Теория чисел: Учебное пособие

Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет

А.П. Ильиных

Т ЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Учебное пособие

Екатеринбург 2003

УДК 511 И 45 РЕЦЕНЗЕНТ: член - корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор А.А.Махнев И 45 Ильиных А.П. Теория чисел: Учебное пособие / Урал. гос. пед. ун-т.– Екатеринбург, 2003. – 148 с. Пособие является курсом лекций по теории чисел и предназначено для студентов дневного и заочного отделений математических факультетов педагогических вузов. Некоторые утверждения требуют самостоятельного доказательства. На такие утверждения указывает следующий знак на поле страницы. " В заключительной части пособия содержатся индивидуальные домашние задания по теории чисел.

c

Ильиных А.П., 2003

Содержание Лекция 1. Делимость целых чисел. Частное и остаток . . . . . . . . . . . . . . 4 Лекция 2. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида . . . . . . . . 7 Лекция 3. Линейная форма НОД. НОК и его свойства . . . . . . . . . . . . 13 Лекция 4. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Лекция 5. Каноническое разложение натурального числа . . . . . . . . . 20 Лекция 6. Теоретико-числовые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Лекция 7. Теория сравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Лекция 8. Полная и приведенная системы вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Лекция 9. Кольцо и поле классов вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Лекция 10. Сравнения первой степени с одной неизвестной . . . . . . . 45 Лекция 11. Непрерывные дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Лекция 12. Системы сравнений первой степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Лекция 13. Показатель числа. Свойства показателя . . . . . . . . . . . . . . .65 Лекция 14. Первообразные корни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Лекция 15. Индексы. Свойства индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Лекция 16. Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Лекция 17. Запись рациональных чисел в виде десятичной дроби . . 82 Индивидуальные домашние задания по теории чисел. . . . . . . . . . . . . . 89 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3

Лекция 1. Делимость целых чисел. Частное и остаток. В теории чисел рассматриваются в основном целые числа. Поэтому слово «число» подразумевает обычно целое число, а буквы a, b, c . . . обозначают целые числа. Мы без какого-либо упоминания применяем такие известные свойства чисел, как коммутативность a + b = b + a, дистрибутивные законы (a + b)c = ac + bc и a(b + c) = ac + ac и т. п. В курсе «Числовые системы» [8] эти законы будут подробно рассмотрены, а пока мы используем их как очевидные свойства чисел. Делимость чисел. Пусть a и b – произвольные целые числа. В некоторых случаях существует целое число q, для которого a = bq. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 . Пусть a, b ∈ Z. Число a делится на b, если существует целое число q с условием a = bq. . То, что a делится на b, записываем в виде a .. b. Если a не делится на b, . то записываем a 6 .. b. Используя логическую символику, получаем . a .. b

⇔

∃ q∈Z

a = bq.

Кроме того, если число a делится на b, то говорят, что b – делитель числа a и используют запись b | a. Свойства делимости. Из определения делимости нетрудно получить следующие свойства. С ВОЙСТВО 1. Каждое число a делится на 1 и делится на самого себя. Доказательство. Имеем a = 1·q, где q = a ∈ Z и a = a·q, где q = 1 ∈ Z. . . Поэтому a .. 1 и a .. a. С ВОЙСТВО 2. Отношение делимости транзитивно, т. е. . . . a .. b ∧ b .. c ⇒ a .. c. . . Доказательство. Так как a .. b, то a = bq1 , где q1 ∈ Z. Аналогично, b .. c, . т.е. b = cq2 , где q2 ∈ Z. Тогда a = cq для q = q2 q1 ∈ Z. Поэтому a .. c.

4

С ВОЙСТВО 3. Если числа a и b делятся на c, то a + b, a − b и ka, где k ∈ Z, делятся на число c, т.е. . . . . . a .. c ∧ b .. c ⇒ a + b .. c, a − b .. c, ka .. c. Доказательство. Так как a и b делятся на c, то a = cq1 и b = cq2 для q1 , q2 ∈ Z. Тогда a + b = cq1 + cq2 = c(q1 + q2 ), где q1 + q2 ∈ Z. Поэтому . . . a + b .. c. Так же получаем, что a − b .. c и ka .. c. Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для нескольких " чисел. С ВОЙСТВО 4. Пусть дано равенство a1 + a2 + · · · + am = b1 + b2 + + · · · + bn , в котором все члены, кроме одного, делятся на c. Тогда и этот, оставшийся член, также делится на c. Доказательство. Пусть все члены, кроме a1 , делятся на c Имеем a1 = (−a2 ) + · · · + (−am ) + b1 + b2 + · · · + bn . В правой части все слагаемые делится на c. Поэтому их сумма, т.е. число a1 , делится на c. С ВОЙСТВО 5. Пусть a и b – натуральные числа. Если a делится на b , то a > b. Если a и b делятся друг на друга, то a = b. . Доказательство. Пусть a .. b. Тогда a = bq, где q ∈ Z и q > 0. Поэтому q > 1. Умножив неравенство q > 1 на b, получим bq > b, т.е. a > b. Если a и b делятся друг на друга, то a > b и b > a. Тогда a = b. Частное и остаток. Частное и остаток от деления a на b рассматриваются в школьном курсе математики. Хорошо известен «способ деления уголком» для нахождения частного и остатка. Например, при делении 1243 на 10 получаем частное 124 и остаток 3, т.е. 1243 = 10 · 124 + 3. Рассмотрим точные определения. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пусть a, b ∈ Z и b > 0. Если для некоторых q, r ∈ Z выполнено равенство a = bq + r, где 0 6 r < b,

(1.1)

то число q называется неполным частным, а число r – остатком от деления a на b. Неравенство (1.1) – это признак остатка. Вместо слов «неполное частное» будем обычно говорить «частное». 5

Т ЕОРЕМА 1.1 . Пусть a и b – произвольные целые числа и b > 0. Частное и остаток от деления a на b существуют и определены однозначно. Доказательство. Установим вначале существование частного и остатка. В бесконечно возрастающей последовательности чисел . . . , −2b, −b, 0, b, 2b, 3b, . . . выберем наибольшее число bq, не превосходящее числа a. Получим bq 6 a

и b(q + 1) > a.

(1.2)

Рассмотрим число r = a − bq. Тогда a = bq + r.

(1.3)

Из первого неравенства в (1.2) имеем 0 6 a − bq, т.е. 0 6 r. Из второго неравенства получаем a − bq < b, т.е. r < b. Итак, мы имеем равенство (1.3), и выполнен признак остатка 0 6 r < b. Поэтому число q можно назвать частным, а число r – остатком от деления a на b. Установим единственность частного и остатка. Пусть наряду с частным q и остатком r, существует еще одно частное q1 и остаток r1 . Имеем два условия a = bq + r, a = bq1 + r1 ,

где 0 6 r < b, где 0 6 r1 < b.

(1.4) (1.5)

Нужно проверить, что q = q1 и r = r1 . Методом от противного докажем, что r = r1 . Пусть r 6= r1 . Можно считать, что r1 > r, т.е. r1 − r ∈ N . Вычтем из равенства (1.4) равенство (1.5). Получим 0 = b(q − q1 ) + (r − r1 ),

(1.6)

откуда r1 −r = b(q−q1 ). Итак, натуральное число r1 −r делится на число b. По свойству делимости 5 получаем, что r1 − r > b. Однако из (1.5) имеем r1 − r < b, противоречие. Поэтому r = r1 . Учитывая r − r1 = 0, из (1.6) получаем 0 = b(q − q1 ). Так как b 6= 0, то q − q1 = 0. Тогда q = q1 , что и нужно. Теорема доказана.

6

Лекция 2. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Пусть d – делитель числа a. Тогда −d также является делителем числа a. Поэтому, делителю d > 0 числа a всегда сопутствует отрицательный делитель −d. Мы будем рассматривать только положительные делители чисел, и слова «делитель числа» всегда означают положительный делитель. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1 . Пусть a, b, c – произвольные целые числа. Число c называется общим делителем чисел a и b, если c является делителем как числа a, так и числа b. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Наибольшим общим делителем ( НОД ) чисел a и b называется наибольший из общих делителей чисел a и b. Наибольший общий делитель чисел a и b обозначается через (a, b). П РИМЕР. (12, 8) = 4, (12, −8) = 4, (3, 7) = 1, (0, 5) = 5. Ровно в одном случае наибольший общий делитель (a, b) не существует. Пусть a = 0 и b = 0. Поскольку ноль делится на любое число, то любое число – общий делитель чисел a = 0 и b = 0. Поэтому среди общих делителей чисел a и b нельзя выбрать наибольшее число и (a, b) не существует. Рассмотрим способ для нахождения наибольшего общего делителя. Л ЕММА 2.1. Пусть число a делится на b > 0. Тогда справедливы два утверждения. 1) Множество общих делителей чисел a и b совпадает с множеством делителей одного числа b. 2) (a, b) = b. Доказательство. 1) Обозначим через Da,b множество общих делителей чисел a и b, а через Db – множество делителей одного числа b. Проверим, что Da,b = Db , т.е. a) Da,b ⊆ Db и b) Db ⊆ Da,b .

7

Установим a). Если d ∈ Da,b , то d – общий делитель чисел a и b. Тогда d – делитель одного числа b, т.е. d ∈ Db . Получили Da,b ⊆ Da . . . . . Проверим b). Если d ∈ Db , то b .. d. По условию a .. b. Из a .. b и b .. d . следует a .. d, т.е. d ∈ Da,b . Получили Db ⊆ Da,b . Итак, Da,b = Db , и первое утверждение леммы доказано. 2) Для нахождения НОД чисел a и b, т.е. числа (a, b), нужно из множества Da,b выбрать наибольшее число d. Так как Da,b = Db , то нужно выбрать наибольшее число d из Db – множества делителей числа b. Для любого делителя d числа b по свойству 5 имеем d 6 b. Поэтому наибольшее число из множества делителей числа b есть само число b. Получили d = b. Лемма доказана. Л ЕММА 2.2 . Пусть для чисел a, b, r справедливо равенство a = bq + r. Тогда 1) Множество общих делителей чисел a и b совпадает с множеством общих делителей чисел b и r. 2) (a, b) = (b, r). Доказательство. 1) Обозначим через Da,b множество общих делителей чисел a и b, а через через Db,r – множество делителей чисел b и r. Используя рассуждения из предыдущей леммы, доказать, что " Da,b = Db,r . 2) Так как множества Da,b и Db,r совпадают, то и совпадают наибольшие числа (a, b) и (b, r) из этих множеств. Получили (a, b) = (b, r). Лемма доказана. Ясно, что (a, b) = (−a, b). Поэтому для случая a 6= 0 и b 6= 0 при нахождении НОД можно считать, что a > 0 и b > 0 . Если a = 0 и b = 0, то НОД не существует, если a = 0 и b > 0, то (a, b) = b. Алгоритм Евклида. Для нахождения НОД двух чисел a > 0 и b > 0 применяется способ, рассмотренный в знаменитых книгах Евклида «Начала», III век до н. э. Разделим число a на b. Получим a = bq1 +r1 , где q1 – частное, r1 – остаток от деления a на b. Затем разделим число b на r1 , получим b = r1 q2 + r2 . Далее продолжаем этот процесс, т.е. то, «на что делили на предыдущем шаге» делим на «полученный на предыдущем шаге остаток». Получим систему равенств и условий для полученных остатков r1 , r2 , . . . , rn .

8

a = bq1 + r1 , b = r 1 q2 + r 2 , r 1 = r 2 q3 + r 3 , ... rn−3 = rn−2 qn−1 + rn−1 , rn−2 = rn−1 qn + rn , rn−1 = rn qn+1 .

0 6 r1 < b, 0 6 r2 < r 1 , 0 6 r3 < r 2 , ... 0 6 rn−1 < rn−2 , 0 6 rn < rn−1 ,

(2.1)

Заметим, что на некотором этапе получается остаток rn+1 , равный нулю, и поэтому процесс деления обрывается. В противном случае имели бы бесконечно убывающую последовательность натуральных чисел b > r1 > r2 > r3 > . . . , что невозможно. Итак, имеем rn+1 = 0, и rn – последний, не равный нулю, остаток. Т ЕОРЕМА 2.1 . Последний, не равный нулю, остаток rn в алгоритме Евклида является наибольшим общим делителем чисел a и b. Доказательство. Нужно проверить, что (a, b) = rn . Применим пункт 2) леммы 2.2. Получим равенства (a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = (r2 , r3 ) = · · · = (rn−2 , rn−1 ) = (rn−1 , rn ) = rn . . В последнем равенстве учтено, что rn−1 .. rn и (rn−1 , rn ) = rn по пункту 2) леммы 2.1. Теорема доказана. З АМЕЧАНИЕ 2.1. Число c является общим делителем двух чисел a и b тогда и только тогда, когда c является делителем НОД этих чисел. Доказательство. Достаточно проверить, что множество общих делителей двух чисел a и b совпадает с множеством делителей одного числа (a, b). Применим пункт 1) лемм 2.2 и 2.1. Получим Da,b = Db,r1 = Dr1 ,r2 = · · · = Drn−1 ,rn = Drn , где rn = (a, b). НОД нескольких чисел. Наибольшим общим делителем чисел a1 , a2 , . . . , an называется наибольший из общих делителей этих чисел. НОД чисел a1 , a2 , . . . , an обозначается через (a1 , a2 , . . . , an ). Для нахождения числа d = (a1 , a2 , . . . , an ) нужно вначале найти d1 = (a1 , a2 ), затем d2 = (d1 , a3 ), . . . , dn−2 = (dn−3 , an−1 ), и, наконец, d = (dn−2 , an ). Это правило получается из следующей теоремы. 9

Т ЕОРЕМА 2.2. Справедлива следующая формула для НОД нескольких чисел  
(a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 , a2 ), a3 , . . . , an . (2.2) Доказательство. Проверим вначале, что
(a1 , a2 , a3 ) = (a1 , a2 ), a3 . Рассмотрим D – множество общих делителей трех чисел (a1 , a2 , a3 ) и D0 – множество общих делителей двух чисел: а именно, числа d1 = (a1 , a2 ) и числа a3 . По замечанию 2.1 слова «с – общий делитель чисел a1 и a2 » можно заменить на «с – делитель числа d1 = (a1 , a2 )». Поэтому слова «с – общий делитель чисел a1 , a2 , a3 » можно заменить на «с – общий делитель двух чисел d1 и a3 ». Отсюда D = D0 . Так как множества D и D0 равны, то равны
и наибольшие элементы из этих множеств, т.е. (a1 , a2 , a3 ) = (a1 , a2 ), a3 . Доказательство для случая n > 3 провести самостоятельно. Теорема " доказана. Свойства НОД и взаимно простых чисел. Рассмотрим свойства наибольшего общего делителя. С ВОЙСТВО 1. Для любых чисел a, b, m, где m > 0, справедливо равенство (am, bm) = (a, b)m. (2.3) Тем самым, общий множитель m можно выносить за знак НОД. Доказательство. Найдем НОД чисел a и b с помощью алгоритма Евклида (2.1). Для последнего, не равного нулю остатка rn , имеем rn = (a, b). Умножив на m, получаем из (2.1) am bm r1 m ... rn−3 m rn−2 m rn−1 m

= (bm)q1 + r1 m, = (r1 m)q2 + r2 m, = (r2 m)q3 + r3 m,

0 6 r1 m < bm, 0 6 r2 m < r1 m, 0 6 r3 m < r2 m, ... = (rn−2 m)qn−1 + rn−1 m, 0 6 rn−1 m < rn−2 m, = (rn−1 m)qn + rn m, 0 6 rn m < rn−1 m, = (rn m)qn+1 .

(2.4)

Неравенства, приведенные выше, – это признаки остатка. В частности, 10

первая строка в (2.4) показывает, что q1 – частное, а r1 m – остаток от деления am на bm. Значит (2.4) – алгоритм Евклида для чисел am и bm. Поэтому (am, bm) = rn m. Так как rn = (a, b), то (am, bm) = (a, b)m. С ВОЙСТВО 2. Пусть m – общий делитель чисел a и b. Тогда  a b  (a, b) , = . m m m

(2.5)

b a , b1 = . Тогда a = a1 m и Доказательство. Обозначим a1 = m m b = b1 m. Требуемое равенство (2.5) переписывается в виде (a1 , b1 ) =

(a1 m, b1 m) , m

т.е. в виде (a1 , b1 )m = (a1 m, b1 m). А это равенство верно по свойству 1. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3 . Два числа a и b называются взаимно простыми, если их НОД равен единице. Тем самым числа a и b взаимно просты ⇔ (a, b) = 1. Аналогично, числа a1 , a2 , . . . , an взаимно просты, если их НОД равен единице, т.е. (a1 , a2 , . . . , an ) = 1. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4 . Числа a1 , a2 , . . . , an называются попарно взаимно простыми, если (ai , aj ) = 1 при i 6= j. Пример. Числа 14 и 9 взаимно просты, т.к. (14, 9) = 1, числа 14 и 22 не взаимно просты, т.к. (14, 22) = 2. Числа 12, 9, 14 взаимно просты, но не попарно взаимно просты. С ВОЙСТВО 3. Если числа a и b разделить на их НОД, то получатся взаимно простые числа. Доказательство. Обозначим m = (a, b). По свойству 2  a b  (a, b) (a, b) , = = = 1. m m m (a, b)

11

С ВОЙСТВО 4. Пусть числа a и c взаимно просты. Тогда (ab, c) = (b, c). Доказательство. Обозначим d = (b, c) , d1 = (ab, c) и установим равенство d = d1 . По свойству делимости 5 достаточно проверить, что . 1) d1 .. d

и

. 2) d .. d1 .

. 1) Проверим d1 .. d. Для числа d = (b, c) имеем: d – общий делитель . b и c. Тогда ab .. d и число d общий делитель чисел ab и c. По замечанию . 2.1, стр. 9 получаем, что d делитель числа d1 = (ab, c). Итак, d1 .. d. . 2) Проверим d .. d1 . Так как d1 НОД чисел ab и c, то d1 общий делитель чисел ab и c. Тогда d1 общий делитель чисел ab и ac. Отсюда d1 делитель НОД чисел ab и cb, т.е. d1 делитель числа (ab, cb) = (a, c)b = b. При этом учтено (a, c) = 1. Получили, что d1 общий делитель чисел b и c. Тогда d1 . делитель числа d = (b, c), т.е. d .. d1 . . . Получили d .. d1 и d1 .. d, т.е. d = d1 , что и нужно. С ВОЙСТВО 5. Пусть каждое из чисел a1 , a2 , . . . , an взаимно просто с числом c. Тогда произведение a1 a2 . . . an взаимно просто с числом c. Доказательство. Проверяемое утверждение имеет вид (a1 , c) = 1, (a2 , c) = 1, . . . , (an , c) = 1 ⇒ (a1 a2 . . . an , c) = 1. Так как (a1 , c) = 1, то по свойству 4 выполнено равенство (a1 a2 . . . an , c) = (a2 . . . an , c). Далее (a2 . . . an , c) = (a3 . . . an , c) = · · · = (an , c) = 1. С ВОЙСТВО 6. Пусть произведение ab делится на c и сомножитель a взаимно прост с числом c. Тогда другой сомножитель b делится на c. Доказательство. Нужно доказать, что . . ab .. c ∧ (a, c) = 1 ⇒ b .. c. . Так как ab .. c, то (ab, c) = c. По условию (a, c) = 1. Тогда по свойству 4 . (ab, c) = (b, c). Поэтому (b, c) = c, откуда b .. c.

12

Лекция 3. Линейная форма НОД. НОК и его свойства. Пусть d – наибольший общий делитель чисел a и b. Предположим, что для некоторых целых чисел x и y справедливо равенство (3.1)

ax + by = d.

Запись числа d = (a, b) в виде (3.1) называется линейной формой НОД чисел a и b. Числа x и y – коэффициенты линейной формы. Укажем способ для нахождения линейной формы. Он состоит из двух этапов. Этап 1 (спуск вниз). С помощью алгоритма Евклида найдем d = (a, b). Получим следующие равенства, причем rn = d a = bq1 + r1 , b = r1 q2 + r2 , r 1 = r2 q3 + r3 , ... rn−2 = rn−1 qn + rn , rn−1 = rn qn+1 .

(3.2)

Этап 2 (подъем вверх). Из предпоследнего равенства выразим rn = d. Получим некоторые x1 , y1 ∈ Z с условием rn = rn−2 · |{z} 1 +rn−1 (−qn ). |{z} x1

(3.3)

y1

То, что число с выражается через a и b в виде c = xa + yb, где x, y, ∈ Z, отражаем записью c ` a, b. Из (3.3) имеем rn ` rn−2 , rn−1 .

(3.4)

Из следующего вверх равенства получаем rn−1 ` rn−2 , rn−3 . Заменим rn−1 в (3.3) на его выражение через rn−2 , rn−3 . Получим rn ` rn−3 , rn−2 . Подымаясь вверх, выражая правые части равенств из (3.2) и подставляя в очередное выражение для rn , на последнем шаге получим rn = xa + yb для некоторых целых коэффициентов x и y. С помощью линейной формы легко получить критерий взаимной простоты чисел a и b. 13

Т ЕОРЕМА 3.1 Числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют целые числа x и y такие, что ax + by = 1. Доказательство самостоятельно.

"

Наименьшее общее кратное. Если число a делится на b, то будем говорить, что a кратно b. Наряду с положительным кратным a числа b, отрицательное число −a также кратно b. В дальнейшем будем говорить лишь о положительных кратных. Число c называется общим кратным чисел a и b, если c кратно a и c кратно b. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1 . Наименьшим общим кратным (НОК) чисел a и b называется наименьшее из положительных общих кратных чисел a и b. Наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается через [a, b]. Т ЕОРЕМА 3.2 . Наименьшее общее кратное чисел a > 0 и b > 0 вычисляется по формуле [a, b] =

ab . (a, b)

(3.5)

Доказательство. Выведем вначале формулу для общих кратных и по ней выберем наименьшее из общих кратных. Обозначим d = (a, b). Тогда a = a1 d и b = b1 d.

(3.6)

Числа a1 и b1 получены из чисел a и b делением на их НОД, равный d. По свойству 3 из свойств НОД имеем (a1 , b1 ) = 1. Допустим, что c – общее кратное чисел a и b. Тогда c = aq = bt для некоторых q, t ∈ Z. Заменим a и b на их выражения из (3.6). Получим c = a1 dq = b1 dt. Тогда a1 dq = b1 dt и . . a1 q = b1 t. Отсюда a1 q .. b1 . C учетом (a1 , b1 ) = 1 получаем q .. b1 , т.е. q = b1 s. a1 db1 d ab s = s. Получили, что любое общее Тогда c = a1 dq = a1 db1 s = d d ab кратное c чисел a и b выражается в виде s. d ab Проверить самостоятельно, что любое число c = s, где s ∈ Z явля- " d ется общим кратным чисел a и b. 14

Итак, получена следующая формула для общих кратных c чисел a и b c=

ab s, где s ∈ Z. (a, b)

(3.7)

Наименьшее общее кратное получим при s = 1. Получили формулу (3.5). Теорема доказана. З АМЕЧАНИЕ 3.1 . Число c является общим кратным чисел a и b тогда и только тогда, когда c кратно НОК чисел a и b, т.е. . . . c .. a ∧ c .. b ⇔ c .. [a, b]. Общее кратное c чисел a и b вычисляется по формуле (3.7). Заменим в ab этой формуле выражение на [a, b]. Получим другой вид формулы (a, b) (3.7) c = [a, b]s. Тем самым общие кратные c чисел a и b имеют вид [a, b]s, что и нужно. Аналогично определению НОК двух чисел можно дать определение НОК нескольких чисел a1 , a2 , . . . an , где n > 1. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2 . Наименьшим общим кратным [a1 , a2 , . . . , an ] чисел a1 , a2 , . . . , an называется наименьшее из положительных общих кратных этих чисел. Т ЕОРЕМА 3.3. Справедлива следующая формула для НОК нескольких чисел     a1 , a2 , . . . , an = [[a1 , a2 ], a3 ], . . . , an . (3.8) Доказательство. Случай n < 3 очевиден. Пусть n = 3. Проверим, что [a1 , a2 , a3 ] = [[a1 , a2 ], a3 ]. Пусть M – множество общих кратных трех чисел a1 , a2 , a3 и M 0 – множество общих кратных двух чисел [a1 , a2 ] и a3 . По замечанию 3.1 слова «c кратно чисел a1 и a2 » можно заменить на слова «c кратно числу [a1 , a2 ]». Поэтому M = M 0 . Тогда совпадают наименьшие положительные числа из этих множеств, т.е. [a1 , a2 , a3 ] = = [[a1 , a2 ], a3 ]. Случай n > 3 рассмотреть самостоятельно. Теорема доказана. "

15

Лекция 4. Простые числа. Произвольное натуральное число a > 1 имеет два тривиальных делителя: 1 и само число a. У некоторых натуральных чисел нет делителей, отличных от тривиальных. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Натуральное число a > 1 называется простым числом, если у него нет делителей, отличных от 1 и от самого числа a. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2 . Натуральное число a > 1 называется составным числом, если оно имеет делитель, отличный от 1 и a. П РИМЕР. Числа 2, 7, 31 – простые, а числа 4, 12, 28 − 1 – составные. Заметим, что понятие простого и составного числа вводится на множестве чисел > 1. Поэтому число 1 не принадлежит ни к простым числам, ни к составным. Понятия простого и составного числа являются отрицанием друг друга. Если известно, что число a > 1 не простое, то делается вывод, что оно составное. Число a > 1, не являющееся составным, – простое число. Свойства простых чисел. С ВОЙСТВО 1. Пусть p – наименьший делитель среди неединичных делителей числа a > 1. Тогда p – простое число. Доказательство. Предположим противное. Тогда p – составное число. Поэтому p имеет делитель p1 , отличный от 1 и p. Имеем 1 < p1 < p. . . . Так как a .. p и p .. p1 , то a .. p1 . Получили неединичный делитель p1 числа a, меньший чем p. Противоречие, т.к. p – наименьший делитель среди неединичных делителей числа a. Значит p – простое число. С ВОЙСТВО 2. Пусть p – наименьший делитель среди неединичных де√ лителей составного числа a. Тогда p 6 a. Доказательство. По свойству 1 p – простое число. Так как p – делитель числа a, то a = pt. При этом t 6= 1, иначе a = p и a – простое, что не так. Так как t 6= 1 и a = pt, то t – неединичный делитель числа a. Поскольку p – наименьший делитель среди неединичных делителей числа a, то p 6 t. Домножив обе части этого неравенства на p, получим p2 6 pt. √ Так как pt = a, то p2 6 a и p 6 a. С ВОЙСТВО 3. Пусть p – простое число, a – произвольное целое число. Тогда a делится на p или числа a и p взаимно просты. 16

. Доказательство. Проверим, что a .. p или (a, p) = 1. Обозначим d = (a, p). Тогда d – делитель простого числа p. Поэтому d = 1 или d = p. . Если d = 1, то (a, p) = 1, если d = p, то a .. p. . . . С ВОЙСТВО 4. Если ab .. p и p – простое число, то a .. p или b .. p. . . Доказательство. Предположим противное, т.е. a 6 .. p и b 6 .. p. По свойству 3 (a, p) = 1 и (b, p) = 1. Тогда (ab, p) = 1 ( свойство 5 НОД и взаимно . простых чисел). По условию ab .. p. Поэтому (ab, p) = p, противоречие. Аналогичное утверждение справедливо для нескольких сомножителей, т.е. . . a1 a2 . . . an .. p ⇒ ai .. p для некоторого i, где 1 6 i 6 n. . С ВОЙСТВО 5. Пусть p и q простые числа. Если p .. q, то p = q. Доказательство самостоятельно. Т ЕОРЕМА 4.1 ( Евклид, III в. до н. э. ). Простых чисел бесконечно много. Доказательство. Предположим противное, т.е. простых чисел конечное число. Пусть p 1 , p2 , . . . , p n (4.1) полный список всех простых чисел. Составим натуральное число a = p1 p2 . . . pn + 1. Тогда a > 1. Рассмотрим наименьший делитель p среди неединичных делителей числа a. Число p является простым по свойству 1 из свойств простых чисел. Тогда p = pi для некоторого i, так как в списке (4.1) учтены все простые числа. . . Из p = pi следует p1 p2 . . . pn .. p. Кроме того, a .. p, т.к. мы рассматриваем p – делитель числа a. . . . . Имеем a .. p и p1 p2 . . . pn .. p. Тогда a − p1 p2 · . . . pn .. p, т.е. 1 .. p. Число 1 имеет только единичный делитель. Поэтому p = 1. Противоречие, т.к. p – неединичный делитель. Следовательно, простых чисел бесконечно много. Теорема доказана. Решето Эратосфена. Для нахождения множества всех простых чисел из промежутка от 1 до a применяется метод, называемый «решетом Эратосфена». Рассмотрим этот метод. Выпишем список чисел 2, 3, . . . , a и выберем из них простые числа. Для этого 17

"

1. Обводим первое число списка (т.е. число 2 ) кружком и вычеркиваем все последующие числа, кратные двум. Находим первое невычеркнутое число – это 3. Обводим его кружком и вычеркиваем все последующие числа, кратные 3. Следующее число первое невычеркнутое число 5. Повторяем действия для 5 и так далее. 2. Если вычеркнуты числа, кратные p и при этом p2 > a, то процесс завершаем. Тогда искомый список найден, вследствие следующего утверждения. Т ЕОРЕМА 4.2. Числа, оставшиеся в списке невычеркнутыми составляют множество всех простых чисел в промежутке от 1 до a. Доказательство. Для того, чтобы составить список всех простых чисел в промежутке от 1 до a, мы должны удалить из этого промежутка все составные числа и не не удалять ни одного простого числа. Заметим, что мы каждый раз вычеркивали числа 6= p и кратные p, т.е. вычеркивали составные числа. Поэтому никакое простое число не будет удалено. Покажем, что все составные числа будут вычеркнуты. Пусть b 6 a, число b составное и b не вычеркнуто. Возьмем наименьший делитель p среди неединичных свойствам простых чисел √ делителей числа b. По √ число p простое и p 6 b. Так как b 6 a, то p 6 a и p2 6 a. На каком-то этапе у нас было вычеркивание чисел, кратных p и больших p. Мы должны были вычеркнуть b, как кратное p, а оно у нас не вычеркнуто, противоречие. Теорема доказана. П РИМЕР. Составить список простых чисел от 1 до 50. Решение. Выписываем числа от 2 до 50, и применяем решето Эратосфена. После вычеркивания чисел кратных 11 имеем 112 = 121 > 50, и процесс завершен. 2 3  4 5  6 7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 .................... ...... ... ... ... ..... . .. ... ...... ... ....................

....................... ..... ... .. ... .... .. ... .. . ...... ....................

....................... ..... ... .. ... .... .. ... .. . ...... ....................

....................... ..... ... .. ... .... .. ... .. . ...... ....................

....................... ..... ... .. ... .... .. ... .. . ...... ....................

Ответ [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47].

18

Простые числа Ферма и Мерсенна Простое число a называется числом Ферма, если оно имеет вид 2m + 1. Пусть m имеет нечетный делитель k > 1. Тогда m = kl. Обозначим x = 2l . Рассмотрев равенство xk + 1 = (x + 1)(xk−1 − xk−2 + xk−3 − · · · + 1), получим a – составное число. Поэтому m не имеет нечетных делителей 6= 1, т.е. m вида 2n . Получили, что простые числа Ферма имеют вид n

Fn = 22 + 1, где n > 0.

(4.2)

Французский математик П.Ферма предположил в 1650 году, что числа Fn простые для любого n. Действительно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 имеем простые числа F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537. Однако Л.Эйлер в 1732 г. обнаружил, что F5 – составное число, а именно, 5

22 + 1 = 641 · 6700417. Более того, в настоящее время при n > 5 не известно ни одного простого числа Ферма. Простые числа вида 2n − 1 называются простыми числами Мерсенна в честь французского монаха 17 века М. Мерсенна, который изучал такие числа. Если n – составное, то n = m · k где m, k > 1. Тогда для x = 2m имеем a = xk − 1 = (x − 1)(xk−1 + xk−2 + · · · + 1), т.е. a – составное число. Поэтому простые числа Мерсенна имеет вид Mn = 2n − 1, где n– простое число .

(4.3)

Очевидно, числа M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127 простые. Также просты числа M13 , M17 и M19 . В 1772 г. Л.Эйлер установил простоту числа M31 , а русский священник-математик И.М.Первушин в 1883 г. – простоту числа M61 . Неизвестно, бесконечно ли множество простых чисел Мерсенна. В настоящий момент (2002г.) число 213.466.917 −1 – наибольшое известное простое число Мерсенна ( это 39 известное число Мерсенна). Оно получено в 2001 г. в рамках проекта GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) Майклом Камероном. Проект GIMPS, объединяющий огромное число исследователей, любителей теории чисел, затратил 13 000 лет компьютерного времени, чтобы обнаружить это простое число. Более подробные сведения можно найти на сайте http://www.mersenne.org/prime.htm.

19

Лекция 5. Каноническое разложение натурального числа.

Т ЕОРЕМА 5.1 . Произвольное натуральное число a > 1 можно представить в виде произведения простых чисел. Это представление однозначно с точностью до порядка сомножителей. Доказательство. Докажем вначале существование разложения. Рассмотрим наименьший неединичный делитель p1 числа a. Тогда p1 – простое число по свойству 1 из свойств простых чисел. Имеем a = p1 a1 . Если a1 = 1, то a = p1 – искомое разложение с одним сомножителем. Пусть a1 6= 1. Рассмотрим наименьший неединичный делитель p2 числа a1 . Тогда a1 = p2 a2 и a = p1 p2 a2 . При a2 = 1 получим a = p1 · p2 – разложение на два сомножителя. Пусть a2 6= 1. Продолжим этот процесс. Тогда либо на некотором шаге получим искомое разложение a = p1 · p2 · p3 · . . . · pm , (5.1) либо процесс будет бесконечен. Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, в этом случае при любом m имеем неравенства a > p1 · p2 · p3 · . . . · pm > 2m . Это невозможно, т.к. 2m неограниченно возрастает при m = 1, 2, . . .. Докажем единственность разложения. Пусть наряду с разложением (5.1) имеем другое разложение a = q1 · q 2 · q3 · . . . · qn .

(5.2)

Проверим, что m = n и после перестановки сомножителей в одном из разложений справедливы равенства p1 = q1 , . . . , pm = qm . . . Из (5.1) очевидно, что a .. p1 . Тогда из (5.2) имеем q1 · q2 · . . . · qn .. p1 . По свойству простых чисел 4 по крайней мере один из сомножителей q1 , q2 , . . . , qn делится на p1 . Переставляя эти сомножители считаем, что . q1 .. p1 . По свойству простых чисел 5 имеем q1 = p1 . Приравняем правые части из (5.1) и (5.2) и сократим на p1 . Получим p2 p3 . . . pm = q2 q3 . . . pn . Повторяя рассуждения, имеем p2 = q2 , и т.д. Если m = n, то получили единственность разложения, т.к. p1 = q1 , p2 = q2 , . . . pm = qm после перестановки сомножителей в одном из разложений. 20

Покажем, что случай m 6= n невозможен. Если m 6= n, то можно считать n > m. Тогда после m сокращений приходим к равенству qm+1 . . . qn = 1. Получили противоречие, так как qm+1 . . . qn > 1. Теорема доказана. Пусть в разложении (5.1) сомножитель p1 входит α1 раз, p2 входит α2 раз и т.д. Тогда (5.3) a = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k , где p1 , . . . , pk – попарно различные простые числа и α1 , α2 , . . . , αk > 0. Запись (5.3) называется каноническим разложением натурального числа a. С помощью канонического разложения можно найти все делители натурального числа. Т ЕОРЕМА 5.2 . Пусть дано каноническое разложение (5.3) натурального числа a. Тогда все делители b числа a имеют вид b = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβk k ,

(5.4)

где 0 6 β1 6 α1 , 0 6 β2 6 α2 , , . . . , 0 6 βk 6 αk . Доказательство самостоятельно.

"

Каноническое разложение можно использовать также для нахождения НОД и НОК чисел. Запишем натуральные числа a и b в виде a = pα1 1 pα2 2 . . . pαmm ,

(5.5)

b = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβmm ,

(5.6)

где αi > 0, βi > 0. Возможно, что простое число pi входит в одно из разложений, а в другое не входит. Тогда вставим сомножитель pi в нулевой степени в то разложение, где его нет. Т ЕОРЕМА 5.3. Справедливы формулы для НОД и НОК двух чисел min(α1 ,β1 ) min(α2 ,β2 ) m ,βm ) , p2 . . . pmin(α m max(α1 ,β1 ) max(α2 ,β2 ) max(αm ,βm ) p1 p2 . . . pm .

(a, b) = p1

(5.7)

[a, b] =

(5.8)

Доказательство самостоятельно.

"

21

Лекция 6. Теоретико-числовые функции. Рассмотрим функции, которые изучаются в теории чисел. Пусть x – произвольное действительное число. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Целая часть числа x обозначается через [x]. П РИМЕР.

[2, 4] = 2,

[−3, 7] = −4.

[5 ] = 5,

Если представить изображение числа x на числовой оси, то целой частью числа x будет целое число [x] наиболее близко подходящее к x слева. Поэтому [−3, 7] = −4, а не число −3, которое уже больше числа x = −3, 7. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.2 . Дробной частью числа x называется разность x − [x]. Дробная часть числа x обозначается через {x}. П РИМЕР. {2, 4} = 0, 4; {5} = 0; {−3, 7} = −3, 7 − (−4) = 0, 3. Укажем применение функции [x] для нахождения канонического разложения числа n!. По определению n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n. При большом n вычисление числа n! непосредственно по определению затруднительно. Укажем более быстрый способ для вычисления n!. Предположим, что n! = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k

(6.1)

каноническое разложение числа n!. Достаточно указать формулу для αi – показателя степени, с которым число pi входит в каноническое разложение числа n!. Т ЕОРЕМА 6.1 . Пусть α – показатель, с которым простое число p входит в каноническое разложение числа n!. Тогда       n n n + 2 + 3 + ... (6.2) α= p p p Заметим, что в правой части этого равенства число слагаемых конечn но. Действительно, при некотором i имеем i < 1. Тогда слагаемые p     n n , , . . . равны нулю и отбрасываются. pi pi+1 22

Доказательство теоремы. При вычислении числа n! перемножаются сомножители 1, 2, 3, . . . , n. Какие из этих чисел вносят в произведение сомножитель p? Это те числа, которые делятся на p. Выделим их в списке 1, 2, 3, . . . , n. Получим 1, . . . , p, . . . , 2p, . . . , 3p, . . . , tp, . . . , n.

(6.3)

При этом tp – последнее число в (6.3), делящееся на p. Тогда tp 6 n и (t + 1)p > n. Отсюда n n (6.4) t6 и t+1> . p p Неравенства (6.4) означают, что t – наибольшее целое число, не превосhni n . ходящее , т. е. t = p p Перемножим все числа из (6.3). Каждое из выделенных чисел внесет n в показатель степени для p единицу. Получим pt = p[ p ] . Однако некоторые сомножители в (6.3) делятся не только на p, но и делятся на p2 . Они вносят в показатель двойку, а мы учли только вклад 1. Нужно прибавить еще раз по единице для каждого такого сомножителя в показатель степеhni ни. Показать самостоятельно, что число таких сомножителей равно 2 . " p hni [ np ]+[ pn2 ] Добавляя в показатель еще 2 единиц, получим p . p Затем учитываем члены, которые делятся на p3 , добавляем [ pn3 ] в показатель степени и т.д. Получаем формулу (6.2). Теорема доказана. П РИМЕР 1. Найти α – показатель степени, с которым p = 11 входит в каноническое разложение числа a = 1000!. 1000 Решение. Имеем α = [ 1000 11 ] + [ 121 ] = 90 + 8 = 98. Ответ α = 98.

