Основные понятия теории надежности

МАТЕМАТИКА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ А. Н. ЖИРАБОК Дальневосточный государственный технический университет, Владивосток

ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

BASIC CONCEPTS OF RELIABILITY THEORY A. N. ZHIRABOK

Some of the results of the mathematical theory of technical systems reliability are reported. The basic reliability indicators and their characteristics are presented, and the methods to increase reliability are discussed. Taking the failure rate as an example, it is shown that there are certain similarities between the world of living nature and the artificial world of technology.

© Жирабок А.Н., 2001

Статья посвящена изложению некоторых результатов математической теории надежности технических систем. Приведены основные показатели надежности и их свойства, рассмотрены методы повышения надежности. На примере интенсивности отказов показано, что между миром живой природы и искусственным миром техники существуют аналогии.

108

www.issep.rssi.ru

Настоящая статья преследует три основные цели. Вопервых, познакомить читателя с некоторыми положениями математической теории надежности технических систем; полагаем, что это будет небезынтересно, поскольку наша жизнь нередко существенно зависит от качества (в частности, надежности) окружающей нас техники. Во-вторых, показать, что и при использовании простых моделей часто удается получать достоверные выводы; надеемся, что с этой точки зрения наша работа дополнит работу Ю.И. Неймарка [1] о роли простых математических моделей. В-третьих, продемонстрировать на примере теории надежности, что между миром живой природы и искусственным миром техники (техносферой) существуют определенные аналогии, которые, по-видимому, имеют глубокие корни. Теория надежности – это одна из многочисленных научных дисциплин, появившихся вскоре после второй мировой войны, которая (вместе с последующей “холодной войной” и гонкой вооружений) дала мощный толчок развитию различных отраслей техники, так или иначе связанных с военными приложениями. Здесь уместно привести пространную выдержку из указа Петра I, где говорится о том, что практическая сторона надежности всегда имела важное значение: “Повелеваю хозяина Тульской ружейной фабрики Корнилу Белоглаза бить кнутом и сослать на работу в монастыри, понеже он, подлец, осмелился войску государеву продавать негодные пищали и фузеи. Старшину олдермана Фрола Фукса бить кнутом и сослать в Азов, пусть не ставит клейма на плохие ружья. Приказываю ружейной канцелярии из Петербурга переехать в Тулу и денно и нощно блюсти исправность ружей. Пусть дьяки и подьячие смотрят, как олдерман клейма ставит, буде сомнение возьмет, самим проверять и смотром и стрельбою. А два ружья каждый месяц стрелять, пока не испортятся. Буде заминка в войсках приключится, особливо при сражении, по недогляду дьяков и подьячих, бить оных кнутами нещадно по оголенному месту: хозяину – 25 кнутов и пени по червонцу за ружье, старшего олдермана – бить до бесчувствия, старшего дьяка – отдать в унтер-офицеры, дьяка – отдать в писаря,

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 8 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА подьячего – лишить воскресной чарки сроком на один год” [2]. Принято выделять четыре основные причины появления теории надежности: 1) резкий рост сложности современных технических систем, в частности, значительное увеличение числа составляющих их компонент; 2) ужесточение режимов их функционирования (работа при высоких и низких температурах, значительные механические нагрузки и т.д.); 3) высокая цена отказа систем, связанных с выпуском дорогостоящей продукции или обеспечивающих нормальные условия жизни человека (например, на космической станции); 4) полная либо частичная автономность, то есть невозможность или ограниченность вмешательства человека при возникновении отказов (необитаемые подводные аппараты, искусственные спутники, безлюдное производство). Говоря о теории надежности, можно выделить чисто физические и чисто математические ее аспекты, в настоящей работе мы будем рассматривать только математическую сторону. С этой точки зрения теорию надежности можно рассматривать как специальный раздел теории вероятностей со своими специфическими задачами и методами их решения. Начнем с определений. Надежность – это свойство объекта сохранять во времени в заданных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции. Надежность – сложное свойство, которое в зависимости от назначения объекта и условий его применения представляет собой сочетание некоторых частных свойств: безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости. Мы остановимся только на безотказности, представляющей собой свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого времени. Одним из важнейших понятий теории надежности является отказ – событие, состоящее в нарушении работоспособного состояния объекта, когда один или несколько параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции, выходит за заданные пределы. Существуют два основных типа отказов: внезапные и постепенные. Как следует из рис. 1, внезапный отказ характеризуется скачкообразным изменением параметра, что может быть вызвано, например, обрывами или замыканиями проводников в электрических цепях, поломкой механических деталей и т.п. В случае постепенных отказов параметр сравнительно медленно выходит за установленные пределы. Мы будем рассматривать только первый тип отказов. Исчерпывающей их характеристикой является момент T выхода параметра за заданные пределы. Можно также рассматривать T как время жизни объекта. Значение величины T – это объективная характеристика

