Сибирский математический журнал Март—апрель, 2008. Том 49, № 2
УДК 519.635.4
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко Аннотация. Рассматриваются краевые задачи в полупространстве для класса квазиэллиптических систем с переменными коэффициентами. Предполагается, что краевые задачи удовлетворяют условию Лопатинского. Установлены достаточные условия однозначной разрешимости в соболевских пространствах. Ключевые слова: квазиэллиптическая система, краевая задача, условие Лопатинского, соболевские пространства, условия разрешимости.
§ 1. Введение В работе мы продолжаем исследования [1, 2] краевых задач для квазиэллиптических систем в полупространстве
L (x; D )U = F (x), x ∈ R x
+ n,
B(D )U | x
xn =0
= 0.
(1.1)
L
Мы рассматриваем класс матричных квазиэллиптических операторов (x; Dx ), введенных Л. Р. Волевичем [3], и предполагаем, что краевые задачи удовлетворяют условию Лопатинского. В работах [1, 2] мы исследовали однозначную разрешимость краевых задач вида (1.1) для систем с постоянными коэффициентами в соболевских простран∗ ствах Wpl (R+ n ), 1 < p < ∞. В частности, доказали, что существует p > 1 такое, ∗ l + что при p > p краевая задача однозначно разрешима в Wp (Rn ) при произ∗ + вольной F (x) ∈ Lp (R+ n ) ∩ L1 (Rn ), а при p ≤ p разрешимость доказана при выполнении конечного набора условий ортогональности вида Z xβ F (x) dx = 0. (1.2) R+ n
В настоящей работе мы доказываем теоремы о безусловной разрешимости задачи (1.1) для систем с переменными коэффициентами. Аналогичные результаты верны для краевых задач для квазиэллиптических уравнений [4, гл. 3; 5]. § 2. Формулировка основных результатов
L B
B
Укажем условия на операторы (x; Dx ), (Dx ). Обозначим через lj,r (x; iξ), bj,r (iξ) элементы матриц (x; iξ), (iξ), являющихся символами соответствующих дифференциальных операторов.
L
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07–01–00289) и Сибирского отделения РАН (код проекта 2.2).
c 2008 Бондарь Л. Н., Демиденко Г. В.
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
257
L
Условие 1. Пусть m × m — размер матрицы (x; iξ). Предположим, что существует вектор α = (α1 , . . . , αn ), 1/αi ∈ N, αn < 1, такой, что lj,r (x; cα iξ) = clj,r (x; iξ),
c > 0, j, r = 1, . . . , m.
Условие 2. Равенство det
L (x; iξ) = 0,
ξ ∈ Rn ,
+
при любом x ∈ Rn имеет место тогда и только тогда, когда ξ = 0. Условие 3. Коэффициенты оператора вне некоторого компакта K ⊂ R+ n.
L (x; D ) непрерывны и постоянны x
Из условий 1, 2 следует, что уравнение det
L (x ; is, iλ) = 0, 0
+
x0 ∈ Rn , s ∈ Rn−1 \{0},
(2.1)
не имеет вещественных корней по λ. Обозначим через µ число корней, лежащих в верхней полуплоскости.
B
Условие 4. Пусть µ × m — размер матрицы (iξ). Предположим, что существует вектор β = (β1 , . . . , βµ ), 0 ≤ βj < 1, такой, что bj,r (cα iξ) = cβj bj,r (iξ),
c > 0, j = 1, . . . , µ, r = 1, . . . , m.
Условие 5. Краевая задача (1.1) удовлетворяет условию Лопатинского, + т. е. при любом x0 ∈ Rn краевая задача на полуоси
L (x ; is, D 0
xn )v
= 0, xn > 0,
B(is, D
xn )v|xn =0
= ϕ,
sup |v| < ∞,
(2.2)
xn >0
при s ∈ Rn−1 \{0} однозначно разрешима для любых ϕ. Условиям 1, 2 удовлетворяют, например, однородные эллиптические операторы, параболические операторы и др. (см. [3]). В дальнейшем будем использовать обозначения |α| =
l = (1/α1 , . . . , 1/αn ),
n X
αi ,
αmin = min{α1 , . . . , αn },
1/p + 1/p0 = 1.
i=1
Имеют место следующие утверждения. + Теорема 1. Пусть |α| > p0 и F (x) ∈ Lp (R+ n ) ∩ L1 (Rn ). Тогда если коэффициенты оператора (x; Dx ) достаточно мало отличаются от постоянных, то краевая задача (1.1) однозначно разрешима в соболевском пространстве Wpl (R+ n) и для решения U (x) справедлива оценка
+ +
U (x), Wpl (R+ (2.3) n ) ≤ c(kF (x), Lp (Rn )k + kF (x), L1 (Rn )k)
L
с константой c > 0, не зависящей от F (x).
