Математические модели двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах(Автореферат)

На правах рукописи

Толпаев Владимир Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физикоматематических наук

Ставрополь, 2004 г.

Работа выполнена на кафедре прикладной математики в СевероКавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь) Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Семенчин Евгений Андреевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лежнёв Виктор Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор Каплан Лев Григорьевич доктор технических наук, действительный член Академии горных наук РФ Долгов Сергей Викторович

Ведущая организация:

Российский государственный университет нефти и газа им. И.М.Губкина (г. Москва)

Защита состоится «2 июля 2004 г» в 16 часов на заседании диссертационного совета Д212.256.05 Ставропольского государственного университета по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ставропольского государственного университета. Автореферат разослан ______________________________ Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Копыткова Л.Б. 2

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Целый ряд актуальных проблем государственного значения связан с движением жидкости и газа в пористых средах. К таким проблемам относятся: водоснабжение; добыча энергетического сырья (нефти и газа); проектирование, строительство и эксплуатация гидротехнических и гидромелиоративных сооружений; борьба с загрязнением и засолением грунтовыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Решение таких проблем требует разработки теории фильтрационных процессов в моделях пористых сред, наиболее адекватных к естественным условиям. Пористые среды, в которых происходят фильтрационные течения жидкости, как правило, неоднородны, могут иметь слоистое строение, систему трещин, обладающих упорядоченным расположением в пространстве. Последние факторы (слоистость, наличие пространственно-ориентированных систем трещин) зачастую приводят к появлению анизотропии фильтрационных свойств в пористых средах. Кроме того, продуктивные природные пласты, содержащие нефть и газ, проявляют не только анизотропные и неоднородные фильтрационные свойства, но они почти всегда искривлены и имеют переменную толщину. Именно поэтому актуальны теоретические исследования математических моделей двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах. Цель исследования – разработать общие методы решения задач двумерной фильтрации в анизотропных, неоднородных и многослойных средах и на их основе предложить математические модели для изучения конкретных инженерно-технических проблем в нефте- и газодобывающей промышленности, в водоснабжении, в проектировании гидротехнических и гидромелиоративных сооружений, а также для изучения других динамических процессов, описываемых двумерными эллиптическими уравнениями. Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем. Разработаны алгоритмы для расчёта эффективных тензоров проницае-

3

мостей периодических и слоистых сред при линейном и нелинейном режимах фильтрации. Проведены исследования точности расчётов фильтрации в периодических средах методом анизотропного эквивалентирования. Предложена новая математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах переменной толщины, которая по сравнению с известной в этом направлении моделью О.В. Голубевой гораздо точнее учитывает особенности двумерных течений и поэтому значительно повышает точность расчётов. Разработаны математические модели, учитывающие индивидуальные фильтрационные свойства призабойных зон скважин (ПЗС) при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам. Развита теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах для областей, ограниченных дугами координатных линий изотермических систем координат. Предложены: качественная и точная количественная математические модели работы скважины с гравийным фильтром; качественные математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин; качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта. Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждаются следующим: 1) корректностью применяемого апробированного математического аппарата (теория аналитических функций комплексного переменного, теория уравнений математической физики, методы дифференциальной геометрии, линейной алгебры, тензорного исчисления); 2) результаты исследований других авторов (теория двумерной фильтрации О.В. Голубевой; теория фильтрации В.П. Пилатовского в тонких кру4

говых конических и параболоидных пластах; методы «изотропизирующих» преобразований для расчётов плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотропных средах В.И. Аравина, Е.С. Ромма, Г.К. Михайлова; теория В.Н. Щелкачёва работы круговой батареи скважин; методика расчётов потенциальных полей в многослойных средах из однородных изотропных слоёв В.Н. Острейко) следуют из результатов защищаемой работы как частные случаи; 3) результаты, вытекающие из предложенных математических моделей влияния особенностей ПЗС на дебиты скважин, согласуются с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей (с теорией фильтрации В.П. Пилатовского к скважине с системой круговых порогов и с системой лучевых трещин; с данными Г.Б. Пыхачева и Р.Г. Исаева о влиянии призабойной неоднородности пласта на дебит скважины; с результатами опытно-промышленных испытаний Р.А. Гасумова, В.А. Машкова и др., исследовавших влияние глинисто-песчаных пробок на дебит скважины). Результаты диссертации могут иметь практическую ценность: при исследовании фильтрационных течений в искривлённых слоях с конечной постоянной и переменной толщиной, пористые среды которых могут быть как анизотропными, так и изотропными, однородными и неоднородными; в точных послойных расчётах фильтрационных течений в многослойных анизотропных и изотропных средах; в расчётах фильтрационных течений в неоднородных средах методом эквивалентирования последних подходящими многослойными средами; в расчётах течений к скважинам с вертикальными или с горизонтальными трещинами гидроразрыва, учитывающими конечную проницаемость и размеры трещин; в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по профилям: теория аналитических и обобщённых аналитических функций ком-

5

плексного переменного и её приложения, механика, прикладная математика, а также для студентов нефтегазовых специальностей. Основные положения, выносимые на защиту: 1). Расчётные алгоритмы тензоров проницаемостей анизотропных моделей периодических и слоистых пористых сред для линейных и нелинейных режимов фильтрации жидкости. 2). Математические модели линейной фильтрации в искривлённых анизотропно-неоднородных (в частном случае, в изотропно-неоднородных и изотропно-однородных) пластах постоянной и переменной конечной толщины. 3). Математические модели фильтрации жидкости в ПЗС. 4). Математические модели влияния особых фильтрационных свойств ПЗС на работу групповых скважин в неоднородных средах. 5). Теория расчётов плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойных неоднородных анизотропных средах в областях, ограниченных дугами координатных линий. Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались: 1) на семинарах по гидродинамике и математической физике под руководством проф. О.В. Голубевой в МОИП при МГУ (1974-1978 гг.); по математической

физике

и

гидродинамике

под

руководством

акад.

П.Я. Кочиной и проф. О.В. Голубевой в ИПМ АН СССР (1974-1985 гг.); по прикладной электродинамике под руководством чл.-корр. АН СССР Н.Н. Тиходеева в НИИПТ АН СССР (Ленинград, 1987, 1989 и 1991 гг.); 2) на Воронежских математических школах «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 1996 г.) и «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1999 г.); 3) на 3-ем и 4-ом Всероссийских симпозиумах «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 1999 и 2000 г); 4) на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях» (Ставрополь, СГУ, 2000 г.); на 7-ой и 9-ой Все6

российских научно-технических конференциях «Современные проблемы математики и естествознания» и «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (Нижний Новгород, НГТУ, 2003 г.); 4-ой Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, Южно-Российский государственный технический университет, январь 2004 г.); 1-ой и 3-ей региональных научных конференциях «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках» (Георгиевск, СеКавГТУ, 2001, 2003 гг.). 5) Результаты диссертации в целом докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М.Губкина (г. Москва) 18 декабря 2003 г. (Рук. семинара – М.Г. Сухарев, доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 83 научных статьях, 25 из которых – в центральной научной печати. Перечень последних приведён в конце автореферата. Структура диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, 2-х приложений, заключения и списка литературы. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении приводится краткий обзор литературы, обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, кратко излагается её содержание и перечисляются результаты, которые выносятся на защиту. В 1-ой главе предлагаются математические модели линейной и нелинейной фильтрации жидкости в пористых средах с периодической структурой, которые получаются в результате трояко-периодического повторения в пространстве некоторого основного структурного элемента (ячейки) ω этой среды. Впервые основы линейной теории фильтрации в пористых средах с частными

случаями

периодических

структур 7

были

заложены

в

трудах

Б.К. Ризенкампфа, Ж. Феррандона, Ф. Шаффернака, Р. Дахлера, В.И. Аравина и др. Такие структуры они априори рассматривали как анизотропные и для линейной фильтрации в них предложили следующее обобщение закона Дарси:  k11 ∂Φ k12 ∂Φ k13 ∂Φ  v 1 = H ⋅ ∂ξ + H ⋅ ∂η + H ⋅ ∂ζ 1 2 3   k 21 ∂Φ k 22 ∂Φ k 23 ∂Φ . ⋅ + ⋅ + ⋅ v 2 = H H H ∂ ξ ∂ η ∂ ζ 1 2 3   k ∂Φ k 32 ∂Φ k 33 ∂Φ + ⋅ + ⋅  v 3 = 31 ⋅ H 1 ∂ξ H 2 ∂η H 3 ∂ζ 

(1)

В (1) через v1, v2 и v3 обозначены проекции вектора скорости фильтрации r r r r r r r r v = v 1e1 + v 2 e 2 + v 3e3 в точке наблюдения с радиус-вектором R = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k r r r r 1 ∂R r 1 ∂R r 1 ∂R на орты e1 = ⋅ , e 2 = ⋅ , e3 = ⋅ ортогональной системы коордиH 1 ∂ξ H 2 ∂η H 3 ∂ζ v ∂R нат ξ, η, ζ. Через H 1 = (аналогичные формулы для H2 и H3) обозначены па∂ξ

раметры Ламе системы ξ, η, ζ. Функция Φ связана с приведённым давлением P P µ

формулой Φ = − = −

p + ρgh , в которой p, ρ, g, h и µ - гидродинамическое давлеµ

ние, плотность флюида, ускорение свободного падения, нивелировочная высота и динамическая вязкость жидкости соответственно. Совокупность девяти коэффициентов kij в (1) образует симметричный в ортогональной системе координат ξ, η, ζ тензор проницаемости второго ранга. Теория нелинейной фильтрации в анизотропных средах стала развиваться с появлением в 1974 г. публикации С.Н. Нумерова, а затем статей А.В. Костерина, Е.Г. Шешукова, Ю.М. Молоковича. Математические модели нелинейной фильтрации они сводили к обобщению закона (1) и применяли тензора только 2-го ранга. Дальнейшее развитие этой теории сделали К.С. Басниев и Н.М. Дмитриев, основываясь на том, что при фильтрации r