1

x

2 t Рис. 1. Поведение параметра x элемента при внезапных (1) и постепенных (2) отказах; штриховые прямые показывают заданные пределы параметра, которые предполагаются постоянными

объекта, описывающая его качество с точки зрения надежности. Поскольку точно предсказать значение T невозможно, его рассматривают как случайную величину, что и предопределяет необходимость использования теории вероятностей в качестве математического аппарата теории надежности. Наше изложение не потребует от читателя основательных знаний теории вероятностей, достаточно будет того интуитивного понимания вероятности, которое имеется у каждого грамотного человека. Для более детального знакомства с теорией вероятностей можно рекомендовать книгу [3]. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ Одной из важнейших количественных характеристик надежности является вероятность безотказной работы, то есть вероятность того, что в течение рассматриваемого промежутка времени (0, t) отказа не возникнет. Таким образом, вероятность безотказной работы представляет собой функцию времени, обычно обозначаемую как P(t). С точки зрения теории вероятностей P(t) представляет собой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина T больше длительности рассматриваемого промежутка времени (0, t). Запишем это в виде P(t) = Вер(T > t). Часто бывает удобнее говорить не о вероятности безотказной работы, а о вероятности отказа Q(t), которую можно определить как Q(t) = Вер(T # t). Из определений следует, что P(t) + Q(t) = 1. Также из определений можно сделать вывод о том, что P(t) – невозрастающая, а Q(t) – неубывающая функции времени. Типичные графики этих функций представлены на рис. 2. Важную роль в теории надежности играет так называемая интенсивность отказов λ(t), которую определим следующим образом. Пусть некоторое предприятие начинает выпуск элементов нового типа и требуется выяснить, какой надежностью они обладают. Для этого партия таких элементов ставится на испытания, в ходе

Ж И РА Б О К А . Н . О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я Т Е О Р И И Н А Д Е Ж Н О С Т И

109

МАТЕМАТИКА P, Q 1

2

1

0

t

Рис. 2. Типичные графики вероятности безотказной работы P(t) (1 ) и вероятности отказа Q(t) (2 )

которых фиксируются моменты их отказов. По результатам испытаний рассчитывается характеристика ∆n ( t ) λ ( t ) = -------------------- , ∆t ⋅ n ( t )

(1)

где ∆n(t) – число отказов за время ∆t, n(t) – число элементов, не отказавших к моменту t. Интервал ∆t существенно зависит от типа испытываемых элементов. Обычно он выбирается много меньше времени испытаний; на начальном участке, где скорость изменения функции λ(t) велика, ∆t в несколько раз меньше, чем на ее среднем участке. Таким образом, λ(t) представляет собой относительную скорость появления отказов. Типичный идеализированный график функции λ(t) изображен на рис. 3, а. Для лучшего понимания его особенностей рядом приведен типичный график функции смертности людей ρ(t): ∆m ( t ) ρ ( t ) = --------------------- , ∆t ⋅ m ( t ) а

λ

I

II

III

t

III

t

б ρ

I

II

Рис. 3. Идеализированные графики интенсивности отказов (а) и смертности (б ). Штриховые линии – графики интенсивности отказов и смертности при более высоком качестве производства и качестве жизни соответственно

