Операционное исчисление. Методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Рецензия На методическое пособие по операционному исчислению для студентов 2 курса специальности «ЭСПП», выполненную к.ф-м.н., и.о.доц. Улымжиевым М.Д., к.фм.н., и.о.доц. Васильева Е.Г., ст. преп. Инхеевой Л.И.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методическое пособие

Составители: М.Д.Улымжиев, Е.Г.Васильева, Л.И.Инхеева

В работе изложен кратко теоретический материал по операционному исчислению: понятия функций-оригиналов и функций-изображений, свойства изображений, нахождение оригиналов функций-изображений и наоборот, решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом. Приведены примеры решения задач по всем вышеперечисленным темам, варианты заданий для самостоятельной работы. Содержание работы соответствует ГОСВО ЕН. Данная работа удовлетворяет всем требованиям к методическим пособиям и рекомендуется к изданию в РИО ВСГТУ.

Рецензент:

к.ф-м.н., доц. Дашиева С.С.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ – 2004 3

4

п.1. Основные понятия

В работе изложен кратко теоретический материал по операционному исчислению: понятия функций-оригиналов и функций-изображений, свойства изображений, нахождение оригиналов функций-изображений и наоборот, решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом. Приведены примеры решения задач по всем вышеперечисленным темам, варианты заданий для самостоятельной работы.

Ключевые слова: операционное исчисление, функция-оригинал, функция-изображение, свойства изображений, операционные методы, нахождение оригиналов, дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений.

Определение. Функцией-оригиналом называется любая комплексная функция f (t ) действительной переменной t, определенная на всей числовой прямой и удовлетворяющая условиям: 1. f (t ) = 0 при t<0, 2. существуют постоянные М>0, S0∈R, такие, что для всех t f (t ) < Me S0t ,

3. на любом конечном отрезке [0, T] функция f (t ) может иметь лишь конечное число точек разрыва, причем только первого рода. Замечание. Число S0 называется показателем роста f (t ) . Для ограниченных оригиналов можно принять S0=0. Простейшей функцией-оригиналом является функция Хевисайда: 1, t ≥ 0 η (t ) =  0, t < 0. Очевидно, что показатель роста функции Хевисайда равен нулю. Определение. Изображением функции-оригинала f (t ) называют функцию комплексного переменного p = s + ib , определяемую равенством: +∞

f ( p) =

∫ f (t )e

− pt

dt.

(1)

0

Теорема. Для любого оригинала f (t ) изображение f ( p) определено в полуплоскости Re p > S 0 , где S0 – 5

6

показатель роста f (t ) , и является в этой полуплоскости аналитической функцией. Замечание. Функция f ( p) определенная равенством (1), называется также преобразованием Лапласа функции f (t ) . Если функция f ( p) является изображением оригинала f (t ) , то пишут:

•

f ' (t ) ← p f ( p ) − f (0) •

•

f ' ' (t ) ← p 2 f ( p ) − pf (0) − f ' (0) •

•

f ' ' ' (t ) ← p 3 f ( p) − p 2 f (0) − pf ' (0) − f ' ' (0) •

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

•

f ( n ) (t ) ← p n f ( p) − p n −1 f (0) − p n −1 f ' (0) − Κ − f ( n −1) (0)

•

f (t ) ← f ( p ) .

•

•

(Читается: «Функция f (t ) является оригиналом функции f ( p) », или «Функция f ( p) является изображением функции f (t ) ».). п.2 Свойства преобразования Лапласа

линейности. Для 1. Свойство комплексных постоянных α и β

любых

•

α f (t ) + β q(t ) ←α f ( p) + β f ( p ). •

2. Теорема подобия. Для любой постоянной α>0 • 1  p f (α t ) ← f   , • α α  3. Дифференцирование оригинала. Если функция f (t ) непрерывна при t>0 и ее производные f ' (t ), f ' ' (t ),..., f ( n ) (t ) являются оригиналами, то

(2) 4. Дифференцирование изображения •

(−1) n t n f (t ) ← f ( n ) ( p ) •

5. Интегрирование оригинала t • f ( p) f t dt ( ) ← ∫0 • p 6. Интегрирование изображения. Если интеграл ∞

