Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Ростовский государственный университет
Методи...
83 downloads
236 Views
328KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Ростовский государственный университет
Методические указания по курсу общей физики
Распределения Больцмана и Максвелла
Ростов-на-Дону 2001 г
2
Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета РГУ.
Протокол №
Авторы:
от
октября 2001 г.
Юзюк Ю. И., доцент кафедры общей физики, Махно В. И., доцент кафедры общей физики.
3
1. Распределение Больцмана
n = n0e −U /(kT ) , где
n - концентрация частиц; U - их потенциальная энергия; n0 -
концентрация частиц в точках поля, где U = 0; k - постоянная Больцмана; T термодинамическая температура. Из распределения Больцмана следует, что молекулы идеального газа располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, и, наоборот, с меньшей плотностью - в местах, где их потенциальная энергия больше. Барометрическая формула (распределение давления в поле силы тяжести)
p = p0 e −mgz /(kT ) где
p = p0 e −µgz /( RT ) ,
или
p - давление газа; m - масса частицы; µ - молярная масса газа; z -
координата точки (высота) по отношению к уровню, принятому за нулевой; p0 - давление на этом уровне; g - ускорение свободного падения; R универсальная газовая постоянная. 2. Вид функции распределения молекул идеального газа по скоростям был установлен теоретически Максвеллом в 1860 г. Вероятность того, что компоненты скорости некоторой молекулы имеют значения, лежащие в пределах от vx, vy, vz до vx + dvx, vy + dvy, vz + dvz, равна произведению вероятностей
dPv , v , v x y z
= ϕ (v x )ϕ (v y )ϕ (v z ) dv x dv y dv z ,
где φ(vi ) есть функция распределения вида
ϕ (v i )
⎛ m = ⎜⎜ ⎝ 2πkT
1/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
e
−mvi2 /(2kT )
4
Число молекул, величина модуля скорости
(v = v x2 + v 2y + v z2 )
которых заключена в интервале от v до v + dv, определяется распределением Максвелла
dN = NF (v )dv = Nf (v ) 4πv dv 2
где
f (v ) = ϕ (v x )ϕ (v y )ϕ (v z ) -
⎛ m = 4πN ⎜⎜ ⎝ 2πkT
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
3/ 2
2 e −mv /(2kT )v 2 dv ,
функция распреде ления молекул по
абсолютным значениям скоростей; N - общее число молекул; m - масса молекулы; k - постоянная Больцмана; T - термодинамическая температура. График функции F (v ) = f (v ) 4πv 2 показан на рис. 1.
Рис. 1. Кривые распределения Максвелла, соответствующие либо различным температурам T1 и T2 (при одинаковой массе m), либо относящиеся к различным массам молекул m1 и m2 (при одинаковой температуре T ). Число молекул, энергии которых заключены в интервале от Е до E + dE,
dN ( E ) = Nf ( E )dE =
2
π
N
e
− E /(kT ) (kT )
3/ 2
E1 / 2 dE .
5
Задача 1.1.
Сравнить полное число молекул в атмосферном столбе с
основанием в 1 см2 с числом молекул в столбе высотой 1000 м и тем же основанием. Решение. Пусть число молекул в единице объема при h = 0 равно N0 , тогда распределение числа этих частиц по высоте будет определяться следующим выражением:
N (h) = N 0 e −mgh /(kT ) = N 0 e −µgh /( RT ) . Полное число молекул в столбе с основанием в 1 см2 и заданной высотой H
H
0
0
N ( H ) = ∫ N ( z)dz = N 0 ∫ e
− µgh /( RT )
dz = N 0
RT (1 − e −µgH /( RT ) ), µg
где µ - молярная масса воздуха. Подставив численные значения высоты, получим: N(H → ∞ ) = 2.1· 1025 ; N(H = 103) = 0.25· 1025. Задача 1.2. На какой высоте находится центр масс вертикального столба воздуха в атмосфере Земли, если температура воздуха T не зависит от h. Считать, что для воздуха имеет место распределение Больцмана. Решение. Пусть площадь сечения столба S. Выделим на некоторой высоте h слой воздуха толщины dh, его масса dm = ρ(h)·S·dh, где ρ(h)- плотность воздуха на высоте h. Поскольку ρ(h) = m·n(h), где m - масса молекулы, а
n(h)- концентрация молекул на высоте h, которая определяется из распределения Больцмана: n(h) = n0 e
−mgh /(kT ) .
