Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы: Методические указания. Часть 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики

Н.В. ПОНОМАРЕВА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Линейные преобразования и квадратичные формы ЧАСТЬ 2

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Оренбург 2002

ББК 22.143 я73 П-56 УДК 512.64 (075.8)

Рецензент старший преподаватель кафедры прикладной математики ОГУ Тарасова Т.А.

П-56

Пономарева Н.В. Линейная алгебра: Линейные преобразования и квадратичные формы: Методические указания. Часть 2. – Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2002. – 53 с.

Содержание предлагаемой работы составляют линейные преобразования и квадратичные формы. Эти методические указания по курсу линейной алгебры предназначены прежде всего для студентов, которым читается курс, линейной алгебры. Методические указания также могут быть полезны молодым преподавателям в их работе.

ББК 22.143 я73

© Пономарева Н.В., 2002 © ГОУ ВПО ОГУ, 2002 2

Введение

Учитывая, что «Линейная алгебра» читается на некоторых специальностях отдельным курсом, данные методические указания помогут студентам при изучении этой дисциплины. Автор использовала свой опыт при чтении таких разделов, как линейный оператор, собственные значения и собственные векторы линейного оператора, квадратичные формы и приведение кривых второго порядка к каноническому виду. Этот опыт может быть полезен молодым преподавателям в их работе.

3

1 Линейные операторы 1.1 Основные определения Определение 1. Оператором f, действующим из линейного пространства U в линейное пространство V (пишут f : U → V ), называется правило (закон), по которому каждому вектору х ∈ U ставится в соответствие единственный вектор у ∈ V . При этом вектор у = f ( х ) называется образом вектора х , а вектор х называется прообразом вектора у . Из определения следует, что каждый образ имеет прообраз, но не каждый прообраз имеет образ, даже если и имеет, то не единственный. П р и м е р 1. Рассмотрим оператор

f : Rn → R2 ,

определенный

правилом

∀x = ( x1 , x 2 , ..., x n ) ∈ R n y = f ( x ) = ( x1 + x 2 + ... + x n , x1 ) ∈ R 2 . П р и м е р 2. Пусть ∀x ∈ R n ставится в соответствие нулевой вектор. Такой оператор € . называется нулевым O

( )

O€ : O€( х ) = o . П р и м е р 3. Пусть ∀ х ∈ R n ставится в соответствие он сам. Такой оператор называется тождественным (I), т.е.

I : I (х ) = х . Определение 2. Оператор

f :U → V

называется линейным, если

∀ х ∈ R n и ∀ у ∈ R n и ∀α ∈ R выполняются условия: 1) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) – свойство аддитивности; 2) f (αx ) = α ⋅ f ( x ) – свойство однородности. Линейный оператор будем обозначать у = L( х ). 4

Определение 3. Ядром линейного оператора называется множество векторов x ∈U , каждый из которых оператор f переводит в о .

Записывают: Ker f = {х ∈ U : f ( х ) = о }. Определение 4. Областью значений или образом оператора называется множество векторов y ∈V , каждый из которых является образом хотя бы одного вектора x ∈U . Записывают: Jm f = {y ∈V : f ( x ) = y}. П р и м е р 4. Рассмотрим оператор f ( х ) = (2 x1 + x 2 , 3 x 2 , 0 ) , действующий в R3. Проверим для него свойства 1 и 2. Пусть х = ( x1 , x 2 , x 3 ), у = ( y1 , y 2 , y 3 ) ∈ R 3 и α ∈ R . Тогда

х + у = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) .

Найдем

f ( х ) = (2 x1 + x 2 , 3x 2 , 0 ),

f ( у ) = (2 y1 + y 2 , 3 y 2 , 0 ).

f ( х + у ) = (2 ⋅ ( x1 + y1 ) + x2 + y 2 , 3( x2 + y 2 ), 0 ) = = ((2 x1 + x2 ) + (2 y1 + y 2 ), 3 x2 + 3 y 2 , 0 + 0 ) = = (2 x1 + x2 , 3 x2 , 0 ) + (2 y1 + y 2 , 3 y 2 , 0 ) = f ( x ) + f ( y ). Свойство первое выполняется. Найдем

α х = (α x1 , α x 2 , α x3 ) и f (α х ) = (2α x1 + α x 2 , 3α x 2 , 0 ) = α (2 x1 + x 2 , 3 x 2 , 0 ) = α f ( x ) . Свойство второе также f ( х ) = (2x1 + x2 , 3x2 , 0) – линейный.

выполняется.

Значит,

оператор

П р и м е р 5. Нулевой оператор O€( х ) = (0, 0, 0) ∀х ∈ R3 является линейным. Докажем это. Рассмотрим

х = ( x1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 , у = ( y1 , y 2 , y 3 ) ∈ R 3 и α ∈ R .

5

х + у = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ), α х = (α x1 , α x 2 , α x 3 ) , O€( x ) = (0, 0, 0 ), O€( у ) = (0, 0, 0 ). 1) O€( х + у ) = (0, 0, 0) = O€( x ) + O€( y ) ; 2) O€(α х ) = (0, 0, 0) = α ⋅ O€( х ) . Свойства линейности для нулевого оператора выполняются. П р и м е р 6. Доказать самостоятельно, что тождественный оператор является линей-

ным. П р и м е р 7. Пусть

f (х ) = A ⋅ X ,

где А – матрица размера m × n , Х – матрица-столбец размера n.

 a11  a f ( х ) =  21 ...   a m1

  x1   a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n   y1           x 2   a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n   y 2   =  ...  .  ⋅  ..  =  ....................................        ... a mn   x n   a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n   y m  ... a1n ... a 2 n ... ...

a12 a 22 ... a m1

Оператор действует из пространства матриц размера n × 1 в пространство матриц размера m × 1. Этот оператор является линейным, т.к. для матриц свойства линейности выполняются: 1) f ( х + у ) = A ⋅ ( X + Y ) = A ⋅ X + AY = f ( x ) + f ( y ); 2) f (λ х ) = A ⋅ (λX ) = λ ⋅ A ⋅ X = λ ⋅ f ( x ). П р и м е р 8.

Пусть в R3 задана прямая

x y z = = , проходящая через начало коордиm n p

нат, с направляющим вектором S = (m, n, p ) . Очевидно, единичный вектор этого направления будет S0 =

6

1 2

2

m +n + p

2

⋅ (m, n, p ) .

Рассмотрим оператор P( х ) проектирования на эту прямую, который

произвольному вектору х ∈ R 3 ставит в соответствие вектор P ( х ).

z

x

S S0

Р( х )

y

0

x

Рисунок 1 Очевидно, P( х ) = Пp S x ⋅ S 0 =

(x , S 0 ) S S0

0

= (x ⋅ S 0 ) S 0 .

Покажем, что оператор P( х ) линейный: 1) P ( x + y ) = (x + y , S 0 ) ⋅ S 0 = ((x , S 0 ) + ( y , S 0 )) ⋅ S 0 = = (x , S 0 ) ⋅ S 0 + ( y , S 0 )S 0 = p( x ) + p( y ) ; 2) P(λ x ) = (λx , S 0 ) ⋅ S 0 = λ (x , S 0 ) ⋅ S 0 = λ ⋅ p( x ) , т.е. оба свойства линейности выполняются.

7

1.2 Матрица линейного оператора

Пусть задан линейный оператор L, действующий в линейном пространстве R , т.е. L : Rn → Rn и пусть e1 , e 2 , ..., e n – базис этого пространства Rn. n

Рассмотрим действие оператора L на произвольный вектор x ∈ R n . Так как e1 , e 2 , ..., e n – базис в Rn, то вектор x можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. x = x1e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n . Подействуем на вектор x линейным оператором L: св.1

L( x ) = L( x1 e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n ) = L( x1 e1 ) + L( x 2 e 2 ) + ... + L( x n e n ) = св.2

= x1 L(e1 ) + x 2 L(e 2 ) + ... + x n L(e n ) ,

(

(1)

)

где L(ei ) i = 1, n – это результат действия линейного оператора L на i-ый базисный вектор, т.е. это – образ i-го базисного вектора. Таким образом, имеем: образ любого вектора это есть линейная комбинация образов базисных векторов. Мы будем знать, что делает оператор с любым вектором, если будем знать, что он делает с базисными векторами. Вся информация о линейном операторе заключена в образах базисных векторов. Определение 5. Матрицей ALe линейного оператора L в базисе e назы-

вается квадратная матрица, в i-том столбце в которой записаны координаты образа i-го базисного вектора. Замечание – Из определения следует, что вид матрицы линейного оператора зависит от выбранного базиса и при изменении базиса матрица оператора меняется. П р и м е р 9. Рассмотрим тождественный оператор I ( x ) = x . Пусть e1 , e 2 , ..., e n – базис пространства Rn. Найдем образы базисных векторов:

I (e1 ) = e1 = 1 ⋅ e1 + 0 ⋅ e 2 + ... + 0 ⋅ e n , I (e 2 ) = e 2 = 0 ⋅ e1 + 1 ⋅ e 2 + 0 ⋅ e3 + ... + 0 ⋅ e n , I (e n ) = e n = 0 ⋅ e1 + ... + 0 ⋅ e n −1 + 1 ⋅ e n . 8

Составим матрицу тождественного оператора

AI e

1  0 = ..  0

0 0 .. 0 0   1 0 .. 0 0  =E .. .. .. .. ..   0 0 .. 0 1 

– единичная матрица, причем в любом базисе. П р и м е р 10. Рассмотрим нулевой оператор O( x ) = 0 ∀x ∈ R n . Найдем образы базисных векторов

O(e1 ) = 0 = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e 2 + ... + 0 ⋅ e n , ……………………………………… O(e n ) = 0 = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e 2 + ... + 0 ⋅ e n , значит, A0e

0  0 = ..  0

0 .. 0   0 .. 0  , .. .. ..   0 .. 0 

т.е. матрицей нулевого оператора служит нулевая матрица.

