Эллиптические псевдодифференциальные операторы

‹¥ª¶¨¿ 1 1. ¥ª®²®°»¥ ²¥®°¥¬» ®¡ ¨­¤¥ª±¥

  11-© «¥ª¶¨¨ ¢ ¯°®¸«®¬ ±¥¬¥±²°¥ ¡»«  ±´®°¬³«¨°®¢ ­  ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ . 1. ˆ­¤¥ª± ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ´°¥¤£®«¼¬®¢»µ ®¯¥° ²®°®¢.

(j = 1; 2; 3), ¨ ¯³±²¼ A1 : H1 ! H2 ¨ A2 : H2 ! H3 { ´°¥¤£®«¼¬®¢» ®¯¥° ²®°». ’®£¤  A2 A1 : H1 ! H3 { ´°¥¤£®«¼¬®¢ ®¯¥° ²®° ¨ ’¥®°¥¬  1.

DZ³±²¼

Hj

{ £¨«¼¡¥°²®¢» ¯°®±²° ­±²¢ 

{ (A2 A1 )

= { (A2 ) + { (A1 ):

(1)

’ ª ¿ ¦¥ ²¥®°¥¬  ¢¥°­  ¤«¿ ®¯¥° ²®°®¢ ¢ ¡ ­ µ®¢»µ ¯°®±²° ­±²¢ µ, ­® ¬» ®£° ­¨·¨¬±¿ ±«³· ¥¬ ®¯¥° ²®°®¢ ¢ £¨«¼¡¥°²®¢»µ ¯°®±²° ­±²¢ µ. „®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž¯¥° ²®°» A1 ¨ A2 ¨¬¥¾² (¤¢³±²®°®­­¨¥) ¯ ° ¬¥²°¨ª±» B1 ¨ B2 (±¬. «¥ª¶¨¾ 10 ¢ ¯°®¸«®¬ ±¥¬¥±²°¥). «¥¬¥­² °­® ¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²® B1 B2 { ¯ ° ¬¥²°¨ª± ¤«¿ A2 A1 (¯°®¤¥« ©²¥ ½²® ± ¬®±²®¿²¥«¼­®). Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® A2 A1 { ´°¥¤£®«¼¬®¢ ®¯¥° ²®°. ’¥¯¥°¼ ¡³¤¥¬ ¤®ª §»¢ ²¼ ´®°¬³«³ (1). ˆ¤¥¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±®±²®¨² ¢ ¥£® ±¢¥¤¥­¨¨ ª ±«³· ¾, ª®£¤  ¢±¥ ²°¨ ¯°®±²° ­±²¢  ª®­¥·­®¬¥°­». ¥ ®£° ­¨·¨¢ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬®¦­® ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® Ker A1 = f0g. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ² ª ª ª Ker A2 A1  Ker A1 , ²® ¥±«¨ § ¬¥­¨²¼ H1 ­  H1 Ker A1 , «¥¢ ¿ ¨ ¯° ¢ ¿ · ±²¨ ¢ ´®°¬³«¥ (1) ³¬¥­¼¸ ²±¿ ­  dim Ker A1 . ˆ² ª, ¯³±²¼ ³ A1 ­¥² ­¥²°¨¢¨ «¼­®£® ¿¤° , ² ª ·²® ½²®² ®¯¥° ²®° ¨§®¬®°´­® ®²®¡° ¦ ¥² H1 ­  (§ ¬ª­³²®¥) ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® Im A1 ¢ H2 .  §«®¦¨¬ ¯°®±²° ­±²¢® H2 ¢ ¯°¿¬³¾ ±³¬¬³ ·¥²»°¥µ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢:

H2 = L u L1 u L2 u L3 ;

(2)

£¤¥ ¯°®±²° ­±²¢  Lj ª®­¥·­®¬¥°­». ²¨ ·¥²»°¥ ¯°®±²° ­±²¢  ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

L1 = Ker A2 \ Im A1 ; L = Im A1 L1 ; L2 = Ker A2 L1 ; L3 = (Im A1 u L2 )? : DZ°¨¢¥¤¥¬ ¯®¿±­¥­¨¿. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ±³¬¬  L u L1 ¯°¿¬ ¿ (¤ ¦¥ ®°²®£®­ «¼­ ¿) ¨ ·²® ½²® Im A1 . „ «¥¥, ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨© L1 ¨ L2 ¢¨¤­®, ·²® L2 ­¥ ±®¤¥°¦¨² ­¥­³«¥¢»µ ½«¥¬¥­²®¢ ¨§ Im A1 , ¯®½²®¬³ ±³¬¬  Im A1 u L2 ²®¦¥ ¯°¿¬ ¿. DZ°¨¡ ¢«¿¿ ª ­¥© ¥¥ ®°²®£®­ «¼­®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥ L3 , ¯®«³· ¥¬ (2). Š®­¥·­®¬¥°­®±²¼ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ Lj ±«¥¤³¥² ¨§ ª®­¥·­®¬¥°­®±²¨ ¿¤¥° ¨ ª®¿¤¥° ´°¥¤£®«¼¬®¢»µ ®¯¥° ²®°®¢ A1 ¨ A2 . ’¥¯¥°¼ H1 ¨ H2 ¬®¦¥¬ § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥

H1 = A1 1 L u A1 1 L1 ; H3 = A2 L u A2 L3 u (Im A2 )? :

(3) (4) Typeset by

1

AMS-TEX

2

DZ®¿±­¨¬ ´®°¬³«³ (3): ¢ L2 ¨ L3 ­¥² ½«¥¬¥­²®¢ ¨§ Im A1 ,   ¯°®®¡° §» ¯®¤¯°®±²° ­±²¢ L ¨ L1 ®¯¥° ²®° A1 ®²®¡° ¦ ¥² ­  ½²¨ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢  ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­®. „ «¥¥, ¯®¿±­¨¬ ´®°¬³«³ (4): ®¯¥° ²®° A2  ­­³«¨°³¥² L1 ¨ L2 ¨ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­® ®²®¡° ¦ ¥² ¯®¤¯°®±²° ­±²¢  L ¨ L3 ­  ¨µ ®¡° §». ’¥¯¥°¼ ¬» ¬» ¬®¦¥¬ \®²¹¥¯¨²¼" ¨§®¬®°´¨§¬»

A 1 L ! L ! A2 L; ®¯°¥¤¥«¿¥¬»¥ ±³¦¥­¨¿¬¨ ®¯¥° ²®°®¢ A1 ¨ A2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ­  A 1 L ¨ L. ²¨ ±³¦¥­¨¿ ¨ ¨µ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨¬¥¾² ­³«¥¢»¥ ¨­¤¥ª±». Ž±² ¾²±¿ ª®­¥·­®¬¥°­»¥ ¯°®±²° ­±²¢ 

E1 = A1 1 L1 ; E2 = L1 u L2 u L3 ; E3 = A2 L3 u (Im A2 )? : ‡¤¥±¼ ±³¦¥­¨¥ ®¯¥° ²®°  A1 ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­® ®²®¡° ¦ ¥² E1 ­  L1 ,   c³¦¥­¨¥ ®¯¥° ²®°  A2 ­  E2 ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­® ®²®¡° ¦ ¥² L3 ­  E3 ¨  ­­³«¨°³¥² L1 ¨ L2 . Œ» ±¢¥«¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ´®°¬³«» (1) ª ±«³· ¾, ª®£¤  ¢±¥ ²°¨ ¯°®±²° ­±²¢  ª®­¥·­®¬¥°­». ’¥¯¥°¼ § ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ h1 ¨ h2 { ª®­¥·­®¬¥°­»¥ ¯°®±²° ­±²¢  ¨  : h1 ! h2 { «¨­¥©­»© ®¯¥° ²®°, ²® { ()

= dim h1

dim h2 :

(5)

²® ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ¤®¯®«­¥­¨¥ ª ¿¤°³ ¨ ®¡° § ®¯¥° ²®°   ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ° §¬¥°­®±²¨. ˆ±¯®«¼§³¿ ´®°¬³«³ (5) ¨ ±·¨² ¿ ¯°®±²° ­±²¢  Hj ª®­¥·­®¬¥°­»¬¨, ¡¥§ ²°³¤  ¯®«³· ¥¬ ´®°¬³«³ (1).  2. ƒ®¬®²®¯¨·¥±ª ¿ ¨­¢ °¨ ­²­®±²¼ ¨­¤¥ª±  ½««¨¯²¨·¥±ª®£® DZ„Ž.

DZ°®¡«¥¬  ¢»·¨±«¥­¨¿ ¨­¤¥ª±  ®¡¹¥£® ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®°  ¯®±² ¢«¥­  ˆ.Œ. ƒ¥«¼´ ­¤®¬ ¢ 1960 £. ’®£¤  ¯®­¿²¨¿ DZ„Ž ¥¹¥ ­¥ ¡»«®, ¨ ®­ ¨¬¥« ¢ ¢¨¤³ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ²®°» ¢ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ (¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨ ­  ª®¬¯ ª²­®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ ± ª° ¥¬). ‡ ¤ ·  ¢»§¢ «  ¡®«¼¸®© ¨­²¥°¥± ³ ¬ ²¥¬ ²¨ª®¢, ¥¥ ®ª®­· ²¥«¼­®¥ °¥¸¥­¨¥ ¤«¿ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž ­ ¸«¨ €²¼¿ ¨ ‡¨­£¥° ¢ 1962 £. ˆ­¤¥ª± ¡»« ¢»·¨±«¥­ ¢ ²®¯®«®£¨·¥±ª¨µ ²¥°¬¨­ µ ·¥°¥§ £« ¢­»© ±¨¬¢®«. Œ» ±¥©· ± ®¡±³¤¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ½«¥¬¥­² °­»¥ ±®®¡° ¦¥­¨¿, ¨±¯®«¼§®¢ ­­»¥ ¯°¨ °¥¸¥­¨¨ ½²®© § ¤ ·¨.  ·­¥¬ ± °¥¤³ª¶¨¨ ª ±«³· ¾ DZ„Ž ­³«¥¢®£® ¯®°¿¤ª . DZ³±²¼ A { ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„Ž ¯®°¿¤ª  m ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M . ²® ´°¥¤£®«¼¬®¢ ®¯¥° ²®° ¨§ H m (M ) ¢ H 0 (M ) (¨«¨ ¨§ H m+t (M ) ¢ H t (M ), ­® ¨­¤¥ª± ­¥ § ¢¨±¨² ®² t: ±¬. «¥ª¶¨¾ 11 ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ±¥¬¥±²°¥). †¥« ¿ ¢»·¨±«¨²¼ ¨­¤¥ª± { (A), ¬» ¬®¦¥¬, ­¥ ®£° ­¨·¨¢ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® m = 0. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ±³¹¥±²¢³¥² ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„Ž  m ¯®°¿¤ª  m, ¨§®¬®°´­® ®²®¡° ¦ ¾¹¨© H 0 (M ) ­  H m (M ). ˆ­¤¥ª± ² ª®£® DZ„Ž ° ¢¥­, ª®­¥·­®, ­³«¾, ¨ ¢ ±¨«³ ²°¨¢¨ «¼­®£® ±«¥¤±²¢¨¿ ²®«¼ª® ·²® ¤®ª § ­­®© ²¥®°¥¬» { (A) = { (A m ):

3

‚¯°®·¥¬, ½²® ±«¥¤±²¢¨¥, ±®±²®¿¹¥¥ ¢ ²®¬, ·²®

¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨ ´°¥¤£®«¼¬®¢ 

, «¥£ª® ¯°®¢¥°¿¥²±¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® (¯°®¢¥°¼²¥ ± ¬¨). DZ®«³·¥­­»© DZ„Ž ¨¬¥¥² ­³«¥¢®© ¯®°¿¤®ª. „ «¥¥, ­  £« ¤ª®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M ¢±¥£¤  ¬®¦­® ¢¢¥±²¨ £« ¤ª³¾ °¨¬ ­®¢³ ¬¥²°¨ª³ { ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ ª ± ²¥«¼­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ Tx M , ¯®§¢®«¿¾¹¥¥ ¨§¬¥°¿²¼ ¤«¨­» ­¥ ²®«¼ª® ¢ Tx M , ­® ¨ ­  M . ‘ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ Tx M ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­­®© ¬ ²°¨¶¥© { ª®¢ °¨ ­²­»¬ ²¥­§®°®¬ ¯®°¿¤ª  2. ‚®§¼¬¥¬ ®¡° ²­³¾ ¬ ²°¨¶³, ½²® ª®­²° ¢ °¨ ­²­»© ²¥­§®° ¯®°¿¤ª  2. Ž­ ®¯°¥¤¥«¿¥² ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ ª®ª ± ²¥«¼­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ T  M . ˆ² ª, ¢ ’  M ®¯°¥¤¥«¥­  ¤«¨­  ª®¢¥ª²®° . Š®¢¥ª²®°» ¤«¨­» 1 ®¡° §³¾² ±´¥°³ Sx M ,   ¢±¥ ¢¬¥±²¥ ½²¨ ±´¥°» ®¡° §³¾² ° ±±«®¥­¨¥ S  M ¥¤¨­¨·­»µ ±´¥°. Œ» ³²¢¥°¦¤ ¥¬, ·²® ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ª DZ„Ž ¯®°¿¤ª  0 ¬» ¬®¦¥¬ ±®µ° ­¨²¼ ­¥¨§¬¥­­»¬ £« ¢­»© ±¨¬¢®« ­  S  M . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ DZ„Ž  m ¬» ¬®¦¥¬ § ° ­¥¥ § ¤ ²¼ ¥£® £« ¢­»© ±¨¬¢®« 0 (x;  ) (®¤­®°®¤­»© ¯®°¿¤ª  m ¯®  ), ¨ ¬®¦­® ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ®­ ° ¢¥­ 1 ­  S  M . DZ°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¤¢³µ DZ„Ž ®²¢¥· ¥² ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨µ £« ¢­»µ ±¨¬¢®«®¢, ² ª ·²® £« ¢­»¥ ±¨¬¢®«» ¨±µ®¤­®£® ¨ ¯®«³·¥­­®£® DZ„Ž ±®¢¯ ¤ ¾² ­  S  M . ƒ« ¢­»© ±¨¬¢®« ¯®«³·¥­­®£® DZ„Ž ®¤­®°®¤¥­ ±²¥¯¥­¨ 0 ¯®  . Ž­ ¯®«­®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±¢®¨¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ ­  S  M , ¨ ¬» ²¥¯¥°¼ ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¥£® ª ª ´³­ª¶¨¾ ­  S  M . ²® £« ¤ª ¿ (ª« ±±  C 1 ) ´³­ª¶¨¿ ­  S  M , ¥±«¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ±ª «¿°­»¥ ®¯¥° ²®°», ¢±¾¤³ ®²«¨·­ ¿ ®² ­³«¿. ‚ ±«³· ¥ ¬ ²°¨·­®£® DZ„Ž ½²® £« ¤ª ¿ ¬ ²°¨¶ , ¢±¾¤³ ­¥¢»°®¦¤¥­­ ¿.  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ £®¬®²®¯¨¾ At (0  t  1) ¢ ª« ±±¥ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž ­³«¥¢®£® ¯®°¿¤ª  § ¤ ­­®© ° §¬¥°­®±²¨, ­ ¯°¨¬¥°, ±ª «¿°­»µ. ²®² DZ„Ž § ¢¨±¨² ®² t ­¥¯°¥°»¢­® ¢ ±¬»±«¥ ®¯¥° ²®°­®© ­®°¬» ¢ H 0 (M ).   «¥ª¶¨¨ 11 ¢ ¯°®¸«®¬ ±¥¬¥±²°¥ ¬» ¯°®¢¥°¨«¨, ·²® ¢±¥ ®¯¥° ²®°», ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª¨¥ ª ¤ ­­®¬³ ´°¥¤£®«¼¬®¢³ ®¯¥° ²®°³ A ¯® ­®°¬¥, (´°¥¤£®«¼¬®¢» ¨) ¨¬¥¾² ²®² ¦¥ ¨­¤¥ª±. ®«¥¥ ²®·­®, ¢¥°­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ª®²®°®¥ ±¥©· ± ³¤®¡­® ¯®¤£®²®¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ «¥¬¬»: ‹¥¬¬  1. …±«¨ B { ¯ ° ¬¥²°¨ª± ¤«¿ A ¨ k
Ak < kB k 1 , ²® ®¯¥° ²®° A +
A ´°¥¤£®«¼¬®¢ ¨ { (A +
A) = { (A): DZ®½²®¬³ ¢±¥ ®¯¥° ²®°» At ¨¬¥¾² ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ ¨­¤¥ª±. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ t (x;  ) £« ¢­»© ±¨¬¢®« DZ„Ž At . ƒ®¬®²®¯¨¨ DZ„Ž At ®²¢¥· ¥² £®¬®²®¯¨¿ t (0  t  1) ¨µ £« ¢­»µ ±¨¬¢®«®¢. ²® £®¬®²®¯¨¿ ¯® £« ¤ª¨¬ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬ ±¨¬¢®« ¬. DZ³±²¼ ²¥¯¥°¼ ¤ ­» ¤¢  ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ £« ¢­»µ ±¨¬¢®«  0 ¨ 1 , ±¢¿§ ­­»¥ ­¥¯°¥°»¢­®© £®¬®²®¯¨¥© t (0  t  1). ‡¤¥±¼ t (x;  ) { ½²® ¢±¾¤³ ®²«¨·­ ¿ ®² ­³«¿ ´³­ª¶¨¿ (¨«¨ ­¥¢»°®¦¤¥­­ ¿ ¬ ²°¨¶  § ¤ ­­®£® ¯®°¿¤ª ) ­  S  M , ­¥¯°¥°»¢­® § ¢¨±¿¹ ¿ ®² (t; x;  ). ³¤¥² ¤®ª § ­  ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ : ’¥®°¥¬  2. ˆ­¤¥ª±» DZ„Ž A0 ¨ A1 ±®¢¯ ¤ ¾². ®¯¥° ²®°  ­  ®¡° ²¨¬»© ®¯¥° ²®° ¨­¤¥ª± ­¥ ¬¥­¿¥²±¿

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥¯°¥°»¢­»¥ ´³­ª¶¨¨ t (x;  ) ¬®¦­® ° ¢­®¬¥°­®  ¯¯°®ª±¨¬¨°®¢ ²¼ £« ¤ª¨¬¨ ¯® (x;  ), ¯®½²®¬³, ­¥ ®£° ­¨·¨¢ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬®¦­®

4

¯°¥¤¯®«®¦¨²¼ ´³­ª¶¨¨ t (x;  ) £« ¤ª¨¬¨ ¯® (x;  ). ƒ« ¤ª®¬³ £« ¢­®¬³ ±¨¬¢®«³ t ¬®¦­® ±®¯®±² ¢¨²¼ ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„Ž. DZ„Ž ­  M ¨¬¥¾² ¢¨¤

A=

N X j

'j Aj j
;

(6)

£¤¥ j -¥ ±« £ ¥¬®¥ ®²¢¥· ¥² j -© ª®®°¤¨­ ²­®© ®ª°¥±²­®±²¨, 'j (x) ¨ j (x) { £« ¤ª¨¥ ´³­ª¶¨¨ ± ­®±¨²¥«¿¬¨ ¢ ½²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ¨ Aj { DZ„Ž ¢ R n ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ. ‚ · ±²­®±²¨,

At =

N X 1

'j (x)Aj;t j (x);

£¤¥ Aj;t { ±¥¬¥©±²¢® ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž ¢ R n ± ­¥¯°¥°»¢­»¬¨ ¯® t ±¨¬¢®« ¬¨. ˆµ ¬« ¤¸¨¥ ·«¥­» ­¥ ¢«¨¿¾² ­  ¨­¤¥ª± ®¯¥° ²®°  A, ¨ ¬» µ®²¨¬ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ½²¨¬ ¨ ¯®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ t ¢ ¤®±² ²®·­® ¬ «®© ®ª°¥±²­®±²¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²®·ª¨ t0 ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥­±²¢® { (At ) = { (At0 ):

  «¥ª¶¨¨ 7 ¢ ¯°®¸«®¬ ±¥¬¥±²°¥ ¤«¿ DZ„Ž A ¯®°¿¤ª  0 ¢ R n ¡»«  ³±² ­®¢«¥­  ®¶¥­ª  kAuk0  (MA + ")kuk0 + C" kuk 1 ; £¤¥ MA { ¢¥°µ­¿¿ £° ­¼ ¬®¤³«¿ £« ¢­®£® ±¨¬¢®«  ¨ " { ¯°®¨§¢®«¼­® ¬ «®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«®. ‡ ²¥¬ ² ¬ ¦¥ ¡»«® ¯®ª § ­®, ·²® ¥±«¨ ¢¥°­  ®¶¥­ª 

kAuk0  C1 kuk0 + C2 kuk 1; ²® ­ ©¤¥²±¿ ®¯¥° ²®° T ¯®°¿¤ª 

1, ¤«¿ ª®²®°®£®

k(A T )uk0  (‘1 + ")kuk0 : ˆ§ ½²¨µ ¤¢³µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ±«¥¤³¥², ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ª®²®°®¥ ²®¦¥ ­ §®¢¥¬ «¥¬¬®©: ‹¥¬¬  2. „«¿ DZ„Ž A ¯®°¿¤ª  0 ¢ R n ¨ «¾¡®£® " > 0 ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ®¯¥° ²®° T = T" ¯®°¿¤ª  1, ·²®

k(A T )uk0  (MA + ")kuk0 :

(7)

DZ¥°¥µ®¤¿ ª DZ„Ž A ³¦¥ ­  M ¯® ´®°¬³«¥ (6), ¬» ¢ ª ·¥±²¢¥ ±«¥¤±²¢¨¿ ¯®«³· ¥¬  ­ «®£¨·­»© °¥§³«¼² ², ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥, ± ´¨ª±¨°®¢ ­­»¬ ¤®¡ ¢®·­»¬ ª®½´´¨¶¨¥­²®¬ C ±¯° ¢ : ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ®¯¥° ²®° T T" ­  M ¯®°¿¤ª  1, ·²® k(A T )uk0  C (MA + ")kuk0 : (8)

5

(Œ®¦¥² ¡»²¼, ½²®² ª®½´´¨¶¨¥­² ¨ ­¥ ­³¦¥­.) DZ³±²¼ t0 { ´¨ª±¨°®¢ ­­ ¿ ²®·ª  ­  [0; 1], B { ¯ ° ¬¥²°¨ª± ¤«¿ At0 ¨ Æ > 0 ­ ±²®«¼ª® ¬ «®, ·²® ¯°¨ jt t0 j < Æ max jt (x;  ) t0 (x;  )j <

1 : 3C kB k

”¨ª±¨°³¿ t ¨§ Æ -®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ t0 ¨ ¯®«¼§³¿±¼ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ¨§ «¥¬¬» 2, ­ ©¤¥¬ ² ª®© ®¯¥° ²®° T ¯®°¿¤ª  1, ·²® kAt At0 T k < 3k2B k : ’®£¤  ¢ ±¨«³ «¥¬¬» 1 { (At ) = { (At

T ) = { (At0 );

·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.  Œ» ²¥¯¥°¼ ¬®¦¥¬ ° ±±¬®²°¥²¼ £®¬®²®¯¨·¥±ª¨¥ ª« ±±» ­¥¯°¥°»¢­»µ ®²®¡° ¦¥­¨© ° ±±«®¥­¨¿ S  M ¢ C n f0g ¨«¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢® ­¥¢»°®¦¤¥­­»µ ª®¬¯«¥ª±­»µ ¬ ²°¨¶ § ¤ ­­®£® ¯®°¿¤ª . Š ¦¤»© ² ª®© ª« ±± ±®¤¥°¦¨² ±¨¬¢®«» ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž ­³«¥¢®£® ¯®°¿¤ª  (² ª ª ª ­¥¯°¥°»¢­»© ­¥¢»°®¦¤¥­­»© ±¨¬¢®« ¬®¦­®  ¯¯°®ª±¨¬¨°®¢ ²¼ £« ¤ª¨¬), ¨ ¨­¤¥ª±» ¢±¥µ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž ¢ ®¤­®¬ ª« ±±¥ ±®¢¯ ¤ ¾². ²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ «¥£ª® ° ±¯°®±²° ­¿¥²±¿ ­  ½««¨¯²¨·¥±ª¨¥ DZ„Ž § ¤ ­­®£® ­¥­³«¥¢®£® ¯®°¿¤ª .

—²® ¨­¤¥ª±» ¤¢³µ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ±®¢¯ ¤ ¾², ¥±«¨ ¨µ ¬®¦­® ±¢¿§ ²¼ £®¬®²®¯¨¥© ¢ ¯°¥¤¥« µ ª« ±±  ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ²®°®¢, ¡»«® ¿±­® ± ± ¬®£® ­ · «  ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿ ¯°®¡«¥¬» ¨­¤¥ª± . ® ¨§³· ²¼ £®¬®²®¯¨¨ ¢ ¯°¥¤¥« µ ª« ±±  ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ®·¥­¼ ±«®¦­®. „°³£®¥ ¤¥«® { ¢ ª« ±±¥ ­¥¯°¥°»¢­»µ ­¥­³«¥¢»µ ´³­ª¶¨© ¨«¨ ­¥¢»°®¦¤¥­­»µ ¬ ²°¨¶ ­  S  M . ˆ¬¥­­® ½²® ¨ ±²¨¬³«¨°®¢ «® ¯®±²°®¥­¨¥ ²¥®°¨¨ DZ„Ž ¢ ­ · «¥ 60-µ ££. € § ²¥¬ ¡»±²°® ¢»¿±­¨«®±¼, ·²® ®­¨ ¯°¨±³²±²¢³¾² ¢±¾¤³ ¢  ­ «¨§¥ ¨ ª« ±±¨·¥±ª®© ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ´¨§¨ª¥.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ { (£« ¤ª ¿) £° ­¨¶  ­¥ª®²®°®© ®£° ­¨·¥­­®© ®¡« ±²¨ ¢ R n+1 ¨ A { ¯®²¥­¶¨ « ¯°®±²®£® ±«®¿ ­  ½²®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¤«¿ ³° ¢­¥­¨¿ ‹ ¯« ±  ¨«¨ ¤«¿ ±¨«¼­® ½««¨¯²¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» 2-£® ¯®°¿¤ª , ²® ¥£® ±³¦¥­¨¥ ­  { ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„Ž (¯®°¿¤ª  1). ˆ­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°», ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬¨ DZ„Ž, ¬» ±¯¥¶¨ «¼­® ° ±±¬®²°¨¬ ¢ ­ ¸¥¬ ª³°±¥. ˆ­¤¥ª± ½««¨¯²¨·¥±ª®£® DZ„Ž ¢ ¤ ­­®¬ ª« ±±¥ ° ¢¥­ ­³«¾, ¥±«¨ ½²®² ª« ±± ±®¤¥°¦¨² ®¡° ²¨¬»© DZ„Ž ¨«¨ µ®²¿ ¡» ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„Ž, ² ª ª ª ³ ² ª¨µ DZ„Ž ¨­¤¥ª± ° ¢¥­ ­³«¾. ¥ § ²° £¨¢ ¿ ®¡¹³¾ ´®°¬³«³ €²¼¨{‡¨­£¥° , ¬» ¬®¦¥¬ ³ª § ²¼ ¯°®±²»¥ ³±«®¢¨¿, ¤®±² ²®·­»¥ ¤«¿ ° ¢¥­±²¢  ¨­¤¥ª±  ­³«¾. ²® ±«¥¤±²¢¨¿ ¨§ ´®°¬³«» €²¼¨{‡¨­£¥° , ­® ®­¨ ¬®£³² ¡»²¼ ¤®ª § ­» ¯°®¹¥ ¨§ ½«¥¬¥­² °­»µ £®¬®²®¯¨·¥±ª¨µ ±®®¡° ¦¥­¨©. ‚®² ®­¨. 1. DZ³±²¼ M { § ¬ª­³² ¿ £¨¯¥°¯®¢¥°µ­®±²¼ ¢ R n+1 . ’®£¤  ¬ ²°¨·­»¥ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¥ DZ„Ž ­  M c ° §¬¥° ¬¨ ¬ ²°¨¶» N  N ¨¬¥¾² ­³«¥¢®© ¨­¤¥ª±, ¥±«¨ N < n.

6

‚ · ±²­®±²¨, ² ª ®¡±²®¨² ¤¥«® ±® ±ª «¿°­»¬¨ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬¨ DZ„Ž, ¥±«¨ dim M ­¥ ¬¥­¼¸¥ 2. DZ°¨ n = 1, ².¥. ª®£¤  M { £« ¤ª ¿ § ¬ª­³² ¿ ª°¨¢ ¿, ½²® ³¦¥ ­¥ ² ª, ¨ ¬» ¯®-¢¨¤¨¬®¬³ ±³¬¥¥¬ ¢ ­ ¸¥¬ ª³°±¥ ®¡±³¤¨²¼ ¢»·¨±«¥­¨¥ ¨­¤¥ª±  ½««¨²¨·¥±ª®£® DZ„Ž ­  ª°¨¢®©. 2. „«¿ ° ¢¥­±²¢  ¨­¤¥ª±  ­³«¾ ¤®±² ²®·­® ² ª¦¥, ·²®¡» £« ¢­»© ±¨¬¢®« ®¡« ¤ « ±¢®©±²¢®¬

 (x;  ) =  (x) (x;  ); ´³­ª¶¨¿ (¨«¨ ­¥¢»°®¦¤¥­­ ¿

 (x) { ­¥­³«¥¢ ¿ ¬ ²°¨¶ ), ­¥ § ¢¨±¿¹ ¿ ®²  . Ž²¬¥²¨¬, ·²® £®¢®°¨²¼ ® ±¯¥ª²° «¼­»µ ±¢®©±²¢ µ ½««¨¯²¨·¥±ª®£® DZ„Ž ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª  ± ­¥­³«¥¢»¬ ¨­¤¥ª±®¬ ­¥² ±¬»±« , ² ª ª ª ¥£® ±¯¥ª²° § ¯®«­¿¥² ¢±¾ ª®¬¯«¥ª±­³¾ ¯«®±ª®±²¼. £¤¥

  ±«¥¤³¾¹¥© «¥ª¶¨¨ ¬» ­ ·­¥¬ ¨§³·¥­¨¥ ®¡¸¨°­®£® ª« ±±  DZ„Ž, ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ± ¯ ° ¬¥²°®¬. DZ ° ¬¥²° ¨§¬¥­¿¥²±¿ ¢ § ¬ª­³²®¬ ³£«¥ (±¥ª²®°¥)  ­  ª®¬¯«¥ª±­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ¢¥°¸¨­®© ¢ ­ · «¥ ª®®°¤¨­ ². DZ°¨ ¡®«¼¸®¬ ¯® ¬®¤³«¾  2  ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ®¡° ²¨¬®±²¼ ®¯¥° ²®° .

7

‹¥ª¶¨¿ 2 2. ««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬

DZ³±²¼ A { DZ„Ž ¨§ m ph (M ) ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª  m ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M , ¯®ª  ¤«¿ ¯°®±²®²» ±ª «¿°­»©, c £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬  (x;  ). ²®² ±¨¬¢®« ¥±²¥±²¢¥­­® ¯®«®¦¨²¼ ° ¢­»¬ ­³«¾ ¯°¨  = 0. DZ³±²¼  { § ¬ª­³²»© ³£®« (±¥ª²®°) ­  ª®¬¯«¥ª±­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ¢¥°¸¨­®© ¢ ­ · «¥ ª®®°¤¨­ ². DZ„Ž A ­ §»¢ ¥²±¿ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ , ¥±«¨ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.

 (x;  )  6= 0 ¯°¨ x 2 M;  2 ; (; ) 6= 0:

(1)

DZ°®±²¥©¸¨¥ ¯°¨¬¥°»: 1. …±«¨ £« ¢­»© ±¨¬¢®«  (x;  ) ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ´³­ª¶¨¥©, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥© ³±«®¢¨¾ ½««¨¯²¨·­®±²¨, ²® A ½««¨¯²¨·¥­ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ «¾¡®¬ (§ ¬ª­³²®¬) ³£«¥ , ­¥ ¨¬¥¾¹¥¬ ®¡¹¨µ ²®·¥ª ± ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ®±¼¾, ª°®¬¥ ­ · «  ª®®°¤¨­ ². …±«¨ ¯°¨ ½²®¬ £« ¢­»© ±¨¬¢®« ¯°¨­¨¬ ¥² ²®«¼ª® ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿ (­  ­¥­³«¥¢»µ ª®ª ± ²¥«¼­»µ ¢¥ª²®° µ), ²® ½««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ «¾¡®¬ ³£«¥ , ­¥ ¨¬¥¾¹¥¬ ®¡¹¨µ ²®·¥ª ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¯®«³®±¼¾, ª°®¬¥ ­ · «  ª®®°¤¨­ ². ’ ª®¢, ¢ · ±²­®±²¨, ®¯¥° ²®° ¥«¼²° ¬¨{‹ ¯« ±  ± ®¡° ²­»¬ §­ ª®¬
­  °¨¬ ­®¢®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨. 2. DZ„Ž A ­ §®¢¥¬ ±¨«¼­® ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬, ¥±«¨ Re  (x;  )  ‘ j jm

(2)

(¬» ±·¨² ¥¬, ·²® ­  ¬­®£®®¡° §¨¨ ¢¢¥¤¥­  ¬¥²°¨ª , ² ª ·²® ¬®¦­® £®¢®°¨²¼ ® ¤«¨­¥ ª®ª ± ²¥«¼­®£® ¢¥ª²®° ). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ½««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ § ¬ª­³²®© «¥¢®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨. (DZ®¤ ±¨«¼­®© ½««¨¯²¨·­®±²¼¾ ¢ «¨²¥° ²³°¥ · ¹¥ ¯®­¨¬ ¾² ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¼ £« ¢­®£® ±¨¬¢®« ; ­ ¸¥ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¡®«¥¥ ¦¥±²ª¨¬.) ˆ§ ³±«®¢¨¿ (1) ±«¥¤³¥² ½««¨¯²¨·­®±²¼: ¤®±² ²®·­® ¯®«®¦¨²¼  = 0. Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¨§ ½««¨¯²¨·­®±²¨ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ±«¥¤³¥² ®¡° ²¨¬®±²¼ ®¯¥° ²®°  A I ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2  ¨ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¨±±«¥¤®¢ ²¼ °¥§®«¼¢¥­²³ (A I ) 1 , ·²® ®²ª°»¢ ¥² ¯¥°±¯¥ª²¨¢³ ¨§³· ²¼ ¤°³£¨¥ ´³­ª¶¨¨ ®² A. Œ» ­ ·­¥¬ ±® ±«³· ¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ¨ ¤®ª ¦¥¬ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®¡ ®¡° ²¨¬®±²¨ ª« ±±¨·¥±ª¨¬ ¬¥²®¤®¬ «®ª «¨§ ¶¨¨, ª®²®°»© ¡»« ¨§¢¥±²¥­ § ¤®«£® ¤® ¯®¿¢«¥­¨¿ ¨±·¨±«¥­¨¿ DZ„Ž ¨ · ±²® ¯®«¥§¥­ ¨ ¢ ­ ¸¥ ¢°¥¬¿. ˆ² ª, ¬» ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³. ’¥®°¥¬  1. DZ³±²¼ ®¯¥° ²®° ¢ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ A ­  M c £« ¤ª¨¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª  m ½««¨¯²¨·¥­ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ ³£«¥ . ’®£¤  ³° ¢­¥­¨¥ (A I )u = f (3) 0 m ± ¯° ¢®© · ±²¼¾ ¨§ H (M ) ¨¬¥¥² ®¤­® ¨ ²®«¼ª® ®¤­® °¥¸¥­¨¥ u 2 H (M ) ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2 . DZ°¨ ½²®¬ ±¯° ¢¥¤«¨¢   ¯°¨®°­ ¿ ®¶¥­ª 

kukm;M + jjkuk0;M  C1 k(A )uk0;M ;

(4)

8

C1 ­¥ § ¢¨±¨² ®² u ¨ . „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±­ · «  ­ ¤® ° ±±¬ ²¨¢ ²¼ ®¯¥° ²®°» ¢ R n , ½««¨¯²¨·¥±ª¨¥ ± ¯ ° ¬¥²°®¬. „ ¤¨¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥, ¢ ­¥¬ ¯°¨±³²±²¢³¥² ³±«®¢¨¥ ° ¢­®¬¥°­®±²¨ ¯® x. n Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2. DZ³±²¼ DZ„Ž A 2 m ph (R ) ¨¬¥¥² £« ¢­»© ±¨¬¢®«  (x;  ); ¯°®¤®«¦¨¬ ¥£® ­³«¥¬ ¢ ²®·ª¨ (x; 0). DZ³±²¼  { § ¬ª­³²»© ³£®« ­  ª®¬¯«¥ª±­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ¢¥°¸¨­®© ¢ ­ · «¥ ª®®°¤¨­ ². Œ» ±ª ¦¥¬, ·²® ®¯¥° ²®° A ½««¨¯²¨·¥­ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ , ¥±«¨ £¤¥ ¯®±²®¿­­ ¿

ja(x;  ) j  C2 (j jm + jj) ¯°¨  2 ;

(5)

£¤¥ C2 { ¯®±²®¿­­ ¿, ­¥ § ¢¨±¿¹ ¿ ®² (x; ; ),  2 R n . Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥² ° ¢­®¬¥°­ ¿ ½««¨¯²¨·­®±²¼: ¤®±² ²®·­® ¯®«®¦¨²¼  = 0. Œ» ° ±±¬®²°¨¬ ±­ · «  ³° ¢­¥­¨¥ ¢ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ (A I )u = f

(6)

¢ R n ¨ ¯°¨ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»µ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ®¤­®§­ ·­³¾ ° §°¥¸¨¬®±²¼ ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2  c  ¯°¨®°­®© ®¶¥­ª®©

kukm;Rn + jjkuk0;Rn  C3 kf k0;Rn :

(7)

1. ‘­ · «  ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® £« ¢­»© ±¨¬¢®«  ( ) ­¥ § ¢¨±¨² ®² x ¨ (®¤­®°®¤­»©) ®¯¥° ²®° A ¨¬¥¥² ¢¨¤

Au(x) =  (D)u(x) = F 1  ( )F u(x):

(8)

’®£¤  ³° ¢­¥­¨¥ (6) ¯°¨ ­¥­³«¥¢»µ  2  °¥¸ ¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥

u(x) = F 1 [ ( ) ] 1 F f:

(9)

’ ª ª ª ¯°¨ jj  C4 > 0,  2  1 + j j2m + jj2 j( ) j2 ²® ¯°¨ ½²¨µ 

 Const;

kuk2m;Rn + jj2kuk20;Rn  C5 kf k20;Rn ;

(10) (11)

·²® ° ¢­®±¨«¼­® ®¶¥­ª¥ (7). 2. ’¥¯¥°¼ ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ®¯¥° ²®° A =  (x; D) ¡¥§ ¬« ¤¸¨µ ·«¥­®¢ ± \¯®·²¨ ¯®±²®¿­­»¬¨" ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨, ².¥. ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨, ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª¨¬¨ ª ¨µ §­ ·¥­¨¿¬ ¢ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²®·ª¥:

Au(x) =

X

jj=m

a (x)D ;

ja(x) a(x0)j < ";

(12)

9

£¤¥ " { ¬ «®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«®. Ž¯¥° ²®° ± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ a (x0 ) ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ Ax0 . ««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢  ±¥©· ± ¤®±² ²®·­® ¯°¥¤¯®« £ ²¼ ¤«¿ Ax0 . Ž¯¥° ²®° Ax0 I ®¡° ²¨¬ ¯°¨ 0 6=  2 . Ž¡° ²­»© ®¯¥° ²®° ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ B (). DZ®ª ¦¥¬, ·²® ¯°¨ ²¥µ ¦¥ , ·²® ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¯³­ª²¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ , ®¯¥° ²®° A ®¡° ²¨¬ ¨ ±¯° ¢¥¤«¨¢  ®¶¥­ª  ¢¨¤  (7), ¥±«¨ " ¤®±² ²®·­® ¬ «®. Œ» ¨¬¥¥¬ (A I )B () = (A Ax0 )B () + I; (13) ¨ §¤¥±¼

k(A Ax )B ()f k0;Rn  C6"kB ()f km;Rn  C7"kf k0 ; 0

(14)

² ª ·²® ­®°¬  ®¯¥° ²®°  (A Ax0 )B () ¬¥­¼¸¥ 1 ¯°¨ C7 " < 1. ’®£¤  ®¯¥° ²®° A I ¨¬¥¥² ¯° ¢»© ®¡° ²­»© (A I )

1

= B ()[I + (A Ax0 )B ()] 1:

(15)

‚»¢¥¤¥¬ ²¥¯¥°¼  ¯°¨®°­³¾ ®¶¥­ª³. ˆ¬¥¥¬

kukm;Rn + jjkuk0;Rn  C3 k(A I )uk0;Rn + C3k(A Ax )uk0;Rn ; 0

(16)

¨ §¤¥±¼

(17) C3 k(A Ax0 )uk0;Rn  C6 "kukm;Rn < 12 kukm;Rn ; ¥±«¨ " ¤®±² ²®·­® ¬ «®. ˆ§ (16) ¨ (17) ¯®«³· ¥¬ ®¶¥­ª³ (7) ± ¯®±²®¿­­®© 2C3 ¢¬¥±²® C3 . 3. ’¥¯¥°¼ ¬» ¢ª«¾·¨¬ ¢ ®¯¥° ²®° A c ¯®·²¨ ¯®±²®¿­­»¬¨ ±² °¸¨¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¬« ¤¸¨¥ ·«¥­». ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ®­ ¨¬¥¥² ¢¨¤ A = A0 + A1 , £¤¥ A0 { ®¤­®°®¤­»© ®¯¥° ²®° ± ¯®·²¨ ¯®±²®¿­­»¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨, ¤«¿ ª®²®°®£® °¥§³«¼² ² ³¦¥ ³±² ­®¢«¥­,   A1 { ¯°®¨§¢®«¼­»© ®¯¥° ²®°, ¤«¿ ª®²®°®£® ¢¥°­» ®¶¥­ª¨

kA1 uk;Rn  C9 kukm  ¬ ¯®­ ¤®¡¨²±¿ ³£®¤­® ¬ «®¬ " > 0

1+;Rn ;

 = 1; 2:

(20)

: ¯°¨ 0 < l < m ¨ ±ª®«¼

¨­²¥°¯®«¿¶¨®­­®¥ ­¥° ¢¥­±²¢®

kukl;Rn  "kukm;Rn + C"kuk0;Rn :

(21)

…£® ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ½ª¢¨¢ «¥­²­  ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¨  ­ «®£¨·­®£® ­¥° ¢¥­±²¢  ± ª¢ ¤° ² ¬¨ ­®°¬ kuk2l;Rn  "kuk2m;Rn + C"kuk20;Rn ;   ¯®±«¥¤­¥¥ «¥£ª® ¯°®¢¥°¿¥²±¿ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ”³°¼¥, ² ª ª ª 1 + j j2l  "(1 + j j2m) + C" ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ j j §  ±·¥² ¯¥°¢®£® ±« £ ¥¬®£® ±¯° ¢ ,   ¯°¨ ®£° ­¨·¥­­»µ  §  ±·¥² ¢²®°®£® ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸®¬ C" .