Из курса механики известно, что центр масс тела с непрерывным распределением массы определяется соотношением, которое в нашем случае имеет вид:
6
∞
∫ hdm
HC =
0
∞
.
∫ dm
0
Вычислим интегралы: ∞
∞
∫ dm = mn0 S ∫ e
0
− mgh /(kT )
0
∞
∞
0
0
mn0 S kT ⎛ − mgh /(kT ) ⎞ ∞ n0 S kT ⎜e ⎟ = . dh = − ⎜ ⎟ g mg ⎝ ⎠0 ∞
∫ h dm = ∫ h m n(h)S dh = mn0 S ∫ he
Откуда находим:
− mgh /(kT )
0
H C = kT mg
dh =
n0 S (kT ) 2 mg 2
.
.
Таким образом, центр масс вертикального столба воздуха находится на высоте,
на
которой
концентрация
молекул
n(h), а следовательно,
потенциальная энергия молекул и давление газа уменьшаются в e раз. Задача 1.3. Вычислить среднюю потенциальную энергию молекулы газа в поле силы тяжести. Решение. Среднее значение потенциальной энергии молекулы газа на высоте z определяется выражением:
∞
U = mg ∫ zdW (z ) , где dW(z) - вероятность 0
того, что потенциальная энергия молекулы заключена в интервале от U до U
+ dU в поле тяжести Земли:
−mgz /(kT ) dz e dW ( z) = ∞ . − mgz kT /( ) dz ∫e 0
Тогда
7 ∞
∫ ze
−mgz /(kT ) dz
(kT /(mg )) 2 U = mg ∞ = mg = kT , − mgz kT /( ) kT mg ( /( )) dz ∫e 0
0
т. е. потенциальная энергия молекул в поле силы тяжести зависит только от температуры. Задача 1.4.
Проводятся наблюдения за шарообразными частицами,
находящимися во взвешенном состоянии в воздухе (в поле земного тяготения). Радиус частиц r = 2·10-7 м. Температура воздуха t = 0оС, давление
p = 105 Па. Установлено, что на высоте h =10 м концентрация частиц уменьшается вдвое. Чему равна масса взвешенной частицы? Решение. Обозначим массу частицы m. Поскольку частицы взвешены в воздухе, то следует учитывать выталкивающую силу. Таким образом, сила, действующая на частицу,
F = mg (1 − ρ 0 / ρ ) , где ρ0 - плотность воздуха у
поверхности Земли; ρ - плотность частицы. В этом случае закон Больцмана запишется в виде ⎛
n( z) = n0 exp⎜⎜ − ⎝
Плотность частицы радиусом r:
mg (1 − ρ 0 / ρ ) ⎞⎟ z⎟. kT ⎠
ρ = m = 3m . V 4πr 3
По условию задачи, на высоте h = 10 м n(h) = n0/2. Тогда отношение концентрации частиц на двух различных высотах
n0 n(h) откуда
m(1 − ρ 0 / ρ ) ⎞⎟ gh ⎟ = 2 , kT ⎝ ⎠ ⎛
= exp⎜⎜
8 3 mgh 4 ghρ 0πr / 3 ln 2 = − . kT kT
Итак, масса частицы
m=
kT ln 2 + 4 ghρ 0πr 3 / 3 gh
.
Подставив в последнюю формулу численные значения величин, получим
m = 5.4·10-21 кг. Задача 1.5. Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля, если концентрации этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на расстоянии ∆h = 3 см (вдоль поля), отличаются в η = 2 раза. Температура системы T = 280 К. Решение. Сила, действующая на частицу со стороны однородного поля, определяется выражением
F=
U (h2 ) −U (h1 ) U 2 −U1 = , ∆h ∆h
где ∆h = h2 - h1 . Согласно распределению Больцмана концентрации частиц
n1 и n2 на двух уровнях h1 и h2 определяются соответственно
n1 = n0e
−U1 /(kT )
и
n2 = n0e
−U 2 /(kT )
.
