Применение метода конечных элементов в механике сплошных сред: Учебно-методическое пособие

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й Го суда р стве нный Уни ве р си те т

П Р И М ЕН ЕН И Е М ЕТ О Д А К О Н ЕЧ Н Ы Х Э Л ЕМ ЕН Т О В В М ЕХ А Н И К Е С П Л О Ш Н Ы Х С Р ЕД Уче б но -ме то ди че ско е по со б и е для б а ка ла вр о в и ма ги стр о в спе ци а льно сте й «М е х а ни ка де фо р ми р уе мо го тве р до го те ла » (010204) и «Пр и кла дна я ма те ма ти ка » (510200)

В оронеж 2003

2

Утве р ж де но на учно -ме то ди че ски м со ве то м фа культе та ПМ М (26.02.2003 го да , пр о то ко л № 5)

С о ста ви те ли : В е р ве йко Н.Д. С е мыки на Т.Д. Гр е б е нни ко в Д.Ю. Яко вле в А.Ю.

Пр о гр а мма по дго то вле на на ка фе др е Ти ПМ фа культе та ПМ М В о р о не ж ско го го суда р стве нно го уни ве р си те та . Ре ко ме ндуе тся для б а ка ла вр о в и ма ги стр о в фа культе та ПМ М , о б уча ю щ и х ся по спе ци а льно стям 010204 (М е х а ни ка де фо р ми р уе мо го тве р до го те ла ) 510200 (Пр и кла дна я ма те ма ти ка ) пр и и зуче ни и спе цкур са «М е то д ко не чных эле ме нто в» и кур са «К о нце пци и со вр е ме нно го е сте ство зна ни я», пр и выпо лне ни и кур со вых , ди пло мных р а б о т и ма ги сте р ски х ди ссе р та ци й, а та кж е пр и са мо сто яте льно й р а б о те студе нто в.

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

3

С О ДЕ РЖ АНИ Е 1. В ве де ни е 2. М К Э ка к о ди н и з ме то до в пр и б ли ж е нно го р е ш е ни я за да ч М СС 2.1.З а ме ча ни я о по ста но вка х и ме то да х р е ш е ни я за да ч М С С 2.2.С р а вни те льна я х а р а кте р и сти ка о пе р а ци й пр и по стр о е ни и вычи сли те льных а лго р и тмо в ме то да ко не чных р а зно сте й (М К Р) и ко не чных эле ме нто в (М К Э ) 2.3.Ди скр е ти за ци я о б ла сти V р е ш е ни я за да чи 2.4.О б суж де ни е во пр о со в и нте р по ляци и функци й 2.5.В ыб о р б а зи сных функци й (функци й фо р мы) пр и Л а гр а нж е во й и нте р по ляци и 3. И спо льзо ва ни е М К Э в М С С 3.1.Ди скр е ти за ци я о б ла сти пр и р е ш е ни и за да ч М С С ме то до м ко не чных эле ме нто в 3.2.В ыб о р а ппр о кси ми р ую щ и х функци й и фо р мы ко не чных эле ме нто в 3.3.А ппр о кси ма ци я функци й по ли но ма ми Э р ми та 3.4.М е то д ко не чных эле ме нто в пр и р е ш е ни и за да ч ме х а ни ки тве р до го те ла 4. Пр и ме р ыр е ш е ни я пр и кла дных за да ч с по мо щ ью пр о гр а ммно го ко мпле кса NISА-II 4.1.Ра сче тто нко й пла сти ны, о сла б ле нно й о тве р сти е м, на пр о чно сть 4.2.О се си мме тр и чно е те че ни е в тр уб е 5. Л и те р а тур а

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

4 5 5

6 10 11 15 17 17 18 22 24 32 32 42 50

4

1

В ведение М е то д ко не чных эле ме нто в в на сто ящ е е вр е мя являе тся о дни м и з са мых р а спр о стр а не нных чи сле нных ме то до в р е ш е ни я пр и кла дных за да ч в пр о чно стных р а счё та х , пр о б ле ма х ди на ми ки ж и дко сти , и зуче ни я те пло вых пр о це ссо в. На глядно сть ме то да и ср а вни те льна я пр о сто та е го пр и ме не ни я в случа е о б ла сте й сло ж но й фо р мысде ла ли е го ве сьма по пуляр ным в ср е де ш и р о ко го кр уга и нж е не р о в и и ссле до ва те ле й. С во и м во зни кно ве ни е м ме то д о б яза н стр уктур но му а на ли зу, р а зви то му в те х ни ке для ста ти че ско го р а счё та ко нстр укци й и со о р уж е ни й, о ткуда и де я «ди скр е ти за ци и » б ыла с успе х о м пе р е не се на на не пр е р ывные си сте мы. До сто и нства ме то да пр о являю тся, пр е ж де все го , пр и и ссле до ва ни и в о б ла сти не пр а ви льно й ко нфи гур а ци и со сло ж ными усло ви ями на гр а ни це . С по мо щ ью ти по вых эле ме нто в р а зли чно й фо р мы и сте пе ни а ппр о кси ма ци и уда ё тся до во льно то чно во спр о и зве сти гр а ни цу о б ла сти . Пр и это м гр а ни чные усло ви я на кла дыва ю т спе ци а льные тр е б о ва ни я на вво ди мые эле ме нты. На о сно ве ме то да со зда н и успе ш но эксплуа ти р уе тся р яд пр о мыш ле нных па ке то в пр и кла дных пр о гр а мм. В о вто р о й гла ве и зло ж е н по дх о д к по стр о е ни ю ко не чно р а зно стных сх е м на о сно ве ме то до в ти па Га лё р ки на . Э то по зво ляе т р а сш и р и ть пр и ме не ни е М К Э не то лько к за да ча м в ва р и а ци о нно й фо р мули р о вке , но и к р е ш е ни ю за да ч в ди ффе р е нци а льно й по ста но вке (ка к ста ци о на р ных , та к и не ста ци о на р ных ). По дх о д Га лё р ки на да ё т во змо ж но сть по луче ни я о це но к по гр е ш но сти р е ш е ни я за да ч с по мо щ ью М К Э с учё то м х а р а кте р ных р а зме р о в ко не чных эле ме нто в и по р ядка б а зи сных функци й. В тр е тье й гла ве р а ссма тр и ва ю тся ко нкр е тные а спе кты и спо льзо ва ни я М К Э в ме х а ни ке де фо р ми р уе мых твё р дых те л. Пр и во дятся о сно вные ти пы а ппр о кси ми р ую щ и х по ли но мо в и связь и х с фо р мо й ко не чно го эле ме нта . В ка че стве ти по во й да ё тся ва р и а ци о нна я по ста но вка р а счё та на пр яж е нно де фо р ми р уе мо го со сто яни я упр уго го те ла . Пр и это м пр и ме няе тся а ппа р а тве кто р но й а лге б р ы.

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

5

2 М К Э к ак один изметодов приближенного реш ения задач М С С 2.1 Замечаниео пос тановк ахи методах реш ения задач М С С 2.1.1 Пр о б ле ма пр о чно сти р а счё та на пр яж ё нно -де фо р ми р о ва нно го со сто яни я де фо р ми р уе мых твё р дых те л в по няти ях пе р е ме щ е ни й, ско р о сте й пе р е ме щ е ни й и на пр яж е ни й, а та кж е пр о б ле мы те че ни я ж и дко сте й и га зо в мо гут б ыть ма те ма ти че ски сфо р мули р о ва ны в фо р ме двух кла сси че ски х за да ч: 1) ди ффе р е нци а льно й и 2) ва р и а ци о нно й [1,6]. Пе р ва я за да ча со сто и т в по стр о е ни и р е ш е ни я си сте мы ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й в ча стных пр о и зво дных для функци и U ( x, t ) пр и за да нных гр а ни чных и на ча льных усло ви ях LU = f ( x, t ) , U

Г

= U ( s, t ) , U

t =0

= U 0 ( x) ,

(2.1)

зде сьx – пр о стр а нстве нна я ко о р ди на та , t – вр е мя, Г – гр а ни ца о б ла сти , L – ди ффе р е нци а льный о пе р а то р ,U – ве кто р р а зме р но сти n. Не о ста на вли ва ясь на ти пе ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й (2.1) и ви де гр а ни чных и на ча льных усло ви й, о тме ти м о ди н сущ е стве нный фа кт: ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е (2.1) и ме е тме сто б ыть в ка ж до й то чке М о б ла сти р е ш е ни я V, о гр а ни че нно й по ве р х но стью Г и , сле до ва те льно , са мо р е ш е ни е U до лж но о б ла да ть не пр е р ывными пр о и зво дными , о пр е де ляе мые по р ядко м ди ффе р е нци а льно го о пе р а то р а L (и склю ча я во змо ж ные по ве р х но сти , и де нти фи ци р уе мые с уда р ными и ли звуко выми во лна ми , на ко то р ых до лж ны выпо лняться за ко нысо х р а не ни я). В то р а я за да ча со сто и т в по стр о е ни и р е ш е ни я U , до ста вляю щ е го ста ци о на р но е зна че ни е не ко то р о му функци о на лу J

J = ∫ F (U , gradU , x, t )dv , δJ = 0 .

(2.2)

V

Тр а ди ци о нно пе р ва я (2.1) по ста но вка за да чи на зыва е тся ди ффе р е нци а льно й, а вто р а я (2.2) – ва р и а ци о нно й [9]. В а р и а ци о нна я по ста но вка за да чи (2.2), ка к пр а ви ло , со де р ж и тпр о и зво дные на по р ядо к ме ньш е , че м в экви ва ле нтно й за да че (2.1), и те м са мым по ни ж а ю тся тр е б о ва ни я к гла дко сти р е ш е ни я U в V. С ле дуе т о б р а ти ть вни ма ни е на по ста но вку ди ффе р е нци а льно й (2.1) и ва р и а ци о нно й (2.2) за да ч в о б ла сти V, ко гда ко эффи ци е нты о пе р а то р а L и ли по дынте гр а льно й функци и F и ме ю ткусо чно -гла дко е за да ни е . Э то со о тве тствуе т р е ш е ни ю за да ч на о б ла сти V, со ста вле нно й и з р а зных ма те р и а ло в, р а зде лё нных гр а ни це й SV . Ди ффе р е нци а льную по ста но вку за да чи (2.1) не о б х о ди мо до по лни ть усло ви ями со х р а не ни я на по ве р х но сти р а зде ла SV . П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

6

В ва р и а ци о нно й по ста но вке за да чи (2.2) усло ви я за ко на со х р а не ни я на по ве р х но сти р а зде ла SV выпо лняю тся а вто ма ти че ски за счё ти нте гр а льно й по ста но вки за да чи . Ди ффе р е нци а льна я по ста но вка за да чи Тр е б уе тся в ка ж до й то чке о б ла сти V гла дко стьр е ш е ни я и е го пр о и зво дных до по р ядка пр о и зво дных ди ффе р е нци а льно го о пе р а то р а L На гр а ни ца х SV кусо чно -гла дко го за да ни я ма те р и а льных ко эффи ци е нто в о пе р а то р а L не о б х о ди мо фо р мули р о ва ть усло ви я со х р а не ни я

В а р и а ци о нна я по ста но вка за да чи Тр е б уе тся гла дко сть р е ш е ни я и е го пр о и зво дных на о ди н по р ядо к ме ньш е , че м в экви ва ле нтно й фо р мули р о вке В ва р и а ци о нно й по ста но вке усло ви я со х р а не ни я на гр а ни це SV р а зр ыва ко эффи ци е нто в в по дынте гр а льно й функци и F выпо лняю тся за счё т и нте гр а льно й по ста но вки

2.1.2 К а к сле дуе ти з 2.1.1, за да чи М С С мо гутб ытьсфо р мули р о ва ны ли б о в ди ффе р е нци а льно й, ли б о в ва р и а ци о нно й по ста но вка х (во пр о с о б экви ва ле нтно сти ди ффе р е нци а льно й и ва р и а ци о нно й по ста но вка х о дно й и то й ж е за да чи р а ссмо тр и м да ле е ). В со о тве тстви е с эти ми по ста но вка ми р а зде ляю тся и ме то ды р е ш е ни я за да ч, х о тя сущ е ствуе ти о б щ а я те р ми но ло ги я, не за ви си ма я о тпо ста но во к за да ч. Ни ж е пр и ве де но со о тно ш е ни е (на и ме но ва ни е ) до ста то чно о б щ и х ме то до в р е ш е ни я ди ффе р е нци а льно й и ва р и а ци о нно й за да ч. Ди ффе р е нци а льна я за да ча

То чные ме то ды

Пр и б ли ж ё нные а на ли ти че ски е ме то ды ти па р ядо в и др .

К о не чно р а зно стные ме то ды

В а р и а ци о нна я за да ча

Ч и сле нные ме то ды

М К Э на о сно ве ме то до в Га лё р , взве ш е нных не вязо к и др .

Све де ни е к ди ффе р е нци а льно й за да че

М е то д Р и тца

Ч и сле нный ме то д ко не чных эле ме нто в М КЭ

2.2 С равнитель ная харак теристик а операц ий при пос троении вы чис литель ны х алгоритмов методами к онечны х разнос тей (М К Р ) и к онечны хэлементов (М К Э ) П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

7

2.2.1 Ра ссмо тр и м по сле до ва те льно стьо пе р а ци й по стр о е ни я чи сле нно го а лго р и тма М К Р пр и р е ш е ни и ди ффе р е нци а льно й за да чи LU = f . По ла га е тся, что в не ко то р о й на пе р ё д за да нно й си сте ме ко о р ди на тмо ж но по стр о и ть се тку с пе р е ме нным (по сто янным) ш а го м по ко о р ди на тным на пр а вле ни ям (Ри с. 2.1). x2 j +1

V Г

j x1

i i + 1 h1 Р и с. 2.1. С х е ма ти че ско е и зо б р а ж е ни е се тки на о б ла сти р е ш е ни я V.

Та ки м о б р а зо м, пе р вый ш а г пр е дпо ла га е т за ме ну не пр е р ывно й о б ла сти V и зме не ни я а р гуме нто в на мно ж е ство Vh ко не чно го ди скр е тно го и зме не ни я а р гуме нто в. В то р ым ш а го м являе тся за ме на ве кто р -функци и U р е ш е ни я ди ффе р е нци а льно й за да чи на се то чную функци ю y h , за да нную на мно ж е стве узло в Vh (Ри с. 2.2). В сле дую щ е м, тр е тье м ш а ге , пр о и зво ди тся а ппр о кси ма ци я ча стных пр о и зво дных по на пр а вле ни ям xα ( α = ( 2,3) ) на мно ж е стве Vh узло вых то че к, т.е . по дста но вка эти х р а зно стных пр о и зво дных в ди ффе р е нци а льную за да чу LU = f , U Г = U (s ) и те м са мым за ме на ди ффе р е нци а льно й за да чи (вме сте с гр а ни чными усло ви ями ) на р а зно стную , ко то р а я пр е дста вляе т со б о й те пе р ь си сте му, в о б щ е м случа е , не ли не йных а лге б р а и че ски х ур а вне ни й Lh y = f h , y

Г

= U (s h ) .

(2.3)

Не пр е р ывна я ди ффе р е нци а льна я за да ча (2.1) и р а зно стна я за да ча (2.3) не экви ва ле нтные и для о це нки и х б ли зо сти вво дят по няти я по гр е ш но сти а ппр о кси ма ци и р е ш е ни я rh = U − y h и по гр е ш но сти а ппр о кси ма ци и ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я и гр а ни чных усло ви й (2.1)

R h = Ly h − f h .

