Математическая логика: Учебные материалы

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Воронежский государственный университет Математический факультет Кафедра функционального анализа и операторных уравнений

Моисеев В.И.

Математическая логика Учебные материалы для студентов 4 курса математического факультета

Воронеж - 1999

2

Введение Одна из основных проблем курсов по математической логике, читаемых студентам математических и других факультетов, состоит в необходимости развития предварительной и достаточно громоздкой логической техники, во многом создающей не только поддержку, но и определенного рода препятствие для рассмотрения содержательных и глубоких проблем метаматематики. Здесь приходится выбирать – либо сосредоточить внимание на изложениии начальных сведений из области логики предикатов первого порядка, либо, не слишком глубоко вдаваясь в первоначальные понятия, рассмотреть, например, такие фундаментальные теоремы математической логики, как теоремы Гёделя. В первом случае «за деревьями не видно леса», во втором случае, наоборот, видение общего покупается ценой слишком большой поверхностности во владении базовой логической техникой. С этой точки зрения нам кажется чрезвычайно удачным подход Джозефа Шенфилда [5], в котором наиболее гармонично, с нашей точки зрения, сочетаются общее и частное. Изложение здесь сразу “берет быка за рога”, первичным понятием является в этом случае не логика высказываний и предикатов, но язык первого порядка. Не слишком усложняясь, степень общности при таком подходе тем не менее быстро нарастает, что позволяет очень скоро начать оперировать такими фундаментальными понятиями метаматематики, как “теория первого порядка” и ее “модель”. Указанные достоинства такого подхода делают его достаточно ценным для разного рода спецкурсов или элективных курсов по математической логике. В то же время и в этом случае остается потребность в некоторого рода отборе материала, формировании своего рода “выжимки” из обширной работы Дж.Шенфилда. Именно эти соображения и привели автора к мысли создания своего рода конспективного представления подхода Шенфилда, способного в то же время стать основой для создания хотя и не профильного, но достаточно содержательного курса по математической логике. Мы ставили своей целью создание такого учебного пособия по математической логике, которое, опираясь на методологию Дж.Шенфилда, позволило бы достаточно быстро ввести студента в серьезную проблематику современной математической логики. В качестве сферы выражения этой проблематики нами выбраны две теоремы Гёделя – теорема о полноте и теорема о неполноте, сыгравшие в развитии метаматематики выдающуюся роль и вызвавшие резонанс далеко за пределами математики. Изложение доказательств этих теорем доведено до некоторого промежуточного уровня детализации, позволяющего, с одной стороны, изложить идеологию доказательства и не слишком погрешить против строгости доказательства, с другой стороны. Наконец, в конце приведены два Приложения, содержащие самостоятельные результаты исследований автора по рассматриваемой проблематике и выполненные в рамках все той же методологии представления математической логики, какой мы ее находим у Дж.Шенфилда. Причем именно у этого автора мы можем обнаружить наиболее обнаженное представление видимой противоречивости двух теорем Гёделя, в то время как другие авторы стараются по возможности не акцентировать внимание

3

на этой проблеме. Мы пытаемся по возможности разъяснить существующее здесь положение дел, используя, с одной стороны, понятия двух видов полноты теории (“семантической” и “синтаксической” полноты), и, с другой стороны, выдвигаем проект нового подхода к трактовке видимого противоречия между первой и второй теоремами Гёделя. В проведении этого подхода мы опять-таки опираемся на Шенфилда, высказавшего в качестве объяснения конфликта теорем Гёделя идею двух смыслов – финитного и нефинитного - понятия “теорема”. Мы не ставили себе целью в данном пособии снабдить каждый из разделов обширной подборкой задач. При желании читатель может найти примеры таких задач в учебнике Дж.Шенфилда, мы же ограничились в нашем изложении некоторым минимумом возможных задач и примеров.

1. Природа математической логики Метаматематика – это направление математики, исследующее средствами математики математическое мышление: логику математических доказательств, структуру математического языка, условия построения математической теории, соотношение теории и ее моделей и т.д. Понятие «математическая логика» обычно трактуют либо как синоним понятия «метаматематика», либо рассматривают как раздел метаматематики, в большей мере имеющий дело с чисто логической стороной метаматематических исследований. Основные понятия метаматематики – формальная теория и ее модель. Мир математики – это во многом мир логики. Математик чаще всего имеет дело с аксиоматическими теориями, в которых выделены: 1) базовые понятия и 2) аксиомы, на основе которых определяются производные понятия и выводятся теоремы, описывающие свойства и отношения базовых и производных понятий. Обычно математик осуществляет построение аксиоматической теории в рамках так называемого содержательного подхода, не слишком сильно формализуя язык и средства аксиоматизации теории. Метод математической логики, составляющий основу метаматематики, предполагает существенное повышение степени формализации аксиоматической теории, что приводит к построению формальной аксиоматической теории. Формальная аксиоматическая теория (ФАТ) – одно из ключевых понятий математической логики и метаматематики. ФАТ – это ЯЗЫК + АКСИОМЫ + ЛОГИЧЕСКИЕ ПРАВИЛА ВЫВОДА. Отдельно для формальной аксиоматической теории определяется понятие «модели» (синонимы: «структура», «интерпретация») этой теории.

