Физика: Пособие по решению задач из раздела ''Оптика'' в курсе общей физики

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т

Ф И ЗИ К А пособиедля студентовпо реш ению задач израздела«О птик а» вк урсеобщ ей ф изик и (спец иальности: 010400 «Ф изик а», 013800 «Радиоф изик аи элек троник а », 014100 «М ик роэлек троник аи полупроводник овы еприборы » )

В о ро не ж 2003

2

У т верж д ен о н а у чн о-м етод ическим совет ом ф изического ф а ку ль т ета

С ост а вители: Черн ы ш ова Т.Д., За н ин И.Е.

Пособ ие п од гот овлен о н а ка ф ед ре об щей ф изики ф изического ф а ку ль т ета Ворон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . Реком ен д у ет сяд ляст у д ен т ов 2 ку рса д н евн ого об у чен ия и 3 ку рса очн оза очн ого об у чен ияп о сп ециа ль н ост и: 010400 «Ф изика », 013800 «Ра д иоф изика и элект рон ика », 014100 «М икроэлект рон ика и п олу п ровод н иковы е п риб оры »

3

Ч асть I Геом етрическ ая оптик а 1. П релом лениенасф ерическ ой поверхности Н а рис. 1. п ока за н о п релом лен ие свет а н а сф ерической п оверх н ост и.

n y

P

n′

−i −u

F O

ϕ

− i′ r

F‘

P′

u′

S′

−S

y‘

x x‘

Рис. 1. Прелом лен ие свет а у од н ой сф ерической п оверх н ост и n и n’ – п ока за т ели п релом лен ия, i– у гол п а д ен ия, i’– у гол п релом лен ия; P’– т очечн ое изоб ра ж ен ие т очки P, S, S ‘ – ра сст оян ияот P и P ‘ д о т очки О , r – ра д иу с кривизн ы п оверх н ост и По за кон у п релом лен ия

sin(−i) n' = sin( −i') n

Если у чест ь , чт о п у чок лу чей п а ра ксиа лен и у глы м а лы , м ож н о п олу чит ь ф орм у лу , оп ред еляю щу ю связь м еж д у S и S’, n, n’ и r (см . рис. 1.): n' n n'−n − = S' S r

(1)

n'−n , r

(2)

Ф =

гд е Ф - оп т ическа ясила п релом ляю щей п оверх н ост и n' При S → ∞ S ' = f ' = , (3) n'−n гд е f ' - вт орое гла вн ое ф оку сн ое ра сст оян ие. −n Первое гла вн ое ф оку сн ое ра сст оян ие f = r (4). n'−n f' f Из (1) – (4): + =1 (5). S' S У чит ы ва я, чт о − S = − f − x , S ' = f '+ x , (см . рис.1) из (5) п олу чим :

4

x ⋅ x' = f ⋅ f '

Ф =

(6) ,

n' n =− f' f

(7)

Л ин ейн ое у величен ие β оп ред еляет сяслед у ю щим об ра зом : y' β= , y гд е у – д лин а п ред м ет а , y’– д лин а его изоб ра ж ен ия. f x' n S' β = =− или β = ⋅ x f' n' S 2. Т онк ая линза Н а рис. 2. п ока за н о п релом лен ие лу чей в тон кой лин зе: M1

n1 = 1 P1

O1

n′2 = 1

M2

r1 C1

O2

− S1

P2′

r2 P1′

C2

S2 S1′ S′2

Рис. 2. Прелом лен ие лу чей в т он кой лин зе Длят он кой лин зы d = O1O2 м а ло и S2 = S1’ P1’– изоб ра ж ен ие P, д а ва ем ое п ервой п оверх н ост ь ю лин зы , P2’– изоб ра ж ен ие P, д а ва ем ое об еим и п оверх н ост ям и. О б озн а ча ячерез S и S’ ра сст оян ияд о об ъ ект а и изоб ра ж ен ия, м ож н о п олу чит ь

1 1 1 1 − = (n − 1) −  = Φ и S′ S  r1 r2 

Φ = Φ1 + Φ 2 ,

гд е Ф 1 и Ф 2 – оп т ические силы п оверх н ост ей лин зы . 1 ′ = −f = = f К а к и д ляод н ой п оверх н ост и: Φ

Если Ф >0 – соб ира т ель н а ялин за , 2а )

Ф <0 – ра ссеива ю ща ялин за , 2б )

1

(n

 1 1  .  − 1 ) − r 2   r1

5

F′

F

F′

F

Рис. 2а ) Л ин ейн ое у величен ие лин зы

β=

Рис. 2б )

S′ S.

3. Систем ац ентрированны х поверхностей С ист ем а цен т рирова н н ы х п оверх н ост ей п ока за н а н а рис. 3

P1’

Рис. 3

MH и M’H’– гла вн ы е п лоскост и, H и H’ – гла вн ы е т очки сист ем ы (эт о соп ряж ен н ы е т очки, гла вн ы е п лоскост и – соп ряж ен н ы е п лоскост и). Н а рис. 3. MP = -S, M’P’ = S‘. После н еслож н ы х п реоб ра зова н ий им еем :

f ′ + S ′

Л ин ейн ое у величен ие β = −

x ⋅x′ = f ⋅f ′ .

f S

= 1

f , верн а т а кж е ф орм у ла Н ь ю т он а : x

Если об ъ ект леж ит в п ервой гла вн ой п лоскост и, т . е. x = − f , т о x ′ = − f ′ , т .е. изоб ра ж ен ие п оп а д а ет во вт ору ю гла вн у ю п лоскост ь и β = 1 .

6

Дляод н ой п релом ляю щей п оверх н ост и ф оку сн ы е ра сст оян ияот счит ы ва ю т сяот ее верш ин ы , т .е.

x = −f , x ′ = − f ′ ,

и об е гла вн ы е п лоскост и совп а д а ю т с п лоскост ь ю , ка са т ель н ой к п оверх н ост и в ее верш ин е. 4. О пределениеполож ения главны х ф ок усови главны х плоск остей систем ы . Гла вн ы е ф ока ль н ы е ра сст оян ия от д ель н ы х п релом ляю щих п оверх н ост ей оп ред еляю т сяп о ф орм у ла м :

f′=

n' r, n′ − n

f =−

n r n′ − n

(1)

Н а рис. 4. п ока за н о п олож ен ие гла вн ы х п лоскост ей и гла вн ы х ф оку сов цен т рирова н н ой сист ем ы .

