ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
М.В. Зайцев, Т.А. Лавриненко, А.А. Туганбаев
Высшая математика Сборник задач Часть II
Москва 2008 1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Одобрено УМС факультета Протокол №_________ «____»______2008года Председатель ______________________
М.В. Зайцев, Т.А. Лавриненко, А.А. Туганбаев
Высшая математика Сборник задач Часть II Рекомендовано Кафедрой ВиПМ Протокол № 9 «22» января 2008 года Заведующий кафедрой высшей и прикладной математики профессор Зайцев М.В. ______________________
Москва 2008 2
СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛ I. Линейная алгебра. 1.1. Система линейных уравнений. Метод Гаусса. 1.2. Арифметическое векторное пространство. 1.3. Матрицы. 1.4. Определители.
РАЗДЕЛ II. Аналитическая геометрия. 2.1. Скалярное и векторное произведение векторов. 2.2. Прямая на плоскости. 2.3. Плоскость. 2.4. Прямая в пространстве.
РАЗДЕЛ III. Теория вероятностей. 3.1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки. 3.2. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности события. 3.3. Операции над событиями. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 3.4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. 3.5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. 3.6. Закон распределения, функция распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины (ДСВ). Законы распределения: биноминальный, Пуассона. 3.7. Плотность распределения, функция распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины (НСВ). Нормальное распределение. 3.8. Законы распределения и числовые характеристики случайных векторов.
3
Раздел 1. Линейная алгебра. 1.1.
Система линейных уравнений. Метод Гаусса.
1.1.1. Решить систему методом Гаусса: x+ y+ z=0 а)
x + 2 y + 2z = 1 x + 2 y + 3z = 2
б)
3x1 − 5 x 2 + 3x 3 = −1 в)
x1 − 2 x 2 + 2 x 3 = 1
2 x + 2 y + 3z = 1 x + 2 y + 4z = 1 2 x1 − x 2 + 2 x 3 = 4
г)
− 4 x1 + 6 x 2 − 3x 3 = 3
4 x1 − x 2 + 6 x 3 = 2 6 x1 − 2 x 2 + 7 x 3 = 4
x1 + 2 x 2 + x 3 = 1 д) − 2 x1 − 7 x 2 − 9 x 3 = 0
x + y + 2z = 1
3x1 − 7 x 2 − 4 x 3 = 2 x1 − 2 x 2 − x 3 = 4
е)
x1 + 3x 2 + 4 x 3 = 1
2 x1 − 5 x 2 − 5 x 3 = −2
1.1.2. Решить систему методом Гаусса: − 6 x1 − 7 x 2 + 3x 3 = −1 x1 + x 2 − x 3 = 2
а)
в)
− 2 x1 + 4 x 2 − 8 x 3 = 8
б)
6 x1 + 6 x 2 − 2 x 3 = 1
5 x1 − 3 x 2 + 7 x 3 = 8
x1 + 2 x 2 − x 3 = 1
3x + 2 y + z = 1 9x + 7 y + 5z = 3
x − 2 y + 2 z = −1 2 x − 5 y + 2 z = −1
г)
6 x + 3 y + 3z = 3
− 3x + 8 y − 5 z = 0
1.1.3. Исследовать на совместность и найти общее решение системы уравнений: x − 3 y + 2z = 1 x+ y− z=4 а) б) 3 x + y + z = −2 2 x − 4 y + 10 z = 2
в) 1.1.4.
а)
2 x1 + x 2 + 3x 3 − x 4 = 1 5 x1 + 4 x 2 + 6 x 3 − x 4 = 4
г)
− 2 x1 + 6 x 2 − 4 z = 2
Исследовать на совместность и найти общее решение системы: x1 − x 2 + 2 x 3 = 2 x + y + 4z = 1 б) 4 x1 − 3x 2 + 6 x 3 = 9 2x + y + 2z = 2 8 x + 5 y + 14 z = 8
в)
x1 − 3x 2 + 2 z = 1
x − 2 y + z = −1 3x + y + 2 z = 2
3x1 − x 2 + 2 x 3 = 8 2 x1 − x 2 + 3x 3 = −1 г)
− x1
4x + 6 y + 2z = 1 1.1.5.
+
x3 = 2
x1 − 4 x 2 + 19 x 3 = 9
Исследовать на совместность, найти общее и одно частное решение системы:
4
а)
3x1 − 2 x2 + 8 x3 − 2 x4 = −7
+ z − 2t = 1 x 3x + y + 2 z − 7t = 4
2 x1 − x2 + 5 x3 − 2 x4 = −4
б)
4 x + 2 y + 2 z − 10t = 6 − 4 x1 − 10 x2 − 2 x3 − 13 x4 = 14 2 x2 + 2 x3 +
в)
− 3x1 − 6 x2
5 x1 − 4 x2 + 14 x3 − 2 x4 = −13
x4 = − 2
2 x1 − 2 x2 + 8 x3 − 2 x4 = − 7
г)
− 9 x4 = 9
2 x1 − x2 + 5 x3 − 2 x4 = − 4
2 x1 − x2 + 3x3 + 4 x4 = 2 д)
2 x1 + x2 + 4 x3 + 2 x4 = −1
6 x1 − 3x2 + x3 − 4 x4 = 0
5 x1 − x2 + 3x3 + x4 = 0
е)
4 x1 − 2 x2 + 4 x3 − x4 = 0 1.1.6.
7 x2 + 14 x3 + 8 x4 = 1
Найти общее решение системы: 2 x1
а )
+ 2 x3 + x4 = 1
2 x1 + x2 + 3x3
6 x1 + 2 x2 − 2 x3 + 7 x4 = 1
= 3
4 x1 + 2 x2 − x3 + 5 x4 = 0
б)
8 x1 + 3x2 + 11x3 + x4 = 10
16 x1 + 6 x2 − 5 x3 + 19 x4 = 2
4 x1 + x2 + 5 x3 + x4 = 4 2 x1 в)
+
− 4 x1 − 4 x2
x3 + 2 x4 = − 2
− 2 x1 + x2 − 3x3 − 3x4 =
4
− 6 x1 + 4 x2 − 11x3 − 10 x4 =
14
2 x1
+ x3 − 2 x4 =
10 x1 + 3x2 − 8 x3 − x4 = 4 12 x1 + 4 x2 − 10 x3 − 2 x4 = 4 − 4 x1 − 10 x2 − 2 x3 − 13x4 = 14
1
− 6 x1 + 5 x2 − 8 x3 + x4 = −13
е)
8 x1 − 4 x2 + 8 x3 − 4 x4 = 12
= −7
3x1 + 6 x2 + x3 + 9 x4 + 2 x5 = 2 x1 − x2
x1 + x2 + 3x3 − 2 x4 + 3x5 = 1
=4
x2 − x3
=3
x3 − x4
к)
=2
x4 − x5 = 1
2 x1 + 2 x2 + 8 x3 − 3x4 + 9 x5 = 2 1.1.7.
− 8 x4 = 9
x1 + 2 x2 − 2 x3 + 3x4
7 x1 + x2 + 6 x3 − x4 = 7
3x1 + 3x2 + 5 x3 − 2 x4 + 3x5 = 1
x4 = − 2
x1 + 2 x2 + 4 x3 + 3x4 + 2 x5 = 3
з)
2 x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 5
и)
2 x2 + 2 x3 +
2 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 6 x4 + 3x5 = 1
2 x1 + 3x2 + 2 x3 + 5 x4 = 3
2 x1 + 2 x2 + 4 x3 − x4 + 3x5 = 2
x1 + 4 x2 + 2 x3 + 4 x4 = −5 − 3x1 − 6 x2
3x1 + 2 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 2 9 x1 + x2 + 4 x3 − 5 x4 = 1
=2
2 x1 + x2 − 2 x3 − x4 = 0
г)
4 x2 − 4 x3 − 4 x4 = − 8
ж)
− 6 x4 = 2
4 x1 + x2 − 3x3
6 x1 − 2 x2 + 7 x3 + 8 x4 = −10
д)
+ 2 x3 − 2 x4 = −1
x1
− x1
+ x5 = 0
Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений: 5
а)
+ x4 = 0
x1
x1 − x2 + x3
x1 + 2 x2 − 7 x3 + x4 = 0
б)
=0
x2 − 2 x3 + x4 = 0
− x1 − 4 x2 − x3 + 3x4 − 5 x5 = 0 в)
5 x1 + 2 x2 − x3 + 14 x4 + 12 x5 = 0
6 x1 + 14 x2 + x3 − 8 x4 + 20 x5 = 0 − x3 + x4 +
x1
3x1 + x2 − x3 + 8 x4 + 7 x5 = 0
г)
x5 = 0
2 x1 + x2
6 x1 + 8 x2 − 2 x3 − 2 x4 + 14 x5 = 0 1.1.8.
а)
− x1
+ x3 − 2 x4 − 2 x5 = 0
Методом Гаусса решить систему уравнений, заданную матрицей А и столбцом свободных членов В: ⎛ 1 1 − 2⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ −1⎞ ⎛1 3 ⎞ ⎟⎟ , B = ⎜⎜ ⎟⎟ A = ⎜⎜ б) A = ⎜ 3 2 1⎟ , B = ⎜ 9 ⎟ ⎝ − 2⎠ ⎝1 4 ⎠ ⎜2 1 − 8⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛2 − 2 − 6⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ г) A = ⎜ 3 − 2 − 8 ⎟ , B = ⎜ − 2 ⎟ ⎜1 − 2 − 4⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − 4 − 13 − 10 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ в) A = ⎜ − 1 5 2⎟ , B = ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎜1⎟ 1 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠
1.2.
+ 6 x4 + 5 x5 = 0
Арифметическое векторное пространство.
1.2.1. Выполнить указанные операции с векторами: а) (1; 2; 1) + (−1; −1; −2)
(1; 1; −3; 2) + (−1; −1; −3; −2)
б) в)
4 ⋅ (4; 1; 2; 0) − 7 ⋅ (2; −1; 0; 5)
г)
5 ⋅ (−1; 3; −2) − 2 ⋅ (5; 0; −5) + 3 ⋅ (5; −5; 0)
д)
(1,5; −2,5; 7,5) + 3 ⋅ (0,5; −0,5; −2,5) − 2 ⋅ (1; 2; −1)
е)
( 13 ;
2
3
; − 13 ; − 2 3 ) − (− 2 3 ;
1
3
; − 23 ;
2
3
) + 4 ⋅ (− 1 3 ; − 1 3 ; 0;
1.2.2. Найти ранг системы векторов: ( 2 ; 12 ; 2) (−8; − 1; − 3)
а)
г)
( 0 ; 4 ; 1) (−2; − 8; − 1)
б)
(−3; − 2; 5; 2) (7; 4; − 11; − 6) (3;
2; − 5;
0)
д)
(−14; − 3; 1) (−4; 0; − 4) (12; 0; (11; 1;
6; 2) 5; 1)
(−13; 1; − 7; − 3)
1.2.3. Найти ранг системы векторов:
6
1
3
)
(2; 1; − 3; − 2) в)
е)
(1; 1; − 2; 0) (5; 3; − 8; − 4) (2; − 2; 2; 2) (10; 2; 4; 0) ( 1; 2; 3; 4)
а)
(2; − 8; 2; 6) (0; 3; − 1; − 2) (−2; 5; − 1; − 4)
б)
(−1; 10; − 3; − 7)
г)
( 1; 7;
(−3; − 2; 2; 0) ( − 8; − 6; 4; − 2) (11; 8; − 6; 2) ( 7; 5; − 4; 1) (10; 7; − 6;
( 1; 2; 4; ( 0; 2; 2;
( 1; 10; 2; 4) (−1; 8; − 1; − 4) (−1; − 2; − 3; 0) 4;
в)
д)
( 2; 3; 7; 10) (−1; − 4; − 6; − 10) (−2; − 2; − 6; − 8)
2)
( 6; 2; 10; − 4) ( 1; 1; 2; − 1) (−1; 1; − 1; 0) ( 8; 4; 14; − 6)
(−6; 2; 4; − 4) ( 8; − 4; − 4; 6) (−1; 1; 0; − 1) ( 2; 0; − 2; 2)
е)
(−2; 0; − 3; 0)
1)
6) 4)
( 7; − 3; − 4; 4)
1.2.4. Определить, являются ли данные векторы линейно независимыми:
( 2; а)
4;
6)
(−1; − 1; − 2) ( 2; 6; 7)
б)
( 7; − 1; − 5; 4) г)
( 6 0; − 4; 4) (−13 1; 9; − 8)
− 6; − 4)
( 2;
д)
( 2; − 5; − 3) (10; − 28; − 18)
( 2; − 1; 5; 2) ( 0; 4; 6; 4) ( 4; − 4; 7; 2) (−4; − 2; − 16; − 8)
е)
( 1; в)
2; 1; 3)
(−2; − 7; − 9; 1) (−1; − 3; − 4; 0)
( − 6; 4; − 1; 2) (−10; 7; − 1; 4) ( 2; − 1; − 4; 2) ( − 6; 5; − 14; 4)
1.2.5. Найти базу системы векторов и выразить оставшиеся векторы через базу:
a1 = ( 1 ; 5 ; − 4)
a1 = ( 1; 2; − 5) а)
a2 = ( 0 ; 2 ; − 6)
б)
a3 = (−2 ; − 6 ; 16)
a3 = (−1; − 10 ; 7) a1 = (−2 ; − 8 ; 4)
a1 = ( − 3; − 1; 3) в)
a2 = ( 8 ; 2 ; 2) a3 = (−11; − 3; 1)
г)
a4 = ( 2 ; 0 ; 8)
a2 = ( 4 ; − 1; 2 ; 2) a3 = (−13; 4 ; − 5 ; − 6)
a2 = (−2 ; − 5 ; 2) a3 = ( 3;
9 ; − 4)
a4 = (−3; − 6 ;
2)
a1 = ( 2 ; 3; 1; 7)
a1 = ( 5 ; − 2 ; 1; 2) д)
a2 = ( 0 ; − 5 ; 3)
е)
a4 = ( 3; 0 ; 3; 2)
a2 = ( 2 ; 2 ; 2 ; 6) a3 = (−3; − 4 ; − 2 ; − 10) a4 = (−3; − 5 ; − 1; − 11)
7
ж)
a1 = (−1; 2 ; − 7 ; 5)
a1 = ( 3; − 1; 1; 4)
a2 = (−1; 1; − 4 ; 3)
a2 = ( 4 ; 0 ; 4 ; 6)
a3 = ( 3; − 4 ; 15 ; − 11) a4 = ( 2 ; 0 ; 5 ; − 4)
a4 = (−1; − 1; − 3; − 2)
a5 = ( 2 ; 2 ; − 1; 0)
a5 = ( 8 ; − 2 ; 4 ; 11)
1.2.6. Найти ранг матрицы: ⎛1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 0 −1 2⎞ ⎟⎟ б) ⎜ 3 4 ⎟ а) ⎜⎜ 1 4⎠ ⎝0 3 ⎜5 6⎟ ⎝ ⎠
д)
a3 = (−5 ; 1; − 3; − 7)
з)
⎛ 6 − 4 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 6 0⎟ ⎜1 4 2 ⎟⎠ ⎝
е)
0⎞ ⎛1 − 2 ⎜ ⎟ в) ⎜ 3 − 1 4⎟ ⎜0 − 5 − 4⎟ ⎝ ⎠
⎛ 3 −1 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 3 2 −1⎟ ⎜− 6 5 − 7 ⎟⎠ ⎝
4 −8⎞ ⎛ 6 −4 ⎟ ⎜ 0 − 4⎟ ⎜ 2 −6 ⎜ 1 4 2 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −5 − 1 4 6 ⎠ ⎝
ж)
⎛ 3 − 2 − 2⎞ ⎟ ⎜ 4 6⎟ ⎛ 2 − 2 − 6 − 2⎞ ⎜ −8 ⎜ ⎟ 2 16 6 ⎟ и) ⎜ − 14 з) ⎜ 0 8 10 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −1 3 19 7 ⎟⎠ 2 1⎟ ⎜ −2 ⎝ ⎜ 2 0 − 2 ⎟⎠ ⎝
г)
⎛1 2 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜2 4 8⎟ ⎜ 3 6 12 ⎟ ⎝ ⎠
к)
8 − 1⎞ ⎛ 0 −3 ⎟ ⎜ 9 − 3⎟ ⎜ − 5 −1 ⎜ 10 − 2 − 7 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 10 − 4 − 2 1 ⎟⎠ ⎝
1.2.7. Найти ранг матрицы:
а)
в)
д)
3 ⎛ 2 ⎜ ⎜ −1 −1 ⎜ 3 5 ⎜ 8 ⎜ 6 ⎜− 2 − 4 ⎝ ⎛ 3 6 ⎜ ⎜ 4 10 ⎜ 5 11 ⎜ ⎜ 0 2 ⎜− 2 2 ⎝
5 1⎞ ⎟ − 3 − 1⎟ 7 1⎟ ⎟ 16 4⎟ −4 0 ⎟⎠ 2 4⎞ ⎟ 4 6⎟ 4 7⎟ ⎟ 2 1⎟ 4 0 ⎟⎠
1 1⎞ ⎛− 2 − 2 − 4 ⎟ ⎜ ⎜ − 4 −1 − 5 −1 0⎟ ⎜− 4 − 3 − 7 1 1⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − 2 −1 − 3 0 0⎟ ⎠ ⎝
б)
4 − 6⎞ ⎛ 2 − 8 ⎟ ⎜ 6 4 4⎟ ⎜ 0 ⎜ 2 − 14 − 8 − 10 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −1 − 2 − 2 − 1⎟ ⎜− 2 5 2 4 ⎟⎠ ⎝
2 ⎛− 2 − 2 − 6 ⎜ 3 ⎜− 2 −1 − 5 ⎜ 3 2 8 −4 ⎜ ⎜ − 5 − 3 − 13 7 ⎝
г)
⎛ 10 ⎜ ⎜ 15 ⎜ 5 ⎜ ⎜−5 ⎝
е)
8
5 5 − 2 1⎞ ⎟ 5 7 − 4 0⎟ 1 2 − 2 1⎟ ⎟ 0 −1 1 2 ⎟⎠
0⎞ ⎟ 1⎟ −1 ⎟ ⎟ 2 ⎟⎠
⎛− 5 ⎜ ⎜ − 10 ⎜− 5 ⎜ ⎜ − 15 ⎜ 2 ⎝
ж)
3 − 5 − 5⎞ ⎟ 3 −1 0⎟ 2 −3 1⎟ ⎟ 5 − 4 − 2⎟ 1 0 1 ⎟⎠
1.2.8. Найти скалярное произведение векторов:
(1; 2; 3) и (3; −1; 1) ;
а)
( 12 ;
в)
1
2
;−
1
2
) и ( 1 2 ; − 1 2 ; 1) ;
д) (2; −1; 2) и (2; 2; −1) ;
б)
(3; 6; 9) и (2; −1; 1) ;
г)
(
(
е)
1
1
3
2
;
;
1
1
3
2
; 1) и
;−
2
3
(
1
)и(
2
; − 1;
1
3
;
1
;
1
1
3
;
1.2.9. Найти скалярное произведение:
а) (1; 1; 0; 1) и (0; −1; −1; 2) ;
б) (1; 4; −2; 2) и (3; −1; −2; −5) ;
в) (2; 1; 0; 1; 2) и (1; 2; 3; 2; 1) ; г) (100; 100; 300; 500) и (0,1; −0,2; −0,3; 0,4) . 1.2.10. Выяснить, ортогональны ли векторы:
а) (1; 0; 1) и (0; 2; 0) ; в)
(
) (
3; − 1; 2 и
1
3
б) (1; 0; 2; 0) и (0; 2; 0; −1) ;
; − 1; − 1) ; г) (1; −1; 2; 2) и (2; −1; 3; 3) ;
( 1 2 ; 13 ; − 1 2 ; − 13 ) и ( 13 ; 1 2 ; 13 ; 1 2 ) ; е) ( 1 4 ; 1 2 ; 3 4 ; 1) и (−1; −2; 3; 4) . д)
1.2.11. Найти длину вектора:
а) (1; −1); г) (1; 2; 2); ж)
(
б) (2; 1);
)
2 ; 3; 2 ;
к) (1; 2; −1; 1);
в) (3; 4);
д) (−2; 1; −2); з)
(
3
2
;
1
2
; 0 );
е) (1; 1; −1); и)
л) (2; 4; 1; 2);
(
1
3
;
1
3
;
1
3
);
м) (1; 1; −1; 1; 1).
