Сборник заданий по теме: ''Математическая статистика'': Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики

В.П. МАТВЕЙКИНА

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ: «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург 2004

ББК 22.172 я73 М 33 УДК 519.22 (075.8) Рецензент кандидат технических наук, доцент И.В. Влацкая

Матвейкина В.П. М 33 Сборник заданий по теме: «Математическая статистика»: Методические указания. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 28с.

Методические указания предназначены для студентов специальности «География» и «Геологическая съемка, поиск и разведка месторождений полезных ископаемых» и других специальностей естественно-научного факультета.

ББК 22.172 я73

© В.П. Матвейкина © ГОУ ОГУ, 2004

2

Введение Методические указания предназначены для студентов ЕНФ специальностей «География» и ««Геологическая съемка, поиск и разведка месторождений полезных ископаемых» Основной для составления данного сборника заданий послужила книга «Сборник заданий по математике для экономистов»: учебное пособие /Под редакцией В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА – М, 2002. – 575 с. Часть задач полностью заимствована из этой книги, часть модифицирована составителем. Настоящий сборник состоит из двух частей. В первой части даны решения типовых задач (решение задач нулевого варианта). Во второй части приводятся задачи для самостоятельного решения, индивидуальные для каждого студента. Число вариантов 24. Сборник может быть использован как для организации индивидуальной работы студентов на практических занятиях, так и для самостоятельной работы студентов.

3

1 Пример варианта»

оформления

решений

заданий

«Нулевого

Задание 1 Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где ni - частота попадания вариант в промежуток (xi , xi +1 ]. Найти эмпирическую функцию распределения.

Таблица 1 x i < x ≤ x i +1 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18

i 1 2 3 4 5

ni 5 16 11 8 10

Решение 5

Найти объем выборки по формуле n = ∑ ni = 5+16+11+8+10=50 i =1

Найдем относительные частоты по формуле wi =

ni n

5 16 11 8 10 = 0,1; w2 = = 0,32; w3 = = 0,22; w4 = = 0,16 ; w5 = = 0,2 . 50 50 50 50 50 Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала h = 2 w3 0,22 w1 0,1 w2 0,32 w4 0,16 = = 0,05; = = 0,16; = = 0,11; = = 0,08 h 2 h 2 h 2 h 2 w5 0,2 = = 0,1. 2 h Результаты вычислений запишем в таблицу: w1 =

Таблица 2

4

i

xi < x ≤ xi +1

ni

wi

wi h

1 2 3 4

8-10 10-12 12-14 14-16

5 16 11 8

0,1 0,32 0,22 0,16

00,5 0,16 0,11 0,08

5 16-18 10 0,2 0,1 Построим на оси ОХ данных частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси ОХ и находящиеся от неё на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над интервалом (8,10) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,05; аналогично строят остальные отрезки. Искомая гистограмма изображена на рисунке 1. y 0,16

0,1

0,1 0,08 0,05 8

10

12

14

16

18

Рисунок 1

Для построения графика эмпирической функции в качестве представителя каждого интервала возьмем правый конец интервала. Вычисляем накопленные относительные частоты: w1 = 0,1 w1 + w2 = 0,1 + 0,32 = 0,42 w1 + w2 + w3 = 0,1 + 0,32 + 0,22 = 0,64 w1 + w2 + w3 + w4 = 0,1 + 0,32 + 0,22 + 0,16 = 0,8 w1 + w2 + w3 + w4 + w5 = 0,1 + 0,32 + 0,22 + 0,16 + 0,2 = 1 Результаты вычислений запишем в таблицу: Таблица 3 i

x i < x ≤ x i +1

ni

wi

1 1

2 8-10

3 5

4 0,1

Накопленные относительные частоты 5 0,1 5

2 10-12 16 Продолжение таблицы 3 1 3 4 5

2 12-14 14-16 16-18

3 11 8 10

0,32

0,42

4 0,22 0,16 0,2

5 0,64 0,8 1

Объединяя отрезками точки, координатами которых являются правые концы интервалов и накопленные относительные частоты соответствующих интервалов, получаем ломаную линию, являющуюся довольно хорошим приближением графика функции распределения непрерывной случайной величины. F(*x ) 1 0,8

0,64

0,42

0,1 8

10

12

14

16

18

x

Рисунок 2 Задание 2

Найти выборочную среднюю и несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения. 421 428 432 xi 6

