Современная теория управления Лабораторный практикум

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет − УПИ»

З.Ш. Ишматов, Е.Г. Казаков, Д.В. Мезеушева

СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ Учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой «Электропривод и автоматизация промышленных установок» Научный редактор: доц., канд. техн. наук В. Н. Поляков Лабораторный практикум для студентов всех форм обучения специальности 140604 – Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов. Содержит краткие теоретические сведения и указания к выполнению пяти лабораторных работ по дисциплине «Современная теория управления», отражающих основные разделы курса. Приведено краткое описание пакета Matlab, который используется при выполнении лабораторных работ.

© ГОУ ВПО УГТУ−УПИ, 2006 Екатеринбург 2006

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ..……………………………………………………………………….3 СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ Лабораторная работа 1. Исследование методов линеаризации нелинейностей .……………………………………………………………………..3 Лабораторная работа 2. Исследование процессов квантования по времени и уровню в цифровых системах ……………………………………………………..8 Лабораторная работа 3. Синтез цифровых регуляторов традиционными методами ……………………………………………………………………………11 Лабораторная работа 4. Синтез цифровых регуляторов методом полиномиальных уравнений .……………………………………………………...18 Лабораторная работа 5. Исследование методики синтеза модального регулятора .…………………………………………………………………………24 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………………….31 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Операционная среда Matlab 6.х …..……………………………..32 Приложение 2. Пакет моделирования динамических систем Simulink …..........34 Приложение 3. Правила построения блок-схем …………………………………47 Приложение 4. О вспомогательных функциях пакета Matlab ….……………....49

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 2 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

ВВЕДЕНИЕ Лабораторный

практикум

по

дисциплине

«Современная

теория

управления» включает в себя пять лабораторных работ, которые выполняются на персональном компьютере с использованием приложения Simulink пакета Matlab версий 6.0, 6.1, 6.5 или 7.0. Перед выполнением лабораторных работ студент должен самостоятельно ознакомиться с основами работы в этом пакете, используя техническую литературу по этому вопросу [7, 8] и приложение к лабораторному практикуму. Отчет по лабораторной работе может быть выполнен от руки или набран на компьютере. Все лабораторные работы требуют предварительной подготовки, т.е. ряд теоретических расчетов должен быть выполнен заблаговременно.

СОДЕРЖАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ Лабораторная работа 1 ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ Цель работы: изучение методов линеаризации нелинейностей разложением в ряд и гармонической линеаризации. Краткие теоретические сведения Практически любая автоматическая система, в том числе система автоматизированного электропривода, является нелинейной. В большинстве случаев такую систему удается представить сочетанием типовых линейных динамических звеньев и безынерционных нелинейных элементов. Ряд практически важных задач анализа и синтеза решается путем линеаризации нелинейностей.

В

данной

работе

исследуются

два

наиболее

широко

используемые в практике электропривода метода линеаризации. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 3 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

1. Если нелинейная функция f (x) является аналитической в окрестности точки x0, т.е. является слабой нелинейностью, то она может быть представлена отрезком ряда Тейлора

f ( x) ≅ f л ( x) = f ( x0 ) +

df ( x) ( x − x0 ) . dx x = x

(1)

0

Если обозначить df ( x) = K л ( x0 ), dx x = x

x − x0 = ∆x ,

(2)

0

то

f л ( x) = f ( x0 ) + K л ( x0 )∆x ,

(3)

где Кл(х0) – коэффициент усиления линеаризованного звена. Величина погрешности при замене f (x) на fл(x) определяется величиной

∆f ( x) = f ( x) − f л ( x) и зависит от ∆х. При изменении центра разложения изменяется Кл, и линеаризованная характеристика, таким образом, сохраняет все основные свойства нелинейного элемента. На закон изменения ∆х во времени, т.е. на функцию ∆x(t) с позиций линеаризации, ограничений не накладывается. В работе предлагается использовать ∆x(t ) = a sin ωt . Таким образом, зависимость (1) справедлива в пределах флюктуаций переменной х относительно центра разложения. 2. Если x(t) представляет собой синусоидальный сигнал, т.е. x(t ) = a sin ωt ,

(4)

а нелинейность f (x) включена на входе линейной системы, для которой выполняется “гипотеза фильтра”, то возможна гармоническая линеаризация нелинейности. При этом

f ( x ) ≅ f л ( x ) = q ( a ) x + q ′( a )

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

1 dx , ω dt

(5)

Стр. 4 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

где q(a), q′(a) – коэффициенты гармонической линеаризации. Для типовых нелинейностей значения этих коэффициентов приводятся в справочной литературе. Для нелинейности на рис.1 при a ≥ d

2c q (a ) = πd

⎡ d d d2 ⎤ ⎢ arcsin ⎥, + 1− 2 a a ⎢ a ⎥⎦ ⎣

q ′( a ) = 0 .

(6)

При изменении амплитуды x(t) изменяются значения q(a) и q′(a) и, таким образом, линеаризованная зависимость fл(x) сохраняет основные свойства нелинейности f (x). f ( x) c

0

d

x

Рис.1. Нелинейность f (x) типа «ограничение»

Задание к работе

Часть 1. Исследование линеаризации разложением в ряд нелинейности вида y = tg x. 1. Построить зависимость y = tg x для значений х от –1,5 до 1,5. 2. Линеаризовать нелинейность разложением в ряд при параметрах центра разложения х01 и х02 и построить ее статические характеристики в тех же координатных осях. Определить интервал ∆х, на котором погрешность не превосходит ± 10 %. 3. Промоделировать процессы в нелинейности и линеаризованной структуре (см. рис. 2) и сопоставить прохождение сигнала x = x0+asinωt через нелинейность и эквивалентную линейную систему при х0, соответствующем центру разложения, приняв а равным 0,1 и 0,5. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 5 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. 2. Схема модели

Часть

2.

Исследование

метода

гармонической

линеаризации

нелинейности типа “ограничение” (см. рис. 1). 1. Собрать в Simulink схему нелинейной системы рис. 3, как это показано на рис. 4, приняв c = d = 1. 2. Установить частоту входного сигнала ω = 1,51 / T рад/с и, изменяя его амплитуду а от 1 до 5 с шагом 1, снять зависимость амплитуды Ау на выходе. Результаты занести в табл. 1.

x(t) = a sin ωt

u(t)

k

y(t)

T 2 p 2 + 2ξTp + 1

Рис.3. Структурная схема системы

Рис. 4. Схема модели

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 6 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

3. Построить

Современная теория управления

амплитудную

частотную

характеристику

линейного

динамического звена в окрестности частоты 1,51 / T рад/с и определить |W(j1,51/T)|. Таблица 1

a

Параметры

1

2

3

4

5

Ау K(а)=Ау/а qэ (a ) qт (a) 4. Определить экспериментальное значение коэффициента гармонической линеаризации

qэ (a) =

K (a) . | W ( j1,51 / T ) |

(7)

Результаты занести в табл. 1. 5. Вычислить теоретическое значение qт(a) по формуле (6) при тех же значениях а. Сравнить теоретические и экспериментальные значения q(a). Сделать выводы о степени и возможности их совпадения. Индивидуальные данные по каждому варианту приведены в табл. 2. Таблица 2

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x01

x02

k

T, с

ξ

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 -0,1 -1,0 -0,7 -0,6 -0,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,7

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 7 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Содержание отчета

1. Название и цель работы, индивидуальные данные. 2. Зависимость y = tg x, коэффициенты линеаризации для заданных значений x10 и x20. 3. Схемы моделирования. 4. Результаты моделирования по рис. 2. 5. Табл. 1 с результатами расчетов и измерений. 6. Выводы по работе.