1.2.12. Найти косинус угла между векторами:
(
а) (1; 0) и (2; 0);
б) (3; 4) и (4; 3);
г) (2; −3) и (−6; 9);
д) (1; 0; 1) и (−1; 0; 1);
е) (1; 1; 2) и (2; 1; 1);
ж) (1; −2; 1) и (−1; −1; 0);
в)
з) (8; 0; −6) и (6; −2; 3). 9
1
2
;
3
2
) и (−
3
2
2
);
2
);
1
3
).
1.3. Матрицы. 1.3.1. Найти матрицу λΑ + μΒ, если:
⎛ 1 0⎞ ⎟⎟ , а) Α = ⎜⎜ ⎝ − 2 3⎠
⎛3 − 2⎞ ⎟⎟ , λ = 2, μ = −3; Β = ⎜⎜ ⎝5 − 7⎠
1 1⎞ ⎛ 1 3 8⎞ ⎛2 ⎟⎟ , Β = ⎜⎜ ⎟⎟ , λ = 3, μ = −2; б) Α = ⎜⎜ ⎝ 4 −1 0⎠ ⎝ 0 − 3 5⎠ ⎛ 1 0 2⎞ ⎟ ⎜ в) Α = ⎜ − 1 1 0 ⎟ , ⎜ 3 0 1⎟ ⎠ ⎝
⎛3 ⎜ Β = ⎜2 ⎜1 ⎝
1 0 −1
2⎞ ⎟ 0⎟ , − 2 ⎟⎠
λ = 5, μ = −1.
1.3.2. Умножить матрицы: ⎛ 2 − 1⎞ ⎛ 3 0 ⎞ ⎟⎜ ⎟; а) ⎜⎜ 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠ ⎝1
б)
⎛ 4 5⎞ ⎟ ⎛ 7 1 0 1⎞ ⎜ ⎟⎟ ; в) ⎜ − 3 1 ⎟ ⋅ ⎜⎜ − 2 0 1 5 ⎠ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝
⎛ 1 0 1⎞ ⎟ 1 5⎞ ⎜ ⎛3 ⎟⎟ ⋅ ⎜ − 2 1 0 ⎟ ; г) ⎜⎜ ⎝6 − 2 7⎠ ⎜ 0 3 2⎟ ⎠ ⎝
⎛ 2 − 1⎞ ⎛ 3 0 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟; 1 ⎟⎠ ⎜⎝1 5 2 ⎟⎠ ⎝3
6⎞ ⎛ 2 0 − 3⎞ ⎛−1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ д) ⎜ 4 0 1⎟ ⋅ ⎜1 1 1⎟ ; ⎜ 1 2 − 1⎟ ⎜ 0 − 4 7 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 1 ⎞ ⎛ 11 − 2 ⎞ ⎛ 3 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ е) ⎜ 1 2 − 1⎟ ⋅ ⎜ 1 5⎟; ⎜ − 1 4 0 ⎟ ⎜⎝ − 7 0 ⎟⎠ ⎠ ⎝ 0⎞ ⎛1 3 ⎟ ⎜ ж) ⎜ 0 1 2⎟ ⎜ 1 1 − 1⎟ ⎠ ⎝
⎛ 10 1 13 ⎞ ⎟ ⎜ 1 5⎟ ⎜ 6 ⎜ − 3 −1 − 4⎟ ⎠ ⎝
1⎞ ⎛ 1 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 2 − 10 ⎟ . ⎜ −1 0 0 ⎟⎠ ⎝
1.3.3. Найти матрицы АВ и ВА, если: ⎛ 5 1⎞ ⎟ ⎜ ⎛1 2 4 ⎞ ⎟⎟ , Β = ⎜ − 1 2 ⎟ ; а) Α = ⎜⎜ ⎝3 1 2⎠ ⎜ 2 1⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 3 7 2 5⎞ ⎜ 0 1⎟ ⎟. б) , Β = ⎜⎜ Α=⎜ ⎟ 4 6 1 8 ⎟⎠ 1 −1 ⎝ ⎟ ⎜ ⎜ −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ 10
1.3.4. Найти матрицу АВ – ВА, если: ⎛1 3⎞ ⎛1 − 1⎞ ⎛ 4 0⎞ ⎛3 7⎞ ⎟⎟ , Β = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎟⎟ , Β = ⎜⎜ ⎟⎟ ; а) Α = ⎜⎜ б ) Α = ⎜⎜ 3⎠ ⎝5 2⎠ ⎝0 ⎝ − 2 1⎠ ⎝1 1⎠ 1 0⎞ ⎛ − 1 0 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ в) Α = ⎜ 1 − 1 1 ⎟ , Β = ⎜ 0 1 1⎟ . ⎜ 1 1 1⎟ ⎜0 0 1 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝
1.3.5. Вычислить: 2
2
а)
⎛ 1 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝ 2 3⎠
⎛ 1 1 0⎞ ⎟ ⎜ б) ⎜ 1 0 1 ⎟ ; ⎜ 0 1 1⎟ ⎠ ⎝
в)
⎛1 1 ⎜ ⎜0 1 ⎜3 0 ⎝
2
−1 ⎞ ⎟ 2⎟ . 1⎟⎠
1.3.6. Вычислить ААТ, если: ⎛ 1 2 3⎞ ⎟⎟ ; а) Α = ⎜⎜ ⎝ −1 0 1 ⎠
б)
в)
⎛ 6 0⎞ ⎟ ⎜ Α = ⎜ 5 4⎟ ; ⎜2 1⎟ ⎠ ⎝ 1 − 1⎞ ⎛3 2 ⎟⎟ . Α = ⎜⎜ ⎝ 4 0 − 2 1⎠
1.3.7. Найти:
а) матрицу АВ+2АТ, если
б) матрицу АВТ – А, если
в) матрицу (ВА+3В)Т, если
г) матрицу АТВ – 2В, если
⎛ 2 Α = ⎜⎜ ⎝ −1 ⎛ 1 ⎜ Α = ⎜−1 ⎜ 1 ⎝ ⎛ 1 ⎜ Α=⎜ 2 ⎜ −1 ⎝ ⎛ 2 ⎜ Α = ⎜− 3 ⎜ −1 ⎝
⎛3 1⎞ ⎟⎟ ; Β = ⎜⎜ ⎝5 2⎠
0⎞ ⎟, 1 ⎟⎠ 0⎞ ⎟ 2⎟ , 1 ⎟⎠
⎛2 − 2⎞ ⎟; Β = ⎜⎜ 1⎟⎠ ⎝3
0 0⎞ ⎟ ⎛5 4 0⎞ ⎟; 1 1 ⎟ , Β = ⎜⎜ 7 2 1 ⎟⎠ ⎝ ⎟ 1 2⎠ 0 1⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ 1 4⎟ , Β = ⎜ 2 1 ⎟ . ⎜−1 1 ⎟ 6 5 ⎟⎠ ⎠ ⎝
1.3.8. Решить систему матричных уравнений: ⎧ ⎧ ⎛2 ⎛0 0⎞ ⎟⎟ ⎪ X − Y = ⎜⎜ ⎪ X + Y = ⎜⎜ ⎝0 ⎪ ⎝ 2 2⎠ ⎪ б) ⎨ а) ⎨ ⎪2 X + Y = ⎛⎜ 1 ⎪2 X + 3Y = ⎛⎜ − 1 0 ⎞⎟ ⎜9 ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎝ 5 5⎠ ⎩ ⎩ 11
0⎞ ⎟ 8 ⎟⎠ 6⎞ ⎟ 4 ⎟⎠
⎧ 5⎞ ⎛ 9 −2 ⎟ ⎪3 X + Y = ⎜⎜ 3 8 ⎟⎠ ⎝−1 ⎪ в) ⎨ . ⎪ X − 2Y = ⎛⎜ − 4 − 3 − 3 ⎞⎟ ⎜ 2 ⎪ 1 − 2 ⎟⎠ ⎝ ⎩ 1.3.9. Доказать, что если для двух матриц А и В верно равенство АВ=ВА, то
а) (А+В)2 = А2 + 2АВ + В2 ; б) А2 – В2 =(А-В) (А+В). 1.3.10. С помощью присоединенной матрицы найти обратную к матрице: ⎛ 2 3⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎛ 4 6⎞ ⎟⎟ ; ⎟⎟ ; ⎟⎟ ; ⎟⎟ ; a) ⎜⎜ б ) ⎜⎜ в ) ⎜⎜ г ) ⎜⎜ ⎝ 1 1⎠ ⎝ −1 0⎠ ⎝ 2 5⎠ ⎝ 1 2⎠
д)
⎛ cos α ⎜⎜ ⎝ sin α
− sin α ⎞ ⎟; cos α ⎟⎠
⎛6 0 0⎞ ⎟ ⎜ ж ) ⎜ 0 1 2 ⎟ ; з) ⎜0 3 5⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 4 3 − 2⎞ ⎟ ⎜ 2⎟ . л) ⎜ 1 6 ⎜0 1 0 ⎟⎠ ⎝
е) ⎛1 3 ⎜ ⎜2 7 ⎜0 0 ⎝
⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 0⎟ ; ⎜3 0 1⎟ ⎠ ⎝ 0⎞ ⎛ 2 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ; и) ⎜ 3 1 1 ⎟ ; к) ⎜ 0 0 2⎟ 7 ⎟⎠ ⎠ ⎝
⎛ 1 2 3⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2 4 5⎟ ; ⎜ 3 2 1⎟ ⎠ ⎝
1.3.11. С помощью элементарных преобразований найти обратные к матрицам из пп.. е) – и) предыдущей задачи. 1.3.12. Найти с помощью элементарных преобразований обратную к матрице: 0 1⎞ ⎛ 1 3 − 2⎞ ⎛1 ⎛ 2 7 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ а) ⎜ 2 7 − 4 ⎟ ; б) ⎜ 0 в) ⎜ 3 9 4 ⎟ ; 1 −1⎟ ; ⎜0 2 − 1⎟ ⎜2 −1 ⎜ 1 5 3⎟ 4 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 2 2⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ г) ⎜ 2 1 − 2⎟ ; ⎜2 − 2 1 ⎟⎠ ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜1 ж) ⎜ 2 ⎜ ⎜0 ⎝
1 0 1⎞ ⎟ 0 0 1⎟ ; 1 1 2⎟ ⎟ 0 1 2 ⎟⎠
⎛1 1 ⎜ ⎜0 1 д) ⎜ 1 1 ⎜ ⎜0 2 ⎝ ⎛ 1 ⎜ ⎜ −1 з) ⎜ 0 ⎜ ⎜ 1 ⎝
0 0⎞ ⎟ 1 0⎟ е) ; 1 0⎟ ⎟ 1 1 ⎟⎠ 0 1 0⎞ ⎟ 1 0 0⎟ . 0 − 2 0⎟ ⎟ 1 0 5 ⎟⎠
12
⎛0 ⎜ ⎜1 ⎜1 ⎜ ⎜2 ⎝
1 0 0⎞ ⎟ 0 1 1⎟ ; 0 2 1⎟ ⎟ 0 1 3 ⎟⎠
1.3.13. Доказать, что если для двух квадратных матриц А и В верно равенство АВ=ВА, причем А – невырожденная, то А-1В=ВА-1. 1.3.14. Упростить (А, В, С – квадратные невырожденные матрицы порядка n):
а)
((А (ВА)-1) (ВСТ))Т;
б)
((АВ)Т (АТ)-1) (СВТ)-1;
в)
(СТ((СВ)Т)-1) (АТВ)Т;
г)
(АВ-1)-1 ((САТ)Т (СТ)-1);
д)
АТ (ВАТ)-1 (СВ-1)-1 (АСТ)Т; е)
((В-1С)-1 В-1 АТ)Т СТ.
1.3.15. Используя обратные матрицы, найденные в предыдущих задачах, решить с помощью обратной матрицы системы линейных уравнений: ⎧ x + 3x 2 = 4 a) ⎨ 1 ; ⎩2 x1 + 5 x 2 = 5 (см. п. в ) в задаче 1.3.10)
⎧4 x + 6 x 2 = 4 б) ⎨ 1 ; ⎩ x1 + 2 x 2 = −1 (см. п. г ) в задаче 1.3.10)
⎧2 x1 + 7 x 2 + 3x 3 = −2 ⎪ в ) ⎨3x1 + 9 x 2 + 4 x 3 = −2 ; ⎪ x + 5 x + 3x = −1 2 3 ⎩ 1 (см. п. в) в задаче 1.3.12)
⎧ x1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 4 ⎪ г ) ⎨2 x1 + x 2 − 2 x 3 = 2 ⎪2 x − 2 x + x = 5 2 3 ⎩ 1
+ x4 = 3 ⎧ x1 + x 2 ⎪ x + x4 = 1 ⎪ 1 д) ⎨ ; ⎪2 x1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 = 1 x 3 + 2 x 4 = −3 ⎩⎪ (см. п. ж ) в задаче 1.3.12)
=2 ⎧ x1 + x 2 ⎪ =2 x 2 + x3 ⎪ е) ⎨ ; =3 ⎪ x1 + x 2 + x 3 ⎪ 2x + x + x = 4 2 3 4 ⎩ (см. п. д) в задаче 1.3.12)
;
(см. п. г ) в задаче 1.3.12)
1.3.16. Решить с помощью обратной матрицы системы линейных уравнений: ⎧2 x + 3 x2 = 1 ⎧5 x − 8 x2 = 2 ⎧ 7 x1 + 3 x2 = −1 ; a) ⎨ 1 ; б) ⎨ 1 ; в) ⎨ ⎩3 x1 + 4 x2 = 3 ⎩2 x1 + x2 = 5 ⎩− 2 x1 + x2 = 4 x2 + 7 x3 = −6 ⎧ ⎧2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 1 ⎧ x1 + x2 + x3 = 2 ⎪ ⎪ ⎪ г ) ⎨ x1 + 2 x2 = 2 ; д) ⎨ x1 + x3 = −1 ; е) ⎨2 x1 + 3 x2 + x3 = 5 ; ⎪x + 2x − 2x = 4 ⎪ x + 3x + 4 x = 5 ⎪3 x + 2 x + 5 x = 3 2 3 2 3 2 3 ⎩ 1 ⎩ 1 ⎩ 1 + x3 = 1 =3 ⎧ x1 ⎧ x1 + x2 ⎪ ⎪ x x2 + x3 = −1 + x4 = 6 ⎪ ⎪ 2 ж) ⎨ ; з) ⎨ . x3 + x4 = 7 = 1 ⎪2 x1 + x2 + 3 x3 ⎪ ⎪⎩ x1 ⎪⎩ x1 + x2 + x3 − x4 = 2 + 2 x3 + x4 = 2
1.3.17. Решить матричные уравнения:
13
a)
⎛ 1 − 1⎞ ⎛0 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ X = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝0 1⎠ ⎝ 1 − 1⎠
б)
⎛ 2 − 1⎞ ⎛−1 0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ X = ⎜⎜ ⎟⎟ ; 1⎠ ⎝3 ⎝ 1 5⎠
в)
⎛1 1 − 4 ⎞ ⎛ 3 − 1⎞ ⎟; ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ X = ⎜⎜ 0 ⎟⎠ ⎝3 −1 ⎝1 1 ⎠
г)
⎛ 5 1⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ; X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 3 1⎠ ⎝11 3 ⎠
д)
⎛ 4 3⎞ ⎛3 2⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ; X ⋅ ⎜⎜ ⎝ 3 2⎠ ⎝1 1 ⎠
e)
⎛− 3 2⎞ ⎟ ⎛− 2 1⎞ ⎜ ⎟⎟ = ⎜ 1 − 1⎟ ; X ⋅ ⎜⎜ ⎝ − 3 2⎠ ⎜ − 2 1⎟ ⎠ ⎝
ж)
⎛1 2⎞ ⎛− 3 2⎞ ⎛ − 7 5⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ X ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ; ⎝3 4⎠ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ − 19 13 ⎠
з)
⎛− 3 2⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ − 2 − 4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ X ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟; 3 ⎟⎠ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝1 1⎠ ⎝ 3
и)
⎛ 2 2⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 2 1 1 ⎟ ⋅ X = ⎜ 3 4⎟ ; ⎜− 2 1 ⎟ ⎜ 0 2 − 1⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
к)
⎛ 1 1 0⎞ ⎟ ⎛ 2 3 1⎞ ⎜ ⎟⎟ . X ⋅ ⎜ 2 1 1 ⎟ = ⎜⎜ ⎜ 1 2 1 ⎟ ⎝ − 2 1 − 1⎠ ⎠ ⎝
14
1.4. Определители. . 1.4.1. Вычислить определитель: 1 2 −1 2 а) ; б) ; 0 1 −2 1
г) ж) к)
7 5 ; 10 7 1 1
1
3
1
3
4
д) ;
з)
2
−2 −3 ; 4 6
в)
−2 3 ; 100 100
е)
− −
и)
1 1
2 3
1 1
2
;
0,1 1 5 1
3
0,01 ; 0,1
25 ; − 15
5
a +b a −b . a−b a+b
1.4.2. Вычислить определитель: 3 −6
а)
0 0
2 1 −1 ; 0 −3
3
−5
1 0 1
б)
1 −1
д)
7 7 7
ж)
к)
2
л)
2
−
4 4 4 ; 6 6 6
2
е)
2
3
−
1
2
2
3
−
1
2 2
3
4
8
и) 5 25 125 ; 3 9 27
3 3
2
2 −4 6 ; −3 5 − 14
1 1
3
−1
1
з) 1 − 1 2 ; 1 1 4
15 20
−4 2 8 ; 10 − 20 10
в)
2 −1 ; 0 3
3 5 1
3 6 9 ; 9 6 3 10
0 1 1 ; 0 1 0
3
г) − 4 6 −3 ; 1 −2 2
1 1 1
1
3
3
.
