Распространение волн в диспергирующих средах: Учебное пособие по курсу ''Физика волновых процессов''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

Л .И .А ве р и на

Р ас пр ос тр ане ни еволн в ди с пе р ги р ую щ и х с р е дах У ч ебное п особи е п ок у рсу «Ф и зи к а волновы х п роцессов» С п еци альность 013800 «Ради офи зи к а и элек трони к а»

В О РО Н Е Ж 2004

2

Рекомендова но на учно-методическим советом физического фа культета 10 февра ля2004г., протокол№ 2. А вторк.ф.-м.н., доц ентА верина Л .И .

У чебноепособиепосвящ ено изучению за кономерностей распростра ненияэлектрома гнитны х волн в диспергирую щ их среда х: диэлектрика х, проводника х и пла зме. О собоевнима ниеуделено вопроса м распространения радиосигна лов в этих среда х. Ра ссма трива ю тся разны евиды волновы х ура внений. П риводится кла ссифика ц ия сред по их электрофизическим па ра метрам. Д а ё тся понятиео плоской волне, её па раметрах и ха рактеристика х. В водитсяопределениеволнового па кета и ра ссма трива етсяего изменениевдиспергирую щ их среда х .

У чебноепособиеподготовлено на ка федреэлектроники физического фа культетеВ оронеж ского госуда рственного университета . Рекомендуется для студентов 3-го курса дневного отделения и 5-го курса вечернего отделения, обуча ю щ ихся по спец иа льности 013800 « Ра диофизика и электроника »и изуча ю щ их дисц иплину « Ф изика волновы х проц ессов».

3

СО Д Е РЖ А Н И Е В В Е Д Е НИ Е

4

1. В О Л Н О В О Е У РА В Н Е Н И Е

5

2. П Л О СК И Е В О Л Н Ы В О Д Н О РО Д Н О Й И ЗО Т РО П Н О Й СРЕ Д Е

7

2.1 П лоскиеволны

7

2.2 У равненияМ а ксвелла вкомплексной форме

8

2.3 П лоскиеэлектрома гнитны еволны

11

2.4 П оляриза ц ияэлектрома гнитны х волн

13

2.5 Ра спростра нениеэлектрома гнитны х волн впоглощ а ю щ их среда х 14 2.6 Э нергияэлектрома гнитного поля 3. РА СП РО СТ РА Н Е Н И Е В О Л Н В Д И СП Е РГИ РУ Ю Щ И Х СРЕ Д А Х 3.1 Д исперсиядиэлектрической прониц а емости

16 17 18

3.2 Связьмеж дудисперсией и поглощ ением. Д исперсионны е соотнош енияК ра мерса – К ронига

20

3.3 Д исперсияпри распространенииэлектрома гнитны х волн вдиэлектрика х

21

3.4 Д иэлектрическа япрониц а емостьи распространениеволн всреда х со свободны миза ряда ми

24

3.5 В олновой па кетвдиспергирую щ ей среде

28

3.6 Ра спростра нениега уссова импульса с ква дратичной модуляц ией фа зы вдиспергирую щ ей среде СП И СО К Л И Т Е РА Т У РЫ

32 34

4

В В ЕДЕНИ Е В окруж а ю щ ем на с мирепроисходит множ ество явлений , проявляю щ их черты колеба тельны х и волновы х проц ессов. Н есмотря на многообразиеситуа ц ий и различиев способа х описа ния, мож но вы делитьмного общ его впротека нии проц ессов различной физической природы . И зучениеименно этих общ их за кономерностей соста вляет предмет курса теория волновы х проц ессов. И та к, ц ель курса состоит в озна комлении с основны ми за кономерностями распространенияэлектрома гнитны х волн всреда х с различны мисвойства ми. К олеба ниями на зы ва ю т ограниченны е (и ча щ е всего повторяю щ иеся) движ ения в окрестности некоторого среднего полож ения (на пример, устойчивого полож енияравновесия). К олеба тельны епроц ессы описы ва ю тсяодним или несколькими обы кновенны ми дифференц иа льны ми ура внениями. В олна – это распростра нениеколеба ний в пространстве, происходящ еес конечной скоростью . В олновой проц есс – болееслож на я модель движ ения реа льны х систем, состояниекоторы х за висит уж енетолько от времени, но и от пространственны х переменны х. П оэтому та киепроц ессы описы ва ю тся уравнениями, содерж а щ ими ча стны епроизводны е. К ритерием перехода от колеба тельного движ ения к волновому мож ет служ ить « условиеква зиста ц иона рности»: если ха рактерны ера змеры системы LcT проц есс нуж но счита ть волновы м, а систему – ра спределё нной. В олны обы чно служ а т на иболеебы стры м меха низмом переноса энергии, позволяю щ им осущ ествить в системепереход от неравновесного состояния к ра вновесному. П ри этом непроисходит сущ ественного перемещ ениявещ ества . В олновой проц есс – это одна из ва ж ней ш их форм движ енияма терии; втой или иной мереволновы едвиж енияприсущ и всем без исклю ченияобъекта м ма териа льного мира. В олновы епроц ессы – нелиней ны еи линей ны е– интенсивно изуча ю тся в ра зличны х обла стях физики: электродина мике, физикепла змы , оптике, радиофизике, а кустике, гидродина микеи т.д. М еха низмы ра спространения возмущ ений, естественно, сильно отлича ю тсядруг отдруга . Н а пример, упругиеволны в ж идкостях и га за х сущ ествую т вследствиетого, что коллективноедвиж ение ча стиц среды созда ё т чередую щ иеся сж а тия и разреж ения, которы евы зы ва ю т движ ениевследую щ ем слоеж идкости (га за ). В озмущ ениепереда ё тсяотслояк слою преимущ ественно в на пра влении, вдоль которого происходят колеба ния ча стиц , т.е. волны в ж идкостях и га за х являю тся продольны ми. Т вё рды етела обла да ю т сдвиговой упругостью , и в них могут распространяться поперечны е волны . Ра спространениеэлектрома гнитны х волн происходит вследствиетого, что появляю щ ееся в ка кой-либо точкепростра нства переменноеэлектрическое полевозбуж да етвсоседних точка х ма гнитноеполеи на оборот.

5

Ра зличиефизических меха низмов, реализую щ их волновой проц есс, приводит к различны м способа м описа ния, основа нны м на сильно отлича ю щ ихся друг от друга система х ура внений. О дна ко для понима нияна иболеефунда мента льны х явлений , свойственны х волна м различной природы – интерференц ии, дифра кц ии, дисперсии, отраж ения и преломления, рассеяния и т.д., ча сто нет необходимости а на лизирова тьисходны еслож ны есистемы ура внений . П росты е эффекты , ка к правило, описы ва ю тся просты ми и поэтому универса льны ми ма тема тическими моделями.

1. В О Л НО В О ЕУР А В НЕНИ Е В теории волн фунда мента льноезна чениеимеет линейноеура внениев ча стны х производны х второго порядка : ∆U −

1 ∂ 2U c 2 ∂t 2

=0

(1.1)

О но на зы ва етсяволновы м у равнени ем . О ператорЛ а пла са ∆ за писы ва ется либо в дека ртовы х , либо в криволиней ны х (ц илиндрических, сферических и др.) координа та х; с – конста нта , ха ра ктеризую щ а ясвойства среды . В присутствии источников или внеш них сил проц есс возбуж дения и распространенияволн описы ва етсянеоднородны м ура внением: ∆U −

1 ∂ 2U c 2 ∂t 2

= f (r , t ) ,

(1.2)

гдеf(r,t) – некоторая функц ия, ха рактеризую щ а я распределё нны евнеш ниевоздействия. В реальной средемогут происходить необратимы е проц ессы переда чи энергии волны ча стиц а м среды (диссипа ц ия); скорость распростра нения волны мож ет ста ть функц ией ча стоты (дисперсия). Э ти явления долж ны учиты ва ться введением в волновоеуравнение(1.1) дополнительны х линей ны х членов L(U), структура которы х мож ет бы ть различной в за висимости от конкретны х физических меха низмоввза имодей ствияволн со средой : ∆U −

1 ∂ 2U c 2 ∂t 2

− L (U ) = 0

(1.3)

У равнения(1.1)-(1.3) могутбы тьза писа ны ка к дляска лярной переменной U, та к и для векторной U (на пример, на пряж ё нностей E и H поля электрома гнитной волны ). Реш ениеволнового уравнения долж но на ходитьсяс учё том на ча льны х и гра ничны х условий, отвеча ю щ их физической поста новкеза да чи.

