое множество (этим и объясняется такое название шара). Действительно, каждая точка x множества M \Z(x0 , r) принадлежит этому множеству вместе со своей ε-окрестностью, где ε = ε(x) = ρ(x,x0 )−r . Значит, множество M \Z(x0 , r) открыто. В силу теоремы 3.3 2 множество Z(x0 , r) замкнуто.

ГЛАВА 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Определим сначала понятие последовательности в метрическом пространстве. Пусть M – метрическое пространство и каждому n ∈ N поставлен в соответствие элемент an метрического пространства M . Тогда говорят, что задана последовательность точек a1 , a2 , ..., an ,... в метрическом пространстве M . Это определение означает, что задать последовательность точек метрического пространства – это задать некоторую функцию 19

f : N → M. Кратко последовательность обозначают {an }∞ n=1 или {an }. Определение 4.1. Последовательность {an } называется сходящейся, если существует точка a ∈ M такая, что для всякого ε > 0 найдется номер N = N (ε) ∈ N такой, что при всех n ≥ N выполняется ρ(an , a) < ε (то есть an ∈ Oε (a)). При этом точка a называется пределом последовательности {an } и последовательность {an } называется сходящейся к точке a. Пишут a = lim an . n→∞ Из этого определения следует, что a = lim an тогда и только тогда, n→∞

когда lim ρ(an , a) = 0. n→∞ Последовательности метрического пространства, не являющиеся сходящимися, называются расходящимися. Утверждение 4.1. Сходящаяся последовательность элементов метрического пространства имеет единственный предел. Доказательство. От противного. Предположим, что lim an = a n→∞

ρ(a, b) и lim an = b, причем a 6= b. Тогда ρ(a, b) 6= 0. Обозначим ε = . n→∞ 2 Для этого ε существует номер N1 такой, что при всех n ≥ N1 выполняется ρ(an , a) < ε и существует номер N2 такой, что при всех n ≥ N2 выполняется ρ(an , b) < ε. Возьмем N = max {N1 , N2 }. Тогда при всех n ≥ N выполняется ρ(an , a) < ε и ρ(an , b) < ε, а из неравенства треугольника следует, что

ρ(a, b) ≤ ρ(a, an ) + ρ(an , b) < ε + ε =

ρ(a, b) ρ(a, b) + = ρ(a, b). 2 2

Итак, получили ρ(a, b) < ρ(a, b). Противоречие. Пусть заданы последовательность {an }∞ n=1 элементов метрического пространства и возрастающая последовательность натуральных чисел k1 , k2 ,..., kn ,... . Тогда последовательность {bn }∞ n=1 , где bn = akn , n ∈ N, называется подпоследовательностью последовательности {an }∞ n=1 . Записывают подпоследовательность ak1 , ak2 ,...,akn ,... . Кратко {akn }∞ n=1 или {akn }. Непосредственно из определений следует, что если последовательность {an }∞ n=1 сходится к a, то и любая ее подпоследовательность сходится к a. Теорема 4.1. Точка a является предельной точкой множества A тогда и только тогда, когда существует последовательность {an } 20

попарно различных точек множества A, сходящаяся к a. Доказательство. Пусть a – предельная точка множества A. Тогда окрестность O1 (a) содержит бесконечно много точек из A. Выберем одну из точек множества O1 (a) ∩ A и обозначим ее a1 . Множество O 21 (a) также содержит бесконечно много точек из A. Поэтому можно выбрать в множестве O 12 (a) ∩ A точку a2 , отличную от a1 . И так далее. Множество O n1 (a) ∩ A содержит бесконечно много точек, и, значит, в нем можно выбрать точку an , отличную от ранее выбранных точек a1 , a2 ,..., an−1 . Выбирая таким образом точки a1 , a2 ,..., an ,..., получим последовательность {an }∞ n=1 попарно различных точек множества A, причем 1 для всякого n ∈ N имеем an ∈ O n1 (a), то есть ρ(an , a) < , а значит, n lim an = a. n→∞

Пусть теперь последовательность {an }∞ n=1 попарно различных точек множества A сходится к a. Тогда для любого ε > 0 существует N ∈ N такое, что при всех n ≥ N выполняется ρ(an , a) < ε. Это означает, что ε-окрестность точки a содержит бесконечно много точек an ∈ A. Поскольку положительное ε произвольно, то a – предельная точка множества A. Из теоремы 4.1 и определения 3.8 следует теорема 4.2. Теорема 4.2. Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда для всякой точки a ∈ A существует последовательность {an } точек множества A, сходящаяся к a. Определение 4.2. Пусть (M1 , ρ1 ) и (M2 , ρ2 ) – метрические пространства. Отображение f : M1 → M2 называется непрерывным в точке a ∈ M1 , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое,что для всех x ∈ M1 , удовлетворяющих условию ρ1 (x, a) < δ, выполняется неравенство ρ2 (f (x), f (a)) < ε. Напомним, что ρ1 — расстояние (метрика) в пространстве M1 , а ρ2 — расстояние (метрика) в пространстве M2 . Если отображение f : M1 → M2 непрерывно во всех точках множества M1 , то говорят, что f непрерывно на M1 . Теорема 4.3. Отображение метрических пространств f : M1 → M2 непрерывно в точке a ∈ M1 тогда и только тогда, когда для всякой последовательности {an } сходящейся к a, соответствующая последовательность {f (an )} сходится к f (a). Доказательство. Пусть f непрерывно в точке a и последовательность {an } сходиться к a в пространстве (M1 , ρ1 ). Возьмем про21

извольное ε > 0 и зафиксируем его. В силу непрерывности в точке a отображения f для этого ε существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ M1 , удовлетворяющих условию ρ1 (x, a) < δ, выполняется неравенство ρ2 (f (x), f (a)) < ε. Поскольку {an } сходится к a, то для этого числа δ найдется N ∈ N такое, что при всех n ≥ N справедливо неравенство ρ1 (an , a) < δ. Тогда при всех n ≥ N выполняется ρ2 (f (an , f (a)) < ε. Следовательно, по определению, последовательность {f (an )} сходится к f (a) в пространстве (M2 , ρ2 ). Пусть теперь для всякой последовательности {an }, сходящейся к a, соответствующая последовательность {f (an )} сходится к f (a). Предположим при этом, что отображение f не является непрерывным в точке a. Тогда найдется ε > 0 такое, что для всякого δ > 0 существует точка x ∈ M1 , удовлетворяющая условиям ρ1 (x, a) < δ и ρ2 (f (x), f (a)) ≥ ε. 1 Следовательно, для каждого δn = , n ∈ N, найдется точка xn ∈ M1 , n 1 для которой ρ1 (xn , a) < , и при этом ρ2 (f (xn ), f (a)) ≥ ε. Это ознаn чает, что последовательность {xn } сходится к a, и при этом последовательность {f (xn )} не сходится к f (a). Противоречие. Поэтому f непрерывно в точке a. Теорема 4.4. Пусть даны три метрических пространства (M1 , ρ1 ), (M2 , ρ2 ), (M3 , ρ3 ) и отображение f : M1 → M2 непрерывно в точке a ∈ M1 , а отображение g : M2 → M3 непрерывно в точке b = f (a). Тогда композиция отображений g ◦ f : M1 → M3 непрерывна в точке a. Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Поскольку g непрерывно в точке f (a), то для этого ε найдется число α > 0 такое, что для всех y ∈ M2 , удовлетворяющих условию ρ2 (y, f (a)) < α, выполняется неравенство ρ3 ( g(y), g(f (a)) ) < ε. Поскольку f непрерывно в точке a, то для этого α найдется число δ > 0 такое, что для всех x ∈ M1 , удовлетворяющих условию ρ1 (x, a) < δ, выполняется неравенство ρ2 (f (x), f (a)) < α, и, значит, ρ3 ( g(f (x)), g(f (a)) ) < ε. Отсюда следует непрерывность отображения g ◦ f . Теорема 4.5. Для того чтобы отображение метрических пространств f : M1 → M2 было непрерывным на M1 , необходимо и достаточно, чтобы прообраз f −1 (U ) всякого открытого множества U ⊂ M2 был открытым. Доказательство. Пусть f непрерывно на M1 . Рассмотрим произвольное открытое множество U ⊂ M2 . Если a ∈ f −1 (U ), то f (a) ∈ U 22

и, в силу открытости множества U , существует ε-окрестность Oε (f (a)) ⊂ U . Поскольку f непрерывно в точке a, то для этого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что при всех x ∈ M1 , удовлетворяющих условию ρ1 (x, a) < δ, выполняется ρ2 (f (x), f (a)) < ε. Иначе говоря, Oδ (a) ⊂ ⊂ f −1 ( Oε (f (a)) ). Поскольку Oε (f (a)) ⊂ U , то Oδ (a) ⊂ f −1 (U ). Итак, каждая точка a множества f −1 (U ) принадлежит этому множеству вместе с некоторой δ-окрестностью Oδ (a). Это и означает, что множество f −1 (U ) – открытое. Пусть теперь прообраз f −1 (U ) всякого открытого множества U ⊂ M2 является открытым. Рассмотрим произвольную точку a ∈ M1 и произвольное ε > 0. Окрестность Oε (f (a)) – открытое множество. Поэтому множество f −1 ( Oε (f (a)) ) также открыто. Следовательно, точка a принадлежит множеству f −1 ( Oε (f (a)) ) вместе с некоторой δ-окрестностью Oδ (a). То есть, из условия ρ1 (x, a) < δ следует ρ2 (f (x), f (a)) < ε. Значит, f непрерывно в каждой точке a ∈ M1 . Поскольку дополнение открытого множества замкнуто (см. теорему 3.4) и прообраз дополнения равен дополнению прообраза (см. теорему 2.4), то отсюда следует теорема 4.6, аналогичная предыдущей. Теорема 4.6. Для того чтобы отображение метрических пространств f : M1 → M2 было непрерывным на M1 , необходимо и достаточно, чтобы прообраз f −1 (U ) всякого замкнутого множества U ⊂ M2 был замкнутым. ГЛАВА 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 5.1. Последовательность {an } точек метрического пространства (M, ρ) называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует натуральное число N = N (ε) такое, что при всех n ≥ N , m ≥ N выполняется неравенство ρ(an , am ) < ε. Утверждение 5.1. Всякая сходящаяся последовательность элементов метрического пространства является фундаментальной. Доказательство. Пусть {an } сходится к элементу a в пространстве (M, ρ). Тогда для всякого ε > 0 существует такое число N = N (ε), что при всех k ≥ N выполняется ρ(ak , a) < 2ε . Из неравенства треугольника следует, что ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , a) + ρ(a, xm ) < 2ε + 2ε = ε при всех n ≥ N , m ≥ N . Значит, последовательность {an } фундаментальна. Однако существуют метрические пространства в которых некоторые фундаментальные последовательности не являются сходящимися. 23