∫ f ( p)dp

сходится,

изображением функции

он

служит

Для

любого

f (t ) : t

∞

f (t ) • ← f ( p )dp t • ∫0 7. Теорема запаздывания. положительного τ •

f (t − τ ) ← e − pτ f ( p ) •

7

то

0

8

8. Теорема смещения. Для любого комплексного α

п. 4. Нахождение изображений функцийоригиналов

•

eαt f (t ) ← f ( p − α ) •

9. Теорема умножения t

∫

•

f (t ) q (t − τ ) d τ ← f ( p ) q ( p ) •

0

При нахождении изображений функций-оригиналов нужно использовать таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа. В качестве примера рассмотрим нахождение изображений

7t 2 + 5 cos 2t − t 3 e t ,

функций

sin 2 2t , cos 3 t. п. 3 Таблица изображений некоторых оригиналов •

1

1← •

1 p

6

3

n! p n +1 • 1 eαt ← • p −α

4

p cos ω t ← 2 • p +ω2

tn ←

•

ω

•

p2 + ω 2

sin ω t ←

•

( p −α) n + 1

8

ω ( p − α)2 + ω 2 • p −α e αt cos ωt ← • ( p −α) 2 + ω 2

9

p ch ω t ← 2 • p −ω 2

•

•

10

9

•

ω

•

p2 − ω 2

sh ω t ←

•

2!

•

3

7 ⋅ t 2 + 5 ⋅ cos 2t − t 3e t ← 7 ⋅

eαt sin ωt ←

7

•

•

5

n! •

•

2

•

t n e αt ←

1. Для нахождения изображения функции 3 t 7t + 5 cos 2t − t e используем формулы 2, 4, 6 из таблицы изображений: 2

=

14 p

3

+

5p 2

p +4

−

6 ( p − 1) 4

p

+ 5⋅

p 2

−

3!

p + 4 ( p − 1) 4

=

.

2. Для нахождения изображения функции sin 2 2t используем формулу понижения степени: • 1 1 p 1 1 1 1 1 = sin t = − cos 2t = ⋅ 1 − ⋅ cos 2t ← ⋅ − ⋅ 2 • 2 p 2 p +4 2 2 2 2 p 1 . = − 2p 2p2 + 8 2

10

3. Для нахождения изображения функции воспользуемся формулой Эйлера: cos t =

e it + e − it 2

cos 3 t =

(e

it

)

− it 3

e 3it + 3e it + 3e −it − e −3it = 8 3 e it + e −it + ⋅ = 4 2 =

• 1 1 3 3 p 3p p p cos 3t + cos t ← . + = + 2 2 2 • 4 p +9 4 4 4 p + 1 4 p + 36 4 p 2 + 4

7 7 4! • 7 7 4 = ⋅ 5 →. ⋅ t 4 = t . 5 • 4! p 4! 24 p

2.

3.

+e 8

1 e 3it + e −3it = 4 2 =

cos 3 t

5

( p + 1)

4

=

• 5 5 3! 5 3! ⋅ = ⋅ → . t 3 e −t . 4 4 • 3! ( p + 1) 6 ( p − (−1) ) 6

4. Заметим, что дискриминант знаменателя дроби 2p + 3 отрицательный. Поэтому для нахождения 2 p + p+3 оригинала выделяем полный квадрат знаменателя дроби:

1 1 1 1 p2 + p + 3 = p2 + 2 ⋅ p + 3 = p2 + 2 ⋅ p + − + 3 = 2 2 4 4 2

п.5. Нахождение оригинала по изображению.

Оригинал восстанавливается по изображению с помощью таблицы и свойств преобразования Лапласа. Пример. Найдем оригиналы следующих изображений: 7 7 5 2p + 3 p p , 2 , . , 5, , 2 4 2 p p ( p + 1) p + p + 3 p − 5 p + 6 ( p − 1) ( p 2 + 1)

1.