9

1.3 Представление линейного оператора матрицей

 α1i    α i  Пусть L(ei ) =  2  – образ i-го базисного вектора для ∀ i = 1, n . Тогда  ...  α i   n матрица линейного оператора y = L( x ) будет

ALe

 α11 α12  α 1 α 22 = 2 ..  .. α 1 α 2 n  n

.. α1n  .. α 2n  . .. ..  .. α nn 

Из равенства (1) имеем y = L( x ) = x1 ⋅ L(e1 ) + x 2 L(e 2 ) + ... + x n L(e n ) =

 α 1n   α 12   α 11        2 1  α 2n  α 2  α 2  = x1   + x 2   + .. + x n   =  ...   ...   ...  α n  α 2  α 1   n  n  n  α 11 x1 + α 12 x 2 + ... + α 1n x n   α 1 α 2 1   1   α 1 x + α 2 x + ... + α n x   α 1 α 2 2 2 2 n 2 = 2 1 = 2   ... ...  ..................................  α 1 α 2  1 2 n α α α x x x n ... + + + n 2 n n  n  n 1

... α 1n   x1     ... α 2n   x 2   ⋅  ...  = ALe ⋅ x . ... ...    ... α nn   x n 

Таким образом, показано, что при выбранном базисе любой линейный оператор можно единственным образом представить в матричной форме y = ALe ⋅ x , где ALe – матрица линейного оператора в выбранном базисе, x – произвольный вектор. П р и м е р 11. Найти матрицу линейного оператора P ( x ) – проектирования на плоскость хоу в пространстве R3 в базисе i , j, k .

10

Рассмотрим результаты действия оператора Р на базисные векторы: P(i ) = i = 1 ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k ,

1 0 0   A p =  0 1 0 . P( j ) = j = 0 ⋅ i + 1 ⋅ j + 0 ⋅ k , 0 0 0 P (k ) = 0 = 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k ,    x   Если взять произвольный вектор X =  y  и подействовать на него опеz   ратором Р (другими словами спроектировать его на плоскость хоу), то получим 1 0 0  x   x        вектор p = A p ⋅ X =  0 1 0  ⋅  y  =  y . 0 0 0  z   0        П р и м е р 12. Найти матрицу линейного оператора L : R2 → R2 f ( x ) = ( x1 − x 2 ; 2 x1 + 3 x 2 ) в том же базисе, в котором задан вектор x = ( x1 , x 2 ) . Пусть вектор x задан в базисе e : e1 , e 2 . Координаты базисных векторов будут e1 = (1; 0), e2 = (0; 1) . Подействуем на базисные векторы e1, e2 оператором L:  1 − 1  . f (e1 ) = (1; 2 ), f (e 2 ) = (− 1; 3) . Тогда ALe =  2 3  П р и м е р 13. Найти матрицу линейного оператора L поворота вокруг начала координат на угол ϕ против часовой стрелки в пространстве R2 в базисе i , j .

Найдем f (i ) = (cos ϕ , sin ϕ )Τ ,

(

(

f ( j ) = − cos(90 − ϕ ); sin 90 0 − ϕ 0

))

Τ

= (− sin ϕ , cos ϕ )Τ .

Итак,  cos ϕ − sin ϕ   . A f =  ϕ ϕ sin cos  

11

у

ϕ j

90 – ϕ

ϕ

х

0

i

Рисунок 2

1.4 Линейное пространство линейных операторов

Введем в рассмотрение сумму линейных операторов и умножение линейного оператора на действительное число. Это новые операторы и для их определения нужно указать, как они будут действовать на векторы из Rn. Определение 6. Суммой линейных операторов L1 и L2 называется оператор (L1+L2) такой, что ∀ x ∈ R n (L1 + L2 )( x ) = L1 ( x ) + L2 ( x ) . Теорема. Сумма двух линейных операторов есть оператор линейный.

Доказательство. Пусть L1 и L2 – два линейных оператора и (L1+L2) – их сумма, т.е. ∀ x ∈ R n (L1 + L2 )( x ) = L1 ( x ) + L2 ( x ) . Проверим свойства линейности: пусть y ∈ R n и α∈ R. def

1) Найдем (L1 + L2 )( x + y ) = L1 ( x + y ) + L2 ( x + y ) = L1 ( x ) + L1 ( y ) + def

+ L2 ( x ) + L2 ( y ) = L1 ( x ) + L2 ( x ) + L1 ( y ) + L2 ( y ) = (L1 + L2 )( x ) + (L1 + L2 )( y ) ; 2) Найдем def

с - во лин

(L1 + L2 )(α x ) = L1 (α x ) + L2 (αx ) 12

= α (L1 ( x ) + L2 ( x )) = α (L1 + L2 )( x ) .

казана.

Свойства линейности для оператора (L1+L2) выполняются. Теорема до-

Определение 7. Произведением линейного оператора L на действительное число α ∈ R называется оператор (αL) такой, что

∀ x ∈ Rn

(αL )(x ) = α ⋅ L(x ) .

Теорема. Произведение линейного оператора на действительное число, есть линейный оператор. (Доказать самостоятельно).

Чтобы убедиться, что множество линейных операторов образует линейное пространство, нужно проверить обладают ли введенные операции сложения линейных операторов и умножения на действительное число свойствами 1-8. Нулевым элементом во множестве линейных операторов должен быть оператор, который при сложении его с любым другим не изменяет его действия на любой вектор из Rn. Проверим, что нулевой оператор обладает этим свойством: (L + 0 )( x ) = L( x ) + 0( x ) = L( x ) + 0 = L( x ) . Значит, нулевой оператор является нулевым элементом во множестве линейных операторов. В качестве противоположного служит оператор (–1)·L – он найдется для любого оператора и тогда

(L + ( − 1) ⋅ L )(x ) = L(x ) + (− 1) ⋅ L(x ) = L(x ) + L(− x ) = L(x − x ) = L(0 ) = 0 = 0(x ) , т.е. сумма операторов L и (–1)·L дает нулевой оператор. Можно легко убедиться (самостоятельно), что все восемь аксиом линейного пространства выполняются. Вывод: Множество линейных операторов с введенными операциями сложения и умножения на действительное число образуют линейное пространство. Каждому линейному оператору, действующему в Rn при выбранном базисе, соответствует его матрица. Выясним, каковы матрицы операторов (L1+L2) и α ⋅ L1 . Обозначим: матрицу оператора L1 через AL1 = aij = A ,

( ) матрицу оператора L2 через AL = (bij ) = B , матрицу оператора αL1 через AαL = (cij ) = C , матрицу оператора (L1+L2) через AL + L = (d ij ) = D . 2

1

1

2

Чтобы установить связь между матрицами A, B, C, D, проследим за действием всех операторов на произвольный базисный вектор ei .

13

Найдем

 a1i   b1i   d1i         a2i   b2i   d 2i   ...   ...   ...    = (L1 + L2 )ei = L1 (ei ) + L2 (ei ) =   +   ,  a ji   b ji   d ji   ...   ...   ...         a  b  d   ni   ni   ni  т.е.

d ji = a ji + b ji

∀ i = 1, n ⇒ D = A + B.

 a1i   c1i       a 2i   c 2i   ...   ...    = (αL1 )(ei ) = α ⋅ L1 (ei ) = α ⋅   ⇒ C ji = α ⋅ a ji  a ji   c ji   ...   ...      a  c   ni   ni 

∀ j = i, n ∀i = 1, n.

Это значит, что матрица суммы двух линейных операторов равна сумме их матриц, а матрица оператора α · L1 равна произведению α на матрицу оператора L1. Определение 8. Произведением линейных операторов L1 и L2 называется оператор (L2 ·L1) (порядок важен!), действующий по правилу: ∀ x ∈ Rn

(L2 L1 )(x ) = L2 (L1 (x )) .

Таким образом, произведение операторов состоит в том, что на любой вектор сначала действует правый оператор, а затем на образ вектора L1 ( x ) действует левый оператор. Теорема. Оператор, равный произведению двух линейных операторов, является линейным оператором.

Доказательство. Пусть L1 и L2 – два линейных оператора, действующих из R в Rn и пусть x ∈ R n и y ∈ R n и α ∈ R . Покажем, что оператор L2·L1 – линейный: 1) возьмем вектор ( x + y ) и подействуем на него оператором L2·L1, получим n

14

L2 ⋅ L1 ( x + y ) = L2 (L1 x + L1 y ) = L2 L1 ( x ) + L2 ⋅ L1 ( y ) , т.е. первое свойство линейности выполняется. 2) найдем L2 ⋅ L1 (α ⋅ x ) = L2 (α ⋅ L1 x ) = α ⋅ L2 L1 ( x ) , следовательно, второе свойство линейности также выполняется. Таким образом, доказано, что оператор, равный произведению двух линейных операторов является линейным.