Поскольку частицы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, то n1 / n2 = η. Следовательно,
− или Искомая сила
F=
U1 U 2 + = lnη , kT kT
U 2 − U1 = kT lnη .
kT lnη = 0.9 ⋅10 − 19 H. ∆h
9
Задача 1.6. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами m1 и m2 , причем m2 > m1. Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно n1 и n2, причем и n2 > n1. Считая, что по всей высоте поддерживается одна и та же температура T и ускорение свободного падения равно g, найти высоту h, на которой концентрации этих сортов молекул будут одинаковы. Решение.
Запишем распределение Больцмана для двух сортов молекул,
находящихся в поле силы тяжести:
n'1 = n1e Очевидно, что
− m1gh /(kT )
и
n'2 = n2e
− m2 gh /(kT )
.
ln n'1 = ln n1 − m1 gh /(kT ) , ln n'2 = ln n2 − m2 gh /(kT ) .
Искомую высоту h, где концентрации молекул будут одинаковы, найдем, приравняв правые части этих уравнений:
ln n2 − ln n1 = (m2 − m1 ) gh /(kT ) . Отсюда следует
h=
n kT ln 2 . (m2 − m1 ) g n1
Задача 1.7. В цилиндрической центрифуге находится эмульсия, состоящая из частиц белка массой m и воды. Плотность белка ρ. Центрифуга вращается с угловой скоростью ω. Определить отношение числа частиц, находящихся на двух различных расстояниях r1 и r2 (r2 > r1) от оси цилиндра. Решение. Находящаяся в воде частица белка испытывает во вращающейся центрифуге действие центробежных сил инерции (действием силы тяжести пренебрегаем):
r r r r F (r ) = mϖ 2 r − mBϖ 2 r ,
10
r
где r - радиус-вектор частицы относительно оси цилиндра; mВ - масса воды в
r
объеме частицы белка (сила − mBϖ 2 r - аналог силы Архимеда). Учитывая, что mВ = ρ0m/ ρ , где ρ0 - плотность воды, получаем
r r r F (r ) = m (1 − ρ 0 / ρ )ϖ 2 r .
Полагая потенциальную энергию частицы U(r) на оси цилиндра равной нулю, находим r r r r r U (r ) = − ∫ ( F (r ' ) , dr ') = − m (1− ρ 0 / ρ )ϖ 2 ∫ r ' dr ' = 0
m = − (1− ρ 0 / ρ )ϖ 2 r 2 . 2
0
Подставляя это выражение в формулу Больцмана, получаем 2 2⎞ ⎛ ⎜ m (1 − ρ / ρ )ϖ r ⎟ − U r kT ( ) /( ) 0 ⎟, = n0 exp ⎜ n(r ) = n0 e ⎜⎜ ⎟⎟ 2kT ⎝
(1)
⎠
т. е. число частиц растет по мере удаления от оси. Из формулы (1) следует искомое отношение 2 ⎛ ⎜ m (1 − ρ / ρ )ϖ 0 = exp ⎜ ⎜⎜ n (r1 ) 2kT ⎝
n (r2 )
( r2 − 2
⎞ ⎟ r1 ) ⎟ . ⎟⎟ ⎠ 2
Задача 2.1. Найти наиболее вероятную скорость молекул идеального газа. Решение. Предполагая, что идеальный газ находится в термодинамическом равновесии, используем функцию распределения молекул по скоростям:
f (v ) = 4π (a / π ) 3 / 2 e − av v 2 , 2
(1)
где a = m/(2kT). Производная функции распределения (1) по скорости
f ' (v ) = 4π (a / π )3 / 2 (−2av 3 + 2v ) e − av . 2
11
Обозначая наиболее вероятную скорость через v B , находим ее из уравнения
f ' (v B ) = 0 , т. е. 2v B (−av 2B + 1) = 0 . Отсюда следует
v B = 1/ a =
2kT / m .