Лабораторная работа 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КВАНТОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ И УРОВНЮ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ Цель работы: изучение процессов квантования по времени и уровню и их

влияния на качество и точность цифровой системы автоматического регулирования. Краткие теоретические сведения

Для

любой

цифровой

системы

автоматического

регулирования

характерно преобразование непрерывных сигналов в цифровые и цифровых в непрерывные. Первое преобразование включает процессы дискретизации непрерывного сигнала по времени (моделируется квантователем с периодом дискретности Т) и по уровню (моделируется нелинейным звеном со ступенчатой статической характеристикой). Восстановление непрерывных сигналов по цифровым производится с помощью экстраполятора, как правило, нулевого порядка. Процессы квантования вносят существенные особенности в работу системы автоматического регулирования. В данной работе предлагается исследовать влияние процессов квантования по времени и уровню на качество процессов и точность цифровой системы регулирования, структурная схема которой приведена на рис. 5. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 8 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Задание к работе

1. Исключив из структурной схемы (см. рис. 5) квантователи и экстраполятор, получить с помощью Simulink (рис. 6) переходную функцию и реакцию на линейно нарастающий сигнал вида x(t) = t непрерывной системы. Оценить показатели качества непрерывной системы t1, tм, tп, σ и величину установившейся ошибки εуст. x(t)

ε(t ) T

ε(nT )

z −1 pz

k p (To p + 1)

y(t)

Рис. 5. Структурная схема системы

Рис. 6. Схема модели

2. Получить переходную функцию и реакцию на линейно нарастающий сигнал дискретной системы при шаге квантования по времени Т = 0,01; 0,1 и 0,5 и шаге квантования по уровню d = 0,01. Оценить показатели качества переходной функции и величину установившейся ошибки. 3. Получить переходную функцию и реакцию на линейно нарастающий сигнал дискретной системы при шаге квантования по времени Т = 0,01 и шаге ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 9 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

квантования по уровню d = 0,1 и 0,25. Оценить показатели качества переходной функции

и

величину

установившейся

ошибки.

Оформить

результаты

измерений пп. 1–3 в виде табл. 3. Таблица 3

Тип системы Непрерывная Дискретная

Параметры системы Т d – 0,01 0,1 0,5 0,01 0,01

Показатели качества при ε уст при х(t) = 1(t) σ t1 Tм tп х(t) = 1(t) х(t) = t

– 0,01 0,01 0,01 0,1 0,25

4. Проследить зависимость показателей качества и точности системы от шага квантования по времени T и уровню d. Сделать выводы. Индивидуальные данные по каждому варианту приведены в табл. 4. Таблица 4

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

To , с 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Содержание отчета

1. Название и цель работы, индивидуальные данные. 2. Схемы моделирования. 3. Табл. 3 с результатами измерения показателей качества и установившейся ошибки для различных значений шага квантования по времени и уровню. 4. Выводы по работе. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 10 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Лабораторная работа 3 СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ТРАДИЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ Цель

работы:

изучение

традиционных

методов

синтеза

цифровых

регуляторов: аппроксимации непрерывных регуляторов цифровыми и прямого аналитического метода. Краткие теоретические сведения Аппроксимация непрерывных регуляторов цифровыми – это одна из

наиболее распространенных в практике проектирования методик расчета цифровых регуляторов. Суть метода заключается в том, что объект регулирования считается непрерывным и синтез регулятора проводится методами, известными из теории непрерывных систем. Полученный при этом непрерывный регулятор аппроксимируется цифровым. Возможны несколько вариантов аппроксимации. Наиболее простой способ аппроксимации основывается на представлении интегрального закона регулирования с помощью метода прямоугольников: 1 Tz z −1 . , или p = = p z −1 Tz Очевидно, что чем меньше выбранное значение периода дискретности, тем больше точность такой аппроксимации. Однако это требует использования микропроцессоров

с

повышенным

быстродействием,

что

приводит

к

удорожанию системы. В качестве примера рассмотрим непрерывный объект управления вида Wo ( p ) =

ko , To p + 1

(8)

для которого непрерывный регулятор T p +1 W p ( p) = k p o p ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 11 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

с

kp=1/(koTж)

Современная теория управления

обеспечивает апериодический процесс с желаемой постоянной

времени Tж. Цифровой регулятор, полученный указанным выше способом аппроксимации, имеет вид W p ( z) = k p

(To + T ) z − To . z −1

(9)

Процессы, полученные в замкнутой системе при To=0,1c, ko=1, Tж=0,01с, единичном ступенчатом управляющем воздействии и различных периодах дискретности T, представлены на рис. 7.

Рис. 7. Переходные процессы в системе с регулятором (9) при различных периодах дискретности

Хорошо видно, что с увеличением периода дискретности процесс в системе все больше отличается от желаемого, а при Т = 0,02с становится неустойчивым. После проведения синтеза этим способом необходимо выполнить проверку на устойчивость и качество цифровой системы. Хотя анализ полученной системы производится с учетом особенностей цифрового управления, некоторые недостатки решений, принятых на этапе синтеза, не могут быть устранены. К таким недостаткам (а они определяются и ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 12 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

использованными методами синтеза непрерывного прототипа регулятора) можно отнести: а) завышение требований к параметрам управляющей микроЭВМ (быстродействие, разрядность и т.д.), связанное с необходимостью обеспечения достаточно малых периодов дискретности, при которых свойства цифровой системы эквивалентны свойствам непрерывной; б) недоиспользование динамических возможностей силовой части электропривода

в

переходных

процессах,

так

как

более

высокая

помехозащищенность и гибкость цифровых систем позволяют использовать более сложные и совершенные (с точки зрения улучшения динамических свойств электропривода) законы управления; в)

возможность

возникновения

скрытых

колебаний

координат

электропривода, неустойчивости и «негрубости» системы регулирования («негрубой» называется такая система, которая при бесконечно малом изменении параметров становится неустойчивой); г) сложность учета запаздывания, присущего цифровым системам управления; д)

возможность

получения

в

некоторых

случаях

физически

нереализуемого регулятора. Очевидно, что такой подход к синтезу микропроцессорных систем управления электроприводом не всегда позволяет обеспечить максимально возможное

использование

свойств

силовой

части

и

достоинств

микропроцессорного управления, однако данный метод синтеза, благодаря своей простоте и использованию хорошо известных из теории непрерывных систем методов, находит достаточно широкое применение. Синтез

