Нормальные поверхности в трехмерных многообразиях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 515.162

Фоминых Евгений Анатольевич

НОРМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ 01.01.04 — геометрия и топология

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Научный руководитель член-корреспондент РАН доктор физ.–мат. наук профессор С.В. Матвеев

Челябинск 2003

Оглавление Введение

2

1 Полное описание нормальных поверхностей 1.1 Чистые поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Уравновешенные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Связные нормальные поверхности . . . . . . . . . . 1.2.2 Фундаментальные поверхности . . . . . . . . . . . 1.3 Кодирование нормальных поверхностей линейными комбинациями простых полиэдров . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Частичный моноид допустимых комбинаций . . . . 1.3.2 Каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей . . . . . . 1.4 Нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Уравновешенность поверхностей . . . . . . . . . . . 1.4.2 Элементарное преобразование допустимых комбинаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Частичный моноид комбинаций сложности 0 . . .

. . . .

15 15 17 18 19

. 21 . 21 . 24 . 26 . 27 . 28 . 33

2 Почти нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами 2.1 2-нормальные и почти нормальные поверхности . . . . . . . 2.2 Классификация почти нормальных поверхностей с октагоном . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Классификация почти нормальных поверхностей с трубкой

36 36 37 47

3 Многообразия с симметричными цепными спайнами 51 3.1 Какие многообразия имеют симметричные цепные спайны? 51 3.2 Какие линзовые пространства содержат бутылку Клейна? . 61 Библиография

64 1

Введение Теория нормальных поверхностей Хакена играет важную роль в топологии трехмерных многообразий. С одной стороны, она лежит в основе таких знаменитых алгоритмов, как алгоритмы распознавания тривиального узла [12], расщепляемости зацепления в трехмерной сфере [8], распознавания многообразия Хакена [10]. С другой стороны, нормальные поверхности допускают удобное числовое описание, что выделяет их среди множества всех поверхностей в многообразиях. Вначале мы дадим основное определение 2-нормальной поверхности, впервые сформулированное в [6]. Напомним, что двумерный полиэдр P называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами. (см. рис. 1). Объединение точек первого типа состоит из нескольких связных двумерных многообразий, которые называются 2-компонентами полиэдра P . Оставшиеся точки образуют особый граф полиэдра P , причем точки третьего типа называются его вершинами. Простой полиэдр называется специальным, если он имеет хотя бы одну вершину и все его 2-компоненты являются клетками. Специальный полиэдр P ⊂ M называется специальным спайном трехмерного многообразия M , если либо ∂M 6= ∅ и многообразие M \ P гомеоморфно ∂M × (0, 1], либо ∂M = ∅ и многообразие M \ P гомеоморфно открытому шару. Хорошо известно, что каждый специальный спайн P многообразия M порождает его разбиение ξP на ручки следующим образом. Нужно заменить каждую вершину полиэдра P на ручку индекса 0 (шар), каждое ребро — на ручку индекса 1 (балку), каждую 2-компоненту — на ручку индекса 2 (плитку). При этом объединение этих ручек должно либо совпадать с многообразием M , либо (если M замкнуто) получаться из него удалением шара (который в данном случае можно рассматривать как ручку индекса 3). Компоненты связности пересечения шаров с балками называются островами, шаров с плитками — мостами. Определение. Пусть k — натуральное число. Замкнутая поверхность F ⊂ M называется k-нормальной по отношению к разбиению ξP , если: 2

Введение

3

Рис. 1: Допустимые окрестности точек простого полиэдра

Рис. 2: Элементарные диски в шаре разбиения ξP : a) треугольный, b) четырехугольный, c) октагон 1) пересечение поверхности F с каждой плиткой D2 ×I либо пусто, либо состоит из нескольких параллельных дисков вида D2 ×{x1 , x2 , . . . , xn }, где x1 < x2 < . . . < xn — набор внутренних точек отрезка I; 2) пересечение поверхности F с каждой балкой I × D2 состоит из полосок вида I × l, где l — дуга в D2 с концами на ∂D2 (диск D2 можно отождествить с островом {0} × D2 ); 3) концы каждой дуги l принадлежат различным компонентам связности пересечения края острова с мостами; 4) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными); 5) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из не более чем k дуг с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост. В диссертации мы будем рассматривать только 2-нормальные поверхности. Край каждого шара разбиения ξP содержит четыре острова и

Введение

4

шесть мостов, причем каждые два острова соединены ровно одним мостом. Элементарный диск в шаре разбиения ξP будем называть треугольным диском, четырехугольным диском или октагоном, если пересечение его края с мостами шара состоит соответственно из трех, четырех или восьми дуг (см. рис. 2). Легко видеть, что любая 2-нормальная поверхность содержит только указанные элементарные диски. Следуя Хакену, 1-нормальные поверхности называются просто нормальными. Отметим, что класс 2-нормальных поверхностей содержит в себе класс нормальных. Нормальные поверхности характеризуются тем, что они содержат только треугольные и четырехугольные диски, тогда как 2-нормальные поверхности могут содержать и октагоны. Основной результат теории нормальных поверхностей Хакена заключается в том, что множество всех нормальных поверхностей обладает алгоритмически конструируемым конечным базисом. Опишем это более подробно. Будем говорить, что два элементарных диска в шаре разбиения ξP относятся к одному типу, если существует инвариантная на островах и мостах изотопия шара, переводящая один диск в другой. Отметим, что для любого шара разбиения ξP существует ровно 7 типов содержащихся в нем элементарных дисков — 3 четырехугольных и 4 треугольных. Обозначим через E1 , E2 , . . . , En элементарные диски, представляющие без повторений все типы во всех шарах разбиения ξP . Нормальная поверхность F может пересекать шары по нескольким параллельным копиям каждого диска Ei . Число этих копий обозначим через xi . Итак, каждой нормальной поверхности F сопоставляется вектор x¯(F ) = (x1 , x2 , . . . , xn ) с целыми неотрицательными координатами. При этом нормальные поверхности F1 , F2 эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга инвариантной на шарах, балках и плитках разбиения ξP изотопией) тогда и только тогда, когда x¯(F1 ) = x¯(F2 ). Разумеется, далеко не каждый вектор x¯ = (x1 , x2 , . . . , xn ) с целыми неотрицательными координатами реализуется нормальной поверхностью. Опишем множество тех векторов, которые реализуются нормальными поверхностями. Рассмотрим балку I × D2 разбиения ξP и в острове {0} × D2 выберем простую дугу {0} × l, соединяющую два моста. Подсчитаем общее количество копий дуги {0} × l в пересечении нормальной поверхности F с рассматриваемым островом. Это число представляется в виде линейной комбинации координат вектора x¯(F ) с коэффициентами 0 и 1. Точно так же найдем число копий дуги {1} × l в пересечении поверхности F с островом {1} × D2 . Ключевой момент: так как пересечение поверхности F с балкой I × D2 состоит из полосок вида I × l, то полученные числа должны быть равны. Таким образом, мы имеем линейное однородное уравнение. Поскольку плитки примыкают к балке I × D2 по 3 прямо-

Введение

5

угольникам, то в острове {0} × D2 можно провести 3 различных дуги, каждой из которых отвечает одно уравнение. Выписав эти уравнения для всех балок разбиения ξP и всех дуг в них, мы приходим к системе S(ξP ) линейных однородных уравнений с целыми коэффициентами. Очевидно, что координаты вектора x¯(F ) составляют решение этой системы. С другой стороны, далеко не каждое целое неотрицательное решение системы S(ξP ) реализуется нормальной поверхностью. Для этого необходимо, чтобы для любых положительных координат xi , xj диски Ei , Ej были совместными, т.е. чтобы отвечающие им типы имели непересекающихся представителей. Такие вектора будем называть допустимыми. Итак, вектор x¯ = (x1 , x2 , . . . , xn ) с целыми неотрицательными координатами реализуется нормальной поверхностью тогда и только тогда, когда его координаты составляют допустимое решение системы S(ξP ). Поэтому множество N всех поверхностей в компактном трехмерном многообразии, нормальных по отношению к заданному разбиению многообразия на ручки, относительно операции сложения образует частичный коммутативный моноид (здесь под моноидом мы понимаем аддитивную полугруппу с нулевым элементом). Целое неотрицательное решение системы S(ξP ) называется фундаментальным, если его нельзя представить в виде суммы двух нетривиальных целых неотрицательных решений. Поверхности F1 , . . . , Fk в M , отвечающие допустимым фундаментальным решениям системы S(ξP ), называются фундаментальными. Они составляют минимальный набор образующих моноида N. Таким образом, моноид N нормальных поверхностей состоит из линейных комPk бинаций i=1 αi Fi фундаментальных поверхностей с целыми неотрицательными коэффициентами. Здесь стоит отметить два существенных упрощения метода Хакена [4], [20] за счет более простого вида уравнений и резкого уменьшения числа неизвестных системы. Однако, не смотря на важность, структура моноида нормальных поверхностей оставалась практически не исследованной. В явном виде фундаментальные поверхности найдены только в нескольких самых простых случаях. Кроме того, совершенно не изучена операция сложения. Поскольку каждая нормальная поверхность допускает несколько различных разложений в сумму фундаментальных поверхностей, важное значение приобретают как описание канонического разложения, так и алгоритм его нахождения. Существенное развитие теории нормальных поверхностей произошло при построении алгоритма распознавания сферы S 3 . В 1992 году Х. Рубинштайн анонсировал существование такого алгоритма, а в 1994 году А. Томпсон [19] (см. также [6]) полностью реализовала его идеи. Как оказалось, метод Хакена не работает в этом случае. В основе алгоритма

Введение

6

лежит понятие почти нормальной поверхности. Определение. Замкнутая поверхность F ⊂ M называется почти нормальной поверхностью с октагоном по отношению к разбиению ξP , если она является 2-нормальной и содержит ровно один октагон. Определение. Замкнутая поверхность F ⊂ M называется почти нормальной поверхностью с трубкой по отношению к разбиению ξP , если она получается из некоторой нормальной поверхности заменой двух дисков в плитке на незаузленную трубку (кольцо) с тем же краем. Эти поверхности, по-видимому, сыграют важную роль для (пока не построенного) алгоритма вычисления рода Хегора (см. [18]). Отметим, что неисследованные вопросы теории нормальных поверхностей остаются открытыми и в теории почти нормальных поверхностей.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава 1 посвящена описанию всех нормальных поверхностей в трехмерных многообразиях, заданных симметричными цепными спайнами. В параграфе 1.1 определяется разбиение ξP трехмерного многообразия M на ручки, индуцированные его специальным спайном P . В параграфе 1.2 дается полное описание всех связных нормальных поверхностей, а также всех фундаментальных поверхностей, в многообразиях, содержащих только так называемые уравновешенные поверхности (см. ниже). Пусть F — нормальная поверхность в M , E — балка разбиения ξP . Обозначим через yi (E), 1 6 i 6 3, число дисков в пересечении этой поверхности с тремя плитками, примыкающими к балке E. Будем говорить, что нормальная поверхность F уравновешена на балке E, если среди чисел y1 , y2 , y3 нет строго максимального. Другими словами, для некоторой перестановки π чисел 1, 2, 3 должно выполняться соотношение yπ(1) = yπ(2) > yπ(3) . Определение. Нормальная поверхность F ⊂ M называется уравновешенной, если она уравновешена на каждой балке разбиения ξP . Приведем два важных примера уравновешенных поверхностей: связная подповерхность спайна (тип I) и край регулярной окрестности отличного от двусторонней поверхности связного простого подполиэдра спайна (тип II). Следующая теорема дает полное описание связных нормальных поверхностей в многообразиях, содержащих только уравновешенные поверхности.

Введение

7

Теорема 1.1. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то непустая нормальная поверхность F ⊂ M связна тогда и только тогда, когда она имеет тип I или тип II. Пусть C(P ) = {P1 , . . . , Pk } – множество всех непустых связных простых подполиэдров специального спайна P трехмерного многообразия M . Обозначим через N(P ) множество всех поверхностей в M , нормальных по отношению к разбиению ξP . Построим отображение Ψ : C(P ) → N(P ) следующим образом. Если S ∈ C(P ) — подповерхность спайна P , то S — нормальная поверхность типа I, и мы полагаем Ψ(S) = S. Если же S ∈ C(P ) — простой подполиэдр с непустым множеством особых точек, то в качестве Ψ(S) мы берем край его малой регулярной окрестности, т.е. нормальную поверхность типа II. Следующая теорема содержит полное описание множества всех фундаментальных поверхностей — порождающих частичного моноида N(P ). Теорема 1.2. Пусть P – специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP – отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение Ψ определяет биекцию множества C(P ) на множество всех фундаментальных поверхностей многообразия M . В параграфе 1.3 определяется каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей для многообразий, содержащих только уравновешенные поверхности. Формальная линейная комбинация x1 P1 + . . . + xk Pk , где все xi — целые неотрицательные числа, называется допустимой, если для любых xi 6= 0, xj 6= 0 полиэдр Pi ∩ Pj является простым. Обозначим через L(P ) множество всех допустимых комбинаций. Так как сумма допустимых комбинаций не обязана быть допустимой, то множество L(P ) является частичным коммутативным моноидом относительно естественной операции сложения линейных комбинаций. При этом C(P ) — минимальная система порождающих этого частичного моноида. Оказывается (предложение 1.1), что если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение Ψ : C(P ) → N(P ) продолжается по линейности до сюръективного гомоморфизма Ψ : L(P ) → N(P ) частичных моноидов. Другими словами, каждая допустимая комбинация L = x1 P1 + . . . + xk Pk задает разложение Ψ(L) = x1 Ψ(P1 ) + . . . + xk Ψ(Pk ) нормальной поверхности Ψ(L) в сумму фундаментальных поверхностей Ψ(P1 ), . . . , Ψ(Pk ). Более того, допустимые комбинации параметризуют все возможные разложения нормальных поверхностей в сумму фундаментальных.

Введение

8

Рис. 3: Незамкнутая и замкнутая цепочки Теперь определим каноническое разложение нормальной поверхности. Для этого введем понятие сложности допустимой комбинации. Сложностью комбинации L = x1 P1 + . . . + xk Pk ∈ L(P ) будем называть число c(L) =

Xk−1 Xk i=1

j=i+1

xi xj δ(Pi , Pj ),

где δ(Pi , Pj ) = 0, если Pi ⊆ Pj , или Pj ⊆ Pi , или Pi ∩Pj = ∅, и δ(Pi , Pj ) = 1 в остальных случаях. Обозначим через L0 (P ) ⊂ L(P ) множество всех допустимых комбинаций сложности 0, а через Ψ0 — сужение отображения Ψ на L0 (P ). Оказывается, что множество L0 (P ) параметризует множество всех нормальных поверхностей. Теорема 1.3. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение Ψ0 : L0 (P ) → N(P ) биективно. Итак, для каждой нормальной поверхности F найдется единственная комбинация LF = x1 P1 + . . . + xk Pk сложности 0, такая, что Ψ(LF ) = F . Тем самым, для поверхности F определено каноническое разложение F = x1 Ψ(P1 ) + . . . + xk Ψ(Pk ) в сумму фундаментальных поверхностей. В параграфе 1.4 определяется бесконечная серия специальных спайнов, для которых справедливы теоремы 1.1 – 1.3. Более того, строится эффективный алгоритм нахождения канонического разложения нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей. Незамкнутой цепочкой будем называть регулярный граф степени 4, состоящий из двух петель и нескольких двойных ребер. Если все ребра регулярного графа степени 4 являются двойными, то такой граф называется замкнутой цепочкой (см. рис. 3). Под звеном цепочки понимается либо петля, либо двойное ребро графа. Определение. Специальный полиэдр P называется симметричным цепным полиэдром, если он удовлетворяет трем условиям:

Введение

9

1) особый граф полиэдра P есть замкнутая или незамкнутая цепочка; 2) граничная кривая каждой 2-компоненты полиэдра P проходит по ребрам как минимум двух звеньев цепочки; 3) существует инвариантная на каждой 2-компоненте инволюция полиэдра P , которая (а) неподвижна на вершинах цепочки, (б) имеет ровно одну неподвижную точку внутри каждой петли, (в) переставляет ребра каждого звена цепочки. Предложение 1.2. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда любая нормальная поверхность в M является уравновешенной. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и C(P ) = {P1 , . . . , Pk } — множество всех его непустых связных простых подполиэдров. Далее в этом параграфе вводится элементарное преобразование µ, состоящее в замене одной допустимой комбинации ненулевой сложности на другую допустимую комбинацию, имеющую меньшую сложность (лемма 1.6). Следующий алгоритм нахождения канонического разложения нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей является прямым следствием предложения 1.2, теоремы 1.2, предложения 1.1 и теоремы 1.3. Алгоритм. Пусть дано разложение F = x1 Ψ(P1 ) + . . . + xk Ψ(Pk ) нормальной поверхности F в сумму фундаментальных поверхностей. Будем применять преобразование µ к допустимой комбинации x1 P1 + . . . + xk Pk до тех пор, пока это возможно. Так как каждое преобразование уменьшает сложность комбинации, этот процесс закончится после конечного числа преобразований. В результате мы получим допустимую комбинацию z1 P1 + . . . + zk Pk сложности 0. Тогда F = z1 Ψ(P1 ) + . . . + zk Ψ(Pk ) — искомое каноническое разложение. Зададим на множестве L0 (P ) частичную операцию ⊕. Пусть L1 , L2 ∈ L0 (P ). Будем считать, что сумма L1 ⊕ L2 определена тогда и только тогда, когда в частичном моноиде L(P ) определена сумма L1 + L2 . При этом полагаем L1 ⊕ L2 есть результат применения максимального числа преобразования µ к комбинации L1 + L2 . Следующую теорему можно рассматривать как полное описание частичного моноида нормальных поверхностей для многообразий, заданных симметричными цепными спайнами. Теорема 1.4. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда множество L0 (P ) с операцией ⊕ является частичным коммутативным