15

2 Преобразование базиса 2.1 Вырожденное и невырожденное линейные преобразования. Ранг и дефект преобразования

Линейное преобразование Y = A · X называется невырожденным, если det A ≠ 0 и вырожденным, если det A=0. Рассмотрим невырожденное преобразование Y = A · X. Так как det A ≠ 0 , то существует матрица A–1 – обратная к матрице А. Линейное преобразование Y=A-1·X называется обратным по отношению к Y = AX. Произведение прямого и обратного преобразований называется тождественным преобразованием. Его матрица равна А-1·А=Е. Тождественное преобразование Y = E · X преобразует всякий вектор в себя. Невырожденное преобразование устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами пространства и их образами. Действительно, каждому вектору Х соответствует единственный образ Y = AX, и наоборот, всякому образу Y соответствует единственный прообраз X = A–1Y. Вырожденное преобразование этим свойством не обладает, т.к. для него не существует обратного преобразования. Рассмотрим множество всех векторов Х, для которых образом служит нуль-вектор: АХ = 0. Определение 9. Множество векторов Х, для которых АХ=0, называется ядром линейного преобразования Y=AX, а размерность ядра называется дефектом преобразования.

Из определения следует, что ядро – это множество всех векторов пространства, которые в результате линейного преобразования превращаются в нуль-вектор. Уравнение АХ = 0,

(2)

справедливое для всех векторов ядра, в выбранном базисе эквивалентно однородной системе, где матрица системы А – это матрица линейного преобразования. Если det A ≠ 0, то система (2) имеет единственное нулевое решение Х=0. Это значит, что ядро невырожденного преобразования состоит из нуль-вектора и, значит, дефект невырожденного преобразования (т.е. размерность его ядра) равен нулю. Если det A = 0, то у системы (2) существуют и ненулевые решения, значит ядро вырожденного линейного оператора содержит и ненулевые векторы, поэтому дефект вырожденного оператора больше нуля. 16

Из теории линейных систем известно, что дефект вырожденного преобразования равен n – r, где n – порядок матрицы А, r = Rg A. Если det A ≠ 0, то n = r и n – r = 0, следовательно, дефект невырожденного преобразования равен нулю. 2.2 Преобразование координат вектора при замене базиса

Координаты вектора определяются по отношению к выбранному базису, и при изменении базиса они меняются. Матрицы линейных операторов тоже изменяются при изменении базиса. Выясним правила, по которым происходит преобразования координат векторов и матриц линейных операторов. Пусть есть «старый» базис e : e1 , e 2 , ..., e n и «новый» базис e ′= e1′, e 2′ , ..., e n′ и пусть новые базисные векторы имеют следующие разложения по векторам «старого» базиса: e1′ = t11 e1 + t12 e 2 + ... + t1n e n , e 2′ = t 21 e1 + t 22 e 2 + ... + t 2 n e n , ................................................ e n′ = t n1 e1 + t n 2 e 2 + ... + t nn e n .

(3)

Обозначим

Tee′

 t11  t =  12 ...   t1n

t 21 t 22 ... t 2n

... t n1   ... t n 2  . ... ...   ... t nn 

Определение 10. Матрица Tee,, в столбцах которой находятся координаты новых базисных векторов относительно старого базиса называется матрицей оператора замены базиса.

Очевидно, систему (3) можно записать в матричной форме

(e1′,

e 2′ , ..., e n′ ) = (e1 , e 2 , ..., e n ) ⋅ Tee′ .

(4)

Пусть x – произвольный вектор линейного пространства U, тогда он имеет разложения по базисам e и e ′ :

17

 α1    α  x = α 1 e1 + α 2 e 2 + ... + α n e n = (e1 , e 2 , ..., e n ) ⋅  2  , ...   α n 

(5)

 α 1′    α ′  x = α 1′ e1′ + α 2′ e 2′ + ... + α n′ e n′ = (e1′, e 2′ , ..., e n′ ) ⋅  2  . ...   α n′ 

(6)

Учитывая уравнение (4), получим из (6):

 α 1′    α ′  x = (e1 , e 2 , ..., e n ) ⋅ Tee′  2  . ...   α n′ 

(7)

Сравнивая выражения (5) и (7) заключаем

 α 1′   α1       α 2′  α 2  = T ⋅ ′ e e  ...   ...      α α n′   n или

x e = Tee′ x e′ .

(8)

Координаты вектора в «старом» базисе равны произведению матрицы Tee ′ оператора перехода от «старого» базиса к новому и матрицы-столбца координат вектора в «новом» базисе. П р и м е р 14. Найти координаты вектора x = e1 + 10e 2 + 10e3 в базисе e1′ , e 2′ , e 3′ , если

e1′ = e1 + e 2 + 11e 3 , e 2′ =

11 e1 − e 2 , 10

e 3′ = −e1 + e 2 + e 3 . 18

Имеем два базиса e : e1 , e 2 , e3 и e ′ : e1′, e 2′ , e3′ и имеется разложение векторов «нового» базиса по векторам старого базиса. Матрица оператора замены базиса будет

Te e′

11  1 10 − 1 1     =  1 − 1 1 , x e = 10  . 11 0 10  1    

Из выражения (6) имеем: x e = Tee′ x e′

⇒ x e ′ = Te−e1′ ⋅ x e .

Найдем Te−e1′ :

det Te e′

11 1 10 −1 = 1 − 1 1 = −1 ; 11 0 1

Te−e1′

11 1   − 1 − 10 10   = −1 10 12 − 2 .  11 − 121 − 21  10 10  

1 11 1    1    11  − 10 10    10    x e′ =  − 10 − 12 2  ⋅   =  − 110  . ...  − 11 121 21     131  10 10    10  2.3 Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса

При замене базиса меняется и матрица линейного оператора. Теорема. Если e : е1 , e 2 , ..., e n и e ′ : е1′, e 2′ , ..., e n′ – два базиса неко-

( ) (i, j = 1, n ) – матрица линейного

торого линейного пространства U и ALe = aij

оператора L в базисе e , то матрица B этого оператора в базисе e ′ имеет вид: B = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ .

где Te e ′ – матрица оператора замены базиса. Доказательство. Пусть x произвольный вектор линейного пространства U. Тогда координаты вектора x ′ в базисе e и e ′ связаны равенством 19

x e = Te e ′ ⋅ x e ′ .

(9)

Так как ALe – матрица оператора L, то сам оператор имеет вид ye = ALe ⋅ xe .

(10)

Если координаты вектора x в базисах e и e ′ связаны соотношением (9), то координаты образов этого вектора в базисах e и e ′ связаны таким же соотношением y e = Te e ′ ⋅ y e ′ .

(11)

Если В – матрица оператора L в базисе e ′ , то ye ′ = B ⋅ xe ′ .

(12)

Умножим обе части равенства (9) на ALe слева, получим:

A ⋅ x = ALe Te e ′ xe ′ . 14Le2 43 e ye

Из уравнения (11) следует:

Te e ′ y e ′ = ALe ⋅ Te e ′ ⋅ x e ′

⇒

y e ′ = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ ⋅ x e ′ . 1 4 4 2 4 43

(13)

B

Сравнивая выражения (12) и (13), получаем: B = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ .

Что и требовалось доказать. П р и м е р 15.

1 0  Найти матрицу ALe =  − 1 0  1 −1  базисе e : е1 , e 2 , e3 , в базисе e ′ : е1′,

20

1  1 линейного оператора L, заданную в 1 e 2′ , e3′ , где

e1′ = e1 − e 2 + e 3 , e 2′ = − e1 + e 2 − 2e 3 , e 3′ = −e1 + 2e 2 + e 3 . Запишем матрицу оператора смены базиса

Te e′

 1 − 1 − 1   2 = −1 1  1 −2 1   

и найдем Te−e1′ :

det Te e ′

Te−e1′

1 −1 −1 = −1 1 2 = 1; 1 −2 1

 5 3 − 1   =  3 2 − 1 ; 1 1 0   

B = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ = 1 1  1 − 1 − 1  − 3 − 4 23  5 3 − 1  0         2  =  − 3 − 1 15  . =  3 2 − 1 ⋅  − 1 0 1 ⋅  − 1 1  1 1 0   1 − 1 1  1 − 2 1   0 − 2 6         

21

3 Собственные векторы и собственные значения линейного преобразо-

вания 3.1 Характеристическое уравнение линейного преобразования

Рассмотрим линейное преобразование y = L( x ) . Может оказаться, что

образом некоторого вектора x ≠ 0 служит элемент L( x ), коллинеарный вектору x , т.е.

L( x ) = λx (λ ∈ R ) . Определение 11. Всякий ненулевой вектор x , называется собственным вектором линейного преобразования y = L( x ), если найдется такое число λ, что будет выполняться равенство

L ( x ) = λx . Это число λ называется собственным значением линейного преобразования, соответствующим собственному вектору x . Выясним, как найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора y = L( x ).  x1    x  Пусть x =  2  – собственный вектор оператора L, матрица которого в ...    xn   a11 ... a1n    некотором базисе есть A f =  ... ... ...  и λ – собственное значение,  a  n1 ... a nn  x . Тогда AL x = λx или соответствующее собственному вектору AL x − λx = 0 ⇒

( AL − λE )x = 0 .

(14)

Это уравнение представляет собой однородную линейную систему с матрицей

22

 a11 − λ  a ( AL − λE ) =  21 ...   a n1

a12 a22 ...

