Задачи с методическими указаниями по теории вероятности. Часть 2

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Â. Ì. Êóçíåöîâ Çàäà÷è ñ ìåòîäè÷åñêèìè óêàçàíèÿìè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñòóäåíòîâ ÎÇÎ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ ×àñòü 2

Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2004

Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ. Ïðîòîêîë  8 îò 21.03.2003. Îòâåòñòâåííûé çà âûïóñê  äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Â. Ï. Êîíäàêîâ.

Âòîðàÿ ÷àñòü ïîñîáèÿ ñîäåðæèò çàäà÷è ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êàê è â ïåðâîé ÷àñòè ïîñîáèÿ èìååòñÿ ìíîãî ðåøåííûõ çàäà÷ ñ ïîäðîáíûì îñâåùåíèåì õîäà ðåøåíèÿ è ìåòîäè÷åñêèìè óêàçàíèÿìè ïî ïîñòðîåíèþ ñõåì ðåøåíèé çàäà÷. Ïî ýòèì ñõåìàì ñòóäåíòû ìîãóò íàó÷èòüñÿ ðåøàòü çàäà÷è ñàìîñòîÿòåëüíî.

3

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ÿ 7. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ âåðîÿòíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Ÿ 8. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ÿ 9. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ÿ 10. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ÿ 11. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4

Ââåäåíèå Âòîðàÿ ÷àñòü ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ïåðâîé. Ïîýòîìó íîìåðà ïàðàãðàôîâ è çàäà÷ ñëåäóþò çà òåìè, êîòîðûå èìåþòñÿ â ïåðâîé ÷àñòè, ò. å. ïðèìåíÿåòñÿ ñêâîçíàÿ íóìåðàöèÿ. Âî âòîðîé ÷àñòè ïîñîáèÿ ïðèâåäåíû òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ è çàäà÷è ñ ìåòîäè÷åñêèìè óêàçàíèÿìè ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äëÿ ïîñëåäíåé êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì. Ðàññìàòðèâàåòñÿ íàèáîëåå îáùåå àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Ðàññìîòðåíèå îñíîâíûõ ïîíÿòèé òåîðèè âî âòîðîé ÷àñòè ïîñîáèÿ íà ñîâðåìåííîì ìàòåìàòè÷åñêîì óðîâíå ñîçäàëî áû áîëüøå òðóäíîñòè äëÿ ñòóäåíòîâ ïðè îñâîåíèè ìàòåðèàëà. Ïîýòîìó ïðåäïî÷òåíèå îòäàåòñÿ íåôîðìàëüíîìó èçëîæåíèþ.

Ÿ 7. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ âåðîÿòíîñòè Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè â îáùåì ñëó÷àå. Âîçìîæíû ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè. Íàèáîëåå îáùèé ïîäõîä ê ïîíÿòèþ âåðîÿòíîñòè ïðèâîäèò ê àêñèîìàòè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ââåñòè àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íóæíî óòî÷íèòü è ïîäâåðãíóòü îáîáùåíèþ ïîíÿòèå ñîáûòèÿ. Åñëè ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé U íå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì, òî â îáùåì ñëó÷àå íåò âîçìîæíîñòè îòîæäåñòâëÿòü êàæäîå ïîäìíîæåñòâî U ñ ñîáûòèåì. Ýòî ïðèâîäèò ê ìàòåìàòè÷åñêèì òðóäíîñòÿì.  òàêîì ñëó÷àå ñîáûòèÿìè íàçûâàþò íåêîòîðûå ïîäìíîæåñòâà U , îáðàçóþùèå ñèñòåìó, íàçûâàåìóþ σ -àëãåáðîé. Ê ýòîé ñèñòåìå äîëæíû ïðèíàäëåæàòü U è V . Âìåñòå ñ A ñîáûòèåì äîëæíî áûòü A¯. Âìåñòå ñ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñîáûòèé A1 A2 . . . An . . . ñîáûòèÿìè äîëæíû áûòü

∞ S

n=1

An è

∞ T

n=1

An .

Ìîæíî òåïåðü ââåñòè íàèáîëåå îáùåå, àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.  îáùåì ñëó÷àå ïîä âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ ïîíèìàåò-

5

ñÿ ëþáîå ÷èñëî p(A), óäîâëåòâîðÿþùåå òðåì àêñèîìàì: 1) p(A) > 0, 2) p(U ) = 1, 3) Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A1 A2 . . . An . . . p

³P ∞

n=1

´

An

=

∞ P

n=1

p(An ). Îïðåäåëåííàÿ òàêèì îá-

ðàçîì âåðîÿòíîñòü îáëàäàåò âñåìè îáû÷íûìè ñâîéñòâàìè âåðîÿòíîñòè, âûòåêàþùèìè èç êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ.