10

DZ³±²¼ B0 () { ®¯¥° ²®°, ®¡° ²­»© ª A0 (A0 + A1

. ˆ¬¥¥¬

)B0 () = I + A1 B0 ();

(22)

¨ §¤¥±¼ ¤«¿ v () = B ()f ¬» ¨¬¥¥¬

kA1v()f k0;Rn C10 kv()k1;Rn  "kv()km;Rn + C"0 kv()k0;Rn "(kv()km;Rn + jjkv()k0;Rn );

(23)

¥±«¨ C"0 < "jj. DZ³±²¼ ¤«¿ A0 I ¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢® ¢¨¤  (7) ± ª®­±² ­²®© C3 . ’®£¤  ¯° ¢ ¿ · ±²¼ ¢ (23) ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² "C3 kf k0;Rn , ¨ ®±² ¥²±¿ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® "C3 < 1. ’¥¯¥°¼ ®¯¥° ²®° A I ¨¬¥¥² ¯° ¢»© ®¡° ²­»© (A I )

1

= (A0

I ) 1 [I + A1 (A0 I ) 1 ] 1 :

(24)

Ž±² ¥²±¿ ¯®«³·¨²¼  ¯°¨®°­³¾ ®¶¥­ª³ ¤«¿ A I . ˆ¬¥¥¬

kukm;Rn + kk0;Rn  C3 k(A I )uk0 + C3kA1 uk0;Rn :

(25)

‡¤¥±¼

C3 kA1 uk0;Rn  C11 kukm 1;Rn  "kukm;Rn + C"00 kuk0;Rn : (26) ‚®§¼¬¥¬ §¤¥±¼, ­ ¯°¨¬¥°, " = 1=2 ¨ ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® C"00 < jj=2. DZ®«³·¨¬ ­¥° ¢¥­±²¢® ¢¨¤  (7) ¤«¿ A I ± ¯®±²®¿­­®© 2C3 ¢¬¥±²® C3 . ¥§¾¬¨°³¥¬ °¥§³«¼² ² ¤«¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  A=

X

jjm

a (x)D

(27)

c ¤®±² ²®·­® \µ®°®¸¨¬¨" ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ (¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ® ­¨µ ³²®·­¨¬ ¯®§¦¥). DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 1. DZ³±²¼ ®¯¥° ²®° (27) ½««¨¯²¨·¥­ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢  ¯°¨ x = x0 . ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ " > 0 ¨ 0 > 0, ·²® ¥±«¨ ±² °¸¨¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» ¢ A ®²«¨· ¾²±¿ ®² ¨µ §­ ·¥­¨© ¯°¨ x = x0 ¬¥­¼¸¥ ·¥¬ ­  ", n ¨¬¥¥² ®¤­® ¨ ²® ¯°¨ jj  0 ,  2  ³° ¢­¥­¨¥ (6) ¯°¨ «¾¡®© ´³­ª¶¨¨ f 2 R m n ²®«¼ª® ®¤­® °¥¸¥­¨¥ u 2 H (R ) c  ¯°¨®°­®© ®¶¥­ª®© ¢¨¤  (7). ‚¥°­¥¬±¿ ²¥¯¥°¼ ª ° ±±¬®²°¥­¨¾ ®¯¥° ²®°  A ­  ¬­®£®®¡° §¨¨ M . „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 1.  ¬ ¯®­ ¤®¡¨²±¿ ¤®±² ²®·­® ¬¥«ª®¥ ¯®ª°»²¨¥ ¬­®£®®¡° §¨¿ M ª®®°¤¨­ ²­»¬¨ ®ª°¥±²­®±²¿¬¨ Oj (j = 1; : : : ; N ), £« ¤ª®¥ ° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶» N X 1

'j = 1

­  M , £¤¥ supp 'j  Oj , ¨ ±¨±²¥¬  £« ¤ª¨µ ´³­ª¶¨© j ­  M , £¤¥ j = 1 ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­®±¨²¥«¿ ´³­ª¶¨¨ 'j ¨ supp j  Oj . Ž¯¥° ²®° A, § ¯¨± ­­»© ¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¢ Oj , ¨¬¥¥² ² ¬ ¬ «® ¬¥­¿¾¹¨¥±¿ ª®½´´¨¶¨¥­²»,

11

¬» ¯°®¤®«¦¨¬ ¥£® ­  R n ¨ ®¡®§­ ·¨¬ ¯°®¤®«¦¥­­»© ®¯¥° ²®° ·¥°¥§ Aj . Œ» ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¢±¥ ½²¨ ®¯¥° ²®°» ¨¬¥¾² ®¡° ²­»¥ (Aj I ) 1 ¯°¨  2 , jj  0 ; ®·¥¢¨¤­®, ·²® ½²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼, ±·¨² ¿ ª®®°¤¨­ ²­»¥ ®ª°¥±²­®±²¨ ¤®±² ²®·­® ¬¥«ª¨¬¨. ’¥¯¥°¼ ¬» ¯®«®¦¨¬ ¯°¨ ½²¨µ 

B () =

X

'j (Aj

I )

1

j


1

j f;

¨ ¯°¨¬¥­¨¬ ª B ()f ®¯¥° ²®° A . DZ®«³·¨¬ X

(Aj

I )'j (Aj

I )

² ª ª ª ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ­  ­®±¨²¥«¥ ´³­ª¶¨¨ 'j ®¯¥° ²®° A, § ¯¨± ­­»© ¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ, ±®¢¯ ¤ ¥² ± Aj . Ž²±¾¤  X

(A )B ()f = £¤¥

'j j f + T f;

(28)

X

T f = (Aj 'j 'j Aj )(Aj I ) 1 j f: (29) DZ¥°¢ ¿ ±³¬¬  ±¯° ¢  ¢ (28) ° ¢­  f . Š®¬¬³² ²®°» Aj ' 'Aj { ½²® ®¯¥° ²®°» ¯®°¿¤ª  ­¥ ¢»¸¥ m 1. DZ®½²®¬³ j -¥ ±« £ ¥¬®¥ ±¯° ¢  ¢ (29) ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¯® ­®°¬¥ Cj k(Aj I ) 1 j f k1;Rn : Œ» ³¦¥ ¨¬¥¥¬ ®¯»² ®¶¥­ª¨ ² ª¨µ ¢»° ¦¥­¨©; ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸®¬ ¯® ¬®¤³«¾  2  ®­¨ ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¿² "k j f k0;Rn ± «¾¡»¬ ­ ¯¥°¥¤ § ¤ ­­»¬ " > 0. Ž²±¾¤  ­¥²°³¤­® ¢»¢¥±²¨, ·²® kT k < 1=2 ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾ , ¨ ²®£¤  ®¯¥° ²®° A  ¨¬¥¥² ¯° ¢»© ®¡° ²­»© (A ) 1 = B ()(I + T ) 1 : (30)  ¬ ®±² «®±¼ ¢»¢¥±²¨  ¯°¨®°­³¾ ®¶¥­ª³ (4). Œ» ¨¬¥¥¬

kukm;M + jjkuk0;M 

X

(k'j ukm;M + jjk'j uk0;M )

¨ ¬®¦¥¬ ±¥¡¥ ¯®§¢®«¨²¼ ®¶¥­¨¢ ²¼ ±« £ ¥¬»¥ ¯®±«¥ § ¬¥­» ­®°¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ­®°¬ ¬¨ ¢ R n . ‘³¬¬  ®¶¥­¨¢ ¥²±¿ ·¥°¥§ X

k(Aj I )'j uk0;Rn :

‡¤¥±¼ ­ ¤® ¯°®ª®¬¬³²¨°®¢ ²¼ 'j c ®¯¥° ²®°®¬ Aj X

¬®¦¥² ¡»²¼ § ¬¥­¥­  ­ 

I . ‘³¬¬ 

k'j (Aj I )uk0;Rn

X

k'j (A I )uk0;M ; ¯®±«¥ ·¥£® ®¶¥­¨¢ ¥²±¿ ·¥°¥§ C12 k(A I )uk0;M . ‘« £ ¥¬»¥ ± ª®¬¬³² ²®° ¬¨

®¶¥­¨¢ ¾²±¿ ¢ ²®¬ ¦¥ ¤³µ¥, ·²® ¨ ° ­¼¸¥, ¨ ­¥ ¬¥¸ ¾² ¯®«³·¨²¼ ­³¦­³¾ ®¶¥­ª³ ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2 .  ‚¬¥±²® ¯°®¢¥°ª¨  ¯°¨®°­»µ ®¶¥­®ª ¬®¦­® ±²°®¨²¼ «¥¢»¥ ®¡° ²­»¥ ®¯¥° ²®°».

12

‹¥ª¶¨¿ 3 3. Ž¡®¡¹¥­¨¿ ¨ ¢ °¨ ­²». «¨¦ ©¸¥¥ ®¡®¡¹¥­¨¥ { ±«³· © ¬ ²°¨·­®£® ®¯¥° ²®°  A ¢ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ­  ¬­®£®®¡° §¨¨. DZ³±²¼ ®­ ¤¥©±²¢³¥² ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¢¥ª²®°-´³­ª¶¨© ° §¬¥°­®±²¨ N . (Œ®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¨ ®¯¥° ²®°, ¤¥©±²¢³¾¹¨© ¢ ±¥·¥­¨¿µ ±®¡®«¥¢±ª¨µ ¢¥ª²®°­»µ ° ±±«®¥­¨© ­ ¤ M , ­® ½²® ­¥ ¡³¤¥¬ ®¡±³¦¤ ²¼, ¨§¡¥£ ¿ ²¥µ­¨·¥±ª¨µ ³±«®¦­¥­¨©.) …£® £« ¢­»© ±¨¬¢®« { N  N -¬ ²°¨¶   (x;  ), ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­ ¿ ±²¥¯¥­¨ m ¯®  . ««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ ³£«¥  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ³±«®¢¨¿ det[ (x;  ) E ] 6= 0 ((x;  ) 2 T  M;  2 ; (; ) 6= 0); £¤¥ E { ¥¤¨­¨·­ ¿ N  N -¬ ²°¨¶ . €­ «®£¨·­®¥ ³±«®¢¨¥ ¢ R n ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ¬®¤³«¼ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿ ±«¥¢  ° ¢­®¬¥°­® ¬ ¦®°¨°³¥² (j jm + jj)N . ’¥®°¥¬ , ¤®ª §»¢ ¥¬ ¿ ±®¢¥°¸¥­­®  ­ «®£¨·­® ²¥®°¥¬¥ 1 ¨§ «¥ª¶¨¨ 2, ±®±²®¨² ¢ ®¤­®§­ ·­®© ° §°¥¸¨¬®±²¨ ³° ¢­¥­¨¿

(A I )u = f

(1)

c f 2 H 0 (M ) ¢ H m (M ) (½²® ±¥©· ± ±®¡®«¥¢±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢  ¢¥ª²®°-´³­ª¶¨© ­  M ) ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2  c  ¯°¨®°­®© ®¶¥­ª®©

kukm;M + jjkuk0;M  C k(A I )uk0;M :

(2)

‘«¥¤³¾¹¨© ½² ¯ ®¡®¡¹¥­¨© { ®¯¥° ²®°», ¯®«¨­®¬¨ «¼­® § ¢¨±¿¹¨¥ ®² ¯ ° ¬¥²° . ‡ ¬¥­¿¿ ¢ (1)  ­  m , ¬®¦­® ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ¯ ° ¬¥²° ¨¬¥¥² \¢¥±" 1 (  ­¥ m) ®²­®±¨²¥«¼­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿. (…±«¨ ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¢¥± ¡³¤¥² ®²«¨·¥­ ®² 1, ²® ¬» ½²® ¡³¤¥¬ ±¯¥¶¨ «¼­® ®£®¢ °¨¢ ²¼.) ’¥¯¥°¼ ¢¬¥±²® A m I ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ®¯¥° ²®°, «®ª «¼­® ¨¬¥¾¹¨© ¢¨¤

A() = A(x; D; ) =

X

jj+ m

a; (x) D

(3)

± £« ¤ª¨¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨. ‚ ¥£® £« ¢­»© ±¨¬¢®« ¬» ¢ª«¾·¨¬ ¯ ° ¬¥²°; «®ª «¼­® ½²®² £« ¢­»© ±¨¬¢®« ¨¬¥¥² ¢¨¤

 (x; ; ) =

X

jj+ =m

a; (x)   ;

(4)

¨ §¤¥±¼ ¨­¢ °¨ ­²­® ®¯°¥¤¥«¥­» (ª ª ´³­ª¶¨¨ ­  T  M ) ª®½´´¨¶¨¥­²» ¯°¨ ª ¦¤®© ±²¥¯¥­¨ . “±«®¢¨¥ ½««¨¯²¨·­®±²¨ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ ³£«¥  ¨¬¥¥² ²¥¯¥°¼ ¢¨¤ (¢ ¬ ²°¨·­®¬ ±«³· ¥) det  (x; ; ) 6= 0 ((x;  ) 2 T  M;  2 ; (; ) 6= 0):

(5)

(‚ ° ±±¬®²°¥­­®¬ ° ­¼¸¥ ±«³· ¥ ¬» ²¥¯¥°¼ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ­ §»¢ ¥¬ ­¥ ®¯¥° ²®° A,   ®¯¥° ²®° A m .) €­ «®£¨·­®¥ ³±«®¢¨¥ ¢ R n ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ¬®¤³«¼ «¥¢®© · ±²¨ ¤®«¦¥­ ° ¢­®¬¥°­® ¬ ¦®°¨°®¢ ²¼ (j j + jj)N .

13

„ «¥¥, ¬» ¬®¦¥¬ ¯®¢»±¨²¼ ¯®°¿¤ª¨ ±®¡®«¥¢±ª¨µ ­®°¬ (·²® ²°¥¡³¥² ¡®«¼¸¥© £« ¤ª®±²¨ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢). „®ª §»¢ ¥²±¿ ®¤­®§­ ·­ ¿ ° §°¥¸¨¬®±²¼ ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2  ³° ¢­¥­¨¿

A()u = f

(6)

¢ H t (M ), t  m, ¯°¨ ¯° ¢®© · ±²¨ ¨§ H t m (M ) ±  ¯°¨®°­®© ®¶¥­ª®©

jjjujjjt;M  C jjjA()ujjjt £¤¥

m;M ;

jjjujjjt;M = [kuk2t;M + jj2tkuk20;M ]1=2:

(7) (8)

DZ°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬  ½²® ­®°¬  ¢ H t (M ), ½ª¢¨¢ «¥­²­ ¿ ®¡»·­®© ­®°¬¥ ¡¥§ ¯ ° ¬¥²° . €­ «®£¨·­»¥ ­®°¬» ¢¢®¤¿²±¿ ¢ R n . DZ®¿±­¨¬ §¤¥±¼ ¤¢  ²¥µ­¨·¥±ª¨µ ¬®¬¥­² . ‚®-¯¥°¢»µ, ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ ¯° ¢®£® ®¡° ²­®£® ®¯¥° ²®°  (ª ª ®¯¥° ²®° , ¡«¨§ª®£® ª ®¡° ²¨¬®¬³) ­³¦­® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¢ H t m ­®°¬®© jjj
jjjt m ¢¬¥±²® k
kt m . ‚®-¢²®°»µ, ³¤®¡­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¨­²¥°¯®«¿¶¨®­­®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¢¨¤ 

jjl k kukk  Ck;l jjjujjjl (0 < k < l):

(9)

‚ R n ®­® ¯°®¢¥°¿¥²±¿ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ”³°¼¥. ˆ§ (9) ±«¥¤³¥², ¢ · ±²­®±²¨, ·²® ¯°¨ ¢±¥µ 

jjjA(x; D; )ujjjt

m;M

 C 0 jjjujjjt;M ;

(10)

² ª ·²® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¤¢³±²®°®­­¿¿ ®¶¥­ª . ‚®§¢° ¹ ¿±¼ ª ±«³· ¾ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ¢ R n , ®²¬¥²¨¬, ·²® ¨ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ­¥ ²®«¼ª® ¢±¯®¬®£ ²¥«¼­»¥ °¥§³«¼² ²», ­® ¨ § ¢¥°¸ ¾¹¨© °¥§³«¼² ². „«¿ ¯°®±²®²» ¬» ®£° ­¨·¨¬±¿ ®¡±³¦¤¥­¨¥¬  ­ «®£  ²¥®°¥¬» 1 ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥ª¶¨¨. …±«¨ ¬» µ®²¨¬ ®¡®©²¨±¼ ¯°¨ ¥£® ¯®«³·¥­¨¨ ª®­¥·­»¬ ° §¡¨¥­¨¥¬ ¥¤¨­¨¶», ²® ±«¥¤³¥² ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ±² °¸¨¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» ¯®·²¨ ¯®±²®¿­­» ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ².¥. ·²® ¯°¨ x ! 1 ®­¨ ±²°¥¬¿²±¿ ª ª®½´´¨¶¨¥­² ¬ ®¯¥° ²®° , ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢  ¨ ¨¬¥¾¹¥£® ­¥ § ¢¨±¿¹¨¥ ®² x ª®½´´¨¶¨¥­²». ’®£¤  °¥§³«¼² ²» ¤«¿ R n §¢³· ² ² ª ¦¥, ª ª ¢ ±«³· ¥ (ª®¬¯ ª²­®£®) ¬­®£®®¡° §¨¿, ¨ ¯®«³· ¾²±¿ ² ª ¦¥; ° §­¨¶  ±®±²®¨² ²®«¼ª® ¢ ²®¬, ·²® ®¤­  ¨§ ´³­ª¶¨© ¢ ° §¡¨¥­¨¨ ¥¤¨­¨¶» ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ­¥ª®¬¯ ª²­»© ­®±¨²¥«¼. Ž¤­ ª® ¬®¦­® ®¡®©²¨±¼ ¨ ¡¥§ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ® ±² ¡¨«¨§ ¶¨¨ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ­  ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ¨±¯®«¼§³¿ ² ª¨¥ ¦¥ ±®®¡° ¦¥­¨¿, ª ª ¢ «¥ª¶¨¨ 6 ¢ ¯°®¸«®¬ ±¥¬¥±²°¥, ¨ ®ª®­· ²¥«¼­»© °¥§³«¼² ² ¤«¿ R n ¯®«³· ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨©. Œ» ¯®ª  § ¢»¸ ¥¬ ­³¦­³¾ £« ¤ª®±²¼ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢.  ¯®¬­¨¬, ·²® B1 (R n ) { ¯°®±²° ­±²¢® ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨µ ´³­ª¶¨©, ³ ª®²®°»µ ª ¦¤ ¿ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ®£° ­¨·¥­ .

14

’¥®°¥¬  2.

DZ³±²¼

ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ ¨§

A

{ ®¯¥° ²®° ¢ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¯®°¿¤ª 

B1 (Rn ), ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ ³£«¥ .

³° ¢­¥­¨¥

(A I )u = f

m

±

’®£¤ 

(11)

H 0 (R n ) ¨¬¥¥² ®¤­® ¨ ²®«¼ª® ®¤­® °¥¸¥­¨¥ ¢ H m (R n ) ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2  ±  ¯°¨®°­®© ®¶¥­ª®© ± ¯° ¢®© · ±²¼¾ ¨§

kukm;Rn + jjkuk0;Rn  C k(A I )uk0;Rn ;

(12)

u ¨ . „®ª § ²¥«¼±²¢®. DZ³±²¼ ' ¨ { ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨§ C01 (R n ), p ¯¥°¢ ¿ ° ¢­  1 ¯°¨ jxj  n=2, ¢²®° ¿ ° ¢­  1 ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­®±¨²¥«¿ ´³­ª¶¨¨ '. DZ®«®¦¨¬ £¤¥ ¯®±²®¿­­ ¿ ­¥ § ¢¨±¨² ®²

' (x) = '(x )



X



'(x )

 1

;

 (x) = (x

);

(13)

£¤¥  ¯°®¡¥£ ¥² °¥¸¥²ª³ ¢ R n ± ¤®±² ²®·­® ¬ «»¬ (­ ±ª®«¼ª®, ±ª ¦¥¬ ­¨¦¥) ¸ £®¬. ‘³¬¬  ¯® ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­  ¨ ±®±²®¨² ¨§ ª®­¥·­®£® ° ¢­®¬¥°­® ®£° ­¨·¥­­®£® ·¨±«  ±« £ ¥¬»µ. ”³­ª¶¨¨ ' ®¡° §³¾² ° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶».  ·­¥¬ ±­®¢  ± ¯®±²°®¥­¨¿ ¯° ¢®£® ®¡° ²­®£® ®¯¥° ²®° . ‚ ±¨«³ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ¯¥°¢»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ®² ±² °¸¨µ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ®¯¥° ²®°  A ½²¨ ±² °¸¨¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­». Š°®¬¥ ²®£®, «¾¡ ¿ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ®² «¾¡®£® ª®½´´¨¶¨¥­²  ° ¢­®¬¥°­® ®£° ­¨·¥­ . DZ®½²®¬³ ¬» ¬®¦¥¬ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ¯°¨ ª ¦¤®¬  ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­®±¨²¥«¿ ´³­ª¶¨¨  ®¯¥° ²®° A ±®¢¯ ¤ ¥² ± ®¯¥° ²®°®¬ A , ² ª¨¬, ·²® ¤«¿ A I ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ 1 ®¡ ®¡° ²¨¬®±²¨ ¯°¨ jj  0 ,  2  ¨§ «¥ª¶¨¨ 2 ± ­¥ § ¢¨±¿¹¨¬¨ ®²  ¯®±²®¿­­»¬¨ 0 ¨ C0 ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥

kukm;Rn + jjkuk0;Rn  C0 k(A I )uk0;Rn :

(14)

ˆ¬¥­­® ½²® ²°¥¡®¢ ­¨¥ ®¯°¥¤¥«¿¥² ¢»¡®° ¸ £  ¢ °¥¸¥²ª¥. DZ®«®¦¨¬ X B () = ' (A I ) 1 
:

(15)



ˆ¬¥¥¬ (A )B ()f = £¤¥ ‡¤¥±¼

T ()f =

X

X

(A '

(A

I )' (A I )

1

 f = f + T f;

' A )vj (); v () = (A I )

A ' ' A =

X

j jm

1

a; (x)D ;

1

 f:

(16) (17) (18)

15

¨ ¢ ±¨«³ ­¥° ¢¥­±²¢  ˜¢ °¶ 

jT ()f (x)j2 

X

;

ja; (x)j2

X

;

j(D v ())(x)j2:

(19)

ˆ­²¥£°¨°³¿ ¯® x ¨ ³·¨²»¢ ¿ ° ¢­®¬¥°­³¾ ®£° ­¨·¥­­®±²¼ ±³¬¬» ª¢ ¤° ²®¢ ¬®¤³«¥© ª®½´´¨¶¨¥­²®¢, ¯®«³· ¥¬

kT ()f k20;Rn  C1

X

kv ()k2m

1;Rn :

(20)

‡¤¥±¼ ­®°¬³ ¯®¤ §­ ª®¬ ±³¬¬» ±¯° ¢  ¬» ®¶¥­¨¬ ±­ · «  ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¨­²¥°¯®«¿¶¨®­­®£® ­¥° ¢¥­c²¢ ,   § ²¥¬ ¯°¨ ¯®¬®¹¨  ¯°¨®°­®© ®¶¥­ª¨ ¤«¿ A I , ª ª ³¦¥ ±ª § ­®, ° ¢­®¬¥°­®© ¯® . DZ°¨ ±ª®«¼ ³£®¤­® ¬ «®¬ " > 0 ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ 1  0 , ·²® ¯°¨ jj  1 ,  2 

kv ()k2m  ª®­¥¶,

X

1;Rn

 "k  f k20;Rn :

(21)

k f k20;Rn  C2 kf k20;Rn

(22)

¢¢¨¤³ ° ¢­®¬¥°­®© ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ±³¬¬» ª¢ ¤° ²®¢ ´³­ª¶¨©  . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, kT ()k  1=2 ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¬ «®¬ " (¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸®¬ ¯® ¬®¤³«¾  2 ), ·²® ¨ ¯°¨¢®¤¨² ª ¯®±²°®¥­¨¾ ¯° ¢®£® ®¡° ²­®£® ®¯¥° ²®°  (A I )

1

= B ()[I + T ()] 1 :

(23)

’¥¯¥°¼ ¢»¢¥¤¥¬  ¯°¨®°­³¾ ®¶¥­ª³. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ±¨«³  ¯°¨®°­®© ®¶¥­ª¨ ¤«¿ ° ¢­®¬¥°­® ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¡¥§ ¯ ° ¬¥²° 

kukm;Rn  C3 [kAuk0;Rn + kuk0;Rn ]  C4 [k(A I )uk0;Rn + kuk0;Rn + jjkuk0;Rn ]:

(24) DZ®½²®¬³ ²¥¯¥°¼ ±«¥¤³¥² ®¶¥­¨¢ ²¼ jjkuk Ž¶¥­¨¬ ª¢ ¤° ² ½²®£® ¢»° ¦¥­¨¿.  §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶» ¯¥°¥¤¥« ¥¬ ² ª, ·²®¡» ¨¬¥²¼ 0;Rn .

X

'2 (x)  1:

(25)

„«¿ ½²®£® ´³­ª¶¨¨ ' ±«¥¤³¥² ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¯® ´®°¬³«¥ 

' (x) = '(x )

X



'2 (x

)

 1=2

:

(26)

ˆ¬¥¥¬ X

jj2kuk20;Rn = jj2k' uk20;Rn X X  C02 k(A I )' uk20;Rn  C02 k' (A I )uk20;Rn + T = C02 k(A I )uk20;Rn + T ;

(26)

16

£¤¥

T

= C02

XZ

j(A' ' A)uj2dx:

‡¤¥±¼ ¢ ª ¦¤®¬ ±« £ ¥¬®¬ ­  u ¤¥©±²¢³¥² ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»© ®¯¥° ²®° (18). DZ®½²®¬³ Z X T  C5 ja; (x)j2jD uj2dx: ;

’ ª ª ª ±³¬¬  ª¢ ¤° ²®¢ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ®£° ­¨·¥­ , ²®

T  C6 kuk2m

1;Rn :

(27)

DZ®«³·¥­­»© °¥§³«¼² ² ½ª¢¨¢ «¥­²¥­ ² ª®¬³:

jjkuk0;Rn  C7 k(A I )uk0;Rn + C8 kukm

1;Rn :

(28)

‘¯° ¢  ¢ ¯®±«¥¤­¥¬ ±« £ ¥¬®¬ ¯°¨¬¥­¨¬ ¨­²¥°¯®«¿¶¨®­­®¥ ­¥° ¢¥­±²¢®. ˆ§ (24) ¨ (27) ¯®«³· ¥¬

kukm;Rn + jjkuk0;Rn  C8 k(A I )uk0;Rn + "[kukm;Rn + jjkuk0;Rn ] ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸®¬ ¯® ¬®¤³«¾  2 . ‘·¨² ¿, ·²® §¤¥±¼ " < 1, ¯®«³· ¥¬ ­³¦­³¾ ®¶¥­ª³.    ±«¥¤³¾¹¥© «¥ª¶¨¨ ¬» ®¡±³¤¨¬ £« ¤ª®±²¼ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢, ¤®±² ²®·­³¾ ¤«¿ ¯®«³·¥­¨¿ ³ª § ­­»µ ¢»¸¥ °¥§³«¼² ²®¢.  ±±¬®²°¨¬ ±¨¬¢®«»  , £¤¥  { § ¬ª­³²»© ³£®« ­  ª®¬¯«¥ª±­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ¢¥°¸¨­®© ¢ ­ · «¥, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ C 1 ¯® (x;  ) ¯°¨ ª ¦¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ , ±® ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨: j@ @ a(x; ; )j  C; (1 + j j + jj)m j j: (1) 4. DZ°®±²¥©¸¥¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ DZ„Ž ± ¯ ° ¬¥²°®¬.

a(x; ; ), ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­  R n

 Rn

x 

²®² ª« ±± ±¨¬¢®«®¢ ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ Sm = S (R n ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ DZ„Ž

a(x; D; )u(x) = (2 ) n

ZZ

 Rn ; ). Š« ±±

ei(x y)
 a(x; ; )u(y ) dy d

(2)

1 m n 1 ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ m  =  (R ). —¥°¥§ S ¨ S ®¡®§­ ·¨¬ ®¡º¥¤¨­¥1 ­¨¥ ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ª« ±±®¢ Sm , ·¥°¥§ 1  ¨  { ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ª« ±±®¢ DZ„Ž. Š« ±±  1 ±®±²®¨² ¨§ ¨­²¥£° «¼­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ZZ k(x; y; )u(y ) dy (3) ± ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨¬¨ ¯® (x; y ) ¿¤° ¬¨ k, ¤®¯³±ª ¾¹¨¬¨ ®¶¥­ª¨

j@x@y k(x; y; )j  C; ;N (1 + j)

N

(4)

17

¯°¨ «¾¡®¬ ­ ²³° «¼­®¬ N . ³¤¥² ­ ¬¥·¥­® ¯®±²°®¥­¨¥ ¨±·¨±«¥­¨¿ DZ„Ž ¢ 1  . —²®¡» ±®°¨¥­²¨°®¢ ²¼±¿, ·²® ®­® ®µ¢ ²»¢ ¥², ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥°.  ± ¢ ¯¥°¢³¾ ®·¥°¥¤¼ ¨­²¥°¥±³¥², °¥§®«¼¢¥­²» ª ª¨µ ®¯¥° ²®°®¢ (¡¥§ ¯ ° ¬¥²° ) ¬» ±¬®¦¥¬ ¨§³· ²¼. DZ°¨¬¥°. DZ³±²¼ m { ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¨

A() = a(x; D) m I:

(5)

…±«¨ a(x; D) { ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»© ®¯¥° ²®° ¨§ m (R n  R n ), ²® ¯°¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¨ ±¨¬¢®«  ¯® x ¨«¨  ¯ ° ¬¥²° ¨±·¥§ ¥². DZ°¨ m-ª° ²­®¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¨ ¯®  ¯®«³· ¥²±¿ ²®¦¤¥±²¢¥­­»© ­³«¼. DZ®½²®¬³ ®¶¥­ª  (1) ¢»¯®«­¥­  ¤«¿ ¢±¥µ , . …±«¨ ¦¥ a(x; D) { DZ„Ž, ²® ¯°®¨§¢®¤­»¥ ®² ±¨¬¢®«  ¯®°¿¤ª  ¢»¸¥ m ¯®  { ³¦¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥ ­³«¨, ² ª ·²® ½²¨ ®¯¥° ²®°» ¬» ­¥ ±¬®¦¥¬ ±¥©· ± ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼. ® ¤«¿ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ „Ž ¨µ ¯ ° ¬¥²°¨ª±», ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬, ®ª ¦³²±¿ ®µ¢ ·¥­­»¬¨ ¨±·¨±«¥­¨¥¬. —²®¡» ¯®¿±­¨²¼ ½²®, ° ±±¬®²°¨¬ ±¨¬¢®« b(x; ; ) = [a0 (x;  ) m ] 1 ; (6) £¤¥ a0 (x;  ) { £« ¢­ ¿ ®¤­®°®¤­ ¿ · ±²¼ ±¨¬¢®«  a(x;  ) (£« ¢­»© ±¨¬¢®«) ¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ½««¨¯²¨·­®±²¨ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ . Š ª «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ½²®² ±¨¬¢®« ¯°¨­ ¤«¥¦¨² S m . ‚¯°®·¥¬, ±¨¬¢®«» ²¨¯  (j j2 + jj2 ) (7) ± ­¥¶¥«»¬ ²®¦¥ ¯®¯ ¤ ¾² ¢ ¨±·¨±«¥­¨¥. ‚ ª­¨£¥ Œ.€. ˜³¡¨­  "DZ±¥¢¤®¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ¨ ±¯¥ª²° «¼­ ¿ ²¥®°¨¿" ®¡¹­®±²¼ ­¥¬­®£® ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ³ ­ ±, ­® ²®«¼ª® ·²® ®²¬¥·¥­­»¥ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢  ®±² ¾²±¿ ¢ ±¨«¥.

18

‹¥ª¶¨¿ 4

Œ» ª° ²ª® ®¡±³¤¨¬ ¢ ½²®© «¥ª¶¨¨ ¤¢  ¢ °¨ ­²  ¨±·¨±«¥­¨¿ ¤«¿ DZ„Ž ± ¯ ° ¬¥²°®¬. DZ¥°¢®¥ ¨§«®¦¥­® ¢ ª­¨£¥ Œ.€. ˜³¡¨­  (1978), ¢²®°®¥ { ¢ ª­¨£¥ ƒ. ƒ°³¡¡ (1986 ¨ 1996). 4. DZ°®±²¥©¸¥¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¤«¿ DZ„Ž ± ¯ ° ¬¥²°®¬ (Œ.€. ˜³¡¨­).

 ±±¬®²°¨¬ ±¨¬¢®«» a(x; ; ), ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ­  R n R n , £¤¥  { § ¬ª­³²»© ³£®« ­  ª®¬¯«¥ª±­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ¢¥°¸¨­®© ¢ ­ · «¥, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ C 1 ¯® (x;  ) ¯°¨ ª ¦¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ , ±® ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:

j@x@ a(x; ; )j  C; (1 + j j + jj)m j j:

(1)

‡¤¥±¼ m { «¾¡®¥ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¥ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®. DZ ° ¬¥²°  ¤«¿ ¯°®±²®²» ±·¨² ¥¬ ¨¬¥¾¹¨¬ ¢¥± 1 ®²­®±¨²¥«¼­®  (¨«¨, ·²® ²® ¦¥, ®²­®±¨²¥«¼­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿). ²®² ª« ±± ±¨¬¢®«®¢ ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ Sm = S (R n  R n ; ). Š« ±± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ DZ„Ž

A()u(x) = a(x; D; )u(x) = (2 ) n

ZZ

ei(x y)
 a(x; ; )u(y ) dy d

(2)

1 m n 1 ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ m  =  (R ). —¥°¥§ S ¨ S ®¡®§­ ·¨¬ ®¡º¥¤¨­¥1 ­¨¥ ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ª« ±±®¢ Sm , ·¥°¥§ 1  ¨  { ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ª« ±±®¢ DZ„Ž. Š« ±±  1 ±®±²®¨² ¨§ ¨­²¥£° «¼­»µ ®¯¥° ²®°®¢ Z k(x; y; )u(y ) dy (3) ± ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨¬¨ ¯® (x; y ) ¿¤° ¬¨ k, ¤®¯³±ª ¾¹¨¬¨ ®¶¥­ª¨

j@x@y k(x; y; )j  C; ;N (1 + jj)

N

(4)

¯°¨ «¾¡®¬ ­ ²³° «¼­®¬ N . —²®¡» ±®°¨¥­²¨°®¢ ²¼±¿, ·²® ®µ¢ ²»¢ ¥² ¨±·¨±«¥­¨¥, ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥°.  ± ¢ ¯¥°¢³¾ ®·¥°¥¤¼ ¨­²¥°¥±³¥², °¥§®«¼¢¥­²» ª ª¨µ ®¯¥° ²®°®¢ (¡¥§ ¯ ° ¬¥²° ) ¬» ±¬®¦¥¬ ¨§³· ²¼. DZ°¨¬¥°. DZ³±²¼ m { ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¨

A() = a(x; D) m I:

(5)

…±«¨ a(x; D) { ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»© ®¯¥° ²®° ¨§ m (R n ), ²® ¯°¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¨ ±¨¬¢®«  ¯® x ¨«¨  ¯ ° ¬¥²° ¨±·¥§ ¥². DZ°¨ m-ª° ²­®¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¨ ¯®  ¯®«³· ¥²±¿ ²®¦¤¥±²¢¥­­»© ­³«¼. DZ®½²®¬³ ®¶¥­ª  (1) ¢»¯®«­¥­  ¤«¿ ¢±¥µ , . …±«¨ ¦¥ a(x; D) { DZ„Ž, ²® ¯°®¨§¢®¤­»¥ ®² ±¨¬¢®«  ¯®°¿¤ª  ¢»¸¥ m ¯®  { ³¦¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥ ­³«¨, ¨ ®­¨ ­¥ ³¡»¢ ¾² ¯°¨  ! 1, ² ª ·²® ½²¨ ®¯¥° ²®°» ¬» ­¥ ±¬®¦¥¬ ±¥©· ± ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼. ® ¤«¿ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ

19

± ¯ ° ¬¥²°®¬ „Ž ¨µ ¯ ° ¬¥²°¨ª±», ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬, ®ª ¦³²±¿ ®µ¢ ·¥­­»¬¨ ¨±·¨±«¥­¨¥¬. —²®¡» ¯®¿±­¨²¼ ½²®, ° ±±¬®²°¨¬ ±¨¬¢®«

b(x; ; ) =

1 ; a0 (x;  ) m

(6)

£¤¥ a0 (x;  ) { ®¤­®°®¤­»© ¬­®£®·«¥­ ¯®  ±²¥¯¥­¨ m, ¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ½««¨¯²¨·­®±²¨ a0  ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ . Š ª «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ½²®² ±¨¬¢®« ¯°¨­ ¤«¥¦¨² S m . ‚±¥ ¤¥«® ¢ ²®¬, ·²® ¯°¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¨ ¯®  ±²¥¯¥­¨ ° §­®±²¨ a0  ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¥ ¨«¨ ­¥ ¬¥­¿¾²±¿, ¨«¨ ³¢¥«¨·¨¢ ¾²±¿. ‚¯°®·¥¬, ±¨¬¢®«» ²¨¯  (1 + j j2 + jj2 ) (7) ± ­¥¶¥«»¬ ²®¦¥ ¯®¯ ¤ ¾² ¢ ¨±·¨±«¥­¨¥. ‚ ª­¨£¥ Œ.€. ˜³¡¨­  "DZ±¥¢¤®¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ¨ ±¯¥ª²° «¼­ ¿ ²¥®°¨¿" ®¡¹­®±²¼ ­¥¬­®£® ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ³ ­ ±, ­® ²®«¼ª® ·²® ®²¬¥·¥­­»¥ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢  ®±² ¾²±¿ ¢ ±¨«¥. Ž±­®¢­»¥ ´ ª²» ¨±·¨±«¥­¨¿ ±®±²®¿² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ‘­ · «  ­ ¤® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ±¬»±«  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ° §«®¦¥­¨¿ ±¨¬¢®« : 1 X a(x; ; )  aj (x; ; ); (8) 0

£¤¥ a 2 Sm ¨ aj 2 Sm j . Ž­ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²®

a

N X 0

aj 2 Sm N 1 :

(9)

DZ® § ¤ ­­®¬³  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ° §«®¦¥­¨¾ ±¨¬¢®« a ±²°®¨²±¿ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯°¨¡ ¢«¥­¨¿ ±¨¬¢®«  ¨§ S 1 .  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ DZ„Ž ±  ¬¯«¨²³¤®© p(x; y; ; ) 2 Sm (R 2n  R n ) (®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ´®°¬³«¨°³¥²±¿ ®·¥¢¨¤­»¬ ®¡° §®¬). „®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© DZ„Ž

(2 ) n ¯°¨­ ¤«¥¦¨²

ZZ

ei(x y)
 p(x; y; ; )u(y ) dy d

(10)

Sm ¨ ¨¬¥¥² ±¨¬¢®« a(x; ; ) ±  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬ ° §«®¦¥­¨¥¬ a(x; ; ) 

1   Dy @ p(x; y; ; ) y=x :  !

X

(11)

Œ» ­¥ ¯°¨¢®¤¨¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ,  ­ «®£¨·­»¥ ¯°®¢¥¤¥­­»¬ ¢ ±«³· ¥ ®²±³²±²¢¨¿ ¯ ° ¬¥²° ; ¯®«¥§­® ¯°®¢¥±²¨ ¨µ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®.   ®±­®¢¥ ²®«¼ª® ·²® ±´®°¬³«¨°®¢ ­­®© ²¥®°¥¬» ¤®ª §»¢ ¾²±¿ ²¥®°¥¬» ® ²° ­±¯®­¨°®¢ ­­®¬ ¨ ±®¯°¿¦¥­­®¬ ®¯¥° ²®°¥ ¨ ® ª®¬¯®§¨¶¨¨ DZ„Ž ± ¯ ° ¬¥²°®¬

.

