Мера и интеграл Лебега: Лекции по математическому анализу

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1

Ñðàâíåíèå ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Òåîðèÿ ìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3

Èçìåðèìûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4

Èíòåãðàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.5

Ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé . . . . . . . . 94

1.6

Íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî . . . . . . . . . 94

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû

1

. . . . . . . . . . . . . . . . 107

2

Îãëàâëåíèå

1 Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà Êëàññè÷åñêîå ïîíÿòèå èíòåãðàëà (èíòåãðàë Ðèìàíà), ñôîðìèðîâàâøååñÿ ê ñåðåäèíå äåâÿòíàäöàòîãî ñòîëåòèÿ, îêàçàëîñü íåäîñòàòî÷íûì äëÿ íåêîòîðûõ, âîçíèêøèõ ïîçäíåå îáëàñòåé ìàòåìàòèêè è ôèçèêè. Íàïðèìåð, â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé fn (x) ê ôóíêöèè

f (x) "â ñðåäíåì", íàïðèìåð, íà îòðåçêå [a; b], òî-åñòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî

Zb

¯ ¯ ¯fn (x) − f (x)¯dx −−−→ 0. n→∞

a

Íî ìîæíî ïðèäóìàòü ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [a; b], óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Êîøè "â ñðåäíåì", òî-åñòü,

Zb

¯ ¯ ¯fn (x) − fm (x)¯dx −−−−→ 0, n,m→∞

a

íî íå èìåþùåé ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ñðåäè èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó. Êëàññ ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó, îêàçûâàåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, íåïîëíûì. À òðåáîâàíèå ïîëíîòû êëàññà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé íåîáõîäèìî âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ñîâðåìåííîãî àíàëèçà, íàïðèìåð, ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Óêàçàííàÿ ïðè÷èíà  íå åäèíñòâåííàÿ, äåëàþùàÿ íåäîñòàòî÷íûì ïîíÿòèå èíòåãðàëà Ðèìàíà è ïîäòîëêíóâøàÿ èññëåäîâàòåëåé ê ðàçðàáîòêå áîëåå îáùåé êîíöåïöèè èíòåãðàëà, èìåííî, èíòåãðàëà Ëåáåãà. Èçëîæåíèþ òåîðèè èíòåãðàëà Ëåáåãà è ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ ãëàâà.

1.1 Ñðàâíåíèå ìíîæåñòâ Îòïðàâíîé òî÷êîé òåîðèè, èçëàãàåìîé â ýòîì ïàðàãðàôå, ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé âîïðîñ. Ïóñòü äàíû äâà ìíîæåñòâà. Ñïðàøèâàåòñÿ, êàêîå èç íèõ

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

3

ñîäåðæèò áîëüøåå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ? Íà ýòîò âîïðîñ íåòðóäíî îòâåòèòü, åñëè îáà ìíîæåñòâà ñîäåðæàò êîíå÷íîå (ê òîìó æå, ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîå) êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ, èëè åñëè îäíî ìíîæåñòâî êîíå÷íî, à âòîðîå  áåñêîíå÷íî. Íî êàê îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ, åñëè îáà ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íû èëè ñîäåðæàò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ, òàê ÷òî ïîäñ÷èòàòü èõ êîëè÷åñòâî çàòðóäíèòåëüíî èëè æå âîâñå íåâîçìîæíî? Íàïðèìåð, êàêèõ ÷èñåë áîëüøå: íàòóðàëüíûõ èëè ÷¼òíûõ; öåëûõ èëè ðàöèîíàëüíûõ; ðàöèîíàëüíûõ èëè èððàöèîíàëüíûõ? Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, êàçàëîñü áû î÷åâèäíûé îòâåò íà ïîäîáíûå âîïðîñû ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ íåïðàâèëüíûì. Ïîëó÷èòü ïðàâèëüíûé îòâåò íà ïîñòàâëåííûå çäåñü è ïîäîáíûå âîïðîñû ïîìîãàåò ïîíÿòèå âçàèìíî îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ.

Îïðåäåëåíèå 1.1 Äâà ìíîæåñòâà A è B íàçîâ¼ì ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ìåæäó ýëåìåíòàìè ýòèõ ìíîæåñòâ ìîæíî óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, òî-åñòü, åñëè ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f : A ↔ B ìíîæåñòâà A íà ìíîæåñòâî B . Åñëè ìíîæåñòâà A è B ýêâèâàëåíòíû, òî áóäåì ïèñàòü: A ∼ B .

Îïðåäåëåíèå 1.2 Åñëè ìíîæåñòâà A è B ýêâèâàëåíòíû, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èõ ìîùíîñòè ðàâíû, è ïèñàòü: Card A = Card B . Äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ ðàâåíñòâî ìîùíîñòåé îçíà÷àåò, ÷òî îíè ñîäåðæàò îäèíàêîâîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ. Îòòàëêèâàÿñü îò ýòîãî, áóäåì ñ÷èòàòü è ãîâîðèòü, ÷òî åñëè äâà áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâà ýêâèâàëåíòíû, òî îíè ñîäåðæàò îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ.

Ïðèìåð 1.1 Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N è ìíîæåñòâî ÷¼òíûõ ÷èñåë 2N = {2n : n ∈ N}. Îòîáðàæåíèå f : N ↔ 2N åñòü, î÷åâèäíî, áèåêöèÿ, ïîýòîìó ìíîæåñòâà N è 2N ýêâèâàëåíòíû, òî-åñòü, ñîäåðæàò îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ.

4

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 1.3 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A ìåíüøå ëèáî ðàâíà ìîùíîñòè ìíîæåñòâà B, è ïèñàòü

Card A ≤ Card B, åñëè A ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó B0 ìíîæåñòâà B, A ∼

B0 ⊂ B , (ìîæåò áûòü, âñåìó ìíîæåñòâó B).

Îïðåäåëåíèå 1.4 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà A ìåíüøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâà B è ïèñàòü

Card A < Card B, åñëè A ýêâèâàëåíòíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó B0 ìíîæåñòâà B, íî íå ýêâèâàëåíòíî âñåìó ìíîæåñòâó B , A ∼ B0 ⊂ B , A  B .

Îïðåäåëåíèå 1.5 Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàçîâ¼ì ñ÷åòíîé ìîùíîñòüþ è îáîçíà÷èì áóêâîé a, Card N = a.

Îïðåäåëåíèå 1.6 Ìíîæåñòâà, ýêâèâàëåíòíûå ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áóäåì íàçûâàòü ñ÷åòíûìè ìíîæåñòâàìè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè A  ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, Card A = a, òî êàæäîìó ýëåìåíòó a ∈ A ìîæíî ïîñòàâèòü âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå íàòóðàëüíîå ÷èñëî n. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýëåìåíòû ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü, òî-åñòü, ðàñïîëîæèòü â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Èòàê, åñëè A  ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

A = {a1 , a2 , . . . , an , . . .}. Ñ÷åòíàÿ ìîùíîñòü  íàèìåíüøàÿ èç ìîùíîñòåé áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Ýòî âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé òåîðåìû.

Òåîðåìà 1.1 Âñÿêîå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèò ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

5

Äîêàçàòåëüñòâî Âûáåðåì âî ìíîæåñòâå A äâà ýëåìåíòà è îáîçíà÷èì èõ a1 è b1 . Âûáåðåì âî ìíîæåñòâå A\{a1 , b1 } äâà ýëåìåíòà è îáîçíà÷èì èõ a2 è b2 . Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ïîòîìó ÷òî ìíîæåñòâî A\{a1 , b1 }, êàê è ìíîæåñòâî A, áåñêîíå÷íî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïèñàííûì ñïîñîáîì èç ìíîæåñòâà A âûäåëåíû ýëåìåíòû a1 , b1 ; a2 , b2 ; . . . ; an−1 , bn−1 . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

[ © ª A\ {a1 , a2 , . . . , an−1 } {b1 , b2 , . . . , bn−1 } . Îíî, êàê è ìíîæåñòâî A, áåñêîíå÷íî, ïîýòîìó èç íåãî ìîæíî âûáðàòü äâà ýëåìåíòà è îáîçíà÷èòü èõ an è bn . Ïðîäîëæàÿ îïèñàííûé ïðîöåññ áåñêîíå÷íî, ïîëó÷èì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a1 , a2 , . . . , an , . . . è b1 , b2 , . . . , bn , . . . ðàçëè÷íûõ ìåæäó ñîáîé ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ:

A1 = {a1 , a2 , . . . , an , . . .}, B1 = {b1 , b2 , . . . , bn , . . .}. Ìíîæåñòâî A1  ñ÷¼òíîå è ñîäåðæèòñÿ â A. Òåîðåìà, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå îïðåäåëåíèå 1.3, äîêàçàíà.

Çàìå÷àíèå 1.1 Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåíî òàê, ÷òî äîêàçàíî áîëüøå, ÷åì òðåáîâàëîñü â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû, èìåííî: èç ëþáîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ìîæíî âûäåëèòü ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî òàê, ÷òî îñòàâøååñÿ ìíîæåñòâî áóäåò áåñêîíå÷íûì. Äåéñòâèòåëüíî, A\A1 = B1

S

{A\(A1

S

B1 )} ñîäåðæèò ñ÷¼òíîå ìíîæå-

ñòâî B1 , ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì. Ýòî çàìå÷àíèå áóäåò èñïîëüçîâàíî â äàëüíåéøåì. Íå âñå áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ñ÷åòíûìè, ÷òî ïîäòâåðæäàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 1.2 (Êàíòîð) Ìíîæåñòâî òî÷åê îòðåçêà [0; 1] íåñ÷åòíî. Äîêàçàòåëüñòâî Òî, ÷òî Card [0; 1] ≥ a, ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îòðåçîê [0; 1] ñîäåðæèò ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî {1/n : n ∈ N} (ìîæíî áûëî ñîñëàòüñÿ è íà ïðåäûäóùóþ òåîðåìó). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Card [0; 1] = a.

6

Îãëàâëåíèå

Òîãäà òî÷êè îòðåçêà [0; 1] ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü, òî-åñòü, ïðåäñòàâèòü îòðåçîê [0; 1] â âèäå: [0; 1] = {x1 ; x2 ; . . . ; xn ; . . .}. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðîòèâîðå÷èÿ ïðèìåíèì ïðîöåäóðó Êàíòîðà. Îáîçíà÷èì îòðåçîê [0; 1] ñèìâîëîì ∆0 è ðàçîáü¼ì åãî íà òðè ðàâíûõ (ïî äëèíå) îòðåçêà. Èç òð¼õ îòðåçêîâ âûáåðåì òîò, êîòîðîìó íå ïðèíàäëåæèò òî÷êà x1 è îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç ∆1 . (Åñëè òî÷êà x1 íå ïðèíàäëåæèò äâóì îòðåçêàì, òî âûáèðàåì ëþáîé èç íèõ.) Ðàçîáü¼ì îòðåçîê ∆1 íà òðè ðàâíûõ îòðåçêà è îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆2 òîò èç íèõ, êîòîðûé íå ñîäåðæèò òî÷êó x2 . È òàê äàëåå. Íà n-îì øàãå îòðåçîê ∆n−1 ðàçîáü¼ì íà òðè ðàâíûõ îòðåçêà è îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆n òîò èç íèõ, êîòîðûé íå ñîäåðæèò òî÷êó xn . È òàê äàëåå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ îòðåçêîâ

∆0 ⊃ ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ . . . ⊃ ∆n ⊃ . . . , äëèíû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ïî òåîðåìå Êàíòîðà î ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âëîæåííûõ îòðåçêîâ (òåîðåìà ??) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà

x0 , ïðèíàäëåæàùàÿ âñåì îòðåçêàì ∆n . Òî÷êà x0 êàê òî÷êà îòðåçêà [0; 1], ïî ïðåäïîëîæåíèþ, çàíóìåðîâàíà, òî-åñòü, ñóùåñòâóåò m ∈ N òàêîå, ÷òî

x0 = xm . Íî òîãäà ñ îäíîé ñòîðîíû xm = x0 ∈ ∆m , à ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ïîñòðîåíèþ, xm ∈∆m . Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî òî÷êè îòðåçêà [0; 1] íåëüçÿ ïåðåíóìåðîâàòü. Òåîðåìà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 1.7 Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà òî÷åê îòðåçêà [0; 1] îáîçíà÷èì áóêâîé c è íàçîâ¼ì ìîùíîñòüþ êîíòèíóóìà, Card [0; 1] = c. Ñðåäè ìîùíîñòåé áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ íåò íàèáîëüøåé, êàê âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé òåîðåìû.

Òåîðåìà 1.3 Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ìíîæåñòâà áîëüøå ìîùíîñòè ñàìîãî ìíîæåñòâà.

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü A = {a}  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, M = {m}  ìíîæåñòâî âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ. Íàïîìíèì, ÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

7

è ñàìî ìíîæåñòâî A ñ÷èòàþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà A. Î÷åâèäíî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàìè a ìíîæåñòâà

A è îäíîýëåìåíòíûìè ìíîæåñòâàìè m = {a} ìíîæåñòâà M , ïîýòîìó Card M ≥ Card A. Ìåòîäîì "îò ïðîòèâíîãî"ïîêàæåì, ÷òî Card M > CardA. Ïóñòü Card M = Card A. Òîãäà ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ f : M ↔ A. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò a ìíîæåñòâà A ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

a = f (m), ïðè÷¼ì ýëåìåíò m ìíîæåñòâà M îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Ðàçîáü¼ì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A íà äâà êëàññà. Ê ïåðâîìó êëàññó îòíåñåì ýëåìåíòû a ìíîæåñòâà A, ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâó m, êîòîðîìó îíè ñîîòâåòñòâóþò, a = f (m) ∈ m. Êî âòîðîìó êëàññó îòíåñåì ýëåìåíòû

a ìíîæåñòâà A, íå ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâó m, êîòîðîìó îíè ñîîòâåòñòâóþò, a = f (m)∈m.  ñèëó âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ f êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A îòíîñèòñÿ ê îäíîìó è òîëüêî îäíîìó èç ðàññìàòðèâàåìûõ êëàññîâ. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî m0 ýëåìåíòîâ âòîðîãî êëàññà. Êàê ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A, m0 ∈ M , è áèåêöèÿ f îïðåäåëÿåò ýëåìåíò a0 = f (m0 ) ìíîæåñòâà A. Ñïðàøèâàåòñÿ, ê êàêîìó êëàññó îòíîñèòñÿ ýëåìåíò a0 ? Åñëè a0  ýëåìåíò ïåðâîãî êëàññà, òî a0 = f (m0 ) ∈ m0 , íî m0  ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ âòîðîãî êëàññà. Ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè æå a0  ýëåìåíò âòîðîãî êëàññà, òî a0 = f (m0 )∈m0 , íî â m0 ñîáðàíû âñå ýëåìåíòû âòîðîãî êëàññà. Îïÿòü ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíò a0 íå ìîæåò áûòü îòíåñåí íè ê ïåðâîìó êëàññó, íè êî âòîðîìó, ñëåäîâàòåëüíî, áèåêöèÿ f : M ↔ A íåâîçìîæíà, è òåîðåìà äîêàçàíà. Åñëè ìíîæåñòâî A êîíå÷íîå, ñîñòîÿùåå èç n ýëåìåíòîâ, Card A = n, òî ìíîæåñòâî M ñîäåðæèò 1 = Cn0 ïóñòîå ìíîæåñòâî, n = Cn1 îäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ, Cn2 äâóõýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ, ..., 1 = Cnn ìíîæåñòâî

A. Òàê êàê 1 + Cn1 + Cn2 + . . . + Cnn−1 + 1 = 2n (ýòî ñëåäóåò èç ðàçëîæåíèÿ (1 + 1)n ïî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà), òî

8

Îãëàâëåíèå

Card M = 2n . Ïî àíàëîãèè ñ ýòèì, åñëè A  áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî è Card A = α, à M  ìíîæåñòâî âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ, òî ïîëàãàþò Card M = 2α . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî 2a = c. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáûå äâå ìîùíîñòè ñðàâíèìû ìåæäó ñîáîé, òî-åñòü, äëÿ ëþáûõ äâóõ ìíîæåñòâ A è B ñïðàâåäëèâî îäíî è òîëüêî îäíî èç óòâåðæäåíèé: Card A = Card B , Card A < Card B , Card A > Card B . Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ óòâåðæäåíèé è èçëîæåíèå ìíîãèõ äðóãèõ âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ ïîíÿòèåì ìîùíîñòè ìíîæåñòâà, ìîæíî íàéòè â [8], [15] è äðóãèõ êíèãàõ.

Òåîðåìà 1.4 Îáúåäèíåíèå íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ åñòü ìíîæåñòâî, íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå.

Äîêàçàòåëüñòâî  ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ ÷åòûðå óòâåðæäåíèÿ. Ðàññìîòðèì êàæäîå èç íèõ â îòäåëüíîñòè. 1) Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ  êîíå÷-

íîå ìíîæåñòâî. Ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. 2) Îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ  ìíî-

æåñòâî, íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîå. Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà

A1 = {a1 1 , a1 2 , a1 3 , . . . , a1 n1 }, A2 = {a2 1 , a2 2 , a2 3 , . . . , a2 n2 }, .............................. Ak = {ak 1 , ak 2 , ak 3 , . . . , ak nk }, .............................. +∞ S Îáðàçóåì ìíîæåñòâî A = Ak è ïîêàæåì, ÷òî îíî íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òk=1

íî. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü, èëè,÷òî òî æå, ðàñïîëîæèòü â ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

9

Óïîðÿäî÷èì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñíà÷àëà âûïèøåì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A1 , çàòåì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A2 , îïóñêàÿ òå, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ âî ìíîæåñòâå A1 , è òàê äàëåå. Íà k-îì øàãå âûïèøåì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà Ak , îïóñêàÿ òå, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â ïðåäûäóùèõ ìíîæåñòâàõ.

A = {a1 1 , a1 2 , . . . , a1 n1 ; a2 1 , a2 2 , . . . , a2 n2 ; . . . ; ak 1 , ak 2 , . . . , ak nk ; . . .}. Êàê íåòðóäíî çàìåòèòü, ïðè òàêîì ñïîñîáå âûïèñûâàíèÿ ýëåìåíòîâ êàæäûé ýëåìåíò êàæäîãî ìíîæåñòâà Ak ðàíî èëè ïîçäíî áóäåò âûïèñàí, òàê ÷òî äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èòñÿ ìíîæåñòâî A. Îñòà¼òñÿ ïåðåíóìåðîâàòü ïîäðÿä ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A. Åñëè äëÿ íóìåðàöèè áóäåò èñïîëüçîâàíî êîíå÷íîå ÷èñëî íîìåðîâ, òî ìíîæåñòâî A  êîíå÷íîå (ýòî ñëó÷èòñÿ, åñëè íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âñå ýëåìåíòû âñåõ îñòàâøèõñÿ ìíîæåñòâ óæå áûëè âûïèñàíû ðàíåå). Åñëè æå äëÿ íóìåðàöèè ïðèä¼òñÿ èñïîëüçîâàòü âåñü íàòóðàëüíûé ðÿä ÷èñåë, òî ìíîæåñòâî A  ñ÷¼òíîå. 3) Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ  ñ÷¼òíîå ìíî-

æåñòâî. Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà

A1 = {a1 1 , a1 2 , a1 3 , . . . , a1 n , . . .}, A2 = {a2 1 , a2 2 , a2 3 , . . . , a2 n , . . .}, .............................. Ak = {ak 1 , ak 2 , ak 3 , . . . , ak n , . . .}, Îáðàçóåì ìíîæåñòâî A =

k S i=1

Ai è äîêàæåì, ÷òî îíî ñ÷¼òíîå. Íà ýòîò ðàç

ðàñïîëîæèì ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A â ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: ñíà÷àëà âûïèøåì ïåðâûå ýëåìåíòû âñåõ ìíîæåñòâ, çàòåì âòîðûå, òðåòüè è òàê äàëåå, íå çàáûâàÿ îïóñêàòü òå ýëåìåíòû, êîòîðûå âñòðåòèëèñü ðàíåå.

A = {a1 1 , a2 1 , . . . , ak 1 ; a1 2 , a2 2 , . . . , ak 2 ; . . . ; a1 n , a2 n , . . . , ak n ; . . .}.

10

Îãëàâëåíèå

Îïÿòü ÿñíî, ÷òî ïðè âûáðàííîì ñïîñîáå âûïèñûâàíèÿ ýëåìåíòîâ íè îäèí ýëåìåíò íèêàêîãî ìíîæåñòâà ïîòåðÿí íå áóäåò, è, ïåðåíóìåðîâàâ ýëåìåíòû ìíîæåñòâà A, óáåäèìñÿ, ÷òî îíî ñ÷¼òíîå.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íåîáÿçàòåëüíî òðåáîâàòü, ÷òîáû âñå ìíîæåñòâà Ai (i = 1, 2, . . . , k) áûëè ñ÷åòíûìè. Íåêîòîðûå èç íèõ (íî íå âñå, èíà÷å ïîëó÷èòñÿ ñëó÷àé 1) ìîãóò áûòü è êîíå÷íûìè. 4) Îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ  ñ÷¼òíîå

ìíîæåñòâî. Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà

A1 = {a1 1 , a1 2 , a1 3 , . . . , a1 n , . . .}, A2 = {a2 1 , a2 2 , a2 3 , . . . , a2 n , . . .}, ................................. Ak = {ak 1 , ak 2 , ak 3 , . . . , ak n , . . .}, ................................. Îáðàçóåì ìíîæåñòâî A =

+∞ S k=1

Ak . Íà ýòîò ðàç ïðèìåíèì ñïîñîá âûïè-

ñûâàíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà "ïî äèàãîíàëÿì", îïóñêàÿ òå ýëåìåíòû, êîòîðûå óæå áûëè âûïèñàíû ðàíåå.

A = {a1 1 ; a1 2 , a2 1 ; a1 3 , a2 2 , a3 1 ; . . . ; a1 n , a2 n−1 , a3 n−2 , . . . , an 1 ; . . .}. Ñíîâà êàæäûé ýëåìåíò êàæäîãî ìíîæåñòâà Ak ðàíî èëè ïîçäíî áóäåò âûïèñàí. Ïðè íóìåðàöèè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A áóäóò èñïîëüçîâàíû âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî A, î÷åâèäíî, áåñêîíå÷íîå. Ñ÷¼òíîñòü ìíîæåñòâà A óñòàíîâëåíà. È â ýòîì ñëó÷àå, êàê è â ïðåäûäóùåì, íå îáÿçàòåëüíî, ÷òîáû âñå ìíîæåñòâà Ak áûëè ñ÷åòíûìè. Ïðè êîíå÷íîì îáúåäèíåíèè êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ, íå èìåþùèõ ïîïàðíî îáùèõ ýëåìåíòîâ, èõ ìîùíîñòè ñêëàäûâàþòñÿ. Ðàñïðîñòðàíÿÿ ýòî ïðàâèëî íà áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà è èñïîëüçóÿ äîêàçàííóþ òåîðåìó, ïîëó÷àåì

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

11

ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:

n1 + n2 + . . . + nk + . . . = a; a + a + . . . + a = a; a + a + . . . + a + . . . = a.

Ïðèìåð 1.2 Card Z = a; Card Q = a. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z åñòü îáúåäèíåíèå òð¼õ ìíîæåñòâ: ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N, ìíîæåñòâà îòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë −N = {−1; −2; −3; . . . ; −n; . . .} è S S ìíîæåñòâà {0}, Z = N (−N) {0}. Âòîðîå æå óòâåðæäåíèå åñòü ðåçóëüòàò òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q = {m/n : m ∈ Z; n ∈ N} ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ Qn = {m/n : m ∈ Z} ðàöèîíàëüíûõ ∞ S Qn . ÷èñåë ñ ôèêñèðîâàííûì çíàìåíàòåëåì n, Q = n=1

Òåîðåìà 1.5 Èç ëþáîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ìîæíî âûäåëèòü ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî òàê, ÷òî îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü áóäåò ýêâèâàëåíòíà âñåìó ìíîæåñòâó.

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü A  áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Âûäåëèì èç íåãî äâà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâà A1 è A2 , êàê ýòî ñäåëàíî â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.1. Òîãäà

A = (A1 ∪ A2 ) ∪ (A \ (A1 ∪ A2 )), A \ A1 = A2 ∪ (A \ (A1 ∪ A2 )). Ïåðâûå ñëàãàåìûå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ îáîèõ ðàâåíñòâ  ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà, à ïîòîìó ýêâèâàëåíòíû ìåæäó ñîáîé. Âòîðûå æå ñëàãàåìûå îäèíàêîâû, ñëåäîâàòåëüíî, òîæå ýêâèâàëåíòíû. Òàê êàê ïåðâûå è âòîðûå ñëàãàåìûå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ îáîèõ ðàâåíñòâ îáùèõ ýëåìåíòîâ íå ñîäåðæàò, òî ýêâèâàëåíòíîñòü îòäåëüíî ïåðâûõ è îòäåëüíî âòîðûõ ñëàãàåìûõ îçíà÷àåò ýêâèâàëåíòíîñòü ìíîæåñòâ A è A \ A1 .

12

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 1.6 Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ  ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü ñíà÷àëà äàíû äâà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâà A = {a1 ; a2 ; . . . ; an ; . . .}, B = {b1 ; b2 ; . . . ; bm ; . . .}. Ðàññìîòðèì èõ äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå

A × B = {(an , bm ) : an ∈ A, bm ∈ B}. Îáðàçóåì ìíîæåñòâà Cm = {(an , bm ) : n ∈ N}, m ∈ N. Ìíîæåñòâà Cm ñ÷¼òíûå ââèäó î÷åâèäíîé áèåêöèè f : (an , bm ) ↔ an . Òàê êàê

A×B =

∞ [

Cm ,

m=1

òî ïî ÷åòâ¼ðòîé ÷àñòè ïðåäûäóùåé òåîðåìû äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ  ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî. Ïðèìåíèâ ìåòîä èíäóêöèè, óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ.

Ïðèìåð 1.3 Card Qm = a. Ìíîæåñòâî m-ìåðíûõ âåêòîðîâ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîîðäèíàòàìè ñ÷¼òíî, ïîòîìó ÷òî

Qm = Q × Q × . . . × Q . | {z } m

Ïðèìåð 1.4 Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ñ÷¼òíî. Ïóñòü

P = {Pm (t) = r0 tm + r1 tm−1 + . . . + rm : r0 , r1 , . . . , rm ∈ Q; m ∈ N} − ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Êàæäûé ìíîãî÷ëåí Pm (t) âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè êîýôôèöèåíòàìè (r0 , r1 , . . . , rm ), ïîýòîìó P ∼ Qm+1 .

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

13

Îïðåäåëåíèå 1.8 Âåùåñòâåííîå ÷èñëî t íàçîâ¼ì àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà Pm (t) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.

Ïðèìåð 1.5 Ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷¼òíî. Ëþáîé ìíîãî÷ëåí èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé. Ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ñ÷¼òíî. Íî òîãäà ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, êàê îáúåäèíåíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ, ñ÷¼òíî.

Îïðåäåëåíèå 1.9 Âåùåñòâåííîå ÷èñëî t, íå ÿâëÿþùååñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, áóäåì íàçûâàòü òðàíñöåíäåíòíûì. Òðàíñöåíäåíòíûå ÷èñëà ñóùåñòâóþò, òàê êàê ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë R èìååò ìîùíîñòü, íå ìåíüøóþ, ÷åì ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, à îòñóòñòâèå òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë îçíà÷àëî áû, ÷òî âñå âåùåñòâåííûå ÷èñëà  àëãåáðàè÷åñêèå, òî-åñòü, Card R = a. Äîêàçàíî, ÷òî ÷èñëà π è e ÿâëÿþòñÿ òðàíñöåíäåíòíûìè, íî äîêàçàòåëüñòâî èõ òðàíñöåíäåíòíîñòè ãîðàçäî ñëîæíåå, ÷åì äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë âîîáùå.

Òåîðåìà 1.7 Åñëè Card A ≥ a, Card B ≤ a, òî Card(A ∪ B) = CardA. Äîêàçàòåëüñòâî Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìíîæåñòâà A è B íå ñîäåðæàò îáùèõ ýëåìåíòîâ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîæíî çàìåíèòü B íà B \ A, ÷òî íå èçìåíèò A ∪ B . Èñïîëüçóÿ òåîðåìó 1.1, âûäåëèì èç ìíîæåñòâà A ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî A0 . Òîãäà

A = A0 ∪ (A \ A0 ), A ∪ B = (A0 ∪ B) ∪ (A0 \ B). Ìíîæåñòâà A0 è A0 ∪ B îáà ñ÷¼òíûå, ïîýòîìó A0 ∼ (A0 ∪ B). Âòîðûå æå ñëàãàåìûå â îáîèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ îäèíàêîâû, à ïîòîìó òîæå ýêâèâàëåíòíû. Òàê êàê ïåðâûå è âòîðûå ñëàãàåìûå îáùèõ ýëåìåíòîâ íå ñîäåðæàò, òî óñòàíîâëåíî, ÷òî A ∼ A ∪ B , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

14

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 1.8 Åñëè Card A > a, Card B ≤ a, òî Card(A \ B) = CardA. Äîêàçàòåëüñòâî Ìíîæåñòâî A \ B íå ìîæåò áûòü êîíå÷íûì èëè ñ÷¼òíûì, èáî òîãäà ìíîæåñòâî A = (A \ B) ∪ B òîæå áûëî áû êîíå÷íûì èëè ñ÷¼òíûì. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Card(A \ B) < CardA, òî, ïîñêîëüêó

A = (A \ B) ∪ B , ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå CardA = Card(A \ B) < CardA. Ïðîòèâîðå÷èå.

Ïðèìåð 1.6 Card (0; 1) = Card (0; 1] = Card [0; 1) = c. Îòîáðàæåíèå y = a + (b − a)x, î÷åâèäíî, óñòàíàâëèâàåò áèåêöèþ ìåæäó îòðåçêàìè [a; b] è [0; 1], ïîýòîìó Card [a; b] = c. Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîé îòðåçîê, èíòåðâàë, ïîëóèíòåðâàë èìåþò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Îòîáðàæåíèå y = arctg x óñòàíàâëèâàåò áèåêöèþ ìåæäó R è èíòåðâàëîì (−π/2; π/2), ñëåäîâàòåëüíî, Card R = c.