Утверждение 5.2. Если фундаментальная последовательность {an }∞ n=1 содержит сходящуюся к точке a подпоследовательность, то она сама сходится к тому же пределу. Доказательство. Зафиксируем произвольное ε > 0. В силу фундаментальности последовательности {an }∞ n=1 для этого ε существует такое число N1 = N1 (ε), что при всех n ≥ N1 , m ≥ N1 выполняется неравенство ρ(an , am ) < 2ε . Пусть подпоследовательность {akn }∞ n=1 сходится к a. Тогда существует такое число N2 = N2 (ε), что при всех n ≥ N2 выполняется ρ(akn , a) < 2ε . Обозначим N = max {N1 , N2 }. Имеем при всех n ≥ N : ε ε + = ε. 2 2 Следовательно, последовательность {an }∞ n=1 сходится к a. ρ(an , a) ≤ ρ(an , akn ) + ρ(akn , a) <

Определение 5.2. Если в пространстве (M, ρ) любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным. Пример. Пусть M = (0, 1], ρ(µ, η) = |µ − η|. Последовательность 1 ∞ точек {xn }∞ n=1 = { n }n=1 фундаментальна, но не сходится ни к одной точке из (0, 1]. Поэтому это метрическое пространство не является полным. Пример. Пространство R с метрикой ρ(µ, η) = |µ − η| — полное (его полнота известна из курса математического анализа). s n P n Пример. Пространство R с метрикой ρ(µ, η) = (µk − ηk )2 — k=1

полное (его полноту можно доказать, используя полноту R). Пример. Пространство C[a, b] — множество всех непрерывных на [a, b] функций f : [a, b] → R c метрикой ρ(f, g) = max |f (x) − g(x)| — x∈[0,1]

полное. Его полнота следует из теоремы математического анализа о том, что равномерно сходящаяся последовательность непрерывных на [a, b] функций сходится к непрерывной функции. Теорема 5.1 (принцип вложенных шаров). Для того чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение. 24

Доказательство. Необходимость. Пусть (M, ρ) – полное метрическое пространство, K1 ⊃ K2 ⊃ ... – вложенные друг в друга замкнутые шары, причем Kn – замкнутый шар с центром an и радиусом rn , lim rn = 0. Возьмем произвольное ε > 0. Для этого ε найдется такое n→∞ число N , что rn < 2ε . Поскольку шары вложены друг в друга, то все центры шаров aN , aN +1 , aN +2 ,... принадлежат шару KN . Следовательно, при всех n ≥ N и m ≥ N имеем ρ(an , am ) ≤ ρ(an , aN ) + ρ(aN , am ) ≤ ≤ rN + rN < 2ε + 2ε = = ε. Значит, последовательность точек {an } фундаментальна. Поскольку (M, ρ) – полное пространство, то {an } сходится, то есть существует элемент a ∈ M такой, что a = lim an . n→∞

Если из последовательности {an } можно выбрать подпоследовательность попарно различных точек, то элемент a является предельной точкой каждого шара Kn , n ∈ N, поскольку все центры шаров, начиная с n-го, принадлежат шару Kn . Так как каждый шар Kn замкнут, а значит, содержит все свои предельные точки, то точка a ∞ T принадлежит каждому шару Kn , n ∈ N. Поэтому a ∈ Kn . n=1

Если же из последовательности {an } нельзя выбрать подпоследовательность попарно различных точек, то это означает, что, начиная с некоторого номера, центры шаров совпадают друг с другом, и тогда ∞ T также a ∈ Kn . n=1

Итак, получили, что

∞ T

Kn не является пустым множеством.

n=1

Достаточность. Пусть всякая последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение. Возьмем произвольную фундаментальную последовательность {an } элементов метрического пространства (M, ρ). Докажем, что она сходится. В силу фундаментальности мы можем вы1 брать такую точку an1 нашей последовательности, что ρ(an , an1 ) < 2 при всех n ≥ n1 . Обозначим через K1 замкнутый шар радиуса 1 с центром в точке an1 . Далее, выберем такую точку an2 , что n2 > n1 и 1 ρ(an , an2 ) < 2 при всех n ≥ n2 . Обозначим через K2 замкнутый шар 2 радиуса 12 с центром в точке an2 . Пусть точки an1 , an2 , ..., anm уже выбраны. Тогда точку anm+1 выберем так, чтобы выполнялись усло1 вия: nm+1 > nm > ... > n1 и ρ(an , anm+1 ) < m+1 при всех n ≥ nm+1 . 2 25

1 Через Km+1 обозначим замкнутый шар радиуса m с центром в точке 2 anm+1 . И так далее. Получили последовательность замкнутых шаров K1 ⊃ K2 ⊃ ..., радиусы которых стремятся к нулю. По предположению ∞ ∞ T T Km 6= ∅, то есть существует точка a ∈ M такая, что a ∈ Km . m=1

m=1

1

Тогда ρ(anm , a) ≤ m−1 для всякого m ∈ N. Значит, подпоследователь2 ность an1 , an2 , ..., anm , ... сходится к точке a. В силу утверждения 5.2 последовательность {an } сходится к той же точке a. Итак, в пространстве (M, ρ) любая фундаментальная последовательность сходится. Поэтому это пространство является полным. Если в этой теореме одно из условий: полноту пространства, замкнутость шаров, условие того, что они вложены или стремление радиусов к нулю, убрать, то получившееся утверждение будет неверным. Пример. Пространство (M, ρ), где M = (0, 1], ρ(µ, η) = |µ − η|, не является полным. Возьмем в этом пространстве замкнутые 1 1 | ≤ 2n } = (0, n1 ]. шары Kn = {x ∈ M : |x − 2n Они вложены, их радиусы стремятся к нулю, Рис. 5.1 однако их пересечение пусто. Пример. Пространство R с метрикой ρ(µ, η) = |µ − η| — полное. 1 1 Возьмем открытые шары On = {x ∈ R : |x − 2n | < 2n } = (0, n1 ). Они вложены друг в друга, их радиусы стремятся к нулю, но их пересечение пусто. Пример. Пусть  M = N — множество всех натуральных чисел. Обо0, если m = n, Легко убедится, что значим ρ(m, n) = 1 , если m 6= n. 1 + m+n (N, ρ) — метрическое пространство. Пусть {xn } — фундаментальная последовательность элементов этого пространства. Тогда для этой последовательности найдется такой номер N ∈ N, что все xn , начиная с этого номера N , равны, то есть при всех n ≥ N элементы xn = xN . Отсюда следует, что последовательность {xn } сходится к элементу xN . Поскольку всякая фундаментальная последовательность сходится, то пространство (N, ρ) — полное. 1 1 } радиуса 1 + 2n с Возьмем шар Kn = {m ∈ N : ρ(m, n) ≤ 1 + 2n центром в точке n, n ∈ N. Тогда Kn = {n, n + 1, n + 2, ...}. Шары Kn замкнуты (см. замечание в конце главы 3), вложены друг в друга, но 26

их радиусы не стремятся к нулю и пересечение

∞ T

Kn = ∅.

n=1

Докажем теперь важную теорему об отображении полного метрического пространства. Сформулируем сначала следующее определение. Определение 5.3. Отображение f : M → M метрического пространства в себя называется сжимающим, если существует такое число α, что 0 < α < 1 и при всех x ∈ M , y ∈ M выполняется ρ(f (x), f (y)) ≤ αρ(x, y). Утверждение 5.3. Сжимающее отображение f : M → M непрерывно на M . Доказательство. Рассмотрим произвольную точку a ∈ M . Для каждого ε > 0 возьмем δ = αε . При всех x ∈ M , удовлетворяющих условию ρ(x, a) < δ, выполняется ρ(f (x), f (a)) ≤ αρ(x, a) < α · δ = = α · αε = ε. Следовательно, отображение f непрерывно в каждой точке a ∈ M . Теорема 5.2 (принцип сжимающих отображений). Сжимающее отображение f : M → M полного метрического пространства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку, то есть такую точку a ∈ M , что f (a) = a. Доказательство. Пусть a0 – произвольная точка из M . Положим a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), ..., an = f (an−1 ), ... . Покажем, что последовательность {an } фундаментальна. Действительно, (для определенности полагая m ≥ n) имеем ρ(an , am ) = ρ(f (an−1 ), f (am−1 )) ≤ α·ρ(an−1 , am−1 ) ≤ ... ≤ αn ρ(a0 , am−n ) ≤ ≤ αn ( ρ(a0 , a1 ) + ρ(a1 , a2 ) + ... + ρ(am−n−1 , am−n ) ) ≤ 1 . 1−α Возьмем произвольное ε > 0. Выбрав для этого ε натуральное чисε(1−α) ло, например N = N (ε) = [ logα 1+ρ(a ]+1, получим при всех n ≥ N , 0 ,a1 ) m ≥ N неравенство ρ(an , am ) < ε. Значит, {an } фундаментальна. Поскольку пространство M полное, то последовательность {an } сходится, ≤ αn · ρ(a0 , a1 )( 1 + α + α1 + ... + αm−n−1 ) ≤ αn · ρ(a0 , a1 ) ·

