Необычное поведение маятника при синусоидальном внешнем воздействии. Часть 2

Áóòèêîâ Å.È.

Áóòèêîâ Åâãåíèé Èâàíîâè÷

ÍÅÎÁÛ×ÍÎÅ ÏÎÂÅÄÅÍÈÅ ÌÀßÒÍÈÊÀ ÏÐÈ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÌ ÂÍÅØÍÅÌ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈÈ. ×ÀÑÒÜ 2  ýòîé ñòàòüå ìû ïðîäîëæèì îáñóæäåíèå ðàçíîîáðàçíûõ ýêçîòè÷åñêèõ ðåæèìîâ êîëåáàíèé è ïåðåâîðîòîâ æåñòêîãî ìàÿòíèêà â ïîëå òÿæåñòè, ïîäâåðæåííîãî âîçäåéñòâèþ ñèíóñîèäàëüíîãî âíåøíåãî ìîìåíòà. Îïèñûâàåìûå ðåæèìû ìîæíî íàáëþäàòü ñ ïîìîùüþ ìîäåëèðóþùåé êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû, ïîìåùåííîé íà ïðèëàãàåìîì ê äèñêå ê ïåðâîìó íîìåðó æóðíàëà çà ýòîò ãîä. Êðîìå ðåæèìîâ, îáñóæäàåìûõ â ñòàòüå, ïðîãðàììà ñîäåðæèò ìíîæåñòâî äðóãèõ çàðàíåå ïðèãîòîâëåííûõ ïðèìåðîâ íåîáû÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ è õàîòè÷åñêèõ ðåæèìîâ. Ïðîãðàììó ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå äëÿ îáíàðóæåíèÿ íîâûõ, åùå íå èçâåñòíûõ äâèæåíèé ýòîé ïðîñòîé, íî ïîèñòèíå íåèñ÷åðïàåìîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû. 1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ: ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÌÀßÒÍÈÊÀ

Íàïîìíèì, ÷òî ìû èçó÷àåì âîçìîæíûå äâèæåíèÿ ïðîñòûõ íåëèíåéíûõ ñèñòåì – ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, òî åñòü òî÷å÷íîé ìàññû, çàêðåïëåííîé íà êîíöå íåâåñîìîãî ñòåðæíÿ, è ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, òî åñòü ïðîèçâîëüíîãî òâåðäîãî òåëà, êîòîðîå ìîæåò ñâîáîäíî ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè â îäíîðîäíîì ïîëå òÿãîòåíèÿ. Ýòè ñèñòåìû äèíàìè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê îïèñûâàþòñÿ îäíèì è òåì æå äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì. Ñîãëàñíî ýòîìó óðàâíåíèþ, óãëî-

24

âîå óñêîðåíèå ϕ&&(t ) îïðåäåëÿåòñÿ âîçâðàùàþùèì ìîìåíòîì ñèëû òÿæåñòè, êîòîðûé ïðîïîðöèîíàëåí ñèíóñó óãëà îòêëîíåíèÿ ϕ (t ) ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè, òîðìîçÿùèì ìîìåíòîì ñèëû òðåíèÿ, êîòîðûé ïðîïîðöèîíàëåí óãëîâîé ñêîðîñòè ϕ& (t ) , è, íàêîíåö, âíåøíèì ìîìåíòîì, ñèíóñîèäàëüíî çàâèñÿùèì îò âðåìåíè:

ϕ&& + 2γϕ& + ω 02 sin ϕ = ω 02θ 0 sin ω t . (1) Çäåñü ω – ÷àñòîòà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, ω 0 – ÷àñòîòà ìàëûõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ( ω 0 = 2π T0 , ãäå T0 – ïåðèîä ìàëûõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé), γ – ïîñòîÿííàÿ çàòóõàíèÿ. Âìåñòî ïîñòîÿííîé çàòóõàíèÿ óäîáíî èñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíûé áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð – äîáðîòíîñòü Q = ω 0 (2γ ) . Äåéñòâèå íà ìàÿòíèê âíåøíåãî ìîìåíòà ñèë N(t) îïèñûâàåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ (1). Áåçðàçìåðíàÿ àìïëèòóäà ýòîãî ìîìåíòà θ 0 èìååò íàãëÿäíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: ïîä äåéñòâèåì ñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà, èçìåðÿåìîãî âåëè÷èíîé θ 0 , ìàÿòíèê îòêëîíÿåòñÿ îò âåðòèêàëè íà óãîë ϕ 0 òàêîé, ÷òî sin ϕ 0 = θ 0 . Ïîýòîìó çíà÷åíèå θ 0 = 1 ñîîòâåòñòâóåò âíåøíåìó ìîìåíòó, êîòîðûé íåîáõîäèì äëÿ îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ ϕ 0 = π 2 , ãäå âîçâðàùàþùèé ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè ìàêñèìàëåí. Ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà îïðåäåëÿåòñÿ îäíîé âåëè÷èíîé – óãëîì åãî îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ϕ . Ïîýòîìó ãîâî-

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2008 ã.

Íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïðè ñèíóñîèäàëüíîì âíåøíåì âîçäåéñòâèè 2. ÍÅÎÁÛ×ÍÛÅ ÐÅÆÈÌÛ ðÿò, ÷òî ìàÿòíèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñÂÛÍÓÆÄÅÍÍÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ òåìó ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû. ÌåõàíèÌÀßÒÍÈÊÀ ÷åñêîå ñîñòîÿíèå ìàÿòíèêà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ âåëè÷è ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè áûëè ðàññìîòíàìè: óãëîì îòêëîíåíèÿ ϕ è óãëîâîé ñêîðåíû ðàçíîîáðàçíûå êîëåáàòåëüíûå äâèðîñòüþ ϕ& = dϕ dt , òî åñòü ÷èñëî âåëè÷èí, æåíèÿ ìàÿòíèêà, êîòîðûå ìîæíî âîçáóîïðåäåëÿþùèõ ìåõàíè÷åñêîå ñîñòîÿíèå äèòü òðàäèöèîííûì ñïîñîáîì èçó÷åíèÿ ñèñòåìû, âäâîå áîëüøå ÷èñëà åå ñòåïåíåé ðåçîíàíñíûõ ÿâëåíèé – ìåäëåííûì èçìåñâîáîäû. Ñîñòîÿíèå ìàÿòíèêà ïðèíÿòî íåíèåì («ñêàíèðîâàíèåì») ÷àñòîòû âíåøèçîáðàæàòü òî÷êîé íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè íåãî âîçäåéñòâèÿ áåç ïðåðûâàíèÿ ïðîöåññà (ϕ , ϕ& ) . Ïðè äâèæåíèè ìàÿòíèêà åãî ìåõàâûíóæäåííûõ êîëåáàíèé. Îäíàêî ìíîãèå íè÷åñêîå ñîñòîÿíèå èçìåíÿåòñÿ, è èçîáèíòåðåñíûå è íåîáû÷íûå ðåãóëÿðíûå (ïåðàæàþùàÿ òî÷êà íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè âûðèîäè÷åñêèå) è õàîòè÷åñêèå ðåæèìû âîç÷åð÷èâàåò íåïðåðûâíóþ êðèâóþ, íàçûâàáóäèòü òàêèì ñïîñîáîì íåâîçìîæíî. åìóþ ôàçîâîé òðàåêòîðèåé. Ôàçîâàÿ òðàÎäèí èç ïîäîáíûõ ïðèìåðîâ ïðèâååêòîðèÿ äàåò íàãëÿäíûé ãåîìåòðè÷åñêèé äåí íà ðèñ. 1. Çà êàæäûé öèêë èçìåíåíèÿ îáðàç ïðîöåññà äâèæåíèÿ â öåëîì, òî åñòü âíåøíåãî ìîìåíòà ìàÿòíèê ñîâåðøàåò âñþ êàðòèíó èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ìàÿòîäíî êîëåáàíèå, ïðîèñõîäÿùåå ïî÷òè â íèêà ïðè êîëåáàíèÿõ èëè ïåðåâîðîòàõ. ïðîòèâîôàçå ñ èçìåíåíèÿìè âíåøíåãî Êîãäà íà ìàÿòíèê äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ìîìåíòà, êàê ýòî äîëæíî áûòü íà ïðàâîì ñèëà, çàäàííûì îáðàçîì çàâèñÿùàÿ îò âðå(âûñîêî÷àñòîòíîì) ñêëîíå ðåçîíàíñíîé ìåíè (íàïðèìåð, ñèíóñîèäàëüíî), ê ïåðåêðèâîé. Îäíàêî ðàçìàõ ýòèõ óñòàíîâèâìåííûì, îïðåäåëÿþùèì ñîñòîÿíèå ñèñòåøèõñÿ êîëåáàíèé èçìåíÿåòñÿ îò öèêëà ê ìû, ñëåäóåò äîáàâèòü åùå è âðåìÿ t. Ýòî öèêëó: ìàÿòíèê îòêëîíÿåòñÿ â îäíó ñòîçíà÷èò, ÷òî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî òàêîé ðîíó ñíà÷àëà íà 171°, çàòåì íà 117°, è, ñèñòåìû òðåõìåðíî – ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå äîïîëíèòåëüíóþ . ϕ ο 180 îñü âðåìåíè, ïåðïåí- 2.40 ϕ (t) äèêóëÿðíóþ ê ôàçîN(t) âîé ïëîñêîñòè (ϕ , ϕ& ) . Òðåõìåðíîñòü ôàçîâîãî ϕ 0 0 ïðîñòðàíñòâà, âîçáóæäàåìîãî âíåøíåé ñèëîé ο ìàÿòíèêà, ïîçâîëÿåò ãî- − 2.40 ο ο−180 −180 0 0 1 2 3 4 5 6 180 âîðèòü, ÷òî òàêàÿ ìåõà(quality 15.0, driving freq. 0.765, driving ampl. 30.0, initial defl.−41.71 degr., init. ang. velocity −1.7586 ) íè÷åñêàÿ ñèñòåìà èìå. ϕ ο åò «ïîëòîðû» ñòåïåíè 2.40 180 ϕ (t) ñâîáîäû. Íî îáû÷íî, N(t) âìåñòî òðåõìåðíîé ôàçîâîé òðàåêòîðèè, ðàñϕ 0 0 ñìàòðèâàþò åå äâóìåðíóþ ïðîåêöèþ íà ïëîñêîñòü (ϕ , ϕ& ) , äîïîë- −2.40 ο −180 ο ο 0 0 1 2 3 4 5 6 180 −180 íåííóþ ñå÷åíèÿìè Ïó(quality 15.0, driving freq. 0.765, driving ampl. 30.0, initial defl.−40.83 degr., init. ang. velocity −2.039) àíêàðå – òî÷êàìè, èçîáðàæàþùèìè çíà÷åíèÿ Ðèñ. 1. Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ è ãðàôèê ϕ (t ) äëÿ íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé, ϕ , ϕ& ÷åðåç ïðîìåæóòêè ïîëíûé öèêë êîòîðûõ îõâàòûâàåò òðè ïåðèîäà âðåìåíè, ðàâíûå ïåðè- âíåøíåãî âîçáóæäåíèÿ (ââåðõó), è äëÿ îáû÷íûõ êîëåáàíèé áîëüøîé îäó T âíåøíåãî âîçäåéàìïëèòóäû, ïîëíûé öèêë êîòîðûõ ðàâåí ïåðèîäó âîçáóæäåíèÿ. ñòâèÿ ( T = 2π ω ). Îáà ðåæèìà ñóùåñòâóþò ïðè îäíèõ è òåõ æå ïàðàìåòðàõ ñèñòåìû

