Алгебраическая теория универсальных и локальных ограничений для алгоритмов распознавания

Ðóäàêîâ Êîíñòàíòèí Âëàäèìèðîâè÷

ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÀß ÒÅÎÐÈß ÓÍÈÂÅÐÑÀËÜÍÛÕ È ËÎÊÀËÜÍÛÕ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈÉ ÄËß ÀËÃÎÐÈÒÌΠÐÀÑÏÎÇÍÀÂÀÍÈß

Cq,l (I) M- Cq,l (e I) M0

M1

6 ?

Cq,l (R) F- Cq,l (R)

Îãëàâëåíèå

0

Ââåäåíèå

3

0.1 0.2

3

0.3 0.4 0.5 1

Ïîñòàíîâêà çàäà÷ è îïèñàíèå îñíîâíûõ êîíñòðóêöèé

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2

Êðàòêèé èñòîðè÷åñêèé îáçîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îá èñõîäíûõ êîíñòðóêöèÿõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Î ïðè÷èíàõ ñîçäàíèÿ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé . . . Îáçîð îñíîâíûõ êîíñòðóêöèé, ðåçóëüòàòîâ è âûâîäîâ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñîäåðæàíèå ðàáîòû ïî ãëàâàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 19 22

Îáùèå çàäà÷è ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè è çàäà÷è êëàññèôèêàöèè (ïîñòàíîâêà ÷åðåç îãðàíè÷åíèÿ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé . . . . . . . . . . . . . . Ðàñøèðåíèÿ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. Êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè . . . . . . . . . Îïèñàíèå óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå Èåðàðõèè îãðàíè÷åíèé è ïîíÿòèÿ ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû . . . . . . . . . . Îñíîâíûå ïðîáëåìû òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé . . . .

Îáùèå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

7 13

22 25 27 31 34 37 40

Èñõîäíàÿ ôîðìàëèçàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äîïóñòèìûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîëíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè . . Íåçàâèñèìîñòü ñâîéñòâ äîïóñòèìîñòè è ïîëíîòû . . . . . . . . . . . . . . Ïðèìåðû ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñ îäíîðîäíûìè êëàññàìè . . . . . . . . . . 2.5.2 Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñ îäíîðîäíûìè îáúåêòàìè . . . . . . . . . 2.5.3 Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñ íåçàâèñèìûìè êëàññàìè . . . . . . . . . . 2.5.4 Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñ îäíîðîäíûìè è íåçàâèñèìûìè êëàññàìè îáúåêòàìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.5 Çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿ ñ ìîíîòîííûìè ïðèçíàêàìè . . . . . . . . . 2.5.6 Çàäà÷è ïðîãíîçèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . è . . . . . .

40 43 44 47 48 48 49 49 49 50 50

3

Ïðîáëåìà ðåãóëÿðíîñòè (ðàçðåøèìîñòè) çàäà÷ êëàññèôèêàöèè

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

4

52 53 56 62 68

äà÷ êëàññèôèêàöèè

73

4.1 4.2

73

4.4 4.5 4.6

Îäíîðîäíîñòü è íåçàâèñèìîñòü ýëåìåíòîâ íà÷àëüíîé èíôîðìàöèè . . . . . . Ñèììåòðè÷åñêèå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ è êàòåãîðèè. Îïðåäåëåíèå. Ïîëíîòà è äîïóñòèìîñòü. Áàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ôóíêöèîíàëüíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ è êàòåãîðèè. Îïðåäåëåíèå. Ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ôóíêöèîíàëüíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Ïîëíîòà è äîïóñòèìîñòü. Áàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñîîòíîøåíèå ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé è êàòåãîðèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîëíîòà ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé â ñèììåòðè÷åñêèõ . . . . . . . . . . . .

75 80 89 92 95

Ðåçóëüòàòû äëÿ êîíêðåòíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé

102

5.1 5.2

102

5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ñåìåé. . . . .

Ñèììåòðè÷åñêèå è ôóíêöèîíàëüíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ çà-

4.3

5

Î êîððåêòíîñòè ïîñòàíîâêè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè . . . . . . . . . . . Áàçû ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îáùèé êðèòåðèé ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè . . . . . . . . . Î ïîëíîòå ñåìåéñòâ ìîðôèçìîâ ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé . . . Ïîëíûå ìîäåëè àëãîðèòìîâ è àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ïîëíûå ñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Î ìåòîäàõ èññëåäîâàíèÿ ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû . . . . . . . . . . . . . . . . Íåêîòîðûå ÷àñòíûå êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîëíîòà R-ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîëíîòà Π-ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîëíîòà Γ-ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . Ïîëíîòà ïîëèíîìèàëüíûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé . . . . . . . . Î íåïîëèíîìèàëüíûõ ïîëíûõ ñåìåéñòâàõ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé . . . .

103 106 110 111 115 116

Äîïîëíèòåëüíûå ðåçóëüòàòû äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè è îáùèõ çàäà÷ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè

6.1 6.2 6.3 6.4

118

Î ñòåïåíÿõ ïîëèíîìèàëüíûõ ðàñøèðåíèé ñïåöèàëüíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ñîîòíîøåíèå ðåãóëÿðíîñòè è ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ñ ñèììåòðè÷åñêèìè è ôóíêöèîíàëüíûìè óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè . . . . . . . Óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ çàäà÷ ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ êëàññàìè . . . Î çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè ìîíîòîííîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

118 121 124 127

Ãëàâà 0 Ââåäåíèå 0.1

Êðàòêèé èñòîðè÷åñêèé îáçîð

Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ñîñòàâëÿåò ÷àñòü àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ê ïðîáëåìå ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ, ðàçâèâàåìîãî ÷ëåíîì-êîððåñïîíäåíòîì ÀÍ ÑÑÑÐ Þ. È. Æóðàâëåâûì è åãî øêîëîé [2, 7, 9, 5259, 61, 62, 73, 74, 96, 114, 125140, 148]. Òàê êàê èçëàãàåìàÿ â ðàáîòå òåîðèÿ óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ÿâëÿåòñÿ, ïî-âèäèìîìó, îäíèì èç íàèáîëåå àáñòðàêòíûõ ïî ôîðìå ðàçäåëîâ òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ, ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì ðàññìîòðåòü ñîäåðæàòåëüíûå èñòîêè ýòîé òåîðèè, ñâÿçàííûå ñ èñòîðèåé âîçíèêíîâåíèÿ è ðàçâèòèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà â öåëîì. Íå ïðåòåíäóþùèé íà ïîëíîòó è îêîí÷àòåëüíîñòü îöåíîê îáçîð ýòîé èñòîðèè è áóäåò íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ. Îòìåòèì, ÷òî â îñíîâíîì îáçîð áàçèðóåòñÿ íà èäåÿõ Þ. È. Æóðàâëåâà. Ïîÿâëåíèå ïåðâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí óæå â 50-õ ãîäàõ ïðèâåëî ê âîçíèêíîâåíèþ ó ðàçëè÷íûõ ãðóïï èññëåäîâàòåëåé ñîîáðàæåíèé, êàñàþùèõñÿ âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ÝÂÌ äëÿ ðåøåíèÿ íå òîëüêî ÷èñòî âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷ òèïà ðàñ÷åòà áàëëèñòè÷åñêèõ òðàåêòîðèé, íî è ñóùåñòâåííî èíûõ çàäà÷ îáðàáîòêè èíôîðìàöèè, âîçíèêàþùèõ â ðàçëè÷íûõ ïëîõî ôîðìàëèçîâàííûõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòÿõ. Íàèáîëåå âàæíîé îñîáåííîñòüþ òàêèõ çàäà÷ îêàçûâàåòñÿ îòñóòñòâèå äëÿ èññëåäóåìûõ ðåàëüíûõ ñèòóàöèé èëè îáúåêòîâ ñêîëüêî-íèáóäü àäåêâàòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, íà áàçå êîòîðûõ ìîæíî áû áûëî âåñòè ðàñ÷åòû è ïîëó÷àòü êîëè÷åñòâåííûå èëè êà÷åñòâåííûå âûâîäû. Òàêîâû, íàïðèìåð, ìíîãèå çàäà÷è ìåäèöèíñêîé è òåõíè÷åñêîé äèàãíîñòèêè, ãåîëîãè÷åñêîãî è ñîöèàëüíîãî ïðîãíîçèðîâàíèÿ, ðàñïîçíàâàíèÿ îáúåêòîâ íà èçîáðàæåíèÿõ è ò.ï.  áîëüøîì ÷èñëå ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ ðåøåíèþ çàäà÷ òàêîãî òèïà, ìîæíî, ïî-âèäèìîìó, âûäåëèòü òðè îñíîâíûõ íàïðàâëåíèÿ. Ñîçíàâàÿ óñëîâíîñòü êëàññèôèêàöèè, âñå æå îïèøåì èõ îñíîâíûå ÷åðòû. Ïåðâîå íàïðàâëåíèå ñîñòàâèëè ðàáîòû, àâòîðû êîòîðûõ èñõîäèëè èç òîãî ôàêòà, ÷òî ÷åëîâåê (è äàæå æèâîòíûå) â ðåàëüíîé æèçíè ïîñòîÿííî è óñïåøíî ðåøàåò ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíûå ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ çàäà÷è îáðàáîòêè èíôîðìàöèè (êëàññè÷åñêèé ïðèìåð  ðàñïîçíàâàíèå çðèòåëüíûõ îáðàçîâ). Èç ýòîãî äåëàëñÿ âûâîä î òîì, ÷òî ïðîöåññ ðåøåíèÿ ïëîõî ôîðìàëèçîâàííûõ çàäà÷ íà ÝÂÌ äîëæåí ìîäåëèðîâàòü îñíîâíûå àñïåêòû ïðîöåññà ìûøëåíèÿ. Èìåííî òàêîå ìîäåëèðîâàíèå è ñîñòàâëÿëî îñíîâíóþ öåëü èññëåäî3

âàíèé. Íà ýòîì ïóòè áûëè ïîëó÷åíû ìíîãèå èíòåðåñíûå òåîðåòè÷åñêèå è äàæå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû. Íàïðèìåð, òàê áûëè èçó÷åíû ïåðñåïòðîíû [112], ñîçäàíà ñèñòåìà General Problem Solver [27] è ò.ä.  ïîñëåäíèå ãîäû ðàáîòû â äàííîì íàïðàâëåíèè ïðèîáðåëè ïðàêòè÷åñêóþ íàïðàâëåííîñòü â êîíòåêñòå ñèíòåçà ýêñïåðòíûõ ñèñòåì. Èññëåäîâàòåëè, ðàáîòû êîòîðûõ ìîæíî óñëîâíî âûäåëèòü êàê âòîðîå íàïðàâëåíèå, ñëåäîâàëè ïî ñóòè äåëà êëàññè÷åñêîìó ¾ìàòôèçè÷åñêîìó¿ ïîäõîäó. Èíà÷å ãîâîðÿ, îíè äëÿ îòäåëüíûõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòåé ïûòàëèñü ñòðîèòü ñòðîãèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, íà áàçå êîòîðûõ ìîæíî áûëî áû ïîëó÷àòü èñêîìûå êîëè÷åñòâåííûå èëè êà÷åñòâåííûå ðåçóëüòàòû.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðàáîòû â ýòîì íàïðàâëåíèè ïðèâîäèëè ê âûäàþùèìñÿ óñïåõàì (äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü óäîñòîåííûå Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ðàáîòû àêàäåìèêà Ë.Â.Êàíòîðîâè÷à). Îäíàêî ñòàíäàðòíîé ñëåäóåò, âèäèìî, ñ÷èòàòü ñèòóàöèþ, êîãäà ñîçäàíèå àäåêâàòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ ïëîõî ôîðìàëèçîâàííîé ïðèêëàäíîé ñôåðû ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. Ýòîò òåçèñ ïîäòâåðæäàåòñÿ ïðåæäå âñåãî ðåàëüíûì ïîëîæåíèåì äåë â èíôîðìàòèêå: äëÿ ¾íåôèçè÷åñêèõ¿ çàäà÷ ÷ðåçâû÷àéíî ðåäêè ïðèìåðû óäà÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ò.å. ìîäåëåé, ñ îäíîé ñòîðîíû, àäåêâàòíî îïèñûâàþùèõ ïðàêòè÷åñêèå ïðîáëåìû, è, ñ äðóãîé ñòîðîíû, äîïóñêàþùèõ íàäëåæàùèé îáñ÷åò. Ïåðåéäåì, íàêîíåö, ê îïèñàíèþ òðåòüåãî íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé, â ðàìêàõ êîòîðîãî è âîçíèê àëãåáðàè÷åñêèé ïîäõîä ê ïðîáëåìå ðàñïîçíàâàíèÿ. Ïðåäñòàâèòåëè ýòîãî íàïðàâëåíèÿ ñ ñàìîãî íà÷àëà èñõîäèëè èç ÷èñòî ïðàêòè÷åñêîé ïîñûëêè: íåñìîòðÿ íà îòñóòñòâèå ìîäåëè òîãî, êàê àíàëîãè÷íóþ çàäà÷ó ðåøàåò ÷åëîâåê, è íåñìîòðÿ íà îòñóòñòâèå àäåêâàòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðåàëüíîé ñèòóàöèè, ìîæíî âñå-òàêè, îïèðàÿñü íà îáû÷íûé çäðàâûé ñìûñë, ïûòàòüñÿ ñòðîèòü àëãîðèòìû, ðåàëèçóþùèå íóæíûé ïðîöåññ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Ðàçâèòèå ðàáîò â ýòîì íàïðàâëåíèè ìîæíî, ñëåäóÿ èäåå Þ. È. Æóðàâëåâà, óñëîâíî ðàçáèòü íà òðè ýòàïà. Ïåðâûé ýòàï, íà÷àâøèéñÿ â êîíöå 50-õ ãîäîâ, õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ êîíêðåòíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ðàçðàáàòûâàëèñü è ðåàëèçîâûâàëèñü îòäåëüíûå àëãîðèòìû ðàñïîçíàâàíèÿ.  ýòîò ïåðèîä ïðîèñõîäèëî íåñêîëüêî ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûõ äëÿ äàëüíåéøåãî ïðîöåññîâ. Âî-ïåðâûõ, âûêðèñòàëëèçîâûâàëèñü îáùèå ÷åðòû ïîñòàíîâîê çàäà÷, îòíîñÿùèõñÿ ê âíåøíå ñàìûì ðàçëè÷íûì ïðèêëàäíûì îáëàñòÿì.  ÷àñòíîñòè, ñòàíîâèëîñü ÿñíî, ÷òî â êà÷åñòâå çàìåíû àäåêâàòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ÷àùå âñåãî ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü ìàññèâû ïðåöåäåíòîâ, ò.å. ïàð âèäà ¾âõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ  âûõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ¿. Âî-âòîðûõ, ïðîèñõîäèëî íàêîïëåíèå ïðèìåðîâ óäà÷íî ðåøåííûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ è ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãîðèòìîâ (ïîñêîëüêó ýòè àëãîðèòìû ñòðîèëèñü íà îñíîâå íå èìåâøèõ òåîðåòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ ñîäåðæàòåëüíûõ ãèïîòåç, èõ ïðèíÿòî íàçûâàòü ýâðèñòè÷åñêèìè). Ïðè ýòîì èìåë ìåñòî íåêîòîðûé ¾åñòåñòâåííûé îòáîð¿, êîòîðûé ïðîõîäèëè òîëüêî õîðîøî çàðåêîìåíäîâàâøèå ñåáÿ íà ïðàêòèêå ïðîöåäóðû ðåøåíèÿ.  òðåòüèõ, ïîñòåïåííî âûÿñíÿëèñü îáùèå ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé, îñíîâàííûå íà àêòèâíîì èñïîëüçîâàíèè ìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, èäåè ðàçäåëåíèÿ òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ ãèïåðïîâåðõíîñòÿìè, ïðèìåíåíèè èíôîðìàöèîííûõ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ, âûäåëåíèè ÷àñòè÷íûõ îïèñàíèé îáúåêòîâ è èíûõ àíàëîãè÷íûõ ïðèåìàõ [13, 16, 43, 63, 84, 93, 4

146, 153, 155]. Â-÷åòâåðòûõ, â ýòîò ïåðèîä âîçíèêëî ïîíèìàíèå íåîáõîäèìîñòè ñîçäàíèÿ ñïåöèàëüíîãî îáùåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà äëÿ èññëåäîâàíèÿ çàäà÷ è àëãîðèòìîâ è ïîÿâèëèñü ïåðâûå ðàáîòû â ýòîì íàïðàâëåíèè. Ïðè ýòîì ðÿä ýâðèñòè÷åñêèõ ïðîöåäóð è êîíñòðóêöèé áûë â íåêîòîðîì ñìûñëå òåîðåòè÷åñêè îáîñíîâàí [6, 38, 39, 116, 117, 145, 149, 150]. Íàèáîëåå âàæíûì ðåçóëüòàòîì ïåðâîãî ýòàïà ìîæíî, ïî-âèäèìîìó, ïðèçíàòü ïðàêòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî âîçìîæíîñòè ðåøåíèÿ ðàçíîîáðàçíûõ âàæíûõ ïëîõî ôîðìàëèçîâàííûõ çàäà÷ íà îñíîâå íåêîòîðûõ îáùèõ èíôîðìàöèîííûõ ïðèíöèïîâ áåç ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ èëè ÿâëåíèé. Ïðåäïîñûëêîé äëÿ ïåðåõîäà êî âòîðîìó ýòàïó â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ÿâèëîñü íàëè÷èå ãðóïï ó÷åíûõ, íàêîïèâøèõ îïûò ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ è èñïîëüçîâàâøèõ äëÿ ðàçíûõ çàäà÷ áëèçêèå ïî ñòðóêòóðå àëãîðèòìû (ïðè ýòîì òèïû àëãîðèòìîâ ó ðàçëè÷íûõ íàó÷íûõ ãðóïï ÷àñòî áûëè ðàçíûìè). Ñóòü âòîðîãî ýòàïà ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì îïðåäåëèòü ïåðåõîäîì îò ïðèíöèïà ¾ïðèêëàäíàÿ çàäà÷à → àëãîðèòì¿ ê ïðèíöèïó ¾ñåìåéñòâî àëãîðèòìîâ → ïðèêëàäíàÿ çàäà÷à¿. Èíûìè ñëîâàìè, ïðîèçîøëî îôîðìëåíèå (ïàðàìåòðè÷åñêèõ) ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ, èìåþùèõ âåñüìà óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð è øèðîêèå ñôåðû ïîòåíöèàëüíûõ ïðèëîæåíèé. Ðåøåíèå ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ â ýòîé ñèòóàöèè ñâåëîñü ê ¾íàñòðîéêå ïàðàìåòðîâ¿, ò.å. ê ðåøåíèþ ïðîáëåìû âûáîðà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, âûäåëÿþùèõ èç ñåìåéñòâà îïòèìàëüíûé äëÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è àëãîðèòì. Òàêèì îáðàçîì ìåñòî ìîäåëåé ïðèêëàäíûõ îáëàñòåé (¾êâàçèôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé¿) çàíÿëè ñåìåéñòâà àëãîðèòìîâ, êîòîðûå ìîæíî ñ÷èòàòü ìîäåëÿìè ïðîöåññîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Ýòè ñåìåéñòâà è ïðèíÿòî íàçûâàòü ìîäåëÿìè  ìîäåëÿìè àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ, èëè æå ýâðèñòè÷åñêèìè èíôîðìàöèîííûìè ìîäåëÿìè, ïîñêîëüêó îíè îáû÷íî ñîçäàþòñÿ â ðåçóëüòàòå ôîðìàëèçàöèè èíòóèòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé î õàðàêòåðå ñâÿçåé ìåæäó íà÷àëüíûìè è ôèíàëüíûìè (âõîäíûìè è âûõîäíûìè) äàííûìè â êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ. Ñðåäè âîçíèêøèõ íà âòîðîì ýòàïå ìîäåëåé àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ íàèáîëüøóþ èçâåñòíîñòü èìåþò àëãîðèòìû, îñíîâàííûå íà ïðèíöèïå êîìèòåòíûõ ðåøåíèé [11, 97102, 111], àëãîðèòìû ìåòîäà ïîòåíöèàëüíûõ ôóíêöèé [3, 125], àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê [8, 37, 4951, 141, 144], ñòàòèñòè÷åñêèå [17, 23, 33, 34, 36, 6365, 93, 123, 151, 152, 154, 156160] è ñòðóêòóðíûå [29, 36, 161163] ñåìåéñòâà. Èññëåäîâàíèå êàæäîé ìîäåëè àëãîðèòìîâ èìååò ñâîþ ñïåöèôèêó, ¾âíóòðåííþþ¿ ïðîáëåìàòèêó è ïðîáëåìàòèêó, ñâÿçàííóþ ñ ðåøåíèåì ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Íàïðèìåð, äëÿ ðàáîò øêîëû Â.Ä.Ìàçóðîâà (êîìèòåòû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ) îñíîâíîé îñîáåííîñòüþ îêàçàëèñü äâîéñòâåííûå êîíñòðóêöèè, äëÿ øêîëû Þ. È. Æóðàâëåâà (ÀÂÎ  àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê)  ïðèíöèï ÷àñòè÷íîé ïðåöåäåíòíîñòè è àëãåáðî-ëîãè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ è ò.ä. Îòìåòèì, ÷òî ìîäåëè âû÷èñëåíèÿ îöåíîê âîáðàëè â ñåáÿ áîëüøèíñòâî èñïîëüçóåìûõ ýâðèñòè÷åñêèõ ïðèíöèïîâ è ìîãóò ïîòîìó ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê â íåêîòîðîì ñìûñëå óíèâåðñàëüíûé ÿçûê äëÿ îïèñàíèÿ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ. Ïðè âñåì ðàçíîîáðàçèè ìîäåëåé îáùåé ïðèíöèïèàëüíîé ñëîæíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà ïîèñêà â ðàìêàõ ìîäåëè îïòèìàëüíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Ïîñòðîåíèå 5

òàêèõ àëãîðèòìîâ ñâîäèòñÿ îáû÷íî ê èññëåäîâàíèþ íåñòàíäàðòíûõ ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíûõ ýêñòðåìàëüíûõ ïðîáëåì, èõ òåîðåòè÷åñêîìó ðåøåíèþ è ñîçäàíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ [1, 4, 5, 10, 2226, 28, 32, 4042, 4448, 51, 6668, 7679, 89, 90, 113, 115, 118, 141144, 147]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ â ðàìêàõ ôèêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ ïîëó÷èëî ðÿä îáîñíîâàíèé, áàçèðóþùèõñÿ íà ïðèíÿòèè ðàçëè÷íûõ ìåòðè÷åñêèõ èëè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç î õàðàêòåðå èññëåäóåìûõ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ èëè ÿâëåíèé [3, 1720, 2225, 30, 31, 35, 6972, 75, 8088, 9194, 120124]. ×ðåçâû÷àéíî ñóùåñòâåííûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ òàêæå òî, ÷òî íà ôóíäàìåíòå òåîðåòè÷åñêèõ ðàáîò áûëè ðàçðàáîòàíû ìîùíûå óíèâåðñàëüíûå ïàêåòû ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì ðàñïîçíàâàíèÿ ÊÂÀÇÀÐ [100, 101, 111], ÏÀÐÊ [21, 48, 58, 144] è äð. Îïûò èñïîëüçîâàíèÿ ýòèõ ïàêåòîâ äëÿ ðàçíîîáðàçíûõ ïðèêëàäíûõ ïðîáëåì äàë îêîí÷àòåëüíûé ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ðåøåíèÿ ïëîõî ôîðìàëèçîâàííûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ íà áàçå íàäëåæàùèì îáðàçîì èñïîëüçóåìûõ ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ïðèíöèïîâ. Ïðåäïîñûëêîé äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ óñëîâíîãî òðåòüåãî ýòàïà (àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà) ðàçâèòèÿ ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ïîñëóæèëî íåêîòîðîå âíóòðåííåå ïðîòèâîðå÷èå, ïðèñóùåå ñàìîé èäåå èñïîëüçîâàíèÿ çàðàíåå çàôèêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ. Ñ îäíîé ñòîðîíû, äëÿ ïîëó÷åíèÿ ëó÷øèõ ðåçóëüòàòîâ ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ òàêèå ñåìåéñòâà äîëæíû áûòü ïî âîçìîæíîñòè ¾áîãàòûìè¿. Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçîâàíèå î÷åíü ¾áîãàòûõ¿ è ïîòîìó, êàê ïðàâèëî, ñëîæíî óñòðîåííûõ ñåìåéñòâ ïðèâîäèò çà÷àñòóþ ê íåðàçðåøèìûì ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îïòèìèçàöèîííûì ïðîáëåìàì, ïðè÷åì ïðèìåíåíèå ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íå ÿâëÿåòñÿ âûõîäîì èç ïîëîæåíèÿ (ëîêàëüíî ýêñòðåìàëüíûå ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííûå â ðàìêàõ ¾áîãàòîãî¿ ñåìåéñòâà, ìîãóò îêàçàòüñÿ õóæå îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ, íàéäåííîãî â ðàìêàõ äîñòàòî÷íî ïðîñòîãî ñåìåéñòâà). Èñõîäíûì ïóíêòîì ðàçâèòèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ïîñëóæèëà èäåÿ î òîì, ÷òî ïîìèìî èñïîëüçîâàíèÿ ýâðèñòè÷åñêèõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ â êà÷åñòâå ôèêñèðîâàííûõ îáëàñòåé, â ðàìêàõ êîòîðûõ ñëåäóåò èñêàòü ðåøåíèÿ, èìååòñÿ àëüòåðíàòèâíûé ïóòü: èç èìåþùèõñÿ ñåìåéñòâ ìîæíî îïðåäåëåííûì îáðàçîì âûáèðàòü íåêîòîðûå àëãîðèòìû è, èñïîëüçóÿ ïîäõîäÿùèå îïåðàöèè íàä àëãîðèòìàìè (êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè), öåëåíàïðàâëåííî ñòðîèòü îïòèìàëüíûå àëãîðèòìû äëÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñàìà ïî ñåáå èäåÿ ñîâìåñòíîãî èñïîëüçîâàíèÿ íàáîðîâ àëãîðèòìîâ ïðè ðåøåíèè îòäåëüíûõ çàäà÷ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíà è àêòèâíî ïðèìåíÿåòñÿ ðàçëè÷íûìè ãðóïïàìè èññëåäîâàòåëåé [97102, 111, 122]. Ýòà èäåÿ áûëà èñïîëüçîâàíà â èñõîäíûõ ðàáîòàõ Þ. È. Æóðàâëåâà [5457], â êîòîðûõ â êà÷åñòâå êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ïðèìåíÿëèñü íåêîòîðûå îïåðàöèè íàä äåéñòâèòåëüíûìè ìàòðèöàìè, à â êà÷åñòâå èñõîäíûõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ ðàññìàòðèâàëèñü àëãîðèòìû, îñíîâàííûå íà ïðèíöèïå ðàçäåëåíèÿ, è àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê. Âïîñëåäñòâèè áûëè ïðîâåäåíû àíàëîãè÷íûå èññëåäîâàíèÿ äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ êîíêðåòíûõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ è êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé [2, 79, 12, 58, 59, 62, 73, 74, 89, 114, 125].  ðåçóëüòàòå àëãåáðàè÷åñêèé ïîäõîä ñòàë îáùåòåîðåòè÷åñêîé áàçîé äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðîáëåì ðàñïîçíàâàíèÿ, îðèåíòèðîâàííîé íà èçó÷åíèå èñïîëüçóåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ 6

êîíêðåòíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé è ìåòîäîâ. Íàëè÷èå êîìïëåêñà êîíöåïöèé è ðåçóëüòàòîâ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ïîçâîëÿþùåãî ñðàâíèòåëüíî ëåãêî ðåøàòü îñíîâíûå òåîðåòè÷åñêèå ïðîáëåìû äëÿ îòäåëüíûõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé, ïîçâîëÿåò ñêàçàòü, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ âîçìîæåí ïåðåõîä îò ïðèíöèïà ¾ñåìåéñòâî àëãîðèòìîâ → ïðèêëàäíàÿ çàäà÷à¿ ê ïðèíöèïó ¾ïðèêëàäíàÿ îáëàñòü → ìîäåëü àëãîðèòìîâ¿. Èòàê, ñ îáùåíàó÷íîé òî÷êè çðåíèÿ òðåòèé ýòàï áëèçîê ïî ïîäõîäó ê ïåðâîìó, íî ïðè ýòîì èññëåäîâàíèÿ èäóò íà êà÷åñòâåííî íîâîì óðîâíå. Áîëåå ïîäðîáíîå ðàññìîòðåíèå íåêîòîðûõ îñíîâíûõ èäåé è êîíñòðóêöèé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ïîñëóæèâøèõ íåïîñðåäñòâåííîé ïðè÷èíîé ñîçäàíèÿ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, áóäåò ïðîâåäåíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

0.2

Îá èñõîäíûõ êîíñòðóêöèÿõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà

Îñíîâíûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ â áîëüøèíñòâå ðàáîò, âûïîëíåííûõ â ðàìêàõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, áûëè çàäà÷è êëàññèôèêàöèè è ñîîòâåòñòâóþùèå àëãîðèòìû è ñåìåéñòâà àëãîðèòìîâ.  òàêèõ çàäà÷àõ ðàññìàòðèâàåòñÿ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî S, ýëåìåíòû êîòîðîãî S íàçûâàþòñÿ äîïóñòèìûìè îáúåêòàìè èëè ïðîñòî îáúåêòàìè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ìíîæåñòâå S èìååòñÿ íàáîð ïîäìíîæåñòâ K1 , . . . , Kl , íàçûâàåìûõ êëàññàìè. Òî÷íîå îïèñàíèå êëàññîâ íåèçâåñòíî, è òðåáóåòñÿ ïî èìåþùåéñÿ íåïîëíîé èíôîðìàöèè äëÿ îòäåëüíûõ îáúåêòîâ èëè ãðóïïû îáúåêòîâ ðåøàòü âîïðîñ îá èõ ïðèíàäëåæíîñòè êëàññàì. Ñóùåñòâåííî, ÷òî ÷èñëî êëàññîâ l çàðàíåå èçâåñòíî è ôèêñèðîâàíî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà çàäà÷ èëè êîíêðåòíîé çàäà÷è (ïðè íåèçâåñòíîì ïàðàìåòðå l âîçíèêàþò òàê íàçûâàåìûå çàäà÷è òàêñîíîìèè, êîòîðûå äàëåå ðàññìàòðèâàòüñÿ íå áóäóò). Ðåøåíèÿ âîïðîñîâ î ïðèíàäëåæíîñòè îáúåêòîâ êëàññàì äîëæíû, êîíå÷íî, âûðàæàòüñÿ íà íåêîòîðîì ñîîòâåòñòâóþùåì ÿçûêå.  êà÷åñòâå òàêîãî ÿçûêà îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ìíîæåñòâà òèïà {0, 1}, {0, 1, ∆} è ò.ï., ãäå 0 èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ðåøåíèå S ∈ K , 1  êàê S∈ / K , ∆  êàê îòêàç îò ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ôèêñèðóåòñÿ îïðåäåëÿåìîå ñîäåðæàòåëüíîé ñòîðîíîé äåëà ìíîæåñòâî e I ¾äîïóñòèìûõ îòâåòîâ¿, êîòîðûå è äîëæíû ïîðîæäàòüñÿ àëãîðèòìàìè êëàññèôèêàöèè. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, àëãîðèòìû ñòðîÿòñÿ íà áàçå íåêîòîðîé íåïîëíîé èíôîðìàöèè î êëàññàõ. Ñàìè àëãîðèòìû ðåàëèçóþò ïðîöåññ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé âõîäíîé èíôîðìàöèè â ýëåìåíòû ìíîæåñòâà e I. Òàêèì îáðàçîì, â ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìû ¾ñîñóùåñòâóþò¿ òðè âèäà èíôîðìàöèè: èíôîðìàöèÿ, èñïîëüçóåìàÿ äëÿ ñèíòåçà àëãîðèòìà (áóäåì íàçûâàòü åå ñòðóêòóðíîé), ¾ðàáî÷àÿ¿ âõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ è ôèíàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ (îòâåòû àëãîðèòìà). Ñóùåñòâåííî, ÷òî äåëåíèå èíôîðìàöèè íà ñòðóêòóðíóþ è ðàáî÷óþ, àáñîëþòíî î÷åâèäíîå â êîíêðåòíûõ ïðàêòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ, îêàçûâàåòñÿ âåñüìà óñëîâíûì ïðè òåîðåòè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè âîïðîñà. Íàïðèìåð, îïèñàíèÿ êëàññîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê ÷àñòü ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè, è êàê ÷àñòü ðàáî÷åé èíôîðìàöèè. Àëãîðèòìû, ïîñòðîåííûå âî âòîðîì ñëó÷àå, ò.å. ñïîñîáíûå îáðàáàòûâàòü ïåðåìåí7

íóþ èíôîðìàöèþ î êëàññàõ, ïðè ôèêñàöèè îïèñàíèé êëàññîâ îáðàùàþòñÿ â àëãîðèòìû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðâîìó ñëó÷àþ. Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ¾ðàáî÷èé ðåæèì¿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè (îòëè÷àþùèéñÿ îò ¾ðåæèìà íàñòðîéêè¿). Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîìèìî ïðîñòðàíñòâà äîïóñòèìûõ îáúåêòîâ S ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâî Iob äîïóñòèìûõ îïèñàíèé ýòèõ îáúåêòîâ è ôóíêöèÿ D : S → Iob , êîòîðàÿ ñîïîñòàâëÿåò îáúåêòàì S èõ äîïóñòèìûå îïèñàíèÿ D(S). Âèä ìíîæåñòâ S è Iob è ôóíêöèè D îïðåäåëÿåòñÿ êîíêðåòíîé ïðîáëåìíîé îáëàñòüþ, ïðè÷åì, êîíå÷íî, íå èñêëþ÷àåòñÿ, ÷òî S = Iob , ò.å. ÷òî îáúåêòû ñîâïàäàþò ñî ñâîèìè îïèñàíèÿìè.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå àëãîðèòìû â ¾ðàáî÷åì ðåæèìå¿ ðåàëèçóþò îòîáðàæåíèÿ èç Iob âe I. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè ïîñòóïëåíèè íà âõîä àëãîðèòìà A îïèñàíèÿ I0 ∈ Iob îáúåêòà S0 èç ìíîæåñòâà S (I0 = D(S0 )) íà âûõîäå ïîðîæäàåòñÿ âåêòîð (β1 , . . . , βl ) ∈ e Il , â êîòîðîì βj ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì îòâåòîì àëãîðèòìà A íà âîïðîñ î ïðèíàäëåæíîñòè îáúåêòà S0 êëàññó Kj ïðè j ∈ {1, . . . , l}. Òàêèå àëãîðèòìû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê íàáîðû (A1 ,. . .,Al ), ãäå A : Iob → e I1 . Íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé âîçíèêàåò òîãäà, êîãäà òðåáóåòñÿ ðåàëèçîâàòü ÿâíóþ çàâèñèìîñòü îò íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèê êëàññîâ.  ýòîé ñèòóàöèè ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâî Icl äîïóñòèìûõ îïèñàíèé êëàññîâ è ñòðîèòü àëãîðèòìû âèäà Il . Òàêèå àëãîðèòìû òàêæå ìîæíî èíîãäà ñ÷èòàòü ñîâîêóïíîñòÿìè A : (Iob × Ilcl ) → e (A1 , . . . , Al ), ãäå Aj : Iob ×Icl → e I ïðè j ∈ {A1 , . . . , Al }. Îäíàêî òàêîå ñâåäåíèå âîçìîæíî íå âî âñåõ ñëó÷àÿõ (íàïðèìåð, îíî íåêîððåêòíî, åñëè ðåøàåòñÿ çàäà÷à ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ êëàññàìè). Åùå áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèòóàöèÿ, êîãäà èìååòñÿ èíôîðìàöèÿ, îòíîñÿùàÿñÿ îäíîâðåìåííî è ê îáúåêòàì, è ê êëàññàì. Íàïðèìåð, íà âõîä àëãîðèòìà ìîæåò ïîñòóïàòü ýêñïåðòíàÿ îöåíêà ïðèíàäëåæíîñòè îáúåêòà êëàññó èëè ¾ðàññòîÿíèå¿ îò îáúåêòà äî ¾öåíòðà òÿæåñòè¿ êëàññà è ò.ï.  òàêèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî ââîäèòü ïðîñòðàíñòâî I ñîâîêóïíûõ èíôîðìàöèé îá îáúåêòàõ è êëàññàõ è ñòàâèòü çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìà âèäà A : Il → e Il . Íàêîíåö, âîçìîæíû ñèòóàöèè, êîãäà òðåáóåòñÿ ñîâìåñòíîå ðàññìîòðåíèå ãðóïï, ñîñòîÿùèõ èç p îáúåêòîâ ïðè ôèêñèðîâàííîì èëè ïðîèçâîëüíîì p. Òàêèå ñëó÷àè âîçíèêàþò, íàïðèìåð, åñëè èçâåñòíî, ÷òî íåêîòîðûé êëàññ îäíîýëåìåíòåí èëè ÷òî âõîæäåíèå îáúåêòà â êëàññ çàâèñèò îò ñîñòàâà ãðóïïû, â êîòîðóþ ýòîò îáúåêò âõîäèò, è ò.ï.  ýòèõ ñèòóàöèÿõ àëãîðèòì äîëæåí ðåàëèçîâûâàòü îòîáðàæåíèÿ âèäà

A : (Il )p → (e Il )p èëè

A:

∞ [

∞  [  (Il )p → (e Il )p .

p=1

p=1

Îòìåòèì, ÷òî îïèñàííûå ñëó÷àè íå èñ÷åðïûâàþò, êîíå÷íî, âñåãî ðàçíîîáðàçèÿ ïîòåíöèàëüíî âîçìîæíûõ ñèòóàöèé.  òî æå âðåìÿ îíè ñîîòâåòñòâóþò áîëüøèíñòâó ïîñòðîåíèé 1

Çäåñü è äàëåå ìû ÷àñòî íå áóäåì ðàçëè÷àòü àëãîðèòìû è ðåàëèçóåìûå èìè îòîáðàæåíèÿ. 8

è èññëåäîâàíèé â îáëàñòè ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Ïåðåéäåì òåïåðü ê îñíîâíîé ïðîáëåìå ñèíòåçà àëãîðèòìîâ. Ýòîò ñèíòåç, êàê óæå ãîâîðèëîñü, îñóùåñòâëÿåòñÿ íà áàçå ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè, ò.å. èíôîðìàöèè î òîì, êàêèì äîëæíî áûòü îòîáðàæåíèå, ðåàëèçóåìîå èñêîìûì àëãîðèòìîì. Êðàéíå õàðàêòåðíîé ÷àñòüþ ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè îêàçûâàþòñÿ ïðè ýòîì îïèñàíèÿ ïðåöåäåíòîâ. Äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè òàêèå îïèñàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíôîðìàöèþ î íàáîðå äîïóñòèìûõ îáúåêòîâ (S1 , . . . , Sq ) ∈ Iq , íàçûâàåìîì êîíòðîëüíîé âûáîðêîé, è ñîïîñòàâëåííûé ýòîìó íàáîðó íàáîð âåêòîðîâ (¯ α1 , . . . , α ¯ q ) èç ìíîæåñòâà (e Il )q . Âåêòîðû α ¯ i = (αi1 , . . . , αil ) ∈ e Il íàçûâàþòñÿ èíôîðìàöèîííûìè âåêòîðàìè îáúåêòîâ Si (ïðè i ∈ {1, . . . , q}), âåëè÷èíû αij èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê îïèñàíèÿ ñîîòíîøåíèé Si ∈ Kj íà ÿçûêå e I. Èñïîëüçîâàíèå ïðåöåäåíòíîé ÷àñòè ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî îò èñêîìîãî àëãîðèòìà A òðåáóåòñÿ, ÷òîáû äëÿ âûáîðêè (S1 , . . . , Sq ) îí ïîðîæäàë ôèíàëüíóþ èíôîðìàöèþ (¯ α1 , . . . , α ¯ q ). Ýòî óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ðàâåíñòâà, äëÿ ÷åãî óäîáíî èñïîëüçîâàòü íàèáîëåå îáùèé èç îïèñàííûõ âûøå âàðèàíòîâ ¾ðàáî÷åãî ðåæèìà¿ è äâà äîïîëíèòåëüíûõ ïîíÿòèÿ  ìàòðèöó èíôîðìàöèè è èíôîðìàöèîííóþ ìàòðèöó çàäà÷è. Èòàê, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îïðåäåëåíî ïðîñòðàíñòâî I, ýëåìåíòû êîòîðîãî ñóòü äîïóñòèìûå ñîâìåñòíûå îïèñàíèÿ îáúåêòîâ è êëàññîâ. Ïðè íàëè÷èè âûáîðêè (S1 , . . . , Sq ), åñòåñòâåííî, äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ýëåìåíòû Iij ïðîñòðàíñòâà I, ãäå Iij  ñîâìåñòíîå îïèñàíèå îáúåêòà Si è êëàññà Kj ïðè i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l}. Ýòè ýëåìåíòû Iij îáúåäèíÿþòñÿ â ìàòðèöó Ib = kIij kq×l 2 , íàçûâàåìóþ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Ôèíàëüíóþ èíôîðìàöèþ, ò.å. íàáîð âåêòîðîâ (¯ α1 , . . . , α ¯ q ), òàêæå óäîáíî b çàïèñûâàòü â âèäå ìàòðèöû Ie = kαij k , íàçûâàåìîé èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöåé çàäà÷è. q×l

Òåïåðü óñëîâèå, âûðàæàþùåå ïðåöåäåíòíóþ ÷àñòü ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè, ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ðàâåíñòâà b e A(Ib ) = I. (0.2.1)  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì âûøåóïîìÿíóòîå ñåìåéñòâî àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê. Ýòè àëãîðèòìû ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, â êîòîðûõ S = M1 , . . . , Mn , ãäå Mt ïðè t ∈ {1, . . . , n}  ïðîñòðàíñòâà ñ ïîëóìåòðèêàìè ρt . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â S âûäåëåíû îáúåêòû S 1 , . . . , S m , íàçûâàåìûå îáúåêòàìè îáó÷åíèÿ3 .  êà÷åñòâå ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ îïèñàíèé Iob èñïîëüçóåòñÿ ïðîñòðàíñòâî q × l-ìàòðèö, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ò.å. â ýòîì ñëó÷àå Iob = Cm,n (R+ )4 . Ôóíêöèÿ D, ñîïîñòàâëÿþùàÿ äîïóñòèìûì îáúåêòàì èõ îïèñàíèÿ, îïðå-

Ìàòðèöû â ðàáîòå îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëàìè ñ ¾øàïî÷êàìè¿.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðèìåíÿåòñÿ çàïèñü òèïà kaijk kikm×n , ÷òî îçíà÷àåò ìàòðèöó 2

a

1j1

...

amj1 3 4

. . . a1jn ... ... . . . amjn





.

m×n

Äëÿ îáúåêòîâ îáó÷åíèÿ èñïîëüçóþòñÿ âåðõíèå èíäåêñû, äëÿ êîíòðîëüíûõ îáúåêòîâ  íèæíèå. Çäåñü è äàëåå âî âñåé ðàáîòå áåç äîïîëíèòåëüíûõ îãîâîðîê ñèìâîë Ca,b (U) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîçíà9



kt äåëÿåòñÿ ïðè ýòîì ðàâåíñòâîì D(S) = ρt (S, S k ) m×n , òàê ÷òî îïèñàíèåì îáúåêòà S îêàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ðàññòîÿíèé îò íåãî äî âñåõ îáúåêòîâ îáó÷åíèÿ S 1 , . . . , S m . Ñ ïîìîùüþ îáúåêòîâ îáó÷åíèÿ îïèñûâàþòñÿ è êëàññû K1 , . . . , Kl : èíôîðìàöèåé î ëþáîì êëàññå Kj ïðè j ∈ {1, . . . , l} ÿâëÿåòñÿ áóëåâ âåêòîð (Pj (S 1 ), . . . , Pj (S m )), ãäå Pj  ñîîòâåòñòâóþùèé êëàññó Kj ïðåäèêàò âõîæäåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå I = Cm,n (R+ ) × {0, 1}m . Èç ñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî ýëåìåíòû Iij ìàòðèöû èíôîðìàöèè Ib èìåþò âèä  

kt Iij = ρt (Si , S k ) m×n , Pj (S 1 ), . . . , Pj (S m ) (0.2.2) ïðè i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l}. Ñàìè àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê, èñ÷åðïûâàþùå îïèñàííûå â óïîìÿíóòûõ âûøå ðàáîòàõ, áóäóò ïîäðîáíî ðàñññìàòðèâàòüñÿ â ãë. 5. Ñåé÷àñ æå äîñòàòî÷íî îòìåòèòü, ÷òî â íàèáîëåå èçâåñòíîì âàðèàíòå îíè ðåàëèçóþò îòîáðàæåíèÿ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà I â ìíîæåñòâî e I = {0, 1, ∆} èëè â e I = {0, 1}. Ïðè ýòîì àëãîðèòìû ñòðîÿòñÿ êàê ñóïåðïîçèöèè òàê íàçûâàåìûõ ðàñïîçíàþùèõ èëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ B è ðåøàþùèõ ïðàâèë C . Àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû ðåàëèçóþò îòîáðàæåíèå ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà I â R, ò.å. âû÷èñëÿþò ïî íàáîðàì âèäà (0.2.2) íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, íàçûâàåìûå îöåíêàìè. Ðåøàþùèå ïðàâèëà ïðåîáðàçóþò îöåíêè â ¾îòâåòû¿ 0 è 1 èëè â 0, 1 è ∆ (êàê ïðàâèëî èñïîëüçóþòñÿ ïîðîãîâûå ðåøàþùèå ïðàâèëà âèäà C(x) = 1 ïðè x > a, C(x) = 0 ïðè x 6 b è C(x) = ∆ ïðè b < x < a, ãäå a è b  ÷èñëîâûå ïàðàìåòðû, a > b). Åñëè ðàññìîòðåòü îòäåëüíî ïðîöåññ ñèíòåçà êîíêðåêòíûõ àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê, òî îí ñâåäåòñÿ ê âûáîðó çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (0.2.1). Ïðè ýòîì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî àëãîðèòìè÷åñêèé îïåðàòîð B ïåðåâîäèò ìàòðèöó èíôîðìàöèè Ib ∈ Cq,l (I) â ìàòðèöó îöåíîê B(Ib ) ∈ Cq,l (R), à ðåøàþùåå ïðàâèëî C ïðåîáðàçóåò ìàòðèöó B(Ib ) â C(B(Ib )) ∈ Cq,l (e I). Ïðîáëåìà âûáîðà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (0.2.1), ÿâëÿåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíîé è ñ òåîðåòè÷åñêîé, è ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷åê çðåíèÿ. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî äî ñèõ ïîð íåèçâåñòíî òî÷íîå îïèñàíèå ìíîæåñòâà çàäà÷, ðàçðåøèìûõ â ðàìêàõ ñåìåéñòâà àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê, ò.å. çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ âîîáùå ñóùåñòâóþò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, îáåñïå÷èâàþùèå ðåøåíèå.  ðåçóëüòàòå ïðè ðàáîòå ñ ïðàêòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ ðàâåíñòâî (0.2.1) âûïîëíÿåòñÿ ëèøü ïðèáëèæåííî. Èòàê, ñåìåéñòâî àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñåìåéñòâî ñóïåðïîçèöèé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê è ðåøàþùèõ ïðàâèë.  [54] è â [57] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî òàêàÿ êîíñòðóêöèÿ èìååò â íåêîòîðîì ñìûñëå óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð, ò.å. ÷òî ïðåäñòàâëåíèå àëãîðèòìîâ â âèäå ñóïåðïîçèöèé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ðåøàþùèõ ïðàâèë âîçìîæíî íå òîëüêî â ñëó÷àå ÀÂÎ, íî è äëÿ ïðàêòè÷åñêè âñåõ äðóãèõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî è ïîçâîëèëî ââåñòè îñíîâíûå êîíñòðóêöèè àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà.

÷åíèÿ ïðîñòðàíñòâà a × b-ìàòðèö íàä ìíîæåñòâîì U; R+  äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâà íåîòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. 10

 îáùåì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàëîñü ñåìåéñòâî àëãîðèòìîâ M ⊆ { A | A : Cq,l (I) → e Cq,l (I) }, îïðåäåëåííîå êàê ñåìåéñòâî ñóïåðïîçèöèé

M = M1 ◦ M0 = { C ◦ B | C ∈ M1 , B ∈ M0 }, ãäå M0 ⊆ { B | B : Cq,l (I) → Cq,l (R) }  ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé, íàçûâàåìûõ àëãîðèòìè÷åñêèìè èëè ðàñïîçíàþùèìè îïåðàòîðàìè, è M1 ⊆ { C | C : Cq,l (R) → Cq,l (e I) }  ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé, íàçûâàåìûõ ðåøàþùèìè ïðàâèëàìè. Òàêàÿ êîíñòðóêöèÿ ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü èäåþ î ñîâìåñòíîì èñïîëüçîâàíèè íåñêîëüêèõ àëãîðèòìîâ ïðè ðåøåíèè åäèíñòâåííîé çàäà÷è ïóòåì ïðèìåíåíèÿ òàê íàçûâàåìûõ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé.  êà÷åñòâå îñíîâíîãî ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé â [5457] ðàññìàòðèâàëîñü ñåìåéñòâî L ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä ïðîñòðàíñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö Cq,l (R). Äåéñòâèå ýòèõ îïåðàöèé ðàñïðîñòðàíÿëîñü íà ñåìåéñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé B èç Cq,l (I) â Cq,l (R): (aB1 + bB2 )(Ib ) = aB1 (Ib ) + bB2 (Ib ) (0.2.3) äëÿ âñåõ B1 , B2 : Cq,l (I) → Cq,l (R), a, b ∈ R, Ib ∈ Cq,l (I).  ðåçóëüòàòå âîçíèêàëà âîçìîæíîñòü ïðè ðåøåíèè çàäà÷ èñïîëüçîâàòü íå èñõîäíóþ ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 , à ñîâîêóïíîñòü L(M0 ) âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé îïåðàòîðîâ èç M0  ìíîæåñòâî îïåðàòîðîâ p o nX ar Br ar ∈ R, Br ∈ M0 , r ∈ {1, . . . , p}, p ∈ N , r=1

ò.å. âìåñòî ñåìåéñòâà àëãîðèòìîâ M = M1 ◦ M0 ïðèìåíÿòü áîëåå øèðîêîå ñåìåéñòâî àëãîðèòìîâ L(M) = M1 ◦ L(M0 ). Òàêèì îáðàçîì áûëè âïåðâûå ïðîäåìîíñòðèðîâàíû äâå õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà: ñèíòåç îïåðàöèé íàä àëãîðèòìàìè íà îñíîâå îïåðàöèé íàä ìàòðèöàìè îöåíîê è èñïîëüçîâàíèå êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàñøèðåíèé èñõîäíûõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ. Åñòåñòâåííî, ÷òî ðàñøèðåíèå ïðèìåíÿåìûõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ ìîæåò ïðèâåñòè ê ðàñøèðåíèþ ìíîæåñòâà ðàçðåøèìûõ çàäà÷, ò.å. çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ â ðàìêàõ ñåìåéñòâà â ïðèíöèïå ìîæíî íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå. Îäíàêî ïðè âîçðàñòàíèè ¾îáúåìà¿ ñåìåéñòâà îáû÷íî âîçðàñòàåò è ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è âûáîðà â ðàìêàõ ñåìåéñòâà àëãîðèòìà, îïòèìàëüíîãî äëÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è. Ïî-âèäèìîìó íàèáîëåå âàæíàÿ îñîáåííîñòü àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè íàäëåæàùèì îáðàçîì âûáðàííûõ ñïîñîáîâ ïîñòðîåíèÿ ðàñøèðåíèé ñëîæíîñòü ñèíòåçà îïòèìàëüíûõ àëãîðèòìîâ â ðàìêàõ ðàñøèðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ äàæå íèæå, ÷åì â ñëó÷àå èñõîäíîé ¾íåðàñøèðåííîé¿ ìîäåëè. Âî ìíîãèõ æå ñëó÷àÿõ óæå íà óðîâíå òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà âîçìîæíî ïîëó÷åíèå ÿâíûõ ôîðìóë, îïðåäåëÿþùèõ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ áóäåò êðàòêèé îáçîð êîíñòðóêöèé, îáåñïå÷èâàþùèõ ýòó îñîáåííîñòü àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà. Èñòîêîì äëÿ îïèñûâàåìûõ ðåçóëüòàòîâ ñëóæèò î÷åâèäíîå çàìå÷àíèå: ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ëþáîãî ñîäåðæàùåãî ëèíåéíûé áàçèñ ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R) ñîâïàäàåò ñ ñàìèì ïðîñòðàíñòâîì Cq,l (R). Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî åñëè äëÿ çàäà÷è ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib ìíîæåñòâî M0 (Ib ) ñîäåðæèò ëèíåéíûé áàçèñ, òî äëÿ ñåìåéñòâà L(M0 ) âûïîëíåíî 11

ðàâåíñòâî L(M0 )(Ib ) = Cq,l (R). Òåïåðü ÿñíî, ÷òî äàæå åñëè â êà÷åñòâå ñåìåéñòâà ðåøàþùèõ ïðàâèë M1 èñïîëüçîâàòü îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî {C0 } òàêîå, ÷òî C0  îòîáðàæåíèå Cq,l (R) íà Cq,l (e I), ò.å. ñþðúåêöèÿ, òî ïðè M = M1 ◦ L(M0 ) áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî b b M(Ib ) = Cq,l (e I) è, ñëåäîâàòåëüíî, â M íàéäåòñÿ àëãîðèòì A òàêîé, ÷òî A(Ib ) = Ie, ãäå Ie  èíôîðìàöèîííàÿ ìàòðèöà ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Íåñìîòðÿ íà âíåøíþþ ïðîñòîòó ýòîãî ðàññóæäåíèÿ, îíî èìååò öåëûé ðÿä âåñüìà ãëóáîêèõ ñëåäñòâèé è, âèäèìî, ìîæåò áûòü ïðèçíàíî ôóíäàìåíòîì ìíîãèõ êîíñòðóêöèé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà. Íàïðèìåð, âàæíåéøèì ñëåäñòâèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðèìåíåíèå òåõíèêè ðàñøèðåíèé ðåçêî ñíèæàåò òðåáîâàíèÿ ê ¾îáúåìó¿ èñõîäíîãî ñåìåéñòâà àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 è óïðîùàåò ðåøåíèå ïðîáëåìû âûáîðà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ïðè àíàëèçå êîíêðåòíûõ çàäà÷. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íûì, ÷òîáû â M0 (Ib ) ñîäåðæàëñÿ ëþáîé èç ëèíåéíûõ áàçèñîâ ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R), à âûáîð çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ äîñòàòî÷íî îñóùåñòâèòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èìè áûëè îïðåäåëåíû àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû B1 , . . . , Bql òàêèå, ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòðèöû B1 (Ib ), . . . , Bql (Ib ) ñîñòàâëÿëè ëèíåéíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R). Äàëåå, ñóùåñòâåííî, ÷òî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì îïèñàòü øèðîêèå êëàññû çàäà÷ (òî÷íåå  ìàòðèö èíôîðìàöèè Ib, îïðåäåëÿþùèõ çàäà÷è) òàêèå, ÷òî â M0 (Ib ) ñîäåðæèòñÿ ëèíåéíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R). Ýòè çàäà÷è íàçûâàþòñÿ ðåãóëÿðíûìè5 . Òàêèì îáðàçîì äëÿ ìíîãèõ ñëó÷àåâ óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ðåøåíèå ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì ñëåäñòâèåì ðåãóëÿðíîñòè (åñëè M (Ib ) = Cq,l (e I), òî ïðè ïðîèçâîëüíîé èíôîðb b ìàöèîííîé ìàòðèöå Ie â M ñîäåðæèòñÿ àëãîðèòì A òàêîé, ÷òî A(Ib ) = Ie ). Îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì òàêæå ïðàêòè÷åñêè íå ðàññìàòðèâàòü ðåøàþùèå ïðàâèëà, ïîñòóëèðîâàâ, ÷òî èñïîëüçóåòñÿ åäèíñòâåííîå ðåøàþùåå ïðàâèëî C0 , ðåàëèçóþùåå ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå Cq,l (R) íà Cq,l (e I) (òàêèå ðåøàþùèå ïðàâèëà íàçûâàþòñÿ êîððåêòíûìè). Íàêîíåö, âàæíî, ÷òî äëÿ ìíîãèõ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ ñóùåñòâóþò ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ áàçèñíûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ B1 , . . . , Bql , ÷òî ïîçâîëÿåò ïî ñóòè äåëà â ÿâíîì âèäå âûïèñûâàòü ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷, èçáåãàÿ ïðèìåíåíèÿ ñëîæíûõ ïðîöåäóð îïòèìèçàöèè. Åùå ðàç îòìåòèì, ÷òî îïèñàííûå èäåè è êîíñòðóêöèè áûëè ïðåäëîæåíû Þ. È. Æóðàâëåâûì â [5457].  ýòèõ è äðóãèõ âûøåóïîìÿíóòûõ ðàáîòàõ, âûïîëíåííûõ â ðàìêàõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, â êà÷åñòâå M0 ðàññìàòðèâàëèñü ðàçëè÷íûå âàðèàíòû àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê (Γ-ìîäåëè), àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû, îñíîâàííûå íà ïðèíöèïå ðàçäåëåíèÿ (R-ìîäåëè) è ïîòåíöèàëîâ (Π-ìîäåëè). Êðîìå òîãî, â êà÷åñòâå ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ðàññìàòðèâàëèñü ðàñøèðåíèÿ L  ñåìåéñòâà An è LM , ãäå An  ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå âûøå n ñ óìíîæåíèåì ìàòðèö ïî Àäàìàðó (kaij kq×l × kbij kq×l = kaij bij kq×l ), à LM  ìíîæåñòâî, ïîëó÷àåìîå äîáàâëåíèåì ê L îïåðàòîðà Max (Max kaij kq×l = kbij kq×l , ãäå bij = 1 åñëè aij  ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû kaij kq×l è bij = 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå). Ïðè ýòîì èñïîëüçîâàíèå ñåìåéñòâ êîð5

Áîëåå òî÷íîå è îáùåå îïðåäåëåíèå ðåãóëÿðíîñòè îáñóæäàåòñÿ ⠟5 ãë. 1. 12

ðåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ïðîâîäèëîñü ïóòåì ïîñòðîåíèÿ â ðàìêàõ ðàñøèðåíèé An (M0 ) èëè LM (M0 ) áàçèñíûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ B1 , . . . , Bql . Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïðèìåíåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé ïîëó÷èëî îáîñíîâàíèå íà áàçå ïðèíÿòèÿ íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ âåñüìà îáùèõ ìåòðè÷åñêèõ è ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç. Ðàáîòû ïåðâîãî òèïà áûëè âûïîëíåíû Þ. È. Æóðàâëåâûì è åãî ó÷åíèêàìè, à ïîñòðîåíèÿ âòîðîãî òèïà, ïîòðåáîâàâøèå ñîçäàíèÿ ñïåöèàëüíîãî òîíêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, áûëè ïðîâåäåíû Â.Ë.Ìàòðîñîâûì [103110]. Èòàê, â îïèñàííûõ â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ðàáîòàõ áûëè ðàçâèòû èñõîäíûå êîíöåïöèè àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà è ïîëó÷åíû ïðèíöèïèàëüíî âàæíûå ðåçóëüòàòû. Ñðåäè íèõ, ñóììèðóÿ, ìîæíî îòìåòèòü: èñïîëüçîâàíèå êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé äëÿ ñèíòåçà ðàñøèðåíèé ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è àëãîðèòìîâ â öåëîì; èññëåäîâàíèå ðåãóëÿðíîñòè êàê ñâîéñòâà çàäà÷, îáåñïå÷èâàþùåãî ðàçðåøèìîñòü; ñîçäàíèå òåõíèêè, ïîçâîëÿþùåé ïðîâîäèòü àâòîíîìíûå èññëåäîâàíèÿ ñåìåéñòâ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ðåøàþøèõ ïðàâèë; ñèíòåç ýêñòðåìàëüíûõ ïî êà÷åñòâó àëãîðèòìîâ áåç ðåøåíèÿ ñëîæíûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè. Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå åùå ðàç, ÷òî ñîäåðæàíèå äàííîãî ïàðàãðàôà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå ïðåòåíäóþùèé íà ïîëíîòó êðàòêèé îáçîð, íåîáõîäèìûé ëèøü äëÿ òîãî, ÷òîáû îáúÿñíèòü íèæå, êàê âîçíèêëè âîïðîñû, äëÿ îòâåòà íà êîòîðûå áûëà ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ.

0.3

Î ïðè÷èíàõ ñîçäàíèÿ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé

Öåëüþ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå âîïðîñîâ è ïðîáëåì, êîòîðûå âîçíèêëè íà ïåðâîì ýòàïå ðàçâèòèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà è ïîèñê îòâåòîâ íà êîòîðûå ïðèâåë ê èçëàãàåìîìó â äàííîé ðàáîòå êîìïëåêñó ïîñòðîåíèé è ðåçóëüòàòîâ. Îñòàíîâèìñÿ ïðåæäå âñåãî íà îñíîâíîì îáñòîÿòåëüñòâå, êîòîðîå ïîðîäèëî èñõîäíóþ äëÿ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ïðîáëåìó. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè ðåøåíèè î÷åíü ìíîãèõ çàäà÷ ÿâíî íåäîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðåöåäåíòíóþ èíôîðìàöèþ â êà÷åñòâå åäèíñòâåííîãî ôàêòîðà, îïðåäåëÿþùåãî ñèíòåç àëãîðèòìà  ðåøåíèÿ. Äàííîå ñîîáðàæåíèå ñòàíîâèòñÿ îñîáåííî àêòóàëüíûì â êîíòåêñòå àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ïîñêîëüêó óíèâåðñàëüíîñòü åãî êîíñòðóêöèé ïîçâîëÿåò ïðè íåäîñòàòî÷íî òî÷íîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è ñ ëåãêîñòüþ ïîëó÷àòü ôîðìàëüíî ïðàâèëüíûå, íî ÿâíî áåññìûñëåííûå ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ðåçóëüòàòû. Äåéñòâèòåëüíî, âûøå óæå ãîâîðèëîñü, ÷òî, íàïðèìåð, â çàäà÷àõ êëàññèôèêàöèè ïðåb öåäåíòíàÿ èíôîðìàöèÿ ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ ïàðîé ìàòðèö (Ib0 , Ie0 ), ãäå Ib0  ìàòðèöà b èíôîðìàöèè è Ie0  èíôîðìàöèîííàÿ ìàòðèöà çàäà÷è. Åñëè òåïåðü îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü òðåáîâàíèåì, ÷òîáû èñêîìûé àëãîðèòì A ðåàëèçîâûâàë îòîáðàæåíèå èç Cq,l (I) â Cq,l (e I) òàb êîå, ÷òî A(Ib0 ) = Ie0 , òî ôîðìàëüíî ïðàâèëüíûì ðåøåíèåì îêàæåòñÿ àëãîðèòì A0 , êîòîðûé b äëÿ âñåõ Ib èç Cq,l (I) ïîðîæäàåò Ie0 , ò.å. ðåàëèçóåò êîíñòàíòó. ßñíî, ÷òî óäîâëåòâîðèòåëüíàÿ 13

ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ òî÷íàÿ ïîñòàíîâêà èñõîäíîé çàäà÷è äîëæíà ¾çàïðåùàòü¿ ïîäîáíûå ðåøåíèÿ, ò.å. äîëæíà ñîäåðæàòü äîïîëíèòåëüíûå ïî îòíîøåíèþ ê ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèÿ íà âèä îòîáðàæåíèé, êîòîðûå ìîãóò ðåàëèçîâûâàòüñÿ èñêîìûìè àëãîðèòìàìè. Èç âûøåñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî ïðåæäå âñåãî áûëî íåîáõîäèìî óòî÷íåíèå ïîñòàíîâêè çàäà÷ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè ïóòåì âêëþ÷åíèÿ â ýòó ïîñòàíîâêó â ÿâíîì âèäå äîïîëíèòåëüíûõ ïî îòíîøåíèþ ê ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèé íà äîïóñòèìûå îòîáðàæåíèÿ (êîððåêòíûå àëãîðèòìû). Åñòåñòâåííî, ïðè ýòîì òðåáîâàëîñü ðàçðàáîòàòü ñïåöèàëüíûé ÿçûê (â øèðîêîì ñìûñëå ñëîâà) äëÿ îïèñàíèÿ òàêèõ îãðàíè÷åíèé êàê ñïîñîáà âûðàæåíèÿ ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè, ò.å. ðåàëüíîé èíôîðìàöèè, îïðåäåëÿþùåé íåîáõîäèìûå ñâîéñòâà ñèíòåçèðóåìîãî àëãîðèòìà. Ñóùåñòâåííûì îêàçàëîñü òàêæå âûÿñíåíèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïðåöåäåíòíîé è äîïîëíèòåëüíîé ê íåé èíôîðìàöèåé, âûðàæåííîé íà ÿçûêå ôîðìàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà âèä äîïóñòèìûõ îòîáðàæåíèé. Îòìåòèì äàëåå, ÷òî â èñõîäíûõ ðàáîòàõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ (ò.å. îïèñàíèÿ çàäà÷, êîòîðûå àïðèîðè ìîãóò áûòü ðåøåíû ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãåáðàè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé) èìåëè õàðàêòåð ëèøü äîñòàòî÷íûõ, íî íå íåîáõîäèìûõ óñëîâèé, ôîðìèðîâàâøèõñÿ â ðåçóëüòàòå àíàëèçà êîíêðåòíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ðåçóëüòàòîì ýòîãî áûëî òî, ÷òî åñëè ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíîé çàäà÷è âûÿñíÿëîñü, ÷òî îíà íå ðåãóëÿðíà, òî îñòàâàëñÿ îòêðûòûì âîïðîñ: ÿâëÿåòñÿ ëè îòñóòñòâèå ðåãóëÿðíîñòè ñëåäñòâèåì íåêîððåêòíîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è (íàïðèìåð, èç-çà îøèáîê â ïðåöåäåíòíîé èíôîðìàöèè) èëè æå îíî îáóñëîâëåíî íåóäà÷íî âûáðàííûì èëè ïîñòðîåííûì ñåìåéñòâîì àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è/èëè êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé? Îòñþäà âûòåêàëà íåîáõîäèìîñòü èññëåäîâàíèé, êîòîðûå ìîãëè áû ïîçâîëèòü âûâîäèòü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðåãóëÿðíîñòè íåïîñðåäñòâåííî èç àíàëèçà ðåàëüíîé èíôîðìàöèè, à íå ïîñòóëèðîâàòü èõ êàê îãðàíè÷åíèÿ äëÿ îòäåëüíûõ êîíêðåòíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé.  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ãîâîðèëîñü, ÷òî èñïîëüçîâàíèå èñõîäíûõ ðåçóëüòàòîâ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ïîçâîëèëî ïðîâîäèòü àâòîíîìíûå èññëåäîâàíèÿ ðàñøèðåíèé ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ ðåøàþùèõ ïðàâèë.  òî æå âðåìÿ îñòàâàëñÿ îòêðûòûì âîïðîñ î âîçìîæíîñòè èçó÷åíèÿ ïî-îòäåëüíîñòè ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, ïðèìåíÿåìûõ äëÿ èõ ðàñøèðåíèÿ. Àêòóàëüíîñòü ýòîãî âîïðîñà ñòàíîâèòñÿ îñîáåííî ÿñíîé, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ðàñøèðåíèÿ ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ ðåãóëÿðíûìè îêàçàëîñü ¾ñëèøêîì ìàëî¿ çàäà÷.  òàêîé ñèòóàöèè, åñòåñòâåííî, òðåáóåòñÿ óñòàíîâèòü, êîòîðîå èç ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé (ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ èëè ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé) íåîáõîäèìî ðàñøèðèòü èëè âîîáùå çàìåíèòü, ÷òîáû êëàññ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ îêàçàëñÿ àäåêâàòíûì. Ñ ïðåäûäóùèì âîïðîñîì íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíà ïðîáëåìà èñïîëüçîâàíèÿ â êà÷åñòâå ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ îïåðàöèé íàä ïðîñòðàíñòâîì Cq,l (R) è äàæå, áîëåå øèðîêî, íàä Cq,l (R) ïðè ïðîèçâîëüíîì ïðîñòðàíñòâå R. Äåéñòâè14

òåëüíî, ïðèìåíåíèå òîëüêî ëèíåéíûõ îïåðàöèé è óìíîæåíèÿ ïî Àäàìàðó ìîæíî, âèäèìî, ïðèçíàòü óäà÷íûì òåõíè÷åñêèì ïðèåìîì, îäíàêî òðóäíî ñ÷èòàòü åäèíñòâåííî âîçìîæíûì âàðèàíòîì âî âñåõ ñëó÷àÿõ. Ïîñëåäíÿÿ ïðîáëåìà ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ñàìè ïî ñåáå è ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, è ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, è ðåøàþùèå ïðàâèëà  âñå îíè èìåþò ÷èñòî ýâðèñòè÷åñêîå ïðîèñõîæäåíèå. Èíûìè ñëîâàìè, ýòè ñåìåéñòâà èçíà÷àëüíî îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî çäðàâûì ñìûñëîì è áîãàòñòâîì ôàíòàçèè èññëåäîâàòåëåé. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîðîæäàåò è âîïðîñ, êîòîðûé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü, íàïðèìåð, òàê: íåëüçÿ ëè, ¾ñëåãêà¿ èçìåíèâ (ðàñøèðèâ) îäíî èç èñïîëüçóåìûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, ñóùåñòâåííî ðàñøèðèòü êëàññ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷, ò.å. ñóùåñòâåííî ïîâûñèòü ¾ìîùíîñòü¿ âñåé êîíñòðóêöèè. Èëè æå, íàîáîðîò, âîïðîñ ìîæíî ïîñòàâèòü òàê: ìîæíî ëè óïðîñòèòü (ñóçèòü) ïðèìåíÿåìûå ñåìåéñòâà, ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì êëàññ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ íåèçìåííûì? Îòìåòèì, íàêîíåö, ÷òî, õîòÿ çàäà÷è êëàññèôèêàöèè âåñüìà óíèâåðñàëüíû ïî ïîñòàíîâêå, íî âñå æå èìè íå èñ÷åðïûâàåòñÿ âñå ðàçíîîáðàçèå çàäà÷ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè.  èñõîäíûõ ðåçóëüòàòàõ è êîíöåïöèÿõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ïîëó÷åííûõ äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, ñîäåðæàëèñü îñíîâíûå ïðèíöèïû, ïðèãîäíûå äëÿ àíàëèçà çàäà÷ â óêàçàííîì áîëåå îáùåì ñëó÷àå. Æåëàíèå ðàñøèðèòü ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè èäåé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà òàêæå áûëî îäíîé èç ïðè÷èí ðàçðàáîòêè òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé.