2. Язык первого порядка Любой язык предполагает некоторый алфавит символов, из которых, как упорядоченные n-ки строятся по некоторым правилам слова (выражения) этого языка. Формальное описание языка предполагает описание множества его

4

правильно построенных (в чисто формальном смысле) выражений на основе алфавита этого языка. Ниже мы описываем простейший, но одновременно и основной случай формального языка – так называемый язык первого порядка (ЯПП). Одновременно мы будем сопровождать это описание некоторым примером такого языка. 1.1.Алфавит языка первого порядка. Алфавит ЯПП рассматривается как множество следующих элементов: (а) переменные: x, y, z, x’, y’, z’, x’’, y’’, z’’, … (b) n-арные функциональные символы вида: f1( 1, 2, …, n), f2( 1, 2, …, n), … , fN( 1, 2, …, n), (здесь « » – обозначение пустого места. Само это обозначение, как и скобки, не относится к ЯПП, а используется как сокращение в метаязыке (см. ниже)). n-арные предикатные символы вида: P1( 1, 2, …, n), Р2( 1, 2, …, n), … , РМ( 1, 2, …, n). (c) символы: , ∨, ∃. (а)+ (с) – это логические символы, (b) – нелогические символы. М и N – это функции от n=0,1,2,…, т.е. М=М(n) и N=N(n). Только значениями этих функций и видом нелогических символов могут различаться между собою алфавиты ЯПП. Логические символы считаются одинаковыми у всех ЯПП. 0арные функциональные символы называются константами. Считается также, что в алфавитах всех ЯПП есть бинарный (n=2) предикатный символ равенства =L, который большинством логиков также рассматривается как логический символ. Будем рассматривать как пример некоторый ЯПП L(N), в котором следующие нелогические символы: Функциональные символы: Для n=0 введена константа 0, Для n=1 унарный функциональный символ S( ), Для n=2 бинарные функциональные символы ⊕( 1, 2), ⊗( 1, 2). Предикатные символы: Определен только для n=2 (кроме равенства): ∠( 1, 2) Заметим, что в момент построения ЯПП мы также пользуемся языком, а именно русским языком. ЯПП, который мы сейчас строим, обычно называется объектным языком, а язык, используемый для построения ЯПП (в данном случае русский язык), - метаязыком. Если объектный язык формализован, то метаязык обычно достаточно содержателен, т.е. существенно меньше формализован. В метаязыке (!) мы будем использовать переменные для обозначения выражений объектного языка (см. ниже) - так называемые

5

синтаксические переменные. Мы будем использовать жирный шрифт и следующие символы: x, y, z – для синтаксических переменных, пробегающих множество объектных переменных, f, g - для синтаксических переменных по функциональным символам, p, q – по предикатным символам, е - по константам, А, В, С, D – по формулам, а, b, c, d – по термам, u, v - по всем выражениям объектного языка. Эти переменные допускают индексацию. Следующий шаг построения ЯПП – построение выражений языка. Выражения ЯПП – это термы и формулы. 1.1.Выражения ЯПП. Выражения определяются по индукции. (а) Термы ЯПП: (i) Переменная есть терм (ii) Если u1, …, un – термы и f – n-арный функциональный символ, то f(u1, …,un) – терм. (iii) Никаких иных термов нет. (b) Формулы ЯПП: (i) Если а1, …, аn – термы и р – n-арный предикатный символ, то р(а1, …, аn) есть формула. (ii) Если u – формула, то u – формула. (iii) Если u и v – формулы, то u ∨ v – формула. (iv) Если u –формула и х – переменная, то ∃хu – формула. (v) Никаких иных формул нет. Случай (b) (i) называется случаем атомарной формулы. Итак, ЯПП – это пара (алфавит языка, выражения языка). Задание: 1. Напишите определения для выражений языка L(N) и приведите конкретные примеры термов и формул этого языка. 2. Используя индуктивные определения термов и формул, покажите, что результат замены терма а на переменную х в терме есть терм и что результат замены терма а на переменную х в формуле есть формула.

3. Семантика языка первого порядка ЯПП определяется формально – как абстрактное множество из символов и выражений. Это дань формальному подходу в математической логике вообще. Но всякий содержательный язык – это еще и смысл языка, его интерпретация. Аналог этого понятия для ЯПП – понятие «структуры» ЯПП.