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐ Â Ó×ÅÁÍÎÌ ÏÐÎÖÅÑÑÅ

25

Áóòèêîâ Å.È. ñòâóåò ñâîé áàññåéí ïðèòÿæåíèÿ íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè. Êîãäà íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ϕ 0 , ϕ& 0 âûáðàíû â ïðåäåëàõ áàññåéíà ïðèòÿæåíèÿ íåêîòîðîãî ðåæèìà, ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðåäåëüíîìó öèêëó, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò äàííîìó ðåæèìó. Äðóãîé ïðèìåð íåîáû÷íîãî ïîâåäåíèÿ ìàÿòíèêà ïîä äåéñòâèåì ñèíóñîèäàëüíîãî âíåøíåãî ìîìåíòà èëëþñòðèðóåòñÿ ãðàôèêàìè íà ðèñ. 2. ×àñòîòà âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ çäåñü íåñêîëüêî ìåíüøå ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ( ω = 0.9ω 0 ). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òàêèõ óñëîâèÿõ ìîãóò óñòàíîâèòüñÿ êîëåáàíèÿ, õàðàêòåð êîòîðûõ íàïîìèíàåò áèåíèÿ: àìïëèòóäà è ÷àñòîòà êîëåáàíèé íå îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, à ìåäëåííî èçìåíÿþòñÿ ñ ïåðèîäîì, êîòîðûé îõâàòûâàåò öåëîå (íå÷åòíîå è âåñüìà áîëüøîå) ÷èñëî öèêëîâ âûíóæäàþùåé ñèëû (â ïðèìåðå íà ðèñ. 2 – îäèííàäöàòü öèêëîâ). Ñàìîå óäèâèòåëüíîå â îïèñûâàåìîì ðåæèìå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà èìåþò ñòàöèîíàðíûé õàðàêòåð – áèåíèÿ ïðîäîëæàþòñÿ ñêîëü óãîäíî äîëãî, òî åñòü íå çàòóõàþò. Ýòèì îíè ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþòñÿ îò îáû÷íûõ çàòóõàþùèõ ïåðåõîäíûõ áèåíèé. Ìàÿòíèê ñîâåðøàåò îäíî êîëåáàíèå çà êàæäûé öèêë âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, íî ðàçìàõ êîëåáàíèé ìåíÿåòñÿ îò öèêëà ê öèêëó, íå îáíàðóæèâàÿ íèêàêîé òåíäåíöèè ê âûðàâíèâàíèþ, êàê áû äîëãî ìû íå íàáëþäàëè çà äâèæåíèåì. Ïðè ýòîì ÷åðåç êàæäûå îäèííàäöàòü öèêëîâ âíåøíåãî ìîìåíòà â òî÷íîñòè âîñïðîèçâîäèòñÿ íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Ìîæíî ïðåäëîæèòü âåñüìà ïðîñòîå ôèçè÷åñêîå îáúÿñíåíèå ýòîìó ýêçîòè÷åñêîìó ðåæèο 147 . ϕ ( t) ϕ ( t ) ìó. Ïóñòü ñíà÷àëà êîëåáàíèÿ èìåþò íåáîëüøîé N( t) ðàçìàõ, à ñèíóñîèäàëü0 íûå èçìåíåíèÿ âíåøíåãî ìîìåíòà ïðîèñõîäÿò ο −147 ïî÷òè â îäèíàêîâîé ôàçå 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (quality 600.0, driving freq. 0.9, driving ampl. 12.0, initial defl.−5.18 degr., init. ang. velocity −0.677) ñ êîëåáàíèÿìè óãëîâîé ñêîðîñòè ìàÿòíèêà. ÄåéÐèñ. 2. Ãðàôèêè óãëà îòêëîíåíèÿ ϕ (t ) è óãëîâîé ñêîðîñòè ϕ& (t ) ñòâèòåëüíî, èç ãðàôèêîâ

íàêîíåö, íà 111°. Ïîñëå òðåõ öèêëîâ âñå â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåòñÿ, òàê ÷òî ïîëíûé ïåðèîä óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé ðàâåí òðåì ïåðèîäàì âíåøíåãî âîçìóùåíèÿ. Ïðîåêöèÿ ôàçîâîé òðàåêòîðèè íà ïëîñêîñòü (ϕ , ϕ& ) çàìûêàåòñÿ ïîñëå òðåõ âèòêîâ (ëåâàÿ âåðõíÿÿ ÷àñòü, ðèñ. 1). Ïðàâàÿ âåðõíÿÿ ÷àñòü ðèñ. 1 ïîêàçûâàåò ãðàôèê óãëà îòêëîíåíèÿ ϕ (t ) è ãðàôèêè åãî ãàðìîíèê (òîíêèå ëèíèè) âìåñòå ñ ãðàôèêîì âíåøíåãî ìîìåíòà N(t).  ñïåêòðå òàêèõ óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïðåîáëàäàåò òðåòüÿ ãàðìîíèêà, ïåðèîä êîòîðîé ðàâåí ïåðèîäó âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ T = 2π ω , íî ôóíäàìåíòàëüíàÿ ãàðìîíèêà èìååò âòðîå áîëüøèé ïåðèîä 3T – åå ÷àñòîòà ðàâíà ω 3 . Îïèñûâàåìûé ðåæèì óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé ìîæíî âîçáóäèòü òîëüêî ïóòåì îïðåäåëåííîãî âûáîðà íà÷àëüíûõ óñëîâèé: íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ϕ 0 , ϕ& 0 äîëæíî íàõîäèòüñÿ â áàññåéíå ïðèòÿæåíèÿ ýòîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ðåæèìà. Íà òàêîé ðåæèì íåâîçìîæíî âûéòè â ïðîöåññå ñêàíèðîâàíèÿ: ïðè äîñòèæåíèè äàííîãî çíà÷åíèÿ ÷àñòîòû ìàÿòíèê áóäåò ñîâåðøàòü îáû÷íûå óñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå âûñîêî÷àñòîòíîìó ñêëîíó êðèâîé íåëèíåéíîãî ðåçîíàíñà. Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ è ãðàôèê ϕ (t ) îáû÷íûõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïðèâåäåíû äëÿ ñðàâíåíèÿ â íèæíåé ÷àñòè ðèñ. 1. Ýòî åùå îäèí ïðèìåð ìóëüòèñòàáèëüíîñòè, õàðàêòåðíîé äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì: ïðè îäíèõ è òåõ æå ïàðàìåòðàõ ñèñòåìû è âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ñîñóùåñòâóþò íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ óñòîé÷èâûõ ðåæèìîâ (àòòðàêòîðîâ), êàæäîìó èç êîòîðûõ ñîîòâåò-

äëÿ ðåæèìà íåçàòóõàþùèõ áèåíèé ñ ïåðèîäîì 11Ò

26

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2008 ã.

Íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïðè ñèíóñîèäàëüíîì âíåøíåì âîçäåéñòâèè íà ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî íà íà÷àëüíîì ýòàïå ñåéí ïðèòÿæåíèÿ äàííîãî ïåðèîäè÷åñêîâíåøíèé ìîìåíò ïî÷òè âñå âðåìÿ íàïðàâãî àòòðàêòîðà. Ñðàâíèòåëüíî ñëàáîå âîçëåí â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è ñêîðîñòü ìàÿòìóùåíèå ìîæåò íàðóøèòü ñòàöèîíàðíûé íèêà, òî åñòü âíåøíÿÿ ñèëà ïîñòîÿííî 11T-ïåðèîäè÷åñêèé ðåæèì, è ïîñëå äëè«ïîäòàëêèâàåò» ìàÿòíèê â íàïðàâëåíèè åãî òåëüíîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà óñòàíàâäâèæåíèÿ. Òàêèå ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ëèâàþòñÿ (ïðè òåõ æå ïàðàìåòðàõ ñèñòåáëàãîïðèÿòíû äëÿ ïåðåäà÷è ýíåðãèè ìàÿòìû) îáû÷íûå âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ìàíèêó è îáåñïå÷èâàþò ðåçîíàíñíûé ðîñò ÿòíèêà ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì îäíîìó öèêëó ïåðâîíà÷àëüíî ìàëûõ êîëåáàíèé. âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ. Íî ñ óâåëè÷åíèåì àìïëèòóäû ñîáñòâåíÍà ðèñ. 3 ïîêàçàíû ãàðìîíè÷åñêèå ñîíûé ïåðèîä ìàÿòíèêà âîçðàñòàåò, ÷òî ïðèñòàâëÿþùèå, òî åñòü ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ âîäèò ê ïîñòåïåííîìó èçìåíåíèþ ôàçîóñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé ñ ïåðèîäîì â âûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó êîëåáàíèÿìè ìà11 öèêëîâ âíåøíåé ñèëû. ×àñòîòà ôóíäàÿòíèêà è ñèíóñîèäàëüíûìè âàðèàöèÿìè ìåíòàëüíîé ãàðìîíèêè ýòèõ íåñèíóñîèâíåøíåãî ìîìåíòà N(t). ×åðåç íåêîòîðîå äàëüíûõ êîëåáàíèé ðàâíà 1/11 ÷àñòîòû âðåìÿ èç-çà íàêîïèâøåãîñÿ ñäâèãà ôàç âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ω . Ýòó ãàðìîíèêó âðåìåííîé õîä N(t) îêàçûâàåòñÿ â ïðîòèòðóäíî óâèäåòü íà ðèñ. 3, òàê êàê åå àìïâîôàçå ñ êîëåáàíèÿìè óãëîâîé ñêîðîñòè, ëèòóäà íà ïîðÿäîê âåëè÷èíû ìåíüøå àìïè àìïëèòóäà íà÷èíàåò óáûâàòü, òàê êàê òåëèòóäû 11-é ãàðìîíèêè, ÷àñòîòà êîòîðîé ïåðü âíåøíÿÿ ñèëà òîðìîçèò äâèæåíèå ìàñîâïàäàåò ñ ÷àñòîòîé âîçáóæäåíèÿ. Êðîÿòíèêà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìàÿòíèê îòäàåò ìå 11-é ãàðìîíèêè, çàìåòíûé âêëàä â ðåýíåðãèþ èñòî÷íèêó âíåøíåãî ìîìåíòà. çóëüòèðóþùåå êîëåáàíèå äàþò ãàðìîíèêè Çàòåì óáûâàíèå àìïëèòóäû ñíîâà ñìåíÿñ ÷àñòîòàìè, ñîñòàâëÿþùèìè 7/11, 9/11 è åòñÿ åå ðîñòîì, òî åñòü êîëåáàíèÿ ïðèîá13/11 âíåøíåé ÷àñòîòû. ðåòàþò õàðàêòåð áèåíèé. Àìïëèòóäû ãàðìîíèê ϕ (t ) è ϕ& (t ) ïðèÁëàãîäàðÿ íåáîëüøîìó òðåíèþ, âîçâåäåíû â òàáë. 1. ìîæíà ïîëíàÿ ñèíõðîíèçàöèÿ («ôàçîâûé çàõâàò») êîÒàáë. 1. Àìïëèòóäû íå÷åòíûõ ãàðìîíèê êîëåáàíèé ñ ïåðèîäîì 11T ëåáàíèé ìàÿòíèêà è âíåø¹ Àìïëèòóäà (ðàä) Àìïëèòóäà (ãðàä) Àìïëèòóäà (â åä. ω0) íåãî ìîìåíòà.  ðåçóëüòàòå ôàçîâîãî çàõâàòà óñòàíàâ1 0.091 5.214 0.007 3 0.137 7.850 0.039 ëèâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûé ðå5 0.269 15.41 0.121 æèì, â êîòîðîì âëîæåíèå 7 0.585 33.52 0.374 ýíåðãèè â ñèñòåìó çà ïîë9 1.164 66.69 0.951 íûé ïåðèîä åå êîëåáàíèé 11 0.883 50.59 0.885 (çà 11 öèêëîâ âíåøíåãî âîç13 0.428 24.52 0.507 äåéñòâèÿ) íåñêîëüêî áîëü15 0.013 0.745 0.018 øå âîçâðàùàåìîé ýíåðãèè. Ýòèì îáåñïå÷èâàåòñÿ íåîáõîäèìàÿ äëÿ ñòàöèîíàðíîãî 147 ο ϕ (t) ðåæèìà êîìïåíñàöèÿ ïîòåðü N (t) ýíåðãèè èç-çà òðåíèÿ. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ýòîãî 0 ðåæèìà (ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû è àìïëèòóäû âíåøíåãî ìîìåíòà) íà÷àëüο −147 íîå ñîñòîÿíèå äîëæíî ëå0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (quality 600.0, driving freq. 0.9, driving ampl. 12.0, initial defl.−5.18 degr., init. ang. velocity −0.677) æàòü â îäíîì èç 11 êðîøå÷íûõ «îñòðîâêîâ» ôàçîâîé Ðèñ. 3. Ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå (ñïåêòð) ïëîñêîñòè, îáðàçóþùèõ áàñ- óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé ñ ïåðèîäîì â 11 öèêëîâ âíåøíåé ñèëû ÊÎÌÏÜÞÒÅÐ Â Ó×ÅÁÍÎÌ ÏÐÎÖÅÑÑÅ