дискретных

регуляторов

прямыми

аналитическими

методами основывается на использовании соотношений (при условии

единичной отрицательной обратной связи)

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 13 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

W p ( z) =

Современная теория управления

Gж ( z ) Φ ж ( z) , и Φ ж ( z) = Wo ( z ) 1 − Gж ( z )

(10)

где Wо(z) – дискретная передаточная функция объекта регулирования; Фж(z), Gж(z) – желаемые ДПФ разомкнутого и замкнутого контура регулирования соответственно. В этом случае учет дискретных свойств системы уже на этапе синтеза позволяет получить законы регулирования, обеспечивающие заданное качество даже при относительно больших периодах дискретности. Вернемся к примеру, рассмотренному выше. Дискретная передаточная функция (ДПФ) объекта с учетом экстраполятора нулевого порядка будет иметь вид

Wo ( z ) =

⎫ k (1 − d ) z −1 ⎧ 1 , Z ⎨ W0 ( p )⎬ = o z z−d ⎩p ⎭

где d = exp(–T / To). Задавшись желаемой ДПФ замкнутого контура вида Gж ( z ) =

1 − a0 , z − a0

где а0 = exp(–T / Tж), можно получить ДПФ регулятора W p ( z) = k p где k p =

z−d , z −1

(11)

1 − a0 . Процессы с таким регулятором, как видно из рис. 8, ko (1 − d )

практически не изменяются при изменении периода дискретности Т в тех же пределах, что и на рис. 7, и остаются устойчивыми. При этом выходная переменная системы в моменты квантования точно соответствует желаемому процессу при любых Т. Однако применение такой методики предполагает получение так называемых «компенсационных» регуляторов, которые содержат нули и полюсы объекта регулирования, что во многих случаях недопустимо.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 14 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Так, компенсация неустойчивых нулей и полюсов объекта нарушает одно из условий работоспособности замкнутой системы – ее грубость. Компенсация устойчивых нулей объекта вызывает скрытые колебания координат, которые в большинстве случаев нежелательны, так как вызывают дополнительный расход электроэнергии, увеличивают динамические нагрузки в силовой части электропривода.

Рис. 8. Переходные процессы в системе с регулятором (11) при различных периодах дискретности

В результате применения этой методики синтеза возможно также получение физически нереализуемого регулятора. Это связано с тем, что при реализации такого алгоритма в разностном уравнении появляются слагаемые, соответствующие «будущим» значениям сигнала ошибки. Вместе с тем этот подход не учитывает таких специфических свойств цифровых систем, как, например, наличие чистого запаздывания, а значит, не всегда гарантируется работоспособность и реализуемость полученных таким способом алгоритмов. В связи с этим здесь, как и в предыдущем случае, процесс проектирования может повторяться неоднократно, так как анализ полученных решений с более полным учётом особенностей цифрового управления может ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 15 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

дать негативные результаты и потребует повторения процедуры синтеза. Это усложняет процесс проектирования электроприводов с микропроцессорным управлением и не всегда приводит к принятию оптимальных проектных решений, так как по существу является вариантом метода проб. Задание к работе

Задан объект регулирования с передаточной функцией Wo ( p ) =

ko , p (To p + 1)

(12)

который с учетом экстраполятора нулевого порядка имеет ДПФ вида k ( p z + p0 ) , Wo ( z ) = o 1 ( z − 1)( z − d )

(13)

где р1 = Т – То + dТо; р0 = То – d(То + Т); d = exp(– T / To). Рассмотренными

двумя

способами

выполнить

синтез

цифрового

регулятора, обеспечивающего первый порядок астатизма и показатели качества, соответствующие непрерывной передаточной функции желаемой замкнутой системы вида Gж ( p) =

Ω2

(14)

p 2 + 1,414Ω p + Ω 2

или дискретной передаточной функции желаемой замкнутой системы вида Gж ( z ) =

(1 − a1 + a0 ) z z 2 − a1z + a0

,

(15)

где Ω – мера быстродействия замкнутой системы (среднегеометрический корень); a1 = 2e − 0,707ΩT cos(0,707ΩT ) ; a0 = e −1,414ΩT . Для этого необходимо: 1. Методом прямого аналитического синтеза на основе (12), (14) и формул W p ( p) = ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Φ ж ( p) Gж ( p ) и Φ ж ( p) = Wo ( p ) 1 − Gж ( p) Стр. 16 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

получить

передаточную

функцию

Современная теория управления

непрерывного

регулятора

и

аппроксимировать его затем цифровым регулятором при Т = 0,1То и Т = 0,5То. 2. Методом прямого аналитического синтеза на основе (13), (15) и формул (10) синтезировать ДПФ цифрового регулятора при периоде дискретности Т = 0,1То и Т = 0,5То. 3. Выполнить моделирование замкнутой системы с непрерывным и дискретными регуляторами, полученными в п. 1, и дискретными регуляторами, полученными в п. 2, при единичном ступенчатом воздействии на входе (см. рис. 9) и измерить показатели качества. Результаты измерений свести в табл. 5. Сделать выводы о работоспособности полученных цифровых систем и влиянии метода синтеза и периода дискретности на качество регулирования. Индивидуальные данные по каждому варианту приведены в табл. 6.

Рис. 9. Схема моделирования цифровой системы

Таблица 5

Система Непрерывная Цифровая по п. 1 Цифровая по п. 2

Т –

t1

tм

tп

σ

0,1То 0,5То 0,1То 0,5То

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 17 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Таблица 6

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ω 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

ko 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

To 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Содержание отчета

1. Название и цель работы, индивидуальные данные. 2. Результаты синтеза регуляторов. 3. Схемы моделирования. 4. Табл. 5 с результатами измерения показателей качества для различных вариантов синтеза и значений периода дискретности. 5. Выводы по работе. Лабораторная работа 4 СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ МЕТОДОМ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Цель работы: изучение метода полиномиальных уравнений для синтеза

цифровых регуляторов. Краткие теоретические сведения

Для подавляющего большинства линейных систем ДПФ объекта регулирования можно представить в следующем виде: Wo ( z ) =

P( z ) ( z − 1)i Q( z )

=

P(z) , m i z ( z − 1) Q (z)

(16)

1

m

где P(z) – полином от z степени nP; Q(z) = z Q1(z) – полином от z степени nQ, не имеющей нулей в точке z = 1; Q1(z) – полином от z степени nQ1, не имеющий нулей в точке z = 0; i = 0,1,2 – количество интегрирующих звеньев в объекте ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 18 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

регулирования, причем nP < nQ1+i+m. Полюсы ДПФ (16), равные нулю, определяют величину запаздывания τ = mT в объекте регулирования. Очевидно, что наличие такого запаздывания в замкнутом контуре регулирования приводит к уменьшению запасов устойчивости и, как следствие, к ухудшению качества регулирования.

В

реальных

объектах

запаздывание

может

достигать

нескольких периодов дискретности. Для управления такими объектами 2

традиционно используется ПИД-регулятор (в некоторых случаях ПИД регулятор), позволяющий увеличить запасы устойчивости и соответственно качество

регулирования.