6

У равнениями (1.1)-(1.3) описы ва ю тся волны в однородны х изотропны х среда х. За да чи, связа нны ес ра спространением волн в линейны х диспергирую щ их и недиспергирую щ их среда х , с определением поля по за да нны м источника м, с отраж ением и преломлением волн на гра ниц а х раздела однородны х сред, с распространением волн в волновода х, длинны х линиях, других на пра вляю щ их система х и т.д., сводятсяк реш ению одного из этих ура внений с соответствую щ ими граничны ми условиями. Е сли среда а низотропна , то проц есс распространения волн мож етописы ва ться гиперболическими ура внениями невторого, а болеевы сокого порядка , которы еприводятся к ура внениям второго порядка только при спец иа льны х предполож ениях о ха рактерепротека ния волнового проц есса в а низотропной среде. Т а кого типа за дачи встреча ю тсяпри исследова нии распростра нения световы х волн в криста лла х, электрома гнитны х волн в пла змеили феррите, на ходящ ихсявма гнитном полеит.д. Е сли среда неоднородна , т.е. её свойства за висятоткоордина т, то в ура внении, описы ва ю щ ем волновой проц есс, с уж ебудетнеконста нтой , а функц ией координа т c(x,y,z). В олновы м уравнением та кого типа описы ва ю тся проц ессы ра спростра ненияэлектрома гнитны х волн втропосфереи ионосфере. П ри возбуж дении в средесильны х полей уравнения, описы ва ю щ иепроц есс ра спространения возмущ ений , уж енельзя свести к линей ны м волновы м ура внениям. С учё том нелиней ны х членовони приобрета ю твид: ∆U −

1 ∂ 2U c

2

∂t

2

= L1 (U ) + L 2 (U 2 ) + L3 (U 3 ) + ... ,

(1.4)

гдеL1 , L2, L3 – некоторы елиней ны еопера торы . Сохранениеэтих членоввура внении позволяетописа тьразличны енелиней ны еэффекты при распространении волн всреде. В нелиней ны х за да ча х на руш а етсяпринц ип суперпозиц ии: возника ет вза имодействие волн различны х ча стот. П ри этом ха ра ктер протека ния волновы х вза имодействий сущ ественно за висит от соотнош ения дисперсионны х и нелиней ны х свойствпроц есса . Больш оезна чениев теории волн имею т га рмоническиеволны . Ф ункц ия U(x,y,z,t), описы ва ю щ а я га рмоническую волну, мож ет бы ть предста влена в виде:

U ( x , y, z , t ) =

[

]

1 & A( x, y , z)e jωt + A* ( x, y, z )e − jωt , 2

(1.5)

гдеА – комплексна явеличина . П одста вляя (1.5) в (1.1), получим дляопределенияфункц ии A(x,y,z): ∆A + k 2 A = 0, где k 2 = ω 2 / c 2

(1.6)

7

k на зы ва ю т волновы м ч и слом . Е сли подста вить (1.5) в (1.3), то опять получим дляА уравнение(1.6), но k2 будетболееслож но за висетьотча стоты и являтьсякомплексной величиной k 2 (ω ) = [k ' (ω ) + jk " (ω ) ]2 . У равнение(1.6) на зы ва етсяу равнени ем Гельм гольца. Е го реш ениеиска ть прощ е, чем (1.1)-(1.3), особенно в том случа е, когда скорость распространения волны v = ω / k за висит от ча стоты (т.е. сущ ественна я дисперсия). П оэтому в диспергирую щ их линей ны х среда х возмущ ения, за висящ иеот времени слож ны м образом, предста вляю тввидесовокупности га рмонических волн. И та к, лю ба я за да ча теории волн сводится к определению поведения в пространствеи времени величин, ха рактеризую щ их волновой проц есс. О на ка к бы делитсяна два эта па . В на ча ленеобходимо воспользова тьсяисходной системой уравнений , описы ва ю щ их волновоеполев среде, а за тем с помощ ью ряда упрощ ений, диктуемы х конкретной поста новкой за да чи, получить волновое ура внениеодного из перечисленны х вы ш етипов, а та кж есформулирова ть на ча льны еи гра ничны еусловия. В торой эта п состоитвреш ении этого уравнения при за да нны х на ча льны х и гра ничны х условиях и в физическом а на лизеполученны х результа тов.

2. ПЛ О С КИ Е ВО Л НЫ В О ДНО Р О ДНО Й И ЗО ТР О ПНО Й С Р ЕДЕ 2.1 Плос ки еволны П ростейш ими реш ениями волновы х ура внений, имею щ ими весьма больш оезна чение, являю тся реш ения ввидеплоских волн. В плоской волневозмущ ение U за висит лиш ь от расстояния, отсчиты ва емого вдоль некоторого фиксирова нного на правленияm, и времени, т.е. U=U(ξ,t), где ξ = (r, m ) = m x x + m y y + m z z Ра ссмотрим плоскиеволны в изотропной однородной среде, неучиты ва я поглощ ение, дисперсию и нелиней ны еэффекты . В та кой средеволновой проц есс описы ва етсяуравнением (1.1), котороеприобрета етвид: ∂ 2U ∂ξ 2

−

1 ∂ 2U c 2 ∂t 2

=0

(2.1)

Е слиотпеременны х ξ и t перейти к переменны м: η =t+ то получим ура внение:

ξ c

и τ =t− ∂ 2U =0 ∂τ∂η

ξ , c (2.2)

8

Е го реш ениеимеетвид: U (ξ , t ) = U1 (τ ) + U 2 (η ) = U1 (t − ξ / c) + U 2 (t + ξ / c ) . Здесь U 1 , U 2 - произвольны ефункц ии. Ра ссмотрим функц ию U1 . В лю бой фиксирова нны й моментвремени она имеет постоянное зна чение в плоскости, определяемой соотнош ением ξ = (r, m ) = Const . Э та плоскость, на которой фа за волны постоянна , на зы ва ется волновы м фронтом . О н перемещ а ется впространствесо скоростью с вдольна пра вления m. Э та скорость на зы ва ется фазовой. О на связа на с волновы м числом следую щ им соотнош ением: ω Re k Т а ким образом, U1 описы ва ет плоскую волну, бегущ ую в на пра влении m. О чевидно, что функц ия U 2 описы ва ет волну, бегущ ую в противополож ном на правлении– m. vф =

П лоскиеволны , описы ва емы епроизвольны ми функц иями U1 , U 2 , ча сто удобно ра ссма трива тька к суперпозиц ию га рмонических волн. Т огда

U1, 2 (ξ , t ) = A1,2 exp(± jkξ − jωt ) Ф а зуга рмонической плоской волны мож но за писа тьввиде: k ( m x x + m y y + m z z ) − ωt = kr − ωt ,

k = km

У равнение kr = Const определяет плоскость ра вной фа зы . Е сли k – действительноечисло, то а мплитуды волн постоянны всю ду, в том числеи в плоскости равной фа зы .

2.2 Ур авне ни я М акс ве лла в компле кс нойфор ме К а к известно, исходной системой уравнений для определения электрома гнитного полявсредеявляю тсяура вненияМ а ксвелла : 1 ∂D 4π + j c ∂t c 1 ∂B rotE = − c ∂t divD = 4πρ

rotH =

(2.3)

divB = 0 Здесьj и ρ - плотности токов и электрических за рядов всреде, появлениекоторы х вы зва но электрома гнитны м полем. E и H – на пряж ё нности электрического

9

и ма гнитного полей, D и B – векторы электрической и ма гнитной индукц ии, 1 с – скоростьсвета вва кууме( с = ). µ 0ε 0 Д ля расчё та электрома гнитны х полей в различны х среда х эту систему ура внений необходимо дополнитьсистемой ма териа льны х ура внений : D = D ( E ), B = B ( H ), j = j( E )

Связьмеж ду D и E, B и H, j и E за висит от ха рактера вза имодействияэлектрома гнитного поля с вещ еством и мож ет иметь очень слож ны й вид. О на мож ет бы ть нелиней ной , нелока льной , учиты ва ть а низотропию и на следственны е свойства среды . П оследнееозна ча ет, вча стности, что зна чения векторовD, B, j вка кой-либо точкепространства и вмомент времени t могутза висетьотзна чений векторовE, H вдругих точка х простра нства и впредш ествую щ иемоменты времени. Т а ка ясвязьмеж ду векторами приводитк появлению ча стотной и пространственной дисперсии, сущ ественно влияю щ ей на проц ессы распространенияволн. В о многих случа ях векторы E и D, B и H па раллельны при лю бой ориента ц ии электрома гнитного поля. Х а рактерэлектрома гнитны х проц ессов вта ких среда х неза висит от на пра вления этих векторов, поэтому эти среды на зы ва ю т и зотроп ны м и . В некоторы х среда х эти векторы непа раллельны , их на зы ва ю т ани зотроп ны м и . Среду на зы ва ю тоднородной, если её па раметры неза висятоткоордина т, и неоднородной, если та ка яза висимостьимеется. В ы деляю т ли нейны е среды , па раметры которы х неза висят от на пряж енностей электрических и ма гнитны х полей , и нели нейны е, в которы х эта за висимость на блю да ется. В линейны х среда х электрома гнитноеполеудовлетворяет принц ипу суперпозиц ии: поле, созда нное несколькими источника ми, ра вно суммеполей, образова нны х ка ж ды м источником вотдельности. В сильны х полях всесреды (и ва куум) ста новятся нелиней ны ми. В сла бы х полях некоторы е вещ ества (сегнетоэлектрики, феррома гнетики) обна руж ива ю тнелиней ность. Сна ча ла будем счита ть, что связь меж ду векторами линей на и определяетсясоотнош ениями:

D = εE , B = µH , j = σE , гдеε - относительна я диэлектрическа я прониц а емость, µ - относительна я ма гнитна я прониц а емость, σ - проводимостьсреды . Э ти па раметры среды на зы ва ю тся электрофизическими. П оэтому среды различа ю т по зна чениям именно этих па раметрови ха рактеру их за висимости отинтенсивности электрома гнитны х проц ессовикоордина тточки на блю дения. ωε В диэлектрика х: > 1, в проводника х – на оборот. Т а ким образом, в за σ висимости от ча стоты изменения поля одно и то ж евещ ество мож етсчита ться

10

диэлектриком, либо проводником. В идеальном диэлектрике σ=00 , в идеальном проводникеσ → ∞ . В систему уравнений М а ксвелла входятча стны епроизводны епо четы рём а ргумента м: x, y, z, t. П роц едура реш енияупростится, если из уравнений уда стся исклю чить t. Э того легко добиться, если рассма трива емы й электрома гнитны й проц есс протека ет во времени по га рмоническому за кону с некоторой постоянной ча стотой ω. Т а киепроц ессы ча сто встреча ю тсяна практике. Т огда векторка кого-либо поля, на примерЕ , в некоторой за да нной точке пространства за писы ва ется:

(

)

E (t ) = E x cos(ωt + ϕ x )i + E y cos ωt + ϕ y j + E z cos(ωt + ϕ z )k E x , E y , E z - а мплитуды отдельны х соста вляю щ их поля; ϕ x , ϕ y , ϕ z - соответствую щ иена ча льны ефа зы . И ли

[(

E (t ) = Re E x e jϕ x i + E y e

jϕ y

) ] [

j + E z e jϕ z k e jωt = Re E& e jωt

]

В екторE& принято на зы ва тькомплексной а мплитудой поляЕ вза да нной точке пространства . К омплексны еа мплитуды легко ввести в уравнения М а ксвелла , пола га я, что величины E& , H& за висят только от пространственны х координа т. В озьмё м, на пример, первоеура внениеи подста вим в него соответствую щ иевекторны е поля, вы раж енны ечерез комплексны еа мплитуды . П олучим:

(

)

(

)

(

1 ∂ 4 πσ jωt jω t jω t rot Re H& e = Re D& e + Re E& e c ∂t c

)

И зменяя порядок следова ния дифференц иа льны х опера ц ий и операц ий взятия действительной ча сти, а за тем сокращ а я на общ ий экспоненц иа льны й множ итель, получим: jω & 4πσ & D+ E rotH& = c c А на логично преобра зова воста льны еуравнения, получим ура вненияМ а ксвелла вкомплексной форме: jωD& 4π & jω  j 4πσ  & jω & rotH& = + σE rotH& = ε кE ε − E = c c c  ω  c jωB& jωµH& rotE& = − rotE& = − c c 4πρ divD& = 4πρ или divE& = ε divB& = 0 divH& = 0 D& = εE& B& = µH&

11

2.3 Плос ки еэле ктр омагни тныеволны О дним из ча стны х реш ений уравнений М а ксвелла являю тся однородны е плоскиеволны . Ра ссмотрим бесконечноетрёхмерноепространство с за да нны ми па раметра ми ε, µ, σ, одина ковы ми во всех точка х. П редполож им, что свободны еэлектрические за ряды отсутствую т, т.е. ρ=0. Э лектрома гнитны й проц есс, га рмонически изменяю щ ийся во времени с ча стотой ω, ха рактеризуется комплексны ми а мплитуда ми полей E& , H& , которы еудовлетворяю т системеуравнений М а ксвелла : jω & rotH& = ε кE c divE& = 0

rotE& = −

jωµH& c

divH& = 0

П реобразуем эту систему к волновому ура внению . Д ля этого возьмё м rot от второго уравнения: ω 2 µε к & jωµ & & rot rotE = − rotH = E c c2 С другой стороны , мы зна ем, что rot rotE& = grad divE& − ∆E& = − ∆E& . П олучим: ∆E& +

ω 2 µε к & E=0 c2

ω µε к - волновоечисло. c Реш ение да нной системы относительно трё х неизвестны х функц ий E& x , E& y , E& z , ка ж да я из которы х за висит от трёх координа т x, y, z, описы ва ет в общ ем случа еполес весьма слож ной пространственной конфигурац ией. В ведё м некоторы еупрощ ения. П усть 1) E& x ≠ 0, E& y = E& z = 0 ; 2) отлична я от нуля проекц ия E& x за висит лиш ь от координа ты z, т.е. ∂ = ∂ = 0 . Т огда система ∂x ∂y сводитсяк ура внению : d 2 E& x + k 2 E& x = 0 2 dz О бозна чим: k =

Реш ениеэтого ура вненияимеетвид:

E& x ( z ) = A& e − jkz + B& e jkz ,

12

гдеA& , B& - произвольны епостоянны е. Н а йдя комплексную а мплитуду вектора на пряж ё нности электрического поля, мож но определить комплексную а мплитуду вектора на пряж ё нности ма гнитного поля: i jc jc ∂ H& = rotE& = ωµ ωµ ∂x − jkz A& e + B& e jkz =

(

)

j ∂ ∂y 0

k ∂ = ∂z 0

(

)

ε kc & − jkz & jkz Ae − Be j = к A& e − jkz − B& e jkz j ωµ µ

О тсю да мож но сдела тьвы воды : 1) если вектор E& ориентирова н вдольоси x, то вектор H& на правлен вдоль оси y, т.е. в однородной плоской электрома гнитной волневектора E& , H& перпендикулярны ; 2) оба вектора E& , H& перпендикулярны оси распростра нения z, поэтому однородна яплоска яэлектрома гнитна яволна являетсяпоперечной волной; 3) зна чения комплексны х а мплитуд векторов E& , H& в лю бой точке пространства связа ны некоторы м коэффиц иентом пропорц иона льности µ Z0 = - волновое (харак тери ст и ч еск ое) соп роти влени е и ли и м п еданс εк среды ; ω = Re k ростьсовпа да етсо скоростью света вда нной среде.

4) скорость перемещ ения фронта волны : vф =

с - фа зова я скоµε

В общ ем случа еэлектрома гнитноеполепа да ю щ ей волны содерж ит обе поперечны есоста вляю щ ие, тогда

E& ( z ) = (A& i + C& j )e − jkz 1 & (Aj − C& i )e − jkz H& (z ) = Z0 В ы числив ска лярное и векторное произведения этих величин, мож но убедиться, что при произвольны х A& , C& вектора на пряж ё нностей электрического и ма гнитного полей образую т с на правлением распространения пра вую тройку вза имно перпендикулярны х векторов:

13

1 E& = E& 0 e − jkz , H& = [ k , E& 0 ]e − jkz , Z0

гдеE& 0 = A& i + C& j

(2.4)

2.4 Поляр и зац и я эле ктр омагн и тных волн Т а к ка к электрома гнитна яволна имеет векторны й ха рактер, то необходимо ука зы ва ть её п оляри заци ю , т.е. на пра влениевекторов E , H в пространстве. Н а пра вление ка ж дого из этих векторов мож ет изменяться в пространствеи времени вза висимости отсоотнош ениякомплексны х а мплитуд A& , C& . За пиш ем вы ра ж ениедля мгновенного зна чения на пряж ё нности электрического поля:

E ( z , t ) = Acos(ωt − kz + ϕ A )i + C cos(ωt − kz + ϕ C ) j Н а йдё м длину вектора Е и угол, которы й он образуетс осью x: E ( z, t ) = tgα =

A 2 cos 2 (ωt − kz + ϕ A ) + C 2 cos 2 (ωt − kz + ϕC )

C cos(ωt − kz + ϕC ) A cos(ωt − kz + ϕ A )

О беэти величины естьфункц ии времени и координа ты . За висимость угла α от t, z определяетполяриза ц ию волны . Ра ссмотрим некоторы еслуча и. 1. П усть ϕ A = ϕC , тогда

E ( z, t ) = A2 + C 2 cos(ωt − kz + ϕ A ), α = arctg

C A

В идно, что на правлениевектора Е оста ё тся впространственеизменны м, а длина его меняется по косинусоида льномуза кону. Т а ка яволна на зы ва етсяли нейно п оляри зованной. π 2. П устьA=C, ϕ С = ϕ A − , тогда E ( z, t ) = A, α = ωt − kz + ϕ A . В идно, что длина 2 вектора Е оста ё тсяпостоянной, а угол линей но за виситоткоордина ты и времени. К онец вектора Е описы ва ет в плоскости z=Const окруж ность, а в момент времени t геометрическим местом конц а этого вектора является винтова я линия. П ри увеличении z Е поворачива ется по ча совой стрелке. Т а ка яволна имеет π леву ю к ру гову ю п оляри заци ю . Е сли ϕ С = ϕ A + , то волна будетс п равой к ру го2 войп оляри заци ей.