32

ni Решение

44

24 k

Выборочная средняя находится по формуле

xв =

∑ x i ⋅ ni i =1

n

, где x i -

k

варианта выборки, ni - частота варианты xi , n = ∑ ni - объем выборки . Так как i =1

xi - большие числа, то для упрощения расчета перейдем к условным вариантам. u i = x i − 428 В итоге получим распределение условных вариант -7 0 4 ui 32 44 24 ni Найдем искомую выборочную среднюю: k

xв = С +

∑ u i ⋅ ni i =1

= 428 +

n

(−7) ⋅ 32 + 0 ⋅ 44 + 4 ⋅ 24 128 = 428 − = 426,72 100 100

Вычислим выборочную дисперсию:

Dв ( x ) = Dв (u ) = u

2

u i 2 ⋅ ni ∑ − [u ] = 2

n

2

 ∑ u i ⋅ ni  49 ⋅ 32 + 0 ⋅ 44 + 16 ⋅ 24 − −  = 100 n  

2

 (−7) ⋅ 32 + 0 ⋅ 44 + 4 ⋅ 24  2 −  = 19,52 − (− 1,28) = 17,8816 100   Находим несмещенную выборочную дисперсию: n 100 S2 = ⋅ DB = ⋅ 17,8816 = 18,06 . n −1 99 Задание 3

Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение а 0 = 30 является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5%- м уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема n = 10 получено выборочное среднее x = 34, а выборочное среднее отклонение равно S1 = 2 Решение Требуется проверить гипотезу о числовом значении математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной генеральной дисперсии. В этом случае в качестве критерия выбирают функцию 7

Т=

x − a0 S / n −1

где x - выборочная средняя, а 0 - математическое ожидание, S - выборочное среднее квадратичное отклонение. Случайная величина Т имеет t распределение (распределение Стьюдента) с к = n − 1 степенями свободы. Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы. H 0 : a 0 = 30 при альтернативной гипотезе H 1 : a 0 ≠ 30 . Найдем наблюдаемое значение критерия: (34 − 30 ) = 2 9 = 6 Tнабл = 2/ 9 По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α = 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы. к = n − 1 = 10 − 1 = 9 Находим критическую точку t двустор.кр (0,05;9 ) = 2,26 . Так как Tнабл > t двустор.кр , то нулевую гипотезу отвергают. Задание 4

При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин Х и У на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе Н1: σ 2x ≠ σ 2y . Таблица 4

Х xi 10 11 12 14 16

У ni 7 5 4 6 8

yi 9 11 12 14 15

mi 9 12 14 9 6

Решение Для упрощения вычислений перейдем к u i = x i − 12 v i = y i − 12 . Получим распределение условных вариант. -3 2 4 ui -2 -1 0 vi 9 5 4 6 8 ni 7 mi Найдем u и v

8

условным

-1 12

0 14

вариантам:

2 9

3 6

(−2) ⋅ 7 + (− 1) ⋅ 5 + 0 ⋅ 4 + 2 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 25 5 = = 30 30 6 (−3) ⋅ 9 − 1 ⋅ 12 + 0 ⋅ 14 + 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 6 − 3 = v= 50 50 Найдем исправленные выборочные дисперсии по формулам:  4 ⋅ 7 + 1⋅ 5 + 0 ⋅ 4 + 4 ⋅ 6 + 16 ⋅ 8  5  2  30 197 30 985 n 2 2 2 2 S x = Su = u − [u ] ⋅ = −  ⋅ = ⋅ = = 5,66 n − 1  30  6   29 36 29 174  9 ⋅ 9 + 1⋅12 + 0 ⋅14 + 4 ⋅ 9 + 9 ⋅ 6  − 3  2  50 n 2 2 2 2 S y = S v = v − [v ] ⋅ = −  ⋅ =  n −1  50  50   49 50 365,64 = 3.66 − (0.06)2 ⋅ = = 3,731. 49 98 S x2 5,66 2 2 Учитывая, что S x > S y определим Fнабл = 2 = = 1,514. S y 3,73

u=

(

)

(

)

(

)

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид σ 2 ( x ) ≠ σ 2 ( y ) поэтому критическая область двусторонняя. По таблице критических точек F Фишераα 0,1 Снедекора по уровню значимости = = 0,05 и числам степеней свободы 2 2 k1 = n − 1 = 30 − 1 = 29 и k 2 = m − 1 = 50 − 1 = 49 . Находим критическую точку Fкр= 1,695 т.к. Fнабл
Найти выборочное уравнение линейной регрессии У на Х на основании корреляционной таблицы. Таблица 5 У 16 26 36 46 56