3
1.4.3. Вычислить определитель: −2 5
4
а)
7
4
1
5 ;
−1 − 2 0 2 1 1
ж)
1 −3 −1 1 5 2
г) 1 3 1 ; 1 1 4 4
б)
1
5 − 11 7 ; −3
− 8 −1 − 3 ; − 13 − 3 1
− 13
в) 1 2 1 ; 1 1 2
2
1
д) 2 0 2 ; 2 2 −5 −1
2 1 1
1 9
з) − 4 11 3 ; −1 1 1
15
е)
− 11 − 5
0 −2
7 15
11
5 −1
3 ; 7
и) − 10 − 4 2 . 2 −1 −1
1.4.4. Вычислить определитель:
1 0 а) 0 0
2 2 0 0
3 3 3 0
1 −1 2 0 2 −1 1 0 б) ; 0 0 −1 1 0 0 1 −1
4 4 ; 4 4
9 9 9 9 9 10 9 9 г) ; 9 9 12 9 9 9 9 13
3 4 5 6
4 5 2 3
5 2 ; 3 0
1 2 1 −1 8 − 6 − 10 − 2 е) ; 6 −5 − 9 −3 4 7 2 −5
1 1 1 1 1 −1 2 − 2 д) ; 1 1 4 4 1 −1 8 − 8
5 − 12 − 7 5 −1 3 −7 −5 4 −1 ж) ; з) 1 − 2 −1 2 −1 2 −5 −3 0 −3
2 3 в) 4 5
1 1 −1 2 − 11 5 ; 0 − 5 4 2 − 21 9
2 −1 −1 −1 8 −6 −2 −3 и) ; 4 −2 3 − 4 9 −3 1 − 10
9 −6 −2 −2 1 − 5 − 9 −1 к) . 1 −1 − 6 0 8 −4 −1 − 3 1.4.5. Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений:
а)
г)
ж)
к)
x − y = −1 x+ y = 1
;
б)
x − 5 y = −5 ; 2x + 6 y = 2
3x1 − x2 = −2
3x1 + 2 x2 = 2
x + 2y = 2
д)
x1 − 4 x2 = 3
x1 + 7 x2 = −7
2x + 3y = 1
;
з)
;
в)
2 x1 + 7 x2 = 0 4 x1 − x2 = 0
10 x1 + 11x2 = −2 − 12 x1 + 13x2 = 2
;
;
2x − 3y = 4 ; 3x − 5 y = −4
е)
и)
2 x1 + x2 = 5 6 x1 + 4 x2 = 14
3 x1 − 2 x2 = 2 − 2 x1 + 3x2 = 1
;
;
.
1.4.6. Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений:
а)
3x − y + z = 2 − 2 x + y − z = −2 ; x + 3y − 2z = 2
б)
x− y+ z = 1 2 x − 4 y − z = −3 ; 3x − 2 y + 4 z = 5 16
в)
4 x + 9 y − 9 z = 14 x − 4 y + 3z = −9 ; 3x + 7 y − 7 z = 11
г)
x + y − z = −1 3x − 3 y − 13z = −1 ;
x1 + x2 −
д) 2 x1 + x2 − 4 x3 = 2 ;
x − 3y − 9z = 2 2 x1 + x2 + 2 x3 = 9 ж)
4 x1 + 3x2 + 3x3 = 19 ; 10 x1 + 8 x2 + 9 x3 = 53 x1 + x2 + 2 x3 = −1
и)
4 x1 − 8 x2 − 6 x3 = 1 ; 4 x1 − 4 x2 − 4 x3 = 2
x3 = 0
2 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 6 е) 6 x1 + 2 x2 − 13x3 = 3 ;
6 x1 + 4 x2 − 14 x3 = 0 2 x1 + x2 +
x3 = 1
з) 6 x1 + x2 + 11x3 = −1 ; 4 x1 + x2 + 9 x3 = −1 x1 − 2 x2 − 2 x3 = −1 к) 4 x1 − 6 x2 − 9 x3 = −5 . 4 x1 − 4 x2 − 7 x3 = −1
17
4 x1 + 2 x2 − 9 x3 = 3
РАЗДЕЛ II. Аналитическая геометрия. 2.1. Скалярное и векторное произведения векторов. 2.1.1. Векторы a и b образуют угол π/6, |а| = 2 и |b| = 5. Найти (a, b). 2.1.2. Векторы a и b образуют угол π/4, |а| = 4 и |b| = 3. Найти (a, b). 2.1.3. Векторы a и b образуют угол 2π/3, |а| = 3 и |b| = 2. Найти
(a, b).
2.1.4. Векторы a и b образуют угол π/6, |а| = 2 и |b| = 1. Найти ≈0,4;(2a – 3b, 4a + 2b). 2.1.5. Векторы a и b образуют угол π/4, |а| = 4 и |b| = 3. Найти (2a – 3b, a + 2b). 2.1.6. Векторы a и b образуют угол 2π/3, |а| = 3 и |b| = 2. Найти
(a – 3b, 4a + 2b).
2.1.7. Найти скалярное произведение векторов a = {1;2;-1} и b = {2,0,3}. 2.1.8. Найти скалярное произведение векторов a = {3;2;-4} и b = {2,1,3}. 2.1.9. Даны векторы a = {1;2;-2} и b = {4,0,3}. Найти
(a – 3b, 4a + 2b).
2.1.10. Даны векторы a = {2;2;-1} и b = {0,5,-12}. Найти
(2a – b, 3a + 2b).
2.1.11. Найти косинус угла между векторами a = {1;1;0} и b = {1,0,1}. 2.1.12. Найти косинус угла между векторами a = {1;2;3} и b = {6,4,-2}. 2.1.13. Даны точки A = (-1; -2; 4), B = (-4, -2,0), C = (3, -2,1). Найти косинус внутреннего угла треугольника ABC при вершине B. 2.1.14. Даны точки A = (3; 2; -3), B = (5, 1, -1), C = (1, -2, 1). Найти косинус внешнего угла треугольника ABC при вершине A. 2.1.15. Даны векторы a = {3;-1;-2} и b = {1,2,-1}. Найти [2a – b, 2a + b]. 2.1.16. Даны векторы a = {2;2;-1} и b = {0,5,-12}. Найти
[2a + b, 3a + 2b].
2.1.17. Даны точки A = (1; -1; 2), B = (5, -6,2), C = (1,3, -1). Найти площадь треугольника ABC и длину высоты этого треугольника, опущенной из вершины B. 2.1.18. Даны точки A = (1; 2; 0), B = (3,0, -3), C = (5,2,6). Найти площадь треугольника ABC и длину высоты этого треугольника, опущенной из вершины A. 2.1.19. Параллельны ли векторы a = {2;-1;1}, b = {1;-1;2}, c = {3;-2;3} одной плоскости? 2.1.20. Параллельны ли векторы a = {3;0;1}, b = {2;1;3}, c = {5;1;1} одной плоскости?
18
2.1.21. Лежат ли точки A = (0;0;0), B = (1;-1;2), C = (1;1;3), D = (2;0;5) в одной плоскости? 2.1.22. Лежат ли точки A = (1;1;1), B = (2;1;1), C = (1;2;1), D = (1;1;2) в одной плоскости? 2.1.23. Даны точки A = (1;-1;2), B = (5;-6;2), C = (1;3;-1), D = (2;-1;2). Найти объем тетраэдра ABCD и длину высоты этого тетраэдра, опущенной из вершины D. 2.1.24. Даны точки A = (1;2;0), B = (3;0;-3), C = (5;2;6), D = (1;2;1). Найти объем тетраэдра ABCD и длину высоты этого тетраэдра, опущенной из вершины D. 2.2. Прямая на плоскости. 2.2.1. Даны точки A = (1;2), B = (3;0), C = (6;2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору BC . 2.2.2. Даны точки A = (3;1), B = (1;-1), C = (0;2). Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору BC . 2.2.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (1;2) и B = (3;8). 2.2.4. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (1;2) и B = (3;4). 2.2.5. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A = (-1;0) и B = (-1,3). 2.2.6. Даны точки A = (1;2) и B = (3,0). Найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B. 2.2.7. Даны точки A = (3;-2) и B = (5,0). Найти уравнение прямой, проходящей через точки A и B.
x −1 y+2 = . Найти уравнение прямой, 2 −5 проходящей через точку A и параллельной прямой L. 2.2.8. Даны точка A = (1;-3) и прямая L:
x −1 y −3 = . Найти уравнение прямой, 1 −3 проходящей через точку A и параллельной прямой L. 2.2.9. Даны точка A = (-3;2) и прямая L:
2.2.10. Даны точка A = (1;-3) и прямая L: x = 2t+1, y = -3t+2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L. 2.2.11. Даны точка A = (2;3) и прямая L: x = t+2, y = 3t-4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L. 2.2.12. Найти угол наклона прямой x-2y+5= 0 к оси ОХ. 2.2.13. Найти угол наклона прямой 3x+ 3 y+1=0 к оси ОХ.
19
2.2.14. Найти точку пересечения прямых 2x+y-2= 0 и 2x-y+6=0. 2.2.15. Найти точку пересечения прямых x-3y+2=0 и x+3y+14=0. 2.2.16. Найти точку пересечения прямых
x −1 y+2 = и x+2y+16=0. 2 −2
2.2.17. Найти точку пересечения прямых
y −3 x −1 = и 3x-7y+7=0. 1 0
2.2.18. Даны точка M0 = (2;-1) и прямая L: 3x-y+2=0. Найти уравнение прямой, перпендикулярной L и проходящей через M0. 2.2.19. Даны точка M0 = (3;-2) и прямая L: 2x-3y=1. Найти уравнение прямой, перпендикулярной L и проходящей через M0. 2.2.20. Даны точка M0 = (1;-3) и прямая L: x+2y=3. Найти уравнение прямой, перпендикулярной L и проходящей через M0. 2.2.21. Параллельны ли прямые x+y=0 и x-y-8=0? 2.2.22. Параллельны ли прямые x+y=0 и 2x+2y-8=0? 2.2.23. Параллельны ли прямые x = 3t-2, y = -4t+1 и 4x-3y-5=0? 2.2.24. Параллельны ли прямые x = t+2, y = -t+1 и x-y=0? 2.2.25. Перпендикулярны ли прямые x = t-3, y = -2t+3 и x-2y-3=0? 2.2.26. Перпендикулярны ли прямые x = t+2, y = -2t+1 и 3x+y=0? 2.2.27. Перпендикулярны ли прямые 3x+y+1=0 и x-3y+3=0? 2.2.28. Перпендикулярны ли прямые x = 2t+1, y = 3t-2 и 2x+y-4z+2=0? 2.2.29. Перпендикулярны ли прямые 5x+y-5=0 и y=0,2x-2? 2.2.30. Найти расстояние от точки A = (-1;3) до прямой x-2y+5=0. 2.2.31. Найти расстояние от начала координат до прямой x- 3 y+3=0. 2.2.32. Даны точки A = (-3;5), B = (7;9), C = (-2;1). Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины С. 2.2.33. Даны точки A = (-1;2), B = (8;6), C = (0;0). Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A. 2.2.34. Даны точки A = (-1;2), B = (1;-1), C = (3;1). Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A.
20
2.2.35. Даны точки A = (2;-2), B = (3;1), C = (5;-1). Найти уравнение прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A. 2.2.36. Даны точки A = (2;-1), B = (3;-2), C = (5;1). Найти уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника ABC, проведенная из вершины B. 2.2.37. Даны точки A = (-1;2), B = (8;6), C = (0;0). Найти уравнение прямой, на которой лежит высота треугольника ABC, проведенная из вершины B. 2.2.38. Даны точки A = (0;0), B = (0;1), C = (1; 3 ). Найти уравнение прямой, на которой лежит биссектриса треугольника ABC, проведенная из вершины A. 2.3. Плоскость. 2.3.1. Даны точка A = (1;-2;5) и вектор a = {-3,4,7}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору a. 2.3.2. Даны точки A = (1;2;0), B = (3,0,-3), C = (6,2,-2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору BC . 2.3.3. Даны точки A = (1;2;-1), B = (1,0,-1), C = (0,2,2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной вектору BC . 2.3.4. Точка M0 = (2;3;-1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки A = (1;2;-1) на плоскость. Найти уравнение этой плоскости. 2.3.5. Точка M0 = (3;4;-2) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Найти уравнение этой плоскости. 2.3.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 = (3;-2;1) и параллельной плоскости 2x-3y+z=1. 2.3.7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 = (1;0;-2) и параллельной плоскости x=2y. 2.3.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 = (2;-3;0) и параллельной плоскости 3x-y+2z=2. 2.3.9. Найти косинус угла между плоскостями 3x+2y-3z-4=0 и x+y-3z-7=0. 2.3.10. Найти косинус угла между плоскостями x+y+3z+6=0 и y+z-1=0. 2.3.11. Найти угол между плоскостями x=y и 2 x-3=0. 2.3.12. Найти угол между плоскостями x+y+z=1 и x+y+z=-1. 2.3.13. Найти угол между плоскостями 2x+y-z+1=0 и x-y+5=0. 2.3.14. Параллельны ли плоскости x-2y+3z-1=0 и -2x+4y-6z-3=0? 2.3.15. Параллельны ли плоскости x+y-2z+2=0 и x-y-2z+5=0? 21
2.3.16. Перпендикулярны ли плоскости 2x+3y-z-1=0 и x-y-z+1=0? 2.3.17. Перпендикулярны ли плоскости 2x-5y+z+3=0 и x+2z+2=0? 2.3.18. При каких значениях a и b плоскости параллельны? 2.3.19. При каких значениях a и b плоскости параллельны? 2.3.20. При каком перпендикулярны?
значении
a
плоскости
3x-y+az-9=0
и
bx+3y-2z-1=0 5x+y-3z=0
2x+by+2z-3=0 и
и
2x-5y-az=0 2x+ay-3z+5=0
2.3.21. При каком значении a плоскости 7x-2y-z-9=0 и ax+y-3z=0 перпендикулярны? 2.3.22. Даны точка M0 = (1;2;-1) и векторы а = {1,0,-1}, b = {3,2,1}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и параллельной векторам a и b. 2.3.23. Даны точка M0 = (2;3;0) и векторы а = {2,1,2}, b = {-1,-2,3}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и параллельной векторам a и b. 2.3.24. Даны точки M0 = (1;-2;1), B = (1,0,-1) и вектор b = {0,2,-1}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M0,, B и параллельной вектору b. 2.3.25. Даны точки M0 = (-1;3;0), B = (2,1,-1) и вектор b = {1,-2,1}. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M0,, B и параллельной вектору b. 2.3.26 Даны точки A = (0;0;0), B = (2;5;-1), C = (1;0;3). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C. 2.3.27 Даны точки A = (1;2;-1), B = (1;0;-1), C = (0;2;2). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C. 2.3.28. Даны точки A = (-1;1;3), B = (-1;2;4), C = (1;-2;3). Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C. 2.3.29. Найти расстояние от точки A = (2;-1;3) до плоскости 7x+y+5z+1=0. 2.3.30. Найти расстояние от точки O = (0;0;0) до плоскости x+y+z=1. 2.3.31. Даны точки A = (1;5;-7), B = (-3;6;3), C = (-2;7;3), D = (1;-1;2). Написать уравнение плоскости α, проходящей через точки A, B, C, и найти расстояние h от точки D до α. 2.3.32. Даны точки A = (-1;1;3), B = (-1;2;4), C = (1;-2;3), D = (1;-1;2). Написать уравнение плоскости α, проходящей через точки A, B, C, и найти расстояние h от точки D до α. 2.4. Прямая в пространстве.
22
2.4.1. Даны точки A = (1;2;0), B = (3,0,-3), C = (6,2,-2). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору BC . 2.4.2. Даны точки A = (1;2;-1), B = (1,0,-1), C = (0,2,2). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной вектору BC . 2.4.3. Даны точки A = (1;2;0) и B = (3,0,-3). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A и B. 2.4.4. Даны точки A = (3;-2;1) и B = (5,0,2). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A и B.
y+2 z −3 x −1 = = . Найти канонические и 2 −5 −2 параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L.
2.4.5. Даны точка A = (1;-3;2) и прямая L:
x −1 y −3 z+2 = = . Найти канонические и 1 0 −2 параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L. 2.4.6. Даны точка A = (-3;2;4) и прямая L:
2.4.7. Даны точка A = (1;-3;2) и прямая L: x = 2t+1, y = -3t+2, z = t-2. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L. 2.4.8. Даны точка A = (0;1;2) и прямая L: x = t+2, y = 3t-4, z = 2t-1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой L. 2.4.9. Даны две плоскости 2x+y+z-2=0 и 2x-y-3z+6=0. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением этих плоскостей. 2.4.10. Даны две плоскости x-3y+2z+2=0 и x+3y+z+14=0. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, являющейся пересечением этих плоскостей. 2.4.11. Даны точка M0 = (3;-2;1) и плоскость α: 2x-3y+z=1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, перпендикулярной α и проходящей через M0. 2.4.12. Даны точка M0 = (1;-3;2) и плоскость α: x+2y-z=3. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, перпендикулярной α и проходящей через M0. 2.4.13. Параллельна ли прямая x = 3t-2, y = -4t+1, z = 4t-5 плоскости 4x-3y-6z-5=0? 2.4.14. Параллельна ли прямая x = t+2, y = -t+1, z = 2t-5 плоскости x-y+z=0? 2.4.15. Перпендикулярна ли прямая x = t-3, y = -2t+3, z = 4t+1 плоскости x-2y+4z-3=0? 2.4.16. Перпендикулярна ли прямая x = t+2, y = -2t+1, z = -t-2 плоскости 3x+y-z=0? 23
2.4.17. Даны прямая
x −1 y+2 z −3 = = и плоскость x+2y-5z+16=0. Найти их точку 2 −5 −2
пересечения. 2.4.18. Даны прямая
x −1 y −3 z+2 = = и плоскость 3x-7y-2z+7=0. Найти их точку 1 0 −2
пересечения. 2.4.19. Даны точки A = (-1;2;1), B = (1,-1,-3), C = (3,1,1). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A. 2.4.20. Даны точки A = (2;-2;3), B = (3,1,-1), C = (5,-1,3). Найти канонические и параметрические уравнения прямой, на которой лежит медиана треугольника ABC, проведенная из вершины A.
x+2 z y −1 = и плоскости α: x+y-z=0, β: x-y-5z-8=0. = 3 −2 1 Прямая L2 – пересечение плоскостей α и β. Параллельны ли прямые L1 и L2.
