О Аддитивных подмножествах натуральных чисел

Алгебра и логика, 43, N 3 (2004), 291—320

УДК 510.5

О Σ-ПОДМНОЖЕСТВАХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ∗) А. С. МОРОЗОВ, В. Г. ПУЗАРЕНКО Введение Результаты §§ 1, 4 об описании всех возможных классов Σ-подмножеств натуральных чисел и примеры допустимых множеств без универсальной функции были получены авторами независимо и одновременно, но с помощью разных конструкций. В работе приводится более краткое доказательство, предложенное А. С. Морозовым. Результаты § 2 получены А. С. Морозовым. Результаты §§ 3—5 о семантическом описании моделей с заданным идеалом и описании вычислимых семейств получены В. Г. Пузаренко, им же предложено определение класса KI . Вся необходимая информация о допустимых множествах содержится в [1, 2], основные сведения по классической теории вычислимости — в [3]. Проблемы Σ-определимости подмножеств множеств конечных ординалов ω в допустимых множествах изучались и ранее [4, 5], однако до этого исследовались взаимосвязи T -сводимости с Σ-определимостью. Было показано, что семейство ∆-подмножеств ω в допустимом множестве замкнуто относительно T -сводимости и операции ⊕ сочленения. Для каждого T -идеала I были построены примеры, в которых семейство T -степеней ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Немецкого Исследовательского Со-

общества (DFG) и Российского фонда фундаментальных исследований, грант DFG– РФФИ N 01-01-04003. Кроме того, первый автор поддержан РФФИ, проект N 02-0100593, и ИНТАС, проект 00-499; второй автор поддержан РФФИ, проект N 02-01-00540, и Советом по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проекты НШ-2069.2003.1, МК-2452.2003.01.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

292

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко

образует идеал I. Однако далеко не всегда по идеалу T -степеней ∆подмножеств можно однозначно восстановить семейство Σ-подмножеств. Впервые соотношения между e-сводимостью и семейством Σ-подмножеств ω в допустимых множествах были обнаружены в [6]. Данная работа ограничивается рассмотрением наследственно конечных надстроек над моделями конечных сигнатур. Напомним некоторые из обозначений. Через Wn обозначается n-е вычислимо перечислимое множество, через Dn — n-е конечное множество, k P 2ai определяемое следующим образом: Dn = {a1 < . . . < ak }, если n = i=1

(в частности, D0 = ∅). Заметим, что отношение x ∈ Dm вычислимо. ∼

Запись f : X → Y служит сокращением для выражения ”f является взаимно однозначным отображением X на Y “. Под сводимостью по перечислимости (кратко, e-сводимостью), как обычно, понимается сводимость на множествах натуральных чисел, обозначаемая 6e и определяемая с помощью условия A 6e B ⇔ ∃n∀t (t ∈ A ⇔ ∃m (ht, mi ∈ Wn & Dm ⊆ B)). Определив операторы перечисления Φn как Φn (S) = {x | ∃m (hx, mi ∈ Wn & Dm ⊆ S)}, получим другое определение e-сводимости: A 6e B ⇔ ∃n(Φn (B) = A). В этом случае будем говорить, что множество Wn задает оператор Φn . Отметим, что операторы Φn характеризуются такими свойствами, как монотонность: A ⊆ B ⇒ Φn (A) ⊆ Φn (B); непрерывность: x ∈ Φn (A) ⇒ ∃X ⊆ A (card (X) < ω & x ∈ Φn (X)). Как обычно, примем A ⊕ B = {2x | x ∈ A} ∪ {2x + 1 | x ∈ B}. Последовательность {Θn }n∈ω операторов перечисления называется вычислимой, если существует вычислимая последовательность {An }n∈ω вычислимо перечислимых множеств, задающих операторы Θn .

О Σ-подмножествах натуральных чисел

293

Можно также рассматривать операторы перечисления от нескольких аргументов. Оператор перечисления Φn от l аргументов определяется как Φn (S0 , S1 , . . . , Sl−1 ) =   l−1 V Dmi ⊆ Si ) . = x ∃m0 ∃m1 . . . ∃ml−1 (hx, m0 , m1 , . . . , ml−1 i ∈ Wn & i=0

Данный оператор также обладает свойствами непрерывности и монотонности по всем аргументам. Кроме того, по номеру n оператора перечисления эффективно находится номер n′ , для которого Φn (S0 , S1 , . . . , Sl−1 ) = = Φn′ (S0 ⊕ S1 ⊕ . . . ⊕ Sl−1 ). Нам понадобится следующее важное свойство семейства операторов (некоторый аналог s-m-n-теоремы для операторов): по номеру n оператора перечисления эффективно находится номер n′ , для которого Φn (R0 , R1 , . . . , Rk−1 , S0 , S1 , . . . , Sl−1 ) = = Φn′ (R0 ⊕ R1 ⊕ . . . ⊕ Rk−1 , S0 ⊕ S1 ⊕ . . . ⊕ Sl−1 ).

(1)

Отношение 6e является отношением предпорядка на P(ω), которое естественным образом индуцирует отношение частичного порядка на множестве e-степеней

P(ω) / , ≡e

где A ≡e B ⇔ A 6e B & B 6e A. Ассоции-

рованное отношение порядка будем обозначать так же, как и отношение e-сводимости. Для каждого множества A ⊆ ω через de (A) обозначим e-степень, содержащую множество A. Отметим, что множество e-степеней образует относительно ассоциированного отношения верхнюю полурешетку (обозначение: Le ) и de (A) ⊔ de (B) = de (A ⊕ B), где a ⊔ b — точная верхняя грань e-степеней a и b. Кроме того, рассматриваемая верхняя полурешетка имеет наименьший элемент 0 — e-степень всех вычислимо перечислимых множеств. Произвольное непустое семейство множеств e-степеней множеств натуральных чисел назовем e-идеалом (обозначение: I ⊳ Le ), если 1) a 6e b & b ∈ I ⇒ a ∈ I; 2) a, b ∈ I ⇒ a ⊔ b ∈ I. Для каждого e-идеала I положим I + = {S ⊆ ω | S 6= ∅, de (S) ∈ I}, I ∗ = I + ∪ {∅}.

294

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко Приведем краткое описание хорошо известного метода задания Σ-

подмножества вычислимой последовательностью (см., напр., [5]). Всякий элемент наследственно конечной надстройки можно записать как значение некоторого терма от праэлементов, составленного из символов пустого множества ∅, объединения ∪, фигурных скобок { и }. Термы назовем эквивалентными, если их значения совпадают для любых наборов праэлементов. Конструкцией называется терм, который не эквивалентен ни одному терму с меньшим номером. Зафиксируем некоторую эффективную однозначную нумерацию конструкций. Такая нумерация, очевидно, существует. Пусть T (n, g) — Σ-функция, для которой a = T (n, g) ⇔ a = ∼

= tn (g(0), . . . , g(δg − 1)), где g : |sp(a)| → sp(a), а n — номер конструкции элемента a. Тогда для любой Σ-формулы ϕ(x0 , a0 , a1 , . . . , as−1 ) конечной сигнатуры σ ∗ = σ ∪ {U, ∈, ∅} существует вычислимая последовательность Aϕ n множеств, состоящих из гёделевых номеров ∃-формул сигнатуры σ такая, что для любой модели M выполняется ϕHF(M) [x0 ] = {T (n, g) | ∃ϕ0 ∈ Aϕ n (M |= ϕ0 [γg ])}. Кроме того, справедлива следующая ТЕОРЕМА. Пусть HF(M) — наследственно конечная надстройка, а ϕ(x0 ) — Σ-формула. Тогда HF(M) |= ϕ(a) в том и только том случае, если существует конечно порожденная модель M′ 6 M, для которой HF(M′ ) |= ϕ(a).

§ 1. Описание классов Σ-подмножеств Наша цель — показать, что класс всех возможных семейств Σподмножеств конечных ординалов исчерпывается классом семейств вида I ∗ , где I — e-идеал. ТЕОРЕМА 1.1. 1. В любом допустимом множестве A семейство Σ-подмножеств ω представимо в виде I ∗ для некоторого e-идеала I.