27

то есть существует lim an = a ∈ M . В силу утверждения 5.3 отобn→∞

ражение f непрерывно. Поэтому f (a) = f ( lim an ) = lim f (an ) = n→∞ n→∞ = lim an+1 = a. n→∞ Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если f (a) = a и f (b) = b, то ρ(a, b) = ρ(f (a), f (b)) ≤ ≤ αρ(a, b). Значит, ρ(a, b) · (1 − α) ≤ 0. Так как α < 1, то ρ(a, b) = 0, то есть a = b. Замечание. Если отображение f : M → M полного метрического пространства в себя обладает лишь свойством ρ(f (x), f (y)) < ρ(x, y) для всех x 6= y, то неподвижной точки может и не быть. Пример. Для метрического пространства (M, ρ), где M = [1, +∞), ρ(x, y) = |x − y|, и отображения f : M → M , f (x) = x + x1 , имеем ρ(f (x), f (y)) = |x+ x1 −y− y1 | < |x−y| = ρ(x, y) при всех x 6= y множества [1, +∞). Однако неподвижной точки нет, так как f (x) = x + x1 6= x для всякого x ∈ [1, +∞). Принцип сжимающих отображений используется в различных разделах математики: в теории дифференциальных уравнений, теории интегральных уравнений и т.д. ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Пусть A ⊂ M . Покрытием множества A в метрическом пространстве (M, ρ) называется любое семейство открытых множеств, объединение которых содержит A. Определение 6.1. Множество A называется компактным или компактом, если любое его покрытие содержит конечное подпокрытие. Иначе говоря, если S объединение открытых множеств Gα содержит мноα

жество A, то можно выбрать конечное число множеств Gα1 , ..., Gαm из этого семейства так, чтобы A ⊂ Gα1 ∪...∪Gαm .

Рис. 6.1

Определение 6.2. Метрическое пространство (M, ρ) называется компактом, если множество M – компакт. 28

Пример. Приведем без доказательства следующее утверждение: всякий отрезок [a, b] ⊂ R (метрика ρ(µ, η) = |µ − η|) – компакт. Это утверждение известно в анализе как лемма Гейне–Бореля. Пример. Пространство R (метрика ρ(µ, η) = |µ − η|) не является ∞ S компактом, так как (−n, n) = R, но из покрытия R интервалами n=1

(−n, n), n ∈ N, нельзя выбрать конечное подпокрытие. Пример. Интервал (a, b) ⊂ R (метрика ρ(µ, η) = |µ − η|) не является компактом, для открытых множеств Gα = (a + α, b − α) S поскольку S Gα = (a + α, b − α) = (a, b), но из покрытия имеем α∈(0, a+b 2 )

α∈(0, a+b 2 )

(a, b) множествами Gα , α ∈ (0, a+b 2 ), нельзя выделить конечное подпокрытие. Пример. В главе 7 будет доказано, что всякое замкнутое, ограниченное множество из Rn (в Rn выбрана метрика ρ(µ, η) = p = (µ1 − η1 )2 + ... + (µn − ηn )2 ) является компактом. Поэтому, например, все замкнутые шары в Rn компактны. В частности (см. пример выше), все отрезки [a, b] ⊂ R — компакты. Теорема 6.1. Замкнутое подмножество компактного метрического пространства компактно. Доказательство. Пусть M – компакт, A ⊂ M , A замкнуто. Тогда дополнение M \A – открытое. Если семейство множеств {Gα }, где все Gα – открытые, является покрытием множества A, то S M = A ∪ (M \A) = Gα ∪ (M \A). Значит, семейство открытых мноα

жеств {Gα } с добавленным открытым множеством M \A является покрытием множества M . В силу компактности M из него можно выделить конечное подпокрытие, то есть Gα1 ∪ ... ∪ Gαm ∪ (M \A) = M . Тогда A = M \(M \A) ⊂ Gα1 ∪ ... ∪ Gαm . Получили, что всякое покрытие множества A содержит конечное подпокрытие. Следовательно, A – компакт. Теорема 6.2. Компактное подмножество метрического пространства замкнуто. Доказательство. Пусть (M, ρ) – метрическое пространство, K ⊂ M , K – компакт. Если K = M , то K – замкнутое множество (по определению). Если K 6= M , то рассмотрим произвольную точку a ∈ (M \K). Для всякой точки x ∈ K возьмем ε-окрестность Oε(x) (x), где ε = ε(x) =

29

=

ρ(a,x) 3

6= 0. Тогда K ⊂

[

Oε(x) (x). Поскольку K – компакт, то

x∈K

из покрытия {Oε(x) (x)} можно выделить конечное подпокрытие, то есть найдутся точки x1 , ...,xm множества K такие, что множество K ⊂ Oε1 (x1 ) ∪ ... ∪ Oεm (xm ). Обозначим δ = min{ε1 , ..., εm }. Докажем, что δ-окрестность Oδ (a) ⊂ (M \K). Действительно, если элемент y ∈ Oδ (a), то ρ(y, a) < δ ≤ ε1 , при этом из неравенства треугольника следует ρ(a, x1 ) ≤ ρ(a, y) + ρ(y, x1 ). Поэтому расстояние ρ(y, x1 ) ≥ ≥ ρ(a, x1 ) − ρ(a, y) = 3ε1 − ρ(a, y) > 3ε1 − ε1 = 2ε1 . Отсюда y 6∈ Oε1 (x1 ). Аналогично получим y 6∈ Oε2 (x2 ), ..., y 6∈ Oεm (xm ), и, значит, y 6∈ K. Следовательно, Oδ (a) ⊂ (M \K). Итак, всякая точка a принадлежит множеству M \K вместе с некоторой δ-окрестностью Oδ (a), то есть множество M \K открыто. Поэтому K замкнуто. Теорема 6.3. Если метрическое пространство компактно, то из всякой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность (к точке из этого пространства). Доказательство. Пусть (M, ρ) – компактное метрическое пространство. Предположим, что существует последовательность {an }∞ n=1 точек этого пространства из которой нельзя выбрать сходящуюся под∞ S последовательность. Тогда каждое из множеств Ak = an , k ∈ N, n=k

состоит из бесконечного числа точек и не имеет предельных точек. ∞ ∞ T T При этом Ak = ∅ ( иначе элемент a ∈ Ak в последовательноk=1

k=1

сти {an }∞ n=1 встречается бесконечно много раз, что противоречит отN T сутствию сходящихся подпоследовательностей) и Ak 6= ∅ при всех k=1

N ∈ N (поскольку

N T

Ak ⊃ {aN , aN +1 , ...}). Поскольку каждое множе-

k=1

ство Ak , k ∈ N, не имеет предельных точек, то все Ak замкнуты (следует из определения замкнутого множества). Поэтому их дополнения M \Ak , k ∈ N, являются открытыми множествами. С помощью прин∞ ∞ \ [ ципа двойственности получим M = M \∅ = M \( Ak ) = (M \Ak ), k=1

k=1

то есть семейство открытых множеств {M \Ak } образует покрытие множества M . Так как M — компакт, то из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие, а значит, для некоторого m ∈ N вы-

30

полняется

m S

(M \Ak ) = M . Тогда ∅ = M \M = M \

k=1

=

m \ k=1

(M \(M \Ak )) =

m \

m [

! (M \Ak )

=

k=1

Ak 6= ∅. Противоречие. Следовательно, из

k=1

всякой последовательности точек пространства (M, ρ) можно выделить сходящуюся подпоследовательность. В качестве следствия из этой теоремы получим следующую. Теорема 6.4. Компактное метрическое пространство является полным. Доказательство. Пусть (M, ρ) – компактное метрическое пространство. Возьмем произвольную фундаментальную последовательность его точек. Тогда из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из M . По утверждению 5.2 отсюда следует, что и сама фундаментальная последовательность сходится к этой же точке. Поскольку всякая фундаментальная последовательность сходится, то пространство (M, ρ) – полное. Теорема 6.5. Если в метрическом пространстве из всякой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то это пространство компактно. Доказательство. Пусть (M, ρ) – данное метрическое пространство. Докажем, что для всякого множества A ⊂ M и всякого ε > 0 существует покрытие множества A, состоящее из конечного числа открытых шаров радиуса ε с центрами из множества A. От противного. Предположим, что при некотором ε0 > 0 любое конечное число открытых шаров радиуса ε0 с центрами из A не образует покрытия множества A. Возьмем в A произвольную точку x1 . Один шар Oε0 (x1 ) не образует покрытия множества A. Поэтому существует точка x2 ∈ (A\Oε0 (x1 )). Для этой точки ρ(x2 , x1 ) ≥ ε0 (так как x2 6∈ Oε0 (x1 )). Два шара Oε0 (x1 ) и Oε0 (x2 ) также не образуют покрытия множества 2 S A. Поэтому существует точка x3 ∈ (A\ Oε0 (xk )). Для x3 имеем k=1

