Основы черчения и начертательной геометрии: Конспект лекций

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ту...

Author: Васин С.А. | Ушакова И.В. | Миронова М.А.

36 downloads 360 Views 3MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тульский государственный университет Кафедра «Дизайн» С.А. ВАСИН И.В. УШАКОВА М.В. МИРОНОВА

Конспект лекций «ОСНОВЫ ЧЕРЧЕНИЯ И НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Специальность: 050602 " Изобразительное искусство и черчение" Форма обучения: очная

Тула 2007

СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИЯ № 1. ............................................................................................................................................................6 1.1. ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ .................................................................6 1.2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ.................................................................................................................6 1.3. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ..............................................................................................................7 ЛЕКЦИЯ № 2. ............................................................................................................................................................8 2.1. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ...............................................................8 2.2. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ (ОРТОГОНАЛЬНОЕ) ПРОЕЦИРОВАНИЕ.............................................................................9 ЛЕКЦИЯ № 3. ..........................................................................................................................................................12 3.1. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ........................................................................12 3.2. АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ .................................................................................................12 3.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ИСКАЖЕНИЯ ..................................................................................................................13 3.4. ВИДЫ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ .................................................................................................13 ЛЕКЦИЯ № 4. ..........................................................................................................................................................15 4.1. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ...................................................................................15 4.2. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ......................................................................................15 4.3. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ .......................................................................................16 4.4. КОСОУГОЛЬНАЯ ФРОНТАЛЬНАЯ ДИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ .................................................................16 ЛЕКЦИЯ № 5. ..........................................................................................................................................................18 5.1. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ ................................................................................................................18 5.2. ПРОЕКЦИИ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ...............................................................................................19 ЛЕКЦИЯ № 6. ..........................................................................................................................................................21 6.1. ПРОЕКЦИИ ПРЯМЫХ УРОВНЯ ....................................................................................................................21 6.2. ПРОЕКЦИИ ПРОЕЦИРУЮЩИХ ПРЯМЫХ .....................................................................................................23 6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ................................24 6.4. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ ...............................................................................25 ЛЕКЦИЯ № 7. ..........................................................................................................................................................26 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ..........................................................................................................................26 7.2. ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ....................................................................................................................26 7.3. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ...................................................................................................................26 ЛЕКЦИЯ № 8. ..........................................................................................................................................................28 8.1. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ .......................................................................................28 8.1.1. Проекции плоскостей уровня .....................................................................................................28 8.1.2. Проекции проецирующих плоскостей........................................................................................29 ЛЕКЦИЯ № 9. ..........................................................................................................................................................32 9.1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ .....................................................................................32 9.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ..................................................................................32 ЛЕКЦИЯ № 10. ........................................................................................................................................................35 10.1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ..............................................................................35 10.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ .....................................................................................36 10.3. УСЛОВИЕ ВИДИМОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ .......................................................................................................38 ЛЕКЦИЯ № 11. ........................................................................................................................................................41 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ .............................................................41 11.1. ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ ................................................................................................................41 11.2. ПРЯМАЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ К ПЛОСКОСТИ. ТЕОРЕМА О ПРОЕЦИРОВАНИИ ПРЯМОГО УГЛА .............43 ЛЕКЦИЯ № 12. ........................................................................................................................................................45 12.1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ .........................................................................................................45

12.2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ ...............................................................................................................47 ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ........................................................................................................................48 ЛЕКЦИЯ № 13. ........................................................................................................................................................49 ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ .........................................................................................................................................49 13.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕНЕЙ ..........................................................................................................................49 13.2. ТЕНИ ОТ ТОЧКИ, ЛИНИИ И ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ .........................................................................................50 13.2.1. Падающая тень от точки........................................................................................................50 13.2.2. Падающая тень от прямой линии ...........................................................................................52 13.2.3. Тень от плоской фигуры ...........................................................................................................54 13.2.4. Тень от диска (окружности) ...................................................................................................56 ЛЕКЦИЯ № 14. ........................................................................................................................................................58 14.1. ТЕНЬ, ПАДАЮЩАЯ ОТ ОДНОЙ ФИГУРЫ НА ДРУГУЮ ................................................................................58 14.1.1. Метод обратных лучей.............................................................................................................58 ЛЕКЦИЯ № 15. ........................................................................................................................................................61 15.1. ТЕНИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ...................................................................................................................61 15.1.1 Тени многогранников ..................................................................................................................61 15.1.2. Тени цилиндра ............................................................................................................................63 15.1.3. Тени конуса.................................................................................................................................64 ЛЕКЦИЯ № 16. ........................................................................................................................................................66 16.1.ТЕНИ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ МНОГОГРАННИКОВ (ОТ ЗДАНИЯ) ...................................................................72 ЛЕКЦИЯ № 17. ........................................................................................................................................................74 17.1.ТЕНИ НА ФАСАДАХ ЗДАНИЙ .....................................................................................................................74 17.1.1. Построение теней в нишах ......................................................................................................74 17.1.2. Тени от выступов ......................................................................................................................76 ЛЕКЦИЯ № 18. ........................................................................................................................................................78 МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА ................................................................78 18.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ...................................................................................................................................78 18.2. ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ ...........................................................................................................78 ЛЕКЦИЯ № 19. ........................................................................................................................................................81 19.1. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ ...............................................81 19.2. ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ......................................................................................................81 ЛЕКЦИЯ № 20. ........................................................................................................................................................83 ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ.................................................................................................................................83 20.1. ЛИНИЯ...................................................................................................................................................83 20.1.1. Винтовая линия..........................................................................................................................84 20.2. ПОВЕРХНОСТИ ...................................................................................................................................85 20.2.1. Поверхности линейчатые.........................................................................................................86 20.2.2. Поверхности линейчатые развертывающиеся ......................................................................87 20.2..3. Поверхности линейчатые неразвертывающиеся .................................................................88 20.2.4. Поверхности нелинейчатые.....................................................................................................91 20.2.5. Поверхности параллельного переноса, вращения и винтовые..............................................92 ЛЕКЦИЯ № 21. ........................................................................................................................................................94 21.1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ......................................................................................................................94 21.2. ПОВЕРХНОСТИ ВИНТОВЫЕ ......................................................................................................................97 ЛЕКЦИЯ № 22. ........................................................................................................................................................99 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ..................................................................................99

22.1. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ МНОГОГРАННИКА ..........................................................99 22.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЬЮ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ .....................................................................100 ЛЕКЦИЯ № 23. ......................................................................................................................................................102 23.3. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ .........................................................................................................................102 ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ......................................................................................................................106 ЛЕКЦИЯ № 24. ......................................................................................................................................................107 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ........................................................................107 24.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ .............................................................................................................................107 24.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ МНОГОГРАННИКА ..............................................................107 24.3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ВРАЩЕНИЯ.........................................................................108 ЛЕКЦИЯ № 25. ......................................................................................................................................................110 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ........................................................................................110 25.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ .............................................................................................................................110 25.2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ........................................................................................................111 25.3. СПОСОБ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ ..........................................................................................................112 ЛЕКЦИЯ № 26.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ...............................................................................116

26.1.. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР ......................................................................................................116 26.2. СПОСОБ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР ........................................................................................................117 26.3. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. ТЕОРЕМА МОНЖА ............................................................................120 ЛЕКЦИЯ № 27. ......................................................................................................................................................123 РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ........................................................................................................................123 27.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ .............................................................................................................................123 27.2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ....................................................................................................................124 27.3. СПОСОБ ТРИАНГУЛЯЦИИ (ТРЕУГОЛЬНИКОВ) ........................................................................................124 27.4. СПОСОБ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ .........................................................................................................125 ЛЕКЦИЯ № 28. ......................................................................................................................................................127 28.1. СПОСОБ РАСКАТКИ................................................................................................................................127 28.2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК ...........................................................................................128 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ К РАЗДЕЛАМ 1-9 .......................................................132 ВВЕДЕНИЕ В ЧЕРЧЕНИЕ..................................................................................................................................133 ЛЕКЦИЯ № 29. ......................................................................................................................................................134 ОСНОВНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ЧЕРТЕЖА.........................................................134 29.1. ИНСТРУМЕНТ И МАТЕРИАЛ ...................................................................................................................134 29.2. ФОРМАТЫ ..............................................................................................................................................135 29.3. МАСШТАБЫ ...........................................................................................................................................135 ЛЕКЦИЯ № 30. ......................................................................................................................................................136 30.1. ЛИНИИ ...................................................................................................................................................136 30.2. ШРИФТЫ ЧЕРТЕЖНЫЕ ...........................................................................................................................137 ОСНОВНАЯ НАДПИСЬ .............................................................................................................................143 Порядок выполнения основной надписи.............................................................................................143 30.3.1. Порядок заполнения основной надписи .................................................................................143 ЛЕКЦИЯ № 31. ......................................................................................................................................................147 СОПРЯЖЕНИЯ.....................................................................................................................................................147 31.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ .............................................................................................................................147

31.2. ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ И КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ ....................................................................148 31.2.1. Построение касательной к окружности .............................................................................148 31.2.2. Касание окружностей ............................................................................................................149 31.2.3. Построение касательных к двум окружностям..................................................................150 РИС. 181 151 СОПРЯЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ .........................................................................152 31.2.4. Сопряжение двух прямых дугой окружности ......................................................................152 31.2.5. Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса...................................153 31.2.6. Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса .............................................153 ЛЕКЦИЯ № 32. ......................................................................................................................................................155 32.1.ВЫЧЕРЧИВАНИЕ КОНТУРОВ ДЕТАЛЕЙ ....................................................................................................155 32.2. АРХИТЕКТУРНЫЕ ОБЛОМЫ ....................................................................................................................157 ЛЕКЦИЯ № 33. ......................................................................................................................................................159 ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ............................................................................................................................................159 33.1 ЦИРКУЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ............................................................................................................................159 33.1.1 завитки 159 33.2. КОРОБОВЫЕ КРИВЫЕ .............................................................................................................................160 33.3. ЛЕКАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ .............................................................................................................................164 33.3.1. Порядок вычерчивания лекальных кривых.............................................................................164 33.3.2. Способы построения некоторых лекальных кривых ...........................................................165 ЛЕКЦИЯ № 34. ......................................................................................................................................................176 НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ..................................................................................................................................176 34.1. ПРАВИЛА И РЕКОМЕНДАЦИИ ПРИ ПРОСТАНОВКЕ РАЗМЕРОВ ................................................................176

Лекция № 1. План: 1.1. Введение. Предмет и метод начертательной геометрии 1.2. Центральное проецирование 1.3. Параллельное проецирование 1.1. Введение. Предмет и метод начертательной геометрии Начертательная геометрия – теоретическая база для составления чертежей. “Паук совершает операции, напоминающие операции ткача, и пчела постройкой своих восковых ячеек посрамляет некоторых людей-архитекторов. Но и самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что прежде чем строить ячейку из воска, он уже состроил ее в своей голове” (К.Маркс, “Капитал”, т.1, с.189). Задуманная инженером конструкция выявляется посредством чертежей. Чертеж – язык техники. Начертательная геометрия – грамматика этого интернационального языка. ПРЕДМЕТ (основное содержание) курса начертательной геометрии. 1. Метод отображения пространственных фигур на плоскость (построение проекций). 2. Построение с помощью проекций обратимого чертежа. (Обратимый чертеж позволяет воспроизвести оригинал, то есть определить форму и размеры фигуры, изображенной на чертеже). 3. Способы решения на чертеже позиционных и метрических задач. Позиционные задачи – на определение взаимного расположения фигур. Метрические задачи – на определение метрических характеристик геометрических фигур (расстояния, углы). МЕТОД начертательной геометрии – проецирование пространственных фигур на плоскость. 1.2. Центральное проецирование Наиболее общий случай проецирования осуществляется связкой лучей, исходящих из одной точки (рис. 1). Аппарат центрального проецирования: α – плоскость проекций; O ∉ α – центр проекций; A[(A ∉ α) ∧ (A ≠ O) – проецируемая точка; [OA) – проецирующий луч; Aα = [OA) I α – центральная проекция точки А на плоскость α; lα = β(OAB) I α – центральная проекция прямой l на плоскость α. Обратимости нет. Одна центральная проекция точки не позволяет судить о положении точки в пространстве. Аα = Dα

Рис. 1

1.3. Параллельное проецирование Частный случай центрального проецирования с центром проекций, находящимся в бесконечности (в несобственной точке O). Осуществляется связкой лучей заданного направления S (рис. 2). Аппарат параллельного проецирования: α −− плоскость проекций; S – направление проецирования; [O∞A]⏐⏐[O∞B] …⏐⏐S Aα = [OA] α – параллельная проекция точки А на плоскость; lα = β(AAα⏐⏐BBα) I α –параллельная проекция прямой на плоскость α. Обратимости нет. Одна центральная проекция точки не позволяет судить о положении точки в пространстве. А = D

Рис. 2

Лекция № 2. П л а н: 2.1. Инвариантные свойства параллельного проецирования 2.2. Прямоугольное (ортогональное) проецирование 2.1. Инвариантные свойства параллельного проецирования Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекций, в общем случае, с искажением. Характер искажений зависит от аппарата проецирования и положения проецируемой фигуры относительно плоскости проекций. В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (искажаются линейные и угловые величины). Некоторые свойства фигуры сохраняются на ее проекции. Сохраняющиеся в проекции свойства фигуры называются независимыми или ИНВАРИАНТНЫМИ. Эти инвариантные свойства часто называют сокращенно: инварианты. Инварианты параллельного проецирования: 1. Проекция точки есть точка (рис. 1; рис. 2). Pα

S A ⎯⎯ → Aα 2. Проекция прямой есть прямая (рис. 1; рис. 2). PSα → lα ⎤⎥ ∗ ( ∀l )(l ≠ s): ⎡⎢l ⎯⎯ ⎣ ⎦

3. Проекция точки, принадлежащей прямой, принадлежит проекции. этой прямой (рис. 1; рис. 2).

( ∀A, l ):[ A ∈l ⇒ Aα ∈lα ]

4. Проекция точки пересечения прямых определяется пересечением проекций этих прямых (рис. 3).

K = a I b ⇒ K α = aα I bα 5. Проекции взаимно параллельных прямых взаимно параллельны (рис. 4). l1 l2 ⇒ l1α l2α

Рис. 3 Рис. 4 6. Отношение длин отрезков взаимно параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 4). ∗

∀-– квантор общности, читается: для всякого (для любого)

[ AB]

Aα Bα AB [CD] ⇒ CD = α α C D

СЛЕДСТВИЕ: если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то проекция отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 5).

Aα Bα m AB m = ⇒ α α = C ∈[ AB] ∧ CD n n C D 7. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру (рис. 6).

(∀Φ)(Φ

α ) ⇒ Φα ≅ Φ

Рис. 5

Рис. 6 2.2. Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций (рис. 7).

( AA ) ( BB ) K α

α

( S⊥ α )

В дальнейшем безоговорочно используется ортогональное проецирование. В ортогональном проецировании сохраняются все свойства параллельного проецирования. Кроме того, для ортогонального проецирования справедлива теорема о проецировании прямого угла, и применим способ определений расстояния между точками (т.е. длины отрезка), называемый способом прямоугольного треугольника.

Рис. 7

БОЛЕЕ ПОДРОБНО... Положение предмета в пространстве определяют четыре его точки, не лежащие в одной плоскости. Изображение пространственного предмета на чертеже сводится к построению проекций множества точек этого предмета на плоскости R (называемой плоскостью проекций) при помощи прямых линий (проецирующих лучей), проходящих через точки предмета и направленных к центру проецирования S. Однако чтобы построить проекцию предмета, не обязательно строить все его точки. Достаточно найти лишь проекции характерных точек (вершин, ребер и т. п.), которые затем соединить соответствующей линией. Проецирующие лучи в совокупности образуют проецирующую поверхность. Так, при проецировании прямой АВ проецирующей поверхностью является плоскость АВAαВα (рис. 2). Линия пересечения AαВα проецирующей плоскости с плоскостью α представляет собой проекцию прямой AB, которая слагается из проекций отдельных ее точек. Проекция подобна тени, отброшенной от предмета, освещенного лампой или солнцем. При проецировании кривой линии в первом случае проецирующие лучи образуют коническую поверхность с вершиной в точке S, получается к о н и ч е с к о е (перспективное) изображение кривой. Во втором случае конус проецирующих лучей превращается в цилиндр, и коническое изображение переходит в ц и л и н д р и ч е с к о е (параллельное). Проекция кривой линии рассматривается при этом как линия пересечения проецирующей поверхности с плоскостью α. В перспективе предмет изображается таким, каким он представляется глазу наблюдателя. Хрусталик глаза является центром проецирования. Каждому из нас знакомо следующее явление: если смотреть вдоль полотна железной дороги, нам кажется, что рельсы как бы сближаются между собой и на горизонте сходятся в одну точку (центр), а опоры, расположенные вдоль путей, уменьшаются по мере удаления. Параллельное проецирование – частный случай перспективы. Суть параллельного проецирования заключается в следующем: если условно удалить центр проецирования в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Так, чтобы построить параллельную проекцию треугольника ABC (рис. 6), нужно задать: α – плоскость проекций (не параллельную и не совпадающую с направлением проецирующих лучей); S – направление проецирующих лучей (направление проецирования). Далее, через характерные точки предмета проводят проецирующие лучи параллельно направлению проецирования, а затем находят точки Aα, Вα и Сα с их пересечения с плоскостью α. Эти точки – искомые параллельные проекции точек А, В и С заданного треугольника. Проекция AαВαСα – линия пересечения проецирующей призматической поверхности с плоскостью α. Форма и размеры параллельной проекции какого-либо предмета при заданном направлении проецирования зависят только от выбора направления плоскости проекций и не зависят от ее удаления от предмета. Треугольник, расположенный в плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется равным заданному. В зависимости от угла наклона проецирующего луча к плоскости проекций параллельное проецирование делится на два вида: прямоугольное и косоугольное. ПРЯМОУГОЛЬНЫМ (или ортогональным) проецирование называется в том случае, когда направление проецирования выбрано перпендикулярным плоскости проекций. В другом случае оно называется КОСОУГОЛЬНЫМ. При прямоугольном проецировании величина коэффициента искажения не может превышать единицы.

В косоугольных проекциях коэффициент искажения данного отрезка АВ может принимать любые числовые значения в зависимости от наклона отрезка и проецирующих лучей к плоскости проекций. В частности, если направление отрезка совпадает с направлением проецирования, то проекцией этого отрезка будет точка, а коэффициент искажения равен нулю. В основу составления технических чертежей положен способ прямоугольных проекций. Предмет проецируют на взаимно перпендикулярные плоскости, при этом каждую его сторону изображают отдельно, затем плоскости проекций совмещают в одну. На рис. 13 даны три плоскости проекций: H – горизонтальная, V –фронтальная и W – профильная, пересекающиеся под прямым углом по линиям x, у и z, которые называют осями проекций (осями координат). Точку О пересечения осей называют началом координат. При проецировании изображаемый предмет располагают между глазом наблюдателя и соответствующей плоскостью проекций. На каждой плоскости проекций можно получить измерения только по двум осям, а по третьей оси, параллельно которой ведется проецирование, сливается в точку. Изображение на фронтальной плоскости называют фронтальной проекцией, на горизонтальной плоскости – горизонтальной проекцией, на профильной – профильной проекцией. В практике изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета называют видом. Каждый вид несет свою информацию. На видах должно быть показаны и невидимые линии (отверстие в детали, например).

Лекция № 3. П л а н: 3.1. Аксонометрические проекции. Общие положения 3.2. Аксонометрическое проецирование 3.3. Коэффициенты искажения 3.4. Виды аксонометрических проекций 3.1. Аксонометрические проекции. Общие положения Аксонометрическая проекция – один из способов изображения пространственных фигур на плоскости. Этот вид проекций обладает большой наглядностью и является обратимым изображением. Слово “аксонометрия” в переводе с греческого означает “измерение по осям”. 3.2. Аксонометрическое проецирование Сущность способа аксонометрического проецирования показана на рис. 8: геометрическая фигура (предмет) вместе с осями прямоугольных (декартовых) координат, к которым она отнесена в пространстве, параллельно проецируется на картинную плоскость (аксонометрическую плоскость).

Рис. 8 На рис. 8 обозначено: α – картинная (аксонометрическая) плоскость; x y z – натуральные (декартовы) оси координат; s – направление проецирования; ϕo – угол проецирования; xo, yo, zo – проекции натуральных осей координат на картинную плоскость – аксонометрические оси; Аo – аксонометрическая проекция точки А; А’1 – вторичная проекция (горизонтальная) точки А. Для определения точки Аo на аксонометрической проекции (в аксонометрии) необходимо кроме аксонометрической проекции этой точки иметь ее вторичную проекцию,

например, горизонтальную А1, причем прямая АoА’1 должна быть параллельна аксонометрической оси zo. Аксонометрическая проекция точки Аo и ее вторичная проекция А’1 (рис. 9) однозначно определяют положение точки в пространстве, что делает аксонометрическую проекцию обратимой. Если вторичная проекция не задана, ее можно будет задать произвольно, например, в точке А’2, и тогда координаты xА,yА,zА изменяются.

Рис. 9 Длина отрезков натуральной координатной ломаной ОАxАА в общем случае не равна длине их проекций ОoАoxА’1Аo на картинной плоскости α (рис. 8). 3.3. Коэффициенты искажения Искажение отрезков осей координат при их проецировании на картинную плоскость характеризуется коэффициентами искажений по аксонометрическим осям. Коэффициентом искажения называется отношение длины аксонометрической проекции отрезка оси к его натуральной длине. Коэффициенты искажения по осям Ooxo, Ooyo и Oozo соответственно будут равны:

X Ao YAo Z Ao Kx = ; Ky = ; Kz = . XA YA ZA 3.4. Виды аксонометрических проекций Принимая различное взаимное расположение натуральной системы координат и картинной плоскости и задавая разные направления проецирования, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэффициентов искажения по этим осям. В зависимости от соотношения коэффициентов искажения различают: – ИЗОМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОЕКЦИЮ (“изос” – равный), если коэффициенты искажения по всем трем осям равны меду собой: Kx = Ky = Kz; – ДИМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОЕКЦИЮ, если коэффициенты искажения по двум любым осям равны между собой, а по третьей – отличаются от первых двух, например: Kx ≠ Ky = Kz;

– ТРИМЕТРИЧЕСКУЮ ПРОЕКЦИЮ, если все три коэффициента искажения по осям различны: Kx ≠ Ky ≠ Kz В зависимости от угла, образуемого направлением проецирования s с картинной плоскостью α , различают: – прямоугольную аксонометрическую проекцию, если s ⊥ α ; / α. – косоугольную аксонометрическую проекцию, если s ⊥

Лекция № 4. П л а н: 4.1. Стандартные аксонометрические проекции 4.2. Прямоугольная изометрическая проекция 4.3. Прямоугольная диметрическая проекция 4.4. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция 4.1. Стандартные аксонометрические проекции Из многообразия возможных видов аксонометрических проекций ГОСТ 2.317-(СТ СЭВ 1979-79) рекомендует для применения в чертежах всех отраслей промышленности и строительства ограниченное количество таких, которые меньше искажают изображение геометрических фигур и наиболее удобны при построении. Из прямоугольных аксонометрических проекций к ним относятся изометрическая и диметрическая проекции, из косоугольных – фронтальная и горизонтальная изометрические проекции и фронтальная диметрическая проекция. В чертежах машиностроительной промышленности более широко применяют прямоугольную изометрию и диметрию, а также косоугольную фронтальную диметрию. Все виды аксонометрических проекций характеризуются двумя параметрами: направлением аксонометрических осей и коэффициентами искажения по осям. 4.2. Прямоугольная изометрическая проекция В прямоугольной изометрической проекции аксонометрические оси Ooxo, Ooyo и Oozo расположены под углом 120о друг к другу, или, что удобно для вычерчивания, составляют угол 30о с горизонтальной линией (рис. 10).