2.4.21. Даны прямая L1:
2.4.22. Даны прямая L1: x = 2t+5, y = -t+2, z = t-7 и плоскости α: x+3y+z+2=0, β: x-y-3z2=0. Прямая L2 – пересечение плоскостей α и β. Параллельны ли прямые L1 и L2. 2.4.23. Даны плоскости α1: x+y-3z+1=0, α2: x-y+z+3=0, β1: x+2y-5z-1=0, β2: x-2y+3z-9=0. Прямая L1 – пересечение плоскостей α1 и α2, прямая L2 – пересечение плоскостей β1 и β2. Параллельны ли прямые L1 и L2.
x z y −1 = и плоскости α: 3x+y-5z+1=0, β: 2x+3y-8z+3=0. = 1 −2 3 Прямая L2 – пересечение плоскостей α и β. Перпендикулярны ли прямые L1 и L2.
2.4.24. Даны прямая L1:
2.4.25. Даны прямая L1: x = 2t+1, y = 3t-2, z = -6t+1 и плоскости α: 2x+y-4z+2=0, β: 4xy-5z+4=0. Прямая L2 – пересечение плоскостей α и β. Перпендикулярны ли прямые L1 и L2. 2.4.26. Даны плоскости α1: x+y-3z-1=0, α2: 2x-y-9z-2=0, β1: 2x+y+2z+5=0, β2: 2x-2yz+2=0. Прямая L1 – пересечение плоскостей α1 и α2, прямая L2 – пересечение плоскостей β1 и β2. Перпендикулярны ли прямые L1 и L2.
24
Раздел III. Теория вероятностей. 3.1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки. 3.1.1. В группе из 20 студентов необходимо выбрать троих делегатов на студенческую конференцию. Сколькими различными способами можно это сделать? 3.1.2. Сколькими различными способами можно заполнить карточку «Спортлото», если для ее заполнения требуется отметить 6 видов спорта из перечисленных в карточке 49 видов? 3.1.3. Сколько разных требований на 3 книги может составить читатель, если в библиотеке всего 1000 наименований книг? 3.1.4. В ассортименте магазина 10 видов шоколадных конфет. Для составления новогоднего подарка используют 6 видов, причем берется одинаковое количество конфет каждого вида. Сколько различных подарков можно составить? 3.1.5. Для составления новогодних подарков куплено 6 видов шоколадных конфет и 8 видов карамели. Для составления одного подарка используется 4 вида шоколадных конфет и 5 видов карамели. Сколькими различными способами можно собрать подарок (количество конфет каждого вида, включаемого в подарок, одинаково)? 3.1.6. Из пяти имеющихся красок выбирают две краски для получения смеси. Сколько различных смесей можно получить, если разными считаются смеси, имеющие разный состав красок? 3.1.7. На четвертом курсе одного из факультетов читается 6 спецкурсов. Каждый четверокурсник обязан выбрать для посещения два спецкурса. Сколькими способами он может это сделать? 3.1.8. Из одиннадцати студентов, среди которых два отличника, необходимо выбрать восьмерых для работы по обслуживанию студенческой олимпиады. Сколькими способами это можно сделать, если отличники обязательно должны войти в число этих восьмерых? 3.1.9. Имеется колода в 36 карт. Сколькими различными способами можно выбрать из нее: а) три карты; б) три карты, одна из которых – пиковая дама; в) три туза; г) три карты крестовой масти; д) три красные карты? 3.1.10. На девяти карточках написаны цифры от 1 до 9. Из них выбирают 3 карточки и выкладывают друг за другом. Сколько различных трехзначных чисел можно получить таким образом? Сколько различных трехзначных чисел можно получить, если имеется 10 карточек с цифрами от 0 до 9? 3.1.11. В забеге участвуют 12 спортсменов. Для выигрыша в спортивной лотерее надо правильно указать имена спортсменов, занявших первое, второе и третье места
25
соответственно. Сколько существует способов указать имена победителей? Сколько среди этих способов таких, в которых спортсмен Петров указан первым? 3.1.12. В первом ряду театральной ложи четыре места. Сколькими способами можно рассадить зрителей в первом ряду, если в ложу вошли восемь человек? Ответьте на тот же вопрос при условии, что первое место уже было занято до прихода этих восьмерых. 3.1.13. У студента имеется 7 учебников по разным предметам. Сколькими способами он может расставить 5 учебников на полке? Сколько среди этих способов таких, в которых: а) первым стоит учебник по теории вероятностей; б) первым стоит учебник по теории вероятностей, а последним – по английскому языку? 3.1.14. На катере пять сигнальных флажков разного цвета. Сигнал состоит из двух или трех флажков, вывешенных в определенном порядке. Сколько различных сигналов может подать катер? 3.1.15. В архиве 100 дел. Сколько существует способов: а) расставить 10 дал на полке; б) выдать 10 дел по запросу? 3.1.16. Сколько различных очередей можно составить из 6 человек, пришедших одновременно в кассу для получения зарплаты? Сколько среди этих очередей таких, в которых первым будет гражданин Иванов? 3.1.17. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1. 2, 3, 4, 5, записанных на пяти карточках? Сколько среди этих чисел таких, которые: а) начинаются с цифры 5; б) являются четными? 3.1.18. Всего для первокурсников читается 5 различных курсов лекций. На 2 сентября планируется по расписанию 3 лекции по разным предметам. Сколькими способами можно составить расписание на 2 сентября? Сколько среди них способов, в которых: а) на первой паре читаются лекции по высшей математике; б) 2-го сентября нет лекций по высшей математике? 3.1.19. Среди 20 человек, приглашенных на праздничный вечер, разыгрывается 5 различных призов лотереи. Человек, выигравший приз, в дальнейшем розыгрыше не участвует. Сколькими различными способами могут распределиться призы между участниками лотереи (предусматривается, что каждый приз кем-то выигрывается)? Сколько среди этих способов таких, при которых: а) призы получили 5 человек, пришедших первыми; б) Иванов получил приз, а Сидоров не получил? 3.1.20. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из данных пяти языков на любой другой из этих пяти языков? 3.1.21. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых нет нулей и единиц?
26
3.2. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности события.
В задачах 3.2.1 – 3.2.4 построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям. В задачах 3.2.1 – 3.2.3 найти число элементов всех рассматриваемых множеств. 3.2.1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат - пара чисел, выпавших в первый и второй раз. События: А1 – оба раза выпало число 6; А2 – число 6 не выпало ни разу; А3 - число 6 выпало ровно один раз; А4 – оба раза выпало число очков, кратное трем; А5 – первый раз выпало четное число, а второй раз – нечетное; А6 – оба раза выпало одно и то же число; А7 - сумма выпавших чисел не больше 4. 3.2.2. Подбрасываются три монеты. Наблюдаемый результат – выпадение орла (О) или решки (Р) на первой, второй и третьей монетах. События: А1 – решка выпала на одной монете; А2 – решка не выпала ни на одной монете; А3 – решка выпала на первой монете; А4 – орел выпал хотя бы на двух монетах. 3.2.3. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События: А1 – первый ящик пустой; А2 – в каждый ящик попало по одному шару; А3 – все шары попали в один ящик. 3.2.4. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: − 2 ≤ x ≤ 2, - 1 ≤ y ≤ 1 . Наблюдаемый результат – координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. События: А1 – абсцисса точки попадания не меньше ординаты; А2 – произведение координат точки неотрицательно; А3 – абсцисса точки по модулю не больше единицы. 3.2.5. Из 20 яблок, находящихся в корзине, 6 яблок – сорта «шафран». Найти вероятность того, что взятое из корзины яблоко не принадлежит сорту «шафран». 3.2.6. В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов. 3.2.7. Автомат, изготавливающий однотипные детали, дает в среднем 6% брака. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Найти вероятность того, что она бракованная. 3.2.8. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: А1 - выпало число 5; А2 – выпало число, кратное трем; А3 – выпало число, меньшее 5. 3.2.9. Найти вероятность событий из задачи 3.2.1, а также в условиях задачи 3.2.1 найти вероятности следующих событий: А8 – оба раза выпало число, меньшее 5; А9 – число 6 выпало хотя бы один раз. 3.2.10. Найти вероятность событий: а) из задачи 3.2.2; б) из задачи 3.2.3. 27
3.2.11. В урну помещают 4 белых и 6 черных шаров и хорошо их перемешивают. а) Какова вероятность того, что извлеченный из урны шар - черный? б) Из урны извлекают два шара. Какова вероятность того, что: 1) оба они – черные; 2) хотя бы один из шаров – черный; 3) извлеченные шары – разных цветов? 3.2.12. Из коробки, в которой находятся 6 карандашей и 7 ручек, вынимают два предмета. Найти вероятности следующих событий: А1 – оба вынутых предмета – ручки; А2 – вынута хотя бы одна ручка; А3 – вынуты ручка и карандаш. 3.2.13. В колоде 36 карт. Карты тщательно перемешивают и затем из колоды выбирают наугад 4 карты. Найти вероятности следующих событий: А1 – выбраны 4 туза; А2 – среди выбранных карт нет ни одного туза; А3 – среди выбранных карт есть бубновый валет; А4 – среди выбранных карт есть хотя бы один валет; А5 – среди выбранных карт есть хотя бы одна карта бубновой масти; А6 – выбраны карты крестовой масти; А7 – выбраны карты одной масти; А8 – выбраны две черные и две красные карты; А9 – среди выбранных карт – две дамы; А10 – среди выбранных карт есть ровно один валет. 3.2.14. Из 14 студентов, среди которых 4 первокурсника, 3 второкурсника, а остальные – старшекурсники, случайным образом выбирают 5 человек в состав студенческого профкома. Найти вероятность того, что среди выбранных пяти человек: а) будут одни старшекурсники; б) не будет второкурсников; в) будет хотя бы один первокурсник; г) будет один первокурсник и четыре старшекурсника; д) будет ровно один первокурсник; е) будет не менее четырех старшекурсников. 3.2.15. Продано 120 билетов лотереи, из них 10 – выигрышные. Некто купил 2 билета. Найти вероятность того, что хотя бы один из его билетов окажется выигрышным. 3.2.16.Студент знает ответы на 10 вопросов из 20. Ему задают три вопроса, выбранные случайно из списка. Найти вероятность того, что он: а) ответит не на все вопросы; б) не ответит на все вопросы; в) ответит на один вопрос. 3.2.17. В группе из 12 студентов и 8 студенток случайным образом выбирают делегацию на конференцию. Найти вероятность того, что она будет иметь одинаковое представительство студентов и студенток, если делегация состоит: а) из двух человек; б) из четырех человек. 3.2.18.Среди 100 изделий 20 бракованных. Найти вероятность того, что среди пяти наугад взятых изделий будет три бракованных. 3.2.19. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Из них выбирают случайным образом три карточки и выкладывают одну за другой. Найти вероятность того, что получится: а) число 123; б) число, начинающееся с 2; в) число, не содержащее цифры 3; г) число, состоящее только из нечетных цифр; д) четное число. 3.2.20. Пять карточек, на которых написаны цифры от 1 до 5, тщательно перемешивают и затем выкладывают одну за другой. Найти вероятность того, что получится число: а) третья цифра которого – 4; б) которое начинается с 23; в) нечетное.
28
3.2.21. Из букв разрезной азбуки выкладывается слово «книга», затем буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова выкладываются одна за другой в некотором порядке. Найти вероятность того, что снова получится слово «книга». 3.2.22. Из букв разрезной азбуки выкладывается слово «плита». Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и из них выбираются 4 буквы, которые выкладываются в порядке поступления. Найти вероятность того, что получится слово «пила». 3.2.23. Известно, что код замка сейфа представляет собой последовательность пяти различных букв латинского алфавита (всего букв 26). Какова вероятность того, что код будет угадан с первого раза? 3.2.24. В первом ряду из десяти мест случайным образом рассаживаются 10 человек из числа двадцати пришедших в кинозал. Среди этих двадцати – 10 студентов и 10 студенток. Найти вероятность того, что в первом ряду: а) будут сидеть одни студентки; б) будет сидеть хотя бы одна студентка; в) на первых пяти местах будут обязательно сидеть студентки; г) на первых пяти местах будут сидеть студентки, а на последних пяти местах – студенты; д) студенту Петрову досталось место с четным номером. 3.2.25. Экзамен по высшей математике сдают 15 человек, каждый из которых получил один из имеющихся 30 билетов. Предполагая, что билеты распределяются случайным образом, найти вероятности следующих событий: А1 – студенты получили билеты с №1 по №15; А2 – первые пять студентов по списку получили билеты №№1 – 5; А3 – первые пять студентов по списку получили билеты №№1 – 5, а остальные десять – какие-то из билетов №№16 – 30; А4 – первые пять студентов по списку получили билеты с номерами не больше 10, следующие 5 студентов – с номерами от 11 до 20, а последние 5 студентов получили билеты с номерами больше 20. 3.2.26. Трое джентльменов оставили в прихожей свои внешне совершенно одинаковые шляпы. Слуги случайно поменяли их местами. Какова вероятность того, что каждый из гостей уйдет со своим головным убором? 3.2.27. Среди 12 книг две одинаковые. Найти вероятность того, что при случайной расстановке на полке всех книг одинаковые окажутся рядом. 3.2.28. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: A – на обеих костях одинаковое число очков; B – число очков на первой кости больше, чем на второй; C – сумма очков четная; D – сумма очков больше двух. 3.2.29. За семь дней недели независимо друг от друга происходит семь неприятностей. Найти вероятность следующего события A: все неприятности произошли в разные дни. 3.2.30. В лифт 6-этажного дома сели 4 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Найти вероятности следующих событий: A – все вышли на разных этажах; B – хотя бы два сошли на одном этаже.
29
3.2.31. Каждая из пяти дам может выбрать в качестве партнеров по танцу одного из пяти кавалеров. Выбор каждой дамой любого кавалера равновозможен. Найти вероятность следующего события A: все дамы выбрали разных кавалеров. 3.2.32. Каждая из трех компаний может выбрать одного из пяти дилеров. Выбор каждой компанией любого дилера равновозможен. Найти вероятность следующего события A: все компании выбрали разных дилеров. 3.2.33. Из 10 изделий, среди которых 3 импортных, "наудачу" выбрали три изделия. Найти вероятности следующих событий: A – среди выбранных изделий ровно два импортных; B – все выбранные изделия являются импортными; C – среди выбранных изделий есть хотя бы одно импортное. 3.2.34. Среди 100 шаров, находящихся в ящике, имеется 5 черных. Из ящика вынули наугад 50 шаров. Найти вероятность следующего события A: среди выбраных шаров оказалось не более одного черного. 3.2.35. В группе 20 студентов, среди которых 5 отличников. Произвольно выбрали 10 студентов. Найти вероятность следующего события A: среди выбранных студентов ровно 2 отличника. 3.2.36. Две радиостанции в течение часа должны независимо друг от друга передать десятиминутное сообщение. Найти вероятность следующего события A: сообщения не перекроются по времени.
3.3. Операции над событиями. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 3.3.1. Игральная кость подбрасывается один раз. Наблюдаемый результат – выпавшее число очков. Рассмотрим события: А1 – выпавшее число кратно трем; А2 – выпавшее число нечетно; А3 – выпавшее число не меньше трех; А4 – выпавшее число не больше двух; А5 – выпало число от 2 до 4. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события Α 2,, Α 3, А1А2, А1+А2, А1А3, А1+А3, А1А4, А1+А4, А1А5, А2А3, А2А5, А2+А5, А3А4, А3+А4, А3А5, А3+А5, А4+А5, А1+А2+А5. 3.3.2. Из партии калькуляторов выбирают пять калькуляторов для проверки. Наблюдаемый результат – число калькуляторов, имеющих брак. Рассмотрим события: А1 – число бракованных калькуляторов не более трех; А2 – бракованных калькуляторов – три; А3 – число бракованных калькуляторов не менее двух; А4 – есть хотя бы четыре калькулятора с браком; А5 – есть хотя бы один калькулятор с браком. Выяснить, какие из этих событий являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события Α 1, Α 2, Α 4, Α 5, А1А3, А1+А3, А2А3, А2+А3, А1А5, А1+А5, А2+А4, А2А5, А3А4, А3+А4. 3.3.3. Производится осмотр телевизора, при котором можно обнаружить всего 4 различных дефекта. Наблюдаемый результат – количество обнаруженных дефектов. Рассмотрим события: А1 – обнаружен один дефект; А2 – обнаружено два дефекта; А3 – обнаружено три дефекта; А4 – обнаружены все дефекты; А5 – обнаружен хотя бы один дефект; А6 – обнаружено не менее двух дефектов; А7 – обнаружено не более двух 30
дефектов. Выяснить, какие события являются попарно несовместными. Сформулировать, в чем состоят события Α 4, Α 5, Α 7, А1А5, А1+А5, А1А6, А1+А6, А1А7, А1+А7, А3А4, А3+А4, А5А7, А5+А7, А6А7, А6+А7, А2+А3+А4. 3.3.4. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.1. Событие Аk – элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4; событие В – разрыв цепи. Выразить событие В в алгебре событий А1, А2, А3, А4.
2 1
4 Рис.1
3
3.3.5. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рис.2. Событие Аk – элемент с номером k вышел из строя, k=1,2,3,4,5; событие В – разрыв цепи. Выразить событие В в алгебре событий А1, А2, А3, А4, А5.