0.4

Îáçîð îñíîâíûõ êîíñòðóêöèé, ðåçóëüòàòîâ è âûâîäîâ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé

Èñõîäíîé öåëüþ èññëåäîâàíèé, ðåçóëüòàòû êîòîðûõ ïðåäñòàâëåíû â íàñòîÿùåé ðàáîòå, áûëî ñîçäàíèå ÿçûêà, ïðèãîäíîãî äëÿ îïèñàíèÿ òî÷íîé ïîñòàíîâêè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, ðàñïîçíàâàíèÿ, ïðîãíîçèðîâàíèÿ è ò.ï., ò.å. â îáùåì ñëó÷àå  çàäà÷ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Îñíîâíûìè ïðè ýòîì áûëè ñëåäóþùèå ñîîáðàæåíèÿ: ïðè ðåøåíèè îòäåëüíûõ çàäà÷ èëè êëàññîâ çàäà÷ ¾âíåøíèìè¿ ïî îòíîøåíèþ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó àïïàðàòó ñîîáðàæåíèÿìè è îáñòîÿòåëüñòâàìè îïðåäåëÿþòñÿ ìíîæåñòâà Ii íà÷àëüíûõ è If ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé, ò.å. ìíîæåñòâà ïîòåíöèàëüíî âîçìîæíûõ âõîäíûõ è âûõîäíûõ äàííûõ äëÿ èñêîìîãî àëãîðèòìà (àëãîðèòì äîëæåí ðåàëèçîâûâàòü îòîáðàæåíèå èç Ii â If ); ñòðóêòóðíàÿ èíôîðìàöèÿ, ò.å. èíôîðìàöèÿ î òîì, êàêèì óñëîâèÿì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü èñêîìûé àëãîðèòì, ìîæåò áûòü âûðàæåíà â âèäå ñèñòåìû îãðàíè÷åíèé, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðåàëèçóåìîå àëãîðèòìîì îòîáðàæåíèå. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûé ÿçûê äîëæåí ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñðåäñòâî äëÿ îïèñàíèÿ è èññëåäîâàíèÿ îãðàíè÷åíèé íà ìíîæåñòâà îòîáðàæåíèé èç ïðîñòðàíñòâà Ii â ïðîñòðàíñòâî If . Ðàíåå óæå ãîâîðèëîñü, ÷òî â ñëó÷àå çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ïðåöåäåíòíàÿ èíôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îãðàíè÷åíèÿ, âûðàæàåìîãî ðàâåíñòâîì (0.2.1). Ïîìèìî ýòîãî îãðà-

15

íè÷åíèÿ ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ îá îáùèõ ñâîéñòâàõ îòîáðàæåíèé, êîòîðûå äîëæíû ðåàëèçîâûâàòü èñêîìûå àëãîðèòìû. Òàêàÿ èíôîðìàöèÿ ìîæåò, íàïðèìåð, âûðàæàòüñÿ óñëîâèåì òèïà ¾âñå ðàññìàòðèâàåìûå îáúåêòû îäíîðîäíû è äàííûå î íèõ íåçàâèñèìû¿ è ò.ï. Ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå ñóùåñòâåííîå ðàçëè÷èå ìåæäó ïðåöåäåíòíûìè è îáùèìè îãðàíè÷åíèÿìè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïåðâûå æåñòêî ñâÿçàíû ñ ïðîñòðàíñòâàìè Ii è If è ïîòîìó ðàññìàòðèâàþòñÿ è èñïîëüçóþòñÿ ëèøü äëÿ ¾öåëûõ¿ àëãîðèòìîâ. Âòîðûå æå ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ íå òîëüêî ê ¾öåëîìó¿ àëãîðèòìó, íî è ïî-îòäåëüíîñòè ê àëãîðèòìè÷åñêèì îïåðàòîðàì, êîððåêòèðóþùèì îïåðàöèÿì è ðåøàþùèì ïðàâèëàì. Êðàéíå âàæíî ïðè ýòîì, ÷òî ïðåöåäåíòíûå îãðàíè÷åíèÿ ¾êîíå÷íû¿, ò.å. åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èñêîìûé àëãîðèòì ïîñòðîåí êàê ¾÷åðíûé ÿùèê¿, òî çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ìîæíî óñòàíîâèòü, óäîâëåòâîðÿåò ëè ðåàëèçóåìîå àëãîðèòìîì îòîáðàæåíèå ýòèì îãðàíè÷åíèÿì. Äîïîëíèòåëüíûå ê ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèÿ îáùåãî õàðàêòåðà ìîãóò â ïðèíöèïå è íå äîïóñêàòü òàêîé ýôôåêòèâíîé ïðîâåðêè. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî òàêèå îãðàíè÷åíèÿ íå òîëüêî ìîãóò, íî è ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè âûáîðå èëè ñèíòåçå ñîñòàâëÿþùèõ èñêîìûé àëãîðèòì àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùåãî ïðàâèëà, ÷òîáû ¾öåëûé¿ àëãîðèòì óäîâëåòâîðÿë ýòèì îãðàíè÷åíèÿì ¾ïî ïîñòðîåíèþ¿. Èìåííî â ñèëó èõ îáùåãî õàðàêòåðà îáñóæäàåìûå îãðàíè÷åíèÿ áûëè íàçâàíû óíèâåðñàëüíûìè. Îòìåòèì, ÷òî âûøåñêàçàííîå îòíîñèòñÿ íå òîëüêî ê çàäà÷àì è àëãîðèòìàì êëàññèôèêàöèè, íî è ê îáùèì çàäà÷àì ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Ïî ñàìîé ñâîåé ñóòè ïðåöåäåíòíûå îãðàíè÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ òîëüêî ëèøü â ñâÿçè è ïî îòíîøåíèþ ê äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèÿì.  ñèëó ýòîãî èìåííî óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ îêàçûâàþòñÿ îñíîâíûì ïðåäìåòîì ðàññìîòðåíèÿ. Äëÿ èõ îïèñàíèÿ â ðàáîòå ðàçâèâàåòñÿ ïîäõîä, ïðè êîòîðîì â êà÷åñòâå ôîðìàëüíîãî ýêâèâàëåíòà ïîíÿòèÿ ¾ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé¿ èñïîëüçóþòñÿ íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå êàòåãîðèè è èçó÷åíèå óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ñâîäèòñÿ òàêèì îáðàçîì ê èçó÷åíèþ òàêèõ êàòåãîðèé. Ñóùåñòâåííî, ÷òî ââåäåíèå ïîíÿòèÿ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè íåîáõîäèìîå óòî÷íåíèå ïîñòàíîâêè çàäà÷: ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è, â êîòîðûõ èñõîäíàÿ èíôîðìàöèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ðàâíîïðàâíûõ ÷àñòåé, âûðàæåííûõ â âèäå óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ (ïðåöåäåíòíûõ) îãðàíè÷åíèé. Ýòî ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ïðîáëåìó ðåãóëÿðíîñòè è ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ êàê ïðîáëåìó êîððåêòíîñòè ïîñòàíîâêè, ò.å. íåïðîòèâîðå÷èâîñòè óíèâåðñàëüíîé è ëîêàëüíîé ÷àñòåé èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè.  ðàáîòå ïîâåäåíî ýòî èññëåäîâàíèå è ïîëó÷åí îáùèé íåîáõîäèìûé è äîñòàòî÷íûé êðèòåðèé ðåãóëÿðíîñòè. Îïèñàííûé è îñòàëüíûå ¾âíåøíèå¿ ðåçóëüòàòû ðàáîòû áàçèðóþòñÿ íà åäèíîì ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå èññëåäîâàíèÿ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé è èõ ñâÿçè ñ ëîêàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Ðàçâèòèþ òàêîãî àïïàðàòà ïîñâÿùåíû îñíîâíûå òåõíè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ. Îí îñíîâàí íà ââåäåíèè è èçó÷åíèè òàê íàçûâàåìûõ áàç êàòåãîðèé, âûðàæàþùèõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ (ïîíÿòèå áàçû àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ ìíîæåñòâà â ëèíåéíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå, ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì, òîëüêî 16

âìåñòî ëèíåéíûõ îïåðàöèé ðàññìàòðèâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ). Îñíîâíûå ïîñòðîåíèÿ â ðàáîòå ïðîâåäåíû íà òðåõ ðàçëè÷íûõ óðîâíÿõ îáùíîñòè. Âîïåðâûõ, ðàññìîòðåíû îáùèå çàäà÷è ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Âîâòîðûõ, ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû äëÿ îáùèõ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè è, â ÷àñòíîñòè, äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé. Íàêîíåö, â-òðåòüèõ, âûäåëåíû è èññëåäîâàíû äâà êîíêðåòíûõ êëàññà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé (ñèììåòðè÷åñêèå è ôóíêöèîíàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ) è èõ èçó÷åíèå äîâåäåíî äî ðåçóëüòàòîâ, íåïîñðåäñòâåííî ïðèëîæèìûõ ê êîíêðåòíûì çàäà÷àì è ñåìåéñòâàì îòîáðàæåíèé. Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïðîÿâëÿåòñÿ îáùàÿ çàêîíîìåðíîñòü: ÷åì ìåíåå îáùàÿ ñèòóàöèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ, òåì áîëåå áîãàòûé ñïåêòð ðåçóëüòàòîâ óäàåòñÿ ïîëó÷èòü. Èòàê, ïåðâûì ¾âûõîäîì¿ òåîðèèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé îêàçûâàåòñÿ îáùèé íåîáõîäèìûé è äîñòàòî÷íûé êðèòåðèé ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, êîòîðûé ñ èñïîëüçîâàíèåì òåõíè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ ñâîäèòñÿ äëÿ îòäåëüíûõ êîíêðåòíûõ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé (êàòåãîðèé) ê ëåãêî ïðîâåðÿåìûì íà ïðàêòèêå óñëîâèÿì. Ñëåäóþùèì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ îêàçûâàþòñÿ, åñòåñòâåííî, ìîäåëè àëãîðèòìîâ, ò.å. ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé èç Ii â If . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî òàêèå ìîäåëè ðàçðàáàòûâàþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ öåëûõ êëàññîâ çàäà÷, èõ ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü â ñèòóàöèè, êîãäà çàôèêñèðîâàíà íåêîòîðàÿ ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Äëÿ òàêîãî ñëó÷àÿ îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîëó÷åíèå êðèòåðèÿ ïîëíîòû ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. Ìîäåëü, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì ïîëíîòû, äîïóñêàåò ðåøåíèå â ñâîèõ ðàìêàõ âñåõ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ ñ äàííîé ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé è, òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ â ýòîì ñìûñëå ïðèíöèïèàëüíî íåóëó÷øàåìîé â êëàññå ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòèì óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì. Êðèòåðèè ïîëíîòû äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, êàê è îñòàëüíûå êðèòåðèè, î êîòîðûõ áóäåò èäòè ðå÷ü, ïîëó÷åíû â ðàáîòå êàê íà îáùåì óðîâíå, òàê è äëÿ êîíêðåòíûõ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñâîéñòâî ïîëíîòû ìîäåëåé àëãîðèòìîâ öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ò.å. â êîíå÷íîì ñ÷åòå  èçó÷àåìûì êëàññîì çàäà÷. Ïîýòîìó è âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü óòâåðæäàòü, ÷òî ïîëíûå ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîì ñìûñëå ñëîâà ýêñòðåìàëüíûìè îáúåêòàìè: ëþáûå èçìåíåíèÿ è ðàñøèðåíèÿ òàêèõ ìîäåëåé (íå íàðóøàþùèå, êîíå÷íî, óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ) íå ìîãóò ïðèâåñòè ê ðàñøèðåíèþ ìíîæåñòâà ðåãóëÿðíûõ çàäà÷. Ýòî æå çàìå÷àíèå îòíîñèòñÿ è ê îáñóæäàåìûì íèæå ïîëíûì ìîäåëÿì àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâàì êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ïîñêîëüêó àëãîðèòìû ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå ñòðîÿòñÿ êàê ñóïåðïîçèöèè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë, òî èç êðèòåðèÿ ïîëíîòû ìîäåëåé àëãîðèòìîâ îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì âûâåñòè è ñîîòâåòñòâóþùèå îòäåëüíûå êðèòåðèè äëÿ ñåìåéñòâ òàêèõ îòîáðàæåíèé. Èìåííî òàêèì îáðàçîì â ðàáîòå ïîëó÷åíû êðèòåðèè ïîëíîòû äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, à òàêæå ïîíÿòèå êîððåêòíîñòè ñåìåéñòâ ðåøàþùèõ ïðàâèë. Èòàê, äëÿ êàæäîé ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé âîçíèêàåò ñèñòåìà âçàèìî17

ñâÿçàííûõ îïðåäåëÿþùèõ ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà êðèòåðèåâ äëÿ îòäåëüíûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, ó÷àñòâóþùèõ â ôîðìèðîâàíèè èñêîìûõ àëãîðèòìîâ. Ïðè ýòîì êðèòåðèè îêàçûâàþòñÿ íå òîëüêî äîñòàòî÷íûìè, íî è íåîáõîäèìûìè óñëîâèÿìè, ÷òî îáåñïå÷èâàåò îêîí÷àòåëüíîñòü ïîëó÷àåìûõ íà èõ áàçå ðåçóëüòàòîâ â êîíêðåòíûõ ñèòóàöèÿõ. Ïðåäñòàâëÿåòñÿ òàêæå âàæíûì, ÷òî íàëè÷èå îòäåëüíûõ êðèòåðèåâ äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü èõ àâòîíîìíîãî èññëåäîâàíèÿ. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ðåçóëüòàòû äëÿ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ïîëó÷åíû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ïðîñòðàíñòâ îöåíîê è ïðîèçâîëüíûõ æå ñåìåéñòâ òàêèõ îïåðàöèé (ëèíåéíûå è ïîëèíîìèàëüíûå îïåðàöèè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè).  ðàáîòå ââåäåíû è èçó÷åíû êëàññû ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè. Ýòè êëàññû õàðàêòåðèçóþòñÿ òåì, ÷òî äîïóñêàþò äîñòàòî÷íî äåòàëüíîå èññëåäîâàíèå è, â òî æå âðåìÿ, ÿâëÿþòñÿ âåñüìà îáùèìè â òîì ñìûñëå, ÷òî ïîëó÷åííûå äëÿ íèõ ðåçóëüòàòû îêàçûâàþòñÿ äîñòàòî÷íûìè äëÿ èçó÷åíèÿ áîëüøèíñòâà ðàíåå ðàññìàòðèâàâøèõñÿ êëàññîâ çàäà÷ è àëãîðèòìîâ. Èçó÷åíèå ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ïîçâîëèëî ðàçðàáîòàòü êîíêðåòíûå ñõåìû èññëåäîâàíèÿ ìîäåëåé àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ïðèìåíåíèå òàêèõ ñõåì ïðèâåëî ê íîâûì äîêàçàòåëüñòâàì íåêîòîðûõ ðàíåå èçâåñòíûõ êîíêðåòíûõ ôàêòîâ è ê ïîëó÷åíèþ ñåðèè íîâûõ ðåçóëüòàòîâ îá îòäåëüíûõ ìîäåëÿõ àëãîðèòìîâ è ñåìåéñòâàõ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé.  ÷àñòíîñòè, îïèñàííûì ñïîñîáîì áûëè èññëåäîâàíû ñòðóêòóðû ïîäìîäåëåé R-, Π- è Γ-ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è â ýòèõ ñòðóêòóðàõ áûëè âûäåëåíû ìèíèìàëüíûå ïî ñëîæíîñòè ïîäìîäåëè, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì ïîëíîòû. Òàêèì æå îáðàçîì áûëà ïîëó÷åíà òî÷íàÿ óíèâåðñàëüíàÿ ãðàíèöà ñòåïåíè ïîëèíîìèàëüíûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ýòè ðåçóëüòàòû ìîæíî, âèäèìî, ñ÷èòàòü êîñâåííûì ñëåäñòâèåì òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ïîñêîëüêó èõ ïîÿâëåíèå â áîëüøîé ñòåïåíè îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðèìåíåíèå íàéäåííûõ â ðàìêàõ òåîðèè êðèòåðèåâ ïîëíîòû îêàçûâàåòñÿ ïî ñóòè äåëà òåõíè÷åñêèì óïðàæíåíèåì (ðàíåå, ñêàæåì, èññëåäîâàíèå ëþáîé ïîäìîäåëè êàæäîé èç ðàññìîòðåííûõ ìîäåëåé áûëî äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ðàáîòîé). Òàê ÷òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî èìåííî ïðîñòîòà èñïîëüçîâàíèÿ êðèòåðèåâ ïîëíîòû ïîçâîëÿåò ñòàâèòü è ïîëó÷àòü îòâåòû íà âîïðîñ î ìèíèìàëüíîé íåîáõîäèìîé ñëîæíîñòè ñåìåéñòâ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîñòè è íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûå ñ íèì ïîíÿòèÿ ïîëíîòû èñïîëüçóþòñÿ â àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå ïðåèìóùåñòâåííî äëÿ àíàëèçà ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåí îáùèé âçãëÿä íà ýòîò àñïåêò àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ïîçâîëÿþùèé ðàññìàòðèâàòü ðåãóëÿðíîñòü è ðàçðåøèìîñòü â ðàìêàõ íåêîòîðîé åäèíîé ñõåìû. Êðîìå òîãî, ïðîâåäåíî ñðàâíèòåëüíîå èçó÷åíèå ðåãóëÿðíîñòè è ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ ñ ñèììåòðè÷åñêèìè è ôóíêöèîíàëüíûìè óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Ïðè ýòîì âûÿñíÿåòñÿ íåñêîëüêî íåîæèäàííûé ôàêò: íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè äëÿ ñèììåòðè÷åñêîãî è ôóíêöèîíàëüíîãî ñëó÷àåâ ÷ðåçâû÷àéíî áëèçêè, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ðàçðåøèìîñòè ðåçóëüòàòû êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íû. 18

Èñïîëüçîâàíèå ïîëíûõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ñîâìåñòíî ñ ïðîèçâîëüíûì êîððåêòíûì ðåøàþùèì ïðàâèëîì ãàðàíòèðóåò ïîñòðîåíèå ïîëíîãî ñåìåéñòâà àëãîðèòìîâ. Ïðè ýòîì, îäíàêî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåðíû ñëåäóþùèå òðè óòâåðæäåíèÿ:

• åñëè ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ íå ïîëíà, òî è ìîäåëü àëãîðèòìîâ íå ïîëíà; • åñëè ðåøàþùåå ïðàâèëî íå êîððåêòíî, òî ìîäåëü àëãîðèòìîâ íå ïîëíà; • èç òîãî, ÷òî ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé íå ïîëíî, íå âûòåêàåò, âîîáùå ãîâîðÿ, íåïîëíîòà ìîäåëè àëãîðèòìîâ. Ïîñëåäíåå ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ñåìåéñòâî àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ ñ ñàìîãî íà÷àëà ìîæåò îêàçàòüñÿ íàñòîëüêî áîãàòûì, ÷òî ïðèìåíåíèå â ïîëíîì îáúåìå ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, ðàñøèðÿþùåãî ïî ñóòè äåëà ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, ìîæåò îêàçàòüñÿ íå íóæíûì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü âàæíûé âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ñèíòåçà â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ ïîëíûõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì íåïîëíûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Èç âûøåñêàçàííîãî ëåãêî çàêëþ÷èòü, ÷òî îáîñíîâàíèå èñïîëüçîâàíèÿ íåïîëíûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé äîëæíî áàçèðîâàòüñÿ íà íàëîæåíèè áîëåå æåñòêèõ ÷åì ïîëíîòà òðåáîâàíèé íà ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ.  ðàáîòå ïðîâåäåíî êîíêðåòíîå èññëåäîâàíèå òàêîãî òèïà, ïîçâîëèâøåå óñòàíîâèòü ïîíèæåííóþ òî÷íóþ ãðàíèöó ñòåïåíè ïîëèíîìèàëüíûõ ðàñøèðåíèé äëÿ øèðîêîãî êëàññà ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, âêëþ÷àþùåãî, íàïðèìåð, ÀÂÎ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âàæíûå ðåçóëüòàòû î ñòåïåíÿõ ïîëèíîìèàëüíûõ ðàñøèðåíèé áûëè ðàíåå ïîëó÷åíû â [105, 107, 119]. Èòàê, â ðàìêàõ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé óäàåòñÿ ïîëó÷èòü îòâåòû íà âîïðîñû, ïîñòàâëåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå: óòî÷íÿåòñÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷; óñòàíàâëèâàþòñÿ íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè çàâèñÿùèå îò èñõîäíîé ðåàëüíîé èíôîðìàöèè; âûâîäÿòñÿ êðèòåðèè ïîëíîòû, ïîçâîëÿþùèå ïðîâîäèòü àâòîíîìíûå èññëåäîâàíèÿ âñåõ èñïîëüçóåìûõ ïðè ñèíòåçå àëãîðèòìîâ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé; îáåñïå÷èâàåòñÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé; ðåøàåòñÿ ïðîáëåìà âëèÿíèÿ âàðèàöèé èñïîëüçóåìûõ ýâðèñòè÷åñêèõ ñåìåéñòâ íà èõ ïðèìåíèìîñòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷; îáëàñòü ïðèëîæåíèÿ èäåé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ðàñøèðÿåòñÿ äî óðîâíÿ îáùèõ çàäà÷ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè.

0.5

Ñîäåðæàíèå ðàáîòû ïî ãëàâàì

 ãëàâå 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ î ïîñòàíîâêå çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ êàê ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ îáùèõ çàäà÷ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Ïðè ýòîì âûäåëÿþòñÿ çàäà÷è êëàññèôèêàöèè è çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñî ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Äàëåå ïîäðîáíî îáñóæäàåòñÿ ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ðàñøèðåíèé çàäàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, ò.å. íà îñíîâíîé êîíñòðóêöèè àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà. 19

Ïîñëå îïèñàíèÿ è îáñóæäåíèÿ ïîñòàíîâîê çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ êàê çàäà÷ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ, ðåàëèçóþùèõ îòîáðàæåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå îãðàíè÷åíèÿì, â âèäå êîòîðûõ ïðåäñòàâëåíà âñÿ èìåþùàÿñÿ ðåàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ î ïðîáëåìíîé îáëàñòè, ïðîâîäèòñÿ íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå îáñóæäåíèå ñâîéñòâ òàêèõ îãðàíè÷åíèé, îáåñïå÷èâàþùèõ âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ êîíñòðóêöèé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà. Äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ öåíòðàëüíûé äëÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè, ïðè÷åì îïèñûâàåòñÿ êîíñòðóêöèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ èçó÷àòü öåëûé ñïåêòð ðàçëè÷íûõ ïîíÿòèé ðàçðåøèìîñòè (ðåãóëÿðíîñòè), âîçíèêàþùèõ ïðè ôîðìàëèçàöèè òåõ èëè èíûõ äîïîëíèòåëüíûõ òðåáîâàíèé ê ïðîöåññó ðåøåíèÿ çàäà÷. Ãëàâà 1 çàâåðøàåòñÿ óòî÷íÿþùèì ñîäåðæàíèå ïàðàãðàôà 0.3 îáçîðîì îñíîâíûõ ïðîáëåì àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ðåøàåìûõ â ðàìêàõ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé.  ãëàâå 2 ââîäèòñÿ è èçó÷àåòñÿ ãëàâíîå äëÿ íàñòîÿùåé ðàáîòû ïîíÿòèå  ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Ýòî ïîíÿòèå îïèñûâàåòñÿ ñíà÷àëà íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå, ïîòîì ïðîâîäèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìàëèçàöèÿ è ðàññìàòðèâàþòñÿ ñâîéñòâà ïîëó÷åííûõ îáúåêòîâ  äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé. Ââåäåííûå äëÿ îáùèõ çàäà÷ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äàëåå èçó÷àþòñÿ áîëåå ïîäðîáíî äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè, ïðè÷åì ñ ó÷åòîì ñòàâøåãî êëàññè÷åñêèì ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå ïîíÿòèÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷. Ýòî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ñâîéñòâà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, íåîáõîäèìîãî äëÿ àäåêâàòíîãî èçó÷åíèÿ ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè. Ýòî ñâîéñòâî (ïîëíîòà êàòåãîðèé) â ñî÷åòàíèè ñî ñâîéñòâîì äîïóñòèìîñòè òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ â ãëàâå 2. Ãëàâà çàâåðøàåòñÿ ïðèìåðàìè ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Òðåòüÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà ïîäðîáíîìó ðàññìîòðåíèþ êîíñòðóêöèé è ðåçóëüòàòîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê àíàëèçó ïîñòàíîâîê çàäà÷ êëàññèôèêàöèè è ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ (îòîáðàæåíèé), èñïîëüçóåìûõ äëÿ èõ ðåøåíèÿ.  ýòîé ãëàâå ïîëó÷åíû îñíîâíûå îáùèå ðåçóëüòàòû ðàáîòû  êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ è ïîëíîòû ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ïðè ýòîì ðàññìîòðåíèå ïðîâåäåíî ñíà÷àëà íà àáñòðàêòíîì óðîâíå ïóòåì èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ îïðåäåëåííûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, à ïîòîì óñòàíîâëåíà ñâÿçü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ ïðîöåññîì ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè.  ãëàâå 4 îïèñàíû è èçó÷åíû äâà âàæíûõ êîíêðåòíûõ êëàññà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ è àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè  ñèñòåìû ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Ïðè ýòîì èõ èçó÷åíèå äîâåäåíî äî óðîâíÿ, îáåñïå÷èâàþùåãî âîçìîæíîñòü íåïîñðåäñòâåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïîëó÷åííûõ êðèòåðèåâ ïðè èññëåäîâàíèè ðåàëüíî èñïîëüçóåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. Ãëàâà 5 äåìîíñòðèðóåò ìåòîäèêó ïðèìåíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà ïðèìåðàõ èçó÷åíèÿ íàèáîëåå èçâåñòíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ïðè ýòîì âîçíèêàþò êàê íîâûå äîêàçàòåëüñòâà ðàíåå èçâåñòíûõ ôàêòîâ îá ýòèõ ñåìåéñòâàõ, òàê è íîâûå ðåçóëüòàòû, ïðè÷åì èìåþùèå îêîí÷àòåëüíûé õàðàêòåð.  ãëàâå 6 ïðèâåäåíû äîïîëíèòåëüíûå ðåçóëüòàòû î ðàññìîòðåííûõ â ïðåäûäóùèõ 20

ãëàâàõ ñèñòåìàõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, óòî÷íÿþùèå ñâÿçü ìåæäó ïîíÿòèÿìè ðàçðåøèìîñòè è ðåãóëÿðíîñòè, ïðîäåìîíñòðèðîâàíà âîçìîæíîñòü èçó÷åíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ íåïîëíûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé (÷òî ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ïîíèæåííóþ ãðàíèöó íåîáõîäèìîé ñòåïåíè äëÿ îïåðàòîðîâ ïîëèíîìèàëüíîãî òèïà) è ðàññìîòðåíû â ðàìêàõ îñíîâíûõ êîíñòðóêöèé äâà âàæíûõ ñåìåéñòâà çàäà÷ è àëãîðèòìîâ, íå âõîäÿùèõ â ïîäðîáíî èçó÷åííûå â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ êëàññû. Áëàãîäàðíîñòè

Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ ïðèçíàòåëüíîñòü âñåì ñâîèì êîëëåãàì  ñïåöèàëèñòàì â îáëàñòè òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ èç îòäåëà ïðîáëåì ðàñïîçíàâàíèÿ è ìåòîäîâ êîìáèíàòîðíîãî àíàëèçà ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ è äðóãèõ íàó÷íûõ îðãàíèçàöèé çà äîáðîæåëàòåëüíîå è â òî æå âðåìÿ êîíñòðóêòèâíî-êðèòè÷åñêîå îòíîøåíèå ê åãî ðåçóëüòàòàì, ÷òî â îñîáåííîñòè ñòèìóëèðîâàëî îñìûñëèâàíèå ñîäåðæàòåëüíûõ îáîñíîâàíèé ââåäåííûõ êîíñòðóêöèé. ×óâñòâî ãëóáî÷àéøåé áëàãîäàðíîñòè àâòîð âûðàæàåò ñâîåìó Ó÷èòåëþ ñî ñòóäåí÷åñêèõ ëåò ÷ëåíóêîððåñïîíäåíòó ÀÍ ÑÑÑÐ Þðèþ Èâàíîâè÷ó Æóðàâëåâó, êîòîðûé, çàëîæèâ îñíîâû àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ñ íåèçìåííûì òàêòîì è âíèìàíèåì îòíîñèëñÿ ê ïîïûòêàì àâòîðà ñòàâèòü è ðåøàòü ¾îáùåòåîðåòè÷åñêèå¿ âîïðîñû, ÷òî è ïðèâåëî ê íàïèñàíèþ íàñòîÿùåé ðàáîòû.

21

Ãëàâà 1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷ è îïèñàíèå îñíîâíûõ êîíñòðóêöèé 1.1

Îáùèå çàäà÷è ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè è çàäà÷è êëàññèôèêàöèè (ïîñòàíîâêà ÷åðåç îãðàíè÷åíèÿ)

 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ñèíòåçà àëãîðèòìîâ, ïðåîáðàçóþùèõ íà÷àëüíûå (èñõîäíûå, âõîäíûå) äàííûå â ôèíàëüíûå (âûõîäíûå) äàííûå. Ïðè ïîñòàíîâêå òàêèõ çàäà÷ ïðåæäå âñåãî, êîíå÷íî, äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ìíîæåñòâà òàêèõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ äàííûõ. Îáñóæäàÿ íà îáùåì óðîâíå îñíîâíûå èäåè àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ó ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ âõîäíûå äàííûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà Ii , íàçûâàÿ ýòî ìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâîì âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé, à âûõîäíûå  ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà If , íàçûâàÿ åãî ïðîñòðàíñòâîì âîçìîæíûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé. Îòìåòèì, ÷òî ïîêà äëÿ íàñ Ii è If  ïðîñòî àáñòðàêòíûå ìíîæåñòâà è ÷òî îáîçíà÷åíèÿ Ii è If â ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ êàê åäèíûå ñèìâîëû òèïà sin, max è ò.ï. Ïîñòàíîâêè êîíêðåòíûõ çàäà÷ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ, êîíå÷íî, êðîìå îïèñàíèé ìíîæåñòâ Ii è If îïèñàíèÿ òðåáîâàíèé, êîòîðûì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü èñêîìûé àëãîðèòì.  ðåàëüíûõ ñèòóàöèÿõ òàêèå òðåáîâàíèÿ ìîãóò îòíîñèòüñÿ êàê ê îòîáðàæåíèþ èç Ii â If , ðåàëèçóåìîìó àëãîðèòìîì-ðåøåíèåì, òàê è ê îñîáåííîñòÿì ñîáñòâåííî àëãîðèòìà, ñâÿçàííûì, íàïðèìåð, ñî ñâîéñòâàìè êîíêðåòíîãî âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà, íà êîòîðîì îí äîëæåí áûòü ðåàëèçîâàí.  íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñëó÷àè, êîãäà âñå òðåáîâàíèÿ îòíîñÿòñÿ òîëüêî ê îòîáðàæåíèþ èç Ii â If .  ñâÿçè ñ ýòèì äàëåå ÷àñòî íå áóäåò äåëàòüñÿ ðàçëè÷èÿ ìåæäó àëãîðèòìàìè è ðåàëèçóåìûìè èìè îòîáðàæåíèÿìè. Ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç Ii â If áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëîì M∗ , ò.å. M∗ = { A | A : I i → I f }. Èòàê, ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìà A, ðåàëèçóþùåãî îòîáðàæåíèå A èç Ii â If , óäîâëåòâîðÿþùåå íåêîòîðîé ñèñòåìå òðåáîâàíèé Is . Îòìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî ñèñòåìû òðåáîâàíèé ê îòîáðàæåíèÿì ðàññìàòðèâàþòñÿ 22

êàê ðåàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ, íà áàçå êîòîðîé äîëæåí áûòü ïîñòðîåí àëãîðèòì, ïðè÷åì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íèêàêîé èíîé èíôîðìàöèè â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè íåò. Èíôîðìàöèþ î òðåáóåìûõ ñâîéñòâàõ àëãîðèòìà áóäåì íàçûâàòü ñòðóêòóðíîé â îòëè÷èå îò íà÷àëüíîé (ýëåìåíòîâ Ii ) è ôèíàëüíîé (ýëåìåíòîâ If ). Âûñêàçàííîå ïîëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ îñîáåííîñòüþ ïîäõîäà, â ðàìêàõ êîòîðîãî íàïèñàíà äàííàÿ ðàáîòà, îòëè÷àþùåé åãî îò ìíîãèõ àëüòåðíàòèâíûõ ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ, îñíîâàííûõ íà ïðèíÿòèè òðåáîâàíèé ê ðåøåíèþ, âûòåêàþùèõ èç ðàçëè÷íûõ äîïîëíèòåëüíûõ ãèïîòåç î ïðîáëåìíûõ îáëàñòÿõ. Åùå îäíà îñîáåííîñòü  ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå òðåáîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ òî÷íûìè â ñëåäóþùåì ñìûñëå: äëÿ êàæäîãî îòîáðàæåíèÿ A èç M∗ îíè ëèáî âûïîëíåíû, ëèáî íåò. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ñòðóêòóðíàÿ èíôîðìàöèÿ îêàçûâàåòñÿ ïî ñóòè äåëà îïèñàíèåì ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà îòîáðàæåíèé M∗ , êîòîðîå áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ M[Is ]. Òàêèì îáðàçîì ñòðóêòóðíàÿ èíôîðìàöèÿ Is ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñèñòåìà îãðàíè÷åíèé, âûäåëÿþùàÿ èç ìíîæåñòâà îòîáðàæåíèé M∗ ïîäìíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòèì îãðàíè÷åíèÿì îòîáðàæåíèé M[Is ]. Èç âûøåñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîñòàíîâêè èçó÷àåìûõ çàäà÷ ñâîäÿòñÿ ê îïèñàíèþ ìíîæåñòâ Ii è If è ê ôèêñàöèè ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè Is . Îòîáðàæåíèÿ èç M[Is ] íàçûâàþòñÿ ïðè ýòîì äîïóñòèìûìè äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è, à àëãîðèòìû, ðåàëèçóþùèå äîïóñòèìûå îòîáðàæåíèÿ,  êîððåêòíûìè äëÿ ýòîé çàäà÷è. Êîððåêòíûå àëãîðèòìû ñ÷èòàþòñÿ èñêîìûìè ðåøåíèÿìè. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðåøåíèåì ïðèçíàåòñÿ ëþáîé àëãîðèòì, ðåàëèçóþùèé ëþáîå äîïóñòèìîå îòîáðàæåíèå èç ïîäìíîæåñòâà M[Is ]. Ïîñêîëüêó íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòî ïîäìíîæåñòâî îäíîýëåìåíòíî, òî ðåøåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå åäèíñòâåííî (íå ãîâîðÿ óæå î òîì, ÷òî è êîíêðåòíîå äîïóñòèìîå îòîáðàæåíèå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî ðàçíûìè àëãîðèòìàìè, è âñå îíè áóäóò êîððåêòíûìè äëÿ äàííîé çàäà÷è). Íååäèíñòâåííîñòü ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ñëåäñòâèåì ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî àáñîëþòíî âñÿ ðåàëüíî èçâåñòíàÿ èíôîðìàöèÿ îá èñêîìîì àëãîðèòìå âûðàæåíà ñèñòåìîé îãðàíè÷åíèé Is . Ýòà æå èíôîðìàöèÿ â ïðàêòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ, êàê ïðàâèëî, íåïîëíà â òîì ñìûñëå, ÷òî îíà ïîçâîëÿåò ëèøü îïðåäåëèòü íåêîòîðûå ãðàíèöû äëÿ ïîèñêà ðåøåíèÿ, íî íå îïðåäåëÿåò ðåøåíèå ñ àáñîëþòíîé òî÷íîñòüþ. Íà óðîâíå îáùåé ïîñòàíîâêè ñîîòíîøåíèå ìåæäó îáû÷íûì ïîäõîäîì, îñíîâàííûì íà èñïîëüçîâàíèè ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé, è àëãåáðàè÷åñêèì ïîäõîäîì âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ïåðâîì ñëó÷àå çàðàíåå ôèêñèðóåòñÿ ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé (àëãîðèòìîâ) M ⊆ M∗ è â åãî ðàìêàõ èùåòñÿ îòîáðàæåíèå, ïðèíàäëåæàùåå ïåðåñå÷åíèþ M ∩ M[Is ], ëèáî áëèçêîå â êàêîì-òî ñìûñëå ê ìíîæåñòâó M[Is ] (òàê ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ î âèäå àäåêâàòíûõ îöåíîê áëèçîñòè èëè ðàññòîÿíèé ìåæäó îòîáðàæåíèÿìè èç M∗ ). Ïðè àëãåáðàè÷åñêîì æå ïîäõîäå ðåãóëÿðíûì è öåëåíàïðàâëåííûì îáðàçîì ñòðîÿòñÿ ðàñøèðåíèÿ M+ ýâðèñòè÷åñêîé ìîäåëè M òàê, ÷òîáû ïåðåñå÷åíèå M+ ∩ M[Is ] áûëî íåïóñòî è, áîëåå òîãî, òàê, ÷òîáû â ÿâíîì âèäå áûë ïîñòðîåí àëãîðèòì, êîððåêòíûé äëÿ çàäà÷è, ò.å. ðåàëèçóþùèé îòîáðàæåíèå èç ïåðåñå÷åíèÿ M+ ∩ M[Is ]. Ðàñìîòðèì òåïåðü áîëåå ïîäðîáíî çàäà÷è è àëãîðèòìû êëàññèôèêàöèè. Êàê óæå ãîâî23

ðèëîñü âî ââåäåíèè, â òàêèõ çàäà÷àõ èçó÷àåòñÿ ìíîæåñòâî S, ýëåìåíòû S êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ äîïóñòèìûìè îáúåêòàìè èëè æå ïðîñòî îáúåêòàìè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ìíîæåñòâå S èìåþòñÿ ïîäìíîæåñòâà K1 , . . . , Kl , íàçûâàåìûå êëàññàìè. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü l ïðîèçâîëüíûì ôèêñèðîâàííûì (äëÿ çàäà÷è èëè êëàññà çàäà÷, ÷òî áóäåò ÿñíî èç êîíòåêñòà) íàòóðàëüíûì ÷èñëîì. Öåëüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå àëãîðèòìà, ðåøàþùåãî íà îñíîâå íåêîòîðîé èíôîðìàöèè âîïðîñ î ïðèíàäëåæíîñòè îòäåëüíûõ îáúåêòîâ èëè ãðóïï îáúåêòîâ êëàññàì. Ñ÷èòàåòñÿ òàêæå, ÷òî îïðåäåëåíû ìíîæåñòâà I è e I, íàçûâàåìûå ïðîñòðàíñòâàìè äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé ñîîòâåòñòâåííî. Ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ýëåìåíòû ìíîæåñòâà I ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîâìåñòíûå îïèñàíèÿ îáúåêòîâ è êëàññîâ, êîòîðûå â ïðîöåññå ðàáîòû áóäóò äîñòóïíû èñêîìîìó àëãîðèòìó. Ýëåìåíòû æå ìíîæåñòâà e I ÿâëÿþòñÿ âîçìîæíûìè ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îòâåòàìè íà âîïðîñ î ïðèíàäëåæíîñòè îáúåêòîâ êëàññàì. Íàêîíåö, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äëÿ âñåõ èññëåäóåìûõ îáúåêòîâ è êëàññîâ èçâåñòíû çàðàíåå èõ îïèñàíèÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà I (â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âîïðîñ î ôîðìèðîâàíèè îïèñàíèé ïðåäñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ è èçó÷àåòñÿ îòäåëüíî ñì., íàïðèìåð, [84], è Ÿ1.2). Ñèíòåç àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè îñóùåñòâëÿåòñÿ íà áàçå ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè Is , â êîòîðóþ âõîäèò îïèñàíèå íàáîðà äîïóñòèìûõ îáúåêòîâ (S1 , . . . , Sq ) (êîíòðîëüíîé âûáîðêè) è íàáîðà âåêòîðîâ ((α11 , . . . , α1l ), . . . , (αq1 , . . . , αql )). Âåêòîðû (αi1 , . . . , αil ), êàê óæå ãîâîðèëîñü, íàçûâàþòñÿ èíôîðìàöèîííûìè âåêòîðàìè îáúåêòîâ Si (ïðè i ∈ {1, . . . , q}), à âåëè÷èíû αij èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê îïèñàíèÿ ñîîòíîøåíèé ¾Si ∈ Kj ¿. Èñïîëüçîâàíèå ýòîé ÷àñòè ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè ñâîäèòñÿ ê òðåáîâàíèþ, ÷òîáû èñêîìûé àëãîðèòì e, ãäå Ib  ìàòðèöà èíôîðìàöèè ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è b = Ib óäîâëåòâîðÿë ðàâåíñòâó A(I) b è Ie  èíôîðìàöèîííàÿ ìàòðèöà, ò.å. Ib = kIij kq×l , ãäå Iij  ýëåìåíò ìíîæåñòâà I, ÿâëÿþ b ùèéñÿ îïèñàíèåì i-ãî êîíòðîëüíîãî îáúåêòà è j -ãî êëàññà, Ie = Ieij , ãäå Ieij = αij (ïðè q×l

i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l}). Êðîìå îïèñàííîé ïðåöåäåíòíîé ÷àñòè ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè Is , â íåå ìîãóò âõîäèòü è äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ ê îòîáðàæåíèþ, ðåàëèçóåìîìó êîððåêòíûì àëãîðèòìîì, îïðåäåëÿþùèå äîïóñòèìûé ñïîñîá èñïîëüçîâàíèÿ èíôîðìàöèè èç Ii . Ïðè çàäàííûõ ïðîñòðàíñòâàõ äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé Ii è If ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè (ñì. Ÿ 0.2). Îñíîâíûå ïîñòðîåíèÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäóò ïðîâîäèòüñÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà Ii = Cq,l (I) è If = Cq,l (e I), ò.å. êîãäà äîëæåí áûòü ïîñòðîåí àëãîðèòì, îòîáðàæàþùèé èñõîäíîå ïðîñòðàíñòâî q × l-ìàòðèö íàä I â ôèíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî q × l-ìàòðèö íàä e I. Èòàê, ðàññìàòðèâàåìûå çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñòàâÿòñÿ êàê çàäà÷è ñèíòåçà àëãîðèòìîâ, ðåàëèçóþùèõ îòîáðàæåíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (I) â ïðîñòðàíñòâî Cq,l (e I), óäîâëåòâîb b = Ie è äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèÿì. Ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåðÿþùèå ðàâåíñòâó A(I) òàöèÿ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà e I êàê îïèñàíèé ñîîòíîøåíèé ¾S ∈ K ¿ íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, åäèíñòâåííî âîçìîæíûì âàðèàíòîì, òàê ÷òî ïðîâîäèìûå â ðàáîòå ïîñòðîåíèÿ îêàçûâàþòñÿ íà ñàìîì äåëå ïðèìåíèìûìè äëÿ ñóùåñòâåííî áîëåå øèðîêîãî, ÷åì çàäà÷è 24

êëàññèôèêàöèè, êðóãà çàäà÷ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè, êîòîðûå ìîãóò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíû êàê ìàòðè÷íûå çàäà÷è. Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî èç ñàìîé ïîñòàíîâêè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè êàê çàäà÷ ýêñòðàïîëÿöèè ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ èçíà÷àëüíî â åäèíñòâåííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé âûòåêàåò, ÷òî äëÿ íèõ îñîáåííî ñóùåñòâåííûìè ÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ê ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèÿ.  ñèëó ýòîãî ðàçâèâàåìàÿ íèæå òåîðèÿ è îêàçûâàåòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî òåîðèåé òàêèõ îãðàíè÷åíèé.

1.2

Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé

Ðàññìàòðèâàåìîå â çàäà÷àõ êëàññèôèêàöèè ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ îáúåêòîâ S â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ áûâàåò óäîáíî èññëåäîâàòü è êàê ìíîæåñòâî íåêîòîðûõ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ îáúåêòîâ èëè ÿâëåíèé, è êàê (÷àùå) ìíîæåñòâî íåêîòîðûõ îïèñàíèé òàêèõ îáúåêòîâ.  ëþáîì ñëó÷àå ïðè íàëè÷èè ëèøü ìíîæåñòâ S, I è e I äîëæåí áûòü ðåøåí âîïðîñ î òîì, êàêèì èìåííî ñïîñîáîì ôîðìèðóåòñÿ èíôîðìàöèÿ îá îáúåêòàõ è êëàññàõ. Èíà÷å ãîâîðÿ, äîëæåí áûòü ðåøåí âîïðîñ î òîì, êàê ïàðå (S, K) ñîïîñòàâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé I. Ñïîñîá ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè ìîæíî îïðåäåëèòü, çàäàâ íåêîòîðîå ìíîæåñòâî D ôóíêöèé âèäà D : S × B(S) → I1 , ò.å. ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå ïàð (S, K) ïðè S ∈ S è K ⊆ S è ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà I. Ñîâîêóïíîñòü, ñîñòîÿùóþ èç ìíîæåñòâ S, I, e I è D, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïèñàíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî êëàññà çàäà÷ Z. ×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñîäåðæàòåëüíûé ñìûñë ñêàçàííîãî, ïðèâåäåì ïðèìåðû äâóõ èçâåñòíûõ êëàññîâ çàäà÷, îïðåäåëèâ ïðåäâàðèòåëüíî ïîíÿòèå ñòàíäàðòíîãî ñïîñîáà ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Îïðåäåëåíèå 1.2.1. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé D îïðåäåëÿåò ñòàíäàðòíûé ñïîñîá ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè, åñëè2

I=

∞ [

m (I1 (m) ⊗ Im 2 ⊗ E2 )

m=1

ãäå I1 (m) è I2  íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, E2 = {0, 1}, è åñëè D  ñåìåéñòâî ôóíêöèé D èç S × B(S) â I, ñîïîñòàâëåííûõ íàáîðàì (S 1 , . . . , S m ) ∈ Sm è îïðåäåëåííûõ çàäàíèåì 00 0 : S → I2 ñëåäóþùèì îáðàçîì: D(S, K) = äâóõ ôóíêöèé D(S 1 ,...,S m ) : S → I1 (m) è D 0 00 1 00 m 1 (D(S,...,S m ) (S), D (S ), . . . , D (S ), P (S ), . . . , P (S m )), ãäå S ∈ S, K ⊆ S è P  ïðåäèêàò âõîæäåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé êëàññó K . Äëÿ çàäà÷ ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé ìàòðèöà èíôîðìàöèè Ib èìååò âèä kD(Si , Kj )kq×l .

.

U

1

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà U ñèìâîëîì B(U) îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà ïðè íåïóñòûõ ìíîæåñòâàõ U è V ðàâíî ïî îïðåäåëåíèþ U × V; åñëè U = ∅, òî U ⊗ V = V, åñëè , òî U ⊗ V = U.

2U ⊗ V

V=∅

25

Ôóíêöèè D0 è D00 îïðåäåëÿþò ïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííûå îïèñàíèÿ äîïóñòèìûõ îáúåêòîâ, òàê ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ñòàíäàðòíîãî ñïîñîáà ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè ïîäëåæàùèå êëàññèôèêàöèè îáúåêòû ñ ñàìîãî íà÷àëà îêàçûâàþòñÿ îïèñàííûìè îòíîñèòåëüíî íàáîðà çàðàíåå âûäåëåííûõ äîïóñòèìûõ îáúåêòîâ (S 1 , . . . , S m ). Ýòîò íàáîð îáúåêòîâ íàçûâàåòñÿ îáó÷àþùåé ñîâîêóïíîñòüþ, à âõîäÿùèå â íåãî îáúåêòû  îáúåêòàìè îáó÷åíèÿ. Îïèñàíèåì êëàññà K ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé åìó áóëåâ âåêòîð (P (S 1 ), . . . , P (S m )), ò.å. èíôîðìàöèÿ î ïðèíàäëåæíîñòè ýòîìó êëàññó îáúåêòîâ îáó÷åíèÿ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî S m äëÿ ôóíêöèé èç ñåìåéñòâà D ìíîæåñòâî ∞ îêàçûâàåòñÿ ïî ñóòè äåëà ñåìåéñòâîì m=1 S èíäåêñîâ. Ïîíÿòèå ñòàíäàðòíîãî ñïîñîáà ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè ïî ñâîåé ïðèðîäå ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ýâðèñòè÷åñêèì. Ðåøåíèå î òîì, ÷òîáû ðàññìàòðèâàòü ïðèêëàäíóþ çàäà÷ó êàê çàäà÷ó ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé, ïðèíèìàåòñÿ èññëåäîâàòåëåì è ÿâëÿåòñÿ ñòîëü æå ïðîèçâîëüíûì, êàê, íàïðèìåð, ðåøåíèå èñïîëüçîâàòü äëÿ ñèíòåçà êîððåêòíîãî àëãîðèòìà ìîäåëü âû÷èñëåíèÿ îöåíîê èëè ìåòîä ïîòåíöèàëüíûõ ôóíêöèé. Áîëüøîå ÷èñëî ïðèêëàäíûõ çàäà÷, óäà÷íî ðåøåííûõ ñ ïîìîùüþ ýòîé ýâðèñòèêè, è íàëè÷èå øèðîêîãî êëàññà ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, îðèåíòèðîâàííûõ íà ðåøåíèå çàäà÷ ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé, ïîäòâåðæäàþò ïîëåçíîñòü ýòîãî ïîíÿòèÿ è ïîçâîëÿþò ñòàâèòü âîïðîñ îá îòäåëüíîì èññëåäîâàíèè çàäà÷ òàêîãî òèïà. Ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîíÿòèå çàäà÷ ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì ¾ïðîìåæóòî÷íûì ýòàïîì¿ ìåæäó îáùèìè çàäà÷àìè êëàññèôèêàöèè è êîíêðåòíûìè êëàññàìè çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ îòäåëüíûå ìîäåëè àëãîðèòìîâ. Èìåííî â òàêîì êà÷åñòâå çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé ðàññìàòðèâàþòñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Ïðèìåð 1.2.1. (ñì. [57] è Ÿ 0.2). S = M1 × . . . × Mn , ãäå Mt ïðè t ∈ {1, . . . , n}  ïðîñòðàíñòâà ñ ïîëóìåòðèêàìè ρt , òàê ÷òî îáúåêòû S â ýòîì ñëó÷àå ñóòü âåêòîðû äëèíû n.

0

ρt (S, S k ) Ïðè ïðîèçâîëüíîì S ∈ S çíà÷åíèå D(S,...,S , m ) (S) ðàâíî ìàòðèöå ðàññòîÿíèé m×n è, òàêèì îáðàçîì, I1 (m) = Cm,n (R+ ). Ìíîæåñòâî I2 ïóñòî, ò.å. îïèñàíèÿ îáúåêòîâ îáó÷åíèÿ íåïîñðåäñòâåííî íå èñïîëüçóþòñÿ. Èòàê, â äàííîì ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâî äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé èìååò âèä ∞ [

Cm,n (R+ ) × {0, 1}m .

m=1

Äàííûé êëàññ çàäà÷, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ ïðåäíàçíà÷åíû, íàïðèìåð, àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê, áóäåò äàëåå îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëîì ZΓ . Âèä ïðîñòðàíñòâà äîïóñòèìûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé e I íå ñòîëü âàæåí; ìîæíî ñ÷èòàòü, ñêàæåì, ÷òî e I = {0, 1, ∆}. n Ïðèìåð 1.2.2. (ñì. [57]). S = R , ò.å. îáúåêòû S â äàííîì ñëó÷àå  ÷èñëîâûå âåêòîðû äëèíû n. Îïèñàíèÿìè îáó÷àþùèõ è ðàñïîçíàâàåìûõ îáúåêòîâ ñëóæàò îíè ñàìè, òàê 0 00 ÷òî ïðè âñåõ S ∈ S âûïîëíåíî D(S,...,S m ) (S) = S è D (S) = S .  ýòîì ñëó÷àå ïðîñòðàíS m m ñòâîì âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé I ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî ∞ m=1 (R × R × {0, 1} ). Äàííûé êëàññ çàäà÷ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëîì ZR . Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ZR îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ìîäåëè àëãîðèòìîâ, îñíîâàííûõ íà ïðèíöèïå ðàçäåëåíèÿ (R-ìîäåëè). Êàê 26

è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî e I = {0, 1, ∆}, ÷òî íå èìååò ïðèíöèïèàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè òåîðåòè÷åñêîì àíàëèçå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ýòàï ñòðîãîãî ôîðìàëüíîãî îïèñàíèÿ ìíîæåñòâ S, D, I è e I ÷ðåçâû÷àéíî âàæåí. Òàêîå îïèñàíèå ïðîèçâîäèòñÿ, âî-ïåðâûõ, íà áàçå àíàëèçà îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ (÷òî ïîçâîëÿåò îïèñàòü ìíîæåñòâà Sèe I) è, âî-âòîðûõ, íà îñíîâå òî÷íîãî îòâåòà íà âîïðîñ: êàêîâ âèä èíôîðìàöèè, êîòîðàÿ áóäåò ïîñòóïàòü íà âõîä àëãîðèòìà â ïðîöåññå ýêñïëóàòóöèè è êàêèì îáðàçîì ýòà èíôîðìàöèÿ áóäåò ôîðìèðîâàòüñÿ (ýòî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ìíîæåñòâà D è I)? Íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî îòñóòñòâèå òî÷íîãî îòâåòà íà âîïðîñ î âèäå è ñïîñîáå ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè ìîæåò â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèâåñòè ê ñåðüåçíûì òðóäíîñòÿì, îñîáåííî  ïðè ñîäåðæàòåëüíîé èíòåðïðåòàöèè ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.

1.3

Ðàñøèðåíèÿ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. Êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè

Ïðàêòè÷åñêèå çàäà÷è ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè îòëè÷àþòñÿ êðàéíèì ðàçíîîáðàçèåì, âûðàæàþùèìñÿ è â ðàçëè÷íûõ ñòðóêòóðàõ ìíîæåñòâ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé Ii è If , è â ðàçëè÷èÿõ ñèñòåì îãðàíè÷åíèé, ñîñòàâëÿþùèõ ñòðóêòóðíóþ èíôîðìàöèþ.  ñèëó ýòîãî ðåøåíèå áîëüøèíñòâà òàêèõ çàäà÷ ñ íåîáõîäèìîñòüþ âêëþ÷àåò â ñåáÿ èñïîëüçîâàíèå öåëîãî ðÿäà ýâðèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ è ïðèåìîâ, îäíèì èç ãëàâíûõ ñðåäè êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. Ìîäåëè àëãîðèòìîâ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îïèñàííûå â ÿâíîì âèäå ïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà M îòîáðàæåíèé èç Ii â If , ò.å. ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà M∗ . Ïîñòàíîâêè ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ ñâîäÿòñÿ â îñíîâíîì ê îïèñàíèþ äîïóñòèìûõ îòîáðàæåíèé, ò.å. ïîäìíîæåñòâ M[Is ] òîãî æå ìíîæåñòâà M∗ . Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è â ðàìêàõ ìîäåëè M îïèñûâàåòñÿ ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèåì M∩M[Is ] 6= ∅.  ñëó÷àå, êîãäà çàäà÷à ðàçðåøèìà, ñëîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ, ò.å. èñêîìîãî àëãîðèòìà, ïðàêòè÷åñêè îïðåäåëÿåòñÿ ñëîæíîñòüþ (â íåôîðìàëüíîì ñìûñëå ñëîâà) ìîäåëè M. Èñïîëüçîâàíèå ¾ïðîñòûõ¿ ìîäåëåé, ïðèâëåêàòåëüíîå ñ òî÷êè çðåíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîáëåì, îêàçûâàåòñÿ îñíîâàííûì íà íåôîðìàëüíîì ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî ñàìà ìîäåëü ¾óãàäàíà¿ íàñòîëüêî óäà÷íî, ÷òî çàäà÷à èìååò ðåøåíèå â åå ðàìêàõ. Ïðè îòñóòñòâèè æå ðàçðåøèìîñòè âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â çàìåíå ìîäåëè, ëèáî ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ ïðèáëèæåííûìè ðåøåíèÿìè. Îñíîâíûì òåõíè÷åñêèì ïðèåìîì àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ðàñøèðåíèé ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé ñ ïîìîùüþ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Âîîáùå ãîâîðÿ, ïîä êîððåêòèðóþùåé îïåðàöèåé ìîæíî ïîíèìàòü ïðîèçâîëüíóþ îïåðàöèþ íàä ìíîæåñòâîì M∗ âñåõ îòîáðàæåíèé èç Ii â If . Åñëè F  íåêîòîðîå ñåìåéñòâî òàêèõ îïåðàöèé, òî ïðèìåíåíèå àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ôîðìàëüíî ñâîäèòñÿ ê çàìåíå ìîäåëè M íà ¾ðàñøèðåííóþ¿ ìîäåëü F(M), ãäå

F(M) = { F (A1 , . . . , Ap ) | F ∈ F, (A1 , . . . , Ap ) ∈ Mp }, 27

è ê ïîñòðîåíèþ â ðàìêàõ ðàñøèðåíèÿ F(M) ðåøåíèé äëÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Ïðèìåíåíèå êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ïîçâîëÿåò ðåàëèçîâàòü èäåþ î ñîâìåñòíîì èñïîëüçîâàíèè íåñêîëüêèõ ýâðèñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ïðè ðåøåíèè åäèíñòâåííîé çàäà÷è ñ öåëüþ óñòðàíåíèÿ íåäîñòàòêîâ îäíèõ àëãîðèòìîâ çà ñ÷åò îñòàëüíûõ. Ýòî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî àëãîðèòì A, ïîñòðîåííûé ñ ïîìîùüþ êîððåêòèðóþùåé îïåðàöèè F , èìååò âèä F (A1 , . . . , Ap ), ãäå A1 , . . . , Ap  àëãîðèòìû èç M, òàê ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ðåøåíèÿ äëÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è, ò.å. ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèÿ A(I0 ) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ýëåìåíòå I0 ïðîñòðàíñòâà Ii , ñîâìåñòíî èñïîëüçóþòñÿ àëãîðèòìû A1 , . . . , Ap èç ìîäåëè M. Ìíîæåñòâà F(M) íàçûâàþòñÿ F-ðàñøèðåíèÿìè ìîäåëåé M, ïîñêîëüêó â F ÷àùå âñåãî ñîäåðæèòñÿ òîæäåñòâåííûé óíàðíûé îïåðàòîð, ÷åì ãàðàíòèðóåòñÿ âûïîëíåíèå âêëþ÷åíèÿ M ⊆ F(M). Öåëüþ ïðèìåíåíèÿ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ÿâëÿåòñÿ îáåñïå÷åíèå ðàçðåøèìîñòè äîñòàòî÷íî øèðîêîãî êðóãà çàäà÷, ò.å. âûïîëíåíèå óñëîâèÿ F(M) ∩ M[Is ] 6= ∅ ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ Is . Êðîìå òîãî, öåëüþ ÿâëÿåòñÿ è íåïîñðåäñòâåííûé ñèíòåç ðåøåíèÿ â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ, ò.å. ïîñòðîåíèå àëãîðèòìà, ðåàëèçóþùåãî äîïóñòèìîå îòîáðàæåíèå. È åñëè ïîñëåäíèé, öåíòðàëüíûé äëÿ ïðèëîæåíèé, âîïðîñ äîïóñêàåò ðåøåíèÿ ëèøü ïðè äîñòàòî÷íîé äåòàëèçàöèè ïîñòàíîâêè, òî ïðîáëåìà ðàçðåøèìîñòè îêàçûâàåòñÿ îñíîâíîé ïðè òåîðåòè÷åñêîì àíàëèçå ïðîáëåìû â öåëîì. Îáùåå îïðåäåëåíèå êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé êàê ïðîèçâîëüíûõ îïåðàöèé íàä M∗ îñòàâëÿåò îòêðûòûì ïðèíöèïèàëüíûé âîïðîñ î ñïîñîáàõ ðåàëèçàöèè òàêèõ îïåðàöèé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïðàêòè÷åñêîì ïîñòðîåíèè êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû â ÿâíîì âèäå.  ðàìêàõ îïèñûâàåìîãî ïîäõîäà ïðèìåíÿåòñÿ îäèí èç íàèáîëåå ñòàíäàðòíûõ ñïîñîáîâ îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé íàä îòîáðàæåíèÿìè. Ïóñòü N∗ = { A | A : V → U }, ãäå U è V  ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà è ïóñòü G  íåêîòîðîå ñåìåéñòâî îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâîì U.  ýòîì ñëó÷àå êàæäîé p-àðíîé îïåðàöèè G èç G ìîæíî ñîïîñòàâèòü îïåðàöèþ F íàä N∗ , ïîëàãàÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ A1 , . . . , Ap èç N∗ è ïðîèçâîëüíîãî V èç ìíîæåñòâà V:

F (A1 , . . . , Ap )(V ) = G(A1 (V ), . . . , Ap (V )).

(1.3.1)

Òàêèì ñïîñîáîì ñåìåéñòâî G ìîæåò áûòü îáðàùåíî â ñåìåéñòâî F îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâîì îòîáðàæåíèé N∗ 3 . Íåïîñðåäñòâåííîå èñïîëüçîâàíèå äàííîãî ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè îòîáðàæåíèé íå íàøëî, îäíàêî, øèðîêîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå. Îñíîâíîé ïðè÷èíîé ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé If , îïåðàöèè íàä êîòîðûì äîëæíû áû áûëè ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê êîððåêòèðóþùèå, îïðåäåëÿåòñÿ ñîäåðæàòåëüíûìè òðåáîâàíèÿìè ê âèäó äîïóñòèìûõ

 äàëüíåéøåì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ îïåðàöèé íàä îòîáðàæåíèÿìè ÷àñòî áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ òå æå ñèìâîëû, ÷òî è äëÿ ïîðîæäàþùèõ èõ îïåðàöèé íàä ìíîæåñòâàìè, ÷òî â ñèëó (1.3.1) íå ìîæåò ñîçäàòü ðàçíî÷òåíèé. 3

28

¾îòâåòîâ¿ èñêîìîãî àëãîðèòìà, à îòñþäà îòíþäü íå âûòåêàåò, ÷òî òàêîå ïðîñòðàíñòâî ìîæåò áûòü óäîáíûì ¾ïîëèãîíîì¿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íà íåì è èñïîëüçîâàíèÿ ïîäõîäÿùèõ â òîì èëè èíîì ñìûñëå îïåðàöèé (ñì., íàïðèìåð, [57]). Óêàçàííîå îáñòîÿòåëüñòâî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè êðàéíå ñóùåñòâåííîãî äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé ïðèåìà  ïðåäñòàâëåíèÿ àëãîðèòìîâ â âèäå ñóïåðïîçèöèé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ðåøàþùèõ ïðàâèë. Èçâåñòíî, ÷òî àëãîðèòìû, ÿâëÿþùèåñÿ ñóïåðïîçèöèÿìè, íà÷àëè ïðèìåíÿòüñÿ çàäîëãî äî âîçíèêíîâåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà. Åñòåñòâåííîñòü òàêèõ êîíñòðóêöèé â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îáóñëîâëåíà ïðàêòèêîé ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â ðåàëüíîé æèçíè íà áàçå íåêîòîðûõ àãðåãèðîâàííûõ ñêàëÿðíûõ îöåíîê ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ èëè ñèòóàöèé. Òàêîé ïðîöåññ è ìîäåëèðóåòñÿ ïî ñóòè äåëà àëãîðèòìàìè  ñóïåðïîçèöèÿìè. Ïðè ðàáîòå ýòèõ àëãîðèòìîâ íà ïåðâîì ýòàïå âûðàáàòûâàþòñÿ íåêîòîðûå (êàê ïðàâèëî  ÷èñëîâûå) îöåíêè, à íà âòîðîì ýòàïå ïî îöåíêàì ïðèíèìàåòñÿ ðåøåíèå, êîòîðîå âûðàæàåòñÿ íà îïðåäåëÿåìîì ñîäåðæàòåëüíîé ñòîðîíîé äåëà ÿçûêå. Áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè ñîäåðæèò àëãîðèòìû èìåííî òàêîãî òèïà. Èòàê, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîìèìî îïðåäåëåííûõ ïðîáëåìíîé ñðåäîé ïðîñòðàíñòâ Ii è If âûáðàíî åùå îäíî ïðîñòðàíñòâî Ie , íàçûâàåìîå ïðîñòðàíñòâîì âîçìîæíûõ îöåíîê, è ÷òî ýâðèñòè÷åñêàÿ èíôîðìàöèîííàÿ ìîäåëü M ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî ñóïåðïîçèöèé:

M = M1 ◦ M0 = { C ◦ B | C ∈ M1 , C : Ie → If , B ∈ M0 , B : Ii → Ie }. Ñåìåéñòâî M0 íàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì ìîäåëüþ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, M1  ñåìåéñòâîì ðåøàþùèõ ïðàâèë. Îòìåòèì, ÷òî åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî Ie = If è ÷òî M1  îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå óíàðíûé òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèòóàöèÿ ïåðåéäåò â èñõîäíóþ, êîãäà â êà÷åñòâå M ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòî ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà M∗ . Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U, V, U0 è V0 è ïðîèçâîëüíûõ îòîáðàæåíèÿõ u èç U â V è u0 èç U0 â V0 ïðîèçâåäåíèåì u × u0 íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå v èç U × U0 â V × V0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû (U, U 0 ) èç U × U0 âûïîëíåíî ðàâåíñòâî v(U, U 0 ) = (u(U ), u0 (U 0 )) (ñì. [15]). Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿ u èç Up â V ïðè p > 1 äèàãîíàëèçàöèåé u∆ áóäåì íàçûâàòü îòîáðàæåíèå èç U â V òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî U èç U âûïîëíåíî ðàâåíñòâî u∆ (U ) = u(U, U, . . . , U ).  êà÷åñòâå ðåøàþùèõ ïðàâèë ìîæíî èñïîëüçîâàòü íå òîëüêî îòîáðàæåíèÿ èç Ie â If , íî è îòîáðàæåíèÿ èç Ipe â If ïðè p > 1.  ñèëó ýòîãî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî 1

M ⊆

∞ [

{ C | C : Ipe → If }

p=0

è

M = M1 ◦ M0 = { C ◦ (B1 × . . . × Bp )∆ | C ∈ M1 , (B1 , . . . , Bp ) ∈ (M0 )p }. 29

Âèä ñóïåðïîçèöèè C ◦ (B1 × . . . × Bp )∆ îáúÿñíÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîáðàæåíèÿìè: ïðè ôîðìèðîâàíèè èñêîìîãî àëãîðèòìà îäíîâðåìåííî èñïîëüçóåòñÿ íåñêîëüêî àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ B1 , . . . , Bp èç M0 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïî ñóòè îòîáðàæåíèþ B1 × . . . × Bp èç Ipi â Ipe ; ïðè ðåøåíèè ëþáîé çàäà÷è âñå àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû ïðèìåíÿþòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ýëåìåíòó èç Ii , ò.å. íà ñàìîì äåëå èñïîëüçóåòñÿ îòîáðàæåíèå (B1 × . . . × Bp )∆ èç Ii â Ipe ; ðåøàþùåå ïðàâèëî C  ýòî îòîáðàæåíèå èç Ipe â If (íåäîñòàòî÷íîñòü èçó÷åíèÿ òîëüêî óíàðíûõ ðåøàþùèõ ïðàâèë, ò.å. îòîáðàæåíèé èç Ie â If , ïîäòâåðæäàåòñÿ, íàïðèìåð, ñëó÷àåì, êîãäà Ie è If  êîíå÷íûå ìíîæåñòâà è ìîùíîñòü Ie ìåíüøå ìîùíîñòè If ). Èòàê, ïóñòü G  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî îïåðàöèé íàä ïðîñòðàíñòâîì âîçìîæíûõ îöåíîê Ie è F  ìíîæåñòâî îïåðàöèé íàä M0∗ = { B | B : Ii → Ie }, ñîïîñòàâëåííûõ îïåðàöèÿì èç G ñïîñîáîì (1.3.1). Ïðèìåíÿÿ îïåðàöèè èç F ê îòîáðàæåíèÿì èç M0 , ìîæíî ïîëó÷èòü, âîîáùå ãîâîðÿ, áîëåå øèðîêîå ñåìåéñòâî àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ

F(M0 ) = { F (B1 , . . . , Bp ) | F ∈ F, (B1 , . . . , Bp ) ∈ (M0 )p }.

(1.3.2)

Ñåìåéñòâî F(M0 ) íàçûâàåòñÿ F-ðàñøèðåíèåì ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 . Èñïîëüçóÿ ïðè ôîðìèðîâàíèè ¾öåëûõ¿ àëãîðèòìîâ âìåñòî èñõîäíîé ìîäåëè M0 åå Fðàñøèðåíèå F(M0 ), ïîëó÷àåì ìîäåëü F[M]  F-ðàñøèðåíèå èñõîäíîé ìîäåëè àëãîðèòìîâ:

F [ M ] = M1 ◦ F(M0 ) = { C ◦ (F1 (B11 × . . . × Br11 ) × . . . × Fp (B1p × . . . × Brpp ))∆ | | C ∈ M1 , (F1 , . . . , Fp ) ∈ Fp , B11 ∈ M0 , . . . , Brpp ∈ M0 }. (1.3.3) Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ M ⊆ F[M] äîñòàòî÷íî, ÷òîáû, íàïðèìåð, â G, à ïîòîìó è â F, ñîäåðæàëñÿ òîæäåñòâåííûé óíàðíûé îïåðàòîð. Ïðèìåíåíèå êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, ïîñòðîåííûõ íà îñíîâå îïåðàöèé íàä ïðîñòðàíñòâîì âîçìîæíûõ îöåíîê Ie , îïðàâäûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè èíòóèòèâíî ÿñíûìè ñîîáðàæåíèÿìè. Ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé Ii è If îïðåäåëÿþòñÿ âíåøíèìè ïî îòíîøåíèþ ê ìàòåìàòè÷åñêèì êîíñòðóêöèÿì ðåàëüíûìè óñëîâèÿìè. Ïîýòîìó ýòè ïðîñòðàíñòâà, êàê ïðàâèëî, îêàçûâàþòñÿ âåñüìà ïëîõî ïðèñïîñîáëåííûìè äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî ðåøåíèÿ òðåáóåìûõ çàäà÷. Ïðîñòðàíñòâî æå âîçìîæíûõ îöåíîê Ie âûáèðàåòñÿ â ïðîöåññå ðåøåíèÿ çàäà÷è èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà, òàê ÷òî ïðåäñòàâëÿåòñÿ âïîëíå ïîíÿòíûì æåëàíèå ïåðåíåñòè ¾öåíòð òÿæåñòè¿ ïðîáëåìû èìåííî íà ýòî ïðîñòðàíñòâî, ò.å. íà êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè.  êà÷åñòâå Ie îáû÷íî âûáèðàþòñÿ ïðîñòðàíñòâà, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûå ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè. Íàïðèìåð, äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ÷àñòî ïîëàãàþò Ie = Cq,l (R), ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè, ïîñòðîåííûå íà áàçå îïåðàöèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ìàòðèöàìè. Äëÿ çàäà÷, â êîòîðûõ ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîå íåëèíåéíîå îòíîøåíèå ïîðÿäêà, áûâàåò óäîáíî ïðèìåíÿòü â êà÷åñòâå Ie ïëîñêîñòü R2 è ò.ä. Èòàê, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìåòîäû àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îñíîâàíû íà êîíñòðóêöèè (1.3.3). Âûÿñíåíèå ðîëåé, êîòîðûå èãðàþò ïðè ýòîì ñåìåéñòâà M0 , F è M1 , è ïîëó÷åíèå êðèòåðèåâ, êîòîðûì ýòè ñåìåéñòâà äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü, áóäåò îäíîé èç ãëàâíûõ öåëåé äàëüíåéøèõ ïîñòðîåíèé â íàñòîÿùåé ðàáîòå. 30

1.4

Îïèñàíèå óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå

 ñèòóàöèè, êîãäà çàôèêñèðîâàíû ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé Ii è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé If , ëþáàÿ èç çàäà÷ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèåé Is , ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ñèñòåìó îãðàíè÷åíèé, âûäåëÿþùèõ èç M∗ ïîäìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ äëÿ çàäà÷è îòîáðàæåíèé M[Is ]. Ïðè ýòîì õàðàêòåðíîé ÷àñòüþ ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè â ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ ÿâëÿþòñÿ ïðåöåäåíòíûå îãðàíè÷åíèÿ, ò.å. íàáîðû ïàð âèäà ((Ii1 , If1 ), . . . , (Iiq , Ifq )), ñîïðîâîæäàåìûå òðåáîâàíèåì, ÷òîáû èñêîìûé àëãîðèòì A óäîâëåòâîðÿë ñèñòåìå ðàâåíñòâ A(Iik ) = Ifk ïðè k ∈ {1, . . . , q}. Íàëè÷èå ïðåöåäåíòíûõ îãðàíè÷åíèé ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ýòè çàäà÷è êàê çàäà÷è ýêñòðàïîëÿöèè ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ èçíà÷àëüíî íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå òî÷åê. Ïîìèìî ÷èñòî ïðåöåäåíòíûõ îãðàíè÷åíèé â ñòðóêòóðíóþ èíôîðìàöèþ ìîãóò âõîäèòü è äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âèä îòîáðàæåíèé, êîòîðûå äîëæíû ðåàëèçîâûâàòüñÿ êîððåêòíûìè àëãîðèòìàìè. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðè îòñóòñòâèè òàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé çàäà÷à òåðÿåò ñìûñë, òàê êàê äîïóñêàåò ôîðìàëüíî ïðàâèëüíûå, íî ÿâíî íåóäîâëåòâîðèòåëüíûå ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ðåøåíèÿ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî è äî âîçíèêíîâåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, è â ïåðâûõ ðàáîòàõ, âûïîëíåííûõ â ýòîì íàïðàâëåíèè, äîïîëíèòåëüíûå ïî îòíîøåíèþ ê ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèÿ ïîäðàçóìåâàëèñü èëè äàæå íåÿâíî èñïîëüçîâàëèñü, îäíàêî èçó÷åíèå èõ â ÿâíîì âèäå íå ïðîâîäèëîñü. Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ìîæíî ñ÷èòàòü òî, ÷òî ïðåöåäåíòíûå è äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê àáñîëþòíî ðàâíîïðàâíûå ÷àñòè ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè. Áîëåå òîãî, âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî èìåííî äîïîëíèòåëüíûå ê ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò íàèáîëüøèé èíòåðåñ. Äåëåíèå îãðàíè÷åíèé íà ïðåöåäåíòíûå è äîïîëíèòåëüíûå ê íèì èìååò îäèí âàæíûé àñïåêò, óæå óïîìèíàâøèéñÿ âî ââåäåíèè. Àñïåêò ýòîò ñâÿçàí ñ ¾êîíå÷íîñòüþ¿ ïðåöåäåíòíîé èíôîðìàöèè è ñ, êàê ïðàâèëî, ¾áåñêîíå÷íîñòüþ¿ èíôîðìàöèè, ê íåé äîïîëíèòåëüíîé. Ýòî ðàçëè÷èå ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñëåäóþùèì ðàññóæäåíèåì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååòñÿ àëãîðèòì, ïðåòåíäóþùèé íà òî, ÷òîáû ñ÷èòàòüñÿ ðåøåíèåì íåêîòîðîé çàäà÷è. Çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ìîæíî ïðîâåðèòü, óäîâëåòâîðÿåò ëè îí ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèÿì, ïðîñòî âû÷èñëèâ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ è ñðàâíèâ èõ ñ èçâåñòíûìè. Îäíàêî, ðàññìàòðèâàÿ àëãîðèòì êàê ¾÷åðíûé ÿùèê¿, çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ, êàê ïðàâèëî, íåëüçÿ ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ðåàëèçóåìîå èì îòîáðàæåíèå óäîâëåòâîðÿåò äîïîëíèòåëüíûì ê ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèÿì. Ïðè èñïîëüçîâàíèè êîíñòðóêöèé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííûì åùå îäíî ðàçëè÷èå ìåæäó ïðåöåäåíòíûìè è äîïîëíèòåëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè. À èìåííî, ïðåöåäåíòíûå îãðàíè÷åíèÿ ïî ñàìîé ñâîåé ñóòè æåñòêî ñâÿçàíû ñ êîíêðåòíûìè ïðîñòðàíñòâàìè âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé Ii è If . Ñëåäîâàòåëüíî, èõ èñïîëüçîâàíèå âîçìîæíî òîëüêî äëÿ ¾öåëûõ¿ àëãîðèòìîâ, íî íå äëÿ àëãîðèòìè÷åñèõ îïåðàòîðîâ, êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë, èç êîòîðûõ ýòè ¾öåëûå¿ àëãîðèòìû ñòðîÿòñÿ â âèäå (1.3.3). Äîïîëíèòåëüíûå æå îãðàíè÷åíèÿ â ñèëó èõ ¾áåñêîíå÷íîñòè¿ 31

îáÿçàòåëüíî äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ òàê, ÷òîáû ñèíòåçèðóåìûå àëãîðèòìû óäîâëåòâîðÿëè èì ¾ïî ïîñòðîåíèþ¿. Äîïîëíèòåëüíûå ê ïðåöåäåíòíûì îãðàíè÷åíèÿ äîëæíû ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñèñòåìó òðåáîâàíèé, ïðèìåíèìûõ êàê ê îòîáðàæåíèÿì èç Ii â If , òàê è ê îòîáðàæåíèÿì èç Ii â Ie , èç Ie â ñåáÿ è èç Ie â If , ïðè÷åì íå òîëüêî ê óíàðíûì, íî è ê p-àðíûì ïðè p > 1. Èíà÷å ãîâîðÿ, ýòè îãðàíè÷åíèÿ äîëæíû èìåòü ñìûñë íå òîëüêî äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, íî è äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë. Ïðè ýòîì äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äîëæíû áûòü, êîíå÷íî, óñòðîåíû òàê, ÷òîáû ñèíòåçèðîâàííûå â âèäå (1.3.3) èç óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòèì îãðàíè÷åíèÿì àëãîðèòìè÷åñèõ îïåðàòîðîâ, êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë àëãîðèòìû ñàìè óäîâëåòâîðÿëè äàííûì îãðàíè÷åíèÿì. Ýòîò òåçèñ ñëóæèò îñíîâîé ôîðìàëüíîãî îïèñàíèÿ îáñóæäàåìûõ îãðàíè÷åíèé. Èòàê, â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è ñèíòåçà àëãîðèòìîâ, êîòîðûå äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè Is , ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ñèñòåìó îãðàíè÷åíèé íà îòîáðàæåíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé Ii â ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé If . Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñèñòåìû îãðàíè÷åíèé Is ðàñïàäàþòñÿ íà ïàðû (Isu , Isl ) ïîäñèñòåì, êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìàìè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ñîîòâåòñòâåííî. Ëîêàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ ìîæíî ïîíèìàòü êàê äîïóñêàþùèå ïðîâåðêó çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ óñëîâèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê îòîáðàæåíèÿì èç Ii â If . Óíèâåðñàëüíûå æå îãðàíè÷åíèÿ äîëæíû îòíîñèòüñÿ êî âñåì îòîáðàæåíèÿì, èñïîëüçóåìûì ïðè ñèíòåçå àëãîðèòìîâ ìåòîäàìè àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà è ñîõðàíÿòüñÿ ïðè îáðàçîâàíèè ñóïåðïîçèöèé âèäà (1.3.3). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðàññìîòðåíèå ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè êàê ñîâîêóïíîñòè èç äâóõ ñèñòåì îãðàíè÷åíèé, ò.å. ãèïîòåçà î òîì, ÷òî Is = (Isu , Isl ) è M[Is ] = M[Isu ] ∩ M[Isl ], íå èñêëþ÷àåò, êîíå÷íî, âîçìîæíîñòè àëüòåðíàòèâíûõ ïîñòðîåíèé, îðèåíòèðîâàííûõ íà àíàëèç èíûõ ìåòîäîâ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè è èíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Ïðîâîäèìûå â ðàáîòå ïîñòðîåíèÿ îòðàæàþò ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà è îòíîñÿòñÿ ëèøü ê çàäà÷àì, â êîòîðûõ èìåþòñÿ òîëüêî óíèâåðñàëüíûå è ëîêàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, è ê ìîäåëÿì àëãîðèòìîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷.  êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äàëåå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî ïðåöåäåíòíûå îãðàíè÷åíèÿ, ÷òî îòâå÷àåò èìåþùåéñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðàêòèêå ðåøåíèÿ çàäà÷ èçó÷àåìîãî òèïà. Íà èíòóèòèâíîì óðîâíå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ  ýòî îïèñàíèÿ îáùèõ ñâîéñòâ, ñòðóêòóðû îòîáðàæåíèé, êîòîðûå äîëæíû ðåàëèçîâûâàòüñÿ êîððåêòíûìè àëãîðèòìàìè. Óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ ïî ñâîåìó ïðîèñõîæäåíèþ â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ïðåöåäåíòîâ.  òî âðåìÿ, êàê ïðåöåäåíòíûå îãðàíè÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïî ñóòè äåëà îïèñàíèÿìè ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ îêàçûâàþòñÿ âûðàæåíèåì ýêñïåðòíûõ çíàíèé î ïðèðîäå èçó÷àåìîé ðåàëüíîé ñèòóàöèè è îòíîñÿòñÿ ¾ãëîáàëüíî¿ êî âñåìó ïðîöåññó ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Èìåííî ïîýòîìó òàêèå îãðàíè÷åíèÿ íå ìîãóò êàê ïðàâèëî áûòü ïðîâåðåíû äëÿ àëãîðèòìà, ðàññìàòðèâàåìîãî êàê íåêîòîðûé 32

¾÷åðíûé ÿùèê¿, è ïîòîìó îíè ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæíû áûòü ó÷òåíû â ñàìîé ñòðóêòóðå ïîñòðîåííîãî àëãîðèòìà. Óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ îòëè÷àþòñÿ îò ïðåöåäåíòíûõ áîëüøèì ðàçíîîáðàçèåì.  êà÷åñòâå òàêèõ îãðàíè÷åíèé ìîæåò, íàïðèìåð, âûñòóïàòü òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè äîïóñòèìûõ îòîáðàæåíèé èëè, áîëåå îáùå, òðåáîâàíèå, ÷òîáû äîïóñòèìûå îòîáðàæåíèÿ áûëè ãîìîìîðôèçìàìè àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì, êàêîâûìè â òàêîì ñëó÷àå äîëæíû áûòü, êîíå÷íî, Ii è If .  îñíîâíîì â íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñëó÷àé çàäà÷ è àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè, äëÿ êîòîðûõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ âîçíèêàþò êàê äàííûå îá îäíîðîäíîñòè êëàññîâ èîáúåêòîâ, îá èõ íåçàâèñèìîñòè è ò.ï. Ñóùåñòâåííî, ÷òî âî âñåõ ñëó÷àÿõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ òðàêòóþòñÿ êàê ôîðìàëüíûå îïèñàíèÿ ðåàëüíîé èíôîðìàöèè î ïðåäìåòíîé îáëàñòè. Ïðè ýòîì âîçíèêàåò âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ áóäóò ïðîòèâîðå÷èòü ïðåöåäåíòíûì, ò.å. áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M[Isu ] ∩ M[Isl ] = ∅.  òàêîì ñëó÷àå ïðè íàøåì ïîäõîäå ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü óòâåðæäàòü, ÷òî ïðåäëîæåííàÿ ðåàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâà. Òàêîé âûâîä íåëüçÿ áûëî ïîëó÷èòü â ðàìêàõ ñóùåñòâîâàâøèõ ðàíåå êîíñòðóêöèé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ïîñêîëüêó ñàìà ñòðóêòóðà òåîðåòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé îáåñïå÷èâàëà âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ëèøü äîñòàòî÷íûõ (íî íå íåîáõîäèìûõ) óñëîâèé ðàçðåøèìîñòè. Ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà è, â ÷àñòíîñòè, ðàçâèâàåìîé â íàñòîÿùåé ðàáîòå òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ñóùåñòâåííî ñâÿçàíî ñ âûáîðîì ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ îöåíîê. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, âûáîð ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ïðîèçâîäèòñÿ â ïðîöåññå àíàëèçà è ðåøåíèÿ çàäà÷è èëè êëàññà çàäà÷ è äèêòóåòñÿ â îñíîâíîì ñîîáðàæåíèÿìè óäîáñòâà åãî èñïîëüçîâàíèÿ. Ïðè íàëè÷èè óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé âûáîð Ie ïîä÷èíÿåòñÿ åñòåñòâåííîìó òðåáîâàíèþ: ýòî ïðîñòðàíñòâî äîëæíî áûòü íàäåëåíî ñòðóêòóðîé, ïîçâîëÿþùåé ñîõðàíÿòü èíôîðìàöèþ, âûðàæàåìóþ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Òàê, ñêàæåì, äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè â êà÷åñòâå Ie îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö, ðàçìåðû êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ êîëè÷åñòâàìè êëàññîâ è îáúåêòîâ. Ïðè óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèÿõ òèïà ìîíîòîííîñòè â êà÷åñòâå Ie ïðèìåíÿþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà.  ëþáîì ñëó÷àå, âûáîð ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ îöåíîê ïðîèçâîäèòñÿ ñ ó÷åòîì âèäà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ îáû÷íîé ìàòåìàòè÷åñêîé ïðàêòèêîé îáúåêòàìè òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ â àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå ÿâëÿþòñÿ íå îòäåëüíûå êîíêðåòíûå çàäà÷è, íî êëàññû, ñåìåéñòâà çàäà÷. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðàññìàòðèâàòü öåëóþ èåðàðõèþ òàêèõ êëàññîâ (âîïðîñ ïîäðîáíåå áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå), îäíàêî â îáùåì ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òàêèå êëàññû îïðåäåëÿþòñÿ çàäàíèåì ïðîñòðàíñòâ âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé Ii è If è ñèñòåìû èëè ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu (êîíêðåòíûå çàäà÷è ïîëó÷àþòñÿ ïðè ôèêñàöèè ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ò.å. ïðåöåäåíòíûõ äàííûõ). Èòàê, â ðàáîòå ïðîâîäèòñÿ èçó÷åíèå ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññîâ çàäà÷. Êðîìå òîãî èññëåäóþòñÿ è ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé (àëãîðèòìîâ, àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðà33

âèë), ïðèìåíÿåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîé ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé âîçíèêàåò àâòîíîìíûé êîìïëåêñ ðåçóëüòàòîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê èçó÷àåìûì îáúåêòàì.