Рис. 10 В прямоугольной аксонометрии сумма квадратов коэффициентов искажения равна двум, то есть K2x = K2y = K2z = 2 Но в изометрии Kx = Ky = Kz и, следовательно, имеем: 3K2x = 2, откуда действительные коэффициенты искажения по осям равны Kx = Ky = Kz = 0,82 Так как эти значения неудобны для подсчета размеров при построении, то стандарт рекомендует выполнять изометрическую проекцию без искажения по осям, что соответст-

вует замене действительных коэффициентов искажения более удобными приведенными коэффициентами, равными единице: Kx = Ky = Kz = 1 При этом изображение получается увеличенным в 1,22 раза (1/0,82 = 1,22). Прямоугольную изометрию применяют, когда все три видимые на аксонометрическом изображении стороны предмета имеют примерно одинаковое количество особенностей, необходимых для характеристики изображаемого предмета. 4.3. Прямоугольная диметрическая проекция В прямоугольной диметрической проекции аксонометрические оси Ooxo и Oozo составляют между собой угол 97о10’. Ось Ooyo является биссектрисой оставшегося угла, составляя с двумя другими осями равные углы 131о25’ (рис. 11). При построении этой проекции принимают, что Kx = Kz и Ky = 0,5Kx. Тогда по основной теореме аксонометрии получаем из формулы K2x + K2y + K2z = 2, что 2K2x + (0,5Kx)2 = 2, тогда K2x = 8/9; Kx = 0,94. Приведенные коэффициенты искажения будут равны: Kx = Kz = 1; Ky = 0,5, что соответствует увеличению изображения в 1,06 раза (1/0,94 = 1,06).

Рис. 11 Прямоугольная диметрия рекомендуется к применению в случае, когда наибольшее число характерных особенностей сосредоточено на одной стороне предмета. Наиболее отличающаяся особенностями сторона предмета располагается параллельно плоскости XoOoZo. 4.4. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция Аксонометрическая плоскость α располагается параллельно фронтальной плоскости проекций V (рис. 12). Поэтому аксонометрические оси Ooxo и Oozo параллельны декартовым осям Ox и Oz. Соответственно, коэффициенты искажения Kx = Kz. Значение Ky принимается равным 0,5. Расположение аксонометрических осей показано на рисунке.

Рис. 12 Косоугольная фронтальная диметрия удобна в тех случаях, когда изображаемая геометрическая фигура содержит большое число окружностей (или других кривых, состоящих из дуг окружностей), лежащих на взаимно параллельных плоскостях. При расположении этих плоскостей параллельно аксонометрической плоскости, все окружности будут проецироваться на нее также в виде окружностей, что упрощает построение.

Лекция № 5. План: 5.1. Комплексный чертеж точки 5.2. Проекции прямых общего положения 5.1. Комплексный чертеж точки Внутри трехгранного угла, образованного горизонтальной (H), фронтальной (V) и профильной (W) плоскостями проекций, расположим какую-либо точку А (рис. 13).

Рис. 13 Направим проецирующий луч перпендикулярно плоскости V. Точка пересечения этого луча с плоскостью V будет фронтальной проекцией a'' точки A. Спроецируем точку А на плоскость H и получим ее горизонтальную проекцию a'. Проецируя точку А на плоскость W, получим ее профильную проекцию a'''. Для получения чертежа необходимо все три плоскости V, H и W вместе с построенными на них проекциями совместить в одну плоскость, т.е. развернуть их. При этом плоскость H поворачивается вокруг оси x на 90 градусов книзу, плоскость W – вокруг оси z на 90 градусов вправо, а плоскость V остается неподвижной (при этом ось y как бы раздваивается). В результате совмещения получают чертеж точки в трех проекциях. Очертания плоскостей H, V и W на чертеже не показывают. Линию, связывающую горизонтальную и профильную проекции точки А, представляют двумя отрезками ломаной линии. Вершина ее лежит на биссектрисе угла, образованного осями y и y1. Эту биссектрису называют постоянной линией чертежа. Прямые линии, соединяющие проекции точки и перпендикулярные осям проекций, называют линиями проекционной связи. Координатный отрезок, равный превышению точки А над плоскостью H, называют в ы с о т о й Za (аппликатой) точки А. Координатный отрезок, равный расстоянию от точки А до плоскости V, называют г л у б и н о й Ya (ординатой) точки А. Координатный отрезок, равный расстоянию от точки А до плоскости W, называют ш и р о т о й Xa (абсциссой) точки А.

Горизонтальная проекция точки А определяется на эпюре ее координатами Xa и Ya, а фронтальная – координатами Xa и Za (рис. 13). 5.2. Проекции прямых общего положения Ортогональной проекцией прямой на плоскость является прямая линия, за исключением того случая, когда прямая перпендикулярна к плоскости проекций. Одна проекция прямой не определяет ее положение в пространстве. Для полного представления о расположении прямой необходимо иметь две или три (для профильной прямой, см. рис. 18) проекции. Построение комплексного чертежа прямой сводится к построению проекций двух ее точек, так как две точки вполне определяют положение прямой в пространстве (рис. 14).

Рис. 14 ПРЯМАЯ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ – это прямая, расположенная наклонно (под произвольным углом) ко всем трем плоскостям проекций. Каждая из проекций такой прямой меньше ее натуральной величины. Прямые общего положения подразделяются на восходящие и нисходящие. Восходящая прямая по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх. Проекции такой прямой ориентированы относительно оси x одинаково (рис. 14). Нисходящая прямая по мере удаления от наблюдателя направлена вниз. Ее проекции ориентированы относительно оси x противоположно (рис. 15).

Рис. 15

Лекция № 6. План: 6.1. Проекции прямых уровня 6.2. Проекции проецирующих прямых 6.3. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения 6.4. Деление отрезка прямой в данном отношении 6.1. Проекции прямых уровня Прямыми уровня называются прямые, параллельные плоскостям проекций. Их основное свойство: отрезки, принадлежащие прямым уровня, на одной из плоскостей проекций (параллельной им) изображаются в натуральную величину, а на второй плоскости проекций изображаются отрезками, параллельными осям. Угол наклона прямой уровня к одной из плоскостей проекций на другой плоскости проекций изображается в натуральную величину. Горизонталь – прямая равных высот (рис. 16). Это прямая (h), параллельная горизонтальной плоскости проекций. Поскольку все точки горизонтали одинаково удалены от плоскости H, то фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x, а горизонтальная проекция горизонтали равна натуральной величине проецируемого отрезка горизонтали (отмечено Н.В.).

Рис. 16 Угол β – угол наклона горизонтали к фронтальной плоскости проекций, а угол γ– к профильной плоскости проекций, причем ∠β + ∠γ = 90o (рис. 16). Фронталь – прямая равных глубин (рис. 17). Это прямая (v), параллельная фронтальной плоскости проекций. Так как все точки фронтали одинаково удалены от вертикальной плоскости V, то горизонтальная проекция фронтали равна натуральной величине проецируемого отрезка фронтали (отмечено Н.В.).

Рис. 17 Угол α – угол наклона фронтали к горизонтальной плоскости проекций, а угол γ – к профильной плоскости проекций, причем ∠α + ∠γ = 90o (рис. 17). Профильная прямая – прямая равных широт (рис. 18). Это прямая (w), параллельная профильной плоскости проекций. Поскольку все точки профильной прямой одинаково удалены от плоскости проекций W, то горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой перпендикулярны оси x, а профильная проекция равна натуральной величине проецируемого отрезка этой прямой (отмечено Н.В.) (рис. 18).

Рис. 18 Углы α и β – углы наклона профильной прямой к горизонтальной (H) и фронтальной (V) плоскостям проекций, причем ∠α + ∠β = 90o.

6.2. Проекции проецирующих прямых Проецирующей называется прямая, перпендикулярная к плоскости проекций. Проецирующая прямая проецируется на одну плоскость проекций (перпендикулярную ей) в точку, а на другую – в прямую, перпендикулярную соответствующей оси. Горизонтально-проецирующая прямая (рис. 19). Это прямая, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций. Ее горизонтальная проекция собирает горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих этой прямой, например точек А и В.

Рис. 19 Фронтально-проецирующая прямая (рис. 20). Это прямая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций. Ее фронтальная проекция собирает фронтальные проекции всех точек, лежащих на данной прямой, например точек С и Д.

Рис. 20 Профильно-проецирующая прямая (рис. 21). Это прямая, перпендикулярная к профильной плоскости проекций. Ее профильная проекция собирает профильные проекции всех точек, лежащих на этой прямой, например точек Е и F.

Рис. 21

6.3. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения Отрезок прямой общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением (в уменьшенном виде). Натуральная величина отрезка на комплексном чертеже (обозначается Н.В.) строится как гипотенуза прямоугольного треугольника, первый катет которого равен одной из проекций отрезка, а второй катет равен разности расстояний от концов отрезка до той плоскости проекций, на которой взят первый катет (рис. 22), (рис. 23).

Рис. 23 Рис. 22 Натуральная величина угла наклона прямой к плоскости проекций может быть определена также способом прямоугольного треугольника. На рис. 22 показано построение натуральной величины отрезка АВ и угла его наклона (α) к горизонтальной плоскости проекций с помощью прямоугольного треугольника, у которого первый катет – горизонтальная проекция А'B', а второй катет – разность расстояний от концов отрезка АВ до горизонтальной плоскости проекций, т.е. разность высот ∆z.

На (рис. 23) дано построение натуральной величины отрезка АВ и угла его наклона β к фронтальной плоскости проекций с помощью прямоугольного треугольника, у которого первый катет – фронтальная проекция A''B'', а второй катет – разность расстояний от концов отрезка АВ до фронтальной плоскости проекций, т.е. разность глубин ∆y (рис. 23). 6.4. Деление отрезка прямой в данном отношении Точка делит отрезок прямой линии в пространстве в таком же отношении, в каком проекции точки делят одноименные с ними проекции отрезка (рис. 24).

Рис. 24 Так, например, надо разделить отрезок АВ в отношении 2:3, делящая точка лежит на отрезке (рис. 24). По основному положению мы должны иметь: КА/КВ = К'А'/К'В' = К''В''/К''В'' = 2/3 На чертеже сначала определяем горизонтальную проекцию К' точки, которая делит горизонтальную проекцию А'В' данного отрезка АВ в отношении 2:3. Для этого через точку А' проводим произвольную прямую, на которой от точки А' отложим пять равных произвольных отрезков (2+3=5). Далее соединяем прямой линией точки 5 и В' и проводим прямую 2К, параллельную прямой 5В'. Точка К' разделит отрезок А'В' в отношении 2:3. Проведя линию связи, находим фронтальную проекцию К'' искомой точки К. Точка К'' разделит отрезок А''В'' в отношении К''А''/К''В'' = 2/3.

Лекция № 7. План: 7.1. Параллельные прямые 7.2. Пересекающиеся прямые 7.3. Скрещивающиеся прямые 7.1. Параллельные прямые Если провести через данные параллельные прямые АВ и СD плоскости, перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций, то эти две плоскости будут параллельны, и в их пересечении с плоскостью H будут получены две взаимно параллельные прямые A'B' и C'D', являющиеся ортогональными проекциями данных прямых АВ и CD на горизонтальную плоскость проекций (рис. 25).

Рис. 25 Аналогичным образом можно получить и ортогональные проекции данных прямых на фронтальную плоскость V. На комплексном чертеже одноименные проекции параллельных прямых параллельны: A'B' || C'D' и A''B'' || C''D'' (рис. 25). 7.2. Пересекающиеся прямые Взаимно пересекающиеся прямые имеют общую точку, например, отрезки прямых АВ и CD пересекаются в точке К. Проекции пересекающихся прямых пересекаются, и точки их пересечения (K' и K'') лежат на одной линии связи – перпендикуляре к оси x (рис. 26). 7.3. Скрещивающиеся прямые Это прямые, которые не параллельны и не пересекаются. На комплексном чертеже проекции скрещивающихся прямых (прямые АВ и CD) могут пересекаться, но точки пересечения (1, 2 и 3, 4) лежат на разных линиях связи (рис. 27). Точкам пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых соответствуют в пространстве две точки: в одном случае – 1 и 2, а в другом – 3 и 4, расположенные на прямых. На чертеже точке пе-

ресечения горизонтальных проекций прямых соответствует две фронтальные проекции точек 1'' и 2''. Аналогично – с точками 3 и 4.

Рис. 26

Рис. 27

Лекция № 8. План: 8.1. Проекции плоскостей общего положения 8.1.1. Проекции плоскостей уровня 8.1.2. Проекции проецирующих плоскостей 8.2. Проекции плоскостей уровня 8.3. Проекции проецирующих плоскостей 8.1. Проекции плоскостей общего положения На комплексном чертеже плоскость может быть задана изображениями тех геометрических элементов, которые вполне определяют положение плоскости в пространстве. Это: 1) три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 28); 2) прямая и точка вне прямой; 3) две параллельные прямые (рис. 25); 4) две пересекающиеся прямые (рис. 26). При решении некоторых задач целесообразно задавать на комплексном чертеже плоскость ее следами (рис. 29).

Рис. 29 Рис. 28 СЛЕДОМ ПЛОСКОСТИ называется прямая, по которой данная плоскость пересекается с плоскостью проекций. На рис. 29 изображена плоскость α и ее следы: с– горизонтальный; а – фронтальный; b – профильный. Следы плоскости сливаются с одноименными своими проекциями: след с = с'; след а = а''; след b = b'''. Точки Xa, Ya, Za называются точками схода следов. 8.1.1. Проекции плоскостей уровня Плоскостями уровня называются плоскости, параллельные плоскостям проекций. Характерная особенность этих плоскостей состоит в том, что элементы, расположенные в этих плоскостях, проецируются на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину. Горизонтальная плоскость (рис. 30)

Горизонтальная плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций. На двухкартинном комплексном чертеже она изображается одним фронтальным следом, параллельным оси x. На рис. 30 изображена горизонтальная плоскость α (αV). Фронтальная плоскость (рис. 31) Фронтальная плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций. На двухкартинном комплексном чертеже она изображается одним горизонтальным следом, параллельным оси x. На рис.31 изображена фронтальная плоскость β (βΗ).

Рис. 30 Рис. 31 Профильная плоскость (рис. 32) Профильная плоскость параллельна профильной плоскости проекций. На двухкартинном комплексном чертеже она изображается двумя следами: горизонтальным и фронтальным, перпендикулярными оси x. На рис.32 изображена профильная плоскость γ (γH,V).

Рис. 32 8.1.2. Проекции проецирующих плоскостей ПРОЕЦИРУЮЩИМИ называются плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций.

Характерной особенностью таких плоскостей является их собирательное свойство. Оно заключается в следующем: соответствующий след – проекция плоскости – собирает одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости. Горизонтально-проецирующая плоскость (рис. 33) Горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций H.

Рис. 33 Рис. 34 Горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих горизонтальнопроецирующей плоскости α, располагаются на горизонтальном следе – проекции αH этой плоскости (рис. 33). Фронтально-проецирующая плоскость (рис. 34) Фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций V. Фронтальные проекции всех точек, принадлежащих фронтально-проецирующей плоскости β, располагаются на фронтальном следе – проекции βΗ этой плоскости (рис. 34). Профильно-проецирующая плоскость (рис. 35) Профильно-проецирующая плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций W.

Рис. 35

Профильные проекции всех точек, принадлежащих профильно-проецирующей плоскости γ , располагаются на профильном следе – проекции этой γW плоскости (рис. 35).

Лекция № 9. План: 9.1. Взаимное расположение двух плоскостей 9.2. Пересечение плоскостей общего положения 9.1. Взаимное расположение двух плоскостей Две плоскости могут быть параллельными или пересекаться между собой. Параллельные плоскости (рис. 36) Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В качестве пересекающихся прямых в каждой из двух параллельных плоскостей можно взять их следы. На рис. 36 изображены две взаимно параллельные плоскости α и β , которые на комплексном чертеже заданы следами αV и αH, и βV, βH. Пересекающиеся плоскости (рис. 37) На рисунке изображены пересекающиеся плоскости σ и τ.

Рис. 36

Рис. 37

Пересечение плоскостей подтверждается пересечением пары их одноименных следов (точка К = К'). 9.2. Пересечение плоскостей общего положения Две плоскости пересекаются по прямой линии. А поскольку прямая определяется двумя точками, построение линии пересечения плоскостей сводится к нахождению проекций двух ее точек. С этой целью применяют способ вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих данные поверхности (плоскости) по соответствующим прямым. П Р И М Е Р. На рис. 38, 39 изображены плоскости общего положения σ(a ⎢⎢b) и τ(E,F,K), для которых требуется найти линию пересечения.

Рис. 38 Рис. 39 Нахождение общих для плоскостей σ и τ двух точек М и N проводится введением двух горизонтальных плоскостей α и β.

Рис. 40 Рис. 41 а) Введение первой вспомогательной горизонтальной плоскости (рис. 40, 41). Плоскость α пересекает плоскости σ и τ по горизонталям h1 (прямая 1-2) и h2 (прямая 3-4). Прямые 1-2 и 3-4 пересекаются в точке М, общей для плоскостей σ и τ , следовательно, принадлежащей линии пересечения этих плоскостей (рис. 40, 41). б) Введение второй вспомогательной горизонтальной плоскости (рис. 42, 43). Плоскость β пересекает плоскости σ и τ по горизонталям h3 (прямая 5-6) и h4 (прямая 7-8).

Рис. 42 Рис. 43 Прямые 5-6 и 7-8 пересекаются в точке N, общей для плоскостей σ и τ , следовательно, также принадлежащей линии пересечения этих плоскостей (рис. 42, 43).

Рис. 44 Рис. 45 Соединив найденные точки М и N, получим искомую линию пересечения плоскостей σ и τ (рис. 44, 45).

Лекция № 10. План: 10.1. Взаиморасположение прямой и плоскости 10.2. Пересечение прямой линии с плоскостью 10.3. Условие видимости на чертеже 10.1. Взаимное расположение прямой и плоскости Возможны три случая: 1. прямая лежит в плоскости; 2. прямая параллельна плоскости; 3. прямая пересекает плоскость. Прямая – в плоскости (рис. 46) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки данной плоскости. Прямая, параллельная плоскости (рис. 47) Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости или принадлежит плоскости, параллельной данной.

Рис. 46 Рис. 47 Прямая пересекает плоскость (рис. 48) Если прямая имеет с плоскостью одну общую точку, она пересекает данную плоскость.

Рис. 48

10.2. Пересечение прямой линии с плоскостью На рис. 49, 50 изображены плоскость α (АВС) и пересекающаяся с ней прямая f.

Рис. 49 Рис. 50 Для определения точки встречи прямой с плоскостью необходимо выполнить следующие операции: 1) провести через прямую вспомогательную проецирующую плоскость; 2) найти линию пересечения данной плоскости со вспомогательной плоскостью; 3) определить точку пересечения данной прямой с найденной линией пересечения плоскостей. 1 этап (рис. 51, 52)

Рис. 51 Рис. 52 Проведем через прямую f вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость . Ввиду собирательного свойства проецирующих плоскостей горизонтальный след этой плоскости совпадет с горизонтальной проекцией прямой f (f'). 2 этап (рис. 53, 54) Находим линию пересечения двух плоскостей: данной (ABC) и вспомогательной γ – прямую t. По горизонтальной проекции t' определяем фронтальную проекцию t''.

Рис. 53 Рис. 54 3 этап (рис. 55, 56) Определяем точку пересечения найденной линии пересечения плоскостей t с данной прямой f.

Рис. 55 Рис. 56 Сначала на пересечении фронтальных проекций прямых f и t (f''× t'') определяем фронтальную проекцию точки их пересечения K''. Затем по линии связи находим ее горизонтальную проекцию K'. Точка K, принадлежащая как плоскости α (АВС), так и плоскости γ, будет искомой точкой встречи прямой f с плоскостью α.

10.3. Условие видимости на чертеже Для большей наглядности невидимые части предмета вычерчивают штриховыми линиями (либо совсем не вычерчивают). Вопрос о видимости решают путем сравнения координат Y или Z точек, лежащих на одном проецирующем луче. Точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются КОНКУРИРУЮЩИМИ. Принято считать, что из двух конкурирующих точек на горизонтальной проекции видна та точка, координата Z которой больше, а на фронтальной проекции – координата Y которой больше. Из рис. 57 легко установить, что на горизонтальной проекции из двух точек С и D видимой будет точка C (C'), а на фронтальной проекции из двух точек A и B будет видимой точка B (B'').

Рис. 57 Определим видимость на рис.55. а) Для определения видимости прямой f на ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ проекции рассмотрим две произвольные конкурирующие точки, например точки 1' и М' (точка 1 принадлежит прямой f, а точка М – отрезку АВ) (рис. 58). Координата Z точки М больше, следовательно на горизонтальной проекции прямая f на участке от точки 1 до точки К расположена ниже плоскости α и является невидимой (рис.59).

Рис. 58 Рис. 59 б) Для определения видимости прямой f на ФРОНТАЛЬНОЙ проекции рассмотрим две другие конкурирующие точки, например точки 2'' и Е'' (точка 2 принадлежит прямой f, а точка Е – отрезку АВ) (рис. 60). Координата Y точки 2 больше, следовательно на фронтальной проекции прямая f на участке от точки K до точки 2 расположена перед плоскостью и является видимой (рис. 61).

Рис. 60

Рис. 61

Лекция № 11. П л а н: 11.1. Главные линии плоскости 11.2. Прямая, перпендикулярная к плоскости

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 11.1. Главные линии плоскости Кроме прямых линий общего положения, в плоскости отмечают три главные линии: горизонтальную (горизонталь), фронтальную (фронталь) и линию наибольшего наклона. Эти линии применяют как вспомогательные: они упрощают решение задач. Две из них – горизонтальная и фронтальная – уже рассматривались. *Необходимо добавить, что все горизонтальные линии плоскости параллельны между собой, а их горизонтальные проекции параллельны горизонтальному следу плоскости (рис. 62). Горизонтальный след плоскости – одна из горизонталей. *Все фронтальные линии плоскости параллельны между собой, а их фронтальные проекции параллельны фронтальному следу плоскости. Фронтальный след плоскости – одна из фронтальных линий (рис. 63).

Рис. 62 Рис. 63 Линии наибольшего наклона плоскости Прямую, лежащую в плоскости и имеющую наибольший угол с той или друго плоскостью проекций, называют л и н и е й н а и б о л ь ш е г о н а к л о н а (ЛНН). Линии наибольшего наклона плоскости перпендикулярны к ее следам или к линиям уровня (либо к ее горизонталям, либо к фронталям, либо к ее профильным прямым) (рис. 64). В случае перпендикулярности к горизонтали определяется наклон к плоскости проекций H (при этом ЛНН называют линией наибольшего ската), перпендикулярности к фронтали – наклон к плоскости проекций V, перпендикулярности к профильной прямой – наклон к плоскости проекций W.

Рис. 64 На рис. 65, 66 дано изображение плоскости α (а || b), для которой требуется построить линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций H.

Рис. 65 Проведем в данной плоскости горизонталь h (рис. 66). Прямая n, перпендикулярная к прямой h, перпендикулярна и к следу плоскости αH (KL⊥H) (рис. ). Угол наклона прямой n к плоскости H определяется как угол между прямой и ее проекцией на плоскость H. Строим КК'⊥H (рис. 66). Тогда угол ϕ – искомый угол наклона прямой n к плоскости H. На рис. построена линия наибольшего наклона плоскости α к горизонтальной плоскости проекций – прямая n. Угол наклона плоскости α к плоскости H получают при определении натуральной величины отрезка КМ при построении прямоугольного треугольника по проекциям K'M' и K”.

Рис. 66

11.2. Прямая, перпендикулярная к плоскости. Теорема о проецировании прямого угла Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к любой прямой этой плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого угла, а суть ее в следующем: при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину (прямым) только в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая – не перпендикулярна этой плоскости, в качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать ее линии уровня. Поэтому, проводя перпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости две такие прямые: горизонталь и фронталь. Проекции прямой, перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже перпендикулярны к соответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линия перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали (рис. 67) или соответствующим следам плоскости (рис. 68).

Рис. 67 Рис. 68 На рис. 69 изображена плоскость общего положения α (a|| b), к которой к которой требуется провести перпендикулярную прямую.

Рис. 69 Проводим в данной плоскости горизонталь h (через точки 1,3) и фронталь v (через точки 1,4) (рис. 69). Затем из точки 1 проводим прямую n перпендикулярно к горизонтали и фронтали плоскости следующим образом: n' ⊥ h' n'' ⊥ h'' Построенная прямая n (n', n'') является искомым перпендикуляром к плоскости α.