жидкости между полями v и ∇P существует связь, которая в наиболее общем виде выражается формулами

(

r r r ∇P = F R , v, ρ, µ

)

r r

(либо v = f (R , ∇P, ρ, µ )). r

8

(2)

Применяя теорию (Л.И. Седов, В.В. Лохин, Ю.И. Сиротин и др.) нелинейных тензорных функций нескольких тензорных аргументов, они предложили общий вид связи (2) аппроксимировать зависимостями следующего вида (которые без принципиальных ограничений представим для ортонормированного базиса) − ∇ i P = a ij ⋅ v j + b ijk ⋅ v j v k + c ijkl ⋅ v j v k v l + K ,

(3)

где a ij , bijk , c ijkl - тензоры, задающие нелинейные фильтрационные свойства пористой среды, а ∇iP - проекции вектора ∇P на соответствующие оси. Эти тензоры, зависящие в общем случае от координат точки наблюдения, коэффициентов µ и ρ, инвариантов вектора скорости фильтрации, находятся из условий их инвариантности относительно заданной точечной группы симметрии порового пространства. Итак, в математическом моделировании нелинейной фильтрации в анизотропных средах существуют два внешне различных подхода: 1) берущий начало от работ С.Н. Нумерова и 2) развиваемый в трудах Н.М. Дмитриева. В диссертации анизотропные среды рассматриваются как модели таких периодических, структурный элемент ω которых представляет прямоугольный параллелепипед с бесконечно малыми по сравнению с характерным размером области фильтрации размерами. К этим периодическим структурам относятся распространённые в естественных условиях слоистые среды, трещиноватые коллекторы с одной системой трещин или с двумя и тремя взаимно ортогональными системами трещин, осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы с упорядоченной ориентацией их в пространстве и н. др. Метод построения линейной анизотропной модели пористой среды с названными периодическими структурами базируется на первичных понятиях главных направлений анизотропии (ГНА) и главных проницаемостей. Основное определяющее свойство ГНА в том, что в фильтрационных течеr

ниях вдоль них вектора v и ∇P коллинеарны. Проницаемость пористой среды вдоль ГНА названа главной. Для линейных анизотропных моделей рас9

сматриваемых периодических сред ГНА известны априори - ими служат перr r

пендикулярные к боковым граням структурных ячеек ω оси симметрии h1 , h 2 r

и h 3 . Главные проницаемости λ1, λ2 и λ3 в анизотропных моделях этих сред находим из решений задач усреднения. В зависимости от постановок задач усреднения они могут вычисляться методами 1) локального или 2) предлагаемого автором интегрального анизотропного эквивалентирований. Выбор метода зависит от вида расчётной области и геометрии конкретной периодической структуры и влияет на точность расчётов фильтрации в периодической среде, моделируемой анизотропной. Исследования точности метода анизотропного эквивалентирования слоистых сред проводятся в 3-ей и отчасти в 6-ой главах. В прикладных задачах теории фильтрации поле ГНА и отвечающие ему поля главных проницаемостей часто можно рассматривать как заданные. В диссертации развиты способы задания широкого круга серий триортогональных систем криволинейных поверхностей, вектора нормалей к которым определяют ГНА, и для каждой серии выведены расчётные формулы для тензоров проницаемостей. В приложении 2 представлен каталог тензоров проницаемостей для различных серий законов распределения ГНА. При построении нелинейных анизотропных моделей пористых сред с периодическими структурами автор тоже исходит из существования связи между r

полями v и ∇P в виде (2). Для аппроксимации этого уравнения связи примеr

r

нено разложение функции (2) в ряд Тейлора в окрестности точки v = 0 . Ограничиваясь в этом разложении слагаемыми до третьих степеней, обобщённый закон Дарси (ОЗД) первоначально тоже получается в виде (3), который, однако, предлагается представить в другой форме − ∇ i P = rij v j ,

(4)

с тензором второго ранга rij = a ij + b ijk v k + c ijkl v k v l + K , зависящим от компонент r

скорости фильтрации v и непосредственно вытекающим из (3). Представление ОЗД для нелинейной фильтрации в анизотропных средах в виде (4) соот10

ветствует подходу, впервые намеченному С.Н. Нумеровым. Итак, глубокой принципиальной разницы в двух подходах к описанию нелинейной фильтрации в анизотропных средах нет. Подход С.Н. Нумерова в виде (4) удобно применять для описания нелинейной фильтрации в трансверсальноизотропных и ортотропных средах, для которых априори известны ГНА. Если же уравнения (4) переписать в виде, разрешённом относительно компонент скорости фильтрации, то придём к закону Дарси, по форме, совпадающей с (1). Поэтому (1) можно применять не только для описания линейной, но и нелинейной фильтрации в названных анизотропных средах. Но главные проницаемости λi в случае нелинейной фильтрации нужно считать зависящими не только от координат точки наблюдения, но и от инвариантных веr

личин вектора скорости фильтрации, таких, как модуль v = v ; скалярные r r

r

r

произведения (v, n k ) вектора v с какими-то заданными векторами n k ; от квадратичных форм (VT⋅Di⋅V), зависящих от координат вектора скорости фильтрации. Поэтому в математических моделях нелинейной фильтрации в анизотропных средах λi в общем случае могут задаваться функциями вида r r λ i = f i (M, v, (v, n k ), (V T ⋅ D i ⋅ V )) .  i = 1,2,3

(5)

Обобщенный метод С.Н. Нумерова (5) в диссертации применён к построению математической модели нелинейной фильтрации в среде с прямолинейной анизотропией и с полярным главным направлением. Основные результаты 1-й главы: 1) развит метод расчёта тензоров проницаемостей анизотропных моделей периодических сред по заданным полям ГНА и главных проницаемостей как для линейного, так и для нелинейного режимов фильтрации; 2) дано развитие метода С.Н. Нумерова математического моделирования нелинейной фильтрации в трансверсально-изотропных и ортотропных анизотропных средах и указана его преемственная связь с методом К.С. Басниева и Н.М. Дмитриева; 3) создан каталог тензоров проницаемостей анизотропных сред для широких серий законов распределения ГНА. 11

Во 2-ой главе выводятся общие уравнения двумерной линейной фильтрации в анизотропных средах, указываются способы приведения их к каноническому виду и общие методы решения. Двумерную линейную фильтрацию в искривлённых слоях (пластах) изучали

П.Я. Кочина,

М.И. Хмельник,

В.П. Пилатовский,

О.В. Голубева

Ю.А. Гладышев,

К.Н. Быстров,

и

её

ученики

В.Ф. Пивень,

С.Е. Холодовский, а также И.А. Амирасланов и Г.П. Черепанов и др. В их работах изотропные искривлённые слои считались бесконечно тонкими по сравнению с наименьшим главным радиусом кривизны подошвы слоя, что снижало практический интерес этой теории. В диссертации предложена теория линейной двумерной фильтрации жидкости в искривлённых однородных и неоднородных анизотропных слоях постоянной и переменной конечной (имеющей в нефтегазовой отрасли промысловое значение) толщины с непроницаемыми подошвой и кровлей. Как частные случаи двумерной рассмотрены уравнения плоскопараллельной фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах. При выводе уравнений двумерной фильтрации непроницаемые поверхности подошвы и кровли пласта принимались за координатные ζ = ζ1 = const (подошва) и ζ = ζ2 = const (кровля) некоторой ортогональной криволинейной системы координат ξ, η, ζ. Поверхности тока фильтрационных течений рассматривались как стационарные, совпадающие с координатными поверхностями ζ = const. Это, конечно, идеализация, но в большинстве случаев реальная схема течения почти во всём пласте близка к ней. Поле скоростей фильтr

r

r

рации в принятой схеме будет таким: V = Vξ (ξ, η, ζ, t ) ⋅ e1 + Vη (ξ, η, ζ, t ) ⋅ e 2 , где r r r e1 , e 2 , e 3 - орты базиса в системе ξ, η, ζ.

В §1 главы 2 выводится уравнение неразрывности для двумерных фильтрационных потоков сжимаемой жидкости в искривлённых анизотропных пластах переменной конечной толщины

12

ζ2

∂ ∫  ∂ξ [H (ξ, η, ζ ) ⋅ H (ξ, η, ζ ) ⋅ ρ(ξ, η, ζ, t ) ⋅ V (ξ, η, ζ, t )] + 2

ξ

3

ζ1

∂ [H1 (ξ, η, ζ ) ⋅ H 3 (ξ, η, ζ ) ⋅ ρ(ξ, η, ζ, t ) ⋅ Vη (ξ, η, ζ, t )] + ∂η ∂ (ρ ⋅ m )  + H 1 (ξ, η, ζ ) ⋅ H 2 (ξ, η, ζ ) ⋅ H 3 (ξ, η, ζ ) ⋅  ⋅ dζ = 0 . ∂t  +

(6)

В §2 выводятся уравнения линейной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённом неоднородном анизотропном слое переменной толщины, одно из ГНА которого всюду направлено по касательным к ζ - координатным линиям, а два других ГНА относительно ξ - и η - координатных линий имеют произвольную ориентацию. Тензорный закон Дарси (1) для двумерных течений несжимаемой жидкости в таком слое приводит к следующему распределению проекций скорости фильтрации: V1 =

k 11 ( ξ, η, ζ ) ∂Ф k 12 ( ξ, η, ζ ) ∂Ф + H 1 ( ξ, η, ζ ) ∂ξ H 2 ( ξ, η, ζ ) ∂η

; V2 =

k12 ( ξ, η, ζ ) ∂Ф k 22 ( ξ, η, ζ ) ∂Ф + , (7) H 1 ( ξ, η, ζ ) ∂ξ H 2 ( ξ, η, ζ ) ∂η

где Ф = Ф(ξ, η) . Подставляя (7) в интегральное по толщине криволинейного слоя уравнение неразрывности (6) и выполняя необходимые преобразования, для функции Ф( ξ, η) выводим уравнение ∂  ∂Ф ∂Ф  ∂  ∂Ф ∂Ф  + T12 ( ξ, η) + + T22 ( ξ, η) T11 ( ξ, η) T12 ( ξ, η) =0 ,    ∂ξ ∂η  ∂η  ∂ξ  ∂ξ ∂η 