1.5

Èåðàðõèè îãðàíè÷åíèé è ïîíÿòèÿ ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû

Äëÿ çàäà÷ ñèíòåçà êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèõ îäíîâðåìåííî ñèñòåìàì óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, âàæíåéøèì òåîðåòè÷åñêèì âîïðîñîì îêàçûâàåòñÿ ïðîáëåìà ðàçðåøèìîñòè. Ýòî, êîíå÷íî, íå ñíèæàåò àêòóàëüíîñòè âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ êîíêðåòíûìè ñåìåéñòâàìè àëãîðèòìîâ è íåïîñðåäñòâåííûì ñèíòåçîì ðåøåíèé äëÿ îòäåëüíûõ çàäà÷, îäíàêî, êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî, òàêèå ïðîáëåìû îêàçûâàþòñÿ ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ïðîèçâîäíûìè îò âîïðîñà î ðàçðåøèìîñòè. Îáñóæäåíèþ îñîáåííîñòåé èçó÷åíèÿ äàííîãî âîïðîñà â ðàìêàõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà è ïîñâÿùåí íàñòîÿùèé ïàðàãðàô. Íàïîìíèì, ÷òî ôàêò ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Z , îïðåäåëåííîé ñèñòåìàìè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu è Isl , âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì M[Isu ] ∩ M[Isl ] 6= ∅, îçíà÷àþùèì, ÷òî ñðåäè îòîáðàæåíèé èç Ii â If ñóùåñòâóþò óäîâëåòâîðÿþùèå îäíîâðåìåííî è óíèâåðñàëüíûì, è ëîêàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì.  ðàìêàõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, îäíàêî, ïîìèìî ïîíÿòèÿ ðàçðåøèìîñòè (è äàæå ïðåèìóùåñòâåííî) èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîñòè, ÿâëÿþùååñÿ åãî îáîáùåíèåì. Ðàññìîòðåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ áóäåò íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ. Èñïîëüçîâàíèå ðåãóëÿðíîñòè îáóñëîâëåíî ïðåæäå âñåãî òåì, ÷òî çàäà÷è ïðè òåîðåòè÷åñêîì èññëåäîâàíèè ðàññìàòðèâàþòñÿ íå èíäèâèäóàëüíî, à êàê ïðåäñòàâèòåëè íåêîòîðûõ êëàññîâ â èçâåñòíîì ñìûñëå îäíîðîäíûõ çàäà÷. Äåéñòâèòåëüíî, öåëüþ òåîðèè, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå îáùèõ ñâîéñòâ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ è âûðàáîòêà åäèíîé ìåòîäèêè èõ ðåøåíèÿ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî, èçó÷àÿ ìåòîä ðåøåíèÿ (ìîäåëü àëãîðèòìîâ è ò.ï.), ñëåäóåò ñòàâèòü âîïðîñ îá îäíîâðåìåííîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ èç íåêîòîðûõ ñåìåéñòâ ñ òåì, ÷òîáû äëÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è óæå èç ñàìîãî ôàêòà åå ïðèíàäëåæíîñòè òàêîìó ñåìåéñòâó ìîæíî áûëî äåëàòü âûâîä î åå ðàçðåøèìîñòè äàííûì ìåòîäîì. Ïîìèìî óêàçàíîé â ïðåäûäóùåì àáçàöå ¾ìåòîäè÷åñêîé¿ ïðè÷èíû ñóùåñòâóþò è ðåàëüíûå îáñòîÿòåëüñòâà, çàñòàâëÿþùèå ðàññìàòðèâàòü âîïðîñ î ¾êîëëåêòèâíîé ðàçðåøèìîñòè¿ èçó÷àåìûõ çàäà÷. Äåéñòâèòåëüíî, çàäà÷è â îñíîâíîì îïðåäåëÿþòñÿ ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèåé, âûðàæåííîé â âèäå ñèñòåìû îãðàíè÷åíèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðåáóåòñÿ èññëåäîâàòü ìåòîä ðåøåíèÿ â òîò ìîìåíò, êîãäà èçâåñòíà ëèøü ÷àñòü ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè.  òàêîé ñèòóàöèè ëîãè÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ìåòîä áûë ïî âîçìîæíîñòè ïðèãîäåí ïðè ïðîèçâîëüíîé íåèçâåñòíîé ÷àñòè èíôîðìàöèè. Òàê ÷òî è ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì ðàññìàòðèâàòü âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ ñ ÷àñòè÷íî îïðåäåëåííûìè îãðàíè÷åíèÿìè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî èçó÷åíèþ îäíîâðåìåííîé ðàçðåøèìîñòè âñåõ çàäà÷ èç ñåìåéñòâ, ïîëó÷àåìûõ ïðè ïðîäîëæåíèÿõ èçâåñòíîé ÷àñòè ñòðóêòóðíîé 34

èíôîðìàöèè. Èòàê, ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå èçó÷àåòñÿ îáîáùåííàÿ ïðîáëåìà ðàçðåøèìîñòè  ïðîáëåìà ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ ñèíòåçà êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ. Íà ôîðìàëüíîì óðîâíå ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî èìååòñÿ ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà Z èçó÷àåìûõ çàäà÷ ñ îáùåé ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà êëàññû, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïî íåêîòîðîìó îòíîøåíèþ ¾≈¿ (ñîîòíîøåíèå Z1 ≈ Z2 èíòåðïðåòèðóåòñÿ, íàïðèìåð, êàê ôàêò íåðàçëè÷èìîñòè çàäà÷ Z1 è Z2 â ìîìåíò âûáîðà è àíàëèçà ìîäåëè àëãîðèòìîâ). Çàäà÷à Z èç ìíîæåñòâà Z íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé, åñëè îíà ðàçðåøèìà è ðàçðåøèìû âñå çàäà÷è èç êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ¾≈¿, â êîòîðûé îíà âõîäèò. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðàçðåøèìûå çàäà÷è  ýòî çàäà÷è, äëÿ êîòîðûõ ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ îòîáðàæåíèé íåïóñòî, ò.å. çàäà÷è, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ñåìåéñòâà àëãîðèòìîâ, ñîäåðæàùèå èõ ðåøåíèÿ, ïîëó÷àåì ýêâèâàëåíòíîå ïðèâåäåííîìó îïðåäåëåíèå ðåãóëÿðíîé çàäà÷è: çàäà÷à Z èç ìíîæåñòâà Z íàçûâàåòñÿ ïîëíîé îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà M îòîáðàæåíèé èç Ii â If , åñëè â M ñîäåðæàòñÿ äîïóñòèìûå îòîáðàæåíèÿ äëÿ âñåõ çàäà÷ èç êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùåãî Z ; çàäà÷à Z íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé, åñëè äëÿ íåå ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé M, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî îíà ïîëíà. Èòàê, ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå îñíîâíûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûå çàäà÷è è ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ. Ñâîéñòâî ðåãóëÿðíîñòè, çàâèñÿùåå êàê îò ïàðàìåòðà îò îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå çàäà÷, ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì îáîáùåíèåì ñâîéñòâà ðàçðåøèìîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè äèàãîíàëüíîì îòíîøåíèè ýêâèâàëåíòíîñòè, ò.å. åñëè â êà÷åñòâå ýêâèâàëåíòíîñòè, îïðåäåëÿþùåé ðåãóëÿðíîñòü, èñïîëüçóåòñÿ ðàâåíñòâî, ñâîéñòâî ðåãóëÿðíîñòè ñîâïàäàåò ñî ñâîéñòâîì ðàçðåøèìîñòè. Îðèåíòàöèÿ íà ðåøåíèå ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîì â âûøåóêàçàííîì ñìûñëå ïîíÿòèè ðåãóëÿðíîñòè îáåñïå÷èâàåò äîïîëíèòåëüíóþ ãèáêîñòü êîíñòðóêöèÿì àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà. Ýòî âûðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî â ðàçíûõ ñëó÷àÿõ â çàâèñèìîñòè îò âíåøíèõ óñëîâèé ïî-ðàçíîìó ìîæåò áûòü ðåøåí âîïðîñ î òîì, ÷òî òàêîå ¾õîðîøî ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à¿, ïîñêîëüêó â êà÷åñòâå ôîðìàëüíîãî àíàëîãà ýòîãî ñîäåðæàòåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü èìåííî ïîíÿòèå ¾ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à¿. Îòìåòèì, ÷òî ïîäõîä òàêîãî òèïà õàðàêòåðåí è äëÿ ìíîãèõ îáëàñòåé êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè, êîãäà èçó÷àåòñÿ, ñêàæåì, âîïðîñ íå ïðîñòî î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ, íî î ñóùåñòâîâàíèè óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ è ò.ï. Ïðè íàëè÷èè êëàññà çàäà÷ Z è ýêâèâàëåíòíîñòè, îïðåäåëÿþùåé ðåãóëÿðíîñòü, èç Z îêàçûâàåòñÿ âûäåëåí ïîäêëàññ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷, êîòîðûé áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ñïåöèàëüíûì ñèìâîëîì Z[R] . Íàëè÷èå òàêîãî ïîäêëàññà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñëåäóþùåå âàæíåéøåå ïîíÿòèå  ïîíÿòèå ïîëíîé ìîäåëè àëãîðèòìîâ: ìîäåëü àëãîðèòìîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì êëàññà çàäà÷ Z, íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè â íåé äëÿ êàæäîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è èç Z[R] ñîäåðæèòñÿ êîððåêòíûé àëãîðèòì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êëàññû çàäà÷, ñòðóêòóðíûå îãðàíè÷åíèÿ è ýêâèâàëåíòíîñòè, îïðåäåëÿþùèå ïîíÿòèÿ ðåãóëÿðíîñòè, îòðàæàþò èìåþùóþñÿ ðåàëüíóþ èíôîðìàöèþ, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîíÿòèå ïîëíîòû îïðåäåëÿåò åñòåñòâåííîå ýêñòðåìàëüíîå ñâîéñòâî ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. Èìåííî ïîýòîìó èçó÷å35

íèå óñëîâèé, îáåñïå÷èâàþùèõ ïîëíîòó, è ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì âîïðîñîì àëãåáðàè÷åñêîé òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé.  ñèëó âàæíîñòè îáñóæäàåìûõ ïîíÿòèé, îòàíîâèìñÿ íà èõ èíòåðïðåòàöèè ñ åùå îäíîé òî÷êè çðåíèÿ. Äîïóñòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàçðåøèìàÿ, íî íå ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à. Åñëè äàæå ýòà çàäà÷à ïðèíàäëåæèò êëàññó, äëÿ êîòîðîãî íàéäåíà ïîëíàÿ ìîäåëü àëãîðèòìîâ è ðàçðàáîòàí ñîîòâåòñòâóþùèé ìåòîä ñèíòåçà êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ, òî ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïîñòðîåíèå ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ðåøåíèÿ äëÿ íåðåãóëÿðíîé çàäà÷è íåâîçìîæíî. Ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà òîé, â êîòîðîé ïðè êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì èññëåäîâàíèè âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü èçó÷åíèÿ âûðîæäåííûõ ñëó÷àåâ: ñòàíäàðòíûå ìåòîäû îêàçûâàþòñÿ íåïðèìåíèìû è ïðèõîäèòñÿ ñîäàâàòü ñïåöèàëüíûå êîíñòðóêöèè, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ðåøåíèÿ èìåííî âûðîæäåííûõ çàäà÷, ïðè÷åì, êàê ïðàâèëî, äëÿ çàäà÷ ñ íåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûì òèïîì âûðîæäåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì ÷àñòî âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíûé âîïðîñ îá óñëîâèÿõ, îáåñïå÷èâàþùèõ ñîäåðæàòåëüíóþ àäåêâàòíîñòü ðåøåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî, íàîáîðîò, äëÿ ðåøåíèÿ ðåãóëÿðíîé çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ íåïîëíàÿ ìîäåëü àëãîðèòìîâ. Ïðè ýòîì ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî çàäà÷à íå áóäåò ðåøåíà, è òîãäà ïðèäåòñÿ ïðèçíàòü, ÷òî íåóäà÷à öåëèêîì îáóñëîâëåíà ñëàáîñòüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé, à íå êàêèìè-òî âíåøíèìè ïðè÷èíàìè. Ïîïûòêè ïðèìåíåíèÿ íåïîëíûõ ìîäåëåé ìîãóò áûòü îñíîâàíû ëèøü íà íàäåæäå íà òî, ÷òî ìîäåëü óãàäàíà äîñòàòî÷íî óäà÷íî äëÿ êîíêðåòíîãî ñëó÷àÿ, òàê ÷òî çàäà÷à â åå ðàìêàõ ðàçðåøèìà. Èìååòñÿ, íàêîíåö, åùå îäíî îáñòîÿòåëüñòâî, îáóñëîâèâøåå èçó÷åíèå âìåñòî íåïîñðåäñòâåííî ðàçðåøèìîñòè ðåãóëÿðíîñòè è, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëíîòû. Äåëî â òîì, ÷òî ïîñêîëüêó ïîäêëàññû ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ ìåíüøå, êàê ïðàâèëî, êëàññîâ ðàçðåøèìûõ çàäà÷, òî òðåáîâàíèå ïîëíîòû (ò.å. ðàçðåøèìîñòè äëÿ âñåõ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷) îêàçûâàåòñÿ ìÿã÷å òðåáîâàíèÿ ðàçðåøèìîñòè äëÿ âñåõ â ïðèíöèïå ðàçðåøèìûõ çàäà÷.  ñèëó ýòîãî ñèíòåç ïîëíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ îêàçûâàåòñÿ îáû÷íî áîëåå ðåàëüíîé ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ çàäà÷åé, ÷åì ïîñòðîåíèå ìîäåëåé, ïðèãîäíûõ äëÿ ðåøåíèÿ âñåõ ðàçðåøèìûõ çàäà÷. Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî çàìå÷àíèÿ çàâèñèò, êîíå÷íî, îò ýêâèâàëåíòíîñòè, îïðåäåëÿþùåé ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîñòè. Êðîìå òîãî, ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îáñóæäàåìûå òðåáîâàíèÿ ê ìîäåëÿì àëãîðèòìîâ (ïîëíîòà è ðàçðåøèìîñòü âñåõ ðàçðåøèìûõ çàäà÷) îêàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè (ñì. Ÿ6.2). Äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, ïîñòàíîâêà êîòîðûõ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ìàòðèöó èíôîðìàöèè b Ib è èíôîðìàöèîííóþ ìàòðèöó Ie, ýêâèâàëåíòíîñòü, îïðåäåëÿþùàÿ ïîíÿòèÿ ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû, çàäàåòñÿ îáû÷íî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ çàäà÷ îäíîé ðàçìåðíîñòè ñ îáùèìè äëÿ âñåõ çàäà÷ ïðîñòðàíñòâàìè äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé è ñ ôèêñèðîâàííîé ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Çàäà÷è Z1 è Z2 èç òàêîãî êëàññà ñ÷èòàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñîâïàäàþò èõ ìàòðèöû èíôîðìàöèè. Òàêèì îáðàçîì êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîäåðæàùèé çàäà÷ó Z , âîçíèêàåò ïðè ïðîèçâîëüíîì âàðüèðîâàíèè èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöû ýòîé çàäà÷è. Îïðåäåëÿåìîå äàííûì îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîñòè è áóäåò â îñíîâíîì èçó÷àòüñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Èç âûøåñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî ñâîéñòâî ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè öåëè36

êîì îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé è ìàòðèö èíôîðìàöèè. Ïðîèçâîäíîå îò ðåãóëÿðíîñòè ïîíÿòèå ïîëíîòû îêàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì ñâÿçàííûì ñî ñâîåîáðàçíîé ñþðúåêòèâíîñòüþ: îáðàç ìàòðèöû èíôîðìàöèè ïðè îòîáðàæåíèè âñåìè àëãîðèòìàìè èç ïîëíîé ìîäåëè äîëæåí ñîâïàäàòü ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì èíôîðìàöèîííûõ ìàòðèö. Èòàê, ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå èçó÷àåòñÿ îáîáùåííàÿ ïðîáëåìà ðàçðåøèìîñòè  ïðîáëåìà ðåãóëÿðíîñòè, ñâÿçàííàÿ ñ íàëè÷èåì åñòåñòâåííîé èåðàðõèè çàäà÷, ò.å. îïðåäåëÿþùèõ çàäà÷è îãðàíè÷åíèé. Ïîíÿòèþ ðåãóëÿðíîñòè ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïîíÿòèÿ ïîëíîòû, âûðàæàþùèå ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà ïðèìåíÿåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ.  ðåçóëüòàòå îáðàçóåòñÿ ñèñòåìà âçàèìîñâÿçàííûõ ïîíÿòèé, èçó÷åíèå êîòîðîé äëÿ ñëó÷àÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðåäìåòîì íàñòîÿùåé ðàáîòû.

1.6

Îñíîâíûå ïðîáëåìû òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé

 Ÿ 0.3 áûëè ðàññìîòðåíû âîïðîñû, ïîÿâèâøèåñÿ íà íà÷àëüíîé ñòàäèè ðàçâèòèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà è ïðèâåäøèå ê ñîçäàíèþ èçëàãàåìîé òåîðèè. Ãëàâíîé öåëüþ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå îñíîâíûõ ¾âíóòðåííèõ¿ ïðîáëåì, èçó÷åíèå êîòîðûõ è ñîñòàâëÿåò ñîáñòâåííî ýòó òåîðèþ. Êðîìå òîãî, çäåñü ðàçáèðàþòñÿ âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ïðèëîæåíèÿìè òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ê àíàëèçó èñïîëüçóåìûõ íà ïðàêòèêå ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Îðèåíòàöèÿ òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà ðåøåíèå çàäà÷ ñèíòåçà êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè ïðèâîäèò ïðåæäå âñåãî ê íåîáõîäèìîñòè ôîðìàëüíîãî îïèñàíèÿ èçó÷àåìîãî êëàññà çàäà÷.  äàííîì ñëó÷àå òàêîé êëàññ îáðàçóþò çàäà÷è, îïðåäåëÿåìûå ñèñòåìàìè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Ïîñêîëüêó â êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé âûñòóïàþò ïðåöåäåíòû, îïèñàíèå êîòîðûõ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè äèêòóåòñÿ âíåøíèìè óñëîâèÿìè, òî â îñíîâíîì ïðîáëåìà ñâîäèòñÿ ê îïèñàíèþ è èçó÷åíèþ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Èìåííî âîïðîñ ôîðìàëèçàöèè ïîíÿòèÿ ¾óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ¿ îêàçûâàåòñÿ èñõîäíîé ïðîáëåìîé ðàçâèâàåìîé çäåñü òåîðèè. Îòìåòèì, ÷òî ïðè âûáîðå ÿçûêà äëÿ îïèñàíèÿ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ïðèõîäèòñÿ ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ñïåöèàëüíûé âèä ñóïåðïîçèöèé (ñì. (1.3.3)), èñïîëüçóåìûõ ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå äëÿ ñèíòåçà êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ. Ýòî ðåàëèçóåòñÿ ïóòåì âûäåëåíèÿ äîïóñòèìûõ îïèñàíèé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ò.å. îïèñàíèé òàêèõ, ÷òî ñóïåðïîçèöèè âèäà (1.3.3), ïîñòðîåííûå èç îòîáðàæåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ îãðàíè÷åíèÿì, ñàìè ýòèì îãðàíè÷åíèÿì óäîâëåòâîðÿþò. Òàêèì îáðàçîì, óòî÷íåííàÿ ïîñòàíîâêà èñõîäíîé ïðîáëåìû òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ñîñòîèò â ôîðìàëèçàöèè ïîíÿòèÿ ¾óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ¿, ñîãëàñîâàííîé ñ êîíñòðóêöèåé ðàñøèðåíèé ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. 37

Îäíîé èç ãëàâíûõ öåëåé òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, ïðîâîäèìûõ â ðàìêàõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå âîïðîñà î ðàçðåøèìîñòè è, áîëåå îáùå, î ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ è î ïîëíîòå ìîäåëåé àëãîðèòìîâ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ òàêîâû, ÷òî îíè ñàìè ïî ñåáå èñêëþ÷àþò âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ è ïîëíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. Òàêèì îáðàçîì âîçíèêàåò âîïðîñ î ïî ñóòè äåëà ñîãëàñîâàíèè êëàññà ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé è ýêâèâàëåíòíîñòè, îïðåäåëÿþùåé ïîíÿòèÿ ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû. Ýòîò âîïðîñ ìîæåò áûòü ïîñòàâëåí òàêèì îáðàçîì: êàêèìè ñâîéñòâàìè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè ðåãóëÿðíûå çàäà÷è è ïîëíûå ìîäåëè àëãîðèòìîâ? Ïðè íàëè÷èè îïèñàííîé íà ôîðìàëüíîì ÿçûêå ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ñîãëàñîâàííîé ñ êîíñòðóêöèåé ðàñøèðåíèé ìîäåëåé àëãîðèòìîâ è ñ îïðåäåëåíèåì ðåãóëÿðíûõ çàäà÷, îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîñòðîåíèå ñèñòåìû âçàèìîñâÿçàííûõ íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ êðèòåðèåâ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ è ïîëíîòû, ïðè÷åì êàê äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ â öåëîì, òàê è äëÿ îòäåëüíûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, ïðèìåíÿåìûõ äëÿ èõ ïîñòðîåíèÿ, ò.å. äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë. Âûâîä òàêèõ êðèòåðèåâ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé îáùåé ïðîáëåìîé òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Îïèñàíèå óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé è âûøåóêàçàííàÿ ñèñòåìà êðèòåðèåâ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåçóëüòàòû âûñîêîãî óðîâíÿ îáùíîñòè, êîòîðûå èìåííî â ñèëó îáùíîñòè îêàçûâàþòñÿ íåäîñòàòî÷íî óäîáíû ïðè àíàëèçå êîíêðåòíûõ îáúåêòîâ  çàäà÷, ìîäåëåé àëãîðèòìîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ïîýòîìó âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ âàæíàÿ ïðîáëåìà  ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòîâ, ñ îäíîé ñòîðîíû, èìåþùèõ äîñòàòî÷íî îáøèðíûå ñôåðû ïîòåíöèàëüíûõ ïðèëîæåíèé, è, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðèãîäíûõ äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ â ïðàêòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ. Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìîé îêàçûâàåòñÿ ïîñòðîåíèå ¾ïðîìåæóòî÷íûõ¿ ïî îáùíîñòè êðèòåðèåâ. Ïðèìåðàìè ðåøåíèÿ òàêîé ïðîáëåìû â íàñòîÿùåé ðàáîòå ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñû ðåçóëüòàòîâ î çàäà÷àõ ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé è î ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèÿõ äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè. Óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ ïî ñóòè äåëà ÿâëÿþòñÿ îïèñàíèÿìè íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé, â ÷àñòíîñòè  îïèñàíèÿìè ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà M∗ îòîáðàæåíèé èç Ii â If .  ìîìåíò, êîãäà îïèñàí êëàññ òàêèõ îãðàíè÷åíèé, âîçíèêàåò èõ åñòåñòâåííàÿ èåðàðõèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåíûì ñîîòíîøåíèÿì ìåæäó îòâå÷àþùèìè îãðàíè÷åíèÿì ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà M∗ . Êðîìå òîãî âîçíèêàåò èåðàðõèÿ ïîíÿòèé ¾ðåãóëÿðíîñòü¿ è ¾ïîëíîòà¿ â òîì ñìûñëå, ÷òî èç ïîëíîòû ìîäåëè àëãîðèòìîâ ïðè îäíîé ñèñòåìå óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ìîæåò âûòåêàòü ïîëíîòà ïðè äðóãîé ñèñòåìå, à êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè ïðè ðàçíûõ ñèñòåìàõ îãðàíè÷åíèé ìîãóò, íàïðèìåð, ñîâïàäàòü è ò.ä. Èçó÷åíèå ñîîòíîøåíèé òàêîãî òèïà îêàçûâàåòñÿ òàêæå îäíîé èç âàæíåéøèõ ïðîáëåì òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ïîñêîëüêó ðàçëè÷íûå ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ìîãóò áûòü â ðàçíîé ñòåïåíè óäîáíû äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ ïðîáëåì è âîçìîæíû ñèòóàöèè, êîãäà çàäà÷è, îïðåäåëåííûå íåêîòîðîé ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, áóäåò æåëàòåëüíî ðåøàòü, èñïîëüçóÿ èíóþ ñèñòåìó. 38

Ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå ÿâëÿþòñÿ êàê çàäà÷è, òàê è ýâðèñòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè, èñïîëüçóåìûå äëÿ èõ ðåøåíèÿ. Ïî îòíîøåíèþ ê çàäà÷àì îñíîâíûìè ðåçóëüòàòàìè íàñòîÿùåé ðàáîòû îêàçûâàþòñÿ óòî÷íåíèå èõ ïîñòàíîâêè è êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè (ðàçðåøèìîñòè). Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äëÿ ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé  ýòî êðèòåðèè, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îáðàçóþùèå òàêèå ìîäåëè ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé. Íàëè÷èå ýòèõ êðèòåðèåâ ïîçâîëÿåò ñòàâèòü âàæíóþ äëÿ ïðèëîæåíèé ïîáëåìó îïðåäåëåíèÿ ìèíèìàëüíîé äîñòàòî÷íîé ñëîæíîñòè ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ýòà ïðîáëåìà ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, ¾âíåøíåé¿ ïî îòíîøåíèþ ê òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, îäíàêî è ñàìà ïîñòàíîâêà ýòîãî âîïðîñà, è âñå èçâåñòíûå êîíêðåòíå ñëó÷àè åãî ðåøåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíû ñ äàííîé òåîðèåé. Íàêîíåö, âàæíîé, íî îïÿòü-òàêè ¾âíåøíåé¿, ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà ñèíòåçà è ðåàëèçàöèè ýôôåêòèâíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ êëàññîâ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Ïðè ðåøåíèè ýòîé ïðîáëåìû ïðèõîäèòñÿ îáû÷íî èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íîãî ðîäà äîïîëíèòåëüíûå ýâðèñòè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ è êîíñòðóêöèè. Ðîëü òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ ñâîäèòñÿ ïðè ýòîì ê îïðåäåëåíèþ îáùèõ íàïðàâëåíèé, â êîòîðûõ âåäåòñÿ ïîèñê ðåøåíèé. Èòàê,îñíîâíûìè ïðîáëåìàìè ñîáñòâåííî òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ÿâëÿþòñÿ:

• ïðîáëåìà ôîðìàëüíîãî îïèñàíèÿ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ñîãëàñîâàííîãî ñ èñïîëüçóåìûìè äëÿ ñèíòåçà êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ êîíñòðóêöèÿìè è ñ îïðåäåëåíèÿìè ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû; • ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì âçàèìîñâÿçàííûõ êðèòåðèåâ ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû äëÿ îáùèõ è êîíêðåòíûõ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé; • ïðîáëåìà èçó÷åíèÿ âçàèìîñâÿçè ðàçëè÷íûõ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé; • ïðîáëåìû èññëåäîâàíèÿ êîíêðåòíûõ ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîëíîòû è ìèíèìàëüíîé äîñòàòî÷íîé ñëîæíîñòè. Îïèñàíèå ïîñòðîåíèé, ïðèâîäÿùèõ ê ðåøåíèþ óêàçàííûõ ïðîáëåì äëÿ çàäà÷ è àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè, ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå îñòàëüíûõ ãëàâ íàñòîÿùåé ðàáîòû.

39

Ãëàâà 2 Îáùèå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ 2.1

Èñõîäíàÿ ôîðìàëèçàöèÿ

Öåëüþ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ÿâëÿåòñÿ îïèñàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà, êîòîðûé ìîæíî ñ÷èòàòü ôîðìàëüíûì àíàëîãîì ââåäåííîãî ðàíåå ñîäåðæàòåëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ñèñòåìàõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Äëÿ óäîáñòâà ÷òåíèÿ ïðåäïîøëåì ýòîìó êðàòêèé îáçîð îñíîâíûõ èñïîëüçóåìûõ îáîçíà÷åíèé è ïîíÿòèé. Èòàê, ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ñèíòåçà àëãîðèòìîâ A, ðåàëèçóþùèõ îòîáðàæåíèÿ èç ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé Ii â ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé If . Ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç Ii â If îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì M∗ , òàê ÷òî M∗ = { A | A : Ii → If }. Çàäà÷è îïðåäåëÿþòñÿ ñòðóêòóðíûìè èíôîðìàöèÿìè Is , âûäåëÿþùèìè èç M∗ ïîäìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ îòîáðàæåíèé, îáîçíà÷àåìûå M[Is ]. Ëþáîé àëãîðèòì A, ðåàëèçóþùèé ïðîèçâîëüíîå èç äîïóñòèìûõ îòîáðàæåíèé, íàçûâàåòñÿ êîððåêòíûì äëÿ çàäà÷è, îïðåäåëÿåìîé ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèåé Is è ÿâëÿåòñÿ åå ðåøåíèåì. Òàêèì îáðàçîì ïîíÿòèå ¾çàäà÷à¿ îêàçûâàåòñÿ ïî ñóòè äåëà ýêâèàëåíòíûì ïîíÿòèþ ¾ñòðóêòóðíàÿ èíôîðìàöèÿ¿, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îïèñàíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà M∗ , ò.å. êàê ñèñòåìà îãðàíè÷åíèé, âûäåëÿþùèõ èç M∗ ýòî ïîäìíîæåñòâî. Êîíñòðóêöèè àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ê ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìå ñèíòåçà êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ îñíîâàíû íà èñïîëüçîâàíèè ¾ïðîìåæóòî÷íîãî¿ ïî îòíîøåíèþ ê Ii è If ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ îöåíîê Ie . Ïðè ýòîì êîððåêòíûå àëãîðèòìû ñèíòåçèðóþòñÿ íà áàçå ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé, ò.å. ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé èç Ii â If , ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñóïåðïîçèöèè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ (îòîáðàæåíèé èç Ii â Ie ) è ðåøàþùèõ ïðàâèë (îòîáðàæåíèé èç Ipe â If , p  àðíîñòü ðåøàþùåãî ïðàâèëà). Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëè M îïðåäåëÿþòñÿ ìîäåëÿìè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 , S p ãäå M0 ⊆ { B | B : Ii → Ie }, è ðåøàþùèõ ïðàâèë M1 , ãäå M1 ⊆ ∞ p=1 { C | C : Ie → If }, ñëåäóþùèì îáðàçîì:

M = M1 ◦ M0 = { C ◦ (B1 × . . . × Bp )∆ | C ∈ M1 , (B1 , . . . , Bp ) ∈ (M0 )p }. 40

(2.1.1)

Äëÿ ñèíòåçà êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ èñïîëüçóþòñÿ êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè F , îïðåäåëåííûå íàä ìíîæåñòâîì îòîáðàæåíèé M0∗ = { B | B : Ii → Ie }. Ïðèìåíåíèå ñåìåéñòâà òàêèõ îïåðàöèé ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ïîèñê ðåøåíèÿ âåäåòñÿ â ðàìêàõ Fðàñøèðåíèÿ ìîäåëè M, îáîçíà÷àåìîãî F[M]:

F [ M ] = M1 ◦ F(M0 ) = { C ◦ (F1 (B11 × . . . × Br11 ) × . . . × Fp (B1p × . . . × Brpp ))∆ | | C ∈ M1 , (F1 , . . . , Fp ) ∈ Fp , B11 ∈ M0 , . . . , Brpp ∈ M0 }. (2.1.2) Êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè, ðàññìàòðèâàåìûå â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ââîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé íàä ïðîñòðàíñòâîì âîçìîæíûõ îöåíîê Ie : F (B1 , . . . , Bp )(I) = F (B1 (I), . . . , Bp (I)).

(2.1.3)

Çäåñü I ïðîáåãàåò ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé Ii , B1 , . . . , Bp  ïðîèçâîëüíûå îòîáðàæåíèÿ èç Ii â Ie , F â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà  êîððåêòèðóþùàÿ îïåðàöèÿ, â ïðàâîé ÷àñòè  îïåðàöèÿ íàä Ie . Ñèñòåìû îãðàíè÷åíèé Is ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñîâîêóïíîñòè ïàð ïîäñèñòåì  ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu è ñèñòåìû ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isl . Ñèñòåìà Isu âûäåëÿåò èç M∗ ïîäìíîæåñòâî M[Isu ], ñèñòåìà Isl  ïîäìíîæåñòâî M[Isl ], è ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî M[Is ] = M[Isu ] ∩ M[Isl ]. Îñîáåííîñòüþ ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíà âûäåëÿåò ïîäìíîæåñòâà óäîâëåòâîðÿþùèõ åé îòîáðàæåíèé íå òîëüêî èç ìíîæåñòâà M∗ âñåõ îòîáðàæåíèé èç Ii â If , íî è èç ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé { B | B : Ii → Ie }, S∞ S∞ p p p=1 { C | C : Ie → If }. p=1 { F | F : Ie → Ie } è Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôîðìàëèçîâàòü ïîíÿòèå ¾ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé¿, ïðåæäå âñåãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïðåäåëåí êëàññ K, îáúåêòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà, èñïîëüçóåìûå êàê Ii , If è Ie è âñå êîíå÷íûå äåêàðòîâû ñòåïåíè òàêèõ ìíîæåñòâ. Ïóñòü òàêæå Ψ  êàòåãîðèÿ ñ êëàññîì îáúåêòîâ K, ìîðôèçìàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ âñå îòîáðàæåíèÿ îáúåêòîâ äðóã â äðóãà, ïðè÷åì êîìïîçèöèè ìîðôèçìîâ åñòü ñóïåðïîçèöèè îòîáðàæåíèé. Âñå èñïîëüçóåìûå ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå îòîáðàæåíèÿ (¾öåëûå¿ àëãîðèòìû, àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû è ðåøàþùèå ïðàâèëà) îêàçûâàþòñÿ ïðè ýòîì ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ èëè èì ñîîòâåòñòâóþò (êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè). Êàòåãîðèÿ Ψ íå îïðåäåëåíà âûøåñêàçàííûì îäíîçíà÷íî (íåîäíîçíà÷åí âûáîð êëàññà îáúåêòîâ K). Óòî÷íåíèå îïðåäåëåíèÿ êàòåãîðèè Ψ, ò.å. êîíêðåòíûé âûáîð êëàññà îáúåêòîâ, ïðèâîäèò ê îòäåëüíûì òåîðèÿì äëÿ ðàçíûõ òèïîâ çàäà÷ è ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãîðèòìîâ. Ñêàæåì, åñëè â êà÷åñòâå K âûñòóïàåò êëàññ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû ìîãóò ñîñòàâèòü òåîðèþ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ìîíîòîííîñòè.  äàííîé ðàáîòå â îñíîâíîì â êà÷åñòâå îáúåêòîâ êëàññà K ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà íàä ïðîèçâîëüíûìè ìîíîæåñòâàìè (è, êîíå÷íî, âñå äåêàðòîâû ñòåïåíè òàêèõ ïðîñòðàíñòâ), ÷òî ïðèâîäèò ê òåîðèè çàäà÷ è àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè.  öåëîì ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ îïðåäåëÿåò ñàìûå îáùèå ðàìêè, â êîòîðûõ ïðîâîäèòñÿ èññëåäîâàíèå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íåîáõîäèìîñòü âêëþ÷åíèÿ â êëàññ K íàðÿäó ñ ìíîæåñòâàìè, èñïîëüçóåìûìè äëÿ äàííîãî êëàññà çàäà÷ è àëãîðèòìîâ â êà÷åñòâå Ii , If è Ie , âñåõ êîíå÷íûõ 41

äåêàðòîâûõ ñòåïåíåé òàêèõ ìíîæåñòâ âûòåêàåò èç íåîáõîäèìîñòè ñîâìåñòíîãî èçó÷åíèÿ êàê óíàðíûõ îòîáðàæåíèé (àëãîðèòìîâ è àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ), òàê è îòîáðàæåíèé àðíîñòè, âîîáùå ãîâîðÿ, áîëüøåé 1 (êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë). Òåïåðü (ïðè íàëè÷èè êàòåãîðèè Ψ, íî ïîêà íå ôèêñèðóÿ åå) ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu äîëæíà âûäåëÿòü èç êàæäîãî ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ ñîîòâåòñòâóþùåå ïîäìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ìîðôèçìîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ äàííûì îãðàíè÷åíèÿì. Ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ýòè ìîðôèçìû ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê ¾ïðàâèëüíî óñòðîåííûå¿ îòîáðàæåíèÿ. Äàëåå, óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äîëæíû áûòü çàìêíóòû îòíîñèòåëüíî ñóïåðïîçèöèé, ò.å. ñóïåðïîçèöèè ìîðôèçìîâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåêîòîðîé ñèñòåìå óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, òàêæå äîëæíû åé óäîâëåòâîðÿòü. Åñòåñòâåííîñòü ýòîãî òðåáîâàíèÿ â êîíòåêñòå àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà àáñîëþòíî î÷åâèäíà, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íåëüçÿ áóäåò ¾ïî ïîñòðîåíèþ¿ ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî àëãîðèòìû, ïîñòðîåííûå èç ¾ïðàâèëüíî óñòðîåííûõ¿ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàöèé, êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë ñàìè áóäóò ¾ïðàâèëüíî óñòðîåííûìè¿ îòîáðàæåíèÿìè, ò.å. áóäåò ïîòåðÿíà ñàìà ñóòü ââåäåíèÿ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Òàêèì îáðàçîì áåç òðåáîâàíèÿ çàìêíóòîñòè îòíîñèòåëüíî ñóïåðïîçèöèé ðàññìîòðåíèå óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé íåâîçìîæíî. Åñëè, íàêîíåö, ïðèíÿòü åñòåñòâåííîå òðåáîâàíèå, ÷òîáû òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ îáúåêòîâ íà ñåáÿ óäîâëåòâîðÿëè âñåì âîçìîæíûì ñèñòåìàì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, òî èç âûøåñêàçàííîãî âûòåêàåò îäíîçíà÷íûé âûâîä: ôîðìàëüíûì ýêâèâàëåíòîì ïîíÿòèÿ ¾ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé¿ ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψ, èìåþùèå òîò æå êëàññ îáúåêòîâ K. Òàê ÷òî åñëè èìååòñÿ ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu , òî îíà ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ïðîñòî êàê îïèñàíèå íåêîòîðîé ïîäêàòåãîðèè Ψ0 êàòåãîðèè Ψ, ò.å. M[Isu ] = HomΨ0 (Ii , If ). Ðàññìîòðåíèå â êà÷åñòâå ôîðìàëèçàöèè óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé òîëüêî ïîäêàòåãîðèé êàòåãîðèè Ψ, èìåþùèõ òîò æå êëàññ îáúåêòîâ, ÷òî è ñàìà Ψ, îçíà÷àåò îòñóòñòâèå îãðàíè÷åíèé íà ñâîáîäó âûáîðà ïðè ðàçðàáîòêå êîíêðåòíûõ ìåòîäîâ ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ îöåíîê Ie . Ýòî óñëîâèå íå èìååò ïðèíöèïèàëüíîãî õàðàêòåðà è íå èñêëþ÷àåò, êîíå÷íî, òîãî, ÷òî ïðè èçó÷åíèè ïîäêàòåãîðèé, èìåþùèõ áîëåå óçêèé êëàññ îáúåêòîâ, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïîëåçíûå ðåçóëüòàòû.  íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî ïîäêàòåãîðèè îñíîâíûõ êàòåãîðèé ñ êëàññîì îáúåêòîâ K, ÷òî íå áóäåò êàæäûé ðàç îãîâàðèâàòüñÿ äîïîëíèòåëüíî. Ïîñòðîåíèå êîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ ïðè àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå ïðîâîäèòñÿ ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî âûáîðà àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ýâðèñòè÷åñêèõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé M0 , M1 è F. Ïðè íàëè÷èè ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu , êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ïîäêàòåãîðèÿ Ψ0 êàòåãîðèè Ψ, âñåãäà ïðåäïîëàãàþòñÿ âûïîëíåííûìè âêëþ÷åíèÿ

M0 ⊆ HomΨ0 (Ii , Ie ), ∞ [ F ⊆ HomΨ0 (Ipe , Ie ), p=0

42

(2.1.4)

1

M

⊆

∞ [

HomΨ0 (Ipe , If ).

p=0

Ýòî ïðåäïîëîæåíèå íàêëàäûâàåò åñòåñòâåííûå ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ îãðàíè÷åíèÿ íà âûáîð äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èëè êëàññà çàäà÷ ìîäåëè àëãîðèòìîâ è ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ïîñêîëüêó ýòè ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé èìåþò ýâðèñòè÷åñêîå ïðîèñõîæäåíèå, âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (2.1.4) íå ìîæåò áûòü, âèäèìî, îáîñíîâàíî ôîðìàëüíî. Îòìåòèì, îäíàêî, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ðàññìàòðèâàåìûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé íà ïðàêòèêå ÿâíî èëè íåÿâíî èñïîëüçóþòñÿ äàííûå îá ¾îáùåé ñòðóêòóðå¿ îòîáðàæåíèÿ, êîòîðîå äîëæåí â êîíå÷íîì èòîãå ðåàëèçîâûâàòü êîððåêòíûé àëãîðèòì. Íî èìåííî òàêèå äàííûå è âûðàæàþòñÿ îãðàíè÷åíèÿìè Isu , ò.å. ïîäêàòåãîðèåé Ψ0 .  ñèëó ýòîãî óñëîâèå (2.1.4) îêàçûâàåòñÿ îáû÷íî âûïîëíåííûì ¾ïî ïîñòðîåíèþ¿.

2.2

Äîïóñòèìûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ

Âñÿêàÿ ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu îïèñûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Ψ. Îäíàêî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïðîèçâîëüíûå ïîäêàòåãîðèè èìååò ñìûñë ðàññìàòðèâàòü â êà÷åñòâå îïèñàíèé ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïîñòðîåíèè àëãîðèòìîâ èç àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë èñïîëüçóþòñÿ ñóïåðïîçèöèè äîñòàòî÷íî ñïåöèàëüíîãî âèäà (2.1.2), êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñóïåðïîçèöèÿìè ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî çàñòàâëÿåò òðåáîâàòü äëÿ ïîäêàòåãîðèé, ïðåòåíäóþùèõ íà ðîëü óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, âûïîëíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèé, êîòîðûå è ââîäÿòñÿ â äàííîì ïàðàãðàôå. Îïðåäåëåíèå 2.2.1. Ïîäêàòåãîðèÿ Ψ0 êàòåãîðèè Ψ íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé, åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû îáúåêòîâ U è V è ëþáûõ äâóõ ìîðôèçìîâ u è v èç Up1 â Vr1 è èç Up2 â Vr2 ñîîòâåòñòâåííî ïðè ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ p1 , r1 , p2 è r2 , ïðîèçâåäåíèå u × v è äèàãîíàëèçàöèÿ u∆ ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ0 . Èòàê, äîïóñêàÿ âîëüíîñòü ðå÷è, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîäêàòåãîðèÿ Ψ0 êàòåãîðèè Ψ äîïóñòèìà, åñëè îíà çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåíèé è äèàãîíàëèçàöèè. Òîëüêî äîïóñòèìûå ïîäêàòåãîðèè è ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû êàê ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Óñëîâèÿ äîïóñòèìîñòè ïðåäñòàâëÿþòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî åñòåñòâåííûìè, òàê ÷òî íåäîïóñòèìûå ïîäêàòåãîðèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïî ñóòè äåëà òèïè÷íûå ¾êîíòðïðèìåðû¿. Äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ è, ãëàâíîå, ÷òîáû ïîêàçàòü íåçàâèñèìîñòü óñëîâèé çàìêíóòîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåíèé è äèàãîíàëèçàöèè, ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà íå äîïóñòèìûõ ïîäêàòåãîðèé êàòåãîðèè ΨM , ó êîòîðîé â êà÷åñòâå îáúåêòîâ âûñòóïàþò ïðîñòî ìíîæåñòâà (è, êîíå÷íî, èõ äåêàðòîâû ñòåïåíè). Êàòåãîðèÿ Ψ1 . Äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ U è V ìíîæåñòâî HomΨ1 (U, V) ïóñòî, à ïðè ïðîèçâîëüíîì p ìíîæåñòâî HomΨ1 (Up , Up ) ñîäåðæèò òîëüêî òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå òîæäåñòâåííûõ îòîáðàæåíèé åñòü òîæ43

äåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, òî êàòåãîðèÿ Ψ1 çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåíèé ìîðôèçìîâ. Îíà, îäíàêî, íå çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëèçàöèè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå U äèàãîíàëèçàöèåé òîæäåñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ U2 íà U2 (ìîðôèçìà êàòåãîðèè Ψ1 ) ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèå u èç U â U2 , çàäàâàåìîå ðàâåíñòâîì u(U ) = (U, U ), ò.å. íå ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ1 . Êàòåãîðèÿ Ψ2 . Äëÿ ëþáûõ äâóõ îáúåêòîâ U è V ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ HomΨ2 (U, V) íå ïóñòî, åñëè U = V, è òîãäà îíî ñîäåðæèò òîëüêî òîæäåñòâåííûé ìîðôèçì, ëèáî åñëè ïðè íåêîòîðîì p âûïîëíåíî V = Up , è òîãäà ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ HomΨ2 (U, Up ) ñîäåðæèò òîëüêî äèàãîíàëèçàöèþ òîæäåñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ Up íà Up . Êàòåãîðèÿ Ψ2 çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëèçàöèè, îäíàêî íå çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåíèé ìîðôèçìîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü U  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî è u  äèàãîíàëèçàöèÿ òîæäåñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ U2 íà U2 . Ïðîèçâåäåíèå u×u  îòîáðàæåíèå U2 â U4 , íå ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Ψ2 . Äîïóñòèì, ÷òî èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu , îïèñûâàåìàÿ äîïóñòèìîé ïîäêàòåãîðèåé Ψ0 êàòåãîðèè Ψ. Ïóñòü A  àëãîðèòì, ñôîðìèðîâàííûé â âèäå C ◦ (F1 (B11 × . . . × Br11 ) × . . . × Fp (B1p × . . . × Brpp ))∆ , ãäå C åñòü p-àðíîå ðåøàþùåå ïðàâèëî, F1 , . . . , Fp  êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè è B11 , . . . , Brpp  àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû, ïðè÷åì C  ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ0 èç Ipe â If , Btk  ìîðôèçìû êàòåãîðèè Ψ0 èç Ii â Ie ïðè k ∈ {1, . . . , p}, Fk  ìîðôèçìû êàòåãîðèè Ψ0 èç Irek â Ie . Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.1.3) âûòåêàåò, ÷òî ïðè âñåõ k ∈ {1, . . . , p} ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ êîððåêòèðóþùåé îïåðàöèè Fk ê àëãîðèòìè÷åñêèì îïåðàòîðàì B1k , . . . , Brkk , ò.å. îòîáðàæåíèå Fk (B1k , . . . , Brkk ) èç Ii â If ñîâïàäàåò ñ ñóïåðïîçèöèåé Fk ◦ (B1k × . . . × Brkk )∆ , êîòîðàÿ â ñèëó äîïóñòèìîñòè êàòåãîðèè Ψ0 îêàçûâàåòñÿ åå ìîðôèçìîì. Òî÷íî òàê æå è îïåðàòîð B0 èç Ii â Ipe , ãäå   p 1 1 p B0 = F1 ◦ (B1 × . . . × Br1 )∆ × . . . × Fp ◦ (B1 × . . . × Brp ) , ∆

ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Ψ0 , è, íàêîíåö, ñàì àëãîðèòì A êàê ñóïåðïîçèöèÿ ìîðôèçìîâ C è B0  òîæå ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ0 , ÷òî è òðåáóåòñÿ. Èòàê, ïðèìåíåíèå â êà÷åñòâå ôîðìàëüíûõ ýêâèâàëåíòîâ âîçíèêàþùèõ â ðåàëüíûõ çàäà÷àõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé òîëüêî äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé îáåñïå÷èâàåò êîððåêòíîñòü ïîñòðîåíèé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà.  äàëüíåéøåì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî òàêèå êàòåãîðèè, à ïðè ââåäåíèè êîíêðåòíûõ êàòåãîðèé èëè ñåìåéñòâ êàòåãîðèé êàæäûé ðàç áóäóò ïðîâåðÿòüñÿ óñëîâèÿ äîïóñòèìîñòè.

2.3

Ïîëíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè

Èçó÷åíèå óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè ïðîâîäèòñÿ â ðàìêàõ îñíîâíîé êàòåãîðèè Ψq,l , ãäå q  ÷èñëî îäíîâðåìåííî ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ è 44

l  ÷èñëî êëàññîâ. Îáúåêòàìè ýòîé êàòåãîðèè ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà q × l-ìàòðèö íàä ïðîèçâîëüíûìè ìíîæåñòâàìè è âñå êîíå÷íûå äåêàðòîâû ñòåïåíè òàêèõ ïîñòðàíñòâ. Îòìåòèì, ÷òî èçó÷åíèå êàòåãîðèè Ψq,l ïðè ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ q è l åñòü íà ñàìîì äåëå èçó÷åíèå ñ÷åòíîãî ñåìåéñòâà òàêèõ êàòåãîðèé. Ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè îïèñûâàþòñÿ äîïóñòèìûìè ïîäêàòåãîðèÿìè êàòåãîðèé Ψq,l . Òàêèì îáðàçîì, åñëè èìååòñÿ çàäà÷à, â êîòîðîé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ âûðàæåíû äîïóñòèìîé ïîäêàòåãîðèåé Ψ0 êàòåãîðèè Ψq,l , à ëîb êàëüíûå  ïàðîé ìàòðèö (Ib0 , Ie0 ), òî çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ìîðôèçìà A êàòåãîðèè b Ψ0 èç Cq,l (I) â Cq,l (e I) òàêîãî, ÷òî A(Ib0 ) = Ie0 . Îòìåòèì, ÷òî õîòÿ èçó÷åíèå çàäà÷ ñ ôèêñèðîâàííûìè êîëè÷åñòâàìè êëàññîâ è îáúåêòîâ (÷òî ïðèâîäèò ê ðàññìîòðåíèþ ïîäêàòåãîðèé êàòåãîðèé Ψq,l ) è ïðåäñòàâëÿåò îñíîâíîé èíòåðåñ, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü â àëãîðèòìàõ, êîòîðûå â ¾ðàáî÷åì ðåæèìå¿ äîïóñêàþò èçìåíåíèÿ ýòèõ îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ (q è l). Ýòî íå îçíà÷àåò, êîíå÷íî, ÷òî â íà÷àëüíîé ñòðóêòóðíîé èíôîðìàöèè òàêèõ çàäà÷ íå ñîäåðæàòñÿ ìàòðèöà èíôîðìàöèè è èíôîðìàöèîííàÿ ìàòðèöà ïðè íåêîòîðûõ âïîëíå îïðåäåëåííûõ q è l. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè ïîñòàíîâêå è òàêèõ çàäà÷ äîëæåí áûòü îïèñàí íàáîð êëàññîâ K1 , . . . , Kl è äîëæíà áûòü çàäàíà êîíòðîëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü (S1 , . . . , Sq ), íî ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïîñòðîåííûé â ðåçóëüòàòå àëãîðèòì áûë ïðèìåíèì è ê ìàòðèöàì èíôîðìàöèè ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ñòðîê, ñòîëáöîâ, èëè ñòðîê è ñòîëáöîâ îäíîâðåìåííî. Êàê óæå ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.5, îäíèì èç ãëàâíûõ âîïðîñîâ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà ðàçðåøèìîñòè (ðåãóëÿðíîñòè) èçó÷àåìûõ çàäà÷. Äëÿ ïîëíîöåííîãî ðàññìîòðåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû òðåáóåòñÿ, ÷òîáû óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ óäîâëåòâîðÿëè äîïîëíèòåëüíîìó óñëîâèþ ïîëíîòû, êîòîðîå è áóäåò ïðåäìåòîì îáñóæäåíèÿ â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå. Ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ òðåáîâàíèÿ ïîëíîòû äëÿ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ëåãêî ïîíÿòü, åñëè ïðîàíàëèçèðîâàòü îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ðåãóëÿðíîñòè äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, ââåäåííîå â ãë. 1. Ïóñòü èìååòñÿ çàäà÷à, â êîòîðîé ñèñòåìå óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu ñîîòâåòñòâóåò äîïóñòèìàÿ ïîäêàòåãîðèÿ Ψ0 êàòåãîðèè Ψq,l , à ñèñòåìà ëîb e .  ýòîì ñëó÷àå óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè b I) êàëüíûõ îãðàíè÷åíèé âûðàæåíà ïàðîé ìàòðèö (I, M[Isu ] ∩ M[Isl ] 6= ∅ ñâîäèòñÿ ê   b u b e e b I ∈ M[Is ](I) = HomΨ0 Cq,l (I), Cq,l (I) (I),

(2.3.1)

à óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè  ê ðàâåíñòâó

  b = HomΨ0 Cq,l (I), Cq,l (e b = Cq,l (e I) (I) I). M[Isu ](I)

(2.3.2)

Ðàññìàòðèâàÿ ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ò.å. âûðàæàþùèå èõ ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l , åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ ñàìè ïî ñåáå íå çàïðåùàëè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷. Ýòî òðåáîâàíèå ïðèâîäèò ê îïðåäåëåíèþ ïîëíûõ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. 45

Îïðåäåëåíèå 2.3.1. Ïîäêàòåãîðèÿ Ψ0 êàòåãîðèè Ψq,l íàçûâàåòñÿ ïîëíîé

êàòåãîðèåé,

åñëè äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ U è V ïðè |U| > 1 âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ∞ [


HomΨ0 Cpq,l (U), Cq,l (V) (Cq,l (U)) = Cq,l (V).

(2.3.3)

p=0

Ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Isu íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè îíà âûðàæàåòñÿ ïîëíîé êàòåãîðèåé. Çàìå÷àíèå. Ïîëíûå êàòåãîðèè íå ÿâëÿþòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîëíûìè ïîäêàòåãîðèÿìè êàòåãîðèé Ψq,l â ñìûñëå îáû÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ([14]) (äëÿ ÷åãî äëÿ âñåõ îáúåêòîâ êàòåãîðèè Ψ0 òðåáîâàëîñü áû ñîâïàäåíèå ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ êàòåãîðèé Ψ0 è Ψq,l , ÷òî, ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå ïîäêàòåãîðèè èìåþò îáùèé ñ Ψq,l êëàññ îáúåêòîâ, îçíà÷àëî áû ñîâïàäåíèå Ψ0 ñ Ψq,l ). Íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå ðàâåíñòâî (2.3.3) îçíà÷àåò, ÷òî óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, âûðàæåííûå êàòåãîðèåé Ψ0 , íå îãðàíè÷èâàþò çàðàíåå îáëàñòè çíà÷åíèé ìîðôèçìîâ, ò.å. äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè íå ëèìèòèðóþò àïðèîðè âîçìîæíûå èíôîðìàöèîííûå ìàòðèöû. Èññëåäîâàíèå èìåííî òàêèõ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ñîîòâåòñòâóåò ïðåäïîëîæåíèþ î òîì, ÷òî îíè îïðåäåëÿþò îáùóþ ñòðóêòóðó îòîáðàæåíèÿ, êîòîðîå äîëæíî áûòü ðåàëèçîâàíî êîððåêòíûì àëãîðèòìîì, íî íå ñâîéñòâà ýòîãî îòîáðàæåíèÿ, ñâÿçàííûå íåïîñðåäñòâåííî ñ ïðîñòðàíñòâàìè âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èëè ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé. Äåéñòâèòåëüíî, äîïóñòèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè íåêîòîðîé çàäà÷è êëàññèôèêàöèè â êà÷åñòâå ôîðìàëèçàöèè ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé èñïîëüçóåòñÿ êàòåãîðèÿ Ψ0 , íå îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì ïîëíîòû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâà U è V òàêèå, ÷òî äëÿ íèõ íå âûïîëíåíî óñëîâèå (2.3.3). Åñëè òåïåðü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé ó ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è åñòü U è ïðîñòðàíñòâî äîïóñòèìûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé  V, òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ëþáûõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ, ðåàëèçóþùèõ ìîðôèçìû êàòåãîðèè Ψ0 , íåëüçÿ áóäåò ãàðàíòèðîâàòü ðàçðåøèìîñòü ýòîé çàäà÷è íà áàçå àíàëèçà åå ìàòðèöû èíôîðìàöèè, ò.å. çàäà÷à àïðèîðè íå áóäåò ðåãóëÿðíîé.  ñèëó ýòîãî ïðîâåäåíèå êàêèõ-ëèáî ïîñòðîåíèé äëÿ íåïîëíûõ êàòåãîðèé íå ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðèíÿòîé â äàííîé ðàáîòå òî÷êîé çðåíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîé â êà÷åñòâå îñíîâíûõ ïðîñòðàíñòâ (ïðîñòðàíñòâà äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé, îöåíîê è ò.ä.) âîçìîæíî èñïîëüçîâàíèå ïðîèçâîëüíûõ íåîäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ. Òðåáîâàíèå âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (2.3.3) ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê óñëîâèå ¾êîëëåêòèâíîé ñþðúåêòèâíîñòè¿ ìîðôèçìîâ ïîëíûõ êàòåãîðèé, ïðè÷åì ýòî óñëîâèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ, íàïðèìåð, è â ñëó÷àå, êîãäà ìíîæåñòâî U êîíå÷íî, à V  áåñêîíå÷íî. ßñíî, ÷òî â òàêîé ñèòóàöèè îòäåëüíûõ ñþðúåêöèé ïðîñòî íå ñóùåñòâóåò, îäíàêî ¾êîëëåêòèâíàÿ ñþðúåêòèâíîñòü¿ âïîëíå ìîæåò èìåòü ìåñòî. Èòàê, â êà÷åñòâå ôîðìàëüíûõ ýêâèâàëåíòîâ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè âûñòóïàþò ïîëíûå äîïóñòèìûå êàòåãîðèè  ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèé Ψq,l .  äàëüíåéøåì èìåííî òàêèå êàòåãîðèè è áóäóò èçó÷àòüñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå.

46

2.4

Íåçàâèñèìîñòü ñâîéñòâ äîïóñòèìîñòè è ïîëíîòû

Ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèé Ψq,l , èñïîëüçóåìûå êàê óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì îïðåäåëåíèé 2.2.1 è 2.3.1. Ñâîéñòâà, çàäàâàåìûå ýòèìè îïðåäåëåíèÿìè, ò.å. ñâîéñòâà äîïóñòèìîñòè è ïîëíîòû, íåçàâèñèìû, òàê ÷òî äàíííàÿ ñèñòåìà îïðåäåëåíèé ÿâëÿåòñÿ íåèçáûòî÷íîé. Ýòî áóäåò ïîêàçàíî â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ïóòåì ïîñòðîåíèÿ ïðèìåðîâ  ïîäêàòåãîðèè Ψ1 äîïóñòèìîé, íî íå ïîëíîé, è ïîäêàòåãîðèé Ψ2 è Ψ3 ïîëíûõ, íî íå äîïóñòèìûõ. Êàòåãîðèÿ Ψ1 . Êàòåãîðèÿ Ψ1  ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψ1,1 , èìåþùàÿ òîò æå êëàññ îáúåêòîâ; ìîðôèçìû êàòåãîðèè Ψ1  âñå îòîáðàæåíèÿ, âîçíèêàþùèå ïðè ïðèìåíåíèè îïåðàöèé ïðîèçâåäåíèÿ è äèàãîíàëèçàöèè ê òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèÿì. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïðîèçâîëüíûõ ðàçëè÷íûõ ìíîæåñòâàõ U è V è ïðè ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ p1 è p2 1 2 ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ1 èç Cp1,1 (U) â Cp1,1 (V) ïóñòî, òàêæå ïóñòû è ìíîæåñòâà p1 p2 ìîðôèçìîâ èç C1,1 (U) â C1,1 (U) ïðè p1 > p2 . Ïðè p1 6 p2 ýòè ìíîæåñòâà ñîäåðæàò ìîðôèçìû u òàêèå, ÷òî b1 , . . . , U bp1 ) = (U b1 , U b1 , . . . , U b1 , U b2 , . . . , U b2 , . . . , U bp1 ). u(U Êàòåãîðèÿ Ψ1 äîïóñòèìà ¾ïî ïîñòðîåíèþ¿, îäíàêî îíà íå ïîëíà, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ ìíîæåñòâ U è V è ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë p1 è p2 ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî
1 2 ìîðôèçìîâ HomΨ1 Cp1,1 (U), Cp1,1 (V) ïóñòî. Êàòåãîðèÿ Ψ2 . Òàê æå, êàê è Ψ1 , êàòåãîðèÿ Ψ2 ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Ψ1,1 ñ òåì æå êëàññîì îáúåêòîâ. Ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U è V, p1 > 1 è ïðî1 2 èçâîëüíîì p2 ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ2 èç Cp1,1 (U) â Cp1,1 (V) ÿâëÿþòñÿ âñå îòîáðàæåíèÿ p1 p2 èç C1,1 (U) â C1,1 (V); ïðè ïðîèçâîëüíîì U èìååòñÿ åäèíñòâåííûé ìîðôèçì èç C1,1 (U) â ñåáÿ  òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, îñòàëüíûå ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ ïóñòû. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ2 íå çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëèçàöèè è, ñëåäîâàòåëüíî, íåäîïóñòèìà. Îíà, îäíàêî, ïîëíà. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü U è V  ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà, |U| > 1. Ïóñòü òàêæå Vb  íåêîòîðàÿ ìàòðèöà èç C1,1 (V). Îïðåäåëèì b1 , U b2 ) ≡ Vb  äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìàòðèö îòîáðàæåíèå u èç C21,1 (U) â C1,1 (V) ðàâåíñòâîì u(U b1 è U b2 èç C1,1 (U). Ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Ψ2 , òàê ÷òî â ñèëó U ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ìàòðèöû Vb èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

HomΨ2 (C21,1 (U), C1,1 (V))(C1,1 (U)) = C1,1 (V), è, òåì áîëåå, âûïîëíåíî (2.3.3). Îòìåòèì, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ2 çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåíèé ìîðôèçìîâ, òàê ÷òî åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê äîïîëíèòåëüíûé ïðèìåð, äîêàçûâàþùèé íåçàâèñèìîñòü ñâîéñòâà çàìêíóòîñòè îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëèçàöèè îò ñâîéñòâà çàìêíóòîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåíèé. Êàòåãîðèÿ Ψ3 . Ñíîâà, êàê è Ψ2 , êàòåãîðèÿ Ψ3 ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Ψ1,1 ñ òåì æå êëàññîì îáúåêòîâ. Ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U è V è ïðîèçâîëüíîì p2 ìîð2 2 (V); (V) ÿâëÿþòñÿ âñå îòîáðàæåíèÿ èç C1,1 (U) â Cp1,1 ôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ3 èç C1,1 (U) â Cp1,1 p2 p1 3 ïðè p1 > 1 è p2 6= p1 èëè ïðè U 6= V è p1 = p2 ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ èç C1,1 (U) â C1,1 (V) 47

íåò; ïðè p1 > 1 è p2 = p1 è U = V èìååòñÿ åäèíñòâåííûé ìîðôèçì  òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå íà ñåáÿ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ3 íåçàìêíóòà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåíèé è, ñëåäîâàòåëüíî, íåäîïóñòèìà. Ïîëíîòà ýòîé êàòåãîðèè ïîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ3 çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëèçàöèè, òàê ÷òî è åå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äîïîëíèòåëüíûé ïðèìåð, äîêàçûâàþùèé íåçàâèñèìîñòü ñâîéñòâà çàìêíóòîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâåäåíèé îò ñâîéñòâà çàìêíóòîñòè îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëèçàöèè. Èòàê, âñå ðàññìàòðèâàåìûå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèé Ψq,l , îïðåäåëÿþùèå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè, âçàèìíî íåçàâèñèìû.

2.5 2.5.1

Ïðèìåðû ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñ îäíîðîäíûìè êëàññàìè

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à, â êîòîðîé èìååòñÿ èíôîðìàöèÿ î òîì, ÷òî ïîðÿäîê, â êîòîðîì àíàëèçèðóþòñÿ êëàññû, íåñóùåñòâåíåí è ÷òî êðîìå ïðåöåäåíòíûõ äàííûõ íåò ñâåäåíèé î ðàçëè÷èÿõ êëàññîâ. Îòìåòèì, ÷òî ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî ýòè êëàññû âçàèìíî íåçàâèñèìû. Íàïðèìåð, êîíêðåòíîé èíôîðìàöèåé òàêîãî òèïà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå Kj1 ∩ Kj2 = ∅ ïðè j1 6= j2 , òàê ÷òî îáúåêò, çàíåñåííûé â îäèí èç êëàññîâ, óæå íå ìîæåò áûòü çàíåñåí â äðóãîé êëàññ. Èíôîðìàöèþ òàêîãî òèïà ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê îäíîðîäíóþ îòíîñèòåëüíî êëàññîâ è ôîðìàëèçîâàòü çòî â âèäå ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, âûðàæàþùèå îäíîðîäíîñòü êëàññîâ, ñîñòîÿò â òîì, ÷òî îòîáðàæåíèå, ðåàëèçóåìîå êîððåêòíûì àëãîðèòìîì, äîëæíî êîììóòèðîâàòü ñî âñåìè ïîäñòàíîâêàìè ñòîëáöîâ ìàòðèö èíôîðìàöèè, ò.å. ïðè ëþáîé ïåðåñòàíîâêå ñòîëáöîâ â ìàòðèöå èíôîðìàöèè òî÷íî òàê æå äîëæíû ïåðåñòàâëÿòüñÿ ñòîëáöû ìàòðèöû, ïîðîæäåííîé êîððåêòíûì àëãîðèòìîì. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îïèñàííûå îãðàíè÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ óíèâåðñàëüíûìè è ÷òî èì ñîîòâåòñòâóåò ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψq,l . Äîïóñòèìîñòü è ïîëíîòà ýòîé êàòåãîðèè áóäåò ïîêàçàíà ïðè ðàññìîòðåíèè ñåìåéñòâà ñèììåòðè÷åñêèõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ⠟ 4.2. Îòìåòèì, ÷òî èíôîðìàöèÿ îá îäíîðîäíîñòè êëàññîâ ìîæåò ñî÷åòàòüñÿ ñ åùå êàêîé-òî èíôîðìàöèåé, âûðàæàåìîé ñâîåé ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé.  òàêîì ñëó÷àå ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè, ôîðìàëèçóþùåé âñþ ñèñòåìó óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé òàêîé çàäà÷è, îêàçûâàþòñÿ ïåðåñå÷åíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ êàòåãîðèé, ôîðìàëèçóþùèõ ïîäñèñòåìû. Ïðèìåð òàêîãî ðîäà äëÿ çàäà÷ ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ êëàññàìè ïîäðîáíî èññëåäîâàí â [138, 148] è îïèñàí ⠟ 6.3.

48

2.5.2

Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñ îäíîðîäíûìè îáúåêòàìè

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à, â êîòîðîé ïîðÿäîê, â êîòîðîì àíàëèçèðóþòñÿ îáúåêòû, íåñóùåñòâåíåí, è ÷òî êðîìå ïðåöåäåíòíûõ íåò äàííûõ î ðàçëè÷èÿõ îáúåêòîâ. Èíôîðìàöèþ òàêîãî òèïà ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê óñëîâèå îäíîðîäíîñòè îáúåêòîâ è òîæå ôîðìàëèçîâàòü â âèäå ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, âûðàæàþùèå îäíîðîäíîñòü îáúåêòîâ, ñîñòîÿò â òîì, ÷òî îòîáðàæåíèå, ðåàëèçóåìîå êîððåêòíûì àëãîðèòìîì äîëæíî êîììóòèðîâàòü ñî âñåìè ïîäñòàíîâêàìè ñòðîê ìàòðèö èíôîðìàöèè, ò.å. ïðè ëþáîé ïåðåñòàíîâêå ñòðîê ìàòðèöû èíôîðìàöèè òî÷íî òàê æå äîëæíû ïåðåñòàâëÿòüñÿ ñòîëáöû ìàòðèöû, ïîðîæäåííîé êîððåêòíûì àëãîðèòìîì. Îïèñàííûå îãðàíè÷åíèÿ óíèâåðñàëüíû. Ðåçóëüòàòû äëÿ íèõ ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì ¾òðàíñïîíèðîâàíèÿ¿ ïîñòðîåíèé, ïðîâîäèìûõ äëÿ ñëó÷àÿ îäíîðîäíûõ êëàññîâ. 2.5.3

Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñ íåçàâèñèìûìè êëàññàìè

Ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è, â êîòîðûõ èìååòñÿ èíôîðìàöèÿ î òîì, ÷òî ôàêòû ïðèíàäëåæíîñòè îáúåêòîâ êëàññàì ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Îòìåòèì, ÷òî ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî êëàññû îäíîðîäíû. Ôîðìàëüíûì âûðàæåíèåì äàííîãî óñëîâèÿ ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå, ÷òîáû (i, j)å ýëåìåíòû ïîðîæäàåìûõ êîððåêòíûìè àëãîðèòìàìè èíôîðìàöèîííûõ ìàòðèö çàâèñåëè òîëüêî îò ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùåãî j -ãî ñòîëáöà ìàòðèö èíôîðìàöèè. Îïèñàííîå òðåáîâàíèå ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâîëüíûå îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ìàòðèö îäèíàêîâîãî ðàçìåðà äðóã â äðóãà. Ëåãêî âèäåòü òàêæå, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå ñâîéñòâî îòîáðàæåíèé ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ñóïåðïîçèöèÿõ, ïðîèçâåäåíèÿõ è äèàãîíàëèçàöèè, òàê ÷òî ñèòóàöèÿ îïèñûâàåòñÿ äîïóñòèìîé ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Ψq,l . 2.5.4

Çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñ îäíîðîäíûìè è íåçàâèñèìûìè êëàññàìè è îáúåêòàìè

Îäíîðîäíîñòü è íåçàâèñèìîñòü ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ è êëàññîâ â ðåàëüíûõ çàäà÷àõ ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ â ñàìûõ ðàçëè÷íûõ ñî÷åòàíèÿõ. Ïîëíîå ðàññìîòðåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîðìàëüíûõ êîíñòðóêöèé áóäåò ïðîâåäåíî â ãë. 4. Çäåñü æå ìû îãðàíè÷èìñÿ ïîñëåäíèì âàæíûì ïðèìåðîì  çàäà÷àìè, â êîòîðûõ âñå è îáúåêòû, è êëàññû âçàèìíî ïîïàðíî íåçàâèñèìû è îäíîðîäíû. Ôîðìàëüíûì âûðàæåíèåì èíôîðìàöèè î íåçàâèñèìîñòè ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå, ÷òîáû (i, j)-é ýëåìåíò ïîðîæäàåìîé êîððåêòíûì àëãîðèòìîì èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöû áûë ôóíêöèåé òîëüêî îò (i, j)-ãî ýëåìåíòà ìàòðèöû èíôîðìàöèè ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è. Òàêèì îáðàçîì ðåàëèçóåìûå êîððåêòíûìè àëãîðèòìàìè îòîáðàæåíèÿ èç Cq,l (I) â Cq,l (e I) äîëæíû äîïóñêàòü ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå

b = A(kIij k ) = kfij (Iij )k , A(I) q×l q×l òàê ÷òî êàæäîå òàêîå îòîáðàæåíèå äîëæíî îïðåäåëÿòüñÿ ql ôóíêöèÿìè îäíîãî àðãóìåíòà. 49

Óñëîâèå îäíîðîäíîñòè â äàííîé ñèòóàöèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâàì f11 = f12 = . . . = fql , ò.å. íà ñàìîì äåëå ðåàëèçóåìûå êîððåêòíûìè àëãîðèòìàìè îòîáðàæåíèÿ äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ åäèíñòâåííîé ôóíêöèåé èç I â e I. Îïèñàííîå òðåáîâàíèå, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâîëüíûå îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ìàòðèö îäèíàêîâîãî ðàçìåðà äðóã â äðóãà. Ëåãêî âèäåòü òàêæå, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå ñâîéñòâî îòîáðàæåíèé ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ñóïåðïîçèöèÿõ, ïðîèçâåäåíèÿõ è äèàãîíàëèçàöèè, òàê ÷òî ñèòóàöèÿ ñíîâà îïèñûâàåòñÿ äîïóñòèìîé ïîäêàòåãîðèåé îñíîâíîé êàòåãîðèè Ψq,l . 2.5.5

Çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿ ñ ìîíîòîííûìè ïðèçíàêàìè

Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à, â êîòîðîé çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî âõîæäåíèå îáúåêòà â îïðåäåëåííûé êëàññ ìîíîòîííî çàâèñèò îò íåêîòîðîãî ïðèçíàêà (èëè ïðèçíàêîâ) â îïèñàíèè îáúåêòîâ. Çäåñü èìååòñÿ â âèäó, ÷òî îáúåêòû ïðåäñòàâëåíû òî÷êàìè äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ, êîîðäèíàòû êîòîðîãî íàçûâàþòñÿ ïðèçíàêàìè, è ÷òî çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèçíàêà îáðàçóþò óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Îáñóæäàåìàÿ èíôîðìàöèÿ ìîæåò áûòü áîëåå òî÷íî îïðåäåëåíà óñëîâèåì: åñëè îïèñàíèÿ äâóõ îáúåêòîâ S1 è S2 ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî çíà÷åíèåì âûäåëåííîãî ïðèçíàêà, ïðè÷åì ýòî çíà÷åíèå ó îáúåêòà S1 áîëüøå, ÷åì ó S2 , è åñëè îáúåêò S2 çàíåñåí â êëàññ K , òî îáúåêò S1 ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæåí áûòü çàíåñåí â ýòîò êëàññ. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òàêîãî òèïà ñ èñïîëüçîâàíèåì àëãåáðàè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé â êà÷åñòâå îñíîâíîé êàòåãîðèè åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü êàòåãîðèþ, êëàññîì îáúåêòîâ êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà q × l-ìàòðèö íàä óïîðÿäî÷åííûìè ìíîæåñòâàìè (è, êàê âñåãäà, âñå êîíå÷íûå äåêàðòîâû ñòåïåíè òàêèõ ïðîñòðàíñòâ).  ýòîé êàòåãîðèè îïèñàííîå âûøå óñëîâèå âûäåëÿåò äîïóñòèìóþ ïîäêàòåãîðèþ, ò.å. îíî ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê óíèâåðñàëüíîå îãðàíè÷åíèå. Îòìåòèì, ÷òî ýòî îãðàíè÷åíèå ìîæåò âõîäèòü â ñèñòåìó âìåñòå ñ îãðàíè÷åíèÿìè îïèñàííûõ â ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ òèïîâ. 2.5.6

Çàäà÷è ïðîãíîçèðîâàíèÿ

Ìåòîäû àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà íàèáîëåå äåòàëüíî ðàçðàáîòàíû äëÿ ñëó÷àÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ñ ôèêñèðîâàííûìè êîëè÷åñòâàìè îáúåêòîâ è êëàññîâ. Ïîëó÷åííûå äëÿ íèõ ðåçóëüòàòû äîïóñêàþò èñïîëüçîâàíèå è äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðîãíîçèðîâàíèÿ. Îáû÷íî ýòà öåëü äîñòèãàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.  êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ îáúåêòîâ ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèå ïðîãíîçèðóåìûõ ÿâëåíèé, ñåìåéñòâî âîçìîæíûõ ïðîãíîçîâ ðàçáèâàåòñÿ íà êîíå÷íîå ÷èñëî êëàññîâ è ñòàâèòñÿ çàäà÷à îòíåñåíèÿ îáúåêòîâ êëàññàì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ â òàêîì ñëó÷àå ïðîãíîçèðîâàíèåì.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òàêîé ïîäõîä ïðèâîäèò ê óäîâëåòâîðèòåëüíûì ðåçóëüòàòàì, îäíàêî åãî íåäîñòàòêîì ÿâëÿåòñÿ ïîëíîå îòñóòñòâèå ó÷åòà äèíàìè÷åñêîãî õàðàêòåðà èçó÷àåìûõ îáúåêòîâ è èõ âçàèìîñâÿçåé. Òàê, ÷àñòî èç-çà íåäîñòàòî÷íîãî êîëè÷åñòâà èñõîäíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëåçíûì èçó÷àòü â êà÷åñòâå îòäåëüíûõ îáúåêòîâ 50

ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðè ýòîì òàêèå îáúåêòû îêàçûâàþòñÿ, êîíå÷íî, óæå íå íåçàâèñèìûìè. Âîçíèêàþùèå ìåæäó íèìè åñòåñòâåííûå ñâÿçè ïðè ýòîì ÷àùå âñåãî îïèñûâàþòñÿ ïðèâåäåííûìè â ïðåäûäóùåì ïóíêòå óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè òèïà ìîíîòîííîñòè. Êðîìå òîãî, äëÿ çàäà÷ ïðîãíîçèðîâàíèÿ îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì èñïîëüçîâàòü ñïåöèôè÷åñêîå óíèâåðñàëüíîå îãðàíè÷åíèå, êîòîðîå ôîðìàëèçóåò òðåáîâàíèå ñíèæåíèÿ âëèÿíèÿ äàííûõ, äàëåêî îòñòîÿùèõ ïî âðåìåíè, íà ïðîãíîçèðóåìîå çíà÷åíèå. Ýòî îãðàíè÷åíèå åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïèñûâàåòñÿ íà ÿçûêå äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ. Äîïóñòèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ôóíêöèþ, îòîáðàæàþùóþ ïðîñòðàíñòâî äåéñòâèòåëüíûõ íàáîðîâ ïåðåìåííîé äëèíû â ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë  ïðîãíîçèðóåìûõ çíà÷åíèé, ïðè÷åì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýëåìåíòû íàáîðîâ èìåþò òó æå ïðèðîäó, ÷òî è èíòåðåñóþùèé íàñ ïðîãíîç.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðîãíîçèðóåìîé âåëè÷èíû xt áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèå xt = F (xt−1 , . . . , xt−k ). Ïðèìåíÿÿ åãî ïðè ðàçëè÷íûõ t, ïîëó÷àåì xt = F (F (xt−2 , . . . , xt−k−1 ), xt−2 , . . . , xt−k ) è ò.ä. Ïîñêîëüêó òîëüêî ÷àñòü çíà÷åíèé xt çäåñü òî÷íà, ò.å. ïîëó÷åíà èç ýêñïåðèìåíòà, òî åñòåñòâåííûì îêàçûâàåòñÿ òðåáîâàíèå, ÷òîáû âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå F áûëè îãðàíè÷åíû ïî ìîäóëþ êîíñòàíòîé 1. Òàêèì îáðàçîì âîçíèêàåò îãðàíè÷åíèå íà âèä èñêîìîé ôóíêöèè, êîòîðîå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óíèâåðñàëüíîå îãðàíè÷åíèå è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è êîððåêòèðóþùèå îïåðàöèè. Êàòåãîðèÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåò óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ çàäà÷ ïðîãíîçèðîâàíèÿ, èìååò â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóêíöèè F (x1 , . . . , xn ), Pn ∂F óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ i=1 ∂xi < 1. Ðÿä ïðèìåðîâ âîçíèêàþùèõ â ïðàêòè÷åñêèõ è ìîäåëüíûõ çàäà÷àõ ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ìîæåò, êîíå÷íî, áûòü ïðîäîëæåí, îäíàêî öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïðåæäå âñåãî èçó÷åíèå ñâÿçàííûõ ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè îáùèõ ïðîáëåì, ÷òî è ñîñòàâèò îñíîâíîå ñîäåðæàíèå ïîñëåäóþùèõ ãëàâ.