7 1 • = 7 ⋅ → .7 ⋅ 1 = 7. p p •

1  11  = p +  + 2 4  2p + 3 2

p + p+3

=

11

=

2p + 3

1  2 p +  − 1 + 3 2  2

2

1 11  p+  + 2 4 

1 11  p+  + 2 4 

=

12

=

1 1  2 p + −  + 3 2 2  2

1 11  p+  + 2 4 

=

p+

= 2⋅

1 2 2

1 11  p+  + 2 4  1 p+ 2 = 2⋅

+ 2⋅

2

1 2

1 11  p+  + 2 4 

 11    1    p −  −   +   2  2    

+ 2⋅

2

cos

оригинал

p 2 − 5 p + 6 = ( p − 2)( p − 3)

p = Ap − 3 A + Bp − 2 B •

2

1 − t e 2

sin

2

→ •

p1 1 = A + B p 0 0 = −3 A − 2 B

⇒ A = 1− B 0 = −3(1 − B) − 2 B

0 = −3 + 3B − 2 B ⇒ B = 3, A = 1 − 3 = −2

11 t. 2

5. Заметим, что знаменатель дроби разлагается на множители. Для нахождения оригиналов дробей такого вида необходимо: • разложить знаменатель дроби на множители; • представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами; • найти неопределенные коэффициенты; • найти по таблице оригиналы простейших дробей. 13

найдем

p = A( p − 3) + B( p − 2)

11 2

11 4 t+ 2 11

правило,

p A \ p −3 B \ p − 2 = + ( p − 2)( p − 3) p − 2 p − 3

+

11   11   1    p −  −   +   2 2     

1 − t → 2e 2 • •

⋅

2

=

Используя это p . функции 2 p − 5p + 6

p 2 3 • =− + →− 2e 2t + 3e 3t ( p − 2)( p − 3) p−2 p−3 • p

( p − 2 )2 (

A \ ( p −1)( p +1) B \ p +1 Cp + D \ ( p −1) = + + p −1 p2 +1 ( p − 1)2 p2 +1 2

2

2

)

(

) (

)

p = A( p − 1) p 2 + 1 + B p 2 + 1 + (Cp + D )( p − 1)

14

2

p = Ap 3 − Ap 2 + Ap − A + Bp 2 + B + + Cp 3 − 2Cp 2 + Cp + Dp 2 − 2 Dp + D 0 = A+C p 2 p 0 = − A + B − 2C + D p1 1 = A + C − 2D p0 0 = −A + B + D 3

C = −A 0 = − A + B − 2(− A) + D   1 = A + (− A) − 2 D  0 = −A + B + D   0 = A+ B+ D   1 = −2 D 0 = − A + B + D 

1 ⇒ D=− 2

1   0 = A+ B− 2 +  1 0 = − A + B − 2 

п.6 Решение дифференциальных операционным методом.

уравнений

Нахождение изображения дифференциального уравнения. Чтобы найти изображение линейного дифференциального уравнения нужно найти с помощью формулы (1) изображения всех производных, входящих в уравнение и изображение правой части уравнения с помощью таблицы. Пример. Найти изображения уравнения y ' '−8 y '+7 y = 3 cos x, y (0) = 1, y ' (0) = 2. Решение. Находим изображения производных с помощью свойства дифференцирования оригинала: •

y (t ) ← y ( p ) •

•

y ' (t ) ← p y ( p ) − y (0) = p y ( p ) − 1 •

•

y ' ' (t ) ← p 2 y ( p) − p y (0) − y ' (0) = p 2 y ( p) − p − 2.

1 0 = 2 B − 1 ⇒ B = + , A = 0, C = 0 2

( p − 1)

p 2

(p

2

)

+1

=

•

1 1 1 1 1 1 ⋅ − ⋅ 2 → te t − sin t. 2 • 2 ( p − 1) 2 p +1 2 2 •

Находим изображение правой части уравнения по таблице изображений: •

3 cos x ← 3 ⋅ •

1 3 = 2 . p +1 p +1 2

Подставляем найденные изображения в уравнение:

15

16

p 2 y ( p ) − p − 2 − 8( py ( p ) − 1) + 7 y ( p ) =

3 p +1 2

Замечание. Изображение дифференциального уравнения называется операторным уравнением. Чтобы решить дифференциальное уравнение операторным методом необходимо: 1. Найти изображение уравнения; 2. из полученного операторного уравнения найти изображение решения данного уравнения; 3. по найденному изображению найти оригинал. Пример 1. Решить уравнение: y"−3 y '+2 y = xe x ,

y (0) = 1, y ' (0) = 3

Решение. Находим изображение данного уравнения:

p 2 y ( p ) − 3 py ( p ) + 2 y ( p ) − p = y ( p )( p 2 − 3 p + 2) =

1 ( p − 1) 2

1 +p ( p − 1) 2

y ( p) =

1 + p ( p − 1) 2 ( p − 1) 2 ( p 2 − 3 p + 2)

y ( p) =

p3 − 2 p2 + p +1 ( p − 1) 2 ( p 2 − 3 p + 2)