14

В общ ем случа е а мплитуда и на правление вектора Е не оста ю тся постоянны ми. В олну та кого типа на зы ва ю т элли п ти ч еск и п оляри зованной. Е ё мож но предста витька к суперпозиц ию волн с линей ной и круговой поляриза ц ией . Состояние поляриза ц ии га рмонической волны удобно ха рактеризова ть коэффиц иентом поляриза ц ии: E& A P& = x = e j(ϕ A − ϕ C ) E& y C Е сли P& - комплексноечисло, то волна с эллиптической поляриза ц ией ; если P& действительноечисло, то волна линей ной поляриза ц ии; если P& - мнимое, то волна круговой поляриза ц ии.

2.5 Р ас пр ос тр ане ни еэле ктр омагни тных волн в поглощ аю щ и х с р е дах П ри распростра нении волн вреальны х среда х происходит ча стичноерассеяниеих электрома гнитной энергии, т.е. переход её в другиеформы . В та ких среда х мнимы еча сти в общ ем случа еи диэлектрической, и ма гнитной прониц а емостей отличны отнуля. В олновоечисло тогда тож екомплексно: k=

ω ω µ к ε к = k '− jk " = (n − jχ ) c c

П одста вим k в(2.4) и получим: E& = E& 0 e − k " z e − jk ' z ,

H& = H& 0 e − k " z e − jk ' z ,

т.е. реш ениеполучено в видебегущ ей плоской однородной волны , а мплитуда которой убы ва етпо мерераспростра нения. В еличина χ ха рактеризует скорость убы ва ния а мплитуды волны в на пра влении распростра нения и на зы ва етсяп ок азат елем п оглощ ени я. В еличина n определяетфа зовую скоростьволны всредеи на зы ва етсяп ок азат елем п релом лени я. В ы ясним, ка к за висят эти пока за тели от ча стоты волны и па раметров среды . Д ляэтого введё м величину

4πσ , ωε на зы ва емую т ангенсом у гла п от ерь. П риравнива я действительны еи мнимы е ча сти равенства tgδ =

k = 2

ω2 2

εµ (1 − jtgδ ) =

ω2 2

(n −

c c получим систему уравнений дляна хож денияn иχ :

jχ ) , 2

15

n 2 − χ 2 = µε 2nχ = µε tgδ n= Реш ениеэтой системы : χ=

( 1 + tg δ + 1) µε ( 1 + tg δ − 1) 2

µε 2

2

2

В проводящ ей средеn и χ за висят отча стоты , та к ка к tgδ за висит отча стоты , т.е. проводящ а я среда является диспергирую щ ей. П ри распространении плоской волны произвольной формы происходитиска ж ениееё профиля, поскольку фа зова я скорость и коэффиц иент за туха ния различны х ча стотны х соста вляю щ их неодина ковы . Ра ссмотрим предельны еслуча и ма лы х и больш их потерь. Д ля сла боза туха ю щ ей волны ( tgδ << 1) tgδ n = µε = Const, χ = µε = χ (ω ) 2 т.е. дисперсии нет, а диссипа ц ияча стотно-за висима . Д ляволны , испы ты ва ю щ ей сильноеза туха ние( tgδ >> 1 ), µε µσ tgδ = 2π . 2 ω В еличина потерь и фа зова я скорость в проводящ ей среде определяю тся не только электрофизическими па раметра ми, но и сущ ественны м обра зом за висят отча стоты . Скоростьза туха нияэлектрома гнитного поля по мерераспространения волны вглубь проводника за висит от мнимой ча сти волнового числа . Ра сстояние, на котором а мплитуда волны уменьш а ется ве раз, на зы ва ю тглубиной проникновения(т олщ и ной ск и н-слоя): n≈ χ =

2

1 c λ c = = = k " ωχ 2πχ 2πωµσ В хорош их проводника х χ ≈ n >> 1 и, следова тельно, d << λ . Н а пример, для меди на ча стоте10 ГГц d=0.66 мкм. Н а расстоянии 5 мкм от поверхности а мплитуда поля уменьш а ется в 2000 раз. Т а ким образом, электрома гнитноеполе проника ет в мета лл на очень небольш ую глубину. Э то явлениена зы ва ю т п оверх ност ны м и ли ск и н-эффек т ом . В олновоесопротивлениепроводника d=

π µ ωµ ≈ (1 + j ) = µω e j 4 εк σ 2σ по модулю близко к 0, а сдвиг фа з меж ду векторами E , H соста вляет450.

Z0 =

16

2.6 Э не р ги я эле ктр омагн и тного поля М ы зна ем, что электрома гнитноеполеспособно на ка плива ть и переносить энергию . П ойтинг дока за л, что векторплотности потока мощ ности электрома гнитного поляопределяетсявы ра ж ением:

П = [EH ] - векторП ойтинга Е сли электрома гнитноеполеизменяется во времени га рмонически, то П мож но вы разитьчерез комплексны еа мплитуды E& , H& соответствую щ их полей.

( ( ([

) ( ) ( ][ ]

)

1 E = Re E& e jωt = E& e jωt + E *e− jωt 2 1 H = Re H& e jωt = H& e jωt + H *e− jωt 2 1 & * 1 1 П = EH + E * H& + [E& H& ]e j 2ωt + E * H * e − j 2ωt = Re E& H * + Re [E& H& ]e j 2ωt 4 2 2

) [

]

[

)

]

{

}

Здесьпервоесла га емоенеизменно во времени, а второеизменяется с удвоенной ча стотой. Т а ким образом, проц есс переноса энергии в га рмоническом электрома гнитном поле ха ра ктеризуется, с одной стороны , действительны м вектором П

ср =

[

T

]

1 1 П dt = Re E& H * , ∫ T0 2

ра вны м плотности потока мощ ности, усреднё нной за период, и, с другой стороны , действительны м вектором

{

}

1 = Re [E& H& ]e j 2ω t , 2 которы й предста вляет собой колеблю щ ую ся соста вляю щ ую вектора П ой тинга . Среднееза период зна чениеэтого вектора равно нулю . П ри а на лизега рмонических электрома гнитны х полей ча сто вводят комплексны й векторП ойтинга : П

к ол

[

]

1 П& = E& H * , П ср = Re П& 2 В идно, что е сли П& ока зы ва ется мнимы м, то ра ссма трива емы й электрома гнитны й проц есс всреднем за период непереноситмощ ности.

17

В ы числим вектор плотности потока энергии, переносимого плоской однородной волной :

[

]

(

)

H y2 E x2  1  1 1 1  E& x E x*  * * & & k = П ср = Re EH = Re E x H y k = Re Re k = Re(Z 0 )k Z 0  2 2 2  2 2  Z0  В идно, что он ориентирова н вдоль оси распространения волны . Е сли среда не проводящ а я, то поток энергии неизменяется с увеличением z. Е сли ж есреда проводящ а я, то поток энергии уменьш а етсяпо мерераспространенияволны .

3. Р А С ПР О С ТР А НЕНИ ЕВ О Л Н В ДИ С ПЕР Г И Р УЮ Щ И Х С Р ЕДА Х В преды дущ ем разделемы видели, что для плоской волны , распростра няю щ ейся без за туха ния, волновоечисло связа но с ча стотой линейной за висимостью : k =ω

или ω = vk , v гдескоростьра спространенияволны v естьпостоянна явеличина . О дна ко уж епри учё тедиссипа тивны х проц ессов связь ω(k ) илиk (ω ) , определяю щ а яза кон дисперсии, услож няется. Д ля электрома гнитны х волн в среде с проводимостью спра ведливо следую щ еесоотнош ение меж ду волновы м числом и ча стотой : ω2  4πσ  k = 2 µ ε − j  ω  c  2

В болееобщ их случа ях от ча стоты могут слож ны м образом за висеть и действительна я, и мнима яча сти волнового числа

k (ω ) = k ' (ω ) − jk "(ω ) Д ействительна я ча сть комплексного волнового числа ха ра ктеризует за висимость от ча стоты фа зовой скорости ра спространения волны , а мнима я ча сть – за висимостьза туха нияа мплитуды волны отча стоты . П роявлениедисперсии приводит к изменению за кономерностей распространения немонохрома тических волн. Д ействительно, различны е спектральны екомпоненты ра спростра няю тся вдиспергирую щ ей средес отлича ю щ имися фа зовы ми скоростями и коэффиц иента ми за туха ния. В силудисперсии фа зовой скорости впроц ессера спространенияизменяю тсяфа зовы есоотнош ения меж ду спектральны ми компонента ми. Следова тельно, изменяется результа т их интерференц ии – форма импульса иска ж а ется. Д исперсиякоэффиц иента поглощ ения приводит к тра нсформа ц ии ча стотного спектра волны и дополнительному иска ж ению импульса .