51

Ãëàâà 3 Ïðîáëåìà ðåãóëÿðíîñòè (ðàçðåøèìîñòè) çàäà÷ êëàññèôèêàöèè 3.1

Î êîððåêòíîñòè ïîñòàíîâêè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè

 íàñòîÿùåé ãëàâå áóäóò îïèñàíû ãëàâíûå îáùèå ðåçóëüòàòû òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ è àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè. Ýòè ðåçóëüòàòû è ñàì õîä èõ ïîëó÷åíèÿ ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ è êàê ¾ìîäåëü¿ äëÿ ðàçðàáîòêè àíàëîãè÷íûõ ¾ìèêðîòåîðèé¿ äëÿ èíûõ êëàññîâ çàäà÷ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè è ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãîðèòìîâ. Ïðåöåäåíòíàÿ èëè, â íàøåé òåðìèíîëîãèè  ëîêàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ â çàäà÷àõ êëàññèôèêàöèè, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé îïèñàíèÿ íåêîòîðûõ îáúåêòîâ è äàííûå î ïðèíàäëåæíîñòè ýòèõ îáúåêòîâ êëàññàì, ìîæåò â ðåàëüíûõ ñèòóàöèÿõ ñîäåðæàòü îøèáêè. Ïðè îòñóòñòâèè äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè, ïî-âèäèìîìó, åäèíñòâåííûé òèï îøèáêè  ýòî ñèòóàöèÿ, êîãäà äëÿ îäíîãî îáúåêòà îêàçûâàåòñÿ ïî-ðàçíîìó çàäàíà åãî ïðèíàäëåæíîñòü íåêîòîðîìó êëàññó. Êîãäà æå èìååòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ (óíèâåðñàëüíàÿ) èíôîðìàöèÿ îá îáùèõ çàâèñèìîñòÿõ äàííûõ îá îáúåêòàõ è êëàññàõ, âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü âîïðîñ î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ëîêàëüíîé è óíèâåðñàëüíîé èíôîðìàöèè, êîòîðûé â òàêîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ ïî ñóòè äåëà âîïðîñîì î ðàçðåøèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è. Ïîñêîëüêó ïðè íàøåì ïîäõîäå ïîñòàíîâêè çàäà÷ ñâîäÿòñÿ ê îïèñàíèþ ìíîæåñòâ äîïóñòèìûõ îòîáðàæåíèé èç ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé Ii â ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé If , à ýòè ìíîæåñòâà ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïåðåñå÷åíèÿ M[Isu ]∩M[Isl ], òî è âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè, êàê óæå ãîâîðèëîñü âûøå, ñòàâèòñÿ ôîðìàëüíî êàê âîïðîñ î íåïóñòîòå òàêèõ ïåðåñå÷åíèé. Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî ïîñêîëüêó óíèâåðñàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîïðàâíîé ñ ïðåöåäåíòíîé, òî ïðè îáíàðóæåíèè ïðîòèâîðå÷èé, ò.å. ïðè óñòàíîâëåíèè ôàêòà íåðàçðåøèìîñòè, îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ãîâîðèòü î íåêîððåêòíîñòè ñàìîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è, ò.å. îá îøèáêàõ â ïðåäñòàâëåííîé ðåàëüíîé èíôîðìàöèè, äåëàþùèõ ðåøåíèå íåâîçìîæíûì. Ðàññìîòðåíèå íàðÿäó ñ ïðîáëåìîé ðàçðåøèìîñòè åå îáîáùåíèÿ (ïðîáëåìû ðåãóëÿðíî52

ñòè) ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè èçó÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ñåìåéñòâ ìîðôèçìîâ êàòåãîðèé, âûðàæàþùèõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Ýòè àáñòðàêòíûå ñâîéñòâà ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé áóäóò ïðåäìåòîì àíàëèçà â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. Ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî ïîñêîëüêó îñíîâíîå äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîñòè âûðàæàåòñÿ óñëîâèåì ¾ïðè äàííîé ìàòðèöå èíôîðìàöèè è ïðîèçâîëüíîé èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöå çàäà÷à ðàçðåøèìà¿, òî îñíîâíûì ôîðìàëüíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ îêàçûâàåòñÿ ñâîéñòâî ¾êîëëåêòèâíîé ñþðúåêòèâíîñòè¿ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé. Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñòðîåíèÿ èìåþò ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð, è ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òåîðèÿ çàäà÷ è àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïîâîäîì äëÿ èõ ïðîâåäåíèÿ. Íà áàçå ïîíÿòèé è ðåçóëüòàòîâ ïàðàãðàôà 3.2 â ñëåäóþùåì çà íèì ïàðàãðàôå áóäåò ïîëó÷åí îáùèé êðèòåðèé ðàçðåøèìîñòè è ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Ýòîò êðèòåðèé ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê äëÿ àíàëèçà êîíêðåòíûõ çàäà÷, òàê è äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýâðèñòè÷åñêèõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, ïðèìåíÿåìûõ ïðè ïîñòðîåíèè ðåøåíèé. Ïðîâåðêè ðàçðåøèìîñòè è ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè òðåáóþò ïðè ýòîì ïðîâåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èçó÷åíèÿ êîíêðåòíûõ êàòåãîðèé, âûðàæàþùèõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Òàêîå èçó÷åíèå äëÿ ìíîãèõ ñëó÷àåâ áóäåò ïðîâåäåíî â ñëåäóþùåé ãëàâå. Äëÿ èçó÷åíèÿ æå ýâðèñòè÷åñêèõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé ïðè íàëè÷èè êðèòåðèåâ ðåãóëÿðíîñòè îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì èñïîëüçîâàòü îáùèå êðèòåðèè ïîëíîòû, ïîëó÷åíèþ êîòîðûõ ïîñâÿùåíî ñîäåðæàíèå ïàðàãðàôîâ 3.4 è 3.5. Ñîâîêóïíîñòü êðèòåðèåâ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ è ïîëíîòû ñåìåéñòâ ìîðôèçìîâ îáðàçóåò ñèñòåìó ãëóáîêî âíóòðåííå ñâÿçàííûõ óñëîâèé. Ýòè âíóòðåííèå ñâÿçè ðàññìàòðèâàþòñÿ â ïîñëåäíåì ïàðàãðàôå ãëàâû.

3.2

Áàçû ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé

Íà ïðîòÿæåíèè ïàðàãðàôîâ 3.23.4 áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî çàôèêñèðîâàíà íåêîòîðàÿ ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ Ψ0  ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψq,l , è ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U è V è ïðîèçâîëüíîì ïîäìíîæåñòâå X ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö Cq,l (U) áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ñîêðàùåííûå îáîçíà÷åíèÿ:

H(U, V) = HomΨ0 (Cq,l (U), Cq,l (V)); ∞ S H(U, V) = HomΨ0 (Cpq,l (U), Cq,l (V)); p=0

b ) | u ∈ H(U, V), U b ∈ X }; H(U, V)(X) = { u(U ∞ S b1 , . . . , U bp ) | u ∈ H(U, V), (U b1 , . . . , U bp ) ∈ X p }. H(U, V)(X) = { u(U p=0

Ïîíÿòèå ïîëíîé êàòåãîðèè ââåäåíî îïðåäåëåíèåì 2.3.1 ïðè èñïîëüçîâàíèè ¾öåëûõ¿ ïðîñòðàíñòâ ìàòðèö Cq,l (U). Ïîñêîëüêó ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ðåàëüíî âîçíèêàþò ñîáñòâåííûå ïîäìíîæåñòâà òàêèõ ïðîñòðàíñòâ, òî òðåáóåòñÿ è ñîîòâåòñòâóþùåå îáùåå ïîíÿòèå, ñâÿçûâàþùåå ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâ ìàòðèö è ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Ýòèì ïîíÿòèåì, öåíòðàëüíûì ïðè èçó÷åíèè ïðîáëåìû ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû, îêàçûâàåòñÿ ïîíÿòèå áàçû: 53

Îïðåäåëåíèå 3.2.1. Ïóñòü U  ìíîæåñòâî è X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà ìàò-

ðèö Cq,l (U). Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) èëè ïðîñòî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 , åñëè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî H(U, U)(X) = Cq,l (U). Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ìàòðèö X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 , åñëè ëþáàÿ ìàòðèöà èç Cq,l (U) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç âõîäÿùèõ â X ìàòðèö ñ ïîìîùüþ ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ0 . Ñóùåñòâåííî, ÷òî ïðè ýòîì íå òðåáóåòñÿ åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ìàòðèö èç Cq,l (U), òàê ÷òî ëþáîå íàäìíîæåñòâî áàçû ÿâëÿåòñÿ áàçîé. Îòìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå áàçû àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ ïîäìíîæåñòâà ëèíåéíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà, ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì. Ñâîéñòâî ¾áûòü áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 ¿ îïðåäåëåíî äëÿ ïîäìíîæåñòâ X ïðîñòðàíñòâ ìàòðèö Cq,l (U) òîëüêî íà îñíîâå ìîðôèçìîâ, îòîáðàæàþùèõ Cq,l (U) â ñåáÿ èëè äåêàðòîâû ñòåïåíè Cq,l (U) â Cq,l (U). Ïîñêîëüêó îñíîâíîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò â êîíå÷íîì èòîãå îòîáðàæåíèÿ èç îäíîãî ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö â äðóãîå, òî íåîáõîäèìî âûÿñíåíèå ðîëè áàç ïðè òàêèõ ïåðåõîäàõ, ÷òî è áóäåò íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ. Îïðåäåëåíèå 3.2.2. Ïóñòü U è V  íåêîòîðûå ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà, |U| > 1 è X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö Cq,l (U). Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) äëÿ Cq,l (V), åñëè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî H(U, V)(X) = Cq,l (V). Ëåììà 3.2.1. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ U è V ïðè |U| > 1 è |V| > 1 è ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà X ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U) âûñêàçûâàíèÿ ¾X  áàçà êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U)¿ è ¾X  áàçà êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) äëÿ Cq,l (V)¿ ýêâèâàëåíòíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîäìíîæåñòâî X ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö Cq,l (U) ÿâëÿåòñÿ áàçîé b èç Cq,l (U) ïðè ïîäõîäÿùèõ êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ìàòðèöû U b1 , . . . , U bp èç X è ïðè íåêîòîðîì ìîðôèçìå u êàòåãîðèè Ψ0 èç Cp (U) â Cq,l (U) âûïîëíåíî U q,l ðàâåíñòâî b = u(U b1 , . . . , U bp ). U (3.2.1) Èç òîãî, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ0 ïîëíà, âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà Vb ïðîñòðàíñòâà Cq,l (V) ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå

b1 , . . . , U br ), Vb = v(U

(3.2.2)

b1 , . . . , U br  ìàòðèöû èç Cq,l (U) è v  ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ0 èç Cr (U) â Cq,l (V). ãäå U q,l b1 , . . . , U br èç (3.2.2) âõîäÿùèå â (3.2.1) ìàòðèöû Çàôèêñèðóåì äëÿ êàæäîé èç ìàòðèö U b k, . . . , U b k è ìîðôèçì uk , ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî U 1 pk bpk ), bk = uk (U b1k , . . . , U U k

(3.2.3)

bpk ) ∈ X k ïðè k ∈ {1, . . . , r}. b1k , . . . , U ãäå uk ∈ H(U, U) è (U k Èç ðàâåíñòâ (3.2.2) è (3.2.3) ïîëó÷àåì b1 , U b 2, . . . , U b k ), b11 , . . . , U Vbk = v ∗ (U p1 1 pk

(3.2.4)

ãäå v ∗ = v ◦ (u1 × . . . × ur )  ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ0 , ò.ê. ïî ïðåäïîëîæåíèþ ýòà êàòåãîðèÿ äîïóñòèìà. Èòàê, äëÿ ïðîèçâîëüíîé íàïåðåä çàäàííîé ìàòðèöû Vb èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (V) 54

ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå

b1 , . . . , U bs ), Vb = u(U

(3.2.5)

b1 , . . . , U bs  ìàòðèöû èç ìíîæåñòâà X . Îòñþäà âûòåêàåò, ãäå u  ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ0 è U ÷òî H(U, V)(X) = Cq,l (V), (3.2.6) ò.å. ÷òî ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U) äëÿ Cq,l (V). b Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî X ⊆ Cq,l (U), X  áàçà êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) äëÿ Cq,l (V) è ÷òî U  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U). Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î ïîëíîòå êàòåãîðèè b ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå Ψ0 âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ìàòðèöû U

b = u(Vb1 , . . . , Vbp ), U

(3.2.7)

ãäå Vb1 , . . . , Vbp  ïîäõîäÿùèå ìàòðèöû èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (V) è u  ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ0 èç Cpq,l (V) â Cq,l (U). Ïîñêîëüêó X  áàçà êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) äëÿ Cq,l (V), êàæäàÿ èç ìàòðèö Vb1 , . . . , Vbp ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

b1k , . . . , U brk ), Vbk = vk (U k

(3.2.8)

b k  ìàòðèöû èç ìíîæåñòâà X è vk  ìîðôèçìû êàòåãîðèè Ψ0 ïðè k ∈ b k, . . . , U ãäå U rk 1 {1, . . . , p}. Èç (3.2.7) è (3.2.8) ïîëó÷àåì b = u∗ (U b11 , . . . , U brp ), U p

(3.2.9)

ãäå u∗ = u ◦ (v1 × . . . × vp )  ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ0 â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî Ψ0  äîïóñòèìà. b ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå Èòàê, äëÿ U

b = u(U b1 , . . . , U bs ), U

(3.2.10)

b1 , . . . , U bs  ìàòðèöû èç X è u  ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψ0 èç Cs (U) â Cq,l (U). ãäå U q,l b , òàê ÷òî Ïðåäñòàâëåíèå (3.2.10) ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû U äëÿ ìíîæåñòâà X âûïîëíåíî ðàâåíñòâî H(U, U)(X) = Cq,l (U), îçíà÷àþùåå, ÷òî X  áàçà êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U). Ëåììà äîêàçàíà. Èòàê, ïîíÿòèÿ áàç, ââåäåííûå îïðåäåëåíèÿìè 3.2.1 è 3.2.2, äëÿ ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé ñîâïàäàþò. Îòìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèÿ 3.2.1 è 3.2.2 ïðèìåíèìû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå òîëüêî ê ïîëíûì äîïóñòèìûì ïîäêàòåãîðèÿì êàòåãîðèè Ψq,l . Îäíàêî äëÿ êàòåãîðèè, íå îáëàäàþùåé ñâîéñòâîì ïîëíîòû èëè äîïóñòèìîñòè, óòâåðæäåíèå ëåììû 3.2.1 ìîæåò îêàçàòüñÿ íåâåðíûì. Íàïðèìåð, äëÿ êàòåãîðèè Ψ1 , îïèñàííîé â ïàðàãðàôå 2.4, ñàìî ïðîñòðàíñòâî C1,1 (U) ïðè ëþáîì ìíîæåñòâå U ÿâëÿåòñÿ áàçîé â ýòîì ïðîñòðàíñòâå, íî íå ÿâëÿåòñÿ áàçîé â íåì äëÿ ëþáîãî äðóãîãî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (V). 55

3.3

Îáùèé êðèòåðèé ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè

Ïðè èñïîëüçîâàíèè êîíñòðóêöèé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà îñíîâíîé ñõåìîé ïåðåõîäà îò îäíîãî ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö ê äðóãîìó ÿâëÿåòñÿ ñõåìà M

Cq,l (I) −→ Cq,l (e I)  x  0  1 yM M

(3.3.1)

F

Cq,l (R) −→ Cq,l (R) ãäå M0  ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, F  ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, M1  ñåìåéñòâî ðåøàþùèõ ïðàâèë è M  ìîäåëü àëãîðèòìîâ-ñóïåðïîçèöèé. Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííî, ÷òî ìíîæåñòâà M è M0 ñîñòîÿò èç óíàðíûõ îòîáðàæåíèé, à F è M1  èç îòîáðàæåíèé ïðîèçâîëüíûõ àðíîñòåé.  ïðåäåëüíîì (êîíå÷íî, ÷èñòî òåîðåòè÷åñêîì) ñëó÷àå â êà÷åñòâå óêàçàííûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé ìîãóò âûñòóïàòü ïðîñòî ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè, âûðàæàþùåé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü óñëîâèÿ, êîòîðûì íåçàâèñèìî îò ìîäåëåé àëãîðèòìîâ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü çàäà÷è, ò.å. äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü îáùèé êðèòåðèé ðåãóëÿðíîñòè, ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü ñõåìó H(U,V)

Cq,l (U) −−−−−−−−−−−− → Cq,l (V)  x   yH(U,W) H(W,V)

(3.3.2)

H(W,W)

Cq,l (W) −−−−−−−−−−−− → Cq,l (W) äëÿ äîïóñòèìûõ ïîëíûõ êàòåãîðèé Ψ0 è äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íåîäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ U, V è W. Ëåììà 3.3.1. Ïóñòü U, V è W  ïðîèçâîëüíûå íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, X è Y  ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâ ìàòðèö Cq,l (U) è Cq,l (W) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà:  äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî ëþáîå èç ðàâåíñòâ

H(U, V)(X) = Cq,l (V)   H(W, V) H(W, W)(H(U, W)(X)) = Cq,l (V),

(3.3.3) (3.3.4)

íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìíîæåñòâî X áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U);  äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî ëþáîå èç ðàâåíñòâ

H(W, V)(Y ) = Cq,l (V)

(3.3.5)

H(W, V)(H(W, W)(Y )) = Cq,l (V),

(3.3.6)

íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìíîæåñòâî Y áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (W).

56

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè âûïîëíåíèè ðàâåíñòâà (3.3.3) òåì áîëåå âûïîëíåíî ðàâåíñòâî H(U, V)(X) = Cq,l (V), à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî X ÿâëÿåñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U) (ëåììà 3.2.1). Ðàâåíñòâî (3.3.4) âëå÷åò ðàâåíñòâî (3.3.3), ïîñêîëüêó äëÿ äîïóñòèìîé êàòåãîðèè Ψ0 è ïðîèçâîëüíîãî ïîäìíîæåñòâà X ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U) âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå

H(W, V) (H(W, W)(H(U, W)(X))) ⊆ H(U, V)(X). Òàêèì îáðàçîì, íàëè÷èå ó ìíîæåñòâà X ñâîéñòâà áûòü áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 , íåîáõîäèìîå äëÿ (3.3.3), îêàçûâàåòñÿ íåîáõîäèìûì è äëÿ (3.3.4). Ðàâåíñòâî (3.3.5) ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåíèåì áàçû êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (W) äëÿ Cq,l (V), è äîêàçàòåëüñòâî ñâîäèòñÿ ê ññûëêå íà ëåììó 3.2.1. Ðàâåíñòâî (3.3.6) ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó (3.3.5), ò.ê. äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà Y ïðîñòðàíñòâà Cq,l (W) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

H(W, V) (H(W, W)(Y )) = H(W, V)(Y ). Ëåììà äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå ëåììû äëÿ ìíîæåñòâà X íå ìîæåò áûòü óñèëåíî, ò.å. íåâåðíî, ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâ (3.3.3) èëè (3.3.4) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû X áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U). ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ Ψ1 , äëÿ êîòîðîé äàííîå óñèëåíèå óòâåðæäåíèÿ ëåììû íå èìååò ìåñòà. Êëàññ îáúåêòîâ êàòåãîðèè Ψ1 òîò æå, ÷òî è ó êàòåãîðèè Ψq,l , ò.å. åå îáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà q × l-ìàòðèö íàä ïðîèçâîëüíûìè ìíîæåñòâàìè è âñå êîíå÷íûå äåêàðòîâû ñòåïåíè òàêèõ ïðîñòðàíñòâ. Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî â êàæäîì ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö Cq,l (U) b0. âûäåëåíà ìàòðèöà U Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ðàçëè÷íûõ ìíîæåñòâ U è V è ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë p1 è p2 ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ1 èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) ñîäåðæèò âñå îòîáðàæåíèÿ u èç b, U b0 }, ãäå U b  ïðîèçâîëüíàÿ Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) òàêèå, ÷òî ñóæåíèå u íà ëþáîå èç ìíîæåñòâ {U b0  âûäåëåííàÿ ìàòðèöû èç Cq,l (U), ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì â îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåèU ñòâî {(Vb0 , . . . , Vb0 )}, ãäå Vb0  ìàòðèöà, âûäåëåííàÿ â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (V). Èíà÷å ãîâîðÿ, ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ1 ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå îòîáðàæåíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàþò b0 ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå  âåêòîð (Vb0 , . . . , Vb0 ) íà íàáîðàõ ìàòðèö, â êîòîðûå âìåñòå ñ U b èç Cq,l (U). Èòàê, ïðè U 6= V ìîðôèçìû êàòåãîðèè Ψ0 âõîäèò òîëüêî åùå îäíà ìàòðèöà U  ýòî îòîáðàæåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ   p1 b b b b b b b b b b b ∀(U1 , . . . , Up1 ) (∃U (U1 , . . . , Up1 ) ∈ {U , U0 } ) → (u(U1 , . . . , Up1 ) = (V0 , . . . , V0 )) , (3.3.7)

b ∈ Cq,l (U). b1 , . . . , U bp1 ) ∈ Cp1 (U) è U ãäå (U q,l Ïðè ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå U è ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ p1 è p2 ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ1 èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (U) ÿâëÿþòñÿ âñå îòîáðàæåíèÿ u èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (U) òàêèå, ÷òî b0 b, U b0 }p2 , ãäå U b ñóæåíèå u íà {U b, U b0 }p1 åñòü îòîáðàæåíèå â {U ïðè ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöå U 57

 ìàòðèöà, âûäåëåííàÿ â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U). Òàê ÷òî ìîðôèçìû êàòåãîðèè Ψ1 èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (U)  ýòî îòîáðàæåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ

  b1 , . . . , U bp1 ) (∃U b (U b1 , . . . , U bp1 ) ∈ {U b, U b0 }p1 ) → (u(U b1 , . . . , U bp1 ) ∈ {U b, U b0 }p2 ) , ∀(U

(3.3.8)

b1 , . . . , U bp1 ) ∈ Cp1 (U) è U b ∈ Cq,l (U). ãäå (U q,l Ïîêàæåì ïðåæäå âñåãî, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ1 îïèñàíà êîððåêòíî, ò.å. ÷òî óêàçàííûå âûøå ìíîæåñòâà îòîáðàæåíèé äåéñòâèòåëüíî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî ñóïåðïîçèöèè îòîáðàæåíèé, âûäåëåííûõ êàê ìîðôèçìû, ñíîâà ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè è ÷òî òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ  ìîðôèçìû. Ïóñòü u è v , ãäå u : Cpq,l1 (U) → Cpq,l2 (V) è v : Cpq,l2 (V) → Cpq,l3 (W),  ìîðôèçìû êàòåãîb  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U) è U b0 , Vb0 è W c0  ìàòðèöû, ðèè Ψ1 , U âûäåëåííûå â Cq,l (U), Cq,l (V) è Cq,l (W) ñîîòâåòñòâåííî. b1 , . . . , U bp1 )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð ìàòðèö èç ìíîæåñòâà {U b, U b0 }p1 . Ïóñòü òåïåðü (U Ïðè U 6= V è V 6= W äëÿ ñóïåðïîçèöèè v ◦ u îòîáðàæåíèé u è v èç (3.3.7) èìååì:

b1 , . . . , U bp1 ) = v(u(U b1 , . . . , U bp1 )) = v(Vb0 , . . . , Vb0 ) = (W c0 , . . . , W c0 ). v ◦ u(U Åñëè U = V 6= W, òî èç (3.3.8) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

b1 , . . . , U bp1 ) = v(U b0, . . . , U b 0 ), v ◦ u(U 1 p2 b 0 )  íàáîð èç ìíîæåñòâà {U b, U b0 }p2 . Èñïîëüçóÿ òåïåðü (3.3.7), èìååì b0, . . . , U ãäå (U p2 1 b10 , . . . , U bp0 ) = (W c0 , . . . , W c0 ). v(U 2 Àíàëîãè÷íî ïðè U 6= V = W ïîëó÷àåì öåïî÷êó ñîîòíîøåíèé

b1 , . . . , U bp1 ) = v(Vb0 , . . . , Vb0 ) = (Vb0 , . . . , Vb0 ) ∈ {Vb0 , Vb0 }p3 v ◦ u(U è ïðè U = V = W  ðàâåíñòâî

b1 , . . . , U bp1 ) = v(U b10 , . . . , U bp0 ), v ◦ u(U 2 b, U b0 }p3 . bp0 ) ∈ {U b10 , . . . , U b, U b0 }p2 , à ïîòîìó âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå v(U bp0 ) ∈ {U b10 , . . . , U ãäå (U 2 2 Èòàê, ñóïåðïîçèöèè îïèñàííûõ îòîáðàæåíèé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (3.3.7) èëè (3.3.8). Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî è òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (3.3.8), òàê ÷òî Ψ1  äåéñòâèòåëüíî ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψq,l . Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ1 äîïóñòèìà. Ïóñòü U è V  ðàçëè÷íûå ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà è u  îòîáðàæåíèå èç Cpq,l1 (U) â Cq,l (V)p2 , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (3.3.7). Äèàãîíàëèçàöèÿ ýòîãî îòîáðàæåíèÿ, ò.å. îòîáðàæåíèå u∆ èç Cq,l (U) â Cpq,l2 (V), îïðåäåëåííîå äëÿ âñåõ U ∈ Cq,l (U) ðàâåíñòâîì b ) = u(U b, . . . , U b ) = (Vb0 , . . . , Vb0 ), u∆ (U 58

òàêæå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.3.7). Åñëè æå u : Cpq,l1 (U) → Cpq,l2 (U), U  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî è u óäîâëåòâîðÿåò óñëîb èç Cq,l (U) èìååì âêëþ÷åíèå âèþ (3.3.8), òî äëÿ u∆ è ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû U

b ) = u(U b, . . . , U b ) ∈ {U b, U b0 }p2 , u∆ (U ò.å. u∆ òàêæå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.3.8). Èòàê, Ψ1 çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëèçàöèè. Ïóñòü òåïåðü U è V  ïðîèçâîëüíûå ðàçëè÷íûå ìíîæåñòâà è u è v  îòîáðàæåíèÿ èç Cpq,l1 (U) â Cq,l (V)p2 è èç Crq,l1 (U) â Cq,l (V)r2 ñîîòâåòñòâåííî, óäîâëåòâîðÿþùèå b  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U) è óñëîâèþ (3.3.7). Ïóñòü òàêæå U b1 , . . . , U bp1 +r1 )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð èç {U b, U b0 }p1 +r1 .  ýòîì ñëó÷àå (U b1 , . . . , U bp1 ) ∈ (U p r b, U b0 } 1 è (U bp1 +1 , . . . , U bp1 +r1 ) ∈ {U b, U b0 } 1 , òàê ÷òî èç (3.3.7) ïîëó÷àåì u(U b1 , . . . , U bp1 ) = {U bp1 +1 , . . . , U bp1 +r1 ) = (Vb0 , . . . , Vb0 ). (Vb0 , . . . , Vb0 ) è v(U Èç ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ âûòåêàåò, ÷òî   b1 , . . . , U bp1 +r1 ) = u(U b1 , . . . , U bp1 ), v(U bp1 +1 , . . . , U bp1 +r1 ) = (Vb0 , . . . , Vb0 ). u × v(U Èòàê, ïðîèçâåäåíèå u × v óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.3.7) è ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Ψ1 . Åñëè æå ïðè íåêîòîðîì ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå U äàíû ìîðôèçìû u èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (U) è v èç Crq,l1 (U) â Crq,l2 (U), òî, êàê è âûøå, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà ìàòðèö b1 , . . . , U bp1 +r1 ) ∈ {U b, U b0 }p1 +r1 (ïðè ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöå U b ) è äëÿ óäîâëåòâîðÿþùèõ (U b1 , . . . , U bp1 ) ∈ {U b, U b0 }p2 è v(U bp1 +1 , . . . , U bp1 +r1 ) ∈ {U b, U b0 }r2 , óñëîâèþ (3.3.8) u è v èìååì u(U òàê ÷òî   b b b b b b b, U b0 }p2 +r2 , v × u(U1 , . . . , Up1 +r1 ) = u(U1 , . . . , Up1 ), v(Up1 +1 , . . . . . . , Up1 +r1 ) ∈ {U ò.å. äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ u × v óñëîâèå (3.3.8) ñíîâà âûïîëíåíî è u × v  ìîðôèçì ðàññìàòðèâàåìîé êàòåãîðèè Ψ1 . Äîïóñòèìîñòü êàòåãîðèè Ψ1 äîêàçàíà. Ïîêàæåì òåïåðü ÷òî äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ Ψ1 ïîëíà, ò.å. ÷òî ïðè ëþáîì íåîäíîýëåìåíòíîì ìíîæåñòâå U è ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå V âûïîëíåíî H(U, V)(Cq,l (U)) = Cq,l (V). b0 , ãäå U b0 b0 è U b20 6= U b10 6= U b20 , U b10 6= U b20  ìàòðèöû èç Cq,l (U) òàêèå, ÷òî U b10 è U Ïóñòü U b0 è U b 0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U)  ìàòðèöà, âûäåëåííàÿ â Cq,l (U). Ñóùåñòâîâàíèå ìàòðèö U 1 2 ãàðàíòèðóåòñÿ ïðåäïîëîæåíèåì î íåîäíîýëåìåíòíîñòè U è î òîì, ÷òî ql > 1. Ñîïîñòàâèì êàæäîé ìàòðèöå Vb èç Cq,l (V) îòîáðàæåíèå uVb èç C2q,l (U) â Cq,l (V) òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ b1 , U b2 ) èç C2 (U) (U q,l  b b b b0 b0 b1 , U b2 ) = V ïðè (U1 , U2 ) = (U1 , U2 ) uVb (U Vb0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè U 6= V îòîáðàæåíèÿ uVb óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (3.3.7), à ïðè U = V  (3.3.8), òàê ÷òî îòîáðàæåíèÿ uVb ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ1 . ßñíî 59

òàêæå, ÷òî êîãäà èíäåêñ Vb ïðîáåãàåò Cq,l (V), ýòî æå ïðîñòðàíñòâî ïðîáåãàåòñÿ çíà÷åíèåì b 0, U b 0 ), òàê ÷òî uVb (U 1 2 o [ n b10 , U b20 ) = Cq,l (V) uVb (U Vb ∈Cq,l (V)

è, òåì áîëåå, H(U, V)(Cq,l (U)) = Cq,l (V), ÷òî è òðåáóåòñÿ. Èòàê, ïîêàçàíî, ÷òî Ψ1  ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ. Èç ïîñòðîåíèÿ, ïðîâåäåííîãî ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïîëíîòû, íåòðóäíî óñìîòðåòü, ÷òî ïðè ëþáîì ìíîæåñòâå U ïîäìíîæåñòâî X ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö Cq,l (U) ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ1 , åñëè â X ñîäåðæàòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå äâå îòëè÷íûå îò âûäåëåííîé â Cq,l (U) ìàòðèöû. Èíûõ áàç ó êàòåãîðèè Ψ1 íåò. Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî ìíîæåñòâà U, V è W â ôîðìóëèðîâêå ëåììû 3.3.1 ïîïàðíî ðàçëè÷íû è ÷òî X  áàçà êàòåãîðèè Ψ1 â Cq,l (U). Èç óñëîâèÿ (3.3.7) ïîëó÷àåì

H(U, V)(X) = {Vb0 } = 6 Cq,l (V) è

    c0 }) = H(W, V) H(W, W)(H(U, W)(X)) = H(W, V) H(W, W)({W c0 }) = {Vb0 } = = H(W, V)({W 6 Cq,l (V), ò.å. ìíîæåñòâî X â äàííîì ñëó÷àå  áàçà, äëÿ êîòîðîé ðàâåíñòâà (3.3.3) è (3.3.4) íå âûïîëíåíû, òàê ÷òî äëÿ èõ âûïîëíåíèÿ äåéñòâèòåëüíî ëèøü íåîáõîäèìî, íî íå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû X áûëî áàçîé. Óòâåðæäåíèå ëåììû 3.3.1 â îñíîâíîì ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû èç ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U) èëè èç ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî èç ýêçåìïëÿðîâ ïðîñòðàíñòâà Cq,l (W) â ñõåìå (3.3.1) â åå ðàìêàõ ìîæíî áûëî ïîëó÷èòü âñå ïðîñòðàíñòâî Cq,l (V), íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàåìûå ïîäìíîæåñòâà áûëè áàçàìè êàòåãîðèè Ψ0 . Ýòîò ôàêò èìååò ñàìîå íåïîñðåäñòâåííîå îòíîøåíèå ê ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ðàññìîòðåòü õîä ðåøåíèÿ íåêîòîðîé çàäà÷è êëàññèôèêàöèè, ó êîòîðîé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ âûðàæåíû êàòåãîðèåé Ψ0 è ìàòðèöà èíôîðìàöèè åñòü Ib0 , òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé F è ðåøàþùèõ ïðàâèë M1 ïðèäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî àíàëèçèðîâàòü ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâ Cq,l (R) è Cq,l (e I):

M0 (Ib0 ) = { B(Ib0 ) | B ∈ M0 }, (3.3.9) b1 , . . . , R bp ) | F ∈ F, (R b1 , . . . , R bp ) ∈ (M0 (Ib0 ))p }, F(M0 )(Ib0 ) = { F (R (3.3.10) b1 , . . . , R bp ) | C ∈ M1 , (R b1 , . . . , R bp ) ∈ (F(M0 )(Ib0 ))p }. (3.3.11) F[M1 ◦ M0 ](Ib0 ) = { C(R Òàêèì îáðàçîì, ïðè àíàëèçå ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâà ìàòðèö {Ib0 }, M0 (Ib0 ), F(M0 (Ib0 )) è M1 (F(M0 (Ib0 ))), ïðè÷åì ðåãóëÿðíîñòü çàâèñèò îò ñóùåñòâîâàíèÿ ñåìåéñòâ M0 , F è M1 , ïðè êîòîðûõ ìíîæåñòâî M1 (F(M0 (Ib0 ))) ñîâïàäàåò ñ Cq,l (e I). Èç ëåììû 3.3.1 âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû âñå óêàçàííûå ìíîæåñòâà ìàòðèö áûëè áàçàìè êàòåãîðèè Ψ0 . 60

 òî æå âðåìÿ èç ïðèâåäåííîãî ïîñëå äîêàçàòåëüñòâà ëåììû ïðèìåðà âûòåêàåò âûâîä î òîì, ÷òî äàæå òðåáóÿ îò çàäà÷è, ÷òîáû îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî {Ib0 } (Ib0  ìàòðèöà èíôîðìàöèè) áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 , âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ íà îñíîâå ëåììû 3.3.1 ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî ìíîæåñòâî {Ib0 } ñ ïîìîùüþ ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ0 ìîæåò áûòü îòîáðàæåíî â ïðîèçâîëüíûé íàïåðåä çàäàííûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Cq,l (e I). Íà ñàìîì äåëå, îäíàêî, óñèëåíèå ëåììû 3.3.1, íå âåðíîå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ áàç ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé, îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ áàç îäíîýëåìåíòíûõ, à ýòî èìåííî òî, ÷òî è òðåáóåòñÿ äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, ïîñêîëüêó â íèõ èñõîäíîå ìíîæåñòâî {Ib0 } îäíîýëåìåíòíî. Ëåììà 3.3.2. Ïóñòü U, V è W  ïðîèçâîëüíûå íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà è X  îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö Cq,l (U). Äëÿ âûïîëíåíèÿ ëþáîãî èç ðàâåíñòâ (3.3.3) èëè (3.3.4) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìíîæåñòâî X áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U). Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü äîêàçàíà â ëåììå 3.3.1. Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. b0 }  áàçà êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U). Èç ëåììû 3.2.1 âûòåêàåò, ÷òî â ýòîì Ïóñòü X = {U ñëó÷àå X ÿâëÿåòñÿ è áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) äëÿ Cq,l (W), ò.å. ÷òî äëÿ êàæäîé ìàòðèöû c0 èç Cq,l (W) ïðè íåêîòîðîì ìîðôèçìå u êàòåãîðèè Ψ0 èç Cq,l (U) â Cq,l (W) âûïîëíåíî W ðàâåíñòâî c0 = u(U b0 , . . . , U b0 ). W (3.3.12) Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî

c0 = u∆ (U b0 ), W

(3.3.13)

ãäå u∆  äèàãîíàëèçàöèÿ ìîðôèçìà u, ÿâëÿþùàÿñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Ψ0 â ñèëó åå äîïóñòèìîñòè. Ïîñêîëüêó ðàâåíñòâî (3.3.13) ïîëó÷åíî â ïðåäïîëîæåíèè î ïðîèçâîëüíîñòè ìàòðèc öû W0 , òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

H(U, W)(X) = Cq,l (W).

(3.3.14)

Îòñþäà è èç ïðåäïîëîæåíèÿ î ïîëíîòå Ψ0 èìååì

è, íàêîíåö,

H(W, W)(H(U, W)(X)) = H(W, W)(Cq,l (W)) = Cq,l (W)

(3.3.15)

  H(W, V) H(W, W)(H(U, W)(X)) = Cq,l (V).

(3.3.16)

Ðàâåíñòâî (3.3.5) äëÿ äîïóñòèìîé êàòåãîðèè Ψ0 âûòåêàåò èç ðàâåíñòâà (3.3.6). Ëåììà äîêàçàíà. Òåîðåìà 3.3.3. (Îáùèé êðèòåðèé ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè). Äëÿ òîãî, ÷òîáû çàäà÷à êëàññèôèêàöèè Z ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib è ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, âûðàæåííîé ïîëíîé äîïóñòèìîé êàòåãîðèåé Ψ0 , áûëà ðåãóëÿðíà, íåîáõîäèìî è b áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïîñòðàíñòâå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî {I} ìàòðèö èíôîðìàöèè Cq,l (I).

61

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà, åñëè ðàçðåøèìû âñå çàäà÷è, èìåþùèå îáùóþ ñ Z ìàòðèöó èíôîðìàöèè Ib è îáùóþ ñ Z ñèñòåìó óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Z îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

b = I} b = H(I, e I) ∩ {A|A : Cq,l (I) → Cq,l (e I), A(I) 6 ∅,

(3.3.17)

êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî âêëþ÷åíèþ

b b Ie ∈ H(I, e I)(I).

(3.3.18)

b Çàñòàâëÿÿ Ie ïðîáåãàòü ïðîñòðàíñòâî èíôîðìàöèîííûõ ìàòðèö Cq,l (e I), èç (3.3.18) ïîëó÷àåì óñëîâèå ðåãóëÿðíîñòè b = Cq,l (e H(I, e I)(I) I), (3.3.19) êîòîðîå â ñèëó ëåììû 3.3.2 ïðèâîäèò ê óòâåðæäåíèþ òåîðåìû. Òåîðåìà äîêàçàíà. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ îáùåãî êðèòåðèÿ ðåãóëÿðíîñòè íåîáõîäèìî, êîíå÷íî, èìåòü îïèñàíèå îäíîýëåìåíòíûõ áàç ñîîòâåòñòâóþùèõ êàòåãîðèé. Äëÿ êàòåãîðèé, âûðàæàþùèõ îáû÷íî âñòðå÷àþùèåñÿ â ïðàêòèêå ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, òàêèå îïèñàíèÿ áóäóò ïîëó÷åíû â ñëåäóþùåé ãëàâå. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè ñîâïàäàþò ñ óñëîâèÿìè ðåãóëÿðíîñòè, ââîäèâøèìèñÿ â ðàíåå âûïîëíåííûõ ðàáîòàõ (ñì., íàïðèìåð, [5457]).

3.4

Î ïîëíîòå ñåìåéñòâ ìîðôèçìîâ ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé

 ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå áûëî ïðîâåäåíî ðàññìîòðåíèå áàç ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé è óñòàíîâëåíî, ÷òî ðåãóëÿðíûìè ÿâëÿþòñÿ òå è òîëüêî òå çàäà÷è êëàññèôèêàöèè, ó êîòîðûõ ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ìàòðèöó èíôîðìàöèè, îêàçûâàåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè, âûðàæàþùåé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Îäíàêî ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè ðàññìîòðåíèè ñõåìû (3.3.2), íå ìîãóò íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè àíàëèçå ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, ïðèìåíÿåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Äåéñòâèòåëüíî, íà ïðàêòèêå âñòðå÷àþòñÿ íå ¾öåëûå¿ ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ òèïà H(U, V) èëè H(W, W), íî ÿâíûì îáðàçîì îïðåäåëåííûå ïàðàìåòðè÷åñêèå ïîäìíîæåñòâà òàêèõ ìíîæåñòâ  ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë. Öåëüþ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå ïðîáëåì, âîçíèêàþùèõ ïðè èñïîëüçîâàíèè â ñõåìàõ òèïà (3.3.2) âìåñòî ¾öåëûõ¿ ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ èõ (ñîáñòâåííûõ) ïîäìíîæåñòâ. Èòàê, áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñõåìà

Cq,l (U)   0 yM

M

−→ Cq,l (V) x  1 M F

Cq,l (W) −→ Cq,l (W) 62

(3.4.1)

ãäå U, V è W  ïðîèçâîëüíûå íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, M, M0 , F è M1  ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ íåêîòîðîé ïîëíîé äîïóñòèìîé êàòåãîðèè Ψ0 (ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l ), ò.å.

M ⊆ H(U, V),

(3.4.2)

M0 ⊆ H(U, W),

(3.4.3)

F ⊆ H(W, W),

(3.4.4)

M1 ⊆ H(W, V).

(3.4.5)

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M. Ïî ëåììå 3.3.2 äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà H(U, V)(X) = Cq,l (V), ãäå X  îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû X áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U). Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîé çàäà÷è êëàññèb îäíîýëåìåíòíî, òî â êà÷åñòâå ôèêàöèè Z ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib ìíîæåñòâî X = {I} îñíîâíîãî òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìîãî ê ñåìåéñòâó M, åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü òðåáîâàíèå 1-Γ-ïîëíîòû â ñìûñëå ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ: Îïðåäåëåíèå 3.4.1. Ïóñòü M  ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ìîðôèçìîâ ïîëíîé äîïóñòèìîé êàòåãîðèè Ψ0 èç Cq,l (U) â Cq,l (V), ãäå U è V  íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 , èëè ïðîñòî 1-Γ-ïîëíûì, åñëè äëÿ êàæäîé îäíîýëåìåíòíîé áàçû X êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

b )|A ∈ M, U b ∈ X} = Cq,l (V). M(X) = {A(U Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè íåêîòîðîå ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé M (ïðè M ⊆ H(U, V)) íå ÿâëÿåòñÿ 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 , òî ñàìî ïðèìåíåíèå òàêîãî ñåìåéñòâà îêàçûâàåòb0 ñÿ îãðàíè÷åíèåì. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ îäíîé ìàòðèöû U b0 ) = Cq,l (V), íî M(U b0 ) îêàæåòñÿ ñîáñòâåíèç Cq,l (U) áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî H(U, V)(U íûì ïîäìíîæåñòâîì ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö Cq,l (V). Íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå ðåãóëÿðíûå çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ìîãóò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíû êàê ¾ïðàâèëüíî ïîñòàâëåííûå¿. Òàê ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè (ò.å. êîãäà ìîäåëü àëãîðèòìîâ M íå 1-Γ-ïîëíà) ïî ìåíüøåé ìåðå îäíà ¾ïðàâèëüíî ïîñòàâëåííàÿ¿ çàb0 ) îêàæåòñÿ íå ïîëíîé îòíîñèòåëüíî ìîäåëè M. Îòñþäà äà÷à Z (ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè U òàêæå âûòåêàåò, ÷òî è íåêîòîðàÿ ðàçðåøèìàÿ çàäà÷à íå áóäåò èìåòü ðåøåíèÿ â ðàìêàõ b0 è â êà÷åñòâå èíôîðìàöèîííîé M (äîñòàòî÷íî â êà÷åñòâå ìàòðèöû èíôîðìàöèè âçÿòü U b0 ) äî Cq,l (V)). ìàòðèöû  ìàòðèöó èç äîïîëíåíèÿ M(U Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ñåìåéñòâî M îêàçûâàåòñÿ îáëàäàþùèì ñâîéñòâîì 1-Γb èç Cq,l (U) òàêîé, ÷òî H(U, V)(U b ) = Cq,l (V), áóäåò âûïîëíîòû, òî äëÿ ëþáîé ìàòðèöû U b ) = Cq,l (V), ò.å. â òàêîì ñëó÷àå âñå ¾ïðàâèëüíî ïîñòàâëåííûå¿ ïîëíåíî è ðàâåíñòâî M(U çàäà÷è áóäóò ïîëíû îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà M è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçðåøèìû â åãî ðàìêàõ. Òàêèì îáðàçîì, ñåìåéñòâî M îêàçûâàåòñÿ ñ ïîçèöèè äîñòèæèìîñòè ïîëíîòû è ðàçðåøèìîñòè ¾ïðàâèëüíî ïîñòàâëåííûõ¿ çàäà÷ ýêâèâàëåíòíûì ¾öåëîìó¿ ìíîæåñòâó H(U, V), à ïîòîìó è ïðèíöèïèàëüíî íåóëó÷øàåìûì â êëàññå âñåõ ïîäìíîæåñòâ ýòîãî ìíîæåñòâà. 63

Èòàê, ïðè íàëè÷èè óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ îêàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèå ýêñòðåìàëüíîãî êà÷åñòâà  òðåáîâàíèå 1-Γïîëíîòû. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ìíîæåñòâ M0 , F è M1 . Èç ñêàçàííîãî âûøå è èç òîãî, ÷òî ìîäåëü M ôîðìèðóåòñÿ â âèäå ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèöèé F[M1 ◦ M0 ] âûòåêàåò, ÷òî êðèòåðèè äëÿ M0 , F è M1 äîëæíû áûòü îáóñëîâëåíû òðåáîâàíèåì 1-Γ-ïîëíîòû äëÿ F[M1 ◦ M0 ]. Äëÿ ïîñëåäíåãî ñåìåéñòâà ñâîéñòâî 1-Γ-ïîëíîòû ìîæåò áûòü îáåñïå÷åíî, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ìîæíî, ñêàæåì, ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû óæå ñåìåéñòâî M0 áûëî 1-Γ-ïîëíûì. Òîãäà äëÿ ëþáîé îäíîýëåìåíòíîé áàçû X êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U) áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

b ) | B ∈ M0 , U b ∈ X } = Cq,l (W), M0 (X) = { B(U è äëÿ òîãî, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü 1-Γ-ïîëíîòó ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèöèé F[M1 ◦ M0 ], äîñòàòî÷íî áóäåò ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû â F èìåëîñü òîæäåñòâåííîå óíàðíîå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà Cq,l (W) íà ñåáÿ è ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M1 (Cq,l (W)) = Cq,l (V). ×òîáû îñòàíîâèòüñÿ íà íàèáîëåå àäåêâàòíîé ñèñòåìå òðåáîâàíèé ê ìíîæåñòâàì M0 , F è M1 , ó÷òåì, ÷òî ìíîæåñòâà M0 è M1 ñîñòàâëÿþò èñõîäíóþ ýâðèñòè÷åñêóþ ìîäåëü àëãîðèòìîâ, ðàñøèðåíèå êîòîðîé ïðîâîäèòñÿ ïóòåì ïðèìåíåíèÿ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé èç ìíîæåñòâà F. Ïðè ýòîì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèé èç M0 (ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé) è îáëàñòü çíà÷åíèé (ïðîñòðàíñòâî âîçìîæíûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé)  ìíîæåñòâà, êàê ïðàâèëî, â òîì èëè èíîì ñìûñëå ¾íåóäîáíûå¿.  òî æå âðåìÿ F  ìíîæåñòâî îïåðàöèé, îïðåäåëåííûõ íà ïðîñòðàíñòâå âîçìîæíûõ îöåíîê, âûáðàííîì èìåííî èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà. Âûøåïðèâåäåííûå ñîîáðàæåíèÿ ïîðîæäàþò âûâîä: òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå ê 0 M è M1 , äîëæíû áûòü ïî âîçìîæíîñòè ìèíèìàëüíûìè, à îò ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé F ìîæíî òðåáîâàòü è âûïîëíåíèÿ áîëåå æåñòêèõ óñëîâèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì íàøåé ïåðâîé öåëüþ áóäåò óñòàíîâëåíèå íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé, îáåñïå÷èâàþùèõ âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ íà áàçå ìíîæåñòâ M0 è M1 ìîäåëè àëãîðèòìîâ (ñóïåðïîçèöèé) F[M1 ◦ M0 ], ÿâëÿþùåéñÿ 1-Γ-ïîëíûì ñåìåéñòâîì. Îïðåäåëåíèå 3.4.2. Ïóñòü M0  ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ìîðôèçìîâ ïîëíîé äîïóñòèìîé êàòåãîðèè Ψ0 èç Cq,l (U) â Cq,l (W), ãäå U è W  íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî M0 íàçûâàåòñÿ ñëàáî 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 èëè ïðîñòî ñëàáî 1-Γ-ïîëíûì, åñëè äëÿ êàæäîé îäíîýëåìåíòíîé áàçû X êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) ìíîæåñòâî M0 (X) ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (W). Ëåììà 3.4.1. Ïóñòü U, V è W  íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, Ψ0  ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ è M0  ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé, óäîâëåòâîðÿþùåå âêëþ÷åíèþœ(3.4.3). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé F è M1 , óäîâëåòâîðÿþùèå âêëþ÷åíèÿì (3.4.4) è (3.4.5) ñîîòâåòñòâåííî, è òàêèå, ÷òî èìååò ìåñòî 1-Γ-ïîëíîòà ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèöèé F[M1 ◦ M0 ], íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû M0 áûëî ñëàáî 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 ñåìåéñòâîì. 64

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà F = H(W, W) è M1 = H(W, V).  ñèëó ëåììû 3.3.1 äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà

H(W, V)(H(W, W)(Y )) = Cq,l (V), ãäå Y  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (W), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìíîæåñòâî Y áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (W). Ïîëàãàÿ Y = M0 (X), ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ 1-Γ-ïîëíîòû ñåìåéñòâà F[M1 ◦ M0 ] íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîé îäíîýëåìåíòíîé áàçû X êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) ìíîæåñòâî M0 (X) áûëî áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö Cq,l (W). Ëåììà äîêàçàíà. Îïðåäåëåíèå 3.4.3. Ïóñòü M1 ⊆ H(W, V). Ìíîæåñòâî M1 íàçûâàåòñÿ êîððåêòíûì 1 â êàòåãîðèè Ψ0 , åñëè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M (Cq,l (W)) = Cq,l (V). Çàìå÷àíèå. Äëÿ êîððåêòíîñòè ìíîæåñòâà M1 äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â íåì ñîäåðæàëîñü õîòÿ áû îäíî ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå Cq,l (W) íà Cq,l (V). Ëåììà 3.4.2. Ïóñòü U, V è W  íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, Ψ0  ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ è M1  ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé, óäîâëåòâîðÿþùåå âêëþ÷åíèþ (3.4.5). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè ñåìåéñòâà îòîáðàæåíèé M0 è F, óäîâëåòâîðÿþùèå âêëþ÷åíèÿì (3.4.3) è (3.4.4) ñîîòâåòñòâåííî, è òàêèå, ÷òî èìååò ìåñòî 1-Γ-ïîëíîòà ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèèé F[M1 ◦ M0 ], íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû M1 áûëî êîððåêòíûì â êàòåãîðèè Ψ0 ñåìåéñòâîì îòîáðàæåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü î÷åâèäíà. Äîñòàòî÷íîñòü âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîé îäíîýëåìåíòíîé áàçû X êàòåãîðèè Ψ0 â Cq,l (U) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî H(U, W)(X) = Cq,l (W) è, äàëåå, ðàâåíñòâî H(W, W)(H(U, W)(X)) = Cq,l (W), òàê ÷òî ñåìåéñòâà M0 è F, îáåñïå÷èâàþùèå 1-Γ-ïîëíîòó äëÿ F[M1 ◦M0 ] äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþò: ìîæíî ïîëîæèòü M0 = H(U, W) è F = H(W, W). Ëåììà äîêàçàíà. Èòàê, ïîëó÷åíû óñëîâèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ òîãî, ÷òîáû íà áàçå ñåìåéñòâ M0 è M1 ìîæíî áûëî ñ ïîìîùüþ ïîäõîäÿùåãî ñåìåéñòâà F ïîñòðîèòü ñåìåéñòâî ñóïåðïîçèöèé F[M1 ◦ M0 ], îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì 1-Γ-ïîëíîòû â êàòåãîðèè Ψ0 . Óñëîâèÿ ñëàáîé 1-Γïîëíîòû äëÿ M0 è êîððåêòíîñòè äëÿ M1 îêàçûâàþòñÿ, íà ñàìîì äåëå, è äîñòàòî÷íûìè: Ëåììà 3.4.3. Ïóñòü U, V è W  íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, Ψ0  ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ è M0 è M1  ìíîæåñòâà îòîáðàæåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèå âêëþ÷åíèÿì (3.4.3) è (3.4.5) ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëî ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé F, óäîâëåòâîðÿþùåå âêëþ÷åíèþ (3.4.4), òàêîå, ÷òî èìååò ìåñòî 1-Γ-ïîëíîòà ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèèé F[M1 ◦M0 ], íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû M0 áûëî ñëàáî 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 ñåìåéñòâîì è M1 áûëî êîððåêòíûì â êàòåãîðèè Ψ0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü âûòåêàåò èç ëåìì 3.4.1 è 3.4.2. Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü X  îäíîýëåìåíòíàÿ áàçà êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö Cq,l (U), M0  ñëàáî 1-Γ-ïîëíîå è M1  êîððåêòíîå â êàòåãîðèè Ψ0 ñåìåéñòâà.  òàêîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî ìàòðèö M0 (X) îêàçûâàåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (W) (îïðåäåëåíèå 3.4.2). 65

Ïîñêîëüêó êàòåãîðèÿ Ψ0  ïîëíàÿ è M0 (X)  åå áàçà, òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî H(W, W)(M0 (X)) = Cq,l (W). Ïîëàãàÿ F = H(W, W), èìååì F(M0 (X)) = Cq,l (W). Èç êîððåêòíîñòè ìíîæåñòâà M1 (îïðåäåëåíèå 3.4.3) òåïåðü âûòåêàåò, ÷òî òàêæå èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî

M1 (F(M0 (X))) = M1 (Cq,l (W)) = Cq,l (V). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé îäíîýëåìåíòíîé áàçû X êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî F[M1 ◦ M0 ](X) = Cq,l (V), ò.å. ñåìåéñòâî F[M1 ◦ M0 ] äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ â äàííîì ñëó÷àå 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 (îïðåäåëåíèå 3.4.1). Ëåììà äîêàçàíà. Èç ïðîâåäåííîãî ðàññìîòðåíèÿ ëåãêî çàêëþ÷èòü, ÷òî ñåìåéñòâî F ãàðàíòèðîâàííî ¾ïîëó÷àåò íà âõîä¿ áàçó êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå!Cq,l (W), à ¾íà âûõîäå¿ äîëæíî ïðè ýòîì ïîðîæäàòü âñå ïðîñòðàíñòâî Cq,l (W). Äàäèì ñîîòâåòñòâóþùåå îïðåäåëåíèå: Îïðåäåëåíèå 3.4.4. Ïóñòü F ⊆ H(W, W). Ìíîæåñòâî F íàçûâàåòñÿ Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 , åñëè äëÿ ëþáîé áàçû Y êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (W) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

c1 , . . . , W cp ) | F ∈ F, (W c1 , . . . , W cp ) ∈ Y p } = Cq,l (W). F(Y ) = { F (W

Âñå âûøåñêàçàííîå ñóììèðóåòñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì: Ëåììà 3.4.4. Ïóñòü U, V è W  íåîäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, Ψ0  ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ è M0 , F è M1  ìíîæåñòâà îòîáðàæåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèå âêëþ÷åíèÿì (3.4.3), (3.4.4) è (3.4.5) ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èìåëà ìåñòî 1-Γ-ïîëíîòà ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèèé F[M1 ◦ M0 ], íåîáõîäèìî, ÷òîáû M0 áûëî ñëàáî 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 ñåìåéñòâîì è M1 áûëî êîððåêòíûì â êàòåãîðèè Ψ0 . Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ, äëÿ ïîëíîòû ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèöèé F[M1 ◦ M0 ] äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñåìåéñòâî F áûëî Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 . Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû ñâîäèòñÿ ê ññûëêàì íà ïðåäûäóùèå ëåììû äàííîãî ïàðàãðàôà. Îòìåòèì, ÷òî òðåáîâàíèå Γ-ïîëíîòû ñåìåéñòâà F íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåîáõîäèìûì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè, ñêàæåì, M1 = H(W, V), òî äëÿ 1-Γ-ïîëíîòû ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèöèé F[M1 ◦ M0 ] îêàæåòñÿ äîñòàòî÷íûì èñïîëüçîâàòü ñëàáî Γ-ïîëíîå ñåìåéñòâî F, ò.å. ñåìåéñòâî, êîòîðîå ëþáóþ áàçó êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (W) ñíîâà ïåðåâîäèò â áàçó (íàïðèìåð, òàêîå ñåìåéñòâî ìîæåò ñîñòîÿòü èç îäíîãî òîæäåñòâåííîãî îïåðàòîðà).  òî æå âðåìÿ, èññëåäóÿ ïî-îòäåëüíîñòè ñåìåéñòâà M0 , F è M1 , íåëüçÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ ïî îòíîøåíèþ ê F òðåáîâàíèåì áîëåå ñëàáûì, ÷åì òðåáîâàíèå Γ-ïîëíîòû. Êàê óæå ãîâîðèëîñü âûøå, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè èñïîëüçîâàíèå â êà÷åñòâå ìîäåëè àëãîðèòìîâ 1-Γ-ïîëíîãî ïîäìíîæåñòâà ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè, âûðàæàþùåé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, ïîçâîëÿåò îáåñïå÷èòü ðàçðåøèìîñòü â ðàìêàõ òàêîé ìîäåëè âñåõ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷. Òàêèì îáðàçîì äëÿ ðåøåíèÿ 66

ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ òàêèå ìîäåëè îêàçûâàþòñÿ ¾íå õóæå¿, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùèå ¾öåëûå¿ ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ñâîéñòâà ñëàáîé 1-Γ-ïîëíîòû ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, Γ-ïîëíîòû ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è êîððåêòíîñòè ñåìåéñòâ ðåøàþùèõ ïðàâèë òàêæå ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíî ýêñòðåìàëüíûìè â âûøåóêàçàííîì ñìûñëå: îíè ¾íå ñëàáåå¿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ¾öåëûõ¿ ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ, êîòîðûå ïî ñàìîé ñâîåé ñóòè ÿâëÿþòñÿ ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèìè îáúåêòàìè, â òî âðåìÿ, êàê ñëàáîé 1-Γïîëíîòû, Γ-ïîëíîòû è êîððåêòíîñòè â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ìîæíî äîáèòüñÿ îò äîñòàòî÷íî ïðîñòî óñòðîåííûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé. Èç âñåõ ðàññìîòðåííûõ â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ñâîéñòâ ïîëíîòû ñàìûì ñèëüíûì ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî Γ-ïîëíîòû. Ïðè èññëåäîâàíèè êîíêðåòíûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé â êà÷åñòâå äîñòàòî÷íîãî óñëîâèÿ áûâàåò óäîáíî èñïîëüçîâàòü åùå îäíî ïîíÿòèå ïîëíîòû: Îïðåäåëåíèå 3.4.5. Ïóñòü U è V  ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà, F è G  ìíîæåñòâà îòîáðàæåíèé èç U â V, ïðè÷åì F ⊆ G. Ìíîæåñòâî F íàçûâàåòñÿ ñèëüíî Γ-ïîëíûì â G, åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà U èç U è äëÿ ëþáîãî îòîáðàæåíèÿ G èç G â F ñîäåðæèòñÿ îòîáðàæåíèå F òàêîå, ÷òî F (U ) = G(U ). Çàìå÷àíèå. Ñîïîñòàâèì êàæäîìó îòîáðàæåíèþ F èç U â V åãî ãðàôèê Γ(F ), ÿâëÿþùèéñÿ ïîäìíîæåñòâîì äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ U × V. Óñëîâèå ñèëüíîé Γ-ïîëíîòû F â G ïðè ýòîì ìîæåò áûòü âûðàæåíî ðàâåíñòâîì [ [ Γ(F ) = Γ(G). F ∈F

G∈G

Ðàññìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå G ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé, ìîæíî ïîëó÷èòü è ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèé ñèëüíîé Γïîëíîòû. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è âîïðîñ î ñîîòíîøåíèè ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ ðàçíûõ êàòåãîðèé. Äî ñèõ ïîð ìû ñ÷èòàëè, ÷òî ïðåäìåòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ åäèíñòâåííàÿ ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψq,l . Íî ðàçëè÷íûå ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî è ïîäêàòåãîðèÿìè îäíà äðóãîé, ò.å. ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ îäíîé èç òàêèõ êàòåãîðèé ìîãóò áûòü (ñîáñòâåííûìè) ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ äðóãîé. Èìåííî òàêàÿ ñèòóàöèÿ è ñòàíåò ïðåäìåòîì áëèæàéøåãî îáñóæäåíèÿ. Èòàê, ïóñòü Ψ1 è Ψ2  ïîëíûå äîïóñòèìûå êàòåãîðèè, ÿâëÿþùèåñÿ ïîäêàòåãîðèÿìè êàòåãîðèè Ψq,l , ïðè÷åì Ψ1  ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψ2 . Âîïðîñ, êîòîðûé â òàêîì ñëó÷àå âîçíèêàåò â êîíòåêñòå àíàëèçà ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, ìîæíî ïîñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: êàêèìè ñâîéñòâàìè ïî îòíîøåíèþ ê Ψ2 äîëæíà îáëàäàòü êàòåãîðèÿ Ψ1 äëÿ òîãî, ÷òîáû ëþáóþ çàäà÷ó êëàññèôèêàöèè, óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ â êîòîðîé âûðàæåíû êàòåãîðèåé Ψ2 , ìîæíî áûëî ðåøèòü â ðàìêàõ êàòåãîðèè Ψ1 ? Ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïîñòàâëåííîãî âîïðîñà îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ2 ìîæåò îêàçàòüñÿ îïèñàííîé òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêîå çàäàíèå â îáùåì âèäå åå ìîðôèçìîâ áóäåò çàòðóäíåíî.  òî æå âðåìÿ, êàòåãîðèÿ Ψ2 ìîæåò èìåòü ïîäêàòåãîðèþ Ψ1 , äëÿ êîòîðîé òàêàÿ ïðîáëåìà èìååò äîñòàòî÷íî î÷åâèäíîå ðåøåíèå. Áîëåå òîãî, ìîæåò îêà67

çàòüñÿ, ÷òî äëÿ êàòåãîðèè Ψ1 èìåþòñÿ ãîòîâûå ïðîãðàììíûå ñðåäñòâà, òàê ÷òî ðå÷ü â òàêîì ñëó÷àå ïîéäåò î ðàñøèðåíèè îáëàñòè èõ ïðèìåíåíèÿ ñ ãàðàíòèðîâàííûì ðåçóëüòàòîì. Èç ïðîâåäåííîãî â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ðàññìîòðåíèÿ íåòðóäíî çàêëþ÷èòü, ÷òî èñêîìîå ñâîéñòâî ïîäêàòåãîðèé âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì: Îïðåäåëåíèå 3.4.6. Ïîäêàòåãîðèÿ Ψ1 êàòåãîðèè Ψ2 , ãäå Ψ1 è Ψ2  ïîëíûå äîïóñòèìûå ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l , íàçûâàåòñÿ 1-Γ-ïîëíîé â Ψ2 , åñëè âñÿêàÿ îäíîýëåìåíòíàÿ áàçà êàòåãîðèè Ψ2 ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è áàçîé êàòåãîðèè Ψ1 . Îòìåòèì, ÷òî êàòåãîðèÿ Ψ1 ÿâëÿåòñÿ 1-Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Ψ2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè ëþáûõ íåîäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâàõ U è V ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ HomΨ1 (Cq,l (U), Cq,l (V)) îêàçûâàåòñÿ 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ2 ñåìåéñòâîì îòîáðàæåíèé. Ïîñêîëüêó ïðèìåíåíèå ìîðôèçìîâ îäíîé êàòåãîðèè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, â êîòîðûõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ âûðàæåíû äðóãîé êàòåãîðèåé, âîçìîæíî íå òîëüêî íà óðîâíå ¾öåëûõ¿ àëãîðèòìîâ, íî è íà óðîâíå îòäåëüíûõ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, èñïîëüçóåìûõ äëÿ èõ ñèíòåçà, òî ïîëåçíûì è âàæíûì îêàçûâàåòñÿ è ñëåäóþùåå ïîíÿòèå: Îïðåäåëåíèå 3.4.7. Ïîäêàòåãîðèÿ Ψ1 êàòåãîðèè Ψ2 , ãäå Ψ1 è Ψ2  ïîëíûå äîïóñòèìûå ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l , íàçûâàåòñÿ Γ-ïîëíîé â Ψ2 , åñëè âñÿêàÿ áàçà êàòåãîðèè Ψ2 ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è áàçîé êàòåãîðèè Ψ1 . Èòàê, â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áûëè ââåäåíû îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, íóæíûå äëÿ èññëåäîâàíèÿ êàòåãîðèé èëè, òî÷íåå, ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé, ÿâëÿþùèõñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèé, âûðàæàþùèõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Èç âûøåñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî îñíîâíûå ïðîáëåìû ïðè èññëåäîâàíèè êîíêðåòíûõ êàòåãîðèé, èñïîëüçóåìûõ â êà÷åñòâå óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ñâîäÿòñÿ ê îïèñàíèþ áàç è ê ïîëó÷åíèþ êîíêðåòíûõ óñëîâèé 1-Γ-ïîëíîòû, ñëàáîé 1-Γ-ïîëíîòû è ò.ä.