ρ(x3 , x1 ) ≥ ε0 , ρ(x3 , x2 ) ≥ ε0 (так как x3 6∈ Oε0 (x1 ) и x3 6∈ Oε0 (x2 )). И так далее. Если точки x1 , ..., xn уже выбраны, то точку xn+1 выбираем n S из непустого множества A\ Oε0 (xk ). Тогда для нее все расстояния k=1

ρ(xn+1 , xi ) ≥ ε0 , i = 1, ..., n. Таким образом, получим последовательность x1 , x2 , ... точек множества M из которой нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность, поскольку при всех n ∈ N, m ∈ N, 31

n 6= m, выполняется неравенство ρ(xn , xm ) ≥ ε0 . Противоречие. Пусть семейство открытых множеств {Gα } – покрытие M . Предположим, что из него нельзя выбрать конечное подпокрытие множества M . Возьмем покрытие множества M , состоящее из конечного числа открытых шаров радиуса 1. Тогда семейство {Gα } является покрытием каждого из этих шаров. Значит, для одного из этих шаров O1 (x1 ) (с центром в некоторой точке x1 ∈ M ), из покрытия {Gα } нельзя выбрать конечное подпокрытие. Возьмем теперь покрытие шара O1 (x1 ) конечным числом открытых шаров радиуса 12 , центры которых принадлежат O1 (x1 ). Тогда также найдется некоторый шар O 12 (x2 ), x2 ∈ O1 (x1 ), для которого из покрытия {Gα } нельзя выбрать конечное подпокрытие. Затем шар O 12 (x2 ) покрываем конечным числом шаров радиуса 212 с центрами из O 12 (x2 ) и так далее. Полу1 чим шары O1 (x1 ), O 12 (x2 ), O 12 (x3 ), ..., O n−1 (xn ), ..., для каждого из 2 2 которых из покрытия {Gα } нельзя выбрать конечное подпокрытие. 1 (xk ) СледовательПричем для всех k ∈ N выполняется xk+1 ∈ O k−1 2 но, при всех n ∈ N, m ∈ N, m > n, имеем ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , xn+1 )+ 1 1 1 2 +ρ(xn+1 , xn+2 ) + ... + ρ(xm−1 , xm ) ≤ n−1 + n + ... + m−2 ≤ n−1 . 2 2 2 2 Значит, последовательность {xn } фундаментальна. По условию из нее можно выделить подпоследовательность сходящуюся к некоторой точке x0 ∈ M . С помощью утверждения 5.2 получим, что тогда и сама последовательность {xn } сходится к x0 . Поскольку {Gα } – покрытие M , то точка x0 принадлежит некоторому множеству Gα0 . Так как Gα0 открыто, то при некотором δ > 0 окрестность Oδ (x0 ) ⊂ Gα0 . Име1 (xn ) стремятся к нулю при ем x0 = lim xn и радиусы шаров O n−1 n→∞ 2 n → ∞, а значит, найдется такой номер N , что при всех n ≥ N ша1 ры O n−1 (xn ) ⊂ Oδ (x0 ) ⊂ Gα0 . Итак, начиная с номера N , все шары 2 1 (xn ) накрываются одним множеством Gα0 . А мы брали эти шары O n−1 2 так, что на каждом из них из покрытия {Gα } нельзя выбрать конечное подпокрытие. Противоречие. Следовательно, из всякого покрытия множества M можно выбрать конечное подпокрытие. Поэтому M – компакт. Из теорем 6.3 и 6.5 следует теорема 6.6. Теорема 6.6. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из всякой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность (к точке из этого пространства). 32

В качестве следствия из теоремы 6.6 получим теорему 6.7. Теорема 6.7. Подмножество A ⊂ M метрического пространства (M, ρ) компактно тогда и только тогда, когда из всякой последовательности точек множества A можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке из A. В главе 7 будет доказано необходимое и достаточное условие компактности множества A ⊂ Rn . Докажем теперь некоторые свойства отображений компактных метрических пространств. Теорема 6.8. Образ компакта при непрерывном отображении метрических пространств – компакт. Доказательство. Пусть (M1 , ρ1 ) и (M2 , ρ2 ) – метрические пространства, отображение f : M1 → M2 непрерывно, K – компакт, K ⊂ M1 . Рассмотрим произвольное покрытие множества f (K) открытыми множествами Gα . Поскольку при непрерывном отображении прообраз открытого множества открыт, то все множества f −1 (Gα ) – открытые. S S −1 Из f (K) ⊂ Gα следует K ⊂ f (Gα ). В силу компактности K α

α

можно выбрать конечное подпокрытие f −1 (Gα1 ) ∪ ... ∪ f −1 (Gαm ) ⊃ K. Тогда Gα1 ∪ ... ∪ Gαm ⊃ f (K). Итак, всякое покрытие множества f (K) содержит конечное подпокрытие. Поэтому f (K) — компакт. Определение 6.3. Отображение f : M → R называется ограниченным, если существует такое число ε > 0, что при всех x ∈ M справедливо |f (x)| ≤ ε. Теорема 6.9. Пусть M – компакт, отображение f : M → R непрерывно. Тогда f ограничено и достигает своих точных верхней и нижней граней. Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что f (M ) — компакт. Тогда по теореме 6.2 множество f (M ) замкнуто. Докажем ограниченность функции f . От противного. Предположим, что для всякого ε > 0 найдется элемент xε ∈ M такой, что |f (xε )| > ε. Элемент x1 ∈ M выберем произвольным образом и зафиксируем. Для ε = |f (x1 )| + 1 существует x2 ∈ M такой, что |f (x2 )| > > |f (x1 )| + 1. Затем найдем x3 ∈ M для которого |f (x3 )| > |f (x2 )| + 1 и т.д. Таким образом выберем элементы x1 , x2 , ... множества M для которых |f (xn+1 )| > |f (xn )| + 1, n ∈ N. Тогда при всех n ∈ N, m ∈ N, n 6= m имеем |f (xn ) − f (xm )| > 1. Поэтому из последовательности {f (xn )}∞ n=1 нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность, что противоречит компактности множества f (M ). Следовательно, существует такое 33

число ε > 0, что при всех x ∈ M справедливо |f (x)| ≤ ε. Из теории действительных чисел известно, что всякое непустое замкнутое ограниченное подмножество из R содержит точные верхнюю и нижнюю грани. Отсюда следует утверждение этой теоремы.

ГЛАВА 7. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 7.1. Непустое множество L называется вещественным линейным пространством, если выполняются следующие условия. 1. Для любых двух элементов x и y множества L однозначно определен третий элемент множества L, называемый их суммой и обозначаемый x + y, причем: 1) при всех x ∈ L, y ∈ L справедливо x + y = y + x (коммутативность); 2) при всех x ∈ L, y ∈ L, z ∈ L справедливо (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность); 3) существует такой элемент множества L, обозначаемый 0, что для всех x ∈ L сумма x + 0 = x; элемент 0 называется нулевым или нулем пространства L; 4) для всякого x ∈ L существует такой элемент x0 ∈ L, что x + x0 = 0; элемент x0 называется противоположным к элементу x и обозначается −x. 2. Для любого числа α ∈ R и любого x ∈ L определен элемент множества L, называемый произведением α на x и обозначаемый αx, причем: 1) при всех α ∈ R, β ∈ R, x ∈ L справедливо α(βx) = (αβ)x, 2) при всех α ∈ R, β ∈ R, x ∈ L справедливо (α + β)x = αx + βx, 3) при всех α ∈ R, x ∈ L, y ∈ L справедливо α(x + y) = αx + αy, 4) для всякого x ∈ L выполняется 1 · x = x. Если в определении линейного пространства во втором пункте вместо произвольных вещественных чисел взять произвольные комплексные числа, то получим определение комплексного линейного пространства. Если мы будем рассматривать вещественное линейное пространство, то запишем L(R), а если комплексное, то — L(C). Всюду, где наши рассуждения верны и для вещественных и для комплексных линейных пространств, будем говорить просто о линейном пространстве и писать L. 34

Линейные пространства называют также векторными пространствами, а их элементы – векторами и вместо x иногда пишут ~x. Вектор x + (−y) будем обозначать x − y. Докажем некоторые простые свойства линейных пространств. Утверждение 7.1. Пусть L – линейное пространство. Тогда: 1) нулевой элемент пространства L единственный; 2) для всякого x ∈ L противоположный ему элемент единственный; 3) для всякого x ∈ L выполняется 0 · x = 0; 4) для всякого x ∈ L выполняется (−1) · x = −x. Доказательство. 1) Если 01 и 02 — нули пространства L, то 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 . 2) Пусть x ∈ L и x1 , x2 – элементы противоположные к x. Тогда x+x1 = 0 и x+x2 = 0. Отсюда x1 = x1 +0 = x1 +(x+x2 ) = (x1 +x)+x2 = = 0 + x2 = x2 . 3) Пусть x ∈ L. Тогда 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x. Прибавим к обеим частям последнего равенства элемент −(0 · x) противоположный к 0 · x. Получим 0 · x + (−0 · x) = (0 · x + 0 · x) + (−(0 · x)). Поэтому 0 = 0 · x + (0 · x + (−0 · x)) = 0 · x + 0 = 0 · x. 4) Пусть x ∈ L. Тогда x + (−1) · x = 1 · x + (−1) · x = (1 + (−1)) · x = = 0 · x = 0. Значит, (−1) · x = −x. Определение 7.2. 1) Элементы a1 , ..., ak линейного пространства L(R) называются линейно зависимыми, если существуют такие вещественные числа µ1 , ..., µk , не все равные нулю, что µ1 a1 + ... + µk ak = 0. 2) Элементы a1 , ..., ak линейного пространства L(R) называются линейно независимыми, если µ1 a1 + ... + µk ak = 0 тогда и только тогда, когда µ1 = 0, ..., µk = 0. Определение 7.3. 1) Элементы a1 , ..., ak линейного пространства L(C) называются линейно зависимыми, если существуют такие комплексные числа µ1 , ..., µk , не все равные нулю, что µ1 a1 + ... + µk ak = 0. 2) Элементы a1 , ..., ak линейного пространства L(C) называются линейно независимыми, если µ1 a1 + ... + µk ak = 0 тогда и только тогда, когда µ1 = 0, ..., µk = 0. Определение 7.4. Если в линейном пространстве L имеется n линейно независимых элементов, а любые n + 1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространство L имеет размерность n (L – n-мерное пространство). Если же в L мож35