Ÿ 8. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Âåëè÷èíîé îáû÷íî íàçûâàþò ÷èñëîâóþ ïåðåìåííóþ, çíà÷åíèÿ êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòàìè íåêîòîðûõ èçìåðåíèé. Ïîä èçìåðåíèåì ïîíèìàþò ëþáóþ ïðîöåäóðó ïðèñâîåíèÿ ÷èñåë îáúåêòàì. Èçìåðåíèå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê èñïûòàíèå. Ïîÿâëåíèå íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ (èñïûòàíèÿ) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñëó÷àéíîå ñîáûòèå. Âåëè÷èíà â òàêîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé. Åñëè èìååòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óêàçàííûå ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èìååòñÿ íåêîòîðîå îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ïîëíîé ñèñòåìû. Åñëè îöåíèâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíî åå ðàñïðåäåëåíèå èëè çàêîí åå ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàêîí çàäàåòñÿ ðÿäîì èëè ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè èìååòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî, n, ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî ðÿäîì åå

ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàåòñÿ òàáëèöà

ãäå pi = P (ξ = ξi ), äåëåííîãî çíà÷åíèÿ

ξi

ξ1

ξ2

...

ξn

pi

p1

p2

...

pn

,

n P

pi = 1, ò. å. ïðèíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé i=1 ξi ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñëó÷àéíîå ñîáûòèå è pi

îïðå âå-

ðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, òî ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä

6

ãäå

∞ P n=1

ξi

ξ1

ξ2

...

ξn

...

pi

p1

p2

...

pn

...

,

pn = 1.

Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ âå-

ðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ < x

F (x) = P (ξ < x). Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé êîíå÷íî èëè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà çàäàåòñÿ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðèìåðîì äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò ñëóæèòü k  ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé. Ðàñïðåäåëåíèå ïîñëåäíåé íàçûâàåòñÿ

áèíîìèàëüíûì. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) íåïðåðûâíà è èìååò ïðîèçâîäíóþ ïåðâîãî ïîðÿäêà

F 0 (x) = f (x), íàçûâàåìóþ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè. Ïðèìåðîì íåïðåðûâíîãî ìîæåò ñëóæèòü ðàññìàòðèâàåìîå äàëåå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Â [1] F (x) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé, à f (x)  äèôôåðåíöèàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ÿ 9. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Îñíîâíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ.

Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M (ξ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , çàäàííîé ðÿäîì

èëè

ξi

ξ1

ξ2

...

ξn

pi

p1

p2

...

pn

7

ξi

ξ1

ξ2

...

ξn

...

pi

p1

p2

...

pn

...

íàçûâàåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé çíà÷åíèé âåëè÷èíû ξi íà ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè pi , ò. å.

M (ξ) =

n X

ξi pi èëè M (ξ) =

Ðÿä

n=1

ξn pn .

n=1

i=1 ∞ P

∞ X

ξn pn äîëæåí áûòü àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ. Â ïðîòèâíîì ñëó-

÷àå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò. Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

1) M (c) = c, ãäå c  êîíñòàíòà, 2) M (cξ) = cM (ξ), 3) M (ξ + η) = M (ξ) + M (η).

³P ´ P n n Ñëåäñòâèå. M ξi = M (ξi ). i=1

i=1

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç íèõ íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàåò äðóãàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 ξ2 . . . ξn íàçûâàþòñÿ âçàèìíî íåçàâèñèìûìè, åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç íèõ íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàþò îñòàëüíûå âåëè÷èíû. Ðàçíîñòü M (ξ · η) − M (ξ) · M (η) íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

ξ è η . Îáîçíà÷àåòñÿ êîâàðèàöèÿ ÷åðåç cov(ξ, η), ò. å. cov(ξ, η) = M (ξ · η) − M (ξ) · M (η).  [1] êîâàðèàöèÿ íàçûâàåòñÿ êîððåëÿöèîííûì ìîìåíòîì. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû, òî cov(ξ, η) = 0. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 ξ2 . . . ξn  âçàèìíî íåçàâèñèìû, òî âñå èõ ïàðíûå êîâàðèàöèè cov(ξi , ξj ) îáðàùàþòñÿ â íóëü, ò. å. cov(ξi , ξj ) = 0 ïðè i 6= j , (i, j = 1, 2, . . . , n).

