Обратимость во времени физических законов и диполь Герца в общем курсе физики

14

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 8, ¹ 3, 2002

Îáðàòèìîñòü âî âðåìåíè ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è äèïîëü Ãåðöà â îáùåì êóðñå ôèçèêè Á.À. Âåêëåíêî Ìîñêîâñêèé ýíåðãåòè÷åñêèé èíñòèòóò (Òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò) Ôîðìóëà èçëó÷åíèÿ äèïîëÿ âûâîäèòñÿ ïóòåì ðàññìîòðåíèÿ ïðîöåññà ïîãëîùåíèÿ ñâåòà ïðè îáðàòíîì òå÷åíèè âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ ìåõàíèêè Íüþòîíà è îáðàòèìîñòü âî âðåìåíè ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè èçëó÷åíèÿ äèïîëÿ áåç îáðàùåíèÿ ê óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà.

Ïîäðîáíîå èçëîæåíèå çàêîíîâ èçëó÷åíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáùåì êóðñå ôèçèêè äëÿ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ çàòðóäíèòåëüíî èç-çà íåäîñòàòêà âðåìåíè è ìàòåìàòè÷åñêîé ãðîìîçäêîñòè èçëàãàåìîãî ìàòåðèàëà [1,2]. Ýòîò ðàçäåë ÷àñòî îïóñêàþò, ïðèâîäÿ ëèøü èòîãîâûå ôîðìóëû [3,4]. Íåäîñòàòêè òàêîãî èçëîæåíèÿ î÷åâèäíû. Ïðèêëàäíîå æå çíà÷åíèå çàêîíîâ èçëó÷åíèÿ äîñòàòî÷íî áîãàòî. Íà íèõ ïðèõîäèòñÿ îïèðàòüñÿ ïðè èçëîæåíèè ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ, îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà, ýôôåêòà Âàâèëîâà-×åðåíêîâà, òåîðèè ñïëîøíîãî ñïåêòðà ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ, óñòîé÷èâîñòè áîðîâñêèõ îðáèò è ò.ä. Äåòàëüíûå ñâîéñòâà ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ ïðîÿâëÿþòñÿ ïðè èçëîæåíèè áðþñòåðîâñêîãî îòðàæåíèÿ è ñâîéñòâ äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèè ñâåòà. Âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â ïîèñêàõ êîñâåííûõ ïóòåé âûâîäà îñíîâíûõ çàêîíîìåðíîñòåé èçëó÷åíèÿ ñâåòà.  ñâÿçè ñ ýòèì çàñëóæèâàåò âíèìàíèÿ âûâîä ôîðìóëû èçëó÷åíèÿ Äæ. Äæ. Òîìñîíà, ïðèâåäåííûé â êíèãå [5]. Ìû îáðàùàåì âíèìàíèå íà òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âûâîä îñíîâíûõ çàêîíîâ èçëó÷åíèÿ ìîæíî îñóùåñòâèòü íå íà îñíîâå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, à íà îñíîâå óðàâíåíèé ìåõàíèêè Íüþòîíà. Ýòî íåîæèäàííîå óòâåðæäåíèå íåñêîëüêî ïðîÿñíÿåòñÿ, åñëè îáðàòèòü âíèìàíèå íà âçàèìíóþ îáóñëîâëåííîñòü óðàâíåíèé ìåõàíèêè è ýëåêòðîäèíàìèêè, ñëåäóþùóþ èç îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòè E ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ: E=

f 1 dp = . q q dt

(1)

Çäåñü q - çàðÿä ïðîáíîé ÷àñòèöû, ïîìåùåííîé â òî÷êå îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòè, p - åå èìïóëüñ, f - ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïðîáíóþ ÷àñòèöó ñî ñòîðîíû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.  îïðåäåëåíèè (1) óæå çàäåéñòâîâàí âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Ïðîáíàÿ ÷àñòèöà, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíàì ìåõàíèêè. Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ýëåêòðîìàãíåòèçìà îáóñëîâëåíû ïîíÿòèÿìè ìåõàíèêè. Ñèòóàöèÿ åùå áîëåå ïðîÿñíÿåòñÿ, åñëè çàìåòèòü, ÷òî ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ ñâåòà, ðàññìàòðèâàåìûé â îáðàòíîì òå÷åíèè âðåìåíè. Íî ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Íüþòîíà. Ñëåäîâàòåëüíî, è ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ â êàêîé-òî ñòåïåíè ìîæåò áûòü îïèñàí ýòèìè óðàâíåíèÿìè. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, óðàâíåíèÿ Íüþòîíà íàêëàäûâàþò ñâîè îãðàíè÷åíèÿ íà âèä ôîðìóë, îïèñûâàþùèõ èçëó÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.

