Прикладная статистика: Учебное пособие

И.А. Палий

Учебное пособие

100 80 60 40 20

0 1

2

3

4

5

6

Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)

И.А. ПАЛИЙ

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие Допущено Министерством образования Российской федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 55000 Технические науки и социальноэкономическим специальностям

Омск Издательство СибАДИ 2003

УДК 311 ББК 60.6 П 14 Рецензенты: доктор педагогических наук, профессор В.А.Долингер, кандидат экономических наук, доцент В.В.Мыльников Работа одобрена редакционно - издательским советом академии в качестве учебного пособия по дисциплине “Статистика” для специальностей 060811 – Экономика и управление на предприятиях строительства и 060813 - Экономика и управление на предприятиях автотранспорта. Палий И.А. ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА: Учебное пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2000.Ч.1.-79с. Учебное пособие составлено на основании рабочей программы дисциплины “Статистика” и предназначено для студентов всех форм обучения СибАДИ. Рассмотрены следующие разделы курса: выборка, ее графическое представление и числовые характеристики, двумерные выборки, временные ряды, экономические индексы. Изложение сопровождается подробно разобранными примерами, иллюстрациями, диаграммами. Ил. 21. Табл. 24. Библиогр.: 21 назв.

© И.А.Палий, 2000 © Издательство СибАДИ, 2000 ISBN 5-93204-030-0

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................................... 7 1. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА ..................................................... ИЗ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ.......................................................................... 8 2. ВЫБОРКА, ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ...... 10 2.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЫБОРКИ ................................................................................. 10 2.1.1. Таблица частот и интервальная таблица частот ............................................ 10 2.1.2. Графическое представление выборки............................................................. 12 2.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРКИ ....................................................... 15 2.2.1. Выборочное среднее, мода, медиана .............................................................. 15 2.2.2. Квартили, декатили, персентили ..................................................................... 17 2.2.3. Измерение разброса: размах, выборочная дисперсия, выборочное................. среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение), ............................... коэффициент вариации............................................................................................... 18 2.2.4. О симметричных и несимметричных распределениях ................................. 19 2.2.5. Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии для ................. объединения двух выборок ........................................................................................ 20 2.2.6. Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии .................................. 22 2.2.7. Кривая Лоренца и показатели концентрации................................................. 22 2.3. ЗАДАЧИ........................................................................................................................ 25 3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ...................................................... 31 ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ .............................................................. 31 3.1. ДВУМЕРНЫЕ ВЫБОРКИ .......................................................................................... 31 3.2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ВЫБОРОК — ....................... ДИАГРАММЫ РАССЕЯНИЯ ........................................................................................... 33 3.3. ВЫБОРОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ — ЧИСЛОВАЯ.................... 35 ХАРАКТЕРИСТИКА ДВУМЕРНОЙ ВЫБОРКИ ........................................................... 35 3.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ................................................................ 37 3.5. ДРУГИЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ....................................................................... 41 3.5.1. Парабола второго порядка ............................................................................... 41 3.5.2. Показательная функция.................................................................................... 41 3.5.3. Степенная функция........................................................................................... 42 3.5.4. Гиперболическая функция ............................................................................... 42 3.5.5. О квазилинейном уравнении регрессии ......................................................... 42 3.5.6. Пример построения нелинейного уравнения регрессии ............................... 44 3.6. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ................................ 46 РЕГРЕССИИ ПО СГРУППИРОВАННЫМ ДАННЫМ .................................................. 46 3.7. ИНДЕКС КОРРЕЛЯЦИИ............................................................................................ 47 3.8. ИНДЕКС ФЕХНЕРА И КОРРЕЛЯЦИОНННОЕ ОТНОШЕНИЕ ........................... 48 3.9.ЗАДАЧИ......................................................................................................................... 51 4. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ......................... ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. 4.1. ЧТО ТАКОЕ ВРЕМЕННОЙ РЯД..................... Ошибка! Закладка не определена.

4.2. ПОНЯТИЕ ОБ АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ...............Ошибка! Закладка не определена. 4.2.1. О значениях временного ряда................ Ошибка! Закладка не определена. 4.2.2. Тренды временных рядов....................... Ошибка! Закладка не определена. 4.2.2.1 Линейный тренд........................... Ошибка! Закладка не определена. 4.2.2.2. Параболический тренд ............... Ошибка! Закладка не определена. 4.2.2.3. Показательная функция ............. Ошибка! Закладка не определена. 4.2.2.4. Исключение трендовой составляющей ...........Ошибка! Закладка не определена. 4.2.2.5. Скользящие средние................... Ошибка! Закладка не определена. 4.2.3. Сезонные колебания и индексы сезонности ...............Ошибка! Закладка не определена. 4.3. Задачи.................................................................. Ошибка! Закладка не определена. 5. ПОНЯТИЕ ОБ ИНДЕКСАХ ............. ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. 5.1. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ (ЧАСТНЫЕ) ИНДЕКСЫ .................Ошибка! Закладка не определена. 5.2. ОБЩИЕ ИНДЕКСЫ .......................................... Ошибка! Закладка не определена. 5.2.1. Агрегатные индексы ............................... Ошибка! Закладка не определена. 5.2.2. Средние индексы..................................... Ошибка! Закладка не определена. 5.2.3. Индексы цен ............................................ Ошибка! Закладка не определена. 5.2.4. Дефлятирование стоимостных величин Ошибка! Закладка не определена. 5.3. ЗАДАЧИ.............................................................. Ошибка! Закладка не определена. 6. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ χ2) ........................ 56 6.1. ПРИМЕР ....................................................................................................................... 56 6.2. НЕМНОГО ТЕОРИИ ................................................................................................... 59 1.3. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ................................................................................................... 62 6.3.1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения ............................ 62 6.3.2. Проверка гипотезы о равномерном законе распределения .......................... 64 6.3.3. Проверка гипотезы о биномиальном законе распределения ........................ 66 6.3.4. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона ................................. 67 6.3.5. Последний пример ............................................................................................ 68 6.4. ЗАДАЧИ........................................................................................................................ 70 7. ПОНЯТИЕ О ТОЧЕЧНЫХ И ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНКАХ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ . ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. 7.1. ВЫБОРОЧНЫЕ СТАТИСТИКИ...................... Ошибка! Закладка не определена. 7.2. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ ..Ошибка! Закладка не определена. СОВОКУПНОСТИ .................................................. Ошибка! Закладка не определена. 7.3. О ТОЧНОСТИ И НАДЁЖНОСТИ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК .Ошибка! Закладка не определена. 7.3.1. Ещё об определении нужного объёма выборки..........Ошибка! Закладка не определена. 7.4. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНКАХ ПАРАМЕТРОВ ................Ошибка! Закладка не определена. ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ..................... Ошибка! Закладка не определена. 7.4.1. Построение доверительного интервала для неизвестного................................

математического ожидания a нормально распределённой генеральной Ошибка! Закладка не определена. совокупности, когда дисперсия σ2 генеральной совокупности известна ..Ошибка! Закладка не определена. 7.4.2. Построение доверительного интервала для неизвестной ................................. вероятности p “успеха” .................................... Ошибка! Закладка не определена. 7.4.3. Построение доверительного интервала для неизвестного................................ математического ожидания нормально распределённой генеральной ..................... совокупности, когда дисперсия σ2 генеральной совокупности неизвестна ............................................................................. Ошибка! Закладка не определена. 7.4.4. Построение доверительного интервала для неизвестной дисперсии .............. σ2 нормально распределённой генеральной совокупности..Ошибка! Закладка не определена. 7.4.5. Построение доверительного интервала для разности математических .......... ожиданий нормально распределенных генеральных совокупностей........Ошибка! Закладка не определена. 7.5. ЗАДАЧИ.............................................................. Ошибка! Закладка не определена. 8. ПОНЯТИЕ О ПРОВЕРКЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ……………… 120 8.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ......................... Ошибка! Закладка не определена. 8.1.1. Что такое статистическая гипотеза ....... Ошибка! Закладка не определена. 8.1.2. О процедуре проверки нулевой гипотезы ...................Ошибка! Закладка не определена. 8.1.3. Ошибки, допускаемые при проверке статистических гипотез.........Ошибка! Закладка не определена. 8.2. ПРОВЕРКА ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ...........ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. ПО КРИТЕРИЯМ ЗНАЧИМОСТИ ......... ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА. 8.2.1. Проверка гипотезы о значении матаматического ожидания............Ошибка! Закладка не определена. 8.2.1.1. Случай, когда дисперсия σ2 генеральной совокупности известна ............................................................................. Ошибка! Закладка не определена. 8.2.1.2. Проверка гипотезы о значении вероятности "успеха" .........Ошибка! Закладка не определена. 8.2.1.3. Проверка гипотезы о значении математического ожидания, когда ... дисперсия генеральной совокупности неизвестна ...............Ошибка! Закладка не определена. 8.2.2. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух ................... генеральных совокупностей ............................ Ошибка! Закладка не определена. 8.2.2.1. Случай, когда дисперсии σ12 и σ22 считаются известными .Ошибка! Закладка не определена. 8.2.2.2. Случай, когда σ12 и σ22 неизвестны, но известнно, что σ12 = σ22….130 8.2.3. Проверка гипотезы о значении дисперсии ..................Ошибка! Закладка не определена. 8.2.4. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных ........................ совокупностей ................................................... Ошибка! Закладка не определена. 8.2.5. Проверка гипотезы о значении коэффициента корреляции ρ ..........Ошибка! Закладка не определена.

8.3. ПРОВЕРКА НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ..............Ошибка! Закладка не определена. 8.3.1. Проверка гипотезы о законе распределения генеральноой ............................. совокупности по критерию Колмогорова ─ Смирнова (λ - критерию) .....Ошибка! Закладка не определена. 8.3.2. Проверка гипотезы об извлечении двух выборок из одной и той же.............. генеральной совокупности............................... Ошибка! Закладка не определена. 8.3.2.1. Проверка по λ - критерию ......... Ошибка! Закладка не определена. 8.3.2.2. Проверка по критерию Вилкоксона ................Ошибка! Закладка не определена. 8.3.2.3. Критерий знаков......................... Ошибка! Закладка не определена. 8.3.3. Проверка гипотезы о независимости двух дискретных случайных ................ величин .............................................................. Ошибка! Закладка не определена. 8.4. РАНГОВАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ..................... Ошибка! Закладка не определена. 8.4.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена ..........Ошибка! Закладка не определена. 8.4.2. Связанные ранги ..................................... Ошибка! Закладка не определена. 8.4.3. Коэффициент ранговой корреляции Кендэла .............Ошибка! Закладка не определена. 8.4.4. Коэффициент конкордации Кендэла..... Ошибка! Закладка не определена. 8.5. ЗАДАЧИ.............................................................. Ошибка! Закладка не определена. Нормальное распределение...................................... Ошибка! Закладка не определена. Распределение Стьюдента........................................ Ошибка! Закладка не определена. χ2 - распределение ..................................................... Ошибка! Закладка не определена. Распределение Фишера ............................................ Ошибка! Закладка не определена. Библиографический список…………………………………………………………. 166

ВВЕДЕНИЕ Жизнь – без начала и конца, Нас всех подстерегает случай. А. Блок. Haрод и поэт

Статистика изучает случайные явления, которые, по своей сути, не поддаются однозначному описанию и прогнозированию. Например, нельзя абсолютно точно предсказать, сколько человек родится или умрет в стране за данный промежуток времени. Нельзя с точностью до копейки (цента, сантима) определить доход некоторой семьи за определенный промежуток времени (можно найти на дороге монетку в 10 копеек, выиграть в лотерею, получить неожиданное наследство, и, наоборот, можно потерять часть денег из-за болезни, или неверно принятого решения, или биржевого кризиса). Невозможно с точностью до минуты определить, какое время проработает купленный телевизор (компьютер, автомобиль) до первой поломки. Жизнь человека, общества, цивилизации складывается из случайных явлений. Чтобы общество было устойчивым, а жизнь предсказуемой, важно не давать случаю слишком большой воли (любая попытка совсем исключить из жизни случай обречена на провал). Современные задачи планирования, управления, прогнозирования невозможно решать, не располагая достоверными статистическими данными и не используя статистические методы обработки этих данных. Стремление объяснить настоящее и заглянуть в будущее всегда было свойственно человечеству, а для решения этих задач применялись различные методы. Статистика при описании случайных явлений использует язык науки – математику. Это значит, что реальные ситуации заменяются вероятностными схемами и анализируются методами теории вероятностей. Выразительная сила математики как языка очень велика. Серьезные математические методы стали использоваться для анализа статистических наблюдений сравнительно недавно. Человечество осознало необходимость сбора статистических данных о различных сторонах жизни общества значительно раньше появления сопутствующего развитого математического аппарата. Но и сравнительно несложные методы сбора и анализа данных оказались важным инструментом, помогающим принимать разумные решения. Любые статистические данные всегда неполны, и неточны, и другими быть не могут. Задача статистики заключается в том, чтобы дать обоснованные выводы о свойствах изучаемого явления, анализируя

неполные и неточные данные. Статистика доказала, что умеет справляться с подобными проблемами. 1.ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА ИЗ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ В одном мгновенье видеть вечность, Огромный мир - в зерне песка, В единой горсти - бесконечность И небо - в чашечке цветка. В. Блейк (перевод С. Маршака)

Понятия генеральной совокупности и выборки из нее являются первоначальными в статистике. Строгие определения пришли из теории вероятностей, хотя терминология математической статистики отличается от терминологии теории вероятностей. Вместо случайной величины Х в теории вероятностей, в математической статистике говорят о генеральной совокупности X. Таким образом, понятие генеральной совокупности тождественно понятию случайной величины, т.е. включает в себя описание области определения (пространства элементарных исходов), множества значений, функциональной зависимости, закона распределения. Вместо эксперимента, в результате которого случайная величина Х приняла значение х (в теории вероятностей), в математической статистике говорят о случайном выборе из генеральной совокупности Х значения х. Вместо n независимых экспериментов, в результате которых случайная величина Х приняла значения x1, х2, ..., хn (в теории вероятностей), в математической статистике говорят о случайной выборке объема n значений x1, x2, ..., xn из генеральной совокупности X. При нестрогом подходе, под генеральной совокупностью понимают множество всех объектов некоторого наблюдения в совокупности с множеством всех значений этого наблюдения, соответствующих каждому объекту. А под выборкой объема n понимают множество из n объектов, реально подвергшихся наблюдению, в совокупности с n значениями наблюдения для каждого объекта. Например, социолог, изучающий мнение избирателей, под генеральной совокупностью понимает множество всех избирателей данной страны, а под выборкой объема n – множество из n человек, которых он опросил. Мы будем иметь в виду и такую точку зрения на генеральную совокупность. Основная задача статистики – получить обоснованные выводы о свойствах генеральной совокупности, анализируя извлеченную из нее выборку x1, х2, ..., хn. Более подробно: описать закон распределения генеральной совокупности; подобрать значения параметров этого закона,

оценить числовые характеристики генеральной совокупности; если генеральная совокупность – многомерная случайная величина, оценить всевозможные коэффициенты корреляции между ее составляющими; если имеется несколько выборок, извлеченных из разных генеральных совокупностей, определить, одинаково распределены эти генеральные совокупности или нет; одинаковы ли определенные числовые характеристики этих генеральных совокупностей или нет и т.д., и т.п. Все перечисленные вопросы сформулированы на языке теории вероятностей. От статистики требуют ответы и на другие вопросы: можно ли утверждать, что новое лекарство эффективнее излечивает от некоторой болезни, чем старое? Какой будет численность населения страны в следующем году? Существует ли связь между значениями предела прочности и предела текучести различных марок стали? Чтобы ответы на подобные вопросы соответствовали действительности, нужно уметь строить подходящие вероятностные модели для реальных ситуаций. А для этого нужно уметь представить выборку в подходящем для изучения виде. Возникает задача описания и представления выборки. Наконец, располагая сведениями о свойствах генеральной совокупности, можно предсказать свойства повторно извлеченных из нее выборок – заглянуть в будущее.

