Алгебра и логика, 42, N 6 (2003), 727—736
УДК 512.542
ОБ ОДНОМ ВОПРОСЕ ТЕОРИИ ТОТАЛЬНО ЛОКАЛЬНЫХ ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП В. Г. САФОНОВ
А. Н. Скиба [1] предложил следующее определение тотально локальной формации. Всякую формацию конечных групп называют 0-кратно локальной. При n > 1 формацию F называют n-кратно локальной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого есть (n − 1)-кратно локальные формации. Формацию, n-кратно локальную для любого целого неотрицательного n, называют тотально локальной. Следует отметить, что класс тотально локальных формаций совпадает с классом тотально насыщенных формаций [2], а в классе всех конечных разрешимых групп — с классом примитивных формаций [3]. Возросший в последние годы интерес к исследованиям такого рода связан с многочисленными приложениями теории тотально локальных формаций при изучении непростых конечных групп [4–9]. Напомним, что через l∞ form G обозначается пересечение всех тотально локальных формаций, содержащих конечную группу G. Тотально локальная формация F называется однопорожденной, если найдется конечная группа G такая, что F = l∞ form G. Однопорожденные тотально локальные формации являются аналогами кроссовых многообразий [10] (т. е. многообразий, порождаемых одной конечной группой). Хорошо известно, что любое некроссово многообразие групп содержит почти кроссово подмногообразие (т. е. такое некроссово многообразие, у которого все собственные подмногообразия кроссовы). Классификацию разрешимых почти c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003
728
В. Г. Сафонов
кроссовых многообразий групп завершил А. Ю. Ольшанский [11]. В [12] получена классификация неоднопорожденных наследственных (см. [13]) формаций F, у которых все собственные наследственные подформации однопорождены, при условии, что производная длина всех групп из F ограничена в совокупности. Доказательство этого результата базировалось на теореме (А. Н. Скиба) о существовании мономорфизма решетки многообразий локально конечных групп в решетку наследственных формаций конечных групп, а также использовало классификацию разрешимых почти кроссовых многообразий групп. Общая проблема классификации разрешимых наследственных неоднопорожденных формаций групп, у которых все собственные наследственные подформации однопорождены, остается открытой [14, проблема 11.92]. В [5, проблема 22.7] была поставлена задача описания неоднопорожденных тотально локальных формаций, у которых все собственные тотально локальные подформации однопорождены. Ее решение дает следующая ТЕОРЕМА. Пусть H — неоднопорожденная тотально локальная формация. Все собственные тотально локальные подформации из H однопорождены тогда и только тогда, когда H = Sπ — формация всех конечных разрешимых π-групп, где |π| = 2. В работе рассматриваются только конечные группы. Используемые обозначения и определения содержатся в [4–6]. Напомним, что для произвольных последовательности простых чисел p1 , p2 , . . . , pn и совокупности групп X класс групп Xp1 p2 ...pn определяют следующим образом: 1) Xp1 = (A/Fp1 (A) | A ∈ X); 2) Xp1 p2 ...pn = (A/Fpn (A) | A ∈ Xp1 p2 ...pn−1 ). Последовательность простых чисел p1 , p2 , . . . , pn называют подходящей для X, если p1 ∈ π(X) и pi ∈ π(Xp1 p2 ...pi−1 ), i ∈ {2, . . . , n}. Для произвольной тотально локальной формации F через F∞ обозначают ее минимальный тотально локальный экран. Пусть p1 , p2 , . . . , pn — некоторая подходящая для F последовательность. Тогда тотально локальный экран
Об одном вопросе тотально локальных формаций конечных групп