110

где ∆m(t) – число умерших за время ∆t, m(t) – число людей, достигших возраста t. Здесь ∆t может иметь величину от нескольких месяцев (на начальном участке характеристики) до нескольких лет (на ее среднем участке). Как следует из рисунков, они имеют по три характерных участка, где функции λ(t) и ρ(t) ведут себя примерно одинаково. Рассмотрим эти участки более детально, начиная с функции ρ(t) как более интуитивно понятной. Участок I. Для человека это раннее детство, когда смертность велика из-за врожденных пороков, несовместимых с жизнью. Появление этого участка на рис. 3, а объясняется наличием у элементов скрытых дефектов производства, которые остались незамеченными службой технического контроля. Для того чтобы такие элементы (и изготовленные из них изделия) не попали потребителям, на предприятиях производятся так называемые приработочные испытания, в ходе которых выявляются и отбраковываются дефектные элементы. Подчеркнем, что как у человека, так и у техники высокая смертность (интенсивность отказов) на этом участке обусловлена внутренними причинами, то есть теми, которые были заложены в человека при его внутриутробном развитии (возникли в процессе производства технических элементов). Участок II. Смертность на этом участке сравнительно невелика и постоянно растет из-за разнообразных причин как внутреннего (болезни), так и внешнего (катастрофы, несчастные случаи) характера. Для многих технических элементов (в частности, для большинства электронных компонентов) интенсивность отказов на этом участке с высокой степенью точности можно полагать постоянной. Причины отказов здесь, как правило, внешние и связаны с неблагоприятными факторами, действующими как на отдельные элементы, так и в целом на изделие, в составе которого они работают. Участок III. Период старости для человека, когда смертность резко возрастает из-за большого числа разнообразных, еще не до конца ясных современной медицине причин. Для технических элементов это период физического старения, интенсивность отказов здесь повышается из-за износа механических деталей, необратимых физико-химических процессов в элементах и т.д. Важно то, что основные причины высокой смертности и интенсивности отказов здесь внутренние (как и на первом участке). Отметим, что технические системы редко доживают до своего физического износа (третьего участка), поскольку раньше наступает их моральный износ из-за появления более совершенных элементов и систем с лучшими характеристиками. Сходство графиков интенсивности отказов и смертности показывает, что

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 8 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА между закономерностями мира живой природой (в лице человека) и характеристиками техносферы существуют определенные аналогии. Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой дифференциальным уравнением, которое может быть получено на основе соотношения (1): dP ( t ) ⁄ dt λ ( t ) = – ----------------------- . P(t )

(2)

В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемые элементы прошли приработку и их интенсивность отказов постоянна и равна λ. В этом случае решение уравнения (2) получается особенно простым: P(t) = e −λt.

(3)

Имея в виду вид этой функции, говорят, что случайная величина T подчиняется экспоненциальному закону распределения. Экспоненциальный закон с большой степенью точности применим к таким элементам технических систем, в которых процессы старения малозаметны. В частности, это касается основных компонентов современной электронной аппаратуры – интегральных микросхем. Там же, где старение играет существенную роль (например, износ механических деталей), использование экспоненциального закона может привести к ошибкам. Еще одним показателем надежности является среднее время безотказной работы T*, которое представляет собой математическое ожидание (среднее) случайной величины T. В общем случае T* представляет собой площадь под графиком функции P(t); при λ = = const получаем простую зависимость: 1 T * = --- . λ

(4)

Из результатов испытаний и данных эксплуатации известно, что интенсивность отказов интегральных микросхем находится в диапазоне 10−8–10−6 ч−1. Легко подсчитать, что среднее время безотказной работы этих элементов будет не менее 1 млн часов, или более 100 лет. Поскольку время разработки современных элементов и систем не превышает, как правило, нескольких лет, последнее число подтверждает сделанное выше замечание о соотношении морального и физического износов. Мы рассмотрели только некоторые показатели надежности, более детально с этими и другими показателями можно ознакомиться в специальной литературе [4, 5].