6

Пусть L – некоторый ЯПП. Структура А для L – это тройка из: (i) непустого множества |A| - универсума А (элементы |А| - индивиды А) (ii) множества всех n-арных функций fA: |A|n→|A|, взаимно-однозначно сопоставленных каждому n-арному функциональному символу f из L (в частности, еА – индивид из А для константы е из L). (iii) Множества всех n-арных предикатов рА: |A|n→{И,Л}, взаимнооднозначно сопоставленных каждому n-арному предикатному символу р из L для каждого n. Например, структура А для L(N) – это тройка из: (i) непустого множества |A|, (ii) множества {0, S, +, ⋅}, где 1) 0 сопоставлен константе 0 и 0 ∈ |A|, 2) S сопоставлена S, и S: |A|→|A|, 3) + сопоставлена ⊕ и +: |A|2→|A|, ⋅ сопоставлена ⊗ и ⋅ : |A|2→|A|. 4) (iii) множества { =, < }, где 1) = сопоставлен =L и = - бинарный предикат равенства на |A|, т.е. диагональ множества |A|2, 2) < сопоставлен ∠ и < : |A|2→{И,Л}. Пока на А не накладывается больше никаких требований, кроме указанных. Например, в качестве структуры А для L(N) может выступить тройка из 1)множества {17}; 2)множества функций, где 0=17, S(17)=17, 17+17=17, 17⋅17=17; и 3)множества предикатов, где предикат < совпадает с равенством. В общем случае поименованы в ЯПП L только те индивиды из А, которые сопоставлены с константами L. Задача выражения истинности выражений L в А требует возможности для каждого индивида А иметь свое имя. С этой целью язык L может быть пополнен константами-именами для всех индивидов А. Именно, вводится множество констант, биективно сопоставленное |A|. Добавлением этих констант к L мы получаем новый язык L(А) первого порядка, отличающийся в алфавите от L только по добавленным константам (будем называть их «именами»). Изменения в выражениях L(А) относительно L выразятся в образовании тех же термов и формул, что и в L, но плюс еще с возможностью подстановок на место переменных в этих выражениях новых констант. Через i и j обозначим синтаксические переменные по добавленным константам (именам) в L(А). Например, для языка L(N) мы получаем язык L(N)[A] относительно описанной структуры А добавлением к функциональным символам имени для индивида 17, например, константы 17. Термами L(N)[A], кроме термов L(N), будут, например, такие: 17⊗0, х⊕17, S(17), и т.д.

7

Ясно, что это расширение множества термов приведет и к расширению множества формул L(N)[A] сравнительно с таковым в L(N), например, кроме формул L(N), появятся формулы вида: 17 =L y, ∃х(х∠17) и т.д. Теперь, имея базовые соответствия между нелогическими символами из L(А) и объектами из А, мы можем продолжить это соответствие на все термы и формулы, не содержащие свободных переменных (ведь именно такие выражения важны в связи с определением конкретного истинностного значения). Логический символ ∃ называется квантором существования. В термы и атомарные формулы переменные всегда входят свободно. Если переменная х входит свободно в формулу А, то в формуле ∃хА переменная х считается связанной (не свободной). Определим теперь функцию интерпретации А: ТС→|A|, где ТС – множество термов из L(А), не содержащих переменных (замкнутые термы). Функция А постулативно определена для терма а из ТС, если а = i – имя индивида А (т.е. константа, добавленная к L при построении L(A)): в этом случае А(а) и есть этот индивид. Если а – константа и не имя, т.е. а = е, то построением структуры А для L с а сопоставлен некоторый индивид еА из А: тогда А(а) = еА. Если же а ∈ ТС и а - не константа, то а = f(а1, …,аn), причем, f первично сопоставлена функция fA из A. Тогда, используя индуктивное определение замкнутых термов, мы можем предполагать, что для а1, …,аn уже определены индивиды А: А(а1), …,А(аn), и в этом случае: А(а)=fA(A(a1), …,A(an)). Таким образом, мы можем любому терму а из ТС поставить в соответствие единственный объект А(а) – индивид А. Например, для нашего языка L(N)[A] уже самим заданием структуры А определено, что А(17) = А(0) = 17. Далее получаем: А(S(a)) = S(A(a)), A(a1⊕a2) = A(a1) + A(a2), A(a1⊗a2) = A(a1) ⋅ A(a2). Т.о. функция А может быть определена индуктивно для всех замкнутых термов из L(N)[A]. Например: A(17⊕ 0) = A(17) + A(0) = 17 + 17 = 17, A(S(0⊗17)) = S(A(0⊗17)) = S(A(0) ⋅ A(17)) = S(17 ⋅17) = S(17) = 17. Далее определим функцию истинности (интерпретации) А: FC→{И,Л} для FC – множества всех замкнутых формул из L(А), т.е. формул, не содержащих свободных вхождений переменных. Элементы «И» и «Л» интерпретируются как истинностные значения, т.е. значения «истина» и «ложь» соотв. Вновь используем индуктивное определение формул. Базис индукции: пусть А – атомарная формула из FC, т.е. А = р(а1,…,аn). Для термов а1,…,аn уже определены интерпретации А(а1),…,А(аn), т.к. они из ТС. Кроме того, определением структуры А для L предикатному символу р из L

8

сопоставлен предикат рА из А. Тогда определено истинностное значение рА(А(а1),…,А(аn)). Его и обозначим через А(А). Например, для случая языка L(N)[A] получим: А(а1 =L а2) = А(а1) = А(а2) (т.е. истинностное значение формулы а1 =L а2 равно истинностному значению предиката = на паре (А(а1), А(а2))), А(а1 ∠ а2) = А(а1) < А(а2). Здесь а1, а2 – термы без переменных, и для них уже определены интерпретации А(а1) и А(а2). Индуктивное предположение: 1)Пусть А = В и для В определено А(А) = Н(В), где истинностное значение А(В). Тогда положим: Н:{И,Л}→{И,Л} – унарная истинностная функция (отрицание), и Н(И) = Л, Н(Л) = И. 2) Пусть А =В∨С и для В,С определены А(В) и А(С). Тогда положим: А(А) = Н∨ (А(В),А(С)), Где Н∨: {И,Л}2→{И,Л} – бинарная истинностная функция (дизъюнкция), табличное задание которой имеет вид: Х И И Л Л