Рис. 4

∆ – ра сст оян ие м еж д у F1′ и F 2 . Гла вн ы е ф оку сн ы е ра сст оян ия сист ем ы оп ред еляю тся через ф оку сн ы е ра сст оян ияот д ель н ы х сист ем (I и II):

f=

f1 ⋅ f 2 ∆ ,

f′ =

f1′ ⋅ f 2′ ∆

(2)

Полож ен ие п ервой гла вн ой п лоскост и от счит ы ва ет ся от п ервой гла вн ой п лоскост и H 1 и ра вн о

X H = f1

X H , п ричем :

∆ + f1′ − f 2 ∆

(3)

7

Полож ен ие вт орой гла вн ой п лоскост и от счит ы ва ет сяот вт орой гла вн ой п лоскост и сист ем ы II:

X H′ = f 2′

∆ + f1′ − f 2 ∆

(4)

Длят олст ой лин зы величин ой d н ель зяп рен еб речь , и

Φ=

n 1 d + − f1′ f 2′ f1′ ⋅ f 2′ ,

(5)

гд е d – т олщин а лин зы Из (5):

Φ = Φ1 + Φ

2

−

d Φ 1Φ n

(6)

2

d d =f ∆ = d − f1′ + f 2 ∆ f 2 . , гд е Φ2 1 d Φ2 1 = − X = ⋅ f = − H , Та к ка к n , то Φ f2 n Φ X H = f1

(7)

X H – ра сст оян ие от верш ин ы лин зы д о ее п ервой гла вн ой п лоскост и. А н а логичн о д лявт орой гла вн ой п лоскост и ра сст оян ие от счит ы ва ет сяот вт орой верш ин ы лин зы д о вт орой гла вн ой п лоскост и:

X H′ = f 2′

d d d Φ = −f ′ = − ⋅ 1 f 1′ n Φ ∆

Для т он кой лин зы d=0 и из (6):

(8)

Φ = Φ1 + Φ 2 . Для д ву х т он ких лин з

верн ы ф орм у лы (6), (7), (8); X H от счит ы ва ется от п ервой лин зы , X H′ – от вт орой. П рим еры реш ения задач За д а ча № 1 Н а рис 5. п ока за н а сист ем а д ву х п олож ит ель н ы х т он ких лин з, ф оку сн ое ра сст оян ие од н ой из н их ра вн о a, д ру гое – 3a, т .е. f 2′ = a; f1′ = 3a . М еж д у лин за м и f = 2a . На йт и п олож ен ия гла вн ы х п лоскост ей и гла вн ы х ф оку сов сист емы.

Рис. 5

8

Реш ен ие:

X

H

= d

Φ 2 ; X Φ

H ′

= −d

Φ1 , Φ

гд е Φ1 и Φ 2 – оп т ические силы лин з,

(1)

Φ – оп т ическа ясила сист ем ы лин з.

С лед ова т ель н о, д ляоп ред елен ия X H и X H ′ н еоб х од им о н а йт и Φ1 , Φ 2 , Φ . 1 1 1 1 Φ = = ; Φ = = (2) 1 f ′ 3a 2 f′ a 1 2

Φ = Φ + Φ − d ⋅ Φ1Φ 2

Φ=

(3)

1 3 2 ; f′= a (4); д лясист ем ы f ′ = − f − 3a −Φ 2

(5)

Полож ен ие F от м ечен о н а рис. 5. Под ст а вим ф орм у лы (2) и (4) в (1):

X H = 3a ; X H′ = −a . Полож ен иягла вн ы х п лоскост ей п ока за н о н а рис. 5.

За д а ча № 2 Н а йт и п олож ен иягла вн ы х и ф ока ль н ы х п лоскост ей ст еклян н ой лин зы (в возд у х е) след у ю щей ф орм ы : п еред н яяп оверх н ост ь лин зы вы п у кла я(R=13 см ), за д н яя– п лоска я. Толщин а лин зы 3,5 см . Реш ен ие

Рис. 6

9

1) О п ред елен ие п олож ен иягла вн ы х п лоскост ей: d Φ2 d Φ1 XH = ; X H′ = − (1) n Φ n Φ Φ 1 и Φ 2 – оп т ические силы п оверх н ост ей лин зы . Φ 2 = 0 , т . к. д ляп лоскост и r2 → ∞ .

Φ1 = Φ линзы =

n −1 ; X H = 0 , т . е. 1-а ягла вн а яп лоскост ь ка са ет сяверш ин ы r

вы п у клой п оверх н ост и; X H′ = −

d ; n

X H′ = −2,3 см .

Полож ен ие H’ от счит ы ва ет сяот вт орой п лоской п оверх н ост и лин зы . 2) О п ред елен ие ф оку сн ы х ра сст оян ий.

f =−

1 r 13 ; f =− ; f =− = −26 с м ; f ' = +26 см Φ n −1 0,5

f от считы ва ет сяот п ервой гла вн ой п лоскост и влево (из-за зн а ка ” –“). f ′ от счит ы ва ет сяот вт орой гла вн ой п лоскост и вп ра во, т .е. н а х од ит сян а ра сст оян ии 26см – 2,3см = 23,7 см от п лоской п оверх н ост и (см . рис. 6).

За д а ча № 3 Н а йт и п олож ен иягла вн ы х и ф ока ль н ы х п лоскост ей ст еклян н ой лин зы (в возд у х е) след у ю щей ф орм ы : об е п оверх н ост и лин зы вы п у клы е (R=13 см ). Толщин а лин зы 3.5 см .