Òåîðåìà 1.9 Ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç íóëåé è åäèíèö, èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü A  ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç íóëåé è åäèíèö,

© ª A = (a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) : an ∈ {0; 1}, n ∈ N . Íàðÿäó ñ ìíîæåñòâîì A ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî äâîè÷íûõ äðîáåé

ª © F = 0, a1 a2 a3 . . . an . . . : an ∈ {0; 1}, n ∈ N . Êàæäàÿ òàêàÿ äðîáü îïðåäåëÿåò âåùåñòâåííîå ÷èñëî

x = 0, a1 a2 a3 . . . an . . . , ïðèíàäëåæàùåå îòðåçêó [0; 1], òàê êàê íàèìåíüøàÿ èç äâîè÷íûõ äðîáåé ìíîæåñòâà F

0, 000 . . . 0 . . . = 0,

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

15

à íàèáîëüøàÿ

0, 111 . . . 1 . . . =

1 1 1 1 + 2 + 3 + . . . + n + . . . = 1. 2 2 2 2

Êàê èçâåñòíî, ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: êàæäîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî x èç îòðåçêà [0; 1] ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâîè÷íîé äðîáè

x = 0, a1 a2 a3 . . . an . . . , îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ äâîè÷íûõ äðîáåé, èìåííî, äëÿ äðîáåé âèäà m/2n ñóùåñòâóåò äâà ïðåäñòàâëåíèÿ, îäíî èç êîòîðûõ ñîäåðæèò åäèíèöó â ïåðèîäå, à âòîðîå  íîëü â ïåðèîäå. Íàïðèìåð,

1 = 0, 100 . . . 0 . . . = 0, 011 . . . 1 . . . . 2 Ðàçîáü¼ì ïîýòîìó ìíîæåñòâî F íà äâà ïîäìíîæåñòâà: F1 è F2 , âêëþ÷èâ â F1 äâîè÷íûå äðîáè, íå ñîäåðæàùèå 0 â ïåðèîäå, çà èñêëþ÷åíèåì äðîáè 0, 000...0... , à â F2  äâîè÷íûå äðîáè, ñîäåðæàùèå íîëü â ïåðèîäå, îïÿòü æå çà èñêëþ÷åíèåì äðîáè 0, 000...0... . Î÷åâèäíî, F1 ∼ [0; 1], ïîýòîìó Card F1 = c. Ìíîæåñòâî F2 ýêâèâàëåíòíî ìíîæåñòâó äðîáåé âèäà

m/2n , ãäå 0 < m < 2n , n ∈ N, ÿâëÿþùåìóñÿ áåñêîíå÷íûì ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ïîýòîìó Card F2 = a. Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå Card F = Card (F1 ∪ F2 ) = c. Òàê êàê, î÷åâèäíî, A ∼ F , òî Card A = c.

Ïðèìåð 1.7 Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî. Ïóñòü P0 = [0; 1]. Ðàçäåëèì îòðåçîê [0; 1] íà òðè ðàâíûå ÷àñòè òî÷êàìè 1/3 è 2/3 è óäàëèì ñðåäíèé èíòåðâàë (1/3; 2/3). Ïîëó÷èâøååñÿ ìíîæåñòâî îáîçíà÷èì ÷åðåç P1 . Äâà îñòàâøèõñÿ îòðåçêà, ñîñòàâëÿþùèå ìíîæåñòâî P1 , ñíîâà ðàçäåëèì íà òðè ðàâíûå ÷àñòè êàæäûé òî÷êàìè

1/32 , 2/32 ; 7/32 , 8/32 è óäàëèì ñðåäíèå èíòåðâàëû. Ïîëó÷èâøååñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ÷åòûðåõ îòðåçêîâ, îáîçíà÷èì ÷åðåç P2 . Ïðîäîëæèì îïèñàííûé ïðîöåññ íåîãðàíè÷åíî. Íà n-îì øàãå, åñëè ìíîæåñòâî Pn−1 óæå ïîñòðîåíî, ðàçäåëèì êàæäûé èç ñîñòàâëÿþùèõ åãî 2n−1 îòðåçêîâ íà

16

Îãëàâëåíèå

òðè ðàâíûå ÷àñòè, óäàëèì ñðåäíèå èíòåðâàëû è îáîçíà÷èì îñòàâøååñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç 2n îòðåçêîâ, ÷åðåç Pn . Ïîñëå íåîãðàíè÷åííîãî ïðîäîëæåíèÿ îïèñàííîãî ïðîöåññà ïîëó÷èòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ (Pn )∞ n=0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç P èõ ïåðåñå÷åíèå,

P =

∞ \

Pn .

n=0

Ìíîæåñòâî P è åñòü êàíòîðîâî ìíîæåñòâî. Èçó÷èì íåêîòîðûå åãî ñâîéñòâà. 1) Card P = c. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ýòîãî ôàêòà ïðèáåãíåì ê ïðåäñòàâëåíèþ ÷èñåë èç îòðåçêà [0; 1] â âèäå òðîè÷íûõ äðîáåé: x = 0, a1 a2 a3 . . . an . . ., ãäå êàæäàÿ èç öèôð an ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ëèáî 0, ëèáî 1, ëèáî 2. Î÷åâèäíî, óäàëåíèå íà ïåðâîì øàãå ïîñòðîåíèÿ êàíòîðîâà ìíîæåñòâà ñðåäíåãî èíòåðâàëà îçíà÷àåò óäàëåíèå òåõ ÷èñåë îòðåçêà [0; 1], ó êîòîðûõ ïåðâàÿ öèôðà â ïðåäñòàâëåíèè â âèäå òðîè÷íîé äðîáè åñòü 1. Íà âòîðîì øàãå óäàëÿþòñÿ ÷èñëà ñî âòîðîé öèôðîé 1 â òðîè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè è òàê äàëåå. Ñëåäîâàòåëüíî, êàíòîðîâî ìíîæåñòâî P ñîñòîèò èç ÷èñåë, ïðåäñòàâëåíèå êîòîðûõ â âèäå òðîè÷íîé äðîáè íå ñîäåðæèò öèôðû 1, òî-åñòü êàæäûé òðîè÷íûé çíàê  ëèáî 0, ëèáî 2. Íî òàêèõ ÷èñåë ðîâíî ñòîëüêî æå, ñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñîñòàâëåííûõ èç íóëåé è äâîåê, à ïîñëåäíèõ ñòîëüêî æå, ñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç íóëåé è åäèíèö, òî-åñòü, êîíòèíóóì. 2) Êàíòîðîâî ìíîæåñòâî P çàìêíóòî. Êàæäîå ìíîæåñòâî Pn çàìêíóòî êàê îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà îòðåçêîâ. È òàê êàê ëþáîå ïåðåñå÷åíèå çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ åñòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, òî P çàìêíóòî. 3) "Äëèíà" êàíòîðîâà ìíîæåñòâà P ðàâíà íóëþ. Òî÷íîå îïðåäåëåíèå "äëèíû" (ìåðû) ìíîæåñòâà áóäåò äàíî ïîçæå. Ñåé÷àñ æå ïîäñ÷èòàåì ñóììó äëèí èíòåðâàëîâ, óäàëÿåìûõ ïðè ïîñòðîåíèè êàíòîðîâà ìíîæåñòâà. Íà ïåðâîì ýòàïå óäàëÿåòñÿ îäèí èíòåðâàë äëèíû 1/3, íà âòîðîì  äâà

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

17

èíòåðâàëà äëèíû 1/32 êàæäûé, íà òðåòüåì  ÷åòûðå èíòåðâàëà äëèíû

1/33 êàæäûé, è òàê äàëåå. Ïîýòîìó ñóììà äëèí óäàëÿåìûõ èíòåðâàëîâ ðàâíà

1 1 1 2n−1 1/3 + 2 · 2 + 4 · 3 + ... + n + ... = = 1. 3 3 3 3 1 − 2/3

1.2 Òåîðèÿ ìåðû Êîëüöà è àëãåáðû ìíîæåñòâ Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äàëåå ñèñòåìû ìíîæåñòâ, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà. Êàê ïðàâèëî, áóäåò ïðåäïîëàãàòüñÿ, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî îñíîâíîãî ìíîæåñòâà, íî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî áåç îñîáîé íóæäû îãîâàðèâàòüñÿ íå áóäåò.

Îïðåäåëåíèå 1.10 Íåïóñòóþ ñèñòåìó ìíîæåñòâ K áóäåì íàçûâàòü êîëüöîì, åñëè îíà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1)A, B ∈ K ⇒ A ∪ B ∈ K; 2)A, B ∈ K ⇒ A \ B ∈ K. Êîëüöî K îáëàäàåò òàêæå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. 3) A, B ∈ K ⇒ A ∩ B ∈ K; 4) A, B ∈ K ⇒ A M B ∈ K; 5) ∅ ∈ K. Ýòè ñâîéñòâà âûòåêàþò èç ñâîéñòâ 1, 2 è ëåãêî ïðîâåðÿåìûõ ðàâåíñòâ:

A M B = (A \ B) ∪ (B \ A), A ∩ B = (A ∪ B) \ (A M B), ∅ = A \ A (A ∈ K). Òàêèì îáðàçîì, êîëüöî  ýòî íåïóñòàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùàÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî è çàìêíóòàÿ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ, ðàçíîñòè è ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè.

Îïðåäåëåíèå 1.11 Ìíîæåñòâî E ∈ K íàçîâ¼ì åäèíèöåé êîëüöà K, åñëè A ∩ E = A äëÿ ëþáîãî A ∈ K.

Îïðåäåëåíèå 1.12 Êîëüöî, ñîäåðæàùåå åäèíèöó, íàçîâ¼ì àëãåáðîé.

18

Îãëàâëåíèå Àëãåáðó áóäåì îáîçíà÷àòü, êàê ïðàâèëî, áóêâîé A. Äëÿ àëãåáðû èìååò ìåñòî åù¼ îäíî, î÷åâèäíîå, ñâîéñòâî. 6) A ∈ A ⇒ CA = E \ A ∈ A. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.

Ïðèìåð 1.8 Ïóñòü X  íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Òîãäà ñèñòåìà A = {X, ∅}  àëãåáðà ñ åäèíèöåé E = X .

Ïðèìåð 1.9 Ïóñòü X  íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Òîãäà ñèñòåìà P(X) âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X  àëãåáðà ñ åäèíèöåé

E = X.

Ïðèìåð 1.10 Ïóñòü ñíîâà X  íåïóñòîå ìíîæåñòâî, Pk (X)  ñîâîêóïíîñòü âñåõ êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X . Pk (X)  êîëüöî.

Pk (X) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìíîæåñòâî X êîíå÷íî. Âïðî÷åì, â ýòîì ñëó÷àå Pk (X) ñîâïàäàåò ñ P(X).

Ïðèìåð 1.11 Ïóñòü Po (R)  ñîâîêóïíîñòü âñåõ îãðàíè÷åííûõ ïîäìíîæåñòâ âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R . Po (R)  êîëüöî áåç åäèíèöû. Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèé, ïðèâåä¼ííûõ â ýòèõ ïðèìåðàõ, ÷èòàòåëü áåç òðóäà óñòàíîâèò ñàìîñòîÿòåëüíî. Ñëåäóþùèé ïðèìåð òðåáóåò ïðåäâàðèòåëüíîé ïîäãîòîâêè, íåòðèâèàëåí è âàæåí äëÿ äàëüíåéøåãî. Ðàññìîòðèì n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî Rn . Íàçîâ¼ì êèðïè÷îì (n-ìåðíûì êèðïè÷îì, n-ìåðíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì) ìíîæåñòâî

© K = x = (xi )ni=1 : ai < xi < bi ∨ ai ≤ xi < bi ∨ ai < xi ≤ bi ∨ ai ≤ xi ≤ bi , ª i = 1, 2, . . . , n . (1.1)  (1.1) ñ÷èòàåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî i âûïîëíÿåòñÿ ai ≤ bi è ÷òî ïðè ðàçëè÷íûõ i ìîãóò èìåòü ìåñòî íåðàâåíñòâà ðàçëè÷íîãî òèïà èç ïåðå÷èñëåííûõ.  ÷èñëî êèðïè÷åé, òàêèì îáðàçîì, âõîäÿò: ïóñòîå ìíîæåñòâî (õîòÿ áû äëÿ îäíîãî i ai = bi è òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ai < xi < bi ), òî÷êè (ïðè

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

19

âñåõ i ai = bi è òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ai ≤ xi ≤ bi ), âñåâîçìîæíûå êîíå÷íûå ïðîìåæóòêè (äëÿ êàêîãî ëèáî îäíîãî i ai < bi , à äëÿ îñòàëüíûõ ai = bi ), âñåâîçìîæíûå ïðÿìîóãîëüíèêè (ñ ãðàíèöàìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì), âñåâîçìîæíûå òð¼õìåðíûå ïàðàëëåëåïèïåäû è òàê äàëåå âïëîòü äî íåâûðîæäåííûõ n-ìåðíûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ.

Îïðåäåëåíèå 1.13 Ìíîæåñòâî B ∈ Rn íàçîâ¼ì ýëåìåíòàðíûì, åñëè îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå êîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿ êèðïè÷åé,

B=

p [

(1.2)

Ks .

s=1

Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Rn îáîçíà÷èì ñèìâîëîì E n . Îòìåòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâà â âèäå (1.2) íå åäèíñòâåííî è ñîñòàâëÿþùèå êèðïè÷è Ks ìîãóò èìåòü äðóã ñ äðóãîì íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå. Îäíàêî âñåãäà ìîæíî óêàçàòü ïðåäñòàâëåíèå ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâà â âèäå êîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿ ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ êèðïè÷åé. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòü ëþáîå ïðåäñòàâëåíèå (1.2) è êàæäûé êèðïè÷ Ks ðàññå÷ü ãèïåðïëîñêîñòÿìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç âñå ãðàíè âñåõ îñòàëüíûõ êèðïè÷åé. Ïðîäåëàâ ýòî, ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå

q [ B = · Kt0 ,

(1.3)

t=1

S ãäå çíàê · áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ îáîçíà÷åíèÿ îáúåäèíåíèÿ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ (â äàííîì ñëó÷àå Kt01 ∩ Kt02 = ∅(t1 6= t2 )).

Ïðèìåð 1.12 Ðàññìîòðèì ñîâîêóïíîñòü E n âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Rn .

Òåîðåìà 1.10 E n  êîëüöî. Äîêàçàòåëüñòâî Ïåðåñå÷åíèå äâóõ êèðïè÷åé åñòü, î÷åâèäíî, êèðïè÷. Ïîýòîìó, åñëè

B=

p [ s=1

Ks , C =

q [ t=1

Kt0 −

20

Îãëàâëåíèå

äâà ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâà, òî ! à q à p ! p q ³ \ [ \ [ [ [ \ ´ 0 B C= Ks Kt = Ks Kt0 − s=1

t=1

s=1 t=1

òîæå ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî. Ðàçíîñòü äâóõ êèðïè÷åé, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, åñòü ýëåìåíòàðíîå ìíîp S æåñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè K  êèðïè÷, à B = Ks  ýëåìåíòàðíîå s=1

ìíîæåñòâî, òî ðàçíîñòü

Ã

K \B =K \

p [

! Ks

=

p \

(K \ Ks ) −

s=1

s=1

ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî. Ïóñòü òåïåðü B è C  ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà. Êàê êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ êèðïè÷åé (îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ) îíè îãðàíè÷åíû, ñëåäîâàòåëüíî, íàéä¼òñÿ êèðïè÷ K , ñîäåðæàùèé îáà ýòè ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó

B

[

³ ³ [ ´´ ³ ´ \ C=K\ K\ B C = K \ (K \ B) (K \ C) , B\C =B

\

(K \ C) −

ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà. Òåîðåìà äîêàçàíà. Êîëüöî E n íå ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé, òàê êàê íå ñîäåðæèò åäèíèöû. Îäíàêî, åñëè ðàññìîòðåòü ñîâîêóïíîñòü E n (K) âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõñÿ â íåêîòîðîì êèðïè÷å K , òî, î÷åâèäíî, E n (K)  òîæå êîëüöî è K ÿâëÿåòñÿ åãî åäèíèöåé. Òàêèì îáðàçîì, E n (K)  àëãåáðà.

Îïðåäåëåíèå 1.14 Àëãåáðó A íàçîâ¼ì σ -àëãåáðîé, åñëè îíà çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ ñâîèõ ýëåìåíòîâ, òî-åñòü, îáëàäàåò ñâîéñòâîì 7) (Ak )∞ k=1 ⊂ A ⇒ A =

∞ S k=1

Ak ∈ A.

Åñëè A  σ -àëãåáðà, òî îíà îáëàäàåò òàêæå è ñâîéñòâîì ∞ T 8) (Ak )∞ Ak ∈ A. k=1 ⊂ A ⇒ A = k=1

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè (Ak )∞ k=1 ⊂ A, òî â ñèëó çàêîíîâ äâîéñòâåííîñòè Ã∞ ! ∞ \ [ A= Ak = C CAk ∈ A. k=1

k=1

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

21

Çäåñü CA = E \ A, E  åäèíèöà àëãåáðû A. Òàêèì îáðàçîì, σ -àëãåáðà  ýòî àëãåáðà, çàìêíóòàÿ îòíîñèòåëüíî ñ÷åòíîãî ÷èñëà îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ. Äëÿ êîëåö ñèòóàöèÿ íåñêîëüêî èíàÿ. Íåîáõîäèìî ðàçëè÷àòü

σ -êîëüöî (êîëüöî, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ) è

δ - êîëüöî (êîëüöî, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî ñ÷åòíîãî ïåðåñå÷åíèÿ ýëåìåíòîâ). Èç ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ òîëüêî ñèñòåìà P(X ) èç ïðèìåðà 2 ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé. Ïóñòü X  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî è (Ak )∞ k=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâàìè ìíîæåñòâà X .

Îïðåäåëåíèå 1.15 Ìíîæåñòâî A, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X , êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó ìíîæåñòâ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Ak ), íàçîâ¼ì âåðõíèì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Ak ) è áóäåì ïèñàòü A = lim Ak . Òàêèì îáðàçîì, åñëè A = lim Ak , òî äëÿ êàæäîãî x ∈ A íàéä¼òñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ (kj ) òàêàÿ, ÷òî x ∈ Akj , j = 1, 2, . . . .

Îïðåäåëåíèå 1.16 Ìíîæåñòâî A , ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà X , êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò âñåì ìíîæåñòâàì Ak , íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, íàçîâ¼ì íèæíèì ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Ak ) è áóäåì ïèñàòü A = lim Ak . Òàêèì îáðàçîì, åñëè A = lim Ak , òî äëÿ êàæäîãî x ∈ A íàéä¼òñÿ

k0 = k0 (x) òàêîå, ÷òî x ∈ Ak äëÿ ëþáîãî k ≥ k0 . Íåïîñðåäñòâåííî èç ýòèõ îïðåäåëåíèé ñî âñåé î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàåò, ÷òî âñÿêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ èìååò êàê âåðõíèé, òàê è íèæíèé ïðåäåëû (ìîæåò áûòü, ïóñòûå ìíîæåñòâà) è ÷òî A ⊂ A. Âëîæåíèå ìîæåò áûòü è ñòðîãèì, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé òðèâèàëüíûé ïðèìåð.

22

Îãëàâëåíèå

Ïðèìåð 1.13 Ïóñòü Ak = [0; 1 + 1/k], k = 2l − 1, è Ak = [1 − 1/k; 2], k = 2l. Òîãäà, êàê íåòðóäíî âèäåòü, lim Ak = [0; 2], lim Ak = {1}.

Îïðåäåëåíèå 1.17 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ (Ak ) íàçîâ¼ì ñõîäÿùåéñÿ, åñëè lim Ak = lim Ak = A.  ýòîì ñëó÷àå áóäåì ïèñàòü

lim Ak = A.

Ëåììà 1.1 Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ: A=

∞ \

̰ [

k=1

l=k

!

Al

, A=

∞ [

̰ \

k=1

l=k

!

Al

(1.4)

.

Äîêàçàòåëüñòâî Äîêàæåì ïåðâîå èç ñîîòíîøåíèé (1.4). Ïóñòü x ∈ A. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ íàéä¼òñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ (kj ) òàêàÿ, ÷òî x ∈ Akj (j = 1, 2, . . .). Íî òîãäà äëÿ ëþáîãî k ∈ N µ íàéä¼òñÿ ¶ l = kj ≥ k ∞ ∞ ∞ S T S èx∈ Al ïðè ëþáîì k ∈ N, ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ Al . l=k k=1 l=k µ∞ ¶ ∞ ∞ S T S Al . Òîãäà äëÿ êàæäîãî k ∈ N x ∈ Al , Íàîáîðîò, ïóñòü x ∈ k=1

l=k

l=k

à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî k ∈ N íàéä¼òñÿ l ≥ k òàêîå, ÷òî x ∈ Al , òî-åñòü x ïðèíàäëåæèò áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó ìíîæåñòâ Ak . Òåïåðü äîêàæåì âòîðîå èç ñîîòíîøåíèé (1.4). Ïóñòü x ∈ A. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ íàéä¼òñÿ òàêîå k , ÷òî µ ∞ x ∈¶ Al äëÿ ëþáîãî l ≥ k . Íî òîãäà ∞ ∞ T T S x∈ Al , à ñëåäîâàòåëüíî è Al . l=k k=1 l=k µ ¶ ∞ ∞ S T Íàîáîðîò, ïóñòü x ∈ Al . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàéä¼òñÿ òàêîå

k , ÷òî x ∈

∞ T l=k

k=1

l=k

Al , òî-åñòü, x ïðèíàäëåæèò êàæäîìó Al ïðè l ≥ k .

Åñëè A  σ -àëãåáðà, òî îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì 9) (Ak )∞ k=1 ⊂ A ⇒

lim Ak , lim Ak ∈ A, åñëè æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Ak ) ñõîäèòñÿ, òî lim Ak ∈ A. Ýòî ñâîéñòâî  ïðîñòîå ñëåäñòâèå ñâîéñòâ 7, 8 è ïðåäñòàâëåíèé (1.4).

Îïðåäåëåíèå 1.18 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ (Ak )∞ k=1 áóäåì íàçûâàòü ìîíîòîííîé, åñëè:

A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ⊂ Ak ⊂ . . . (âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü); èëè

A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ Ak ⊃ . . . (óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü).

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

23

Ëåììà 1.2 Ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ ñõîäèòñÿ. Åñ∞ S

ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Ak ) âîçðàñòàåò, òî lim Ak = óáûâàåò, òî lim Ak =

∞ T k=1

k=1

Ak , à åñëè

Ak .

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Ak ) ¶âîçðàñòàþùàÿ. Òîµ∞ ¶ µ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ãäà

S

S

Al =

l=k

l=1

Al , ïîýòîìó

òåëüíî (ñì. (1.4)) A = Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

∞ S l=1 ∞ T l=k

T

S

k=1

l=k

Al

T

S

k=1

l=1

=

Al

Al . Al = Ak , ïîýòîìó A =

∞ S k=1

=

S

l=1

µ∞ T

Al , ñëåäîâà-

¶ Al

l=k

=

∞ S k=1

Ak .

Èòàê, A = A, ïîýòîìó âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ è ∞ S lim Ak = Ak . k=1

Äëÿ óáûâàþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî. Ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëÿì ïðîâåñòè åãî ñàìîñòîÿòåëüíî.

Îáùàÿ òåîðèÿ ìåðû Ïîíÿòèå ìåðû ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèé: äëèíû îòðåçêà, ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû, îáú¼ìà òåëà, ïðèðàùåíèÿ ϕ(b) − ϕ(a) íåóáûâàþùåé íà îòðåçêå [a; b] ôóíêöèè ϕ, èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè, âçÿòîìó ïî íåêîòîðîé îáëàñòè è ìíîãèõ äðóãèõ ïîíÿòèé. Ýòî ïîíÿòèå, âîçíèêøåå â òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî, ïåðåøëî çàòåì âî ìíîãèå äðóãèå îáëàñòè ìàòåìàòèêè, â ÷àñòíîñòè, â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé. Ïóñòü K  êîëüöî.

Îïðåäåëåíèå 1.19 Ôóíêöèþ µ : K → R+ = [0; +∞) íàçîâ¼ì ìåðîé, åñëè îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì U 1) µ(A1 A2 ) = µA1 + µA2 , A1 , A2 ∈ K. Ñâîéñòâî 1) íàçûâàþò ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè ìåðû. Èçó÷èì ñâîéñòâà ìåðû. 2) µ∅ = 0.

24

Îãëàâëåíèå

S Äåéñòâèòåëüíî, µ∅ = µ (∅ · ∅) = µ∅+µ∅ = 2µ∅, îòêóäà è âûòåêàåò òðåáóåìîå. 3) A ⊂ B ⇒ µA ≤ µB . Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàþò ñâîéñòâîì ìîíîòîííîñòè ìåðû. S Òàê êàê B = A · (B \ A) è B \ A ∈ K, òî â ñèëó àääèòèâíîñòè è íåîòðèöàòåëüíîñòè ìåðû

µB = µA + µ(B \ A) ≥ µA. 4) A ⊂ B ⇒ µ(B \ A) = µB − µA. Ýòî ñâîéñòâî âûòåêàåò èç ðàâåíñòâà, ïîëó÷åííîãî ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà. S T 5) µ (A B) = µA + µB − µ (A B). S S T Äåéñòâèòåëüíî, A B = A · (B \ (A B)). Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøàåò èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâ 1 è 4. µ l ¶ l S P µAk . 6) µ · Ak = k=1

k=1

Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàþò ñâîéñòâîì êîíå÷íîé àääèòèâíîñòè ìåðû. Îíî âûâîäèòñÿ èç ñâîéñòâà 1 ìåòîäîì èíäóêöèè. µ l ¶ l S P 7) µ Ak ≤ µAk . k=1

k=1

Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàþò ñâîéñòâîì êîíå÷íîé ïîëóàääèòèâíîñòè ìåðû. µk−1 ¶ S 0 0 Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ìíîæåñòâà A1 = A1 , Ak = Ak \ Aj j=1

(k = 2, 3, . . . l). Òàê êàê èç êàæäîãî ìíîæåñòâà óäàëÿþòñÿ âñå ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå ïðåäûäóùèì ìíîæåñòâàì, òî A0k ⊂ Ak äëÿ êàæäîãî k è T A0k A0j = ∅ ïðè k 6= j . Îäíàêî îáúåäèíåíèå âñåõ ìíîæåñòâ ïðè ïåðåõîäå îò ìíîæåñòâ Ak ê ìíîæåñòâàì A0k , î÷åâèäíî, ñîõðàíÿåòñÿ. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà 4 è 3, ïîëó÷àåì:

à µ

l [

k=1

! Ak

à =µ

l [ · A0k

k=1

! =

l X k=1

µA0k

≤

l X

µAk .

k=1

∞ ∞ S P 8) Åñëè A ⊃ · Ak , A, Ak (k ∈ N) ∈ K, òî µA ≥ µAk . k=1

k=1

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

25

l S Òàê êàê A ⊃ · Ak , òî ïî ñâîéñòâàì 3 è 6 k=1

à µA ≥ µ

l [ · Ak

! =

k=1

Èç ýòîé îöåíêè ñëåäóåò, ÷òî ðÿä

l X

µAk .

(1.5)

k=1 ∞ P k=1

µAk ñõîäèòñÿ (÷àñòè÷íûå ñóììû

ðÿäà ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè îãðàíè÷åíû ñâåðõó). Îñòà¼òñÿ â (1.5) óñòðåìèòü l ê ∞, è ñâîéñòâî äîêàçàíî. Ýòèì èñ÷åðïûâàþòñÿ ñâîéñòâà àääèòèâíîé ìåðû, îïðåäåë¼ííîé íà êîëüöå ìíîæåñòâ K. Îäíàêî çà÷àñòóþ ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü íå òîëüêî êîíå÷íûå, íî è ñ÷¼òíûå îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ, â ñâÿçè ñ ÷åì ïîíÿòèå àääèòèâíîé ìåðû îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íûì. Ââåä¼ì áîëåå ñèëüíîå ïîíÿòèå σ -àääèòèâíîé ìåðû.

Îïðåäåëåíèå 1.20 Ìåðó µ, îïðåäåë¼ííóþ íà êîëüöå K, íàçîâ¼ì ñ÷¼òíî àääèòèâíîé èëè σ -àäèòèâíîé ìåðîé, åñëè îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì ∞ S 9) Åñëè A = · Ak , A, Ak (k ∈ N) ∈ K, òî k=1

µA =

∞ X

µAk .

(1.6)

k=1

Ñôîðìóëèðóåì åù¼ äâà îïðåäåëåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå 1.21 Ìåðó µ, îïðåäåë¼ííóþ íà êîëüöå K, íàçîâ¼ì ñ÷¼òíî ïîëóàääèòèâíîé èëè σ -ïîëóàääèòèâíîé ìåðîé, åñëè îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì 10) Åñëè A ⊂

∞ S k=1

Ak , A, Ak (k ∈ N) ∈ K, òî µA ≤

∞ X

µAk .

(1.7)

k=1

Îïðåäåëåíèå 1.22 Ìåðó µ, îïðåäåë¼ííóþ íà êîëüöå K, íàçîâ¼ì íåïðåðûâíîé, åñëè îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì 11) Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Ak )∞ k=1 (⊂ K) ìîíîòîííà è lim Ak ∈ K,

òî

µ(lim Ak ) = lim µAk .

(1.8)

26

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 1.11 Ñâîéñòâà σ -àääèòèâíîñòè, σ -ïîëóàääèòèâíîñòè è íåïðåðûâíîñòè ìåðû ýêâèâàëåíòíû.

Äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìà óòâåðæäàåò, òàêèì îáðàçîì, ÷òî åñëè ìåðà îáëàäàåò îäíèì èç ñâîéñòâ 9  11, òî îíà îáëàäàåò è îñòàëüíûìè äâóìÿ. Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî ñâîéñòâî 9 ýêâèâàëåíòíî ñâîéñòâó 10. Ïóñòü ìåðà µ σ -àääèòèâíà. Ðàññìîòðèì ëþáóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ∞ S Ak . Îáðàçóåì ⊂ K è ëþáîå ìíîæåñòâî A ∈ K òàêîå, ÷òî A ⊂ (Ak )∞ k=1 k=1 à ! k−1 T T S 0 ìíîæåñòâà A01 = A1 A, A0k = (Ak A) \ Aj . Òîãäà, êàê íåòðóäíî j=1 T ïðîâåðèòü, A0k ∈ K (k ∈ N), A0k A0j = ∅ (k 6= j), A0k ⊂ Ak (k ∈ N) è ∞ S A = · A0k . Òîãäà ïî ñâîéñòâó 3 µA0k ≤ µAk (k ∈ N) è ïî ñâîéñòâó 9 k=1

µA =

∞ X

µA0k ≤

∞ X

µAk .

k=1

k=1

Òåì ñàìûì óñòàíîâëåíî, ÷òî èç σ -àääèòèâíîñòè ìåðû ñëåäóåò å¼ σ ïîëóàääèòèâíîñòü. Äîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü ìåðà µ σ -ïîëóàääèòèâíà è ïóñòü ïîñëå∞ S T äîâàòåëüíîñòü (Ak )∞ ⊂ K , A A = ∅ (k = 6 j) è A = · Ak ∈ K. k j k=1 Òîãäà ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå A ⊂ ïîëóàääèòèâíîñòè ìåðû èìååì:

µA ≤

∞ S k=1

∞ X

k=1

Ak è ïî ïðåäïîëîæåíèþ î σ -

(1.9)

µAk .

k=1 ∞ S Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå âêëþ÷åíèå A ⊃ · Ak , à k=1

òîãäà ïî ñâîéñòâó 8

µA ≥

∞ X

µAk .