П РИМЕР 2. Найти каноническое разложение числа 16!. Решение. Имеем 16! = 2α1 · 3α2 · 5α3 · 7α4 · 11α5 · 13α6 . При этом h 16 i h 16 i h 16 i h 16 i α1 = + + + = 15, 2 4 8 16 h 16 i h 16 i h 16 i α2 = + = 6, α3 = = 3, 3 9 5 h 16 i h 16 i h 16 i α4 = = 2, α5 = = 1, α6 = = 1. 7 11 13 Ответ 16! = 215 · 36 · 53 · 72 · 11 · 13.

23

Число делителей и сумма делителей натурального числа. Пусть n – произвольное натуральное число. Напомним, что под делителями числа n подразумеваются только положительные делители. Рассмотрим две функции τ (n) и σ(n), которые называются соответственно числом делителей и суммой делителей натурального числа n. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3. Пусть n ∈ N . Тогда τ (n) равно числу делителей натурального числа n, σ(n) равно сумме делителей натурального числа n. Укажем формулы для вычисления значений функций τ (n) и σ(n). Т ЕОРЕМА 6.2. Пусть дано каноническое разложение n = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k . Тогда число делителей натурального числа n вычисляется по формуле τ (n) = (α1 + 1) · (α2 + 1) · . . . · (αk + 1). (6.5) Сумма делителей натурального числа n вычисляется по формуле pαk k +1 − 1 p1α1 +1 − 1 pα2 2 +1 − 1 σ(n) = · · ... · . p1 − 1 p2 − 1 pk − 1

(6.6)

Доказательство. Рассмотрим произвольный делитель b числа n. По теореме 5.2 он имеет вид b = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβk k ,

(6.7)

где 0 6 β1 6 α1 ,

0 6 β2 6 α2 , . . . , 0 6 βk 6 αk .

(6.8)

Чтобы получить все делители вида (6.7), выбираем строки (β1 , β2 , . . . , βk ) с условием (6.8). При этом β1 имеет α1 + 1 способов выбора, а именно, 0, 1, 2, . . . , α1 . Число β2 имеет α2 + 1 способов выбора и т.д. По комбинаторному «правилу произведения» получаем ровно (α1 + 1)(α2 + 1) . . . (αk + 1) способов выбора строки (β1 , β2 , . . . , βk ). Для каждой такой строки составляем делитель (6.7). В силу однозначности записи натурального числа в каноническом виде, полученные делители попарно различны. Получаем формулу (6.5).

24

Установим формулу (6.6). Для этого рассмотрим выражение S = (1+p1 +p21 +· · ·+pα1 1 )(1+p2 +p22 +· · ·+pα2 2 ) . . . (1+pk +p2k +· · ·+pαk k ). Чтобы вычислить выражение S нужно каждый член из первой скобки умножить на каждый член из второй, третьей, и т.д., а затем просуммировать полученные произведения. При перемножении данных членов получаем произведения для суммирования, равные b = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβk k , с условием (6.8) Однако эти произведения не что иное, как все делители числа n. Поэтому выражение S – это сумма всех делителей числа n, т.е. S = σ(n). Вычислим это выражение другим способом. В каждой из k скобок в выражении S имеем сумму членов геометрической прогрессии. Применив формулу для этой суммы, получим, что значения скобок в правой части выражения S равны соответственно p1α1 +1 − 1 pα2 2 +1 − 1 pα2 k +1 − 1 , , ..., . p1 − 1 p2 − 1 pk − 1 Перемножим эти дроби, и полученное произведение приравняем к σ(n). Получим формулу (6.6). З АДАЧА 1. Найти число делителей и сумму делителей для n = 1000. Решение. Вначале найдем каноническое разложение числа n = 1000, а затем применим формулы (6.5) и (6.6). Имеем 1000 = 103 = 23 · 53 . Тогда τ (1000) = (3 + 1)(3 + 1) = 16, 24 − 1 54 − 1 624 σ(1000) = · = 15 · = 2340. 1 4 4 З АДАЧА 2. Натуральное число n имеет ровно два простых делителя. Количество всех делителей числа n равно 6, а сумма делителей равна 28. Найти число n. Решение. Так как n имеет ровно два простых делителя, то для канонического разложения n = pα1 1 pα2 2 получаем α1 , α2 > 1. Поэтому α1 + 1 > 2 и α2 + 1 > 2. По теореме 6.2 τ (n) = (α1 + 1)(α2 + 1) = 6, σ(n) =

pα1 1 +1

pα2 2 +1

−1 −1 · = 28. p1 − 1 p2 − 1

25

(6.9) (6.10)

Из τ (n) = (α1 + 1)(α2 + 1) = 6, с учетом α1 + 1 > 2, α2 + 1 > 2, получаем, что 1) α1 + 1 = 2, α2 + 1 = 3 или 2) α1 + 1 = 3, α2 + 1 = 2. Поэтому возможен один из случаев: 1) α1 = 1,

α2 = 2

или

2) α1 = 2,

α2 = 1.

Если дан случай 2), то переименуем число p1 в p2 , а число p2 – в p1 . Получим случай 1). Поэтому далее считаем, что α1 = 1, α2 = 2. p21 − 1 p32 − 1 · = 28. Получаем следующее равенВместо (6.10) имеем p1 − 1 p2 − 1 ство, где учтено, что p1 , p2 > 2: (p1 + 1) (p22 + p2 + 1) = 28. {z } | {z } | >3

>7

Так как 3 не является делителем 28, то p1 + 1 6= 3. Тогда p1 + 1 > 4 и p22 + p2 + 1 > 7. Возможен единственный вариант для записи числа 28 в виде произведения двух таких сомножителей: 28 = 4 · 7. Поэтому p1 + 1 = 4 и p22 + p2 + 1 = 7. Отсюда p1 = 3 и p2 = 2. Получили n = 31 · 22 = 12. Ответ n = 12. Функция π(x) Пусть x – натуральное число. Через π(x) обозначим количество простых чисел в промежутке от 1 до x. Проблема поведения функции π(x) при x → ∞ является одной из наиболее трудных и интересных задач теории чисел. Поскольку простых чисел бесконечно много, то π(x) → ∞ при x → ∞. Математики начала 19 века поставили задачу нахождения достаточно известной функции f (x), асимптотически эквивалентной функции π(x) π(x) = 1. Возникла (записывается π(x) ∼ f (x)). Это означает, что lim x→∞ f (x) x . гипотеза, что в качестве f (x) можно взять ln x Это асимптотическое равенство, впервые доказанное ВаллеПуссеном и Адамаром в 1896 г., называется в настоящее время законом распределения простых чисел. Важный шаг к доказательству закона распределения простых чисел удалось сделать П.Л.Чебышеву. Он показал, что для достаточно больших x выполняется неравенство 0, 9212 ·

x x < π(x) < 1, 1055 · . ln x ln x 26

(6.11)

Лекция 7. Теория сравнений. Пусть m – натуральное число, которое будем называть модулем, a и b – произвольные целые числа. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1 . Число a сравнимо с числом b по модулю m, если a и b имеют одинаковые остатки при делении на m. То, что число a сравнимо с числом b по модулю m, записывается в виде a≡b

(mod m).

П РИМЕР. Верно ли, что 11 ≡ 5 (mod 4)? Число 11 при делении на 4 имеет остаток 3, а число 5 при делении на 4 имеет остаток 1. Поэтому 11 6≡ 5 (mod 4). Однако следующие сравнения справедливы 17 ≡ 5 (mod 4), 18 ≡ −6 (mod 4), 15 ≡ 0 (mod 5). Т ЕОРЕМА 7.1 . Пусть a и b – произвольные целые числа. Тогда равносильны следующие три утверждения : 1) a ≡ b

(mod m),

. 2) a − b .. m, 3) существует число q ∈ Z с условием a = b + mq. Доказательство 1) ⇒ 2). Дано a ≡ b (mod m). Нужно доказать, что . a − b .. m. По условию числа a и b имеют один и тот же остаток r при делении на m. Поэтому a = mq1 + r, b = mq2 + r. Вычтем из первого равенства второе. Получим a − b = m(q1 − q2 ), где . q1 − q2 ∈ Z. Получили a − b .. m. . 2) ⇒ 3). Дано a − b .. m, т.е. a − b = mq, где q ∈ Z. Отсюда a = b + mq. 3) ⇒ 1). Дано a = b + mq, где q ∈ Z. Разделим число b на m, получим некоторое частное q1 и остаток r1 . Имеем b = mq1 + r1 , где 0 6 r1 < m. 27

Тогда a = b + mq = (mq1 + r1 ) + mq = m(q + q1 ) + r1 . Запись a = m(q + q1 ) + r1 и неравенство 0 6 r1 < m означают, что q + q1 – частное, r1 – остаток отделения a на m. Получили, что a и b имеют имеют один и тот же остаток r1 при делении на m, т.е. a ≡ b (mod m). Теорема доказана. Итак, каждое из трех условий 1) – 3) в теореме 7.1 можно принять за определение сравнимости чисел. Утверждая сравнимость чисел a и b, мы будем в дальнейшем ссылаться на любое из этих трех условий. Свойства сравнений. Отношение сравнимости целых чисел по модулю m обладает свойствами, во многом аналогичными свойствам отношения равенства чисел. С ВОЙСТВО 1 . Отношение сравнимости является отношением эквивалентности. Доказательство. Нужно проверить, что отношение сравнимости рефлексивно, симметрично и транзитивно. Рефлексивность означает a ≡ a (mod ) для всех a ∈ Z. Это верно, т.к. числа a и a имеют один и тот же остаток при делении на m. Симметричность. Дано a ≡ b (mod m). Нужно доказать, что b ≡ a (mod ). Если числа a и b имеют равные остатки при делении на m, то, очевидно, числа b и a имеют равные остатки при делении на m. Транзитивность. Из a ≡ b (mod m) и b ≡ c (mod m) следует a ≡ c (mod m). Дано, что a и b имеют равные остатки при делении на m, а также b и c имеют равные остатки при делении на m. Тогда a и c имеют равные остаток при делении на m. Получили a ≡ c (mod m). С ВОЙСТВО 2 . Сравнения можно почленно складывать, вычитать и умножать: если a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), то a + c ≡ b + d (mod m), a − c ≡ b − d (mod m), ac ≡ bd (mod m).

(7.1) (7.2) (7.3)

Доказательство утверждения (7.1). Так как a ≡ b (mod m) . . . и c ≡ d (mod m), то a − b .. m и c − d .. m. Тогда (a − b) + (c − d) .. m, . т.е. (a + c) − (b + d) .. m и a + c ≡ b + d (mod m).

28

Самостоятельно проверить утверждения (7.2), (7.3), а также и после- " дующие свойства. С ВОЙСТВО 3. Обе части сравнения можно умножать на произвольное целое число a≡b

⇒

(mod m)

ak ≡ bk

(mod m).

Обе части сравнения можно разделить на число, взаимно простое с модулем ak ≡ bk

(mod m) ∧ (k, m) = 1

⇒

a≡b

(mod m).

С ВОЙСТВО 4. Обе части сравнения можно возводить в степень с показателем k ∈ N a≡b

ak ≡ b k

⇒

(mod m)

(mod m).

С ВОЙСТВО 5. Обе части сравнения и модуль можно умножать на произвольное число k > 0 a≡b

(mod m)

⇒

ak ≡ bk

(mod mk).

Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель k > 0 ak ≡ bk

(mod mk)

⇒

a≡b

(mod m).

С ВОЙСТВО 6 . Если a ≡ b (mod m1 ) и a ≡ b (mod m2 ), то a ≡ b (mod m), где m = [m1 , m2 ] – НОК модулей m1 и m2 . С ВОЙСТВО 7. Если в выражении s = axα1 1 xα2 2 . . . xαnn + bxβ1 1 xβ2 2 . . . xβnn + . . . заменим числа a, b, . . . , x1 , x2 , . . . , xn на соответствующие, сравнимые по модулю m, числа a0 , b0 , . . . , x01 , x02 , . . . , x0n , то получим выражение s0 = a0 (x01 )α1 (x02 )α2 . . . (x0n )αn + b0 (x01 )β1 (x02 )β2 . . . (x0n )βn + . . . , сравнимое по модулю m с исходным выражением s, т.е. s0 ≡ s

(mod m). 29

Классы вычетов. По свойству 1 отношение сравнимости по модулю m является отношением эквивалентности. Поэтому можно рассматривать классы эквивалентных элементов для отношения сравнимости ≡. Напомним необходимые определения и теоремы из вводного курса математики. Пусть R – отношение эквивалентности на множестве M и a ∈ M . О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Классом элементов, эквивалентных элементу a, называется множество Ma = {x ∈ M | xRa}.

(7.4)

Перебирая элементы a из M , получим все классы Ma для отношения R. Пусть даны два таких класса Ma и Mb . Справедлив следующий признак равенства классов эквивалентных элементов. Т ЕОРЕМА 7.2. Два класса Ma и Mb равны тогда и только тогда, когда элементы a и b эквивалентны, т.е. ⇔

Ma = Mb

aRb.

(7.5)

Если говорим, что Ma , Mb , Mc , . . . – множество классов для отношения R, то считаем, что выписаны все классы и они выписаны без повторений. Справедливо следующее утверждение. Т ЕОРЕМА 7.3. Пусть R – отношение эквивалентности на множестве R. Тогда классы эквивалентных элементов Ma , Mb , Mc , . . . образуют разбиение множествa M . То, что классы эквивалентных элементов Ma , Mb , Mc , . . . образуют разбиение множествa M означает: 1) подмножества Ma , Mb , Mc , . . . не пусты; 2) объединение данных подмножеств равно M ; 3) Ma , Mb , Mc , . . . пересекаются по пустому множеству. Применим данные результаты к отношению сравнимости ≡. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3 . Классом вычетов по модулю m называется класс эквивалентных элементов для отношения сравнимости по модулю m. 30

Любое число класса будем называть вычетом по модулю m. Если класс вычетов по модулю m состоит из элементов сравнимых с числом a по модулю m, то этот класс обозначается через a ¯. Поэтому в определении класса эквивалентных элементов (7.4) нужно заменить букву R на знак сравнимости ≡. Получим, что класс вычетов a ¯ имеет вид a ¯ = {x ∈ Z | x ≡ a

(mod m)}.

(7.6)

Итак, возможна другая формулировка определения класса вычетов по модулю m, которую мы будем чаще всего использовать. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 7.4. Классом вычетов a ¯ по модулю m называется множество всех чисел, сравнимых с числом a по модулю m. По признаку равенства классов эквивалентных элементов (7.5) непосредственно получаем следующий признак равенства классов вычетов. Т ЕОРЕМА 7.4 Два класса вычетов a ¯ и ¯b равны тогда и только тогда, когда числа a и b сравнимы по модулю m a ¯ = ¯b

⇔

a≡b

(mod m).

(7.7)

При делении целых чисел на m возможны остатки 0, 1, 2, . . . , m − 1. Рассмотрим классы ¯0, ¯1, ¯2, . . . , m − 1. (7.8)

Т ЕОРЕМА 7.5 1) Если r – остаток от деления числа a на m, то класс a ¯ совпадает с классом r¯. 2) Классы из (7.8) попарно различны и исчерпывают все классы по модулю m. Существует ровно m классов вычетов по модулю m. Доказательство. 1) Пусть a ¯ – произвольный класс по модулю m и r – остаток от деления a на m. Тогда a ≡ r (mod m). По признаку равенства классов вычетов (7.7) получаем a ¯ = r¯. 2) Поскольку произвольный класс по модулю m совпадает с одним из классов в списке (7.8), то осталось проверить, что все элементы из этого списка попарно различны. Это следует из того, что остатки 0, 1, 2, . . . , m − 1 попарно не сравнимы по модулю m. Теорема доказана. 31

Лекция 8. Полная и приведенная системы вычетов.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. Полной системой вычетов по модулю m называется совокупность чисел, взятых по одному из каждого класса вычетов по модулю m. П РИМЕР. Совокупность чисел 5, 11, 4, 6 является полной системой вычетов по модулю 4. Действительно, по модулю m = 4 имеется ровно четыре класса ¯0, ¯1, ¯2, ¯3. При этом числа 5, 11, 4, 6 взяты по одному из каждого класса, а именно: 4 ∈ ¯0,

5 ∈ ¯1,

6 ∈ ¯2,

11 ∈ ¯3.

Числа 5, 1, 4, 6 не образуют полную систему вычетов по модулю 4, т.к. 5 и 1 взяты из одного класса ¯1. Справедлив следующий признак полной системой вычетов. Т ЕОРЕМА 8.1 . Совокупность чисел x1 , x2 , . . . , xk образует полную систему вычетов по модулю m тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия : 1) k = m, 2) xi ≡ / xj (mod m) при i 6= j. Доказательство необходимости. Пусть x1 , x2 , . . . , xk – полная система вычетов по модулю m. Проверим условия 1) и 2). Имеем совокупность чисел x1 , x2 , . . . , xk , взятых по одному элементу из каждого класса вычетов. Количество классов вычетов равно m. Поэтому k = m. Пусть i 6= j. Тогда xi и xj классы взяты из разных классов. Поэтому xi ≡ / xj (mod m). Достаточность. Пусть выполнены условия 1) и 2). Применим известное правило комбинаторики – принцип ящиков. Пусть даны m ящиков и m предметов x1 , x2 , . . . , xm , взятых из этих ящиков. Предположим, что никакие два предмета xi и xj при i 6= j не содержатся в одном ящике. Тогда данные m предметов взяты ровно по одному из каждого ящика. В нашем случае в качестве данных предметов выступают числа x1 , x2 , . . . , xk . При этом k = m по условию 1). В качестве данных ящиков выступают m классов вычетов ¯0, ¯1, ¯2, . . . , m − 1. 32

Так как выполнено условие 2), то xi ≡/ xj (mod m) при i 6= j. Это означает, что числа xi и xj при i 6= j попадают в разные классы. По принципу ящиков числа x1 , x2 , . . . , xk взяты по одному из каждого класса ¯0, ¯1, ¯2, . . . , m − 1. Поэтому x1 , x2 , . . . , xk – полная система вычетов по модулю m. Теорема доказана. Т ЕОРЕМА 8.2. Пусть a, b ∈ Z и (a, m) = 1. Если числа x1 , x2 , . . . , xk образуют полную систему вычетов по модулю m, то числа ax1 + b, ax2 + b, . . . , axk + b

(8.1)

также образуют полную систему вычетов по модулю m. Доказательство. Применим признак полной системой вычетов к совокупности чисел (8.1). Проверим выполнимость условий 1) и 2). В списке (8.1) содержится k = m чисел, т.е. выполнено условие 1). Установим 2) методом от противного. Пусть axi + b ≡ axj + b (mod m) при i 6= j. Тогда a(xi − xj ) ≡ 0 (mod m). Разделим обе части сравнения на число a, взаимно простое с модулем m. Получим xi ≡ xj (mod m) при i 6= j. Противоречие с тем, что числа x1 , x2 , . . . , xk образуют полную систему вычетов. Теорема доказана. Приведенная система вычетов. Введем понятие класса, взаимно простого с модулем. Пусть a и b два произвольных числа из некоторого класса вычетов по модулю m. Тогда a = mq + b для некоторого q ∈ Z. По пункту 2 леммы 2.2, стр. 8 выполнено равенство (a, m) = (b, m). Тем самым справедливо следующее утверждение. Л ЕММА 8.1. Все числа фиксированного класса вычетов по модулю m имеют один и тот же НОД с модулем m. Так как НОД (b, m) один и тот же у всех чисел b ∈ a ¯, то верно1 ) или 2): 1) все числа из класса a ¯ взаимно просты с модулем m, 2) все числа из класса a ¯ не взаимно просты с модулем m. В случае 1) класс a ¯ называется классом, взаимно простым с модулем; в случае 2) класс a ¯ называется классом, не взаимно простым с модулем. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2 . Приведенной системой вычетов по модулю m называется совокупность чисел, взятых по одному из каждого класса вычетов, взаимно простого с модулем. 33

П РИМЕР. Совокупность чисел 1, −1 является приведенной системой вычетов по модулю 4. Действительно, имеется четыре класса вычетов ¯0, ¯1, ¯2, ¯3 по модулю m = 4. При этом классы ¯1 и ¯3 взаимно просты с модулем, а классы ¯0 и ¯2 не взаимно просты с модулем. Числа 1 и −1 взяты по одному из классов ¯1 и ¯3, взаимно простых с модулем. Поэтому 1, −1 – приведенная система вычетов по модулю 4. Аналогично получаем, что числа 1, 3, 5, 7 образуют приведенную систему вычетов по модулю 8. Итак, при m = 4 в приведенной системе вычетов содержится два числа, а при m = 8 содержится четыре числа. Сколько чисел в приведенной системе вычетов при произвольном модуле m? Для ответа на вопрос нужно найти число классов взаимно простых с модулем m. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.3. Функцией Эйлера ϕ(m) называется количество чисел из совокупности 0, 1, 2, . . . , m−1, взаимно простых с числом m. П РИМЕР 1. Найти значение функции Эйлера ϕ(m) при m = 6. Решение. Рассмотрим совокупности чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вычеркнем из нее те числа, которые не взаимно просты с m = 6. Получим  0, 1,  2,  3,  4, 5. Остались числа 1, 5, которые взаимно просты с m = 6. Поэтому ϕ(6) = 2. П РИМЕР 2. Доказать, что если p – простое число, то ϕ(p) = p − 1. Решение. Составим ряд чисел 0, 1, 2, . . . , p − 1 и вычеркнем из него числа a, которые не взаимно просты с p. Так как p – простое число, то . (a, p) = 1 или a .. p. Среди чисел 0, 1, 2, . . . , p − 1 лишь число 0 делится на p. Остальные p − 1 чисел 1, 2, . . . , p − 1 взаимно просты с p. Поэтому ϕ(p) = p − 1. Число ϕ(m) по определению равно количеству чисел из совокупности 0, 1, 2, . . . , m − 1, взаимно простых с m. Так как (0, m) = 1 ⇔ (m, m) = 1, то число 0 в определении ϕ(m) можно заменить на m. Получаем З АМЕЧАНИЕ 8.1 Число ϕ(m) равно количеству чисел из совокупности 1, 2, . . . , m − 1, m, взаимно простых с m. Т ЕОРЕМА 8.3 Число классов вычетов по модулю m, взаимно простых с модулем, равно ϕ(m). 34

Доказательство. Выберем в качестве представителей классов ¯0, ¯1, ¯2, . . . , m − 1 наименьшие неотрицательные вычеты. Получим полную систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю m 0, 1, 2, . . . , m − 1.

(8.2)

Классами, взаимно простыми с модулем, будут те классы, чьи представители взаимно просты с модулем. Число таких представителей равно количеству чисел в ряде (8.2), взаимно простых с m, т.е. равно ϕ(m). Теорема доказана. П РИМЕР. Рассмотрим модуль m = 8. Тогда ϕ(8) = 4 и ровно четыре класса ¯1, ¯3, ¯5, ¯7 взаимно просты с модулем 8. Ранее получен признак полной системы вычетов. Рассмотрим аналогичный результат – признак приведенной системой вычетов. Т ЕОРЕМА 8.4. Совокупность чисел x1 , x2 , . . . , xk образует приведенную систему вычетов по модулю m тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия : 1) числа x1 , x2 , . . . , xk взаимно просты с модулем m, 2) k = ϕ(m), 3) xi ≡ / xj (mod m)при i 6= j.

(8.3)

Доказательство необходимости. 1) Пусть x1 , x2 , . . . , xk – приведенная система вычетов по модулю m. Тогда эти вычеты взяты из классов, взаимно простых с модулем m. Поэтому числа x1 , x2 , . . . , xk взаимно просты с модулем m и верно условие 1). Проверим 2). Число классов, взаимно простых с модулем m, равно ϕ(m), а числа x1 , x2 , . . . , xk взяты по одному из каждого такого класса. Поэтому k = ϕ(m). Условие 3) следует из того, что числа x1 , x2 , . . . , xk взяты из разных классов. Достаточность. Пусть выполнены условия 1) – 3). Из 1) получаем, что числа x1 , x2 , . . . , xk взяты из классов взаимно простых с модулем m. Количество классов, откуда берутся числа, равно ϕ(m) – столько же, сколько и самих чисел x1 , x2 , . . . , xk . По условию 3) числа xi и xj при i 6= j взяты из разных классов. По принципу ящиков эти числа взяты по одному из каждого класса взаимно простого с модулем m. Поэтому x1 , x2 , . . . , xk – приведенная система вычетов по модулю m. Теорема доказана. 35

Т ЕОРЕМА 8.5 . Пусть (a, m) = 1 и числа x1 , x2 , . . . , xk образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Тогда числа ax1 , ax2 , . . . , axk также образуют приведенную систему вычетов по модулю m. Доказательство. Так как x1 , x2 , . . . , xk – приведенная система вычетов, то справедливы условия (8.3). Нужно проверить, что ax1 , ax2 , . . . , axk – приведенная система вычетов, т.е. выполнены условия 10 ) числа ax1 , ax2 , . . . , axk взаимно просты с модулем m, 20 ) k = ϕ(m), 30 ) axi ≡ / axj (mod m) при i 6= j.

(8.4)

Пункт 20 ) из (8.4) совпадает пунктом 2) в (8.3). Поэтому осталось проверить условия 10 ) и 30 ). Установим 10 ). По пункту 1) в (8.3) имеем (xi , m) = 1 для всех i = 1, 2, . . . , k. Учитывая (a, m) = 1, получим (axi , m) = 1. Проверим 30 ) методом от противного. Пусть axi ≡ axj (mod m) при i 6= j. Сократим сравнение на число a, взаимно простое с модулем m. Получим xi ≡ xj (mod m) при i 6= j, что противоречит пункту 3) в (8.3). Теорема доказана. Теоремы Эйлера и Ферма. Т ЕОРЕМА 8.6 ( Л. Эйлер.) Пусть (a, m) = 1. Тогда aϕ(m) ≡ 1

(mod m).

(8.5)

Доказательство. Рассмотрим все классы вычетов K1 , K2 , . . . , Kϕ(m) , взаимно простые с модулем m. Число этих классов равно ϕ(m). Возьмем по одному представителю из каждого класса. Получим приведенную систему вычетов по модулю m x1 , x2 , . . . , xϕ(m) .

(8.6)

Умножим числа из (8.6) на число a. Получим совокупность чисел ax1 , ax2 , . . . , axϕ(m) .

(8.7)

По предыдущей теореме эта совокупность является приведенной система вычетов по модулю m. Поэтому числа ax1 , ax2 , . . . , axϕ(m) взяты по одному из каждого класса K1 , K2 , . . . , Kϕ(m) . 36

Рассмотрим следующую аналогию. Имеется ϕ(m) «домов» K1 , K2 , . . . , Kϕ(m) . Пусть x1 , x2 , . . . , xϕ(m) – «жители» этих домов, взятые по одному из каждого дома. Совокупность ax1 , ax2 , . . . , axϕ(m) – другой набор жителей из этих домов, также по одному из каждого дома. Тогда ax1 проживает в одном доме с некоторым xi1 , ax2 проживает в одном доме с некоторым xi2 и т.д. В случае классов вычетов получаем ax1 ≡ xi1 (mod m) ax2 ≡ xi2 (mod m) ··· axϕ(m) ≡ xiϕ(m) (mod m),

(8.8)

где xi1 , xi2 , . . . , xiϕ(m) те же числа, что и числа x1 , x2 , . . . , xϕ(m) , но переставлены в другом порядке . Тогда имеем равенство произведений xi1 xi2 . . . xiϕ(m) = x1 x2 . . . xϕ(m) ,

(8.9)

поскольку произведение не зависит от порядка сомножителей. При этом произведение x1 x2 . . . xϕ(m) взаимно просто с m, т.к. каждый его сомножитель взаимно прост с m. Умножим почленно сравнения из (8.8). Получим aϕ(m) x1 x2 sxϕ(m) ≡ xi1 xi2 sxiϕ(m)

(mod m).

(8.10)

Сократим это сравнение на число x1 x2 . . . xϕ(m) = xi1 xi2 . . . xiϕ(m) , взаимно простое с модулем m. Получим aϕ(m) ≡ 1 (mod m), что и нужно. Теорема доказана. П РИМЕР. Пусть a = 2, m = 7. Проверим, что aϕ(m) ≡ 1 (mod m). Имеем m = 7 – простое число. Поэтому ϕ(7) = 7 − 1 = 6. Нужно проверить, что 26 ≡ 1 (mod 7), т.е. 64 ≡ 1 (mod 7), что верно. Частным случаем теоремы Эйлера является следующее утверждение. . Т ЕОРЕМА 8.7 (П. Ферма.) Пусть p – простое число и a 6 .. p. Тогда ap−1 ≡ 1 (mod p). . Доказательство. Так как a 6 ..p и p – простое число, то (a, p) = 1. По теореме Эйлера aϕ(p) ≡ 1 (mod p). Поскольку ϕ(p) = p − 1, то ap−1 ≡ 1 (mod p). Теорема доказана. Возможна другая формулировка теоремы Ферма. 37

Т ЕОРЕМА 8.8. Пусть p – простое число. Тогда для любого целого числа a справедливо сравнение ap ≡ a (mod p). . Доказательство. Если a 6 .. p, то ap−1 ≡ 1 (mod p). Умножив это срав. нение на a, получим ap ≡ a (mod p). Если a .. p, то a ≡ 0 (mod p). Тогда ap ≡ 0 (mod p). Отсюда ap ≡ a (mod p). Теорема доказана. Мультипликативные функции. Вычисление функции Эйлера. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 8.4. Функция f (x), определенная на множестве натуральных чисел и не равная тождественно нулю, называется мультипликативной, если f (a · b) = f (a) · f (b) для всех a, b ∈ N таких, что (a, b) = 1.

(8.11)

Т ЕОРЕМА 8.9 . Функция Эйлера является мультипликативной функцией. Доказательство. Функция Эйлера определена на множестве натуральных чисел и не равна тождественно нулю. Поэтому нужно проверить только условие мультипликативности ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) для всех a, b ∈ N таких, что (a, b) = 1.

(8.12)

Пусть a, b ∈ N и (a, b) = 1. Вычислим число ϕ(ab). Для этого нужно отобрать числа x из совокупности 0, 1, 2, . . . , ab − 1,

(8.13)

которые взаимно просты с числом ab. Справедливо утверждение (x, ab) = 1 ⇔ (x, a) = 1 ∧ (x, b) = 1. Поэтому отбор чисел x из совокупности (8.13) с условием (x, ab) = 1 выполним в два шага. Шаг 1. Вначале найдем числа x с условием (x, a) = 1. Шаг 2. Cреди полученных чисел отберем те, для которых (x, b) = 1. Для удобства рассуждений выпишем числа из совокупности (8.13) в виде следующей таблицы из b строк и a столбцов 0 1 a a+1 ... ... a(b − 1) a(b − 1) + 1

... t ... t+a ... ... . . . t + (b − 1)a 38

... a − 1 . . . 2a − 1 ... ... . . . ab − 1.

(8.14)

Рассмотрим произвольный столбец с элементом t в первой строке. Его элементы равны t, t + a, t + 2a, . . . t + (b − 1)a, (8.15) т.е. имеют вид t + x · a, где x пробегает полную систему вычетов 0, 1, 2, . . . , b − 1 по модулю b. Так как (a, b) = 1, то по теореме (8.2) числа из (8.15) образуют полную систему вычетов по модулю b. Итак, каждый столбец таблицы – полная система вычетов по модулю b. Выполним шаг 1 – найдем числа x с условием (x, a) = 1. В первой строке имеется ровно ϕ(a) таких чисел. Действительно, мы выбираем в списке 0, 1, . . . , a − 1числа, взаимно простые с a. По определению функции Эйлера их количество равно ϕ(a). Рассмотрим произвольный элемент t из данных ϕ(a) чисел, и отметим весь столбец, где расположен этот элемент. Число отмеченных столбцов равно ϕ(a). Рассмотрим один из них с элементом t в первой строке. Все числа в этом столбце сравнимы с t по модулю a, и, поэтому, содержатся в одном классе вычетов по модулю a. Поэтому все они взаимно просты с числом a. С другой стороны, все числа в непомеченных столбцах не взаимно просты с a. Поэтому, в шаге 2 отбор чисел x, для которых (x, b) = 1, выполняем только в помеченных столбцах. Как отмечено выше, столбцы – это полные системы вычетов по модулю b. В любой полной системе вычетов по модулю b имеется ровно ϕ(b) чисел y, для которых (y, b) = 1. Итак, мы проверяли ϕ(a) столбцов, и обнаружили в каждом из них ϕ(b) чисел y с условием (y, b) = 1. Поэтому имеется ϕ(a)ϕ(b) чисел взаимно простых как с числом a, так и с числом b. Получили ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), что и нужно. Теорема доказана. Приведем формулу для функции Эйлера. Т ЕОРЕМА 8.10 . Пусть m = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k – каноническое разложение числа m. Тогда ϕ(m) = (pα1 1 − p1α1 −1 )(pα2 2 − pα2 2 −1 ) . . . (pαk k − pαk k −1 ).

(8.16)

Доказательство. Установим вначале частный случай при k = 1. Пусть m = pα , где p – простое число и α > 0. Проверим, что ϕ(m) = pα − pα−1 . 39

Для вычисления ϕ(m) выпишем числа 1, 2, . . . , pα и найдем количество чисел из этой совокупности, взаимно простых с pα . Для этого удалим из совокупности 1, 2, . . . , pα числа, не взаимно простые с pα . Самостоятельно проверить, что удаляемые числа – это в точности чис- " ла из множества 1, 2, . . . , pα , делящиеся на p. Итак, имеем ряд чисел 1, 2, . . . , 1p , . . . , 2p , . . . , pα−1 p,

(8.17)

где особо выделены числа кратные p. Этих чисел pα−1 , а остальные числа взаимно просты с pα . Поэтому ϕ(m) = pα − pα−1 . Рассмотрим теперь общий случай. Имеем m = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k , |{z} | {z } a

b

где a = pα1 1 , b = pα2 2 · · · pαk k и (a, b) = 1. Применяя мультипликативность функции Эйлера, получаем ϕ(ab) = (pα1 1 − pα1 1 −1 )ϕ(b). Повторим рассуждение для b и т.д. Получим формулу (8.16). Теорема доказана. З АМЕЧАНИЕ . Формулу для ϕ(m) иногда удобнее использовать в другом виде. Пусть m = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k – каноническое разложение числа m. Тогда  1  1 1  1− ... 1 − . (8.18) ϕ(m) = m 1 − p1 p2 pk Доказательство. Имеем 1  1  1 m 1− 1− ... 1 − = p1 p2 pk p1 − 1 p2 − 1 pk − 1 = (p1 α1 p2 α2 . . . pk αk ) · · · ... · = p1 p2 pk h ih i α1 −1 α2 −1 αk −1 = p1 p2 . . . pk (p1 − 1)(p2 − 1) . . . (pk − 1) = h ih i h i α1 −1 α2 −1 αk −1 = p1 (p1 − 1) p2 (p2 − 1) . . . pk (pk − 1) = 

= (pα1 1 − p1α1 −1 )(pα2 2 − pα2 2 −1 ) . . . (pαk k − pαk k −1 ) = ϕ(m), что и нужно 40

Лекция 9. Кольцо и поле классов вычетов. Классы вычетов позволяют построить важные примеры колец и полей. Рассмотрим множество K = {¯0, ¯1, . . . , m − 1}, состоящее из всех классов вычетов по модулю m. Введем операции сложения и умножения классов. Пусть x, y ∈ K. Тогда x = a ¯ и y = ¯b для некоторых чисел a, b ∈ Z. Определим сумму классов x + y и произведение классов xy правилом x + y = a + b,

(9.1)

xy = ab.

С учетом x = a ¯ и y = ¯b данное правило переписывается в виде a ¯ + ¯b = a + b, a ¯¯b = ab.

(9.2)

Т ЕОРЕМА 9.1 Сложение + и умножение ·, заданные правилом (9.1), являются алгебраическими операциями на множестве K. Доказательство. Нужно проверить следующие условия: 1) элементы x+ y и xy однозначно определены; 2) x + y, xy ∈ K. Условие 2) очевидно выполнено, так как элементы x+y и xy по (9.1) являются классами вычетов. Проверим условие 1). Мы можем записать классы x и y в виде, отличном от a ¯ и ¯b. Пусть x = a ¯1 и y = ¯b1 . По правилу вычисления x + y и xy имеем равенства x + y = a1 + b1 и xy = a1 b1 .

(9.3)

Нужно проверить, что a1 + b1 = a + b и a1 b1 = ab. Если, например, классы a1 + b1 и a + b различны, то неясно, какой из них считать в качестве x + y. Тогда условие 1) не выполнено. Так как x = a ¯1 = a ¯ и y = ¯b1 = ¯b, то по правилу равенства классов a1 ≡ a

(mod m) и b1 ≡ b

(mod m).

По свойствам сравнений a1 + b 1 ≡ a + b

(mod m) и a1 b1 ≡ ab

(mod m).

Снова по правилу равенства классов a1 + b1 = a + b и a1 b1 = ab, что и нужно. Теорема доказана. 41

Т ЕОРЕМА 9.2. Множество классов вычетов по модулю m образует коммутативное кольцо с единицей относительно операций сложения и умножения классов. Доказательство. Нужно проверить выполнение следующих аксиом. 1) (x + y) + z = x + (y + z) 2) ∃0 ∈ K ∀x ∈ K x + 0 = 0 + x = x 3) ∀x ∈ K ∃ − x ∈ K x + (−x) = −x + x = 0 4) x + y = y + x 5) (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz 6) (xy)z = x(yz) 7) ∃1 ∀x x · 1 = 1 · x = x 8) xy = yx Аксиомы 1) – 6) – это аксиомы кольца. С учетом 7) получаем кольцо с единицей, а по 8) получаем коммутативное кольцо. Заметим, что некоторые требования, например, 0 + x = x и (−x) + x = 0, можно опустить. Проверим аксиому 1), т.е. ассоциативность сложения. Пусть x, y, z ∈ K. Тогда x = a ¯, y = ¯b, z = c¯, где a, b, c ∈ Z. Имеем (x + y) + z = (¯ a + ¯b) + c¯ = (a + b) + c, x + (y + z) = a ¯ + (¯b + c¯) = a + (b + c). Правые части (a + b) + c и a + (b + c) равны, так как для целых чисел a, b, c выполнено равенство (a + b) + c = a + (b + c). Проверить самостоятельно аксиомы 4), 5), 6), 8). " Установим, что ¯0 – ноль кольца. Для x = a ¯ по определению сложения из (9.1) имеем x + ¯0 = a + 0 = a ¯=x

и

¯0 + x = 0 + a = a ¯ = x.

Пусть x = a ¯. Рассмотрим −x = −a. По (9.1) получаем x + (−x) = a ¯ + −a = ¯0

и

− x + x = −a + a ¯ = ¯0.

Осталось проверить аксиому 7). Рассмотрим класс ¯1. Для x = a ¯ по определению умножения имеем x¯1 = a1 = a ¯=x

и

Теорема доказана. 42

1¯ x = 1a = a ¯ = x.

Случай, когда m = p – простое число, имеет особое значение. Т ЕОРЕМА 9.3. Пусть m = p – простое число. Тогда кольцо классов вычетов по модулю m является полем. Доказательство. Поле – это коммутативное кольцо с единицей 1 6= 0, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный элемент относительно умножения. Поэтому осталось проверить условие ∀x ∈ K \ {0}

∃x−1 ∈ K

x−1 x = xx−1 = 1.

