Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное о...
7 downloads
196 Views
494KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсу «Физика» (квантовая физика) для студентов факультета высоких технологий
часть 2
Ростов-на-Дону 2007
Методические указания разработаны старшим преподавателем кафедры общей физики М.А. Сорочинской, старшим преподавателем кафедры общей физики Ю.А. Игнатовой, к. физ.-мат. н., доц. кафедры общей физики А.Л. Цветянским.
Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол №23 от 29 мая 2007г.
2
Методические указания предназначены для аудиторной и самостоятельной работы студентов 2 курса факультета высоких технологий. В сборнике приведены задачи для самостоятельного решения (наиболее сложные снабжены ответами). Методические указания снабжены приложениями, содержащими значения
фундаментальных
физических
постоянных,
производные
и
первообразные некоторых функций, периодическую систему элементов Д.И. Менделеева.
3
1 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 1.1 Определите, во сколько раз необходимо уменьшить термодинамическую температуру черного тела, чтобы его энергетическая светимость ослабилась в 16 раз? 1.2 Температура внутренней поверхности муфельной печи при открытом отверстии площадью 30см2 равна 1,3кК. Принимая, что отверстие печи излучает как черное тело, определите, какая часть мощности рассеивается стенками, если потребляемая печью мощность составляет 1,5кВт. 1.3 Определите, как и во сколько раз изменится мощность излучения черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его спектральной плотности энергетической светимости, сместилась с 720нм до 400нм. 1.4 Принимая Солнце за черное тело и учитывая, что его максимальной спектральной плотности энергетической светимости соответствует длина волны 500нм, определите: 1) температуру поверхности Солнца; 2) энергию, излучаемую Солнцем в виде электромагнитных волн за 10мин; 3) массу, теряемую Солнцем за это время за счет излучения. 1.5 Считая, что тепловые потери обусловлены только излучением, определите, какую мощность необходимо подводить к медному шарику диаметром 2см, чтобы при температуре окружающей среды -130С поддерживать его температуру равной 170С. Поглощательная способность меди 0,6. 1.6 Мощность излучения раскаленной металлической поверхности 0,67кВт. Температура поверхности 2500К, ее площадь 10см2. Какую мощность излучения имела бы эта поверхность, если бы она была абсолютно черной? Найти
отношение
энергетических
светимостей
этой
поверхности
и
абсолютно черного тела при данной температуре. 1.7 Абсолютно черное тело имеет температуру 2900К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности
4
энергетической светимости, изменилась на 9мкм. До какой температуры охладилось тело? 1.8 Поверхность тела нагрета до 1000К. Затем одна половина этой поверхности нагревается на 100К, другая настолько же охлаждается. Во сколько раз изменится энергетическая светимость поверхности этого тела? 1.9 Какую мощность надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиусом 2см, чтобы поддерживать его температуру на 27К выше температуры окружающей среды? Температура окружающей среды 273К. Считать, что тепло теряется только за счет излучения. 1.10 Объясните, почему открытые окна домов со стороны улицы кажутся черными. 1.11 Чайная фарфоровая чашка на светлом фоне имеет темный рисунок. Если эту чашку быстро вынуть из печи, где она нагревалась до высокой температуры, и рассматривать в темноте, то наблюдается светлый рисунок на темном фоне. Объясните почему. 1.12 Имеются два одинаковых алюминиевых чайника, в которых до одной и той же температуры нагрето одинаковое количество воды. Один чайник закопчен, а другой чистый. Объясните, какой из чайников остынет быстрее и почему? 1.13 Преобразуйте формулу Планка для спектральной плотности энергетической светимости черного тела от переменной v к переменной λ . 1.14 Пользуясь формулой Планка rn,Τ =
2πν 2 hν , докажите, что в области 2 hν /( kΤ ) c e −1
малых частот ( hν << kΤ ) она совпадает с формулой Рэлея – Джинса. 1.15 Пользуясь формулой Планка rn,Τ
2πν 2 hν = , выведите из нее закон 2 hν /( kΤ ) c e −1
Стефана - Больцмана.