Y И Л И Л

H∨ ∨(X,Y) И И И Л

3) Наконец, пусть А = ∃хВ и А – замкнутая формула. Тогда в В либо нет свободных вхождений переменных и здесь полагаем по определению: А = В, либо свободно в В по крайней мере одно вхождение переменной х, т.е. В = В(х) и тогда В не является замкнутой формулой. В первом случае функция А определена для В и А(А) = А(В). Во втором случае функция А не определена для В. Однако, А определена для каждой Вх[i] – результата подстановки i на места вхождения х в В(х) (в общем случае Ах[а] – обозначение формулы, полученной в результате правильной подстановки терма а на места свободного вхождения переменной х в А. Правильность (допустимость) подстановки состоит в том требовании, чтобы переменные из а не оказывались связанными в Ах[а] – если последнюю понимать как просто результат замены свободных вхождений х в А на а. Этого всегда можно добиться переименованием связанных переменных: подробнее см. [5, С.34-35]), где i – имя индивида из структуры А (добавленная константа L(А)), т.к. Вх[i] – замкнутая формула. В этом случае положим: А(А) = И тогда и только тогда, когда найдется по крайней мере одно имя i такое (или один индивид А(i) такой), что А(Вх[i]) = И. Например, для случая языка L(N)[A] имеем: А(∃х(х∠17)) = Н(А(∃х(х∠17))) = Н(найдется хотя бы один А(i) такой, что А((х∠17)х[i])=И). Так как в формуле (х∠17) нет кванторов, то любая подстановка на место х допустима, и

9

(х∠17)х[i] = (i∠17). В нашем случае i пробегает по одноэлементному множеству {17}, т.е. все возможности исчерпываются только одним случаем: 17∠17. Но А(17∠17) = А(17) < А(17) = 17 < 17 = И. Таким образом, нужный i найдется, и А(∃х(х∠17)) = И. Итак, окончательно имеем: А(∃х(х∠17)) = Н(И) = Л – истинностное значение формулы ∃х(х∠17) языка L(N)[A] в рассматриваемой нами структуре А найдено. Тем самым задается семантика ЯПП L и в общем случае. Напомним ее основные этапы: 1. Введение структуры А для языка L. 2. Построение языка L(A). 3. Построение функции интерпретации А:ЕС→I для ЕС – выражений L(А), не содержащих свободных вхождений переменных. ЕС = ТС ∪FC, I = |A| для ТС и I = {И,Л} для FC. Т.о. под семантикой ЯПП L можно понимать пару (структура А, функция интерпретации А). Семантика L – это не L (условие формальности L). Введением семантики выражения языка L приобретают значение. Функциональные символы интерпретируются как имена функций из А, предикатные символы – как имена предикатов, термы из ТС – как имена индивидов А, формулы из FC – как имена утверждений об объектах А вида: А - неверно, что А(А) А∨В А(А) или А(В) ∃хА существует такой А(i), что А(Ах(i)) Заметим, что при описанном нами подходе не получают интерпретации переменные и выражения, содержащие свободные вхождения переменных. Они рассматриваются как чисто знаковые (синтаксические) сущности, принадлежащие только языку. Такой подход не единственный, но именно он позволяет добиться существенных упрощений при определении семантики языка. Пусть А – формула L, и все переменные, имеющие свободные вхождения в формулу А, содержатся среди переменных х1,…,хn. Тогда А можно обозначать как А(х1,…,хn). А соответствует множество замкнутых формул из FC вида А[i1,…,in] – А-частные случаи формулы А. Тогда положим: А(А) = И тогда и только тогда, когда А(А′′) = И для каждого А-частного случая А′′ формулы А. Задание: 1. Дайте индуктивные определения для замкнутых термов и формул языка первого порядка. 2. Дайте индуктивные определения замкнутых термов и формул для языка L(N). 3. Определите семантику языка первого порядка, используя индуктивное определение замкнутых выражений языка первого порядка.

10

4. Логика в языке первого порядка Итак, построен некоторый язык L. Пока множество формул L – это некоторое абстрактное множество рядоположенных элементов. Следующий шаг построения ФАТ состоит в построении логики в L. Для этого в L выделяют некоторое множество формул, которые называют логическими аксиомами, и определяют правила вывода. Будем обозначать через ∀хА формулу (∃х(А)), А→В формулу (А)∨В, А∧В формулу ((А)∨(В)), А↔В формулу (А→В)∧(В→А) Каждое сокращение, например, ∀хА, - это выражение из метаязыка, но для него указано правило перевода в соответствующую формулу объектного языка, что позволяет нам использовать сокращения при работе с объектным языком (то же относится и к употреблению скобок). Через формулу (А1→А2→…→Аn)→В мы будем сокращать формулу (А1∧А2∧…∧Аn)→В. В качестве логических аксиом L выделяются следующие формулы L (см. [5, С.41]): LA1. А∨А – пропозициональная аксиома, LA2. Ах[а]→∃хА – аксиома подстановки, LA3. х =L х – аксиома тождества, LA4. Аксиома равенства: LA4.1. x1=Ly1→…→xn=Lyn→f(x1,…,xn)=Lf(y1,…,yn) – для функциональных символов, LA4.2. x1= Ly1→…→xn= Lyn→р(x1,…,xn)→р(y1,…,yn) – для предикатных символов. Заметим, что логические аксиомы формулируются в терминах синтаксических переменных, т.е. каждый случай аксиомы – это бесконечное множество формул из объектного языка (так называемая схема аксиом). Следующий шаг построения логики в L состоит в определении правил вывода. Каждое правило вывода формулируется как переход от формул А1, …, Аn (посылок) к формуле В (заключению). Мы будем изображать это в виде А1, …,Аn ├В. Правила вывода в L (см. [5, С.41]): С1. А├В∨А – правило расширения. С2. А∨А├А – правило сокращения. С3. А∨(В∨С) ├ (А∨В)∨С – правило ассоциативности. С4. А∨В, (А)∨С├В∨С – правило сечения. С5. Если х не имеет свободных вхождений в В, то А→В├∃хА→В – правило ∃-введения.

