Курс теории случайных процессов

А.Д.Вентцель КУРС ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (2-е изд., доп.—М.: Наука. Физматлит, 1996) Предназначена для первоначального ознакомления с теорией случайных процессов. Подчеркивается связь этой теории с фактами функционального анализа. Основное внимание уделяется не выкладкам и не доказательству теорем в окончательной форме, а объяснению сути применяемых методов на простом по возможности материале. В ходе изложения дается около 250 задач различной трудности и разного характера (упражнения, примеры, части доказательств, обобщения и т.п.); примерно для двух третей из них приведены решения. Во втором издании (1-е изд.—1975 г.) добавлены параграфы о сходимости распределений в функциональных пространствах и о компенсаторах случайных функций. Для студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию 5 Предисловие к первому изданию Введение 9 Глава 1. Основные понятия 16 § 1.1. Что такое случайный процесс? 16 § 1.2. Примеры случайных процессов. Винеровский процесс 18 § 1.3. Обзор методов теории случайных процессов 27 § 1.4. Важнейшие классы случайных процессов 34 Глава 2. Элементы случайного анализа 39 § 2.1. Сходимости, непрерывности, производные, интегралы 39 § 2.2. Стохастические интегралы от неслучайных функций 51 Глава 3. Некоторые понятия общей и корреляционной теории 63 случайных процессов § 3.1. Связанные со случайной функцией 0-алгебры и пространства 63 случайных величин § 3.2. Операторы сдвига 68 § 3.3. Задачи наилучшей оценки 74 Глава 4. Корреляционная теория стационарных (в широком смысле) 84 случайных процессов § 4.1. Корреляционные функции 84 § 4.2. Спектральные представления 90 § 4.3. Решение задачи линейного прогнозирования 98 Глава 5. Бесконечномерные распределения. Свойства с вероятностью 108 1 § 5.1. Распределения случайных функций. Теорема Колмогорова о 108 конечномерных распределениях

§ 5.2. Свойства с вероятностью 1 § 5.3. Абсолютная непрерывность бесконечномерных распределений и плотности § 5.4. Слабая сходимость бесконечномерных распределений Глава 6. Марковские моменты, свойства независимости от будущего § 6.1. Марковские моменты § 6.2. Свойства независимости от будущего Глава 7. Мартингалы § 7.1. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы § 7.2. Компенсаторы § 7.3. Неравенства и равенства, связанные с мартингалами § 7.4. Теорема о сходимости супермартингалов Глава 8. Марковские процессы. Основные понятия § 8.1. Марковские процессы и марковские семейства § 8.2. Различные формы марковского свойства. Конечномерные распределения § 8.3. Семейства операторов, связанные с марковскими процессами § 8.4. Однородные марковские семейства § 8.5. Строго марковские процессы § 8.6. Стационарные марковские процессы Глава 9. Марковские процессы с непрерывным временем. Свойства траекторий. Строго марковское свойство § 9.1. Свойства траекторий § 9.2. Строго марковское свойство для феллеровских марковских семейств с непрерывными справа траекториями Глава 10. Инфинитезимальные операторы § 10.1. Инфинитезимальный оператор полугруппы § 10.2. Резольвента. Теорема Хилле — Йосида § 10.3. Инфинитезимальные операторы и марковские процессы Глава 11. Диффузии § 11.1. Что такое диффузия? § 11.2. Результаты Колмогорова. Обратное и прямое уравнения Глава 12. Стохастические уравнения § 12.1. Стохастические интегралы от случайных функций § 12.2. Стохастический интеграл как функция верхнего предела § 12.3. Стохастические дифференциалы. Формула Ито § 12.4. Решение стохастических уравнений методом последовательных приближений § 12.5. Диффузии, задаваемые стохастическими уравнениями Глава 13. Связь диффузий с уравнениями в частных производных § 13.1. Уравнения, связанные с дискретными цепями Маркова § 13.2. Случай решений, допускающих гладкое продолжение § 13.3. Регулярные и сингулярные точки границы

120 131 137 147 147 152 161 161 167 170 177 183 183 191 202 213 219 229 231 231 236 240 240 247 252 264 264 266 277 277 289 295 306 314 322 322 324 335