5
1.16 Пользуясь формулой Планка
rn ,Τ =
2πν 2 hν , выведите из нее закон 2 hν /( kΤ ) c e −1
смещения Вина. 1.17 Используя формулу Планка, определите спектральную плотность потока излучения единицы поверхности черного тела, приходящегося на узкий интервал длин волн 5нм около максимума спектральной плотности энергетической светимости, если температура черного тела 2500 К. Ответ: 6,26 кВт/м2. 1.18 Объясните: 1) происхождение радиационной, цветовой и яркостной температур; 2) может ли радиационная температура быть больше истинной. 2 КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Фотоэффект. Фотоны. 2.1 Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0,257мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов, равной 1,5В. 2.2 Облучение литиевого фотокатода производится фиолетовыми лучами с длиной волны 0,4мкм. Определить скорость фотоэлектронов, если красная граница фотоэффекта для лития равна 0,52мкм. 2.3 Какую часть энергии фотона составляет энергия, которая пошла на совершение работы выхода электронов из фотокатода, если красная граница для материала фотокатода равна 0,54мкм. Кинетическая энергия электрона 0,5эВ. 2.4 Отдаленный от других тел металлический шарик, работа выхода электронов с поверхности которого равна A , освещают электромагнитным излучением с длиной волны λ . Найти, до какого минимального потенциала зарядится шарик, испуская фотоэлектроны. 2πch
Ответ: ϕ min
= λ
e
−A
. 6
2.5 Найти работу выхода с поверхности некоторого металла, если при поочередном освещении его электромагнитным излучением с длинами волн 0,35мкм и 0,54мкм максимальная скорость фотоэлектронов отличается в 2 раза. Ответ: A = 1,9эВ . 2.6 При некоторой задерживающей разности потенциалов фототок с поверхности лития, освещаемого электромагнитным излучением с длиной волны λ0 , прекращается. Изменив длину волны излучения в 1,5 раза, установили, что для прекращения фототока необходимо увеличить задерживающую разность потенциалов в 2 раза. Работа выхода электрона с поверхности лития 2,39эВ. Вычислить λ0 . Ответ: λ0 = 0,29 мкм . 2.7 Найти частоту и длину волны излучения, масса фотонов которого равна массе покоя электрона. 2.8 Энергия фотона равна энергии покоящегося электрона. Найти длину волны такого фотона. 3 АТОМ РЕЗЕРФОРДА-БОРА Постулаты Бора. Боровская модель атома водорода. Водородоподобные системы. 3.1 Частица массы m движется по круговой орбите в центрально-симметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния r до центра поля как U =
χ r2 2
, где χ - постоянная. Найти с помощью Боровского условия
квантования возможные радиусы орбит и значения полной энергии частицы в данном поле. Ответ: rn =
nh χ ; E n = nh . m χm
7
3.2 Используя теорию Бора для атома водорода, определите: 1)радиус ближайшей к ядру орбиты (первый боровский радиус); 2)скорость движения электрона по этой орбите. Ответ: r1 = 52,8пм, v1 = 2,19Мм / с . 3.3 Определите скорость электрона на третьей орбите атома водорода. 3.4 Определите частоту вращения электрона по третьей орбите атома водорода в теории Бора. 3.5 Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона на третьей орбите атома водорода. Ответ: 2,8 ⋅10 −23 А ⋅ м 2 . 3.6 Определите на сколько изменилась энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны 0,486мкм. 3.7 Электрон находится на первой боровской орбите атома водорода. Определите для
электрона:
1)потенциальную
энергию;
2)кинетическую
энергию;
3)полную энергию. 3.8 Определите частоту вращения электрона, находящегося на первой боровской орбите и эквивалентный ток. 3.9 Определите энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй. Ответ: 1,89 эВ. 3.10 Электрон выбит из атома водорода, находящегося в основном состоянии, фотоном, энергия которого 17,7эВ. Определите скорость электрона за пределами атома. 3.11 Фотон с энергией 12,12эВ, поглощенный атомом водорода, находящимся в основном состоянии, переводит атом в возбужденное состояние. Определите главное квантовое число этого состояния.