2. ВЫБОРКА, ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Все, что видим мы – видимость только одна. Далеко от поверхности моря до дна. Полагай несущественным явное в мире, Ибо тайная сущность вещей - не видна. О. Хайям (перевод Г. Плисецкого) 2.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЫБОРКИ 2.1.1. Таблица частот и интервальная таблица частот Небольшие выборки удобно представлять в виде таблицы из двух строк. В первой строке записывают элементы выборки (они называются вариантами), расположенные в порядке возрастания. Во второй строке записываются частоты вариант. Частотой варианты называется число, равное количеству повторений варианты в выборке. Если ni – частота варианты xi, всего в выборке k разных вариант, то n1 + n2 + ...+ nk = n, где n – объем выборки. Описанная таблица называется таблицей частот. Рассмотрим пример. С производственной линии случайным образом 36 раз отбирали по 10 единиц некоторого изделия. Каждый раз отмечалось число дефектных изделий. Получена выборка 1: 0 0

0 0

1 0

0 2

2 0

0 0

1 1

2 1

1 0

0 0

0 0

0 1

0 1

0 0

3 1

1 0

0 1

0 1

Здесь n = 36, в выборке представлены 4 варианты: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3. Таблица частот выглядит следующим образом (табл. 2.1): xi ni

0 21

1 11

Таблица 2.1 2 3 3 1

Относительной частотой варианты хi называется число νi, равное отношению ni /n. Если сумма частот равна n, то сумма относительных частот равна n/n = 1. Таблица относительных частот для этого примера такова (табл. 2.2): xi

νi

0 1 21/36 11/36

Таблица 2.2 2 3 3/36 1/36

Таблица относительных частот напоминает таблицу вероятностей дискретной случайной величины. Только вместо значений случайной величины пишут варианты выборки, а роль вероятностей исполняют относительные частоты. Накопленной частотой nxнак называется число вариант выборки, меньших данного числа х. Относительной накопленной частотой νxнак называется отношение nxнак/n. Найдем накопленные и относительные накопленные частоты вариант выборки для нашего примера (табл 2.3). xi

нак

nxi

νxiнак

Таблица 2.3 1 2 3 21 32 35 21/36 32/36 35/36

0 0 0

Ясно, что nx1нак = 0, νx1нак = 0, т.к. нет ни одной варианты, меньшей x1. Кроме того, n xiнак = n xiнак−1 + ni −1 = ∑ n j ; ν xiнак = ν xiнак−1 + ν i −1 = ∑ν j , j
j
отчего частоты и называются накопленными. Относительные накопленные чacтоты – это статистические аналоги значений функций распределения F(xi) дискретной случайной величины X. Действительно, F ( xi ) = P( x < xi ) = ∑ P( x = x j ) = ∑ Pj . j
j
Если выборка извлечена из непрерывно распределенной генеральной совокупности, причем ее объем n достаточно велик, то в выборке представлено много значений, и такую выборку неразумно представлять в виде таблицы частот. Кроме того, при работе с непрерывно распределенными случайными величинами рассматривают не отдельные значения этих величин, а некоторые интервалы этих значений. Поэтому достаточно большую выборку, извлеченную из непрерывно распределенной генеральной совокупности, группируют по интервалам следующим образом. Весь диапазон значений вариант разбивают на разумное число интервалов одинаковой, как правило, ширины h. Чтобы не было недоразумений при подсчете числа вариант выборки, попавших в каждый интервал, левый конец каждого интервала считают закрытым, а правый – открытым, так что интервалы имеют вид [хi-1; хi). Частотой i-го интервала ni называется число, равное количеству вариант выборки, попавших в этот интервал, Относительной частотой i-го интервала νi называется отношение ni /n. Кроме того, вычисляют накопленные и относительные накопленные частоты для правых границ интервалов. Если всего интервалов k, очевидно :

k

∑n i =1

k

i

= n ; ∑ν i = 1 ; n xнак = n ;ν xнак = 1, k k

i =1

где xk – правая граница последнего интервала, все варианты выборки меньше числа xk . Полученные числа заносят в таблицу, которая называется интервальной таблицей частот. Рассмотрим пример. У 50 новорожденных измерили массу тела с точностью до 10г. Результаты (в кг) таковы (выборка 2): 3,7 3,75 3,38 4,22 3,58

3,85 4,03 3,3 3,75 3,98

3,7 3,75 4,15 3,58 3,88

3,78 4,18 3,95 3,55 3,78

3,6 3,8 3,5 4,08 4,05

4,45 4,75 3,88 4,03 3,4

4,2 3,25 3,71 3,24 3,8

3,87 4,1 3,15 4,05 3,06

3,33 3,55 4,15 3,56 4,38

3,76 3,35 3,8 3,05 4,2

Сгруппируем эту выборку. Наименьшая масса равна 3,05 кг, наибольшая масса равна 4,75 кг. “Упакуем” выборку в интервал [3 – 4,8], который разобьем на 6 интервалов шириной 0,3. Интервальная таблица частот выглядит следующим образом (накопленные частоты считают для правых границ интервалов) (табл.2.4). [xi-1, xi) ni

νi

nxiнак

νxiнак

[3-3,3) 5 0,1 5 0,1

[3,3-3,6) 11 0,22 16 0,32

[3,6-3,9) 17 0,34 33 0,66

[3,9-4,2) 11 0,22 44 0,88

[4,2-4,5) 5 0,1 49 0,98

Таблица 2.4 [4,5-4,8) 1 0,02 50 1,0

2.1.2. Графическое представление выборки. Полигон, гистограммa, кривая накопленных частот

Рисунки и графики – удобный и наглядный способ представления выборки. Выборку, извлеченную из дискретной генеральной совокупности, можно представить в виде полигона частот. На плоскости в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (хi, νi) и соединяют эти точки отрезками прямых. Полученная ломаная и называется полигоном частот. Полигон можно, конечно, построить и для сгруппированной выборки. Но такую выборку нагляднее всего представить в виде гистограммы. Гистограмма – это фигура, состоящая из прямоугольников. Основания прямоугольников – это интервалы, на которые разбита сгруппированная выборка. Высота i-го прямоугольника hi определяется формулой

hi = νi /h, i = 1, 2, 3,…, k. Таким образом, высоты прямоугольников пропорциональны частотам интервалов, а сумма высот равна k

∑ν i =1

i

/ h = 1/ h .

Поэтому площадь гистограммы равна (1/h)*h = 1. Гистограмма – это аналог графика функции плотности вероятности f(х) непрерывной случайной величины, площадь под графиком f(х) равна 1. Кривая накопленных частот (кумулятивная кривая) – это статистический аналог графика функции распределения F(x) непрерывной случайной величины. Кривая накопленных частот строится так: точки с координатами (хi, νxiнак) соединяют отрезками прямых. Кроме того, накопленные частоты для любого числа х < х1 равны 0, накопленные частоты для любого числа х > хk равны 1. Чтобы найти накопленную частоту для некоторого х1 < х < хk, нужно воспользоваться линейной интерполяцией. На рис. 2.1, 2.2, 2.3 показаны полигон частот для выборки 1, гистограмма и кумулятивная кривая для выборки 2 соответственно. Vi

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Xi

0

1

2

3

Рис. 2.1

1,2

ni/nh 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 3

3,3

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

X

Рис. 2.2

h1 = 0,1/0,3 = 0,33; h2 = 0,22/0,3 = 0,73; h3 = 0,34/0,3 = 1,13; h4 = h2 =

=0,73; h5 = h1 = 0,33; h6 = 0,02/0,3 = 0,067. Покажем, как, используя линейную интерполяцию, относительную накопленную частоту νxнак для числа х1 < х < хk . нак

vx

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 3

3,3

3,6

3,9

4,2

4,5

найти

X 4,8

Рис. 2.3

Пусть х принадлежит интервалу [хi-1, хi). Рассмотрим соответствующий участок кривой накопленных частот ( рис.2.4).

Рис. 2.4

− ν xнак Имеем: АС = h; АЕ = x - xi-1; BC = ν xнак ; DE = ν xнак − ν xнак ; i i −1 i −1

∆ABC ∼ ∆ADE. Из подобия треугольников следует, что ν xнак − ν xнак h AC BC i i −1 = нак = , или . нак AE DE x − xi −1 ν x − ν xi −1 Отсюда получаем ( x − xi −1 ) ∗ (ν xнак ) − ν xнак нак i i −1 νx = + ν xнак . i −1 h

Например, в выборке 2 : ν4нак = 0,66 + [(4 - 3,9)*(0,88 - 0,66)]/0,3 = 0,73. Точно так же решается и обратная задача: по известной частоте νxнак найти число х. Имеем ) h ∗ (ν xнак − ν xнак i −1 x= + xi −1 . нак ν xнак ν − xi −1 i Например, для выборки 2 относительную накопленную частоту 0,5 имеет число x=

0,3 ∗ (0,5 − 0,32) + 3,6 = 3,76 . 0,66 − 0,32

Действительно, если νxнак = 0,5, то число х лежит внутри интервала [3,6; 3,9), так как ν3,6нак = 0,32 < 0,5, a ν3,9нак = 0,66 > 0,5. 2.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРКИ 2.2.1. Выборочное среднее, мода, медиана

Выборочное среднее x – это среднее арифметическое вариант выборки. Если объем выборки равен n, то n

k

k

j =1

i =1

i =1

x = (1 / n)∑ x j = (1 / n)∑ n i x i = ∑ν i x i , где k - число различных вариант; ni – частота варианты хi, i = 1, 2, 3, ..., k. Если выборка сгруппирована, то часто даже неизвестно, какие именно варианты попали в i-й интервал. Тогда частоту интервала ni умножают на средину интервала. Конечно, при этом получается ошибка, так как варианты, попавшие в интервал, не обязаны все совпадать с числом (хi + xi-1)/2. Но эта ошибка не может быть слишком большой, особенно при достаточно больших n. Ведь в среднем половина вариант, попавших в интервал [xi-1, хi), будет меньше числа (хi + xi-1)/2, а половина – больше, поэтому ошибки будут иметь разные знаки и, таким образом, компенсируют друг друга. Легко видеть, что формула для выборочного среднего x совпадает с формулой для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины. Роль вероятностей играют относительные частоты νi. Найдем выборочные средние для выборок, рассмотренных ранее. 1. Выборка 1. 4

x = ∑ν i ∗ xi = 0 ∗ 21 / 36 + 1 ∗ 11 / 36 + 2 ∗ 3 / 36 + 3 ∗ 1 / 36 = 0,56 . i =1

Итак, в среднем из каждых 10 единиц товара 0,56 единицы дефектны. 2. Выборка 2. Найдем сначала выборочное среднее непосредственно по выборке, а затем по сгруппированной выборке и сравним полученные числа. В первом случае имеем: x = 1/50*( 3,7 + 3,85 + 3,7 + 3,78 + 3,6 + 4,45 + 4,2 + 3,87 + 3,33 + 3,76 + +3,75 + 4,03 + 3,75 +4.18+ 3,8 + 4,75 + 3,25 + 4,1 + 3,55 + 3,35 + 3,38 +3,3 + +4,15 + 3,95 + 3,5 + 3,88 + 3,71 + 3,15 + 4,15 + 3,8 + 4,22 + 3,75 + 3,58 + +3,55 + 4,08 + 4,03 + 3,24 + 4,05 + 3,56 + 3,05 + 3,58 + 3,98 + 3,88 + 3,78 + +4,05 + +3,4 + 3,8 + 3,06 + 4,38 + 4,2) = 3,78. Средняя масса ребенка равна 3,78 кг. Рассчитаем выборочное среднее по сгруппированной выборке. x = 3,15*0,1 + 3,45*0,22 + 3,75*0,34 + 4,05*0,22 + 4,35*0,1 + 4,65*0,02 = =3,77. Расхождение равно 10 граммам. Но ведь и массы детей определялись с точностью до 10 граммов, так что мы не превзошли ошибки округления. Сам же подсчет оказался намного проще. В теории вероятностей модой хмо дискретной случайной величины называется такое её значение, которое имеет максимальную вероятность. Модой непрерывной случайной величины называется такое её значение, на котором достигается максимум функции плотности вероятности f(х). Закон распределения называется унимодальным, если мода единственна. ∧

Соответственно вводится понятие моды и в статистике. Модой x ∧

(обозначают x , читают “х с крышечкой”) называется варианта хi с ∧

наибольшей частотой (относительной частотой). В выборке 1 мода x = 0. Если выборка сгруппирована, то сначала определяют модальный интервал, т.е. интервал с наибольшей частотой (относительной частотой). В качестве моды можно взять середину модального интервала. Эту оценку можно подправить с помощью простого дополнительного построения на гистограмме (рис. 2.5). ∧

В выборке 2 модальный интервал – это интервал [3,6; 3,9). Тогда x = =3,75. Так как высоты прямоугольников слева и справа от интервала [3,6; ∧

3,9) одинаковы, подправлять значение x не нужно. В теории вероятностей медианой непрерывной случайной величины Х называется такое число хме, когда Р(Х < хме) = 0,5 = Р(Х > хме). Соответственно в статистике медианой (обозначают ~x , читают “х с волной”) называют такое число ~x , когда 50% вариант выборки меньше этого значения, а 50% больше его. Ясно, что для любой выборки можно подобрать бесконечно много медиан. Чтобы избежать неоднозначности,

будем называть медианой число ~x такое, когда ν ~хнак = 0,5, где 0,5 – ордината точки с абсциссой ~x на кривой накопленных частот.

Pиc 2.5

Чтобы найти медиану, нужно сначала найти медианный интервал [xi-1; хi), где νхнак < 0,5; νxiнак > 0,5, тогда ~x ∈ [xi-1; xi). Используя формулу, выведенную в пункте 2.1.2, получаем, что h ∗ (0,5 − ν xнак ) i −1 . x = xi −1 + нак ν xнак − ν xi −1 i В выборке 2 медианным интервалом является интервал [3,6; 3,9), так как ν3,6нак = 0,32; ν3,9нак = 0,66. Тогда 0,3 ∗ (0,5 − 0,32) ~ = 3,76 . x = 3,6 + 0,66 − 0,32 2.2.2. Квартили, декатили, персентили

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина – больше медианы. Можно найти три числа: Q1, Q2, Q3, которые аналогичным образом делят выборку на 4 равные части. Эти числа называются квартилями. Число Q2 совпадает с медианой ~x , число Q1 называется нижней квартилью, число Q3 называется верхней квартилью. В теории вероятностей квартилями непрерывной случайной величины Х называются числа Q1, Q2, Q3, определяемые из условия Р(X < Q1) = P(Q1 < X < Q2) = P(Q2 < X < Q3) = P(X > Q3) = 0,25. Точно так же можно найти 9 чисел: D1, D2, …, D9, которые разбивают выборку (площадь под графиком f(х)) на десять равных частей. Эти числа называются декатилями. Если разбить выборку (площадь под графиком

f(х)) на сто равных частей, точки деления называются персентилями. Их 99, они обозначаются Р1, Р2, …, P99. Ясно, что P25 = Q1, Р50 = Q2 = ~x , Р75 = =Q3. Числа Q1, Q2, Q3, Р1, Р2, …, P99 находятся точно так же, как ~x . Например, νQ1нак = 0,25, тогда h ∗ (0,25 − ν xнак ) i −1 , Q1 = xi −1 + нак ν xнак − ν xi −1 i где ν xнак < 0,25; ν xнак > 0,25; Q1 ∈ [xi-1, x i,). i −1

i

2.2.3. Измерение разброса: размах, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение), коэффициент вариации

Размах R – простейшая мера разброса значений данной выборки. Если xmax – максимальная, хmix – минимальная варианты, то R = xmax - хmix. Этой величиной пользуются при работе с малыми выборками. Более эффективные меры разброса должны учитывать все элементы выборки. Одна из самых распространенных мер называется выборочной дисперсией S2. Она вычисляется точно так же, как дисперсия дискретной случайной величины. Следовательно, выборочная дисперсия оценивает средний разброс значений выборки относительно выборочного среднего. n

n

k

j =1

j =1

i =1

S 2 = (1 / n) ∑ ( x j − x) 2 = (1 / n) ∑ x 2j − ( x) 2 = (1 / n)∑ ni x i2 − ( x) 2 = k

= ∑ν i xi2 − x 2 , где k - число разных вариант выборки. i =1

Если выборка сгруппирована, частота i-го интервала ni умножается на середину интервала – число (хi + хi-1)/2. Соответственно корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным средним квадратическим отклонением и обозначается S. Другое часто встречающееся название для S – стандартное отклонение; оно короче, поэтому мы будем чаще использовать его. Найдем эти параметры для выборки 2. S2 = 3,152 * 0,1 + 3,452 * 0,22 + 3,752 * 0,34 + 4,052 * 0,22 + 4,352 * 0,1 + +4,652 * 0,02 - (3,77)2 = 0,127; S= 0,36. В среднем масса ребенка отличается от средней массы на 0,36 кг. В теории вероятностей для нормального закона распределения доказываются так называемые “правило двух сигм” и “правило трех сигм”: вычисляются вероятности того, что нормально распределенная случайная величина отклонится по модулю от своего математического

ожидания а не более чем на два или три средних квадратических отклонения σ. Р(⎜X - a⎜< 2σ) = 0,9545; P(⎜Х - а⎜< 3σ) = 0,9973. Эти правила приблизительно выполняются для большинства унимодальных законов распределения и соответственно выборок из таких генеральных совокупностей: 1. Более 95% значений выборки лежат в интервале ( x - 2S, x + 2S). 2. Более 99% значений выборки лежат в интервале ( x - 3S, x + 3S). Для выборки 2 имеем : x - 2S = 3,77 - 0,36 * 2 = 3,05; x - 3S = 3,77 - 0,36 * 3= 2,69; x + 2S = 3,77 + 0,36 * 2 = 4,49; x + 3S = 3,77 + 0,36 * 3 = 4,85. В интервале (3,05; 4,49) лежат 48 значений (или 96%) выборки; в интервале (2,69; 4,85) лежат 100% значений выборки. Коэффициент вариации V служит для сравнения стандартных отклонений нескольких выборок и вычисляется по формуле V=S/ x . Если коэффициенты вариации оказались величинами одного порядка, то средние рассеяния данных относительно среднего в этих выборках можно считать примерно равными. Рассмотрим простой пример. Пусть массы трех килограммовых пакетов с сахаром оказались такими: х1 = 0,995 кг; х2 = 1 кг; x3 = 1,005 кг. Тогда x 1 = 1,00 кг; S1 = 4,08 * 10-3 кг; V1 = 4,08 * 10-3. Допустим так же, что масса некоторого железобетонного блока должна равняться 100 кг, а массы трех отобранных блоков оказались равными 99,5 кг, 100,00 кг и 100,5 кг. Отсюда x 2 = 100 кг; S2 = 0,408 кг; V2 = 4,08 * 10-3. Пусть, наконец, некоторый студент, сдавая сессию, получил такие оценки: 4, 3, 5. Значит, x 3 = 4,0; S3 = 0,82; V3 = 0,21. Сравнивая три найденных коэффициента вариации, заключаем, что точности работы устройств, развешивающих сахар в пакеты и изготовляющих железобетонные блоки, одинаковы. Хотя в первом случае максимальное отклонение массы от номинала составило 5 г, а во втором случае в 100 раз больше – 500 г. Зато разброс оценок студента значительно больше: V3 ≈ 50 V1. 2.2.4. О симметричных и несимметричных распределениях

Закон распределения непрерывной случайной величины Х называется симметричным, если график функции плотности вероятности f(x) имеет ось симметрии, например, нормальный закон распределения симметричен. Для унимодального симметричного закона распределения очевидно равенство моды, медианы и математического ожидания. Если имеет место

небольшая асимметрия (рис 2.6.), то возможны только два случая: xмо < хме < М(Х) или М(Х) < хме < хмо. То же справедливо и для выборок из ∧

подобных генеральных совокупностей. Значит, разность ( x - x ) можно использовать в качестве меры асимметрии: чем больше эта разность, тем ∧

больше асимметрия. Асимметрия называется положительной, когда x > x , ∧

и отрицательной, когда x < x .