Однако

присутствие

дифференцирующей

составляющей значительно ухудшает работу таких регуляторов в условиях помех, поэтому полностью устранить влияние запаздывания на качество регулирования таким способом не удается. Одним из традиционных способов получения требуемых показателей качества в системах с запаздыванием является использование метода компенсации влияния запаздывания, известного в зарубежной литературе как предиктор Смита. Существо его заключается в том, что в систему регулирования вводится звено с ДПФ D(z), как это показано на рис. 10. Здесь

D( z ) = Wo1 ( z ) − Wo ( z ) = где Wo1 ( z ) =

P( z ) ( z − 1)i Q1 ( z )

P ( z )( z m − 1) m

i

z ( z − 1) Q1 ( z )

=

P ( z )( z m −1 + z m − 2 + ... + z + 1) m

z ( z − 1)

i −1

Q1 ( z )

, (17)

– ДПФ объекта регулирования без запаздывания.

Wp(z) D(z) x(nT)

_ _

y(nT) W(z)

Wo(z)

Рис. 10. Структурная схема системы с компенсацией запаздывания ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 19 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

После введения такой компенсации запаздывания синтез регулятора W(z) производится для объекта без запаздывания с ДПФ Wo1(z). При этом для получения требуемого порядка астатизма в знаменатель ДПФ регулятора W(z) должно быть введено соответствующее количество сомножителей вида (z – 1), т.е. регулятор системы с порядком астатизма i+j должен выглядеть следующим образом: W ( z ) = W ′( z ) ( z − 1) j , где W ′(z ) не содержит полюсов z = 1. Объединив звенья W(z) и D(z), получим окончательное выражение для регулятора цифровой системы в виде W ( z) z m ( z − 1) m −1W ′( z )Q1 ( z ) W p ( z) = = . (18) 1 + W ( z ) D( z ) z m ( z − 1)i + j −1Q1 ( z ) + W ′( z ) P( z )( z m −1 + ... + z + 1) Анализ ДПФ регулятора (18) позволяет сделать два важных вывода: 1) знаменатель (18) не содержит сомножителя (z-1) даже при j ≥ 1, что подтверждает известный вывод, что при таком способе компенсации запаздывания порядок астатизма системы на рис. 10 определяется количеством интеграторов объекта и практически отсутствует возможность изменить его за счет регулятора; 2) регулятор (18) компенсирует полином Q1(z) объекта, т.е. его полюсы, даже если это не предполагалось при синтезе регулятора W(z). Очевидно, что такой регулятор неприменим в системах с высокими требованиями к статическим характеристикам, а также для неустойчивых объектов, так как в этом случае компенсация неустойчивых полюсов объекта делает систему негрубой. Рассмотрим

теперь

процедуру

синтеза

методом

полиномиальных

уравнений для объекта (16), считая в общем случае, что ДПФ объекта содержит как устойчивые, так и неустойчивые нули и полюсы. Выполним факторизацию ДПФ объекта, представив полиномы знаменателя и числителя (16) в виде ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 20 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Q( z ) = Qк ( z )Qн ( z); P( z ) = Pк ( z ) Pн ( z ) , где Qк(z), Pк(z) и Qн(z), Pн(z) – полиномы от z степени nQк, nPк и nQн, nPн соответственно, содержащие компенсируемые и некомпенсируемые полюсы и нули объекта. Cинтезируемая система будет оставаться устойчивой при малых изменениях параметров объекта («грубой»), если регулятор не компенсирует неустойчивые нули и полюсы объекта, поэтому все неустойчивые нули и полюсы должны быть отнесены к некомпенсируемой части объекта. Кроме того, известно, что компенсация устойчивых нулей объекта в цифровых системах приводит к возникновению скрытых колебаний координат, а компенсация устойчивых полюсов – к повышенной чувствительности к изменению параметров, но система при этом работоспособна. Поэтому Qк(z) и Pк(z) могут содержать только устойчивые полюсы и нули объекта, а Qн(z) и Pн(z) – все неустойчивые и некоторые устойчивые полюсы и нули. Окончательно ДПФ цифрового регулятора компенсационного типа запишем следующим образом: W p ( z) =

M ( z )Qк ( z )

N ( z ) Pк ( z )( z − 1) j

,

(19)

где M(z) и N(z) – искомые полиномы степени nM и nN соответственно; j – количество интегрирующих звеньев регулятора, обеспечивающих требуемый порядок астатизма i+j замкнутой системы. Из условия физической реализуемости степени искомых полиномов должны удовлетворять равенству

nM + nQк = n N + nPк + j .

(20)

Очевидно, что, положив Qк ( z ) = Pк ( z ) = 1 , из (19) можно получить, как частный случай, ДПФ некомпенсационного регулятора. Основой для синтеза служит ДПФ замкнутой системы по ошибке: 1 ( z − 1)i + j N ( z )Qн ( z ) Gε ( z ) = = , 1 + Ф( z ) ( z − 1)i + j N ( z )Qн ( z ) + Pн ( z ) M ( z ) где Ф(z)=Wp(z)Wo(z). Степень сомножителя (z – 1) в числителе этой ДПФ определяет

желаемый

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

порядок

астатизма

системы

по

управляющему Стр. 21 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

воздействию, при этом имеется свобода выбора j. Приравняв знаменатель передаточной функции к желаемому характеристическому полиному замкнутой системы A(z), получим следующее полиномиальное уравнение синтеза: ( z − 1)i + j N ( z )Qн ( z ) + Pн ( z ) M ( z ) = A( z ).

(21)

Если объект регулирования содержит запаздывание, которое выражается в виде полюсов ДПФ объекта кратности m, равных нулю, целесообразно с m

целью повышения быстродействия системы отнести сомножитель z к Qк(z), а m

желаемый характеристический полином представить в виде A(z)=z A1(z). В получаемые при этом регуляторы будут автоматически включены алгоритмы компенсации запаздывания mT. Выбор степеней полиномов, соответствующих минимальному решению уравнения (21) с учётом условия (20) и обеспечивающих теоретически любое качество регулирования, определяемое A(z), осуществляется по выражениям

n A = 2nQ − nQк + 2i + j − 1 , n N = nQ + i − 1 ,

(22)

nM = nQ − nQ к + i + j − 1 . Задание к работе

1. Задан объект регулирования с передаточной функцией ko , p (To p + 1) который с учетом экстраполятора нулевого порядка имеет ДПФ вида Wo ( p ) =

k ( p z + p0 ) , Wo ( z ) = o 1 ( z − 1)( z − d ) где р1 = Т – То + dТо; р0 = То – d(То + Т); d = exp(– T / To).