О Σ-подмножествах натуральных чисел

295

2. Для любого e-идеала I существует модель M такая, что I ∗ совпадает с семейством всех Σ-подмножеств ω в HF(M). Кроме того, эту модель можно выбрать так, чтобы card (M) = card (I ∗ ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Пусть S — семейство всех Σ-подмножеств допустимого множества A. Очевидно, что S непусто и замкнуто относительно операции ⊕ сочленения. Остается проверить замкнутость S относительно e-сводимости. Условие X 6e Y записывается в виде x ∈ X ⇔ ∃y ∈ ω (hx, yi ∈ W & ∀t ∈ y (t ∈ Dy → t ∈ Y ))

(2)

для подходящего вычислимо перечислимого множества W . Заметим, что в любом допустимом множестве вычислимо перечислимые множества являются Σ-подмножествами. Отсюда W — Σ-подмножество в A, а отношение t ∈ Dy задает ∆-подмножество в A. Если Y является Σ-множеством, то подставив в (2) Σ-формулу для t ∈ Y , получим Σ-формулу для x ∈ X. 2. Вначале дадим несколько определений. Зафиксируем бинарный предикатный символ P . Для каждого n < ω определим Bn как модель с основным множеством {0, . . . , n+1}, на котором предикат P определен как {h0, 1i, h1, 2i, . . . , hn + 1, 0i}. Рассматривая в дальнейшем такое устройство P с точностью до изоморфизма, будем говорить, что предикат P образует n-цикл (длина этого n-цикла равна n + 2). Пусть S ⊆ ω. Определим модель NS как прямое объединение моделей Bn , n ∈ S (т. е., основное множество этой модели будет объединением непересекающихся копий моделей Bn , а предикат P выполняется на паре элементов hx, yi в том и только том случае, если они принадлежат одной и той же копии, а в этой копии выполняется P (x, y)). Наконец, для произвольных семейства U непустых множеств натуральных чисел и последовательности ненулевых кардиналов Λ = hαS | S ∈ ∈ U i определим модель MhU,Λi как объединение по всем S ∈ U моделей семейств, состоящих из αS непересекающихся подмоделей, изоморфных NS , на этом объединении зададим еще один бинарный предикат E, который определяет отношение эквивалентности, чьи классы — носители моделей NS .

296

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко Пусть I — произвольный e-идеал, а Λ — произвольная последо-

вательность бесконечных кардиналов указанного вида. Покажем, что eстепенями Σ-подмножеств множества натуральных чисел в допустимом множестве HF(MhI + , Λi ) будут в точности все элементы идеала I. Действительно, с одной стороны, легко проверить, что каждый элемент множества I ∗ является Σ-подмножеством в HF(MhI + , Λi ), так как для любых множества S ∈ I + , копии N вида NS и параметра a ∈ N выполняется n ∈ S ⇔ ∃f ( Function(f ) & dom (f ) = n + 2 & E(f (0), a) & & (f разнозначна) & P (f (n + 1), f (0)) & ∀t ∈ n + 1(P (f (t), f (t + 1)))). С другой стороны, пусть A ⊆ ω — Σ-подмножество в HF(MhI + , Λi ), определимое Σ-формулой ϕ(x, p) с параметрами p = p0 , . . . , pk . Без ограничения общности можно считать, что 1) все элементы кортежа p = p0 , . . . , pk являются попарно различными праэлементами; 2) формула ϕ(x, p) содержит в качестве конъюнктивных членов все атомарные предложения от p0 , . . . , pk и их отрицания, а также все ∃-предложения вида 

∃x0 . . . xl+1 

^

U (xi ) ∧

∧

(xi 6= xj )

06i<j6l+1

06i6l+1

^

^

P (xi , xi+1 ) ∧ P (xl+1 , x0 ) ∧

06i
^

i=1,...,u P



(xri = psi )

P

для всех l-циклов x0 −→ . . . −→ xl+1 −→ x0 , в которые входят параметры из множества {p0 , . . . , pk }. Пусть A0 , . . . , As — список всех множеств S, для которых пересечение какого-либо компонента вида NS нашей модели с множеством {p0 , . . . , pk } непусто. Покажем, что A 6e A1 ⊕. . .⊕As . Зафиксируем по одному элементу qi ∈ {p0 , . . . , pk } из соответствующего компонента NAi . Семейство всех конечных моделей вида hMhI ′ , Λ′ i , p0 , . . . , pk i можно естественным образом эффективно закодировать так, чтобы отношение HF(MhI ′ , Λ′ i , p0 , . . . , pk ) |=

О Σ-подмножествах натуральных чисел

297

|= ϕ(n, p0 , . . . , pk ) было вычислимо перечислимым, поэтому и множество W = {hx, m0 , . . . , ms i ∈ ω s+2 | существует конечная модель вида hMhI ′ , Λ′ i , pi такая, что HF(MhI ′ , Λ′ i , p) |= ϕ(x, p), а Dmi , i = 0, . . . , s, есть множество всех n таких, что в модели MhI ′ ,Λ′ i существует n-цикл, все элементы которого E-эквивалентны qi } будет вычислимо перечислимым. Проверим эквивалентность   ^ x ∈ A ⇔ ∃m0 . . . ms hx, m0 , . . . , ms i ∈ W & Dmi ⊆ Ai  .

(3)

i=1,...,s

Пусть x ∈ A. Тогда HF(MhI + , Λi ) |= ϕ(x, p) и для подходящей конечной подмодели MhI ′ , Λ′ i 6 MhI + , Λi выполняется HF(MhI ′ , Λ′ i ) |= ϕ(x, p). Для каждого класса из ограничения эквивалентности E на модель MhI ′ , Λ′ i , содержащего какое-нибудь из qi , i = 0, . . . , s, возьмем натуральное число mi такое, чтобы Dmi было множеством всех n, для которых P образует n-цикл в этом классе модели MhI ′ , Λ′ i . Получаем, что hx, m0 , . . . , ms i ∈ W и выполняется правая часть эквивалентности (3). Пусть, наоборот, выполняется правая часть эквивалентности (3). Возьмем требуемую конечную модель вида hMhI ′ , Λ′ i , pi как в определении множества W . Поскольку формула ϕ содержит конъюнктивные члены, описывающие взаимоотношения параметров p1 , . . . , pk , существует изоморфное вложение MhI ′ , Λ′ i ֒→ MhI + , Λi , оставляющее неподвижными все элементы из p1 , . . . , pk (в силу того, что Dmi ⊆ Ai , классы эквивалентности элементов qi модели MhI ′ , Λ′ i вкладываются в соответствующие классы эквивалентности модели MhI + , Λi , 1 6 i 6 k; элементы остальных классов эквивалентности можно отобразить в какие-нибудь другие классы эквивалентности). Это вложение продолжается естественным образом до концевого вложения моделей HF(MhI ′ , Λ′ i ) ֒→end HF(MhI + , Λi ). Далее, HF(MhI ′ , Λ′ i ) |= ϕ(x, p), откуда HF(MhI + , Λi ) |= ϕ(x, p) и, следовательно, x ∈ A. Таким образом, существует n0 , для которого A = Φn0 (A0 , . . . , As ); поэтому найдется оператор Φn′0 такой, что A = Φn′0 (A0 ⊕ . . . ⊕ As ), т. е. A 6e A0 ⊕ . . . ⊕ As , а из последнего условия следует A ∈ I ∗ . 2

298

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Первое утверждение теоремы 1.1 выполняет-

ся в произвольном допустимом множестве, однако, как показывает ее второе утверждение, любой идеал можно реализовать как семейство Σподмножеств натуральных чисел в ”низких“ допустимых множествах. Более того, результаты § 3 показывают, что построенные наследственно конечные надстройки имеют наименьшую выразительную силу среди допустимых множеств вида HF(M) для моделей M конечных сигнатур. ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. Возможны случаи, когда класс ∆-подмножеств ω в допустимом множестве совпадает с классом всех вычислимых множеств, в то время как в этом же множестве существуют перечислимые не вычислимо перечислимые подмножества в ω (см. [6]).

§ 2. Невыполнимость некоторых принципов В классической теории вычислимости хорошо известны следующие принципы. Принцип бесконечного перечислимого подмножества: любое бесконечное перечислимое множество S содержит бесконечное перечислимое подмножество M такое, что его дополнение в S, т. е. S \ M , тоже бесконечно. Принцип бесконечного вычислимого подмножества: любое бесконечное перечислимое множество S содержит бесконечное вычислимое подмножество. Принцип редукции: для любой пары A, B перечислимых множеств существуют перечислимые множества A0 и B0 такие, что A0 ⊆ A, B0 ⊆ B, A0 ∩ B0 = ∅ и A0 ∪ B0 = A ∪ B. Принцип униформизации: для любого перечислимого бинарного отношения C ⊆ ω × ω существует частичная вычислимая функция f ⊆ C такая, что dom (f ) = dom (C). Принцип перечисления: для любого непустого перечислимого множества A существует вычислимая функция из множества натуральных чисел на A.