Рис. 2.6 ∧

Для получения безразмерной меры разность ( x - x ) делят на S. Число ∧

( x - x )/S называется первым коэффициентом асимметрии Пирсона (К.Пирсон (1857-1936) – один из создателей современной математической статистики). Второй коэффициент асимметрии Пирсона приблизительно равен первому, только мода заменяется медианой. Второй коэффициент асимметрии равен числу 3( x - ~x )/S. Коэффициент 3 появился из-за того, ∧

что обычно верна приближенная формула ( x - x ) ≈ 3( x - ~x ). Для выборки 2 имеем: 1-й коэффициент асимметрии Пирсона равен (3,77 - 3,75)/0,36 = 0,056; 2-й коэффициент асимметрии Пирсона равен 3*(3,77 – 3,76)/0,36 = =0,083. Наша выборка извлечена из генеральной совокупности с симметричным законом распределения. В теории вероятностей коэффициент асимметрии определяется как отношение третьего центрального момента к кубу среднеквадратического отклонения. 2.2.5. Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии для объединения двух выборок

Пусть из одной и той же генеральной совокупности Х извлечены две

выборки объемов n1 и n2 и для каждой выборки отдельно вычислены выборочное среднее и выборочная дисперсия: x1, x2, S12, S22. Найдем параметры х и S2 для объединения этих выборок . n1+ n 2

n1+ n 2

j =1

j =1

1. x = ( ∑ x j ) /(n1 + n2 ) , тогда (n1 + n2 ) x =

∑x

j

= n1 x1 + n2 x 2 .

Отсюда n1 x1 + n2 x 2 . n1 + n2 Эта же формула применяется и тогда, когда выборки сгруппированы. x=

2. (n1 + n2 ) ∗ S = 2

n1+ n 2

∑x

2 j

j =1

n1

− (n1 + n2 ) x = ∑ x + 2

2 j

j =1

n2

∑x

j = n1+1

2 j

2

− (n1 + n2 ) x + 2

2

(n1 x 1 + n 2 x 2 ) 2 + (−n1 x + n1 x − n 2 x + n 2 x ) = n1 S + n 2 S + n1 x + n 2 x − n1 + n 2 . Рассмотрим выражение 2 1

2 1

2 2

2 2

2 1

2 1

2 2

2

2 2

2

(n1 x1 + n2 x 2 ) 2 n1 x + n2 x − . n1 + n2 После приведения к общему знаменателю получаем, что оно равно n1 n2 ∗ ( x1 − x 2 ) 2 . n1 + n2 Следовательно, n1 S12 + n2 S 22 n1 n2 2 S = + ∗ ( x1 − x 2 ) 2 . 2 n1 + n2 (n1 + n2 ) Но если выборки извлечены из одной и той же генеральной совокупности, то числа x 1 и x 2 не должны сильно отличаться друг от друга. Кроме того, легко видеть, чтo n1 n2 ≤ 1/ 4 . (n1 + n2 ) 2 2 1

Поэтому членом

2 2

n1 n 2 ∗ ( x 1 − x 2 ) 2 можно пренебречь и положить n1 + n 2

n1 S12 + n2 S 22 S = . n1 + n2 Для примера разобьем выборку 2 на две части по 25 вариант в каждой. Как разбивать – все равно, главное, чтобы выбор был случайным. Пусть выборки будут такие: 1-я часть: 2

3,7

3,85

3,7

3,78

3,6

4,45

4,2

3,87

3,33

3,76

3,75 3,38

4,03 3,3

3,75 4,15

4,18 3,95

3,8 3,5

4,75

3,88 4,03 3,4

3,71 3,24 3,8

3,15 4,05 3,06

4,15 3,56 4,38

3,8 3,05 4,2

4,22 3,58

3,25

4,1

3,55

3,35

3,75 3,98

3,58 3,88

3,55 3,78

4,08 4,05

Для этой выборки x 1 = 3,8; S12 = 0,132. 2-я часть:

Для этой выборки x 2 = 3,76; S22 = 0,131. Тогда 25 ∗ 3,8 + 25 ∗ 3,76 x= = 3,78 ; 50 25 ∗ 0,132 + 25 ∗ 0,131 = 0,1315 ; S = 0,36. S2 = 50 Небольшие отличия x и S2 от найденных ранее получились из-за того, что x 1, x 2, S12, S22 считались “в лоб”, для несгруппированных выборок. 2.2.6. Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии

Пусть из k выборок объемов n1, n2, …, nk соответственно образована одна выборка объема n = n1 + n2 +…+ nk. Обозначим через x , x 1, …, x k, S2, S12, …, Sk2 выборочные средние и выборочные дисперсии объединенной выборки и исходных выборок соответственно. Обобщая формулы, рассмотренные выше, получим, что объединенная дисперсия равна k

∑S

2 i

ni

k

∑ (x

i

− x ) 2 ni

1 ( x j − x) 2 = i =1 + i =1 . ∑ n n n j =1 Величину S называют еще общей дисперсией. Величины S12, S22, …, Sk2 называют внутригрупповыми дисперсиями. 1 k Величина ( x i − x) 2 ni называется межгрупповой дисперсией. Она ∑ n i =1 показывает, насколько в среднем выборочные средние отдельных выборок отличаются от общего выборочного среднего. Тем самым оценивается, насколько внутригрупповые выборочные средние отличаются друг от друга. Мы разложили общую дисперсию на сумму межгрупповой дисперсии и среднего из внутригрупповых дисперсий. S2 =

n

2.2.7. Кривая Лоренца и показатели концентрации

С помощью кривой Лоренца представляют распределение некоторых ресурсов (капитала, земли, рабочей силы и т.п.) среди владельцев

ресурсов. Если значительная часть ресурсов сосредоточена у небольшой доли владельцев, говорят о высокой степени концентрации ресурсов. Степень концентрации оценивают с помощью специальных коэффициентов. Неравномерность распределения ресурсов можно проследить и по кривой Лоренца, при построении этой кривой по горизонтальной оси откладывают накопленные доли владельцев ресурсов, а по вертикальной оси – относительные накопленные частоты объема ресурсов. Полученные точки соединяют отрезками. Рассмотрим распределение в 1964 г. ферм в США, сгруппированных по величине занимаемых площадей (табл. 2.5). Число Площадь фермы, акр ферм, (1акр≈0,4га) тыс. [0 - 10) [10 - 50) [50 - 100 ) [100 - 180 ) [180 - 260 ) [260 - 500) [ 500 - 1000 ) ≥1000 ВСЕГО

183 637 542 633 355 451 210 145 3156

Общая площадь занимаемой земли, тыс. акров 778 17325 39589 86592 76857 159598 144600 584848 1110187

Таблица 2.5 Относительные Относительные накопленные частоты, частоты % Число Площадь Число Площадь ферм земли ферм земли 0,057 0,0007 5,7 0,07 0,202 0,0156 25,9 1,63 0,172 0,0357 43,1 5,2 0,201 0,0780 63,2 13,0 0,112 0,0692 74,4 19,92 0,143 0,1438 88,7 34,3 0,067 0,1302 95,4 47,32 0,046 0,5268 100,0 100,0 1,00 1,00 – –

Здесь ресурсы – это земля; владельцы ресурсов – фермы. Кривая Лоренца построена на рис. 2.7. Если бы распределение земли было строго равномерным, то 5,7% ферм располагали бы 5,7% земли; 25,9% ферм располагали бы 25,7% земли и т.д., а кривая Лоренца стала бы биссектрисой координатного угла. Эта биссектриса называется линией равномерного распределения. Чем сильнее кривая Лоренца отклоняется от линии равномерного распределения, тем выше концентрация ресурсов. В нашем случае 52,7% всей земли сконцентрировано у 4,6% крупных ферм. А на остальные 95,4% небольших ферм приходится менее половины угодий. Степень концентрации можно оценить, вычисляя площадь фигуры А (см. рис.2.7), ограниченной линией равномерного распределения и кривой Лоренца. Если принять площадь квадрата за 1, то удвоенная площадь фигуры А равна разности 1 минус удвоенная площадь фигуры В. Последняя легко считается как сумма площадей трапеций, составляющих фигуру В. Таким образом определяется коэффициент Джини:

Площадь 100 земли, % к 90 итогу

80 70 60

A

50 40 30 20

B

10 0 0

10

20

30 40 50 60 70 80 90 Число ферм, % к итогу Линия равномерного распределения

100

Рис. 2.7 k

G = 1 − 2∑ν xiν i =1

нак yi −1

k

k

i =1

i =1

− ∑ν xiν yi = 1 − 2∑ν xiν

нак yi

k

+ ∑ν xiν yi , i =1

где k – число интервалов группировки; νxi – относительная частота i-го интервала группировки владельцев ресурсов; νyi – относительная частота i-го интервала группировки ресурсов; νyiнак – относительная накопленная частота i-го интервала группировки ресурсов. На рис.2.8 показана i-я трапеция, составляющая фигуру B, и приведен расчет площади этой трапеции. ν нак y

AB = ν yнак = ν yнак − ν yi ; i −1

ν нак y

CD = ν yнак ;

С

i

i

AD = ν xнак −ν xнак = ν xi ;

B

ν нак yi −1

i

D

ν нак x

i −1

i −1

S i = 0,5 ⋅ ( AB + BC ) ⋅ AD =

Si A

i

ν нак x

ν нак x i

Рис. 2.8

= 0,5 ⋅ (2ν нак − ν yi ) ⋅ ν xi = yi = 0,5 ⋅ (2ν нак + ν yi ) ⋅ ν xi . уi −1

Тогда

G = 1 − 2 ⋅ S B = 1 − 2 ⋅ ∑ S i = 1 − ∑ (2 ⋅ ν нак − ν yi −1 ) ⋅ ν xi = y i

i

i

1 − ∑ (2 ⋅ ν нак + ν yi ) ⋅ ν xi = 1 − 2∑ ν xi ν нак + ∑ ν xi ν yi = y y i −1

i

i

i

i

1 − 2∑ ν xi ν нак − ∑ ν xi ν yi . y i

i −1

i

В нашем случае G = 1 - 2(0,057*0,0007 + 0,202*0,0163 + 0,172*0,052 + 0,201*0,13 + +0,112*0,1992 + 0,143*0,343 + 0,067*0,4732 + 0,046*1) + (0,057*0,0007 + +0,202*0,0156 + 0,172*0,0357 + 0,201*0,078 + 0,112*0,0692 + 0,143* *0,1438 + 0,067*0,1302 + 0,046*0,5268) = 0,7113 (71,13%). Другой коэффициент, оценивающий степень концентрации, называется коэффициентом Лоренца. Рассмотрим сумму k

∑ν i =1

xi

− ν yi ,

По известному свойству модуля k

k

k

i =1

i =1

i =1

∑ ν xi − ν yi ≤ ∑ν xi + ∑ν yi = 1 + 1 = 2 . Число 2 получается в пределе, если практически 100% ресурсов сосредоточены у бесконечно малой доли владельцев. Поэтому, чем ближе к 2 эта сумма, тем выше концентрация ресурсов, тем неравномернее они распределены. Коэффициент Лоренца определяется так: k

L=

∑ν i =1

xi

− ν yi

∗ 100 0 0 .

2 Для нашего случая получаем: L = (1/2)*(⎪0,057 - 0,0007⎪ + ⎪0,202 - 0,0156⎪ + ⎪10,172 - 0,0357⎪+ +⎪0,201 - 0,0780⎪ + ⎪0,112 - 0,0692⎪ + ⎪0,143 - 0,1438⎪ + ⎪0,067 - 0,1302⎪ + +⎪0,046 - 0,5268⎪)*100% = 54,5%. Полученные значения коэффициентов Джини и Лоренца говорят о высокой степени концентрации земли на крупных фермах. 2.3. ЗАДАЧИ 1. Как изменятся выборочное среднее, мода, медиана и выборочная дисперсия, если каждый член выборки: а) увеличить (уменьшить) на число d? б) увеличить (уменьшить) в k раз?

В задачах 2 - 13 нужно представить выборку графически и найти её числовые характеристики. 2. Диаметры 40 металлических шариков (мм): 8,53 8,51 8,54 8,42 8,42

8,59 8,46 8,47 8,58 8,54

8,51 8,55 8,53 8,60 8,57

8,59 8,61 8,55 8,52 8,68

8,41 8,68 8,43 8,56

8,46 8,52 8,47 8,56

8,57 8,43 8,59 8,60

8,62 8,40 8,63 8,54

8,45 8,41 8,56 8,61

3. Продолжительность работы 30 электрических лампочек (часы /10): 51 63 55

56 48 72

69 53 70

31 51 54

56 64 51

49 50 77

51 59 98

53 84 62

74 55 73

51 82 55

4. Скорость автомобилей на некотором участке дороги (км/ч): 41 23 55 30

41 48 27 35

29 50 43 38

15 36 53 41

41 35 48 36

43 46 47 38

42 28 34 45

34 46 35 59

41 50 29 44

30 41 42 43

5. В «Северных прериях» Э. Сетон-Томпсон рассказывает, что из окна вагона поезда канадской Тихоокеанской железной дороги в районе Альберты он видел 26 стад антилоп. В книге указывается количество животных в каждом стаде: 8 3

14 4

7 6

18 18

3 4

9 25

4 4

1 34

6 6

12 5

2 6

8 16

1 4

6. Пятьюдесятью абитуриентами на вступительных экзаменах получены следующие баллы (из 20 возможных): 12 13 18 18

14 17 17 15

19 16 15 15

15 20 14 17

14 14 15 15

18 14 15 16

13 13 18 16

16 17 15 14

17 16 15 14

12 15 19 17

20 19 14 19

17 16 16

15 15 18

7. Результаты исследования прочности 200 образцов бетона на сжатие: Предел прочности (МПа) Количество образцов

[19,20)

[20,21)

[21,22)

[22,23)

[23,24)

[24,25)

10

26

56

64

30

14

8. Продолжительности автомобильных рейсов, определенные по дорожным ведомостям: Продолжительность рейса (суток)

[0,2)

[2,4)

[4,6)

[6,8)

[8,10)

Число рейсов

400

600

900

700

400

9. Распределение частот барометрического давления воздуха в городе Ташкенте с мая по август 1897г.: Давление

(мм рт. ст.) Количество дней Давление (мм рт. ст.) Количество дней

709

710

711

712

713

714

715

716

717

2

7

24

30

44

48

36

35

32

718

719

720

721

722

723

724

725

726

26

23

21

14

12

8

7

2

1

10. Следующее распределение частот было получено в результате эксперимента с разведением мышей: Количество мышей в одном помете (шт.) Частота

1

2

3

4

5

6

7

8

9

7

11

16

17

26

31

11

1

1

11. Длины початков кукурузы в дюймах (с точностью до половины дюйма): Длина початка Частота

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

1

1

8

33

70 110 176 172 124 61

32

10

2

12. При подсчете количества простых чисел в восьмом миллионе весь интервал был разбит на 2000 групп по 500 последовательных чисел в каждой группе. Пусть Х – количество простых чисел в группе, N (х) – число групп, в которых по Х простых чисел. В результате подсчетов получилась таблица 18 Х N(x) 1 32 Х N(x) 203

19 4 33 181

20 5 34 160

21 6 35 141

22 11 36 115

23 18 37 78

24 48 38 63

25 63 39 38

26 70 40 16

27 102 41 15

28 141 42 14

29 149 43 4

30 165 44 1

31 188

– –

Показать, что, если бы простые числа были расположены случайно, дисперсия была бы значительно больше. 13. Приведенные ниже числа представляют собой затраты в долл. на питание 66 семей, каждая из которых состоит из 4 человек (данные конца 1960-х годов). 48 48 48 56 41 43

44 52 28 41 51 40

40 39 47 52 39 45

51 41 52 36 47 44

44 39 33 50 37 53

45 38 40 37 35 46

46 43 45 53 44

57 29 40 42 39

57 45 55 38 32

34 54 45 49 50

38 38 32 46 46

47 28 32 42 41

14. Даны следующие 7 выборок объема 20, сгруппированных по одним и тем же интервалам: [хi-1, хi) [12-15) [15-18) [18-21) [21-24) [24-27)

n i1 2 4 8 4 2

n i2 6 3 2 3 6

n i3 4 4 4 4 4

n i4 1 1 16 1 1

n i5 0 1 18 1 0

n i6 2 3 5 8 2

n i7 2 8 5 3 2

а) Не производя вычислений, на глаз, сравнить следующие пары стандартных отклонений: S1 и S2; S2 и S3; S1 и S4; S4 и S5; S1 и S6; S2 и S6; S6 и S7. в) Вычислить стандартные отклонения. 15. Преподаватели А и В ведут разные курсы у одних и тех же студентов. Преподаватель А, оценивая знания студентов, предлагает им письменные работы и подсчитывает баллы, набранные студентами за ответы на вопросы в работах. Преподаватель В поступает так: всего нужно посетить 24 занятия, за каждое посещение начисляется 2 очка. Баллы, полученные пятью студентами у этих преподавателей, таковы: Студент Преподаватель А Преподаватель В

1 69 48

2 70 42

3 77 44

4 62 46

5 58 46

Вычислить коэффициент вариации баллов у каждого преподавателя. Почему оценкам преподавателя В не следует доверять? 16. Следующие баллы получены пятью студентами у преподавателей X, Y, Z, ведущих три смежных дисциплины: Студент Преподаватель Х Преподаватель Y Преподаватель Z

1 168 36 76

2 190 44 78

3 147 37 85

4 158 38 67

5 179 40 65

Вычислить коэффициенты вариации оценок. Можно ли утверждать, что системы оценок сходны по своим принципам? 17. Варианты выборки называют стандартизированными, если они преобразуются по следующему правилу: xi’ = (xi - x )/S, где xi – старое значение варианты; xi’ – новое значение варианты; x , S – выборочное среднее и стандартное отклонение исходной выборки. а) Показать, что выборочное среднее преобразованной выборки равно 0, а стандартное отклонение равно 1.