(1.10)

k=1

Ñðàâíåíèå (1.9) è (1.10) ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü, ÷òî åñëè ìåðà σ -ïîëóàääèòèâíà, òî îíà è σ -àääèòèâíà. Ïåðâàÿ ÷àñòü òåîðåìû äîêàçàíà. Òåïåðü äîêàæåì ýêâèâàëåíòíîñòü ñâîéñòâ σ -àääèòèâíîñòè è íåïðåðûâíîñòè ìåðû.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

27

Ïóñòü ìåðà µ σ -àääèòèâíà. Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà îíà íåïðåðûâíà. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ (Ak )∞ k=1 (⊂ K) ìîíîòîííà (ñì. îïðåäåëåíèå 1.18) è A = lim Ak ∈ K. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Ak ) âîçðàñòàåò, òî (ñì. ëåììó 1.2)

A = lim Ak =

∞ [

Ak =

k=1

∞ ]

(Ak \ Ak−1 ) (A0 = ∅),

k=1

ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ïðåäïîëîæåíèå î σ -àääèòèâíîñòè ìåðû è ñâîéñòâà 4 è 2, èìååì:

µA =

∞ X

µ(Ak \ Ak−1 ) = lim

n→∞

k=1

= lim

n X

n→∞

n X

µ(Ak \ Ak−1 ) =

k=1

(µAk − µAk−1 ) = lim µAn . n→∞

k=1

Ïóñòü òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Ak ) óáûâàåò. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (A1 \ Ak ) âîçðàñòàåò è ïðè ýòîì

lim(A1 \ Ak ) =

∞ [

(A1 \ Ak ) = A1 \

̰ \

! Ak

= A1 \ lim Ak .

k=1

k=1

Òîãäà, ïî äîêàçàííîìó âûøå,

µ(A1 \ lim Ak ) = lim µ(A1 \ Ak ), èëè

µA1 − µ(lim Ak ) = lim(µA1 − µAk ) = µA1 − lim µAk , èëè

µ(lim Ak ) = lim(µAk ). Èòàê, äîêàçàíî, ÷òî åñëè ìåðà µ σ -àääèòèâíà, òî îíà è íåïðåðûâíà. Ïîêàæåì îáðàòíîå. Ïóñòü ìåðà µ íåïðåðûâíà. Âîçüì¼ì ëþáóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Ak )∞ k=1 ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ, òàêóþ ÷òî ∞ k S S A = · Ak ∈ K. Îáðàçóåì ìíîæåñòâà A0k = · Aj (k ∈ N). ßñíî, ÷òî j=1

k=1

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (A0k ) âîçðàñòàåò è ÷òî ∞ ∞ [ [ A = · Ak = A0k = lim A0k . k=1

k=1

28

Îãëàâëåíèå

Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü è êîíå÷íóþ àääèòèâíîñòü ìåðû, èìååì:

à µA =

lim µA0k

= lim µ

k [ · Aj

j=1

! = lim

k X

µAj =

j=1

∞ X

µAj .

j=1

Èòàê, äîêàçàíî, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ìåðû âëå÷åò å¼ σ -àääèòèâíîñòü. Ýêâèâàëåíòíîñòü ñâîéñòâ σ -ïîëóàääèòèâíîñòè è íåïðåðûâíîñòè ìåðû åñòü ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî îíè îáà ýêâèâàëåíòíû ñâîéñòâó σ -àääèòèâíîñòè ìåðû. Òåîðåìà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.

Òåîðåìà 1.12 Ïóñòü µ  σ -àääèòèâíàÿ ìåðà, îïðåäåë¼ííàÿ íà σ -àëãåáðå A, è (Ak )∞ k=1  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ. Òîãäà èìåþò ìåñòî ñâîéñòâà 12) µ(lim Ak ) ≥ lim µAk ; 13) µ(lim Ak ) ≤ lim µAk ); 14) åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Ak ) ñõîäèòñÿ, òî

µ(lim Ak ) = lim µAk .

Äîêàçàòåëüñòâî Äîêàæåì µ ¶ ñâîéñòâî 12. Ïî ïåðâîìó èç ðàâåíñòâ (1.4) A = lim Ak = Bk =

∞ S l=k

∞ T

∞ S

k=1

l=k

Al . Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîæåñòâ

Al (k ∈ N). Òàê êàê A  σ -àëãåáðà, òî (Bk ) ⊂ A. Ñ óâåëè÷åíèåì

k îáúåäèíåíèå ìîæåò òîëüêî ñóçèòüñÿ, ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Bk ) ∞ T Bk = lim Bk . Ïîñêîëüêó ïî ïðåäûäóùåé  óáûâàþùàÿ è lim Ak = k=1

òåîðåìå ìåðà µ íåïðåðûâíà, òî

¢ ¡ µ lim Ak = lim µBk .

(1.11)

Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (µ Ak )∞ k=1 . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà ñâåðõó ÷èñëîì µE (E  åäèíèöà àëãåáðû A), ïîýòîìó ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé lim µAk . Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (µAk ) âûäåëèì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (µAkj )∞ j=1 , ñõîäÿùóþñÿ ê lim µAk . Òàê êàê, î÷åâèäíî,

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

29

Bkj ⊃ Akj , òî èç ðàâåíñòâà (1.11) è ìîíîòîííîñòè ìåðû (ñâîéñòâî 3) ïîëó÷èì:

µ(lim Ak ) = lim µBk = lim µBkj ≥ lim µAkj = lim µAk , j

k

j

è ñâîéñòâî 12 äîêàçàíî. Ñâîéñòâî 13 äîêàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî. Ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëÿì ñàìèì ïðîâåñòè ýòî äîêàçàòåëüñòâî. Ñâîéñòâî 14 åñòü ïðîñòîå ñëåäñòâèå ñâîéñòâ 12 è 13.

Îïðåäåëåíèå 1.23 Åñëè íà êîëüöå K îïðåäåëåíà ìåðà µ, òî ìíîæåñòâà, ïðèíàäëåæàùèå êîëüöó, áóäåì íàçûâàòü èçìåðèìûìè ïî ìåðå µ, èëè µ-èçìåðèìûìè.

Ìåðà Ëåáåãà â Rn Ìåðà Ëåáåãà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèé äëèíû ïðîìåæóòêà, ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû, îáú¼ìà òåëà è ðàñøèðåíèåì ìåðû Æîðäàíà íà áîëåå øèðîêèé êëàññ ìíîæåñòâ ñ ïðèîáðåòåíèåì, ê òîìó æå, ñâîéñòâà σ -àääèòèâíîñòè. Ìû ïðîâåä¼ì ïîñòðîåíèå ìåðû Ëåáåãà â òðè ýòàïà: ñíà÷àëà îïðåäåëèì ìåðó íà êèðïè÷àõ, ïîòîì ðàñïðîñòðàíèì å¼ íà êîëüöî ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ E n è, íàêîíåö, ïðîäîëæèì íà áîëåå øèðîêèé êëàññ ìíîæåñòâ, êîòîðûå íàçîâ¼ì èçìåðèìûìè ïî Ëåáåãó. I. Ìåðà íà êèðïè÷àõ. Ïóñòü K  êèðïè÷ (ñì. (1.1)). Íàçîâ¼ì ìåðîé êèðïè÷à ÷èñëî 0

mK =

n Y

(bi − ai ).

(1.12)

i=1

Èç (1.12) âèäíî, ÷òî m0 K ïðè n = 1 åñòü äëèíà ïðîìåæóòêà, ïðè

n = 2  ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, ïðè n = 3  îáú¼ì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Âèäíî òàêæå, ÷òî åñëè êèðïè÷ âûðîæäåííûé, òî-åñòü, õîòÿ áû ïðè îäíîì i bi = ai , òî m0 K = 0. Ââåä¼ííàÿ ðàâåíñòâîì (1.12) ìåðà êèðïè÷à îáëàäàåò ñâîéñòâàìè: 1) m0 K ≥ 0;

30

Îãëàâëåíèå l l S P 2) K = · Kj ⇒ m0 K = m0 Kj . j=1

j=1

Ñâîéñòâî 1 î÷åâèäíî, äîêàçàòåëüñòâî æå ñâîéñòâà 2 ïðîâåä¼ì äëÿ ñëó÷àÿ n = 2, ÷òîáû èçáåæàòü íåíóæíîé ãðîìîçäêîñòè èçëîæåíèÿ. Ïóñòü ñíà÷àëà êèðïè÷ K ðàçáèò íà êèðïè÷è Kj âåðòèêàëüíûìè

x = xs , 0 ≤ s ≤ p, x0 = a1 , xp = b1 , è ãîðèçîíòàëüíûìè

y = yt , 0 ≤ t ≤ q, y0 = a2 , yq = b2 , pq = l, ïðÿìûìè. Òîãäà l X

0

m Kj =

p q X X

(xs − xs−1 )(yt − yt−1 ) =

s=1 t=1

j=1

= (b1 − a1 )(b2 − a2 ) = m0 K.  îáùåì ñëó÷àå êàæäûé èç êèðïè÷åé Kj ðàçîáü¼ì íà ìåíüøèå êèðïè÷è âåðòèêàëüíûìè è ãîðèçîíòàëüíûìè ïðÿìûìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç âñå ñòîðîíû âñåõ êèðïè÷åé Kj . Ïîëó÷åííûå êèðïè÷è îáîçíà÷èì ÷åðåç Ks0 (1 ≤ s ≤ p). Òîãäà p l [ [ K = · Kj = · Ks0 s=1

j=1

è, êàê ïîêàçàíî âûøå, 0

mK =

p X

0

m

s=1

Ks0

=

l X j=1

 

 X

0

m

Ks0 

s: Ks0 ⊂Kj

=

l X

m0 Kj .

j=1

Çàìå÷àíèå 1.2 Ñòðîãî ãîâîðÿ, ìåðó íà êèðïè÷àõ íå ñëåäîâàëî áû íàçûâàòü ìåðîé, ïîòîìó ÷òî ñîâîêóïíîñòü êèðïè÷åé íå ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì. Îäíàêî ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèÿ ïîëóêîëüöà ìíîæåñòâ, êàêîâûì ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü êèðïè÷åé, è ìåðû íà ïîëóêîëüöå. Ïîäðîáíî îá ýòîì ìîæíî ïðî÷åñòü â [8]. II. Ìåðà íà êîëüöå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

31

Òåïåðü çàäàäèì ìåðó íà êîëüöå E n ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ. Åñëè B  ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî, òî (ñì. (1.3)) åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå p [ B = · Ks . s=1

Ïîëîæèì

mB =

p X

m0 Ks .

(1.13)

s=1

Ïðåæäå âñåãî íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìåðà ýëåìåíòàðíîãî ìíîæåñòâà îïðåäåëåíà êîððåêòíî, òî-åñòü, âåëè÷èíà mB íå çàâèñèò îò ðàçëîæåíèÿ

B íà ñîñòàâëÿþùèå êèðïè÷è, è ÷òî äëÿ êèðïè÷åé mK = m0 K . Ïóñòü

p q [ [ B = · Ks = · Kq . s=1

Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî

p X

t=1

m0 Ks =

s=1

q X

m0 Kq .

(1.14)

t=1

Ïîëîæèì

Ks, t = Ks

\

Kt0 (s = 1, 2, . . . , p ; t = 1, 2, . . . , q).

Ìíîæåñòâî Ks, t , êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ êèðïè÷åé, åñòü êèðïè÷, è ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà Ks è ìíîæåñòâà Kt0 ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî è

Ks, t

\

Ks0 , t0 = ∅,

åñëè (s, t) 6= (s0 , t0 ). Ïîýòîìó ! Ã p ! Ã q p p q q q p [ [ [ [ [ [ [ [ · Ks, t = · Kt0 . · Ks = · · Ks, t = · · Ks, t = · s=1

s=1

s=1 t=1

t=1

t=1

s=1

t=1

Îòñþäà, ââèäó àääèòèâíîñòè ìåðû íà êèðïè÷àõ, ñëåäóåò, ÷òî à q ! p p p q X X X X X m0 Ks = m0 Ks, t = m0 Ks, t = s=1

s=1

=

t=1

à p q X X t=1

s=1

s=1 t=1

! 0

m Ks, t

=

q X t=1

m0 Kt0 ,

32

Îãëàâëåíèå

è ðàâåíñòâî (1.14) óñòàíîâëåíî. Èç (1.14) âûòåêàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî äëÿ êèðïè÷åé

mK = m0 K, ïîñêîëüêó òîæäåñòâî K = K åñòü îäíî èç ïðåäñòàâëåíèé ìíîæåñòâà K â âèäå êîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿ êèðïè÷åé. Ñëåäîâàòåëüíî, ìåðà m ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ìåðû m0 . Ìåðà m, êàê è ìåðà m0 , îáëàäàåò ñâîéñòâàìè: 1) mB ≥ 0 ∀B ∈ E n ; l l S P mBk . 2) B = · Bk ⇒ mB = k=1

k=1

Ñâîéñòâî 1 î÷åâèäíî, à ñâîéñòâî 2 äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. pk S Ïóñòü Bk = · Kk, s (k = 1, 2, . . . , l). Òîãäà s=1

l l [ [ B = · Bk = · k=1

k=1

è

mB =

pk l X X

Ãp ! pk l [ k [ [ · Kk, s = · · Kk, s

m0 Kk, s =

k=1 s=1

k=1 s=1

s=1

Ãp l k X X k=1

! m0 Kk, s

s=1

=

l X

mBk .

k=1 n

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ m íà êîëüöå E ÿâëÿåòñÿ ìåðîé â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.19, à çíà÷èò, îáëàäàåò è ñâîéñòâàìè ìåðû 3  8.

Òåîðåìà 1.13 Ìåðà m íà êîëüöå E n σ -ïîëóàääèòèâíà. Äîêàçàòåëüñòâî Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî åñëè B è Bk (k ∈ N)  ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà è B ⊂

∞ S

k=1

mB ≤

Bk , òî

∞ X

mBk .

(1.15)

k=1

Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî è çàôèêñèðóåì ε > 0. Äëÿ ìíîæåñòâà B ïî ÷èñëó ε/2 ïîäáåðåì çàìêíóòîå ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî B 0 ⊂ B òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå

mB 0 > mB −

ε . 2

(1.16)

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

33

p S Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü B = · Ks . Â êàæäûé s=1

êèðïè÷ Ks âïèøåì çàìêíóòûé êèðïè÷ K 0, s òàê, ÷òîáû

ε , 2p

m0 K 0, s > m0 Ks − è ïîëîæèì

p [ B 0 = · K 0, s . s=1

Òîãäà

mB 0 =

p X s=1

0

m K 0, s

¶ X p p µ X ε ε ε 0 m0 K 0, s − = mB − . m K 0, s − = > 2p 2 2 s=1 s=1

Äàëåå, äëÿ êàæäîãî k ∈ N ïî ÷èñëó ε/2k+1 ïîäáåðåì îòêðûòîå ìíî-

ek ⊃ Bk òàê, ÷òîáû æåñòâî B ek < mBk + mB

ε

(1.17)

2k+1

(Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñïîñîáîì, àíàëîãè÷íûì îïèñàííîìó âûøå.) Òîãäà

B0 ⊂ B ⊂

∞ [

Bk ⊂

∞ [

ek . B

k=1

k=1

Ïî òåîðåìå Ãåéíå-Áîðåëÿ èç ïîêðûòèÿ çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà B 0 îòêðû-

ek ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîêðûòèå, òî-åñòü, óêàòûìè ìíîæåñòâàìè B ek (j = 1, 2, . . . , l) òàêèå, ÷òî çàòü ìíîæåñòâà B j B0 ⊂

l [

ek . B j

j=1

Íî òîãäà ïî ñâîéñòâó êîíå÷íîé ïîëóàääèòèâíîñòè ìåðû (ñâîéñòâî 7) èìååì:

mB 0 ≤

l X

ek . mB j

j=1

Îòñþäà, èñïîëüçóÿ (1.16) è (1.17) íàõîäèì: l

∞

ε X e ε ε X e mBkj + ≤ m Bk + < mB < mB 0 + ≤ 2 2 2 j=1 k=1 ∞ ³ X < mBk + k=1

ε ´ 2k+1

∞

ε X + = mBk + ε . 2 k=1

34

Îãëàâëåíèå

Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ε îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (1.15). Òåîðåìà äîêàçàíà. Ïðîñòûì ñëåäñòâèåì òåîðåì 1.13 è 1.11 ÿâëÿåòñÿ

Òåîðåìà 1.14 Ìåðà m íà êîëüöå E n σ -àääèòèâíà. Èòàê, íà êîëüöå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ E n ðàâåíñòâîì (1.13) îïðåäåëåíà σ -àääèòèâíàÿ ìåðà m. Íàøà ñëåäóþùàÿ çàäà÷à  ðàñïðîñòðàíèòü ïîíÿòèå ìåðû íà áîëåå øèðîêîå êîëüöî, ñîõðàíèâ ïðè ýòîì ñâîéñòâî σ àääèòèâíîñòè ìåðû. III. Âíåøíÿÿ ìåðà. Ïóñòü A(⊂ Rn )  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî.

Îïðåäåëåíèå 1.24 Âíåøíåé ìåðîé ìíîæåñòâà A íàçîâ¼ì ÷èñëî ( µ∗ A = inf

X

m0 Ks : A ⊂

s

[

) Ks

.

(1.18)

s

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü â áåð¼òñÿ 1.18 ïî âñåâîçìîæíûì ïîêðûòèÿì ìíîæåñòâà A êîíå÷íûìè èëè ñ÷åòíûìè ñèñòåìàìè êèðïè÷åé. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî µ∗ A ìîæåò ïðèíèìàòü áåñêîíå÷íîå çíà÷åíèå (íàïðèìåð, â ñëó÷àå A = Rn ). Èçó÷èì ñâîéñòâà âíåøíåé ìåðû. 1) µ∗ A ≥ 0. Ýòî ñâîéñòâî î÷åâèäíî. 2) A1 ⊂ A2 ⇒ µ∗ A1 ≤ µ∗ A2 (Âíåøíÿÿ ìåðà ìîíîòîííà). Òàê êàê êàæäîå ïîêðûòèå ìíîæåñòâà A2 ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ïîêðûòèåì ìíîæåñòâà A1 , òî

( X

∗

µ A1 = inf

0

m Ks : A1 ⊂

s

( ≤ inf 3) A ⊂

S k

X s

Ak ⇒ µ∗ A ≤

m0 Ks : A2 ⊂

P k

[

) Ks

≤

s

[

) Ks

= µ∗ A2 .

s

µ∗ Ak (Âíåøíÿÿ ìåðà σ -ïîëóàääèòèâíà).

Çäåñü (Ak )  êîíå÷íàÿ èëè ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

35

Êàê ñêàçàíî âûøå, âíåøíÿÿ ìåðà ìíîæåñòâà ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîé. Åñëè â ïðàâîé ÷àñòè äîêàçûâàåìîãî íåðàâåíñòâà õîòÿ áû îäíî ñëàãàåìîå áåñêîíå÷íî, òî áåñêîíå÷íà è âñÿ ñóììà, ïîýòîìó íåðàâåíñòâî â ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâî. Ðàññìîòðèì òîò ñëó÷àé, êîãäà äëÿ êàæäîãî k

µ∗ Ak < +∞. Çàôèêñèðóåì ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ âíåøíåé ìåðû äëÿ êàæäîãî

k íàéä¼òñÿ òàêàÿ ñèñòåìà êèðïè÷åé (Kk, s ) (êîíå÷íàÿ èëè ñ÷åòíàÿ), ÷òî S Ak ⊂ Kk, s è s X ε µ∗ Ak > m0 Kk, s − k . 2 s S SS Òîãäà A ⊂ Ak ⊂ Kk, s è, ñíîâà ïî îïðåäåëåíèþ âíåøíåé ìåðû, k s

k

µ∗ A ≤

XX k

<

s

X³ k

m0 Kk, s =

à X X

! m0 Kk, s

<

s

k

ε´ X ∗ µ Ak + k ≤ µ Ak + ε. 2 k ∗

Îòñþäà, ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ε, ïîëó÷àåì ñâîéñòâî 3. 4) A ∈ E n ⇒ µ∗ A = mA (íà ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâàõ ôóíêöèè µ∗

è m ñîâïàäàþò). q S Ïóñòü A = · Kt  ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî. t=1

q S Òàê êàê · Kt åñòü ïîêðûòèå ìíîæåñòâà A, à µ∗ A åñòü òî÷íàÿ íèæíÿÿ t=1

ãðàíü ïî âñåâîçìîæíûì ïîêðûòèÿì, òî

µ∗ A ≤

q X

m0 Kt = mA.

(1.19)

t=1

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè

S

Ks  ïðîèçâîëüíîå ïîêðûòèå ìíîæåñòâà P 0 A, òî â ñèëó σ -ïîëóàääèòèâíîñòè ìåðû m (òåîðåìà 1.13) mA ≤ m Ks , s

s

ñëåäîâàòåëüíî,

( mA ≤ inf

X s

m0 Ks : A ⊂

[

) Ks

= µ∗ A.

s

Èç íåðàâåíñòâ (1.19) è (1.20) è âûòåêàåò ñâîéñòâî 4.

(1.20)

36

Îãëàâëåíèå

Ïðèìåð 1.14 Ïóñòü A = {as : s ∈ N}  ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî òî÷åê â Rn . Òîãäà µ∗ A = 0. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå ε > 0 è äëÿ êàæäîãî s ∈ N ïîäáåðåì êèðïè÷ Ks 3 as òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü m0 Ks < ε/2s (ìîæíî âçÿòü n-ìåðíûé êóáèê ñ öåíòðîì â òî÷êå as è ðåáðîì, ìåíüøèì, ÷åì p S n ε/2s ). Òîãäà A ⊂ Ks è s

∞ X 1 µ A≤ m Ks < ε = ε. s 2 s=1 s=1 ∗

∞ X

0

Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå êëàññ ìíîæåñòâ, èìåþùèõ êîíå÷íóþ âíåøíþþ ìåðó, îáîçíà÷èâ åãî M∗ (Rn ).

M∗ (Rn ) = {A ⊂ Rn : µ∗ A < +∞} .

(1.21)

IV. Ìåðà Ëåáåãà. Íàêîíåö ìû ãîòîâû ê ðåøåíèþ îñíîâíîé çàäà÷è  âûäåëåíèþ êëàññà èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ â Rn è èçó÷åíèþ ñâîéñòâ ýòîãî êëàññà è ìåðû íà í¼ì.

Îïðåäåëåíèå 1.25 Ìíîæåñòâî A ∈ M∗ (Rn ) íàçîâ¼ì èçìåðèìûì ïî Ëåáåãó, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ òàêîå ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî B , ÷òî

µ∗ (A4B) < ε.

(1.22)

Êëàññ âñåõ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ îáîçíà÷èì ÷åðåç M(Rn ).

Îïðåäåëåíèå 1.26 Ôóíêöèþ µ∗ , ðàññìàòðèâàåìóþ òîëüêî íà êëàññå M(Rn ), íàçîâ¼ì ìåðîé Ëåáåãà è îáîçíà÷èì ñèìâîëîì µ. Áëèæàéøàÿ íàøà çàäà÷à  ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ìíîæåñòâ M(Rn ) åñòü êîëüöî, è ÷òî ôóíêöèÿ µ íà ýòîì êîëüöå ÿâëÿåòñÿ ìåðîé â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.19, à ñëåäîâàòåëüíî, îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ìåðû íà êîëüöå. Íî ñíà÷àëà âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåíèÿ èçìåðèìîãî ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâà. Êàê ñëåäóåò èç (1.22), èçìåðèìîå ïî Ëåáåãó

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

37

ìíîæåñòâî ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè àïïðîêñèìèðóåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ìíîæåñòâîì â òîì ñìûñëå, ÷òî äëÿ èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A ìîæíî ïîäîáðàòü ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî B òàê, ÷òîáû íè A, íè B íå ñëèøêîì "âûñòóïàëè çà ïðåäåëû äðóã äðóãà". Ïðèñòóïàÿ ê ðåøåíèþ îáúÿâëåííîé çàäà÷è, îòìåòèì, ïðåæäå âñåãî, ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ôóíêöèè µ. 1) Äëÿ ëþáîãî A ∈ M(Rn ) µA ≥ 0. Ýòî ñâîéñòâî î÷åâèäíî. 2) E n ⊂ M(Rn ) è åñëè A ∈ E n , òî µA = mA. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A ∈ E n , òî äîñòàòî÷íî âçÿòü B = A è òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 µ∗ (A M B) = µ∗ ∅ = 0 < ε, ñëåäîâàòåëüíî, A ∈ M(Rn ), à ïî ñâîéñòâó 4 âíåøíåé ìåðû µA = µ∗ A = mA.

Ëåììà 1.3 Ñïðàâåäëèâû âêëþ÷åíèÿ: a) (A1

S

S

S

(A2 M B2 ); S b) (A1 A2 ) M (B1 B2 ) ⊂ (A1 M B1 ) (A2 M B2 ); S c) (A1 \A2 ) M (B1 \B2 ) ⊂ (A1 M B1 ) (A2 M B2 ); S d) (A1 M A2 ) M (B1 M B2 ) ⊂ (A1 M B1 ) (A2 M B2 ). T

A2 ) M (B1

T

B2 ) ⊂ (A1 M B1 )

Äîêàçàòåëüñòâî Âñå ÷åòûðå âêëþ÷åíèÿ äîêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâî, ïîýòîìó ïðîâåðèì âêëþ÷åíèÿ a) è c), à ïðîâåðêó äâóõ îñòàâøèõñÿ âêëþ÷åíèé ïðåäëàãàåì ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî. S S S a) Ïóñòü x ∈ (A1 A2 ) M (B1 B2 ). Òîãäà èëè x ∈ A1 A2 , íî S S S x ∈ B1 B2 , èëè, íàïðîòèâ, x ∈ B1 B2 , íî x ∈ A1 A2 . Åñëè èìååò ìåñòî ïåðâàÿ ñèòóàöèÿ, òî x ∈ A1 èëè x ∈ A2 , íî x ∈ B1 è x ∈ B2 . Òîãäà x ∈ A1 M B1 èëè x ∈ A2 M B2 è âêëþ÷åíèå a) óñòàíîâëåíî. Âòîðàÿ ñèòóàöèÿ ñèììåòðè÷íà ïåðâîé. c) Ïóñòü x ∈ (A1 \A2 ) M (B1 \B2 ). Òîãäà èëè x ∈ A1 \A2 , íî x ∈ B1 \B2 , èëè, íàîáîðîò, x ∈ A1 \A2 , íî x ∈ B1 \B2 .  ïåðâîì ñëó÷àå x ∈ A1 , íî

x ∈ A2 , è ëèáî x ∈ B1 è x ∈ B2 , ëèáî x ∈ B1 è x ∈ B2 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èëè x ∈ A2 M B2 , èëè x ∈ A1 M B1 è âêëþ÷åíèå óñòàíîâëåíî. Âòîðîé ñëó÷àé ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷åí ïåðâîìó.

38

Îãëàâëåíèå

Ëåììà 1.4 Äëÿ ëþáûõ A1 , A2 ∈ M∗ (Rn ) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî | µ∗ A1 − µ∗ A2 | ≤ µ∗ (A1 M A2 ).

(1.23)

Äîêàçàòåëüñòâî  ñèëó ïîëóàääèòèâíîñòè âíåøíåé ìåðû èç ëåãêî ïðîâåðÿåìîãî âêëþ÷åíèÿ A1 ⊂ A2

S

(A1 M A2 ) ñëåäóåò, ÷òî

µ∗ A1 ≤ µ∗ A2 + µ∗ (A1 M A2 ) èëè

µ∗ A1 − µ∗ A2 ≤ µ∗ (A1 M A2 ). Ïîìåíÿâ ìåñòàìè ìíîæåñòâà A1 è A2 , áóäåì èìåòü

µ∗ A2 − µ∗ A1 ≤ µ∗ (A1 M A2 ). Îáúåäèíèâ äâà ïîñëåäíèå íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì (1.23).

Òåîðåìà 1.15 M(Rn )  êîëüöî. Äîêàçàòåëüñòâî Ïî îïðåäåëåíèþ êîëüöà, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åñëè A1 , A2 ∈ M(Rn ), òî A1

S

A2 , A1 \ A2 ∈ M(Rn ). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà

èñïîëüçóåì ëåììó 1.3. Ïóñòü A1 , A2 ∈ M(Rn ). Çàôèêñèðóåì ε > 0 è ïî

ε/2 ïîäáåðåì ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà B1 è B2 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü: ε ε µ∗ (A1 M B1 ) < , µ∗ (A2 M B2 ) < . 2 2 S S Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ: A = A1 A2 , B = B1 B2 . Ìíîæåñòâî B , êàê îáúåäèíåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìíîæåñòâ, ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ìíîæåñòâîì. Ïî ëåììå 1.3

A M B ⊂ (A1 M B1 )

[

(A2 M B2 ),

è ïî ñâîéñòâó ïîëóàääèòèâíîñòè âíåøíåé ìåðû

µ∗ (A M B) ≤ µ∗ (A1 M B1 ) + µ∗ (A2 M B2 ) < ñëåäîâàòåëüíî, A = A1

S

ε ε + = ε, 2 2

A2 ∈ M(Rn ).

Äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî A1 \ A2 ∈ M(Rn ), íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò òîëüêî ÷òî ïðèâåä¼ííîãî, è ÷èòàòåëü ëåãêî ïðîäåëàåò åãî ñàì.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

39

Çàìå÷àíèå 1.3 Ñ ïîìîùüþ âñ¼ òîé æå ëåììû 1.3 ìîæíî ïîêàçàòü òàêæå , ÷òî âìåñòå ñ ìíîæåñòâàìè A1 è A2 ñîâîêóïíîñòè M(Rn ) T ïðèíàäëåæàò òàêæå è A1 A2 è A1 M A2 , îäíàêî â ýòîì íåò íåîáõîäèìîñòè, ïîòîìó ÷òî ïðèíàäëåæíîñòü óêàçàííûõ ìíîæåñòâ M(Rn ) âûòåêàåò èç ñâîéñòâ êîëüöà.

Òåîðåìà 1.16 Ôóíêöèÿ µ àääèòèâíà íà M(Rn ). Äîêàçàòåëüñòâî Íåîáõîäèìî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè m [ A = · Ak , Ak ∈ M(Rn ) (k = 1, 2, . . . , m), k=1

òî

µA =

m X

µAk .

(1.24)

k=1

Äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿ m = 2. Íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî m òåîðåìà ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìåòîäîì èíäóêöèè. S Èòàê, ïóñòü A1 , A2 ∈ M(Rn ) è A = A1 · A2 . Òàê êàê âíåøíÿÿ ìåðà ïîëóàääèòèâíà, à ìåðà íà M(Rn ) ñîâïàäàåò ñ âíåøíåé ìåðîé, òî

µA ≤ µA1 + µA2 .