О Σ-подмножествах натуральных чисел

299

Как уже показано, класс всех возможных семейств Σ-подмножеств совпадает с классом множеств, степени которых принадлежат e-идеалам. Поэтому будем говорить, что e-идеал I удовлетворяет какому-либо принципу, если ему удовлетворяет соответствующее семейство подмножеств и графиков функций, рассматриваемых как множества натуральных чисел. Например, идеал I удовлетворяет принципу перечисления, если для любого множества A, e-степень которого принадлежит этому идеалу, существует отображение f из ω на A, e-степень графика которого тоже принадлежит I. Далее приводятся примеры допустимых множеств, в которых эти принципы нарушаются для класса всех Σ-подмножеств в ω. Вообще, примеры такого поведения Σ-подмножеств легко строятся при отсутствии ограничения на структуры этих множеств. В известных конструкциях эти Σ-подмножества не являются подмножествами в ω, а их элементы не связаны структурой. Так, например, принцип бесконечного перечислимого множества не выполняется в допустимом множестве HF(S), где S — бесконечная модель пустой сигнатуры. Это легко следует из того, что если подмножество M ⊆ S определимо над HF(S) с некоторым параметром p, то для любых двух элементов x, y ∈ S \ supp (p) выполняется x ∈ M ⇔ y ∈ M (так как x и y переводятся друг в друга некоторым автоморфизмом модели HF(S)); поэтому никакое бесконечное и кобесконечное подмножество в S не определимо над HF(S) вообще никакой формулой. Сходные по построению контрпримеры известны и для остальных вышеупомянутых принципов [2, 5]. Неопределимость в этих примерах следует из существования достаточного количества автоморфизмов модели. Здесь будут построены примеры, когда эти принципы нарушаются даже для подмножеств натуральных чисел. Заметим: случай натуральных чисел существенно отличается от рассмотренного общего случая тем, что в натуральных числах у любого бесконечного определимого подмножества существуют нетривиальные определимые подмножества. Поэтому класс определений в данном случае играет важную роль.

300

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко ТЕОРЕМА 2.1. 1. Существует бесконечное множество S ⊆ ω

такое, что для любого M 6e S одно из множеств S \ M , S ∩ M конечно. 2. Существуют допустимое множество A и его Σ-подмножество S такие, что для любого Σ-подмножества M ⊆ ω ⊆ A одно из множеств S \ M , S ∩ M конечно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Будем строить множество S так, чтобы удовлетворить условиям Rn : Φn (S) не делит S на две бесконечные части, n ∈ ω; I: S бесконечно. На каждом шаге конструкции будет определен начальный сегмент вида {0, . . . , a}, на котором с этого момента будет запрещено изменять характеристическую функцию множества S. Назовем этот сегмент стабильной областью. Время от времени будем увеличивать стабильную область. На каждом шаге конструкции будет определено некоторое текущее значение множества S. Следующее значение для S будет каждый раз выбираться как некоторое подмножество текущего значения для S. Выбирая очередное значение S, будем сохранять текущую стабильную область, т. е. если текущая стабильная область — это {0, . . . , a}, то следующее значение S будет выбираться так, чтобы его характеристическая функция на элементах {0, . . . , a} не изменялась. Желаемое значение S будет получено как предел этого процесса, т. е. пересечение всех значений множества S на некоторых шагах. Для удовлетворения требования Rn используем следующую стратегию: если существует подмножество S ′ ⊆ S такое, что характеристические функции для S ′ и S совпадают на текущей стабильной области, а множество S ∗ = S ′ \ Φn (S ′ ) бесконечно, то следующее значение S полагается равным S ′′ = S ∗ ∪ {x ∈ S | x лежит в текущей стабильной области}. Заметим, что S ′′ ∩ Φn (S ′′ ) содержится в {x ∈ S | x лежит в текущей стабильной области}

О Σ-подмножествах натуральных чисел

301

и поэтому конечно. Для проверки обозначим правую часть последнего включения через F . Поскольку F ⊆ S ′ и S ∗ ⊆ S ′ , то S ∗ ∪ F ⊆ S ′ . Из монотонности оператора Φn получим Φn (S ∗ ∪ F ) ⊆ Φn (S ′ ). Отсюда S ′′ ∩ Φn (S ′′ ) = (S ∗ ∪ F ) ∩ Φn (S ∗ ∪ F ) ⊆ (S ∗ ∪ F ) ∩ Φn (S ′ ) = (S ∗ ∩ Φn (S ′ )) ∪ ∪ (F ∩ Φn (S ′ )) = ∅ ∪ (F ∩ Φn (S ′ )) ⊆ F , что и требовалось. В силу монотонности оператора Φn , а также того, что последующие значения множества S будут подмножествами множества S ′′ , множества S и Φn (S) в дальнейшем могут только уменьшиться, поэтому пересечение S ∩ Φn (S) будет всегда подмножеством конечного множества S ′′ ∩ Φn (S ′′ ), в том числе и для множества, полученного в результате построения. Если нет S ′ ⊆ S с вышеуказанными свойствами, то для результирующего b будет в любом случае конечным. множества Sb ⊆ S множество Sb \ Φn (S) Заметим, что требованию Rn достаточно удовлетворить всего лишь

раз. После этого в ходе построения оно остается выполненным и будет верно также и для результирующих множеств. Стратегия для выполнения требования I распадается на бесконечно много шагов вида: расширим стабильную область так, чтобы она включала как минимум один новый элемент x, принадлежащий текущему значению S. Построение множества S начинаем с произвольного бесконечного множества S ⊂ ω с бесконечным дополнением ω \ S. Последовательно осуществляем стратегии для выполнения требований Rn , n = 0, 1, . . . , завершая каждый шаг реализацией стратегии для выполнения требований I. Из приведенных выше рассуждений следует, что в пределе получаем требуемое множество. 2. Заметим, что в силу теоремы 1.1 требуемое следует из п. 1. Достаточно взять множество S из п. 1, а для него — допустимое множество, у которого семейство Σ-подмножеств натуральных чисел совпадает с {X ⊆ ω | X 6e S}. 2 СЛЕДСТВИЕ 2.2 [6]. Существуют допустимое множество вида HF(M) и его Σ-подмножество S ⊆ ω, для которых не определена Σфункция f из ω на S.

302

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим допустимое множество и его под-

множество S из предыдущей теоремы. Если такая функция f существует, ее можно превратить в разнозначную Σ-функцию с теми же свойствами, полагая g(m) = f (min{x ∈ ω | f (x) ∈ / {g(i) | i < m}). Тогда Σ-множество S ′ = g ({2m | m < ω}) является бесконечным Σподмножеством в S, для которого его дополнение S \ S ′ бесконечно, получаем противоречие. 2 Опишем все e-идеалы, удовлетворяющие принципу перечисления в терминах e-степеней. Назовем e-степень a тотальной, если f ∈ a для некоторой всюду определенной функции f . Приведем описание тотальных e-степеней. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3 [3]. Для любой e-степени d\ e (A) = a эквивалентны следующие условия: 1) a — тотальная e-степень; 2) A ≡e B ⊕ B для некоторого B ⊆ ω; 3) f 6e A для некоторой всюду определенной функции такой, что ρf = A. В частности, справедливо следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Идеал I удовлетворяет принципу перечисления в том и только том случае, если I порождается тотальными e-степенями. Такие идеалы играют важную роль в теории допустимых множеств (см. §§ 3, 5). В классической теории вычислимости каждому T -идеалу естественным образом взаимно однозначно сопоставляется единственный eидеал, удовлетворяющий принципу перечисления [3]. ЗАМЕЧАНИЕ 2.5. Существуют допустимое множество вида HF(M) и его Σ-подмножество S ⊆ ω, для которых не определена Σ-функция f из ω на бесконечное подмножество S. ЗАМЕЧАНИЕ 2.6. Конструкция для доказательства следствия 2.2, приведенная в [6], дает множество, вычислимое в 0′ . Настоящая же кон-