б) Стандартизировать баллы студентов из задачи 15 и сравнить успеваемость каждого студента по каждой дисциплине. 18. В приведенной ниже таблице фермы США сгруппированы по величине занимаемых площадей Площадь, занимаемая фермой, акр (1акр ≈ 0,4га) <10 [10-50) [50 -100) [100-180) [180 - 260) [260 - 500) [500 -1000) > 1000 Всего

Число ферм, тыс. 1940 506 1780 1291 1310 486 459 164 101 6097

1964 183 637 542 633 355 451 210 145 3156

а) Почему пришлось прибегнуть к интервалам разной ширины? б) Какие изменения произошли в фермерском хозяйстве США? 19. Ниже приводятся распределения возрастных групп населения США и острова Самоа в 1960г.: Остров Самоа Возраст, лет <5 [5-10) [10-15) [15-20) [20 - 25) [25-35) [35-45) [45 - 55) [55 - 65) ≥ 65 Всего

Численность, млн. чел. 3709 3244 2993 2182 1444 2261 1844 1162 672 540 20051

США

Возраст, лет <5 [5-15) [15-25) [25 – 35) [35 – 45) [45 – 55) [55-65) [65-75) ≥ 75 – –

Численность, млн. чел. 16243 24429 22220 23878 21535 17398 13327 8432 3862 – 151324

а) Найти Q1, ~x , Q3 в каждом случае и объяснить результаты. б) Определить долю населения старше 55 лет в каждой стране. 20. Ниже приводятся два следующих распределения. Годовой денежный доход лиц, окончивших только среднюю школу, и лиц, имеющих высшее образование (4-годичный колледж), данные налоговых

деклараций за 1967 год. % лиц с данным доходом Среднее образование Бакалавры 5,6 3,8 9,2 4,9 31,8 15,5 32,6 25,1 16,2 29,4 4,6 21,3 100 100

Доход, долл. <2000 [2000 - 4000) [4000-7000) [7000-10000) [10000 -15000) ≥15000 Всего

а) Найти Q1, ~x , Q3 для каждой выборки и объяснить результаты. б) Подобрать разумные правые границы для последних интервалов, вычислить x и S для каждой выборки и объяснить результаты 21. Построить кривую Лоренца и найти коэффициент Джини для следующих данных: Группы предприятий по численности занятых, чел. Число предприятий Численность занятых, млн. чел.

[1 - 500)

[500-1000)

[1000-5000)

[5000-10000)

≥10000

4941

1173

1408

202

94

0,99

0,84

2,92

1,36

1,81

22. Построить кривую Лоренца и найти коэффициент Джини для следующих данных: Группы населения, ранжированные по уровню среднедушевого дохода (по 10% от общей численности населения) Удельный вес в совокупном доходе, (%)

1

2

3

4

5

6

7

2,3

5,1

6,0

6,9

7,8

8,6

9,7

8

9

10

11,5 15,8 26,3

3. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Музыку я разъял, как труп. Поверил я алгеброй гармонию. А. Пушкин. Моцарт и Сальери

3.1. ДВУМЕРНЫЕ ВЫБОРКИ До сих пор мы считали, что генеральная совокупность Х – одномерная случайная величина. В результате эксперимента такая случайная величина принимает одно значение – х. Но генеральная совокупность может быть и многомерной случайной величиной. Здесь мы ограничимся случаем двумерных случайных величин (Х, Y). Составляющие двумерного вектора – случайные величины Х и Y - могут быть как зависимыми, так и независимыми. Значения двумерной случайной величины (Х, Y) – это упорядоченные пары чисел (x, y). Выборка объема n из двумерной генеральной совокупности - это набор из n упорядоченных пар (xi,уi), i = =1,2,...,n. Такие выборки называются двумерными. Рассмотрим несколько примеров. 1. Генеральная совокупность (X, Y) – это множество предложений русского языка. Случайная величина Х – число слов в предложении. Случайная величина Y - число букв в предложении. Ниже приводится текст из 10 предложений - отрывок из рассказа А.П. Чехова «Анна на шее». После каждого предложения в скобках указано количество слов (xi) и количество букв (yi) в данном предложении. Пробелы здесь не учитываются. «Поехали на бал. (3,12) Вот и дворянское собрание, и подъезд со швейцаром. (8,41) Передняя с вешалками, шубы, снующие лакеи и декольтированные дамы, закрывающиеся веерами от сквозного ветра; пахнет светильным газом и солдатами. (19,122) Когда Аня, идя вверх по лестнице под руку с мужем, услышала музыку и увидела в громадном зеркале всю себя, освещенную множеством огней, то в душе ее проснулась радость и то самое предчувствие счастья, какое испытывала она в лунный вечер на полустанке. (41,203) Она шла гордая, самоуверенная, в первый раз чувствуя себя не девочкой, а дамой, и невольно походкою и манерами подражая своей покойной матери. (22,106) И в первый раз в жизни она чувствовала себя богатой и свободной. (12,52) Даже присутствие мужа не стесняло ее, так как, перейдя порог собрания, она уже угадала инстинктом, что близость старого мужа нисколько не унижает ее, а, наоборот, кладет на нее печать пикантной таинственности, которая так нравится мужчинам.

(35,197) В большом зале уже гремел оркестр, и начались танцы. (9,42) После казенной квартиры, охваченная впечатлениями света, пестроты, музыки, шума, Аня окинула взглядом залу и подумала: «Ах, как хорошо!» и сразу отличила в толпе всех своих знакомых, всех, кого она раньше отличала на вечерах и гуляньях, всех этих офицеров, учителей, адвокатов, чиновников, помещиков, его сиятельство, Артынова и дам высшего общества, разодетых, сильно декольтированных, красивых и безобразных, которые уже занимали свои позиции в избушках и павильонах благотворительного базара, чтобы начать торговлю в пользу бедных. (72,43) Громадный офицер в эполетах - она познакомилась с ним на Старо-Киевской улице, когда была гимназисткой, а теперь не помнила его фамилии – точно из-под земли вырос и пригласил ее на вальс, и она отлетела от мужа, и ей уже казалось, будто она плыла на парусной лодке, в сильную бурю, а муж остался далеко на берегу.» (53,247) В табличном виде выборка выглядит так: Предложение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Количество слов (xi)

3

8

19

41

22

12

35

9

72

53

Количество букв (yi)

12

41

122

203

106

52

197

42

439

247

2. Из большого мешка, содержащего монеты одинакового достоинства, случайным образом отобраны 10 монет. Каждая монета была взвешена, и для каждой определен ее возраст: Монета Время обращения, лет (xi) Вес, г (yi)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

9

14

17

23

31

35

42

46

50

2,82 2,85 2,80 2,80 2,79 2,78 2,77 2,79 2,75 2,72

3.Результаты подбрасывания двух кубиков: № подбрасывания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Число очков, выпавшее на 1-м кубике

4

6

5

1

1

5

1

5

6

6

Число очков, выпавшее на 2-м кубике

5

1

2

3

6

1

1

6

2

6

3.2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ВЫБОРОК — ДИАГРАММЫ РАССЕЯНИЯ Графическое представление одномерной выборки – это гистограмма. Двумерные выборки удобно представлять с помощью так называемых диаграмм рассеяния. Каждый элемент двумерной выборки представляется точкой на плоскости с координатами (xi, yi), i = 1,2,…,n. Диаграммы рассеяния, представляющие двумерные выборки из наших примеров, приведены на рис.3.1 – 3.3. На рис. 3.1 хорошо видно, что точки на диаграмме рассеяния группируются относительно некоторой прямой, причем чем больше слов в предложении, тем больше в нем букв. В таком случае говорят, что между числом слов и числом букв в предложении существует положительная линейная корреляция (слово “корреляция” означает связь). Во втором случае (см. рис. 3.2) хорошо заметна отрицательная линейная корреляция между массой монеты и ее возрастом. Точки на третьей диаграмме рассеяния (см. рис. 3.3) расположены хаотически. Следует допустить отсутствие связи между числом очков, выпавшим на первом кубике, и числом очков, выпавшим на втором. Другими словами разумно предположить, что случайные величины Х и Y- числа очков, выпавшие на первом и втором кубике соответственно, независимы.

Слова и предлож ения

y 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

x=0,17y+2,63 y=5,71x-10,36

x 0

10

20

30 Рис. 3.1

40

50

60

70

80

Монеты y 2,88

x=-348,84y+999,4 2,84

y=-0,002x+2,84

2,8 2,76 2,72

x

2,68 0

10

20

30

40

Рис. 3.2

Кубики

y

6 5

. 3. 2

4 3 2 1

x

0 0

1

2

3 Рис. 3.3

4

5

6

50

3.3. ВЫБОРОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ — ЧИСЛОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДВУМЕРНОЙ ВЫБОРКИ В теории вероятностей числовой мерой линейной связи между случайными величинами Х и Y служит коэффициент корреляции ρ(Х,Y), определяемый по формуле

ρ( X , Y) =

M( XY) − MX) ⋅ M(Y) . σ ( X ) ⋅ σ (Y)

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами: 1. Если X и Y независимы, то ρ(Х,Y) = 0. 2. | ρ(Х,Y) | ≤ 1. 3. | ρ(Х,Y) | = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y = aX + b. В математической статистике аналогом является выборочный коэффициент корреляции r, определяемый по формуле

1 n ∑ xi y i − x y n r = i =1 . SxS y Нетрудно убедиться в следующих свойствах выборочного коэффициента корреляции: | r | ≤ 1. 1. 2. | r |= 1 тогда и только тогда, когда точки (xi, yi) лежат на одной прямой. Если точки (xi, yi) расположены на диаграмме рассеяния 3. хаотически, то значение r весьма близко к нулю. Значение r может оказаться близким к нулю и в случае группировки точек относительно некоторой кривой, например, параболы. Вычислим значение выборочного коэффициента корреляции для наших трех случаев. Для удобства будем использовать таблицы. Пример с текстом (табл. 3.1). i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi 3 8 19 41 22 12 35 9 72

yi 12 41 122 203 106 52 197 42 439

xi yi 36 328 2318 8323 2332 624 6895 378 31608

xi2 9 64 261 1681 484 144 1225 81 5184

Таблица 3.1 yi2 144 1681 14884 41209 11236 2704 38809 1764 192721

10 Сумма

53 274

247 1461

13091 65933

Окончание табл. 3.1 2809 61009 12042 366161

Отсюда: x = 27,4; Sx2 = 1204,2 – 27,42 = 453,44; Sx = 21,3; 2 2 y = 146,1; Sy = 36616,1 – 146 = 15270,9; Sy 123,58; 1 10 x i y i = 6593,3; r = 6593 ,3 − 27 , 4 ⋅ 146 ,1 = 0,984 . ∑ 10 i =1 21,3 ⋅ 123 ,58

=

Это значение весьма близко к единице. Число букв и число слов в предложении почти линейно зависят друг от друга. Пример с монетами (табл. 3.2) Таблица 3.2 yi2

i

xi

yi

xi yi

xi2

1

5

2,82

14,1

25

7,95

2

9

2,85

25,65

81

8,12

3

14

2,80

39,2

196

7,84

4

17

2,80

47,6

289

7,84

5 6 7

23 31 35

2,79 2,78 2,77

64,17 86,18 96,95

529 961 1225

7,78 7,73 7,67

8

42

2,79

117,18

1764

7,78

9

46

2,75

126,5

2116

7,56

10

50

2,72

136

2500

7,40

Сумма

272

27,87

753,53

9686

77.67

r=

75,353 − 27,2 ⋅ 2,787 = -0,83 . 15,13 ⋅ 0,036

Такое значение r указывает на достаточно сильную отрицательную линейную зависимость между возрастом монеты и ее массой. Пример с кубиками (табл. 3.3). i 1 2 3 4 5 6

xi 4 6 5 1 1 5

yi 5 1 2 3 6 1

xi yi 20 6 10 3 6 5

xi2 16 36 25 1 1 25

Таблица 3.3 yi2 25 1 4 9 36 1

7

1

1

1

i 8 9 10 Сумма

xi 5 6 6

yi 6 2 6

xi yi 30 12 36

1 Окончание xi2 25 36 36

40

33

129

202

1 табл. 3.3 yi2 2 36 4 36 153

12,9 − 4 ⋅ 3,3 = -0,07 2,05 ⋅ 2,1 Такое маленькое значение r указывает на отсутствие связи между результатами бросаний кубиков, что соответствует интуитивному представлению о независимости бросаний. 1 n В дальнейшем выражение ∑ x i y i − x y будем обозначать через Sxy n 1 и назовем его выборочной ковариацией. r=

3.4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Обратимся к примеру с текстом. На рис. 3.1 хорошо видно, что точки (хi, уi) группируются около прямой. Естественным образом возникает задача подбора уравнения этой прямой. Например, для того, чтобы предсказать, сколько примерно букв будет содержать предложение с заданным количеством слов, можно подобрать два уравнения: y = ax + b (независимая переменная - число слов, функция – число букв); x = cy + d (независимая переменная - число букв, функция – число слов). Каждое из таких уравнений называется уравнением регрессии. (Слово “прогресс” означает развитие, движение вперед, слово “регресс” означает упрощение, движение назад). В случае уравнения y = ax + b говорят о регрессии y на x; в случае уравнения x = cy + d говорят о регрессии x на y. В нашем примере каждая из переменных, как x, так и y, может быть объявлена независимой. Возможны ситуации, когда независимая переменная определяется однозначно. Например, можно исследовать растворимость некоторого вещества (переменная y) в зависимости от температуры растворителя (переменная x). Здесь x – независимая переменная, ее значение можно установить заранее, а y – статистически зависимая переменная. Исследуется только зависимость y от x. Допустим, мы хотим подобрать коэффициенты уравнения y = ax + b так, чтобы это уравнение наилучшим образом соответствовало экспериментальным данным (xi, yi); i = 1,2,…,n. Но ведь понятие

«наилучшим образом» не является строгим. Между точками на рис. 3.1 можно провести бесконечно много «хороших» прямых. Какая же из них «лучшая»? Общепринятым способом определения неизвестных коэффициентов уравнения регрессии является метод наименьших квадратов, разработанный А. Лежандром (1806 ) и К. Гауссом (1821 ). Идея метода наименьших квадратов такова. Пусть нужно подобрать неизвестные коэффициенты a1, a2,…,ak уравнения регрессии y = f(a1,a2,...,ak, х). Рассмотрим экспериментальную точку (xi,yi) и вычислим отклонение ординаты уi точки от теоретического значения f(a1,a2,...,ak, хi) (рис.3.4).