27

Áóòèêîâ Å.È. ïðîòÿæåíèè äâóõ ñëåäóþùèõ ïåðèîäîâ âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ âñå ïîâòîðÿåòñÿ: ìàÿòíèê îïÿòü ñîâåðøàåò äâà êîëåáàíèÿ, Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ðåãóïîñëå ÷åãî ñíîâà «óñêîëüçàåò» â ðàñïîëîëÿðíûå (ïåðèîäè÷åñêèå) ðåæèìû, â êîòîæåííóþ ñïðàâà ñîñåäíþþ ÿìó. Òàêèì îáðûõ ìàÿòíèê ñîâåðøàë êîëåáàíèÿ â ïðåðàçîì, êàæäûé ðàç äâà êîëåáàíèÿ ñîïðîäåëàõ îäíîé ÿìû ïîòåíöèàëüíîãî ðåëüåâîæäàþòñÿ ïåðåâîðîòîì â îäíîì è òîì æå ôà, òî åñòü íå ïðåîäîëåâàë áàðüåðîâ, îòíàïðàâëåíèè, òî åñòü ìàÿòíèê ñîâåðøàåò äåëÿþùèõ åå îò ñîñåäíèõ ÿì. Íî âîçìîæñèñòåìàòè÷åñêèé «äðåéô» â îäíó ñòîðîíó íû ðåãóëÿðíûå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà, â êîïî ïîòåíöèàëüíîìó ðåëüåôó. Ðàçóìååòñÿ, òîðûõ ïðîèñõîäÿò ïîëíûå åãî ïåðåâîðîïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ âîçìîòû, îçíà÷àþùèå ïåðåõîäû â ñîñåäíèå ïîæåí àíàëîãè÷íûé 2T-ïåðèîäè÷åñêèé ðåòåíöèàëüíûå ÿìû. æèì ñ ñèñòåìàòè÷åñêèì äðåéôîì â ïðîòè âåðõíåé ÷àñòè ðèñ. 4 ïîêàçàíû ôàâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. çîâàÿ òðàåêòîðèÿ è ãðàôèê ϕ (t ) äëÿ ñòàÈíòåðåñíî, ÷òî ýòè ñèììåòðè÷íûå êîöèîíàðíîãî êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíîãî ëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûå ðåæèìû ñîñóùåðåæèìà, â êîòîðîì ìàÿòíèê ñîâåðøàåò äâà ñòâóþò íå òîëüêî äðóã ñ äðóãîì, íî è ñ êîëåáàíèÿ â ïðåäåëàõ îäíîé ïîòåíöèàëüäâóìÿ ÷èñòî êîëåáàòåëüíûìè ðåæèìàìè, íîé ÿìû (èì ñîîòâåòñòâóþò äâà âèòêà ôàôàçîâûå òðàåêòîðèè è ãðàôèêè òàêèõ êîçîâîé òðàåêòîðèè íà ðèñ. 4) ñ îòêëîíåíèëåáàíèé ïîêàçàíû â íèæíåé ÷àñòè ðèñ. 4. åì âïðàâî íà 101° è 72°, íî ïðè ñëåäóþÊîëåáàíèÿ ìàëîé àìïëèòóäû ïðîèñõîäÿò ùåì (òðåòüåì) îòêëîíåíèè âïðàâî óæå «ïåïî÷òè ñèíôàçíî ñ èçìåíåíèÿìè âíåøíåãî ìîìåíòà N(t) (êðèâàÿ 1 íà ôàçîâîé òðàåêðåâàëèâàåò» ÷åðåç âåðøèíó ïîòåíöèàëüòîðèè è ãðàôèê ϕ1 (t ) ). Îíè ñîîòâåòñòâóíîãî áàðüåðà (ñîâåðøàåò ïåðåâîðîò ÷åþò ëåâîìó ñêëîíó ðåçîíàíñíîé êðèâîé ðåç âåðõíåå ïîëîæåíèå) è îêàçûâàåòñÿ â ìàÿòíèêà (ñì. ïåðâóþ ÷àñòü ñòàòüè). Íåñîñåäíåé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå. Çàòåì íà ñèíóñîèäàëüíûå êîëå. áàíèÿ áîëüøîé àìïëèϕ ο 2.2 180 òóäû (êðèâàÿ 2 è ãðà( ) ϕ t ôèê ϕ 2 (t ) ), ïðîèñõîäÿùèå ïî÷òè â ïðîòè( ) t N âîôàçå ñ N(t), ñîîòâåò0 ϕ 0 ñòâóþò ïðàâîìó ñêëîíó ðåçîíàíñíîé êðèâîé. ο Ýòî åùå îäèí êðàñíî−180 −2.2 ο ο −180 0 1 2 3 4 5 6 0 180 ðå÷èâûé ïðèìåð ìóëü(quality 40.0, driving freq. 0.71, driving ampl. 20.0, initial defl. 81.7 degr., init. ang. velocity −0.849) òèñòàáèëüíîñòè – òè. ïè÷íîãî ÿâëåíèÿ äëÿ ϕ ο 180 2.2 ϕ1( t ) ϕ2( t ) íåëèíåéíûõ ñèñòåì. 2 Íà ðèñ. 5 ïîêàçàí N(t) 1 ïðèìåð êîëåáàòåëüíîϕ 0 0 âðàùàòåëüíîãî ðåæèìà, â êîòîðîì ìàÿòíèê ñîâåðøàåò ïîî÷åðåäíî ο −180 −2.2 ο ïåðåâîðîòû â ïðîòèâîο 0 0 1 2 3 4 5 6 180 −180 (quality 40.0, driving freq. 0.71, driving ampl. 20.0, initial defl.−22.85 degr., init. ang. velocity −2.06) ïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ, òàê ÷òî íàïðàâëåííîãî äðåéôà ïî ïîòåíÐèñ. 4. Ôàçîâûå òðàåêòîðèè (ñëåâà) è ãðàôèêè óãëà îòêëîíåíèÿ ϕ (t ) (ñïðàâà) äëÿ êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíîãî ðåæèìà, öèàëüíîìó ðåëüåôó â ïåðèîä êîòîðîãî ðàâåí 2T (ââåðõó), è äëÿ ñîñóùåñòâóþùèõ ñ íèì êàêóþ-ëèáî îäíó ñòîðîðåæèìîâ ñòàöèîíàðíûõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé (âíèçó) íó íå ïðîèñõîäèò. Ìà3. ÊÎËÅÁÀÒÅËÜÍÎ-ÂÐÀÙÀÒÅËÜÍÛÅ ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÐÅÆÈÌÛ ÌÀßÒÍÈÊÀ

28

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2008 ã.

Íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïðè ñèíóñîèäàëüíîì âíåøíåì âîçäåéñòâèè .

ϕ ÿòíèê ñîâåðøàåò ïîëòîο 180 2.5 ðà êîëåáàíèÿ â îäíîé ϕ (t) ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, ïåN(t) ðåâàëèâàåò ÷åðåç ïîòåí0 ϕ 0 öèàëüíûé áàðüåð â ñîñåäíþþ ÿìó, ãäå òàêæå ñîâåðøàåò ïîëòîðà êîο −180 ο ο ëåáàíèÿ, ïîñëå ÷åãî ïå- −2.5 0 0 1 2 3 4 5 6 180 −180 (quality 30.0, driving freq. 0.675, driving ampl. 25.0, initial defl. 169.385 degr., init. ang. velocity −1.429) ðåâàëèâàåò îáðàòíî â ïðåæíþþ ÿìó. Îáëàñòü Ðèñ. 5. Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ (ñëåâà) äâèæåíèÿ îãðàíè÷åíà è ãðàôèê óãëà îòêëîíåíèÿ ϕ (t ) (ñïðàâà) äâóìÿ ñîñåäíèìè ÿìàìè äëÿ êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíîãî ðåæèìà, ïåðèîä êîòîðîãî ðàâåí 3T ïîòåíöèàëüíîãî ðåëüåôà è áàðüåðîì ìåæäó íèìè. âûå òðàåêòîðèè îáû÷íûõ êîëåáàòåëüíûõ Ïîëíûé êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûé öèêë ñîâåðøàåòñÿ çà òðè ïåðèîäà âíåøíåãî âîçðåæèìîâ, ñîñóùåñòâóþùèõ ñ îïèñûâàåìûáóæäåíèÿ. Çàòåì äâèæåíèå ïåðèîäè÷åñêè ìè 3T- è 9T-ïåðèîäè÷åñêèìè ðåæèìàìè ïîâòîðÿåòñÿ. (äëÿ íåñèíóñîèäàëüíûõ êîëåáàíèé áîëüÇàìå÷àòåëüíî, ÷òî ïðè òåõ æå ñàìûõ øîé àìïëèòóäû ïîêàçàíû òàêæå ãðàôèêè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû è âíåøãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ). íåãî âîçáóæäåíèÿ ñóùåñòâóåò âíåøíå ñõîäíûé êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûé ðå4. ÄÐÓÃÈÅ æèì (ñì. ðèñ. 6), â êîòîðîì ìàÿòíèê òàêÊÎËÅÁÀÒÅËÜÍÎ-ÂÐÀÙÀÒÅËÜÍÛÅ æå ñîâåðøàåò ïîî÷åðåäíî ïî ïîëòîðà êîÐÅÆÈÌÛ ëåáàíèÿ â äâóõ ñîñåäíèõ ÿìàõ, íî ðàçìàõ ýòèõ êîëåáàíèé â ïîñëåäîâàòåëüíûõ öèêÊîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûå ðåæèìû ëàõ (êàæäûé öèêë ñîñòîèò èç òðåõ ïåðèîìàÿòíèêà îòëè÷àþòñÿ áîëüøèì ðàçíîîáäîâ âîçáóæäåíèÿ) íåìíî. ϕ ο ãî ðàçëè÷àåòñÿ, è òîëüêî 2.5 180 ïîñëå òðåõ öèêëîâ ñîϕ (t) ñòîÿíèå ñèñòåìû ïîëíîN(t) ñòüþ âîñïðîèçâîäèòñÿ. ϕ 0 0 Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé ïåðèîä äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà â îïèñûâàåìîì ñòàöèο −2.5 ο −180 ο îíàðíîì ðåæèìå ðàâåí 0 0 1 2 3 4 5 6 −180 180 (quality 30.0, driving freq. 0.675, driving ampl. 25.0, initial defl. 57.36 degr., init. ang. velocity −1.2729) 9-òè ïåðèîäàì âîçáóæäå. íèÿ. Ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå, ϕ ο 180 2.5 â îòëè÷èå îò òðåõ ôèêϕ2( t ) ϕ (t) 2 ñèðîâàííûõ òî÷åê â 3T1 N(t) ïåðèîäè÷åñêîì ðåæèìå, 1 0 0 ϕ òåïåðü îáðàçóþò òðè ãðóïïû, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç òðåõ ο áëèçêèõ ôèêñèðîâàííûõ −2.5 ο −180 0 180 ο 0 1 2 3 4 5 6 −180 òî÷åê, ïîñåùàåìûõ ïî(quality 30.0, driving freq. 0.675, driving ampl. 25.0, initial defl.−11.63 degr., init. ang. velocity −2.186) î÷åðåäíî (ñðàâíèòå ôàçîâûå òðàåêòîðèè íà Ðèñ. 6. Ôàçîâûå òðàåêòîðèè (ñëåâà) è ãðàôèêè óãëà îòêëîíåíèÿ ðèñ. 5 è 6). ϕ (t ) (ñïðàâà) äëÿ êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíîãî ðåæèìà,  íèæíåé ÷àñòè ðèñ. ïåðèîä êîòîðîãî ðàâåí 9T (ââåðõó), è äëÿ ñîñóùåñòâóþùèõ ñ íèì 6 ïîêàçàíû òàêæå ôàçîðåæèìîâ ñòàöèîíàðíûõ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé (âíèçó)