8
3.12 Оценить промежуток времени τ , за который электрон, движущийся вокруг ядра атома водорода (протона) по окружности радиуса r0 = 0,53 ⋅10 −8 см , упал бы на ядро из-за потери энергии на излучение. Ответ: τ =
m 2 c 3 r03 = 1,3 ⋅10 −11 c . 4 4e
3.13 Найдите энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобных ионов, в спектре испускания которых длина волны третьей линии серии Бальмера 108,5нм. Ответ: 54,4эВ . 3.14 Определите максимальную и минимальную энергии фотона в видимой серии спектра водорода (серии Бальмера). Ответ: 3,41 эВ; 1,89 эВ. 3.15 Определите длину волны спектральной линии, соответствующей переходу электрона в атоме водорода с шестой боровской орбиты на вторую. К какой серии относится эта линия и какая она по счету? Ответ: 0,41 мкм; четвертая линия серии Бальмера. 3.16 При
каком
наименьшем
значении
приращения
энергии
иона
Не+,
находящегося в основном состоянии, он смог бы испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера? Ответ: 48,5эВ . 3.17 Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон со второй боровской орбиты атома водорода за притяжения его ядром. Ответ: 5,45 ⋅ 10 −19 Дж 3.18 У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана 59,3нм? Ответ: Li++.
9
3.19 Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Найти: 1)скорость отдачи, которую получил атом; 2)отношение кинетической энергии атома отдачи к энергии испущенного фотона. Ответ: 3,27 м / с, 0,55 ⋅10 −8 . 3.20 Максимальная длина волны спектральной водородной линии серии Лаймана равна 0,12 мкм. Предполагая, что постоянная Ридберга неизвестна, определите максимальную длину волны линии серии Бальмера. Ответ: 0,648 мкм. 3.21 Атом водорода находится в возбужденном состоянии, характеризуемое главным квантовым числом n=4. Определите возможные спектральные линии в спектре водорода, появляющиеся при переходе атома из возбужденного состояния в основное. Ответ: 1,02 ⋅ 10 −7 м , 0,97 ⋅ 10 −7 м , 6,54 ⋅ 10 −7 м , 4,85 ⋅ 10 −7 м , 18,7 ⋅ 10 −7 м . 3.22 На дифракционную решетку с периодом d нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом. Оказалось, что в спектре дифракционный максимум k-го порядка, наблюдаемый под углом ϕ , соответствовал одной из линий серии Лаймана. Определите главное квантовое число, соответствующее энергетическому уровню, с которого произошел переход. −
1
⎛ ck ⎞ 2 ⎟⎟ . Ответ: n = ⎜⎜1 − ⎝ Rd sin ϕ ⎠
3.23 Определите длину волны λ , соответствующую второй спектральной линии в серии Пашена. Ответ: 1,28 мкм. 3.24 В инфракрасной области спектра излучения водорода обнаружено четыре серии – Пашена, Брекета, Пфунда и Хэмфри. Запишите спектральные 10
формулы для них и определите самую длинноволновую линию: 1) в серии Пашена; 2) в серии Хэмфри. Ответ: 1,87 мкм; 12,3 мкм. 3.25 Определите число спектральных линий, испускаемых атомарным водородом, возбужденным на n-й энергетический уровень. Ответ: N = n(n − 1) / 2 . 3.26 Определите, какие спектральные линии появятся в видимой области спектра излучения атомарного водорода под действием ультрафиолетового излучения с длиной волны λ =95нм. Ответ. 0,434 мкм; 0,486 мкм; 0,656 мкм. 4 ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ Гипотеза де Бройля. Принцип неопределенности. 4.1 Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите. 4.2 Определите, как изменится длина волны де Бройля электрона в атоме водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на вторую. 4.3 Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля для него была равна 1нм. 4.4 Определите импульс и энергию 1) рентгеновского фотона, 2) электрона, если длина волны того и другого равна 10-10м. 4.5 Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 500В, имеет длину волны де Бройля 1,282пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определите ее массу. 4.6 Кинетическая энергия электрона равна 1кэВ. Определите длину волны де Бройля. 4.7 Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией 15мТл по окружности радиусом 1,4м. Определите длину волны де Бройля для протона.