1
2 3
4
5
Рис.2
3.3.6. Из урны, в которой находятся 7 черных и 8 белых шаров, вынимают наугад три шара. Найти вероятность того, что они будут одного цвета. 3.3.7. Из колоды в 36 карт вынимают 7 карт. Найти вероятность того, что среди них 4 дамы или 4 короля. 3.3.8. Среди пяти одинаковых пар обуви наугад выбирают 4 башмака. Найти вероятность того, что хотя бы два из них составят пару. 3.3.9. Один раз подбрасывается игральная кость. События: А – выпало простое число очков; В – выпало четное число очков. Вычислить вероятности Р (А) и Р (А/В). 3.3.10. Два раза подбрасывается игральная кость. События: А – оба раза выпало число очков, кратное 3; В – оба раза выпало одно и то же число очков. Вычислить вероятности Р (А) и Р (А/В). 3.3.11. Из колоды в 36 карт вынимают две карты. Найти вероятность того, что: а) это тузы; б) это тузы при условии, что вынуты красные карты. 3.3.12. Из колоды в 36 карт вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что: а) это дамы; б) это дамы при условии, что все вынутые карты – разных мастей. 3.3.13. Заключение сделки состоит из двух последовательных независимых этапов. Вероятность успешного прохождения первого этапа равна 0,9, второго этапа – 0,8. Найти вероятность того, что сделка будет заключена. 3.3.14. Коммерсант договаривается о поставке товаров с двумя поставщиками, действующими независимо друг от друга. Вероятность того, что первый поставщик
31
поставит товар, равна 0,95, а того, что второй – 0,6. Найти вероятность того, что коммерсант получит товар (т.е. товар поставит хотя бы один поставщик). 3.3.15. В магазине установлены две независимо работающие системы сигнализации. Вероятность несрабатывания первой системы равна 0,05, второй системы – 0,02. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработает хотя бы одна система сигнализации. 3.3.16. Для охраны банка созданы три независимо работающие системы безопасности, вероятности отказа которых равны соответственно 0,05, 0,02 и 0,01. Какова вероятность того, что в случае несанкционированного проникновения в банк сработает хотя бы одна система безопасности? 3.3.17. Прибор состоит из четырех последовательно соединенных блоков. Надежность каждого блока (т.е. вероятность безотказной работы в течение установленного времени Т) равна 0,9, причем отказы блоков являются независимыми в совокупности событиями. Найти вероятность безотказной работы прибора в течение времени Т. 3.3.18. Найти надежность электрической схемы, приведенной на рис.3, если надежность любого из трех параллельно соединенных элементов этой схемы равна 0,8. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. 1
2 3
Рис.3
3.3.19. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,5, третий – с вероятностью 0,3. Выстрелили все трое. Найти вероятность того, что мишень поражена. 3.3.20. Имеется деформированная монета, у которой вероятность выпадения решки равна 0,4, а орла – 0,6. Найти вероятность того, что при двукратном подбрасывании монеты она оба раза упадет на одну и ту же сторону. 3.3.21. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Их вынимают по одному до появления первого белого шара. Найти вероятность того, что процесс оборвется: а) на втором шаре; б) на 3-ем шаре. 3.3.22. Студент, который знает 10 из 15 вопросов по первому разделу и 16 из 20 вопросов по второму разделу, получает по одному случайно выбранному вопросу из каждого раздела. Найти вероятность того, что студент ответит: а) правильно на оба вопроса; б) правильно на первый вопрос и неправильно на второй; в) правильно хотя бы на один вопрос; г) правильно на один вопрос. 3.3.23. Из хорошо перемешанной колоды в 36 карт вынимаются одна за другой две карты. Найти вероятность того, что среди вынутых карт: а) первая – дама, вторая – туз; б) обе – крестовой масти, причем первая – дама; в) обе – крестовой масти; г) одна дама и один туз; д) одна дама.
32
3.3.24. В магазин поступила большая партия товара: 40% партии – товар 1 сорта, 50% товар 2 сорта, остальное – высшего качества. Найти вероятность того, что две случайным образом выбранные единицы товара – одного сорта. 3.3.25. В среднем 40 % урожая – яблоки 1-го сорта. Вероятность того, что товаровед примет первосортную партию 1-ым сортом, равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, считая непервосортную партию первосортной. Это происходит с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что товаровед неправильно установит сорт партии яблок. 3.3.26. В ящике 20 шаров, среди которых 4 белых. Шары выбираются наугад, пока не попадется белый. Найти вероятность следующего события A: будет выбрано ровно три шара. 3.3.27. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 2/3, вторым – 1/2. Первый стрелок сделал 2 выстрела, а второй – 3. Найти вероятность следующего события A: цель не поражена. 3.3.28. Инспектор проверяет состояние двух автомобилей. Вероятность полной исправности любого из автомобилей равна 0,9. Найти вероятность следующего события A: среди проверенных автомобилей ровно один полностью исправен. 3.3.29. Три стрелка одновременно выстрелили в цель. Вероятности попадания первого, второго и третьего стрелков соответственно равны 0,3; 0,6; 0,8. Найти вероятности следующих событий: A – цель поражена; B – в цель попал ровно один стрелок; C – в цель попали ровно два стрелка; D – в цель попали все стрелки; E – хотя бы один стрелок промахнулся. 3.3.30. В первом ящике 5 белых, 7 черных и 3 красных шара; во втором ящике 4 белых, 2 черных и 4 красных шара. Из каждого ящика наугад вынимается по одному шару. Найти вероятность следующего события A: оба выбранных шара – одного цвета.
3.4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. 3.4.1. На складе имеется 20 телефонных аппаратов корейского производства и 30 – немецкого. В среднем 5% корейских аппаратов и 2% немецких имеют брак. Найти вероятность того, что наугад взятый телефонный аппарат имеет брак. 3.4.2. На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока. 3.4.3. Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным.
33
3.4.4. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным. 3.4.5. В двух урнах находятся шары черного и белого цвета. Пятая часть шаров в первой урне и треть шаров во второй урне – черного цвета. Наугад выбирается урна и из нее извлекается шар. Найти вероятность того, что он – черный. 3.4.6. Из урны, содержащей 5 белый и 6 черных шаров, переложен вынутый наугад шар в урну, содержащую 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый затем наугад шар из второй урны окажется белым. 3.4.7. Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые. 3.4.8. В условиях задачи 3.4.3 найти вероятность того, что изделие, оказавшееся бракованным, изготовлено на станке первого типа. 3.4.9. Упаковка сосисок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля брака среди продукции, произведенной первым автоматом, равна 5%, вторым автоматом – 7%. Наугад взятая упаковка оказалась бракованной. Найти вероятность того, что сосиски были упакованы на первом автомате. 3.4.10. Из деталей высокого качества собирается 60% всех телевизоров, при этом вероятность благополучной эксплуатации телевизора в течение года равна 0,95. Для телевизора, собранного из обычных деталей, эта вероятность – 0,7. Найти вероятность того, что проработавший год телевизор собран из деталей высокого качества. 3.4.11. В магазин поступила партия из 20 пар мужских туфель и 25 пар женских. В среднем 12% мужских туфель и 6% женских имеют различные дефекты отделки. Наугад выбрали одну пару, которая оказалась с дефектами отделки. Какова вероятность того, что это мужские туфли? 3.4.12. Два специалиста производят контроль качества изделий. Равновероятно, что изделие попадет к любому из них. Первый специалист выявляет дефект с вероятностью 0,7, второй – с вероятностью 0,9. Взятое наугад изделие, успешно прошедшее контроль, оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил первый специалист? 3.4.13. Три сестры: Даша, Маша и Наташа – моют посуду после ужина. Старшая, Маша, моет посуду в половине всех случаев, Даша и Наташа – в четверти каждая. Если посуду моет Маша, то вероятность того, что посуда будет разбита – 0,02. Если это делает Даша, то вероятность – 0,03. Для Наташи эта вероятность равна 0,04. Раздался звон разбитой посуды. Найти вероятность того, что на кухне хозяйничала Наташа. 3.4.14. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом. Какова вероятность того, что наугад взятый человек, оказавшийся дальтоником – мужчина? 34
3.4.15. Пассажир приобретает билет в одной из двух касс. Вероятность его обращения в первую кассу равна 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира все билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 – для второй. Пассажир приобрел билет. В какой кассе он его купил вероятнее всего? 3.4.16. В группе из 20 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 4 отличника, 7 подготовленных хорошо и 9 – удовлетворительно. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15. Вызванный наудачу студент ответил на два вопроса. Найти вероятность того, что он подготовлен: а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно. 3.4.17. Противотанковая батарея состоит из 10 орудий. Для любого из 6 орудий первой группы вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Для любого из 4 орудий второй группы эта вероятность равна 0,9. Наудачу выбранное орудие произвело два выстрела по цели, в результате чего были зафиксированы два попадания. Найти вероятность того, что стрелявшее орудие принадлежит: а) первой группе; б) второй группе. 3.4.18. Расследуются причины неудачного запуска ракеты, о котором можно высказать 4 предположения (гипотезы) Н1, Н2, Н3 или Н4. По данным статистики Р (Н1) =0,2, Р (Н2)= 0,4, Р (Н3)=0,3, Р (Н4)=0,1. В ходе расследования было обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (событие А). Согласно статистике Р (А/Н1) = 0,9, Р (А/Н2)=0, Р (А/Н3)=0,2, Р (А/Н4)=0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях? 3.4.19. На проверку поступила партия микросхем, среди которых 10 процентов дефектных. При проверке дефект обнаруживается с вероятностью 0,95. С вероятностью 0,03 исправная микросхема может быть признана дефектной. Проверили одну микросхему. Найти вероятность следующего события A: проверенная микросхема признана дефектной. 3.4.20. В первом ящике 3 белых и 4 черных шара; во втором ящике 2 белых и 3 черных шара; в третьем – неизвестное количество шаров, причем все шары – белые. Из наугад взятого ящика наугад вынули один шар. Найти вероятность следующего события A: выбранный шар – белый. 3.4.21. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед. 3.4.22. В специализированную больницу поступают больные с тремя болезнями: в среднем 50 процентов больных с первой болезнью, 30 процентов – со второй, 20 процентов – с третьей. Вероятности полного излечения первой, второй и третьей болезней равны 0,7; 0,8; 0;9. Поступивший в больницу больной выздоровел. Найти вероятность того, что больной болел первой болезнью. 3.4.23. По каналу связи с вероятностью 0,4 передается сигнал "0" и с вероятностью 0,6 передается сигнал "1". Из-за помех возможны ошибки. Вероятность принять "1", когда 35
передавался сигнал "0", равна 0,05. Вероятность принять "0", когда передавался сигнал "1", равна 0,1. Принят сигнал "1". Найти вероятность того, что действительно передавался "1".
36
3.5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. 3.5.1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет три раза; б) герб выпадет один раз; в) герб выпадет не менее двух раз. 3.5.2. При бросании игральной кости, специально утяжеленной с одной стороны, вероятность выпадения шестерки равна 0,3. Найти вероятность того, что при пятикратном бросании игральной кости: а) шестерка выпадет два раза; б) шестерка выпадет не менее двух и не более четырех раз; в) шестерка выпадет четное число раз. 3.5.3. Стрелок четыре раза стреляет по мишени. Считая, что вероятность попадания при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0,8, найти вероятность того, что стрелок попал в мишень: а) два раза; б) не более трех раз; в) хотя бы один раз; г) один раз. 3.5.4. В среднем 10% автомобилей, производимых заводом, имеют брак. Для контроля из партии автомобилей взяли 5 машин. Найти вероятность того, что среди них будет: а) 3 машины без брака; б) не более 3 машин без брака. 3.5.5. Из колоды в 36 карт вынимается карта, записывается ее название и затем карта возвращается в колоду, после чего та тщательно перемешивается. Найти вероятность того, что при шестикратном повторении описываемого опыта: а) шестерки будут вынуты два раза; б) шестерки будут вынуты 5 раз; в) трефовые карты будут вынуты трижды; г) будут вынуты только трефовые карты; д) трефовый туз будет вынут дважды; е) трефовый туз появится хотя бы один раз. 3.5.6. В память ЭВМ записывается 8-разрядное двоичное число. Значения 0 и 1 в каждом разряде появляются с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что будет записано число, в котором имеется: а) ровно 4 единицы; б) не менее двух единиц. 3.5.7. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. В отдел магазина поступило 20 телевизоров. Что вероятнее: что в это партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три? 3.5.8. Устройство состоит из 7 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,1. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из семи. 3.5.9. Устройство состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р=5х10-4. Найти вероятность того, что за время Т откажет: а) ровно три элемента; б) не более трех элементов. 3.5.10. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят: а) 5 абонентов; б) не менее трех абонентов.
37
3.5.11. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) более двух. 3.5.12. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить: а) ровно шесть семян сорняков; б) более трех семян сорняков? 3.5.13. На первом курсе учится 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения: а) для одного студента 1-го курса; б) для двух студентов. 3.5.14. Игральную кость подбрасывают 180 раз. Найти вероятность того, что единица выпадет: а) 33 раза; б) от 20 до 29 раз; в) менее 35 раз; г) не менее 25 раз. 3.5.15. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) 75 раз; б) от 75 до 84 раз; в) менее 75 раз; г) не менее 70 раз. 3.5.16. В компьютерных классах одновременно установили 84 новых компьютера. Вероятность безотказной работы одного компьютера в течение трех лет равна 0,7. Найти вероятность того, что за три года откажет: а) ровно 21 компьютер; б) от 21 до 27 компьютеров; в) менее 21 компьютера. 3.5.17. В среднем 10% книг, выпускаемых комбинатом, имеют мелкие полиграфические дефекты. Найти вероятность того, что в партии из 400 книг дефекты будут иметь: а) 28 книг; б) от 34 до 45 книг; в) не менее 52 книг. 3.5.18. Известно, что в среднем четвертая часть пересаженных саженцев липы погибает. Найти вероятность того, что из 300 саженцев липы выживет: а) 240; б) не менее 201. 3.5.19. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет: а) 15 ошибок; б) меньше 20 ошибок. 3.5.20. В страховой компании застраховано 10000 автомобилей. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 60 долларов страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 5000 долларов. Считая, что вероятность поломки автомобиля в течение года в результате аварии равна 0,006, найти вероятность того, что: а) по истечении года работы страховая компания окажется в убытке; б) прибыль компании окажется не меньше 200000 долларов; в) прибыль окажется не меньше 300000 долларов. 3.5.21. Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет: а) 51 мальчик; б) мальчиков больше, чем девочек. 3.5.22. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 200 студентов, находящихся в аудитории, окажется не менее 10%, носящих очки? 3.5.23. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа, каждым из которых любой зритель может воспользоваться с равной вероятностью. Около каждого входа 38
имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе, чтобы с вероятностью 0,99 любой зритель мог раздеться в том гардеробе, в который он обратился сразу после входа в театр? 3.5.24. Игрок X играет с равносильным противником Y играют в игру, в которой нет ничьих. Найти вероятности следующих событий: A – X выиграл три партии из четырех; B – X выиграл пять партий из восьми. Какая из вероятностей больше? 3.5.25. Предприятие выпускает 2/3 изделий высшего качества. Взяли наугад 4 изделия. Какова вероятность, что среди них ровно одно изделие высщего качества? 3.5.26. Прибор состоит из пяти узлов. Вероятность безотказной работы в течение года для каждого узла равна 0,9. Найти вероятности следующих событий: A – за год откажет ровно один узел; B – за год откажет хотя бы один узел; C – за год откажут не менее двух узлов. 3.5.27. Испытуемому задано пять вопросов, к каждому их которых прилагается по три ответа. Испытуемый выбирает ответы наугад. Найти вероятности следующих событий: A – дано четыре верных ответа; B – дан хотя бы один верный ответ. 3.5.28. Вероятность попадания торпеды в корабль равна 0,3. Сколько нужно выпустить торпед, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была больше 0,9. 3.5.29. Вероятность того, что изделие при транспортировке повредится, равна 0,0005. С завода отправлено четыре тысячи изделий. Найти вероятность следующего события A: в пути повредится более двух изделий. 3.5.30. Вероятность события A в одном опыте равна 1/5. Пусть k – число появлений события A в ста независимых опытов. Приближенно найти вероятность следующего события A: 8 = k= 32. 3.5.31. Восемьдесят процентов приборов после сборки нуждаются в регулировке. За смену собрали 400 приборов. Приближенно найти вероятности того, что нужно отрегулировать: (1) не менее 310 приборов; (2) не более 350 приборов; (3) от 304 до 336 приборов. 3.5.32. Вероятность рождения мальчика приближенно равна 0,51. Приближенно найти вероятность того, что среди 400 новорожденных доля мальчиков отличается от 0,51 не более чем на 0,05.
3.6. Закон распределения, функция распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины (ДСВ). Законы распределения: биноминальный, Пуассона. 3.6.1. Дан закон распределения ДСВ Х: хi -1 0 2 рi 0,2 р 0,3
39
Найти: а) вероятность р; б) Р (Х ≤ 0); в) Р(-1<X<3); г) P(-2 ≤ X<0); д) P(X>-1); е) функцию распределения F(x). Построить график функции распределения и полигон. Вычислить М [Х] и D[Х]. 3.6.2. Дан закон распределения ДСВ Х: хi 1 2 3 5 рi 0,2 0,1 0,4 0,3
Найти: а) Р (Х>2); б) Р(1,5 ≤ Χ ≤ 3,5); в) Р (Х<4); г) Р(2 ≤ Х<5); д) функцию распределения; е) M[Х]; ж) D[Х]. Построить график функции распределения и полигон. 3.6.3. Дан закон распределения ДСВ Х: хi 0 2 3 рi р1 р2 ¼
Найти р1 и р2, если М [Х]=1. Найти: а) P(-1<X<3); б) P(0<X ≤ 3); в) P(2 ≤ X<4); г) D[Х]. Построить график функции распределения. 3.6.4. Выполнить задания предыдущей задачи, если закон распределения задан таблицей: 1 2 3 хi рi р1 р2 1/4 и М [Х]=7/4. 3.6.5. Найти: а) закон распределения; б)М[Х]; в) D [Х]; г) P (1<X<2); д) Р(X ≤ 1,5), если функция распределения случайной величины Х равна
0, если х ≤ 0, 3/5, если 0<x ≤ 1, F (x)= 4/5, если 1<x ≤ 1,5 14/15, если 1,5<x ≤ 3, 1, если х>3 3.6.6. Найти: а) закон распределения; б) M[Х]; в) D[Х]; г) P(|X| ≤ 1); д) P(0<X ≤ 2), если функция распределения случайной величины Х равна
F (x)=
0, если х ≤ - 2, 1/3, если – 2<x ≤ 0, 5/6, если 0<x ≤ 1, 11/12, если 1<x ≤ 2, 1, если x>2
3.6.7. Студент знает 10 из 15 экзаменационных вопросов. Ему задают два вопроса, случайным образом выбранные из списка. Случайная величина Х – число вопросов, на которые ответил студент. Найти закон распределения данной случайной величины, М [Х], D[Х]. 3.6.8. В лотерее на каждые 100 билетов один выигрывает 500 рублей, два – по 300 рублей, три – по 100. Построить закон и функцию распределения выигрыша владельца 40
одного билета, если билет стоит 50 рублей. Найти математическое ожидание выигрыша. 3.6.9. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка – 0,7, для второго стрелка – 0,8. Случайная величина Х – суммарное число попаданий в мишень в данном эксперименте. Найти закон распределения данной случайной величины, M[Х], D[Х]. 3.6.10. Бросают четыре монеты. Найти: а) закон и функцию распределения числа выпавших гербов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 3.6.11. В среднем около 20% клиентов, обратившихся в фирму «Турсервис», оказываются недовольными уровнем обслуживания в этой фирме. Найти: а) закон и функцию распределения числа недовольных среди трех случайным образом выбранных клиентов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 3.6.12. Три читателя библиотеки взяли по экземпляру одной и той же книги. Раскрыв наугад книгу, они ищут на этой странице опечатку. Вероятность найти опечатку на одной странице равна 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию числа обнаруженных страниц с опечатками и вероятность того, что это число не больше 1. 3.6.13. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимается шар, записывается его цвет и шар возвращается обратно. Опыт повторяется 5 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений белого шара, а также вероятность того, что это число будет не меньше 2. 3.6.14. Цех, выпускающий электробритвы, дает в среднем 10% брака. Найти математическое ожидание и дисперсию количества бракованных экземпляров среди 30 наугад выбранных бритв. 3.6.15. В условиях задачи 3.5.20 найти: а) математическое ожидание числа страховок, выплаченных компанией за год; б) среднюю годовую прибыль страховой компании. 3.6.16. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятность того, что: а) за две секунды на АТС поступит менее 2 вызовов; б) за одну секунду на АТС поступит ровно три вызова; в) за три секунды на АТС поступит не менее трех вызовов. 3.6.17. В тесто кладется изюм из расчета три изюминки на булку. Найти вероятность того, что в купленной булке: а) нет ни одной изюминки; б) больше трех изюминок; в) ровно четыре изюминки. Сколько изюма надо класть в тесто, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булке была не меньше 0,99? 3.6.18. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа. 3.6.19. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,95.