Рис. 7

10

Реш ен ие 2 1 n − 1 1 − n d ( n − 1) 2 2(n − 1) d ( n − 1) = − ; Φ = +0,0763 Φ= + − 2 2 r n r r −r n r м 1 1 f =− =− = − 13 см – от счит ы ва ет сяот 1-ой гла вн ой п лоскост и. Φ 0 , 0763

d Φ2 3,5 n −1 ; XH = ⋅ ; n Φ 1,52 r ⋅ 0,0763 3,5 ⋅ 0,52 XH = = 1,21с м , 1,52 ⋅ 13 ⋅ 0,0763 X H от счит ы ва ет сяот п ервой п оверх н ости лин зы d (n − 1) X H′ = − ; X H ′ = −1,21 с м . n⋅r XH′ от счит ы ва ет сяот вт орой п оверх н ост и. 1 f ′ = + = +13 см . – от счит ы ва ет сяот вт орой гла вн ой п лоскост и. Φ Ит а к, гла вн ы е п лоскост и н а х од ят сявн у т ри лин зы н а ра сст оян ии 1,21 см от верш ин ы п оверх н ост ей; ф ока ль н ы е п лоскости н а х од ят сян а ра сст оян ии (13 – 1,2) = 11,8 см от верш ин п оверх н ост ей лин зы (см . рис.7). XH =

За д а ча № 4. О п ред елит ь п олож ен иягла вн ы х п лоскост ей, ф ока ль н ы х т очек и ф оку сн ое ра сст оян ие сист ем ы д ву х т он ких лин з, изоб ра ж ен н ы х н а рис. 8.

Рис. 8

XH = d

Φ2 Φ ; (1); X H′ = −d 1 (1′) Φ Φ

Реш ен ие 1 1 Φ2 = − (2); Φ1 = (2′); f2 f1

11

Φ=

d 1 1 1 ; (3) − +d ; т .к. f1 = f 2 , т о Φ = f1f 2 f1 f 2 f 2 f1

Под ст а вив (3) и (2) в (1), н а йд ем X H : df f X H = − 1 2 = − f1 . f 2d Φ1 ; X H′ = −5 см . А н а логичн о X H′ = −d Φ 1 f1f 2 ; f = −f ′. Ф оку сн ое ра сст оян ие сист ем ы f ′ = = d Φ Ит а к, X H = −5 см ; X H′ = +5 см ; f = -2,5см , отсчит ы ва ет сявлево от X H (рис. 9).

Рис. 9 X H′ от счит ы ва ет сявлево от 2-ой лин зы ; f ′ = +2,5 см - от счит ы ва ет сяот H′ . За д а ча № 5. Прелом ляю щие п оверх н ост и лин зы являю тсякон цен т рическим и окру ж н ост ям и. Боль ш ой ра д иу с кривизн ы ра вен R, т олщин а лин зы d, а п ока за т ель п релом лен ия n > 1 . С об ира ю щей или ра ссеива ю щей б у д ет эт а лин за ? О п ред елит ь п олож ен иягла вн ы х п лоскост ей и ф оку сн ое ра сст оян ие лин зы .

Рис. 10

12

Реш ен ие n −1 1 − n d (n − 1) d (n − 1) Φ= + + =− ; R R − d nR (R − d) nR (R − d ) 1 nR (R − d ) f′ = = − ; Φ d ( n − 1) f ′ < 0, т .к. R > d, n > 1 , лин за ра ссева ю ща я. 2

d Φ2 = R. n Φ R от счит ы ва ет сяот п ервой п оверх н ост и. d Φ1 X H′ = − = R − d. n Φ XH =

X H′ – от счит ы ва ет сяот вт орой п оверх н ост и. Н а рис. 10. изоб ра ж ен ы гла вн ы е элем ен т ы сист ем ы . Гла вн ы е п лоскост и совп а д а ю т и п рох од ят через цен т рC. Задачи для сам остоятельного реш ения А лгоритм реш ения 1. Повт орите т еорет ический м а т ериа л. 2. О б ра т ит е вн им а н ие н а н а ча ло от счет а и п ра вило зн а ков: ра д иу с кривизн ы д ля вы п у клой п оверх н ост и п олож ит елен , д ля вогн у т ой – от рица телен ; от счет X H вед ет сяот п ервой п оверх н ост и сист ем ы и п олож ит ель н ое зн а чен ие X H > 0 от счит ы ва ет ся вп ра во, от рица т ель н ое – влево от верш ин ы п ервой п оверх н ост и; X H′ от счит ы ва ет сяот п ослед н ей п оверх н ост и сист ем ы . Ф оку сн ы е ра сст оян ияот счит ы ва ю т сяот гла вн ы х п лоскост ей. 3. Вы п иш ит е осн овн ы е ф орм у лы . 4. Преж д е чем реш а т ь за д а чу , п роа н а лизиру йт е ее. С д ела йт е рису н ок, соот вет ст ву ю щий у словию за д а чи. 5. Н а н есит е н а оп т ическу ю сх ем у все н а йд ен н ы е ра н ее н еизвест н ы е зн а чен ия. 6. С д ела йте вы вод из реш ен ияза д а чи. В ариант1 1) Н а йт и п ост роен ием х од лу ча за соб ира ю щей и ра ссеива ю щей т он ким и лин за м и (рис. 11а и 11б , гд е О О ’— оп т ическа яось , F и F' — п еред н ий и за д н ий ф оку сы ).

13

Рис. 11а

Рис.11б

2) Тон ка я соб ира ю ща я лин за с ф оку сн ы м ра сстоян ием f = 25 см п роециру ет изоб ра ж ен ие п ред м ет а н а экра н , от ст оящий от лин зы н а l = 5,0 м . Э кра н п рид вин у ли к лин зе н а Δ l = 18 см . Н а сколь ко са н т им ет ров след у ет п ерем ест ит ь п ред м ет , чт об ы оп ят ь п олу чит ь чет кое изоб ра ж ен ие его н а экра н е? 3) М еж д у п ред м ет ом и экра н ом п ом ест или т он ку ю соб ира ю щу ю лин зу . Перем ещен ием лин зы н а ш ли д ва п олож ен ия, п ри которы х н а экра н е об ра зу ет ся чет кое изоб ра ж ен ие п ред м ет а . Н а йт и п оп еречн ы й ра зм ерп ред м ет а , если п ри од н ом п олож ен ии лин зы ра зм ер изоб ра ж ен ия h' = 2,0 м м , а п ри д ру гом h’=4,5 м м . 4) Н а йт и п олож ен ие гла вн ы х п лоскост ей, ф оку сов и у зловы х т очек д вояковы п у клой т он кой сим м ет ричн ой ст еклян н ой лин зы с ра д иу сом кривизн ы п оверх н ост ей R = 7,50 см , если с од н ой ст орон ы ее н а х од ит ся возд у х , а с д ру гой — вод а . 5) Н а йт и с п ом ощь ю п ост роен ия п олож ен ие ф оку сов и гла вн ы х п лоскост ей цен т рирова н н ы х оп т ических сист ем , п ока за н н ы х н а рис. 12:

Рис. 12 а ) т елеоб ъ ект ив — сист ем а из соб ира ю щей и ра ссеива ю щей т он ких лин з (f1 = 1,5d, f2 =-1,5d); б ) сист ем а из д ву х соб ира ю щих т он ких лин з (f1 = 1,5 d, f2 = 0,5 d); в) т олст а явы п у кло-вогн у т а ялин за (d = 4 см , n= 1,5, Ф 1 = +50 д п т р, Ф 2 = -50 д п т р).

14

6) О п т ическа ясистем а н а х од ит сяв возд у х е. Пу сть О O’ — ее оп т ическа яось , F и F' - п еред н ий и за д н ий ф оку сы , Н и Н ' — п еред н яяи за д н яягла вн ы е п лоскост и, Р и Р' — соп ряж ен н ы е т очки. Н а йт и п ост роен ием : а ) п олож ен ие F' и Н ' (рис. 13а ); б ) п олож ен ие т очки S’, соп ряж ен н ой с т очкой S (рис. 13б );

Рис. 13 7) Ра ссчит а т ь п олож ен ие гла вн ы х п лоскост ей и ф оку сов т олст ой вы п у кловогн у т ой ст еклян н ой лин зы , если ра д иу с кривизн ы вы п у клой п оверх н ост и R1 = 10,0 см , вогн у т ой R2 = 5,0 см и т олщин а лин зы d=3,0 см . В ариант2 1) О п ред елит ь п ост роен ием п олож ен ие т он кой лин зы и ее ф оку сов, если извест н о п олож ен ие оп т ической оси О О ' и п олож ен ие п а ры соп ряж ен н ы х т очек Р и Р (см . рис. 14а , 14б ). С ред ы п о об е ст орон ы лин з од ин а ковы .

а)

б) Рис. 14

2) Источн ик свет а н а х од ит ся н а l= 90 см от экра н а . Тон ка ясоб ира ю ща я лин за , п ом ещен н а я м еж д у ист очн иком свет а и экра н ом , д а ет четкое изоб ра ж ен ие ист очн ика п ри д ву х ее п олож ен иях . Н а йт и ф оку сн ое ра сст оян ие лин зы , если: а ) ра сст оян ие м еж д у об оим и п олож ен иям и Δ l = 30 см ; б ) п оп еречн ы е ра зм еры изоб ра ж ен ия п ри од н ом п олож ен ии лин зы в η = 4,0

15

ра за б оль ш е, чем п ри д ру гом . 3) С ист ем а , сост ояща я из т рех т он ких лин з (рис. 15), н а х од ит ся в возд у х е. О п т ическа ясила ка ж д ой лин зы 10,0 д п т р. О п ред елит ь : а ) п олож ен ие т очки сх ож д ен ия п а ра ллель н ого п у чка , п а д а ю щего слева , п осле п рох ож д ен иячерез сист ем у ; б ) ра сст оян ие от п ервой лин зы д о т очки н а оси слева от сист ем ы , п ри кот ором эт а т очка и ее изоб ра ж ен ие б у д у т ра сп олож ен ы сим м ет ричн о от н осит ель н о сист ем ы .

Рис. 15 4) О п т ическа ясистем а н а х од ит сяв возд у х е. Пу сть О O’ — ее оп т ическа яось , F и F' - п еред н ий и за д н ий ф оку сы , Н и Н ' — п еред н яяи за д н яягла вн ы е п лоскост и, Р и Р' — соп ряж ен н ы е т очки. Н а йт и п остроен ием п олож ен ие F, F' и Н ' (рис. 16, гд е п ока за н х од лу ча д о и п осле п рох ож д ен иясист ем ы ).

Рис. 16

16

5) Телеоб ъ ект ив сост оит из д ву х т он ких лин з — п еред н ей соб ира ю щей и за д н ей ра ссеива ю щей с оп т ическим и сила м и Ф 1 = +10д п т ри Ф 2 = -10д п т р. Н а йт и: а ) ф оку сн ое ра сст оян ие и п олож ен ие гла вн ы х п лоскост ей эт ой сист ем ы , если ра сст оян ие м еж д у лин за м и d = 4,0 см ; б ) ра сст оян ие d м еж д у лин за м и, п ри кот ором отн ош ен ие ф оку сн ого ра сст оян ияf сист ем ы к ра сст оян ию l м еж д у соб ира ю щей лин зой и за д н им гла вн ы м ф оку сом б у д ет м а ксим а ль н ы м . Чем у ра вн о эт о от н ош ен ие?

6) Н а йт и п олож ен ие гла вн ы х п лоскост ей, ф оку сн ое ра сст оян ие и зн а к оп т ической силы вы п у кло-вогн у той т олст ой ст еклян н ой лин зы , у кот орой: а ) т олщин а ра вн а d, а ра д иу сы кривизн ы п оверх н ост ей од ин а ковы и ра вн ы R; б ) п релом ляю щие п оверх н ост и кон цен т рические с ра д иу са м и кривизн ы R1 и R2 (R2 > R1).