(2.4)

Для кла сси че ски х ур а вне ни й в ча стных пр о и зво дных для р а зли чных а ппр о кси ма ци й пр о и зво дных по стр о е ны о це нки а ппр о кси ма ци и ур а вне ни й (2.4), и те о р е ма Ти х о но ва по зво ляе тда ть о це нку по гр е ш но сти р е ш е ни я rh П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

8

че р е з о це нку по гр е ш но сти пр о и зво дных и са мо й ди ффе р е нци а льно й за да чи Rh . U ( x)

и

U

x2 V ГГ

x1 Ри с. 2.2. Сх е ма ти че ско е и зо б р а ж е ни е не пр е р ывно й о б ла сти р е ш е ни я V, се то чно й ди скр е тно й о б ла сти Vh мно ж е ства узло вых то че к, р е ш е ни я U ка к ги пе р по ве р х но сти на V и се то чно й фун кци и yh (U − yh = rh = О ( h K )) .

2.2.2 О пи ш е м по сле до ва те льно сть о пе р а ци й по стр о е ни я чи сле нно го а лго р и тма М К Э р е ш е ни я ва р и а ци о нно й за да чи . Пе р вым ш а го м в М К Э являе тся ди скр е ти за ци я о б ла сти р е ш е ни я V путё м и спо льзо ва ни я то го и ли и но го а лго р и тма выб о р а узло вых то че к (Ри с.2.3). Пр и это м и з б ли зле ж а щ и х узло вых то че к мо ж но с и спо льзо ва ни е м пло ско сте й и ли по ве р х но сте й сфо р ми р о ва ть эле ме нт в ви де , ска ж е м, на пло ско сти тр е уго льни ка , че тыр ё х уго льни ка и т.д. (Ри с. 2.3), ко то р ый и на зыва ю т ко не чным эле ме нто м. U

Ui

Uk

x2

j

i x1

Uj

k

Ри с. 2.3. И зо б р а ж е ни е ко не чно го тр е уго льно го эле ме нта и ли не йно й и нте р по ляци и р е ш е ни я на д ни м.

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

9

Та ки м о б р а зо м, пе р вым ш а го м в М К Э являе тся за ме на не пр е р ывно й о б ла сти V и зме не ни я а р гуме нта на ди скр е тно е мно ж е ство узло вых то че к Vh (мно ж е ство ко не чных эле ме нто в). В то р ым ш а го м по стр о е ни я чи сле нно го а лго р и тма М К Э являе тся выб о р и нте р по ляци и р е ш е ни я на ко не чно м эле ме нте – ли не йно й, ква др а ти чно й, куб и че ско й и ли др уго го по р ядка , Л а гр а нж е во й, Ч е б ыш е вско й и нте р по ляци и и т.д. В случа е Л а гр а нж е во й и нте р по ляци и р е ш е ни е на ко не чно м эле ме нте мо ж е т б ыть пр е дста вле но в ви де р яда по не ко то р ым функци ям ϕ Р (x) , ко то р ые р а зные а вто р ы на зыва ю т функци ями фо р мы, б а зи сными функци ями и т.д. U ≅ Un =

∑U

Р= i , j , k

Р

⋅ ϕ Р ( x) ,

зде сьU Р - зна че ни е функци и U в то чке р , ϕ Р - б а зи сна я функци я ϕ ( x ) , пр и x ∈ V  Р hp . ϕ Р( x Р) = 1 , ϕ Р( x) =  0 , пр и x ∉ Vh

(2.5)

(2.6)

Тр е тьи м ш а го м по стр о е ни я вычи сли те льно го а лго р и тма М К Э являе тся по дста но вка и нте р по ли р о ва нно го р е ш е ни я (2.5) в по дынте гр а льно е выр а ж е ни е функци о на ла J (2.2), выпо лне ни е о пе р а ци и и нте гр и р о ва ни я в V и пр е вр а щ е ни е функци о на ла J в функци ю мно ги х пе р е ме нных о т U Р ( р = 1, 2,..., N ) , N – чи сло узло в. Ч е твё р тым ш а го м являе тся о пе р а ци я экстр е ми за ци и функци о на ла J по пе р е ме нным U Р , что в со о тве тстви и с пр и нци по м Ф е р ма ве дё тк си сте ме N ко не чных а лге б р а и че ски х ур а вне ни й ∂J /∂U Р = 0 , ( р = 1, 2,..., N ) .

(2.7)

Ре ш е ни е си сте мыур а вне ни й (2.7) по зво ляе тда тьр е ш е ни е ва р и а ци о нно й за да чи с за да нно й и нте р по ляци е й. 2.2.3 Алго р и тм М К Э р е ш е ни я за да ч М С С мо ж е тб ыть сфо р мули р о ва н и для ди ффе р е нци а льно й по ста но вки за да чи (2.1). Для по стр о е ни я чи сле нно го а лго р и тма М К Э , ка к и для ва р и а ци о нно й за да чи , выпо лни м: ш а г пе р вый – ди скр е ти за ци ю о б ла сти р е ш е ни я V ; ш а г вто р о й – и нте р по ляци ю р е ш е ни я с и спо льзо ва ни е м функци й фо р мы (2.5) (б а зи сных функци й). Э ти два ш а га со впа да ю тс по сле до ва те льно стью о пе р а ци й М К Э для ва р и а ци о нно й за да чи , о дна ко сле дую щ и е два ш а га о сно выва ю тся на ва р и а ци о нных ме то да х Га лё р ки на , взве ш е нных не вязо к и т.д. Тр е ти й ш а г со сто и т в по дсчё те не вязки ди ффе р е нци а льно й за да чи с и спо льзо ва ни е м пр и б ли ж ё нно го пр е дста вле ни я р е ш е ни я в ви де р ядо в (2.5) П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

Rh = L

∑ по

э л е м е нт ам

∑U

Р=i , j , k

10 Р

⋅ ϕ Р ( x) − f h ( x) .

(2.8)

Ч е твё р тый ш а г со сто и тв о р то го на ли за ци и не вязки (2.8) си сте ме б а зи сных функци й ϕ Р    L ϕ Р − f h ( x) ϕ h ( x ) dv = 0 . ∑ ∫V Rh ⋅ ϕ Рdv = V∫  ∑  по Р=i , j , k  э л е м е нт ам 

(2.9)

Ур а вне ни я (2.9) пр е дста вляю т со б о й си сте му N а лге б р а и че ски х ур а вне ни й для р е ш е ни я U К в узло вых то чка х . Да ле е пр и ве де на ср а вни те льна я ка р ти на по сле до ва те льных ш а го в по стр о е ни я чи сле нных а лго р и тмо в М К Р и М К Э . М КР М КЭ М КЭ Ди ффе р е нци а льна я за да ча 1. По стр о е ни е се тки с и спо льзо ва ни е м ш а го в по ко о р ди на та м

Ди ффе р е нци а льна я за да ча В а р и а ци о нна я за да ча 1. По стр о е ни е ко не чных эле ме нто в с и спо льзо ва ни е м узло вых то че к по за да нно му (выб р а нно му) а лго р и тму

2. Аппр о кси ма ци я пр о и зво дных р а зно стными а на ло га ми

2. В ыб о р б а зи сных функц и й и а ппр о кси ма ци я р е ш е ни я в ви де р яда по эти м функци ям

3. По стр о е ни е а лге б р а и че ско й си сте мыур а вне ни й путё м за ме ны (а ппр о кси ма ци и ) пр о и зво дных о тне пр е р ывных функци й на и х р а зно стные а ппр о кси ма ци и че р е з се то чные функци и

3. По стр о е ни е не вязки ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я путё м за ме ныто чно го р е ш е ни я на е го пр и б ли ж ё нную а ппр о кси ма ци ю

3. Пр е о б р а зо ва ни е функци о на ла в функци ю мно ги х пе р е ме нных путё м по дста но вки р е ш е ни я в функци о на л

4. По стр о е ни е си сте мыа лге б р а и че ски х ур а вне ни й для се то чно го р е ш е ни я путё м о р то го на ли за ци и не вязки си сте м с б а зи сных функци й

4. По стр о е ни е си сте мы а лге б р а и че ски х ур а вне ни й ∗ , до ста вляю щ и х экстр е мум функци и мно ги х пе р е ме нных

2.3 Д ис к ретизац ия облас ти реш ения задачи Пе р вым ш а го м все х р а зно стных и ко не чно -эле ме нтных ме то до в являе тся за ме на о б ла сти V не пр е р ывно го и зме не ни я а р гуме нта на о б ла сть Vh ди скр е тно го ко не чно го чи сла то че к N и зме не ни я а р гуме нта . В М К Р се тка , а со о тве тстве нно и узло вые то чки , стр о ятся за счё т за да ни я ш а го в hi (i = 1,2,3) по ко о р ди на та м x1 , x 2 , x 3 . Та кую се тку до ста то чно не удо б но ∗

для р е ш е ни я в узло вых то чка х

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

11

пр и вязыва ть к о б ла стям б о льш о го гр а ди е нта р е ш е ни я и гла дко го по ве де ни я р е ш е ни я. В М К Э узло вые то чки “р а зб р а сыва ю т” не р а вно ме р но , и спо льзуя зна ни е по ве де ни я р е ш е ни я в за да ча х , б ли зки х по гр а ни це и гр а ни чным усло ви ям. Ч и сло узло вых то че к мо ж но уве ли чи ва ть в о б ла сти и зло ма гр а ни цы Г и ли в ме сте пр и ло ж е ни я со ср е до то че нных ма ссо вых си л, а за те м ли не йно и ли экспо не нци а льно уме ньш а ть и х ко ли че ство с уве ли че ни е м р а ссто яни я о тэти х о со б е нно сте й. Та ки м спо со б о м мо ж но со кр а щ а ть чи сло узло вых то че к пр и со х р а не ни и то чно сти р е ш е ни я в о б ла сти е го б о льш о го гр а ди е нта и уме ньш а ть по р ядо к си сте мы а лге б р а и че ски х ур а вне ни й для р е ш е ни я в узло вых то чка х . 2.4

О бс уждениевопрос ов интерполяц ии ф унк ц ий в М К Э

К а к мыуж е го во р и ли в 2.3 в М К Р функци я и (x) не пр е р ывно го и зме не ни я а р гуме нта x за ме няе тся се то чно й функци е й ui = U ( xi ) ди скр е тно го и зме не ни я а р гуме нта . В М К Э и спо льзуе тся др уго й по дх о д, а и ме нно : то чно е р е ш е ни е за да чи U (x) за ме няю тна пр и б ли ж ё нно е и (x) ( U ( x) ≈ и ( x) ), ко то р о е и нте р по ли р уе тU (x) на ко не чно м эле ме нте . В за ви си мо сти о тпо р ядка пр о и зво дных в по дынте гр а льно й функци и F (x ) функци о на ла J и тр е б уе мо й то чно сти и спо льзую та ппр о кси ма ци ю р е ш е ни я U (x) кусо чно по ли но ми а льными функци ями (кусо чными мно го чле на ми ) р а зли чно й сте пе ни . Пр и это м во змо ж ныдва по дх о да – Л а гр а нж а и Э р ми та . Ра ссмо тр и м эти два по дх о да на пр и ме р е и нте р по ляци и функци и о дно го пе р е ме нно го [1,6,9]. Л а гр а нж е в по дх о д а ппр о кси ма ци и функци и f (x ) на и нте р ва ле [ xi , x i +1 ] по зна че ни ям функци и f на ко нца х и нте р ва ла пр е дпо ла га е тсущ е ство ва ни е мно го чле на сте пе ни n (Ри с. 2.4) n

Pi ( n ) ( x) = ∑ a K(i ) x K та ко го , что Pi ( n ) ( xi ) = f i и Pi ( n ) ( xi +1 ) = f i +1 .(2.10) K =0

fi

f

Рi(1) ( x )

ϕ (N1) ( x )

ϕ ( x) (1) 0

ϕ (i1) ( x )

1

а

x0

f i +1

x i −1

xi

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

xi +1

xN

b

x

12

ϕ i(1) ( x) и ли (1) не йно го и нте р по ляци о нно го по ли но ма Рi ( x) на и нте р ва ле x ∈ [ xi , x i +1 ] . И нте р по ляци о нный по ли но м (2.10) удо б не е пр е дста ви тьв ви де Ри с. 2.4. С х е ма ти че ско е и зо б р а ж е ни е ли не й ных б а зи сных функци й

f ( x) ≈ Рi( n ) = f i ⋅ ϕ i( n ) ( x) + f i +1 ⋅ ϕ i(+n1) ( x) ,

(2.11)

зде сь ϕ i( n ) ( x ) - по сле до ва те льно сть N+1 б а зи сных функци й (функци й фо р мы), n – ука зыва е тна по р ядо к и нте р по ляци о нно го по ли но ма , i – ука зыва е т на о б ла сть(сущ е ство ва ни я) пр и ме ни мо сти это го по ли но ма ( x ∈ [ xi , xi +1 ] ) ϕ i( n ) ( xi ) = 1, ϕ i( n ) ( xi +1 ) = 0 ,

ϕ i(+n1) ( xi ) = 0 , ϕ i(+n1) ( xi +1 ) = 1.

(2.12)

Пр е дста вле ни е (2.11) а ппр о кси ми р ую щ е го мно го чле на выго дно о тли ча е тся о т(2.10) те м, что ко эффи ци е нты р а зло ж е ни я x к(i ) в (2.11) пр и ни ма ю т смысл зна че ни я функци и f i в узло вых то чка х ( f ( xi ) = f i ) . Для случа я ли не йно й и нте р по ляци и n=1 по сле до ва те льно сть б а зи сных функци й и зо б р а ж е на на р и сунке 2.4 и и ме е тви д ( x1 − x ) ( x1 − x 0 ) ,  ϕ 0(1) ( x) = 0, 0,  ( x − xi −1 ) ( xi − x i−1 ) ,  ϕ i(1) ( x) = ( xi +1 − x ) ( x i +1 − xi ) , 0,  0, ϕ N(1) ( x) =  ( x − x N −1 ) ( x N − x N −1 ) , i = (1,2,..., N - 1) .

пр и x ∈ [x 0 , x1 ]

пр и x ∈ [x1 , x N ] , пр и x ∈ [x 0 , x i −1 ]

пр и x ∈ [x i −1 , x1 ]

пр и x ∈ [x1 , xi +1 ] , пр и x ∈ [x i +1 , x N ] пр и x ∈ [x 0 , x N −1 ]

пр и x ∈ [x N −1 , x N ]

(2.13)

,

О тме ти м сущ е стве нную о со б е нно сть Л а гр а нж е во й и нте р по ляци и – в узло вых то чка х мно го чле на , спр а ва и сле ва со впа да ю т

Pi ( n ) ( xi ) = Рi(−n1) ( xi ) ,

(2.14)

а и х пр о и зво дные р а зр ывные

Pi ( n ) k ( xi ) ≠ Рi(−n1) k ( xi ) , (k ≤ n ) .

