Теория и практика моделирования сложных систем: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

О.В. АФАНАСЬЕВА Е.С. ГОЛИК Д.А. ПЕРВУХИН

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2005

2

Утверждено редакционно-издательским советом университета. УДК 681.518:629 Афанасьева О.В., Голик Е.С., Первухин Д.А. Теория и практика моделирования сложных систем: Учеб. пособие. – СПб: СЗТУ, 2005. – 131---? с.

Учебное пособие предназначено для студентов пятого курса факультета Системного анализа и естественных наук, изучающих дисциплину «Теория и практика моделирования сложных систем». В учебное пособии излагаются общие свойства, особенности и алгоритмы моделирования сложных систем, предлагаются разные способы их описания; рассматривается общая схема и моделирование сложных технических объектов, базирующееся на номенклатуре функций системного анализа. Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки магистра 553000 – «Системный анализ и управление».

Рецензенты: В.Е. Марлей, док. техн. наук, проф., зам. директора СПИРАН; А.А. Кондратьев, док. техн. наук, проф., директор института экономики и управления транспортными системами АГА.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2005 © Афанасьева О.В., Голик Е.С., Первухин Д.А., 2005

3

Предисловие Дисциплина «Теория и практика моделирования сложных систем» является

основой

для

ряда

дисциплин:

«Теория

и

методы

учета

неопределенности функционирования сложных систем», «Методы научных исследований технических и социально-экономических систем». Указанную дисциплину изучают на первом курсе подготовки магистра по направлению 553000 – «Системный анализ и управление». Теоретической базой для освоения являются материалы дисциплин «Системное моделирование», «Математические методы системного анализа и теории принятия решений». В учебном пособии излагаются общие свойства, особенности и алгоритмы моделирования сложных технических систем; предлагаются разные подходы к построению моделей сложных технических систем, а также рассматриваются методы моделирования сложных технических объектов, базирующиеся на номенклатуре функций системного анализа. Учебное пособие предназначено для студентов первого курса подготовки магистра 553000 – «Системный анализ и управление», а также для выполнения магистерских диссертаций.

4

Введение Известно, что сложные системы как класс могут быть разбиты на следующие типы [12]: технические; экономические; биокибернетические; социальные. Для системных исследований состояния всех вышеперечисленных типов систем

существует

теория

управления

сложными

информационными

системами, основоположником которой является д-р тех. наук, проф. Мартыщенко Л.А. [11,12]. Авторы данного учебного пособия не ставили перед собой задачу ознакомить читателей с методами моделирования всех вышеперечисленных типов сложных систем. Целью данного пособия является (в основном) ознакомить читателя с методами математического моделирования сложных технических систем, представимых в виде многомассовых систем. В

главе

1

настоящего

пособия

дается

общая

характеристика

проектирования сложных систем. В

главе

моделирования

2

рассматриваются

сложных

основные

технических

методы

математического

объектов, представимых

в виде

многомассовых систем. В главе 3 приводятся методы статистического моделирования. Структуры современных технических систем отличаются большим разнообразием и сложностью. В связи с этим перед разработчиками систем возникает ряд серьёзных проблем, связанных, в частности, с проведением на начальных стадиях проектирования качественного и количественного анализа эффективности функционирования систем. Кроме

этого,

повышение

требований

к

эффективности

функционирования различного вида систем приводят к совершенствованию средств их обслуживания. Немаловажную

роль

при

этом

играют

средства

контроля

работоспособности и поиска неисправности, которые основываются на методах моделирования сложных систем и их диагностирование.