Находим оригинал функции y ( p ) ( p − 1) 2 ( p 2 − 3 p + 2) = ( p − 1) 2 ( p − 1)( p − 2) = ( p − 1) 3 ( p − 2)

•

y (t ) ← y ( p ) •

3

2

p 3 − 2 p 2 + p + 1 A \( p −1) B ( p −1) ( p − 2) C \( p −1)( p − 2) D \ p−2 = + + + p−2 p −1 ( p − 1) 3 ( p − 2) ( p − 1) 2 ( p − 1)3

•

y ' (t ) ← py ( p ) − y (0) = py ( p ) − 1 •

•

y ' ' (t ) ← p 2 y ( p ) − py (0) − y ' (0) = p 2 y ( p ) − p − 3 •

•

xe x ← •

1

( p − 1)

p 3 − 2 p 2 + p + 1 = A( p − 1) 3 + B ( p − 1) 2 ( p − 2) +

2

p 2 y ( p ) − p − 3( py ( p ) − 1) + 2 y ( p ) =

1 ( p − 1) 2

+ C ( p − 1)( p − 2) + D( p − 2)

Из полученного уравнения выражаем y ( p ) 17

18

p 3 − 2 p 2 + p + 1 = Ap3 − 3Ap2 + 3Ap − A + Bp3 − 4Bp2 + + 5Bp − 2B + Cp2 − 3Cp + 2C + Dp − 2D p3 1 = A + B ⇒ A = 1 − B p 2 − 2 = −3 A − 4 B + C p

1

1 = 3 A + 5B − C + D

p 0 1 = − A − 2 B + 2C − 2 D

• 3 2 1 1 p3 − 2 p 2 + p + 1 = − − − → ( p − 1) 2 ( p 2 − 3 p + 2) p − 2 p − 1 ( p − 1) 2 ( p − 1)3 • • 1 →3e 2 x − 2e x − xex − x 2 e x • 2

y( p) =

Таким образом, решением уравнения является функция

дифференциального

1 2 x x e . 2 Чтобы убедиться в правильности решения проверим, что найденная функция удовлетворяет и уравнению и начальным условиям: y = 3e 2 x − 2e x − xe x −

 − 2 = −3(1 − B) − 4 B + C   1 = 3(1 − B) + 5 B − 3C + D 1 = −(1 − B) − 2 B + 2C − 2 D  1 = − B + C ⇒ B = C − 1   − 2 = 2 B − 3C + D  2 = − B + 2C − 2 D 

y ' = 6e 2 x − 2e x − xe x − xe x − = 6e 2 x − 3e x − 2 xe x −

1 2 x x e = 2

1 2 x x e . 2

1 y ' ' = 12e 2 x − 3e x − 2e x − 2 xe x − xe x − x 2e x = 2 1 = 12e 2 x − 5e x − 3 xe x − x 2e x . 2

− 2 = 2(C − 1) − 3C + D   2 = −(C − 1) + 2C − 2 D 0 = −C + D ⇒ C = D  1 = C − 2D 

1 = D − 2 D ⇒ D = −1, C = −1, B = −2, A = 3

19

Подставляя найденные производные и саму функцию в уравнение , получим:

20

1 2 x x e − 2 1  − 3e x − 2 xe x − x 2 e x  + 2 

12e 2 x − 5e x − 3 xe x −

 − 3 6e 2 x  1   + 2 3e 2 x − 2e x − xe x − x 2 e x  = 2  

1 2 x x e − 2 3 − 18e 2 x + 9e x + 6 xe x + x 2 e x + 2 + 6e 2 x − 4e x − 2 xe x − x 2 e x = xe x . = 12e 2 x − 5e x − 3 xe x −

Таким образом, найденная функция удовлетворяет уравнению. Проверим, что она удовлетворяет начальным условиям:

1 y (0 ) = 3 ⋅ e − 2 ⋅ e − 0 ⋅ e − 0 2 e 0 = 1 2 1 y ' (0 ) = 6 ⋅ e 2⋅0 − 3 ⋅ e 0 − 2 ⋅ 0 ⋅ e 0 − 0 2 e 0 = 3. 2 2⋅0

0

0

п.7. Решение систем дифференциальных уравнений операционным методом.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, необходимо: 1. Найти изображение каждого уравнения системы; полученной системы операторных 2. из уравнений найти изображение решения системы; 3. по найденному изображению найти оригинал Пример. Решить систему  x' = y + t ,  t  y' = x + e , x(0) = 1, y (0) = 0 Решение. Находим изображения уравнений системы: •

x(t ) ← x ( p), •

•

x' (t ) ← px ( p) − x(0) = px ( p) − 1, •

•

y (t ) ← y ( p ), •

Задача решена правильно.