Введение

10

моноидом, изоморфным частичному моноиду N(P ) нормальных поверхностей, а отображение Ψ0 — соответствующий изоморфизм. Глава 2 посвящена описанию всех связных почти нормальных поверхностей в трехмерных многообразиях, заданных симметричными цепными спайнами. В параграфе 2.1 приводится классификация связных почти нормальных поверхностей с октагоном. Опишем два важных примера таких поверхностей. 1) Пусть симметричный цепной спайн P , его непустая подповерхность S и его 2-компонента α таковы, что: (а) α не лежит в S; (б) ее граничная кривая ∂α проходит по ребрам только двух звеньев цепочки с одной общей вершиной. Возьмем в каждой плитке D2 × I разбиения ξP , пересекающей поверхность S, один диск D2 × {x1 }, а в плитке Cα , отвечающей 2-компоненте α, возьмем два диска вида D2 ×{x1 , x2 }, где x1 , x2 — различные внутренние точки отрезка I. Оказывается, выбранный набор дисков в плитках продолжается до почти нормальной поверхности с октагоном. Будем говорить, что построенная таким образом поверхность имеет тип III. 2) Пусть P — симметричный цепной спайн, особый граф которого есть незамкнутая цепочка с n вершинами. Выберем такое вложение незамкнутой цепочки в XY -плоскость R2 , что сужение на цепочку отражения плоскости относительно оси OX является инволюцией, которая неподвижна на вершинах цепочки и имеет ровно одну неподвижную точку внутри каждой петли. Последовательно пронумеруем все звенья цепочки числами 0, 1, . . . , n, начиная с самого левого звена. Сопоставим каждой 2-компоненте γ спайна P два числа. Первое число l(γ) есть наименьший номер звена, по ребрам которого проходит граничная кривая ∂γ, второе число r(γ) — соответственно наибольший. Пусть непустая подповерхность S спайна P и его 2-компонента β таковы, что: (а) β не лежит в S; (б) r(β) − l(β) > 1. Это означает, что граничная кривая ∂β проходит по ребрам трех последовательных звеньев цепочки с номерами l(β), l(β) + 1, l(β) + 2. Поэтому для каждой 2-компоненты γ спайна P , отличной от 2-компоненты β, выполняется ровно одно из двух условий: либо r(γ) 6 l(β) + 1, либо l(γ) > l(β) + 1. Для каждой 2-компоненты γ ⊂ S возьмем в отвечающей ей плитке D2 × I разбиения ξP три диска вида D2 × {x1 , x2 , x3 }, если l(γ) > l(β) + 1, и один диск D2 × {x1 }, если r(γ) 6 l(β) + 1, где x1 , x2 , x3 — различные внутренние точки отрезка I. Аналогично, возьмем два диска D2 × {x1 , x2 } в плитке, отвечающей 2-компоненте β. Далее, выберем произвольное (возможно пустое) подмножество Γ множества всех 2-компонент спайна P так, что каждая 2-

Введение

11

компонента γ 0 ∈ Γ не лежит в S и l(γ 0 ) > r(β). Затем, в каждой плитке, отвечающей 2-компоненте из Γ, также возьмем два диска D2 × {x1 , x2 }. Легко показать, как и в случае поверхности типа III, что выбранный набор дисков в плитках продолжается до почти нормальной поверхности с октагоном. Будем говорить, что построенная таким образом поверхность имеет тип IV. Теорема 2.1. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда: 1) если особый граф спайна P есть замкнутая цепочка, то любая связная почти нормальная поверхность с октагоном в многообразии M имеет тип III; 2) если особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка, то любая связная почти нормальная поверхность с октагоном в многообразии M имеет тип III или тип IV. В параграфе 2.2 приводится классификация связных почти нормальных поверхностей с трубкой. Опишем три важных примера таких поверхностей. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Пример 1. Пусть G — непустой простой подполиэдр спайна P и α ⊂ G — одна из его 2-компонент. Обозначим через F (G) нормальную поверхность, которая ограничивает некоторую регулярную окрестность полиэдра G в многообразии M . Заметим, что если полиэдр G является двусторонней поверхностью, то нормальная поверхность F (G) состоит из двух параллельных копий поверхности G. Если же полиэдр G имеет особые точки или является односторонней поверхностью, то F (G) — нормальная поверхность типа II. Поверхность F (G) пересекает плитку, отвечающую 2-компоненте α, по двум дискам. Заменяя эти два диска в плитке на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность. Пример 2. Пусть непустая замкнутая подповерхность S и отличный от двусторонней поверхности непустой простой подполиэдр K спайна P таковы, что S ⊆ K. Тогда поверхность S является нормальной поверхностью типа I, а полиэдр K определяет нормальную поверхность F (K) типа II — край его регулярной окрестности. Выберем произвольную 2компоненту α ⊂ S и, в отвечающей ей плитке Cα разбиения ξP , фиксируем структуру прямого произведения D2 × I. Нормальная поверхность S + F (K) пересекает плитку Cα по трем дискам вида D2 × {x1 , x2 , x3 }. Поскольку S ⊆ K, поверхности S и F (K) можно реализовать в многообразии M без пересечения. Отсюда следует, что S ∩ Cα = D2 × {x2 } и F (K) ∩ Cα = D2 × {x1 , x3 }. Заменяя два диска D2 × {x2 } и D2 × {xi },

Введение

12

i = 1 или 3, на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность. Пример 3. Пусть непустые простые подполиэдры K1 и K2 спайна P таковы, что K1 ⊆ K2 и каждый из них не является двусторонней поверхностью. Тогда полиэдр Kj , j = 1, 2, определяет нормальную поверхность F (Kj ) типа II. Выберем произвольную 2-компоненту α ⊂ K1 и, в отвечающей ей плитке Cα разбиения ξP , фиксируем структуру прямого произведения D2 × I. Нормальная поверхность F (K1 ) + F (K2 ) пересекает плитку Cα по четырем дискам вида D2 × {x1 , x2 , x3 , x4 }. Поскольку K1 ⊆ K2 , поверхности F (K1 ) и F (K2 ) можно реализовать в многообразии M без пересечения. Отсюда следует, что F (K1 ) ∩ Cα = D2 × {x2 , x3 } и F (K2 ) ∩ Cα = D2 × {x1 , x4 }. Заменяя два диска D2 × {xi } и D2 × {xi+1 }, i = 1 или 3, на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность. Оказывается, что других связных почти нормальных поверхностей с трубкой в указанных многообразиях нет. Теорема 2.2. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда любая связная почти нормальная поверхность с трубкой в многообразии M нормально изотопна одной из поверхностей, перечисленных в примерах 1–3. Итак, в главах 1, 2 мы описали нормальные и почти нормальные поверхности в многообразиях, заданных симметричными цепными спайнами. Глава 3 посвящена полному описанию этого класса трехмерных многообразий. Напомним, что Lp,q и S 3 /Q4n обозначают линзовое пространство с параметрами p, q и факторпространство сферы S 3 по линейному действию обобщенной группы кватернионов Q4n =< x, y | x2 = (xy)2 = y 2n >. Пусть h : T0 → T0 — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм проколотого тора T0 (т.е. тора с удаленным открытым диском) на себя. Многообразием Столлингса со слоем T0 и отображением монодромии h называется многообразие, полученное из прямого произведения T0 × I отождествлением каждой точки (x, 0) ∈ T0 × {0} с точкой (h(x), 1) ∈ T0 × {1}. Следующая теорема описывает все трехмерные многообразия, задаваемые симметричными цепными спайнами. Теорема 3.1. Трехмерное ориентируемое многообразие M имеет симметричный цепной спайн тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий: 1. M = Lp,q , где p > 4; 2. M = S 3 /Q4n , где n > 2;

Введение

13

3. M является многообразием Столлингса со слоем проколотый тор и сохраняющим ориентацию гиперболическим отображением монодромии. В параграфе 3.2 мы применяем полученное в главе 1 полное описание множества нормальных поверхностей в многообразиях с симметричными цепными спайнами для наглядного доказательства следующего хорошо известного факта [16]: линзовое пространство Lp,q содержит вложенную бутылку Клейна тогда и только тогда, когда p = 4k, q = 2k −1, где k — натуральное число. Подводя итог обзору содержания диссертации, сформулируем основные полученные результаты. 1. Получено полное геометрическое описание структуры частичных моноидов нормальных поверхностей для трех бесконечных серий стандартно разбитых на ручки трехмерных многообразий: линзовых пространств, обобщенных пространств кватернионов и многообразий Столлингса со слоем проколотый тор (теорема 1.4). В частности, в явном виде найдены фундаментальные поверхности (теорема 1.2), определено каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей (теорема 1.3), построен алгоритм нахождения канонического разложения. 2. Получено полное описание всех связных почти нормальных поверхностей для трех вышеуказанных бесконечных серий стандартно разбитых на ручки трехмерных многообразий (теоремы 3.1, 2.1 и 2.2). 3. Получена полная классификация трехмерных многообразий, имеющих симметричный цепной спайн (теорема 3.1). Эта классификация интересна как сама по-себе, так и с точки зрения теории сложности многообразий [4]. Все основные результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами. Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для исследований как в алгоритмической топологии трехмерных многообразий, так и в ее приложениях. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова на семинарах под руководством академика РАН А. Т. Фоменко, профессора А. С. Мищенко. Кроме того, результаты работы в качестве докладов были представлены на

Введение

14

Международных конференциях “Маломерная топология и комбинаторная теория групп” (Челябинск, 1999 и Луттах, Италия, 2001), “Топология и динамика — Рохлинский мемориал”, посвященной 80-летию со дня рождения В.А. Рохлина (Санкт-Петербург, 1999), “Математическая логика, алгебра и теория множеств”, посвященной 100-летию со дня рождения П.С. Новикова (Москва, 2001), “Second Russian-German geometry meeting”, посвященной 90-летию со дня рождения А.Д. Александрова. (Санкт-Петербург, 2002). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21]–[28]. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Она изложена на 66 страницах, библиография содержит 28 наименований. Нумерация теорем, лемм и т.п. в каждой главе своя: теорема 1.2 — вторая теорема первой главы. Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю С.В. Матвееву за постановку задачи и всестороннюю помощь в работе.

Глава 1 Полное описание нормальных поверхностей 1.1

Чистые поверхности

Напомним, что двумерный полиэдр P называется простым, если линк каждой его точки гомеоморфен окружности, окружности с диаметром или окружности с тремя радиусами. Объединение точек первого типа состоит из нескольких связных двумерных многообразий, которые называются 2-компонентами полиэдра P . Оставшиеся точки образуют особый граф полиэдра P , причем точки третьего типа называются его вершинами. Простой полиэдр называется специальным, если он имеет хотя бы одну вершину и все его 2-компоненты являются клетками. Простые и специальные полиэдры естественным образом появляются в трехмерной топологии как спайны трехмерных многообразий. Подполиэдр P трехмерного многообразия M называется его спайном, если либо ∂M 6= ∅ и многообразие M \ P гомеоморфно ∂M × (0, 1], либо ∂M = ∅ и многообразие M \ P гомеоморфно открытому шару. Хорошо известно, что каждый специальный спайн P многообразия M порождает его разбиение ξP на ручки следующим образом. Нужно заменить каждую вершину полиэдра P на ручку индекса 0 (шар), каждое ребро — на ручку индекса 1 (балку), каждую 2-компоненту — на ручку индекса 2 (плитку). При этом объединение этих ручек должно либо совпадать с многообразием M , либо (если M замкнуто) получаться из него удалением шара (который в данном случае можно рассматривать как ручку индекса 3). Компоненты связности пересечения шаров с балками называются островами, шаров с плитками — мостами. Определение. Замкнутая поверхность F ⊂ M называется нормальной 15

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

16

по отношению к разбиению ξP , если: 1) пересечение поверхности F с каждой плиткой D2 × I либо пусто, либо состоит из нескольких параллельных дисков вида D2 × {x1 , x2 , . . . , xn }, где x1 < x2 < . . . < xn — набор внутренних точек отрезка I; 2) пересечение поверхности F с каждой балкой I × D2 состоит из полосок вида I × l, где l — дуга в D2 с концами на ∂D2 (диск D2 можно отождествить с островом {0} × D2 ); 3) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными); 4) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из одной дуги с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост. Пусть F — нормальная поверхность в M и C = D2 × I — одна из плиток. Тогда пересечение F ∩ C либо пусто, либо имеет вид D2 × {x1 , x2 , . . . , xn }, где x1 < x2 < . . . < xn — набор внутренних точек отрезка I. Диски D2 × {x1 } и D2 × {xn } называются внешними, остальные — внутренними. Число n называется степенью плитки C (по отношению к F ). Пересечение поверхности F с каждой балкой I × D2 состоит из полосок вида I × l. Каждая полоска I × l примыкает по краю I × ∂l к двум дискам в плитках. Будем называть полоску внешней, если оба диска являются внешними, внутренней — если оба диска внутренние, и смешанной, если один диск является внешним, а другой внутренним. Определение. Будем говорить, что нормальная поверхность является чистой, если она не содержит смешанных полосок. Лемма 1.1. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда пересечение любой связной чистой поверхности F ⊂ M с каждой плиткой разбиения ξP состоит из не более чем двух дисков. Доказательство. Случай F = ∅ очевиден. Пусть F 6= ∅. Рассмотрим в поверхности F две непересекающиеся подповерхности F10 , F20 с краем. Поверхность F10 образуют все внешние плиточные диски и полоски, поверхность F20 — все внутренние. Заметим, что поверхность F10 непуста, поскольку поверхность F 6= ∅ имеет внешние плиточные диски. Так как поверхность F чистая (т.е. смешанных полосок нет), то множество

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

17

F \ (F10 ∪ F20 ) состоит из открытых элементарных дисков, лежащих в шарах разбиения ξP . Добавив к поверхности F10 примыкающие к ней элементарные диски, мы получим замкнутую поверхность F1 ⊆ F . Так как поверхность F связна, то поверхность F1 совпадает с поверхностью F , следовательно, F20 = ∅. Итак, поверхность F пересекает плитки разбиения ξP только по внешним дискам. Поэтому пересечение поверхности F с каждой плиткой разбиения ξP состоит из не более чем двух дисков.

1.2

Уравновешенные поверхности

Пусть ξP — разбиение трехмерного многообразия M на ручки, отвечающее его специальному спайну P . Пусть F — нормальная поверхность в M , E — балка разбиения ξP и C1 , C2 , C3 — примыкающие к E плитки. Разумеется, может случится, что некоторые из плиток совпадают. Для каждого i, 1 6 i 6 3, обозначим через yi плиточную степень поверхности F по отношению к плитке Ci , т.е. число дисков в F ∩ Ci . Определение. Будем говорить, что нормальная поверхность F уравновешена на балке E, если среди чисел y1 , y2 , y3 нет строго максимального. Другими словами, для некоторой перестановки π чисел 1, 2, 3 должно выполняться соотношение yπ(1) = yπ(2) > yπ(3) . Определение. Нормальная поверхность F называется уравновешенной, если она уравновешена на каждой балке разбиения ξP . Лемма 1.2. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда пересечение любой связной уравновешенной поверхности F ⊂ M с каждой плиткой разбиения ξP состоит из не более чем двух дисков. Доказательство. Покажем, что уравновешенная поверхность F является чистой. Рассуждая от противного предположим, что в некоторой балке E уравновешенная поверхность F содержит смешанные полоски. Пусть C1 , C2 , C3 — примыкающие к E плитки и y1 , y2 , y3 — их плиточные степени. Тогда для некоторой перестановки π чисел 1, 2, 3 справедливы следующие соотношения: yπ(1) = yπ(2) + yπ(3) , yπ(2) > 1, yπ(3) > 0. Это означает, что число yπ(1) является строго максимальным среди чисел y1 , y2 , y3 , что противоречит уравновешенности поверхности F на балке E. Итак, поверхность F является чистой. Поэтому по лемме 1.1 ее пересечение с каждой плиткой разбиения ξP состоит из не более чем двух дисков.

Глава 1.