729
F∞ p1 p2 . . . pn определяют следующим образом: 1) F∞ p1 = (F∞ (p1 ))∞ ; 2) F∞ p1 . . . pn = (F∞ p1 . . . pn−1 (pn ))∞ . Для разрешимой группы A через l(A) обозначается ее нильпотентная длина. Для доказательства теоремы нам понадобятся несколько вспомогательных результатов. ЛЕММА 1. Пусть G — монолитическая группа с неабелевым монолитом P . Тогда Sπ(P ) ⊂ l∞ form G. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть π = π(P ). Покажем, что при любом натуральном n имеет место включение Nnπ ⊂ ln form G. Пусть n = 1. Поскольку N∩l form G = Nπ(G) , и P — неабелев монолит группы G, то Nπ(G) ⊂ l form G. Значит, Nπ ⊆ Nπ(G) ⊂ l form G. Допустим теперь, что утверждение верно для n−1. Положим F = Nnπ , H = ln form G и обозначим через h минимальный внутренний (n−1)-кратно локальный экран формации H. Так как P — неабелев монолит группы G, то Fp (G) = 1, p ∈ π. В силу [5, теор. 8.3] для p ∈ π имеем h(p) = ln−1 form (G/Fp (G)) = ln−1 form G. По [5, следствие 7.13] формация F = Nπ Nπn−1 имеет локальный экран f такой, что f (p) = (1)Nπn−1 = Nπn−1 , p ∈ π. По индуктивному предположению Nπn−1 ⊂ ln−1 form G. Поэтому f (p) ⊂ h(p), p ∈ π. Следовательно, в силу [5, следствие 8.4], F ⊂ H. Таким образом, Nnπ ⊂ ln form G при любом натуральном n. Пусть теперь A — группа минимального порядка из Sπ \ l∞ form G, t = l(A). Тогда A ∈ Ntπ ⊂ lt form G ⊆ l∞ form G, получаем противоречие. Значит, Sπ ⊆ l∞ form G. Так как при этом G неразрешима, то Sπ ⊂ l∞ form G. Лемма доказана. Аналогично [5, лемма 8.14] доказывается следующая ЛЕММА 2. Формация F является однопорожденной тотально локальной тогда и только тогда, когда |π(F)| < ∞ и F имеет внутренний
730
В. Г. Сафонов
тотально локальный экран h, для которого h(p) — однопорожденная тотально локальная формация при любом p ∈ π(F). ЛЕММА 3. Пусть π — некоторое конечное множество простых чисел. Тогда для любого целого неотрицательного n любая тотально локальная подформация из Nnπ однопорождена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F = Nnπ , H — произвольная неединичная тотально локальная подформация из F. Воспользуемся индукцией по n. При n = 1 верно F = Nπ , и утверждение леммы очевидно. Предположим, что требуемое верно при n − 1. Так как F = Nnπ = = Nπ Nπn−1 , то в силу [5, следствие 7.13] формация F имеет локальный экран f1 такой, что f1 (p) = (1)Nπn−1 = Nπn−1 , p ∈ π. Очевидно, f1 — внутренний тотально локальный экран формации F. Поэтому F∞ (p) ⊆ f1 (p). Следовательно, H∞ (p) ⊆ F∞ (p) ⊆ f1 (p) = Nπn−1 , p ∈ π. По индукции любая тотально локальная подформация из Nπn−1 однопорождена. Значит, H∞ (p) — однопорожденная тотально локальная формация для любого p ∈ π(H). В силу леммы 2, H и F — однорожденные тотально локальные формации. Лемма доказана. ЛЕММА 4. Пусть H — тотально локальная формация, все собственные тотально локальные подформации которой однопорождены. Тогда |π(H)| < ∞ и H ⊆ S. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть π = π(H), p ∈ π. Предположим, что π — бесконечное множество, τ = π \ {p}. Поскольку H ∩ N = Nπ , то Nτ ⊂ ⊂ Nπ ⊆ H. Значит, Nτ — собственная тотально локальная подформация H и, следовательно, однопорождена, что невозможно, так как τ — бесконечное множество простых чисел. Таким образом, |π(H)| < ∞. Допустим теперь, что H 6⊆ S, и A — группа минимального порядка из
H\S. Тогда A — монолитическая группа с неабелевым монолитом R. В силу леммы 1, Sπ(R) ⊂ l∞ form A ⊆ H. Поскольку |π(R)| > 3, то Sπ(R) 6= Np , где p ∈ π(R). Ввиду [5, п. 2.31], Sπ(R) — тотально локальная формация. Допустим, что Sπ(R) является однопорожденной. Тогда найдется разрешимая группа B такая, что Sπ(R) = l∞ form B. Пусть t = l(B). Тогда