11
4.8 Частица массы m движется в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия U =
χ x2 2
, где χ - постоянная. Оценить с помощью
принципа неопределенности минимально возможную энергию частицы в этом поле. Ответ: E min ≈ h
χ m
.
4.9 Определите отношение неопределенностей скорости электрона. Если его координата установлена с точностью 10-5м и пылинки массой 10-12кг, если ее координата установлена с точностью 10-5м. 4.10 Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории? 4.11 Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов 1кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1% от ее числового значения. Определите неопределенность координаты электрона. 4.12 Электронный пучок выходит из электронной пушки под действием разности потенциалов
200В.
Определите,
можно
ли
одновременно
измерить
траекторию электрона с точностью до 100пм (с точностью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10%. 4.13 Объясните физический смысл соотношения неопределенности для энергии E времени t: ∆E∆t ≥ h ?
12
5 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Состояние частицы в квантовой теории. Частица в прямоугольной яме. Квантование. Потенциальные барьеры. 5.1 Волновая
функция.
Описывающая
некоторую
частицу,
может
быть
представлена в виде Ψ (x, t ) = Ψ (x ) ⋅ exp⎛⎜ − E t ⎞⎟ . Покажите, что плотность i ⎝ h
⎠
вероятности нахождения частицы определяется только координатной Ψ функцией. 5.2 Ψ -функция некоторой частицы имеет вид Ψ =
A ⎛ r⎞ exp⎜ − ⎟ . Где r - расстояние r ⎝ a⎠
от частицы до силового центра, a - некоторая постоянная. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент A . 1 . 2πa
Ответ: A =
5.3 Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный r коэффициент A волновой функции Ψ = Aexp⎛⎜ − ⎞⎟ , описывающей основное ⎝ a⎠
состояние электрона в атоме водорода, где r - расстояние от электрона до ядра, a - первый Боровский радиус. 1 . πa 3
Ответ: A =
2π x ⎞ ⎟ определена только в области 0 ≤ x ≤ l . ⎝ l ⎠
5.4 Волновая функция Ψ = A sin ⎛⎜
Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный множитель A . 2 . l
Ответ: A =
5.5 Волновая функция, описывающая частицу в момент времени t=0 , имеет вид ψ (0, x) = Ae − x
2
/ a 2 + ikx
, где a и k – некоторые положительные постоянные. 13
Определите: 1) нормировочный коэффициент A; 2) область, в которой частица локализована. 2 2 ; 2)0 < x < a. a π
Ответ. 1) A =
5.6 Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид Ψn ( x) =
2 ⎛ nπx ⎞ sin ⎜ ⎟ , где l - ширина ямы. l ⎝ l ⎠
Определите среднее значение координаты электрона. l 2
Ответ: x = . 5.7 Волновая Ψ = A exp(−
функция,
описывающая
некоторую
частицу,
имеет
вид
r2 ) , где r - расстояние этой частицы до силового центра, a 2a 2
некоторая постоянная. Определите среднее расстояние
r
до силового
центра. Ответ: r =
2a
π
.
5.8 Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид Ψ = A exp(−
r ) , где r - расстояние электрона от ядра, a a
первый Боровский радиус. Определите среднее значение квадрата расстояния r 2 электрона до ядра в основном состоянии.