Îáðàòèìîñòü âî âðåìåíè ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è äèïîëü Ãåðöà â îáùåì êóðñå ôèçèêè

15

Íàñêîëüêî òàêèå îãðàíè÷åíèÿ æåñòêè, ïîêàçûâàåò íèæåñëåäóþùåå ðàññìîòðåíèå. Ïðåæäå âñåãî, íåñêîëüêî ñëîâ îá îáðàòèìîñòè âî âðåìåíè ìåõàíè÷åñêèõ äâèæåíèé. Ïóñòü äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû m ïîä äåéñòâèåì ñèëû f1 (t ) îäíîìåðíî. Çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè êîîðäèíàòû òî÷êè íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ Íüþòîíà: m

d 2 x1 (t ) dt 2

= f1 ( t ) .

(2)

Åñëè â ðåøåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ x1 (t ) îñóùåñòâèòü çàìåíó t → −t , òî âíîâü ïîëó÷èì êîîðäèíàòó äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè , íî äâèæóùåéñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû f 2 (t ) = f1 ( −t ) . Äåéñòâèòåëüíî, çàìåíèâ â óðàâíåíèè (2) t íà -t, íàéäåì: m

ax2→ (t )0= x1 ( −t )

d 2 x 2 (t ) dt 2

= f 2 (t ) .

Ôóíêöèè x1 (t ) è x2 (t ) îïèñûâàþò ðàçíûå äâèæåíèÿ. Äëÿ íàãëÿäíîñòè, â ÷àñòíîì ñëó÷àå, ýòè ôóíêöèè èçîáðàæåíû íà Ðèñóíêå 1. Äëÿ èçó÷åíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé ôóíêöèè x2 (t ) ìîæíî ïîñòóïèòü äâîÿêèì îáðàçîì. Ìîæíî çàñíÿòü äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà êèíîïëåíêó è, ìíîãîêðàòíî åå ïðîñìàòðèâàÿ, ïîäðîáíî èçó÷èòü ôóíêöèþ x2 (t ) . Íî ìîæíî ïîñòóïèòü èíà÷å. Ìîæíî çàñíÿòü íà êèíîïëåíêó äâèæåíèå òî÷êè, îïèñûâàåìîé ôóíêöèåé x1 (t ) , à çàòåì êèíîïëåíêó â êèíîïðîåêòîðå çàïóñòèòü â îáðàòíóþ ñòîðîíó. Íà ýêðàíå âíîâü âîçíèêíåò ôóíêöèÿ x2 (t ) , è ïîäëîã íå áóäåò çàìå÷åí. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå çàêîíîìåðíîñòè ôóíêöèè x2 (t ) ñîäåðæàòñÿ â ôóíêöèè x1 (t ) . Çàñíèìåì òåïåðü íà êèíîïëåíêó ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ ñâåòà è çàïóñòèì êèíîïëåíêó â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Íà ýêðàíå âîçíèêíåò ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ. Ïðè÷åì åãî çàêîíîìåðíîñòè, ñîãëàñíî ñêàçàííîìó, çàêëþ÷åíû â ïðÿìîì ïðîöåññå, òî åñòü ïðîöåññå ïîãëîùåíèÿ. Îáðàòèìñÿ ê òåîðèè ïðîöåññà ïîãëîùåíèÿ. Ïóñòü íà íåðåëÿòèâèñòñêèé îñöèëëÿòîð (äèïîëü ñ ìàññîé êîëåáëþùåéñÿ ÷àñòèöû m è çàðÿäîì q), íàõîäÿùèéñÿ â ïîêîå, ïàäàåò ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, îïèñûâàåìàÿ âåêòîðîì Ïîéíòèíãà S0, âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîé íàïðÿæåííîñòè E0 è ÷àñòîòîé ω. Òàêàÿ âîëíà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âûçûâàåò óñêîðåíèå îñöèëëÿòîðà a â íàïðàâëåíèè âåêòîðà E0: ma = qE0 (3) Ñèëîé Ëîðåíöà â ñëó÷àå íåðåëÿòèâèñòñêîãî äâèæåíèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ýíåðãèÿ âîëíû ÷àñòè÷íî ïîãëîùàåòñÿ îñöèëëÿòîðîì. Ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (3) îïðåäåëÿåòñÿ ëèíåéíîé ñâÿçüþ âåêòîðîâ E0 è a . Ëèíåéíàÿ ñâÿçü ýòèõ âåêòîðîâ ñîõðàíèòñÿ â ëþáîé ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè ïðîñòî ïîòîìó, ÷òî , åñëè E 0 → 0 . Ëèíåéíàÿ ñâÿçü ñëåäóåò è èç òî÷íîãî ðåøåíèÿ: a (t ) =

d 2 x 2 (t ) dt

2

=

(

)

E0 q ω02 cos(ω0 t ) − ω2 cos(ωt ) , 2 m ω0 − ω 2

åñëè òîëüêî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà â òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ îñöèëëÿòîðà îïèñûâàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ:

16

Á.À. Âåêëåíêî

Ðèñóíîê 1.