258
Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко
Теорема 2. Пусть |α|/p0 +αmin > 1 ≥ |α|/p0 и F (x) ∈ Lp (R+ n ), (1+|x|)F (x) ∈ L1 (R+ ). Предположим, что n Z (is, iλ) −1 (x0 ; is, iλ)dλ ≡ 0, s ∈ Rn−1 \{0}, x0 6∈ K, (2.4)
B
L
(s)
где (s) — контур в комплексной плоскости, охватывающий все корни уравнения (2.1). Тогда если коэффициенты оператора (x; Dx ) достаточно мало отличаются от постоянных, то краевая задача (1.1) однозначно разрешима в Wpl (R+ n ) и для решения справедлива оценка
+ +
U (x), Wpl (R+ (2.5) n ) ≤ c(kF (x), Lp (Rn )k + k(1 + |x|)F (x), L1 (Rn )k)
L
с константой c > 0, не зависящей от F (x). Теорема 1 обобщает результат [1], установленный для систем с постоянными коэффициентами. Отметим, что ограничение |α| > p0 существенно. Как показано в [5], в скалярном случае при |α| ≤ p0 краевая задача может быть неразрешимой в Wpl (R+ n ), и для ее разрешимости правая часть уравнения должна удовлетворять некоторым условиям ортогональности вида (1.2). Аналогичный результат может быть установлен в векторном случае. В работе [2] при |α| ≤ p0 для квазиэллиптических систем установлены достаточные условия разрешимости вида (1.2). Можно доказать, что при нарушении условия (2.4), как и в скалярном случае, краевая задача (1.1), вообще говоря, не будет иметь реше∞ + ний U (x) ∈ Wpl (R+ n ) даже в случае F (x) ∈ C0 (Rn ). В связи с этим подчеркнем, что утверждение о разрешимости задачи (1.1) при |α| ≤ p0 доказано при выполнении достаточно жесткого условия (2.4) на граничный оператор (Dx ). В качестве примера, иллюстрирующего теоремы 1, 2, рассмотрим первую и вторую краевые задачи теории упругости для системы уравнений Навье [6]:
B
L (D )U = F (x), x ∈ R x
+ 3,
B(D )U | x
x3 =0
= 0,
где
L
µ + (λ + µ)Dx21 (Dx ) = (λ + µ)Dx21 x2 (λ + µ)Dx21 x3
(λ + µ)Dx21 x2 µ + (λ + µ)Dx22 (λ + µ)Dx22 x3
(λ + µ)Dx21 x3 (λ + µ)Dx22 x3 , µ + (λ + µ)Dx23
U = (u1 , u2 , u3 )T — вектор смещения, F (x) = (f1 (x), f2 (x), f3 (x))T — вектор массовой силы, λ, µ — постоянные Ламе, µ > 0, 3λ + 2µ > 0, — оператор Лапласа по x. Для первой краевой задачи граничный оператор тождественный, т. е. (Dx ) = I, а для второй краевой задачи оператор (Dx ) имеет вид µDx3 0 µDx1 . µDx3 µDx2 (Dx ) = 0 λDx1 λDx2 (λ + 2µ)Dx3
B
B
B
L
B
L
Операторы (Dx ) и (Dx ) удовлетворяют условиям 1–5. Оператор (iξ) эллиптический, для него det (iξ) = −µ2 (λ + 2µ)|ξ|6 , ξ = (s, ξ3 ), вектор однородности α = (1/2, 1/2, 1/2). Из теоремы 1 следует, что первая и вторая краевые задачи однозначно разрешимы в соболевском пространстве Wp2 (R+ 3 ) при p > 3 для любой вектор+ + функции F (x) ∈ Lp (R3 ) ∩ L1 (R3 ). При p ≤ 3 это, вообще говоря, неверно.
L
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
259
Однако для первой краевой задачи выполнено условие (2.4). Действительно, поскольку
B(is, iξ )L
−1
3
(is, iξ3 ) =
1 1 µ(λ + 2µ) |ξ|4
(λ + µ)s21 − (λ + 2µ)|ξ|2 × (λ + µ)s1 s2 (λ + µ)s1 ξ3
(λ + µ)s1 s2 (λ + µ)s22 − (λ + 2µ)|ξ|2 (λ + µ)s2 ξ3
(λ + µ)s1 ξ3 , (λ + µ)s2 ξ3 2 2 (λ + µ)ξ3 − (λ + 2µ)|ξ|
L
для контура (s), охватывающего корни уравнения det (is, iξ3 ) = 0, справедливо тождество Z (is, iξ3 ) −1 (is, iξ3 ) dξ3 ≡ 0, s ∈ R2 \{0}.
B
L
(s)
Поэтому из теоремы 2 следует однозначная разрешимость этой задачи в Wp2 (R+ 3) + при 3 ≥ p > 3/2 для любой вектор-функции F (x) ∈ Lp (R3 ), (1 + |x|)F (x) ∈ L1 (R+ 3 ). Доказательство теорем основано на использовании построенной в работе [1] конструкции приближенного решения краевой задачи (1.1) для системы с постоянными коэффициентами. В следующем параграфе мы приведем эту конструкцию. § 3. Приближенные решения задачи для системы с постоянными коэффициентами Пусть x0 6∈ K. Рассмотрим краевую задачу для квазиэллиптической системы с постоянными коэффициентами:
L (x ; D )U = F (x), x ∈ R 0
x
+ n,
B(D )U | x
xn =0
= 0.
(3.1)
e Предположим, что F (x) ∈ C0∞ (R+ n ). Обозначим через F (s, xn ) преобразо0 0 вание Фурье вектор-функции F (x , xn ) по x . Рассмотрим краевую задачу на полуоси для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром s ∈ Rn−1 \{0}:
L (x ; is, D 0
xn )ω
= Fe(s, xn ), xn > 0,
B(is, D
xn )ω|xn =0
sup |ω| < ∞.
= 0,
xn >0
(3.2) В силу условия Лопатинского эта задача однозначно разрешима. Ее решение можно представить в виде ω(s, xn ) = ω0 (s, xn ) + v(s, xn ),
(3.3)
где ω0 (s, xn ) — ограниченное решение системы
L (x ; is, D 0
xn )ω
= Fe(s, xn ),
xn > 0,
B
и вектор-функция v(s, xn ) — решение задачи (2.2) с ϕ = − (is, Dxn )ω0 (s, 0). Введем обозначения a(is, iλ) = det (x0 ; is, iλ), f(is, iλ) — взаимная матрица к (x0 ; is, iλ). Для достаточно гладких вектор-функций ω(xn ), очевидно, справедливо тождество
L
L
L (x ; is, D )Lf(is, D 0
xn
xn )ω(xn )
L
≡ a(is, Dxn )ω(xn ).