•

y ' (t ) ← py ( p ) − y (0) = py ( p ), •

21

22

•

1

•

p2

t← •

et ← •

p + p 2 ( p − 1) + p − 1 x ( p )( p − 1) = p ( p − 1)

,

2

1 . p −1

Подставляя получим

x ( p) = найденные

изображения

в

p3 − p2 + 2 p −1 p ( p − 1)( p 2 − 1)

систему,

1   px ( p) − 1 = y ( p) + p 2  1  py ( p ) = x ( p ) +  p −1 Из полученной системы находим y ( p), x ( p) . Из первого уравнения системы выразим y ( p ) через x ( p) и подставим во второе уравнение. px ( p) − 1 = y ( p) +

1 1 ⇒ y ( p) = px ( p) − 1 − 2 2 p p

= =

p3 − p2 + 2 p − 1 ( p − 1)( p 2 − 1)

−

p2 +1 p2

=

p 2 ( p 3 − p 2 + 2 p − 1) − ( p 2 + 1)( p − 1)( p 2 − 1) p 2 ( p − 1)( p 2 − 1)

 1  1 p px ( p) − 1 − 2  = x ( p ) + p −1 p  

1 1 = x ( p) + p p −1 1 1 p 2 x ( p) − x ( p) = + p+ p −1 p

p 2 x ( p) − p −

Находим оригиналы изображений x ( p), y ( p) 23

24

=

x ( p) =

− 2 = −2(2 − C ) + D   1= 2−C −C + D

p − p + 2 p −1 p − p + 2 p −1 = = p( p − 1)( p 2 − 1) p( p + 1)( p − 1) 2 3

2

A \ ( p +1)( p −1) = p

2

3

B \ p ( p −1) + p +1

2

2

C \ p ( p +1)( p −1) D \ p ( p +1) + + p −1 ( p − 1) 2

p 3 − p 2 + 2 p − 1 = A( p + 1)( p − 1) 2 + Bp( p − 1) 2 +

 2 = 2C + D  − 1 = −2C + D

x ( p) = −

+ Cp( p + 1)( p − 1) + Dp( p + 1)

•

p 3 − p 2 + 2 p − 1 = Ap3 − Ap 2 − Ap + A + Bp3 − 2Bp 2 +

•

p3 p

2

1= A+ B+C

•

5 −t 3 t 1 t e + e + te 4 4 2

2 p3 − p2 + p −1 2 p3 − p2 + p −1 = = p 2 ( p − 1)( p 2 − 1) p 2 ( p + 1)( p − 1) 2 A B C D E = + 2 + + + p p p + 1 p − 1 ( p − 1) 2

p1 2 = − A + B − C + D −1 = A p0

2 p 3 − p 2 + p − 1 = Ap ( p + 1)( p − 1) 2 + ⇒

+ B ( p + 1)( p − 1) 2 + Cp 2 ( p − 1) 2 + + Dp 2 ( p + 1)( p − 1) + Ep 2 ( p + 1).

2 = B + C ⇒ B = 2 − C  − 2 = −2 B + D   1= B −C + D 

25

•

→

y( p) =

− 1 = − A − 2B + D

 1 = −1 + B + C   − 1 = −(−1) − 2 B + D 2 = −(−1) + B − C + D 

1 3 5 , C= , B= . 2 4 4

1 5 1 3 1 1 1 + ⋅ + ⋅ + ⋅ p 4 p + 1 4 p − 1 2 ( p − 1) 2

→ −1+

+ Bp + Cp3 − Cp + Dp2 + Dp

D=

⇒

⇒

26

2 p 3 − p 2 + p − 1 = Ap 4 − Ap 3 − Ap 2 + A + 3

2

+ Bp − Bp − Bp + B + + Cp 4 − 2Cp 3 + Cp 2 + + Dp 4 − Dp 2 + Ep 3 + Ep 2 0 = A+C + D 2 = − A + B − 2C + E