3.5

Ïîëíûå ìîäåëè àëãîðèòìîâ è àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ïîëíûå ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé

 ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå áûëè ðàññìîòðåíû îáùèå ñâîéñòâà ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé  ìîðôèçìîâ ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé, ïðè÷åì èñïîëüçîâàíèå ýòèõ ñåìåéñòâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè áûëî ïî ñóòè äåëà ëèøü ïîâîäîì äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëåíèé. Ââèäó ïðèíöèïèàëüíîé âàæíîñòè äëÿ ïðèëîæåíèé ðåçóëüòàòîâ, îòíîñÿùèõñÿ íåïîñðåäñòâåííî ê ìîäåëÿì àëãîðèòìîâ è àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ê ñåìåéñòâàì êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé (à íå ïðîñòî ê àáñòðàêòíûì ñåìåéñòâàì îòîáðàæåíèé), â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áóäóò ñôîðìóëèðîâàíû ñîîòâåòñòâóþùèå êðèòåðèè. Ïóñòü Z  ñåìåéñòâî çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ðàçìåðà q × l ñ ïðîñòðàíñòâàìè äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé I è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé e I, è ïóñòü çàôèêñèðîâàíà ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ Ψ0 (ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψq,l ), âûðàæàþùàÿ íåêîòîðóþ ñèñòåìó óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ èç ñåìåéñòâà Z.  ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëå-

68

íî ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ Z[R] , ò.å. ïîäìíîæåñòâî ñåìåéñòâà Z, ñîñòîÿùåå èç çàäà÷, ïîëíîòà êîòîðûõ äîñòèæèìà ïðè èñïîëüçîâàíèè îòîáðàæåíèé  ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ0 . Ðàññìàòðèâàÿ êàê îñíîâíóþ öåëü ðåøåíèå ðåãóëÿðíûõ çàäà÷, åñòåñòâåííî ê ìîäåëÿì àëãîðèòìîâ ïðåäúÿâëÿòü òðåáîâàíèå ïîëíîòû: Îïðåäåëåíèå 3.5.1. Ìîäåëü àëãîðèòìîâ M êàòåãîðèè Ψ0 íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè ëþáàÿ ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à Z èç ìíîæåñòâà Z[R} ïîëíà îòíîñèòåëüíî M, ò.å. åñëè äëÿ ëþáîé b = Cq,l (e ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Z âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M(I) I), ãäå Ib  ìàòðèöà èíôîðìàöèè ýòîé çàäà÷è. Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó ñîõðàíåíèÿ ñâîéñòâà ðåãóëÿðíîñòè ïðè èçìåíåíèè èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöû â îïðåäåëåíèè 3.5.1 ìîæíî âìåñòî ïîëíîòû îòíîñèòåëüíî ìîäåëè M ãîâîðèòü î ðàçðåøèìîñòè â åå ðàìêàõ. Ïîñòðîåíèå ïîëíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ â âèäå ðàñøèðåíèé ýâðèñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðèåìîì àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà.  ðàìêàõ ïîëíûõ ìîäåëåé ãàðàíòèðîâàííî ðàçðåøèìû âñå ðåãóëÿðíûå çàäà÷è, òàê ÷òî èõ èñïîëüçîâàíèå ïðè ðåøåíèè òàêèõ çàäà÷ çàâåäîìî íå õóæå, ÷åì ïðèìåíåíèå ïðîèçâîëüíûõ èíûõ êîíñòðóêöèé. Íàøåé ñëåäóþùåé öåëüþ áóäåò îïèñàíèå ñâîéñòâ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, îáåñïå÷èâàþùèõ ïîëíîòó îáðàçóåìûõ íà èõ îñíîâå ìîäåëåé àëãîðèòìîâ. Ðàññìîòðèì ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 ñ ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ îöåíîê R, ñ÷èòàÿ, ÷òî îïåðàòîðû èç ìîäåëè M0 ñóòü ìîðôèçìû êàòåãîðèè Ψ0 èç Cq,l (I) â Cq,l (R). Îïðåäåëåíèå 3.5.2. Ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 íàçûâàåòñÿ ïîëíîé â êàòåãîðèè Ψ0 èëè ïðîñòî ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþáîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Z èç Z[R] ñóùåñòâóþò òàêèå ìíîæåñòâà F êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è M1 ðåøàþùèõ ïðàâèë, ÿâëÿþùèõñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ0 , ÷òî çàäà÷à Z îêàçûâàåòñÿ F -ïîëíîé îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèöèé M1 ◦ M0 èëè, ÷òî òî æå,  ïîëíîé îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà F[M1 ◦ M0 ]. Îòìåòèì, êàê è âûøå, ÷òî â îïðåäåëåíèè 3.5.2 òàêæå ìîæíî âìåñòî ïîëíîòû îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà F[M1 ◦ M0 ] ãîâîðèòü î ðàçðåøèìîñòè â åãî ðàìêàõ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òðåáîâàíèå ïîëíîòû äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ¾ìèíèìàëüíûì¿. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî íåêîòîðàÿ ìîäåëü M0 êàòåãîðèè Ψ0 íå ïîëíà, òî ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à Z (ñ ñîäåðæàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ  êîððåêòíî ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à) òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåå ïîëíîòû íåëüçÿ áóäåò äîáèòüñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ëþáûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë, óäîâëåòâîðÿþùèõ óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì. Áîëåå òîãî, â äàííîé ñèòóàöèè äëÿ íåêîòîðîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è íåëüçÿ áóäåò îáåñïå÷èòü è ðàçðåøèìîñòü, èñïîëüçóÿ M0 â êà÷åñòâå ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ. Èòàê, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îïåðàòîðû íåïîëíîé ìîäåëè M0 ¾ñóùåñòâåííî íåàäåêâàòíî¿ ïðîèçâîäÿò ïåðåêîäèðîâàíèå äàííûõ, âõîäÿùèõ â ìàòðèöû èíôîðìàöèè. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ïðèìåíåíèå íåïîëíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ ìîæåò ïðèâåñòè è, áîëåå òîãî, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ  îáÿçàòåëüíî ïðèâîäèò ê íåâîñïîëíèìûì íà äàëüíåéøèõ ýòàïàõ ðåøåíèÿ ïîòåðÿì èíôîðìàöèè.  òî æå âðåìÿ, åñëè ìîäåëü M0 ïîëíà, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè ïåðåêîäèðî69

âàíèè àëãîðèòìè÷åñêèìè îïåðàòîðàìè èç M0 ñîõðàíÿåòñÿ âñÿ ñóùåñòâåííàÿ èíôîðìàöèÿ, òàê ÷òî â ýòîì ñìûñëå ìîäåëü M0 îêàçûâàåòñÿ ïðèíöèïèàëüíî íåóëó÷øàåìîé â êëàññå ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψ0 èç ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö èíôîðìàöèè Cq,l (I) â ïðîñòðàíñòâî èíôîðìàöèîííûõ ìàòðèö Cq,l (e I). Îïðåäåëåíèå 3.5.2 âûðàæàåò îñíîâíîå òðåáîâàíèå, êîòîðîå äîëæíî ïðåäúÿâëÿòüñÿ ê ìîäåëÿì àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ  òðåáîâàíèå ïîëíîòû. Èç ñêàçàííîãî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå âûòåêàåò, ÷òî îò ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ òðåáóåòñÿ òàêæå, ÷òîáû îíè áûëè ñëàáî 1-Γ-ïîëíûìè ñåìåéñòâàìè îòîáðàæåíèé. Ýòè òðåáîâàíèÿ ýêâèâàëåíòíû: Òåîðåìà 3.5.1. Ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 êàòåãîðèè Ψ0 ïîëíà â ýòîé êàòåãîðèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé M0 ÿâëÿåòñÿ ñëàáî 1-Γïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî ñåìåéñòâî M0 ÿâëÿåòñÿ ñëàáî 1-Γ-ïîëíûì â êàòåãîb êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå ðèè Ψ0 , åñëè äëÿ ëþáîé îäíîýëåìåíòíîé áàçû X = {I} b îêàçûâàåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ìàòðèö èíôîðìàöèè Cq,l (I) ìíîæåñòâî ìàòðèö M0 (I) ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö îöåíîê Cq,l (R). Ïóñòü çàäà÷à Z ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib ðåãóëÿðíà.  ñèëó òåîðåìû 3.3.3 ýòî ïðåäb ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 , è äîêàçàïîëîæåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ìíîæåñòâî {I} òåëüñòâî ñâîäèòñÿ ê ññûëêå íà ëåììó 3.4.1. Òåîðåìà äîêàçàíà. Êðèòåðèé òåîðåìû 3.5.1 îêàçûâàåòñÿ ïðè ðàçâèâàåìîì ïîäõîäå îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì àíàëèçà êîíêðåòíûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ (ïðè íàëè÷èè, êîíå÷íî, îïèñàíèé áàç êàòåãîðèé, âûðàæàþùèõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ). Îïèøåì îáùóþ ñõåìó òàêîãî èññëåäîâàíèÿ. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ íåêîòîðûé êëàññ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè Z è íåêîòîðàÿ ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 . Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ ïðè ýòîì ìîãóò áûòü â ÿâíîì âèäå çàðàíåå íå çàäàíû. Ïîýòîìó ïðåæäå âñåãî äîëæåí áûòü òî÷íî ðåøåí âîïðîñ î òîì, êàêàÿ èìåííî êàòåãîðèÿ âûðàæàåò â äàííîì ñëó÷àå ñèñòåìó óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ îáû÷íî ïîëó÷èòü ëåãêî, ïðîñòî àíàëèçèðóÿ âèä îòîáðàæåíèé, âûñòóïàþùèõ â ðîëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ. Ïðè ðàññìîòðåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ èëè ñåìåéñòâ çàäà÷, ñèñòåìà óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ðåàëüíîé èíôîðìàöèè. Ôîðìàëèçàöèÿ ýòîé èíôîðìàöèè è åñòü ïî ñóòè äåëà îïèñàíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êàòåãîðèè.  òàêîé ñèòóàöèè ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü âîïðîñ ñëåäóþùåãî òèïà: ÿâëÿþòñÿ ëè àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû èç ìîäåëè M0 ìîðôèçìàìè ýòîé êàòåãîðèè? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ ñâîäèòñÿ îáû÷íî ê äîñòàòî÷íî î÷åâèäíîé ïðîâåðêå.  ëþáîé ñèòóàöèè äëÿ àíàëèçà ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ Ψ0 (ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψq,l ), ìîðôèçìàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðû èç ýòîé ìîäåëè. Äëÿ êàòåãîðèè Ψ0 äîëæíû áûòü îïèñàíû áàçû, â òîì ÷èñëå  îäíîýëåìåíòíûå.  ðàìêàõ êàòåãîðèè Ψ0 è âåäåòñÿ âåñü ïîñëåäóþùèé àíàëèç. 70

Èññëåäîâàíèå ïîëíîòû ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 íà áàçå òåîðåìû 3.5.1 ïðîâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äåëàåòñÿ äîïóùåíèå, ÷òî Z  íåêîòîðàÿ ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à èç Z ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib, ò.å. ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî b ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 . Ïîñëå ýòîãî ïðîâåðÿåòñÿ, ÿâëÿåòñÿ ëè ìíîæåñòâî ìàòðèö {I} b áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (R). Åñëè M0 (I) b  áàçà, òî äåëàåòñÿ îöåíîê M0 (I) b ìîæåò íå îêàçàòüñÿ áàçîé ïðè âûâîä î ïîëíîòå ìîäåëè M0 , åñëè æå ìíîæåñòâî M0 (I) b , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîäåëü íå ïîëíà. íåêîòîðîé áàçå {I} Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Êàê è âûøå, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Z  êëàññ çàäà÷ ñ ïðîñòðàíñòâîì äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé I è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé e I. Áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî çàôèêñèðîâàíà ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ Ψ0 , âûðàæàþùàÿ ñèñòåìó óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, è ïîëíàÿ ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 ýòîé êàòåãîðèè ñ ïðîñòðàíñòâîì äîïóñòèìûõ îöåíîê R. Íàêîíåö, ïðåäïîëîæèì, ÷òî M1  êîððåêòíîå ñåìåéñòâî ðåøàþùèõ ïðàâèë êàòåãîðèè Ψ0 .  ñèëó ïîëó÷åííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ â ýòîì è òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå (ò.å. êîãäà ìîäåëü M0 ïîëíà è ñåìåéñòâî M1 êîððåêòíî) äëÿ ëþáîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Z èç Z ñóùåñòâóåò òàêîå ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé F êàòåãîðèè Ψ0 , ÷òî çàäà÷à Z îêàçûâàåòñÿ F-ïîëíîé îòíîñèòåëüíî ñåìåéñòâà ñóïåðïîçèöèé M1 ◦ M0 . Ýòè ñîîáðàæåíèÿ ïðèâîäÿò ê íèæåñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ. Îïðåäåëåíèå 3.5.3. Ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé F êàòåãîðèè Ψ0 íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè ïðè ëþáîé ïîëíîé ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M0 è ïðè ëþáîì êîððåêòíîì ñåìåéñòâå ðåøàþùèõ ïðàâèë M1 ñåìåéñòâî ñóïåðïîçèöèé F[M1 ◦ M0 ] ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé ìîäåëüþ àëãîðèòìîâ. Òåîðåìà 3.5.2. Ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé F êàòåãîðèè Ψ0 ïîëíî â ýòîé êàòåãîðèè, åñëè ñåìåéñòâî îòîáðàæåíèé F ÿâëÿåòñÿ Γ-ïîëíûì â êàòåãîðèè Ψ0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Äàííîå óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ëåììû 3.4.4. Êðèòåðèé òåîðåìû 3.5.2 îêàçûâàåòñÿ ïðè ðàçâèâàåìîì ïîäõîäå îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì àíàëèçà êîíêðåòíûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé (ïðè íàëè÷èè îïèñàíèé áàç êàòåãîðèé, âûðàæàþùèõ óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ). Îïèøåì îáùóþ ñõåìó èññëåäîâàíèÿ. Ïðåæäå âñåãî, êîíå÷íî, ïðîèçâîäèòñÿ ïðîâåðêà òîãî, ÷òî îïåðàöèè èç ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà F ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Ψ0 , âûðàæàþùåé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Äåëàåòñÿ äîïóùåíèå, ÷òî X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö îöåíîê, ÿâëÿþùååñÿ áàçîé êàòåãîðèè Ψ0 . Äàëåå èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î âûïîëíåíèè ðàâåíñòâà F(X) = Cq,l (R), è åñëè ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òî äåëàåòñÿ âûâîä î ïîëíîòå ñåìåéñòâà F. Ðàññìàòðèâàÿ âîïðîñ î ñâîéñòâàõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, ìîæíî ðàäè ïîëíîòû èçëîæåíèÿ îòìåòèòü, ÷òî ïîëíîòà ÿâëÿåòñÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ¾ìàêñèìàëüíûì¿ òðåáîâàíèåì, çàâåäîìî äîñòàòî÷íûì äëÿ ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåìåéñòâà âñåõ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷. Íåòðóäíî çàìåòèòü òàêæå, ÷òî â êà÷åñòâå ¾ìèíèìàëüíîãî¿ òðåáîâàíèÿ äëÿ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâî ñëàáîé Γ-ïîëíîòû, ò.å. òðåáîâàíèå, ÷òîáû îáðàçîì áàçû â ïðîñòðàíñòâå îöåíîê òàêæå áûëà áàçà. Ýòî òðåáîâàíèå, îäíàêî, íå íàõîäèò ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ, ïîñêîëüêó â òàêîì ñëó÷àå 71

ïðèõîäèòñÿ íàêëàäûâàòü ñëèøêîì æåñòêèå óñëîâèÿ íà ñåìåéñòâà ðåøàþùèõ ïðàâèë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò èñõîäíîé èäåå àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà î ¾ïåðåíîñå öåíòðà òÿæåñòè çàäà÷¿ íà ïðîñòðàíñòâî îöåíîê. Ñóùåñòâåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ¾ïðîìåæóòî÷íûå¿ ñèòóàöèè, êîãäà ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî áîãàòîé äëÿ òîãî, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü äëÿ âñåõ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ ïîñòðîåíèå íå ïðîñòî íåêîòîðîé áàçû â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö îöåíîê, íî áàçû, óäîâëåòâîðÿþùåé íåêîòîðûì äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ïîñòðîåíèå ïîëíîé ìîäåëè àëãîðèòìîâ ìîæåò îêàçàòüñÿ âîçìîæíûì è ïðè èñïîëüçîâàíèè íå îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì ïîëíîòû ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Âàæíûé ïðèìåð òàêîãî ðîäà áóäåò ðàññìîòðåí â ïîñëåäíåé ãëàâå ðàáîòû. Ïðîâåäåííûå â íàñòîùåé ãëàâå ïîñòðîåíèÿ, íåñìîòðÿ íà èõ âíåøíþþ ïðîñòîòó, îáðàçóþò îñíîâó òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Òåõíè÷åñêè áîëåå ñëîæíûå êîíñòðóêöèè ïîñëåäóþùèõ ãëàâ îêàçûâàþòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ëèøü ðàçâèòèåì è äåòàëèçàöèåé èçëîæåííûõ çäåñü îñíîâíûõ èäåé.

72

Ãëàâà 4 Ñèììåòðè÷åñêèå è ôóíêöèîíàëüíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè 4.1

Îäíîðîäíîñòü è íåçàâèñèìîñòü ýëåìåíòîâ íà÷àëüíîé èíôîðìàöèè

Êëàññ ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé (ïîäêàòåãîðèé êàòåãîðèé Ψq,l ) ñîäåðæèò â ñåáå êàòåãîðèè, ñîîòâåòñòâóþùèå âñåì â ïðèíöèïå âîçìîæíûì óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùèå ýòè êàòåãîðèè,  ýòî ñàìûå îáùèå îãðàíè÷åíèÿ, áåç âûïîëíåíèÿ êîòîðûõ ðàññìîòðåíèå ïðîáëåìû ïîëíîòû (ðàçðåøèìîñòè) â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè òåðÿåò ñìûñë.  òî æå âðåìÿ, èìåííî â ñèëó îáùíîñòè îïðåäåëåíèÿ ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé, èõ èçó÷åíèå íå ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ ïîäðîáíîñòè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî çàñòàâëÿåò ñòàâèòü âîïðîñ î âûäåëåíèè â ñåìåéñòâå ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé ïîäñåìåéñòâ, ñ îäíîé ñòîðîíû,  äîñòàòî÷íî óçêèõ (äîïóñêàþùèõ äåòàëüíîå èññëåäîâàíèå), è, ñ äðóãîé ñòîðîíû,  äîñòàòî÷íî îáøèðíûõ, ÷òîáû ïîëó÷àåìûå ïðè èõ èçó÷åíèè ðåçóëüòàòû ìîãëè áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïðèìåíÿåìûõ èëè âñòðå÷àþùèõñÿ íà ïðàêòèêå ñèñòåì óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé.  êà÷åñòâå òàêèõ ïîäñåìåéñòâ â íàñòîÿùåé ãëàâå è áóäóò ðàñcìàòðèâàòüñÿ îïðåäåëÿåìûå íèæå ñåìåéñòâà ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé èëè, ÷òî ïî ñóòè äåëà òî æå ñàìîå  ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Ñèììåòðè÷åñêèå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ âîçíèêàþò â ðåàëüíûõ çàäà÷àõ êàê âûðàæåíèå èíôîðìàöèè î ðàçëè÷íîãî ðîäà îäíîðîäíîñòè ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ è êëàññîâ èëè, òî÷íåå ãîâîðÿ, îäíîðîäíîñòè äàííûõ îá îáúåêòàõ è êëàññàõ. Ïîä îäíîðîäíîñòüþ çäåñü ïîíèìàåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü ïðèíèìàåìûõ ðåøåíèé ïî îòíîøåíèþ ê ïîðÿäêó ðàññìîòðåíèÿ îáúåêòîâ è/èëè êëàññîâ. Íàïðèìåð, ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî èíôîðìàöèÿ îá îäíîðîäíîñòè âñåõ îáúåêòîâ, ïîäëåæàùèõ êëàññèôèêàöèè, âûðàæàåòñÿ òðåáîâàíèåì, ÷òîáû ïðè ïðîèçâîëüíîé 73

ïåðåñòàíîâêå ñòðîê â ìàòðèöå èíôîðìàöèè ñîîòâåòñòâåííî ïåðåñòàâëÿëèñü áû è ñòðîêè â èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöå, ïîðîæäàåìîé èñêîìûì àëãîðèòìîì. Èíà÷å ãîâîðÿ, òðåáîâàíèå îäíîðîäíîñòè îáúåêòîâ òðàêòóåòñÿ çäåñü êàê óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè ðåçóëüòàòà êëàññèôèêàöèè îò ïîðÿäêà ïðåäúÿâëåíèÿ îáúåêòîâ.  ðåàëüíîñòè, êîíå÷íî, ìîãóò âñòðåòèòüñÿ è ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ è ñóùåñòâåííî áîëåå ñëîæíûå ñèòóàöèè. Òàê, ìîæåò áûòü èçâåñòíî, ÷òî ïåðâûé îáúåêò â ðàññìàòðèâàåìîé âûáîðêå ïî îòíîøåíèþ ê ïåðâîìó êëàññó âåäåò ñåáÿ òàêæå, êàê âòîðîé  êî âòîðîìó êëàññó è ò.ä. Âñå ñëó÷àè òàêîãî ðîäà îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìàìè ñèììåòðè÷åñêèõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, âûðàæàåìûìè ñèììåòðè÷åñêèìè êàòåãîðèÿìè. Ýòè êàòåãîðèè áóäóò òî÷íî îïðåäåëåíû â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. Ïîìèìî èíôîðìàöèè îá îäíîðîäíîñòè ðàçëè÷íûõ îáúåêòîâ è êëàññîâ, â ðåàëüíûõ çàäà÷àõ ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ èíôîðìàöèÿ î íåçàâèñèìîñòè äàííûõ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçëè÷íûì ïàðàì âèäà ¾îáúåêòêëàññ¿. Ýòà èíôîðìàöèÿ ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà, íàïðèìåð, ñëåäóþùèì îáðàçîì: ôàêò ïðèíàäëåæíîñòè i-ãî îáúåêòà j -ìó êëàññó íå çàâèñèò îò äàííûõ î i1 -ì îáúåêòå è j1 -ì êëàññå, i2 -ì îáúåêòå è j2 -ì êëàññå è ò.ä. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîâîêóïíîñòü äàííûõ, îòíîñÿùèõñÿ ê i-ìó îáúåêòó è j -ìó êëàññó ïðè íàøåì ïîäõîäå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ýëåìåíò Iij ìàòðèöû èíôîðìàöèè çàäà÷è, ïîëó÷àåì, ÷òî èíôîðìàöèÿ î íåçàâèñèìîñòè ìîæåò áûòü âûðàæåíà òðåáîâàíèåì, ÷òîáû êîððåêòíûé àëãîðèòì ìîã áûòü çàäàí ôóíêöèÿìè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè èíôîðìàöèè î íåçàâèñèìîñòè íàáîðàìè àðãóìåíòîâ, êîòîðûìè ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû ìàòðèöû èíôîðìàöèè (çíà÷åíèÿ òàêèõ ôóíêöèé  ýëåìåíòû èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöû). Ïóñòü, íàïðèìåð, èçâåñòíî, ÷òî îáúåêòû â ðàññìàòðèâàåìîé âûáîðêå âçàèìíî íåçàâèñèìû, ò.å. ÷òî ïðèíàäëåæíîñòü ëþáîãî îáúåêòà ê ëþáîìó êëàññó íå çàâèñèò îò äàííûõ î ëþáîì èíîì îáúåêòå ïî îòíîøåíèþ êî âñåì êëàññàì.  ýòîì ñëó÷àå êîððåêòíûé àëãîðèòì äîëæåí îïðåäåëÿòüñÿ ôóíêöèÿìè, íàáîðàìè àðãóìåíòîâ êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ñòðîêè ìàòðèöû èíôîðìàöèè. Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ìîæíî ôîðìàëèçîâàòü èíôîðìàöèþ î íåçàâèñèìîñòè ðàçëè÷íûõ êëàññîâ: â ýòîì ñëó÷àå àëãîðèòì äîëæåí çàäàâàòüñÿ ôóíêöèÿìè îò ñòîëáöîâ ìàòðèöû èíôîðìàöèè. Íàêîíåö, ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà èìååòñÿ èíôîðìàöèÿ îá îäíîâðåìåííîé îäíîðîäíîñòè è íåçàâèñèìîñòè ýëåìåíòîâ çàäà÷è. Ïóñòü, ñêàæåì, èçâåñòíî, ÷òî âñå îáúåêòû è êëàññû â êîíêðåòíîé çàäà÷å îäíîðîäíû è âçàèìíî ïîïàðíî íåçàâèñèìû. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î íåçàâèñèìîñòè íåìåäëåííî âûòåêàåò, ÷òî êîððåêòíûé àëãîðèòì äîëæåí îïðåäåëÿòüñÿ íàáîðîì ôóíêöèé f11 , . . . , fql , ãäå fij : I → e I ïðè i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l}, ñëåäóþùèì îáðàçîì: A(kIij kq×l ) = kfij (Iij )kq×l . Èç ïðåäïîëîæåíèÿ æå îá îäíîðîäíîñòè ñëåäóåò, ÷òî f11 = f12 = . . . = fql . Òàêèì îáðàçîì, êîððåêòíûé àëãîðèòì äîëæåí äîïóñêàòü çàäàíèå ñ ïîìîùüþ åäèíñòâåííîé ôóíêöèè f èç I â e I, ò.å. äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Ib = kIij kq×l b = kf (Iij )k . èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (I) äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ðàâåíñòâî A(I) q×l

Îáùèé ñëó÷àé íàëè÷èÿ èíôîðìàöèè îá îäíîðîäíîñòè è íåçàâèñèìîñòè ìîæåò áûòü îïèñàí çàäàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ¾îáëàñòåé çàâèñèìîñòè¿ äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà èíôîðìàöèîííûõ ìàòðèö è ¾îáëàñòåé îäíîðîäíîñòè¿, ò.å. ïîäìíîæåñòâ îäíîðîäíûõ ýëåìåíòîâ. Ïðè òàêîé ôîðìàëèçàöèè âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî òðåáîâàíèÿ íåçàâèñèìîñòè è îäíîðîäíîñòè ìî74

ãóò îêàçûâàòüñÿ âíóòðåííå ïðòèâîðå÷èâûìè, òàê ÷òî òîëüêî íåêîòîðûå óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì ñîâîêóïíîñòè òàêèõ òðåáîâàíèé äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿþò óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Ýòè óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íàçâàíû ôóíêöèîíàëüíûìè, êàê è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèé Ψq,l . Ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé áóäåò ïðîâåäåíî â ïàðàãðàôàõ 4.3 è 4.4.  ïîñëåäíèõ ïàðàãðàôàõ íàñòîÿùåé ãëàâû áóäåò ðàññìîòðåí âîïðîñ î ñîîòíîøåíèè ôóíêöèîíàëüíûõ è ñèììåòðè÷åñêèõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Ïðè ýòîì áóäóò óñòàíîâëåíû óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå âîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷, â êîòîðûõ èìåþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, ñ ïîìîùüþ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ìîðôèçìàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé (òàêèå ìîäåëè, êàê ïðàâèëî, ôîðìèðîâàòü ïðîùå, ÷åì ñåìåéñòâà ìîðôèçìîâ ñèììåòðè÷åñêèõ êàòåãîðèé).

4.2

Ñèììåòðè÷åñêèå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ è êàòåãîðèè. Îïðåäåëåíèå. Ïîëíîòà è äîïóñòèìîñòü. Áàçû

Ñèìâîëîì σ0 áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ñèììåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîäñòàíîâîê, äåéñòâóþùèõ íà ìíîæåñòâå S = {(1, 1), . . . , (q, l)}, ò.å. ãðóïïà âñåõ âçàèìíî îäíîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé S íà ñåáÿ. Ñèìâîë σ , âîçìîæíî  ñ èíäåêñàìè, áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïîäãðóïï ãðóïïû σ0 . b  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà èç ïðîñòðàíñòâà Ïóñòü U  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, U Cq,l (U) è s  ïîäñòàíîâêà ìíîæåñòâà S, ò.å. ïîäñòàíîâêà èç ãðóïïû σ0 . Îïðåäåëèì äåéñòâèå b ðàâåíñòâîì ïîäñòàíîâêè s íà ìàòðèöå U

b ) = s(kUij k ) = kU 0 k , s(U ij q×l q×l

(4.2.1)

ãäå Uij0 = Us(i,j) ïðè i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l}. Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå ïîäñòàíîâêè çàêëþ÷àåòñÿ â ïåðåñòàíîâêå ýëåìåíòîâ ìàòðèöû. Ðàâåíñòâî (4.2.1) â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè b îïðåäåëÿåò äåéñòâèå ïîäñòàíîâîê èç ãðóïïû σ0 íà ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö Cq,l (U). ìàòðèöû U Îïðåäåëèì òàêæå äåéñòâèå ïîäñòàíîâêè s íà ïðîñòðàíñòâå íàáîðîâ ìàòðèö Cpq,l (U), ãäå p  ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî:

b 1, . . . , U b p ) = (s(U b 1 ), . . . , s(U b p )) s(U

(4.2.2)

b 1, . . . , U b p )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð ìàòðèö èç ïðîñòðàíñòâà Cp (U)). (çäåñü (U q,l Ïóñòü òåïåðü σ  íåêîòîðàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû σ0 . Ñîïîñòàâèì åé ïîäêàòåãîðèþ Σ êàòåãîðèè Ψq,l , ïîëàãàÿ Ob Σ = Ob Ψq,l è îïðåäåëÿÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ U è V è íàòóðàëüíûõ ÷èñåë p1 è p2 ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ HomΣ (Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V)) êàê ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V), êîììóòèðóþùèõ ñî âñåìè ïîäñòàíîâêàìè èç ãðóïb 1, . . . , U b p1 ) èç Cp1 (U) âûïîëíåíî ïû σ , ò.å. òàêèõ îòîáðàæåíèé u, ÷òî ïðè âñåõ s ∈ σ è (U q,l ðàâåíñòâî b 1, . . . , U b p1 )). b 1, . . . , U b p1 )) = s(u(U (4.2.3) u(s(U 75

Êàòåãîðèþ, ñîïîñòàâëÿåìóþ ãðóïïå σα , ãäå α  èíäåêñ, áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì Σα . Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâà âñåõ îòîáðàæåíèé, êîììóòèðóþùèõ ñî âñåìè ïîäñòàíîâêàìè èç íåêîòîðîé ïîäãðóïïû ãðóïïû σ0 , ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñåìåéñòâà ìîðôèçìîâ ñîîòâåòñòâóþùåé ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l , ïîñêîëüêó òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ êîììóòèðóþò ñî âñåìè ïîäñòàíîâêàìè èç σ0 è ñóïåðïîçèöèè îòîáðàæåíèé, êîììóòèðóþùèõ ñ íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêîé s, òàêæå ñ íåé êîììóòèðóþò. Óñëîâèå (4.2.3) ïîçâîëÿåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîïîñòàâèòü ìíîæåñòâà îòîáðàæåíèé íå òîëüêî ïîäãðóïïàì, íî è ïðîñòî ïðîèçâîëüíûì ïîäìíîæåñòâàì ãðóïïû σ0 . Îäíàêî ðàññìîòðåíèå ìîæåò áûòü îãðàíè÷åíî òîëüêî ïîäãðóïïàìè, ïîñêîëüêó èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ôàêò: Ëåììà 4.2.1. Ïóñòü δ  ïîäìíîæåñòâî ãðóïïû σ0 , σ  ïîäãðóïïà ãðóïïû σ0 , äëÿ êîòîðîé δ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì îáðàçóþùèõ. Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ U è V è íàòóðàëüíûõ ÷èñåë p1 è p2 âûïîëíåíî ðàâåíñòâî p1 p1 (U), Cpq,l2 (V)), ∆(Cq,l (U), Cpq,l2 (V)) = HomΣ (Cq,l

(4.2.4)

ãäå ∆(Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V))  ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V), êîììóòèðóþùèõ ñî âñåìè ïîäñòàíîâêàìè èç ìíîæåñòâà δ . Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäàÿ ïîäñòàíîâêà s èç ãðóïïû σ ïðåäñòàâèìà â âèäå sα1 1 sα2 2 . . . sαnn , ãäå s1 , . . . , sn  ïîäõîäÿùèå ïîäñòàíîâêè èç δ è αk ∈ {−1, 1} ïðè âñåõ k èç ìíîæåñòâà {1, . . . , n} (ñì. [22]).  ñèëó ýòîãî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè s1 è s2  ïðîèçâîëüíûå ïîäñòàíîâêè èç δ è u  îòîáðàæåíèå èç ìíîæåñòâà ∆(Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V)), òî îòîáðàæåíèå u êîììóòèðóåò ñ s−1 1 è ñ s1 s2 . p1 p2 b 1, . . . , U b p1 )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð ìàòðèö èç Èòàê, ïóñòü u ∈ ∆(Cq,l (U), Cq,l (V)), (U Cpq,l1 (U) è s1 è s2  ïîäñòàíîâêè èç δ . Î÷åâèäíî, ÷òî b 1, . . . , U b p1 ) = s1 (s−1 b1 b p1 (U (4.2.5) 1 (U , . . . , U )). Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå u êîììóòèðóåò ñ ïîäñòàíîâêîé s1 , òî èç (4.2.5) âûòåêàåò   b 1, . . . , U b p1 ) = s1 u(s−1 (U b 1, . . . , U b p1 )) . u(U 1

(4.2.6)

Ïðèìåíÿÿ ê îáåèì ÷àñòÿì ýòîãî ðàâåíñòâà ïîäñòàíîâêó s−1 1 , ïîëó÷àåì     p1 −1 b 1 1 p1 b b b ) , ( U , . . . , U ) = u s u( U , . . . , U s−1 1 1

(4.2.7)

òàê ÷òî äëÿ îòîáðàæåíèÿ u è ïîäñòàíîâêè s−1 1 âûïîëíåíî óñëîâèå êîììóòàöèè, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî îòîáðàæåíèå u êîììóòèðóåò ñ ïîäñòàíîâêàìè s1 è s2 , ïîëó÷àåì öåïî÷êó ðàâåíñòâ

b 1, . . . , U b p1 )) = s1 (s2 (u(U b 1, . . . , U b p1 ))) = s1 s2 (u(U b 1, . . . , U b p1 ))) = u(s1 s2 (U b 1, . . . , U b p1 )), = s1 (u(s2 (U 76

(4.2.8)

ò.å. äëÿ ïîäñòàíîâêè s1 s2 óñëîâèå (4.2.3) ñíîâà âûïîëíåíî. Ëåììà äîêàçàíà. Èòàê, êàæäîìó ïîäìíîæåñòâó δ ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû σ0 â êàæäîì ìíîæåñòâå ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Ψq,l óñëîâèåì (4.2.3) ñîïîñòàâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé, ïðè÷åì ýòè ïîäìíîæåñòâà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû σ0 , äëÿ êîòîðîé δ  ìíîæåñòâî îáðàçóþùèõ. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîäãðóïïû σ ãðóïïû σ0 êàòåãîðèÿ Σ ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìîé. Ïóñòü u è v  ìîðôèçìû êàòåãîðèè Σ èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) è èç Crq,l1 (U) â Crq,l2 (V) ñîîòb 1, . . . , U b p1 +r1 )  íàáîð ìàòðèö èç ïðîñòðàíñòâà Cp1 +r1 (U), s  ïîäñòàíîâêà âåòñòâåííî, (U q,l èç ãðóïïû σ . Òîãäà ïðîèçâåäåíèå u × v óäîâëåòâîðÿåò öåïî÷êå ðàâåíñòâ   1 p1 +r1 1 p1 p1 +1 p1 +r1 b b b b b b u × v(s(U , . . . , U )) = u(s(U , . . . , U )), v(s(U ,...,U )) =   (4.2.9) b 1, . . . , U b p1 )), s(v(U b p1 +1 , . . . , U b p1 +r1 )) = s(u × v(U b 1, . . . , U b p1 +r1 )), = s(u(U ò.å. êîììóòèðóåò ñ ïîäñòàíîâêîé s è ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Σ. b  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà Ïóñòü òåïåðü u  ìîðôèçì êàòåãîðèè Σ èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V), U èç Cq,l (U), s  ïîäñòàíîâêà èç ãðóïïû σ . Òîãäà äëÿ äèàãîíàëèçàöèè u∆ îòîáðàæåíèÿ u èìååì b )) = u(s(U b ), . . . , s(U b )) = u(s(U b, . . . , U b )) = s(u∆ (U b )), u∆ (s(U (4.2.10) òàê ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå u êîììóòèðóåò ñ s, òî è u∆ òîæå êîììóòèðóåò ñ s. Èòàê, êàòåãîðèÿ Σ äîïóñòèìà. Ëåììà 4.2.2. Äëÿ ëþáîé ïîäãðóïïû σ ãðóïïû σ0 êàòåãîðèÿ Σ ïîëíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü σ  ïîäãðóïïà ãðóïïû σ0 , U è V  ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà, ïðè÷åì |U| > 1. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ∞ n [

o p p 1 p 1 p b b b b u(U , . . . , U ) u ∈ HomΣ (Cq,l (U), Cq,l (V)), (U , . . . , U ) ∈ Cq,l (U) = Cq,l (V).

p=0

(4.2.11) (ñì. îïðåäåëåíèå 2.3.1).  ñëó÷àå, êîãäà ãðóïïà σ ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîé òîæäåñòâåííîé ïîäñòàíîâêè, âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (4.2.11) î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó â ýòîé ñèòóàöèè ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ p âûïîëíåíî ðàâåíñòâî n o b 1, . . . , U b p ) u ∈ HomΣ (Cp (U), Cq,l (V)), (U b 1, . . . , U b p ) ∈ Cp (U) = Cq,l (V). (4.2.12) u(U q,l q,l Ïóñòü s1 , . . . , sp  âñå íååäèíè÷íûå ïîäñòàíîâêè èç ãðóïïû σ . Ñîïîñòàâèì êàæäîé b0k . Ýòî ìîæb0k ) 6= U b0k èç Cq,l (U) òàêóþ, ÷òî sk (U ïîäñòàíîâêå sk ïðè k ∈ {1, . . . , p} ìàòðèöó U íî ñäåëàòü â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî â ìíîæåñòâå U èìåþòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà. Äåéñòâèòåëüíî, ò.ê. ïîäñòàíîâêè sk ïî ïðåäïîëîæåíèþ íåòîæäåñòâåííûå, òî äëÿ êàæäîé èç íèõ ñóùåñòâóåò ýëåìåíò (i0 , j0 ) ìíîæåñòâà S òàêîé, ÷òî b k â òàêîì ñëó÷àå ìîæíî âçÿòü ïðîèçsk (i0 , j0 ) = (i1 , j1 ) 6= (i0 , j0 ).  êà÷åñòâå ìàòðèöû U 0

k âîëüíóþ ìàòðèöó Uij q×l èç Cq,l (U) ñ Uik0 j0 6= Uik1 j1 . 77

Âûáåðåì òåïåðü ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò V0 ìíîæåñòâà V è ïîëîæèì, ÷òî Vb0  ìàòðèöà èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (V), âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû V0 . Îïðåäåëèì òåïåðü äëÿ êàæäîé ìàòðèöû Vb èç Cq,l (V) îòîáðàæåíèå uVb : Cpq,l (U) → Cq,l (V) ðàâåíñòâîì

  s(Vb ), åñëè äëÿ íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêè s èç ãðóïïû σ 1 p b b b 1, . . . , U b p ) = s(U b01 , . . . , U b0p ), uVb (U , . . . , U ) = âûïîëíåíî (U  Vb0 , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

(4.2.13)

b01 , . . . , U b0p ) îòîáðàæåíèÿ u b îïðåäåëåíû ðàâåí ñèëó îïðåäåëåíèÿ íàáîðà ìàòðèö (U V ñòâîì (4.2.13) êîððåêòíî. Äåéñòâèòåëüíî, êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèé uVb îçíà÷àåò, ÷òî íè â îäíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà Cpq,l (U) çíà÷åíèÿ íå îïðåäåëåíû ðàçëè÷íûìè ñïîb 1, . . . , U b p ) èç Cp (U) òàêèõ, ÷òî äëÿ âñåõ s èç ñîáàìè. Ýòî î÷åâèäíî äëÿ íàáîðîâ ìàòðèö (U q,l b 1, . . . , U b p ) 6= (U b 1, . . . , U b0p ). Åñëè æå äëÿ íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêè s0 σ âûïîëíåíî óñëîâèå (U 0 b 1, . . . , U b p ) = s0 (U b01 , . . . , U b0p ), òî äëÿ ëþáîé èíîé ïîäèç ãðóïïû σ âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (U b 1, . . . , U b p ) 6= s(U b 1, . . . , U b0p ) = s(s−1 b1 bp ñòàíîâêè s èç ãðóïïû σ èìååò ìåñòî (U 0 (U , . . . , U )), òàê 0 b 1, . . . , U b p ) ðàâåíñòâîì (4.2.13) åäèíñòâåííûì ÷òî îòîáðàæåíèå uVb îïðåäåëåíî â òî÷êå (U îáðàçîì. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî îòîáðàæåíèÿ uVb ïðè âñåõ Vb èç Cq,l (V) ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Σ, ò.å. ÷òî ýòè îòîáðàæåíèÿ êîììóòèðóþò ñî âñåìè ïîäñòàíîâêàìè s èç ãðóïïû σ . b 1, . . . , U b p)  Ïóñòü s  ïðîèçâîëüíàÿ ïîäñòàíîâêà èç σ , Vb  ìàòðèöà èç Cq,l (V), (U ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà íàáîðîâ ìàòðèö Cpq,l (U). Åñëè äëÿ âñåõ s èç σ âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå b 1, . . . , U b p ) 6= s(U b01 , . . . , U b0p ), òî ïðîâåðÿåìîå ðàâåíñòâî (U b 1, . . . , U b p )) = u b (s(U b 1, . . . , U b p )) s(uVb (U V ñâîäèòñÿ ê î÷åâèäíîìó â ñèëó âûáîðà ìàòðèöû Vb0 ñîîòíîøåíèþ s(Vb0 ) = Vb0 . b 1, . . . , U b p ) = s0 (U b01 , . . . , U b0p ) ïðè íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêå s0 èç σ , òî èç îïðåÅñëè æå (U äåëåíèÿ (4.2.13) ïîëó÷àåì öåïî÷êó ðàâåíñòâ

b 1, . . . , U b0p ))) = s(s0 (Vb )) = b 1, . . . , U b p )) = s(u b (s0 (U s(uVb (U 0 V b 1, . . . , U b0p )) = u b (s(U b 1, . . . , U b p )). = ss0 (Vb ) = uVb (ss0 (U 0 V Èòàê, îòîáðàæåíèÿ uVb äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Σ. Èç îïðåb0p ) = Vb , b01 , . . . , U äåëåíèÿ (4.2.13) ïðè s = e (e  òîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà) ïîëó÷àåì uVb (U ÷òî âëå÷åò ðàâåíñòâî [ b0p )} = Cq,l (V) b01 , . . . , U {uVb (U Vb ∈Cq,l (V)

è, òåì áîëåå, èñêîìîå ðàâåíñòâî (4.2.11). Ëåììà äîêàçàíà. Ñèììåòðè÷åñêèå êàòåãîðèè ÿâëÿþòñÿ ôîðìàëüíûìè îïèñàíèÿìè ñèñòåì ñèììåòðè÷åñêèõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè. Êàê áûëî óñòàíîâëåíî

78

â ïðåäûäóùåé ãëàâå, äëÿ èõ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè èññëåäîâàíèè è ðåøåíèè çàäà÷ íåîáõîäèìî èìåòü îïèñàíèÿ áàç ýòèõ êàòåãîðèé â ïðîèçâîëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ìàòðèö. Ïîëó÷åíèå òàêèõ îïèñàíèé è ñòàíåò íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ. Ëåììà 4.2.3. Ïóñòü σ  ïîäãðóïïà ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû σ0 è X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U), ãäå U  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Σ â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé íåòîæäåñòâåííîé b òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåå áóäåò ïîäñòàíîâêè s èç ãðóïïû σ â ìíîæåñòâå X íàéäåòñÿ ìàòðèöà U b ) 6= U b. âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå s(U Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü X  òàêîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U), b èç ÷òî äëÿ íåêîòîðîé íåòîæäåñòâåííîé ïîäñòàíîâêè s0 èç ãðóïïû σ è äëÿ âñåõ ìàòðèö U b) = U b . Èç ñîîòíîøåíèÿ (4.2.3), îïðåäåëÿþùåãî ñîñòàâ Cq,l (U) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s0 (U p ìíîæåñòâ HomΣ (Cq,l (U), Cq,l (U)) ïðè ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ p, äëÿ ëþáîãî ìîðôèçìà b 1, . . . , U b p ) äåêàðòîâîé ñòåïåíè u êàòåãîðèè Σ èç Cpq,l (U) â Cq,l (U) è äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà (U X p â äàííîì ñëó÷àå èìååì öåïî÷êó ðàâåíñòâ

b 1, . . . , U b p )) = u(s0 (U b 1, . . . , U b p )) = u(s0 (U b 1 ), . . . , s0 (U b p )) = u(U b 1, . . . , U b p ). s0 (u(U Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ∞ [


b |U b ∈ Cq,l (U), s0 (U b) = U b } ⊂ Cq,l (U), HomΣ Cpq,l (U), Cq,l (U) (X) ⊆ { U

p=0

ãäå ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå ñòðîãîå, ò.ê. ïîäñòàíîâêà s0  íåòîæäåñòâåííàÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî X â äàííîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Σ â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U). Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü òåïåðü X  òàêîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U), ÷òî äëÿ b (s) òàêàÿ, ëþáîé íåòîæäåñòâåííîé ïîäñòàíîâêè s èç ãðóïïû σ â X ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà U b (s)) 6= U b (s). Ïóñòü òàêæå U0  íåêîòîðûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà U è U b0  ìàòðèöà ÷òî s(U èç Cq,l (U), âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû U0 . Ïîëîæèì, ÷òî σ = {e, s1 , s2 , . . . , sp }, çàíóìåðîâàâ òåì ñàìûì âñå íååäèíè÷íûå ïîäñòàíîâêè èç ãðóïïû σ . b èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U) îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå u b èç Òåïåðü äëÿ êàæäîé ìàòðèöû U U p ïðîñòðàíñòâà íàáîðîâ ìàòðèö Cq,l (U) â Cq,l (U):

 b ), åñëè äëÿ íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêè s èç ãðóïïû σ  s(U b 1, . . . , U b p) = b 1, . . . , U b p ) = s(U b (s1 ), . . . , U b (sp )), uUb (U âûïîëíåíî (U  b0 , U â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

(4.2.14)

b (s1 ), . . . , U b (sp )) îòîáðàæåíèÿ u b îïðåäåëåíû Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ íàáîðà ìàòðèö (U U ðàâåíñòâîì (4.2.14) êîððåêòíî, ÷òî ïðîâåðÿåòñÿ êàê â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 4.2.2. Òàê æå ïðîâåðÿåòñÿ è òî, ÷òî îòîáðàæåíèÿ uUb ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Σ. Èç îïðåäåëåíèÿ (4.2.14) ñëåäóåò, ÷òî b (s1 ), . . . , U b (sp )) = U b. uUb (U 79

Îòñþäà âûòåêàåò ðàâåíñòâî

b (s1 ), . . . , U b (sp )) | U b ∈ Cq,l (U), (U b (s1 ), . . . , U b (sp )) ∈ X p } = Cq,l (U) { uUb (U è, äàëåå,

b 1, . . . , U b p ) | u ∈ HomΣ (Cp (U), Cq,l (U)), (U b 1, . . . , U b p ) ∈ X p } = Cq,l (U) { u(U q,l è

∞ [

HomΣ (Cpq,l (U), Cq,l (U))(X) = Cq,l (U),

p=0

ò.å. ìíîæåñòâî X â ýòîì ñëó÷àå äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Σ â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U). Ëåììà äîêàçàíà. b0  ìàòðèöà èç ïðîñòðàíÑëåäñòâèå 4.2.4. Ïóñòü σ  ïîäãðóïïà ãðóïïû σ0 è U b0 } ÿâëÿåòñÿ ñòâà Cq,l (U), ãäå U  ïðîèçâîëüíîå íåîäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî {U îäíîýëåìåíòíîé áàçîé êàòåãîðèè Σ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè ëþáîé íåòîæäåñòâåíb0 ) 6= U b0 . íîé ïîäñòàíîâêå s èç σ âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå s(U

4.3

Ôóíêöèîíàëüíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ è êàòåãîðèè. Îïðåäåëåíèå. Ïðèìåðû

Êàê óæå ãîâîðèëîñü âûøå, ôóíêöèîíàëüíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ âûðàæåíèåì ñîäåðæàòåëüíîé èíôîðìàöèè îá îäíîâðåìåííîé îäíîðîäíîñòè è íåçàâèñèìîñòè îáúåêòîâ è/èëè êëàññîâ â êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ. Öåëüþ íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà áóäåò îïðåäåëåíèå ïîäêàòåãîðèé êàòåãîðèé Ψq,l , ôîðìàëèçóþùèõ ýòè óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ U è V è íàòóðàëüíûõ ÷èñåë p1 è p2 ëþáîå îòîáðàæåíèå u èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) (ëþáîé ìîðôèçì êàòåãîðèè Ψq,l ) âçàèìíî îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò íàáîðó èç p2 ql ôóíêöèé fijr (i ∈ {1, . . . , q}, j ∈ {1, . . . , l}, r ∈ {1, . . . , p2 }) èç Cpq,l1 (U) â V:



1 b1 p1 b u(U , . . . , U ) = fij (U , . . . , U ) b1

b p1

q×l



p2 b 1 p1 b , . . . , fij (U , . . . , U )

q×l

 .

(4.3.1)

Ôóíêöèîíàëüíûå ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l âîçíèêàþò ïðè ðàññìîòðåíèè â êà÷åñòâå ìîðôèçìîâ òîëüêî îòîáðàæåíèé, äîïóñêàþùèõ ïðåäñòàâëåíèå, àíàëîãè÷íîå (4.3.1), ñ ïîìîùüþ, âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíüøåãî, ÷åì p2 ql, ÷èñëà ôóíêöèé ìåíüøåãî ÷èñëà àðãóìåíòîâ.  ïàðàãðàôå 4.1 ðàññìàòðèâàëñÿ ïðèìåð ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé, â êîòîðîì âñå ïàðû ¾îáúåêòêëàññ¿ ñ÷èòàëèñü îäíîðîäíûìè è íåçàâèñèìûìè. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ U è V è íàòóðàëüíûõ ÷èñåë p1 è p2 ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ ñîîòâåòñòâóþùåé êàòåãîðèè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé u èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà ôóíêöèé f 1 , . . . , f p2 èç Up1 â V (ñâîåãî äëÿ êàæäîãî îòîáðàæåíèÿ) è

80



b 1, . . . , U b p1 ) = ( U 1 , . . . , U p1 ) èç ïðîñòðàíñòâà Cp1 (U) äëÿ ëþáîãî íàáîðà ìàòðèö (U ij q×l ij q×l q,l âûïîëíåíî ðàâåíñòâî 

 b 1, . . . , U b p1 ) = f 1 (Uij1 , . . . , U p1 ) , . . . , f p2 (Uij1 , . . . , U p1 ) u(U . ij ij q×l q×l Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî îïåðàòîðû óìíîæåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö íà ÷èñëî, ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ èõ ïî Àäàìàðó ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè ýòîé êàòåãîðèè. Ïåðåéäåì òåïåðü ê òî÷íîìó îáùåìó îïðåäåëåíèþ ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé. Îïðåäåëåíèå 4.3.1. Ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðîé ϕ íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü (S(1,1) , . . . , S(q,l) ) ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà S = {(1, 1), . . . , (q, l)} âìåñòå ñ ôóíêöèåé λ èç S â ìíîæåñòâî {1, . . . , t}, ãäå t  ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ql. Ïðè ýòîì äëÿ ëþáûõ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç S äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óñëîâèå


(λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 )) → |S(i1 ,j1 ) | = |S(i2 ,j2 ) | .

(4.3.2)

Ôóíêöèîíàëüíûå ñèãíàòóðû áóäóò çàïèñûâàòüñÿ â âèäå

ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ).

(4.3.3)

Ìîùíîñòè ìíîæåñòâ S(i,j) áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì z(i, j), ò.å. ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèì z(i, j) = |S(i,j) | ïðè i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l}. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî îáîçíà÷åíèÿ óñëîâèå (4.3.2) ìîæíî çàïèñàòü òàê:

(λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 )) → (z(i1 , j1 ) = z(i2 , j2 )) .

(4.3.4)

Ñîäåðæàòåëüíî íàáîðû S(i,j) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îïèñàíèÿ ¾îáëàñòåé çàâèñèìîñòè¿ ýëåìåíòîâ èíôîðìàöèîííûõ ìàòðèö, ò.å. ïî ñóòè äåëà  íàáîðû àðãóìåíòîâ, ôóíêöèÿìè îò êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ýòè ýëåìåíòû. Ìîðôèçìû ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé, êàê óæå ãîâîðèëîñü, îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè íàáîðàìè ôóíêöèé. Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöû äîëæíà áûòü óêàçàíà êîíêðåòíàÿ ôóíêöèÿ èç íàáîðà, èñïîëüçóåìàÿ äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ. Èìåííî ýòó ðîëü âûïîëíÿåò âõîäÿùàÿ â îïðåäåëåíèå ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ôóíêöèÿ λ: åå çíà÷åíèå è åñòü íîìåð ôóíêöèè äëÿ êîíêðåòíîãî ¾ìåñòà¿ â èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöå. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, åñòåñòâåííî, ÷òî åñëè äëÿ ðàçëè÷íûõ ¾ìåñò¿ èñïîëüçóåòñÿ îäíà ôóíêöèÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ¾ìåñòàì¿ íàáîðû àðãóìåíòîâ äîëæíû èìåòü îäèíàêîâûå êîëè÷åñòâà ÷ëåíîâ, ÷òî è îïðåäåëÿåòñÿ âõîäÿùèì â îïðåäåëåíèå óñëîâèåì (4.3.2). Èç ðàâåíñòâà (4.3.4) âûòåêàåò, ÷òî äëÿ âñåõ (i, j) èç S âåëè÷èíû z(i, j) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèåé λ, òàê ÷òî ìîæíî ïðè k ∈ {1, . . . , t} ïîëîæèòü z(k) = z(i0 , j0 ), ãäå (i0 , j0 )  ïðîèçâîëüíàÿ ïàðà èç S òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåå k = λ(i0 , j0 ). Ìíîæåñòâà S(i,j) áóäóò çàïèñûâàòüñÿ â âèäå óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâ (ξ(i, j, 1), ξ(i, j, 2), . . . , ξ(i, j, z(i, j))), ãäå ýëåìåíòû âûïèñàíû â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîðÿäêîì, ââåäåííîì íà ìíîæåñòâå S(i,j) . 81

Ïóñòü ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ)  ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà, U è V  ìíîæåñòâà, p1 è p2  íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Çàäàíèå ñèãíàòóðû ϕ ïîçâîëÿåò èç ìíîæåñòâà âñåõ îòîáðàæåíèé èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) âûäåëèòü ïîäìíîæåñòâî Φ(Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V)), ñîñòîÿùåå èç âñåõ îòîáðàæåíèé u òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà ôóíêöèé f11 , . . . , ft1 , ft2 , . . . , ftp2 (ñâîåãî äëÿ êàæäîãî îòîáðàæåíèÿ èç Φ(Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V))), ãäå frk : Up1 z(r) → V, è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî b 1, . . . , U b p1 ) èç Cp1 (U) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî íàáîðà ìàòðèö (U q,l 

 b 1, . . . , U b p1 ) = u U 1 , . . . , U p1 u(U = ij q×l

 ij q×l

1

p1 1 1 =

fλ(i,j) (Uξ(i,j,1) , . . . , Uξ(i,j,z(i,j)) , . . . , Uξ(i,j,z(i,j)) ) , . . . , (4.3.5)

q×l 

p2

p1 1 1 , . . . , Uξ(i,j,z(i,j)) , . . . , Uξ(i,j,z(i,j)) ) .

fλ(i,j) (Uξ(i,j,1) q×l

Îòîáðàæåíèÿ, âõîäÿùèå äëÿ äàííîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ â ìíîæåñòâî áóäåì äàëåå íàçûâàòü ϕ-îòîáðàæåíèÿìè. Ïîäìíîæåñòâà Φ(Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V)) ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ HomΨq,l (Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V)) êàòåãîðèè Ψq,l íå âñåãäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ ñîîòâåòñòâóþùåé ñèãíàòóðå ϕ êàòåãîðèè. Òàêàÿ âîçìîæíîñòü ñóùåñòâóåò ëèøü äëÿ ñèãíàòóð, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåêîòîðûì äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì. Îïðåäåëåíèå 4.3.2. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ, ãäå ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ), íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé, åñëè äëÿ íåå âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

Φ(Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V)),

(4.3.6)

(i, j) ∈ S(i,j)  äëÿ âñåõ (i, j) ∈ S;

(λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 )) &((i1 , j1 ) = ξ(i1 , j1 , k)) → ((i2 , j2 ) = ξ(i2 , j2 , k))

(4.3.7)

 äëÿ âñåõ (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) ∈ S è k ∈ {1, . . . , z(i1 , j1 )};

(λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 )) → (λ(ξ(i1 , j1 , k)) = λ(ξ(i2 , j2 , k)))

(4.3.8)

 äëÿ âñåõ (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) ∈ S è k ∈ {1, . . . , z(i1 , j1 )};

((i1 , j1 ) ∈ S(i2 ,j2 ) ) → (S(i1 ,j1 ) ⊆ S(i2 ,j2 ) )

(4.3.9)

 äëÿ âñåõ (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) ∈ S;

(λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 )) → ( (ξ(ξ(i1 , j1 , k), k1 ) = ξ(i1 , j1 , k2 )) ≡ (ξ(ξ(i2 , j2 , k), k1 ) = ξ(i2 , j2 , k2 )) )

(4.3.10)

 äëÿ âñåõ (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) ∈ S, k, k2 ∈ {1, . . . , z(i1 , j1 )} è k1 ∈ {1, . . . , z(ξ(i1 , j1 , k))} (ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4.3.8) è (4.3.9)). Ëåììà 4.3.1. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ îïðåäåëÿåò ïîäêàòåãîðèþ êàòåãîðèè Ψq,l

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ϕ  äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò ïðîâîäèòüñÿ òîëüêî äëÿ ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé Φ(Cpq,l1 (U), Cpq,l2 (V)) ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U è V è ïðè p1 = p2 = 1, ò.ê. ïîñòðîåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ p1 è p2 ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íû ïðèâåäåííûì íèæå è îòëè÷àþòñÿ îò íèõ ïî ñóòè äåëà ëèøü áîëåå ñëîæíîé çàïèñüþ. 82

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìíîæåñòâà ϕ-îòîáðàæåíèé ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü ìíîæåñòâàìè ìîðôèçìîâ îïðåäåëÿåìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðîé ϕ êàòåãîðèè, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ áûëè ϕ-îòîáðàæåíèÿìè è ÷òîáû ñóïåðïîçèöèè ϕîòîáðàæåíèé òàêæå áûëè ϕ-îòîáðàæåíèÿìè. Òàê ÷òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ (4.3.6)  (4.3.10) íåîáõîäèìû è äîñòàòî÷íû äëÿ òîãî, ÷òîáû òîæäåñòâåííûå îòîáðàæåíèÿ è ñóïåðïîçèöèè ϕ-îòîáðàæåíèé áûëè ϕ-îòîáðàæåíèÿìè. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ äîïóñòèìà, ò.å. ïóñòü äëÿ íåå âåðíû óñëîâèÿ (4.3.6)(4.3.10). Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ ϕ (êàê è âîîáùå äëÿ ëþáîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû) îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ z : {1, . . . , t} → {1, . . . , ql} òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ k èç {1, . . . , t} è âñåõ (i, j) èç S èç ðàâåíñòâà k = λ(i, j) âûòåêàåò, ÷òî z(k) = z(i, j). Êîíúþíêöèÿ óñëîâèé (4.3.6) è (4.3.7) ýêâèâàëåíòíà óòâåðæäåíèþ î ñóùåñòâîâàíèè äëÿ ñèãíàòóðû ϕ ôóíêöèè α, îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå {1, . . . , t}, òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ (i, j) èç S âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (i, j) = ξ(i, j, α(λ(i, j))). Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) òàêîâû, ÷òî äëÿ íèõ λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ). Èç óñëîâèÿ (4.3.6) âûòåêàåò, ÷òî ïðè íåêîòîðîì k0 èñòèííà ëåâàÿ ÷àñòü èìïëèêàöèè (4.3.7). Ýòî k0 è ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ôóíêöèè α â òî÷êå λ(i1 , j1 ), ïðè÷åì èç (4.3.7) âûòåêàåò êîððåêòíîñòü ýòîãî îïðåäåëåíèÿ (åäèíñòâåííîñòü k0 ). Óñëîâèþ (4.3.8) ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèå î ñóùåñòâîâàíèè äëÿ ñèãíàòóðû ϕ ôóíêöèè β(k1 , k2 ), ãäå k1 ∈ {1, . . . . . . , t} è k2 ∈ {1, . . . , z(k1 )} òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ (i, j) èç S è âñåõ k èç {1, . . . , z(i, j)} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî λ(ξ(i, j, k)) = β(λ(i, j), k). Íàêîíåö, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (4.3.8), óñëîâèÿì (4.3.9) è (4.3.10) ýêâèâàëåíòíî óòâåðæäåíèå î ñóùåñòâîâàíèè äëÿ ñèãíàòóðû ϕ ôóíêöèè γ(k1 , k2 , k3 ), ãäå k1 ∈ {1, . . . . . . , t}, k2 ∈ {1, . . . , z(k1 )} è k3 ∈ {1, . . . , z(β(k1 , k2 ))}, òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ (i, j) ∈ S, âñåõ k1 ∈ {1, . . . , z(i, j)} è âñåõ k2 ∈ {1, . . . , z(ξ(i, j, k1 ))} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ξ(ξ(i, j, k1 ), k2 ) = ξ(i, j, γ(λ(i, j), k1 , k2 )). Èòàê, âûïîëíåíèå äëÿ äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ óñëîâèé (4.3.6) (4.3.10) âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå äëÿ ýòîé ñèãíàòóðû ôóíêöèé α, β è γ . Ðàññìîòðèì ñóïåðïîçèöèþ ïðîèçâîëüíûõ ϕ-îòîáðàæåíèé u è v , ãäå u : Cq,l (U) → Cq,l (V) è v : Cq,l (V) → Cq,l (W). Ïóñòü ïðè ýòîì îòîáðàæåíèå u îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì ôóíêöèé f1 , . . . , ft , à v  íàáîðîì g1 , . . . , gt . b = kUij k  íåêîòîðàÿ ìàòðèöà èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U) è ÷òî Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî U q×l b ) = Vb = kVij k è v(u(U b )) = v(Vb ) = W c = kWij k . Äëÿ âñåõ (i, j) èç S èç îïðåäåëåíèÿ u(U q×l

q×l

ϕ-îòîáðàæåíèé (ðàâåíñòâî (4.3.5)) ïîëó÷àåì Vij = fλ(i,j) (Uξ(i,j,1) , . . . , Uξ(i,j,z(i,j)) )

(4.3.11)

Wij = gλ(i,j) (Vξ(i,j,1) , . . . , Vξ(i,j,z(i,j)) ),

(4.3.12)

è òàê ÷òî

 Wij = gλ(i,j) fλ(ξ(i,j,1)) (Uξ(ξ(i,j,1),1) , . . . , Uξ(ξ(i,j,1),z(ξ(i,j,1))) ), . . . ,  fλ(ξ(i,j,z(i,j))) (Uξ(ξ(i,j,z(i,j)),1) , . . . , Uξ(ξ(i,j,z(i,j)),z(ξ(i,j,z(i,j)))) ) . 83

(4.3.13)

Ïîëàãàÿ k = λ(i, j) è èñïîëüçóÿ ôóíêöèè β è γ , ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå  Wij = gk fβ(k,1) (Uξ(i,j,γ(k,1,1)) , . . . , Uξ(i,j,γ(k,1,z(β(k,1)))) ), . . . ,  (4.3.14) fβ(k,z(k)) (Uξ(i,j,γ(k,z(k),1)) , . . . , Uξ(i,j,γ(k,z(k),z(β(k,z(k))))) ) . Îïðåäåëèì òåïåðü ϕ-îòîáðàæåíèå w èç Cq,l (U) â Cq,l (V) íàáîðîì ôóíêöèé h1 , . . . , ht , çàäàâàåìûõ äëÿ ëþáîãî k ∈ {1, . . . , t} è ëþáîãî U = (U, . . . , Uz(k ) èç Uz(k) ðàâåíñòâîì  hk (U ) = gk fβ(k,1) (Uγ(k,1,1) , . . . , Uγ(k,1,z(β(k,1))) ), . . . ,  (4.3.15) fβ(k,z(k)) (Uγ(k,z(k),1) , . . . , Uγ(k,z(k),z(β(k,z(k)))) ) . Èç ðàâåíñòâ (4.3.14) è (4.3.15) âûòåêàåò, ÷òî

Wij = hλ(i,j) (Uξ(i,j,1) , . . . , Uξ(i,j,z(i,j)) ).

(4.3.16)

Âûïîëíåíèå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïàðû èíäåêñîâ (i, j) èç S è îçíà÷àåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå (ò.å. ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèé β è γ ) ñóïåðïîçèöèÿ ϕ-îòîáðàæåíèé u è v ñàìà îêàçûâàåòñÿ ϕ-îòîáðàæåíèåì. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ ñèãíàòóðû ϕ ôóíêöèè α, ò.å. èç âûïîëíåíèÿ óñëîâèé (4.3.6) è (4.3.7) âûòåêàåò, ÷òî òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå Cq,l (U) íà ñåáÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå U ÿâëÿåòñÿ ϕ-îòîáðàæåíèåì. Äåéñòâèòåëüíî, îïðåäåëèì ϕ-îòîáðàæåíèå u0 íàáîðîì ôóíêöèé f10 , . . . , ft0 , ïîëîæèâ äëÿ ëþáîãî k èç {1, . . . , t} è ëþáîãî íàáîðà (U1 , . . . , Uz(k) ) èç Uz(k)

fk0 (U1 , . . . , Uz(k) ) = Uα(k) .

(4.3.17)

b = kUij k èç Cq,l (U) ïðè Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè α âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ìàòðèöû U q×l âñåõ (i, j) èç ìíîæåñòâà S áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî 0 fλ(i,j) (Uξ(i,j,1) , . . . , Uξ(i,j,z(i,j)) ) = Uξ(i,j,α(λ(i,j))) = Uij ,

(4.3.18)

b) = U b , ÷òî è òðåáóåòñÿ. îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî u0 (U Íåîáõîäèìîñòü. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ íå ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìîé, ò.å. åñëè îíà íå óäîâëåòâîðÿåò õîòÿ áû îäíîìó èç óñëîâèé (4.3.6)(4.3.10), òî ìíîæåñòâà ϕ-îòîáðàæåíèé íå ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l . Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.6). Ïóñòü äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ íå âûïîëíåíî óñëîâèå (4.3.6), U  ìíîæåñòâî, â êîòîðîì âûäåëåíû äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà U10 è U20 .  ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ, â ìíîæåñòâå S èìååòñÿ ïàðà èíäåêñîâ (i0 , j0 ) òàêàÿ, ÷òî (i0 , j0 ) ∈ / S(i0 ,j0 ) . Ïóñòü u  ïðîèçâîëüíîå ϕ-îòîáðàæåíèå èç Cq,l (U) â ñåáÿ, îïðåäåëÿåìîå íàáîðîì ôóíêöèé f1 , . . . , ft .

84



2 b 1 = U 1 b2 b1

Uij Ðàññìîòðèì U  ìàòðèöû èç Cq,l (U) òàêèå, ÷òî â U ij q×l è U = q×l b 2  U 2 = U 0 , à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ñíîâà ðàâíû U 0 . âñå ýëåìåíòû ðàâíû U10 , à â U 2 1

10

i0 j0 b 1 ) è U 20 = u(U b 2 ). Ïîëîæèì U = u(U ij

q×l

ij

q×l

Èç îïðåäåëÿþùåãî ϕ-îòîáðàæåíèÿ ðàâåíñòâà (4.3.5) âûòåêàåò, ÷òî 0

Uij1 = fλ(i0 ,j0 ) (U10 , . . . , U10 ) è 0

Uij2 = fλ(i0 ,j0 ) (U10 , . . . , U10 ), 0

0

òàê ÷òî Uij1 = Uij2 . 0 0 Ïîñêîëüêó Uij1 = Uij2 è U10 6= U20 , òî ϕ-îòîáðàæåíèå u íå ìîæåò áûòü òîæäåñòâåííûì. Òàê êàê ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî ϕ-îòîáðàæåíèÿ, òî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî Φ(Cq,l (U), Cq,l (U)) íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ ñîîòâåòñòâóþùåé êàòåãîðèè. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.6) äîêàçàíà. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.7). Ïóñòü äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ íå âûïîëíåíî óñëîâèå (4.3.7), U  ìíîæåñòâî, â êîòîðîì âûäåëåíû äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà U10 è U20 . Èç ñäåëàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî â ìíîæåñòâå S èìåþòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå äâå ïàðû èíäåêñîâ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) òàêèå, ÷òî (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ), λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), (i1 , j1 ) = ξ(i1 , j1 , k1 ) è (i2 , j2 ) = ξ(i2 , j2 , k2 ) ïðè k1 6= k2 . Ïîëîæèì k0 = λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ) è ðàññìîòðèì ϕ-îòîáðàæåíèå u ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U) â ñåáÿ, ñ÷èòàÿ åãî òîæäåñòâåííûì. Ïóñòü îòîáðàæåíèå u îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì ôóíêöèé f1 , . . . , ft . Èç òîãî, ÷òî ïî ïðåäïîëîæåíèþ u  òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ fk0 : Uz(k0 ) → U äîëæíà ïðè ïðîèçâîëüíîì íàáîðå (U1 , . . . , Uz(k0 ) ) èç Uz(k0 ) óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâàì fk0 (U1 , . . . , Uz(k0 ) ) = Uk1 (4.3.19) è

fk0 (U1 , . . . , Uz(k0 ) ) = Uk2 .

(4.3.20)

Ïîëàãàÿ Uk1 = U10 è Uk = U20 ïðè k ∈ {1, . . . , z(k0 )} è k 6= k0 , ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå:

U10 = fk0 (U20 , U20 , . . . , U20 , U10 , U20 , . . . , U20 ) = U20 . Èòàê, è â ñëó÷àå, êîãäà ñèãíàòóðà ϕ íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4.3.7), òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå Cq,l (U) íà ñåáÿ îêàçûâàåòñÿ íå ϕ-îòîáðàæåíèåì. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.7) äîêàçàíà. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.8). Ïóñòü äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ íå âûïîëíåíî óñëîâèå (4.3.8), è ñíîâà U  ìíîæåñòâî, â êîòîðîì âûäåëåíû äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà U10 è U20 . Íåâûïîëíåíèå óñëîâèÿ (4.3.8) îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå ïàð (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) â S è èíäåêñà k òàêèõ,÷òî (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ), λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ) = k1 è λ(ξ(i1 , j1 , k)) = k2 6= λ(ξ(i2 , j2 , k)) = k3 , ãäå k ∈ {1, . . . , z(k1 )}. 85

Ðàññìîòðèì ñóïåðïîçèöèþ v◦u äâóõ ϕ-îòîáðàæåíèé u : Cq,l (U) → Cq,l (U) è v : Cq,l (U) → Cq,l (U), ñ÷èòàÿ, ÷òî u îïðåäåëåíî íàáîðîì ôóíêöèé f1 , . . . , ft , à v  íàáîðîì g1 , . . . , gt , ïðè÷åì ïîëîæèì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íàáîðîâ (U1 , . . . , Uz(k1 ) ), (U1 , . . . , Uz(k2 ) ) è (U1 , . . . , Uz(k3 ) ):

gk1 (U1 , . . . , Uz(k1 ) ) = Uk , fk2 (U1 , . . . , Uz(k2 ) ) = U10 , fk3 (U1 , . . . , Uz(k3 ) ) = U20 . Åñëè áû ñóïåðïîçèöèÿ v ◦ u áûëà ϕ-îòîáðàæåíèåì, òî îíà äîëæíà áûëà áû îïðåäåëÿòüñÿ íàáîðîì ôóíêöèé h1 , . . . , ht òàêèì, ÷òî ôóíêöèÿ hk1 îêàçûâàëàñü áû òîæäåñòâåííî ðàâíîé U10 è U20 îäíîâðåìåííî, ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèÿ U10 6= U20 . Èòàê, ïðè íåâûïîëíåíèè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ óñëîâèÿ (4.3.8), ìíîæåñòâî Φ(Cq,l (U), Cq,l (U)) îêàçûâàåòñÿ íåçàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî ñóïåðïîçèöèé è ïîòîìó íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìíîæåñòâî ìîðôçèìîâ ïîäêàòåãîðèè êàòåãîðèè Ψq,l . Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.8) äîêàçàíà. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.9). Ïóñòü äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ íå âûïîëíåíî óñëîâèå (4.3.9). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ìíîæåñòâå S ñóùåñòâóþò ïàðû èíäåêñîâ (i1 , j1 ), (i2 , j2 ) è (i3 , j3 ) òàêèå, ÷òî (i1 , j1 ) ∈ S(i2 ,j2 ) , (i3 , j3 ) ∈ S(i1 ,j1 ) , íî (i3 , j3 ) ∈ / S(i2 ,j2 ) . Ïîëîæèì k1 = λ(i1 , j1 ) è k2 = λ(i2 , j2 ). Ðàññìîòðèì ñóïåðïîçèöèþ v ◦ u äâóõ ϕ-îòîáðàæåíèé u è v (u : Cq,l (U) → Cq,l (U) è v : Cq,l (U) → Cq,l (U)), ñ÷èòàÿ, ÷òî u îïðåäåëåíî íàáîðîì ôóíêöèé f1 , . . . , ft è v  íàáîðîì g1 , . . . , gt , ïðè÷åì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íàáîðîâ (U1 , . . . , Uz(k1 ) ) è (U1 , . . . , Uz(k2 ) ) âûïîëíåíû ðàâåíñòâà fk1 (U1 , . . . , Uz(k1 ) ) = Uk3 , è

gk2 (U1 , . . . , Uz(k2 ) ) = Uk4 , ãäå k3  èíäåêñ òàêîé, ÷òî (i3 , j3 ) = ξ(i1 , j1 , k3 ) è k4  òàêîé, ÷òî (i1 , j1 ) = ξ(i2 , j2 , k4 ). b = kUij k Ïðèìåíÿÿ îòîáðàæåíèå u ê ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöå U q×l èç Cq,l (U), ïîëó÷àåì

0 0 0 b = U , ãäå U U i1 j1 = Ui3 j3 . ij q×l

b 0 ïîëó÷àåì ìàòðèöó U b 00 = v(U b 0 ) = U 00 , â Èñïîëüçóÿ òåïåðü îòîáðàæåíèå v , èç U ij q× êîòîðîé Ui002 j2 = Ui01 j1 , òàê ÷òî Ui002 j2 = Ui3 j3 . Äîïóñêàÿ, ÷òî ñóïåðïîçèöèÿ v ◦ u ÿâëÿåòñÿ ϕ-îòîáðàæåíèåì, îïðåäåëåííûì íàáîðîì b = kUij k èìååì ôóíêöèé h1 , . . . , ht , äëÿ ôóíêöèè hk2 è äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû U q×l

hk2 (Uξ(i2 ,j2 ,1) , . . . , Uξ(i2 ,j2 ,z(k2 )) ) = Ui3 j3 . (4.3.21)

2

b1 b2 b 1 = U 1

Ðàññìîòðèì ìàòðèöû U ij q×l è U = Uij q×l èç Cq,l (U) òàêèå, ÷òî â U âñå b2  ýëåìåíòû ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû íåêîòîðîìó ýëåìåíòó U 0 ìíîæåñòâà U, à â U 1

Ui23 j3 = U20 6= U10 è Uij2 = U10 ïðè (i, j) ∈ S è (i, j) 6= (i3 , j3 ). Èç ðàâåíñòâà (4.3.21) äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: hk2 (U10 , . . . , U10 ) = U10 86

è

hk2 (U10 , . . . , U10 ) = U20 , ò.å. ïðîòèâîðå÷èå, òàê ÷òî ñóïåðïîçèöèÿ v ◦ u â ýòîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ϕ-îòîáðàæåíèåì. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.9) äîêàçàíà. Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (4.3.10). Ïóñòü äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ âûïîëíåíû óñëîâèÿ (4.3.8) è (4.3.9), íî íå âûïîëíåíî óñëîâèå (4.3.10). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ïàðû èíäåêñîâ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) â S òàêèå, ÷òî (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) è λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), è ñóùåñòâóþò èíäåêñû k2 , k3 , k4 è k5 òàêèå, ÷òî ξ(ξ(i1 , j1 , k2 ), k3 ) = ξ(i1 , j1 , k4 ), ξ(ξ(i2 , j2 , k2 ), k3 ) = ξ(i2 , j2 , k5 ) è k4 6= k5 .  ñèëó âûïîëíåíèÿ äëÿ ñèãíàòóðû ϕ óñëîâèÿ (4.3.8), âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

λ(ξ(i1 , j1 , k2 )) = λ(ξ(i2 , j2 , k2 )) = k6 . Ðàññìîòðèì ñóïåðïîçèöèþ v ◦ u äâóõ ϕ-îòîáðàæåíèé u è v , ãäå u : Cq,l (U) → Cq,l (U), v : Cq,l (U) → Cq,l (U), ñ÷èòàÿ, ÷òî u îïðåäåëåíî íàáîðîì ôóíêöèé f1 , . . . , ft , à v  íàáîðîì g1 , . . . , gt , ïðè÷åì òàê, ÷òî äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà U âûïîëíåíû ðàâåíñòâà hk2 (U1 , . . . , Uz(k6 ) ) = Uk3 è

hk1 (U1 , . . . , Uz(k1 ) ) = Uk2 . Åñëè áû ñóïåðïîçèöèÿ v ◦ u áûëà ϕ-îòîáðàæåíèåì, òî ôóíêöèÿ hk1 èç ñîîòâåòñòâóþùåãî íàáîðà ôóíêöèé äîëæíà áûëà áû ïðè ïðîèçâîëüíîì íàáîðå (U1 , . . . , Uz(k1 ) ) óäîâëåòâîðÿòü äâóì, âîîáùå ãîâîðÿ, íåñîâìåñòíûì â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ k4 6= k5 óñëîâèÿì:

hk1 (U1 , . . . , Uz(k1 ) ) = Uk4 è

hk1 (U1 , . . . , Uz(k1 ) ) = Uk5 . Èòàê, åñëè ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4.3.8) è (4.3.9) íå âûïîëíåíî (4.3.10), òî ìíîæåñòâî Φ(Cq,l (U), Cq,l (U)), êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, îêàçûâàåòñÿ íåçàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî ñóïåðïîçèöèé. Ëåììà äîêàçàíà. Òåïåðü ïîíÿòèå äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû áóäåò ïðîèëëþñòðèðîâàíî ðÿäîì ïðèìåðîâ, ñîâîêóïíîñòü êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî äîêàçàòåëüñòâîì íåçàâèñèìîñòè óñëîâèé (4.3.6)(4.3.10). Ïðèìåðû ôóíêöèîíàëüíûõ ñèãíàòóð. Ïðèìåð 4.3.1. Ðàçìåð: q = 2 è l = 1. Ñèãíàòóðà: ϕ1 = (((1, 1)), ((1, 1)), λ). Ôóíêöèÿ λ: λ(1, 1) = 1, λ(2, 1) = 2. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì äîïóñòèìîñòè (4.3.7)(4.3.10), íî äëÿ íåå íå âûïîëíåíî óñëîâèå 4.3.6. Äåéñòâèòåëüíî, (2, 1) ∈ / S(2,1) = ((1, 1)). 87

Ïðèìåð 4.3.2. Ðàçìåð: q = 2 è l = 1.

Ñèãíàòóðà: ϕ2 = (((1, 1), (2, 1)), ((1, 1), (2, 1)), λ). Ôóíêöèÿ λ: λ(1, 1) = λ(2, 1) = 1. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ2 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì äîïóñòèìîñòè (4.3.6) è (4.3.8) (4.3.10), íî äëÿ íåå íå âûïîëíåíî óñëîâèå (4.3.7). Äåéñòâèòåëüíî, õîòÿ (1, 1) = ξ(1, 1, 1), íî (2, 1) = ξ(2, 1, 2) 6= ξ(2, 1, 1) = (1, 1). Ïðèìåð 4.3.3. Ðàçìåð: q = 4 è l = 1. Ñèãíàòóðà: ϕ3 = (((1, 1), (3, 1)), ((2, 1), (4, 1)), ((3, 1)), ((4, 1)), λ). Ôóíêöèÿ λ: λ(1, 1) = λ(2, 1) = 1, λ(3, 1) = 2, λ(4, 1) = 3. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ3 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì äîïóñòèìîñòè (4.3.6), (4.3.7), (4.3.9) è (4.3.10), íî äëÿ íåå íå âûïîëíåíî óñëîâèå (4.3.8). Äåéñòâèòåëüíî, õîòÿ λ(1, 1) = λ(2, 1), íî λ(ξ(1, 1, 2)) = λ(3, 1) = 2 6= λ(ξ(2, 1, 2)) = λ(4, 1) = 3. Ïðèìåð 4.3.4. Ðàçìåð: q = 3 è l = 1. Ñèãíàòóðà: ϕ4 = (((1, 1), (2, 1), (3, 1)), ((1, 1), (2, 1)), ((3, 1)), λ). Ôóíêöèÿ λ: λ(1, 1) = 1, λ(2, 1) = 2, λ(3, 1) = 3. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ4 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì äîïóñòèìîñòè (4.3.6)(4.3.8) è (4.3.10), íî äëÿ íåå íå âûïîëíåíî óñëîâèå (4.3.9). Äåéñòâèòåëüíî, õîòÿ (1, 1) ∈ S(2,1) , íî íå âûïîëíåíî âêëþ÷åíèå S(1,1) ⊆ S(2,1) . Ïðèìåð 4.3.5. Ðàçìåð: q = 6 è l = 1. Ñèãíàòóðà: ϕ5 = ( ((1, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)), ((2, 1), (3, 1), (5, 1), (4, 1), (6, 1)), ((3, 1), (4, 1)), ((5, 1), (6, 1)), ((6, 1), (5, 1)), λ). Ôóíêöèÿ λ: λ(1, 1) = λ(2, 1) = 1 è λ(3, 1) = λ(4, 1) = λ(5, 1) = λ(6, 1) = 2. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ5 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì äîïóñòèìîñòè (4.3.6)(4.3.9), íî äëÿ íåå íå âûïîëíåíî óñëîâèå 4.3.10. Äåéñòâèòåëüíî, õîòÿ λ(1, 1) = λ(2, 1), íî

ξ(ξ(1, 1, 2), 2) = ξ(3, 1, 2) = (4, 1) = ξ(1, 1, 3) è

ξ(ξ(2, 1, 2), 2) = ξ(3, 1, 2) = (4, 1) = ξ(2, 1, 3). Ïðèìåð 4.3.6. Ðàçìåð: q = 2 è l = 1.