О Σ-подмножествах натуральных чисел

303

струкция позволяет построить множество существенно большей сложности. СЛЕДСТВИЕ 2.7. Существуют допустимое множество вида HF(M) и его бесконечное Σ-подмножество S ⊆ ω такие, что у S нет бесконечных ∆-подмножеств. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим HF(M) и S из замечания 2.5. Если бы у S было бесконечное ∆-подмножество A, можно было бы определить разнозначную Σ-функцию f из ω в S следующим образом: f (x) = y ⇔ x ∈ ω & y ∈ A & ∀y ′ < y (y ′ ∈ A ⇒ ∃x′ < x (f (x′ ) = y ′ )), что противоречило бы замечанию 2.5. 2 Теперь построим пример, когда принцип редукции нарушается. ТЕОРЕМА 2.8. 1. Существуют множество S ⊆ ω и множества A, B 6e S такие, что ни для каких множеств A′ , B ′ 6e S нельзя одновременно выполнить следующие условия: A′ ⊆ A, B ′ ⊆ B, A′ ∩ B ′ = ∅ и A′ ∪ B ′ = A ∪ B. 2. Существуют допустимое множество A и Σ-подмножества A, B ⊆ ω ⊆ A, у которых нет Σ-подмножеств A′ ⊆ A и B ′ ⊆ B, удовлетворяющих условиям A′ ∪ B ′ = A ∪ B и A′ ∩ B ′ = ∅. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы 1.1 достаточно доказать п. 1. Будем строить множество S ⊆ ω так, чтобы множества A = A(S) = {x | 2x ∈ S} и B = B(S) = {x | 2x + 1 ∈ S} удовлетворяли теореме. Ясно, что A(S), B(S) 6e S. В ходе построения на каждом шаге будем уменьшать текущее значение множества S. Результатом станет пересечение всех текущих значений S. Необходимо удовлетворить требованиям Rm,n : хотя бы одно из четырех условий Φn (S) ⊆ A(S), Φm (S) ⊆ B(S), Φn (S) ∩ Φm (S) = ∅, Φn (S) ∪ Φm (S) = A(S) ∪ B(S) ложно, m, n ∈ ω;

304

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко I: множество A(S) ∩ B(S) бесконечно. Опишем стратегию для удовлетворения одного требования Rm,n .

Предположим, что выполняется условие ”A(S) ∩ B(S) бесконечно“ и рассмотрим следующие случаи. С л у ч а й 1: одновременно выполняются условия Φn (S) ⊆ A(S), Φm (S) ⊆ B(S), Φn (S) ∩ Φm (S) = ∅, Φn (S) ∪ Φm (S) = A(S) ∪ B(S). Если все эти условия истинны, то как минимум одно из множеств A(S) ∩ Φm (S), B(S) ∩ Φn (S) бесконечно. Без ограничения общности можно считать, что бесконечно первое из них (второй случай рассматривается аналогично). Выберем элемент a ∈ A(S) ∩ Φm (S), не входящий в текущую стабильную область, и рассмотрим S ∗ = S \ {2a + 1} в качестве нового значения для S. Заметим, что по определению A(S ∗ ) = A(S), B(S ∗ ) = = B(S) \ {a}, а также Φn (S ∗ ) ⊆ Φn (S) и Φm (S ∗ ) ⊆ Φm (S). Возможны два варианта. В а р и а н т 1.1: a ∈ Φm (S ∗ ). Воспользуемся непрерывностью оператора Φm и расширим стабильную область так, чтобы сохранить отношение a ∈ Φm (S) навсегда. Поскольку B(S) может в дальнейшем только уменьшиться, отношение a ∈ Φm (S ′ ) \ B(S ′ ) остается истинным для всех S ′ ⊆ S ∗ (а следовательно, Φm (S ′ ) * B(S ′ )), в том числе и для итогового множества конструкции. В а р и а н т 1.2: a ∈ / Φm (S ∗ ). Увеличим стабильную область так, чтобы сохранить условие a ∈ A(S) навсегда. Условие Φn (S) ∪ Φm (S) 6= A(S) ∪ B(S)

(4)

будет выполняться для всех последующих S, поскольку S, а значит вместе с ним и Φn (S) ∪ Φm (S), может только уменьшиться в ходе построения, элемент a никогда не окажется в левой части (4), при этом останется навсегда в правой. С л у ч а й 2: Φn (S) * A(S) или Φm (S) * B(S). Используя непрерывность операторов перечисления, увеличиваем стабильную область, чтобы сохранить эту ситуацию для всех подмножеств множества S, включая и итоговое множество.

О Σ-подмножествах натуральных чисел

305

С л у ч а й 3: Φn (S) ∩ Φm (S) 6= ∅. В этом случае также увеличиваем стабильную область, чтобы сохранить эту ситуацию навсегда. С л у ч а й 4: ни один из случаев 1—3 не имеет места. Тогда Φn (S) ∪ ∪Φm (S) 6= A(S) ∪ B(S). Пользуясь непрерывностью, увеличиваем стабильную область, чтобы сохранить эту ситуацию навсегда. Заметим, что применение этой стратегии обеспечит удовлетворение требований Rm,n для всех подмножеств S, включая итоговое множество. Стратегия удовлетворения требованию I состоит в увеличении стабильной области так, чтобы помещать и затем навсегда оставлять новый элемент в A(S) ∩ B(S) каждый раз, когда эта стратегия применяется. Опишем построение. Начинаем с произвольного множества S, для которого множество {x | 2x ∈ S} ∩ {x | 2x + 1 ∈ S} бесконечно. Затем эффективно перечисляем пары натуральных чисел hm, ni, и в соответствии с этим перечислением чередуем исполнение стратегий для требований Rm,n и I. Теорема следует из приведенных рассуждений. 2 ЗАМЕЧАНИЕ 2.9. Наше построение эффективно в 0′′ . Таким образом, получаемое в конструкции множество S можно выбрать коперечислимым в 0′′ , т. е. в Π03 . ЗАМЕЧАНИЕ 2.10. Поскольку объединение A(S)∪B(S) сохраняется в ходе конструкции, можно построить нередуцируемую пару со свойством A(S) ∪ B(S) = ω. СЛЕДСТВИЕ 2.11. 1. Существует S ⊆ ω такое, что некоторое множество C ⊆ ω × ω с условием C 6e S нельзя униформизовать посредством функции f 6e S. 2. Существуют допустимое множество и его Σ-подмножество C ⊆ ω × ω такие, что C нельзя униформизовать посредством Σ-функции над этим множеством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Второе утверждение следует из первого. Докажем п. 1. Возьмем S как в теореме 2.8, тогда множество C = (A(S) × {0}) ∪ (B(S) × {1}) 6e S нельзя униформизовать посредством функции f 6e S, так как в противном

306

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко

случае появилась бы редукция для A(S) и B(S) посредством множеств A′ = {x | f (x) = 0} и B ′ = {x | f (x) = 1}, e-сводящихся к S. 2 Заметим, что аналогичные результаты остаются верными, если вместо e-сводимости 6e рассмотреть любое отношение A  B, определяемое как A  B ⇔ ∃n(Ψn (A) = B), где (Ψn )n<ω — произвольное семейство монотонных непрерывных операторов из 2ω в 2ω . Для справедливости аналога теоремы 2.1 непрерывность оператора не требуется.

§ 3. О семантическом описании класса моделей с e-идеалом I В этом параграфе покажем, что модели, построенные в теореме 1.1, являются минимальными относительно предпорядка Σ-определимости 6Σ ; это используется в § 4 при описании возможных классов вычислимых семейств подмножеств натуральных чисел в наследственно конечных надстройках. Будем говорить, что модель M = hM, Q0 , . . . , Qp , G0 , . . . , Gf i Σ-определима в допустимом множестве A, если существуют отношение η и модель B = hB, Q′0 , . . . , Q′p , ΓG′0 , . . . , ΓG′f i, основное множество B которой является Σ-подмножеством в A; отношения η, Q′i , i = 0, . . . , s, и ΓG′j , j = 0, . . . , f , вместе со своими дополнениями на множестве B являются Σ-предикатами на A; а η ⊆ B 2 — отношением конгруэнтности на B, причем B/η изоморфно Γ(M), где Γ(M) — график модели M (модель Γ(M) получается заменой всех n-арных функциональных символов на (n + 1)-арные предикатные символы, которые интерпретируются на новой модели как графики ∼

соответствующих им функций [7]). Если f : Γ(M) → B/η, то hB, η, f i будем называть Σ-определением модели M в допустимом множестве A. Здесь и в дальнейшем через Ie (M) обозначается идеал e-степеней Σ-подмножеств ω в HF(M). Следующее предложение позволяет установить алгоритмическую сложность семейства Σ-подмножеств ω наследственно конечной надстройки в терминах экзистенциальных теорий константных обогащений носите-