260
Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко
Уравнение (2.1) не имеет вещественных корней, поэтому при s ∈ Rn−1 \{0} краевая задача на числовой оси a(is, Dxn )u = g(xn ), −∞ < xn < ∞,
|u| < ∞,
sup
(3.4)
−∞<xn <∞
имеет единственное решение для любой ограниченной g(xn ) ∈ C(R1 ). Следовательно, используя формулу решения задачи (3.4) (см., например, [7, гл. 1]), в качестве ω0 (s, xn ) можно взять следующую ограниченную вектор-функцию:
L
ω0 (s, xn ) = f(is, Dxn )RFe(s, xn ),
(3.5)
где Z∞
Zxn J+ (s, xn − yn )Fe(s, yn ) dyn +
RFe(s, xn ) =
xn
0
J+ (s, xn ) =
J− (s, xn − yn )Fe(s, yn ) dyn ,
Z
1 2π
exp(ixn λ) dλ, a(is, iλ)
J− (s, xn ) = −
1 2π
Z
exp(ixn λ) dλ. a(is, iλ)
(3.6)
−
+ +
+
При этом контур = (s) охватывает все корни уравнения (2.1), лежащие в верхней полуплоскости, а контур − = − (s) — корни, лежащие в нижней полуплоскости. Пусть {ω1 (s, xn ), . . . , ωµ (s, xn )} — канонический базис краевой задачи (2.2), т. е. каждая вектор-функция ωj (s, xn ) является решением (2.2) с единичным граничным вектором ϕ = ej , j-я компонента которого равна 1. Тогда векторфункцию v(s, xn ) из (3.3) можно представить следующим образом: v(s, xn ) =
µ X
ϕj (s)ωj (s, xn ),
(3.7)
j=1
B
где ϕ(s) = − (is, Dyn )ω0 (s, yn )|yn =0 . Используя формулы (3.3), (3.5), (3.7), получим представление решения краевой задачи (3.2) в виде
L
ω(s, xn ) = f(is, Dxn )RFe(s, xn ) +
µ X
ϕj (s)ωj (s, xn ),
(3.8)
j=1
B
L
где ϕ(s) = − (is, Dyn ) f(is, Dyn )RFe(s, yn )|yn =0 . Перейдем теперь к построению решения краевой задачи (3.1). Применяя обратный оператор Фурье по s к вектор-функции (3.8), можно получить формальное решение задачи (3.1). Однако по аналогии с [5, 7] можно показать, что контурные интегралы (3.6) и компоненты канонического базиса краевой задачи (2.2) имеют, вообще говоря, неинтегрируемые особенности при s = 0. Поэтому для получения формулы решения задачи (3.1) необходимо регуляризовать обратный оператор Фурье. Для этой цели мы используем интегральное представление С. В. Успенского [8] для функций ϕ(x0 ) ∈ Lp (Rn−1 ): 0
1−n
Zk
ϕ(x ) = lim (2π) k→∞
1/k
1 v
Z
Z
Rn−1 Rn−1
0
exp(i(x0 − y 0 )s)G(sv α )ϕ(y 0 ) dsdy 0 dv,
(3.9)
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
261
где G(s) = 2N hsi2N exp(−hsi2N ),
hsi2 =
n−1 X
2/αi
si
,
i=1
и предел понимается в смысле сходимости в Lp (Rn−1 ) (см. [7, гл. 1]). Напомним, что натуральное число N можно взять сколь угодно большим. По аналогии с [1, 7] вводим вектор-функцию −(n−1)/2
Zk
Uk (x) = (2π)
1/k
Z
1 v
0
exp(ix0 s)G(sv α )ω(s, xn ) dsdv,
(3.10)
Rn−1
где вектор-функция ω(s, xn ) определена в (3.8). Из предыдущих рассуждений вытекает, что
L (x ; D )U (x) = F (x), x ∈ R 0
x
k
k
+ n,
B(D )U (x , 0) = 0, x
k
0
где 1−n
Zk
Fk (x) = (2π)
1/k
1 v
Z
Z
0
exp(i(x0 − y 0 )s)G(sv α )F (y 0 , xn ) dsdy 0 dv.
Rn−1 Rn−1
Следовательно, в силу (3.9) вектор-функцию Uk (x) можно рассматривать в качестве приближенного решения краевой задачи (3.1). При получении оценок Lp -норм вектор-функции Uk (x) существенно используется следующая Лемма 1. При xn > 0 и s ∈ Rn−1 \{0} для любых γn , κ = (κ1 , . . . , κn−1 ) справедливы оценки γ κ Dxn Ds f(is, Dxn )J+ (s, xn ) ≤ chsi(γn +1)αn −κα0 −1 exp (−δxn hsiαn ), n γ κ Dxn Ds f(is, Dxn )J− (s, −xn ) ≤ chsi(γn +1)αn −κα0 −1 exp (−δxn hsiαn ), n γ κ Dxn Ds ωj (s, xn ) ≤ chsiγn αn −κα0 −βj exp (−δxn hsiαn ), n
L L
где c, δ > 0 — константы. Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 4.2 [7, гл. 4]. § 4. Разрешимость краевой задачи при |α| > p0 Вначале проведем доказательство теоремы 1. Из работы [1] вытекает, что при |α| > p0 для любой F (x) ∈ C0∞ (R+ n ) последовательность вектор-функций (3.10) сходится в соболевском пространстве Wpl (R+ n ) к вектор-функции U (x), являющейся решением краевой задачи (3.1). При этом для нее выполнена оценка (2.3) с константой c > 0, не зависящей от + + F (x). Поэтому в силу плотности C0∞ (R+ n ) в Lp (Rn ) ∩ L1 (Rn ) краевая задача l + + (3.1) разрешима в Wp (Rn ) при любой правой части F (x) ∈ Lp (R+ n ) ∩ L1 (Rn ). Очевидно, решение определено однозначно. Следовательно, используя описанную в § 3 конструкцию, при |α| > p0 можно представить решение краевой задачи (3.1) в виде U (x) = R(x0 )F (x),
(4.1)
262
Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко
+ l + где R(x0 ) : Lp (R+ n ) ∩ L1 (Rn ) → Wp (Rn ) — линейный непрерывный оператор. Используем этот оператор для построения решения исходной задачи (1.1). Будем искать решение задачи (1.1) в виде U (x) = R(x0 )f (x) с неизвестной вектор-функцией f (x). Подставляя в систему и граничные условия (1.1), имеем
L (x; D )R(x )f (x) = f (x) − (L (x ; D ) − L (x; D ))R(x )f (x) = F (x), x ∈ R B(D )R(x )f (x)| = 0. 0
x
0
x
x
0
x
0
+ n,
xn =0
Следовательно, чтобы получить решение задачи (1.1), нужно найти векторфункцию f (x) из уравнения f (x) − T f (x) = F (x),
L
L
(4.2)
где оператор T имеет вид T = ( (x0 ; Dx ) − (x; Dx ))R(x0 ). Обозначим через ˜lj,r (x; iξ) элементы матрицы ( (x0 ; iξ)− (x; iξ)), являющейся символом дифференциального оператора ( (x0 ; Dx )− (x; Dx )). В силу условия 3 ˜lj,r (x; iξ) ≡ 0 при x 6∈ K. Поэтому если мы установим оценку
L
L
+ kT f (x), Lp (R+ n )k ≤ qkf (x), Lp (Rn )k,
L L
q < 1,
(4.3)
то уравнение (4.2) будет однозначно разрешимо. При этом + f (x) = (I − T )−1 F (x) ∈ Lp (R+ n ) ∩ L1 (Rn )
(4.4)
и выполнены оценки kf (x), Lp (R+ n )k ≤
1 kF (x), Lp (R+ n )k, 1−q
(4.5)
+ + kf (x), L1 (R+ n )k ≤ kF (x), L1 (Rn )k + c(K, q)kF (x), Lp (Rn )k,
L
(4.6)
где c(K, q) > 0 — константа, зависящая от коэффициентов оператора (x; Dx ), компакта K и q. Доказательство неравенства (4.3) основано на использовании вытекающего из [1] неравенства
+
R(x0 )f (x), Llp (R+
(4.7) n ) ≤ ckf (x), Lp (Rn )k, где c > 0 — константа, не зависящая от f (x). Отсюда, учитывая условия 1, 3 и вид оператора T , получаем, что если коэффициенты оператора (x; Dx ) достаточно мало отличаются от постоянных, то действительно имеет место оценка (4.3). Следует отметить, что неравенство (4.7) справедливо при любых |α| > 0. Итак, разрешимость уравнения (4.2) и справедливость неравенств (4.5), (4.6) установлены. Следовательно, в силу (4.4) и свойств оператора R(x0 ) вектор-функция U (x) = R(x0 )(I − T )−1 F (x) ∈ Wpl (R+ n ) является решением исходной задачи (1.1) и для него имеет место неравенство (2.3). Для доказательства единственности решения в Wpl (R+ n ) рассмотрим краевую задачу (x; Dx )U = 0, x ∈ R+ (Dx )U |xn =0 = 0. n,
L
L
B
Перепишем ее в виде
L (x ; D )U = L (x ; D )U − L (x; D )U, x ∈ R 0
x
0
x
x
+ n,
B(D )U | x
xn =0
= 0.