1.2.1

Полное описание нормальных поверхностей

18

Связные нормальные поверхности

Приведем два важных примера уравновешенных поверхностей. 1. Пусть S — непустая связная замкнутая подповерхность спайна P . Тогда S является нормальной поверхностью. 2. Пусть G — такой непустой связный простой подполиэдр спайна P , что он либо имеет особые точки, либо является односторонней поверхностью. Обозначим через M (G) объединение тех шаров, балок и плиток разбиения ξP , которые имеют непустые пересечения с полиэдром G. Заметим, что край многообразия M (G) всегда можно немного продавить внутрь и получить поверхность F (G), лежащую внутри многообразия M (G). Будем говорить, что она параллельна краю. Тогда F (G) является нормальной поверхностью, которая ограничивает некоторую регулярную окрестность полиэдра G. Итак, мы построили два типа поверхностей: связная подповерхность спайна (тип I) и край регулярной окрестности отличного от двусторонней поверхности связного простого подполиэдра спайна (тип II). Следующая теорема дает полное описание всех связных нормальных поверхностей в многообразиях, содержащих только уравновешенные поверхности. Теорема 1.1. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то непустая нормальная поверхность F ⊂ M связна тогда и только тогда, когда она имеет тип I или тип II. Доказательство. Пусть F — непустая связная нормальная поверхность в M . Так как F уравновешена, то по лемме 1.2 она пересекает каждую плитку разбиения ξP по не более чем двум дискам. Мы утверждаем, что все ненулевые плиточные степени поверхности F равны. Рассуждая от противного, предположим, что среди плиток разбиения ξP имеются плитки и степени 1, и степени 2. В силу связности поверхности F найдется такая балка E, к которой примыкают и плитка степени 1, и плитка степени 2. Тогда степень третьей плитки, примыкающей к E, равна 1, что противоречит уравновешенности поверхности F . Итак, все ненулевые плиточные степени F равны между собой и равны либо 1, либо 2, а тогда она имеет соответственно либо тип I, либо тип II. Докажем теорему в другую сторону: если нормальная поверхность F имеет тип I или тип II, то она связна. Каждая поверхность типа I

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

19

связна по определению. Если поверхность F , имеющая тип II, является краем регулярной окрестности связной односторонней поверхности, то она также связна. Осталось рассмотреть случай, когда поверхность F имеет тип II и является краем регулярной окрестности связного простого подполиэдра G спайна P , причем G имеет особые точки. Напомним, что многообразие M (G) есть объединение тех шаров, балок и плиток разбиения ξP , которые имеют непустые пересечения с полиэдром G. Так как поверхность F параллельна краю многообразия M (G), то достаточно доказать связность поверхности ∂M (G). Рассуждая от противного, предположим, что край многообразия M (G) не является связным. Покрасим одну из компонент края многообразия M (G) в белый цвет, остальные компоненты — в черный. Каждая балка в M (G) пересекает край. Будем называть ее белой, если она имеет непустое пересечение только с белым краем, черной — если только с черным, и двухцветной, если она пересекает и белый, и черный край. Определим валентность балки в M (G) как число примыкающих к ней плиток многообразия M (G) (с учетом кратности). Так как полиэдр G связен и имеет особые точки, то в M (G) найдется двухцветная балка E валентности 3 (см. [6, лемма 2]). Тогда пересечение ∂M (G) ∩ E состоит из трех полосок, две из которых имеют один и тот же (пусть черный) цвет. Продавив черные компоненты края ∂M (G) внутрь многообразия M (G), мы получим неуравновешенную поверхность F1 . Действительно, одну из плиток, примыкающих к балке E, поверхность F1 пересекает по двум дискам, а две другие плитки — по одному. Так как неуравновешенность поверхности F1 противоречит условию теоремы, то край многообразия M (G), а следовательно, и поверхность F связны. Теорема 1.1 доказана.

1.2.2

Фундаментальные поверхности

Обозначим через N(P ) множество всех поверхностей, нормальных по отношению к разбиению ξP . Хорошо известно, что относительно операции сложения множество N(P ) является частичным коммутативным моноидом. Нормальная поверхность называется фундаментальной, если ее нельзя представить в виде суммы двух непустых нормальных поверхностей. Множество всех фундаментальных поверхностей является минимальной системой порождающих частичного моноида N(P ). Обозначим через C(P ) = {P1 , . . . , Pk } множество всех непустых связных простых подполиэдров специального спайна P . Построим отображение Ψ : C(P ) → N(P ) следующим образом. Если S ∈ C(P ) — подповерхность спайна P , то S — нормальная поверхность типа I, и мы полагаем

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

20

Ψ(S) = S. Если же S ∈ C(P ) — простой подполиэдр с непустым множеством особых точек, то в качестве Ψ(S) мы берем край его малой регулярной окрестности, т.е. нормальную поверхность типа II. Данное ниже следствие теоремы 1.1 показывает, что образ Im Ψ отображения Ψ содержит почти все связные нормальные поверхности. Следствие 1.1. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то непустая нормальная поверхность F ⊂ M связна тогда и только тогда, когда либо F лежит в Im Ψ, либо она представима в виде F = 2Ψ(Pi ), где Pi — односторонняя подповерхность в P , 1 6 i 6 k. Доказательство. По теореме 1.1 непустая нормальная поверхность F ⊂ M связна тогда и только тогда, когда она имеет тип I или тип II. Так как множество C(P ) содержит все непустые связные простые подполиэдры спайна P , то все поверхности типа I лежат в Im Ψ. Остается заметить, что поверхность F , имеющая тип II, не принадлежит Im Ψ тогда и только тогда, когда она представима в виде F = 2Ψ(Pi ), где Pi — односторонняя подповерхность в P , 1 6 i 6 k. Следующая теорема содержит полное описание множества всех фундаментальных поверхностей. Теорема 1.2. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение Ψ определяет биекцию множества C(P ) на множество всех фундаментальных поверхностей многообразия M . Доказательство. Так как для любых двух полиэдров Pi , Pj из множества C(P ), 1 6 i < j 6 k, найдется плитка разбиения ξP , которую пересекает только один из них, то поверхности Ψ(Pi ), Ψ(Pj ) различны, т.е. отображение Ψ инъективно. Докажем, что множество всех фундаментальных поверхностей многообразия M совпадает с образом Im Ψ отображения Ψ. В силу следствия 1.1 любая непустая связная нормальная поверхность в M либо лежит в Im Ψ, либо может быть получена суммированием поверхностей из Im Ψ. Так как каждая нормальная поверхность есть сумма своих связных компонент, то Im Ψ порождает частичный моноид N(P ). Поэтому любая фундаментальная поверхность лежит в Im Ψ. Покажем, что любая поверхность F из Im Ψ фундаментальна. Рассуждая от противного, допустим, что она представима в виде F = G1 +G2 суммы двух непустых нормальных поверхностей. Так как поверхность F

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

21

связна (следствие 1.1), то можно считать (см. [5, лемма 12.1]), что поверхности G1 , G2 также связны. Тогда они обязаны пересекаться в плитках. Итак, через некоторую плитку C разбиения ξP проходят все три поверхности F, G1 , G2 , причем суммарное число дисков в пересечениях G1 ∩ C и G2 ∩ C равно числу дисков в F ∩ C. Так как все три поверхности связны, то по теореме 1.1 поверхность F имеет тип II, а поверхности G1 , G2 — тип I. Тогда возможны два случая. а) G1 = G2 . Тогда G1 — односторонняя подповерхность в P , так как поверхность F = 2G1 связна. Поэтому G1 ∈ C(P ) и F = 2Ψ(G1 ). Это противоречит тому, что поверхность F лежит в Im Ψ. б) G1 6= G2 . Тогда найдется такая балка E разбиения ξP , что ровно одна из трех примыкающих к E плиток имеет непустое пересечение с каждой из поверхностей G1 и G2 . Следовательно, поверхность F является неуравновешенной на E, что противоречит условию теоремы. Так как оба случая приводят к противоречию, то любая поверхность из Im Ψ фундаментальна.

1.3

1.3.1

Кодирование нормальных поверхностей линейными комбинациями простых полиэдров Частичный моноид допустимых комбинаций

Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и C(P ) = {P1 , . . . , Pk } — множество всех его непустых связных простых подполиэдров. Определение. Формальная линейная комбинация x1 P1 + . . . + xk Pk , где все xi — целые неотрицательные числа, называется допустимой, если для любых xi 6= 0, xj 6= 0 полиэдр Pi ∩ Pj является простым. Обозначим через L(P ) множество всех допустимых комбинаций. Так как сумма допустимых комбинаций не обязана быть допустимой, то множество L(P ) является частичным коммутативным моноидом относительно естественной операции сложения линейных комбинаций. При этом C(P ) — минимальная система порождающих этого частичного моноида. Следующее предложение показывает, что допустимые комбинации параметризуют все возможные разложения нормальных поверхностей в сумму фундаментальных.

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

22

Предложение 1.1. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение Ψ : C(P ) → N(P ) продолжается по линейности до сюръективного гомоморфизма Ψ : L(P ) → N(P ) частичных моноидов. Доказательство предложения удобно начать с леммы. Лемма 1.3. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то сумма поверхностей Fi = Ψ(Pi ) и Fj = Ψ(Pj ), где 1 6 i, j 6 k, определена тогда и только тогда, когда линейная комбинация Pi + Pj допустима. Доказательство. Пусть сумма поверхностей Fi и Fj определена. Рассуждая от противного, предположим, что линейная комбинация Pi + Pj не является допустимой. Тогда полиэдр Pi ∩ Pj не пуст и не является простым. Нетрудно доказать, что полиэдр Pi ∩ Pj содержит хотя бы одну 2-компоненту спайна P . Тогда в особом графе спайна P найдется такое ребро e, к которому примыкают три различные 2-компоненты спайна, причем только одна из них содержится в Pi ∩ Pj . Обозначим через E балку разбиения ξP , содержащую ребро e. Тогда ровно одна из плиток, примыкающих к E, имеет непустое пересечение с каждой из поверхностей Fi и Fj . Это означает, что поверхность Fi + Fj не является уравновешенной на балке E, что противоречит условию леммы. Следовательно, линейная комбинация Pi + Pj допустима. Напомним, почему сумма нормальных поверхностей определена не всегда. Край каждого шара разбиения ξP содержит четыре острова и шесть мостов, причем каждые два острова соединены ровно одним мостом. Элементарный диск будем называть треугольным или четырехугольным, если пересечение его края с мостами шара состоит соответственно из трех или четырех дуг. Будем говорить, что два элементарных диска в шаре разбиения ξP эквивалентны, если существует инвариантная на островах и мостах изотопия шара, переводящая край одного диска в край другого. Хорошо известно, что сумма двух нормальных поверхностей определена тогда и только тогда, когда их элементарные диски можно реализовать без пересечений. Это равносильно тому, что все четырехугольные диски обеих поверхностей в каждом шаре разбиения ξP эквивалентны. Докажем лемму в обратную сторону. Пусть линейная комбинация Pi + Pj допустима. Тогда по определению полиэдр Pi ∩ Pj является простым. Возможны два случая.

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

23

1. Pi ∩ Pj = ∅. Тогда найдутся такие регулярные окрестности Ni и Nj соответственно полиэдров Pi и Pj , что Ni ∩ Nj = ∅. В силу определения отображения Ψ можно считать, что Fi ⊂ Ni и Fj ⊂ Nj . Поэтому Fi ∩ Fj = ∅ и, следовательно, поверхность Fi + Fj определена. 2. Pi ∩ Pj 6= ∅. Рассуждая от противного, предположим, что сумма поверхностей Fi и Fj не определена. Тогда эти поверхности пересекают некоторый шар V разбиения ξP по неэквивалентным четырехугольным дискам. Заметим, что край любого четырехугольного диска пересекает все острова шара, в котором этот диск содержится. Следовательно, каждый из полиэдров Pi и Pj , а значит и полиэдр Pi ∩ Pj , содержит все ребра, примыкающие к вершине v ⊂ V спайна P . Обозначим через N (v, P ) регулярную окрестность вершины v в P . Она гомеоморфна конусу над полным графом с 4 вершинами. Конусы над открытыми ребрами графа, то есть компоненты связности пересечения окрестности N (v, P ) с 2-компонентами спайна P , будут называться крыльями. Таким образом, N (v, P ) имеет 6 крыльев. Заметим, что ни один из полиэдров Pi и Pj не может содержать все 6 крыльев. Действительно, если один из них, скажем Pi , содержит все 6 крыльев, то он имеет особые точки. Тогда поверхность Fi = Ψ(Pi ) является краем регулярной окрестности полиэдра Pi и, следовательно, пересекает шар V только по треугольным дискам. Пусть полиэдр Pi не содержит крыло wi , а полиэдр Pj — крыло wj . Тогда эти крылья различны и примыкают к одному ребру (обозначим его через e) спайна, иначе в шаре V четырехугольные диски поверхностей были бы эквивалентны. Итак, полиэдр Pi ∩ Pj содержит ребро e, но не содержит двух крыльев, примыкающих к e. Это противоречит тому, что он является простым. Поэтому сумма Fi + Fj определена. Доказательство предложения 1.1. Пусть x1 P1 + . . . + xk Pk — допустимая комбинация. Тогда для любых xi 6= 0, xj 6= 0 линейная комбинация Pi + Pj также допустима. Следовательно, в силу леммы 1.3 определена сумма поверхностей Ψ(Pi ) и Ψ(Pj ). Это обеспечивает существование поверхности x1 Ψ(P1 ) + . . . + xk Ψ(Pk ), т.е. отображение Ψ : C(P ) → N(P ) продолжается по линейности до отображения Ψ : L(P ) → N(P ). Докажем его сюръективность. Пусть F — нормальная поверхность. Поскольку по теореме 1.2 поверхности Ψ(P1 ), . . . , Ψ(Pk ) порождают частичный моноид N(P ), поверхность F представима в виде суммы F = x1 Ψ(P1 ) + . . . + xk Ψ(Pk ). Тогда в силу леммы 1.3 линейная комбинация x1 P1 + . . . + xk Pk является допустимой, причем Ψ(x1 P1 + . . . + xk Pk ) = F . Предложение доказано. Итак, если любая нормальная поверхность в трехмерном многообразии M является уравновешенной, то каждая допустимая комбинация

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

24

L = x1 P1 + . . . + xk Pk простых подполиэдров специального спайна этого многообразия задает разложение Ψ(L) = x1 Ψ(P1 ) + . . . + xk Ψ(Pk ) нормальной поверхности Ψ(L) в сумму фундаментальных поверхностей Ψ(P1 ), . . . , Ψ(Pk ). Более того, допустимые комбинации параметризуют все возможные разложения нормальных поверхностей в сумму фундаментальных.

1.3.2

Каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей

Наша ближайшая цель — выделить в частичном моноиде L(P ) такое подмножество L0 (P ), что сужение отображения Ψ на L0 (P ) будет биективно. Тем самым мы определим каноническое разложение нормальной поверхности в сумму фундаментальных поверхностей. Определим функцию δ : C(P ) × C(P ) → Z следующим образом: ½ 0, если либо Pi ⊆ Pj , либо Pj ⊆ Pi , либо Pi ∩ Pj = ∅; δ(Pi , Pj ) = 1, в остальных случаях. Для удобства обозначений вместо δ(Pi , Pj ) будем писать δij . Определение. Сложностью формальной линейной комбинации L = x1 P1 + . . . + xk Pk , где все xi — целые неотрицательные числа, будем называть число k−1 X k X c(L) = xi xj δij . i=1 j=i+1

Обозначим через L0 (P ) множество всех формальных линейных комбинаций вида x1 P1 + . . . + xk Pk , где все xi — целые неотрицательные числа, имеющих сложность 0. Очевидно, что L0 (P ) ⊂ L(P ). Пусть Ψ0 — сужение отображения Ψ на множество L0 (P ). Оказывается, что так введенное множество L0 (P ) параметризует множество всех нормальных поверхностей. Тем самым, определяются канонические разложения нормальных поверхностей в сумму фундаментальных поверхностей. Теорема 1.3. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Если любая нормальная поверхность в M является уравновешенной, то отображение Ψ0 : L0 (P ) → N(P ) биективно.

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

25

Доказательство. Построим отображение Φ : N(P ) → L0 (P ) следующим образом. Пусть F — нормальная поверхность. Представим F в виде суммы своих связных компонент. В силу следствия 1.1 каждую связную компоненту поверхности F можно однозначно записать либо как Ψ(Pi ), либо как 2Ψ(Pi ), где Pi ∈ C(P ). Таким образом, мы имеем разложение F = x1 Ψ(P1 ) + . . . + xk Ψ(Pk ) поверхности F в сумму фундаментальных поверхностей Ψ(P1 ), . . . , Ψ(Pk ) (если F = ∅, то все коэффициенты в разложении равны нулю). Пусть L = x1 P1 + . . . + xk Pk . Положим Φ(F ) = L. Докажем, что c(L) = 0. Для этого достаточно показать, что условие xi xj > 0 влечет δij = 0, где 1 6 i < j 6 k. Пусть xi xj > 0. Тогда поверхности Ψ(Pi ) и Ψ(Pj ) можно реализовать в M без пересечения, так как хотя бы одна поверхность из каждой пары (Ψ(Pi ), 2Ψ(Pi )), (Ψ(Pj ), 2Ψ(Pj )) является связной компонентой поверхности F . Более того, найдутся такие малые регулярные окрестности Ni и Nj соответственно полиэдров Pi и Pj , что ∂Ni ∩ ∂Nj = ∅. Тогда либо Ni ∩ Nj = ∅, либо Ni ⊂ Nj , либо Nj ⊂ Ni . Следовательно, либо Pi ∩ Pj = ∅, либо Pi ⊂ Pj , либо Pj ⊂ Pi . Это означает, что δij = 0. Очевидно, что Ψ0 Φ = 1N(P ) . Докажем, что ΦΨ0 = 1L0 (P ) . Опишем правило, которое каждой допустимой комбинации L = x1 P1 + . . . + xk Pk сопоставляет набор R(L) связных нормальных поверхностей. Для каждого i = 1, 2, . . . , k нужно взять либо xi экземпляров поверхности Ψ(Pi ), если полиэдр Pi не является односторонней поверхностью, либо [xi /2] экземпляров поверхности 2Ψ(Pi ) и xi mod 2 экземпляров поверхности Ψ(Pi ), если Pi — односторонняя поверхность. Построенный набор нормальных поверхностей является характеристическим в следующем смысле: если R(L1 ) = R(L2 ), то L1 = L2 для любых допустимых комбинаций L1 , L2 ∈ L(P ). Это очевидно в силу следствия 1.1. Пусть L1 ∈ L0 (P ) и L2 = ΦΨ0 (L1 ). Так как Ψ0 Φ = 1N(P ) , то Ψ0 (L2 ) = Ψ0 (L1 ). Ключевой момент доказательства состоит в том, что R(L1 ) = R(L2 ). Действительно, так как c(Li ) = 0, то все поверхности набора R(Li ) можно реализовать в M без пересечения, i = 1, 2. Тогда R(Li ) — множество всех связных компонент поверхности Ψ0 (Li ). Так как связные компоненты любой поверхности определены однозначно, то равенство поверхностей Ψ0 (L1 ) = Ψ0 (L2 ) влечет равенство наборов R(L1 ) = R(L2 ). Следовательно, L1 = L2 и ΦΨ0 = 1L0 (P ) . Итак, если любая нормальная поверхность в трехмерном многообразии M является уравновешенной, то для каждой нормальной поверхности F найдется единственная комбинация LF = x1 P1 + . . . + xk Pk сложности 0, такая, что Ψ(LF ) = F . Тем самым, для поверхности F определено каноническое разложение F = x1 Ψ(P1 ) + . . . + xk Ψ(Pk ) в сумму фунда-

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

26

Рис. 1.1: Регулярная окрестность особого графа симметричного цепного спайна линзового пространства L11,2 ментальных поверхностей.