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

(2.15)

13

Усло ви ям не пр е р ывно сти пр о и зво дных о тве ча е т и нте р по ляци я Э р ми та . Для случа я и нте р по ляци и с не пр е р ывными пр о и зво дными пе р во го по р ядка мно го чле н тр е тье й сте пе ни и ме е тви д ′ Р3( i ) ( x ) = α i ( x ) ⋅ f i + β i ( x ) ⋅ f i +1 + γ i ( x ) ⋅ f i + δ i ( x ) ⋅ f i ′+1 , (2.16) где α , β , γ , δ о пр е де ляю тся и з усло ви й ′ ′ Р3(i ) ( x i ) = f i , ′ Р3(i ) ( xi +1 ) = f i +1 , Р3(i ) ( x i +1 ) = f i′+1 ,

Р3(i ) ( xi ) = f i ,

α i ( x) =

(2.17)

( xi +1 − x ) [( xi+1 − xi ) + 2( x − xi )], ( xi +1 − x i ) 3 2

( x − xi ) 2 β i ( x) = [( xi+1 − xi ) + 2( xi+1 − x)], ( xi +1 − xi ) 3 ( x − xi )( x i +1 − x ) 2 γ i ( x) = , ( x i+1 − xi ) 2 ( x − xi ) 2 ( x − x i +1 ) δ i ( x) = . ( xi +1 − xi ) 2 Э р ми то в и нте р по ляци о нный мно го чле н (2.16) мо ж но пр е о б р а зо ва ть к ви ду ′ Р3( i ) ( x ) = f i ⋅ ϕ i(3.0 ) ( x ) + f i ⋅ ϕ i( 3.1) ( x ), x ∈ [xi , xi +1 ] , (2.18) где ϕ i(3 ) - б а зи сные куб и че ски е функци и . Для x ∈ [x 0 , x N ] мно го чле н Э р ми та е стьпр о сто сумма кусо чных мно го чле но в (2.18) N −1 ′ Р(3 ) ( x) = ∑  f i ⋅ ϕ i( 0 ) ( x) + f i ⋅ ϕ i(1) ( x) .   i =0 

(2.19)

В Э р ми то во й и нте р по ляци и (2.19) функци я f а ппр о кси ми р уе тся по зна ′ че ни ям са мо й функци и f i и е ё пе р во й пр о и зво дно й f i в узло вых то чка х , что в два р а за уве ли чи ва е т по р ядо к си сте мы а лге б р а и че ски х ур а вне ни й для а ппр о кси ма ци и функци и . Для за да ч, в ко то р ых не тне о б х о ди мо сти о п′ р е де лятьзна че ни я пр о и зво дных f i в узло вых то чка х , но тр е б уе тся не пр е ′ ′ р ывно сть пр о и зво дных f i + 0 = f i −0 в узло вых то чка х , в ка че стве б а зи сных функци й (функци й фо р мы) и спо льзую т спла йны S (i ) ( x) . Для случа я не пр е р ывно сти пе р вых пр о и зво дных в узло вых то чка х в ка че стве б а зи сных функци й и спо льзую тква др а ти чный спла йн [2,3,9] П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

14

S 2(i ) ( x) = f i +

f i +1 − f i ( x − xi ) + с i ( x − xi )( x − xi +1 ) , xi +1 − xi

(2.20)

(i = 1,2,..., n) , где ко эффи ци е нты с i спла йна о пр е де ляю тся р е ш е ни е м 1 с i + с i −1 = 2 ( f i +1 − 2 f i + f i −1 ) , (h1 = h2 = hi = hn ) , h ли не йно й си сте мыа лге б р а и че ски х ур а вне ни й. На и б о льш е е р а спр о стр а не ни е по лучи л куб и че ски й спла йн, о б ла да ю щ и й не пр е р ывными пе р во й и вто р о й пр о и зво дными в узло вых то чка х и со впа да ю щ и й с функци е й f (x) на ко нца х о б ла сти x ∈ [ xi , xi +1 ] , ко то р а я на зыва е тся но си те ле м спла йна S 3( i ) ( x i ) = f i , S 3( i ) ( x i +1 ) = f i +1 , ′ ′ ″ ″ S 3( i −1) ( x i ) = S 3( i ) ( x i ) , S 3( i −1) ( x i ) = S 3(i ) ( x i ) , (i = 0,1,2,..., N ) ,

(2.21)

сi ( xi +1 − x )3 + с i+1 ( x − xi )3 + 6h 6h hc   f hc  f +  i − i ( xi +1 − x ) +  i +1 − i +1 ( x − x i ), 6  6  h  h (i = 0,1,2,..., n − 1) . S 3( i ) ( x ) =

К о эффи ци е нты с i о пр е де ляю тся и з р е ш е ни я си сте мы ли не йных ур а вне ни й с тр ё х ди а го на льно й ма тр и це й с i +1 + 4с i + с i −1 =

6 ( f i +1 − 2 f i + f i −1 ) , (i = 1,2,..., N − 1) . h2

(2.22)

Ч а сто по ла га ю т с 0 = с N = 0 . С р а вни те льна я х а р а кте р и сти ка и нте р по ляци о нных по дх о до в Л а гр а нж а и Э р ми та . Л а гр а нж е ва и нте р по ляци я Э р ми то ва и нте р по ляци я 1. М о ж но выб и р а ть б а зи сн ые функци и лю - 1. И нте р по ляц и о нный по ли но м б о го по р ядка n. Рn (x) мо ж но о пр е де лять по зна 2. И нте р по ляци о нн ый мно го чле н о пр е де че ни ям функци и f i и е ё пр о и зво дляе тся зна че ни ями функци и f в узло ′ но й f i и т.д. в узло вых то чка х , пр и вых то чка х - f i . это м по ли но м и е го пе р вые пр о и з3. Пр о и зво дные по а р гуме нту о т и нте р по во дные не пр е р ывны в узло вых ляци о нно го мно го чле на Рn ( x ) в узло то чка х . Си сте ма а лге б р а и че ски х П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

15

вых то чка х

ур а вне ни й для и нте р по ляци и функци и уве ли чи ва е тся в 2 и б о ле е р а за за счё т вве де ни я не и зве стных пе р вых и т.д. пр о и зво дных . 2. Не пр е р ывно сть пе р вых и вто р ых пр о и зво дных о т и нте р по ляци о нно го мно го чле на мо ж но о б е спе чи ть за счё твыб о р а в ка че стве б а зи сных функци й спла йно в – ква др а ти чных , куб и че ски х и т.д., где ко эффи ци е нты эти х мно го чле но в-спла йно в о пр е де ляю тся путё м р е ш е ни я си сте м ли не йных ур а вне ни й с тр ё х ди а го на льно й ма тр и це й .

xi р а зр ывные .

2.5 В ы борбазис ны х ф унк ц ий при Л агранжевой интерполяц ии В на сто ящ е е вр е мя и ме е тся о б ш и р не йш а я ли те р а тур а по о б о сно ва ни ю и а на ли зу кр и те р и е в выб о р а ко не чных эле ме нто в и б а зи сных функци й р а зли чно го по р ядка в со о тве тстви и с по дх о да ми Л а гр а нж а и Э р ми та . Л и не йные , ква др а ти чные и куб и че ски е б а зи сные функци и о дно го а р гуме нта пр и ве де ны в [9]. Для двуме р но го случа я и тр е уго льных ко не чных эле ме нто в пр и ве дё м а лго р и тми че ско е пр е дста вле ни е б а зи сных функци й р а зли чно го по р ядка , выр а ж е нные (пр е дста вле нные ) че р е з ли не йные б а зи сные функци и . 1

ϕ (i 1) ( x , y )

y i k

x j

∆ijk

Ри с.5. И зо б р а ж е ни е пло ско го тр е уго льно го эле ме нта ∆ ijk и ли не йно й б а зи сно й функци и

ϕ i(1) ( x, y) пр и вяза нно й к узло во й то чке i .

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

16

Л и не йную б а зи сную функци ю на эле ме нте ∆ ijk , пр и вяза нную к i -й то чке , мо ж но пр е дста ви тьв ви де ϕ i(1) ( x , y ) = D jk Dijk , где D- о пр е де ли те ли 1 xi y i  1 x y  (2.23) ма тр и ц D jk = 1 x j y j , Dijk = 1 x j y j  . 1 x k y k  1 x k y k  К ва др а ти чные б а зи сные функци и , удо вле тво р яю щ и е ста нда р тным усло ви ям на ∆ ijk , и ме ю тви д ϕi(2 ) ( xi , yi ) = 1 , ϕ i ( xk , yk ) = ϕ i ( x j , y j ) = 0 ( 2)

( 2)

и выр а ж а ю тся че р е з ли не йные б а зи сные функци и ϕ l( 2 ) ( x , y ) = ϕ l(1) ( 2ϕ l(1) − 1) , ϕ с( 2 ) ( x, y ) = 4ϕ i(1)ϕ (j1) , (l = i , j, k ) ,

(2.24)

ij

зде сь с ij - ср е дняя то чка на сто р о не (i, j ) , по i, j , k - кр уго ва я пе р е ста но вка .

ϕ (i 2 ) ( x, y )

j

с ij

с jk

k

i с ik

Ри с. 2.6. Узло вые то чки тр е уго льно го эле ме нта для ква др а ти чно й б а зи сно й функци и . 1

ϕ (i 3) ( x, y ) j

i k П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

17

Ри с. 2.7. Узло вые то чки и куб и че ска я б а зи сна я функци я тр е уго льно го эле ме нта .

К уб и че ски е б а зи сные функци и тр е уго льно го пр е дста ви мыче р е з ли не йные б а зи сные функци и

эле ме нта р е кур р е нтно

1 ϕ i(3 ) = ϕ i(1) (3ϕ i(1) − 1)(3ϕ i(1) − 2 ), 2 9 ϕ (13 ) = ϕ i(1) ⋅ ϕ k(1) ⋅ (3ϕ i(1) − 1), ( i ,k ) 2 3

(i → j → k ) ,

9 ϕ (3 )1 = ϕ i(1) ⋅ ϕ k(1) (3ϕ k(1) − 1), (i, k ) 2 3

(i → j → k ),

(i → j → k ), (2.25)

ϕ с(3 ) = 27ϕ i(1)ϕ (j1)ϕ k(1) . Уве ли че ни е

по р ядка и нте р по ляци о нно го по ли но ма

N

Р0 ( x ) = ∑U k ⋅ ϕ kn k =1

тр е б уе туве ли че ни я чи сла узло вых то че к, что ве дё тк уве ли че ни ю р а зме р но сти си сте мыа лге б р а и че ски х ур а вне ни й для о пр е де ле ни я U k . 3 Ис поль зованиеМ К Э в М С С 3.1 Д ис к ретизац ия облас ти при реш ении задач М С С методом к онечны хэлементов М е то д ко не чных эле ме нто в за клю ча е тся в а ппр о кси ма ци и и ско мых функци й не о дно о б р а зно во все й о б ла сти р е ш е ни я, а в а ппр о кси ма ци и (с со б лю де ни е м о пр е де ле нных усло ви й) в ка ж до м и з эле ме нто в, на ко то р ые р а зб и та о б ла сть. Ди скр е ти за ци я о б ла сти - это пр е дста вле ни е не пр е р ывно й о б ла сти в ви де мно ж е ства ко не чных эле ме нто в. На пе р во м эта пе во змо ж но р а зде ле ни е о б ла сти на по до б ла сти , а на сле дую щ е м ш а ге ка ж да я по до б ла сть р а зб и ва е тся на ко не чные эле ме нты. Э то по зво ляе т выб р а ть р а зме р ы эле ме нто в в за ви си мо сти о т фо р мы о б ла сти и гр а ни чных усло ви й. В те х ме ста х , где гр а ни ца и ме е тр е зки е и зме не ни я кр и ви зны и ли гр а ди е нти ско мо й функци и мо ж е т пр и ни ма ть б о льш и е зна че ни я, не о б х о ди мо вво ди ть б о ле е ме лки е эле ме нты. В по до б ла сти , где функци я и зме няе тся ма ло , мо ж но р а зме р ы эле ме нто в уве ли чи ва ть. Пр и это м до лж ны со б лю да ться усло ви я спло ш но сти и о дно зна чно сти , то е сть ка ж да я то чка о б ла сти до лж на пр и на дле ж а ть ка ко мули б о о дно му эле ме нту, и ка ж да я внутр е нняя то чка эле ме нта до лж на пр и на дле ж а тьто лько е му. Гр а ни чные то чки у эле ме нто в мо гутб ытьо б щ и ми . О че ви дно , все м эти м усло ви ям мо ж но удо вле тво р и ть, е сли в ка че стве ко не чных эле ме нто в выб р а ть эле ме нты с ли не йными гр а ни ца ми , то е сть П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

18

мно го уго льни ки в двуме р но м пр о стр а нстве и мно го гр а нни ки в тр е х ме р но м. В это м случа е ве р ш и ны эле ме нто в на зыва ю тся узла ми . На гр а ни ца х по до б ла сте й узлысме ж ных эле ме нто в до лж нысо впа да ть. 3.2 В ы бораппрок с имирую щ их ф унк ц ий и ф ормы к онечны хэлементов Ана ли зи р уя по ста вле нную за да чу, де ла ю т выво д, ка ка я по эле ме нтна я а ппр о кси ма ци я не о б х о ди ма : с тр е б о ва ни е м то лько не пр е р ывно сти а ппр о кси ми р ую щ и х функци й пр и пе р е х о де че р е з гр а ни цы эле ме нто в, и ли с тр е б о ва ни е м не пр е р ывно сти не то лько са ми х а ппр о кси ми р ую щ и х функци й, но и и х пр о и зво дных до не ко то р о го по р ядка . В пе р во м случа е и спо льзую т а ппр о кси ма ци ю Л а гр а нж а , во вто р о м – Э р ми та [2]. 3.2.1 Л а гр а нж е выа ппр о кси ми р ую щ и е по ли но мы К а к го во р и ло сь в 3.1, р а зб и е ни е о б ла сти о пр е де ле ни я функци и на ко не чные эле ме нты ле гче все го пр о и зве сти с по мо щ ью эле ме нто в, и ме ю щ и х ли не йные гр а ни цы. В это м случа е а ппр о кси ми р ую щ и ми функци ями мо гут б ыть по ли но мы, зна че ни я ко то р ых в узла х эле ме нта со впа да ю т со зна че ни е м функци и . З на че ни я функци и в узла х эле ме нта б уде м на зыва ть узло выми па р а ме тр а ми и о б о зна ча ть δ i (i – но ме р узла , i=1… N, N – ко ли че ство узло в). {δ }e б уде м о б о зна ча ть ве кто р -сто лб е ц, эле ме нта ми ко то р о го Че ре з являю тся зна че ни я функци и в узла х , пр и на дле ж а щ и х да нно му эле ме нту с но ме р о м ‘e’ (e=1,… ,M, M – ко ли че ство эле ме нто в в о б ла сти ). 3.2.1.1 О дно ме р ные Л а гр а нж е выпо ли но мы Е сли р а ссма тр и ва е ма я о б ла стьр е ш е ни я о дно ме р на , то мо ж но вве сти о дну ко о р ди на ту, на пр и ме р x ( 0 ≤x≤ L ) . Ра зб и ва е м о б ла сть на ко не чные эле ме нты мно ж е ство м то че к xi (i = 1,K, N , x1 = 0, x N = L ) . В это м случа е о б р а зуе тся M эле ме нто в, M=N-1. Гр а ни ца ми эле ме нто в являю тся то чки xi , сле до ва те льно , для не пр е р ывно сти а ппр о кси ми р ую щ и х функци й пр и пе р е х о де че р е з гр а ни цы эле ме нто в до ста то чно со впа де ни я зна че ни й по ли но мо в в узла х , что и до сти га е тся e тр е б о ва ни е м со впа де ни я по ли но мо в {ϕ ( x)} со зна че ни е м а ппр о кси ми р уе мо й функци и ϕ(x)в узла х . К а ж дый эле ме нти ме е тдва узла , сле до ва те льe e но , {δ } = {δ e , δ e+1 }T и а ппр о кси ми р ую щ и й по ли но м {ϕ } мо ж е т б ыть ли не йно й функци е й

{ϕ ( x)}

e

= a e + be x ,

зде сь a e и b e - ко эффи ци е нты, ко то р ые о пр е де ляе м и з усло ви я

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

(3.1)

{ϕ ( x )} = δ , {ϕ ( x )} = δ

19

a + b xi = δ i ,

e

i

i

e

i+1

О тсю да ae =

e

i +1

,

e

a e + b e xi +1 = δ i +1 .