20

±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬: ¥±«¨ A() 2 m  , ²®

’¥®°¥¬  ®¡ ®£° ­¨·¥­­®±²¨

jjjA()ujjjt

m;Rn

 Ct jjjujjjt;Rn ( 2 ):

(12)

‡¤¥±¼ ­®°¬  jjjujjjt;Rn ¯°¨ «¾¡®¬ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ t ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬

jjjujjj2

t;Rn =

Z

(1 + j j2 + jj2 )t jF u( )j2d:

(13)

„ «¥¥ ¢¢®¤¨¬ ¯®«¨®¤­®°®¤­»¥ DZ„Ž, § ¢¨±¿¹¨¥ ®² ¯ ° ¬¥²° . ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ª« ±± ®¡®§­ · ¥¬ m ph; . DZ®«­»© ±¨¬¢®« a(x; ; ) ² ª®£® DZ„Ž ¨¬¥¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ 1 X a(x; ; )  aj (x; ; ); (14) 0

£¤¥ ´³­ª¶¨¨ aj (x; ; ) ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­» ¯® (; ) ±²¥¯¥­¨ m j . ƒ« ¢­»© ±¨¬¢®« a0 (x; ; ) ²¥¯¥°¼ ±®¤¥°¦¨² ¯ ° ¬¥²°.  §«®¦¥­¨¥ ¯®­¨¬ ¥²±¿ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ±¬»±«¥:   N X @  @ a(x; ; ) aj (x; ; ) x 

j =0

 C; ;N (j j+jj)m j j

N 1 (j j+jj  C 0

> 0)

(15) ¯°¨  2  ¨ «¾¡»µ N , , . …±«¨ ¯¥°¥¬­®¦ ¾²±¿ ¯®«¨®¤­®°®¤­»¥ DZ„Ž, ²®, ¢ · ±²­®±²¨, £« ¢­»© ±¨¬¢®« ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ° ¢¥­ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ £« ¢­»µ ±¨¬¢®«®¢. ««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ ³£«¥  ±ª «¿°­®£® DZ„Ž A() ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ­¥° ¢¥­±²¢ 

ja0(x; ; )j  C (j j + jj)m (j j + jj 6= 0;  2 ):

(16)

‚ ¬ ²°¨·­®¬ ±«³· ¥ ¯¨¸¥²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿ ± ³·¥²®¬ ° §¬¥°®¢ ¬ ²°¨¶». ‚ ¦­¥©¸¨© °¥§³«¼² ² ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ¤«¿ ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢  DZ„Ž A() 2 m pl; c £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬ a0 m ±²°®¨²±¿ ¯ ° ¬¥²°¨ª± { ² ª®© DZ„Ž B () 2 ph; ± £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬ a0 1 , ·²® A()B () = I + T1 () ¨ B ()A() = I + T2 (); (17) £¤¥ Tj () 2  1 . ‚ · ±²­®±²¨,

jjjTj ()ujjjt;Rn  CN;t (1 + jj) N jjjujjjt;Rn ; ² ª ·²® ®¯¥° ²®°» I + Tj () ®¡° ²¨¬» ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸®¬ ¯® ¬®¤³«¾  2  ª ª ®¯¥° ²®°» ¢ ±®¡®«¥¢±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ H t (R n ), ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥, ¥±«¨ ±·¨² ²¼ ®£° ­¨·¥­­»¬ ¯°®¬¥¦³²®ª ¨§¬¥­¥­¨¿ ¨­¤¥ª±  t. Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢  DZ„Ž A() 2 m ph; ¨¬¥¥² ¤¢³±²®m 1 °®­­¨© ®¡° ²­»© A () 2 ph; ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2 . ‚ · ±²­®±²¨, ±¯° ¢¥¤«¨¢  (¤¢³±²®°®­­¿¿)  ¯°¨®°­ ¿ ®¶¥­ª .

21

„ «¥¥ ¤¥« ¥¬ ¯¥°¥µ®¤ ª ª®¬¯ ª²­®¬³ ¬­®£®®¡° §¨¾ M . Ž¯°¥¤¥«¿¥¬ ª« ±±» m m DZ„O m  (M ) ¨ ph; (M ). ƒ« ¢­»© ±¨¬¢®« a0 (x; ; ) DZ„Ž A() 2 ph; (M ) { ´³­ª¶¨¿ ­  T  M  . DZ®«³· ¥¬, ¢ · ±²­®±²¨, ²¥®°¥¬³ ® ª®¬¯®§¨¶¨¨. ƒ« ¢­»© ±¨¬¢®« ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¤¢³µ ¯®«¨®¤­®°®¤­»µ DZ„Ž ° ¢¥­ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ £« ¢­»µ ±¨¬¢®«®¢. „®ª §»¢ ¥¬ ²¥®°¥¬³ ®¡ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ¢ ­®°¬ µ jjjujjjt;M . Ž¯°¥¤¥«¿¥¬ ½««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¯®«¨®¤­®°®¤­®£® DZ„Ž A() ¢ ³£«¥ , ±²°®¨¬ ¤«¿ ­¥£® ±­ · «  ¯ ° ¬¥²°¨ª±,   § ²¥¬ ¤¢³±²®°®­­¨© ®¡° ²­»© A 1 () ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2 . 5. ˆ±·¨±«¥­¨¥ ƒ°³¡¡ ¤«¿ DZ„Ž ± ¯ ° ¬¥²°®¬

(G. Grubb). DZ®«®¦¨¬

h i = (1 + j j2)1=2; h; i = (1 + j j2 + 2 )1=2

(1)

(¬®¦­® ¡»«® ±¤¥« ²¼ ½²® ° ­¼¸¥). DZ³±²¼ ¯ ° ¬¥²°  ¨§¬¥­¿¥²±¿ ¤«¿ ¯°®±²®²» ­  § ¬ª­³²®¬ «³·¥ R + (¢¬¥±²® ³£« ) ¨ ¨¬¥¥² ¢¥± 1 ®²­®±¨²¥«¼­®  . ƒ°³¡¡ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥² ±¨¬¢®«» ª« ±±  S m; , £¤¥ m ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®°¿¤ª®¬,    °¥£³«¿°­®±²¼¾. (³¤¥¬ ¯°¨¤¥°¦¨¢ ²¼±¿ ¥¥ ®¡®§­ ·¥­¨©.) Ž¡  ½²¨ ·¨±«  ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¶¥«»¥. ‘¨¬¢®«» ½²®£® ª« ±±  ±®±²®¿² ¨§ ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨µ ´³­ª¶¨© a(x; ; ) ­  R n  R n  R + , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ­¥° ¢¥­±²¢ ¬ j@ @ @ j a(x; ; )j  C; ;j (h i j j + h; i j j)h; im  j : (2) x  

…±«¨ ¯®°¿¤®ª ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ j j ¯®  ­¥ ¢»¸¥ °¥£³«¿°­®±²¨, ²® £« ¢­»© ·«¥­ ¢ ª°³£«»µ ±ª®¡ª µ ¥±²¼ h; i j j, ¯¥°¢®¥ ±« £ ¥¬®¥ ¬®¦­® ®²¡°®±¨²¼, ³¤¢®¨¢ ª®­±² ­²³, ¨ ¯®«³· ¥²±¿ ¯°¨¢»·­ ¿ ­ ¬ ®¶¥­ª  j@ @ @ j a(x; ; )j  2C; ;j h; im j j j ; (3) x  

¢ ª®²®°®© ª ²®¬³ ¦¥ ³·¨²»¢ ¥²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¯® . …±«¨ ¦¥ j j >  , ²® £« ¢­»¬ ·«¥­®¬ ¢ ª°³£«»µ ±ª®¡ª µ ±² ­®¢¨²±¿ h i j j ¨ ®¶¥­ª  ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤ j@x@ @j a(x; ; )j  2C; ;j h i j jh; im  j : (4) DZ°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬  ² ª®© ±¨¬¢®« ¯°¨­ ¤«¥¦¨² S m . ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ª« ±± DZ„Ž ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ m; . ‘«³· ©  = 1 ´ ª²¨·¥±ª¨ ° ±±¬®²°¥­ ³ ˜³¡¨­  ¡¥§ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨© ®²­®±¨²¥«¼­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ¨ ¯°®¨§¢®¤­»µ ±¨¬¢®«  ¯® . DZ°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ƒ°³¡¡ ¢ ®²­®¸¥­¨¨ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¯® ¯ ° ¬¥²°³ ¢»¤¥«¿¾² DZ„Ž ± \µ®°®¸¥©" § ¢¨±¨¬®±²¼¾ ®² ¯ ° ¬¥²° . …±«¨ a(x; ; ) 2 S m; , ²® @x @ @j a(x; ; ) 2 S m j j; j j j . Š« ±± S 1; 1 ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¢±¥µ ª« ±±®¢ S N; N ± ­ ²³° «¼­»¬¨ N . ‘¨¬¢®«» ½²®£® ª« ±±  ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ­¥° ¢¥­±²¢ ¬

j@x@ @j a(x; ; )j  C; ;j;N h i N (1 + )

 j:

(5)

²® ¨­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» Z

k(x; y; )u(y ) dy

(6)

22

± ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨¬¨ ¿¤° ¬¨, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬¨ ­¥° ¢¥­±²¢ ¬ 0 j@x@ @j k(x; y; )j  C; ;j;N (1 + jx y j) N (1 + )

 j:

(7)

Ž¡° ²¨¬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ²®, ·²® ³¡»¢ ­¨¥ ¯°¨  ! 1 ¨ j = 0 ¨¬¥¥² §¤¥±¼ ¬¥±²® ²®«¼ª® ¯°¨  > 0. …±«¨ a 2 S m; ¨ al 2 S m l; l (l = 0; 1; : : : ), ²®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨e 1 X a(x; ; )  al (x; ; ) (8) l=0

®§­ · ¥², ·²®

a

M X j =0

al 2 S m M 1; M

1

(9)

¯°¨ «¾¡®¬ M . DZ® § ¤ ­­»¬ al 2 S m l; l ±²°®¨²±¿ ±¨¬¢®« a 2 S m; ± ² ª¨¬ ° §«®¦¥­¨¥¬. „¢  ² ª¨µ ±¨¬¢®«  ± ®¤­¨¬ ¨ ²¥¬ ¦¥ ° §«®¦¥­¨¥¬ ° §«¨· ¾²±¿ ­  ±¨¬¢®« ¨§ S 1; 1 . „ «¥¥ ¢»¤¥«¿¥²±¿ ¯®¤ª« ±± m; ph ¯®«¨®¤­®°®¤­»µ DZ„Ž, ¢ ª®²®°»µ ±¨¬¢®«» al (x; ; ) ®¤­®°®¤­» ¯® (; ) ±²¥¯¥­¨ m l ¯°¨ j j  1. …±«¨ a(x;  ) { ±¨¬¢®« „Ž ¯®°¿¤ª  m (± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ ¨§ B1 (R n )), ²® m;+1 . …±«¨ ¦¥ a(x;  ) { ±¨¬¢®« DZ„Ž ¨§ S m , ²® a(x;  ) m 2 a(x;  ) m 2 Sph ph m;m . Sph m; , ²® ½²® DZ„Ž ¨§ m; …±«¨ ®¯¥° ²®° § ¤ ­ ¯°¨ ¯®¬®¹¨  ¬¯«¨²³¤» ¨§ Sph ph ± ®¡»·­»¬ ° §«®¦¥­¨¥¬ ±¨¬¢®« , ±¬. ´®°¬³«» (10) ¨ (11) ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¯³­ª²¥. ‘¯° ¢¥¤«¨¢» ²¥®°¥¬» ® ±®¯°¿¦¥­­®¬ ®¯¥° ²®°¥ ¨ ® ª®¬¯®§¨¶¨¨. DZ°¨ ½²®¬ m1 ;1 ¨ B () 2 S m2 ;2 , ²® C () = A()B () 2 S m1 +m2 ; (1 ;2 ) , £¤¥ ¥±«¨ A() 2 Sph ph  (1 ; 2 ) = min(1 ; 2 ; 1 + 2 ). ««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ DZ„Ž A() 2 m; ph ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ®¡»·­®. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯°¨   0 ¤«¿ DZ„Ž A() ±²°®¨²±¿ ¯ ° ¬¥²°¨ª± B () 2 m; . ˆ¬¥¾² ¬¥±²® ±®®²­®¸¥­¨¿

A()B () = I + T1 (); B ()A() = I + T2 ();

(10)

£¤¥ Tj () 2 1; 1 . €±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ±¨¬¢®«  ®¯¥° ²®°  B () ±²°®¨²±¿ ¯®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ° §«®¦¥­¨¾ ±¨¬¢®«  DZ„Ž A(). Š ª ±«¥¤±²¢¨¥ ¤«¿ DZ„Ž A() 2 S m; c ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬  ¢»¢®¤¨²±¿ ¥£® ®¡° ²¨¬®±²¼ ª ª ®¯¥° ²®°  ¨§ H t (R n ) ¢ H t m (R n ) ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ  c  ¯°¨®°­®© ®¶¥­ª®© jjjujjjt;Rn  C jjjA()ujjjt m;Rn : (11) ‚±¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ (§ £°³¡«¥­­»¥) °¥§³«¼² ²» ¯¥°¥­®±¿²±¿ ­  DZ„Ž ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨, ¢ª«¾· ¿ ®¡° ²¨¬®±²¼ ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ®¯¥° ²®°  c  > 0 ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ §­ ·¥­¨¿µ ¯ ° ¬¥²° .

23

‹¥ª¶¨¿ 5 3. ”³­ª¶¨¨ ®² ®¯¥° ²®°®¢

‚ ±«¥¤³¾¹¥¬ ° §¤¥«¥ ¯°¨ ­¥ª®²®°»µ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ ¡³¤³² ° ±±¬®²°¥­» ±«¥¤³¾¹¨¥ ´³­ª¶¨¨ ®² ½««¨¯²¨·¥±ª®£® DZ„Ž A: °¥§®«¼¢¥­²  RA () = (A I ) 1 , ±²¥¯¥­¼ Az ,\¯ ° ¡®«¨·¥±ª ¿" ½ª±¯®­¥­²  e tA . DZ°¨ ®¯°¥¤¥«¥­­»µ ³±«®¢¨¿µ ½²® ¨­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°», ¿¤°  ª®²®°»µ ®¡« ¤ ¾² ¡®£ ²¥©¸¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨. ‚ · ±²­®±²¨, ¨§³·¥­¨¥ ½²¨µ ¿¤¥° ¯®§¢®«¿¥² ¢»¢¥±²¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª³¾ ´®°¬³«³ ¤«¿ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ®¯¥° ²®°  A ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ² ³¡¥°®¢»µ ²¥®°¥¬. ® ¢»¿¢«¿¥²±¿ ² ª¦¥ ¬ ±±  ¨­¢ °¨ ­²®¢, ±¢¿§ ­­»µ ± ®¯¥° ²®°®¬ ¨ ²¥®°¥²¨·¥±ª¨ ¢»·¨±«¨¬»µ ·¥°¥§ «®ª «¼­»© ¯®«­»© ±¨¬¢®« (¯° ª²¨·¥±ª¨ ¢»·¨±«¨¬» ²®«¼ª® ¯¥°¢»¥ ¨­¢ °¨ ­²»): ª®½´´¨¶¨¥­²» ¢  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ° §«®¦¥­¨¿µ ¿¤°  °¥§®«¼¢¥­²» ¨ ¿¤°  ½ª±¯®­¥­²», ¯®«¾±» \¤§¥² -´³­ª¶¨¨" ¨ ¢»·¥²» ¢ ­¨µ. Š° ²ª® ¡³¤¥² § ²°®­³²  ² ª¦¥ \£¨¯¥°¡®«¨·¥±ª ¿" ½ª±¯®­¥­²  eitA . ® ±­ · «  ¬» ¤®«¦­» ° ±±¬®²°¥²¼ ´³­ª¶¨¨ ®²  ¡±²° ª²­»µ ®¯¥° ²®°®¢. 1. DZ®§¨²¨¢­»¥ ®¯¥° ²®°». DZ³±²¼ A { ­¥®£° ­¨·¥­­»© § ¬ª­³²»© ®¯¥° ²®° ¢ £¨«¼¡¥°²®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ H c ¯«®²­®© ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. (Œ®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¨ ¡ ­ µ®¢® ¯°®±²° ­±²¢®.) Ž­ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®§¨²¨¢­»¬, ¥±«¨ ¥£® °¥§®«¼¢¥­²­®¥ ¬­®¦¥±²¢® (A) ±®¤¥°¦¨² § ¬ª­³²³¾ ®²°¨¶ ²¥«¼­³¾ ¯®«³®±¼ R ¨ ¢ ¥¥ ²®·ª µ °¥§®«¼¢¥­²  RA () ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ­¥° ¢¥­±²¢³

kRA()k  C (1 + jj)

1

(1)

± ­¥ § ¢¨±¿¹¥© ®²  ¯®±²®¿­­®© C . ‚®§¬®¦­®, ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ Š° ±­®±¥«¼±ª®£®{ ‘®¡®«¥¢±ª®£® (1959). Œ» ¡³¤¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ¢ °¨ ­² ¬¨ ½²®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. DZ³±²¼  { § ¬ª­³²»© ³£®« ­  ª®¬¯«¥ª±­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ¢¥°¸¨­®© ¢ ­ · «¥ ª®®°¤¨­ ². ³¤¥² ³¤®¡­® ±° §³ ±·¨² ²¼ R ¥£® ¡¨±±¥ª²°¨±®©. ‘ª ¦¥¬, ·²® ®¯¥° ²®° A -¯®§¨²¨¢¥­, ¥±«¨ (A)   ¨ ¢  ¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢® (1). ‘ª ¦¥¬, ·²® ®¯¥° ²®° A -¯®§¨²¨¢¥­ ¢ ®±« ¡«¥­­®© ´®°¬¥, ¥±«¨ ¥±²¼ ² ª®¥ 0 > 0, ·²® °¥§®«¼¢¥­²­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨² ²®·ª¨ ³£«   ± jj  0 ¨ ² ¬ ¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢® (1). …±«¨  ¨¬¥¥² ° ±²¢®° 2', ²® ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼  = ('). ’ ª ª ª °¥§®«¼¢¥­²­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥£¤  ®²ª°»²®, ²® ¢ ±«³· ¥ -¯®§¨²¨¢­®±²¨ ®­® ±®¤¥°¦¨² ­¥ª®²®°³¾ ®ª°¥±²­®±²¼ O" ­ · «  ª®®°¤¨­ ², ¢ ª®²®°®©, ª®­¥·­®, ±®µ° ­¿¥²±¿ ®¶¥­ª  ¢¨¤  (1). Š°®¬¥ ²®£®, «¥£ª® ¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²® ¨§ -¯®§¨²¨¢­®±²¨ ±«¥¤³¥² 1 -¯®§¨²¨¢­®±²¼, £¤¥ 1 { ³£®« ­¥¬­®£® ¡®«¼¸¥£® ° ±²¢®° . DZ°®¢¥°¼²¥ ½²® ± ¬®±²®¿²¥«¼­®, ¨±¯®«¼§³¿ ´®°¬³«³ ¢¨¤ 

R( +
) = R()[I


R()] 1 :

(2)

(Œ­®¦¥±²¢® ¢»µ®¤¿¹¨µ ¨§ ­ · «  «³·¥©, ¢¤®«¼ ª®²®°»µ ¢»¯®«­¥­» ®¶¥­ª¨ ¢¨¤  (1), ®²ª°»²®.) Ž²¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²®, ¨¬¥¿ ³£®« ± ¡¨±±¥ª²°¨±®©, ¨¤³¹¥© ¢¤®«¼ R , ¢ ª®²®°®¬ ¢»¯®«­¥­  ®¶¥­ª  ¢¨¤  (1), ¥£® ¢±¥£¤  ¬®¦­® ° ±¸¨°¨²¼ ­¥¡®«¼¸¨¬ ±¤¢¨£®¬ ¢¯° ¢®.

24

…±«¨ ®¯¥° ²®° A -¯®§¨²¨¢¥­ ¢ ®±« ¡«¥­­®© ´®°¬¥, ²® ®¯¥° ²®° A + cI -¯®§¨²¨¢¥­ ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸®¬ c > 0. DZ°¨¡ ¢«¥­¨¥ ¯®±²®¿­­®© c ­¥ ¬¥¸ ¥² ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¯®¢¥¤¥­¨¿ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨©: ¢¥±¼ ±¯¥ª²° ±¤¢¨£ ¥²±¿ ­  c ¢¯° ¢®. «¨¦ ©¸ ¿  ­ «®£¨¿ ¢ ²¥®°¨¨ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž { DZ„Ž ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª , ½««¨¯²¨·¥±ª¨¥ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ . Ž­¨ -¯®§¨²¨¢­» ¢ ®±« ¡«¥­­®© ´®°¬¥. ²® ·°¥§¢»· ©­® ¢ ¦­®¥ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢® ¢ ²¥®°¨¨ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ²®°®¢. …±«¨ ®¯¥° ²®° A { ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ¨ ¯®«³®£° ­¨·¥­­»© ±­¨§³, ²® ®­ (')¯®§¨²¨¢¥­ ¢ ®±« ¡«¥­­®© ´®°¬¥ ¯°¨ «¾¡®¬ ' <  . ²® ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ­®°¬  °¥§®«¼¢¥­²» ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ° ¢­  1=d(), £¤¥ d() { ° ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨  ¤® ±¯¥ª²°  ½²®£® ®¯¥° ²®° . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ fej g1 1 { ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± ¨§ ±®¡±²¢¥­­»µ ¢¥ª²®°®¢ ² ª®£® ®¯¥° ²®°  ¨ j { ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿, ²® ¢ ²®·ª µ °¥§®«¼¢¥­²­®£® ¬­®¦¥±²¢ 

RA ()f =

X

( j ) 1 (f; ej )ej

(3)

¨ ¢ ±¨«³ ° ¢¥­±²¢  DZ °±¥¢ «¿

kRA()f k2 =

X

j j j 2j(f; ej )j2  sup j j j 2kf k2:

(4)

…±«¨ ®¯¥° ²®° ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»©, ­® ­¥ ¯®«³®£° ­¨·¥­­»©, ²® ¯®§¨²¨¢­®±²¨ ¬®¦­® ¤®¡¨²¼±¿ ¥£® ³¬­®¦¥­¨¥¬ ­  ei . Ž­ ¯¥°¥±² ­¥² ¡»²¼ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»¬, ­® ®±² ­¥²±¿ ­®°¬ «¼­»¬. ‡ ¬¥· ­¨¥. ˆ§¢¥±²­®, ·²® °¥§®«¼¢¥­²  ­¥ ¬®¦¥² ³¡»¢ ²¼ ­  ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ ¡»±²°¥¥ jj 1 . ²® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ±«¥¤³¾¹¥£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. ˆ¬¥¾²±¿ ¢ ¢¨¤³ § ¬ª­³²»¥ ­¥®£° ­¨·¥­­»¥ ®¯¥° ²®°» ± ¯«®²­®© ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 1. (€£¬®­, 1965.) DZ³±²¼ fn g (n = 1; 2; : : : ) { ² ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ²®·¥ª ¢ (A), ·²®

jn j ! 1 ’®£¤ 

¨

kRA(n )k  C1 jn j 1:

C1  1.

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

„®¯³±²¨¬, ·²® C1 < 1. DZ®«®¦¨¬

" = (C1 1 1)=2: ’®£¤  ¨ ¥±«¨ ²®

(5)

C1 =

1 ; 1 + 2"

(6) (7)

 = n +
; £¤¥j
j  (1 + ")jn j;

(8)

j
jkRA(n )k < 11++2"" < 1

(9)

25

¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¨·¥¬


RA (n )) 1 RA (n );

R() = (I

kRA ()k  1 11+" 1 +1 2" j1 j = "j1 j : n n 1+2"

(10) (11)

‚ · ±²­®±²¨, ½²® ­¥° ¢¥­±²¢® ¢»¯®«­¥­® ¯°¨

jj < (1 + ")jn j jn j = "jn j:

(12)

Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (11) ¯°¨ n ! 1 ¯®«³· ¥¬, ·²® °¥§®«¼¢¥­²  RA () ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢­  0 ¯°¨ ¢±¥µ , ·²®, ª®­¥·­®, ­¥¢®§¬®¦­®. ‡­ ·¨², C1  1.  DZ³±²¼ 0 < <  ¨ Æ { ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®. —¥°¥§ = (Æ; ) ®¡®§­ ·¨¬ ª®­²³° ­  ª®¬¯«¥ª±­®© ¯«®±ª®±²¨, ±®±²®¿¹¨© ¨§ ¤¢³µ «³·¥© f : arg( Æ ) =  g c ®¡µ®¤®¬ ±­¨§³ ¨§ ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ ¢ ²®·ª³ Æ ¨ ¤ «¥¥ ¢ ¡¥±ª®­¥·­®±²¼ ¢¢¥°µ. ²®² ª®­²³° ¤¥«¨² ¤®¯®«­¨²¥«¼­³¾ ª ­¥¬³ · ±²¼ ¯«®±ª®±²¨ ­  ±¥ª²®°» «¥¢¥¥ ª®­²³°  ¨ ¯° ¢¥¥ ¥£®.  ¬ ¯®­ ¤®¡¿²±¿ ²°¨ ª®­²³°  (Æ0 ; ), (Æ; ) ¨ (Æ1 ; ) c Æ0 < Æ < Æ1 . Ž­¨ ¯®«³· ¾²±¿ ¤°³£ ¨§ ¤°³£  ±¤¢¨£®¬ ¢¤®«¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ®±¨. DZ³±²¼ () { ´³­ª¶¨¿, £®«®¬®°´­ ¿ ¯° ¢¥¥ ª®­²³°  (Æ0 ; ) (0 < <  ) ¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ ² ¬ ­¥° ¢¥­±²¢³ 2. ”³­ª¶¨¨ ®² ¯®§¨²¨¢­®£® ®¯¥° ²®° .

j()j  C1 (1 + jj)

h

(13)

c ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬ h. DZ°¨ Æ0 < Æ ¢ ²®·ª µ ±¥ª²®°  ¯° ¢¥¥ ª®­²³°  ( ; Æ ) ±¯° ¢¥¤«¨¢  ´®°¬³«  Š®¸¨ ¢¨¤  () = (2i)

1

Z

(Æ; )

()( ) 1 d;

(14)

² ª ª ª ½²®² ª®­²³° ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ®ª°³¦­®±²¼¾ ± ¶¥­²°®¬ ¢ . DZ® ½²®¬³ ®¡° §¶³ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´³­ª¶¨¿ (A) ®² ¯®§¨²¨¢­®£® ®¯¥° ²®° . DZ³±²¼ Æ < Æ1 ¨ ±¥ª²®° «¥¢¥¥ ª®­²³°  (Æ1 ; ) ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ °¥§®«¼¢¥­²­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ½²®£® ®¯¥° ²®° , ¨ ¯³±²¼ ¢ ­¥¬ ¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢® (1). DZ®« £ ¥¬ (A) = (2i)

1

Z

(Æ; )

()(A I ) 1 d:

(15)

’ ª ª ª Æ0 < Æ < Æ1 , ²® ­  ª®­²³°¥ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¤¥©±²¢³¾² ®¡¥ ®¶¥­ª¨ (1) ¨ (13). DZ®½²®¬³ ¨­²¥£° « ±µ®¤¨²±¿. DZ®¤°®¡­¥¥: ¨­²¥£° « ¯®­¨¬ ¥²±¿ ª ª ¯°¥¤¥« ¨­²¥£° «  ¯® ª®­¥·­®¬³ ª®­²³°³ ¢ ±¬»±«¥ ­®°¬» ¢ H ,   ¨­²¥£° « ¯® ª®­¥·­®¬³ ª®­²³°³ { ª ª ¯°¥¤¥« ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¨­²¥£° «¼­»µ ±³¬¬ ²®¦¥ ¯® ­®°¬¥ ¢ H . …±«¨ A { ®¯¥° ²®° ± ª®¬¯ ª²­®© °¥§®«¼¢¥­²®©, ²® (A) { ª®¬¯ ª²­»© ®¯¥° ²®°, ² ª ª ª ¨­²¥£° «¼­»¥ ±³¬¬» ª®¬¯ ª²­»,   ¯°¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

26

ª®¬¯ ª²­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ª®¬¯ ª²¥­. ‚ ®¡¹¥¬ ¦¥ ±«³· ¥ ®¯¥° ²®° (A) ®£° ­¨·¥­: ¥£® ­®°¬  «¥£ª® ®¶¥­¨¢ ¥²±¿ ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢ (1) ¨ (13) (¯®±¬®²°¨²¥ ± ¬¨). DZ³±²¼ ²¥¯¥°¼ A { ­®°¬ «¼­»© (­ ¯°¨¬¥°, ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»©) ®¯¥° ²®° ± ª®¬¯ ª²­®© °¥§®«¼¢¥­²®© ¨ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»¬ ¡ §¨±®¬ fej g1 1 ¨§ ±®¡±²¢¥­­»µ ¢¥ª²®°®¢, ¨ ¯³±²¼ j { ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¨¬ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿. ’®£¤  ¢®§¬®¦¥­ ¤°³£®© ¯®¤µ®¤ ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ´³­ª¶¨¨ (A). ”³­ª¶¨¾ () ¯°¨ ½²®¬ ¤®±² ²®·­® ±·¨² ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­­®© ¢® ¢±¥µ ²®·ª µ j . DZ®« £ ¥¬ 1 X (A)f = (j )(f; ej )ej : (16) j =1

²®² ®¯¥° ²®° ®£° ­¨·¥­, ¥±«¨ f(j )g { ®£° ­¨·¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ¨ ª®¬¯ ª²¥­, ¥±«¨ ®­  ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ (² ª ª ª ²®£¤  ½²® ¯°¥¤¥« ¯® ®¯¥° ²®°­®© ­®°¬¥ ª®­¥·­®¬¥°­»µ ®¯¥° ²®°®¢ { · ±²­»µ ±³¬¬ °¿¤ ). …±«¨ ¦¥ f(j )g { ­¥®£° ­¨·¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ²® ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  (A) ¢»¤¥«¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥¬ 1 X 2 k(A)f k = j(j )j2 j(f; ej )j2 < 1: (17) j =1

Ž¯¥° ²®° (A) ­®°¬ «¥­, ² ª ª ª ¨¬¥¥² ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± fej g ¨§ ±®¡±²¢¥­­»µ ¢¥ª²®°®¢, ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»¬, ¥±«¨ ¢±¥ (j ) { ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« . DZ°®¢¥°¨¬ ±®£« ±®¢ ­­®±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨© (15) ¨ (16), ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ±¨²³ ¶¨¨. DZ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ () £®«®¬®°´­  ¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ (13) ¯°¨ j arg j  , ¨ ¯³±²¼ A { ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ®¯¥° ²®° ± ¤¨±ª°¥²­»¬ ±¯¥ª²°®¬ fj g, «¥¦ ¹¨¬ ¢­³²°¨ ½²®£® ³£« , ¨ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»¬ ¡ §¨±®¬ ¨§ (±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ j ) ±®¡±²¢¥­­»µ ¢¥ª²®°®¢ ej . ’®£¤  (A I ) 1 ej = ( j ) 1 ej ; ¯®½²®¬³ ¨§ ´®°¬³«» (15) ±«¥¤³¥², ·²® (A)ej = (2i)

1

Z

(0;)

()(j

) 1 d ej = (j )ej ;

  ®²±¾¤  ±«¥¤³¥² (16). ‚ ®²«¨·¨¥ ®² (16) ´®°¬³«  (15), ª ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼, ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ­¥ ¯°¨¬¥­¨¬  ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ­¥®£° ­¨·¥­­»µ ®¯¥° ²®°®¢ (A). ‚ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¨ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ®¯¥° ²®°», ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ´³­ª¶¨© 1 (), 2 () ¨ 3 () = 1 ()2 (). DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 2. DZ³±²¼ ®¯¥° ²®°» 1 (A), 2 (A) ¨ 3 (A) ®¯°¥¤¥«¥­» ´®°¬³«®© ¢¨¤  (15) ¤«¿ ¯°®±²®²» ± ®¤­¨¬ ¨ ²¥¬ ¦¥ ª®­²³°®¬ Æ; . ’®£¤  1 (A)2 (A) = 3 (A):

(18)

27

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

¢¥­²» R = RA :

Œ» ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ²®¦¤¥±²¢®¬ ƒ¨«¼¡¥°²  ¤«¿ °¥§®«¼-

R() R() = ( )R()R(): (19) „«¿ ¥£® ¯°®¢¥°ª¨ ±«¥¤³¥² ³¬­®¦¨²¼ ° §­®±²¼ (A I ) (A I ) ­  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ °¥§®«¼¢¥­². DZ³±²¼ ®¯¥° ²®° 1 (A) § ¤ ­ ´®°¬³«®© (15) ± ª®­²³°®¬ = (Æ; ),   ®¯¥° ²®° 2 (A) {  ­ «®£¨·­®© ´®°¬³«®© ± ª®­²³°®¬ 0 = (Æ 0 ; ), £¤¥ Æ 0 ·³²¼ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ Æ . ’®£¤  1 (A)2 (A) = (2i) + (2i)

2 2

Z

1 ()R() d

Z

0

2 ()R() d

² ª ª ª Z

0

2 ()

d

 

Z

= 0 ( 2 ); (2i)

1

Z

Z

1 ()

0

2 ()

d

  d 1 () = 3 (A);   d

 

= 1 () ( 2 0 ):



Š°®¬¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨© 1 (A)2 (A), ­ ¬ ¯®­ ¤®¡¿²±¿ ­¥ª®²®°»¥ ±³¯¥°¯®§¨¶¨¨ 1 (2 (A)), ­® ¨µ ¯°®¹¥ ¡³¤¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¢ ª®­ª°¥²­»µ ±«³· ¿µ. DZ³±²¼ ®¯¥° ²®° A (')-¯®§¨²¨¢¥­ <  ¨ Æ { ­ ±²®«¼ª® ¬ «®¥ ·¨±«®, ·²® ½²®² ª®­²³°

3. ‘²¥¯¥­¨ ¯®§¨²¨¢­®£® ®¯¥° ²®° .

¨ = (Æ; ), £¤¥  ' < «¥¦¨² ¢ (A). DZ°¨ Re z < 0 ¯®« £ ¥¬

Az = (2i) 1

Z

z RA () d;

(20)

£¤¥

z = exp[z (ln jj + i arg )];  < arg   : (21) ²®, ª®­¥·­®, · ±²­»© ±«³· © ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ (15). ˆ§ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 2 ¢»²¥ª ¥² ‘«¥¤±²¢¨¥ 3. DZ°¨ Re z1 < 0, Re z2 < 0 Az1 Az2 = Az1 +z2 = Az2 Az1 :

(22)

‡ ¬¥· ­¨¿. ‡ ¡¥£ ¿ ¢¯¥°¥¤ (¤«¿ ®°¨¥­²¨°®¢ª¨), ®²¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ A { (½««¨¯²¨·¥±ª¨© ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢¤®«¼ R ) DZ„Ž ¯®°¿¤ª  m > 0 c £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬ a0 (x;  ), ²® Az { DZ„Ž ¯®°¿¤ª  mj Re z j c £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬ a0 (x;  )z (Seeley, 1967). ® ¬» ¯°®±¬®²°¨¬  ¡±²° ª²­³¾ ±¨²³ ¶¨¾, ² ª ª ª · ±²® ±²¥¯¥­¨ ®¯¥° ²®°  ­³¦­» ¢ ¤°³£¨µ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢ µ.  ¯°¨¬¥°, ½²® ¬®£³² ¡»²¼ ±²¥¯¥­¨ ®¯¥° ²®° , ®²¢¥· ¾¹¥£® ½««¨¯²¨·¥±ª®© £° ­¨·­®© § ¤ ·¥. ‚ «¨²¥° ²³°¥ ¥±²¼ ¤°³£¨¥ ¢ °¨ ­²» ¯®¤µ®¤  ª ±²¥¯¥­¿¬ ®¯¥° ²®° . Œ» ¯°¥¤¯®«®¦¨«¨, ·²® 0 ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ °¥§®«¼¢¥­²­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ®¯¥° ²®°  A; ½²® ®¡«¥£· ¥² ° ±±¬®²°¥­¨¿. DZ³²¼ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¢ (20) ¬®¦­® ¯°¥®¡° §®¢ ²¼ ¢ ª®­²³°, ±®±² ¢«¥­­»© ¨§ ¨¤³¹¨µ ¢¤®«¼ R «³·¥© jf : jj  Æ; arg  =  g ¨ ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ¨µ ª®­¶»

28

®ª°³¦­®±²¨ f : jj = Æ; j arg j   g c ­ ¯° ¢«¥­¨¥¬ ®¡µ®¤  ¯°®²¨¢ · ±®¢®© ±²°¥«ª¨. ²®² ª®­²³° ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ Æ . …±«¨ 1 < Re z < 0, ²® ¢ ¨­²¥£° «¥ ¯® Æ ¢¬¥±²® ¬®¦­® ¯¥°¥©²¨ ª ¯°¥¤¥«³ ¯°¨ Æ ! 0 (­¥±®¡±²¢¥­­»© ¨­²¥£° « ¢ ­³«¥ ±µ®¤¨²±¿) ¨ ¯®±«¥ § ¬¥­» jj = t ¯®«³·¨²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ Z sin z 1 z z A = t RA ( t)dt ( 1 < Re z < 0); (23)  0 ² ª ª ª sin z = (eiz e iz )=2i. …±«¨ z = k, £¤¥ k 2 N , ²® ¨­²¥£° «» ¯® ¢µ®¤¿¹¨¬ ¢ Æ «³· ¬ ±®ª° ¹ ¾²±¿ ¨ ´®°¬³«  ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤

A

k = (2i) 1

DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 4. ­»¬ ª

Ak .