17

Ч асть II П оляризац ия света Ф орм улы Ф ренеля

ρ ρ E E Н а гра н ице д ву х д иэлект риков а м п лит у д ы п а д а ю щей 01 , отра ж ен н ой 01 и

ρ E п релом лен н ой 02 волн связа н ы м еж д у соб ой ф орм у ла м и Ф рен еля:

(E01 )|| = tg (ϕ1 − ϕ 2 ) (E00 )||

(E 01 )⊥

(I)

tg (ϕ1 + ϕ 2 ) sin(ϕ1 − ϕ 2 ) (E 00 )⊥ =− sin(ϕ1 + ϕ 2 )

(II)

2 sin ϕ 2 ⋅ cos ϕ1 (E00 )|| sin(ϕ1 + ϕ 2 ) ⋅ cos(ϕ1 − ϕ 2 ) 2 sin ϕ 2 ⋅ cosϕ1 (E 00 )⊥ = sin(ϕ1 + ϕ 2 )

(E02 )|| =

(III)

(E 02 )⊥

(IV)

ρ

Ин д екс “|| ” озн а ча ет , чт о ра ссм а т рива ет ся т а ком п он ен т а E вект ора элект ром а гн ит н ой волн ы , кот ора я п а ра ллель н а п лоскост и п а д ен ия, ин д екс “ ⊥ ” – ком п он ен т а , п ерп ен д ику лярн а яп лоскост и п а д ен ия. Вслу ча е н орм а ль н ого п а д ен иян а гра н ицу д ву х д иэлект риков:

| n1 − n2 | E00 n1 + n2 2 n1 = E 00 n1 + n 2

E01 =

(1)

E 01

(2)

E 012 К оэф ф ициен т от ра ж ен ия: R = 2 E 00 К оэф ф ициен т п роп у ска н ия:

(3)

( E02 ) 2 n2 cos ϕ 2 Τ= ( E00 ) 2 n1 cos ϕ1 ,

(4)

гд е ϕ1 – у гол п а д ен ия, ϕ 2 – у гол п релом лен ия,

n 1 и n 2 – коэф ф ициен т ы п релом лен ияд ву х гра н ича щих сред . При (ϕ1 + ϕ 2 ) =

n2 π им еем : tgϕ Бр = n , т .е. вы п олн яет сяза кон Брю ст ера . 2 1

18

При реш ен ии за д а ч, связа н н ы х с вы вод ом ф орм у л Ф рен еля, н еоб х од им о: 1) Изу чит ь ра зд елы “Волн овой оп т ики” К а лит еевского Н . И. и лекции п реп од а ва т еля, в кот оры х вы вод ят сяи а н а лизиру ю т сяф орм у лы Ф рен еля. 2) У своит ь у словие за д а чи. 3) За п иса т ь у ра вн ен ияп а д а ю щей, от ра ж ен н ой и п релом лен н ой волн в вы б ра н н ой сист ем е коорд ин а т . 4) За п иса т ь : - гра н ичн ы е у словия; - у ра вн ен ия, связы ва ю щие величин ы E и H через п а ра м ет рn (или ε); - за кон ы п релом лен ияи от ра ж ен ия. 5) Реш ит ь за п иса н н у ю сист ем у у ра вн ен ий. 6) Проа н а лизирова т ь п олу чен н ы е резу ль т а т ы . П рим еры реш ения задач За д а ча № 1 Н а йд ит е коэф ф ициен т ы от ра ж ен ияи п роп у ска н ияв слу ча е н орм а ль н ого п а д ен ияиз сред ы с п ока за т елем п релом лен ияn1 в сред у с n2. Реш ен ие. Ра ссм от рим д ве н еп ровод ящие сред ы n1 и n2 с ра зличн ы м и зн а чен иям и д иэлект рической п рон ица ем ост и ε1 и ε2 (рис. 17). М а гн ит н у ю п рон ица ем ост ь μ 1 и μ 2 счита ем ра вн ой 1. Ф а зовы е скорост и волн соот вет свен н о в п ервой и вт орой сред а х U1=c/ ε 1 , U2=c/ ε 2 . В п ервой сред е ра сп рост ра н яю т ся д ве волн ы – п а д а ю ща я - (E, H) и от ра ж ен н а я - (E1, H1); во второй – т оль ко п релом лен н а я волн а (E2, H2). О б озн а чим ча стот у п а д а ю щей волн ы через ω, от ра ж ен н ой – через ω1, п рох од ящей – через ω2.

Рис. 17

19

За п иш ем вы ра ж ен ие д ляп лоскоп оляризова н н ы х волн – п а д а ю щей , от ра ж ен ой и п релом лен н ой: E=ReE00exp[iω(t-Z/U1)]; H= ε 1 E, E=ReE10exp[iω1(t-Z/U1)]; H1= ε 1 E1,

,

(1)

E=ReE20exp[iω2(t-Z/U1)]; H2= ε 2 E2, гд е E00, E10, E20 – а м п лит у д ы п а д а ю щей, от ра ж ен н ой и п релом лен н ой волн , соответ ст вен н о. ρ ρ ρ Зн а ян а п ра влен ия п а д а ю щей S , от ра ж ен н ой S1 и п релом лен н ой S 2 волн ρ ρ и у чит ы ва я вза им н у ю ориен т а цию вект оров E и H (п ра вило п ра вого вин т а ), легко сост а вит ь гра н ичн ы е у словия: E + E1 = E2; H - H1 = H2

.

(2)

ρ ρ Ра вен ст ва (1) и (2) за п иса н ы в ска лярн ой ф орм е, т а к ка к вект оры E , E1 , и ρ ρ ρ ρ E 2 н а п ра влен ы п о од н ой п рям ой, а вект оры H , H 1 , H 2 – вд оль п рям ой, об ра ρ зу ю щей у гол 90о с вект ором E . Величин ы H и E связа н ы соот н ош ен иям и: H = nE,

H1 = n1E1, H2 = n2E2,

гд е n1= ε 1 ,

(2 ’)

n2= ε 2 .