Х 20 4

25 6 8

30 10 32 4

35

40

3 12 1

9 6 5

Решение Для упрощения расчетов введем условные варианты. x − 30 y − 36 ui = i vi = i 5 10 9

и составим преобразованную корреляционную вариантами, в которую внесем значения nu и nv:

таблицу

с

условными

Таблица 6 v

и -2 4

-2 -1 0 1 2 nu

-1 6 8

4

0 10 32 4

14

46

1

2

3 12 1 16

9 6 5 20

nv 10 18 44 22 6 п=100

Найдем u и v : u = (∑ nu ⋅ u ) / n = (4(− 2 ) + 14(− 1) + 46 ⋅ 0 + 16 ⋅ 1 + 20 ⋅ 2 ) / 100 = 0,34 ,

v = (∑ n v ⋅ v ) / n = (10(− 2 ) + 18(− 1) + 44 ⋅ 0 + 22 ⋅ 1 + 6 ⋅ 2 ) / 100 = −0,04.

Найдем вспомогательные величины u 2 и v 2 : u 2 = ∑ nu ⋅ u 2 / n = (4 ⋅ 4 + 14 ⋅ 1 + 46 ⋅ 0 + 16 ⋅ 1 + 20 ⋅ 4 ) / 100 = 1,26, v2

( = (∑ n

v

⋅ v2

) )/ n = (10 ⋅ 4 + 18 ⋅ 1 + 44 ⋅ 0 + 22 ⋅ 1 + 6 ⋅ 4) / 100 = 1,04.

Найдем σ u и σ v :

σ u = u 2 − (u )2 = 1,26 − (0,34 )2 = 1,07 σ v = v 2 − (v )2 = 1,04 − (0,04 )2 = 1,02 Найдем ∑ nuv ⋅ u ⋅ v , для чего составим новую таблицу. В новой таблице внесем посчитанные значения nuv · и в правый верхний угол заполненной клетки и nuv ·v в левый нижний угол. Например, в правых углах клеток первой строки записаны произведения: 4 ⋅ (− 2 ) = −8; 6 ⋅ (− 1) = −6. Складываем все числа помещенные в правых верхних углах клеток одной строки и их сумму помещаем в клетку этой же строки «столбца U». Например, для первой строки и= -8+(-6) = -14. Наконец, умножаем варианты v на U и полученное произведение записываем в соответствующую клетку «столбца v·U». Например, в первой строке таблицы v = -2; U = -14, следовательно, v ⋅U = (− 2 ) ⋅ (− 14 ) = 28 . Сложив все числа «столбца v·U» получаем сумму ∑ v ⋅ U , которая равна сумме

∑ nuv ⋅ u ⋅ v .

v

Например

∑ nuv ⋅ u ⋅ v = 82 . 10

в

нашей

таблице

∑ v ⋅ U = 82 , v

следовательно

Таблица 7 u 1

v -2 -2

-8

4

-1

-1 -8 -12 -8

6 8

0

0 -6 -8 -10 0

1

2

4

10 32 4

2

U=∑nuv⋅u

v·U

-14

28

-8

8

21

0

24

24

11

22

0 0 0 0 12 2

3

3

0

12

12 6 1

1

10

9 6 5

18 12 10

V=∑nuvv

-8

-20

-6

14

16

∑v ⋅ U = 82

u·V

16

20

0

14

32

∑ u ⋅ V = 82 контроль и

v

Для контроля аналогичные вычисления производим по столбцам: произведения записываем в левый нижний угол клетки, содержащей значение частоты; все числа, помещенные в левых нижних углах одного столбца, складываем и их сумму помещаем в строку V; наконец, умножаем каждую варианту U на V и результат записываем в клетках последней строки. Сложив все числа последней строки, получаем сумму ∑ и ⋅ V = 82 , которая также равна и

искомой сумме ∑ пuv uv = 82 . Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции: ∑ nuv uv − nu v = 82 − 100 ⋅ 0,34(− 0,04) = 0,76 . rB = 100 ⋅ 1,07 ⋅ 1,02 nσ n σ v Осуществим переход к исходным вариантам: x = h1 ⋅ u + с1 = 5 ⋅ 0,34 + 30 = 31,70, y = h2 ⋅ v + с 2 = 10 ⋅ (− 0,04 ) + 36 = 35,60. Найдем σ x и σ y :

σ x = h1 ⋅ σ и = 5 ⋅ 1,07 = 5,35 σ y = h2 σ v = 10 ⋅ 1,02 = 10,2 . Подставив найденные величины в формулу: y x − y = rB