но указать систему из любого конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство L бесконечномерно. Определение 7.5. Базисом n-мерного пространства L называется упорядоченная система из n линейно независимых элементов этого пространства. Теорема 7.1. Пусть L = L(R) (L = L(C)) – n-мерное линейное пространство и e1 , ..., en – его базис. Тогда всякий вектор x ∈ L можно представить, причем единственным образом, в виде x = µ1 e1 + ... + µn en , где µ1 , ..., µn – вещественные (комплексные) числа. Доказательство. Пусть x ∈ L. Поскольку L – n-мерное пространство, то n+1 векторов e1 , ..., en , x линейно зависимы. Значит, найдутся числа µ1 , ..., µn , µn+1 , не все равные нулю, такие, что µ1 e1 + ... + µn en + µn+1 x = 0. При этом µn+1 6= 0, иначе векторы e1 , ..., en были бы линейно зависимы. Отсюда x=

−µ1 −µn e1 + ... + en . µn+1 µn+1

Докажем теперь единственность представления. Пусть x ∈ L и выполняются равенства x = α1 e1 + ... + αn en , x = β1 e1 + ... + βn en . Тогда 0 = x − x = (α1 e1 + ... + αn en ) − (β1 e1 + ... + βn en ) = (α1 − β1 )e1 + +... + (αn − βn )en . В силу линейной независимости элементов e1 , ..., en отсюда следует, что α1 − β1 = 0, ..., αn − βn = 0, то есть α1 = β1 , ..., αn = βn . Теорема доказана. Представление произвольного вектора x n-мерного пространства в виде x = µ1 e1 + ... + µn en называется разложением вектора x по базису e1 , ..., en . Числа µ1 , ..., µn называются координатами вектора x в базисе e1 , ..., en . Определение 7.6. Функция f : L → R, ставящая каждому элементу x линейного пространства L(R) (L(C)) в соответствие вещественное число ||x||, называется нормой в линейном пространстве L (пишут f (x) = ||x||), если удовлетворяет следующим аксиомам: 1) для любого x ∈ L справедливо ||x|| ≥ 0; причем ||x|| = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 2) для любых x ∈ L, α ∈ R (α ∈ C) справедливо ||αx|| = |α| · ||x||, 3) для любых x ∈ L, y ∈ L выполняется ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Линейное пространство L, в котором задана норма, называется линейным нормированным пространством. 36

Если L – линейное нормированное пространство с нормой ||...||, то, положив для произвольных элементов x ∈ L, y ∈ L расстояние ρ(x, y) = ||x − y||, получим, что L – метрическое пространство с введенной метрикой ρ. Действительно, для всех x ∈ L, y ∈ L, z ∈ L: ρ(x, y) = ||x − y|| ≥ 0; ρ(x, y) = ||x − y|| = 0 тогда и только тогда, когда x − y = 0, то есть x = y; ρ(x, y) = ||x − y|| = ||(−1) · (y − x)|| = ||y − x|| = ρ(y, x); ρ(x, y) = ||x − y|| = ||(x − z) + (z − y)|| ≤ ||x − z|| + ||z − y|| = = ρ(x, z) + ρ(z, y). Итак, всякое линейное нормированное пространство с нормой ||...|| является заодно и метрическим пространством с метрикой ρ(x, y) = ||x − y||. Поэтому все понятия и утверждения, изложенные в этом пособии для метрических пространств, переносятся на нормированные пространства. В частности, всюду далее, если мы будем говорить о сходимости последовательности, пределе последовательности в нормированном пространстве L с нормой ||...||, непрерывности функции и т.д., то мы будем иметь ввиду соответствующие понятия для метрического пространства (L, ρ), где ρ(x, y) = ||x − y||. Повторим здесь некоторые определения из теории метрических пространств, используя понятие нормы. Определение 7.7. Открытым шаром O(x0 , r) с центром в точке x0 и радиусом r в линейном нормированном пространстве L называется совокупность всех точек x ∈ L таких, что ||x − x0 || < r. Открытый шар радиуса ε, ε > 0, с центром x0 называется также ε-окрестностью точки x0 и обозначается Oε (x0 ). Определение 7.8. Замкнутым шаром Z(x0 , r) с центром в точке x0 и радиусом r в линейном нормированном пространстве L называется совокупность всех точек x ∈ L таких, что ||x − x0 || ≤ r. Определение 7.9. Последовательность {an } элементов линейного нормированного пространства L называется сходящейся, если существует точка a ∈ L такая, что для всякого ε > 0 найдется N = N (ε) ∈ N такое, что при всех n ≥ N выполняется ||an − a|| < ε (то есть an ∈ Oε (a)). При этом точка a называется пределом последовательности {an } и последовательность {an } называется сходящейся к a. Пишут a = lim an . n→∞ Из этого определения следует, что a = lim an тогда и только тогда, n→∞

когда lim ||an − a|| = 0. n→∞

37

Теорема 7.2. Пусть L – линейное нормированное пространство, последовательности элементов этого пространства {xn } и {yn } сходятся, числовая последовательность {αn } сходится, причем lim xn = x, lim yn = y, lim αn = α. Тогда последовательности n→∞

n→∞

n→∞

{xn + yn } и {αn xn } сходятся, и lim (xn + yn ) = x + y, lim αn xn = αx. n→∞

n→∞

Доказательство. 1) Возьмем произвольное ε > 0. Тогда найдутся ε номера N1 , N2 такие, что при всех n ≥N1 выполняется ||xn − x|| < 2 ε и при всех n ≥ N2 выполняется ||yn−y|| < . Обозначим N = max {N1 , N2 }. 2 При всех n ≥ N имеем ||(xn +yn )−(x+y)|| = ||(xn −x)+(yn −y)|| ≤ ||xn −x||+||yn −y|| <

ε ε + = ε. 2 2

Значит, последовательность {xn +yn } сходится и lim (xn +yn ) = x+y. n→∞ ε 2) Возьмем произвольное ε > 0. Обозначим ε0 = min { , 1}. ||x|| + |α| + 1 Тогда найдутся номера N1 , N2 такие, что при всех n ≥ N1 выполняется ||xn − x|| < ε0 и при всех n ≥ N2 выполняется |αn − α| < ε0 . Обозначим N = max {N1 , N2 }. При всех n ≥ N выполняется ||αn xn − αx|| = ||(αn − α)x + α(xn − x) + (αn − α)(xn − x)|| ≤ ≤ |αn −α|·||x||+|α|·||xn −x||+|αn −α|·||xn −x|| < ε0 ·||x||+|α|·ε0 +ε20 = ε · (||x|| + |α| + 1) = ε. = ε0 · (||x|| + |α| + ε0 ) ≤ ||x|| + |α| + 1 Значит, последовательность {αn xn } сходится и lim αn xn = αx. n→∞

Определение 7.10. Пусть L – линейное нормированное пространство. Множество M ⊂ L называется ограниченным, если существует такое число ε > 0, что для всех x ∈ M выполняется ||x|| ≤ ε. Определение 7.11. Последовательность {xn } элементов линейного нормированного пространства L называется ограниченной, если существует такое число ε > 0, что для всех n ∈ N выполняется ||xn || ≤ ε. Теорема 7.3. Сходящаяся последовательность {xn } элементов линейного нормированного пространства L является ограниченной. Доказательство. Так как {xn } сходится, то для числа 1 найдется номер N ∈ N такой, что при всех n ≥ N справедливо неравенство ||xn − x|| < 1. Поэтому при всех n ≥ N имеем ||xn || = ||xn − x + x|| ≤ 38

≤ ||xn − x|| + ||x|| < 1 + ||x||. Обозначим через ε наибольшее из чисел ||x1 ||, ..., ||xn−1 ||, 1 + ||x||. Тогда ε > 0 и при всех n ∈ N выполняется ||xn || ≤ ε, то есть последовательность {xn } ограничена. В одном и том же линейном пространстве можно задать различные нормы, поэтому иногда, чтобы указать какая именно норма выбрана, вместо L пишут (L, ||x||). Если же утверждения верны для линейного пространства с произвольно выбранной нормой, то будем его обозначать просто L. Пример. Рассмотрим множество Rn всех упорядоченных наборов (µ1 , ..., µn ) из n вещественных чисел со следующими операциями сложения и умножения на вещественное число: (µ1 , ..., µn ) + (η1 , ..., ηn ) = (µ1 + η1 , ..., µn + ηn ), α(µ1 , ..., µn ) = (αµ1 , ..., αµn ). Это пространство – n-мерное вещественное линейное пространство. Нулем этого пространства является элемент 0 = (0, ..., 0), одним из базисов – система (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1). В этом линейном пространстве можно задать различные нормы. Например, p ||(µ1 , ..., µn )|| = |µ1 |2 + ... + |µn |2 , ||(µ1 , ..., µn )||1 = |µ1 | + ... + |µn |, ||(µ1 , ..., µn )||∞ = max |µk |. 1≤k≤n

Легко проверить, что в каждом из этих трех случаев аксиомы нормы выполняются. Ниже для каждой из этих трех норм изображены ε-окрестности 2 нуля в двумерном пространстве pR : 1) для нормы ||(µ1 , µ2 )|| = |µ1 |2 + |µ2 |2 ε-окрестность нуля изображена на рис. 7.1, 2) для нормы ||(µ1 , µ2 )|| = |µ1 | + |µ2 | — на рис. 7.2, 3) для нормы ||(µ1 , µ2 )|| = max{|µ1 |, |µ2 |} — на рис. 7.3.