p4 p

3

p

2

−1 = −A − B + C − D + E

p 1 = A − B ⇒ A = 1+ B = 1−1 = 0 −1 = B p0 1

0=C+D    2 = −1 − 2C + E − 1 = 1 + C − D + E 

 3 = 2D + E   − 2 = −2 D + E

⇒

⇒

0 = C + D ⇒ C = − D  3 = −2C + E   −2=C−D+E 

E=

5 1 5 , D= , C=− 2 4 4

• 5 1 5 1 1 1 y( p) = − 2 − ⋅ + ⋅ + ⋅ → 4 p + 1 4 p − 1 2 ( p − 1) 2 • p

1

•

→− t − •

5 −t 5 t 1 t e + e + te 4 4 2

Ответ: Решением системы являются функции 27

5 −t 3 t 1 t  x 1 e + e + te = − +  4 4 2  5 −t 5 t 1 t  y = −t − e + e + te 4 4 2 

Проверим, что найденные функции действительно являются решением системы, то есть удовлетворяют и системе и начальным условиям:

5 3 1 1 x' = − e −t + e t + e t + te t = 4 4 2 2 5 5 1 = − e −t + e t + te t 4 4 2 5 −t 5 t 1 t e + e + te + t = 4 4 2 5 5 1 = − e −t + e t + te t 4 4 2 5 5 1 1 y ' = −1 + e −t + e t + e t + te t = 4 4 2 2 5 7 1 = −1 + e −t + e t + te t 4 4 2 5 3 1 x + e t = −1 + e −t + e t + te t + e t = 4 4 2 5 7 1 = −1 + e −t + e t + te t 4 4 2 y + t = −t −

28

 x' = x − y, 1)   x' = x + y, x(0) = 1, y (0) = 0,

Таким образом, справедливы равенства:

 x' = y + t  t  y' = x + e

5 0 3 0 1 ⋅ e − ⋅ e + 0 ⋅ e0 = 1 4 4 2 5 5 1 y (0 ) = −0 − ⋅ e 2⋅0 + ⋅ e 0 + 0 ⋅ e 0 = 0 4 4 2

Задачи для самостоятельного решения: Решить дифференциальные уравнения операционным методом: 1) x"− x' = te t , x(0) = 0, x' (0) = 0

 x'+7 x − y = 0,   y '+2 x + 5 y = 0, x(0) = 1, y (0) = 1,  x'− x + 2 y = 3,  3x'+ y '−4 x + 2 y = 0, x(0) = 0, y (0) = 0,

4)

5)

7)

2) x"−9 x = e − 2t , x(0), x' (0) = 0 3) x"+ x' = t 2 + 2t , x(0) = 4, x' (0) = −2

 x'+ y ' = 0,   x'−2 y '+ x = 0, x(0) = 1, y (0) = −1,

5) x"+2 x'+ x = cos t , x(0) = 0, x' (0) = 0 6) x"+9 x = cos 3t , x(0) = 1, x' (0) = 0 7) x' ' '−2 x"+ x' = 4, x(0) = 1, x' (0) = 2, x" (0) = −2.

29

6)

 x' = y − z,  y ' = x + y,   z ' = x + z , x(0) = 1, y (0) = 2, z (0) = 3.

4) x"+3 x'+2 x = t 2 + t + 1, x(0) = 0, x' (0) = 1

Решить системы дифференциальных операционным методом:

 x'+4 x − y = 0,   y '+2 x + y = 0, x(0) = 2, y (0) = 3,

3)

x(0 ) = −1 +

Найденное решение верно.

2)

уравнений

30

 x'+ y = 0,   y '−2 x − 2 y = 0, x(0) = 1, y (0) = 1,

Литература

1. Краснов М.Д., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – Задачи и упражнения. М.: Наука, 1971, 301с. 2. Сборник задач по математике для втузов. Под. Ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.,т.т. 1,2. М.: Наука, 1981. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2., М.: Высшая школа, 1986, 415с.

31

Подписано в печать 13.09.2004 г. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 1,63, уч.изд. л. 0,8. Тираж 70 экз. Заказ № 129. Издательство ВСГТУ. г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, в. © ВСГТУ, 2004 г.

32