11

Задание: Покажите, что: 1. Если А – логическая аксиома, то А(А) = И для любой структуры А. 2. Если дан вывод А1,…,Аn├В и А(А1) = И,…, А(Аn) = И, то А(В) = И для любой структуры А.

5. Теория первого порядка При построении ФАТ в нее обязательно входят логические аксиомы, но, возможно, добавляются еще некоторые формулы, как отдельные формулы или схемы аксиом, которые называются нелогическими аксиомами теории. Итак, формальная аксиоматическая теория (первого порядка) Т – это тройка (язык L, нелогические аксиомы Т, правила вывода). Язык теории Т будем обозначать через L(T). Под доказательством в Т понимают конечную последовательность А1,…,Аn формул из L(T), где каждая Аi – это либо аксиома Т (логическая или нелогическая), либо Аi следует по одному из правил вывода из предшествующих формул в указанной последовательности. Доказательство считается доказательством своей последней формулы Аn. Теории первого порядка могут различаться между собой только нелогическими символами языка и нелогическими аксиомами, все остальное дано уже по общему определению теории. В связи с этим, для задания теории достаточно явно указать только на ее нелогические аксиомы и нелогические символы ее языка. Моделью теории Т называется такая структура языка L(T), в которой истинны все нелогические аксиомы Т. Формула А из L(T) называется истинной в Т, если она истинна в каждой модели Т. Приведем два примера теорий первого порядка: теории N и теории Р. У этих теорий зададим один и тот же язык, а именно рассмотренный нами выше язык L(N). Таким образом, для определения этих теорий остается лишь привести списки их нелогических аксиом. Нелогические аксиомы теории N (см [5, С.43]): N1. (S(x) =L 0) N2. S(x) =L S(y)→x =L y N3. x⊕0 =L x N4. x⊕S(y) =L S(x⊕y) N5. x⊗0 =L 0 N6. x⊗S(y) =L (x⊗y)⊕x N7. (x ∠ 0) N8. x ∠ S(y) ↔ (x ∠ y) ∨ (x =L y) N9. (x ∠ y) ∨ (x =L y) ∨ (y ∠ x)

12

Заметим, что все аксиомы N – отдельные формулы, т.к. в них использованы объектные переменные. Нелогические аксиомы теории Р (арифметики Пеано) (см. [5, С.300]): В теории Р девять аксиом. Аксиомы Р1 – Р8 – это аксиомы N1 – N8 соотв. Р9. Ах[0] ∧ ∀х(А→Ах[S(x)])→A Аксиома Р9 – это схема аксиом индукции, т.к. в ней используются синтаксические переменные. Структура А на множестве {17}, рассмотренная нами выше, не может быть моделью теорий N и Р (хотя это структура для языков этих теорий), т.к. в ней не выполнена уже первая аксиома. Моделью для этих теорий будет, например, структура на обычном множестве натуральных чисел с выделенным элементом 1 или 0 (сопоставленным константе 0), в зависимости от того, как понимается множество натуральных чисел; функциями S (сопоставляется символу S) – взятия последующего, сложения (+ - сопоставляется ⊕) и умножения (⋅ сопоставляется ⊗), и отношением строгого порядка (< - сопоставляется ∠). Эта структура называется стандартной моделью обеих теорий и будет обозначаться нами символом N. Задание: 1. Докажите, что если Т – некоторая теория первого порядка и А – формула теории Т (т.е. формула из языка L(T) теории Т), то А – теорема теории Т тогда и только тогда, когда в Т существует доказательство формулы А. 2. Докажите так называемую «теорему истинности»: если формула А – теорема теории Т, то А истинна в Т.

6. Пример одной типичной задачи Задача: доказать, что формула (х=х)∨(х=х) – теорема теории Т, не доказуемая без пропозициональной аксиомы, если теория Т не содержит нелогических аксиом. Решение: во-первых, указанная формула – это теорема, т.к. она получена как частный случай пропозициональной аксиомы. Введем далее функцию f на множестве формул, ForT, теории Т f: ForT →{И,Л}, где 1) f(A) = И, если А – атомарная формула, 2) f(A) = Л для любой формулы А, 3) f(A∨B) = f(B), 4) f(∃xA) = И. Определим, чему равна введенная функция на аксиомах Т (в нашем случае это только логические аксиомы). LА1. f(A∨A) = f(A) = Л,