5

1. ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.1. Этапы жизненного цикла технических систем и их содержание

Отрезок времени от появления общественной потребности и зарождения идеи создания технической системы до ее отмирания (забывания системы) называют жизненным циклом (ЖЦ). Жизненный цикл любого технического объекта, например подвижных объектов, состоит из четырех основных стадий (рис.1.1)

[11,16]:

концептуальное

проектирование,

техническое

проектирование, производство и эксплуатация. Каждая из этих стадий, в свою очередь, состоит из отдельных этапов. Этапы технического проектирования и содержание выполняемых на них работ строго определены ГОСТом, чего нельзя сказать про другие стадии. Жизнедеятельность

технических

систем

протекает

внутри

организационных систем, причем отдельные ее стадии, и даже этапы, порой обеспечиваются разными организациями [14]. На стадии концептуального проектирования определяется необходимость и принципиальная возможность (осуществимость) создания конкретной системы; вырабатываются цели и критерии ее применения и проектирования; определяется внешний облик системы, обосновываются основные тактикотехнические характеристики и оцениваются ресурсы, необходимые для дальнейших работ; формализуется и согласовывается с Исполнителем задание на техническое проектирование системы. Стадия технического проектирования включает в себя такие этапы, как техническое задание, техническое предложение, аванпроект, эскизный проект, технический проект и рабочий проект. Самым длительным и трудоемким этапом здесь является рабочий проект, в процессе которого изготавливаются опытные образцы и проводятся испытания с последующей корректировкой по их результатам технической документации. Этот цикл (доводка изделия) повторяется до тех пор, пока опытный образец не будет полностью

6 удовлетворять требованиям технического задания (ТЗ). Этапы технического и рабочего проектирования принято объединять под общим названием опытноконструкторские работы (ОКР), которые заканчиваются испытаниями образца системы. По результатам этих испытаний принимается решение о принятии системы и ее производстве.

X l (ω , rl ) Анализ проблемы Формирование внешнего облика Обоснование ТТХ Разработка ТЗ Техническое предложение Аванпроект Эскизный проект Технический проект Рабочий проект

Концептуальное проектирование

Техническое проектирование

Технологическая подготовка производства Изготовление Комплексирование Упаковка, складирование

Время

Внедрение в эксплуатацию Целевое применение Модернизация Снятие с эксплуатации Утилизация

Производство

Эксплуатация

Забывание системы

Рис. 1.1. Жизненный цикл технического объекта На стадии производства производится технологическая подготовка производства, изготовление, сборка, настройка, заводские испытания и складирование.

7 На стадии эксплуатации производится доставка системы, ввод ее в эксплуатацию, эксплуатация, модернизация (с последующей эксплуатацией) и, наконец, снятие с эксплуатации. Таким образом, в процессе жизненного цикла целесообразность или практическая достижимость целей создания системы (рис.1.2) сначала возрастает, проходя последовательно периоды становления и развития,

Рис.1.2. Графическое представление жизненного цикла технической системы

а затем пилообразно падает, проходя периоды регресса и модернизации. В процессе модернизации какое-то время удается поднимать целесообразность до некоторого приемлемого уровня, но затем система настолько устаревает, что затраты на модернизацию дают слишком мало эффекта, и система гибнет (снимается с эксплуатации и утилизируется). Изложенные выше общие соображения относительно жизненного цикла относятся к любым системам. 1.2. Процесс проектирования систем В общих чертах процесс проектирования систем имеет две ветви (рис.1.3). Нисходящая ветвь начинается с анализа проблемы, формирования целей создания

системы

и

конкурентоспособных

критериев вариантов,

ее их

оценки, оценка

далее и

идет

выбор

порождение

наилучшего,

а

8 заканчивается концептуальное проектирование формулированием ТЗ на техническое проектирование системы. Проблема

Готовая система

Анализ проблемы Порождение, оценка и выбор варианта

Система математических моделей

Разработка техн. задания

ТЗ на компоненты

Настройка и испытания

Комплексирова ние

Проектирование, приобретение, изготовление и настройка

Компоненты

Нижележащий уровень проектирования

Рис. 1.3. Процесс проектирования систем Процесс технического проектирования отличается от концептуального проектирования тем, что начинается с анализа ТЗ на данную систему, а заканчивается разработкой частных ТЗ на подсистемы (п/c). Следовательно, при техническом проектировании имеют дело сразу с тремя уровнями иерархии системы: надсистемой, системой и подсистемой. Эта схема отражает принцип проектирования «сверху-вниз», когда более крупная система (задача) разбивается на ряд более мелких, объем которых может охватить один человек. Таким образом, процесс проектирования разбивается на уровни, соответствующие уровням иерархии системы, и называется блочно-иерархическим. Этот процесс является итеративным, причем циклы существуют как внутри каждого уровня, так и между ними [13,14,15].