(1.25)

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîòèâîïîëîæíîãî íåðàâåíñòâà âûáåðåì ε > 0 è ïîäáåðåì ýëåìåíòàðíûå ìíîæåñòâà B1 è B2 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ

ε ε , µ∗ (A2 M B2 ) < . (1.26) 6 6 S T Ïîëîæèì B = B1 B2 . Ïî óñëîâèþ A1 A2 = ∅, îäíàêî ìíîæåñòâà µ∗ (A1 M B1 ) <

B1 è B2 ýòèì ñâîéñòâîì ìîãóò è íå îáëàäàòü. Íî íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî

B1

\

B2 ⊂ (A1 M B1 )

[

(A2 M B2 ),

ïîýòîìó

³ \ ´ ³ \ ´ ε ε ε m B1 B2 = µ∗ B1 B2 ≤ µ∗ (A1 M B1 ) + µ∗ (A2 M B2 ) < + = . 6 6 3

40

Îãëàâëåíèå

Îòñþäà ïî ñâîéñòâó 5 ìåðû íà êîëüöàõ ñëåäóåò, ÷òî

³ mB = mB1 + mB2 − m B1

\

´ B2 > mB1 + mB2 −

ε . 3

(1.27)

Ïî ëåììå 1.4

mB1 ≥ µA1 − µ∗ (A1 M B1 ) > µA1 − Àíàëîãè÷íî,

mB2 > µA2 −

ε . 6

ε . 6

(1.28)

(1.29)

Íàêîíåö, â ñèëó âêëþ÷åíèÿ A M B ⊂ (A1 M B1 )

S

(A2 M B2 ) (ëåììà

1.3) è ïîëóàääèòèâíîñòè âíåøíåé ìåðû èìååì:

µ∗ (A M B) ≤ µ∗ (A1 M B1 ) + µ∗ (A2 M B2 ) <

ε . 3

îòêóäà, ñíîâà ïî ëåììå 1.4, ñëåäóåò, ÷òî

µA ≥ mB − µ∗ (A M B) > mB −

ε . 3

(1.30)

Âîñïîëüçîâàâøèñü òåïåðü îöåíêàìè (1.27), (1.28), (refB29), ïîëó÷èì èç (1.30)

µA > mB −

2ε ε > mB1 + mB2 − > µA1 + µA2 − ε , 3 3

îòêóäà, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ε, ñëåäóåò, ÷òî

µA ≥ µA1 + µA2 . Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âìåñòå ñ (1.25) äà¼ò òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.

Òåîðåìà 1.17 Ìåðà µ íà êîëüöå M(Rn ) σ -àääèòèâíà. Äîêàçàòåëüñòâî Ìåðà µ, êàê ñóæåíèå âíåøíåé ìåðû µ∗ , îáëàäàåò ñâîéñòâîì σ -ïîëóàääèòèâíîñòè, à ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 1.11 è ñâîéñòâîì

σ -àääèòèâíîñòè.

Òåîðåìà 1.18 Åñëè A ∈ M∗ (Rn ), A = òî è A ∈ M(Rn ).

∞ S k=1

Ak , ãäå Ak ∈ M(Rn ) (k ∈ N),

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

41

Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ìíîæåñòâî A èìååò êîíå÷íóþ âíåøíþþ ìåðó è ïðåäñòàâèìî â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ, òî îíî òîæå èçìåðèìî ïî Ëåáåãó.

Äîêàçàòåëüñòâî Ïîëîæèì A0 = ∅ è A0k = Ak \ Ak−1 (k ∈ N). Òîãäà, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, A =

∞ ∞ S P · A0k . Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä µA0k ñõîäèòñÿ.

k=1

k=1

m S Äëÿ ëþáîãî m ∈ N · A0k ⊂ A, ïîýòîìó ïî ñâîéñòâàì ìîíîòîííîñòè k=1

âíåøíåé ìåðû è àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà ! ! Ãm Ãm m [ [ X ∗ 0 0 0 · Ak ≤ µ∗ A. µAk = µ · Ak = µ k=1

k=1

k=1

À åñëè ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè îãðàíè÷åíû ñâåðõó, òî îí ñõîäèòñÿ. Çàôèêñèðóåì ε > 0 è ïîäáåðåì m0 òàê, ÷òîáû îñòàòîê ðÿäà ∞ X k=m0 +1

µA0k <

ε . 2

m S0 Ìíîæåñòâî · A0k , êàê êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîk=1

æåñòâ, èçìåðèìî ïî Ëåáåãó, ïîýòîìó äëÿ íåãî íàéä¼òñÿ ýëåìåíòàðíîå ìíîæåñòâî B òàêîå, ÷òî

! ! ÃÃ m [0 ε · A0k M B < . µ∗ 2 k=1 Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ÃÃ m ! ! Ã ∞ [0 [ [ · A0k M B · AMB⊂ k=1

! A0k

,

k=m0 +1

ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó ïîëóàääèòèâíîñòè âíåøíåé ìåðû ÃÃ m ! ! ∞ [0 X ε ε ∗ ∗ 0 µ (A M B) ≤ µ · Ak M B + µ∗ A0k < + = ε . 2 2 k=1

k=m0 +1

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 1.27 Ìåðó µ íà êîëüöå K íàçûâàþò ïîëíîé, åñëè ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ëþáîãî ìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû èçìåðèìî.

42

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 1.19 Ìåðà Ëåáåãà ïîëíà. Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü µA = 0. Âîçüì¼ì ëþáîå A0 ⊂ A, ëþáîå ε > 0 è B = ∅ ∈ E n . Òîãäà µ∗ (A0 M B) = µ∗ (A0 M ∅) = µ∗ A0 ≤ µ∗ A = µA = 0 < ε . Ïî îïðåäåëåíèþ A0 èçìåðèìî. V. Ðàñøèðåíèå ïîíÿòèÿ èçìåðèìîñòè. Êëàññ èçìåðèìûõ

ìíîæåñòâ. Ïîñòðîåííàÿ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ìåðà Ëåáåãà îáëàäàåò ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì: èçìåðèìûìè ìîãóò áûòü òîëüêî ìíîæåñòâà, èìåþùèå êîíå÷íóþ âíåøíþþ ìåðó. Ïîýòîìó ìíîãèå "õîðîøèå" áåñêîíå÷íûå ìíîæåñòâà îêàçûâàþòñÿ íåèçìåðèìûìè (íàïðèìåð, Rn , êâàäðàíò, ïîëîñà, âíóòðåííîñòü ïàðàáîëû). Óñòðàíèì ýòîò íåäîñòàòîê. Ïóñòü Km n-ìåðíûé êóá ñ öåíòðîì â íóëå è ðåáðîì 2m, èìåííî:

Km = {x = (xi )ni=1 : |xi | ≤ m, i = 1, 2, . . . , n, m ∈ N} .

Îïðåäåëåíèå 1.28 Ìíîæåñòâî A ⊂ Rn íàçîâ¼ì èçìåðèìûì ïî Ëåáåãó â øèðîêîì ñìûñëå, èëè σ -èçìåðèìûì, åñëè äëÿ ëþáîãî m ∈ N èçìåðèìî T ìíîæåñòâî A Km . ïðè ýòîì ïîëîæèì

³ \ ´ µA = lim µ A Km .

(1.31)

Ñîâîêóïíîñòü âñåõ σ -èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ îáîçíà÷èì Mσ (Rn ).

T Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (A Km ) âîçðàñòàåò, òî è ïîñëåäîâàòåëüT íîñòü µ (A Km ) òîæå âîçðàñòàåò, ïîýòîìó ïðåäåë â (1.31), êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé, ñóùåñòâóåò.

Òåîðåìà 1.20 M(Rn ) ⊂ Mσ (Rn ). Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü A ∈ M(Rn ). Òîãäà äëÿ ëþáîãî m ìíîæåñòâî A

T

Km , êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâ, èçìåðèìî

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

43

ïî Ëåáåãó. À òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (A

T

Km ) ìîíîòîííà, à ìåðà

Ëåáåãà íåïðåðûâíà (ñì. òåîðåìó 1.11), òî

³ \ ´ µA = lim µ A Km è òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåîðåìà 1.21 Åñëè A ∈ Mσ (Rn ) è µA < +∞, òî A ∈ M(Rn ). Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü Am = A òàåò è

A=

∞ [

T

Km . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Am âîçðàñ-

∞ [ Am = · (Am \ Am−1 ) (A0 = ∅).

m=1

m=1

Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà µAm îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ðÿäà ∞ X

µ(Am \ Am−1 ),

m=1

òàê êàê

∞ X

µ(Am \ Am−1 ) = lim

m→∞

m=1

= lim

m→∞

m X

µ(Ak \ Ak−1 ) =

k=1

m X

(µAk − µAk−1 ) = lim µAm . m→∞

k=1

Íî òîãäà â ñèëó σ -ïîëóàääèòèâíîñòè âíåøíåé ìåðû ∗

µ A≤

∞ X

µ(Am \ Am−1 ) < +∞ ,

m=1

è ïî òåîðåìå 1.18 ìíîæåñòâî A ∈ M(Rn ). Èç äîêàçàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ðàñøèðåíèå M(Rn ) äî Mσ (Rn ) ïðîèñõîäèò òîëüêî çà ñ÷¼ò ìíîæåñòâ áåñêîíå÷íîé ìåðû. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî Mσ (Rn ) ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé, åäèíèöåé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî Rn . Òåïåðü îáñóäèì âîïðîñ î òîì, íàñêîëüêî øèðîê êëàññ σ -èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Ëþáîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî â Rn σ -èçìåðèìî, òàê êàê îíî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ îòêðûòûõ êóáîâ.  ñàìîì äåëå, åñëè G ⊂ Rn  îòêðûòîå ìíîæåñòâî, òî äëÿ êàæäîé

44

Îãëàâëåíèå

òî÷êè x ∈ G ìîæíî óêàçàòü îòêðûòûé êóá ñ öåíòðîì â òî÷êå x è ðåáðîì

2rx (îòêðûòûé øàð B1 (x, rx ) â ìåòðèêå ρ1 ), ñîäåðæàùèé ýòó òî÷êó. Ðàäèóñ rx ìîæíî ñ÷èòàòü ðàöèîíàëüíûì, òàê êàê åãî âñåãäà ìîæíî óìåíüøèòü. Ïî òî÷êå x ïîäáåðåì òî÷êó y ∈ Rn òàê, ÷òîáû ρ1 (x, y) < rx /2. Òîãäà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî x ∈ B1 (y, rx /2) ⊂ B1 (x, rx ) ⊂ G. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî S G = B1 (y, rx /2). Òàê êàê ìíîæåñòâî êóáîâ ñ öåíòðàìè â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ è ð¼áðàìè ðàöèîíàëüíîé äëèíû íà îñíîâàíèè òåîðåì 1.4, 1.6 ÿâëÿåòñÿ ñ÷¼òíûì, òî ìíîæåñòâî G êàê ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå σ -èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ σ -èçìåðèìî. Ëþáîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî F ⊂ M(Rn ) σ -èçìåðèìî êàê äîïîëíåíèå äî îòêðûòîãî. Òàê êàê Mσ (Rn )  σ -àëãåáðà, òî σ -èçìåðèìû òàêæå è âñå ìíîæåñòâà, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç îòêðûòûõ è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ÷èñëà îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ, âçÿòûõ â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå (òàêèå ìíîæåñòâà íàçûâàþò áîðåëåâñêèìè). Èçìåðèìî òàêæå (â øèðîêîì ñìûñëå) ëþáîå ìíîæåñòâî, ïîëó÷àþùååñÿ èç áîðåëåâñêîãî ïóò¼ì äîáàâëåíèÿ èëè óäàëåíèÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòèì íàáîð σ -èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ è îãðàíè÷èâàåòñÿ, òî-åñòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî σ -èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A íàéä¼òñÿ òàêîå áîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî B , ÷òî µ(A M B) = 0. Îäíàêî íå ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî ëþáîå ìíîæåñòâî â Rn σ -èçìåðèìî.

Ïðèìåð 1.15 (íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà) Ñâåðíåì äëÿ óäîáñòâà ïîëóèíòåðâàë [0, 2π) â îêðóæíîñòü Γ ðàäèóñà 1 è ïîìåñòèì å¼ â êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü C, ñîâìåñòèâ öåíòð îêðóæíîñòè ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò. Òîãäà êàæäàÿ òî÷êà ϕ ∈ [0; 2π) ñòàíîâèòñÿ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì z = eiϕ . Âûáåðåì èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî α è ââåä¼ì íà Γ îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîëàãàÿ z2 ∼ z1 , åñëè z2 = z1 eπkαi (k ∈ Z). Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ââåäåííîå îòíîøåíèå z2 ∼ z1 ðåôëåêñèâíî (z ∼ z ), ñèììåòðè÷íî

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

45

(z2 ∼ z1 ⇒ z1 ∼ z2 ) è òðàíçèòèâíî (z2 ∼ z1 , z3 ∼ z2 ⇒ z3 ∼ z1 ), ïîýòîìó îêðóæíîñòü Γ ðàçáèâàåòñÿ ýòèì îòíîøåíèåì íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè (êàæäûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ñîñòîèò èç ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà òî÷åê). Îáðàçóåì ìíîæåñòâî Φ0 , âêëþ÷èâ â íåãî ïî îäíîìó ïðåäñòàâèòåëþ îò êàæäîãî êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè è ìíîæåñòâà Φm , ïîëó÷àþùèåñÿ èç Φ0 ïîâîðîòîì íà óãîë παm (m ∈ Z). Ïîêàæåì, ÷òî

[ Γ = · Φm .

(1.32)

m∈Z

 ñàìîì äåëå, ñ îäíîé ñòîðîíû, Φm

T

Φl = ∅ (m 6= l), èáî åñëè îäíî-

âðåìåííî z ∈ Φm è z ∈ Φl , òî z = z0 eπαmi è z = z00 eπαli , ãäå z0 , z00 ∈ Φ0 . Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî z0 eπαmi = z00 eπαli èëè z00 = z0 eπα(m−l)i , òî-åñòü, z00 ∼ z0 . Íî òàê êàê â Φ0 ñîäåðæèòñÿ òîëüêî ïî îäíîìó ïðåäñòàâèòåëþ îò êàæäîãî êëàññà, òî z00 = z0 èëè eπαli = eπαmi èëè eπα(m−l)i = 1 èëè πα(m−l)i = 2πki

(k ∈ Z) èëè α = 2k/(m − l). Íî ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî α  ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò åãî âûáîðó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàæäàÿ òî÷êà z ∈ Γ ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè, ñëåäîâàòåëüíî, z ∼ z0 ∈ Φ0 èëè z = z0 eπαki èëè

z ∈ Φk . Ýòèìè äâóìÿ ðàññóæäåíèÿìè (1.32) óñòàíîâëåíî. Äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî Φ0 èçìåðèìî. Òîãäà êàæäîå ìíîæåñòâî Φm òîæå èçìåðèìî è µΦm = µΦ0 (m ∈ Z), òàê êàê Φm ïîëó÷àåòñÿ èç Φ0 ïîâîðîòîì (íà ïðÿìîé  ñäâèãîì), à ìåðà Ëåáåãà, î÷åâèäíî, èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ. Òîãäà ïî ñâîéñòâó σ -àääèòèâíîñòè ìåðû Ëåáåãà ∞ X

µΓ = 2π =

µΦm .

m=−∞

Îäíàêî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íåâîçìîæíî, òàê êàê ñóììà ðÿäà â åãî ïðàâîé ÷àñòè ëèáî ðàâíà íóëþ (åñëè µΦ0 = 0), ëèáî ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè (åñëè µΦ0 = a > 0). Èòàê, ìíîæåñòâî Φ0 íåèçìåðèìî. VI. Äðóãèå ìåðû.

46

Îãëàâëåíèå Â ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì äâå ìåðû, èãðàþùèå âàæíóþ ðîëü â

òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. a) Ìåðà Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Ïóñòü F : R → R  íåóáûâàþùàÿ è íåïðåðûâíàÿ ñëåâà â êàæäîé òî÷êå ôóíêöèÿ. Îïðåäåëèì ñ å¼ ïîìîùüþ ìåðó ïðîìåæóòêà, ïîëîæèâ

m0F (a; b) = F (b) − F (a + 0), m0F [a; b] = F (b + 0) − F (a), m0F (a; b] = F (b + 0) − F (a + 0), m0F [a; b) = F (b) − F (a). Êàê íåòðóäíî âèäåòü, îïðåäåë¼ííàÿ òàêèì îáðàçîì ìåðà ïðîìåæóòêà íåîòðèöàòåëüíà è àääèòèâíà. Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà ïðîìåæóòêîâ ïî ââåäåííîé ðàíåå òåðìèíîëîãèè åñòü íå ÷òî èíîå êàê ñèñòåìà êèðïè÷åé â ïðîñòðàíñòâå R1 . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ìåðà m0 íà êèðïè÷àõ, ââåä¼ííàÿ â ïóíêòå I, ïðè n = 1 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ìåðû m0F , ââåäåííîé â íàñòîÿùåì ïóíêòå (åñëè F (t) = t (t ∈ R)). Ïðèìåíèâ ê ìåðå m0F äâà ïðîöåññà ïðîäîëæåíèÿ ìåðû, îïèñàííûå â ïóíêòàõ II  IV, ìû âûäåëèì íà ïðÿìîé êîëüöî MF ìíîæåñòâ, èçìåðèìûõ îòíîñèòåëüíî σ -àääèòèâíîé ìåðû µF , ÿâëÿþùåéñÿ ïðîäîëæåíèåì ìåðû m0F è íàçûâàåìîé ìåðîé Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Êîëüöî MF èçìåðèìûõ ïî ìåðå µF ìíîæåñòâ, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèò îò ôóíêöèè F , íî â ëþáîì ñëó÷àå ýòî êîëüöî ñîäåðæèò âñå îãðàíè÷åííûå áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà. Åñëè ôóíêöèÿ F èìååò íà R îãðàíè÷åííîå èçìåíåíèå, òî-åñòü,

F (+∞) − F (−∞) < +∞, òî, î÷åâèäíî, MF ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé ñ åäèíèöåé R è µF (R) = F (+∞)−F (−∞). Åñëè, â ÷àñòíîñòè, F (+∞)−F (−∞) =

1, òî ìåðó µf íàçûâàþò íîðìèðîâàííîé, à åñëè ïðè ýòîì F (−∞) = 0, à F (+∞) = 1, òî åù¼ è âåðîÿòíîñòíîé. Åù¼ ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî åñëè F (t) = t, òî µF = µ  îáû÷íàÿ ìåðà Ëåáåãà. b) Äèñêðåòíàÿ ìåðà.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

47

Ïóñòü X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}  ïðîèçâîëüíîå ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî,

(pn )∞ n=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ∞ P óñëîâèþ pn < +∞. Äëÿ ëþáîãî A ⊂ X ïîëîæèì n=1

X

mA =

pk .

(1.33)

k: xk ∈A

Ðàâåíñòâîì (1.33) íà σ -àëãåáðå P(X) âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X îïðåäåëåíà σ -àääèòèâíàÿ ìåðà m. Åñëè X = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .} ⊂ R, òî ìû ìîæåì ñâÿçàòü ñ ýòèì ìíîæåñòâîì ôóíêöèþ F , ïîëîæèâ

F (x) =

X

pk .

(1.34)

k: xk <x

Òàêàÿ ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ñêà÷êîâ, ïîòîìó ÷òî

F (xk + 0) − F (xk ) = pk , à íà ïðîìåæóòêàõ, íå ñîäåðæàùèõ òî÷åê xk , F (x) ïîñòîÿííà. Ïî ôóíêöèè F (x), îïðåäåëÿåìîé ðàâåíñòâîì (1.34) ìîæíî ïîñòðîèòü ìåðó Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà µF . Òàêàÿ ìåðà µF íîñèò íàçâàíèå äèñêðåòíîé ìåðû.

1.3 Èçìåðèìûå ôóíêöèè Ïóñòü X  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, M = M(X)  σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ åäèíèöåé ýòîé σ -àëãåáðû, è

µ  çàäàííàÿ íà M ïîëíàÿ σ -àääèòèâíàÿ ìåðà. Â äàëüíåéøåì òðîéêó (X, M, µ) áóäåì íàçûâàòü ïðîñòðàíñòâîì ñ ìåðîé.

Îïðåäåëåíèå 1.29 Ôóíêöèþ f : X → R íàçîâ¼ì èçìåðèìîé íà ìíîæåñòâå X îòíîñèòåëüíî ìåðû µ (µ-èçìåðèìîé), åñëè äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà c èçìåðèìî ìíîæåñòâî {x ∈ X : f (x) > c}. Ìíîæåñòâî âñåõ èçìåðèìûõ íà X îòíîñèòåëüíî ìåðû µ ôóíêöèé îáîçíà÷èì ñèìâîëîì S(X, M, µ).

48

Îãëàâëåíèå Åñëè èç êîíòåêñòà ÿñíî, îòíîñèòåëüíî êàêîé ìåðû èçìåðèìà ôóíêöèÿ

f , áóäåì ïðîñòî íàçûâàòü å¼ èçìåðèìîé è ñîâîêóïíîñòü âñåõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé áóäåì îáîçíà÷àòü S(X). Äîãîâîðèìñÿ òàêæå äëÿ êðàòêîñòè ïèñàòü X(f > c) âìåñòî {x ∈ X : f (x) > c} è àíàëîãè÷íî â äðóãèõ ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ.

Ëåììà 1.5 Äëÿ òîãî, ÷òîáû f ∈ S(X), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî c ∈ R âûïîëíÿëîñü îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:

X(f ≥ c) ∈ M;

(1.35)

X(f ≤ c) ∈ M;

(1.36)

X(f < c) ∈ M.

(1.37)

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü f ∈ S(X) è c ∈ R  ëþáîå ÷èñëî. Ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà ∞ \

µ

1 X f >c− X(f ≥ c) = k k=1

¶ (1.38)

.

 ñàìîì äåëå,

x ∈ X(f ≥ c) ⇔ f (x) ≥ c ⇔ ∀k ∈ N f (x) > c − µ

1 ⇔ ∀k ∈ N x ∈ X f > c − k

¶

∞ \

µ

1 ⇔ k

1 X f >c− ⇔x∈ k k=1

¶ .

Åñëè f ∈ S(X), òî êàæäîå èç ìíîæåñòâ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.38) èçìåðèìî, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåðèìî è èõ ïåðåñå÷åíèå, ïîñêîëüêó

M(X)  σ -àëãåáðà. Ðàâåíñòâî (1.38) óñòàíàâëèâàåò íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ (1.35). Åãî äîñòàòî÷íîñòü ñëåäóåò èç ñòîëü æå ëåãêî ïðîâåðÿåìîãî ðàâåíñòâà

µ ¶ 1 X(f > c) = X f ≥c+ , k k=1 ∞ [

óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü êîòîðîãî ÷èòàòåëÿì ïðåäëàãàåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

49

Íåîáõîäèìîñòü è äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ (1.36) ñëåäóåò èç î÷åâèäíûõ òîæäåñòâ

X(f ≤ c) = X \ X(f > c); X(f > c) = X \ X(f ≤ c). Íåîáõîäèìîñòü è äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ (1.37) âûòåêàåò èç òîæäåñòâ

X(f < c) = X \ X(f ≥ c); X(f ≥ c) = X \ X(f < c) è óæå äîêàçàííîé íåîáõîäèìîñòè è äîñòàòî÷íîñòè óñëîâèÿ (1.35). Ëåììà äîêàçàíà. Ëåììà 1.5 óòâåðæäàåò, ÷òî âûïîëíåíèå ëþáîãî èç óñëîâèé (1.35), (1.36), (1.37) ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ èçìåðèìîé ôóíêöèè.

Ñëåäñòâèå 1.1 Åñëè f ∈ S(X), òî äëÿ ëþáûõ a, b ∈ R èçìåðèìû ìíîæåñòâà X(a ≤ f ≤ b), X(a < f ≤ b), X(a ≤ f < b), X(a < f < b),

X(f = a).

Äîêàçàòåëüñòâî Äåéñòâèòåëüíî, X(a ≤ f ≤ b) = X(f ≤ b)

\

X(f ≥ a) ∈ M(X).

Îñòàëüíîå ïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íî. m S

Ïðèìåð 1.16 Ïóñòü X = · Xk . Ïîñòðîèì ôóíêöèþ h : X → R, k=1

ïîëîæèâ h(x) = ck , åñëè x ∈ Xk , k = 1, 2, . . . , m, ãäå ck  ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà (èõ ìîæíî ñ÷èòàòü ðàçëè÷íûìè ïðè ðàçíûõ k , íî íå îáÿçàòåëüíî). Òàêóþ ôóíêöèþ áóäåì íàçûâàòü ñòóïåí÷àòîé. Ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà Xk ∈ M(x), k = 1, 2, . . . , m. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè õîòÿ áû îäíî èç ìíîæåñòâ Xk íåèçìåðèìî, òî h íåèçìåðèìà, òàê êàê íàðóøàåòñÿ ñëåäñòâèå èç ëåììû 1.5. Åñëè æå âñå ìíîæåñòâà Xk èçìåðèìû, òî äëÿ ëþáîãî c ∈ R

X(h > c) = ∅,

50

Îãëàâëåíèå

åñëè c ≤ ck äëÿ ëþáîãî k è, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,

[

X(h > c) =

Xk .

k: ck >c

 îáîèõ ñëó÷àÿõ X(h > c) ∈ M(X).

Ïðèìåð 1.17 Ïóñòü X = R (èëè ëþáîé ïðîìåæóòîê èç R), f : X → R íåïðåðûâíà íà X . Òîãäà f èçìåðèìà íà X ïî ìåðå Ëåáåãà èëè ìåðå Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ìíîæåñòâî X0 âíóòðåííèõ òî÷åê ïðîìåæóòêà X (òîò æå ïðîìåæóòîê, íî ñ óáåëåííûìè êîíöàìè), âîçüì¼ì ëþáîå c ∈ R è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî

X0 (f > c). Åñëè ýòî ìíîæåñòâî  ïóñòîå, òî îíî èçìåðèìî. Ðàññìîòðèì òîò ñëó÷àé, êîãäà ìíîæåñòâî X0 (f > c) 6= ∅. Âîçüì¼ì ëþáóþ òî÷êó x0 ∈ X0 (f > c). Ïî ÷èñëó ε = (f (x0 ) − c)/2 â ñèëó íåïðåðûâíîñòè T ôóíêöèè f íàéä¼òñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ X (x0 − δ; x0 + δ) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − f (x0 )| < ε. Ðàñêðûâàÿ ìîäóëü è áåðÿ ëåâóþ ÷àñòü ïîëó÷àþùåãîñÿ äâîéíîãî íåðàâåíñòâà, áóäåì èìåòü:

f (x) − f (x0 ) > −ε, èëè 1 1 f (x) > f (x0 ) − ε = f (x0 ) − (f (x0 ) − c) = (c + f (x0 )) > c. 2 2 Ïîñêîëüêó ïðè íåîáõîäèìîñòè δ ìîæíî óìåíüøèòü, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èíòåðâàë (x0 − δ; x0 + δ) öåëèêîì ðàñïîëàãàåòñÿ âî ìíîæåñòâå X0 , à ïî äîêàçàííîìó âûøå, è âî ìíîæåñòâå X0 (f > c), ïîýòîìó ìíîæåñòâî X0 (f > c)  îòêðûòîå, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåðèìîå. Ìíîæåñòâî æå

X(f > c), áûòü ìîæåò, îòëè÷àåòñÿ îò ìíîæåñòâà X0 (f > c) íà îäíó èëè äâå òî÷êè (êîíöû ïðîìåæóòêà X ). À òàê êàê îäíîòî÷å÷íûå ìíîæåñòâà (âûðîæäåííûå ïðîìåæóòêè) èçìåðèìû êàê ïî ìåðå Ëåáåãà, òàê è ïî ìåðå Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà, òî ìíîæåñòâî X(f > c) èçìåðèìî. Èçó÷èì ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé. 1) f ∈ S(X), l ∈ R ⇒ f + l ∈ S(X).

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

51

Î÷åâèäíî, X(f +l > c) = X(f > c−l) ∈ M äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî

c, ÷òî è äîêàçûâàåò ñâîéñòâî 1. 2) f ∈ S(X), k ∈ R ⇒ kf ∈ S(X). Ýòî ñâîéñòâî ñëåäóåò èç ëåãêî ïðîâåðÿåìîãî ðàâåíñòâà    X(f > c/k), k > 0,      X(f < c/k), k < 0, X(kf > c) =   X, k = 0, c < 0,      ∅, k = 0, c ≥ 0. Òàê êàê ìíîæåñòâà, ñòîÿùèå â ýòîì ðàâåíñòâå ñïðàâà, â ëþáîì èç ñëó÷àåâ èçìåðèìû, òî èçìåðèìî äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî c è ìíîæåñòâî, ñòîÿùåå ñëåâà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåãî ñâîéñòâà íàì ïîíàäîáèòñÿ

Ëåììà 1.6 Åñëè f, g ∈ S(X), òî X(f > g) ∈ M(X). Äîêàçàòåëüñòâî Ïåðåíóìåðóåì âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà (ýòî ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê ìíîæåñòâî Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ÷¼òíî). Èòàê, ïóñòü

Q = {rk : k ∈ N}. Ïîêàæåì, ÷òî X(f > g) =

∞ ³ [

X(f > rk )

\

´ X(g < rk ) .

(1.39)

k=1

Ïóñòü x ∈ X(f > g), òî-åñòü, f (x) > g(x). Òîãäà íàéä¼òñÿ òàêîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî rk , ÷òî áóäåò ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f (x) > rk > g(x). T Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈ X(f > rk ) X(g < rk ). Ýòèì óñòàíîâëåíî âëîæåíèå ëåâîé ÷àñòè (1.39) â ïðàâóþ. Îáðàòíîå âëîæåíèå î÷åâèäíî. Òàê êàê

M(X)  σ -àëãåáðà, òî ïðàâàÿ ÷àñòü â (1.39)  èçìåðèìîå ìíîæåñòâî. Ëåììà äîêàçàíà. 3) f, g ∈ S(X) ⇒ f + g ∈ S(X). Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî ñâîéñòâà âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî

X(f + g > c) = X(f > −g + c) â ñèëó ëåììû 1.6 è ñâîéñòâ 1 è 2 èçìåðèìî äëÿ ëþáîãî c ∈ R.

52

Îãëàâëåíèå 4) f ∈ S(X) ⇒ f 2 ∈ S(X). Äåéñòâèòåëüíî, ìíîæåñòâî   X(f > √c) S X(f < −√c), c ≥ 0, 2 X(f > c) =  X, c < 0.

èçìåðèìî äëÿ ëþáîãî c ∈ R. Îòìåòèì, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Åñëè êâàäðàò íåêîòîðîé ôóíêöèè  èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, òî ñàìà ôóíêöèÿ íå îáÿçàòåëüíî èçìåðèìà.