δ i x i +1 − δ i +1 xi δ −δi , b e = i +1 . x i +1 − xi x i +1 − xi

(3.2)

По дста ви в (3.2) в (3.1), по луча е м

{ϕ ( x)}

e

=

x i +1 − x x − xi δi + δ i +1 . x i +1 − xi x i +1 − x i

(3.3)

Ф ункци и пе р е д па р а ме тр а ми δ i о б о зна чи м че р е з N ie (x) , и на зо ве м функци ями фо р мы. О тме ти м, что в о дно и ме нных узла х о ни р а вны 1, a в р а зно и мё нных - нулю

{ϕ ( x)}

e

= [ N ]e {δ }e ,

(3.4)

зде сь [N ] = [ N ie ( x ), N ie+1 ( x )] на зыва е тся ма тр и це й функци й фо р мы. З а пи сь (3.4) по зво ляе твве сти пр е дста вле ни е а ппр о кси ми р ую щ е го по ли но ма че р е з ве кто р узло вых па р а ме тр о в эле ме нта , ма тр и це й пр о по р ци о на льно сти в это м случа е являе тся ма тр и ца фо р мы [N]. О тме ти м, что фо р ма льно (3.4) б уде т со х р а нять сво й ви д для все х а ппр о кси ми р ую щ и х по ли но мо в. Е сли вме сто ли не йно й а ппр о кси ма ци и вве сти ква др а ти чную функци ю e

{ϕ ( x)}

e

= ae + be x + ce x2 ,

(3.5)

то для о пр е де ле ни я тр е х ко эффи ци е нто в не о б х о ди мо на ли чи е тр е х узло вых па р а ме тр о в, то е сть до по лни те льно в ка ж до м эле ме нте не о б х о ди мо вве сти е щ е о ди н узе л, функци и фо р мы вве сти та ко го ж е ти па , ка к и (3.5)

N ie ( x) = aie + bie x + cie x 2 , (i=1, 2, 3),

(3.6)

ко эффи ци е нты aie , bie , c ie о пр е де ляю тся и з усло ви й 1, пр и j = i N ie ( x j ) =  . 0 , пр и j ≠ i П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

(3.7)

20

С о о тно ш е ни я (3.7) пр и во дятк си сте ма м ур а вне ни й о тно си те льно ко эфT e фи ци е нто в {Ci } = {aie , bie , cie } , (i=1,2,3), [ ∆]e {C i } = {∆ i } , e

(3.8)

зде сь

[∆]

e

1 x1

= 1 x2 1 x3

1  0 0       y 22 , {∆ 1 } = 0 , {∆ 2 } = 1  , {∆ 3 } = 0 . 0 0 1  x32       x12

По сле р е ш е ни я си сте м (3.8) {ϕ ( x)}e мо ж е тб ыть за пи са н в то м ж е ви де (3.4), где δ i    e e e [ N ( x )] = [ N i ( x ), N i +1 ( x ), N i + 2 ( x )] , {δ } = δ i +1  δ   i+2  х о тя и ви д функци й фо р мы и р а зме р но стьма тр и ц б уде тме няться. По выш е ни е по р ядка а ппр о кси ми р ую щ е го по ли но ма связа но с уве ле че ни е м ко ли че ства ко эффи ци е нто в в не м и для и х о пр е де ле ни я не о б х о ди мо в эле ме нты вве сти до по лни те льные узлы. Пр е дла га е м са мо сто яте льно выпи са ть ква др а ти чный и куб и че ски й по ли но мы, о пр е де ли ть ко ли че ство и по ло ж е ни е вво ди мых узло в в эле ме нте , выясни ть, что ти п функци й со впа да е т с ти по м e а ппр о кси ми р ую щ е го по ли но ма и по лучи ть за ви си мо сть {ϕ }e о т {δ } в ви де , а на ло ги чно м (3.4). 3.2.1.2 Двуме р ные Л а гр а нж е вы эле ме нты Двуме р ную о б ла сть Ω р а зб и ва ю т в пр о сте йш е м случа е на тр е уго льни ки , р и суно к 3.1.

Ри с. 3.1.Л и не йный эле ме нтдля а ппр о кси ми р ую щ е го по ли но ма Л а гр а нж а .

В это м случа е

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

21

δ i  N ie ( x , y ) = a ie + bie x + c ie y   . (3.9) {δ } = δ j  , {ϕ ( x, y)}e = [ N ie , N ej , N ke ]{δ }e   δ k  По луча е м и в это м случа е фо р мулу (3.4). К о эффи ци е нты ai , bi , ci о пр е де ляю тся и з усло ви й а на ло ги чных (3.7) e

1, е с л и j = i N ie ( x j , y j ) =  . ≠ е с л и j i 0 , 

(3.10)

Ф о р мулы (3.8) и (3.9) о б е спе чи ва ю т не пр е р ывно сть а ппр о кси ма ци й на гр а ни це эле ме нто в, та к ка к на ли не йно й гр а ни це две ли не йные функци и , со впа да ю щ и е в двух узла х , пр и на дле ж а щ и х это й гр а ни це , со впа да ю т на все й пр ямо й. Е сли вве сти в ка че стве а ппр о кси ми р ую щ и х по ли но мы вто р о го по р ядка , то ти п эти х по ли но мо в до лж е н о б е спе чи ва ть на гр а ни це эле ме нто в не пр е р ывно сть функци й, со впа да ю щ и х в двух узла х , то е сть на гр а ни ца х эле ме нто в функци и до лж ны б ыть ли не йными . Е сли эле ме нты по лучи ть с по мо щ ью се тки xi = const, yi = const, то во змо ж ны две гр а ни цы эле ме нта : ли б о x=const, ли б о y=const. В это м случа е усло ви ю не пр е р ывно сти удо вле тво р яю тфункци и фо р мы N ie ( x, y ) = a ie + bie x + c ie y + d ie xy .

(3.11)

Е сли по ка ко й-ли б о ко о р ди на те тр е б уе тся б о ле е высо ки й по р ядо к а ппр о кси ма ци и , то не о б х о ди мо вве сти до по лни те льные узлы, та к ка к усло ви я не пр е р ывно сти функци й б о ле е высо ко го по р ядка тр е б уе т со впа де ни я а ппр о кси ми р ую щ и х по ли но мо в в б о льш е м ко ли че стве то че к. На пр и ме р , для эле ме нта , и зо б р а ж е нно го на р и сунке 3.2, а ппр о кси ми р ую щ и й по ли но м не о б х о ди мо выб р а тьв ви де

N ie ( x, y) = aie + bie x + cie y + d ie xy + eie x 2 + f i e x 2 y .

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

(3.12)

22

Ри с. 3.2. Пр ямо уго льный эле ме нт, со о тве тствую щ и й ква др а ти чно му по х по ли но му.

3.2.2 Тр ё х ме р ные Л а гр а нж е вы эле ме нты О че ви дно , в случа е пр о стр а нстве нных за да ч пр о сте йш и м эле ме нто м являе тся тр ё х гр а нна я пр и зма , со о тве тствую щ а я ли не йно му а ппр о кси ми р ую щ е му по ли но му N ie ( x, y ) = a ie + bie x + c ie y + d ie z .

(3.13)

По выш е ни е по р ядка а ппр о кси ми р ую щ и х по ли но мо в пр и во ди т к не о б х о ди мо сти вво ди тьдо по лни те льные узлыи ли ме нятьфо р му эле ме нта , пе р е х о дя к мно го гр а нни ка м, и ме ю щ и м б о ле е тр ё х ве р ш и н. 3.3 А ппрок с имац ия ф унк ц ий полиномами Э рмита По ли но мы Э р ми та а ппр о кси ми р ую т и ско мую функци ю та ки м о б р а зо м, что не то лько а ппр о кси ми р ую щ и й по ли но м со впа да е т со зна че ни е м функци и в узла х , но и и х пр о и зво дные до n-го по р ядка вклю чи те льно . По р ядо к ста р ш е й пр о и зво дно й, уча ствую щ е й в а ппр о кси ма ци и функци и , уста на вли ва е тся и з усло ви я, что в и сх о дно й за да че не уча ствую т пр о и зво дные высш е го по р ядка и , сле до ва те льно , ко не чный р а зр ыв n-о й пр о и зво дно й не пр и ве дё т к р а сх о ж де ни ю пр и вычи сле ни и пр о и зво дных и ли и нте гр а ло в в ва р и а ци о нно й по ста но вке за да чи . 3.3.1 О дно ме р ные а ппр о кси ми р ую щ и е по ли но мыЭ р ми та Пр и р а зб и е ни и о дно ме р но й о б ла сти на К Э пр о сте йш и м являе тся эле ме нтс двумя узла ми на ко нца х . В случа е е сли в по ста но вке за да чи фи гур и р ую т то лько пе р вые пр о и зво дные , мо ж но о гр а ни чи ться сле дую щ и м ве кто р о м узло вых па р а ме тр о в

{δ i }t =

{ϕ ,ϕ ′}, ϕ = ϕ (x ), ϕ′ = ∂∂ϕx i

i

i

i

i

x = xi

 . 

(3.14)

В е кто р узло вых па р а ме тр о в эле ме нта б уде ти ме тьви д

{δ }

e

δ  =  i . δ i +1 

(3.15)

Аппр о кси ми р ую щ и й по ли но м и со о тве тстве нно функци и фо р мы в пр о сте йш е м случа е мо ж но вве сти ка к функци ю тр е тье го по р ядка

{ϕ }e = α + β

x + γ x 2 + δ x3 .

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

(3.16)

23

Ф ункци ю фо р мыпе р е д па р а ме тр а ми - зна че ни ями функци и в узле б уде м о б о зна ча ть и нде ксо м «0», а пе р е д па р а ме тр а ми -зна че ни ями пр о и зво дно й в узла х и нде ксо м «1»

{ϕ }e = [N0 i ( x), N 1 i ( x ), N 0 i +1 ( x ), N1 i +1 ( x )]{δ }e .

(3.17)

И з фо р мул (3.17) мо ж но по лучи ть си сте мы ур а вне ни й для о пр е де ле ни я ка ж до го по ли но ма N, ко то р ые ко р о тко мо ж но о пи са тьур а вне ни ями 1, е с ли j = i 1, е с ли j = i N0 i (x j ) =  , N1′i (x j ) =  , 0, е с ли j ≠ i 0, е с ли j ≠ i N0′ i (x j ) = 0, N1i (x j ) = 0.

(3.18)

И спо льзуя (3.16) и (3.18), по лучи м 1 (1 − u )2 (2 + u ), N11 = 1 (1 − u 2 )(1 − u ), 4 4 1 1 2 N 0 2 = (1 + u ) (2 − u ), N 1 2 = (− 1 + u 2 )(1 + u ), 4 4 2 x − xi − xi + 1 зде сь u = . x i + 1 − xi N01 =

(3.19)

(3.20)

По ли но мы б о ле е высо ко го по р ядка по луча ю тся вве де ни е м но вых узло в и ли по выш е ни е м ко ли че ства узло вых па р а ме тр о в. 3.3.2 Двуме р ные а ппр о кси ми р ую щ и е по ли но мыЭ р ми та Пр и не о б х о ди мо сти за да ва тьв двуме р но й о б ла сти а ппр о кси ма ци ю , не пр е р ывную пр и пе р е х о де че р е з гр а ни цы эле ме нто в вме сте со сво и ми пр о и зво дными , пр о щ е все го и спо льзо ва ть пр ямо уго льные эле ме нты. Де йстви те льно , на пр и ме р , в са мо м пр о сто м случа е , ко гда тр е б уе тся вве сти а ппр о кси ма ци ю , не пр е р ывную вме сте со сво и ми пе р выми пр о и зво дными пр и пе р е х о де че р е з гр а ни цу эле ме нто в, до ста то чно вве сти пр ямо уго льный эле ме нтс узла ми в ве р ш и на х эле ме нта на гр а e ни ца х x=const и y=const. Ф ункци и {ϕ } до лж ны б ыть куб и че ски ми по ли но ма ми пе р е ме нно й вдо льгр а ни цыко о р ди на ты. В ве дё м ло ка льные ко о р ди на ты u и v с на ча ло м в це нтр е эле ме нта та к, что б ы на гр а ни ца х эле ме нта u = ±1, или v = ±1 . U и v мо ж но вве сти а на ло ги чно (3.20)

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

u=

2 x − xi − x j x j − xi

24

,

v=

2 y − yi − yk . y k − yi

Р и с. 3.3. Л о ка льные ко о р ди на тыв пр ямо уго льно м эле ме нте .

О че ви дно , функци и фо р мы в это м случа е до лж ны удо вле тво р ять усло ви ям а на ло ги чным (3.18) и мо гут б ыть со ста вле ны с по мо щ ью функци й фо р мыдля о дно ме р но й за да чи по сле дую щ е му пр а ви лу

N 0ei (u , v ) = N 01 (u )N 01 (v) , N 1ei (u, v ) = N 11 (u )N 02 (v ) , N 0e j (u , v ) = N 02 (u )N 01 (v) , N 1ej (u, v ) = N 01 (u )N 11 (v )

и т.д.