9 Серьезным недостатком блочно-иерархического проектирования является то, что на более высоких уровнях принимаются решения без полного знания более низких уровней (их еще предстоит рассмотреть). Здесь исходят из предположения о будущих характеристиках, что не всегда оправдывается. Однако удачной альтернативы блочно-иерархическому подходу нет. На восходящей ветви процесса составные части системы после их приобретения или проектирования и последующего изготовления поступают на комплексирование (стыковку и отладку системы), а затем - на испытания (стендовые, полигонные и др.). Если испытания заканчиваются успешно, то готовая система как компонент поступает на вышележащий уровень. Значит, проектирование испытаний (разработка программы, тестов, а часто и аппаратуры для испытаний) является неотъемлемой частью процессов обех проектных стадий. Заметим, что как на нисходящей ветви проектировщик всегда имеет дело с математическими моделями, а не с реальной аппаратурой (ее еще нет), так и процессы стыковки, настройки и испытаний на восходящей ветви также ведутся с использованием моделей, которые замещают окружающую среду (в частности, противостоящие ПО, физические условия взаимодействия или некоторые компоненты создаваемой системы). Например, при стендовых испытаниях подвижного объекта математические модели могут замещать реальные носители или средства подавления в силу невозможности их использования в лабораторных условиях. В настоящее время создание новых СВТС характеризуется следующими важными обстоятельствами: системы непрерывно усложняются,и возрастают тактико-технические требования к ним; уменьшается время полезной жизни,и увеличивается время их проектирования, в конце прошлого века став соизмеримым с временем полезной жизни (рис.1.4); по мере развития проекта падает доля творческих операций,и уменьшается риск (цена ошибок) неудовлетворительного проектирования; растет число проектировщиков и стоимость проектирования.

10 Т Время полезной жизни

Без ЭВМ Время проектирования ЭВМ САПР

t Древние века

Прошлый век

Современность

Ближайшее будущее

Рис. 1.4. Зависимость времени полезной жизни времени и проектирования при создании новых современных вычислительных технических систем (СВТС) Все вышеизложенное в полной мере относится и к комплексам управления ПО, проектирование которых дополнительно характеризуется неповторимостью и уникальностью, так как создание каждого нового КУ (а фактически, нового поколения подвижных объектов) осуществляется на базе новых идей, подходов и технических средств. На начальной стадии проектирования, составляющей менее четверти общей длительности проектных работ, принимается до 70 % всех важнейших решений. Ввиду быстротечности работ на начальной стадии при существующей "ручной" технологии проектирования, неизбежны ошибки, за которые приходится расплачиваться длительным и дорогостоящим процессом доводки системы или, еще хуже, провалом проекта в целом, если на стадии концептуального проектирования были внесены ошибки в концепцию построения системы или в правила ее использования.

11 Увеличение общего времени проектирования связано с ростом сложности систем. Если для ПО второго поколения оно составляло 4…5 лет, то для третьего поколения – 7…8 лет, а для четвертого – уже более 10 лет. Это ведет к тому, что к моменту ввода системы в эксплуатацию она оказывается морально устаревшей. Выход из создавшегося положения возможен только за счет ускорения всего процесса проектирования путем его автоматизации. Применение ЭВМ для отдельных расчетов и моделирования лишь несколько сокращает время проектирования, не внося качественных изменений (см. рис.1.4). Существенного

