Солитоны и метод обратной задачи

М.Абловиц, Х.Сигур СОЛИТОНЫ И МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ Книга известных американских ученых, отражающая состояние в быстроразвивающемся направлении математической физики. В ней систематически изложены основы метода, его приложения к различным задачам, обсуждаются перспективы развития. Авторы приводят большое число задач и упражнений и обширную библиографию (более 500 названий). Для математиков и физиков различных специальностей, аспирантов и студентов университетов. Содержание Предисловие редактора перевода Пролог Глава 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале 1.1. Введение 1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка и связанные с ней интегрируемые уравнения в частных производных 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения и обратная задача рассеяния на бесконечном интервале 1.4. Зависимость от времени и частные решения 1.5. Оператор эволюции 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 1.7. Поведение решений на больших временах Упражнения Глава 2. МОЗР в других постановках 2.1. Задачи на собственные значения для операторов более высокого порядка и многомерные задачи рассеяния 2.2. Дискретные задачи 2.3. Периодические граничные условия для уравнения Кортевега-де Фриза Упражнения Глава 3. Различные перспективы Краткий обзор 3.1. Преобразование Бэклунда 3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 3.3. Прямые методы построения солитонных решений. Метод Хироты 3.4. Рациональные решения нелинейных эволюционных уравнений 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 3.7. Трансценденты Пенлеве 3.8. Возмущения и устойчивость солитонов и уединенных волн относительно поперечных возмущений Упражнения Глава 4. Приложения

5 9 11 11 19 26 42 56 68 84 103 112 112 135 156 172 176 176 179 188 199 220 233 248 267 286 298 314

4.1. КдФ и родственные уравнения 315 4.2. Трехволновые взаимодействия 341 4.3. Нелинейное уравнение Шредингера и его обобщения 355 4.4. Уравнения типа "sin-Гордон" 370 4.5. Квантовая теория поля 384 Упражнения 388 Приложение. Линейные задачи 398 П.1. Преобразование Фурье 398 П.2. Неадекватность метода преобразования Фурье 423 Упражнения 435 Литература 444 Указатель 474 Указатель - - уравнения КдФ в себя 184, 185 Абеля преобразование 168 Бэра закон 374 Адо теорема 196 Бюргерса (Burgers) уравнение 180, Алгебра 194 191, 192, 194, 304 Анализ особых точек 274, 278 Вайскопфа-Вагнера (WeisskopfАнтикинк 50, 396 Wigner) модель 439 Аттенюатор 374 Вейерштрасса функция Бенджамина-Оно (Benjamin-Ono) (Бэллиптическая 241 О) уравнение 234, 316, 331, 334, Взаимодействие двух наклонных 440 солитонов 329, 330, 395 Бенни (Benney) уравнения для - двухволновое 115 длинных волн 109 Взаимодействие Бете (Bethe) анзатец 383 - лэнгмюровских и ионозвуковых Блоха (Bloch) функции 158 волн в плазме 116 Боголюбова формула 429 - коротких капиллярных волн с Брента-Вяйсяля (Brunt-Vaisala) длинными гравитационными частота 339 волнами 116 Бризер 50, 105, 287, 396 - трехволновое 114, 125, 131, 132, Бромвича (Bromwich) контур 428, 341, 355 434 Власова уравнение 426, 441 Буссинеска (Boussinesq) уравнение Волна длинная 389 117, 223, 227, 230, 249, 265, 271, - интенсивная 110 299, 303, 322 - кноидальная 168 - уравнения 305 - малой амплитуды 389 Бэклунда (Backlund) преобразование - ударная бесстолкновительная 100 (ПБ) 176, 179, 188, 226, 227, - - - фронт 101 246, 302, 384 - - обратимая 16 - - в билинейной форме 213, 218 Волновод автолокализованный 358 - - дискретное 188 Волновой фронт 422 - - между КдФ и мКдФ 190 Волновые пакеты 128, 130 - - определение 180

Волнопродуктор 323 Волны внутренние 331, 337, 350, 354 - второго типа 12 - на воде 316, 331, 361, 370 - - - длинные 324 - - - модель КдФ 321 - океанские 329, 330, 394 - уединенные 12, 16, 52 - - устойчивость 286, 298 Вольтерры интегральные уравнения 28, 29, 120, 162 Вояджер 337 Время возвращения 175 Вронскиан 147 Вырождение по моменту 374 Галилея преобразования 322 Гамильтона уравнение 136, 385 Гамильтонова динамическая система 75, 108, 385, 403 - задача N тел с парным взаимодействием 237, 241 - механика 74 Гаусса-Бонне теорема 396 Гельфанда-Левитана-Марченко уравнение 34, 39, 118, 248, 267, 286 Гельфанда-Левитана-Марченко - - - - дискретный аналог 149 - - уравнение 220, 303 Генерация второй гармоники 347 Гильберта преобразование 234, 316 - теорема 396 Гильбертово пространство 386 Грина теорема 288 - тождество 287 Гросса-Неве (Gross-Neveu) модель 387 Гурса (Goursat) задача 34 Диссипация 286, 289, 322, 402 Дифференциальная геометрия 371, 374 Дифференциальные формы внешние 188