σy σx

(x − x ) 11

получим искомое уравнение линии регрессии У на Х: 10,2 (x − 31,70 ) y x − 35,60 = 0,76 5,35 или у x = 1,45 x − 10,36 Задание 6

При уровне значимости α=0,05 методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о влиянии фактора на качество объекта на основании 4х измерений для трех уровней фактора. Таблица 8 Номер измерения 1 2 3 4

Ф1

Ф2

Ф3

38 36 35 31

20 24 26 30

21 22 31 34

Решение Найдем групповые средние для каждого уровня фактора и результаты записываем в последнюю строку таблицы: Таблица 9 Номер измерения 1 2 3 4 х гpj

Ф1

Ф2

Ф3

38 36 35 31 35

20 24 26 30 25

21 22 31 34 27

35 + 25 + 27 = 29 . 3 Для упрощения расчета вычтем из каждого наблюдаемого значения расчета xij общую среднюю х = 29 , т.е. перейдем к уменьшенным величинам: y ij = xij − x . Находим х : х =

12

Например y11 = x11 − 29 = 38 − 29 = 9 y 21 = x 21 − 29 = 36 − 29 = 7 и т.д. Составим таблицу: Таблица 10 Номер испытания

Ф1 yi1 9 7 6 2

1 2 3 4

Q j = ∑ yij2 Tj =

∑

Ф2 yi21 81 49 36 4 170

24 576

y ij

Tj2

yi2 -9 -5 -3 1

Ф3 yi22 81 25 9 1 116

-16 256

yi3 -8 -7 2 5 -8 64

yi23 64 49 4 25 142

Итоговый столбик

∑

Q

j

∑Tj ∑

T

2 j

= 428

=0 = 896

Используя итоговый столбик таблицы, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений, учитывая, что уровней фактора р=3, число испытаний на каждом уровне q=4. S общ

2

q  = ∑ Q j −  ∑ T j  / ( pq ) = 428 − 0 = 428 j =1  j =1  p

2

 p   p  896 S факт =  ∑ T j 2  / q −  ∑ T j  / pq = − 0 = 224 4  j =1   j =1  Найдем остаточную сумму квадратов отклонений: S ост = S общ − S факт = 428 − 224 = 204 . Найдем факторную дисперсию: 2 S факт = S факт / ( p − 1) = 224 / 2 = 112 . Найдем остаточную дисперсию: 2 S ост = S ост / p(q − 1) = 204 / 9 = 22,67 . Сравним факторную и остаточную дисперсии с помощью критерия Фишера-Снедекора. Для этого сначала найдем наблюдаемое значение критерия: 2 S фак 112 Fнабл = 2 = = 4,94 . 22 , 67 S ост Учитывая, что число степеней свободны числителя, k1 = 2 а знаменателя k 2 = 9 и что уровень значимости α = 0,05 по таблице приложения 2 находим критическую точку: Fкр (0,05; 2; 9 ) = 4,26 Так как Fнабл > Fкр , то нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. 13

Другими словами, групповые средние «в целом» различаются значимо.

14

2 Варианты заданий Задание 1

Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где mi - частота попадания вариант в промежуток (xi , xi +1 ]. Найти эмпирическую функцию распределения Таблица 11 Вариант

1

2

3

4

5

6

i 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

x i < Χ ≤ x i +1 2-4 4–6 6–8 8 – 10 10 – 12 3–7 7 – 11 11 –15 15 – 19 19 – 23 -6 – 2 -2 –2 2–6 6 – 10 10 – 14 4–8 8 – 12 12 – 16 16 – 20 20 – 24 7–9 9 – 11 11 –13 13 – 15 15 – 17 5–8 8 – 11 11 – 14 14 – 17 17 – 20

mi 5 8 16 12 9 4 6 9 10 11 2 8 14 6 10 5 7 10 12 6 5 4 8 12 11 5 7 4 1 3

Вариант

13

14

15

16

17

18

i 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

x i < Χ ≤ x i +1 5 – 10 10 –15 15 – 20 20 –25 25 - 30 3–5 5–7 7–9 9 – 11 11 – 13 4–9 9 – 14 14 – 19 19 – 24 24 – 29 10 – 12 12 – 14 14 – 16 16 – 18 18 - 20 3–7 7 – 11 11 –15 15 – 19 19 – 23 5–7 7–9 9 – 11 11 – 13 13 –15