(3.21)

Ра ссмо тр е нна я ме то ди ка р а спр о стр а няе тся и на пр о стр а нстве нный эле ме нт, за да нный в ви де па р а лле ле пи пе да . 3.4 М етодк онечны хэлементов при реш ении задач механик и твердого тела Пр и р е ш е ни и за да ч ме х а ни ки тве р до го те ла о со б е нно сти во зни ка ю тпр и уче те р е о ло ги че ски х со о тно ш е ни й, то е стьсо о тно ш е ни й ме ж ду х а р а кте р и сти ка ми на пр яж е нно го и де фо р ми р о ва нно го со сто яни й, о пи сыва ю щ и х сво йства ма те р и а ла [2,10]. Бо льш а я ча сть за да ч, р е ш а е мых на пр а кти ке , пр е дпо ла га е т упр уго е по ве де ни е ма те р и а ла , о б е спе чи ва ю щ е е во змо ж но сть мно го кр а тных на гр узо к и р а згр узо к б е з во зни кно ве ни я о ста то чных де фо р ма ци й. 3.4.1 Ра сче тна пр яж е нно - де фо р ми р о ва нно го со сто яни я упр уги х те л ме то до м ко не чных эле ме нто в. В са мо м о б щ е м случа е за ко н упр уго го де фо р ми р о ва ни я (за ко н Гука ) мо ж е тб ытьза пи са н в ви де

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

σ ij = cijkeε ke ,

25

(3.22)

зде сь σ ij - ко мпо не нты те нзо р а де фо р ма ци й, ε ij - ко мпо не нты те нзо р а на пр яж е ни й, c ijke - упр уги е ко нста нты, пр е дпо ла га е тся сумми р о ва ни е

по

по вто р яю щ и мся и нде кса м. Те нзо р де фо р ма ци й ε в сво ю о че р е дьвыр а ж а е тся че р е з пе р е ме щ е ни я u i в ви де 1 ∂u ∂u ε ij = ( i + j ) . (3.23) 2 ∂x j ∂xi В о все м те ле на пр яж е ни я удо вле тво р яю тди ффе р е нци а льным ур а вне ни ям р а вно ве си я, а на ча сти гр а ни цы S p , где за да ныпо ве р х но стные на гр узки - гр а ни чным усло ви ям. На о ста льно й ча сти по ве р х но сти S u за да ны пе р е ме щ е ни я. З а да ча р а сче та на пр яж е нно де фо р ми р о ва нно го со сто яни я упр уги х те л мо ж е т б ыть сфо р мули р о ва на в ва р и а ци о нно й фо р ме . На и б о ле е р а спр о стр а не нным ва р и а ци о нным ур а вне ни е м упр уго сти являе тся ур а вне ни е Л а гр а нж а , со гла сно ко то р о му р а б о та все х вне ш ни х си л на ма лых во змо ж ных пе р е ме щ е ни ях р а вна и зме не ни ю по те нци а льно й эне р ги и де фо р ма ци и те ла . Э то ур а вне ни е мо ж но за пи са тьв ви де δΠ = 0 ,

(3.24)

где ве ли чи на П: 1 (3.25) ∫ σ ij ε ij dV − V∫ ρQi ui dV − S∫ Pi ui dS , 2V ρQi − и нте нси вно сть ма ссо вых си л в о б ъе ме V, Pi - и нте нси вно сть по ве р х но стных си л, за да нных на S p . И спо льзуя (3.22), мо ж но выр а зи ть П в ко мпо не нта х пе р е ме щ е ни й ui . К о ли че ство эти х ко мпо не нт за ви си то т ко нкр е тно й по ста но вки за да чи и в это м случа е вме сто ска ляр но й и ско мо й функци и ϕ ( x, y) пр и х о ди тся вво ди ть ве кто р ную функци ю с и ско мыми ко мпо не нта ми пе р е ме щ е ни й. На пр и ме р , в пло ско й за да че упр уго сти тр е б уе тся на йти в пло ско й о б ла сти Ω пр о е кци и пе р е ме щ е ни й на о сьx-u и на о сьy-v и и ско ма я функци я Π=

p

u  . v  

{ϕ ( x, y )} = 

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

(3.26)

26

К а ж дую ко мпо не нту это го ве кто р а мо ж но а ппр о кси ми р о ва ть ко не чно эле ме нтным о б р а зо м. На пр и ме р , пр и ли не йно й ла гр а нж е во й а ппр о кси ма ци и ui    e e e e {u ( x, y )} = [ N i ( x, y ), N j ( x, y ), N k ( x, y )]u j , u   k (3.27)  vi    {v ( x, y )}e = [ N ie ( x , y ), N ej ( x , y ), N ke ( x, y )]v j .    vk  u  Пр и это м в ка ж до м узле i ве кто р узло вых пе р е ме щ е ни й {δ i } =  i  до лv i  ж е н со впа да ть с и сти нным пе р е ме щ е ни е м узла . С о во купно сть узло вых пе р е ме щ е ни й эле ме нта б уде м на зыва ть ве кто р о м узло вых пе р е ме щ е ни й эле ме нта

{δ } = {δ e

,δ j ,δ k } . T

i

(3.28)

С эти ми о б о зна че ни ями ве кто р {ϕ }, вве де нный в фо р муле (3.26), мо ж е т б ытьза пи са н в ста нда р тно м ви де

{ϕ }

e

= [ N ]e {δ } , e

(3.29)

зде сь

[N ]

e

=

N ie 0

0 N

e i

N ej 0

0 N

e j

N ke

0

0

N ke

.

(3.30)

З а те м для удо б ства за пи си со о тно ш е ни й К о ш и (3.23) о б ычно вво дят фо р ма льный ве кто р де фо р ма ци й {ε }, со де р ж а щ и й о сно вные для да нно й за да чи ко мпо не нты те нзо р а де фо р ма ци й. На пр и ме р , в пло ско й за да чи упр уго сти  ∂u    ε xx   ∂x     ∂v  {ε } = ε yy  =  . γ   ∂y   xy   ∂u ∂v   +   ∂y ∂x 

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

(3.31)

27

По сле вве де ни я а ппр о кси ми р ую щ е й функци и (3.29) в эле ме нте мо ж е т e б ыть по луче на и а ппр о кси ма ци я ве кто р а де фо р ма ци й {ε } в ка ж до м эле ме нте . К а к ви дно и з фо р мул (3.21), в упр уго й за да че впо лне до пусти мо о гр а ни чи ться ли не йно й а ппр о кси ма ци е й Л а гр а нж а , что вви ду не о б х о ди мо сти то лько пе р вых пр о и зво дных о т пе р е ме щ е ни й не пр и ве де т к не о гр а ни че нным р а зр ыва м де фо р ма ци й на гр а ни це эле ме нто в и , сле до ва те льно , к р а сх о ж де ни ю и нте гр а ло в (3.25). И та к, е сли в ка че стве пр и ме р а пр и нять ма тр и цу фо р мы (3.20), то а ппр о кси ма ци я де фо р ма ци й в эле ме нте пр и ме тви д ∂N i ∂x

{ε }

e

=

0 ∂N i ∂y

0 ∂N i ∂y ∂N i ∂x

∂N j ∂x 0

0 ∂N j

∂N j

∂y ∂N j

∂y

∂x

∂N k ∂x 0 ∂N k ∂y

0 ∂N k {δ }e . ∂y ∂N k ∂x

(3.32)

М а тр и ца пр о по р ци о на льно сти ме ж ду {ε } и {δ } на зыва е тся ма тр и це й де фо р ма ци й и о б о зна ча е тся [ B]e e

{ε }

e

e

= [ B ]e {δ } . e

(3.33)

О че ви дно , фо р ма (3.32) со х р а няе тся для др уги х (не то лько пло ски х ) за да ч упр уго сти и для др уги х ти по в а ппр о кси ма ци й, пр и это м ме няю тся то лько р а зме р но сти ве кто р о в и ма тр и ц и ви д ко мпо не нтма тр и цы [ B]e . З на я а ппр о кси ма ци ю (3.32) в эле ме нта х , мо ж но о пр е де ли ть со о тве тствую щ и е е й на пр яж е ни я, вве дя фо р ма льный ве кто р на пр яж е ни й {σ } , ко то р ый со де р ж и т ко мпо не нты на пр яж е ни й, вх о дящ и е в выр а ж е ни е упр уго й 1 эне р ги и де фо р ма ци и σ ij ε ij на р яду с ко мпо не нта ми ве кто р а {ε}. 2 В случа е пло ско й за да чи

{σ } = {σ

xx

, σ yy , σ xy } .

(3.34)

З а те м, и спо льзуя ко нкр е тный ви д за ко на Гука для р е ш а е мо й за да чи , (3.22) мо ж но пе р е пи са тьв ви де

{σ }

Т

= [D]{ε} .

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

(3.35)

28

М а тр и цу пр о по р ци о на льно сти [D] , со де р ж а щ ую упр уги е ко нста нты ма те р и а ла , на зыва ю т ма тр и це й упр уго сти . На пр и ме р , в случа е пло ско го на пр яж е нно го со сто яни я

ν 1

1 ν

0 0 , (3.36) 1−ν 0 0 2 зде сьE – мо дульЮ нга , ν - ко эффи ци е нтПуа ссо на . Е сли р а ссма тр и ва е тся о дно р о дна я упр уга я ср е да , то мо ж но счи та ть, что E, ν - ко нста нты, и для ка ж до го эле ме нта ма тр и ца [D] та к ж е являе тся по сто янно й, в пр о ти вно м случа е в ка ж до м эле ме нте вво ди тся сво и ко нста нты E, ν , а зна че ни е ма тр и цы [D] в эле ме нте с но ме р о м “e” б уде м о б о зна ча ть [ D]e . И спо льзуя (3.35) и (3.36), мо ж но выр а зи ть а ппр о кси ма ци ю {σ }e в ка ж до м эле ме нте че р е з узло вые пе р е ме щ е ни я эле ме нта в ви де E [ D] = 1−ν 2

{σ }

= [ D]e [ B]e{δ }e .

e

(3.37)

Ф о р ма (3.37) со х р а няе тся для все х за да ч упр уго сти , то лько и зме няю тся р а зме р но сти все х ве кто р о в и ма тр и ц, а та кж е и х ко мпо не нтыс уче то м ко нкр е тно го ви да за ви си мо сте й (3.22) и (3.23), что в да льне йш е м по вли яе тна вычи сле ни е ма тр и ц [ N ] e , [ B]e и [ D]e . По эле ме нтна я а ппр о кси ма ци я и ско мых функци й пр и во ди т к не о б х о ди мо сти за ме ны и нте гр а ло в, вх о дящ и х в (3.25), на сумму и нте гр а ло в по по до б ла стям в со о тве тстви и с ди скр е ти за ци е й о б ла сти V и S M

L

V = ∑V e ,

S p = ∑ S ep ,

e=1 M

Π = ∑( e =1

(3.38)

1

e1 =1

L 1 e e e { } dV { Q } { } dV ) {P}{ϕ }e ds , σ ⋅ { ε } − ρ ⋅ ϕ − ∑ ∫ ∫ ∫ 2 Ve e =1 e1 Ve S T

T

T

1

p

зде сьM – ко ли че ство эле ме нто в в о б ла сти те ла , L – ко ли че ство эле ме нто в, ко то р ыми за ме не на и сти нна я гр а ни ца те ла , {ρQ}- ве кто р ма ссо вых си л с ко мпо не нта ми ρQi , {P}- ве кто р по ве р х но стных си л с ко мпо не нта ми Pi . С ла га е мые , вх о дящ и е в (3.38), на зыва ю тся эле ме нтными вкла да ми в функци о на л П и в ка ж до м эле ме нте мо гут б ыть вычи сле ны с по мо щ ью фо р мул (3.29), (3.33) и (3.37) Π1e =

1 {δ }e [ B]e [ D ]e [ B ]e{δ }e dV , ∫ 2 Ve T

T

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

29

Π = ∫ {δ } [ N ] {ρQ}dV , eT

e 2

eT

Ve

П 3e = 1

∫ {δ} [N ] {P}dS . eT

eT

(3.39)

e S P1

Учи тыва я в (3.39) не за ви си мо сть узло вых пе р е ме щ е ни й эле ме нто в о т ко о р ди на т и о пр е де ле нно сть в ка ж до й о б ла сти ма тр и ц [ N ] e , [ B]e и [ D]e , мо ж е м вычи сли тьи нте гр а лыи по лучи м Π 1e и Π e2 в ви де 1 e e Π 1e = {δ }e [ k ]e {δ }e , Π e2 = {δ } [ A1 ] e , Π e3 = {δ } [ A2 ] e , 2 T

T

1

T 1

1

(3.40)

зде сь[k ]e = ∫ [ B]e [D]e [ B]e dV - ма тр и ца ж е стко сти эле ме нта , T

Ve

eT

[ A1 ]e = ∫ [ N ] { ρQ}dV , [ A2 ]e = ∫ [ N ] e {P}dS . T 1

1

Ve

e S p1

О че ви дно , пр и сумми р о ва ни и все х эле ме нтных вкла до в, по сле пр и ве де ни я по до б ных пр и {δ i }, мы по лучи м выр а ж е ни е функци о на ла П че р е з о б о б щ е нный ве кто р узло вых пе р е ме щ е ни й {U}, {U }T = {δ 1T , δ 2T , δ 3T ,...δ NT } , {N- ко ли че ство узло в}. О ко нча те льно функци о на л П пр и ме тви д

1 Π = {U}T [K ]{U} − {U }T [ A] . 2

(3.41)

М а тр и ца [K] на зыва е тся ма тр и це й ж е стко сти си сте мы(М Ж С ). Р ас с мотримнек оторы еос обеннос ти ф ормирования М Ж С . 1. О б суди м во пр о с, ка к вли яе тпо р ядо к нуме р а ци и узло в на ви д ма тр и цы [K] . Пусть узлы с но ме р а ми i и j пр и на дле ж а т о дно му эле ме нту “e” и то гда эле ме нты со о тве тствую щ е й М Ж Э б удут вкла до м в эле ме нты М Ж С , на х о дящ и е ся в сто лб ца х и стр о ка х , но ме р а ко то р ых связа ны с по р ядко м р а спо ло ж е ни я {δ i } и {δ j } в ве кто р е {U}. Е сли узлыс но ме р а ми i и j не пр и на дле ж а т о дно вр е ме нно ни о дно му эле ме нту, то и вкла д в со о тве тствую щ и е эле ме нты М Ж С о тсутствуе ти , сле до ва те льно , это тэле ме нтр а ве н 0. Та ки м о б р а зо м, р а зме щ е ни е нуле вых и не нуле вых эле ме нто в в М Ж С за ви си то т нуме р а ци и узло в, пр и ко то р о й на до стр е ми ться, что б ы о дно му эле ме нту пр и на дле ж а ли узлы с на и во змо ж но ме ньш е й р а зни це й но ме р о в. В и то ге М Ж С пр и ни ма е тле нто чный х а р а кте р , что мо ж е тб ытьи спо льзо ва но в выП Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

30

чи сли те льных пр о це дур а х . О тме ти м, что на гла вно й ди а го на ли эле ме нты за ве до мо не нуле вые . 2. В за да ча х упр уго сти (со гла сно те о р е ме Бе тти ) М Ж С все гда си мме тр и чна о тно си те льно гла вно й ди а го на ли . До ка ж е м это . Пусть к те лу пр и ло ж е на не ко то р а я си сте ма си л {F}i , вызыва ю щ а я та ки е пе р е ме щ е ни я, пр и ко то р ых то лько i-я ко мпо не нта ве кто р а {U} р а вна 1, а о ста льные - нулю . О б о зна чи м это т ве кто р {U}i , {U }i = {0,0,...,1,0,0...} . З а пи ш е м ва р и а ци о нно е ур а вне ни е Л а гр а нж а

δ {U }i [ K ]{U }i = δ {U }Ti {F }i . T

(3.42)

И з (3.42) по луча е м (l=1,… , N1 ) (3.43) {Fi } = {K li } , зде сь { K ji } – сто лб е ц ма тр и цы [K] с но ме р о м i, N1 - р а зме р но сть ве кто р а {U}. З а те м вве де м пе р е ме щ е ни я {U } j , у ко то р ых то лько ко мпо не нт U j = 1 , а о ста льные ко мпо не нтыр а вны 0. Та ки е пе р е ме щ е ни я мо гут б ыть вызва ны си ло й {F } j = {K mj } (m = 1,2,K N1 ) С о гла сно те о р е ме Бэтти , ви р туа льна я р а б о та си л {F }i на пе р е ме щ е ни ях {U} j р а вняе тся р а б о те си л {F} j на пе р е ме щ е ни ях {U}i , то е сть δ {U }i ⋅ {F } j = δ {U } j ⋅ {F }i . T

T

(3.44)

По дста ви в зна че ни я пе р е ме щ е ни й и ве кто р о в {F}, по луча е м K ij = K ji .