41
3.6.20. За час в базу данных поступает в среднем 120 запросов. Найти вероятность следующего события A: за данную минуту поступит четыре запрос. 3.6.21. Данный наборщих в среднем делает одну ошибку на две страницы текста. В набранной книге взяли наугад страницу. Найти вероятности следующих событий: A – на странице нет опечаток; B – на странице больше одной опечатки. 3.6.22. В тесто положили изюм из расчета по пять изюмин на одну булку и хорошо перемешали тесто. Взяли наугад булку. Найти вероятность следующего события A: во взятой наугад одной булке есть хотя бы одна изюмина. 3.6.23. Монета подбрасывается 5 раз, X – дискретная случайная величина, равная разности между числом выпавших орлов и числом выпавших решек. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X). 3.6.24. На связке пять разных ключей, ровно один из которых подходит к замку. Некто по очереди вставляет ключи в замок до тех пор, пока не откроет дверь (не подошедшие ключи откладываются в сторону). Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу попыток. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X). 3.6.25. Среди десяти шаров имеется три черных. Наудачу выбрано два шара. Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу черных шаров среди двух выбраных. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X). 3.6.26. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p. Стреляют до первого попадания в цель. Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу произведенных выстрелов. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).
3.7. Плотность распределения, функция распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины (НВС). Нормальное распределение. 3.7.1. Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
Сх2, если - 1 ≤ х ≤ 1, f (x)= 0, если |x|>1. Найти: а) константу С; б) Р (Х ∈ [-2;0]); в) M[Х]; г) D[Х]; д) функцию распределения F(x). 3.7.2. Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид:
0, если х∉ [0; π ], f (x)=
Csin x, если х ∈ [0; π ].
Найти: а) константу С; б) Р (Х ∈ [ π /3; 5 π /4]); в) M[Х]; г) функцию распределения F(x).
42
3.7.3. Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид: 0, если x<5, f (x)= C/x5, если х ≥ 5.
Найти: а) константу С; б) M[Х]; в) D[Х]; г) P(2<Х<10); д) функцию распределения F(x). 3.7.4. Плотность распределения вероятностей НСВ Х имеет вид: 0, если x<1, f (x)= C e-2x, если х ≥ 1.
Найти: а) константу С; б) P (|X| ≤ 2); в) функцию распределения F(x). 3.7.5. Функция распределения НСВ Х имеет вид:
1)
2)
0, если x<2, F (x)= (x – 2)2, если 2 ≤ х ≤ 3 1, если x>3 ⎧0, если х < 2, ⎪ 3 ⎪ x + 2x F ( x) = ⎨ , если 0 ≤ х ≤ 1 3 ⎪ ⎪⎩1, если x > 1.
Найти: а) P (0,5 ≤ X ≤ 2,5); б) M[X]; в) D[X]. 3.7.6. Функция распределения НСВ Х имеет вид:
⎧0, если х < 10, ⎪ F ( x) = ⎨ 1000 ⎪⎩1 − x 3 , если х ≥ 10. Найти: а) Р(5 ≤ Х<15); б) M[X]; в) D[X]. 3.7.7. Функция распределения НСВ Х имеет вид: 0, если x<0, F (x)= 1 – e-3x, если х ≥ 0
Найти а) плотность распределения f(x); б) Р(1 ≤ Х<2). 3.7.8. Автобусы идут с интервалом в 5 минут. Считая, что случайная величина Х – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и дисперсию времени ожидания.
43
3.7.9. Время ожидания у бензоколонки АЗС является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону со средним временем ожидания, равным 6 минутам. Найти: а) Р(3 ≤ Х<9); б) Р (Х ≥ 12). 3.7.10. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами m=3, σ =5. Найти Р(-2 ≤ Х<13). 3.7.11. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m=1, σ =2. Найти Р(3 ≤ Х<7). 3.7.12. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид: 1)
f (x)=
1 3 2π
e
−
( x−2)2 18
−
( x − 3) 2 50
2) f (x)=
1
e 5 2π Найти M[X], D[X], P(-7 ≤ X<8). 3.7.13. Длина детали, изготавливаемой на автоматическом станке, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами m=20, σ =0,2. Найти вероятность того, что длина детали будет находиться в интервале (19,7; 20,3). Какую точность изготовления можно гарантировать с вероятностью 0,9? 3.7.14. Производится измерение без систематических ошибок диаметра вала. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному распределению со среднеквадратическим отклонением 10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15мм. 3.7.15. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ =20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г. 3.7.16. Весы работают с распределенной нормально ошибкой, имеющей среднее значение 10кг и среднеквадратическое отклонение 5кг. Найти вероятность того, что ошибка превысит 15кг. 3.7.17. Изделие, изготавливаемое автоматом, считается годным, если отклонение его контролируемого размера от проектного не превышает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ =5мм и средним m=0. Сколько процентов годных изделий в среднем изготавливает автомат? 3.7.18. Завод изготавливает шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d0=5мм. Фактический диаметр – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним d0 и среднеквадратическим отклонением σ = 0,05мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на 0,1мм. Определить, какой процент шариков будет в среднем отбраковываться. 44
3.7.19. Измеряемая случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m=10, σ =5. Найти симметричный относительно m интервал, в который измеренное значение попадает с вероятностью: а) 0,9974; б) 0,9544; в) 0,5. 3.7.20. В условиях задачи 3.7.18 найти симметричный относительно d0 интервал, в котором с вероятностью 0,9974 будут заключены диаметры изготавливаемых шариков. 3.7.21. В нормально распределенной совокупности 15% значений х меньше 12 и 40% значений х больше 16,2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения. 3.7.22. Средняя масса выпекаемых в кондитерском цехе тортов «Прага» равна 1,06кг. Известно, что 5% тортов имеют массу, меньшую 1кг. Каков процент тортов, масса которых не менее 940г? 3.7.23. Масса батона является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 500г и среднеквадратическим отклонением 8г. Найти вероятность того, что из трех батонов два будут иметь массу меньше 490г. 3.7.24. Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения F(x)=0,5+(arctg x)/π. Для X найти функцию плотности вероятности f(x) и вероятность P(0<X<1). Обладает ли X математическим ожиданием? 3.7.25. Пусть X – непрерывная случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 20 и средним квадратическим отклонением 60. Найти вероятность того, что |X|<100. 3.7.26. Пусть X – непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром λ. Для случая M(X) = 0,5 найти вероятность P(1<X<2). 3.7.27. Пусть X – непрерывная случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [a,b]. Для X найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). 3.7.28. Поезда метро идут через данную станцию с интервалом две минуты. Пассажир приходит на станцию в случайный момент времени. Пусть X – непрерывная случайная величина, равная времени ожидания поезда пассажиром, пришедшим на станцию в случайный момент времени. Для X найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). 3.7.29. Поезда метро идут через данную станцию с интервалом две минуты. Пассажиры приходят на станцию независимо друг от друга. В данный поезд село 75 пассажиров. Найти приближенно вероятность того, что суммарное время ожидания пассажиров превосходит один час. 3.7.30. Вероятности попадания стрелка в десятку, девятку, восьмерку и семерку равны соответственно 0,4; 0,3; 0,2 и 0,1. Приближенно найти вероятность следующего события A: при 25 выстрелах стрелок наберет от 220 до 240 очков (из 250 возможных). 3.8. Законы распределения и числовые характеристики случайных векторов. 3.8.1. Дан закон распределения случайного вектора (X,Y) дискретного типа: yj 45
xi
0 1 2 -1 0,1 0,05 0,05 1 0,35 0,25 0,2 а) Найти: Р (Х= -1, Y=1), P(X=1, Y>0), P(X ≥ Y), P(XY ≥ 0). б) Найти безусловные законы распределения каждой из компонент случайного вектора (X,Y). в) Выяснить, зависимы или нет случайные величины X и Y. г) Построить условный закон распределения случайной величины Y при условии Х=1 и найти условное математическое ожидание M[Y/X=1]. д) Найти математическое ожидание случайного вектора (mx, my), дисперсии DX, DY каждой компоненты, ковариацию KXY и коэффициент корреляции ρ XY. 3.8.2. Дан закон распределения случайного вектора (X,Y): yj 0 1 xi -1 0,3 0,12 0 p 0,05 1 0,35 0,03 Найти: р, Р (Х=0, Y=0), P(X ≠ Y), P(X ≤ 0, Y=1). Выполнить задания б) – д) из предыдущей задачи для данного случайного вектора. 3.8.3. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – количество выпадений нечетного числа очков, Y – количество выпадений единицы. Построить закон распределения случайного вектора (X,Y). Найти Р(X ≤ Y). Выполнить задания б) – д) из задачи 3.8.1. 3.8.4. Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: Х – индикатор четного числа выпавших очков (Х=1, если выпало четное число, и Х=0 в остальных случаях), Y – индикатор числа очков, кратного трем (Y=1, если выпало число, кратное трем, и Y=0 в противном случае). Построить закон распределения случайного вектора (X,Y) и безусловные законы распределения компонент. Зависимы или нет случайные величины Х и Y? Вычислить mX, mY, DX, DY, ρ XY. 3.8.5. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Случайные величины: Х – число промахов, Y – индикатор попадания при первом выстреле (Y=1, если при первом выстреле было попадание в мишень, и Y=0 в остальных случаях). Построить закон распределения случайного вектора (X,Y) и безусловные законы распределения компонент. Вычислить mX, mY, DX, DY, ρ XY. Зависимы или нет случайные величины Х и Y? 3.8.6. Производится два независимых выстрела по цели с вероятностью попадания в цель, равной 0,6 при первом выстреле и 0,8 при втором. Случайные величины: Х число попаданий при первом выстреле, Y – число попаданий при втором выстреле. Построить закон распределения случайного вектора (X,Y). 3.8.7. Из колоды в 36 карт наугад достают одну карту. Случайные величины: а) Х – число вынутых тузов, Y – число вынутых крестовых карт; б) Х – число вынутых тузов, Y – число вынутых карт-картинок. Построить закон распределения случайного вектора (X,Y). Найти коэффициент корреляции ρ XY. Выяснить, зависимы Х и Y или нет.
46
3.8.8. Дан закон распределения случайного вектора (X,Y) и безусловные законы распределения его компонент: yj xi 0 1 3 P(X=xi) 0 0,1 0,15 0,3 1 0,3 P(Y=yj) 0,25 Заполнить пустые клетки в таблице. Найти mX, mY, KXY. Зависимы или нет Х и Y?
ОТВЕТЫ Раздел I. 1.1. 1.1.1. а) (−1; 0; 1);
б) (1; −2; 1);
д) (6; −3; 1);
е) (24; 10; 0).
1.1.2. а) (7; −15,5; −10,5);
г) (− 5; − 1 2 3 ;
1
3
в) (−3; −1; 1);
б) (−1,5; 2,5; 2,5);
в)
г) (−5; −10; 2);
(2 3 ; − 2 3 ; 1 3 ) ;
).
1.1.3. а) (− t + 3; 2t + 1; t ) ;
б) (−
в) (−2a + b; a − b+1; a; b);
г) система несовместна.
1.1.4. а) (2t + 1; − 6t ; t ) ;
б) (3; 2t + 1; t);
в) система несовместна;
г) система несовместна.
1
2
t−
1
2
;
1
2
t−
1
2
; t);
1.1.5. а) общее решение: (− a + 2b +1; a + b +1; a; b); частное решение: (1; 1; 0; 0);
б) общее решение: (−2a +2b − 1; a + 2b + 2; a; b); частное решение: (−1; 2; 0; 0); в) общее решение: (2a − 2b − 1; − a − частное решение: (−1; −1; 0; 0);
1
b − 1; a; b ) ;
2
г) общее решение: (0; 3t + 3 2 ; t − 1 2 ; t ) ; частное решение: (0; 3 2 ; − 1 2 ; 0 ) ; д) общее решение: ( 1 2 t + 3 8 ; t ; − частное решение: ( 3 8 ; 0; − 1 4 ;
1
4
1
2
;
);
1
2
);
е) система несовместна. 1.1.6. а) (− z −
в) (−
1
2
1
2
t+
1
2
; − z + t + 2; z; t ) ;
a − b − 1; 2a + b + 2; a; b ) ;
( 1 2 z − t + 1 2 ; − 1 2 z − 1 2 t − 1; z; t ) ; г) ( 1 2 a − 1 2 b + 1; a + 2b − 2; a; b ) ; б)
47
д) (−
u+v+
1
ж) (− 6 7 + 8 7 t ;
1
1
2
2 7
; u + v − 2; u; v ) ;
е) (2u − 2v − 1; − u −
− 13 7 t ; 15 7 − 6 7 t ; t ) ;
з) (19 − 2a − 3b; a; 13; b; − 34 ) ;
и) система несовместна;
1
2
v − 1; u; v ) ;
к) система несовместна.
1.1.7. а) (0; 1; 1; 0), (−1; −1; 0; 1);
б) (3; 2; 1; 0), (1; −1; 0; 1);
в) (1; −½; 1; 0; 0), (−1; 1; 0; 1; 0), (−1; −1; 0; 0; 1); г) (−2; −2; 1; 0; 0), (−2; 2; 0; 1; 0), (−2; −1; 0; 0; 1). 1.1.8. а) (2; −1); б) (4; −2; 1);
в) (2 2 3 ; 2; −3 2 3 ) г) (2t − 1; − t − ½; t).
1.2. 1.2.1. а) (0; 1; −1);
б) (2; 2; 0; 4);
д) (2; −8; 2);
е) (−
1.2.2. а) 2;
б) 2;
в) 2;
г) 3;
д) 2;
е) 3.
1.2.3. а) 2;
б) 3;
в) 2;
г) 2;
д) 3;
е) 3.
1.2.4. а) да;
б) нет;
1
3
;−
1
3
;
в) (2; 11; 8; −35); 1
3
г) (0; 0; 0);
; 0) .
в) да; г) нет; д) нет; е) да.
1.2.5. а) a 3 = −2a1 − a 2 ;
{a1 , a 2 } − база;
б) a 3 = −a1 + a 2 ; {a1 , a 2 } − база;
в) a 3 = a1 − a 2 ; a 4 = − 1 2 a1 + 2a 2 ; {a1 , a 2 } − база; г) a 3 = − 1 2 a1 − a 2 ; a 4 = − 1 2 a1 + a 2 ; {a1 , a 2 } − база; д) a 3 = −a1 − 2a 2 ;
a 4 = −a1 + 2a 2 ; {a1 , a 2 } − база;
е) a 3 = −a1 − 1 2 a 2 ; a 4 = −2a1 +
1
2
a 2 ; {a1 , a 2 } − база;
ж) a 3 = −a1 − 2a 2 ; a 5 = 2a1 − 2a 2 + a 4 ; {a1 , a 2 ; a 4 } − база; з) a 3 = −a1 − 1 2 a 2 ; a 4 = a1 − a 2 ; a 5 = 2a1 +
1
2
a 2 ; {a1 , a 2 } − база.
1.2.6. а) 2;
б) 2;
в) 2;
г) 1;
д) 2;
е) 3;
ж) 2; з) 2; и) 2;
1.2.7. а) 2;
б) 2;
в) 3;
г) 2;
д) 3;
е) 4;
ж) 4.
1.2.8. а) 4;
б) 9;
в) –½; г) ½; д) 0;
е) 0. 48
к) 4.
1.2.9. а) 1;
б) –7;
1.2.10. а) да;
б) да; в) да; г) нет; д) да; е) нет.
1.2.11. а) 2 ; б)
в) 8; г) 100.
5 ; в) 5; г) 3; д) 3; е)
и) 5; к)
5.
1.2.12. а)0; б)
24 25
; в) 0; г) –1; д) 0; е)
5
3 ; ж) 3; з) 1; и) 1; к)
6
; ж)
1 2 3
; з)
3
7
7;
.
1.3. 1.3.1.
⎛ 2 − 2⎞ ⎟⎟ ; а) ⎜⎜ ⎝ 23 10 ⎠ 1.3.2.