. Имеем x = a ¯ для некоторого a ∈ Z. Так как x 6= 0, то a 6 .. p. Для простого . числа p из a 6 .. p следует (a, p) = 1. Запишем НОД чисел a и p, т.е. число 1, в линейной форме. Получим 1 = au + pv. Отсюда 1 ≡ au (mod p). Тогда x−1 = u¯. Действительно, xx−1 = a ¯u¯ = ¯1 и x−1 x = u¯a ¯ = ¯1. Теорема доказана. Данная теорема дает конструкцию конечного поля, т.е. поля, имеющего конечное число элементов. Конечное поле, состоящее из q элементов, обозначается через GF (q) и называется полем Галуа в честь французского математика Эвариста Галуа. Доказано, что конечное поле, состоящее из q элементов, существует тогда и только тогда, когда q = pn для некоторого натурального числа n и простого числа p. В теореме 9.3 мы указали способ для построения поля Галуа GF (pn ) при n = 1. Теория конечных полей имеет важные применения во многих разделах математики, например, в теории кодирования – дисциплине, которая изучает методы для обнаружения и исправления ошибок при передаче информации по каналам связи. П РИМЕР. Решить систему линейных уравнений с коэффициентами в поле классов вычетов по модулю 5  x − ¯2y = ¯2 ¯2x + ¯3y = ¯3. Решение. Обозначим поле классов вычетов по модулю 5 через K. Поэтому мы имеем поле Галуа K = GF (5). 43

Для выполнения вычислений в поле K нужны таблицы для сложения и умножения его элементов (таблицы Кэли). Заполним эти таблицы по правилам вычисления суммы и произведения классов в (9.2). Получим + 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

· 0 1 2 3 4

4 4 0 1 2 3

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Таблицы Кэли для сложения и умножения в поле K = GF (5). Вместо обозначения класса вычетов через a ¯ принято записывать просто a. Мы используем это соглашение. Поэтому, например, вместо равенства ¯2 + ¯3 = ¯1 в таблицах и везде далее записываем 2+ 3= 1. Сама система с учетом этого соглашения имеет вид  x − 2y = 2 2x + 3y = 3. Разумеется, нужно всегда иметь ввиду, что коэффициенты этой системы не целые числа, а классы вычетов по модулю 5. Выразим неизвестную x из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение. Получим x = 2 + 2y,

2(2 + 2y) + 3y = 3,

4 + 2y = 3,

2y = 4,

Подставив в первое уравнение, получим x − 4 = 2, x = 1. Итак, система имеет единственное решение (1, 2).

44

y = 2.

Лекция 10. Сравнения первой степени с одной неизвестной. Рассмотрим сравнение f (x) ≡ 0

(10.1)

(mod m),

где f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +· · ·+an – многочлен с целыми коэффициентами. . Если a0 6 .. m, то данное сравнение называется сравнением n-ой степени. Пусть число a ∈ Z является решением сравнения (10.1), т.е. при замене неизвестной x на ее значение a получается верное сравнение a0 an + a1 an−1 + · · · + an ≡ 0

(mod m).

(10.2)

Заменим число a в левой части из (10.2) на произвольное число b, сравнимое с числом a по модулю m, т.е. заменим a на произвольное число из класса a ¯. По свойству сравнений 7, стр.29 имеем a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an ≡ 0

(mod m).

Получили, что любое число b из класса a ¯ также является решением сравнения (10.1). Эти числа считаются тем же решением, что и решение a. Поэтому в качестве решения сравнения (10.1) принимается не отдельное число a, а весь класс вычетов a ¯. Следовательно, число решенией сравнения равно числу классов вычетов, которые являются решениями. Рассмотрим случай n = 1. Получаем сравнение первой степени ax ≡ b

(mod m),

(10.3)

(mod 7).

(10.4)

. где a 6 .. m. П РИМЕР 1. Решить сравнение 5x ≡ 1

Решение. Это сравнение решим методом перебора. Испытаем поочередно все классы ¯0, ¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6 по модулю 7, и выясним, являются ли они решениями. 45

Возьмем, например, класс ¯3 и число a = 3 из этого класса. Подставим a = 3 в сравнение (10.4). Получим верное сравнение 15 ≡ 1 (mod 7). Поэтому число 3 и весь класс ¯3 являются решением сравнения. Итак, можно взять полную систему вычетов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и проверить для каждого числа, является ли оно решением сравнения. Если число не является решением, то перечеркиваем его. Произведя все проверки, получаем 6 0, 6 1, 6 2, 3, 6 4, 6 5, 6 6. Ответ. Сравнение 5x ≡ 1 (mod 7) имеет единственное решение x = 3. П РИМЕР 2. Решить сравнение 6x ≡ 1 (mod 14). Решение. Можно перебрать все классы, и обнаружится, что решений нет. Однако отсутствие решений видно сразу. Если существует число a, удовлетворяющее сравнению, то 6a ≡ 1 (mod 14). Тогда 6a = 1 + 14q, . откуда 1 .. 2, противоречие. Опишем все возможные случаи, возникающие при решении сравнений первой степени. Т ЕОРЕМА 10.1. Сравнение первой степени ax ≡ b

(mod m),

где

(a, m) = 1,

(10.5)

имеет единственное решение. Доказательство. Рассмотрим все классы 0, 1, 2, · · · , m − 1 по модулю m и возьмем по одному произвольному числу из каждого класса. Получим полную систему вычетов по модулю m x0 , x1 , . . . , xm−1 . Подставим каждое число xi из этой системы вычетов в сравнение (10.5), и проверим, является ли оно решением. То, что xi – решение сравнения, означает axi ≡ b (mod m), т.е. означает, что число axi содержится в классе вычетов ¯b. По теореме 8.2 числа ax0 , ax1 , . . . , axm−1

(10.6)

образуют полную систему вычетов. Поэтому ровно одно число axi из чисел в совокупности (10.6) содержится в классе ¯b . Поэтому x¯i – единственное решение сравнения (10.5). Теорема доказана. 46

Т ЕОРЕМА 10.2. Сравнение первой степени ax ≡ b

. (mod m), где (a, m) = d и b 6 .. d,

(10.7)

не имеет решений. Доказательство методом от противного. Допустим, что некоторое число x0 удовлетворяет данному сравнению. Тогда ax0 ≡ b (mod m),т.е. ax0 = b + mq для некоторого q ∈ Z. Отсюда b = ax0 − mq. С учетом . . . a .. d и m .. d получим b .. d, противоречие с условием. Поэтому сравнение не имеет решений. Теорема доказана. Т ЕОРЕМА 10.3. Сравнение первой степени ax ≡ b

. (mod m), где (a, m) = d и b .. d,

(10.8)

имеет ровно d решений. Доказательство. По условию числа a, m, b делятся на d, т.е. a = a1 d, m = m1 d, b = b1 d. Тогда сравнение 10.8 принимает вид a1 dx ≡ b1 d (mod m1 d). По свойству 5 стр. 29 a1 dx ≡ b1 d (mod m1 d) ⇔ a1 x ≡ b1 (mod m1 ). Поэтому вместо того, чтобы решать сравнение (10.8), имеющее модуль m, решим равносильное сравнение a1 x ≡ b 1

(mod m1 ),

(10.9)

имеющее модуль m1 . При этом (a1 , m1 ) = 1, т.к. числа a1 и m1 получены из чисел a = a1 d и m = m1 d делением на их НОД, равный d. По теореме 10.1, с учетом (a1 , m1 ) = 1, сравнение (10.9) имеет единственное решение c. Все числа из класса c сравнимы по модулю m1 . Поэтому они считаются одним и тем же решением по модулю m1 . Однако исходное сравнение – это сравнение по модулю m. Поэтому ответы должны быть представлены как классы по модулю m. По модулю m некоторые числа из c могут быть не сравнимы и являться разными решениями. Элементы класса c имеют вид x = c + m1 q, где q ∈ Z. Рассмотрим подмножество B во множестве A = c, составленное из d чисел, полученных при q = 0, 1, . . . , d − 1 B = {c, c + m1 , c + 2m1 , . . . , c + (d − 1)m1 }. 47

(10.10)

Покажем, что: 1) числа из B попарно не сравнимы по модулю m, 2) любое число a ∈ A сравнимо с одним из чисел b ∈ B по модулю m. Это означает, что сравнение (10.8) имеет ровно d различных решений по модулю m. Проверим 1) методом от противного. Пусть b1 , b2 ∈ B, b1 6= b2 и b2 ≡ b1 (mod m). Поэтому b2 − b1 делится на m. Считаем b1 = c + km1 , b2 = c + lm1 , где 0 6 k < l 6 d − 1. Отсюда b2 − b1 = (l − k)m1 , где 0 < l − k < d. Тогда 0 < (l − k)m1 < dm1 , т.е. 0 < b2 − b1 < m. Поэтому b2 − b1 не делится на m, противоречие. Проверим 2). Пусть a ∈ A. Тогда a = c + qm1 для некоторого q ∈ Z. Разделим q на d. Получим q = dt + r, где r ∈ {0, 1, . . . , d − 1}. Отсюда a = c+qm1 = c+(dt+r)m1 = (c+rm1 )+dtm1 = (c+rm1 )+mt. (10.11) Обозначим b = c + rm1 . Поскольку r ∈ {0, 1, . . . , d − 1}, то b ∈ B. Из (10.11) имеем a ≡ b (mod m). Итак, произвольное число a ∈ A сравнимо по модулю m с числом b ∈ B, что и нужно. Теорема доказана. Приведем формулу для решение сравнения первой степени. Эта формула использует функцию Эйлера ϕ(m). Т ЕОРЕМА 10.4 . Пусть дано сравнение ax ≡ b (mod m), где (a, m) = 1. Тогда решение сравнения имеет вид x ≡ aϕ(m)−1 b

(mod m).

(10.12)

Доказательство. По теореме 10.1 сравнение имеет единственное решение. Рассмотрим число x0 = aϕ(m)−1 b и подставим его вместо x в сравнение ax ≡ b (mod m). По теореме Эйлера получим верное сравнение aaϕ(m)−1 b = aϕ(m) b ≡ b

(mod m).

Поэтому x0 – решение сравнения. Теорема доказана. Однако полученная формула (10.12) не является удобной для использования, так как число aϕ(m)−1 b может быть весьма большим. Решение сравнения по модулю m желательно иметь в виде a ¯, где 0 6 a < m. Более удобные формулы будут получены с помощью теории непрерывных дробей. 48

Лекция 11. Непрерывные дроби. Пусть α – действительное число. Рассмотрим q1 = [α] – целую часть от числа α. Поэтому q1 – наибольшее целое число, не превосходящее α. Запишем число α в виде α = q1 + α0 , где α0 = α − q1 – дробная часть от α. Тогда 0 6 α0 < 1. Если α ∈ / Z, то α0 6= 0 и число α0 можно записать в виде 1 α0 = , где α1 > 1. Тогда α1 1 α = q1 + . (11.1) α1 1 Повторив данные действия для α1 , запишем α1 = q2 + . Подставив в α2 (11.1), получим 1 α = q1 + . 1 q2 + α2 При α2 ∈ / Z применим те же действия к α2 , и т.д. Возможен один из следующих случаев 1) или 2). 1) Среди чисел α, α1 , α2 , . . . встретится целое число αn = qn . Тогда 1 очередная запись αn = qn + невозможна. Указанный процесс обоαn+1 рвется, и мы получим следующее представление числа α 1

α = q1 +

(11.2)

1

q2 +

1

q3 + . . . +

qn−1 +

1 qn

2) Никакое число из чисел α, α1 , α2 , . . . не является целым и процесс бесконечен. Этот случай отображаем записью 1

α = q1 + q2 +

1

(11.3)

q3 + . . .

Выражения в правых частях (11.2) и (11.3) называются непрерывной дробью, соответствующей числу α. В случае 1) имеем конечную непрерывную дробь, которую обозначаем [q1 , q2 , . . . , qn ]. При этом говорим, что 49

число α представимо в виде конечной непрерывной дроби и записываем α = [q1 , q2 , . . . , qn ]. В случае 2) имеем бесконечную непрерывную дробь, обозначаемую через [q1 , q2 , . . . ]. При этом говорим, что число α представимо в виде бесконечной непрерывной дроби и записываем α = [q1 , q2 , . . . ]. Т ЕОРЕМА 11.1. Действительное число α тогда и только тогда представимо в виде конечной непрерывной дроби, когда оно является рациональным числом. Доказательство. Пусть α представимо в виде конечной непрерывной дроби (11.2). Начнем свертывать эту дробь с конца, приводя к общему 1 a1 qn qn−1 + 1 запишем дробь = . Далее знаменателю. Вместо qn−1 + qn b1 qn преобразуем 1 b1 a2 qn−2 + = qn−2 + = , 1 a1 b2 qn−1 + qn a и т.д. Окончательно получаем α = , где a, b ∈ Z. Поэтому α – рациоb нальное число. a Обратно, пусть α = – произвольное рациональное число. Покажем, b что указанный выше процесс сопоставления непрерывной дроби числу α можно осуществить с помощью алгоритма Евклида. Разделим a на b. Получим a = bq1 + r1 , где 0 6 r1 < b. Тогда при r1 6= 0 a r1 1 = q1 + = q1 + b b b r1 a r1 Ясно, что при этом q1 – целая часть числа α = , а число – дробная b b часть. Далее разделим b на r1 , получим b = r1 q2 + r2 , откуда b r2 1 = q2 + = q 2 + r 1 , r1 r1 r2 a = q1 + b

1 1 q2 + r1 r2

50

.

Продолжая процесс делений в алгоритме Евклида, для некоторого n получим a = bq1 + r1 b = r1 q2 + r2 r 1 = r 2 q3 + r 3 (11.4) ... rn−3 = rn−2 qn−1 + rn−1 rn−2 = rn−1 qn rn−2 При этом некоторое = qn – целое число, и процесс обрывается. rn−1 Мы имеем представление α в виде конечной дроби (11.2), и записываем α = [q1 , q2 , . . . , qn ]. Теорема доказана. З АМЕЧАНИЕ . Числа q1 , q2 , . . . , qn из конечной непрерывной дроби (11.2)– это неполные частные из алгоритма Евклида для чисел a и b. Из теоремы следует, что иррациональные числа представляются в виде бесконечной непрерывной дроби. Рассмотрим пример представления √ в виде бесконечной непрерывной дроби иррационального числа α = 2. В соответствие с процессом представления нужно записать α = q1 + α0 , где q1 = [α]√– целая часть от числа α и α0 = α − q1 – дробная √ часть от α. 0 Имеем 2 ≈ 1, 4. Поэтому q1 = 1 и α = α − q1 = 2 − 1. Далее √ 1 1 представим α0 в виде α0 = . Получим 2 − 1 = , откуда α1 α1 √ √ 1 · ( 2 + 1) 2+1 √ 1 √ = = 2 + 1. α1 = √ = √ 2−1 2−1 ( 2 − 1)( 2 + 1) На следующем шаге запишем α1 = √ 2 + 1 ≈ 2, 4. Поэтому q2 = 2 Тогда

√

2 + 1 = q2 +

1 . При этом α2

√ √ 1 1 = 2 − 1 и α2 = √ = 2 + 1. α2 2−1 Мы получили, что число α2 повторяет число α1 . Это означает, что далее √ получим q2 = q3 = . . . . Итак, имеем разложение числа 2 в виде периодической непрерывной дроби √ 2 = [1, 2, 2, . . . ]. (11.5) 51

Периодичность непрерывной дроби означает, что последовательность неполных частных [q1 , q2 , q3 , . . . ] начиная с некоторого номера образована бесконечно повторяющейся группой чисел -периодом дроби. В случае √ α = 2 имеем предпериод из числа 1 и наименьший период из числа 2. Назовем иррациональное число α квадратичной иррациональностью, если α имеет вид √ a+ b , где a, b, c ∈ Z и b > 0. c Справедливо следующее утверждение. Т ЕОРЕМА 11.2. Квадратичные иррациональности и только они представимы в виде периодической непрерывной дроби. Доказательство в [11, стр. 191]. Наиболее сложно доказать, что произвольная квадратичная иррациональность представима в виде периодической непрерывной дроби. Это утверждение называется теоремой Лагранжа в честь французского математика и механика Ж. Лагранжа. Свойства непрерывных дробей. Пусть число α представлено в виде конечной непрерывной дроби (11.2) или бесконечной дроби (11.3). Отбросим в непрерывной дроби выражение, стоящие после q1 . Получим дробь P1 q1 = . Q1 1 Отбрасывая выражение после q2 , имеем дробь P2 q 2 q1 + 1 = . Q2 q2 Затем отбросим выражение после q3 , получим дробь

P3 и т.д. Q3

P1 P 2 , , . . . называются подходящими дробями для числа α. Q1 Q2 Подходящую дробь с номером i можно записать с числителем Pi и знаменателем Qi , способ вычисления которых указан в последующем свойстве 1. При этом считаем, что Дроби

P1 = q1 , Q1 = 1 P2 = q2 q1 + 1, Q2 = q2 . Дополнительно определим дробь ся для единообразия формул.

(11.6)

P0 , где P0 = 1, Q0 = 0. Она потребуетQ0 52

С ВОЙСТВО 1. Справедливо следующее правило вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей при i > 2 Pi = qi · Pi−1 + Pi−2 , Qi = qi · Qi−1 + Qi−2 .

(11.7) (11.8)

Доказательство индукцией по числу i. Пусть i = 2. Нужно проверить, что P2 = q2 · P1 + P0 , Q2 = q2 · Q1 + Q0 . По (11.6) имеем P1 = q1 , Q1 = 1 P2 = q2 q1 + 1, Q2 = q2 . Кроме того, мы задали P0 = 1, Q0 = 0. Подставив эти значения, получим верные равенства. Пусть утверждение верно для числа i. Тогда справедливы равенства (11.7) и (11.8). Проверим выполнение утверждения для числа i + 1, т.е. справедливость равенств Pi+1 = qi+1 · Pi + Pi−1 , Qi+1 = qi+1 · Qi + Qi−1 .

(11.9) (11.10)

Pi Pi+1 получается из подходящей дроби заменой в Qi+1 Qi 1 буквенном выражении для Pi выражения qi на выражение qi + . Поqi+1 этому в дроби Pi qi · Pi−1 + Pi−2 = Qi qi · Qi−1 + Qi−2 1 заменим букву qi на выражение qi + . Так буква qi не входит в выраqi+1 жения Pi−1 , Pi−2 , Qi−1 , Qi−2 , то эти выражения не изменятся. Получаем Подходящая дробь



1 

· Pi−1 + Pi−2 qi+1 (qi Pi−1 + Pi−2 ) + Pi−1 qi+1 = (11.11)  1 qi+1 (qi Qi−1 + Qi−2 ) + Qi−1 qi + · Qi−1 + Qi−2 qi+1 По индукции верны равенства (11.7) и (11.8). Применяя их, получаем Pi+1 = Qi+1

qi +

Pi+1 qi+1 Pi + Pi−1 = Qi+1 qi+1 Qi + Qi−1 и равенства (11.9) и (11.10), что и нужно. 53

(11.12)

С ВОЙСТВО 2. Для всех i > 1 справедливо равенство Pi · Qi−1 − Pi−1 · Qi = (−1)i .

(11.13)

Доказательство индукцией по i. Пусть i = 1. Имеем P1 · Q0 − P0 · Q1 = = q1 ·0−1·1 = −1, что и нужно. Пусть утверждение верно для числа i, т.е. верно равенство (11.13). Проверим истинность утверждения для числа i + 1, т.е. справедливость равенства Pi+1 · Qi − Pi · Qi+1 = (−1)i+1 . По (11.9) и (11.10) имеем Pi+1 · Qi − Pi · Qi+1 = (qi+1 Pi + Pi−1 ) · Qi − Pi · (qi+1 Qi + Qi−1 ) = = Pi−1 Qi − Pi Qi−1 = −(Pi Qi−1 − Pi−1 Qi ) = (−1)(−1)i = (−1)i+1 , что и нужно. С ВОЙСТВО 3. Подходящие дроби

Pi несократимы. Qi

Доказательство от противного. Пусть d = (Pi , Qi ) и d > 1. Тогда d делит левую часть равенства Pi ·Qi−1 −Pi−1 ·Qi = (−1)i . Поэтому d делит правую часть (−1)i = ±1, противоречие, т.к. d > 1. Получим теперь формулу для разности двух соседних подходящих дробей. С ВОЙСТВО 4. Для всех i > 1 справедливо равенство Pi Pi−1 (−1)i − = . Qi Qi−1 Qi Qi−1

(11.14)

Доказательство. Имеем Pi Pi−1 Pi · Qi−1 − Pi−1 Qi (−1)i − = = . Qi Qi−1 Qi Qi−1 Qi Qi−1 Отсюда получаем расстояние между двумя соседними подходящими дробями P Pi−1 1 i . − = Qi Qi−1 Qi Qi−1 54

Pi подходящая дробь для числа α с номеQi ром i, отличная от последней дроби ( т.е. от самого числа α ). Тогда Pi < α. 1) Если i нечетно, то Qi Pi 2) Если i четно, то > α. Qi С ВОЙСТВО 5 . Пусть

Доказательство. В дроби (11.2) или (11.3) отбросим выражение > 0, P1 стоящее за q1 . Полученное число, т.е. меньше α. Отбросим выражеQ1 1 ние, стоящее за q2 . При этом вместо выражения q2 + получим q3 + . . . 1 уменьменьшее число, что выражаем словами «выражения q2 + . . . q3 + шится». Тогда выражение 1

q1 + q2 +

1 q3 + . . .

P2 P3 > α. Точно также < α, и т.д. Q2 Q3 Из этого свойства следует, что число α заключено между соседними Pi−1 Pi 1 дробями и , причем расстояние от каждой дроби меньше . Qi−1 Qi Qi Qi−1 Отсюда получается следующее утверждение. Pi С ВОЙСТВО 6. Заменим число α подходящей дробью . Тогда поQi грешность замены оценивается неравенством 1 Pi . (11.15) < α− Qi Qi Qi+1 увеличится. Поэтому

Формула для решения сравнения первой степени. Используя подходящие дроби, получим удобную формулу для решения сравнения первой степени. Пусть дано сравнение ax ≡ b

(mod m), где (a, m) = 1.

(11.16)

Если a < 0, то заменим сравнение (11.16) на равносильное сравнение (−a)x ≡ −b (mod m). Поэтому далее считаем, что a > 0. 55

Т ЕОРЕМА 11.3 . Сравнение (11.16) имеет единственное решение, которое имеет вид x ≡ (−1)n−1 Pn−1 b

(mod m),

(11.17)

где Pn−1 – числитель предпоследней подходящей дроби при разлоm жении числа в непрерывную дробь. a Доказательство. Известно, что сравнение (11.16) имеет единственное решение. Поэтому достаточно проверить, что число x0 = (−1)n−1 Pn−1 b действительно является решение сравнения, т.е. a · [(−1)n−1 Pn−1 b] ≡ b

(mod m).

(11.18)

Pn – последняя Qn m m Pn Pn m = и . Поскольку дроби несократимы и дробь для , т.е. a Qn a Qn a Qn , a > 0, то Pn = m и Qn = a. Получаем По свойству 2 Pn · Qn−1 − Pn−1 · Qn = (−1)n . При этом

m · Qn−1 − Pn−1 · a = (−1)n . Отсюда −Pn−1 ·a ≡ (−1)n (mod m). Умножив на (−1)n−2 b, получим сравнение (11.18). Теорема доказана. Решение в целых числах уравнения ax + by = c. Рассмотрим уравнение ax + by = c, (11.19) с неизвестными x, y и целыми коэффициентами a, b, c. Требуется найти целочисленные решения этого уравнения. Уравнение (11.19) называется неопределенным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Применим теорию сравнений к решению неопределенных уравнений. . Заметим вначале, что при (a, b) = d > 1 и c 6 .. d уравнение (11.19) неразрешимо. Действительно, при наличии решения (x0 , y0 ) имеем равенство ax0 + by0 = c. Левая часть ax0 + by0 этого равенства делится на d, а правая часть, равная c, не делится на d, противоречие. . Если (a, b) = d > 1 и c .. d, то a = a1 d, b = b1 d, c = c1 d. Разделив на d уравнение (11.19), получим равносильное уравнение a1 x + b1 y = c1 , где (a1 , b1 ) = 1. Поэтому далее считаем, что (a, b) = 1. Покажем способ для нахождения некоторого, первоначального решения (x0 , y0 ) уравнения (11.19), а затем получим формулу для всех решений. 56

Перенесем by в уравнение (11.19) в правую часть. Получим ax = c−by. Поэтому ax ≡ c (mod b). (11.20) Так как (a, b) = 1, то сравнение имеет единственное решение. Рассмотрим . число x0 , удовлетворяющее (11.20). Имеем ax0 ≡ c (mod b), т.е. ax0 −c .. b ax0 − c , и получим одно и ax0 − c = by0 для y0 ∈ Z. Вычислим число y0 = b из решений (x0 , y0 ) уравнения ax + by = c. Т ЕОРЕМА 11.4. Пусть дано неопределенное уравнение ax + by = c, где (a, b) = 1.

(11.21)

Предположим, что (x0 , y0 ) – одно из решений этого уравнения. Тогда все решения уравнения имеют вид x = x0 + bt, y = y0 − at,

(11.22)

где параметр t пробегает целые числа. Доказательство. Пусть x, y – произвольное решение неопределенного уравнения. Тогда ax+by = c, где x, y ∈ Z. Вычтем из равенства ax+by = c равенство ax0 + by0 = c. Получим a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0. Отсюда a(x − x0 ) = b(y0 − y),

(11.23)

. где x − x0 , y0 − y ∈ Z. Тогда a(x − x0 ) .. b. Так как (a, b) = 1, то . x −x0 .. b. Поэтому x −x0 = bt для некоторого t ∈ Z. Получили x = x0 +bt. Подставив x − x0 = bt в (11.23), имеем abt = b(y0 − y), откуда at = y0 − y, и y = y0 − at. Получили, что пара (x, y) имеет вид (11.22). Обратно, пусть t ∈ Z. Подставив в левую часть уравнения (11.21) x = x0 + bt и y = y0 − at, имеем a(x0 + bt) + b(y0 − at) = ax0 + by0 = c. Поэтому пара (x, y) – решение уравнения. Теорема доказана.

57

Лекция 12. Системы сравнений первой степени. Рассмотрим произвольную систему сравнений первой степени  a1 x ≡ b1 (mod m1 )    a2 x ≡ b2 (mod m2 ) ···    ak x ≡ bk (mod mk ).

(12.1)

Решением данной системы является число, которое удовлетворяет каждому сравнению этой системы. Если какое-то из сравнений в системе не имеет решения, то, очевидно, что система несовместна. Решение системы (12.1) удобнее рассмотреть на примере. П РИМЕР. Решить систему   12x ≡ 1 (mod 7) 24x ≡ −2 (mod 5) (12.2)  2x ≡ 15 (mod 11). По свойству сравнений в любом из сравнений коэффициенты можно заменить на сравнимые по соответствующему модулю. Получим равносильную, более простую систему   5x ≡ 1 (mod 7) −x ≡ −2 (mod 5) (12.3)  2x ≡ 4 (mod 11). Рассмотрим первое сравнение 5x ≡ 1 (mod 7). Так как (5, 7) = 1, то сравнение имеет единственное решение. Найдем это решение подбором, испытывая числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получим решение ¯3. Числа класса ¯3 имеют вид x = 3 + 7t, где t – произвольное целое число. Идея решения системы состоит в следующем. При любом целом t число x = 3 + 7t является решением первого сравнения. Подставим x во второе сравнение, и подберем те значения t, при которых верно также и второе сравнение. Получаем −3−7t ≡ −2 (mod 5), т. е. −7t ≡ 1 (mod 5) и 3t ≡ 1 (mod 5). Подбором находим решение ¯2. Поэтому t = 2 + 5t1 , где t1 ∈ Z. Подставив t = 2 + 5t1 в равенство x = 3 + 7t, получим x = 17 + 35t1 , где t1 – произвольное целое число. Числа x = 17+35t1 при любом t1 ∈ Z удовлетворяют первому и второму сравнению. Подберем те значения t1 , при котором верно также и третье 58

сравнение. Разделим вначале коэффициенты сравнения 2x ≡ 4 (mod 11) на число 2, взаимно простое с модулем m = 11. Получим x ≡ 2 (mod 11) Подставив x = 17+35t1 в это сравнение, имеем 17+35t1 ≡ 2 (mod 11), т.е. 6 + 2t1 ≡ 2 (mod 11). Тогда 2t1 ≡ −4 (mod 11), t1 ≡ −2 (mod 11), t1 = −2 + 11t2 для t2 ∈ Z. Тогда x = 17 + 35t1 = 17 + 35(−2 + 11t2 ) = = −53 + 385t2 , где t2 ∈ Z. Отсюда x ≡ 332 (mod 385). Ответ. Решение системы имеет вид x ≡ 332 (mod 385). Сравнения n-ой степени по простому модулю. Рассмотрим другой важный вид сравнений f (x) ≡ 0

(12.4)

(mod m),

где f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an – произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Решение сравнений по составному модулю m сводится к решению сравнения по простому модулю. Поэтому изучим вначале случай, когда m = p – простое число. Итак, необходимо решить сравнение f (x) ≡ 0

(12.5)

(mod p).

Рассмотрим упрощающий прием для замены данного сравнения на равносильное сравнение степени не выше p − 1. Разделим f (x) на многочлен xp − x. Получим f (x) = (xp − x)q(x) + r(x), где q(x), r(x) ∈ Z[x] и r(x) = b0 xp−1 + · · · + bp – остаток отделения. Подставив в (12.5), получим (xp − x)q(x) + r(x) ≡ 0

(mod p).

(12.6)

По теореме Ферма xp ≡ x (mod p) для всех x ∈ Z. Тогда для любого целого числа x имеем xp − x ≡ 0 (mod p). Поэтому сравнение (12.6) равносильно сравнению r(x) ≡ 0 (mod p), т.е. следующему сравнению степени не выше p − 1 b0 xp−1 + · · · + bp ≡ 0 (mod p). П РИМЕР. Решить сравнение 26x14 − 12x11 + 22x7 + 3 ≡ 0

(mod 7).

Решение. Заменим коэффициенты многочлена на сравнимые числа из полной системы вычетов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получим равносильное сравнение 5x14 + 2x11 + x7 + 3 ≡ 0 (mod 7). (12.7) 59

Разделив многочлен из (12.7) на x7 − x, получим сравнение степени не выше 6. Однако понижение степени можно выполнить проще. По теореме Ферма x7 ≡ x (mod 7). Возводя в квадрат, получим x14 ≡ x2 (mod 7). Заменим в (12.7) выражение x14 на сравнимое выражение x2 . Далее x11 ≡ x5 (mod 7) и x7 ≡ x (mod 7). Поэтому заменим в сравнении (12.7) x11 на x5 , а x7 на x. Вместо сравнения (12.7) рассмотрим равносильное сравнение 2x5 + 5x2 + x + 3 ≡ 0

(mod 7),

(12.8)

которое решим методом перебора всех возможных решений. Можно рассмотреть полную систему вычетов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 по модулю 7 и проверим, какие из этих чисел удовлетворяют сравнению (12.8). Однако удобнее проверить числа из полной системы вычетов 0, 1, 2, 3, −3, −2, −1. В результате проверки получаем, что решением является только число −3. При этом −3 ≡ 4 (mod 7). Ответ. Сравнение имеет единственное решение x ≡ 4 (mod 7). Т ЕОРЕМА 12.1 . Пусть f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an – многочлен с целыми коэффициентами. Предположим, что сравнение f (x) ≡ 0 (mod p), где p – простое число, имеет n + 1 решение. Тогда все коэффициенты многочлена f (x) делятся на p. Доказательство. Обозначим через x0 , x1 , . . . , xn данные n + 1 решений. Поскольку решения различны, то xi ≡ / xj

(mod p)

при i 6= j.

(12.9)

Запишем многочлен f (x) в виде f (x) = a(x − x0 ) · · · (x − xn−1 )+ +b(x − x1 ) · · · (x − xn−1 )+ +c(x − x2 ) · · · (x − xn−1 )+ ··· +d(x − xn−1 )+ +e,

(12.10)

где целые коэффициенты a, b, c, d, . . . , e подберем двигаясь по (12.10) сверху вниз. Приравняем коэффициенты при xn в левой и правой частях в (12.10). Получим a = a0 . Затем подбираем число b. Для этого вычислим 60

коэффициент при xn−1 в правой части. Он является суммой уже заданного коэффициента b1 при xn−1 в первой строке и искомого числа b во второй строке. Приравняем сумму b1 + b к числу a1 . Получим a1 = b1 + b, откуда b = a1 − b1 . Аналогично находим c, . . . , d, e. Теперь, двигаясь по (12.10) внизу вверх, покажем что все числа e, d, . . . , c, b, a делятся на p. Подставим в (12.10) вместо неизвестной x решение xn−1 . В правой части получим e, а левой части получим число, . сравнимое с числом 0. Поэтому e ≡ 0 (mod p) и e .. p. Подставив x = xn−2 , получим d(xn−2 − xn−1 ) ≡ 0 (mod p). Тогда . . d(xn−2 − xn−1 ) .. p. При этом (xn−2 − xn−1 ) 6 .. p, так как решения xn−2 и . xn−1 различны, Тогда d .. p. . . Поднимаясь выше, получим, что b(x0 − x1 ) .. p, т.е. b .. p. На последнем . шаге вместо x подставим xn . Получим a .. p. Итак, все числа a, b, c, . . . , d, e делятся на p. Тогда все коэффициенты в правой части из (12.10) делятся на p. Поэтому коэффициенты a0 , a1 , . . . , an из левой части делятся на p. Теорема доказана. Т ЕОРЕМА 12.2 (Д. Вильсон) Если p – простое число, то (p − 1)! + 1 ≡ 0

(mod p).

(12.11)

Доказательство. Пусть p = 2. Вместо (12.11) получаем верное сравнение 2 ≡ 0 (mod 2). Далее считаем, что p > 2. Рассмотрим сравнение h i f (x) = (x − 1)(x − 2) . . . (x − (p − 1)) − (xp−1 − 1) ≡ 0 (mod p). При вычитании члены xp−1 взаимно уничтожаются. Поэтому это сравнение имеет степень не выше p − 2. Нетрудно проверить, что числа " 1, 2, 3, . . . , p − 1 является решениями данного сравнения. Поэтому число решений сравнения больше его степени. По предыдущей теореме все коэффициенты многочлена f (x) делятся на p. В частности, свободный член многочлена f (x) делится на p. Вычислим этот свободный член. Получим (−1)(−2) . . . (−(p − 1)) + 1 = (−1)p−1 (p − 1)! + 1 = (p − 1)! + 1. При этом учтено, что p > 2, т.е. p − 1 – четно и (−1)p−1 = 1. Получили . (p−1)!+1 .. p, т.е. (p−1)!+1 ≡ 0 (mod p), что и нужно. Теорема доказана. 61

Решение сравнений по произвольному модулю. Пусть f (x) – многочлен с целыми коэффициентами. Рассмотрим сравнение f (x) ≡ 0

(mod m).

(12.12)

Представим модуль m в виде произведения m = m1 m2 . . . mk попарно взаимно простых сомножителей. Поэтому (mi , mj ) = 1 при i 6= j. Т ЕОРЕМА 12.3. Сравнение (12.12) равносильно системе сравнений  f (x) ≡ 0 (mod m1 )    f (x) ≡ 0 (mod m2 ) (12.13) ...    f (x) ≡ 0 (mod mk ). Доказательство. Пусть x0 – произвольное решение сравнения (12.12). . Тогда f (x0 ) ≡ 0 (mod m). Имеем m .. mi для всех i = 1, 2, . . . , k. Поэтому f (x0 ) ≡ 0 (mod mi ) и x0 – решение системы сравнений (12.13). Обратно, пусть x0 – решение системы (12.13). Тогда f (x0 ) ≡ 0 (mod mi ) для всех i = 1, 2, . . . , k. Обобщая свойство сравнений 6, получим: если выполняются сравнения a ≡ b (mod mi ) по взаимно простым модулям m1 , m2 , . . . , mk , то верно сравнение a ≡ b (mod m) для m = m1 m2 . . . mk . Следовательно, верно сравнение f (x0 ) ≡ 0 (mod m). Теорема доказана. Приведем способ решения сравнения (12.12). Вначале найдем каноническое разложение модуля m. Получим m = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k . По предыдущей теореме вместо сравнения (12.12) запишем систему сравнений  f (x) ≡ 0 (mod pα1 1 )    f (x) ≡ 0 (mod pα2 2 ) (12.14) ...    f (x) ≡ 0 (mod pαk k ). Решим каждое из сравнений в (12.14) и получим системы вида  x ≡ x1 (mod pα1 1 )    x ≡ x2 (mod pα1 2 ) ...    x ≡ xk (mod pα1 k ).

(12.15)

Способ решения системы сравнений первой степени уже рассмотрен. 62

Следовательно, мы свели задачу о решении сравнения (12.12) к решению более простого сравнения вида f (x) ≡ 0

(mod pα ).

(12.16)

Решение данного сравнения сведем к решению сравнения по простому модулю f (x) ≡ 0 (mod p). (12.17) Ясно, что произвольное решение сравнения (12.16) является решение сравнения (12.17). Предположим, что каким-либо способом (например, подбором) найдено решение x¯0 сравнения (12.17). Тогда числа x класса x¯0 имеют вид x = x0 + pt (12.18) и являются решениями сравнения (12.17) при любом t ∈ Z. Будем подбирать число t так, чтобы выполнялись сравнения f (x) ≡ 0 (mod p2 ), затем f (x) ≡ 0 (mod p3 ), . . . , и, наконец, f (x) ≡ 0 (mod pα ). Разложим многочлен f (x) по степеням x − x0 с целыми коэффициентами по схеме Горнера или по формуле Тейлора f (n) (x0 ) f 0 (x0 ) (x − x0 ) + · · · + (x − x0 )n . f (x) = f (x0 ) + 1! n!

(12.19)

Подставим в это разложение x − x0 = pt. Мы рассматриваем сравнение f (x) ≡ 0 (mod p2 ) по модулю p2 . Поэтому третий и последующие числа в правой части (12.19), кратные p2 , можно заменить на 0. Получим f (x0 ) + ptf 0 (x0 ) ≡ 0

(mod p2 ).

(12.20)

Ограничимся далее случаем, когда число k = f 0 (x0 ) не делится на p. Так . как f (x0 ) .. p, то f (x0 ) = pb, где b ∈ Z. Сократив (12.20) на p, получим сравнение первой степени b + tk ≡ 0 (mod p) с единственным решением t1 . Тогда t = t1 + pt2 для любого t2 ∈ Z. Подставив в (12.18), получим x = x0 + pt = x0 + p(t1 + pt2 ) = x1 + p2 t2 для некоторого x1 ∈ Z и любого t2 ∈ Z. Добьемся затем условия f (x) ≡ 0 (mod p3 ). Для этого снова разложим многочлен f (x) по степеням x−x1 по формуле Тейлора, найдем ограничение на число t2 и т.д. В итоге получим решение сравнения (12.16). 63

Пример. Решить сравнение x4 + 5x3 + 2x2 − 3x − 8 ≡ 0

(mod 27).

(12.21)

Решение. Имеем сравнение вида f (x) ≡ 0 (mod p3 ), где p = 3 и f (x) = x4 + 5x3 + 2x2 − 3x − 8. Вначале подбором решим сравнение f (x) ≡ 0

(12.22)

(mod 3).

Подставим в это сравнение числа x из полной системы вычетов 0, 1, −1 по модулю 3. Получим f (0) = −8 6≡ 0 f (1) = −3 ≡ 0 f (−1) = −7 6≡ 0

(mod 3), (mod 3), (mod 3).

Итак, сравнение (12.22) имеет единственное решение x0 = ¯1. Все числа, удовлетворяющие этому сравнению имеют вид x = 1 + 3t, где t ∈ Z. Найдем значения параметра t, для которых f (x) ≡ 0 (mod 9). Разложим f (x) по степеням x − x0 = x − 1 по формуле Тейлора (12.19), возьмем два первых члена, а остальную часть обозначим 9k. Получим f 0 (1) (x − 1) + 9k ≡ 0 f (x) = f (1) + 1!

(mod 9).