... ... ...

   .  − λ 

a1n a2 n ...

an 2 ... ann

Чтобы эта система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы det ( AL − λE ) = 0

(15)

или

a11 − λ a12 ... a 21 a 22 − λ ... ... ... ... a n1

a n2

a1n a 2n ...

= 0.

... a nn − λ

Мы получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно λ, которое называется характеристическим уравнением оператора L. Решив характеристическое уравнение, найдем собственные значения линейного оператора L. Подставляя каждое найденное собственное значение λ в систему (14) найдем бесконечное множество соответствующих собственных векторов. П р и м е р 16. Найти собственные векторы оператора, матрица которого в базисе  2 1  . e1 , e 2 равна A =  3 0  

Решение: Найдем собственные значения оператора из характеристического уравнения 2−λ 3

1 =0 −λ

⇒

λ 2 − 2λ − 3 = 0, λ1 = −1, λ 2 = 3 .

Этот оператор имеет два собственных значения λ1 = −1, λ 2 = 3 . Собственные векторы будем искать из системы:

(2 − λ )x1 + x 2 = 0,  3 x1 − λx 2 = 0.  23

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению λ1 = −1 . Получим систему

3 x1 + x 2 = 0,  3 x1 + x 2 = 0

⇒

 − 1 X λ = −1 =   .  3

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению λ=3. Получим систему

`− x1 + x 2 = 0,  3 x1 − 3 x 2 = 0

⇒

 1 X λ =3 =   .  1

Итак, собственные векторы линейного оператора:

 − 1 X λ = −1 =  ,  3

1 X λ =3 =   . 1

Пусть элементы матрицы А вещественны. Тогда её характеристическое уравнение (15) имеет вещественные коэффициенты. Однако корни его могут быть и комплексными. Таким образом, вещественная матрица может иметь комплексные собственные значения. Если собственное значение вещественной матрицы комплексно, то координаты собственного вектора также комплексные. С точки зрения геометрии собственный вектор указывает в пространстве направление, которое при линейном преобразовании Y=AX не меняется и вдоль которого пространство испытывает «растяжение», а соответствующее этому вектору собственное значение определяет величину «растяжения» по указанному направлению. Так как степень характеристического многочлена равна n, то оно имеет ровно n корней (вещественных или комплексных). Среди них могут быть кратные корни, поэтому число различных собственных значений матрицы А может оказаться меньше n. Пусть k (k ≤ n ) – число попарно различных собственных значений λ1, λ2, …, λk матрицы А. Подставим их поочередно в систему (14) и решив её, найдем k собственных векторов Х1, Х2, …, Хk. Теорема. Собственные векторы матрицы, отвечающие попарно различным соответственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть Х1, Х2, …, Хk – собственные векторы матрицы, отвечающие попарно различным собственным значениям. Предположим, что они линейно зависимы, т.е. существует ненулевой набор чисел α1, α2, …, αk, такой, что

k

∑α i X i = 0 . i =1

24

Будем считать, что λ векторов Х1, Х2, …, Хl, где (1 ≤ λ < k ) линейно независимы, а тогда столбцы X λ+1 , X λ+ 2 , ..., X k являются их линейными комбинациями. Тогда λ

X k = ∑ Ci X i ,

(16)

i =1

где Сi – некоторые координаты. Умножим обе части равенства (16) на матрицу А. Так как AX i = λ i X i , то λ

λ

i =1

i =1

AX k = ∑ C i AX i = ∑ C i λi X i .

(17)

С другой стороны, AX k = λ k X k и из (16) получим λ

λ

i =1

i =1

AX k = λ k ∑ C i X i = ∑ λ i C i X i .

(18)

Составим разность равенств (17) и (18), получим λ

λ

i =1

i =1

∑ C i λi X i −∑ λ k C i X i = 0 или λ

∑ Ci (λi − λ k ) ⋅ X i = 0 .

(19)

i =1

Так как векторы Х1, Х2, …, Хl линейно независимы, то равенство (19) выполняется, когда все коэффициенты C i (λ i − λ k ) = 0 i = 1, λ . Но λ i ≠ λ k , то равенство (19) выполняется, когда все

(

(

)

Сi = 0 i = 1, λ .

)

(20)

Из выражения (20) следует, что собственный вектор уравнения (16)

λ

X k = ∑ C i x i нулевой, но нулевой вектор не может быть собственным вектоi =1

ром матрицы. Значит, предположение о линейной зависимости собственных 25

векторов Х1, Х2, …, Хk неверно, т.к. ведет к противоречию. Значит, собственные векторы матрицы, соответствующие попарно различным собственным значениям, линейно независимы. В частном случае, когда все корни характеристического уравнения простые можно построить n линейно независимых собственных векторов матрицы.

3.2 Инвариантность характеристического многочлена линейного оператора относительно выбора базиса

Пусть в линейном пространстве выбран базис e : е1 , e 2 , ..., e n и ALe – матрица линейного оператора L в этом базисе. Характеристическое

(

)

уравнение имеет вид det ALe − λE = 0 .

Выберем другой базис e ′ : е1′, e 2′ , ..., e n′ , переход к которому выполняется с помощью оператора, матрица которого Te e ′ . Тогда матрица оператора L в новом базисе e ′ будет B = Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′

и характеристический многочлен запишется в виде

(

)

(

)

det (B − λE ) = det Te−e1′ ⋅ ALe ⋅ Te e ′ − λE = det Te−e1′ ALe ⋅ Te e ′ − Te−e1′ ⋅ λE ⋅ Te e ′ =

(

(

)

)

(

)

= det Te−e1′ ⋅ ALe − λE ⋅ Te e ′ = det Te−e1′ ⋅ det ALe − λE ⋅ det Te e ′ =

(

)

(

)

= det ALe − λE ⋅ det Te−e1′ ⋅ det Te e ′ = det ALe − λE , т.е. характеристический многочлен не меняется при изменении базиса.

26

3.3 Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов

( )(

)

Пусть L:U → U – линейный оператор с матрицей AL = aij i, j = 1, n в некотором базисе и пусть λ1, λ2, …, λn – собственные значения этого оператора, которым соответствуют собственные векторы e1 , e 2 , ..., e n . Предположим, что собственные векторы e1 , e 2 , ..., e n линейно независимы, тогда они образуют базис. Запишем матрицу оператора в новом базисе из собственных векторов. Для этого найдем образы базисных векторов: AL (e1 ) = λ1 e1 = (λ1 , 0, 0, ..., 0), AL (e 2 ) = λ 2 e 2 = (0, λ 2 , 0, ..., 0), …………………………………… AL (e n ) = λ n e n = (0, 0, ..., 0, λ n ) Таким образом, матрица оператора в новом базисе имеет диагональный вид  λ1 0 0 ...   0 λ2 0 ... BL =  ... ... ... ...   0 0 0 ...

0  0 . ...   0 λn 

0 0 ...

Теорема. Для того, чтобы матрица линейного оператора в данном базисе e : e1 , e 2 , ..., e n была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами этого оператора.

Доказательство. Необходимость. Пусть базисные векторы e1 , e 2 , ..., e n являются собственными векторами оператора и λ1, λ2, …, λn – соответствующие им собственные значения. Тогда L(ek ) = λk ek k = 1, n – образ k-го базисного вектора и матрица оператора  λ1 0 0 ... 0 0     0 λ2 0 ... 0 0  BL =  . ... ... ... ... ... ...    0 0 0 ... 0 λ n 

(

)

27

Достаточность. Пусть матрица АL линейного оператора L:U → U в данном базисе e : e1 , e 2 , ..., e n диагональная, т.е.  λ1 0 0 ...   0 λ2 0 ... AL =  ... ... ... ...   0 0 0 ...

0  0 . ...   0 λn 

0 0 ...

Тогда характеристическое уравнение этого оператора будет:

λ1 − λ det ( AL − λE ) =

0 ... 0

0 0 ... 0 λ2 − λ 0 ... 0 ... ... ... ... 0

0 0 ...

= 0.

0 ... 0 λn − λ

Или (λ1 − λ ) ⋅ (λ 2 − λ ) ... (λ n − λ ) = 0 ⇒ λ = λ1 , λ = λ 2 , ..., λ = λ n – собственные значения оператора, а, значит, e1 , e 2 , ..., e n – собственные векторы этого оператора.

28

4 Евклидовы пространства

В качестве конкретного линейного пространства мы рассматриваем геометрическое векторное пространство, в котором были введены понятия длины вектора и угла между векторами. Также было введено понятие скалярного произведения двух векторов, как число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними, причём скалярное произведение обладает четырьмя свойствами: коммутативности, два свойства линейности и положительной определённости. В абстрактных линейных пространствах полезно иметь аналоги этих понятий. 4.1 Аксиоматическое определение скалярного произведения Определение 12. Скалярным произведением называется функция пары векторов, которая любой паре векторов х ∈ R n и у ∈ R n ставит в соответствие действительное число, обозначаемое ( x, y ) , удовлетворяющее четырем аксиомам: 1. ∀ х ∈ R n и ∀ y ∈ R n ( x , y ) = ( y , x ) – свойство симметрии.

2. ∀ х ∈ R n , ∀ y ∈ R n и ∀ λ ∈ R

(λх , у ) = λ (х , у ).