mi 2 14 11 9 4 1 6 14 7 2 5 9 13 6 7 4 12 8 8 18 6 8 10 12 4 4 14 12 8 2

15

Продолжение таблицы 11 Вариант

xi < Χ ≤ xi +1 4–6 6–8 8 – 10 10 – 12 12 –14 1–5 5–9 9 – 13 13 – 17 17 - 21 10 – 14 14 – 18 18 – 22 22 – 26 26 – 30 20 – 22 22 – 24 24 – 26 26 – 28 28 – 30 2–6 6 – 10 10 - 14 14 – 18 18 -22 14 – 16 16 – 18 18 – 20 20 – 22 22 - 24

i 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

7

8

9

10

11

12

mi 3 9 7 22 9 4 5 9 10 2 3 16 8 7 6 4 6 10 4 6 5 3 18 9 5 3 12 10 15 10

Вариант

19

20

21

22

23

24

i 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

xi < Χ ≤ xi +1 11 – 14 14 – 17 17 – 20 20 – 23 23 – 26 2 –5 5–8 8 – 11 11 – 14 14 –17 10 – 14 14 – 18 18 – 22 22 – 26 26 – 30 5 – 10 10 –15 15 – 20 20 –25 25 - 30 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 - 60 15 – 30 30 – 45 45 – 60 60 – 75 75 – 90

mi 3 8 14 15 10 6 24 13 1 6 5 14 26 9 6 3 9 18 14 16 12 17 46 12 13 8 16 12 4 10

Задание 2 Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки

Таблица 12 Вариант 1 2

16

xi ni xi ni

Распределение -6 -2 3 12 14 16 -10 -5 -1 25 44 16

6 8 4 15

Вариант 13 14

xi ni xi ni

Распределение -6 -2 2 11 13 14 14 15 18 15 12 11

5 12 20 12

Продолжение таблицы 12 Вариант 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12

xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni

Распределение 4 8 16 24 31 14 28 27 430 450 500 20 18 12 0,01 0,04 0,08 0,14 19 28 31 22 2 6 8 9 20 13 12 5 10 14 16 22 13 24 14 9 3 6 8 14 8 14 10 18 0,2 0,3 0,5 0,6 16 11 10 13 3150

3170

3200

14 -4 16 47 24

6 -1 8 50 16

20 2 14 52 23

Вариант 15

16 17 18 19 20 21 22

8 12 56 17

23 24

xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni xi ni

Распределение 381 385 389 54 22 24 -3 1 4 2 3 1 16 20 22 14 26 17 38 42 46 52 36 12 15 26 31 426 318 256 4 8 10 12 24 38 30 32 37 41 28 31

0,1 16 0,02 32 10 14

0,3 21 0,05 29 16 18

8 4 30 3

14 26

0,5 13 0,08 39 26 18

Задание 3

Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение а 0 является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5% -м уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема n = 10 получено выборочное среднее х , а выборочное среднее квадратичное отклонение равно S1 . Таблица 13 Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8

а0 10 20 20 40 58 60 70 70

х 12 22 18 44 56 64 66 72

S1 1 4 2 3 4 6 8 5

Вариант 13 14 15 16 17 18 19 20

а0 86 80 60 100 80 80 50 60

х 84 78 66 96 78 84 48 54

S1 5 4 5 6 4 3 2 2 17

Продолжение таблицы 13 Вариант 9 10 11 12

а0 50 30 50 90

S1 2 4 3 6

х 48 34 52 88

Вариант 21 22 23 24

а0 90 80 70 70

S1 5 4 5 6

х 96 86 68 74

Задание 4

При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин Х и Y на основе выборочных данных при альтернативной гипотезе Н 1 : σ х2 ≠ σ 2у . Таблица 14 Х

Вариант

1

2

3

4

5

18

Y

Х

Вариант

xi 142 145 146 148

ni 3 1 2 4

yi 140 146 147 151

mi 5 3 2 2

37 38 40 41 42 39 43 45 47 51

2 1 4 3 6 4 2 3 4 2

38 39 40 41 43 75 80 84 91 94

4 3 2 2 3 4 2 3 4 2

3,5 3,7 3,9 4,0 4,1 9 10 11 12 14

1 3 5 4 4 4 5 3 2 1

3,6 3,7 3,8 4,4 4,2 9 10 11 13 14

3 5 2 1 4 5 6 4 8 3

13

14

15

16

17

Y

xi 51 53 55 56 59 12 15 18 19 23 -8 -5 -3 1 3 4 42 45 46 50

ni 6 5 4 3 2 2 5 3 1 4 3 2 4 5 4 2 15 17 12 16

yi 15 18 20 23 27 44 46 47 50 52 10 14 15 18 21 25 84 87 92 96

mi 7 5 4 3 6 4 5 8 6 7 4 10 9 7 4 6 3 2 4 1

30 32 33 34 36

4 5 8 1 2

30 31 32 34 35

6 4 3 5 2

Продолжение таблицы 14 Вариант

6

7

8

9

10

11

12

Х

Y

xi 6,1 6,5 6,6 7,0 7,4 20 22 23 24 26 0,2 0,4 0,8 1,0 1,2 31 33 34 38 42 15 17 20 21 25 27 29 32 33