1.4

Нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами

В этом параграфе мы построим бесконечную серию специальных спайнов, для которых справедливы теоремы 1.1 – 1.3. Незамкнутой цепочкой будем называть регулярный граф степени 4, состоящий из двух петель и нескольких двойных ребер. Если все ребра регулярного графа степени 4 являются двойными, то такой граф называется замкнутой цепочкой. Под звеном цепочки понимается либо петля, либо двойное ребро графа. Будем считать, что ребра замкнутой цепочки, содержащей ровно две вершины, некоторым образом разбиты на два звена. Определение. Специальный полиэдр P называется симметричным цепным полиэдром, если он удовлетворяет трем условиям: 1) особый граф полиэдра P есть замкнутая или незамкнутая цепочка; 2) граничная кривая каждой 2-компоненты полиэдра P проходит по ребрам как минимум двух звеньев цепочки; 3) существует инвариантная на каждой 2-компоненте инволюция ϕ полиэдра P , которая (а) неподвижна на вершинах цепочки, (б) имеет ровно одну неподвижную точку внутри каждой петли, (в) переставляет ребра каждого звена цепочки. Для иллюстрации определения на рис. 1.1 изображена регулярная окрестность особого графа симметричного цепного спайна линзового пространства L11,2 .

Глава 1.

1.4.1

Полное описание нормальных поверхностей

27

Уравновешенность поверхностей

Предложение 1.2. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда любая нормальная поверхность в M является уравновешенной. Идея доказательства предложения состоит в анализе того, как связаны между собой плиточные степени нормальной поверхности F по отношению ко всем четырем плиткам, которые примыкают к одному шару V . Пусть балки E1 , E10 , E2 , E20 примыкают к шару V , причем E1 , E10 отвечают ребрам одного звена цепочки, E2 , E20 — другого. Если звено цепочки является петлей, то Ei = Ei0 , где i = 1 или 2. Обозначим через C1 , C2 плитки, которые дважды проходят через V с балок одного звена на балки другого. Пусть плитка C3 проходит через V с балки E1 на балку E10 , плитка C4 — с балки E2 на балку E20 . Степень поверхности F по отношению к плитке Ci обозначим через yi , 1 6 i 6 4. Лемма 1.4. Если поверхность F на балках E1 , E10 не уравновешена, причем максимальная степень равна y1 , то на балках E2 , E20 она тоже не уравновешена, причем ее максимальная степень равна y4 и y4 > y1 . Доказательство. Рассмотрим три суммы: y1 +y1 , y2 +y2 и y3 +y4 . Каждая из этих сумм показывает, сколько раз элементарные диски поверхности пересекают соответствующую пару противоположных (т.е. не примыкающих к одному острову) мостов шара V . Так как каждый треугольный диск проходит ровно по одному из двух противоположных мостов, то он вносит равный вклад во все три суммы. По условию леммы y1 > y2 , поэтому среди элементарных дисков поверхности F в шаре V есть четырехугольные диски. Так как каждый четырехугольный диск проходит только по двум парам противоположных мостов, то он вносит равный вклад в две суммы из трех. Значит, четырехугольные диски проходят по мостам плиток C1 , C3 , C4 . Поэтому 2y1 = y3 +y4 > 2y2 . Так как y1 > y3 , то y4 > y1 . Таким образом, среди плиточных степеней y1 , y2 , y4 поверхности F на балках E2 , E20 есть строго максимальная степень y4 . Это означает, что поверхность F не уравновешена на балках E2 , E20 . Лемма доказана. Доказательство предложения 1.2. Рассуждая от противного, предположим, что найдутся такие нормальная поверхность F и балка E1 , что F не уравновешена на E1 . Тогда одна из плиток (скажем C1 ), примыкающих к балке E1 , имеет степень, строго большую, чем степень каждой из двух оставшихся плиток (C2 и C3 ), также примыкающих к E1 . Так как в P нет 2-компонент, граничные кривые которых проходят только

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

28

Рис. 1.2: Регулярная окрестность особого графа симметричного цепного спайна многообразия S 3 /P24 по одному звену цепочки, то плитка C1 переходит с балки E1 на балки, соответствующие другим звеньям цепочки. Воспользуемся обозначениями, описанными перед леммой 1.4. В силу леммы 1.4 поверхность F не уравновешена на балке E2 , причем ее максимальная степень равна y4 и больше, чем максимальная степень y1 поверхности F на балке E1 . Как легко заметить, все три плитки C1 , C2 , C4 , примыкающие к E2 , различны, так как y4 > y1 > y2 . Повторяя предыдущее рассуждение, перейдем от балки E2 к балке E3 , максимальная степень опять возрастает, и т.д. Разумеется, при завершении обхода замкнутой цепочки такое возрастание степеней приводит к противоречию. В случае же незамкнутой цепочки мы остановимся на балке, соответствующей петле цепочки. При этом все три плитки, примыкающие к ней, различны. Тогда граничная кривая одной из 2-компонент симметричного цепного спайна P проходит только по петле, что противоречит определению. Предложение доказано. В заключение данного пункта отметим, что условие предложения 1.2 является достаточным для уравновешенности всех нормальных поверхностей, но не является необходимым. Нетрудно проверить, что любая поверхность в факторпространстве сферы S 3 по линейному действию группы P24 =< x, y | x2 = (xy)3 = y 3 , x4 = 1 > нормальная по отношению к разбиению на ручки, порожденному минимальным специальным спайном (рис. 1.2), является уравновешенной.

1.4.2

Элементарное преобразование допустимых комбинаций

Цель данного пункта — ввести элементарное преобразование µ, состоящее в замене одной допустимой комбинации ненулевой сложности на

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

29

другую допустимую комбинацию, имеющую меньшую сложность. Вначале мы докажем лемму, характеризующую простые подполиэдры симметричного цепного спайна. Лемма 1.5. Каждый непустой простой подполиэдр K симметричного цепного спайна P содержит особый граф спайна. Доказательство. Легко видеть, что если простой полиэдр K ⊂ P пересекает какую-нибудь 2-компоненту α спайна P , то α ∪ ∂α ⊂ K. Поскольку в силу определения каждый непустой простой полиэдр пересекает 2компоненты спайна, простой полиэдр K содержит некоторые ребра особого графа спайна P . Нам осталось показать, что он содержит все ребра этого спайна. Из симметричности спайна P следует, что ребра каждого звена цепочки либо одновременно лежат в K, либо нет. Пусть ребра e1 , e01 одного звена цепочки содержатся в K. Докажем, что ребра e2 , e02 соседнего звена цепочки также содержатся в K. Для этого обозначим через α1 , α2 2компоненты, граничные кривые которых дважды проходят с ребер e1 , e01 на ребра e2 , e02 . Пусть граничная кривая 2-компоненты α3 проходит с ребра e1 на ребро e01 , граничная кривая 2-компоненты α4 — с ребра e2 на ребро e02 . Так как ребра e1 , e01 содержатся в K, то две из трех 2-компонент α1 , α2 , α3 , граничные кривые которых проходят по этим ребрам, также содержатся в K. Следовательно, в K лежит хотя бы одна из 2-компонент α1 , α2 . Поскольку граничные кривые ∂α1 , ∂α2 проходят по ребрам e2 , e02 , эти ребра обязаны содержаться в K. Таким образом, двигаясь вдоль цепочки мы получим, что простой полиэдр K симметричного цепного спайна P содержит все ребра особого графа спайна. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и C(P ) = {P1 , . . . , Pk } — множество всех его непустых связных простых подполиэдров. Опишем элементарное преобразование µ допустимых комбинаций. Пусть L1 = x1 P1 + . . . + xk Pk ∈ L(P ) и c(L1 ) > 0. Тогда найдутся такие i, j, 1 6 i < j 6 k, что xi xj δij > 0. Так как полиэдры Pi , Pj просты, то их объединение Pi ∪ Pj есть простой полиэдр. Более того, простым является полиэдр Pi ∩Pj в силу допустимости комбинации L1 и условия xi xj δij > 0. В силу леммы 1.5 все простые

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

30

подполиэдры в P связны, поскольку особый граф симметричного цепного спайна связен. Поэтому C(P ) совпадает с множеством всех непустых простых подполиэдров спайна P . Так как полиэдры Pi ∪ Pj , Pi ∩ Pj просты, то они содержатся в C(P ) (полиэдр Pi ∩Pj непуст, поскольку каждый из полиэдров Pi , Pj по лемме 1.5 содержит особый граф спайна). Следовательно, найдутся такие s, l, 1 6 s, l 6 k, что Ps = Pi ∪ Pj , Pl = Pi ∩ Pj , причем числа i, j, s, l различны. Каждому полиэдру Pt , 1 6 t 6 k, сопоставим число εt по следующему правилу: ( 2, если полиэдр Pt является поверхностью, εt = 1, если полиэдр Pt имеет особые точки. Заменив в L1 коэффициенты xi , x j , x s , x l соответственно на . . xi xj , xj xi , xs + min(xi , xj ), xl + εl min(xi , xj ), мы получим новую линейную комбинацию L2 , где ( xi − xj , если xi > xj , . xi xj = 0, если xi < xj . Будем говорить, что линейная комбинация L2 получается из допустимой комбинации L1 с помощью преобразования µ. Введем на множестве L(P ) отношение эквивалентности ∼. Будем говорить, что допустимые комбинации L1 и L2 эквивалентны (L1 ∼ L2 ), если Ψ(L1 ) = Ψ(L2 ). Следующая лемма описывает важные свойства преобразования µ. Лемма 1.6. Пусть линейная комбинация L2 получается из допустимой комбинации L1 = x1 P1 + . . . + xn Pn с помощью преобразования µ. Тогда: (1) L2 ∈ L(P ); (2) L2 ∼ L1 ; (3) c(L2 ) < c(L1 ).

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

31

Доказательство. Для удобства обозначений можно считать, что преобразование µ определяется полиэдрами P1 и P2 , т.е. x1 x2 δ12 > 0, причем x1 > x2 и P3 = P1 ∪ P2 , P4 = P1 ∩ P2 . (1) Для доказательства допустимости линейной комбинации L2 нам достаточно показать, что условие xm > 0 (m = 5, 6, . . . , k) влечет простоту полиэдров P3 ∩Pm , P4 ∩Pm . Действительно, при переходе от L1 к L2 изменяются только коэффициенты x1 , x2 , x3 , x4 при полиэдрах P1 , P2 , P3 , P4 . При этом известно, что x1 > 0, x2 > 0. Пусть xm > 0, 5 6 m 6 k. Так как комбинация L1 допустима, то полиэдры P1 ∩Pm , P2 ∩Pm просты по определению. Поскольку объединение простых полиэдров есть простой полиэдр и P3 ∩ Pm = (P1 ∪ P2 ) ∩ Pm = (P1 ∩ Pm ) ∪ (P2 ∩ Pm ), полиэдр P3 ∩ Pm является простым. Теперь покажем, что линк lk(v, P4 ∩ Pm ) каждой точки v ∈ P4 ∩ Pm в полиэдре P4 ∩ Pm гомеоморфен либо окружности, либо окружности с диаметром, либо окружности с тремя радиусами. Если точка v лежит в какой-нибудь 2-компоненте α спайна P , то это, очевидно, так, поскольку каждый из простых полиэдров P4 , Pm вместе с v содержит и α. Пусть точка v принадлежит ребру спайна P , т.е. линк lk(v, P ) есть окружность с диаметром. Так как полиэдры P1 , P2 , Pm и все их попарные пересечения являются простыми подполиэдрами в P (в силу допустимости комбинации L1 ), то линки lk(v, P1 ), lk(v, P2 ), lk(v, Pm ) (назовем их базисными) и все их попарные пересечения гомеоморфны либо окружности, либо окружности с диаметром каждый, при этом все базисные линки вкладываются в lk(v, P ). Можно считать, что lk(v, P4 ∩ Pm ) = lk(v, P1 ) ∩ lk(v, P2 ) ∩ lk(v, Pm ). Если один из базисных линков гомеоморфен окружности с диаметром, то линк lk(v, P4 ∩ Pm ) есть пересечение двух базисных линков, т.е. он имеет требуемый вид. Если же каждый из базисных линков гомеоморфен окружности, то они обязаны совпадать друг с другом и, в этом случае, линк lk(v, P4 ∩ Pm ) является окружностью. Наконец, пусть v — вершина спайна P . По определению линк lk(v, P ) есть окружность с тремя радиусами, т.е. полный граф с 4 вершинами. Заметим, что линк lk(v, P4 ∩ Pm ), являясь подграфом графа lk(v, P ), содержит все его вершины, причем валентность каждой вершины графа lk(v, P ) в графе lk(v, P4 ∩ Pm ) равна 2 или 3. Это следует из того, что полиэдр P4 ∩ Pm в силу леммы 1.5 содержит особый граф спайна P , причем линк каждой точки в этом полиэдре гомеоморфен либо окружности, либо окружности с диаметром. Простой анализ таких подграфов полного графа с 4 вершинами показывает, что линк lk(v, P4 ∩ Pm ) гомеоморфен либо окружности, либо окружности с диа-

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

32

метром, либо окружности с тремя радиусами. Таким образом, полиэдр P4 ∩ Pm является простым. (2) Рассмотрим три линейные комбинации: L = x3 P3 + . . . + xk Pk , L01 = x1 P1 + x2 P2 , L02 = (x1 − x2 )P1 + x2 P3 + ε4 x2 P4 . Очевидно, что L1 = L01 + L и L2 = L02 + L. Поэтому в силу линейности отображения Ψ достаточно доказать, что Ψ(L01 ) = Ψ(L02 ). Пусть α — 2-компонента спайна P и Cα — соответствующая ей плитка разбиения ξ(P ). Обозначим через y10 (α), y20 (α) соответственно плиточные степени поверхностей Ψ(L01 ), Ψ(L02 ) по отношению к плитке Cα . Возможны 4 случая вхождения 2-компоненты α в полиэдры P1 и P2 : 1. α ∈ / P3 = P1 ∪ P2 . Тогда y10 (α) = y20 (α) = 0. 2. α ∈ P1 \ P2 . Так как простой полиэдр P1 ∩ P2 непуст, то каждый из полиэдров P1 , P2 , и, следовательно, P3 имеет особые точки. Это означает, что каждая из поверхностей Ψ(P1 ), Ψ(P3 ) пересекает 2компоненту α по двум дискам, тогда как в силу α 6∈ P2 поверхности Ψ(P2 ), Ψ(P4 ) ее не пересекают. Поэтому y10 (α) = 2x1 и y20 (α) = 2(x1 − x2 ) + 2x2 , т.е. y10 (α) = y20 (α). 3. α ∈ P2 \ P1 . Справедливость равенства y10 (α) = y20 (α) доказывается аналогично предыдущему случаю. 4. α ∈ P4 = P1 ∩ P2 . Как уже было замечено в п. 2, поверхности Ψ(P1 ), Ψ(P2 ), Ψ(P3 ) пересекают 2-компоненту α по двум дискам каждая. Оказывается поверхность ε4 Ψ(P4 ) пересекает α также по двум дискам. Действительно, если ε4 = 1, то полиэдр P4 имеет особые точки и поверхность Ψ(P4 ) есть край его регулярной окрестности, если же ε4 = 2, то полиэдр P4 является поверхностью и поверхность 2Ψ(P4 ) есть сумма двух копий поверхности Ψ(P4 ), причем Ψ(P4 ) пересекает 2-компоненту α по одному диску. Тогда y10 (α) = 2x1 + 2x2 , y20 (α) = 2(x1 − x2 ) + 2x2 + 2x2 , т.е. y10 (α) = y20 (α). Итак, поверхности Ψ(L01 ), Ψ(L02 ) имеют одинаковые плиточные степени. Поэтому в силу [4, теорема 4] Ψ(L01 ) = Ψ(L02 ).

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

33

(3) Пусть Am = x1 δ1m + x2 δ2m , Bm = (x1 − x2 )δ1m + x2 δ3m + ε4 x2 δ4m . Тогда c(L1 ) = c(L01 ) + c(L) + c(L2 ) = c(L02 ) + c(L) +

k X m=3 k X

xm A m , x m Bm .

m=3

Так как c(L01 ) = x1 x2 > 0 и c(L02 ) = 0, то нам достаточно показать для каждого m = 3, 4, . . . , k справедливость неравенства Bm 6 Am при xm > 0. Докажем, что δ3m + δ4m 6 δ1m + δ2m . Если δ3m = 1, то по определению Pm 6⊆ P3 = P1 ∪ P2 и P1 ∪ P2 6⊆ Pm . Тогда Pm 6⊆ P1 , Pm 6⊆ P2 и либо P1 6⊆ Pm , либо P2 6⊆ Pm . Поэтому либо δ1m = 1, либо δ2m = 1. Если же δ4m = 1, то P4 = P1 ∩ P2 6⊆ Pm и Pm 6⊆ P1 ∩ P2 . Тогда P1 6⊆ Pm , P2 6⊆ Pm и либо Pm 6⊆ P1 , либо Pm 6⊆ P2 . Поэтому и в этом случае либо δ1m = 1, либо δ2m = 1. Наконец, нетрудно заметить, что если δ3m = δ4m = 1, то δ1m = δ2m = 1. Таким образом, δ3m + δ4m 6 δ1m + δ2m . Далее покажем, что если xm > 0, то ε4 x2 δ4m = x2 δ4m . Пусть xm > 0. Так как x2 > 0 и, тем самым, коэффициент x4 + ε4 x2 при P4 больше нуля, то в силу допустимости комбинации L2 полиэдр P4 ∩ Pm является простым. Если ε4 = 2, то полиэдр P4 есть поверхность. В этом случае поверхность P4 обязана содержаться в полиэдре Pm , что влечет δ4m = 0. Итак, если xm > 0, то ε4 x2 δ4m = x2 δ4m и δ3m + δ4m 6 δ1m + δ2m . Тогда Bm = (x1 − x2 )δ1m + x2 δ3m + x2 δ4m 6 (x1 − x2 )δ1m + x2 δ1m + x2 δ2m = Am .