(3.45)

В (3.45) K ij - ко мпо не нта М Ж С , что и тр е б о ва ло сьдо ка за ть. 3. С ле дуе т о тме ти ть, что фо р ми р о ва ни е М Ж С пр и б о льш о м ко ли че стве то че к пр е дста вляе ттр удно сти пр и а на ли ти че ско м “р учно м” фо р ми р о ва ни и и , е сте стве нно , е го пр о во дятс по мо щ ью о пр е де ле нных а лго р и тмо в. С а мый на глядный, но не пр и ме няе мый на пр а кти ке а лго р и тм со сто и тво вве де ни и для ка ж до го эле ме нта то по ло ги че ски х ма тр и ц [ a]e , ко то р ые по мо га ю твыр а зи тьве кто р {δ }e че р е з {U} П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

31

{δ } = [a] {U } . e

e

(3.46)

И з (3.46) сле дуе т, что [a ] со сто и ти з нуле й и е ди ни ц. В это м случа е e

d {U } [ K ]{U } = ∑ d {δ } [k ]e {δ } = M

T

eT

e

e =1

= ∑ d {U } [ a] e [ k ]e [ a] e{U } = M

T

T

(3.47)

e =1

M

= d{U }T ( ∑ [ a] e [ k ]e [ a ]e ){U }. T

e=1

И з (3.47) сле дуе т, что M

[ K ] = ∑ [ a ]e [ k ] e [ a ]e . T

(3.48)

e =1

Ф о р мула (3.48) по ка зыва е т, что пр о щ е о пр е де ли тьа др е са яче е к ма тр и цы e [K], по ко то р ым р а ссыла ю тся эле ме нтыма тр и цы [k] . По сле фо р ми р о ва ни я М Ж С функци о на л П о ка зыва е тся и зве стно й ква др а ти чно й фо р мо й ве кто р а {U}, и мо ж но и спо льзо ва тьур а вне ни е (3.25), что пр и во ди тк си сте ме ли не йных ур а вне ни й

[ K ]{U } = { A} .

(3.49)

На по мни м, что ур а вне ни е Л а гр а нж а (3.25) спр а ве дли во для ки не ма ти че ски до пусти мых пе р е ме щ е ни й, что пр и во ди тк не о б х о ди мо сти уче сть гр а ни чные усло ви я на S u

U (x) = U 0 (x)

на

Su ,

(3.50)

зде сьU - ве кто р пе р е ме щ е ни й то че к, пр и на дле ж а щ и х по ве р х но сти S u , x ко о р ди на ты то че к это й по ве р х но сти , U 0 ( x ) - за да нные зна че ни я пе р е ме щ е ни й. С ле до ва те льно , в те х узла х , ко то р ые по па да ю тна по ве р х но сть S u , {δ i } и зве стны, и и х на до и склю чи ть и з ве кто р а {U}, что тр е б уе т и склю че ни я со о тве тствую щ и х ур а вне ни й и з си сте м (3.44), а сла га е мые о ста вш и х ся ур а вне ни й, со де р ж а щ и е и зве стные ко мпо не нты пе р е ме щ е ни й, пе р е но сятся в пр а вую ча сть си сте мы (3.44), пр и это м пр о и сх о ди т пе р е фо р ми р о ва ни е ма тр и цы си сте мы. По сле р е ш е ни я по лучи вш е йся си сте мы ур а вне ни й о пр е де ляю тся все не и зве стные узло вые пе р е ме щ е ни я, а не и зве стные на S u П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

32

узло вые си лы о пр е де ляю тся ка к пр а вые ча сти выче р кнутых ур а вне ни й по сле по дста но вки в ни х все х пе р е ме щ е ни й. В за клю че ни е о тме ти м, что М К Э являе тся ча стным случа е м и зве стно го в те о р и и упр уго сти ме то да Ри тца , но в о тли чи е о ттр а ди ци о нных спо со б о в за да ни я ки не ма ти че ски до пусти мых пе р е ме щ е ни й во все м те ле , М К Э за да е ти х с по мо щ ью по эле ме нтно й а ппр о кси ма ци и . 4 П римеры реш ения прик ладны х задач спомощ ь ю программного к омплек с а NISА -II 4.1 Р ас четтонк ой плас тины , ос лабленной отверстием, на прочнос ть Ра ссмо тр и м то нкую пла сти ну, о сла б ле нную че тыр е х уго льным о тве р сти е м. В не ш ни й ко нтур пла сти ны на гр уж е н с р а спр е де ле нным уси ли е м 50 2 2 кг/мм . В нутр е нни й - с р а спр е де ле нным уси ли е м 5 кг/мм . Пла сти на ж е стко за кр е пле на по че тыр е м вне ш ни м угла м. Пр е дпо ла га е м, что ма те р и а л пла сти ны пр о являе т то лько упр уги е сво йства , т.е . связь на пр яж е ни й и де фо р ма ци и в те ле о пи сыва е тся ли не йным за ко но м Гука . О б щ и й ви д пла сти ныпр и ве де н на р и сунке 4.1.1.

Р и с. 4.1.1

Для о пр е де ле ни я на пр яж е нно – де фо р ми р о ва нно го со сто яни я пла сти ны во спо льзуе мся мо дуле м пр о чно стных р а сче то в пр о гр а ммно го ко мпле кса NISA, пр и это м чи сле нные зна че ни я на пр яж е ни й и де фо р ма ци й, во зни ка ю щ и х в те ле , б удутпо луче ныпо те о р и и М К Э . В е сь х о д р е ш е ни я мо ж но усло вно р а зде ли ть на тр и эта па : пр е дпр о це сс, пр о це сс, по стпр о це сс. Пр и это м на эта пе пр е дпр о це сса не о б х о ди мо : 1. По стр о и тьге о ме тр и че ски е фо р мы пла сти ны; 2. На ло ж и тьна ко нтур ы пли тыко не чно -р а зно стную се тку; 3. Пр и ло ж и ть к со о тве тствую щ и м узла м это й се тки гр а ни чные усло ви я; П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

33

4. З а да тьме х а ни че ски е па р а ме тр ыма те р и а ла пла сти ны. На сле дую щ е м эта пе (эта пе пр о це сса ) о сущ е ствляе тся са м р а сче т. Пр о смо тр р е зульта то в р е ш е ни я (эта п по стпр о це сса ) по зво ляе т о пр е де ли ть да льне йш и е де йстви я и нж е не р а : ли б о пр о ве сти все р е ш е ни е сна ча ла , но уж е с др уги ми и сх о дными да нными , ли б о удо вле тво р и тся уж е по луче нным р е зульта то м. Не ско лько о б щ и х за ме ча ни й. Э та пы пр е дпр о це сса и по стпр о це сса р е а ли зую тся с по мо щ ью мо дуля DISPLAY III, по сле за пуска ко то р о го экр а н б уде т и ме ть ви д, и зо б р а ж е нный на р и сунке 4.1.2.

Р и с. 4.1.2

Гла вно е ме ню 1 по сто янно пр и сутствуе тна экр а не и со де р ж и тфа кти че ски о гла вле ни е б о ле е ме лки х ме ню . В эти х ме ню сгр уппи р о ва ны б ли зки е по сво е му смыслу де йстви я, чье о б щ е е на зва ни е служ и тко до вым сло во м со о тве тствую щ е й о пци и гла вно го ме ню . Э ти б а зо вые о пци и по зво ляю то пр е де ли тьге о ме тр и че скую фо р му мо де ли (Geometry), по стр о и тько не чно – р а зно стную се тку, не о б х о ди мую для чи сле нно го на х о ж де ни я тр е б уе мых х а р а кте р и сти к (Fe Generation), уви де ть р е зульта ты р а сче та , пр о ве де нные на эта пе пр о це сса (Post), и зме ни ть на экр а не вне ш ни й о б ли к те кущ е й мо де ли (View) и т.д. По ле 2 и ме е тза го ло во к Global Options и о то б р а ж а е тде р е во за го ло вко в уж е р а зве р нутых к это му мо ме нту ме ню . По ле 3 со де р ж и т о пци и по сле дне го о ткр ыто го к те кущ е му мо ме нту ме ню . В на ча ле р а б о ты и ли по сле выб о р а ко ма нды Files – New Session по ле со де р ж и то пци и гла вно го ме ню . П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

34

До по лни те льно е ме ню HOT OPTION 4 со де р ж и т ко ма нды, по зво ляю щ и е выпо лни тьне ко то р ые ча сто во стр е б о ва нные де йстви я, на пр и ме р : во сста но ви ть со сто яни е ср е ды, б ывш е е до по сле дне й выпо лне нно й ко ма нды (UND), уда ли ть ж е ла е мые эле ме нты (DEL), о смо тр е ть мо де ль, и зме ни в ма сш та б (WIN) и ли р а зве р нув мо де ль о тно си те льно на б лю да те ля (SVW), (ORN) и т.п. Пр и выб о р е ко ма нды (HOT) до по лни те льно е ме ню и зме ни тсво й ви д. В это м случа е на ме сте до по лни те льно го ме ню по яви тся суб ме ню , та кж е со де р ж а щ е е р яд ш и р о ко и спо льзуе мых де йстви й. С р е ди ни х : во змо ж но сть ),ко ма нда , по зво ляю щ а я б ыстр о го по стр о е ни я ли ни и по двум то чка м ( о пр е де ли ть р а ссто яни е ме ж ду двумя то чка ми в пло ско сти экр а на ( ), гр уппа ко ма нд для ма ни пули р о ва ни я гр а ни чными усло ви ями (B.C.) и т.д. По вто р но е на ж а ти е на (HOT) ве р не тпр е ж ни й ви д до по лни те льно го ме ню . В о кне 5 о то б р а ж а е тся кр а тки й ко мме нта р и й о выб и р а е мо й о пци и . Те ксто во е по ле и спо льзуе тся для вво да не о б х о ди мо й и нфо р ма ци и для р а б о ты то й и ли и но й ко ма нды (на пр и ме р , вво д ко о р ди на т то че к, и ме ни мо де ли пр о и сх о ди т в да нно м по ле ), а та кж е выво да р а зли чных те ксто вых со о б щ е ни й (зде сь, на пр и ме р , мо ж но уви де ть р е зульта т те сти р о ва ни я эле ме нто в ко не чно – р а зно стно й се тки ). Для то го что б ы пр о смо тр е ть ве сь те кст, со де р ж а щ и йся в это м о кне , мо ж но по льзо ва ться ко ма нда ми до по лни те льно го ме ню , о б о зна че нными си мво ла ми ⇓ и ⇑. Не ско лько сло в о р а б о те с «мыш ью » в DISPLAY III. К а к и о б ычно , о дно кр а тно е на ж а ти е на ле вую кно пку (а на ло г на кла ви а тур е ENTER) и ме е т смысл выпо лни ть то и ли и но е де йстви е (и но гда ср е да пр о си тпо дтве р ди ть выб р а нно е де йстви е по вто р ным на ж а ти е м ле во й кно пки , пр е вр а щ а я ука за те ль «мыш и » в зна к во пр о са ), а та кж е выб р а тьо пр е де ле нную о пци ю те кущ е го ме ню . Пр а ва я кно пка «мыш и » и ме е т смысл: во -пе р вых , за ве р ш и ть р а б о ту по сле дне й выб р а нно й о пци и (а на ло г на кла ви а тур е кла ви ш а Q и ENTER и ли ESC), о че м и нфо р ми р уе тсо о б щ е ни е , со де р ж а щ е е ся в по ле 6, и , во -вто р ых во звр а то б р а тно к выш е сто ящ е му по о тно ш е ни ю к те кущ е му ур о вню и е р а р х и и ме ню . Пр и выпо лне ни и не ко то р о го де йстви я на д те ми и ли и ными эле ме нта ми по стр о е нно й мо де ли (то чка ми , ли ни ями , узла ми , эле ме нта ми ко не чно – р а зно стно й се тки и т.д.) нуж но о пр е де ли ть, ка ки е и ме нно эле ме нты б удут за тр о нуты да нным де йстви е м. Для это го в ме ню , р а скр ыва ю щ е мся по сле выб о р а со о тве тствую щ е го де йстви я, по льзо ва те лю пр е до ста вляе тся сле дую щ и е во змо ж но сти : Key In (о пр е де ле ни е эле ме нта по е го по р ядко во му но ме р у), Cursor Pick (выб о р о тде льно го эле ме нта кур со р о м), Box Corner ( выб о р гр уппы эле ме нто в, по па да ю щ и х в че тыр е х уго льно е выде ле ни е по луче нно е , на пр и ме р , по сле дую щ е му а лго р и тму: ле вый ве р х ни й уго л фи кси р уе тся с по мо щ ью ле во й кно пки «мыш и », да ле е , пе р е дви га я «мыш ь», фо р ми р уе тся че тыр е х уго льно е по ле , за те м по вто р но е на ж а ти е на ле вую кно пку фи кси р уе тни ж ни й пр а вый уго л че тыр е х уго льно го выде ле ни я), All (все эле ме нты) и т.д. П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

35

Для на ча ла р а б о ты не о б х о ди мо выб р а ть и за пусти ть пр о гр а мму П ус к -> -> П рограммы -> Emrc Nisa Family -> NISA II, по сле че го на экр а не по яви тся б а зо во е о кно пр о гр а ммы. 1 Э та п пр е дпр о це сса И з ме ню Execute не о б х о ди мо выб р а ть о пци ю Execute Display III. М о дуль Display III по зво ляе тде ла ть все ге о ме тр и че ски е по стр о е ни я, со зда ть ко не чно – р а зно стную се тку, уви де ть р е а ли сти че ско е и зо б р а ж е ни е де та ли , а та кж е р е зульта тыр а сче та . 1.1 По стр о е ни е ко нтур о в пла сти нки Для по стр о е ни я ко нтур о в не о б х о ди мо о тме ти ть кр а йни е то чки ко нтур о в и со е ди ни ть и х ли ни ями . Для ге о ме тр и че ски х пр е о б р а зо ва ни й пр е дусмо тр е но ме ню Geometry. Для о то б р а ж е ни я кр а йне го ле во го ве р х не го угла вне ш не го ко нтур а пла сти ны, то чки с ко о р ди на та ми –100/100 (тр е тью ко о р ди на ту за да ва ть не б уде м, счи та е м е е по умо лча ни ю р а вно й нулю , то лщ и на пла сти ны б уде тза да на по зж е ), выб е р е м сле дую щ ую по сле до ва те льно сть: Geometry- Create- XYZ Coordinate- XYZ-Data- У к азать с оответс твую щ иезначения к оординатв ок неввода. По сле на ж а ти я на кла ви ш и ENTER на экр а не в це нтр е по яви тся то чка . Да ле е та ки м ж е о б р а зо м стр о ятся то чки с ко о р ди на та ми 100/100, 100/-100 и –100/-100. По сле вво да все х че тыр е х то че к нуж но за ко нчи ть р а б о ту те кущ е й о пци и , на ж а в на пр а вую кно пку мыш и и ли на ж а в на кла ви ш у с си мво ло м Q. Для за ве р ш е ни я фо р ми р о ва ни я вне ш не го ко нтур а пла сти ны со е ди ни м по луче нные то чки ли ни ями . Для выпо лне ни я это й о пе р а ци и мо ж но во спо льзо ва ться о пци е й Line ме ню Geometry (ли б о о пци е й суб ме ): ню HOT о б о зна че нно й и ко нко й Geometry – Line – Create – Grid Method – 2 Grid – Cursor Pick – П одвес ти ук азатель к первой точк еи нажать на левую к нопк у, те же дей с твия провес ти с о второй точк ой . В резуль тате между точк ами будет начерчена прямая. По сле о пи са нных выш е де йстви й на экр а не до лж е н б ыть и зо б р а ж е н че тыр е х уго льни к, о б о зна ча ю щ и й вне ш ни й ко нтур пла сти ны. Для по стр о е ни я ко нтур а внутр е нне го че тыр е х уго льно го о тве р сти я в и ллю стр а ти вных це лях во спо льзуе мся б о ле е сло ж ным а лго р и тмо м. По стр о и м о кр уж но стьр а ди уса 20 мм: Geometry – Plane Primitive – Circle – Create – Center & Radius – Radius (У к азать чис ленное значение радиус а в ок не ввода + Enter) – Center – Keyin XYZ Data - (У к азать чис ленное значение к оординат ц ентра ок ружнос ти (0/0) + Enter или ос тавить к оординаты ц ентра ок ружности по умолчанию так же равны ми (0/0/0), для этого дос таточно прос то нажать к лавиш у Enter) – Execute. Ра зо б ье м о кр уж но стьна че тыр е дуги : П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