Ðèñóíîê 2.

Îáðàòèìîñòü âî âðåìåíè ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è äèïîëü Ãåðöà â îáùåì êóðñå ôèçèêè

17

E0 (t ) = E0 cos(ωt ) .

×åðåç ω0 îáîçíà÷åíà ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà. Îáðàòíûé âî âðåìåíè ïðîöåññ - ýòî ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ. Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó, îí îáÿçàí îïðåäåëÿòüñÿ ëèíåéíîé ñâÿçüþ ìåæäó óñêîðåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ a è íàïðÿæåííîñòüþ E, óõîäÿùåé îò îñöèëëÿòîðà ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Òàêèì îáðàçîì, êîíñòàòèðóåì, ÷òî çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà, äâèãàþùàÿñÿ óñêîðåííî, èçëó÷àåò. Ïðè ýòîì âåêòîð E â èçëó÷åííîé âîëíå ïàðàëëåëåí âåêòîðó a. Äâèæåíèå îñöèëëÿòîðà âäîëü âåêòîðà S0, åñëè îíî ñóùåñòâóåò, íèêàêîãî âëèÿíèÿ íà ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó íå îêàçûâàåò. Ðàññìîòðåííàÿ ìîäåëü ïðîñòà, íî îñëîæíÿåòñÿ íàëè÷èåì ïðîõîäÿùåé âîëíû â ïðÿìîì ïðîöåññå.  îáðàòíîì ïðîöåññå ýòà âîëíà âûçîâåò íå èíòåðåñóþùåå íàñ âûíóæäåííîå èçëó÷åíèå. Åñëè æå íà îñöèëëÿòîð âîçäåéñòâóåò ñðàçó íåñêîëüêî ïëîñêèõ âîëí â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ òàê, ÷òî ïðîõîäÿùèå âîëíû âçàèìíî êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, òî îáðàòíûé âî âðåìåíè ïðîöåññ íîñèò íàçâàíèå ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ äèïîëÿ. Âûíóæäåííîå èçëó÷åíèå çäåñü îòñóòñòâóåò. Èòàê, åñëè äèïîëü èçíà÷àëüíî îáëàäàåò óñêîðåíèåì a è âíåøíèå ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ îòñóòñòâóþò, òî òàêîé äèïîëü áóäåò ñïîíòàííî èçëó÷àòü, ïðè÷åì îáÿçàòåëüíî âî ìíîãèõ íàïðàâëåíèÿõ ñðàçó. Èíòåðåñóÿñü èçëó÷åíèåì äèïîëÿ îòäåëüíîé âîëíû (S,E), ìû äîëæíû ðàçëîæèòü âåêòîð a íà íàïðàâëåíèå âåêòîðà S è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê íåìó êîìïîíåíòó. Çà èçëó÷åíèå îòâåòñòâåííà ëèøü ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ êîìïîíåíòà. Âåêòîðû a, S è E ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Äëÿ èçëó÷åííîé âîëíû: E ~ a cos(Θ) = a sin(ϑ) ,

q→0

ãäå Θ - óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è E, à ϑ - óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì èçëó÷åíèÿ è âåêòîðîì a (Ðèñóíîê 2). Ïîñêîëüêó ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ ñâåòà ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (1) óïðàâëÿåòñÿ ïåðâîé ñòåïåíüþ çàðÿäà q, òî è ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ äîëæåí óïðàâëÿòüñÿ òîé æå ñòåïåíüþ çàðÿäà q.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðè ïðÿìîé è îáðàòíûé ïðîöåññû îêàæóòñÿ ïðîöåññàìè ðàçíîé ñòåïåíè ìàëîñòè ïî q. Òàêèì îáðàçîì, E ~ q ⋅ a ⋅ sin(ϑ) = p ′′sin(ϑ) ,

(4)

ãäå p′′ -äèïîëüíûé ìîìåíò îñöèëëÿòîðà. Ôîðìóëà (4) îïèñûâàåò âñå ñóùåñòâåííûå ñâîéñòâà èçëó÷åíèÿ îñöèëëÿòîðà, âêëþ÷àÿ åãî èíäèêàòðèñó, ïîëÿðèçàöèþ, çàâèñèìîñòü íàïðÿæåííîñòè èçëó÷åííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû îò óñêîðåíèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû. Ê óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà ìû ïîêà íå îáðàùàëèñü. Íî ìîæåì ñìåëî óòâåðæäàòü, ÷òî ýòè óðàâíåíèÿ íå ìîãóò âîéòè â ïðîòèâîðå÷èå ñ ôîðìóëîé (4). Èíà÷å áóäóò íàðóøåíû çàêîíû ìåõàíèêè. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ïîçâîëÿþò äàëåå óòî÷íèòü ôîðìóëó (4), åñëè, ðàññìàòðèâàÿ èçëó÷åííóþ âîëíó êàê ñôåðè÷åñêóþ, âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì èç íèõ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ïîòîêîâ ýíåðãèè, èçëó÷åííîé âíóòðè òåëåñíîãî óãëà dΩ íà ðàññòîÿíèÿõ r1 è r2 îò èçëó÷àòåëÿ:

18

Á.À. Âåêëåíêî

.

