Энергетические соотношения в задачах о колебаниях

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèåв âзадачах âóçàõ. Ò.о9,колебаниях ¹ 4, 2003 Энергетические соотношения

57

Энергетические соотношения в задачах о колебаниях В.Н. Кологривов Московский физикотехнический институт (Государственный университет) 141700, Долгопрудный, Московская область, Институтский пер., 9 Обсуждается использование закона изменения энергии в задачах механики на колебания систем с одной степенью свободы.

Наиболее распространенный прием решения задач на составление уравнений (или отыскание характеристик) колебательного движения системы – применение законов для производной импульса и/или момента импульса. Другой прием, использующий энергетические соотношения, применяют реже. Однако, этот способ, уступая в наглядности первому, позволяет существенно упростить решение [1]. Поскольку обычно колебательное движение изучается после ознакомления с законом изменения (сохранения) механической энергии, второй способ заслуживает более широкого распространения. Закон изменения механической энергии имеет вид:

Δ ( Ê + Ï) = A * ,

ρρ ρο &tq*+→ &q0= ⋅(q& Δ A Ê =Ï ∑⋅G Δt) ⋅ q& G

(1)

где К, П – кинетическая и потенциальная энергии системы, – работа неконсервативных сил. Если для описания движения выбрана координата q, то при малых перемещениях очевидно:

ρ

ρ ρ A* = ∑ G ⋅ Δq .

Здесь G неконсервативная сила, – приращение координаты. Суммирование производится по всем неконсервативным силам, действующим на тела системы. В качестве q может быть выбрана как линейная, так и угловая координата. Тогда в первом случае – сила, во втором – момент силы. ρο Поскольку , где q – орт положительного направления оси q (неизменный во времени), то:

ρ ρ A* = ∑ G ⋅ q οq&Δt = (∑ G )q&Δt ,

(2)

где G означает проекции сил на направление оси q. Подставив (2) в (1), разделив обе части уравнения на интервал времени Δt и перейдя к пределу при , получим: .

(3)

58

В.Н. Кологривов

Это выражение и является основой решения задач. В элементарной теории рассматривают незатухающие

(∑ G = 0) ,

затухающие (∑ G = −αq&) и вынужденные колебания ( ∑ G = −αq&+ f cos Ωt или ). Здесь

– коэффициент сопротивления, f – амплитуда и

– угловая частота вынуждающей силы (все они не зависят то времени). Выражение для кинетической энергии очевидно:

(B = const ) .

(4)

Чтобы представить потенциальную энергию учтем, что для возникновения колебаний должна существовать возвращающая сила (F), пропорциональная отклонению от положения равновесия (q 0 ) :

F = −2A(q − q 0 ) , (A,

(5)

q 0  const, двойка введена для удобства). Поскольку F – результирующая консервативных сил, можем написать:

dÏ = 2 A (q − q 0 ) . dq Откуда, интегрируя, находим:

Ï = Aq 2 − 2Aq 0 q + c = Aq 2 + bq + c , где

b = −2Aq 0 и c – постоянные.

Если потенциальную энергию в положении равновесия равной нулю, из (6) следует: 2 Ï = A(q - q 0 ) .

(6)

(q = q 0 )

принять

(6А)

После подстановки (4), (6) в (3) и очевидных преобразований приходим к дифференциальному уравнению:

& q&+

A (q − q 0 ) = ∑ G . B 2B

(7)

Подводя итоги, отметим: а) если потенциальная энергия системы имеет вид (6, 6А), а неконсервативные силы отсутствуют или представлены выражением типа:

Энергетические соотношения в задачах о колебаниях

∑ G = −αq&+ f cos Ωt (или где

),

59 (8)

– система совершает колебательное движение;

б) собственная частота колебаний (ω0 ) определяется отношением коэффициентов при q 2 и q&2 в формулах потенциальной и кинетической энергий:

ω02 =

A ; B

(9)

в) положение равновесия задается коэффициентами при потенциальной энергии: ; г) коэффициент затухания

δ=

q 2 и q в формуле

(10)

(δ) равен

α . 4B

(11)

(−Amax ))t Зная δ , амплитуду вынужденных колебаний – q 20 Ω αq&(+q f−bsin q 0 >= ⎛⎜− α ⎞⎟ фазе, нетрудно найти по известным формулам [3]; B ⎝ 42BA⎠

и сдвиг по

д) использование вместо q другой, линейно связанной с q, координаты ничего

Рисунок 1.

60

В.Н. Кологривов

принципиально не меняет. Поэтому выражения (4) и (6) можно записывать, исходя из соображений удобства. Однако, кинетическая и потенциальная энергии, как и неконсервативные силы, должны быть выражены через одну и ту же координату. 2. Рассмотрим колебания тела массы m, подвешенного на двух нерастяжимых нитях длины l, совершаемые в плоскости нитей (рис. 1). Из нерастяжимости нитей следует,  движение тела поступательно, а, значит, и центр масс C будет двигаться по дуге окружности радиуса l (но со своим центром O). Реакции нитей всегда нормальны к траектории точек крепления и работы не совершают. В качестве переменной во времени координаты (q) удобно выбрать (одинаковый для всех точек тела) угол отклонения от вертикали . Очевидно:

ϕ - mgλ , Ï = mgλ(1 - cosϕ) ~ 2

2

(ϕ << 1) , q 0 = ϕ0 = 0 .

В отсутствие сил сопротивления и вынуждающей силы уравнение движения будет:

g & &+ ϕ = 0 . ϕ λ

Рисунок 2.

Энергетические соотношения в задачах о колебаниях

61

При другом способе решения, пришлось бы учитывать реакции нитей. 3. Решим задачу о малых свободных колебаниях однородного тела вращения (ось симметрии горизонтальна), удерживаемого пружиной на наклонной плоскости (рис. 2). Пусть масса тела – m, радиус – R, момент инерции – J, длина нерастянутой пружины  l0, коэффициент упругости – k. Трение отсутствует. Выберем в качестве переменной во времени координаты положение центра масс – z. Полагая, что тело совершает плоское движение без скольжения, имеем: 2

J ⎛ z&⎞ mz&2 1 ⎛ J ⎞ Ê= ⎜ ⎟ + = ⎜ 2 + m ⎟z&2 . 2⎝R ⎠ 2 2⎝R ⎠ Потенциальная энергия, составленная из упругой и гравитационной, равна:

k (z - λ0 ) Ï= − mgz sin α . 2 2

(нуль энергии гравитации в т. O). В соответствии с (8) и (9), находим:

⎛ J ⎞ mg ω02 = k ⎜ 2 + m ⎟ , z 0 = λ0 + sin α . k ⎝R ⎠ 4. Другие примеры использования энергетического метода в задачах на механические колебания приведены в [1, 2, 3]. Отметим, что этот метод полезен и при изучении электрических колебаний. Автор признателен А.Д. Гладуну за внимание к работе.

Литература 1. Сивухин Д.В. «Общий курс физики. Т.1, Механика»; М., Наука, 1989. 2. Жукарев А.С., Матвеев А.Н., Петерсон В.К. «Задачи повышенной сложности в курсе общей физики»; М., УРСС, 2001. 3. Стрелков С.Н. «Механика»; М., Наука, 1975.