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
L
Поскольку коэффициенты оператора ( (x0 ; Dx ) − условия 1 для решения U (x) ∈ Wpl (R+ n ) имеем
L (x ; D )U − L (x; D )U ) ∈ L (R 0
(
x
x
p
263
L (x; D )) финитные, в силу x
+ n)
∩ L1 (R+ n ).
Отсюда, поскольку для систем с постоянными коэффициентами неравенство (2.3) доказано [1], получаем
l +
U (x), Wpl (R+
n ) ≤ ε U (x), Wp (Rn ) ,
L
L
где ε > 0 зависит от коэффициентов оператора ( (x0 ; Dx ) − (x; Dx )) и компакта K. Поэтому если коэффициенты оператора (x; Dx ) достаточно мало
= 0. Отсюда U (x) = 0. Следо) отличаются от постоянных, то U (x), Wpl (R+ n вательно, при |α| > p0 краевая задача (1.1) однозначно разрешима. Теорема 1 доказана.
L
§ 5. Разрешимость краевой задачи при |α| ≤ p0 Из предыдущих рассуждений следует, что для доказательства теоремы 2 вначале нужно изучить случай с постоянными коэффициентами, т. е. доказать однозначную разрешимость краевой задачи (3.1). При доказательстве разрешимости задачи (3.1), как и в [1], основной сложностью является получение Lp -оценок приближенных решений Uk (x). Для этого перепишем формулу (3.10) в виде Uk (x) = Uk,1 (x) + Uk,2 (x),
(5.1)
где Uk,1 (x) =
Z1
1 (2π)
n−1 2
Z
1 v
1/k
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Rn−1
Lf(is, D
×
xn )RF (s, xn )
e
+
µ X
! ϕj (s)ωj (s, xn ) dsdv,
j=1
Uk,2 (x) =
+
µ X
1
j=1
(2π)
Zk
1 (2π)
n−1 2
Zk n−1 2
1
1
1 v
1 v
L
Z
0 exp (ix0 s)G(sv α ) f(is, Dxn )RFe(s, xn ) dsdv
Rn−1
Z
α0
0
Z∞
exp (ix s)G(sv )
ωj (s, xn )Wj (s, yn )Fe(s, yn ) dyn dsdv, 0
Rn−1
B (is, D )Lf(is, D )J (s, z − y )| B (iζ) = (b (iζ), . . . , b (iζ)).
Wj (s, yn ) = −
j
j
zn
j,1
zn
−
n
n
zn =0 ,
j,m
В дальнейшем будем считать, что показатель N в определении функции G(s) достаточно большой. Из работы [1] вытекает следующее неравенство: + kUk,1 (x), Lp (R+ n )k ≤ ckF (x), Lp (Rn )k,
где константа c > 0 не зависит от F (x), k.
(5.2)
264
Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко
Для проведения Lp -оценок второго слагаемого из (5.1) преобразуем его, используя условие (2.4). При xn > 0, s ∈ Rn−1 \{0} определим матрицы µ X
L
1
(s, xn , yn ) = f(is, Dxn )J+ (s, xn − yn ) +
ωj (s, xn )Wj (s, yn ),
j=1 µ X
L
2 (s, xn , yn ) = f(is, Dxn )J− (s, xn − yn ) +
ωj (s, xn )Wj (s, yn ).
j=1
Из определения контурных интегралов (3.6), ωj (s, xn ), Wj (s, 0) при s ∈ Rn−1 \{0} получаем
B(is, D
xn )
+
µ X
1
(s, xn , 0)|xn =0 =
ej Wj (s, 0) =
B
B(is, D )Lf(is, D
xn )J+ (s, xn )|xn =0
xn
W1 (s, 0) .. (is, Dxn ) f(is, Dxn )J+ (s, xn )|xn =0 + .
L
j=1
Wµ (s, 0) Z
1 2π
=
B(is, iλ)L
−1
(x0 ; is, iλ)dλ.