Длинноволновой предел 134, 333, 334 Дрейфовая скорость 394 Дырка 340 Дэви-Стюартсона (Davey-Stewartson) решение 134 Забужского-Краскала (ZabuskyKruskal) решение КдФ 14, 15 Задача асимптотически устойчивая 402 - диссипативная см. Задача асимптотически устойчивая - линеаризованная 60, 109 - некорректная (в смысле Адамара) 402 - неустойчивая 401 - об устойчивости двумерного невязкого плоского течения 442, 443 - о рассеянии на потенциале 40 - - самоиндуцированной прозрачности (СИП) 108 - - связи асимптотик 280 - рассеяния для оператора второго порядка 19, 26 - - обратная 161, 166 - - - для оператора Шрёдингера 40, 68 - - - зависимость от времени 42, 56, 166, 172 - - - на бесконечном интервале 26, 42 - - прямая 157, 161 - самосопряженная 37 Задачи дискретные 135, 156, 419 - многомерные 218, 220 - рассеяния 131, 135, 151, 190 - - дифференциально-разностный случай 151, 152 - - конечно-разностный лучай 152, 155 Задачи дискретные - - поиск 177, 178 - с полиномиальным дисперсионным соотношением 190, 194

Закон дисперсии линеаризованной задачи см. Характеристика переходная Законы сохранения 16, 68, 73, 106, 109, 115, 173, 176, 188, 196, 301, 399, 405, 410, 441 - - локальные 70, 109, 126 Законы сохранения полиномиальные 109 Захарова-Манакова метод 89 - Шабата задача рассеяния 19, 26, 46, 56, 130, 136 - - - - модификация 21 - - - - обобщенная 190 - - метод 68, 134 - - оператор 46, 52, 67, 139, 146, 262 Зоны запрещенные 159 - разрешенные 159 Изинга (Ising) двумерная модель 284 Инволюция 81, 109 Интеграл энергии 399, 403, 405, 406, 410, 416, 418, 424, 440 Интегралы движения 154 Йоста (Jost) функции 146, 249 - - дискретный аналог 155 Кадомцева-Петвиашвили уравнение (К-П) 132, 134, 157, 218, 221, 227, 249, 262, 303, 316, 330 - - - устойчивость солитона относительно поперечных возмущений 295 Каноническая жорданова форма 300 Карпмана-Маслова метод 286, 290 Кауна-Ньюэла (Kаup-Newell) метод 286, 290 Квантование 174 Квантовая теория поля 384, 388 Кеулегана (Keulegan) теория 335 Кинк 50, 396 Клейна-Гордона (Klein-Gordon) уравнения 177, 415, 433 Клерена (Clairin) метод 191 Ковалевской метод

Колебательный тип волн см. Волны второго типа Конечнозонные потенциалы 160 - - с периодическими граничными условиями 157 Координаты лабораторные 174, 415 - конусные 174 Кортевега-де Фриза (Korteweg-de Vries) (КдФ) уравнение 13, 25, 52, 54, 62, 68, 71, 74, 84, 98, 103, 105, 111, 138, 161, 173, 181, 188, 189, 200, 207, 234, 249, 251, 315, 341, 390 - - - диссипативное возмущение 292 - - - линеаризованное 412 - - - модифицированное (мКдФ) 17, 19, 32, 93, 98, 181, 184, 185, 207, 211, 221, 227, 249, 251, 260, 302, 316, 390, 412 - - - - дискретное 143 - - - с затуханием 289, 292 - - - - - сильно нелинейное 292, 297 Коула-Хопфа (Cole-Hopf) преобразование 180, 193, 194, 197, 300, 304 Кориолиса (Coriolis) параметр 339 Коши-Римана соотношение 180 Коэффициент отражения 40, 155 Крамера правило 53 Кранка-Никольсона (Crank-Nicolson) схема 145, 419 Краскала (Kruskal) принцип максимального упрощения 318 Крума (Crum) теорема 186, 187 Лазер рубиновый 348 - синий 349 Лакса (Lax) представление 265 Ламп 221, 228, 229, 266, 331 Ландау затухание 380, 428 Лапласа преобразование 433, 440, 442 - уравнение 332 Лежандра преобразование 182