Z

jzj=Æ

 k RA () d:

DZ°¨ «¾¡®¬ ­ ²³° «¼­®¬

(24)

k ®¯¥° ²®° (23) ¿¢«¿¥²±¿ ®¡° ²-

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ ±¨«³ (22) ½²® ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¤«¿ k = 1. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥

A

Z

jzj=Æ



1 R() d =

Z

jzj=Æ



1 d I

+

Z

jzj=Æ

R() d = 2iI;

² ª ª ª ¯®±«¥¤­¨© ¨­²¥£° « ° ¢¥­ ­³«¾. €­ «®£¨·­® ¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²® ­  ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ D(A) ®¯¥° ²®°  A Z

jzj=Æ

 1 R() d
A = 2iI:



29

‹¥ª¶¨¿ 6

Œ» ±­ · «  ¯°¨¢¥¤¥¬ ¤«¿ ³¤®¡±²¢  ­¥±ª®«¼ª® ´®°¬³« ¨§ «¥ª¶¨¨ 5. DZ¥°¢ ¿ { ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®¯¥° ²®°  (A) ¢ ±«³· ¥ ¯®§¨²¨¢­®£® ®¯¥° ²®°  A: 1

(A) = (2i)

Z

(Æ; )

()RA () d:

(15)

‚²®° ¿ { ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®¯¥° ²®°  (A) ¢ ±«³· ¥ ­®°¬ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  A ± ¤¨±ª°¥²­»¬ ±¯¥ª²°®¬: (A)f =

1 X j =1

(j )(f; ej )ej :

(16)

’°¥²¼¿ { ´®°¬³«  ¤«¿ 3 (A), £¤¥ 3 () = 1 ()2 (): 3 (A) = 1 (A)2 (A):

(18)

—¥²¢¥°² ¿ { ²®¦¤¥±²¢® ƒ¨«¼¡¥°² :

R() R() = ( )R()R():

(19)

DZ¿² ¿ { ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ Az ¯°¨ Re z < 0:

Az = (2i) 1

Z

(Æ; )

z RA () d;

(20)

˜¥±² ¿ { ´®°¬³«  (18) ¤«¿ ±²¥¯¥­¥© ± ®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­»¬¨ · ±²¿¬¨ ¯®ª § ²¥«¥©: Az1 Az2 = Az1 +z2 = Az2 Az1 : (22) ’¥¯¥°¼ ¬» µ®²¨¬ ° ±¯°®±²° ­¨²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ Az ­  ¢±¥ ª®¬¯«¥ª±­»¥ z . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ z c Re z < 0 ®¯¥° ²®° Az  ­­³«¨°³¥² ²®«¼ª® ­³«¥¢®© ¢¥ª²®°, ² ª ª ª ½²® ¢¥°­® ¤«¿ A n ¨ A n = A n z Az ¯°¨ n < Re z < 0. ˆ±¯®«¼§³¿ ½²® ®¡±²®¿²¥«¼±²¢®, ¯°¨ Re z > 0 ¯®« £ ¥¬ 1

Az = (A z ) 1 : (25) ²® ­¥®£° ­¨·¥­­»©, ­® § ¬ª­³²»© ®¯¥° ²®°, ² ª ª ª ®­ ¨¬¥¥² ®£° ­¨·¥­­»© ®¡° ²­»©. (…±«¨ A { ®¯¥° ²®° ± ®£° ­¨·¥­­»¬ ®¡° ²­»¬ A 1 , ²® ¨§ un ! u, Aun ! f ±«¥¤³¥², ·²® un ! A 1 f , u = A 1 f , Au = f . ˆ«¨ ² ª: § ¬ª­³²®±²¼ 1 ‚ (25) ¬» ±«¥¤³¥¬ ª­¨£¥ Œ.€. Š° ±­®±¥«¼±ª¨©, DZ.DZ. ‡ ¡°¥©ª®, ….ˆ. DZ³±²»«¼­¨ª, DZ.…. C®¡®«¥¢±ª¨© "ˆ­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ¢ ¯°®±²° ­±²¢ µ ±³¬¬¨°³¥¬»µ ´³­ª¶¨©",  ³ª , Œ., 1966.  ¸¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ¬ ²¥°¨ « , ±¢¿§ ­­®£® ±® ±²¥¯¥­¿¬¨ ¨ ½ª±¯®­¥­²®© ®² ®¯¥° ²®° , ¬®¦­® ±° ¢­¨¢ ²¼ ± ¨§«®¦¥­¨¥¬ ¢ ½²®© ª­¨£¥. ’ ¬ ¬®¦­® ­ ©²¨ ­¥ª®²®°»¥ ¯°®¯³¹¥­­»¥ ¤ «¥¥ ¤¥² «¨. ® ² ¬ ­¥ ¢±¥ ±¤¥« ­® ­ ¨«³·¸¨¬ ®¡° §®¬.  ¯°¨¬¥°, ­¥ ° ±±¬®²°¥­» ±²¥¯¥­¨ ± ·¨±²® ¬­¨¬»¬¨ ¯®ª § ²¥«¿¬¨.

30

®¯¥° ²®°  { ½²® § ¬ª­³²®±²¼ ¥£® £° ´¨ª ,   ®£° ­¨·¥­­»© ®¯¥° ²®°, ª®­¥·­®, § ¬ª­³².) „ «¥¥ ¯°¨µ®¤¨²±¿ ¯°®¢¥°¿²¼ ±¥°¨¾ ¬¥«ª¨µ ¯°¥¤«®¦¥­¨©, ¨ ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ¨µ ¡¥§ ¯®¤°®¡­»µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢. ‚ ±«³· ¥ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž ¢±¥ ½²® ¯®­¿²¼ ¯°®¹¥. DZ°¨ Re z < 0 ®¡« ±²¼ §­ ·¥­¨© Im Az ®¯¥° ²®°  Az ¯«®²­  ¢ H ¨ ±³¦ ¥²±¿ ± ³¬¥­¼¸¥­¨¥¬ Re z . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ±³¦¥­¨¥ ®¡« ±²¨ §­ ·¥­¨© ±° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ (22). ˆ§ (22) ² ª¦¥ ±«¥¤³¥², ·²® ¯«®²­®±²¼ ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¯°¨ ­ ²³° «¼­»µ z = n. ²® ¤¥« ¥²±¿ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® n (¯°¨ n = 1 ®­  ±«¥¤³¥² ¨§ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ® ¯«®²­®±²¨ D(A) ¢ H ). Ž²±¾¤  ¢»²¥ª ¥², ·²® ¯°¨ Re z > 0 ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ D(Az ) ®¯¥° ²®°  z A ¯«®²­  ¢ H ¨ ±³¦ ¥²±¿ ± °®±²®¬ Re z .  ¢¥­±²¢  (22) ®±² ¾²±¿ ±¯° ¢¥¤«¨¢»¬¨: ¯°¨ Re z1 < 0, Re z2 > 0, Re(z1 + z2 ) 6= 0 ­  D(Az2 ); ¯°¨ Re z1 > 0, Re z2 > 0 ­  D(Az1 +z2 ). DZ°¨ 0 < Re z1 < Re z2 ®¯¥° ²®° Az1 ¿¢«¿¥²±¿ § ¬»ª ­¨¥¬ ±¢®¥£® ±³¦¥­¨¿ ­  D(Az2 ). „¥©±²¢¨²¥«¼­®, Az1 § ¬ª­³²,   D(Az2 ) ¯«®²­  ¢ H ¨ ²¥¬ ¡®«¥¥ ¢ D(Az1 ). DZ°¨ Re z < Re z1 , Re z 6= 0, Re z1 6= 0 ®¯¥° ²®° Az ¿¢«¿¥²±¿ § ¬»ª ­¨¥¬ ®¯¥° ²®°  Az1 Az z1 = Az z1 Az1 (26) ± ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«e­¨¿ D(Az1 ) (¯°®¢¥°¼²¥ ± ¬¨). DZ³±²¼ ²¥¯¥°¼ 0 = Re z < Re z1 . Ž¯°¥¤¥«¿¥¬ Az ª ª § ¬»ª ­¨¥ ®¯¥° ²®°  (26) ± ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ D(Az1 ). DZ°®¢¥°¿¥²±¿ ª®°°¥ª²­®±²¼ ½²®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ (­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ®² ¢»¡®°  z1 ). DZ°¨ Re z = 0 ®¯¥° ²®° Az ²®¦¥ § ¬ª­³² ¨ ¥£® ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯«®²­  ¢ H . (® ³²¢¥°¦¤ ²¼, ·²® ®­ ®£° ­¨·¥­, ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ­¥«¼§¿.) Ž¯¥° ²®° A0 ®·¥¢¨¤­»¬ ®¡° §®¬ ±®¢¯ ¤ ¥² ± I . ‘®®²­®¸¥­¨¥ (22) ±¯° ¢¥¤«¨¢® ­  D(Az3 ), ¥±«¨ Re z3 > maxfRe z1 ; Re z2 ; Re(z1 + z2 )g: ‘¯° ¢¥¤«¨¢  ´®°¬³« 

(Az ) = (A )z : „«¿ Re z < 0 ®­  ±«¥¤³¥² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ (20) c ³·¥²®¬ ²®£®, ·²®

(27) (28)

(A ) = f :  2 (A)g ¨ RA () = RA (): „«¿ ­®°¬ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ± ¤¨±ª°¥²­»¬ ±¯¥ª²°®¬, «¥¦ ¹¨¬ ¢ ³£«¥ f : j arg j < ' < g, ¤ ­­»¥ ¢»¸¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±²¥¯¥­¨ ¯°¨ ¢±¥µ z ¯°¨­¨¬ ¾² ¢¨¤

Az f =

1 X j

zj (f; ej )ej

(29)

31

¢ ²¥µ ¦¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ, ·²® ¨ ¢ (16) . DZ³±²¼ ¯°¨ ½²®¬ ¤«¿ ¯°®±²®²» j ¢¥¹¥±²¢¥­­», ².e. ®¯¥° ²®° ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»©. DZ°¨ Re z > 0 ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  Az ¢»¤¥«¿¥²±¿ ²®£¤  ³±«®¢¨¥¬ 1 X jj j2 Re z j(f; ej )j2 < 1: (30) j =0

Ž­  ­¥ § ¢¨±¨² ®² Im z . DZ°¨ ·¨±²® ¬­¨¬»µ z ½²® ®£° ­¨·¥­­»¥ ®¯¥° ²®°». DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 5. DZ°¨ Re z < 0 ®¯¥° ²®° Az ¿¢«¿¥²±¿ £®«®¬®°´­®© ´³­ª¶¨¥© ®² z ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ®£° ­¨·¥­­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ¢ H . DZ°¨ Re z < h, £¤¥ h > 0, ¨ «¾¡®¬ f 2 D(Az1 ), £¤¥ Re z1 = h, Az f { £®«®¬®°´­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®² z ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ H . „®ª § ²¥«¼±²¢®. DZ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ (20). „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¨­²¥£° «  ¡±®«¾²­® (².¥. ¯® ­®°¬¥) ¨ ° ¢­®¬¥°­® ±µ®¤¨²±¿ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²®·ª¨ z ¨ ¤®¯³±ª ¥² ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­²¥£° « . —²®¡» ¯°®¢¥°¨²¼ ¢²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ¤®±² ²®·­® § ¬¥²¨²¼, ·²® Az f = Az z1 g , £¤¥ g = Az1 f ¨ Re(z z1 ) < 0.  Ž²¬¥²¨¬ ¥¹¥, ·²® ³£®« ¯®§¨²¨¢­®±²¨ ° ±¸¨°¿¥²±¿ ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² A ª As c ¬ «»¬ s > 0. DZ®¤°®¡­® ®±² ­ ¢«¨¢ ²¼±¿ ­  ½²®¬ ­¥ ¡³¤¥¬. DZ°®¢¥°¿¥²±¿, ·²® °¥§®«¼¢¥­²  ®¯¥° ²®°  As ¢»° ¦ ¥²±¿ ´®°¬³«®© ²¨¯  (15):

RAs () = (2i)

1

Z

(Æ; )

(s

) 1 RA ()d:

(31)

Ÿ±­®, ·²® ¯°¨ 0 < s < 1 ®­  ®¯°¥¤¥«¥­  ¢ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª®¬ ³£«¥, ·¥¬ RA (). 4. ª±¯®­¥­²  e tA . DZ³±²¼ ®¯¥° ²®° A (=2)-¯®§¨²¨¢¥­ ¢ ®±« ¡«¥­­®© ´®°¬¥. Œ» §­ ¥¬, ·²® ³£®« ¯®§¨²¨¢­®±²¨ ¬®¦­® ­¥¬­®£® ° ±¸¨°¨²¼. DZ®« £ ¥¬ ¯°¨ t > 0 Z tA 1 e = (2i) e t RA () d: (32) ‡¤¥±¼ = (Æ; '), £¤¥ ' ·³²¼ ¬¥­¼¸¥ =2,   Æ ¢»¡¨° ¥²±¿ ² ª, ·²® ¢¥±¼ ±¯¥ª²° ®¯¥° ²®°  «¥¦¨² ¯° ¢¥¥ ª®­²³° . ‘·¨² ¥¬, ·²® ­  ª®­²³°¥ ¢»¯®«­¥­  ®¶¥­ª  ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯®§¨²¨¢­®±²¨, ².¥. ­®°¬  °¥§®«¼¢¥­²» RA () ³¡»¢ ¥² ª ª jj 1. ”³­ª¶¨¿ e t ¿¢«¿¥²±¿, ª®­¥·­®, ¶¥«®©  ­ «¨²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¥© ®² , ¨ ­  ª®­²³°¥ ¥¥ ¬®¤³«¼ ½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­® ³¡»¢ ¥². ²® ­®¢»© · ±²­»© ±«³· © ´®°¬³«» (15). Ž¯¥° ²®° e tA ¢±¥£¤  ®£° ­¨·¥­ ¯°¨ «¾¡®¬ t > 0. …±«¨ °¥§®«¼¢¥­²  RA () ª®¬¯ ª²­ , ²® ®¯¥° ²®° e tA ª®¬¯ ª²¥­. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¾ e tA ¬®¦­®, ¨±¯®«¼§³¿ ´®°¬³«³ (32), £®«®¬®°´­® ¯°®¤®«¦¨²¼ ¯® t ¢ ­¥ª®²®°³¾ ³£«®¢³¾ ®ª°¥±²­®±²¼ «³·  R + : ² ¬ ¬®¦­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ²¼ ¯® t ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­²¥£° « . DZ°¨ ½²®¬, ² ª ª ª

RA () = (A I )RA () ARA () = I (¨ ½²® ®£° ­¨·¥­­»© ®¯¥° ²®°), ²® (e tA )0 = Ae tA :

AR() (33)

32

„«¿ t1 , t2 ¨§ ½²®£® ³£«  ¢ ±¨«³ ´®°¬³«» (18)

e t1 A e t2 A = e (t1 +t2 )A :

(34)

‚ · ±²­®±²¨, ´®°¬³«» (33) ¨ (34) ¢¥°­» ¯°¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ t ¨ tj . Ž±² ­®¢¨¬±¿ ­  ±¢¿§¨ ½ª±¯®­¥­²» ± § ¤ ·¥© Š®¸¨

u0 (t) + Au(t) = 0 (t > 0); u(0) = u0 : DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.

u0

DZ°¨ «¾¡®¬

2H

´³­ª¶¨¿

(35) (36)

u(t) = e tA u0

¿¢«¿¥²±¿

(35), (36). „®ª § ²¥«¼±²¢®. “° ¢­¥­¨¥ (35) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²±¿ ¢ ±¨«³ (34). ¥¬­®£® ±«®¦­¥¥ ¯°®¢¥°¿¥²±¿ ­ · «¼­®¥ ³±«®¢¨¥, ² ª ª ª ³¡»¢ ­¨¥ ­®°¬» °¥§®«¼¢¥­²» ­¥ ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ±µ®¤¨¬®±²¨ ¨­²¥£° «  (32) ¯°¨ t = 0. DZ³±²¼ ±­ · «  u0 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ D(A) ®¯¥° ²®°  A. ’®£¤  u0 2 D(A I ), £¤¥ ¢ ª ·¥±²¢¥  ¢®§¼¬¥¬ ²®·ª³ ¨§ (A) ­  R «¥¢¥¥ Æ . ˆ¬¥¥¬ u0 = R()v ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ v 2 H . ‚ ±¨«³ ²®¦¤¥±²¢  ƒ¨«¼¡¥°²  (19), °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨

R()R()v = ( ) 1 [R() R()]v: ˆ­²¥£° «

Z

e tA ( ) 1 d

° ¢¥­ ­³«¾. DZ®½²®¬³

u(t) = (2i)

1

Z

e t R()( ) 1 d v:

‚»¨£°»¸ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­²¥£° «  ¯®¿¢¨«±¿ ¬­®¦¨²¥«¼ ( ) 1 . DZ°¨ t ! +0 ´³­ª¶¨¿ u(t) ±²°¥¬¨²±¿ ª

u(0) = (2i)

1

Z

R()( ) 1 d v:

(37)

‚»·¨±«¿¿ ½²®² ¨­²¥£° « ·¥°¥§ ¢»·¥² ¯®¤¨­²¥£° «¼­®£® ¢»° ¦¥­¨¿ ¢ ²®·ª¥ , ¯®«³· ¥¬, ·²® u(0) = R()v = u0 . ’®·­¥¥, ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¥¬. “¬­®¦ ¥¬ ®¡¥ · ±²¨ ° ¢¥­±²¢  (37) ±ª «¿°­® ­  ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®° w. —¨±«®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ (R()v; w) £®«®¬®°´­  ¨ ³¡»¢ ¥² ª ª jj ­  ª®­²³°¥ ¨ ¢«¥¢® ®² ­¥£®, ¨ ¬» ¯®«³· ¥¬, ¢»·¨±«¿¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ¨­²¥£° « ·¥°¥§ ¢»·¥², ·²® (u(0); w) = (R()v; w) = (u0 ; w): Ž²±¾¤  ° ¢¥­±²¢® u(0) = u0 ±«¥¤³¥² ¢¢¨¤³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ w. —²®¡» ° ±¯°®±²° ­¨²¼ °¥§³«¼² ² ­  ¢±¥ u0 2 H , ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ ° ¢­®¬¥°­³¾ ¯® t ¯°¨ ¬ «»µ t > 0 ®£° ­¨·¥­­®±²¼ ®¯¥° ²®°  e tA (·²® ¯®§¢®«¨² ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿  ¯¯°®ª±¨¬ ¶¨¥© ¯°®¨§¢®«¼­®£® u0 ½«¥¬¥­² ¬¨ ¨§ D(A)). „«¿

33

½²®£® ¡³¤¥¬ ¬¥­¿²¼ Æ , Æ ! 1. Š ª ¬» ³¢¨¤¨¬, ­ ¤® ¡³¤¥² ¢§¿²¼ jÆ j = 1=t. DZ®ª  ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® Æ < 0.   ¬» ¨¬¥¥¬ £°³¡³¾ ®¶¥­ª³ jj  jÆ j sin ' ¨, §­ ·¨², (jÆ j +  )jj £¤¥  = j Im j ¨ C1 = (sin ')

1 + 1.

1

 C1 ;

DZ®½²®¬³ ­ 

kR()k  C jj 1  CC1 (jÆj + )

1

¨

ke

tA k  CC

Z

je

( Æ )t j(jÆ j +  ) 1 jdj = C

Z

1

e C3 t (jÆ j +  ) 1 d; 0 (38) 1 1 £¤¥ C2 = 2CC1 (sin ') ¨ C3 = (sin ') . ’¥¯¥°¼ ¯®« £ ¥¬ jÆ j = 1=t ¨  = e=t, £¤¥ e { ­®¢ ¿ ¯¥°¥¬¥­­ ¿, ¯® ª®²®°®© ¬» ¨­²¥£°¨°³¥¬. DZ° ¢ ¿ · ±²¼ ¢ (38) ®ª §»¢ ¥²±¿ ­¥ § ¢¨±¿¹¥© ®² t.  “° ¢­¥­¨¥ (35) ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª  ¡±²° ª²­»©  ­ «®£ ³° ¢­¥­¨¿ ²¥¯«®¯°®¢®¤­®±²¨,   ³±«®¢¨¥ (=2)-¯®§¨²¨¢­®±²¨ ®¯¥° ²®°  A ¢ ®±« ¡«¥­­®© ´®°¬¥ ­ §»¢ ²¼ ³±«®¢¨¥¬ ¯ ° ¡®«¨·­®±²¨ ½²®£® ³° ¢­¥­¨¿. (ƒ®¤¨²±¿ ®¯¥° ²®° A =
­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨.) ‡ ¬¥· ­¨¥ ® ²¥°¬¨­®«®£¨¨. ª±¯®­¥­²  e tA ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­  ³ ­ ± ¯°¨ t = 0: ª ª ³¦¥ ¡»«® ±ª § ­®, ³¡»¢ ­¨¥ °¥§®«¼¢¥­²» ­¥ ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ±µ®¤¨¬®±²¨ ¨­²¥£° «  (32) ¯°¨ t = 0. ® ¬» ¯®«®¦¨¬ e 0A = I . ’¥¯¥°¼ ½ª±¯®­¥­²  ®¯°¥¤¥«¥­  ­  § ¬ª­³²®© ¯®«³®±¨ R + . Ž­  ®¡« ¤ ¥² ¯®«³£°³¯¯®¢»¬ ±¢®©±²¢®¬ (34). DZ°¨ «¾¡®¬ t > 0 ¨ «¾¡®¬ w 2 H ´³­ª¶¨¿ e tA w ­¥¯°¥°»¢­  ¢ H (¯® ­®°¬¥ ¢ ½²®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥). ‚ ¯°¥¤«®¦¥­¨¨ 6 ¬» ´ ª²¨·¥±ª¨ ¤®ª § «¨, ·²® ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ±®µ° ­¿¥²±¿ ¯°¨ t = 0. ²® ®§­ · ¥², ·²® ¬» ¨¬¥¥¬ ±¨«¼­® ­¥¯°¥°»¢­³¾ ¯®«³£°³¯¯³. € ¯®±ª®«¼ª³ ®­  £®«®¬®°´­® ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ c ±®µ° ­¥­¨¥¬ ¯®«³£°³¯¯®¢®£® ±¢®©±²¢  (34) ¢ ­¥ª®²®°³¾ ³£«®¢³¾ ®ª°¥±²­®±²¼ «³·  R + , ½²® £®«®¬®°´­ ¿ ¯®«³£°³¯¯ . Ž¯¥° ²®° A ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤¿¹¨¬ ®¯¥° ²®°®¬ ½²®© ¯®«³£°³¯¯». …±«¨ ³£®« ¢ ³±«®¢¨¨ ¯®§¨²¨¢­®±²¨ ¬ «, ²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«¥§­»¬ ¯¥°¥µ®¤ ª ¬ «®© ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ±²¥¯¥­¨ As ®¯¥° ²®°  A ¤«¿ ° ±¸¨°¥­¨¿ ³£«  ¯®§¨²¨¢­®±²¨ ¤® =2. …±«¨ A { ­®°¬ «¼­»© ®¯¥° ²®° ± ¤¨±ª°¥²­»¬ ±¯¥ª²°®¬, «¥¦ ¹¨¬, ±ª ¦¥¬, ¢ ³£«¥ f : j arg j  ' < =2g, ²® ¢ ²¥µ ¦¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ, ·²® ¨ ¢ (16), 1e

Æt

2e

e

tA =

1 X 1

e tj (f; ej )ej :

Æt

(40)

34

‹¥ª¶¨¿ 7

‘­®¢  ¯®¢²®°¨¬ ­³¦­»¥ ´®°¬³«»: (A) = (2i) „«¿ Re z < 0 „«¿ t > 0

1

Az = (2i) 1 e

tA = (2i) 1

Z

(Æ; ) Z

(Æ; ) Z

(Æ; )

()RA () d:

(15)

z RA () d:

(20)

e t RA () d:

(32)

RA (), A z ¨ e tA . ‚ ²¥®°¨¨ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž ª ¦¤ ¿ ¨§ ½²¨µ ´³­ª¶¨© ¢ ®²¤¥«¼­®±²¨ ¨­²¥­±¨¢­® ¨§³· « ±¼ ¢ «¨²¥° ²³°¥. ”®°¬³«», ª®²®°»¥ ¬» §¤¥±¼ ®¡±³¤¨¬, ¢ ²¥®°¨¨ DZ„Ž ¯®§¢®«¿¾² \¯¥°¥±·¨²»¢ ²¼" °¥§³«¼² ²», ¯®«³·¥­­»¥ ¤«¿ ®¤­®© ¨§ ½²¨µ ´³­ª¶¨© ®² A, ¢ °¥§³«¼² ²» ¤«¿ ¤°³£¨µ. „¢¥ ´®°¬³«» ¬» ³¦¥ ¨¬¥¥¬: ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±²¥¯¥­¨ ¨ ½ª±¯®­¥­²» ·¥°¥§ °¥§®«¼¢¥­²³. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ®¯¥° ²®° A ¿¢«¿¥²±¿ (')-¯®§¨²¨¢­»¬ ¯°¨ ' < '0 ¨ ·²® '0 §¤¥±¼ ­¥«¼§¿ ³¢¥«¨·¨²¼. DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 7. DZ°¨ 0 < c < 1 ¤«¿ ²®·¥ª  ¢­³²°¨ ³£«  ¯®§¨²¨¢­®±²¨ 5.

‘¢¿§¨ ¬¥¦¤³ ´³­ª¶¨¿¬¨

1 RA () = 2i £¤¥

( )z

1

Z

( )z 1 z A dz; Re z =c sin z

{ £®«®¬®°´­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®²

(z; ),

±®¢¯ ¤ ¾¹ ¿ ±

(40)

e(z

1) ln jj

¯°¨

2R . “¡¥¤¨¬±¿ ±­ · «  ¢ ±µ®¤¨¬®±²¨ ½²®£® ¨­²¥£° « . ”¨ª±¨°³¿  ¢ ³£«¥ ¯®§¨²¨¢­®±²¨, ¢®§¼¬¥¬ ª®­²³° = (Æ; ), ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨© A z ¨ ² ª®©, ·²® ²®·ª   «¥¦¨² «¥¢¥¥ ½²®£® ª®­²³° . Œ» ¨¬¥¥¬

j( )z 1 j  jjc 1 exp(j arg( )j
j Im zj); j(sin z) 1 j  C1 exp( j Im zj); Z z kA k  j z jkRA()kjdj

(41) (42)

 C2 exp( j Im zj) jj c (1 + jj) 1jdj = C3 exp( j Im zj);

(43)

Z

£¤¥ Cj ­¥ § ¢¨±¿² ®² z . ˆ§ ½²¨µ ®¶¥­®ª ¢¨¤­  ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨­²¥£° «  (40), ² ª ª ª arg( ) + <  . Ž¡º¿±­¨¬ ²¥¯¥°¼, ®²ª³¤  ¢§¿« ±¼ ´®°¬³«  (40). ˆ§¢¥±²­®, ·²® ¯°¨ 0 < t < 1 (1 + t)

1

1 = 2i

Z

tz 1 dz: Re z =c sin z

(44)

35

²  ´®°¬³«  ¯°®¢¥°¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³¦­® ±¤¢¨£ ²¼ «¨­¨¾ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¯ ° ««¥«¼­® ±¥¡¥ ¢¯° ¢®, ¯¥°¥¯°»£¨¢ ¿ ·¥°¥§ ­³«¨ ±¨­³± . ²® ¬®¦­® ¤¥« ²¼, ¢»·¨±«¿¿ ¨­²¥£° « ¯® § ¬ª­³²®¬³ ª®­²³°³ ·¥°¥§ ¢»·¥²» ¢ ­³«¿µ ±¨­³± , ² ª ª ª ¢ «¾¡®© ¢¥°²¨ª «¼­®© ¯®«®±¥ fz : 0 < c0  Re z  c1 g ¯®¤¨­²¥£° «¼­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ¡»±²°® ³¡»¢ ¥² ¯® ¬®¤³«¾ ¯°¨ j Im z j ! 1 ° ¢­®¬¥°­® ¯® Re z (² ª ª ª ¬®¤³«¼ ±¨­³±  ° ±²¥² ½ª±¯®­¥­¶¨ «¼­®, ±¬. (42)). DZ®½²®¬³ ¯° ¢ ¿ · ±²¼ ¢ (43) ¯°¨ «¾¡®¬ ­ ²³° «¼­®¬ N ° ¢­  N X

tz 1 1  Resz=l + sin z 2i l=1

Z

tz 1 dz: Re z =c+N sin z

‡¤¥±¼ ±³¬¬  ± ¬­®¦¨²¥«¥¬  ±®¢¯ ¤ ¥² ± 1 t +


+( 1)N 1 tN 1 ,   ¨­²¥£° « ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¯® ¬®¤³«¾ C4 tc+N 1 ¨ ¯®²®¬³ ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ ¯°¨ N ! 1. DZ®¤±² ¢¨¬ ²¥¯¥°¼ ¢ (44) t = =, ±·¨² ¿ ±­ · « , ·²® ·¨±«¨²¥«¼ ¨ §­ ¬¥­ ²¥«¼ { ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ ·¨±«  ¨ ¤°®¡¼ ¬¥­¼¸¥ 1. DZ®«³·¨¬ 1 = 2i

1

( )

Z

( )z 1 dz (0 < c < 1): z Re z =c  sin z

(45)

”®°¬³«  (40) ´®°¬ «¼­® ¯®«³· ¥²±¿ ®²±¾¤  ¯®¤±² ­®¢ª®© A ¢¬¥±²® . ”®°¬³«  (45) ±¥©· ± ¯®­ ¤®¡¨²±¿ ­ ¬ ±  2 ¨ ¯°®¨§¢®«¼­®© ²®·ª®© , «¥¦ ¹¥© «¥¢¥¥ ª®­²³°  .   ½²¨ §­ ·¥­¨¿  ¨  ®­  ° ±¯°®±²° ­¿¥²±¿  ­ «¨²¨·¥±ª¨¬ ¯°®¤®«¦¥­¨¥¬ (¯°¨ ª®²®°®¬  6=  ¨ ,  2= R ) . „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 7. ‡ ¯¨¸¥¬ °¥§®«¼¢¥­²³ ¢ ²®·ª¥  ´®°¬³«®© Š®¸¨ (½²® ´®°¬³«  (31) ¨§ «¥ª¶¨¨ 6 c s = 1)

RA () = (2i)

1

Z

( ) 1 RA () d:

(46)

’¥¯¥°¼ ¯®¤±² ¢¨¬ (45) ¢ (46) ¨ ¯®¬¥­¿¥¬ ¯®°¿¤®ª ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ (½²® ¢®§¬®¦­® ¢¢¨¤³  ¡±®«¾²­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®¢²®°­»µ ¨­²¥£° «®¢): 1 RA () = 2i

Z

( )z 1 (2i) Re z =c sin z

1

Z

 z RA () d dz:

(47)

Ž±² ¥²±¿ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ´®°¬³«®© ¢¨¤  (20) ¤«¿ A z .  DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 8. DZ³±²¼ '0 > =2. ’®£¤  ¯°¨ t > 0, c > 0

e

tA = (2i) 1

Z

Re z =c

t z (z )A z dz:

(48)

‡¤¥±¼ (z ) { £ ¬¬ -´³­ª¶¨¿ ©«¥° . ‘ ½²®© ´®°¬³«®© ¬» ° §¡¥°¥¬±¿ ¯® ²®¬³ ¦¥ ¯« ­³, ·²® ¨ ± (40). ‘­ · «  ¯°®¢¥°¨¬  ¡±®«¾²­³¾ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨­²¥£° «  ±¯° ¢ . ‘·¨² ¿, ·²® ®¯¥° ²®° A z ®¯°¥¤¥«¥­ ´®°¬³«®© ¢¨¤  (20) c ·³²¼ ¬¥­¼¸¥ =2, ¨¬¥¥¬ ±®£« ±­® (43) kA z k  C1 exp( j Im zj);

36

¨ ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²®

j (z)j  C2 exp( !j Im zj)

(49)

¯°¨ «¾¡®¬ ! 2 (0; =2), £¤¥ C2 = C2 (! ) ­¥ § ¢¨±¨² ®² Im z . ‚ ±² ­¤ °²­®© ´®°¬³«¥ ¤«¿ -´³­ª¶¨¨ Z 1 (z ) = uz 1 e u du (Re z > 0) 0

±¤¥« ¥¬ § ¬¥­³ u = e . DZ®«³·¨¬, ¯®« £ ¿ z = x + iy , Z 1  (x + iy ) = ex e eiy d: (50) 1 ²  ´®°¬³«  ¯®ª §»¢ ¥², ·²® (2 ) 1 (x + iy ) { ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥ F!1 y  ®² ´³­ª¶¨¨ ex e , ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¥© ¯°®±²° ­±²¢³ ˜¢ °¶  S (R ). DZ³²¼ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¬®¦­® ±¤¢¨­³²¼ ­  «¾¡³¾ £®°¨§®­² «¼­³¾ ¯°¿¬³¾ ¢ ¯®«®±¥ f : j Im j < =2g. DZ°¨ ½²®¬ §  §­ ª ¨­²¥£° «  ¢»­®±¨²±¿ e y Im  . ‚»¡¨° ¿ Im  ®¤­®£® §­ ª  ± y , ¯®«³· ¥¬ ­³¦­³¾ ®¶¥­ª³ (49). ˆ² ª, ¨­²¥£° « ±¯° ¢  ¢ (48)  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿. ’¥¯¥°¼ ¢»¢¥¤¥¬  ­ «®£¨·­³¾ (48) ´®°¬³«³ ¤«¿ e t , Re  > 0: t = (2i) 1

e

Z

Re z =c

(t) z (z ) dz:

(51)

u z (z ) dz:

(52)

‡¤¥±¼ t ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ®¤­®© ¡³ª¢®© u:

e

u = (2i) 1

Z

Re z =c

DZ°®¢¥°¨¬ ´®°¬³«³ (52). ˆ±¯®«¼§³¿ ´®°¬³«³ ®¡° ¹¥­¨¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ”³°¼¥, ¯®«³· ¥¬ ¨§ (50) Z 1  x e 1 e = (2 ) (x + iy )e iy dy: 1 ‡ ¬¥­¨¬ §¤¥±¼ e ­  u ¨ ¯®¤¥«¨¬ ®¡¥ · ±²¨ ­  ux ; ¯®«³·¨¬ Z 1 u 1 e = (2 ) u (x+iy) (x + iy ) dy; y > 0; 1   ½²® ¨ ¥±²¼ ´®°¬³«  (52). ‡¤¥±¼ ¯®ª  u > 0, ­®, ¨±¯®«¼§³¿ ®¶¥­ª¨ (43),(49), ¬®¦¥¬ ¯°®¤®«¦¨²¼ ¯° ¢³¾ · ±²¼ £®«®¬®°´­® ­  u ± Re u > 0. DZ®¤±² ¢«¿¿ u = t, ¯®«³· ¥¬ (51). „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 8. DZ®¤±² ¢¨¬ (51) ¢ ´®°¬³«³ (32). DZ¥°¥±² ¢«¿¿ ¨­²¥£° «» (¬®¦­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ½²® ¢®§¬®¦­® ¢ ±¨«³  ¡±®«¾²­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®¢²®°­»µ ¨­²¥£° «®¢), ¯®«³· ¥¬

e

tA = (2i) 1

Z

Re z =c

t

z (z )(2i) 1

Z

(Æ; )

 z RA () d dz:

37

Ž±² ¥²±¿ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ´®°¬³«®© (20).  DZ°¨¢¥¤¥¬ ¥¹¥ ²°¨ ´®°¬³«». DZ¥°¢»¥ ¤¢¥ ¥±²¼ ¢ ª­¨£¥ Š° ±­®±¥«¼±ª®£® ± ±® ¢²®° ¬¨, ³¯®¬¿­³²®© ­  ¯°®¸«®© «¥ª¶¨¨; ¨µ ­¥±«®¦­® ¯°®¢¥°¨²¼ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®. DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 9. DZ°¨ '0 > =2 ¨ Re   0 Z 1 Z 1 tA t RA () = e e dt = e t(A I ) dt: (53) 0

DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 10.

0

'0 > =2, Re z > 0 Z 1 1 z tz 1 e tA dt: A = (z ) 0

DZ°¨

(54)

²¨ ¤¢¥ ´®°¬³«» ­ ¯®¬¨­ ¾² ¨§¢¥±²­»¥ ´®°¬³«» ¤«¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ‹ ¯« ±  ®² ½ª±¯®­¥­²» ¨ ±²¥¯¥­¨: Z 1 Z 1 n! 1 pt t ¨ e pt tn dt = n+1 : e e dt = p  p 0 0 ’°¥²¼¿ ´®°¬³«  { ®¡®¡¹¥­¨¥ ´®°¬³«» (40): DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 11. DZ°¨ ­ ²³° «¼­®¬ q ¨ 0 < c < q

¨

 ¨§ ³£«  ¯®§¨²¨¢­®-

±²¨

Z 1 ( 1)q 1 q [RA ()] =

2i (q

1)!