Ñèãíàòóðà: ϕ6 = (((1, 1)), ((2, 1)), λ). Ôóíêöèÿ λ: λ(1, 1) = 1, λ(2, 1) = 2. Ïðèìåð 4.3.7. Ðàçìåð: q = 2 è l = 1. Ñèãíàòóðà: ϕ7 = (((1, 1), (2, 1)), ((2, 1), (1, 1)), λ). Ôóíêöèÿ λ: λ(1, 1) = λ(2, 1) = 1. Ïðèìåð 4.3.8. Ðàçìåð: q = 4 è l = 1. Ñèãíàòóðà: ϕ8 = (((1, 1), (3, 1)), ((2, 1), (4, 1)), ((3, 1)), ((4, 1)), λ). 88

Ôóíêöèÿ λ: λ(1, 1) = λ(2, 1) = 1, λ(3, 1) = λ(4, 1) = 2. Ïðèìåð 4.3.9. Ñèãíàòóðà ϕ9 ñîâïàäàåò ñ ϕ5 , íî S(2,1) = ((2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)). Ôóíêöèîíàëüíûå ñèãíàòóðû ϕ6 ϕ9  äîïóñòèìûå. Èç ëåììû 4.3.1 âûòåêàåò, ÷òî êàæäîé äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðå ϕ ñîîòâåòñòâóåò ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Ψq,l . Êàòåãîðèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ñèãíàòóðîé ϕα , áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëîì Φα (ñ èñïîëüçîâàíèåì, êàê è â ñëó÷àå ñèììåòðè÷åñêèõ êàòåãîðèé, îáùåãî èíäåêñà α).

4.4

Ôóíêöèîíàëüíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. Ïîëíîòà è äîïóñòèìîñòü. Áàçû

Èç ðàâåíñòâà (4.3.5), îïðåäåëÿþùåãî ñîñòàâ ìíîæåñòâ ìîðôèçìîâ ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé, íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî ïðè ëþáîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðå ϕ ïðîèçâåäåíèå äâóõ ϕ-îòîáðàæåíèé u è v , ãäå u : Cpq,l1 (U) → Cpq,l2 (V) è v : Crq,l1 (U) → Crq,l2 (V), òàêæå ÿâëÿåòñÿ ϕ-îòîáðàæåíèåì è ÷òî äèàãîíàëèçàöèÿ ëþáîãî ϕ-îòîáðàæåíèÿ  ϕ-îòîáðàæåíèå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðå ϕ êàòåãîðèÿ Φ äîïóñòèìà. Ëåììà 4.4.1. Äëÿ ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ êàòåãîðèÿ Φ ïîëíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ)  äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà, U è V  ïðîèçâîëüíûå ìíîæåñòâà, ïðè÷åì |U| > 1. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîé ñèòóàöèè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ∞ n o [ p p p 1 p b1 b b b u(U , . . . , U ) (U , . . . , U ) ∈ Cq,l (U), u ∈ HomΦ (Cq,l (U), Cq,l (V)) = Cq,l (V).

(4.4.1)

p=0

Ïðè t = ql, ò.å. êîãäà ÷èñëî ôóíêöèé, îïðåäåëÿþùèõ ìîðôèçìû, ðàâíî ðàçìåðíîñòè çàäà÷è, ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (4.4.1) î÷åâèäíà, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì îíî âûïîëíåíî óæå ïðè p = 0. Äàëåå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñëó÷àé t < ql. Ïóñòü ((i11 , j11 ), (i21 , j12 )), . . . , ((i1ν , jν1 ), (i2ν , jν2 ))  âñå òàêèå ïàðû ïàð èíäåêñîâ èç S, ÷òî (i1k , jk1 ) 6= (i2k , jk2 ) è λ(i1k , jk1 ) = λ(i2k , jk2 ) ïðè k ∈ {1, . . . , ν}, V0  ïðîèçâîëüíûé ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà V.

b k = Uijk èç Cq,l (U) òàêóþ, ÷òî Äëÿ êàæäîãî k ∈ {1, . . . , ν} ïîñòðîèì ìàòðèöó U q×l k k Ui1 j 1 6= Ui2 j 2 (ýòî ìîæíî ñäåëàòü â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î íåîäíîýëåìåíòíîñòè ìíîæåk k k k ñòâà U). Îïðåäåëèì òåïåðü äëÿ êàæäîé ìàòðèöû Vb = kVij kq×l èç Cq,l (V) ñîîòâåñòâóþùåå åé ϕ-îòîáðàæåíèå uVb èç Cνq,l (U) â Cq,l (V) ôóíêöèÿìè fVbk (k ∈ {1, . . . , t}), òàêèìè, ÷òî ïðè ¯ = (U1 , . . . , Uνz(k) ) èç Uνz(k) ïðîèçâîëüíîì íàáîðå U

b) fVbk (U

 =

Vij V0

ν ¯ = (U 1  åñëè λ(i, j) = k è U ξ(i,j,1) , . . . , Uξ(i,j,z(k)) );  â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

89

(4.4.2)

b 1, . . . , U b ν ôóíêöèè f k çàäàþòñÿ ðàâåíñòâîì  ñèëó óñëîâèÿ âûáîðà íàáîðà ìàòðèö U Vb b (4.4.2) êîððåêòíî ïðè âñåõ V è k . Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå k èç ìíîæåñòâà {1, . . . , t}. Ïóñòü (i1 , j1 ), . . . , (ip , jp )  âñå òàêèå ïàðû èç S, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ) = . . . = 1 ν λ(ip , jp ) = k , è ïóñòü U¯r = (Uξ(i , . . . , Uξ(i ) ïðè r ∈ {1, . . . , p}. r ,jr ,1) r ,jr ,z(k)) ¯ = (U1 , . . . , Uνz(k) ) èç Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Vb = kVij kq×l èç Cq,l (V) è ëþáîãî íàáîðà U νz(k) ¯ ∈ U èç ðàâåíñòâà (4.4.2) ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ëþáîì U / {U¯1 , . . . , U¯p } âûïîëíåíî fVbk (U ) = V0 , à åñëè ïðè íåêîòîðîì r0 èç {1, . . . , p} èìååò ìåñòî U¯ = U¯r0 , òî fVbk (U¯ ) = Vir0 jr0 . Èòàê, ¯r1 6= U¯r2 (r1 , r2 ∈ ôóíêöèÿ f k îïðåäåëåíà êîððåêòíî, ïîñêîëüêó ïðè r1 6= r2 âûïîëíåíî U Vb

b 1, . . . , U b ν ). {1, . . . , p}), ÷òî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ íàáîðà (U b 1, . . . , U b ν ) = Vb , Èç (4.4.2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ Vb ∈ Cq,l (V) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî uVb (U à îòñþäà, çàñòàâëÿÿ ìàòðèöó-èíäåêñ Vb ïðîáåãàòü âñå ïðîñòðàíñòâî Cq,l (V), ïîëó÷àåì n o u(U¯ ) u ∈ HomΦ (Cνq,l (U), Cq,l (V)), U¯ ∈ Cpq,l (U) = Cq,l (V). (4.4.3) Èç âûïîëíåíèÿ (4.4.3) ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (4.4.1) âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî. Ëåììà äîêàçàíà. Èòàê, äëÿ ïðîèçâîëüíîé äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ êàòåãîðèÿ Φ ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé è äîïóñòèìîé. Ëåììà 4.4.2. Ïóñòü ϕ  äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà è X  ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Cq,l (U), ãäå U  íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Φ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà S òàêèõ, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), â ìíîæåñòâå X ñóùåñòâóåò ìàòðèb = kUij k öà U q×l òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî k èç ìíîæåñòâà {1, . . . , z(i1 , j1 )} èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå Uξ(i1 ,j1 ,k) 6= Uξ(i2 ,j2 ,k) . Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü X  òàêîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U), ÷òî äëÿ íåãî íå âûïîëíåíî óñëîâèå ëåììû, ò.å. òàêîå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ïàðû (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà S ïðè òîì, ÷òî (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) è λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), äëÿ âñåõ b = kUij k èç X è âñÿêîãî k èç {1, . . . , z(i1 , j1 )} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Uξ(i ,j ,k) = ìàòðèö U 1 1 q×l Uξ(i2 ,j2 ,k) . Ïóñòü òàêæå p  íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Äëÿ ëþáîãî ìîðôèçìà u êàòåãîðèè Φ èç Cpq,l (U) â Cq,l (U) â äàííîì ñëó÷àå èç îïðåb 1, . . . , U b p )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð ìàòðèö èç ìíîäåëåíèÿ (4.3.5) ïîëó÷àåì, ÷òî åñëè (U b = kUij k b1 bp æåñòâà X p , òî â ìàòðèöå U q×l = u(U , . . . , U ) áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Ui1 j1 = Ui2 j2 . Äåéñòâèòåëüíî, èç (4.3.5) âûòåêàåò, ÷òî p 1 Ui1 j1 = fr1 (Uξ(i , . . . , Uξ(i ) 1 ,j1 ,1) 1 ,j1 ,z(r))

(4.4.4)

p 1 , . . . , Uξ(i ), Ui2 j2 = fr1 (Uξ(i 2 ,j2 ,1) 2 ,j2 ,z(r))

(4.4.5)

è ãäå r = λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), à íàáîðû àðãóìåíòîâ ôóíêöèé â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâ (4.4.4) è (4.4.5) ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé.

90

Èòàê, èìååì

o [n u(U¯ ) u ∈ HomΦ (Cνq,l (U), Cq,l (V)), U¯ ∈ X p ⊆ p=0

o n b b ⊆ U U = kUij kq×l ∈ Cq,l (U), Ui1 j1 = Ui2 j2 ⊂ Cq,l (U), ãäå ïîñëåäíåå âêëþ÷åíèå  ñòðîãîå, ò.ê. (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî X â äàííîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Φ â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U). Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü òåïåðü X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U), äëÿ êîòîðîãî óñëîâèå ëåììû âûïîëíåíî, ò.å. òàêîå ïîäìíîæåñòâî, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû (i1 , j2 ) 6= (i2 , j2 ) b = kUij k è ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà S òàêîé, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), â X èìååòñÿ ìàòðèöà U q×l â {1, . . . , z(i1 , j1 )} èìååòñÿ èíäåêñ k òàêèå, ÷òî Uξ(i1 ,j1 ,k) 6= Uξ(i2 ,j2 ,k) . Ïóñòü, êàê è â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé ëåììû 4.4.1, ((i11 , j11 ), (i21 , j12 )), . . . , ((i1ν , jν1 ), (i2ν , jν2 ))  âñå òàêèå ïàðû ïàð èíäåêñîâ èç S, ÷òî (i1k , jk1 ) 6= (i2k , jk2 ) è λ(i1k , jk1 ) = λ(i2k , jk2 ) ïðè k ∈ {1, . . . , ν}.  ñèëó ïðèíÿòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ, êàæäîé ïàðå ((i1k , jk1 ), (i2k , jk2 )) ìîæíî ñîïîñòàâèòü ìàòðèöó

b k = U k èç X òàêóþ, ÷òî íàáîðû U ij q×l



k k Uξ(i 1 ,j 1 ,1) , . . . , Uξ(i1 ,j 1 ,z(i1 ,j 1 ))



k k Uξ(i 2 ,j 1 ,2) , . . . , Uξ(i2 ,j 1 ,z(i2 ,j 2 ))



k

è



k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

ðàçëè÷àþòñÿ õîòÿ áû â îäíîì ìåñòå (îòìåòèì, ÷òî ðàçíûì ïàðàì ïðè ýòîì ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü îäíà ìàòðèöà èç X ). Ïóñòü, íàêîíåö, U0  íåêîòîðûé ïðîèçâîëüíûé ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà U. b = kUij k Îïðåäåëèì òåïåðü äëÿ êàæäîé ìàòðèöû U q×l èç Cq,l (U) ñîîòâåòñòâóþùåå åé ν k ϕ-îòîáðàæåíèå uUb èç Cq,l (U) â Cq,l (U) ôóíêöèÿìè fUb (k ∈ {1, . . . , t}): ïðè ïðîèçâîëüíîì ¯ = (U1 , . . . , Uνz(k) ) èç Uνz(k) íàáîðå U

( b) fUbk (U

=

  ν ¯ = U1 , . . . , U åñëè λ(i, j) = k è U ξ(i,j,1) ξ(i,j,z(k)) ; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

Uij U0

(4.4.6)

b 1, . . . , U b ν ôóíêöèè f k çàäàþòñÿ ðàâåí ñèëó óñëîâèÿ âûáîðà íàáîðà ìàòðèö U b U b ñòâîì (4.4.2) êîððåêòíî ïðè âñåõ U è k , ÷òî ïðîâåðÿåòñÿ òàê æå, êàê è â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåé ëåììû. Êðîìå òîãî ÿñíî, ÷òî äëÿ íèõ âûïîëíåíî ðàâåíñòâî b 1, . . . , U bν) = U b. uUb (U

(4.4.7)

b ïðîáåãàòü âñå ïðîñòðàíñòâî Cq,l (U), ïîëó÷àåì Çàñòàâëÿÿ â (4.4.7) ìàòðèöó-èíäåêñ U n o b 1, . . . , U b ν ) U b ∈ Cq,l (U) = Cq,l (U). u b (U U

Òåì áîëåå

n o ν ν ¯ ¯ u(U ) u ∈ HomΦ (Cq,l (U), Cq,l (U)), U ∈ X = Cq,l (U) 91

è, íàêîíåö,

o [n u(U¯ ) u ∈ HomΦ (Cpq,l (U), Cq,l (U)), U¯ ∈ X p = Cq,l (U), p=0

÷òî è òðåáîâàëîñü, ò.å. ìíîæåñòâî X â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Φ â ïðîñòðàíñòâå Cq,l (U). Ëåììà äîêàçàíà. b = kUij k  Ñëåäñòâèå 4.4.3. Ïóñòü ϕ  äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà è U q×l ìàòðèöà èç Cq,l (U), ãäå U  íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåb } ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Φ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= ñòâî {U (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà S òàêèõ, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ {1, . . . , z(i1 , j1 )} âûïîëíåíî Uξ(i1 ,j1 ,k) 6= Uξ(i2 ,j2 ,k) .

4.5

Ñîîòíîøåíèå ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé è êàòåãîðèé

Ïðåäìåòîì ðàññìîòðåíèÿ â äàííîì è â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôàõ áóäåò âàæíûé äëÿ ïðèëîæåíèé âîïðîñ î òîì, êàê ñîîòíîñÿòñÿ ñèììåòð÷åñêèå è ôóíêöèîíàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ è êàòåãîðèè è êîãäà â ïðîöåññå ðåøåíèÿ èõ ìîæíî ìåíÿòü äðóã íà äðóãà. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî îäíî è òî æå îòîáðàæåíèå, ñêàæåì, èç Cq,l (U) â Cq,l (U), ãäå U  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, ìîæåò áûòü îäíîâðåìåííî ìîðôèçìîì ðàçëè÷íûõ è ñèììåòðè÷åñêèõ, è ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé. Áîëåå òîãî, è ìíîæåñòâà ìîðôèçìîâ îäíîé êàòåãîðèè ìîãóò áûòü ïîäìíîæåñòâàìè ìîðôèçìîâ äðóãîé. Òàê, íàïðèìåð, ÿñíî, ÷òî åñëè äàíû σ1 è σ2  ïîäãðóïïû ãðóïïû σ0 è σ1  ïîäãðóïïà ãðóïïû σ2 , òî êàòåãîðèÿ Σ2 îêàçûâàåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Σ1 (ýòî ëåãêî ïîíÿòü, çàìåòèâ, ÷òî êàæäàÿ èç ïîäñòàíîâîê ãðóïïû σ ÿâëÿåòñÿ ïî ñóòè äåëà îãðàíè÷åíèåì äëÿ îòîáðàæåíèé  ìîðôèçìîâ ñîîòâåòñòâóþùåé êàòåãîðèè Σ, à ïîòîìó ÷åì áîëüøå â ãðóïïå ïîäñòàíîâîê, òåì ìåíüøå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîðôèçìîâ ñîîòâåòñòâóþùåé êàòåãîðèè). Îòìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ¾ìàêñèìàëüíûå¿ ñèììåòðè÷åñêèå è ôóíêöèîíàëüíûå êàòåãîðèè ñîâïàäàþò ñ Ψq,l , ò.å. èõ ìîðôèçìàìè ÿâëÿþòñÿ âñå îòîáðàæåíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè îáëàñòÿìè è êîîáëàñòÿìè (ýòè êàòåãîðèè îïðåäåëÿþòñÿ òðèâèàëüíîé ãðóïïîé {e}, ãäå e  òîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà, è ñèãíàòóðîé ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ}, ãäå ïðè âñåõ (i, j) èç S âûïîëíåíû ðàâåíñòâà S(i,j) = ((1, 1), . . . , (q, l)) è, ñêàæåì, λ(i, j) = i + (j − 1)q). ¾Ìèíèìàëüíàÿ¿ ñèììåòðè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïîé σ0 , ¾ìèíèìàëüíàÿ¿ ôóíêöèîíàëüíàÿ êàòåãîðèÿ  ýòî îïèñàííàÿ â ïàðàãðàôå 4.3 êàòåãîðèÿ Φ0 . Ïðè ýòîì êàòåãîðèÿ Φ0 îêàçûâàåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Σ0 , ìîðôèçìàìè êîòîðîé, ïîìèìî ìîðôèçìîâ êàòåãîðèè Φ0 , ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, åùå è îïåðàöèè òèïà íîðìèðîâàíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö. Èòàê, îäíà ñèììåòðè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé äðóãîé, åñëè îïðåäåëÿþùàÿ åå ãðóïïà ñîäåðæèò â êà÷åñòâå ïîäãðóïïû ãðóïïó, îïðåäåëÿþùóþ äðóãóþ êàòåãîðèþ. Ôóíêöèîíàëüíàÿ êàòåãîðèÿ, Φ îïðåäåëÿåìàÿ ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðîé 92

ϕ1 = (S1(1,1) , . . . , S1(q,l) , λ1 ), ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé ôóíêöîíàëüíîé êàòåãîðèè, îïðåäåëÿåìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðîé ϕ2 = (S2(1,1) , . . . , S2(q,l) , λ2 ), åñëè ïðè âñåõ (i, j) èç S âûïîëíåíî óñëîâèå S1(i,j) ⊆ S2(i,j) è äëÿ âñåõ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç S âåðíà èìïëèêàöèÿ

λ2 (i1 , j1 ) = λ2 (i2 , j2 ) → λ1 (i1 , j1 ) = λ1 (i2 , j2 ) . Ñèììåòðè÷åñêèå êàòåãîðèè ìîãóò áûòü ïîäêàòåãîðèÿìè òîëüêî ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé, îïðåäåëÿåìûõ ôóíêöèîíàëüíûìè ñèãíàòóðàìè ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ), â êîòîðûõ ïðè âñåõ (i, j) èç S ìíîæåñòâà S(i,j) ñîâïàäàþò ïî ñîñòàâó ñ S.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ðàññìîòðåâ, ñêàæåì, îïåðàòîð íîðìèðîâàíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö íà ñóììó 1, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì âñåõ ñèììåòðè÷åñêèõ êàòåãîðèé. Ïîñêîëüêó îïèñàííûå ôóíêöèîíàëüíûå êàòåãîðèè íå ïðåäñòàâëÿþò ïðàêòè÷åñêîãî èíòåðåñà, òî â äàëüíåéøåì ðàññìîòðåíèå áóäåò îãðàíè÷åíî èçó÷åíèåì âàæíîãî äëÿ ïðèëîæåíèé âîïðîñà îá óñëîâèÿõ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ôóíêöèîíàëüíûå êàòåãîðèè îêàçûâàþòñÿ ïîäêàòåãîðèÿìè ñèììåòðè÷åñêèõ. Îïðåäåëåíèå 4.5.1. Äëÿ äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ) ãðóïïîé σϕ íàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïà ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû σ0 , ñîñòîÿùàÿ èç âñåõ ïîäñòàíîâîê s, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì

λ(s(i, j)) = λ(i, j)  äëÿ âñåõ (i, j) ∈ S; s(ξ(i, j, k)) = ξ(s(i, j), k)  äëÿ âñåõ (i, j) ∈ S è k ∈ {1, . . . , z(i, j)}.

(4.5.1) (4.5.2)

Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ, ò.å. òî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ïîäñòàíîâîê, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (4.5.1) è (4.5.2), îáðàçóåò ïîäãðóïïó ãðóïïû σ0 , ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Ëåììà 4.5.1. Äëÿ ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ êàòåãîðèÿ Φ ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèè Σϕ . Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ U è V è íàòóðàëüíûõ ÷èñåë p1 è p2 âñå ìîðôèçìû u êàòåãîðèè Φ èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) êîììóòèðóþò ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîäñòàíîâêàìè s èç ãðóïïû σϕ , ò.å. ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåb 1, . . . , U b p1 ) ïðîñòðàíñòâà Cp1 (U) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ìåíòà (U q,l

b 1, . . . , U b p1 )) = s(u(U b 1, . . . , U b p1 )). u(s(U

(4.5.3)

b 1, . . . , U b p1 )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð ìàòðèö èç Cp1 (U), s  ïîäñòàíîâêà Èòàê, ïóñòü (U q,l èç σϕ è u  ìîðôèçì êàòåãîðèè Φ èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V)). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî  





Uij1 , . . . , U p1

Vij1 , . . . , V p2 = u ij q×l . ij q×l q×l q×l Èç ñîîòíîøåíèÿ (4.3.5), îïðåäåëÿþùåãî ñâîéñòâà îòîáðàæåíèÿ u, èìååì, ñ÷èòàÿ, ÷òî ìîðôèçì u îïðåäåëåí íàáîðîì ôóíêöèé f11 , . . . , ftp2 , ïðè âñåõ k ∈ {1, . . . , p2 } è (i, j) ∈ S:   p1 k k 1 (4.5.4) Vij = fλ(i,j) Uξ(i,j,1) , . . . , Uξ(i,j,z(i,j)) . 93

  

0p2  01 1 p1 b b

Ñ÷èòàÿ Vij q×l , . . . , Vij q×l = s u(U , . . . , U ) , ïîëó÷àåì:   p1 k k 1 Vij0k = Vs(i,j) = fλ(s(i,j)) Uξ(s(i,j),1) , . . . , Uξ(s(i,j),z(s(i,j))) .

(4.5.5)

  

00p2  001 1 p1 b b

À äëÿ Vij q×l , . . . , Vij q×l = u s(U , . . . , U ) , èìååì:   p1 k 1 Vij00k = fλ(i,j) Us(ξ(i,j,1)) , . . . , Us(ξ(i,j,z(i,j))) .

(4.5.6)

Òàê êàê â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ãðóïïû σϕ ïðè âñåõ (i, j) èç ìíîæåñòâà S âûïîëíåíû ðàâåíñòâà λ(s(i, j)) = λ(i, j) è s(ξ(i, j, k)) = ξ(s(i, j), k) (ïðè k ∈ {1, . . . , z(i, j)}), òî ïðàâûå ÷àñòè ðàâåíñòâ (4.5.5) è (4.5.6) ñîâïàäàþò. Èòàê, ïðè âñåõ k ∈ {1, . . . , p2 } è (i, j) ∈ S âûïîëíåíî Vij0k = Vij00k , ÷òî è îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (4.5.3). Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 4.5.2. Ïóñòü ϕ  äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà è σ  ïîäãðóïïà ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû σ0 . Åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ êàòåãîðèÿ Φ ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèè Σ, òî ãðóïïà σ ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû σϕ . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äëÿ äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ è ïîäãðóïïû σ ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû σ0 âûïîëíåíî óñëîâèå ëåììû, è ïóñòü s  ïðîèçâîëüíàÿ ïîäñòàíîâêà èç ãðóïïû σ . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ýòîì s ñ íåîáõîäèìîñòüþ îêàçûâàåòñÿ ïîäñòàíîâêîé è èç σϕ . Ïî ïðåäïîëîæåíèþ äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà U èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå

HomΦ (Cq,l (U), Cq,l (U)) ⊆ HomΣ (Cq,l (U), Cq,l (U))

(4.5.7)

Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå U ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë {1, . . . , ql}, îáîçíà÷èâ åãî U0 . Ïóñòü u  ïðîèçâîëüíûé ìîðôèçì êàòåãîðèè Φ èç Cq,l (U0 ) â Cq,l (U0 ), çàäàâàåìûé íàáîðîì ôóíêöèé f1 , . . . , ft . Èç âêëþ÷åíèÿ (4.5.7) ñëåäóåò, ÷òî ϕ-îòîáðàæåíèå u êîììóòèðóåò ñ ïîäñòàíîâêîé s, ò.å. ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû kUij kq×l èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U0 ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî u(s(kUij kq×l )) = s(u(kUij kq×l )). Ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè âñåõ (i, j) èç S âûïîëíåíî



fλ(i,j) Us(ξ(i,j,1)) , . . . , Us(ξ(i,j,z(i,j)) ) = fλ(s(i,j)) Uξ(s(i,j),1) , . . . , Uξ(s(i,j),z(s(i,j))) .

(4.5.8)

Ðàññìàòðèâàÿ êîíêðåòíîå ϕ-îòîáðàæåíèå u0 , çàäàííîå íàáîðîì ôóíêöèé-êîíñòàíò z(k) ¯ fk (U ) ≡ k (ïðè âñåõ k èç ìíîæåñòâà {1, . . . , t} è âñåõ âåêòîðîâ U¯ èç U0 ), èç ðàâåíñòâà (4.5.8) ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ (i, j) ∈ S âûïîëíåíî

λ(s(i, j)) = λ(i, j).

(4.5.9)

Ïóñòü òåïåðü (i0 , j0 )  íåêîòîðûé ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà S, k0  ýëå b 0 = Uij0  ìàòðèöà èç Cq,l (U0 ), âñå ýëåìåíòû ìåíò ìíîæåñòâà {1, . . . , z(i0 , j0 )} è U q×l êîòîðîé ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ðàññìàòðèâàÿ ϕ-îòîáðàæåíèå, çàäàâàåìîå íàáîðîì ôóíêöèé 94

z(i ,j )

f1 , . . . , ft òàêèõ, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîì íàáîðå (U1 , . . . , Uz(i,j) ) èç U0 0 0 âûïîëíåíî óñëî0 âèå fλ(i0 ,j0 ) (U1 , . . . , Uz(i0 ,j0 ) ) = Uk0 , íàõîäèì, ÷òî ðàâåíñòâî (4.5.8) ïðèâîäèò ê Us(ξ(i = 0 ,j0 ,k0 )) b 0 âëå÷åò ðàâåíñòâî U0 , ÷òî â ñèëó âûáîðà ìàòðèöû U ξ(s(i0 ,j0 ),k0 )

s(ξ(i0 , j0 , k0 )) = ξ(s(i0 , j0 ), k0 ).

(4.5.10)

Âûïîëíåíèå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ (i, j) èç S è ïðîèçâîëüíûõ k èç {1, . . . , z(i, j)} ðàâåíñòâ (4.5.9) è (4.5.10) è îçíà÷àåò (îïðåäåëåíèå 4.5.1), ÷òî ïîäñòàíîâêà s ïðèíàäëåæèò ãðóïïå σϕ . Ïîñêîëüêó s  ïîèçâîëüíàÿ ïîäñòàíîâêà èç ãðóïïû σ , òî σ îêàçûâàåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû σϕ , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåììà äîêàçàíà. Èòàê, ëþáàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ êàòåãîðèÿ îêàçûâàåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþùåé åé ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèè. Äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé êàòåãîðèè, îïðåäåëÿåìîé ñèãíàòóðîé ϕ, ñèììåòðè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ, îïðåäåëÿåìà ãðóïïîé σϕ , îêàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì ìèíèìàëüíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî Φ ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé òåõ è òîëüêî òåõ ñèììåòðè÷åñêèõ êàòåãîðèé, äëÿ êîòîðûõ è Σϕ ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé.

4.6

Ïîëíîòà ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé â ñèììåòðè÷åñêèõ

Âîïðîñ îá óñëîâèÿõ, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèîíàëüíûå êàòåãîðèè îêàçûâàþòñÿ ïîäêàòåãîðèÿìè ñèììåòðè÷åñêèõ, ðåøåí â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå. Òåïåðü æå áóäåò ïîëó÷åíî ðåøåíèå âîïðîñà îá óñëîâèÿõ, îáåñïå÷èâàþùèõ Γ-ïîëíîòó ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèììåòðè÷åñêèõ, òî÷íåå  âîïðîñ î òîì, êîãäà ôóíêöèîíàëüíàÿ êàòåãîðèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ñèãíàòóðîé ϕ, ÿâëÿåòñÿ Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé ñîîòâåòñòâóþùåé ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèè Σϕ . Ïî îïðåäåëåíèþ 3.4.7 êàòåãîðèÿ Φ ÿâëÿåòñÿ Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Σϕ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ëþáîì ïîñòðàíñòâå ìàòðèö ëþáàÿ áàçà êàòåãîðèè Σϕ îêàçûâàåòñÿ îäíîâðåìåííî è áàçîé êàòåãîðèè Φ (îáðàòíîå âûïîëíåíî âñåãäà è âûòåêàåò ïðîñòî èç òîãî, ÷òî Φ  ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Σϕ ). Ïîýòîìó íàøåé öåëüþ áóäåò ïîèñê îãðàíè÷åíèé íà ôóíêöèîíàëüíûå ñèãíàòóðû, îáåñïå÷èâàþùèõ âûïîëíåíèå ýòîãî óñëîâèÿ. Ëåììà 4.6.1. Ôóíêöèîíàëüíàÿ êàòåãîðèÿ Φ ñ äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðîé ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ), ìîæåò áûòü Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèè Σϕ òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) èç S òàêèõ, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), â ãðóïïå σϕ èìååòñÿ íåòîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà s0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà (i, j) ìíîæåñòâà S, íå ïðèíàäëåæàùåãî îáúåäèíåíèþ S(i1 ,j1 ) ∪S(i2 ,j2 ) , âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s0 (i, j) = (i, j). Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïèñàíèÿ áàç ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ êàòåãîðèé (ëåììû 4.2.3 è 4.4.2) âûòåêàåò, ÷òî êàòåãîðèÿ Φ ÿâëÿåòñÿ Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Σϕ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà X ëþáîãî ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö Cq,l (U) âûïîëíåíî óñëîâèå: åñëè äëÿ âñÿêîé íååäèíè÷íîé ïîäñòàíîâêè s èç ãðóïïû σϕ â X 95

b òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåå s(U b ) 6= U b , òî äëÿ âñåõ ïàð èíäåêñîâ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) èìååòñÿ ìàòðèöà U b = kUij k èç S òàêèõ, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), äîëæíû ñóùåñòâîâàòü ìàòðèöà U q×l â X è èíäåêñ k â {1, . . . , z(i1 , j1 ) = z(i2 , j2 )} òàêèå, ÷òî Uξ(i1 ,j1 ,k) 6= Uξ(i2 ,j2 ,k) . Ïîñëåäíåå óñëîâèå ìîæíî, î÷åâèäíî, çàïèñàòü â ñëåäóþùåé ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå: åñëè â S èìåþòñÿ äâå ðàçëè÷íûå ïàðû èíäåêñîâ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) òàêèå, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ), b = kUij k è, â òî æå âðåìÿ òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîé ìàòðèöû U q×l èç X è ëþáîãî k èç {1, . . . , z(i1 , j1 )} âûïîëíåíî Uξ(i1 ,j1 ,k) = Uξ(i2 ,j2 ,k) , òî äëÿ íåêîòîðîé íååäèíè÷íîé ïîäñòàb èç X äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ s0 (U b) = U b. íîâêè s0 èç ãðóïïû σϕ è äëÿ âñåõ ìàòðèö U Âûáåðåì â êà÷åñòâå U íàáîð U0 = {1, . . . , ql}. Ïóñòü ((i11 , j11 ), (i21 , j12 )) , . . . , ((i1ν , jν1 ), (i2ν , jν2 ))  âñå òàêèå ïàðû ïàð èíäåêñîâ èç S, ÷òî (i1k , jk1 ) 6= (i2k , jk2 ) è λ(i1k , jk1 ) = λ(i2k , jk2 ) ïðè k ∈ {1, . . . , ν}. Êàæäîìó k ñîïîñòàâèì òåïåðü

k k b k = U k ìàòðèöó U ij q×l èç Cq,l (U0 ) òàêóþ, ÷òî â íåé ðàâåíñòâî Ui1 j1 = Ui2 j2 áóäåò èìåòü ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà {(i1 , j1 ), (i2 , j2 )} ⊆ S(k), ãäå S(k) = S(i1k ,jk1 ) ∪ S(i2k ,jk2 ) . Òàêèì b k âñå ýëåìåíòû Uij ñ èíäåêñàìè (i, j) èç S(k) ðàâíû ìåæäó ñîáîé è îáðàçîì â ìàòðèöå U îòëè÷íû îò ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ìåæäó ñîáîé îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ. b k äëÿ âñåõ p èç ìíîæåñòâà {1, . . . , z(i1 , j 1 )} âûïîëíåíî Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ìàòðèöàõ U k k k k ðàâåíñòâî Uξ(i1 ,j 1 ,p) = Uξ(i2 ,j 2 ,p) . k k k k b k } ïðè k ∈ {1, . . . , ν}, íå ÿâëÿþÐàññìàòðèâàÿ îäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà X = {U ùèåñÿ áàçàìè êàòåãîðèè Φ, ïîëó÷àåì, ÷òî êàòåãîðèÿ Φ ìîæåò áûòü ïîëíà â êàòåãîðèè Σϕ òîëüêî åñëè äëÿ êàæäîãî k â ãðóïïå σϕ ñîäåðæèòñÿ íåòîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà sk òàêàÿ, ÷òî b k) = U b k. sk (U (4.6.1)

b k , èç ðàâåíñòâà (4.6.1) ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ ïàð Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå âûáîðà ìàòðèö U (i, j) èç S, íå ïðèíàäëåæàùèõ îáúåäèíåíèþ S(k), âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå sk (i, j) = (i, j), ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 4.6.2. Ôóíêöèîíàëüíàÿ êàòåãîðèÿ Φ ñ äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðîé ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ) ìîæåò áûòü Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèè Σϕ òîëüêî òîãäà, êîãäà ñèãíàòóðà ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ     −1 (4.6.2) ∀(i1 , j1 ) ∃(i2 , j2 )(S(i1 ,j1 ) ⊂ S(i2 ,j2 ) ) → |λ (λ(i1 , j1 ))| = 1 , S

S

ãäå λ−1 (λ(i1 , j1 ))  êëàññ ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ îòîáðàæåíèÿ λ, ñîäåðæàùèé (i1 , j1 ), è |λ−1 (λ(i1 , j1 ))|  ìîùíîñòü (÷èñëî ýëåìåíòîâ) ýòîãî êëàññà. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî êàòåãîðèÿ Φ ÿâëÿåòñÿ Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé êàòåãîðèè Σϕ , íî â òî æå âðåìÿ ñóùåñòâóþò (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) â S òàêèå, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ S(i1 ,j1 ) ⊂ S(i2 ,j2 ) è |λ−1 (λ(i1 , j1 ))| > 1. Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà âûòåêàåò, ÷òî èìååòñÿ è ïàðà èíäåêñîâ (i3 , j3 ) òàêàÿ, ÷òî (i3 , j3 ) 6= (i1 , j1 ) è λ(i3 , j3 ) = λ(i1 , j1 ).  ñèëó ëåììû 4.6.1 â ãðóïïå σϕ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èìååòñÿ íåòîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà s0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S(i1 ,j1 ) ∪ S(i3 ,j3 ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s0 (i, j) = (i, j). 96

Ïàðà èíäåêñîâ (i2 , j2 ) íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü îáúåäèíåíèþ S(i1 ,j1 ) ∪ S(i3 ,j3 ) . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè (i2 , j2 ) ∈ S(i1 ,j1 ) , òî â ñèëó òîãî, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ äîïóñòèìà (îïðåäåëåíèå 4.3.2), ìíîæåñòâî S(i2 ,j2 ) äîëæíî áûòü ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà S(i1 ,j1 ) , ÷òî ïîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î âûïîëíåíèè ñðîãîãî âêëþ÷åíèÿ S(i1 ,j1 ) ⊂ S(i2 ,j2 ) . Åñëè æå (i2 , j2 ) ïðèíàäëåæèò S(i3 ,j3 ) , òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî S(i2 ,j2 ) ⊆ S(i3 ,j3 ) , íî òîãäà èç λ(i1 j1 ) = λ(i3 , j3 ) ñëåäóåò, ÷òî z(i1 , j1 ) = z(i3 , j3 ), à èç S(i1 ,j1 ) ⊂ S(i2 ,j2 )  ÷òî z(i1 , j1 ) < z(i2 , j2 ), òàê ÷òî z(i3 , j3 ) < z(i2 , j2 ), ÷òî èñêëþ÷àåòñÿ â ñèëó S(i2 ,j2 ) ⊆ S(i3 ,j3 ) (íàïîìíèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ z(i, j)  ÷èñëî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà S(i,j) ïðè (i, j) ∈ S). Èç âûøåñêàçàííîãî âûòåêàåò âûâîä î òîì, ÷òî äëÿ ïîäñòàíîâêè s0 è (i2 , j2 ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s0 (i2 , j2 ) = (i2 , j2 ). (4.6.3) Èñïîëüçóÿ åãî è óñëîâèå 4.5.2 èç îïðåäåëåíèÿ ãðóïïû σϕ , ïîëó÷àåì öåïî÷êó ðàâåíñòâ

s0 (i1 , j1 ) = s0 (ξ(i2 , j2 , k)) = ξ(s0 (i2 , j2 ), k) = ξ(i2 , j2 , k) = (i1 , j1 ), ãäå k  èíäåêñ èç {1, . . . , z(i2 , j2 )} òàêîé, ÷òî (i1 , j1 ) = ξ(i2 , j2 , k). Åñëè êðîìå (4.6.3) äëÿ ïîäñòàíîâêè s0 âûïîëíåíî è ðàâåíñòâî

s0 (i3 , j3 ) = (i3 , j3 ),

(4.6.4)

òî ïîäñòàíîâêà s0 îêàçûâàåòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ òîæäåñòâåííîé, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî k èç {1, . . . , z(i1 , j1 ) = z(i2 , j2 )} èìåþò ìåñòî öåïî÷êè ðàâåíñòâ

s0 (ξ(i1 , j1 , k)) = ξ(s0 (i1 , j1 ), k) = ξ(i1 , j1 , k) è

s0 (ξ(i3 , j3 , k)) = ξ(s0 (i3 , j3 ), k) = ξ(i3 , j3 , k). Òîæäåñòâåííîñòü ïîäñòàíîâêè s0 ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ, òàê ÷òî ñëó÷àé (4.6.4) íåâîçìîæåí. Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî s0 (i3 , j3 ) 6= (i3 , j3 ). (4.6.5) Ýòî ñîîòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî k1 6= k2 , ãäå èíäåêñû k1 è k2 îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè (i3 , j3 ) = ξ(i3 , j3 , k1 ) è s0 (i3 , j3 ) = ξ(i3 , j3 , k2 ).  ýòîì ñëó÷àå èç òîãî, ÷òî ñèãíàòóðà ϕ äîïóñòèìà (ñì. îïðåäåëåíèå 4.3.2) è èç óñëîâèÿ 4.5.1, âûïîëíåííîãî äëÿ ïîäñòàíîâêè s0 èç ãðóïïû σϕ , ïîëó÷àåì

λ(i3 , j3 ) = λ(s0 (i3 , j3 )) = λ(ξ(i3 , j3 , k1 )) = λ(ξ(i3 , j3 , k2 )) = = λ(ξ(i1 , j1 , k1 )) = λ(ξ(i1 , j1 , k2 )) = λ(i1 , j1 ). Ñíîâà ïðèìåíÿÿ ëåììó 4.6.1, íàõîäèì, ÷òî â ãðóïïå σϕ â äàííîì ñëó÷àå äîëæíà èìåòüñÿ íåòîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà s1 òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé ïàðû èíäåêñîâ (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S(i1 ,j1 ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s1 (i, j) = (i, j). Äåéñòâèòåëüíî, ξ(i1 , j1 , k2 ) ∈ S(i1 ,j1 ) è, 97

ñëåäîâàòåëüíî, Sξ(i1 ,j1 ,k2 ) ⊆ S(i1 ,j1 ) , à òàê êàê λ(ξ(i1 , j1 , k2 )) = λ(i1 , j1 ), òî è z(ξ(i1 , j1 , k2 )) = z(i1 , j1 ). Èòàê, âûïîëíåíû ðàâåíñòâà

Sξ(i1 ,j1 ,k2 ) = S(i1 ,j1 ) è

Sξ(i1 ,j1 ,k2 ) ∪ S(i1 ,j1 ) = S(i1 ,j1 ) . Òåïåðü îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü ëåììó 4.6.1, ïîëàãàÿ (i2 , j2 ) = ξ(i1 , j1 , k2 ). Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå â ãðóïïå σϕ äîëæíà èìåòüñÿ íåòîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà s1 òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ ïàð (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S(i1 ,j1 ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s1 (i, j) = (i, j). Íî òîãäà, êàê è âûøå, íàõîäèì, ÷òî ïðè âñåõ k èç {1, . . . , z(i2 , j2 )} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s1 (ξ(i2 , j2 , k)) = ξ(i2 , j2 , k) è ïîòîìó, s1 (i1 , j1 ) = (i1 , j1 ), ò.å. ñíîâà ïîëó÷àåì, ÷òî s1 âîïðåêè ïðåäïîëîæåíèþ  òîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà. Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 4.6.3. Ïóñòü ϕ  äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (4.6.2) è (i1 , j1 ) è (i2 , j2 )  ðàçëè÷íûå ïàðû èíäåêñîâ èç ìíîæåñòâà S òàêèå, ÷òî äëÿ íèõ âûïîëíåíû ðàâåíñòâà λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ) è S(i1 ,j1 ) = S(i2 ,j2 ) . Òîãäà â ãðóïïå σϕ ñîäåðæèòñÿ ïîäñòàíîâêà s0 òàêàÿ, ÷òî  s0 (ξ(i1 , j1 , k)) = ξ(i2 , j2 , k)  ïðè âñåõ k èç {1, . . . , z(i1 , j1 )}, (4.6.6) s0 (i, j) = (i, j)  ïðè (i, j) ∈ S − S(i1 ,j1 ) . Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîäñòàíîâêà s0 îïðåäåëåíà ðàâåíñòâàìè (4.6.6) êîððåêòíî. Ïîêàæåì, ÷òî ïîäñòàíîâêà s0 âõîäèò â ãðóïïó σϕ , ò.å. ÷òî äëÿ s0 âûïîëíåíû óñëîâèÿ (4.5.1) è (4.5.2). Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (4.5.1), ò.å. òî, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî λ(s0 (i, j)) = λ(i, j), î÷åâèäíî äëÿ âñåõ (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S(i1 ,j1 ) . Äëÿ (i, j) ∈ S(i1 ,j1 ) â ñèëó äîïóñòèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ èìååì öåïî÷êó

λ(s0 (i, j)) = λ(s0 (ξ(i1 , j1 , k))) = λ(ξ(i2 , j2 , k)) = λ(ξ(i1 , j1 , k)) = λ(i, j), ãäå èíäåêñ k îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì ξ(i1 , j1 , k) = (i, j). Èòàê, ðàâåíñòâî (4.5.1) âûïîëíåíî äëÿ âñåõ ïàð (i, j) èç ìíîæåñòâà S. Ïðîâåðèì òåïåðü äëÿ ïîäñòàíîâêè s0 âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (4.5.2), ò.å. ïîêàæåì, ÷òî äëÿ âñåõ (i, j) èç S è âñåõ k èç ìíîæåñòâà {1, . . . , z(i, j)} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

s0 (ξ(i, j, k)) = ξ(s0 (i, j), k). Ïóñòü (i, j)  ïàðà èç äîïîëíåíèÿ S äî S(i1 ,j1 ) . Ïîëîæèì S0 = S(i,j) ∩ S(i1 ,j1 ) . Äëÿ k ∈ {1, . . . , z(i, j)} òàêèõ, ÷òî ξ(i, j, k) ∈ S − S0 , èìååì s0 (ξ(i, j, k)) = ξ(i, j, k) = ξ(s0 (i, j), k). Åñëè æå ξ(i, j, k) ∈ S0 , òî, âî-ïåðâûõ, ξ(i, j, k) = ξ(i1 , j1 , k1 ) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì k1 èç ìíîæåñòâà {1, . . . , z(i1 , j1 )}, è, âî-âòîðûõ, â ñèëó äîïóñòèìîñòè ñèãíàòóðû ϕ èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå Sξ(i,j,k) ⊆ S0 . Îòñþäà âûòåêàåò ñòðîãîå âêëþ÷åíèå Sξ(i,j,k) ⊂ S(i,j) , ÷òî âìåñòå ñ ïðåäïîëîæåíèåì î âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (4.6.2) âëå÷åò ðàâåíñòâî |λ−1 (λ(ξ(i, j, k)))| = 1. 98

Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âûòåêàåò, ÷òî âûïîëíåíî è ðàâåíñòâî ξ(i1 , j1 , k1 ) = ξ(i2 , j2 , k1 ), à ïîòîìó âåðíà è ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà:

s0 (ξ(i, j, k)) = s0 (ξ(i2 , j2 , k1 )) = ξ(i2 , j2 , k1 ) = ξ(i1 , j1 , k1 ) = ξ(i, j, k) = ξ(s0 (i, j), k). Èòàê, äëÿ âñåõ (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S(i1 ,j1 ) è âñåõ k èç {1, . . . , z(i, j)} ðàâåíñòâî (4.5.2) âûïîëíåíî. Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî (i, j)  ýëåìåíò S(i1 ,j1 ) .  ýòîì ñëó÷àå ïðè íåêîòîðîì k0 èç {1, . . . , z(i1 , j1 )} âûïîëíåíî (i, j) = ξ(i1 , j1 , k0 ). Èç óñëîâèÿ (4.6.6) ïîëó÷àåì, ÷òî òîãäà s0 (i, j) = ξ(i2 , j2 , k0 ). Ïóñòü k  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç {1, . . . , z(i, j)}. Èç óñëîâèÿ äîïóñòèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðû ϕ â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì, ÷òî â ìíîæåñòâå {1, . . . , z(i1 , j1 ) = z(i2 , j2 )} èìååòñÿ k1 òàêîå, ÷òî ξ(ξ(i1 , j1 , k0 ), k) = ξ(i1 , j1 , k1 ) è ξ(ξ(i2 , j2 , k0 ), k) = ξ(i2 , j2 , k1 ). Ïîýòîìó âåðíà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ:

s0 (ξ(i, j, k)) = s0 (ξ(ξ(i1 , j1 , k0 ), k)) = s0 (ξ(i1 , j1 , k1 )) = = ξ(i2 , j2 , k1 ) = ξ(ξ(i2 , j2 , k0 ), k) = ξ(s0 (i, j), k), ÷òî è òðåáîâàëîñü. Èòàê, óñëîâèå (4.5.2) âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ âñåõ (i, j) èç ìíîæåñòâà S(i1 ,j1 ) . Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 4.6.4. Åñëè äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4.6.2) è (i1 , j1 ) è (i2 , j2 )  ðàçëè÷íûå ïàðû èíäåêñîâ èç S òàêèå, ÷òî äëÿ íèõ âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ) è S(i1 ,j1 ) 6= S(i2 ,j2 ) , òî â ãðóïïå σϕ ñîäåðæèòñÿ ïîäñòàíîâêà s0 òàêàÿ, ÷òî ïðè âñåõ k èç {1, . . . , z(i1 , j1 ) = z(i2 , j2 )} âûïîëíåíû ðàâåíñòâà s0 (ξ(i1 , j1 , k)) = ξ(i2 , j2 , k) è s0 (ξ(i2 , j2 , k)) = ξ(i1 , j1 , k) è ïðè âñåõ (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S0 = S(i1 ,j1 ) ∪ S(i2 ,j2 ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s0 (i, j) = (i, j). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì ïðåæäå âñåãî, ÷òî ïîäñòàíîâêà s0 îïðåäåëåíà óñëîâèåì ëåììû êîððåêòíî. Äëÿ ïàð (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S0 ýòî î÷åâèäíî. Ïðåäñòàâèì òåïåðü S0 â âèäå ñóììû äèçúþíêòíûõ ìíîæåñòâ S1 , S2 è S3 , ò.å. ïîëîæèì S0 = S1 ∪ S2 ∪ S3 , ãäå S3 = S(i1 ,j1 ) ∩ S(i2 ,j2 ) , S1 = S(i1 ,j1 ) − S3 è S2 = S(i2 ,j2 ) − S. Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâà S1 è S2 íå ïóñòû. Èç óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùåãî ïîäñòàíîâêó s0 , âûòåêàåò, ÷òî s0 ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì S1 è S2 äðóã íà äðóãà, ò.å. ÷òî s0 íà S1 ∪ S2 îïðåäåëåíà êîððåêòíî. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî s0 îïðåäåëåíà êîððåêòíî è íà ìíîæåñòâå S3 , íî ýòî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî íà ýòîì ìíîæåñòâå s0 ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè (i, j)  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà S3 , òî âûïîëíåíî ñòðîãîå (â ñèëó íåïóñòîòû S1 ) âêëþ÷åíèå S(i,j) ⊂ S(i1 ,j1 ) . Ïîýòîìó èç ïðåäïîëîæåíèÿ î âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (4.6.2) ñëåäóåò, ÷òî ïðè íåêîòîðîì k èç ìíîæåñòâà {1, . . . , z(i1 , j1 ) = z(i2 , j2 )} âåðíû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà: (i, j) = ξ(i1 , j1 , k) = ξ(i2 , j2 , k). Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ðàâåíñòâà èç óñëîâèÿ ëåììû ñâîäÿòñÿ ê s0 (i, j) = (i, j). Èòàê, ïîäñòàíîâêà s0 îïðåäåëåíà êîððåêòíî ïðè âñåõ (i, j) èç S. 99

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî s0 âõîäèò â ãðóïïó σϕ . Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (4.5.1) î÷åâèäíî äëÿ ïàð (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S1 ∪ S2 , ïîñêîëüêó íà ýòîì äîïîëíåíèè ïîäñòàíîâêà s0 ñâîäèòñÿ ê òîæäåñòâåííîìó îòîáðàæåíèþ. Ïóñòü (i, j)  ïàðà èç ìíîæåñòâà S1 . Òîãäà ïðè íåêîòîðîì k èç ìíîæåñòâà {1, . . . , z(i1 , j1 )} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (i, j) = ξ(i1 , j1 , k). Ïîýòîìó èç óñëîâèÿ ëåììû, îïðåäåëÿþùåãî çíà÷åíèÿ s0 , è èç äîïóñòèìîñòè ñèãíàòóðû ϕ ïîëó÷àåì öåïî÷êó ðàâåíñòâ

λ(s0 (i, j)) = λ(s0 (ξ(i1 , j1 , k))) = λ(ξ(i2 , j2 , k)) = λ(ξ(i1 , j1 , k)) = λ(i, j). Ñëó÷àé (i, j) ∈ S2 ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî äëÿ ïîäñòàíîâêè s0 âûïîëíåíî óñëîâèå (4.5.2), ïîâòîðÿåò ïîñòðîåíèÿ, ïðîâåäåííûå â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóøåé ëåììû. Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 4.6.5. Ôóíêöèîíàëüíàÿ êàòåãîðèÿ Φ ñ äîïóñòèìîé ôóíêöèîíàëüíîé ñèãíàòóðîé ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ) ÿâëÿåòñÿ Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèè Σϕ , åñëè ñèãíàòóðà ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4.6.2). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ϕ  äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (4.6.2), U  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî è X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U), ÿâëÿþùååñÿ áàçîé êàòåãîðèè Σϕ . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî X îêàçûâàåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Φ. Èç ëåììû 4.2.3 âûòåêàåò, ÷òî ïðè ñäåëàííîì ïðåäïîëîæåíèè äëÿ ëþáîé íåòîæäåb òàêàÿ, ÷òî ñòâåííîé ïîäñòàíîâêè s0 èç ãðóïïû σϕ â ìíîæåñòâå X ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà U b ) 6= U b . Òðåáóåòñÿ æå ïîêàçàòü (ëåììà 4.4.2), ÷òî â òàêîì ñëó÷àå äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçs0 (U ëè÷íûõ ïàð (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà S òàêèõ, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ) â ìíîæåñòâå X b = kUij k òàêàÿ, ÷òî ïðè íåêîòîðîì k èç {1, . . . , z(i1 , j1 ) = z(i2 , j2 )} ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà U q×l âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå Uξ(i1 ,j1 ,k) 6= Uξ(i2 ,j2 ,k) . Èòàê, ïóñòü (i1 , j1 ) è (i2 , j2 )  ðàçëè÷íûå ïàðû òàêèå, ÷òî λ(i1 , j1 ) = λ(i2 , j2 ). Åñëè S(i1 ,j1 ) = S(i2 ,j2 ) , òî â ñèëó ëåììû 4.6.3, à åñëè S(i1 ,j1 ) 6= S(i2 ,j2 ) , òî â ñèëó ëåììû 4.6.4 â ãðóïïå σ0 ñîäåðæèòñÿ íåòîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà s0 òàêàÿ, ÷òî ïðè âñåõ (i, j) èç äîïîëíåíèÿ S äî S(i1 ,j1 ) ∪ S(i2 ,j2 ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî s0 (i, j) = (i, j). Äëÿ ïîäñòàíîâêè s0 b (s0 ) = kUij (s0 )k b b â ìíîæåñòâå X ìîæíî íàéòè ìàòðèöó U q×l òàêóþ, ÷òî s0 (U (s0 )) 6= U (s0 ). Íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íåêîòîðîì k èç {1, . . . , z(i1 , j1 ) = z(i2 , j2 )} âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå Uξ(i1 ,j1 ,k) (s0 ) 6= Uξ(i2 ,j2 ,k) (s0 ), ÷òî è òðåáóåòñÿ. Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììû 4.6.2 è 4.6.5 ðåøàþò ïîñòàâëåííûé â íà÷àëå ïàðàãðàôà âîïðîñ. Äëÿ óäîáñòâà ññûëîê ñôîðìóëèðóåì ýòîò ðåçóëüòàò â âèäå îòäåëüíîãî óòâåðæäåíèÿ. Ëåììà 4.6.6. Ïóñòü ϕ = (S(1,1) , . . . , S(q,l) , λ)  äîïóñòèìàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñèãíàòóðà. Êàòåãîðèÿ Φ ÿâëÿåòñÿ Γ-ïîëíîé ïîäêàòåãîðèåé ñîîòâåòñòâóþùåé ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèè Σϕ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñèãíàòóðà ϕ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ    

∀(i1 , j1 )

−1 ∃(i2 , j2 )(S(i1 ,j1 ) ⊂ S(i2 ,j2 ) ) → |λ (λ(i1 , j1 ))| = 1

S

S

100

,

(4.6.7)

ãäå λ−1 (λ(i1 , j1 ))  êëàññ ÿäåðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ îòîáðàæåíèÿ λ, ñîäåðæàùèé (i1 , j1 ), è |λ−1 (λ(i1 , j1 ))|  ìîùíîñòü (÷èñëî ýëåìåíòîâ) ýòîãî êëàññà.

101

Ãëàâà 5 Ðåçóëüòàòû äëÿ êîíêðåòíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé 5.1

Î ìåòîäàõ èññëåäîâàíèÿ ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû

Èññëåäîâàíèå ñåìåéñòâ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè è êîíñòðóêöèé, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ èõ ðåøåíèÿ ïðè íàëè÷èè îáùèõ ïîëó÷åííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ ìîæåò ïðîâîäèòüñÿ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ñòàíäàðòíûì îáðàçîì. Êîíå÷íî, ñïåöèôèêà êîíêðåòíûõ ñèòóàöèé ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ, íî âûðàæàåòñÿ îíà ïðåæäå âñåãî â òåõíè÷åñêèõ ðàçëè÷èÿõ, âîçíèêàþùèõ ïðè ïîëó÷åíèè îòâåòîâ íà îáùèé öèêë âîïðîñîâ. Ðàññìîòðåíèå ýòèõ âîïðîñîâ è áóäåò ïðîâåäåíî â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå.  îñòàëüíûõ æå ïàðàãðàôàõ äàííîé ãëàâû îòâåòû íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû áóäóò ïîëó÷åíû äëÿ íàèáîëåå èçâåñòíûõ è øèðîêî ïðèìåíÿåìûõ íà ïðàêòèêå ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Îáû÷íî èçó÷åíèå ñåìåéñòâà çàäà÷ êëàññèôèêàöèè íà÷èíàåòñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ âèäà èíôîðìàöèè îá îáúåêòàõ è êëàññàõ (âèäà îïèñàíèé) è âèäà äîïóñòèìûõ îòâåòîâ íà âîïðîñ î ïðèíàäëåæíîñòè îáúåêòîâ êëàññàì. Òàêèì îáðàçîì îêàçûâàþòñÿ îïðåäåëåíû ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ íà÷àëüíûõ èíôîðìàöèé I è äîïóñòèìûõ ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé e I. Êðîìå òîãî, ôèêñèðóåòñÿ ðàçìåðíîñòü çàäà÷, ò.å. ëèáî îïðåäåëÿþòñÿ êîíêðåòíûå çíà÷åíèÿ q è l, ëèáî îäíî èëè îáà èç ýòèõ ÷èñåë ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû çàäà÷è. Äàëåå îïðåäåëÿåòñÿ è ôèêñèðóåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ê ïðåöåäåíòíîé èíôîðìàöèÿ, êîòîðàÿ äîëæíà ó÷èòûâàòüñÿ â ðåøåíèè. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýòà èíôîðìàöèÿ èìååò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð, ïîëó÷àåì, ÷òî â ýòîé ñèòóàöèè îêàçûâàåòñÿ îïðåäåëåíà êàòåãîðèÿ, â ðàìêàõ ñåìåéñòâ ìîðôèçìîâ êîòîðîé ñëåäóåò âåñòè ïîñòðîåíèå ðåøåíèÿ èëè ðåøåíèé. Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ êàòåãîðèè, âûðàæàþùåé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî ïîëó÷åíèå ÿâíûõ îïèñàíèé áàç ýòîé êàòåãîðèè. Ïðè ýòîì îòäåëüíî äîëæíû áûòü îïèñàíû îäíîýëåìåíòíûå áàçû, ïîñêîëüêó òàêîå îïèñàíèå ÿâëÿåòñÿ ïî ñóòè äåëà îïèñàíèåì ðåãóëÿðíûõ çàäà÷. Ïðè íàëè÷èè îïèñàíèÿ áàç ¾àâòîìàòè÷åñêè¿ âîçíèêàþò êîíêðåòíûå êðèòåðèè ïîëíîòû äëÿ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è ñå102

ìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, ïðåäíàçíà÷àåìûõ äëÿ ýòèõ ðîëåé, èìååò ñóùåñòâåííî ýâðèñòè÷åñêèé õàðàêòåð, òàê ÷òî íàëè÷èå ñòðîãèõ êðèòåðèåâ â ýòîé ñèòóàöèè îñîáåííî âàæíî. Ïðèìåíåíèå êðèòåðèåâ ïîëíîòû â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî íåòðóäíûì. Ýòî ïîçâîëÿåò ðåøàòü âîïðîñ î ìèíèìàëüíîé äîñòàòî÷íîé ñëîæíîñòè èññëåäóåìûõ ýâðèñòè÷åñêèõ ñåìåéñòâ. Äëÿ ðåøåíèÿ âîïðîñà òàêîãî ðîäà ôîðìèðóåòñÿ ñòðóêòóðà óïðîùåííûõ ïîäñåìåéñòâ è îòûñêèâàþòñÿ ìèíèìàëüíûå (ïî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîìó âêëþ÷åíèþ) ïîäñåìåéñòâà, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì ïîëíîòû. Ôîðìèðîâàíèå ñòðóêòóðû ìîæåò ïðîâîäèòüñÿ ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî îòêàçà îò èñïîëüçîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ, ñâîäÿùåãîñÿ ê ôèêñàöèè êàêèì-ëèáî åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì èõ çíà÷åíèé.

5.2

Íåêîòîðûå ÷àñòíûå êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè è ïîëíîòû äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè

Ðåçóëüòàòû ýòîãî ïàðàãðàôà èìåþò ñóùåñòâåííî èëëþñòðàòèâíûé è ñïðàâî÷íûé õàðàêòåð. Ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâî S = {(1, 1), . . . , (q, l)} â âèäå ìàòðèöû

(1, 1) (1, 2) . . . (1, l)

(2, 1) (2, 2) . . . (2, l)

Tb =

... ... ... ...

(q, 1) (q, 2) . . . (q, l) q×l Ñèììåòðè÷åñêèå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ è êàòåãîðèè îïðåäåëÿþòñÿ ïîäãðóïïàìè ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû σ0 , ñîñòîÿùåé èç âñåõ ïîäñòàíîâîê (âçàèìíî îäíîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé) ìíîæåñòâà S íà ñåáÿ. Íèæå áóäóò ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû êðîìå ñàìîé ãðóïïû σ0 åùå äâå åå ïîäãðóïïû  σi è σj (çàïèñè σi è σj ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê åäèíûå ñèìâîëû). Ãðóïïà σi ñîñòîèò èç âñåõ ïîäñòàíîâîê ìíîæåñòâà S, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäñòàíîâêàì ñòðîê ìàòðèöû Tb, à ãðóïïà σj  èç ïîäñòàíîâîê, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäñòàíîâêàì ñòîëáöîâ. Íà ïðàêòèêå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûå óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, çàäàâàåìûå ôóíêöèîíàëüíûìè ñèãíàòóðàìè ϕ0 , ϕi è ϕj . Ñèãíàòóðà ϕ0 îïðåäåëÿåòñÿ îäíîýëåìåíòíûìè ìíîæåñòâàìè S(i,j) = ((i, j))  äëÿ âñåõ ïàð (i, j) ∈ S è ôóíêöèåé λ, ïðèíèìàþùåé ïðè âñåõ (i, j) èç S çíà÷åíèå 1. Òàêèì îáðàçîì, ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Φ0 èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U è V è íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ p1 è p2 ÿâëÿþòñÿ âñå îòîáðàæåíèÿ u èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V), ïðåäñòàâèìûå â âèäå



 u Uij1 q×l , . . . , Uijp1 q×l = 



= f 1 (Uij1 , . . . , Uijp1 ) q×l , . . . , f p2 (Uij1 , . . . , Uijp1 ) q×l , ãäå f 1 , . . . , f p2  ôóíêöèè èç Up1 â V. 103

Ñèãíàòóðà ϕi îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâàìè S(i,j) òàêèìè, ÷òî ïðè âñåõ (i, j) èç S ìíîæåñòâî S(i,j) åñòü i-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû Tb. Ôóíêöèÿ λ â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì λ(i, j) = j . Òàêèì îáðàçîì, ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Φi èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U è V è íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ p1 è p2 ÿâëÿþòñÿ âñå îòîáðàæåíèÿ u èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V), ïðåäñòàâèìûå â âèäå 

 u Uij1 q×l , . . . , Uijp1 q×l = 

p2 1

 p1 ij p1 ij 1 1

= fj (Ui1 , . . . , Uil ) q×l , . . . , fj (Ui1 , . . . , Uil ) q×l , ãäå f11 , . . . , fl1 , . . . , flp2  ôóíêöèè èç Ulp1 â V. Ñèãíàòóðà ϕj îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâàìè S(i,j) òàêèìè, ÷òî ïðè âñåõ (i, j) èç S ìíîæåñòâî S(i,j) åñòü j -é ñòîëáåö ìàòðèöû Tb. Ôóíêöèÿ λ â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì λ(i, j) = i. Òàêèì îáðàçîì, ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Φj èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V) ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U è V è íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ p1 è p2 ÿâëÿþòñÿ âñå îòîáðàæåíèÿ u èç Cpq,l1 (U) â Cpq,l2 (V), ïðåäñòàâèìûå â âèäå 

 u Uij1 q×l , . . . , Uijp1 q×l = 

p2 1

 p1 ij p1 ij 1 1

= fi (U1j , . . . , Uqj ) q×l , . . . , fi (U1j , . . . , Uqj ) q×l , ãäå f11 , . . . , fq1 , . . . , fqp2  ôóíêöèè èç Uqp1 â V. Ïîñêîëüêó ãðóïïà σj è ñèãíàòóðà ϕj ïîëó÷àþòñÿ èç ãðóïïû σi è ñèãíàòóðû σi ¾òðàíñïîíèðîâàíèåì¿, òî ðåçóëüòàòû äëÿ íèõ ñîîòâåòñòâåííî àíàëîãè÷íû. Îòìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ 4.5.1 âûòåêàåò, ÷òî èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà σϕ0 = σ0 , σϕi = σi è σϕj = σj . Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò òàêæå, ÷òî ñèãíàòóðû ϕ0 , ϕi è ϕj äîïóñòèìû è ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (4.6.7), òàê ÷òî, ïðèìåíÿÿ ëåììó 4.6.6, ïîëó÷àåì Ëåììà 5.2.1. Êàòåãîðèè Φ0 , Φi è Φj ÿâëÿþòñÿ Γ-ïîëíûìè ïîäêàòåãîðèÿìè êàòåãîðèé Σ0 , Σi è Σj ñîîòâåòñòâåííî. Èç ýòîé ëåììû âûòåêàåò, íàïðèìåð, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è, â êîòîðîé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ âûðàæåíû ñèììåòðè÷åñêîé êàòåãîðèåé Σ0 , â ðàìêàõ ýòîé êàòåãîðèè ïîñòðîåí êîððåêòíûé àëãîðèòì, òî òàêîé àëãîðèòì ìîæåò áûòü ïîñòðîåí è â ðàìêàõ áîëåå óçêîé ôóíêöèîíàëüíîé êàòåãîðèè Φ0 . Ïðèìåíÿÿ ðåçóëüòàòû ãëàâû 4, ïîëó÷èì òåïåðü îïèñàíèÿ áàç ðàññìàòðèâàåìûõ êàòåãîðèé. Ëåììà 5.2.2. Ïóñòü U  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî è X  ïîäìíîæåñòâà ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö Cq,l (U).  Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèé Φ0 è Σ0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà S â X ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà kUij kq×l òàêàÿ, ÷òî Ui1 j1 6= Ui2 j2 .  Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèé Φi è Σi òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ i1 6= i2 èç ìíîæåñòâà {1, . . . , q} â X ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà kUij kq×l òàêàÿ, ÷òî ïðè íåêîòîðîì j èç {1, . . . , l} âûïîëíåíî Ui1 j 6= Ui2 j . 104

 Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèé Φj è Σj òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ j1 6= j2 èç ìíîæåñòâà {1, . . . , l} â X ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà kUij kq×l òàêàÿ, ÷òî ïðè íåêîòîðîì i èç {1, . . . , q} âûïîëíåíî Uij1 6= Uij2 . b0 }  îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U). Ïóñòü X = {U  Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèé Φ0 è Σ0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå b0 ïîïàðíî ðàçëè÷íû. ýëåìåíòû ìàòðèöû U  Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèé Φi è Σi òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå b0 ïîïàðíî ðàçëè÷íû. ñòðîêè ìàòðèöû U  Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèé Φj è Σj òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå b0 ïîïàðíî ðàçëè÷íû. ñòîëáöû ìàòðèöû U Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé ëåììû ñâîäèòñÿ ê ïðîñòîé ïðîâåðêå. Èç ëåììû 5.2.2 è òåîðåìû 3.3.3 (îáùåãî êðèòåðèÿ ðåãóëÿðíîñòè) âûòåêàåò Òåîðåìà 5.2.3. Ïóñòü Z  çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib.  Åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì çàäà÷è Z ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φ0 èëè Σ0 , òî çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýëåìåíòû ìàòðèöû Ib ïîïàðíî ðàçëè÷íû.  Åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì çàäà÷è Z ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φi èëè Σi , òî çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñòðîêè ìàòðèöû Ib ïîïàðíî ðàçëè÷íû.  Åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì çàäà÷è Z ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φj èëè Σj , òî çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñòîëáöû ìàòðèöû Ib ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ñëåäñòâèå 5.2.4. Ïóñòü Z  çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ñî ñòàíäàðòíîé èíôîðìàöèåé è ñ ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib, ãäå

 

0

00 1 00 m 1 m b I = D(S 1 ,...,S m ) (Si ), D (S ), . . . , D (S ), Pj (S ), . . . , Pj (S ) . q×l

 Åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì çàäà÷è Z ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φ0 èëè Σ0 , òî çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè âñåõ i1 6= i2 èç {1, . . . , q} âûïîëíåíî 0 0 D(S 1 ,...,S m ) (Si1 ) 6= D(S 1 ,...,S m ) (Si2 ) è äëÿ ëþáûõ j1 6= j2 èç {1, . . . , l} ñóùåñòâóåò k â {1, . . . , m} òàêîå, ÷òî Pj1 (S k ) 6= Pj2 (S k ).  Åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì çàäà÷è Z ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φi èëè Σi , òî çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè âñåõ i1 6= i2 èç {1, . . . , q} âûïîëíåíî 0 0 D(S 1 ,...,S m ) (Si1 ) 6= D(S 1 ,...,S m ) (Si2 ).  Åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì çàäà÷è Z ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φj èëè Σj , òî çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè âñåõ j1 6= j2 èç {1, . . . , l} ñóùåñòâóåò k â {1, . . . , m} òàêîå, ÷òî Pj1 (S k ) 6= Pj2 (S k ). Îïèñàíèÿ áàç ðàññìàòðèâàåìûõ êàòåãîðèé ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü êîíêðåòíûå êðèòåðèè ïîëíîòû. Òåîðåìà 5.2.5. Ïóñòü M  ìîäåëü àëãîðèòìîâ êàòåãîðèè Φ0 èëè Σ0 . Ìîäåëü M ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Ib èç Cq,l (I) ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè b = Cq,l (e ýëåìåíòàìè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M(I) I).  Åñëè M  ìîäåëü àëãîðèòìîâ êàòåãîðèè Φi èëè Σi , òî ìîäåëü M ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Ib èç Cq,l (I) ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ñòðîêàìè b = Cq,l (e âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M(I) I). 105

 Åñëè M  ìîäåëü àëãîðèòìîâ êàòåãîðèè Φj èëè Σj , òî ìîäåëü M ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Ib èç Cq,l (I) ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ñòîëáöàìè b = Cq,l (e âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M(I) I). 0 Òåîðåìà 5.2.6. Ïóñòü M  ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ êàòåãîðèè Φ0 èëè Σ0 . Ìîäåëü M0 ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Ib èç Cq,l (I) ñ ïîïàðíî b äëÿ ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà S ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè â ìíîæåñòâå M0 (I) b = kRij k òàêàÿ, ÷òî Ri1 j1 6= Ri2 j2 . íàéäåòñÿ ìàòðèöà R q×l  Åñëè M0  ìîäåëü êàòåãîðèè Φi èëè Σi , òî ìîäåëü M0 ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, b êîãäà äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Ib èç Cq,l (I) ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ñòðîêàìè â ìíîæåñòâå M0 (I) b, â êîòîðîé áóäóò ðàçëè÷íû i1 -ÿ è i2 -ÿ äëÿ ëþáûõ i1 6= i2 èç {1, . . . , q} íàéäåòñÿ ìàòðèöà R ñòðîêè.  Åñëè M0  ìîäåëü êàòåãîðèè Φj èëè Σj , òî ìîäåëü M0 ïîëíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, b êîãäà äëÿ ëþáîé ìàòðèöû Ib èç Cq,l (I) ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ñòîëáöàìè â ìíîæåñòâå M0 (I) b, â êîòîðîé áóäóò ðàçëè÷íû j1 -é è j2 -é äëÿ ëþáûõ j1 6= j2 èç {1, . . . , l} íàéäåòñÿ ìàòðèöà`R ñòîëáöû. Ñôîðìóëèðóåì, íàêîíåö, ðåçóëüòàòû äëÿ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Òåîðåìà 5.2.7. Ïóñòü F  ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé êàòåãîðèè Φ0 èëè Σ0 . Ñåìåéñòâî F ïîëíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ìàòðèö X òàêîãî, b = kRij k ÷òî ïðè ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) èç S â X èìååòñÿ ìàòðèöà R q×l ñ Ri1 j1 6= Ri2 j2 , âûïîëíåíî ðàâåíñòâî F(X) = Cq,l (R).  Åñëè F  ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé êàòåãîðèè Φi èëè`Σi , òî ñåìåéñòâî F ïîëíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ìàòðèö X òàêîãî, ÷òî ïðè ëþáûõ b ñ ðàçëè÷íûìè i1 -é è i2 -é ñòðîêàìè, âûïîëíåíî i1 6= i2 èç {1, . . . , q} â X èìååòñÿ ìàòðèöà R ðàâåíñòâî F(X) = Cq,l (R).  Åñëè F  ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé êàòåãîðèè Φj èëè Σj , òî ñåìåéñòâî F ïîëíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ìàòðèö X òàêîãî, ÷òî ïðè ëþáûõ b ñ ðàçëè÷íûìè j1 -ì è j2 -ì ñòîëáöàìè, âûïîëíåíî j1 6= j2 èç {1, . . . , l} â X èìååòñÿ ìàòðèöà R ðàâåíñòâî F(X) = Cq,l (R).

5.3

Ïîëíîòà R-ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ

Îïðåäåëèì ïðåæäå âñåãî ñåìåéñòâî ZR çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ ïðåäíàçíà÷àþòñÿ àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû èç R-ìîäåëåé. Ýòè çàäà÷è îïðåäåëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè, ïðè÷åì 1. S = Rn , ò.å. îáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëîâûå âåêòîðû; 0 00 2. D(S 1 ,...,S m ) (S) ≡ S è D (S) ≡ S , òàê ÷òî îïèñàíèÿìè îáúåêòîâ è êëàññîâ îêàçûâàþòñÿ âåêòîðû âèäà (S, S 1 , . . . , S m , P (S 1 ), . . . , P (S m )).