(5)

Çäåñü c - ñêîðîñòü ñâåòà, ÷åðåç B îáîçíà÷åí âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè èçëó÷åííîé âîëíû. Ïîñêîëüêó íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïëîñêîé, òî ìîäóëè âåêòîðîâ E è B, èçìåðåííûå â ãàóññîâîé ñèñòåìå åäèíèö, ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè. Èç ðàâåíñòâà (5) íàõîäèì îáðàòíóþ çàâèñèìîñòü îò ðàññòîÿíèÿ. Ôîðìóëà (4) óòî÷íÿåòñÿ:

p ′′ sin(ϑ) . r Ïðèðàâíèâàÿ ðàçìåðíîñòè âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (6), óòî÷íÿåì åùå ðàç: E~

E~

p′′ r ⋅ c2

sin(ϑ ) .

(6)

(7)

Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ïðè òàêîì âûâîäå ôîðìóëû èçëó÷åíèÿ îñòàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì. Ïî ñ÷àñòëèâîìó ñòå÷åíèþ îáñòîÿòåëüñòâ ýòîò êîýôôèöèåíò ðàâåí åäèíèöå, è òî÷íàÿ ôîðìóëà âûãëÿäèò òàê [2]: r⎞ ⎛ p ′′⎜ t − ⎟ c E ( r , t ) = ⎝ 2 ⎠ sin(ϑ) . r⋅c r Ðàçíîñòü t − îòðàæàåò ôàêò êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèãíàëà. Ýòîò c àðãóìåíò, ðàçóìååòñÿ, ìîæíî ó÷åñòü óæå â ôîðìóëå (7). Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà (7) âåðíà

äëÿ áîëüøèõ r. Åäèíñòâåííûì äðóãèì ïàðàìåòðîì â òåîðèè, èìåþùèì ðàçìåðíîñòü äëèíû, îêàçûâàåòñÿ äëèíà âîëíû ñâåòà λ. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèåì ïðèìåíèìîñòè ôîðìóëû (7) ñëóæèò íåðàâåíñòâî r>>λ. Ïðåäëîæåííûé âûâîä èëè, ëó÷øå ñêàçàòü, ïîñòðîåíèå ôîðìóëû èçëó÷åíèÿ îñöèëëÿòîðà îáëàäàåò ðÿäîì äîñòîèíñòâ. Îíî äîñòàòî÷íî êðàòêî è ôèçè÷åñêè íàãëÿäíî.  íåì ïîä÷åðêèâàåòñÿ âçàèìíàÿ îáóñëîâëåííîñòü çàêîíîâ ìåõàíèêè è ýëåêòðîìàãíåòèçìà. Íà ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îáû÷íî îáðàùàþò ìàëî âíèìàíèÿ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, íî ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþò â êâàíòîâîé òåîðèè ñâåòà [6]. Ïðåäëîæåííûé âûâîä ïîçâîëÿåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà îáðàòèìîñòü âî âðåìåíè çàêîíîâ äâèæåíèÿ è ïîëó÷èòü èç ýòîé îáðàòèìîñòè êîíêðåòíûé ðåçóëüòàò.

Îáðàòèìîñòü âî âðåìåíè ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è äèïîëü Ãåðöà â îáùåì êóðñå ôèçèêè

Ëèòåðàòóðà 1.

Ñèâóõèí Ä.Â. Îáùèé êóðñ ôèçèêè, Ò. 3, Ýëåêòðè÷åñòâî, Ì.: Íàóêà, 1977.

2.

Òàìì. È.Å. Îñíîâû òåîðèè ýëåêòðè÷åñòâà, Ì.: Íàóêà, 1989.

3.

Äåòëàô À.À., ßâîðñêèé Á.Ì. Êóðñ ôèçèêè, Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1999.

4.

Ñàâåëüåâ È.Â., Êóðñ îáùåé ôèçèêè, êíèãà 4, Âîëíû. Îïòèêà, Ì.:Íàóêà, Ôèçìàòëèò, 1998.

5.

Ôàáðèêàíò Â.À. Ôèçèêà, Îïòèêà, Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîíèêà, Ì.:ÌÝÈ, 2000.

6.

Ãàéòëåð Â. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ èçëó÷åíèÿ, Ì.: ÈËË, 1956.

19