(23)

(24)

Для индивидуальных данных, приведенных в лабораторной работе 3 (см. табл. 6), методом полиномиальных уравнений выполнить синтез компенсационного (с компенсацией устойчивого полюса объекта) цифрового регулятора, обеспечивающего первый порядок астатизма и показатели качества, соответствующие биномиальному распределению корней характеристического уравнения (табл. 7). Принять период дискретности Т = 0,1То и Т = 0,5То. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 22 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

2. Ввести в модель объекта (24) запаздывание на период дискретности Т и выполнить синтез компенсационного регулятора, компенсирующего устойчивый полюс объекта (т.е. Qк ( z ) = z − d ), при Т = 0,1То и Т = 0,5То. 3. Для объекта с запаздыванием, полученного в п. 2, выполнить синтез компенсационного регулятора, компенсирующего устойчивый полюс объекта и влияние этого запаздывания (т.е. Qк ( z ) = z ( z − d ) ), при Т = 0,1То и Т = 0,5То. 4. Выполнить моделирование замкнутой системы с полученными регуляторами при единичном ступенчатом воздействии и измерить показатели качества. При необходимости для устранения перерегулирования использовать на входе замкнутой системы фильтр с ДПФ Wф ( z ) = M (1) / M ( z ) . Результаты измерений свести в таблицу. 5. Сделать выводы о работоспособности полученных цифровых систем и влиянии метода синтеза и периода дискретности на качество регулирования. Таблица 7

nA

Характеристический полином A(z)

1

z – a0

2

z2 – a1z + a0

3

z3 – a2z2 + a1z – a0

4

z4 – a3z3 + a2z2 – a1z + a0

5

5

4

3

Коэффициенты полинома при биномиальном распределении корней a0 = e

2

z – a4z + a3z – a2z + a1z – a0

-2ΩΤ

a0 = e -3ΩΤ

a0 = e -4ΩΤ

a0 = e

-ΩΤ

; a1 = 2e -2ΩΤ

-ΩΤ

; a1 = 3e

; a2 = 3e

-3ΩΤ

-2ΩΤ

; a1 = 4e -5ΩΤ

a0 = e

-ΩΤ

; a2 = 6e -4ΩΤ

; a3 = 4e -3ΩΤ

; a1 = 5e ; a2 = 10e -2ΩΤ -ΩΤ ; a4 = 5e a3 = 10e

-ΩΤ

;

Содержание отчета

1. Название и цель работы, индивидуальные данные. 2. Результаты синтеза регуляторов. 3. Схемы моделирования. 4. Таблица с результатами измерения показателей качества для различных вариантов синтеза и значений периода дискретности. 5. Выводы по работе. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 23 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Лабораторная работа 5 ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДИКИ СИНТЕЗА МОДАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА Цель работы: изучение методики синтеза модального регулятора. Краткие теоретические сведения

При анализе и синтезе систем в пространстве состояний все переменные, характеризующие систему или имеющие к ней прямое отношение, делятся на входные переменные, представляющие собой управляющие или возмущающие воздействия ui, выходные переменные yi, представляющие интерес для исследователя, и промежуточные переменные xi или переменные состояния, определяющие динамическое поведение исследуемой системы. В основе этой формы математического описания лежит представление дифференциальных

уравнений

в

нормальной

форме

Коши,

которое

дополняется алгебраическими уравнениями выхода. В векторно-матричной форме эти уравнения записываются следующим образом: &(t) = AX(t) + BU(t); X

(25)

Y(t) = CX(t) + DU(t),

где A, B, C и D – матрицы коэффициентов размерности (n×n), (n×m), (r×n), (r×m) соответственно; m – число входов; r – число выходов; U(t) – векторфункция управляющих воздействий размерности m; X(t) – вектор-функция переменных состояния размерности n; Y(t) – вектор-функция выходных координат размерности r. Матрица А характеризует динамические свойства системы, матрицу В называют матрицей управления, она определяет характер воздействия входных переменных U(t) на переменные состояния X(t). Алгебраическое уравнение связывает выходные переменные Y(t) с переменными состояния X(t) через матрицу связи С. Обычно в системах автоматического

управления

матрица

D

=

0,

она

характеризует

непосредственное воздействие входов на выходы. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 24 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рассмотрим линейную систему, записанную в уравнениях переменных состояния: &(t) = AX(t) + BU(t); X Y(t) = CX(t).

(26)

Для системы с одним входом и одним выходом переход от ее передаточной

функции

W(p)

к

описанию

в

пространстве

состояний

осуществляется следующим образом: 1) передаточная функция приводится к виду bn −1 n −1 b b p + ... + 1 p + 0 bn −1 p an an an + ... + b1 p + b0 W ( p) = = ; n n −1 a a a 1 − n n 1 0 − n 1 an p + an −1 p + ... + a1 p + a0 p + + ... + p p+ an an an n −1

2) после этого ее можно представить в виде структурной схемы рис. 11, которая представляет собой n последовательно соединенных интеграторов; 3) третий этап – это переход от структурной схемы к системе дифференциальных

уравнений,

по

которым

составляются

матрицы

коэффициентов: ⎧ x& 1 = x2 ; ⎪ x& = x ; 3 ⎪⎪ 2 ⎨ x&n −1 = xn ; ⎪ a a a ⎪ x&n = u − 0 x1 − 1 x2 − ... − n −1 xn ; ⎪⎩ an an an

(27)

b b b y (t ) = 0 x1 + 1 x2 + ... + n −1 xn . an an an Отсюда 1 ⎛ 0 ⎜ 0 ⎜ 0 A=⎜ Λ Λ ⎜ a a ⎜⎜ − 0 − 1 an ⎝ an

0 Κ 1 Κ Λ a2 − Κ an

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

⎞ ⎟ 0 ⎟ Λ ⎟; ⎟ a − n −1 ⎟⎟ an ⎠ 0

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ B =⎜ ⎟; Λ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠

⎛b C = ⎜⎜ 0 ⎝ an

b1 an

Κ

bn −1 ⎞ ⎟. an ⎟⎠

Стр. 25 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

bn −1 an

u(t)

_

1 p

xn(t)

1 p

b1 an

xn-1(t)

1 p

…

x2(t)

1 p

x1(t)

y(t)

b0 an

an −1 an

a1 an

a0 an

Рис. 11. Структурная схема объекта, представленная в виде последовательно соединенных интеграторов

Перейдем от дифференциальных уравнений (26) к уравнениям в операторной форме (записанным с помощью оператора Лапласа). Тогда объект можно представить его матричной передаточной функцией W( p) =

X( p ) = ( p1 − A) −1 B , U( p)

(28)

где 1 – единичная матрица. Замкнутая система в пространстве состояний показана на рис. 12 и представляет собой систему с параллельной коррекцией, где R – матрица коэффициентов регулятора размерности m×n. V(t)

U(t)

W(p)

X(t)

Y(t)

C

R Рис. 12. Структурная схема замкнутой системы в пространстве состояний ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 26 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Матричная передаточная функция замкнутой системы G ( p) =

X( p ) = ( p1 − A + BR ) −1 B . V ( p)

(29)

Для синтеза модального регулятора объект, описываемый уравнениями (26), должен быть полностью управляемым и наблюдаемым. Полная управляемость – это возможность перевода объекта из начального состояния X0 в любое наперед заданное положение X при ограниченном управляющем воздействии. Критерием полной управляемости по вектору состояния является

равенство

ранга

(

Q у = B AB A 2B Λ

его

матрицы

)

управляемости

вида

A n −1B порядку системы n:

rank Qy = n. Наблюдаемость – возможность по выходному вектору Y(t) определить вектор состояния X(t). Критерий наблюдаемости: система, описываемая уравнениями (26),

наблюдаема,

(

Qн = Cт

A тС т

если

ранг

(A т )2 Ст

Λ

ее

матрицы

)

наблюдаемости

вида

( A т ) n −1С т равен порядку системы n: rank Qн = n.