Ïðèìåð 1.18 Ïóñòü X = [0; 1], X0  íåèçìåðèìîå (ïî ìåðå Ëåáåãà) ïîäìíîæåñòâî X (ñóùåñòâîâàíèå íåèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ âûøå áûëî äîêàçàíî), X1 = X \ X0 è ïóñòü   1, x ∈ X , 0 f (x) =  −1, x ∈ X . 1 Òîãäà f íåèçìåðèìà íà X , ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî X(f = 1) = X0 íåèçìåðèìî, â òî âðåìÿ êàê ôóíêöèÿ f 2 (x) ≡ 1  èçìåðèìà íà X . 5) f, g ∈ S(X) ⇒ f · g ∈ S(X). Èçìåðèìîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò èç òîæäåñòâà

f ·g =

¢ 1¡ (f + g)2 − f 2 − g 2 2

è ñâîéñòâ 2, 3, 4. 6) f, g ∈ S(x), g(x) 6= 0 (x ∈ X) ⇒ f /g ∈ S(X). Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî åñëè g ∈ S(X) è íå îáðàùàåòñÿ â íîëü íà X , òî 1/g ∈ S(X). Äåéñòâèòåëüíî,   X(0 < g < 1/c), c > 0,  µ ¶   1 X >c = X(g > 0), c = 0,  g    X(g > 0) S X(g < 1/c), c < 0. Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ 1/g èçìåðèìà íà X , íî òîãäà ïî ñâîéñòâó 5 èçìåðèìà è ôóíêöèÿ f /g = f · (1/g). Èç ñâîéñòâ 2 6 ñëåäóåò, ÷òî êëàññ èçìåðèìûõ ôóíêöèé çàìêíóò îòíîñèòåëüíî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

53

Îïðåäåëåíèå 1.30 Íàçîâ¼ì ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòüþ ôóíêöèè f , îïðåäåë¼ííîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèþ   f (x), f (x) ≥ 0, f + (x) =  0, f (x) < 0, è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòüþ ôóíêöèè f ôóíêöèþ   0, f (x) > 0, − f (x) =  −f (x)), f (x) ≤ 0. 7) f ∈ S(X) ⇒ |f |, f + , f − ∈ S(X). Èçìåðèìîñòü |f | ñëåäóåò èç òîæäåñòâà   X(f < −c) S X(f > c), c ≥ 0, X(|f | > c) = ,  X, c < 0. à èçìåðèìîñòü f + è f − èç ðàâåíñòâ

1 1 f + = (|f | + f ), f − = (|f | − f ). 2 2 Ïîñëåäíèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî èçìåðèìîñòü ôóíêöèè |f | íå âëå÷åò çà ñîáîé èçìåðèìîñòü f . 8) f ∈ S(X), X0 ∈ M(X) ⇒ f ∈ S(X0 ). Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñâîéñòâà îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ÷èòàòåëÿì ïîëåçíî ïðîâåðèòü ñàìèì: åñëè A(X)  σ -àëãåáðà ñ T åäèíèöåé X , X0 ∈ A(X), òî A(X0 ) = {A X0 : A ∈ A(X)} òîæå σ -

àëãåáðà ñ åäèíèöåé X0 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî c > 0 èìååì:

X0 (f > c) = X0 è ñâîéñòâî óñòàíîâëåíî. 9) Åñëè f : X → R, X =

S k

\

X(f > c) ∈ M(X0 )

Xk , ãäå Xk ∈ M(X) ïðè âñåõ k , êîòîðûõ

ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íîå, òàê è ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, è äëÿ êàæäîãî

k ôóíêöèÿ f ∈ S(Xk ), òî f ∈ S(X).

54

Îãëàâëåíèå Ñâîéñòâî 9 ñëåäóåò èç ñòîëü æå ëåãêî, êàê è âñå ïðåäûäóùèå, ïðîâå-

ðÿåìîãî ðàâåíñòâà

X(f > c) =

[

Xk (f > c).

k

Äàëåå ìû áóäåì èçó÷àòü ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé, ñâÿçàííûå ñ îïåðàöèåé ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà. Ïîñêîëüêó ïðè ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ìîãóò ïîëó÷àòüñÿ áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ, òî ðàñøèðèì ìíîæåñòâî äîïóñêàåìûõ ê ðàññìîòðåíèþ ôóíêöèé, èìåííî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè f : X → R = [−∞; +∞]. Òàê êàê íàä ðàññìàòðèâàåìûìè ôóíêöèÿìè íàì ïðèä¼òñÿ ïðîèçâîäèòü àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, òî óñëîâèìñÿ î ñëåäóþùèõ ïðàâèëàõ äåéñòâèÿ ñ áåñêîíå÷íûìè çíà÷åíèÿìè: 1) a + (±∞) = ±∞, a ∈ R; 2) a − (±∞) = ∓∞, a ∈ R; 3) (+∞) + (+∞) = +∞; 4) (−∞) + (−∞) = −∞; 5) a · (±∞) = ±∞, a > 0; 6) a · (±∞) = ∓∞, a < 0; 7) 0 · (±∞) = 0; 8) (±∞) · (±∞) = +∞; 9) (±∞) · (∓∞) = −∞; a 10) | ± ∞| = +∞; 11) = 0, a ∈ R. ±∞ ±∞ ±∞ a Ñèìâîëû (±∞) − (±∞), , , áóäåì ñ÷èòàòü íå èìåþùèìè ±∞ ∓∞ 0 ñìûñëà. Äëÿ ôóíêöèé f : X → R îñòàâèì ïðåæíèì îïðåäåëåíèå èçìåðèìîñòè. Òîãäà è âñå ðàíåå ðàññìîòðåííûå ñâîéñòâà ñîõðàíÿòñÿ ïðè óñëîâèè âûïîëíèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ îïåðàöèé.

Òåîðåìà 1.22 Ïóñòü (fk )∞ k=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé. Òîãäà íà ìíîæåñòâå X èçìåðèìû ôóíêöèè

sup{fk }, inf{fk }, lim fk , lim fk è lim fk ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñëåäíåãî. Âñå îïåðàöèè, óêàçàííûå â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû, ïðîèçâîäÿòñÿ ïîòî÷å÷íî. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f ∗ = sup{fk } îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

f ∗ (x) = sup{fk (x) : k ∈ N} (x ∈ X).

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

55

Äîêàçàòåëüñòâî Äîêàæåì èçìåðèìîñòü f ∗ = sup{fk }. Äëÿ ýòîãî óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà ∗

X(f ≤ c) =

∞ \

X(fk ≤ c).

(1.40)

k=1

Ïóñòü x ∈ X(f ∗ ≤ c). Òîãäà f ∗ (x) ≤ c, è òàê êàê

f ∗ (x) = sup{fk (x) : k ∈ N}, ∞ T

òî fk (x) ≤ c ∀k ∈ N. Ñëåäîâàòåëüíî, x ∈

k=1

X(fk ≤ c). Ýòèì äîêàçàíî

âëîæåíèå ëåâîé ÷àñòè (1.40) â ïðàâóþ. ∞ T Íàîáîðîò, åñëè x ∈ X(fk ≤ c), òî fk (x) ≤ c ∀k ∈ N. Íî òîãäà è k=1

sup{fk (x) : k ∈ N} = f ∗ (x) ≤ c, òî-åñòü, x ∈ X(f ∗ ≤ c). Ñëåäîâàòåëüíî, è ïðàâàÿ ÷àñòü (1.40) ñîäåðæèòñÿ â ëåâîé. Èç ðàâåíñòâà (1.40) ñ ïîìîùüþ ëåììû 1.5 ïîëó÷àåì èçìåðèìîñòü ôóíêöèè f ∗ . Èçìåðèìîñòü inf{fk } ñëåäóåò èç î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà

inf{fk } = − sup{−fk }. Òåïåðü äîêàæåì èçìåðèìîñòü ôóíêöèè f = lim fk . Äëÿ ýòîãî óñòàíîâèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî x ∈ X

½ ¾ f (x) = lim fk (x) = inf sup {fl (x)} , k∈N

l≥k

èëè, îáîçíà÷èâ fk (x) = bk , f (x) = b, ÷òî ½ ¾ b = lim bk = inf sup{bl } . k∈N

l≥k

(1.41)

(1.42)

Åñëè b = +∞, òî ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåãî ïðåäåëà íàéä¼òñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü bkj → +∞. Íî òîãäà

sup{bl } ≥ sup{blj } = +∞ l≥k

lj ≥k

äëÿ ëþáîãî k ∈ N, ñëåäîâàòåëüíî, è ½ ¾ inf sup{bl } = +∞. k∈N

l≥k

56

Îãëàâëåíèå Åñëè b = −∞, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð k0 òàêîé, ÷òî

bk < −ε äëÿ âñåõ k ≥ k0 . Íî òîãäà sup{bl } ≤ −ε è ½ inf

k∈N

l≥k0

¾ sup{bl } ≤ sup{bl } ≤ −ε. l≥k

l≥k0

Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ε îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ½ ¾ inf sup{bl } = −∞. k∈N

l≥k

Ïóñòü òåïåðü b 6= ±∞. Ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåãî ïðåäåëà äëÿ ëþáîãî

ε > 0: 1) íàéä¼òñÿ íîìåð k0 òàêîé, ÷òî bk < b + ε ∀k ≥ k0 ; 2) íàéä¼òñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ (kj ): bkj > b − ε (j = 1, 2, . . .). Ïî âòîðîìó ñâîéñòâó

sup{bl } ≥ sup{blj } > b − ε ∀k ∈ N . l≥k

lj ≥k

Íî òîãäà è

½ inf

k∈N

¾ sup{bl } ≥ b − ε. l≥k

Ïî ïåðâîìó æå ñâîéñòâó ïðè k ≥ k0 èìååì: sup{bl } ≤ b + ε, ïîýòîìó l≥k

½ ¾ ½ ¾ inf sup{bl } ≤ inf sup{bl } ≤ b + ε.

k∈N

Èòàê,

k≥k0

l≥k

l≥k

½ ¾ b − ε ≤ inf sup{bl } ≤ b + ε. k∈N

l≥k

Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ε îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (1.42), èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ðàâåíñòâî (1.41). Òàê êàê èçìåðèìîñòü sup{fk } è inf{fk } óæå äîêàçàíà, òî èçìåðèìà è ôóíêöèÿ lim fk . Èçìåðèìîñòü ôóíêöèè lim fk ïîëó÷èì, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî

lim fk = −lim(−fk ) . Èçìåðèìîñòü ôóíêöèè lim fk ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ

lim fk = lim fk = lim fk . Òåîðåìà äîêàçàíà.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

57

Îïðåäåëåíèå 1.31 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íåêîòîðîå ñâîéñòâî èìååò ìåñòî "ïî÷òè âñþäó" íà ìíîæåñòâå X , åñëè ìåðà ìíîæåñòâà òåõ òî÷åê èç X , äëÿ êîòîðûõ óêàçàííîå ñâîéñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ, ðàâíà íóëþ. Íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå ôóíêöèÿ f ïî÷òè âñþäó íà ìíîæåñòâå X

ðàâíà íóëþ îçíà÷àåò, ÷òî µX(f 6= 0) = 0.

Îïðåäåëåíèå 1.32 Äâå ôóíêöèè f è g , îïðåäåë¼ííûå íà ìíîæåñòâå X , íàçîâ¼ì ýêâèâàëåíòíûìè è áóäåì ïèñàòü f ∼ g , åñëè èõ çíà÷åíèÿ ïî÷òè âñþäó íà ìíîæåñòâå X ñîâïàäàþò, òî-åñòü, åñëè

µX(f 6= g) = 0.

Ëåììà 1.7 Åñëè f ∈ S(X) è g(: X → R) ∼ f , òî g ∈ S(X). Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü X0 = X(f 6= g). Ïî óñëîâèþ, µX0 = 0. Ïîëîæèì X1 = X \ X0 . Ìíîæåñòâî X1 èçìåðèìî êàê ðàçíîñòü äâóõ èçìåðèìûõ S ìíîæåñòâ. Òîãäà X = X0 · X1 è [ [ X(g > c) = X0 (g > c) · X1 (g > c) = X0 (g > c) · X1 (f > c). Ìíîæåñòâî X0 (g > c) â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà èçìåðèìî êàê ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà íóëåâîé ìåðû (ìåðà µ ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîëíîé!), à ìíîæåñòâî X1 (f > c) èçìåðèìî ïî ñâîéñòâó 8, ïîýòîìó ìíîæåñòâî

X(g > c) èçìåðèìî äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî c.

Îïðåäåëåíèå 1.33 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (fk )∞ k=1 ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f0 , è ï .â .

ïèñàòü fk −→ f0 , åñëè

µX(fk 9 f0 ) = 0.

Òåîðåìà 1.23 Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fk )∞ k=1 èçìåðèìûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó íà X ê ôóíêöèè f0 , òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f0 òîæå èçìåðèìà.

58

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî Ïîëîæèì X1 = X(fk → f0 ) è X0 = X(fk 9 f0 ). Ïî óñëîâèþ X0  ìíîæåñòâî íóëåâîé ìåðû, ïîýòîìó X1 = X \ X1 òîæå èçìåðèìî. Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèè    f (x), x ∈ X ,  f (x), x ∈ X , k 1 0 1 gk (x) = g0 (x) =  0,  0, x ∈ X0 , x ∈ X0 . Òàê êàê µX0 = 0, òî fk ∼ gk (k ∈ N), f0 ∼ g0 . Ïðè ýòîì gk → g0 âñþäó íà X . Ïî ëåììå 1.7 âñå ôóíêöèè gk èçìåðèìû íà X , ïî òåîðåìå 1.23 ôóíêöèÿ g0 èçìåðèìà íà X , ñíîâà ïî ëåììå 1.7 èçìåðèìà íà X è ôóíêöèÿ f0 .

Òåîðåìà 1.24 (Åãîðîâ) Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ è ïî÷òè âñþäó êîíå÷íûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé (fk )∞ k=1 ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó íà X ê ïî÷òè âñþäó êîíå÷íîé íà X ôóíêöèè f0 . Òîãäà äëÿ ëþáîãî

δ > 0 íàéä¼òñÿ èçìåðèìîå ìíîæåñòâî Xδ ⊂ X òàêîå, ÷òî µXδ < δ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fk ) ñõîäèòñÿ ê f0 ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå

X \ Xδ .

Äîêàçàòåëüñòâî Ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f0 èçìåðèìà íà ìíîæåñòâå X . Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ: Ã∞ ! [ [ X0 = X(fk = ±∞) X(fk 9 f0 ), X1 = X \ X0 . k=0

Ïî óñëîâèÿì òåîðåìû è â ñèëó ñâîéñòâà σ -ïîëóàääèòèâíîñòè ìåðû

µX0 = 0, òàê êàê X0 åñòü ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ íóëåâîé ìåðû. Òîãäà ìíîæåñòâî X1 èçìåðèìî, âñå ôóíêöèè fk (k = 0, 1, 2, . . .) ïðèíèìàþò íà X1 êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ è fk → f0 âñþäó íà X1 . Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé

gk (x) = |fk (x) − f0 (x)| (k = 1, 2, . . .). Ôóíêöèè gk (x) íåîòðèöàòåëüíû è èçìåðèìû íà X1 è gk (x) → 0 äëÿ êàæäîãî x ∈ X1 .

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

59

Ïóñòü (εj )∞ j=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ñõîäÿùàÿñÿ ê íóëþ. Ïîëîæèì

Xk,j =

∞ \

(1.43)

X1 (gl < εj ).

l=k

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xk,j ) ïî èíäåêñó k âîçðàñòàåò, ïîñêîëüêó

Xk,j =

∞ \

X1 (gl < εj ) ⊂

l=k

∞ \

X1 (gl < εj ) = Xk+1,j .

l=k+1

Ïîêàæåì, ÷òî

lim Xk,j = X1 (j = 1, 2, . . .).

k→∞

(1.44)

Ïóñòü x ∈ X1 . Òàê êàê lim gk (x) = 0, òî ïî εj > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð k0 k→∞

òàêîé, ÷òî ïðè âñåõ k ≥ k0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî gk (x) < εj . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

x∈

∞ \

X1 (gl < εj ) = Xk0 ,j ,

l=k0

ñëåäîâàòåëüíî,

∞ [

x∈

Xk,j = lim Xk,j . k→∞

k=1

Ýòèì óñòàíîâëåíî âêëþ÷åíèå X1 ⊂ lim Xk,j . Ïîñêîëüêó îáðàòíîå k→∞

âêëþ÷åíèå î÷åâèäíî, òî ðàâåíñòâî (1.44) äîêàçàíî. Ïî ñâîéñòâó íåïðåðûâíîñòè ìåðû èç (1.44) ñëåäóåò, ÷òî

lim µXk,j = µX1 (j = 1, 2, . . .),

k→∞

ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî j ∈ N íàéä¼òñÿ íîìåð k(j) òàêîé, ÷òî

µ(X1 \ Xk(j), j ) < Ïóñòü

Xδ = X0

[

̰ [

δ . 2j !

(X1 \ Xk(j), j ) .

j=1

Ïîêàæåì, ÷òî Xδ  èñêîìîå ìíîæåñòâî. Èìååì:

µXδ ≤ µX0 +

∞ X j=1

µ(X1 \ Xk(j), j ) < 0 +

∞ X δ = δ. j 2 j=1

60

Îãëàâëåíèå Ïóñòü òåïåðü x ∈ X \ Xδ . Òîãäà x ∈ Xk(j), j äëÿ êàæäîãî j ∈ N,

ñëåäîâàòåëüíî, (ñì. (1.43))

|fl (x) − f0 (x)| = gl (x) < εj (l ≥ k(j)). Ïîñêîëüêó íîìåð k(j) çàâèñèò òîëüêî îò εj , òî ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fk íà ìíîæåñòâå X \ Xδ äîêàçàíà. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé ìîæíî ââåñòè åù¼ îäèí âèä ñõîäèìîñòè: ñõîäèìîñòü ïî ìåðå.

Îïðåäåëåíèå 1.34 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé (fk )∞ k=1 ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ï.ì.

èçìåðèìîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèè f0 ïî ìåðå è ïèñàòü fk −→ f0 , åñëè äëÿ ëþáîãî σ > 0

µX(|fk − f0 | ≥ σ) −−−→ 0. k→∞

Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñõîäèìîñòÿìè ïî÷òè âñþäó è ïî ìåðå.

Òåîðåìà 1.25 Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé (fk )∞ k=1 ñõîäèòñÿ íà X ê ôóíêöèè f0 ïî÷òè âñþäó, òî îíà ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f0 íà ìíîæåñòâå X è ïî ìåðå.

Äîêàçàòåëüñòâî Ïî òåîðåìå 1.23 ôóíêöèÿ f0 èçìåðèìà íà X . Äîïóñòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fk ) íå ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f0 ïî ìåðå íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî σ0 > 0 íàéäóòñÿ δ0 > 0 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ (kj )∞ j=1 òàêèå, ÷òî

µX(|fkj − f0 | ≥ σ0 ) ≥ δ0 (j = 1, 2, . . .). Ïóñòü

X 0 = lim X(|fkj − f0 | ≥ σ0 ). Òîãäà (òåîðåìà 1.12) µX 0 ≥ δ0 è åñëè x ∈ X 0 , òî, ïî îïðåäåëåíèþ âåðõíåãî ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ, ñðåäè íîìåðîâ kj íàéä¼òñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî òàêèõ íîìåðîâ, ÷òî x ∈ X(|fkj − f0 | ≥ σ0 ). Íî ýòî

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

61

îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ k âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |fk (x) − f0 (x)| ≥ σ0 , òî-åñòü, fk (x) 9 f0 (x). Òàêèì îáðàçîì, fk 9 f0 íà ìíîæåñòâå X 0 ïîëîæèòåëüíîé ìåðû, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ òåîðåìû. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð.

Ïðèìåð 1.19 Ïóñòü X = [0; 1] è µ  ìåðà Ëåáåãà. Ïîëîæèì  ¸ · j j − 1   , ; 1, x ∈    l l 

ϕl, j (x) =

 · ¸   j−1 j   , ;  0, x 6∈ l l

ãäå l = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . , l. Çàïèøåì ýòè ôóíêöèè â âèäå îäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íóìåðóÿ èõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ïåðâîãî èíäåêñà, à ïðè îäèíàêîâîì ïåðâîì èíäåêñå  â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âòîðîãî. Ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

f1 (x) = ϕ1,1 (x), f2 (x) = ϕ2,1 (x), f3 (x) = ϕ2, 2 (x), f4 (x) = ϕ3,1 (x), . . . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ïî ìåðå íà îòðåçêå [0, 1] ê ôóíêöèè f0 (x) ≡ 0.  ñàìîì äåëå, êàæäàÿ ôóíêöèÿ fk ïðèíàäëåæèò ê ãðóïïå ôóíêöèé ϕl,j ñ ôèêñèðîâàííûì ïåðâûì èíäåêñîì l, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî íà îòðåçêå ¸ · j−1 j ; äëèíû 1/l, ïîýòîìó, âçÿâ σ < 1 èìååì l l

µX(|fk − f0 | ≥ σ) = 1/l −−−→ 0. k→∞

 òî æå âðåìÿ ïðè l > 1 äëÿ êàæäîãî x ∈ [0; 1] â ãðóïïå ôóíêöèé

ϕl,j ñ ôèêñèðîâàííûì èíäåêñîì l èìåþòñÿ êàê ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå â ýòîé òî÷êå çíà÷åíèå 1, òàê è ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèå 0, òî-åñòü, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fk (x)) ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êàê íóëåé, òàê è åäèíèö, ïîýòîìó ñõîäèòüñÿ íå ìîæåò. Èòàê, ïîñòðîåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fk (x) ñõîäèòñÿ ïî ìåðå íà îòðåçêå [0; 1], íî íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå. Îäíàêî èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

62

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 1.26 Èç ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé fk , ñõîäÿùåéñÿ ïî ìåðå ê èçìåðèìîé íà X ôóíêöèè

f0 , ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê f0 ïî÷òè âñþäó íà X . ∞ Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü (εj )∞ j=1 è (ηj )j=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëîæè-

òåëüíûõ ÷èñåë, òàêèå ÷òî

εj −−−→ 0, j→∞

∞ X

ηj < +∞.

j=1

Âûäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ

k1 < k2 < . . . < kj < . . . ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íîìåð k1 ïîäáåðåì òàê, ÷òîáû

µX1 = µX(|fk1 − f0 | ≥ ε1 ) < η1 . Çàòåì ïîäáåðåì íîìåð k2 > k1 òàê, ÷òîáû

µX2 = µX(|fk2 − f0 |) < η2 . Ïóñòü íîìåðà k1 < k2 < . . . < kj−1 óæå âûáðàíû. Íîìåð kj > kj−1 ïîäáåðåì òàê, ÷òîáû

µXj = µX(|fkj − f0 |) < ηj . ï.ì.

Äëÿ êàæäîãî j íîìåð kj íàéä¼òñÿ, ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ fk −→ f0 . Òàê êàê îïèñàííûé ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæèòü íåîãðàíè÷åíî, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fkj )∞ j=1 . Ïîêàæåì, ÷òî ýòà ï.â.

ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñêîìàÿ, òî-åñòü, ÷òî fkj −→ f0 . Ïîëîæèì

X0 = lim Xj =

Ã∞ ∞ \ [ l=1

! Xj

.

j=l

Ïîñêîëüêó äëÿ êàæäîãî l = 1, 2, . . . ìíîæåñòâî X0 ⊂

µX0 ≤ µ

̰ [ j=l

! Xj

≤

∞ X j=l

µXj <

∞ X j=l

∞ S j=l

ηj .

Xj , òî

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà Òàê êàê ðÿä

∞ P j=1

63

ηj ñõîäèòñÿ, òî åãî îñòàòîê ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ïîýòîìó

èç ïîñëåäíåé îöåíêè ñëåäóåò, ÷òî µX0 = 0. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè x ∈ / X0 , òî fkj (x) → f0 (x). Åñëè x ∈ / X0 , òî íàé∞ S ä¼òñÿ íîìåð l òàêîé, ÷òî x ∈ / Xj , òî-åñòü, x ∈ / Xj (j ≥ l). Íî òîãäà ïðè j=l

âñåõ j ≥ l âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|fkj (x) − f0 (x)| < εj , à ïîñêîëüêó εj −−−→ 0, òî èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî j→∞

fkj (x) → f0 (x). Òåîðåìà äîêàçàíà. Â ïîñëåäíåì ïðèâåäåííîì ïðèìåðå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, êîòîðóþ ìîæíî âûäåëèòü ñîãëàñíî äîêàçàííîé òåîðåìå, ÿâëÿåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòàâëåííàÿ èç ôóíêöèé ϕl,j , ó êîòîðûõ âòîðîé èíäåêñ

j = 1. Ýòà ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê íóëþ âî âñåõ òî÷êàõ îòðåçêà [0, 1], êðîìå òî÷êè x = 0.  ïðèìåðå 1.16 áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè, êîòîðîå áóäåò èãðàòü âàæíóþ ðîëü â ïîñòðîåíèè èíòåãðàëà Ëåáåãà.

Òåîðåìà 1.27 (îá àïïðîêñèìàöèè) Âñÿêóþ íåîòðèöàòåëüíóþ èçìåðèìóþ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïðåäåë íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé.

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü f ∈ S + (X), ãäå ñèìâîëîì S + (X) = S + (X, M, µ) îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ íà X ôóíêöèé. Ðàçîáü¼ì ëó÷ R+ (îáëàñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè f ) íà ïîëóèíòåðâàë [0, n) è ëó÷ [n, +∞) (n ∈ N). Ïîëóèíòåðâàë [0, n) ðàçîáü¼ì íà ïîëóèíòåðâàëû

[l − 1, l) (l = 1, 2, . . . , n) åäèíè÷íîé äëèíû, êàæäûé èç êîòîðûõ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàçîáü¼ì íà 2n ðàâíûõ ïîëóèíòåðâàëîâ, ñîäåðæàùèõ ëåâûé è íå ñîäåðæàùèõ ïðàâûé êîíåö.

64

Îãëàâëåíèå Ïîñòðîèì ìíîæåñòâà

Xn, 0 = X(f ≥ n) è

µ Xn, k = X

k−1 k ≤f < n n 2 2

¶ , k = 1, 2, . . . , n · 2n .

Èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâ Xn, k (k = 0, 1, 2, . . . , n · 2n ) î÷åâèäíûì îáðàçîì ñëåäóåò, ÷òî

[ X = Xn, 0 ·

Ãn·2n ! [ · Xn, k . k=1

Ïîëîæèì

  hn (x) =

n,

x ∈ Xn, 0 ,

 (k − 1)/2n , x ∈ X . n, k

Ïðîâåðèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (hn )∞ n=1  èñêîìàÿ. à) Ìíîæåñòâà Xn, k (k = 0, 1, 2, . . . , n · 2n ) ïî ñëåäñòâèþ èç ëåììû 1.5 èçìåðèìû, èõ êîíå÷íîå ÷èñëî, ïîýòîìó ôóíêöèÿ hn äëÿ êàæäîãî n ∈ N  èçìåðèìàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ. á) Ñðàâíèì hn è hn+1 . Åñëè x òàêîé, ÷òî f (x) < n, òî íàéä¼òñÿ k (1 ≤ k ≤ n · 2n ) òàêîå, ÷òî k−1 x ∈ Xn, k è hn (x) = . Ïðè ïåðåõîäå îò n ê n+1 êàæäûé ïîëóèíòåðâàë 2n · ¶ · ¶ k−1 k 2k − 2 2k − 1 , ðàçáèâàåòñÿ íà äâà, ïîýòîìó ëèáî x ∈ , n+1 è 2n 2n 2n+1 2 · ¶ 2k − 1 2k k−1 2k − 1 2k − 2 , ëèáî x ∈ , n+1 è hn+1 (x) = n+1 . hn+1 (x) = n+1 = n n+1 2 2 2 2 2  îáîèõ ñëó÷àÿõ hn+1 (x) ≥ hn (x). Åñëè æå f (x) ≥ n, òî hn (x) = n, à hn+1 (x) ≥ n = hn (x). Èòàê, äëÿ êàæäîãî x ∈ X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (hn (x)) íå óáûâàåò. â) Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî x ∈ X hn (x) → f (x). Åñëè f (x) = +∞, òî äëÿ êàæäîãî n ∈ N hn (x) = n → +∞ = f (x). Åñëè æå f (x) < +∞, òî íàéä¼òñÿ n0 òàêîå, ÷òî ïðè n ≥ n0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî f (x) < n. Íî òîãäà äëÿ êàæäîãî n ≥ n0 íàéä¼òñÿ

k = k(n) òàêîå, ÷òî (k −1)/2n ≤ f (x) < k/2n . Ïðè ýòîì hn (x) = (k −1)/2n , ïîýòîìó

0 ≤ f (x) − hn (x) <

1 , 2n

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

65

ñëåäîâàòåëüíî, hn (x) → f (x). Òåîðåìà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 1.2 Åñëè f  íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ îãðàíè÷åííàÿ íà X ôóíêöèÿ, òî íàéä¼òñÿ íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòóïåí÷àòûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùàÿñÿ ê f ðàâíîìåðíî íà X .

Äîêàçàòåëüñòâî Åñëè f îãðàíè÷åíà íà X , òî íàéä¼òñÿ òàêîå n0 , ÷òî f (x) ≤ n0 âñþäó íà X . Íî òîãäà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (hn ), ïîñòðîåííîé ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû, äëÿ êàæäîãî n > n0 è äëÿ êàæäîãî

x ∈ X èìååì:

1 , 2n îòêóäà è âûòåêàåò ñôîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå. 0 ≤ f (x) − hn (x) <

1.4 Èíòåãðàë Îñíîâíàÿ èäåÿ ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëà Ëåáåãà ñîñòîèò â òîì,÷òî, â îòëè÷èå îò èíòåãðàëà Ðèìàíà, òî÷êè x ãðóïïèðóþòñÿ íå ïî ïðèçíàêó èõ áëèçîñòè, à ïî ïðèçíàêó áëèçîñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè â ýòèõ òî÷êàõ. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàñøèðèòü êëàññ èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé. Êðîìå òîãî, èíòåãðàë Ëåáåãà ââîäèòñÿ ñîâåðøåííî îäèíàêîâî íà ëþáîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìåðîé, â òî âðåìÿ êàê èíòåãðàë Ðèìàíà ââîäèòñÿ ñíà÷àëà äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé, à çàòåì óæå ïåðåíîñèòñÿ íà ñëó÷àé ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Äëÿ ôóíêöèé æå, îïðåäåë¼ííûõ íà àáñòðàêòíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìåðîé, ðèìàíîâñêèé èíòåãðàë âîîáùå íå ìîæåò áûòü îïðåäåë¼í. Ïóñòü (X, M, µ)  ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé, êîòîðàÿ ïî-ïðåæíåìó ïðåäïîëàãàåòñÿ σ -àääèòèâíîé è ïîëíîé, à S(X, M, µ) = S(X)  ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ ïî ìåðå µ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé.  äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, âñå ðàññìàòðèâàåìûå ìíîæåñòâà ïðåäïîëàãàþòñÿ ïðèíàäëåæàùèìè σ -àëãåáðå M, à ôóíêöèè  èçìåðèìûìè. Ïîñòðîåíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà áóäåò ïðîèçâåäåíî â òðè ïðè¼ìà: ñíà÷àëà îïðåäåëèì èíòåãðàë äëÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè, çàòåì ðàñïðîñòðàíèì

66

Îãëàâëåíèå

åãî íà íåîòðèöàòåëüíûå èçìåðèìûå ôóíêöèè, à çàòåì óæå  íà ïðîèçâîëüíûå èçìåðèìûå ôóíêöèè.