39

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Пример. Для комплексного пространства аналогично определяется множество Cn всех упорядоченных наборов (µ1 , ..., µn ) из n комплексных чисел со следующими операциями сложения и умножения на комплексное число: (µ1 , ..., µn ) + (η1 , ..., ηn ) = (µ1 + η1 , ..., µn + ηn ), α(µ1 , ..., µn ) = (αµ1 , ..., αµn ). Это пространство – n-мерное комплексное линейное пространство. Нулем этого пространства является элемент 0 = (0, ..., 0), одним из базисов – система (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1). В этом линейном пространстве также можно задать различные нормы. Например, p ||(µ1 , ..., µn )|| = |µ1 |2 + ... + |µn |2 , ||(µ1 , ..., µn )||1 = |µ1 | + ... + |µn |, ||(µ1 , ..., µn )||∞ = max |µk |. 1≤k≤n

Здесь также легко проверить, что в каждом из этих трех случаев аксиомы нормы выполняются. Часто, если говорят о нормированном пространстве Rn (или Cn ) безpуказания нормы, то подразумевается именно норма ||(µ1 , ..., µn )|| = = |µ1 |2 + ... + |µn |2 . Как будет показано дальше, для вопросов сходимости последовательностей, их пределов и т.д. не имеет значения, какая норма выбрана в пространстве Rn (или Cn ). Нам понадобится критерий компактности подмножества пространства Rn (Cn ). Теорема 7.4. Для того чтобы множество A ⊂ Rn ( A ⊂ Cn ) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы A было замкнутым и 40

ограниченным. p( В пространстве Rn ( Cn ) задана норма ||(µ1 , ..., µn )|| = |µ1 |2 + ... + |µn |2 . ) Доказательство. Докажем теорему для пространства Rn . 1) Необходимость. Пусть A – компакт. Тогда A – замкнутое множество (см. теорему 6.2). Предположим теперь, что A не является ограниченным. Тогда для каждого ε = n найдется элемент xn ∈ A такой, что ||xn || > n, n ∈ N. Рассмотрим открытые шары с центром в нуле On (0) = {x ∈ Rn : ∞ S ||x|| < n}, n ∈ N. Поскольку On (0) = Rn , то семейство шаров O1 (0), n=1

O2 (0), ... является покрытием множества Rn и, следовательно, покрыm S тием множества A. Но при каждом m ∈ N объединение On (0) не n=1

содержит точку xm+1 ∈ A, так как ||xm+1 || > m + 1. Значит, из покрытия O1 (0), O2 (0), ..., On (0), ... множества A нельзя выделить конечное подпокрытие этого множества, что противоречит компактности A. Поэтому A ограничено. 2) Достаточность. Пусть A ⊂ Rn , A замкнуто и ограничено. Так как A ограничено, то существует число ε > 0 p такое, что для всех x = (µ1 , ..., µn ) ∈ A выполняется ||(µ1 , ..., µn )|| = |µ1 |2 + ... + |µn |2 ≤ ε. Рассмотрим произвольную последовательность x1 , x2 , ... элементов (k) (k) множества A. Пусть xk = (µ1 , ..., µn ), k ∈ N. Тогда при всех 1 ≤ l ≤ n, k ∈ N: q (k)

|µl | ≤

(k)

(k)

|µ1 |2 + ... + |µn |2 ≤ ε. (k)

Значит, каждая из последовательностей {µl }∞ k=1 , 1 ≤ l ≤ n, является ограниченной. Согласно теореме Больцано–Вейерштрасса для последовательностей вещественных чисел, из ограниченной последова(k) тельности {µ1 } можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (s ) (sk ) {µ1 }. Соответствующая последовательность {µ2 k } также является ограниченной, и потому из нее, в свою очередь, можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Продолжив это рассуждение (учитывая, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится), получим n сходящихся последовательностей (m ) (m ) (m ) (m ) {µ1 k }, ..., {µn k }. Обозначим µ01 = lim µ1 k , ..., µ0n = lim µn k . k→∞

k→∞

Имеем для x0 = (µ01 , ..., µ0n ): q (m ) (m ) 0 ≤ ||xmk − x0 || = |µ1 k − µ01 |2 + ... + |µn k − µ0n |2 ≤ 41

(mk )

≤ |µ1

− µ01 | + ... + |µn(mk ) − µ0n |.

Поэтому (mk )

0 ≤ lim ||xmk −x0 || ≤ lim |µ1 k→∞

k→∞

k) −µ01 |+...+ lim |µ(m −µ0n | = 0+...+0 = 0. n

k→∞

Отсюда lim ||xmk − x0 || = 0. Значит, {xmk }∞ k=1 сходится к x0 . В силу k→∞

замкнутости множества A элемент x0 ∈ A (см. теорему 4.2). Итак, из всякой последовательности точек множества A можно выделить подпоследовательность сходящуюся к точке из A. В силу теоремы 6.7 множество A — компакт. Аналогично доказывается теорема для комплексного пространства Cn . Определение 7.12. Пусть L1 , L2 – линейные пространства. Отображение f : L1 → L2 называется линейным отображением (линейным оператором), если для всех x ∈ L1 , y ∈ L2 , α ∈ R (α ∈ C) выполняется f (x + y) = f (x) + f (y) и f (αx) = αf (x). Утверждение 7.2. Пусть f : L1 → L2 – линейное отображение линейных пространств. Тогда f (0) = 0. Доказательство. Имеем f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0). Прибавим к обеим частям последнего равенства вектор −f (0). Получим −f (0) + f (0) = −f (0) + (f (0) + f (0)). Поэтому 0 = (−f (0) + f (0))+ +f (0) = 0 + f (0) = f (0). Теорема 7.5. Пусть L = L(R) — n-мерное линейное пространство и e1 , ..., en — его базис. Тогда отображение f : L(R) → Rn , где f (µ1 e1 + ... + µn en ) = (µ1 , ..., µn ), является линейным отображением и взаимно однозначным соответствием между L и Rn ; для L существуют такие числа A > 0, B > 0, что при всех x ∈ L справедливо A||f (x)|| ≤ ||x|| ≤ B||f (x)||. Доказательство. Поскольку e1 , ..., en – базис L, то всякий элемент x ∈ L однозначно представляется в виде x = µ1 e1 + ... + µn en , где µ1 ∈ R, ..., µn ∈ R. Поэтому для любых двух различных элементов x и y множества L их образы f (x) и f (y) различны. Так как для всякого (µ1 , ..., µn ) ∈ Rn элемент µ1 e1 +...+µn en ∈ L, то f (L) = Rn . Значит, это отображение является взаимно однозначным соответствием между L и Rn . Причем для всех x = µ1 e1 +...+µn en ∈ L, y = η1 e1 +...+ηn en ∈ L и всех α ∈ R имеем 42

f (x + y) = f ((µ1 + η1 )e1 + ... + (µn + ηn )en ) = ((µ1 + η1 ), ..., (µn + ηn )) = = (µ1 , ..., µn ) + (η1 , ..., ηn ) = f (x) + f (y), f (αx) = f (αµ1 e1 + ... + αµn en ) = (αµ1 , ..., αµn ) = α(µ1 , ..., µn ) = αf (x). Следовательно, f – линейное отображение. Напомним, p что в пространстве Rn мы рассматриваем норму ||(µ1 , ..., µn )|| = |µ1 |2p+ ... + |µn |2 . Обозначим число ||e1 ||2 + ... + ||en ||2 = B. При всех x ∈ L имеем ||x|| = ||µ1 e1 + ... + µn en || ≤ |µ1 | · ||e1 || + ... + |µn | · ||en || ≤ p p ≤ |µ1 |2 + ... + |µn |2 · ||e1 ||2 + ... + ||en ||2 = || (µ1 , ..., µn ) ||·B = B·||f (x)||. (Здесь мы использовали неравенство для веp p Коши–Буняковского щественных чисел: a1 b1 + ... + an bn ≤ a21 + ... + a2n · b21 + ...b2n .) Рассмотрим теперь единичную сферу p S = {(α1 , ...αn ) ∈ Rn : |α1 |2 + ... + |αn |2 = 1}. Это множество замкнуто и ограничено. Следовательно, S – компакт (см. теорему 7.4). Рассмотрим также функцию g : Rn → R, g(µ1 , ..., µn ) = ||µ1 e1 +...+µn en ||. При всех (µ1 , ..., µn ) ∈ Rn , (η1 , ..., ηn ) ∈ Rn имеем |g(µ1 , ..., µn ) − g(η1 , ..., ηn )| = | ||x|| − ||y|| | ≤ p ≤ ||x − y|| ≤ B · ||f (x − y)|| = B · |µ1 − η1 |2 + ... + |µn − ηn |2 , где x = µ1 e1 + ... + µn en , y = η1 e1 + ... + ηn en . Отсюда следует, что функция g непрерывна на всем множестве Rn . Поскольку g непрерывна на компакте S, то на S она достигает своего минимума A (см. теорему 6.9). Итак, при всех (α1 , ..., αn ) ∈ S имеем g(α1 , ..., αn ) ≥ A и g(α10 , ..., αn0 ) = A для некоторого (α10 , ..., αn0 ) ∈ S. Так как элементы e1 , ..., en линейно независимы и |α10 |2 + ... + |αn0 |2 = 1 6= 0, то α10 e1 +...+αn0 en 6= 0, и, значит, A = g(α10 , ..., αn0 ) = ||α10 e1 +...+αn0 en || > 0. Возьмем произвольный вектор x ∈ L, x 6= 0. Представим его в виде x = µ1 e1 + ... + µn en . Тогда µ1 µ1 (p , ..., p )∈S 2 2 2 |µ1 | + ... + |µn | |µ1 | + ... + |µn |2 43