3. ∀ х ∈ R n , ∀ y ∈ R n , ∀ z ∈ R n ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) – дистрибутивность скалярного произведения. 4. ∀ x ∈ R n

(х , х ) ≥ 0 ;

причем ( x , x ) = 0 ⇔

x = 0.

Свойство первое называется коммутативностью скалярного произведения, свойства второе и третье – свойства линейности, четвёртое свойство – положительной определённости. Определение 13. Линейное пространство Rn со скалярным произведением называется евклидовым пространством и обозначается En.

Заметим, что в Rn можно ввести скалярные произведения различными способами и тем самым получать, различные евклидовы пространства.

29

П р и м е р 17. Пусть в R2 выбран базис e1 , e 2 . Для произвольных векторов х = x1e1 + x2 e2 и у = y1e1 + y 2 e2 скалярное произведение введём по формуле:

(х , у ) = x1 y1 + 2 x1 y 2 + 2 x 2 y1 + 8 x 2 y 2 .

(21)

Убедимся, что это правило (закон) может служить скалярным произведением двух векторов. Для этого нужно проверить выполнение 1-4 свойства скалярного произведения: 1.

( у , х ) = y1 x1 + 2 y1 x 2 + y 2 x1 + 8 y 2 x 2 = (х , у ) .

2. (λ х , у ) = λ х1 y1 + 2λ x1 y 2 + 2λ x 2 y1 + 8λ x 2 y 2 = λ ( х , у ) . 3.

(х + у , z ) = (x1 + y1 )z1 + 2(x1 + y1 )z 2 + 2(x 2 + y 2 )z1 + 8(x 2 + y 2 )z 2 = = ( x1 z1 + 2 x1 z 2 + 2 x 2 z1 + 8 x 2 z 2 ) + ( y1 z1 + 2 y1 z 2 + 2 y 2 z1 + 8 y 2 z 2 ) = = ( x , z ) + ( y , z ).

4.

(x , x ) = x1 x1 + 2 x1 x 2 + 2 x 2 x1 + 8 x 2 x 2 = x12 + 4 x1 x 2 + 8 x 22 = = ( x1 + 2 x 2 )2 + 4 x 22 ≥ 0 ∀x ∈ R n

(x1 + 2 x 2 )2 + 4 x 22 = 0

⇔

x1 = 0, x 2 = 0 ⇒

x = 0.

Вывод: С помощью формулы (21) можно построить евклидово пространство. П р и м е р 18. Пусть в R2 выбран базис e1 , e2 . Для произвольных векторов x = x1e1 + x2 e2 и y = y1e1 + y 2 e2 введём правило:

(х , у ) = x1 y1 + 4 x1 y 2 + 4 x 2 y1 + x 2 y 2 .

(22)

Может ли формула (22) служить скалярным произведением векторов? 30

Проверим свойство 4 для скалярного произведения:

(x , x ) = x12 + 8 x1 x 2 + x 22 = (x1 + 4 x 2 )2 − 15 x 22 . Если x1 = 4, x 2 = −1 , то ( х , х ) = −15 < 0 , следовательно, аксиома 4 не выполняется. Значит, формула (22) не может служить скалярным произведением. П р и м е р 19. Множество геометрических векторов пространства R3 является евклидовым пространством. 4.2 Неравенство Коши-Буняковского

Докажем, что ( х , у ) ≤ ( х , х ) ⋅ ( у , у ) . Если х = 0 или у = 0 , то неравенство справедливо. Пусть х ≠ 0, у ≠ 0 , тогда ( х , х ) > 0 и ( у , у ) > 0 . Рассмотрим вектор у х и умножим его скалярно на себя. По аксиоме 4 это произве± (х , х ) ( у, у ) дение положительно     =

х

(х , х )

(

±

(х , х ) 2 (х , х ))

у

( у, у ) ±

,

х

(х , х )

±

 = ( у , у ) 

+

( у, у ) 2 ( у, у ))

2( х , у )

(х , х ) ( у, у )

у

(

    ( х, у )  > 0 ⇒  = 2 ⋅ 1 ±  (х , х ) ⋅ ( у , у )     ⇒

(х , у ) (х , х ) ⋅ ( у, у )

<1 ⇒

=

(х , у ) <1 (х , х ) ⋅ ( у, у ) (х , у ) > −1 (х , х ) ⋅ ( у, у )

⇒

(х , у ) < (х , х ) ( у , у ).

Можно утверждать, что ∀x и ∀y :

(x , y ) ≤ (x , x ) ⋅ ( y, y ) . 31

Что и требовалось доказать. 4.3 Длина вектора Определение 14. Длиной вектора х или нормой вектора х в пространстве Е называется число x = ( x , x ) . n

Из свойств скалярного произведения вытекает, что введённое таким образом понятие длины является обобщением понятия длины вектора в геометрическом векторном пространстве, т.е. обладает естественными свойствами длины: 1) х ≥ 0 , причём х = 0 ⇔ х = 0 ;

(λ х , λ х ) = λ2 (х , х ) = λ (х , х ) = λ

2) λ х = 3) х + у =

=

(x

⋅х;

(х + у , х + у ) = (х , х ) + 2(х , у ) + ( у , у ) ≤

+ y ) = x + y , т.е. 2

x + 2 (х , у ) + у = 2

2

x+y ≤ x + y.

П р и м е р 20. Пусть евклидово пространство построено со скалярным произведением из примера 1 параграфа 1.2, т.е.

(х , у ) = x1 y1 + 2 x1 y 2 + 2 x 2 y1 + 8 x 2 y 2 . В базисе e1 , e2 задан вектор х = 2e1 − e2 . Найти длину этого вектора

х =

32

(х , х ) =

x12 + 4 x1 x 2 + 8 x 22 = 4 + 4 ⋅ (− 2 ) + 8 ⋅ (− 1)2 = 2 .

4.4 Угол между векторами

Скалярное произведение позволяет определить понятие угла между двумя векторами, для любого евклидова пространства. Из неравенства Коши-Буняковского следует, что

( x, y ) (х , х ) ( у, у )

≤ 1.

Выражение, стоящее под знаком модуля имеет те же границы изменения, что и cos ϕ . Поэтому полагают ∀ х ∈ E n и y ∈ E n . cos ( x , y ) = cos ϕ =

(x , y ) , (x , x ) ( y , y )

0≤ϕ ≤π .

Для пространства En эта формула даёт знакомую нам формулу косинуса угла между двумя векторами. П р и м е р 21.

т  − 1 Найти угол между векторами х =  , у = 3, 1 пространства E2 со  2 скалярным произведением из примера 1 параграфа 1.2, т.е.

( )

(х , у ) = x1 y1 + 2 x1 y 2 + 2 x 2 y1 + 8 x 2 y 2 . Найдём ( х , у ) = (− 1) ⋅ 3 + 2 ⋅ (− 1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 ⋅ 1 = 23 ; х =

(х , х ) = (− 1)2 + 2(− 1) ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ (− 1) + 2 2 =

у =

( у, у ) =

cos ϕ =

23 ; 5 29

25 = 5,

3 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 3 + 12 = 29 ;

 23 29  .  145  

ϕ = arccos 

33

4.5 Расстояние между векторами

Определим расстояние между векторами х и у как d ( х , у ) = х − у . П р и м е р 22. Найти расстояние между векторами х = (− 1; 2 ), у = (3; 1) в пространстве n E , если ( х , у ) = x1 y1 + 2 x1 y 2 + 2 x 2 y1 + 8 x 2 y 2 . Найдём х − у = (− 4; 1) . Тогда

d (х , у ) = х − у =

(х − у,

х − у) =

= (− 4 )2 + 2(− 4 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 1(− 4 ) + 8 ⋅ 12 = 8 = 2 2 . 4.6 Ортогональность векторов Определение 15. Ненулевые векторы х и у евклидова пространства, называются ортогональными (перпендикулярными), если ( х , у ) = 0 . Определение 16. Вектор х евклидова пространства, называется нормированным, если х = 1 . Определение 17. Система векторов e1 , e 2 , ..., e n евклидова простран-

ства En, называются ортогональной, если (ei , e j ) = 0 ∀i ≠ j и i = 1, n, j = 1, n , т.е. все векторы попарно ортогональны. Определение 18. Система векторов e1 , e 2 , ..., e n евклидова пространства En, называются ортонормированной, если

(ei , e j ) = 10,, 

i ≠ j, если i = j,

∀i, j = 1, n.

Теорема. Всякая ортогональная система, не содержащая нулевых векторов, линейно независима.

Доказательство. Пусть e1 , e 2 , ..., e k – ортогональная система, не содержащая нулевых векторов, т.е. ei ≠ 0, ∀i = 1, k . Предположим, что система векторов e1 , e 2 , ..., e k линейно зависима, это, значит, существует ненулевой набор чисел λ1 , λ2 , ..., λk такой, что линей34

ная комбинация этих векторов равна нулю, т.е. λ1e1 + λ2 e2 + ... + λk ek = 0 . Умножим обе части этого равенства на вектор ei скалярно, получим:

λ1 (e1 , ei ) + λ 2 (e 2 , ei ) + ... + λi (ei , ei ) + ... + λ k (e k , ei ) = 0 . Так как векторы ортогональны, то

(e m ,

ei ) = 0, m ≠ i ⇒ λi (ei , ei ) = 0 ⇒ λi = 0 , т.к. (ei , ei ) ≠ 0 .