(s)
B L
Следовательно, учитывая условие (2.4), имеем (is, Dxn )1 (s, xn , 0)|xn =0 = 0. Тогда в силу определения контурных интегралов f(is, Dxn )J+ (s, xn ), ωj (s, xn ) матрица 1 (s, xn , 0) при s ∈ Rn−1 \{0} является решением краевой задачи
L (x ; is, D 0
xn )
1
B(is, D
= 0, xn > 0,
xn )
1
sup k1 k < ∞.
|xn =0 = 0,
xn >0
Отсюда в силу условия 5 получаем 1 (s, xn , 0) ≡ 0. Поскольку 2 (s, 0, 0) ≡ 1 (s, 0, 0), то 2 (s, 0, 0) ≡ 0. Используя полученные тождества, компоненты вектор-функции Uk,2 (x) можно представить в виде r Uk,2 (x)
+
m X l=1
=
m X l=1
=
m X
1
l=1
(2π)
1 (2π)
1
n−1 2
1 v
1
Zk n−1 2
1
1 v
1 v
n−1 2
Zk
1 (2π)
Zk
Z
α0
0
exp (ix s)G(sv )
0
exp (ix0 s)G(sv α )
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Zxn
2rl (s, xn , yn )Fel (s, yn ) dyn dsdv
1rl (s, xn , yn )[Fel (s, yn )−Fel (0, yn )] dyn dsdv
0
Rn−1
+
Z∞
xn
Rn−1
Z
1rl (s, xn , yn )Fel (s, yn ) dyn dsdv
0
Rn−1
Z
Zxn
m X l=1
Zk
1 (2π)
n−1 2
1
1 v
Z
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Rn−1
Zxn 1 × rl (s, xn , yn ) − 1rl (s, xn , 0) Fel (0, yn ) dyn dsdv 0
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
+
m X
(2π)
l=1
Zk
1 n−1 2
Z
1 v
1
265
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Rn−1
Z∞ 2 × rl (s, xn , yn ) − 2rl (s, 0, yn ) Fel (s, yn ) dyn dsdv xn
+
m X
1
l=1
(2π)
Zk n−1 2
1 v
Z∞ exp (ix s)G(sv ) 2rl (s, 0, yn )−2rl (s, 0, 0) Fel (s, yn ) dyn dsdv
Z
α0
0
xn
1 Rn−1
=
m X
1krl (x) +
l=1
m X
2krl (x) +
l=1
m X
3krl (x) +
l=1
m X
4krl (x). (5.3)
l=1
Проведем оценки четырех слагаемых (5.3) отдельно. Лемма 2. Имеет место оценка
1
+
krl (x), Lp (R+
n ) ≤ ck(1 + |x|)Fl (x), L1 (Rn )k
(5.4)
где константа c > 0 не зависит от F (x) и k. Доказательство. Используя лемму Адамара и определение 1rl (s, xn , yn ), представим 1krl (x) в виде 1krl (x)
=
11 krl (x)
+
µ X
12 krlj (x),
(5.5)
j=1
где 11 krl (x)
=
Zk
1 (2π)
n−1 2
1
Z∞ exp (ix s)G(sv ) [θ(xn − yn ) frl (is, Dxn )
Z
1 v
L
α0
0
0
Rn−1
1 n−1 XZ ◦ J+ (s, xn − yn )] sq Dξq Fel (ξ, yn )|ξ=λs dλ dyn dsdv,
q=1 0
12 krlj (x)
=
Zk
1 (2π)
n−1 2
1
1 v
Z
α0
0
Zxn
exp (ix s)G(sv )
ωjr (s, xn )Wjl (s, yn )
0
Rn−1
1 n−1 XZ × sq Dξq Fel (ξ, yn )|ξ=λs dλ dyn dsdv. q=1 0
Оценим первое слагаемое из (5.5). В силу неравенств Минковского и Юнга получим n−1 X
11
krl (x), Lp (R+
) ≤ c 1 n
Z1 Zk
q=1 0
L
1
Z 1
v
Z
0
exp (i(x0 − λy 0 )s)G(sv α )θ(xn − yn )
Rn Rn−1
× frl (is, Dxn )J+ (s, xn − yn )sq ds(−iyq )Fl (y)θ(yn ) dy, Lp (Rn )
dvdλ
266
Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко
≤ c1
k n−1 XZ q=1 1
×
L
Z 1
v
0 exp (ix0 s)G(sv α )θ(xn ) frl (is, Dxn )J+ (s, xn )sq ds, Lp (Rn )
dv
Rn−1
kxq Fl (x), L1 (R+ n )k
≤ c1
k n−1 XZ q=1 1
1 + kKrlq (v, x), Lp (Rn )kdvkxq Fl (x), L1 (R+ n )k, v
где + Krlq (v, x)
Z =
L
0 exp (ix0 s)G(sv α )θ(xn ) frl (is, Dxn )J+ (s, xn )sq ds.
Rn−1
Поскольку
+ Krlq (v, x)
+ = v (1−|α|−αq ) Krlq (1, xv −α ), то 0
+ + kKrlq (v, x), Lp (Rn )k = v (1−|α|/p −αq ) kKrlq (1, x), Lp (Rn )k.
Отсюда n−1 X
11
krl (x), Lp (R+ n ) ≤ c1
Zk
0
v −1+(1−|α|/p −αq ) dv
q=1 1 + × kKrlq (1, x), Lp (Rn )kkxq Fl (x), L1 (R+ n )k.
По условию имеем 1 − |α|/p0 − αq < 0, значит, при k → ∞ интеграл сходится. Повторяя рассуждения из [5], нетрудно показать, что если в определении функции G(s) взять показатель N достаточно большим, то, пользуясь леммой 1, + получим kKrlq (1, x), Lp (Rn )k ≤ c < ∞. Следовательно, n−1 X
11
krl (x), Lp (R+
kxq Fl (x), L1 (R+ n ) ≤ c2 n )k.