Èíòåãðàë îò ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè Ïóñòü h  ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ (ïðèìåð 1.16). Áóäåì çàïèñûâàòü å¼ â âèäå: h = (X1 , c1 ; X2 , c2 ; . . . ; Xm , cm ) = (Xk , ck )m k=1 , ãäå Xk = X(h = ck ), m S k = 1, 2, . . . , m, X = · Xk . k=1

Îïðåäåëåíèå 1.35 Íàçîâåì èíòåãðàëîì îò ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè h ïî ìíîæåñòâó X è ìåðå µ âûðàæåíèå

Z h(x)dµ =

m X

(1.45)

ck µXk .

k=1

X

 ñôîðìóëèðîâàííîì îïðåäåëåíèè íå îáÿçàòåëüíî ñ÷èòàòü ck 6= cj ïðè

k 6= j . Ïîêàæåì ýòî. Åñëè äëÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè h èìåþòñÿ äâà ïðåäñòàâëåíèÿ: ïåðâîå 0 0 p  h = (Xk , ck )m k=1 , ãäå ck 6= cl (k 6= l ), è âòîðîå  h = (Xj , cj )j=1 , ãäå íå

âñå c0j ðàçëè÷íû, òî (çíà÷åíèå h(x) åäèíñòâåííî äëÿ êàæäîãî x ∈ X !)

Xk =

[ · Xj0 , j: c0j =ck

è òàê êàê ìåðà µ àääèòèâíà, òî p X

c0j µXj0

j=1

=

m X k=1



 ck 

X

µXj0 

j:c0j =ck

=

m X

ck µXk .

k=1

Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë îò ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè íå çàâèñèò îò å¼ ïðåäñòàâëåíèÿ. Èçó÷èì ñâîéñòâà èíòåãðàëà îò ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè. Z Z 1) αh(x)dµ = α h(x)dµ. X

X

Ýòî ñâîéñòâî î÷åâèäíî. Z Z Z 2) [h1 (x) + h2 (x)]dµ = h1 (x)dµ + h2 (x)dµ. X

X

X

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

67

0 0 l Ïóñòü h1 = (Xk , ck )m k=1 , h2 = (Xj , cj )j=1 . Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ìíîT æåñòâà Xk,j = Xk Xj0 (k = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , l). Î÷åâèäíî, ÷òî l m m l [ [ [ [ 0 Xk = · Xk,j , Xj = · Xk,j , X = · · Xk,j j=1

k=1 j=1

k=1

è ÷òî h1 (x) + h2 (x) = ck + c0j , åñëè x ∈ Xk,j (k = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , l). Ïîýòîìó ôóíêöèÿ h1 + h2  ñòóïåí÷àòàÿ è

Z

m X l X [h1 (x) + h2 (x)]dµ = (ck + c0j )µk,j = k=1 j=1

X

=

m X l X

ck µXk,j +

k=1 j=1

m X l X

m X

c0j µk,j =

k=1 j=1

=

m X

ck µXk +

l X

l X

µXk,j +

j=1

k=1

µXj0

l X

c0j

j=1

Z c0j

m X

µk,j =

k=1

Z

=

j=1

k=1

ck

h1 (x)dµ + X

h2 (x)dµ. X

S 3) Åñëè X = X · X 00 , òî Z Z Z h(x)dµ = h(x)dµ + h(x)dµ. 0

X0

X

X 00

Ïóñòü h = (Xk , ck )m k=1 . Ïîëîæèì

Xk0 = X 0

\

Xk , Xk00 = X 00

\

Xk , k = 1, 2, . . . , m .

S Òîãäà Xk = Xk0 · Xk00 (k = 1, 2, . . . , m) è Z m m X X ck (µXk0 + µXk00 ) = h(x)dµ = ck µXk = k=1

X

=

m X

ck µXk0

+

k=1

m X

k=1

Z ck µXk00

=

k=1

Z h(x)dµ +

X0

h(x)dµ .

X 00

4) Åñëè âñþäó íà X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî h1 (x) ≤ h2 (x), òî è Z Z h1 (x)dµ ≤ h2 (x)dµ . X

X

Z

Åñëè h(x) ≥ 0 íà X , òî, î÷åâèäíî,

Z X

¡

h(x)dµ ≥ 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî X

¢ h2 (x) − h1 (x) dµ ≥ 0. Äàëåå ïðèìåíÿåì ñâîéñòâà 1 è 2.

68

Îãëàâëåíèå 5) Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé (hn )∞ n=1 ìî-

íîòîííî íå âîçðàñòàåò è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïî÷òè âñþäó íà ìíîæåñòâå X , òî

Z lim

(1.46)

hn (x)dµ = 0 .

n→∞ X

Òàê êàê ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ h1 èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé, òî îíà îãðàíè÷åíà, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò M > 0 òàêîå, ÷òî h1 (x) ≤ M íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà, ââèäó ìîíîòîííîãî íåâîçðàñòàíèÿ è íåîòðèöàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (hn )∞ n=1 , áóäåì èìåòü

0 ≤ hn (x) ≤ M (n ∈ N, x ∈ X ).

(1.47)

ε . Ïî òåîðåìå Åãîðîâà (òåîðåìà 2M 1.24) íàéä¼òñÿ ìíîæåñòâî Xδ ⊂ X òàêîå, ÷òî µXδ < δ è ïîñëåäîâàòåëüÇàôèêñèðóåì ε > 0 è ïîëîæèì δ =

íîñòü (hn ) ñõîäèòñÿ ê íóëþ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X \ Xδ . Íî òîãäà íàéä¼òñÿ n0 òàêîå, ÷òî ïðè n > n0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå

0 ≤ hn (x) <

ε (x ∈ X \ Xδ ) . 2µX

(1.48)

Îáðàçóåì ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ hε , ïîëîæèâ hε (x) = M , åñëè x ∈ Xδ , ε è hε (x) = , åñëè x ∈ X \ Xδ . Ââèäó (1.47) è (1.48) âûïîëíÿåòñÿ 2µX óñëîâèå hn (x) ≤ hε (x) ïðè n > n0 è ëþáîì x ∈ X , ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó 4 ïðè n > n0 èìååì: Z Z 0 ≤ hn (x)dµ ≤ hδ (x)dµ = M · µXδ + X

ε · µ(X \ Xδ ) < 2µX

X

<M ·δ+

ε ε ε · µX = M · + = ε. 2µX 2M 2

Ñâîéñòâî 5 äîêàçàíî. 6) Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé (hn )∞ n=1 ìî-

íîòîííî íå âîçðàñòàåò è

Z hn (x)dµ = 0,

lim

n→∞ X

òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïî÷òè âñþäó íà X .

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

69

Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (hn ) ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñíèçó, òî îíà ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x ìíîæåñòâà X . Ïóñòü

g(x) = lim hn (x) (x ∈ X) . n→∞

Òàê êàê hn (x) ≥ 0 ïðè âñåõ n, òî è g(x) ≥ 0. Ïîêàæåì, ÷òî g(x) = 0 ïî÷òè âñþäó íà X . Î÷åâèäíî, ∞ [

∞ [ 1 X0 = X(g = 6 0) = X(g ≥ ) = Xm . m m=1 m=1

Ïóñòü ìåðà õîòÿ áû îäíîãî èç ìíîæåñòâ Xm ïîëîæèòåëüíà, ñêàæåì,

µXm0 = δ0 > 0. Ââåä¼ì ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ h0 , ïîëîæèâ h0 (x) = 1/m0 , åñëè x ∈ Xm0 , è h0 (x) = 0, åñëè x ∈ X \ Xm0 . Òîãäà

hn (x) ≥ g(x) ≥ h0 (x) (n ∈ N, x ∈ X ) è ïî ñâîéñòâó 4 Z Z 1 hn (x)dµ ≥ h0 (x)dµ = · µX0 + 0 · µ(X \ X0 ) = m0 X

X

=

1 · δ0 > 0 (n ∈ N), m0

÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Èòàê, äëÿ êàæäîãî m ∈ N µXm = 0 è ïî ñâîéñòâó σ -ïîëóàääèòèâíîñòè ìåðû

µX0 ≤

∞ X

µXm = 0 .

m=1

Ñâîéñòâî 6 äîêàçàíî.

Èíòåãðàë îò íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè Åñëè f ∈ S + (X), òî ïî òåîðåìå îá àïïðîêñèìàöèè (òåîðåìà 1.27) íàéä¼òñÿ íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (hn )∞ n=1 íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùàÿñÿ ê f íà ìíîæåñòâå X . Ïî ñâîéñòâó 4 èíòåãðàëàîò ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðà∞ Z ëîâ  hn (x)dµ â òàêîì ñëó÷àå òîæå íå óáûâàåò è ïîòîìó èìååò X

n=1

ïðåäåë (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé).

70

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 1.36 Íàçîâ¼ì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f ïî ìíîæåñòâó X è ìåðå µ âûðàæåíèå Z

Z f (x)dµ = lim

hn (x)dµ .

n→∞

X

Z Åñëè

(1.49)

X

f (x)dµ ïðèíèìàåò êîíå÷íîå çíà÷åíèå, òî ôóíêöèþ f áóäåì íàX

çûâàòü èíòåãðèðóåìîé (èëè ñóììèðóåìîé) íà ìíîæåñòâå X è ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ôóíêöèé áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì L+ (X, M, µ) èëè, êîðî÷å, L+ (X), åñëè ìåðà µ áûëà îïðåäåëåíà ðàíåå. Åù¼ ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî èíòåãðàë ñóùåñòâóåò äëÿ êàæäîé íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè, íî ìîæåò áûòü ðàâíûì áåñêîíå÷íîñòè. Ïðåæäå ÷åì èçó÷àòü ñâîéñòâà èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè, íåîáõîäèìî äîêàçàòü êîððåêòíîñòü åãî îïðåäåëåíèÿ, òîåñòü, íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà îò âûáîðà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

(hn )∞ n=1 ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé. Äîêàæåì áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå.

Ëåììà 1.8 Ïóñòü f, g ∈ S + (X) è f (x) ≤ g(x) (x ∈ X). Ïóñòü (hn )∞ n=1 è (kn )∞ n=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé, ìîíîòîííî íå óáûâàÿ ñõîäÿùèåñÿ íà X ê ôóíêöèÿì f è g ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà Z Z lim hn (x)dµ ≤ lim kn (x)dµ . n→∞

n→∞

X

(1.50)

X

Äîêàçàòåëüñòâî Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü hm − kn ïðè çàôèêñèðîâàííîì m ∈ N è ïåðåìåííîì n. Òàê êàê (kn )∞ n=1 íå óáûâàåò, òî ðàçíîñòü hm − kn íå âîçðàñòàåò, ïîýòîìó èìååò ïðåäåë ïðè n → ∞ è

¡ ¢ ¡ ¢ lim hm (x) − kn (x) ≤ lim f (x) − kn (x) = f (x) − g(x) ≤ 0 n→∞

n→∞

äëÿ êàæäîãî x ∈ X . Íî òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷àñòåé (hm − kn )+ òîæå ìîíîòîííî íå âîçðàñòàåò è

¡ ¢+ lim hm (x) − kn (x) = 0

n→∞

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

71

âñþäó íà X . Ïî ñâîéñòâó 5 èíòåãðàëîâ îò ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé Z ¡ ¢+ lim hm (x) − kn (x) dµ = 0 . n→∞

X

¡ ¢+ Íî òîãäà, òàê êàê hm (x) − kn (x) ≤ hm (x) − kn (x) , Z ¡ ¢ lim hm (x) − kn (x) dµ ≤ 0 n→∞

X

(ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ ìîíîòîííî óáûâàåò, òî ïðåäåë, êîíå÷íûé èëè ðàâíûé −∞, ñóùåñòâóåò). Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íàõîäèì, ÷òî

Z

Z hm (x)dµ ≤ lim

kn (x)dµ .

n→∞

X

X

Îòñþäà ïîñëå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïî m ïîëó÷àåì (1.50). Ïîëàãàÿ â ëåììå f (x) = g(x) (x ∈ X) è áåðÿ äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé, ìîíîòîííî íå óáûâàÿ ñõîäÿùèõñÿ ê f , áóäåì èìåòü ñ îäíîé ñòîðîíû Z Z lim hn (x)dµ ≤ lim kn (x)dµ , n→∞

n→∞

X

X

à ñ äðóãîé, ââèäó ïîëíîé ñèììåòðèè Z Z lim kn (x)dµ ≤ lim hn (x)dµ . n→∞

n→∞

X

X

Z

Z

Ñëåäîâàòåëüíî,

kn (x)dµ .

hn (x)dµ = lim

lim

n→∞

n→∞ X

X

Ýòèì óñòàíîâëåíà êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè. À èç êîððåêòíîñòè îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé èçìåðèìîé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèè èíòåãðàë ïî îïðåäåëåíèþ 1.36 ñîâïàäàåò ñ èíòåãðàëîì ïî îïðåäåëåíèþ 1.35. Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü hn (x) = h(x) äëÿ êàæäîãî n ∈ N.

72

Îãëàâëåíèå Ïðèñòóïèì ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ èçìå-

ðèìûõ ôóíêöèé. 1) Åñëè µX = 0, òî

Z f (x)dµ = 0 X

äëÿ ëþáîé íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè. Íà ìíîæåñòâå íóëåâîé ìåðû ëþáàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà, òàê êàê ìåðà µ ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîëíîé, ïîýòîìó âñå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà X èçìåðèìû. Äëÿ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé ñâîéñòâî î÷åâèäíî. Äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé îíî óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì. 2) Åñëè α ≥ 0, òî

Z

Z αf (x)dµ = α X

f (x)dµ , X

ïðè ýòîì, åñëè f ∈ L+ (X), òî è αf ∈ L+ (X). Åñëè f ≥ 0, òî è αf ≥ 0 (x ∈ X ). Åñëè hn % f , òî è αhn % αf (x ∈ X ), ïîýòîìó Z Z Z Z αf (x)dµ = lim αhn (x)dµ = α hn (x)dµ = α f (x)dµ . n→∞

X

X

X

X

Âòîðîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. 3) Åñëè f, g ∈ S + (X), òî Z Z Z ¡ ¢ f (x) + g(x) dµ = f (x)dµ + g(x)dµ , X

X

X

ïðè ýòîì, åñëè f, g ∈ L+ (X), òî è f + g ∈ L+ (X). Ïóñòü hn % f , kn % g (x ∈ X ). Òîãäà hn + kn % f + g íà X è Z Z ¡ ¢ ¡ ¢ f (x) + g(x) dµ = f (x) + g(x) dµ = lim n→∞

X

X

Z = lim

Z f (x)dµ + lim

n→∞

g(x)dµ =

n→∞

X

Z

X

Z f (x)dµ +

X

g(x)dµ . X

Âòîðîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíûì îáðàçîì âûòåêàåò èç äîêàçàííîãî ðàâåíñòâà.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

73

S 4) Åñëè X = X 0 · X 00 , ãäå X 0 , X 00 ∈ M, òî Z Z Z f (x)dµ = f (x)dµ + f (x)dµ . X0

X

X 00

Ïðè ýòîì, åñëè f ∈ L+ (X), òî f ∈ L+ (X 0 ), L+ (X 00 ), è íàîáîðîò. Åñëè hn % f íà X , òî hn % f êàê íà X 0 , òàê è íà X 00 . Íàîáîðîò, åñëè

h0n % f íà X 0 è h00n % f íà X 00 , òî, ïîëîæèâ hn (x) = h0n (x), åñëè x ∈ X 0 , è hn (x) = h00n (x), åñëè x ∈ X 00 , ïîëó÷èì: hn % f íà X . Äàëåå èñïîëüçóåì ñâîéñòâî 3 èíòåãðàëà îò ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé è ñîâåðøàåì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä. 5) Åñëè f (x) ≤ g(x) (x ∈ X), òî Z Z f (x)dµ ≤ g(x)dµ , X

X

â ÷àñòíîñòè, åñëè g ∈ L+ (X), òî è f ∈ L+ (X). Ýòî ñâîéñòâî ôàêòè÷åñêè åñòü ëåììà 1.8. 6) Åñëè f ∈ L+ (X), òî µX(f = +∞) = 0. Äðóãèìè ñëîâàìè, íåîòðè-

öàòåëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèÿ ïî÷òè âñþäó íà ìíîæåñòâå X ïðèíèìàåò êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà µX0 = µX(f = +∞) = a > 0. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé   n, x ∈ X , 0 hn (x) =  0, x ∈ X \ X . 0 Ïîñêîëüêó f (x) ≥ hn (x) (x ∈ X, n ∈ N), òî ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó Z Z f (x)dµ ≥ hn (x)dµ = n · a. X

X

Z Òàê êàê çäåñü a > 0, à n ∈ N  ëþáîå, òî êîíå÷íûì, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.

f (x)dµ íå ìîæåò áûòü X

7) (Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà) Åñëè f ∈ L+ (X), òî Z 1 µX(f ≥ c) ≤ f (x)dµ (c > 0) . c X

74

Îãëàâëåíèå Ïóñòü c > 0. Ïîëîæèì Xc = X(f ≥ c). Òîãäà

Z

Z f (x)dµ = X

Z

Z

f (x)dµ + Xc

f (x)dµ ≥

f (x)dµ ≥ c · µXc . Xc

X\Xc

Ðàçäåëèâ íà c, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. Z 8) Åñëè f ∈ S + (X) è f (x)dµ = 0, òî f (x) = 0 ïî÷òè âñþäó íà X . Xc

∞ [

1 Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî X(f > 0) = X(f ≥ ). Ïî íåðàâåíñòâó ×ån n=1 Z 1 áûøåâà µX(f ≥ ) ≤ n· f (x)dµ = 0. Òîãäà ïî ñâîéñòâó σ -ïîëóàääèòèân X

íîñòè ìåðû µX(f > 0) ≤

∞ X

1 ) = 0. n

µX(f ≥

n=1

9) Åñëè f ∼ g , òî

Z

Z f (x)dµ =

g(x)dµ ,

X

X

ñëåäîâàòåëüíî, åñëè îäíà èç ôóíêöèé èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå X , òî è äðóãàÿ òîæå. Ïóñòü X 0 = X(f 6= g), X 00 = X \ X 0 . Ïî óñëîâèþ µX 0 = 0, ïî ïîñòðîåíèþ f (x) = g(x), åñëè x ∈ X 00 . Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà 4 è 1, èìååì: Z Z Z Z Z Z f (x)dµ = f (x)dµ + f (x)dµ = g(x)dµ + g(x)dµ = g(x)dµ . X

X0

X 00

X0

Òåîðåìà 1.28 (Ëåâ
è) Åñëè f (x) =

∞ X

X 00

X

fk (x), ãäå fk (x) (k ∈ N) íåîòðè-

k=1

öàòåëüíû è èçìåðèìû íà X , òî Z ∞ Z X f (x)dµ = fk (x)dµ . X

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü sn (x) =

n X

fk (x). Òîãäà f (x) ≥ sn (x) äëÿ âñåõ

k=1

n ∈ N è x ∈ X è ïî ñâîéñòâàì 5 è 3 Z Z n Z X f (x)dµ ≥ sn (x)dµ = fk (x)dµ . X

(1.51)

k=1 X

X

k=1 X

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

75

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷èì Z ∞ Z X f (x)dµ ≥ fk (x)dµ .

(1.52)

k=1 X

X

Äîêàæåì òåïåðü ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé hk, j % fk ïðè j → ∞ è ëþáûõ x ∈ X è

k ∈ N. Ïîëîæèì kn (x) =

n X

hk, n (x) .

k=1

Ôóíêöèè kn , êàê ñóììû íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé ñóòü íåîòðèöàòåëüíûå èçìåðèìûå ñòóïåí÷àòûå ôóíêöèè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (kn )∞ n=1 íå óáûâàåò, ïîñêîëüêó

kn+1 (x) =

n+1 X

hk, n+1 (x) ≥

n X

k=1

hk, n (x) = kn (x) ,

k=1

ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (kn ) ñõîäèòñÿ íà X ê íåêîòîðîé ôóíêöèè g , î÷åâèäíî, íåîòðèöàòåëüíîé è èçìåðèìîé ïî òåîðåìå 1.22. Çàôèêñèðóåì n ∈ N è âîçüì¼ì ëþáîå p ∈ N. Òîãäà n X

hk, n+p (x) ≤

n+p X

hk, n+p (x) = kn+p (x) ≤

fk (x) ≤ f (x) .

k=1

k=1

k=1

n+p X

Óñòðåìèâ p ê ∞, ïîëó÷èì îòñþäà n X

sn (x) =

fk (x) ≤ g(x) ≤ f (x) .

k=1

Òàê êàê lim sn (x) = f (x), òî èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà çàêëþ÷àåì, n→∞

÷òî g(x) = f (x) (x ∈ X). Ñëåäîâàòåëüíî,

kn % f (x ∈ X) . Íî òîãäà

Z

Z

kn (x)dµ = lim

f (x)dµ = lim

n→∞

n→∞ X

X

≤ lim

Z X n

n→∞ X

X

fk (x)dµ = lim

k=1

n→∞

Îòñþäà è èç (1.52) ñëåäóåò (1.51). Òåîðåìà äîêàçàíà.

Z X n

n Z X k=1 X

hk, n (x)dµ ≤

k=1

fk (x)dµ =

∞ Z X k=1 X

fk (x)dµ .

76

Îãëàâëåíèå

Ñëåäñòâèå 1.3 Åñëè (fn )∞ n=1  ìîíîòîííî íå óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé è f (x) = lim fn (x) n→∞

(x ∈ X), òî

Z

Z f (x)dµ = lim X

(1.53)

fn (x)dµ .

n→∞ X

Äîêàçàòåëüñòâî Ââåä¼ì ôóíêöèè ϕ1 (x) = f1 (x), ϕk (x) = fk (x)−fk−1 (x) (k ≥ 2). Ôóíêöèè ϕk èçìåðèìû è íåîòðèöàòåëüíû íà X , f (x) = ïîýòîìó ïî òåîðåìå Ëåâè

Z f (x)dµ =

∞ Z X

ϕk (x)dµ = lim

n→∞

k=1 X

X

= lim

Z X n

n→∞ X

n Z X

∞ P

k=1

ϕk (x),

ϕk (x)dµ =

k=1 X

Z ϕk (x)dµ = lim

fn (x)dµ .

n→∞

k=1

X

Çàìå÷àíèå 1.4 Êàê â (1.51), òàê è â (1.53) îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà ìîãóò áûòü áåñêîíå÷íûìè.

Çàìå÷àíèå 1.5 ×àñòî ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Ëåâè íàçûâàþò òåîðåìîé Ëåâè è íàîáîðîò.

Òåîðåìà 1.29 (Ôàò
ó) Ïóñòü (fn )∞ n=1  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ íà X ôóíêöèé. Òîãäà Z Z lim fn (x)dµ ≤ lim fn (x)dµ . X

(1.54)

X

Äîêàçàòåëüñòâî Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.22 áûëà âûâåäåíà ôîðìóëà (1.41)

½ lim fk (x) = inf

k∈N

¾ sup {fl (x)} . l≥k

Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî (ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ôîðìóëà

½ lim fn (x) = sup n∈N

¾ inf {fk (x)} .

k≥n

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

77

Ïîëîæèì gn (x) = inf {fk (x)}. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (gn )∞ n=1 íå óáûâàåò, k≥n

ïîýòîìó ñóùåñòâóåò lim gn (x), ïðè÷¼ì n→∞

½ lim gn (x) = sup{gn (x)} = sup

n→∞

n∈N

n∈N

¾ inf {fk (x)} = lim fn (x) .

k≥n

Èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Ëåâè, ïîëó÷àåì:

Z

Z lim fn (x)dµ =

X

Z lim gn (x)dµ = lim

n→∞ X



(1.55)

X

∞

Z

Ðàññìîòðèì 

gn (x)dµ .

n→∞

fn (x)dµ

X

. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò (êîíå÷n=1

íûé èëè ðàâíûé = ∞) íèæíèé ïðåäåë, ïîýòîìó íàéä¼òñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ (nj )∞ j=1 òàêàÿ, ÷òî

Z

Z

lim

fn (x)dµ = lim

fnj (x)dµ .

j→∞

X

(1.56)

X

Ïðîäîëæèì (1.55), èñïîëüçóÿ (1.56).

Z

Z lim fn (x)dµ = lim

gn (x)dµ = lim

n→∞

X

Z

X

Z ≤ lim

X

Z fnj (x)dµ = lim

j→∞

gnj (x)dµ ≤

j→∞

X

fn (x)dµ . X

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 1.4 Ïóñòü (fn )∞ n=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ èçìåðèìûõ íà X ôóíêöèé, ñõîäÿùàÿñÿ ïî÷òè âñþäó íà X ê íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè f0 , è

Z fn (x)dµ ≤ C (n ∈ N) . X

Òîãäà è

Z f0 (x)dµ ≤ C . X

78

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî Ôóíêöèÿ lim fn ïî óñëîâèþ íåîòðèöàòåëüíà, ïî òåîðåìå 1.22  èçìåðèìà. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ ôóíêöèÿ f0 ýêâèâàëåíòíà ôóíêöèè lim fn , òî îíà ïî ëåììå 1.7 òîæå èçìåðèìà. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 9 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè è òåîðåìó Ôàòó, èìååì: Z Z Z f0 (x)dµ = lim fn (x)dµ ≤ fn (x)dµ ≤ C , X

X

X

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Çàìå÷àíèå 1.6  (1.54) âîçìîæíî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà îòðåçêå [0; 1] ñ ìåðîé Ëåáåãà ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé:   n, 0 ≤ x ≤ 1/n, fn (x) =  0, 1/n < x ≤ 1. Òîãäà

Z fn (x)dµ = n · X

1 1 + 0 · (1 − ) = 1 (n ∈ N) , n n

Z

ñëåäîâàòåëüíî, è lim

fn (x)dµ = 1. Íî òàê êàê X

  +∞, x = 0, f0 (x) = lim fn (x) =  0, 0 < x ≤ 1, Z Z òî f0 (x) ∼ g(x) ≡ 0, ïîýòîìó f0 (x)dµ = g(x)dµ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, X

Z

X

Z lim fn (x)dµ < lim

X

fn (x)dµ . X

Èíòåãðàë îò ïðîèçâîëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè Ïóñòü f  ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèÿ. Òîãäà (ñì. îïðåäåëåíèå 1.30) å¼ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

f (x) = f + (x) − f − (x) .

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

79

Ôóíêöèè f + è f − íåîòðèöàòåëüíû è ïî ñâîéñòâó 7 èçìåðèìûõ ôóíêöèé èçìåðèìû íà ìíîæåñòâå X .

Îïðåäåëåíèå 1.37 Èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f ïî ìíîæåñòâó X è ìåðå µ íàçîâ¼ì âûðàæåíèå Z Z Z + f (x)dµ = f (x)dµ − f − (x)dµ . X

X

(1.57)

X

Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî èíòåãðàë îïðåäåë¼í íå âñåãäà. Âîçìîæíû ÷åòûðå ñëó÷àÿ. Z Z + 1) Èíòåãðàëû f (x)dµ è f − (x)dµ îáà ïðèíèìàþò êîíå÷íûå çíà-

Z

X

X

÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå

Z

ýòîì ñëó÷àå

Z

X +

2) Èíòåãðàë

Z

f (x)dµ òîæå ïðèíèìàåò êîíå÷íîå çíà÷åíèå.

X

X

f (x)dµ = +∞. Z

X

3) Íàîáîðîò, èíòåãðàë

Z +

Z

X

Z

X +

4) Èíòåãðàëû

f − (x)dµ áåñ-

f (x)dµ êîíå÷åí, à èíòåãðàë

ZX êîíå÷åí.  ýòîì ñëó÷àå f (x)dµ = −∞.

Z

f − (x)dµ êîíå÷åí. Â

f (x)dµ áåñêîíå÷åí, à èíòåãðàë

f − (x)dµ îáà áåñêîíå÷íû.  ýòîì ñëó÷àå

f (x)dµ è X

X

f (x)dµ íå ñóùåñòâóåò. X

Îïðåäåëåíèå 1.38 Íàçîâåì ôóíêöèþ fZ èíòåãðèðóåìîé èëè ñóììèðóåìîé íà ìíîæåñòâå X ïî ìåðå µ, åñëè

f (x)dµ êîíå÷åí. X

Ìíîæåñòâî âñåõ èíòåãðèðóåìûõ íà X ïî ìåðå µ ôóíêöèé îáîçíà÷èì ñèìâîëîì L(X, M, µ) èëè, êîðî÷å, L(X). Î÷åâèäíî, L+ (X) ⊂ L(X). Èçó÷èì ñâîéñòâà èíòåãðàëà. 1) Åñëè µX = 0, òî

Z f (x)dµ = 0 X

80

Îãëàâëåíèå

äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f . Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò èç àíàëîãè÷íîãî ñâîéñòâà èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé. 2) Ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà X òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íà X

èíòåãðèðóåìà ôóíêöèÿ |f |. Ïðè ýòîì ¯ ¯ ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f (x)dµ¯ ≤ |f (x)|dµ . ¯ ¯ ¯ ¯ X

(1.58)

X

Z

Z +

Åñëè f ∈ L(X), òî ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëû

f − (x)dµ

f (x)dµ è X

X

îáà êîíå÷íû. Òàê êàê |f | = f + + f − , òî ïî ñâîéñòâó 3 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè

Z

Z |f (x)|dµ =

X

Z +

f − (x)dµ < +∞ ,

f (x)dµ + X

X

ñëåäîâàòåëüíî, |f | ∈ L+ (X).

Z

+

Íàîáîðîò, åñëè |f | ∈ L (X), òî

|f (x)|dµ < +∞. Íî òîãäà ïî ñâîéX

ñòâó 5 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé

Z

Z +

f (x)dµ ≤ X

Z

Z −

|f (x)|dµ < +∞ ,

f (x)dµ ≤

X

X

|f (x)|dµ < +∞ , X

ñëåäîâàòåëüíî, f èíòåãðèðóåìà íà X . Íåðàâåíñòâî (1.58) ñëåäóåò Z Z èç òîãî, ÷òî f (x)dµ åñòü ðàçíîñòü äâóõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, à |f (x)|dµ X

X

 èõ ñóììà.