36

Geometry – Line – Create on Pr. – Circle – Circular Num. – (У к азать в ок не ввода к оличес тво частей , на к оторое разделяетс я ок ружнос ть ) – Circle Ids – (В ы брать ок ружность для разбиения, для этого подвес ти ук азатель к номеру ок ружнос ти и нажать на левую к нопк у мы ш и). В ыде ли м че тыр е то чки , р а спо ла га ю щ и е ся на по стр о е нно й о кр уж но сти : - (П одвес ти ук азатель мы ш и на ноС убменю HOT – операц ия мерочередной дуги и нажать левую к нопк у) – (Н ажать правую к нопк у для ок ончания работы режима). Уда ли м пр и ми ти в – о кр уж но стьи ли ни и о б р а зую щ и е дуги : Д ополнитель ное меню – О перац ия Del – Entity Set – (В ы делить элементы Cir. и Lin.) – Exit – (В ы бираем с пос об определения удаляемы х элементов, в данном с лучае наиболее ц елес ообразно вы брать Box Corner и вы делить ок ружнос ть ) – RGN. По ве р не м то чки во кр уг це нтр а на 45 гр а дусо в о тно си те льно це нтр а , что б ыче тыр е х уго льни к б ыл р а спо ло ж е н го р и зо нта льно : Geometry – Grid – Move – Rotate - Rotation Angle – (У к ажемчис ловое значение угла в ок не ввода, т.е. 45) – Rotation Axis – Z Axis (В ращ аем вок руг ос и 0Z) – Grid Ids – Box Corner (вы делить нужны е точк и) – Execute. С о е ди ни м то чки ли ни ями по уж е и зве стно й сх е ме , (см. по стр о е ни е вне ш не го ко нтур а ) р и суно к 4.1.3.

Р и с. 4.1.3

Да ле е не о б х о ди мо р а зб и ть по лучи вш ую ся фи гур у на о тде льные че тыр е х уго льни ки , ко то р ые в да льне йш е м упр о стятпо стр о е ни е ко не чно – р а зно стно й се тки . Для р е а ли за ци и это го мо ж но сде ла тьсле дую щ е е . С ко пи р уе м ка ж дую то чку внутр е нне го ко нтур а на две б ли ж а йш и е сто р о нывне ш не го ко нтур а : Geometry – Grid – Copy – Translate – Translation – (Д ля к опирования точк и номер6 на верхню ю с торону внеш него к онтура зададимс мещ ение: 0/85) – Grid Id – (У к ажемк урс оромточк у номер6). О перац ию повторим для ос тавш ихс я точек внутреннего к онтура. В случа е не о б х о П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

37

ди мо сти о пр е де ли тьр а ссто яни е о то дно й то чки экр а на до др уго й то чки экр а на мо ж но во спо льзо ва ться о пци е й суб ме ню HOT. С ко пи р о ва нные то чки и и сх о дные то чки со е ди ни м ли ни ями , по сле че го на экр а не до лж но б ытьсле дую щ а я ко нстр укци я, р и суно к 4.1.4.

Ри с. 4.1.4

З а ве р ш а ю щ и м де йстви е м на по дэта пе ге о ме тр и че ски х по стр о е ни й б уде т «на тяги ва ни е » по ве р х но сте й на о тде льные че тыр е х уго льные ча сти пла сти ны. Для это го выб е р е м по сле до ва те льно сть Geometry – Patch – Create – Grid Method – 4 Corner Grids – Cursor Pick (В ы брать пос ледователь но точк и 1, 9, 6, 15). З а те м по сле до ва те льно (для е ди но о б р а зи я с те ксто м, по ча со во й стр е лке ) ука зыва йте мыш ью ве р ш и ны все х 8 че тыр е х уго льни ко в та к, что б ы в и то ге на экр а не б ыло и зо б р а ж е ни е , пр и ве де нно е на р и сунке 4.1.5.

Ри с. 4.1.5

Е сли пр о и зо ш ла о ш и б ка пр и по стр о е ни и , мо ж но во спо льзо ва ться ко ма нда ми ме ню HOT: UND и ли DEL П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

38

Д ополнитель ное меню - Del – Entity Sets – Э лемент Pat – Exit – (П одвес ти ук азатель мы ш и на номер той поверхнос ти, к оторую необходимо удалить и нажать левую к лавиш у « мы ш и» ) – RGN. 1.2 По стр о е ни е ко не чно – р а зно стно й се тки С е тка со сто и ти з эле ме нто в (в на ш е м случа е удо б но во спо льзо ва ться че тыр е х уго льными эле ме нта ми ), эле ме нтысо де р ж а тузлы, т.е . угло вые то чки эле ме нто в. На ш е й за да че й б уде т: р а зб и тьвсе по стр о е нные по ве р х но сти на о тде льные се тки , пр и это м о б щ и е сто р о ны по ве р х но сте й до лж ны со де р ж а тьо ди на ко во е ко ли че ство узло в. Да ле е не о б х о ди мо б уде тпр о ве сти о пе р а ци ю со вме щ е ни я со впа да ю щ и х у р а зных по ве р х но сте й узло в, о на по зво ли тпо лучи ть е ди но е те ло . Е сли это го не пр о де ла ть, то пла сти на б уде тсо сто ять и з не ско льки х ча сте й не за ви си мых др уг о т др уга , что мо ж е т пр и ве сти к не о ж и да нным эффе кта м пр и де фо р ми р о ва ни и . О пци и , о тно сящ и е ся к ко не чно – р а зно стным по стр о е ни ям, со б р а ны в ме ню Fe Generation. На чне м р а б о ту с выб о р а по сле до ва те льно сти : Fe Generation – Mesh – Feg Option – Quadrilateral (элементы с етк и – прямоуголь ник и) – E1/E2 – (Р абота в ок неввода). Р абота в ок неввода к оманды E1/E2. О пци я E1/E2 по зво ляе т за да ть со о тно ш е ни е ко ли че ства узло в на двух сме ж ных сто р о на х выб р а нно й по ве р х но сти . К а ка я сто р о на по ве р х но сти б уде т и ме ть E1 узло в, а ка ка я E2 о пр е де ляе тся по р ядко м о б х о да ве р ш и н (пр о ти в и ли по ча со во й стр е лке в за ви си мо сти о т то го , ка к стр о и ла сь по ве р х но сть). Для о пр е де ле ни я на пр а вле ни я о б х о да мо ж но во спо льзо ва ться ко ма нда ми : С убменю HOT – Edg – Entity Sets – Э лементPat. – (В ы борповерхнос ти). Пр и по стр о е ни и се тки не о б х о ди мо не за б ыва тьо то м, что б ыко ли че ство узло в на о б щ и х сто р о на х по ве р х но сте й со впа да ли . На пр и ме р , е сли пр и по стр о е ни и все х по ве р х но сте й и спо льзо ва лся о б х о д по ча со во й стр е лке , то для р а зб и е ни я ле во го ве р х не й по ве р х но сти и ср е дне й ве р х не й по ве р х но сти мо ж но вве сти со о тно ш е ни я 6/6 для пе р во й и 3/6 для вто р о й. По сле за ве р ш е ни я р а б о ты с ди а ло го вым о кно м о пци и E1/E2 выб е р е м ту по ве р х но сть, на ко то р ую не о б х о ди мо на ло ж и тьсе тку с по сле дни м уста но вле нным со о тно ш е ни е узло в, т.е .: Fe Generation – Mesh – Feg Option – Quadrilateral (элементы с етк и – прямоуголь ник и) – Input Patch Ids – (В ы борповерхнос ти для наложения с етк и). К а к и р а не е , е сли пр о и зо ш ла о ш и б ка пр и по стр о е ни и се тки , мо ж но во спо льзо ва ться ко ма ндо й UND (для о тме ны по сле дне го де йстви я) и ли ко ма ндо й DEL: Д ополнитель ноеменю Del – Entity Sets – Э лементNod. и Ele. – Exit – (В ы борс оответс твую щ ихэлементов для удаления) – RGN.

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

39

Для то го что б ыуб р а тьс экр а на по р ядко вые но ме р а то че к, ли ни й, узло в, эле ме нто в и т.д., нуж но во спо льзо ва ться о пци е й до по лни те льно го ме ню Lab: Д ополнитель ное меню Lab – (В ы брать требуемы й к омпонент) – Exit – Off (вы к л. номер)/On (вк л. номер) – RGN. По сле р а зб и е ни я все х по ве р х но сте й на ди спле е мы до лж ны ви де ть и зо б р а ж е ни е , по до б но е пр и ве де нно му на р и сунке 4.1.6. Для за ве р ш е ни я те кущ е го по дэта па не о б х о ди мо пр о ве сти о пе р а ци ю сме ш е ни я узло в, т.е . Fe Generation – Nodes – Node Management – Merge nodes – Node Ids – All – Execute.

Ри с. 4.1.6

На экр а не по сле выпо лне ни я выш е ука за нных де йстви й мо ж но б уде тна б лю да ть узлы, о б ве де нные б е ло й р а мко й: это б ывш и е гр а ни цы р а зр о зне нных ча сте й де та ли . Те пе р ь пла сти нка пр е дста вляе тсо б о й е ди но е це ло е . На это м вто р о й по дэта п пр е дпр о це сса за ве р ш е н. 1.3 О пр е де ле ни е гр а ни чных усло ви й. З а кр е пле ни е пла сти ны Для то го что б ы пр о ве сти ко р р е ктный р а сче ти по лучи тьфи зи че ски до сто ве р ные р е зульта тыр е ш е ни я не о б х о ди мо о пр е де ли тьгр а ни чные усло ви я. О гр а ни че ни е на пе р е ме щ е ни е че тыр е х кр а йни х угло вых узло в пла сти ны б уде т и ме ть смысл ж е стко го за кр е пле ни я по сле дне й. Уси ли я, пр и ло ж е нные к сто р о на м вне ш не го и внутр е нне го ко нтур о в, являю тся не о б х о ди мыми гр а ни чными усло ви ями и о пр е де ляю тна пр яж е нно – де фо р ми р о ва нно е со сто яни е в о б о ло чке . Для за кр е пле ни я пла сти ны пр о де ла е м сле дую щ и е де йстви я: Fe Generation –Boundary Cond. – Structural - Displacement – Add on Nodes – Bc Data – (Д алее необходимо двой ны м щ елчк ом по левой к нопк е мы ш и превратить вс ес ек тора ш ес тиуголь ник а ок раш енны ми в желты й ц вет, так имобразомс оответс твую щ ие к омпоненты век тора перемещ ений примут нулевое значение:ux=uy =uz=Rx=Ry =Rz =0) – DoneNode Ids – Cursor Pick – (В ы брать четы рек рай них узла). П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

40

Те пе р ьза да ди м гр а ни чные усло ви я на вне ш не м ко нто р е , пр и это м б уде м пр е дпо ла га ть, что пла сти на р а стяги ва е тся с уси ли е м 50 кг/мм2 в на пр а вле ни и па р а лле льно м о си О Х , для это го выпо лни м: Fe Generation –Boundary Cond. – Structural – Force/Moment – Add on Nodes – Bc Data – (П одвес ти к урс орк с ек тору ш ес тиуголь ник а снадпис ь ю Fx и нажать левую к нопк у « мы ш и» в ок не ввода, напечатать чис ловое значение проек ц ии, ос таль ны е с ек тора ос тавить без изменения, задав тем с амы м их значения равны ми по умолчанию нулю . В итогебудетзадана с ила F спроек ц иями: Fx =50 к г/мм2, Fy =Fz=0, момент зададим равны м нулю Mx=My=Mz =0) – Done- Node Ids – Box Corner – (В ы брать узлы рас положенны е на правой с тороне внеш него к онтура) – Execute - RGN. И те ж е де йстви я для ле во й гр а ни вне ш не го ко нтур а , и зме ни в то лько 2 ко мпо не нтыси лы: Fx=-50 кг/мм , Fy =Fz=0, Mx=M y=M z=0. По до б ным о б р а зо м на гр узи м внутр е нни й ко нтур с уси ли е м 5кг/мм2 . Но 2 те пе р ьси ла с ко мпо не нта ми F x=5 кг/мм , Fy =Fz=0, Mx=M y=M z=0 пр и ло ж е на 2 к ле во й гр а ни , си ла с ко мпо не нта ми F x=-5 кг/мм , Fy=Fz =0, M x=M y=M z=0 - к пр а во й гр а ни ко нтур а . Та ки м о б р а зо м, гр а ни чные усло ви я на внутр е нне м и вне ш не м ко нтур а х о пр е де ле ны, р и суно к 4.1.7.