эффекта

можно

добиться,

как

считается

теперь

общепризнанным, лишь за счет внедрения систем автоматизированного проектирования (САПР). Практическому применению САПР КУ подвижных объектов препятствуют два главных обстоятельства. Во-первых, трудность и слабая формализуемость (из-за отсутствия подходящих для этого языковых средств) описания ПО, что обусловлено его сложностью, разнообразием компонентов, непостоянством структуры и режимов работы, наличием человека-оператора и другими факторами. Классическая теория управления, базирующаяся на дифференциальном исчислении, имеет дело с относительно простыми и устойчивыми структурами при вполне определенных внешних условиях. Ее методы оказываются непригодными при разработке средств управления ПО потому, что на начальной стадии проектирования разработчик оперирует с весьма общими понятиями в терминах предметной области. Для этого нужны новые, более выразительные

языковые

средства.

Невыразительность

одновременного

описания

структуры

системы

и

и

трудность

логико-динамических

процессов ее функционирования ограничивают применение теории множеств и методов математического программирования [14]. Языки ситуационного управления [13] хорошо отражают семантику предметной области и логику функционирования ПО, но мало пригодны для вычислительных задач. Таким образом, для описания ПО и процесса проектирования их КУ требуется

12 разработка новых языковых средств, сочетающих достоинства разных методов. Одним из первых примеров таких средств является объектно-признаковый язык. Во-вторых, это – отсутствие формализованных человеко-машинных методов концептуального проектирования КУ. В настоящее время почти все проектные решения принимаются на эвристической основе, полагаясь на опыт и интуицию разработчиков, без достаточного количественного обоснования решений и выбора наилучшего варианта из множества конкурентоспособных. Это не гарантирует высокого качества проектов и требует разработки эффективных человеко-машинных проектных процедур.

1.3. Обобщенная схема проектирования Известно, что процесс концептуального проектирования любого объекта заключается в решении ряда проектных задач, каждая из которых состоит в последовательном выполнении нескольких проектных процедур и операций [14]. К числу проектных задач можно отнести синтез структуры системы, выбор ее алгоритма управления, обоснование тактико-технических данных, формирование технического задания и др. Проектная процедура – это совокупность действий, оканчивающихся проектным решением (ее не нужно путать

с

вычислительной

процедурой).

Проектная

операция

–

это

формализованная совокупность действий, составляющих часть проектной процедуры, алгоритмы, выполнения которых остаются неизменными для ряда проектных процедур. Проектные решения оформляются в виде проектного документа или в виде проекта, представляющего собой совокупность проектных документов. Обобщенная схема (алгоритм) процесса концептуального проектирования не зависит от конкретного типа системы или уровня ее проектирования и может быть представлена в виде рис. 1.5.

13 Эта схема справедлива для любого уровня проектирования КУ. Поэтому рассматриваемые процедуры могут быть названы базовыми. При этом заметим, что первые пять процедур совпадают с номенклатурой функций системного анализа (см. ниже), что подтверждает его применимость на всех уровнях проектирования [13]. Процесс проектирования является итерационным, причем циклы существуют как внутри каждого уровня, так и между ними. Документированию и хранению подлежат не только окончательные, но и промежуточные результаты отдельных проектных процедур. Наличие в этой схеме процедуры планирования дальнейших работ позволяет обеспечить совместное

рассмотрение

характеристик

проектируемой

системы

с

параметрами реализующего их процесса. Рассмотрим содержание базовых проектных процедур. Процедура «Анализ проблемы» служит для разработки целей создания системы. Каждой из них должны быть поставлены в соответствие показатели качества, которые как раз и характеризуют степень достижения целей. Процедура «Порождение вариантов» предназначена для разработки альтернативных вариантов системы по ее структуре или составу, содержанию алгоритмов обработки информации и управления или технико-экономическим параметрам. Процедура «Построение математической модели» служит для разработки математической модели варианта системы, с помощью которой в дальнейшем могли бы быть определены показатели качества, выбранные при анализе проблемы. Здесь речь идет об определении функциональных показателей качества,

так

технологические,

как

другие

экономические

проектирования не столь важны.