Лекция № 12. План: 12.1. Перпендикулярные плоскости 12.2. Перпендикулярные прямые 12.1. Перпендикулярные плоскости Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями: 1) плоскость проводится через перпендикуляр к другой; 2) плоскость проводится перпендикулярно прямой, принадлежащей другой плоскости. На рис. 70 изображены прямая общего положения l и плоскость общего положения α (а × b). Требуется построить через прямую l плоскость, перпендикулярную к плоскости α.

Рис. 70 Для решения задачи необходимо через какую-нибудь точку данной прямой, например, точку М, провести перпендикуляр к плоскости α, заданной пересекающимися прямыми a и b. Проводим в плоскости α горизонталь h и фронталь v (рис. 70). Далее из точки М, взятой на прямой l, опускаем перпендикуляр n, пользуясь рассмотренным выше положением: n' ⊥ h'; n'' ⊥ v'', т.е. горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная его проекция – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 70). Плоскость β (l × n), проходящая через прямую n, будет перпендикулярна к плоскости α.

12.2. Перпендикулярные прямые Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой. На рис. 71 изображена прямая l общего положения, к которой требуется провести перпендикулярную прямую.

Рис. 71 Через точку А прямой l строим перпендикулярную к ней плоскость α (h × v): l' ⊥ h'; l'' ⊥ h'' (рис. 71). Любая прямая, лежащая в плоскости α будет также перпендикулярна к данной прямой l. Поэтому проведем в этой плоскости произвольную прямую t, на которой возьмем произвольную точку, например, точку В (рис. 71). Соединив точки А и В, лежащие в плоскости , получим прямую n, перпендикулярную к данной прямой l (рис. 71).

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1) Что называется линией наибольшего наклона плоскости? 2) Как определить угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций? 3) Как отображается на комплексном чертеже взаимная перпендикулярность прямой и плоскости? 4) Сформулировать необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых общего положения. 5) При каких условиях перпендикулярны между собой две плоскости общего положения? 6) Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой? 7) Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения? 8) Как построить взаимно-перпендикулярные плоскости?

Лекция № 13. План: 13.1. Основы теории теней 13.2. Тени от точки, линии и плоской фигуры 13.2.1. Падающая тень от точки 13.2.2. Падающая тень от прямой линии 13.2.3. Тень от плоской фигуры 13.2.4. Тень от диска

ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ 13.1. Основы теории теней Нанесением теней пользуются для придания проекционным чертежам большей наглядности. Особенно широко используются тени при оформлении архитектурных проектов, а также для решения ряда практических задач (например, для выявления освещенности наружных или внутренних частей сооружения при определенных условиях, для определения размеров сооружения по отбрасываемой им тени и т.п.). Различают собственные и падающие тени. СОБСТВЕННОЙ называется тень, которая получается на неосвещенной поверхности предмета (или объекта) при освещении его каким-либо источником света (рис. 72).

Рис. 72 ПАДАЮЩЕЙ называется тень, отбрасываемая предметом на плоскости проекций, или возникающая на поверхности предмета из-за того, что на пути лучей света расположен другой предмет. Если предмет освещается источником света, находящимся на конечном расстоянии от него (факелом, лампой, свечой), то совокупность световых лучей, падающих на предмет, образует конус или пирамиду. Такая тень называется ФАКЕЛЬНОЙ. Если же источник света находится в бесконечности, то совокупность световых лучей образует цилиндр или призму. Тень при этих условиях называется СОЛНЕЧНОЙ. НАПРАВЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ. При построении теней в ортогональных проекциях, направление l лучей света обычно принимают параллельным диагонали куба, грани которого параллельны плоскостям проекций (рис. 73).

Рис. 73 Диагональ куба АВ образует с плоскостями проекций углы, равные 35о16', а проекции ее наклонены к плоскостям H, V, и W под углом 45o. При построении теней в аксонометрии, направление лучей света, параллельное диагонали куба, не всегда дает удачное расположение светотеней; в таких случаях следует выбрать другое направление, обеспечивающее выразительность чертежа. 13.2. Тени от точки, линии и плоской фигуры 13.2.1. Падающая тень от точки Представим себе материальную точку А (рис. 74), расположенную в пространстве над плоскостью Н, которая освещается световыми лучами, идущими из бесконечности параллельно заданному направлению l. Точка А задержит один из них и отбросит теневой луч, который пересечет плоскость Н в точке АТ'. Эта точка и будет являться тенью точки А. Иными словами, тень точки является следом теневого луча. Итак, чтобы построить тень, падающую от точки на какую-либо плоскость или поверхность, необходимо через данную точку провести прямую, параллельную направлению лучей света, и определить точку пересечения этой прямой с плоскостью или поверхностью, на которую падает тень. На рис. 75а в ортогональных проекциях и на рис. 75б в аксонометрии построены тени, падающие на плоскости Н, V и P(n × m) от точек А, В и С.

Рис. 74

Рис. 75 Тень от точки А падает на плоскость Н в точке АТ' (эта точка является горизонтальным следом луча ААТ). Тень от точки В падает на плоскость V в точке BТ'' (эта точка является фронтальным следом луча АВТ). Тень от точки в аксонометрии определяется в результате пересечения луча с его вторичной проекцией. Тень ВT'' (в аксонометрии) можно построить как точку пересечения луча ВВТ с его фронтальной проекцией В''BT'' или при помощи горизонтальной проекции луча. Тень от точки С падает на плоскость P (n × m) в точке СTP (СTP', СTP”), которая определяется в результате пересечения луча ССT с заданной плоскостью Р при помощи горизонтально-проецирующей плоскости Θ.

13.2.2. Падающая тень от прямой линии Тень, падающая от прямой линии, состоит из падающих теней от всех ее точек. Лучи, проходящие через все точки прямой, образуют лучевую плоскость, а тень от прямой линии есть линия пересечения лучевой плоскости с плоскостью или поверхностью, на которую падает тень (то есть след лучевой плоскости). Тенью, падающей от прямой на плоскость, является прямая линия, поэтому для ее построения достаточно построить тени от двух точек, принадлежащих этой прямой (рис. 76).

Рис. 76 На рис. 77 построена тень на плоскости проекций от отрезка АВ на комплексном чертеже.

Рис. 77 Тени от точек А и B в этом примере падают на одну плоскость проекций V, поэтому для построения тени отрезка АВ достаточно соединить между собой полученные точки АT'' и ВT'' прямой линией. ПРИМЕР. Построить падающую тень на H и V от отрезка прямой СD (рис. 78, 79).

Рис. 78 Рис. 79 Р е ш е н и е. Тень от отрезка СD падает на две плоскости проекций и представляет собой ломаную линию CT''KXDT'. Точку перелома КX можно определить двумя способами: 1) при помощи мнимой тени (рис. 78, 79). Для этого строят тень отрезка на одну из плоскостей проекций, предполагая, что второй не существует. На рисунке сначала построена тень отрезка на плоскость Н (СT'DT'). Построенная тень пересекает ось ОХ в точке КX, в этой точке тень переломится и с одной плоскости перейдет на другую (в точку СT''). 2) при помощи тени от промежуточной точки (рис. 80).

Рис. 80 На чертеже точка перелома КX определяется при помощи тени от произвольной промежуточной точки Е (ЕT''). Тени от прямых, находящихся в частных положениях ПРИМЕР. В ортогональных проекциях заданы отрезки частного положения АВ, СD и EF. Построить тени, падающие от этих отрезков на плоскости проекций H и V (рис. 81).

Рис. 81 Р е ш е н и е. 1. Отрезок АВ занимает вертикальное положение, поэтому лучи, проходящие через все его точки, образуют вертикальную (горизонтально-проецирующую) лучевую плоскость α, которая пересечет плоскость Н по линии αH, а плоскость V – по вертикальной прямой m = m''. Следовательно, тень от вертикальной прямой линии на горизонтальной плоскости совпадает с горизонтальной проекцией (следом) лучевой плоскости. Но, так как горизонтальная проекция лучевой плоскости параллельна горизонтальной проекции луча света, то для построения тени на горизонтальной плоскости проекций (от вертикальной прямой) достаточно через горизонтальную проекцию прямой (точку) провести горизонтальную проекцию луча света. 2. Отрезок CD перпендикулярен плоскости V, поэтому проходящая через него лучевая плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. В ортогональных проекциях тень от прямой СD на плоскости V совпадает с проекцией лучевой плоскости. 3. Отрезок EF параллелен плоскости V. Его тень ET''FT'' параллельна и равна данному отрезку. В Ы В О Д Ы: 1. Тень от прямой, перпендикулярной к плоскости, совпадает с ортогональной проекцией светового луча на эту плоскость. 2. Тень, падающая на плоскость от отрезка прямой, параллельной этой плоскости, параллельна и равна отрезку прямой. На комплексном чертеже проекция тени равна и параллельна проекции отрезка. 13.2.3. Тень от плоской фигуры (непрозрачной пластинки) Чтобы построить падающую тень от плоской фигуры, ограниченной многоугольником, достаточно построить тени, падающие от всех сторон многоугольника. На рисунке 82 построена тень, падающая от треугольника АВС на плоскости проекций H и V. Тень от вершины А падает на плоскость V, а от вершины В и вершины С – на плоскость Н. Следовательно, тень от стороны ВС падает на одну плоскость Н и представ-

ляет прямую линию, а тени от сторон АВ и АС падают на две плоскости и представляют ломаные линии.

Рис. 82 Падающие тени от сторон АВ и АС можно построить при помощи промежуточных точек (как на чертеже 81) или при помощи мнимой тени (АT'), падающей от точки А на заднюю полуплоскость Н. Получив треугольник АTHВTHСTH, определяем на оси ОХ точки перелома 1 и 2 падающей тени и соединяем их с действительной тенью АTV от точки А на плоскости V. Сторона плоской фигуры, обращенная к теневому столбу, находится в тени, то есть у плоских фигур следует различать освещенную и неосвещенную стороны. Иначе говоря, плоская фигура всегда имеет собственную тень. Для выяснения освещенности сторон плоскости треугольника применяем следующий прием: обходя на исследуемой проекции периметр треугольника по часовой стрелке, замечаем порядок букв, обозначающих вершины, и сопоставляем с порядком букв, который получается при обходе по часовой стрелке контура падающей тени. Совпадение порядка букв обозначает, что на данной проекции видима освещенная сторона треугольника, несовпадение – что видима неосвещенная сторона плоскости. На рисунке контур падающей тени при его обходе по часовой стрелке дает порядок букв АT''СT''ВT''. Такой же порядок (А''С''В'') получается на фронтальной проекции. Следовательно, на V видима освещенная сторона. Горизонтальная проекция имеет обратный порядок букв (А'В'С'). Это значит, что на горизонтальной проекции к нам обращена неосвещенная сторона плоскости треугольника (сторона, находящаяся в собственной тени). Этим же приемом можно пользоваться в аксонометрии (рис. 83).

Рис. 83 . 13.2.4. Тень от диска (окружности) Если плоская фигура, бросающая тень, ограничена кривой линией, то лучи, проходящие через точки этой кривой, образуют цилиндрическую лучевую поверхность. В пересечении с плоскостью, на которую падает тень, эта поверхность дает контур падающей тени данной фигуры. Если плоскость фигуры параллельна плоскости, на которую ю падает тень, то тень равна самой фигуре (так как равны параллельные между собой основания цилиндра). На рис. 84 показано построение тени от круга, параллельного плоскости H, на плоскость H. Контуром тени является окружность тог же радиуса. Для построения тени достаточно найти тень от центра С.

Рис. 84

Для построения тени, падающей от кривой линии на произвольно расположенную плоскость, можно применить один из двух способов. 1. На кривой линии намечается достаточно большое число точек, от которых строится падающая тень. Полученные точки (падающей тени) соединяются между собой плавной кривой линией. 2. Около кривой линии описывается многоугольник, строится падающая тень от многоугольника и в нее вписывается тень кривой линии. На рис. 85 для построения падающей тени от круга, параллельного плоскости V, на плоскость Н использован описанный около него квадрат АBCD. Сначала строится падающая тень от сторон квадрата, его диагоналей и линий, проходящих через центр С параллельно сторонам квадрата, а затем вписывается в полученный параллелограмм кривая (эллипс). На рисунке эллипс проходит через восемь точек, принадлежащих одновременно падающим теням от окружности, сторон и диагоналей квадрата. Если тень от кривой линии падает на две пересекающиеся плоскости, то она будет иметь излом на линии пересечения плоскостей.

Рис. 85

Лекция № 14. План: 14.1. Тень, падающая от одной фигуры на другую 14.1. . 7.3. Тень, падающая от одной фигуры на другую 1. Метод обратных лучей 14.1. . 7.3. Тень, падающая от одной фигуры на другую 2. Метод следа светового луча (метод сечения лучевой плоскостью) 14.1. Тень, падающая от одной фигуры на другую 14.1.1. Метод обратных лучей Метод обратных лучей успешно применяется при построении теней, падающих от одной геометрической фигуры на другую, и характеризуется следующими построениями: а) строятся тени, падающие от обеих заданных фигур на какую-либо плоскость; б) выявляются точки пересечения теней от двух линий, из которых одна принадлежит контуру первой фигуры, а другая – контуру второй; в) при помощи обратных лучей (то есть лучей, параллельных лучам света, но имеющих обратное направление) “возвращаются” эти точки в пространство (на соответствующие контурные линии фигур); г) с помощью полученных точек определяется искомая тень, падающая от одной фигуры на другую. П Р И М Е Р. На рис. 86 показано применение метода обратных лучей на примере построения падающей тени от прямой на плоскость треугольника.

Рис. 86 Построены падающие тени от треугольника АВС и от прямой ED на плоскость Н. Через точки МT' и МT', общие теням прямой ED и сторонам АВ и ВС, проведены обратные лучи, пересекающие указанные прямые соответственно в точках М', М'', К' и K''. Точки М' и K' представляют собой тени от точек M'' и K'' прямой ЕD на стороны АВ и ВС. Искомая же тень будет определена точками M'K'. На рис. 87 приведено решение этой задачи в ортогональных проекциях.

. Рис. 87

14.1. . 7.3. Тень, падающая от одной фигуры на другую 2. Метод следа светового луча (метод сечения лучевой плоскостью) Метод следа луча основан на том, что тень, падающая от точки, есть след проведенного через нее луча. На рисунке 88 приведено решение задачи на построение тени от прямой АВ на плоскость Q (CDEF) в ортогональных проекциях методом следа луча (или сечения лучевой плоскости).

Рис. 88 В данном случае тень от прямой АВ на плоскость Q построена с помощью двух точек АTQ(АTQ',АTQ'') и ВTQ(ВTQ',ВTQ''), в которых пересекаются с плоскостью Q(CDEF) соответственно данная прямая и световой луч, проходящий через точку В. Плоскость β ⊥ H является лучевой плоскостью, которая проводится через луч ВВTQ для определения точки ВTQ(ВTQ',ВTQ'').

Лекция № 15. План: 15.1. Тени геометрических тел 15.1.1 Тени многогранников 15.1.2. Тени цилиндра 15.1.3. Тени конуса 15.1. Тени геометрических тел Выше говорилось, что тени делятся на собственные и падающие. Определение собственной тени сводится к нахождению ее контуров, то есть линий, отделяющих освещенную часть поверхности от неосвещенной. Контур падающей тени можно рассматривать как тень, падающую от контура собственной тени. 15.1.1 Тени многогранников На рисунке 89, 90 построены собственная и падающая тени прямой пятиугольной призмы.

Рис. 89

Рис. 90 Для определения контура собственной тени призмы необходимо установить освещенность ее граней. Так как боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости Н, то их освещенность легко определить на горизонтальной проекции, где видно, что обращены к свету две грани: EFGK и KGAB. Освещено также верхнее основание призмы. Таким образом, контуром собственной тени является ломаная ABCDEFGA, от которой построена тень, падающая на плоскости H и V по правилам, изложенным в предыдущей теме. На рисунке 91,92 приведен пример построения собственной и падающей теней правильной пятиугольной пирамиды SABCDE.

Рис. 91

Рис. 92

В отличие от прямой призмы, боковые грани пирамиды не являются горизонтально-проецирующими плоскостями, поэтому определить их освещенность непосредственно по горизонтальной проекции не всегда возможно. Строим падающую тень ST' от вершины S на плоскость Н и определяем падающие тени от боковых ребер пирамиды. Линиями контура падающей тени пирамиды оказались прямые ST'А и ST'D. Следовательно, контур собственной тени пройдет вдоль ребер SA и SD. Таким образом, в собственной тени будут находиться грани SAE, SDE и основание пирамиды. 15.1.2. Тени цилиндра Чтобы построить контур собственной тени цилиндрической поверхности, необходимо провести к этой поверхности касательные лучевые плоскости, параллельные направлению лучей света, и найти линии касания (образующие цилиндра). Вдоль этих образующих пройдет контур собственной тени. На рисунке 93 приведен пример построения собственной и падающей теней вертикально расположенного прямого кругового цилиндра. Контур собственной тени цилиндра проходит вдоль образующих АВ и CD и замыкается сверху полуокружностью АМС верхнего основания, а снизу – полуокружностью BND нижнего основания. Контур падающей тени от цилиндра состоит из падающих теней от образующих АВ и СD и падающих теней от полуокружностей АМС и BND.

Рис. 93

Падающие тени от образующих АВ и СD определяются с помощью следов αH, m, βH и n, касательных лучевых плоскостей α и β. Тени, падающие от полуокружностей АМС и BND, определяются как в примерах предыдущей темы (рис. 85). Собственную тень на вертикальном круговом цилиндре в ортогональных проекциях можно построить, не имея горизонтальной проекции цилиндра, так как известно, что расстояние от фронтальных проекций образующих АВ и CD до фронтальной проекции оси цилиндра равно радиусу цилиндр, умноженному на косинус 45о, то есть: O'B' = O'D' = 0,707 O''K'' (рис. 93). Графическим путем проекции В'' и D'' точек B и D можно найти следующим образом (рис. 93): из точек O'' и K'' проводим под углом 45 градусов к отрезку O''K'' прямые – катеты прямоугольного треугольника O''1 K''. Из точки O'' радиусом O''1 проводим полуокружность, пересекающую прямую N''K'' в искомых точках B'' и D''. 15.1.3. Тени конуса На рис. 94, 95 выполнены построения собственной и падающей теней конуса.

Рис. 94

Рис. 95 Вначале определяется тень ST' (мнимая), падающая от вершины S конуса на плоскость его основания Н; из полученной точки проводятся прямые, касательные к основанию конуса, и определяются точки касания А и В. Через эти точки проводятся образующие SA и SB, которые вместе с дугой основания АМВ образуют контур собственной тени. Касательные ST'A' и ST'B' к основанию на рис. 94, 95 являются линиями контура падающей тени конуса. Однако, это справедливо лишь в том случае, если конус стоит на плоскости, на которую падает тень. На рисунке падающая тень имеет точки изломов на оси ОХ.

Лекция № 16. План

16.1. Тени пересекающихся многогранников (от здания) 16.1. 7.4. Тени геометрических тел Выше говорилось, что тени делятся на собственные и падающие. Определение собственной тени сводится к нахождению ее контуров, то есть линий, отделяющих освещенную часть поверхности от неосвещенной. Контур падающей тени можно рассматривать как тень, падающую от контура собственной тени. Тени многогранников На рисунке 89, 90 построены собственная и падающая тени прямой пятиугольной призмы.

Рис. 89

Рис. 90 Для определения контура собственной тени призмы необходимо установить освещенность ее граней. Так как боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости Н, то их освещенность легко определить на горизонтальной проекции, где видно, что обращены к свету две грани: EFGK и KGAB. Освещено также верхнее основание призмы. Таким образом, контуром собственной тени является ломаная ABCDEFGA, от которой построена тень, падающая на плоскости H и V по правилам, изложенным в предыдущей теме. На рисунке 91,92 приведен пример построения собственной и падающей теней правильной пятиугольной пирамиды SABCDE.

Рис. 91 Рис. 92 В отличие от прямой призмы, боковые грани пирамиды не являются горизонтальнопроецирующими плоскостями, поэтому определить их освещенность непосредственно по горизонтальной проекции не всегда возможно. Строим падающую тень ST' от вершины S на плоскость Н и определяем падающие тени от боковых ребер пирамиды. Линиями контура падающей тени пирамиды оказались прямые ST'А и ST'D. Следовательно, контур собственной тени пройдет вдоль ребер SA и SD. Таким образом, в собственной тени будут находиться грани SAE, SDE и основание пирамиды. Тени цилиндра Чтобы построить контур собственной тени цилиндрической поверхности, необходимо провести к этой поверхности касательные лучевые плоскости, параллельные направлению лучей света, и найти линии касания (образующие цилиндра). Вдоль этих образующих пройдет контур собственной тени. На рисунке 93 приведен пример построения собственной и падающей теней вертикально расположенного прямого кругового цилиндра. Контур собственной тени цилиндра проходит вдоль образующих АВ и CD и замыкается сверху полуокружностью АМС верхнего основания, а снизу — полуокружностью BND нижнего основания. Контур падающей тени от цилиндра состоит из падающих теней от образующих АВ и СD и падающих теней от полуокружностей АМС и BND.

Рис. 93 Падающие тени от образующих АВ и СD определяются с помощью следов H, m, H и n, касательных лучевых плоскостей и . Тени, падающие от полуокружностей АМС и BND, определяются как в примерах предыдущей темы (рис. 85). Собственную тень на вертикальном круговом цилиндре в ортогональных проекциях можно построить, не имея горизонтальной проекции цилиндра, так как известно, что расстояние от фронтальных проекций образующих АВ и CD до фронтальной проекции оси цилиндра равно радиусу цилиндр, умноженному на косинус 45о, то есть: O'B' = O'D' = 0,707 O''K'' (рис. 93). Графическим путем проекции В'' и D'' точек B и D можно найти следующим образом (рис. 93): из точек O'' и K'' проводим под углом 45 градусов к отрезку O''K'' прямые — катеты прямоугольного треугольника O''1 K''. Из точки O'' радиусом O''1 проводим полуокружность, пересекающую прямую N''K'' в искомых точках B'' и D''. Тени конуса На рис. 94, 95 выполнены построения собственной и падающей теней конуса.

Рис. 94

Рис. 95 Вначале определяется тень ST' (мнимая), падающая от вершины S конуса на плоскость его основания Н; из полученной точки проводятся прямые, касательные к основанию конуса, и определяются точки касания А и В. Через эти точки проводятся образующие SA и SB, которые вместе с дугой основания АМВ образуют контур собственной тени.

Касательные ST'A' и ST'B' к основанию на рис. 94, 95 являются линиями контура падающей тени конуса. Однако, это справедливо лишь в том случае, если конус стоит на плоскости, на которую падает тень. На рисунке падающая тень имеет точки изломов на оси ОХ. 7.5. Тени пересекающихся многогранников (от здания) Тени пересекающихся многогранников (от здания) При решении задач на построение теней пересекающихся многогранников не ограничиваются определением контуров собственных теней данных поверхностей и падающих теней от них на плоскости проекций. Задачи завершаются построением падающих теней от неосвещенных граней одного тела на пересекающиеся с ними освещенные грани второго. Каждая линия искомого контура будет представлять собой пересечение лучевой плоскости, проходящей через ребро неосвещенной грани одного многогранника, с освещенной гранью второго. Таким образом, в основе всех построений будет решение задачи об определении тени от прямой на плоскости, где для ее решения используется метод обратных лучей. Такая задача рассматривалась на рис. 86 и 87. На рис. 96, 97 изображены два взаимно пересекающихся многогранника (в ортогональных проекциях и аксонометрии). Прежде всего строим контуры их падающих теней на плоскость Н, по которым определяем собственные тени. Затем нужно установить, имеют ли место случаи, когда неосвещенная грань одного тела пересекает освещенную грань другого. При построении падающей тени от грани DCI'E' левой призмы на грань I'M'NF правой, воспользуемся обратными лучами, которые проведены через точки I' и П'. Метод обратных лучей является весьма удобным, но не единственным при построении тени от многогранника на многогранник. В некоторых случаях рационально использовать точки пересечения ребер с гранями, на которые падает тень от данного ребра. Эти точки не всегда могут быть в пределах контура грани. На рисунке тень от ребра СD левой призмы на грань FNG'1' правой построена с помощью точек DТ и III. Точка DT(DT',DT'') представляет собой падающую тень от вершины D на грань FNG'1'. Тень от ребра DE' на грань FNG'1' построена при помощи точек DT(DT',DT'') и IV(IV,IV''). Последняя построена в результате пересечения продолженных за пределы своих контуров граней DCI'E' и 1'FNG'.