1.4.3

Частичный моноид комбинаций сложности 0

Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и C(P ) = {P1 , . . . , Pk } — множество всех его непустых связных простых подполиэдров. Тогда по предложению 1.2 и предложению 1.1 отображение Ψ : C(P ) → N(P ) продолжается по линейности до гомоморфизма Ψ : L(P ) → N(P ) частичного моноида допустимых комбинаций вида x1 P1 + . . . + xk Pk на частичный моноид нормальных поверхностей в M .

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

34

Кроме того, в силу теоремы 1.3 сужение Ψ0 : L0 (P ) → N(P ) отображения Ψ на множество всех допустимых комбинаций сложности 0 является биекцией. Таким образом определено отображение r = Ψ−1 0 Ψ : L(P ) → L0 (P ). Следующий алгоритм для каждой допустимой комбинации L находит комбинацию r(L), имеющую сложность 0. Алгоритм. Пусть L ∈ L(P ), где P — симметричный цепной спайн. Мы хотим найти комбинацию r(L). Будем применять преобразование µ к комбинации L до тех пор, пока это возможно. Так как каждое преобразование уменьшает сложность допустимой комбинации, этот процесс закончится после конечного числа преобразований. В результате мы получим допустимую комбинацию L0 . Докажем, что r(L) = L0 . Действительно, из леммы 1.6 следует, что L0 ∼ L. При этом c(L0 ) = 0, иначе к L0 можно применить преобразование µ. Вывод. Теперь для каждого разложения F = x1 Ψ(P1 )+. . .+xk Ψ(Pk ) нормальной поверхности F в сумму фундаментальных поверхностей мы можем найти каноническое разложение. Для этого нужно применить к комбинации L = x1 P1 +. . .+xk Pk вышеизложенный алгоритм и получить комбинацию r(L) = z1 P1 + . . . + zk Pk . Тогда F = z1 Ψ(P1 ) + . . . + zk Ψ(Pk ) — искомое каноническое разложение. Зададим на множестве L0 (P ) частичную операцию ⊕. Пусть L1 , L2 ∈ L0 (P ). Будем считать, что сумма L1 ⊕ L2 определена тогда и только тогда, когда в частичном моноиде L(P ) определена сумма L1 + L2 . При этом полагаем, что L1 ⊕ L2 есть результат применения алгоритма к комбинации L1 + L2 . Другими словами, L1 ⊕ L2 = r(L1 + L2 ). Следующую теорему можно рассматривать как полное описание частичного моноида нормальных поверхностей для многообразий с симметричными цепными спайнами. Теорема 1.4. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда множество L0 (P ) с операцией ⊕ является частичным коммутативным моноидом, изоморфным частичному моноиду N(P ) нормальных поверхностей, а отображение Ψ0 — соответствующий изоморфизм.

Глава 1.

Полное описание нормальных поверхностей

35

Доказательство. Коммутативность операции ⊕ следует из коммутативности сложения допустимых комбинаций. Для доказательства ассоциативности операции напомним, что две допустимые комбинации L1 и L2 эквивалентны, если Ψ(L1 ) = Ψ(L2 ). Очевидно, что r(L) ∼ L для любой допустимой комбинации L. Тогда справедлива следующая последовательность преобразований: (L1 ⊕ L2 ) ⊕ L3 = r(r(L1 + L2 ) + L3 ) ∼ r(L1 + L2 ) + L3 ∼ L1 + L2 + L3 ∼ L1 + r(L2 + L3 ) ∼ r(L1 + r(L2 + L3 )) = L1 ⊕ (L2 ⊕ L3 ). Так как на L0 (P ) эквивалентность совпадает с равенством, то (L1 ⊕L2 )⊕ L3 = L1 ⊕ (L2 ⊕ L3 ). Поэтому множество L0 (P ) с операцией ⊕ является частичным коммутативным моноидом. Докажем линейность отображения Ψ0 . В самом деле, Ψ0 (L1 ⊕L2 ) = Ψ0 r(L1 +L2 ) = Ψ(L1 +L2 ) = Ψ(L1 )+Ψ(L2 ) = Ψ0 (L1 )+Ψ0 (L2 ). Так как по теореме 1.3 отображение Ψ0 биективно отображает L0 (P ) на N(P ), то теорема доказана.

Глава 2 Почти нормальные поверхности в многообразиях с симметричными цепными спайнами 2.1

2-нормальные и почти нормальные поверхности

Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Определение. Замкнутая поверхность F ⊂ M называется 2-нормальной по отношению к разбиению ξP , если: 1) пересечение поверхности F с каждой плиткой D2 × I либо пусто, либо состоит из нескольких параллельных дисков вида D2 × {x1 , x2 , . . . , xn }, где x1 < x2 < . . . < xn — набор внутренних точек отрезка I; 2) пересечение поверхности F с каждой балкой I × D2 состоит из полосок вида I × l, где l — дуга в D2 с концами на ∂D2 (диск D2 можно отождествить с островом {0} × D2 ); 3) концы каждой дуги l принадлежат различным компонентам связности пересечения края острова с мостами; 4) пересечение поверхности F с каждым шаром состоит из дисков (эти диски называются элементарными); 36

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 37

5) пересечение каждого элементарного диска с каждым мостом либо пусто, либо состоит из не более чем двух дуг с концами на тех островах, которые соединяет рассматриваемый мост. Напомним, что край каждого шара разбиения ξP содержит четыре острова и шесть мостов, причем каждые два острова соединены ровно одним мостом. Элементарный диск в шаре разбиения ξP называется треугольным диском, четырехугольным диском или октагоном, если пересечение его края с мостами шара состоит соответственно из трех, четырех или восьми дуг (см. рис. 2). Легко видеть, что любая 2-нормальная поверхность содержит только указанные элементарные диски. Определение. Замкнутая поверхность F ⊂ M называется почти нормальной поверхностью с октагоном по отношению к разбиению ξP , если она является 2-нормальной и содержит ровно один октагон. Определение. Замкнутая поверхность F ⊂ M называется почти нормальной поверхностью с трубкой по отношению к разбиению ξP , если она получается из некоторой нормальной поверхности заменой двух дисков в плитке на незаузленную трубку (кольцо) с тем же краем.

2.2

Классификация почти нормальных поверхностей с октагоном

Приведем два важных примера почти нормальных поверхностей с октагоном в многообразиях с симметричными цепными спайнами. 1) Пусть симметричный цепной спайн P , его непустая подповерхность S и его 2-компонента α таковы, что: (а) α не лежит в S; (б) ее граничная кривая ∂α проходит по ребрам только двух звеньев цепочки с одной общей вершиной. Возьмем в каждой плитке D2 × I разбиения ξP , пересекающей поверхность S, один диск D2 × {x1 }, а в плитке Cα , отвечающей 2-компоненте α, возьмем два диска вида D2 × {x1 , x2 }, где x1 , x2 — различные внутренние точки отрезка I. Напомним, что в силу леммы 1.5 поверхность S содержит особый граф спайна P . Отсюда следует, что пересечение множества всех дисков в плитках с каждой балкой I × D2 непусто и состоит из четного числа дуг вида I × {x}, x ∈ ∂D2 . Поэтому, приклеивая к дискам полоски вида I × l ⊂ I × D2 , мы построим поверхность G, лежащую в объединении плиток и балок. Добавляя к ней непересекающиеся диски в шарах разбиения ξP , получим почти нормальную поверхность F (S, α) ⊂ M с октагоном. Действительно, пересечение поверхности F (S, α) с шаром, по которому плитка Cα проходит дважды,

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 38

OX Рис. 2.1: Вложение незамкнутой цепочки в XY -плоскость R2 является октагоном, пересечение с каждым шаром, по которому плитка Cα проходит ровно один раз, состоит из двух треугольных дисков, а все остальные шары поверхность F (S, α) пересекает по четырехугольным дискам. Будем говорить, что построенная таким образом поверхность F (S, α) имеет тип III. 2) Пусть P — симметричный цепной спайн, особый граф которого есть незамкнутая цепочка с n вершинами. Выберем такое вложение незамкнутой цепочки в XY -плоскость R2 , что сужение на цепочку отражения плоскости относительно оси OX является инволюцией, которая неподвижна на вершинах цепочки и имеет ровно одну неподвижную точку внутри каждой петли (см. рис. 2.1). Последовательно пронумеруем все звенья цепочки числами 0, 1, . . . , n, начиная с самого левого звена. Сопоставим каждой 2-компоненте γ спайна P два числа l(γ) и r(γ): соответственно наименьший и наибольший номер звена, по ребрам которого проходит граничная кривая ∂γ. Пусть непустая подповерхность S спайна P и его 2-компонента β таковы, что: (а) β не лежит в S; (б) r(β)−l(β) > 1. Поскольку граничная кривая ∂β проходит по ребрам трех последовательных звеньев цепочки с номерами l(β), l(β) + 1, l(β) + 2, для каждой 2-компоненты γ спайна P , лежащей в S, выполняется ровно одно из двух условий: либо r(γ) 6 l(β) + 1, либо l(γ) > l(β) + 1. Для каждой 2-компоненты γ ⊂ S возьмем в отвечающей ей плитке D2 × I разбиения ξP три диска вида D2 × {x1 , x2 , x3 }, если l(γ) > l(β) + 1, и один диск D2 × {x1 }, если r(γ) 6 l(β) + 1, где x1 , x2 , x3 — различные внутренние точки отрезка I. Аналогично, возьмем два диска D2 × {x1 , x2 } в плитке, отвечающей 2-компоненте β. Далее, выберем произвольное (возможно пустое) подмножество Γ множества всех 2-компонент спайна P так, что каждая 2-компонента γ 0 ∈ Γ не лежит в S и l(γ 0 ) > r(β). Затем, в каждой плитке, отвечающей 2-компоненте из Γ, также возьмем два диска D2 × {x1 , x2 }. Легко показать, как и в случае поверхности типа III, что пересечение множества всех дисков в плитках с каждой балкой I × D2 непусто и состоит из четного числа дуг вида I × {x}, x ∈ ∂D2 . Поэтому, последовательно приклеивая к этим дискам полоски в балках и диски в шарах разбиения ξP , мы получим почти нормальную поверхность F (S, β, Γ) ⊂ M с октагоном. Действительно, эта поверхность пересекает все шары V1 , . . . , Vn разбиения ξP так, как показано на рисунке 2.2 (для

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 39

каждого i = 1, . . . , n шар Vi пересекает только те ребра цепочки, которые принадлежат звеньям с номерами i − 1 и i). Будем говорить, что построенная таким образом поверхность F (S, β, Γ) имеет тип IV. Лемма 2.1. Каждая поверхность типа III или IV связна. Доказательство. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Вначале докажем, что любая 2-нормальная поверхность F ⊂ M пересекает каждую балку разбиения ξP . Для этого сопоставим поверхности F простой полиэдр PF ⊆ P следующим образом: вершины, ребра и 2-компоненты спайна P лежат в полиэдре PF , если поверхность F имеет непустое пересечение с соответствующими им шарами, балками и плитками разбиения ξP . Необходимое нам утверждение следует из того, что по лемме 1.5 любой непустой простой подполиэдр симметричного цепного спайна содержит особый граф спайна. Дальнейшее рассуждение разобьем на два случая, в зависимости от вида особого графа спайна P . а) Пусть особый граф спайна есть замкнутая цепочка и F (S, α) — поверхность типа III. Поскольку граничная кривая ∂α проходит по ребрам только двух звеньев замкнутой цепочки с одной общей вершиной, цепочка содержит не менее трех звеньев. Выберем любое из ребер цепочки, по которым не проходит граничная кривая ∂α, и обозначим соответствующую этому ребру балку через E. Пересечение поверхности F (S, α) с балкой E состоит из одной полоски. Так как каждая связная компонента любой 2-нормальной поверхности имеет непустое пересечение с E, то поверхность F (S, α) связна. б) Пусть особый граф спайна есть незамкнутая цепочка и F — либо поверхность F (S, α) типа III, либо поверхность F (S, β, Γ) типа IV. Обозначим через γ1 , γ2 2-компоненты спайна P , граничные кривые которых дважды проходят соответственно по петлям e1 , e2 цепочки. Разумеется, может случится, что γ1 = γ2 . Поскольку поверхность S содержит особый граф спайна, 2-компоненты γ1 , γ2 лежат в S. Пусть балки E1 , E2 соответствуют петлям e1 , e2 цепочки. Обозначим через Cγi , i = 1, 2, плитку разбиения ξP , отвечающую 2-компоненте γi . Тогда в силу определения поверхностей типов III и IV пересечение поверхности F хотя бы с одной из плиток Cγ1 и Cγ2 (пусть Cγ1 ) состоит из одного диска D. Поэтому все полоски (одна или две), из которых состоит пересечение F ∩ E1 , примыкают к D и, следовательно, принадлежат одной связной компоненте поверхности F . Так как каждая связная компонента любой 2-нормальной поверхности имеет непустое пересечение с E1 , то поверхность F связна.

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 40

a)

b)

c)

d)

f)

e)

g)

Рис. 2.2: Элементарные диски поверхности F (S, β, Γ) в шаре Vi имеют вид: (a) – если 0 < i < l(β); (b) – если i = l(β); (c) – если i = l(β) + 1; (d) – если i = l(β) + 2; (e), или (f), или (g) – если i > l(β) + 2.

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 41

Следующая теорема дает полное описание всех связных почти нормальных поверхностей с октагоном в многообразиях с симметричными цепными спайнами. Теорема 2.1. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда: 1) если особый граф спайна P есть замкнутая цепочка, то любая связная почти нормальная поверхность с октагоном в многообразии M имеет тип III; 2) если особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка, то любая связная почти нормальная поверхность с октагоном в многообразии M имеет тип III или тип IV. Идея доказательства теоремы, как и в аналогичном описании нормальных поверхностей, состоит в анализе того, как связаны между собой плиточные степени почти нормальной поверхности с октагоном по отношению ко всем четырем плиткам, которые примыкают к одному шару разбиения ξP . Поскольку по определению нормальные и 2-нормальные поверхности пересекают плитки и балки разбиения ξP одним и тем же образом, можно распространить понятия смешанной полоски, чистой поверхности (глава 1, п. 1.1), а также уравновешенности поверхности на балке (глава 1, п. 1.2) со случая нормальных на случай 2-нормальных поверхностей. Кроме того, легко проверить справедливость следующей леммы. Лемма 2.2. Пусть P — специальный спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда пересечение любой связной чистой 2-нормальной поверхности F ⊂ M с каждой плиткой разбиения ξP состоит из не более чем двух дисков. Определение. Пусть F — 2-нормальная поверхность в M и E — одна из балок. Весом балки E (по отношению к F ) будем называть максимум степеней примыкающих к E плиток. Лемма 2.3. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Предположим, что в пересечении 2-нормальной поверхности F с шаром V нет октагона. Обозначим через E1 , E10 , E2 , E20 примыкающие к шару V балки, причем E1 , E10 отвечают ребрам одного звена цепочки, E2 , E20 — другого. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Если поверхность F на балках E1 , E10 не уравновешена, причем плитка, степень которой равна весу балки E1 , дважды проходит

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 42

через V с балок одного звена на балки другого, то на балках E2 , E20 поверхность F тоже не уравновешена, причем вес балки E2 больше веса балки E1 . 2. Если поверхность F в балках E1 , E10 имеет смешанные полоски, причем плитка, степень которой равна весу балки E1 , дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого, то в балках E2 , E20 поверхность F тоже имеет смешанные полоски, причем вес балки E2 больше веса балки E1 . 3. Если поверхность F на балках E1 , E10 уравновешена, а на балках E2 , E20 — нет, то вес балки E2 больше веса балки E1 . 4. Если поверхность F на балках E1 , E10 и E2 , E20 уравновешена, то балки E1 , E2 имеют одинаковый вес. Доказательство. Обозначим через C1 , C2 плитки, которые дважды проходят через V с балок одного звена на балки другого. Пусть плитка C3 проходит через V с балки E1 на балку E10 , плитка C4 — с балки E2 на балку E20 . Степень поверхности F по отношению к плитке Ci обозначим через yi , 1 6 i 6 4. 1. Рассмотрим три суммы: y1 + y1 , y2 + y2 и y3 + y4 . Каждая из этих сумм показывает, сколько раз элементарные диски поверхности пересекают соответствующую пару противоположных (т.е. не примыкающих к одному острову) мостов шара V . Так как каждый треугольный диск проходит ровно по одному из двух противоположных мостов, то он вносит равный вклад во все три суммы. По условию леммы поверхность F на балках E1 , E10 не уравновешена, причем плитка, степень которой равна весу балки E1 , дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого. Поэтому можно считать, что y1 > y2 и y1 > y3 . Тогда среди элементарных дисков поверхности F в шаре V есть четырехугольные диски. Так как каждый четырехугольный диск проходит только по двум парам противоположных мостов, то он вносит равный вклад в две суммы из трех. Значит, 2y1 = y3 + y4 > 2y2 . Так как y1 > y3 , то y4 > y1 . Таким образом, среди плиточных степеней y1 , y2 , y4 поверхности F на балках E2 , E20 есть строго максимальная степень y4 . Это означает, что поверхность F не уравновешена на балках E2 , E20 , причем вес балки E2 больше веса балки E1 . 2. Так как поверхность F в балках E1 , E10 имеет смешанные полоски, причем плитка, степень которой равна весу балки E1 , дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого, то можно считать, что y1 = y2 + y3

(1)

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 43

и y1 > y2 , y1 > y3 . Используя рассуждение п. 1, мы получаем, что 2y1 = y3 + y4 .