ni 2 3 1 4 2 3 4 2 2 4 6 4 2 5 3 6 2 1 3 2 1 3 2 4 6 3 9 6 2

yi 5,8 6,0 6,2 6,3 6,8 18 19 20 22 23 0,4 0,5 0,9 1,2 1,4 85 88 95 97 100 20 22 23 25 26 28 29 30 32

mi 6 4 5 2 3 6 3 4 2 5 3 5 6 6 6 1 3 4 2 5 4 2 2 3 1 8 9 4 9

82 83 85 90

2 1 3 4

-10 -9 -6 -3

14 18 12 6

Вариант

18

19

20

21

22

23

24

X xi 42 44 48 50 53 31 35 40 42 44 61 62 64 67 68 12 16 19 21 25 44 45 48 52 54 16 18 21 24 25 71 73 75 79 80

Y ni 4 8 3 5 10 7 3 4 2 4 5 4 6 2 3 10 12 14 9 5 5 2 3 4 6 12 10 14 8 6 4 5 8 10 3

yi 44 45 46 51 55 29 32 33 35 39 60 63 64 68 70 14 15 20 21 24 43 46 48 50 53 18 25 29 36 40 68 69 70 74 78

mi 16 12 11 6 5 8 9 12 10 11 4 3 2 6 5 7 6 8 10 9 3 3 4 4 6 3 1 4 6 6 10 14 13 12 11

Задание 5

Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х на основании корреляционной таблицы. 19

Таблица 15

Х

1

2

Y 15 6 4 25 6 8 35 45 55 Х 20 25 30 Y 10 4 8 20 2 4 30 10 40 4 Х

3

Y 14 24 34 44 Х

4

Y 100 120 140 160 Х

5

20

10 15 20

Y 105 115 125 135 145

13 5 6 5

35 40 45 4 2 8 10

14

4

5

10 15

20 25 30

4

6 8

8 10 32 4

4 6

12

15

6

15 20 25

30 35 40

2 4

7

1 2 5 3

20 25 30 4 2 3 1

1 4 2 3

2 10

X

25 30 35

21 2 4 12 1

10 1

5 2

3 2 3

16

35 40 45 2 3 1

1 8 3

8

5 3 2 2

Корреляционная таблица

Вариант

Вариант

Корреляционная таблица

17

10 15 Y 10 2 20 4 30 3 40 3 5 50 4 Х 5 10 Y 30 6 40 4 50 4 60 5 3 70 Х 10 15 Y 30 4 50 2 70 3 90 10 110 2 4 Х 10 15 Y 100 2 4 110 3 120 3 130 2 140 4 Х 5 10 Y 15 10 25 10 35 6 45 5 55 5 1

20

25

30

4 7

6

5

4 2 2 15

20

5

10

25

30

35 5

7

2 1

5

6

4

10

20

25

30 5 5

2 20

35 40

6 5

8 5

8

4

3 10

25

30

35 40

8

4 2 5

10

5 4 7

2 2 1

6 4

5

4

10 4

7 4

1 6

10 8

4 5 3

35 40

4 6

10 6 1

15

20

4 2 5

8

25

30 35 4

5 4 6

5 5 2 3

3 4 7

2 4

Продолжение таблицы 15

Х 6

7

8

9

Y 15 6 4 25 6 8 35 45 55 Х 5 10 15 Y 30 6 40 4 5 50 4 3 60 5 3 70 4 Х 12 17 22 Y 105 4 115 2 3 1 125 3 5 135 145 1 2 Х 10 15 20 Y 14 4 24 2 1 34 4 2 44 3 2 10 54 1 3 Х