Рис. 96

Рис. 97

Лекция № 17. План: 17.1. Тени на фасадах зданий 17.1.1. Построение теней в нишах 17.1.2. Тени от выступов

17.1. Тени на фасадах зданийТени на фасадах зданий Построение теней на фасадах зданий основано на определении точек пересечения световых лучей с вертикальными плоскостями фасада или с наклонными скатами крыши. Определяя контур падающей тени, который является параллельной проекцией контура собственной тени, рекомендуется пользоваться следующими правилами. 1. Тень от плоской фигуры, падающая на параллельную ей плоскость, равна самой фигуре. 2. Тень отрезка прямой на параллельную ему плоскость равна и параллельна самому отрезку. 3. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то тень прямой на этой плоскости совпадает с направлением проекции луча. 17.1.1. Построение теней в нишах ПРИМЕР 1. На рис. 98, 99 в аксонометрии и в ортогональных проекциях изображена прямоугольная ниша, в которой необходимо построить собственные и падающие тени.

Рис. 98 Расположение граней таково, что в собственной тени находятся левая боковая и верхняя грани, поэтому собственная тень ограничена ломаной линией ABCDEFA.

Так как отрезки CD, DE, EF, FA являются внутренними ребрами ниши, то они входят одновременно и в контур падающей тени, то есть проходят по границе, отделяющей собственную тень от падающей. Строить падающую тень необходимо лишь от ребер АВ и ВС.

Рис. 99 ПРИМЕР 2. На рис. 100 дана ниша, перекрытая полуциркульной аркой. Контуром собственной тени в этом примере является линия ABDEFKA, в состав которой входит образующая цилиндра DE. Последняя определяется как линия касания к цилиндрической поверхности арки касательной лучевой плоскостью Θ, перпендикулярной к V.

Рис. 100 На участке DEFKA контур собственной тени одновременно является также контуром падающей тени. Начинать построение падающей тени целесообразно с определения условной падающей тени СT'' от центра С полуокружности G. Из полученной точки СT'' описываем дугу окружности в пределах от точки ВT'' до точки NT''. В точке ВT'' к этой дуге примыкает вертикальная тень ВT''АT'' ребра АВ. 17.1.2. Тени от выступов На рис. 101, 102 изображена модель части стены здания с вертикальными выступающими углами АВ и CD и с горизонтальным пояском. Здесь в собственной тени находятся боковые грани, видимые в аксонометрии, и нижняя горизонтальная грань пояска. Построение теней, падающих от вертикальных выступов АВ и CD на фронтальные плоскости стены, а также тени, падающей на стену от прямолинейной фронтальной части пояска, не представляет трудностей. Несколько сложнее форма падающей тени в месте огибания пояском выступа CD. Построение падающей тени в этом месте следует расчленить на две самостоятельные задачи.

Рис. 101

Рис. 102 1. Построение тени, падающей от вертикального ребра на стену здания и на поясок (здесь повторяются построения, выполняемые при определении тени, падающей от ребра АВ). 2. Построение тени, падающей на стену и поясок от выступа (излома) пояска.

Лекция № 18. П л а н: 18.1. Общие сведения. 18.2. Замена плоскостей проекций.

МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 18.1. Общие сведения В рассмотренных задачах определялось взаимное расположение в пространстве геометрических фигур. Такие задачи называют п о з и ц и о н н ы м и . В практике встречаются задачи, в которых требуется определить истинную величину, например, отрезка, угла и др. Такие задачи называют м е т р и ч е с к и м и . Для того чтобы найти истинную величину фигуры, ее располагают параллельно одной из плоскостей проекций. При этом фигуру можно перевести из общего положения в частное либо вращением самой фигуры, либо заменой положения плоскостей проекций (H и V). Необходимо заметить, что эти способы применяют не только для определения истинных величин фигур, но и с целью упрощения решения задач. 18.2. Замена плоскостей проекций Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что при неизменном положении объекта в пространстве производится замена данной системы плоскостей проекций новой системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (рис. 103).

Рис. 96 При переходе к новой системе одну из плоскостей проекций заменяют новой таким образом, чтобы данный геометрический элемент (прямая, плоскость) занял частное положение и проецировался без искажения. При решении ряда задач, например, требуется преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, а затем – в проецирующую, выполнив при этом последовательно два преобразования. Рассмотрим ход решения этой задачи.

Рис. 97 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (рис. 104,а). Для того, чтобы прямая АВ стала линией уровня, следует ввести новую плоскость проекций и расположить ее параллельно данной прямой. При этом новая ось x1 будет параллельна одной из проекций прямой. Проведем ось параллельно горизонтальной проекции АВ. Новая плоскость проекций V1 расположится параллельно прямой АВ, которая проецируется на эту плоскость в истинную величину∗ П р а в и л о: при замене плоскостей проекций расстояние от новой проекции точки до новой оси равно расстоянию от заменяемой проекции точки до старой оси проекций. Иными словами, высоты (аппликаты) концов отрезка в новой системе плоскостей проекций останутся прежними. В результате этой замены решена задача на определение действительной величины отрезка и угла наклона α к плоскости H. На чертеже плоскость V1 совмещают с плоскостью H. 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (рис. 104,á). Для того, чтобы прямая АВ оказалась проецирующей, т.е. изобразилась точкой, необходимо произвести вторую замену плоскости проекций и расположить новую плоскость H1 перпендикулярно прямой. Новую ось x2 располагаем перпендикулярно новой фронтальной проекции прямой А"1В"1. На новой плоскости проекций Н1 прямая изобразится точкой, так как координаты концов отрезка в системе Н/V1 одинаковы. Таким образом, прямая АВ в системе H1/V1 стала проецирующей относительно плоскости H1. Преобразования в этой задаче могли быть выполнены и в другой последовательности: сначала могла быть заменена горизонтальная плоскость проекций, а затем – фронтальная. Рассмотрим еще одну задачу – требуется определить истинную . величину плоской фигуры – треугольника АВС, занимающего в пространстве общее положение. Для решения этой задачи необходимо преобразовать чертеж (эпюр) так, чтобы плоскость общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы∗. Сначала заменим фронтальную плоскость проекций новой плоскостью V1, перпендикулярной плоскости треугольника. Это условие выполнено с помощью вспомогательной прямой – линии уровня (горизонталь AN) (рис. 105). Новая ось x1 проводится перпен∗

Новая ось x1 и плоскость проекции V1 могут быть расположены на любом расстоянии от прямой, они могут совпадать с прямой и ее проекцией ∗ Сначала следует преобразовать плоскость общего положения в проецирующую, а затем – в плоскость уровня.

дикулярно горизонтальной проекции горизонтали. На новой плоскости проекций V1 горизонталь спроецировалась в точку, а плоскость треугольника – в линию. Угол α определяет угол наклона треугольника к горизонтальной плоскости H.

Рис. 98 На втором этапе решения задачи проводим вторую замену – новую плоскость проекций H1 устанавливаем параллельно треугольнику. Новóю ось x2 проводим параллельно новой фронтальной проекции треугольника – прямой b1a1c1. Построенная проекция определяет истинную величину и форму треугольника. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ Сущность способа вращения также состоит в изменении положения объекта, заданного на комплексном чертеже (эпюре), таким образом, чтобы определенные его элементы заняли относительно плоскостей проекций частное положение и проецировались без искажения. Вращение может производится вокруг осей, расположенных относительно плоскостей проекций различным образом.

Лекция № 19. План: 19.1. Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций. 19.2. Плоскопараллельное движение. 19.1. Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций П р а в и л о: При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, одна ее проекция перемещается по окружности, а вторая – по прямой, перпендикулярной проекции оси вращения (рис. 106). При вращении вокруг оси i, перпендикулярной H, точка А будет перемещаться по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости P. Эта окружность спроецируется на плоскость H в истинную величину, а на плоскость V – в отрезок прямой, расположенный на следе PV плоскости P (т.е. перпендикулярный i''). Двойное вращение вокруг проецирующих осей приводит обычно к тому, что последующие построения и новая проекция накладываются на заданную проекцию, что затрудняет чтение эпюра. Этого недостатка лишен способ плоскопараллельного перемещения.

Рис. 99

19.2. Плоско-параллельное движение Плоско-параллельное движение (ППД) представляет собой вращение без указания осей. На рис. 107 показано применение ППД для определения натуральной величины треугольника АВС.

Рис. 100 ПЕРВЫМ ПОВОРОТОМ треугольник приведен в положение А1В1С1, перпендикулярное к плоскости H. Построение выполнено с помощью фронтали А1, которая вращением вокруг оси, перпендикулярной к плоскости V, расположена перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекций H (рис. 107). Так как фронтальные проекции проецируемого объекта, вращаемого вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций V, не изменяют ни своей формы, ни величины, фронтальная проекция А"В"С" отнесена параллельно самой себе на свободное место чертежа (рис. 107). Горизонтальная проекция А'B'C' получена путем проведения линий связи от фронтальной проекции А"В"С" и переноса глубины (координата y) каждой вершины треугольника. ВТОРЫМ ПОВОРОТОМ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости H, А1В1С1 приведен в положение А2В2С2, параллельное фронтальной плоскости V, при котором горизонтальная проекция А'B'C' будет параллельна оси x. Эта проекция отнесена на чертеже (рис. 107) вправо путем параллельного перемещения на удобное место. Проведя через точки А"2В"2С"2 линии связи (перпендикулярно оси x) и перенося высоты (координаты z) точек А, В, С, находим точки А'2В'2С'2 Соединяя эти точки последовательно прямыми, получим треугольник А”В”С”, являющийся натуральной величиной треугольника АВС (рис. 107).

Лекция № 20. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ П л а н: 20.1. Линия 20.1.1. Винтовая линия 20.2. Поверхность 20.2.1. Поверхности линейчатые 20.2.2. Поверхности линейчатые развертывающиеся 20.2.3. Поверхности линейчатые неразвертывающиеся 20.2.4. Поверхности нелинейчатые 20.2.5. Поверхности параллельного переноса, вращения 20.1. ЛИНИЯ ЛИНИЯ – это множество всех последовательных положений движущейся точки. Евклид: “Линия же – длина без ширины”. Прямая – разновидность линии, которая получается, если движущаяся точка не изменяет направления движения. Кривая – разновидность линии, которая получается, если движущаяся точка изменяет направление движения. Плоские линии – линии, все точки которых принадлежат одной плоскости. Пространственные линии (линии двоякой кривизны) – линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости (например, линии пересечения поверхностей). Алгебраические линии определяются алгебраическими уравнениями в декартовой системе координат (окружность, эллипс, парабола, гипербола и др.). Трансцендентные линии описываются трансцендентными уравнениями (синусоида, спираль Архимеда и др.). Если алгебраическое уравнение линии n-й степени, то алгебраическая кривая считается n-го порядка, то есть ПОРЯДКОМ КРИВОЙ называют наибольшую степень ее уравнения. Геометрически порядок плоской кривой определяется наибольшим числом точек ее пересечения с прямой, лежащей в плоскости кривой, а для пространственной кривой – пересечением ее с плоскостью. Для алгебраических кривых это число точек всегда конечно. Для трансцендентных – бесконечно. Например, для эллипса (рис. 108) x2/a2 + y2/b2 = 1 имеем n = 2, т.е. это – кривая второго порядка.

Рис. 101 Рис. 102 Для синусоиды (рис. 109) y = sin x имеем n = ∞.

Кривые бывают закономерные и незакономерные, как, например, горизонтали на географической карте. 20.1.1. Винтовая линия Пространственная кривая, широко применяемая в технике. Ц и л и н д р и ч е с к а я винтовая линия – пространственная кривая, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки: вращения вокруг оси и поступательного движения вдоль прямой, параллельной этой оси (рис. 110).

Рис. 103 p – шаг винтовой линии или расстояние между двумя ее соседними витками в направлении, параллельном оси i. Шаг определяет величину перемещения точки в направлении оси за один оборот этой точки вокруг оси. Проекция цилиндрической винтовой линии на горизонтальную плоскость проекций (при i ⊥ H) – окружность, на фронтальную плоскость проекций – синусоида. Отрезок [1o1o1] – развертка цилиндрической винтовой линии. ϕo – угол подъема винтовой линии. P P ϕ° = arctg = arctg πD 11101 Цилиндрические винтовые линии бывают правые и левые. Основание для такого деления – направление движения точки, спускающейся по винтовой линии. Если проекция этого направления на плоскость, перпендикулярную к оси винтовой линии, совпадает с направлением движения часовой стрелки – винтовая линия ПРАВАЯ. В противном случае – ЛЕВАЯ. К о н и ч е с к а я винтовая линия – пространственная кривая, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки: вращения вокруг оси и поступательного движения вдоль прямой, пересекающейся с этой осью (рис. 111).

Рис. 104 При i ⊥ H горизонтальная проекция конической винтовой линии – архимедова спираль, фронтальная – затухающая синусоида. 20.2. ПОВЕРХНОСТИ С житейской точки зрения поверхность – внешняя сторона предметов. Так утверждают толковые словари. Евклид: “Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину”. В технической практике принято рассматривать образование поверхности (как и линии) с позиций кинематики – движения. ПОВЕРХНОСТЬ – это множество последовательных положений движущейся линии – образующей. Образующая может сохранять свою форму или изменять ее – деформироваться. Закон перемещения образующей определяется направляющими линиями, по которым скользит образующая и характером движения образующей. Например, поверхности Каталана (названы так по имени бельгийского ученого, их исследовавшего), или – поверхности с плоскостью параллелизма. Прямолинейная образующая “a” перемещается – скользит по двум направляющим – “n” и “m”, оставаясь параллельной плоскости параллелизма α. Для изображения поверхности на чертеже, используют КАРКАС – множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае хотя бы одна линия каркаса. Проекции каркаса можно построить, если известен определитель поверхности. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ – совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.

Различают две части определителя: – геометрическая часть указывает на геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью которых образовывается поверхность; обозначается (Г); – алгоритмическая (описательная) часть содержит указания о характере изменения образующей и законе ее перемещения; обозначается [A]. Таким образом, определитель пишется в следующей форме: Φ(Г)[A] Определитель находят, исходя из кинематического способа образования поверхности. Например, для поверхностей Каталана: Φ(m,n)[a || α] Для задания этих поверхностей на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих m и n и положение плоскости параллелизма α (рис. 112).

Рис. 105 В геометрическую часть определителя не записывают образующую a. Поверхность линейчатая (образующая – прямая линия). Поэтому априорно известно, что а – прямая. В алгоритмической части содержится указание, что поверхность Каталана является поверхностью с плоскостью параллелизма. Поэтому в геометрическую часть определителя не записывают также и плоскость параллелизма. 20.2.1. Поверхности линейчатые Л и н е й ч а т ы е поверхности – поверхности, образующей которых является прямая. Они могут быть развертывающиеся и неразвертывающиеся. Р а з в е р т ы в а ю щ и е с я поверхности – поверхности, которые после разреза их, например, по образующей, можно односторонне совместить с плоскостью без появления разрывов и складок (рис. 113).

Рис. 106 Н е р а з в е р т ы в а ю щ и е с я поверхности – поверхности, которые нельзя совместить таким образом с плоскостью. У развертывающихся поверхностей смежные образующие параллельны или пересекаются. У неразвертывающихся поверхностей смежные образующие скрещиваются. 20.2.2. Поверхности линейчатые развертывающиеся Эти поверхности делятся на три вида: – с одной направляющей и вершиной в собственной точке; – с одной направляющей и вершиной в несобственной точке; – с ребром возврата (торсы). К поверхностям с одной направляющей и вершиной в собственной точке относятся коническая (направляющая – кривая) (рис. 114) и пирамидальная (направляющая – ломаная) (рис. 115). Определитель имеет вид: Φ(m)[(Sa ∈m);(a ∋S)], ~ или m $ . причем “m” может быть соответственно m

Рис. 107 Рис. 108 К поверхностям с одной направляющей и вершиной в несобственной точке относятся цилиндрическая (направляющая – кривая) (рис. 116) и призматическая (направляющая – ломаная) (рис. 117).

Рис. 109 Рис. 110 Определитель имеет вид: Φ(m)[(S∞ ; (a || S)], ~ или m $ . причем “m” может быть соответственно m Поверхность с ребром возврата имеет одну направляющую – пространственную кривую (ребро возврата). Образующая во всех своих положениях касательна к ребру возврата (рис. 118).

Рис. 111 Определитель имеет вид: Φ(m)[a U m] 20.2..3. Поверхности линейчатые неразвертывающиеся Наиболее распространены в этой разновидности поверхностей поверхности Каталана или поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма. Образующие параллельны этой плоскости. Обычно принимают, что плоскости параллелизма совпадают с одной из плоскостей проекций, т.е. α || H или α || V. В числе поверхностей Каталана различают: цилиндроид, коноид и косую плоскость или гиперболический параболоид. Ц и л и н д р о и д образуется, когда обе направляющие – кривые. Его определитель имеет вид: ~ ,~ n )[a || α] Φ( m Цилиндроид общего вида и пример применения этого вида поверхности для соединения двух трубопроводов одинакового диаметра, оси которых пересекаются под некоторым углом, показаны на рисунке 119 и рисунке 120.

Рис. 112 Рис. 113 Для случая (рис. 119) определитель имеет вид: ~ ,~ n )[a || H] Φ( m Для случая (рис. 120) определитель имеет вид: ~ ,~ Φ( m n )[a || V] К о н о и д образуется, когда одна направляющая – прямая, другая – кривая. Определитель имеет вид: ~ , n )[a || α] Φ( m На рисунках показаны коноид общего вида (рис. 121), коноид, у которого прямая направляющая перпендикулярна плоскости параллелизма (прямой коноид) (рис. 122) и аксонометрическая проекция, поясняющая происхождение названия “коноид”(рис. 123).

Рис. 114

Рис. 115

Рис. 116 К о с а я п л о с к о с т ь или гиперболический параболоид образуется, когда обе направляющие – прямые (скрещивающиеся). Для случая (рис. 124) определитель имеет вид: Φ( m , n )[a || H] Наглядное изображение косой плоскости показано на рис. 125.

Рис. 117 Рис. 118 Здесь a || H, то есть определитель имеет вид: Φ( m , n )[a || H] Наглядное изображение косой плоскости при a || V показано на рис. 126

Рис. 119 Здесь m и n лежат в плоскостях, параллельных плоскости W. Определитель имеет вид:

Φ( m , n )[a || V] 20.2.4. Поверхности нелинейчатые

Различают нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида и с образующей постоянного вида. Поверхности с образующей переменного вида имеют определитель Φ(a, m)[A, A1], где a – образующая переменного вида; m – направляющая; A – закон перемещения образующей по направляющей; A1- закон изменения формы образующей. Примером нелинейчатой поверхности с образующей переменного вида может служить каналовая поверхность (рис. 127).

Рис. 120

К а н а л о в а я поверхность – поверхность, образованная каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений монотонно изменяются в процессе их перемещения по направляющей. Плоскости образующих ориентируют в инженерной практике двумя способами: – параллельно какой-либо плоскости (каналовые поверхности с плоскостью параллелизма); – перпендикулярно к направляющей линии (нормальные или прямые каналовые поверхности). Нормальная каналовая поверхность показана на рис. Ц и к л и ч е с к а я поверхность – частный случай каналовой (рис. 128).

Рис. 121 Она образуется окружностью, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. Поверхность с образующей постоянного вида имеет определитель Φ(a, m)[A], где a – образующая; m – направляющая; A – закон перемещения образующей. Примером является т р у б ч а т а я поверхность, которая получается при движении центра окружности постоянного диаметра (образующая) по криволинейной направляющей; плоскость окружности все время остается перпендикулярной к направляющей (рис. 129).

Рис. 122 По форме образующей – частный случай циклической поверхности. По закону движения образующей – частный случай каналовой поверхности. Трубчатая поверхность может быть получена движением сферы постоянного диаметра. 20.2.5. Поверхности параллельного переноса, вращения и винтовые Классификация поверхностей по форме образующей (линейчатые и нелинейчатые) учитывает геометрическую часть определителя. По характеру алгоритмической части оп-

ределителя, т.е. по закону движения образующей (как прямой, так и кривой линии) можно выделить поверхности: – параллельного переноса, которые образуются поступательным перемещением образующей линии; – вращения, образованные вращательным перемещением образующей линии; – винтовые, образованные винтовым перемещением образующей. Эти поверхности имеют широкое применение в машиностроении как наиболее экономичные в связи с удобством формообразования на станках, например, строганием или фрезерованием (некоторые поверхности параллельного переноса), точением на токарном (поверхности вращения) или токарно-винторезном (винтовые поверхности) станке. Иногда эти поверхности называют кинематическими поверхностями, поскольку в основу их классификации положен характер движения образующей. ПОВЕРХНОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная параллельным переносом образующей линии. Параллельный перенос – такое перемещение фигуры, при котором все точки перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Простейшим примером поверхности параллельного переноса может служить цилиндрическая (призматическая) поверхность, если рассматривать ее как образованную поступательным перемещением направляющей кривой (ломаной) линии (рис. 116 и рис. 117) по образующей, т.е. по направлению s . Причем здесь направляющая цилиндрической (призматической) поверхности становится образующей поверхности параллельного переноса, а образующая – направляющей этой поверхности. В общем случае у поверхности параллельного переноса, имеющей определитель Φ(a, m)[A], где a – образующая; m – направляющая; [A]– условие параллельного перемещения точек образующей, направляющая может быть кривая, в отличие от цилиндрической (призматической) поверхности переноса, где направляющая, очевидно – прямая.

Лекция № 21. План 21.1. Поверхности вращения 21.2.Поверхности винтовые 21.1. Поверхности вращения Поверхность вращения общего вида – поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси. Определитель поверхности вращения: Φ(a, i)[A], где a – образующая; i – ось вращения; [A] – условие о том, что образующая “а” вращается вокруг оси i. Каждая точка образующей а(A,B,C,D,E) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями. Наибольшая параллель – экватор. Наименьшая параллель – горло (горловина). Плоскости, проходящие через ось i , называют меридиональными (плоскость α на рис. 130).

Рис. 123 Линии пересечения меридиональных плоскостей с поверхностью называют меридианами. Меридиональная плоскость α1, параллельная плоскости проекций, называется главной меридиональной плоскостью. Линия ее пересечения с поверхностью – главный меридиан. Частные виды поверхностей вращения

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в машиностроении. Это объясняется наибольшей простотой обработки их на станках, даже по сравнению с поверхностями параллельного переноса или винтовыми. Особенно распространены поверхности, образованные вращением прямой линии или окружности (части окружности). Линейчатые поверхности вращения (поверхности, образованные вращением прямой) Возможны три случая расположения прямой образующей а относительно оси вращения i – образующая параллельна оси вращения, пересекает ось или скрещивается с нею. Соответственно имеются три вида линейчатых поверхностей вращения (рис 131): – цилиндр вращения; – конус вращения; – однополостный гиперболоид вращения.

Рис. 124 Цилиндр вращения образуется вращением прямолинейной образующей а при условии, что а || i , где i – ось вращения (рис. 131à). Конус вращения образуется вращением прямолинейной образующей а при условии, что а I i = S, где i – ось вращения, S – вершина конуса (рис. 131б). Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямолинейной образующей а вокруг оси вращения i при условии, что a i (рис. 131в). Однополостный гиперболоид вращения также может быть образован вращением гиперболы вокруг своей мнимой оси. Однополостный гиперболоид вращения имеет два семейства образующих – а и а1. Цилиндр, конус и однополостный гиперболоид вращения – поверхности второго порядка. Поверхности, образованные вращением окружности В зависимости от взаимного расположения окружности и оси вращения можно получить различные поверхности (рис. 132).

а)

б)

в)

Рис. 125 Т о р (рис. 132а). Образуется вращением окружности а вокруг оси i, принадлежащей плоскости этой окружности а, но не проходящей через ее центр О. Это поверхность четвертого порядка. С ф е р а (рис. 132б) – частный случай тора, когда центр О принадлежит оси вращения. Поверхность второго порядка.

Рис. 126 Г л о б о и д (рис. 132в). Образующая – дуга окружности, обращенная выпуклостью к оси. Ортогональные проекции тора, сферы, глобоида и построение проекций точки, принадлежащей названным поверхностям, показаны на рисунках 133, 134 и 135.