(2).

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получим y4 = y1 + y2 и y4 > y1 , y4 > y2 . Поэтому в балках E2 , E20 поверхность F имеет смешанные полоски, причем вес балки E2 больше веса балки E1 . 3. Так как поверхность F на балках E2 , E20 не уравновешена, то y4 > y1 и y4 > y2 . Действительно, если предположить, что максимальная плиточная степень поверхности F на балках E2 , E20 равна y1 или y2 , то в силу п. 1 получим, что поверхность F на балках E1 , E10 не уравновешена, а это противоречит условию. Необходимое утверждение следует из того, что вес балки E2 равен y4 , а вес балки E1 равен наибольшему из чисел y1 , y2 , поскольку F уравновешена на E1 . 4. Так как поверхность F на балках E1 , E2 уравновешена и плитки C1 , C2 проходят по каждой из этих балок, то вес каждой балки равен наибольшему из чисел y1 , y2 . Лемма 2.4. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Предположим, что в пересечении 2-нормальной поверхности F с шаром V есть ровно один октагон. Обозначим через E1 , E10 , E2 , E20 примыкающие к шару V балки, причем E1 , E10 отвечают ребрам одного звена цепочки, E2 , E20 — другого. Пусть поверхность F в балках E1 , E10 имеет смешанные полоски, причем плитка, степень которой равна весу балки E1 , дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Если вес балки E1 больше 3, то F не уравновешена на балках E2 , E20 , причем вес балки E2 больше веса балки E1 . 2. Если вес балки E1 равен 3, то F уравновешена на балках E2 , E20 , причем вес балки E2 также равен 3. Доказательство. Обозначим через C1 , C2 плитки, которые дважды проходят через V с балок одного звена на балки другого. Пусть плитка C3 проходит через V с балки E1 на балку E10 , плитка C4 — с балки E2 на балку E20 . Степень поверхности F по отношению к плитке Ci обозначим через yi , 1 6 i 6 4. Так как поверхность F в балках E1 , E10 имеет смешанные полоски, причем плитка, степень которой равна весу балки E1 , дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого, то можно считать, что y1 = y2 + y3 ,

(1)

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 44 y 1 > y 2 , y 1 > y3 .

(2)

Рассмотрим три суммы: y1 + y1 , y2 + y2 и y3 + y4 . Как уже было замечено, треугольные диски вносят равный вклад во все три суммы. Поскольку в шаре имеется октагон, то четырехугольные диски отсутствуют. Более того, так как октагон ровно один, то две суммы из трех равны, а третья на 2 больше. С учетом неравенства y1 > y2 имеем 2y1 = 2y2 + 2,

(3)

2y2 = y3 + y4 .

(4)

Из равенств (1) и (3) следует, что y3 = 1. Подставляя значение y3 и выражение для y2 из равенства (3) в равенство (4), получим y4 = 2y1 − 3.

(5)

1. Если y1 > 3, то в силу условия (5) y4 > y1 . Таким образом, поверхность F не уравновешена на балках E2 , E20 , причем вес балки E2 (y4 ) больше веса балки E1 (y1 ). 2. Если y1 = 3, то y4 = y1 . Таким образом, поверхность F уравновешена на балках E2 , E20 , причем балки E1 , E2 имеют одинаковый вес 3. Доказательство теоремы 2.1. Пусть F — связная почти нормальная поверхность с октагоном в многообразии M . Возможны два случая: 1) поверхность F является чистой; 2) F содержит смешанные полоски. Разберем их отдельно. 1) Пусть поверхность F является чистой. Докажем, что F имеет тип III. По лемме 2.2 пересечение поверхности F с каждой плиткой разбиения ξP состоит из не более чем двух дисков. Так как поверхность F не является нормальной (содержит октагон), то среди плиток разбиения ξP имеются плитки и степени 1, и степени 2. Несложно заметить, что замыкание объединения всех 2-компонент, соответствующих плиткам степени 1, есть подповерхность спайна P ; обозначим ее через S. Пусть α — 2-компонента, соответствующая плитке степени 2. Поскольку степени плиток, отвечающих α и S, различны, то α 6⊂ S. Так как P — симметричный цепной спайн, то граничная кривая любой его 2-компоненты проходит по ребрам как минимум двух звеньев особого графа. Пусть вершина v спайна P такова, что граничная кривая ∂α проходит по ребрам обоих звеньев особого графа, инцидентных v. Обозначим через V шар разбиения ξP , содержащий вершину v. Тогда пересечение F ∩ V состоит из одного октагона, поскольку в силу леммы 1.5 поверхность S содержит особый граф спайна P . Так как поверхность F содержит ровно один октагон, то граничная кривая ∂α проходит по ребрам только двух звеньев

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 45

особого графа с одной общей вершиной v. Более того, поверхность F не проходит по плиткам, имеющим пустое пересечение с объединением S ∪ α. 2) Пусть поверхность F содержит смешанные полоски. Наша задача состоит в доказательстве того, что особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка и F имеет тип IV. Обозначим через V шар разбиения ξP , содержащий октагон. Пусть балки E1 , E10 разбиения ξP отвечают ребрам одного звена цепочки и имеют наибольший вес k среди всех балок, в которых поверхность F имеет смешанные полоски. Обозначим проходящую по этим балкам плитку степени k через C1 . Мы утверждаем, что балки E1 , E10 примыкают к шару V , причем плитка C1 дважды проходит через V с балок одного звена на балки другого. Действительно, так как P — симметричный цепной спайн, то C1 дважды проходит через некоторый шар B с балок E1 , E10 на балки другого звена цепочки. Если в пересечении F ∩ B октагона нет, то по лемме 2.3 п. 2 найдутся балки, вес которых больше k и поверхность F имеет в них смешанные полоски. Так как это противоречит максимальности веса балок E1 , E10 , то B = V . Докажем, что вес каждой балки разбиения ξP , на которой поверхность F не уравновешена, не превосходит k. Для этого выберем среди всех таких балок балки E, E 0 наибольшего веса m, отвечающие ребрам одного звена цепочки. Обозначим через C2 плитку степени m, проходящую по балкам E, E 0 . Так как P — симметричный цепной спайн, то C2 дважды проходит через некоторый шар B с балок E, E на балки другого звена цепочки. Тогда шар B обязан содержать октагон, т.е. B = V , иначе по лемме 2.3 п. 1 найдутся балки веса больше чем m, на которых поверхность F не уравновешена. Поскольку балки E1 , E10 также примыкает к шару V , то плитка C2 проходит по ним и, следовательно, m 6 k. Как поверхность F пересекает балки, примыкающие к шару V ? Так как в балках E1 , E10 поверхность F имеет смешанные полоски, то вес этих балок k > 3. Напомним, что плитка C1 степени k дважды проходит через шар V с балок E1 , E10 на балки другого звена цепочки; обозначим их через E2 , E20 . В силу леммы 2.4 п. 1 случай k > 3 противоречит максимальности веса балок E1 , E10 среди всех балок, на которых поверхность F не уравновешена. Итак, балки E1 , E10 имеют вес 3. Тогда по лемме 2.4 п. 2 поверхность F уравновешена на балках E2 , E20 , причем вес этих балок равен 3. Подведем промежуточные итоги. (а) Поверхность F в балках E1 , E10 имеет смешанные полоски; вес этих балок равен 3 и они примыкают к шару V . Поэтому по балкам E1 , E10 проходят три различные плитки степеней 1, 2 и 3.

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 46

(б) Поверхность F уравновешена на балках E2 , E20 ; вес этих балок равен 3 и они примыкает к шару V . (в) Вес любой балки, на которой поверхность F не уравновешена, не превосходит 3. Если такая балка не примыкает к шару V , то ее вес равен 2. Далее заметим, что звено балок E1 , E10 не является петлей, поскольку в симметричном цепном спайне по петле проходят граничные кривые ровно двух 2-компонент, а по балкам E1 , E10 проходят три различные плитки. Пусть балки E0 , E00 отвечают ребрам одного звена цепочки — соседнего звену балок E1 , E10 . Оказывается, балки E0 , E00 имеют вес 2. Действительно, так как две плитки из трех переходят с балок E1 , E10 на балки E0 , E00 , то вес не меньше чем 2. Если вес больше чем 2, то в силу пункта (в) поверхность F уравновешена на балках E0 , E00 . Это противоречит лемме 2.3 п. 3, поскольку вес балок E1 , E10 равен 3. Итак, по балкам E0 , E00 проходят плитки степеней 1 и 2. Тогда степень третьей плитки, проходящей по этим балкам, равна 1. Ключевое наблюдение состоит в том, что на всех оставшихся балках отличных от балок E0 , E00 , E1 , E10 , поверхность F уравновешена. Действительно, как мы уже видели, если поверхность не уравновешена на балках одного звена, то она также не уравновешена на балках одного из соседних звеньев цепочки, причем балки имеют различный вес. В силу пунктов (а), (б), (в) такая ситуация возможна только на балках E0 , E00 , E1 , E10 . Теперь докажем, что особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка. Рассуждая от противного, предположим, что особый граф является замкнутой цепочкой. Тогда с каждой балки, на которой поверхность F уравновешена, можно попасть на балки E2 , E20 , проходя по шарам без октагона и балкам, на которых F также уравновешена. Следовательно, по лемме 2.3 п. 4 вес каждой такой балки равен 3. Шар, к которому примыкают балки E0 , E00 , но не примыкают балки E1 , E10 , не содержит октагон. Кроме того, к нему примыкают балки веса 3, на которых поверхность F уравновешена. Это противоречит лемме 2.3 п. 3. Осталось последнее — доказать, что поверхность F имеет тип IV. Выберем такое вложение незамкнутой цепочки в XY -плоскость R2 , что сужение на цепочку отражения плоскости относительно оси OX является инволюцией, которая неподвижна на вершинах цепочки и имеет ровно одну неподвижную точку внутри каждой петли, причем звено балки E0 расположено слева от звена балки E1 . Последовательно пронумеруем все звенья цепочки числами 0, 1, . . ., начиная с самого левого звена. Обозначим через Cβ и β соответственно проходящую по балкам E1 , E10 плитку степени 2 и отвечающую ей 2-компоненту спайна. Очевидно, что замыка-

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 47

ние объединения всех 2-компонент, соответствующих плиткам нечетной степени, есть подповерхность спайна P , которую мы обозначим через S. Различная четность степеней плиток обеспечивает β 6⊂ S. Анализ плиточных степеней показывает, что плитка Cβ проходит по балкам E0 , E2 . Действительно, в силу симметричности спайна две из трех плиток, проходящих по балкам E1 , E10 , проходят по балкам соседних звеньев цепочки. Поэтому r(β) − l(β) > 1. Пусть p — номер звена, соответствующего балкам E0 , E00 . Напомним, что на всех балках отличных от E0 , E00 , E1 , E10 , поверхность F уравновешена. Поэтому по лемме 2.3 п. 3 и п. 4 все балки, соответствующие звеньям с номерами < p, имеют вес 1. Это означает, что l(β) = p и для каждой 2-компоненты γ ⊂ S, удовлетворяющей условию r(γ) 6 l(β) + 1, пересечение поверхности F с соответствующей 2-компоненте γ плиткой состоит из одного диска. Аналогично в силу леммы 2.3 п. 4 все балки, соответствующие звеньям с номерами > p + 2, имеют вес 3. Это означает, что для каждой 2-компоненты γ ⊂ S, удовлетворяющей условию l(γ) > l(β) + 1, пересечение поверхности F с соответствующей 2-компоненте γ плиткой состоит из трех дисков. Осталось заметить, что если 2-компонента γ удовлетворяет условиям γ 6⊂ S и l(γ) > r(β), то F либо не пересекает соответствующую 2-компоненте γ плитку, либо пересекает ее по двум дискам. Таким образом, поверхность F имеет тип IV.

2.3

Классификация почти нормальных поверхностей с трубкой

Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Пример 1. Пусть G — непустой простой подполиэдр спайна P и α ⊂ G — одна из его 2-компонент. Обозначим через F (G) нормальную поверхность, которая ограничивает некоторую регулярную окрестность полиэдра G в многообразии M . Заметим, что если полиэдр G является двусторонней поверхностью, то нормальная поверхность F (G) состоит из двух параллельных копий поверхности G. Если же полиэдр G имеет особые точки или является односторонней поверхностью, то F (G) — нормальная поверхность типа II. Поверхность F (G) пересекает плитку, отвечающую 2-компоненте α, по двум дискам. Заменяя эти два диска в плитке на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность с трубкой, которую обозначим через H(G, α). Легко видеть, что поверхность H(G, α) связна. Действительно, если нор-

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 48

мальная поверхность F (G) имеет тип II, то требуемое следует из предложения 1.2 и теоремы 1.1. Если же полиэдр G является двусторонней поверхностью, то в силу леммы 1.5 он связен, что влечет связность поверхности H(G, α). Пример 2. Пусть непустая замкнутая подповерхность S и отличный от двусторонней поверхности непустой простой подполиэдр K спайна P таковы, что S ⊆ K. Тогда поверхность S является нормальной поверхностью типа I, а полиэдр K определяет нормальную поверхность F (K) типа II — край его регулярной окрестности. Выберем произвольную 2компоненту α ⊂ S и, в отвечающей ей плитке Cα разбиения ξP , фиксируем структуру прямого произведения D2 × I. Нормальная поверхность S + F (K) пересекает плитку Cα по трем дискам вида D2 × {x1 , x2 , x3 }. Поскольку S ⊆ K, поверхности S и F (K) можно реализовать в многообразии M без пересечения, т.е. S + F (K) = S ∪ F (K). Отсюда следует, что S ∩ Cα = D2 × {x2 } и F (K) ∩ Cα = D2 × {x1 , x3 }. Заменяя два диска D2 × {x2 } и D2 × {xi }, i = 1 или 3, на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность с трубкой, которую обозначим через H(S, K, α, i). Легко видеть, что поверхность H(S, K, α, i) связна, поскольку поверхности S и F (K) связны в силу предложения 1.2 и теоремы 1.1. Пример 3. Пусть непустые простые подполиэдры K1 и K2 спайна P таковы, что K1 ⊆ K2 и каждый из них не является двусторонней поверхностью. Тогда полиэдр Kj , j = 1, 2, определяет нормальную поверхность F (Kj ) типа II. Выберем произвольную 2-компоненту α ⊂ K1 и, в отвечающей ей плитке Cα разбиения ξP , фиксируем структуру прямого произведения D2 × I. Нормальная поверхность F (K1 ) + F (K2 ) пересекает плитку Cα по четырем дискам вида D2 × {x1 , x2 , x3 , x4 }. Поскольку K1 ⊆ K2 , поверхности F (K1 ) и F (K2 ) можно реализовать в многообразии M без пересечения, т.е. F (K1 )+F (K2 ) = F (K1 )∪F (K2 ). Отсюда следует, что F (K1 ) ∩ Cα = D2 × {x2 , x3 } и F (K2 ) ∩ Cα = D2 × {x1 , x4 }. Заменяя два диска D2 × {xi } и D2 × {xi+1 }, i = 1 или 3, на незаузленную трубку с тем же краем, мы получим почти нормальную поверхность с трубкой, которую обозначим через H(K1 , K2 , α, i). Легко видеть, что поверхность H(K1 , K2 , α, i) связна. Итак, мы описали семейство связных почти нормальных поверхностей с трубкой в многообразиях с симметричными цепными спайнами. Нетрудно убедиться, что все перечисленные в примерах 1–3 поверхности различны, т.е. их нельзя отождествить нормальной изотопией, инвариантной на ручках разбиения ξP . Оказывается, что других почти нормальных поверхностей с трубкой в указанных многообразиях нет.

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 49

Теорема 2.2. Пусть P — симметричный цепной спайн трехмерного многообразия M и ξP — отвечающее ему разбиение на ручки. Тогда любая связная почти нормальная поверхность с трубкой в многообразии M нормально изотопна одной из поверхностей, перечисленных в примерах 1–3. Доказательство. Пусть связная почти нормальная поверхность H с трубкой получена из некоторой нормальной поверхности F заменой двух дисков в плитке на незаузленную трубку с тем же краем. Тогда поверхность F либо сама является связной, либо состоит ровно из двух связных компонент. Пусть нормальная поверхность F связна. Так как любая нормальная поверхность в M является уравновешенной (предложение 1.2), то в силу теоремы 1.1 поверхность F имеет тип I или тип II. Более того, поскольку одну из плиток она пересекает как минимум по двум дискам, то поверхность F имеет тип II. В этом случае нормальная поверхность F есть край регулярной окрестности некоторого непустого простого подполиэдра спайна P , а поверхность H нормально изотопна почти нормальной поверхности, построенной в примере 1. Пусть нормальная поверхность F состоит ровно из двух связных компонент F1 и F2 . Тогда в силу теоремы 1.1 поверхность Fi , i = 1, 2, имеет тип I или тип II. Поэтому для каждого i = 1, 2 найдется такой непустой простой подполиэдр Ki спайна P , что либо поверхность Fi нормально изотопна полиэдру Ki (Fi имеет тип I), либо полиэдр Ki отличен от двусторонней поверхности и Fi — край его регулярной окрестности (Fi имеет тип II). Возможны три случая. а) Обе связные компоненты поверхности F имеют тип I. Напомним, что по определению отображения Ψ, сопоставляющего каждому простому подполиэдру спайна нормальную поверхность, Fi = Ψ(Ki ), i = 1, 2. Так как сумма поверхностей F1 и F2 есть поверхность F , то по лемме 1.3 пересечение K1 ∩ K2 есть простой полиэдр, причем K1 ∩ K2 6= ∅ в силу леммы 1.5. Тогда K1 = K2 — двусторонняя поверхность, поскольку F1 ∩F2 = ∅. В этом случае нормальная поверхность F состоит из двух параллельных копий поверхности K1 , а почти нормальная поверхность H с трубкой нормально изотопна почти нормальной поверхности, построенной в примере 1. б) Одна из связных компонент поверхности F (пусть F1 ) имеет тип I, а другая (F2 ) — тип II. Тогда полиэдр K1 является поверхностью, а полиэдр K2 отличен от двусторонней поверхности. Как и в пункте а), пересечение K1 ∩ K2 есть непустой простой подполиэдр спайна P . Поэтому K1 ⊆ K2 и поверхность H нормально изотопна почти нормальной поверхности,

Глава 2.