Задача 2.2. При какой температуре идеального газа число молекул со скоростями в заданном интервале v, v + dv будет максимально? Решение. Найдем максимум функции распределения молекул по величине скорости, рассматривая ее как функцию температуры или параметра a =
m/(2kT), т. е. F (a) = 4π (a / π )
3/ 2
2 − a v e v 2.
(1)
Дифференцируя функцию (1) по параметру a, получаем
F ' (a) = 4πv 2 e − av
2
⎛ 3 a 1/ 2 1 ⎜ ( ) π ⎝2 π
− ( a ) 3 / 2 v 2 ⎞⎟ =
π
⎠
(2) 2 = 4πv 2 e − av (πa )1/ 2 ( 3 − a v 2 ) 2π π
2
Производная (2) обращается в нуль при a = 0 и a =3/(2v ). Первый случай соответствует T = ∞ и поэтому лишен физического смысла. Следовательно, 2
искомая температура T = mv /(3k). Задача 2.3. Определить суммарную x-составляющую импульса всех молекул идеального газа, проходящих через плоский контур площади S за время t в положительном направлении оси x, перпендикулярной контуру. Температура газа T, давление p. Решение. Число молекул, проходящих через площадку S за время t, скорости которых находятся в интервале от vx до vx + dvx, равно:
12
dN = n0 St
⎛ m ⎜ ⎜ ⎝ 2πkT
1/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
e
−mv x2 /(2kT ) v x dv x ,
где n0 - концентрация молекул, m - масса одной молекулы. Каждая из этих молекул переносит при этом импульс mvx. Тогда искомая составляющая импульса, переносимого через контур всеми молекулами, равна:
n0 Stm3 / 2 ∞ − mv x2 /(2kT ) 2 v x dv x . px = ∫e 2πkT 0 ∞
Используя табличный интеграл ∫ e 0
−βx2 x 2 dx = 1 4
π , получим: 3 β
p x = 1 n0 kTSt = 1 pSt. 2 2 Задача 2.4. Найти среднюю скорость молекул идеального газа. Решение. Средняя скорость молекул определяется выражением ∞ 2 3/ 2 ∞ v = ∫ vf(v) dv = 4π ⎛⎜ a ⎞⎟ ∫ e − av v 3 dv = ⎝π ⎠ 0
0
=
2π ⎛⎜ a ⎞⎟ ⎝π ⎠
3/ 2 ∞
= − 2π ⎛⎜ a ⎞⎟ ⎝π ⎠
⎛∞
⎞
⎝0
⎠
− at t dt = − 2π ⎛⎜ a ⎞⎟ 3 / 2 d ⎜⎜ e − at dt ⎟⎟ = ∫e ⎝π ⎠ da ⎜ ∫ 0 ⎟
3/ 2
d ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ = − 2π ⎛⎜ a ⎞⎟ 3 / 2 1 = 2 . a π 2 ⎠ ⎝ da ⎝ ⎠ a (πa)1 / 2
Так как a = m/(2kT), то
v = 8kT . πm Задача 2.5. Концентрация молекул идеального газа n0 , температура газа T, масса молекул m. Газ находится в тепловом равновесии. Определить число
13
молекул газа, ударяющихся в единицу времени об единицу поверхности сосуда. Решение. О выбранную единицу поверхности сосуда ударяются те молекулы, проекции
скорости
поверхности,
не
которых
равны
на
нулю.
направление,
Пусть
ось
рассматриваемой поверхности. Число молекул
перпендикулярное
к
перпендикулярна
к
x
dnx в единице объема,
проекция скорости которых заключена в интервале между vx и vx + dvx , равно
dn x =
⎛ m n0 ⎜⎜ ⎝ 2πkT
1/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
e
− mv x2 / 2kT
dv x .
Из этого числа молекул только те достигнут за единицу времени поверхности сосуда, которые расположены от нее не далее расстояния, численно равного
vx . Число этих молекул определяется выражением dn' x =
⎛ m v x n0 ⎜⎜ ⎝ 2πkT
1/ 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
e
− mv x2 / 2kT
dv x .