18

3.1 Ди с пе р с и я ди эле ктр и ч е с койпр они ц ае мос ти В преды дущ их раздела х мы рассма трива ли электрома гнитны еволны без учё та дисперсионны х свойств среды . Свойства среды учиты ва ю тся в ма териа льны х ура внениях: D = D ( E ), B = B ( H ), j = j( E ) .

Д ляста тических и медленно изменяю щ ихсяполей мож но за писа ть

D = εE , B = µH , j = σE , гдеε, σ, µ - конста нты , т.е. зна чения D, B, j в некоторой точкесреды и в некоторы й момент времени определяю тся зна чениями E, H в той ж еточкеи в тот ж емоментвремени. П ри бы стром изменении поля, вследствиеинерц ии внутренних движ ений и на личия пространственной микроструктуры среды на блю да ется за висимость поляриза ц ии от поля, действую щ его в других точка х и в другиемоменты времени. В силу условия причинности поляриза ц ия (а следова тельно, и индукц ия) за висит от полей, действова вш их в преды дущ иемоменты времени. С учё том этого получа ем за висимости: 3

Di (ω , k ) = ∑ ε ij (ω , k ) E j (ω , k ) j =1 3

Bi (ω , k ) = ∑ µ ij (ω , k ) H j (ω , k ) j =1 3

ji (ω , k ) = ∑ σ ij (ω , k ) E j (ω , k ) j =1

В идно, что компоненты тензоровдиэлектрической, ма гнитной прониц а емостей и проводимости за висят в общ ем случа еот ча стоты и от волнового вектора волны . Т а ким образом, дисперсия при распространении электрома гнитны х волн мож етпроявлятьсядвояким образом – ка к ча стотна я(за счё тза висимости электрофизических па раметровотча стоты ) и ка к простра нственна я(за счё тза висимости этих па ра метров от волнового вектора). Ч а стотна я дисперсия сущ ественна , если ча стота электрома гнитны х волн близка к собственны м ча стота м колеба ний в среде. П ространственна я дисперсия ста новится за метной, когда длина волны сравнима с некоторы ми ха рактерны ми размерами. Д ляэлектрома гнитны х волн в больш инствеслуча ев, да ж ев оптическом диа па зоне, этот ха рактерны й ра змерма л, и простра нственной дисперсией мож но пренебречь. П ри учё тетолько ча стотной дисперсии ма териа льноеуравнениепримет вид:

19 3

Di (ω , r ) = ∑ ε ij (ω ) E j (ω , r ) . j =1

Здесьдиэлектрическа япрониц а емостьсреды для волны с ча стотой ω - это тензор, которы й вслуча еизотропной среды обращ а етсявска ляри определяется ∞

ε (ω ) = 1 + 4π ∫ χ (τ ) e jωτ dτ , 0

гдеχ(τ) - восприимчивость среды – действительна я величина . И з этого вы ра ж енияследует, что функц ияε(ω) являетсякомплексной :

ε (ω ) = ε ' (ω ) + jε "(ω ) . В сё ска за нноесправедливо та кж едляσ(ω) : σ (ω ) = σ ' (ω ) + jσ " (ω ) . Е сли в недиспергирую щ ей средедиэлектрическа я прониц а емость – чисто реактивны й па ра метр, а проводимость – чисто а ктивны й, то в средес дисперсией это различиеутрачива ется. С увеличением ча стоты до зна чений, близких к собственны м ча стота м среды , отличиев свойства х диэлектриков и проводников постепенно исчеза ет. Т а к, на личие у среды мнимой ча сти диэлектрической прониц а емости с ма кроскопической точки зрения неотличимо от сущ ествова нияпроводимости – и то, и другоеприводитк вы делению тепла . П оэтому электрические свойства вещ ества мож но ха рактеризова ть одной величиной – комплексной диэлектрической прониц а емостью

εк = ε − j

4πσ 4πσ " ε "ω , где ε = ε '+ , σ = σ 'ω ω 4π

Т а ким образом, для вы сокоча стотны х монохрома тических полей вместо диэлектрической прониц а емости и проводимости удобно ввести комплексную диэлектрическую прониц а емость, объединяю щ ую оба эти понятия. Ф изически это озна ча ет, что ток в средедля вы сокоча стотны х полей нец елесообразно рассма трива ть ка к сумму тока проводимости и тока смещ ения. В место этого вводитсяполны й ток j = ∂P

∂t

,

гдеР – комплексны й векторполяриза ц ии среды . Ком п лек сная ди элек т ри ч еск ая п рони цаем ост ь для лю бой м атери альной среды ст рем и т ся к еди ни це п ри оч ень больш и х ч астот ах . Э то свойство диэлектрической прониц а емости следует из простого физического рассмотрения.

20

П ри ω → ∞ , когда ча стота волны велика по сра внению с собственны ми ча стота ми колеба ний электронов ва тома х вещ ества , электроны мож но счита ть свободны ми. У равнениедвиж ения свободного электрона под действием га рмонического поля E = E 0 e − jωt иреш ениеэтого уравненияимею твид: mr&& = eE 0 e − jω t , r = −

eE mω 2

.

Здесь m, e – ма сса и за ряд электрона . П оляриза ц ия среды (дипольны й момент единиц ы объё ма , содерж а щ ей N электронов) ра вна P = ∑ er = −

e2 N mω 2

E.

2  2  4 π e N 4 π e N E ⇒ ε = 1 − О тсю да . D = E + 4πP = 1 − 2  2 m ω m ω   П ри ω → ∞ получим ε → 1 и D = E .

3.2 С вязь ме ж ду ди с пе р си е йи поглощ е ни ем. Ди с пе р с и он ныес оотнош е н и я Кр аме р с а – Кр они га Н еобходимостьсвязи меж ду дисперсией и поглощ ением следует из фунда мента льного принц ипа причинности. П оглощ ениена определё нной ча стоте долж но сопровож да ться ча стотно-за висимы ми фа зовы ми сдвига ми для всех других соста вляю щ их спектра сигна ла . П оэтому долж ны сущ ествова ть интегра льны еформулы , связы ва ю щ иедисперсионны еи диссипа тивны еха ра ктеристики сред. В электродина мике эти связи принято за писы ва ть для действительной и мнимой ча стей диэлектрической прониц а емости, и они определяю тся интегральны ми соотнош ениями, которы е на зы ва ю тся формула ми К рамерса -К ронига : ε ' (ω ) − 1 = ε " (ω ) −

1 ε " (ω ') dω ' π −∫∞ ω '−ω ∞

4πσ (0) 1 ε ' (ω ') − 1 =− ∫ dω ' ω π − ∞ ω '−ω ∞

Д лядиэлектриков, необла да ю щ их проводимостью при ω=0, σ(0)=0. Э ти формулы уста на влива ю т универса льную связь меж ду действительной и мнимой ча стями комплексной диэлектрической прониц а емости. И з них следует, что диспергирую щ а ясреда всегда являетсясредой поглощ а ю щ ей. Ф ормулы К рамерса -К ронига имею т ва ж ноепра ктическоезна чение. Ч а щ е всего вэкспериментеуда ё тсяс доста точной точностью и в ш ироком диа па зоне

21

ча стот измерить за висимость мнимой ча сти диэлектрической прониц а емости ε"(ω ) , а провести прямой эксперимент по измерению ε ' (ω ) нет возмож ности. Т огда либо строят эмпирическую за висимость для ε"(ω ) по да нны м эксперимента и с помощ ью соотнош ений К ра мерса -К ронига на ходят за висимость ε ' (ω ) , либо использую т эти соотнош ения для численного построения кривы х ε ' (ω ) по да нны м экспериментовдля ε"(ω ) .

3.3 Ди с пе р с и я пр и р ас пр ос тр ане ни и эле ктр омагн и тных волн в ди эле ктр и ках Д ля на хож дения за висимости ε отча стоты (за кона дисперсии) необходимо реш ить за да чу о вза имодействии электрома гнитной волны с имею щ имися в средеза ряда ми. Д иэлектрики условно разделяю тся на два типа – неполярны еи полярны е. В молекула х неполярны х диэлектриков за ряды электронов точно компенсирую т за ряды ядер. В этом случа ев отсутствиеэлектрома гнитного полямолекулы не обла да ю т дипольны м моментом. П од действием поля волны происходит смещ ениеэлектронов(ионы при этом мож но счита ть неподвиж ны ми, поскольку их ма сса велика по сравнению с ма ссой электронов) и ка ж да я молекула поляризуется – приобрета етдипольны й моментp=er. Е сли диэлектрик однороден и в единиц еобъё ма содерж ится N одина ковы х молекул, то векторобъё мной плотности поляриза ц ии ра вен P=Np. Д ля определения вектора Р необходимо реш ить уравнения движ ения электронов в молекулепод действием поля волны и на йти смещ ениеэлектронов ка к функц ию поля. В кла ссической теории дисперсии молекула предста вляется в видеодного или нескольких линей ны х га рмонических осц илляторов, соответствую щ их норма льны м колеба ниям электроноввмолекуле. Ра ссмотрим ура внениедвиж енияодного та кого осц иллятора : mr&& + mν r& + mω 02 r = eE Д (t ) .