(8)

в котором через Т11(ξ, η), Т12(ξ, η), Т22(ξ, η) автором обозначены выражения T11 ( ξ, η) =

ζ2

∫

ζ1

 H2 ⋅ H3   ⋅ k11 dζ ; T12 ( ξ, η) =  H1 

ζ2

∫ (H

3

⋅ k12 )dζ ; T22 ( ξ, η) =

ζ1

ζ2

∫

ζ1

 H1 ⋅ H 3   ⋅ k 22 dζ ,(9)  H2 

названные коэффициентами проводимости искривлённого пласта. Уравнение (8) целесообразно рассматривать совместно с системой T11 (ξ, η)

∂Φ ∂Φ ∂Ψ + T12 (ξ, η) = ∂ξ ∂η ∂η

; T12 (ξ, η)

∂Φ ∂Ψ ∂Φ + T22 (ξ, η) =− , ∂ξ ∂η ∂ξ

(10)

что позволяет применить методы теории обобщённых аналитических функций (И.Н. Векуа, L. Bers, A. Gelbart и др.) к исследованию течений в искривлённых слоях конечной толщины. Если в (10) перейти к новым переменным ξ1 и η1, связанным с прежними ξ, η системой уравнений Бельтрами

13

T11

∂ξ1 ∂ξ + T12 1 ∂ξ ∂η T11T22 − T

2 12

=

∂η1 ∂η

T12 ;

∂ξ1 ∂ξ + T22 1 ∂ξ ∂η T11T22 − T

2 12

=−

∂η1 , ∂ξ

(11)

то (10) примет канонический вид p(ξ1 , η1 )

∂Φ ∂Ψ ∂Φ ∂Ψ = ; p(ξ1 , η1 ) =− , ∂ξ1 ∂η1 ∂η1 ∂ξ1

(12)

(где p(ξ1 , η1 ) = T11T22 − T122 ) системы, определяющей p-аналитические (по Г.Н. Положему) функции Φ(ξ1, η1) + i⋅Ψ(ξ1, η1) = w(ζ1) комплексного переменного ζ1 = ξ1 + i⋅η1. В частном случае, когда пласт настолько тонкий, что можно пренебречь изменениями параметров Ламе по его толщине и принять их равными своим значениям на подошве, то из (8)-(10) получим уравнения О.В. Голубевой для изотропных бесконечно тонких слоёв. Из этих же уравнений (8)-(10) как частный случай вытекают уравнения плоскопараллельной фильтрации в однородных и неоднородных анизотропных средах. В диссертации доказано, что плоскопараллельная фильтрация во всех анизотропно-однородных средах с постоянными главными проницаемостями λ1 и λ2, у которых одно ГНА перпендикулярно к плоскости течения, а два других в этой плоскости всюду направлены по касательным к линиям уровня функций η

p( ξ, η) = αξ − β ∫ H ( η)dη , η0

η

dη , H ( η ) η0

q( ξ, η) = βξ + α ∫

(13)

( α и β - одновременно не равные нулю постоянные, H (η) - произвольная положительная непрерывная функция, а ξ и η - изотермические криволинейные координаты),

описывается комплексными потенциалами w(ζ) = ϕ(ξ1,η1)+i⋅ψ(ξ1,η1), представляющими аналитические функции комплексного переменного ζ = ξ1 + i⋅η1, где

η

η

αβH ( η)( λ 2 − λ 1 ) dη ; β 2 H 2 ( η)λ 1 + α 2 λ 2 η0

ξ1 = ξ − ∫

η1 =

∫

η0

λ 1λ 2 ( α 2 + β 2 H 2 ( η)) β 2 H 2 ( η)λ 1 + α 2 λ 2

dη .

(14)

Формулы (14) исчерпывают весь запас известных случаев (В.И. Аравин, Е.С. Ромм, Г.К. Михайлов и др.), когда плоскопараллельные течения в анизотропно-однородных средах исследуются методами аналитических функций комплексного переменного с помощью «изотропизирующих» подстановок. 14

В 5-ом параграфе 2-ой главы указывается новый класс плоскопараллельных течений в однородных средах с прямолинейной анизотропией, когда тройка попарно-ортогональных ГНА имеет произвольную ориентацию относительно плоскости течения. Доказано, что плоскопараллельные течения в этих

средах

описываются

комплексными

потенциалами

ϕ( X, Y ) + iΨ ( X, Y ) = w ( ζ ) , представляющими собой аналитические функции b c

комплексного переменного ζ = X − Y + i ⋅ значены: X=x−

ϕ=−

a ⋅ c − b2 ⋅ Р ; µ

a = k11 −

ac − b 2 Y .(Через ϕ, X, Y, a, b, c обоc

2 k13 ; k 33

b = k12 −

k13 ⋅ k 23 ; k 33

c = k 22 −

k 223 ; k 33

k13 k ⋅ z; Y = y − 23 ⋅ z , где x, y и z – декартовые координаты, причём x, y k 33 k 33

расположены в плоскости течения, а kij (i,j = 1,2,3) - заданные постоянные компоненты тензора проницаемости анизотропной среды). Основные результаты 2-ой главы: 1) выведено интегральное по толщине искривлённого слоя уравнение неразрывности для двумерных течений; 2) выведены общие уравнения двумерной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых слоях с конечной толщиной; 3) указана связь общих уравнений двумерной фильтрации в анизотропных (однородных и неоднородных)

средах

с

теорией

обобщённых

аналитических

функций

Г.Н. Положего и плоскопараллельной фильтрации в однородных анизотропных средах с теорией аналитических функций комплексного переменного; 4) указан широкий класс законов распределения ГНА в анизотропнооднородных средах, для которого «изотропизирующие» подстановки находятся при помощи квадратур по выведенным формулам; 5) указан новый ранее не исследованный класс точных решений уравнений плоскопараллельной фильтрации в однородных средах с прямолинейной анизотропией. В 3-ей главе исследуется точность фильтрационных расчётов в слоистых средах методами однородно-анизотропного эквивалентирования.

15

Впервые проводить расчёты потенциальных полей в слоистых средах методом однородно-анизотропной аппроксимации предложил ≈ в 1932 г. немецкий физик-электротехник Ф. Оллендорф. Несмотря на широкое применение этого метода в электротехнических (Ф. Оллендорф, И.Е Тамм и В.Л Гинзбург,

А.В. Нетушил,

Л.М. Бреховских,

В.Ф. Кулько,

В.Н. Михайловский, В.Н. Острейко и др.) и в фильтрационных (В.И. Аравин, Е.С. Ромм, Г.К. Михайлов, С.Е. Холодовский и др.) расчётах, специальных исследований его точности не проводилось. Поэтому ставились задачи: 1) исследовать погрешность фильтрационных расчётов в многослойных средах (МС-средах) методом однородно-анизотропного эквивалентирования и 2) дать рекомендации по его применению. Для этого выполнялись сопоставительные расчёты течений в слоистой среде и её анизотропных моделях, к которым приводят конкретные методы эквивалентирования (локальный, интегральный или какой-то иной). В методе локального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей анизотропной модели осуществляется в местных для ячейки ω декартовых координатах. Главные проницаемости нахоr

r

r

дятся из равенства потоков вдоль осей симметрии h1 , h 2 , h 3 в ячейке ω соответствующим потокам (при тех же граничных условиях) в объёме ω, приняr

r

r

том за анизотропную среду с ГНА h1 , h 2 , h 3 . В методе интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования расчёт главных проницаемостей выполняется для всей многослойной области Ω в целом в системе координат, координатные линии которой совпадают как с границами раздела чередующихся изотропных слоёв многослойной среды, так и с границами ∂Ω области Ω. Они находятся из равенства поr

r

токов вдоль слоёв h1 и перпендикулярно к ним h 2 в многослойной области Ω соответствующим потокам (при одинаковых граничных условиях) в этой же r

r

области, принятой за анизотропную среду с ГНА h1 , h 2 . Недостаток метода интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования: координатные 16

линии выбираемой системы могут совпадать с границами раздела слоёв, но не совпадать с границами ∂Ω расчётной области. В этом случае расчёт главных проницаемостей анизотропной модели неизбежно приходится выполнять по методу локального однородно-анизотропного эквивалентирования, что и объясняет его широкое применение на практике. В §1 рассматривается иллюстративная задача расчёта дебита скважины в МС-среде (рис. 1 и 2) методами 1) локального и 2) интегрального однородноанизотропного

эквиваленти-

рований. rc

Расчёты дебита в слои-

R

стой среде по методу интегрального

Рис. 1

Рис. 2

однородно-

анизотропного эквивалентирования средой с радиальной

анизотропией для рис.1 и 2 приводят к точным результатам при любом числе слоёв и любом законе изменения их размеров. Результаты относительных погрешностей

Q точн − Q аниз (в %) расчётов Q точн

дебитов методом локального однородно-анизотропного эквивалентирования для рис.1 приведены в таблице 1, а для рис.2 – в таблице 2. Представленные результаты показывают медленную сходимость данного метода к точному решению, которое практически достигается лишь тогда, когда в области фильтрации укладывается не менее ~ 5·104÷106 слоёв. Число слоёв в реальных многослойных средах изменяется в диапазоне ≈ 50÷5⋅104, затрудняющем получение высокой точности расчётов по этому методу. Таким образом, рассмотренный пример показывает, что для повышения точности фильтрационных расчётов в МС-средах по возможности нужно применять метод интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования. В §§ 2 и 3 автор обобщил фильтрационные теоремы О.В. Голубевой об окружности и прямой на среды с центральными и конгруэнтными законами 17

распределения ГНА соответственно. Эти теоремы применялись к исследованию точности метода локального однородно-анизотропного эквивалентирования слоистых сред в других задачах. Таблица 1