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐ Â Ó×ÅÁÍÎÌ ÏÐÎÖÅÑÑÅ

29

Áóòèêîâ Å.È. åùå è òåì, ÷òî ïðè âñåé ñëîæíîñòè íàáëþäàåìîãî äâèæåíèÿ îí äîïóñêàåò äîñòàòî÷íî ïðîñòîå ôèçè÷åñêîå îáúÿñíåíèå. Âèä ãðàôèêîâ íà ðèñ. 8 íàâîäèò íà ìûñëü, ÷òî çàâèñèìîñòü óãëîâîé ñêîðîñòè îò âðåìåíè ϕ& (t ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóïåðïîçèöèþ ìåäëåííîé ïåðèîäè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé (èçìåíÿþùåéñÿ ïî÷òè ñèíóñîèäàëüíî ñ ïåðèîäîì T) è íåáîëüøîé áûñòðî îñöèëëèðóþùåé ñîñòàâëÿþùåé, èñêàæàþùåé ïëàâíîå èçìåíåíèå ϕ& (t ) . Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìåäëåííîå èçìåíåíèå ϕ& (t ) âûçâàíî íèçêî÷àñòîòíûì âîçáóæäàþùèì ìîìåíòîì N(t), à íàëîæåíèå äîïîëíèòåëüíûõ áûñòðûõ îñöèëëÿöèé îáóñëîâëåíî äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè, çàìåäëÿþùåé âðàùåíèå ìàÿòíèêà âáëèçè âåðõíåãî (ïåðåâåðíóòîãî) ïîëîæåíèÿ è óñêîðÿþùåé – âáëèçè íèæíåãî ïîëîæåíèÿ. Ïîýòîìó ñòîëü íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ìîæíî ïîïûòàòüñÿ îáúÿñíèòü, âîîáùå ïðåíåáðåãàÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ñèëîé òÿæåñòè. Îïóñêàÿ ïîñëåäíèé ÷ëåí â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1), âûðàæàþùèé äåéñòâèå ñèëû òÿæåñòè, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ëèíåéíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ óãëîâîé ñêîðîñòè v(t ) = ϕ& (t ) : (2) v&(t ) + 2γ v = ω 02θ 0 sin ω t . Ïåðèîäè÷åñêîå ÷àñòíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåå óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: v (t ) = −vm cos(ω t + δ ) , ω 02θ 0 vm = ω 2 + 4γ 2 , 2γ δ = arctan . (3) . ω ϕ (t) ϕ ο 2.03 180 Òàêèì îáðàçîì, óãëîâàÿ ñêîðîñòü v(t ) N (t) èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìå0 ϕ 0 íåì ñèíóñîèäàëüíî ñ ÷àñòîòîé ω âíåøíåãî ìîìåíòà N(t) è àìïëèο − 2.03 o −180 o òóäîé vm , êîòîðàÿ äà0 0 2 4 6 8 10 −180 180 (quality 4.0, driving freq. 0.67, driving ampl. 35.0, initial defl. 167.63 degr., init. ang. velocity −0.8507) åòñÿ óðàâíåíèåì (3). Ôàêòè÷åñêè v (t ) ñîîòÐèñ. 7. Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ (ñëåâà) âåòñòâóåò ìåäëåííîé è ãðàôèê óãëà îòêëîíåíèÿ ϕ (t ) (ñïðàâà) äëÿ êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíîãî ðåæèìà, ïåðèîä êîòîðîãî ðàâåí 5T ñîñòàâëÿþùåé óãëîâîé

ðàçèåì. Âàðüèðóÿ ïàðàìåòðû ñèñòåìû è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â ìîäåëèðóþùåé ïðîãðàììå, ìîæíî ñîñòàâèòü öåëóþ êîëëåêöèþ íåòðèâèàëüíûõ ïåðèîäè÷åñêèõ è õàîòè÷åñêèõ äâèæåíèé ìàÿòíèêà. Íåêîòîðûå èç íèõ âêëþ÷åíû â ïðîãðàììó â âèäå çàðàíåå ïðèãîòîâëåííûõ ïðèìåðîâ. Íà ðèñ. 7 ïîêàçàí êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûé ðåæèì, â êîòîðîì ìàÿòíèê ñîâåðøàåò äâà ñ ïîëîâèíîé êîëåáàíèÿ íàðàñòàþùåãî ðàçìàõà â îäíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, ïåðåâàëèâàåò ÷åðåç ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð â ñîñåäíþþ ÿìó, ãäå òàêæå ñîâåðøàåò äâà ñ ïîëîâèíîé êîëåáàíèÿ, ïîñëå ÷åãî ïåðåâàëèâàåò ÷åðåç òîò æå áàðüåð â ïðåæíþþ ÿìó. Îáëàñòü äâèæåíèÿ îõâàòûâàåò äâå ñîñåäíèå ÿìû ïîòåíöèàëüíîãî ðåëüåôà è ðàçäåëÿþùèé èõ áàðüåð. Ïîëíûé êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûé öèêë ñîâåðøàåòñÿ çà ïÿòü ïåðèîäîâ âíåøíåãî âîçáóæäåíèÿ. Çàòåì äâèæåíèå ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿåòñÿ. Çàìå÷àòåëüíûé ïðèìåð óñòàíîâèâøåãîñÿ ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà ïðè íèçêîé ÷àñòîòå âíåøíåãî ìîìåíòà N(t) ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 8. Íà ïðîòÿæåíèè îäíîãî öèêëà èçìåíåíèÿ N(t) ìàÿòíèê ñîâåðøàåò 6 áûñòðûõ ïåðåâîðîòîâ â îäíó ñòîðîíó, ïîñëå ÷åãî åãî âðàùåíèå çàìåäëÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ìîìåíòà, óæå èçìåíèâøåãî ñâîå íàïðàâëåíèå. Çàòåì ìàÿòíèê ïðèõîäèò âî âðàùåíèå â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè è îïÿòü ñîâåðøàåò 6 áûñòðûõ ïåðåâîðîòîâ â äðóãóþ ñòîðîíó.  òå÷åíèå êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî öèêëà âîçáóæäåíèÿ äâèæåíèå â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåòñÿ. Ïðèìåð çàìå÷àòåëåí

30

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2008 ã.

Íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïðè ñèíóñîèäàëüíîì âíåøíåì âîçäåéñòâèè ñêîðîñòè, òî åñòü âåëè÷èíå ϕ& (t ) , óñðåäíåííîé ïî ïåðèîäó áûñòðîãî âðàùåíèÿ: v (t ) = ϕ& (t ) av . Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (3), àìïëèòóäà vm ≈ ω 02θ 0 ω ðàâíà 3.6ω 0 äëÿ çíà÷åíèé θ 0 = 0.8 è ω = 0.22ω 0 , èñïîëüçîâàííûõ â ìîäåëèðóþùåì ýêñïåðèìåíòå, ðåçóëüòàòû êîòîðîãî ïîêàçàíû íà ðèñ. 8, à ñäâèã ôàç ìåæäó ìåäëåííûìè êîëåáàíèÿìè óãëîâîé ñêîðîñòè è èçìåíåíèÿìè âíåøíåãî ìîìåíòà δ = arctan(2γ ω ) = arctan(ω 0 Qω ) ≈ 0.3 . Ýòè çíà÷åíèÿ õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðèìåíòà. Ìîæíî îöåíèòü òàêæå ìèíèìàëüíûé ïåðèîä ∆t áûñòðîãî âðàùåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ðàçäåëèòü ïîëíûé óãîë 2π , ïðîõîäèìûé ìàÿòíèêîì çà ïåðåâîðîò, íà ñðåäíþþ óãëîâóþ ñêîðîñòü vm . Îòñþäà ∆t T = ω vm = 0.06 . Ýòî çíà÷åíèå òàêæå õîðîøî ïîäòâåðæäàåòñÿ â ýêñïåðèìåíòå (ñì. ðèñ. 8). Àìïëèòóäó áûñòðûõ îñöèëëÿöèé óãëîâîé ñêîðîñòè ϕ& (t ) ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ïóñòü ϕ& max è ϕ& min – ñîîòâåòñòâåííî ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ϕ& (t ) íà ñòàäèè íàèáîëåå áûñòðîãî âðàùåíèÿ ìàÿòíèêà. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ ìàÿòíèêà â íèæíåé 2 , ïðåâîñõîòî÷êå, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ϕ& max äèò çíà÷åíèå äëÿ âåðõíåé òî÷êè (äëÿ ïåðåâåðíóòîãî ïîëîæåíèÿ) ïðèáëèçèòåëüíî íà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé ìàÿòíèêà â ýòèõ òî÷êàõ. Ñ ïîìîùüþ ο òàêèõ ñîîáðàæåíèé íàõîäèì: 180 ϕ& max, min = vm (1 ±

vm =

ω θ0 2 0

ω + 4γ 2

2

≈

ω 02 ) vm2 ,

ω θ0 . ω 2 0

N(t)

5. ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÉ ÕÀÎÑ Â ÏÎÂÅÄÅÍÈÈ ÌÀßÒÍÈÊÀ

Õàîòè÷åñêîå, íåðåãóëÿðíîå ïîâåäåíèå ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì (êàê, íàïðèìåð, òåïëîâîå äâèæåíèå àòîìîâ è ìîëåêóë) àññîöèèðóåòñÿ â íàøåì ñîçíàíèè ïðåæäå âñåãî ñ îãðîìíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Äëÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì ýòî ÷èñëî ñîïîñòàâèìî ñ ïîñòîÿííîé Àâîãàäðî NA ≈ 6 ⋅ 1023 1/ìîëü. Íåâîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñòîëü áîëüøîãî ÷èñëà óðàâíåíèé äèíàìèêè, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå îòäåëüíûõ ÷àñòèö, ñ íåèçáåæíîñòüþ òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ èíîãî – âåðîÿòíîñòíîãî – ïîäõîäà, ëåæàùåãî â îñíîâå ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ äàæå ïðîñòûå íåëèíåéíûå ôèçè÷åñêèå ñèñòåìû âðîäå íàøåãî ìàÿòíèêà, èìåþùåãî âñåãî «ïîëòîðû» ñòåïåíè ñâîáîäû, ìîãóò äåìîíñòðèðîâàòü íåðåãóëÿðíîå ïîâåäåíèå. Õàîñ â ïîâåäåíèè òàêèõ ñèñòåì íàçûâàþò äèíàìè÷åñêèì, ïîñêîëüêó îïèñûâàþùåå ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (äëÿ ìàÿòíèêà ýòî óðàâíåíèå (1)) ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî åñòü äâèæåíèå ñèñòåìû ïîëíîñòüþ äåòåðìèíèðîâàíî. È, òåì íå ìåíåå, ýòî äâèæåíèå ìîæåò áûòü íåðåãóëÿðíûì: ñîñòîÿíèå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû íèêîãäà íå âîñïðîèçâîäèòñÿ â òî÷íîñòè, íå ïîâòîðÿåòñÿ ϕ (t)

0

(4)

 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòîé îöåíêîé, îòíîñèòåëüíàÿ ðàçíîñòü ( ϕ& max – ϕ& min ) vm ïðè θ 0 = 0.8 è ω = 0.22ω 0 ðàâíà 0.15, ÷òî òàêæå íàõîäèòñÿ â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ ìîäåëèðóþùèì ýêñïåðèìåíòîì, òî åñòü ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà.