Полное число молекул, которые за единицу времени достигнут единицы поверхности сосуда, равно
m ⎞1 / 2 − mv x / 2kT ⎛ N = ∫ v x n0 ⎜ dv x . ⎟ e 2 π kT ⎠ ⎝ 0 2
∞
Введем обозначения a = m/(2kT). Тогда
N =
n0
π
∞
∫
avx e
− av x2
dv x =
0
=
n0
2 π
2kT . m
n0
π
∞⎛ 1 ∫ ⎜⎜ − 2 ⎝ 0
a
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2 ⎛ ⎜ − av x d⎜e ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
14
Учтя, что средняя скорость молекул v =
8kT , получим N = n0 v . πm 4
Задача 2.6. Определить долю молекул водорода, модули скоростей которых при температуре 27оС лежат в интервале от v2 = 1898 м/с до v1 = 1903 м/с. Решение. Интервал скоростей ∆v = v2 - v1 = 5 м/с достаточно мал по сравнению с самими скоростями. Поэтому для определения искомой доли молекул вместо интегрирования можно записать распределение Максвелла по модулям скоростей в виде: 3/ 2 ∆N = 4π ⎛⎜ m ⎞⎟ e −mv 2 /(2kT )v 2 ∆v . ⎜ ⎟ N ⎝ 2πkT ⎠
(1)
Наиболее вероятная скорость молекул водорода при заданной температуре (T = 300 К) равна v B =
2kT / m (см. задачу 2.1.). Учитывая это, преобразуем
формулу (1) к виду 2 2 4 v 2 −v /v B ∆N = ∆v . e π v3 N B
Введем обозначение u =
(2)
v . Тогда выражение (2) примет вид vB
∆N 4 2 −u 2 = ∆u . u e N π Для водорода при T = 300 К v B = Следовательно, u = 1.2, а ∆u =
2kT / m =
(3)
2RT / µ = 1.57·103 м/с.
∆v = 3.16·10-3 . vB
Подставив эти значения в выражение (3), получаем
∆N = 2.45·10-3 = 0.245%. N
15
Задача 2.7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T , обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не белее чем на 5 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 K, 2) 900 K. Решение. Поскольку в задаче идет речь о наиболее вероятной скорости, надо считать
v = v B . Следовательно,
u = v /v
B
= 1 и выражение (3)
полученное при решении предыдущей задачи примет постой вид:
∆N 4 = ∆u . N πe Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие ∆u =
∆v << u . Найдем сначала наиболее вероятную vB
скорость при T1 = 400 K и T2 = 900 K соответственно.
v B1 = 2 ⋅8.31⋅ 400 м/с = 1.82·103 м/с; v B 2 = 2 ⋅8.31⋅ 900 м/с = 2.73·103 м/с. 0.002
0.002
Так как по условию ∆v = 10 м/с, то получим ∆u1 =1/182, ∆u 2 = 1/273. Поскольку u = 1, то условие ∆u << u выполняется для обеих температур. Теперь вычислим искомые величины:
∆N1 N ∆N 2 N
= =
4
πe 4
πe
∆u 1 =
4 = 0.0046 3.14 ⋅ 2.7 ⋅182
∆u 2 =
4 = 0.0030. 3.14 ⋅ 2.7 ⋅ 273
Таким образом, при увеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается, а число молекул, скорости которых лежат в одном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается. На графике функции распределения скоростей (рис. 1), с увеличением температуры максимум кривой сдвигается вправо, а величина максимума уменьшается.
16
Задача 2.8. Какая часть молекул газа имеет скорости, превышающие
наиболее вероятную скорость? Решение. В условии задачи рассматриваются молекулы, скорости которых заключены в интервале от наиболее вероятной скорости v B до v B + ∞ , т. е. в бесконечно большом интервале скоростей ∆v . Воспользуемся функцией распределения Максвелла в "приведенном" виде (см. задачу 2.6.)
dN 4 2 −u 2 = u e du , N π
где u = v / v
B
.