Ли алгебра 194, 197 - - абелева 195, 301 - - неабелева 195 - - представление 196 - - специальная унитарная 195 Лиувилля теорема 403 Ли-Бэклунда (Lie-Backlund) преобразования 182 Локальные расслоения джетов 183 Майлза (Miles) решение резонансное 303 Мак-Кола-Хана (McCall-Hahn) теорема площадей 380 Максвелла-Блоха уравнения 374, 375 Матрица антиэрмитова 195, 239 - монодромии 158, 285 - с нулевым следом 195 Метод ВКБ 89, 121 - возмущений упрощенный 316 Метод - наибыстрейшего спуска 404, 408 - обратной задачи рассеяния (МОЗР) 11, 18, 51, 61, 74, 78, 112, 175, 176, 183, 184, 190, 199, 217, 229, 233, 271, 274, 278, 305, 307, 382, 385 - стационарной фазы 404 - энергетический 399 Методы построения солитонных решений прямые 199 Методы, использующие линейное интегральное уравнение, прямые 248, 267 Миуры (Miura) преобразование 17, 98, 106, 179, 187, 246, 304 Модель двухслойная 332 - одномерной кинетической теории 424 Моды нормальные 398, 401 Мэнли-Роу (Manley-Rowe) соотношения 115, 348 Нелинейная оптика 342, 350 Непрерывное излучение 325

Неустойчивость взрывная 114, 128, 130, 133 - распадная 114, 130, 133 Обдирание импульса 381 Общая теория относительности 382, 384 Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) 267 - - - критическая особая точка 268 - - - неподвижная точка 268 - - - подвижная точка 268 - - - регулярная точка 268 Оператор возмущенный 263 - временной эволюции 112, 125 - невозмущенный 263 - сопряженный 58 Осцилляции параметрические 349 Отображение 179 Пакет осцилляторных волн 326, 327 Парсеваля тождество 38, 402 Пенлеве (Painleve) свойство 177, 268, 270, 272, 273, 304, 382, 393 - - гипотеза 270 - - определение 269 - трансценденты 267, 286 - - глобальные свойства 278, 286 - уравнение 95, 227, 233, 261 - α-метод 274 Переменные быстрые 287 - медленные 287 - сопряженные 75 Переменные - типа действие-угол 68, 74, 77, 79, 83, 84, 108, 174, 176, 381 Переходный слой см. Волна ударная бесстолкновительная Поверхности псевдосферические 373, 396 Поверхность постоянной отрицательной кривизны 373 - псевдосферическая 373 Поле линейно поляризованное 377 Полка 291, 292, 325

Полная интегрируемость 74 - (гауссова) кривизна 372 Полнота квадратов собственных функций 66 Поляризация 342 - индуцированная 433 Поперечные колебания натянутой струны 368 Поршень 328, 329 Преобразование годографа 182 - каноническое 77, 108 - обратной задачи рассеяния (Invers Transform Method) см. Метод обратной задачи рассеяния Преобразований группа 405 Преобразования контактные 182 - точечные 182 Проблема N тел 233, 248 Псевдопотенциал 188, 199, 299 - линейный 196, 300 - неабелев 176, 177, 190, 302 - определение 190 Пуанкаре возвращаемость 403 Пуассона скобки 77, 84, 106, 107, 385 Рассела (Russel) результаты 12 Рассеяния данные 28, 41, 44, 64, 82, 104, 105, 125, 129, 173, 174 - задача обратная 32, 161, 166 - - - для оператора Шрёдингера 40 - - прямая 32 - матрица 27, 119, 129 Резонанс тройной 219 Резонансная триада 345, 392, 393 Резонансные квартеты 354, 355 Резонансный диполь 376 Решение волновое 60 - двухламповое 229 - двухполюсное 51 - двухсолитонное 202, 208, 218, 227, 230, 330 - квазипериодическое 157 - квазистационарное 287