Значит, получим нулевую линейную комбинацию только, если λ i = 0, i = 1, 2, ..., k , следовательно, векторы линейно независимы. Следствие. В n-мерном евклидовом пространстве каждая ортонормированная система, состоящая из n векторов, является базисом. Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве En существует ортонормированный базис. Доказательство. Пусть q1 , q 2 , ..., q n – произвольный базис пространства E . Положим, f1 = q1 , f 2 = q2 + α f1 , причём α подберём так, чтобы векторы f1 и f 2 были ортогональны, т.е. n

(q2 + α f1 , f1 ) = (q2 , f1 ) + α ( f1 , f1 ) = 0

⇒ α =−

(q2 , f1 ) . ( f1 , f1 )

Так как f 1 ≠ 0 , то ( f1 , f 1 ) ≠ 0 . Ввиду линейной независимости векторов q1 и q 2 вектор f 2 будет ненулевым. Допустим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы f 1 , f 2 , ..., f k −1 уже найдены. Положим f k = q k + τ 1 f 1 + τ 2 f 2 + ... + τ k −1 f k −1 и подберём числа τ 1 , τ 2 , ..., τ k −1 так, чтобы вектор f k был ортогонален к f 1 , f 2 , ..., f k −1 . Для этого нужно, чтобы выполнялись равенства:

( f k , fi ) = (qk , fi ) + τ i ( f i , fi ) = 0

при i = 1, k − 1 , откуда τ i = −

(qk , f i ) . (fi , fi )

Это построение мы будем продолжать до тех пор, пока не найдём последний ненулевой вектор f n = qn + ξ1 f1 + ξ 2 f 2 + ... + ξ n −1 f n −1 , ортогональный ко всем предыдущим векторам f1 , f 2 , ..., f n −1 . В силу предыдущей теоремы векторы f 1 , f 2 , ..., f n линейно независимы, а, значит, образуют ортогональный базис. Если умножить каждый из век35

(

)

торов f i i = 1, n на величину, обратную его длине, то получим ортонормированный базис, образованный векторами:

e1 =

f1 f1

, e2 =

1 f2

⋅ f 2 , ..., en =

1 fn

⋅ fn .

Теорема доказана. Применённый способ получения ортонормированной системы векторов из заданной линейно независимой системы называется процессом ортогонализации. Замечание – Ортонормированный базис в евклидовом пространстве играет ту же роль, что декартов прямоугольный базис в трёхмерном пространстве. П р и м е р 23. Пусть в E3 со скалярным произведением ( х, у ) = x1y1+ x2 y2 + x3 y3 дана система трёх векторов:  1   − 1  5        S1 =  − 2 , S 2 =  0 , S 3 =  − 3  .  2   − 1 − 7       С помощью процесса ортогонализации построить ортонормированный базис. Решение: Проверим, что система S1 , S 2 , S 3 линейно независима, т.е. может служить базисом. Вычислим определитель, столбцами которого служат координаты этих векторов: 1 −1 5 −2 0 3 = 27 ≠ 0 . 2 −1 − 7 Следовательно, S1 , S 2 , S 3 образуют базис в пространстве E3. Ортонормированный базис на основе этой системы можно построить не один, если начинать процесс ортогонализации с различных векторов. Пусть f 1 = S1 . Возьмём f 2 = S 2 − τ f 1 и подберём τ такое, чтобы

( f1 , f 2 ) = 0 , следовательно, (S 2 , f1 ) − τ ( f1 , f1 ) = 0 . Так как

36

(S 2 , f1 ) = (S 2 , S1 ) = −3 , ( f1 , f1 ) = 9 , то для нахождения τ имеем уравнение: − 3 − 9τ = 0, τ = − 1 . 3 Значит,  1   − 2 3  − 1    1   1 f 2 = S 2 + ⋅ S1 =  0  +  − 2  =  − 2 3  . 3  − 1 3  2   − 1 3       

(

)

Возьмём f 3 = S 3 − α1 f1 − α 2 f 2 . Подберём α1 и α 2 так, чтобы f 3 , f 1 = 0 ,

( f3 , f2 )= 0 .

( f 3 , f1 ) = (S 3 , f1 ) − α1 ( f1 , f1 ) − α 2 ( f 2 , f 2 ) = 0, (S 3 , f1 ) = (S 3 , S1 ) = −3, ( f1 , f1 ) = (S1 , S1 ) = 9, ( f 2 , f1 ) = − 23 + 43 − 23 = 0 . (

)

1 Значит, f 3 , f1 = −3 − 9α1 = 0, α1 = − . 3

( f 3 , f 2 ) = (S 3 , f 2 ) − α1 ( f1 , f 2 ) − α 2 ( f 2 , f 2 ) = 0, (S 3 , f 2 ) = − 103 + 63 + 73 = 1, ( f1 , f 2 ) = 0, ( f 2 , f 2 ) = 1. 37

Получим 1 − α 2 = 0 ⇒ α 2 = 1 .  1   − 2 3  6   5       1   Вектор f 3 =  − 3  +  − 2  −  − 2 3  =  − 3  .  − 7 3  2   − 1 3   − 6         Проверка:

( f1 , f 3 ) = 6 + 6 − 12 = 0 ( f 2 , f 3 ) = −4 + 2 + 2 = 0 Векторы

 1    f 1 =  − 2 ,  2   

⇒ ⇒

f1 ⊥ f 3 , f2 ⊥ f3 .

 − 2 3   f 2 =  − 2 3 ,  −1 3  

 6    f3 =  − 3  − 6  

образуют ортогональ-

ный базис. Нормируем каждый вектор, для чего умножим каждый на величину обратную его модулю, получим:  23   − 2 3  13        e1 =  − 2 3 , e2 =  − 2 3 , e3 =  − 1 3  – ортонормированный базис.  − 2 3  −1 3  23        4.7 Координаты в евклидовом пространстве Теорема. Координата xi вектора х относительно ортонормированного базиса e1 , e 2 , ..., e n равна xi = ( x , ei ) i = 1, n .

(

)

Доказательство. Пусть e1 , e 2 , ..., e n ортонормированный базис пространства En и х = ( x1 , x 2 , ..., x n ) – произвольный вектор этого пространства, т.е. x = x1 e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n .

(

)

Умножим скалярно обе части этого равенства на ei i = 1, n , получим

38

(x , ei ) = x1 (e1 , ei ) + x 2 (e 2 ,

(

(

)

ei ) + ... + x i (ei , ei ) + ... + x n e n , ei = x i ,

)

⇒ x i = ( x , ei ), i = 1, n . Что и требовалось доказать. Получим выражение скалярного произведения через координаты векторов.

Пусть в En выбран базис e1 , e 2 , ..., e n (не обязательно ортонормированный), тогда n

n

x = ∑ x i ei ,

y = ∑ yj ej .

i =1

j =1

Вычислим  n (х , у ) =  ∑ x i ei ,  i =1

n   ∑ y j e j  = ∑ x i y i (ei , e j ) . j =1  i , j =1 n

Обозначим (ei , e j ) = q ij , тогда n

(x , y ) = ∑ qij x i y j .

(23)

i , j =1

Заметим, что если изменить базис, то форма (23) изменится. Из свойств скалярного произведения следует, что q ij = q ji и q ii > 0 . Это необходимые условия того, что форма (23) является скалярным произведением, но не достаточные. Запишем числа qij в матрицу  q11  q Г =  21 ...   q n1

q12 q 22 ... qn2

... q1n   (e1 , e1 )   ... q 2 n   (e 2 , e1 ) = ... ...   ...   ... q nn   (e n , e1 )

(e1 , e 2 ) (e 2 , e 2 )

...

(e1 , e n )   (e 2 , e n )

...

...

...

(e n ,

e2 )

...

.  ... (e n , e n )

Эта матрица называется матрицей Грама, она симметрична относительно главной диагонали в силу свойств скалярного произведения. Если базис ортонормированный, то 39

0, если i ≠ j , q ij =  1, если i = j и матрица Грама в этом случае единичная и скалярное произведение в ортонормированном базисе имеет вид: n

( х , у ) = ∑ xi y i i =1

= x1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n .

5 Квадратичные формы 5.1 Основные определения

Пусть х = ( x1 , x 2 , ..., x n ) – вектор n-мерного линейного пространства. Определение 19. Функция n переменных вида

A( x, x ) = a11 x12 + a12 x1 x 2 + ... + a1n x1 x n + + a 21 x 2 x1 + a 22 x 22 + a 23 x 2 x 3 + ... + a nn x n2 ,

(

(24)

)

где a ij i, j = 1, n – числовые коэффициенты, называется квадратичной формой. Правую часть равенства (24) можно записать в виде n

n

A( x, x ) = ∑ ∑ a ij x i x j = i =1 j =1

n

∑ a ij x i x j .