(z Re z =c

1) : : : (z q + 1)( )z q z A dz: sin z

(55)

‚ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ¯°®¢¥°¿¥²±¿ ¨ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ´®°¬³«  ²¨¯  (15) ¤«¿ ±²¥¯¥­¨ °¥§®«¼¢¥­²» [RA ()]q = (2i) 1

Z

( ) q RA () d:

(56)

Š®­²³° ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ¬ «®© ®ª°³¦­®±²¼¾ ± ¶¥­²°®¬ ¢ . DZ®¤±² ¢¨¬ ±¾¤  ¢»° ¦¥­¨¥ ¤«¿ °¥§®«¼¢¥­²» ¨§ (40) ± § ¬¥­®©  ­  . Œ¥­¿¿ ¬¥±² ¬¨ ¨­²¥£° «», ¯®«³· ¥¬ 1 [RA ()]q =

Z

Z

1 1 A z dz ( ) q ( )z 1 d: 2i Re z=c sin z 2i j j=r

‚»·¨±«¿¿ ¨­²¥£° « ·¥°¥§ ¢»·¥² ¯®¤¨­²¥£° «¼­®© ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥  = , ¯°¨µ®¤¨¬ ª ´®°¬³«¥ (54) ¯®ª  ± 0 < c < 1. ® ¯®¤¨­²¥£° «¼­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ £®«®¬®°´­® ¯® z ¢ ¯®«®±¥ fz : 0 < Re z < q g. DZ®½²®¬³ c ¬®¦­® ±·¨² ²¼ «¥¦ ¹¨¬ ¬¥¦¤³ 0 ¨ q .   ¡«¨¦ ©¸¨µ «¥ª¶¨¿µ ¬» ¡³¤¥¬ § ­¨¬ ²¼±¿ ¨§³·¥­¨¥¬ °¥§®«¼¢¥­²» RA () ¯®§¨²¨¢­®£® ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®°  A ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª  m > n ­ 

38

§ ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M . DZ°¨ ³±«®¢¨¨ m > n °¥§®«¼¢¥­² , ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬, ¿¢«¿¥²±¿ ¨­²¥£° «¼­»¬ ®¯¥° ²®°®¬

RA ()f (x) =

Z

K (x; y; )f (y ) dy

± ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¿¤°®¬ K (x; y; ). –¥«¼ ¡³¤¥² ±®±²®¿²¼ ¢ ¯®«³·¥­¨¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®© ´®°¬³«» ¤«¿ ±«¥¤  ¿¤°  °¥§®«¼¢¥­²» tr RA () =

Z

K (x; x; ) dx

¯°¨  ! 1. ‚ ±«³· ¥, ª®£¤  A ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ®¯¥° ²®° ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨, ¬» ¢»¢¥¤¥¬ ¨§ ­¥¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª³¾ ´®°¬³«³ ¤«¿ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ®¯¥° ²®°  A ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ² ³¡¥°®¢®© ²¥®°¥¬». DZ°¨¡«¨¦¥­¨¥¬ ª °¥§®«¼¢¥­²¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯ ° ¬¥²°¨ª±. ƒ« ¢­»© ·«¥­ ¯ ° ¬¥²°¨ª±  ®²¢¥· ¥² ±¨¬¢®«³ 1 ; (1) a0 (x;  )  £¤¥ a0 (x;  ) { £« ¢­»© ±¨¬¢®« DZ„Ž A. Ž­, ª ª ¬» ¯®¬­¨¬, ®¯°¥¤¥«¥­ £«®¡ «¼­® ª ª ´³­ª¶¨¿ ­  ª®ª ± ²¥«¼­®¬ ° ±±«®¥­¨¨. Œ» ±¥©· ± ¤«¿ ¯°®±²®²» ¯°¥¤¯®« £ ¥¬, ·²®  ®²°¨¶ ²¥«¼­® (­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¡®«¼¸¨¥ ¯® ¬®¤³«¾  ¨§ ³£«  ¯®§¨²¨¢­®±²¨). “ª § ­­ ¿ ¤°®¡¼ ­³¦¤ ¥²±¿ ¢ ±£« ¦¨¢ ­¨¨ ¯°¨ ¬ «»µ  ¨«¨ ¬ «»µ (; ). ® ¬» ±¥©· ± ±®±² ¢«¿¥¬ ²®«¼ª® £°³¡»© ¯« ­ ¤¥©±²¢¨©. …±«¨ m > n, ²® DZ„Ž

B ()u(x) = (2 ) n

ZZ

ei(x y)
 [a0 (x;  ) ] 1 u(u) dyd

(2)

¢ R n ¿¢«¿¥²±¿ ¨­²¥£° «¼­»¬ ®¯¥° ²®°®¬ Z

K0 (x; y; )u(y ) dy

(3)

± ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¿¤°®¬, ª®²®°®¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤

K0 (x; y; ) = (2 ) n

Z

ei(x y)
 [a0 (x;  ) ] 1 d;

(4)

½²®² ¨­²¥£° «  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿ (­  ¡¥±ª®­¥·­®±²¨). DZ®« £ ¿ y = x ¨ ¨­²¥£°¨°³¿,   § ²¥¬ ¤¥« ¿ ¯®¤±² ­®¢ª³  = ( )1=m , ¯®«³· ¥¬ ³¦¥ ¢ ±«³· ¥ ¬­®£®®¡° §¨¿ M ¢¬¥±²® R n Z

M

£¤¥

K0 (x; x; )dx = (2 ) n

ZZ

c = (2 ) n

T M ZZ

[a0 (x;  ) ] 1 d = c( )n=m 1 ;

1 d: T M a0 (x;  ) + 1

(5) (6)

39

DZ®½²®¬³

)n=m 1 ) ( ! 1): (7) ²® ¨ ¥±²¼ (¯°®±²¥©¸ ¿)  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª ¿ ´®°¬³«  ¤«¿ ±«¥¤  ¿¤°  °¥§®«¼¢¥­²». DZ³±²¼ ²¥¯¥°¼ A {± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© DZ„Ž ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨. …±«¨ fej (x)g1 1 { ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± ¨§ ¥£® ±®¡±²¢¥­­»µ ´³­ª¶¨©,   j { ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿, ²® tr RA () = c( )n=m

1 + o((

RA ()u =

X

j

1



(u; ej )ej ;

(8)

¨ ´®°¬ «¼­® ½²® ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° ­  M Z

M

K (x; y; )u(y ) dy

± ¿¤°®¬

K (x; y; ) =

1 X 1

j

1

(9)

e (x)e (y ):  j j

(10)

’ ª ª ª ¿¤°® ­¥¯°¥°»¢­®,   ·¨±«®¢»¥ ¬­®¦¨²¥«¨ 1=(j ) ¯®«®¦¨²¥«¼­», ²® ³¦¥ ­¥´®°¬ «¼­®, ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» Œ¥°±¥° , ¯®«³· ¥¬, ·²® ½²®² °¿¤ ±µ®¤¨²±¿ ° ¢­®¬¥°­®. DZ®« £ ¿ x = y ¨ ¨­²¥£°¨°³¿ ¯® ¬­®£®®¡° §¨¾, ¯®«³· ¥¬ tr RA () =

X

j

1



= tr RA ():

(11)

²  ´®°¬³«  ®¡º¿±­¿¥² ±¯ª²° «¼­»© ±¬»±« ±«¥¤  ¿¤°  °¥§®«¼¢¥­²». ‚¢¨¤³ ª®­¥·­®±²¨ ½²®© ±³¬¬» °¥§®«¼¢¥­²  { ¿¤¥°­»© ®¯¥° ²®°. ‘®¯®±² ¢«¿¿ ½²³ ´®°¬³«³ ± (7), ¯®«³· ¥¬ X

j

1



= c( )n=m

1 + o((

)n=m 1 ): ( !

1):

(12)

  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¯®«³·¨²±¿ ¡®«¥¥ ²®·­ ¿ ®¶¥­ª  ®±² ²ª . ’¥¯¥°¼ ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ² ³¡¥°®¢  ²¥®°¥¬  • °¤¨{‹¨²²«¼¢³¤  (¤«¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ‘²¨«¼²¼¥± ). ˆ§ (12) ¢»²¥ª ¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª ¿ ´®°¬³«  ¤«¿ j : m

m

j = d j n + o(j n ):

(13)

DZ®±²®¿­­ ¿ d ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ c. ‡¤¥±¼ ¬®¦­® ¡®°®²¼±¿ §  ³«³·¸¥­¨¥ ®¶¥­ª¨ ®±² ²ª , ­® (13) { ½²® ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­»© ¢¥±¼¬  ®¡¹¨© °¥§³«¼² ² ¢ ±¯¥ª²° «¼­®© ²¥®°¨¨ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ²®°®¢. Š°®¬¥ ²®£®, ¯®«³· ¥²±¿  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ±«¥¤  ¿¤°  °¥§®«¼¢¥­²» R() ¯® ³¡»¢ ¾¹¨¬ ±²¥¯¥­¿¬ ¯¥°¥¬¥­­®©  ¡¥§ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ® ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®±²¨ ®¯¥° ²®° . ˆ ½²®² ±«¥¤ ²®¦¥ ¨¬¥¥² ±¯¥ª²° «¼­»© ±¬»±«.

40

…±«¨ ³±«®¢¨¥ m > n ­¥ ¢»¯®«­¥­®, ²® ¢ ±«³· ¥ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®°  ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ ±«¥¤³¥² ¯¥°¥©²¨ ª ¤®±² ²®·­® ¢»±®ª®© ­ ²³° «¼­®© ±²¥¯¥­¨ ®¯¥° ²®°  A. …±«¨ ¦¥ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®±²¨ ­¥²,   ¥±²¼ ²®«¼ª® ¯®§¨²¨¢­®±²¼, ²® ¯°¨ ² ª®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¥¥ ¬®¦­® ¯®²¥°¿²¼ ¨ ¢¬¥±²® ½²®£® ­ ¤® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ±²¥¯¥­¼ °¥§®«¼¢¥­²». …±«¨ ®¯¥° ²®° ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»©, ²® ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¯®«³· ¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­®¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¤«¿ ±«¥¤  °¥§®«¼¢¥­²» ¨«¨ ¥¥ ±²¥¯¥­¨. …±«¨ ¦¥ ®¯¥° ²®° ¯±¥¢¤®¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»©, ²® ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¯®«³· ¥²±¿ ²®«¼ª® ª®­¥·­®¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥, ·²® ±¢¿§ ­® ± ° ¬ª ¬¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ ƒ°³¡¡ ¤«¿ DZ„Ž, ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ± ¯ ° ¬¥²°®¬. —²®¡» ¯®«³·¨²¼ ¯®«­®¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥, ­ ¤® ±­ · «  ¨§³·¨²¼  ­ «¨²¨·¥±ª®¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¥ ±«¥¤  ®¯¥° ²®°  A z ¨ § ²¥¬ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢»° ¦¥­¨¥ ¤«¿ °¥§®«¼¢¥­²» ·¥°¥§ ±²¥¯¥­¼ ®¯¥° ²®° .

41

‹¥ª¶¨¿ 8 4. ”³­ª¶¨¨ ®² ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ²®°®¢ 1. “²®·­¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ¢«®¦¥­¨¿ ¤«¿ ±®¡®«¥¢±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢.

DZ³±²¼ u(x) { ´³­ª¶¨¿ ¨§ H s (R n ), £¤¥ s > n=2. Œ» §­ ¥¬, ·²® ®­  ­¥¯°¥°»¢­ . ’®·­¥¥, ®­  ­¥¯°¥°»¢­ , ¥±«¨ ¥¥ ®²®¦¤¥±²¢¨²¼ ± (2 ) n

Z

eix
 v ( ) d;

(1)

£¤¥ v = F u. ”³­ª¶¨¿ (1) ­¥ ¨¬¥¥² ° §°»¢®¢, ª®²®°»¥ ¬®£«¨ ¡»²¼ ³ ¨±µ®¤­®© ´³­ª¶¨¨. “±«®¢¨¬±¿ ¯°¨ s > n=2 ®²®¦¤¥±²¢«¿²¼ u(x) c (1). ‘¥©· ± ¬» ³²®·­¨¬ ±¢®©±²¢  ½²®© ´³­ª¶¨¨. DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 1. DZ°¨ s > n=2 c¯° ¢¥¤«¨¢» ­¥° ¢¥­±²¢  1 2s ju(x)j  C1 kukn= s kuk0 ¨

n=2s

(2)

ju(x) u(xe)j  C2 jx xej kuks ;

(3)

Cj ­¥ § ¢¨±¿² ®² ´³­ª¶¨© ¨  { «¾¡®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«®, ¬¥­¼¸¥¥ min(s n=2; 1). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ˆ¬¥¥¬ £¤¥ ¯®±²®¿­­»¥

ju(x)j  (2) n

Z

jv( )j(r2 + j j2)s=2(r2 + j j2)

s=2 d:

‚ ¯° ¢³¾ · ±²¼ ²¥¯¥°¼ ¢ª«¾·¥­ ¯ ° ¬¥²° r. ˆ±¯®«¼§³¿ ­¥° ¢¥­±²¢® ˜¢ °¶ , ¯®«³· ¥¬

ju(x)j2

 (2)

2n

Z

jv( )j2(r2 + j j2)sd

Z

(r2 + j j2) s d:

(4)

‚ ¯¥°¢®¬ ¨­²¥£° «¥ ±¯° ¢  ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ®·¥¢¨¤­»¬¨ ­¥° ¢¥­±²¢ ¬¨ (r2 + j j2)s  2s (r2s + j j2s)  2s [r2s + (1 + j j2)s ]: ‚® ¢²®°®¬ ±¤¥« ¥¬ ¯®¤±² ­®¢ª³  = r . DZ®«³·¨¬ 



ju(x)j2  c1 r2skuk20 + kuk2s rn £¤¥

c1 = (2 )

2n 2s

Z

2s

  = c1 rn kuk20 + rn 2s kuk2s ;

(5)

(1 + j j2 ) s d:

’¥¯¥°¼ ¬» ¯®¤±² ¢¨¬ ¢ (5)  k uks 1=s r= kuk0 : 

(6)

42

DZ®«³·¨¬ ­¥° ¢¥­±²¢® 2 ju(x)j2  2c1 kukn=s s kuk0

n=s ;

½ª¢¨¢ «¥­²­®¥ (2). ‚»¡®° r ±¤¥« ­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ±®®¡° ¦¥­¨©: ´³­ª¶¨¿ f (r) = a2 rn + b2 rn 2s ¤®±²¨£ ¥² ¬¨­¨¬³¬  ¯°¨ r = c0 (b=a)1=s, £¤¥ c0 ­¥ § ¢¨±¨² ®² a ¨ b. ˆ¬¥¥²±¿ ¢ ¢¨¤³ ²®·ª , ¢ ª®²®°®© f 0 (r) = 0. —²®¡» ¯®«³·¨²¼ ­¥° ¢¥­±²¢® (3), ¬» ­ ¯¨¸¥¬

u(xe) = (2 )n

u(x)

Z

[eix


eixe
 ]v ( ) d

¨ ±­®¢  ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®¬ ˜¢ °¶ :

ju(x)

u(xe)j2

 (2)

2n

Z

jv( )j2(1 + j j2)sd

Z

jeix
 eixe
 j2(1 + j j2) s d: (7)

„ «¥¥,

ei = cos  + i sin ; jei ei j2  2j j2 ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» ‹ £° ­¦ , ¯°¨¬¥­¿¥¬®© ª ª®±¨­³±³ ¨ ±¨­³±³. DZ®½²®¬³

jeix
 eixe
 j2  2jx xej2j j2:

(8)

…±«¨ 2 2s < n, ±° §³ ¯®«³· ¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®, ½ª¢¨¢ «¥­²­®¥ (3), c  = 1, ².¥. ¤ ¦¥ ·³²¼ «³·¸¥, ·¥¬ ¢ ´®°¬³«¨°®¢ª¥. …±«¨ 2 2s > n, ²® ­¥¬­®£® § £°³¡¨¬ (8) ¨ ¯°¨ 2 2s < n ­ ¯¨¸¥¬

jeix
 eixe
 j2  4jx xej2j j2;

(9)

¨ ½²® ¤ ¥² ­ ¬

ju(x)

u(xe)j2

 4(2)

2n

Z

j j2(1 + j j2) s d jx xej2 kuk2s ;

·²® ½ª¢¨¢ «¥­²­® (3).    ¬­®£®®¡° §¨¨ M ®¶¥­ª  ²¨¯  (2) ¯®«³· ¥²±¿ ª ª ±«¥¤±²¢¨¥ (­ ¯°¨¬¥°, ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ° §¡¨¥­¨¿ ¥¤¨­¨¶»),   ®¶¥­ª  ²¨¯  (3) ¯®«³· ¥²±¿ ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª¨µ ²®·¥ª x ¨ xe ¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ. 2. ’¥®°¥¬» €£¬®­  ®¡ ¨­²¥£° «¼­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ®¯¥° ²®°®¢ ®²°¨¶ ²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª . ‡¤¥±¼ ¬» ¤®ª ¦¥¬ ¤¢¥ ²¥®°¥¬» (Agmon, 1965). ’¥®°¥¬  2.

n=2.

’®£¤ 

T

DZ³±²¼

T

{ ®£° ­¨·¥­­»© ®¯¥° ²®° ¨§

H 0 (R n ) ¢ H s (R n ), s >

{ ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®°,

T u(x) =

Z

K (x; y )u(y ) dy;

(10)

43 £¤¥ ´³­ª¶¨¿

K (x; y ) ®² y Z Z

¯°¨­ ¤«¥¦¨²

jK (x; y)j2dy

jK (x; y)

1=2

H 0 (R n ) ¯°¨ ª ¦¤®¬ x.

DZ°¨ ½²®¬

2s 1 n=2s  C1 kT kn= ; 0;s kT k0;0

Š (xe; y )j2dy

1=2

 C2 jx xej kT k0;s;

, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ­¥° ¢¥­c²¢ ¬ 0 <  < min(s n=2; 1); C1 { ¯®±²®¿­­»¥ ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢ (2) ¨ (3). ± «¾¡»¬

(11) (12) ¨

‘2

€­ «®£¨·­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ±¯° ¢¥¤«¨¢» ¤«¿ ®¯¥° ²®°  ­  ª®¬¯ ª²­®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨

M.

‚ ½²®¬ ±«³· ¥

 ZZ

M M

jK (x; y)j2dx dy

1=2

2s 1 n=2s  C3 kT kn= ; 0;s kT k0;0

(13)

C3 ­¥ § ¢¨±¨² ®² ®¯¥° ²®° . ˆ­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ± ª¢ ¤° ²¨·­® ¨­²¥£°¨°³¥¬»¬¨ ¿¤° ¬¨ ­ §»¢ ¾²±¿ ®¯¥° ²®° ¬¨ ƒ¨«¼¡¥°² {˜¬¨¤² . „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬». ‘­ · «  ° ±±¬®²°¨¬ ®¯¥° ²®° T ¢ R n . DZ³±²¼ u 2 H 0 (R n ) ¨ v = T u, ½²³ ´³­ª¶¨¾ ®²®¦¤¥±²¢¨¬ ± £¤¥ ¯®±²®¿­­ ¿

(2 ) n

Z

eix
 (F T u)( ) d:

’®£¤  v (x) ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ x { «¨­¥©­»© ­¥¯°¥°»¢­»© ´³­ª¶¨®­ « ­ ¤ ´³­ª¶¨¿¬¨ u 2 H 0 (R n ). DZ®½²®¬³ ±¯° ¢¥¤«¨¢  ´®°¬³«  (10), £¤¥ ´³­ª¶¨¿ K (x; y ) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² H 0 (R n ) ¯® y ¯°¨ ª ¦¤®¬ x. ”¨ª±¨°³¿ x, ° ±±¬®²°¨¬ ux (y ) = K (x; y ) ª ª ´³­ª¶¨¾ ®² ³ . DZ®« £ ¿ ¢ (10) u = ux , ¯®«³· ¥¬ ¨§ (2) 1 2s kux k20 = (T ux )(x)  C1 kT ux kn= s kT ux k0

n=2s

2s 1 n=2s  C1 kT kn= kux k0 : 0;s kT k0;0

‘®ª° ¹ ¿ ­  kux k0 ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢ , ¯®«³· ¥¬ (11). ”¨ª±¨°³¿ ²¥¯¥°¼ x ¨ xe, ¯®«®¦¨¬ ux;xe(y ) = ux (y ) u = ux;xe, ¯®«³· ¥¬ ¨§ (3)

uxe(y ). DZ®« £ ¿ ¢ (10)

kux;xek20 = (T ux;xe)(x) T (ux;xe)(xe)  C2 jx xej kT ux;xeks  C2 jx xej kT k0;skux;xek0 : ‘®ª° ¹ ¿ ­  kux;xek ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢ , ¯®«³· ¥¬ (12). „«¿ M ¢¬¥±²® R n ¢±¥ ¯®¢²®°¿¥²±¿. ¥° ¢¥­±²¢® (13) ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ®·¥¢¨¤­»¬ ®¡° §®¬ ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ (11).  ‡ ¬¥· ­¨¥. …±«¨ ³¤®¢«¥²¢®°¨²¼±¿ ¬¥­¥¥ ²®·­®©, ·¥¬ (11), ®¶¥­ª®© Z

jK (x; y)j2dy

1=2

 C kT k0;s

44

²® ¢ ³²®·­¥­¨¨ (2) ²¥®°¥¬» ¢«®¦¥­¨¿ ­¥² ­³¦¤». ’¥®°¥¬  3. DZ³±²¼ T { ®£° ­¨·¥­­»© «¨­¥©­»© ®¯¥° ²®° ¨§ H s (R n ) ¢ s H (R n ), s > n=2. ’®£¤  T { ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° (10) ¢ H 0 (R n ), ¨ ¯°¨ ½²®¬

jK (x; y)j  C4 kT k s;s; jK (x; y) K (xe; y)j  C5 jx xej kT k jK (x; y) K (x; ye)j  C5jy yej kT k

(14) (15) (16)

s;s; s;s

, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ­¥° ¢¥­±²¢ ¬ 0 <  < min(s n=2; 1); §¤¥±¼ C5 = C1 C2 . ‚ · ±²­®±²¨, ¿¤°® K (x; y ) ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­®. €­ «®£¨·­»¥ °¥§³«¼² ²» ±¯° ¢¥¤«¨¢» ­  M . „®ª § ²¥«¼±²¢®. DZ³±²¼ u 2 H s (R n ). ’®£¤  v = T u 2 H s (R n ). ˆ¬¥¥¬ ¢ ±¨«³ (2) jv(x)j  C1 kvks  C1 kT k s;skuk s ; (17) ¨ ¢ ±¨«³ (3)

c «¾¡»¬

C4 = C12 ,

jv(x) v(xe)j  C2 jx xej kvks  C2jx xej kT k

s;s kuk s :

(18)

”¨ª±¨°³¿ x, ° ±±¬®²°¨¬ v (x) ª ª ­¥¯°¥°»¢­»© «¨­¥©­»© ´³­ª¶¨®­ « ­ ¤ H s (R n ). …£® ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥

v (x) = T u(x) = hK (x; y ); u(y )i = £¤¥ ¯° ¢®¥ ° ¢¥­±²¢® ¬®¦­® ¯¨± ²¼ ¯°¨ u H s (R n ) ¯® y . DZ°¨ ½²®¬

Z

K (x; y )u(y ) dy;

(19)

2 H 0 (Rn ) ¨ K (x; y) { ´³­ª¶¨¿ ¨§

jK (x; y)j  C1 kK (x; y)ks = C1 sup kjvu(kx)j  C12 sup kkuvkks = C12 kT k s

s

s;s :

(20)

²® ­¥° ¢¥­±²¢® (14). ˆ§ (3) ¨ (20) ¯®«³· ¥¬

jK (x; y) K (x; ye)j  C2 jy yej kK (x; y)ks  C1 C2 jy yej kT k ²® ­¥° ¢¥­±²¢® (16). „ «¥¥, ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­»µ x ¨ xe

v (x) v (xe) = hK (x; y ) K (xe; y ); u(x)i =

Z

s;s:

[K (x; y ) K (xe; y )]u(y ) dy

(21)

±­®¢  ¥±²¼ «¨­¥©­»© ­¥¯°¥°»¢­»© ´³­ª¶¨®­ « ­ ¤ H s (R n ). DZ®±«¥¤­¥¥ ° ¢¥­±²¢® ¬®¦­® ¯¨± ²¼ ¯°¨ u 2 H 0 (R n ). „¥©±²¢³¿ ª ª ¢ (20), ¨ ¨±¯®«¼§³¿ (18), ¯®«³· ¥¬

jK (x; y) K (xe; y)j  C1kK (x; y) K (xe; y)ks = C1 sup jv(xk)uk v(xe)j s  C1 C2 jx xej kT k s;s:

45

²® ­¥° ¢¥­±²¢® (15). DZ®«³·¨²¥ ± ¬¨ °¥§³«¼² ² ­  ª®¬¯ ª²­®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M .  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. E±«¨ DZ„Ž A ­  M ¨¬¥¥² ¯®°¿¤®ª m < n=2, ²® ½²® ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° ƒ¨«¼¡¥°² {˜¬¨¤² . € ¥±«¨ m < n, ²® ¥£® ¿¤°® ­¥¯°¥°»¢­®.

‘«¥¤±²¢¨¥ 2.

…±«¨ ¯®§¨²¨¢­»© DZ„Ž

A

­ 

M

m > n=2, m > n, ²® ¥¥

¨¬¥¥² ¯®°¿¤®ª

²® ¥£® °¥§®«¼¢¥­²  { ®¯¥° ²®° ƒ¨«¼¡¥°² {˜¬¨¤² .

€ ¥±«¨

¿¤°® ­¥¯°¥°»¢­®.

²¨ °¥§³«¼² ²» ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ¨ ¨§  ­ «¨§  ¯ ° ¬¥²°¨ª± , ­® ¯°¨¿²­¥¥ ±° §³ ¯®«³·¨²¼ ¨µ ¨§ ²¥®°¥¬ €£¬®­ , ª®²®°»¥ ¨­²¥°¥±­» ¨ ± ¬¨ ¯® ±¥¡¥. “ €£¬®­  ¥±²¼ ¥¹¥ ² ª®© ¢ °¨ ­² ²¥®°¥¬» 3: ¥±«¨ ®¯¥° ²®° T ¨ ±®¯°¿¦¥­­»© ®¯¥° ²®° T  ¤¥©±²¢³¾² ®£° ­¨·¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¨§ H 0 (R n ) ¢ H s (R n ), £¤¥ s > n, ²® T { ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° ± ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¿¤°®¬. ²® ¯®«¥§­® §­ ²¼ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ª° ¥¢»µ § ¤ ·, ­® ­ ¬ ­¥ ¯®­ ¤®¡¨²±¿. 3. ¥±ª®«¼ª® ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¨ ´ ª²®¢ ¨§ ²¥®°¨¨ ª®¬¯ ª²­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ¢ £¨«¼¡¥°²®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. „®ª § ²¥«¼±²¢  ª ³²¢¥°¦¤¥­¨¿¬

½²®£® ¯³­ª²  ±®¤¥°¦ ²±¿ ¢® ¬­®£¨µ ª­¨£ µ, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ª­¨£¥ ˆ.–. ƒ®µ¡¥°£  ¨ Œ.ƒ. Š°¥©­  \‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ²¥®°¨¾ «¨­¥©­»µ ­¥± ¬®±®¯°¿¦¥­­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ¢ £¨«¼¡¥°²®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥",  ³ª , 1965. DZ³±²¼ T ª®¬¯ ª²­»© ®¯¥° ²®° ¢ £¨«¼¡¥°²®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ H .  ±±¬®²°¨¬ ®¯¥° ²®° T  T . ²® ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ª®¬¯ ª²­»© ®¯¥° ²®° ± ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨. DZ®«®¦¨²¥«¼­»¥ ª¢ ¤° ²­»¥ ª®°­¨ ¨§ ¥£® ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ­ §»¢ ¾²±¿ s-·¨±« ¬¨ ®¯¥° ²®°  T . Ž­¨ ®¡®§­ · ¾²±¿ ·¥°¥§ sj (T ) ¨ ­³¬¥°³¾²±¿ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ­¥¢®§° ±² ­¨¿ ± ³·¥²®¬ ª° ²­®±²¥©. …±«¨ T { ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ®¯¥° ²®° ± ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨, ²® ½²® ¯°®±²® ¥£® ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿. „®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® sj (T ) = sj (T  ) (22) ¨ ·²® ¥±«¨ ¥±«¨ B { ®£° ­¨·¥­­»© ®¯¥° ²®°, ²®

sj (BT )  kB ksj (T ); sj (T B )  kB ksj (T ): —¥°¥§ Sp , p  0, ®¡®§­ · ¥²±¿ ª« ±± ®¯¥° ²®°®¢ ± 1 X spj < 1 j =1

(23)

(24)

²¨ ª« ±±» ­ §»¢ ¾² ª« ±± ¬¨ ¥©¬ ­ {˜ ²²¥­ . Š ¦¤»© ª« ±± Sp ¿¢«¿¥²±¿ ¨¤¥ «®¬ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ «¨­¥©­»µ ®£° ­¨·¥­­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ¢ H . DZ°¨ p  1 ¢ ­¥¬ ¢¢®¤¨²±¿ ­®°¬ , ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ª ª ª®°¥­¼ p-© ±²¥¯¥­¨ ¨§ ±³¬¬» °¿¤  (24). „®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¤«¿ ®¯¥° ²®°  ¨§ Sp °¿¤ ¨§ p-x ±²¥¯¥­¥© ¬®¤³«¥© ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ²®¦¥ ±µ®¤¨²±¿. ²®² ¨¤¥ « ±³¦ ¥²±¿ ± ³¡»¢ ­¨¥¬ p.

46

Ž¯¥° ²®°» ¨§ S2 ­ §»¢ ¾²±¿ ®¯¥° ²®° ¬¨ ƒ¨«¼¡¥°² {˜¬¨¤² . „®ª §»¢ ¥²±¿. ·²® ¢ L2 (M ) ½²® ¢ ²®·­®±²¨ ®¯¥° ²®°» ± ª¢ ¤° ²¨·­® ¨­²¥£°¨°³¥¬»¬¨ ¿¤° ¬¨. (‘ ² ª¨¬ ®¯¥° ²®°®¬ ¬» ¢±²°¥²¨«¨±¼ ¢ ²¥®°¥¬¥ 2, ±¬. (13).) ‡¤¥±¼ M { «¾¡®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ± ¬¥°®©. Ž¯¥° ²®°» ¨§ S1 ­ §»¢ ¾²±¿ ¿¤¥°­»¬¨. ¿¤ ¨§ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ² ª®£® ®¯¥° ²®°   ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿, ¨ ¥£® ±³¬¬  ­ §»¢ ¥²±¿ ±«¥¤®¬ ½²®£® ®¯¥° ²®° . 4. ”®°¬³«  ¤«¿ ±«¥¤  ¿¤¥°­®£® ¨­²¥£° «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ± ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¿¤°®¬. DZ³±²¼ T { ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° ­  ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®M c ¬¥°®© dx, ¨¬¥¾¹¨© ­¥¯°¥°»¢­®¥ ¿¤°® K (x; y ) ¨ ª®¬¯ ª²­»© ¢

’¥®°¥¬  4. ±²° ­±²¢¥

H = L2 (M ).

DZ°¥¤¯®«®¦¨¬ ¥£® c ¬®±®¯°¿¦¥­­»¬, ¨ ¯³±²¼ ¢±¥ ¥£® ±®¡±²¢¥­-

­»¥ §­ ·¥­¨¿

j (j = 1; 2; : : : ) ¯®«®¦¨²¥«¼­». ’®£¤  Z 1 X tr T = j = K (x; x) dx: M

1

(25)

‘®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ­³¬¥°³¾²±¿ ± ³·¥²®¬ ª° ²­®±²¥© ¢ ¯®°¿¤ª¥ ­¥¢®§° ±² ­¨¿. „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ¯® ±³¹¥±²¢³ ³¦¥ ­ ¬¥·¥­® ¢ ª®­¶¥ ¯°®¸«®© «¥ª¶¨¨. DZ³±²¼ fej (x)g1 1 { ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± ¨§ ±®¡±²¢¥­­»µ ´³­ª¶¨© ®¯¥° ²®°  T . Ž­¨ ­¥¯°¥°»¢­», ² ª ª ª Z

M

K (x; y )ej (y ) dy = j ej (x):

‚ L2 (M )

T u(x) =  ±±¬®²°¨¬ °¿¤

1 X j =1

1 X 1

j (u; ej )ej :

j ej (x)ej (y ):

(26) (27)

Ž­ ±µ®¤¨²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ¯® ²¥®°¥¬¥ Œ¥°±¥°  (±¬. ”. ¨±± ¨ . ‘¥ª¥´ «¼¢¨ ¤¼, \‹¥ª¶¨¨ ¯® ´³­ª¶¨®­ «¼­®¬³  ­ «¨§³", ¯. 98). DZ³±²¼ T1 { ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° c ½²¨¬ ¿¤°®¬. ²® ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ®¯¥° ²®° ± ²¥¬¨ ¦¥ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ ¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨, ·²® ¨ ³ T . DZ®½²®¬³ T = T1 ¨ 1 X K (x; y ) = j ej (x)ej (y ): (28) j =1

Ž±² ¥²±¿ ¯®«®¦¨²¼ x = y ¨ ¯°®¨­²¥£°¨°®¢ ²¼ ¯® ¬­®£®®¡° §¨¾.  DZ®«³·¥­­»© °¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥­¨¬, ª®­¥·­®, ª ®¯¥° ²®° ¬, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿¬ ²¥®°¥¬» 3 ­  ª®¬¯ ª²­®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M , ¥±«¨ ½²® ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»¥ ®¯¥° ²®°» ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨.

47

Œ®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ²¥®°¥¬  4 ®±² ¥²±¿ ¢¥°­®© ¤«¿ «¾¡®£® ¿¤¥°­®£® ¨­²¥£° «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ± ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¿¤°®¬, ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®£® ¨ ¤ ¦¥ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£®. ® ±«¥¤³¥² ¨¬¥²¼ ¢ ¢¨¤³, ·²® ®¤­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¿¤°  ­¥¤®±² ²®·­® ¤«¿ ¿¤¥°­®±²¨ ¨­²¥£° «¼­®£® ®¯¥° ²®° .

48

‹¥ª¶¨¿ 9

A() = A I ¢ R n . Œ» ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® A { ¯®«¨®¤­®°®¤­»© DZ„Ž ¯®°¿¤ª  m > 0, ±­ · «  ¢ R n , ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ ³£«¥ L ­  ª®¬¯«¥ª±­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ¡¨±±¥ª²°¨±®© R : ¤«¿ £« ¢­®£® ±¨¬¢®«  a0 (x;  ) ±¯° ¢¥¤«¨¢® ­¥° ¢¥­±²¢® 5. DZ ° ¬¥²°¨ª± ¤«¿ ®¯¥° ²®° 

ja0(x;  ) j  c(j jm + jj) (j j + jj 6= 0;  2 L):

(1)

Œ» ®¡±³¤¨¬ ¯®¤°®¡­®±²¨ ¯®±²°®¥­¨¿ ¯ ° ¬¥²°¨ª±  ¨ ³²®·­¨¬, ª ª ¨¬¥­­® ®­  ¯¯°®ª±¨¬¨°³¥² °¥§®«¼¢¥­²³. ³¤¥¬ ®¯³±ª ²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥µ­¨·¥±ª¨µ ¯°¥¤«®¦¥­¨©, ·²®¡» ­¥ § ª®¯ ²¼±¿ ¢ ½²®© ²¥¬¥. Š°®¬¥ ²®£®, ¤«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® (¯®«­»©) ±¨¬¢®« a(x;  ) ¨ ¢±¥ ·«¥­» ¥£® ° §«®¦¥­¨¿

a(x;  )  a0 (x;  ) + a1 (x;  ) + : : :

(2)

­¥ § ¢¨±¿² ®² x ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ x (·¥£® ¤®±² ²®·­® ¤«¿ ° ±±¬®²°¥­¨¿ DZ„Ž ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨),   ¨¬¥­­® ¯°¨ jxj  r. ²¨ ´³­ª¶¨¨ ak (x;  ) ¢ ±«³· ¥, ¥±«¨ A ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¬ ®¯¥° ²®°®¬, ³¤®¡­® ±° §³ \®²°¥¬®­²¨°®¢ ²¼" ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. DZ³±²¼ ( ) { ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨§ ‘ 1 (R + ), ° ¢­ ¿ 0 ¯°¨   1=2 ¨ 1 ¯°¨   1, § ª«¾·¥­­ ¿ ¬¥¦¤³ 0 ¨ 1 ¯°¨ ¯°®¬¥¦³²®·­»µ  . DZ®«®¦¨¬

a;0 = (j j)a0(x;  ) + 1 (j j); a;k ( ) = (j j)ak (x;  ) (k = 1; 2; : : : )

(3) (4)

¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ’¥¯¥°¼

a;0 (x; 0) = 1; a;k (x; 0) = 0 ¯°¨ k = 1; 2; : : : :

(5)

a(x;  )  a0; (x;  ) + a1; (x;  ) + : : : ;

(6)

a;0 (x;  )  6= 0 (8x;  ;  2 L)

(7)

¯°¨ ½²®¬ ¨ ¯°¨ ¢±¥µ k

a;k (x;  ) =  m k a;k (x;  ) (j j  1;   1): (8) DZ®±²°®¨¬ ²¥¯¥°¼ ° ¶¨®­ «¼­»¥ ¯®  ´³­ª¶¨¨ b;l (x; ; ) (l = 0; 1; : : : ), ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­»¥ ¯® (; 1=m) ±²¥¯¥­¨ m l: b;l (x; ;  m) =  m l b;l (x; ; ) (j j  1; 

 1):

‘¤¥« ¥¬ ½²® ² ª, ·²®¡»  1   1  X X a;k (x;  )  Æ b;l (x; ; ) = 1; 0

0

(9)

(10)

49

£¤¥ Æ { ®¡»·­®¥ ¯° ¢¨«® ª®¬¯®§¨¶¨¨ ±¨¬¢®«®¢. DZ°¨° ¢­¨¢ ¿ ±¨¬¢®«» ®¤¨­ ª®¢»µ ±²¥¯¥­¥© ®¤­®°®¤­®±²¨ ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢ , ¯®«³· ¥¬ ¶¥¯®·ª³ ±®®²­®¸¥­¨© (a;0

(a;0

)b;0 = 1; 1  )b;j + @ a;k Dx b;l = 0 (j  1):  ! k+l+=j;l<j X

ˆ§ ½²¨µ ±®®²­®¸¥­¨© ´³­ª¶¨¨ b;l ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿. DZ°¨ ½²®¬ 1 ; a;0 (x;  )  P i @j a;0 (x;  )
@xj a;0 (x;  ) a;1 (x;  ) b;1 (x; ; ) = + [a;0 (x;  ) ]2 [a;0 (x;  ) ]3

b;0 (x;  ) =

(11) (12)

¨ ².¤. ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ l  1

b;l (x; ; ) =

b;l;k (x;  ) k; [ a ( x;  )  ] ; 0 k2 X

(13)

£¤¥ ±³¬¬  ª®­¥·­  ¨ b;l:k { ­¥ª®²®°»¥ ¬­®£®·«¥­» ®² ´³­ª¶¨© a;0 ; : : : ; a;l ¨ ¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ. ‚ · ±²­®±²¨,

b;l;2 = a;l :

(14)

(‡ ¡¥£ ¿ ¢¯¥°¥¤, ®¡° ²¨¬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ²®, ·²® ¢ ±«³· ¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ½²® ­³«¼ ¯°¨ l > m, ¨ ²®£¤  ±³¬¬  ­ ·¨­ ¥²±¿ ± k = 3. DZ°¨ °®±²¥ l ®¤¨­ §  ¤°³£¨¬ ¨±·¥§ ¾² ·«¥­» ± ¬ «»¬¨ ±²¥¯¥­¿¬¨ ¢ §­ ¬¥­ ²¥«¿µ.) DZ°¨ ½²®¬ ´³­ª¶¨¨ b;l;k ¯°¨­ ¤«¥¦ ² S m(k 1) l , ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­» ¯®  ¢ ±¬»±«¥

b;l;k (x;  ) =  (k

;l;k (;  ) (j j  1;

1)m l b



 1)

(15)

¨ ­¥ § ¢¨±¿² ®² x ¯°¨ jxj  r. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¬®¤³«¼ ja;0 (x;  )j ®¶¥­¨¢ ¥²±¿ ¯°¨ ¬ «»µ  2 L ±­¨§³ ­¥ª®²®°®© ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¯®±²®¿­­®©. Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ­¥° ¢¥­±²¢® (7) ±®µ° ­¿¥²±¿ ¢ L = L [ f : jj  g (16) ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬  > 0, ² ª ·²® ­ ¸¥ ¯®±²°®¥­¨¥ ´³­ª¶¨© bl ±®µ° ­¿¥²±¿ ¯°¨  2 L . ¥±«®¦­® ¯°®¢¥°¿¥²±¿ DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 1. DZ°¨  2 L

ja;0(x;  ) j  C0 (1 + j jm + jj): ‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¼¸¥ ¯®±²®¿­­»¥ ­¥ § ¢¨±¿² ®² (x; ; ).

(17)

50

DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 2.

DZ°¨

 2 L

jb;0(x; ; )j  C0 (1 + j jm + jj) ¨, ¥±«¨

1

(18)

jj + j j + l > 0, j@x@ b;l (x; ; )j  C; ;l (1 + j jm + jj) 2(1 + j j)m l j j;

(19)

² ª ·²® ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ 0 (1 + j jm + jj) 1 (1 + j j) j@x@ b;l (x; ; )j  C; ;l

m l j j :

(20)

²¨ ®¶¥­ª¨ ¯°®¢¥°¿¾²±¿ \°³ª ¬¨". Ž­¨ ¯®µ®¦¨ ­  ®¶¥­ª¨ ƒ°³¡¡, ­  ­ ¬­®£® ° ­¼¸¥ ¯®¿¢¨«¨±¼ ³ ‘¨«¨ (1967), ª®²®°»© ¨±±«¥¤®¢ « ¯ ° ¬¥²°¨ª±, ­¥ ¨¬¥¿ ¨±·¨±«¥­¨¿ DZ„Ž ± ¯ ° ¬¥²°®¬. ¨·¥£® «³·¸¥£® ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ­¥ ¯®«³· ¥²±¿. …±«¨ ¯®¯°®¡®¢ ²¼ ®²ª § ²¼±¿ ®² ¨±¯° ¢«¥­¨¿ ´³­ª¶¨© ak (x;  ) ¯°¨ ¬ «»µ  (®¯³±²¨¬ ²®£¤  ¨­¤¥ª± ), ²® ­ ¸¨ ®¶¥­ª¨ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ²¥°¿¾² ±¨«³ ¨ ¢¡«¨§¨  = 0 ´³­ª¶¨¨ bl;k (x;  ) ®ª §»¢ ¾²±¿ ­¥®£° ­¨·¥­­»¬¨ ¯°¨ (k 1)m l < 0. ® ½²® ­¥ ² ª ¢ ±«³· ¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  A, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨±¯° ¢«¿²¼ ±¨¬¢®«» ¯°¨ ¬ «»µ  ­¥ ­ ¤® (²®·­¥¥, ­¥ ­ ¤®, ¥±«¨ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ , ®²¤¥«¥­­»¥ ®² ­³«¿). € ¥±«¨ ®£° ­¨·¨²¼±¿ ¬ «»¬¨ l (l < m + n), ²® ¬®¦­® ®¡®©²¨±¼ ¡¥§ °¥¬®­²  ¨ ¢ ±«³· ¥ DZ„Ž; ¬» ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ½²¨¬ ¢ «¥ª¶¨¨ 11. DZ®«®¦¨¬ N X 1   @ [a(x;  ) ]
Dx b;l (x; ; ) 1: rN (x; ; ) =  ! l=0 jjN X

(21)

DZ®­¿²­®, ·²® ½²® \· ±²­ ¿ ±³¬¬ " ¢ (10), ¥±«¨ ¥¤¨­¨¶³ ¯¥°¥­¥±²¨ ­ «¥¢®. DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 3. DZ°¨  2 L ¨ «¾¡®¬

j@x rN (x; ; )j  C ;N (11 ++ jj jj)m + jj : m N 1

(22)

c(x; ; ) { ´³­ª¶¨¿ ­  R n  R n  L , ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ± ¯°®¨§¢®¤­»¬¨ «¾¡®£® ¯®°¿¤ª  ¯® x ¨ ­¥ § ¢¨±¿¹ ¿ ®² x ¯°¨ jxj  r , ¨ ¯³±²¼ DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 4.