(5.6)
q=1
При получении Lp -оценок функции 12 krlj (x) из (5.5) нам понадобится неравенство γ κ Dxn Ds Wj (s, xn ) ≤ chsi(γn +1)αn −κα0 +βj −1 exp (−δxn hsiαn ), c, δ > 0, xn > 0, n (5.7) доказательство которого аналогично [7, гл. 4]. Используя эту оценку и повторяя рассуждения из доказательства леммы 20 в [5, § 4], будем иметь n−1 X
12
krlj (x), Lp (R+
) ≤ c kxq Fl (x), L1 (R+ n n )k, q=1
где константа c > 0 не зависит от F (x) и k. Учитывая это неравенство и (5.6), получаем (5.4). Лемма доказана. Лемма 3. Имеет место оценка
2
+
krl (x), Lp (R+
n ) ≤ ckxn Fl (x), L1 (Rn )k,
(5.8)
где константа c > 0 не зависит от F (x) и k. Доказательство. Используя лемму Адамара, представим функцию 2krl (x) из (5.3) в виде 2krl (x) = 21 krl (x) +
µ X j=1
22 krlj (x),
(5.9)
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
267
где 21 krl (x) = −
(2π)
Z∞ ×
n−1 2
Z
1 v
1
0
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Rn−1
Z1
L
θ(xn − yn )Dxn frl (is, Dxn )J+ (s, xn − λyn )dλFel (0, yn ) dyn dsdv,
yn
22 krlj (x)
Zk
1
0
=
Zk
1 (2π)
n−1 2
1
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Rn−1
Zxn ×
Z
1 v
ωjr (s, xn )
0
Z1 yn Dzn Wjl (s, zn )|zn =λyn dλFel (0, yn ) dyn dsdv. 0
Используя неравенства Минковского и Юнга, будем иметь
21
krl (x), Lp (R+ n ) ≤ c1
Z1 Zk 0
1
Z Z 1
v R1
L
0
exp (ix0 s)G(sv α )θ(xn − yn )
Rn−1
Z
× Dxn frl (is, Dxn )J+ (s, xn − λyn ) ds
yn Fl (y)θ(yn )dy 0 dyn , Lp (Rn )
dvdλ
Rn−1
Zk ≤ c1 1
1 v
L
p
0 exp (ix0 s)G(sv α )θ(xn )Dxn frl (is, Dxn )J+ (s, xn ) ds, Lp (R)
Z Z
Rn−1 Rn−1
p 0 ×kxn Fl (x), L1 (R+ n )k dx
1/p Zk 1 + dv=c1 kKrln (v, x), Lp (Rn )k dvkxn Fl (x), L1 (R+ n )k, v 1
где + Krln (v, x) =
Z
L
0 exp (ix0 s)G(sv α )θ(xn )Dxn frl (is, Dxn )J+ (s, xn ) ds.
Rn−1 + + Поскольку Krln (v, x) = v (1−|α|−αn ) Krln (1, xv −α ), получим
21
krl (x), Lp (R+
n ) ≤ c2
Zk
0
v −1+(1−|α|/p −αn ) dv
1 + × kKrln (1, x), Lp (Rn )kkxn Fl (x), L1 (R+ n )k.
По условию имеем 1 − |α|/p0 − αn < 0, значит, при k → ∞ интеграл сходится. Повторяя рассуждения из [5], нетрудно показать, что если в определении функции G(s) взять показатель N достаточно большим, то, используя лемму 1, + получим kKrln (1, x), Lp (Rn )k ≤ c < ∞. Следовательно,
21
+
krl (x), Lp (R+
(5.10) n ) ≤ c2 kxn Fl (x), L1 (Rn )k.
268
Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко
Для функции 22 krlj из (5.9), используя неравенство (5.7) и повторяя рассуждения из доказательства леммы 20 в [5, § 4], будем иметь
22
+
krlj (x), Lp (R+
n ) ≤ ckxn Fl (x), L1 (Rn )k, где константа c > 0 не зависит от F (x) и k. Из этой оценки и (5.10) вытекает (5.8). Лемма доказана. Лемма 4. Имеет место оценка
3
+
krl (x), Lp (R+
n ) ≤ ckxn Fl (x), L1 (Rn )k,
(5.11)
где константа c > 0 не зависит от F (x) и k. Доказательство. Используя лемму Адамара и определение 2rl (s, xn , yn ), представим 3krl (x) в виде 3krl (x) = 31 krl (x) +
µ X
32 krlj (x),
(5.12)
j=1
где 31 krl (x)
Zk
1
=
(2π)
n−1 2
1
Z∞ ×
=
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Rn−1
Z1
L
Dzn frl (is, Dzn )J− (s, zn − yn )|zn =λxn dλFel (s, yn ) dyn dsdv,
xn xn
32 krlj (x)
Z
1 v
0
Zk
1 (2π)
n−1 2
1
Z
1 v
Rn−1
Z∞ ×
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Z1 xn
xn
Dzn ωjr (s, zn ) zn =λxn dλWjl (s, yn )Fel (s, yn ) dyn dsdv.
0
Оценим первое слагаемое из (5.12). В силу неравенства Минковского, учитывая, что 0 < xn < yn < ∞, λ > 0, получим
Z1 Zk Z Z∞ Z
31
0 1
krl (x), Lp (R+
exp (i(x0 − y 0 )s)G(sv α ) n ) ≤ c1
v 0
× Dzn
1
Rn−1 λxn
Rn−1
frl (is, Dz )J− (s, zn − yn )|z =λx ds |yn Fl (y)|θ(yn ) dyn dy 0 , Lp (R+ ) dvdλ n n n n
∞ 1 k Z Z Z Z Z 0 1
exp (i(x0 − y 0 )s)G(sv α ) ≤ c1 λ−1/p dλ
v
L
0
× Dzn
1
Rn−1 zn
Rn−1
frl (is, Dz )J− (s, zn − yn ) ds |yn Fl (y)|θ(yn ) dyn dy 0 , Lp (Rn ) dv. n
L
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
269
В силу неравенства Юнга имеем Zk
31
1 −
krl (x), Lp (R+
) ≤ c kKrln (v, x), Lp (Rn )kdvkxn Fl (x), L1 (R+ 2 n n )k, v 1
где − Krln (v, x)
Z =
L
0 exp (ix0 s)G(sv α )θ(−xn )Dxn frl (is, Dxn )J− (s, xn ) ds.
Rn−1 − − Поскольку Krln (v, x) = v (1−|α|−αn ) Krln (1, xv −α ), очевидно, получаем оценку
31
krl (x), Lp (R+
n ) ≤ c2
Zk
0
v −1+(1−|α|/p −αn ) dv
1 − × kKrln (1, x), Lp (Rn )kkxn Fl (x), L1 (R+ n )k.