Р и с. 4.1.7

1.4 О пр е де ле ни е ме х а ни че ски х сво йств ма те р и а ла пла сти ны Пр е ж де че м ука за тьсво йства ма те р и а ла де та ли и на ча тьр а б о ту с фа йло во й си сте мо й, ж е ла те льно ука за ть и мя мо де ли . Да нно е де йстви е упр о сти т в да льне йш е м р а б о ту с и ме на ми фа йло в, т.к. и мя мо де ли по умо лча ни ю являе тся и ме не м все х фа йло в, не о б х о ди мых для р а б о ты р а сче тно го мо дуля. Для это го нуж но : Set/s – Model Name – (Н апечатать имя в ок неввода + Enter). Не смо тр я на то что по ста но вка за да чи б ыла пр о ве де на в пло ско сти , для ко р р е ктно го р а сче та не о б х о ди мо за да ть то лщ и ну узло в. В на ш е м случа е по ло ж и м е е р а вно й 1 мм. П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

41

Nisa – Nisa Forms – Static – Property – Add – Shell – Number Of Node In Element – ( 4 – элементы четы рехуголь ны е) – Nodal Thickness1 – (1 mm) – To Repeat Thickness 1 For All Node – All (Р ас прос транимтолщ ину 1 ммна вс еос тавш иес я три узла) – Ok – Quit. Те пе р ь за да ди м ме х а ни че ски е сво йства ма те р и а ла пла сти ны. Пр е дпо ла га я и зо тр о пно сть ма те р и а ла пла сти ны, до ста то чно б уде тза да тьсо о тве тствую щ и е х а р а кте р и сти ки то лько в о дно м и з ко о р ди на тных на пр а вле ни й, на пр и ме р , в на пр а вле ни и о си 0х . Для ле ги р о ва нных ста ле й мо дульупр уго 2 сти Е = 21000 кг/мм , ко эффи ци е нтПуа ссо на η=0,3. Nisa – Nisa Forms – Static – Material – Add – Modulus Of Elasticity in x dir.: EX – (М одуль упругос ти: 21000) – Poissons Ratio; NUXY – (к оэф ф иц иентП уас с она: 0,3) – Ok – Quit. И , на ко не ц, па р а ме тр ывых о дных фа йло в: Nisa – Nisa Forms – Executive commands – Stat – Save/Access Nisa Binary Files? – Ok – Enter File Name Prefix – (В вес ти имя, желатель но с овпадаю щ еесименеммодели) – (В ы делить File26 и File27) – Ok - Qiut. 1.5 С о х р а не ни е по стр о е нно й мо де ли Для это го не о б х о ди ма за пи сь на ди ск фа йло в двух ти по в: DATABASE FILE и NISA FILE. Files – Write – Database File – (ввод имени ф ай ла + Enter или Enter для задания имени по умолчанию , т.е. имени модели) – Nisa File - (ввод имени ф ай ла или заданиеего по умолчанию ). В се го то во для пр о ве де ни я р а сче та , о ста ло сьто лько по ки нутьDISPLAY III, это сде ла е тко ма нда Quit Program ме ню Files. 2 Ра сче т пр о гр а ммным ко мпле ксо м на пр яж е нно го и де фо р ми р о ва нно го со сто яни я по стр о е нно й мо де ли В ыб е р е м с по мо щ ью ко ма нды OPEN ме ню FILE б а зо во й пр о гр а ммы NISA II фа йл с р а не е за да нным и ме не м мо де ли и р а сш и р е ни е м .nis. И з ме ню EXECUTE выб е р е м пункт NISA II → Linear/Non-linear Static analysis, по сле че го пр о гр а мма на чне т р а сче т. С о о б щ е ни е RUN IS COPMLETED SUCCESSFULLY ука зыва е т о то м, что р а сче т пр о ш е л но р ма льно , и мо ж но уви де тьр е зульта ты. Для это го за пусти м DISPLAY III и з ме ню EXECUTE. 3 Пр о смо тр и а на ли з р е зульта то в. По спр о це сс Для за гр узки р е зульта то в не о б х о ди мо выб р а тьо пци ю Post Files в ди а ло го во м о кне Files - Read , да ле е о тме ти ть фа йл ***26.dat и за гр узи ть е го . Для р а б о тына эта пе по стпр о це сса пр е дусмо тр е но ме ню Post Results. 3.1 О то б р а ж е ни е де фо р ми р о ва нно го со сто яни я пр о и зво ди ть путе м выб о р а по сле до ва те льно сти : Post Results – Deformations – Pick Deform. – RGN. Для б о льш е й на глядно сти мо ж но во спо льзо ва ться о пци е й Animate Deform., по зво ляю щ е й уви де ть р а зви ти е пр о це сса де фо р ми р о ва ни я по сле до ва те льно во вр е ме ни (псе вдо ди на ми ка , и зо б р а ж е ни е по луча е тся с по мо П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

42

щ ью и зме не ни я гр а ни чных усло ви й по сле до ва те льно о тнуля до за да нно го зна че ни я). 3.2 Уви де ть по ле р а спр е де ле ни я на пр яж е ни й мо ж но выб р а в о пци ю Contours ме ню Post Results. Post Results – Contours – Pick Results – Von Misses Stress (П риведенны енапряжения) – Ok – RGN. По сле это го на экр а не б уде тви дна ш ка ла на пр яж е ни й, о тр а ж а ю щ а я ви ди мый ди а па зо н на пр яж е ни й. О пци я Animate Contours, по зво ли т, ка к и в случа е с де фо р ма ци ями , уви де тьпр о це сс на гр уж е ни я в р а зви ти и . 4 А на ли з пр о ве де нно го р а сче та Пр о а на ли зи р о ва в по луче нные в х о де р е ш е ни я да нные о р а спр е де ле ни и по ля на пр яж е ни й и де фо р ма ци й в пла сти не , о сла б ле нно й о тве р сти е м, мо ж но сде ла ть сле дую щ и й выво д: на и б о льш и е по мо дулю на пр яж е ни я на б лю да ю тся вб ли зи о тве р сти я и в то чка х за кр е пле ни я пла сти ны, пр и че м с р о сто м вне ш ни х на гр узо к пр о и сх о ди т р о ст на пр яж е ни й в ука за нных ме ста х . Та ки м о б р а зо м, че тыр е х уго льно е о тве р сти е в пла сти не являе тся ко нце нтр а то р о м на пр яж е ни й. О че ви дно , что с р о сто м на пр яж е ни й на гр а ни це в о кр е стно сти о тве р сти я б уде т за р о ж да ться пла сти че ска я зо на . Да нный выво д, сде ла нный на о сно ве р е ш е ни я по луче нно го с по мо щ ью М К Э , со гла со выва е тся с выво да ми , по луче нными р а зли чными а вто р а ми пр и р е ш е ни и а на ло ги чных за да ч др уги ми ме то да ми , в ча стно сти ме то до м ма ло го па р а ме тр а . 4.2 О с ес имметричноетечениев трубе. П ос тановк а задачи Не о б х о ди мо пр о а на ли зи р о ва ть ла ми на р но е те че ни е ж и дко сти с па р а ме тр а ми пло тно стьρ = 1, вязко стьμ = 0.01 в кр угло й тр уб е ди а ме тр о м D = 1 и дли но й L = 6. В о вх о дно м се че ни и за да но р а вно ме р но е р а спр е де ле ни е пр о до льно й ско р о сти U = 1. В се чи сле нные зна че ни я б е зр а зме р ные . То лщ и на по гр а ни чно го сло я на вх о де р а вняе тся нулю и уве ли чи ва е тся вни з по по то ку, по ка не за йме твсе по пе р е чно е се че ни е тр уб ы. Ра ссто яни е , на ко то р о м это пр о и зо йде т, на зыва е тся вх о дным уча стко м. Дли на вх о дно го уча стка за ви си т о тпа р а ме тр о в по то ка : чи сло Ре йно льдса и ти п ж и дко сти (Нью то но вска я и ли Не нью то но вска я). На пр яж е ни я тр е ни я в ж и дко сти мо де ли р уе тся с по мо щ ью сте пе нно го за ко на , т. е . сдви го вые на пр яж е ни я пр о по р ци о на льны n-о й сте пе ни гр а ди е нта ско р о сти . Ж и дко сть Нью то но вска я, е сли n=1.0, и Не нью то но вска я в др уги х случа ях .

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

43

В да нно й за да че р а ссма тр и ва е тся до ста то чно дли нна я тр уб а для р а ссмо тр е ни я ка к Нью то но вско й, та к и Не нью то но вско й ж и дко сте й. На р и с. 4.2.1 пр е дста вле на и ссле дуе ма я о б ла сть с со о тве тствую щ и ми гр а ни чными усло ви ями . Та к ка к за да ча являе тся о се си мме тр и чно й, то до ста то чно р а ссма тр и ва ть пр о до льно е се че ни е тр уб ы, о гр а ни че нно е сте нко й тр уб ы с о дно й сто р о ны и о сью тр уб ы с др уго й. На гр а ни AD за да но р а вно ме р но е р а спр е де ле ни е ско р о сти U0, на сте нке CD за да но усло ви е пр и ли па ни я (т. е . U = V = 0). На о си си мме тр и и AB за да но усло ви е си мме тр и и (т. е . V = 0).

Ри с. 4.2.1 Ге о ме тр и я и ссле дуе мо й о б ла сти .

В се о пе р а ци и по по стр о е ни ю мо де ли и по дго то вка вх о дно го фа йла для пр о ве де ни я р а сче то в по ле й ско р о сте й и да вле ни й мо ж но р а зб и ть на сле дую щ и е ш а ги : 1. С о зда ни е то че к 2. С о зда ни е ли ни й 3. С о зда ни е па тче й 4. Ге не р а ци я ко не чно -эле ме нтно й се тки 5. З а да ни е гр а ни чных усло ви й 6. Уста но вле ни е ти па а на ли за 7. По дго то вка NISA гр уппыда нных . 8. С о х р а не ни е фа йло в 9. В ых о д и з DISPLAY III 10. З а пуск на р а сче тNISA фа йла 11. Ана ли з р е зульта то в Ш а г 1. С о зда ни е то че к. Для со зда ни я двух то че к с ко о р ди на та ми 0/0/0 и 6/0/0 не о б х о ди мо в ме ню выб р а тьсле дую щ и е де йстви я: П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

44

Пе р е ме сти те ука за те ль мыш и в р а б о чую о б ла сть и на ж ми те пр а вую кно пку мыш и (это б уде то зна ча тьо ко нча ни е те кущ е й о пе р а ци и ). На ж ми те пр а вую кно пку мыш и е щ е тр и р а за для вых о да по де р е ву ме ню на тр и ур о вня вве р х . Э та о пе р а ци я в да льне йш е м б уде то пуска ться, т.к. б уде ти спо льзо ва ться ча сто . В ы та к ж е мо ж е те выб р а ть о пци ю GEOMETRY и з ме ню SUBLEVELS/GLOBAL для выб о р а нуж но го ур о вня ме ню . Ш а г 2. С о зда ни е ли ни й. Для со зда ни я ли ни й, и спо льзуя то чки 1 и 2:

Те пе р ь со зда йте ли ни ю с но ме р о м 2 тр а нсли р о ва ни е м ли ни и но ме р 1 на 0.5 е ди ни ц в на пр а вле ни и у :

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

45

Ш а г 3. Со зда ни е па тче й. В е р ни те сь на за д в ме ню GEOMETRY и со зда йте па тч, и спо льзуя ли ни и 1 и 2:

С о зда ни е ге о ме тр и и за ве р ш е но . Те пе р ь не о б х о ди мо со зда ть ко не чно эле ме нтную се тку на по стр о е нно й ге о ме тр и и . Ш а г 4. Ге не р а ци я ко не чно -эле ме нтно й се тки . С е тка б уде тсо сто ятьи з 8 эле ме нто в в на пр а вле ни и y и 30 в на пр а вле ни и x. Ти п эле ме нто в о се си мме тр и чный (NKTP 3).

Для о тклю че ни я но ме р о в узло в и эле ме нто в выб е р е те LAB и з ме ню HOT OPTIONS:

В ыб е р е те о пци ю PLO и з ме ню HOT OPTIONS

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

46

Ш а г 5. З а да ни е гр а ни чных усло ви й. Не о б х о ди мо за да тьтр и мно ж е ства усло ви й.

Пе р во е мно ж е ство усло ви й б уде т уста но вле но на пло ско сти x=0.0 (u=1.0, v=0.0). В то р о е мно ж е ство б уде т уста но вле но на о си y=0.0 (v=0.0). Тр е тье мно ж е ство – на по ве р х но сти y=0.5 (u=v=0).

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

47

Ш а г 6. Уста но вле ни е ти па а на ли за . Э то мо ж но сде ла ть, выб р а в ме ню NISA и з гло б а льно го ме ню .

Ш а г 7. По дго то вка NISA гр уппыда нных . Для уста но вле ни я па р а ме тр о в ж и дко сти и упр а вляю щ и х па р а ме тр о в выб е р е те NISA DATA GROUP.

В ыве р не те сьв NISA FORMS. В это м ж е ме ню на ж ми те кно пку FLUID

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

48

Те пе р ь мы за ве р ш и ли по дго то вку мо де ли для пр о ве де ни я а на ли за . Те пе р ьне о б х о ди мо со х р а ни тьфа йл б а зыда нных и NISA фа йл. Ш а г 8. С о х р а не ни е фа йло в. Не о б х о ди мо со х р а ни ть NISA ASCII фа йл ‘PIPE.NIS’ и дво и чный фа йл б а зыда нных ‘PIPE.DBS’.

Ш а г 9. В ых о д и з DISPLAY III. Те пе р ьмо ж но выйти и з DISPLAY III .

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

49

Ш а г 10. З а пуск на р а сче тNISA фа йла . В о кне NISA/3D-FLUID выб е р е те FILE – OPEN и о ткр о йте фа йл PIPE.NIS. Те пе р ь за пусти те е го на р а сче т. В ме ню выб е р е те EXECUTE – Execute FLUID INCOMP… В со о б щ е ни и , по яви вш е мся на экр а не , б уде т ука за но и мя вых о дно го фа йла PIPE.OUT, на ж ми те OK. Ш а г 11. А на ли з р е зульта то в. По сле за ве р ш е ни я р а б о ты на ж ми те Enter для за кр ыти я о кна р а сче та . С но ва за пусти те DISPLAY III.

На ж ми те RGN и з HOT ме ню для о то б р а ж е ни я на экр а не ко нтур а р е зульти р ую щ е й ско р о сти . Для о то б р а ж е ни я ко нтур а да вле ни й пр о де ла йте ту ж е пр о це дур у, выб р а в PRESSURE и з ме ню PICK RESULT. Для о то б р а ж е ни я ве кто р о в ско р о сти выпо лни те де йстви я:

Для за ве р ш е ни я р а б о тывыпо лни те де йстви я, о пи са нные в пункте 9.

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

50

5. Л итература О сно вна я ли те р а тур а 1.Ба х ва ло в Н.С . Ч и сле нные ме то ды/Н.С . Ба х ва ло в. – М .; С пб .: Л а б о р а то р и я б а зо вых зна ни й, 2000.- 622 с. 2. З е нке ви ч О ., М о р га н К . К о не чные эле ме нты и а ппр о кси ма ци я: Пе р . с а нгл/О . З е нке ви ч, К . М о р га н. – М .: М и р . 1986. – 318 с., и л. 3.NISA/ Display Documentation. Engineering Mechanics Resource Corporation/ Printed in USA. 1999. –865 с. 4. К а пусти н С .А. М е то д ко не чных эле ме нто в в ме х а ни ке де фо р ми р уе мых те л. / С .А . К а пусти н: Уче б . по со б и е . – Н.Но вго р о д: И зд-во ННГУ, 1997.ч. 1.- 70 с. До по лни те льна я ли те р а тур а 5.Го дуно в С .К . Ур а вне ни я ма те ма ти че ско й фи зи ки /С .К . Го дуно в. – М .: На ука . 1979.- 730 с. 6. Го дуно в С .К . Ра зно стные сх е мы, вве де ни е в те о р и ю / С .К . Го дуно в, В .С . Ряб е ньки й. – М .: На ука . 1977.- 398 с. 7. М а р чук Г.И . М е то ды вычи сли те льно й ма те ма ти ки /Г.И . М а р чук. – Но во си б и р ск: На ука . 1973.- 398 с. 8.С а ма р ски й А.А. Те о р и я р а зно стных сх е м/А.А. С а ма р ски й. – М .: На ука . 1983.- 614 с. 9.М и тче л Э ., УэйтР. М е то д ко не чных эле ме нто в для ур а вне ни й с ча стными пр о и зво дными /Э . М и тче л, Р. Уэйт. -М .: М и р . 1981. - 216 с. 10.С е ге р ли нд Л . Пр и ме не ни е ме то да ко не чных эле ме нто в/ Л . С е ге р ли нд. – М .: М и р . 1979.- 392 с.

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .

51

С о ста ви те ли : В е р ве йко Ни ко ла й Дми тр и е ви ч С е мыки на Та тьяна Дми тр и е вна Гр е б е нни ко в Дми тр и й Юр ье ви ч Яко вле в Але кса ндр Юр ье ви ч Ре да кто р Ти х о ми р о ва О .А.

П Р ИМЕ Н Е Н ИЕ МЕ ТО Д А КО Н Е ЧН Ы Х Э Л Е МЕ Н Т О В В МЕ Х А Н И КЕ С П Л О Ш Н Ы Х С Р Е Д .