Об одном вопросе тотально локальных формаций конечных групп
731
B ∈ Ntπ(R) (Ntπ(R) — формация всех разрешимых π(R)-групп, нильпотентная длина которых не превосходит t). В силу [5, следствие 7.15] формация Ntπ(R) тотально локальна, поэтому Sπ(R) = l∞ form B ⊆ Ntπ(R) ⊂ Nt+1 π(R) ⊂ Sπ(R) , получаем противоречие. Значит, Sπ(R) — неоднопорожденная тотально локальная формация, что противоречит условию леммы, поскольку Sπ(R) является собственной тотально локальной подформацией формации H. Таким образом, H ⊆ S. Лемма доказана. ЛЕММА 5. Пусть H — разрешимая тотально локальная формация, h — максимальный внутренний локальный экран формации H, π = π(H). Если для любого p ∈ π имеет место h(p) = H, то H = Sπ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку h — максимальный внутренний локальный экран, то h(p) = Np h(p) для p ∈ π(H), т. е. Np H = H. Группа G минимального порядка из Sπ \ H будет монолитической с монолитом P = GH. Так как G разрешима, то P — абелева p-группа для некоторого p ∈ π, и G ∈ Np H = H, получаем противоречие. Значит, H = Sπ . Лемма доказана. ЛЕММА 6. Пусть H — тотально локальная формация из Sπ , где π = {p, q}, h — внутренний тотально локальный экран формации H такой, что h(p) — однопорожденная тотально локальная формация. Тогда H также будет однопорожденной тотально локальной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию h(p) = l∞ form A для некоторой разрешимой группы A. Если k = l(A), то h(p) ⊆ Nkπ . Пусть G — группа из H такая, что |π(G)| = 2. Тогда G/Fp (G) ∈ h(p) ⊆ Nkπ , и G ∈ Gp′ Np h(p) ⊆ ⊆ Gp′ Np Nkπ . Следовательно, G ∈ Gp′ Np Nkπ ∩ Sπ = Gp′ Np Nkπ ∩ Sπ Np Nkπ = (Gp′ ∩ Sπ )Np Nkπ = Nq Np Nkπ ⊆ Nk+2 π , т. е. H ⊆ Nk+2 π , и, в силу леммы 3, H — однопорожденная тотально локальная формация. Лемма доказана.
732
В. Г. Сафонов ЛЕММА 7. Пусть H — разрешимая неоднопорожденная тотально
локальная формация такая, что |π(H)| = n, n > 3. Тогда в H содержится по меньшей мере одна собственная неоднопорожденная тотально локальная подформация. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть π = π(H). Предположим, что все собственные тотально локальные подформации из H однопорождены. Поскольку для любого (n − 1)-элементного подмножества τ ⊂ π формация Sτ является неоднопороженной тотально локальной, то Sτ 6⊆ H и H 6= Sπ . Значит, Sτ ∩ H ⊂ H и, по предположению, Sτ ∩ H — однопорожденная тотально локальная формация. Пусть Sτ ∩ H = l∞ form A, k = l(A). Тогда l∞ form A ⊆ Nkτ . Понятно, что k — число, зависящее от τ , т. е. k = k(τ ). Пусть G — произвольная группа из H. Если |π(G)| < n, то G ∈ ∈ Sτ ∩ H ⊆ Nkτ для некоторого τ . Пусть теперь |π(G)| = n. Поскольку H 6= Sπ и в силу леммы 5, найдется простое число p ∈ π такое, что h(p) ⊂ H, где h — максимальный внутренний локальный экран формации H. Так как h(p) — тотально локальная формация, она однопорождена, т. е. h(p) = l∞ form B ⊆ Nbπ , где b = l(B). В силу [5, теор. 8.3], G/Fp (G) ∈ h(p) = l∞ form B ⊆ Nbπ . Значит, G ∈ Gp′ Np h(p) ∩ Sπ ⊆ Gp′ Np Nbπ ∩ Sπ = Gp′ Np Nbπ ∩ Sπ Np Nbπ = (Gp′ ∩ Sπ )Np Nbπ ⊆ (Gp′ ∩ Sπ )Nb+1 = Sω Nb+1 π π , где ω = π \ {p}. Таким образом, G ∈ Sω Nb+1 ∩ H ⊆ Sω Nb+1 ∩ HNb+1 = (Sω ∩ H)Nb+1 π π π π . Так как |ω| = n − 1, то Sω ∩ H = l∞ form D ⊆ Naω , где a = l(D). Поэтому G ∈ (Sω ∩ H)Nb+1 ⊆ Naω Nb+1 ⊆ Naπ Nb+1 = Na+b+1 = Ntπ , π π π π где t = a + b + 1. Если m — наибольшее среди чисел k(τ ) и t, то H ⊆ Nm π , и, в силу леммы 3, H — однорожденная тотально локальная формация, что противоречит условию. Лемма доказана.