Число слоёв

100 500 50000 Число слоёв

1000 5000 50000 Число слоёв

5000 10000 100000

Отношение h/rскв

0,9900 0,1980 0,0020 Отношение h/rскв 0,9990 0,1998 0,0200 Отношение h/rскв 1,9998 0,9999 0,10000

1 –ый случай: R/rскв = 100 Отношение проницаемостей ε = k1 k 2 2,00

10,00

20,00

100,00

0,50

0,10

0,05

0,01

±3,20 ±0,70 ±0,01

±7,87 ±1,73 ±0,02

±8,70 ±1,91 ±0,02

±9,42 ±2,07 ±0,02

2 –ой случай: R/rскв = 1000 ±2,17 ±0,48 ±0,05

±5,34 ±1,17 ±0,12

±5,90 ±1,30 ±0,13

±6,40 ±1,41 ±0,14

3 –ий случай: R/rскв = 10000 ±2,83 ±1,63 ±0,18

±6,96 ±4,01 ±0,44

±7,69 ±4,44 ±0,49

±8,33 ±4,80 ±0,53

(Знаки «+» соответствуют значениям ε= 2; 10; 20 и 100, а знаки «–» - для ε = 0,50; 0,10; 0,05 и 0,01)

Число секторов 7 11 21 51 101 501 1001 5001

0,01 -16,28 -9,78 -4,90 -1,96 -0,98 -0,20 -0,10 -0,02

Отношение проницаемостей ε = k1 k 2 0,05 0,10 0,50 2,00 10,00 -14,84 -13,24 -5,00 4,55 10,47 -8,96 -8,04 -3,13 2,94 6,92 -4,50 -4,05 -1,61 1,56 3,75 -1,81 -1,63 -0,66 0,65 1,58 -0,90 -0,82 -0,33 0,33 0,80 -0,18 -0,16 -0,07 0,07 0,16 -0,09 -0,08 -0,03 0,03 0,08 -0,02 -0,02 -0,01 0,01 0,02

Таблица 2 20,00 11,45 7,60 4,13 1,74 0,89 0,18 0,09 0,02

100,00 12,28 8,18 4,46 1,89 0,96 0,20 0,10 0,02

В §4 исследовались искажения плоскопараллельных фильтрационных потоков в однородной изотропной среде с проницаемостью k круглым слоистым включением радиуса R из n колец с одинаковой толщиной и с вырождающимся в круг центральным кольцом (рис.1). Приведены точные аналитические решения задач об искажении фильтрационных потоков: 1) поступательного, 2) от точечного источника, расположенного на расстоянии b > R от центра включения и с обильностью q и 3) от аналогично расположенного ди18

поля с моментом M. С помощью полученных решений вычислены фильтрационные потоки Qмелк через диаметр круглого слоистого включения, перпендикулярный к неискажённому поступательному потоку в 1-м и к отрезку, соединяющему точечную особенность с центром включения, во 2-м и 3-м случаях. Для этих же задач с помощью обобщённой теоремы об окружности строились точные решения, когда круглое слоистое включение на рис.1 с помощью метода локального однородно-анизотропного эквивалентирования моделировалось как радиально-анизотропное с главными проницаемостями λ1 =

2k1k 2 k1 + k 2

и λ2 =

k1 + k 2 вдоль радиусов и перпендикулярно к ним. С по2

мощью полученных решений вычислены фильтрационные потоки Qан через такой же диаметр круглого радиально-анизотропного включения, аналитические выражения для которых применялись при сравнения величин Qмелк и Qан в рассматриваемой слоистой среде и в её анизотропной модели. Вычислены отношения Qмелк/Qан и относительные погрешности δ (в процентах), появляющиеся при замене слоистой среды её радиально-анизотропной моделью и приведённые в таблице 3. Расчёты в ней показывают, что метод локального однородно-анизотропного эквивалентрирования для оценки фильтрационных потоков имеет ограниченное применение. Его погрешность становится удовлетворительной не более 4…5% при k1/k2 не превышающем 103, когда толщина слоёв не превышает 1% от характерного размера области фильтрации (когда n = 100). В §5 методом конформных отображений рассчитано точное значение полного фильтрационного потока Qаниз от отрезка AB к отрезку CD на рис.3 в прямоугольной области с прямолинейной анизотропией. С помощью прямолинейной анизотропии здесь моделировались фильтрационные свойства слоистой среды, для главных проницаемостей которой оба метода (интегрального и локального) однородно-анизотропного эквивалентирования приводят к одинаковым формулам λ1 =

2k1k 2 k1 + k 2

19

и λ2 =

k1 + k 2 . 2

Таблица 3

2

2,243

0,889

6

2,449

0,490

1 / 16

1

0,221

60

0,516

0,064

1000

k1 ⋅ k2

λ1 λ2

0,316

0,004

0,316

0,004

n = 10

n = 20

n = 30

n = 50

n = 80

n = 100

Вид поля

k

0,001

k1 k2

Qмелк Qан

δ ,%

Qмелк Qан

δ ,%

Qмелк Qан

δ ,%

Qмелк Qан

δ ,%

Qмелк Qан

δ ,%

Qмелк Qан

δ ,%

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

0,972 1,099 1,030 0,929 1,003 0,996 1,093 1,066 1,026 0,865 0,887 0,956 0,618 0,662 0,758 1,209 1,159 1,163

2,88 9,00 2,91 7,64 0,30 0,40 8,51 6,19 2,53 15,61 12,74 4,60 61,81 51,06 31,93 17,29 13,72 14,02

0,986 1,048 1,014 0,964 1,001 0,999 1,047 1,032 1,016 0,933 0,945 0,984 0,793 0,831 0,928 1,143 1,110 1,087

1,42 4,58 1,38 3,73 0,10 0,1 4,49 3,10 1,57 7,18 5,82 1,63 26,10 20,34 7,76 12,51 9,90 8,00

0,990 1,032 1,009 0,976 1,000 1,000 1,031 1,022 1,006 0,956 0,964 0,988 0,863 0,893 0,970 1,106 1,079 1,051

1,01 3,10 0,89 2,46 0 0 3,01 2,15 0,60 4,60 3,73 1,21 15,87 11,98 3,09 9,58 7,32 4,85

0,995 1,019 1,005 0,986 1,000 1,000 1,019 1,013 1,003 0,974 0,978 0,994 0,919 0,939 0,987 1,069 1,048 1,022

0,60 1,86 0,50 1,42 0 0 1,86 1,28 0,30 2,67 2,25 0,60 8,81 6,50 1,32 6,45 4,58 2,15

0,996 1,011 1,003 0,991 1,000 1,000 1,012 1,008 1,002 0,984 0,986 0,996 0,950 0,963 0,992 1,045 1,030 1,011

0,40 1,09 0,30 0,91 0 0 1,19 0,79 0,20 1,63 1,42 0,40 5,26 3,84 0,81 4,31 2,91 1,09

0,997 1,009 1,002 0,992 1,000 1,000 1,009 1,007 1,001 0,987 0,989 0,997 0,961 0,970 0,993 1,036 1,024 1,008

0,30 0,89 0,20 0,81 0 0 0,89 0,70 0,10 1,32 1,11 0,30 4,06 3,09 0,70 3,47 2,34 0,79

Сравнение фильтрационных потоков в слоистой среде и её радиально-анизотропной модели. (В левых столбиках отношения

Q мелк

Q аниз

, в правых -относительная погрешность в расчётах потоков по методу

анизотропного эквивалентирования). 1 – поступательный поток; 2 – источник; 3 – диполь; (b/R=1,2).

Величина соответствующего фильтрационH

T

М

ного потока Qмелк в слоистой среде на рис. 3 A

k1 k2 k1

λ1

вычислялась численными методами. Приме-

B

нялся метод сеток для просчёта потенциала

λ2

скорости фильтрации в каждом слое, и по-

k2 k1 k2

2l

y

k1

находилась

k2 k1 D

k2

том с помощью численного интегрирования

Рис. 3

Qмелк.

Результаты

расчётов полных фильтрационных потоков

E

C

величина

x

Q0 Q0 , в слоистой среде и в её анизоQ мелк Q аниз

тропной модели и относительных погрешностей δ =

Q мелк − Q аниз ⋅ 100% метода Q мелк

однородно-анизотропного эквивалентирования представлены в таблице 4. (В вычислительном эксперименте MBED – квадрат; |AB| = |CD| = 0,5⋅H; через 20

Q0 =

λ1 ⋅ ρ gT ⋅ H 2⋅µ ⋅l

обозначена базисная величина, соответствующая полному

фильтрационному потоку при AB = MB и DC = DE). Общее число слоев Q0 / Qмелк Погрешность δ, % Q0 / Qмелк Погрешность δ, % Q0 / Qмелк Погрешность δ, %

2 4 10 20 Для λ1 / λ2 = 0,1 величина Q0 / Qаниз = 1,139 1,428 1,338 1,226 1,188 20,2 17,5 7,1 4,1 Для λ1 / λ2 = 0,5 величина Q0 / Qаниз = 1,317 1,449 1,397 1,341 1,328 9,1 5,7 1,8 0,8 Для λ1 / λ2 = 0,75 величина Q0 / Qаниз = 1,396 1,463 1,433 1,404 1,400 4,6 2,6 0,6 0,3

Таблица 4 30

1,167 2,4 1,321 0,3 1,396 0,0

Удовлетворительная точность расчётов фильтрационного потока, наблюдаемая в таблице 4 при сравнительно малом числе слоёв (начиная с 10 и более), объясняется тем, что анизотропная модель для рис.3 совпала с моделью метода интегрального эквивалентирования, точность которого по сравнению с методом локального эквивалентирования выше. Выводы по 3-ей главе. Рассмотренные примеры подтверждают, что со стремлением к нулю отношения a/L (a - толщина отдельного слоя в слоистой среде, L - характерный размер многослойной области фильтрации) величины таких интегральных характеристик, как поток, можно вычислять с достаточной для практики точностью, аппроксимируя в расчётах слоистые среды их анизотропными моделями. Такая аппроксимация существенно упрощает расчёты и приводит к удобному для анализа аналитическому решению задачи. При этом точность аппроксимации выше по методу интегрального, чем локального однородно-анизотропного эквивалентирования. Кроме того, точность метода однородно-анизотропного эквивалентирования тем выше, чем большая часть линий тока поля почти ортогональна (или, наоборот, почти параллельна) границам раздела изотропных слоев, составляющих слоистую среду. В проанализированных в 3-ей главе примерах, относящихся к абсолютно различным ситуациям, погрешность при оценке интегральных характеристик поля в слоистой среде, моделируемой анизотропной, не превышала 21