показатели и

т.д.)

качества на

стадии

(конструктивные, концептуального

14

Анализ проблемы Порождение альтернативного варианта Построение математической модели Оценка показателей качества и расчет критерия выбора

Да

Возможен ли синтез новых вариантов Нет Сравнение и выбор варианта Формирование ТЗ Планирование дальнейших работ Документирование

Последующая стадия проектирования

Рис. 1.5. Обобщенная схема процесса концептуального проектирования

15 Процедура «Оценка показателей качества и расчет критерия выбора» служит для оценки всех функциональных показателей качества по результатам моделирования, а затем для расчета обобщенного показателя качества, служащего в качестве критерия для выбора системы. Процедура «Сравнение и выбор варианта» предназначена для сравнения между собой рассмотренных альтернативных вариантов системы и выбора наилучшего из них по ранее определенному критерию. Для этого используют методы принятия решений в различных условиях осведомленности [17]. Процедура «Формирование ТЗ» служит для закрепления в задании на техническое проектирование системы принципов ее построения, структуры, состава, параметров и т.п. на основе выбранного варианта системы. Процедура «Планирование дальнейших работ» служит для разработки сетевых графиков реализации предлагаемого варианта системы. Процедура задокументировать

«Документирование» в

принятом

виде

позволяет все

сохранить

полученные

в

и

процессе

проектирования результаты. Базовые проектные процедуры в принципе неформальны, так как каждая из них содержит неформальные моменты принятия решений на основе опыта интуиции и предпочтений проектировщика. Вместе с тем они содержат формализованные совокупности действий (проектные операции), каждой из них может быть поставлена в соответствие своя модель, которая может быть программно реализована на ЭВМ. Поэтому проектные процедуры могут рассматриваться как человеко-машинные. Таким образом, при проектировании КУ имеют дело, по крайней мере, с двумя

группами

математических

моделей:

моделей

КУ

как

объекта

проектирования и процедурных моделей (моделей проектных процедур). Процедурные математические модели представляются в виде алгоритма, в котором выполнение проектных операций чередуется с принятием решений о выборе дальнейшего пути проектирования, о выборе используемого метода, о

16 выборе параметров, о вводе исходных данных или о фиксации результатов на твердом носителе и т.п. Модели объекта проектирования служат для описания различных сторон проектируемой системы. Различают топологические, функциональные, массагабаритные, прочностные и другие типы моделей. При концептуальном проектировании не стремятся к большой степени подробности моделей. Их называют макромоделями, или обобщенными моделями. Они отражают реально существующие связи в системе и оперируют с теми же физическими величинами, которые присущи реальной физической системе.

17

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Необходимость разработки методов и средств контроля текущего состояния технической системы и прогнозирования его изменения придают особое

значение

вопросам

использования

динамических

моделей

при

диагностировании, особенно важных при исследовании параметров вибрации. Основными причинами возникновения вибрации в технических системах являются зазоры, обеспечивающие нормальное функционирование механизма, дефекты, вызванные допустимыми отклонениями, расположения и формы рабочих поверхностей. Параметры вибрации, в первую очередь спектральные характеристики, могут служить информационными сигналами о внутренних наблюдаемых

процессах.

Одним

из

наиболее

эффективных

способов

исследования вибрационных процессов является метод моделирования. На рис.2.1 представлена структурная схема диагностической модели технической системы [9]. При выборе динамической модели установление связи между основными свойствами объекта и диагностическими характеристиками имеет решающее значение. Основные свойства технического объекта характеризуются оператором сигналы

U1(t )

и

U 2 (t )

возмущающего фактора

L,

как элемента системы

который связывает входные и выходные

, а также учитывает зависимость

ΔU (t ) ,

U 2 (t )

от

порождённого собственными внутренними

процессами. Качество функционирования зависит не только от конструктивных параметров

a , но и от возмущений ΔU (t ), которые изменяются во времени и

могут вызвать параметрический отказ системы. Изменение технического состояния можно контролировать по изменению собственных колебаний

z(t )

(вибраций), которые порождены внутренними

процессами. На этом, как правило, и ограничиваются исследования по

18 созданию диагностических моделей. Недостатком такого подхода является отсутствие связи между

ΔU (t ) и z(t ).