О Σ-подмножествах натуральных чисел

307

ля надстройки, оно усиливает [5, предлож. 3]. Напомним, что ∃-теорией Th∃ (N) модели N называется множество всех ∃-предложений, истинных на N. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Для любых идеала I ⊳ Le и модели M конечной сигнатуры σ эквивалентны следующие условия: 1) Ie (M) ⊆ I; 2) de (Th∃ (M, a)) ∈ I выполняется для любого набора a ∈ M <ω . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ie (M) ⊆ I. Так как Th∃ (M, a) = {ϕ | (ϕ — ∃-предложение сигнатуры σ∪hai) & (M, a) |= ϕ} для любого a ∈ M <ω и предикат истинности Σ-формул в HF(M) является Σ-определимым, то выполняется и второе условие предложения. Пусть теперь выполняется второе условие. Возьмем произвольное подмножество A ⊆ ω, определимое в HF(M) Σ-формулой с параметрами a0 , . . . , as−1 из M . Тогда найдется вычислимая последовательность An множеств, состоящих из гёделевых номеров ∃-формул, для которой A = {n | найдется ϕ0 ∈ An ((M, a0 , . . . , as−1 ) |= ϕ0 )}. Нетрудно проверить, что n ∈ A ⇔ ∃u([u 6= 0 & Du ⊆ An ] & Du ⊆ Th∃ (M, a0 , . . . , as−1 )), а значит, A 6e Th∃ (M, a0 , . . . , as−1 ). Таким образом, de (A) ∈ I и Ie (M) ⊆ I. 2 В качестве следствия получается ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Идеал Ie (M) порождается e-степенями de (Th∃ (M, a)), где a ∈ M <ω . ЗАМЕЧАНИЕ 3.3. Если M — модель разрешимой модельно полной теории конечной сигнатуры, то Ie (M) удовлетворяет принципу перечисления (следствие предложений 3.2 и 2.4). Кроме того, как показано в [5], все такие идеалы реализуются на классе моделей теории вещественно замкнутых полей. Действительно, из доказательства предложения 3.1 вытекает, что A 6e Th∃ (M, a0 , . . . , as−1 ), если A ⊆ ω определимо в HF(M) Σ-формулой с параметрами a0 , . . . , as−1 . Кроме того, если M — модель разрешимой модельно полной теории, то Th∃ (M, a) ⊕ Th∃ (M, a) ≡e Th∃ (M, a).

308

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Если M 6Σ HF(N), то Ie (M) ⊆ Ie (N). Это предложение можно легко доказать, используя теорему Ершова

о том, что если модель M Σ-определима в допустимом множестве A, то HF(M) также Σ-определима в A. Однако оно в более общей формулировке доказывается в следующем параграфе (предложение 4.1). Ниже приводится серия моделей, которая, как оказалось, с точки зрения Σ-определимости эквивалентна серии моделей, приведенной в доказательстве теоремы 1.1. Кроме того, изучаются элементарные свойства наследственно конечных надстроек над этими моделями и доказывается их минимальность относительно предпорядка Σ-определимости. Пусть hU, Λi — непустое семейство непустых множеств U с последовательностью ненулевых кардиналов Λ = hαS | S ∈ U i. Определим модель M′hU,Λi сигнатуры {Q3 , s2 , 0} следующим образом: ′ MhU,Λi ⇌ ω ∪ {hS, γi | γ < αS , S ∈ U } ∪ {hS, γ, ni | n ∈ S, γ < αS , S ∈

∈ U }; M′hU,Λi

0

M′hU,Λi

Q

M′hU,Λi

⇌ ∅ ∈ ω; s

⇌ {hn, n + 1i | n ∈ ω};

⇌ {hhS, γ, ni, hS, γi, ni | n ∈ S, γ < αS , S ∈ U }.

Пусть MhU,Λi — модель, определенная в доказательстве теоремы 1.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Имеют место соотношения MhU,Λi 6Σ 6Σ HF(M′hU,Λi ) и M′hU,Λi 6Σ HF(MhU,Λi ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что MhU,Λi 6Σ HF(M′hU,Λi ). Пусть AhU,Λi — модель сигнатуры {E 2 , P 2 }, определенная следующим образом: M′hU,Λi

AhU,Λi ⇌ {ha, b, mi | m 6 n + 1, ha, b, ni ∈ Q

  ′ } ⊆ HF(MhU,Λi )

(очевидно, оно является Σ-(даже ∆-)подмножеством HF(M′hU,Λi )); E AhU,Λi ⇌ {hx, yi ∈ A2hU,Λi | pr2 (x) = pr2 (y)}; P AhU,Λi ⇌ {hha, b, mi, ha, b, m + 1ii | m < n + 1, ha, b, ni ∈ Q M′hU,Λi

∪{hha, b, n + 1i, ha, b, 0ii | ha, b, ni ∈ Q

M′hU,Λi

}∪

}.

Тогда AhU,Λi ≃ MhU,Λi . Проверка того, что так определенные предикаты удовлетворяют условиям определения Σ-определимости, предоставляется читателю.

О Σ-подмножествах натуральных чисел

309

Проверим второе соотношение. Определим модель A′hU,Λi сигнатуры {Q3 , s2 , 0} так: A′hU,Λi ⇌ (MhU,Λi × {0, 1}) ∪ ω ⊆ HF(MhU,Λi ); A′hU,Λi

A′hU,Λi

⇌ ∅ ∈ ω; s

0

A′hU,Λi

Q

⇌ {hn, n + 1i | n ∈ ω};

⇌ {hha, 0i, hb, 1i, ni | n ∈ ω, a, b ∈ MhU,Λi , ha, bi ∈ E MhU,Λi ,

∃f ( Function(f ) & (f разнозначна) & dom (f ) = n + 2 & f (0) = a & P (f (n + +1), f (0)) & ∀t ∈ n + 1(P (f (t), f (t + 1))))}. Тогда

A′hU,Λi

/η ≃ M′hU,Λi , где

η ⇌ idω ∪ {hha, 1i, ha′ , 1ii | ha, a′ i ∈ E MhU,Λi } ∪ {hha, 0i, ha′ , 0ii | a, a′ ∈ ∈ MhU,Λi , ∃n∃f (Function(f ) & dom (f ) = n + 2 & f (0) = a & f (n + 1) = a′ & &∀t ∈ n + 1P (f (t), f (t + 1)))}. СЛЕДСТВИЕ 3.6. Справедливо Ie (MhU,Λi ) = Ie (M′hU,Λi ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО непосредственно вытекает из предложений 3.5 и 3.4. 2 В дальнейшем ограничимся рассмотрением пар вида hI + , Λi для eидеала I, где Λ = hαSΛ | S ∈ I + i, причем αSΛ > ω для всех S ∈ I + . Такие последовательности Λ будем называть допустимыми. Отметим, что теорема 1.1 доказывается для моделей вида MhI + ,Λi , соответствующих именно таким парам. На классе данных пар определим частичный порядок ′

hI + , Λi ≤ hJ + , Λ′ i ⇔ I = J & ∀S ∈ I + (αSΛ 6 αSΛ ). ЛЕММА 3.7. Пусть hI + , Λi ≤ hI + , Λ′ i, и hfS | S ∈ I + i — последо′

вательность вложений fS : αSΛ ֒→ αSΛ . Тогда существует единственное элементарное вложение g # : HF(M′hI + ,Λi ) 4 HF(M′hI + ,Λ′ i ), для которого g # (hS, γi) = hS, fS (γ)i при всех γ < αSΛ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть hI + , Λi, hI + , Λ′ i и hfS | S ∈ I + i удовлетворяют условиям леммы. Нетрудно понять, что последовательности вложений hfS | S ∈ I + i можно однозначно сопоставить изоморфное вложение g : M′hI + ,Λi ֒→ M′hI + ,Λ′ i так, что g(hS, γi) = hS, fS (γ)i для всех γ < αSΛ . Известно, что изоморфное вложение моделей однозначно продолжается до изоморфного вложения наследственно конечных надстроек. Поэтому найдется единственное вложение g # : HF(M′hI + ,Λi ) ֒→ HF(M′hI + ,Λ′ i ), для

310

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко

которого g # ↾ M′hI + ,Λi = g. Покажем теперь, что вложение g # является элементарным. Воспользуемся критерием Робинсона (см. [8]). Пусть Φ0 (x0 , x1 ) — формула сигнату′ ры {Q, s, 0, U, ∅, ∈} и HF(M′hI + ,Λ′ i ) |= ∃x0 Φ(x0 , a), где a ∈ g # (HF(MhI + ,Λi ). ′ ′ Тогда найдется b ∈ HF(MhI + ,Λ′ i ), для которого HF(MhI + ,Λ′ i ) |= Φ0 (b, a). ∼

Нетрудно построить автоморфизм g0 : M′hI + ,Λ′ i → M′hI + ,Λ′ i такой, что g0 ↾ ′ sp(a) = idsp(a) и g0 (sp(b) \ sp(a)) ⊆ g(MhI + ,Λi ). Автоморфизм g0 модели

M′hI + ,Λ′ i однозначно продолжается до автоморфизма g0# наследственно конечной надстройки HF(M′hI + ,Λ′ i ). Следовательно, HF(M′hI + ,Λ′ i ) |= Φ0 (g0# (b), g0# (a)), ′ кроме того, g0# (a) = a, b′ = g0# (b) ∈ g # (HF(MhI + ,Λi )). Таким образом,