8

Äèñïåðñèåé D(ξ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ò. å. ïî îïðåäåëåíèþ

D(ξ) = M {[ξ − M (ξ)]2 }. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè ëó÷øå, îäíàêî, ïîëüçîâàòüñÿ äðóãîé ôîðìóëîé

D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ), ãäå M (ξ 2 )  ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , à

M 2 (ξ)  êâàäðàò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M (ξ), ò. å. M 2 (ξ) = [M (ξ)]2 . Ñâîéñòâà äèñïåðñèè

1) D(c) = 0, c  êîíñòàíòà, 2) D(cξ) = c2 D(ξ) 3) D(ξ + η) = D(ξ) + D(η) + 2 cov(ξ, η). Ñëåäñòâèå 1. Åñëè

ξ è η  íåçàâèñèìû, òî D(ξ + η) = D(ξ) + D(η).

Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 ξ2 . . . ξn  âçàèìíî íåçàâèñè-

ìû, òî

n n ³X ´ X ξi = D(ξi ). D i=1

Â

÷àñòíîñòè,

äëÿ

i=1

áèíîìèàëüíîãî

ðàñïðåäåëåíèÿ

M (k) = np,

D(k) = npq . Êîðåíü êâàäðàòíûé èç äèñïåðñèè íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷å-

ñêèì îòêëîíåíèåì. Ïîñëåäíåå îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç σ ,

σ = σ(ξ) =

p

D(ξ).

Äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ σ =

√

npq .

9

Çàäà÷è 38. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì

ξi

−1

0

2

pi

0,2

p2

0,3

Íàéòè p2 , M (ξ) è D(ξ). Ðåøåíèå. Òàê êàê 0,2 + p2 + 0,3 = 1, p2 = 0,5

M (ξ) = −1 · 0,2 + 0 · 0,5 + 2 · 0,3 = 0,4, M 2 (ξ) = 0,42 = 0,16. Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ξ 2 â îáùåì ñëó÷àå èìååò âèä

ξi2

ξ12

ξ22

...

ξn2

pi

p1

p2

...

pn

 íàøåì ñëó÷àå

ξi2

(−1)2

0

22

pi

0,2

0,5

0,3

ò. å.

ξi2

1

0

4

pi

0,2

0,5

0,3

M (ξ 2 ) = 1 · 0,2 + 0 · 0,5 + 4 · 0,3 = 1,4, D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) = 1,4 − 0,16 = 1,24. 39. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì

ξi

−1

0

ξ3

pi

0,3

0,4

p3

10

M (ξ) = 0. Íàéòè ξ3 , p3 , D(ξ). Ðåøåíèå. Òàê êàê 0,3 + 0,4 + p3 = 1, p3 = 0,3

M (ξ) = −1 · 0,3 + 0 · 0,4 + ξ3 p3 = −1 · 0,3 + 0,3 · ξ3 = 0, îòêóäà ξ3 = 1. Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ξ 2 èìååò âèä

ξi2

1

0

1

pi

0,3

0,4

0,3

èëè

ξi2

0

1

pi

0,4

0,6

.

Îòêóäà

M (ξ 2 ) = 0 · 0,4 + 1 · 0,6 = 0,6. Òàê êàê M (ξ) = 0, òî M 2 (ξ) = 0. Ïîýòîìó

D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) = 0,6 − 0 = 0,6. 40. ζ = 3ξ + 2η ,

M (ξ) = 2, M (η) = 3. Íàéòè M (ζ).

Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

M (ζ) = M (3ξ + 2η) = M (3ξ) + M (2η) = 3M (ξ) + 2M (η) = 3 · 2 + 2 · 3 = 12. 41. ζ = 3ξ + 2η + 1,

M (ξ) = 3, M (η) = 5. Íàéòè M (ζ).

Ðåøåíèå. Ïî ñâîéñòâàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

M (ζ) = M (3ξ + 2η + 1) = M (3ξ) + M (2η) + M (1) = = 3M (ξ) + 2M (η) + 1 = 3 · 3 + 2 · 5 + 1 = 20. 42. ζ = 3ξ − 2η ,

M (ξ) = 3, M (η) = 5. Íàéòè M (ζ).

Ðåøåíèå.

M (ζ) = M (3ξ − 2η) = 3M (ξ) − 2M (η) = 3 · 3 − 2 · 5 = −1.