и ||x|| = ||µ1 e1 + ... + µn en || = µ1 µ1 = |µ1 |2 +...+|µn |2 · || p e1 +...+ p en || = 2 2 2 |µ1 | +...+|µn | |µ1 | +...+|µn |2 p µ1 µ1 = |µ1 |2 + ... + |µn |2 · g( p , ..., p )≥ 2 2 2 |µ1 | + ... + |µn | |µ1 | + ... + |µn |2 p ≥ |µ1 |2 + ... + |µn |2 · A = A · ||f (x)||. p

Для x = 0 имеем f (0) = 0, а потому ||0|| = A · ||f (0)||. Теорема доказана. Аналогично доказывается теорема 7.6 для комплексного линейного пространства. Теорема 7.6. Пусть L = L(C) — n-мерное линейное пространство и e1 , ..., en — его базис. Тогда отображение f : L(C) → Cn , где f (µ1 e1 + ... + µn en ) = (µ1 , ..., µn ), является линейным отображением и взаимно однозначным соответствием между L и Cn ; для L существуют такие числа A > 0, B > 0, что при всех x ∈ L справедливо A||f (x)|| ≤ ||x|| ≤ B||f (x)||.

Определение 7.13. Два линейных пространства L1 и L2 называются изоморфными, если существует линейное отображение f : L1 → L2 являющееся взаимно однозначным соответствием между L1 и L2 . Из предыдущих двух теорем следует, что все вещественные (комплексные) конечномерные линейные нормированные пространства размерности n изоморфны Rn (Cn ) и, следовательно, изоморфны друг другу. Поэтому во многих задачах n-мерные пространства можно рассматривать как различные реализации пространства Rn (Cn ). Определение 7.14. Нормы ||...||1 и ||...||2 в линейном пространстве L называются эквивалентными тогда и только тогда, когда существуют такие числа A > 0, B > 0, что при всех x ∈ L справедливо A||x||1 ≤ ||x||2 ≤ B||x||1 .

44

Теорема 7.7. В конечномерном линейном нормированном пространстве L(R) ( L(C) ) любые две нормы эквивалентны. Доказательство. Пусть L = L(R) – вещественное n-мерное линейное пространство, e1 , ..., en – его базис. И пусть в L заданы две нормы ||...||1 и ||...||2 . Рассмотрим отображение f : L → Rn такое, что для каждого элемента µ1 e1 + ... + µn en ∈ L его образ f (µ1 e1 + ... + µn en ) = = (µ1 , ..., µn ). Тогда, по теореме 7.5 имеем f – взаимно однозначное соответствие между L и Rn и существуют такие числа A1 > 0, B1 > 0, A2 > 0, B2 > 0, что при всех x ∈ L справедливо A1 ||f (x)|| ≤ ||x||1 ≤ B1 ||f (x)||, A2 ||f (x)|| ≤ ||x||2 ≤ B2 ||f (x)||. p (В Rn мы выбрали норму ||(µ1 , ..., µn )|| = |µ1 |2 + ... + |µn |2 .) Отсюда следует ||x||2 ≥ A2 ||f (x)|| =

A2 A2 · B1 ||f (x)|| ≥ · ||x||1 , B1 B1

||x||2 ≤ B2 ||f (x)|| =

B2 B2 · A1 ||f (x)|| ≤ · ||x||1 . A1 A1

B2 A2 и B = , получим утверждение теоремы для B1 A1 L(R). Аналогично доказывается теорема для комплексных конечномерных пространств. Обозначив A =

Из этой теоремы следует, что в конечномерном пространстве сходимость проследовательности, ее предел, непрерывность функции и т.д. не зависят от выбора нормы этого пространства. А именно: если последовательность элементов {an }∞ n=1 конечномерного пространства L сходится к элементу a ∈ L по одной норме, то эта же последовательность {an }∞ n=1 сходится к этому же элементу a по любой другой норме пространства L. Если функция f отображает конечномерное пространство L в конечномерное пространство и f непрерывна в a ∈ L с точки зрения одной нормы, то f непрерывна в a и по любой другой норме конечномерного пространства. Поэтому для изучения сходимости последовательностей и т.д. в конечномерном пространстве можно использовать, например, классическую норму ||µ1 e1 + ... + µn en || = p = |µ1 |2 + ... + |µn |2 . 45

Для бесконечномерных пространств две нормы в одном и том же линейном пространстве могут быть не эквивалентными и если последовательность элементов сходится по одной норме, то эта же последовательность может не сходится по другой норме. Пример. Рассмотрим пространство C[0, 1] – множество всех функций f : [0, 1] → R непрерывных на отрезке [0, 1] с обычными операциями сложения и умножения на число: (f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x). Это бесконечномерное линейное пространство. В нем определим две нормы: v uZ1 u u ||f || = max |f (x)| и ||f ||2 = t |f (x)|2 dx . x∈[0,1]

0

Рассмотрим последовательность {gn }∞ n=1 элементов пространства C[0, 1], где  1 x ∈ [0, 2n ],  2nx, 1 1 2 − 2nx x ∈ [ 2n , n ], , n ∈ N. gn (x) =  0 x ∈ [ n1 , 1]. ∞ Тогда {gns }n=1 сходится к g ≡ 0 по норме R1 |f (x)|2 dx , но не сходится ||f ||2 = 0

ни к одной функции g ∈ C[0, 1] по норме ||f || = max |f (x)|. x∈[0,1]

Рис. 7.1

ГЛАВА 8. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 8.1. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы. Для всех x ∈ E, y ∈ E, z ∈ E, λ ∈ R : 1) (x, x) ≥ 0, при этом (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0; 2) (x, y) = (y, x); 3) (λx, y) = λ(x, y); 46

4) (x + y, z) = (x, z) + (y, z). Определение 8.2. Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое (x, y) и называемое скалярным произведением, так что выполнены следующие аксиомы. Для всех x ∈ U , y ∈ U , z ∈ U , λ ∈ C : 1) (x, x) ≥ 0, при этом (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0; 2) (x, y) = (y, x); 3) (λx, y) = λ(x, y); 4) (x + y, z) = (x, z) + (y, z). Иначе говоря, задать скалярное произведение — это задать вещественнозначную (комплекснозначную) функцию на произведении E × E (U × U ) для которой справедливы указанные выше аксиомы. Запись (x, x) ≥ 0 в определении унитарного пространства означает, что число (x, x) вещественное и неотрицательное. Отметим, что в унитарном (евклидовом) пространстве для всех элементов x скалярное произведение (0, x) = (x, 0) = 0; для всех элементов x, y и чисел λ ∈ C (λ ∈ R) справедливо равенство (x, λy) = λ(x, y). Действительно, (0, x) = (0 · x, x) = 0 · (x, x) = 0, (x, 0) = (0, x) = 0, (x, λy) = (λy, x) = λ(y, x) = λ · (y, x) = λ(x, y). Если λ – вещественное число, то λ = λ и тогда (x, λy) = λ(x, y). Пример. В линейном пространстве Rn определим (µ, η) = µ1 η1 + ... + µn ηn ∈ R , где µ = (µ1 , ..., µn ), η = (η1 , ..., ηn ). Получим евклидово пространство. Действительно, для всех векторов из Rn и всех вещественных чисел: 1) (µ, µ) = µ21 + ... + µ2n ≥ 0, при этом (µ, µ) = 0 тогда и только тогда, когда µ = (µ1 , ..., µn ) = (0, ..., 0) = 0; 2) (µ, η) = µ1 η1 + ... + µn ηn = η1 µ1 + ... + ηn µn = (η, µ); 3) (λµ, η) = λµ1 · η1 + ... + λµn · ηn = λ · (µ1 η1 + ... + µn ηn ) = λ(µ, η); 4) (µ + η, τ ) = (µ1 + η1 ) · τ1 + ... + (µn + ηn ) · τn = µ1 τ1 + ... + µn τn + + η1 τ1 + ... + ηn τn = (µ, τ ) + (η, τ ). Пример. В линейном пространстве Cn определим (µ, η) = µ1 η1 + ... + µn ηn ∈ C , где µ = (µ1 , ..., µn ), η = (η1 , ..., ηn ). Получим унитарное пространство. Докажем это. Для всех векторов из Cn и всех комплексных чисел: 47

1) (µ, µ) = µ1 µ1 + ... + µn µn = |µ1 |2 + ... + |µn |2 ≥ 0, при этом (µ, µ) = 0 тогда и только тогда, когда µ = (µ1 , ..., µn ) = (0, ..., 0) = 0; 2) (µ, η) = µ1 η1 + ... + µn ηn = η1 µ1 + ... + ηn µn = (η, µ); 3) (λµ, η) = λµ1 · η1 + ... + λµn · ηn = λ · (µ1 η1 + ... + µn ηn ) = λ(µ, η); 4) (µ + η, τ ) = (µ1 + η1 ) · τ1 + ... + (µn + ηn ) · τn = µ1 τ1 + ... + µn τn + + η1 τ1 + ... + ηn τn = (µ, τ ) + (η, τ ). Пример. В линейном пространстве C[0, 1] определим Z1 f (x)g(x) dx ∈ R ,