Рис. 3.4

di= уi – f(a1,a2,...,ak, хi) , i = l,2,...,n. Неизвестные значения a1,a2,...,ak подберем из условия минимизации суммы квадратов отклонений di: n

n

S = ∑d i = ∑[ yi − f (a1, a2 ,...ak , xi )] ⎯ ⎯→min . i=1

2

2

i=1

Необходимое (здесь и достаточное) условие существования экстремума функции нескольких переменных − равенство нулю всех частных производных. Если приравнять нулю частные производные

∂S ∂S ,…, , получится ∂ a1 ∂ak

система из k уравнений для определения k неизвестных чисел a1,a2,...,ak. Составим эту систему и решим ее в случае линейного уравнения регрессии. Нужно определить два неизвестных коэффициента а и b уравнения прямой y = ax + b. Имеем

n

S = ∑[ yi − (axi + b)] ⎯ ⎯→min; 2

i =1

n n ∂S ∂S = −2∑ xi [ yi − (axi + b)] = 0; = −2∑ [ yi − (axi + b)] = 0. ∂a ∂ b i=1 i=1

Раскрывая скобки, получаем: n n ⎧ n 2 ⎪a∑x i + b∑xi = ∑xi yi , ⎪ i =1 i =1 i =1 ⎨ n n ⎪a x + bn = y . ∑ i i ⎪⎩ ∑ i =1 i =1 Разделим второе уравнение системы на n. Уравнение примет вид y = a x + b, откуда b = y – a x . Разделим на n первое уравнение системы и подставим в него полученное выражение b через a. После несложных преобразований имеем: 2

aSx = Sxy ⇒ a =

S xy Sx

2

.

Итак, b= y –ax . a = Sxy / S x2 ; Уравнение y = ax + b можно переписать в виде S xy ( y − y ) = 2 (x − x ) , Sy следовательно, наша прямая проходит через точку ( x ; y ) . Аналогично определяют коэффициенты c и d линейного уравнения регрессии x на y, x = cy + d. c = Sxy / S y2 d = x – c y . Само уравнение можно записать так: S xy (x − x ) = 2 ( y − y ) . Sy В этом случае минимизируется сумма квадратов отклонений по координате x: n

n

[

]

S = ∑di = ∑ x i − (cyi − d ) ⎯ ⎯→min . i =1

2

i =1

2

Найдем коэффициенты линейных уравнений регрессии y на x и x на y для примеров с текстом и монетами. Все необходимые расчеты уже были

сделаны при вычислении коэффициентов корреляции (см. пункт 4.3). Пример с текстом: 1 10 y =146,1; x =27,4; ∑ x i y i = 6593,3; 10 i =1 Sx2 = 453,44; Sy2 = 15270,9.

Тогда Sxy = 6593,3 – 27,4 * 146,1 = 2590,3; S xy 2590 ,16 a= = = 5,71; 2 453 ,44 Sx b = y – a x = 146,1 – 5,71 * 27,4 = -10,42.

Уравнение регрессии y на x таково: y = 5,71x –10,42. Вычислим несколько значений y для разных x. х

10

20

30

40

50

60

70

у

46,7

103,8

160,9

218,0

275,1

332,2

389,3

Найдем коэффициенты c и d уравнения регрессии x на y. S xy 2590 ,16 c= 2 = = 0,17; d = x – c y = 2,56. 15270 ,9 Sy Тогда x = 0,17y + 2,56. Вычислим несколько значений x для разных y. y

10

50

100

200

300

400

x

4,3

11,1

19,6

36,6

53,6

70,6

Эти прямые приведены на рис. 4.1. Прямые почти совпадают – еще одно доказательство сильной линейной зависимости между числом слов и числом букв в предложении. Пример с монетами. 1 10 x i y i = 75,353; Sx2 = 228,76; Sy2 = ∑ 10 i =1 0,00129; S xy − 0,45 a = = = − 0,002 ; Sxy = 75,353 – 27,2 * 2,787 = -0,45; 2 228 ,76 Sx b = y – a x = 2,787 + 0,002 * 27,2 = 2,84. Тогда y=-0,002x + 2,84. Коэффициент a отрицателен и очень мал. Несколько значений y:

x =27,2

; y =2,787;

х y

5 2,83

20 2,80

35 2,77

50 2,74

c=

S xy 2

=

− 0, 45 = − 348 ,84 ; d = x – c y = 999,4. 0,00129

Sy Уравнение регрессии x на y: x = -348,84y + 999,4.

Несколько значений х: у

2,85

2,80

2,79

2,78

2,77

2,75

х

5,2

22,6

26,1

29,6

33,1

40,1

Эти прямые показаны на рис. 3.2. Прямые не так близки, как в случае с текстом, масса монеты не столь жестко связана с ее возрастом, как число слов и букв в предложении. 3.5. ДРУГИЕ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ 3.5.1. Парабола второго порядка

Уравнение имеет вид y = ax2 + bx + c. Метод наименьших квадратов дает такую систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов а, b, c:

⎧ 4 3 2 2 ⎪a∑ x i + b∑ x i + c∑ x i = ∑ x i y i ; i i i ⎪ i ⎪ 3 2 ⎨a∑ x i + b∑ x i + c∑ x i =∑ x i y i ; i i i ⎪ i ⎪a x 2 + b x + cn = y . ∑i i ∑i i i ⎪⎩ ∑ i 3.5.2. Показательная функция

Уравнение имеет вид y = bxa. Прологарифмируем левую и правую части, для определенности вычислим натуральные логарифмы ln(y) = a·ln(x) + ln(b). Обозначим ln(y) через y1, ln(x) через x1, ln(b) через b1. Получаем уравнение относительно неизвестных коэффициентов а и b1: y1 = ax1 + b1 Определив по методу наименьших квадратов числа a и b1, найдем b = eb1.

3.5.3. Степенная функция

Уравнение имеет вид y = bax. Прологарифмировав левую и правую части, получим линейное уравнение относительно неизвестных параметров y1 = a1x + b1,

где y1 = ln(y), a1 =ln(a), b1 = ln(b). После определения параметров a1 и b1 находим числа a и b: a = ea1, b = eb1. 3.5.4. Гиперболическая функция

Уравнение имеет вид y =

1 . ax + b

1 , получим линейное уравнение относительно а и b: y y1 = ax + b. О более сложных уравнениях регрессии можно прочитать в специальной литературе по корреляционному и регрессионному анализу. Положив y1 =

3.5.5. О квазилинейном уравнении регрессии

Уравнение регрессии будем называть квазилинейным, если оно имеет вид y (a1 , a 2 ,..., a k , x) = a1 f1 ( x) + a 2 f 2 ( x) + ... + a k −1 f k −1 ( x) + a k . Здесь a1 , a 2 ,..., a k − неизвестные параметры уравнения регрессии, f1(x), f 2 ( x), ..., f k −1 ( x) − заданные функции аргумента x. Это уравнение линейно относительно неизвестных параметров, метод наименьших квадратов дает такую линейную систему уравнений для определения значений a1 , a 2, ..., a k

⎧a ∑ f 2(x ) + a ∑ f (x ) f (x ) +L+ a ∑ f (x } f 2 1 i 2 i k −1 1 i k −1(xi ) + ak ∑ f1(xi ) = ∑ f1(xi ) yi; ⎪1 1 i i i i i ⎪ i ⎪a ∑ f (x ) f (x ) + a ∑ f 2(x ) +L+ a ∑ f (x ) f (x ) + a ∑ f (x ) = ∑ f (x ) y ; 2 2 i 2 i k−1 i 2 i 2 i i k−1 k ⎪1i 1 i 2 i i i i i ⎪⎪ ⎨........................................................................................................................................ ⎪ 2 ⎪a1∑ f1(xi ) fk−1(xi ) + a2∑ f2(xi ) fk−1(xi ) +L+ ak−1∑ fk−1(xi ) + ak ∑ fk−1(xi ) = ∑ fk−1(xi ) yi ; i i i i ⎪ i ⎪a f (x ) + a f (x ) +L+ a 2∑ 2 i k−1∑ fk−1(xi ) + akn = ∑yi. ⎪ 1∑ 1 i i i i ⎪⎩ i ) Обозначим теоретические значения у (a1 , a 2 , L , a k , xi ) через y i ( xi ) ) или просто у i . Левая часть последнего уравнения системы − сумма теоретических значений величины y, правая часть этого уравнения − сумма выборочных (экспериментальных) значений этой величины. Таким образом, в случае квазилинейного уравнения регрессии, суммы теоретических и эксперименn

n ) ∑ yi = ∑ yi .

тальных значений величины y равны,

i =1

i =1

Умножим теперь первое уравнение системы на a1, второе − на a2,…, последнее, k-е уравнение, умножим на ak. и сложим все уравнения. В результате получим равенство n

)2 n ) ∑ yi = ∑ yi yi или

i =1

i =1

n

) )

∑ y i ( y i − y i ) = 0.

i =1

) ) Рассмотрим разность y i − y = ( y i − y i ) + ( y i − y ). Обозначим через ) ) ui разность y i − y i . Из доказанных свойств величин y i вытекает, что n 1 n ) ) 1 n ) u = 0 ; u ( y − y ) = 0 ; y = ∑ y i = y. ∑ i ∑ i i n i =1 n i =1 i =1 Отсюда следует равенство 1 1 1 ) ( y i − y ) 2 = ∑ u i2 + ∑ ( y i − y ) 2 . ∑ n i n i n i

u=

Другими словами

s 2y = s u2 + s 2y) ,

где s 2y − дисперсия экспериментальных значений yi; s 2y) − дисперсия ) теоретических значений y i . Она называется объясненной дисперсией, ) ведь значения y i однозначно определяются уравнением регрессии и

обладают дисперсией только в том смысле, что разным значениям ) аргумента x соответствуют разные значения функции у i ( x) . Число s u2 называется остаточной (необъясненной) дисперсией. Это − дисперсия ) разностей (остатков, отклонений) y i − y i . Эти разности не имеют никакого отношения к уравнению регрессии и поэтому не могут быть объяснены с точки зрения уравнения регрессии. Чем сильнее экспериментальные значения отклоняются от теоретических, тем больше число s u2 , тем хуже уравнение регрессии соответствует экспериментальным данным (объясняет экспериментальные данные). Из сказанного вытекает, что всегда s 2у ≥ s 2у) , и равенство достигается, ) если у i = у i , i = 1,2, L , n. 3.5.6. Пример построения нелинейного уравнения регрессии В качестве примера рассмотрим данные из табл. 3.4, где указаны объемы производства (xi, 1000т) и фермерская цена (уi долл. за 1т), скорректированная на индекс потребительских цен вишни в США в 1954 1969 гг. Таблица 3.4 Год 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 xi

204 260 168 239 192 218 185 266 276 150 344 248 200 198 228 278

yi

267 174 228 208 225 243 227 217 163 345 154 165 299 325 294 188

Как правило, зависимость между ценой и объемом производства товара нелинейна. Диаграмма рассеяния для данного примера показана на рис. 3.5. Какой-либо отчетливой зависимости между значениями величин x и y на диаграмме рассеяния не видно. Но о приблизительно линейной или параболической зависимости сказать все же можно. Подкрепим эти рассуждения расчетами.

350 330 310 290 270 250 230 210 190 170 150 150

y 2(x) y1 (x)

170

190

210

230

250

270

290

310

330

350

Рис. 3.5

Если вычислить по этим данным выборочный коэффициент корреляции, то получим, что r = -0,738, а это достаточно близко к 1. Ниже мы постараемся обосновать, почему парабола все-таки несколько лучше описывает эти данные, чем прямая. Коэффициенты системы линейных уравнений таковы:

∑ xi = 3654;

n = 16;

∑ xi

4

= 560635921000;

∑ xi

∑ xi = 870918; ∑ xi = 216509904; ∑ yi = 3722; ∑ xi yi = 817695; 2

2

3

yi = 187221051.

Система для определения коэффициентов a, b, c параболического уравнения регрессии у = ах2 + bx + с получилась такой: ⎧56063921000a + 216509904b + 870918c = 187221051; ⎪ ⎨216509904a + 870918b + 3654c = 817659; ⎪870918a + 3654b + 16c = 3722. ⎩ Решение этой системы: a = 0,00173; b = -1,723; c = 532,00. 2 Следовательно, у = 0,00173x – 1,723х + 532. Коэффициент а близок к нулю, это означает, что полученная парабола не слишком отличается от прямой линии. Линейное уравнение регрессии, полученное по методу наименьших квадратов, таково: у = -0,887х +435,18. Графики функций y1(x) = -0,00173x2 – 1,723x + 532 и y2(х) = -0,887х + 435,18 показаны на рис. 3.5. Если теперь рассчитать суммы квадратов отклонений: 16

S1 = ∑[y1(x i ) − yi ] , 1

2

16

S2 = ∑[y2 (xi ) − yi ] , 1

2

которые минимизируются при использовании метода наименьших квадратов, то, после округления, S1 = 23953; S2 = 23481. Разница, конечно, невелика, но рассеяние экспериментальных точек вокруг параболы все таки меньше, чем вокруг прямой. 3.6. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ПО СГРУППИРОВАННЫМ ДАННЫМ При большом объеме n двумерной выборки ее группируют, получая т.н. корреляционную таблицу (табл. 3.5). Каждый из диапазонов значений составляющих двумерной выборки разбивают на несколько интервалов, как правило, одинаковой ширины. Затем подсчитывают частоты nij каждого из получившихся прямоугольников группировки – число пар двумерной выборки, попавших в данный прямоугольник. Обозначения: k – число интервалов группировки по составляющей x двумерной выборки; xi – середина i-го интервала группировки по составляющей x; ni – частота i-го интервала группировки по составляющей х, i = 1,2,..,k; m - число интервалов группировки по составляющей у; yj – середина j-гo интервала группировки по составляющей y; lj – частота j-го интервала группировки по составляющей у, j = 1,2,...,m; nij – частоты прямоугольников группировки; n – объем двумерной выборки. Таблица 3.5 Середины интервалов xi

Середины интервалов yi y1 y2 … yj … ym

Сумма частот

x1

n11 n12 … n1j … n1m

n1

x2

n21 n22 … n2j … n2m

n2

……………..

……………..

……………..

xi

ni1 ni2 … nij … nim

ni

……………..

……………..

……………..

xk

nk1 nk2 … nkj … nkm

nk

Сумма частот

l1 l2 … lj … lm

n

Следующие соотношения очевидны:

∑n = ∑l i

i

j

j

= ∑∑ n ij = n; ∑ nij = ni ; i

∑n

j

j

ij

= lj.

i

Расчеты, выполненные по сгруппированной выборке, отличаются, конечно, от расчетов, выполненных непосредственно по исходным данным. Разница получается вследствие перехода к серединам интервалов. Но она, как правило, невелика, а вычисления по сгруппированной выборке получаются намного проще. 3.7. ИНДЕКС КОРРЕЛЯЦИИ Выборочный коэффициент корреляции r является мерой линейной связи между составляющими двумерной выборки. Если такая связь существует, но не является линейной, значение r не может служить ее мерой. Чтобы оценить, насколько хорошо соответствует экспериментальным данным некоторое квазилинейное уравнение регрессии у = f(x), используют индекс корреляции Ryx,, определяемый формулой

)

∑( y(xi ) − y)2 i

Ryx =

∑( yi − y) i

2

=

s 2y) s 2y

=

⎞ ) 2 ⎛⎜ n∑ y(xi ) − ∑ yi ⎟ ⎜ ⎟ i ⎝i ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ n∑ yi − ∑ yi ⎟ ⎜ ⎟ i ⎝i ⎠

2

2

.

2

Если экспериментальные числа уi совпадают с теоретическими значениями у(хi) (точки (хi, уi) на диаграмме рассеяния лежат на кривой y = =f(x)), то Ryx = 1. Так как всегда s 2y ≥ s 2y) , то 0 ≤ R ≤ 1. Чем ближе к 1 число Ryx , тем точнее уравнение регрессии соответствует экспериментальным данным, тем сильнее связь между значениями составляющих двумерной выборки. Пример. Найдем индекс корреляции между объемом производства вишни и ценой вишни (пункт 3.5.5) при описании зависимости многочленом второго порядка. Расчетные данные: 2

n = 16;

∑y = 3722; i

j

y = 232,625;

⎞ ⎛ ⎜ ∑ yi ⎟ = ⎟ ⎜ ⎝ j ⎠

13853284;

∑y j

2 i

= 918446;

n ∑(y( x i ) − y ) = 471442,88; 2

j

Ryx=0,748, что несколько больше, чем модуль выборочного коэффициента корреляции r (r = -0,738). Мы получили подтверждение, что параболическое уравнение лучше соответствует опытным данным, чем линейное. Индекс корреляции не позволяет определить, положительной или отрицательной является корреляция между величинами у и x (растут или убывают значения у с ростом x). Это можно сделать по виду диаграммы рассеяния и графика соответствующего уравнения регрессии. В заключение отметим, что, построив уравнение регрессии x на у (x = =g(y)), можно рассчитать индекс корреляции Rxy ≠ Ryx, т.е. оценить, как x зависит от у.

3.8. ИНДЕКС ФЕХНЕРА И КОРРЕЛЯЦИОНННОЕ ОТНОШЕНИЕ Здесь будут описаны два способа оценки степени связи между составляющими двумерной выборки без использования уравнения регрессии. Прежде всего, постараемся уточнить, что подразумевается под термином «связь». Ведь если нет уравнения у = f(x), связывающего аргумент x и зависимую переменную у, понятие «связь» становится расплывчатым. Будем говорить, что между составляющими двумерной выборки существует положительная корреляция (связь), если с ростом значений x значения y проявляют тенденцию к возрастанию. Соответственно говорят об отрицательной корреляции между x и у, если с ростом значений x значения у проявляют тенденцию к убыванию. Конечно, и формулировку «проявлять тенденцию к» нельзя назвать строгой. Но на интуитивном уровне она представляется понятной. Г.Фехнер (1801 - 1887), немецкий психолог, предложил очень простой способ оценки степени такого рода связи. Для определения индекса Фехнера вычисляют средние x , y , а затем для каждой пары (xi, уi) определяют знаки отклонений хi – x , уi – y . Для каждой пары (xi, yi) возможны четыре сочетания знаков: + +; + —; — +; — —. Обозначим через V количество совпадений, через W – количество несовпадений знаков. Половину случаев хi = x или уi = y относят к V, половину – к W. Индекс Фехнера i определяется формулой i = (V-W)/(V+W). Ясно, что -l ≤ i ≤ l и что при i > 0 имеем положительную корреляцию, при i < 0 – отрицательную, при i = 0 связь в указанном нами смысле отсутствует. Найдем индексы Фехнера для примеров из §3.1. Пример с текстом. Пары знаков получаются такими: (- -), (- -), (- -), (+ +), (- -), (- -) (+ +) (- -) (++), (++).