10

10 15 20

10 15 20

Y 20 1 40 2 60 80 10 100 2

5 3 4

18 5 6 5

20 25 30 35 4 7

2 1

5

5 19 6

10 10 4

2 2

8

27 32 37 3 10 1 8

2

20 4 1

25 30 35 2 3 1

1 8 3

9

5 3 2 1

21

4 3 4

6 6 8

4 5 5 10

Y 10 30 50 70 90 Х Y 20 40 60 80 100 Х Y 80 100 120 140 160 Х Y 10 20 30 40 50 Х

25 30 35 7

4 5 2

Х

25 30 35

20 2 5 12 1

Корреляционная таблица

Вариант

Вариант

Корреляционная таблица

22

Y 20 30 40 50 60

10 15 2

4 4 2

20

25

30

35

8

4 5

10 1

10 6 6

5

3

7 5 4 5

10 12

14

16

18

20 22

2

6

5 5 10

1

4 7

3 2

4 4

2 3

3

8

10 6

4 2 5

20

25

30

4 5

7

4

5

10

5

1 2

3

15 6 4

10 10

4

2 8

10 15

20

25

1

5 2 3

10 2

2 4

30 40

50

6 4 5

4 3

4

4 5 3

60

30 35

4

5 10

40

4 5 6

4

4 5 8

70

80

90

2 1

5 6

2 2

8

4 5 3

4 6 5 4

5 3 2 7 6

5

7 10 4

21

10

Продолжение таблицы 15

Х

5

10 15

Y 15 6 4 25 4 2 8 35 45 5 3 8 55 9 5 Х 5 10 15 Y 5 10 3 15 4 10 25 3 4 35 45 2 5

11

12

Х

20 25 30 2 1 10

2 5 7 6

4

23 1 7 1

20 25 30 35 5 2 6 4

7 10

Корреляционная таблица

Вариант

Вариант

Корреляционная таблица

1 8

4 24 6 5

1

24 28 Y 10 6 20 4 30 4 40 5 3 50 Х 5 10 Y 5 10 15 4 25 3 4 35 45 2 5

32

36

40

44

48 5

7

2 1

4 5 3

5

6

4

10

10 4

15

20

25

30

35

3 10

5

4

2

1 8

6 4

7 10

2 2

8

1

Задание 6

При уровне значимости α = 0,05 методом дисперсионного анализа проверить нулевую гипотезу о влиянии фактора на качество объекта на основании пяти измерений для трех уровней фактора. Таблица 16 Вариант

1

2

3

22

Номер измерения 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Ф1

Ф2

Ф3

24 16 12 5 6 10 8 7 18 6 16 10 20 25 24

18 14 10 4 16 14 5 14 4 12 9 8 9 7 5

22 15 16 12 8 12 9 10 7 8 14 16 12 16 14

Вариант

13

14

15

Номер измерения 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Ф1

Ф2

Ф3

18 28 12 14 32 47 46 45 41 43 16 20 31 56 22

24 36 28 40 16 56 55 54 50 52 28 12 40 24 34

36 12 22 45 40 64 60 58 62 61 46 43 24 14 6

6 5

Продолжение таблицы 16 Вариант

4

5

6

7

8

9

10

11

Номер измерения 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Ф1

Ф2

Ф3

34 36 26 25 30 48 38 30 40 36 12 16 15 17 14 44 45 48 45 40 16 12 10 11 10 9 11 10 12 9 54 50 43 47 36 28 24 26 27 25

38 30 34 36 38 40 42 37 33 39 10 8 7 5 9 40 36 32 35 30 18 20 22 25 24 4 6 5 6 5 32 46 28 37 28 36 34 30 29 31

28 24 22 20 23 34 38 44 41 45 20 26 28 24 27 38 28 30 32 26 26 15 28 30 26 12 18 24 20 23 16 36 30 25 17 12 10 14 18 20

Вариант

16

17

18

19

20

21

22

23

Номер измерения 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Ф1

Ф2

Ф3

8 12 11 10 14 21 45 18 16 40 12 10 11 10 16 8 16 40 12 32 124 136 120 133 125 17 40 16 36 30 45 44 40 41 39 12 16 14 15 13

18 23 22 20 21 35 30 38 18 34 34 32 30 33 31 15 24 42 25 30 64 54 44 56 59 26 16 17 30 12 36 30 31 38 35 24 20 34 26 28

34 36 32 30 33 69 54 40 12 36 18 21 22 20 28 24 34 18 9 14 34 30 28 33 31 45 12 40 17 44 44 28 15 40 32 20 18 14 20 19 23

Продолжение таблицы 16 Вариант

12

24

Номер измерения 1 2 3 4 5

Ф1

Ф2

Ф3

26 45 44 27 42

34 30 46 17 36

68 46 28 34 30

Вариант

24

Номер измерения 1 2 3 4 5

Ф1

Ф2

Ф3

24 28 40 56 24

32 42 30 18 24

30 16 9 16 10

Список использованных источников 1 Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2002. – 476 с. 2 Гурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002. – 405 с. 3 «Сборник заданий по математике для экономистов»: учебное пособие /Под редакцией В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА – М, 2002. – 575 с. 4 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в задачах и упражнениях. Часть 2. – М..: Высшая школа, 1980. – 365 с. 5 Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.– 400 с.