Имеем f (1) = −3, f 0 (1) = 20, x − 1 = 3t. Получим −3 + 20 · 3t ≡ 0 (mod 9), 20 · 3t ≡ 3 (mod 9). Разделив на 3, получим 20 · t ≡ 1 (mod 3). Отсюда t ≡ −1 (mod 3), т.е. t = −1 + 3t1 для любого t1 ∈ Z. Тогда x = 1 + 3t = 1 + 3(−1 + 3t1 ) = −2 + 9t1 . Найдем значения параметра t1 , для которого f (x) ≡ 0 (mod 27). Как и выше, разложим f (x) по степеням x − x1 = x + 2. Получим f 0 (−2) f (x) = f (−2) + (x + 2) + 27m ≡ 0 1!

(mod 27).

Имеем f (−2) = −18, f 0 (−2) = 17, x + 2 = 9t1 . Получаем −18 + 17 · 9t1 ≡ 0 (mod 27) и 17 · 9t1 ≡ 18 (mod 27). Разделив на 9, получим 17 · t1 ≡ 2 (mod 3). Отсюда t1 = 1 + 3t2 для любого t2 ∈ Z. Тогда x = −2 + 9t1 = −2 + 9(1 + 3t2 ) = 7 + 27t2 , где t2 ∈ Z. Ответ. Сравнение имеет единственное решение x = ¯7. 64

Лекция 13. Показатель числа. Свойства показателя. Пусть задан некоторый модуль m и (a, m) = 1. Тогда существует натуральное число δ со свойством aδ ≡ 1 (mod m). В качестве числа δ может выступать, например, ϕ(m). Действительно, по теореме Эйлера верно сравнение aϕ(m) ≡ 1 (mod m). Также, очевидно, и числа 2ϕ(m), 3ϕ(m), . . . можно взять в качестве δ. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1. Наименьшее натуральное число δ с условием aδ ≡ 1

(mod m)

(13.1)

называется показателем числа a по модулю m. Поэтому натуральное число δ является показателем числа a по модулю m, тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: 1) aδ ≡ 1

(mod m),

2) ak 6≡ 1

(mod m) для всех k ∈ N, где k < δ.

(13.2)

Если показатель числа a по модулю m равен δ, то говорят, что a принадлежит показателю δ по модулю m. П РИМЕР. Найти показатель числа a = 2 по модулю m = 7. По теореме Ферма имеем 26 ≡ 1 (mod 7). Может оказаться, что наряду с 26 ≡ 1 (mod 7), имеется сравнение 2δ ≡ 1 (mod 7) при 0 < δ < 6. Выясним такую возможность. Имеем 21 ≡ 6 1 22 ≡ 6 1 3 2 ≡1

(mod 7), (mod 7), (mod 7).

Итак, 3 является наименьшим натуральным числом δ с условием 2δ ≡ 1 (mod 7). Поэтому показатель числа 2 по модулю 7 равен 3. Свойства показателя. С ВОЙСТВО 1 . Если числа a и b сравнимы между собой по модулю m, то они имеют один и тот же показатель по модулю m.

65

Доказательство. Обозначим A = {k ∈ N | ak ≡ 1

(mod m)},

B = {k ∈ N | bk ≡ 1

(mod m)}.

По условию a ≡ b (mod m). Тогда ak ≡ bk (mod m) и, следовательно, ak ≡ 1

(mod m) ⇔ bk ≡ 1

(mod m).

Поэтому A = B. Показатель δ1 числа a – наименьшее число в A, показатель δ2 числа b – наименьшее число в B. Так как A = B, то δ1 = δ2 , что и нужно. Поскольку все числа одного класса сравнимы между собой по модулю m, то у них один и тот же показатель δ. Считаем это число δ также и показателем данного класса. С ВОЙСТВО 2 . Пусть показатель числа a по модулю m равен δ. Тогда числа a0 , a1 , . . . , aδ−1 попарно несравнимы по модулю m. Доказательство. Предположим противное. Тогда ai ≡ aj (mod m), где 0 6 i < j 6 δ − 1. Учитывая (ai , m) = 1, разделим сравнение на число ai . Получим aj−i ≡ 1 (mod m). Обозначив j − i = k, имеем ak ≡ 1

(mod m), где k ∈ N и k < δ.

Это противоречит пункту 2) из определения показателя в (13.2). С ВОЙСТВО 3 . Пусть a принадлежит показателю δ по модулю m. Тогда для i, j > 0 справедливо утверждение ai ≡ aj

(mod m) ⇔ i ≡ j

(mod δ).

(13.3)

Доказательство. Пусть i ≡ j (mod δ). Переставляя i и j, можно считать i > j. Тогда i = j + δt, где t > 0. Отсюда ai = aj+δt = aj (aδ )t ≡ aj 1t = aj

(mod m).

Обратно, пусть ai ≡ aj (mod m). Докажем, что i ≡ j (mod δ). Нужно проверить, что i и j имеют одинаковые остатки от деления на δ. Обозначив эти остатки через r1 и r2 , получим i = δq1 + r1 , где 0 6 r1 6 δ − 1

и 66

j = δq2 + r2 , где 0 6 r2 6 δ − 1.

Тогда ai = aδq1 +r1 = (aδ )q1 ar1 ≡ ar1

(mod m),

aj = aδq2 +r2 = (aδ )q2 ar2 ≡ ar2

(mod m).

Дано, что ai ≡ aj (mod m). Поэтому ar1 ≡ ar2 (mod m). При этом остатки r1 и r2 взяты из множества 0, 1, . . . , δ − 1. По свойству 2 получаем r1 = r2 . Итак, i ≡ j (mod δ). С ВОЙСТВО 4 . Пусть показатель числа a по модулю m равен δ. Тогда . ak ≡ 1 (mod m) ⇔ k .. δ. В частности, показатель δ числа a является делителем числа ϕ(m). Доказательство. По предыдущему свойству имеем ak ≡ a0

(mod m) ⇔ k ≡ 0

(mod δ),

. т.е. ak ≡ 1 (mod m) ⇔ k .. δ. . По теореме Эйлера aϕ(m) ≡ 1 (mod m). Поэтому ϕ(m) .. δ. С ВОЙСТВО 5. Если число a принадлежит показателю δ1 по модулю m, число b принадлежит показателю δ2 по модулю m, причем (δ1 , δ2 ) = 1, то число ab принадлежит показателю δ1 δ2 . Доказательство. По определению показателя (13.2) нужно проверить два условия 1) (ab)δ1 δ2 ≡ 1 2) (ab)k 6≡ 1

(mod m), (mod m) для 0 < k < δ1 δ2 .

Проверим 1). Имеем (ab)δ1 δ2 = aδ1 δ2 bδ1 δ2 = (aδ1 )δ2 (bδ2 )δ1 ≡ 1δ2 1δ1 = 1

(mod m).

Установим 2) методом от противного. Допустим (ab)k ≡ 1 (mod m), где 0 < k < δ1 δ2 . Возведя сравнение (ab)k ≡ 1 (mod m) в степень δ1 , получим akδ1 bkδ1 ≡ 1 (mod m). При этом akδ1 ≡ (aδ1 )k ≡ 1k ≡ 1 (mod m). 67

. Отсюда bkδ1 ≡ 1 (mod m). Тогда по свойству (4) имеем kδ1 .. δ2 . Так как (δ1 , δ2 ) = 1, то . k .. δ2 . (13.4) Аналогично, возведя в степень δ2 сравнение (ab)k ≡ 1 (mod m), получим . k .. δ1 .

(13.5)

. Из (13.4) и (13.5) с учетом (δ1 , δ2 ) = 1, получаем k .. δ1 δ2 . Поскольку k > 0, то получаем k > δ1 δ2 . Однако у нас дано k < δ1 δ2 , противоречие. Значит верно условие 2) и свойство доказано. Из данного свойства непосредственно следует более общее свойство. С ВОЙСТВО 6 . Если по модулю m числа a1 , a2 , . . . , ak принадлежат соответственно показателям δ1 , δ2 , . . . , δk , причем показатели δ1 , δ2 , . . . , δk попарно взаимно просты, то число a = a1 a2 . . . ak принадлежит показателю δ1 δ2 . . . δk по модулю m. Тем самым, показателем произведения a = a1 a2 . . . ak является произведение показателей сомножителей. С ВОЙСТВО 7. Пусть показатель числа a по модулю m равен kl. Тогда показатель числа ak по модулю m равен l. Доказательство. Нужно проверить следующие два условия: 1) (ak )l ≡ 1

(mod m),

2) (ak )l1 6≡ 1

(mod m) для всех l1 ∈ N, где l1 < l.

По условию показатель числа a по модулю m равен kl. Поэтому имеем akl ≡ 1 (mod m). Отсюда получаем условие 1). Условие 2) проверим методом от противного. Пусть (ak )l1 ≡ 1

(mod m) для некоторого l1 ∈ N, где l1 < l.

Тогда akl1 ≡ 1 (mod m), т.е. at ≡ 1 (mod m) при t = kl1 ∈ N . Из неравенства l1 < l имеем kl1 < kl, т.е. t < kl. Итак, имеем сравнение at ≡ 1

(mod m) при t ∈ N и t < kl.

По условию показатель числа a по модулю m равен kl. По второму пункту из определения показателя сравнение at ≡ 1 (mod m) при t < kl невозможно, противоречие. Потому условие 2) выполнено. 68

Лекция 14. Первообразные корни.

О ПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1. Пусть a ∈ Z и (a, m) = 1. Число a называется первообразным корнем по модулю m, если его показатель по модулю m равен ϕ(m). П РИМЕР. Пусть m = 7. Рассмотрим числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какие из данных чисел являются первообразными корнями по модулю 7? Показатель числа a будем обозначать через P (a). Вычислим показатели чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, и занесем их во вторую строку следующей таблицы a 1 2 3 4 5 6 P (a) 1 3 6 3 6 2 Ответ. Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 ровно два числа являются первообразным корнем по модулю 7. Это числа a = 3 и a = 5. По свойству показателей сравнимые числа имеют одинаковый показатель. Поэтому при нахождении первообразного корня по модулю m можно испытывать только по одному числу из класса вычетов, а сравнимые первообразные корни считать одним и тем же первообразным корнем. При этом проверяются числа только из классов, взаимно простых с модулем. Взяв в этих классах по одному числу, мы получим приведенную систему вычетов по модулю m. Установив, какие числа из нее являются первообразными корнями, мы найдем все первообразные корни по модулю m. Если m = 7, то можно испытать числа приведенной системы вычетов 1, 2, 3, 4, 5, 6, что мы уже сделали. Итак, по модулю m = 7 существует ровно два первообразных корня a = 3 и a = 5. Рассмотрим теперь m = 8. Найдем первообразные корни по модулю 8. Имеем ϕ(m) = ϕ(23 ) = 23 − 22 = 4. Рассмотрим числа из приведенной системы вычетов 1, 3, 5, 7 по модулю 8. Укажем показатели этих чисел в следующей таблице a 1 3 5 7 P (a) 1 2 2 2 Мы не обнаружили числа a с показателем ϕ(8) = 4. Поэтому не существует первообразного корни по модулю 8. Возникает следующий вопрос. Для какого числа m существует первообразный корень по модулю m? 69

Т ЕОРЕМА 14.1. Пусть m = p – простое число. Тогда существует первообразный корень по модулю m. Доказательство. Рассмотрим числа 1, 2, . . . , p−1. Под каждым числом i выпишем его показатель ni по модулю p. Получим таблицу из двух строк 1 n1

2 ... p − 1 n2 . . . np−1

(14.1)

Далее доказательство разбивается на несколько шагов. Шаг 1. Рассмотрим n = [n1 , n2 , . . . , np−1 ] – наименьшее общее кратное чисел из второй строки таблицы. Покажем, что 1) n = p − 1 или 2) n < p − 1. Любой показатель по свойству показателей 4 является делителем числа ϕ(p) = p − 1. Поэтому . p − 1 .. n1 ,

. p − 1 .. n2 ,

...,

. p − 1 .. np−1 .

По свойству НОК число p − 1 делится на НОК чисел n1 , n2 , . . . , np−1 , т.е. . p − 1 .. n. . Так как p − 1 .. n, то n 6 p − 1. Тогда n = p − 1 или n < p − 1, что и нужно. Шаг 2. Покажем, что n = p − 1. Для этого проверим, что второй случай, где n < p − 1, невозможен. Предположим противное, т.е. n < p − 1. Рассмотрим сравнение xn ≡ 1

(mod p),

и подставим вместо x число i ∈ {1, 2, . . . , p − 1}. По свойству показателей 4 справедливо сравнение in ≡ 1 (mod p), поскольку число n делится на показатель ni числа i. Итак, мы имеем p − 1 различных решений сравнения xn ≡ 1 (mod p). При этом p − 1 > n. По теореме 12.1 все коэффициенты многочлена . f (x) = xn − 1 должны делиться на p. Однако −1 6 .. p, противоречие. Итак, предположение n < p − 1 неверно, т.е. n = p − 1.

70

Шаг 3. Рассмотрим каноническое разложение числа n. Получим n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k . Покажем, что для каждого сомножителя pαi i , где i = 1, 2, . . . , k, существует число ai с показателем равным pαi i . Запишем каждое из чисел n1 , n2 , . . . , np−1 в каноническом виде, и применим правило вычисления НОК по каноническому разложению. Сформулируем это правило. mk 1 m2 Пусть a = pl11 pl22 . . . plkk и b = pm 1 p2 . . . pk . Тогда max(l1 ,m1 ) max(l2 ,m2 ) max(l ,m ) p2 . . . pk k k .

[a, b] = p1

(14.2)

Поэтому, если в правой части из (14.2) содержится сомножитель pαi i , то i он является или сомножителем plii в a, или сомножителем pm i в b. Итак, pαi i является делителем некоторого из чисел a или b. То же самое верно для НОК нескольких чисел. В нашем случае в каноническом разложении n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k для НОК чисел n1 , n2 , . . . , np−1 взят сомножитель pαi i . Тогда pαi i является делителем некоторого числа nj , т. е. nj = pαi i t. Показателем числа j является nj = pαi i t. Тогда показателем числа ai = (j)t по свойству показателей 7 является число pαi i . Итак, найдено число ai с показателем pαi i . Шаг 4. Рассмотрим произведение a = a1 a2 . . . ak , где показатель числа ai равен pαi i . Покажем, что a – искомый первообразный корень. По свойству 6 показателем числа a = a1 · · · ak будет произведение показателей сомножителей, т.е. pα1 1 pα2 2 · · · pαk k = n. Так как n = p − 1, то мы нашли число a с показателем ϕ(p) = p − 1. Поэтому a является первообразным корнем по модулю p. Теорема доказана. Т ЕОРЕМА 14.2. Первообразный корень по модулю m существует тогда и только тогда, когда выполнен один из случаев: m = pα , где p – нечетное простое число; m = 2pα , где p – нечетное простое число; m = 4. Доказательство теоремы можно найти в [4].

71

Пусть требуется определить, является ли число a первообразным корнем по модулю m. Нужно проверить, что ak 6≡ 1 (mod m) для всех k ∈ N , где k < ϕ(m). Число проверок можно уменьшить с учетом следующего утверждения. Т ЕОРЕМА 14.3 Пусть (a, m) = 1. Число a является первообразным корнем по модулю m тогда и только тогда, когда ak 6≡ 1 (mod m) для всех делителей k числа ϕ(m), отличных от ϕ(m). Доказательство. Пусть a является первообразным корнем по модулю m и k – делитель числа ϕ(m), отличный от ϕ(m). Тогда k < ϕ(m). По пункту 2) из определения первообразного корня ak 6≡ 1 (mod m). Обратно, пусть ak 6≡ 1 (mod m) для всех делителей k числа ϕ(m), отличных от ϕ(m). Если a не первообразный корень, то для показателя δ числа a имеем aδ ≡ 1 (mod m) и δ < ϕ(m). По свойству показателей 4 δ – делитель числа ϕ(m). Получили делитель k = δ числа ϕ(m), отличный от ϕ(m), для которого ak ≡ 1 (mod m), противоречие с условием. Поэтому a – первообразный корень по модулю m. Теорема доказана. Т ЕОРЕМА 14.4 . Пусть γ – первообразный корень по модулю p. Тогда числа γ 0 , γ 1 , γ 2 , . . . , γ p−2 образуют приведенную систему вычетов по модулю p. Доказательство. Применим признак приведенной системой вычетов при m = p (теорема 8.4 ). Нужно проверить, что для чисел из данной совокупности выполнены следующие три условия: 1) все числа взаимно просты с модулем p, 2) количество чисел равно ϕ(p) = p − 1, 3) все числа попарно не сравнимы по модулю p. Справедливость условия 2) очевидна. Проверим условие 1). Так как γ – первообразный корень по модулю p, то (γ, p) = 1. Отсюда (γ i , p) = 1 при i = 0, 1, . . . , p − 2. Проверим 3). Пусть δ – показатель числа γ по модулю m = p. Так как γ – первообразный корень, то δ = p − 1. По свойству показателей 2 числа γ 0 , γ 1 , γ 2 , . . . , γ p−2 попарно не сравнимы по модулю p. Теорема доказана.

72

Лекция 15. Индексы. Свойства индексов. Введем понятие индекса, во многом аналогичное понятию логарифма. Рассмотрим модуль m = p, где p – простое число. По теореме 14.1 существует первообразный корень γ по модулю p. Рассмотрим p − 1 чисел γ 0 , γ 1 , γ 2 , . . . , γ p−2 .

(15.1)

По предыдущей теореме эти числа образуют приведенную систему вычетов по модулю p. Пусть a ∈ Z и a не делится на p. Тогда a взаимно просто с p и a содержится в некотором классе, взаимно простом с модулем p. В этом же классе содержится ровно одно число из приведенной системы вычетов (15.1). Поэтому существует такое число k, что a ≡ γ k (mod p). Будем называть число γ основанием системы индексов. О ПРЕДЕЛЕНИЕ 15.1. Число k > 0 называется индексом числа a по модулю p при основании γ, если γk ≡ a

(15.2)

(mod p).

Таким образом, индекс числа a – это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить число, сравнимое с данным числом a. Индекс числа a при основании γ обозначаем через ind γ a или через ind a, если ясно, о каком основании идет речь. Поэтому γ ind γ a ≡ a

(mod p).

(15.3)

Аналогично определяется индекс по модулю m в случае когда m = pα , m = 2pα , где p > 2 – простое число; или m = 4. Однако мы ограничимся далее случаем простого модуля. Определение индекса аналогично определению логарифма, однако индекс определен неоднозначно. Допустим, что для некоторого числа k1 имеется запись k1 = ind γ a. Это означает a ≡ γ k1 (mod p). Рассмотрим возможность другой записи a ≡ γ k2 (mod p). Имеем γ k1 ≡ γ k2

(mod p) ⇔ k1 ≡ k2

(mod p − 1).

(15.4)

Поэтому любое число k2 > 0, сравнимое с индексом k1 по модулю p − 1, также индекс данного числа a. Обычно в качестве индекса будем указывать одно из чисел 0, 1, 2, . . . , p − 2. 73

Пусть m = 7. Существуют два первообразных корня γ = 3 и γ = 5. П РИМЕР. Найти индекс числа 4 при основании γ = 5. Р ЕШЕНИЕ . Подбором найдем число k с условием 5k ≡ 4 (mod 7)). Имеем 52 ≡ 4 (mod 7)). Поэтому ind 5 4 = 2. Рассмотрим в качестве основания индексов некоторый первообразный корень γ по модулю p. Справедливы следующие свойства индексов. С ВОЙСТВО 1 . Два числа a1 и a2 сравнимы по модулю p, тогда и только тогда, когда их индексы сравнимы по модулю p − 1. Доказательство. Обозначим ind γ a1 = k1 , ind γ a2 = k2 . По определению индекса γ k1 ≡ a1 (mod p) и γ k2 ≡ a2 (mod p). В равносильности (15.4) заменим γ k на a1 и γ l на a2 . Получим a1 ≡ a2

(mod p) ⇔ ind γ a1 ≡ ind γ a2

(mod p − 1),

(15.5)

что и нужно. С ВОЙСТВО 2. Справедливы следующие утверждения: а) ind γ (a1 a2 · · · ak ) ≡ ind γ a1 + ind γ a2 + · · · + ind γ ak (mod p − 1), б) ind γ ak ≡ k · ind γ a (mod p − 1). Аналогичное свойство справедливо для логарифма: логарифм от произведения равен сумме логарифмов, показатель степени выносится за знак логарифма. В нашем случае знак равенства « = » заменяется на знак сравнимости « ≡ ». Докажем а). По определению индекса справедливы сравнения γ ind γ a1 ≡ a1 (mod p) γ ind γ a2 ≡ a2 (mod p) ··· ind γ ak γ ≡ ak (mod p).

(15.6)

Умножив почленно данные сравнения, получим γ ind γ a1 +ind γ a2 +···+ind γ ak ≡ a1 a2 · · · ak

(mod p).

(15.7)

Это сравнение означает, что ind γ a1 + ind γ a2 + · · · + ind γ ak есть индекс числа a1 a2 · · · ak при основании γ, что и утверждается в пункте а). Пункт б) следует из пункта а) при a1 = a2 = . . . = ak = a. 74

Решение сравнений с помощью таблицы индексов. Рассмотрим применение индексов к решению сравнений. Для этого нам потребуются таблицы индексов для определенных значений p. Впервые таблицы индексов для всех простых модулей p 6 200 составил в 1837 г. академик М.В. Остроградский. Найдем таблицу индексов по модулю p = 13 при основании γ = 2. Для этого возводим основание γ = 2 в степени с показателями, равными 0, 1, . . . , 11. Получаем ряд сравнений, где каждое последующее сравнение может быть получено из предыдущего умножением на число 2. 20 23 26 29

≡ 1, 21 ≡ 2, 22 ≡ 4, ≡ 8, 24 ≡ 3, 25 ≡ 6 ≡ 12, 27 ≡ 11, 28 ≡ 9, ≡ 5, 210 ≡ 10, 211 ≡ 7.

(mod 13),

После этого заполняем таблицу индексов по модулю 13 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 4 2 9 5 11 3 8 1 10 7 6 Чтобы найти, например, индекс числа 12, рассматриваем строку с номером 1 и столбец номером 2. На пересечении находим индекс, равный 6. Если известен индекс числа, то само число можно найти по таблице индексов. Однако удобнее воспользоваться другой таблицей I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 4 8 3 6 12 11 9 5 1 10 7 Эта таблица по индексу восстанавливает число. Допустим, что индекс некоторого числа x равен 6. По таблице находим x = 12. Рассмотрим три вида сравнений, которые можно решить с помощью таблицы индексов. При этом используется основание γ, по которому составлены таблицы индексов. Вместо ind γ a записываем для краткости ind a. 75

П РИМЕР 1. Решить сравнение первой степени 5x ≡ 2

(mod 13).

(15.8)

По свойству 1 из свойств индексов числа 5x и 2 сравнимы по модулю p = 13 тогда и только тогда, когда их индексы сравнимы по модулю p − 1 = 12. Запишем сравнимость индексов чисел 5x и 2. Получим ind (5x) ≡ ind 2 ind 5 + ind x ≡ ind 2

(mod 12), (mod 12).

При этом учтен пункт а) свойства 2. Подставляя значения индексов из таблицы индексов по модулю 13, получим сравнения 9 + ind x ≡ 1 (mod 12), ind x ≡ −8 (mod 12), ind x ≡ 4 (mod 12). По полученному индексу 4 из второй таблицы находим, что x = 3. Ответ x ≡ 3 (mod 13). Данное сравнение можно было решить и другими методами, однако два следующих сравнения мы сможем решить только с помощью индексов. П РИМЕР 2. Решить степенное сравнение 5x7 ≡ 1

(mod 13).

(15.9)

Индексируя сравнение, получаем ind 5 + 7 ind x ≡ ind 1 (mod 12), 9 + 7 ind x ≡ 0 (mod 12), 7 ind x ≡ −9 (mod 12), 7 ind x ≡ 3 (mod 12). Обозначим y = ind x. Тогда 7y ≡ 3 (mod 12). Подбором находим y ≡ 9 (mod 12), т.е. ind x ≡ 9 (mod 12). Отсюда x ≡ 5 (mod 13). Ответ x ≡ 5 (mod 13).

76

П РИМЕР 3. Решить показательное сравнение 2 · 3x ≡ 7

(mod 13).

(15.10)

Индексируя сравнение, получим ind 2 + x ind 3 ≡ ind 7 (mod 12), 1 + 4x ≡ 11 (mod 12), 4x ≡ 10 (mod 12). . Поскольку (4, 12) = 4 и 10 6 .. 4, то сравнение 4x ≡ 10 (mod 12) неразрешимо. Поэтому и исходное сравнение неразрешимо. Ответ. Сравнение не имеет решений.

77

Лекция 16. Системы счисления. Рассмотрим некоторые арифметические приложения теории сравнений. Для записи натуральных чисел обычно применяется десятичная система счисления. При этом используется десять цифр 0, 1, . . . , 9. Рассмотрим, например, число a = 23759. Тогда a = 2 · 104 + 3 · 103 + 7 · 102 + 5 · 10 + 9. Каждая цифра в зависимости от позиции указывает число единиц, десятков, сотен и т.д. Мы имеем позиционную систему счисления. Вместо десятичной системы счисления можно рассматривать g-ичную систему счисления, где g ∈ N и g > 1. В этом случае мы будем записывать натуральное число a в виде a = an · g n + an−1 · g n−1 + . . . + a1 · g + a0 ,

(16.1)

где 0 6 ai < g. Числа an , an−1 , . . . , a1 , a0 – цифры, изображающие число a. В случае g = 2 получим двоичную систему счисления с цифрами 0, 1, при g = 8 – восьмиричную, при g = 16 – шестнадцатиричную. В последнем случае цифрами будут символы 0, 1, . . . , 9, A, B, C, D, E, F . При этом цифры A, B, C, D, E, F обозначают соответственно числа 10, 11, 12, 13, 14, 15. П РИМЕР. Дано число a = 1B5 в системе счисления с основанием 16. Чтобы указать на шестнадцатиричную систему счисления, записываем a = 1B516 . Записать число a = 1B516 в десятичной системе счисления. Решение. Имеем a = 1 · 162 + 11 · 16 + 5 = 43710 . Т ЕОРЕМА 16.1. Всякое натуральное число a единственным способом записывается в g-ичной системе счисления. Доказательство. Установим существование записи. Разделим число a на основание системы счисления g. Получим a = a0 · g + a0 ,

(16.2)

где a0 – частное, a0 – остаток от деления a на g. По признаку остатка имеем 0 6 a0 < g. Поэтому рассматриваем a0 как g-ичную цифру. Далее делим a0 на g, получаем a0 = a00 · g + a1 . Подставим эту запись в (16.2). Тогда a = a00 · g 2 + a1 · g + a0 . (16.3) 78

Далее делим a00 на g, подставляем в (16.3) и т.д. Поскольку числа a0 , a00 , . . . убывают, то процесс оборвется на некотором an , где 0 < an < g. Получим равенство (16.1). Оно означает, что число a имеет следующую запись в g-ичной системе счисления: a = ( an an−1 . . . a1 a0 )g . Докажем единственность записи. Пусть число a двумя способами записано в g-ичной системе счисления, т.е. наряду с записью (16.1), есть еще одна запись a = bm · g m + · · · + b1 · g + b0 . (16.4) Нужно проверить, что a0 = b0 , a1 = b1 , . . . Из (16.1) и (16.4) имеем a = g · a0 + a0 и a = g · b 0 + b 0 ,

(16.5)

где 0 6 a0 < g и 0 6 b0 < g Поэтому, как число a0 , так и число b0 – можно считать остатком от деления a на g. Поскольку остаток определен однозначно, то a0 = b0 . Приравняем записи в (16.1) и (16.4), сократим на a0 = b0 , разделим на g и повторим рассуждение. Получим a1 = b1 и т.д. Теорема доказана. Признаки делимости. Из школьного курса математики хорошо известны следующие признаки делимости на 2, 3 и 9. Число a делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2. Число a делится на 3 (делится на 9) тогда и только тогда, когда сумма цифр числа a делится на 3 (делится на 9). С помощью теории сравнений легко получить эти и другие признаки делимости. Пусть требуется найти признак делимости числа a на число m. . Если a .. m, то на языка делимости выражаем этот факт следующими словами: 1) число a делится на число m. То же самое можно выразить на языке сравнений в виде записи a ≡ 0 (mod m), или в виде фразы: 2) число a сравнимо с нулем по модулю m. С помощью такого перехода с языка делимости на язык сравнений легко получаются признаки делимости. Выведем, например, признак делимости на 9. 79

Т ЕОРЕМА 16.2. Число a делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа a делится на 9. Доказательство. Имеем запись числа a = (an . . . a1 a0 )10 , т.е. a = an · 10n + · · · + a1 · 10 + a0 . То, что нужно доказать на языке делимости записывается в виде . . a .. 9 ⇔ (an + · · · + a1 + a0 ) .. 9.

(16.6)

То же самое на языке сравнений имеет вид a≡0

(mod 9) ⇔ (an + · · · + a1 + a0 ) ≡ 0

(mod 9).

(16.7)

Рассмотрим очевидные сравнения 1 ≡ 1 10 ≡ 1 102 ≡ 1 ... n 10 ≡ 1.

(mod 9)

Умножаем первое сравнение на a0 , второе на a1 и т.д. Просуммировав получим a ≡ an + · · · + a1 + a0 (mod 9). . Отсюда a .. 9 ⇔ a ≡ 0 (mod 9) ⇔ an + · · · + a1 + a0 ≡ 0 (mod 9) ⇔ . (an + · · · + a1 + a0 ) .. 9, что и нужно. Аналогично получим признак делимости на m = 11. Рассмотрим число a = (an . . . a1 a0 )10 , и просматриваем его цифры от a0 к an . Тогда S = a0 + a2 + a4 + . . . сумма цифр числа a, стоящих на нечетных местах, S 1 = a1 + a3 + a5 + . . . сумма цифр стоящих на четных места. Т ЕОРЕМА 16.3 . Число a делится на 11 тогда и только тогда, когда S − S1 делится на 11, т.е.  . . a .. 11 ⇔ (a0 + a2 + a4 + . . . ) − (a1 + a3 + a5 + . . . ) .. 11. 80

Доказательство. Имеем a = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a3 · 103 + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 и 1 10 102 103 104

≡ 1 ≡ −1 ≡ 1 ≡ −1 ≡ 1 ...

(mod 11)

Умножим первое сравнение в на a0 , второе – на a1 и т.д. Суммируя получаем a ≡ (a0 + a2 + a4 + . . . ) − (a1 + a3 + a5 + . . . )

(mod 11).

. . Тогда a .. 11 ⇔ a ≡ 0 (mod 11) ⇔ S − S1 ≡ 0 (mod 11) ⇔ S − S1 .. 11, что и нужно. Теорема доказана. Рассмотрим более сложный признак делимости на 37. Рассмотрим следующие сравнения 1 10 102 103 104 105

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ...

1 10 26 1 10 26

(mod 37)

Умножим сравнения на числа a0 , a1 , и т.д. и просуммируем. Получим, что для числа S = a0 + 10 · a1 + 26 · a2 + a3 + 10 · a4 + 26 · a5 + . . . выполнено сравнение a ≡ S (mod 37). Т ЕОРЕМА 16.4 . Число a делится на 37 тогда и только тогда, когда сумма S делится на 37. Доказательство. Из сравнения a ≡ S (mod 37) имеем равносильности .. . a . 37 ⇔ a ≡ 0 (mod 37) ⇔ S ≡ 0 (mod 37) ⇔ S .. 37, что и нужно. Теорема доказана. Рассмотренный метод получения признаков делимости предложен французским математиком Б. Паскалем. 81

Лекция 17. Запись рациональных чисел в виде десятичной дроби. В курсе «Числовые системы» [8, лекция 12] рассматривается теория десятичных дробей. Каждому действительному числу ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь, изображающая это число. Любое действительное число единственным способом изображается десятичной дробью без 9 в периоде. Если число α отрицательно, т.е. α = −β, где β > 0, то десятичная дробь для числа α получается из десятичной дроби для β приписыванием знака минус. Поэтому, далее считаем, что α > 0. Процесс получения десятичной дроби для рациональных чисел известен из школьного курса как «способ деления уголком». Рассмотрим a примеры такого деления для рационального числа , где a, b ∈ Z и b a, b > 0. 3 П РИМЕР 1. Найти десятичную дробь для числа . 4 Применив способ деления уголком, получим 3 4 30 0, 75 28 20 20 0 3 = 0, 75. 4 2 П РИМЕР 2. Найти десятичную дробь для числа . 3 Применив способ деления уголком, в этом случае получаем В результате имеем следующую запись

2 3 20 0, 66 18 20 18 2

82

После запятой бесконечно повторяется цифра 6. Имеем запись 2 = 0, 66 . . . . 3 5 П РИМЕР 3. Найти десятичную дробь для числа . В этом случае по6 лучаем 5 6 50 0, 833 48 2 18 2 5 Тогда = 0, 833 . . . 6 Итак, мы привели три различных случая для записи рационального числа в виде десятичной дроби. В первом примере после некоторой позиции все цифры дроби равны нулю, мы опускаем эти цифры в записи числа. Такую дробь назовем конечной десятичной дробью. Во втором примере все цифры после запятой образованы группой из l цифр, которая повторяется до бесконечности. Такую дробь называем чистой периодической дробью, а группу из данных l цифр называем периодом длины l данной дроби. При наименьшем l получим наименьший период. В примере 2 имеем l = 1. В третьем примере цифры после запятой также образованы бесконечно повторяющимся набором из l цифр – периодом, однако период начинается не с первой цифры после запятой. Такую дробь называем смешанной периодической дробью, Цифры, не входящие в период, образуют предпериод. При наименьшем l получим наименьший предпериод дроби и его длину l. В нашем случае наименьший предпериод состоит из цифры 8 и его длина равна 1. Рассмотрим еще три примера: а) α = 0, 1212; б) α = 0, 351212 . . . ; в) α = 0, 234234234 . . . . В случае а) имеется конечная дробь; в случае б) – смешанная периодическая дробь с предпериодом, равным 35. В случае в) имеется чистая периодическая дробь с наименьшим периодом 234 длины 3. 83

Рассмотрим, при каких условиях возможны рассмотренные случаи. a Пусть α = . Если (a, b) > 1, то сократим числитель a и знаменатель b на b a d = (a, b). Поэтому далее рассматриваем только несократимые дроби . b Запишем знаменатель b в виде произведения b = b0 b1 , где b0 – произведение всех сомножителей из канонического разложения числа b, которые равны 2 или 5; b1 – произведение остальных сомножителей. Получим b = (2k 5l ) · b1 , где (b1 , 10) = 1.

(17.1)

Возможен ровно один из трех случаев. 1. b1 = 1, т.е. b = 2k 5l ; 2. b1 6= 1 и b0 = 1, т.е. (b, 10) = 1; 3. b1 6= 1 и b0 6= 1. Рассмотрим вначале случай 1. a – несократимая дробь и знаменаb тель b имеет вид 2k 5l для некоторых k, l > 0. Тогда число α представимо в виде конечной десятичной дроби. Т ЕОРЕМА 17.1. Пусть α =

Доказательство. Считаем вначале, что k > l. Домножим числитель и a a1 знаменатель дроби α = k l на 5k−l . Получим α = k , где a1 = a5k−l . 2 5 10 Запишем число a1 в системе счисления с основанием 10 a1 = rn · 10n + · · · + rk · 10k + rk−1 · 10k−1 + . . . + r0 . При делении на 10k получим α=

a1 r0 rk−1 n−k = (r · 10 + . . . + r ) + + . . . + . n k 10k 10 10k

(17.2)

Обозначим r = rn · 10n−k + . . . + rk = (rn . . . rk )10 . Равенство (17.2) означает, что α представлена в виде конечной десятичной дроби: a = r, rk−1 . . . r0 , b в которой r целых, rk−1 десятых, rk−2 сотых и т.д. Случай l > k аналогичен. Теорема доказана. 84

Рассмотрим случай 2), где (b, 10) = 1. a Т ЕОРЕМА 17.2. Пусть α = – несократимая дробь и знаменаb тель b > 1 взаимно прост с числом 10. Тогда число α представимо в виде чистой периодической десятичной дроби. При этом длина наименьшего периода равна показателю числа 10 по модулю b. a Доказательство. Пусть дана дробь > 0, где (a, b) = 1 и знаменатель b b взаимно прост с 10. Запишем a = bq + r с частным q и остатком r, где a r 0 < r < b. Имеем (r, b) = (a, b) = 1 и = q + . Цифры числа q не влияют b ab r на период. Заменим в рассуждениях дробь на дробь . Поэтому можно b b a считать, что 0 < < 1. b a a Рассмотрим процесс «деления уголком» для числа . Так как < 1, b b то a < b. При первом делении a на b записываем 0 целых, умножаем число a на 10 и делим 10a на b. Затем полученный остаток r1 умножаем на 10, делим на b, получем остаток r2 , который снова умножаем на 10 и т.д. Получаем систему равенств 10a = bq1 + r1 10r1 = bq2 + r2 10r2 = bq3 + r3 ...

(17.3)

Из этих равенств получаем следующие сравнения по модулю b. При этом добавлено очевидное сравнение 100 a ≡ a (mod b). 100 a 101 a 102 a 103 a

≡ ≡ ≡ ≡ ... l 10 a ≡ ...

a r1 r2 r3

(mod b) (17.4)

rl

Если q1 > 10, то 10a = bq1 + r1 > 10b и a > b, противоречие. Поэтому 0 6 q1 < 10, т.е. q1 – первая цифра после запятой. Аналогично q2 – первая цифра после запятой и т.д. 85

Пусть показатель числа 10 по модулю b равен l. Тогда 10l ≡ 1 (mod b). Вместо сравнения 10l a ≡ rl запишем a ≡ rl (mod b). Так как 0 < a, rl < b и a ≡ rl (mod b), то a = rl . Получили, что число rl повторяет исходное число a. Следующим деление– это деление 10rl на b т.е. деление 10a на b. Можно считать, что вернулись к ситуации первого деления. Поэтому как частные q1 , q2 , . . . , ql , так и остатки r1 , r2 , . . . , rl неограниченно повторяются. a Получаем, что – чистая периодическая дробь с периодом q1 , q2 , . . . , ql b длины l. Установим, что l – длина наименьшего периода. Пусть α представлено в виде десятичной дроби с периодом m < l, т.е. α = 0, q1 . . . qm q1 . . . qm . . . . | {z } | {z } | {z } m

m

(17.5)

m

Рассмотрим число c, изображаемое цифрами q1 , . . . , qm , т.е. c = q1 · 10m−1 + · · · + 10 · qm−1 + qm . Для q = 10m имеем

c c c + 2 + 3 + ... q q q Число α есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии c 1 с первым членом b1 = и знаменателем . Тогда q q c c q α= = . 1 q−1 1− q a c . Отсюда = , a · (q − 1) = bc, a · (10m − 1) .. b. По условию (a, b) = 1, b q−1 т.е. . 10m − 1 .. b и 10m ≡ 1 (mod b). α=

Получили сравнение 10m ≡ 1 (mod b), где m < l, противоречие с тем, что l – показатель числа 10 по модулю b. Поэтому периода длины l < m не существует. Теорема доказана. a З АМЕЧАНИЕ. Справедливо и обратное утверждение. Пусть α = – b несократимая дробь и представима в виде чистой периодической десятичной дроби. Тогда знаменатель b > 1 взаимно прост с числом 10. 86

Доказательство самостоятельно. Нужно повторить рассуждения " после равенства (17.5). Рассмотрим теперь третью возможность для вида десятичной дроби, где b0 > 1 и b1 > 1. a Т ЕОРЕМА 17.3. Пусть α = – несократимая дробь и b b = 2α 5β b1 ,

где

2α 5β > 1, b1 > 1 и (b1 , 10) = 1.