Отсюда V = 10, W = 0, i1 = l. Пример с монетами. Пары знаков следующие: (- +), (- +), (- +), (- +), (- +), (+ -), (+ -) (+ +), (+ -), (+ -). Значит V = 1, W = 9, i2 = -0,8. Пример с кубиками. Последовательность пар знаков: (0 +), (+ -), (+ -), (- -), (- +), (+ -), (- -). (+ +), (+ -), (+ +). Если просто не учитывать первую пару (x1 = x = 4), то V = 4, W = 5, i3 = -0,11. Если поделить единицу пополам, то V = 4,5 ; W = 5,5, i3 = -0,1. Корреляционное отношение как мера тесноты связи между составляющими двумерной выборки было предложено К. Пирсоном. Оно вычисляется по корреляционной таблице, а расчетная формула аналогична формуле для индекса корреляции. В дополнение к обозначениям §3.6 введем еще одно. Через y i обозначим т.н. частное среднее значений у для i-го значения х:

1 m yi = ∑ y j n ij , i = 1,2, … , k. ni j =1 По аналогии с индексом корреляции, корреляционное отношение ηyx вводится так: 2

⎞ ⎛m 2 ⎟ ⎜ n y n y l − ( yi − y) ni ∑ i i ∑ ⎜∑ j j ⎟ i =1 ⎠ . ⎝ j=1 ηyx = im=1 = 2 m m 2 ⎛ ⎞ (y j − y) l j n∑ y j 2l j − ⎜ ∑ y j l j ⎟ ∑ ⎜ ⎟ j =1 j =1 ⎝ j=1 ⎠ k

n

2

Напомним, что k – число интервалов группировки по составляющей x двумерной выборки; xi – середина i-го интервала группировки по составляющей x; ni – частота i-го интервала группировки по составляющей х, i = 1,2,..,k; yj – середина j-гo интервала группировки по составляющей y; m - число интервалов группировки по составляющей у; lj – частота j-го интервала группировки по составляющей у, j =1,2,...,m; nij – частоты прямоугольников группировки; n – объем двумерной выборки. Если все точки на диаграмме рассеяния сгруппированной выборки

лежат на горизонтальной прямой, то все частные средние y i равны y . y i = y , i = 1,2, … , k ⇒ ηyx = 0. Тогда говорят об отсутствии связи между значениями x и у. Если все точки на диаграмме рассеяния сгруппированной выборки лежат на некоторой прямой (кроме горизонтальной), то ηyx = 1. В остальных случаях 0 < ηyx < 1. Величина ηyx зависит от группировки. Как правило, с ростом числа интервалов группировки по переменной x корреляционное отношение растет. По аналогии с числом ηyx можно рассчитать число ηxy ≠ ηyx, если считать x зависимой переменной, а у – независимой переменной. Пример. На металлообрабатывающем заводе у 60 марок стали провели замеры предела текучести F(x, кг/мм2) и предела прочности σв (y, кг/мм2). В итоге получили 60 пар значений, представленных в табл. 3.6. Предполагается, что большие значения F обуславливают большие значения σв; марки стали с низким пределом текучести имеют и низкий предел прочности. Для обоснования гипотезы о высокой положительной корреляции между пределом прочности и пределом текучести сгруппируем выборку (табл. 3.7) и рассчитаем числовые характеристики. F xi 154 133 58 145 94 113 86 121 119 112 85 41 96 45 99

σв yi 178 164 75 161 107 141 97 127 138 125 97 72 113 88 109

F xi 51 101 169 87 88 83 106 92 85 112 98 103 99 104 107

σв yi 95 114 209 101 139 98 III 104 103 118 102 108 119 128 118

F xi 98 97 105 71 39 122 33 78 114 125 73 77 47 68 137

σв yi 140 115 101 93 69 147 52 117 138 149 76 85 61 85 142

F xi 44 92 141 155 136 82 136 72 66 42 113 42 133 153 85

Таблица 3.6 σв yi 69 116 157 193 155 81 163 79 81 61 123 85 147 179 91

Внешний вид табл. 3.7 несколько отличается от вида табл. 3.5, иллюстрирующей двумерную группировку. Табл. 3.7 построена так, чтобы можно было легко вообразить диаграмму рассеяния, не строя ее саму. Имеем:

n = 60;

k = 7; m = 8; hx = hy = 20 (длины интервалов группировки). 1 y = (200*2 + 180*2 + 160*5 + 140*9 + 120*13 + 100*14 + 80*10 60 + 60*5) = 114,7; Таблица 3.7 Предел текучести [xi-1, xi], кг/мм Предел прочности, кг/мм2 [190 – 210) [170 – 190) [150 – 170) [130 – 150) [110 – 130) [90 – 110) [70 – 90) [50 – 70) ni

yj

200 180 160 140 120 100 80 60

2

[30 – [50 – [70 – [90 – [110 – [120 – [150 – 50) 70) 90) 110) 130 ) 150) 170) xi 40 60 80 100 120 140 160 2 2 5 1 1 5 2 1 8 4 1 7 6 3 3 4 5 8 4 13 15 9 7 4

mj 2 2 5 9 13 14 10 5 60

1 1 (60*5 + 80*3) = 67,5; y 2 = (80*4 + 100) = 105; 8 4 1 y3 = (160 + 120 + 100*7 + 80*4) = 100; y 4 = 113,3; 13 y 5 = 131,1; y 6 = 154,3; y 7 = 190; y1 =

7

∑ (y i =1

i

− y

)2 n i

= 8*(67,5 – 114,7)2 + 4*(105 – 114,7)2 + 13*(100 – 114,7)2 +

+15*(113,3–114,7)2 + 9*(131,1–114,7)2 +7*(154,3–114,7)2 +4*(190 – 114,7)2 = = 57115,8;

∑ (y 8

i =1

− y ) l j = 2*(200 – 114,7)2 + 2*(180 – 114,7)2 + 5*(160 – 114,7)2 + 2

j

+9*(140 – 114,7)2 + 13*(120 – 114,7)2 + 14*(100 – 114,7)2 +10*(80 – 114,7)2 + +5*(60 – 114,7)2 = 69493,4; ηyx = 0,82. Для справки: коэффициент корреляции r = 0,92, предел прочности и предел текучести связаны сильной линейной зависимостью. 3.9.ЗАДАЧИ 1. Как выражаются коэффициенты линейного уравнения регрессии через выборочный коэффициент корреляции r ?

2. Показать, что выборочный коэффициент корреляции r не изменится, если значения хi, уi подвергнуть преобразованию: хi = хi + a; уi = уi + b; i = 1,2, ... , n. Как изменится выборочный коэффициент корреляции r, если все числа хi умножить на одно и то же число d, все числа y умножить на одно и то же число b, i = 1,2, ..., n? 3. В соответствии с методом наименьших квадратов составить систему уравнений для определения коэффициентов следующих уравнений регрессии: у = a + bex, y = a + b·sinωx + с·cosωx b . (ω – заданное число), y = a + x В задачах 4 - 19 нужно найти числовые характеристики выборки и определить (если r ≥ 0,7) коэффициенты линейного уравнения регрессии х на у, если у можно принять за независимую переменную. 4. Результаты тестирования (баллы) 10 студентов. Первый тест проверяет память (x), второй - способность к логическому мышлению (у): xi yi

5

8

7

10

4

7

9

6

8

6

7

9

6

9

6

7

10

7

6

8

5. Оценка за тест по способностям (х) шести продавцов–практикантов и результаты их работы за первый год (у) в сотнях фунтов проданного товара: xi 25 42 33 54 29 36 yi 42 73 50 90 45 48 6. Снашивание (х) и твердость (у) резины в условных единицах: 21 15 12 22 5 xi 5 6 7 4 8 yi 7. Масса поросят (у) в килограммах в зависимости от возраста (х) в неделях: 1 2 3 4 5 6 7 8 xi yi 2,5 3,9 5,2 6,3 7,5 9,0 10,8 13,1 8. В книге «Основы химии» Д.И.Менделеева приводятся данные о растворимости азотнокислого натрия NaNO3 в зависимости от температуры воды. Указывается, сколько условных частей NaNO3 (у) растворяется в 100 частях воды при соответствующих температурах в oС (х): 0 4 10 15 21 . 29 36 51 68 xi yi 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 113,6 125,1

9. Средняя температура января в г. Саратове (х) и в г. Алатыре (Чувашия) (у) измерялась в течение 13 лет: Год xi yi Год xi yi

1891 -19,2 -21,8 1899 -4,9 -7,4

1892 -14,8 -15,4 1911 -13,9 -15,1

1893 -19,6 -20,8 1912 -9,4 -14,4

1894 -11,1 -11,3 1913 -8,3 -4,1

1895 -9,4 -11,6 1914 -7,9 -10,5

1896 -16,9 -19,2 1915 -5,3 -7,2

1897 -13,7 -13,0 ― ― ―

10. Средняя температура июня в г. Москве (х) и в г. Ярославле (у) измерялась в течение 40 лет: xi 12,0 12,0 12,0 12,0 12,8 13,8 13,1 13,0

yi 10,8 11,3 12,0 13,0 10,9 10,0 11,5 13,0

xi 13,9 11,2 14,0 14,0 13,0 15,0 14,9 15,9

yi 10,1 10,0 10,0 12,0 12,4 11,0 13,0 14,2

xi 15,0 15,0 15,5 15,9 16,0 15,9 16,0 16,9

yi 13,8 16,0 13,9 14,7 13,0 15,0 16,0 12,9

xi 17,2 16,9 16,9 17,0 16,8 17,5 18,0 18,0

yi 13,9 14,8 15,0 16,0 17,0 16,0 14,0 14,0

xi 18,1 18,4 19,2 19,3 20,0 20,1 14,0 14,0

yi 16,0 17,8 15,0 16,1 17,0 17,7 14,8 15,2

11. Объем продажи (х) в миллиардах долларов и чистый доход (у) в миллионах долларов 20 фирм в США: xi yi xi yi

8,9 441 4,4 454

8,4 278 4,2 291

7,4 456 4,2 321

7,2 934 4,1 51

7,0 89 3,8 111

6,1 611 3,8 2

5,9 770 3,6 356

5,8 53 3,5 150

5,5 243 3,3 237

4,8 217 3,2 151

Определяется ли доход объемом продажи? 12. Среднегодовые уровни воды в озере Виктория - Ньянза (х) относительно некоторого фиксированного значения и числа солнечных пятен (у) за 1902 - 1921 гг.: Год 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910

xi -10 13 18 15 29 21 10 8 1

yi 5 24 42 63 54 62 49 44 19

Год 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920

xi -11 -3 -2 4 15 35 27 8 3

yi 4 1 10 47 57 104 81 64 38

1911

-7

6

1921

-5

25

13. Число айсбергов, наблюдавшихся помесячно к Ньюфаундленда (х) и к югу от Большой отмели (у) за 1920 г.: xi

3

10

36

83 130 68

25

13

9

4

3

2

yi

0

1

4

9

3

2

1

0

0

0

18

13

югу

от

14. Число разводов на 1000 жителей в 20 штатах США (у), средний доход на семью (x1) в тыс. долл.; процент городского населения (х2): x1 i 4,9 6,3 6,4 6,2 5,8 6,2 4,2 4,9 5,0 4,6

yi 1,2 1,1 0,4 2,4 2,7 2,1 1,2 1,5 1,9 1,6

х2i 38,5 83,6 85,4 73,4 62,4 73,4 39,3 54,3 55,8 62,9

x1 i 4,9 5,2 5,9 5,8 5,4 5,9 4,9 6,2 5,9 6,7

yi 3,6 3,9 4,0 2,7 3,0 2,4 1,2 3,3 3,2 3,1

х2i 75 47,5 56,8 73,7 65,7 74,9 51,3 68,1 62,2 86,4

15. На сталелитейном заводе обследовали 15 плавок определенного сорта стали. Учитывался угар кремния (х), измеряемый в процентах, и выход стали (у), также измеряемый в процентах. xi yi xi yi

7,9 70,3 4,6 68,2

0,9 85,0 9,7 92,1

3,7 100,0 1,0 91,2

8,1 78,1

6,9 77,9

0,8 98,4

6,0 59,2

7,2 86,8

8,8 70,1

10,2 42,2

11,2 81,9

0,5 97,1

16. Продолжительность послеоперационного лечения в клинике (у) днях и возраст больных (х) в годах, оперировавшихся по поводу грыжи: xi 78 60 68 62 76 76 64 64

yi 9 4 7 35 9 7 5 19

xi 68 79 80 48 35 58 40 19

yi 7 11 4 9 2 4 3 4

xi 79 51 57 51 48 48 66 71

yi 3 5 8 8 3 5 8 2

xi 75 02 65 42 54 43 04 52

yi 7 0 16 3 2 3 3 8

в

17. При исследовании некоторой химической реакции через каждые 5 минут определялось количество вещества (у) в %, оставшееся в системе. Подобрать коэффициенты уравнения у = а + bх + сх2, где х – время после начала реакции в минутах. 0 100

xi yi

7 87,3

12 72,9

17 63,2

22 54,7

27 47,5

32 41,4

37 36,3

18. Барометрическое давление связано с высотой следующим −k z T

соотношением: p / p0 = e , где р - барометрическое давление на высоте z; Т - температура; p0 и k - параметры. По методу наименьших квадратов оценить значения параметров k/T и р0 по результатам наблюдений, проведенных при постоянной температуре: ZI,М

pi, мм рт. ст.

1000 640

1100 595

1200 504

1400 363

1500 310

1600 267

19. Для исследования зависимости давления р насыщенного пара (Н/см2) от удельного объема V (м3/кг) составлена таблица опытных данных: Vi pi

3,334 0,482

1,630 1,034

0,866 2,027

0,423 4,247

0,265 7,164

0,170 0,115 11,480 17,600

Подобрать коэффициенты функциональной зависимости p = aVb. 20. Функциональная зависимость удельного сопротивления кристаллического кварца ρ (Ом·см) от абсолютной температуры Т (K) 1 a +b T

имеет вид ρ =10 . Используя опытные данные, оценить значения параметров а и b. ρi Тi

5*1016 335

4*1015 365

3*1014 400

2*1013 445

2*1012 1,5*1011 500 570

21. Получена выборка наблюдений переменных х и у: xi yi

1 62,1

2 87,2

3 5 6 7 8 109,3 127,3 134,3 136,2 136,9

1010 670

Для представления этих данных предлагается выбрать лучшую из предложенных моделей: x . 2) y = ba x . 3) y = bx a . 4) y = a ln( x) + b . 1) y = a + bx Оценить значения параметров а и b. 22. На заводе производят некоторый материал, твердость которого хотят повысить. Для этого увеличивают содержание некоторого химического вещества. Ниже приведены данные для 20 случайно отобранных образцов. Значения у – твердость образца (условные единицы), значения х – процентное содержание химического вещества относительно некоторого уровня. xi yi xi yi

18 72,2 19 79,1

18 80,1 14 56,4

18 69,8 22 82,4

6 20 9 11 22 58,2 79,7 45,6 58,6 85,4 8 22 11 24 14 55,2 107,8 34,4 115,4 73,5

17 80,1 24 99,5

17 66,7 5 56,8

Подобать коэффициенты линейного и параболического уравнений регрессии. Какое из уравнений больше соответствует экспериментальным данным? 6. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ПИРСОНА (КРИТЕРИЮ χ2) Те, что веруют слепо, - пути не найдут. Тех, кто мыслит, - сомнения вечно гнетут. Опасаюсь, что голос раздастся однажды: «О, невежды! Дорога не там и не тут?» О. Хайям (перевод Г. Плисецкого)

6.1. ПРИМЕР Рассмотрим такую ситуацию. 200 электронных ламп, выбранных наудачу из большой партии, испытывались на продолжительность работы. Результаты (в часах) таковы (табл. 6.1): [xi-1;xi) ni [xi-1;xi) ni

Таблица 6.1 [0;300) [300;600) [600;900) [900;1200) [1200;1500) [1500;1800) 53 41 30 22 16 12 [1800;2100) [2100;2400) [2400;2700) [2700;3000) [3000;3300) ⎯ 9 7 5 3 2 ⎯

Хотелось бы дать разумный ответ на такие вопросы: какую продолжительность работы следует ожидать, если взять наудачу лампу из этой же партии? Какова вероятность, что лампа проработает не менее 1000 часов? Какова вероятность того, что лампа проработает менее 200 часов?