Зн а к м ин у с в вы ра ж ен ии д ля H (см . (2)) соот вет ст ву ет н а п ра влен ию векρ т ора , п рот ивоп олож н ом у егоρ исх од н ом у н а п ра влен ию (в д а н н ом слу ча е H ). Пред п олож им , чт о вект ор H 1 им еет н а п ра влен ие, п рот ивоп олож н ое вект ору ρ ρ H . Та кое ж е п ред п олож ен ие м ож н о сд ела т ь от н осит ель н о вект оров E . Тогд а H1 б у д ет п олож ит ель н ы м (п ра вило п ра вого вин т а д олж н о соб лю д а т ь ся). За п иш ем гра н ичн ы е у словия(2) п ри Z=0 д лялю б ого t:

E00eiωt+E10 eiω1t= E20 eiω2t Э т о т ож д ест во возм ож н о, если ω=ω1=ω2, чт о и след ова ло ож ид а т ь , т а к ка к н ет ф изических п ричин д ляизм ен ен ияча ст от ы п ри от ра ж ен ии или п релом лен ия свет а н а гра н ице ра зд ела д ву х д иэлектриков. Тогд а гра н ичн ы е у словия д ля а м п лит у д н а п ряж ен н ост и элект рического и м а гн итн ого п олей м ож н о за п иса т ь в след у ю щем вид е:

20

E00 + E10 = E20 H00 - H10 = H20 H00 =

ε 1 E00

H10 =

ε 1 E10

H20 =

ε 1 E20

(4)

Из ра вен ст в (4) с у чет ом (2’) м ож н о за п иса т ь : E00 + E10 = E20

(4’)

E00 – E10 = (n2\n1)E20 Реш ив сист ем у (4’), п олу чим вы ра ж ен ияд ляа м п литу д от ра ж ен н ой и п релом лен н ой волн п ри н орм а ль н ом п а д ен ии волн н а гра н ицу ра зд ела : E10 = E00 [(n1- n2)\(n1 + n2)] E20 = 2n1E00\(n1+n2)

(5)

А н а лиз: 1) n1>n2. Зн а ки у E10 и E00 совп а д а ю т , т .е. E и E1 колеб лю т сяв ф а зе, а H и H1 – в п рот ивоф а зе; 2) n2>n1.Зн а ки E10ρи E00 ра зличн ы . Э т оρзн а чит о им еет м ест о изм ен ен ие ф а зы ρ , чт ρ н а π вект ора E1 п о от н ош ен ию к E , а H и H 1 н а гра н ице колеб лю т сясин ф а зн о. Та ким об ра зом , м ы п олу чили п ра вило, кот орое в оп т ике ф орм у лиру ет сяка к п от еряп олу волн ы п ри от ра ж ен ии от оп т ически б олее п лот н ой сред ы. А м п лит у д а п рош ед ш ей волн ы Eρ20 п оρзн а ку всегд а совп а д а ет с а м п лит у д ой п а д а ю щей волн ы E00, т .е. вект оры E и E 2 колеб лю т сясин ф а зн о. За д а ча № 2 Ест ест вен н ы й свет с ин тен сивн ост ь ю I 0 п а д а ет из сред ы с п ока за т елем п релом лен ияn1 в сред у с n2. Н а йт и коэф ф ициен т от ра ж ен ия. Реш ен ие. 1) С вет м ож н о п ред ст а вит ь в вид е д ву х ра вн ы х п о м од у лю вза им н оп ерп ен д ику лярн ы х ком п он ен т :

21

(E 00 )⊥2 = (E 00 )||2 = 1 I0 Поэт ом у : R ⊥ =

(

2

)

2 E 01 ⊥

(1)

1 2 ⋅ I0

R || =

(E 01 )||2

(2) 1 2 ⋅ I0 2) Под ст а вляяв (1) и (2) ф орм у лы Ф рен еля(I) и (II), п олу чим : tg 2 (ϕ − ϕ 2 ) R⊥ = 2 1 (3) tg (ϕ1 + ϕ 2 )

sin 2 (ϕ1 − ϕ 2 ) R || = sin 2 (ϕ1 + ϕ 2 )

(

)

1 Всего от ра зит ся: I R = I 0 R || + R ⊥ 2 IR 1 = R || + R ⊥ К оэф ф ициен т от ра ж ен ия: R = I0 2

(

R=

(4)

)

или (с у чет ом (3) и (4) ):

1  tg 2 (ϕ1 − ϕ 2 ) sin 2 (ϕ1 − ϕ 2 )  +   2  tg 2 (ϕ1 + ϕ 2 ) sin 2 (ϕ1 + ϕ 2 ) 

1  tg 2 (ϕ1 − ϕ 2 ) sin 2 (ϕ1 − ϕ 2 )  + . О т вет : R = 2  2 2  tg (ϕ1 + ϕ 2 ) sin (ϕ1 + ϕ 2 ) 

За д а ча № 3 С коль ко п роцен т ов свет ового п от ока т еряет сян а от ра ж ен ие в п ризм а тическом б ин окле? Пока за т ель п релом лен иястекляп ризм и лин з ра вен 1,5. С х ем а б ин окляд а н а н а рис. 18.

Рис. 18.

22

Реш ен ие 1) О тм ет им , чт о п а д ен ие п ри п от ерях н а от ра ж ен ие н орм а ль н ое. При у гла х

ϕ1 = 45° (чт о след у ет из п оворот а лу ча п о вы х од е из п ризм ы ) п роисх од ит п олн ое вн у т рен н ее от ра ж ен ие от ст екла , и п от ерь н ет . Пот ери п роисх од ят восем ь ра з: н а д ву х п оверх н ост ях д ву х ст еклян н ы х лин з, п ри вы х од е и вх од е из ка ж д ой п оворот н ой п ризм ы . 3) При н орм а ль н ом п а д ен ии R и T оп ред елен ы в за д а че № 1:

 n − n2 R =  1  n1 + n 2

2

  ; 

2

 2n1   . Τ =  n + n 2   1

R + Τ = 1 (п о за кон у сох ра н ен ияэн ергии) Поль зу ясь эт им , н а йд ем R1 и T1 (н а п ервой п оверх н ост и лин зы ): 2

1  0,5  = 0,04 .  = 1) R1 =  2 , 5 25  

Τ = 0,96 2) Н а вт орой п оверх н ост и лин зы : R 2 = 0,96 ⋅ 0,04 ; Τ2 = 0,96 ⋅ (1 − 0,004) = 0,962 ; 3) Н а п ервой п оверх н ост и п ервой п ризм ы (т реть ей п оверх н ост и): R 3 = 0,962 ⋅ 0,04 ; Τ3 = 0,962 (1 − 0,04) = 0,963 ; 4) А н а логичн о – н а вось м ой п оверх н ост и вт орой лин зы : Τ8 = 0,968 ;

R 8 = (1 − 0,968 ) ; 8 Или в % : R 8 = 100 ⋅ (1 − 0,96 )% = 28% , О т вет : п от ери н а от ра ж ен ие соста вляю т 28% .