DZ³±²¼

+ j j)p j@xc(x; ; )j  C 1 (1 + j jm + 

¯°¨ ­¥ª®²®°»µ

m > 0, p 2 R

¨ «¾¡®¬

, £¤¥ C ­¥ § ¢¨±¿² ®² (x; ; ).

(23) ’®£¤ 

¤«¿ ®¯¥° ²®° 

¯°¨ «¾¡®¬

Z

eix
 c(x; ; )(F f )( ) d

(24)

kC ()f ks+m p + jj
kC ()f ks p  Cskf ks:

(25)

C ()f (x) = (2 ) n s ±¯° ¢¥¤«¨¢  ®¶¥­ª 

‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¼¸¥ ¢ ½²®¬ ¯³­ª²¥ ­®°¬» ¡¥°³²±¿ ¯® R n .

51

‹¥ª¶¨¿ 10

‚±¯®¬­¨¬ ´®°¬³«¨°®¢ª³ ¯®±«¥¤­¥£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿. DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 4. DZ³±²¼ c(x; ; ) { ´³­ª¶¨¿ ­  R n  R n  L , ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ± ¯°®¨§¢®¤­»¬¨ «¾¡®£® ¯®°¿¤ª  ¯® x ¨ ­¥ § ¢¨±¿¹ ¿ ®² x ¯°¨ jxj  r , ¨ ¯³±²¼ + j j)p j@xc(x; ; )j  C 1 (1 + j jm +  ¯°¨ ­¥ª®²®°»µ

m > 0, p 2 R

, £¤¥ C ­¥ § ¢¨±¿² ®² (x; ; ).

¨ «¾¡®¬

(23) ’®£¤ 

¤«¿ ®¯¥° ²®° 

¯°¨ «¾¡®¬

Z

eix
 c(x; ; )(F f )( ) d

(24)

kC ()f ks+m p + jj
kC ()f ks p  Cskf ks:

(25)

C ()f (x) = (2 ) n s ±¯° ¢¥¤«¨¢  ®¶¥­ª 

‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¼¸¥ ¢ ½²®¬ ¯³­ª²¥ ­®°¬» ¡¥°³²±¿ ¯® R n . ‘µ¥¬  ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . Ž­® ¯°®¢®¤¨²±¿ ¢ ¤³µ¥ ­ ¸¥£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» ®¡ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ DZ„Ž ¡¥§ ¯ ° ¬¥²°  ¢ ±®¡®«¥¢±ª¨µ ­®°¬ µ (¯°¥¤»¤³¹¨© ±¥¬¥±²°). DZ®« £ ¥¬

v (x; ) = C ()f (x):  ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¤¢  ±«³· ¿. 1) ‘¨¬¢®« c ­¥ § ¢¨±¨² ®² x. ²® «¥£ª¨© ±«³· ©, ­ ¤® ¯¥°¥©²¨ ª ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿¬ ”³°¼¥. 2) ‘¨¬¢®« c ° ¢¥­ 0 ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ jxj. ’®£¤  ²®¦¥ ¤¥« ¥²±¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥ ¨ ­ ¤® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ®¯¥° ²®° (F v )(; ) = (2 ) n £¤¥

d(; ; ) =

Z

Z

d( ; ; )(F f )( ) d;

e ix
 c(x; ; ) dx:

²  ´³­ª¶¨¿, ª ª ­¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼ (³¬­®¦¥­¨¥¬ ±«¥¢  ­    ¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥¬ ¯® · ±²¿¬) ¡»±²°® ³¡»¢ ¥² ¯°¨  ! 1. „ «¥¥ ­ ¤® ° ±±¬®²°¥²¼

V (; ) = (1 + j jm + jj)(1 + j j)s p (F v )(; ); U ( ) = (1 + j j)s(F f )( ): Œ» ¨¬¥¥¬

V (; ) =

Z

e(; ; )U ( ) d;

£¤¥ e(; ; ) «¥£ª® ¢»¯¨±»¢ ¥²±¿. DZ°¨ ¯®¬®¹¨ ­¥° ¢¥­±²¢  DZ¨²°¥   1 + j j 1  1 + j  j 1 + j j

(26)

52

(¯®«¥§­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¥£® ± ¬®±²®¿²¥«¼­®) ¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²®

je(; ; )j  C (1 + j  j)

n 1;

½²®£® ¤®±² ²®·­® ¤«¿ ¯®«³·¥­¨¿ ­³¦­®© ®¶¥­ª¨

kV (; )k0  C 0 kU ( )k0:



‚¢¥¤¥¬ ®¯¥° ²®°»

B;l ()f (x) = (2 ) n

Z

eix
 b;l (x; ; )(F f )( ) d:

(27)

DZ°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬  2 L ½²® ®¯¥° ²®° ¯®°¿¤ª  m l ¢ R n . ‘ ³·¥²®¬ ®¶¥­ª¨ ¤«¿ b;l ¨§ «¥ª¶¨¨ 9 (­¥° ¢¥­±²¢® (20)) ¯®«³· ¥¬ ¨§ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 4 ‘«¥¤±²¢¨¥ 5. DZ°¨ s 2 R ,  2 L 0 kf ks : kB;l ()f ks+m+l + jj
kB;l ()f ks+l  Cs;l

(28)

DZ®«®¦¨¬

B (N ) () = B(N ) () = B;0 () +


+ B;N (): (29) ²®² ®¯¥° ²®° ­ §®¢¥¬ ¯ ° ¬¥²°¨ª±®¬ ¯®°¿¤ª  N ¤«¿ ®¯¥° ²®°  A() = A I . ˆ§ ²®£® ¦¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 4 ¢»²¥ª ¥² ‘«¥¤±²¢¨¥ 6. DZ°¨ N 2 Z+ ,  2 L , s 2 R

kB (N ) ()f ks+m + jjkB (N ) ()f ks  Cs;N kf ks:

(30)

…¹¥ ®¤­® ±«¥¤±²¢¨¥ ¯®«³· ¥²±¿ ¤«¿ ®¯¥° ²®°  ± ±¨¬¢®«®¬ N X 1   rN (x; ; ) = @ [a(x;  ) ]
Dx b;l (x; ; ) 1  ! l=0 jjN X

(21)

± ³·¥²®¬ ®¶¥­ª¨ ¤«¿ ­¥£®, ¯°¨¢¥¤¥­­®© ¢ «¥ª¶¨¨ 9:

j@x rN (x; ; )j  C ;N (11 ++ jj jj)m + jj : m N 1

‘«¥¤±²¢¨¥ 7.

„«¿ ®¯¥° ²®° 

‘N ()f (x) = (2 ) n ¯°¨

 2 L , s 2 R

(22)

Z

eix
 rN (x; ; )(F f )( ) d

(31)

±¯° ¢¥¤«¨¢  ®¶¥­ª 

k‘N ()f (x)ks+N +1 + jj
kCN ()f ks+N +1

m

0 kf ks :  Cs;N

(32)

53

DZ³±²¼ ', { ´³­ª¶¨¨ ¨§ ‘01 (R n ), ¯°¨·¥¬ ´³­ª¶¨¨ '. ’®£¤  [B (N ) ()(
)

= 1 ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­®±¨²¥«¿

B (N ) ()]('
) = B N ) ()('
);

(33)

2 B1 (Rn ); ­®±¨²¥«¨ ´³­ª¶¨© ' ¨  ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿. DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 8. DZ³±²¼ ' 2 C01 (R n ),  2 B 1 (R n ) ¨ ­®±¨²¥«¨ ´³­ª¶¨© ',  ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿. ’®£¤  ¯°¨  2 L , N 2 Z+, s 2 R ¨ ±ª®«¼ ³£®¤­® ¡®«¼¸®¬

£¤¥  = 1

q

(1 + jj)2 kB (N ) ()('f )ks+q  Cs;q;N kf ks :

(34)

²® ­¥ª®²®° ¿ ¯®¤£®²®¢ª  ª ¯¥°¥µ®¤³ ­  ¬­®£®®¡° §¨¥. « £®¤ °¿ ²®¬³, ·²® ­®±¨²¥«¨ ´³­ª¶¨© ' ¨  ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿, ³¤ ¥²±¿ \§ ° ¡®² ²¼" ¯®¢»¸¥­¨¥ ¯®°¿¤ª  ­®°¬» ­  «¾¡®¥ q , ­® ±²¥¯¥­¼ ¬­®¦¨²¥«¿ ± jj ¯®¤­¿²¼ ¢»¸¥ 2 ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ­¥«¼§¿. DZ®«®¦¨¬ TN () = A()B (N ) () I: (35) DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 9.

 2 L , N 2 Z+, s 2 R

DZ°¨

kTN ()f ks+N +1 + jjkTN ()f ks+N +1

m

00 kf ks :  Cs;N

(36)

²® ª«¾·¥¢®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ¢»¿±­¿¥²±¿, ­ ±ª®«¼ª® µ®°®¸ ¯ ° ¬¥²°¨ª± ¯®°¿¤ª  N . ‘µ¥¬  ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . DZ³±²¼ f (x) 2 C01 (R n ) ¨ g ( ) = (F f )( ). ‡ ¯¨¸¥¬

h(y; ; ) =

N X

k=0

b;k (y; ; ) = h1 (; ) + h2 (y; ; );

(37)

£¤¥ h1 (; ) ±®¢¯ ¤ ¥² ± «¥¢®© · ±²¼¾ ¯°¨ jy j  r ¨ ¯®½²®¬³ ­¥ § ¢¨±¨² ®² y ,   h2 (y; ; ) ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­³«¼ ¯°¨ jy j  r. ‡ ¯¨¸¥¬ ®¯¥° ²®° T (N ) () ¢ ¢¨¤¥

T (N ) () = CN () + CN0 ();

(38)

£¤¥ CN () { ®¯¥° ²®° (31). „«¿ ½²®£® ®¯¥° ²®°  ­³¦­ ¿ ®¶¥­ª  ³ª § ­  ¢ (32). —²®¡» ¢»¯¨± ²¼ ´®°¬³«³ ¤«¿ CN0 ()f , ­³¦­® ° §«®¦¨²¼ ±¨¬¢®« a(x;  ) ¯® ´®°¬³«¥ ’¥©«®° :

a(x;  ) =

1  [@ a(x;  )]( jjN ! X

 ) + rN(1) (x; ;  ):

(39)

‚»·¨±«¥­¨¿ ¯®ª §»¢ ¾², ·²®

CN0 ()f (x) = (2 ) 2n

Z

eix
 d

Z

e

iy
 dy

Z

eix
 rN(1) (x; ;  )h2(y; ; )g ( ) d:

54

²³ ´®°¬³«³ ³¤ ¥²±¿ ¯°¥®¡° §®¢ ²¼ ª ¢¨¤³

CN0 ()f (x) = (2 ) n

Z

eix
 bN (x; ; )g ( ) d

(40)

¨ ¯®ª § ²¼, ·²® bN ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ² ª®© ¦¥ ®¶¥­ª¥, ª ª rN , ² ª ·²® ­³¦­ ¿ ®¶¥­ª  ¤«¿ ‘N0 ()f ²®¦¥ ¯®«³· ¥²±¿. ‚ ¨²®£¥ ¯®«³· ¥²±¿ ²°¥¡³¥¬»© °¥§³«¼² ² (36).  ‘«¥¤±²¢¨¥ 10. DZ³±²¼ ´³­ª¶¨¨ ', ¯°¨­ ¤«¥¦ ² C01 (R n ), ¨ ¯³±²¼ (x) = 1 ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­®±¨²¥«¿ ´³­ª¶¨¨ '. ’®£¤  ¤«¿ ®¯¥° ²®° 

TN;'; () = [A() B (N ) () I ]('
) ±¯° ¢¥¤«¨¢  ®¶¥­ª ,  ­ «®£¨·­ ¿

(41)

(36).

6. DZ ° ¬¥²°¨ª± ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M . DZ³±²¼ ²¥¯¥°¼ A { ¯®«¨®¤­®°®¤­»© DZ„Ž ¯®°¿¤ª  m ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M , ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ ³£«¥ L c ¡¨±±¥ª²°¨±®© R . ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ¯®ª°»²¨¥ fOq gK1 ¬­®£®®¡° §¨¿ ª®®°¤¨­ ²­»¬¨ ®ª°¥±²­®±²¿¬¨; ¯³±²¼ f'q g { ±¨±²¥¬  ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨µ ´³­ª¶¨© ­  M , ®¡° §³¾¹¨µ ¯®¤·¨­¥­­®¥ ½²®¬³ ¯®ª°»²¨¾ ° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶», ¨ f q g { ¢²®° ¿ ±¨±²¥¬  ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨µ ´³­ª¶¨© ­  M ± ­®±¨²¥«¿¬¨ ¢ Oq , ² ª ¿, ·²® q = 1 ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­®±¨²¥«¿ ´³­ª¶¨¨ 'q . DZ¥°¥µ®¤¿ ª «®ª «¼­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ ¢ Oq , ¬®¦­® ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® «®ª «¼­® ­ ¸ ®¯¥° ²®° ±®¢¯ ¤ ¥² ± DZ„Ž Aq ¢ R n , ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ L. —²®¡» ³²®·­¨²¼ ½²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ® «®ª «¼­®¬ ±®¢¯ ¤¥­¨¨, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® § ¤ ­» ¥¹¥ ¤¢¥ ±¨±²¥¬» ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨µ ´³­ª¶¨© fq g ¨ fq g ­  M ± ­®±¨²¥«¿¬¨ ¢ Oq , ¯°¨·¥¬ q = 1 ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­®±¨²¥«¿ ´³­ª¶¨¨ q ¨ q = 1 ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ­®±¨²¥«¿ ´³­ª¶¨¨ q . ‘®¢¯ ¤¥­¨¥ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ ±¬»±«¥

q A(q
) = q Aq
) ¯®±«¥ ¯°¨¢»·­»µ ­ ¬ ®²®¦¤¥±²¢«¥­¨© ´³­ª¶¨© ± ¬ «»¬¨ ­®±¨²¥«¿¬¨ ­  ¬­®£®®¡° §¨¨ M ¨ ¢ R n . DZ³±²¼ Bq(N ) () { ¯ ° ¬¥²°¨ª± ¢ R n ¯®°¿¤ª  N ¤«¿ Aq () = Aq I , ¯®±²°®¥­­»© ¢ ®¡« ±²¨ L ; ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²®  ­¥ § ¢¨±¨² ®² q . Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¯ ° ¬¥²°¨ª± ¯®°¿¤ª  N ¤«¿ A() = A I ´®°¬³«®©

B (N ) () =

K X q=1

(N ) q Bq ()('q
) ( 2 L ;

N = 0; 1; : : : ):

(1)

ˆ§ ®¯¨± ­­»µ ¢»¸¥ °¥§³«¼² ²®¢ ¢ R n ¢»¢®¤¿²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ²¥®°¥¬». ’¥®°¥¬  1. DZ°¨  2 L , s 2 R + , N = 0; 1; : : : ±¯° ¢¥¤«¨¢» ®¶¥­ª¨

kB (N ) ()f ks+m;M + jj
kB (N ) ()f ks;M  Cs kf ks;M ; £¤¥

Cs

­¥ § ¢¨±¨² ®²

 ¨ f.

(2)

55

DZ®«®¦¨¬

T (N ) () = A()B (N ) () I:

’¥®°¥¬  2.

DZ°¨

(3)

 2 L , s 2 R , N = 0; 1; : : :

kT (N ) ()f ks+N +1;M + jj
kT (N ) ()f ks+N +1

m;M

 Cs0 kf ks;M ;

(4)

Cs0 ­¥ § ¢¨±¨² ®²  ¨ f . ˆ§ ¯®±«¥¤­¥© ²¥®°¥¬» ±«¥¤³¥², ·²® ®¯¥° ²®° I + T (N ) ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ s ¨ N  max(0; m 1) ®¡° ²¨¬, ¥±«¨  2 L ¤®±² ²®·­® ¢¥«¨ª® ¯® ¬®¤³«¾, ¯°¨·¥¬ ®¡° ²­»© ¢»° ¦ ¥²±¿ ±µ®¤¿¹¨¬±¿ ¯® ­®°¬¥ °¿¤®¬ ¥©¬ ­ , ¨ ²®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ¯° ¢»© ®¡° ²­»© ª A() ®¯¥° ²®°   1 X ( N ) ( N ) 1 ( N ) ( N ) k R() = B ()[I + T ()] = B () 1 + [T ()] : (5) £¤¥

k=1

Ž­ ¿¢«¿¥²±¿ ¨ «¥¢»¬ ®¡° ²­»¬, ¯®±ª®«¼ª³ ­¥§ ¢¨±¨¬® ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ¯°¨®°­ ¿ ®¶¥­ª  kuks+m;Œ + jj
kuks;M  C (s) kA()uks;Œ (6) ¯°¨ ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2 L, ¨§ ª®²®°®© ±«¥¤³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, (5) { °¥§®«¼¢¥­² . „ «¥¥, ² ª ª ª ®¯¥° ²®° A() ½««¨¯²¨·¥­, ²® Ker A() ­¥ § ¢¨±¨² ®² s, ² ª ·²® ° §¬¥°­®±²¼ ½²®£® ¿¤°  ° ¢­  ­³«¾ ¯°¨ ¢±¥µ s. ’® ¦¥ ¢¥°­® ¢ ®²­®¸¥­¨¨ ° ¢¥­±²¢  ¨­¤¥ª±  ­³«¾. DZ®½²®¬³ ¨§ ®¡° ²¨¬®±²¨ A() ± ´¨ª±¨°®¢ ­­»¬  ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ s ¢»²¥ª ¥² ®¡° ²¨¬®±²¼ ¯°¨ ¢±¥µ s. ‡ ¬¥· ­¨¥. ²® § ¬¥· ­¨¥ ±«¥¤®¢ «® ±¤¥« ²¼ ° ­¼¸¥. „«¿ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¨ ®¶¥­ª¨ jj
kuks  C (s) kA()uks (7) (¤«¿ ¯°®±²®²» ®­  ­ ¯¨± ­  ¢ R n ) ½««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ­¥®¡µ®¤¨¬ . „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°®¢®¤¨²±¿ ®² ¯°®²¨¢­®£® ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬ ´³­ª¶¨©

u(x) = '(x)eix
0 ;

(8)

£¤¥ ' { ´³­ª¶¨¿ ± ¬ «»¬ ­®±¨²¥«¥¬, ° ¢­ ¿ 1 ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ²®·ª¨ x0 , ¨ §­ ·¥­¨©  =  m 0 ,  > 0. ˆ§ ®¶¥­®ª (2) ¨ (4) ¨ ´®°¬³«» (5) ¢»²¥ª ¥² ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. DZ°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2 L

jj2k[R() B (N ) ()]f ks+N +1

m;M

 Cs;M kf ks;M

(9)

’¥¯¥°¼ ¬» ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® m > n. ’®£¤  ¨§ ¢²®°®© ²¥®°¥¬» €£¬®­  ±«¥¤³¥², ·²® R() ¨ B (N ) () { ®¯¥° ²®°» ± ­¥¯°¥°»¢­»¬¨ ¿¤° ¬¨. ®«¥¥ ²®£®, ¢§¿¢ N ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨¬, ¬» ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ­¥° ¢¥­±²¢  (9) ¬®¦¥¬ ®¶¥­¨²¼ ¬®¤³«¼ ° §­®±²¨ ½²¨µ ¿¤¥°, ®­ ³¡»¢ ¥² ª ª jj 2 . ’ ª ª ª ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¿¤¥° ±« £ ¥¬»µ, ¨§ ª®²®°»µ 7.

€±¨¬¯²®²¨ª  ¿¤°  °¥§®«¼¢¥­²».

56

±®±²®¨² ®¯¥° ²®° B (N ) (), ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥­¥¥ «¥£ª® ¢»¿±­¿¥²±¿ ¨§ ¿¢­»µ ´®°¬³« ¤«¿ ½²¨µ ®¯¥° ²®°®¢, ²® ¬» ¯®«³·¨¬  ±¨¬¯²®²¨ª³ ¿¤°  K (x; y; ) °¥§®«¼¢¥­²» ¯°¨  ! 1 ¢ L c ²®·­®±²¼¾ ¤® O(jj 2 ). Ž­  ¨­²¥°¥±­  ¯°¨ x = y ¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ (½²® ±®¤¥°¦ ­¨¥ ±«¥¤³¾¹¥© «¥ª¶¨¨)

K (x; x; ) =

nX +[m] k=0

ck (x)( )

n k m

1 + O (jj 2 );

(10)

¥±«¨ m ­¥¶¥«®¥ ¨ [m] { ¥£® ¶¥« ¿ · ±²¼, ¨

K (x; x; ) =

n+X m 1 k=0

ck (x)( )

n k m

1+e c(x)(

) 2 ln( ) + O(jj 2 )

(11)

± ®¶¥­ª ¬¨ ®±² ²ª®¢, ° ¢­®¬¥°­»¬¨ ¯® x ¨ . (‚ (10) ¨ (11) ¡¥°³²±¿ ¢¥²¢¨ ±²¥¯¥­¨ ( ) ¨ «®£ °¨´¬  ln( ), ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ± jj ¨ ln jj ­  R .) ‚ ±«³· ¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ³¤ ¥²±¿ ¯®«³·¨²¼ ¡¥±ª®­¥·­®¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¿¤°  K (x; x; ) ¯® ³¡»¢ ¾¹¨¬ ±²¥¯¥­¿¬ . —²® ¦¥ ª ± ¥²±¿ ¡ °¼¥°  O(jj 2 ) ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ DZ„Ž, ²® ¥£® ³¤ ¥²±¿ ¯°¥®¤®«¥²¼ ª°³¦­»¬ ¯³²¥¬, ±­ · «  ­ ¤® ° ±±¬®²°¥²¼ ±²¥¯¥­¨ DZ„Ž, ®¡ ½²®¬ ¯®£®¢®°¨¬ ¯®§¤­¥¥. DZ°¨ m  n ­ ¤® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¿¤°® ±²¥¯¥­¨ °¥§®«¼¢¥­²».

57

‹¥ª¶¨¿ 11

ˆ² ª, ¬» ¯°¥¤¯®« £ ¥¬, ·²® ¯®°¿¤®ª m ®¯¥° ²®°  A ¡®«¼¸¥ ° §¬¥°­®±²¨ n, ¨ µ®²¨¬ ¯®«³·¨²¼  ±¨¬¯²®²¨ª³ ¿¤°  K (x; ³; ) °¥§®«¼¢¥­²» RA () \­  ¤¨ £®­ «¨", ².¥. ¯°¨ x = y . ²® ¿¤°®, ª ª ¨ ¿¤°® K (N ) (x; y; ) ¯ ° ¬¥²°¨ª±  B (N ) (x; y; ), { ­¥¯°¥°»¢­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¯® ¢²®°®© ²¥®°¥¬¥ €£¬®­ . DZ ° ¬¥²°  ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ³£«³ L ½««¨¯²¨·­®±²¨ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ (c ¡¨±±¥ª²°¨±®© R ) ¨ ¯® ¬®¤³«¾ ¡¥°¥²±¿ ­ ±²®«¼ª® ¡®«¼¸¨¬, ·²® °¥§®«¼¢¥­²  ±³¹¥±²¢³¥².  ¸  ¶¥«¼ ±®±²®¨² ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ±«¥¤³¾¹¥© ²¥®°¥¬». ’¥®°¥¬  1. DZ°¨  ! 1 ¢ L

K (x; x; ) = ¥±«¨

nX +[m] l=0

cl (x)( )

n l m

1 + O (jj 2 );

(1)

) 2 ln( ) + O(jj 2 );

(2)

m ­¥¶¥«®¥ ¨ [m] { ¥£® ¶¥« ¿ · ±²¼, ¨ K (x; x; ) =

l=0

cl (x)( )

n l m

1+e c(x)(

x ¨ arg . „®ª § ²¥«¼±²¢® ¬» ¯°®¢¥¤¥¬ ¯®«­®±²¼¾ ¢ ­¥±ª®«¼ª® ¡®«¥¥ ¯°®±²®¬ ±«³· ¥ ­¥¶¥«®£® m ¨ § ²¥¬ ± ­¥¡®«¼¸¨¬¨ ª³¯¾° ¬¨ ¢ ±«³· ¥ ¶¥«®£® m. ‚»¡®° N ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ²¥¬, ·²® ­ ¬ ­³¦­  ®¶¥­ª  ¥±«¨

m ¶¥«®¥.

n+X m 1

Ž¶¥­ª¨ ®±² ²®·­»µ ·«¥­®¢ ° ¢­®¬¥°­» ¯®

jK (x; x; ) K (N ) (x; x; )j  C jj 2:

(3)

³¤¥¬ ±·¨² ²¼ m ­¥¶¥«»¬. Š ª ¢¨¤­® ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢ 

jj2
k[R() B (N ) ()]f ks+N +1

m;M

 Cs;M kf ks;M ;

(4)

­ ¤® ¨¬¥²¼ N + 1 m > n. Œ» ¢®§¼¬¥¬

N = [m] + n:

(5)

Œ®¦­® ¡»«® ¡» ¢§¿²¼ ¨ ¡®«¼¸¥¥ N , ­® ½²® ³±«®¦­¨«® ¡» ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¨ ­¥ ¯°¨¢¥«® ¡» ª ³«³·¸¥­¨¾ °¥§³«¼² ² . ‚±¯®¬­¨¬, ·²®

B (N ) () =

K X q=1

(N ) q Bq ()('q
) ( 2 L ;

N = 0; 1; : : : ):

(6)

®±¨²¥«¨ ´³­ª¶¨© 'q ¨ q ¯°¨­ ¤«¥¦ ² q -© ª®®°¤¨­ ²­®© ®ª°¥±²­®±²¨, 'q ®¡° §³¾² ° §¡¨¥­¨¥ ¥¤¨­¨¶». ‚ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ q Bq(N ) () = B0;q () +


+ BN;q (): (7)

58

Œ» ±®§­ ²¥«¼­® ­¥ ­ ¯¨± «¨ §¤¥±¼ ¨­¤¥ª± . „¥«® ¢ ²®¬, ·²® Bl () ¯°¨ ¨±¯®«¼§³¥¬»µ ±¥©· ± ¨­¤¥ª± µ l = 0; : : : ; N ¬®¦­® ¯¨± ²¼ ¡¥§ °¥¬®­²  ±¨¬¢®«®¢ ½²¨µ ®¯¥° ²®°®¢ ¯°¨ ¬ «»µ  . DZ®¿±­¨¬ ½²®. ‚ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ

Bl;q ()f (x) = (2 ) n

Z

‡¤¥±¼

bl;q (x; ; ) = £¤¥ ±³¬¬  ª®­¥·­  ¨

bl;k;q (x;  ) =  (k

eix
 bl;q (x; ; )(F f )( ) d:

bl;k;q (x;  ) k; [ a ( x;  )  ] 0 k2 X

1)m l b

6 0; l;k;q (x;  ) ( =

(8) (9)

 > 0):

(10)

‡¤¥±¼ ¤ ¦¥ ¯°¨ k = 2 ¨ l = N ¯®°¿¤®ª ®¤­®°®¤­®±²¨ ¯®  ¥±²¼ m N > n ¢ ±¨«³ ­ ¸¥£® ±®£« ¸¥­¨¿ (5) ® N . DZ®½²®¬³ ­¥¨­²¥£°¨°³¥¬®© ®±®¡¥­­®±²¨ ¯°¨  = 0 ­¥², ¨ ­³¦¤  ¢ °¥¬®­²¥ ­¥ ¢®§­¨ª ¥², ¯®±ª®«¼ª³ ­ ¬ ­¥ ­³¦­® ¡»«® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ²¼ ±¨¬¢®«» ¯®  . DZ®°¿¤ª¨ ®¯¥° ²®°®¢ (8) ­¨¦¥ n, ¨ ½²¨ ®¯¥° ²®°» ²®¦¥ ¨¬¥¾² ­¥¯°¥°»¢­»¥ ¿¤°  Z n kl;q (x; y; ) = (2 ) ei(x y)
 bl;q (x; ; ) d: (11) ¥¯°¥°»¢­®±²¼ ¢¨¤­  ¨ ¨§ ½²¨µ ´®°¬³«. ‚ · ±²­®±²¨, ¯°¨ x = y

kl;q (x; x; ) = (2 ) n

Z

bl;q (x; ; ) d:

(12)

”³­ª¶¨¨ bl;q (x; ; ) ®¡« ¤ ¾² ±¢®©±²¢®¬ ®¤­®°®¤­®±²¨

bl;q (x; ;  m) =  m l bl;q (x; ; ) ( 6= 0;  > 0):

(13)

DZ³±²¼ ±­ · «   2 R . ‘¤¥« ¥¬ ¢ ¯®±«¥¤­¥¬ ¨­²¥£° «¥ § ¬¥­³

 = jj1=m  = ( )1=m : DZ®«³·¨¬

n l )m

kl;q (x; x; ) = ( 

1 (2 ) n

Z

bl;q (x; ; 1) d:

(14) (15)

’¥¯¥°¼ ¬» ¯®«®¦¨¬

cl (x) = (2 ) n

K X q=1

'q (x)

Z

bl;q (x; ; 1) d

(16)

c ®¡»·­»¬¨ ®²®¦¤¥±²¢«¥­¨¿¬¨ ²®·¥ª ­  M ¨ ¢ R n . DZ°¨ ­¥¶¥«®¬ m ±° §³ ¯®«³· ¥¬ ­³¦­³¾  ±¨¬¯²®²¨ª³ (1).

59

”®°¬³«» (15)  ­ «¨²¨·¥±ª¨¬ ¯°®¤®«¦¥­¨¥¬ ° ±¯°®±²° ­¿¾²±¿ ­   2 L, ®¶¥­ª¨ ±®µ° ­¿¾²±¿, ¨  ±¨¬¯²®²¨ª  (1) ¯®«³· ¥²±¿ ¢® ¢±¥¬ ³£«¥ L ° ¢­®¬¥°­® ¯® ¢±¥¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¿¬. ’¥¯¥°¼ ®¡±³¤¨¬ ±«³· © ¶¥«®£® m. —²®¡» ¨¬¥²¼ (3), ¯°¨¤¥²±¿ ¢§¿²¼

N = m + n;

(17)

¨ ²¥¯¥°¼ ³¦¥ ¡¥§ °¥¬®­²  ±¨¬¢®«®¢ ¯°¨ ¬ «»µ  ­¥ ®¡®©²¨±¼. ® ­¥¯°¨¿²­®±²¼, § ±² ¢«¿¾¹ ¿ ±¤¥« ²¼ ½²®² °¥¬®­², ¢®§­¨ª ¥² ¢ ¥¤¨­±²¢¥­­®¬ ¬¥±²¥,   ¨¬¥­­® ¢ ´®°¬³«¥ ¤«¿ bN;q (x; ; ) ¨, ¥¹¥ ²®·­¥¥, ¢ bN;2;q (x;  ), ±¬. ´®°¬³«³ (9), ½²® ·¨±«¨²¥«¼ ¯¥°¢®© ¤°®¡¨ ±¯° ¢ . ‡¤¥±¼ ®±®¡¥­­®±²¼ ­¥¨­²¥£°¨°³¥¬ . Ž±² «¼­»¥ ±« £ ¥¬»¥ ¢ ½²®© ´®°¬³«¥ ­¥ ¨¬¥¾² ² ª®© ®±®¡¥­­®±²¨ ¨ ¤ ¾² ¢ª« ¤ O(jj 2 ) ¢  ±¨¬¯²®²¨ª³ ¿¤°  K (x; x; ), ·²® ¯®£«®¹ ¥²±¿ ®±² ²®·­»¬ ·«¥­®¬ ¢ ´®°¬³«¥ (2). ”®°¬ «¼­® ° ±±³¦¤ ¿, ±«¥¤®¢ «® ¡» ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¯ ° ¬¥²°¨ª± ± ®²°¥¬®­²¨°®¢ ­­»¬¨ ±¨¬¢®« ¬¨, § ¬¥­¨²¼ ¨µ ­¥ ®²°¥¬®­²¨°®¢ ­­»¬¨ ¢ ²¥µ ±« £ ¥¬»µ, ¢ ª®²®°»µ ½²® ¢®§¬®¦­®, ¤®¡¨¢ ¿±¼ ®¤­®°®¤­®±²¨ ¯°¨  6= 0, ¨ ¯®ª § ²¼, ·²® ¢®§­¨ª ¾¹¨¥ ¯°¨ ½²®¬ ¤®¡ ¢®·­»¥ ±« £ ¥¬»¥ ¨¬¥¾² ¯®°¿¤®ª O(jj 2 ). ²® ¢®§¬®¦­®, ­® ­³¤­®. Ž£° ­¨·¨¬±¿ ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ ±«¥¤³¾¹¥£® ¨­²¥£° «  ®² ¤°®¡¨ bm+n;2;q =[a0 ]2 (®¯³±ª ¿ ¨­¤¥ª± q ): (2 ) n

Z

am+n (x;  ) d: jj1 [a0 (x;  ) ]2

(18)

DZ³±²¼ ®¯¿²¼ ±­ · «   2 R . ‘¤¥« ¥¬ § ¬¥­³ (14) ¨ ¯¥°¥©¤¥¬ ª ±´¥°¨·¥±ª¨¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ ( = r! , j! j = 1). DZ®«³·¨¬ (2 ) n jj 2

Z

1

Z

am+n (x; ! ) dS! dr : jj 1=m r j!j=1 [rm a0 (x; ! ) + 1]2

’ ª ª ª ½²® ¢»° ¦¥­¨¥ ¨­²¥°¥±³¥² ­ ± ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯°¨¡ ¢«¥­¨¿ O(jj 2 ), ²® ¢ ¨­²¥£° «¥ ¯® r ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ¢¥°µ­¨© ¯°¥¤¥« ª®­¥·­»¬ ·¨±«®¬ h > 0 ¨ § ²¥¬ § ¬¥­¨²¼ rm ­³«¥¬ ¢ ¨­²¥£° «¥ ¯® ¥¤¨­¨·­®© ±´¥°¥. DZ®«³·¨¬, ·²® ½²® ¢»° ¦¥­¨¥ ° ¢­® Z

1 jj 2 ln jj am+n (x; ! ) dS + O(jj 2 ): (2 )n m j!j=1   ®±² «¼­»¥  ¢»·¨±«¥­¨¥ £« ¢­®© · ±²¨ ½²®£® ¢»° ¦¥­¨¿ ° ±¯°®±²° ­¿¥²±¿  ­ «¨²¨·¥±ª¨¬ ¯°®¤®«¦¥­¨¥¬. Ž¶¥­ª  ®±² ²®·­®£® ·«¥­  ±®µ° ­¿¥²±¿. DZ®«³· ¥¬ ´®°¬³«³ (2) c K 1 X c(x) = e ' (x) am+n;q (x; ! ) dS: (2 )n m q=1 q j!j=1 Z

(19)

(‚ ±«³· ¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ½²®² ª®½´´¨¶¨¥­² (19) ° ¢¥­, ª®­¥·­®, ­³«¾.) 

60

Ž²¬¥²¨¬ ¥¹¥, ·²® µ®²¿ ª®½´´¨¶¨¥­²» ¢ (1) ¨ (2) ¢»·¨±«¿¾²±¿ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥¬ ¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ, ®­¨ ¯°¨ § ¤ ­­®© ­  ¬­®£®®¡° §¨¨ ¯«®²­®±²¨ ¨¬¥¾² ¨­¢ °¨ ­²­»© ±¬»±« ª ª ª®½´´¨¶¨¥­²»  ±¨¬¯²®²¨ª¨ ¿¤°  ¤ ­­®£® ®¯¥° ²®° . ‘² °¸¨© ª®½´´¨¶¨¥­² ¤®¯³±ª ¥² ¨­¢ °¨ ­²­³¾ § ¯¨±¼

c0 = (2 ) n

Z

Tx M

[a0 (x;  ) + 1] 1 d:

(20)

ˆ­²¥£°¨°®¢ ­¨¥¬ ¯® M ¬» ¯®«³· ¥¬  ±¨¬¯²®²¨ª³ ±«¥¤  ¿¤°  °¥§®«¼¢¥­²»: ‘«¥¤±²¢¨¥. DZ°¨ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ ²¥®°¥¬» 1 ¨¬¥¥² ¬¥±²®  ±¨¬¯²®²¨ª  Z

M ¥±«¨

K (x; x; ) dx ==

nX +[m] l=0

cl ( )

n l m

1 + O (jj 2 );

(21)

m ­¥¶¥«®¥ ¨ [m] { ¥£® ¶¥« ¿ · ±²¼, ¨ Z

M

K (x; x; ) dx =

n+X m 1 l=0

cl ( )

m ¶¥«®¥. Š®½´´¨¶¨¥­²» cl cl (x) ¨ ec(x). ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨

c0 = (2 ) n §¤¥±¼ ¯«®²­®±²¼

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¨

n l m

e c

Z

T M

1+e c(

) 2 ln( ) + O(jj 2 );

(22)

{ ½²® ¨­²¥£° «» ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ®²

[a0 (x;  ) + 1] 1 dx d ;

(23)

­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ². Ž¶¥­ª¨

arg . ’¥¯¥°¼ ¬» ª° ²ª® ®¡±³¤¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  A { ®¯¥° ²®° ¢ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ. Š ª ³¦¥ ±ª § ­®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨§-§  ®²±³²±²¢¨¿ ·«¥­®¢ aj c j > m ³«³·¸ ¥²±¿ ±²°³ª²³°  ´®°¬³« ¤«¿ bl ¯°¨ °®±²¥ l. DZ°¨  2 L c ¬®¤³«¥¬, ¯°¥¢®±µ®¤¿¹¨¬ ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¯®±²®¿­­³¾, ¯®«³· ¥²±¿ ®¶¥­ª  ®±² ²®·­»µ ·«¥­®¢ ° ¢­®¬¥°­» ¯®

j@x@ bl (x; ; )j  C; ;l (1 + j jm + jj)

1

l+j j m

:

(24)

DZ® ±³¹¥±²¢³ ¬» ­ µ®¤¨¬±¿ ¢ ° ¬ª µ ¨±·¨±«¥­¨¿ ˜³¡¨­  (  ­¥ ƒ°³¡¡). Ž¶¥­ª  ¤«¿ rN ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤

j@x rN (x; ; )j  C ;N (1 + j jm + jj)

N +1 m

:

(25)

…±«¨ c(x; ; ) { ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ±® ¢±¥¬¨ ¯°®¨§¢®¤­»¬¨ ¯® x ´³­ª¶¨¿, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ ¯°¨ ¢±¥µ  ­¥° ¢¥­±²¢ ¬

j@xc(x; ; )j  C (1 + j jm + jj) p;

(26)

61

£¤¥ p > 0, ²® ¤«¿ ®¯¥° ²®°  C () ¢ R n c ½²¨¬ ±¨¬¢®«®¬ ¯®«³· ¥²±¿ ®¶¥­ª 

kC ()f ks+mp + jjpkC ()f ks  Cs kf ks:

(27)

²® ¯°¨¢®¤¨² ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ °¥§³«¼² ²³ ¤«¿ ®¯¥° ²®°  T (N ) ­  M ¯°¨ N > m:

kT (N ) ()f ks+N +1+m;M + jj N m m kT N ()f ks;M  Cs;N kf ks;M : „ «¥¥, ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ¯® ¬®¤³«¾  2 L ¨ N > m +1+

(28)

k[R() B (N )()]f ks+m+N +1;M + jj m mN k[R() B (N )()]f ks;M  Cs;N kf ks;M : +

+1

(29)

‚®² ®ª®­· ²¥«¼­ ¿ ²¥®°¥¬ : ’¥®°¥¬  2.