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА Экспоненциальный закон распределения является очень популярным (но далеко не единственным) в теории надежности. Он обладает интересным свойством, которое мы сейчас получим. Рассмотрим два интервала на временной оси (рис. 4) – (0, t) и (t, t + τ) – и связанные

0

t

t+τ

t

Рис. 4. Иллюстрация к выводу марковского свойства экспоненциального закона

с ними события A и B: A – безотказная работа некоторого элемента на интервале (0, t), B – безотказная работа на интервале (t, t + τ). Произведение этих событий AB – это безотказная работа на интервале (0, t + τ). Вероятности событий A и AB вычисляются по формуле (3) P(A) = e −λt,

P(AB) = e −λ(t + τ).

По известной из теории вероятностей формуле найдем вероятность P(B/A), то есть вероятность события B при условии, что событие A произошло: –λ ( t + τ )

P ( AB ) e - = e –λτ . P ( B ⁄ A ) = ---------------- = --------------– λt P( A) e

(5)

Читателю предлагается удивиться этому результату. Действительно, вероятность P(B/A) в нашем случае – это вероятность того, что на интервале (t, t + τ) элемент будет безотказно работать при условии, что к моменту t он не отказал. Согласно формуле (5), эта вероятность зависит только от длительности интервала (t, t + τ) и не зависит от того, сколько элемент проработал до момента t. Таким образом, в случае экспоненциального закона мы имеем дело как бы с вечно молодым элементом. На самом деле это означает, что причины отказов элемента при λ = const являются чисто внешними, что было отмечено при анализе второго участка на графике интенсивности отказов. Из сказанного следует, что значение интенсивности отказов при λ = const – это характеристика как элемента, так и окружающей среды. Полученное свойство экспоненциального закона – своеобразную независимость будущего от прошлого – можно назвать марковским, по имени русского математика А.А. Маркова (старшего). Примечательно, что экспоненциальный закон является единственным, обладающим таким свойством. Точнее, если отношение P(t + τ)/P(t) не зависит от t, то закон распределения случайной величины T будет экспоненциальным [4]. Рассмотрим следующую важную для практики задачу: имеется техническая система, состоящая из n элементов с интенсивностями отказов λ1 , λ2 , …, λn . Какова

Ж И РА Б О К А . Н . О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я Т Е О Р И И Н А Д Е Ж Н О С Т И

111

МАТЕМАТИКА будет интенсивность отказов системы λΣ ? Ответ на этот вопрос существенно зависит от того, как связаны между собой отказы элементов и отказ системы. Наиболее популярным (но не всегда верным) является следующее допущение: отказ любого элемента приводит к отказу системы. В этом случае говорят о модели последовательного с точки зрения надежности соединения элементов (рис. 5): при обрыве любого из элементов обрывается вся цепь. Пусть, кроме того, время жизни отдельного элемента не зависит от времен жизни других элементов, иными словами, отказы отдельных элементов являются независимыми событиями, то есть отказ какого-либо элемента не приводит к отказу других элементов (это тоже не всегда верно). При таких предположениях поставленная задача решается достаточно просто. 1

2

n

…

Рис. 5. Модель последовательного соединения элементов

Пусть Ai – событие, состоящее в том, что за время t i-й элемент не отказал, i = 1, 2, …, n; событие A – безотказная работа системы за это же время. Тогда событие A представляет собой произведение событий A1 , A2 , …, An , поскольку оно наступит тогда, когда произойдут все события A1 , A2 , …, An . Поскольку вероятность произведения независимых событий представляет собой произведение вероятностей отдельных событий, отсюда получаем P(A) = P(A1)P(A2)…P(An) или e

–λΣ t

=e

–λ1 t –λ2 t

e

…e

–λn t

.