По условию имеем 1 − |α|/p0 − αn < 0, значит, при k → ∞ интеграл сходится. Как и выше, считаем, что показатель N в определении функции G(s) до− статочно большой, поэтому kKrln (1, x), Lp (Rn )k ≤ c < ∞. Отсюда
31
+
krl (x), Lp (R+
(5.13) n ) ≤ c3 kxn Fl (x), L1 (Rn )k. Рассмотрим 32 krlj из (5.12). Применяя неравенство Минковского, получим
Z1 Zk Z Z∞ Z
32 0 1
krlj (x), Lp R+
≤ c4 exp (i(x0 − y 0 )s)G(sv α ) xn n
v 0
1
Rn−1 xn
Rn−1
0 + r × Wjl (s, yn )Dzn ωj (s, zn ) zn =λxn ds |Fl (y)| dyn dy , Lp (Rn ) dvdλ
Z1 Zk ≤ c4 0
1
Z
1
|Kjrl (v, x0 − y 0 , λxn , yn )||yn Fl (y)|(1/p+1/p0 ) dy, Lp (R+ n ) dvdλ,
v R+ n
где Kjrl (v, x0 − y 0 , zn , yn ) =
Z
0
exp (i(x0 − y 0 )s)G(sv α )Wjl (s, yn )Dzn ωjr (s, zn ) ds.
Rn−1
Используя неравенство Г¨ельдера, будем иметь Z1 Zk Z
32
1 +
krlj (x), Lp (Rn ) ≤ c4
|Kjrl (v, x0 − y 0 , λxn , yn )|p v 0
1
R+ n
1/p 1/p0
dvdλ xn Fl (x), L1 R+
× |yn Fl (y)|dy, L1 R+ . n n В силу теоремы Тонелли неравенство перепишется в виде Z1 Zk Z
32
1
|Kjrl (v, x0 − y 0 , λxn , yn )|p dx
krlj (x), Lp (R+
) ≤ c 4 n v 0
1
R+ n
1/p
1/p0
dvdλkxn Fl (x), L1 (R+ × |yn Fl (y)|, L1 (R+ ) . (5.14) n n )k
270
Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко
Для дальнейшего нам понадобится оценить интеграл Z Ajrl (v, λ, y) = |Kjrl (v, x0 − y 0 , λxn , yn )|p θ(yn ) dx. R+ n
В силу определения функции Kjrl (v, z 0 , zn , yn ) имеем Z −1 Ajrl (v, λ, y) = λ |Kjrl (v, z 0 , zn , yn )|p θ(yn )θ(zn ) dz Rn
Z Z −1 =λ Rn
0
exp (iz s)G(sv
α0
p
)Wjl (s, yn )θ(yn )Dzn ωjr (s, zn )θ(zn ) ds
dz.
Rn−1
Учитывая квазиоднородность функций Wjl (s, yn ), ωjr (s, zn ), перепишем Ajrl (v, λ, y) в виде Z Z −1 p(1−|α|/p0 −αn ) exp (ix0 s)G(s)Wjl (s, yn v −αn )θ(yn ) Ajrl (v, λ, y) = λ v Rn−1
Rn
×
p
Dxn ωjr (s, xn )θ(xn v αn ) ds
dx.
Используя оценку (5.7) и рассуждая так же, как при доказательстве леммы 2 в [5, § 4], получим неравенство 0
Ajrl (v, λ, y) ≤ cλ−1 v p(1−|α|/p −αn ) θ(yn ) с константой c > 0, не зависящей от v, λ, y. Тогда из (5.14) будем иметь
32
krlj (x), Lp (R+ n ) ≤ c5
Z1 λ
−1/p
Zk dλ
0
0
v −1+(1−|α|/p −αn ) dvkxn Fl (x), L1 (R+ n )k.
1
Поскольку p > 1, 1 − |α|/p0 − αn < 0, отсюда следует, что
32
+
krlj (x), Lp (R+
n ) ≤ ckxn Fl (x), L1 (Rn )k, где константа c > 0 не зависит от F (x) и k. Из полученной оценки и (5.13) вытекает (5.11). Лемма доказана. Лемма 5. Имеет место оценка
4
+
krl (x), Lp (R+
n ) ≤ ckxn Fl (x), L1 (Rn )k,
(5.15)
где константа c > 0 не зависит от F (x) и k. Доказательство. Пользуясь леммой Адамара, представим 4krl (x) в виде 4krl (x)
=
Zk
1 (2π)
n−1 2
1
1 v
Z
0
exp (ix0 s)G(sv α )
Rn−1
Z∞ ×
Z1 yn
xn
0
Dzn 2rl (s, 0, zn ) zn =λyn dλFel (s, yn ) dyn dsdv.
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
271
Тогда
4
krl (x), Lp R+
≤ c1 n
Z1 Zk 0
Z 1
v
Z∞
|Krl (v, x0 − y 0 , λyn )|
Rn−1 xn
1
0 0 + × |yn Fl (y , yn )| dyn dy , Lp (Rn ) dvdλ,
где 0
Z
0
0 exp (i(x0 − y 0 )s)G(sv α )Dzn 2rl (s, 0, zn ) z
Krl (v, x − y , λyn ) =
n =λyn
ds.
Rn−1
Воспользовавшись неравенством Г¨ельдера, получим
Z1 Zk Z Z∞
4
1
krl (x), Lp R+
≤ c1 |Krl (v, x0 − y 0 , λyn )|p n v
0
Rn−1 xn
1
1/p
1/p0 0 0 + . × |yn Fl (y , yn )| dyn dy , L1 (Rn ) dvdλkxn Fl (x), L1 (R+ n )k
В силу теоремы Тонелли будем иметь
Z Z∞
0 0 p 0 0 +
|K (v, x − y , λy )| |y F (y , y )| dy dy , L (R ) rl n n l n n 1 n
Rn−1 xn
Z∞ Z∞ Z Z
0
0
0
p
|Krl (v, x − y , λyn )| dx
= 0 xn Rn−1
|yn Fl (y 0 , yn )| dy 0 dyn dxn . (5.16)
Rn−1
Пользуясь определением матрицы 2 (s, 0, zn ) и условиями 1, 4, получим 0 Dzn 2rl (s, 0, zn ) = v 1−2αn Dyn 2rl (v α s, 0, yn ) −α . yn =zn v
n
Тогда из определения функции Krl (v, x0 − y 0 , zn ) следует, что p Z Z Z 0 0 p 0 0 α0 2 |Krl (v, x −y , zn )| dx = exp (iz s)G(sv )Dzn rl (s, 0, zn ) ds dz 0 Rn−1
Rn−1
=v
Rn−1
p(1−2αn −|α0 |/p0 )
Z
|Krl (1, x0 , zn v −αn )|p dx0 . (5.17)
Rn−1
Введем обозначение A(λyn v −αn ) =
Z
|Krl (1, x0 , λyn v −αn )|p dx0 ,
yn > 0.