106

Èòàê, äëÿ çàäà÷è Z èç ZR ìàòðèöà èíôîðìàöèè Ib âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:


ij Ib = Si , S 1 , . . . , S m , Pj (S 1 ), . . . , Pj (S m ) q×l . Ïðèìåíÿÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, íàõîäèì:  åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φ0 èëè Σ0 , òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZR íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ j1 è j2 èç {1, . . . , l} â {1, . . . , m} èìåëñÿ èíäåêñ k òàêîé, ÷òî Pj1 (S k ) 6= Pj2 (S k ) (ýòî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ïðè i1 6= i2 , i1 , i2 ∈ {1, . . . , q} âñåãäà â äàííîì ñëó÷àå âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå 0 0 D(S 1 ,...,S m ) (Si1 ) 6= D(S 1 ,...,S m ) (Si2 ));  åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φi èëè Σi , òî çàäà÷à èç ñåìåéñòâà ZR ðåãóëÿðíà;  åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φj èëè Σj , òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZR íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ j1 è j2 èç {1, . . . , l} â {1, . . . , m} èìåëñÿ èíäåêñ k òàêîé, ÷òî Pj1 (S k ) 6= Pj2 (S k ) (çäåñü èìååò ìåñòî ñëó÷àé, êîãäà ïåðåõîä ê, âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñòâåííî áîëåå øèðîêèì êàòåãîðèÿì íå ïðèâîäèò ê ðàñøèðåíèþ ñåìåéñòâà ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëó÷àåì Φ0 è Σ0 ). Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ìíîæåñòâà ZR â [54, 57] è äð. ðàáîòàõ áûëè ïðåäëîæåíû ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ M(Rj , γ¯ m ) è M(R, γ¯ m ). Îïèøåì ìîäåëü M(Rj , γ¯ m ) (ðåøåíèå âîïðîñà î ïîëíîòå äëÿ ìîäåëè M(R, γ¯ m ) âûòåêàåò èç ïðîâîäèìîãî íèæå ðàññìîòðåíèÿ ïîäìîäåëåé ìîäåëè M(Rj , γ¯ m )). Àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû ìîäåëè M(Rj , γ¯ m ) îïðåäåëÿþòñÿ âûáîðîì êóñî÷íî-ëèíåéíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé Rj â ïðîñòðàíñòâå Rn (ïðè j ∈ {1, . . . , l}), îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíîøåíèÿìè rj (x) = 0 (x  òî÷êà èç Rn ), ãäå rj  êóñî÷íî-ëèíåéíûå ôóíêöèè, è íàáîðîì äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ γk (ãäå k ∈ {1, . . . , m}). Äëÿ çàäà÷è Z èç ñåìåéñòâà ZR îïåðàòîðîì B èç ìîäåëè M(Rj , γ¯ m ) ìàòðèöà îöåíîê kRij kq×l ôîðìèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1. ãèïåðïîâåðõíîñòÿì Rj ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïðåäèêàòû P rj , ò.å. ôóíêöèè P rj èç Rn â {0, 1}, òàê, ÷òî ïðè âñåõ x èç Rn âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî P rj (x) ≡ (rj (x) > 0); 2. äëÿ êàæäîãî j èç {1, . . . , l} ìíîæåñòâî îáó÷àþùèõ îáúåêòîâ {S 1 , . . . , S m } ðàçáèâàåòñÿ íà ÷åòûðå ïîäìíîæåñòâà Sj00 , Sj01 , Sj10 è Sj11 òàê, ÷òî ïðè α, β ∈ {0, 1} n o Sjαβ = S S ∈ {S 1 , . . . , S m }, P rj (S) = α, P rj (S) = β ; 3. äëÿ âñåõ j ∈ {1, . . . , l} è α, β ∈ {0, 1} âû÷èñëÿþòñÿ âåëè÷èíû Qαβ j : X Qαβ γk ; j = k:S k ∈Sjαβ

4. äëÿ âñåõ i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l} âû÷èñëÿþòñÿ îöåíêè Rij :  Q00 +Q11  j 01 j 10 ïðè P rj (Si ) = 1, 1+Qj +Qj Rij = 01 10  Qj 00+Qj 11 ïðè P rj (Si ) = 0. 1+Q +Q j

j

107

(5.3.1)

Íèæå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñòðóêòóðà ïîäìîäåëåé ìîäåëè M(Rj , γ¯ m ), âîçíèêàþùèõ ïðè íàëîæåíèè îãðàíè÷åíèé íà âûáîð çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ. À èìåííî, áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ìîäåëè 1. M(Rj )  γk ≡ 1 ïðè k ∈ {1, . . . , m}; 2. M(Lj , γ¯ m )  â êà÷åñòâå ãèïåðïîâåðõíîñòåé Rj äîïóñêàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå òîëüêî ãèïåðïëîñêîñòåé; 3. M(R, γ¯ m )  â ìîäåëè M(Rj , γ¯ m )  Rj ≡ R ïðè âñåõ j ∈ {1, . . . , l}; 4. M(Lj )  â ìîäåëè M(Lj , γ¯ m )  γk ≡ 1 ïðè âñåõ k ∈ {1, . . . , m}; 5. M(R)  â ìîäåëè M(R, γ¯ m )  γk ≡ 1 ïðè âñåõ k ∈ {1, . . . , m}; 6. M(L, γ¯ m )  â ìîäåëè M(Lj , γ¯ m )  Lj ≡ L ïðè âñåõ j ∈ {1, . . . , l}; 7. M(L)  â ìîäåëè M(L, γ¯ m )  γk ≡ 1 ïðè âñåõ k ∈ {1, . . . , m}. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïèñàíèÿ âûòåêàåò, ÷òî èñõîäíàÿ ìîäåëü M(Rj , γ¯ m ) ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ êàòåãîðèè Φi . Ìîäåëÿìè ýòîé êàòåãîðèè îêàçûâàþòñÿ, êîíå÷íî, è âñå åå ïîäìîäåëè. Íî êðîìå òîãî ìîäåëü M(R, γ¯ m ) è åå ïîäìîäåëè ÿâëÿþòñÿ ìîäåëÿìè áîëåå óçêîé êàòåãîðèè Φ0 .  ñèëó ýòîãî áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ âîïðîñ î ïîëíîòå ìîäåëè M(R, γ¯ m ) è åå ïîäìîäåëåé â êàòåãîðèè Φ0 , à îñòàëüíûõ ìîäåëåé  â êàòåãîðèè Φi . Òåîðåìà 5.3.1. Ìîäåëè M(L, γ ¯ m ) è M(R) ïîëíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Z  ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à èç ñåìåéñòâà ZR è óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì Z ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φ0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ëþáûõ j1 6= j2 èç ìíîæåñòâà {1, . . . , l} â ìíîæåñòâå {1, . . . , m} èìååòñÿ èíäåêñ k òàêîé, ÷òî Pj1 (S k ) 6= Pj2 (S k ). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ïðè ëþáûõ ðàçëè÷íûõ ïàðàõ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç S â èññëåäóåìûõ ìîäåëÿõ ñóùåñòâóþò îïåðàòîðû B òàêèå, ÷òî â ïîðîæäàåìûõ èìè äëÿ çàäà÷è Z ìàòðèöàõ îöåíîê kRij kq×l âûïîëíåíî Ri1 j1 6= Ri2 j2 . Ñëó÷àé 1. Ìîäåëü M(L, γ¯ m ). 1.1. Ïóñòü j1 6= j2 . Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î çàäà÷å Z âûòåêàåò, ÷òî â ìíîæåñòâå {1, . . . , m} èìååòñÿ k0 òàêîå, ÷òî Pj1 (S k0 ) 6= Pj2 (S k0 ). Îïðåäåëèì îïåðàòîð B1 èç ìîäåëè M(L, γ¯ m ) ïàðàìåòðàìè γk0 = 1 è γk = (2m − 2)−1 ïðè k ∈ {1, . . . , m} è k 6= k0 è ãèïåðïëîñêîñòüþ L1 òàêîé, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäèêàòà P l1 âûïîëíåíû ðàâåíñòâà P l1 (Si1 ) = P l1 (Si2 ) = P l1 (S k0 ) = 1. Äëÿ îöåíîê Ri1 j1 è Ri2 j2 , ïîðîæäàåìûõ îïåðàòîðîì B1 , èç ñîîòíîøåíèÿ (5.3.1) ïðè Pj1 (S k0 ) = 1 èìååì Ri1 j1 > 1/((m − 1)/(2m − 2) + 1) = 2/3 è

Ri2 j2 6 ((m − 1)/(2m − 2))/(1 + 1) = 1/4,

108

òàê ÷òî Ri1 j1 6= Ri2 j2 , à ïðè Pj1 (S k0 ) = 0 ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íî Ri1 j1 6 1/4 è Ri2 j2 > 2/3, ò.å. ñíîâà âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå Ri1 j1 6= Ri2 j2 1.2. Ïóñòü j1 = j2 è i1 6= i2 . Îïðåäåëèì îïåðàòîð B2 èç ìîäåëè M(L, γ¯ m ) ïàðàìåòðàìè γ1 = 1 è γk = (2m − 2)−1 ïðè k ∈ {2, 3, . . . , m} è ãèïåðïëîñêîñòüþ L2 òàêîé, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäèêàòà P l2 âûïîëíåíû ðàâåíñòâà P l2 (Si1 ) = P l2 (S 1 ) = 1 è P l2 (Si2 ) = 0. Ïðè Pj1 (S 1 ) = 1 èìååì Ri1 j1 > 2/3 è Ri2 j2 6 1/4, à ïðè Pj1 = 0  Ri1 j1 6 1/4 è Ri2 j2 > 2/3, òàê ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ Ri1 j1 6= Ri2 j2 . Èòàê, ïðè (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) â ìîäåëè M(L, γ¯ m ) èìååòñÿ îïåðàòîð B , äëÿ îöåíîê, ïîðîæäàåìûõ êîòîðûì, âûïîëíåíî Ri1 j1 6= Ri2 j2 , òàê ÷òî ìîäåëü M(L, γ¯ m ) ïîëíà. Ñëó÷àé 2. Ìîäåëü M(R). 2.1. Ïóñòü j1 6= j2 . Îïðåäåëèì îïåðàòîð B1 èç ìîäåëè M(R) êóñî÷íî-ëèíåéíîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ R1 òàêîé, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäèêàòà P r1 âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ P r1 (S k ) = Pj1 (S k ) è P r1 (Si1 ) = P r1 (Si2 ) = 1 ïðè k ∈ {1, . . . , m}. Èñïîëüçóÿ ïðåäïîëîæåíèå î çàäà÷å Z è óñëîâèå (5.3.1), ïîëó÷àåì Ri1 j1 = m è Ri2 j2 6 m − 1, ò.å. ïðè äàííîì âûáîðå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ Ri1 j1 6= Ri2 j2 . 2.2. Ïóñòü j1 = j2 è i1 6= i2 . Îïðåäåëèì îïåðàòîð B2 èç ìîäåëè M(R) êóñî÷íî-ëèíåéíîé ãèïåðïîâåðõíîñòüþ R2 òàêîé, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäèêàòà P r2 âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ P r2 (Si1 ) = 1, P r2 (Si2 ) = 0 è P r2 (S k ) = Pj1 (S k ) ïðè k ∈ {1, . . . , m}. Èñïîëüçóÿ ïðåäïîëîæåíèå î çàäà÷å Z è óñëîâèå (5.3.1), ïîëó÷àåì Ri1 j1 = m è Ri2 j2 = 0, ò.å. ñíîâà ïðè äàííîì âûáîðå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ Ri1 j1 6= Ri2 j2 . Èòàê, è ìîäåëü M(R) ïîëíà. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 5.3.2. Ìîäåëü M(R, γ ¯ m ) ïîëíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ìîäåëü M(R, γ¯ m ) ÿâëÿåòñÿ íàäìîäåëüþ ïîëíûõ ìîäåëåé M(L, γ¯ m ) è M(R). Òåîðåìà 5.3.3. Ìîäåëè M(Lj , γ ¯ m ) è M(Rj ) ïîëíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Z  ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à èç ñåìåéñòâà ZR è óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì Z ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φi . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáûõ ðàçëè÷íûõ i1 è i2 èç {1, . . . , q} â èññëåäóåìûõ ìîäåëÿõ ñóùåñòâóþò îïåðàòîðû B òàêèå, ÷òî â ïîðîæäàåìûõ èìè äëÿ çàäà÷è Z ìàòðèöàõ îöåíîê i1 -ÿ è i2 -ÿ ñòðîêè ðàçëè÷íû. Ñëó÷àé 1. Ìîäåëü M(Lj , γ¯ m ). Îïðåäåëèì îïåðàòîð B èç ìîäåëè M(Lj , γ¯ m ) ãèïåðïëîñêîñòüþ L1 òàêîé, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî åé ïðåäèêàòà P l âûïîëíåíû ðàâåíñòâà P l(Si1 ) = 1 è P l(Si2 ) = 0. Ïàðàìåòðû γ îïðåäåëèì òàê: γ1 = 1 è γk = (2m − 2)−1 ïðè k ∈ {2, 3, . . . , m}. Îñòàëüíûå ãèïåðïëîñêîñòè L2 , . . . , Ll âûáåðåì ïðîèçâîëüíî. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ 1 äîêàçàòåëüñòâà ïðåäûäóùåé òåîðåìû, èç ñîîòíîøåíèÿ (5.3.1) ïîëó÷àåì Ri1 1 6= Ri2 1 , ÷òî ãàðàíòèðóåò ðàçëè÷íîñòü ñòðîê ñ íîìåðàìè i1 è i2 . 109

Ñëó÷àé 2. Ìîäåëü M(Rj ). Îïðåäåëèì îïåðàòîð B èç ìîäåëè M(Rj ) êóñî÷íî-ëèíåéíûìè ãèïåðïîâåðõíîñòÿìè R1 , . . . , Rl òàêèìè, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî R1 ïðåäèêàòà P r1 âûïîëíåíî P r1 (Si1 ) = 1, P r1 (Si2 ) = 0 è P r1 (S k ) = P1 (S k ) ïðè k ∈ {1, . . . , m}. Ãèïåðïîâåðõíîñòè R2 , R3 , . . . , Rl ïðîèçâîëüíû. Êàê è â ñëó÷àå 2 äîêàçàòåëüñòâà ïðåäûäóùåé òåîðåìû, ïîëó÷àåì Ri1 1 = m è Ri2 1 = 0, òàê ÷òî Ri1 1 6= Ri2 1 . Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 5.3.4. Ìîäåëü M(Rj , γ ¯ m ) ïîëíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ìîäåëü M(Rj , γ¯ m ) ÿâëÿåòñÿ íàäìîäåëüþ ïîëíûõ ìîäåëåé M(Lj , γ¯ m ) è M(Rj ). Îòìåòèì, ÷òî ìîäåëè M(L) è M(Lj ) íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ïîëíîòû. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì çàäà÷ó Z0 : l = 1, m = 2, q = 2, P1 (S 1 ) = P1 (S 2 ) = 1, òî÷êè S 1 , S1 , S2 è S 2 ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðè÷åì òî÷êè S1 è S2 ðàñïîëîæåíû ìåæäó òî÷êàìè S 1 è S 2 . Î÷åâèäíî, ÷òî Z0  ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à è â ñëó÷àå, êîãäà óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φ0 , è â ñëó÷àå, êîãäà èì îòâå÷àåò Σ0 .  òî æå âðåìÿ, íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðåÿòñÿ, ÷òî ïðè ëþáîì âûáîðå îïåðàòîðîâ èç äàííûõ ìîäåëåé îêàçûâàåòñÿ âûïîëíåíûì ðàâåíñòâî R11 = R21 .

5.4

Ïîëíîòà Π-ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ

Îïðåäåëèì ñåìåéñòâî ZΠ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ ïðåäíàçíà÷àþòñÿ àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû èç Π-ìîäåëåé. Ýòè çàäà÷è îïðåäåëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè, ïðè÷åì 1. S  ìíîæåñòâî, íà äåêàðòîâîì êâàäðàòå êîòîðîãî îïðåäåëåí ôóíêöèîíàë ρ, ò.å. îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ ρ: S2 → R; 0 1 m 2. D(S 1 ,...,S m ) (S) = (ρ(S, S ), . . . , ρ(S, S )), ò.å. îïèñàíèÿ îáúåêòîâ êîíòðîëÿ  âåêòîðû çíà÷åíèé îñíîâíîãî ôóíêöèîíàëà;

3. I2 = ∅, ò.å. îïèñàíèÿ îáúåêòîâ îáó÷åíèÿ â ÿâíîì âèäå íå èñïîëüçóþòñÿ. Èòàê, äëÿ çàäà÷è Z èç ZΠ ìàòðèöà èíôîðìàöèè Ib âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:


ij Ib = ρ(Si , S 1 ), . . . , ρ(Si , S m ), Pj (S 1 ), . . . , Pj (S m ) q×l . Ïðèìåíÿÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôîâ, íàõîäèì, ÷òî  åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φ0 èëè Σ0 , òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZΠ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ i1 è i2 èç {1, . . . , q} â {1, . . . , m} èìåëñÿ èíäåêñ k òàêîé, ÷òî ρ(Si1 , S k ) 6= ρ(Si2 , S k ), è ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ j1 è j2 èç {1, . . . , l} â {1, . . . , m} èìåëñÿ èíäåêñ k òàêîé, ÷òî Pj1 (S k ) 6= Pj2 (S k ); 110

 åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φi èëè Σi , òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZΠ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ i1 è i2 èç {1, . . . , q} â {1, . . . , m} èìåëñÿ èíäåêñ k òàêîé, ÷òî ρ(Si1 , S k ) 6= ρ(Si2 , S k ); - åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φj èëè Σj , òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZΠ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ j1 è j2 èç {1, . . . , l} â {1, . . . , m} èìåëñÿ èíäåêñ k òàêîé, ÷òî Pj1 (S k ) 6= Pj2 (S k ). Òåïåðü áóäåò ðàññìîòðåíà ìîäåëü MΠ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ èç îïèñàííîãî ñåìåéñòâà ZΠ . Îïåðàòîðû ýòîé ìîäåëè çàäàþòñÿ âûáîðîì ml äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ γkj , ãäå j ∈ {1, . . . , l} è k ∈ {1, . . . , m}. Äëÿ çàäà÷è Z èç ñåìåéñòâà ZΠ îïåðàòîð B ôîðìèðóåò ìàòðèöó îöåíîê kRij kq×l , ãäå

Rij =

m X

γkj ρ(Si , S k ).

(5.4.1)

k=0

Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàòîðû ìîäåëè MΠ ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Φi , òàê ÷òî è âîïðîñ î ïîëíîòå ðåøàåòñÿ äëÿ íåå â ðàìêàõ ýòîé êàòåãîðèè. Òåîðåìà 5.4.1. Ìîäåëü MΠ ïîëíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Z  ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à èç ñåìåéñòâà ZΠ , óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φi . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ðàçëè÷íûõ i1 è i2 èç ìíîæåñòâà {1, . . . , q} â ìîäåëè MΠ íàéäåòñÿ îïåðàòîð B òàêîé, ÷òî â ïîðîæäàåìîé èì äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ìàòðèöå îöåíîê ñòðîêè ñ íîìåðàìè i1 è i2 áóäóò ðàçëè÷íû. Èòàê, ïóñòü i1 6= i2 , ãäå i1 , i2 ∈ {1, . . . , q}. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î ðåãóëÿðíîñòè âûòåêàåò, ÷òî â ìíîæåñòâå èíäåêñîâ {1, . . . , m} íàéäåòñÿ k0 òàêîå, ÷òî äëÿ íåãî áóäåò âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå ρ(Si1 , S k0 ) 6= ρ(Si2 , S k0 ). Îïðåäåëèì îïåðàòîð B èç ìîäåëè MΠ ïàðàìåòðàìè γkj = 1 è γkj = 0 ïðè j ∈ {1, . . . , l} è k ∈ {1, . . . , m}, k 6= k0 . Èç îïðåäåëåíèÿ ìîäåëè MΠ ïðè âñåõ j ∈ {1, . . . , l} ïîëó÷àåì Ri1 j = ρ(Si1 , S k0 ) 6= ρ(Si2 , S k0 ) = Ri2 j , íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ñòðîêè ñ íîìåðàìè i1 è i2 ðàçëè÷íû. Òåîðåìà äîêàçàíà.

5.5

Ïîëíîòà Γ-ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ

Ìîäåëè àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê (Γ-ìîäåëè) ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè èç ñåìåéñòâà ZΓ . Îïèñàíèå ýòîãî ñåìåéñòâà è áóäåò íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ. Çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZΓ îïðåäåëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì ôîðìèðîâàíèÿ èíôîðìàöèè, ïðè÷åì: 1. S  ïîäìíîæåñòâî äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ M1 × M2 × . . . Mn , ãäå Mt ïðè t ∈ {1, . . . , n}  ïðîñòðàíñòâà ñ ââåäåííûìè íà íèõ ïîëóìåòðèêàìè, ò.å. ôóíêöèÿìè ρt : M2t → R+ òàêèìè, ÷òî äëÿ âñåõ (x, y) ∈ M2t âûïîëíåíî (ρt (x, y) = 0) ≡ (x = y); 111



0

ρt (S, S k ) kt ; 2. D(S 1 ,...,S m ) (S) = m×n 3. I2 = ∅, ò.å. îïèñàíèÿìè êëàññîâ K ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû âèäà (P (S 1 ), . . . , P (S m )). Äëÿ çàäà÷ èç ìíîæåñòâà ZΓ âîïðîñ îá óñëîâèÿõ ðåãóëÿðíîñòè äëÿ ñòàíäàðòíî ðàññìàòðèâàåìûõ â íàñòîÿùåé ãëàâå ñëó÷àåâ ðåøàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:  åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φ0 èëè Σ0 , òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZΓ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ i1 è i2 èç {1, . . . , q} â {1, . . . , m} è â {1, . . . , n} èìåëèñü èíäåêñû k0 è t0 òàêèå, ÷òî ρt0 (Si1 , S k0 ) 6= ρt0 (Si2 , S k0 ), è ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ j1 è j2 èç {1, . . . , l} â {1, . . . , m} èìåëñÿ èíäåêñ k0 òàêîé, ÷òî Pj1 (S k0 ) 6= Pj2 (S k0 );  åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φi èëè Σi , òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZΓ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ i1 è i2 èç {1, . . . , q} â {1, . . . , m} è â {1, . . . , n} èìåëèñü èíäåêñû k0 è t0 òàêèå, ÷òî ρt0 (Si1 , S k0 ) 6= ρt0 (Si2 , S k0 );  åñëè óíèâåðñàëüíûì îãðàíè÷åíèÿì ñîîòâåòñòâóåò êàòåãîðèÿ Φj èëè Σj , òî äëÿ ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è èç ñåìåéñòâà ZΓ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ j1 è j2 èç {1, . . . , l} â {1, . . . , m} èìåëñÿ èíäåêñ k0 òàêîé, ÷òî Pj1 (S k0 ) 6= Pj2 (S k0 ). Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ìíîæåñòâà ZΓ èñïîëüçóþòñÿ àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê, îïèñàíèå ñåìåéñòâà êîòîðûõ áóäåò íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ. Îòìåòèì, ÷òî îñíîâíûå äàííûå î ñåìåéñòâå âçÿòû èç [54]. Àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê çàäàþòñÿ: 1. âûáîðîì ñèñòåìû {Ω1 , . . . , ΩN } òàê íàçûâàåìûõ îïîðíûõ ìíîæåñòâ, ò.å. íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà {1, . . . , n}; 2. âûáîðîì ôóíêöèè áëèçîñòè, ò.å. îòîáðàæåíèÿ èç ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæåñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà {1, . . . , n} íà Rn+ â {0, 1}; 3. âûáîðîì çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ (íåîòðèöàòåëüíûõ) ïàðàìåòðîâ γk (k ∈ {1, . . . , m}), pr (r ∈ {1, . . . , N }), εt (t ∈ {1, . . . , m}), x0 è x1 .  íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê ñ ôèêñèðîâàííîé îáùåé ñèñòåìîé îïîðíûõ ìíîæåñòâ {Ω01 , . . . , Ω0N } òàêîé, ÷òî äëÿ íåå âûïîëíåíî ðàâåíñòâî 0 ∪N r=1 Ωr = {1, . . . , n}.

Êðîìå òîãî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèè áëèçîñòè èç ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà {bε¯}, ãäå ε¯ = (ε1 , . . . , εn ), ε1 > 0, . . . , εn > 0, ñîäåðæàùåãî ôóíêöèè âèäà ( 1 åñëè ∀ t(αt 6 εt ), Ω bε¯(Ω, α1 , . . . , αn ) = 0 åñëè ∃ t(α > ε), Ω

ãäå Ω ⊆ {1, . . . , n}, (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn . 112

Îöåíêà Rij ïðè i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l} îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

Rij = x1 Γ1j (Si ) + x0 Γ0j (Si ), ãäå

X

Γαj (Si ) =

N X

(5.5.1)

γk pr bαε¯ (∗)

k:Pj (S k )=α r=1

ïðè α ∈ {0, 1}, k ∈ {1, . . . , m}, bαε¯ (1) = bαε¯ (∗) è bαε¯ (0) = 1 − bαε¯ (∗); çâåçäî÷êà çäåñü è äàëåå îáîçíà÷àåò ñòàíäàðòíûé íàáîð àðãóìåíòîâ ôóíêöèé áëèçîñòè, ò.å.


(∗) = Ω0r , ρ1 (Si , S k ), . . . , ρn (Si , S k ) . Èòàê, àëãîðèòìè÷åñêèå îïåðàòîðû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê îïðåëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè γ¯ , p¯, ε¯, x0 è x1 . Ìîäåëü òàêèõ îïåðàòîðîâ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëîì M(¯ γ , p¯, ε¯, x¯). Îòìåòèì, ÷òî âñå îïåðàòîðû ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ ìîôèçìàìè êàòåãîðèè Φ0 , â ðàìêàõ êîòîðîé íèæå è áóäåò ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå âîïðîñà î ïîëíîòå. Ïðè ýòîì ïîìèìî ñàìîé ìîäåëè M(¯ γ , p¯, ε¯, x¯) ïðåäìåòîì ðàññìîòðåíèÿ áóäóò è åå ïîäìîäåëè, âîçíèêàþùèå ïðè îòêàçå îò èñïîëüçîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ γ¯ , p¯, ε¯ è (èëè) x ¯. Èíà÷å ãîâîðÿ, áóäóò ðàññìîòðåíû ìîäåëè M(¯ p, ε¯, x¯) (â èñõîäíîé ìîäåëè γk ≡ 1 ïðè k ∈ {1, . . . , m}), M(¯ γ , ε¯, x¯) (â èñõîäíîé ìîäåëè pr ≡ 1 ïðè r ∈ {1, . . . , N }), M(¯ γ , p¯, x¯) (â èñõîäíîé ìîäåëè εt ≡ const ïðè t ∈ {1, . . . , n}) è M(¯ γ , p¯, ε¯) (â èñõîäíîé ìîäåëè x0 = 1 è x1 = 1) è ò.ä. Ïîñêîëüêó ñâîéñòâî ïîëíîòû ìîäåëåé ìîíîòîííî îòíîñèòåëüíî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî âêëþ÷åíèÿ, òî ïîñòàâëåííûå âîïðîñû äëÿ ìîäåëè M(¯ γ , p¯, ε¯, x¯) è åå ðàññìàòðèâàåìûõ â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîäìîäåëåé ïîëíîñòüþ ðåøàþòñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì: Òåîðåìà 5.5.1. Ìîäåëü M(¯ γ , ε¯) ïîëíà, à M(¯ γ , p¯, x¯) è M(¯ p, ε¯, x¯) íå ïîëíû. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ìîäåëü M(¯ γ , ε¯). Äëÿ äàííîé ìîäåëè èç ôîðìóëû (5.5.1), ïîëàãàÿ â íåé pr ≡ 1 ïðè r ∈ {1, . . . , N } è x0 = x1 = 1, ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ îöåíîê

Rij =

m X

γk

X

P (S k )

r = 1N bε¯ j

 (∗) .

(5.5.2)

k=1

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëíîòû ìîäåëè M(¯ γ , ε¯) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáûõ ðàçëè÷íûõ ïàðàõ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç S = {(1, 1), . . . , (q, l)} è ïðè ëþáîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷å Z â ìîäåëè M(¯ γ , ε¯) íàéäåòñÿ îïåðàòîð B òàêîé, ÷òî â ïîðîæäàåìîé èì äëÿ Z ìàòðèöå îöåíîê kRij kq×l áóäåò âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå Ri1 j1 6= Ri2 j2 (òåîðåìà 5.2.6). Èòàê, ïóñòü Z  ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à èç êëàññà ZΓ . à). Ïóñòü j1 6= j2 . Ïîñêîëüêó çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà, òî â ìíîæåñòâå èíäåêñîâ {1, . . . , m} íàéäåòñÿ k0 , ïðè êîòîðîì Pj1 (S k0 ) 6= Pj2 (S k0 ). Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Pj1 (S k0 ) = 1 è, ñîîòâåòñòâåííî Pj2 (S k0 ) = 0 113

Îïðåäåëèì îïåðàòîð B1 â ðàìêàõ ìîäåëè M(¯ γ , ε¯) ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìè ïàðà−1 ìåòðîâ: γk0 = 1 è γk = (mN ) ïðè k ∈ {1, . . . , m} è k 6= k0 ; εt = max ρt (Si , S k ) ïðè t ∈ {1, . . . , n}, ãäå ìàêñèìóì áåðåòñÿ ïî i ∈ {1, . . . , q} è k ∈ {1, . . . , m}. Äëÿ îöåíîê Ri1 j1 è Ri2 j2 , ïîðîæäàåìûõ îïåðàòîðîì B2 äëÿ çàäà÷è Z , èìååì m X

Ri1 j1 = N +

γk

Ri2 j2 6 N − 1 +

P (S k )

bε¯ j1

(∗) > N

r=1

k=1,k6=k0

è

N X

m X

γk

N X

P (S k )

bε¯ j2

(∗) < N.

r=1

k=1,k6=k0

Èòàê, â ýòîì ñëó÷àå Ri1 j1 6= Ri2 j2 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. á). Ïóñòü òåïåðü j1 = j2 è i1 6= i2 . Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è Z âûòåêàåò, ÷òî â ìíîæåñòâàõ {1, . . . , m} è {1, . . . , n} èìåþòñÿ èíäåêñû k0 è t0 ñîîòâåòñòâåííî òàêèå, ÷òî äëÿ íèõ ρt0 (Si1 , S k0 ) 6= ρt0 (Si2 , S k0 ). Ïîëîæèì, ÷òî ρt0 (Si1 , S k0 ) < ρt0 (Si2 , S k0 ) è Pj1 (S k0 ) 6= Pj2 (S k0 ). Îïåðàòîð B2 îïðåäåëèì â ðàìêàõ ìîäåëè M(¯ γ , ε¯) ïàðàìåòðàìè γk0 = 1, γk = (mN )−1 ïðè k ∈ {1, . . . , m}, k 6= k0 , εt0 = (1/2)(ρt0 (Si1 , S k0 ) + ρt0 (Si2 , S k0 )) è ïðè t ∈ {1, . . . , n}, t 6= t0 ïóñòü εt = max ρt (Si , S k ) ïðè t ∈ {1, . . . , n}, t 6= t0 , ãäå ìàêñèìóì áåðåòñÿ ïî âñåì i ∈ {1, . . . , q} è k ∈ {1, . . . , m}. Äëÿ îöåíîê Ri1 j1 è Ri2 j2 , ïîðîæäàåìûõ îïåðàòîðîì B2 äëÿ çàäà÷è Z , èìååì m X

Ri1 j1 = N +

γk

Ri2 j2 6 N − 1 +

m X

P (S k )

bε¯ j1

(∗) > N

r=1

k=1,k6=k0

è

N X

γk

k=1,k6=k0

N X

P (S k )

bε¯ j2

(∗) < N.

r=1

Èòàê, è â ýòîì ñëó÷àå Ri1 j1 6= Ri2 j2 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ïîëíîòà ìîäåëè M(¯ γ , ε¯) äîêàçàíà. Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ìîäåëè M(¯ γ , p¯, ε¯), M(¯ γ , ε¯, x¯) è M(¯ γ , p¯, ε¯, x¯) ÿâëÿþòñÿ íàäìîäåëÿìè ìîäåëè M(¯ γ , ε¯), òî èç äîêàçàííîãî âûòåêàåò è èõ ïîëíîòà. 2. Ìîäåëü M(¯ γ , p¯, x¯). Ïóñòü Z  ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à èç ìíîæåñòâà ZΓ òàêàÿ, ÷òî ïðè âñåõ t ∈ {1, . . . , n}, k ∈ {1, . . . , m} è i ∈ {1, . . . , q} âûïîëíåíî óñëîâèå ρt (Si , S k ) < εt . Òîãäà ïðè âñåõ i1 è i2 èç {1, . . . , q} è âñåõ j1 è j2 èç {1, . . . , l} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Ri1 j1 = Ri2 j2 , ÷òî è îçíà÷àåò íåïîëíîòó ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè. 3. Ìîäåëü M(¯ p, ε¯, x¯). Ïîñòðîèì êîíòðïðèìåð: l = 2, m = 2, q = 1, n = 1, ρ1 (S1 , S 1 ) = ρ1 (S1 , S 2 ) = a, P1 (S 1 ) = P2 (S 2 ) = 1, P1 (S 2 ) = P2 (S 1 ) = 0. Äëÿ âñåõ çíà÷åíèé p1 , ε1 , x0 è x1 èìååì

R11 = x1 p1 b1ε¯({1}, a) + x0 p1 b0ε¯({1}, a) = R12 . 114

Ïîñòðîåííàÿ çàäà÷à ðåãóëÿðíà, îäíàêî âñå îïåðàòîðû èç ìîäåëè M(¯ p, ε¯, x¯) ïîðîæäàþò äëÿ íåå îöåíêè R11 = R12 , ÷òî è îçíà÷àåò íåïîëíîòó ìîäåëè M(¯ p, ε¯, x¯). Òåîðåìà äîêàçàíà.

5.6

Ïîëíîòà ïîëèíîìèàëüíûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé

 íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áóäåò ðåøåí âîïðîñ î ïîëíîòå íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé  ñåìåéñòâ An , ñîäåðæàùèõ îïåðàòîðû, ïðåäñòàâèìûå â âèäå ìíîãî÷ëåíîâ îò äåéñòâèòåëüíûõ ìàòðèö ñ óìíîæåíèåì ïî Àäàìàðó (kaij kq×l × kbij kq×l = kcij kq×l , ãäå cij = aij bij ïðè âñåõ i ∈ {1, . . . , q} è j ∈ {1, . . . , l}) è ñî ñòåïåíüþ, íå ïðåâîñõîäÿùåé n. Îïåðàòîðû èç An ïðè âñåõ n ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè êàòåãîðèè Φ0 , ÷òî è ïðåäîïðåäåëÿåò íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ âîïðîñà î ïîëíîòå â ðàìêàõ èìåííî ýòîé êàòåãîðèè íà áàçå òåîðåìû 5.2.7. Ïðåäâàðèòåëüíî ìû äîêàæåì ëåììó, êîòîðàÿ áóäåò èñïîëüçîâàíà è â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå. Ëåììà 5.6.1. Ïóñòü X  áàçà êàòåãîðèè Φ0 â ïðîñòðàíñòâå äåéñòâèòåëüíûõ q × lìàòðèö Cq,l (R), ò.å. ïóñòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ðàçëè÷íûõ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà ïàð S â X ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà kRij kq×l , â êîòîðîé Ri1 j1 6= Ri2 j2 . Òîãäà â ëèíåéíîé îáîëî÷êå L(X) b0 ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè. ìíîæåñòâà X ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà R Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàëû D: Cq,l (R) → R+ è d: Cq,l (R) → R+ ðàâåíñòâàìè D (kRij kq×l ) = max |Ri1 j1 − Ri2 j2 | è

d (kRij kq×l ) = min |Ri1 j1 − Ri2 j2 |, ãäå kRij kq×l  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà èç Cq,l (R), à ìàêñèìóì è ìèíèìóì áåðóòñÿ ïî âñåì ïàðàì (i, j) ñ Ri1 j1 6= Ri2 j2 . Îïðåäåëèì òåïåðü îòîáðàæåíèå G èç C2q,l (R) â Cq,l (R) ðàâåíñòâîì

b1 , R b2 ) = G(R

1 1 b1 b2 . R + R 1 2 b b d(R ) 2D(R )

(ñëó÷àé, êîãäà Rij ≡ R ïðè âñåõ (i, j) ∈ S äëÿ äàëüíåéøåãî èíòåðåñà íå ïðåäñòàâëÿåò). Ïóñòü X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ëåììû, è 1 b ,...,R bk  ìèíèìàëüíûé (ïî ÷èñëó ìàòðèö) íàáîð ýëåìåíòîâ èç X òàêîé, ÷òî è äëÿ ìíîR b1 , . . . , R bk } óñëîâèå ëåììû âûïîëíåíî (ëåãêî âèäåòü, ÷òî k 6 ql − 1). Îïðåäåëèì æåñòâà {R b0 ðàâåíñòâîì ìàòðèöó R

b0 = G(R bk , G(R bk−1 , . . . , G(R b2 , R b1 ) . . .)). R b0 ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â ìàòðèöå R b1 = Âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû R

1

b2 = R2

Rij ðàçëè÷íû, ñêàæåì, Ri11 j1 è Ri12 j2 , òî ïðè ëþáîé ìàòðèöå R ij q×l â ìàòðèöå q×l 115

b1 , R b2 ) = kRij k ýëåìåíòû Ri1 j1 è Ri2 j2 òàêæå áóäóò ðàçëè÷íû, ïîñêîëüêó ïðè R2 6= G(R i1 j1 q×l Ri22 j2 1 |Ri21 j1 − Ri22 j2 | > 1 2 b d(R ) è

1

1 |Ri11 j1 − Ri12 j2 | 6 . b1 ) 2 2D(R

Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî åñëè Ri21 j1 è Ri22 j2 ðàçëè÷íû, òî Ri1 j1 è Ri2 j2 ðàçëè÷íû b1 è â G(R b2 , R b1 ) = kRij k . ïðè ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöå R q×l Ëåììà äîêàçàíà. Òåîðåìà 5.6.2. Ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé Aql−1 ïîëíî. Ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé Aql−2 íå ïîëíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X  áàçà êàòåãîðèè Φ0 â ïðîñòðàíñòâå äåéñòâèòåëüíûõ q × lìàòðèö Cq,l (R), ò.å. ïóñòü äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ðàçëè÷íûõ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà S â X ñîäåðæèòñÿ ìàòðèöà kRij kq×l , â êîòîðîé Ri1 j1 6= Ri2 j2 .  ñèëó ëåììû 5.6.1 â ëèíåéíîé

b0 = R0 îáîëî÷êå L(X) ìíîæåñòâà X â ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ ìàòðèöà R ñ ïîïàðíî ij q×l

ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè. b = kRij k  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R). Äëÿ íåå ñóùåÏóñòü R q×l ñòâóåò ïîëèíîì P (èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Ëàãðàíæà) ñòåïåíè íå âûøå ql − 1 òàêîé, 0 ÷òî ïðè âñåõ (i, j) ∈ S âûïîëíåíî ðàâåíñòâî P (Rij ) = Rij . Ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó ïîëèql−1 b0 â âûáðàííóþ ìàòðèöó R b, ÷òî â íîìó îïåðàòîð èç ñåìåéñòâà A ïåðåâîäèò ìàòðèöó R ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ïîñëåäíåé è îçíà÷àåò ïîëíîòó ñåìåéñòâà Aql−1 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïîëíîòû ñåìåéñòâà Aql−2 ðàññìîòðèì ïðèìåð: X  îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîé ìàòðèöû ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè. Òåîðåìà äîêàçàíà.

5.7

Î íåïîëèíîìèàëüíûõ ïîëíûõ ñåìåéñòâàõ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé

n  ðàáîòå [54] ðàññìàòðèâàëîñü ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ  îïåðàöèé LM , ïîñòðîåííûõ íà

áàçå ëèíåéíûõ îïåðàöèé è îïåðàòîðà

Max: Max

0 0 kRij kq×l = kRij kq×l , ãäå Rij = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Rij  ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû kRij kq×l , à â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ 0 Rij = 0.  îïåðàòîðû èç LM n îïåðàòîð Max âõîäèò íå áîëåå n ðàç. Îòìåòèì, ÷òî îïåðàòîð Max ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Σ0 , íî íå êàòåãîðèè Φ0 , òàê ÷òî âîïðîñ î ïîëíîòå äëÿ LM n äîëæåí ðåøàòüñÿ â ðàìêàõ Σ0 . Òåîðåìà 5.7.1. Ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé LM n ïîëíî ïðè n >](ql − 1)/2[ è íåïîëíî ïðè n <](ql − 1)/2[. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X  áàçà êàòåãîðèè Σ0 â ïðîñòðàíñòâå äåéñòâèòåëüíûõ q × lìàòðèö Cq,l (R).  ñèëó ëåììû 5.6.1 â ëèíåéíîé îáîëî÷êå ìíîæåñòâà X â ýòîì ñëó÷àå

116

b0 ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè.  ìàòðèöàõ Max(R b0 ) è Max(−R b0 ) èìååòñÿ ìàòðèöà R b0 ) îíà ñòîèò íà ìåñòå ìàêñèìàëüíîãî ñîäåðæèòñÿ ðîâíî ïî îäíîé åäèíèöå, ïðè÷åì â Max(R b0 ýëåìåíòà, à â Max(−R b0 )  íà ìåñòå ìèíèìàëüíîãî. Âû÷èòàÿ èç R b0 ìàòðèöó Max(R b0 ), âR b1 , â êîóìíîæåííóþ íà äîñòàòî÷íî áîëüøîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ïîëó÷àåì ìàòðèöó R b0 ýëåìåíòà áóäåò íàõîäèòüñÿ ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò; òîðîé íà ìåñòå ìàêñèìàëüíîãî â R b0 ) ïîëó÷èì ìàòðèöó R b1− . Ïîâòîðÿÿ ýòîò ïðîàíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñ ïîìîùüþ Max(−R öåññ è ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð Max, ïîëó÷àåì ëèíåéíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R)  íàáîð ìàòðèö   b0 , Max(R b0 ), Max(−R b0 ), Max(R b1 ), Max(R b1− ), Max(R b2 ), . . . . R Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïîëíîòû ñåìåéñòâà LM n ïðè n <](ql − 1)/2[, êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 5.6.2, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïðèìåð: X  îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç åäèíñòâåííîé ìàòðèöû ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè. Òåîðåìà äîêàçàíà.

117

Ãëàâà 6 Äîïîëíèòåëüíûå ðåçóëüòàòû äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè è îáùèõ çàäà÷ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè 6.1

Î ñòåïåíÿõ ïîëèíîìèàëüíûõ ðàñøèðåíèé ñïåöèàëüíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ

 íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñëó÷àé, êîãäà â êà÷åñòâå îöåíîê èñïîëüçóþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ÷òî íå áóäåò îãîâàðèâàòüñÿ äîïîëíèòåëüíî. Åñòåñòâåííîé ìåðîé ñëîæíîñòè ðàññìîòðåííûõ â ïðåäûäóùåé ãëàâå ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé An è LM n ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòð n. Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî çà ñ÷åò ïðåäúÿâëåíèÿ áîëåå æåñòêèõ, ÷åì ïðîñòî òðåáîâàíèå ïîëíîòû, òðåáîâàíèé ê ìîäåëÿì àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ ìîæíî ïîíèçèòü íåîáõîäèìûå çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ (ql−1 è ](ql − 1)/2[ ñîîòâåòñòâåííî). Îïðåäåëåíèå 6.1.1. Ïóñòü M0  ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ êàòåãîðèè Φ0 èëè Σ0 . Ìîäåëü M0 íàçûâàåòñÿ 0, 1-ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþáîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Z ñ b ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib ïðè ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà S â ïåðåñå÷åíèè M0 (I)∩ Cq,l ({0, 1}) èìååòñÿ õîòÿ áû îäíà ìàòðèöà kRij kq×l ñ Ri1 j1 6= Ri2 j2 . Òàêèì îáðàçîì, 0, 1-ïîëíîòà ìîäåëè îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è îïåðàòîðàìè ìîäåëè ïîðîæäàåòñÿ íå ïðîñòî ïðîèçâîëüíàÿ áàçà êàòåãîðèè, âûðàæàþùåé óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, íî áàçà, ñîñòîÿùàÿ èñêëþ÷èòåëüíî èç 0, 1-ìàòðèö.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîêàæåì, ÷òî òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò îäèí èç âàðèàíòîâ ñåìåéñòâà îïåðàòîðîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê. Òåîðåìà 6.1.1. Ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê M(¯ γ , ε¯), ó âñåõ îïåðàòîðîâ êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ åäèíñòâåííîå îïîðíîå ìíîæåñòâî Ω0 = {1, . . . , n}, ÿâëÿåòñÿ 0, 1-ïîëíîé â êàòåãîðèè Φ0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Z  ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à, îïðåäåëåííàÿ íàáîðàìè äîïóñòèìûõ îáúåêòîâ (S 1 , . . . , S m ) (îáó÷åíèå) è (S1 , . . . , Sq ) (êîíòðîëü) è ñîîòâåòñòâóþùèìè íàáîðàìè 118

áóëåâûõ âåêòîðîâ (¯ α(S 1 ), . . . , α ¯ (S m )) è (¯ α(S1 ), . . . , α ¯ (Sq )). Îïðåäåëåííûé ïàðàìåòðàìè γ¯ è ε¯ îïåðàòîð B èç ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïîðîæäàåò äëÿ çàäà÷è Z ìàòðèöó îöåíîê kRij kq×l , ãäå ïðè âñåõ (i, j) ∈ S

Rij =

m X

α (S k )

γk bε¯ j

(ρ1 (Si , S k ), . . . , ρn (Si , S k )),

k=1

1, åñëè ρt (Si , S k ) 6 εt ïðè âñåõ t ∈ {1, . . . , n}; 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) ìîæíî òàê âûáðàòü ïàðàìåòðû γ¯ è ε¯, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð B èç M(¯ γ , ε¯) áóäåò äëÿ çàäà÷è Z ïîðîæäàòü ìàòðèöó îöåíîê kRij kq×l , ïðèíàäëåæàùóþ Cq,l ({0, 1}) è òàêóþ, ÷òî Ri1 j1 6= Ri2 j2 . Èòàê, ïóñòü (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ). à). Ïóñòü j1 6= j2 . Ïîñêîëüêó çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà, â ìíîæåñòâå {1, . . . , m} èìååòñÿ èíäåêñ k0 òàêîé, ÷òî αj1 (S k0 ) 6= αj2 (S k0 ). Îïðåäåëèì îïåðàòîð B1 ïàðàìåòðàìè γk0 = 1, γk = 0 ïðè k 6= k0 , k ∈ {1, . . . , m} è äëÿ âñåõ t ∈ {1, . . . , n} âûáåðåì εt òàê, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî εt = max ρt (Si , S k ), ãäå ìàêñèìóì áåðåòñÿ ïî âñåì i ∈ {1, . . . , q} è k ∈ {1, . . . , m}. Îïåðàòîð B1 óäîâëåòâîðÿåò òðåáóåìûì óñëîâèÿì. á). Ïóñòü òåïåðü j1 = j2 è i1 6= i2 . Èç ïðåäïîëîæåíèÿ î ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷è Z ñíîâà âûòåêàåò, ÷òî ìîæíî âûáðàòü t0 è k0 òàê, ÷òî ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ ρt0 (Si1 , S k0 ) 6= ρt0 (Si2 , S k0 ). Ïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî ρt0 (Si1 , S k0 ) 6= ρt0 (Si2 , S k0 ), è âûáåðåì äëÿ îïåðàòîðà B2 çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ γ¯ è ε¯ ñëåäóþùèì îáðàçîì: γk0 = 1, γk = 0 ïðè k 6= k0 , k ∈ {1, . . . , m} è εt0 = (1/2)(ρt0 (Si1 , S k0 ) + ρt0 (Si2 , S k0 )), è ïðè âñåõ t 6= t0 , t ∈ {1, . . . , m}  εt = max ρt (Si , S k ), ãäå ìàêñèìóì áåðåòñÿ ïî âñåì i ∈ {1, . . . , q} è k ∈ {1, . . . , m}. Îïåðàòîð B2  èñêîìûé. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ñåìåéñòâ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Îïðåäåëåíèå 6.1.2. Ïóñòü F  ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé êàòåãîðèè Φ0 èëè Σ0 . Ñåìåéñòâî F íàçûâàåòñÿ 0, 1-ïîëíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà 0, 1-ìàòðèö X b = òàêîãî, ÷òî ïðè ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà ïàð S â X èìååòñÿ ìàòðèöà R kRij kq×l ñ Ri1 j1 6= Ri2 j2 , âûïîëíåíî ðàâåíñòâî F(X) = Cq,l (R). b = kRij k b = {(i, j)|Rij = 1}, Äëÿ ïðîèçâîëüíîé 0, 1-ìàòðèöû R ïîëîæèì Ind(R) k

k



bε¯(ρ1 (Si , S ), . . . , ρn (Si , S )) =

q×l

b 1 = kEij k , ãäå ïðè âñåõ (i, j) âûïîëíåíî Eij = 1, R b− = E b1 − R b. Äëÿ ìíîæåñòâà X E q×l b R b ∈ X) ∨ (R b− ∈ X)}. 0, 1-ìàòðèö ïîëîæèì X ∗ = {R|( Ëåììà 6.1.2. Ïóñòü X  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî 0, 1-ìàòðèö òàêîå, ÷òî ïðè ëþáûõ

b = kRij k ñ Ri1 j1 6= Ri2 j2 . ðàçëè÷íûõ (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç ìíîæåñòâà S â X èìååòñÿ ìàòðèöà R q×l Ïóñòü òàêæå N  íåîäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà S. Òîãäà â ìíîæåñòâå X ∗ b0 òàêàÿ, ÷òî ñîäåðæèòñÿ ïî ìåíüøåé ìåðå îäíà ìàòðèöà R b0 ) ∩ N | 6 |N |/2. 1 6 |Ind(R 119

(6.1.1)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ), (i1 , j1 ) ∈ N è (i2 , j2 ) ∈ N . Ïî óñëîâèþ â b = kRij k b b− ìíîæåñòâå X èìååòñÿ ìàòðèöà R q×l ñ Ri1 j1 6= Ri2 j2 . Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ R è R b ∩ N | > 1 è |Ind(R b− ) ∩ N | > 1. Ïîñêîëüêó âñåãäà èìååò âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà |Ind(R) b ∩ N | + |Ind(R b− ) ∩ N | = |N |, òî äëÿ R b èëè äëÿ R b− âûïîëíåíû ìåñòî ðàâåíñòâî |Ind(R) íåðàâåíñòâà (6.1.1). Ëåììà äîêàçàíà. Òåîðåìà 6.1.3. Ñåìåéñòâî A[log2 ql] ÿâëÿåòñÿ 0, 1-ïîëíûì ñåìåéñòâîì êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ãðàíèöà ñòåïåíè [log2 ql] òî÷íà. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü ïîëíîòó ñåìåéñòâà A[log2 ql] îïèøåì ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ â ðàìêàõ ìíîæåñòâà A[log2 ql] (X) ëèíåéíîãî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R), ñ÷èòàÿ, ÷òî X  ìíîæåñòâî ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ îïðåäåëåíèÿ 6.1.2. Ïîëîæèì N = S = {(1, 1), . . . , (q, l)} è âûáåðåì â X ∗ (îòìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî X ∗ ⊆ A1 (X)) ìàòðèöó b1 , óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ (6.1.1), ÷òî âîçìîæíî â ñèëó ëåììû 6.1.2. Òåïåðü ïîëîR b1 ) è, åñëè |N | > 1, ñíîâà âûáåðåì â X ìàòðèöó R b2 , óäîâëåòâîðÿþùóþ æèì N = Ind(R b1 R b2 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âûïîëíåíî òîìó æå óñëîâèþ (6.1.1). Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå R b1 R b2 )| 6 ql/4. Ïîëàãàÿ N = Ind(R b1 R b2 ), âûáåðåì â X ìàòðèöó R b3 è ò.ä. |Ind(R Ïîñêîëüêó íà k -ì øàãå ïîñòðîåíèÿ |N | 6 ql/2k , òî íå áîëåå, ÷åì çà [log2 ql] øàãîâ áóäåò b2 . . . R bk ñ |Ind(Pb1 )| = 1, ò.å. áóäåò ïîñòðîåíà 0, 1-ìàòðèöà b1 R ïîñòðîåíî ïðîèçâåäåíèå P 1 = R

Pb1 = Pij1 q×l , ñîäåðæàùàÿ åäèíñòâåííûé íåíóëåâîé ýëåìåíò, ñêàæåì  Pij1 . Ïîëîæèì òåïåðü N = S − {(i1 , j1 )} è ñíîâà âûïîëíèì îïèñàííûé öèêë. Áóäåò ïîëó ÷åíî ïðîèçâåäåíèå Pb2 = Pij2 q×l , â êîòîðîì ñíîâà áóäåò èìåòüñÿ åäèíñòâåííûé íåíóëåâîé ýëåìåíò, ñêàæåì  Pij2 . Ïîëîæèì òåïåðü N = S − {(i1 , j1 ), (i2 , j2 )} è ïîñòðîèì ìàòðèöó Pb3 è ò.ä. Î÷åâèäíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå áóäåò ïîñòðîåí ëèíåéíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R), ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ñòåïåíü [log2 ql] íå ìîæåò áûòü óìåíüøåíà, ò.å. ÷òî ýòà ãðàíèöà äëÿ ñòåïåíè òî÷íà. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ql = 2p . Ïîëîæèì, ÷òî X  òàêîå ìíîæåñòâî 0, 1-ìàòðèö, ÷òî äëÿ X âûïîëíåíî óñëîâèå ëåììû b1 , . . . , R bp } (îòìåòèì, ÷òî p  ìèíèìàëüíàÿ âîçìîæíàÿ ìîùíîñòü 6.1.2 è |X| = p, ò.å. X = {R ìíîæåñòâà X ). bk R bk = R bk , ò.å. ÷òî Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè âñåõ k ∈ {1, . . . , p} âûïîëíåíû ðàâåíñòâà R íà X óìíîæåíèå èäåìïîòåíòíî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñåìåéñòâî ìàòðèö An (X) ïðè ëþáîì n > p îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé 2p -ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà 0, 1-ìàòðèö

b1 , R b1 , . . . , R bp , R b1 R b2 , . . . , R bp−1 R bp , . . . , R b1 R b2 . . . R bp }, {E òàê ÷òî ñòåïåíü p íå ìîæåò áûòü óìåíüøåíà, ïîñêîëüêó äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ðàâåíñòâî An (X) = Cq,l (R). Òåîðåìà äîêàçàíà. 120

Çàìå÷àíèå. Ïðèìåð, äîêàçûâàþùèé íåóìåíüøàåìîñòü ñòåïåíè [log2 ql] äëÿ ïîëèíîìèàëüíûõ ðàñøèðåíèé ñåìåéñòâà àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê, áûë ïåðâîíà÷àëüíî ïîñòðîåí â [119]. Òåîðåìà 6.1.4. Ñåìåéñòâî LM 1 ÿâëÿåòñÿ 0, 1-ïîëíûì ñåìåéñòâîì êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé â êàòåãîðèè Σ0 . b1 , . . . , R bp }  íàáîð 0, 1-ìàòðèö, óäîâëåòâîÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì, ÷òî X = {R ðÿþùèé óñëîâèþ èç îïðåäåëåíèÿ 6.1.2, è (i0 , j0 )  ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà S. b(i0 ,j0 ) = Pb1 + Pb2 + . . . + Pbp , ãäå ïðè âñåõ k èç ìíîæåñòâà {1, . . . , p} ïðè Ïîñòðîèì ñóììó R bk , à ïðè Rk = 0  Pbk = R bk− . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ìàòðèöå Rik0 j0 = 1 ìàòðèöà Pbk åñòü R i0 j0 (i ,j ) (i ,j ) (i ,j ) b(i0 ,j0 ) = âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ R 0 0 = p è R 0 0 6 p − 1 ïðè (i, j) ∈ S, R

R 0 0 ij

i0 j0

q×l

ij

(i, j) 6= (i0 , j0 ). Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ îäíîêðàòíî îïåðàòîð Max, ïîëó÷àåì, ÷òî â ìàòðèöå b(i0 ,j0 ) ) = kRij k èìååòñÿ åäèíñòâåííûé íåíóëåâîé ýëåìåíò  Ri0 j0 . Ïîñêîëüêó ïàðà Max(R q×l (i0 , j0 ) âûáðàíà ïðîèçâîëüíî, òî â LM 1 (X) ñîäåðæèòñÿ ëèíåéíûé áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà Cq,l (R), à ïîòîìó èìååò ìåñòî èñêîìîå ðàâåíñòâî LM 1 (X) = Cq,l (R). Òåîðåìà äîêàçàíà. Îòìåòèì, ÷òî åñëè M0  íåêîòîðàÿ 0, 1-ïîëíàÿ ìîäåëü àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ è F  0, 1-ïîëíîå ñåìåéñòâî êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé, òî äëÿ ëþáîé ðåãóëÿðíîé çàäà÷è Z ñ b = Cq,l (R). ìàòðèöåé èíôîðìàöèè Ib ñ íåáõîäèìîñòüþ áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî F(M0 (I)) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáîì êîððåêòíîì ñåìåéñòâå M1 ðåøàþùèõ ïðàâèë ñîîòâåòñòâóþùåé êàòåãîðèè ñåìåéñòâî ñóïåðïîçèöèé (àëãîðèòìîâ) M = F[M1 ◦ M0 ] áóäåò ïîëíûì â îáû÷íîì ñìûñëå.

6.2

Ñîîòíîøåíèå ðåãóëÿðíîñòè è ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ñ ñèììåòðè÷åñêèìè è ôóíêöèîíàëüíûìè óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè

 ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòîé â àëãåáðàè÷åñêîé òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ òî÷êîé çðåíèÿ â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàëñÿ âîïðîñ î ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ðåãóëÿðíîñòü çàäà÷è âëå÷åò åå ðàçðåøèìîñòü, à îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî. Äëÿ çàäà÷ ñ ñèììåòðè÷åñêèìè è ôóíêöèîíàëüíûìè óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ áûëè ïîëó÷åíû êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè. Íàøåé áëèæàéøåé öåëüþ áóäåò ïîëó÷åíèå êðèòåðèÿ ðàçðåøèìîñòè. Ýòîò êðèòåðèé äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé óñòàíàâëèâàåòñÿ â òåîðåìå 6.2.1 äëÿ çàäà÷ ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè, âûðàæàåìûìè êàòåãîðèÿìè Φ0 èëè Σ0 , ïðè÷åì äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî |I| > ql. Ïî îòíîøåíèþ ê ñåìåéñòâàì îòîáðàæåíèé (àëãîðèòìîâ) íà áàçå òðåáîâàíèÿ ðàçðåøèìîñòè âñåõ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâî ïîëíîòû. Ðàññìàòðèâàÿ òðåáîâàíèå ðàçðåøèìîñòè â ðàìêàõ ñåìåéñòâà âñåõ ðàçðåøèìûõ çàäà÷, ìîæíî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëèòü ñâîéñòâî, êîòîðîå ìû íàçîâåì ñóïåðïîëíîòîé. ßñíî, ÷òî êàæäîå ñóïåðïîëíîå 121

ñåìåéñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì.  òåîðåìå 6.2.2 áóäåò óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ñåìåéñòâ êàòåãîðèè Φ0 âåðíî è îáðàòíîå, ò.å. êàæäîå ïîëíîå ñåìåéñòâî îêàçûâàåòñÿ è ñóïåðïîëíûì. Äëÿ ñåìåéñòâ æå êàòåãîðèè Σ0 àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Ýòîò ôàêò áóäåò óñòàíîâëåí â òåîðåìå 6.2.3. Òåîðåìà 6.2.1. Ïóñòü Z  çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè,



âûðàæàåìûìè êàòåãîðèåé Φ0 èëè Σ0 , îïðåäåëåííàÿ ïàðîé ìàòðèö (kIij kq×l , Ieij ). Çàq×l

äà÷à Z ðàçðåøèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ ïàð (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) èç S ñïðàâåäëèâà èìïëèêàöèÿ

(Iei1 j1 6= Iei2 j2 ) → (Ii1 j1 6= Ii2 j2 ).

(6.2.1)

Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ çàäà÷è Z âûðàæåíû êàòåãîðèåé Φ0 , kIij kq×l  èíôîðìàöèîííàÿ ìàòðèöà çàäà÷è Z è äëÿ ëþáûõ (i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) èç S âûïîëíåíî óñëîâèå (6.2.1). Îïðåäåëèì ôóíêöèþ f èç I â e I ñëåäóþùèì îáðàçîì:  Ieij , åñëè I = Iij ïðè íåêîòîðîé ïàðå (i, j) èç ìíîæåñòâà S; f (I) = Ie11 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.  ñèëó ñäåëàííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà êîððåêòíî. Êðîìå òîãî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ îïðåäåëÿåìîãî ýòîé ôóíêöèåé ìîðôèçìà u êàòåãîðèè Φ0 ñïðàâåäëèâî



e ðàâåíñòâî u(kIij kq×l ) = Iij , ò.å. u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì. q×l

2. Ïóñòü òåïåðü óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ çàäà÷è Z âûðàæåíû êàòåãîðèåé Σ0 , à îñòàëüíîå  êàê â ï.1. Òîãäà îòîáðàæåíèå f , ïîñòðîåííîå â ï.1 îêàçâàåòñÿ ðåøåíèåì, ïîñêîëüêó êàòåãîðèÿ Φ0 åñòü ïîäêàòåãîðèÿ êàòåãîðèè Σ0 . 3. Ïóñòü Z  çàäà÷à èç ï.2, íî äëÿ îïðåäåëÿþùåé åå ïàðû ìàòðèö íå âûïîëíåíà èìïëèêàöèÿ (6.2.1). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ïàðû (i1 , j1 ) è (i2 , j2 ) â S òàêèå, ÷òî äëÿ íèõ Iei1 j1 6= Iei2 j2 è Ii1 j1 = Ii2 j2 . Äîïóñòèì,

÷òî

çàäà÷à Z âñå æå èìååò ðåøåíèå  ìîðôèçì u êàòåãîðèè Φ0 òàêîé, ÷òî

e u(kIij kq×l ) = Iij . q×l

Ïóñòü s0  ïîäñòàíîâêà èç σ0 , îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâàìè s0 (i1 , j1 ) = (i2 , j2 ), s0 (i2 , j2 ) = b = Ib, íî (i1 , j1 ) è ïðè âñåõ îñòàëüíûõ (i, j)  s0 (i, j) = (i, j). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî s0 (I) b e. e 6= Ib s0 (I) Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå u, êàê ìîðôèçì êàòåãîðèè Σ0 , äîëæíî êîììóòèðîâàòü ñ ïîäñòàíîâêîé s0 , ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ ïîñëåäíèì ñîîòíîøåíèåì:

b b e b = u(s0 (I)) b = s0 (u(I)) b = s0 (I). Ie = u(I) Èòàê, çàäà÷à Z íåðàçðåøèìà. 4. Ïóñòü, íàêîíåö, Z  çàäà÷à ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè, âûðàæåííûìè êàòåãîðèåé Φ0 , è ïóñòü äëÿ îïðåäåëÿþùèõ åå ìàòðèö íå âûïîëíåíî óñëîâèå (6.2.1). Åñëè áû 122

çàäà÷à Z áûëà ðàçðåøèìà, òî îíà áûëà áû ðàçðåøèìà è êàê çàäà÷à ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè, âûðàæåííûìè êàòåãîðèåé Σ0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò äîêàçàííîìó â ï.3. Òåîðåìà äîêàçàíà. Òåîðåìà 6.2.2. Ïóñòü M  ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ (ìîäåëü àëãîðèòìîâ) êàòåãîðèè Φ0 . Ñåìåéñòâî M ïîëíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ñóïåðïîëíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ëþáîå ñóïåðïîëíîå ñåìåéñòâî ïîëíî, òî òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü òîëüêî, ÷òî èç ïîëíîòû â äàííîì ñëó÷àå âûòåêàåò ñóïåðïîëíîòà. Èòàê, ïóñòü M  ïîëíîå ñåìåéñòâî è Z  ðàçðåøèìàÿ çàäà÷à ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè, âûðàæåíb e. b I) íûìè êàòåãîðèåé Φ0 , è îïðåäåëåííàÿ ïàðîé ìàòðèö (I, b ) äëÿ ìàòðèöû U b = kUij k Ñèìâîëîì M (U áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ìíîæåñòâî {U11 , U12 , q×l

. . . , Uql }.  ñèëó îáùåãî ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî â ìíîæåñòâå I ñîäåðæèòñÿ íå ìåíåå ql ýëåìåíòîâ, ïî ìàòðèöå Ib ìîæíî ïîñòðîèòü ìàòðèöó Ib0 ñ ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè òàêóþ, ÷òî b ⊆ M (Ib0 ); à) M (I) b , òî I 0 = Iij . á) åñëè Iij0 ∈ M (I) ij Äåéñòâèòåëüíî, ìàòðèöó Ib ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â Ib0 ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðîñìàòðèâàÿ â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå ýëåìåíòû Ib è, âñòðå÷àÿ íåêîòîðûé ýëåìåíò ïîâòîðíî, çàb è ðàíåå íå èñïîëüçîâàííûé ýëåìåíò ìåíÿåì åãî íà ïðîèçâîëüíûé íå âõîäÿùèé â M (I) ìíîæåñòâà I.  ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î ïîëíîòå ñåìåéñòâà M è òîãî, ÷òî Ib0 ÿâëÿåòñÿ îäíîýëåìåíòíîé áàçîé êàòåãîðèè Φ0 , âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M(Ib0 ) = Cq,l (e I). Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî â M b èìååòñÿ ìîðôèçì A òàêîé, ÷òî A(Ib0 ) = Ie. Î÷åâèäíî, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå âûïîëíåíî è e, òàê ÷òî çàäà÷à Z ðàçðåøèìà â ðàìêàõ ñåìåéñòâà M. b = Ib ðàâåíñòâî A(I)  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà çàäà÷è Z èç ñêàçàííîãî âûòåêàåò ñóïåðïîëíîòà ñåìåñòâà M, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Òåîðåìà äîêàçàíà. Òåîðåìà 6.2.3. Ñóùåñòâóþò ïîëíûå, íî íå ñóïåðïîëíûå ñåìåéñòâà ìîðôèçìîâ (ìîäåëè àëãîðèòìîâ) êàòåãîðèè Σ0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Z  ðàçðåøèìàÿ, íî íå ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè,

âûðàæåííûìè êàòåãîðèåé Σ0 . Ïóñòü, êðîìå òîãî, äëÿ èíôîðìàöèîííîé

ìàòðèöû Ieij çàäà÷è Z âûïîëíåíî óñëîâèå Iei1 j1 6= Iei2 j2 . q×l

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîëíóþ ìîäåëü M àëãîðèòìîâ êàòåãîðèè Σ0 . Îïðåäåëèì ìîðôèçì u∗ êàòåãîðèè Σ0 èç ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö èíôîðìàöèè Cq,l (I) â ñåáÿ ðàâåíñòâîì  b åñëè âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû Ib ïîïàðíî ðàçëè÷íû; I, ∗ b u (I) = Ib0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ãäå Ib  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà èç Cq,l (I) è Ib0  ïðîèçâîëüíàÿ çàôèêñèðîâàííàÿ ìàòðèöà èç Cq,l (I) ñ ïîïàðíî ðàâíûìè ýëåìåíòàìè. 123

Ïîñòðîèì ïî ìîäåëè M ìîäåëü M∗  ñåìåéñòâî ñóïåðïîçèöèé âèäà {A ◦ u∗ |A ∈ M}. Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå u∗ ïåðåâîäèò èíôîðìàöèîííûå ìàòðèöû âñåõ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ â ñåáÿ, äëÿ ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ èç ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé â ðàìêàõ M áóäåò âûòåêàòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé è â ðàìêàõ M∗ .  òî æå âðåìÿ äëÿ çàäà÷è Z (à ðàâíî è äëÿ ëþáîé ðàçðåøèìîé íå ðåãóëÿðíîé çàäà÷è, ó êîòîðîé íå âñå ýëåìåíòû èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöû b áóäåò ñîñòîÿòü òîëüêî èç ìàòðèö ñ ïîïàðíî ðàâíûìè ïîïàðíî ðàâíû) ìíîæåñòâî M∗ (I) b b , ò.å. çàäà÷à Z â ðàìêàõ ñåìåéñòâà M∗ íå áóäåò ðàçðåøèìà. ýëåìåíòàìè, à ïîòîìó Ie ∈ / M∗ (I) Èòàê, ìîäåëü M ïîëíà, íî íå ñóïåðïîëíà, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Òåîðåìà äîêàçàíà.

6.3

Óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ äëÿ çàäà÷ ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ êëàññàìè

 íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå áóäóò ðàññìîòðåíû çàäà÷è êëàññèôèêàöèè, óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ â êîòîðûõ âûðàæàþò ñëåäóþùóþ èíôîðìàöèþ: 1. äàííûå î âñåõ îáúåêòàõ îäíîðîäíû è íåçàâèñèìû; 2. äàííûå î êëàññàõ îäíîðîäíû. Ê çàäà÷àì òàêîãî òèïà îòíîñÿòñÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ çàäà÷è ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ êëàññàìè. Óñëîâèå 1 ôîðìàëèçóåòñÿ òðåáîâàíèåì, ÷òîáû êîððåêòíûé àëãîðèòì ðåàëèçîâûâàë ìîðôèçì êàòåãîðèè Φi , à óñëîâèþ 2 îòâå÷àåò êàòåãîðèÿ Σj . Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ êàòåãîðèè, ìîðôèçìû êîòîðîé ñóòü îòîáðàæåíèÿ, ÿëÿþùèåñÿ îäíîâðåìåííî ìîðôèçìàìè êàòåãîðèé Φi è Σj . Ýòà êàòåãîðèÿ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëîì Φi ∩ Σj . Ïîñêîëüêó êàòåãîðèè Φi è Σj îáå äîïóñòèìû, òî äîïóñòèìà è êàòåãîðèÿ Φi ∩ Σj . Ïîñêîëüêó îáå êàòåãîðèè Φi è Σj èìåþò â êà÷åñòâå ïîäêàòåãîðèè ïîëíóþ êàòåãîðèþ Φ0 , òî îíà ÿâëÿåòñÿ ïîäêàòåãîðèåé ðàññìàòðèâàåìîé êàòåãîðèè Φi ∩ Σj , à ïîòîìó è êàòåãîðèÿ Φi ∩ Σj ïîëíà. Èòàê, Φi ∩ Σj  ïîëíàÿ äîïóñòèìàÿ êàòåãîðèÿ è â ñèëó ýòîãî ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âûðàæåíèå ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Íàøåé îñíîâíîé öåëüþ áóäåò îïèñàíèå îäíîýëåìåíòûõ áàç êàòåãîðèè Φi ∩ Σj , ò.å. ïî ñóòè äåëà îïèñàíèå ðåãóëÿðíûõ çàäà÷ ñ äàííîé ñèñòåìîé óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Äëÿ ýòîãî ïðåæäå âñåãî áóäåò ïîëó÷åíî îïèñàíèå ìîðôèçìîâ ðàññìàòðèâàåìîé êàòåãîðèè èç Cq,l (U) â Cq,l (V) ïðè ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâàõ U è V. Ëåììà 6.3.1. Îòîáðàæåíèå u èç Cq,l (U) â Cq,l (V) ÿâëÿåòñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Φi ∩ Σj òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ u ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f èç Ul â V òàêàÿ, ÷òî

124

b = kUij k èç Cq,l (U) èç ðàâåíñòâà u(U b ) = Vb = kVij k ñëåäóåò, 1. äëÿ ëþáîé ìàòðèöû U q×l q×l ÷òî ïðè âñåõ (i, j) èç ìíîæåñòâà S âûïîëíåíî ðàâåíñòâî f (Uij , Ui1 , Ui2 , . . . , Uij−1 , Uij+1 , . . . , Uil ); 2. äëÿ ëþáîãî íàáîðà (U1 , . . . , Ul ) èç Ul è ëþáîé ïîäñòàíîâêè s ìíîæåñòâà {2, 3, . . . , l} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî

f (U1 , . . . , Ul ) = f (U1 , Us(2) , . . . , Us(l) ). b = kUij k Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü u  ìîðôèçì êàòåãîðèè Φi ∩Σj èç Cq,l (U) â Cq,l (V), U q×l b ) = Vb = kVij k .  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà èç Cq,l (U) è u(U q×l Èç òîãî, ÷òî u - ìîðôèçì êàòåãîðèè Φi , âûòåêàåò, ÷òî äëÿ u ñóùåñòâóåò íàáîð ôóíêöèé f1 , . . . , fl òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ (i, j) ∈ S Vij = fj (Ui1 , . . . , Uil ).

(6.3.1)

Ïóñòü s  ïðîèçâîëüíàÿ ïîäñòàíîâêà ìíîæåñòâà èíäåêñîâ {1, . . . , l}. Ïîñêîëüêó u  îäíîâðåìåííî è ìîðôèçì êàòåãîðèè Σj , òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî



(6.3.2) u(s(kUij kq×l )) = u( Uis(j) q×l ) = s(u(kUij kq×l ) = s(kVij kq×l ) = Vis(j) q×l . Èç ðàâåíñòâ (6.3.1) è (6.3.2) äëÿ âñåõ (i, j) ïîëó÷àåì

fj (Uis(1) , . . . , Uis(l) ) = fs(j) (Ui1 , . . . , Uil ).

(6.3.3)

Ïóñòü j0  ïðîèçâîëüíûé èíäåêñ èç ìíîæåñòâà {1, . . . , l} è s0  òðàíñïîçèöèÿ (1, j0 ), ò.å. s0 (1) = j0 , s0 (j0 ) = 1 è s0 (j) = j ïðè j ∈ {2, . . . , l}, j 6= j0 . Ïðèìåíÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïðè s = s0 , ïîëó÷àåì

fj0 (Uij0 , Ui2 , . . . , Uil ) = f1 (Ui1 , . . . , Uil ).

(6.3.4)

Èç ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëîæèâ, ÷òî (U1 , . . . , Ul )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð èç Ul , íàõîäèì

fj0 (U1 , . . . , Ul ) = f1 (Uj0 , U2 , . . . , U1 , . . . , Ul ),

(6.3.5)

òàê ÷òî ìîðôèçì u îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñóòè äåëà åäèíñòâåííîé ôóíêöèåé f1 , êîòîðóþ ìîæíî îáîçíà÷èòü ïðîñòî f . Ïîëîæèâ òåïåðü â ðàâåíñòâå (6.3.3) j = 1 è ðàññìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå s ïðîèçâîëüíóþ ïîäñòàíîâêó èç σ0 òàêóþ, ÷òî s(1) = 1, ïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 2 èç ôîðìóëèðîâêè ëåììû. Ó÷èòûâàÿ ýòî, èç äîêàçàííîãî ðàâåíñòâà (6.3.5) íàõîäèì, ÷òî âûïîëíåíî è óñëîâèå 1. Ïóñòü òåïåðü u  îòîáðàæåíèå èç Cq,l (U) â Cq,l (V), äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1 è 2. Îïðåäåëèì ïðè âñåõ j ∈ {1, . . . , l} îòîáðàæåíèÿ gj èç Ul â ñåáÿ ðàâåíñòâîì

gj (U1 , . . . , Ul ) = (Uj , U1 , . . . , Uj−1 , Uj+1 , . . . , Ul ). 125

Ïîëîæèì fj = f ◦ gj . Òîãäà èç óñëîâèÿ 1 ïîëó÷àåì

fj (Ui1 , . . . , Uil ) = f (Uij , Ui1 , . . . , Uil ) = Vij , ò.å. îòîáðàæåíèå u îêàçûâàåòñÿ â äàííîì ñëó÷àå ìîðôèçìîì êàòåãîðèè Φi . Ïóñòü s  ïðîèçâîëüíàÿ ïîäñòàíîâêà ìíîæåñòâà {1, . . . , l}, kUij kq×l  ïðîèçâîëüíàÿ



b )) è V 00 = s(u(U b )). Èç óñëîâèÿ 1 ïðè âñåõ (i, j) ∈ S ìàòðèöà èç Cq,l (U), V 0 = u(s(U ïîëó÷àåì

ij q×l

ij

q×l

Vij0 = f (Uis(j) , Uis(1) , . . . , Uis(l) ) è

Vij00 = f (Uis(j) , Ui1 , . . . , Uil ), òàê ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ 2 âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Vij0 = Vij00 , ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî u  ìîðôèçì êàòåãîðèè Σj . ßâëÿÿñü îäíîâðåìåííî ìîðôèçìîì êàòåãîðèé Φi è Σj , îòîáðàæåíèå u îêàçûâàåòñÿ è ìîðôèçìîì êàòåãîðèè-ïåðåñå÷åíèÿ Φi ∩ Σj , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåììà äîêàçàíà.

b 0 = U 0  ìàòðèöà èç ïðîñòðàíñòâà Cq,l (U). Ìíîæåñòâî Òåîðåìà 6.3.2. Ïóñòü U ij q×l 0 b } ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Φi ∩Σj òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýëåìåíòû êàæäîé ñòðîêè {U b 0 ïîïàðíî ðàçëè÷íû è êîãäà ñòðîêè ïîïàðíî ðàçëè÷íû êàê ìíîæåñòâà, ò.å. äëÿ ìàòðèöû U ëþáûõ i1 6= i2 èç ìíîæåñòâà {1, . . . , q} âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå

{Ui01 1 , . . . , Ui01 l } = 6 {Ui02 1 , . . . , Ui02 l }. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïðè íåêîòîðûõ i è j1 6= j2 èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî Uij0 1 = Uij0 2 è u  ìîðôèçì êàòåãîðèè Φi ∩ Σj èç Cq,l (U) â Cq,l (U). Èç óñëîâèé 1 è 2 ëåììû 6.3.1 äëÿ

0 b 0 ) ïîëó÷àåì:

Uij = u(U q×l

Uij0 1 = f (Uij0 1 , Ui10 , . . . , Uil0 ) = f (Uij0 2 , Ui10 , . . . , Uil0 ) = Uij0 2 , òàê ÷òî

n b 0 ) ⊆ kUij k HomΦi ∩Σj (Cq,l (U), Cq,l (U))(U q×l

o kU k ∈ C (U), U = U ⊂ Cq,l (U). ij q×l q,l ij1 ij2

Èòàê, óñëîâèå ïîïàðíîé ðàçëè÷íîñòè ýëåìåíòîâ â êàæäîé ñòðîêå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíî âûïîëíåíî. Ïóñòü ïðè íåêîòîðûõ i1 6= i2 èç {1, . . . , q} èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî {Ui01 1 , . . . , Ui01 l } = {Ui02 1 , . . . , Ui02 l }. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîäñòàíîâêà s0 ìíîæåñòâà {1, . . . , l} òàêàÿ, ÷òî ïðè âñåõ j èç {1, . . . , l} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Ui2 j = Ui1 s0 (j) . Èç ëåììû 6.3.1 ïîëó÷àåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå b 0) ⊆ HomΦi ∩Σj (Cq,l (U), Cq,l (U))(U n o ⊆ kUij kq×l kUij kq×l ∈ Cq,l (U), Ui2 j = U1s(1) , . . . , Ui2 l = Ui1 s(l) ⊂ Cq,l (U). 126

Èòàê, è óñëîâèå ðàçëè÷íîñòè ñòðîê êàê ìíîæåñòâ íåîáõîäèìî. b 0  ìàòðèöà, â êîòîðîé ýëåìåíòû ñòðîê ïîïàðíî ðàçëè÷íû è ñòðîêè Ïóñòü òåïåðü U b = kUij k ñèñòåìà ðàâåíñòâ ðàçëè÷íû êàê ìíîæåñòâà. Òîãäà ïðè ëþáîé ìàòðèöå U q×l

f (Uij0 , Ui10 , . . . , Uil0 ) = Uij êîððåêòíî îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ f , ñîîòâåòñòâóþùèé êîòîðîé ìîðôèçì êàòåãîðèè Φi ∩ Σj b0 â U b .  ñèëó îòñóòñòâèÿ îãðàíè÷åíèé íà âûáîð ìàòðèöû U b ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïåðåâîäèò U

b 0 ) = Cq,l (U), HomΦi ∩Σj (Cq,l (U), Cq,l (U))(U b 0 } ÿâëÿåòñÿ áàçîé êàòåãîðèè Φi ∩ Σj . òàê ÷òî {U Òåîðåìà äîêàçàíà.