(3.1)

Здесь m – эффективна я ма сса ; ν - конста нта , учиты ва ю щ а я за туха ниеколеба ний, на пример, вследствиепроц ессов излучения; ω0 - резона нсна я углова я ча стота норма льного колеба ния; E Д (t ) - поле, действую щ ее на диполь. Д ействую щ ееполев однородном изотропном диэлектрикеотлича ется от среднего ма кроскопического полявсредеира вно:

4π P. 3 П ри га рмонической за висимости отвремени поляЕ из уравнения(3.1) получим следую щ еесоотнош ение: EД = E +

22

(− ω

2

+ ω 02

+ jων

)P = Nem

2

4π Ne 2 E+ P. 3 m

О тсю да удобно вы ра зитьР : −1

4π Ne 2  Ne 2  2 2 P= ω − ω + j νω −  0  E . (3.2) 3 m  m  У читы ва я, что D = εE = E + 4πP , из (3.2) на йдё м: −1

4πNe 2  2 4π Ne 2  2 ε к (ω ) = 1 + ω − ω + j νω −  0  m  3 m  О тделяяв(3.3) действительную и мнимую ча сти, получим: ε к (ω ) = 1 +

гдеω p2

2 = 4πNe

(

~2 − ω 2 ω 2p ω 0

)

(ω~02 − ω 2 )2 + ω 2ν 2

ω , ω~02 = ω02 − p

− j

(3.3)

ω 2pνω

(ω~02 − ω 2 )2 + ω 2ν 2

,

2

m

3

.

~ 2 , придё м к В случа енизких ча стот, удовлетворяю щ их условию ω 2 << ω 0 вы ра ж ению дляста тической диэлектрической прониц а емости: ω 2p ε (0 ) = 1 + ~ 2 . ω 0

Д лятвё рды х диэлектриковε(0) мож етзна чительно превы ш а тьединиц у. В га за х плотность поляризова нны х молекул обы чно невелика . П ри этом 2 ~ ≈ ω и мож но счита ть, что ε ма ло отлича ется от единиц ы . П оэтоω p << ω 02 , ω 0 0 му

(

)

2 2 2 ω 2pνω 1 ω p ω0 − ω j ε к (ω ) ≈ 1 + − 2 ω 2 − ω 2 2 + ω 2ν 2 2 ω 2 − ω 2 2 + ω 2ν 2 0 0

(

)

(

)

О тсю да дляпока за телей преломленияипоглощ енияполучим:

23

n −1 ≈

ω 2p

(

ω 02 − ω 2

2 ω2 −ω2 0

)

2

+ω ν

2 2

, χ≈

ω 2p

νω

(

2 ω2 −ω2 0

)

2

+ω ν

2 2

(3.4)

В ы ясним, ка к за висят эти па раметры от ча стоты . Е сли вы полняется условие ω 02 − ω 2 >> νω , т.е. ча стота волны да лека отрезона нсной , то

1 ωp n −1 ≈ 2 ω02 − ω 2 2

- пока за тельпреломления ма ло отлича етсяот единиц ы . П ри ω 2 < ω02

n −1> 0

и функц ияувеличива етсяс ростом ча стоты . П ри ω n − 1 < 0 , но функц ия та кж еувеличива ется с ростом ча стоты , приближ а ясь к 0. П ока за тель поглощ ениявэтом диа па зонеча стотма л. 2

> ω02

В близи резона нса ω 02 − ω 2 ≈ νω пока за тель преломления уменьш а ется с ростом ча стоты . П ри условии точного резона нса , когда ω = ω0 , величина n обра щ а етсяв единиц у, а пока за тель поглощ енияпринима ет ма ксима льноезна чение (рис.1). О бла сть ча стот, в которой пока за тель преломления убы ва ет с увеличением ча стоты , на зы ва ется обла стью а нома льной дисперсии; здесь имеет место возраста ниефа зовой скорости.

М ы рассмотрели модель, да ю щ ую за кон дисперсии для диэлектриков, молекулы которы х приобрета ю т дипольны й момент только во внеш нем поле. Н о молекулы полярны х диэлектриков (на пример, воды ) обла да ю т дипольны м

24

моментом и в отсутствие поля. М еха низм поляриза ц ии диэлектрика сводитсяк ориентирую щ емудействию поляволны . Д лята ких диэлектриков: ε ' (ω ) − 1 =

ε (0 ) − 1

ε " (ω ) =

(ε (0 ) − 1)ωτ

, 1+ ω τ 1 + ω 2τ 2 гдеε (0) – ста тическа я диэлектрическа я прониц а емость, τ - время рела кса ц ии – времяпереориента ц ии диполей . Ф ункц ия ε " , а зна чит и потери энергии, имею т ма ксимум при ωτ = 1 . В па рах воды τ ≈ 10−11 с, поэтому “резона нсноепоглощ ение” возмож но только вмиллиметровом диа па зонеэлектрома гнитны х волн. О ста новимся болееподробно на а на лизепрактически ва ж ной за висимости ε (ω) длявоздуха , предста вляю щ его собой смесь молекул га зов (а зота , кислорода и т.д.) и па ров воды . П ри ωτ << 1 дисперсия для па ров воды несущ ественна . П оэтому при распространении волн са нтиметрового диа па зона и болеедлинны х втропосферемож но пользова тьсяформулой : 2 2

,

та кого

ε (ω ) − 1 = ∑

ω 2p ω 2i0 − ω 2

+ ε (0 ) .

Здесь мы счита ли, что полевсредеравно полю волны , и пренебрегли соуда рениями. Собственны еча стоты молекул га зов ω 2i 0 , входящ их в соста в воздуха , леж а т в обла сти > 15 ГГц . П оэтому для волн с λ > 3 см дисперсии почти нет. О дна ко в оптическом и миллиметровом диа па зона х имею тся обла сти резона нсного поглощ ения волн. П оэтомудляц елей радиосвязи втропосферевэтих диа па зона х необходимо вы бирать “окна прозрачности”, т.е. пользова ться ча стота ми, несовпа да ю щ ими с собственны мича стота ми среды .

3.4 Ди эле ктр и ч е с кая пр они ц ае мос ть и р ас пр ос тр ане ни еволн в ср е дах с о с воб одными зар ядами П римерами сред, содерж а щ их свободны еза ряды , могутслуж итьмета ллы и пла зма . Т ипична я пла зма – это сильно или полностью ионизирова нны й га з. П ла змой та кж ена зы ва ю т сла бо ионизирова нны й га з и электронны й га з в полупроводника х и мета лла х. М ы в да льней ш ем будем ра ссма трива ть в основном га зовую пла зму. И менно с та кой пла змой приходится ста лкива ться при рассмотрении волновы х проц ессов вземной а тмосфереи вкосмическом пространстве. Д ля вы ясненияособенностей ра спространения волн в пла зменеобходимо на йтиза висимостьеё диэлектрической прониц а емости отча стоты . Ра ссмотрим на иболеепростую модель, да ю щ ую доста точно хорош еесогла сиес экспериментом. Будем счита тьсредуква зинейтральной и пренебреж ё м тепловы м движ ением ча стиц . П ри этом в полеволны будет происходить лиш ь упорядоченноедвиж ение.

25

П усть в единиц е объё ма среды содерж ится N свободны х электронов и та коеж еколичество однократно за ряж енны х полож ительны х ионов. П оскольку ма сса иона во много ра з больш ема ссы электрона , то в первом приближ ении движ ением ионов мож но пренебречь. Н еподвиж ны е ионы обра зую т полож ительны й за ряд, а электроны свободно движ утся под действием поля волны , испы ты ва яприэтом соуда рения. У равнениедвиж ениядляэлектрона имеетвид: mr&& + mν r& = eE (t ) . ЗдесьЕ – среднеема кроскопическоеполе; вотличиеотдиэлектриков, при изучении пла змы модно счита ть, что дей ствую щ ееполепримерно равно ма кроскопическому; ν - эффективна я ча стота соуда рений электронов с иона ми и нейтральны ми молекула ми. П ри га рмонической за висимости поляотвремени имеем: jωmr& + mνr& = eE r& =

.

eE m(ν + jω )

П осколькуплотностьтока равна : j = ∂P

∂t

= eNr& = jωP ,

нетрудно получитьвы раж ениедлявектора поляриза ц ии e 2 NE P=−j . mω (ν + jω ) Т огда комплексна ядиэлектрическа япрониц а емостьпла змы имеетвид: ε к (ω ) = 1 − j

ω 2p

ω (ν + jω )

=1−

ω 2p ω2 +ν 2

− j

ω 2p (ν ω ) ω 2 +ν 2

,

(3.5)

где ω 2p = 4πNe 2 m - пла зменна я или ленгмю ровска я ча стота колеба ний электронного га за . К а к мы уж езна ем, мнима я ча сть диэлектрической прониц а емости эквива лентна проводимости среды . П оэтому σ=

ω ν Ne 2 . ε"= 4π m ω 2 +ν 2

(

)

26

Д ля м ет аллов при ча стота х волны ω ≤ 1010 с-1 реализую тся соотнош ения ω р >> ν , ν >> ω ; проводимость является действительной величиной , неза висящ ей от ча стоты , а диэлектрическа я прониц а емость – мнимой. В этом диа па зонеча стот пока за тель преломления и пока за тель поглощ ения примерно ра вны ω 2p

n≈ χ =

. 2ων П олесущ ествует только в скин-слое, толщ ина которого много меньш едлины волны . К оэффиц иентотраж енияотповерхности мета лла близок к единиц е. П ри болеевы соких ча стота х диэлектрическа я прониц а емость комплексна и сущ ественны м образом за висит от ча стоты . П ри ω 2 > ω 2p мета лл ста новится прозрачны м дляволны . В разреж енной п лазм е (на пример, в ионосфере) эффективна яча стота соуда рений ν ≈ 103 − 10 4 с-1 и для волн с ча стота ми ω > 10 6 c-1 вы полняется условие ω >> ν . В этом случа е мнимой ча стью диэлектрической прониц а емости мож но пренебречьи ε (ω ) = 1 −

ω 2p ω

2

= n2 .