что в итоге дает простое соотношение

счет использования элементов с высокими надежностными характеристиками, однако нередко этого бывает недостаточно. В таких случаях прибегают к различным видам резервирования. Коротко остановимся на так называемом структурном резервировании, когда для повышения надежности используются резервные элементы. Рассмотрим ненагруженное резервирование замещением, когда резервные элементы включаются в работу только после отказа основного и находятся в ненагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента. Интенсивность отказов резервных элементов в ненагруженном режиме принимается равной нулю. Пусть имеются один основной и r резервных элементов, которые в совокупности образуют блок. Перечислим возможные состояния этого блока: отказавших элементов нет – состояние 1, один отказал – состояние 2, два отказали – состояние 3 и так до отказа всех элементов – всего r + 2 состояния. Представим это так называемым графом состояний (рис. 6, а), на котором изображены отдельные состояния и переходы (стрелки) между ними. При отказе очередного элемента происходит переход от соответствующего состояния к последующему. Каждой стрелке соответствует определенная интенсивность перехода, равная сумме интенсивностей отказов всех элементов, не отказавших в состоянии, из которого эта стрелка выходит. Поскольку интенсивность отказов резервных элементов до начала выполнения ими функций основного элемента равна нулю, то все стрелки имеют одинаковую интенсивность – по λ. Обозначим через Pi(t) вероятность пребывания блока в i-м состоянии в момент t, i = 1, 2, … Эти вероятности можно определить из системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Вид и вывод этих уравнений, их решение, а также многочисленные примеры использования графов состояний для решения различных а

n

λΣ =

1

∑λ ,

λ

2

λ

…

λ

rλ

…

2λ

r+1

λ

r+2

i

i=1

которое является основой различных методов расчета показателей надежности системы с учетом реальных условий работы ее элементов.

б 1

в

1

(r + 1)λ

2λ0

2

2

λ0 + λ3

r+1

λ

r+2

3

РЕЗЕРВИРОВАНИЕ К надежности систем, выполняющих ответственные функции (например, система управления ядерным реактором или космическим стартовым комплексом, автопилот самолета и др.), предъявляются весьма жесткие требования. Частично они могут быть удовлетворены за

112

2λ3 Рис. 6. Графы состояний при ненагруженном (a) и нагруженном (б) резервировании замещением и параллельном соединении элементов (в) с двумя типами отказов

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 8 , 2 0 0 1

МАТЕМАТИКА задач можно найти в [5]. Поскольку для нормальной работы блока достаточно наличия хотя бы одного работающего элемента, вероятность его безотказной работы равна сумме всех вероятностей, кроме Pr + 2(t). Опуская детали, приведем конечный результат: ( λt ) ( λt ) – λt P ( t ) = e  1 + λt + ------------ + … + ----------------- .  2 r+1  2

r+1

(6)

Из интуитивных соображений ясно, что при неограниченном увеличении числа r вероятность P(t) должна стремиться к 1 (при бесконечном числе резервных элементов в блоке он никогда не откажет). Известно, что ряд, находящийся в выражении (6) в круглых скобках, сходится к функции e λt. Поскольку произведение функций e −λt и e λt равно 1, получаем, что математика подтверждает наши интуитивные рассуждения. Рассмотрим еще один вид резервирования замещением – нагруженное, когда резервные элементы находятся в нагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента, то есть их интенсивность отказов совпадает с интенсивностью основного элемента, хотя резервные элементы включаются в работу только после отказа основного. Вид графа переходов в этом случае сохраняется (рис. 6, б), изменяются только интенсивности стрелок: в соответствии со сформулированным выше правилом первой стрелке соответствует интенсивность (r + 1)λ, второй – rλ и так до λ, поскольку в первом состоянии работают все r + 1 элементов, во втором – на один меньше и т.д.; в предпоследнем состоянии остается один работающий элемент. Предполагается, что вероятность отказа одновременно двух элементов равна нулю. Формальное решение соответствующей системы уравнений Колмогорова имеет громоздкий вид, простой же по форме результат получается из следующих несложных соображений. Отказ резервированного блока наступит только после отказа всех его элементов. Поскольку вероятность отказа одного элемента за время t равна 1 − e −λt, то вероятность отказа всех элементов за время t составит Q(t) = (1 − e −λt)r + 1 (предполагается, что элементы отказывают независимо друг от друга). Поскольку вероятности безотказной работы и отказа в сумме всегда дают 1, получаем следующий результат: P(t) = 1 − (1 − e −λt)r + 1. Приведем выражения для среднего времени безотказной работы блока. В случае ненагруженного резервирования результат почти очевиден: поскольку резервные элементы до начала выполнения ими функций основного элемента имеют нулевую интенсивность отказов, среднее время безотказной работы блока равно сумме отдельных средних, что с учетом соотношения (4)