Ответить на эти вопросы легко, если известен закон распределения случайной величины Х – времени работы лампы. Но его-то мы не знаем. Мы располагаем только выборкой (правда, достаточно большой, n = 200) из генеральной совокупности X. Попробуем, пользуясь этой выборкой, подобрать подходящий закон распределения. Построим прежде всего гистограмму (рис. 6.1). h i , f(x) 0,0012 0,001 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002

X

0 300

600

900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300

Рис. 6.1

Высоты прямоугольников таковы: 53 53 41 41 h1 = = = 0,00088 ; h2 = = = 0,00068 ; n ∗ h 60000 n ∗ h 200 ∗ 300 30 30 h3 = = = 0,0005 ; h4 = 0,00037; h5 = 0,00027; h6 = 0,0002; n ∗ h 60000 h7 = 0,00015; h8 = 0,00012; h9 = 0,00008; h10 = 0,00005; h11 = 0,00003. Гистограмма – аналог графика функции плотности вероятности. В нашем случае гистограмма очень похожа на график функции плотности показательного закона. Мы вправе предположить, что большая выборка хорошо представляет генеральную совокупность и что если гистограмма похожа на график экспоненты, то это означает, что выборка извлечена из генеральной совокупности, распределенной по показательному закону с функцией плотности вероятности f(x) = λe-λx. Однако показательный закон зависит от одного параметра – числа λ. Чтобы полностью описать закон, нужно знать, чему равно λ. Подберем значение λ по выборке, причем поступим самым бесхитростным способом. Как известно, математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение, М(Х) = 1/λ. Если наша выборка хорошо представляет генеральную совокупность, мы вправе полагать, что значение выборочного среднего x не слишком отличается от М(Х). Поэтому найдем x и положим λ=1/ x .

1 (150 ⋅ 53 + 450 ⋅ 41 + 750 ⋅ 30 + 1050 ⋅ 22 + 1350 ⋅ 16 + 1650 ⋅ 12 + 200 +1950⋅9 +2250⋅7 + 2550 ⋅ 5 + 2850 ⋅ 3 + 3150 ⋅ 2) = 871,5(ч) . Тогда λ = 1/ x ≈ 0,00115, f(x) = 0,00115e -0,00115x ,x ≥ 0. Вычислим значения f(х) на границах интервалов (табл. 1.2) и построим график функции плотности вероятности прямо на гистограмме (см. рис. 6.1). x=

xi

f(xi) xi f(хi)

0 0,00115 1800 0,000115

300 0,00081 2100 0,0001

600 0,00058 2400 0,00007

900 0,00041 2700 0,00005

1200 0,00029 3000 0,000037

Таблица 6.2 1500 0,0002 3300 0,000026

Не следует увлекаться слишком большим количеством значащих цифр, ведь все наши данные достаточно приближенные. Кривая функции плотности вероятности f(х) очень «ладно» легла на гистограмму. Такое хорошее совпадение гистограммы и графика f(х) прибавляет уверенности в том, что закон распределения генеральной совокупности Х выбран достаточно точно. Попробуем теперь оценить числом расхождение между экспериментальными данными и тем, что должно быть «по теории». Мы можем вычислить теоретическую вероятность рi попадания случайной величины X, распределенной по показательному закону с функцией плотности f(x) = 0,00115е-0,00115x, x ≥ 0 в интервал [xi-1, xi). р(хi-1 < X < xi) = e − λxi −1 − e − λxi = e −0,00115 xi −1 − e −0,00115 xi . Зная вероятность pi, можно вычислить математическое ожидание числа попаданий случайной величины Х в интервал [xi-1, xi) в результате n независимых испытаний, оно равно nрi. Теперь можно найти разность ni - nрi между числом вариант выборки, попавших в интервал [хi-1, хi), и ожидаемым числом попаданий. Чтобы оценить суммарное расхождение между теоретическими и опытными данными, нужно сложить все полученные разности. Чтобы положительные и отрицательные разности не уничтожили друг друга, возведем их в квадрат. Кроме того, важно не абсолютное значение ni - nрi, а относительное (ni,- npi)/npi. Действительно, если ni = 0, nрi = 1, это совсем не одно и то же, что в случае, когда ni = 10, nрi = 11. Относительное отклонение в первом случае равно 1, а во втором − только 1/11. Итак, вычислим прежде всего вероятности рi. р1 = P(0 < X < 300) = e-λ*0 - e-λ*300 = e 0 - e –0,345 = 1- 0,708 = 0,2918; p2 = P(300 < X < 600) = e-λ*300 - e-λ*600 = 0,7082 – 0,5016 = 0,2066; р3 = P(600 < X < 900) = e-λ*600 - e -λ*900 = 0,1464; р4 = 0,1036; р5 = 0,0734; р6 = 0,052; р7 = 0,0368; р8 = 0,0261;

р9 = 0,0185; р10 = 0,0131; р11 = 0,0092. Дальнейшие вычисления приведены в табл. 6.3. Таблица 6.3 [xi-1; xi)

pi

npi

ni

ni - npi

[0;300) [300;600) [600;900) [900;1200) [1200;1500) [1500;1800) [1800;2100) [2100;2400) [2400;2700) [2700;3000) [3000;3300)

0,2918 0,2066 0,1464 0,1036 0,0734 0,0520 0,0368 0,0261 0,0185 0,0131 0,0092 ∑pi = 0,9775

58,36 41,32 29,28 20,72 14,68 10,40 7,36 5,22 3,70 2,62 1,84 ∑npi = 195,5

53 41 30 22 16 12 9 7 5 3 2 ∑ni = 200

-5,36 -0,32 0,72 1,28 1,32 1,60 1,64 1,78 1,30 0,38 0,16

–

–

(ni - npi ) 2 npi 0,490 0,002 0,018 0,079 0,119 0,246 0,365 0,607 0,457 0,056 0,014 χ2 = 2,45

Сумма вероятностей pi равна 0,9775. Это значит, что интервал [0; 3300) охватывает практически все возможные значения выбранного нами теоретического закона. Сумма чисел последнего столбца традиционно обозначается буквой χ2 (читается «хи - квадрат»). В нашем случае 11

χ2 =∑ i =1

(ni − np i ) 2 = 2,45 . np i

Много это или мало? 6.2. НЕМНОГО ТЕОРИИ Только что мы находили число χ2.

(ni − np i ) 2 χ =∑ , np i i =1 где k – число интервалов; ni – частота i-го интервала; рi – теоретическая вероятность попадания случайной величины Х (генеральной совокупности) в i-й интервал; n – число независимых испытаний (объем выборки); nрi – математическое ожидание числа попаданий случайной величины Х в i-й интервал Но на приведенную формулу можно посмотреть и по-другому. Вместо числа ni рассмотрим случайную величину ni (в математической статистике случайные величины и их значения часто обозначаются одними и теми же маленькими буквами). Случайная величина ni - это число появлений 2

k

«успеха» в n независимых испытаниях, где под «успехом» понимается попадание случайной величины Х в i-й интервал. Таким образом, вероятность «успеха» равна рi, а случайная величина ni имеет биномиальное распределение с параметрами n и рi. В частности, M(ni) = npi. Рассмотрим теперь случайную величину χ2, функцию от случайных величин n1, n2, …, nk, определяемую формулой

χ

2

=

k ( n − np ) 2 i i

∑

i =1

np i

.

Еще раз подчеркнем, что в этой формуле n и рi – это числа, а ni – это случайные величины. Имея выборку, мы можем найти значения случайных величин ni, которые они приняли в результате n независимых испытаний, и вычислить затем значение χэксп – экспериментальное значение случайной величины χ2. Можно доказать, что если закон распределения генеральной совокупности Х подобран правильно, то с ростом n случайную величину χ2 можно считать распределенной по так называемому закону распределения χ2. Это непрерывное распределение, формулу функции плотности вероятности которого мы не будем здесь приводить. Распределение зависит от одного параметра r, который называется числом степеней свободы. В нашем случае r = k-1-S, где k – число интервалов; S – число параметров закона распределения, вычисленных по выборке. Возникает естественный вопрос: каким должно быть число n, чтобы его можно было считать «достаточно большим» и пользоваться распределением χ2? Желательно, чтобы n было таким большим, чтобы все произведения npi были не меньше 5 (рекомендация всех учебников по статистике). На самом деле, как показывает практика, вполне достаточно выполнения неравенств nрi ≥ 1, n ≥ 50. Примерный график функции плотности вероятности случайной величины χ2 показан на рис. 6.2.

Рис.6.2

Если закон распределения генеральной совокупности Х подобран правильно, экспериментальное значение χэксп, вычисленное на основании выборки, не может быть слишком большим. Зададимся достаточно большой вероятностью β (β = 0,9; 0,95; 0,99), так что события с вероятностью α = 1 - β будем считать практически невозможными. Вероятность α называют уровнем значимости. С точки зрения подтверждения выдвинутой нами гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х мы должны считать практически невозможными большие значения случайной величины χ2. Мы считаем практически невозможными значения случайной величины χ2 из интервала (χ2кр, ∞), где число χ2кр определяется из условия (см. рис.6.2) p(χ2 > χ2кр) = α . χ2 составлены специальные таблицы Для распределения 2 (приложение 3). По ним можно найти число χ кр, зная α и число степеней свободы r. Число χ2кр сравнивают с числом χ2эксп. Если оказывается, что χ2эксп <χ2кр, то говорят, что с точки зрения принятия выдвинутой гипотезы о законе распределения генеральной совокупности Х произошло достоверное событие. Гипотеза считается не противоречащей опытным данным и принимается. Если же оказывается, что χ2эксп > χ2кр, то выдвинутая гипотеза отвергается, считается, что она противоречит опытным данным. В нашем случае k = 11, r = 11 - 1- 1 = 9 (по выборке был определен один параметр - λ). Если положить β = 0,95 (α = 0,05 - наиболее употребительное значение уровня значимости), то по таблице распределения χ2 находим, что χ2кр = 16,92. Между тем χ2эксп = 2,45 < χ2кр. Так что мы можем считать, что случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром λ = 0,00115. Если бы мы объединили три последних интервала в один, то имели бы: r = 9 - 1 - 1 = 7; χ2кр = 14,07; χ2эксп = 2,33 < χ2кр. Случайная величина χ2 называется критерием χ2. Критерий χ2 был предложен Карлом Пирсоном в 1900 г. До этого времени совпадение экспериментальных результатов с теоретическими оценивалось по тому, как они выглядят на графике. Нам осталось ответить на вопросы, поставленные в пункте 6.1. Мы считаем справедливым показательный закон с параметром λ = 0,00115. Следовательно, М(Х) =1/λ ≈ 870 (ч). р(Х > 1000) = е-λ*1000 - е-∞ = е-1,15 ≈ 0,32; р(Х < 200) = е0 - е-λ*200 = 1 - е-0,23 ≈ 0,21.

1.3. ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ 6.3.1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Заказчику необходимы валы с допустимым отклонением диаметра от номинального размера ±0,1 мкм. Прежде чем покупать партию из 1000 валов, он приобрел партию из 200 валов, чтобы оценить ожидаемую долю неподходящих ему изделий. Результаты измерений представлены в табл. 6.4. Таблица 6.4 200 отклонений диаметра вала от номинального размера (мкм)

Середина интервала Частота Середина интервала Частота

-0,14 3 0,00 18

-0,12 8 0,02 17

-0,10 11 0,04 17

-0,08 20 0,06 8

-0,06 27 0,08 4

-0,04 36 0,10 1

-0,02 29 0,12 1

Здесь h = 0,02 мкм; n = 200; nh = 4. Гистограмма показана на рис.6.3. Высоты гистограммы таковы: h1 = 0,75; h2 = 2; h3 = 2,75; h4 = 5; h5 = 6,75; h6 = 9; h7 = 7,25; h8 = 4,5; h9 = h10 = 4,25; h11 = 2; h12 = 1; h13 = h14 = 0,25. Числовые характеристики: x = - 0,028 (мкм); S = 0,05 (мкм). Судя по гистограмме, можно заключить, что случайная величина Х – отклонение диаметра вала от номинального – имеет нормальное распределение. Функция плотности нормального закона зависит от двух параметров – а и σ : f ( x) =

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 σ⋅

e 2π

−( x − a ) 2 2⋅σ 2

.

hi, f(x)

X

-0,15 -0,13 -0,11 -0,09 -0,07 -0,05 -0,03 -0,01 0,01

Рис. 6.3

0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13

Как известно, М(Х) = а, σ (Х) = σ. Для определения а и σ положим, что а = x , σ = S. Отсюда a = - 0,03; σ = 0,05 (значение x округлено, исходя из соображений здравого смысла). Тогда

f ( x) =

1

e

−( x + 0,03) 2 − 200( x + 0,03) 2 . 2⋅0,0025 = 8 ⋅ e

0,05 ⋅ 2π Значения функции плотности вероятности на границах интервалов таковы (табл. 1.5): -0,15 0,45 0,01 5,81

xi f(xi) хi f(xi)

-0,13 1,08 0,03 3,89

-0,11 2,22 0,05 2,22

-0,09 3,89 0,07 1,08

-0,07 5,81 0,09 0,45

Таблица 6.5 -0,03 -0,01 8,00 7,38 0,13 – 0,05 –

-0,05 7,38 0,11 0,16

График функции плотности вероятности показан на рис. 6.3. Вычислим теоретические вероятности попадания в интервалы. Формула вычисления вероятности попадания в интервал [xi-1; xi) нормально распределенной случайной величины Х такова: ⎛x −a⎞ ⎛x −a⎞ p( xi −1 < X < xi ) = Ф⎜ i ⎟ − Ф⎜ i −1 ⎟, σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝ где Ф(х) – функция Лапласа. Значения функции Лапласа приведены в приложении 1. Отсюда: ⎛ − 0,13 + 0,03 ⎞ ⎛ − 0,15 + 0,03 ⎞ p1 (−0,15 <X< − 0,13) = Ф⎜ ⎟ − Ф⎜ ⎟ = −0,477 − (−0,492) = 0,015 ; 0,05 0,05 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − 0,11 + 0,03 ⎞ ⎛ − 0,13 + 0,03 ⎞ p 2 (−0,13 <X< − 0,11) = Ф⎜ ⎟ − Ф⎜ ⎟ = −0,445 − (−0,477) = 0,032 . 0,05 0,05 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Дальнейшие вычисления приведены в табл.6.6. Из-за того, что значение параметра a случайно совпало с одной из границ, значения вероятностей Рi оказались симметричны относительно интервала (-0,05; -0,01). Два последних интервала [0,09; 0,11) и [0,11; 0,13) объединены ввиду их малочисленности. Положим α = 0,05. Число степеней свободы r = 13 - 2 - 1 = 10, χ2кр = =18,3 > χ2эксп = 8,06. Нет оснований отвергнуть выдвинутую нами гипотезу о нормальном законе распределения отклонений диаметра вала от номинального значения. Таблица 6.6 [хi-1; xi) −

⎛ xi − a ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ -2,4

⎛x −a⎞ Ф⎜ i ⎟ σ ⎝ ⎠

pi

npi

ni

ni -npi

(ni − np i ) 2 np i

-0,492

−

−

−

−

−

[-0,15;-0,13) [-0,13;-0,11) [-0,11; -,09) [0,09;-0,07) [-0,07,-0,05) [-0,05;-0,03) [-0,03;-0,01) [-0,01;0,01) [0,01;0,03) [0,03;0,05) [0,05;0,07) [0,07;0,09) [0,09;0,10 [0,11;0,13)

-2 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2

-0,477 -0,445 -0,387 -0,288 -0,155 0,000 0,155 0,288 0,387 0,445 0,477 0,492 0,497 0,499

0,015 0,032 0,058 0,099 0,133 0,155 0,155 0,133 0,099 0,058 0,032 0,015 0,005 0,002

∑

–

–

0,991

3 6,4 11,6 19,8 26,6 31 31 26,6 19,8 11,6 6,4 3 1,0 ⎫ ⎬ 0,4⎭ 198,2

3 8 11 20 27 36 29 18 17 17 8 4 1⎫ ⎬ 1⎭ 200

0 1,6 -0,6 0,2 0,4 5 -2 -8,6 -2,8 5,4 1,6 1

0 0,4 0,03 0,002 0,006 0,81 0,13 2,78 0,4 2,51 0,4 0,33

0,6

0,26

–

8,06

Оценим долю валов, подходящих заказчику. Вероятность того, что диаметр вала соответствует требованиям заказчика равна p (−0,1<X<0,1) = ⎛ 0,1 + 0,03 ⎞ ⎛ − 0,1 + 0,03 ⎞ = Ф⎜ ⎟ − Ф⎜ ⎟ = Ф(2,6) + Ф(1,4) = 0,495 + 0,419 = 0,914. 0 , 05 0 , 05 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ В среднем около 9 % валов окажутся непригодными для заказчика. 6.3.2. Проверка гипотезы о равномерном

законе распределения В течение 10 часов регистрировали время прибытия машин к бензоколонке (табл. 6.7). Таблица 6.7 Время прибы[8-9) [9-10) [10-11) [11-12) [12-13) [13-14) [14-15) [15-16) [16-17) [17-18) тия (часы) 22 30 22 16 28 13 17 20 17 15 ni

При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что время прибытия машин – случайная величина, имеющая равномерное распределение. Построим гистограмму. Так как n = 200, h = 1, то высоты гистограммы таковы: 22 30 h1 = = 0,11 ; h2 = = 0,15 ; h3 = 0,11; h4 = 0,08; h5 = 0,14; h6 = 0,065; 200 200 h7 = 0,085; h8 = 0,1; h9 = 0,085; h10 = 0,075. Гистограмма приведена на рис. 6.4.