За д а ча № 4 1) Н а йт и у гол п олн ой п оляриза ции д лясвет а , от ра ж ен н ого от ст екла с п ока за т елем п релом лен ияn=1,5. I|| − I ⊥ ∆ = 2) Н а йт и ст еп ен ь п оляриза ции п релом лен н ого свет а I + I п ри п а д ен ии ||

свет а п од эт им у глом . Па д а ю щий свет – ест ест вен н ы й. А н а лиз и реш ен ие

⊥

23

1) tgϕ Бр =

n2 ; n1 = 1 ; n 2 = 1,5 ; n1

tgϕ Бр = 1,5 ; ϕ Бр = 56°19' ; 2) Дляоп ред елен ияст еп ен и п оляриза ции ∆ н еоб х од им о оп ред елит ь I|| , I ⊥ п ри п а д ен ии н а ст екло п од у глом Брю ст ера (т .е. у глом п олн ой п оляриза ции). а ) Н еоб х од им о восп оль зова т ь сяф орм у ла м и Ф рен еля. n 2 cosϕ 2 (E 00 ) 2⊥ б ) Всп ом н ит е, что коэф ф ициен т п роп у ска н ия Τ = (1) n1 cosϕ1 (E 00 ) 2⊥ Та к ка к в соот вет ст вии с за кон ом Брю ст ера во вт ору ю сред у п роп у ска ет 1 2 сявсяп а ра ллель н а яком п он ен т а , т о I|| = (E 00 )|| = I 0 (2) 2 1 К ом п он ен т а I ⊥ , п рош ед ш а яво вт ору ю сред у – I ⊥ = I 0 ⋅ Τ , или с у чет ом (1) и 2 ф орм у лы Ф рен еляIV: 1 n cos ϕ 2 I⊥ = I0 ⋅ 2 2 n1 cos ϕ1

 2 sin ϕ 2 ⋅ cos ϕ1   ⋅  sin( ) ϕ + ϕ 1 2  

π Та к ка к (ϕ1 + ϕ 2 ) = , 2

2

(3)

n2 n2 n = sin ϕ = tg ϕ = n , гд е а , то 1 1 n1 1+ n2 2

(4)

Из (4) и (3): sin ϕ1 cosϕ 2 4 sin 2 ϕ 2 ⋅ cos 2 ϕ1 1 4 sin 2 ϕ1 ⋅ cos 2 ϕ1 1 I ⊥ = I0 ⋅ ⋅ = I0 ⋅ = 2 sin ϕ 2 cosϕ1 1 2 1 =

 n2   1 n2  1 4n 2    ⋅ − I 0 ⋅ 4 1 = I ⋅ 0 2   2  2 (1 + n 2 ) 2 1+ n   1+ n  2

(5)

О п ред елим ст еп ен ь п оляриза ции ∆ , п од ст а вив (2) и (5) в вы ра ж ен ие д ля ∆ : 4n 2 1− (1 + n 2 ) 2 (1 + n 2 ) 2 − 4n 2 ∆= = (6) 4n 2 (1 + n 2 ) 2 + 4n 2 1+ (1 + n 2 ) 2 Вы числим (6): ∆ ≈ 0,08 (или 8%) (1 + n 2 ) 2 − 4n 2 О т вет : ∆ = ; ∆ = 8% . (1 + n 2 ) 2 + 4n 2

24

За д а ча № 5 При ка ких у словиях лу ч свет а , п а д а ю щий н а б окову ю гра н ь , п розра чн ой изотроп н ой п ризм ы с п релом ляю щим у глом A=60o, п рох од ит через н ее б ез п от ерь н а от ра ж ен ие? А н а лиз и реш ен ие 1) Для т ого, чт об ы н е б ы ло п от ерь п ри п рох ож д ен ии лу ча через п ризм у , н еоб -

ρ

х од им о, чтоб ы п лоскост ь колеб а н ия вект ора E совп а д а ла с п лоскость ю п а д ен ия, т.к. т огд а п ри п а д ен ии п од у глом Брю ст ера п ри от ра ж ен ии I|| = 0 , а п ерρ п ен д ику лярн а яком п он ен т а от су тст ву ет ( E || п лоскост и п а д ен ия).

Рис. 19 2) Из геом ет рии: у гол м еж д у н орм а лям и к гра н ям N1 и N2 ра вен A (см . рис. 19) и ка к вн еш н ий к ψ и

ψ ′ , ра вен

их су м м е:

A =ψ +ψ ′ Т.к. ϕ Бр + ψ =

π , 2

ψ ′ + ϕ Бр =

A = π − 2ϕ Бр и ϕ Бр =

π A − 2 2

(1)

π , то 2 (2)

3) По за кон у Брю ст ера :

tgϕ Бр = n 1 след ова т ель н о, из (2) и(3) tgϕ Бр = n = tg A 2 ; Вы числен ияд а ю т : n = 3 = 1,73 .