DZ°¨ ±¤¥« ­­»µ ¢»¸¥ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ ®¡ ®¯¥° ²®°¥ ¢ · ±²­»µ

¯°®¨§¢®¤­»µ ­ 

M

¯®°¿¤ª 

K (x; x; ) =

m > n ¤«¿ «¾¡®£® ­ ²³° «¼­®£® N

N X l=0

cl (x)( )

n l m

1 + O (jj n

N m

1

1)

(30)

 ! 1 ¢ L ± ®¶¥­ª®© ®±² ²ª , ° ¢­®¬¥°­®© ¯® x ¨ arg . ˆ­²¥£°¨°³¿ ¯® M , ¯®«³· ¥¬ ±ª®«¼ ³£®¤­® ²®·­³¾  ±¨¬¯²®²¨ª³ ±«¥¤  ¿¤°  °¥§®«¼¢¥­²». ¯°¨

DZ³±²¼ fj g1 1 { ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»µ ·¨±¥«, ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨. —¥°¥§ N () ®¡®§­ ·¨¬ ¥¥ ´³­ª¶¨¾ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿: ½²® ·¨±«® ·«¥­®¢ j ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¿¹¨µ : N () = cardfj : j  g: (1) Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ½²® ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ ¯°¨  ! 1. 8. ’ ³¡¥°®¢  ²¥®°¥¬ .

DZ°¥¤«®¦¥­¨¥ 1.

‘®®²­®¸¥­¨¥

j = j + o(j ) (j ! 1)

(2)

½ª¢¨¢ «¥­²­® ±®®²­®¸¥­¨¾

N () = Æ + o(Æ ) ( ! 1);

(3)

£¤¥

1 1 (4) Æ = ; = Æ:  „®ª § ²¥«¼±²¢®. DZ³±²¼ ¢»¯®«­¥­® ±®®²­®¸¥­¨¥ (3). ’®£¤  j ! 1. DZ°¨  = j ¨¬¥¥¬ N () = j , ² ª ·²®

j

Æj

! 1 (j ! 1):

(5)

62

‚®§¢®¤¿ ¤°®¡¼ ±«¥¢  ¢ ±²¥¯¥­¼ , ¯®«³· ¥¬

j j

! 1;

(6)

².¥. ±®®²­®¸¥­¨¥ (2). Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¢»¯®«­¥­® ±®®²­®¸¥­¨¥ (2). ’®£¤  ¨¬¥¥¬ (6) ¨ (5), ¨«¨

N (j )

Æj

! 1 (j ! 1):

(7)

ˆ§ (2) ±«¥¤³¥² ² ª¦¥, ·²® j +1 =j ! 1. DZ®½²®¬³

N (j )

Æj+1

! 1:

(8)

DZ°¨ j <  < j +1 ¬» ¨¬¥¥¬ N () = N (j ) ¨

N (j ) N () N (j ) < Æ < :



Æj+1

Æj Ž²±¾¤  ¨ ¨§ (7){(8) ¯®«³· ¥²±¿ (3).  Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ‘²¨«¼²¼¥±  ´³­ª¶¨¨ N (), § ¤ ­­®© ­  ¯®«³®±¨ R + ¨ «®ª «¼­® ¨¬¥¾¹¥© ®£° ­¨·¥­­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥, ´®°¬³«®© Z 1 S ( ) = (  ) 1 dN () ( 2= R + ): (9) 0

‘µ®¤¨¬®±²¼ ½²®£® ¨­²¥£° «  ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥²±¿ ³±«®¢¨¥¬ Z 1  1 dN () < 1:

(10)

‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ N () ¨¬¥¥² ¢¨¤ (1), ²® 1 X S ( ) = (j

(11)

0

j =1

 ) 1;

  ³±«®¢¨¥ (10) ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤ 1 X j =1

j 1 < 1:

(12)

ˆ­®£¤  ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ (9) ° ±±¬ ²°¨¢ ¾² ²®«¼ª® ¯°¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ  =  < 0. DZ®«®¦¨¬ Z 1 S () = S ( ) = ( + ) 1 dN () ( > 0): (13) 0

63

“¯° ¦­¥­¨¥.

£¤¥

DZ°®¢¥°¼²¥, ·²® ¥±«¨ N () = Æ , 0 < Æ < 1, ²® S () = Æ 1 ,

 = ÆB (Æ; 1 Æ ) =

Æ : sin Æ

(14)

C«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ , ­ §»¢ ¥¬ ¿  ¡¥«¥¢®© ²¥®°¥¬®© ¤«¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ , ±¯° ¢¥¤«¨¢  ¡¥§ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ® ¬®­®²®­­®±²¨ ´³­ª¶¨¨ N (). ’¥®°¥¬  2. DZ³±²¼ 0 < Æ < 1 ¨ N () ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾

‘²¨«¼²¼¥± 

lim N () Æ = :

(15)

lim 1 Æ S () = ;

(16)

!1 ’®£¤ 

!1

 ®¯°¥¤¥«¥­® ¢ (14). „®ª § ²¥«¼±²¢® ®¡±³¦¤ ²¼ ­¥ ¡³¤¥¬. Ž¡° ²­®© ª ½²®© ²¥®°¥¬¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­³¦­ ¿ ­ ¬ ² ³¡¥°®¢  ²¥®°¥¬  • °¤¨{‹¨²²«¼¢³¤ : ’¥®°¥¬  3. DZ³±²¼ 0 < Æ < 1 ¨ N () { ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿, ¤«¿ ª®²®°®© ¢»¯®«­¥­® ³±«®¢¨¥ (10), ¨ ¯³±²¼ ¤«¿ ¥¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ‘²¨«¼²¼¥±  ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±®®²­®¸¥­¨¥ (16). ’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢® ±®®²­®¸¥­¨¥ (15). £¤¥

64

‹¥ª¶¨¿ 12

Œ» ®£° ­¨·¨¬±¿ ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ ±«³· ¿, ª®£¤  N () { ´³­ª¶¨¿ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­¥³¡»¢ ¾¹¥© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ ·¨±¥« l . ²® ª³±®·­®¯®±²®¿­­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ®­  ¯®±²®¿­­  ¬¥¦¤³ ±®±¥¤­¨¬¨ ²®·ª ¬¨ l ¨ ¨±¯»²»¢ ¥² ±ª ·ª¨ ¢ ½²¨µ ²®·ª µ, ¯°¨·¥¬ ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ­¨µ ±¯° ¢ . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ 1 1 X S ( ) = ; (1)   j j =1 ½²®  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¿¹¨©±¿ °¿¤ c ±³¬¬®©, £®«®¬®°´­®© ¢±¾¤³, ª°®¬¥ ²®·¥ª j . ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ‚ ­³¦­®¬ ­ ¬ ±«³· ¥, ª®£¤  j { ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® DZ„Ž ¯®°¿¤ª  m > n, ½²  ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥²  ±¨¬¯²®²¨ª³

S ( ) = c(  )n=m

1 + O (j j(n 1)=m 1 )

(2)

¢­¥ ±ª®«¼ ³£®¤­® ³§ª®£® ³£«  ± ¡¨±±¥ª²°¨±®© R + c ° ¢­®¬¥°­®© ®¶¥­ª®© ®±² ²ª .  ¬ ¯®­ ¤®¡¨²±¿ ¯®«¥§­®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® DZ«¥©¥«¿, ®­® ¯°¨¤³¬ ­® DZ«¥©¥«¥¬ ¤«¿ ¯°¨¡«¨¦¥­­®£® ®¡° ¹¥­¨¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ‘²¨«¼²¼¥±  N () 7! S ( ). ’¥®°¥¬  4 (­¥° ¢¥­±²¢® DZ«¥©¥«¿). DZ³±²¼ 0 2 R + ,  = 0 + i0 , 0 > 0,  0 = 0 i0 , ¨ ¯³±²¼ 0 { ±¯°¿¬«¿¥¬ ¿ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­ ¿ ª°¨¢ ¿, ¨¤³¹ ¿ ¨§  0 ¢ 0 ¨ ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹ ¿ R + . ’®£¤  N (0 )

‘«¥¤±²¢¨¥.

1 2i

Z



  S ( ) d + 0 Re S (0 )  0 j Im S (0 )j:  2 0

(3)

‘¯° ¢¥¤«¨¢® ­¥° ¢¥­±²¢®

N (0 )

1 2i

Z 0

S ( ) d

 C0 0 jS (0)j;

(4)

C0 = ( 2 + 2 2 )1=2 . DZ°¨¬¥­¿²¼ ¬» ¡³¤¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® (4),   ¤®ª §»¢ ²¼ { ­¥° ¢¥­±²¢® (3). „®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥° ¢¥­±²¢  (3). DZ°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼ ´³­ª¶¨¾ N () ¯®±²®¿­­®© ¢¡«¨§¨ 0 , ­  ²®·ª¨ ±ª ·ª  ®­® ¯¥°¥­®±¨²±¿ ¯°¥¤¥«¼­»¬ ¯¥°¥µ®¤®¬. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ § ¬ª­³²»© ª®­²³°, ¯®«³· ¥¬»© ¤®¡ ¢«¥­¨¥¬ ª 0 ¢¥°²¨ª «¼­®£® ®²°¥§ª , ¨¤³¹¥£® ¨§ 0 ¢  0 . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® £¤¥

1 2i

Z

S ( ) d = N (0 ):

DZ®½²®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢® (3) ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ Z 1 2i

0 0

S ( ) d

0 Re S (0)

 2 0 j Im S (0)j:

(5)

65

‚ ² ª®¬ ¢¨¤¥ ¨ ¡³¤¥¬ ¥£® ¤®ª §»¢ ²¼. Œ» ¨¬¥¥¬ Z Z 1 1 0 S ( ) d = I () dN (); (6) 2i  0 0 £¤¥ Z 1 0 d : (7) I () = 2i  0   ‘·¨² ¿, ·²® §¤¥±¼ ¨­²¥£° « ¡¥°¥²±¿ ¯® ¢¥°²¨ª «¼­®¬³ ®²°¥§ª³ ¨  ®²«¨·­® ®² 0 , ±¤¥« ¥¬ § ¬¥­³  = 0 + ij 0 j (8) ¨ ¯®«®¦¨¬ s() = sgn( 0 ); u() = 0 j 0 j 1 : (9) –¥«¼ ½²¨µ § ¬¥­ ¢»¿±­¨²±¿ ­¨¦¥, ±¬. ¯¥°¥µ®¤ ®² (13) ª (14). DZ®«³·¨¬ Z

Z

d 1 u() s() + i = d 2 u() 1 +  2 u() s() i Z u() d = s() = s() arctg u(): 1 + 2 0

1 I () = 2

u()

(10)

‚ ²¥µ ¦¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ (9) 1 dN () = 0  0 Z 1 Z 1 s()u() + iu2 () dN () 1 = 0 dN (); 1 + u2 () 0 0 j 0 j[s() iu()]

S (0) =

² ª ·²®

Z

(11)

Z 1 1 s()u() u2 () 0 Re S (0 ) = dN (  ) ;  Im S (  ) = dN (): (12) 0 0 2 2 0 1 + u () 0 1 + u () Z

’¥¯¥°¼ ­¥° ¢¥­±²¢® (5) ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ Z 1   Z u (  )  1 u2 () s() arctg u() dN ()  dN (): 1 + u2 () 2 0 1 + u2 () 0

(13)

Ÿ±­®, ·²® ®­® ±«¥¤³¥² ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  arctg u



u  u2  (u > 0): 1 + u2 2 1 + u2

(14)

 §­®±²¼ ±«¥¢  ¯®¤ §­ ª®¬ ¬®¤³«¿ ° ¢­  0 ¯°¨ u = 0 ¨ ¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¯°®¨§¢®¤­³¾ ¯°¨ u > 0. ‡­ ·¨², ®­  ¯®«®¦¨²¥«¼­  ¯°¨ u > 0, ¬®¤³«¼ ¬®¦­® ±­¿²¼ ¨ ¯¥°¥¯¨± ²¼ (14) ¢ ¢¨¤¥ arctg u <

u  u2 + : 1 + u2 2 1 + u2

(15)

66

DZ°¨ u  =2 ½²® ­¥° ¢¥­±²¢® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  arctg u < =2. Ž±² ¥²±¿ ¯°®¢¥°¨²¼ ¥£® ¯°¨ 0 < u < =2. „®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¯°¨ ½²¨µ u ¯°®¨§¢®¤­ ¿ «¥¢®© · ±²¨ ¬¥­¼¸¥ ¯°®¨§¢®¤­®© ¯° ¢®© · ±²¨. ® ½²® ­¥° ¢¥­±²¢® ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­»µ, ª ª «¥£ª® ¯°®¢¥°¨²¼, ±«¥¤³¥² ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  u < =2.  ‚®§¢° ¹ ¿±¼ ª ²¥®°¥¬¥ • °¤¨{‹¨²²«¼¢³¤ , ±¤¥« ¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ § ¬¥· ­¨¥. Š ª ¬» ¢¨¤¥«¨, ¯°¨ ­ ¸¨µ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ ´³­ª¶¨¿ S ( ) £®«®¬®°´­  ¢­¥ ±ª®«¼ ³£®¤­® ³§ª®© ®ª°¥±²­®±²¨ «³·  R + . ‹¥£ª® ² ª¦¥ ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ®­  ®£° ­¨·¥­  ¢­¥ «¾¡®© ² ª®© ®ª°¥±²­®±²¨. ‘®£« ±­® ´®°¬³«¨°®¢ª¥ ²¥®°¥¬», ¬» ¨¬¥¥¬ (  )1 Æ S ( ) !  (16) ¢¤®«¼ «³·  R . Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ½²® ±®®²­®¸¥­¨¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ¯°¨ j arg  j  " ¢ ±¨«³ ²¥®°¥¬» Œ®­²¥«¿.2 ‚¯°®·¥¬, ¢ ¨­²¥°¥±³¾¹¥¬ ­ ± ±«³· ¥ ½²® ¯°®±²® ­ ¬ ¤ ­®, ±¬. (2). „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 3 (• °¤¨{‹¨²²«¼¢³¤ ). ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ " > 0 ¨ ¯®«®¦¨¬ 0 = (1 + i")0 , §¤¥±¼ 0 ¡³¤¥² ±²°¥¬¨²¼±¿ ª +1. DZ³±²¼ 0 { ¤³£  ®ª°³¦­®±²¨ ± ¶¥­²°®¬ ¢ ­ · «¥, ®£¨¡ ¾¹ ¿ ¥£® ±«¥¢  ¨ ¨¤³¹ ¿ ¨§  0 ¢ 0 . ‚ ±¨«³ ²®«¼ª® ·²® ±¤¥« ­­®£® § ¬¥· ­¨¿ ­ ©¤¥²±¿ ­ ±²®«¼ª® ¡®«¼¸®¥ r("), ·²®

jS ( ) (  )Æ 1j  "j jÆ

1

¯°¨  2 0 ; 0  r("):

(17)

 ±±¬®²°¨¬ ¨­²¥£° « 1 I (0 ; ") = 2i

Z 0

(  )Æ 1 d:

(18)

DZ°¨ ¯®¬®¹¨ § ¬¥­»  = 0 z ¯®«³· ¥¬

I (0 ; ") = Æ0 I (1; ") = Æ0 [I (1; 0) + h(")];

(19)

£¤¥ h(") ­¥ § ¢¨±¨² ®² 0 ¨ ±²°¥¬¨²±¿ ª 0 ¯°¨ " ! +0,   Z

1 I (1; 0) = ( z )Æ 1 dz 2i jzj=1 c ®¡µ®¤®¬ ¥¤¨­¨·­®© ®ª°³¦­®±²¨ ¨§ 1 i0 ¯® · ±®¢®© ±²°¥«ª¥ (±«¥¤³¥² ®¡° ²¨²¼ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  §­ ª ¬¨­³± ¯¥°¥¤ z ). ²³ ®ª°³¦­®±²¼ ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ¤¢³¬¿ ®²°¥§ª ¬¨ ¨§ 1 ¢ 0 ¨ ¨§ 0 ¢ 1 ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¯® ­¨¦­¥¬³ ¨ ¢¥°µ­¥¬³ ¡¥°¥£ ¬ ° §°¥§  ¢¤®«¼ R + . DZ®«³· ¥¬ 1 I (1; 0) = 2i

Z 1

0

tÆ 1 dt [e i(Æ

1)

ei(Æ

1) ] =  sin Æ

Æ

= :

(20)

2 DZ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f (z ) £®«®¬®°´­  ¨ ®£° ­¨·¥­  ¢ ³£«¥ fz :  < arg z < g, £¤¥   2 . DZ³±²¼ ®­  ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥« l ¯°¨ z ! 1 ¢¤®«¼ «³·  fz : arg z = , £¤¥  < < . ’®£¤  ®­  ±²°¥¬¨²±¿ ª ½²®¬³ ¯°¥¤¥«³ ° ¢­®¬¥°­® ¢ ³£«¥ fz :  + Æ  arg z  Æ g ¯°¨ ±ª®«¼ ³£®¤­® ¬ «®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ Æ > 0. C¬. ’¨²·¬ °¸, ’¥®°¨¿ ´³­ª¶¨©, £«. 5.

67

’¥¯¥°¼ ¯°¨¬¥­¿¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® (4) ¢ ±®·¥² ­¨¨ ± (17){(20). DZ®«³· ¥¬

jN (0 ) Æ0[ C [" + jh(")j]; £¤¥ C ­¥ § ¢¨±¨² ®² " ¨ 0 , ¥±«¨ ½²® ­¥ ²®·ª  ±ª ·ª  ´³­ª¶¨¨ N (). DZ®±«¥¤­¥¥ ®£° ­¨·¥­¨¥  ¢²®¬ ²¨·¥±ª¨ ±­¨¬ ¥²±¿. —¨±«® " ¬®¦­® ±¤¥« ²¼ ±ª®«¼ ³£®¤­® ¬ «»¬, ³¢¥«¨·¨¢ ¿ 0 . Ž²±¾¤  ¯®«³· ¥²±¿ ­³¦­»© °¥§³«¼² ².  9. €±¨¬¯²®²¨ª  ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨©. (DZ®¦ «³©±² , ­ ©¤¨²¥ ± ¬¨ ²¥®°¥¬», ª®²®°»¥ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¤ «¼¸¥ ¢ ½²®¬ ¯³­ª²¥.) ‘­®¢  ¯³±²¼ A { DZ„Ž ¯®°¿¤ª  m > n ­  M , ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ¢ L2 (M ) ¨ ¨¬¥¾¹¨© ±¯¥ª²°  (A), ¯®«³®£° ­¨·¥­­»© ±­¨§³. DZ®±ª®«¼ª³ ¬» ±¥©· ± ¨­²¥°¥±³¥¬±¿  ±¨¬¯²®²¨ª®© ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨©, ¬®¦­®, ­¥ ®£° ­¨·¨¢ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¯°¨­¿²¼, ·²® ¢±¥ ®­¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­». ’ ª ª ª ­®°¬  °¥§®«¼¢¥­²» R() ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®°  A ° ¢­  1=d(), £¤¥ d() { ° ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨  ¤® ±¯¥ª²°   (A), ²® ¢­¥ «¾¡®£® ´¨ª±¨°®¢ ­­®£® ³£«  ± ¡¨±±¥ª²°¨±®© R + ¢¥°­  ®¶¥­ª 

jjkuk0;M  C k(A I )uk0;M ;

(1)

  ®²±¾¤ , ª ª ¬» §­ ¥¬, ±«¥¤³¥² ½««¨¯²¨·­®±²¼ ± ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ ¤®¯®«­¥­¨¨ L ª ½²®¬³ ³£«³. „«¿ ±«¥¤  °¥§®«¼¢¥­²» ³ ­ ± ¯®«³·¥­   ±¨¬¯²®²¨ª  1 1 X n 1 n = c0 (  ) m 1 + O(j j m 1 ) (L 3  ! 1): (2) tr RA ( ) =   l 1 £¤¥

ZZ

1 dx d (3) T  M a0 (x;  ) + 1 ¨ a0 { £« ¢­»© ±¨¬¢®« DZ„Ž A; ®­ ¯®«®¦¨²¥«¥­. DZ® ²¥®°¥¬¥ • °¤¨{‹¨²²«¼¢³¤  (¨«¨ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  DZ«¥©¥«¿3 ) ¯®«³· ¥²±¿, ·²® ´³­ª¶¨¿ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ N () ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© l ¨¬¥¥²  ±¨¬¯²®²¨ª³

c0 = (2 ) n

N () =  m + o( m ) ( ! +1); n

n

(4)

£¤¥

c (5)

= n n 0 n : m B( m ; 1 m ) ²® ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ³¦¥ ±¯¥ª²° «¼­ ¿  ±¨¬¯²®²¨ª . ® ¨§ (5) ±«¥¤³¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª ¿ ´®°¬³«  ¤«¿ ± ¬¨µ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨©: m

m

j = j n + o(j n );

£¤¥  = m=n :

(6)

Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  DZ«¥©¥«¿ ± ³·¥²®¬ ²®£®, ·²® ¢ (2) ¬» ¨¬¥¥¬ ®¶¥­ª³ ®±² ²®·­®£® ·«¥­ , ¯®«³· ¥²±¿ ­¥ª®²®° ¿ ®¶¥­ª  ®±² ²®·­®£® ·«¥­  3 Œ» ­¥ ¤®ª § «¨ ¯®«­®±²¼¾, ·²® ±¯¥ª²° «¼­»© ±«¥¤ °¥§®«¼¢¥­²» ±®¢¯ ¤ ¥² ±® ±«¥¤®¬ ¥¥ ¿¤°  ¯°¨ ¢±¥µ  ¨§ °¥§®«¼¢¥­²­®£® ¬­®¦¥±²¢  ®¯¥° ²®°  A, ±¤¥« «¨ ½²® ²®«¼ª® ¯°¨  2 R . Ž¤­ ª® ±®µ° ­¥­¨¥  ±¨¬¯²®²¨ª¨ ¢ ³£«¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» Œ®­²¥«¿.

68

ª ª ¢ (5), ² ª ¨ ¢ (6). ® ­ ¨¡®«¥¥ ²®·­ ¿ (­¥³«³·¸ ¥¬ ¿) ®¶¥­ª  ®±² ²®·­®£® ·«¥­  ¢ ±¯¥ª²° «¼­®©  ±¨¬¯²®²¨ª¥ ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¨§³·¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨ eitA ®² ®¯¥° ²®°  A. ”®°¬³«  ± ² ª®© ®¶¥­ª®© ¨¬¥¥² ¢¨¤ n

N () =  m + O( ¨«¨

m

m

n 1 m )

:

(7)

1

(8) j = j n + O(j n ): „«¿ ±ª «¿°­»µ DZ„Ž ½²® ²¥®°¥¬  •¥°¬ ­¤¥°  (1968). ‚ § ª«¾·¥­¨¥ ¯®ª ¦¥¬, ·²® ´®°¬³«  (5) ¤«¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¥®¡° §®¢ ­  ª ² ª®¬³ ¢¨¤³: ZZ n

= (2 ) dx d: (8) a0 (x;)1 „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¤®±² ²®·­® ¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¯°®¢¥°¨²¼ ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ x, ·²® Z

Z

1 n d = ÆB (Æ; 1 Æ ) d; £¤¥ Æ = : m Rn a0 (x;  ) + 1 a0 (x;)<1

(9)

DZ¥°¥©¤¥¬ §¤¥±¼ ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢  ª ±´¥°¨·¥±ª¨¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ r = j j, ! = =r ¨ ±¤¥« ¥¬ § ¬¥­³ rm a0 (x; ! ) = t. „®ª §»¢ ¥¬®¥ ° ¢¥­±²¢® ¯°¨¬¥² ¢¨¤ Z

0

¨«¨

1

Z

tÆ 1 (t + 1) 1 dt

jj=1 1

Z

0

a0 Æ dS = ÆB (Æ; 1

Æ)

Z 1

0

tÆ 1 dt

Z

jj=1

a0 Æ dS;

tÆ 1 (t + 1) 1 dt = B (Æ; 1 Æ ):

® ½²® ®¤­  ¨§ ¨§¢¥±²­»µ ´®°¬³« ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ ©«¥°  B (Æ; 1 Æ ).

69

‹¥ª¶¨¿ 13 10. ‘²¥¯¥­¨ ¯®§¨²¨¢­®£® ½««¨¯²¨·¥±ª®£® DZ„Ž. ‚ ½²®¬ ¯³­ª²¥ ¬» ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³. ’¥®°¥¬  1. DZ³±²¼ A { ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„Ž ¨§ m ph , m > 0, ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨ M , ¯®§¨²¨¢­»© ¢ ³£«®¢®© ®ª°¥±²­®±²¨ «³·  R , ¨ ¯³±²¼ a0 (x;  ) { ¥£® £« ¢­»© ±¨¬¢®«. ’®£¤  ¯°¨ «¾¡®¬ ª®¬¯«¥ª±­®¬ z ®¯¥° ²®° Az mz z { DZ„Ž ¨§ ph ± £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬ [a0 (x;  )] . ‡¤¥±¼ ¬» ¢¯¥°¢»¥ ±² «ª¨¢ ¥¬±¿ ± ±¨²³ ¶¨¥©, ª®£¤  £« ¢­»© ±¨¬¢®« (­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¨ ¤ «¼­¥©¸¨¥ ·«¥­» ° §«®¦¥­¨¿ «®ª «¼­®£® ¯®«­®£® ±¨¬¢®« ) ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ª®¬¯«¥ª±­³¾ ±²¥¯¥­¼ ®¤­®°®¤­®±²¨:

[a0 (x; t )]z = tmz a0 (x;  ) (t > 0):

(1)

  ½²®² ±«³· © ®¡®¡¹ ¾²±¿ ­ ¸¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ °¥§³«¼² ²», ®²­®±¿¹¨¥±¿ ª ¯®«¨®¤­®°®¤­»¬ DZ„Ž. ³¤¥² ³ª § ­ ±¯®±®¡ ¯®±²°®¥­¨¿ «®ª «¼­®£® ¯®«­®£® ±¨¬¢®«  ®¯¥° ²®°  Az . „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬». „«¿ Æ > 0 ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ Æ ª®­²³°, ±®±²®¿¹¨© ¨§ ­¨¦­¥£® ¨ ¢¥°µ­¥£® ¡¥°¥£®¢ ° §°¥§  ¢¤®«¼ «³·  ( 1; Æ ] ¨ ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ¨µ ª®­¶» ®ª°³¦­®±²¨ f : jj = Æ g ± ®¡µ®¤®¬ ¯°®²¨¢ · ±®¢®© ±²°¥«ª¨. DZ°¨ Re z < 0 ®¯¥° ²®° Az ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ´®°¬³«®©

Az = (2i) 1

Z Æ

z R() d;

(2)

£¤¥ R() = A I ¨ z = exp[z (ln jj + i arg )], j arg j   ; ° §°¥§ ¯°¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ z ±¤¥« ­ ¢¤®«¼ R . —¨±«® Æ ¡¥°¥¬ ­ ±²®«¼ª® ¬ «»¬, ·²® ¯°¨  = 2Æ ¢ (3) L = R [ f : jj  g; ±³¹¥±²¢³¾² ¨ °¥§®«¼¢¥­²  R(), ¨  ¯¯°®ª±¨¬¨°³¾¹¨© ¥¥ ¯ ° ¬¥²°¨ª± B (N ) () «¾¡®£® ¯®°¿¤ª  N . ˆ­²¥£° « ¢ (2)  ¡±®«¾²­®, ².¥. ¯® ®¯¥° ²®°­®© ­®°¬¥, cµ®¤¨²±¿ ¢ «¾¡®¬ H s (M ). DZ®«®¦¨¬ ¯°¨ Re z < 0

AN;z = (2i)

1

Z Æ

z B (N ) () d:

(4)

²®² ¨­²¥£° « ²®¦¥ ±µ®¤¨²±¿ ¯® ®¯¥° ²®°­®© ­®°¬¥ ¢ «¾¡®¬ H s (M ).  ±±¬®²°¨¬ ° §­®±²¼

Az

AN;z = (2i)

1

Z Æ

z [R() B (N ) ()] d:

‘«¥¤³¾¹¥¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¯°¨  = 0 ¨  = 2:

jj k[R() B (N ) ()]f ks++N +1;M  C kf ks;M ;

(5)

70

£¤¥  = m(1  ) ¨ ¯®±²®¿­­ ¿ C ­¥ § ¢¨±¨² ®²  ¨ f . Ž²±¾¤  ¬®¦­® ¢»¢¥±²¨, ³·¨²»¢ ¿ ±²°³ª²³°³ ­®°¬, ·²® ®­® ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¯°¨ ¢±¥µ ¯°®¬¥¦³²®·­»µ  . ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¨¬ ¯°¨  = 1. DZ®«³·¨¬

k[Az

AN;z ]f ks+N +1;M

 C1

Z

jjRe z 1 jdjkf ks;M  C2 kf ks;M :

Æ

(6)

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ®¯¥° ²®° Az ±®¢¯ ¤ ¥² ± AN;z ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯°¨¡ ¢«¥­¨¿ ®¯¥° ²®°  ¯®°¿¤ª  N 1. ’¥¯¥°¼ ­³¦­® ³·¥±²¼ ±²°³ª²³°³ ®¯¥° ²®°  B (N ) () ¢ (4). ˆ¬¥¥¬ K X

AN;z f =

q (2i)

q=1

1

Z Æ

z Bq(N ) ()('q f ) d:

(7)

‡¤¥±¼ q -¥ ±« £ ¥¬®¥ ¢ «®ª «¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¢ Oq § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ q (x)

N X l=0

(2i)

1

Z Æ

z (2 ) n

Z

b(;lq) (x; ; )F ('q f )( ) d d;

(8)

²®² ¯®¢²®°­»© ¨­²¥£° «  ¡±®«¾²­® ±µ®¤¨²±¿, ² ª ·²® ¬®¦­® ¨§¬¥­¨²¼ ¯®°¿¤®ª ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¨ ¯¥°¥¯¨± ²¼ (8) ¢ ¢¨¤¥ q ( x)

N X l=0

(2 ) n

Z

q) (x;  )F (' f )( ) d; eix
 c(;l;z q

(9)

£¤¥ (q )

c;l;z (x;  ) = (2i)

1

Z Æ

z b(;lq) (x; ; ) d

= Res=a0 (x;) fz b(l q) (x; ; )g;

(10)

² ª ª ª ª®­²³° ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ § ¬ª­³²»¬ ª®­²³°®¬, ®¡µ®¤¿¹¨¬ ¥¤¨­±²¢¥­­»© ¯®«¾± a;0 (x;  ) ´³­ª¶¨© b;l (x; ; ) ¯® · ±®¢®© ±²°¥«ª¥. Š ª ­¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, q) (x; t ) = tmz l c(q) (x;  )(x;  ) (j j  1; t  1) c(;l;z ;l;z

(11)

n ¨ c;l;z 2 C 1 (R 2n ). Ž²±¾¤  ¢¨¤­®, ·²® (9) { DZ„Ž ¨§ mz ph (R ). Š ª ±«¥¤±²¢¨¥ z AN;z { DZ„Ž ¨§ mz ph (M ), ¨ ²® ¦¥ ¯®«³· ¥²±¿ ¤«¿ A . DZ®¤°®¡­¥¥. DZ® ±¨¬¢®« ¬ c;l;z ¬» ±²°®¨¬ ±¨¬¢®« cz (x;  ) c ° §«®¦¥­¨¥¬ q) + : : : : c(zq) (x;  )  c(;q0);z + c(;i;z

(12)

‡¤¥±¼ ±« £ ¥¬»¥ ­¥ ¢¯®«­¥ ®¤­®°®¤­». ® ¨µ ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬¨:

c(l;zq) (x;  ) = j jmz l c(;lq) (x; =j j) ( 6= 0);

(13)

71

½²® ³¦¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­»¥ ´³­ª¶¨¨ ±²¥¯¥­¨ mz

l, ¨ ¬» ¨¬¥¥¬

c(zq) (x;  )  c(0q;z) (x;  ) + c(1q;z) (x;  ) + : : : ²®¬³ ±¨¬¢®«³ ®²¢¥· ¥² DZ„Ž Az;q ´®°¬³«¥

Az =

(14)

n 2 mz ph (R ). ‘²°®¨¬ DZ„Ž Az ­  M ¯®

K X q=1

q Az;q ('q
):

(15)

Ž² ­¥£® DZ„Ž Az ®²«¨· ¥²±¿ ­  ¡¥±ª®­¥·­® ±£« ¦¨¢ ¾¹¥¥ ±« £ ¥¬®¥. ’ ª ª ª b0 = (a0 ) 1 , ²® £« ¢­»© ±¨¬¢®« DZ„Ž Az ¥±²¼

c0;z = az0 = ja0 jz exp(iz arg a0 )

(16)

(­ ¯®¬­¨¬,·²® ³ ­ ± j arg a0 j <  ).  ª®­¥¶, ­  ±«³· © Re z  0 ¯®«³·¥­­»¥ °¥§³«¼² ²» ° ±¯°®±²° ­¿¾²±¿ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ´®°¬³«» Az = As
Az s , £¤¥ s { ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® ¨ Re z s < 0, ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬ ²¥®°¥¬» ® ª®¬¯®§¨¶¨¨ DZ„Ž.  ‘«¥¤±²¢¨¥. DZ°¨ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ ²¥®°¥¬» Az { ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ®¯¥° ²®°, s+m Re z (M ) ­  H s (M ) ¯°¨ «¾¡»µ ¨§®¬®°´­® ¨ ­¥¯°¥°»¢­® ®²®¡° ¦ ¾¹¨© H s 2 R ¨ z 2 C. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯®°¿¤®ª ½²®£® DZ„Ž ¢ ±®¡®«¥¢±ª®© ¸ª «¥, ª ª ­¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ° ¢¥­ m Re z . Ž±² ¥²±¿ ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® Ker Az = f0g ¨ ·²® ¨­¤¥ª± ½²®£® ®¯¥° ²®°  ° ¢¥­ ­³«¾. DZ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ¥±«¨ Az u = 0, ²® u 2 C 1 (M ) ¨ Au = A1 z Az u = 0, ² ª ·²® Au = 0 ¨ u = 0. —²®¡» ¯°®¢¥°¨²¼ ¢²®°®¥, ¤®±² ²®·­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® Ker(Az ) = f0g. ²® ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® A { ²®¦¥ ¯®§¨²¨¢­»© ®¯¥° ²®° ¨ (Az ) = (A )z .  ‚ · ±²­®±²¨, ¬» ¢¨¤¨¬, ·²® ¯°¨ Re z = 0 ®¯¥° ²®° Az ®£° ­¨·¥­. ’ ª®£® ±¢®©±²¢  ­¥² ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ¤«¿  ¡±²° ª²­»µ ®¯¥° ²®°®¢. „ «¥¥, ®²¬¥²¨¬, ·²® Az ¯°¨ m Re z < h { £®«®¬®°´­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®² z ±® §­ ·¥­¨¿¬¨, ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ®¯¥° ²®°®¢, ¤¥©±²¢³¾¹¨µ, ­ ¯°¨¬¥°, ®£° ­¨·¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¨§ H s+h (M ) ¢ H s (M ) (c «¾¡»¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­»¬ s). ’ ª®£® ¢  ¡±²° ª²­®¬ ±«³· ¥ ²®¦¥, ª®­¥·­®, ­¥². DZ³±²¼, ¢ · ±²­®±²¨, A = A { ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© DZ„Ž ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª  m ­  M c ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»¬ ¡ §¨±®¬ fej g1 1 ¨§ ±®¡±²¢¥­­»µ ´³­ª¶¨© ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨ j % 1. ’®£¤  Az e = z e , ®¯¥° ²®° As=m ¨§®¬®°´­® ¨ ­¥¯°¥°»¢­® ®²®¡° ¦ ¥² H s (M ) ­  H 0 (M ), ¨ ¢ H s (M ) ¬®¦­® ¢¢¥±²¨ ­®°¬³

kAs=muk

0;M

=



1 X  =1

2s=m j(u; e 

®­  ½ª¢¨¢ «¥­²­  ®¡»·­®© ­®°¬¥ ¢ H s (M ).



)j2

1=2

;

(17)

72

…±«¨ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¢ H s (M ) ®²¢¥· ¾¹¨¬ ½²®© ­®°¬¥ ±ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ X (18) (As=m u; As=mv )0 = 2s=m (u; e )0;M (v; e )0;M ; ²® Az ¡³¤¥² ­®°¬ «¼­»¬ ®¯¥° ²®°®¬ ¢ H s (M ) ¯°¨ «¾¡®¬ z , ² ª ª ª ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ² ¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± ¨§ ±®¡±²¢¥­­»µ ´³­ª¶¨©, ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»¬ ¯°¨ z 2 R . DZ°¨ Re z > 0 ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ½²®£® ®¯¥° ²®°  { ¯°®±²° ­±²¢® H s+m Re z (M ). ‚ · ±²­®±²¨, ¨§®¬®°´¨§¬» ¬¥¦¤³ ±®¡®«¥¢±ª¨¬¨ ¯°®±²° ­±²¢ ¬¨ H s (M ) ²¥¯¥°¼ ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¿²¼ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ±²¥¯¥­¥© ®¯¥° ²®°   = (I
)1=2 ; (19) £¤¥
{ ®¯¥° ²®° ¥«¼²° ¬¨{‹ ¯« ± .