13

LА2. f(Ax[a]→∃xA) = f(Ax[a]∨∃xA) = f(∃xA) = И, LА3. f(x= Lx) = И, т.к. х= Lх – атомарная формула, LА4.1. f(x1=Ly1→…→xn=Lyn→f(x1,…,xn)=Lf(y1,…,yn)) = f(f(x1,…,xn)=Lf(y1,…,yn)) = И, т.к. f(x1,…,xn)=Lf(y1,…,yn) – атомарная формула, = LA4.2. f(x1=Ly1→…→xn=Lyn→р(x1,…,xn)→р(y1,…,yn)) f(р(x1,…,xn)→р(y1,…,yn)) = f(р(x1,…,xn)∨р(y1,…,yn)) = f(р(y1,…,yn)) = И, т.к. р(y1,…,yn) – атомарная формула. Итак, функция f определена таким образом, что она дает «ложь» только на пропозициональной аксиоме. На всех остальных логических аксиомах эта функция дает значение «истина». Рассмотрим далее, какие значения принимает функция f на заключениях логических выводов, если на посылках этих выводов она дает значение «истина». С1. Пусть f(A) = И, и А├ В∨А. Тогда f(B∨A) = f(A) = И. С2. Пусть f(A∨A) = И и А∨А├А. Тогда f(A) = f(A∨A) = И. С3. Пусть f(A∨(B∨C)) = И и А∨(В∨С)├ ((А∨В)∨С). Тогда f((A∨B)∨C) = f(C) = f(A∨(B∨C)) = И. С4. Пусть f(A∨B) = И и f(A∨C) = И и А∨В, А∨С ├ В∨С. Тогда f(B∨C) = f(C) = f(A∨C) = И. С5. Пусть f(A→B) = И и А→В ├ ∃хА→В. Тогда f(∃xA→B) = f(B) = f(A→B) = И. Итак, введенная нами функция f такова, что 1)она дает значение «истина» на всех аксиомах, кроме пропозициональной аксиомы, и 2)если на посылках вывода функция f дает значение «истина», то и на заключении этого вывода она дает значение «истина». В то же время для нашей формулы (х=х)∨(х=х) имеем: f((х=х)∨(х=х)) = f((х=х)) = Л. Таким образом, эта формула не может быть выведена без пропозициональной аксиомы, т.к. на всех теоремах, выводимых без пропозициональной аксиомы, функция f дает значение «истина», в то время как на нашей формуле она дает значение «ложь». Задание: Используя описанную выше методику, покажите, что формула х=х→∃х(х=х) является теоремой теории Т, не доказуемой без аксиомы подстановки, если Т – теория без нелогических аксиом (здесь используйте такое А, отображение f, что f(A)=И для атомарных f(A)=H(f(A)), f(A∨B)=H∨(f(A),f(B)), f(∃xA)=Л).

14

7. Индуктивные определения в математической логике Как видно из вышеизложенного, в математической логике важную роль играют индуктивные определения, общий вид которых можно представить следующим образом. Пусть определяется некоторое индуктивное множество А. Для определения А определяют, во-первых, некоторые базисные множества А1, А2, …, АN, являющиеся подмножествами А, а затем вводят правила индуктивного расширения Р1, Р2, …, РM, которые можно применять к элементам уже построенных подмножеств А, получая вновь элементы А. Наконец, добавляется требование минимальности множества А как индуктивного множества. Таким образом, полное определение множества А предстает в виде трех частей – базиса индукции, индуктивного предположения и требования минимальности: (1) Элементы множеств А1, А2, …, АN – элементы множества А (базис индукции), (2) Если а1, а2, …, аkj – элементы множества А и отображение Рj , j=1,2,…,M, имеет местность kj, то Р(а1,а2,…,аkj) – элемент множества А (индуктивное предположение). (3) Никаких иных элементов в А нет (минимальность множества А). Здесь а1, а2, …, аkj – это переменные по элементам множества А. В такой форме давались определения множества термов и формул языка первого порядка. Например, для множества формул языка первого порядка в качестве базиса индукции используется множество атомарных формул, а в качестве принципов индуктивного расширения в индуктивном предположении 2)двуместное используются: 1)одноместное отображение Р(А)=А, отображение Р∨(А,В)=А∨В, 3)одноместные отображения Р∃х(А)=∃хА. Имеет смысл обращать внимание студентов на механизм действия индуктивных определений. Следует пояснить, что индуктивное множество А прирастает как бы слоями – вначале образуется объединение базисных N

множеств А1= Υ A i , затем это множество пополняется за счет принципов i =1

расширения до множества А2, затем принципы расширения начинают действовать на множество А2, расширяя его до множества А3, и т.д. Таким образом, множество А возникает как бесконечное объединение своих “слоёв” ∞

А , А , А , …, т.е. А= Υ A i. 1

2

3

i =1

Следует также отметить, что именно индуктивные определения позволяют доказывать те или иные утверждения для всех элементов индуктивного множества. Если нужно доказать, что каждый элемент индуктивного множества А обладает некоторым свойством Q, то для этого достаточно показать, что: (1) Свойство Q выполнено для элементов множеств А1, А2, …, АN (базис индукции),

15

(2) Из того, что свойство Q выполнено для элементов а1, а2, …, аkj следует, что это свойство верно для элементов Р(а1,а2,…,аkj), где Рj , j=1,2,…,M, имеет местность kj (индуктивное предположение). Например, такое доказательство используется в теореме истинности, где нужно доказать, что всякая теорема теории Т истинна во всех моделях теории Т. В этом случае индуктивным множеством является множество теорем теории Т. Базисным множеством здесь служит множество логических и нелогических аксиом, в качестве принципов индуктивного расширения выступают правила вывода. Таким образом, для доказательства теоремы истинности нам достаточно убедиться в том, что 1)всякая аксиома теории Т истинна в любой модели Т, 2)если в любой модели теории Т истинны посылки логического вывода, то истинным в этой модели Т будет и заключение вывода.