Rn−1
Применяя формулу Z A(λyn v −αn ) = Rn−1
интегрирования по частям, будем иметь Z p 0 2 dx0 exp (ix s)G(s)D (s, 0, z ) ds zn rl n zn =λyn v −αn Rn−1
272 ≤ c1
Л. Н. Бондарь, Г. В. Демиденко X Z Z 0 2q −p 0 (1 + |x | ) dx |Dsκ G(s)| |κ|+|γ|≤2qR n−1
Rn−1
p γ 2 × Ds Dzn rl (s, 0, zn ) zn =λyn v−αn ds . Воспользовавшись определением функции 2rl (s, 0, zn ), леммой 1 и неравенством (5.7), получим Z −αn A(λyn v ) ≤ c2 (1 + |x0 |2q )−p dx0 Rn−1
Z
X
×
p κ Ds G(s) hsi2αn −γα0 −1 exp (−δλyn v −αn ) ds .
|κ|+|γ|≤2q R n−1
При yn > xn > 0 имеем Z −αn (1 + |x0 |2q )−p dx0 A(λyn v ) ≤ c2 Rn−1
Z
X
×
κ Ds G(s) hsi2αn −γα0 −1 exp (−δλxn v −αn ) ds
p
|κ|+|γ|≤2q R n−1
Z ≤ c3
0 2q −p
(1 + |x | )
0
X
dx
Z |Dsκ G(s)|
|κ|+|γ|≤2q R n−1
Rn−1
0
× hsiαn −γα −1 (1 + hsiαn )(1 + λxn v −αn )−1 ds
p .
Выбирая q из условия 2qp > n − 1, а также подходящим образом число N из определения функции G(s), получим при yn > xn > 0 следующую оценку: A(λyn v −αn ) ≤ c4 (1 + λxn v −αn )−p . Учитывая эту оценку и равенства (5.16), (5.17), будем иметь Z1 Zk
4
0 0
krl (x), Lp (R+ v −1+(1−2αn −|α |/p ) n ) ≤ c4 0
1
1/p Z∞ Z 1/p0 × (1 + λxn v −αn )−p |yn Fl (y)| dydxn dvdλkxn Fl (x), L1 (R+ n )k 0 R+ n
Z1 = c4 0
λ−1/p dλ
Zk 1
1/p ∞ Z v −1+(1−|α|/p −αn ) dv (1 + xn )−p dxn kxn Fl (x), L1 (R+ n )k. 0
0
Ввиду того, что 1 − |α|/p0 − αn < 0, p > 1, получим (5.15). Лемма доказана. В силу представления (5.1) из неравенства (5.2) и лемм 2–5 вытекает оценка + + kUk (x), Lp (R+ n )k ≤ c(kF (x), Lp (Rn )k + k(1 + |x|)F (x), L1 (Rn )k) с константой c > 0, не зависящей от F (x) и k. Аналогичным образом доказывается, что kUk1 (x) − Uk2 (x), Lp (R+ n )k → 0, k1 , k2 → ∞. Используя это неравенство, оценки старших производных из [1] и проводя аналогичные [1] рассуждения, нетрудно установить однозначную разрешимость краевой задачи (3.1) в соболевском пространстве Wpl (R+ n ).
Краевые задачи для квазиэллиптических систем
273
Доказательство теоремы 2. Решение краевой задачи (3.1) представи мо в виде U (x) = R(x0 )F (x), x0 6∈ K. Обозначим символом L1,1 R+ весоn + вое пространство суммируемых вектор-функций с нормой kF (x), L1,1 (Rn )k = k(1+|x|)F (x), L1 (R+ n )k. В силу условия (2.4) из проведенных оценок следует, что + l + линейный оператор R(x0 ) : Lp (R+ n ) ∩ L1,1 (Rn ) → Wp (Rn ) непрерывен. Поэтому при выполнении условий теоремы 2, как при доказательстве теоремы 1, решение задачи (1.1) можно искать в виде U (x) = R(x0 )f (x), при этом неизвестную вектор-функцию f (x) нужно находить из уравнения (4.2). Как и ранее, для + разрешимости этого уравнения в пространстве Lp (R+ n ) ∩ L1,1 (Rn ) достаточно получить неравенство (4.3). В силу определения оператора T и условий 1, 3 доказательство этого неравенства основано на использовании оценки (4.7). Но, как уже отмечалось в § 4, эта оценка справедлива при любых |α| > 0 (см. [1]). Поэтому если коэффициенты оператора (x; Dx ) достаточно мало отличаются от постоянных, то оценка (4.3) справедлива. Следовательно, уравнение (4.2) + разрешимо: f (x) = (I −T )−1 F (x) ∈ Lp (R+ n )∩L1,1 (Rn ), и выполнены неравенство + )k + c(K, q)kF (x), Lp (R+ )k ≤ kF (x), L (R (4.5), а также kf (x), L1,1 (R+ 1,1 n )k, где n n константа c(K, q) > 0 зависит от коэффициентов оператора (x; Dx ), компакта K и q. Итак, при выполнении условий теоремы 2 существует решение краевой задачи (1.1), оно имеет вид U (x) = R(x0 )(I − T )−1 F (x), и для него выполняется оценка (2.5). Доказательство единственности решения проводится точно так же, как в § 4. Теорема 2 доказана.
L
L
ЛИТЕРАТУРА 1. Demidenko G. V. On solvability of boundary value problems for quasi-elliptic systems in Rn + // J. Anal. Appl.. 2006. V. 4, N 1. P. 1–11. 2. Бондарь Л. Н. Условия разрешимости краевых задач для квазиэллиптических систем // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2007. Т. 7, № 4. С. 9–26. 3. Волевич Л. Р. Локальные свойства решений квазиэллиптических систем // Мат. сб.. 1962. Т. 59, № 3. С. 3–52. 4. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984. 5. Демиденко Г. В. Интегральные операторы, определяемые квазиэллиптическими уравнениями. II // Сиб. мат. журн.. 1994. Т. 35, № 1. С. 41–65. 6. Векуа И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 7. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. 8. Успенский С. В. О представлении функций, определяемых одним классом гипоэллиптических операторов // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1972. Т. 117. С. 292–299. Статья поступила 12 февраля 2008 г. Бондарь Лина Николаевна, Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 b
[email protected] Демиденко Геннадий Владимирович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
[email protected]