3) Åñëè f ∼ g è èíòåãðàë îò f ñóùåñòâóåò, òî ñóùåñòâóåò è èí-

òåãðàë îò g è

Z

Z g(x)dµ =

X

f (x)dµ . X

+

+

Åñëè f ∼ g , òî, î÷åâèäíî, f ∼ g , f − ∼ g − . Îñòà¼òñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåíèåì èíòåãðàëà è ñâîéñòâîì 9 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé.

Ñëåäñòâèå 1.5 Åñëè f ∈ L(X), g ∼ f , òî g ∈ L(X).

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

81

4) Åñëè f ∈ L(X), òî µX(f = ±∞) = 0. Åñëè f ∈ L(X), òî f + , f − ∈ L+ (X), ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó 8 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé µX(f + = +∞) = 0, µX(f − = +∞) = 0. S Íî òîãäà µX(f = ±∞) = µ (X(f + = +∞) · X(f − = +∞)) = 0 â ñèëó àääèòèâíîñòè ìåðû. Z S 00 0 0 00 5) Åñëè X = X · X (X , X ∈ S(X)) è èíòåãðàë f (x)dµ ñóùå-

Z

Z f (x)dµ,

ñòâóåò, òî ñóùåñòâóþò è èíòåãðàëû

Z

Z

Åñëè ñóùåñòâóåò

Z

Z +

Z

X 00

f (x)dµ, òî êîíå÷åí õîòÿ áû îäèí èç èíòåãðàëîâ

f (x)dµ, íàïðèìåð, ïåðâûé. Íî òîãäà êîíå÷íû è èíòåãðàX

Z f + (x)dµ, ïîýòîìó îáà èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåí-

f (x)dµ, X0

(1.59)

f (x)dµ .

X

+

ëû

f (x)dµ è X 00

−

f (x)dµ, X

X0

Z

Z

f (x)dµ +

f (x)dµ = X

X0

X

X 00

ñòâà (1.59) ñóùåñòâóþò. Ñàìî ðàâåíñòâî (1.59) òåïåðü ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà è ñâîéñòâà 4 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé.

Çàìå÷àíèå 1.7 Ñóùåñòâîâàíèå êàæäîãî èç èíòåãðàëîâZâ ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.59) íå âëå÷åò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèÿ

f (x)dµ. X

  +∞, x ∈ X 0 , Ïðèìåð 1.20 Ïóñòü f (x) = (µX 0 , µX 00 > 0). Òîãäà  −∞, x ∈ X 00 , Z Z Z f (x)dµ = +∞, f (x)dµ = −∞, à f (x)dµ, êàê íåòðóäíî çàìåòèòü, X0

íå ñóùåñòâóåò.

X 00

X

S

Ñëåäñòâèå 1.6 Åñëè f ∈ L(X) (X = X 0 · X 00 ), òî f ∈ L(X 0 ), L(X 00 ). Íàîáîðîò, åñëè f ∈ L(X 0 ) è f ∈ L(X 00 ), òî f ∈ L(X).  îáîèõ ñëó÷àÿõ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.59).  ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ëåãêî óáåäèòüñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâî 4 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé è îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà.

82

Îãëàâëåíèå

Z

Z

6) Åñëè ñóùåñòâóåò

f (x)dµ è α ∈ R, òî ñóùåñòâóåò è X

ïðè÷¼ì

X

Z

Z αf (x)dµ = α

Z Åñëè ñóùåñòâóåò

Z

αf (x)dµ,

X

f (x)dµ . X

f (x)dµ, òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà X

Z

Z +

f (x)dµ = X

f − (x)dµ

f (x)dµ − X

X

îäèí èç èíòåãðàëîâ êîíå÷åí, íàïðèìåð, ïåðâûé. Ïîñêîëüêó   αf + (x) − αf − (x), α ≥ 0, αf (x) =  |α|f − (x) − |α|f + (x), α < 0, òî, ïî îïðåäåëåíèþ,

     

Z αf (x)dµ = X

    

Z

Z +

αf − (x)dµ, α ≥ 0,

αf (x)dµ − Z

ZX

X −

|α|f + (x)dµ, α < 0.

|α|f (x)dµ − X

X

Ïî ñâîéñòâó 2 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà êîíå÷åí èíòåãðàë, ñîäåðæàùèé f + (x), ïîýòîìó èíòåãðàë ñëåâà ñóùåñòâóåò. Ïî òîìó æå ñâîéñòâó  Z Z  +  α f (x)dµ − α f − (x)dµ, α ≥ 0,   Z  X ZX Z = αf (x)dµ =  − +  |α| f (x)dµ − |α| f (x)dµ, α < 0.  X  



X

X

Z

= α



Z −

f (x)dµ −

X

Z

f (x)dµ = α

+

X

f (x)dµ . X

Ñëåäñòâèå 1.7 Åñëè f ∈ L(X), òî αf ∈ L(X) (α ∈ R). Z

7) Åñëè ñóùåñòâóþò èíòåãðàëû

Z îäèí èç íèõ êîíå÷åí, òî

Z X

¡

f (x)dµ è X

f (x)dµ è õîòÿ áû X

¢ f (x) + g(x) dµ ñóùåñòâóåò è

X

¡

Z

¢ f (x) + g(x) dµ =

Z

Z f (x)dµ +

X

g(x)dµ . X

(1.60)

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

83

Z Ïóñòü êîíå÷åí

Z

Z +

f (x)dµ. Òîãäà êîíå÷íû Z

Z

X

+

òàêæå îäèí èç èíòåãðàëîâ

X

X

−

g (x)dµ èëè X

f − (x)dµ, à

f (x)dµ è

g (x)dµ, íàïðèìåð, ïåðâûé. X

Ïî ñâîéñòâó 4 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé èíòåãðàëû îò óêàçàííûõ ôóíêöèé ïî ëþáîìó èçìåðèìîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà

X Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî îäèí èç èíòåãðàëîâ Z áóäóò òàêæå êîíå÷íû. Z £ ¤+ £ ¤− f (x) + g(x) dµ, f (x) + g(x) dµ êîíå÷åí, à çàòåì óñòàíîâèòü ðàX

X

âåíñòâî (1.60).

Ðàçîáü¼ì ìíîæåñòâî X íà øåñòü ïîäìíîæåñòâ:

X1 = X(f ≥ 0, g ≥ 0) , X4 = X(f < 0, g < 0) , X2 = X(f ≥ 0, g < 0, f + g ≥ 0) , X5 = X(f ≥ 0, g < 0, f + g < 0) , X3 = X(f < 0, g ≥ 0, f + g ≥ 0) , X6 = X(f < 0, g ≥ 0, f + g < 0) . 6 S Î÷åâèäíî, ÷òî X = · Xi , è ÷òî i=1

(f + g)+ (x) =

 3 S    f (x) + g(x), x ∈ · Xi , i=1 6 S

   0,

x ∈ · Xi , i=4

(f + g)− (x) =

    0,

3 S x ∈ · Xi , i=1

6 S    −[f (x) + g(x)], x ∈ · Xi . i=4

Íà ìíîæåñòâå X1 ôóíêöèè f è g íåîòðèöàòåëüíû, ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó 3 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé

Z

¡

¢ f (x) + g(x) dµ =

X1

Z

Z f (x)dµ +

X1

(1.61)

g(x)dµ , X1

ïðè÷¼ì âñå èíòåãðàëû, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, êîíå÷íû. Z Íà ìíîæåñòâå X2 −g(x) ≤ f (x), f (x)dµ, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, êî-

Z íå÷åí, ïîýòîìó êîíå÷åí è X2

X2

¡ ¢ −g(x) dµ, èëè, ïî ñâîéñòâó 6,

Z g(x)dµ. X2

84

Îãëàâëåíèå

¡ ¢ ¡ ¢ Äàëåå, â ðàâåíñòâå f (x) = f (x) + g(x) + −g(x) îáå ôóíêöèè ñïðàâà íåîòðèöàòåëüíû, ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó 3 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé è ñâîéñòâó 6

Z

Z

¡

f (x)dµ = X2

èëè

Z

¢ f (x) + g(x) dµ −

X2

¡

Z g(x)dµ X2

¢ f (x) + g(x) dµ =

X2

Z

Z

g(x)dµ ,

f (x)dµ +

(1.62)

X2

X2

ïðè÷¼ì âñå èíòåãðàëû â ýòîì ðàâåíñòâå êîíå÷íû. ¡ ¢ ¡ ¢ Íà ìíîæåñòâå X3 g(x) = f (x) + g(x) + −f (x) , ïîýòîìó, êàê è âûøå,

Z

Z

¡

g(x)dµ = X3

èëè

Z

¢ f (x) + g(x) dµ −

X3

¡

Z f (x)dµ X3

¢ f (x) + g(x) dµ =

X3

Z

Z f (x)dµ +

X3

g(x)dµ ,

(1.63)

X3

è ñíîâà âñå èíòåãðàëû â ðàâåíñòâå (1.63), ïî ïðåäïîëîæåíèþ, êîíå÷íû. Òîãäà, ïî ñâîéñòâó 4 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé,

Z

¡ ¢+ f (x) + g(x) dµ =

X

Z =

¡

¢+ f (x) + g(x) dµ +

Z 0 · dµ =

¢ f (x) + g(x) dµ ,

(1.64)

i=1 X

6 S · Xi

3 S · Xi

3 Z X ¡

i

i=4

i=1

ïðè÷¼ì, êàê ñëåäóåò èç âûøå ñêàçàííîãî, ýòîò èíòåãðàë êîíå÷åí. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Íà ìíîæåñòâå X4 − f (x) + g(x) = −f (x) + −g(x) , ïîýòîìó ïî òåì æå ñâîéñòâàì 3 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé è 6

Z

¡

¢ f (x) + g(x) dµ =

X4

Z

Z f (x)dµ +

X4

Z Ïî ïðåäïîëîæåíèþ,

(1.65)

X4

Z f (x)dµ êîíå÷åí,

X4

g(x)dµ .

g(x)dµ ìîæåò áûòü ðàâåí −∞, X4

ïîýòîìó è èíòåãðàë ñëåâà èëè êîíå÷åí, èëè ðàâåí −∞.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

85

Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, äëÿ ìíîæåñòâ X5 , X6 òîæå ïîëó÷èì ðàâåíñòâà

Z

¡

¢ f (x) + g(x) dµ =

X5

Z

Z

Z f (x)dµ +

X5

¡

¢ f (x) + g(x) dµ =

X6

g(x)dµ ,

(1.66)

g(x)dµ ,

(1.67)

X5

Z

Z

f (x)dµ + X6

X6

ïðè÷¼ì èíòåãðàë ñëåâà â (1.66) ìîæåò áûòü ðàâåí −∞, à â (1.67), ïî ñäåëàííûì ïðåäïîëîæåíèÿì, êîíå÷åí. Òîãäà ïî ñâîéñòâàì 4 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé è 6

Z

¡ ¢− f (x) + g(x) dµ =

X

Z =

Z ³ 6 Z X ¡ ¢´ ¡ ¢ 0 · dµ + − f (x) + g(x) dµ = − f (x) + g(x) dµ , (1.68)

3 S · Xi

i=4 X

6 S · Xi

i=1

i

i=4

ïðè ýòîì â ñèëó ñêàçàííîãî âûøå èíòåãðàë ñëåâà èëè êîíå÷åí, èëè ðàâåí

+∞.

Z

Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâîâàíèå

¡

¢ f (x)+g(x) dµ äîêàçàíî. Ïðèìåíÿÿ

X

ñâîéñòâî 5, ïîëó÷àåì èç ðàâåíñòâ (1.61)  (1.68)

Z

¡

¢ f (x) + g(x) dµ =

X

Z

Z +

(f + g)− (x)dµ =

(f + g) (x)dµ − X

X

  Z Z 6 Z 6 X X ¡ ¢  f (x)dµ + g(x)dµ = = f (x) + g(x) dµ = i=1 X

i=1

i

Z =

Xi

Z f (x)dµ +

X

Xi

g(x)dµ . X

Îñòàëüíûå âîçìîæíûå ñèòóàöèè ðàññìàòðèâàþòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî. Ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëÿì ðàññìîòðåòü èõ ñàìîñòîÿòåëüíî.

Çàìå÷àíèå 1.8  óñëîâèÿõ ñâîéñòâà 7 ìû ìîæåì ñòîëêíóòüñÿ ñ ñèòóàöèåé, êîãäà â íåêîòîðûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà X ñóììà f (x) + g(x) íå îïðåäåëåíà (íàïðèìåð f (x) = +∞, à g(x) = −∞). Íî â ñèëó ñâîéñòâà

86

Îãëàâëåíèå

4 ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê èìååò ìåðó íóëü (íàïðèìåð, ïðè ñäåëàííûõ ïðè äîêàçàòåëüñòâå ïðåäïîëîæåíèÿõ µX(f = ±∞) = 0), ïîýòîìó, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì 3, ìîæíî òó ôóíêöèþ, èíòåãðàë îò êîòîðîé êîíå÷åí, çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíîé åé âñþäó êîíå÷íîé ôóíêöèåé, îñòàâèâ äëÿ íå¼ ïðåæíåå îáîçíà÷åíèå. Òåïåðü ñóììà îïðåäåëåíà âñþäó íà X , à çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ îñòàëèñü ïðåæíèìè.

Ñëåäñòâèå 1.8 Åñëè f, g ∈ L(X), òî f + g ∈ L(X). 8) Åñëè f (x) ≤ g(x) ïî÷òè âñþäó íà X , òî Z Z f (x)dµ ≤ g(x)dµ , X

X

åñëè îáà èíòåãðàëà ñóùåñòâóþò. Ïåðåîïðåäåëèâ îäíó èëè îáå ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå íóëåâîé ìåðû, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî f (x) ≤ g(x) âñþäó íà X . Íà ñóùåñòâîâàíèè è âåëè÷èíå èíòåãðàëîâ, êàê ñëåäóåò èç ñâîéñòâà 3, ýòî íå îòðàçèòñÿ. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî

f + (x) ≤ g + (x), f − (x) ≥ g − (x) (x ∈ X). Ïî ñâîéñòâó 5 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé Z Z Z Z + + − f (x)dµ ≤ g (x)dµ, f (x)dµ ≥ g − (x)dµ . X

X

X

X

Âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî íåðàâåíñòâà âòîðîå, ïîëó÷èì òðåáóåìîå. 9) Åñëè |f (x)| ≤ g(x) ïî÷òè âñþäó íà X è g ∈ L(X), òî è f ∈ L(X).

Ïðè ýòîì

¯ ¯ ¯ Z ¯Z ¯ ¯ ¯ f (x)dµ¯ ≤ g(x)dµ . ¯ ¯ ¯ ¯ X

X

Ïåðåîïðåäåëèâ, åñëè íóæíî, ôóíêöèþ f íà ìíîæåñòâå ìåðû íóëü, ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî |f (x)| ≤ g(x) âûïîëíÿåòñÿ âñþäó íà X . Îñòàëîñü ïðèìåíèòü ñâîéñòâî 5 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé è ñâîéñòâî 2.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

87

Ñëåäñòâèå 1.9 Îãðàíè÷åííàÿ ïî÷òè âñþäó è èçìåðèìàÿ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà X . Ïðè ýòîì, åñëè m ≤ f (x) ≤ M ïî÷òè âñþäó íà X , òî

Z

m · µX ≤

f (x)dµ ≤ M · µX . X

Èíòåãðèðóåìîñòü f ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî |f (x)| ≤ max{|m|, |M |} = c, à ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ h(x) = (X, c), áåçóñëîâíî, èíòåãðèðóåìà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ñòóïåí÷àòûå ôóíêöèè:

h1 (x) = (X, m) è h2 (x) = (X, M ). Òîãäà h1 (x) ≤ f (x) ≤ h2 (x) ïî÷òè âñþäó íà X , è òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî âûòåêàåò èç äîêàçàííîãî ñâîéñòâà. 10) (Àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü èíòåãðàëà.) Åñëè f ∈ L(X), òî äëÿ

ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ f (x)dµ¯ < ε ¯ ¯ ¯ ¯ Xδ

ïî ëþáîìó èçìåðèìîìó ïîäìíîæåñòâó Xδ ⊂ X , òàêîìó, ÷òî µXδ < δ .  ñèëó ñâîéñòâà 2 äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè. Èòàê, ïóñòü f ∈ L+ (X). Çàôèêñèðóåì

ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè íàéä¼òñÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ h òàêàÿ, ÷òî Z Z Z ¡ ¢ ε f (x)dµ − h(x)dµ = f (x) − h(x) dµ < . 2 X

X

X

Ïóñòü h(x) = (Xk , ck )m k=1 è M = max{ck : k = 1, 2, . . . , m}. Ïîëîæèì

δ = ε/2M è âîçüì¼ì ëþáîå Xδ ⊂ X òàêîå, ÷òî µXδ < δ . Òîãäà, ïîëàãàÿ hδ (x) = M (x ∈ Xδ ), èìååì: h(x) ≤ hδ (x) (x ∈ Xδ ) è ïî ñâîéñòâó 4 èíòåãðàëà îò ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé Z Z ε ε h(x)dµ ≤ hδ (x)dµ = M · µXδ < M · δ = M · = . 2M 2 Xδ

Xδ

Íî òîãäà Z Z Z Z Z ¡ ¢ f (x)dµ = f (x)dµ − h(x)dµ + h(x)dµ = f (x) − h(x) dµ+ Xδ

Xδ

Xδ

Xδ

Xδ

88

Îãëàâëåíèå

Z

Z

+

h(x)dµ ≤

Xδ

Z

¡ ¢ f (x) − h(x) dµ +

X

h(x)dµ <

ε ε + = ε. 2 2

Xδ

Ñâîéñòâî äîêàçàíî. 11) (Ïîëíàÿ àääèòèâíîñòü èíòåãðàëà.) Ïóñòü f ∈ L(X) è ìíîæåñòâî ∞ S X ïðåäñòàâëåíî â âèäå X = · Xk , ãäå âñå ìíîæåñòâà Xk èçìåðèìû. k=1

Òîãäà

Z f (x)dµ =

∞ Z X

f (x)dµ .

k=1 X

X

k

+

Ïóñòü ñíà÷àëà f ∈ L (X). Ïîëîæèì   f (x), x ∈ X , k fk (x) =  0, x ∈ X \ Xk . Âñå ôóíêöèè fk íåîòðèöàòåëüíû, ïî ñâîéñòâó 9 èçìåðèìûõ ôóíêöèé, èçìåðèìû è

f (x) =

∞ X

fk (x) (x ∈ X) .

k=1

 òàêîì ñëó÷àå, ïî òåîðåìå Ëåâè,

Z f (x)dµ =

∞ Z X

fk (x)dµ =

∞ Z X k=1 X

k=1 X

X

f (x)dµ .

k

Åñëè òåïåðü f  ïðîèçâîëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ íà X ôóíêöèÿ, òî

f = f + − f − . Ôóíêöèè f + è f − èíòåãðèðóåìû è íåîòðèöàòåëüíû íà X , ïîýòîìó Z +

f (x)dµ =

∞ Z X

Z +

f (x)dµ ,

k=1 X

X

−

f (x)dµ =

f − (x)dµ .

k=1 X

X

k

∞ Z X

k

Òàê êàê îáà ðÿäà, ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ, ñõîäÿòñÿ, òî, âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà âòîðîå, èìååì: Z Z Z + f (x)dµ = f (x)dµ − f − (x)dµ = X

=

∞ X k=1

X



Z

 Xk

X



Z

f (x)dµ =

+

−

f (x)dµ − Xk

∞ Z X k=1 X

k

f (x)dµ .

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

89

Òåîðåìà 1.30 (Ëåáåã) Ïóñòü (fn )∞ n=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðèðóåìûõ íà X ôóíêöèé, ñõîäÿùàÿñÿ ïî÷òè âñþäó íà X ê ôóíêöèè f0 . Åñëè ïî÷òè âñþäó íà X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî fn (x) ≤ g(x) (n ∈ N), ãäå g  èíòåãðèðóåìàÿ íà X ôóíêöèÿ, òî f0 òîæå èíòåãðèðóåìà íà X è

Z

Z f0 (x)dµ = lim

fn (x)dµ .

n→∞

X

(1.69)

X

Äîêàçàòåëüñòâî Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî |f0 (x)| ≤ g(x) ïî÷òè âñþäó íà X , ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó 9 ôóíêöèÿ f0 èíòåãðèðóåìà íà X . Ïåðåîïðåäåëèâ, åñëè íóæíî, ôóíêöèè fn è f0 íà ìíîæåñòâå íóëåâîé ìåðû (íà çíà÷åíèÿõ èíòåãðàëîâ ýòî íå îòðàçèòñÿ) ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) → f0 (x) âñþäó íà X è íåðàâåíñòâî |fn (x)| ≤ g(x) âûïîëíÿåòñÿ òîæå âñþäó íà X . Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (g(x) + fn (x))∞ n=1 . Òàê êàê ôóíêöèè ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîòðèöàòåëüíû, òî ê íåé ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó Ôàòó, ñîãëàñíî êîòîðîé Z Z ¡ ¢ ¡ ¢ g(x) + fn (x) dµ . lim g(x) + fn (x) dµ ≤ lim

(1.70)

X

X

Íî òàê êàê fn (x) → f0 (x), òî

¡ ¢ ¡ ¢ lim g(x) + fn (x) = lim g(x) + fn (x) = g(x) + lim fn (x) = g(x) + f0 (x) , ïîýòîìó ëåâóþ ÷àñòü (1.70) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: Z Z g(x)dµ + f0 (x)dµ . X

X

Ïðàâîé æå ÷àñòè (1.70) ìîæíî ïðèäàòü âèä Z Z g(x)dµ + lim fn (x)dµ . X

X

Ó÷èòûâàÿ ýòî, èç (1.70) ïîëó÷àåì: Z Z f0 (x)dµ ≤ lim fn (x)dµ . X

X

(1.71)

90

Îãëàâëåíèå

¡ ¢∞ Ðàññìîòðåâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü g(x) − fn (x) n=1 è ðàññóæäàÿ òî÷íî òàê æå, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî



Z

f0 (x)dµ ≤ lim −

− X

èëè



Z

fn (x)dµ , X

Z

Z f0 (x)dµ ≥ lim

X

fn (x)dµ .

(1.72)

X

Ñðàâíåíèå (1.71) è (1.72) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î ñóùåñòâîâàíèè Z lim fn (x)dµ è ðàâåíñòâå (1.69).

n→∞

X

Ñðàâíåíèå èíòåãðàëîâ Ðèìàíà è Ëåáåãà Ñðàâíåíèå èíòåãðàëîâ Ðèìàíà è Ëåáåãà ìîæíî ïðîâåñòè ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà îïðåäåëåíû îáà èíòåãðàëà, òî-åñòü, åñëè X  êóáèðóåìîå ìíîæåñòâî â Rn è µ  ìåðà Ëåáåãà. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì

x = [a; b]. Åñëè èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ìåðå Ëåáåãà, òî âìåñòî Z Zb îáîçíà÷åíèÿ f (x)dµ ïðèíÿòî ïèñàòü (L) f (x)dx, îïóñêàÿ çíàê (L), a

[a; b]

åñëè èç êîíòåêñòà ÿñíî, ÷òî ðå÷ü èä¼ò îá èíòåãðàëå Ëåáåãà. ×òîáû îòëè÷èòü ðèìàíîâñêèé èíòåãðàë îò ëåáåãîâñêîãî, åãî îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì Zb (R) f (x)dx. a

Ïðè îïðåäåëåíèè èíòåãðàëà ïî Ðèìàíó ðàçáèâàåòñÿ íà ÷àñòè îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ, â êàæäîé ÷àñòè âûáèðàåòñÿ ïî òî÷êå è ñîñòàâëÿåòñÿ èín X f (ξk )∆xk . Ñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà, òî-åñòü, òåãðàëüíàÿ ñóììà σ = k=1

ñõîäèìîñòü èíòåãðàëüíûõ ñóìì, îáåñïå÷èâàåòñÿ òîãäà, êîãäà ïðîèçâîë â âûáîðå òî÷åê ξk ìàëî âëèÿåò íà âåëè÷èíó èíòåãðàëüíîé ñóììû, òî-åñòü, êîãäà ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ "íå ñëèøêîì ðàçðûâíà". Ïîäõîä Ëåáåãà ê îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà áûë ïðèíöèïèàëüíî èíûì. Èçëîæèì åãî âêðàòöå. Ïóñòü f  îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ ïî ìåðå Ëåáåãà íà îòðåçêå [a; b] © ª © ª ôóíêöèÿ, m = inf f (x) : x ∈ [a; b] , M = sup f (x) : x ∈ [a; b] . Ðàçîáü¼ì

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

91

îòðåçîê [m; M ] íà ÷àñòè òî÷êàìè m = y0 < y1 < y2 < . . . < yn = M , ª © ïîëîæèì Xk = x ∈ [a; b] : yk−1 ≤ f (x) < yk (k = 1, 2, . . . , n − 1) è ª © Xn = x ∈ [a; b] : yn−1 ≤ f (x) ≤ yn , âûáåðåì ξk ∈ Xk è ñîñòàâèì n X èíòåãðàëüíóþ ñóììó σ = f (ξk )µXk . k=1

Äàëåå ââîäÿòñÿ íèæíèå èíòåãðàëüíûå ñóììû s = âåðõíèå S =

n X

n X

yk−1 · µXk è

k=1

yk · µXk , èçó÷àþòñÿ èõ ñâîéñòâà, àíàëîãè÷íûå ñâîé-

k=1

ñòâàì íèæíèõ è âåðõíèõ ñóìì Äàðáó, è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé èçìåðèìîé ïî ìåðå Ëåáåãà íà îòðåçêå [a; b] ôóíêöèè ïðè íåîãðàíè÷åííîì èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [m; M ]

Zb lim s = lim S = (L)

f (x)dx . a

Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ îêàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé. Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ëåáåãà, äàííîå íàìè äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè åñòü îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà êàê ïðåäåëà íèæíèõ èíòåãðàëüíûõ ñóìì. Êàê âèäíî èç èçëîæåííîãî, ïðè ëåáåãîâñêîì ïîäõîäå ê ïîñòðîåíèþ èíòåãðàëà ðàçáèåíèå íà ÷àñòè îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïðèçíàêó áëèçîñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè, à íå àðãóìåíòà, ÷òî è ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèòü êëàññ èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé. Òàê, íàïðèìåð, ôóíêöèÿ Äèðèõëå

  1, x ∈ Q T[a; b], D(x) =  0, x ∈ [a; b] \ Q,

ïî Ðèìàíó íå èíòåãðèðóåìà (ïðèìåð ?). Ñ ëåáåãîâñêîé æå òî÷êè çðåíèÿ T ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñòóïåí÷àòîé: D(x) = (X0 , 1; X1 , 0), X0 = Q [a; b],

X1 = [a; b] \ Q, è ïîýòîìó Zb (L)

D(x)dx = 1 · µX0 + 0 · µX1 = 1 · 0 + 0 · 1 = 0. a

92

Îãëàâëåíèå Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî êëàññ ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ

ïî Ëåáåãó, âêëþ÷àåò â ñåáÿ êëàññ ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó.

Òåîðåìà 1.31 Åñëè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b] ïî Ðèìàíó, òî îíà èíòåãðèðóåìà íà [a; b] è ïî Ëåáåãó è

Zb (L)

Zb f (x)dx = (R)

a

f (x)dx . a

Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b  ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà [a; b],

© ª © ª mi = inf f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ] , Mi = sup f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ] , s=

n P i=1

mi ∆xi  íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó, S =

n P i=1

Mi ∆xi  âåðõíÿÿ ñóììà

Äàðáó. Èíòåãðèðóåìîñòü ïî Ðèìàíó îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íåîãðàíè÷åííîì èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ

Zb lim s = lim S = (R)

f (x)dx . a

Ïîñòðîèì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé:

hn (x) = mi , x ∈ (xi−1 , xi ) , n ∈ N , kn (x) = Mi , x ∈ (xi−1 , xi ) , n ∈ N .  òî÷êàõ äåëåíèÿ ýòè ôóíêöèè ìîæíî îïðåäåëèòü êàê óãîäíî (äëÿ êàæäîãî n èõ áóäåò êîíå÷íîå ÷èñëî, äëÿ âñåõ n ∈ N  ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, òî-åñòü, ìíîæåñòâî íóëåâîé ìåðû). Ôóíêöèè hn è kn èçìåðèìû, ïðè èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ, òî-åñòü, ïðè äîáàâëåíèè ê óæå èìåþùèìñÿ òî÷êàì ðàçáèåíèÿ íîâûõ òî÷åê, ôóíêöèè

hn ìîãóò òîëüêî âîçðàñòàòü, à ôóíêöèè kn  òîëüêî óáûâàòü (ïî÷òè âñþäó), ïîýòîìó ïî÷òè âñþäó íà [a; b] ñóùåñòâóþò ïðåäåëû

g1 (x) = lim hn (x) , g2 (x) = lim kn (x) , n→∞

n→∞

ïðè÷¼ì ïî òåîðåìå 1.23 ôóíêöèè g1 è g2 èçìåðèìû.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

93

Òàê êàê ïî÷òè âñþäó íà [a; b]

hn (x) ≤ f (x) ≤ kn (x) , òî â ïðåäåëå ïî÷òè âñþäó íà [a; b] (1.73)

g1 (x) ≤ f (x) ≤ g2 (x) .

Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (kn − hn )∞ n=1 . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó íà [a; b] ê ôóíêöèè g2 − g1 è ìàæîðèðóåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé k1 − h1 , ïîýòîìó ê íåé ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà òåîðåìà Ëåáåãà. Ïî òåîðåìå Ëåáåãà

Zb (L)

¡

¢ g2 (x) − g1 (x) dx = lim

Zb

n→∞

a

Zb kn (x)dx − lim

n→∞

¢ kn (x) − hn (x) dx =

a

Zb = lim

¡

hn (x)dx = lim Sn − lim sn = 0 .

n→∞

a

n→∞

n→∞

a

Ïîñêîëüêó g2 (x) − g1 (x) ≥ 0 ïî÷òè âñþäó íà [a; b], òî îòñþäà ñëåäóåò (ñâîéñòâî 8 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé), g2 (x) − g1 (x) = 0 ïî÷òè âñþäó íà [a; b]. Íî òîãäà èç (1.73) ñëåäóåò, ÷òî f ∼ g1 , òî-åñòü, f èçìåðèìà. Êàê èçìåðèìàÿ è îãðàíè÷åííàÿ, ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó. Ïîñêîëüêó hn % f , òî ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû Ëåâè

Zb (L)

¡

¢ g2 (x) − g1 (x) dx = lim

Zb hn (x)dx =

n→∞

a

a

Zb = lim sn = (R) n→∞

¡ ¢ g2 (x) − g1 (x) dx .

a

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Çàìå÷àíèå 1.9  ñëåäñòâèè èç òåîðåìû Ëåâè òðåáóåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü ôóíêöèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn % f . Ýòî îãðàíè÷åíèå ëåãêî ñíÿòü, èáî åñëè (fn )  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òàêàÿ ÷òî

fn % f , òî fn − f1 % f − f1 , è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn − f1 ) ñîñòîèò èç íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé.