6.4

Î çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ ñ óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè ìîíîòîííîñòè

Ìåòîäû àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà, êàê óæå ãîâîðèëîñü â ïåðâûõ ãëàâàõ ðàáîòû, ïðèãîäíû íå òîëüêî äëÿ èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, íî è äëÿ ðåøåíèÿ áîëåå îáùèõ çàäà÷ ñèíòåçà àëãîðèòìîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèè. Íàøåé öåëüþ â äàííîì ïàðàãðàôå áóäåò ðàññìîòðåíèå ñèòóàöèé, êîãäà ïðîñòðàíñòâà âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ èíôîðìàöèé ÿâëÿþòñÿ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûìè ìíîæåñòâàìè, à äîïóñòèìûìè ñ÷èòàþòñÿ òîëüêî ìîíîòîííûå îòîáðàæåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ ôèãóðèðóþò îáúåêòû, ïðåäñòàâëåííûå íàáîðàìè çíà÷åíèé ïðèçíàêîâ, ïðè÷åì âñå èëè íåêîòîðûå èç ìíîæåñòâ çíà÷åíèé óïîðÿäî÷åíû è èçâåñòíî, ÷òî ýòîò ïîðÿäîê ñîîòâåòñòâóåò ïîðÿäêó íà ìíîæåñòâå îòâåòîâ (íàïðèìåð: ¾÷åì âûøå ó ïàöèåíòà òåìïåðàòóðà, òåì îñòðåå âîñïàëèòåëüíûé ïðîöåññ¿). Âåçäå íèæå ïîä óïîðÿäî÷åííûìè áåç äàëüíåéøèõ îãîâîðîê áóäóò ïîíèìàòüñÿ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, èìåþùèå íå ìåíåå äâóõ ñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ. Èòàê, â íàøèõ çàäà÷àõ îïðåäåëåíû óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà I è e I, çàôèêñèðîâàí q íàáîð ïàð ((I1 , Ie1 ), . . . , (Iq , Ieq )) èç (I× e I) è òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü àëãîðèòì A, ðåàëèçóþùèé ìîíîòîííîå îòîáðàæåíèå A èç I â e I òàêîå, ÷òî ïðè âñåõ i ∈ {1, . . . , q} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî e A(Ii ) = Ii . Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ìîíîòîííîãî îòîáðàæåíèÿ âûòåêàåò óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ïîñòàâëåííîé çàäà÷è:

∀i1 , i2 ((Ii1 > Ii2 ) → (Iei1 > Iei2 )),

(6.4.1)

ãäå i1 , i2 ∈ {1, . . . , q}. Êàê è ðàíåå, áóäåì ñ÷èòàòü ïàðàìåòð q ïðîèçâîëüíûì, íî ôèêñèðîâàííûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì è, ðàññìàòðèâàÿ â îñíîâíîì âîïðîñ î ñèíòåçå ðåøåíèÿ, áóäåì àíàëèçèðîâàòü

127

ïðîáëåìó ïîñòðîåíèÿ îòîáðàæåíèÿ A èç Cq (I) â Cq (e I)

1

òàêîãî, ÷òî

A(I1 , . . . , Iq ) = (F (I1 ), . . . , F (Iq )) = (Ie1 , . . . , Ieq ) ïðè óñëîâèè ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè F (ñëó÷àé àíàëîãè÷åí êàòåãîðèè Φ0 èç ïðåäûäóùèõ ãëàâ). Äëÿ ëþáîãî ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà U ëþáîìó q -íàáîðó ýëåìåíòîâ ýòîãî ìíîæåñòâà ñîîòâåòñòâóåò òðàíçèòèâíîå è ðåôëåêñèâíîå áèíàðíîå îòíîøåíèå íà q ýëåìåíòàõ, ò.å., ïî ñóòè äåëà, íà ìíîæåñòâå èíäåêñîâ {1, . . . , q}. Òàêîå îòíîøåíèå äëÿ íàáîðà ýëå¯ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ π(U¯ ) (ïðè ýòîì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî π(U¯ ) ⊆ {1, . . . , q}2 ). ìåíòîâ U Ïóñòü, íàïðèìåð, U = {a, b, c}, ãäå a > b, akc è bkc (ñèìâîë ¾k¿ îçíà÷àåò íåñðàâíèìîñòü); òîãäà π(a, a, b, c) = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 3)}. Îòíîøåíèÿ òàêîãî òèïà áóäåì íàçûâàòü q -ïîðÿäêàìè. Èñïîëüçóÿ ââåäåííîå îáîçíà÷åíèå, óñëîâèå (6.4.1) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: π(I1 , . . . , Iq ) ⊆ π(Ie1 , . . . , Ieq ). (6.4.2) Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ó ðàçðåøèìîé çàäà÷è ¾ìîíîòîííûìè îáðàçàìè¿ âåêòîðà èí¯ ôîðìàöèè I¯ ∈ Cq (I) ìîãóò áûòü òàêèå è òîëüêî òàêèå íàáîðû Ie èç ïðîñòðàíñòâà èíôîð¯ e ¯ â êà÷åñòâå ïîäìíîæåñòâà. ìàöèîííûõ âåêòîðîâ Cq (e I), ÷òî q -ïîðÿäîê π(I) ñîäåðæèò π(I) Ïóñòü π0  ïðîèçâîëüíîå îòíîøåíèå q -ïîðÿäêà è U  óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Ñèìâîëîì Cq (U)|π0 áóäåì îáîçíà÷àòü ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq (U), ñîñòîÿùåå èç âñåõ âåê¯ òàêèõ, ÷òî π0 ⊆ π(U¯ ). Îòìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì íåïóñòîì U è ïðîèçâîëüíîì π0 òîðîâ U ìíîæåñòâî Cq (U)|π0 íåïóñòî (îíî ñîäåðæèò, â ÷àñòíîñòè, âñå íàáîðû, ñîñòîÿùèå èç ïîïàðíî ðàâíûõ ýëåìåíòîâ). Òåïåðü ìû èìååì âîçìîæíîñòü ðàññìàòðèâàòü îïèñàííûå çàäà÷è êàê çàäà÷è ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè óíèâåðñàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè, âûðàæåííûìè êàòåãîðèåé M . Îáúåêòû ýòîé êàòåãîðèè  ïðîñòðàíñòâà q -âåêòîðîâ íàä óïîðÿäî÷åííûìè ìíîæåñòâàìè è âñå êîíå÷íûå äåêàðòîâû ñòåïåíè òàêèõ ïðîñòðàíñòâ. Ìîðôèçìû êàòåãîðèè M  îòîáðàæåíèÿ îáúåêòîâ äðóã â äðóãà, ïîðîæäåííûå ìîíîòîííûìè îòîáðàæåíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Íàïðèìåð, åñëè U è V  óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è u  îòîáðàæåíèå èç Cq (U) â Cq (V), òî u îêàçûâàåòñÿ ìîðôèçìîì êàòåãîðèè M â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ F èç U â V òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ (U1 , . . . , Uq ) ∈ Cq (U) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî u(U1 , . . . , Uq ) = (F (U1 ), . . . , F (Uq )). Äîïóñòèìîñòü êàòåãîðèè`M , ò.å. òî, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ è äèàãîíàëèçàöèè ìîðôèçìîâ ñíîâà îêàçûâàþòñÿ ìîðôèçìàìè, î÷åâèäíà. Ïîýòîìó êàòåãîðèÿ M ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê àäåêâàòíàÿ ôîðìàëèçàöèÿ ñèñòåìû óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ïðè èñïîëüçîâàíèè êîíñòðóêöèé àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà. Ïðè èçó÷åíèè çàäà÷ êëàññèôèêàöèè âàæíóþ ðîëü èãðàëî, íàðÿäó ñî ñâîéñòâîì äîïóñòèìîñòè, ñâîéñòâî ïîëíîòû ñîîòâåòñòâóþùèõ êàòåãîðèé. Ó êàòåãîðèè M àíàëîãè÷íîå

Ïðè ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå U ñèìâîëîì Cq (U) îáîçíà÷àåòñÿ ïðîñòðàíñòâî q-âåêòîðîâ íàä ìíîæåñòâîì U. 1

128

ñâîéñòâî èìååòñÿ, ò.å. äëÿ ëþáûõ óïîðÿäî÷åííûõ U è V âûïîëíåíî ðàâåíñòâî p ∪∞ p=0 HomM (Cq (U), Cq (V))(Cq (U)) = Cq (V).

(6.4.3)

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà áóäåò ïîëó÷åíî íèæå. Ïîëíîòà êàòåãîðèè M â ñìûñëå (6.4.3) ìîæåò ïðåäñòàâèòü èíòåðåñ, òîëüêî åñëè íåïîñðåäñòâåííî ïåðåíåñòè íà çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèåì ìîíîòîííîñòè îïðåäåëåíèå ðåãóëÿðíîñòè, èñïîëüçîâàííîå äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè. Òàêîé íåïîñðåäñòâåííûé ïåðåíîñ îêàçûâàåòñÿ, îäíàêî, ìàëîèíòåðåñåí. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ çàäà÷è Z ñ âåêòîðîì èíôîðìàöèè I¯ ¾êëàññèôèêàöèîííîå¿ òðåáîâàíèå ðåãóëÿðíîñòè ñâîäèòñÿ ê ðàâåíñòâó

¯ = Cq (e HomM (Cq (I), Cq (e I))(I) I),

(6.4.4)

íî ýòî ðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî òðåáîâàíèþ, ÷òîáû âñå ýëåìåíòû âåêòîðà I¯ áûëè ïîïàðíî íåñðàâíèìû. ×òîáû ââåñòè áîëåå àäåêâàòíîå ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîñòè, âñïîìíèì, ÷òî ðåãóëÿðíîñòü â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëÿëàñü êàê òðåáîâàíèå ¾êîëëåêòèâíîé ðàçðåøèìîñòè¿ çàäà÷ èç íåêîòîðûõ ñåìåéñòâ, ò.å. ïîíÿòèå ðåãóëÿðíîñòè îïèðàëîñü íà ðàçáèåíèå êëàññîâ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ íà ïîäìíîæåñòâà ¾áëèçêèõ¿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå çàäà÷. Äëÿ èçó÷àåìûõ çàäà÷ ñ îãðàíè÷åíèåì ìîíîòîííîñòè ïðåäëàãàåòñÿ ñëåäóþùåå îïåðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ýêâèâàëåíòíîñòè: Îïðåäåëåíèå 6.4.1. Çàäà÷è Z1 è Z2 , îïðåäåëåííûå ïàðàìè âåêòîðîâ ((I11 , . . . , Iq1 ), (Ie11 , . . . , Ieq1 )) è, ñîîòâåòñòâåííî, ((I12 , . . . , Iq2 ), (Ie12 , . . . , Ieq2 )), íàçûâàþòñÿ ñîñåäíèìè, åñëè Ii1 = Ii2 ïðè âñåõ i ∈ {1, . . . , q} è åñëè èìååòñÿ ïàðà i1 6= i2 èç {1, . . . , q} òàêàÿ, ÷òî Ii11 kIi12 , Iei2 = Iei12 äëÿ âñåõ i òàêèõ, ÷òî Iei1 = Iei11 , Iei2 = Iei11 äëÿ âñåõ i òàêèõ, ÷òî Iei1 = Iei12 , è Iei2 = Iei1 ïðè âñåõ îñòàëüíûõ i èç {1, . . . , q}. Çàäà÷è Z1 è Z2 ýêâèâàëåíòíû, åñëè ñóùåñòâóåò íàáîð çàäà÷ 0 Z10 , . . . , Zp0 òàêîé, ÷òî Z1 = Z10 , Z2 = Zp0 è ïðè âñåõ k èç {1, . . . , p − 1} çàäà÷è Zk0 è Zk+1  ñîñåäíèå. Íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå ââåäåíèå ïîíÿòèÿ ñîñåäíèõ çàäà÷ ìîæíî îáîñíîâàòü ñëåäóþùèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Ïóñòü â çàäà÷å Z ýëåìåíòû Ii1 è Ii2 âåêòîðà èíôîðìàöèè I¯ íåñðàâíèìû è äëÿ íèõ êîððåêòíûé àëãîðèòì äîëæåí ïîðîæäàòü çíà÷åíèÿ Iei1 è Iei2 . Íåñðàâíèìîñòü Ii1 è Ii2 íå ìîæåò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî Iei1 è Iei2 ïîëíîñòüþ ïðîèçâîëüíû, ïîñêîëüêó ñ Ii1 èëè ñ Ii2 ìîãóò áûòü ñðàâíèìû äðóãèå ýëåìåíòû âåêòîðà (I1 , . . . , Iq ). Îäíàêî íåñðàâíèìîñòü Ii1 è Ii2 ìîæíî âûðàçèòü òðåáîâàíèåì, ÷òîáû çàäà÷à îñòàâàëàñü ðàçðåøèìîé ïðè òðàíñïîçèöèè çíà÷åíèé Iei1 è Iei2 . Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ îá îòíîøåíèÿõ ïîðÿäêà íà âåêòîðàõ èíôîðìàöèè è èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ, îïðåäåëÿþùèõ ðåãóëÿðíûå çàäà÷è. Ïîñêîëüêó èç îïðåäåëåíèÿ 6.4.1 âûòåêàåò, ÷òî ðåãóëÿðíîñòü çàâèñèò òîëüêî îò ñîîòíîøåíèÿ ïîðÿäêîâ íà ýòèõ âåêòîðàõ, òî ïîñòàâëåííûé âîïðîñ åñòü íà ñàìîì äåëå âîïðîñ î êðèòåðèè ðåãóëÿðíîñòè. Ïóñòü π0  ïðîèçâîëüíûé q -ïîðÿäîê. Ñîïîñòàâèì îòíîøåíèþ π0 îòíîøåíèå q -ýêâèâàëåíòíîñòè ρ(π0 ), îïðåäåëèâ åãî êàê òðàíçèòèâíîå çàìûêàíèå îáúåäèíåíèÿ ñèììåòðè÷íîãî îòíîøåíèÿ íåñðàâíèìîñòè â ñìûñëå π0 è îòíîøåíèÿ ðàâåíñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáûå èíäåêñû i1 è i2 èç {1, . . . , q} ýêâèâàëåíòíû â ñìûñëå îòíîøåíèÿ ρ(π0 ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëèáî i1 = i2 , ëèáî i1 ki2 , ëèáî ñóùåñòâóþò i01 , . . . , i0p òàêèå, ÷òî i1 ki01 , i01 ki02 , i02 ki03 , . . . , i0p ki2 , 129

ãäå íåñðàâíèìîñòü îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèåì π0 . Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïî ρ(π0 ) áóäåì íàçûâàòü áëîêàìè íåñðàâíèìîñòè. Îòìåòèì, ÷òî îòíîøåíèåì π0 íà ìíîæåñòâå áëîêîâ íåñðàâíèìîñòè ïî ρ(π0 ) (íà ôàêòîðìíîæåñòâå) èíäóöèðóåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ëèíåéíûé ïîðÿäîê. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü M1 è M2  áëîêè íåñðàâíèìîñòè, i1 ∈ M1 , i2 ∈ M1 , i1 ki2 è i ∈ M2 . ßñíî, ÷òî èíäåêñû i1 è i2 ñðàâíèìû ñ i â ñìûñëå îòíîøåíèÿ π0 (èíà÷å îíè ëåæàëè áû â îáùåì áëîêå). Åñëè áû èìåëè ìåñòî ïðîòèâîïîëîæíûå íåðàâåíñòâà, ñêàæåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, i1 < i è i < i2 , òî èç òðàíçèòèâíîñòè π0 ìû áû èìåëè i1 < i2 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ î íåñðàâíèìîñòè i1 è i2 . Î÷åâèäíî, ÷òî ñêàçàííîå èìååò ìåñòî è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà i1 è i2 ñðàâíèìû, íî ìîãóò áûòü ñîåäèíåíû öåïî÷êîé íåñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ. ¯ I) e = Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî Z  ðåãóëÿðíàÿ çàäà÷à, îïðåäåëåííàÿ ïàðîé âåêòîðîâ (I, ((I1 , . . . , Iq ), (Ie1 , . . . , Ieq )), ïðè÷åì áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýëåìåíòû I1 , . . . , Iq ïîïàðíî ðàçëè÷íû (íàëè÷èå ðàâåíñòâ ñâîäèòñÿ ïî ñóòè äåëà ê óìåíüøåíèþ ðàçìåðíîñòè). Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáûõ ñðàâíèìûõ Ii1 è Ii2 , ïðèíàäëåæàùèõ îäíîìó áëîêó íåñðàâíèìîñòè â ñìûñëå ρ(π(I)), äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Iei1 = Iei2 . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü, ñêàæåì, Ii1 > Ii2 , Iei1 6= Iei2 è èìåþòñÿ i01 , . . . , i0p òàêèå, ÷òî Ii1 kIi01 , Ii01 kIi02 , Ii02 kIi03 , . . . , Ii0p kIi2 . Èç ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Z ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå Iei1 > Iei2 , à òàê êàê äîëæíà áûòü ðàçðåøèìà è çàäà÷à ñ èíôîðìàöèîííûì âåêòîðîì, îòëè÷àþùèìñÿ îò èñõîäíîãî òðàíñïîçèöèåé çíà÷åíèé Iei1 è Iei2 , òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî è íåðàâåíñòâî Iei2 > Iei1  ïðîòèâîðå÷èå. Òåïåðü óæå î÷åâèäíà õàðàêòåðèçàöèÿ îòíîøåíèé ïîðÿäêà íà âåêòîðàõ, îïðåäåëÿþùèõ ðåãóëÿðíûå çàäà÷è, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðîé ââåäåì åùå îäíî ïîíÿòèå. Ïóñòü π0  îòíîøåíèå q -ïîðÿäêà, ρ(π0 )  ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü è M1 , . . . , Mp  áëîêè íåñðàâíèìîñòè. Îïðåäåëèì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè σ(π0 ) íà {1, . . . , q} ñëåäóþùèì îáðàçîì: i1 è i2 ýêâèâàëåíòíû â ñìûñëå σ(π0 ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà i1 = i2 èëè i1 è i2 ëåæàò â îäíîì áëîêå íåñðàâíèìîñòè Mk è ëèáî ñðàâíèìû ìåæäó ñîáîé, ëèáî â Mk èìåþòñÿ i01 , . . . , i0r òàêèå, ÷òî i1 ñðàâíèìî ñ i01 , i2 ñðàâíèìî ñ i0r è ïðè âñåõ t ∈ {1, . . . , r − 1} èíäåêñû i0t è i0t+1 ñðàâíèìû â ñìûñëå îòíîøåíèÿ π0 . Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ σ(π0 ) åñòåñòâåííî íàçâàòü ñðàâíèìûìè ïîäáëîêàìè áëîêîâ íåñðàâíèìîñòè. Òåïåðü îòíîøåíèþ π0 ìîæíî ñîïîñòàâèòü îòíîøåíèå q -ïîðÿäêà π0 ∪ σ(π0 ), êîòîðîå áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ π0∗ . Èòàê, èç âûøåñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî çàäà÷à Z , îïðåäåëåííàÿ âåêòîðîì èíôîðìàöèè ¯ ¯ I = (I1 , . . . , Iq ) è èíôîðìàöèîííûì âåêòîðîì Ie = (Ie1 , . . . , Ieq ), ðåãóëÿðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáûõ i1 è i2 èç ëþáîãî ñðàâíèìîãî ïîäáëîêà ëþáîãî áëîêà íåñðàâíèìîñòè ¯ âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Iei1 = Iei2 . Èíà÷å ãîâîðÿ, çàäà÷à Z ðåãóëÿðíà òîãäà è â ñìûñëå π(I) ¯ e ¯ ⊆ π(I) . òîëüêî òîãäà, êîãäà π ∗ (I) Îòìåòèì, ÷òî èç ïîëó÷åííîãî êðèòåðèÿ ñëåäóåò, ÷òî ðåãóëÿðíû, â ÷àñòíîñòè, çàäà÷è ñ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì íà âåêòîðå èíôîðìàöèè è (áîëåå îáùèé ñëó÷àé) çàäà÷è, ó êîòîðûõ îòíîøåíèå íåñðàâíèìîñòè íà âåêòîðå èíôîðìàöèè â îáúåäèíåíèè ñ îòíîøåíèåì ðàâåíñòâà îêàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, ò.å. îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè (òàêèå îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà 130

ìîæíî íàçâàòü êâàçèëèíåéíûìè). Äëÿ ðàçðåøèìûõ çàäà÷ òàêîãî òèïà ðåãóëÿðíîñòü íå çàâèñèò îò èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà. Ïðè èçó÷åíèè ðàçðåøèìîñòè è ðåãóëÿðíîñòè çàäà÷ ñ îãðàíè÷åíèåì ìîíîòîííîñòè èíòåðåñíû ¾êîëëåêòèâíûå îòîáðàæåíèÿ¿ íå íà ¾öåëûå¿ ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ òèïà Cq (U), íî íà ¾ïðèâåäåííûå¿ ïîäïðîñòðàíñòâà òèïà Cq (U)|π0 ïðè ïðîèçâîëüíûõ (ðàçðåøèìîñòü) èëè êâàçèëèíåéíûõ (ðåãóëÿðíîñòü) îòíîøåíèÿõ q -ïîðÿäêà π0 . Èìåííî ýòîò âîïðîñ è áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ íèæå. Ïîêàæåì ïðåæäå âñåãî, ÷òî êàòåãîðèÿ M îáëàäàåò áîëåå ñèëüíûì ñâîéñòâîì ïîëíîòû, íåæåëè âûðàæåííîå ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì ïðîáëåìû êëàññèôèêàöèè ðàâåíñòâîì (6.4.3). À èìåííî, ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ U è V è ëþáîãî q -ïîðÿäêà π0 âûïîëíåíî ðàâåíñòâî p ∪∞ p=0 HomM (Cq (U), Cq (V))(Cq (U)|π0 ) = Cq (V)|π0 .

(6.4.5)

Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà (6.4.5) áàçèðóåòñÿ íà äâóõ ïðîñòûõ ëåììàõ, äëÿ ôîðìóëèðîâêè êîòîðûõ ââåäåì íîâîå îáîçíà÷åíèå. Ïóñòü U  ïðîèçâîëüíîå óïîðÿäî÷åííîå ¯ ), ìíîæåñòâî è X ⊆ Cq (U). Ñèìâîëîì π(X) áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ïåðåñå÷åíèå âñåõ π(U ¯ , ïðîáåãàþùåì ìíîæåñòâî X . Îòìåòèì, ÷òî â ëþáîì (áåñêîíå÷íîì) ìíîæåñòâå X ïðè U ¯ 1 , . . . , U¯ p } òàêîé, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî âñåãäà èìååòñÿ êîíå÷íûé íàáîð âåêòîðîâ {U π(X) = π({U¯ 1 , . . . , U¯ p }). Ëåììà 6.4.1. Ïóñòü U è V  ïðîèçâîëüíûå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà è X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Cq (U). Òîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî p ∪∞ p=0 HomM (Cq (U), Cq (V))(X) = Cq (V)|π(X) .

(6.4.6)

¯ 1 , . . . , U¯ p )  íàáîð âåêòîðîâ èç ìíîæåñòâà X òàêîé, ÷òî Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (U π(X) = π({U¯ 1 , . . . , U¯ p }), è ïóñòü çàäàí ïðîèçâîëüíûé âåêòîð V¯ = (V1 , . . . , Vq ) èç Cq (V)|π(X) . ¯ 1 , . . . , U¯ p }) ⊆ π(V¯ ). Ýòî ñîîòíîøåíèå, ñ÷èòàÿ, ÷òî U¯ k = (U1k , . . . , Uqk ) Î÷åâèäíî, ÷òî π({U ïðè k ∈ {1, . . . , p}, ìîæíî çàïèñàòü òàê: ∀i1 , i2 ((∀k(Uik1 > Uik2 )) → (Vi1 > Vi2 )),

(6.4.7)

ãäå i1 , i2 ∈ {1, . . . , q} è k ∈ {1, . . . , p}. Îïðåäåëèì ìîðôèçì u êàòåãîðèè M èç Cpq (U) â Cq (V) ôóíêöèåé F èç Up â V òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ i ∈ {1, . . . , q} âûïîëíåíî ðàâåíñòâî F (Ui1 , . . . , Uip ) = Vi .  ñèëó óñëîâèÿ (6.4.7) ôóíêöèÿ F ìîíîòîííà íà q -ýëåìåíòíîì ïîäìíîæåñòâå {(U11 , . . . , U1p ), . . . , (Uq1 , . . . , Uqp )} ìíîæåñòâà Up . Âûáðàâ åå çíà÷åíèÿ íà îñòàëüíûõ ýëåìåíòàõ ìíîæåñòâà Up èç ñîîáðàæåíèé ìîíîòîííîñòè, ïîëó÷àåì èñêîìûé ìîðôèçì. ¯ 1 , . . . , U¯ p ) = V¯ , ÷òî â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà âåêòîðà V è Ëåãêî âèäåòü, ÷òî u(U îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (6.4.6). Ëåììà äîêàçàíà.

131

Ëåììà 6.4.2. Ïóñòü U  ïðîèçâîëüíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, π0  ïðîèçâîëüíûé

q -ïîðÿäîê. Òîãäà π(Cq (U)|π0 ) = π0 .

(6.4.8)

¯ èç Cq (U)|π0 âûïîëÄîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîé ïàðû (i1 , i2 ) èç π0 è ëþáîãî âåêòîðà U ¯ ), à ïîòîìó íåíî âêëþ÷åíèå (i1 , i2 ) ∈ π(U \ (i1 , i2 ) ∈ π(Cq (U)|π ) = π(U¯ ). 0

¯ ∈Sq (U)|π U 0

Ïóñòü òåïåðü (i1 , i2 ) ∈ / π0 . Ïîëîæèì M1 = {i|(i1 , i) ∈ π0 } è M2  äîïîëíåíèå M1 äî {1, . . . , q}.  ñèëó îáùåãî ïðåäïîëîæåíèÿ â ìíîæåñòâå U èìåþòñÿ ýëåìåíòû U1 è U2 òàêèå, ÷òî U1 < U2 . ¯ 0 = (U10 , . . . , Uq0 )  âåêòîð èç Cq (U) òàêîé, ÷òî Ui0 = U1 ïðè i ∈ M1 è Ui0 = U2 Ïóñòü U ïðè i ∈ M2 . Èç ïðåäïîëîæåíèÿ (i1 , i2 ) ∈ / π0 ñëåäóåò, ÷òî i2 ∈ M2 , òàê ÷òî Ui01 = U1 , Ui02 = U2 è â ñèëó U1 < U2 â òàêîì ñëó÷àå âûïîëíåíî (i1 , i2 ) ∈ / π(U¯ 0 ). ¯ 0 ). ßñíî, ÷òî π(U 0 ) = {1, . . . , q}2 − {(i1 , i2 )|i1 ∈ M1 , i2 ∈ Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî π0 ⊆ π(U M2 } = {1, . . . , q}2 − M1 × M2 . Ïóñòü (i01 , i02 ) ∈ / π(U¯ 0 ), ò.å. i01 ∈ M1 è i02 ∈ M2 .  ýòîì ñëó÷àå (i1 , i01 ) ∈ π0 . Åñëè (i02 , i1 ) ∈ π0 , òî èç òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ π0 ñëåäóåò, ÷òî (i02 , i01 ) ∈ π0 , / π0 , òî ïðåäïîëîæåíèå (i01 , i02 ) ∈ π0 âìåñòå ñ (i1 , i01 ) ∈ π0 / π0 . Åñëè æå (i02 , i1 ) ∈ òàê ÷òî (i01 , i02 ) ∈ ïðèâîäèò ê (i1 , i02 ) ∈ π0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âêëþ÷åíèþ i02 ∈ M2 , òàê ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå / π0 . (i01 , i02 ) ∈ / π0 , ÷òî è îçíà÷àåò âûïîëíåíèå âêëþ÷åíèÿ / π(U¯ 0 ) âûòåêàåò (i01 , i02 ) ∈ Èòàê, èç (i01 , i02 ) ∈ 0 0 ¯ ¯ π0 ⊆ π(U ), òàê ÷òî âûïîëíåíî è U ∈ Cq (U)|π0 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé ïàðû (i1 , i2 ), íå âõîäÿùåé â îòíîøåíèå π0 , â ìíîæåñòâå Cq (U)|π0 èìååòñÿ âåêòîð U¯ 0 òàêîé, ÷òî (i1 , i2 ) ∈ / π(U¯ 0 ). Ïîýòîìó [ π(Cq (U)|π0 ) = π(U¯ ) ⊆ π0 . ¯ ∈Sq (U)|π U 0

Ëåììà äîêàçàíà. Ïîëàãàÿ â ëåììå 6.4.1 X = Cq (U)|π0 è èñïîëüçóÿ ëåììó 6.4.2, ïîëó÷àåì äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâà (6.4.5). Ïðè π0 = {(1, 1), (2, 2), . . . , (q, q)} èç (6.4.5) âûòåêàåò ðàâåíñòâî (6.4.3). Ïåðåõîä îò ¾öåëûõ¿ ïðîñòðàíñòâ ìàòðèö ê èõ ïîäïðîñòðàíñòâàì, ðåàëèçîâàííûé â ñëó÷àå çàäà÷ êëàññèôèêàöèè ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ áàç ïîëíûõ äîïóñòèìûõ êàòåãîðèé, äëÿ çàäà÷ ñ îãðàíè÷åíèåì ìîíîòîííîñòè òðåáóåò ðàññìîòðåíèÿ ïîíÿòèÿ π0 -áàç, ââîäèìîãî ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì. Îïðåäåëåíèå 6.4.2. Ïóñòü U  ïðîèçâîëüíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, π0  ïðîèçâîëüíûé q -ïîðÿäîê, X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ Cq (U). Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ π0 -áàçîé, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå p ∪∞ p=0 HomM (Cq (U), Cq (U))(X) ⊇ Cq (U)|π0 .

132

(6.4.9)

Èç ëåììû 6.4.2 âûòåêàåò, ÷òî ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ π0 -áàçîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà π(X) ⊆ π0 . Áîëåå òîãî, èç ýòîé æå ëåììû ñëåäóåò, ÷òî, êàê è â ñëó÷àå çàäà÷ êëàññèôèêàöèè, ñâîéñòâî ¾áûòü áàçîé¿ ñîõðàíÿåòñÿ ïðè îòîáðàæåíèÿõ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà â äðóãîå. ×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ýòî áîëåå òî÷íî, ââåäåì åùå îäíî îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå 6.4.3. Ïóñòü U è V  ïðîèçâîëüíûå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, π0  ïðîèçâîëüíûé q -ïîðÿäîê è X - ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ Cq (U). Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñÿ π0 -áàçîé â Cq (U) äëÿ Cq (V), åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå p ∪∞ p=0 HomM (Cq (U), Cq (V))(X) ⊇ Cq (V)|π0 .

(6.4.10)

Îñíîâíîå óòâåðæäåíèå î π0 -áàçàõ ìîæíî îôîðìèòü â âèäå îòäåëüíîé ëåììû. Ëåììà 6.4.3. Ïóñòü U è V  ïðîèçâîëüíûå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, π0  ïðîèçâîëüíûé q -ïîðÿäîê è X  ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ Cq (U). Ìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ π0 -áàçîé â Cq (U) äëÿ Cq (V) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà X ÿâëÿåòñÿ π0 -áàçîé. Òåïåðü ìû èìååì âîçìîæíîñòü îïèñàòü ñâîéñòâà, êîòîðûìè äîëæíû îáëàäàòü ìîäåëè àëãîðèòìîâ è àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ, à òàêæå ñåìåéñòâà êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé è ðåøàþùèõ ïðàâèë, ïðèãîäíûå äëÿ ðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ àëãåáðàè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé çàäà÷ ñ îãðàíè÷åíèåì ìîíîòîííîñòè. ¯ Îòìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî â ëþáîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ Cq (U) ëþáîé âåêòîð U ¯ )-áàçîé. ÿâëÿåòñÿ îäíîýëåìåíòíîé π(U Îïðåäåëåíèå 6.4.4. Ïóñòü M ⊆ HomM (Cq (I), Cq (e I)), ò.å. M  ìîäåëü ìîíîòîííûõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ. Ìîäåëü M íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî âåêòîðà I¯ èç ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ èíôîðìàöèè Cq (I), îïðåäåëÿþùåãî ðåãóëÿðíóþ çàäà÷ó, âûïîëíåíî ¯. óñëîâèå Cq (e I)|π∗ (I) ¯ ⊆ M(I) Îïðåäåëåíèå 6.4.5. Ïóñòü M0 ⊆ HomM (Cq (I), Cq (R)), ò.å. M0  ìîäåëü ìîíîòîííûõ àëãîðèòìè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ. Ìîäåëü M0 íàçûâàåòñÿ ïîëíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ¯ ÿâëÿåòñÿ π ∗ (I) ¯ -áàçîé â I¯ èç ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ èíôîðìàöèè Cq (I) ìíîæåñòâî M0 (I) ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ îöåíîê Cq (R). p Îïðåäåëåíèå 6.4.6. Ïóñòü F ⊆ ∪∞ p=0 HomM (Cq (R), Cq (R)), ò.å. F  ñåìåéñòâî ìîíîòîííûõ êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèé. Ñåìåéñòâî F íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî q -ïîðÿäêà π0 è ëþáîé π0∗ -áàçû Y â Cq (R) âûïîëíåíî F(X) ⊇ Cq (R)|π0∗ . 1 p e Îïðåäåëåíèå 6.4.7. Ïóñòü M1 ⊆ ∪∞ p=0 HomM (Cq (R), Cq (I)), ò.å. M  ñåìåéñòâî ìîíîòîííûõ ðåøàþùèõ ïðàâèë. Ñåìåéñòâî M1 íàçûâàåòñÿ êîððåêòíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî q -ïîðÿäêà π0 âûïîëíåíî ðàâåíñòâî M1 (Cq (R)|π0∗ ) = Cq (e I)|π0∗ . Ñóòü ââåäåííûõ îïðåäåëåíèé â òîì, ÷òî îíè çàäàþò ýêñòðåìàëüíûå ñâîéñòâà ñåìåéñòâ îòîáðàæåíèé, ïðèãîäíûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ îãðàíè÷åíèåì ìîíîòîííîñòè. Ðàññóæäåíèÿ, ïîäòâåðæäàþùèå ýòîò ôàêò, ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íû ïðîâåäåííûì ðàíåå â ãë. 3.

133

Ëèòåðàòóðà [1] Àéäàðõàíîâ Ì.Á. Ê ðåøåíèþ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ ñ èíôîðìàöèåé, çàäàííîé ïåðå÷èñëåíèåì îáëàñòåé // ÆÂÌ è ÌÔ. 1983. Ò. 23,  3. Ñ. 719-729. [2] Àéçåíáåðã Í.Í., Æóðàâëåâ Þ.È., Ïèëþãèí Ñ.Â. Ïðèìåíåíèå ñâåðòî÷íûõ àëãåáð äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîððåêòíûõ ðàñïîçíàþùèõ àëãîðèòìîâ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1987. Ò. 27,  6. Ñ. 912-923. [3] Àéçåðìàí Ì.À., Áðàâåðìàí Ý.Ì., Ðîçîíîýð Ë.È. Ìåòîä ïîòåíöèàëüíûõ ôóíêöèé â òåîðèè îáó÷åíèÿ ìàøèí. Ì.: Íàóêà,1970. 320 ñ. [4] Àëåêñàíÿí À.À., Æóðàâëåâ Þ.È. Îá îäíîì ïîäõîäå ê ïîñòðîåíèþ ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1985. Ò. 25,  2. Ñ. 283-291. [5] Àìèðãàëèåâ Å.Í., Ìóõàìåäãàëèåâ À.Ô. Îïòèìèçàöèîííàÿ ìîäåëü àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1985. Ò. 25,  11. Ñ. 1733-1737. [6] Àñëàíÿí Ë.À. Àëãîðèòìû ðàñïîçíàâàíèÿ ñ ëîãè÷åñêèìè îòäåëèòåëÿìè // Ñá. ðàáîò ïî ìàòåì. êèáåðíåòèêå.Âûï. 1. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1976. Ñ. 116-131. [7] Àøóðîâ À.Ð., Ðóäàêîâ Ê.Â. Î çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ ñ êîíòèíóàëüíîé íà÷àëüíîé èíôîðìàöèåé. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1983. 21 ñ. [8] Àøóðîâ À.Ð., Ðóäàêîâ Ê.Â. Àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê äëÿ çàäà÷ ñ êîíòèíóàëüíîé íà÷àëüíîé èíôîðìàöèåé // ÆÂÌ è ÌÔ. 1984. Ò. 24,  12. Ñ. 1871-1880. [9] Áàê Õûíã Êõàíã. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ïîëíîòû ëèíåéíûõ çàìûêàíèé àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà. 1978.  4. Ñ. 131-137. [10] Áàñêàêîâà Ë.Â., Æóðàâëåâ Þ.È. Ìîäåëü ðàñïîçíàþùèõ àëãîðèòìîâ ñ ïðåäñòàâèòåëüíûìè íàáîðàìè è ñèñòåìàìè îïîðíûõ ìíîæåñòâ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1981. Ò. 21,  5. Ñ. 1264-1275. [11] Áåëåöêèé Í.Ã. Çàäà÷à êîððåêöèè ïàðàìåòðîâ îáúåêòà â ðàñïîçíàâàíèè îáðàçîâ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1987. Ò. 27,  4. Ñ. 610-616. [12] Áåðåçèíà Â.Â., Ðóäàêîâ Ê.Â. Î ìîäåëÿõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ îäíîé çàäà÷è ìåäèöèíñêîãî ïðîãíîçèðîâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà. 1983.  4. Ñ. 116-119. 134

[13] Áîíãàðä Ì.Ì. Ïðîáëåìà óçíàâàíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1967. 320 ñ. [14] Áóêóð È., Äåëÿíó À. Ââåäåíèå â òåîðèþ êàòåãîðèé è ôóíêòîðîâ. Ì.: Ìèð, 1972. 260 ñ. [15] Áóðáàêè Í. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ. Ì.: Ìèð, 1965. 456 ñ. [16] Âàéíöâàéã Ì.Í. Àëãîðèòì îáó÷åíèÿ ðàñïîçíàâàíèþ îáðàçîâ "Êîðà"// Àëãîðèòìû îáó÷åíèÿ ðàñïîçíàâàíèþ îáðàçîâ. Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1973. Ñ. 82-91. [17] Âàïíèê Â.Í., ×åðâîíåíêèñ À.ß. Òåîðèÿ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ. Ì.: Íàóêà, 1974. 418 ñ. [18] Âàïíèê Â.Í. Âîññòàíîâëåíèå çàâèñèìîñòåé ïî ýìïèðè÷åñêèì äàííûì. Ì.: Íàóêà, 1979. 448 ñ. [19] Âàïíèê Â.Í., ×åðâîíåíêèñ À.ß. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñðåäíèõ ê èõ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè è åå ïðèìåíåíèÿ. 1981. Ò. 26,  3. Ñ. 543-563. [20] Âàïíèê Â.Í. Èíäóêòèâíûå ïðèíöèïû ïîèñêà ýìïèðè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé // Ðàñïîçíàâàíèå, êëàññèôèêàöèÿ, ïðîãíîç. Ì.: Íàóêà, 1989. Ñ. 17-82. [21] Âàðñîíîôüåâ Ä.Â., Èñàåâ È.Â., Êîëüöîâ Ï.Ï. Ïàêåò àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ è êëàññèôèêàöèè (ÏÀÐÊ) â ìîíèòîðíîé ñèñòåìå ÄÓÁÍÀ. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1983. 20 ñ. [22] Âàñèëüåâ Â.È. Êîíñòðóèðîâàíèå ïðîñòðàíñòâà â ïðîöåññå îáó÷åíèÿ ðàñïîçíàâàíèþ îáðàçîâ // Àâòîìàòèêà. Êèåâ: 1982.  5. Ñ. 18-27. [23] Âàñèëüåâ Â.È. Ðàñïîçíàþùèå ñèñòåìû. Êèåâ: Íàóêîâà äóìêà, 1983. 466 ñ. [24] Âàñèëüåâ Â.È. Î ïðîñòîòå ðåøàþùèõ ôóíêöèé â ïðîáëåìå îáó÷åíèÿ ðàñïîçíàâàíèþ îáðàçîâ // Àâòîìàòèêà. Êèåâ: 1984.  2. Ñ. 14-23. [25] Âàñèëüåâ Â.È., Îâñÿíèêîâà Ô.Ï. Îáó÷åíèå ðàñïîçíàâàíèþ îáðàçîâ ñ çàäàííîé íàäåæíîñòüþ // Êèáåðíåòèêà. 1986.  3. Ñ. 50-56. [26] Âåðõàãåí Ê., Äåéí Ð., Ãðóí Ô., Èîñòåí È., Âåðáåê Ï. Ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ. Ïðîáëåìû è ïåðñïåêòèâû. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü. 1985. 104 ñ. [27] Âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû è ìûøëåíèå /Ïîä ðåä. Ý.Ôåéãåíáàóìà è Äæ.Ôåëüäìàíà. Ì.: Ìèð, 1967. 552 ñ. [28] Ãåëüôàíä È.Ì., Ãóáåðìàí Ø.À., Øèôðèí Ì.À. Ïðîãíîçèðîâàíèå è ðàñïîçíàâàíèå â ìåäèöèíñêèõ çàäà÷àõ // Ðàñïîçíàâàíèå, êëàññèôèêàöèÿ, ïðîãíîç. Ì.: Íàóêà, 1989. Ñ. 201-228. 135

[29] Ãëàç À.Á. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ è ñòðóêòóðíàÿ àäàïòàöèÿ ðåøàþùèõ ïðàâèë â çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ. Ðèãà: Çèíàòíå, 1988. 172 ñ. [30] Ãîðåëèê À.Ë. Îáùàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿ îáúåêòîâ è ÿâëåíèé // Êèáåðíåòèêà. 1980.  6. Ñ. 72-75. [31] Ãîðåëèê À.Ë. Î ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿ îáúåêòîâ è ÿâëåíèé // Êèáåðíåòèêà. 1986.  5. Ñ. 103-105. [32] Ãîðåëèê À.Ë. Óïðàâëåíèå ðàáîòîé ýêñïåðòíûõ ñèñòåì ðàñïîçíàâàíèÿ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ: Òåç. äîêë. Âñåñîþçí. êîíô. ×àñòü 6. (Ðèãà, 24-26 îêòÿáðÿ 1989 ã.). Ðèãà:ÌÈÏÊÐÐèÑ ïðè ÑÌ ËàòâÑÑÐ, 1989. Ñ.24-26. [33] Ãîðåëèê À.Ë., Ãóðåâè÷ È.Á., Ñêðèïíèê Â.À. Ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå ïðîáëåìû ðàñïîçíàâàíèÿ. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1984. 160 ñ. [34] Ãîðåëèê À.Ë., Ñêðèïíèê Â.À. Ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1984. 208 ñ. [35] Ãîðåëèê À.Ë., Ýïøòåéí Ñ.Ñ. Îá óñëîâèÿõ àääèòèâíîñòè èíôîðìàöèè â çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà. 1983.  6. Ñ. 85-88. [36] Ãðåíàíäåð Ó. Ëåêöèè ïî òåîðèè îáðàçîâ. Ì.: Ìèð, Ò. 1. 1979. 384 ñ.; Ò. 2. 1981. 448 ñ.; Ò. 3. 1983. 432 ñ. [37] Ãóðåâè÷ È.Á., Æóðàâëåâ Þ.È. Ìèíèìèçàöèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé è ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðàñïîçíàâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà. 1974.  3. Ñ. 16-20. [38] Äìèòðèåâ À.È., Æóðàâëåâ Þ.È., Êðåíäåëåâ Ô.Ï. Î ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðèíöèïàõ êëàññèôèêàöèè ïðåäìåòîâ èëè ÿâëåíèé // Äèñêðåòíûé àíàëèç. Âûï. 7. Íîâîñèáèðñê, 1966. Ñ. 3-17. [39] Äìèòðèåâ À.È., Æóðàâëåâ Þ.È., Êðåíäåëåâ Ô.Ï. Îá îäíîì ïðèíöèïå êëàññèôèêàöèè è ïðîãíîçà ãåîëîãè÷åñêèõ îáúåêòîâ è ÿâëåíèé // Èçâåñòèÿ Ñèá.îòä. ÀÍ ÑÑÑÐ, Ãåîëîãèÿ è ãåîôèçèêà. 1968. Ò. 5. Ñ. 50-64. [40] Äîíñêîé Â.È. Àëãîðèòìû îáó÷åíèÿ, îñíîâàííûå íà ïîñòðîåíèè ðåøàþùèõ äåðåâüåâ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1982. Ò. 22,  4. Ñ. 963-974. [41] Äîíñêîé Â.È. Ñëàáîîïðåäåëåííûå çàäà÷è ëèíåéíîãî áóëåâà ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ ÷àñòè÷íî çàäàííûì ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ ðåøåíèé // ÆÂÌ è ÌÔ. 1988. Ò. 28,  9. Ñ. 1379-1385. [42] Äîíñêîé Â.È. Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ, ïîðîæäåííûå ðàñïðåäåëåíèåì ïàðíûõ îöåíîê áëèçîñòè, è êëàññèôèêàöèÿ íà èõ îñíîâå // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ: Òåç. äîêë. Âñåñîþçí. êîíô. (Äèëèæàí, 16-21 ìàÿ 1985 ã.). Åðåâàí: Èçä-âî ÀÍ ÀðìÑÑÐ, 1985. Ñ. 61-63. 136

[43] Äóäà Ð., Õàðò Ï. Ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ è àíàëèç ñöåí. Ì.: Ìèð, 1976. 511 ñ. [44] Äþêîâà Å.Â. Îá àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíîì àëãîðèòìå ïîñòðîåíèÿ òóïèêîâûõ òåñòîâ // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1977. Ò. 233,  4. Ñ. 527-530. [45] Äþêîâà Å.Â. Îá àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíîì àëãîðèòìå ïîñòðîåíèÿ òóïèêîâûõ òåñòîâ äëÿ áèíàðíûõ òàáëèö // Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè. Âûï. 34. Ì.: Íàóêà, 1978. Ñ. 169-186. [46] Äþêîâà Å.Â. Àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíûå òåñòîâûå àëãîðèòìû â çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ // Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè. Âûï. 39. Ì.: Íàóêà, 1982. Ñ. 165-199. [47] Äþêîâà Å.Â. Î ñëîæíîñòè ðåàëèçàöèè íåêîòîðûõ ïðîöåäóð ðàñïîçíàâàíèÿ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1987. Ò. 27,  1. Ñ. 114-127. [48] Äþêîâà Å.Â., Ðÿçàíîâ Â.Â. Î ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ àëãîðèòìàìè ðàñïîçíàâàíèÿ, îñíîâàííûìè íà ïðèíöèïå ãîëîñîâàíèÿ. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1986. 26 ñ. [49] Æóðàâëåâ Þ.È., Íèêèôîðîâ Â.Â. Àëãîðèòìû ðàñïîçíàâàíèÿ, îñíîâàííûå íà âû÷èñëåíèè îöåíîê // Êèáåðíåòèêà. 1971.  3. Ñ. 1-11. [50] Æóðàâëåâ Þ.È., Êàìèëîâ Ì.Ì., Òóëÿãàíîâ Ø.Å. Àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ îöåíîê è èõ ïðèìåíåíèå. Òàøêåíò: ÔÀÍ, 1974.119 ñ. [51] Æóðàâëåâ Þ.È., Ìèðîøíèê Ñ.Í., Øâàðòèí Ñ.Ì. Îá îäíîì ïîäõîäå ê îïòèìèçàöèè â êëàññå ïàðàìåòðè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1976. Ò. 16,  1. Ñ. 209-218. [52] Æóðàâëåâ Þ.È. Ýêñòðåìàëüíûå àëãîðèòìû â ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ äëÿ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ è êëàññèôèêàöèè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1976. Ò. 231,  3. Ñ. 532-535. [53] Æóðàâëåâ Þ.È. Íåïàðàìåòðè÷åñêèå çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ // Êèáåðíåòèêà. 1976.  6. Ñ. 93-103. [54] Æóðàâëåâ Þ.È. Êîððåêòíûå àëãåáðû íàä ìíîæåñòâàìè íåêîððåêòíûõ (ýâðèñòè÷åñêèõ) àëãîðèòìîâ. I // Êèáåðíåòèêà. 1977.  4. Ñ. 5-17. [55] Æóðàâëåâ Þ.È. Êîððåêòíûå àëãåáðû íàä ìíîæåñòâàìè íåêîððåêòíûõ (ýâðèñòè÷åñêèõ) àëãîðèòìîâ. II // Êèáåðíåòèêà. 1977.  6. Ñ. 21-27. [56] Æóðàâëåâ Þ.È. Êîððåêòíûå àëãåáðû íàä ìíîæåñòâàìè íåêîððåêòíûõ (ýâðèñòè÷åñêèõ) àëãîðèòìîâ. III // Êèáåðíåòèêà. 1978.  2. Ñ. 35-43. [57] Æóðàâëåâ Þ.È. Îá àëãåáðàè÷åñêîì ïîäõîäå ê ðåøåíèþ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ èëè êëàññèèêàöèè // Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè. Âûï. 33. Ì.: Íàóêà, 1978. Ñ. 5-68.

137

[58] Æóðàâëåâ Þ.È., Çåíêèí À.À., Çåíêèí À.È., Èñàåâ È.Â., Êîëüöîâ Ï.Ï., Êî÷åòêîâ Ä.Â., Ðÿçàíîâ Â.Â. Çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿ èëè êëàññèôèêàöèè ñî ñòàíäàðòíîé îáó÷àþùåé èíôîðìàöèåé // ÆÂÌ è ÌÔ. 1980. Ò. 20,  5. Ñ. 1294-1309. [59] Æóðàâëåâ Þ.È., Èñàåâ È.Â. Ïîñòðîåíèå àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ, êîððåêòíûõ äëÿ äàííîé êîíòðîëüíîé âûáîðêè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1979. Ò. 19,  3. Ñ. 726-738. [60] Æóðàâëåâ Þ.È., Êîãàí À.Þ. Ðåàëèçàöèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé ñ ìàëûì ÷èñëîì íóëåé äèçúþíêòèâíûìè íîðìàëüíûìè ôîðìàìè è ñìåæíûå çàäà÷è // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1985. Ò. 285,  4. Ñ. 795-799. [61] Æóðàâëåâ Þ.È., Ðóäàêîâ Ê.Â. Îá àëãåáðàè÷åñêîé êîððåêöèè ïðîöåäóð îáðàáîòêè (ïðåîáðàçîâàíèÿ) èíôîðìàöèè // Ïðîáëåìû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè. Ì.: Íàóêà, 1987. Ñ. 187-198. [62] Æóðàâëåâ Þ.È., Ñåðãèåíêî È.Â., Àðòåìåíêî Â.È., ×åðíÿêîâà À.Ì. Âîïðîñû ïðèìåíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ ïðè àâòîìàòèçèðîâàííîì âûáîðå àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ â ïàêåòàõ ïðîãðàìì // Êèáåðíåòèêà. 1986.  3. Ñ. 11-17. [63] Çàãîðóéêî Í.Ã. Ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1972. 119 ñ. [64] Çàãîðóéêî Í.Ã. Êëàññèôèêàöèÿ çàäà÷ ïðîãíîçèðîâàíèÿ íà òàáëèöàõ ¾îáúåêò-ñâîéñòâî¿ // Âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû. Íîâîñèáèðñê: 1981.  88. Ñ. 3-7. [65] Çàãîðóéêî Í.Ã., Åëêèíà Â.Í., Ëáîâ Ã.Ñ. Àëãîðèòìû îáíàðóæåíèÿ ýìïèðè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1985. 110 ñ. [66] Çàäîðîæíûé Â.Â. Îäèí ñïîñîá ñèíòåçà êîððåêòíîãî àëãîðèòìà ðàñïîçíàâàíèÿ äëÿ çàäàííîé êîíòðîëüíîé âûáîðêè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1986. Ò. 26,  10. Ñ. 1159-1166. [67] Çàäîðîæíûé Â.Â. Ïðèâåäåíèå èñõîäíîé èíôîðìàöèè ê ñòàíäàðòíîìó âèäó â çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ ìåòîäîì âåêòîðà ñïàäà // Êèáåðíåòèêà. 1987.  4. Ñ. 82-87. [68] Çàäîðîæíûé Â.Â. Àíàëèç èñõîäíîé èíôîðìàöèè â çàäà÷àõ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ // ÄÀÍ ÓÑÑÐ, ñåðèÿ À. 1988.  1. Ñ. 73-75. [69] Çóåâ Þ.À. Ìåòîä ïîâûøåíèÿ íàäåæíîñòè êëàññèôèêàöèè ïðè íàëè÷èè íåñêîëüêèõ êëàññèôèêàòîðîâ, îñíîâàííûé íà ïðèíöèïå ìîíîòîííîñòè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1981. Ò. 21,  1. Ñ. 157-167. [70] Çóåâ Þ.À. Âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü êîìèòåòà êëàññèôèêàòîðîâ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1986. Ò. 26,  2. Ñ. 276-292. [71] Çóåâ Þ.À. Î ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé áîëüøèíñòâîì ãîëîñîâ â çàäà÷àõ êëàññèôèêàöèè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1986. Ò. 288,  2. Ñ. 320-322. 138

[72] Èâàõíåíêî À.Ã. Èíäóêòèâíûé ìåòîä ñàìîîðãàíèçàöèè ñëîæíûõ ñèñòåì. Êèåâ: Íàóêîâà äóìêà, 1982. 296 ñ. [73] Èñàåâ È.Â. Çàäà÷à ñèíòåçà êîððåêòíîãî àëãîðèòìà ðàñïîçíàâàíèÿ êàê çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ìèíèìàëüíîãî ïîêðûòèÿ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1983. Ò. 23, 2. Ñ. 467-476. [74] Èñàåâ È.Â. Ñèíòåç àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ è êëàññèôèêàöèè ìåòîäîì ïîêðûòèé // ÆÂÌ è ÌÔ. 1984. Ò. 24,  9. Ñ. 1392-1417. [75] Èöêîâ À.Ã. Î åìêîñòè ìîäåëè ðàñïîçíàþùèõ àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê // ÆÂÌ è ÌÔ. 1982. Ò. 22,  4. Ñ. 975-977. [76] Êàòåðèíî÷êèíà Í.Í. Ïîèñê ìàêñèìàëüíîãî âåðõíåãî íóëÿ ìîíîòîííîé ôóíêöèè àëãåáðû ëîãèêè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1975. Ò. 224,  3. Ñ. 557-560. [77] Êàòåðèíî÷êèíà Í.Í. Ïîèñê ìàêñèìàëüíîãî âåðõíåãî íóëÿ äëÿ îäíîãî êëàññà ìîíîòîííûõ ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1981. Ò. 21,  2. Ñ. 470-481. [78] Êàøêåâè÷ Ñ.È., Êðàñíîïðîøèí Â.Â. Äâóõóðîâíåâûé àâòîìàòèçèðîâàííûé ðàñïîçíàþùèé êîìïëåêñ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1979. Ò. 19,  6. Ñ. 1577-1587. [79] Êàøêåâè÷ Ñ.È., Êðàñíîïðîøèí Â.Â. Îá óñòîé÷èâîñòè îäíîé ìîäåëè àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1983. Ò. 23,  1. Ñ. 191-197. [80] Êîëüöîâ Ï.Ï. Ðàñïîçíàþùèå ñèñòåìû ñ ïåðåîáó÷åíèåì. // Ñá. ðàáîò ïî ìàòåì. êèáåðíåòèêå. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1981. Ñ. 34-47. [81] Êîëüöîâ Ï.Ï. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè êëàññèôèêàöèè áîëüøèõ îáúåìîâ èíôîðìàöèè. Ì.: ÌÝÈ, 1984. 88 ñ. [82] Êîíäðàòüåâ À.È. Àëãîðèòìû ñ ïàìÿòüþ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ âû÷èñëåíèÿ ñâîéñòâ // Êèáåðíåòèêà. 1988.  1. Ñ. 99-106. [83] Êîíäðàòüåâ À.È. Êîíòèíóàëüíûå ñòðàòåãè÷åñêèå ìîäåëè // Êèáåðíåòèêà. 1988.  3. Ñ. 89-96. [84] Êî÷åòêîâ Ä.Â. Î ôóíêöèÿõ áëèçîñòè. Ì.:ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1978. 30 ñ. [85] Êî÷åòêîâ Ä.Â. Èíâàðèàíòíûå ðåøàþùèå ôóíêöèè. Îáùèé âèä è óñëîâèÿ êîððåêòíîñòè. Ì.:ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1987. 47 ñ. [86] Êî÷åòêîâ Ä.Â. Ðàñïîçíàþùèå àëãîðèòìû, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ïðîñòðàíñòâà ïðèçíàêîâ (I) // Ðàñïîçíàâàíèå, êëàññèôèêàöèÿ, ïðîãíîç. Ì.: Íàóêà, 1989. Ñ. 82-113. [87] Êî÷åòêîâ Ä.Â. Ðàñïîçíàþùèå àëãîðèòìû, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ïðîñòðàíñòâà ïðèçíàêîâ (II) // Ðàñïîçíàâàíèå, êëàññèôèêàöèÿ, ïðîãíîç. Ì.:Íàóêà, 1989. Ñ. 178-206. 139

[88] Êî÷åòêîâ Ä.Â. Îá èíâàðèàíòíûõ ðàñïîçíàþùèõ àëãîðèòìàõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì íåèçáûòî÷íîñòè è ìîíîòîííîñòè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1989. Ò. 29, 10. Ñ. 1206-1211. [89] Êðàñíîïðîøèí Â.Â. Îá îïòèìàëüíîì êîððåêòîðå ñîâîêóïíîñòè àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1979. Ò. 19,  1. Ñ. 204-214. [90] Êðàñíîïðîøèí Â.Â. Äâóõóðîâíåâûå ìîäåëè àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1985. Ò. 25,  10. Ñ. 1534-1546. [91] Êóêóëèåâ Á.Ì. Ê îöåíêå ïðîãíîçèðóþùåé ñïîñîáíîñòè àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ. Äèññ. êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. Ì.: 1989. 90 ñ. [92] Êóêóëèåâ Á.Ì., Ìàòðîñîâ Â.Ë. Îöåíêà ïðîãíîçèðóþùåé ñïîñîáíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è îáó÷åíèÿ ðàñïîçíàâàíèþ îáðàçîâ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ: Òåç. äîêë. Âñåñîþçí. êîíô. (Ðèãà, 24-26 îêòÿáðÿ 1989 ã.). Ðèãà: ÌÈÏÊÐÐèÑ ïðè ÑÌ ËàòâÑÑÐ, 1989. Ñ. 43-45. [93] Ëáîâ Ã.Ñ. Ìåòîäû îáðàáîòêè ðàçíîòèïíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1981. 160 ñ. [94] Ëáîâ Ã.Ñ. Î ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøàþùèõ ïðàâèë ðàñïîçíàâàíèÿ // Ìàò. ñòàòèñòèêà è åå ïðèëîæåíèÿ. Òîìñê:1981.  7. Ñ. 114-128. [95] Ëåíã Ñ. Àëãåáðà. Ì.: Ìèð, 1968. 564 ñ. [96] Ëèïêèí Ë.È. Ñòàòèñòè÷åñêèå çàäà÷è ðàñïîçíàâàíèÿ è àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1985. 25 ñ. [97] Ìàçóðîâ Â.Ä. Î ïîñòðîåíèè êîìèòåòà ñèñòåìû âûïóêëûõ íåðàâåíñòâ // Êèáåðíåòèêà. 1967.  2. Ñ. 56-59. [98] Ìàçóðîâ Â.Ä. Îá îäíîì ìåòîäå îáó÷åíèÿ óçíàâàíèþ // Êèáåðíåòèêà. 1970.  2. Ñ. 92-94. [99] Ìàçóðîâ Â.Ä. Êîìèòåòû ñèñòåì íåðàâåíñòâ è çàäà÷à ðàñïîçíàâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà. 1971.  3. Ñ. 140-146. [100] Ìàçóðîâ Â.Ä., Êàçàíöåâ Â.Ñ., Áåëåöêèé Í.Ã. è äð. Ïàêåò ÊÂÀÇÀÐ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ (âåðñèÿ 2). Ñâåðäëîâñê: ÓÍÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1979. 121 ñ. [101] Ìàçóðîâ Â.Ä., Êàçàíöåâ Â.Ñ., Ñà÷êîâ Í.Î. è äð. Êîìèòåòû â ïðèíÿòèè ðåøåíèé // Êèáåðíåòèêà. 1984.  1. Ñ. 90-96. [102] Ìàçóðîâ Â.Ä., Êàçàíöåâ Â.Ñ., Áåëåöêèé Í.Ã., Êðèâîíîãîâ À.È., Ñìèðíîâ À.È. Âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ è ïðèìåíåíèÿ êîìèòåòíûõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // Ðàñïîçíàâàíèå, êëàññèôèêàöèÿ, ïðîãíîç. Ì.: Íàóêà, 1989. Ñ. 114-148. 140

[103] Ìàòðîñîâ Â.Ë. Êîððåêòíûå àëãåáðû îãðàíè÷åííîé åìêîñòè íàä ìíîæåñòâàìè íåêîððåêòíûõ àëãîðèòìîâ // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1980. Ò. 253,  1. Ñ. 25-30. [104] Ìàòðîñîâ Â.Ë. Î êðèòåðèÿõ ïîëíîòû ìîäåëè àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê è åå àëãåáðàè÷åñêèõ çàìûêàíèé // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1981. Ò. 258,  4. Ñ. 791-796. [105] Ìàòðîñîâ Â.Ë. Êîððåêòíûå àëãåáðû îãðàíè÷åííîé åìêîñòè íàä ìíîæåñòâîì àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê // ÆÂÌ è ÌÔ. 1981. Ò. 21,  5. Ñ. 1276-1291. [106] Ìàòðîñîâ Â.Ë. Îïòèìàëüíûå àëãîðèòìû â àëãåáðàè÷åñêèõ çàìûêàíèÿõ îïåðàòîðîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1982. Ò. 262,  4. Ñ. 818-822. [107] Ìàòðîñîâ Â.Ë. Åìêîñòü àëãåáðàè÷åñêèõ ðàñøèðåíèé ìîäåëè àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê // ÆÂÌ è ÌÔ. 1984. Ò. 24,  11. Ñ. 1719-1730. [108] Ìàòðîñîâ Â.Ë. Íèæíèå îöåíêè åìêîñòè ìíîãîìåðíûõ àëãåáð àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê // ÆÂÌ è ÌÔ. 1984. Ò. 24,  12. Ñ. 1881-1892. [109] Ìàòðîñîâ Â.Ë. Åìêîñòü ïîëèíîìèàëüíûõ ðàñøèðåíèé ìíîæåñòâà àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê // ÆÂÌ è ÌÔ. 1985. Ò.25,  1. Ñ. 122-133. [110] Ìàòðîñîâ Â.Ë. Ñèíòåç îïòèìàëüíûõ àëãîðèòìîâ â àëãåáðàè÷åñêèõ çàìûêàíèÿõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // Ðàñïîçíàâàíèå, êëàññèôèêàöèÿ, ïðîãíîç. Ì.: Íàóêà, 1989. Ñ.149-176. [111] Ìåòîä êîìèòåòîâ â ðàñïîçíàâàíèè îáðàçîâ. Ñâåðäëîâñê: ÈÌÌ ÓÍÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1984. 165 ñ. [112] Ìèíñêèé Ì., Ïåéïåðò Ñ. Ïåðñåïòðîíû. Ì.:Ìèð, 1971.262 ñ. [113] Ìèðîøíèê Ñ.Í. Àëãîðèòìû ðàñïîçíàâàíèÿ ñ íåïðåðûâíîé ìåòðèêîé // Êèáåðíåòèêà. 1972.  2. Ñ. 54-63. [114] Ìóõàìåäãàëèåâ À.Ô. Ïîñòðîåíèå êîððåêòíîãî àëãîðèòìà òàêñîíîìèè â ðàñèðåíèÿõ îäíîãî êëàññà àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // ÆÂÌ è ÌÔ. 1983. Ò.23,  1. Ñ. 184-190. [115] Íåìèðêî À.Ï. Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà áèîëîãè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. Ì.: Íàóêà, 1984. 311 ñ. [116] Íèëüñîí Í. Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò. Ìåòîäû ïîèñêà ðåøåíèé. Ì.: Ìèð, 1973. 272 ñ. [117] Ïàòðèê Ý. Îñíîâû òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1980. 408 ñ. [118] Ïëàòîíåíêî È.Ì. Î ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ òèïà "Êîðà"ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ ñèñòåì áóëåâûõ óðàâíåíèé ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1983. 21 ñ. [119] Ïëîõîíèíà Ò.Â. Î íåêîððåêòíîñòè àëãåáðàè÷åñêîãî çàìûêàíèÿ âòîðîé ñòåïåíè ñåìåéñòâà àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê // ÆÂÌ è ÌÔ. 1985. Ò. 25,  7. Ñ. 1073-1086. 141

[120] Ïîãîñÿí Ý.Ì. Îáó÷åíèå êàê ðàçíîâèäíîñòü èíäóêòèâíîãî âûâîäà // Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà. 1978.  3. Ñ. 112-123. [121] Ïîãîñÿí Ý.Ì. Àäàïòàöèÿ êîìáèíàòîðíûõ àëãîðèòìîâ. Åðåâàí: ÀÍ ÀðìÑÑÐ, 1983. 288 ñ. [122] Ðàñòðèãèí Ë.À., Ýðåíøòåéí Ð.Õ. Êîëëåêòèâíûå ïðàâèëà ðàñïîçíàâàíèÿ. Ì.: Ýíåðãèÿ, 1981. 244 ñ. [123] Ðàóäèñ Ø.Þ. Èíôîðìàöèîííûé àíàëèç ìàøèííîãî îáíàðóæåíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé (íà ïðèìåðå çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ) // Âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû. Íîâîñèáèðñê: 1981.  88. Ñ. 44-55. [124] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î ÷èñëå ãèïåðïëîñêîñòåé, ðàçäåëÿþùèõ êîíå÷íûå ìíîæåñòâà â ýâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1976. Ò. 231,  6. Ñ. 1296-1299. [125] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î êîððåêòíîñòè àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ òèïà ïîòåíöèàëüíûõ ôóíêöèé // ÆÂÌ è ÌÔ. 1980. Ò. 20,  3. Ñ. 737-744. [126] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î íåêîòîðûõ êëàññàõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ (îáùèå ðåçóëüòàòû). Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1980. 66 ñ. [127] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î íåêîòîðûõ êëàññàõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ (ïàðàìåòðè÷åñêèå ìîäåëè). Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1981. 48 ñ. [128] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î êëàññàõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ èçîáðàæåíèé // Àâòîìàòèçàöèÿ îáðàáîòêè ñëîæíîé ãàðôè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Ãîðüêèé: Ãîðüêîâñêèé ãîñ. óíèâåðñèòåò èì. Í.È.Ëîáà÷åâñêîãî, 1984. Ñ. 22-33. [129] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î êîððåêòèðóþùèõ îïåðàöèÿõ äëÿ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ // Ïðîáëåìû èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà è ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ: Òåç. äîêë. è ñîîáù. íàó÷í. êîíô. ñ ó÷àñòèåì ó÷åíûõ èç ñîöèàëèñòè÷åñêèõ ñòðàí (Êèåâ, 13-18 ìàÿ 1984 ã.). Ñåêöèÿ II: Ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ. Êèåâ: Èí-ò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì.Ãëóøêîâà ÀÍ ÓÑÑÐ, 1984. Ñ. 119-121. [130] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î ïîëèíîìèàëüíûõ ðàñøèðåíèÿõ íåêîòîðûõ ñåìåéñòâ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ: Òåç. äîêë. Âñåñîþçí. êîíô. (Äèëèæàí, 16-21 ìàÿ 1985 ã.). Åðåâàí: Èçä-âî ÀÍ ÀðìÑÑÐ, 1985. Ñ. 164-166. [131] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î íåêîòîðûõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèÿõ äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1986. Ò. 26,  11. Ñ. 1719-1729. [132] Ðóäàêîâ Ê.Â. Îá îñíîâíûõ ïîíÿòèÿõ àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè (ñîîòíîøåíèå ðàçðåøèìîñòè è ïîëíîòû) // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ: Òåç. äîêë. Âñåñîþçí. êîíô. (Ëüâîâ, 10-12 íîÿáðÿ 1987 ã.). Ëüâîâ: ÔÌÈ èì. Ã.Â.Êàðïåíêî ÀÍ ÓÑÑÐ, 1987. Ñ. 17-18. 142

[133] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î ñèììåòðè÷åñêèõ è ôóíêöèîíàëüíûõ îãðàíè÷åíèÿõ äëÿ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1987.Ò. 297,  1. Ñ. 43-46. [134] Ðóäàêîâ Ê.Â. Óíèâåðñàëüíûå è ëîêàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ â ïðîáëåìå êîððåêöèè ýâðèñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ // Êèáåðíåòèêà. 1987.  2. Ñ. 30-35. [135] Ðóäàêîâ Ê.Â. Ïîëíîòà è óíèâåðñàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ â ïðîáëåìå êîððåêöèè ýâðèñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè // Êèáåðíåòèêà. 1987.  3. Ñ. 106-109. [136] Ðóäàêîâ Ê.Â. Ñèììåòðè÷åñêèå è ôóíêöèîíàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ â ïðîáëåìå êîððåêöèè ýâðèñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè // Êèáåðíåòèêà. 1987.  4. Ñ. 73-77. [137] Ðóäàêîâ Ê.Â. Î ïðèìåíåíèè óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé ïðè èññëåäîâàíèè àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè // Êèáåðíåòèêà. 1988.  1. Ñ. 1-5. [138] Ðóäàêîâ Ê.Â., Òðîôèìîâ Ñ.Â. Àëãîðèòì ñèíòåçà êîððåêòíûõ ïðîöåäóð ðàñïîçíàâàíèÿ äëÿ çàäà÷ ñ íåïåðåñåêàþùèìèñÿ êëàññàìè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1988. Ò. 28,  9. Ñ. 1431-1434. [139] Ðóäàêîâ Ê.Â. Îá àëãåáðàè÷åñêîé òåîðèè óíèâåðñàëüíûõ è ëîêàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ êëàññèôèêàöèè // Ðàñïîçíàâàíèå, êëàññèôèêàöèÿ, ïðîãíîç. Ì.: Íàóêà, 1989. Ñ. 176-201. [140] Ðóäàêîâ Ê.Â. Îá îñîáåííîñòÿõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ çàäà÷ ïðîãíîçèðîâàíèÿ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ: Òåç. äîêë. Âñåñîþçí. êîíô. (Ðèãà, 24-26 îêòÿáðÿ 1989 ã.).Ðèãà:ÌÈÏÊÐÐèÑ ïðè ÑÌ ËàòâÑÑÐ, 1989. Ñ.73-75. [141] Ðÿçàíîâ Â.Â. Îïòèìèçàöèÿ àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ îöåíîê ïî ïàðàìåòðàì, õàðàêòåðèçóþùèì ïðåäñòàâèòåëüíîñòü ýòàëîííûõ ñòðîê // ÆÂÌ è ÌÔ. 1976. Ò. 16,  6. Ñ. 1559-1570. [142] Ðÿçàíîâ Â.Â. Êîìèòåòíûé ñèíòåç àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ è êëàññèôèêàöèè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1981. Ò. 21,  6. Ñ. 1533-1543. [143] Ðÿçàíîâ Â.Â. Î ñèíòåçå êëàññèôèöèðóþùèõ àëãîðèòìîâ íà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè (òàêñîíîìèè) // ÆÂÌ è ÌÔ. 1982. Ò. 22,  2. Ñ. 429440. [144] Ðÿçàíîâ Â.Â. Î ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíûõ àëãîðèòìîâ ðàñïîçíàâàíèÿ è òàêñîíîìèè (êëàññèôèêàöèè) ïðè ðåøåíèè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ // Ðàñïîçíàâàíèå, êëàññèôèêàöèÿ, ïðîãíîç. Ì.: Íàóêà, 1989. Ñ. 229-279. [145] Ñàìûëîâñêèé À.È. Îïòèìèçàöèÿ ïîäàëãîðèòìîâ îäíîãî îïòèìàëüíîãî àëãîðèòìà ðàñïîçíàâàíèÿ // Àýðîôèçèêà è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. Ì.: 1981. Ñ. 115-117. [146] Ñåáàñòüÿí Ã.Ñ. Ïðîöåññû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè ðàñïîçíàâàíèè îáðàçîâ. Êèåâ: Òåõíèêà, 1965. 151 ñ. 143

[147] Òðîôèìîâ Ñ.Â. Îïòèìèçàöèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ â àëãîðèòìàõ ðàñïîçíàâàíèÿ ñ ïðåäñòàâèòåëüíûìè íàáîðàìè // ÆÂÌ è ÌÔ. 1987. Ò. 27, 8. C. 1266-1271. [148] Òðîôèìîâ Ñ.Â. Èññëåäîâàíèå ñïåöèàëüíûõ óíèâåðñàëüíûõ îãðàíè÷åíèé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ ñ íåïåðñåêàþùèìèñÿ êëàññàìè. Ì.: ÂÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1988. 18 ñ. [149] Òó Äæ., Ãîíñàëåñ Ð. Ïðèíöèïû ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ. Ì.: Ìèð. 1978. 416 ñ. [150] ×åãèñ È.À., ßáëîíñêèé Ñ.Â. Ëîãè÷åñêèå ñïîñîáû êîíòðîëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì // Òðóäû Ìàòåì. èí-òà èì. Â.À.Ñòåêëîâà ÀÍ ÑÑÑÐ. 1958. Ò. 51. Ñ. 270-360. [151] Alvo M. Sequantial estimation of a truncation parameter // J. Amer. Statist. Assoc. 1978. V. 73,  362. P. 404-407. [152] Alvo M., Cabilio P. Bayesian estimation of the difference between two proportions // Can. J. Statist. 1982. V. 10,  2. P. 139-145. [153] Devijver P.A. A note on ties in voting with the k-NN rule // Pattern Recogn. 1978. V. 10,  4. P. 297-298. [154] Devijver P.A. Nonparametric estimation of feature evaluation criteria // Pattern Recogn. and Signal Process. 1978. P. 61-82. [155] Devijver P.A. New error bounds with the nearest neighbor rule // IEEE Trans. Inform. Theory. 1979. V. 25,  6. P. 749-753. [156] Dubes R.C., Panayirci E. Pattern recognition with countinious parameter observable Markovchains // IEEE Trans. Syst. Man. and Cybern. 1978. V. 8,  8. [157] Greblicki W. Learning to recognize patterns with a probablistic teacher // Pattern Recogn. 1980. V. 12,  3. P. 159-164. [158] Jain A.K., Waller W.G. On the optimal number of features in the classification of multivariate Gaussian data // Pattern Recogn. 1978. V. 10,  5-6. P. 365-374. [159] Kittler I. Feature set search algoritms // Pattern Recogn. and Signal Process. 1978. P. 41-60. [160] Kurzynski M.W., Zolniezek A. A recursive classifying decision rule for sercond-order Markovchains // Contr. and Cybern. 1980. V. 9,  3. P. 141-147. [161] Mizoguchi R., Shimura M. A nonparametric algorithm for detecting clusters using hierarchical structure // IEEE Trans. Pattern. Anal. and Mach. Intel. 1980. V. 2,  4. P. 292-300. [162] Pavel M. Sceletal categories // Pattern Recogn. 1979. V. 11,  5-6. P. 325-327. 144

[163] Pavel M. Algebraic, topological and cathegorial aspects of pattern recognition: a survey // Pattern Recogn. 1981. V. 14,  1-6. P. 117-120.

145