Необходимо создать такие модели для диагностики, которые не только позволили

бы

устанавливали

фиксировать бы

связь

собственными колебаниями

изменение

между

внутренних

возмущающим

процессов,

фактором

z(t ).

но

ΔU (t )

и и

В структурной схеме модели, представленной на рис. 2.1 основным параметром, который связывает

ΔU (t )

z(t ) ,

и

состоящих из большого количества элементов,

r

является

r

. Для объектов,

определяется отклонениями

геометрических характеристик от номинальных значений, технологическими погрешностями и другими флуктуациями [9]. Связь между устанавливается оператором T , а между

U 1 (t )

r

и

z(t ) –

ΔU (t ) и r , z(t )

оператором W .

U 2 (t )

L(α ,U 1 , ΔU )

ΔU (t ) r

T (α , r , z ) z (t )

W (α , r ,t )

Рис. 2.1. Структурная схема диагностической модели сложной технической системы

r

в

условиях длительного функционирования системы меняется. Изменение

r

Рассмотренная модель не является полной, так как параметр определяется

не

только

процессами

старения,

но

и

динамическими

19 вибрационными воздействиями; оно происходит медленно по сравнению с вибрацией и флуктуацией основных эксплуатационных показателей и является виброреологическим [19]. Связь между устанавливается посредством оператора

U 1 (t )

изменением

(τ )

и вибрацией

Ф (рис. 2.2) [7].

L(α ,U 1 , ΔU )

U 2 (t )

ΔU (t ) T (α , r , z ) r (τ )

Ф(α , z ,τ )

z (t ,τ )

W [α , r (τ ),t ]

Рис. 2.2. Структурная схема обобщённой диагностической модели технической системы Таким образом, в обобщённой модели существует два вида характерных процессов: быстрые (время

t)

– вибрация и флуктуация эксплуатационных

показателей и медленные (время

τ

) –

изменения параметров. Быстрые

процессы определяют качество функционирования в рассматриваемый момент времени, а медленные – параметрическую надёжность системы. Выбор диагностического сигнала должен проводиться таким образом, чтобы он был достаточно информативен для оценки вектора а следовательно, для оценки

z (t,τ ) и ΔU (t,τ ).

r , его изменений,

Сложность вибрационных процессов, вызванных работой технического объекта и его элементов, различие физических моделей и методов их

20 математического описания на различных участках частотного диапазона послужили основанием [10] для разбиения его на три поддиапазона: диапазон низких частот (от 0 до 200-300 Гц); диапазон средних частот (от 200-300 Гц до 1-2 кГц); диапазон высоких частот (от 1-2 кГц до 10-20 кГц). При рассмотрении диагностических моделей целесообразно ввести еще один поддиапазон: диапазон сверхвысоких частот (от 10-20кГц до 100-200 кГц). Полезность такого деления объясняется тем, что каждому диапазону свойственны свои возмущающие силы, своя физическая модель объекта как колебательной системы и своя диагностическая модель. Низкочастотная характер,

так

как

вибрация одной

носит из

преимущественно

характерных

гармонический

причин

ее

является

неуравновешенность вращающихся масс. Наиболее вероятными причинами низкочастотных колебаний являются [9]: неуравновешенность; отклонение от соосности

валов;

нарушение

геометрии

узлов;

периодические

силы,

создаваемые рабочим процессом. Динамическая модель механизма в области низкочастотных колебаний представляет собой комбинацию сосредоточенных масс, связанных упругими безынерционными

элементами.