Решение многосолитонное 48, 52, 56, 134, 177, 187, 202, 203, 209, 210, 211, 213, 215, 224, 255 - односолитонное 208, 210, 211, 212, 214, 227, 232 - периодическое 287, 302 - N-ламповое 229 Решения автомодельные 54, 96, 111, 226, 382, 409 Решетка нелинейная автомодельная 136, 143, 153 Римана-Гильберта задача 38, 39, 248, 303, 384 - задача 118 - Лебега теорема 406 - тэта-функция 171 Риманова поверхность 171 - - деформированная N-зонная 172 Риккати уравнение 68, 71 - - обобщенное 266, 304 Риччи тензор 383 Россби (Rossby) волны 337, 341 - рябь 378 - солитон 340 Самоиндуцированная прозрачность (СИП) 374, 382 - - линейное приближение 430 - - механическая аналогия 396 - - уравнения 377 Секулярные члены 90, 110, 314, 320, 342, 390 Система динамическая изоспектральная 237 - распадающаяся 60 Скалярное произведение 58 Скорость групповая 421 - фазовая 404 Среды восприимчивость 342 Схема конечно-разностная 400 - - неустойчивая 402 Схемы локальные 146 - нелокальные 145 Собственная функция 125

- - нормированная 155 Солитон 11, 15, 48, 56, 105, 109, 110, 126, 130, 173, 174, 176, 187, 324, 325, 391 - алгебраически несингулярный 233 - взрывающийся 48 - внутренний 335 - возмущения 286, 297 - двумерный см. Ламп - квантовый 388 - невозмущенный 290 - огибающей 42 - связанное состояние 49 - устойчивость 286, 297 Состояния связанные 49, 173 Спектр вспомогательный 156 - непрерывный 220 - основной 156 Спектральные свойства 160 Спектральный параметр 191 Среда неоднородно уширенная 376 Стокса множители 285 Структуры продолжения 188, 199 - исследование 178, 179 - - определение 189 Теорема о суперпозиции 185 Теория возмущений 116, 212, 286 Теория многофазных волн 172 - однофазных волн 172 - рассеяния 118, 125, 146, 156 - характеристик 34 Тоды (Toda) цепочка 135, 138, 143, 146, 155, 156, 174, 211, 234 Точка поворота линейная 280 - - нелинейная 280 Уолквиста-Эстабрука (WahlquistEstabrook) метод 191 Уравнение тепловодности 410 - sin-Гордон (sine-Gordon) 19, 32, 49, 52, 106, 110, 157, 181, 186, 198, 209, 219, 249, 271, 272, 299, 302, 370, 384, 385, 387, 396, 415, 418 - - двойное 304

- sh-Гордон 24 Уравнения билинейные 200 - дифференциально-разностные 400 - - нелинейные 139, 146 - квазилинейные третьего порядка 177 - Р-типа 269 - - связь с МОЗР 270, 274 Усилитель 374 Условия интегрируемости 176, 177 - ортогональности 58, 63, 67 Ферми-Паста-Улама (Fermi-PastaUlam) проблема 13 Фишера уравнение 193, 304 Формула суперпозиции солитонов 217 Формулы следов 71, 73, 126, 174 Фредгольма альтернатива 36 - детерминанты 220 Фреше производная 161 Функции гиперэллиптические 179 - почти-периодические 157 - эллиптические 272 Фурье анализ нелинейный 62, 63 - интеграл 442 - Лапласа преобразование 398, 431, 442 Фурье анализ - метод 44 - преобразование 38, 109, 111, 398, 423, 439, 440 - - неприменимость 423, 435 Характеристика переходная 144 Хевисайда (Heaviside) функция 79 Хенона (Henon) интегралы 174 Хироты (Hirota) метод 48, 199, 220 Цепочка экспоненциальная см. Тоды цепочка Частоты повышение 350 Шрёдингера (Schrodinger) оператор 25, 26, 31, 45, 52, 67, 136, 146, 155, 157, 324, 325, 407

- уравнение 18, 19, 23, 32, 45, 47, 48, 54, 61, 76, 109, 116, 153, 154, 157, 162, 209, 210, 249, 254, 276, 279, 302, 355, 370, 384, 405, 435 Шрёдингера уравнение, диссипативное возмущение 292 - - дифференциально-разностное 140, 142 Эволюционные уравнения 23, 26, 56, 62, 67, 105, 112, 118, 136, 146, 248, 398, 183196 - - дискретные 211, 213 - - нелинейные 233, 248, 314 - - - рациональные решения 220, 233 Эволюционный оператор общий 56, 67

Эволюция длинной отрицательной волны 326 - оптических импульсов 381 Эйлера-Лагранжа гипотеза 389 Эйнштейна уравнения 382, 383 Эйри (Airy) теория 13 - функция 95, 261, 292, 413, 414 Эрнста (Ernst) уравнения 384 Юнга модуль 389 Юпитера фотография 338 - большое красное пятно 338, 341 Якоби функция эллиптическая 168, 391 cond (µ, ν) 204 E-струна 392 0π-импульс, 380, 381 2π-импульс, 379, 381, 397