Тогда число α представимо в виде смешанной периодической десятичной дроби. Длина наименьшего периода равна показателю числа 10 по модулю b1 . Длина наименьшего предпериода равна max(α, β). 10γ a , и соДоказательство. Пусть γ = max (α, β). Рассмотрим дробь b кратим числитель и знаменатель этой дроби на 2α 5β . Получим несократимую дробь a1 2γ−α 5γ−β a = . (17.6) b1 b1 Знаменатель b1 взаимно прост с числом 10. По предыдущей теореме дробь a1 представима в виде чистой периодической дроби с наименьшим периb1 одом длины n, где n– показатель числа b1 по модулю 10. Дробь, изобa1 ражающая число имеет некоторую группу цифр до запятой sm . . . s0 , b1 а цифры после запятой образованы бесконечно повторяющейся группой цифр периода q1 q2 . . . qn a1 = sm . . . s0 , q1 q2 . . . qn q1 q2 . . . qn . . . . (17.7) | {z } | {z } b1 a a1 Число получается из делением на 10γ . Для этого запятую в десятичb b1 ной дроби (17.7) нужно перенести на γ цифр влево. Получим a = sm . . . , sγ−1 . . . s1 s0 q1 q2 . . . qn q1 q2 . . . qn . . . . | {z }| {z } | {z } b период

предпериод

После запятой, до начала цифр периода расположен предпериод sγ−1 . . . s1 s0 длины γ = max(α, β). 87

Осталось проверить, что невозможен меньший предпериод. Допустим, a что существует предпериод длины δ < γ. Умножим дробь на 10δ . b 10δ a исЗапятая перенесется на δ разрядов вправо. В полученной дроби b чезнет предпериод, и она будет чистой периодической дробью. Сокра10δ a a2 тим дробь . Получим несократимую чистую периодической дробь . b b2 δ Если α = max (α, β), то число двоек в 10 меньше, чем число число двоек 10δ a . Поэтому при переходе к сокращенной дроби в знаменателе b дроби b a2 в знаменателе b сократятся не все простые числа 2. При β = max (α, β) b2 в b сократятся не все простые числа 5. В обоих случаях (b2 , 10) > 1. a2 Для несократимой, чистой периодической дроби имеем (b2 , 10) > 1, b2 противоречие. Поэтому предпериода длины δ < γ не существует. Теорема доказана.

Индивидуальные домашние задания по теории чисел. В данном разделе представлен банк типовых вычислительных задач по теории чисел. Каждая задача представлена в 200 вариантах. Вначале дается формулировка задачи, а затем конкретные значения параметров каждого варианта. Задачи получены с помощью компьютерной программы GAP, причем контролировались трудоемкость выкладок и результаты промежуточных вычислений.

88

Задача 1. Используя алгоритм Евклида, найти НОД чисел a и b. a

b

a

b

a

b

a

b

1. 24648, 2720

29. 5502, 1350

57. 6522, 3132

85. 45366, 5634

2. 8688, 1074

30. 50694, 8376

58. 15520, 2195

86. 25348, 3148

3. 22666, 3745

31. 4732, 586

59. 3471, 1689

87. 7748, 3764

4. 3609, 890

32. 24344, 4016

60. 42774, 4722

88. 3155, 1515

5. 7722, 3738

33. 1049, 257

61. 29970, 9819

89. 60184, 9944

6. 14560, 3591

34. 5943, 2870

62. 957, 465

90. 4478, 635

7. 22477, 2478

35. 9886, 1222

63. 5298, 870

91. 7797, 1287

8. 7162, 790

36. 3712, 409

64. 18565, 2295

9. 2439, 403

37. 15285, 1683

65. 3758, 620

10. 1775, 865

38. 11520, 3745

66. 21080, 2328

11. 15954, 3156

39. 6485, 1070

67. 4917, 696

12. 4554, 2220

40. 2495, 810

68. 3785, 536

13. 11288, 2224

41. 26910, 5316

69. 2308, 752

14. 4964, 980

42. 8684, 1426

70. 2471, 609

15. 12615, 1565

43. 40146, 6618

71. 5840, 1896

16. 23416, 2580

44. 1479, 363

72. 22383, 4410

17. 13176, 1629

45. 21843, 3096

73. 20392, 2252

18. 3216, 788

46. 4124, 678

74. 568, 185

19. 6207, 768

47. 3040, 996

75. 4249, 1379

20. 9388, 1036

48. 1790, 253

76. 14128, 1748

21. 9340, 1835

49. 1334, 189

77. 8181, 2016

22. 18064, 2980

50. 31486, 6195

78. 2472, 307

105. 2264, 1100

23. 17199, 4230

51. 4887, 1596

79. 9864, 3232

106. 3970, 492

24. 19180, 2375

52. 12664, 2488

80. 15544, 1716

107. 8775, 1089

25. 18067, 3563

53. 12245, 1515

81. 16068, 2274

108. 14476, 6951

26. 47637, 6732

54. 4887, 805

82. 20888, 3448

109. 12187, 2401

27. 9606, 1059

55. 16890, 3339

83. 2190, 433

110. 11543, 2842

28. 18536, 4571

56. 31098, 5118

84. 3054, 747

111. 3233, 456

92. 17739, 2928 93. 17288, 4256 94. 3936, 434 95. 2796, 687 96. 23238, 2886 97. 11616, 2298 98. 8099, 1148

89

99. 16335, 3222 100. 10060, 1652 101. 4042, 502 102. 4168, 2028 103. 40760, 4488 104. 14764, 2088

112. 2410, 1164

135. 15145, 2500

158. 2588, 512

181. 18008, 2540

113. 4852, 1192

136. 7280, 1032

159. 3717, 909

182. 1162, 144

114. 11580, 1437

137. 12570, 1384

160. 5482, 680

183. 47586, 5243

115. 27918, 4599

138. 1628, 400

161. 18273, 2586

116. 12861, 1596

139. 8792, 1090

162. 1017, 330

117. 1318, 260

140. 13473, 1908

163. 33957, 4212

118. 21616, 4263

141. 5095, 1250

164. 10146, 4944

119. 5943, 2870

142. 3698, 608

165. 13194, 2180

120. 6986, 1379

143. 2604, 1263

166. 3282, 1065

188. 5204, 1024

121. 14912, 2948

144. 6990, 3384

167. 5804, 2828

189. 13370, 4361

122. 19962, 3933

145. 2770, 905

168. 21825, 5382

190. 32249, 4571

123. 13095, 6381

146. 882, 422

169. 10479, 5047

191. 13420, 1666

124. 10493, 1484

147. 7644, 1083

170. 6102, 1006

125. 5192, 1696

148. 2946, 1410

171. 31265, 5150

126. 699, 171

149. 3195, 1557

172. 18137, 3577

127. 31423, 7728

150. 6950, 1145

173. 29322, 4830

128. 28328, 4000

151. 3004, 980

174. 12510, 2066

129. 6560, 1604

152. 3436, 1112

175. 3396, 479

196. 17632, 2498

130. 18784, 2072

153. 7957, 879

176. 34168, 5640

197. 9320, 4512

131. 17013, 2811

154. 10325, 2548

177. 1142, 225

198. 6540, 925

132. 4907, 1211

155. 3031, 1477

178. 11704, 2317

199. 9940, 1407

133. 16975, 4158

156. 9336, 3056

179. 4075, 505

134. 7335, 1210

157. 5670, 1114

180. 19818, 3912

184. 3462, 1680 185. 1120, 158 186. 8346, 1032 187. 13614, 4446

192. 1734, 424 193. 2126, 524 194. 2204, 544 195. 1615, 395

200. 6513, 807

Задача 2. Найти НОД трех чисел a, b, c. a

b

c

a

b

c

1. 8046, 1974, 104

6. 5734, 812, 120

2. 2428, 788, 120

7. 5622, 2700, 102

3. 4922, 812, 100

8. 780, 376, 104

4. 3492, 688, 100

9. 15110, 2140, 106

5. 2916, 944, 106

10. 6798, 960, 105

90

a

b

c

11. 10746, 2640, 120 12. 16330, 2690, 100 13. 1766, 290, 100 14. 28530, 4040, 102

15. 1778, 292, 106

45. 19020, 2690, 105

75. 8088, 2634, 106

16. 7806, 1104, 120

46. 2794, 552, 102

76. 3970, 974, 100

17. 1714, 422, 106

47. 6040, 1970, 105

77. 2676, 870, 120

18. 1886, 612, 105

48. 636, 206, 104

78. 1652, 404, 106

19. 9234, 2262, 100

49. 12890, 4210, 104

79. 8088, 2634, 105

20. 2718, 888, 120

50. 1220, 584, 120

80. 808, 114, 106

21. 6972, 2262, 100

51. 19020, 2690, 120

81. 2716, 668, 120

22. 9196, 1516, 106

52. 1482, 480, 100

82. 9670, 1590, 100

23. 3290, 1580, 102

53. 5188, 1276, 100

83. 19160, 3770, 105

24. 1744, 246, 100

54. 3072, 1002, 104

84. 7400, 1810, 120

25. 13524, 1914, 106

55. 5592, 1374, 105

85. 1536, 738, 104

26. 6362, 1048, 120

56. 4532, 640, 120

86. 3732, 736, 100

27. 1144, 372, 105

57. 2372, 390, 120

87. 2422, 790, 105

28. 442, 214, 104

58. 2648, 652, 105

88. 3290, 1580, 120

29. 6806, 1122, 100

59. 12130, 2980, 102

89. 4876, 804, 120

30. 12270, 2420, 100

60. 10810, 2130, 106

90. 15630, 2570, 100

31. 28420, 5610, 120

61. 15020, 3690, 102

91. 2840, 402, 100

32. 5570, 1370, 104

62. 8140, 1152, 100

92. 4262, 842, 106

33. 10600, 2610, 100

63. 5140, 848, 102

93. 3488, 492, 106

34. 4360, 716, 104

64. 2284, 450, 120

94. 386, 186, 120

35. 5226, 738, 102

65. 1322, 640, 104

95. 28510, 4700, 106

36. 2788, 684, 120

66. 2084, 294, 120

96. 16062, 2268, 120

37. 4902, 1206, 104

67. 6006, 1182, 100

97. 5204, 736, 120

38. 10614, 1500, 106

68. 5208, 1686, 104

98. 6198, 3006, 120

39. 8080, 1330, 120

69. 15654, 2214, 120

99. 7740, 1276, 100

40. 3512, 692, 102

70. 3662, 1196, 120

100. 6430, 2100, 106

41. 1636, 532, 120

71. 2676, 870, 105

101. 7930, 1120, 102

42. 3668, 900, 120

72. 6904, 1364, 100

102. 2308, 456, 104

43. 8814, 1452, 120

73. 2002, 394, 100

103. 4110, 1010, 100

44. 8886, 1746, 102

74. 970, 238, 100

104. 1798, 582, 100

91

105. 5650, 1390, 120

138. 5910, 972, 100

171. 1934, 318, 104

106. 10730, 2120, 100

139. 11190, 1580, 105

172. 19600, 2770, 104

107. 11836, 1948, 105

140. 4896, 2370, 104

173. 4070, 1970, 100

108. 1988, 328, 100

141. 1736, 426, 100

174. 552, 266, 105

109. 1734, 424, 106

142. 2016, 978, 106

110. 3110, 1490, 106

143. 1514, 372, 106

111. 1014, 492, 105

144. 7764, 1280, 102

112. 2938, 484, 120

145. 4208, 1036, 120

113. 5680, 1850, 104

146. 4272, 844, 100

114. 2016, 978, 104

147. 5684, 1122, 102

115. 9720, 1910, 106

148. 442, 214, 105

116. 766, 370, 100

149. 1756, 572, 100

181. 7210, 2340, 120

117. 9426, 1554, 120

150. 8830, 1450, 106

182. 10208, 1684, 104

118. 10920, 1542, 100

151. 20560, 2910, 100

183. 15030, 2120, 104

119. 1298, 318, 106

152. 11520, 2274, 100

184. 11526, 2268, 105

120. 18430, 2610, 104

153. 1830, 876, 120

185. 8730, 1720, 104

121. 4734, 780, 120

154. 13758, 2262, 120

186. 3552, 700, 105

122. 3892, 640, 100

155. 3204, 788, 105

187. 2246, 370, 105

123. 10810, 1530, 105

156. 21070, 2980, 100

124. 6558, 2136, 106

157. 10440, 3410, 120

125. 536, 174, 102

158. 4252, 700, 104

126. 16360, 2310, 120

159. 10350, 5020, 102

127. 1474, 712, 100

160. 2886, 474, 106

128. 1058, 174, 102

161. 2308, 456, 105

129. 16730, 2360, 120

162. 7650, 1880, 106

130. 4044, 572, 120

163. 2810, 462, 105

194. 1698, 818, 104

131. 4636, 2244, 106

164. 6790, 1670, 102

195. 4146, 684, 120

132. 2790, 1340, 120

165. 9170, 2250, 106

196. 3310, 1080, 105

133. 5370, 882, 105

166. 2596, 848, 102

197. 1324, 432, 120

134. 2556, 834, 104

167. 4288, 1388, 105

198. 5540, 1364, 102

135. 8120, 1150, 102

168. 2022, 974, 105

199. 8080, 1330, 106

136. 2532, 822, 120

169. 4090, 808, 102

137. 17118, 2424, 104

170. 2552, 826, 106

92

175. 16746, 2370, 104 176. 1092, 268, 100 177. 22990, 3780, 120 178. 2886, 474, 105 179. 1446, 238, 104 180. 9730, 4710, 102

188. 3332, 1616, 106 189. 4890, 804, 100 190. 1598, 522, 104 191. 2682, 658, 104 192. 4810, 2310, 100 193. 2526, 618, 104

200. 8286, 1170, 120

Задача 3. Записать НОД чисел a и b в линейной форме. a

b

a

b

a

b

a

b

1. 460, 188

29. 884, 360

57. 908, 368

85. 476, 192

2. 396, 160

30. 556, 224

58. 385, 160

86. 365, 150

3. 685, 285

31. 790, 325

59. 700, 285

87. 445, 180

4. 665, 270

32. 965, 390

60. 945, 380

88. 966, 402

5. 462, 192

33. 744, 306

61. 840, 342

89. 654, 264

6. 474, 192

34. 894, 360

62. 392, 161

90. 740, 308

7. 404, 168

35. 980, 408

63. 284, 116

91. 668, 272

8. 724, 296

36. 404, 164

64. 692, 280

9. 960, 388

37. 884, 356

65. 565, 235

10. 865, 360

38. 355, 145

66. 345, 140

11. 395, 160

39. 595, 240

67. 318, 132

12. 678, 282

40. 294, 120

68. 798, 324

13. 534, 216

41. 371, 154

69. 308, 128

14. 548, 228

42. 428, 176

70. 548, 224

15. 988, 404

43. 788, 320

71. 584, 236

16. 852, 344

44. 676, 272

72. 745, 310

17. 280, 115

45. 685, 280

73. 825, 335

18. 950, 385

46. 955, 385

74. 534, 222

19. 894, 372

47. 690, 282

75. 696, 282

20. 876, 354

48. 623, 259

76. 452, 188

21. 692, 288

49. 632, 260

77. 812, 332

22. 560, 228

50. 464, 188

78. 436, 176

105. 532, 216

23. 932, 376

51. 796, 320

79. 925, 385

106. 636, 256

24. 535, 220

52. 295, 120

80. 580, 235

107. 465, 190

25. 865, 350

53. 795, 320

81. 750, 312

108. 880, 355

26. 438, 180

54. 354, 144

82. 786, 318

109. 426, 174

27. 714, 288

55. 875, 364

83. 596, 248

110. 455, 189

28. 836, 348

56. 836, 344

84. 344, 140

111. 496, 204

92. 516, 208 93. 620, 255 94. 495, 200 95. 540, 222 96. 774, 312 97. 884, 368 98. 992, 404

93

99. 824, 332 100. 875, 360 101. 545, 220 102. 846, 348 103. 954, 384 104. 292, 120

112. 916, 372

135. 505, 205

158. 966, 390

181. 316, 128

113. 716, 288

136. 390, 162

159. 788, 328

182. 756, 304

114. 795, 325

137. 990, 402

160. 776, 316

183. 905, 370

115. 695, 280

138. 356, 148

161. 764, 308

116. 822, 336

139. 636, 260

162. 705, 290

117. 707, 294

140. 772, 312

163. 730, 295

118. 700, 288

141. 805, 335

164. 642, 264

119. 612, 248

142. 985, 400

165. 834, 336

120. 265, 110

143. 606, 252

166. 932, 388

188. 760, 308

121. 430, 175

144. 918, 372

167. 276, 112

189. 325, 135

122. 845, 340

145. 500, 208

168. 596, 240

190. 565, 230

123. 516, 210

146. 900, 368

169. 960, 395

191. 895, 360

124. 959, 399

147. 644, 260

170. 805, 325

125. 904, 372

148. 985, 410

171. 948, 390

126. 356, 144

149. 765, 310

172. 287, 119

127. 445, 185

150. 822, 342

173. 360, 148

128. 835, 340

151. 594, 240

174. 660, 268

129. 995, 400

152. 644, 268

175. 944, 380

196. 505, 210

130. 414, 168

153. 452, 184

176. 575, 235

197. 970, 395

131. 511, 210

154. 704, 284

177. 645, 260

198. 246, 102

132. 372, 152

155. 450, 185

178. 558, 228

199. 606, 246

133. 860, 348

156. 655, 265

179. 539, 224

134. 625, 260

157. 336, 138

180. 564, 232

184. 745, 300 185. 954, 390 186. 791, 329 187. 768, 316

192. 678, 276 193. 273, 112 194. 972, 400 195. 524, 212

200. 260, 108

Задача 4. Найти наименьшее общее кратное чисел a и b. a

b

a

b

a

b

1. 13960, 3445

6. 11871, 1470

11. 12832, 1816

2. 4364, 1072

7. 15488, 3064

12. 41776, 8264

3. 17445, 2165

8. 29512, 4865

13. 23121, 4564

4. 2348, 462

9. 4714, 1158

14. 29864, 5904

5. 20984, 2312

10. 1374, 660

15. 7434, 3606

94

a

b

16. 5112, 724

17. 2889, 358

18. 32805, 4055

19. 3171, 779

49. 10136, 1674

79. 3636, 892

109. 2742, 672

20. 21048, 2982

50. 1951, 242

80. 5628, 1838

110. 6555, 1295

21. 13715, 2265

51. 8181, 3951

81. 12125, 2970

111. 6076, 1967

22. 2370, 335

52. 33636, 4170

82. 3895, 960

112. 10158, 1260

23. 8792, 1090

53. 9709, 1918

83. 29732, 4216

113. 30972, 4388

24. 19050, 3132

54. 6688, 1324

84. 16088, 2656

114. 7008, 2296

25. 11538, 1899

55. 9640, 1192

85. 9740, 1206

115. 1308, 320

26. 59256, 6546

56. 8682, 1227

86. 21861, 3094

116. 2676, 870

27. 3058, 378

57. 6867, 1683

87. 6956, 1376

117. 21015, 3455

28. 7749, 1274

58. 6579, 1086

88. 12663, 2086

118. 71296, 7864

29. 5686, 628

59. 22920, 7494

89. 2144, 694

119. 12324, 2428

30. 14210, 2015

60. 5761, 952

90. 1200, 578

120. 35451, 6975

31. 14862, 1635

61. 3633, 1750

91. 2828, 399

121. 903, 438

32. 6363, 1561

62. 9292, 1152

92. 22920, 11168

122. 35487, 7020

33. 18245, 2015

63. 6307, 2058

93. 6084, 862

123. 2905, 1407

34. 14272, 2024

64. 6528, 1077

94. 11536, 1426

124. 17645, 2500

35. 20235, 2510

65. 8468, 1664

95. 4722, 586

125. 5316, 1306

36. 33952, 4808

66. 7693, 2513

96. 7446, 3576

126. 22332, 3164

37. 2310, 565

67. 15384, 1696

97. 10338, 1284

127. 1693, 210

38. 8748, 2154

68. 30824, 3828

98. 2062, 340

128. 1655, 538

39. 16830, 2781

69. 5952, 1170

99. 4923, 1608

129. 14875, 4858

40. 860, 211

70. 3207, 1038

100. 14913, 3672

130. 20709, 6732

41. 10184, 2512

71. 1741, 287

101. 17744, 5768

131. 4455, 492

42. 23384, 3840

72. 34360, 4856

102. 6681, 2172

132. 4242, 1379

43. 28269, 5580

73. 21175, 5222

103. 867, 282

133. 4789, 790

44. 3549, 700

74. 2220, 1082

104. 11492, 1424

134. 15111, 2142

45. 15883, 1750

75. 13140, 1626

105. 6582, 3198

135. 5958, 1467

46. 3941, 1904

76. 7170, 1414

106. 13600, 2676

136. 2174, 1058

47. 58247, 7231

77. 1334, 650

107. 2851, 470

137. 9592, 4632

48. 16104, 2000

78. 9485, 2330

108. 10675, 5155

138. 4698, 519

95

139. 2948, 366

155. 5684, 1398

171. 3698, 912

187. 2752, 1332

140. 27632, 3048

156. 14574, 3588

172. 13502, 1490

188. 8600, 1065

141. 2064, 675

157. 15916, 2256

173. 7929, 876

189. 23694, 4662

142. 13767, 2715

158. 4250, 468

174. 17208, 1899

143. 5734, 633

159. 4254, 1377

175. 5404, 1771

144. 3366, 554

160. 8113, 2646

176. 6147, 2988

145. 5508, 2680

161. 5163, 1020

177. 12184, 3992

146. 10134, 4938

162. 10545, 1737

178. 18297, 3609

147. 10655, 3475

163. 3941, 434

179. 7422, 3564

148. 9462, 1866

164. 6960, 2276

180. 12248, 2024

195. 7227, 1773

149. 2964, 1432

165. 24122, 3409

181. 24647, 4865

196. 4688, 1524

150. 14145, 2330

166. 1219, 201

182. 10404, 1474

197. 18985, 3740

151. 16751, 2079

167. 19390, 2401

183. 2804, 688

198. 2467, 272

152. 9846, 4728

168. 3534, 1158

184. 11155, 2195

199. 32328, 4000

153. 46144, 5704

169. 6849, 1689

185. 9822, 1623

154. 3756, 927

170. 39789, 9819

186. 5910, 972

190. 23148, 2547 191. 13744, 1512 192. 14704, 3612 193. 14245, 3510 194. 4042, 1323

200. 1812, 592

Задача 5. Выяснить, является ли число a простым, где a равно 1. 3053

14. 1891

27. 7331

40. 7109

53. 6907

2. 4453

15. 3149

28. 2183

41. 7411

54. 7177

3. 7957

16. 4757

29. 3233

42. 2173

55. 7477

4. 6719

17. 8453

30. 6767

43. 4717

5. 6971

18. 6781

31. 8549

44. 6887

6. 7237

19. 7013

32. 6829

45. 8989

7. 1457

20. 7307

33. 7069

46. 6871

8. 2491

21. 1591

34. 7351

47. 7129

9. 5429

22. 3713

35. 2627

48. 7451

10. 7663

23. 5561

36. 3869

49. 2747

11. 6761

24. 7387

37. 5609

50. 4189

62. 7489

12. 6991

25. 6803

38. 9379

51. 7597

63. 2623

13. 7253

26. 7039

39. 6857

52. 9701

64. 4087

96

56. 2021 57. 4897 58. 6497 59. 11659 60. 6947 61. 7207

65. 7519

93. 8051

121. 10057

149. 6779

177. 6869

66. 6703

94. 6823

122. 6911

150. 7001

178. 7127

67. 6961

95. 7043

123. 7187

151. 7297

68. 7219

96. 7333

124. 7481

152. 1517

69. 1271

97. 2257

125. 2279

153. 3431

70. 3139

98. 3551

126. 5251

154. 5293

71. 4819

99. 6901

127. 7081

155. 8927

72. 6557

100. 8881

128. 6691

156. 6793

183. 9523

73. 6733

101. 6833

129. 6949

157. 7027

184. 6899

74. 6977

102. 7079

130. 7211

158. 7321

185. 7159

75. 7243

103. 7369

131. 7499

159. 1961

76. 1643

104. 1763

132. 2881

160. 3127

77. 2773

105. 4187

133. 4331

161. 6499

78. 5917

106. 5893

134. 7811

162. 8383

79. 7979

107. 10541

135. 6709

163. 6827

80. 6763

108. 6863

136. 6967

164. 7057

190. 11303

81. 6997

109. 7121

137. 7229

165. 7349

191. 6917

82. 7283

110. 7417

138. 1333

166. 2479

192. 7193

83. 2077

111. 2419

139. 3397

167. 3763

84. 3337

112. 3599

140. 5063

168. 5183

85. 4891

113. 7171

141. 7031

169. 9047

86. 8611

114. 9167

142. 6737

170. 6841

87. 6791

115. 6883

143. 6983

171. 7103

88. 7019

116. 7151

144. 7247

172. 7393

197. 6701

89. 7309

117. 7457

145. 1829

173. 1927

198. 6959

90. 1739

118. 2911

146. 2867

174. 4399

199. 7213

91. 3901

119. 4307

147. 6161

175. 6319

92. 5963

120. 5767

148. 8137

176. 8633

97

179. 7433 180. 2501 181. 3953 182. 7313

186. 7459 187. 2993 188. 4661 189. 6059

193. 7487 194. 2537 195. 5723 196. 7373

200. 1147

Задача 6. Найти все простые числа, заключенные между a и b. a

b

a

b

a

b

a

b

1. 600, 620

29. 720, 740

57. 840, 860

85. 960, 980

2. 890, 910

30. 1010, 1030

58. 1130, 1150

86. 1250, 1270

3. 1180, 1200

31. 1300, 1320

59. 1420, 1440

87. 1540, 1560

4. 1470, 1490

32. 1590, 1610

60. 1710, 1730

88. 1830, 1850

5. 1760, 1780

33. 1880, 1900

61. 2000, 2020

89. 2120, 2140

6. 2050, 2070

34. 2170, 2190

62. 2290, 2310

90. 410, 430

7. 340, 360

35. 460, 480

63. 580, 600

91. 700, 720

8. 630, 650

36. 750, 770

64. 870, 890

9. 920, 940

37. 1040, 1060

65. 1160, 1180

10. 1210, 1230

38. 1330, 1350

66. 1450, 1470

11. 1500, 1520

39. 1620, 1640

67. 1740, 1760

12. 1790, 1810

40. 1910, 1930

68. 2030, 2050

13. 2080, 2100

41. 2200, 2220

69. 320, 340

14. 370, 390

42. 490, 510

70. 610, 630

15. 660, 680

43. 780, 800

71. 900, 920

16. 950, 970

44. 1070, 1090

72. 1190, 1210

17. 1240, 1260

45. 1360, 1380

73. 1480, 1500

18. 1530, 1550

46. 1650, 1670

74. 1770, 1790

19. 1820, 1840

47. 1940, 1960

75. 2060, 2080

20. 2110, 2130

48. 2230, 2250

76. 350, 370

21. 400, 420

49. 520, 540

77. 640, 660

22. 690, 710

50. 810, 830

78. 930, 950

105. 760, 780

23. 980, 1000

51. 1100, 1120

79. 1220, 1240

106. 1050, 1070

24. 1270, 1290

52. 1390, 1410

80. 1510, 1530

107. 1340, 1360

25. 1560, 1580

53. 1680, 1700

81. 1800, 1820

108. 1630, 1650

26. 1850, 1870

54. 1970, 1990

82. 2090, 2110

109. 1920, 1940

27. 2140, 2160

55. 2260, 2280

83. 380, 400

110. 2210, 2230

28. 430, 450

56. 550, 570

84. 670, 690

111. 500, 520

92. 990, 1010 93. 1280, 1300 94. 1570, 1590 95. 1860, 1880 96. 2150, 2170 97. 440, 460 98. 730, 750

98

99. 1020, 1040 100. 1310, 1330 101. 1600, 1620 102. 1890, 1910 103. 2180, 2200 104. 470, 490

112. 790, 810

135. 1460, 1480

158. 2130, 2150

181. 800, 820

113. 1080, 1100

136. 1750, 1770

159. 420, 440

182. 1090, 1110

114. 1370, 1390

137. 2040, 2060

160. 710, 730

183. 1380, 1400

115. 1660, 1680

138. 330, 350

161. 1000, 1020

116. 1950, 1970

139. 620, 640

162. 1290, 1310

117. 2240, 2260

140. 910, 930

163. 1580, 1600

118. 530, 550

141. 1200, 1220

164. 1870, 1890

119. 820, 840

142. 1490, 1510

165. 2160, 2180

120. 1110, 1130

143. 1780, 1800

166. 450, 470

188. 830, 850

121. 1400, 1420

144. 2070, 2090

167. 740, 760

189. 1120, 1140

122. 1690, 1710

145. 360, 380

168. 1030, 1050

190. 1410, 1430

123. 1980, 2000

146. 650, 670

169. 1320, 1340

191. 1700, 1720

124. 2270, 2290

147. 940, 960

170. 1610, 1630

125. 560, 580

148. 1230, 1250

171. 1900, 1920

126. 850, 870

149. 1520, 1540

172. 2190, 2210

127. 1140, 1160

150. 1810, 1830

173. 480, 500

128. 1430, 1450

151. 2100, 2120

174. 770, 790

129. 1720, 1740

152. 390, 410

175. 1060, 1080

196. 1150, 1170

130. 2010, 2030

153. 680, 700

176. 1350, 1370

197. 1440, 1460

131. 2300, 2320

154. 970, 990

177. 1640, 1660

198. 1730, 1750

132. 590, 610

155. 1260, 1280

178. 1930, 1950

199. 2020, 2040

133. 880, 900

156. 1550, 1570

179. 2220, 2240

134. 1170, 1190

157. 1840, 1860

180. 510, 530

184. 1670, 1690 185. 1960, 1980

99

186. 2250, 2270 187. 540, 560

192. 1990, 2010 193. 2280, 2300 194. 570, 590 195. 860, 880

200. 310, 330

Задача 7. Найти каноническое разложение числа a, где a равно 1. 108000

30. 6048000

59. 27941760

88. 288000

2. 77616000

31. 712800

60. 12096000

89. 1323000

3. 158400

32. 4989600

61. 69854400

90. 282240

4. 51840

33. 3175200

62. 144000

91. 2016000

5. 36288000

34. 127008000

63. 846720

92. 23284800

6. 69854400

35. 17640

64. 30240

93. 176400

7. 79200

36. 207360

65. 29106000

94. 720

8. 388080

37. 2794176000

66. 5760

9. 50803200

38. 776160

67. 6048000

10. 5702400

39. 38808000

68. 23284800

11. 997920

40. 1058400

69. 1128960

12. 2376000

41. 3175200

70. 570240

13. 15840

42. 1386000

71. 582120

14. 1800

43. 15840

72. 172800

15. 2910600

44. 529200

73. 2079000

16. 31046400

45. 127008000

74. 34560

17. 62092800

46. 316800

75. 8316000

18. 793800

47. 3880800

76. 9000

19. 2116800

48. 576000

77. 349272000

20. 5080320

49. 111767040

78. 201600

21. 111767040

50. 356400

79. 55440

22. 9072000

51. 69854400

80. 1512000

23. 19800

52. 59400

81. 399168000

109. 2419200

24. 6350400

53. 161280

82. 12700800

110. 1584000

25. 2822400

54. 63360

83. 47520

111. 103680

26. 111767040

55. 15523200

84. 576000

112. 1693440

27. 6985440

56. 1693440

85. 237600

113. 997920

28. 3024000

57. 138600

86. 2520

114. 2494800

29. 84672000

58. 776160

87. 99000

115. 139708800

95. 15876000 96. 882000 97. 162000 98. 11880 99. 201600 100. 62092800 101. 3600 102. 483840

100

103. 693000 104. 95040 105. 317520 106. 317520 107. 4989600 108. 22176000

116. 52920

138. 15523200

160. 1800

182. 17280

117. 1693440

139. 28800

161. 4320

183. 756000

118. 1693440

140. 34927200

162. 2520

119. 34560

141. 1900800

163. 332640

120. 15876000

142. 103680

164. 30240

121. 2592000

143. 2376000

165. 90720

122. 127008000

144. 1512000

166. 17280

123. 22680

145. 15876000

167. 87318000

188. 253440

124. 14112000

146. 144000

168. 69120

189. 7920

125. 5702400

147. 1584000

169. 1814400

190. 133056000

126. 7257600

148. 2419200

170. 7200

191. 11880

127. 7983360

149. 7257600

171. 51840

128. 31752000

150. 64800

172. 14256000

129. 194040

151. 2520

173. 288000

130. 190080

152. 25401600

174. 39600

131. 141120

153. 5400

175. 2880

132. 252000

154. 529200

176. 27941760

196. 60480

133. 10584000

155. 1764000

177. 3386880

197. 7128000

134. 14112000

156. 665280

178. 36000

198. 362880

135. 252000

157. 31680

179. 189000

199. 133056000

136. 380160

158. 6048000

180. 3880800

137. 189000

159. 42336000

181. 4989600

184. 970200 185. 1451520 186. 158400 187. 51840

192. 399168000 193. 15840 194. 576000 195. 27000

200. 158760

Задача 8. Найти НОД и НОК чисел a и b по их каноническому разложению. a

b

a

b

a

b

1. 116424000, 151200

6. 120960, 648000

11. 55440, 635040

2. 2419200, 15523200

7. 118800, 415800

12. 10080, 5040

3. 194040, 4233600

8. 3240, 415800

13. 84672000, 9072000

4. 15840, 1128960

9. 198000, 100800

14. 3168000, 15523200

5. 42336000, 360

10. 18627840, 126720

101

15. 37800, 1209600

16. 1764000, 13305600

46. 27720, 14553000

76. 172800, 27000

17. 70560, 317520

47. 2592000, 116424000

77. 2217600, 103680

18. 2646000, 1330560

48. 189000, 19958400

78. 127008000, 83160

19. 2268000, 907200

49. 11520, 120960

79. 864000, 10160640

20. 12418560, 3528000

50. 3991680, 2646000

80. 1663200, 3386880

21. 126000, 7920

51. 166320, 1108800

81. 19800, 57024000

22. 1451520, 324000

52. 2217600, 16934400

82. 316800, 2794176000

23. 199584000, 8316000

53. 950400, 6985440

83. 864000, 5292000

24. 864000, 760320

54. 360, 27941760

84. 3528000, 264600

25. 55883520, 11642400

55. 2794176000, 7560

85. 3492720, 12600

26. 2217600, 2419200

56. 1270080, 69854400

86. 594000, 564480

27. 11520, 241920

57. 15876000, 582120

87. 10800, 931392000

28. 63000, 1746360

58. 115200, 378000

88. 15966720, 166320

29. 111767040, 32400

59. 14112000, 17463600

89. 142560, 9702000

30. 83160, 15523200

60. 23284800, 5080320

90. 116424000, 475200

31. 6336000, 199584000

61. 23760, 24948000

91. 1782000, 253440

32. 17640, 166320

62. 4320, 1267200

92. 1270080, 199584000

33. 475200, 7761600

63. 23760, 2016000

93. 360, 79833600

34. 253440, 443520

64. 792000, 4435200

94. 198000, 7128000

35. 5544000, 64800

65. 116424000, 1584000

95. 7761600, 201600

36. 1296000, 5080320

66. 7560, 3240

96. 891000, 5702400

37. 31752000, 1774080

67. 63360, 63000

97. 199584000, 2280960

38. 793800, 66528000

68. 111767040, 558835200

98. 58212000, 570240

39. 35640, 27941760

69. 1267200, 18000

99. 1323000, 1164240

40. 1440, 1440

70. 2910600, 1267200

100. 69120, 432000

41. 31046400, 576000

71. 176400, 50400

101. 1584000, 69120

42. 28224000, 14256000

72. 142560, 19008000

102. 139708800, 40320

43. 7938000, 576000

73. 84672000, 3492720

103. 806400, 4752000

44. 19800, 12474000

74. 3240, 1900800

104. 264600, 129600

45. 81000, 5760

75. 37800, 2419200

105. 139708800, 54000

102

106. 8467200, 100800

138. 264600, 3969000

170. 27720, 3492720

107. 635040, 554400

139. 3492720, 22176000

171. 252000, 352800

108. 16200, 5544000

140. 558835200, 70560

172. 1247400, 3024000

109. 32400, 9072000

141. 4536000, 443520

173. 6480, 4752000

110. 594000, 1900800

142. 282240, 2494800

174. 3492720, 1140480

111. 2822400, 23284800

143. 62092800, 181440

175. 441000, 253440

112. 142560, 226800

144. 99000, 120960

176. 18627840, 66528000

113. 226800, 3564000

145. 174636000, 9979200

177. 8731800, 90720

114. 12474000, 34560

146. 378000, 349272000

178. 27720, 2661120

115. 1900800, 27941760

147. 201600, 693000

179. 253440, 1128960

116. 57600, 1782000

148. 1209600, 42336000

180. 3960, 1036800

117. 47520, 127008000

149. 1774080, 332640

181. 362880, 594000

118. 8316000, 352800

150. 1764000, 95040

182. 39600, 254016000

119. 3801600, 19404000

151. 635040, 15876000

183. 166320, 14112000

120. 432000, 221760

152. 115200, 3168000

184. 44352000, 95040

121. 310464000, 7560

153. 1940400, 3991680

122. 207360, 63504000

154. 931392000, 282240

123. 83160, 9702000

155. 2910600, 693000

124. 1209600, 518400

156. 36000, 882000

125. 2851200, 1209600

157. 66528000, 30240

126. 1128960, 5644800

158. 44352000, 712800

127. 2494800, 201600

159. 18000, 10160640

128. 12600, 864000

160. 249480, 38808000

129. 864000, 2520

161. 604800, 1774080

130. 253440, 5292000

162. 504000, 100800

131. 1940400, 997920

163. 108000, 594000

132. 63504000, 7938000

164. 29106000, 3960

133. 158760, 155232000

165. 13305600, 1058400

134. 19800, 288000

166. 252000, 241920

135. 22680, 24948000

167. 1782000, 93139200

136. 4989600, 317520

168. 110880, 693000

137. 199584000, 324000

169. 9072000, 554400

185. 3326400, 45360 186. 604800, 279417600 187. 264600, 23284800 188. 211680, 34560 189. 42336000, 158760 190. 15876000, 2160 191. 2540160, 441000 192. 7920, 705600 193. 1900800, 100800 194. 226800, 27720 195. 50400, 11088000 196. 259200, 29106000 197. 5080320, 37255680 198. 43659000, 332640 199. 27000, 665280