8. Теорема о полноте теорий первого порядка (первая теорема Гёделя) Для формулировки теоремы полноты дадим ряд предварительных определений и теорем. Определение. Язык L’ называется расширением языка L, если из того, что α нелогический символ L, вытекает, что α - нелогический символ L’. Определение. Теория Т* называется расширением теории Т, если L(Т*) – расширение языка L(Т) и из того, что А – теорема Т, следует, что А – теорема Т*. Определение. Теория Т* называется консервативным расширением теории Т, если Т* - расширение Т, и для любой формулы А из Т верно: если А – теорема Т*, то А – теорема Т. Определение. Пусть А – формула и х1,…,хn – все переменные, имеющие свободные вхождения в А. Тогда формула ∀х1…∀хnА называется замыканием формулы А. Через ├ТА мы будем обозначать тот факт, что А – теорема теории Т. Определение. Теория Т называется противоречивой, если ├ТА для любой формулы А из Т. В противном случае Т называется непротиворечивой. Через Т[А1,…,Аn] будем обозначать теорию Т*, образованную из Т добавлением ее формул А1,…,Аn в качестве новых нелогических аксиом Т*. Если Г = {А1,…,Аn}, то Т* = Т[Г]. Могут быть доказаны следующие теоремы: Теорема истинности [5, С.44]. Если ├ТА, то А истинна в Т. Теорема замыкания [5, С.56]. Если А* - замыкание А и А – формула Т, то ├ТА* тогда и только тогда, когда ├ТА.

16

Теорема замыкания (следствие) [5, С.56]. Если А* - замыкание А и А – формула Т, то А(А) = И тогда и только тогда, когда А(А*) = И для любой структуры А языка L(T). Теорема о константах [5, С.57]. Пусть Т* получена из Т только добавлением новых констант в L(T). Если А(х1,…,хn) – формула Т, где х1,…,хn – все переменные, имеющие свободные вхождения в А, и е1,…,еn – любой набор новых констант, то ├ТА т. и т.т., когда ├Т*А(е1,…,еn), где А(е1,…,еn) – результат подстановки еi на места свободных вхождений хi. Теорема редукции [5, С.70]. Пусть А* - замыкание А, и А – формула теории Т. Тогда ├ТА т. и т.т., когда Т[А*] противоречива. Ниже, используя эти теоремы и определения, мы рассмотрим одну из центральных теорем метаматематики – теорему полноты, в той формулировке, как она дана в [5]. Дж.Шенфилд дает эту теорему в двух формулировках (см. [5,С.70]): Теорема полноты (1-я форма). Пусть А – формула теории первого порядка Т. Тогда: ├ТА т. и т.т., когда А истинна в Т (т.е. А истинна в каждой модели Т как структуре для L(T)). Теорема полноты (2-я форма). Пусть Т – теория первого порядка. Тогда: Т непротиворечива т. и т.т., когда Т имеет модель. Ход доказательства строится Шенфилдом в следующем виде (в предположении, что А – замкнутая формула): А - теорема Т ↕ Теорема редукции Т[А] противоречива ↕ Теорема полноты (2-я форма) Т[А] не имеет модели ↕ по определению Все модели Т таковы, что в них А истинна ↕ по определению А истинна в Т Таким образом, достаточно доказать вторую форму теоремы полноты для доказательства ее первой формы. В силу теоремы замыкания и следствия из нее, первую форму теоремы полноты достаточно доказать только для замкнутых формул Т. Доказательство достаточности (если Т имеет модель, то Т непротиворечива) во 2-й форме теоремы полноты простое. Именно: Теория Т противоречива т. и т.т., когда ├ТВ∧В для некоторой формулы В из Т. В самом деле, можно доказать, что В∧В├ТС, т.е. из В∧В выводима в Т любая формула С. Пусть Т имеет модель. Нужно доказать, что Т непротиворечива. Для этого нужно показать существование формулы А такой, что неверно ├ТА. Пусть В – замкнутая формула из Т, тогда А(В∧В) = Л для