(f, g) = 0

где f ∈ C[0, 1], g ∈ C[0, 1]. Получим бесконечномерное евклидово пространство. Действительно, для всех функций из C[0, 1] и всех вещественных чисел: R1 R1 1) (f, f ) = f 2 (x) dx ≥ 0. Если f ≡ 0, то (f, f ) = 02 dx = 0. 0

0

Докажем, что если (f, f ) = 0, то f ≡ 0. От противного. Предположим, что в некоторой точке x0 ∈ [0, 1] значение f (x0 ) = a 6= 0. Поскольку функция f непрерывна на [0, 1], то f непрерывна в точке x0 . Поэто|a| найдется такое δ > 0, что для всех x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) му для ε = 2 |a| выполняется |f (x) − f (x0 )| < (если x0 = 0, то берем x ∈ [0, δ); 2 если x0 = 1, то берем x ∈ (1 − δ, 1]). Значит, при x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) |a| |a| |a| |a| имеем − < f (x) − a < , то есть a − < f (x) < a + , и потому 2 2 2 2 |a| |a| |f (x)| > |a| − = . Тогда 2 2 Z1 (f, f ) =

xZ0 −δ

2

f (x) dx = 0

xZ0 +δ

2

f (x) dx +

xZ0 +δ

≥0+

f (x) dx + x0 −δ

0

Z1

2

f 2 (x) dx ≥

x0 +δ

|a|2 |a|2 dx + 0 = 2δ · > 0. 4 4

x0 −δ

Zδ (Если x0 = 0 , то (f, f ) =

f 2 (x)dx +

0

Z1 δ

48

f 2 (x)dx ≥

Zδ 0

|a|2 dx + 0 = 4

|a|2 = δ· > 0; если x0 = 1 , то (f, f ) = 4

1−δ Z Z1 2 f (x)dx + f 2 (x)dx ≥ 0

Z1 ≥ 0+

2

1−δ

2

|a| |a| dx = δ· > 0.) Получили противоречие. Следовательно, 4 4

1−δ

f ≡ 0. Итак, (f, f ) = 0 тогда и только тогда, когда f ≡ 0. Z1 Z1 2) (f, g) = f (x)g(x) dx = g(x)f (x) dx = (g, f ). 0

0

Z1

Z1 λf (x) · g(x) dx = λ

3) (λf, g) = 0

f (x)g(x) dx = λ(f, g). 0

Z1 Z1 Z1 4) (f +g, h) = (f (x)+g(x))·h(x) dx = f (x)h(x) dx+ g(x)h(x) dx = 0

0

0

= (f, h) + (g, h). Теорема 8.1 (неравенство Коши–Буняковского). В унитарном (евклидовом) пространстве для p всех элементов x, y выполняется p неравенство |(x, y)| ≤ (x, x) · (y, y) . Доказательство. Пусть x и y – произвольные элементы данного пространства. Если y = 0, то (x, y) = 0 и (y, y) = 0, а потому неравенство Коши–Буняковского выполняется. Если y 6= 0, то возьмем число (x, y) α=− ∈ C (или R). Поскольку число (y, y) вещественное, то (y, y)   (x, y) (x, y) α= − =− . (y, y) (y, y) Имеем 0 ≤ (x+αy, x+αy) = (x, x+αy)+(αy, x+αy) = (x, x)+(x, αy)+α(y, x+αy) = = (x, x)+α(x, y)+α(y, x)+α·α(y, y) = (x, x)+α (x, y)+α (x, y)+|α|2 (y, y) = (x, y) 2 (x, y) (x, y) (y, y) = = (x, x) − (x, y) − (x, y) + − (y, y) (y, y) (y, y) = (x, x) −

|(x, y)|2 |(x, y)|2 |(x, y)|2 |(x, y)|2 − + = (x, x) − . (y, y) (y, y) (y, y) (y, y) 49

Поэтому |(x, y)|2 ≤ (x, x)·(y, y). Отсюда следует утверждение теоремы. Всякое унитарное или евклидово пространство можно превратить в нормированное пространство, определив в нем норму по формуле p ||x|| = (x,px) . Действительно, ||x|| = (x, x) ≥ 0, причем ||x|| = 0 тогда и только тогда, когда (x, x) = 0, то pесть x = 0; p 2 ||αx|| = (αx, px) = |α| · ||x||; p αx) = |α| (x, + (y, x) + (y, y) ≤ ||x + y|| = (x + y, x + y) = (x, qx) + (x, y) p p p ≤ (x, x)+|(x, y)|+|(y, x)|+(y, y) ≤ (x, x)+2 (x, x) · (y, y)+(y, y) = p = ||x||2 + 2||x|| · ||y|| + ||y||2 = ||x|| + ||y||. p Учитывая ||x|| = (x, x) , неравенство Коши–Буняковского можно записать следующим образом. Теорема 8.10 (неравенство Коши–Буняковского). В унитарном (евклидовом) пространстве для всех элементов x, y выполняется неравенство |(x, y)| ≤ ||x|| · ||y||. Поскольку всякое унитарноеp(евклидово) пространство является нормированным с нормой ||x|| = (x, x) , то оно заодно является и метp рическим пространством с метрикой ρ(x, y) = ||x−y|| = (x − y, x − y). Поэтому все изложенное в предыдущих параграфах относится также и к унитарным (евклидовым) пространствам. Теорема 8.2. Пусть в унитарном (евклидовом) пространстве последовательности элементов {xn} и {yn} сходятся, причем lim xn = x, k→∞

lim yn = y. Тогда последовательность {(xn , yn )} сходится к (x, y).

k→∞

Доказательство. Поскольку последовательность {yn } сходится, то она ограничена ( см. теорему 7.3). Значит, существует такое число ε > 0, что при всех n ∈ N выполняется ||yn || < ε. Используя неравенство Коши–Буняковского, получим 0 ≤ |(xn , yn ) − (x, y)| = |(xn , yn ) − (x, yn ) + (x, yn ) − (x, y)| = = |(xn − x, yn ) + (x, yn − y)| ≤ |(xn − x, yn )| + |(x, yn − y)| ≤ ≤ ||xn − x|| · ||yn || + ||x|| · ||yn − y|| ≤ ||xn − x|| · ε + ||x|| · ||yn − y||. Отсюда 0 ≤ lim |(xn , yn )−(x, y)| ≤ ε lim ||xn −x||+||x|| lim ||yn −y|| = n→∞

n→∞

n→∞

= ε · 0 + ||x|| · 0 = 0. Поэтому lim |(xn , yn ) − (x, y)| = 0. Следовательно, n→∞

последовательность {(xn , yn )} сходится и lim (xn , yn ) = (x, y). n→∞

50

Теорема 8.3 (равенство параллелограмма). В унитарном (евклидовом) пространстве для всех элементов x, y выполняется равенство ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ). Доказательство. ||x+y||2 +||x−y||2 = (x+y, x+y)+(x−y, x−y) = = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) + (x, x) − (x, y) − (y, x) + (y, y) = = 2(x, x) + 2(y, y) = 2(||x||2 + ||y||2 ). Эта теорема является обобщением известной в геометрии теоремы о том, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон. Как показывает следующий пример, не во всяком нормированном пространстве выполняется равенство параллелограмма. Рис. 8.1 Пример. В пространстве C[0, 1] с нормой ||f || = max |f (x)| возьx∈[0,1]

мем f (x) = x и g(x) ≡ 1. Имеем ||f +g||2 +||f −g||2 = 22 +12 = 5, 2(||f ||2 +||g||2 ) = 2(12 +12 ) = 4. Значит, ||f + g||2 + ||f − g||2 6= 2(||f ||2 + ||g||2 ). Этот пример также показывает, что не во всяком нормированном пространстве можно ввести скалярное произведение так, чтобы p ||x|| = (x, x) (если бы можно было ввести скалярное произведение таким образом, то в этом пространстве выполнялось бы равенство параллелограмма). Значит, в C[0, 1] с нормой ||f || = max |f (x)| нельзя ввести соответx∈[0,1]

ствующее скалярное произведение. Однако, в линейном пространстве v uZ1 u u C[0, 1] норма ||f ||2 = t |f (x)|2 dx соответствует скалярному произ0

Z1 f (x)g(x) dx (то есть ||f ||2 =

ведению (f, g) = 0

p

(f, f ) ).

Пример. В линейном пространстве Rn со скалярным произведеp нием (µ, η) = µ η +...+µ η соответствующая норма ||µ|| = (µ, µ) = 1 1 n n p = |µ1 |2 + ... + |µn |2 . Но если в Rn взять ||µ||1 = |µ1 | + ... + |µn | или 51

||μ||∞ = max |μk |, то соответствующего скалярного произведения не 1≤k≤n

существует (можно привести пример векторов для которых в этом случае не выполняется равенство параллелограмма).

Список рекомендуемой литературы 1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М.: Изд-во МГУ, 1987. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

————————————————————–

Редактор Е.Г.Станкевич

Подписанов впечать печать Формат 60 ×60 84х 841/16. Подписано 15.12.2010. Формат 1/16. Печ. 3,25. Тираж Тираж770 770экз. экз. Печ.л.л.3,25. 3,25.Уч.-изд. Уч.-изд. л. 3,25. Изд. Заказ № 26. Изд.№1/4/73. №1/4/73. Заказ № Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ". 115409, Москва, Каширское ш., 31. ООО "Полиграфический комплекс "Курчатовский". 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42.