Для объекта с одним входом (m = 1), описываемого системой уравнений (27), модальный регулятор синтезируется следующим образом: 1. Рассматривается система, у которой вектор состояния наблюдаем и совпадает с вектором выхода, т.е. С = 1, тогда Y(t) = X(t). 2. Следует задаться желаемым размещением корней для настройки системы автоматического регулирования. Это может быть биноминальное распределение корней, распределение по Баттерворту, выбор корней по некоторому интегральному показателю качества и т.д. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 27 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Каждая система, настроенная на определенное размещение корней, характеризуется соответствующим характеристическим полиномом D(p) n-го порядка. 3. Передаточная функция объекта (28) записывается в виде W( p) =

H( p) , F ( p)

(30)

где F ( p ) = det( p1 − A) – характеристический полином объекта, а H(p) – векторстолбец, состоящий из n элементов, который требуется извлечь из (28). 4. Для того чтобы найти коэффициенты регулятора, необходимо характеристическое уравнение замкнутой системы (вывод формулы опущен) RH ( p ) + F ( p ) = 0

(31)

приравнять к выбранному ранее в п. 2 желаемому стандартному полиному n-го порядка RH ( p ) + F ( p ) = D( p ) .

(32)

Конечное уравнение имеет вид RH ( p ) = D( p ) − F ( p ) ,

(33)

из которого непосредственно находятся коэффициенты вектора-столбца R путем приравнивания коэффициентов, стоящих при одинаковых степенях р в левой и правой частях уравнения соответственно. Задание к работе

1. Задан объект регулирования с одним входом и одним выходом с передаточной функцией

W ( p) =

b0

a3 p 3 + a2 p 2 + a1 p + a0

.

Проверить данный объект на полную управляемость и наблюдаемость. Синтезировать модальный регулятор по предложенной выше методике с настройкой на биноминальное распределение корней замкнутой системы, используя данные: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 28 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Желаемый характеристический полином D(p) p+Ω

Степень полинома D(p) 1 2

p 2 + 2Ωp + Ω 2

3

p 3 + 3Ωp 2 + 3Ω 2 p + Ω3

4

p 4 + 5Ωp 3 + 10Ω 2 p 2 + 5Ω3 p + Ω 4

2. Выполнить моделирование замкнутой системы с регулятором при ступенчатом единичном воздействии в двух случаях: • собрав структурную схему в развернутом виде в Simulink; • собрав структурную схему в матричном виде, используя блок StateSpace и усилительное звено в виде вектора-строки (рис. 13).

3. Сравнить результаты. Сделать выводы о работоспособности системы. Индивидуальные данные по каждому варианту приведены в табл. 8.

v(t)

u(t) w^3

Step

b0/a3

Gain

1 s

Gain1

x3

1 s

Integrator

x2

Integrator1

1 s

x1=y(t) Scope

Integrator2

a2/a3 Gain2

a1/a3 Gain3

Gain4

r3 Gain5

a0/a3

r2 Gain6

r1 Gain7

w^3 Gain8

x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space

[1 0 0]* u Scope1 Gain9

[r1 r2 r3]* u Gain10

Рис. 13. Схема модели ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 29 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Таблица 8

Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a0 0 1 3 1 2 8 0 10 5 6

a1 4 7 2 3 7 3 5 9 1 3

a2 3 5 7 6 2 2 8 5 4 8

a3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ω 100 50 60 70 80 90 40 30 20 10

Содержание отчета

1. Название и цель работы, индивидуальные данные. 2. Результаты проверки объекта на управляемость и наблюдаемость. 3. Результаты синтеза матричного регулятора. 4. Схемы моделирования и результаты моделирования. 6. Выводы по работе.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 30 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов ; СПб. : Профессия, 2003. 2. Теория автоматического регулирования : учебник / под ред. А.А. Воронова ; М. : Высшая школа, 1986. 3. Иващенко, Н.И. Автоматическое регулирование / Н.И. Иващенко ; М. : Машиностроение, 1978. 4. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов ; М. : Наука, 1975. 5. Основы автоматического регулирования : учебник / под ред. В.С. Пугачева ; М. : Наука, 1974. 6. Топчеев, Ю.И. Задачник по теории автоматического регулирования / Ю.И. Топчеев, А.П. Цыплаков ; М. : Машиностроение, 1977. 7. Дьяконов, В. Simulink 4 : специальный справочник / В. Дьяконов ; СПб. : Питер, 2002. 8. Дебни, Дж.Б. Simulink 4. Секреты мастерства / Дж.Б. Дэбни, Т.Л. Харман ; М. : БИНОМ, 2003. 9. Бесекерский, В.А. Цифровые автоматические системы / В.А. Бесекерский ; М. : Наука, 1976. 10. Бесекерский, В.А. Системы автоматического управления с микроЭВМ / В.А. Бесекерский, В.В. Изранцев ; М. : Наука, 1987. 11. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления / Б. Куо ; М. : Машиностроение, 1986. 12. Цыпкин,

Я.З.

Основы

теории

автоматического

регулирования

/

Я.З. Цыпкин ; М. : Наука, 1977. 13. Ишматов, З.Ш. Методы синтеза микропроцессорных систем управления электроприводами / З.Ш. Ишматов, Е.Г. Казаков, А.В. Кириллов ; Екатеринбург : УГТУ–УПИ, 2000. 14. Цыпкин, Я.З. Теория линейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин ; М. : Физматгиз, 1963. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 31 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 ОПЕРАЦИОННАЯ СРЕДА MATLAB 6.Х

Работа с системой Matlab начинается ее запуском с иконки рабочего стола Windows. В результате на дисплее открывается рабочий стол системы, как это показано на рис. П. 1.

Рис. П. 1. Рабочий стол Matlab

Он содержит элементы графического интерфейса пользователя, которые предназначены для работы с файлами, переменными и приложениями, связанными с Matlab. Рабочий стол системы состоит из трех окон: Command Window, в котором расположена командная строка, окна запуска приложений Launch Pad и окна предыстории вызовов Command History. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 32 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Кроме того, имеются клавиши для переключения окна запуска Launch Pad на окно рабочей области Workspace и окна предыстории Command History

на окно текущего каталога Current Directory, которое позволяет открывать, просматривать и выполнять поиск информации в файлах системы Matlab, имеющих необходимое расширение. На инструментальной панели системы Matlab имеется информационное окно Current Directory, с помощью которого всегда обеспечивается доступ к списку ранее вызванных текущих каталогов. Это позволяет быстро переходить от одного каталога к другому, получая доступ к интересующим файлам. С помощью

кнопки

Browse

for

Folder,

которая

находится

рядом

с

информационным окном, можно выбрать нужный каталог.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 33 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Приложение 2 ПАКЕТ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ SIMULINK

Пакет моделирования динамических систем Simulink, входящий в состав системы Matlab, предназначен для моделирования динамических систем, модели которых составляются из отдельных блоков (компонентов). Этот пакет является самым ярким представителем программ, созданных на основе системы Matlab. Библиотека Simulink – это набор визуальных объектов, используя которые можно исследовать практически любую систему автоматического регулирования. Практически для всех блоков существует возможность настройки параметров. Параметры настройки отражаются в панели окна настройки выбранного блока. Пакет Simulink можно запустить с помощью значка

, который

находится на панели инструментов рабочего стола системы Matlab (рис. П. 1). Вся библиотека Simulink разбита на восемь разделов (см. рис. П. 2). Содержание выделенного раздела находится в правом поле окна библиотеки (на рис. П. 2 это раздел Continious, в котором, в свою очередь, выделен блок Derivative).