⎛ 2 −1 8⎞ ⎜ ⎟ в) ⎜ − 7 5 0⎟ . ⎜ 14 1 7 ⎟⎠ ⎝ 4 5 29 ⎞ ⎛ 18 ⎟ ⎜ ⎛ 1 16 13 ⎞ ⎛ 5 − 5 0⎞ ⎟; ⎟⎟ ; в ) ⎜ − 23 − 3 1 2 ⎟ ; г ) ⎜⎜ б ) ⎜⎜ 10 19 20 ⎟⎠ 5 5⎠ ⎝ ⎝10 ⎟ ⎜ 7 1 0 1⎠ ⎝ 8 − 12 ⎞ 46 ⎞ ⎛ 0 ⎛ 26 − 6 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8 ⎟ ; ж) ⎜ 3 − 2 10 ⎟ . − 5 ⎟ ; е) ⎜ 20 ⎜− 3 ⎜− 7 22 ⎟⎠ 6 − 11 ⎟⎠ − 8 ⎟⎠ ⎝ ⎝
⎛− 7 6 ⎞ ⎟⎟ ; а ) ⎜⎜ ⎝ − 19 27 ⎠
⎛ − 1 − 23 ⎜ д) ⎜ 8 − 4 ⎜ 4 6 ⎝
22 ⎞ ⎛− 1 7 ⎟⎟ ; б ) ⎜⎜ ⎝ 12 3 − 10 ⎠
1.3.3. ⎛ 8 11 22 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 11 9 ⎞ ⎟⎟ , ΒΑ = ⎜ 5 0 0 ⎟ ; б ) а ) ΑΒ = ⎜⎜ ⎝18 7 ⎠ ⎜ 5 5 10 ⎟ ⎝ ⎠
3 13 ⎞ ⎛ 7 13 ⎜ ⎟ 6 1 8⎟ ⎜ 4 , ΑΒ = ⎜ 1 1 − 3⎟ −1 ⎜ ⎟ ⎜ − 3 − 7 − 2 − 5⎟ ⎝ ⎠
⎛ 0 8⎞ ⎟⎟ . ΒΑ = ⎜⎜ ⎝ − 3 9⎠ 1⎞ ⎛ 0 2 ⎜ ⎟ 1.3.4. в ) ⎜ − 1 1 − 1⎟ . ⎜ − 1 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ 0⎞ ⎛2 1 1⎞ ⎛− 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 5 8⎞ ⎛14 2 ⎞ ⎟⎟ ; б) ⎜ 1 2 1 ⎟ ; в) ⎜ 6 1 ⎟⎟ ; 1.3.5. а) ⎜⎜ 4 ⎟ . 1.3.6. а) ⎜⎜ 8 13 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎜ 1 1 2⎟ ⎜ 6 3 − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7⎞ ⎛ 5 ⎟⎟ ; а ) ⎜⎜ 10 5 − − ⎠ ⎝
21 ⎞ ⎛ 14 ⎟⎟ ; б ) ⎜⎜ 7 14 − − ⎠ ⎝
49
3⎞ ⎛ 36 30 12 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 28 31⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛15 9 ⎞ ⎛10 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎟ . 1.3.7. а) ⎜⎜ ⎟⎟ ; б) ⎜ − 5 − 3 ⎟ ; в) ⎜16 9 ⎟ ; б) ⎜ 30 41 14 ⎟ ; в) ⎜⎜ ⎜ 4 7⎟ ⎝ 9 21⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎜ 12 14 5 ⎟ ⎜−1 3 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛− 5 − 4⎞ ⎜ ⎟ 2⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛ − 1 0⎞ ⎛1 2⎞ ⎛−1 ⎟⎟ , Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ; б) X = ⎜⎜ ⎟⎟ , Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ; г) ⎜ − 8 5 ⎟ . 1.3.8. а) X = ⎜⎜ 1 1 1 1 3 4 3 4 − ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 6 7 ⎟⎠ ⎝ 3⎞ ⎛−1 ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 3 1 2⎞ ⎛2 −1 1 ⎞ ⎟⎟ ; б) ⎜⎜ ⎟; ⎟⎟ . 1.3.10. а) ⎜⎜ ⎟⎟ , Y = ⎜⎜ в) X = ⎜⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ 1 − 2⎠ ⎝1 ⎝ − 1 0 2⎠ ⎝ 0 1 2⎠
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ sin α ⎞ ⎟⎟ ; е) ⎜ 0 1 0 ⎟ ; cos α ⎠ ⎜ − 3 0 1⎟ ⎝ ⎠ 3 1 1 1 0 0⎞ 0⎞ ⎛ 6 ⎛ 7 −3 0⎞ ⎛ 2 0 ⎛ 2 −1 2⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ж) ⎜ 0 − 5 2 ⎟ ; з) ⎜ − 2 1 0 ⎟ ; и) ⎜ − 3 2 1 − 1 2 ⎟ ; к) ⎜ − 13 4 2 − 14 ⎟ ; 1 ⎟ ⎜0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 ⎜ 2 −1 3 − 1⎟⎠ 0 1 7 ⎟⎠ 0 ⎟⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 0,2 − 1,8 ⎞ ⎛ 0,2 ⎛ − 1 1 − 2⎞ ⎛ 3 − 1 − 1⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ л) ⎜ 0 0 1 ⎟ . 1.3.12. а) ⎜ − 2 1 0 ⎟ ; б) ⎜ − 2 2 1⎟ ; ⎜ − 0,1 0,4 − 2,1⎟ ⎜− 4 2 −1⎟ ⎜− 2 1 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 1 0⎞ ⎛ 0 −1 ⎟ ⎜ 6 − 1⎞ 2 2⎞ ⎛− 7 ⎛1 ⎟ ⎟ 1 − 1 0⎟ 1⎜ 1⎜ ⎜ 1 в) ⎜ 5 − 3 − 1⎟ ; г) ⎜ 2 1 − 2 ⎟ ; д) ⎜ ⎟; 1 0 1 0 − 3⎜ 9 ⎜2 − 2 ⎟ ⎜ 3 3 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ ⎝− 6 ⎝ ⎟ ⎜−1 − 2 1 1 ⎠ ⎝ 1 1 − 1⎞ 0 0,5 0 ⎞ 5 − 2 −1⎞ ⎛−1 ⎛ 1 ⎛0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0⎟ 1 0,5 0 ⎟ 0 0 0⎟ 1⎜ 2 −2 ⎜ 1 ⎜1 ; з) ⎜ . е) ⎜ ; ж) ⎜ 2 0⎟ 0 0 0 −1 1 0⎟ − 0,5 0 ⎟ 2 −1 − 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ − 0,4 − 0,2 − 0,2 0,2 ⎟ ⎜0 − 3 1 1 1 − 1 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
3⎞ − 3⎞ ⎛− 5 ⎛ 1 ⎛ cos α ⎟⎟ ; г) ⎜⎜ ⎟⎟ ; д) ⎜⎜ в) ⎜⎜ 2⎠ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ − 0,5 ⎝ − sin α
1.3.14. а) С; б) С-1; в) А; г) В; д) АТ; е) А. 1.3.15. а) х1= - 5 , х2=3; г) х1=2, х2=0, х3=1; д) х1=1, х2=2, б) х1=7, х2= - 4; в) х1=1, х2= - 1, х3=1; х3= - 3, х4=0; е) х1=1, х2=1, х3=1, х4=1. 1.3.16. а) х1=5, х2= - 3; б) х1=2, х2=1; в) г) х1=0, х2=1, х3= - 1; д) х1= - 2, х2=1, х3=1; е) х1=5, х2= - 1, х3= - 2; х1= - 1, х2=2; ж) х1=1, х2=2, х3=3, х4=4; з) х1=1, х2= - 1, х3=0, х4=1. 1.3.17. ⎛0 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 − 1⎞ 1⎞ ⎛1 − 1⎞ ⎛0 1⎞ ⎛1 ⎛1 − 1 ⎞ ⎛0 ⎟⎟ ; б) ⎜⎜ ⎟⎟ ; в) ⎜⎜ ⎟⎟ ; г) ⎜⎜ ⎟⎟ ; д) ⎜⎜ ⎟⎟ ; е) ⎜1 − 1⎟ ; ж) а) ⎜⎜ 1⎠ ⎝1 1 ⎠ ⎝1 2⎠ ⎝2 −1 ⎝1 2 ⎠ ⎝ 1 − 1⎠ ⎜1 0 ⎟⎠ ⎝
⎛1 ⎜⎜ ⎝1
⎛ 2 1⎞ ⎜ ⎟ 1⎞ ⎛1 0 1⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎟⎟ . ⎟⎟ ; з) ⎜⎜ ⎟⎟ ; и) ⎜ − 1 1⎟ ; к) ⎜⎜ 1 2 1 − −1⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 2 1⎠ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ 1.4. 1.4.1. а)1; б)3; в) 0; г) –1; д) –500; е)0; ж) 121 ; з) 0; и) –6; к) 4ab.
1.4.2. 50
а) –9; б) –1; в) 0; г) 1; д) 0; е) 12; ж) 0; з) –6; и) –6; к) 6000; л) –1. 1.4.3. а) 0; б) –52; в) 4; г) 17; д) 16; е) 0; ж) –4; з) –40; и) 18. 1.4.4. а) 24; б) –4; в) 0; г) 108; д) 108; е) 0; ж) –3; з) 8; и) –48; к) 100. 1.4.5. а) (1; 0); б) (–4; 3); в) (32;20); г)
ж) (–1; –1); з) (2; –2); и)
(8 5 ; 7 5 ) ;
(5 4 ; 3 4 ) ; к)
д) (0; 0); е) (3; –1);
(1928 ; − 1923 ) .
1.4.6. а) (1; 1; 1); б) (1; 1; 1); в) (–1; 2; 0); г) (− 4;
е) (2; 2; 1); ж) (1; 2; 3); з)
( 13 ; 2 3 ; − 13 ) ;
и)
7
4
; − 5 4 ) ; д) (5; –4; 1);
( 1 4 ; 3 4 ; − 1) ;
к) (3;
1
3
;
5
3
).
Раздел II. 2.1 2.1.1. 5 3 . 2.1.2. 6 2 . 2.1.3. –3. 2.1.4. 26 – 8 3 . 2.1.5. 2 – 22. 2.1.6. –42. 2.1.7. –1. 2.1.8. –4. 2.1.9. –94. 2.1.10. –262. 2.1.11. 1/2. 2.1.12. 2/7. 2.1.13. 2 /2. 2.1.14. –4/9. 2.1.15. {20;4;28}. 2.1.16. {–19;24;10}. 2.1.17. 25/2;5. 2.1.18. 14;28/ 89 . 2.1.19. Да. 2.1.20. Нет. 2.1.21. Да. 2.1.22. Нет. 2.1.23. 2;12/25. 2.1.24. 8/3;4/7. 2.2 2.2.1. 2x-3y+4=0. 2.2.2. 3x+y-10=0. 2.2.3. 3x-y-1=0. 2.2.4. x-y+1=0. 2.2.5. x+1=0. 2.2.6. x+y-3=0. 2.2.7. x-y-5=0. 2.2.8. 5x+2y+1=0. 2.2.9. 3x+y+7=0. 2.2.10. 3x+2y+3=0. 2.2.11. 3x-y-3=0. 2.2.12. arctg ½. 2.2.13. -π/3. 2.2.14. (-1;4). 2.2.15. (-8;-2). 2.2.16. (14;-15). 2.2.17. (14/3;3). 2.2.18. x+3y+1=0. 2.2.19. 2x-3y-12=0. 2.2.20. x+2y+5=0. 2.2.21. Нет. 2.2.22. Да. 2.2.23. Да. 2.2.24. Нет. 2.2.25. Да. 2.2.26. Нет. 2.2.27. Да. 2.2.28. Нет. 2.2.29. Да. 2.2.30. 2/ 5 . 2.2.31. 3/2. 2.2.32. 3x-2y+8=0. 2.2.33. x-5y+10=0. 2.2.34. 2x+3y-4=0. 2.2.35. x-y-4=0. 2.2.36. 3x+2y-5 = 0. 2.2.37. 4x+3y-2 = 0. 2.2.38. x- 3 y=0. 2.3 2.3.1. 3x-4y-7z=0. 2.3.2.3x+2y+z-7=0. 2.3.3.x-2y-3z=0. 2.3.4.x+y-5=0. 2.3.5.3x+4y-2z-29=0. 2.3.6. 2x-3y+z-11=0. 2.3.7. x-2y-1=0. 2.3.8. 3x-y+2z-9=0. 2.3.9. 7 2 /11. 2.3.10. 2 22 /11. 2.3.11. π/3. 2.3.12. 0. 2.3.13. arccos(1/ 12 ). 2.3.14. Да. 2.3.15. Нет. 2.3.16. Да. 2.3.17. Нет. 2.3.18. a = 3, b= -2/3. 2.3.19. a = -10/3, b = -6/5. 2.3.20. 19. 2.3.21. 1/7. 2.3.22. x-2y+z+4=0. 2.3.23. 7x-8y-3z+10=0. 2.3.24. x-1=0. 2.3.25. 4x+3y+6z-5=0. 2.3.26. 15x-7y-5z=0. 2.3.27. 3x+z-2=0. 2.3.28. 3x+2y-2z+7=0. 2.3.29. 29/ 75 . 2.3.30. 1/ 3 . 2.3.31. 2x-2y+z+15=0, h = 7. 2.3.32. 3x+2y-2z+7=0, h = 4/ 17 . 2.4
x −1 y−2 z y−2 z +1 x −1 = = ; x = 3t+1, y = 2t+2, z = t. 2.4.2. = ; x = -t+1, = 3 2 1 −1 2 3 y−2 x−3 x −1 z = = ; x = 3t+1, y = 2t+2, z = t. 2.4.4. = y = 2t+2, z = 3t-1. 2.4.3. 2 −2 −3 2 2.4.1.
51
x −1 y+3 y+2 z −1 z−2 = ; x = 2t+3, y = 2t-2, z = t+1. 2.4.5. = = ; x = 2t+1, y = -5t2 1 2 −5 −2 x+3 y−2 x −1 z−4 y+3 = = ; x = t-3, y = 2, z = -2t+4. 2.4.7. = = 3, z = -2t+2. 2.4.6. 1 0 −2 1 3 y −1 z−2 z−2 x ; x = t+1, y = 3t-3, z = 2t+2. 2.4.8. = = ; x = t, y = 3t+1, z = 2t+2. 2.4.9. 2 1 3 2 x + 13 / 2 x + 13 / 6 z + 1 x y z−2 = = ; x = -t, y = t, z = t+2. 2.4.10. = = ; x = -9t-13/2, y −1 1 1 −9 1 6 x−3 y+2 z −1 x −1 = = ; x = 2t+3, y = -3t-2, z = t+1. 2.4.12. = = t-13/6, z = 6t-1. 2.4.11. 2 −3 1 1 y+3 z−2 = ; x = t+1, y = 2t-3, z = -t+2. 2.4.13. Да. 2.4.14. Нет. 2.4.15. Да. 2.4.16. 2 −1 Нет. 2.4.17. x +1 y − 2 z −1 (-1;3;5). 2.4.18. (2;3;-4). 2.4.19. = = ; x = -3t-1, y = 2t+2, z = 2t+1. 2.4.20. −3 2 2 x−2 y+2 z −3 = = ; x = t+2, y = t-2, z = -t+3. 2.4.21. Да. 2.4.22. Да. 2.4.23. Да. 2.4.24. 1 1 −1 Да. 2.4.25. Да. 2.4.26. Да. =
Раздел III. 3.1 6 3.1.1. 1140. 3.1.2. c 49 3.1.3. 166167000. 3.1.4. 210. 3.1.5. 840. = 13 983 816 . 3.1.6. 10. 3.1.7. 15. 3.1.8. 84. 3.1.9. а) 7140; б) 595; в) 4; г) 84; д) 816. 3.1.10. 504 числа; 648 чисел. 3.1.11. 1320 способов; 110 способов. 10 10 3.1.12. 1680; 336. 3.1.13. 2520. а) 360; б) 60. 3.1.14. 80. 3.1.15. а) A100 ; б) c100 . 3.1.16. 720; 120. 3.1.17. 120. а) 24; б) 48. 3.1.18. 60. а) 12; б) 24. 5 4 3.1.19. A20 = 1860 480 . а) 120; б) 5 A18 = 367200 . 3.1.20. A52 = 20. 3.1.21. 85=32768. 3.2 Ω = {(k , m) | k , m = 1,2,3,...,6} ; A1 = {(6,6)}; A2 = {(k , m) | k , m = 1,2,...,5} ; 3.2.1. A3 = {(6, m) | m = 1,2,...,5}U {(k ,6) | k = 1,2,...,5} ; A4 = {(k , m) | k = 3,6; m = 3,6} ; A5 = {(k , m) | k = 2,4,6; m = 1,3,5} ; A6 = {(k , k ) | k = 1,2,...,6} ; A7 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} . N (Ω) = 36 , N ( A1 ) = 1 , N ( A2 ) = 25 , N ( A3 ) = 10 , N ( A4 ) = 4 , N ( A5 ) = 9 , N ( A6 ) = 6 , N ( A7 ) = 6 . 3.2.2. Ω = {(ooo), ( poo), (opo), (oop ), (opp ), ( pop ), ( ppo), ( ppp )} ; A1 = {( poo), (opo), (oop )} ; A2 = {(ooo)}; A3 = {( poo), ( pop), ( ppo), ( ppp)} ; A4 = {(oop ), (opo), ( poo), (ooo)} . N (Ω) = 8 , N ( A1 ) = 3 , N ( A2 ) = 1 , N ( A3 ) = 4 , N ( A4 ) = 4 . 3.2.3. Ω = {(i, j , k ) | i = 1,2,3; j = 1,2,3; k = 1,2,3} ; A1 = {(i, j , k ) | i = 2,3; j = 2,3; k = 2,3}; A2 = {(i, j , k ) | {i, j , k} = {1,2,3}} ; A3 = {(i, i, i ) | i = 1,2,3}. N (Ω) = 27 , N ( A1 ) = 8 , N ( A2 ) = 6 , N ( A3 ) = 3. 3.2.5. 0,7. 3.2.6. 0,75. 3.2.7. 0,06. 3.2.8. 16 ; 13 ; 23 . 3.2.9. 25 5 1 1 1 1 P ( A1 ) = 36 , P( A2 ) = 36 , P ( A3 ) = 18 , P( A4 ) = 9 , P( A5 ) = 4 , P( A6 ) = 6 , P( A7 ) = 16 , P ( A8 ) = 94 , P( A9 ) = 11 3.2.10. a) P ( A1 ) = 83 , P ( A2 ) = 18 , P ( A3 ) = 12 , P( A4 ) = 12 ; б) 36 . 13 P ( A1 ) = 278 , P( A2 ) = 92 , P ( A3 ) = 19 . 3.2.11. а) 0,6; б) 1) 13 ; 2) 15 ; 3) 158 . 3.2.12. P ( A1 ) = 267 , 7192 21 1 P( A2 ) = 26 , P ( A3 ) = 137 . 3.2.13. P ( A1 ) = 58905 ≈ 0,000017 , P ( A2 ) = 11781 ≈ 0,61 , 52
4589 919 2 P ( A3 ) = 19 , P( A4 ) = 11781 ≈ 0,39 , P( A5 ) = 1309 ≈ 0,7 , P( A6 ) = 935 ≈ 0,002 , 8 153 992 3968 P( A7 ) = 935 ≈ 0,009 , P ( A8 ) = 385 ≈ 0,4 , P( A9 ) = 19635 ≈ 0,05 , P( A10 ) = 11781 ≈ 0,34 . 3 10 60 19 3.2.14. а) 286 ≈ 0,01 ; б) 133 ; в) 134 143 ≈ 0,94 ; г) 143 ≈ 0,07 ; д) 143 ≈ 0,42 ; е) 143 ≈ 0,13 . 229 15 48 616 2 3.2.15. 1428 ≈ 0,16 . 3.2.16. а) 17 3.2.17. а) 95 ; б) 1615 ≈ 0,38 . 19 ; б) 19 ; в) 38 .