Если мы считаем, что время прибытия машин имеет равномерное распределение, мы должны определить два параметра (a и b) равномерного закона. Как известно, функция плотности вероятности f(х) равномерного закона такова: ⎧ 1 , a〈 x 〈 b ⎪ f ( x) = ⎨ (b − a) . ⎪⎩ 0, x ∉ (a, b)

0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0

h i, f(x) ________________________________________________________

X 8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Рис.6.4

(b − a ) 2 b−a a+b ; σ( x ) = . ; D( x) = 2 12 2 3 Так что для определения а и b можно записать два уравнения: ⎧a + b ⎪ 2 = x; ⎨b − a ⎪ = S, 2 3 ⎩ откуда a = x − S 3 ; b = x + S 3 . Но мы поступим проще и разумнее. Наша выборка расположена на интервале (8,18), поэтому положим: a = 8, b = 18, f(x) = 0,1 (x∈(8,18)). График функции плотности вероятности f(x) также показан на h рис.6.4.Все теоретические вероятности рi одинаковы и равны = 0,1. (b − a ) Дальнейшие расчеты представлены в табл.6.8. Таблица 6.8

При этом M ( x) =

[хi-1; xi)

pi

npi

ni

ni - npi

[8;9) [9;10) [10;11) [11;12)

0,1 0,1 0,1 0,1

20 20 20 20

22 30 22 16

2 10 2 -4

(ni − np i ) 2 np i 0,2 5 0,2 0,8

[12,13) [13;14) [14;15) [15,16) [16;17) [17;18) –

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 ∑pi = l

20 20 20 20 20 20 ∑npi = 200

28 13 17 20 17 15 ∑ni = 200

8 -7 -3 0 -3 -5 –

3,2 2,45 0,45 0 0,45 1,25 2 χ эксп = 14

Итак, χ2эксп = 14. Найдем χ2кр. Мы не определяли по выборке параметров закона - время работы бензоколонки задано заранее. Поэтому число степеней свободы r = 10 - 1 = 9. Тогда χ2кр = 16,9 > χ2эксп. Выдвинутую гипотезу можно принять. 6.3.3. Проверка гипотезы о биномиальном законе распределения Семь монет подбрасывались 1536 раз. Каждый раз отмечалось число Х выпавших гербов (табл. 6.9). Таблица 6.9 xi

0

1

2

3

4

5

6

7

ni

12

78

270

456

386

252

69

13

При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что монеты правильные. Если все монеты правильные, то вероятность выпадения герба для каждой из них равна р = 0,5. Тогда случайная величина Х – число выпавших гербов при бросании семи монет – имеет биномиальное распределение с параметрами n = 7 и р = 0,5. Биномиальное распределение дискретно, поэтому нужно вычислить теоретические вероятности рi каждого из 8 возможных значений случайной величины X. Эти вероятности считают по формуле Бернулли: p(X = 0) = C70p0q7 = 0,57 = 0,0078; p(X = 1) = C71p1q6 = 7*0,57 = 0,055; p(X = 2) = C72p2q5 = 21*0,57 = 0,164; p(X = 3) = C73p3q4 = 35*0,57 = 0,273; p(X = 4) = C74p4q3 = 35*0,57 = 0,273; p(X = 5) = C75p5q2 = 21*0,57 = 0,164; p(X = 6) = C76p6q1 = 7*0,57 = 0,055; p(X = 7) = C77p7q0 = 0,57 = 0,0078. Теперь можно вычислить математические ожидания чисел появлений каждого из значений случайной величины Х при 1536 бросаниях семи монет, сравнить их с экспериментальными данными и вычислить χ2эксп. Результаты сведены в табл. 6.10. Таблица 6.10 хi

pi

npi

ni

ni - npi

0

0,0078

12

12

0

(ni − np i ) 2 np i 0

1 2 3 4 5 6 7 –

0,055 0,164 0,273 0,273 0,164 0,055 0,0078 ∑pi = l

84 252 420 420 252 84 12 ∑npi = 1536

78 270 456 386 252 69 13 ∑ni = 1536

-6 18 36 -34 0 -15 1 –

0,43 1,29 3,09 2,75 0 2,68 0,08 χ2эксп = 10,32

Найдем χ2кр. В случае дискретной случайной величины при подсчете r вместо числа интервалов берут число различных значений хi. В нашем случае r = 8 - 1 = 7, так как ни одного параметра по выборке мы не находим. Тогда χ2кр = 14,l > χ2эксп = 10,32. Нет оснований опровергнуть гипотезу о правильности монет. 6.3.4. Проверка гипотезы о законе распределения Пуассона

В таблице приведены числа ni участков равной площади (0,25 км2) южной части Лондона, на каждый из которых приходилось по хi попаданий самолетов-снарядов во время второй мировой войны (табл. 6.11). Таблица 6.11 хi ni

0 229

1 211

2 93

3 35

4 7

5 и больше 1

Всего n = 576 участков. При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – число самолетов-снарядов, попавших на участок, имеет распределение Пуассона. Вероятность того, что случайная величина X, имеющая распределение Пуассона, примет значение i, равна λi −λ e , i! где λ > 0 - параметр закона, i = 0,1,2, …. Оценим значение параметра λ по выборке. Так как М(Х) = λ, то 1 (0 ⋅ 229 + 1 ⋅ 211 + 2 ⋅ 93 + 3 ⋅ 35 + 4 ⋅ 7 + 5 ⋅ 1) = 0,93 . положим λ = x , x = 576 Положим λ = 0,93. Теперь можно найти вероятности рi = р(Х = i), i = 0,1,2,3,4,5. p( X = i) =

p0 = p ( X = 0) = p 2 = p ( X = 2) =

λ0 0!

λ

2

2!

−λ

e = 0,395 ; −λ

e = 0,170 ;

p1 = p ( X = 1) = p3 = p ( X = 3) =

λ1 1!

−λ e = 0,367 ;

λ3 3!

−λ e = 0,053 ;

p4 = p( X = 4) = 0,012 ; p5 = p( X ≥ 5) = 1 − po − p1 − p2 − p3 − p4 = 0,003 . Остальные вычисления сведены в табл. 6.12. Таблица 6.12 i

pi

npi

ni

ni - npi

0 1 2 3 4 ≥5

0,395 0,367 0,170 0,053 0,012 0,003

227,5 211,4 97,9 30,5 6,9⎫ ⎬ 1,7 ⎭

229 211 93 35 7⎫ ⎬ 1⎭

1,5 -0,4 -4,9 4,5

(ni − np i ) 2 np i 0,01 0,001 0,25 0,66

-0,6

0,04

–

∑pi = 1

∑npi = 576

∑ni = 576

–

χ2эксп = 0,96

Два последних значения n4 и n5, nр4 и nр5 объединены, чтобы обеспечить выполнение условия nрi ≥ 5. Таким образом, осталось 5 разных значений случайной величины: 0, 1, 2, 3 и все, что больше или равно 4. Число степеней свободы равно r = 5 - 1 - 1 = 3, так как по выборке было определено значение параметра λ. Тогда χ2кр = 7,8 > χ2эксп = 0,96. И в этом случае можно считать справедливой выдвинутую гипотезу. 6.3.5. Последний пример

Согласно закону Геллина, предложенному им в 1855 г., вероятности рождения двоен, троен и четверней есть соответственно р, р2, р3, где р – число, постоянное для данной группы населения. На основании приведенных ниже данных проверить, выполняется ли закон Геллина для многоплодных рождений среди японцев и белого населения США. В табл.6.13 через ν2, ν3, ν4 обозначены относительные частоты рождений двоен, троен и четверней соответственно за указанные периоды. Таблица 6.13 Годы 1922-1936 1926-1931

Население Белые США Японцы

Число рождений 27939615 1226106

ν2 0,01129 0,00697

ν3 0,0001088 0,0000473

ν4 0,00000177 –

Прежде всего оценим по нашим выборкам неизвестные значения р. Положим, что сумма частот ν2 + ν3 + ν4 равна сумме p (1 − p 3 ) p p + p 2 + p3 = ≈ , так как ясно, что р – очень маленькое 1− p 1− p число. Для белого населения США имеем: p = 0,01129 + 0,0001088 + 0,00000177 = 0,01140057 ≈ 0,0114 ; 1− p

0,0114 ≈ 0,0113 ; p 2 ≈ 0,000128 ; p 3 ≈ 0,000001 . 1 + 0,0114 Теперь можно воспользоваться критерием χ2. Нужно определить, извлечена ли выборка из генеральной совокупности X, имеющей такой закон распределения (табл. 6.14). Таблица 6.14 p=

1 1- p - p2 - p3

xi pi

2

3

4

p

2

p3

p

Здесь р = 0,0113. Все вычисления сведем в табл. 6.15. Частоты n1, n2, n3, n4 равны соответственно: n1 = nν1 = 27939615* (1 - ν2 - ν3 - ν4) = 27621087,5; n2 = nν2 = 27939615*0,01129 = 315438,25; n3 = nν3 = 3039,8; n4 = nν4 = =49,45. Таблица 6.15 xi

pi

npi

ni

ni – npi

(ni − np i ) 2 np i

1 2 3 4 –

0,988571 0,0113 0,000128 0,000001 ∑pi = l

27620293 315717 3576 28 ∑npi = 27939615

27621088 315438 3040 49 ∑ni = 27939615

795 -279 -536 – –

0,02 0,25 80,34 15,75 2 χ эксп = 96,4

Число степеней свободы r равно r = 4 - 1 - 1 = 2, χ2кр = 6,0 << χ2эксп. Расхождение велико, предложенный закон должен быть отвергнут. Проделаем те же вычисления в случае с японцами. ν2 + ν3 + ν4 ≈ 0,00702. 0,0070 Тогда p = ≈ 0,00697 ; р2 = 0,0000486; р3 = 0,00000034; 1 + 0,0070 n1 = nν1 = 1226106*(1 - ν2 - ν3 - ν4) = 1217502; n2 = nν2 = 8545,96; n3 = nν3 = 57,99; n4 = nν4 = 0. Найдем χ2эксп (табл. 6.16). Таблица 6.16 xi

pi

npi

ni

ni -npi

(ni − np i ) 2 np i

1 2 3 4

0,993 0,007 0,0000486 0,00000034

1217502 8544 ⎧59,54 ⎨ ⎩ 0,41

1217502 9545,96 ⎧57,99 ⎨ ⎩ 0

0 1,96 -1,96

0 0 0,06

–

∑pi = 1

∑npi = 27939615

∑ni = 27939615

–

χ2эксп = 0,06

χ2кр = 3,8 > χ2эксп = 0,06. В этом случае гипотеза не отвергается. 6.4. ЗАДАЧИ

Во всех задачах на проверку гипотезы о законе распределения генеральной совокупности принять уровень значимости α = 0,05, если не оговорено противное. 1. 100 раз подбрасывались 4 монеты. Каждый раз отмечалось число хi выпавших цифр: xi

0

1

2

3

4

ni

8

20 42 22 8

Можно ли считать, что случайная величина Х – число выпавших цифр при бросании 4-х монет – имеет биномиальное распределение? 2. В библиотеке случайно отобрано 200 выборок по 5 книг в каждой. Регистрировалось число поврежденных книг (подчеркивания, помарки, вырванные страницы и т.п.): xi

0 1

2

3

4

5

ni

1 2

72

77

34 14

Проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – число поврежденных книг в выборке из 5 книг − имеет биномиальное распределение. 3. На некотором заводе были обследованы рабочие, получившие на производстве незначительные увечья. За 52 недели результаты оказались такими: Число рабочих, получивших увечья за неделю (хi ) Число недель, в течение которых увечья получили хi рабочих

0 1 2 3 31 17 3 1

Можно ли эти данные аппроксимировать законом распределения Пуассона? 4. Было проверено 500 одинаковых контейнеров со стеклянными изделиями. В каждом контейнере нашли число поврежденных изделий: xi

0

1

2

3

4 5 6 7

ni

199

169

87

31

9 3 1 1

Можно ли утверждать, что случайная величина Х – число поврежденных изделий в контейнере – имеет распределение Пуассона?

5. Ниже приводятся ставшие классическими данные Борткевича о числе лиц, убитых ударом копыта в 10 прусских армейских корпусах за 20 лет (1875-1894): Число смертей в одном корпусе за год (i) Число случаев, когда произошло i смертей

0 109

1 65

2 22

3 4 3 1

Проверить гипотезу о том, что число смертей в одном корпусе за год подчиняется закону Пуассона. 6. По данным шведской статистики, в Швеции в 1935 г. родилось 88273 ребенка, причем распределение рождений по месяцам таково: Месяц Январь Число рождений в 7280 этом месяце Месяц Июль Число рождений в 7585 этом месяце

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

6957

7883

7884

7892

7609

Август

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

7393

7203

6903

6552

7132

Совместимы ли эти данные с гипотезой о том, что день рождения наудачу выбранного человека с равной вероятностью приходится на любой из 365 дней года? 7. Ниже приводятся результаты опыта с подбрасыванием костей. Количество граней с 6 очками при 4096 подбрасываниях 12 костей: Число выпадений 6 очков ni

0 447

1 1145

2 1181

3 796

4 380

5 115

6 24

7 и более 8

Проверить гипотезу о правильности костей. В задачах 8 - 16 проверить по критерию Пирсона одну из трех гипотез о законе распределения генеральной совокупности: равномерном, нормальном или показательном законе. 8. Регистрировалось время прихода 800 посетителей выставки (начало отсчета – момент открытия выставки). Результаты указаны в таблице; в первой строке – интервалы времени, во второй – количество посетителей, пришедших в течение данного интервала времени: [xi-1; xi) ni

[0-1) 368

[1-2) 212

[2-3) 109

[3-4) 51

[4-5) 23

[5-6) 18

[6-7) 13

9. Результаты обследования роста 1000 человек: Роcт, см (143 -146) [146-149) [149- 152)

ni 1 2 8

Рост, см [158-161) [161 -164) [164 -167)

ni 120 181 201

Рост, см [173-176) [176 -179) [179 -182)

ni 64 28 10

[7-8) 6

[152-155) [155-158)

26 65

[167-170) [170-173)

170 120

[182-185) [185-188)

3 1

10. Результаты испытаний прочности партии стальной проволоки диаметром 1,4 мм: Предел прочности, кг/мм2 [45 -150) [150 155) [155 –160) [160-165)

Число мотков проволоки 10 24 28 22

Предел прочности, кг/мм2 [165 -170) [170-175) [175 -180)

Число мотков проволоки 12 7 5

11. Результаты взвешивания 800 стальных шариков: Масса, граммы [20,0-20,5) [20,5-21,0) [21,0-21,5) [21,5-22,0) [22,0-22,5)

Частота 91 76 75 74 92

Масса, граммы [22,5-23,0) [23,0-23,5) [23,5-24,0) [24,0-24,5) [24,5-25,0)

Частота 83 79 73 80 77

1.4.12. При изготовлении стального листа для автомобильных корпусов некоторые места, подверженные ржавчине и коррозии, следует гальванизировать, т.е. обычный стальной лист целиком покрыть тонким ровным слоем цинка. Заказчику необходимо найти металлургический завод, который имеет возможность провести гальванизацию таким образом, чтобы плотность слоя покрытия была не меньше 91,5 г/м2. На одном заводе собраны следующие данные о цинковом покрытии стальных листов: Плотность покрытия, г/м2 [84-99) [99-114) [114-129) [129-144)

Число стальных листов 4 10 18 18

Плотность покрытия, г/м2 [144 -159) [159-174) [174-189) [189-204)

Число стальных листов 10 4 1 1

Оценить долю листов, которая не будет удовлетворять требованиям заказчика. 13. Результаты наблюдения за среднесуточной температурой воздуха в течение 320 суток: Температура воздуха, ° С [- 40…-30) [-30…-20) [-20…-10) [-10…0)

Частота 5 11 25 42

Температура воздуха, ° С [0…20) [20…30) [30…40) [40…50)

Частота 81 36 20 8

[0…10)

88

[50…60)

4

14. Результаты испытаний 1000 элементов на время безотказной работы (часы): Время работы Частота

[0-10) 365

Положить α = 0,01.

[10-20) 245

[20-30) 150

[30-40) 100

[40-50) 70

[50-60) 45

[60-70) 25

15. Цифры 0,1,2,…,9 среди 800 первых десятичных знаков числа π появились 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз соответственно. Согласуются ли эти данные с утверждением, что цифры в десятичном представлении числа π распределены равномерно? 16. Для проверки точности хода специальных маятниковых часов в выбранные наудачу моменты времени фиксировались углы отклонения оси маятника от вертикали. Амплитуда колебаний поддерживалась равной А = 15°. Результаты 1000 таких измерений, разбитые на интервалы в 3°, приведены в таблице. Середина интервала -13,5 Частота 188

-10,5 88

-7,5 64

-4,5 86

-1,5 62

1,5 4,5 74 76

7,5 81

10,5 100

13,5 181

Проверить гипотезу о согласии наблюдений с законом распределения арксинуса. Функция плотности этого закона имеет вид 1 f ( x) = ; -a < x < a. 2 2 π a −x