При выполнении лабораторных работ используются следующие звенья раздела Continious (непрерывные блоки): Integrator – непрерывный (аналоговый) интегратор; Derivate – звено дифференцирования; State-Space – линейная непрерывная система, заданная в виде уравнений

состояния, т. е. системой уравнений, представленной в форме Коши; Transfer

Fcn

–

линейное

непрерывное

звено,

заданное

своей

передаточной функцией; Transport Delay – блок памяти, выполняющий временную задержку,

устанавливаемую в поле настройки. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 34 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. П. 2. Библиотека Simulink и дополнительные пакеты

Заметим, что вместо привычного обозначения «р» для оператора Лапласа в Matlab используется обозначение «s». Окно настройки блока State-Space представлено на рис. П. 3. Этот блок используется при моделировании систем, представленных в пространстве состояний.

Рис. П. 3. Панель настройки блока State-Space ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 35 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Здесь А, B, C и D – матрицы уравнений состояния

dX(t)/dt = АX(t)+ВU(t), Y(t) = СX(t)+DU(t). А – матрица размерности n×n, где n – число переменных состояния; B – матрица размерности n×m, где m – число управляющих воздействий

(входов); С – матрица размерности r×n, где r – число выходов системы; D – матрица размерности r× m.

Матрица вводится в строку панели следующим образом: [ a11 a12 … a1n; a21 a22 … a2n; am1 am2 … amn], где a11,…,amn – коэффициенты матрицы, а точка с запятой разграничивает строки матрицы. Окно

настройки

блока

Transfer

Fcn,

который

наиболее

часто

используется при моделировании систем управления, представлено на рис. П. 4.

Рис. П. 4. Окно настройки блока Transfer Fcn

Передаточная функция линейного непрерывного звена автоматического регулирования в общем случае записывается в виде

b s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0 W (s) = m , n n −1 an s + an −1s + ... + a1s + a0 где m ≤ n . ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 36 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Коэффициенты числителя этой функции bi следует ввести в поле

Numerator, начиная с коэффициента bm при старшей степени s, отделяя их друг от друга пробелами. Аналогично заполняется поле знаменателя передаточной функции Denominator, начиная с коэффициента an. Окно настройки блока Transport Delay изображено на рис. П. 5. В строке

Time delay вводится время запаздывания.

Рис. П. 5. Окно настройки блока Transport Delay

Дискретные блоки представлены в разделе Discrete. Эта библиотека содержит следующие необходимые для выполнения работ блоки: Zero-Order Hold – экстраполятор нулевого порядка; Unit Delay – блок задержки сигнала на один период дискретности; Descrete Transfer Fcn – блок задания дискретного звена через дробно-

рациональную дискретную передаточную функцию относительно z. По умолчанию предполагается, что на входе каждого из этих дискретных звеньев выполняется дискретизация входного сигнала по времени. Для установки шага квантования по времени Sample time в блоке ZeroOrder Hold (рис. П. 6) необходимо щелкнуть правой кнопкой по нему и выбрать

в раскрывшемся меню Block Parameters. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 37 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

В блоке Descrete Transfer Fcn (рис. П. 7) следует записать коэффициенты передаточной функции числителя и знаменателя, как в соответствующем непрерывном звене Transfer Fcn, а также ввести период дискретности (Sample

time), нажав правую кнопку мыши и выбрав Block Parameters.

Рис. П. 6. Окно настройки блока Zero-Order Hold

Рис. П. 7. Окно настройки блока Descrete Transfer Fcn

В блоке Unit Delay необходимо ввести период дискретности (Sample

time), как это показано на рис. П. 8. Из библиотеки Math при выполнении работ потребуются блоки Sum и Gain. Sum – сумматор, позволяющий алгебраически суммировать любое число

сигналов на входе и имеющий один выход. В окне настройки в строке List of

signs указываются знаки приходящих сигналов (рис. П. 9). ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 38 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. П. 8. Окно настройки блока Unit Delay

Рис. П. 9. Окно настройки блока Sum

Gain – усилитель (безынерционное звено). В окне настройки указывается

коэффициент усиления (рис. П. 10). Для построения матричного регулятора следует в строке Multiplication выбрать Matrix(K*u), как это показано на рис. П. 11. Строка Gain в этом случае будет представлять собой вектор – строку, состоящую из коэффициентов матричного регулятора.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 39 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. П. 10. Окно настройки блока Gain

Рис. П. 11. Окно настройки блока Gain для матричного регулятора

Библиотека нелинейных блоков Nonlinear содержит блоки Saturation, Quantizer и Manual Switch, необходимые для выполнения лабораторных работ. Saturation

–

усилитель

с

ограничением

(нелинейность

типа

«ограничение»). Величина ограничения при положительном и отрицательном входном сигнале устанавливается в окне настройки (см. рис. П. 12). Quantizer – блок, обеспечивающий квантование входного сигнала по

уровню (рис. П. 13). Величина ступеньки задается в окне настройки. В системах управления такие блоки являются частью аналого-цифровых преобразователей. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 40 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. П. 12. Окно настройки блока Saturation

Рис. П. 13. Окно настройки блока Quantizer

Manual Switch – ключ, который переключается вручную. В процессе

моделирования при помощи этого ключа удобно менять параметры и структуру модели. Виртуальные приборы для наблюдения и регистрации процессов в исследуемой модели представлены в библиотеке Sinks. При составлении моделей потребуется осциллоскоп для наблюдения временных зависимостей Scope. На рис. П. 14 показаны экран осциллоскопа и его окно настроек. Окно настроек открывается на панели инструментов Scope (рис. П. 14, a) c помощью кнопки ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

. Стр. 41 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

а

Современная теория управления

б

Рис. П. 14. Осциллоскоп Scope (а) и его окно настроек (б)

Первое поле окна настроек Namber of axes задает число регистрируемых процессов, что позволяет выводить графики на несколько расположенных друг под другом экранов осциллоскопа. Библиотека Sources содержит в себе необходимые источники сигналов. При выполнении лабораторных работ следует воспользоваться блоками Constant, Step, Sine Wave, Ramp и Signal Generator. Constant – постоянное входное воздействие; в окне настроек (рис. П. 15)

задается величина этого воздействия. Step – ступенчатое входное воздействие; в окне настроек (рис. П. 16)

задаются момент подачи сигнала Step time (обычно 0), начальное значение сигнала Initial value (обычно 0), конечное значение сигнала Final value (обычно 1). Sine Wave – синусоидальное входное воздействие; в окне настроек (рис.