ο

−180 0 4.5

N(t)

. ϕ (t)

1

2

1

2

0

− 4.5

0

(quality 15.0, driving freq. 0.22, driving ampl. 45.8, initial defl.−63.36 degr., init. ang. velocity −4.183)

Ðèñ. 8. Áûñòðûå âðàùåíèÿ ìàÿòíèêà ïîî÷åðåäíî â îäíó è â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó ïîä äåéñòâèåì íèçêî÷àñòîòíîãî âíåøíåãî ìîìåíòà N(t)

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐ Â Ó×ÅÁÍÎÌ ÏÐÎÖÅÑÑÅ

31

Áóòèêîâ Å.È. . ϕ

äðóãîé.  òàêèõ óñëîâèÿõ íè÷òîæíûå ðàçëè÷èÿ ϕ (t) â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ( ) t N ñèñòåìû íå íèâåëèðóþòϕ 0 0 ñÿ, à, íàïðîòèâ, ïðèâîäÿò ê íàðàñòàþùèì îòο êëîíåíèÿì â åå äîëãî−2.5 ο −ο 180 0 180 −180 0 1 2 3 4 5 6 âðåìåííîì ïîâåäåíèè. (quality 10.0, driving freq. 0.675, driving ampl. 30.0, initial defl.−3.40216 degr., init. ang. velocity 0.7384) Íà ðèñ. 9 ïðèâåäåí ïðèìåð ìîäåëèðîâàíèÿ Ðèñ. 9. Íåðåãóëÿðíîå, õàîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïîä äåéñòâèåì ñòðîãî ïåðèîäè÷åñêîãî âíåøíåãî ìîìåíòà N(t) õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ìàÿòíèêà. Íåñìîòðÿ íà ñòðîãî ïåðèîäè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü âíåøäàæå ÷åðåç î÷åíü áîëüøèå ïðîìåæóòêè íåãî ìîìåíòà N(t) îò âðåìåíè, ìàÿòíèê íå âðåìåíè. îáíàðóæèâàåò òåíäåíöèè ê âûõîäó íà êàÐàññìîòðåííûå âûøå ïðèìåðû ïåðèêîé-ëèáî ïåðèîäè÷åñêèé ðåæèì. Îí ñîîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ìàÿòíèêà õàðàêòåðèâåðøàåò íåñêîëüêî êîëåáàíèé ñ íåðåãóçóþòñÿ óñòîé÷èâûìè àòòðàêòîðàìè, òî åñòü ëÿðíî èçìåíÿþùèìñÿ ðàçìàõîì, çàòåì äåçàìêíóòûìè òðàåêòîðèÿìè â ôàçîâîé ïëîñëàåò îäèí èëè íåñêîëüêî ïåðåâîðîòîâ â êîñòè (ïðåäåëüíûìè öèêëàìè), ê êîòîðûì òó èëè èíóþ ñòîðîíó, çàòåì îïÿòü çàñòðåñòÿãèâàþòñÿ âñå áëèçêèå ôàçîâûå òðàåêâàåò â îäíîé èç ïîòåíöèàëüíûõ ÿì è ñîòîðèè. âåðøàåò òàì îäíî èëè íåñêîëüêî êîëåáà ïðîöåññå âûõîäà íà óñòàíîâèâøèéíèé, ñíîâà äåëàåò íåñêîëüêî áåñïîðÿäî÷ñÿ ïåðèîäè÷åñêèé ðåæèì ñèñòåìà ïîñòåíûõ ïåðåâîðîòîâ, è òàê äî áåñêîíå÷íîñïåííî êàê áû «çàáûâàåò» ñâîå íà÷àëüíîå òè.  ïðàâîé ÷àñòè ðèñ. 9 ïîêàçàí ãðàôèê ñîñòîÿíèå: âñå òðàåêòîðèè èç áàññåéíà ϕ (t ) äëÿ øåñòè ïåðèîäîâ âíåøíåãî âîçïðèòÿæåíèÿ äàííîãî àòòðàêòîðà àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàþòñÿ ê îïðåäåëåííîìó äåéñòâèÿ, à â ëåâîé – ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåäåëüíîìó öèêëó. îòðåçîê ôàçîâîé òðàåêòîðèè ñ ñå÷åíèÿìè Ïðîèñõîæäåíèå äèíàìè÷åñêîãî õàîñà Ïóàíêàðå. Êðîìå òîãî, íà ôàçîâîé ïëîññâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïîâåäåíèå íåëèíåéíîé êîñòè ïîêàçàíû ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå äëÿ ñèñòåìû â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòäëèòåëüíîé ïðåäûñòîðèè îòîáðàæåííîãî ñÿ íåîáû÷àéíî ÷óâñòâèòåëüíûì ê çíà÷åíà ãðàôèêå íåáîëüøîãî âðåìåííîãî èííèÿì ïàðàìåòðîâ è/èëè íà÷àëüíûõ óñëîòåðâàëà. Îíè äàþò ïðåäñòàâëåíèå î ñòðàíâèé. Ïåðâîíà÷àëüíî áëèçêèå ôàçîâûå òðàíîì àòòðàêòîðå äàííîãî õàîòè÷åñêîãî åêòîðèè, âìåñòî äàëüíåéøåãî ïðèáëèæåðåæèìà. Ýòîò àòòðàêòîð ðàñïðîñòðàíÿåòíèÿ äðóã ê äðóãó, ìîãóò ñî âðåìåíåì î÷åíü ñÿ íà çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü ôàçîâîé ïëîññèëüíî «ðàçáåãàòüñÿ», óäàëÿòüñÿ îäíà îò êîñòè, à ñòðàííûì åãî íàçûâàþò ïîòîìó, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèé . ( ) åìó ãåîìåòðè÷åñêèé îáϕ t ϕ ο 1.34 127 ðàç ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé N(t) ôðàêòàë – îáúåêò äðîáíîé ðàçìåðíîñòè. ϕ 0 0  àíãëîÿçû÷íîé íàó÷íîé ëèòåðàòóðå çà îïèñûâàåìûì ïîâåäåíèο −1.34 ο −127 ο åì ìàÿòíèêà çàêðåïè0 0 2 4 6 8 10 −127 127 (quality 5.2, driving freq. 0.23, driving ampl. 55.0, initial defl. 8.305 degr., init. ang. velocity 1.03655) ëîñü íàçâàíèå «tumbling chaos», ÷òî ìîæíî ïåÐèñ. 10. Ïðèìåð õàîòè÷åñêîãî êîëåáàòåëüíîãî ðåæèìà ìàÿòíèêà ðåâåñòè êàê «áåñïîðÿïîä äåéñòâèåì ñòðîãî ïåðèîäè÷åñêîãî âíåøíåãî ìîìåíòà N(t) äî÷íîå êóâûðêàíèå» èëè 2.5

32

180

ο

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2008 ã.

Íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïðè ñèíóñîèäàëüíîì âíåøíåì âîçäåéñòâèè «õàîòè÷åñêàÿ àêðîáàòèêà». Íî ýòî íå ñëó÷àéíûì îáðàçîì «ñêà÷åò» îò ïîñåùååäèíñòâåííûé âîçìîæíûé âèä õàîòè÷åñíèÿ ê ïîñåùåíèþ. êîãî ïîâåäåíèÿ ìàÿòíèêà. Õàîòè÷åñêèå ðåæèìû, êàê è ðåãóëÿðíûå, îòëè÷àþòñÿ áîëü6. ÏÎÂÅÄÅÍÈÅ ÌÀßÒÍÈÊÀ øèì ðàçíîîáðàçèåì.  ÷àñòíîñòè, â îïðåÏÎÄ ÄÅÉÑÒÂÈÅÌ ÌÅÄËÅÍÍÎÃÎ äåëåííûõ èíòåðâàëàõ çíà÷åíèé ïàðàìåòÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÃÎ ÌÎÌÅÍÒÀ Ñ ÀÌÏËÈÒÓÄÎÉ θ ≈ 0 ðîâ ñèñòåìû ñóùåñòâóþò «ìàëîìàñøòàáíûå» ñòðàííûå àòòðàêòîðû, ïîäîáíûå ïîÃðàôèêè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè êàçàííîìó íà ðèñ. 10. Õàðàêòåðíàÿ îñîU ϕ ≈ − ϕ − θ ϕ ( ) ( 1 cos ) ìàÿòíèêà, íà êîòîáåííîñòü òàêèõ ðåæèìîâ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, 0 ðûé äåéñòâóåò ïîñòîÿííûé ìîìåíò ñèë θ 0 , ÷òî íà ïðîòÿæåíèè êàæäîãî öèêëà âíåøïîêàçàíû íà ðèñ. 12 äëÿ íåñêîëüêèõ çíàíåãî âîçäåéñòâèÿ (èëè íåñêîëüêèõ ïîñëå÷åíèé θ 0 .  îòñóòñòâèå âíåøíåãî ìîìåíäîâàòåëüíûõ öèêëîâ) ìàÿòíèê ñîâåðøàåò òà (êîãäà θ 0 = 0), óñòîé÷èâûå ïîëîæåíèÿ ïîõîæèå äâèæåíèÿ, òî åñòü ïî÷òè îäèíàðàâíîâåñèÿ – ìèíèìóìû U (ϕ ) – ðàñïîëîêîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïåðåâîðîòîâ è/ æåíû â òî÷êàõ ϕ = ±2πn , n = 0, 1. Ñîáèëè êîëåáàíèé, íî èõ ðàçìàõ â ñîñåäíèõ ñòâåííûå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà ìîãóò ïðîïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ ñëó÷àéíûì îáðàçîì èñõîäèòü â îäíîé èç ýòèõ ýêâèâàëåíòíûõ íåìíîãî îòëè÷àåòñÿ. ïîòåíöèàëüíûõ ÿì (íàïðèìåð îêîëî ñðåäÐèñ. 10 äàåò ïðåäñòàâëåíèå î ñòðàííåé òî÷êè ϕ = 0 ) ñ ÷àñòîòîé ω 0 . Ñòàòèíîì àòòðàêòîðå êîëåáàòåëüíîãî ðåæèìà, ÷åñêèé âíåøíèé ìîìåíò θ 0 ñìåùàåò ïîíàáëþäàåìîãî â îêðåñòíîñòè ñóïåðãàðìîíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà òðåòüåãî ïîðÿäêà ëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ â òî÷êó ϕ = arcsin θ 0 . (òðè ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèÿ íà ïðîòÿæåÌàÿòíèê îñòàåòñÿ â ðàâíîâåñèè ïðè äåéíèè îäíîãî ïåðèîäà âîçáóæäåíèÿ). Õàîñòâèè ïîñòîÿííîãî ìîìåíòà, åñëè θ 0 < 1 òè÷åñêèé êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûé ðå(êðèâûå 1 è 2 íà ðèñ. 12). æèì èëëþñòðèðóåòñÿ íà íèæíåé ÷àñòè ðèñ. Ïðè áóëüøèõ çíà÷åíèÿõ ñòàòè÷åñêîãî 11.  òå÷åíèå êàæäûõ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüìîìåíòà θ 0 ìèíèìóìû ïîòåíöèàëüíîé íûõ ïåðèîäîâ âíåøíå. ãî âîçáóæäåíèÿ äâèæåϕ (t) ϕ 180 ο 3.0 íèå ìàÿòíèêà íàïîìèíàåò 3T-ïåðèîäè÷åñN(t) êèé êîëåáàòåëüíî-âðàϕ 0 0 ùàòåëüíûé ðåæèì, ïîêàçàííûé íà âåðõíåé ÷àñòè ýòîãî ðèñóíêà, íî ο ο ο−180 ïîâåäåíèå â òå÷åíèå −3.0 0 180 −180 0 1 2 3 4 5 6 (quality 4, driving freq. 0.67, driving ampl. 70.0, initial defl. 12.1439 degr., init. ang. velocity −2.6242) ïðèìûêàþùèõ òðåõ ïåðèîäîâ âîçáóæäåíèÿ . ϕ (t) ϕ ο ñëó÷àéíûì îáðàçîì íå180 3.0 ìíîãî îòëè÷àåòñÿ. ÏîN(t) ýòîìó ñå÷åíèÿ Ïóàíêàðå, âìåñòî òðåõ ôèêñèϕ 0 0 ðîâàííûõ òî÷åê íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè, îáðàο çóþò çäåñü òðè «îñòðî- −3.0 ο ο−180 180 0 0 1 2 3 4 5 6 −180 âêà», ïîî÷åðåäíî ïîñå(quality 4.5, driving freq. 0.67, driving ampl. 70.0, initial defl.−7.547 degr., init. ang. velocity −2.767) ùàåìûõ èçîáðàæàþùåé òî÷êîé.  ïðåäåëàõ Ðèñ. 11. 3T-ïåðèîäè÷åñêèé êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûé êàæäîãî «îñòðîâêà» ðåæèì ìàÿòíèêà ïîä äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêîãî âíåøíåãî èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ìîìåíòà N(t) (ââåðõó) è ðîäñòâåííûé õàîòè÷åñêèé ðåæèì (âíèçó) ÊÎÌÏÜÞÒÅÐ Â Ó×ÅÁÍÎÌ ÏÐÎÖÅÑÑÅ

33

Áóòèêîâ Å.È. íèÿ (ïðè ω << ω 0 ) â äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè ìàÿòíèêà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü 2 ÷ëåíàìè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ è óãëîâûì 1 1 óñêîðåíèåì. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìîæíî ñ÷èπ −π 0 2π ϕ òàòü, ÷òî ìàÿòíèê êâàçèñòàòè÷åñêè ñëåäó2 åò çà ìåäëåííî èçìåíÿþùèìñÿ âíåøíèì ìîìåíòîì, îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ â ïîëîæå3 íèè ðàâíîâåñèÿ (â ìèíèìóìå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè), êîòîðîå îòêëîíÿåòñÿ îò Ðèñ. 12. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âåðòèêàëè ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ìîU (ϕ ) ≈ (1 − cos ϕ − θ 0ϕ ) ìàÿòíèêà, ïîäâåðæåííîãî ìåíòà. Êàê âèäíî èç óðàâíåíèÿ (1), ïðè ñòàòè÷åñêîìó ìîìåíòó ñèë θ 0 . ýòîì ñèíóñ óãëà ϕ (t ) ðàâåí âíåøíåìó ìîÊðèâàÿ 1 ñîîòâåòñòâóåò θ 0 = 0, êðèâàÿ 2 – θ 0 = 0.5, êðèâàÿ 3 – θ 0 = 1 ìåíòó, èçìåðåííîìó â óãëîâûõ åäèíèöàõ: sin ϕ (t ) = θ (t ) = θ 0 sin ω t . Ïîýòîìó ïðè θ 0 = 1 ýíåðãèè èñ÷åçàþò (êðèâàÿ 3 íà ðèñ. 12), èìååì sin ϕ (t ) = sin ω t , îòêóäà äëÿ èíòåðòàê ÷òî ðàâíîâåñèå (à òàêæå è êîëåáàòåëüâàëà âðåìåíè (0, T/4) óãîë îòêëîíåíèÿ ìàíîå äâèæåíèå) ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíûì: ÿòíèêà ïîä äåéñòâèåì ñèíóñîèäàëüíîãî ìîìàÿòíèê ñîâåðøàåò ïåðåâîðîòû. Êîãäà ìåíòà ëèíåéíî âîçðàñòàåò ñî âðåìåíåì: θ 0 → 1 , ñòàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ϕ ïðèáëèϕ (t ) = ω t . Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìàÿòíèêà â æàåòñÿ ê π 2 , òî åñòü ìàÿòíèê îòêëîíÿýòîì ìåäëåííîì äâèæåíèè ïîñòîÿííà è åòñÿ äî ãîðèçîíòàëüíîãî ïîëîæåíèÿ. ðàâíà êðóãîâîé ÷àñòîòå âîçáóæäàþùåãî Ñëó÷àé ìåäëåííî èçìåíÿþùåãîñÿ ïî ìîìåíòà: ϕ& (t ) = ω (ω << ω 0 ) . ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó âíåøíåãî ìîìåíÝòî çíà÷èò, ÷òî íà èíòåðâàëå (–T/4, T/4) òà, àìïëèòóäà êîòîðîãî θ ≈ 1 , çàñëóæèâàåò â êà÷åñòâå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) â ïåðâîì îñîáîãî îáñóæäåíèÿ. Íà ðèñ. 13 ïîêàçàí ïðèáëèæåíèè ìîæíî ïðèíÿòü ëèíåéíóþ ôóíãðàôèê óñòàíîâèâøåãîñÿ ïåðèîäè÷åñêîãî êöèþ ϕ (t ) ≈ ω t . Àíàëîãè÷íî äëÿ ñëåäóþùåäâèæåíèÿ ïðè ω = 0.01ω 0 ïîä äåéñòâèåì ãî èíòåðâàëà âðåìåíè (T/4, 3T/4) ìîæíî çàâíåøíåãî ìîìåíòà, óãëîâàÿ àìïëèòóäà êîïèñàòü ϕ (t ) ≈ π 2 − ω (t − T 4) = π − ω t .  òîðîãî θ 0 ñëåãêà ïðåâûøàåò 1 ðàäèàí. Îáöåëîì òàêîå ïðèáëèæåííîå ïåðèîäè÷åñðàòèòå âíèìàíèå íà ëèíåéíûé õàðàêòåð êîå ðåøåíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ïèëîîáðàççàâèñèìîñòè ϕ (t ) îò âðåìåíè, ïîêà âíåíûì ïðîôèëåì ñ ðàâíîáåäðåííûìè òðåóøíèé ìîìåíò N(t) ìåäëåííî óâåëè÷èâàåòãîëüíûìè çóáöàìè. Ìîäåëèðîâàíèå ïîêàñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó îò íóëÿ äî çûâàåò (ñì. ðèñ. 13), ÷òî ïðÿìîëèíåéíàÿ ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ θ 0 = 1. ôîðìà çóáöîâ âáëèçè èõ âåðøèí ñëåãêà Äàëüøå ìû ïîïûòàåìñÿ îáúÿñíèòü òàèñêàæåíà áûñòðûìè îñöèëëÿöèÿìè, âîçêîå ïðîòèâîðå÷àùåå èíòóèöèè ïîâåäåíèå íèêàþùèìè ïîñëå òîãî êàê âíåøíèé ìîìàÿòíèêà íà îñíîâå óðàâíåíèÿ (1).  ñëóìåíò äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ÷àå ìåäëåííîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåè ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêà íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ â 90.0 ο îáðàòíóþ ñòîðîíó. Ýòè áûϕ (t) ñòðûå îñöèëëÿöèè îñîáåííî N( t ) îò÷åòëèâî ïðîÿâëÿþòñÿ íà 0 ãðàôèêå óãëîâîé ñêîðîñòè, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 14. Óãο −90.0 ëîâàÿ ñêîðîñòü ϕ& âûðàæå0 1 2 3 íà íà íåì â åäèíèöàõ ω 0 ÷à(quality 10.0, driving freq. 0.01, driving ampl. 57.2958, initial defl.−0.0558 degr., init. ang. velocity 0.01) ñòîòû ìàëûõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Ðèñ. 13. Óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå ìàÿòíèêà ïðè θ 0 ≈ 1 Åñëè àìïëèòóäó θ 0 âíåøïîä äåéñòâèåì ñèíóñîèäàëüíîãî âíåøíåãî ìîìåíòà N(t) íåãî ìîìåíòà è åãî ÷àñòîòó ϕ (t ) 3

