Изучение стоячих волн в струне. Методические указания к лабораторной работе

Министерство Образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания к лабораторной работе ИЗУЧЕНИЕ СТОЯЧИХ ВОЛН В СТРУНЕ

г. Ростов-на-Дону 2003 г.

2

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета РГУ, протокол №

от

2003 г.

Методические указания составили: Хасабов А.Г. – доцент кафедры общей физики Кузнецов В.Г. – доцент кафедры общей физики Герасимов С.А. – доцент кафедры общей физики Крыштоп В.Г. – доцент кафедры общей физики Турик А.В. – профессор кафедры физики полупроводников

3

ОСНОВЫ ТЕОРИИ Возбудить поперечную волну в струне нетрудно. Это происходит, например, в пианино, когда молоточек, связанный с клавишей, ударяет по натянутой струне. Возникающее колебание начнет перемещаться от данной точки в двух противоположных направлениях, образуя две бегущие волны. Распространение бегущей волны описывается волновым уравнением 1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ = 2 (1) ∂z V 2 ∂t 2 Ось z направлена вдоль струны, ψ - смещение точки из положения равновесия в перпендикулярном струне направлении, t- время, V- скорость распространения волны (фазовая скорость). Доказывается (см. приложение), что фазовая скорость волны зависит от силы натяжения T и линейной плотности ρ (массы единицы длины) струны: V =

T

.

(2)

ρ Поскольку струна имеет конечную длину и закреплена на концах, то бегущие волны будут отражаться от ее концов, причем фазы и амплитуды отраженных волн зависят от положения и способа закрепления концов. Отраженные и бегущие волны будут интерферировать. Чтобы наблюдать стационарную картину, в работе используются вынужденные колебания струны, вызываемые внешней гармонической силой. При определенных условиях имеет место резонанс струны, то есть в ней возникают стоячие волны. Рассмотрим эти условия для струны длиной L , пренебрегая затуханием волн. Уравнение бегущей волны, распространяющейся от начала координат вдоль оси z будет (3) ψ 1 = A cos( ω t − kz ) , Волновое число (4) k = 2π / λ , где λ - длина волны. Круговая частота ω = 2πν (ν − частота в Гц). При отражении от закрепленного конца струны фаза волны меняется на . Таким образом, для отраженной волны (5) ψ = − A cos( ω t + k ( z − 2 L )) ,

π

2

В результате интерференции

ψ = ψ 1 + ψ 2 = − 2 A sin( k ( L − z )) sin( ω t + kL ) .

Места, в которых амплитуда смещения точек

(6)

равна 2 A sin( k ( L − z )) нулю, называются узлами стоячей волны. Места, где она наибольшая (и

4

равна 2A) называются пучностями. Условием образования стоячих волн в струне, закрепленной с обоих концов, будет необходимость создания узлов на концах струны. Для z=L это условие выполняется автоматически, при z=0 необходимо, чтобы sin (kL)=0 или kL=n π . То есть резонанс будет наступать при условии, что на длине струны укладывается целое число полуволн L=n

λ

2

, где n=1, 2,3, …

(7)

(см. рис. 1).

Рис. 1 Так как

λ =V /ν , то резонансными частотами будут ν=

V n , где n=1, 2, 3,…. 2L

(8)

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ Установка состоит из двух частей: генератора гармонических колебаний и объекта исследования. Генератор снабжен усилителем мощности и частотомером. На его передней панели размещены ручки:

5

- ЧАСТОТА ГРУБО и ЧАСТОТА ТОЧНО – для установки частоты генератора; УРОВЕНЬ – для регулировки амплитуды выходного напряжения генератора, а также цифровое табло частотомера. Кнопка СЕТЬ (сетевой выключатель) расположена на задней панели. Объект исследования представляет собой жесткое основание, на котором закреплены постоянные магниты, между полюсами которых натянута струна, и специального механизма регулировки силы натяжения струны (тарировочная пружина). Силу натяжения в ньютонах показывает специальный указатель. Измерение длины стоячих волн, образующихся на струне, производится по миллиметровой шкале, нанесенной на прозрачный кожух, прикрывающий струну. Для облегчения наблюдения за струной за ней размещена лампа подсветки. Выключатель блока питания лампы расположен на задней панели (кнопка СЕТЬ). ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Подключите объект исследования к сети 220 В. Нажмите кнопку СЕТЬ на задней панели. После этого должна загореться лампа подсветки. Нажмите кнопку СЕТЬ на задней панели генератора. После этого должно загореться цифровое табло. Установка должна прогреться в течение 3-5 минут. 2. С помощью регулировочного винта установите натяжение струны 0,4 Н. 3. Ручку генератора УРОВЕНЬ установите в среднее положение. 4. Отметив в тетради, что измерения проводятся для силы натяжения струны T=0,4 Н, подготовьте таблицу для записи результатов измерений n