Решения задач Список обозначений Список литературы Предметный указатель

343 394 396 397

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — семейство 189, 197 Бесконечномерные распределения — — однородное 213 30, 108 Мартингал 161 — — плотности 131 Мартингалы и супермартингалы, Бикомпенсатор 169 существование пределов 178 Броуновское движение 19, 187, 267 Мера с независимыми, Вероятностный процесс 16 некоррелированными Выборочная функция 16—17 значениями см. Случайная мера ...в широком смысле 29 Микротеорема 6 Гильбертов кирпич 114 Момент достижения множества 149 Диффузия 264 Задача Дирихле 328 µ-система 191 — интерполяции 78 Неотрицательно определенные — Коши 259, 322 функции 28, 89 — линейного прогнозирования 80, 98 Непрерывность в среднем 41 — фильтрации 77 Неравенство Колмогорова 174 — экстраполяции (прогнозирования) Неубывающее семейство σ-алгебр 77 147 Задачи наилучшей оценки 74 Оператор замкнутый 250 Закон повторного логарифма для — локальный 253 винеровского процесса 176, 341 Операторы, связанные с марковским Законы больших чисел для семейством 203 стационарных процессов 87 — сдвига 68, 226 — нуля или единицы 31, 67, 238 Переходная плотность 184 Измеримость прогрессивная 152 — функция 183 Измеримость случайной функции 33 — — однородная 213 Инвариантная мера 229 Полугруппа операторов 214 Инфинитезимальный оператор 240 Предсказуемость 152 Квадратичный компенсатор 170 Принцип максимума 245 Компенсатор случайной функции 167 Пространства случайных величин, Корреляционная теория случайных линейно порожденные функций 29 случайной функцией 64 — функция 28 — — —, порожденные случайной — — взаимная 28 функцией 63 — — совместная 28 Процесс винеровский 18 — — стационарного процесса 36 — — многомерный 21 Марковский момент 32, 147 — —, непрерывность реализаций 18, — процесс 38, 185 126 Марковское свойство 185—199, 219 — — остановленный 224

— —, предел суммы квадратов приращений 19 — — с отражением 187 — —.существование 119 — Коши 22 — Маркова см. Марковский процесс — пуассоновский 25 — с независимыми приращениями 34 — с некоррелированными (ортогональными) приращениями 34, 59 — со стационарными приращениями 37 — стационарный 35 — — в широком смысле 36 — — марковский 229 Равномерная интегрируемость — непрерывность в среднем 42 — стохастическая непрерывность 41, 234 Распределения конечномерные 17, 108 Реализация 16 Регулярная точка границы 336 Регулярность линейная случайного процесса 80 — случайного процесса 78 Резольвента полугруппы 247 Сепарабельность случайного процесса 129 Сильная непрерывность полугруппы 244 Сингулярная точка границы 336 Сингулярность линейная случайного процесса 80 — случайного процесса 78 Случайная мера 51 — — пуассоновская 23 — — с независимыми значениями 52 — — с некоррелированными значениями 52 — последовательность 16 — функция 16

— — гауссовская 34 — —, согласованная с семейством σалгебр 153 Случайное поле, изотропное векторное со стационарными приращениями 37 — — однородное (стационарное) 37 — — — изотропное 37 Случайный процесс 16 Согласованности условия 111 Спектральная мера 89 — плотность 89 Спектральное представление 90 Стационарное распределение марковского семейства 230 Стохастическая матрица 184 — непрерывность 41 — эквивалентность 17 Стохастический дифференциал 295 — интеграл 55, 277 — процесс 16 Стохастическое уравнение 306 Строго марковское свойство 221, 236 Субмартингал 161 Супермартингал 161 σ-алгебры, порожденные случайной функцией 63 σ-алгебры «хвостов» 66 Траектория 17 Уравнения Чепмена — Колмогорова 183 Уравнения Колмогорова 272— 276 Феллеровские марковские семейства 208 Формула Ито (замены переменных в стохастическом интеграле) 296—305 Фундаментальное решение уравнения параболического типа 275 Цепь Маркова 186 Цилиндрические множества 108

Эмпирическая функция

распределения 22