(25)

i , j =1

Замечание – В сумме (1) слагаемые a ij x i x j и a ji x j x i (i ≠ j ) подобны, поэтому можно всегда добиться, чтобы a ij = a ji . Определение 20. Матрица

 a11  a A = (aij ) =  21 ...   a n1 40

a12 a 22 ... an2

... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a nn 

(26)

называется матрицей квадратичной формы в заданном базисе. Учитывая, что a ij = a ji (i ≠ j ) , матрица A является симметричной. Определение 21. Рангом квадратичной формы (24) называется ранг её матрицы. Определение 22. Квадратичная форма A( х , x ) называется невырожденной, если rang A = n = размерности пространства. Пусть A = (a ij ) i, j = 1, n – матрица квадратичной формы (24) и

(

)

 x1    x =  ...  – вектор-столбец переменных. x   n Рассмотрим матрицу x т ⋅ A ⋅ х =

 a11  a = ( x1 , x 2 , ..., x n ) ⋅  21 ...   a n1

... a1n   x1     ... a 2 n   x 2  = ⋅ ... ...   ...     ... a nn   x n 

a12 a 22 ... a n2

= (a11 x1 + a 21 x 2 + ... + a n1 x n , a12 x1 + a 22 x 2 + ... + a n 2 x n , ..., a1n x1 + a 2 n x 2 + ...+ a nn x n )×  x1    x  ×  2  = a11 x12 + a 21 x 2 x1 + ... + a n1 x n x1 + a12 x1 x 2 + a 22 x 22 + ... + a n 2 x n x 2 + ... + ...    xn 

(

)

+ a1n x1 x n + a 2 n x 2 x n + a nn x n2 = A( x, x ). Таким образом, квадратичная форма в матричной форме имеет вид (векторная форма): A( x, x ) = x т ⋅ A ⋅ х . П р и м е р 24.

41

Записать квадратичную форму A( x, x ) = 2 x12 − 3 x 22 + x 32 + 8 x1 x 2 + 2 x1 x 3 в векторной форме.  2 4 1   Составим матрицу A квадратичной формы A =  4 − 3 0  , тогда 1 0 1    2 4 1   x1      A( x, x ) = ( x1 x 2 x 3 ) ⋅  4 − 3 0  ⋅  x 2  .  1 0 1  x    3  П р и м е р 25.

 2 − 1 Дана матрица A =   квадратичной формы. Записать эту квадра−1 5  тичную форму A( x , x ) = 2 x12 − 2 x1 x 2 + 5 x 22 . 5.2 Классификация квадратичных форм Определение 23. Квадратичная форма A( х , x ) называется: 1) положительно (отрицательно) определённой, если ∀ х = ( x1 , x2 , ..., xn ) A( х , х ) > 0, ( A( х , х ) < 0 ) .

2) знакопеременной, если существуют х = ( x1, x2 , ..., xn ) и у = ( y1, y2 , ..., yn ) такие, что A( х , х ) > 0, а A( у , у ) < 0 .

3) квазизнакоопределённой, если существует х = ( x1 , x 2 , ..., x n ) A( х , х ) ≥ 0 или A( х , х ) ≤ 0 , но существует у = ( y1 , y 2 , ..., y n ) ≠ 0 такой, что A( у , у ) = 0 . Критерий Сильвестра знакоопределённости квадратичной формы. Пусть квадратичная форма A( х , x ) в базисе (e1 , e 2 , ..., e n ) определяется

( ) (i, j = 1, n) и пусть

матрицей A = a ij

42

∆1 = a11 , ∆ 2 =

a11 a 21

a12 a 22

a11 , ∆ 3 = a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a11 a13 a a 23 , …, ∆ n = 21 .. a 33 a n1

a12 a 22 ..

.. a1n .. a 2 n .. ..

an2

.. a nn

– угловые миноры и определитель матрицы. Теорема (Критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма A( х , x ) была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все её угловые миноры были положительны, т.е. ∆ 1 > 0, ∆ 2 > 0, ..., ∆ n > 0 .

Для того чтобы квадратичная форма A( х , x ) была отрицательно определённой необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причём ∆ 1 < 0 (без доказательства). 5.3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду Квадратичная форма A( х , х ) =

(

n

∑ a ij x i x j

имеет канонический вид, если

i , j =1

)

a ij = 0 ∀i ≠ j i, j = 1, n , т.е. каноническая квадратичная форма имеет вид: a11 x12

+

a 22 x 22

+ ... +

a nn x n2

n

= ∑ a ii x i2 . i =1

Матрица такой квадратичной формы является диагональной  a11   0 A= ..   0

0 a 22 .. 0

   .  .. .. 0 a nn 

0 .. 0 0 .. 0 .. .. ..

0 0 ..

Коэффициенты a11 , a 22 , a nn называются каноническими коэффициентами. Очевидно, что матрица квадратичной формы зависит от выбора базиса. Введём в пространстве скалярное произведение и будем считать, что выбранный базис e1 , e2 , ..., en ортонормирован. Рассмотрим линейный оператор L, имеющий своей матрицей матрицу A квадратичной формы A( х , x ) . Скалярное произведение в случае ортонормированного базиса равно сумме попарных произведений их координат, т.е. 43

 n  (L х, х ) = ∑  ∑ a ik x k  x i = A(х , х ) . i =1  k =1  n

Теорема. Для любой квадратичной формы A( х , x ) в евклидовом пространстве En существует ортонормированный базис, относительно которого матрица квадратичной формы A( х , x ) принимает диагональный вид. (Без доказательства). П р и м е р 26. Привести к каноническому виду квадратичную форму A( х , х ) = 32 x12 + 52 x1 x 2 − 7 x 22 . Описать преобразование базиса, обеспечивающее решение задачи.  32 26  Матрица А квадратичной формы имеет вид A =   . Найдём соб 26 − 7  ственные значения и построим базис из собственных векторов. Характеристическое уравнение будет:

32 − τ 26

26 = 0; − 7 −τ

τ 2 − 25τ − 900 = 0;

τ 1 = 45, τ 2 = −20.

В новом базисе матрица квадратичной формы примет вид 0   45 B =   , 0 − 20   а сама квадратичная форма B ( у , у ) = y12 − 20 y 22 . Для описания преобразования координат найдём матрицу Т перехода от старого базиса к новому. Для этого построим собственные векторы. Для τ = 45 получаем систему уравнений:

44

− 13 x1 + 26 x 2 = 0,  26 x1 − 52 x 2 = 0;  − 13   26

20  x1   0    =  . − 52  x 2   0 

Базисный минор отчёркнут. Свободная переменная х2. Отсюда собст 2 венный вектор, соответствующий собственному значению τ = 45 будет f1 =  .  1e

Для τ 2 = −20 получим систему  52 26  x1   0    =    26 13  x 2   0  

 − 1 и собственный вектор f 2 =   .  2 e Векторы f1 и f 2 ортогональны

(( f1 , f 2 ) = 0),

но не нормированы

(( f1 , f 2 ) = 4 + 1 = 5 ≠ 0). Нормируем их и получим новый ортонормированный базис: 2 f1 =  1

5  и 5 

−1 5 . f 2 =   2 5  

Матрица Т перехода от старого базиса к новому будет

2 5 −1 5 . T =   1 5 2 5  Преобразование координат имеет вид: y1 =

2 5

x1 +

1 5

x2 ,

y2 = −

1 5

x1 +

2 5

x2 .

45

5.4 Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид 2

2

i ,k

i =1

∑ a ik x i x k + 2∑ bi x i + C = 0 . Для того, чтобы начало координат было центром симметрии кривой, необходимо и достаточно, чтобы уравнение её было инвариантно относительно замены х1 на – х1 и х2 на – х2, т.е. чтобы коэффициенты второго слагаемого b1 и b2 были равны нулю. Рассмотрим общее уравнение кривой a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + a 22 x 22 + 2b1 x1 + 2b2 x 2 + C = 0 . Выполним преобразование координат по формулам x1 = x1′ + a1 , x 2 = x 2′ + a 2 и подберём а1, а2 так, чтобы коэффициенты при первых степенях х1, х2 обратились в ноль, т.е. a11 ( x1′ + a1 )2 + 2a12 ( x1′ + a1 )( x 2′ + a 2 ) + a 22 ( x 2′ + a 2 )2 + 2b1 ( x1′ + a1 ) + 2b2 ( x 2′ + a 2 ) + C = 0. Очевидно 2a11 a1 + 2a12 a 2 + 2b1 = 0,  2a12 a1 x 2′ + 2a 22 a 2 + 2b2 = 0 Если ∆ =

a11

или

a11 a1 + a12 a 2 = −b1 ,  a12 a1 + a 22 a 2 = −b2 .

a12

≠ 0 , то система имеет единственное решение а1 и а2. a 21 a 22 В этом случае кривая называется центральной. Если ∆ = 0 , то кривая называется нецентральной. Выбрав начало координат в центре симметрии (a1 , a 2 ), т.е. сделав замену x1 = x1′ + a1 и x 2 = x 2′ + a 2 , приведём уравнение кривой к виду:

(

)

a11 x1′ 2 + 2a12 x1′ x 2′ + a 22 x 2′ 2 + a11 a12 + 2a12 a1 a 2 + a 22 a 22 + 2b1 a1 + 2b2 a 2 + C = 0 46

или

a11 x1′2 + 2a12 x1′ x 2′ + a 22 x 2′2 + C1′ = 0 .

Приведем квадратичную форму A( х ′, х ′ ) = a11 x1′ 2 + 2a12 x1′ x 2′ + a 22 x 2′ 2 к каноническому виду. Для этого в качестве базиса выберем единичные собстa12  a венные векторы оператора, имеющего матрицу A =  11  :  a12 a 22  a11 − τ

a12

a12

a 22 − τ

= 0,

(

)

2 τ 2 − (a11 + a 22 )τ + a11 a 22 − a12 = 0,

2 τ 1 ⋅ τ 2 = a11 a 22 − a12 =

a11

a12

a12

a 22

.