Ответ: r 2 = 3a 2 . 5.9 Волновая
функция,
описывающая
некоторую
частицу,
A r2 Ψ = exp(− 2 ) , где A - нормировочный множитель, равный r a
расстояние частицы до силового центра, a 14
имеет 1
π a 2π
вид , r -
- некоторая постоянная.
Определите среднее значение квадрата расстояния r 2 частицы до силового центра. Ответ: r 2 =
a2 . 4
5.10 Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ = Ae − r / a , где r – расстояние электрона от ядра, a первый боровский радиус. Определите наиболее вероятное расстояние электрона до ядра. Ответ: rв=a. 5.11 Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид ψ = Ae − r
2
/( 2 a 2 )
,
где r – расстояние частицы от силового центра; a - некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние частицы до силового центра. Ответ: rв=a. 5.12 Известно,
что
свободная
квантовая
частица
описывается
плоской
монохроматической волной де Бройля. Плотность вероятности обнаружения свободной
частицы
| ψ |2 = ψψ ∗ =| A |2 = const .
Объясните,
что
означает
постоянство этой величины. 5.13 Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода. 5.14 Запишите одномерное уравнение Шредингера (для стационарных состояний) для частицы, движущейся под действием квазиупругой силы. 5.15 Запишите
общее
уравнение
Шредингера
для
свободной
частицы,
движущейся вдоль оси x, и решите это уравнение. 5.16 Запишите
уравнение
Шредингера
для
стационарных
состояний
для
свободных частиц, движущихся вдоль оси x, а также определите посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы? 15
Ответ: E =
h 2k 2 , спектр непрерывный. 2m
5.17 Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Показать, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции ⎛ π 2h 2 ⎞
nπ x
⎛ ⎞ ⎟ n 2 , Ψn ( x ) = ( 0 < x < l ) имеют вид E n = ⎜⎜ sin⎜ ⎟ , n = 1,2,... 2 ⎟ l ⎝ l ⎠ ⎝ 2ml ⎠ 2
5.18 Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти: 1) массу частицы, если ширина ямы l и разность энергий 3-го и 2-го энергетических уровней равна ∆E ; 2) квантовое число n энергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседних с ним уровней (верхнего и нижнего) относятся как η :1, где η = 1,4 . 5π 2 h 2 Ответ: 1) m = 2 ; 2l ∆E
2) n =
η +1 = 3. 2(η − 1)
5.19 Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найти вероятность пребывания частицы в области
l 2l <x< . 3 3
Ответ: 0,61. 5.20 Докажите, что волновая функция ψ ( x) = Axe
−
mk 2 x 2h
может быть решением
уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, масса которого m и постоянная квазиупругой силы k. Определите собственное значение полной энергии осциллятора. 3 2
Ответ: E = hω0 .