5%

при

широком

диапазоне

изменения

коэффициента

анизотропии

( 0,1 ≤ λ мин / λ макс < 1 ), если a/L≤0,03. В 4-ой главе исследуются особенности фильтрации в ПЗС - влияние на дебит скважины: скачка проницаемости в ПЗС; конструктивных особенностей скважинных фильтров; наличие трещин гидроразрыва. Для изучения перечисленных проблем автором предложены удобные для практического применения методы, пополняющие арсенал инженерной математики. В §1 по литературным данным (монографий Ю.М. Басарыгина, А.И. Булатова, Ю.М. Проселкова и В.М. Гаврилко и В.С. Алексеева) кратко описываются типовые конструкции промышленных фильтров скважин. В §2 исследуется вопрос о погрешности расчёта дебита одиночной круговой скважины, у которой режим фильтрации в ПЗС может стать нелинейным. Погрешности появляются из-за того, что точных значений критических чисел Рейнольдса, устанавливающих границы для линейного закона Дарси, не существует. Выведены уравнения для расчёта в ПЗС радиуса r0 перехода от линейного к нелинейному режиму фильтрации и соответствующие формулы для дебита Q. По выведенным формулам проведены вычислительные эксперименты, показавшие, что 1) относительные погрешности в расчётах дебитов газодобывающих скважин не превзойдут 6%, если переход к нелинейному режиму учесть по любому конкретному критерию, 2) неучёт ПЗС с нелинейным режимом фильтрации приводит к заниженному значению дебита газодобывающих скважин со значимыми погрешностями (до 14%), 3) радиусы призабойных зон газодобывающих скважин с нелинейным режимом фильтрации могут достигать 50-60rскв, 4) для нефтедобывающих скважин фильтрация в ПЗС в большинстве случаев подчиняется линейному закону. Другая причина, заставляющая проводить специальные исследования фильтрации в ПЗС, связана с тем, что в действительности течение в ней всегда является осесимметричным, тогда как в классических постановках задач его считают плоскопараллельным. Вопрос, можно ли пренебрегать осесимметричностью течения, исследуется в §§ 3 и 4 на примере работы скважины с 22

гравийным фильтром. В § 3 дано качественное решение задачи о фильтрации к скважине с гравийным фильтром, а в §4 – её точное решение. Анализ полученного приближенного решения привёл к выводам: 1). Если безразмерный параметр x =

b rc

2 k1 , (где k1, k2, R, rc, b – соответственно проницаемости R k 2 ⋅ ln   rc 

пласта и гравийного фильтра, радиус кругового контура питания, радиус ствола скважины, мощность пласта) принимает значение х ≤ 0,5, то тогда: приведенное давление вдоль ствола скважины можно считать постоянным, равным Рс; дебит центральной скважины можно вычислять по классической формуле Дюпюи; скорость фильтрации имеет равномерное распределение по всей длине ствола скважины. 2). Если х > 0,5, то приток флюида в скважину происходит неравномерно: у подошвы пласта скорости фильтрации ничтожно малы, а при приближении к кровле пласта они резко возрастают и могут приводить к вымыву частиц породы возле кровли в скважину. Приведённое давление вдоль ствола может изменяться в широких пределах, включая крайние от РП до РС. Расчёт дебита по формуле Дюпюи в этих случаях даёт сильно завышенные значения. Анализ в §4 точного решения этой задачи приводит к таким же выводам, но с непринципиальными количественными уточнениями по всем перечисленным позициям. Учёт конструктивных особен-

y С

ностей применяемых в про-

β

B E

мышленности

α опорные пояса

rc

R

A

D

x

фильтров

скважинных (каркасно-

стержневого – рис.4, кольча-

стержни фильтра

того – рис.5, перфорационного Рис. 4. Схема каркасно-стержневого фильтра, используемого в вододобывающих скважинах. rc , радиус скважины, β - половина раствора угла щели, α - половина раствора угла непроницаемой стенки, R – радиус невозмущённой круговой эквипотенциали.

23

– рис.6) требует детального исследования пространственной фильтрации в ПЗС.

z

Строгое

R

кольца фильтра

rc

z0 lc крепежные стержни

гидродинами-

ческое исследование проB

C

E

F

A

D

странственных течений к фильтрам скважин очень

lщ

сложно. r

Рис. 5 Схема кольчатого фильтра, используемого в вододобывающих скважинах. rc – радиус скважины; lщ половина высоты щели; lc - половина высоты непроницаемой стенки; R – радиус невозмущённой эквипотенциали; z0 = lщ + lc.

Ранее

подобные

исследования чаще на электролитических проводились

моделях М.Н. Тихо-

вым, В.И. Щуровым, Додсоном и Кардуэллом и др. В

R

O1

B1 B1 B

C1

диссертации

θ0

A1

σ

h

D1

B

следования

пространствен-

ных течений в ПЗС, в том

O

σ

rc

A

прибли-

жённого аналитического исC1

C

для

C

числе к скважинным фильтрам, предложен единый подход - метод средневзвешен-

D Рис. 6. Схема фрагмента фильтра перфорационной конструкции с рядным расположением перфорационных отверстий. Слева сегмент фильтра элементарной области притока жидкости, BB1C1C - область D поверхности фильтра, OO1 - ось симметрии ствола скважины, h - высота сегмента, θ0 угол раствора сегмента

ного потенциала (СВП), часто применяемый в теорети-

ческой электротехнике и известный в ней как метод Хоу. Для скважин с фильтрами высоты H для всех перечисленных конструкций решение по методу СВП привело к однотипным выражениям для дебита Q = 2π

kH PП − Pc ⋅ , µ ln R + 1 λ rc 2

(15)

отличающимся в (15) лишь коэффициентами дополнительного сопротивления λ. Для

каркасно-стержневой

конструкции

известно

точное

решение

В.П. Пилатовского, которое тоже приводит к формуле (15), но с иным коэффициентом λ. Сопоставительные с формулой В.П. Пилатовского расчёты показали удовлетворительную точность метода СВП. Его погрешность не превышает 57%, но всегда приводит к заниженному значению дебита. По формулам (15) 24

проведены вычислительные эксперименты для выявления зависимости дебита от типа конструкции скважинного фильтра. Данные вычислительных экспериментов на рис. 7

1

показывают, что

0,9

Относительный дебит Q ⁄ Q 0

0,8

в

1 0,7

3

ности целесооб-

0,6

Радиус скважины 100 мм, радиус эквипотенциали 200 мм. 1)Фильтр перфорационной конструкции, количество перфорационных отверстий по окружности 32 отверстий, угол раствора отверстия 2,87 градуса, высота отверстия 115 мм, количество отверстий по вертикали от 1 до 8. 2)Фильтр кольчатой конструкции, высота щели 1,5 мм, количество щелей от 1 до 666. 3)Фильтр каркасно-стержневой конструкции, угол раствора щели 25 градусов, количество щелей от 1 до 14.

2

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

разнее

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Скважность

Рис. 7. Сопоставление фильтров различных конструкций. (Q0 – дебит совершенной скважины, скважность – отношение суммарной площади щелей (отверстий) к площади ствола скважины).

исполь-

зовать перфорационную конструкцию,

для

которой харак-

0 0

промышлен-

1

терна

высокая

пропускная спо-

собность при малой (20-25%) скважности, что позволяет обеспечить фильтру необходимые прочностные качества. В §9 исследуется влияние скачка проницаемости призабойной зоны на дебит скважины. Решение этих задач автор строит с помощью доказанной им теоремы о подобии фильтрационных по-

y M2

лей в грунтах со специальными законами k1

изменения проницаемости. На рис.8 и 9

k0 r1

приведены скважины, работающие в об-

l M1

ϕ = ϕП x

Рис. 8

ласти с прямолинейной и круговой границами контура питания, круговая приза-

бойная зона которых имеет проницаемость k1, отличающуюся от проницаемости k0 остальной части пласта. С помощью теоремы о подобии найдены верхняя и нижняя оценки Q1 и Q2 дебита скважин, позволившие действительное значение определить с высокой точностью. Кроме теоремы о подобии, разработан ещё один приближённый способ учёта скачка проницаемости в ПЗС одиночной скважины, основанный на том, что течение в ПЗС можно принять как плоскорадиальное. Исходя из этого, автор свёл задачу к 25

конформному отображению области фильтрации с выброшенной круговой частью ПЗС с радиусом r1 на круговое кольцо. Если

y

это конформное отображение t = t (z ) найдено, то деl

k0 m1

бит Q скважины со скачком проницаемости в ПЗС m2

r1

k1

x

R

можно вычислить по формуле Q=

ϕ = ϕП

2πk 0 k1 ( PП − PС )  t(z П ) r  µ k1 ⋅ ln + k 0 ⋅ ln 1  t(z C ) r0  

(16)