Рис. 127

Рис. 128

21.2. Поверхности винтовые Винтовая поверхность получается винтовым перемещением образующей. Как известно, винтовое перемещение характеризуется вращением вокруг оси и одновременно поступательным движением, параллельным этой оси. В зависимости от формы образующей, винтовые поверхности бывают линейчатые и нелинейчатые. Винтовые поверхности широко применяются в машиностроении (резьба крепежных изделий, ходовых винтов, шнеков и др.). Определитель винтовой поверхности: Φ(a, m)[A], где a – образующая (кривая или прямая); m – направляющая – винтовая линия; [A] – указания о характере винтового перемещения образующей. Линейчатые винтовые поверхности называют ГЕЛИКОИДАМИ. Если образующая пересекает ось, геликоид называют закрытым. Если она скрещивается с осью, геликоид – открытый. В зависимости от угла наклона образующей к оси, геликоиды различают – прямые, когда угол равен 90о; – косые, когда угол произвольный, отличный от 0о и 90о. На рис. 136 показан закрытый прямой геликоид. Закрытый косой геликоид изображен на рис. 137. Закрытый прямой геликоид иногда называют винтовым коноидом. Почему? Для ответа следует сравнить рис. 137 и рис. 122.

Рис. 129

Рис. 130

Лекция № 22. План: 22.1. Пересечение плоскости с поверхностью многогранника. 22.2. Пересечение плоскостью поверхности вращения.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ 22.1. Пересечение плоскости с поверхностью многогранника Линией пересечения поверхности многогранника плоскостью является плоский многоугольник. Его вершины являются точками пересечения ребер с заданной плоскостью, а стороны – линиями пересечения граней с секущей плоскостью. Таким образом, построение сечения многогранника плоскостью сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линии пересечения плоскостей. Плоская фигура, которая получается при пересечении многогранника плоскостью, называется сечением. Построение сечений значительно упрощается, если один из пересекающихся элементов (секущая плоскость или пересекаемая поверхность) занимают проецирующее положение и одна проекция сечения известна. На рис. 138 показано сечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью Р. Фронтальная проекция A” сечения совпадает с фронтальным следом PV секущей плоскости. Проведя линии связи до горизонтальных проекций соответствующих ребер многогранника, получим горизонтальную проекцию сечения А'B'C'.

Рис. 131 На рис. 139 показано сечение прямой четырехугольной призмы плоскостью общего положения. Секущая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью. Боковые грани призмы – горизонтально-проецирующие плоскости. Следовательно, горизонтальная проекция сечения известна, она совпадает с горизонтальной проекцией боковых граней и ребер призмы.

Рис. 132 Для построения фронтальной проекции сечения необходимо спроецировать точки 1', 2', 3' и 4', принадлежащие секущей плоскости, на фронтальную проекцию. Воспользуемся какой-либо линией уровня, например фронталью. Проводим через точки 1', 2', 3' и 4' горизонтальные проекции фронталей, а затем строим их фронтальные проекции. В пересечении с соответствующими фронтальными проекциями ребер получим искомые проекции точек пересечения ребер с плоскостью. Соединив полученные точки прямыми в последовательности, которая задана горизонтальной проекцией и определив невидимые участки сечения, закончим построение. 22.2. Пересечение плоскостью поверхности вращения Линия пересечения кривой поверхности плоскостью представляет собой плоскую кривую линию (сечение), для построения которой необходимо определить отдельные точки сечения и соединить и последовательно плавной кривой. Построение точек сечения поверхности вращения, как правило, начинают с определения опорных точек. К ним относятся следующие точки: высшая и низшая, ближайшая и наиболее удаленная, точки видимости и др. Остальные точки (промежуточные) находятся либо по линиям связи, т.е. без дополнительных построений, либо с применением вспомогательных секущих плоскостей. Пример 1. На рис. 140 даны поверхность вращения и фронтальнопроецирующая плоскость Р. Построить проекции и истинный вид сечения поверхности плоскостью.

Рис. 133 Сначала находим опорные точки линии пересечения, а потом ряд промежуточных ее точек. Опорными точками являются: точки 1 и 2 – точки встречи главного меридиана с плоскостью Р (одновременно это высшая и низшая, крайняя левая и крайняя правая точки сечения); точки 3 и 4 – точки встречи экватора с плоскостью Р (ближайшая и наиболее удаленная точки сечения). Указанные точки являются также точками границ видимости линии сечения соответственно на фронтальной и на горизонтальной проекции. Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (β1,β2,β3), каждая из которых пересекает поверхность вращения по окружности соответствующего радиуса, а плоскость Р – по горизонтали, перпендикулярной плоскости V. На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проекциями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек.

Лекция № 23. План: 23.3. Конические сечения. 23.3. Конические сечения Коническими сечениями называются линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью. К числу этих линий относятся следующие: окружность, двойная прямая, две пересекающиеся прямые, эллипс, парабола, гипербола. Простейшим коническим сечением является точка. Рассмотрим все виды конических сечений и условия, при которых они получаются, на примере конуса вращения, пересеченного проецирующими плоскостями рис. 141: 1) точка S, когда плоскость α пересекает только вершину конуса (рис. 141а); 2) окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рис. 141б); 3) двойная прямая, когда секущая плоскость является предельной, т. е. касательной к поверхности конуса (рис. 141в); 4) две пересекающиеся прямые, когда секущая плоскость проходит через вершину (рис. ); 5) эллипс, когда плоскость пересекает все образующие конуса и когда она не перпендикулярна его оси (рис. 141а).

Рис. 134

Признак, при котором получится эллипс, может быть выражен еще иначе. Обозначим половину угла при вершине конуса через ϕ, а угол наклона секущей плоскости к оси конуса – через ψ. Тогда ψ o > ϕo. Для построения фронтальной проекции эллипса вначале отмечаем опорные точки А и В. Отрезок А”В”– фронтальная проекция большой оси эллипса (всей фигуры сечения). Горизонтальная проекция эллипса строится по фронтальной. Для этого отрезок А”В” делится точкой С” пополам. В точку С”≡D” спроецируется малая ось эллипса, перпендикулярная к плоскости проекций V. Для построения горизонтальных проекций промежуточных точек проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (β1,β2,β3), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности соответствующего радиуса, а плоскость α – по горизонтали, перпендикулярной плоскости V. На пересечении горизонтальных проекций окружностей с горизонтальными проекциями горизонталей находятся горизонтальные проекции искомых точек. Натуральная величина эллипса может быть легко построена методом замены плоскостей проекций. Для этого на произвольном расстоянии проведена ось симметрии фигуры сечения (большая ось эллипса), параллельно фронтальному следу проецирующей плоскости α, и в обе стороны от нее перпендикулярно отложены величины, взятые с горизонтальной проекции фигуры сечения (так как горизонтальные проекции хорд эллипса, параллельные его малой оси, равны их натуральной величине) (рис. 142).

Рис. 135 6) Парабола, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса; в этом случае ψ угол между плоскостью и осью конуса равен углу ϕ между образующей и осью конуса (рис. 143). Фронтальная проекция параболы сливается со следом α1 секущей плоскости. Для построения горизонтальной проекции параболы проводим ряд вспомогательных горизонтальных плоскостей (β1,β2), каждая из которых пересекает поверхность конуса по окружности, а плоскость α -- по горизонтали, перпендикулярной к плоскости V. В пересечении горизонтальных проекций этих горизонталей с горизонтальными проекциями соответствующих окружностей получаем точки D', E', J', K'. Горизонтальную проекцию A' вершины параболы, а также горизонтальные проекции B' и C' точек, принадлежащих одновременно и окружности основания конуса получаем непосредственно, проводя линии из точек A'' и B''≡ C'' (рис. 143). Натуральная величина параболы строится аналогично натуральной величине эллипса (рис. 143).

Рис. 136 7) Гипербола, когда секущая плоскость параллельна оси конуса (рис. 144). В этом случае угол ϕ равен нулю. Так как секущая плоскость α - профильная плоскость, фронтальная и горизонтальная плоскости гиперболы являются отрезками прямых. Точки A'' и P'' являются фронтальными проекциями вершин параболы. Их горизонтальные проекции A'≡ P' определяются по линии связи (рис. 144). Промежуточные точки D, E, J, K найдены с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей (β1,β2). Для построения натуральной величины гипербола совмещена с плоскостью H путем вращения вокруг хорды BC. Если образующие конуса, которым параллельна плоскость α , ортогонально спроецировать на эту плоскость, то получим асимптоты гиперболы, которые совмещены с горизонтальной плоскостью проекций H (рис. 144).

Рис. 137

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1) 1.В чем состоит последовательный ход построения фигуры сечения многогранника плоскостью? 2) В чем заключается общий прием нахождения точек линии пересечения поверхности вращения плоскостью? 3) Какие точки линии пересечения называются опорными? 4) Как строятся проекции промежуточных точек линии пересечения? 5) При каких условиях получаются в сечении конуса эллипс, парабола, гипербола? 6) Какие плоскости обычно применяются в качестве вспомогательных при построении фигур плоских сечении?

Лекция № 24. П л а н: 24.1. Общие положения 24.2. Пересечение прямой с поверхностью многогранника. 24.3. Пересечение прямой с поверхностью вращения.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ 24.1. Общие положения При пересечении прямой линии с поверхностью может получиться одна или несколько точек встречи, которые называются точками входа и выхода. Точки встречи прямой линии с поверхностью определяют так: 1) через прямую проводят проецирующую плоскость; 2) строят линию пересечения этой плоскости с заданной поверхностью; 3) находят точки встречи заданной прямой с линией пересечения. Найденные точки будут искомыми. Вспомогательные плоскости проводят с расчетом получить в сечении простые линии: прямые или окружности. Рассмотрим примеры. 24.2. Пересечение прямой с поверхностью многогранника На рис. 145 даны треугольная пирамида и прямая n общего положения. Построить точки встречи прямой с поверхностью. В данном случае через прямую проведена фронтально-проецирующая плоскость Р. Эта плоскость пересекает боковую поверхность пирамиды по треугольнику 1-2-3. Фронтальная проекция фигуры сечения сливается с фронтальной проекцией секущей плоскости (рис. ). Проекции вершин треугольника 1'', 2'', 3'' находятся на пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды S''A'', S''B'', S''C'' с фронтальным следом секущей плоскости РV. Горизонтальные проекции 1',2',3' точек сечения находятся по линиям связи (рис. 145).

Рис. 138 Соединяя найденные точки, получим горизонтальную проекцию фигуры сечения. Прямая n, принадлежащая, как и треугольник 1-2-3, плоскости P, пересекается со сторонами этого треугольника в точках M и N, которые и являются искомыми точками

Рис. 139

Рис. 140

встречи прямой с поверхностью пирамиды. По горизонтальным проекциям точек М и N (M',N') с помощью линий связи находим их фронтальные проекции M”и N”. При определении видимости отдельных частей прямой n при проецировании этой прямой на плоскости H и V следует учесть видимость граней пирамиды на этих плоскостях проекций. 24.3. Пересечение прямой с поверхностью вращения 1. На рис. 146 даны цилиндр и прямая n общего положения. Построить точки встречи прямой с поверхностью. В данном случае через прямую удобнее провести горизонтально-проецирующую плоскость Р, которая рассечет цилиндр по прямоугольнику. Точки А и В будут искомые. 2. На рис. 147 даны конус и прямая m, перпендикулярная плоскости H. Построить точки встречи прямой с поверхностью. В данном примере через прямую удобнее провести горизонтально-проецирующую плоскость Р, проходящую через вершину конуса, которая рассечет конус по треугольнику. Точки С и Д будуò искомые. 3. На рис. 148 даны шар и прямая l, параллельная горизонтальной плоскости проекций. Построение точек встречи прямой с поверхностью ясно из чертежа. 4. На рис. 149 даны тело вращения и прямая n общего положения, пересекающая ось тела. Построить точки встречи прямой с поверхностью. Через заданную прямую проводим горизонтально-проецирующую плоскость Р и вращением вокруг оси поверхности совмещаем ее (вместе с прямой) с главной меридиональной плоскостью N. Находим смещенное положение n1 прямой n и смещенные проекции А1 и В1 точек А и В. Далее находим точки встречи на основных проекциях.

Рис. 141

Рис. 142

Лекция № 25. П л а н: 25.1. Общие положения 25.2. Пересечение многогранников 25.3. Способ секущих плоскостей

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 25.1. Общие положения В пересечении поверхностей получаются плоские или пространственные линии, которые рассматриваются как множество точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по ее отдельным точкам. Общим способом построения этих точек является способ поверхностейпосредников: – с е к у щ и х п л о с к о с т е й; – с ф е р и ч е с к и х п о в е р х н о с т е й. Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность. 1. Для построения линий пересечения выбирают вспомогательную плоскость (или поверхность) с таким расчетом, чтобы в пересечении с каждой из заданных поверхностей получились простые линии: прямые или окружности. 2. Далее обе поверхности пересекают этой вспомогательной плоскостью (или поверхностью) и определяют линию пересечения сначала с одним телом, а затем – с другим. В пересечении этих линий находят общие точки: в первую очередь – опорные (высшую, низшую и т.д.), так как они всегда позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения, и где между ними имеет смысл определять промежуточные точки для более точного построения линии пересечения поверхностей; затем – промежуточные. 3. Найденные точки соединяют ломаной или плавной кривой, которая будет искомой линией пересечения заданных поверхностей. 4. Определение видимости линии пересечения производят отдельно для каждого участка, ограниченного точками видимости, при этом видимость всего участка совпадает с видимостью какой-нибудь случайной точки этого участка. На рис. 150 показано построение точек 1 и 2 линии пересечения; K и K1 – пересекающиеся поверхности; P – одна из вспомогательных секущих плоскостей.

Рис. 143

25.2. Пересечение многогранников Для построения линии пересечения поверхностей двух многогранников определяют точки встречи ребер одного многогранника с гранями другого. В этом случае каждую грань многогранника рассматривают самостоятельно и построение сводят к определению точек встречи прямых с плоскостью. Для этого проводят проецирующие плоскости через ребра одного из многогранников. Правило: – соединять между собой можно только те точки искомой линии пересечения, которые лежат в одной и той же грани какой-либо из двух данных поверхностей; – каждую точку соединяют только с двумя другими точками. В результате должен получиться замкнутый контур или два замкнутых контура. ПРИМЕР 1. Даны прямая треугольная призма, стоящая на плоскости H, и произвольно расположенная треугольная пирамида. Построить линию пересечения заданных поверхностей (рис. 151).

Рис. 144 Ребра призмы обозначим одной буквой (D, E, K), а пирамиды – двумя буквами (SA, SB, SC). Задачу сводим к определению точек встречи ребер пирамиды с гранями призмы. Особенность этого примера – грани призмы являются проецирующими плоскостями (ее ребра перпендикулярны к плоскости Н). Горизонтальные проекции 1-2-3 и 4-5-6 линий пересечения уже имеются, они совпадают с горизонтальной проекцией самой призмы. С помощью линий связи находят фронтальные проекции этих точек на соответствующих ребрах. В результате получают две замкнутые ломаные линии: 1”-2”-3” у входа и 4”-5”-6” у выхода. Отрезки 2”-3” и 5”-6” этих линий невидимые, так как они лежат на задней грани пирамиды. ПРИМЕР 2. Даны треугольные призмы, одна из них стоит на плоскости Н, а другая расположена произвольно. Построить линию пересечения заданных поверхностей рис. 152.

Рис. 145 Как и в предыдущем примере, грани одной призмы являются проецирующими поверхностями. По известным горизонтальным проекциям 1',2',3',4', ... точек линии пересечения находят их фронтальные проекции. Ребро А не участвует в пересечении. Ребро Е пересекает грани АС и АВ в точках 5' и 6'. Чтобы найти эти точки, проводят через ребро Е горизонтально-проецирующую плоскость Р, которая пересечет грани АС и АВ по прямым линиям ММ1 и NN1. Пересечение этих прямых с ребром Е определяет точки 5 и 6. Найденные точки последовательно соединяют прямыми, в результате получают замкнутую ломаную линию пересечения заданных многогранников. 25.3. Способ секущих плоскостей Рассмотрим частный случай – способ вспомогательных ПРОЕЦИРУЮЩИХ плоскостей. Он заключается в следующем: вводится ряд плоскостей частного положения (уровня или проецирующих), пересекающих данные поверхности по графически простым линиям (прямым или окружностям). Пересечение этих линий между собой дает точки, которые будут общими для каждой из данных поверхностей и, следовательно, будут принадлежать искомой линии пересечения. Рассмотрим случай пересечения двух поверхностей вращения: конуса и цилиндра (рис. 153). Построение линии пересечения начинаем с определения опорных точек 1 и 2 (рис. 153). Их фронтальные проекции находятся на пересечении очерковых линий пересекающихся поверхностей. Горизонтальные проекции 1'и 2' находятся по линиям связи (рис. 153).

Рис. 146 Для нахождения промежуточных точек вводим вспомогательные горизонтальные плоскости α, β, γ, пересекающие обе поверхности по окружностям (рис. ). Пересечение

окружностей между собой дает горизонтальные проекции точек (3',4',5', ... 10'), общих для конуса и цилиндра. Фронтальные проекции 3”, 4” ... находятся по линиям связи (рис. 153). Соединяя найденные точки, получим искомую линию пересечения на комплексном чертеже (рис. 153). Для нахождения линии пересечения в аксонометрии, строим изометрическую проекцию данных поверхностей (рис. 154). Для обеспечения точности аксонометрического изображения пересекающихся поверхностей устанавливаем оси координат (x, y, z) также и на комплексном чертеже.

Рис. 147 Далее выполняем в изометрии построение линии пересечения в координатной плоскости xo0oyo, то есть построение вторичной проекции (рис. 154). От каждой отмеченной линии пересечения откладываем по вертикальной линии (параллельной оси zo) высоту, измеренную на комплексном чертеже. То есть получаем аксонометрические проекции точек 1o, 2o, 3o, ... 10o (рис. ). Соединяя найденные точки плавной кривой, получим аксонометрическое изображение линии пересечения данных поверхностей (рис. 154). Построение разверток цилиндра и конуса с нанесением линии пересечения видно из чертежей (рис. ). Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, длина которого равна длине окружности основания радиуса R, а высота – – высоте цилиндра H (рис. ). Разбива-

ем основание цилиндра (горизонтальная проекция) на 8 равных частей и через каждую точку деления проводим соответствующие образующие, откладывая на них высоты точек линии пересечения. Дальнейшее построение развертки цилиндра видно из чертежа (рис. ). Развертка конуса представляет собой сектор круга радиуса L, с углом при вершине ϕ = 360 R/L (рис. ), где R – радиус основания конуса, L – образующая конуса. Для нанесения линии пересечения делим окружность основания на 12 равных частей, проводя затем через каждую точку деления соответствующие образующие. На определенном расстоянии от них строим дополнительные образующие через каждую точку линии пересечения. Поскольку, кроме очерковых фронтальных, образующие конуса представляют собой прямые общего положения, истинный размер расстояния от основания или вершины до лежащих на них точек можно получить, относя его к натуральным образующим, то есть пользуясь методом вращения.

Лекция № 26. Пересечение поверхностей План 26.1. Способ концентрических сфер 25.2. Способ эксцентрических сфер 25.3. Особые случаи пересечения. Теорема Монжа. 26.1.. Способ концентрических сфер Этот способ применяется в случае, когда оси двух поверхностей вращения пересекаются под некоторым углом и находятся в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекций (особенно в том случае, когда на чертеже дана только одна проекция деталей). Шар со всякой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр шара, пересекается по окружностям. Эти окружности находятся в плоскостях, перпендикулярных к оси поверхности вращения, и проецируются на одну из плоскостей проекций в виде прямых, в этом состоит преимущество способа сфер. На рис. 155 дана фронтальная проекция шара, пересекающегося с конусом и цилиндром. Как видно, центр шара находится на пересечении осей данных поверхностей, а линии его пересечения с ними – окружности диаметров: 1-2, 3-4, 5-6.

Рис. 148 П р и м е р. Даны конус и цилиндр, оси которых пересекаются под некоторым углом. Построить линию пересечения заданных поверхностей. Наивысшую и наинизшую точки 1 и 2 линии пересечения находят непосредственно в пересечении крайних образующих на фронтальной проекции заданных поверхностей.

Рис. 149 Для нахождения промежуточных точек 3, 4, 5, ... проводят из центра О” ряд вспомогательных концентрических сфер радиуса от R до R1, которые рассекают заданные тела по окружностям. На фронтальной проекции эти окружности проецируются в прямые линии и, пересекаясь между собой, определяют точки линии перехода. Так, для нахождения точек 3 (одна из них невидима) проводят сферу радиуса R1, которая пересечет цилиндр по окружности диаметра а”b”, конус – по окружности диаметра c”. В пересечении указанных окружностей определяются точки 3. Горизонтальные проекции этих точек находятся на окружности (параллели), проведенной из центра О' радиусом, равным c”d”/2. Все остальные промежуточные точки определяются аналогично. Так как пересекающиеся тела симметричны, их линия пересечения также симметрична. На фронтальной проекции невидимая часть линии пересечения сливается с видимой. Точки 4 (на горизонтальной проекции) служат границами раздела видимой и невидимой части линии пересечения. Найденные точки соединяют плавной кривой по лекалу. 26.2. Способ эксцентрических сфер Указанный способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры. Пр и м е р 1 (рис. 157).

Рис. 150 В этом примере центры вспомогательных сфер можно брать в любой точке оси поверхности вращения. Поэтому построение линии пересечения в этом случае можно выполнить не только способом концентрических сфер, но и способом эксцентрических сфер. В примере проведены четыре сферы радиусов r1, r2, r3, r4 из различных центров О1, О2, О3, О4, расположенных на оси i поверхности вращения. Каждая из этих сфер пересекается с данными поверхностями по окружностям, точки пересечения которых и будут точками линии пересечения поверхностей. П р и м е р 2 (рис. 158). Даны усеченный конус и четверть кольца, оси которых пересекаются под углом о 90 . Построить линию пересечения заданных поверхностей. Наивысшую и наинизшую точки 1 и 2 линии пересечения заданных поверхностей находят непосредственно в пересечении крайних образующих на фронтальной проекции. Для нахождения промежуточных точек 3 через центр кругового кольца проводят фронтально-проецирующую плоскость Р. Она пересечет кольцо по окружности; a”– ее фронтальная проекция, которая находится на сфере, проведенной из центра О1. Проекцию О1 центра сферы находят на пересечении оси конуса и касательной t”О1 к направляющей окружности кольца в точке t”. Сфера с центом в точке О1 пересекает конус по окружности d”.

Рис. 151 В пересечении a”и c”получают две общие точки 3 и 31 линии пересечения. Промежуточные точки 4 и 5 определяют аналогично.

Горизонтальные проекции точек 3, 4, 5 линии пересечения определяют при помощи фронтальной плоскости Q. Эта плоскость рассекает кольцо по параллели, что видно из чертежа. Точки 4 лежат на крайних образующих горизонтальной проекции конуса и служат границами раздела между видимой и невидимой частями линии пересечения. Найденные точки соединяют плавной кривой по лекалу. Часто этот способ называют с п о с о б о м с к о л ь з я щ е г о ш а р а. 26.3. Особые случаи пересечения. Теорема Монжа 1. Поверхности в точках касания имеют общие касательные плоскости. Те о р е м а (о двойном соприкосновении). Если две поверхности второго порядка имеют две точки соприкосновения и общие касательные плоскости в этих точках, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Сфера и эллиптический цилиндр пересекаются по двум окружностям. Они имеют две общие точки А и В и две общие касательные плоскости в этих точках. Пространственная линия пересечения распалась на две плоские кривые – окружности(рис. 159).

Рис. 152 2. Две пересекающиеся поверхности касаются третьей поверхности второго порядка. Те о р е м а (теорема Г.Монжа). Если две пересекающиеся поверхности второго порядка могут быть описаны вокруг третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым второго порядка. Теорема Монжа – частный случай теоремы о двойном соприкосновении. Например, поверхности конуса и цилиндра с общей фронтальной плоскостью симметрии касаются сферы по окружностям 1”-2”и 3”-4”. Линия пересечения поверхностей представляет собой два эллипса, плоскости которых перпендикулярны фронтальной плоскости проекций(рис. 160).