Т огда за кон дисперсии определяетсясоотнош ением (рис.2): 2 ω 2p  2 ω  k = 2 1 − 2  или ω 2 = ω 2p + k 2 c 2 c  ω  Е сли ω > ω p , то пока за тель преломления есть действительное число и волны свободно распространяю тся в среде. Е сли ω = ω p , то n=0. П ри ω < ω p пока за тель преломления ста новится мнимы м, следова тельно, волны долж ны отраж а ться от границ ы пла змы . П оскольку в ионосфере электронна я конц ентрац ия является функц ией вы соты , возраста яотнуляв на ча ле ионосферы до некоторого ма ксима льного зна чения, а за тем, снова убы ва я, имеется ц ела я обла сть ча стотдляволн, отраж а ю щ ихся от ионосферы . Ч а стота f к р , ра вна яма ксима льной пла зменной ча стоте, на зы ва етсякритической :

f к 2р =

e2 N max . πm

27

За метим, что пока за тель преломления мож ет обратиться в нуль или ста ть чисто мнимой величиной только в среде, в которой поглощ ениеэнергии пренебреж имо ма ло. В ионосферной пла змеэти условия реализую тся в ш ироком диа па зонеча стот. Ра ссмотрим теперь поглощ ениеволн в пла зме, обусловленноестолкновениями электроновс молекула ми и иона ми. П ри этом необходимо ра злича тьдва случа я: поглощ ениепри прохож дении волны через слой пла змы ( ω > ω p ) и поглощ ениеприотраж ении волны отслоя ( ω = ω p ). В первом случа е, пола га явформуле(3.5) ω > ω p , ω 2 >> ν 2 , получим:

ε ' ≈ 1, ε " =

ω 2p ν ω ω 2

, tgδ =

ε" << 1. ε'

Д ляэтих условий пока за тельпоглощ енияопределяетсяформулой :

ω 2pν ω 2pν ε' χ= tgδ = 3 , k"= . 2 2ω 2cω 2 В идно, что болеедлинны еволны сильнеепоглощ а ю тся в ионосфере. О тсю да ясно, почему ча стотны й диа па зон волн, используемы х врадиосвязи на больш ие ра сстоянияв земны х условиях, ограничен ка к сверху (ча стота долж на бы тьниж екритической, ина чеволна неотразитсяотионосферы ), та к и снизу (вследствиеувеличенияпоглощ енияс ростом длины волны ). В о втором случа е, пола га яв(3.5) ω = ω p , ω 2 >> ν 2 , получим

ε ' ≈ 0, tgδ >> 1, ε "≈ ν ω . Д ляэтих условий пока за тельпоглощ енияопределяетсяформулой : χ=

ε' tgδ ≈ 2

ν ων , k" = . 2ω 2c 2

В обла сти ча стот, которы емогутотраж а тьсяотионосферы , поглощ ениеувеличива етсяс ростом ча стоты , но за висимость от ω здесь болеесла ба я. К рометого, путь, проходимы й волной на уча сткееё отраж ения, гораздо меньш едлины оста льны х уча стков трассы . П оэтому определяю щ ую роль играет поглощ ение при прохож дении волн через ионизирова нны й слой на та ких вы сота х отземной поверхности, гдеотра ж ениянепроисходит.

28

3.5 В олн овойп аке т в ди с пе р ги р ую щ е йс р е де Д о сих пормы ра ссма трива ли распространениемонохрома тических волн. О дна ко строго монохрома тических волн в природене сущ ествует. Д ля того чтобы переда тьпосредством волн ка кую -либо информа ц ию , т.е. переда тьэнергию , необходимо промодулирова ть волну. В линей ном приближ ении модулирова нную волну (или сигна л с конечной ш ириной спектра ) мож но предста вить в видесуперпозиц ии га рмонических плоских волн. В средебез дисперсии скорости различны х ча стотны х соста вляю щ их сигна ла одина ковы , поэтому сигна л ра спростра няется без изменения своей формы . В диспергирую щ ей средескорость распространения различны х ча стотны х компонент ра злична . Э то приводит к изменению разности фа з меж ду соста вляю щ ими спектра сигна ла и к изменению его формы . Скорость распространения сигна ла мож ет сущ ественны м образом отлича ться от фа зовой скорости отдельны х га рмонических компонент, и поэтому са мо понятие« скорость сигна ла » в диспергирую щ ей среде долж но бы тьуточнено. И зучим за кономерности распространения в диспергирую щ ей средеплоских немонохрома тических волн, бегущ их в на правлении оси z. Т а киеволны могут возбуж да ться или на гра ниц есреды (на пример, источником, располож енны м при z=0), или путё м созда нияв на ча льны й момент времени некоторого пространственно-распределё нного возмущ ения. М ы ра ссмотрим только гра ничную за да чу. П усть диспергирую щ а я среда за нима ет полупростра нство z ≥ 0 и на её гра ниц еза да н входной сигна л u (t , z = 0 ) = u 0 (t ) , которы й имеетча стотны й спектр F (ω ) =

1 2π

∞

∫ u0 (t ) e

jωt

dt .

−∞

Т а к ка к спектральны екомпоненты ра спространяю тся в линейной среденеза висимо друг отдруга , то реш ениеволнового уравнениямож но предста витьввиде суперпозиц иига рмонических волн

u ( z, t ) =

∞

∫ F (ω ) exp{− j[ωt − k (ω )z]}dω .

−∞

Е сли подста вить сю да вы раж ениедля спектра , то мож но предста вить искомое реш ениечерез полена гра ниц е

29

1 u ( z, t ) = 2π

∞ ∞

∫ ∫ u0 (t ') exp{− j[ω(t − t ') − k (ω )z]}dω dt ' .

(3.6)

−∞ −∞

В теории переда чи сигна лов ва ж ноеместо за нима ю т вопросы распространения волновы х па кетов. В олновой па кет – это ква зимонохрома тический сигна л с узким ча стотны м спектром. В ы деляянекоторую средню ю ча стоту сигна ла ω0 , мож но за писа тьвы сокоча стотны й импульс ввиде

u0 (t ) = A&0 (t ) e − jω 0 t , dA& 0 << ω0 A& 0 . Т а к dt ка к ш ирина ча стотного спектра волнового па кета ∆ω << ω0 , то в предела х спектральной линии излучениямож но описа тьза висимость волнового числа от ча стоты , ра злож иввряд дисперсионноесоотнош ение: 1  d 2 k   dk  k (ω ) = k 0 (ω 0 ) +  (3.7) (ω − ω 0 )2 + ...  (ω − ω0 ) +  2  2  dω   dω ω 0 ω0 где A& 0 (t ) - комплексна я медленно изменяю щ а яся функц ия:

П ринима я во внима ние(3.6) и (3.7), мож но на писа ть вы ра ж ениедля поля волнового па кета ввиде: u (z , t ) = A& ( z , t )exp[ j (k 0 z − ω 0t )] ,

(

где

)

   dk  ( ) − j t − t − z ω − ω + '    ∞ ∞ 0 dω  1    & & A(z , t ) = A0 (t ')dt ' ∫ exp  dω ∫ 2 2π −∞ + j z d k ω − ω 2 + ...  −∞ 0  2 dω2 

(

)

(3.8)

У чё т различны х членов в разлож ении (3.7) соответствует различны м приближ ениям теории дисперсии. Н а рис.3 точны й за кон дисперсии k (ω ) изображ ё н кривой 1; крива я 2 – это ква дратична я а ппроксима ц ия k (ω ) . У чё т только линей ного члена в ра злож ении (3.7) приводит к приближ ению , пока за нному прямой 3 на рисунке. П ряма я 3 на клонена к оси k под углом β, определяемы м из соотнош ения tg β = (∂ω ∂k )ω 0 = vгр, и являетсяка са тельной к кривы м 1 и 2. Н а клон прямой, проведё нной вточку ка са нияиз на ча ла координа т, определяет величинуфа зовой скорости: tg α = ω0 k0 = vф .