,

где zП и zС - комплексные координаты точек контура

Рис. 9

питания П и круговой границы ПЗС, а r0- радиус

скважины. Задачи, представленные на рис. 8 и 9, решены и вторым способом. Сопоставительные расчёты дали практически совпадающие результаты, показавшие, что, повышая проницаемость ПЗС, можно заметно увеличить дебит. Пониженная по сравнению с пластом проницаемость ПЗС приводит к резкому сокращению дебита скважины. В §§ 10 и 11 исследуется вопрос о дебите скважины, в призабойной зоне которой сделан вертикальный (рис. 10) либо горизонтальный (рис.11) гидроразрыв пласта. Исследование эффектив-

y

ности вертикального гидроразрыва изучалось 1

θ0

x

rc

Kщ – количество щелей

R

работах

В.М. Ентова

и

В.В. Мурзенко, К.М. Донцова с соавтора-

2

r1

в

ми,

В.В. Кадета

и

В.И. Селякова,

Р.Д. Каневской

и

Р.М. Кац,

А.Ф. Зазовского

и

Г.Т. Тодуа,

А.В. Доманского и др. Эффективность гоРис. 10

ризонтального гидроразрыва пласта иссле-

довалась методом электролитического моделирования С.А. Христиановичем и Ю.П. Желтовым. Приближённое решение о притоке к скважине с одной серединной

горизонтальной

трещиной

методом

ЭГДА

получено

Ю.Н. Васильевым и А.И. Башкировым. В диссертации для выявления главных фильтрационных эффектов, вы 26

званных гидроразрывом пласта, применён метод СВП. Для дебита Q скважины с вертикальными щелями на рис. 10 методом СВП получено выражение λn

λn

R  r1  r    +  c  ln  ∞ 1 Q 16  rc   r1   rc  , где β = 2 ∑ , а λ n = К Щ ⋅  n +  . (17) = λn λn π n =0 2 Q0  r  R β  r   ln  + + 1) 3  1  −  c   ( 2 n  r1  K щ  rc   r1   2π ⋅ (ϕ Щ − ϕ П ) ⋅ b Через Q0 в формуле (17) обозначена базисная величина Q 0 = . ln R   rC 

Случай, когда в ПЗС только две вертикальные трещины, расположенные на одной прямой, позволяет воспользоваться известным точным решением для электростатического аналога задачи. Это точное решение применялось для оценки погрешности формулы (17) при Kщ = 2 и r1 ≤ 300rС и показало, что формула (17) даёт всегда заниженное на 5-7% значение дебита Q. Формула (17) применялась для анализа эффективности вертикального гидроразрыва пласта. По результатам расчётов сделаны выводы: 1). Дебит скважины существенно зависит от радиусов вертикальных трещин. Вначале с ростом радиуса трещин дебит растёт, а затем его рост замедляется. 2). С ростом числа щелей дебит растёт, но быстро из-за интерференции щелей достигает асимптотического значения. Оптимальное число вертикальных трещин при гидроразрыве пласта от 2 до 4. 3). z

Выгоднее создавать небольшое

Q2 2π⋅l⋅(r0 + r1)

l

2 зона ∆ϕ2 = 0

v0 =

b-l

1 зона ∆ϕ1 = 0

Q1 v1 = 2π⋅(b – l)⋅(r0 + r1)

крупных

b

количество по

размерам

трещин, чем большое ко-

r0

личество мелких. R

r1

Рис. 11. Расчётная схема течения к горизонтальной трещине по комбинированному методу фрагментов и СВП

r

Для гирлянды из N горизонтальных трещин, равномерно

распреде-

лённых вдоль непроницаемого вертикального ствола скважины, поверхность каждой из которых 27

моделировалась как эквипотенциальная, по методу СВП получена следующая формула для дебита Q∑: Q∑ = Q0

ln (R 0 ) ~  R 0  8 ⋅ S ⋅ b0 ln + 3  x  π ⋅N⋅x

∞ b0  Wn (x, y ) ~  , где S = S x, , (18)  , S(x, y ) = ∑ 3 2⋅N   n = 0 (2 n + 1) ⋅ w n (x , y )

и R0 = R ⁄ rC ; b0 = b ⁄ rC ; Wn (x , y ) =

qn =

I 0 (τ n ) ; − K 0 (τ n ) I1 (q n ) ;

K1 (q n )

x = 1 + r1 ⁄ rC ; y1 = (b - ℓ) ⁄ rC ; y2 = ℓ ⁄ rC, ;

w n (x , y ) =

I1 (τ n ) ; K1 (τ n )

I1 (q n ) ; K1 (q n )

;

τn =

π(2n + 1) ⋅ x ; 2y

π(2n + 1) . В (18) через Q0 обозначен дебит совершенной скважины с ра2y

диусом r0 и вычисляемый по формуле Дюпюи. Вычислительные эксперименты, выполненные с помощью (18), показали: 1) для повышения производительности скважины выгоднее создавать одну крупную ГТ в середине пласта, чем множество мелких трещин в гирлянде, 2) для одной трещины гидроразрыва максимальный дебит достигается при её расположении в середине пласта и 3) если размер этой единственной трещины больше мощности пласта (r1 > b), то её расположение вдоль ствола скважины практически не играет роли. К таким же выводам приводят исследования, полученные методом электролитического моделирования (Г.Б. Пыхачев, Р.Г. Исаев). Основные результаты главы 4: 1) автор доказал, что классическая постановка задачи о течении к скважине, когда поверхность её ствола принимается за эквипотенциальную, может приводить к заметным ошибкам в расчёте дебита, если не учесть по приведённому в диссертации критерию возможность перехода в ПЗС плоскорадиального течения в осесимметричное; 2) доказана необходимость учёта при расчёте дебитов скважин возможного перехода в ПЗС линейного режима фильтрации к нелинейному; 3) доказано, что расчёт сложных трёхмерных фильтрационных течений в ПЗС с приемлемой точностью можно выполнить методом СВП; 4) проведены расчёты и даны практические рекомендации по оптимальному соотношению проницаемостей ПЗС и пласта, по техническим параметрам применяемых фильтров и по количеству и размерам искусственно создаваемых трещин гидроразрыва. 28

В 5-ой главе исследуются математические модели интерференции нефтедобывающих скважин, уточняющие постановки В.Н. Щелкачёва для таких же задач. В ПЗС учитывается возможность, во-первых, скачков проницаемости и, во-вторых, перехода фильтрации от линейного режима к нелинейному. §1 носит вспомогательный характер. В нём описывается метод функций Грина для расчёта плоскопараллельной фильтрации к одиночной скважине, эксплуатирующей при линейном напорном режиме неоднородный изотропный пласт с проницаемостью K(x,y) = k0·k(x,y), где k0 - размерная константа, а k(x,y) - такая безразмерная функция, что для эллиптического уравнения L[ϕ(x, y )] ≡

∂  ∂ϕ  ∂  ∂ϕ  ( ) ( ) ⋅ k x , y k x , y =0 + ⋅  ∂x  ∂x  ∂y  ∂y 

(19)

с коэффициентом k(x,y) известно фундаментальное решение g(x,y,x0,y0). Математическая постановка сводится к краевой задаче для уравнения (19) относительно потенциала ϕ = −

k0 ⋅ P с граничными условиями µ

ϕ П = ϕ П = const

и

ϕ C = ϕ C = const ,

(20)

где П –контур питания в области фильтрации D, а С –контур скважины. Для расчёта потенциала течения к скважине предварительно строится функция Грина ϕ0(x,y) = g(x,y,x0,y0) + f(x,y), где f(x,y) – регулярное в области D решение уравнения (19), удовлетворяющая однородным условиям Дирихле ϕ 0 (x, y ) П = 0 и описывающая точечный сток в точке (x0,y0) с нормированным

удельным дебитом 2π. После этого потенциал течения к скважине с удельным дебитом Q найдём по формуле ϕ(x, y ) =

Q ⋅ ϕ 0 (x, y ) + A , 2π

(21)

постоянные Q и A в которой определяем из граничных условий (20). В результате из (20) и (21) для удельного дебита получаем формулу Q=

2π ⋅ (ϕ C − ϕ П ) , ϕ 0 (x C , y C )

где (xC,yC) – точка контура скважины. 29

(22)

В §§ 2 и 3 рассматриваются задачи расчёта дебита одиночной круговой скважины 1) в неоднородных анизотропных пластах с линейным режимом фильтрации и 2) в изотропных пластах – с нелинейным. Здесь предложены вариационные методы (пробных эквипотенциалей и пробных линий тока) для расчёта в аналитической форме верхних и нижних оценок дебита скважины. В §4 исследуется интерференция n скважин, эксплуатирующих неоднородный изотропный пласт. Область фильтрации D ограничена контуром питания П и круговыми контурами скважин Сk с радиусами rk (k = 1,2, … ,n ), на которых заданы значения ϕ C = ϕ k = const . Потенциал ϕ(x,y) течения от n k

скважин

ищется

в

виде

суперпозиции

функций

Грина

ϕk(x,y) = g(x,y,xk,yk) + fk(x,y), описывающих отдельные точечные стоки: n

ϕ(x, y ) = ∑ λ k ⋅ ϕ k (x, y ) + ϕ П ,

(23)

k =1

где λk – неопределённые множители, связанные с дебитами Qk равенствами λk =

Qk ; (k = 1,2,..., n ) . Постоянные λk находим из граничных условий на конту2π

рах питания и скважин, которые приводят к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) n ∑ ' λ i ⋅ ϕ i (x k , y k ) + λ k ⋅ ϕ k (x k + ∆x k , y k + ∆y k ) = ϕ k − ϕ П .  i =1 k = 1,2,..., n 

(24)

Знак “штрих” у суммы здесь и далее означает, что индекс суммирования i ≠ k. Приращения ∆xk и ∆yk определяют точку на контуре Ck. В §5 предложена математическая модель взаимодействия n скважин, в призабойных зонах которых свои индивидуальные проницаемости, не равные проницаемости пласта. Призабойная зона каждой скважины с центром в точке (xm,ym) и с радиусом r0m принимается за круговую с радиусом rm и с постоянной проницаемостью km. Течение в ПЗС рассматривается как радиальное. Радиусы rm ПЗС считаются достаточно малыми по сравнению с другими рас-

30

стояниями в области фильтрации. Предполагая перечисленные допущения выполненными, для дебитов скважин Qm = 2π⋅λm приходим к СЛАУ n k 0 ⋅ (PП* − Pm* ) ∑ ' λ i ⋅ ϕ i (x m , y m ) + λ m ⋅ ϕ m (x m + ∆x m , y m + ∆y m ) = µ  i =1  k m ⋅ (Pm* − P0*m ) λ = .  m   r m   µ ⋅ ln   r0 m   m = 1, 2, ... , n

(25)

Отношение скачка проницаемости k1/k0

6 0.1

0.2

0.5

1

5

20

40

5

Отношение QΣ ⁄ Q0

4

3

2

1

0 3

6

9

12

15

К о л и ч е с т в о

18

с к в а ж и н

21

n

Рис. 12 — Зависимость суммарного дебита центральной круговой батареи от числа скважин n и от отношения проницаемостей k1/k0. Радиус контура питания R = 10 км, радиус ПЗС — 10 м, радиус скважин — 0,1 м. (k1 – проницаемость ПЗС, k 0 – проницаемость пласта). Радиус батареи – r1=1 км. Q0 – базисная величина, дебит фиктивной круговой скважины в центре пласта.