Рис. 153 На рис. 161 даны два конуса, описанные вокруг одного и того же шара. Оси которых пересекаются под прямым углом. Построить линию пересечения заданных поверхностей.

Рис. 154 Наивысшие 1, 3 и наинизшие 2, 4 точки линии перехода находят в пересечении крайних образующих на фронтальной проекции заданных поверхностей. Если сфера касается обеих поверхностей, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые (в нашем примере – на два различных эллипса). На фронтальной проекции эти эллипсы изображаются отрезками прямых, а на горизонтальной – эллипсами. Точки 5 и 6 пересечения эллипсов находят на окружности радиуса c”/2. Построение промежуточных точек ясно из чертежа. Для определения видимости линий пересечения на горизонтальной проекции проводят секущую плоскость Р (через ось конуса с вершиной S). Точки 7, 8 и 9, 10 служат границами раздела между видимой и невидимой частями линий пересечения. На фронтальной проекции невидимая часть линии пересечения сливается с видимой. Прямые 1-4 и 2-3 – большие оси эллипсов. Прямые 5-6 и 11-12 -- малые оси эллипсов. На рис. 162 даны два цилиндра с одинаковыми диаметрами. Оси цилиндров пересекаются под прямым углом. Здесь в пересечении цилиндров получаются два одинаковых эллипса 1-2 и 3-4, которые проецируются на плоскость V в виде прямых, а на плоскость Н – в виде окружностей, сливающихся с проекцией основания одного из цилиндров.

Рис. 155

Лекция № 27. П л а н: 27,1. Общие положения 27.2. Аналитический способ 27.3. Способ триангуляции (треугольников) 27.4. Способ нормального сечения

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 27.1. Общие положения Под развертыванием следует понимать совмещение всей поверхности тела с плоскостью. РАЗВЕРТКОЙ называется фигура, в которую преобразуется при совмещении с плоскостью поверхность, подразумеваемая как гибкая, но нерастяжимая и несжимаемая пленка. Развертываемые поверхности могут быть развертывающимися и неразвертывающимися. К РАЗВЕРТЫВАЮЩИМСЯ относятся такие поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок. К этому типу относятся все многогранные поверхности. Разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полученная последовательным совмещением с одной и то же плоскостью всех ее граней. Поэтому построение развертки многогранной поверхности сводится к определению натурального вида ее отдельных граней. Из кривых поверхностей к числу развертывающихся относятся только те линейчатые поверхности, у которых касательная плоскость во всех точках одной и той же образующей постоянна. Если же у линейчатой поверхности в различных точках одной и той же образующей разные касательные плоскости, то она не развертывается и называется косой поверхностью. Таким образом, к числу развертывающихся линейчатых поверхностей относятся цилиндрические (рис. 163а), конические (рис. 163б) и торсы (рис. 163в).

а)

б)

в)

Рис. 156 Все остальные кривые поверхности не развертываются на плоскость и поэтому при необходимости изготовления этих поверхностей из листового материала их приближенно заменяют развертывающимися поверхностями. СВОЙСТВА РАЗВЕРТОК: 1) каждой точке поверхности соответствует единственная точка ее развертки; 2) длина линии на развертке равна длине соответствующей линии на поверхности; 3) на развертке сохраняются величины плоских углов.

Построение развертки может быть осуществлено различными способами, как аналитически, так и графически. 27.2. Аналитический способ Этот способ заключается в нанесении на чертеж развертки всех предварительно вычисляемых размеров, необходимых для раскроя материала. Цилиндр. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра (рис. 164) представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра (H), а длина – длине окружности (диаметр d) основания.

Рис. 157 Конус. Развертка прямого кругового конуса (рис. 165) представляет собой сектор круга, радиус которого R равен длине образующей конуса, а центральный угол ϕo определяется формулой: ϕ = 180o d / R .

Рис. 158

27.3. Способ триангуляции (треугольников) Способ триангуляции (треугольников) применяется для построения разверток пирамидальных, конических и других линейчатых поверхностей, кроме цилиндрических. Сущность способа сводится к многократному построению натурального вида треугольников, из которых состоит данная пирамидальная поверхность или многогранная

поверхность, вписанная (или описанная) в данную коническую или линейчатую поверхность и заменяющая ее. . П р и м е р. Построить развертку боковой поверхности эллиптического конуса с круговым основанием (рис. 166).

Рис. 159 В данном примере коническая поверхность заменяется поверхностью вписанной двенадцатиугольной пирамиды. Так как коническая поверхность имеет плоскость симметрии, то можно построить развертку только одной половины поверхности. Разделив от точки О половину окружности основания конической поверхности на шесть равных частей и определив с помощью прямоугольных треугольников натуральные величины образующих, проведенных в точки деления, строим шесть примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S (рис. 166). Каждый из этих треугольников строится по трем сторонам; при этом две стороны равны натуральным величинам образующих, а третья – хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления. После этого через точки 0,1,2,... разогнутого по способу хорд основания конической поверхности проводится плавная кривая (рис. 166). 27.4. Способ нормального сечения Этот способ применяется для построения разверток призматических и цилиндрических поверхностей. Построение сводится к многократному построению натурального вида трапеций, из которых состоит данная призматическая поверхность, или призматическая поверхность, вписанная (или описанная) в данную цилиндрическую поверхность и заменяющая ее. Если, в частности, призматическая или цилиндрическая поверхности ограничены параллельными основаниями, то трапеции, на которые разбивается поверхность, обращают-

ся в прямоугольники или параллелограммы, в зависимости от того, перпендикулярны или нет плоскости оснований боковым ребрам или образующим поверхности. Построение трапеций или параллелограммов проще всего произвести по их основаниям и высотам, причем необходимо также знать отрезки оснований, на которые они делятся высотой. Поэтому для построения развертки призматической или цилиндрической поверхности необходимо предварительно определить натуральный вид нормального сечения данной поверхности. Стороны этого сечения и будут высотами трапеций или параллелограммов, из которых состоит поверхность. Этот способ называется СПОСОБОМ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ. П р и м е р. Построить развертку поверхности треугольной наклонной призмы АВСDEF (рис. 167).

Рис. 160 Боковые ребра призмы имеют горизонтальное расположение. Пересечем данную призму плоскостью α(αH), перпендикулярной к боковым ребрам, и построим проекции фигуры сечения – треугольник 1-2-3 (рис. 167). Определим натуральные величины сторон треугольника 1-2-3 способом замены плоскостей проекций: меняем фронтальную плоскость проекций V на новую V1 таким образом, чтобы плоскость α стала плоскостью уровня, для чего ось x1 новой системы плоскостей проекций H/V1 проводим параллельно αH. Тогда на новой фронтальной плоскости V1 получим натуральную величину треугольника 1-2-3 (рис. 167). На произвольной горизонтальной прямой построим отрезок, равный периметру треугольника 1-2-3 (рис. 167). Отрезок 1-1 можно считать разверткой нормального сечения призмы. Из всех точек (1,2,3,1) этого отрезка проводим прямые, перпендикулярные к нему, на которых откладываем отрезки боковых ребер (натуральные величины), беря их с горизонтальной проекции, так как они являются горизонталями. Концы отложенных отрезков соединяем прямыми СА, АВ, FD, ... Фигура CABCFEDF представляет собой развертку боковой поверхности призмы. Полная развертка призмы показана на рис. 167. Для построения граней основания из точек В и С проводим дуги окружностей радиусами, равными соответственно натуральным величинам ребер ВА и СА. Пересечение дуг дает точку А. Аналогичным образом найдена точка D.

Лекция № 28. План: 28.1. Способ раскатки 28.2. Приближенные построения разверток 28.1. Способ раскатки Способ раскатки рекомендуется для построения развертки цилиндрической поверхности, когда ее образующие являются прямыми уровня, то есть параллельными одной из плоскостей проекций. Рассмотрим данный способ на примере эллиптического цилиндра с круговым основанием, которое проецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения (в натуральную величину). Построение развертки данного цилиндра выполняем в следующей последовательности (рис. 168): 1. Делим окружность основания цилиндра на 12 равных частей. 2. Вписываем в цилиндр призму, боковые ребра которой совпадают с образующими цилиндра, проходящими через точки деления основания (рис. ). 3. Принимаем за плоскость развертки фронтальную плоскость γ (γH), которая проходит через ребро призмы, совпадающее с очерковой образующей цилиндра (1). 4. Находим натуральную величину первой грани, проходящей через ребро 1, для чего вращаем ее вокруг фронтали 1”до уровня этой фронтали. При этом точка 2”переместится по направлению, перпендикулярному к этой фронтали в положение 2, которое найдем, если из точки 1”это направление засечем отрезком 1'2'.

Рис. 161 Из точки 3”проводим также перпендикуляр к ребру 1(1”) и находим точку 3, отсекая этот перпендикуляр из точки 2 отрезком 2'3' и т.д. Соединяя найденные точки плавной кривой получим фигуру развертки, которую можно представлять себе как отпечаток цилиндра, полученный путем его качения по фронтальной плоскости, проходящей через образующую 1. 28.2. Приближенные построения разверток Развертку неразвертывающихся поверхностей вращения строят приближенно. 1. СПОСОБ ЦИЛИНДРОВ. Способ состоит в том, что данную поверхность вращения разбивают с помощью меридианов на сравнительно узкие, равные между собой доли. Каждую такую долю заменяют описанной цилиндрической поверхностью, которая касается данной поверхности в точках среднего меридиана доли. Этот средний меридиан бу-

дет вместе с тем нормальным сечением цилиндрической поверхности. Границами цилиндрической поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рассматриваемую долю. П р и м е р. Построить развертку данной сферы (рис. 169). Разобьем сферу при помощи меридианов на шесть равных частей. Рассмотрим построение приближенной развертки одной части сферы, средним меридианом которой является главный меридиан f.

Рис. 162 Прежде всего заменим эту часть сферы цилиндрической поверхностью, описанной около нее. Образующие этой поверхности будут фронтально проецирующими прямыми и поэтому проецируются в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций H. Нормальным сечением цилиндрической поверхности будет половина главного меридиана f, а границами поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рассматриваемую часть. Для построения развертки этой цилиндрической поверхности заменяем ее вписанной призматической поверхностью. Для этого делим половину главного меридиана на шесть равных частей и через точки деления проводим образующие цилиндрической поверхности. Затем спрямляем полумеридиан f в отрезок прямой и через его точки деления проводим перпендикулярно к нему образующие EF = EF = E1F1, CD = CD = C1D1 и т.д.

Соединив концы этих образующих плавными кривыми, получим приближенную развертку одной доли данной сферы, равной 1/6 ее части. Развертки остальных долей являются повторением первой. Обычно сферу разбивают на двенадцать и более частей для получения более точной ее развертки. 2. СПОСОБ КОНУСОВ. Этот способ состоим в замене неразвертывающихся поверхностей такой другой поверхностью, которая составлена из нескольких конических и, следовательно, развертываемых элементов. Построение развертки способом конусов показано на примере поверхности вращения произвольного вида (рис. 170).

Рис. 163 Разделим данную поверхность на несколько поясов, проходящих через точки 1(1”), 2(2”), 3(3”) главного меридиана (рис. ).

Каждый из трех выделенных поясов заменим конусом: первый и второй – описанным около данной поверхности, а третий – вписанным в эту поверхность (рис. 170). Построение приближенной развертки заданной поверхности сводится к построению разверток трех конусов. Границами между отдельными частями развертки являются параллели развертываемой поверхности вращения, переходящие в дуги окружностей, которые должны совпадать. Так, длины дуг, имеющих радиусы R2 и R3 и радиусы R4 и R5, попарно равны и могут легко определяться построением, как показано на рис. 109.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ К РАЗДЕЛАМ 1-9 1. Белов Н.М. Курс начертательной геометрии. - Л., Стройиздат, 1971. - 189 с. 2. Будасов Б.В., Каминский В.П. Строительное черчение. - М.: Стройиздат, 1990. 464 с. 3. Виницкий И.Н. Начертательная геометрия. - М., Высшая школа,1975. - 280 с. 4. Климухин А.Г. Тени и перспектива. - М.: Стройиздат, 1967.- 199 с. 5. Короев Ю.И. Начертательная геометрия. - М.: Стройиздат, 1987.- 319с. 6. Короев Ю.И. Строительное черчение и рисование. - М.: Высшая школа, 1983. 288 с. 7. Короев Ю.И. Черчение для строителей. - М.: Высшая школа, 1985.- 128 с. 8. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия. - М., Высшая школа, 1990. - 245 с. 9. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 1981. - 262 с. 10. Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия.-К.: Вища шк., 1978.-312 с. 11. Русскевич Н.П., Ткач Д.И., Ткач М.Н. Справочник по инженерностроительному черчению. - К.: Будiвельник, 1987. - 264 с. 12. Фролов С.А. Начертательная геометрия. - М.: Машиностроение, 1983, - 240 с.

Введение в черчение Рисунок и чертеж сопровождают нас всю жизнь, помогая разобраться в самых разнообразных вопросах науки, техники и искусства. В давние времена у человека появилась необходимость изобразить то, что он видел, а позже то, что ему нужно было сделать. Древние графические изображения – это пещерная живопись, рисунки на камнях, папирусы, стенная живопись – постепенно совершенствовалась, складывались и обобщались правила их построения. Наряду с рисунком применялись и чертежи. В настоящее время нет такой области науки и техники, где бы не применялись графические изображения.

Лекция № 29. План 29.1. Инструмент и материал 29.3. Форматы 29.3. Масштабы

ОСНОВНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ЧЕРТЕЖА Путем геометрических построений решают практические задачи графическим способом: все действия производятся чертежными инструментами. Результатом построения является какой-либо графический элемент: геометрическая фигура, контур детали и т.д. Для выполнения графических работ нужны следующие материалы и принадлежности: бумага карандаши, ластик, рейсшина, угольники, линейки, лекала, циркуль. Все чертежи должны выполняться в соответствии с требованиями стандартов Единой системы конструкторской документации (ЕСКД), отличаться четким и аккуратным оформлением. Приступая к выполнению чертежа, следует предварительно установить: размеры листа бумаги (формат чертежа); расположение изображений на листе; размещение надписей. 29.1. Инструмент и материал Карандаши чертежные. Для чертежных работ применяются различной твердости чертежные карандаши. Наша промышленность выпускает чертежные карандаши марок «конструктор», «топограф», «картограф» четырнадцати степеней твердости: от 7Т до 2Т – твердые; Т, ТМ, М – промежуточные; от 2М до 6М – мягкие. Твердость и мягкость зарубежных карандашей («ролло», «Кох и нор» и др.) обозначены латинскими буквами Н и В: твердые– от 9Н до 2Н; мягкие – от 2В до 6В и Н, НВ, В – промежуточные. Для чертежных работ применяются карандаши 5Т, 4Т до М–2М или им соответствующие карандаши иностранных марок. Более мягкими делают предварительные построения. Линии наносят с очень легким нажимом, чтобы впоследствии их можно было легко стереть. Очинять карандаш следует на правильный конус длиной около 3 см с конца, свободного от фабричного клейма и обозначения твердости Правильно очинённый карандаш способствует точному построению чертежа. Иногда графит очиняют в виде лопаточки и острым ее углом прочерчивают линии по линейке. Для подтачивания графита во время работы применяют наждачную бумагу (среднезернистую или мелкозернистую), наклеенную на фанерную или картонную пластинку для удобства. В циркуль обычно вставляют стержень, у которого твердость графита на номер меньше, чем принята для обводки без циркуля. Затачивать стержень можно также в виде одностороннего плоского среза или конуса. Из наконечника стержень должен выступать на 6 – 8 мм. При работе надо следить, чтобы игла и графитный стержень были на одном уровне. Чертежная бумага должна обладать прочностью, белизной и специальной способностью выдерживать многократное нанесение и стирание линий, а также равно воспринимать тушь и акварельные краски. От чертежной бумаги требуется минимальная линейная деформация при ее смачивании и последующем высушивании.

29.2. Форматы Чертежи выполняются на листах определенных размеров, установленных ГОСТ 2. 301-68. Форматы чертежей, определяемые шириной и длинной листа, подразделяются на основные и дополнительные. Форматы листов определяются размерами внешней рамки (выполненной тонкой линией) оригиналов, подлинников, дубликатов, копий. Формат с размерами сторон 1189 × 841 мм, площадь которого равна 1 м2, и другие форматы, полученные путем последовательного деления его на две равные части параллельно меньшей стороне соответствующего формата, принимаются за основные. Обозначения и размеры сторон основных форматов должны соответствовать указанным в таблице 1. Таблица 1 ОбознаРазмеры сторон чение формата формата мм А0 841 × 1189 А1 594 × 841 А2 420 × 594 А3 297 × 420 А4 210 × 297 При необходимости допускается применять формат А5 с размерами сторон 148 × 210 мм. Допускается применение дополнительных форматов, образуемых увеличением коротких сторон основных форматов на величину, кратную их размерам. 29.3. Масштабы При выполнении чертежей принимаются масштабы изображений, установленные ГОСТ 2.302-68. Масштабы изображений на чертежах должны выбираться из следующего ряда (таблица 2): Таблица 2 Масштабы 1:2; 1:2;5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; уменьшения 1:75; 1:100; 1:200 Натураль1: 1 ная величина Масштабы 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1 увеличения

Лекция № 30. План: 30.1. Линии 30.2. Шрифты чертежные 30.3. Основная надпись 30.3.1. Порядок заполнения основной надписи 30.1. Линии Чтобы чертеж был выразительным и легко читался, он должен быть оформлен линиями различной толщины и формы. Линии чертежа должны иметь начертание в соответствии с их назначением по ГОСТ 2.303-68. Государственным стандартом установлены следующие линии и их назначение (таблица 3). Толщина сплошной основной линии s должна быть в пределах от 0,5 до 1,4 мм в зависимости от величины и сложности изображения, а также от формата чертежа. Толщина линий одного и того же типа должна быть одинакова для всех изображений на данном чертеже, вычерчиваемых в одинаковом масштабе. Таблица 3 Наименование 1. Сплошная толстая основная

Начертание

Толщина линии по отношению к толщине основной линии

s

2. Сплошная тонкая

3. Сплошная волнистая 4. Штриховая

От

s s до 3 2

От

s s до 3 2

От

s s до 3 2

Основное назначение Линии видимого контура Линии перехода видимые Линии контура сечения (вынесенного и входящего в состав разреза) Линии контура наложенного сечения Линии размерные и выносные Линии штриховки Линии–выноски Полки линий–выносок и подчеркивание надписей Линии для изображения пограничных деталей («обстановка») Линии для ограничения выносных элементов на видах разрезах и сечениях Линии перехода воображаемые Следы плоскостей, линии построения характерных точек при специальных построениях Линии обрыва Линии разграничения вида и разреза Линии невидимого контура Линии перехода невидимые

5. Штрихпунктирная тонкая 6. Сплошная тонкая с изломами

Линии осевые и центровые

s s Линии сечений, являющиеся От до осями для наложенных или вынесен3 2 От

ных сечений Длинные линии обрыва s

s до 3 2

30.2. Шрифты чертежные Все надписи на чертежах должны быть выполнены чертежным шрифтом. ГОСТ 2.304-81 устанавливает два типа шрифта: тип А и тип Б, с наклоном и без наклона. В настоящем пособии подробно рассмотрен шрифт тип А с наклоном 75° и параметрами, приведенными в таблице 4. Размер шрифта h – величина, определенная высотой прописных букв в миллиметрах. Высота прописных букв h измеряется перпендикулярно к основанию строки. Высота строчных букв c определяется из отношения их высоты (без отростков k) к размеру шрифта h, например с = 7/10h (рисунки 1 и 2) Ширина буквы g – наибольшая ширина буквы, измеренная в соответствии с рис. 164 и 165, определяется по отношению к размеру шрифта h, например, g=6/10h, или по отношению к толщине линии шрифта d, например: g = 6d. Толщина линии шрифта d – толщина, определяемая в зависимости от типа и высоты шрифта.

Рис. 164 Вспомогательная сетка – сетка образованная вспомогательными линиями, в которые вписываются буквы. Шаг вспомогательных линий сетки определяется в зависимости от толщины линии шрифта d (рис. 165).

Рис. 165 Таблица 4 Шрифт типа А (d= h/14) с наклоном Параметры Обозна- Относительный шрифта чение размер Размер шрифта выh (14/14) h 14 d сота прописных букв Высота строчных с (10/14)h 10 d букв Расстояние между бук- а (2/14) h 2 d вами Минимальный шаг строк (выb (22/14) h 22 d сота вспомогательной сетки) Минимальное расстояе (6/14) h 6 d ние между словами Толщина линии d (1/14) h d шрифта

Размеры мм 2,5

3,5

5,0

7,0

10,0

14,0

20,0

1,8

2,5

3,5

5,0

7,0

10,0

14,0

0,35

0,5

0,7

1,0

1,4

2,0

2,8

4,0

5,5

8,0

11,0

16,0

22,0

31,0

1,1

1,5

2,1

3,0

4,2

6,0

8,4

0,18

0,25

0,35

0,5

0,7

1,0

1,4

Примечания: Расстояние a между буквами соседние линии, которых не параллельны между собой (например, ГА, АТ) может быть уменьшено наполовину, т.е. на толщину d линии шрифта. Минимальным расстоянием между словами е разделенными знаком препинания является расстояние между знаком препинания и следующим за ним словом. Устанавливаются следующие размеры шрифта: 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 40. Предельные отклонения размеров букв и цифр +0,5 мм. Начертание букв и символов приведены на рисунках 166, 167, 168, 169, 170.

РУССКИЙ АЛФАВИТ (КИРИЛЛИЦА)

Рис. 166

ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ

Рис. 167 АРАБСКИЕ И РИМСКИЕ ЦИФРЫ

Рис. 168 ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ

Рис. 169 Наименование букв греческого алфавита, приведенных на рисунке 13 1 – альфа 9 – йота 17 – ро 2 – бета 10 – каппа 18 – сигма 3 – гамма 11 – ламбда 19 – тау 4 – дельта 12 – мю 20 – ипсилон 5 – эпсилон 13 – ню 21 – фи 6 – дзета 14 – кси 22 – хи 7 – эта 15 – омикрон 23 – пси 8 – тэта 16 – пи 24 – омега

ЗНАКИ

Рис. 170

Наименования знаков приведены в таблице 5. Таблица 5 Номера Наименование знаков Номера Наименование знаков знаков на знаков чертежах 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 и 17а 18 и 18а 19 20 21 22 23 24

Точка Двоеточие Запятая Точка с запятой Восклицательный знак Вопросительный знак Кавычки И Параграф Равенство Величина после округления Соответствует Асимптотически равно Приблизительно равно Меньше Больше Меньше или равно Больше или равно Плюс Минус тире Плюс – минус Умножение Деление

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Процент Градус Минута Секунда Параллельно Перпендикулярно Угол Уклон Конусность Квадрат Дуга Диаметр Радикал Интеграл Бесконечность Квадратные скобки Круглые скобки Черта дроби Номер От до Знак подобия Звездочка

ОСНОВНАЯ НАДПИСЬ Чертежи сопровождаются основной надписью по ГОСТ 2.104-2006, которую располагают в его правом нижнем углу. Порядок выполнения основной надписи Содержание, расположение и размеры граф основной надписи, дополнительных граф к ней, а также размеры рамок на чертежах и схемах должны соответствовать форме 1. Основная надпись, дополнительные графы к ней и рамки выполняют сплошными основными и сплошными тонкими линиями по ГОСТ 2.303. Основную надпись располагают в правом нижнем углу конструкторских документов. На листах формата А4 по ГОСТ 2.301 основную надпись располагают вдоль короткой стороны листа. 30.3.1. Порядок заполнения основной надписи Основную надпись по форме 1 заполняют, придерживаясь правил, установленных ГОСТ 2.104-2006 (рис. 171).