16
5.21 Частица массой m движется в одномерном потенциальном поле U ( x) = kx 2 / 2 (гармонический осциллятор). Волновая функция, описывающая поведение частицы
в
основном
состоянии,
имеет
вид
2
ψ ( x) = Ae − ax ,
где
А
–
нормировочный коэффициент; a – положительная постоянная. Используя уравнение Шредингера, определите: 1) постоянную a; 2) энергию частицы в этом состоянии. Ответ: 1) a =
mω0 hω0 ; 2) E = , где ω0 = k / m . 2h 2
5.22 Частица с энергией E движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U и конечной шириной l, причем E
разность
энергий (U–E), при которой вероятность
прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5. Ответ: (U–E)=0,454 эВ. 5.24 Протон с энергией Е=5эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U=10эВ и шириной l=0,1нм. Определите вероятность прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при вышеперечисленных условиях. Ответ: W p = 1,67 ⋅ 10−43 ;
l = 42,8. l'
5.25 Частица с энергией E движется в положительном направлении оси x и встречает
на
своем
пути
бесконечно
широкий
прямоугольный
потенциальный барьер высотой U, причем E>U. Запишите уравнение 17
Шредингера для областей 1 и 2 и решите его. ψ – Функция обычно формируется так, что А1=1. Представьте графически качественный вид ψ – функций. 5.26 Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси и встречает
на
своем
пути
бесконечно
широкий
прямоугольный
потенциальный барьер высотой U, причем E
на
своем
пути
бесконечно
широкий
прямоугольный
потенциальный барьер высотой U, причем E
2k1 Ответ: | ψ 2 ( x) | = e − 2 βx , где k1 = k1 + iβ 2
2mE , β= h
2m(U − E ) . h
6 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ Операторы физических величин. Основные постулаты квантовой теории. 6.1 Проверить следующие операторные равенства: 1)
d d x = 1+ x ; dx dx
2) x 2
d 1 d = x −1 ; dx x dx 2
d d d2 3) ⎛⎜ x + ⎞⎟ = 1 + x 2 + 2 x + 2 ; dx ⎠ dx dx ⎝ 2
1 d ⎞ d2 2 d x⎟ = 2 + ; 4) ⎛⎜ ⎝ x dx ⎠
dx
x dx
2
⎛∂ ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ⎞ 5) ⎜⎜ + ⎟⎟ = 2 + 2 + 2. ∂x ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠
18
d2 2 6.2 Найти результат действия операторов x и d x2
2
⎛ d ⎞ ⎜⎜ x ⎟⎟ на функции: 1) cos x ; ⎝dx ⎠
2) e x . 6.3 Найти собственное значение оператора Aˆ , принадлежащее собственной функции Ψ A , если: d2 1) Aˆ = − 2 , Ψ A = sin 2 x ; dx
⎛ x2 ⎞ d2 2 ˆ 2) A = − 2 + x , Ψ A = exp ⎜⎜ − ⎟⎟ ; dx ⎝ 2 ⎠ sin α x d2 2 d , ΨA = . 3) Aˆ = 2 +
x dx
dx
x
6.4 Доказать, что если операторы Aˆ и Bˆ коммутируют, то: 2 1) (Aˆ + Bˆ ) = Aˆ 2 + 2 Aˆ Bˆ + Bˆ 2 ;
2) (Aˆ + Bˆ )(Aˆ − Bˆ ) = Aˆ 2 − Bˆ 2 ;
[
]
3) (Aˆ + Bˆ ), (Aˆ − Bˆ ) = 0 . 6.5 Доказать следующие коммутационные соотношения:
[ ] [ ][ ] 2) [Aˆ , Bˆ Cˆ ] = [Aˆ , Bˆ ]Cˆ + Bˆ [Aˆ , Cˆ ].
1) Aˆ , Bˆ + Cˆ = Aˆ , Bˆ + Aˆ , Cˆ ;
6.6 Проверить коммутируют ли операторы: 1) xˆ и pˆ x ; 2) xˆ и pˆ y , 3) pˆ x и pˆ y . 6.7 Проверить следующие правила коммутации для гамильтониана
Hˆ
в
потенциальном поле U (x ) : ih 1) [Hˆ , xˆ ] = − pˆ x ; m
∂U . 2) [Hˆ , pˆ x ] = ih ∂x
6.8 Найти собственные функции Ψ
и собственные значения следующих
операторов:
19
1) − i 2) −
d , если Ψ (x ) = Ψ (x + a ) , a = const ; dx
d2 , если Ψ = 0 при x = 0 и x = l . d x2
6.9 Найти среднее значение кинетической энергии K Ψ ( x) =
1 2l
eik x , k =
частицы в состоянии
p . Функция Ψ (x ) нормирована в интервале − l < x < l , вне h
этого интервала Ψ (x ) = 0 . 7 КВАНТОВАНИЕ АТОМОВ Принцип Паули. Заполнение электронных оболочек. Периодическая система элементов Д.И. Менделеева. 7.1 Запишите квантовые числа, определяющие внешний, или валентный, электрон в основном состоянии атома натрия. 1 2
Ответ: валентный электрон: n=3, l=0, m1=0, ms= ± . 7.2 Пользуясь периодической системой элементов Д.И. Менделеева запишите символически электронную конфигурацию следующих атомов в основном состоянии: 1) неон; 2) аргон; 3) криптон. 7.3 Пользуясь периодической системой элементов Д.И. Менделеева запишите символически
электронную
конфигурацию
атома
меди
в
основном
состоянии. 7.4 Пользуясь периодической системой элементов Д. И. Менделеева запишите символически
электронную
конфигурацию
атома
цезия
в
основном
состоянии. 7.5 Электронная конфигурация некоторого элемента 1s22s22p63s23p1. Определите, что это за элемент. 7.6 Электронная конфигурация некоторого элемента 1s22s22p63s23p63d104s1. Определите, что это за элемент.