Об одном вопросе тотально локальных формаций конечных групп
733
Непосредственно из [5, лемма 1] следует ЛЕММА 8. Пусть {Fi | i ∈ I} — произвольная цепь тотально S локальных формаций. Тогда формация F = Fi тотально локальна. i∈I
S
ЛЕММА 9. Пусть p и q — различные простые числа. Тогда (Np Nq )n = Sπ , где π = {p, q}.
n∈N
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку формации Np и Nq тотально локальны, такими же будут и формации (Np Nq )n , n ∈ N, как произведение S тотально локальных формаций. Ввиду леммы 8, F = (Np Nq )n — тотальn∈N
но локальная формация. Допустим, что Sπ \ F непусто, и G — группа минимального порядка из Sπ \ F. Тогда G — монолитическая группа с абелеS (Np Nq )n , то G/P ∈ (Np Nq )t вым монолитом P . Поскольку G/P ∈ F = n∈N
для некоторого t ∈ N. Следовательно, G ∈ (Np Nq )t+1 . С другой стороны, (Np Nq )t+1 ⊆ F. Значит, G ∈ F, получаем противоречие. Обратное включение очевидно. Лемма доказана. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть H — неоднопорожденная тотально локальная формация, у которой все собственные тотально локальные подформации однорождены, π = π(H), h — максимальный внутренний локальный экран формации H. В силу лемм 4 и 7, H ⊆ S и |π| 6 2. Если π = {p}, то H = Np — однопорожденная тотально локальная формация. Значит, |π| = 2. Предположим что H — собственная подформация из Sπ . Тогда по лемме 5 найдется простое число p ∈ π такое, что h(p) ⊂ H. Поскольку h(p) — тотально локальная формация, то по условию она однопорождена. Поэтому и в силу леммы 6, H также является однопорожденной тотально локальной формацией, получаем противоречие. Следовательно, h(p) = H для p ∈ π, и, по лемме 5, H = Sπ , получаем противоречие. Значит, наше предположение неверно и H = Sπ . Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть H — произвольная собственная тотально локальная подформация из Sπ , |π| = 2. Допустим, что H неоднопорождена. Тогда π(H) = π, и, в силу леммы 6, H∞ (p) — неоднопорожденная тотально локальная формация при любом p ∈ π. Очевидно, что
734
В. Г. Сафонов
π(H∞ (p)) = π. Если q ∈ π \ {p}, то по тем же соображениям значение на q минимального внутреннего тотально локального экрана H∞ p формации H∞ (p) будет неоднопорожденной тотально локальной формацией и π(H∞ p(q)) = π. Значит, последовательность из двух простых чисел p, q является подходящей для H. Аналогично для формации H∞ p(q) последовательность p, q также является подходящей. Следовательно, для H является подходящей уже последовательность длины 4, т. е. p, q, p, q. Повторяя далее данные рассуждения для формации H∞ pqp(q), через n шагов получим, что последовательность длины 2n вида p, q, p, q, . . . , p, q является подходящей для H, а формация H∞ pqpq . . . p(q) — неоднопорожденной тотально локальной, причем π(H∞ pqpq . . . p(q)) = π. Таким образом, для любого заданного n последовательность простых чисел длины 2n вида p, q, p, q, . . . , p, q, где p, q ∈ π, является подходящей для H. Пусть s1 , s2 , . . . , s2n−1 , s2n — последовательность простых чисел такая, что si = p при нечетном i и si = q при четном i, не превосходящем 2n. Тогда H∞ s1 s2 . . . s2n−1 (s2n ) — неоднопорожденная тотально локальная формация, π(H∞ s1 s2 . . . s2n−1 (s2n )) = π. Так как при этом H∞ s1 s2 . . . . . . s2n−1 (s2n ) — значение на s2n минимального внутреннего тотально локального экрана формации H∞ s1 s2 . . . s2n−2 (s2n−1 ), то Ns2n H∞ s1 s2 . . . s2n−1 (s2n ) ⊆ H∞ s1 s2 . . . s2n−2 (s2n−1 ). Аналогично, Ns2n−1 H∞ s1 s2 . . . s2n−2 (s2n−1 ) ⊆ H∞ s1 s2 . . . s2n−3 (s2n−2 ), ... Ns2 H∞ s1 (s2 ) ⊆ H∞ (s1 ), Ns1 H∞ (s1 ) ⊆ H. Значит, Ns2n−1 Ns2n H∞ s1 s2 . . . s2n−1 (s2n ) ⊆ Ns2n−1 H∞ s1 s2 . . . s2n−2 (s2n−1 ),
Об одном вопросе тотально локальных формаций конечных групп
735
Ns2n−2 Ns2n−1 Ns2n H∞ s1 s2 . . . s2n−1 (s2n ) ⊆ Ns2n−2 H∞ s1 s2 . . . s2n−3 (s2n−2 ), ... Ns2 Ns3 . . . Ns2n−1 Ns2n H∞ s1 s2 . . . s2n−1 (s2n ) ⊆ Ns2 H∞ s1 (s2 ), Ns1 Ns2 . . . Ns2n−1 Ns2n H∞ s1 s2 . . . s2n−1 (s2n ) ⊆ Ns1 H∞ (s1 ) ⊆ H. Поэтому Ns1 Ns2 . . . Ns2n−1 Ns2n ⊆ H для любого n. С другой стороны, Ns1 Ns2 . . . Ns2n−1 Ns2n = (Np Nq )n , т. е. (Np Nq )n ⊆ H для любого n. СледоS S (Np Nq )n = Sπ . Поэтому (Np Nq )n ⊆ H. Ввиду леммы 9, вательно, n∈N
n∈N
Sπ ⊆ H ⊂ Sπ , получаем противоречие. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Пусть F — тотально локальная формация такая, что |π(F)| < ∞. Тогда справедливо одно из следующих утверждений: 1) F — однопорожденная тотально локальная формация; 2) формация F содержит по меньшей мере одну неоднопорожденную тотально локальную подформацию, у которой все собственные тотально локальные подформации однопорождены.
ЛИТЕРАТУРА 1. А. Н. Скиба, Характеризация конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины, Вопросы алгебры, 3 (1987), 21—31. 2. K. Doerk, Zwei Klassen von Formationen endlicher aufl¨osbarer Gruppen, deren Halbverband ges¨attigter Unterformationen genau ein maximales Element besitzt, Arch. Math., 21, N 3 (1970), 240—244. 3. T. Hawkes, Skeletal classes of soluble groups, Arch. Math., 22, N 6 (1971), 577—589. 4. Л. А. Шеметков, Формации конечных групп, М., Наука, 1978. 5. Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба, Формации алгебраических систем, М., Наука, 1989. 6. А. Н. Скиба, Алгебра формаций, Минск, Беларуская навука, 1997. 7. М. В. Селькин, Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп, Минск, Беларуская навука, 1997. 8. K. Doerk, T. Hawkes, Finite soluble groups, Berlin–New York, Walter de Gruyter, 1992.
736
В. Г. Сафонов 9. Guo Wenbin, The theory of classes of groups, Beijing, Kluwer Academic Publ., 2000.
10. Х. Нейман, Многообразия групп, М., Мир, 1969. 11. А. Ю. Ольшанский, Разрешимые почти-кроссовы многообразия групп, Матем. сб., 85(129), N 1(5) (1979), 115—131. 12. А. Н. Скиба, О неоднопорожденных S-замкнутых локальных формациях, в кн. ”Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп“, Минск, Наука и техника, 1986, 149—156. 13. А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970. 14. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002.
Адрес автора:
Поступило 23 января 2002 г.
САФОНОВ Василий Григорьевич, БЕЛАРУСЬ, 246019, г. Гомель, ул. Советская, 104, Гомельский гос. университет им. Ф. Скорины. Тел.: (375 232) 57-82-58, 57-01-47, e-mail:
[email protected]