Рис. 171 – Основная надпись для чертежей и схем в графе 1 – наименование изделия. Наименование изделия записывают в именительном падеже единственного числа. В наименовании, состоящем из нескольких слов, на первом месте помещают имя существительное, например: «Колесо зубчатое»; в графе 2 – обозначение документа; в графе 3 – обозначение материала детали (графу заполняют только на чертежах деталей); в графе 4 – литеру, присвоенную данному документу (на документе в бумажной форме графу заполняют последовательно, начиная с крайней левой клетки). Допускается в рабочей конструкторской документации литеру проставлять только в спецификациях и технических условиях; в графе 5 – массу изделия выраженную в килограммах; в графе 6 – масштаб (без буквы М); в графе 7 – порядковый номер листа (на документах, состоящих из одного листа, графу не заполняют); в графе 8 – общее количество листов документа (указывают только на первом листе); в графе 9 – наименование или код организации, выпускающего документ (графу не заполняют, если код содержится в обозначении документа); в графе 10 – характер работы, выполняемой лицом, подписывающим документ, в соответствии с формами 1 и 2. Свободную строку заполняют по усмотрению разработчика, например: «Начальник отдела», «Начальник лаборатории», «Рассчитал». Допустимые значения атрибута устанавливает организация; в графе 11 – фамилии лиц, подписавших документ; в графе 12 – подписи лиц, фамилии которых указаны в графе 11. Подписи лиц, разработавших данный документ и ответственных за нормоконтроль, являются обязательными. При отсутствии титульного листа допускается подпись лица, утвердившего документ, размещать на свободном поле первого или заглавного листа документа в порядке, установленном для титульных листов по ГОСТ 2.105; в графе 13 – дату подписания документа; Примеры размещения основной надписи и дополнительных граф к ней. Для форматов больше А4 при расположении основной надписи вдоль длинной стороны листа (рис. 172).

Рис. 172 Для форматов больше А4 при расположении основной надписи вдоль короткой стороны листа (рис. 173).

Рис. 173 1 – основная надпись; 2 – дополнительные графы

Лекция № 31. План: 31.1. Общие положения 31.2. Построение касательных и касание окружностей 31.2.1. Построение касательной к окружности 31.2.2. Касание окружностей 31.2.3. Построение касательных к двум окружностям 31.2.4. Сопряжение двух прямых дугой окружности 31.2.5. Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса 31.2.6. Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса

СОПРЯЖЕНИЯ 31.1. Общие положения Очертания многих предметов представляют собой сочетание ряда: линий, в большинстве своем плавно переходящих одна в другую. Примером плавных переходов могут служить контуры различных видов художественных изделий, посуды, рисунки орнаментов и т.п. Плавный переход одной линии в другую называют касанием линий, а точку, в которой происходит касание, точкой касания, или перехода (рис. 174). Например, две дуги радиусов R1 и R2, касающиеся между собой (рис. 174 а), имеют общую точку касания A, лежащую на линии, соединяющей центры этих дуг – точки O1 и O2. На рисунке 174 б изображена прямая, касающаяся дуги радиуса R и имеющая с ней общую точку касания B, расположенную на перпендикуляре, опущенном из центра дуги – точки О на прямую. Через любую точку касания можно провести общую касательную, которая будет перпендикулярна к радиусам дуг, проведенным в точку касания.

Рис. 174 Плавный переход одной линии в другую при помощи промежуточной линии назы-

вают сопряжением. На рисунке 175 такой промежуточной линией является дуга AB радиуса Rc, с помощью которой осуществлен плавный переход (сопряжение) от прямой к дуге окружности радиуса R.

Рис. 175 Чаще всего промежуточной линией является дуга окружности, называемая дугой сопряжения, или сопрягающей дугой. Радиус сопрягающей дуги носит название радиуса сопряжения, а центр дуги – центра сопряжения. Дуга сопряжения касается одновременно двух сопрягаемых линий. При сопряжении всегда имеются две точки перехода (на рисунке 175 точки А и B), и через каждую из них можно провести по одной общей касательной Таким образом, построение сопряжений основано на свойствах касательной к дуге окружности и касания двух дуг окружностей. 31.2. Построение касательных и касание окружностей 31.2.1. Построение касательной к окружности Подобное построение основано на том, что касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному в точку касания. Построение касательной к окружности в заданной на ней точке A (рис. 43). Через точку A и центр окружности О проводят прямую и в точке А восставляют перпендикуляр к радиусу OA. Проведенный перпендикуляр MN и является

искомой касательной.

Рис. 176

Построение касательной к окружности, если точка A задана вне окружности (рис. 177). Центр окружности О и точку A соединяют прямой. Отрезок OA принимают за диаметр вспомогательной окружности. Разделив отрезок OA пополам, получают точку O1 и из нее, как из центра, описывают вспомогательную окружность радиусом O1A. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точках B и C. Прямая, проведенная черев точки А и B, будет касательной к окружности, так как угол АВО прямой, как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр. Прямая АС является второй касательной к заданной окружности.

Рис. 177 31.2.2. Касание окружностей Различают два вида касания окружностей – внешнее и внутреннее. При внешнем касании окружностей радиусов R и r (рис. 178 а) центры окружностей O1 и O2 располагаются по разные стороны от общей касательной MN, проведенной через точку касания A, а расстояние между ними равно сумме радиусов R + r. Точка касания A лежит на прямой, соединяющей центры касающихся окружностей.

Рис. 178 Внутреннее касание окружностей (рис. 178 б) характеризуется тем, что центры касающихся окружностей O1 и O2 располагаются по одну сторону от общей касательной MN, проведенной через точку касания А, а расстояние между центрами касающихся окружностей равно разности радиусов R–r. Точка касания A окружностей в этом случае рас-

положена на продолжении прямой, соединяющей их центры.

Рис. 179 Построение окружности радиуса r, касающейся окружности радиуса R в данной на ней точке А. На рисунке 179 показано построение внутреннего касания окружностей. Точку A и центр O1 заданной окружности соединяют прямой. Радиусом R – r из центра O1 проводят дугу до пересечения ее с прямой O1A в точке O2. Точка O2 является искомым центром окружности радиуса r. 31.2.3. Построение касательных к двум окружностям При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной. Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусов R и r (рис. 180). Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рис 180 а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиуса R определяют точку касания D (рис. 180 б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиуса r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).

Рис. 180 Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рис. 48). Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рис. 181 а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3, как из центра, описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рис. 181 б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

Рис. 181

СОПРЯЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ 31.2.4. Сопряжение двух прямых дугой окружности Все задачи на сопряжение дугой могут быть сведены к двум видам. Сопряжение осуществляется либо заданным радиусом сопрягающей дуги, либо через точку, заданную на одной из сопрягаемых линий. В том и другом случае необходимо построить центр сопрягающей дуги. Сопряжение двух пересекающихся прямых дугой заданного радиуса Rc (рис. 182 а). Так как сопрягающая дуга должна касаться заданных прямых, то центр ее должен быть удален от каждой прямой на величину равную радиусу Rc. Сопряжение строят так. Проводят две прямые, параллельные заданным и удаленные от них на величину радиуса Rc и в пересечении этих прямых отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Из точки О опускают перпендикуляр на каждую из заданных прямых. Основания перпендикуляров – точки A и B – являются точками касания сопрягающей дуги. Такое построение сопряжения справедливо для двух пересекающихся прямых, составляющих любой угол. Для сопряжения сторон прямого угла можно воспользоваться также способом указанным на рисунке 182 б.

Рис. 182 Сопряжение двух пересекающихся прямых, на одной из которых задана точка касания А сопрягающей дуги (рис. 183). Известно, что геометрическим местом центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся прямые, является биссектриса угла, образованного этими прямыми. Поэтому построив биссектрису угла, из точки касания A восставляют

перпендикуляр к прямой до пересечения его с биссектрисой и отмечают точку O – центр сопрягающей дуги. Опустив из точки О перпендикуляр на другую: прямую, получают вторую точку касания В и радиусом Rc = OA = OB осуществляют сопряжение двух прямых, на одной из которых была задана точка касания. Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через заданную точку касания А (рис. 183). Из точки A восставляют перпендикуляр к заданным прямым и на пересечении его со второй прямой отмечают точку B. Отрезок AB делят пополам и получают точку О – центр сопрягающей дуги радиуса Rc =

AB . 2

Рис. 183

Рис. 184

31.2.5. Сопряжение дуги и прямой дугой окружности заданного радиуса Могут встретиться два случая такого сопряжения: внешнее касание сопрягающей дуги с заданной и внутреннее касание. В обоих случаях задача сводится к определению центра сопрягающей дуги и точек касания. При внешнем касании (рис. 185 а) из центра заданной дуги – точки O1 проводят вспомогательную дугу радиусом R + Rс. На расстоянии, равном радиусу Rc сопрягающей дуги, параллельно заданной прямой проводят прямую. Точка О пересечения вспомогательной дуги и прямой есть центр сопрягающей дуги. На пересечении прямой, соединяющей точки О и O1 с заданной дугой, отмечают точку касания A. Вторую точку касания В определяют как точку пересечения заданной прямой с перпендикуляром, опущенным на нее из точки О. При внутреннем касании (рис. 185 б) определение центра сопрягающей дуги и точек касания аналогичны предыдущему случаю с той лишь разницей, что радиус вспомогательной дуги равен Rc – R,

Рис. 185 31.2.6. Сопряжение двух дуг дугой окружности заданного радиуса Различают три вида такого сопряжения: 1) внешнее сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с двумя заданны-

ми; 2) внутреннее сопряжение при внутреннем касании сопрягающей дуги с двумя заданными; 3) смешанное сопряжение при внешнем касании сопрягающей дуги с одной заданной и внутреннем касании с другой. При внешнем сопряжении (рис. 186 а) центр сопрягающей дуги точка O располагается в точке пересечения вспомогательных дуг радиусов r + Rc и R + Rc, проведенных соответственно из центров сопрягаемых дуг – точек O2 и O1. Точки касания A и B определяются как точки пересечения заданных дуг с прямыми OO1 и OO2. Внутреннее сопряжение дуг радиусов r и R дугой радиус Rc показано на рисунке 186 б. Для определения центра сопрягающей дуги – точки О проводят вспомогательные дуги радиусами Rc – r и Rc – R соответственно из центров заданных дуг – точек O2 и O1. Точка О пересечения этих дуг и явится центром сопрягающей дуги. Из точки О через точки O1 и O2 проводят прямые до пересечения с заданными дугами и получают соответственно две точки касания – A и B.

Рис. 186 При смешанном сопряжении центр сопрягающей дуги – точка О определяется как точка пересечения двух вспомогательных дуг радиусов Rc + R и Rс – r (рис. 186 в) или Rс – R и Rс + r, проведенных соответственно из центров заданных дуг – точек O1 и O2. Для определения точек касания сопрягающей дуги с заданными проводят две прямые: одну через точки О и O1, другую через точки О и O2. Точки пересечения каждой из них с заданными дугами дают искомые точки касания A и B.

Лекция № 32. План: 32.1.Вычерчивание контуров деталей 32.2. Архитектурные обломы 32.1.Вычерчивание контуров деталей Последовательность вычерчивания контуров деталей, в основном, зависит от их формы. Поэтому можно указать только на некоторые общие положения, справедливые для всех случаев. Перед вычерчиванием любого контура необходимо разобрать, из каких линий и их сочетаний он состоит, а также решить, какие геометрические построения следует выполнить при вычерчивании контура. Только после подобного анализа можно приступать к построению контура. Последовательность вычерчивания контура проследим на примере контура скобы (рис. 187 а). Вычерчивание начинают с проведения осей симметрии (верти-

кальная ось на рисунке 187 б), осевой (горизонтальная ось на рисунке 187 б) и центровых линий контура. Затем проводят линии, связанные с горизонтальной осью (рис. 187 в), и строят остальные основные линии контура (рис. 187, г). Далее выполняют скругления углов (рис. 187, д) и вычерчивают внутренние очертания, не связанные с другими линиями (прорезь, рис. 187, е). Последними вычерчивают контуры, не содержащие элементов сопряжения. Заканчивают построение проведением выносных и размерных линий с простановкой размеров (рис. 187, а).

Рис. 187

32.2. Архитектурные обломы Многие здания снаружи и внутри имеют различные архитектурные украшения. Профиль архитектурных украшений складывается из элементов, называемых архитектурными обломами. Архитектурные обломы украшают не только здания. Их можно увидеть в контуре постаментов, декоративных ваз, мебели и т. п. По форме архитектурные обломы могут быть прямолинейные (рис. 188) и криволинейные (рис. 188, 189). Криволинейные обломы, такие как полувал, шейка, прямой и обратный четвертной вал, прямая и обратная выкружка (рис. 189) очерчены при помощи одной дуги и способ их построения понятен из чертежа. Более сложные криволинейные обломы состоят из двух дуг. К ним относятся: гусёк прямой и обратный, каблучок прямой и обратный, скоция, сложный торус (рис. 190).

Рис. 188

Рис. 189

В построении гуська и каблучка много общего. Для построения, например, прямого гуська (рис. 57 а) заданные точки А и В соединяют прямой линией. Отрезок AB делят пополам в точке С. Радиусом R = AC = CB из точек А, С и В проводят дуги до взаимного пересечения в точках O1 и O2 и из них тем же радиусом R описывают две дуги, являющиеся профилем прямого гуська. Вычерчивание обратного гуська или одного из видов каблучка аналогично вычерчиванию прямого гуська, при этом меняется только положение центров

O1 и O2 (рис. 190 б, в, г). Сложный торус строят по заданному радиусу R (рис. 190, д). Проводят прямую и на ней отмечают два центра – O1 и O2 на расстоянии 2R. Из центра O1 описывают четверть окружности радиусом R, а из центра O2 – радиусом 3R. Для построения скоции также задают радиус R (рис. 190, е) и строят шесть квадратов со сторонами, равными заданному радиусу. Наметив точки O1 и O2, описывают две дуги радиусами R и 2R.

Рис. 190

Лекция № 33. План: 33.1 циркульные кривые 33.1.1 завитки 33.2. Коробовые кривые 33.3. Лекальные кривые 33.3.1. Порядок вычерчивания лекальных кривых 33.3.2. Способы построения некоторых лекальных кривых

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ Кривые, у которых все точки расположены в одной плоскости, называют плоскими. Часть плоских кривых, состоящих из дуг окружностей, образует группу циркульных кривых. Дуги циркульных кривых касаются друг друга, поэтому построение их основано на правилах сопряжения и выполняется при помощи циркуля. Другая часть плоских кривых, которые нельзя построить с помощью циркуля, относится к группе лекальных кривых. Лекальные кривые строят по точкам, зная закон их образования, а обводят по лекалу. 33.1 циркульные кривые 33.1.1 завитки Спиральная кривая, вычерченная циркулем путем сопряжения дуг окружностей различных радиусов, называется завитком. На рисунке 191, а показано построение двуцентрового завитка. Он состоит из ряда полуокружностей, описанных попеременно из заданных центров O1 и O2. Точки касания проводимых дуг расположены на прямой, соединяющей эти центры. Первую полуокружность описывают радиусом R, равным расстоянию между центрами O1 и O2. Радиус каждой последующей полуокружности увеличивают на величину первоначального радиуса R. Таким образом, вторую полуокружность описывают радиусом 2R, третью радиусом 3R и т. д.

Рис. 191 Построение трехцентрового завитка по заданным центрам O1, O2 и O3, расположенных в вершинах равностороннего треугольника, приведено на рисунке 191, б. Через каждую пару центров проводят прямую линию. Из центра O1 описывают дугу радиусом R = O1O3 в пределах между точками O3 и 1. Следующую дугу радиусом 2R проводят из центра O2 до точки 2. Затем описывают дугу радиусом 3R из центра O3. Дуга, проведенная снова из центра O1, имеет радиус 4R и т. д. Завитки четырехцентровые, пятицентровые и т. д. строят таким же образом. 33.2. Коробовые кривые Коробовой кривой называется односторонне выпуклая циркульная кривая (замкнутая или незамкнутая), образуемая сопряжением дуг: окружностей. Существует несколько разновидностей коробовых кривых. Овал – замкнутая коробовая кривая, имеющая две оси симметрии. Элементами, определяющими размер овала, являются его длина и ширина, измеряемые по осям симметрии. Построение овала по его длине AB и ширине CD показано на рисунке 192. Вначале проводят две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке О (рис. 192, а). На горизонтальной прямой в обе стороны от точки О откладывают отрезок

AB CD , а на вертикальной – . Точки A и С соединяют прямой линией и из точки О опи2 2

сывают дугу радиусом OA до пересечения ее с прямой CD в точке E. На прямой AC откладывают отрезок CF=CE и получают точку F. Через середину отрезка AF проводят перпендикуляр и на пересечении его с прямыми AB и CD получают точки O1 и O2. На прямых AB и CD строят точки O3 и O4, симметричные точкам O1 и O2 относительно центра О (рис. 192, б). Точки O1, O2, O3, O4 являются центрами сопрягаемых дуг, определяющих контур овала, а точки касания дуг располагаются на прямых O1O2, O3O2, O1O4 и O3O4. Из центров O1 и O3 описывают дуги радиусом R1 = O1A, а из центров O2 и O4 – дуги радиусом R2 = O2C и получают контур овала.

Рис. 192 Овоид – замкнутая коробовая кривая, имеющая одну ось симметрии. Построение овоида по его ширине – отрезку AB приведено на рисунке 193, а. Через середину отрезка AB – точку O1 проводят прямую, перпендикулярную к нему. Из точки O1 описывают окружность радиусом Rc =

AB и на пересечении ее с перпендикуляром получают точку 2

O2. Далее проводят прямые AO2 и BO2 и продолжают их за точку O2. Из точек A и В радиусом R2 = AB описывают две дуги до пересечения их в точках C и D с проведенными прямыми. Последнюю дугу радиусом R3 = O2C описывают из точки O2. Если точку O2 расположить ближе к точке O1 или дальше от нее, то овоид получится соответственно более тупым или более острым. Для построения тупого овоида задают его ширину AB и расстояние между центрами O1O2 (рис. 193, б). Порядок построения остается прежним.

Рис. 193

Коробовые кривые сводов относятся к незамкнутым коробовым кривым. Они находят применение при строительстве сводов и арок мостов, входов в здания, различных перекрытий, например метро и т. п. Ниже разобрано построение коробовых кривых пологого, крутого и ползучего сводов. Построение коробовой кривой пологого свода по его ширине АВ и высоте ОС (рис. 194). На горизонтальной прямой откладывают ширину свода – отрезок AB и через его середину точку О проводят прямую, перпендикулярную к нему. На этой прямой от точки О откладывают высоту свода – отрезок OC. Из точки О радиусом OA описывают дугу AE и на ней отмечают точку D с помощью того же радиуса OA, но с центром в точке А. Точку D соединяют прямыми с точками А, Е и О. Затем через точку С проводят прямую CF || DE до пересечения ее с прямой AD в точке F. Через точку F проводят прямую FO2 || DO до пересечения ее с отрезком AB в точке O1, а с прямой OC в точке O2. Точку O3 получают при помощи дуги радиуса OO1. Полученные точки O1, O2 и O3 являются центрами дуг, из которых состоит данная кривая. Радиусом R1 = O3B описывают дуги из центров O1 и O3, а радиусом R2 = O2C – дугу из центра O2.

Рис. 194 Построение коробовой кривой крутого свода по ширине AB и высоте ОС (рис. 62). Отрезок AB делят пополам, строят прямоугольник АЕСО и проводят в нем диагональ AC. Углы EAC и ECA делят пополам. На пересечении биссектрис этих углов получают точку D и из нее опускают перпендикуляр на диагональ AC. Перпендикуляр продолжают до пересечения с отрезками: OC в точке O1 и AB в точке O2. Точку O3 получают при помощи дуги радиуса OO2. Точки O1, O2 и O3 являются центрами дуг радиусов R1 и R2, с помощью которых строят контур кривой.

Рис. 62 Построение коробовой кривой ползучего свода по его ширине АВ и прямой CD, касательной к вершине свода (рис. 195). Строят отрезок AB, представляющий ширину свода, и прямую CD (ее называют замковой прямой). Из точек A и В восставляют к отрезку AB перпендикуляры и продолжают их до пересечения с прямой CD в точках М и N. На прямой CD откладывают отрезок EM = AM. Из полученной точки Е – вершины свода восставляют перпендикуляр к прямой CD и на пересечении его с отрезком AB отмечают точку O1. На прямой BN откладывают от точки N отрезок FN = EN. Из точки F проводят прямую, параллельную отрезку AB, до пересечения с прямой EO1 в точке O2. В точках O1 и O2 находятся центры дуг R1 = O1A и R2 = O2F, определяющих контур ползучего

свода.

Рис. 195

33.3. Лекальные кривые Лекальные кривые – это такие кривые, которые могут быть вычерчены только с помощью лекала по предварительно построенным точкам. Лекальные кривые широко применяются в очертаниях различных деталей и предметов. Это могут быть профили зубчатых колес и кулачков, очертания кронштейнов, подвесок, посуды и мебели. Лекальные кривые могут быть также получены в результате сечения цилиндра, конуса и других тел вращения плоскостью. 33.3.1. Порядок вычерчивания лекальных кривых Пусть на рисунке 196, а заданы точки 1, 2, ..., 11 принадлежащие некоторой кривой. Предварительно эти точки от руки с помощью мягкого карандаша соединяют тонкой, по возможности более плавной кривой линией (рис. 196, б). Желательно, чтобы расстояние между точками лекальной кривой не превышало 15 мм. Если же две соседние точки кривой расположены далеко друг от друга и характер кривой не совсем ясен, то следует построить дополнительно еще одну или две точки.

Рис. 196 Затем приступают к предварительной обводке кривой с помощью лекала. Лекало надо подобрать такое, чтобы очертания некоторых его участков были похожи на отдельные участки данной кривой. Предварительный подбор лекала рекомендуется делать на длину всей кривой и черточками на нем помечать выбранные участки. Это особенно важно для обводки симметричных кривых, таких, как эллипс, парабола и др. Подобранное лекало прикладывают к кривой так, чтобы лежащие подряд как минимум три или четыре точки кривой совпали с определенным участком лекала (например, точки 1–5 на рисунке 196, б). Далее подбирают следующий участок лекала таким образом, чтобы он охватывал также три или четыре точки кривой, включая хотя бы одну точку из предыдущего участка (например, точки 4–9 на рисунке 196, в). Благодаря такому перекрытию двух соседних участков достигается плавность кривой. После того, как будут подобраны участки лекала на протяжении всей кривой, приступают к окончательной обводке ее карандашом или тушью Обводку следует начинать с места наиболее крутого изгиба кривой. На каждом участке обводят среднюю часть его, включая половину участков перекрытия. Такая обводка обеспечивает наибольшую плавность кривой (рис. 196, г).

33.3.2. Способы построения некоторых лекальных кривых Эллипс. Если рассечь поверхность кругового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится эллипс (рис. 197).

Рис. 197– Пересечение конуса плоскостью по эллипсу Эллипс (рис. 198) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М) до двух заданный точек F1 и F2 – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная длине его большой оси AB (например, F1M + F2M = AB). Отрезок AB называется большой осью эллипса, а отрезок CD – его малой осью. Оси эллипса пересекаются в точке O – центре эллипса, а его размер определяет длина большой и малой осей. Точки F1 и F2 расположены на большой оси AB симметрично относительно точки O и удалены от концов малой оси (точек С и D) на расстояние, равное половине большой оси эллипса

⎛ AB ⎞ ⎜ ⎟. ⎝ 2 ⎠

Рис. 198

Существует несколько способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рис. 199). В этом случае задают центр эллипса – точку O и через нее проводят две взаимно перпендикулярные прямые (рис. 199 а). Из точки О описывают две окружности радиусами, равными половине большой и малой осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления соединяют с точкой О. Проведенные линии разделят меньшую окружность также на 12 равных частей. Затем через точки деления меньшей окружности проводят горизонтальные прямые (или прямые, параллельные большой оси эллипса), а через точки деления большей окружности – вертикальные (или прямые, параллельные малой оси эллипса). Точки их пересечения (например, точка М) принадлежат эллипсу. Соединив полученные точки плавной кривой, получают эллипс (рис. 199, б).

Рис. 199 Парабола. Если круговой конус рассечь плоскостью Р, параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения получится парабола (рис. 200).

Рис. 200– Пересечение конуса плоскостью по параболе Парабола (рис. 201) – плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое расстояние от заданной прямой DD1, называемой директрисой, и точки F – фокуса параболы. Например, для точки М отрезки MN (расстояние до директрисы) и MF (расстояние до фокуса) равны, т. е. MN = MF. Парабола имеет форму разомкнутой кривой с одной осью симметрии, которая проходит через фокус параболы – точку F и расположена перпендикулярно к директрисе DD1. Точна A, лежащая на середине отрезка OF, называется вершиной параболы. Расстояние от фокуса до директрисы – отрезок OF = 2×OA – обозначают буквой р и называют параметром параболы. Чем больше параметр р, тем

резче ветви параболы отходят от ее оси. Отрезок, заключенный между двумя точками параболы, расположенными симметрично относительно оси параболы, называется хордой (например, хорда MК).