В частном случае, когда n скважин расположены равномерно в круговой батарее с радиусом r1 и с центром, совпадающим с центром однородного изотропного кругового с радиусом R пласта, а радиусы rC всех скважин, их призабойных зон r0 и давления PC на скважинах одинаковы, получено решение: Q=

2πk 0 k1 (PП − PC )   r  µ k 0 ln 0  + k1 ln (B)  rC   

, где B =

R 2 n − (r1 ) . n −1 n ⋅ r0 ⋅ R n ⋅ (r1 ) 2n

(26)

Здесь Q - удельный дебит одной скважины в батарее, k1 - проницаемость ПЗС 31

скважин, k0 – проницаемость пласта. Суммарный дебит QΣ батареи равен QΣ = n⋅Q. Формула (26) обобщает формулу В.Н. Щелкачёва и переходит в неё при k0=k1 или при r0 = rC. Она применялась в вычислительном эксперименте по исследованию зависимости QΣ от отношения проницаемостей

k1 . Резульk0

таты расчётов, представленные на рис. 12, показывают, что повышение проницаемости ПЗС более чем в 20 раз неоправданно, в промысловой практике достаточно увеличивать проницаемость ПЗС в 5 раз. Ухудшение проницаемости ПЗС сильнее сказывается на суммарном дебите батареи, чем её увеличение. Поэтому необходимо предусматривать защитные меры, предотвращающие понижение проницаемости ПЗС. В §6 предложена математическая модель интерференции скважин с нелинейным режимом фильтрации grad P = − f ( v ) ⋅

v в призабойных зонах с зараv

нее неизвестными радиусами rm. Для расчёта дебитов скважин Qm = 2π⋅λm выведена система нелинейных алгебраических уравнений

n k0 ⋅ (PП − Pm ) ∑ ' λi ⋅ ϕi (xm , ym ) + λm ⋅ ϕm (xm + ∆xm , ym + ∆ym ) = µ  i=1  rm  λ   ∫ fm  m  ⋅ dr = Pm − P0m r0m  r  .  λm ⋅ km ⋅ f (ε , C , σ ) = Re m 1m m кр  ν⋅ r m  m = 1,2, ..., n ; i ≠ m

(27)

Система (27) из 3n уравнений замкнутая, число неизвестных в ней λ1, λ2, ….,λn, P1, P2, … ,Pn, r1, r2, …, rn соответствует числу уравнений. Основные результаты 5-ой главы: 1) разработаны общие математические модели, описывающие работу в изотропном неоднородном пласте а) одиночной скважины, б) группы скважин, в) группы скважин со скачками проницаемостей в ПЗС, г) группы скважин с нелинейным режимом фильтрации в ПЗС; 2) предложен метод построения серии точных решений (в по32

становке для двухсвязных областей) задач фильтрации к круговой скважине с конечным радиусом; 3) предложены вариационные методы расчёта верхних и нижних оценок дебита одиночной скважины; 4) по предложенным математическим моделям выполнены вычислительные эксперименты и сделаны выводы. В 6-й главе разработана теория расчёта плоскопараллельных фильтрационных течений в многослойной области G в виде криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами координатных линий ортогональной изотермической системы координат P, Q. Расчётная область заполнена многослойной неоднородной анизотропной средой (МС-средой), границы отдельных слоёв которой совпадают с линиями P = const (или Q = const). y B

~γ i

y

E ε i, γ i,

τ i, f i (x), ω i (y)

... d x0=0 M

1

d

1

2

2 x1

i-1 x2

i

Рис. 13. x i = ∑ d k ; k =1

d

i-1

d

i

...

~γ i

x

i

x i-2 x i-1

xi

d i+1

d n-1

dn

i+1

n-1

n

x i+1

x n-2 x n-1

x n=l D

x

~i d i = x i − x i −1 ; γ yi = εi − безразмерная посто~

n

xn = ∑ dk ≡ l ;

γx

k =1

янная, коэффициент анизотропии i-го слоя; ~γ xi = γ i ⋅ f i ( x ); ~γ yi = ε i ⋅ γ i ⋅ f i ( x ) ; f i ( x ) − безразмерная функция, характеризующая закон неоднородности i-го слоя.; i i −1 i i i i f ( x ) = 1; f ( x ) = τ . Постоянная τ – коэффициент неоднородности i-го слоя. γ i − размерная постоянная (проницаемость). d i − ширина i-го слоя. Функция ωi(y) - плотность распределения источников в i-ом слое.

В изотермических P, Q и в декартовых (для прямоугольной области) координатах x, y расчёт поля в МС-среде осуществляется по алгоритмам, которые отличаются лишь непринципиальными деталями. Поэтому без ограничения общности далее рассматривается область G = {0≤ x ≤ l; 0 ≤ y ≤ h} в виде 33

прямоугольника MBED (рис. 13), заполненного средой с прямолинейной анизотропией. Её физические характеристики претерпевают конечные разрывы во внутренних точках 0 = х0 < х1 < х2 < х3 < ... < хn-1 < xn = l. ГНА всюду совпадают с осями x и y, а собственные значения Г1(х) и Г2 (х) тензора проницаемости Г1

х ∈∆ i

среды

= ~γ1i = γ i ⋅ f i ( x )

на и

отрезках Г2

х ∈∆ i

= ~γ 2 i = ε i ⋅ γ i ⋅ f i ( x ),

r

r

∆i = [xi-1, xi]

задаются

i=1,2,…,n.

равенствами

Поле

скоростей

r

фильтрации υ( x, y) = υ x ( x, y) ⋅ i + υ y ( x, y) j в такой среде описывается 1) законом Дарси υ х = − Г1 ⋅

∂ϕ ∂ϕ , υу = −Г2 ⋅ , в котором потенциал, как обычно, связан с ∂у ∂х

приведённым давлением P формулой ϕ(х, у) = P(x, y) ⁄ µ и 2) уравнением не)

)

разрывности div υ = −Ω( у) . В последнем Ω(y ) задаёт плотность источников, определяемых в каждом i-ом слое по заданным кусочно-непрерывным функ)

циям ωi(y) по формуле Ω( у) х∈[ х

i −1 , х i ]

= γ i ⋅ ωi ( у ), i = 1, n. После подстановки υx и

υy в уравнение неразрывности для потенциала ϕ = ϕ(х,у) получаем неоднородное уравнение эллиптического типа

с

∂  ∂ϕ  ) ∂ 2ϕ ) L[ϕ( х , у ) ε, F( х )] ≡ F ( х ) ⋅ + ε ⋅ F ( х ) ⋅ = Ω( у ) ∂х  ∂х  ∂у 2 ) кусочно-непрерывными коэффициентами ε |х∈∆i = ε i ;

(28) F( х ) х ∈∆ = f i ( х ); i

i

Ω( у) х∈∆ = ωi ( у) , которое для послойно перенумерованных значений потенциаi

ла ϕi(х, у) эквивалентно системе уравнений эллиптического типа L[ϕi ( х, у) εi , f i ( х )] = ωi ( у); i = 1, n.

(29)

Уравнение (28) и соответствующая система (29) решаются совместно с граничными условиями: на сторонах ВЕ и MD задаются условия Дирихле: ϕ i ( х ,0) х

∆i ∈∆ i

= Ф1 ( х ); ϕ i ( х , h ) х ∈∆ = Ф 2 ( х ); i = 1, n , i

i

(30)

где Ф1(х) и Ф2(х) – непрерывные на [0, l] функции. На сторонах МВ и DE задаются граничные условия ∂ϕ    * * ∂ϕ  = F1 ( у);  а *2 ⋅ ϕ n + b*2 n  = F2 ( у) ,  а 1 ⋅ ϕ1 + b1 ⋅  ∂х  х =0 ∂х  х =l   34

(31)

где a1*, a2*, b1*, b2* - заданные постоянные, а F1(y) и F2(y) – заданные функции. На границах контакта слоёв выполняются условия сопряжения, выражающие непрерывность давления и нормальных составляющих vn, т.е. при х = хi-1 :

ϕi-1 = ϕi

и

γ i −1 ⋅ τ i −1 ⋅

∂ϕ i −1 ∂ϕ = γ i ⋅ i , i = 2, n. ∂х ∂х

(32)

Расчёты потенциальных полей для задач электротехники с частными случаями кусочно-однородных сред (когда все fi(x) ≡ 1) и с однородными граничными условиями (30) ранее выполнял В.Н. Острейко. В диссертации сформулированная задача решается для кусочно-неоднородных сред с граничными условиями (30) общего вида. Для этого автор разработал метод перехода к модельной задаче с помощью построения в областях gi = {xi-1 < x < xi ; 0 < y < h} передаточных функций ψi(x,y), удовлетворяющих однородному уравнению (29) и принимающих в вершинах gi заданные значения ψ i ( х i−1 ,0) = ϕ iM ; ψ i ( х i−1 , h ) = ϕ iB ; ψ i ( х i ,0) = ϕ iD ; ψ i ( х i , h ) = ϕ iE , (i = 1, n ) . Такие частные

решения имеют вид х

х

dx dx у  ⋅ ∫ ∫ ~ х f i ( х ) ~  у  ~  h  х i −1 f i ( х ) ψ i ( х, у) = ~ + сi ⋅   + d i ⋅ , а i + bi ⋅ хi −i 1 хi h dx dx ∫ f (х) ∫ f (х) х i −1 i х i −1 i

где

~ ~ ~ а i = ϕ iM , bi = ϕ iD − ϕ iM , ~сi = ϕ iB − ϕ iM , d i = ϕ iE + ϕ iM − ϕ iB − ϕ iD .