17

любой модели Т, т.е., по теореме истинности, неверно, что ├ТВ∧В, т.е. А = В ∧В. Гораздо сложнее доказательство необходимости во второй форме теоремы полноты: если Т непротиворечива, то Т имеет модель. Здесь в условиях дан только синтаксический объект – формальная теория Т. Построить же нужно семантический объект – модель Т. Основная идея решения этой проблемы состоит в построении модели на основе синтаксиса теории, как бы из материала синтаксиса. Модель Т – это, во-первых, структура А для языка L(T), т.е. нужно построить множество индивидов (универсум) |A|, ввести функции и предикаты, соотнесенные с соответствующими символами языка. Затем необходимо обеспечить семантику для L(T), т.е. для всех замкнутых формул языка, причем, выполняя условия модельности, это необходимо осуществить таким образом, чтобы все теоремы Т были истинны в А. Основные идеи решения всех этих задач следующие: 1.На множестве замкнутых термов ТС из L(T), т.е. на термах, не содержащих переменных, вводится отношение эквивалентности ≈ вида: Если а,в – замкнутые термы, то а ≈ в т. и т.т., когда ├Та=Lв (где «=L» – символ равенства в языке L(T)). Чтобы ТС было не пусто, необходимо, чтобы L(T) содержал константы (иначе нечем будет замыкать термы). 2.Множество ТС разбивается ≈ на классы эквивалентности, т.е. возникает фактор-множество ТС/≈, которое и рассматривают в качестве универсума |A| модели. Т.о. индивид А – это класс эквивалентности из ТС/≈ (о проверке свойств эквивалентности см.[5, С.72]). Если а – замкнутый терм, то через а0 будем обозначать его класс эквивалентности. 3.Для каждого функционального символа f( 1,…, n) строится функция fA на ТС/≈ по правилу: fA(а10,…,аn0) = [f(а1,…,аn)]0. 4.Для каждого предикатного символа р( 1,…, n) строится предикат рА на ТС/≈ по правилу: рA(а10,…,аn0) = И т. и т.т., когда ├Т рA(а1,…,аn). 5.Доказывается корректность этих определений, т.е. независимость от конкретного представителя из класса эквивалентности (см. [5, С.72]). 6.Теперь можно определить функцию интерпретации для всех замкнутых термов. Для констант, как 0-местных функциональных символов, имеем: А(е) = е0. Используя индуктивное определение замкнутых термов, получим: А(а) = А(f(а1,…,аn)) = fA(A(a1),…,A(an)) = fA(a10,…,аn0) = [f(a1,…,an)]0. Т.о. А(а) = а0 для всех замкнутых термов. 7.Далее, пусть А = р(а1,…,аn) – замкнутая атомарная формула. Тогда: А(A)= А(pA(A(a1),…,A(an))) = A(pA(a10,…,an0))=И т. и т.т., когда ├Tp(a1,…,an) т. и т.т., когда ├TA. Т.о. А(А) = И т. и т.т., когда ├ТА. То же верно и для предиката равенства. Теперь можно было бы попытаться доказать для более общего случая, что А(А) = И т. и т.т., когда ├ТА, т.е. для любой замкнутой формулы А. Однако здесь мы сталкиваемся со следующими трудностями.

18

8. Во-первых, возможно, что не все индивиды представимы в Т через замкнутые термы. Именно, возможен случай теоремы существования ├Т∃хА для некоторого х, когда этот х, вернее, его интерпретация – индивид, не может быть выражен через замкнутый терм а (в простейшем случае константу е) из Т. Замкнутых термов, иными словами, может не хватать для выражения всех индивидов, представимых в Т через теоремы существования (проблема индивидной представимости Т). 9. Во-вторых, коль скоро интерпретация замкнутых формул связывается с доказуемостью этих формул в Т, то может возникать вторая проблема: в конкретной теории Т совсем не обязательно доказуемость может распространяться на любую замкнутую формулу или ее отрицание (проблема пропозициональной представимости Т), и в этом случае определить интерпретацию для всех замкнутых формул не удастся. Структура, описание которой было приведено выше и которая строится из синтаксиса теории, называется канонической структурой для Т. В общем случае, как мы видим, каноническая структура для Т не может обеспечить построение модели Т. Однако, возможно следующее дальнейшее построение: 1. От теории Т мы переходим к некоторой теории Т*. 2. Теория Т* должна удовлетворять условиям индивидной и пропозициональной представимости. Тогда каноническая структура Т* должна быть моделью Т*. 3. Наконец, Т* следует построить так, чтобы на основе модели Т* можно было бы построить модель Т. Теории, в которых решена проблема индивидной представимости, носят название теорий Генкина. Именно: Т – теория Генкина, если для всякой замкнутой (!) формулы ∃хА из Т существует константа е такая, что ├Т∃хА→Ах[е]. Формула А из Т называется неразрешимой в Т, если ни А, ни А не являются теоремами Т. В противном случае А называется разрешимой. Теории с решенной проблемой пропозициональной представимости носят название полных теорий. Именно: Т – полная теория, если Т непротиворечива и любая замкнутая (!) формула Т разрешима в Т. Можно доказать (см. [5, С.74-75]), что, если Т – полная теория Генкина, то: 1) А(А) = И т. и т.т., когда ├ТА для любой замкнутой А (именно для доказательства этого факта нужны специальные аксиомы (см. ниже) – они используются при доказательстве утверждения «если ├Т∃хВ, то А(∃хВ) = И»). 2) Каноническая структура для Т – модель Т. Итак, теперь основная проблема состоит в том, чтобы на основе любой теории Т построить ее расширение Т*, где Т* - полная теория Генкина, и использовать модель Т* для построения модели Т. Построение Т* ведется в два этапа: 1) сначала Т расширяют до некоторой ТН, где ТН – теория Генкина, 2)затем ТН расширяют до полной теории Т*, причем, это расширение до полной теории осуществляют так, чтобы с приобретением