30

В первом приближ ении теории дисперсии, когда k (ω ) = k 0 (ω 0 ) + (dk dω )ω (ω − ω0 ) , 0

внутренний интеграл в(3.8) превра щ а етсявдельта -функц ию , и мы получа ем dk   u ( z, t ) = A& 0  t − z  exp[ j (k 0 z − ω0 t )] . dω   В идно, что в да нном случа еволновой па кет распростра няется без иска ж ения с групповой скоростью −1

 dk  vгр =   .  dω ω 0 О чевидно, что группова яскоростьимеетфизический смы сл, когда она является действительной величиной, т.е. когда среда обла да етма лы м поглощ ением. Н а йдё м связьмеж ду групповой ифа зовой скоростями vгр =

( )

dvф dvф dω d kvф . = = vф + k = vф − λ dk dk dk dλ

У читы ва я, что k = ω vф = ω n c , мож но та кж еза писа ть −1

−1   d (n ω )   dn   vгр= c  = c n ω + ω ( )    . 0 0  dω  ω0  dω ω0  

31

Д ля пла змы , на пример, n 2 = 1 − ω 2p ω 2 и vгр= cn . П оскольку vф = c / n, то vфv гр= с2 . В обла сти а нома льной дисперсии (где имеется сильное поглощ ение) dn dω < 0 , и при n(ω0 ) + ω0 (dn dω )ω 0 < 1 форма льно реализуется случа й

vгр> с . Группова яскоростьмож етбы тьта кж еотриц а тельной, т.е. на пра вления волнового вектора и групповой скорости могут бы ть противополож ны ми. О дна ко обла сть ча стот, в которой дисперсия а нома льна , всегда совпа да ет с обла стью сильного поглощ ения, понятиеж егрупповой скорости введено длясреды , в которой диссипа тивны епроц ессы мож но неучиты ва ть (по кра йней мере, в той обла сти длин волны , которы еигра ю т сущ ественную роль в спектресигна ла ). В ы сокоча стотны й сигна л распространяется без иска ж ения только в первом приближ ении. Е сли ж евра злож ении (3.7) и (3.8) учестьследую щ ий ква дра тичны й член, то ∞ 2  1 &A( z, t ) = &A (η )exp − j (τ − η ) dη , (3.9) ∫ 0 2kω" z   − 2πjk ω" z − ∞

(

гдеτ = t − z vгр, kω" = d 2 k dω 2

)ω . В о втором приближ ении теории дисперсии 0

а мплитуда волнового па кета (3.9), ка к мож но пока за ть прямой подста новкой, удовлетворяетуравнению ∂A& j " ∂ 2 A& = 0, + kω ∂z 2 ∂τ 2

(3.10)

т.е. уравнению па раболического типа с мнимы м коэффиц иентом диффузии d 2k d  1  , которы й ха ра ктеризует дисперсию групповой скороD=−j = − j dω  vгр dω 2 сти. И з-за мнимости коэффиц иента диффузии при дисперсионном расплы ва нии волнового па кета меняетсянетолько а мплитудны й профиль A& ( z , t ) , но и фа зова ямодуляц ия импульса . Д исперсионноерасплы ва ниеволнового па кета на ка плива ется с расстоянием. Д а ж е если дисперсия на столько сла ба , а спектр волнового па кета на столько узкий , что третий член в разлож ении (3.7) много меньш евторого, т.е. вы полняетсяусловие  d 2k   dk     dω 2  ∆ω <<  dω  , ω0  ω 0 то тем неменеена некотором расстоянии от входа в среду иска ж ениесигна ла ста нет сущ ественны м. Ра сстояние, на котором ещ ё мож но неучиты ва ть дефор-

32

ма ц ию а мплитуды сигна ла , за висит от величины дисперсии групповой скоростии длительности импульса .

3.6 Р ас пр ос тр ане ни егаус с ова и мп уль с а с квадр ати ч ноймодуляц и е йфазы в ди с пе р ги р ую щ е йс р е де Ра ссмотрим с помощ ью па ра болического уравнения (3.10) распространениега уссова импульса с линей ной девиа ц ией мгновенной ча стоты (с ква дра тичной модуляц ией фа зы ):  2  &A(t , z = 0) = A exp − t 1 − j Ω T  . (3.11) 0 0 0 2 2 T    0  Ч а стотны й спектрта кого импульса ра вен  (ω − ω0 )2 T02  A0T0 F (ω ) = exp −  2 π 1 − jΩ 0T0 / 2  4(1 − jΩ 0T0 / 2)  и имеетполуш ирину по уровню e −1 : 1 4 + Ω 02T02 . T0 В идно, что при сильной фа зовой модуляц ии ( Ω 0 T0 >> 1) полуш ирина спектра ∆ω = ω − ω0 =

∆ω = Ω0 , а при ма лой модуляц ии ( Ω 0 T0 << 1) полуш ирина равна ∆ω = 2 T0 . П одста вляя (3.11) вобщ еереш ениепа ра болического уравнения (3.9), на ходим A& ( z, t ) =

где

  2kω" z  Ω 0T03 Ω 20T02   τ2    , exp − 1 + j 2 1 − + " 2  2 4 ψ (z ) 4 kω z T0   T0 ψ ( z )    A0

2kω" z  Ω T  ψ ( z ) = 1 − j 2 1 − j 0 0  . 2  T0 

Д лительностьимпульса всечении z T ( z ) = T0 ψ ( z ) = T0

2

2

" 2  Ω 0 k ω" z   + 4 kω z . 1 −  T0  T04 

В отсутствиена ча льной фа зовой модуляц ии, Ω 0 = 0 , T (z ) = T0 ψ ( z ) = T0 1 +

2

4k ω" z 2 T04

.

33

Д лительность импульса увеличива ется по мерераспростра нения и ста новится в 2 раз больш ена ча льной на расстоянии z = T02 / 2 kω" , на зы ва емом дли ной ди сп ерси онного расп лы вани я. Е сли за фиксирова тьра сстояниеz=l, а на входесреды (z=0) изменять длительность исходного импульса , то за висимость T ( z = l ,T0 ) , будет иметь минимум. М инима льна я длительность импульса Tmin = 2 kω" l будет соответствова тьдлительности входного импульса T0 = 2 kω" l . Ч ем протяж ё ннеесреда и чем больш едисперсия групповой скорости kω" , тем вбольш ей степени проявляется дисперсионноерасплы ва ние. В еличина Tmin определяет по сущ еству предельную скорость переда чи информа ц ии: та к ка к, если два входны х импульса будут отстоять друг от друга на время, меньш ееTmin , то они на вы ходедиспергирую щ ей линии переда чи перекрою тся. И мпульсы с фа зовой модуляц ией могут испы ты ва ть или компрессию (при Ω 0 kω" > 0 ) или декомпрессию (при Ω 0 kω" < 0 ) (рис.4).

И та к, мы ра ссмотрели распространениеволновы х па кетовили сигна лов в ра зличны х диспергирую щ их среда х. Е сли дисперсия в среденорма льна я и не слиш ком велика и диссипа ц ия энергии та кж ема ла , то сигна л мож ет пройти в средедоста точно больш ое расстояние, сущ ественно нера сплы ва ясь. В этом случа ескорость ра спространения энергии, которую несё т сигна л, равна групповой скорости. Е сли ж еусловия, сформулирова нны евы ш е, невы полняю тся, то группова яскоростьнесоответствуетскорости распространенияэнергии.

34

СП И СО К Л И Т Е РА Т У РЫ 1. В иноградова М .Б. Т еорияволн / М .Б.В иноградова , О .В .Руденко, А .П .Сухоруков. – М .: Н а ука , 1990.- 432 с. 2. Ба ска ков В .И . Э лектродина мика и распростра нениерадиоволн / В .И .Ба ска ков. – М .: В ы сш .ш к., 1992.- 412 с. 3. В сей нш тейн Л .А . Т еория дифра кц ии и электродина мика СВ Ч / Л .А .В сей нш тейн. – М .: Ра дио исвязь, 1995.- 318 с. 4. Н икольский В .В . Э лектродина мика и ра спространениеволн / В .В .Н икольский , Т .И .Н икольска я. – М .: Н а ука , 1999.- 543 с. 5. Григорьев А .Д . Э лектродина мика и техника СВ Ч / А .Д .Григорьев. – М .: В ы сш .ш к., 1990.- 334 с. 6. Гольдш тей н В .А . Э лектрома гнитны еполя и волны / В .А .Гольдш тей н, А .А . Зернов. – М .: Н а ука , 1993 г., 362 с. 7. За ва дский В .Н . М оделирова ниеволновы х проц ессов / В .Н .За ва дский. – М .: Н а ука , 1991.- 284 с. 8. Л а нда у Л .Д . Э лектродина мика сплош ны х сред / Л .Д .Л а нда у, Е .М .Л ифш иц . – М .: Н а ука , 1992.- 420 с.

35

А втор: А верина Л а риса И ва новна Реда ктор: О .А .Т ихомирова