П. 17) задаются амплитуда, частота и начальная фаза синусоидального сигнала.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 42 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. П. 15. Окно настроек блока Constant

Рис. П. 16. Окно настроек блока Step

Ramp – линейно нарастающий сигнал; в окне настроек (рис. П. 18)

указываются наклон Slope (обычно 1) и время подачи сигнала Start time. Signal Generator – генератор периодических сигналов, окно настроек

(рис. П. 19) которого содержит выбор формы периодического сигнала Wawe

form, установку амплитуды сигнала, частоты и выбор ее единиц измерения (предлагается два варианта: герцы и радианы в секунду). ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 43 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. П. 17. Окно настроек блока Sine Wave

Рис. П. 18. Окно настроек блока Ramp

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 44 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. П. 19. Окно настроек блока Signal Generator

Для выполнения работ потребуется параболическое входное воздействие, для получения которого следует после линейно нарастающего сигнала поставить интегратор (включить последовательно блоки Ramp и Integrator) либо

два

интегратора

после

входного

ступенчатого

воздействия

(последовательно включены Step, Integrator и Integrator). В библиотекe Signals & Systems потребуется блок Mux, позволяющий объединить несколько входных сигналов в один вектор; количество входов задается в окне настройки. Этот блок часто помещают перед блоком Scope для вывода графиков нескольких процессов на один экран. Для построения новой блок-схемы требуется открыть новый рабочий документ нажатием кнопки

, которая находится на панели инструментов

рабочего окна пакета Simulink (см. рис. П. 2). В новом документе на панели есть меню Simulation. После входа в это меню левой кнопкой мыши можно выбрать параметры моделирования (рис. П. 20), которые содержат в себе начальное и конечное время, метод и шаг расчета. Для улучшения качества процесса

(повышения

точности

расчета)

следует

уменьшить значение

максимального шага, а также абсолютную и относительную ошибку расчета. ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 45 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Рис. П. 20. Окно настройки параметров Simulation

Запуск модели на расчет осуществляется с помощью кнопки Start simulation ►.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 46 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Приложение 3 ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ БЛОК-СХЕМ

В данном разделе описываются операции, которые выполняются в процессе построения блок-схем. Выделение объектов

При создании, редактировании модели нужно выполнять такие операции, как копирование или удаление блоков и линий. Для этого предварительно необходимо выделить один или несколько блоков. Для того чтобы выделить отдельный объект, нужно щелкнуть на нем мышью один раз. Группу объектов можно выделить с помощью рамки. Для этого необходимо установить курсор мыши в точку, которая будет являться начальной точкой рамки, нажать левую кнопку мыши и, не отпуская ее, переместить мышь в направлении диагонали прямоугольника. В результате появится рамка, и когда кнопка мыши будет отпущена, все объекты, охваченные рамкой, будут выделены. Копирование блоков

Копирование блоков из одного окна в другое проводится следующим образом:

открывается

соответствующая

библиотека

и

нужный

блок

перетаскивается мышью в окно создаваемой (редактируемой) модели. Установка параметров блока

Функции, которые выполняет блок, зависят от значений параметров блока. Установка этих значений осуществляется в окне настройки, которое вызывается после двойного щелчка на изображении блока в блок-схеме. Отсоединение блока

Для того чтобы отсоединить блок от линий, достаточно нажать клавишу [Shift] и, не отпуская ее, перетащить блок в другое место. Изменение угловой ориентации блока

В начальном состоянии сигнал проходит через блок слева направо (по левую сторону располагаются входы блока, а по правую – выходы). Чтобы изменить угловую ориентацию блока, надо: 1) выделить блок, который нужно повернуть; ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 47 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

2) выбрать в меню Format окна блок-схемы одну из следующих команд: Flip Block (поворот блока на 180˚) или Rotate Block (поворот блока по часовой

стрелке на 90˚). Создание соединительных линий

Сигналы в модели передаются по линиям. Каждая линия может передавать или скалярный, или векторный сигнал. Чтобы соединить выходной порт одного блока с входным портом другого, нужно выполнить следующие действия: 1) установить указатель мыши на выходной порт первого блока (при этом курсор должен принять форму перекрестия); 2) нажать левую кнопку мыши и, удерживая ее в этом положении, передвинуть указатель к входному порту второго блока; 3) отпустить кнопку мыши. Линии можно рисовать как от входного порта к выходному, так и в обратном направлении. Создание разветвления

Линия, которая ответвляется, начинается с существующей и передает ее сигнал к входному порту другого блока. Как существующая, так и ответвленная линии передают один сигнал. Разветвленная линия дает возможность передать один и тот же сигнал к нескольким блокам. Для того чтобы образовать ответвление от существующей линии, необходимо выполнить следующие действия: 1) установить курсор в точку ответвления; 2) нажать правую кнопку мыши, удерживать ее нажатой; 3) провести линию к входному порту нужного блока, отпустить правую кнопку мыши. Запись и печать модели

Для записи модели на диск нужно вызвать команду Save (сохранить) или Save As (сохранить как) из меню Fail (файл) окна модели.

Блок-схему можно вставить в документ любого текстового редактора, например Word. Для этого следует сначала вызвать команду Copy Model (копировать

модель в буфер обмена) из меню Edit (правка) окна модели, а затем перейти в окно текстового редактора и нажать кнопку Вставить (из буфера обмена). ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

Стр. 48 из 50

Ишматов З.Ш., Казаков Е.Г., Мезеушева Д.В.

Современная теория управления

Приложение 4 О ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ ПАКЕТА MATLAB Функции для моделей в пространстве состояний

Функция ctrb в командном окне формирует матрицу управляемости для модели в пространстве состояний: Co = ctrb(A,B),

где A, B – матрицы этой модели. Система является управляемой, если матрица управляемости имеет полный ранг: rank( Co)

{Enter}.

Функция obsv в командном окне формирует матрицу наблюдаемости для модели в пространстве состояний: Ob = obsv(A,C),

где А, С – матрицы этой модели. Система является наблюдаемой, если матрица наблюдаемости имеет полный ранг: rank(Ob)

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2006

{Enter}.

Стр. 49 из 50

Учебное электронное текстовое издание

Ишматов Закир Шарифович Казаков Евгений Георгиевич Мезеушева Дина Владимировна

СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Редактор Компьютерная верстка:

О.В. Байгулова А.Ю. Одинцова

Рекомендовано РИС ГОУ ВПО УГТУ-УПИ Разрешен к публикации 1.09.06 Электронный формат – PDF Формат 60х90 1/8 Издательство ГОУ-ВПО УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19 e-mail: [email protected] Информационный портал ГОУ ВПО УГТУ-УПИ http://www.ustu.ru