103

200. 1164240, 237600

Задача 9. Найти показатель степени p в каноническом разложении числа n!. p

n

p

n

p

n

p

n

1. 47, 2624

28. 31, 2009

55. 47, 1788

82. 41, 2674

2. 31, 1624

29. 23, 1848

56. 17, 1801

83. 23, 2504

3. 37, 1841

30. 47, 1068

57. 37, 1148

84. 31, 2096

4. 29, 1314

31. 47, 1840

58. 41, 2304

85. 41, 2760

5. 41, 2763

32. 13, 1786

59. 19, 2695

86. 23, 2615

6. 31, 1208

33. 31, 1872

60. 17, 1757

87. 23, 2457

7. 29, 1310

34. 23, 1433

61. 31, 1438

88. 29, 1433

8. 29, 1646

35. 11, 2391

62. 11, 1981

89. 29, 1892

9. 47, 1469

36. 19, 1031

63. 41, 2174

90. 19, 1907

10. 31, 2196

37. 23, 1709

64. 23, 1778

91. 13, 2239

11. 31, 1271

38. 13, 2149

65. 31, 1973

92. 17, 2683

12. 29, 2327

39. 47, 1589

66. 23, 1817

93. 19, 1493

13. 17, 1253

40. 19, 2432

67. 17, 2442

94. 17, 1214

14. 19, 2934

41. 29, 2509

68. 47, 2873

95. 17, 2345

15. 29, 1562

42. 47, 2102

69. 29, 1032

96. 29, 1197

16. 19, 2091

43. 17, 2462

70. 19, 2722

97. 41, 1556

17. 29, 2501

44. 31, 2982

71. 11, 2095

98. 19, 2815

18. 31, 1658

45. 19, 1198

72. 17, 2503

99. 47, 2974

19. 29, 2826

46. 41, 2448

73. 37, 1064

100. 19, 2895

20. 47, 2134

47. 47, 2386

74. 41, 1878

101. 31, 1515

21. 37, 2484

48. 41, 2513

75. 29, 1922

102. 37, 1033

22. 19, 2413

49. 13, 2470

76. 17, 2170

103. 29, 2666

23. 41, 1356

50. 41, 1910

77. 19, 1715

104. 41, 1412

24. 47, 1229

51. 13, 1558

78. 41, 2166

105. 37, 1207

25. 17, 2479

52. 23, 2871

79. 29, 1324

106. 41, 2314

26. 29, 2772

53. 17, 1642

80. 41, 1423

107. 19, 2056

27. 41, 2534

54. 41, 1824

81. 41, 2689

108. 41, 2943

104

109. 31, 1177

132. 41, 1092

155. 11, 2283

178. 31, 1373

110. 13, 1802

133. 11, 1219

156. 11, 2257

179. 19, 2417

111. 37, 2291

134. 47, 2986

157. 37, 2274

180. 31, 2913

112. 41, 2505

135. 47, 1093

158. 13, 2636

181. 41, 1841

113. 23, 2442

136. 47, 1479

159. 17, 2098

182. 41, 1193

114. 29, 1854

137. 41, 1414

160. 19, 1335

183. 29, 1486

115. 19, 1851

138. 47, 1191

161. 17, 1802

184. 13, 1683

116. 11, 2580

139. 47, 2322

162. 29, 1776

185. 17, 1459

117. 13, 1903

140. 37, 2803

163. 17, 2228

186. 19, 1709

118. 17, 2587

141. 13, 2667

164. 29, 2076

119. 47, 2545

142. 31, 2434

165. 19, 1475

120. 31, 1660

143. 17, 2296

166. 13, 2977

121. 47, 1615

144. 31, 1417

167. 31, 1776

122. 17, 2232

145. 23, 1730

168. 47, 2539

123. 19, 1480

146. 37, 2978

169. 29, 1672

124. 47, 2148

147. 31, 2390

170. 41, 1145

125. 37, 1091

148. 17, 1304

171. 47, 1386

126. 29, 1771

149. 13, 1951

172. 29, 2271

127. 19, 2539

150. 29, 1956

173. 31, 1240

128. 47, 1812

151. 13, 2304

174. 29, 1141

129. 23, 1477

152. 19, 2351

175. 47, 2811

130. 17, 1782

153. 13, 1669

176. 37, 2416

131. 41, 2204

154. 11, 1060

177. 41, 2512

187. 23, 1487 188. 41, 2975 189. 17, 1534 190. 11, 1864 191. 47, 1536 192. 13, 1700 193. 13, 2201 194. 41, 2563 195. 47, 1389 196. 47, 2762 197. 31, 1113 198. 19, 1574

105

199. 31, 2581 200. 29, 2263

Задача 10. Сколькими нулями оканчивается число n!, где n равно 1. 5343

30. 8162

59. 8018

88. 8208

2. 7603

31. 8156

60. 8547

89. 4201

3. 3698

32. 5939

61. 8511

90. 4530

4. 5232

33. 3806

62. 8146

91. 5730

5. 8136

34. 4824

63. 5821

92. 5581

6. 8883

35. 5785

64. 7402

93. 8558

7. 8233

36. 3410

65. 8377

94. 3376

8. 4315

37. 8629

66. 7745

9. 8204

38. 8914

67. 5319

10. 4549

39. 4505

68. 5953

11. 3192

40. 8198

69. 8645

12. 3708

41. 6827

70. 7871

13. 7019

42. 7553

71. 5954

14. 7927

43. 4610

72. 6402

15. 8407

44. 7934

73. 6542

16. 7529

45. 3717

74. 8777

17. 3224

46. 8465

75. 6712

18. 8481

47. 7425

76. 5810

19. 5922

48. 6177

77. 8136

20. 8165

49. 7061

78. 4393

21. 8551

50. 5854

79. 5419

22. 8796

51. 7548

80. 6004

23. 8141

52. 6259

81. 8919

109. 3926

24. 8475

53. 8341

82. 8349

110. 4245

25. 6722

54. 5253

83. 7184

111. 8042

26. 3510

55. 5944

84. 3143

112. 7617

27. 5826

56. 8283

85. 7673

113. 6724

28. 8167

57. 8409

86. 7302

114. 3548

29. 3597

58. 5523

87. 8760

115. 5276

95. 5151 96. 4229 97. 5094 98. 4387 99. 5646 100. 6528 101. 7601 102. 8819

106

103. 8596 104. 4064 105. 5773 106. 6897 107. 4443 108. 8485

116. 5092

138. 7733

160. 4308

182. 3257

117. 7704

139. 5419

161. 3969

183. 4716

118. 6197

140. 3765

162. 3175

119. 3552

141. 6005

163. 4904

120. 3605

142. 5956

164. 4691

121. 3839

143. 8761

165. 7250

122. 6706

144. 4806

166. 4998

123. 8599

145. 5370

167. 7377

188. 7011

124. 6172

146. 3435

168. 8531

189. 4914

125. 6471

147. 5180

169. 5918

190. 7043

126. 5772

148. 5729

170. 5712

191. 5912

127. 5998

149. 6847

171. 7272

128. 7606

150. 7923

172. 4432

129. 5550

151. 7227

173. 4044

130. 4608

152. 3700

174. 8476

131. 7253

153. 6937

175. 7832

132. 7621

154. 7254

176. 4539

196. 7437

133. 5319

155. 4780

177. 4643

197. 7001

134. 6664

156. 6221

178. 6853

198. 8236

135. 5045

157. 5138

179. 7952

199. 3638

136. 7535

158. 6260

180. 3691

137. 6073

159. 6110

181. 7910

184. 6858 185. 5577 186. 7429 187. 3524

192. 5603 193. 4651 194. 8131 195. 8037

200. 6909

Задача 11. Вычислить количество и сумму делителей числа a, где a равно. 1. 211680

7. 453600

13. 253440

19. 1247400

2. 2520

8. 776160

14. 2160

20. 158400

3. 12474000

9. 3969000

15. 14256000

21. 2794176000

4. 22176000

10. 99000

16. 2217600

22. 15523200

5. 950400

11. 190080

17. 79200

23. 88200

6. 288000

12. 138600

18. 1940400

24. 3969000

107

25. 9504000

55. 554400

85. 1164240

115. 3969000

26. 126720

56. 37255680

86. 129600

116. 882000

27. 10584000

57. 13305600

87. 529200

117. 54000

28. 26611200

58. 43659000

88. 12096000

118. 1900800

29. 6350400

59. 475200

89. 1728000

119. 45360

30. 6350400

60. 60480

90. 190080

120. 25401600

31. 33264000

61. 432000

91. 3024000

121. 1036800

32. 5760

62. 806400

92. 1995840

122. 7938000

33. 1900800

63. 4233600

93. 332640

123. 22680

34. 253440

64. 39600

94. 6237000

124. 6237000

35. 4435200

65. 2910600

95. 297000

125. 310464000

36. 2592000

66. 5644800

96. 155232000

126. 10800

37. 69120

67. 1140480

97. 189000

127. 40320

38. 8640

68. 1330560

98. 504000

128. 15120

39. 211680

69. 1774080

99. 3528000

129. 4435200

40. 138600

70. 8467200

100. 162000

130. 190080

41. 441000

71. 83160

101. 16200

131. 17280

42. 226800

72. 126720

102. 5040

132. 60480

43. 8467200

73. 518400

103. 253440

133. 6350400

44. 380160

74. 2540160

104. 756000

134. 776160

45. 362880

75. 9072000

105. 52920

135. 1397088000

46. 2079000

76. 2217600

106. 3386880

136. 2646000

47. 72000

77. 138600

107. 138600

137. 403200

48. 324000

78. 2851200

108. 705600

138. 907200

49. 4752000

79. 158400

109. 161280

139. 1940400

50. 648000

80. 126720

110. 199584000

140. 635040

51. 356400

81. 2116800

111. 3969000

141. 380160

52. 2217600

82. 33264000

112. 57600

142. 360

53. 15876000

83. 174636000

113. 2910600

143. 9702000

54. 33264000

84. 9000

114. 1247400

144. 18627840

108

145. 201600

159. 594000

173. 55883520

187. 178200

146. 19008000

160. 110880

174. 1270080

188. 465696000

147. 86400

161. 4752000

175. 18000

189. 5322240

148. 95040

162. 349272000

176. 3492720

190. 254016000

149. 693000

163. 846720

177. 423360

191. 35280

150. 15840

164. 32400

178. 166320

192. 316800

151. 30240

165. 7056000

179. 88200

152. 87318000

166. 3969000

180. 3326400

153. 1164240

167. 37255680

181. 69120

154. 3240

168. 127008000

182. 4435200

155. 576000

169. 698544000

183. 15876000

156. 2217600

170. 2910600

184. 9000

157. 1296000

171. 55883520

185. 12474000

158. 3600

172. 9072000

186. 2160

193. 356400 194. 3492720 195. 831600 196. 5544000 197. 518400 198. 887040 199. 931392000 200. 18144000

Задача 12. Вычислить значение функции Эйлера от числа a, где a равно 1. 238140000

14. 317520

27. 13230000

40. 31752000

2. 76204800

15. 504000

28. 453600

41. 63000

3. 1270080

16. 39690000

29. 2822400

42. 3810240000

4. 3810240

17. 15240960

30. 952560

43. 17010000

5. 529200

18. 28224000

31. 1270080000

6. 158760

19. 423360

32. 403200

7. 136080000

20. 793800

33. 282240

8. 7938000

21. 4354560

34. 68040

9. 2268000

22. 362880

35. 13230000

10. 113400

23. 18144000

36. 6804000

50. 5644800

11. 952560000

24. 95256000

37. 90720000

51. 1088640

12. 1270080

25. 1270080

38. 2540160

52. 529200

13. 158760

26. 12700800

39. 2116800

53. 2520000

44. 2520 45. 1270080000 46. 3628800 47. 272160

109

48. 635040000 49. 1693440

54. 1890000

84. 756000

114. 317520000

144. 152409600

55. 127008000

85. 35280

115. 127008000

145. 4762800

56. 25200

86. 8820000

116. 725760

146. 120960

57. 6804000

87. 705600

117. 105840

147. 14112000

58. 604800

88. 2116800

118. 705600

148. 11907000

59. 1693440

89. 13230000

119. 6615000

149. 5644800

60. 120960

90. 60480000

120. 8467200

150. 317520

61. 483840

91. 378000

121. 756000

151. 181440

62. 26460000

92. 483840

122. 9525600

152. 27216000

63. 80640

93. 15240960

123. 381024000

153. 16934400

64. 2419200

94. 403200

124. 352800

154. 37800

65. 2835000

95. 882000

125. 5040

155. 7056000

66. 136080000

96. 63504000

126. 264600

156. 3628800

67. 725760

97. 15120000

127. 76204800

157. 211680000

68. 158760

98. 4233600

128. 1323000

158. 7620480

69. 15120

99. 6048000

129. 10080

159. 1088640

70. 39690000

100. 340200

130. 17010000

160. 2419200

71. 105840000

101. 3386880

131. 302400

161. 882000

72. 362880

102. 9525600

132. 3386880

162. 2381400

73. 105840000

103. 75600

133. 3175200

163. 254016000

74. 756000

104. 34020000

134. 52920000

164. 352800

75. 8467200

105. 50803200

135. 680400

165. 21168000

76. 176400

106. 907200

136. 1270080000

166. 10584000

77. 2835000

107. 8820000

137. 12700800

167. 100800

78. 12600

108. 3628800

138. 25401600

168. 18144000

79. 453600

109. 90720

139. 25200

169. 7257600

80. 9072000

110. 1701000

140. 7257600

170. 34020000

81. 6615000

111. 5040000

141. 1270080

171. 22680000

82. 15240960

112. 141120000

142. 20160000

172. 8820000

83. 1701000

113. 15240960

143. 19051200

173. 1260000

110

174. 70560

181. 10886400

188. 45360000

195. 60480

175. 3402000

182. 4536000

189. 11907000

196. 2177280

176. 52920

183. 10080000

190. 70560000

197. 2646000

177. 1260000

184. 75600

191. 1905120

198. 54432000

178. 483840

185. 504000

192. 17640000

179. 483840

186. 5040000

193. 10080000

180. 7257600

187. 272160000

194. 40320

199. 39690000 200. 252000

Задача 13. Найти остаток от деления числа ak на b. a

k

b

a

k

b

a

k

b

a

k

b

1. 6652, 28, 12

21. 5242, 29, 12

41. 3892, 28, 18

61. 3232, 30, 14

2. 4912, 23, 14

22. 2812, 23, 12

42. 3382, 20, 12

62. 4792, 22, 14

3. 1282, 28, 12

23. 1432, 29, 12

43. 3772, 23, 12

63. 4672, 29, 18

4. 5992, 24, 18

24. 2572, 30, 14

44. 4642, 21, 20

5. 1432, 29, 18

25. 3172, 28, 18

45. 3742, 24, 14

6. 1252, 22, 14

26. 2062, 28, 18

46. 5212, 25, 14

7. 3742, 30, 12

27. 3202, 23, 20

47. 4222, 26, 20

8. 1702, 28, 18

28. 1882, 22, 20

48. 7042, 26, 20

9. 4102, 23, 18

29. 3202, 21, 12

49. 6622, 27, 12

70. 7042, 25, 12

10. 2302, 20, 14

30. 2872, 20, 20

50. 4882, 23, 20

71. 2032, 22, 20

11. 5002, 21, 18

31. 3982, 30, 20

51. 2122, 30, 20

72. 6232, 26, 18

12. 3862, 21, 14

32. 3592, 29, 20

52. 3082, 27, 14

73. 3772, 29, 12

13. 5992, 29, 12

33. 3442, 30, 14

53. 2242, 23, 14

14. 3682, 29, 12

34. 1672, 25, 14

54. 4342, 26, 20

15. 2932, 30, 18

35. 4642, 24, 20

55. 5812, 28, 14

16. 4912, 27, 12

36. 2842, 30, 18

56. 3142, 27, 12

17. 6292, 30, 20

37. 3112, 28, 12

57. 1252, 22, 20

18. 4282, 21, 20

38. 2152, 23, 14

58. 1852, 22, 14

80. 5212, 24, 18

19. 5722, 27, 12

39. 4102, 21, 12

59. 3502, 29, 18

81. 2212, 20, 14

20. 3862, 22, 14

40. 1612, 24, 18

60. 3172, 29, 14

82. 3922, 26, 14

64. 4582, 28, 12 65. 5062, 29, 12 66. 1252, 21, 20 67. 6502, 24, 18 68. 3502, 30, 20 69. 6322, 22, 14

74. 3472, 30, 20 75. 4882, 22, 14 76. 1222, 25, 14 77. 3922, 26, 18

111

78. 4672, 25, 12 79. 1282, 27, 18

83. 4282, 21, 14

113. 6352, 25, 18

143. 5812, 21, 14

173. 5302, 26, 12

84. 5242, 30, 14

114. 1162, 25, 14

144. 5482, 25, 18

174. 2962, 24, 20

85. 5002, 20, 12

115. 4312, 22, 18

145. 3802, 26, 20

175. 2092, 25, 18

86. 1672, 22, 12

116. 1642, 27, 18

146. 6652, 21, 14

176. 5332, 28, 14

87. 1162, 28, 18

117. 5002, 28, 12

147. 3202, 21, 14

177. 5752, 24, 14

88. 6922, 27, 18

118. 1582, 24, 20

148. 3262, 26, 20

89. 5632, 23, 14

119. 5992, 24, 18

149. 4852, 21, 14

90. 4762, 26, 20

120. 6982, 22, 14

150. 4102, 20, 12

91. 2242, 24, 14

121. 6172, 20, 12

151. 2242, 23, 14

92. 5512, 28, 12

122. 5512, 27, 20

152. 6292, 28, 12

93. 1342, 25, 20

123. 4792, 24, 12

153. 1342, 27, 18

94. 4012, 26, 12

124. 3052, 21, 12

154. 3982, 21, 18

95. 2512, 27, 14

125. 1942, 26, 12

155. 3082, 22, 12

96. 3022, 24, 14

126. 2692, 23, 20

156. 4072, 30, 18

97. 6022, 29, 14

127. 6322, 30, 12

157. 6442, 22, 12

98. 6142, 23, 12

128. 1372, 29, 20

158. 6622, 30, 18

99. 2392, 24, 12

129. 2332, 24, 14

159. 4882, 30, 14

100. 3832, 29, 20

130. 2692, 28, 18

160. 6982, 24, 14

189. 4222, 26, 12

101. 2032, 21, 12

131. 6352, 23, 14

161. 6982, 27, 14

190. 3892, 25, 18

102. 1792, 20, 20

132. 3172, 29, 18

162. 3442, 24, 18

191. 6772, 21, 12

103. 1222, 23, 14

133. 5782, 21, 12

163. 1702, 25, 12

192. 6772, 21, 14

104. 4732, 20, 20

134. 6532, 27, 14

164. 6622, 24, 12

193. 7042, 28, 12

105. 5962, 24, 14

135. 1282, 29, 14

165. 4792, 29, 20

194. 5152, 26, 14

106. 4942, 26, 12

136. 2152, 20, 12

166. 3712, 27, 12

195. 2122, 25, 20

107. 6232, 28, 20

137. 3172, 21, 12

167. 5752, 21, 12

196. 5602, 23, 14

108. 6382, 22, 20

138. 4312, 26, 20

168. 4732, 20, 14

197. 5812, 28, 14

109. 2212, 27, 12

139. 2452, 22, 12

169. 3862, 21, 14

198. 1642, 26, 14

110. 6352, 30, 18

140. 5512, 27, 20

170. 3832, 24, 12

111. 3202, 24, 18

141. 5542, 30, 14

171. 3712, 28, 20

112. 7042, 30, 18

142. 1642, 22, 14

172. 1162, 24, 12

178. 1642, 25, 20 179. 5002, 23, 14 180. 4912, 25, 20 181. 2002, 25, 20 182. 5842, 29, 20 183. 5152, 29, 12

112

184. 2182, 28, 20 185. 2572, 24, 20 186. 2662, 27, 20 187. 3772, 23, 18 188. 5272, 25, 12

199. 6472, 20, 14 200. 2032, 24, 14

Задача 14. Найти две последние цифры числа ak . a

k

a

k

a

k

a

k

1. 1193, 1026

29. 1229, 1000

57. 1149, 1024

85. 1157, 1025

2. 1167, 1020

30. 1137, 1023

58. 1149, 1022

86. 1179, 1028

3. 1127, 1002

31. 1149, 1025

59. 1211, 1013

87. 1157, 1002

4. 1151, 1001

32. 1229, 1024

60. 1163, 1011

88. 1193, 1021

5. 1191, 1026

33. 1211, 1003

61. 1149, 1001

89. 1167, 1030

6. 1229, 1016

34. 1149, 1019

62. 1157, 1002

90. 1197, 1010

7. 1179, 1023

35. 1181, 1011

63. 1157, 1008

91. 1131, 1019

8. 1149, 1010

36. 1197, 1016

64. 1223, 1018

9. 1197, 1011

37. 1149, 1016

65. 1149, 1011

10. 1181, 1021

38. 1199, 1010

66. 1137, 1029

11. 1227, 1022

39. 1131, 1028

67. 1163, 1003

12. 1181, 1017

40. 1139, 1006

68. 1157, 1010

13. 1167, 1023

41. 1191, 1021

69. 1199, 1013

14. 1131, 1026

42. 1149, 1007

70. 1197, 1010

15. 1227, 1010

43. 1199, 1016

71. 1157, 1030

16. 1227, 1011

44. 1223, 1017

72. 1229, 1013

17. 1163, 1016

45. 1193, 1018

73. 1181, 1023

18. 1199, 1012

46. 1199, 1030

74. 1137, 1012

19. 1131, 1021

47. 1167, 1019

75. 1137, 1011

20. 1163, 1006

48. 1181, 1028

76. 1229, 1001

21. 1149, 1010

49. 1211, 1010

77. 1223, 1028

22. 1223, 1005

50. 1127, 1021

78. 1179, 1011

105. 1137, 1025

23. 1173, 1025

51. 1199, 1005

79. 1127, 1000

106. 1127, 1003

24. 1191, 1004

52. 1197, 1021

80. 1211, 1016

107. 1179, 1005

25. 1137, 1027

53. 1127, 1023

81. 1137, 1003

108. 1163, 1004

26. 1223, 1010

54. 1127, 1017

82. 1149, 1029

109. 1163, 1012

27. 1127, 1007

55. 1163, 1027

83. 1199, 1014

110. 1227, 1024

28. 1229, 1000

56. 1193, 1019

84. 1157, 1011

111. 1229, 1022

92. 1179, 1027 93. 1179, 1023 94. 1211, 1008 95. 1179, 1006 96. 1191, 1004 97. 1199, 1030 98. 1223, 1028

113

99. 1229, 1029 100. 1191, 1019 101. 1193, 1027 102. 1229, 1000 103. 1181, 1029 104. 1191, 1027

112. 1227, 1014

135. 1211, 1007

158. 1179, 1023

181. 1137, 1024

113. 1193, 1022

136. 1127, 1018

159. 1173, 1003

182. 1137, 1005

114. 1179, 1024

137. 1227, 1020

160. 1139, 1013

183. 1193, 1023

115. 1167, 1030

138. 1157, 1008

161. 1227, 1023

116. 1197, 1028

139. 1199, 1011

162. 1211, 1013

117. 1211, 1026

140. 1131, 1023

163. 1137, 1015

118. 1137, 1016

141. 1163, 1023

164. 1173, 1005

119. 1163, 1024

142. 1167, 1018

165. 1157, 1017

120. 1211, 1015

143. 1131, 1015

166. 1167, 1010

188. 1157, 1029

121. 1227, 1029

144. 1151, 1015

167. 1229, 1030

189. 1151, 1011

122. 1151, 1001

145. 1193, 1009

168. 1229, 1006

190. 1149, 1017

123. 1157, 1008

146. 1157, 1020

169. 1149, 1003

191. 1127, 1017

124. 1167, 1002

147. 1223, 1005

170. 1199, 1020

125. 1167, 1007

148. 1227, 1025

171. 1191, 1003

126. 1157, 1000

149. 1149, 1015

172. 1199, 1021

127. 1181, 1012

150. 1211, 1006

173. 1163, 1000

128. 1149, 1019

151. 1139, 1016

174. 1149, 1000

129. 1151, 1006

152. 1127, 1019

175. 1127, 1001

196. 1139, 1014

130. 1137, 1015

153. 1139, 1004

176. 1229, 1017

197. 1199, 1019

131. 1173, 1006

154. 1137, 1013

177. 1167, 1005

198. 1151, 1016

132. 1151, 1001

155. 1131, 1025

178. 1167, 1022

199. 1151, 1016

133. 1223, 1024

156. 1227, 1029

179. 1173, 1027

134. 1227, 1025

157. 1211, 1024

180. 1163, 1005

184. 1167, 1019 185. 1131, 1007 186. 1151, 1019 187. 1163, 1017

192. 1223, 1027 193. 1179, 1011 194. 1181, 1000 195. 1193, 1026

200. 1191, 1027

Задача 15. Записать число a/b в виде непрерывной дроби. a

b

a

b

a

b

1. 7400, 661

6. 13801, 976

11. 8173, 675

2. 10487, 944

7. 1456, 129

12. 4541, 320

3. 4669, 383

8. 2583, 232

13. 4415, 313

4. 6829, 564

9. 13076, 1177

14. 2533, 224

5. 2567, 181

10. 6487, 532

15. 3084, 277

114

a

b

16. 1327, 108

17. 8061, 661

18. 11431, 944

19. 5435, 383

49. 3816, 341

79. 6865, 563

109. 3491, 247

20. 7957, 564

50. 3687, 332

80. 10099, 834

110. 17637, 1250

21. 3474, 307

51. 5581, 453

81. 4839, 341

111. 2270, 203

22. 5569, 500

52. 10465, 862

82. 4683, 332

112. 3265, 294

23. 1585, 129

53. 4395, 307

83. 2680, 237

113. 4965, 403

24. 2815, 232

54. 7069, 500

84. 4923, 442

114. 8959, 738

25. 14253, 1177

55. 2101, 129

85. 1413, 115

115. 3391, 237

26. 7551, 532

56. 5261, 470

86. 8561, 702

116. 6249, 442

27. 9523, 675

57. 6676, 601

87. 12097, 999

117. 1873, 115

28. 4279, 378

58. 2339, 192

88. 6671, 470

118. 4051, 362

29. 7742, 695

59. 12541, 1033

89. 8479, 601

119. 3898, 351

30. 2757, 224

60. 5413, 378

90. 3689, 326

120. 2071, 170

31. 3361, 277

61. 9827, 695

91. 5892, 529

121. 11157, 919

32. 1543, 108

62. 3653, 224

92. 2437, 198

122. 4667, 326

33. 9383, 661

63. 6302, 563

93. 2997, 247

123. 7479, 529

34. 13319, 944

64. 9265, 834

94. 15137, 1250

124. 3229, 198

35. 5128, 453

65. 4157, 341

95. 7991, 563

125. 5608, 501

36. 9603, 862

66. 4019, 332

96. 11767, 834

126. 7087, 638

37. 3781, 307

67. 6487, 453

97. 4562, 403

127. 2473, 203

38. 6069, 500

68. 12189, 862

98. 8221, 738

128. 3559, 294

39. 1843, 129

69. 1298, 115

99. 2917, 237

129. 5771, 403

40. 3279, 232

70. 7859, 702

100. 5365, 442

130. 10435, 738

41. 16607, 1177

71. 11098, 999

101. 1643, 115

131. 3865, 237

42. 2147, 192

72. 5731, 470

102. 9965, 702

132. 6941, 620

43. 11508, 1033

73. 7277, 601

103. 14095, 999

133. 9876, 889

44. 4657, 378

74. 2723, 192

104. 1901, 170

134. 4413, 362

45. 8437, 695

75. 14607, 1033

105. 10238, 919

135. 4249, 351

46. 3205, 224

76. 2239, 198

106. 4015, 326

136. 2411, 170

47. 3915, 277

77. 2750, 247

107. 6421, 529

137. 12995, 919

48. 1759, 108

78. 13887, 1250

108. 2833, 198

138. 1377, 122

115

139. 8318, 743

155. 9061, 743

171. 10547, 743

187. 4286, 383

140. 12265, 1104

156. 13369, 1104

172. 15577, 1104

188. 6265, 564

141. 6109, 501

157. 7111, 501

173. 2024, 181

189. 2205, 181

142. 7725, 638

158. 9001, 638

174. 10873, 976

143. 2879, 203

159. 3904, 345

175. 4249, 345

144. 4147, 294

160. 7263, 652

176. 7915, 652

145. 2386, 211

161. 2597, 211

177. 3019, 211

146. 2917, 262

162. 3179, 262

178. 3703, 262

147. 14698, 1323

163. 16021, 1323

179. 18667, 1323

148. 7561, 620

164. 8801, 620

180. 3581, 320

195. 7498, 675

149. 10765, 889

165. 12543, 889

181. 3476, 313

196. 3901, 320

150. 5137, 362

166. 4845, 428

182. 5273, 428

197. 3789, 313

151. 4951, 351

167. 8700, 781

183. 9481, 781

198. 6129, 428

152. 3259, 288

168. 3547, 288

184. 4123, 288

199. 11043, 781

153. 5246, 471

169. 5717, 471

185. 6659, 471

154. 1499, 122

170. 1743, 122

186. 1987, 122

190. 11849, 976 191. 4939, 345 192. 9219, 652 193. 3441, 211 194. 5955, 532

200. 1219, 108

Задача 16. Непрерывную дробь [q1 , q2 , q3 , q4 ] записать в виде a/b, при этом числа q1 , q2 , q3 , q4 равны 1. 12, 5, 19, 4

13. 15, 9, 11, 4

25. 14, 9, 19, 4

37. 14, 3, 16, 4

2. 12, 9, 16, 6

14. 12, 3, 13, 6

26. 15, 5, 16, 6

38. 14, 7, 13, 6

3. 14, 5, 13, 8

15. 12, 7, 11, 8

27. 15, 9, 13, 8

39. 15, 3, 11, 8

4. 14, 9, 13, 2

16. 14, 3, 11, 2

28. 12, 3, 19, 2

40. 15, 7, 11, 2

5. 15, 5, 11, 4

17. 14, 5, 19, 4

29. 12, 7, 16, 4

41. 15, 9, 19, 4

6. 15, 7, 19, 6

18. 14, 9, 16, 6

30. 14, 3, 13, 6

42. 12, 5, 11, 6

7. 12, 3, 11, 8

19. 15, 5, 13, 8

31. 14, 7, 11, 8

43. 12, 7, 19, 8

8. 12, 7, 11, 2

20. 15, 9, 13, 2

32. 15, 3, 11, 2

44. 14, 3, 19, 2

9. 12, 9, 19, 4

21. 12, 3, 16, 4

33. 15, 5, 19, 4

45. 14, 7, 16, 4

10. 14, 5, 16, 6

22. 12, 7, 13, 6

34. 15, 9, 16, 6

46. 15, 3, 13, 6

11. 14, 9, 13, 8

23. 14, 3, 11, 8

35. 12, 3, 19, 8

47. 15, 7, 11, 8

12. 15, 5, 13, 2

24. 14, 7, 11, 2

36. 12, 7, 19, 2

48. 18, 3, 11, 2

116

49. 12, 5, 13, 4

79. 14, 5, 16, 8

109. 15, 7, 11, 4

139. 12, 5, 19, 8

50. 12, 9, 11, 6

80. 14, 9, 16, 2

110. 15, 9, 19, 6

140. 12, 9, 19, 2

51. 14, 3, 19, 8

81. 15, 5, 13, 4

111. 12, 5, 11, 8

141. 14, 5, 16, 4

52. 14, 7, 19, 2

82. 15, 9, 11, 6

112. 12, 9, 11, 2

142. 14, 9, 13, 6

53. 15, 3, 16, 4

83. 12, 3, 13, 8

113. 14, 3, 19, 4

143. 15, 5, 11, 8

54. 15, 7, 13, 6

84. 12, 7, 13, 2

114. 14, 7, 16, 6

144. 15, 9, 11, 2

55. 18, 3, 11, 8

85. 14, 3, 11, 4

115. 15, 3, 13, 8

145. 12, 3, 13, 4

56. 12, 5, 16, 2

86. 14, 5, 19, 6

116. 15, 7, 13, 2

146. 12, 7, 11, 6

57. 12, 9, 13, 4

87. 14, 9, 16, 8

117. 18, 3, 11, 4

147. 12, 9, 19, 8

58. 14, 5, 11, 6

88. 15, 5, 16, 2

118. 12, 5, 13, 6

148. 14, 5, 19, 2

59. 14, 7, 19, 8

89. 15, 9, 13, 4

119. 12, 9, 11, 8

149. 14, 9, 16, 4

60. 15, 3, 19, 2

90. 12, 3, 16, 6

120. 14, 5, 11, 2

150. 15, 5, 13, 6

61. 15, 7, 16, 4

91. 12, 7, 13, 8

121. 14, 7, 19, 4

151. 15, 9, 11, 8

62. 18, 3, 13, 6

92. 14, 3, 13, 2

122. 15, 3, 16, 6

152. 12, 3, 16, 2

63. 12, 5, 16, 8

93. 14, 7, 11, 4

123. 15, 7, 13, 8

153. 12, 7, 13, 4

64. 12, 9, 16, 2

94. 14, 9, 19, 6

124. 18, 3, 13, 2

154. 14, 3, 11, 6

65. 14, 5, 13, 4

95. 15, 5, 16, 8

125. 12, 5, 16, 4

155. 14, 5, 19, 8

66. 14, 9, 11, 6

96. 15, 9, 16, 2

126. 12, 9, 13, 6

156. 14, 9, 19, 2

67. 15, 3, 19, 8

97. 12, 3, 19, 4

127. 14, 5, 11, 8

157. 15, 5, 16, 4

68. 15, 7, 19, 2

98. 12, 7, 16, 6

128. 14, 9, 11, 2

158. 15, 9, 13, 6

69. 12, 3, 11, 4

99. 14, 3, 13, 8

129. 15, 3, 19, 4

159. 12, 3, 16, 8

70. 12, 5, 19, 6

100. 14, 7, 13, 2

130. 15, 7, 16, 6

160. 12, 7, 16, 2

71. 12, 9, 16, 8

101. 15, 3, 11, 4

131. 18, 3, 13, 8

161. 14, 3, 13, 4

72. 14, 5, 16, 2

102. 15, 5, 19, 6

132. 12, 5, 19, 2

162. 14, 7, 11, 6

73. 14, 9, 13, 4

103. 15, 9, 16, 8

133. 12, 9, 16, 4

163. 14, 9, 19, 8

74. 15, 5, 11, 6

104. 12, 5, 11, 2

134. 14, 5, 13, 6

164. 15, 5, 19, 2

75. 15, 7, 19, 8

105. 12, 7, 19, 4

135. 14, 9, 11, 8

165. 15, 9, 16, 4

76. 12, 3, 13, 2

106. 14, 3, 16, 6

136. 15, 5, 11, 2

166. 12, 3, 19, 6

77. 12, 7, 11, 4

107. 14, 7, 13, 8

137. 15, 7, 19, 4

167. 12, 7, 16, 8

78. 12, 9, 19, 6

108. 15, 3, 13, 2

138. 12, 3, 11, 6

168. 14, 3, 16, 2

117

169. 14, 7, 13, 4

177. 15, 3, 13, 4

185. 15, 7, 13, 4

193. 18, 3, 13, 4

170. 15, 3, 11, 6

178. 15, 7, 11, 6

186. 18, 3, 11, 6

194. 12, 5, 16, 6

171. 15, 5, 19, 8

179. 15, 9, 19, 8

187. 12, 5, 13, 8

195. 12, 9, 13, 8

172. 15, 9, 19, 2

180. 12, 5, 13, 2

188. 12, 9, 13, 2

173. 12, 5, 11, 4

181. 12, 9, 11, 4

189. 14, 5, 11, 4

174. 12, 7, 19, 6

182. 14, 3, 19, 6

190. 14, 7, 19, 6

175. 14, 3, 16, 8

183. 14, 7, 16, 8

191. 15, 3, 16, 8

196. 14, 5, 13, 2 197. 14, 9, 11, 4 198. 15, 3, 19, 6 199. 15, 7, 16, 8 200. 12, 3, 11, 2

176. 14, 7, 16, 2

184. 15, 3, 16, 2

192. 15, 7, 16, 2

Задача 17. Найти все подходящие дроби числа a/b. a

b

a

b

a

b

a

b

1. 5997, 1180

20. 6144, 869

39. 4416, 623

58. 3898, 641

2. 6191, 1221

21. 4616, 907

40. 4337, 613

59. 8719, 1435

3. 5437, 894

22. 4639, 914

41. 9715, 1374

60. 7203, 1016

4. 5275, 869

23. 3793, 623

42. 3257, 641

61. 7564, 1069

5. 4277, 604

24. 3724, 613

43. 7284, 1435

62. 6277, 776

6. 9595, 1356

25. 8341, 1374

44. 6187, 1016

7. 3170, 623

26. 7429, 1049

45. 6495, 1069

8. 3111, 613

27. 7353, 1040

46. 5501, 776

9. 6967, 1374

28. 5171, 1016

47. 5186, 733

10. 6380, 1049

29. 5426, 1069

48. 4214, 521

11. 6313, 1040

30. 4725, 776

49. 4045, 796

12. 5290, 747

31. 4453, 733

50. 3777, 745

13. 4963, 702

32. 3693, 521

51. 7411, 1217

14. 3949, 776

33. 8357, 1180

52. 7279, 1198

15. 3720, 733

34. 8633, 1221

53. 6430, 907

71. 6551, 1292

16. 3172, 521

35. 6194, 1217

54. 6467, 914

72. 5638, 927

17. 7177, 1180

36. 6081, 1198

55. 5039, 623

73. 5621, 926

18. 7412, 1221

37. 5523, 907

56. 4711, 927

74. 4539, 641

19. 6331, 894

38. 5553, 914

57. 4695, 926

75. 10154, 1435

63. 5641, 1110 64. 5471, 1079 65. 4841, 796 66. 4522, 745 67. 8628, 1217

118

68. 8477, 1198 69. 2824, 555 70. 6368, 1253

76. 3491, 686

108. 4863, 686

140. 6536, 1289

172. 9114, 1289

77. 3314, 653

109. 4620, 653

141. 6009, 988

173. 3069, 604

78. 7398, 1459

110. 10316, 1459

142. 5967, 983

174. 6883, 1356

79. 6751, 1110

111. 3445, 678

143. 4801, 678

175. 6205, 1019

80. 6550, 1079

112. 3341, 659

144. 4659, 659

81. 5637, 796

113. 6595, 1083

145. 3720, 731

82. 5267, 745

114. 6896, 1135

146. 3517, 693

83. 4178, 821

115. 5820, 821

147. 7829, 1544

84. 4101, 808

116. 5717, 808

148. 6733, 1107

85. 3379, 555

117. 4489, 555

149. 6981, 1150

86. 7621, 1253

118. 4294, 845

150. 5984, 845

181. 3559, 702

87. 7843, 1292

119. 3995, 788

151. 5571, 788

182. 7003, 1150

88. 6565, 927

120. 3448, 567

152. 4331, 851

183. 7297, 1201

89. 6547, 926

121. 7759, 1277

153. 4370, 861

184. 6033, 851

90. 4901, 963

122. 6827, 963

154. 3586, 589

185. 6092, 861

91. 4908, 967

123. 6842, 967

155. 8065, 1326

186. 4764, 589

92. 4177, 686

124. 5549, 686

156. 7825, 1289

187. 4543, 894

93. 3967, 653

125. 5021, 988

157. 6997, 988

94. 8857, 1459

126. 4984, 983

158. 6950, 983

95. 7861, 1110

127. 4123, 678

159. 5186, 1019

96. 7629, 1079

128. 4000, 659

160. 5091, 1003

97. 5512, 1083

129. 7678, 1083

161. 4451, 731

98. 5761, 1135

130. 8031, 1135

162. 4210, 693

99. 4999, 821

131. 6641, 821

163. 9373, 1544

193. 5913, 731

100. 4909, 808

132. 5626, 1107

164. 7840, 1107

194. 5331, 1049

101. 3934, 555

133. 5831, 1150

165. 8131, 1150

195. 5273, 1040

102. 8874, 1253

134. 5139, 845

166. 5853, 1150

196. 4543, 747

103. 9135, 1292

135. 4783, 788

167. 6096, 1201

197. 4261, 702

104. 2881, 567

136. 4015, 567

168. 5182, 851

198. 8153, 1150

105. 6482, 1277

137. 9036, 1277

169. 5231, 861

199. 8498, 1201

106. 5864, 963

138. 2997, 589

170. 4175, 589

107. 5875, 967

139. 6739, 1326

171. 9391, 1326

176. 6094, 1003 177. 5182, 731 178. 4903, 693 179. 10917, 1544 180. 3796, 747

188. 4406, 869 189. 3673, 604 190. 8239, 1356

119

191. 7224, 1019 192. 7097, 1003

200. 2651, 521

Задача 18. С помощью разложения в непрерывную дробь сократить дробь a/b. a

b

a

b

a

b

a

b

1. 6805, 965

28. 18096, 1996

55. 17166, 4230

82. 21264, 3496

2. 6375, 1566

29. 16533, 5364

56. 7680, 1089

83. 3624, 1184

3. 17705, 3495

30. 4221, 1036

57. 49257, 5427

84. 47007, 9270

4. 5222, 862

31. 12309, 1743

58. 13518, 3321

85. 7922, 1568

5. 16085, 1775

32. 79008, 8728

59. 2245, 550

86. 54336, 6728

6. 1638, 402

33. 4696, 776

60. 3994, 980

87. 13552, 4431

7. 8864, 1256

34. 35390, 4395

61. 4195, 1370

88. 7450, 1055

8. 8875, 1465

35. 23488, 3324

62. 2765, 1344

9. 2048, 668

36. 22422, 5520

63. 7623, 2493

10. 40296, 9944

37. 68697, 7569

64. 2107, 1022

11. 9160, 2255

38. 3537, 873

65. 37422, 4134

12. 4764, 1554

39. 11025, 1555

66. 4250, 835

13. 10695, 1326

40. 8356, 920

67. 12210, 1728

14. 27388, 3876

41. 39697, 6559

68. 15232, 2513

15. 4790, 1565

42. 15021, 7254

69. 3608, 1758

16. 66496, 8248

43. 3860, 634

70. 4188, 688

17. 17390, 4285

44. 9295, 1150

71. 10544, 1164

18. 51030, 7217

45. 9288, 1832

72. 22815, 3231

19. 16533, 5364

46. 29408, 7224

73. 6771, 837

20. 3386, 556

47. 5670, 1835

74. 23842, 3381

21. 7360, 2404

48. 5045, 1245

75. 15985, 1760

103. 6782, 1118

22. 12344, 3024

49. 5990, 2905

76. 23607, 2601

104. 14975, 3690

23. 3030, 993

50. 10899, 1799

77. 22589, 3199

105. 24315, 4790

24. 13420, 1666

51. 6892, 1356

78. 26327, 3262

106. 16572, 1827

25. 4232, 696

52. 14476, 2051

79. 6846, 2233

107. 18730, 2065

26. 22232, 2448

53. 18904, 3728

80. 11448, 2799

108. 19848, 2464

27. 4266, 1395

54. 23694, 3906

81. 27680, 3432

109. 9464, 4571

89. 15122, 1878 90. 9272, 4488 91. 687, 330 92. 37074, 7338 93. 37899, 7497 94. 17542, 5677 95. 15337, 1904 96. 4207, 1036