(3)

25

О т вет : п ризм а д олж н а б ы т ь сд ела н а из ст екла с n = 1,73 ; п ри п а д ен ии электриρ ческий вект ор E д олж ен леж а т ь в п лоскост и п а д ен ия. Задачи для сам остоятельного реш ения В ариантI 1) О п ред елит ь коэф ф ициен т от ра ж ен ия ест ест вен н ого свет а , п а д а ю щего н а ст екло (n=1,54) п од у глом п олн ой п оляриза ции. Н а йт и ст еп ен ь п оляриза ции лу чей, п рош ед ш их сквозь п ла ст ин ку . 2) О п ред елит ь : 1) коэф ф ициен т от ра ж ен ияи ст еп ен ь п оляриза ции от ра ж ен н ы х лу чей п ри п а д ен ии ест ест вен н ого свет а н а ст екло (n=1,5) п од у глом 45о, 2) ст еп ен ь п оляриза ции п релом лен н ы х лу чей. 3) Н а йт и коэф ф ициен т п роп у ска н ияσ п ри н орм а ль н ом п а д ен ии свет а из возд у х а н а ст екло с п ока за т елем п релом лен ияn=1,5. 4) Проверит ь с п ом ощь ю ф орм у л Ф рен еля, что п от ок эн ергии п а д а ю щей волн ы через гра н ицу ра зд ела сред ра вен су м м е п от оков эн ергии п релом лен н ой и от ра ж ен н ой волн через т у ж е гра н ицу . 5) Н а б окову ю гра н ь п ризм ы , изгот овлен н ой из ст екла с п ока за т елем п релом лен ия n=1,5, п а д а ет п од у глом Брю ст ера φ Б р световой п у чок, элект рический вект ор кот орого леж ит в п лоскост и п а д ен ия. К а ким д олж ен б ы т ь п релом ляю щий у гол А п ризм ы , чт об ы свет п рош ел через н ее, н е исп ы т а в п от ерь н а от ра ж ен ие? 6) С вет п а д а ет из сред ы 1 н а сред у 2 п од у глом φ и п релом ляет сяп од у глом ψ . Дока за т ь , чт о коэф ф ициен т от ра ж ен иян е изм ен ит ся, если свет б у д ет п а д а т ь из сред ы 2 н а сред у 1 п од у глом ψ . 7) Им ею т ся д ве п а ра ллель н ы е п олу п розра чн ы е п лоскост и. К оэф ф ициен т ы от ра ж ен ияи п роп у ска н ияп ервой из н их ра вн ы ρ 1 и σ 2 соот вет ствен н о. С т еп ен ь м он ох ром а т ичн ост и п а д а ю щего свет а н евелика , т а к чт о п ра виль н ой ин т ерф ерен ции н е п роисх од ит, а им еет м ест о слож ен ие ин т ен сивн ост ей свет а . Н а йт и коэф ф ициен т ы от ра ж ен ияρ и п роп у ска н ияσ д лясовоку п н ост и об еих п лоскост ей. 8) С т оп а С т олет ова сост оит из п лоскоп а ра ллель н ы х ст еклян н ы х п ла ст ин ок с п ока за т елем п релом лен ияn=1,5. Н а н ее п од у глом Брю ст ера п а д а ет свет , п оляризова н н ы й в п лоскост и п а д ен ия. Н а чертит ь гра ф ик д ля коэф ф ициен т ов от ра ж ен ияи п роп у ска н ияст оп ы в за висим ост и от числа N п ла ст ин ок. В ариантII 1) Л у ч ест ест вен н ого свет а п рох од ит сквозь п лоскоп а ра ллель н у ю ст еклян н у ю п ла ст ин ку (n=1,54), п а д а я н а н ее п од у глом п олн ой п оляриза ции. На йт и ст еп ен ь п оляриза ции лу чей, п рош ед ш их сквозь п ла ст ин ку .

26

2) О п ред елит ь : 1) коэф ф ициен т от ра ж ен ияи ст еп ен ь п оляриза ции от ра ж ен н ы х лу чей п ри п а д ен ии ест ест вен н ого свет а н а ст екло (n=1,5) п од у глом 60о, 2) ст еп ен ь п оляриза ции п релом лен н ы х лу чей. 3) Им еет ся m п а ра ллель н ы х п олу п розра чн ы х п лоскост ей. К оэф ф ициен т ы от ра ж ен ия и п роп у ска н ия ка ж д ой из н их ра вн ы ρ и σ. Н а йт и коэф ф ициен т от ра ж ен ияρ m и коэф ф ициен т п роп у ска н ияσ m всей сист ем ы m п лоскост ей (от н осит ель н о п а д а ю щего свет а ). 4) С т еп ен ь п оляриза ции ча ст ичн о п оляризова н н ого свет а Р = 0,25. Н а йт и от н ош ен ие ин т ен сивн ост и п оляризова н н ой сост а вляю щей эт ого свет а к ин т ен сивн ост и ест ест вен н ой сост а вляю щей. 5) Пока за т ь с п ом ощь ю ф орм у л Ф рен еля д ля ин т ен сивн ост и свет а , чт о от ра ж ен н ы й от п оверх н ост и д иэлект рика свет б у д ет п олн ост ь ю п оляризова н , если у гол п а д ен ия θ 1 у д овлетворяет у словию tg θ 1 = n, гд е n — п ока за т ель п релом лен ия д иэлект рика . К а ков п ри эт ом у гол м еж д у от ра ж ен н ы м и п релом лен н ы м лу ча м и. 6) Плоский п у чок ест ест вен н ого свет а с ин т ен сивн ост ь ю I0 п а д а ет п од у глом Брю ст ера н а п оверх н ост ь вод ы . При эт ом ρ = 0,039 свет ового п от ока от ра ж а ет ся. Н а йт и ин т ен сивн ост ь п релом лен н ого п у чка . 7) У зкий п у чок ест ест вен н ого свет а п а д а ет п од у глом Брю ст ера н а п оверх н ост ь т олст ой п лоскоп а ра ллель н ой п розра чн ой п ла ст ин ы . При эт ом от верх н ей п оверх н ост и от ра ж а ет ся ρ= 0,080 свет ового п от ока . Н а йт и ст еп ен ь п оляриза ции п у чков 1 — 4 (рис. 20).

Рис. 20 8) Н а п оверх н ост ь ст екла п а д а ет п у чок ест ест вен н ого свет а . У гол п а д ен ия ра вен 45°. Н а йт и с п ом ощь ю ф орм у л Ф рен еляст еп ен ь п оляриза ции: а ) от ра ж ен н ого свет а ; б ) п релом лен н ого свет а .

27

С ост а вит ели: Черн ы ш ова Та м а ра Да н иловн а , За н ин Игорь Евген ь евич Ред а кт орТих ом ирова О .А .