Если

(33)

значения

ψi(х,у) в вершинах gi задавать по формулам ϕiM = Ф1(хi-1); ϕiB = Ф2(хi-1); ϕiD = Ф1(хi); ϕiЕ = Ф2(хi), то ψi(х,у) на границах у = 0 и y = h в точках хi, i = 0, n примут значения граничных условий Ф1(х) и Ф2(х). Поэтому, разбивая MD на достаточно мелкие частичные отрезки ∆i = [xi-1, xi], с помощью функций ψi(х,у) удастся сравнительно точно удовлетворить граничным условиям (30). Решения уравнений (29), удовлетворяющие условиям (30), получены в виде ϕi(x,y) = ψi(x,y) + wi(x,y), в котором wi(x,y) представлены рядами Фурье ∞

w i ( x, y) = ∑ U ik ( x ) ⋅ sin(λ k y) , k =1

где

λk =

πk . h

(34)

Функции Uik(x) в рядах Фурье (34) автор представляет в специальном, ориентированном на «многослойные» задачи виде 35

U ik ( x ) = C ik ⋅ g ik ( x ) + D ik ⋅ p ik ( x ) −

где g ik ( x ) =

A ik , λ ⋅ εi ⋅ f i (x )

τ i ⋅ sh[β ik ⋅ ( x − x i−1 )]

sh[β ik ⋅ ( x i − x )] ; p ik ( x ) = f i ( x ) ⋅sh (β ik ⋅ d i )

(35)

2 k

f i ( x ) ⋅ sh (β ik ⋅ d i )

; d i = x i − x i−1 ; a i =

ln τ i ; 2d i

h

2  πk  β ik = λ ⋅ ε i + a ; A ik = ⋅ ∫ ωi ( y) ⋅ sin y dy ; а Cik и Dik – произвольные постоh 0  h  2 k

2 i

янные. Законы изменения неоднородности fi(x) в каждом слое в (35) выбираются отдельно по любому из трёх перечисляемых вариантов: 1). Однородно анизотропный слой, когда fi(x) = 1; (τi = 1). 2). Анизотропный слой с квадра τ ⋅ (x − x i−1 ) + (x i − x ) тичным законом изменения неоднородности: f i ( x ) =  i  . x i − x i−1   2

 x − x i −1  ⋅ ln τ i   x i − x i −1 

3). Анизотропный слой с экспоненциальным законом: f i ( x ) = exp

В случае произвольного закона f(x) отрезок MD на рис.13 разбивается на частичные отрезки, на которых f(x) аппроксимируется перечисленными выражениями. Для окончательного решения задачи, как это следует из формул (34) и (35), остаётся вычислить коэффициенты разложений Cik и Dik в рядах Фурье для wi(x,y). Разработанный алгоритм расчёта этих коэффициентов из граничных условий (31) и (32) сведён к применению метода прогонки. Кроме изложенного первого, в диссертации подробно рассмотрен вто)

рой случай, когда источники поля в МС-среде отсутствуют, Ω(y ) = 0 , а границы MD и BE для фильтрационного потока непроницаемы, т.е. v iy = 0 , или ∂ϕ i ∂y

= y =0

∂ϕ i ∂y

=0;

(i = 1,2, K , n ) .

(36)

y=h

Граничные условия на сторонах MB и ED и на границах контакта слоёв во втором случае тоже записываются в виде (31) и (32). Разработанная теория применялась к исследованию на конкретных примерах точности расчётов фильтрации в слоистых средах методом интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования.

36

Основные результаты главы 6: 1) разработан математический аппарат расчёта линейной фильтрации в кусочно-неоднородных многослойных средах в областях, топологически эквивалентных прямоугольнику; 2) с помощью развитой теории на конкретных примерах выполнены дополнительные исследования точности расчётов в МС-средах методом интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования; 3) на примере разработанной теории указаны общие подходы к расчётам полей в многослойных средах в других областях - полосе, полуполосе, круге и н. др., а также в топологических аналогах этих областей в изотермических системах координат. В приложении 1 приведены справочные сведения по законам ортогонального преобразования базисов, координат векторов и тензоров 2, 3 и 4 рангов. В приложении 2 приводится каталог тензоров проницаемостей для линейной фильтрации в средах с конкретными законами распределения ГНА. ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основании выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в искривлённых слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и анизотропных средах. Основные результаты работы, полученные лично автором: 1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей тех анизотропных сред, главные направления анизотропии которых известны априори (к ним относятся распространённые в естественных условиях трансверсально-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации. 2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах конечной переменной и постоянной толщины.

37

3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования. 4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам. 5. Предложена качественная и точная количественная математическая модель работы скважины с гравийным фильтром. 6. Предложены математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин. 7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта. 8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами координатных линий изотермических систем координат. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: 1. ЖЕРНОВОЙ А.Д., ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А. Математическая модель вскрытия радиально-анизотропного пласта щелевым способом. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1996. № 1. С.36-41. 2. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели для фильтрационного расчета гидротехнических сооружений. // Известия ВННИГ им. Б.Е. Веденеева, Т. 239, Санкт-Петербург, 2001. С. 98-109. 3. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели нелинейной фильтрации в грунтах с обобщенной анизотропией. // Известия ВУЗОВ. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000, № 2. С.33-36. 4. ТОЛПАЕВ В.А. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н. Нумерова. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. 2003. № 12. С.3-11. 5. ТОЛПАЕВ В.А. О построении точных решений задач напорной фильтрации в некоторой серии анизотропных сред. // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1979. №4. С. 33-36. 6. ТОЛПАЕВ В.А. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред. // Изв. СКНЦ ВШ. Естественные науки. 1984. №3. С.32-35. 7. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет напорных фильтрационных течений методом виртуальных трубок тока. // Сборник материалов Всероссийской научной 38

конференции 27-30 сентября 2000 г. «Математическое моделирование в научных исследованиях». Ч. 1. Ставрополь, СГУ, 2000. С.160-164. 8. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет статических полей в прямоугольной многослойной области. // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1990, № 7. С.5-14. 9. ТОЛПАЕВ В.А. Решение задач фильтрации в кусочно-неоднородных средах методом моделирования границ раздела эквипотенциалями течения. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки. 1999. № 4. С.39-43. 10. ТОЛПАЕВ В.А. Решение краевых задач со смешанными краевыми условиями в прямоугольной многослойной области. // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естеств. Науки. 1998. № 4. С.47-55. 11. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения линейной напорной плоскопараллельной фильтрации в анизотропных средах / / Изв. Северо – Кавказ. науч. центра высш. шк. Естеств. науки. 1984. № 2. С.45-49. 12. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения нелинейной фильтрации в анизотропных средах. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. №7, 2003. С. 7-18. 13. ТОЛПАЕВ В.А. Численно-аналитические методы расчета дебитов одиночных и групповых скважин в неоднородных средах. // Известия ВУЗОВ. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. № 1, 2000. С.53-57. 14. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д. Решение краевой задачи Дюпюи для среды с прямолинейной анизотропией. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1988, № 4. С.80-87. 15. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д., ПЕТРЕНКО В.И. Численный расчет емкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком. // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1989, №6. С.5-12. 16. ТОЛПАЕВ В.А., ЗАХАРОВ В.В., ПЕТУХОВ А.А. Комплексные потенциалы фильтрационных течений в прямолинейно анизотропных средах с произвольной ориентацией осей тензора проницаемости //Мат. IY Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». ЮРГТУ (НПИ) – (Новочеркасск, 23 января 2004 г.) – Ч.2.- С.39-42. 17. ТОЛПАЕВ В.А., ИВАНОВА Е.Ф. Интегрирование систем дифференциальных уравнений модифицированным методом исключения. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. Науки. 1998. № 3. С.107-110. 18. ТОЛПАЕВ В.А., КРЫМИН Л.Г. О приближенном расчете электротехнических характеристик плоскопараллельного поля плотности постоянного тока в неоднородном изотропном проводнике. // Известия вузов. Электромеханика, №4. 1987. С.11-17. 19. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И. Расчёт коэффициентов проводимости для изотропных пластов вращения постоянной толщины //Мат. IY Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». ЮРГТУ (НПИ) – (Новочеркасск, 23 января 2004 г.) – Ч.2.- С.43-46. 39

20. ТОЛПАЕВ В.А., МАТВЕЕВ Ю.Т. Построение решений некоторых уравнений гиперболического типа методом перехода. // Сборник научнометодических статей по математике. Выпуск 11, М.: «Высшая школа», 1983. С.98-107. 21. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Расчёт тензора проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения главных направлений анизотропии. // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1997. № 2. С.41-42. 22. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В., ЗАХАРОВ В.В. Влияние проницаемости гравийного фильтра на дебит буровой скважины при линейном законе Дарси. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №3, 2003. С. 36-41. 23. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. Комплексные потенциалы плоско-параллельных электрических и магнитных полей в анизотропных средах. // Изв. Вузов. Электромеханика. 1984. №3. С. 5-9. 24. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. О точности моделирования в статических расчётах мелкослойчатых сред анизотропными. // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1988. № 6. С.13-18. 25. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б., КРЫМИН Л.Г. Об аппроксимации в электротехнических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными. // Известия вузов, Электромеханика, №11, 1985. С.23-32. Во всех совместных работах автору принадлежит теоретическая часть, разработка вычислительных алгоритмов и подготовка тестовых примеров. Программную реализацию и конкретные вычисления проводили соавторы.

40