U(ϕ )

íèçêîé ÷àñòîòû ( ω = 0.01ω 0 ). Ïîêàçàíû òàêæå ãàðìîíèêè

34

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2008 ã.

Íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïðè ñèíóñîèäàëüíîì âíåøíåì âîçäåéñòâèè 0.03 ñäåëàòü íåìíîãî áîëüøå, ÷åì . N(t) ϕ (t) â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå, òî ìàÿòíèê ñíà÷àëà ñíîâà ñëå0 äóåò êâàçèñòàòè÷åñêè çà ìåäëåííî èçìåíÿþùèìñÿ âíåøíèì ìîìåíòîì, òàê ÷òî óãîë îòêëîíåíèÿ ϕ (t ) îïÿòü ìåä- − 0.030 1 2 3 ëåííî âîçðàñòàåò ñî âðåìåÐèñ. 14. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìàÿòíèêà ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ íåì ïî÷òè ïî ëèíåéíîìó çàäâèæåíèè ïîä äåéñòâèåì íèçêî÷àñòîòíîãî ( ω = 0.01ω 0 ) êîíó, ïîêà ìàÿòíèê íå äîññèíóñîèäàëüíîãî âíåøíåãî ìîìåíòà N(t), òèãíåò íàèâûñøåãî (ïî÷òè ãîóãëîâàÿ àìïëèòóäà êîòîðîãî θ 0 ≈ 1 ðèçîíòàëüíîãî) ïîëîæåíèÿ. Îäíàêî çàòåì âìåñòî îáðàëåíèå âíåøíåãî ìîìåíòà (ñì. âåðõíþþ ùåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ñâîåãî äâèæåíèÿ ÷àñòü ðèñ. 15). âñëåä çà ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, íà÷èíàÇàòåì âñå îïèñàííîå äâèæåíèå ïîâòîþùèì îáðàòíîå äâèæåíèå, ìàÿòíèê «óñðÿåòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. êîëüçàåò» èç ïîòåíöèàëüíîé ÿìû ÷åðåç åå ïîíèçèâøèéñÿ ïðàâûé áåðåã è íà÷èíàåò áûñòðî «ñîñêàëüçûâàòü» âíèç ïî áóãðàì ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ âíåøíåãî ñêëîíà ïîòåíöèàëüíîãî ðåëüåÄèíàìèêà ïîâåäåíèÿ õîðîøî âñåì çíàôà (ñì. êðèâûå 2 è 3 íà ðèñ. 12). Ýòî êîìîãî ìàÿòíèêà, âîçáóæäàåìîãî ñèíóñîçíà÷èò, ÷òî ìàÿòíèê «ñðûâàåòñÿ» â áûñòèäàëüíûì âíåøíèì ìîìåíòîì, íàìíîãî ðîå íåðàâíîìåðíîå âðàùåíèå â îäíîì íàáîãà÷å è ðàçíîîáðàçíåé, ÷åì ìîæíî îæèïðàâëåíèè. Íà ðèñ. 15 ïðèâåäåíû ãðàôèäàòü îò ñòîëü ïðîñòîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåêè óãëà ϕ (t ) è óãëîâîé ñêîðîñòè ϕ& (t ) ìû, ïîëàãàÿñü íà èíòóèöèþ. Êîëåáàíèÿ äëÿ ýòîãî ýêçîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ. ìàÿòíèêà ñ áîëüøèìè àìïëèòóäàìè è êîÌîæíî ñäåëàòü îöåíêó ñðåäíåé óãëîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûå ðåæèìû âðÿä ëè âîé ñêîðîñòè ϕ& av ýòîãî áûñòðîãî âðàìîæíî ñ÷èòàòü ïðîñòûìè. Èçìåíåíèå ïàùåíèÿ, ïðèðàâíÿâ âíåøíèé ìîìåíò â åãî ðàìåòðîâ ìàÿòíèêà è íà÷àëüíûõ óñëîâèé ìàêñèìóìå θ 0 ìîìåíòó âÿçêîãî òðåíèÿ, 2 ïðèâîäèò ê ïîðàçèòåëüíî ðàçíîîáðàçíûì òîðìîçÿùåìó âðàùåíèå: ω 0θ 0 = 2γ ϕ& av , îòïåðèîäè÷åñêèì è õàîòè÷åñêèì ðåæèìàì êóäà ϕ& av ≈ Qω 0 . Ñðåäíèé ïåðèîä Trot ýòîãî âðàùåíèÿ ìîæíî îöåíèòü, ïîο ëîæèâ Trot = 2π ϕ& av ≈ T0 Q , ãäå 180 ϕ (t) T0 = 2π ω 0 – ïåðèîä ìàëûõ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. 0 Ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ t ê T/2 N( t ) âíåøíèé ìîìåíò N(t) ñòàíîâèòο −180 ñÿ ìåíüøå, âðàùåíèå ìàÿòíèêà 2.9 . ïîñòåïåííî çàìåäëÿåòñÿ, è â êîíϕ (t) (t) N öå êîíöîâ (êîãäà âíåøíèé ìîìåíò ïî÷òè îáðàùàåòñÿ â íóëü), 0 ìàÿòíèê îïÿòü îêàçûâàåòñÿ çàõâà÷åííûì â ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó, −2.9 ãäå îí ñîâåðøàåò çàòóõàþùèå 0 1 2 (quality 3.5, driving freq. 0.03, driving ampl. 57.8, initial defl.−29.5 degr., init. ang. velocity −0.343) ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ðàâíîÐèñ. 15. Ïåðåâîðîòû è êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà ìåðíî äâèæóùåãîñÿ íàçàä ïîä ïîä äåéñòâèåì íèçêî÷àñòîòíîãî ( ω = 0.03ω 0 ) äåéñòâèåì èçìåíèâøåãî íàïðàâñèíóñîèäàëüíîãî âíåøíåãî ìîìåíòà N(t)

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐ Â Ó×ÅÁÍÎÌ ÏÐÎÖÅÑÑÅ

35

Áóòèêîâ Å.È. åãî ïîâåäåíèÿ.  ýòîé ñòàòüå ìû çàòðîíóëè ëèøü íåáîëüøóþ ÷àñòü ñóùåñòâóþùèõ ðåæèìîâ. Ïðèëàãàåìàÿ ê ïåðâîìó íîìåðó æóðíàëà çà ýòîò ãîä êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà «Ìàÿòíèê ïîä äåéñòâèåì ñèíóñîèäàëüíîé ñèëû» ñîäåðæèò ìíîæåñòâî çà-

ðàíåå ïðèãîòîâëåííûõ ïðèìåðîâ (êðîìå îáñóæäàåìûõ â ñòàòüå), äåìîíñòðèðóþùèõ ìíîãîîáðàçíûå îñîáåííîñòè ïîâåäåíèÿ ýòîé çíàìåíèòîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû. Ó íàñ åñòü âåñêèå îñíîâàíèÿ ñ÷èòàòü åå ïîèñòèíå íåèñ÷åðïàåìîé.

Áóòèêîâ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, ïðîôåññîð ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÑÏáÃÓ.

36

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 2, 2008 ã.