120

97. 4791, 594 98. 16814, 5509 99. 25983, 3672 100. 27727, 6832 101. 3120, 1494 102. 17733, 1956

110. 3845, 1245

133. 12485, 1550

156. 4352, 718

179. 26352, 3717

111. 43389, 4788

134. 1966, 484

157. 46422, 5748

180. 12288, 5960

112. 12860, 2125

135. 20286, 6633

158. 7608, 837

181. 7143, 1011

113. 798, 260

136. 8313, 1641

159. 6005, 990

182. 4041, 1311

114. 11883, 2928

137. 42792, 6056

160. 28203, 3500

183. 2986, 422

115. 2589, 636

138. 13617, 2241

161. 4890, 808

184. 36136, 3992

116. 11398, 1614

139. 18837, 2670

162. 9635, 1905

185. 15582, 3073

117. 48048, 7926

140. 2649, 864

163. 7730, 1276

186. 8856, 2176

118. 5194, 1281

141. 22105, 5455

164. 2529, 828

187. 8376, 2718

119. 15340, 1692

142. 6485, 1070

165. 35528, 7032

188. 2980, 1448

120. 9834, 2421

143. 10264, 1448

166. 20732, 3412

189. 34119, 4230

121. 10284, 3354

144. 4672, 1524

167. 2196, 537

190. 9028, 1116

122. 2792, 308

145. 9385, 2295

168. 9764, 2408

191. 27784, 3932

123. 8754, 2868

146. 6615, 730

169. 15351, 2534

192. 1167, 564

124. 11096, 2192

147. 23082, 3273

170. 6648, 2178

125. 9304, 1528

148. 47216, 5208

171. 9544, 1884

126. 22014, 2424

149. 4674, 660

172. 13290, 2185

127. 702, 172

150. 22110, 2733

173. 1473, 705

128. 1743, 847

151. 9541, 1575

174. 12168, 1722

129. 2112, 687

152. 18600, 2048

175. 69560, 7664

130. 24220, 3003

153. 18296, 3600

176. 4435, 2155

131. 40260, 4996

154. 22536, 4458

177. 5154, 1270

132. 2802, 462

155. 3802, 1240

178. 14223, 2016

121

193. 3913, 1267 194. 57320, 6328 195. 37010, 6115 196. 14643, 1611 197. 24150, 3984 198. 4345, 1070 199. 1806, 879 200. 18344, 4520

Задача 19. Заменить a/b подходящей дробью с точностью 1/700. a

b

a

b

a

b

a

b

1. 14494, 961

29. 13131, 871

57. 11378, 755

85. 7288, 453

2. 15191, 1008

30. 10313, 641

58. 8523, 530

86. 16629, 1034

3. 91601, 5696

31. 74797, 4653

59. 147529, 9177

87. 132581, 8250

4. 11217, 698

32. 7160, 419

60. 13928, 815

88. 12709, 744

5. 8421, 493

33. 16416, 961

61. 14873, 871

89. 12888, 755

6. 19108, 1119

34. 17207, 1008

62. 11595, 641

90. 11996, 795

7. 59674, 3955

35. 117442, 7783

63. 106901, 7088

91. 92880, 6161

8. 7432, 493

36. 14488, 961

64. 13051, 866

9. 16864, 1119

37. 11890, 739

65. 10437, 649

10. 13927, 866

38. 12137, 755

66. 9899, 616

11. 106481, 6626

39. 67584, 3955

67. 133008, 7783

12. 10249, 600

40. 8418, 493

68. 16410, 961

13. 9781, 573

41. 19102, 1119

69. 6835, 453

14. 9672, 641

42. 7993, 530

70. 15595, 1034

15. 70144, 4653

43. 138352, 9177

71. 124331, 8250

16. 6741, 419

44. 13113, 815

72. 11965, 744

17. 15455, 961

45. 14002, 871

73. 12133, 755

18. 16199, 1008

46. 10954, 641

74. 9053, 530

19. 97297, 5696

47. 79450, 4653

75. 156706, 9177

20. 11915, 698

48. 7579, 419

76. 8314, 551

21. 11151, 739

49. 9788, 649

77. 8035, 533

22. 11382, 755

50. 9283, 616

78. 18145, 1204

105. 15679, 1040

23. 63629, 3955

51. 125225, 7783

79. 113989, 7088

106. 12791, 795

24. 7925, 493

52. 15449, 961

80. 13917, 866

107. 99041, 6161

25. 17983, 1119

53. 12629, 739

81. 11086, 649

108. 9416, 551

26. 14793, 866

54. 12892, 755

82. 10515, 616

109. 9101, 533

27. 113107, 6626

55. 71539, 3955

83. 78930, 5231

110. 20553, 1204

28. 12298, 815

56. 11221, 744

84. 9784, 649

111. 64909, 4304

92. 8865, 551 93. 8568, 533 94. 19349, 1204 95. 121077, 7088 96. 14783, 866 97. 13309, 882 98. 14126, 937

122

99. 84161, 5231 100. 10433, 649 101. 7741, 453 102. 17663, 1034 103. 140831, 8250 104. 6877, 456

112. 7987, 530

135. 80381, 5002

158. 13861, 812

181. 8635, 573

113. 14191, 882

136. 7789, 456

159. 98186, 6507

182. 15269, 949

114. 15063, 937

137. 17759, 1040

160. 12136, 805

183. 123285, 7669

115. 89392, 5231

138. 7348, 487

161. 9589, 596

116. 11082, 649

139. 127897, 8480

162. 9211, 573

117. 8194, 453

140. 15583, 1034

163. 158681, 9874

118. 10527, 698

141. 12946, 805

164. 15169, 888

119. 75379, 5002

142. 13049, 812

165. 15995, 937

120. 7333, 456

143. 73517, 4304

166. 14320, 949

188. 10519, 698

121. 16719, 1040

144. 9047, 530

167. 115616, 7669

189. 7928, 493

122. 13586, 795

145. 8993, 596

168. 10989, 683

190. 17989, 1119

123. 105202, 6161

146. 8638, 573

169. 11285, 702

191. 111200, 6507

124. 9967, 551

147. 148807, 9874

170. 8322, 487

125. 12141, 805

148. 14281, 888

171. 144857, 8480

126. 12237, 812

149. 15058, 937

172. 17651, 1034

127. 69213, 4304

150. 11923, 698

173. 7435, 493

128. 8517, 530

151. 85383, 5002

174. 16870, 1119

129. 15073, 882

152. 10306, 683

175. 104693, 6507

196. 9649, 600

130. 16000, 937

153. 10583, 702

176. 12941, 805

197. 9208, 573

131. 94623, 5231

154. 7835, 487

177. 10185, 596

198. 16218, 949

132. 13393, 888

155. 136377, 8480

178. 9784, 573

199. 130954, 7669

133. 14121, 937

156. 16617, 1034

179. 168555, 9874

134. 11225, 698

157. 13751, 805

180. 9049, 600

184. 11672, 683 185. 11987, 702

123

186. 8809, 487 187. 85905, 5696

192. 13746, 805 193. 10781, 596 194. 13061, 866 195. 99855, 6626

200. 6322, 419

Задача 20. Решить сравнение ax = b (mod m). a

b

m

a

b

m

a

b

m

1. 251, 28, 1053

29. 265, 29, 1097

57. 231, 31, 949

2. 394, 23, 1619

30. 94, 9, 593

58. 82, 13, 507

3. 173, 26, 1071

31. 127, 14, 779

59. 463, 30, 2843

4. 194, 28, 1185

32. 38, 36, 277

60. 128, 34, 937

5. 71, 22, 510

33. 251, 6, 1806

61. 265, 35, 1892

6. 406, 11, 2899

34. 394, 27, 2801

62. 94, 28, 875

7. 59, 30, 253

35. 203, 28, 877

63. 253, 30, 1061

8. 82, 27, 339

36. 292, 35, 1209

9. 447, 23, 1837

37. 117, 17, 739

10. 222, 17, 1375

38. 210, 40, 1289

11. 305, 39, 1863

39. 59, 26, 430

12. 110, 18, 791

40. 82, 33, 585

13. 123, 12, 874

41. 447, 32, 3178

14. 94, 24, 405

42. 82, 35, 343

15. 127, 24, 525

43. 463, 6, 1917

16. 38, 18, 239

44. 128, 5, 809

17. 251, 15, 1555

45. 265, 33, 1627

18. 394, 21, 2407

46. 94, 12, 687

19. 173, 35, 1244

47. 127, 22, 906

20. 194, 29, 1379

48. 38, 8, 353

21. 117, 21, 505

49. 131, 25, 549

22. 210, 23, 869

50. 142, 40, 583

77. 97, 8, 401

23. 59, 37, 371

51. 203, 24, 1283

78. 520, 38, 2137

24. 82, 31, 503

52. 292, 39, 1793

79. 253, 31, 1567

25. 447, 35, 2731

53. 117, 40, 856

80. 284, 10, 1735

26. 222, 13, 1597

54. 210, 24, 1499

81. 131, 6, 942

27. 305, 7, 2168

55. 59, 8, 548

82. 142, 30, 1009

28. 128, 29, 553

56. 160, 23, 671

83. 107, 18, 461

64. 284, 7, 1167 65. 131, 10, 811 66. 142, 17, 867 67. 203, 21, 1486 68. 292, 27, 2085 69. 45, 21, 193 70. 292, 27, 1225

124

71. 449, 40, 1845 72. 160, 22, 991 73. 231, 12, 1411 74. 82, 12, 589 75. 463, 4, 3306 76. 68, 20, 293

84. 152, 35, 629

114. 308, 24, 1891

144. 104, 15, 739

85. 45, 19, 283

115. 107, 30, 782

145. 81, 31, 349

86. 292, 12, 1809

116. 152, 40, 1085

146. 112, 33, 463

87. 449, 21, 2743

117. 45, 16, 418

147. 593, 40, 2437

88. 160, 11, 1151

118. 152, 20, 637

148. 210, 9, 1301

89. 231, 31, 1642

119. 161, 15, 661

149. 339, 8, 2071

90. 136, 30, 587

120. 60, 40, 371

150. 152, 12, 1093

91. 239, 7, 989

121. 349, 9, 2143

151. 161, 39, 1144

92. 68, 10, 429

122. 136, 21, 995

152. 98, 37, 423

93. 97, 15, 595

123. 239, 28, 1706

153. 181, 39, 749

94. 520, 28, 3177

124. 68, 23, 633

154. 52, 34, 327

95. 253, 36, 1820

125. 191, 37, 801

155. 333, 25, 2063

96. 284, 39, 2019

126. 268, 40, 1101

156. 374, 6, 2285

97. 153, 15, 661

127. 93, 8, 575

157. 191, 31, 1374

98. 308, 38, 1275

128. 104, 11, 635

158. 268, 17, 1905

99. 107, 28, 675

129. 153, 37, 1120

159. 155, 36, 669

100. 152, 14, 933

130. 308, 23, 2199

160. 222, 37, 919

101. 45, 10, 328

131. 107, 18, 996

161. 81, 33, 511

102. 292, 13, 2101

132. 210, 8, 881

162. 112, 25, 687

103. 449, 28, 3192

133. 339, 30, 1393

163. 593, 7, 3623

104. 60, 26, 251

134. 152, 28, 941

164. 210, 35, 1511

105. 349, 13, 1445

135. 161, 15, 983

165. 339, 23, 2410

106. 136, 17, 859

136. 60, 18, 431

166. 178, 23, 769

107. 239, 5, 1467

137. 349, 14, 2492

167. 351, 11, 1453

108. 68, 10, 497

138. 52, 25, 223

168. 98, 5, 619

109. 97, 24, 692

139. 333, 31, 1397

169. 181, 29, 1111

110. 520, 13, 3697

140. 374, 25, 1537

170. 52, 40, 379

111. 93, 18, 389

141. 191, 11, 1183

171. 333, 12, 2396

112. 104, 22, 427

142. 268, 12, 1637

172. 374, 6, 2659

113. 153, 11, 967

143. 93, 26, 668

173. 71, 24, 297

125

174. 406, 22, 1681

183. 351, 24, 2155

192. 222, 8, 1585

175. 155, 19, 979

184. 98, 4, 717

193. 81, 8, 754

176. 222, 22, 1363

185. 181, 24, 1292

194. 222, 7, 931

177. 81, 6, 592

186. 52, 6, 483

195. 305, 4, 1253

178. 112, 5, 799

187. 173, 38, 725

179. 593, 29, 4216

188. 194, 20, 797

180. 110, 8, 461

189. 71, 33, 439

181. 123, 23, 505

190. 406, 28, 2493

182. 178, 38, 1125

191. 155, 23, 1134

196. 110, 12, 681 197. 123, 31, 751 198. 178, 35, 1303 199. 351, 14, 2506 200. 38, 14, 163

Задача 21. Решить сравнение ax = b (mod m). a

b

m

a

b

m

a

b

m

1. 52, 34, 847

19. 573, 30, 4695

37. 97, 4, 1759

2. 81, 4, 1483

20. 268, 5, 1108

38. 608, 12, 2516

3. 294, 21, 1269

21. 60, 24, 851

39. 420, 16, 2578

4. 544, 8, 3436

22. 82, 39, 1327

40. 1060, 32, 8628

5. 284, 4, 2324

23. 131, 19, 2383

6. 356, 41, 1492

24. 640, 12, 2684

7. 68, 4, 973

25. 444, 12, 2750

8. 94, 21, 1533

26. 291, 18, 2367

9. 117, 37, 2143

27. 492, 33, 2036

41. 93, 7, 678 42. 82, 34, 1159 43. 112, 6, 1807 44. 181, 4, 3283 45. 666, 6, 2757

10. 120, 20, 502

28. 110, 37, 1561

11. 328, 12, 2028

29. 152, 35, 2461

12. 393, 30, 3219

30. 191, 6, 3475

13. 516, 25, 2164

31. 328, 32, 1356

14. 98, 36, 1403

32. 224, 12, 1374

15. 136, 11, 2219

33. 724, 36, 5892

50. 210, 18, 3389

16. 71, 38, 1291

34. 358, 5, 1482

51. 265, 36, 4807

17. 330, 6, 1383

35. 160, 14, 2271

52. 114, 30, 717

18. 608, 24, 3764

36. 222, 34, 3595

53. 208, 12, 1724

126

46. 616, 8, 3782 47. 135, 7, 579 48. 220, 41, 1608 49. 152, 9, 2149

54. 162, 17, 698

84. 60, 15, 971

114. 1060, 40, 4388

55. 158, 7, 1156

85. 82, 26, 1491

115. 76, 10, 630

56. 222, 17, 3139

86. 262, 20, 1098

116. 236, 29, 1012

57. 308, 20, 4971

87. 320, 16, 1982

117. 243, 28, 1776

58. 180, 8, 772

88. 888, 12, 7276

118. 181, 9, 2559

59. 272, 4, 1716

89. 291, 10, 1203

119. 222, 14, 3583

60. 188, 14, 1562

90. 71, 32, 1007

120. 308, 31, 5587

61. 234, 5, 1010

91. 110, 21, 1781

121. 180, 28, 1132

62. 98, 9, 704

92. 152, 14, 2765

122. 136, 10, 1130

63. 38, 6, 619

93. 573, 21, 2403

123. 321, 25, 1383

64. 52, 15, 951

94. 164, 16, 1006

124. 468, 21, 3424

65. 243, 18, 1047

95. 448, 4, 3644

125. 265, 20, 3747

66. 294, 18, 1857

96. 724, 13, 2996

126. 38, 37, 695

67. 272, 20, 2262

97. 131, 20, 1859

127. 104, 10, 446

68. 284, 13, 1188

98. 160, 4, 2591

128. 162, 16, 1022

69. 45, 34, 643

99. 222, 19, 4039

129. 294, 6, 2445

70. 68, 22, 1109

100. 291, 24, 1203

130. 310, 11, 1338

71. 94, 6, 1721

101. 608, 24, 3732

131. 213, 25, 1530

72. 468, 36, 2020

102. 420, 2, 3418

132. 45, 5, 733

73. 180, 21, 1113

103. 530, 3, 2194

133. 68, 36, 1245

74. 246, 15, 2013

104. 191, 17, 2711

134. 188, 16, 810

75. 393, 7, 1647

105. 82, 9, 1323

135. 234, 20, 1478

76. 81, 35, 1159

106. 112, 4, 2031

136. 180, 24, 1473

77. 98, 5, 1599

107. 543, 15, 2247

137. 186, 7, 778

78. 136, 9, 2491

108. 888, 36, 5452

138. 52, 35, 743

79. 142, 8, 594

109. 1232, 20, 10028

139. 81, 8, 1321

80. 440, 40, 2724

110. 90, 7, 656

140. 98, 38, 1795

81. 304, 18, 2490

111. 97, 27, 1371

141. 408, 3, 1761

82. 382, 17, 1602

112. 152, 18, 2453

142. 142, 4, 878

83. 117, 10, 1675

113. 210, 25, 3809

143. 220, 8, 1802

127

144. 692, 41, 2900

164. 304, 4, 2474

184. 135, 9, 1119

145. 94, 26, 1345

165. 478, 21, 1978

185. 165, 10, 711

146. 117, 40, 1909

166. 152, 22, 2157

147. 60, 20, 1091

167. 191, 22, 3093

148. 328, 12, 1372

168. 82, 4, 1487

149. 393, 3, 2433

169. 448, 16, 1852

150. 320, 8, 2622

170. 543, 30, 3333

151. 1012, 9, 4244

171. 888, 24, 7228

190. 156, 15, 981

152. 136, 40, 1947

172. 702, 19, 2906

191. 324, 36, 2692

153. 71, 5, 1149

173. 222, 26, 3151

192. 158, 9, 682

154. 110, 16, 2001

174. 97, 32, 1565

155. 608, 16, 2548

175. 152, 9, 2757

156. 573, 18, 3549

176. 840, 12, 3476

157. 164, 12, 1334

177. 795, 18, 4881

158. 254, 19, 1050

178. 93, 19, 399

159. 82, 15, 1163

179. 177, 22, 1290

197. 282, 27, 1779

160. 131, 18, 2121

180. 112, 36, 1583

198. 351, 12, 2919

161. 160, 28, 2911

181. 181, 10, 2921

199. 196, 37, 820

162. 444, 14, 1862

182. 222, 39, 4027

200. 38, 18, 543

163. 194, 20, 1190

183. 924, 9, 3825

186. 428, 9, 3128 187. 210, 6, 2969 188. 265, 35, 4277 189. 76, 16, 326

193. 620, 41, 4536 194. 308, 35, 4355 195. 45, 22, 823 196. 272, 40, 1172

Задача 22. Решить систему сравнений a1 x ≡ b1 (mod m1 ) a2 x ≡ b2 (mod m2 ) a3 x ≡ b3 (mod m3 ) с коэффициентами [a1 , b1 , m1 ]; [a2 , b2 , m2 ]; [a3 , b3 , m3 ]. 1. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 2, 5 ], [ 6, 13, 19 ]

7. [ 5, 1, 4 ], [ 6, 6, 7 ], [ 4, 3, 13 ]

2. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 3, 7 ], [ 4, 13, 17 ]

8. [ 5, 1, 4 ], [ 6, 5, 7 ], [ 6, 15, 19 ]

3. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 10, 11 ], [ 6, 9, 13 ] 9. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 9, 11 ], [ 4, 6, 17 ] 4. [ 5, 3, 4 ], [ 12, 10, 11 ], [ 4, 12, 19 ] 10. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 4, 5 ], [ 6, 10, 13 ]

5. [ 5, 5, 6 ], [ 12, 1, 5 ], [ 6, 9, 17 ]

11. [ 5, 5, 6 ], [ 12, 2, 5 ], [ 4, 4, 19 ]

6. [ 7, 1, 6 ], [ 6, 4, 7 ], [ 4, 4, 13 ]

128

12. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 3, 7 ], [ 6, 6, 17 ]

42. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 3, 5 ], [ 4, 8, 13 ]

13. [ 7, 5, 6 ], [ 6, 3, 11 ], [ 4, 4, 13 ]

43. [ 5, 1, 8 ], [ 6, 1, 5 ], [ 6, 3, 19 ]

14. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 4, 11 ], [ 4, 7, 13 ]

44. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 3, 7 ], [ 4, 5, 17 ]

15. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 6, 11 ], [ 6, 5, 19 ]

45. [ 5, 7, 8 ], [ 8, 1, 11 ], [ 6, 8, 13 ]

16. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 2, 5 ], [ 4, 10, 17 ]

46. [ 5, 5, 8 ], [ 12, 4, 11 ], [ 4, 2, 19 ]

17. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 1, 7 ], [ 6, 4, 13 ]

47. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 3, 5 ], [ 4, 16, 17 ]

18. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 1, 7 ], [ 4, 6, 19 ]

48. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 2, 7 ], [ 6, 1, 13 ]

19. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 4, 11 ], [ 6, 5, 17 ]

49. [ 5, 5, 8 ], [ 6, 6, 7 ], [ 4, 6, 13 ]

20. [ 7, 5, 8 ], [ 6, 4, 5 ], [ 4, 10, 13 ]

50. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 5, 7 ], [ 6, 3, 19 ]

21. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 4, 5 ], [ 4, 10, 13 ]

51. [ 5, 1, 8 ], [ 8, 1, 11 ], [ 4, 16, 17 ]

22. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 1, 5 ], [ 6, 5, 19 ]

52. [ 5, 3, 4 ], [ 12, 4, 5 ], [ 4, 1, 13 ]

23. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 4, 7 ], [ 4, 9, 17 ]

53. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 4, 5 ], [ 6, 2, 19 ]

24. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 2, 11 ], [ 6, 8, 13 ]

54. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 5, 7 ], [ 4, 3, 17 ]

25. [ 5, 5, 6 ], [ 12, 7, 11 ], [ 4, 6, 19 ]

55. [ 7, 3, 4 ], [ 6, 4, 11 ], [ 6, 12, 13 ]

26. [ 5, 5, 8 ], [ 12, 4, 5 ], [ 6, 5, 17 ]

56. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 8, 11 ], [ 4, 11, 13 ]

27. [ 7, 3, 8 ], [ 6, 6, 7 ], [ 4, 7, 13 ]

57. [ 5, 7, 8 ], [ 6, 9, 11 ], [ 6, 17, 19 ]

28. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 6, 7 ], [ 4, 1, 13 ]

58. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 1, 5 ], [ 6, 6, 17 ]

29. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 2, 7 ], [ 6, 2, 19 ]

59. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 4, 7 ], [ 4, 5, 13 ]

30. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 9, 11 ], [ 4, 12, 17 ]

60. [ 5, 3, 4 ], [ 12, 3, 7 ], [ 6, 10, 19 ]

31. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 1, 5 ], [ 6, 8, 13 ]

61. [ 7, 3, 4 ], [ 6, 9, 11 ], [ 4, 16, 17 ]

32. [ 5, 1, 8 ], [ 12, 2, 5 ], [ 4, 3, 19 ]

62. [ 7, 5, 6 ], [ 6, 2, 5 ], [ 6, 7, 13 ]

33. [ 5, 7, 8 ], [ 12, 1, 7 ], [ 6, 15, 17 ]

63. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 4, 5 ], [ 6, 4, 13 ]

34. [ 7, 1, 8 ], [ 6, 2, 11 ], [ 4, 10, 13 ]

64. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 3, 5 ], [ 4, 5, 19 ]

35. [ 5, 5, 6 ], [ 6, 6, 11 ], [ 4, 3, 13 ]

65. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 1, 7 ], [ 6, 3, 17 ]

36. [ 5, 5, 6 ], [ 6, 6, 11 ], [ 6, 11, 19 ]

66. [ 5, 3, 4 ], [ 12, 7, 11 ], [ 4, 10, 13 ]

37. [ 5, 7, 8 ], [ 8, 4, 5 ], [ 4, 10, 17 ]

67. [ 5, 3, 4 ], [ 12, 3, 11 ], [ 6, 4, 19 ]

38. [ 5, 1, 8 ], [ 8, 2, 7 ], [ 6, 1, 13 ]

68. [ 7, 5, 6 ], [ 6, 2, 5 ], [ 4, 4, 17 ]

39. [ 5, 5, 8 ], [ 12, 2, 7 ], [ 4, 9, 19 ]

69. [ 5, 1, 4 ], [ 6, 1, 5 ], [ 4, 9, 17 ]

40. [ 5, 7, 8 ], [ 12, 4, 11 ], [ 6, 2, 17 ]

70. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 2, 7 ], [ 6, 6, 13 ]

41. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 2, 5 ], [ 6, 12, 13 ]

71. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 2, 7 ], [ 4, 14, 19 ]

129

72. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 7, 11 ], [ 6, 4, 17 ]

102. [ 5, 3, 8 ], [ 12, 4, 7 ], [ 6, 18, 19 ]

73. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 2, 5 ], [ 4, 3, 13 ]

103. [ 7, 7, 8 ], [ 6, 1, 11 ], [ 4, 14, 17 ]

74. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 1, 5 ], [ 6, 4, 19 ]

104. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 7, 11 ], [ 4, 2, 17 ]

75. [ 7, 1, 6 ], [ 6, 5, 7 ], [ 4, 5, 17 ]

105. [ 5, 5, 8 ], [ 6, 1, 5 ], [ 6, 3, 13 ]

76. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 2, 7 ], [ 4, 5, 17 ]

106. [ 5, 1, 8 ], [ 8, 1, 5 ], [ 4, 5, 19 ]

77. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 5, 11 ], [ 6, 5, 13 ]

107. [ 5, 5, 8 ], [ 8, 1, 7 ], [ 6, 15, 17 ]

78. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 10, 11 ], [ 4, 5, 19 ]

108. [ 5, 1, 8 ], [ 12, 7, 11 ], [ 4, 7, 13 ]

79. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 2, 5 ], [ 6, 10, 17 ]

109. [ 5, 3, 8 ], [ 12, 3, 11 ], [ 6, 8, 19 ]

80. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 4, 7 ], [ 4, 4, 13 ]

110. [ 7, 3, 4 ], [ 6, 1, 5 ], [ 6, 12, 17 ]

81. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 5, 7 ], [ 6, 4, 19 ]

111. [ 5, 1, 8 ], [ 6, 3, 5 ], [ 4, 15, 17 ]

82. [ 7, 1, 6 ], [ 6, 9, 11 ], [ 4, 10, 17 ]

112. [ 5, 1, 8 ], [ 6, 4, 7 ], [ 6, 10, 13 ]

83. [ 5, 1, 4 ], [ 6, 1, 11 ], [ 4, 5, 17 ]

113. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 4, 7 ], [ 4, 5, 19 ]

84. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 1, 5 ], [ 6, 8, 13 ]

114. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 7, 11 ], [ 6, 10, 17 ]

85. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 3, 5 ], [ 4, 2, 19 ]

115. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 1, 5 ], [ 6, 12, 13 ]

86. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 6, 7 ], [ 6, 14, 17 ]

116. [ 7, 3, 4 ], [ 6, 3, 5 ], [ 4, 11, 19 ]

87. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 10, 11 ], [ 4, 11, 13 ]

117. [ 7, 3, 4 ], [ 6, 5, 7 ], [ 6, 4, 17 ]

88. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 5, 11 ], [ 6, 5, 19 ]

118. [ 5, 1, 8 ], [ 6, 5, 7 ], [ 4, 11, 17 ]

89. [ 7, 3, 8 ], [ 6, 4, 5 ], [ 4, 14, 17 ]

119. [ 5, 1, 8 ], [ 6, 8, 11 ], [ 6, 3, 13 ]

90. [ 5, 5, 6 ], [ 6, 4, 5 ], [ 4, 1, 17 ]

120. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 3, 11 ], [ 4, 7, 19 ]

91. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 1, 7 ], [ 6, 8, 13 ]

121. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 2, 5 ], [ 4, 8, 17 ]

92. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 4, 7 ], [ 4, 6, 19 ]

122. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 3, 7 ], [ 6, 2, 13 ]

93. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 8, 11 ], [ 6, 15, 17 ]

123. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 3, 7 ], [ 4, 4, 19 ]

94. [ 5, 7, 8 ], [ 12, 3, 5 ], [ 4, 8, 13 ]

124. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 8, 11 ], [ 6, 14, 17 ]

95. [ 5, 3, 8 ], [ 12, 2, 5 ], [ 6, 5, 19 ]

125. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 1, 11 ], [ 4, 5, 17 ]

96. [ 7, 3, 8 ], [ 6, 3, 7 ], [ 4, 4, 17 ]

126. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 4, 5 ], [ 4, 3, 13 ]

97. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 6, 7 ], [ 4, 12, 17 ]

127. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 1, 5 ], [ 6, 13, 19 ]

98. [ 5, 5, 6 ], [ 6, 5, 11 ], [ 6, 4, 13 ]

128. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 3, 7 ], [ 4, 14, 17 ]

99. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 10, 11 ], [ 4, 5, 19 ]

129. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 7, 11 ], [ 6, 7, 13 ]

100. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 4, 5 ], [ 6, 4, 17 ]

130. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 9, 11 ], [ 4, 14, 19 ]

101. [ 5, 3, 8 ], [ 12, 4, 7 ], [ 4, 9, 13 ]

131. [ 7, 1, 6 ], [ 6, 1, 5 ], [ 6, 11, 17 ]

130

132. [ 5, 1, 4 ], [ 6, 2, 5 ], [ 6, 9, 17 ]

162. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 4, 11 ], [ 6, 18, 19 ]

133. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 3, 7 ], [ 4, 5, 13 ]

163. [ 5, 3, 8 ], [ 12, 3, 5 ], [ 4, 14, 17 ]

134. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 1, 7 ], [ 6, 2, 19 ]

164. [ 5, 5, 8 ], [ 12, 2, 7 ], [ 6, 6, 13 ]

135. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 6, 11 ], [ 4, 6, 17 ]

165. [ 7, 3, 8 ], [ 6, 2, 7 ], [ 4, 16, 19 ]

136. [ 5, 5, 6 ], [ 12, 3, 5 ], [ 6, 3, 13 ]

166. [ 5, 5, 6 ], [ 6, 3, 7 ], [ 4, 1, 19 ]

137. [ 7, 5, 6 ], [ 6, 4, 5 ], [ 4, 6, 19 ]

167. [ 5, 5, 6 ], [ 6, 1, 11 ], [ 6, 4, 17 ]

138. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 4, 5 ], [ 4, 17, 19 ]

168. [ 5, 1, 8 ], [ 8, 3, 5 ], [ 4, 1, 13 ]

139. [ 5, 1, 4 ], [ 6, 4, 7 ], [ 6, 16, 17 ]

169. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 1, 5 ], [ 6, 14, 19 ]

140. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 3, 11 ], [ 4, 7, 13 ]

170. [ 5, 1, 8 ], [ 12, 2, 7 ], [ 4, 9, 17 ]

141. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 3, 11 ], [ 6, 6, 19 ]

171. [ 5, 1, 8 ], [ 12, 7, 11 ], [ 6, 4, 13 ]

142. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 3, 5 ], [ 4, 15, 17 ]

172. [ 7, 5, 8 ], [ 6, 10, 11 ], [ 4, 6, 19 ]

143. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 1, 7 ], [ 6, 4, 13 ]

173. [ 5, 5, 6 ], [ 6, 9, 11 ], [ 4, 1, 19 ]

144. [ 7, 5, 6 ], [ 6, 4, 7 ], [ 4, 16, 19 ]

174. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 1, 5 ], [ 6, 13, 17 ]

145. [ 5, 1, 4 ], [ 6, 5, 7 ], [ 4, 15, 19 ]

175. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 2, 7 ], [ 4, 10, 13 ]

146. [ 5, 1, 4 ], [ 6, 6, 11 ], [ 6, 13, 17 ]

176. [ 5, 7, 8 ], [ 8, 4, 7 ], [ 6, 11, 19 ]

147. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 1, 5 ], [ 4, 4, 13 ]

177. [ 5, 1, 8 ], [ 12, 2, 11 ], [ 4, 3, 17 ]

148. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 2, 5 ], [ 6, 3, 19 ]

178. [ 7, 3, 4 ], [ 6, 1, 5 ], [ 4, 6, 13 ]

149. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 6, 7 ], [ 4, 11, 17 ]

179. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 2, 5 ], [ 6, 7, 19 ]

150. [ 5, 5, 6 ], [ 12, 2, 11 ], [ 6, 9, 13 ]

180. [ 5, 1, 8 ], [ 6, 3, 5 ], [ 4, 8, 19 ]

151. [ 7, 5, 6 ], [ 6, 5, 11 ], [ 4, 8, 19 ]

181. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 5, 7 ], [ 6, 15, 17 ]

152. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 10, 11 ], [ 4, 4, 19 ]

182. [ 5, 1, 8 ], [ 8, 7, 11 ], [ 4, 3, 13 ]

153. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 4, 5 ], [ 6, 7, 17 ]

183. [ 5, 3, 8 ], [ 8, 1, 11 ], [ 6, 2, 19 ]

154. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 2, 7 ], [ 4, 10, 13 ]

184. [ 5, 3, 4 ], [ 12, 2, 5 ], [ 6, 16, 17 ]

155. [ 5, 5, 6 ], [ 8, 6, 7 ], [ 6, 17, 19 ]

185. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 4, 7 ], [ 4, 1, 13 ]

156. [ 5, 1, 6 ], [ 12, 4, 11 ], [ 4, 16, 17 ]

186. [ 7, 3, 4 ], [ 6, 5, 7 ], [ 6, 6, 19 ]

157. [ 5, 7, 8 ], [ 12, 1, 5 ], [ 6, 8, 13 ]

187. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 4, 7 ], [ 4, 9, 19 ]

158. [ 7, 3, 8 ], [ 6, 3, 5 ], [ 4, 1, 19 ]

188. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 2, 11 ], [ 6, 12, 17 ]

159. [ 5, 1, 6 ], [ 6, 3, 5 ], [ 4, 14, 19 ]

189. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 1, 5 ], [ 6, 7, 13 ]

160. [ 5, 5, 6 ], [ 6, 1, 7 ], [ 6, 10, 17 ]

190. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 1, 5 ], [ 4, 12, 19 ]

161. [ 5, 1, 6 ], [ 8, 7, 11 ], [ 4, 5, 13 ]

191. [ 5, 3, 4 ], [ 12, 1, 7 ], [ 6, 12, 17 ]

131

192. [ 7, 3, 4 ], [ 6, 3, 11 ], [ 4, 7, 13 ]

197. [ 5, 1, 4 ], [ 12, 2, 7 ], [ 4, 2, 19 ]

193. [ 7, 1, 4 ], [ 6, 5, 11 ], [ 6, 1, 19 ]

198. [ 5, 3, 4 ], [ 12, 10, 11 ], [ 6, 3, 17 ]

194. [ 5, 3, 8 ], [ 6, 6, 11 ], [ 4, 17, 19 ]

199. [ 7, 5, 6 ], [ 6, 1, 5 ], [ 4, 3, 13 ]

195. [ 5, 1, 4 ], [ 8, 4, 5 ], [ 4, 14, 17 ]

200. [ 5, 3, 4 ], [ 6, 2, 5 ], [ 4, 7, 13 ]

196. [ 5, 3, 4 ], [ 8, 4, 7 ], [ 6, 1, 13 ]

Задача 23. Решить в целых неотрицательных числах уравнение ax + by = c. a

b

c

a

b

c

a

b

c

1. 14, 47, 1905

23. 20, 37, 2160

45. 27, 29, 2419

2. 18, 41, 2283

24. 25, 31, 2469

46. 32, 23, 2008

3. 24, 37, 2464

25. 30, 29, 2458

47. 40, 19, 2802

4. 28, 31, 2615

26. 36, 23, 1817

48. 48, 17, 2265

5. 35, 29, 3438

27. 45, 19, 2862

49. 14, 13, 418

6. 42, 23, 2639

28. 12, 17, 442

50. 18, 11, 519

7. 10, 19, 576

29. 16, 13, 623

8. 15, 17, 845

30. 21, 11, 559

9. 20, 13, 737

31. 25, 47, 3155

10. 25, 11, 759

32. 30, 41, 4819

11. 28, 47, 3971

33. 36, 37, 4385

12. 35, 41, 4050

34. 45, 31, 4532

13. 42, 37, 4927

35. 12, 29, 869

14. 10, 31, 1045

36. 16, 23, 940

15. 15, 29, 1034

37. 21, 19, 1259

16. 20, 23, 1757

38. 27, 17, 1199

17. 25, 19, 1430

39. 32, 13, 1141

62. 48, 41, 6696

18. 30, 17, 1672

40. 40, 11, 1468

63. 14, 37, 1774

19. 36, 13, 1575

41. 45, 47, 6747

64. 18, 31, 2111

20. 45, 11, 1389

42. 12, 41, 1114

65. 24, 29, 2244

21. 10, 47, 1127

43. 16, 37, 2251

66. 28, 23, 1602

22. 15, 41, 1928

44. 21, 31, 1950

67. 35, 19, 2355

51. 21, 47, 3049 52. 27, 41, 2742 53. 32, 37, 3346 54. 40, 31, 3093 55. 48, 29, 5327 56. 14, 23, 1044 57. 18, 19, 1220