В новом базисе квадратичная форма будет иметь вид

τ 1 x1′′2 + τ 2 x 2′′2 , а уравнение кривой примет вид:

τ 1 x1′′2 + τ 2 x 2′′2 + C1′ = 0 ,

(27)

где τ 1 и τ 2 – собственные значения оператора с матрицей А. a a Отсюда видно, что если τ 1 ⋅ τ 2 = 11 12 < 0 , то a 22 a 22

τ 1 x1′′2 + τ 2 x 2′′2 + C1′ = 0

является

гиперболой

или

парой

кривая

пересекающихся

прямых, если C1′ = 0 . Если τ 1 ⋅ τ 2 > 0, τ 1 > 0, τ 2 > 0 (τ 1 < 0, τ 2 < 0 ) , то эта кривая является эллипсом при C1′ < 0 (C1′ > 0 ) , вырождается в точку, если C1′ = 0 . Если τ 1 > 0 , τ 2 > 0 , C1′ > 0 ряющих этому уравнению нет.

(τ 1 < 0, τ 2 < 0,

C ′ 1< 0 ), то точек, удовлетво-

Если C1′ ≠ 0 , то уравнение (27) можно переписать в виде

47

x1′′2 x 2′′2 = 1. +  C1′   C1′   −   −   τ1   τ 2  Отсюда видно, что в зависимости от знака τ 1 и τ 2 кривая является либо эллипсом, либо гиперболой. Если кривая нецентральная, то

τ1 ⋅τ 2 =

a11 a 21

a12 2 = 0 ⇒ a11 a 22 = a12 a 21 = a12 , a 22

тогда a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + a 22 x 22 = ±

(

a11 ⋅ x1 ±

)

2

a 22 ⋅ x 2 .

Выбрав ортонормированный базис f1 и f 2 из собственных векторов и считая τ 1 = 0 , т.к. (τ 1 ⋅ τ 2 ) = 0 , получим

τ 2 x 2′2 + 2b1′ x1′ + 2b2′ x 2′ + C ′ = 0 . Преобразуем его к виду:  b2′  b22 τ 2  x 2′ +  + 2b1′ x1′ + C1 − = 0 . τ2  τ2  b2′

C1 b22 , b1′ ≠ 0 , получим уравнение Полагая, x 2′′ = x 2′ + , x1′′ = x1′ + − τ2 b1′ b1′τ 2

τ 2 x 2′′2 = −2b1′ x1′ или x 2′′2 = 2 px1′′ , где 2 p = −

2b1′

τ2

(28)

.

Уравнение (28) – уравнение параболы, осью симметрии которой является ось x1′′ , а вершина расположена в начале новой системы координат ( x1′′, x 2′′ ) .

48

 1  b2′ 2 Если b1′ = 0 , то получаем уравнение x 2′′ = C ′′ , где C ′′= − C ′ .  τ 2  τ 2  ′ ′ Если C > 0 , то эта пара параллельных прямых, симметричных относительно оси x1′′ , если C ′′= 0 , то эта сама ось x1′′ , если C ′′< 0 , то это пустое множество. 2

П р и м е р 27. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 2 25 x1 − 14 x1 x 2 + 25 x 22 − 64 x1 + 64 x 2 − 224 = 0 и определить преобразования переменных, с помощью которых достигается это приведение. Приведём к каноническому виду квадратичную форму с матрицей

 25 − 7  A =   .  − 7 25  Характеристическое уравнение 25 − τ −7

−7 =0 ⇒ 25 − τ

(25 − τ )2 − 49 = 0 ,

(25 − τ − 7 ) = 0, (25 − τ + 7 ) = 0, τ 1 = 18, τ 2 = 32 .  1 Для τ 1 = 18 строим собственный вектор f1 =   ,  1  − 1 для τ 2 = 32 – собственный вектор f 2 =   . 1 Нормируем их, получим ортонормированный базис   f1 =    

1   1    − 2 и f = 2 . 2 1   1     2  2 

Матрица преобразования базиса будет   T =   

1 2 1 2

−

1   2 . 1   2 

49

Квадратичная форма принимает вид

B ( y , y ) = 18 y12 + 32 y 12 . Преобразование координат х = Т у идёт по формулам: x1 =

1 1 y1 − y2 , 2 2

x2 =

1 1 y1 + y2 . 2 2

Подставим эти значения в линейную часть уравнения кривой, получим:

18 y12 + 32 y 22 −

128 y 2 − 224 = 0 или 2

(

)

2

18 y12 + 32 y 2 − 2 = 288 ⇒

(

y12 y − 2 + 2 16 9

)2 = 1.

В координатах у1, у2 это есть уравнение эллипса с центром в точке 0, 2 , а полуоси равны 4 и 3. Можно выполнить параллельный перенос по формулам

(

)

z1 = y1 , z 2 = y 2 − 2 . Каноническое уравнение эллипса будет иметь вид: z12 z 22 + = 1. 16 9 5.5 Метод Лагранжа Покажем, что существует невырожденное преобразование координат, которое приводит квадратичную форму к каноническому виду. Теорема. Любая квадратичная форма A( х , x ) заданная в n-мерном линейном пространстве U, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Будем считать, что A( х , х ) ≡/ 0 и в данном базисе e : e1 , e 2 , ..., e n представлена в виде 50

n

n

∑∑ aij xi x j .

(29)

i =1 j =1

Пусть a11 ≠ 0 . Выделим в квадратичной форме группу слагаемых, которые содержат х1 и выделим из них полный квадрат: n

n

∑ ∑ aij xi x j = i =1 j =1

a11 x12

n

n

+ 2a12 x1 x 2 + 2a13 x1 x 3 + ... + 2a1n x1 x n + ∑ ∑ a ij x i x j = i =2 j =2

2a a   n n a = a11  x12 + 2 12 x1 x 2 + 13 x1 x 3 + ... + 2 1n x1 x n  + ∑ ∑ a ij x i x j = a11 a11 a11   i =2 j =2 2

2 a12n 2 a13 a1n   a12 a12 2 = a11  x1 + 2 x 2 − ... − xn − x2 + x 3 + ... + x n  − a a a a a   11 11 11 11 11 n a1n −1 a1n a12 a13 −2 x n −1 x n + ∑ a ij x i x j = x 2 x3 − ... − a11 a11 i, j =2

2

n a   a = a11  x1 + 12 x 2 + ... + 1n x n  + ∑ a *ij x i x j . a11  a11  i, j =2

Рассмотрим линейное преобразование координат a1n a12  = + + + ξ x ... xn , x 1 2  1 a11 a11  ξ 2 = x 2 , ...  ξ n = x n .

(30)

51

Матрица этого преобразования  1  a12  a T =  11  ..  a1n a  11

0 0 .. 0   1 0 .. 0   .. .. .. ..   0 0 .. 1  

является невырожденной, следовательно, линейное преобразование (30) является невырожденным и с его помощью квадратичная форма (29) примет вид: a11ξ 12 +

n

∑ a *ij ξ i ξ j .

(31)

i, j =2

Итак, если a11 ≠ 0 , то квадратичную форму (29) можно привести к виду (31). Если a11 = 0 , но отличен от нуля коэффициент при квадрате какойнибудь другой переменной, то, перенумеровав базисные векторы, можно получить a11 ≠ 0 . Если все коэффициенты при квадратах координат равны нулю, но, например a12 ≠ 0 (т.к. квадратичная форма тождественно не равна нулю, то есть коэффициент отличен от нуля). Рассмотрим преобразования координат:  x11 = x1 − x 2 ,  1  x 2 = x1 + x 2 ,  1  x3 = x3 , ...   x 1n = x n . 

( )2

При этом невырожденном преобразовании коэффициент при x11 a будет равен − 12 ≠ 0 . 2 Если квадратичная форма тождественно равна нулю, то матрица её в любом базисе нулевая, но по определению она каноническая.

52

Вывод: Любую квадратичную форму с помощью невырожденного преобразования можно привести к виду, в котором a11 ≠ 0 . Тогда её можно привести к виду (31): A( х , х ) = a11ξ 12 +

n

∑ a *ij ξ i ξ j .

i, j =2

Если квадратичная форма ∞

∑ a *ij ξ i ξ j

(32)

i, j =2

тождественно равна нулю, то задача приведения квадратичной формы A( х , x ) к каноническому виду решена и A( х , х ) = a11 ξ 12 . Если же

n

∑ a ij ξ i ξ j ≡/ 0 , то уже известным способом с помощью невыро-

i, j =2

жденного преобразования ξ 2 , ξ 3 , ..., ξ n приведём квадратичную форму (32) к виду (31) и т.д. Очевидно, за конечное число шагов мы приведём квадратичную форму L( x1 , x 2 , ..., x n ) к каноническому виду (30). Замечания: 1 Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом. 2 Если квадратичная форма приведена к каноническому виду, то не все канонические обязательно отличны от нуля. Перенумеровывая их, получим: A( х , х ) = b1η12 + b2η 22 + ... + bnη kk , k ≤ n .

(33)

По определению, ранг квадратичной формы равен рангу её матрицы, который не меняется при переходе к другому базису и т.к. ранг квадратичной формы (29) равен k, то ранг квадратичной формы (29) также равен k. Таким образом, число отличное от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы.

53

Список использованных источников

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1984. – 447 с. 2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987. – 320 с. 3. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Наука, 1987. – 304 с.

54