20
7.7 Определите
в
периодической
системе
элементов
Д.И.
Менделеева
порядковый номер элемента, у которого заполнены K, L, M-оболочки, а также 4s-подоболочка.
21
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001. 2. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.-С.-Пб.: Физматлит, 2002. 3. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. М.-С.-Пб.: Физматлит, 2002. 4. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2000. 5. Бабаджан Е.И. и др. Сборник качественных вопросов и задач по общей физике. М.: Наука, 1990. 6. Курс физики. Учебник для вузов. Под ред. Лозовского В.Н. С.-Пб.- М.Краснодар: Лань, 2006. 7. Фриш С.Э. Курс общей физики. Учебник для вузов. С.-Пб. - М. -Краснодар: Лань, 2006. 8. Савельев И.В. Курс общей физики. Учебник для вузов. М.: Наука, 2005. 9. Трофимова Т.И. Физика в таблицах и формулах. М.: Дрофа, 2002. 10. Трофимова Т.И.. Курс физики: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.
22
ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица 1 Физические постоянные Скорость света в вакууме
c = 2,998 ⋅108 м с
Гравитационная постоянная
γ = 6,67 ⋅10 −11 м 3 (кг ⋅ с 2 )
Ускорение свободного падения
g = 9,807 м с 2
Постоянная Авогадро
N A = 6,022 ⋅10 23 моль −1 R = 8,314 Дж ( К ⋅ моль)
Универсальная газовая постоянная Постоянная Больцмана
k = 1,3807 ⋅10 −23 Дж К
Элементарный заряд
e = 1,602 ⋅10 −19 Кл
Масса покоя электрона
me = 0,911⋅10 −30 кг
Масса покоя протона
m p = 1,673 ⋅10 −27 кг
Постоянная Планка
h = 1,0546 ⋅10 −34 Дж ⋅ с
Постоянная Ридберга
R = 3,29 ⋅ 1015 c −1
Электрическая постоянная
ε 0 = 0,885 ⋅10 −11 Ф м
Магнитная постоянная
µ 0 = 1,257 ⋅10 −6 Гн м
Таблица 2 Таблица производных и интегралов Функция 1x
Производная −1 x2
x
1 2 x
Функция sin x cos x
xn
x n−1
tg x
1 cos 2 x
en x
ne n x
ctg x
− 1 cos 2 x
ax
a x ln a
arcsin x
1 1− x2
ln x
1x
arccos x
u(x ) v( x )
−1 1 − x2
vu ′x − v′x u v2
arctg x
( )
arcctg x
Производная cos x
− sin x
1 (1 + x 2 )
(
−1 1 + x 2
)
Гамма-функция и её свойства. ∞
Γ(u + 1) = ∫ e − x x u dx . 0
Γ(u + 1) = u! , где u - целое.
Γ(u + 1) = u Γ(u ) ;
23
⎛1⎞ Γ⎜ ⎟ = π . ⎝2⎠
Таблица 3 Периодическая система элементов Д.И. Менделеева
24