HF(M′hI + ,Λ′ i ) |= Φ0 (b′ , a) и вложение g # является элементарным. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. 1. Для любой пары вида hI + , Λi существует собственное элементарное вложение f : HF(M′hI + ,Λi ) 4 HF(M′hI + ,Λi ). 2. Если hI + , Λi ≤ hI + , Λ′ i, то HF(M′hI + ,Λi ) 4 HF(M′hI + ,Λ′ i ). 3. HF(M′hI + ,Λi ) ≡ HF(M′hI + ,Λ′ i ) для всех допустимых последовательностей Λ и Λ′ . 4. В HF(M′hI + ,Λi ) и HF(M′hI + ,Λ′ i ) реализуется одно и то же семейство типов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждения пп. 1 и 2 нетрудно получить применением леммы 3.7. Для любого I класс пар вида hI + , Λi относительно введенного порядка является направленным и имеет наименьший элемент, а именно, пару вида hI + , Λ0 i, где Λ0 = hω | S ∈ I + i. Тогда по второму утверждению HF(M′hI + ,Λ0 i ) 4 HF(M′hI + ,Λi ) для любой допустимой последовательности Λ, а следовательно, выполняется утверждение п. 3. Для проверки п. 4 достаточно показать, что для любой модели M′hI + ,Λi в HF(M′hI + ,Λi ) реализуются те же типы, что и в HF(M′hI + ,Λ0 i ). ′ Пусть a ∈ HF(MhI + ,Λi ), и Ta — список всех пар вида hS, γi таких, что

hS, γi ∈ sp(a) или hS, γ, ni ∈ sp(a) при некотором n ∈ ω. Поскольку множество Ta конечно, нетрудно построить последовательность вложений hfS0 | S ∈ I + i из hI + , Λ0 i в hI + , Λi такую, что fS0 ([nS ]) = {γ | hS, γi ∈ Ta } для всех

О Σ-подмножествах натуральных чисел

311

S ∈ I + и некоторого nS ∈ ω (как обычно, [n] = {0, 1, . . . , n − 1} и [0] = ∅). ′ Остается применить лемму 3.7. В этом случае a ∈ g # (HF(MhI + ,Λ i )), где 0

вложение g # соответствует последовательности вложений hfS0 | S ∈ I + i. 2 В дальнейшем через KI будт обозначаться класс моделей M′hI + ,Λi , для которых I + = {S | S 6= ∅, de (S) ∈ I}, а последовательность Λ — допустимая (ввиду эффективной взаимоопределяемости в качестве класса KI можно взять класс моделей MhI + ,Λi из док-ва теор. 1.1). ТЕОРЕМА 3.9. Для любой модели M конечной сигнатуры существует модель M0 ∈ KIe (M) , для которой справедливо соотношение M0 6Σ HF(M). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся предложением 3.2. Пусть Φn — вычислимое семейство операторов перечисления, заданное вычислимой последовательностью Wn . Тогда W = {n | Φn (∅) 6= ∅} вычислимо перечислимо и, кроме того, каждый оператор перечисления Φ, для которого Φ(∅) 6= ∅, имееет бесконечно много номеров в W . Определим модель A сигнатуры {Q3 , s2 , 0} следующим образом: A ⇌ ω ∪ (W × M <ω ) ∪ {hn, m, ai | m ∈ W, n ∈ Φm (Th∃ (M, a)), a ∈ ∈ M <ω }; 0A ⇌ ∅ ∈ ω; sA ⇌ {hn, n + 1i | n ∈ ω}; QA ⇌ {hhn, m, ai, hm, ai, ni | m ∈ W, n ∈ Φm (Th∃ (M, a)), a ∈ M <ω }. Положим I = Ie (M), Λ = hmax {card(M), ω} | S ∈ I + i. Покажем, что A ≃ M′hI + ,Λi . Если M — конечная модель, то I = {0} и изоморфизм существует по выбору семейства операторов перечисления. Пусть теперь M — бесконечная модель. Тогда Th∃ (M, a0 , . . . , an−1 ) 6e 6e Th∃ (M, a0 , . . . , an−1 , an ) для любых элементов a0 , a1 , . . . , an из |M|, откуда и следует существование изоморфизма. 2

§ 4. Описание вычислимых семейств для моделей класса KI и универсальная функция Пусть A — произвольное допустимое множество. Семейство S ⊆ P(A) назовем вычислимым, если существует Σ-формула ϕ(x0 , x1 ) (возможно, с

312

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко

параметрами) такая, что S = {λx. ϕA [a, x] | a ∈ B} для некоторого Σподмножества B. Какие классы семейств подмножеств натуральных чисел реализуются как классы вычислимых семейств наследственно конечных надстроек? Ниже для каждого идеала дается описание наименьшего по включению класса. Каждой модели M сопоставим класс S∅(M) вычислимых семейств подмножеств натуральных чисел в наследственно конечной надстройке HF(M). В силу следующего предложения достаточно получить описание вычислимых семейств в наследственно конечных надстройках над моделями класса KI . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Если M 6Σ HF(N), то S∅(M) ⊆ S∅(N). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отметим [2], что HF(M) 6Σ HF(N), если M 6Σ HF(N). Верно и обратное. Пусть hA0 , η0 , f0 i — Σ-определение модели HF(M) в HF(N). Из конструкции в [2, § 3.3] легко получаются следующие свойства: 1) f0 [Ord(HF(M)] состоит из одноэлементных η0 -классов; 2) естественный изоморфизм g0 между {a | [a]η0 ∈ f0 [Ord(HF(M))]} и Ord(HF(N)) является Σ-определимым; 3) по любой Σ-формуле ϕ(x) языка L(HF(M)) эффективно находится Σ-формула ϕ∗ (x) языка L(HF(N)), для которой HF(M) |= ϕ(a) ⇔ ∀a∗ ∈ f0 (a) [HF(N) |= ϕ∗ (a∗ )]. Если S — непустое вычислимое в HF(M) семейство подмножеств натуральных чисел, а ψ(x, y) — Σ-формула, причем S = {λx. ψ HF(M) [a, x] | a ∈ B} для некоторого Σ-подмножества B, то нетрудно проверить, что S = = {g0 (λx. (ψ ∗ )HF(N) [a∗ , x]) | [a∗ ]η0 ∈ f0 (B)}. 2 ЗАМЕЧАНИЕ 4.2. В предложении 4.1 не учитываются особенности представления семейства S, хотя, как следует из доказательства, свойство разрешимости представления при таком переходе сохраняется. Из существования универсального Σ-предиката для допустимых множеств конечной сигнатуры легко получить

О Σ-подмножествах натуральных чисел

313

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. 1. Пусть Θn — вычислимая последовательность операторов перечисления от двух аргументов. Тогда в любой наследственно конечной надстройке HF(M) над моделью M конечной сигнатуры с e-идеалом I = Ie (M) семейство S = {Θn (R, A) | R ∈ I ∗ , n ∈ ω} вычислимо в HF(M) для любого фиксированного A ∈ I ∗ . 2. Если S = {Θn (R, A) | R ∈ I ∗ , n ∈ ω} для некоторых вычислимой последовательности {Θn }n∈ω операторов перечисления и A ∈ I ∗ , то и S ∪ {∅} представимо в таком же виде. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. Пусть A — допустимое множество, S вычислимо в A. Тогда 1) S ∪ {∅}, S \ {∅} вычислимы; 2) S ∪ {∅} = {λx. ϕA [a, x] | a ∈ A} для некоторой Σ-формулы ϕ. Пусть I — e-идеал, а M0 — модель из класса KI , определенного в § 3. Вычислимость на наследственно конечной надстройке над такой моделью служит имитацией процесса недетерминированной вычислимости на подмножествах ω, которые кодируются элементами вида hS, γi. При таком подходе кортежи вида hS, γ, ni являются шагами вычисления, ha, b, ni ∈ QM0 — тактом вычисления, а формулы сигнатуры hQ, 0, s, U, ∈, ∅i (hQ, 0, si) — (элементарными) кодами вычислений. Опишем класс всех вычислимых в HF(M0 ) семейств подмножеств ω. По теореме 3.9 и предложению 4.1 данный класс будет наименьшим по включению классом вычислимых семейств в наследственно конечных надстройках конечных сигнатур с e-идеалом I. Следующая теорема полностью описывает семейства множеств натуральных чисел, вычислимых в любой наследственно конечной надстройке конечной сигнатуры, в которой классы e-эквивалентных множеств натуральных чисел образуют e-идеал I. ТЕОРЕМА 4.5. Пусть M0 ∈ KI . Семейство S ⊆ P(Ord(HF(M0 ))) вычислимо в HF(M0 ) в том и только том случае, если S ∪ {∅} представимо в виде {Θn (R, A) | n ∈ ω, R ∈ I ∗ } для некоторых вычислимой последовательности {Θn }n∈ω операторов перечисления и множества A ∈ I ∗ . Вначале установим несколько вспомогательных утверждений.