3.2.18.
3 C 20 ⋅ C803 7505 = 156849 ≈ 0,048 . 5 C100
3.2.20. а)
1 5
3.2.24. а)
Α10 10 = 10 Α 20
г)
5 2 ( Α10 ) = 10 Α 20
; б)
126 46189
1 20
; в) 53 .
1 831402
3.2.21.
3.2.19. а) 1 120
.
≈ 0,12 ⋅ 10 −5 ; б) 1-
≈ 0,0027 ; д)
1 4
.
1 60
; б)
3.2.22.
1 5
1 120
; в)
.
2 5
; г)
1 10
3.2.23.
; д)
2 5
1 ≈ 0,13 ⋅ 10 − 6 . 5 A26
5 5 Α10 Α10 ⋅ Α15 10 ; = ≈ 0 , 999999 в) 10 Α10 Α 20 20
3.2.25. P ( A1 ) =
(15!) 2 ; 30!
.
( )
21 1292
≈ 0,016 ;
5! A10 (15!) 2 ; Ρ(Α ) = Α105 . 1 P ( A2 ) = 1525 = ≈ 0,7 ⋅ 10 −5 ; Ρ(Α 3 ) = 4 142506 30! A30 Α15 30 1 1 3.2.26. 6 . 3.2.27. 6 . 3.2.28. P(A) = 1/6, P(B) = 5/12, P(C) = 1/2, P(D) = 35/36. 3
3.2.29. P(A) = 7!/77. 3.2.30. P(A) = 24/125 =0,192, P(B) = 101/125=0,808. 3.2.31. P(A)=24/625. 3.2.32. P(A) = 12/25 = 0,48. 3.2.33. P(A) = 7/40, P(B) = 1/120, P(C) =
17/24. 3.2.34. P(A) = 0,181. 3.2.35. P(A) = 25/646 ≈ 0,0387.
3.2.36. P(A) = 16/25.
3.3. 3.3.1. Попарно несовместны события: А1 и А4, А3 и А4. Α 2 - выпавшее число четно; Α 3 - выпала единица или двойка; А1А2 – выпало число 3; А1+А2 – выпало нечетное
число или число 6; А1А3=А1, А1+А3=А3, А1А4= Ø, А1+А4 – выпало число, меньшее 4, или число 6; А1А5 – выпало число 3; А2А3 – выпало число 3 или 5; А2А5 – выпало число 3; А2+А5 – выпало число, не равное 6; А3А4 = Ø; А3+А4= Ω ; А3А5 – выпало число 3 или 4; А3+А5 – выпало число, не равное 1; А4+А5 – выпало число, не больше 4; А1+А2+А5 =Ω . 3.3.2. Попарно несовместные события: А1 и А4, А2 и А4. Α1 - бракованных калькуляторов – 4 или 5; Α 2 - число бракованных калькуляторов не равно трем; Α 4 бракованных калькуляторов - не более трех; Α 5 - все пять калькуляторов – без брака; А1А3 – бракованных калькуляторов оказалось 2 или 3; А1+А3= Ω ; А2А3=А2; А2+А3=А3; А1А5 – число бракованных калькуляторов от 1 до 3; А1+А5= Ω ; А2+А4 – есть хотя бы три бракованных калькулятора; А2А5=А2; А3А4=А4; А3+А4=А3. 3.3.3. События А1, А2, А3, А4 попарно несовместны. Кроме того, несовместны пары событий А1 и А6, А3 и А7, А4 и А7. Α 4 - обнаружены не все дефекты или дефектов не обнаружено вообще; Α 5 - дефекты не обнаружены; Α 7 - обнаружено три или четыре дефекта; А1А5=А1; А1+А5=А5; А1А6= Ø; А1+А6 – обнаружен хотя бы один дефект (событие А5); А1А7=А1; А1+А7=А7; А3А4= Ø; А3+А4 – обнаружено три или четыре дефекта; А5А7 - обнаружен один или два дефекта; А5+А7= Ω ; А6А7 – обнаружено два дефекта (событие А2); А6+А7= Ω ; А2+А3+А4 – обнаружено хотя бы два дефекта (событие А6). 3.3.4. А1+А2А3+А4. 3.3.5. (А1+А2) ⋅ A3 ⋅ (А4+А5). 3.3.6. 0,2. 53
20 1 1 1 1 3.3.9. и . 3.3.10. и . . 21 2 3 9 3 1 1 1 1 3.3.11. . 3.3.12. 3.3.13. 0,72. 3.3.14. и ≈ 0,000017 и ≈ 0,00015. 105 153 58905 6561 3.3.7.
2 1683
≈ 0,00012 . 3.3.8.
0,98. 3.3.15. 0,999. 3.3.16. 0,99999. 3.3.20. 0,52. 3.3.21. а)
3.3.17. ≈ 0,656.
3.3.18. 0,992. 3.3.19. 0,86.
1 8 2 14 2 4 ; б) ; в) ; г) . 3.3.23. а) ; б) . 3.3.22. а) 6 15 15 15 5 15
4 2 2 8 64 ; б) ; в) ; г) ; д) . 3.3.24. 0,24. 315 315 35 315 315
3.3.25. 0,21.
3.3.26. P(A) = 8/57. 3.3.27. P(A) = 1/72. 3.3.28. P(A) = 0,18. 3.3.29. P(A) = 0,944;
P(B) = 0,392; P(C) = 0,468; P(D) = 0,144, P(E)=0,856.
3.3.30. P(A) = 23/75.
3.4. 3.4.1. 0,032. 3.4.2. 0,9. 3.4.7.
4 . 11
10 3 ; . 3.4.8. 0,4. 63 5 20 3.4.14. ≈ 0,95. 21
в) ≈ 0,272.
3.4.17. а)
8 . 30 8 3.4.11. . 13
3.4.3. 0,015. 3.4.4. 0,122. 3.4.5. 3.4.9.
5 . 12
3.4.10.
3.4.15. В первой.
49 54 ; б) . 103 103
3.4.20. P(A) = 64/105.
57 . 85
3.4.6.
20 . 33
3.4.12. 0,75. 3.4.13.
3.4.16. а) ≈ 0,345; б) ≈ 0,383;
3.4.18. Гипотеза Н1. 3.4.19. P(A) = 0,122.
3.4.21. P(A) = 0,47. 3.4.22. P(A) = 5/11. 3.4.23. P(A)
= 27/28. 3.5.
5 3 57 ; б) ; в) . 3.5.2. а) 0,3087; б) ≈ 0,4694; в) ≈ 0,3371. 3.5.3. а) 0,1536; 16 32 64 б) 0,5904; в) 0,9984; г) 0,0256. 3.5.4. а) 0,0729; б) ≈ 0,0815. 3.5.5. а) 1 3.5.6. ≈ 0,1156; б) ≈ 0,9 ⋅ 10 −4 ; в) ≈ 0,1318; г) ≈ 0,0002; д) ≈ 0,0103; е) ≈ 0,1555. 4096 35 а) ; 128 247 . 3.5.7. Три телевизора. 3.5.8. ≈ 0,0257. 3.5.9. а) ≈ 0,0126; б) 256 б) ≈ 0,9983. 3.5.10. а) ≈ 0,1563; б) ≈ 0,7619. 3.5.11. а) ≈ 0,224; б) 0,5768. 3.5.1. а)
3.5.12. а) ≈ 0,1606; б) ≈ 0,8488.
3.5.13. а) ≈ 0,3481; б) ≈ 0,2385.
б) ≈ 0,4772; в) ≈ 0,8413; г) ≈ 0,8413.
≈ 0,9938.
3.5.15. а) ≈ 0,0457; б) ≈ 0,7888; в) ≈ 0,1056; г)
3.5.16. а) ≈ 0,0576; б) ≈ 0,5899; в) ≈ 0,1587.
б) ≈ 0,6826; в) 0,0228.
3.5.14.а) ≈ 0,0666 ;
3.5.17. а) 0,009;
3.5.18. а) 0,0072; б) 0,9993. 3.5.19. а) 0,0582; б) 0,9968.
3.5.20. а) ≈ 0; б) ≈ 0,9953; в) ≈ 0,5.
3.5.21. а) 0,0797; б) 0,516. 3.5.22. ≈ 0,006.
3.5.23. ≈ 536.
3.5.25. P(A) = 8/81. 3.5.26. P(A) = 0,328;
3.5.24. P(A)
54
P(B) = 0,41, P(C)=0,08. 3.5.27. P(A) = 10/243; P(B) = 211/243. 3.5.28. n= 7. 3.5.29. 2 P(A) = 1-5/e ˜ 0,31. 3.5.30. P(A) = 0,9973. 3.5.31. (1) Ф(10)+Ф(1,25)? 0,5+0,3944= 0,8944; (2) Ф(3,75)+Ф(40) = 0,4999+0,5=0,9999; (3) Ф(2)+Ф(2)= 0,9545. 3.5.32. 2Ф(2,0004) = 0,9545.
3.6. 3.6.1. а) 0,5; б) 0,7; в) 0,8; г) 0,2; д) 0,8;
е) F(x)=
0, если х ≤ -1; 0,2, если –1<x ≤ 0; 0,7, если 0<x ≤ 2; 1, если x>2.
M[X]=0,4;
D[X]=1,24.
3.6.2. а) 0,7; б) 0,5; в) 0,7; г) 0,5;
д) F(x)=
0, если х ≤ 1, 0,2, если 1<x ≤ 2, 0,3, если 2<x ≤ 3, 0,7, если 3<x ≤ 5, 1, если x>5.
е) M[X]= 3,1; ж) D[X]=2,09.
5 1 3 3 3 7 3.6.3.р1= , р2= . а) ; б) ; в) ; г) . 8 8 4 8 8 4 11 . 16 3.6.5. а) 0 1 1,5 3 xi pi 3/5 1/5 2/15 1/15 2 14 б) 0,6; в) 0,74; г) ; д) . 15 15 3.6.6. а) -2 0 1 2 xi рi 1/3 1/2 1/12 1/12 1 7 227 5 б ) − ; в) ; г ) ; д) . 6 12 144 12 3.6.7. хi 0 1 2 pi 2/21 10/21 3/7 4 26 M[X]= ; D[X]= . 3 63 3.6.8. -50 50 250 450 xi pi 0,94 0,03 0,02 0,01 M[X]=-36. 3.6.9. xi 0 1 2 pi 0,06 0,38 0,56 M[X]=1,5; D[X]=0,37.
1 1 3 1 3.6.4. р1= ; р2= . а) ; б) 1; в) ; г) 2 4 4 2
55
3.6.10. а) 0 1 2 3 4 xi pi 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 б) M[X]=2, D[X]=1. 3.6.11. a) 0 1 2 3 xi pi 0,512 0,384 0,096 0,008 б) M[X]=0,6; D[X]=0,48. 3.6.12. M[X]=0,15; D[X]=0,1425; P ( X ≤ 1) ≈ 0,9928. 3.6.13. M[X]=2; D[X]=1,2; P ( X ≥ 2) ≈ 0,663. 3.6.14. 3 и 2,7. 3.6.15. а) 60; б) 300 тыс. долларов. 3.6.16. а) ≈ 0,0916; б ) ≈ 0,1805; в ) ≈ 0,938. 3.6.17. а) ≈ 0,0498; б ) ≈ 0,3528; в ) ≈ 0,168. Надо класть 5 изюминок на булку. 3.6.18. Две опечатки с вероятностью, равной 3,38e −2,6 ≈ 0,251. 3.6.19. Три элемента. 3.6.20. P(A)=16/(4!e2) = 0,09. 3.6.21. P(A) = 0,6; P(B) = 0,1. 3.6.22. P(A) = 1-1/e5 = 0,994. 3.6.23. M(X) = 0. 3.6.24. M(X) = 3. 3.6.25. M(X) = 3/5. 3.6.26. M(X) = 1/p. 3.7.
⎧0, если х ≤ 1, ⎪ 3.7.1. а) 1,5; б) 0,5; в) 0; г) 0,6; д) F ( x) = ⎨0,5( х 3 + 1), если − 1 < x ≤ 1, 3.7.2. а) 0,5; б) 0,75; ⎪1, если х > 1. ⎩ ⎧0, если х ≤ 0, ⎪ в) ; г) F ( x) = ⎨0,5(1 − cos x), если 0 < x ≤ π , 2 ⎪1, если х > π . ⎩
π
3.7.3. а) 2500; б)
20 50 15 ; в) ; г) ; 3 9 16
⎧0, если х ≤ 5, ⎧0, если х ≤ 1, 1 ⎪ д) F ( x) = ⎨ 625 3.7.4. а) 2е2; б) 1 − 2 ; в) F ( x) = ⎨ 3.7.5. 2−2 х e , если x > 1. ⎩1 − е ⎪⎩1 − х 4 , если x > 5. 8 1 5 7 59 19 1). а) 0,25; б) ; в) . 2). а) ; б) ; в) . 3.7.6. а) ; б) 15; в) 75. 3.7.7. 3 18 8 12 720 27 3 ⎧0, если x < 0, 5 25 e −1 а) f ( x) = ⎨ −3 x б) . 3.7.8. M[X]= , D[X]= . 6 2 12 e ⎩3e , если х ≥ 0. 1
−
3
3.7.9. a ) e − 2 − e 2 ≈ 0,3834; б ) е − 2 ≈ 0,135. 3.7.10. Ф(2)+Ф(1) ≈ 0,8185. 3.7.11. Ф(3) − Ф(1) ≈ 0,3199. 3.7.12. 1) M[X]=2, D[X]=9, Р (−7 ≤ Х < 8) = Ф(2) + Ф(3) ≈ 0,9759 ; 2) M[X]=3, D[X]=25, P (−7 ≤ X < 8) = Ф(1) + Ф(2) ≈ 0,8185. 3.7.13. ≈ 0,8664. Точность изготовления – 0,329. 3.7.14. ≈ 0,8664. 3.7.15. ≈ 0,383. 3.7.16. ≈ 0,1587. 3.7.17. ≈ 95%. 3.7.18. ≈ 4,6%. 3.7.19. а) (-5;25); б) (0;20); в) (6,625; 13,375). 3.7.20. (4,85; 5,15). 3.7.21. M[X]=15,39; σ =3,26. 3.7.22. ≈ 99,95%. 3.7.23. ≈ 0,03. 3.7.24. f(x) = 1/(π(1+x2)); P(0<X<1)=1/4; нет. 3.7.25. P(-100<X<100)=Ф(1,3)+Ф(2)= 0,88. 3.7.26. P(1<X<2) = 0,12. 3.7.27. M(X) = (b+a)/2; D(X) = (b-a)2/12. 3.7.28. M(X)=1, D(X)=1/3. 3.7.29. Ф(15)+Ф(3)= 0,5+0,4986=0,9986. 3.7.30. Ф(3)+Ф(1) = 0,4986+0,3413 = 0,8399. 3.8. 3.8.1. а) 0,05; 0,45; 0,6; 0,9; б) 56
xi -1 1 P(X=xi) 0,2 0,8 в) зависимы; г) 0 1 2 yj P(Y=yj) 0,4375 0,3125 0,25 M[Y/X=1]=0,8125; д) (mX, mY)=(0,6; 0,8), DX=0,64, DY=0,66, KXY=0,02, ρ XY ≈ 0,03.
3.8.2. p=0,15; P(X=0, Y=0)=0,15; P(X ≠ Y)=0,82; P ( X ≤ 0, Y = 1) = 0,17; б) -1 0 1 yj 0 1 xi P(X=xi) 0,42 0,2 0,38 P(Y=yj) 0,2 0,8 в) зависимы; г) M[Y/X=1]=0,079; 0 1 yj P(Y=yj / X=1) 0,921 0,079 д) (mX,mY)=(-0,04; 0,8), DX=0,7984, DY=0,16, KXY=-0,058, ρ XY ≈ −0,162. 4 3.8.3. P ( X ≤ Y ) = ; 9 yj 0 1 2 б) xi 0 1 2 xi P(X=xi) ¼ ½ ¼ 0 1/4 0 0 1 1/3 1/6 0 yj 0 1 2 25/36 5/18 1/36 2 1/9 1/9 1/36 P(Y=yj) в) зависимы; г) 0 1 2 yj P(Y=yj/X=1) 2/3 1/3 0
1 1 1 5 1 1 M[Y/X=1]= ; д) (mX, mY)=(1, ), DX= , DY= , KXY= , ρ XY = ≈ 0,447. 3 3 2 18 6 5 3.8.4. 1 xi yj 0 0 1 xi P(X=xi) ½ ½ 0 1/3 1/6 1 1/3 1/6 yj 0 1 P(Y=yj) 2/3 1/3 1 1 1 2 Независимы. mX= , mY= , DX= , DY= , ρ XY = 0. 2 3 4 9 3.8.5. 1 xi 0 1 2 yj 0 xi P(X=xi) 0,36 0,48 0,16 0 0 0,36 1 0,24 0,24 yj 0 1 2 0,16 0 P(Y=yj) 0,4 0,6 1 mX=0,8, mY=0,6, DX=0,48, DY=0,24, ρ XY = − ≈ − 0,707. Зависимы. 2 3.8.6. 57
xi 0 1
yj
0
1
0,08 0,12
0,32 0,48
0 1 yj xi 0 2/3 2/9 1 1/12 1/36 = 0. Независимы.
3.8.7. а)
ρ XY
б) xi 0 1
ρ XY =
yj
0
1
5/9 0
1/3 1/9
10 ≈ 0,395. Зависимы 8
3.8.8. yj 0 1 3 P(X=xi) xi 0 0,05 0,1 0,15 0,3 1 0,2 0,2 0,3 0,7 P(Y=yj) 0,25 0,3 0,45 mX=0,7, mY=1,65, KXY= - 0,055. Зависимы.
58
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Сборник задач по математике для втузов. Ч.3. Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990. 2. Ганнушкина С.А. Сборник задач по теории вероятностей. М.: РГГУ. 3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1975. 4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 5. Цаленко М.Ш., Лавриненко Т.А. Дискретная математика. Теоретический курс и сборник задач. М.: РГГУ,1995.
59