132

58. 24, 17, 918 59. 28, 13, 1218 60. 35, 11, 816 61. 40, 47, 5058

68. 42, 17, 2146

98. 16, 17, 868

128. 28, 17, 1031

69. 10, 13, 383

99. 21, 13, 1037

129. 35, 13, 1405

70. 15, 11, 597

100. 27, 11, 812

130. 42, 11, 1145

71. 18, 47, 2533

101. 30, 47, 3957

131. 48, 47, 7885

72. 24, 41, 3042

102. 36, 41, 4334

132. 14, 41, 1799

73. 28, 37, 3105

103. 45, 37, 5013

133. 18, 37, 1783

74. 35, 31, 3664

104. 12, 31, 1321

134. 24, 31, 2550

75. 42, 29, 3381

105. 16, 29, 1191

135. 28, 29, 2415

76. 10, 23, 841

106. 21, 23, 1379

136. 35, 23, 2627

77. 15, 19, 814

107. 27, 19, 1482

137. 42, 19, 2681

78. 20, 17, 913

108. 32, 17, 1668

138. 10, 17, 569

79. 25, 13, 1002

109. 40, 13, 1623

139. 15, 13, 674

80. 30, 11, 890

110. 48, 11, 1538

140. 20, 11, 712

81. 35, 47, 4804

111. 12, 47, 1662

141. 24, 47, 4299

82. 42, 41, 5053

112. 16, 41, 2453

142. 28, 41, 3345

83. 10, 37, 930

113. 21, 37, 2355

143. 35, 37, 4483

84. 15, 31, 1284

114. 27, 31, 1817

144. 42, 31, 3938

85. 20, 29, 1709

115. 32, 29, 2327

145. 10, 29, 1014

86. 25, 23, 1740

116. 40, 23, 2379

146. 15, 23, 1258

87. 30, 19, 1798

117. 48, 19, 2872

147. 20, 19, 978

88. 36, 17, 1700

118. 14, 17, 625

148. 25, 17, 1067

89. 45, 13, 1404

119. 18, 13, 766

149. 30, 13, 1044

90. 12, 11, 370

120. 24, 11, 681

150. 36, 11, 1291

91. 15, 47, 2743

121. 27, 47, 3802

151. 42, 47, 5675

92. 20, 41, 2426

122. 32, 41, 3884

152. 10, 41, 1132

93. 25, 37, 3241

123. 40, 37, 4486

153. 15, 37, 1222

94. 30, 31, 3044

124. 48, 31, 4449

154. 20, 31, 1936

95. 36, 29, 3318

125. 14, 29, 957

155. 25, 29, 1873

96. 45, 23, 3554

126. 18, 23, 1335

156. 30, 23, 2054

97. 12, 19, 668

127. 24, 19, 1297

157. 36, 19, 2040

133

158. 45, 17, 2314

173. 12, 37, 1362

188. 18, 17, 921

159. 12, 13, 436

174. 16, 31, 1133

189. 24, 13, 791

160. 16, 11, 628

175. 21, 29, 1541

190. 28, 11, 903

161. 20, 47, 2227

176. 27, 23, 2050

162. 25, 41, 3722

177. 32, 19, 1877

163. 30, 37, 3313

178. 40, 17, 1993

164. 36, 31, 3754

179. 48, 13, 1910

165. 45, 29, 3727

180. 14, 11, 544

166. 12, 23, 672

181. 16, 47, 2136

167. 16, 19, 776

182. 21, 41, 2368

196. 24, 23, 1929

168. 21, 17, 1029

183. 27, 37, 2376

197. 28, 19, 1121

169. 27, 13, 1007

184. 32, 31, 2330

198. 35, 17, 1998

170. 32, 11, 758

185. 40, 29, 3399

199. 42, 13, 1654

171. 36, 47, 4590

186. 48, 23, 3601

172. 45, 41, 4923

187. 14, 19, 702

191. 32, 47, 5354 192. 40, 41, 4327 193. 48, 37, 4848 194. 14, 31, 1096 195. 18, 29, 1606

200. 10, 11, 366

Задача 24. С помощью таблицы индексов решить сравнение ax ≡ b (mod m). a

b

m

a

b

m

a

b

m

1. 30, 8, 73

13. 18, 19, 71

25. 4, 8, 13

2. 32, 5, 59

14. 2, 3, 17

26. 4, 2, 17

3. 13, 37, 67

15. 1, 7, 13

27. 13, 6, 59

4. 30, 22, 31

16. 3, 9, 47

5. 16, 10, 17

17. 5, 25, 53

6. 7, 1, 13

18. 25, 16, 53

7. 19, 1, 47

19. 57, 74, 97

8. 36, 11, 97

20. 23, 4, 29

9. 3, 15, 29

21. 18, 15, 43

28. 11, 23, 29 29. 13, 36, 47 30. 32, 10, 59 31. 3, 18, 71 32. 8, 12, 17

10. 13, 9, 19

22. 6, 3, 11

33. 12, 5, 13

11. 18, 15, 31

23. 7, 35, 73

34. 12, 1, 17

12. 3, 12, 23

24. 14, 4, 17

35. 9, 11, 17

134

36. 12, 5, 31

66. 56, 11, 61

96. 4, 12, 19

37. 33, 3, 43

67. 5, 22, 23

97. 19, 20, 47

38. 33, 20, 79

68. 74, 34, 79

98. 3, 30, 89

39. 1, 7, 13

69. 41, 11, 47

99. 14, 15, 23

40. 29, 44, 53

70. 21, 25, 37

100. 34, 25, 37

41. 69, 55, 83

71. 16, 32, 71

101. 19, 12, 89

42. 39, 36, 53

72. 27, 38, 43

102. 6, 14, 17

43. 1, 10, 31

73. 10, 3, 17

103. 80, 12, 97

44. 12, 2, 29

74. 1, 5, 29

104. 61, 10, 89

45. 13, 9, 43

75. 28, 13, 43

105. 30, 90, 97

46. 48, 54, 71

76. 4, 16, 37

106. 46, 3, 73

47. 5, 4, 31

77. 29, 22, 47

107. 3, 4, 17

48. 4, 11, 17

78. 53, 23, 59

108. 47, 20, 89

49. 8, 15, 17

79. 11, 44, 89

109. 4, 36, 41

50. 13, 6, 31

80. 10, 27, 53

110. 43, 6, 53

51. 5, 40, 43

81. 52, 32, 61

111. 18, 16, 41

52. 42, 7, 47

82. 3, 21, 31

112. 36, 47, 97

53. 92, 82, 97

83. 3, 9, 11

113. 4, 3, 11

54. 23, 15, 43

84. 14, 16, 41

114. 26, 12, 31

55. 44, 54, 61

85. 9, 7, 11

115. 1, 6, 11

56. 16, 8, 19

86. 60, 2, 89

116. 12, 9, 13

57. 10, 18, 41

87. 19, 15, 23

117. 45, 39, 61

58. 8, 9, 11

88. 11, 16, 17

118. 1, 7, 13

59. 8, 64, 71

89. 40, 43, 79

119. 15, 9, 17

60. 2, 5, 11

90. 6, 24, 71

120. 15, 75, 89

61. 36, 22, 79

91. 79, 75, 83

121. 34, 13, 89

62. 9, 27, 31

92. 26, 59, 67

122. 18, 21, 41

63. 31, 73, 79

93. 22, 10, 61

123. 8, 16, 41

64. 51, 19, 67

94. 14, 2, 31

124. 16, 8, 17

65. 14, 5, 23

95. 31, 62, 79

125. 38, 13, 47

135

126. 8, 1, 23

152. 15, 24, 37

178. 24, 29, 67

127. 27, 31, 53

153. 21, 10, 29

179. 47, 46, 59

128. 16, 2, 31

154. 8, 2, 11

180. 11, 5, 13

129. 14, 34, 53

155. 25, 17, 79

130. 47, 13, 79

156. 25, 78, 97

131. 39, 23, 47

157. 49, 26, 83

132. 35, 11, 41

158. 9, 13, 41

133. 2, 9, 11

159. 25, 39, 43

134. 16, 8, 19

160. 5, 15, 67

135. 87, 77, 97

161. 26, 12, 37

186. 36, 1, 41

136. 67, 35, 83

162. 15, 30, 79

187. 17, 56, 97

137. 19, 2, 31

163. 37, 28, 61

188. 41, 45, 73

138. 14, 3, 19

164. 28, 31, 53

189. 17, 16, 23

139. 13, 31, 43

165. 6, 48, 59

190. 43, 52, 67

140. 42, 50, 59

166. 50, 45, 61

141. 24, 10, 43

167. 6, 18, 61

142. 40, 43, 79

168. 24, 19, 29

143. 7, 6, 11

169. 14, 3, 19

144. 54, 37, 71

170. 6, 3, 11

145. 12, 31, 89

171. 40, 13, 67

146. 71, 69, 73

172. 2, 4, 71

196. 29, 1, 43

147. 21, 3, 23

173. 21, 20, 37

197. 58, 37, 79

148. 26, 21, 31

174. 47, 22, 83

198. 86, 74, 89

149. 29, 17, 43

175. 37, 15, 59

199. 7, 10, 13

150. 31, 62, 89

176. 29, 20, 61

151. 56, 29, 59

177. 12, 10, 37

181. 52, 14, 67 182. 13, 19, 23 183. 20, 11, 29 184. 31, 14, 37 185. 10, 20, 23

191. 37, 33, 41 192. 9, 21, 23 193. 18, 35, 37 194. 38, 76, 83 195. 14, 29, 41

200. 61, 68, 79

Задача 25. С помощью таблицы индексов решить сравнение axk ≡ b (mod m). a

k

b

m

a

k

b

m

136

a

k

b

m

1. 30, 197, 52, 89

31. 78, 157, 91, 97

61. 12, 151, 6, 13

2. 21, 173, 25, 43

32. 38, 179, 2, 79

62. 8, 127, 10, 41

3. 39, 197, 71, 79

33. 45, 167, 27, 53

63. 5, 117, 20, 47

4. 64, 163, 66, 97

34. 9, 191, 14, 19

64. 25, 159, 8, 47

5. 60, 177, 33, 89

35. 7, 199, 16, 19

65. 17, 137, 40, 43

6. 18, 131, 46, 73

36. 17, 169, 28, 37

66. 15, 173, 12, 19

7. 30, 113, 21, 31

37. 35, 189, 21, 53

67. 24, 143, 19, 41

8. 24, 155, 14, 89

38. 1, 173, 10, 19

68. 31, 113, 47, 97

9. 90, 167, 13, 97

39. 8, 107, 4, 43

69. 4, 187, 11, 43

10. 20, 149, 19, 43

40. 35, 155, 43, 79

70. 39, 159, 50, 53

11. 38, 137, 37, 79

41. 22, 163, 3, 79

71. 2, 155, 3, 19

12. 61, 101, 3, 67

42. 2, 157, 8, 17

72. 8, 135, 2, 23

13. 7, 171, 5, 11

43. 3, 187, 1, 13

73. 3, 185, 42, 59

14. 12, 119, 3, 19

44. 10, 151, 8, 11

74. 3, 133, 5, 13

15. 28, 149, 14, 31

45. 34, 129, 40, 59

75. 16, 107, 24, 59

16. 29, 139, 15, 37

46. 48, 163, 38, 53

76. 4, 109, 3, 37

17. 10, 103, 8, 13

47. 5, 139, 28, 31

77. 36, 101, 50, 71

18. 25, 129, 44, 53

48. 25, 101, 5, 31

78. 20, 103, 52, 79

19. 5, 169, 4, 19

49. 8, 163, 12, 17

79. 6, 101, 9, 19

20. 17, 151, 20, 61

50. 6, 137, 51, 67

80. 27, 113, 25, 71

21. 54, 199, 4, 71

51. 70, 109, 63, 79

81. 66, 193, 69, 79

22. 6, 129, 3, 17

52. 16, 169, 50, 67

82. 3, 151, 6, 29

23. 61, 193, 19, 89

53. 22, 175, 17, 47

83. 10, 199, 13, 19

24. 14, 193, 13, 17

54. 38, 109, 2, 53

84. 31, 137, 54, 67

25. 33, 167, 7, 37

55. 69, 193, 26, 97

85. 40, 129, 43, 47

26. 30, 103, 51, 67

56. 18, 115, 7, 23

86. 19, 121, 27, 29

27. 15, 137, 20, 71

57. 40, 133, 34, 79

87. 13, 133, 11, 31

28. 4, 187, 18, 31

58. 30, 129, 64, 71

88. 22, 163, 4, 59

29. 20, 149, 17, 23

59. 4, 129, 12, 41

89. 29, 151, 31, 43

30. 18, 129, 6, 47

60. 15, 199, 21, 37

90. 70, 119, 72, 73

137

91. 8, 189, 47, 53

121. 34, 149, 50, 89

151. 26, 173, 25, 31

92. 40, 183, 39, 53

122. 16, 107, 8, 37

152. 5, 111, 10, 17

93. 36, 133, 25, 79

123. 49, 181, 26, 89

153. 45, 179, 24, 71

94. 12, 107, 4, 37

124. 21, 143, 30, 43

154. 32, 127, 10, 43

95. 34, 103, 19, 43

125. 11, 145, 60, 67

155. 25, 121, 2, 41

96. 7, 143, 8, 59

126. 9, 193, 10, 43

156. 46, 139, 76, 79

97. 19, 119, 15, 47

127. 39, 117, 5, 41

157. 53, 151, 39, 73

98. 47, 127, 48, 79

128. 5, 155, 6, 29

158. 2, 131, 1, 13

99. 29, 131, 23, 67

129. 5, 167, 20, 23

159. 20, 179, 7, 89

100. 39, 181, 40, 43

130. 20, 115, 4, 29

160. 7, 149, 5, 11

101. 27, 197, 17, 31

131. 24, 137, 11, 31

161. 9, 119, 77, 83

102. 11, 109, 3, 31

132. 14, 159, 13, 59

162. 6, 193, 8, 13

103. 14, 115, 29, 79

133. 3, 133, 6, 13

163. 48, 109, 4, 53

104. 16, 121, 62, 83

134. 16, 193, 18, 19

164. 61, 123, 2, 89

105. 41, 127, 60, 67

135. 27, 127, 23, 31

165. 38, 195, 3, 89

106. 16, 193, 7, 19

136. 11, 133, 16, 31

166. 53, 131, 69, 79

107. 2, 193, 10, 31

137. 28, 111, 13, 83

167. 23, 115, 17, 83

108. 64, 199, 94, 97

138. 7, 153, 5, 11

168. 24, 149, 11, 29

109. 46, 107, 6, 47

139. 23, 175, 31, 47

169. 9, 163, 2, 41

110. 6, 129, 19, 23

140. 7, 161, 4, 13

170. 45, 173, 21, 79

111. 9, 191, 27, 61

141. 5, 191, 11, 17

171. 50, 131, 23, 61

112. 7, 137, 19, 29

142. 91, 113, 84, 97

172. 66, 133, 60, 67

113. 13, 115, 45, 73

143. 25, 167, 57, 71

173. 8, 129, 19, 29

114. 16, 135, 18, 23

144. 71, 115, 60, 73

174. 5, 137, 3, 13

115. 29, 171, 49, 71

145. 58, 107, 47, 73

175. 20, 199, 18, 31

116. 3, 191, 7, 19

146. 4, 113, 7, 19

176. 57, 151, 48, 73

117. 22, 103, 60, 73

147. 6, 177, 4, 11

177. 8, 123, 60, 71

118. 23, 167, 20, 53

148. 29, 193, 64, 71

178. 30, 143, 56, 61

119. 15, 179, 24, 43

149. 25, 127, 9, 29

179. 1, 125, 9, 17

120. 13, 117, 14, 23

150. 8, 155, 23, 37

180. 82, 125, 64, 83

138

181. 11, 143, 16, 19

188. 14, 123, 48, 53

195. 16, 173, 6, 17

182. 17, 157, 11, 19

189. 65, 127, 72, 79

196. 70, 127, 9, 73

183. 38, 187, 15, 47

190. 18, 121, 30, 43

197. 22, 103, 15, 31

184. 58, 129, 27, 71

191. 45, 109, 67, 79

198. 2, 197, 23, 67

185. 9, 109, 5, 13

192. 6, 197, 9, 11

186. 25, 157, 49, 73

193. 35, 179, 7, 41

187. 23, 153, 40, 59

194. 64, 179, 30, 71

199. 7, 191, 10, 13 200. 22, 151, 42, 43

Задача 26. С помощью таблицы индексов решить сравнение a · bx ≡ c (mod m). a

b

c

m

a

b

c

m

a

b

c

m

1. 30, 83, 4, 97

21. 18, 29, 16, 43

41. 10, 11, 7, 13

2. 32, 50, 16, 59

22. 57, 33, 68, 71

42. 13, 80, 11, 83

3. 19, 34, 35, 43

23. 9, 2, 3, 19

43. 3, 6, 8, 13

4. 15, 79, 12, 83

24. 7, 7, 9, 11

44. 76, 56, 49, 83

5. 75, 15, 62, 83

25. 6, 11, 41, 67

45. 13, 28, 12, 43

6. 2, 17, 20, 23

26. 73, 14, 19, 97

7. 30, 22, 18, 31

27. 59, 31, 34, 61

8. 12, 45, 20, 73

28. 21, 7, 38, 41

9. 21, 19, 16, 23

29. 23, 7, 34, 41

10. 24, 67, 44, 71

30. 11, 77, 24, 79

11. 36, 15, 35, 41

31. 78, 58, 14, 83

12. 61, 48, 62, 67

32. 8, 10, 11, 17

13. 8, 17, 13, 61

33. 11, 28, 9, 41

14. 10, 38, 59, 89

34. 63, 77, 26, 79

15. 44, 11, 22, 59

35. 12, 34, 16, 53

16. 13, 39, 74, 79

36. 39, 46, 38, 67

55. 57, 11, 14, 67

17. 4, 14, 12, 19

37. 35, 51, 24, 53

56. 13, 24, 1, 31

18. 8, 18, 56, 61

38. 33, 7, 32, 79

57. 14, 7, 1, 23

19. 27, 34, 13, 83

39. 3, 11, 16, 41

58. 2, 10, 22, 29

20. 5, 6, 4, 17

40. 6, 3, 12, 19

59. 3, 24, 29, 37

46. 48, 26, 16, 53 47. 38, 53, 13, 83 48. 34, 8, 17, 53 49. 26, 30, 4, 43 50. 8, 7, 22, 23

139

51. 9, 11, 5, 13 52. 7, 14, 15, 29 53. 43, 22, 14, 71 54. 7, 2, 12, 13

60. 48, 28, 47, 67

90. 9, 8, 12, 29

120. 77, 63, 64, 79

61. 37, 17, 57, 61

91. 51, 5, 49, 97

121. 14, 3, 2, 17

62. 61, 7, 4, 67

92. 61, 74, 80, 97

122. 68, 53, 50, 83

63. 37, 41, 58, 67

93. 1, 24, 44, 59

123. 41, 23, 27, 47

64. 41, 27, 40, 53

94. 12, 32, 23, 37

124. 9, 15, 18, 19

65. 5, 2, 8, 11

95. 73, 71, 11, 83

125. 72, 77, 57, 79

66. 13, 30, 36, 41

96. 64, 40, 39, 73

126. 16, 35, 15, 41

67. 36, 17, 38, 61

97. 13, 19, 9, 37

127. 2, 3, 38, 43

68. 54, 42, 63, 73

98. 1, 5, 43, 47

128. 3, 6, 6, 11

69. 8, 6, 3, 13

99. 1, 11, 3, 17

129. 14, 21, 1, 53

70. 5, 6, 7, 11

100. 36, 6, 6, 59

130. 16, 20, 63, 73

71. 49, 23, 56, 59

101. 42, 23, 49, 97

131. 18, 65, 14, 71

72. 2, 33, 41, 47

102. 15, 52, 42, 59

132. 69, 30, 11, 79

73. 39, 39, 7, 47

103. 1, 7, 6, 11

133. 62, 15, 21, 89

74. 52, 8, 32, 53

104. 61, 63, 9, 89

134. 40, 18, 34, 43

75. 1, 6, 7, 11

105. 30, 14, 73, 97

135. 43, 17, 57, 61

76. 10, 11, 5, 13

106. 9, 11, 5, 13

136. 7, 28, 72, 89

77. 4, 60, 14, 79

107. 25, 2, 18, 61

137. 8, 7, 4, 11

78. 16, 2, 12, 29

108. 28, 22, 38, 47

138. 54, 5, 78, 97

79. 2, 50, 43, 53

109. 29, 21, 35, 97

139. 73, 77, 69, 79

80. 26, 34, 66, 79

110. 43, 45, 30, 53

140. 1, 3, 5, 17

81. 4, 31, 5, 67

111. 10, 11, 15, 31

141. 8, 54, 54, 79

82. 3, 21, 4, 31

112. 45, 7, 38, 61

142. 47, 31, 15, 59

83. 54, 47, 21, 83

113. 9, 3, 33, 43

143. 15, 11, 12, 67

84. 85, 21, 90, 97

114. 26, 21, 7, 31

144. 52, 60, 47, 79

85. 37, 33, 47, 71

115. 12, 10, 17, 19

145. 1, 18, 54, 83

86. 13, 20, 5, 23

116. 30, 22, 14, 31

146. 35, 2, 10, 37

87. 28, 2, 37, 59

117. 22, 11, 2, 23

147. 61, 53, 20, 79

88. 11, 32, 24, 83

118. 47, 40, 74, 97

148. 16, 43, 26, 47

89. 8, 3, 13, 31

119. 30, 3, 18, 31

149. 44, 34, 80, 83

140

150. 64, 26, 14, 73

168. 31, 26, 18, 43

186. 10, 6, 3, 11

151. 15, 7, 25, 41

169. 57, 82, 6, 89

187. 32, 11, 14, 71

152. 9, 2, 8, 19

170. 37, 7, 22, 71

153. 7, 45, 26, 53

171. 4, 3, 26, 31

154. 16, 14, 11, 17

172. 9, 23, 20, 47

155. 3, 18, 24, 29

173. 14, 6, 4, 17

156. 2, 8, 4, 11

174. 12, 15, 6, 19

191. 15, 28, 2, 73

157. 44, 7, 60, 61

175. 9, 32, 61, 67

192. 34, 50, 3, 83

158. 2, 6, 9, 13

176. 8, 7, 9, 11

193. 35, 19, 33, 41

159. 1, 61, 13, 67

177. 81, 54, 57, 83

160. 66, 58, 11, 83

178. 9, 20, 20, 23

161. 13, 10, 12, 17

179. 4, 5, 23, 37

162. 45, 71, 12, 83

180. 40, 18, 32, 53

163. 37, 30, 57, 61

181. 11, 15, 10, 19

164. 13, 14, 41, 59

182. 1, 39, 29, 73

198. 13, 13, 7, 19

165. 27, 7, 56, 71

183. 20, 8, 3, 29

199. 11, 14, 2, 23

166. 65, 60, 60, 73

184. 14, 6, 2, 17

200. 9, 6, 5, 13

167. 1, 14, 15, 19

185. 1, 50, 11, 67

188. 54, 59, 9, 61 189. 4, 15, 2, 37 190. 16, 5, 19, 23

194. 1, 6, 7, 11 195. 23, 34, 29, 43 196. 49, 10, 21, 61 197. 12, 18, 25, 29

Задача 27. Перевести число a из 10-ичной системы счисления в g-ичную. a

g

a

g

a

g

a

g

1. 2448, 5

10. 14860, 7

19. 14052, 7

28. 7947, 7

2. 1633, 6

11. 3233, 6

20. 2321, 5

29. 2901, 6

3. 3656, 6

12. 1797, 6

21. 26266, 8

30. 677, 4

4. 211, 3

13. 10275, 7

22. 11437, 9

31. 233, 3

5. 1786, 5

14. 13810, 8

23. 743, 4

32. 57790, 9

6. 758, 4

15. 2913, 5

24. 11111, 7

33. 1014, 4

7. 7809, 7

16. 3051, 7

25. 874, 4

34. 6224, 6

8. 984, 5

17. 25274, 8

26. 2191, 5

35. 7699, 6

9. 727, 4

18. 1021, 4

27. 2473, 6

36. 26222, 8

141

37. 13591, 8

67. 25903, 8

97. 122, 3

127. 124, 3

38. 382, 4

68. 1439, 5

98. 954, 4

128. 687, 4

39. 12428, 7

69. 1014, 4

99. 133, 3

129. 4201, 6

40. 3014, 7

70. 14114, 8

100. 232, 3

130. 598, 4

41. 121, 3

71. 5473, 7

101. 379, 4

131. 152, 3

42. 6958, 6

72. 887, 4

102. 1108, 5

132. 157, 3

43. 30975, 9

73. 5893, 7

103. 21406, 8

133. 2243, 5

44. 46808, 9

74. 868, 5

104. 598, 4

134. 34098, 9

45. 16490, 9

75. 11192, 7

105. 28663, 8

135. 5108, 8

46. 4210, 6

76. 5485, 6

106. 1406, 5

136. 11171, 8

47. 1469, 5

77. 871, 4

107. 4443, 6

137. 12622, 7

48. 4946, 6

78. 3343, 6

108. 11899, 7

138. 34880, 9

49. 2584, 6

79. 121, 3

109. 421, 4

139. 4017, 7

50. 477, 4

80. 3001, 7

110. 11059, 7

140. 997, 4

51. 1592, 5

81. 2132, 6

111. 5497, 6

141. 7537, 6

52. 478, 4

82. 158, 3

112. 241, 3

142. 133, 3

53. 14073, 8

83. 19146, 8

113. 2994, 5

143. 229, 3

54. 489, 4

84. 2982, 5

114. 7739, 6

144. 6849, 6

55. 124, 3

85. 133, 3

115. 56717, 9

145. 5140, 6

56. 1249, 5

86. 11034, 8

116. 1536, 5

146. 7754, 6

57. 630, 4

87. 5099, 8

117. 971, 5

147. 49715, 9

58. 29807, 9

88. 1042, 5

118. 32653, 9

148. 6472, 6

59. 471, 4

89. 43531, 9

119. 2116, 6

149. 16290, 8

60. 2721, 5

90. 734, 4

120. 23502, 8

150. 239, 3

61. 6029, 6

91. 346, 4

121. 3013, 6

151. 21001, 9

62. 46816, 9

92. 3754, 7

122. 5845, 8

152. 615, 4

63. 1067, 5

93. 152, 3

123. 1493, 5

153. 3734, 6

64. 122, 3

94. 130, 3

124. 358, 4

154. 148, 3

65. 161, 3

95. 7041, 6

125. 2098, 6

155. 121, 3

66. 1018, 4

96. 4289, 7

126. 783, 5

156. 25063, 9

142

157. 45314, 9

168. 49272, 9

179. 4243, 6

190. 2941, 5

158. 6261, 8

169. 52378, 9

180. 607, 4

191. 7233, 6

159. 3046, 5

170. 124, 3

181. 343, 4

192. 747, 4

160. 17962, 9

171. 157, 3

182. 1092, 5

193. 12533, 7

161. 4192, 6

172. 13201, 7

183. 152, 3

162. 6262, 6

173. 238, 3

184. 212, 3

163. 11054, 9

174. 6026, 6

185. 25214, 8

164. 7724, 6

175. 20380, 8

186. 3265, 7

165. 606, 4

176. 937, 4

187. 17567, 8

194. 602, 4 195. 485, 4 196. 36087, 9 197. 13327, 7 198. 4386, 7 199. 425, 4

166. 15956, 7

177. 8495, 7

188. 3332, 6

167. 438, 4

178. 15648, 7

189. 241, 3

200. 599, 4

Задача 28. Перевести число a из g-ичной системы счисления в q-ичную. a

g

q

a

g

q

a

g

q

1. 3135, 7, 9

16. 202002, 3, 5

31. 112001, 3, 6

2. 3255, 7, 8

17. 31100, 4, 7

32. 202100, 3, 5

3. 2203, 4, 5

18. 104202, 5, 8

33. 111331, 5, 8

4. 13303, 5, 6

19. 14531, 6, 8

34. 3462, 8, 9

5. 10203, 6, 8

20. 31023, 5, 8

35. 14155, 6, 8

6. 4332, 6, 9

21. 13020, 5, 8

36. 33423, 6, 9

7. 7453, 8, 9 ] ,

22. 14100, 5, 7

37. 14202, 5, 6

8. 111212, 3, 6

23. 10320, 4, 5

38. 10342, 6, 9

9. 2363, 7, 8

24. 10430, 5, 6

39. 3102, 6, 8

10. 23223, 5, 7

25. 110023, 4, 7

40. 10310, 5, 6

11. 110020, 4, 6

26. 111110011, 2, 5

41. 11011011, 2, 5

12. 5004, 7, 8

27. 10654, 8, 9

42. 23011, 4, 6

13. 103213, 5, 8

28. 14415, 7, 8

43. 11011000, 2, 5

14. 12030, 5, 7

29. 10410, 6, 7

44. 121013, 4, 7

15. 100303, 4, 6

30. 5255, 6, 7

45. 1001010000, 2, 5

143

46. 12444, 5, 7

76. 10212, 4, 5

106. 21301, 4, 6

47. 23302, 5, 8

77. 41505, 6, 9

107. 13111, 6, 7

48. 16106, 7, 9

78. 4101, 5, 6

108. 2210, 5, 6

49. 15002, 6, 7

79. 5014, 6, 7

109. 11034, 7, 8

50. 4211, 5, 7

80. 13443, 5, 6

110. 102332, 5, 8

51. 5121, 6, 9

81. 3103, 4, 5

111. 33022, 5, 7

52. 1021100, 3, 6

82. 210022, 3, 6

112. 1000110, 3, 6

53. 22013, 4, 6

83. 111014, 5, 8

113. 1001120, 3, 6

54. 21201, 3, 5

84. 111011, 5, 8

114. 13101, 6, 9

55. 4324, 5, 6

85. 12003, 5, 8

115. 11130, 5, 8

56. 15003, 6, 8

86. 32400, 5, 7

116. 102001, 3, 5

57. 40133, 5, 8

87. 1000111110, 2, 5

117. 23123, 5, 7

58. 30201, 4, 7

88. 13333, 4, 6

118. 3500, 6, 8

59. 1202101, 3, 6

89. 1022110, 3, 6

119. 25022, 6, 8

60. 14512, 6, 7

90. 101100101, 2, 5

120. 202020, 3, 5

61. 12300, 6, 8

91. 101011, 3, 6

121. 1202021, 3, 6

62. 2412, 5, 6

92. 31230, 4, 7

122. 10422, 6, 7

63. 3600, 8, 9

93. 14417, 8, 9

123. 5331, 6, 7

64. 3000, 6, 7

94. 30455, 6, 8

124. 45222, 6, 9

65. 30424, 6, 9

95. 1102022, 3, 6

125. 43241, 6, 9

66. 23014, 6, 8

96. 201000, 3, 6

126. 101133, 4, 7

67. 4016, 8, 9

97. 13213, 6, 7

127. 3451, 7, 8

68. 20331, 5, 7

98. 13214, 5, 6

128. 11310, 7, 8

69. 3205, 6, 8

99. 3000, 4, 5

129. 110000, 3, 5

70. 10222, 4, 6

100. 3203, 7, 8

130. 21304, 5, 7

71. 22115, 6, 8

101. 1110001, 3, 6

131. 3632, 7, 9

72. 12136, 8, 9

102. 24313, 6, 8

132. 1120111, 3, 6

73. 20303, 4, 5

103. 31121, 4, 6

133. 121100, 3, 5

74. 3320, 4, 5

104. 13301, 5, 6

134. 112132, 5, 8

75. 31021, 4, 7

105. 33121, 4, 6

135. 111100110, 2, 5

144

136. 3121, 5, 6

158. 20000, 3, 5

180. 24345, 6, 9

137. 2133, 4, 5

159. 4643, 8, 9

181. 11333, 8, 9

138. 11331, 4, 6

160. 12531, 6, 7

182. 133223, 4, 7

139. 11423, 5, 8

161. 12434, 5, 6

183. 1644, 7, 8

140. 10112, 4, 6

162. 45305, 6, 9

184. 10200, 4, 5

141. 12211, 6, 7

163. 13100, 6, 7

185. 11673, 8, 9

142. 1000101111, 2, 5

164. 100011100, 2, 5

186. 15151, 6, 8

143. 122000, 3, 5

165. 10210, 7, 8

187. 111100110, 2, 5

144. 12211, 3, 5

166. 13276, 8, 9

188. 1001101001, 2, 5

145. 101000, 4, 7

167. 4101, 5, 6

189. 101101010, 2, 5

146. 5333, 6, 7

168. 13256, 7, 8

190. 1112200, 3, 6

147. 1020221, 3, 6

169. 20204, 6, 9

191. 11453, 6, 7

148. 34004, 5, 8

170. 21021, 3, 5

192. 1202211, 3, 6

149. 11010101, 2, 5

171. 133110, 4, 7

193. 5233, 7, 9

150. 13031, 4, 5

172. 1000011101, 2, 5

151. 6053, 7, 9

173. 110101, 3, 5

152. 14456, 7, 8

174. 11204, 5, 8

153. 2411, 6, 7

175. 33303, 5, 7

154. 22333, 4, 6

176. 11411, 5, 7

155. 200000, 4, 7

177. 25144, 6, 9

156. 2110, 7, 8

178. 32103, 4, 7

157. 1120111, 3, 6

179. 14040, 5, 6

194. 14622, 7, 8 195. 1000011, 3, 6 196. 25542, 6, 8 197. 1001210, 3, 6 198. 122112, 3, 5 199. 12711, 8, 9 200. 200012, 3, 5

Задача 29. Найти a+b, a-b, ab в g-ичной системе счисления. a

b

g

a

b

g

a

b

g

1. 2251, 256, 8

6. 1644, 142, 7

11. 1312, 434, 5

2. 3146, 135, 7

7. 3213, 322, 5

12. 6631, 643, 7

3. 6825, 555, 9

8. 5342, 115, 7

13. 5122, 621, 9

4. 5223, 244, 7

9. 2446, 541, 9

14. 5758, 113, 9

5. 3334, 221, 5

10. 6561, 187, 9

15. 1332, 522, 6

145

16. 4343, 114, 5

46. 1133, 422, 5

76. 5514, 125, 6

17. 1346, 163, 7

47. 3531, 521, 7

77. 3773, 428, 9

18. 5351, 424, 6

48. 7267, 514, 8

78. 4442, 242, 5

19. 7885, 667, 9

49. 5452, 366, 7

79. 2311, 331, 7

20. 1343, 142, 5

50. 7542, 477, 8

80. 6814, 446, 9

21. 5171, 668, 9

51. 4761, 445, 9

81. 8583, 687, 9

22. 2213, 114, 5

52. 4341, 435, 6

82. 4452, 133, 7

23. 7447, 367, 9

53. 1211, 724, 8

83. 5164, 535, 8

24. 1662, 513, 9

54. 1244, 332, 5

84. 4213, 444, 5

25. 7322, 477, 9

55. 4133, 312, 5

85. 3323, 151, 6

26. 5374, 147, 8

56. 4133, 511, 7

86. 1141, 122, 5

27. 3222, 221, 5

57. 4412, 331, 5

87. 6452, 267, 9

28. 6126, 156, 7

58. 6761, 145, 8

88. 1342, 553, 6

29. 1223, 124, 5

59. 1421, 214, 5

89. 6722, 462, 8

30. 1726, 231, 9

60. 4412, 441, 5

90. 5216, 421, 7

31. 5645, 217, 8

61. 1667, 677, 9

91. 2321, 444, 5

32. 2331, 423, 5

62. 2214, 221, 5

92. 2141, 242, 5

33. 3666, 622, 8

63. 7352, 113, 8

93. 6217, 767, 8

34. 1241, 423, 6

64. 6513, 263, 7

94. 7253, 562, 9

35. 5861, 537, 9

65. 3138, 883, 9

95. 3411, 224, 5

36. 6236, 211, 8

66. 6664, 174, 8

96. 5323, 514, 7

37. 5332, 521, 6

67. 6632, 212, 7

97. 1235, 653, 7

38. 3323, 526, 8

68. 1615, 763, 9

98. 2211, 131, 7

39. 3534, 344, 6

69. 1434, 212, 5

99. 8258, 633, 9

40. 6227, 243, 8

70. 2442, 245, 7

100. 2224, 341, 6

41. 5137, 756, 8

71. 7747, 622, 9

101. 3525, 542, 7

42. 4542, 544, 8

72. 2235, 321, 6

102. 5252, 126, 7

43. 1461, 255, 7

73. 5212, 112, 6

103. 3342, 323, 5

44. 1447, 263, 8

74. 6257, 731, 8

104. 5214, 366, 7

45. 4444, 423, 5

75. 5314, 141, 6

105. 1372, 436, 9

146

106. 4131, 431, 5

138. 6454, 555, 7

170. 2478, 266, 9

107. 1571, 213, 9

139. 2141, 343, 6

171. 1233, 334, 6

108. 5435, 542, 6

140. 2832, 641, 9

172. 3753, 574, 8

109. 3872, 142, 9

141. 3345, 231, 6

173. 6624, 233, 8

110. 5225, 356, 7

142. 5325, 414, 6

174. 4132, 242, 5

111. 1412, 431, 5

143. 2412, 432, 6

175. 4123, 234, 5

112. 5715, 422, 9

144. 8311, 616, 9

176. 4542, 513, 7

113. 1634, 165, 7

145. 3254, 351, 6

177. 3155, 134, 7

114. 3313, 142, 5

146. 3416, 311, 7

178. 1411, 524, 6

115. 2314, 131, 8

147. 4314, 114, 5

179. 5377, 641, 9

116. 1756, 513, 9

148. 2177, 773, 8

180. 2215, 354, 6

117. 8871, 765, 9

149. 6615, 353, 7

181. 3233, 435, 6

118. 1344, 547, 8

150. 4433, 425, 6

182. 5643, 445, 8

119. 5611, 426, 7

151. 3175, 755, 8

183. 1746, 532, 9

120. 8332, 646, 9

152. 2431, 144, 5

184. 4126, 222, 9

121. 3313, 353, 6

153. 3637, 646, 8

122. 1762, 125, 8

154. 7366, 153, 8

123. 3413, 333, 5

155. 2441, 123, 6

124. 3222, 132, 6

156. 2613, 461, 8

125. 4426, 511, 8

157. 4523, 225, 6

126. 6113, 856, 9

158. 4537, 615, 8

127. 4324, 313, 5

159. 8525, 577, 9

128. 5442, 344, 6

160. 3222, 724, 8

129. 6634, 236, 9

161. 6327, 337, 8

130. 6616, 378, 9

162. 3124, 523, 6

131. 2173, 174, 8

163. 2367, 638, 9

132. 1515, 233, 6

164. 4442, 424, 6

133. 4534, 631, 7

165. 2425, 884, 9

134. 5366, 245, 7

166. 6534, 416, 9

135. 5423, 513, 6

167. 7772, 763, 8

136. 3144, 115, 6

168. 4517, 366, 8

137. 2332, 123, 5

169. 6512, 544, 7

185. 3862, 715, 9 186. 3423, 122, 6 187. 4111, 142, 5 188. 4325, 252, 6 189. 1134, 211, 5 190. 3344, 212, 5 191. 6682, 513, 9 192. 1544, 343, 6 193. 2625, 533, 7 194. 7622, 346, 8 195. 5161, 485, 9 196. 4422, 654, 8 197. 3454, 353, 6 198. 2165, 337, 8 199. 4287, 428, 9

147

200. 4763, 722, 8

Список литературы

[1] Боревич З.И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972. [2] Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960. [3] Виленкин Н.Я. Алгебра и теория чисел, ч. III. М.: Просвещение, 1974. [4] Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. [5] Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. М.: Просвещение, 1964. [6] Девенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М.: Наука, 1965. [7] Живые числа: Пять экскурсий. В. Боро, Д. Цагир и др. М.: Мир, 1985. [8] Ильиных А.П. Числовые системы: Учебное пособие/ Уральский гос. пед. университет. Екатеринбург. 2003 [9] Кочева А. А. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. Учебн. пособ. для студентов-заочников 2 курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1984. [10] Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. М.: Просвещение, 1970. [11] Михелович Ш.Х. Теория чисел. М.: Высшая школа, 1967. [12] Окунев Л.Я. Краткий курс теории чисел. М.: Учпедгиз, 1956. [13] Хинчин А.Я. Цепные дроби. М.: Физматгиз, 1961.

148

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Ильиных Анатолий Петрович Теория чисел Учебное пособие

Компьютерная верстка: А.П. Ильиных Редактор Т. В. Васильева Подписано в печать 29.08.2003. Формат 60 × 84 1/16. Бумага для множ. аппаратов. Печать ротапринтная. Усл. печ. л. 0,0. Уч.- изд. л. 0,0. Тираж 200 экз. Заказ Оригинал-макет отпечатан в отделе множительной техники Уральского государственного педагогического университета 620219 Екатеринбург, ГСП-135, просп. Космонавтов, 26 E-mail: [email protected]