Az . DZ„Ž Az ¿¢«¿¥²±¿ ¨­²¥£° «¼­»¬ ®¯¥° ²®°®¬ ± ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¿¤°®¬ Kz (x; y ) ¯°¨ m Re z < n, ².¥. ¯°¨ Re z < n=m. ²® ±«¥¤³¥² ¨§ ¢²®°®© ²¥®°¥¬» €£¬®­ . ’® ¦¥ ± ¬®¥ ¢¥°­® ¤«¿ ®¯¥° ²®°®¢ AN;z ,  ¯¯°®ª±¨¬¨°³¾¹¨µ Az . ® ®¯¥° ²®°» AN;z ¤®¯³±ª ¾² ¿¢­®¥ ¯®±²°®¥­¨¥, ¨, ¨±¯®«¼§³¿ ¨µ, ³¤ ¥²±¿ ¤®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³. ’¥®°¥¬  1. Ÿ¤°® Kz (x; y ) £®«®¬®°´­® ¯® z ¯°¨ Re z < n=m. …£® ±³¦¥­¨¥ Kz (x; x) ­  ¤¨ £®­ «¼ ¢ M  M ¤®¯³±ª ¥²  ­ «¨²¨·¥±ª®¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¥ ­  ¢±¾ ª®¬¯«¥ª±­³¾ ¯«®±ª®±²¼ ± ¢®§¬®¦­»¬¨ ¯®«¾± ¬¨ ²®«¼ª® ¢ ²®·ª µ z = (l n)=m (l = 0; 1; : : : ). ‚±¥ ¯®«¾±» ¿¢«¿¾²±¿ ¯°®±²»¬¨, ¨ ¢»·¥²» ¢ ­¨µ ¢»·¨±«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: Œ¥°®¬®°´­®¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¥ ¿¤°  DZ„Ž

K  l n  1 X l (x) = 'q (x) Res=a(0q) (x;!)  m b(l q) (x; !; ) dS: n (2 ) m q=1 j!j=1 Z

(1)

‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ´®°¬³«®© (2) ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£® ¯³­ª²  ´³­ª¶¨¿ (l n)=m §¤¥±¼ ¨ ¤ «¼¸¥ £®«®¬®°´­  ¢­¥ R ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­  ­  R+ . ‚»·¥² ¢ ¯¥°¢®¬ ¯®«¾±¥ z = n=m ¢»° ¦ ¥²±¿ ´®°¬³«®© K 1 X 0 (x) = ' ( x) [a(0q) (x; ! )] n=mdS: (2) (2 )n m q=1 q j!j=1   ¯®«­®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ³¦¥ ­¥² ¢°¥¬¥­¨. Š«¾·¥¢®© ¬®¬¥­² ¢ ­¥¬ ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ƒ« ¢­ ¿ · ±²¼ ¿¤°  l-£® ±« £ ¥¬®£® ¢ ®¯¥° ²®°¥ (9) ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£® ¯³­ª²  ¯°¨ x = y { ½²® ¨­²¥£° « Z

(2 ) n

Z

cl;z d: jj1 DZ¥°¥µ®¤¿ §¤¥±¼ ª ±´¥°¨·¥±ª¨¬ ª®®°¤¨­ ² ¬, ¯®«³·¨¬, ·²® ½²® ¢»° ¦¥­¨¥ ° ¢­® Z Z 1 n (2 ) cl;z (x; ! ) dS rmz l+n 1 dr = jj=1 1 Z 1 c (x; ! ) dS: (2 )n (mz l + n) jj=1 l;z

73

Ÿ±­®, ·²® ½²® ¢»° ¦¥­¨¥ ¨¬¥¥² ¯°®±²®© ¯®«¾± ¢ ²®·ª¥ z = l n=m c ®·¥¢¨¤­»¬ ¢»·¥²®¬. „®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ¤¥² «¨ ±®±²®¿² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. DZ°¨ x 6= y ¿¤°® Kz (x; y ) ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ¤® ¶¥«®©  ­ «¨²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ ®² z . Œ¥°®¬®°´­®¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¥ ¿¤°  Kz (x; x) ­¥ ¨¬¥¥² ¯®«¾±  ¢ ²®·ª¥ z = 0, ¨ ¥£® §­ ·¥­¨¥ ¢ ½²®© ²®·ª¥ ¢»¯¨±»¢ ¥²±¿. …±«¨ A { ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»© ®¯¥° ²®°, ²® ®­® ­¥ ¨¬¥¥² ¯®«¾±®¢ ² ª¦¥ ¢ ²®·ª µ z = j (j = 0; 1; : : : ), ¨ ¥£® §­ ·¥­¨¿ ¢ ½²¨µ ²®·ª µ ²®¦¥ ¢»¯¨±»¢ ¾²±¿. ˆ­²¥£°¨°³¿ ¯® M , ¯®«³· ¥¬ ·¨±«®¢³¾ ´³­ª¶¨¾

 (z; A) = tr Az =

Z

M

Kz (x; x) dx (Re z < n=m):

(3)

Ž­  ­ §»¢ ¥²±¿ ¤§¥² -´³­ª¶¨¥© ®¯¥° ²®°  A. ˆ§ ²¥®°¥¬» 1 ¢»²¥ª ¥², ·²® ®­  £®«®¬®°´­  ¯® z ¨ ¤®¯³±ª ¥² ¬¥°®¬®°´­®¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¥ ­  ¢±¾ ª®¬¯«¥ª±­³¾ ¯«®±ª®±²¼ ± ¢®§¬®¦­»¬¨ ¯®«¾± ¬¨ ²®«¼ª® ¢ ²®·ª µ z = (l n)=m (l = 0; 1; : : : ). DZ°¨ ½²®¬ ¢±¥ ¯®«¾±» ¿¢«¿¾²±¿ ¯°®±²»¬¨, ¨ ¢»·¥²» ¢ ­¨µ ¯®«³· ¾²±¿ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥¬ ¢»° ¦¥­¨© (1) ¯® M . ‚ ²®·ª¥ z = 0 ­¥² ¯®«¾± , ¨ §­ ·¥­¨¥ ½²®© ´³­ª¶¨¨ ¢ ­³«¥ ¢»° ¦ ¥²±¿ ´®°¬³«®© Z Z 1 K Z 1 X ' (x) dx dS b(nq) (x; !;  ) d:  (0; A) = (2 )nm q=1 M q j!j=1 0

(4)

…±«¨ A { „Ž, ²® ¯®«¾±®¢ ­¥² ¢® ¢±¥µ ²®·ª µ z = j (j = 0; 1; : : : ), ¨ §­ ·¥­¨¿  ­ «¨²¨·¥±ª®£® ¯°®¤®«¦¥­¨¿  (l:A) ¢ ½²¨ ²®·ª¨ ² ª¦¥ ¢»¯¨±»¢ ¾²c¿. ‡­ ·¥­¨¥  (l; A) ­ §»¢ ¥²±¿ °¥£³«¿°¨§®¢ ­­»¬ ±«¥¤®¬ ¯®°¿¤ª  l ®¯¥° ²®°  A. ’¥¯¥°¼ ¬» ¢»¢¥¤¥¬  ­ «¨²¨·¥±ª³¾ ´®°¬³«³ ¤«¿ ¨­¤¥ª±  ¯°®¨§¢®«¼­®£® ½««¨¯²¨·¥±ª®£® DZ„Ž L ­  M ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª  m. „«¿ ½²®£® ¢¢¥¤¥¬ ®¯¥° ²®°» A1 = I + L L ¨ A2 = I + LL : (5) ‹¥£ª® ¯®­¿²¼, ·²® ½²® ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»¥ DZ„Ž ± ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨, «¥¦ ¹¨¬¨ ­  «³·¥ [1; 1), ² ª ª ª (A1 f; f ) = (f; f ) + (Lf; Lf ); (A2 f; f ) = (f; f ) + (L f; L f ) (6) (±ª «¿°­»¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¡¥°³²±¿ ¯® M ). DZ®½²®¬³ ¬» ¬®¦¥¬ ° ±±¬®²°¥²¼ ´³­ª¶¨¨  (z; A1 ) ¨  (z; A2 ). ˆ§ (6) ¢¨¤­® ² ª¦¥, ·²® ª° ²­®±²¨ ±®¡±²¢¥­­®£® §­ ·¥­¨¿ 1 ³ ®¯¥° ²®°®¢ A1 ¨ A2 ° ¢­» ±®®²¢¥²±²¢¥­­® dim Ker L ¨ dim Ker L . ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ®±² «¼­»¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¨¬¥¾² ³ A1 ¨ A2 ®¤¨­ ª®¢»¥ ª° ²­®±²¨. ²® ¢¨¤­® ¨§ ²®£®, ·²® ¯°¨  > 1

A1 u = u; Lu = v () A2 v = v; u = L 1 v: €­ «®£¨·­® ®¡±²®¨² ¤¥«® ± Az1 ¨ Az2 , ¨ ¯°¨ Re z < n=2m ¯®«³· ¥¬ { (L)

= tr Lz1

tr Lz2 :

(7)

74

ˆ±¯®«¼§³¿ ²¥¯¥°¼ £®«®¬®°´­®¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¥ ¤§¥² -´³­ª¶¨© ¢ ²®·ª³ 0, ¯®«³· ¥¬ { (L) =  (0; A1 )  (0; A2 ): (8) ²® ¨ ¥±²¼ ¦¥« ¥¬ ¿ ´®°¬³« . DZ° ¢ ¿ · ±²¼ ¢»·¨±«¿¥²±¿ ·¥°¥§ ±« £ ¥¬»¥ a0 ; : : : ; an ¢  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬ ° §«®¦¥­¨¨ «®ª «¼­®£® ¯®«­®£® ±¨¬¢®« .   ± ¬®¬ ¤¥«¥ ¨­¤¥ªc § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®² a0 . ”®°¬³«  (8) ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ´®°¬³«» €²¼¨{‡¨­£¥°  ¤«¿ ¨­¤¥ª± . ‚ § ª«¾·¥­¨¥ ®²¬¥²¨¬, ·²®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª³¾ ´®°¬³«³ ¤«¿ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® ®¯¥° ²®°  A ¨§ ¯°®¸«®© «¥ª¶¨¨ ¬®¦­® § ­®¢® ¯®«³·¨²¼ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ±«¥¤³¾¹¥© ² ³¡¥°®¢®© ²¥®°¥¬» ˆª¥µ °» (®­  ¤®ª § ­  ¢ ª­¨£¥ ˜³¡¨­ ), ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ ±«¥¤ ®¯¥° ²®°  A z (± ®¡° ²­»¬ §­ ª®¬ ¯¥°¥¤ z ). ’¥®°¥¬  2. DZ³±²¼ N (t) { ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿, ° ¢­ ¿ 0 ¯°¨ t  1 ¨ ² ª ¿, ·²® ¨­²¥£° «

 (z ) = ±µ®¤¨²±¿ ¯°¨

Z

z 1

tz dN (t)

Re z < h, £¤¥ h > 0, ¯°¨·¥¬ ´³­ª¶¨¿

 (z ) +

A z+h

­¥¯°¥°»¢­® ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ¢ § ¬ª­³²³¾ ¯° ¢³¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ’®£¤ 

fz : Re z  hg.

A ( ! 1): N () h ! h

‡ ª«¾·¨²¥«¼­ ¿ ®¡§®°­ ¿ «¥ª¶¨¿ ¡³¤¥² ­  ¢²®°®© ­¥¤¥«¥ ±¥­²¿¡°¿.

75

‹¥ª¶¨¿ 14 (®¡§®°­ ¿ ¨ § ª«¾·¨²¥«¼­ ¿) 1. Š« ±±» DZ„Ž ¢ R n . ‘®¡±²¢¥­­»¥ DZ„Ž. ‚¥©«¥¢±ª¨¥ DZ„Ž. ‚ ­ ¸¥¬

ª³°±¥ £« ¢­®© ¶¥«¼¾ ¡»«® ¯®±²°®¥­¨¥ ²¥®°¨¨ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ DZ„Ž ­  § ¬ª­³²®¬ ¬­®£®®¡° §¨¨. „«¿ ¯°®±²®²» ±¨¬¢®«» a(x;  ) ¨§ ª« ±±  S1m;0 ¯°¥¤¯®« £ «¨±¼ ¯®¤·¨­¥­­»¬¨ ®¶¥­ª ¬

j@x@ a(x;  )j  C; (1 + j j)m j j;

(1)

° ¢­®¬¥°­»¬ ¯® x. …±«¨ § ¤ ·¨ ±² ¢¿²±¿ ¢ R n , ½²® ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ­¥³¤®¡­»¬ (­ ¯°¨¬¥°, ¢ ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥). DZ°¨­¿²® ®¯°¥¤¥«¿²¼ ²®£¤  ½²®² ª« ±± ®¶¥­ª ¬¨ j@x@ a(x;  )j  C; ;K (1 + j j)m j j (x 2 K ); (2) £¤¥ K {«¾¡®© ª®¬¯ ª² ¨§ K . Ž²±³²±²¢¨¥ ° ¢­®¬¥°­®© ¯® x ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ±¨¬¢®«®¢ ¯°¨ ®£° ­¨·¥­­»µ  ±®§¤ ¥² ²°³¤­®±²¨ ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ ¨±·¨±«¥­¨¿ DZ„Ž. ‘² ­®¢¨²±¿ ­³¦­»¬ ¯®­¿²¨¥ ±®¡±²¢¥­­®£® DZ„Ž, ª®²®°®¥ ¬» ±¥©· ± ®¯°¥¤¥«¨¬. DZ³±²¼ ±­ · «  m < n. ’®£¤  DZ„Ž a(x; D) { ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° ± ¿¤°®¬

K (x; y ) = (2 ) n

Z

ei(x y)
 a(x;  ) d:

Ž­® ­¥¯°¥°»¢­®. Ž¤­ ª® ¿¤°® KA ¢ ±¬»±«¥ ˜¢ °¶  ®¯°¥¤¥«¥­® ¤«¿ «¾¡®£® ®¯¥° ²®°  A, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥£® ®±­®¢­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨§ D(R n ) = C01 (R n ) ¢ ®¡®¡¹¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨§ D0 (R n ): ®­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©

hAu; vi = hKA; u(y)v(x)i (u; v 2 D(R n ));

(3)

¨ ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ®­® ®¤­®§­ ·­® ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ¤® ®¡®¡¹¥­­®© ´³­ª¶¨¨ ¨§ D0 (R2n ) (²¥®°¥¬  ‹®° ­  ˜¢ °¶ ). ‚ ±«³· ¥ DZ„Ž A «¾¡®£® ¯®°¿¤ª  c  ¬¯«¨²³¤®© a(x; ³;  ) ½²  ®¡®¡¹¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ®±¶¨««¨°³¾¹¨¬ ¨­²¥£° «®¬

hKa; wi = (2) n

ZZZ

ei(x y)
 a(x; y;  )w(x; y ) dx dy d (w 2 D(R2n)):

(4)

…¥ ±¨­£³«¿°­»© ­®±¨²¥«¼ ±®±°¥¤®²®·¥­ ­  ¤¨ £®­ «¨ x = y ¢ R nx  R ny . ˆ² ª, DZ„Ž a(x; D) ¢±¥£¤  ¨¬¥¥² ¿¤°® KA (x; y ) ¢ ±¬»±«¥ ®¡®¡¹¥­­»µ ´³­ª¶¨©.  ±±¬®²°¨¬ ¥£® ­®±¨²¥«¼ supp KA (x; y ). DZ„Ž A ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥­n n ­»¬, ¥±«¨ ¯°®¥ª¶¨¨ ½²®£® ­®±¨²¥«¿ ­  ª®®°¤¨­ ²­»¥ ¯°®±²° ­±²¢  R x ¨ R y ®¡« ¤ ¾² ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢®¬: ¯°®®¡° § ª®¬¯ ª²  { ª®¬¯ ª². ‚ ±«³· ¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ­®±¨²¥«¼ ¥£® ¿¤°  { ¤¨ £®­ «¼ x = y ¢ R nx R ny , ¯®½²®¬³ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»© ®¯¥° ²®° ¿¢«¿¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬ DZ„Ž. ‚ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥, ·²®¡» ¯°¥¢° ²¨²¼ DZ„Ž ¢ ±®¡±²¢¥­­»©, ¤®±² ²®·­® ³¬­®¦¨²¼ ¥£®  ¬¯«¨²³¤³ ­  ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª³¾ ´³­ª¶¨¾ (x y ), ° ¢­³¾ ¥¤¨­¨¶¥ ¯°¨ ¬ «»µ jx y j ¨ ­³«¾ ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ jx y j. ²® ³¬­®¦¥­¨¥ ­¥

76

§ ²° £¨¢ ¥² ±¨­£³«¿°­»© ­®±¨²¥«¼ ¿¤° , ² ª ª ª ®­ ­ µ®¤¨²±¿ ­  ¤¨ £®­ «¨ x = y. Ž¶¥­ª¨ (1) ¨ (2) µ®°®¸¨, ¥±«¨ ¬» ¨­²¥°¥±³¥¬±¿ ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬¨ DZ„Ž (­¥ m (R n ) ®¯°¥®¡¿§ ²¥«¼­® ° ¢­®¬¥°­® ½««¨¯²¨·¥±ª¨¬¨). ®«¥¥ ®¡¹¨¥ ª« ±±» S;Æ ¤¥«¿¾²±¿ ®¶¥­ª ¬¨

j@x@ a(x;  )j  C; ;K (1 + j j)m+Æjj j j (x 2 K ):

(5)

DZ°¨ ®¤­®ª° ²­®¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¨ ±¨¬¢®«  ¯®  ¥£® ¯®°¿¤®ª ¯®­¨¦ ¥²±¿ ­¥ ­  1, a ­  ,   ¯°¨ ®¤­®ª° ²­®¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¨ ¯® x ½²®² ¯®°¿¤®ª ³µ³¤¸ ¥²±¿ ­  Æ . —¨±«   ¨ Æ «¥¦ ² ­  ®²°¥§ª¥ [0; 1]. Ž²­®±¨²¥«¼­® «¥£ª¨© ±«³· © { ª®£¤   > Æ . ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ ¯°¨ ½²®¬ ³±«®¢¨¨ ­®±¨²¥«¼ ¿¤°  { ª®¬¯ ª² ¨ m = 0, ²® ®¯¥° ²®° ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ¤® ®£° ­¨·¥­­®£® ®¯¥° ²®°  ¢ L2 (R n ). ²¨ ª« ±±» ­³¦­» ¯°¨ ¨§³·¥­¨¨ ¢»°®¦¤ ¾¹¨µ±¿ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ²®°®¢ ¨ ¯®±²°®¥­¨¨ ¯ ° ¬¥²°¨ª±®¢ ¤«¿ ­¨µ. DZ®¤°®¡­®±²¨, ®²­®±¿¹¨¥±¿ ª ½²¨¬ ª« ±± ¬, ¬®¦­® ±¬®²°¥²¼ ¢ ª­¨£ µ Œ.€. ˜³¡¨­  (\DZ„Ž ¨ ±¯¥ª²° «¼­ ¿ ²¥®°¨¿") ¨ ‹.•¥°¬ ­¤¥° . “ ˜³¡¨­  ®¯°¥¤¥«¥­» ² ª¦¥ ¨­²¥°¥±­»¥ ª« ±±» ±¨¬¢®«®¢ ¢ R n c ®¶¥­ª ¬¨

j@x@ a(x;  )j  C; (1 + jxj +  j)m (jj+j j);

(6)

£¤¥  2 (0; 1], ¢ ¯°®±²¥©¸¥¬ ±«³· ¥  = 1. ‡¤¥±¼ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ±¨¬¢®«®¢ ¯°¨ ¨µ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¨ ¯® x ¨  \®¤¨­ ª®¢®". E¹¥ ®¤­  ª­¨£  ¯® ² ª¨¬ DZ„Ž { Heler, 1984. Ž¤­ ª® DZ„Ž ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯® ±¨¬¢®«³ ¢®² ª ª®© ´®°¬³«®©:

Au(x) =

ZZ

ei(x y)
 a





x+y ;  u(y ) dy d: 2

(7)

²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨­²¥°¥±­®, ¢ · ±²­®±²¨, ²¥¬, ·²® ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬³ ±¨¬¢®«³ ®²¢¥· ¥² ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ®¯¥° ²®°. ’ ª¨¥ DZ„Ž ¯®¿¢¨«¨±¼ ¢ ¤¢ ¤¶ ²»¥ £®¤» ¯°®¸«®£® ¢¥ª  ³ ƒ¥°¬ ­  ‚¥©«¿ ¢ ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥. DZ±¥¢¤®¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¬¨ ®¯¥° ²®° ¬¨ ¢ ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¥ ±¯¥¶¨ «¼­® § ­¨¬ «±¿ ”.€. ¥°¥§¨­, ®­ ­ ¯¨± « ¨­²¥°¥±­»¥ ° ¡®²». ˜³¡¨­ ± ­¨¬ ª®­² ª²¨°®¢ «, ³ ­¨µ ¥±²¼ ®¡¹¨¥ ª­¨£¨. DZ°¨¬¥° ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ®¯¥° ²®°  ¨§ ª¢ ­²®¢®© ¬¥µ ­¨ª¨: ®¯¥° ²®° ˜°¥¤¨­£¥°  ¤«¿ £ °¬®­¨·¥±ª®£® ®±¶¨««¿²®°  ­  ®±¨ 

h2 2 D + E 2m



m! 2 x2 : 2

‡¤¥±¼ ±¨¬¢®« ¨¬¥¥² ¢²®°®© ¯®°¿¤®ª °®±²  ª ª ¯® x, ² ª ¨ ¯®  . 2. DZ„Ž ­  ®ª°³¦­®±²¨ ¨ ²®°¥. Žª°³¦­®±²¼ ¨ ²®° { ½²® ² ª¨¥ ¬­®£®®¡° §¨¿, ­  ª®²®°»µ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ².   ®ª°³¦­®±²¨ ¨¬¥¥²±¿ ¢ ¢¨¤³ ¯¥°¨®¤¨·¥±ª ¿ ª®®°¤¨­ ²  x, ¥¥ §­ ·¥­¨¿, ®²«¨· ¾¹¨¥±¿ ­  2k ± ¶¥«»¬ k, ®²¢¥· ¾² ®¤­®© ¨ ²®© ¦¥ ²®·ª¥. ’ ª³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ²

77

¬®¦­® ¢¢¥±²¨ ­  «¾¡®© § ¬ª­³²®© ª°¨¢®©, ¨ ¢ ½²®¬ ±¬»±«¥ § ¬ª­³² ¿ ª°¨¢ ¿ ­¥ ®²«¨· ¥²±¿ ®² ®ª°³¦­®±²¨.  ±±¬®²°¨¬ ®¯¥° ²®° ±«¥¤³¾¹¥£® ¢¨¤ :

Au(x) =

1 X l= 1

1 a(x; l)eixl cl (u); £¤¥ cl (u) =

2

Z

 

u(y )e ily dy:

(8)

‡¤¥±¼ cl (u) { ª®½´´¨¶¨¥­² ”³°¼¥ ´³­ª¶¨¨ u ¯® ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ½ª±¯®­¥­². ‘²°³ª²³°  ½²®£® ®¯¥° ²®°  ¯®µ®¦  ­  ±²°³ª²³°³ DZ„Ž ¢ R n ,

Au(x) = F!1x a(x;  )(F u)( ); ²®«¼ª® ¢ (8) ¢¬¥±²® ¯°¿¬®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ”³°¼¥ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¯¥°¥µ®¤ ®² ´³­ª¶¨¨ ª ­ ¡®°³ ¥¥ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ”³°¼¥,   ¢¬¥±²® ®¡° ²­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ”³°¼¥ { ±³¬¬¨°®¢ ­¨¥ °¿¤  ¯® ½ª±¯®­¥­² ¬. Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¥±«¨ a(x;  ) { ¯®«¨®¤­®°®¤­»© ±¨¬¢®« ­  R 1  R 1 ¨§ ª« ±±  S1m;0 ± £« ¢­®© · ±²¼¾ a0 (x;  ), 2 -¯¥°¨®¤¨·¥±ª¨© ¯® x, ²® (8) { ¯®«¨®¤­®°®¤­»© DZ„Ž ­  ®ª°³¦­®±²¨ ¯®°¿¤ª  m ± £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬ a0 (x;  ). DZ®«³· ¥¬ DZ„Ž \¢ ¤¨±ª°¥²­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨". „«¿ ² ª®£® DZ„Ž £«®¡ «¼­® ®¯°¥¤¥«¥­», ª ª ¢ R n , ¢±¥ ·«¥­» ° §«®¦¥­¨¿ ±¨¬¢®« ,   ­¥ ²®«¼ª® £« ¢­»© ±¨¬¢®«. ‚±¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ DZ„Ž ­  ®ª°³¦­®±²¨ ¬®¦­® ±²°®¨²¼, ­¥ ¢»µ®¤¿ §  ° ¬ª¨ °¿¤®¢ (8) ²¨¯  ”³°¼¥. ’ ª¨¥ DZ„Ž ­  ²®°¥ ®¡±³¦¤ « ‹.. ‚®«¥¢¨· ­  ±²³¤¥­·¥±ª®¬ ±¥¬¨­ °¥ ¢ ±¥°¥¤¨­¥ 60-µ ££., ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ ¨µ ª ª  ¤ ¯²¨°®¢ ­­³¾, ¨£°³¸¥·­³¾ ¬®¤¥«¼ DZ„Ž. Ž­ ¤ ¦¥ ­¨·¥£® ­¥ ®¯³¡«¨ª®¢ «. ® ¯®§¤­¥¥ ¢»¿±­¨«®±¼, ·²® ½²® ¢®¢±¥ ­¥ ¨£°³¸ª , ² ª®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ DZ„Ž ­  ®ª°³¦­®±²¨ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¢ ±¯¥ª²° «¼­®© ²¥®°¨¨ DZ„Ž ­  § ¬ª­³²®© ª°¨¢®© ¨ ¢ ¯°¨¡«¨¦¥­­»µ ¢»·¨±«¥­¨¿µ. ‘¬. ³ª § ­¨¿ ¢ ¬®¥¬ ®¡§®°¥ ¢ ª­¨£¥ \‘®¢°¥¬¥­­»¥ ¯°®¡«¥¬» ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ”³­¤ ¬¥­² «¼­»¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿", ². 63, ‚ˆˆ’ˆ, 1990, ¨ ° ¡®²» Wendland'a ± ±® ¢²®° ¬¨, ¯°¨¬¥°­® 1993 £. …¤¨­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¥±²¼ ¥¹¥ ­  ­¥±ª®«¼ª¨µ ¬­®£®®¡° §¨¿µ. DZ±¥¢¤®¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¬¨ ®¯¥° ²®° ¬¨ ­  ­¨µ ­¥±ª®«¼ª® «¥² ­ § ¤ § ­¨¬ «±¿ Turunen. 3. ˆ­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ”³°¼¥. ˆŽ” { ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° ”³°¼¥ { ¡®«¥¥ ®¡¹¨© ®¡º¥ª², ·¥¬ DZ„Ž. ”®°¬ «¼­® ®­ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ² ª:

Au(x) =

ZZ

ei(x;y;) a(x; y;  )u(y ) dy d:

(9)

¥´®°¬ «¼­® ½²® ®¡®¡¹¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ´®°¬³«®©

hAu; vi =

ZZZ

ei(x;y;) a(x; y;  )u(y ) dx dy d (u; v 2 D):

(10)

‡¤¥±¼ a(x; y;  ) {  ¬¯«¨²³¤ , ®¡»·­® ¨§ ª« ±±  S10;0 . ˆ­®£¤  ­  ½²®¬ ¬¥±²¥ ¯¨¸³² ±¨¬¢®« a(x;  ). ”³­ª¶¨¿ (x; y;  ), ­ §»¢ ¥¬ ¿ ´ §®¢®© ´³­ª¶¨¥©, ®¡»·­® ¢¥¹¥±²¢¥­­ , ¨­®£¤  ®­  ¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ (x;  ). Ž¡»·­® ®­  ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­  ±²¥¯¥­¨ 1 ¯®  ¨«¨, ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥, ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª« ±±³ S11;0 .

78

DZ°¥¤¯®« £ ¥²±¿ ² ª¦¥, ·²® ¯°¨  6= 0 ¥¥ £° ¤¨¥­² (¨«¨ £° ¤¨¥­² ¯® x; y ) ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­³«¼. Ž¡¥ ´³­ª¶¨¨ ¡¥±ª®­¥·­® £« ¤ª¨¥ (¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥, ¯°¨  6= 0). ‚ ±«³· ¥ DZ„Ž  = (x y )
: Œ» §­ ¥¬, ·²® ¥±«¨ A { DZ„Ž ¨ B { ®¡° ²¨¬»© DZ„Ž, ²® B 1 AB { ²®¦¥ DZ„Ž ± ²¥¬ ¦¥ £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬. ƒ°³¡® £®¢®°¿, ¢¥°¥­ ² ª®© ´ ª²: ¥±«¨ A { DZ„Ž ¨ B { ®¡° ²¨¬»© ˆŽ”, ²® B 1 AB { ²®¦¥ DZ„Ž ¨ ¥£® £« ¢­»© ±¨¬¢®« ¬®¦­® ­ ©²¨, ­® ®­ ³¦¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ®²«¨·¥­ ®² £« ¢­®£® ±¨¬¢®«  DZ„Ž A. ²® ®¡±²®¿²¥«¼±²¢® ¬®¦­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¤«¿ ³¯°®¹¥­¨¿ £« ¢­®£® ±¨¬¢®«  DZ„Ž ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨© ¯®¤®¡¨¿, ·²® ¯®«¥§­® ¢ ²¥®°¨¨ ³° ¢­¥­¨© ¢ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¨ ±¯¥ª²° «¼­®© ²¥®°¨¨.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ ¬» ­  ®ª°³¦­®±²¨ ¨¬¥¥¬ ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„Ž A ­¥­³«¥¢®£® ¯®°¿¤ª , ²® ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼ ² ª®© ®¡° ²¨¬»© ˆŽ” B , ·²® ¢±¥ ·«¥­»  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ° §«®¦¥­¨¿ ¯®«­®£® ±¨¬¢®«  DZ„Ž B 1 AB ­¥ ¡³¤³² § ¢¨±¥²¼ ®² x (ƒ. ®§¥­¡«¾¬). ²® ¯®§¢®«¿¥² ¯®«³·¨²¼ ¯®«­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ±®¡±²¢¥­­®£® §­ ·¥­¨¿ n ®¯¥° ²®°  A ­  § ¬ª­³²®© ª°¨¢®© (¥±«¨ A { ®¯¥° ²®° ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª  ¤«¿ ¯°®±²®²» ± ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ §­ ·¥­¨¿¬¨, ²® ®­¨ ­³¬¥°³¾²±¿ ¢ ¯®°¿¤ª¥ ­¥³¡»¢ ­¨¿ ± ³·¥²®¬ ª° ²­®±²¨) ¢  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨© °¿¤ ¯® ³¡»¢ ¾¹¨¬ ¶¥«»¬ ±²¥¯¥­¿¬ ­®¬¥°  n. ˆ­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ”³°¼¥ ¢¢¥« •¥°¬ ­¤¥° (1968, 1971) ­® ¯®²®¬ ¢»¿±­¨«®±¼, ·²® ¢ «¨²¥° ²³°¥ ³¦¥ ±³¹¥±²¢®¢ « ¡«¨§ª¨© ®¡º¥ª² { ª ­®­¨·¥±ª¨© ®¯¥° ²®° ‚.DZ. Œ ±«®¢ . ‘¢®¾ § ¬¥· ²¥«¼­³¾ ²¥®°¥¬³ ® ²®·­®© ®¶¥­ª¥ ®±² ²ª  ¢  ±¨¬¯²®²¨ª¥ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨© ± ¬®±®¯°¿¦¥­­®£® ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®°  •¥°¬ ­¤¥° ¤®ª § « ¨¬¥­­® ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ˆŽ”. …±«¨ A {­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»© ± ¬®±®¯°¿¦¥­­»© ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„O 1-£® ¯®°¿¤ª  (ª ½²®¬³ ±«³· ¾ «¥£ª® ±¢®¤¨²±¿ ±«³· © ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª ), ²® ¢ ¢¨¤¥ ˆŽ” ¬®¦­® ¯°¨¡«¨¦¥­­® ¯®±²°®¨²¼ ®¯¥° ²®° e itA ¯°¨ ¬ «»µ jtj ¨ ¨§³·¨²¼  ±¨¬¯²®²¨ª³ ¥£® ¿¤°  ¨ ±«¥¤  ¯°¨ t ! 0,   ½²® (¢¬¥±²¥ ± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ² ³¡¥°®¢»¬¨ ²¥®°¥¬ ¬¨) ª«¾· ª ­ µ®¦¤¥­¨¾ ²®·­®©  ±¨¬¯²®²¨ª¨ ±®¡±²¢¥­­»µ §­ ·¥­¨©. (Š ±®¦ «¥­¨¾, ¢ ±«³· ¥ ¬ ²°¨·­®£® DZ„Ž ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ½²® ­¥ ¯®«³· ¥²±¿.) Ž¯¥° ²®° e itA ¯®§¢®«¿¥² °¥¸ ²¼ § ¤ ·³ Š®¸¨ ¤«¿ £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª®£® ³° ¢­¥­¨¿ @t u + iAu = 0: @u + iAu = 0; ujt=0 = u0 : (11) @t ˆŽ” ¯®§¢®«¿¾² ¨§³·¨²¼ ®±®¡¥­­®±²¨ ´³­¤ ¬¥­² «¼­®£® °¥¸¥­¨¿ ½²®© § ¤ ·¨ Š®¸¨ ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ¢»¿±­¨²¼, ª ª ° ±¯°®±²° ­¿¾²±¿ ®±®¡¥­­®±²¨ ­ · «¼­®© ´³­ª¶¨¨ ¯°¨ °®±²¥ t. DZ°¨ ½²®¬ ¨­²¥°¥±¥­ ­¥ ²®«¼ª® ±¨­£³«¿°­»© ­®±¨²¥«¼, ­® ¨ ¢®«­®¢®© ´°®­² ®¡®¡¹¥­­®© ´³­ª¶¨¨ { ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢ R nx  R n . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ² ª®¥: ²®·ª  (x0 ; 0) ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¢®«­®¢®¬³ ´°®­²³ W F (u) ®¡®¡¹¥­­®© ´³­ª¶¨¨ u(x), ¥±«¨ ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª® ª x0 ®­  ° ¢­  ² ª®© ®¡®¡¹¥­­®© ´³­ª¶¨¨ v (x) ± ª®¬¯ ª²­»¬ ­®±¨²¥«¥¬, ·²® ¥¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ”³°¼¥ ve( ) ¡»±²°® ³¡»¢ ¥² ¢ ª®­¨·¥±ª®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ 0 . ‹¨²¥° ²³° : ª­¨£¨ •¥°¬ ­¤¥° , ˜³¡¨­  ¨ ž.‚. …£®°®¢  (\“° ¢­¥­¨¿ £« ¢­®£® ²¨¯ ", 1984).

79

4. ‘²°³ª²³°  ¿¤°  ¯®«¨®¤­®°®¤­®£® DZ„Ž. …¥ ¨§³·¨« Seeley (1965). Ž±®¡¥­­® ¨­²¥°¥±¥­ ±«³· © DZ„Ž ­¥¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª , ² ª ª ª ²®£¤  ½²® ¿¤°® ¨­²¥£° «¼­®£® ®¯¥° ²®° . ” ª²¨·¥±ª¨ ¢»¿±­¿¥²±¿, ª ª¨¥ ¨­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ¿¢«¿¾²±¿ ¯±¥¢¤®¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¬¨. ‚ · ±²­®±²¨, ¯°¨ ­³«¥¢®¬ ¯®°¿¤ª¥ ½²® ±¨­£³«¿°­»¥ ¨­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» (¨­²¥£° « ¯®­¨¬ ¥²±¿ ¢ ±¬»±«¥ £« ¢­®£® §­ ·¥­¨¿ ¯® Š®¸¨) ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯°¨¡ ¢«¥­¨¿ ¨­²¥£° «¼­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ± ¡®«¥¥ £« ¤ª¨¬¨ ¿¤° ¬¨. ƒ°³¡® £®¢®°¿, °¥§³«¼² ² ² ª®©:  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ° §«®¦¥­¨¾ «®ª «¼­®£® ¯®«­®£® ±¨¬¢®«  ¯® ®¤­®°®¤­»¬ ±¨¬¢®« ¬ ³¡»¢ ¾¹¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ®²¢¥· ¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¿¤°  ¯® ´³­ª¶¨¿¬ ®² (x; x y ), ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­»¬ ¯® ¢²®°®¬³ ¯¥°¥¬¥­­®¬³ ¢®§° ±² ¾¹¨µ ±²¥¯¥­¥©, ¨­®£¤  ± ¤®¡ ¢®·­»¬¨ «®£ °¨´¬¨·¥±ª¨¬¨ ¬­®¦¨²¥«¿¬¨. DZ®¤°®¡­®±²¨ ±¬. ¢ ¬®¥¬ ®¡§®°¥. DZ±¥¢¤®¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¬¨ ®¯¥° ²®° ¬¨ ®²°¨¶ ²¥«¼­®£® ¯®°¿¤ª  ¿¢«¿¾²±¿, ­ ¯°¨¬¥°, ² ª¨¥ ®¯¥° ²®°»: ¡¥°¥¬ ´³­¤ ¬¥­² «¼­®¥ °¥¸¥­¨¥ E (x) ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ®¯¥° ²®°  ¢ R n ¤«¿ ¯°®±²®²» ± ¯®±²®¿­­»¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®° ­  § ¬ª­³²®© £¨¯¥°¯®¢¥°µ­®±²¨ ± ¿¤°®¬ E (x y). ²® ¨­²¥°¥±­®, ¢ · ±²­®±²¨, ¯® ²®© ¯°¨·¨­¥, ·²® ¤«¿ ² ª¨µ ¨­²¥£° «¼­»µ ®¯¥° ²®°®¢ ¨¬¥¥² ±¬»±« ¯®­¿²¨¥ ½««¨¯²¨·­®±²¨ ¨ ±¯° ¢¥¤«¨¢» ²¥®°¥¬» ½««¨¯²¨·¥±ª®© ²¥®°¨¨. DZ°¨¬¥°» ¡³¤³² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯³­ª²¥. 5. ƒ° ­¨·­»¥ § ¤ ·¨ ¤«¿ ³° ¢­¥­¨© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¨ ¨­²¥£° «¼­»¥ ®¯¥° ²®°» ²¨¯  ¯®²¥­¶¨ « . ‚ ­ ¸¥¬ ª³°±¥ ­¥ ¡»«® ¢°¥¬¥­¨ ¤«¿

° ±±¬®²°¥­¨¿ ®¡¹¨µ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ £° ­¨·­»µ § ¤ ·. ® ¬» ±¥©· ± ¬®¦¥¬ ª° ²ª® ° ±±¬®²°¥²¼ § ¤ ·¨, ª®²®°»¥ ¬®¦­® ®¡º¿±­¨²¼ ­  ®±­®¢¥ ®¡¿§ ²¥«¼­®£® ª³°±  ¯® ³° ¢­¥­¨¿¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ´¨§¨ª¨.  ±±¬®²°¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, ®¤­®°®¤­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ƒ¥«¼¬£®«¼¶ 
u(x) + k2 u(x) = 0

(12)

¢ ®£° ­¨·¥­­®© ²°¥µ¬¥°­®© ®¡« ±²¨ G = G+ c £« ¤ª®© £° ­¨¶¥© S . DZ°®±²¥©¸¨¥ £° ­¨·­»¥ ³±«®¢¨¿ ­  S ±² ¢¿²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ (¯«¾±¨ª®¬ ­ ¢¥°µ³ ®¡®§­ · ¥¬ £° ­¨·­»¥ §­ ·¥­¨¿). ²® ³±«®¢¨¥ „¨°¨µ«¥

u+ = f

(13)

¨«¨ ³±«®¢¨¥ ¥©¬ ­ 

@ u+ = g; (14) £¤¥ @ { ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¢¤®«¼ ¢­¥¸­¥© (¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨) ­®°¬ «¨. ²¨ § ¤ ·¨ ¬®¦­® °¥¸ ²¼ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¯®²¥­¶¨ «®¢ ¯°®±²®£® ¨ ¤¢®©­®£® ±«®¿. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ E (x) ´³­¤ ¬¥­² «¼­®¥ °¥¸¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ƒ¥«¼¬£®«¼¶  i E (x) = 41 e jkxjjxj :

(15)

DZ®²¥­¶¨ « ¯°®±²®£® ±«®¿ ± ¯«®²­®±²¼¾ ' ¨¬¥¥² ¢¨¤

u(x) = A'(x) =

Z

S

E (x y)'(y) dSy :

(16)

80

…£® ±³¦¥­¨¥ ­  S { ¨­²¥£° «¼­»© ®¯¥° ²®°

A'(x) =

Z

S

E (x y)'(y) dSy (x 2 S ):

(17)

Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ½²® ½««¨¯²¨·¥±ª¨© DZ„Ž ¯®°¿¤ª  1 c ®²°¨¶ ²¥«¼­»¬ £« ¢­»¬ ±¨¬¢®«®¬. ¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ „¨°¨µ«¥ ¬®¦­® ¨±ª ²¼ (­ ¯°¨¬¥°) ¢ ¢¨¤¥ (16), ²®£¤  ¤«¿ ' ¯®«³· ¥²±¿ ½««¨¯²¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ A' = f ­  S . ²® ¨­²¥£° «¼­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ”°¥¤£®«¼¬  1-£® °®¤ , ­® \®·¥­¼ µ®°®¸¥¥". ¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ ¥©¬ ­  ²®¦¥ ¬®¦­® ¨±ª ²¼ ¢ ¢¨¤¥ (16), ²®£¤  ¤«¿ ' ¯®«³· ¥²±¿ ³° ¢­¥­¨¥   1 0 I + B ' = g (x 2 S ); (18) 2 £¤¥ B 0 { ®¯¥° ²®°, ±®¯°¿¦¥­­»© ª ¯°¿¬®¬³ §­ ·¥­¨¾ ®¯¥° ²®°  ¤¢®©­®£® ±«®¿:

B 0 '(x) =

Z

S

@x E (x y )'(y ) dSy :

(19)

DZ®±«¥¤­¨© ¢ ±«³· ¥ £« ¤ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ { DZ„Ž ¯®°¿¤ª  ­¥ ¢»¸¥ 1, ² ª ·²® ±«¥¢  ¢ (18) { ½««¨¯¨·¥±ª¨© DZ„Ž ¯®°¿¤ª  0. …±²¼ ¥¹¥ ²°¥²¼¥ £° ­¨·­®¥ ³±«®¢¨¥,  ­ «®£¨·­»¥ ¢­¥¸­¨¥ § ¤ ·¨, § ¤ ·¨ ±®¯°¿¦¥­¨¿ ¨ ±¯¥ª²° «¼­»¥ § ¤ ·¨ ±® ±¯¥ª²° «¼­»¬ ¯ ° ¬¥²°®¬ ¢ £° ­¨·­®¬ ³±«®¢¨¨. ‚±¥ ½²¨ § ¤ ·¨ ³¤®¡­® ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ DZ„Ž. ‘¬. ¬®¾ ±² ²¼¾ ¢ “Œ 2002, ¢»¯.5, ¨ ±±»«ª¨ ¢ ­¥©.