314

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко ЗАМЕЧАНИЕ 4.6. Функция, осуществляющая естественный изомор-

физм между Ord(HF(M0 )) и ω ⊆ M0 , является Σ-функцией: f (0) = 0M0 , и f (n + 1) = a, если hf (n), ai ∈ sM0 . Таким образом, данная функция позволяет отождествлять Σ-подмножества ω ⊆ M0 в HF(M0 ) с ΣHF(M0 ) подмножествами Ord(HF(M0 )). Кроме того, каждое одноэлементное подмножество ω ⊆ M0 определимо ∃-формулой сигнатуры h0, si, что позволяет элиминировать параметры из ω. Обозначим через Code(M0 ) множество кодов подмножеств ω в HF(M0 ). ЛЕММА 4.7. Существует разнозначная ΣHF(M0 ) -функция g : HF(M0 ) → HF(Code(M0 )). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим функцию g по Σ-рекурсии: g(z) = h0, n + 1i, если f (n) = z, где f — функция из замечания 4.6; g(y) = h0, yi, если y ∈ Code(M0 ); g(x) = h0, {g(y), g(z)}i, если hx, y, zi ∈ QM0 ; g(∅) = h0, ∅i; g(a) = hrk(a), {g(a1 ), g(a2 ), . . . , g(an )}i, если a = {a1 , a2 , . . . , an }. Очевидно, функция g удовлетворяет условию леммы. 2 Лемма 4.7 позволяет свести все рассмотрения к подмножествам и отношениям на HF(Code(M0 )) ⊆ HF(M0 ). Пару hI ′ , Λ′ i будем называть равномерно конечной (р.к.), если I ′ — конечное семейство конечных непустых множеств, а αS конечно для всех S ∈ I ′ . Отметим, что множество всех равномерно конечных пар можно эффективно занумеровать. Кроме того, такой нумерацией задается вычислимая нумерация представлений моделей вида HF(M′hI ′ ,Λ′ i ), для которой условие HF(M′hI ′ ,Λ′ i ) |= ϕ вычислимо перечислимо по hI ′ , Λ′ i и Σ-формуле ϕ сигнатуры {0, s, Q, U, ∈, ∅} с параметрами. ЛЕММА 4.8. Если A ⊆ ω определимо Σ-формулой ϕ в HF(M0 ) с попарно различными параметрами s1 , . . . , sm из Code(M0 ), то A 6e 6e pr1 (s1 ) ⊕ . . . ⊕ pr1 (sm ). Более того, оператор перечисления находится по формуле ϕ эффективно.

О Σ-подмножествах натуральных чисел

315

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A = ϕHF(M0 ) [x0 , s1 , . . . , sm ] и W ⇌ {hn, v1 , . . . , vm i | ∃р. к.hI ′ , Λ′ i∃p1 . . . ∃pm (HF(M′hI ′ ,Λ′ i ) |= |= ϕ(n, hDv1 , p1 i, . . . , hDvm , pm i))}. Предикат W вычислимо перечислим. Тогда по теореме из введения     ^ (Dvj ⊆ pr1 (sj ))) A = n ∃v1 . . . ∃vm (hn, v1 , . . . , vm i ∈ W &   16j6m

и, следовательно, A 6e pr1 (s1 ) ⊕ . . . ⊕ pr1 (sm ). Очевидно, W находится эффективно по ϕ. 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 4.5. Д о с т а т о ч н о с т ь следует из предложения 4.3 и п. 1 предложения 4.4. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть S ⊆ P(Ord(HF(M0 ))) — вычислимое в HF(M0 ) семейство. Тогда по п. 2 предложения 4.4 найдется Σ-формула ψ(x0 , x1 ), для которой S ′ = S ∪ {∅} = {ψ HF(M0 ) [a, x1 ] | a ∈ HF(M0 )}. Σ-функция g из леммы 4.7 и обратная к ней g ∗ (также Σ-функция) позволяют утверждать, что существует Σ-формула ψ ′ (x0 , x1 ) с параметрами s0 , . . . , sm−1 из Code(M0 ) такая, что HF(M0 ) |= ψ ′ (x0 , x1 ) ↔ ↔ ψ(g ∗ (x0 ), x1 ), а следовательно, кодами множеств семейства S ′ будут элементы HF(Code(M0 )), чьи номера конструкций образуют вычислимое множество; данное множество обозначим через F0 . Пусть ψ (n) (x0 , x1 , . . . , xkn ) — Σ-формула с теми же параметрами, определяющая множество {hhgi | i ∈ kn i, mi : hT (n, g), mi ∈ ψ HF(M0 ) [x0 , x1 ]}, где T (n, g) — функция из введения и kn = δg. Очевидно, последовательность {ψ (n) }n∈ω может быть выбрана вычислимой. Для каждого n ∈ F0 возьмем семейство Hn всех разнозначных конечных функций h с δh ⊆ [kn ] и ρh ⊆ [m]. Для любой h ∈ Hn положим (n)

ψh

(n)

i , i∈δh = (ψ (n) )sxh(i) . По лемме 4.8 формуле ψh

эффективно сопоставля-

ется оператор перечисления Φkn −δh+m , определенный только на кортежах непустых множеств. Его можно расширить с помощью следующего правила: Φ(R1 , . . . , Rkn −δh , . . .) = ∅, если существует i 6 kn − δh, для которого Ri = ∅. Такое доопределение является эффективным. Остается воспользо-

316

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко

ваться соотношением (1) и вычислимостью множества {hn, hi | n ∈ F0 , h ∈ ∈ Hn }. 2 Описание класса вычислимых семейств подмножеств ω в допустимом множестве тесно связано с вопросом о существовании универсальной Σфункции. В частности, справедливо СЛЕДСТВИЕ 4.9. Если в наследственно конечной надстройке HF(M0 ) над моделью M0 из класса KI есть универсальная Σ-функция для класса всех частичных Σ-функций из ω в ω, то существует множество A ∈ I ∗ , для которого f 6e A для любой всюду определенной числовой функции f ∈ I ∗ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Функции будут отождествляться с их графиками. Ввиду существования универсальной Σ-функции для класса всех частичных Σ-функций из ω в ω, семейство S всех числовых Σ-функций вычислимо в HF(M0 ), а следовательно, найдется вычислимая последовательность Θn операторов перечисления такая, что S = S ∪ {∅} = {Θn (R, A) | R ∈ I ∗ } для некоторого A ∈ I ∗ . Пусть f ∈ I ∗ — всюду определенная функция. Тогда существует n0 такое, что f0 = Θn0 (R0 , A) для некоторого R0 ∈ I ∗ . Из монотонности операторов и соотношения R0 ⊆ ω заключаем, что Θn0 (R0 , A) ⊆ Θn0 (ω, A) = f0 и f0 6e A. 2 Следствие 4.9 позволяет построить еще одну серию примеров допустимых множеств, у которых отсутствует универсальная Σ-функция. До этого были известны только примеры таких допустимых множеств, построенные в [9]. ПРИМЕРЫ. Если в e-идеале I для любого a ∈ I существует тотальная e-степень b ∈ I, для которой b e a, то в HF(M0 ), M0 ∈ KI , нет универсальной Σ-функции даже для класса числовых Σ-функций. Примерами таких идеалов являются неглавные идеалы, порожденные тотальными e-степенями. Заметим, что можно получить следствие 4.9, а вместе с ним и примеры допустимых множеств без универсальной функции непосредственно (аналогично теор. 1.1), минуя описание класса вычислимых семейств.

О Σ-подмножествах натуральных чисел

317

§ 5. О соотношениях между классами вычислимых семейств (k)

Пусть Φm,n — вычислимая нумерация всех вычислимых последовательностей операторов перечисления от k аргументов, k < ω. Как правило, индекс k будет ясен из контекста, поэтому его будем опускать. Положим C+ A ⇌ {∅} ∪ {{Φm,n (A) | n ∈ ω} | m ∈ ω},

(5)

+ CA ⇌ C+ A ∪ {S \ {∅} | S ∈ CA },

(6)

∗ C+ A,I ⇌ {∅} ∪ {{Φm,n (R, A) | n ∈ ω, R ∈ I } | m ∈ ω}, [ ∗ C+ ⇌ {C+ I A,I | A ∈ I },

(7)

+ CA,I ⇌ C+ A,I ∪ {S \ {∅} | S ∈ CA,I }, [ CI ⇌ {CA,I | A ∈ I ∗ }.