25

Приложение А (справочное) Таблица А1 - Критические точки распределения Стьюдента Число степеней свободы k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

26

Уровень значимости α (двусторонняя критическая область) 0,10 6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,64 0,05

0,05 12,3 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 0,025

0,02 0,01 0,002 31,82 63,7 318,3 6,97 9,92 22,33 4,54 5,84 10,22 3,75 4,60 7,17 3,37 4,03 5,89 3,14 3,71 5,21 3,00 3,50 4,79 2,90 3,36 4,50 2,82 3,25 4,30 2,76 3,17 4,14 2,72 3,11 4,03 2,68 3,05 3,93 2,65 3,01 3,85 2,62 2,98 3,79 2,60 2,95 3,73 2,58 2,92 3,69 2,57 2,90 3,65 2,55 2,88 3,61 2,54 2,86 3,58 2,53 2,85 3,55 2,52 2,83 3,53 2,51 2,82 3,51 2,50 2,81 3,49 2,49 2,80 3,47 2,49 2,79 3,45 2,48 2,78 3,44 2,47 2,77 3,42 2,46 2,76 3,40 2,46 2,76 3,40 2,46 2,75 3,39 2,42 2,70 3,31 2,39 2,66 3,23 2,36 2,62 3,17 2,33 2,58 3,09 0,01 0,005 0,001 Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

0,001 637 31,6 12,9 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3,96 3,92 3,88 3,85 3,82 3,79 3,77 3,74 3,72 3,71 3,69 3,66 3,66 3,65 3,55 3,46 3,37 3,29 0,0005

Приложение Б (справочное) Критические точки распределения F Фишера – Снедекора  k − число степеней свободы большей степени, Таблица Б.1 -  1  k 2 − число степеней свободы меньшей степени

  

Уровень значимости α = 0,01 к1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4052 4999 5403 5625 5764 5889 5928 5981 6022 6056 6082 6106 98,4 99,0 99,1 99,2 99,3 99,3 99,3 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 9 1 7 5 0 3 4 6 8 0 1 2 34,1 30,8 29,4 28,7 28,2 27,9 27,6 27,4 27,3 27,2 27,1 27,0 2 1 6 1 4 1 7 9 4 3 3 5 21,2 18,0 16,6 15,9 15,5 15,2 14,9 14,8 14,6 14,5 14,4 14,3 0 0 9 8 2 1 8 0 6 4 5 7 16,2 13,2 12,0 11,3 10,9 10,6 10,4 10,2 10,1 10,0 9,96 9,89 6 7 6 9 7 7 5 7 5 5 13,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 4 2 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 7,00 6,84 6,71 6,62 6,54 6,47 5 11,2 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,19 6,03 5,91 5,82 5,74 5,67 6 10,5 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,62 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 6 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,21 5,06 4,95 4,85 4,78 4,71 4 9,86 7,20 6,22 5,67 5,32 5,07 4,88 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,65 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 8,86 6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 8,68 6,36 5,42 4089 1,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,61 3,55 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,69 3,52 3,45

27

Таблица Б.2 - Уровень значимости α = 0,05

к1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

28

1

2

161 18,5 1 10,1 3 7,71 6,61 5,99 5,99 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45

200 19,0 0 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,88 3,80 3,74 3,68 3,63 3,59

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

216 225 19,1 19,2 6 5 9,28 9,12

230 19,3 0 9,01

234 19,3 3 8,94

237 19,3 6 8,88

239 19,3 7 8,84

241 19,3 8 8,81

242 19,3 9 8,78

243 19,4 0 8,76

244 19,4 1 8,74

6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20

6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3, 02 2,96 2,90 2,85 2,81

6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70

6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 2,92 2,84 2,77 2,70 2,66 2,62

6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55

6,00 4,78 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,72 2,65 2,59 2,54 2,50

5,96 4,74 4,06 3,63 3,34 3,13 2,97 2,86 2,76 2,67 2,60 2,55 2,49 2,45

5,93 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,63 2,56 2,51 2,45 2,41

5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38

6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96