11

43. ζ = 3ξ + 2η ,

D(ξ) = 2, D(η) = 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è

h  íåçàâèñèìû. Íàéòè D(ζ). Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî ñâîéñòâàì äèñïåðñèè

D(ζ) = D(3ξ + 2η) = D(3ξ) + D(2η) = = 32 D(ξ) + 22 D(η) = 9 · 2 + 4 · 3 = 30. 44. ζ = 3ξ + 2η + 1,

D(ξ) = 2, D(η) = 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ

è h  íåçàâèñèìû. Íàéòè D(ζ). Ðåøåíèå.

D(ζ) = D(3ξ + 2η + 1) = D(3ξ) + D(2η) + D(1) = = 32 D(ξ) + 22 D(η) + 0 = 9 · 2 + 4 · 3 = 30. 45. ζ = 3ξ − 2η ,

D(ξ) = 2, D(η) = 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è

h  íåçàâèñèìû. Íàéòè D(ζ). Ðåøåíèå.

D(ζ) = D(3ξ − 2η) = D[3ξ + (−2)η] = D(3ξ) + D(−2η) = = 32 D(ξ) + (−2)2 D(η) = 9 · 2 + 4 · 3 = 30. 46. ζ = 3ξ + 2η ,

D(ξ) = 2, D(η) = 3, M (ξ) = 2, M (η) = 1,

M (ξ · η) = 3. Íàéòè D(ζ). Ðåøåíèå.

cov(3ξ · 2η) = M (3ξ · 2η) − M (3ξ) · M (2η) = = 6M (ξ · η) − 6M (ξ) · M (η) = 6 · 3 − 6 · 2 · 1 = 6, D(ζ) = D(3ξ + 2η) = D(3ξ) + D(2η) + 2 cov(3ξ · 2η) = = 9D(ξ) + 4D(η) + 2 · 6 = 9 · 2 + 4 · 3 + 2 · 6 = 42. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 47. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì

12

ξi

−2

0

1

pi

0,2

0,4

p3

Íàéòè p3 , M (ξ) è D(ξ). Îòâåò: p3 = 0,4;

M (ξ) = 0; D(ξ) = 1,2.

48. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì

ξi

−2

0

ξ3

pi

0,2

0,2

p3

M (ξ) = 0,2. Íàéòè ξ3 , p3 , D(ξ). Îòâåò: ξ3 = 1;

p3 = 0,6; D(ξ) = 1,36.

49. ζ = 3ξ − 2η + 1,

M (ξ) = 2, M (η) = 3. Íàéòè M (ζ).

Îòâåò: M (ζ) = 1. 50. ζ = 3ξ − 2η + 1,

D(ξ) = 2, D(η) = 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ

è η  íåçàâèñèìû. Íàéòè D(ζ). Îòâåò: D(ζ) = 30. 51. ζ = ξ − 2η + 1,

D(ξ) = 2, D(η) = 3, M (ξ) = 0, M (η) = 1,

M (ξ · η) = 2. Íàéòè D(ζ). Îòâåò: D(ζ) = 6. 52. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå M (k) è äèñïåðñèþ D(k) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû k , ðàñïðåäåëåííîé ïî áèíîìèàëüíîìó çàêîíó, åñëè n = 5;

p = 0,2. Îòâåò: M (k) = 1;

D(k) = 0,8.

Ÿ 10. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè f (x) ôîðìóëîé

Zx F (x) =

f (t) dt. −∞

13

Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â çàäàííûé èíòåðâàë (α, β) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

Zβ P (α < ξ < β) = F (β) − F (α) =

f (x) dx, α

ãäå F (x)  ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, f (x)  ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. Òàêîé æå áóäåò âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íà îòðåçîê [α, β] è íà ëþáîé èç ïîëóîòðåçêîâ (α, β] è [α, β)

F (−∞) = 0,

F (+∞) = 1

(ò. å. lim F (x) = 0, lim F (x) = 1). x→−∞

x→+∞

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå M (ξ) è äèñïåðñèÿ D(ξ) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè

Z∞ M (ξ) =

Z∞ xf (x) dx,

−∞

[x − M (ξ)]2 f (x) dx,

D(ξ) = −∞

ãäå f (x)  ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. D(ξ) ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå

D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ), Z∞ ãäå M (ξ 2 ) =

x2 f (x) dx. −∞

Çàäà÷è 53. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

  0, x 6 −1,    1 1 F (x) = x + , −1 < x 6 2,  3 3    1, x > 2.

Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ îíà ïðèìåò çíà÷åíèå à) ìåíüøåå −2,

14

á) ìåíüøåå 1, â) ìåíüøåå 1 è áîëüøåå 0, ã) íå ìåíüøåå 1, ä) íå ìåíüøåå 3. Ðåøåíèå. à)

P (−∞ < ξ < −2) = F (−2) − F (−∞) = 0 − 0 = 0. µ ¶ 2 1 1 ¯¯ P (−∞ < ξ < 1) = F (1) − F (−∞) = x+ ¯ −0 = . 3 3 x=1 3 ¶ µ ¶ µ 1 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ x+ x+ P (0 < ξ < 1) = F (1) − F (0) = ¯ − ¯ = 3 3 x=1 3 3 x=0 2 1 1 = − = . 3 3 3

á) â)

2 1 = . 3 3

ã)

P (ξ > 1) = P (1 6 ξ < ∞) = F (∞) − F (1) = 1 −

ä)

P (ξ > 3) = P (3 6 ξ < ∞) = F (∞) − F (3) = 1 − 1 = 0. 54. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ïëîòíîñòüþ

  0, x60    1 f (x) = sin x, 0 < x 6 π  2    0, x > π.

Íàéòè à) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), á) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â èíòåðâàëå (0, π/3).

Zx à) F (x) =

f (t) dt. −∞

Ïðè x 6 0

Zx F (x) = −∞

¯x 0 dt = C ¯−∞ = C − C = 0.

15

Ïðè 0 < x 6 π

Zx F (x) =

Z0 f (t) dt =

−∞

Zx 0 dt +

−∞ ¯x ¯

0

1 sin t dt = 2

¯0 1 1 1 1 ¯ = 0 + (− cos t)¯ = cos t¯ = (cos 0 − cos x) = (1 − cos x). 0 x 2 2 2 2 Ïðè x > π

Zx

Z0 f (t) dt =

F (x) = −∞

0 dt + −∞

1 = 0+ 2

Zπ 0

Zπ 0

1 sin t dt + 2

Zx 0 dt = π

¯π 1 ¯ sin t dt + 0 = (− cos t)¯ = 0 2

¯0 1 1 1 ¯ = cos t¯ = (cos 0 − cos π) = · 2 = 1. π 2 2 2 Ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü â îêîí÷àòåëüíîì âèäå

  0, x 6 0,    1 F (x) = (1 − cos x), 0 < x 6 π,  2    1, x > π.

³ á) P 0 < ξ <

π´ 3

Zπ/3

¯π/3 1 1 ¯ = sin t dt = (− cos t)¯ = 0 2 2 0 µ ¶ ¯0 1³ π´ 1 1 1 1 ¯ cos 0 − cos = 1− = . = cos t¯ = π/3 2 2 3 2 2 4

55. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

   x60   0, F (x) = x2 , 0 < x 6 1     1, x > 1.

Íàéòè M (ξ) è D(ξ).

16

Ðåøåíèå.

     0, f (x) =

2x, 0 < x 6 1     0, x > 1.

0 · x dx +

xf (x) dx = −∞

−∞

¯0 = c¯−∞ + 2

Z1

Z∞ x · 2x dx +

0

x · 0 dx = 1

¯∞ x3 ¯¯1 ¯ x dx + c 1 = 0 + 2 ¯ + 0 = 3 0 2

0

2 2 = (13 − 03 ) = , 3 3 Z∞ M (ξ 2 ) =

Z1

Z0

Z∞ M (ξ) =

x60

4 M 2 (ξ) = , 9 Z1

x2 f (x) dx = −∞

Z1

x2 · 2x dx = 0

x4 ¯¯1 x4 ¯¯1 1 x dx = 2 ¯ = ¯ = , 4 0 2 0 2 3

= 2 0

D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) =

1 4 1 − = ≈ 0,06. 2 9 18

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 56. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

    

F (x) =

   

0,

x62

1 x − 1, 2 < x 6 4 2 1, x > 4.

Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ îíà ïðèìåò çíà÷åíèå à) ìåíüøåå 1, á) ìåíüøåå 3,

17

â) ìåíüøåå 3,5 è áîëüøåå 2,5, ã) íå ìåíüøåå 3, ä) íå ìåíüøåå 5. Îòâåò: à) 0,

á) 1/2, â) 1/2, ã) 1/2, ä) 0.

57. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ïëîòíîñòüþ

     

f (x) =

    

π x6− , 2 1 π π cos x, − < x 6 , 2 2 2 π 0, x> . 2 0,

Íàéòè à) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), á) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå â èíòåðâàëå (0, π/6). Îòâåò:

     

π x6− 2 1 π π (1 + sin x), − < x 6 2 2 2 π 1, x> . 2 0,

à)

F (x) =

á)

P (0 < ξ < π/6) = 1/4 = 0,25.

    

58. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

     0,

F (x) =

x60

1 2 3 2 (x + x ), 0 < x 6 1     1, x > 1.

Íàéòè M (ξ) è D(ξ). Îòâåò:

M (ξ) = 17/24 ≈ 0,71, D(ξ) ≈ 0,05.

18

Ÿ 11. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäå-

ëåííîé, åñëè åå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè f (x) èìååò âèä 2

(x−a) 1 − f (x) = √ e 2σ2 , σ 2π

M (ξ) = a,

D(ξ) = σ 2 .

Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â çàäàííûé èíòåðâàë (α, β) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

µ

¶ µ ¶ β−a α−a P (α < ξ < β) = Φ −Φ . σ σ Âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè-

÷èíû ξ îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a íå áîëåå ÷åì íà δ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

µ ¶ δ P (|ξ − a| < δ) = 2Φ . σ

 ÷àñòíîñòè

P (|ξ − a| < 3σ) = 2Φ(3) ≈ 0,9973. Ò. î. ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ îòêëîíÿåòñÿ îò ñâîåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìåíåå ÷åì íà 3σ , ñ÷èòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíûì, ò. ê. åãî âåðîÿòíîñòü áëèçêà ê 1. Ïîñëåäíèé ôàêò íàçûâàþò ¾ïðàâèëîì 3σ ¿. Çàäà÷è 59. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî 6, äèñïåðñèÿ ðàâíà 9. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â èíòåðâàëå

(3, 12). a = 6, σ 2 = 9, ñëåäîâàòåëüíî, σ = 3. µ ¶ µ ¶ 12 − 6 3−6 P (3 < ξ < 12) = Φ −Φ = Φ(2) − Φ(−1) = 3 3

Ðåøåíèå.

= Φ(2) + Φ(1) ≈ 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

19

60. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Åå äèñïåðñèÿ ðàâíà 4. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèò 3. Ðåøåíèå. ×èñëåííîå çíà÷åíèå a íå çàäàíî. Îäíàêî, îíî è íå òðåáóåòñÿ

σ 2 = 4, σ = 2. µ ¶ 3 P (|ξ − a| < 3) = 2Φ = 2Φ(1,5) ≈ 2 · 0,4332 = 0,8664. 2

äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è.

61. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî, a = 6, σ = 3. Íàéòè èíòåðâàë (α, β), â êîòîðûé ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9973 ïîïàäàåò ξ â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ, åñëè a ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé ýòîãî èíòåðâàëà. Ðåøåíèå.

P (α < ξ < β) = 0,9973. Ïî ¾ïðàâèëó 3σ ¿

P (|ξ − a| < 3σ) = 0,9973 èëè

P (a − 3σ < ξ < a + 3σ) ≈ 0,9973. Îòêóäà

α = a − 3σ = 6 − 3 · 3 = −3, β = a + 3σ = 6 + 3 · 3 = 15. Ò. î. èñêîìûé èíòåðâàë  (−3, 15). Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 62. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî, 10, äèñïåðñèÿ ðàâíà 16. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â èíòåðâàëå

(5, 15). Îòâåò: P (5 < ξ < 15) ≈ 0,7888.

20

63. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Åå äèñïåðñèÿ ðàâíà 25. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå ξ îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèò 4. Îòâåò: P (|ξ − a| < 4) ≈ 0,5762. 64. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî, a = 5, σ = 4. Íàéòè èíòåðâàë (α, β), â êîòîðûé ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9973 ïîïàäàåò ξ â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ, åñëè a ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé ýòîãî èíòåðâàëà. Îòâåò: (−7, 17).

Ëèòåðàòóðà Ëèòåðàòóðíûå óêàçàíèÿ äàíû â ïåðâîé ÷àñòè ïîñîáèÿ è â [2].  äîïîëíåíèå ê óæå ïåðå÷èñëåííûì ëèòåðàòóðíûì èñòî÷íèêàì ïðèâåäåì åùå îäíó, ïîçäíåå âûøåäøóþ èç ïå÷àòè êíèãó. [1] Â. Í. Êàëèíèíà, Â. Ô. Ïàíêèí. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1994.