дает T*Σ = (r + 1)/λ. Для нагруженного резервирования получается более сложное выражение: 1 1 1 1 T * Σ = ---  1 + --- + --- + … + ----------- . λ 2 3 r + 1 Здесь, как и выше, возможна проверка соответствия математики и интуиции: известно, что ряд в круглых скобках в приведенном выражении расходится, проще говоря, сумма членов ряда при r ∞ стремится к бесконечности; к тому же из интуитивных соображений ясно, что при бесконечном числе резервных элементов время безотказной работы будет также бесконечным. Рассмотрим еще один интересный пример, попадающий под схему резервирования: имеются два одинаковых радиоэлемента (например, резисторы или конденсаторы), соединенные параллельно. Каждый элемент имеет два типа отказов – обрывы и замыкания с интенсивностями λо и λз соответственно; при обрыве одного из элементов оставшийся выполняет необходимые функции, замыкание любого элемента приводит к отказу цепи. Граф состояний этой цепи изображен на рис. 6, в: обрыв любого элемента влечет переход из первого состояния во второе, переходу из первого состояния в третье соответствует замыкание одного из элементов. Вероятность безотказной работы всей цепи определяется следующим выражением: λ з – λ о –2λt 2λ о –λt -e P ( t ) = --------------+ --------e , λ λ где λ = λз + λо . Найдем выигрыш от параллельного соединения элементов по сравнению с одним элементом: P ( t ) λ з – λ о –λt 2λ о - = ---------------- e + --------. R ( t ) = --------– λt λ λ e Графики функции R(t) для различных соотношений интенсивностей обрывов и замыканий приведены на рис. 7. Видно, что в случае преобладания обрывов R 1

1

3 2 t

Рис. 7. Графики функции R(t) при различных соотношениях интенсивностей отказов обрывов λо и замыканий λз: 1 – λо $ λз, 2 – λо # λз , 3 – λо = λз

Ж И РА Б О К А . Н . О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я Т Е О Р И И Н А Д Е Ж Н О С Т И

113

МАТЕМАТИКА параллельное соединение дает выигрыш по сравнению с одним элементом, в случае преобладания замыканий – проигрыш. Читателю рекомендуется самостоятельно убедиться в том, что при последовательном соединении элементов эти соотношения меняются местами. Полученные математические результаты находятся, как и выше, в полном соответствии с интуитивным пониманием происходящих процессов. Таким образом, несмотря на простые модели (имеется в виду случай λ = const), основные результаты математической теории надежности хорошо согласуются с интуитивными инженерными соображениями, что подтверждает мысли, высказанные в работе [1] по поводу значения таких моделей. ЛИТЕРАТУРА 1. Неймарк Ю.И. Простые математические модели и их роль в постижении мира // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. № 3. С. 139–143.

114

2. Карцев В.П., Хазановский П.М. Стихиям неподвластен. М.: Знание, 1980. 192 с. 3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1988. 480 с. 4. Гнеденко Б.В., Беляев В.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с. 5. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972. 552 с.

Рецензент статьи Р.В. Гольдштейн *** Алексей Нилович Жирабок, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой конструирования и производства радиоаппаратуры Дальневосточного государственного технического университета. Область научных интересов – теория нелинейных динамических систем, техническая диагностика сложных технических систем. Автор более 120 научных работ, в том числе двух монографий.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 8 , 2 0 0 1