(1)
Число молекул, относительные скорости кот орых лежат в заданном интервале от u1 до u2 найдем, интегрируя правую часть (1) в этих пределах:
u2 2 2 −u dN = N ∫u e du . π u 1 4
Учитывая, что относительная скорость u = v / v
B
(2)
то в нашей задаче u1 = 1
и u 2 = ∞ . Следовательно, искомая часть молекул выразится интегралом: ∞ 2 ∆N = 4 u 2e − u du . ∫ N π 1
Воспользуемся очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до ∞ . Поэтому, если обозначить через ∆N' число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т. е. лежат в интервале от 0 до
∆N ∆N ' + = 1. Таким образом, вместо того чтобы N N ∆N ∆N' искать , можно найти по формуле N N
1, то можно записать
1 2 ∆N ' = 4 u 2e − u du , ∫ N π 0
(3)
17
а затем вычислить
∆N ∆N ' = 1− . N N
Так как интеграл (3) все же в конечном виде не берется, воспользуемся методом
приближенного
интегрирования.
Для
этого
разложим
подынтегральную функцию в ряд Маклорена:
u 2e − u
2
= u2 −
u 2 u 6 u 8 u10 + − + −⋅⋅⋅ 1 2 6 24
⎞ 4 ⎛⎜ 1 1 1 1 1 ⎟. − + − + − ⋅ ⋅ ⋅ Следовательно, ∆N ' ≈ ⎟ ⎜
N
Ограничиваясь
π
первыми
3
⎝
5
14
четырьмя
погрешностью, не превышающей 0.01: Отсюда получим ответ:
54
264
членами
⎠
разложения,
найдем
с
∆N ' = 0.43 . N
∆N = 1 − 0.43 = 0.57. N
Задача 2.9. Найти наиболее вероятную энергию молекул идеального газа.
Решение. Определим точку максимума функции распределения молекул идеального газа по энергиям:
f (E) =
2
π
(kT ) −3 / 2 e − E /(kT ) E1 / 2 .
Производная этой функции по Е
f '(E) =
2
π
⎛ ⎜ − E /( kT ) 3 / 2 − (kT ) e ⎜ ⎜ ⎝
E1 / 2 1 ⎞⎟ − + ⎟. kT 2 E1 / 2 ⎟⎠
Искомую энергию найдем из уравнения f ' ( E ) = 0 , т. е. 1/ 2 E − + 11/ 2 = 0. kT 2E
Отметим, что E B ≠ E (v B ) .
Откуда следует E B = 1 kT .
2
18
Задача 2.10. Найти среднюю кинетическую энергию молекул идеального
газа. Решение. По определению средняя кинетическая энергия ∞
E = ∫ E f ( E ) dE =
2
π
0
(kT ) −3 / 2
∞
∫e
− E /(kT )
E 3 / 2 dE .
0
-1
1/2
Введем обозначение β = (kT) и новую переменную t = E . Тогда
E =
4
π
∞
β 3/ 2
∫e
− β t2
4
t dt =
0
4
π
β 3/ 2
⎛∞ 2 ⎞ ⎜ −βt ⎟ dt ⎟ . ⎜ ∫e ⎟ dβ 2 ⎜⎝ 0 ⎠
d2
Интеграл в скобках вычисляется с помощью интеграла Пуассона ∞
∫e
− β t2
∞
dt = 2 ∫ e
−∞
− β t2
dt = π / β .
0
Используя эту формулу, получаем
E = Таким образом
2
π
β 3/ 2
π
d2
⎛ −2⎞ ⎜β ⎟ 2 ⎝ ⎠ dβ
= 2β 3 / 2 3 β − 5 / 2 = 3 β − 1. 4 2
E = 3 kT . 2
Список литературы
1. Савельев И. В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1988. -т. 1. 2. Иродов И. Е. Физика макросистем. - М.: Физматлит, 2001. 3. Горбунова О. И., Зайцева А. М., Красников С. Н. Задачник-практикум по общей физике. - М.: Просвещение, 1978. 4. Мурзов В. И., Коненко А. Ф., Филиппова Л. Г. Общая физика в задачах. Минск. Вышейшая школа, 1986.