Почти нормальные поверхности и симметричные спайны 50

построенной в примере 2. в) Обе связные компоненты поверхности F имеют тип II. Тогда найдутся такие регулярные окрестности N (K1 ) и N (K2 ) соответственно полиэдров K1 и K2 , что F1 = ∂N (K1 ) и F2 = ∂N (K1 ). Поскольку F1 ∩F2 = ∅, а K1 ∩ K2 6= ∅, то с точностью до перенумерации полиэдров, N (K1 ) ⊆ N (K2 ), что влечет K1 ⊆ K2 . Заметим, что каждый из полиэдров K1 и K2 отличен от двусторонней поверхности. Поэтому почти нормальная поверхность H с трубкой нормально изотопна почти нормальной поверхности, построенной в примере 3.

Глава 3 Многообразия с симметричными цепными спайнами 3.1

Какие многообразия имеют симметричные цепные спайны?

Напомним, что Lp,q и S 3 /Q4n обозначают линзовое пространство с параметрами p, q и факторпространство сферы S 3 по линейному действию обобщенной группы кватернионов Q4n =< x, y | x2 = (xy)2 = y 2n >. Обозначим через T0 тор с удаленным открытым диском (проколотый тор). Определение. Пусть h : T0 → T0 — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм проколотого тора T0 на себя. Многообразием Столлингса Mh = (T0 × I)/h со слоем T0 и отображением монодромии h называется многообразие, полученное из прямого произведения T0 × I отождествлением каждой точки (x, 0) ∈ T0 × {0} с точкой (h(x), 1) ∈ T0 × {1}. Обозначим через tr(A) след матрицы A ∈ SL(2, Z). Напомним, что матрица A имеет эллиптический, параболический или гиперболический тип, если соответственно |tr(A)| < 2, |tr(A)| = 2 или |tr(A)| > 2. Зафиксируем раз и навсегда какой-нибудь базис в H1 (T0 ) ∼ = Z⊕Z. Так как отображение монодромии h : T0 → T0 многообразия Столлингса Mh сохраняет ориентацию, то индуцированный гомоморфизм h∗ : H1 (T0 ) → H1 (T0 ) можно отождествить с матрицей Ah ∈ SL(2, Z). Заметим, что тип отображения монодромии h определяется типом матрицы Ah .

51

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

52

Теорема 3.1. Трехмерное ориентируемое многообразие M имеет симметричный цепной спайн тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий: 1. M = Lp,q , где p > 4; 2. M = S 3 /Q4n , где n > 2; 3. M является многообразием Столлингса со слоем проколотый тор и сохраняющим ориентацию гиперболическим отображением монодромии. Разобьем доказательство теоремы на три предложения. Предложение 3.1. Трехмерное ориентируемое многообразие M имеет симметричный цепной спайн, особым графом которого является незамкнутая цепочка, тогда и только тогда, когда M является линзовым пространством Lp,q , где p > 4. Предложение 3.2. Трехмерное замкнутое ориентируемое многообразие M имеет симметричный цепной спайн, особым графом которого является замкнутая цепочка, тогда и только тогда, когда M = S 3 /Q4n , где n > 2. Предложение 3.3. Трехмерное ориентируемое многообразие M с непустым отличным от сферы краем имеет симметричный цепной спайн, особым графом которого является замкнутая цепочка, тогда и только тогда, когда M является многообразием Столлингса со слоем проколотый тор и сохраняющим ориентацию гиперболическим отображением монодромии. Вначале мы найдем число 2-компонент симметричного цепного спайна. Лемма 3.1. Пусть симметричный цепной спайн P ориентируемого многообразия M содержит n вершин. Тогда число 2-компонент спайна P равно либо n + 1, либо n. При этом, если особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка, то число 2-компонент равно n + 1. Доказательство. Пусть симметричный цепной спайн P ориентируемого многообразия M содержит n вершин. Тогда особый граф спайна содержит 2n ребер. Так как любая нормальная поверхность в M уравновешена (предложение 1.2), то по теореме 1.1 край регулярной окрестности спайна P в многообразии M связен. Поскольку эйлерова характеристика

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

53

спайна P равна половине эйлеровой характеристики края его регулярной окрестности в многообразии M , то число 2-компонент спайна P не превосходит n + 1. Напомним, что через ϕ мы обозначили инволюцию симметричного цепного спайна P . Для оценки числа 2-компонент снизу выберем по одной внутренней точке на каждом ребре особого графа спайна так, чтобы множество всех выбранных точек (обозначим его через X) было ϕинвариантно. Пусть β — 2-компонента спайна P . Тогда существует характеристическое отображение f : D2 → P , которое гомеоморфно отображает IntD2 на β, а его сужение на ∂D2 является локальным вложением. Мы будем называть кривую f|∂D2 : ∂D2 → P (как и ее образ f|∂D2 (∂D2 )) граничной кривой 2-компоненты β. Точки прообраза f −1 (X) разбивают ∂D2 на дуги. При этом сужение характеристического отображения на внутренность каждой дуги является вложением. Образ дуги из ∂D2 при отображении f будем называть дугой граничной кривой 2-компоненты β. Так как инволюция ϕ инвариантна на каждой 2-компоненте, то каждая граничная кривая содержит не более двух ϕ-инвариантных дуг. Заметим, что суммарное число ϕ-инвариантных дуг граничных кривых всех 2-компонент спайна P равно 2n. Это следует из того, что дуга граничной кривой ϕ-инвариантна тогда и только тогда, когда ее крайние точки лежат на ребрах одного звена цепочки (особого графа). Поэтому число 2-компонент спайна P не может быть меньше, чем n. Нам осталось заметить, что если особый граф спайна P есть незамкнутая цепочка, то граничная кривая, проходящая по петле цепочки ровно один раз, имеет менее двух ϕ-инвариантных дуг. Поэтому в этом случае число 2-компонент спайна P равно n + 1. Доказательство предложения 3.1. Симметричные цепные спайны линзовых пространств Lp,q , p > 4, построены в работе [15]. Кратко опишем метод построения. Определим операторы r, l : Z ⊕ Z → Z ⊕ Z следующим образом: r(a, b) = (a, a + b), l(a, b) = (a + b, b). Будем применять к паре (q, p − q) операторы r−1 , l−1 до тех пор, пока не получим пару (1, 1). Обозначим через ω −1 получившуюся композицию операторов r−1 , l−1 , т.е. (1, 1) = ω −1 (q, p − q). Тогда оператор ω, рассматриваемый как строка букв r и l, определяет симметричный цепной спайн многообразия Lp,q (см. рис. 3.1). Например, для линзового пространства L21,4 (его симметричный цепной спайн изображен на рис. 3.1) мы имеем ω = rrrrlll, поскольку (q, p − q) = (4, 17) и r−1

r−1

r−1

r−1

l−1

l−1

l−1

(4, 17) → (4, 13) → (4, 9) → (4, 5) → (4, 1) → (3, 1) → (2, 1) → (1, 1).

Глава 3.

r

Многообразия с симметричными цепными спайнами

r

r

54

r

r Рис. 3.1: Строка букв r и l определяет симметричный цепной спайн многообразия Lp,q

Пусть, теперь, P — симметричный цепной спайн ориентируемого многообразия M , особый граф которого является незамкнутой цепочкой с n вершинами. В силу леммы 3.1 спайн P имеет n + 1 2-компонент. Тогда эйлерова характеристика спайна равна 1 и, следовательно, край его регулярной окрестности в многообразии M является сферой. Поэтому можно считать, что многообразие M замкнуто. Заметим, что для каждой из двух петель особого графа спайна P найдется 2-компонента, граничная кривая которой дважды проходит по этой петле в одном и том же направлении. Покажем, что это единственная ситуация, когда граничная кривая одной из 2-компонент дважды проходит по ребру спайна P . Рассуждая от противного, предположим, что граничная кривая ∂α некоторой 2-компоненты α дважды проходит по отличному от петли ребру e спайна P . Тогда в силу симметричности спайна P ∂α дважды проходит по ребру e0 , образующим вместе с ребром e одно звено цепочки. Обозначим через k число петель, по которым граничная кривая ∂α проходит ровно по одному разу. Легко видеть, что граничная кривая ∂α содержит не менее 4 − k ϕ-инвариантных дуг. С другой стороны, как было замечено в доказательстве леммы 3.1, ∂α имеет ровно 2 − k ϕ-инвариантных дуг, т.е. мы пришли к противоречию. Пусть β — 2-компонента произвольного специального полиэдра Q. Будем говорить, что граничная кривая ∂β имеет противоход, если она дважды проходит по некоторому ребру полиэдра Q, причем в противоположных направлениях. Мы будем называть граничную кривую ∂β короткой, если она проходит по не более чем трем вершинам полиэдра и по каждой из них ровно один раз. Наконец, полиэдр Q называется псевдоминимальным, если он не имеет противоходов и коротких граничных

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

55

Рис. 3.2: Регулярная окрестность особого графа симметричного цепного спайна многообразия S 3 /Q4n кривых. Как мы уже показали, спайн P не имеет противоходов. Кроме того, из определения симметричного цепного спайна следует, что P не имеет коротких граничных кривых. Таким образом, P является псевдоминимальным специальным спайном замкнутого ориентируемого многообразия M , причем особый граф спайна есть незамкнутая цепочка. Это означает (см. [15, Предложение 4.1]), что M является линзовым пространством Lp,q , где p > 4. Доказательство предложения 3.2. Симметричные цепные спайны обобщенных пространств кватернионов S 3 /Q4n , n > 2, построены в работе [15]. Указанный спайн многообразия S 3 /Q4n однозначно определяется следующими условиями (см. рис. 3.2): a) особый граф спайна есть замкнутая цепочка с n вершинами; б) граничная кривая ровно одной 2-компоненты спайна проходит по одному разу по каждому ребру особого графа и не имеет ϕ-инвариантных дуг; в) каждая из n оставшихся граничных кривых проходит по ребрам ровно двух звеньев цепочки и имеет две ϕ-инвариантных дуги.

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

56

Пусть, теперь, P — симметричный цепной спайн замкнутого ориентируемого многообразия M , особый граф которого является замкнутой цепочкой с n вершинами. Покажем, что M = S 3 /Q4n . Так как многообразие M замкнуто, то край регулярной окрестности спайна P в M является сферой. Поэтому эйлерова характеристика спайна равна 1, т.е. он имеет n + 1 2-компонент. Напомним, что точки множества X, выбранные по одной на каждом ребре спайна, разбивают граничные кривые на дуги. Несложно заметить, что граничная кривая любой 2-компоненты спайна P не может в силу симметричности иметь ровно одну ϕ-инвариантную дугу. Поэтому граничная кривая только одной 2-компоненты спайна, обозначим ее через α, не имеет ϕ-инвариантных дуг, тогда как каждая из оставшихся 2-компонент спайна имеет две ϕ-инвариантных дуги. Это означает, что граничная кривая ∂α проходит по каждому ребру особого графа и, следовательно, она разбита не менее чем на 2n дуг. С другой стороны, граничная кривая каждой 2-компоненты симметричного цепного спайна проходит по ребрам как минимум двух звеньев цепочки, т.е. состоит из не менее чем четырех дуг. Так как суммарное число дуг граничных кривых всех 2-компонент любого специального полиэдра с n вершинами равно 6n, то граничная кривая ∂α разбита ровно на 2n дуг, тогда как граничная кривая каждой из оставшихся 2-компонент спайна разбита ровно на 4 дуги и, следовательно, проходит по ребрам ровно двух звеньев цепочки. Итак, симметричный цепной спайн P удовлетворяет условиям а), б), с), поэтому он является спайном многообразия S 3 /Q4n . Доказательство предложения 3.3. Симметричные цепные спайны многообразий Столлингса со слоем проколотый тор и гиперболическим отображением монодромии были построены Т. Йоргенсеном [11]. Их описание опубликовано в [13]. Так как в этих работах первоначально строятся триангуляции, а затем, спайн определяется как полиэдр, двойственный триангуляции, то мы предпочитаем привести прямое построение симметричного цепного спайна многообразия Столлингса Mh = (T0 × I)/h со слоем проколотый тор T0 и сохраняющим ориентацию гиперболическим отображением монодромии h : T0 → T0 . Для этого нам понадобится классическая идеальная триангуляция T (рис. 3.3) гиперболической плоскости H2 (в англоязычной литературе она называется либо "Diagram of P SL2 (Z)" [13], либо "Farey tesselation" [9, 14]). В качестве модели H2 рассмотрим верхнюю полуплоскость комплексной плоскости C, ограниченную окружностью ∂H2 = R∪{∞}. Множество вершин триангуляции T состоит из точек Q ∪ {1/0} ⊂ ∂H2 , где 1/0 = ∞. При этом две вершины a/b, c/d соединены ребром (геодезической) тогда и только тогда, когда ad − bc = ±1.

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

57

Рис. 3.3: Идеальная триангуляция T гиперболической плоскости H2 Матрица Ah , как и любая другая матрица из группы SL(2, Z), определяет дробно-линейное преобразование αh гиперболической плоскости. Это преобразование продолжается на ∂H2 и является сохраняющей ориентацию изометрией H2 . Легко проверить, что изометрия αh сохраняет триангуляцию T. Путем в триангуляции T будем называть такую последовательность треугольников {40 , . . . , 4m }, что для каждого i = 0, 1, . . . , m − 1 треугольники 4i и 4i+1 имеют ровно одно общее ребро. Путь {40 , . . . , 4m } называется замкнутым, если αh (40 ) = 4m . Если все треугольники пути различны, то путь называется простым. Поскольку матрица Ah имеет гиперболический тип, изометрия αh является гиперболической. Тогда αh имеет ровно две неподвижные иррациональные точки Q1 и Q2 на ∂H2 и не имеет неподвижных точек в H2 (см. [1]). Следовательно, изометрия αh оставляет инвариантной единственную геодезическую γ, однозначно определяемую своими концами Q1 и Q2 . При этом ограничение отображения αh на γ есть сдвиг на некоторое гиперболическое расстояние. Обозначим через 40 любой из треугольников триангуляции T, пересекаемых геодезической γ. Рассмотрим замкнутый простой путь K = {40 , . . . , 4m = αh (40 )}. Так как αh — гиперболическая изометрия, то γ пересекает каждый треугольник этого пути. Более того, путь K удовлетворяет следующим условиям: (А) K содержит не менее трех треугольников; (Б) αh (40 ∩ 41 ) 6= 4m−1 ∩ 4m ; (В) треугольники 40 , 4m не имеют общих вершин.