ν, Гц

λ, м

ρ, кг/м

V, м/с

6

5. Частоту генератора при помощи ручек ЧАСТОТА ГРУБО и ЧАСТОТА ТОЧНО установить вблизи 33 Гц, стараясь получить одну хорошо различимую полуволну на всей длине струны (то есть n=1). Запишите значение этой частоты. С помощью миллиметровой шкалы определите длину полуволны, а затем и волны λ. 6. Увеличивая частоту приблизительно в 2, а затем в 3, 4 и 5 раз, постарайтесь получить хорошо различимые две, три, четыре и пять полуволн соответственно. Определите с помощью миллиметровой шкалы длину волны. Данные для каждой частоты занесите в соответствующую строку таблицы. 7. Для каждого значения n определите фазовую скорость волны по формуле

V=νλ. 8. Зная фазовую скорость, найдите линейную плотность струны. Как следует из (2),

ρ = T/V2 9. Повторить измерения и вычисления пунктов 5-8 для различных значений силы натяжения струны (F можно менять в интервале 0,2 – 0,6 Н). 10. По полученным результатам построить график V ( T ) . В чем причина нелинейного характера полученной зависимости? 11. По окончании работы не забудьте отключить питание выключателями СЕТЬ на задних панелях обоих приборов. ПРИЛОЖЕНИЕ Покажем, как зависит фазовая скорость бегущей волны от натяжения струны. Для этого рассмотрим малый участок струны ∆ z . Когда струна

7

совершает поперечные колебания, его смещение от положения равновесия

ψ, и на него действуют силы T1 и T

2

(см. рис 2). Результирующая этих сил

будет

F x = T 2 sin θ 2 − T1 sin θ 1

(П-1)

Рис. 2 Так как отклонение мало, считаем, что отклоненный участок приближенно не меняет своей длины. Тогда общее натяжение струны не меняется и остается равным T0 , т.е горизонтальные составляющие сил, действующих на участок, будут

T 0 = T1 cos θ 1 = T 2 cos θ 2 .

(П-2)

∂ψ tg θ = sin θ = cos θ ⋅ tg θ ψ (z ) , Представляя и ∂z - наклон кривой перепишем (П-1) в виде

Fx = T2 cos θ 2 ⋅ tgθ 2 − T1 cos θ1 ⋅ tgθ1 , С учетом (П-2)

Fx = T0tg θ 2 − T0tg θ1 , и заменяя тангенсы производными при соответствующих значениях z, получим

8

⎛ ⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ ⎞ Fx = T0 ⎜⎜ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎟⎟ . ⎝ ⎝ ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂z ⎠1 ⎠

(П-3)

Можно рассматривать производную как некоторую функцию f (z ) . Эту функцию разложим в ряд Тейлора по z, и ограничиваясь членами первого порядка малости, получим для разности

∂ 2ψ ⎛ ∂f ⎞ f ( z 2 ) − f ( z1 ) = ∆ z ⋅ ⎜ ⎟ = ∆z ⋅ ∂z 2 . ⎝ ∂z ⎠ Масса данного участка струны ∆m = ρ ⋅ ∆z , поэтому 2-ой закон Ньютона для него имеет вид

ρ∆z

∂ 2ψ ∂ 2ψ = F = T ∆ z x 0 ∂t 2 ∂z 2

или

∂ 2ψ ∂z 2

ρ ∂ 2ψ . = 2 T0 ∂ t

Сравнивая (П-4) и (1), убедимся, что 1 / V скорость волны в струне V =

(П-4)

2

=

ρ T

, следовательно, фазовая

0

T 0 (см. (2)).

ρ

ЛИТЕРАТУРА 1. Общий физический практикум. Механика/ Под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. –М.: Изд-во МГУ, 1991. С. 255 – 264. 2. Крауфорд Ф.Волны. М.: Наука, 1976. С. 59 – 67.