Рис. 201 Построение параболы по ее директрисе DD1 и фокусу F (рис. 202, а). Через точку F перпендикулярно к директрисе проводят ось параболы до пересечения ее с директрисой в точке О. Отрезок OF = p делят пополам и получают точку A – вершину параболы. На оси параболы от точки A откладывают несколько постепенно увеличивающихся отрезков. Через точки деления 1, 2, 3 и т. д. проводят прямые, параллельные директрисе. Приняв фокус параболы за центр, описывают дуги радиусом R1 =L1 до пересечения с прямой, про-

веденной через точку 1, радиусом R2 = L2 до пересечения с прямой, проведенной через точку 2, и т. д. Полученный точки принадлежат параболе. Вначале их соединяют тонкой плавной линией от руки, затем обводят по лекалу. Построение параболы по ее оси, вершине А и промежуточной точке М (рис. 202, б). Через вершину A проводят прямую, перпендикулярную к оси параболы, а через точку М – прямую, параллельную оси. Обе прямые пересекаются в точке B. Отрезки AB и BM делят на одинаковое число равных частей, а точки деления нумеруют в направлениях, указанных стрелками. Через вершину A и точки 1, 2, 3, 4 проводят лучи, а из точек I, II, III, IV прямые, параллельные оси параболы. На пересечении прямых, обозначенных одинаковым номером, расположены точки, принадлежащие параболе. Обе ветви параболы одинаковы, поэтому другую ветвь строят симметрично первой с помощью хорд.

Рис. 202 Построение параболы, касательной к двум прямым OA и ОВ в данных на них точках A и В (рис. 203, б). Отрезки OA и ОВ делят на одинаковое число равных частей (например, на 8 частей). Полученные точки деления нумеруют и одноименные точки соединяют прямыми 1–1, 2–2, 3–3 и т. д. Эти прямые являются касательными к

параболической кривой. Далее в образованный прямыми контур вписывают плавную касательную кривую – параболу.

Рис. 203– Построение параболы по двум ее точкам и касательным Гипербола. Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельной оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рис. 204, а). Гиперболой (рис. 204, б) называется незамкнутая плоская кривая, представляющая собой множество точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная.

Рис. 204– Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б) Постоянные точки F1 и F2 называются фокусами, а расстояние между ними – фокусным расстоянием. Отрезки прямой (F1M и F2M), соединяющие какую-нибудь точку (M) кривой с фокусами, называются радиус–векторами гиперболы. Разность расстояний

точки от фокусов F1 и F2 есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами а и b гиперболы; например, для точки M будем иметь: F1M - F2M = ab. Гипербола состоит из двух незамкнутых ветвей, имеет две взаимно перпендикулярные оси – действительную АВ и мнимую CD. Прямые pq и rs, проходящие через центр O называются асимптотами. Построение гиперболы по данным асимптотам pq и rs, фокусам F1 и F2 приведено на рисунке 204, б. Действительная ось АВ гиперболы является биссектрисой угла, образованного асимптотами. Мнимая ось CD перпендикулярна АВ и проходит через точку О. Имея фокусы F1 и F2, определяют вершины а и b гиперболы, для чего на отрезке F1F2 строят полуокружность, которая пересекает асимптоты в точках m и п. Из этих точек опускают перпендикуляры на ось AB и на пересечении с ней получают вершины а и b гиперболы. Для построения правой ветви гиперболы на прямой АВ правее фокуса F1 намечают произвольные точки 1, 2, 3, ..., 5. Точки V и V1 гиперболы получаются, если принять отрезок а5 за радиус и из точки F2 провести дугу окружности, которую засекают из точки F1, радиусом, равным b5. Остальные точки гиперболы строятся по аналогии с описанным. Иногда приходится строить гиперболу, у которой асимптоты ОХ и OY взаимно перпендикулярны (рис. 205). В этом случае действительная и мнимая оси будут биссектрисами прямых углов. Для построения задается одна из точек гиперболы, например точка

А.

Рис. 205– Построение гиперболы с взаимно перпендикулярными асимптотами Через точку A проводят прямые АK и AM, параллельные осям ох и oу. Из точки O пересечения осей проводят прямые, пересекающие прямые AM и АK в точках 1, 2, 3, 4 и 1', 2', 3', 4'. Далее из точек пересечения с этими прямыми проводят вертикальные и горизонтальные отрезки до их взаимного пересечения в точках I, II, III, IV и т. д. Полученные

точки гиперболы соединяют с помощью лекала. Точки 1, 2, 3, 4, расположенные на вертикальной прямой, берутся произвольно. Эвольвента окружности или развертка окружности. Эвольвентой окружности называется плоская кривая, которую описывает каждая точка прямой линии, если эту прямую катить без скольжения по неподвижной окружности (траектория точек окружности, образованная ее развертыванием и выпрямлением) (рис. 206). Для построения эвольвенты достаточно задать диаметр окружности D и начальное положение точки A (точку A0). Через точку A0 проводят касательную к окружности и на ней откладывают длину заданной окружности π D. Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. На каждой касательной откладывают отрезки, взятые с горизонтальной прямой и соответственно равные 1A1 = A01, 2A2= В A02, 3A3 = А03 и т. д.; полученные точки соединяют по лекалу.

Рис. 206 Спираль Архимеда Спиралью Архимеда называется плоская кривая, которую описывает точка A, равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки – полюса О и одновременно равномерно удаляющаяся от него (рис. 206). Расстояние, пройденное точкой при повороте прямой на 360°, называют шагом спирали. Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят, исходя из определения кривой, задаваясь шагом и направлением вращения. Построение спирали Архимеда по заданному шагу (отрезок ОА) и направлению вращения по часовой стрелке (рис. 206). Через точку О проводят прямую, откладывают на ней величину шага спирали OA и, приняв его за радиус, описывают окружность. Окружность и отрезок OA делят на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят радиусы O1, O2, O3 и т. д. и на них от точки О откладывают при по-

мощи дуг соответственно 1/12, 2/12, 3/12 и т. д. радиуса окружности. Полученные точки соединяют по лекалу плавной кривой. Спираль Архимеда является незамкнутой кривой, и при необходимости можно построить любое число ее витков. Для построения второго витка описывают окружность радиусом R = 2 π OA и повторяют все предыдущие построения.

Рис. 207

Синусоида. Синусоидой называется проекция траектории точки, движущейся по цилиндрической винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно–вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно–поступательного (параллельно оси цилиндра). Синусоида – это плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла. Для построения синусоиды (рис. 208) через центр О окружности диаметра D

проводят прямую ОХ и на ней откладывают отрезок O1A, равный длине окружности π D. Этот отрезок и окружность делят на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проводят взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединяют с помощью лекала плавной кривой.

Рис. 208– Построение синусоиды

Кардиоида. Кардиоидой (рис. 209) называется замкнутая траектория точки окружности, которая катится без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса.

Рис. 209– Построение кардиоиды Из центра О проводят окружность заданного радиуса и берут на ней произвольную точку M. Через эту точку проводят ряд секущих. На каждой секущей по обе стороны от точки пересечения ее с окружностью откладывают отрезки, равные диаметру окружности M1. Так, секущая III3МIII1 пересекает окружность в точке 3; от этой точки откладывают отрезки 3III и 3III1, равные диаметру M1. Точки III и III1, принадлежат кардиоиде. По аналогии, секущая IV4MIV1 пересекает окружность в точке 4; от этой точки откладывают отрезки IV4 и 4IV1, равные диаметру M1, получают точки IV и IV1 и т. д. Найденные точки соединяют кривой, как указано на рисунке 209. Циклоидальные кривые. Циклоиды – плоские кривые линии, описываемые точкой, принадлежащей окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или окружности. Если при этом окружность катится по прямой линии, то точка описывает кривую, на-

зываемую циклоидой. Если окружность катится по другой окружности, находясь вне ее (по выпуклой части), то точка описывает кривую, называемую эпициклоидой. Если же окружность катится по другой окружности, находясь внутри ее (по вогнутой части), то точка описывает кривую, называемую гипоциклоидой. Окружность, на которой расположена точка, называется производящей. Линия, по которой катится окружность, называется направляющей. Для построения циклоиды (рис. 210) проводят окружность заданного радиуса R; на ней берут начальную точку A и проводят направляющую прямую АВ, по которой катится окружность.

Рис. 210– Построение циклоиды Делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1', 2', 3', ..., 12'). Если

точка A переместится в положение A12, то отрезок AA12 будет равен длине заданной окружности, т. е. 2πR . Проводят линию центров О – O12 производящей окружности, равную 2πR , и делят ее на 12 равных частей. Получают точки O1, O2, O3, ..., O12, являющиеся центрами производящей окружности. Из этих точек проводят окружности (или дуги окружностей) заданного радиуса R, которые касаются прямой АВ в точках 1, 2, 3, ..., 12. Если от каждой точки касания отложить на соответствующей окружности длину дуги, равную величине, на которую переместилась точка A, то получим точки, принадлежащие циклоиде. Например, для получения точки A5 циклоиды следует из центра O5 провести окружность и от точки касания 5 отложить по окружности дугу А5, равную А5', или из точки 5' провести прямую, параллельную АВ, до пересечения в точке A5 с проведенной окружностью. Аналогично строят и все другие точки циклоиды. Эпициклоида строится следующим образом. На рисунке 211 изображены производящая окружность радиуса R с центром O0, начальная точка A на ней и дуга направляющей окружности радиуса R1, по которой катится окружность. Построение эпициклоиды аналогично построению циклоиды, а именно: делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1', 2', 3', ..., 12'), каждую часть этой окружности откладывают от точки A по дуге АВ 12 раз (точки 1, 2, 3, ..., 12) и получают длину дуги AA12. Эту длину

можно определить с помощью угла a = 360°

R . R1

Далее из центра О радиусом, равным OO0, наносят линию центров производящей окружности и, проводя радиусы 01, 02, 03, ..., 012, продолженные до пересечения с линией центров, получают центры О1, О2, ..., O12 производящей окружности. Из этих центров радиусом, равным R, проводят окружности или дуги окружностей, на которых строят искомые точки кривой; Так, для получения точки A4 следует провести дугу окружности радиусом O4' до пересечения с окружностью, проведенной из центра O4. Аналогично строятся и другие точки, которые затем соединяются плавной кривой.

Рис. 211– Построение эпициклоиды

Лекция № 34. План: 34.1. Правила и рекомендации при простановке размеров

НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ ГОСТ 2.307–68 (в ред. 2004 г.) устанавливает правила нанесения размеров и предельных отклонений на чертежах и других технических документах на изделия всех отраслей промышленности и строительства. 34.1. Правила и рекомендации при простановке размеров Величину изображенного изделия и его элементов задают размерами, указываемыми на чертеже размерными числами и размерными линиями, используют при необходимости выносные линии (рис. 212).

Рис. 212 Общее количество размеров на чертеже должно полностью и однозначно определять размеры формы объекта. Размеры, проставляемые на чертеже, должны соответствовать действительной величине объекта и не зависеть от масштаба его изображения. Каждый размер наносят на чертеже один раз. Расположение размеров должно обеспечивать удобство их прочтения. Объекты имеют размеры трех основных типов: размеры формы (линейные и угловые), размеры положения (линейные) и размеры ориентации (угловые). Единичный объект, тем более объект простой формы, располагают на чертеже в системе плоскостей проекций V, Н, W так, чтобы его ориентация была задана наиболее лаконично. Многогранник располагают так, чтобы наибольшее количество его граней, т.е. отсеков его оболочки, было параллельно или перпендикулярно основным плоскостям проекций. Тела вращения располагают так, чтобы их оси были бы параллельны оси х или перпендикулярны одной из основных плоскостей проекций. Положение объекта определяют координаты х, у, z. Ориентацию объекта определяют углы α, β, γ, главным образом, с основными плоскостями проекций. На чертеж объекта наносят размеры его формы. На чертеже сложного объекта наносят размеры формы, положения и ориентации составляющих геометрических объектов и размеры формы всего сложного объекта.

Линейные размеры на чертежах указывают в миллиметрах без обозначения единиц измерения. При других единицах измерения длины (дюймах, сантиметрах, метрах) соответствующие размерные числа следует сопровождать обозначением единиц измерения, например, 25.0 см. При задании всех размеров на чертеже в единой системе единиц, иной, чем миллиметры, ее следует оговорить общей надписью на поле чертежа. Угловые размеры указывают в градусах, минутах и секундах, обозначая при этом единицы измерения, например, 30° 35' 45". Размерные линии определяются границами измерения и могут иметь форму как прямой (см. рис. 212), так и дуги окружности (рис. 213). Выносные линии являются вспомогательными: ими фиксируют границы измерения, между ними проводят размерные линии. Выносные линии проводят от линий видимого контура, как правило, перпендикулярно измеряемому отрезку, располагая их по возможности вне контура изображения (см. рис. 212). Данные линии могут служить продолжением контурных линий (см. рис. 212). Выносные линии, фиксирующие границы угла, проводят радиально от вершины измеряемого угла (см. рис. 213). Выносные линии выполняют на чертеже сплошными тонкими линиями толщиной 1/3 ... 1/2 толщины контурной линии данного чертежа. Концы выносных линий, выходящие за стрелки, на всем чертеже должны быть одинаковыми и равными 1 ... 5 мм (см. рис. 212). Размерную линию линейной величины следует проводить параллельно прямолинейному отрезку предмета, размер которого указывается предпочтительно, располагая его вне контура изображения (см. рис. 212). При обозначении размера угла размерную линию проводят в виде дуги окружности с центром в вершине угла, выносными линиями служат стороны угла или их продолжение (см. рис. 212). Размерные линии проводят на чертеже сплошными тонкими линиями толщиной 1/4 ... 1/3 толщины контурной линии данного чертежа. Размерные линии с обоих концов ограничивают стрелками, упирающимися остриями в соответствующие линии. Стандарт предусматривает два типа начертания стрелок, их форма показана на рисунке 214. Величину стрелок следует выбирать в зависимости от толщины линий видимого контура и выдерживать одинаковой для всех размеров данного чертежа. Практически можно принимать длину стрелок равной высоте цифр размерных чисел на данном чертеже. В случае пересечения стрелки близко расположенной контурной или выносной линией эти линии в месте пересечения со стрелкой должны быть прерваны (рис. 215).

Рис. 213

Рис. 214

Рис. 215

Если длина размерной линии недостаточна для размещения на ней стрелок между выносными линиями, то ее продолжают за выносные линии (контурные, осевые, центровые) и стрелки наносят снаружи выносных линий (рис. 216). При недостатке места для стрелок на размерных линиях, расположенных цепочкой, стрелки допускается заменять засечками, наносимыми под углом 45° к размерным линиям (рис. 217 а) или четко наносимыми точками (рис. 217 б).

Рис. 216

Рис. 217

Размеры в числовом выражении наносят на чертеж в их действительных значениях независимо от того, в каком масштабе и с какой точностью выполнено изображение. Размерные числа следует наносить над размерной линией параллельно ей и возможно ближе к ее середине (см. рис. 212). Между цифрами и размерной линией должен быть промежуток 0,5 ... 1 мм. Чтобы исключить неправильное понимание размерных чисел, составленных из цифр 0, 6, 8, 9, следует после последней цифры ставить точку. В качестве размерных чисел применение простой дроби не допускается, за исключением относительных величин и размеров, заданных в дюймах. В местах нанесения размерного числа следует прерывать центровую и осевую линии и линии штриховки (рис. 218). Нельзя разрывать линию контура для размещения размерного числа. Не допускается размещать размерные числа в местах пересечения размерных, осевых и центровых линий. Недопустимо разделять или пересекать размерные числа, какими бы то ни было линиями чертежа.

Рис. 218 Если часть объекта изображена с отступлением от масштаба, то размерное число этой части объекта следует подчеркнуть (рис. 219). Размерные линии можно проводить к линиям видимого контура, осевым, центровым и выносным линиям. Предпочтительнее помещать размерную линию между выносными линиями, а не между контурными, и располагать ее вне контура изображения. Следует по возможности избегать пересечений размерных линий с размерными и выносными линиями. Недопустимо использовать линии контура, осевые, центровые и выносные в качестве размерных. Исключением служит способ задания криволинейного контура (рис. 220). Выносные и размерные линии, проходящие по заштрихованному полю чертежа, не должны совпадать с направлением линий штриховки. Допускается использовать на чертеже в качестве выносных осевые линии. Не рекомендуется проводить выносные линии от линий невидимого контура.

Рис. 219

Рис. 220

Если изображение объекта выполнено с разрывом, то размерную линию не прерывают (рис. 221).

Рис. 221 Наиболее распространенным размером является размер отрезка прямой. При нескольких параллельных размерных линиях самый малый размер располагают ближайшим к изображению на расстоянии как минимум 10 мм от контура изображения. Следующий, больший, размер наносят на расстоянии как минимум 7 мм от первого размера; в такой последовательности и на тех же расстояниях располагают все последующие размеры (рис. 222). Размерные числа размещают при этом над размерными линиями в шахматном порядке (рис. 223).

Рис. 222

Рис. 223

При вертикальном положении размерной линии размерные числа всегда наносят слева от размерной линии. Если размерные линии расположены наклонно, то размерные числа линейных размеров следует располагать в соответствии со схемой, приведенной на рисунке 224. При этом, если размерная линия находится в заштрихованной зоне приведенной схемы, то размерное число следует нанести на полке линии–выноски, а саму полку расположить параллельно основной надписи.

Рис. 224 Если для нанесения размерного числа над размерной линией недостаточно места, то его следует наносить по одному из вариантов, представленных на рисунке 225. Если не хватает места для нанесения стрелок на коротких размерных линиях, то стрелки следует наносить по одному из вариантов, приведенных на рисунке 225.

Рис. 225

Рис. 226

Если выносные линии сливаются с контурными линиями или близки к ним, что затрудняет понимание, однозначность задаваемого отрезка, то рекомендуется провести выносные линии под острым углом к измеряемому отрезку, а размерную линию сместить в сторону. При этом измеряемый отрезок, размерная и выносные линии образуют параллелограмм (рис. 227).

Рис. 227 Размерную линию радиуса окружности следует проводить между дугой или ее продолжением и центром. Размерная линия радиуса имеет только одну стрелку. Радиус дуги окружности обозначают прописной буквой R, которую ставят перед размерным числом, задающим размер радиуса. Положение центра радиуса дуги изображают "крестиком" из линий толщиной от 1/3 до 1/2 толщины контурной (рис. 228). При задании нескольких радиусов, исходящих из одного центра, их размерные линии не должны располагаться на одной прямой (см. рис. 228). В случае необходимости проведения нескольких радиусов из одного центра крайние размерные линии проводят из центра, остальные допускается не доводить до центра (рис. 229). Размеры одинаковых радиусов можно указывать на одной общей полке (рис. 230).

Рис. 228

Рис. 229

Рис. 230

Если центр дуги окружности при большой величине ее радиуса находится вне поля чертежа, допускается центр условно приближать к задаваемой дуге. В этом случае размерную линию радиуса изображают с изломом под углом 90° и всегда направляют к центру закругления (рис. 231). Если чертежный радиус дуги окружности равен 1 мм или менее, то дугу окружно-

сти не изображают, а наносят только ее размер с внешней стороны дуги (рис. 232).

Рис. 231

Рис. 232

При обозначении координат вершины скругляемого угла или центра дуги скругления выносные линии проводят от точек пересечения сторон угла или от центра дуги скругления (рис. 233). Размеры радиусов наружных и внутренних скруглений наносят над размерной линией или на полке–выноске самой размерной линии. При этом следует избегать совпадения направления размерной линии радиуса с направлением штриховки. Вариант написания размерных чисел при различных положениях размерных линий следует выбирать, исходя из удобства их прочтения на чертеже (рис. 234). Если радиусы скруглений на всем чертеже одинаковы, то их можно не обозначать, а в технических требованиях сделать запись, например, такую: "Неуказанные радиусы скруглений 5 мм".

Рис. 233

Рис. 234

Диаметр окружности обозначают знаком 〉, который наносят перед размерным числом, задающим размер диаметра. Размерное число диаметра, расположенное внутри окружности, смещают относительно ее центра (рис. 235).

Рис. 235

Варианты размещения размерного числа диаметра окружности: - на продолжении размерной линии вне окружности, рис. 236, а; - на полке, рис. 236, б; - между выносными линиями на размерной линии или на ее продолжении, рис. 104 в; - вне выносных линий на полке линии–выноски, рис. 236 г.

Рис. 236 Расположение стрелок на размерной линии диаметра: - при чертежном диаметре, равном 12 мм и более, стрелки наносят внутри окружности или между выносными линиями; - при чертежном диаметре, равном 12 мм и менее, стрелки наносят вне окружности или с внешней стороны выносных линий. Размер окружности, даже прерывающейся, но имеющей противолежащие точки на диаметре, всегда следует задавать диаметром (рис. 237).

Рис. 237 При указании диаметра окружности допускается проводить размерные линии с обрывом независимо от того, изображена окружность полностью или только ее часть, обрыв размерной линии в этом случае делают дальше центра или оси окружности (рис. 238). Для обозначения длины дуги окружности следует применять условный знак дуги «⇒», который наносят над размерным числом дуги во всех случаях (рис. 239). Дуговую размерную линию проводят концентрично обозначаемой дуге, а выносные линии – параллельно биссектрисе угла. Если дуга охватывает большой угол, – то выносные линии допускается располагать радиально, указывая при этом, к какому радиусу относится дуга (рис. 240.

Рис. 238

Рис. 239

Рис. 240

При нанесении угловых размерных линий и написании угловых размерных чисел следует руководствоваться схемой, представленной на рисунке 241. Согласно этой схеме размерные числа, расположенные выше горизонтальной осевой линии, при обозначении размера угла проставляют над размерной линией со стороны выпуклости, размерные же числа, расположенные ниже горизонтальной осевой линии, проставляют со стороны вогнутости дуговых размерных линий (см. рис. 241). В зоне, отмеченной штриховкой на рисунке 109, размерные числа располагают на горизонтальных полках–выносках. Если при обозначении угла малого размера не хватает места для написания размерного числа, то последнее следует помещать на полке линии–выноски в любой зоне (рис. 242).

Рис. 241

Рис. 242

При нанесении нескольких концентрических размерных дуг (размеров углов с одной общей вершиной) размерные числа рекомендуется располагать в шахматном порядке (рис. 243).

Рис. 243 Если угол между отрезками имеет величину 0, 90, 180, 360°, то, как правило, размер угла по умолчанию не наносят. Квадрат. Размеры квадрата наносят так, как показано на рис. 244. Знак □ изображают перед размерным числом. Размер знака равен высоте строчных букв.

Рис. 244 Прямоугольник. Прямоугольную форму выступа или отверстия задают двумя размерами на полке линии–выноски. При этом первый из них – размер стороны, от которой выполнена выноска, после знака х следует размер второй стороны прямоугольника (рис. 245). Ориентация прямоугольника может быть произвольной.

Рис. 245 Контур шпонки и паза. Допускается на чертеже контура призматической шпонки с закругленными торцами и паза под такую шпонку нанести только два размера – длину и ширину, а величину радиуса сопрягающих окружностей не указывать (рис. 246).

Рис. 246 Сфера. Размер сферы задают радиусом или диаметром 〉. Если изображенную сферу (или ее фрагмент) R трудно отличить от других поверхностей, то перед знаком 〉 или R допускается написать слово "Сфера" или знак ®, высота которого равна высоте размерных чисел на чертеже (рис. 247).

Рис. 247

Конусность. Под конусностью понимают отношение разности диаметров двух поперечных сечений конуса к расстоянию между ними. Перед размерным числом, определяющим конусность, наносят знак конусности – равнобедренный треугольник (рис. 116), вершина которого должна быть направлена в сторону вершины конуса. Величина основания этого треугольника равна высоте размерных чисел чертежа. Знак конусности и ее величину в виде отношения следует наносить над осевой линией или на полке линии– выноски (рис. 248).

Рис. 248

Основы черчения и начертательной геометрии: Конспект лекций

Recommend Documents