94

Îãëàâëåíèå

1.5 Ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé Ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ îäíèìè èç âàæíåéøèõ â àíàëèçå êëàññàìè ìåòðè÷åñêèõ è ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ.  ýòîì ðàçäåëå ìû ââåä¼ì ýòè ïðîñòðàíñòâà è èçó÷èì èõ ãëàâíûå ñâîéñòâà, ïðåæäå âñåãî, äîêàæåì èõ ïîëíîòó. Íî ïðåäâàðèòåëüíî âûâåäåì äâà íåîáõîäèìûõ íàì íåðàâåíñòâà.

1.6 Íåðàâåíñòâà üëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî Íà ïëîñêîñòè (ξ, η) ðàññìîòðèì êðèâóþ η = ξ p−1 (ξ ≥ 0, p > 1). Ñâÿæåì ñ ÷èñëîì p åù¼ îäíî ÷èñëî q ñîîòíîøåíèåì

1 1 + = 1. p q

(1.74)

×èñëà p è q , ñâÿçàííûå ðàâåíñòâîì (1.74) íàçûâàþò ñîïðÿæåííûìè ïîêàçàòåëÿìè.

1 . Îòñþäà íåòðóäíî ñäåëàòü âûâîä, p−1 ÷òî åñëè p > 1, òî è q > 1 è ÷òî óðàâíåíèå êðèâîé η = ξ p−1 ìîæíî Èç (1.74) íàõîäèì, ÷òî q −1 =

ïåðåïèñàòü â âèäå ξ = η q−1 . Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî äâà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëà a, b. Ïóñòü S1  ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé îñüþ Oξ , ãðàôèêîì ôóíêöèè η = ξ p−1 è ïðÿìîé ξ = a, à S2  ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé îñüþ Oη , ãðàôèêîì ôóíêöèè η = ξ p−1 è ïðÿìîé η = b. Î÷åâèäíî, ÷òî (1.75)

S1 + S2 ≥ ab , ïðè÷¼ì çíàê ðàâåíñòâà èìååò ìåñòî òîëüêî â ñëó÷àå b = ap−1 . Âû÷èñëèì ïëîùàäè S1 è S2 .

Za S1 =

ξ

p−1

ap dξ = , S2 = p

0

Zb η q−1 dη =

bq . q

0

Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ S1 è S2 â (1.75), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

ab ≤

ap bq + , p q

(1.76)

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

95

íàçûâàåìîå íåðàâåíñòâîì Èåíñåíà. Ïîä÷åðêíåì åù¼ ðàç, ÷òî òàê æå, êàê è â íåðàâåíñòâå (1.75), â íåðàâåíñòâå Èåíñåíà çíàê ðàâåíñòâà èìååò ìåñòî òîëüêî â ñëó÷àå b = ap−1 . Ïóñòü òåïåðü (X, M, µ)  ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé, êîòîðóþ, êàê è ïðåæäå, áóäåì ñ÷èòàòü ïîëíîé è σ -àääèòèâíîé. Ïóñòü f è g  èçìåðèìûå íà

X ôóíêöèè, òàêèå ÷òî |f |p , |g|q ∈ L(X). Ïîëîæèì â íåðàâåíñòâå Èåíñåíà a= µ

|f (x)| R

¶1/p , b = µ

p

|f (x)| dµ

X

|g(x)| R

¶1/q .

q

|g(x)| dµ

X

Òîãäà îíî ïðèìåò âèä

|f (x)|p |g(x)|q |f (x)g(x)| R R + . ¶1/p µ ¶1/q ≤ µ p |f (x)|p dµ q |g(x)|q dµ R R p q |f (x)| dµ |g(x)| dµ X X X

X

Ïðàâÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà, ïî óñëîâèþ, èíòåãðèðóåìà íà ìíîæåñòâå X , ñëåäîâàòåëüíî, è ëåâàÿ ÷àñòü òîæå èíòåãðèðóåìà (ñâîéñòâî 9 èíòåãðàëà). Èíòåãðèðóÿ ïî ìíîæåñòâó X è ó÷èòûâàÿ, ÷òî p è q  ñîïðÿæåííûå ïîêàçàòåëè, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

Z

 |f (x)g(x)|dµ ≤ 

X

1/p 

Z

|f (x)|p dµ

Z



X

1/q |g(x)|q dµ

,

(1.77)

X

íàçûâàåìîå íåðàâåíñòâîì üëüäåðà.

Çàìå÷àíèå 1.10 Ðàññóæäåíèÿ, ïðîâåäåííûåZ ïðè äîêàçàòåëüñòâå íåðàZ |f (x)|p dµ,

âåíñòâà üëüäåðà, çàêîííû, åñëè èíòåãðàëû

Z

X

|g(x)|q dµ íå X

p

ðàâíû íóëþ. Íî åñëè, íàïðèìåð,

|f (x)| dµ = 0, òî ïî ñâîéñòâó 8 èíX

òåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé f (x) = 0 ïî÷òè âñþäó íà X , íî òîãäà â (1.77) ëåâàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ âìåñòå ñ ïðàâîé, ïîýòîìó íåðàâåíñòâî îñòà¼òñÿ â ñèëå.

Çàìå÷àíèå 1.11 Ïðè âûâîäå íåðàâåíñòâà üëüäåðà áûëî ïðåäïîëîæåíî, ÷òî îáà èíòåãðàëà â åãî ïðàâîé ÷àñòè êîíå÷íû. Ìîæíî îòêàçàòüñÿ îò

96

Îãëàâëåíèå

ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ. Òîãäà íåðàâåíñòâî üëüäåðà îñòàíåòñÿ â ñèëå, íî áóäåò ñîâåðøåííî áåñïîëåçíûì. Ñìûñë íåðàâåíñòâà üëüäåðà çàêëþ÷àåòñÿ èìåííî â òîì, ÷òî åñëè èíòåãðèðóåìû ôóíêöèè |f |p , |g|q , òî èíòåãðèðóåìî è ïðîèçâåäåíèå |f g|.

Çàìå÷àíèå 1.12 Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, çíàê ðàâåíñòâà â íåðàâåíñòâå Èåíñåíà èìååò ìåñòî òîëüêî â ñëó÷àå ap = bq , ñëåäîâàòåëüíî, â íåðàâåíñòâå üëüäåðà çíàê ðàâåíñòâà èìååò ìåñòî òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè ïî÷òè âñþäó íà X |f (x)|p = K |g(x)|q , ãäå K  íåîòðèöàòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïóñòü òåïåðü f è g èçìåðèìû íà X è ôóíêöèè |f (x)|p , |g(x)|q èíòåãðèðóåìû íà X . Èìååì: Z Z p |f (x) + g(x)| dµ = |f (x) + g(x)|p−1 · |f (x) + g(x)| dµ ≤ X

X

Z ≤

Z |f (x) + g(x)|

p−1

|f (x) + g(x)|p−1 · |g(x)| dµ .

· |f (x)| dµ +

X

X

Ê êàæäîìó èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî üëüäåðà. Ïîëó÷èì, ó÷èòûâàÿ, ÷òî (p − 1)q = p : Z |f (x) + g(x)|p dµ ≤ X

  ≤ 

1/p

Z

|f (x)|p dµ

X



Z

+

1/p   1/q Z  |g(x)|p dµ   |f (x) + g(x)|p dµ .

X

X

Ðàçäåëèâ íà âòîðîé ìíîæèòåëü â ïðàâîé ÷àñòè è ïðèíèìàÿ âî âíèìà1 1 íèå, ÷òî 1 − = , ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî: q p



1/p

Z

 X

|f (x) + g(x)|p dµ 

Z

≤ X

1/p |f (x)|p dµ

≤ 

Z

+  X

1/p |g(x)|p dµ

.

(1.78)

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

97

Çàìå÷àíèå 1.13 Z Ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåäøèå ê íåðàâåíñòâó Ìèíêîâñêîãî, |f (x) + g(x)|p dµ 6= 0. Íî åñëè ýòîò èíòåãðàë ðàâåí

çàêîííû, åñëè X

íóëþ, òî íåðàâåíñòâî (1.78) î÷åâèäíî.

Çàìå÷àíèå 1.14 Âûâîä íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî îñíîâàí íà íåðàâåíñòâå üëüäåðà, êîòîðîå âåðíî ïðè p > 1. Íî íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî ñïðàâåäëèâî ïðè p ≥ 1, òàê êàê ïðè p = 1 îíî î÷åâèäíî.

Ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé Ïóñòü (X, M, µ)  ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé, ïðåäïîëàãàåìîé ïî ïðåæíåìó ïîëíîé è σ -àääèòèâíîé. Ðàçîáü¼ì ìíîæåñòâî S(X) âñåõ èçìåðèìûõ íà X ôóíêöèé íà êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ ôóíêöèé. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ïîñêîëüêó îòíîøåíèå f1 ∼ f2 ðåôëåêñèâíî (f ∼ f ), ñèììåòðè÷íî (f1 ∼ f2 ⇒ f2 ∼ f1 ) è òðàíçèòèâíî (f1 ∼ f2 , f2 ∼ f3 ⇒ f1 ∼ f3 ). Äîãîâîðèìñÿ, ÷òîáû íå óñëîæíÿòü îáîçíà÷åíèé, â äàëüíåéøåì êëàññ ôóíêöèé, ýêâèâàëåíòíûõ f , îáîçíà÷àòü òîé æå áóêâîé f , èëè, èíà÷å ãîâîðÿ, äîãîâîðèìñÿ íå ðàçëè÷àòü ýêâèâàëåíòíûå ìåæäó ñîáîé ôóíêöèè, èëè åù¼ èíà÷å, ðàññìàòðèâàÿ íåêîòîðûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, áóäåì âûáèðàòü ïðåäñòàâëÿþùóþ åãî ôóíêöèþ, áåçðàçëè÷íî êàêóþ, è ðàáîòàòü ñ íåé.

Îïðåäåëåíèå 1.39 Íàçîâ¼ì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì Lp (X, M, µ) ñîâîêóïíîñòü êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîñòîÿùèõ èç òåõ èçìåðèìûõ íà X ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Z |f (x)|p dµ < +∞ ,

(1.79)

X

îïðåäåëèâ ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ôîðìóëîé



Z

ρ(f, g) = 

1/p |f (x) − g(x)|p dµ

.

(1.80)

X

Çàìå÷àíèå 1.15 Ôóíêöèÿ ρ(f, g) ôîðìóëîé (1.80) îïðåäåëåíà êîððåêòíî, òàê êàê, âî-ïåðâûõ, ïðàâàÿ ÷àñòü å¼ íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòà-

98

Îãëàâëåíèå

âèòåëåé êëàññîâ, ïîñêîëüêó ýêâèâàëåíòíûå ôóíêöèè îáëàäàþò îäèíàêîâûìè èíòåãðàëàìè, âî-âòîðûõ, åñëè ôóíêöèè f, g óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (1.79), òî â ñèëó íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî ïðàâàÿ ÷àñòü â (1.80) êîíå÷íà.

Çàìå÷àíèå 1.16 Âìåñòî îáîçíà÷åíèÿ Lp (X, M, µ) áóäåì óïîòðåáëÿòü áîëåå êîðîòêîå Lp (X) â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòî íå ìîæåò ïðèâåñòè ê íåäîðàçóìåíèÿì. Ïðîâåðèì, ÷òî ôóíêöèÿ ρ(f, g) óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì ðàññòîÿíèÿ. 1) ρ(f, g) = 0 ⇔ f = g . Åñëè f = g , òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â (1.80) ïî÷òè âñþäó íà

X ðàâíà íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, ρ(f, g) = 0. Íàîáîðîò, åñëè ρ(f, g) = 0, òî ïî ñâîéñòâó 8 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â (1.80) ïî÷òè âñþäó íà X ðàâíà íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèè

f è g îïðåäåëÿþò îäèí è òîò æå êëàññ. 2) ρ(f, g) = ρ(g, f ). Ýòî ñâîéñòâî î÷åâèäíî. 3) ρ(f, g) ≤ ρ(f, u) + ρ(u, g). Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà åñòü ñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî, åñëè â ïîñëåäíåì çàìåíèòü f (x) íà f (x) − u(x), à g(x) íà u(x) − g(x). Èòàê, âñå òðè àêñèîìû ðàññòîÿíèÿ âûïîëíÿþòñÿ, ïîýòîìó îïðåäåëåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Lp (X) îïðàâäàíî. Ïîä÷åðêíåì åù¼ ðàç, ÷òî ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà Lp (X) ñëóæàò êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ èçìåðèìûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé.

Òåîðåìà 1.32 Lp (X)  ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî Íàïîìíèì, ÷òî ïîëíûì íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì âñÿêàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ñõîäèòñÿ. Èòàê, ïóñòü (fn )∞ n=1  ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà Lp (X). Çàôèêñèðóåì ε > 0. Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà òàêîé, ÷òî

99

Z |fm (x) − fn (x)|p dµ < εp (m, n > n0 ) .

(1.81)

X

Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî üëüäåðà, ïîëó÷èì:



Z

|fm (x) − fn (x)| · 1dµ ≤  X

1/p 

Z

|fm (x) − fn (x)|p dµ

·

X

1/q

Z

1q dµ

<

X

< (µX)(p−1)/p · ε (m, n > n0 ) , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn )∞ n=1 ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé è â ïðîñòðàíñòâå L1 (X). Âûáåðåì èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (fn )∞ n=1 íàñòîëüêî ðåäêóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fnk )∞ k=1 , ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå

Z

¯ ¯ ¯fn (x) − fn (x)¯ dµ < 1 (k = 1, 2, . . .) . k+1 k 2k

(1.82)

X

Ñäåëàòü ýòî ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïî ÷èñëó ε = 1/2k ïîäáåðåì íîìåð n0 (k) òàê, ÷òîáû ïðè m, n > n0 (k) âûïîëíÿëîñü

Z |fm (x) − fn (x)| dµ <

1 . 2k

X

Âûáèðàÿ òåïåðü n1 > n0 (1/2) è nk > max{n0 (k), nk−1 } ïðè k > 1, ïîëó÷èì òðåáóåìóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Îáîçíà÷èì ÷åðåç g(x) ôóíêöèþ

g(x) = |fn1 (x)| +

∞ X

|fnk (x) − fnk−1 (x)| .

k=2

Ïî òåîðåìå Ëåâè

Z

Z g(x)dµ =

X

|fn1 (x)|dµ + X

Z < X

∞ Z X

|fnk (x) − fnk−1 (x)|dµ <

k=2 X

Z ∞ X 1 |fn1 (x)|dµ + = |fn1 (x)|dµ + 1 < +∞ . 2k−1 k=2 X

(1.83)

100

Îãëàâëåíèå

Ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó 6 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé ôóíêöèÿ

g ïî÷òè âñþäó íà ìíîæåñòâå X êîíå÷íà, äðóãèìè ñëîâàìè, ðÿä â (1.83) ñõîäèòñÿ ïî÷òè âñþäó íà X . Íî òîãäà ïî÷òè âñþäó íà X ñõîäèòñÿ è ðÿä ∞ X ¡ ¢ fn1 (x) + fnk (x) − fnk−1 (x) , k=2

ñóììà êîòîðîãî f0 (x) åñòü, òåì ñàìûì, èçìåðèìàÿ ïî÷òè âñþäó êîíå÷íàÿ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ ñóììû ðÿäà à ! k X ¡ ¢ f0 (x) = lim fn1 (x) + fnj (x) − fnj−1 (x) = lim (fnk (x)) , k→∞

k→∞

j=2

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fnk )∞ k=1 ïî÷òè âñþäó íà X ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f0 . Âåðí¼ìñÿ ê íåðàâåíñòâó (1.81). Ïîëîæèì â í¼ì m = nk . Òàê êàê ïðè

k→∞ |fnk (x) − fn (x)|p → |f0 (x) − fn (x)|p ïî÷òè âñþäó íà X , òî ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû Ôàòó

Z |f0 (x) − fn (x)|p dµ ≤ εp (n > n0 ) .

(1.84)

X

Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïîñòðîåííàÿ íàìè ôóíêöèÿ f0 ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lp (X), è ÷òî fn → f0 ïî ðàññòîÿíèþ â Lp (X). Çàôèêñèðóåì n > n0 è èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî è (1.84). Òîãäà



1/p

Z



|f0 (x)|p dµ

 =

X



1/p |(f0 (x) − fn (x))|p dµ

X

|(f0 (x) − fn (x)) + fn (x)|p dµ

≤

X

Z

≤

1/p

Z

Z



Z

+

1/p |fn (x)|p dµ

≤ ε + Mn < +∞ ,

X

|fn (x)|p dµ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî f0 ∈ Lp (X).

ãäå Mnp = X

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

101

Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè (1.84) â ñòåïåíü 1/p, ïîëó÷èì:

ρ(fn , f0 ) ≤ ε (n > n0 ) , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn )∞ n=1 ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó f0 ïî ðàññòîÿíèþ â ïðîñòðàíñòâå Lp (X). Èòàê, âñÿêàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà Lp (X) ñõîäèòñÿ. Íà ìíîæåñòâå Lp (X) ìîæíî ââåñòè ëèíåéíûå îïåðàöèè, íàçâàâ ïðîèçâåäåíèåì êëàññà f íà ÷èñëî λ êëàññ, ñîäåðæàùèé ôóíêöèþ λf , è ñóììîé êëàññîâ f è g êëàññ, ñîäåðæàùèé ôóíêöèþ f + g . Åñëè f ∈ Lp (X), òî, î÷åâèäíî, λf ∈ Lp (X), à òî, ÷òî f + g ∈ Lp (X), åñëè f, g ∈ Lp (X), ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî. Òàêèì îáðàçîì, Lp (X) åñòü ëèíåéíîå ìíîæåñòâî. Íà Lp (X) ìîæíî ââåñòè è íîðìó, ïîëîæèâ



Z

kf k = ρ(f, 0) = 

1/p |f (x)|p dµ

.

(1.85)

X

Àêñèîìû íîðìû ïðîâåðÿþòñÿ áåç òðóäà, ïîýòîìó Lp (X)  ïîëíîå (ïî òåîðåìå 1.32) ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.

Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ðàçëè÷íûìè âèäàìè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ôóíêöèé Ïóñòü (X, M, µ)  ïðîñòðàíñòâî ñ ìåðîé, (fn )∞ n=1  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ íà X ôóíêöèé è f0  èçìåðèìàÿ íà X ôóíêöèÿ. Íàì èçâåñòíû ÷åòûðå âèäà ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé (fn ) ê ôóíêöèè f0 . 1) Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü íà ìíîæåñòâå X . 2) Cõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó íà ìíîæåñòâå X (èëè òî÷å÷íàÿ ñõîäèìîñòü).

102

Îãëàâëåíèå 3) Ñõîäèìîñòü ïî ðàññòîÿíèþ â ïðîñòðàíñòâå Lp (X) (èëè ñõîäèìîñòü

â ñðåäíåì â ñòåïåíè p). 4) Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå. Ðàññìîòðèì âîïðîñ î òîì, êàê ýòè âèäû ñõîäèìîñòè ñîîòíîñÿòñÿ äðóã ñ äðóãîì. I. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé íà ìíî-

æåñòâå X âëå÷åò çà ñîáîé ëþáóþ äðóãóþ èç ðàññìàòðèâàåìûõ ñõîäèìîñòåé. a) Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X , òî îíà ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà, òî-åñòü, âñþäó (ïî÷òè âñþäó) íà X . á) Ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð n0 òàêîé, ÷òî ïðè n > n0 äëÿ ëþáîãî x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|fn (x) − f0 (x)| < ε . Íî òîãäà



1/p

Z

ρ(fn , f0 ) = 

|fn (x) − f0 (x)|p dµ

< ε (µX)1/p ,

X

ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn )∞ n=1 ñõîäèòñÿ ê f0 â ñðåäíåì â ñòåïåíè p. â) Çàìåíèâ â îïðåäåëåíèè ñõîäèìîñòè ïî ìåðå σ íà ε, èìååì:

X (|fn − f0 | ≥ ε) = ∅ ïðè n > n0 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn )∞ n=1 ñõîäèòñÿ ê

f0 ïî ìåðå íà ìíîæåñòâå X .  òî æå âðåìÿ íèêàêîé äðóãîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ âèäîâ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé íå âëå÷åò ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè.

Ïðèìåð 1.21 Ðàññìîòðèì íà ìíîæåñòâå X = [0; 1] ñ ìåðîé Ëåáåãà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé fn (x) = xn (n = 1, 2, . . .).

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

103

Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f0 (x) ≡ 0 ïî÷òè âñþäó íà [0, 1] (âñþäó, çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè x = 1); â ñðåäíåì â ëþáîé ñòåïåíè

p ≥ 1, ïîñêîëüêó 

1/p

Z1

ρ(fn , f0 ) = 

|xn − 0|p dx

=

1 −−−→ 0 , np + 1 n→∞

0

è ïî ìåðå, òàê êàê ïðè 0 < σ < 1

µX(|fn − f0 | ≥ σ) = 1 −

√ n

σ −−−→ 0 . n→∞

Îäíàêî ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0, 1] ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ñõîäèòñÿ, òàê êàê îíà íå óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó êðèòåðèþ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè (òåîðåìà ??), ïîñêîëüêó

sup {|fn (x) − f0 (x)| : x ∈ [0, 1]} = sup {xn : x ∈ (0, 1)} = 1 9 0 . II. Ñõîäèìîñòè ïî÷òè âñþäó è â ñðåäíåì â ñòåïåíè p íå ñðàâíèìû.

Ïðèìåð 1.22 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

  n1/p , 0 ≤ x ≤ 1/n, fn (x) =  0, 1/n < x ≤ 1

ñõîäèòñÿ íà [0, 1] ñ ìåðîé Ëåáåãà ê ôóíêöèè f0 (x) ≡ 1 ïî÷òè âñþäó, íî íå ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì â ñòåïåíè p, òàê êàê



Z1

ρ(fn , f0 ) = 

1/p |fn (x) − f0 (x)|p dx

0

 1/n 1/p Z =  n · dx = 1 9 0 . 0

Ïðèìåð 1.23 Íà òîì æå îòðåçêå [0, 1] ñ ìåðîé Ëåáåãà ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé  · ¸ m m − 1   , ,  1, x ∈ k¸ · k ϕk, m (x) = m−1 m   , ,  0, x 6∈ k k ãäå k = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . . , k . Ïåðåíóìåðîâàâ èõ ïîäðÿä â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ k , à ïðè îäèíàêîâûõ k  â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ m, ïîëó÷èì

104

Îãëàâëåíèå

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé (fn (x))∞ n=1 , êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå

[0, 1] ê ôóíêöèè f0 (x) ≡ 0 â ñðåäíåì â ëþáîé ñòåïåíè p, ïîñêîëüêó  1 1/p Z ρ(fn , f0 ) =  |fn (x) − f0 (x)|p dx = 0

  =

1/p

m/k Z

 1 · dx

µ ¶1/p 1 = −−−→ 0 n→∞ k

(m−1)/k

(î÷åâèäíî, k → ∞ ⇔ n → ∞), íî íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîé òî÷êå îòðåçêà [0, 1]. III. Ñõîäèìîñòü ïî÷òè âñþäó âëå÷åò çà ñîáîé ñõîäèìîñòü ïî ìåðå,

íî íå íàîáîðîò. Ýòè óòâåðæäåíèÿ ñóòü ñîäåðæàíèå òåîðåìû 1.25 è ïðèìåðà ê íåé 1.19. IV. Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì â ñòåïåíè p2 âëå÷åò çà ñîáîé ñõîäèìîñòü

â ñðåäíåì â ñòåïåíè p1 äëÿ ëþáîãî 1 ≤ p1 < p2 . Ïóñòü



1/p2

Z

ρp2 (fn , f0 ) = 

|fn (x) − f0 (x)|p2 dµ

−−−→ 0 n→∞

X

è ïóñòü 1 ≤ p1 < p2 . Ïîëîæèì p = p2 /p1 (î÷åâèäíî, p > 1) è îöåíèì

ρp1 (fn , f0 ) ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà üëüäåðà.  1/p1 Z ρp1 (fn , f0 ) =  |fn (x) − f0 (x)|p1 dµ ≤ X

  ≤ 

1/p 

Z

|fn (x) − f0 (x)|p1 ·p dµ

X



Z

=

Z

·

1/q 1/p1  1q dµ  =

X

1/p2 |fn (x) − f0 (x)|p2 dµ

· (µX)(p2 −p1 )/(p2 p1 ) −−−→ 0 , n→∞

X

ñëåäîâàòåëüíî, óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî. Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì â ìåíüøåé ñòåïåíè íå âëå÷åò ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì â áîëüøåé ñòåïåíè.

1. Ìåðà è èíòåãðàë Ëåáåãà

105

Ïðèìåð 1.24 Ïóñòü X = [0, 1] ñ ìåðîé Ëåáåãà,   

n 1 , 0≤x≤ , ln n n fn (x) = 1  0,  <x≤1 n è f0 (x) ≡ 0. Òîãäà

Z1/n

Z1 |fn (x) − f0 (x)| dx =

ρ1 (fn , f0 ) = 0

n 1 dx = −−−→ 0, ln n ln n n→∞

0

òî-åñòü, fn → f0 â ñðåäíåì íà ìíîæåñòâå [0, 1]. Â òî æå âðåìÿ ïðè ëþáîì p > 1 1/p  1 1/p  1/n Z Z ³ ´ n p  dx ρp (fn , f0 ) =  |fn (x) − f0 (x)|p dx =  = ln n 0

0

µ³ ¶1/p n ´p 1 n(p−1)/p = · = −−−→ ∞ , ln n n ln n n→∞ ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì â ñòåïåíè p íè ïðè êàêîì p > 1. V. Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì â ñòåïåíè p (p ≥ 1) âëå÷åò çà ñîáîé ñõî-

äèìîñòü ïî ìåðå. Òàê êàê ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì â ñòåïåíè p âëå÷åò çà ñîáîé ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî èç ñõîäèìîñòè â ñðåäíåì ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ïî ìåðå. Ïóñòü fn → f0 â ñðåäíåì íà ìíîæåñòâå X . Âîçüì¼ì ëþáûå σ > 0,

δ > 0 è ïîëîæèì ε = σ · δ . Òîãäà íàéä¼òñÿ íîìåð n0 = n0 (ε) òàêîé, ÷òî ïðè n > n0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå Z ρ1 (fn , f0 ) = |fn (x) − f0 (x)|dµ < ε . X

Îòñþäà, ïðèìåíèâ íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà (ñâîéñòâî 7 èíòåãðàëà îò íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé), ïîëó÷èì: Z 1 1 µX (|fn − f0 | ≥ σ) ≤ |fn (x) − f0 (x)|dµ < · ε = δ (n > n0 ) . σ σ X

106

Îãëàâëåíèå

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn → f0 ïî ìåðå íà ìíîæåñòâå X . Òî, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî, ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð.

Ïðèìåð 1.25 Ïóñòü X = [0, 1] è µ - ìåðà Ëåáåãà. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

  n, 0 ≤ x ≤ 1/n, fn (x) =  0, 1/n < x ≤ 1.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn → f0 , f0 (x) ≡ 0, ïî ìåðå íà îòðåçêå [0, 1], òàê êàê äëÿ ëþáîãî σ > 0

µX(|fn − f0 | ≥ σ) ≤

1 , n

íî íå ñõîäèòñÿ â ñðåäíåì, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî n ∈ N

Z1 ρ(fn , f0 ) =

|fn (x) − f0 (x)|dx = 1 6→ 0. 0

Ëèòåðàòóðà [1] Á.Ì.Áóäàê, Ñ.Â.Ôîìèí, Êðàòíûå èíòåãðàëû è ðÿäû, Ì.:Íàóêà, 1967. [2] Ë.È. Âîëêîâûñêèé, Ã.Ë. Ëóíö, È.Ã. Àðàìàíîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî

òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.:Íàóêà, 1970. [3] Â.Ãðýíâèëü è Í.Ëóçèí, Êóðñ äèôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ-

÷èñëåíèÿ. ×àñòü II. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, Ì.-Ë.: ÎÍÒÈ, 1934. [4] Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêî-

ìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.:Íàóêà, 1961. [5] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Ì.:Íàóêà, 1981, 1984. [6] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòè

I,II, Ì.:Íàóêà, 1971, 1973. [7] Â.À. Èëüèí, Â.À. Ñàäîâíè÷èé, Áë.Õ. Ñåíäîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíà-

ëèç, Ì.:Íàóêà, 1979. [8] À.Í. Êîëìîãîðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí, Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíê-

öèîíàëüíîãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. [9] Ì.Ë. Êðàñíîâ, À.È. Êèñåë¼â, Ã.È. Ìàêàðåíêî, Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ.

Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. ... Ì.:Íàóêà, 1971. [10] Í.Í.Ëóçèí, Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå, Ë.: Ñîâåòñêàÿ Íàóêà, 1949. 107

108

Ëèòåðàòóðà

[11] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòè I,II, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1983, 1985. [12] È.È.Ëÿøêî, À.Ê.Áîÿð÷óê, ß.Ã.Ãàé, Ã.Ï.Ãîëîâà÷, Ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå

ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, Êèåâ:Âèùà øêîëà, 1984, 1986. [13] È.À.Ìàðîí, Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â ïðè-

ìåðàõ è çàäà÷àõ, Ì.: Íàóêà, 1973. [14] Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ (â ïÿòè òîìàõ), Ì.: Ñîâåòñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1977-1985. [15] È.Ï. Íàòàíñîí,

Òåîðèÿ

ôóíêöèé

âåùåñòâåííîé

ïåðåìåííîé.

Ì.:Íàóêà, 1974. [16] È.Í.Ïåñèí, Ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà, Ì.: Íàóêà, 1966. [17] Ä.À. Ðàéêîâ, Îäíîìåðíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.:Âûñøàÿ øêîëà, 1982. [18] ß.È.Ðèâêèíä, Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå â çà-

äà÷àõ, Ìèíñê: Âûøýéøàÿ øêîëà, 1971. [19] Ó. Ðóäèí, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, Ì.:Ìèð, 1966. [20] À.Ã.Ñâåøíèêîâ, À.Í.Òèõîíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðå-

ìåííîé, Ì.:Íàóêà, 1974. [21] Â.È.Ñîáîëåâ, Ëåêöèè ïî äîïîëíèòåëüíûì ãëàâàì ìàòåìàòè÷åñêî-

ãî àíàëèçà, Ì.:Íàóêà, 1968. [22] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-

ëåíèÿ. Òîìà I,II,III, Ì.:Íàóêà, 1969, 1962, 1969. [23] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîìà I,II, Ì.:Íàóêà, 1968.

Ëèòåðàòóðà

109

[24] Ì.Ã.Õàïëàíîâ, Òåîðèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1965. [25] Ã.Å. Øèëîâ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííî-

ãî. ×àñòè 1-2, Ì.:Íàóêà, 1969.