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

58

Рис. 3.4: Флип-преобразование θ-кривой Напомним, что простая замкнутая кривая ` ⊂ T0 называется существенной, если она определяет нетривиальный элемент группы H1 (T0 ). Хорошо известно, что отображение, сопоставляющее каждой существенной кривой ` число b/a ∈ Q ∪ {1/0}, где ±(a, b) — гомологический класс кривой `, определяет биекцию между изотопическими классами существенных кривых на T0 и вершинами триангуляции T. θ-кривой будем называть граф без петель, состоящий из двух вершин и трех ребер. Каждая неразбивающая θ-кривая на T0 содержит три различные существенные кривые (назовем их несущими), каждая из которых состоит из двух ребер θ-кривой. При этом индекс пересечения любых двух несущих кривых равен ±1. Это означает, что вершины триангуляции T, соответствующие трем несущим кривым данной θ-кривой, лежат в одном идеальном треугольнике. Поэтому имеется биекция σ между изотопическими классами неразбивающих θ-кривых на T0 и треугольниками триангуляции T. Более того, для любой неразбивающей θ-кривой θ ⊂ T0 справедливо равенство σ(h(θ)) = αh (σ(θ)). Опишем флип-преобразование θ-кривой на проколотом торе T0 , состоящее в замене одной θ-кривой на другую. Пусть e — ребро θ-кривой θ. Обозначим через U (e) регулярную окрестность ребра e в проколотом торе T0 . Можно считать, что пересечение U (e) с θ состоит из непересекающихся дуг AC и BD, внутренние точки которых X, Y соединены ребром e. Флип-преобразование θ-кривой θ вдоль ребра e заключается в замене U (e) ∩ θ на объединение непересекающихся дуг AB и CD с отрезком, соединяющим их внутренние точки X, Y (см. рис. 3.4). При этом вне окрестности U (e) θ-кривая θ не изменяется. Рассмотрим набор неразбивающих θ-кривых θ0 = σ −1 (40 ), θ1 = σ −1 (41 ), . . . , θm = σ −1 (4m ). Легко видеть, что для каждого i = 0, 1, . . . , m − 1 θ-кривая θi+1 получается из θ-кривой θi ровно одним флип-преобразованием, поскольку при

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

59

флип-преобразовании изменяется гомологический класс ровно одной из трех несущих кривых θ-кривой. Построим простой полиэдр P 0 ⊂ T0 × I, край которого есть θ0 × {0} ∪ θm × {1}. Пусть ti = mi , 0 6 i 6 m. Для каждого i = 0, 1, . . . , m − 1, построим семейство графов Kti ⊂ T0 , где t ∈ [ti , ti+1 ]. Обозначим через e1i , e2i , e3i ребра θ-кривой θi . Можно считать, что θ-кривая θi+1 получена из θi флип-преобразованием вдоль ребра e1i . Выберем произвольное кольцо Ri ⊂ T0 , одну из компонент края которого образуют ребра e1i , e2i . Обозначим через ri пересечение ребра e3i с кольцом Ri . При этом кольцо Ri можно подобрать так, чтобы это пересечение являлось отрезком. Обозначим через η i некоторый гомеоморфизм кольца {z : 1 6 |z| 6 2} комплексной плоскости на кольцо Ri , отождествляющий верхнюю дугу окружности радиуса 2 с ребром e1i , а отрезок [1, 2] действительной оси — с отрезком ri . Зададим гомотопию ψti : [1, 2] → {z : 1 6 |z| 6 2} правилом t−ti i+1 −ti

i2π(x−1) t

ψti (x) = xe

,

где t ∈ [ti , ti+1 ], x ∈ [1, 2]. Положим Kti = (θi \ Int(ri )) ∪ (η i ψti ([1, 2])). Заметим, что при t ∈ [ti , ti+12−ti ) граф Kti изотопен θ-кривой θi , при t ∈ ( ti+12−ti , ti+1 ] граф Kti изотопен θi+1 , а при t = ti+12−ti мы имеем букет двух окружностей. За счет изотопии семейства Kti добьемся, чтобы Ktii = θi , Ktii+1 = θi+1 . Тогда полиэдр P 0 ⊂ T0 × I определим формулой 0

P =

m−1 [

[

Kti × {t}.

i=0 t∈[ti ,ti+1 ]

Очевидно, что ∂P 0 = θ0 × {0} ∪ θm × {1}. Так как σ(θm ) = 4m = αh (40 ) = αh (σ(θ0 )) = σ(h(θ0 )), то θm изотопна h(θ0 ) и мы можем считать, что θm = h(θ0 ). Отождествив каждую точку (x, 0) ∈ θ0 ×{0} ⊂ P 0 с точкой (h(x), 1) ∈ θm ×{1} ⊂ P 0 получим простой полиэдр P ⊂ Mh без края. Заметим, что (T0 × {t}) \ P = S 1 × [0, 1) для каждого слоя T0 × {t} многообразия Mh . Так как многообразие Mh есть расслоение над S 1 со слоем T0 , то Mh \ P = S 1 × S 1 × [0, 1) = ∂M × [0, 1),

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

60

т.е. полиэдр P является спайном многообразия Столлингса Mh . Нам осталось показать, что P — симметричный цепной полиэдр. Из построения спайна P и условия (А) следует, что его особый граф является замкнутой цепочкой с m > 2 вершинами. Так как путь K является простым и удовлетворяет условию (Б), то граничная кривая каждой 2-компоненты полиэдра P проходит по ребрам как минимум двух звеньев цепочки. Поскольку путь K удовлетворяет условию (В), каждая 2-компонента полиэдра P является диском, что влечет специальность полиэдра. Наконец, существование инвариантной на каждой 2-компоненте инволюции ϕ полиэдра P , которая неподвижна на вершинах цепочки и переставляет ребра каждого звена цепочки, легко следует из существования такой инволюции для графа P ∩ (T0 × {t}). Докажем теорему в другую сторону. Пусть особый граф спайна P есть замкнутая цепочка и число 2-компонент равно n. Соединим каждую пару точек множества X, принадлежащих ребрам одного звена цепочки, тремя попарно различными (за исключением общих концов) простыми дугами в P так, чтобы внутренние точки дуг не пересекали особый граф спайна. Это можно сделать, поскольку инволюция ϕ меняет ориентации всех 2-компонент. Мы получим набор θ-кривых (окружностей с диаметром). Они разбивают спайн на простые полиэдры с краем. Каждый такой полиэдр содержит одну вершину спайна P , а его край состоит из двух θкривых. Более того, каждый полиэдр гомеоморфен стандартному полиэдру J, описанному в [7]. Используя идею работы [7], а именно вложение полиэдра J в T0 × I, несложно показать, что M является многообразием Столлингса Mh = (T0 × I)/h со слоем T0 . Мы будем отождествлять слой T0 × {0} многообразия Mh с проколотым тором T0 . Можно считать, что P расположен в Mh так, что пересечение каждого слоя многообразия Mh со спайном P есть либо θ-кривая, либо букет двух окружностей. Последнее возможно только тогда, когда слой содержит вершину спайна. Более того, будем считать, что T0 ∩P является θ-кривой. Разрезав по ней спайн P , мы получим полиэдр P 0 ⊂ T0 × I. Сопоставим полиэдру P 0 замкнутый путь следующим образом. Выберем числа 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 так, чтобы для каждого i, 0 6 i 6 n− 1, многообразие T0 ×(ti , ti+1 ) содержало ровно одну вершину полиэдра P 0 . Обозначим через θt × {t} пересечение полиэдра P 0 с T0 × {t}, t ∈ I. Тогда KP 0 = {σ(θt0 ), . . . , σ(θtn )} — требуемый замкнутый путь. Действительно, θt0 , . . . , θtn — θ-кривые, так как слои T0 × {t0 }, . . . , T0 ×{tn } не пересекают вершин полиэдра P 0 . Более того, каждое θti+1 получается из θti хорошо известным флип-преобразованием. Так как при флип-преобразовании изменяется гомологический класс ровно одной из трех несущих кривых θ-кривой, то треугольники σ(θti ), σ(θti+1 ) имеют ровно одно общее ребро.

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

61

Далее, так как θtn = h(θt0 ), то σ(θtn ) = αh (σ(θt0 )). Заметим, что путь KP 0 определен однозначно. Действительно, если мы выберем другие числа 0 = t00 < t01 < . . . < t0n = 1, то для каждого i = 1, 2, . . . , n треугольники σ(θti ), σ(θt0i ) обязаны совпасть, так как θ-кривые θti , θt0i изотопны. Каждая эллиптическая изометрия гиперболической плоскости имеет единственную неподвижную точку в H2 и не имеет неподвижных точек в ∂H2 , т.е. на круге Пуанкаре представляется вращением (см. [1]). В этом случае любой простой замкнутый путь не удовлетворяет либо условию (А), либо условию (В). Каждая параболическая изометрия имеет единственную неподвижную точку в ∂H2 (некоторую вершину v триангуляции T) и не имеет неподвижных точек в H2 . В этом случае любой простой замкнутый путь не удовлетворяет либо условию (В) (если первый треугольник пути не содержит v), либо условию (Г) (если все треугольники пути содержат v). Поэтому αh — гиперболическая изометрия гиперболической плоскости, а h — гиперболическое отображение монодромии.

3.2

Какие линзовые пространства содержат бутылку Клейна?

В этом параграфе мы применяем полученное в главе 1 полное описание множества нормальных поверхностей в многообразиях с симметричными цепными спайнами для наглядного доказательства следующего хорошо известного факта [16]: линзовое пространство Lp,q содержит вложенную бутылку Клейна тогда и только тогда, когда p = 4k, q = 2k−1, где k — натуральное число. Определение. Собственная поверхность F в трехмерном многообразии M называется сжимаемой, если в M найдется такой диск D, что D ∩ F = ∂D и кривая ∂D не ограничивает диска в F . В противном случае поверхность F называется несжимаемой. Определение. Трехмерное многообразие называется неприводимым, если любая вложенная в него двумерная сфера ограничивает шар. Лемма 3.2. Пусть M — замкнутое неприводимое ориентируемое отличное от RP 3 трехмерное многообразие. Тогда любая вложенная в M бутылка Клейна несжимаема. Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что многообразие M содержит сжимаемую бутылку Клейна K 2 . Тогда по определению найдется такой диск D ⊂ M , что D ∩ K 2 = ∂D и кривая ∂D не ограничивает диска в K 2 . Возможны два случая.

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

62

1. Кривая ∂D разбивает бутылку Клейна K 2 на два листа Мебиуса A1 , A2 . Поскольку многообразие M ориентируемо, регулярная окрестность N (D ∪ A1 ) ⊂ M проективной плоскости D ∪ A1 гомеоморфна проективному пространству RP 3 с удаленным открытым шаром. Так как M неприводимо, то дополнение M \ N (D ∪ A1 ) гомеоморфно открытому шару. Тогда M = RP 3 , что противоречит условию теоремы. 2. Кривая ∂D не разбивает бутылку Клейна K 2 . Рассмотрим регулярную окрестность N (D ∪ K 2 ) полиэдра D ∪ K 2 в многообразии M . Очевидно, что ее край ∂N (D ∪ K 2 ) гомеоморфен двумерной сфере. Так как M неприводимо и регулярная окрестность N (D ∪ K 2 ) отлична от шара (поскольку содержит бутылку Клейна), то шаром является дополнение M \ N (D ∪ K 2 ). Тогда M = S 2 × S 1 , что противоречит неприводимости многообразия M . Так как оба случая приводят к противоречию, то любая вложенная в M бутылка Клейна несжимаема. Теорема 3.2. Линзовое пространство Lp,q содержит вложенную бутылку Клейна тогда и только тогда, когда p = 4k, q = 2k − 1, где k — натуральное число. Доказательство. Достаточность. Для каждого натурального числа k построим симметричный цепной спайн линзового пространства L4k,2k−1 . Здесь мы воспользуемся методом, описанным в доказательстве предложения 3.1. Напомним, что операторы r, l : Z ⊕ Z → Z ⊕ Z определены так: r(a, b) = (a, a + b), l(a, b) = (a + b, b). Легко видеть, что (2k − 1, 2k + 1) = r l|.{z . . }l r(1, 1). k−1

Поэтому строка r l|.{z . . }l r однозначно определяет симметричный цепной k−1

спайн P многообразия L4k,2k−1 . Заметим, что граничная кривая одной из 2-компонент этого спайна, обозначим ее через α, проходит ровно один раз по каждому ребру особого графа (для примера см. рис. 3.5). Поэтому полиэдр P \ α является замкнутой поверхностью. Ее эйлерова характеристика равна 0, поскольку спайн P , как и любой специальный спайн замкнутого многообразия, имеет характеристику 1. Кроме того, поверхность P \ α содержит 2-компоненту спайна P , граничная кривая которой дважды проходит по петле особого графа в одном и том же направлении. Следовательно, поверхность P \α ⊂ L4k,2k−1 — искомая бутылка Клейна.

Глава 3.

Многообразия с симметричными цепными спайнами

63

Рис. 3.5: Регулярная окрестность особого графа симметричного цепного спайна линзового пространства L24,11 Необходимость. Пусть линзовое пространство Lp,q содержит вложенную бутылку Клейна K 2 . Так как многообразие Lp,q удовлетворяет условиям леммы 3.2, то поверхность K 2 несжимаема. Хорошо известно, что каждая замкнутая несжимаемая поверхность в неприводимом трехмерном многообразии с произвольным разбиением на ручки изотопна нормальной поверхности (см. [10, Theorem 2.1]). Дальнейшее рассуждение разобьем на два случая. 1. Пусть p > 4. Построим симметричный цепной спайн P линзового пространства Lp,q , снова воспользовавшись методом, описанным в доказательстве предложения 3.1. Тогда можно считать, что бутылка Клейна K 2 нормальна относительно разбиения ξP . В силу теоремы 1.1 она имеет тип I или тип II. Поскольку каждая поверхность типа II, являясь краем регулярной окрестности простого подполиэдра спайна P , ориентируема, то K 2 имеет тип I. Итак, поверхность K 2 есть подполиэдр в P . Так как по лемме 1.5 K 2 содержит особый граф спайна P , и эйлерова характеристика спайна равна 1, то поверхность K 2 содержит все, за исключением одной, 2-компоненты спайна. Тогда 2-компонента, не входящая в K 2 , проходит ровно один раз по каждому ребру спайна. Как несложно заметить, это возможно только тогда, когда симметричный цепной спайн определен либо оператором rl . . . lr, либо оператором lr . . . rl (мы допускаем случай rr и ll). Отсюда следует, что p = 4k и либо q = 2k − 1, либо q = 2k + 1. Осталось только заметить, что линзы L4k,2k−1 и L4k,2k+1 гомеоморфны. 2. Пусть p = 3. Рассмотрим разбиение линзового пространства L3,1 на ручки, индуцированное его разбиением Хегора рода 1 (одно полноторие состоит из ручки индекса 0 и ручки индекса 1, второе полноторие — из ручки индекса 2 и ручки индекса 3). Поскольку данное разбиение на ручки имеет только одну плитку и одну балку, то всякая связная нормальная поверхность в этом многообразии есть двумерная сфера, нормально изотопная краю ручки индекса 3. Поэтому L3,1 не содержит вложенных бутылок Клейна.

Библиография [1] Кассон Э., Блейлер С. Теория автоморфизмов поверхностей по Нильсену и Терстону. // Издательство ФАЗИС. 1998. 112 с. [2] Матвеев С.В. Один способ задания 3-многообразий. // Вестник Московского университета. 1975. № 3. C. 11–20. [3] Матвеев С.В. Трехмерные многообразия, сконструированные на замкнутых цепочках. // Издательство Челябинского политехнического института. Сборник научных трудов. 1980. № 252. C. 79–82. [4] Матвеев С.В. Аддитивность сложности и метод Хакена в топологии трехмерных многообразий. // Украинский математический журнал. 1989. Т. 41. № 9. C. 1234–1239. [5] Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. // Издательство Московского университета. 1991. 300 с. [6] Матвеев С.В. Алгоритм распознавания трехмерной сферы (по А. Томпсон). // Математический сборник. 1995. Т. 186. № 5. C. 69– 84. [7] Овчинников М.А. Представление гомеотопий тора простыми полиэдрами с краем. // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 4. С. 533–539. [8] Шуберт Х. Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые. // Математика: сборник переводов. 1966. Т. 10. № 4. С. 45–78. [9] Anisov S. Towards Lower Bounds for Complexity of 3-Manifolds: a Program. // Preprint. http://arxiv.org/abs/math.GT/0103169. [10] Jaco W., Oertel U. An algorithm to decide if a 3-manifold is a Haken manifold. // Topology. 1984. V. 23. № 2. P. 195–209. 64

65 [11] Jorgensen T. On pairs of punctured tori. // Preprint. [12] Haken W. Theorie der Normalfl¨achen. Ein Isotopiekriterium f¨ ur der Kreisknoten. // Acta. Math. 1961. V. 105. P. 245–375. [13] Floyd W., Hatcher A. Incompressible surfaces in punctured-torus bundles. // Topology and its Applications. 1982. V. 13. P. 263–282. [14] Martelli B., Petronio C. Complexity of geometric three-manifolds and Dehn surgery on the three-rings chain-link. // Preprint. http://arxiv.org/abs/math.GT/0204228. [15] Matveev S.V. Tables of 3-manifolds up to complexity 6. // Bonn. Preprint of Max-Planck-Institut for Mathematics 98-67. 1998. 50 p. [16] Rubinstein J.H. On 3-manifolds that have finite fundamental group and contain Klein bottles. // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 251. P. 129–137. [17] Rubinstein J.H. The solution to the recognition problem for S 3 . // Lectures. Haifa. Israel. 1992. [18] Stocking M. Almost normal surfaces in 3-manifolds. // Transactions of the American Mathematical Society. 1999. V. 352. № 1. P. 171–207. [19] Thompson A. Thin position and the recognition problem for S 3 . // Math. Res. Lett. 1994. V. 1. P. 613–630. [20] Tollefson J. L. Normal surface Q-theory. // Pacific Journal of Mathematics. 1998. V. 183. № 2. P. 359–374.

Работы автора по теме диссертации [21] Фоминых Е.А. Полное описание множества фундаментальных поверхностей для некоторых трехмерных многообразий. // Труды конференции “Геометрия и приложения”, посвященной 70-летию В.А. Топоногова (Новосибирск, 13–16 марта 2000 г.). Новосибирск: Институт математики. 2001. C. 204–214. [22] Матвеев С.В., Фоминых Е.А. Нормальные поверхности в трехмерных многообразиях. // Доклады Аакадемии Наук. 2002. Т. 384. № 6. С. 727–730.

66 [23] Фоминых Е.А. Полное описание нормальных поверхностей для бесконечных серий трехмерных многообразий. // Сибирский математический журнал. 2002. Т. 43. № 6. С. 1372–1387. [24] Фоминых Е.А. Суммирование нормальных поверхностей и уравновешенные специальные спайны. // Вестник челябинского университета, серия “Математика. Механика. Информатика”. 2002. № 1(6). С. 25–29. [25] Fominykh E.A., Matveev S.V. A complete description of the set of normal surfaces in some triangulated 3-manifolds. // Тезисы докладов международной конференции “Маломерная топология и комбинаторная теория групп”. Челябинск: Челябинский государственный университет. 1999. С. 35–36. [26] Fominykh E.A. On normal surfaces in 3-manifolds. // Тезисы докладов международной конференции “Топология и динамика — Рохлинский мемориал”, посвященной 80-летию со дня рождения В.А. Рохлина. Санкт-Петербург: Институт математики. 1999. С. 31. [27] Fominykh E.A., Matveev S.V. A complete description of the set of almost normal surfaces in some 3-manifolds. // Тезисы докладов международной конференции “Математическая логика, алгебра и теория множеств”, посвященной 100-летию со дня рождения П.С. Новикова. Москва: Институт математики. 2001. C. 16. [28] Fominykh E.A. Semigroups of normal surfaces for Lp,q , S 3 /Q4n and Stallings manifolds. // Тезисы докладов международной конференции “Second Russian-German geometry meeting”, посвященной 90летию со дня рождения А.Д. Александрова. Санкт-Петербург: Институт математики. 2002. C. 21–22.