(8) (9) (10)

Заметим, что класс CI совпадает с классом из условия теоремы 4.5. В этом параграфе изучаются представления классов (5)—(10) семейств подмножеств ω. Сначала опишем свойства семейств из класса (5), которые, очевидно, вычислимы в любой наследственно конечной надстройке, соответствующей подходящему e-идеалу. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. 1. Пусть Θn — вычислимая последовательность операторов перечисления. Тогда для любого множества A ⊆ ω существует B ⊆ ω такое, что B 6e A и Θn (A) = {m | hn, mi ∈ B} для всех n ∈ ω. 2. Пусть A, B ⊆ ω и B 6e A. Тогда существует вычислимая последовательность Θn операторов перечисления такая, что Θn (A) = {m | hn, mi ∈ B} для всех n ∈ ω. ТЕОРЕМА 5.2. 1. Если I = d\ e (A), то CI = CA,I = CA . 2. Степень de (A) тотальна в том и только том случае, если CA = =

C+ A. 3. Если I — неглавный идеал, то CI )

S

{CB | B ∈ I ∗ }.

318

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко 4. I порождается тотальными e-степенями (см. предл. 2.4) в том

и только том случае, если CI = C+ I . 5. CA,I = {{Φm,n (R, A) | ∃u ∈ Φl,n (A)(Du ⊆ R), R ∈ I ∗ , n ∈ ω} : l, m ∈ ω}. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Если I = d\ e (A), то CB,I ⊆ CA,I для любого B ∈ I ∗ . Таким образом, CI ⊆ CA,I . Обратное включение очевидно. Легко проверяется также соотношение CA = CA,I . 2. Рассмотрим случай, когда de (A) тотальна. Для того, чтобы доказать равенство CA = C+ A , достаточно проверить соотношение {S \ {∅} | + S ∈ C+ 6 S0 ∈ C+ A } ⊆ CA . Пусть {∅} = A . Если ∅ 6∈ S0 , то S0 \ {∅} = S0

и сразу получаем требуемое. Предположим, что ∅ ∈ S0 . Возьмем A0 такое, чтобы A ≡e A0 ⊕ A0 . Тогда найдется число m0 , для которого S0 = {Φm0 ,n (A0 ⊕ A0 ) | n ∈ ω}. Заметим, что {n | Φm0 ,n (A0 ⊕ A0 ) 6= ∅} 6e 6e (A0 ⊕ A0 ) и, следовательно, {n | Φm0 ,n (A0 ⊕ A0 ) 6= ∅} 6RE A0 . По релятивизованной теореме о вычислимо перечислимых множествах существует A0 -вычислимая функция f0 , для которой ρf0 = {n | Φm0 ,n (A0 ⊕ A0 ) 6= 6= ∅}. Тогда по [10, предлож. VII.3.7] найдется число m1 , для которого Φm1 ,n (A0 ⊕ A0 ) = Φm0 ,f0 (n) (A0 ⊕ A0 ), откуда и получаем требуемое соотношение. Рассмотрим случай, когда de (A) не тотальна. Построим семейство S1 ∈ CA \ C+ A . Ввиду вышеизложенного должны выполняться соотношения ∅ 6∈ S1 и S1 ∪{∅} ∈ C+ A . В качестве S1 можно взять семейство {{n} | n ∈ A}. Действительно, если m2 таково, что для любого B ⊆ ω   {n}, если n ∈ B, Φm2 ,n (B) =  ∅, если n 6∈ B,

+ то S1 ∪ {∅} = {Φm2 ,n (A) | n ∈ ω} ∈ C+ A и S1 ∈ CA . Если S1 ∈ CA , то суще-

ствует всюду определенная функция f1 6e A с ρf1 = A, что противоречит предложению 2.3. 3. Пусть I — неглавный e-идеал. Тогда {Φ(R) | R ∈ I ∗ } ∈ CI \ B ∈ I ∗ }, где Φ(B) = B для всех B ⊆ ω. Включение очевидно.

S

{CB |

4. Если I не порождается тотальными e-степенями, то существует

О Σ-подмножествах натуральных чисел

319

A ∈ I ∗ , для которого A e f для любой всюду определенной функции f ∈ ∈ I ∗ . Тогда S1 ∈ CI \ C+ I для семейства S1 , определенного в п. 2. Пусть теперь I порождается тотальными e-степенями и {∅} = 6 S ∈ + ∈ C+ I . Покажем, что S \ {∅} ∈ CI . Если S = S \ {∅}, то проверять нече-

го, поэтому будем считать, что ∅ ∈ S. Тогда найдется m3 такой, что S = {Φm3 ,n (R, A) | n ∈ ω, R ∈ I ∗ } для некоторого A ∈ I ∗ . В силу свойств идеала I можно считать, что A = A0 ⊕ A0 для некоторого A0 ⊆ ω. Ввиду непрерывности операторов перечисления если R ⊆ ω и Φm3 ,n (R, A) 6= ∅, то существует конечное множество R0 ⊆ R, для которого Φm3 ,n (R0 , A) 6= ∅. Положим R1 ⇌ {hn, ui | Φm3 ,n (Du , A) 6= ∅}. Тогда R1 6e A и, следовательно, R1 6RE A0 . Значит, найдется всюду определенная A0 -вычислимая функция f2 такая, что ρf2 = R1 . Вновь применяя [10, предлож. VII.3.7], найдем m4 такое, что Φm4 ,n (R, A) = Φm3 , (f2 (n))21 (D(f2 (n))22 ∪ R, A). Тогда S \ {∅} = {Φm4 ,n (R, A) | n ∈ ω, R ∈ I ∗ } (m2i , i = 1, 2, — обратные к эффективной нумерации пар). 5. Данное свойство фактически установлено при доказательстве пп. 4, 2. 2 В п. 5 теоремы 5.2 показано, что потеря эффективности позволяет упростить описание класса CI . Хотя в общем случае классы CI и S {CB | B ∈ I ∗ } различны, однако в ряде случаев удается дать эффективное описание класса CI в алгоритмически более сложных главных идеалах.

Введем одно определение. Класс C семейств подмножеств натуральных чисел назовем эффективным в I, если существует вычислимая последовательность Ψm,n операторов перечисления такая, что C \ {∅} = {{Ψm,n (A) | n ∈ ω} | m ∈ ω} для некоторого A ∈ I ∗ . СЛЕДСТВИЕ 5.3. 1. Класс CI эффективен в I в том и только b для некоторой тотальной e-степени a b. том случае, если I = a

b. 2. Если b 6e a и a — тотальная e-степень, то Cb эффективен в a

3. Если I — не более чем счетный идеал, то существует тотальная

b. e-степень a, для которой класс CI эффективен в a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пп. 1 и 2 следуют непосредственно из дока-

зательства теоремы 5.2. Пусть I — произвольный, не более чем счетный

320

А. С. Морозов, В. Г. Пузаренко

идеал, In — фиксированная нумерация элементов из I + . Положим A0 = = {hm, ni | m ∈ In , n ∈ ω}. Нетрудно проверить, что для a = de (A0 ⊕ A0 ) справедливо заключение п. 3. 2

ЛИТЕРАТУРА 1. J. Barwise, Admissible sets and structures, Berlin a.o., Springer-Verlag, 1975. 2. Ю. Л. Ершов, Определимость и вычислимость (Сиб. школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 3. H. Rogers, Theory of recursive functions and effective computability (McGrawHill Ser. High Math.), New York a.o., McGraw-Hill, 1967. 4. В. А. Руднев, О существовании неотделимой пары в рекурсивной теории допустимых множеств, Алгебра и логика, 27, N 1 (1988), 48—56. 5. В. Г. Пузаренко, О вычислимости над моделями разрешимых теорий, Алгебра и логика, 39, N 2 (2000), 170—197. 6. А. С. Морозов, Σ-множество натуральных чисел, не перечислимое с помощью натуральных чисел, Сиб. матем. ж., 41, N 6 (2000), 1404—1408. 7. В. А. Горбунов, Алгебраическая теория квазимногообразий (Сиб. школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (ИДМИ), 1999. 8. Г. Кейслер, Ч. Ч. Чен, Теория моделей, Москва, Мир, 1977. 9. В. А. Руднев, Об универсальной рекурсивной функции на допустимых множествах, Алгебра и логика, 25, N 4 (1986), 425—435. 10. R. Soare, Recursively enumerable sets and degrees, Berlin a.o., Springer-Verlag, 1987.

Поступило 22 апреля 2002 г. Адреса авторов: МОРОЗОВ

Андрей

Сергеевич,

Институт

математики

СО

РАН,

пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected] ПУЗАРЕНКО Вадим Григорьевич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]