Силы

в

этих

моделях

обычно

носят

детерминированный характер. Весь объект рассматривается как единая упругая система, исследование которой производится методами прикладной теории колебаний. Колебания среднечастотного диапазона обычно обусловлены: высшими

гармониками

сил

неуравновешенности

элементов,

обусловленных наличием нелинейных элементов в системе; нарушением геометрии кинематических пар; динамическим взаимодействием элементов машины между собой и с окружающей средой. Анализ динамического состояния объекта диагностирования в этом диапазоне обычно проводится разбиением системы на ряд подсистем со

21 связями, характеризуемыми параметрами типа динамической жесткости, импеданса, податливости. В этом диапазоне колебания вызываются рабочими процессами

и

носят

квазиполигармонический

параметрического и нелинейного взаимодействий

характер. деталей

Наличие

приводит к

существенному усложнению физической и математической модели. Для этого диапазона характерно также наличие случайного возбуждения, являющегося результатом воздействия технологических, кинематических, регулировочных и других случайных факторов. В диапазоне высоких частот колебания объекта и его элементов представляют собой упругие волны, распространяющиеся по неоднородным конструкциям. Их расчет следует вести акустическими методами, развитыми для сложных по геометрии и структуре сплошных сред. Для колебаний этих частот характерным является то, что они несут небольшую часть колебательной энергии всего спектра и при распространении хорошо демпфируются [5,9,10,20]. 2.1 Диагностические модели Технические системы состоят из большого числа взаимодействующих элементов, относительное перемещение которых порождает колебательные процессы, усиливающиеся или изменяющиеся при появлении дефектов.

В

процессе превращения энергии источника в работу генерируются переменные силы, возбуждающие колебания. Эти колебания воспринимаются датчиками, и по ним делается заключение о техническом состоянии механизма. Механизм, преобразователь

таким

A

образом,

можно

рассматривать

параметров его технического состояния

акустического сигнала

u

j

r i

как

некий

в параметры

:

{U }= A{R},

(2.1.1)

22 где

{U }= ⎧⎨⎩u1(t ), u2 (t ),...,un (t )⎫⎬⎭ –

объекта в

вектор признаков технического состояния

n -мерном признаковом пространстве;

{R}= {r1(t ), r2 (t ),..., rm (t )}

–

m

-мерный вектор диагностируемых

параметров технического состояния. Задачей диагностики фактически является получение зависимости, обратной зависимости (2.1.1), т.е.

{R}= A−1{U },

(2.1.2)

когда на основании полученных диагностических признаков необходимо сделать заключение о параметрах технического состояния объекта. В выражении (2.1.2)

A−1

– оператор, обратный

A.

В простейшем случае

зависимость (2.1.2) может быть функциональной:

r = F ⎛⎜ u ,u ,...,u ⎞⎟ , i =1,2,...,m . i i⎝ 1 2 n⎠

(2.1.3)

Причем наибольшие упрощения достигаются в том случае, когда каждому параметру состояния

r i

удается поставить в соответствие только один,

характерный диагностический признак

u ⎛

j

: ⎞

r = F ⎜⎜ u ⎟⎟ . i i⎝ j ⎠ При этом система (2.1.3) распадается на причем

m=n .

m

независимых соотношений,

Диагностические признаки в этом случае выбирают либо из

физических соображений, либо на основе математического моделирования динамики механизма. Построение алгоритмов распознавания технических состояний механизма существенно

облегчается

в

том

случае,

когда

удается

построить

диагностическую модель, устанавливающую связь между пространством состояний механизма и пространством диагностических признаков. При этом не имеет значения, в какой форме представлена такая связь. Решение задачи

23 формализации и автоматизации процесса диагностирования требует разработки диагностических

моделей

механизмов,

которые

описывают

основные,

существенные для постановки диагноза свойства механизма, что облегчает определение параметров технического состояния. В этом случае множество сторон и связей объекта, исключительно важных с точки зрения его функционирования как устройства, становятся второстепенными и могут быть исключены. Замена реальных устройств их идеализированными моделями позволяет широко

использовать

различные

математические

методы.

В

качестве

диагностических моделей могут рассматриваться динамические модели, представленные в виде системы алгебраических или дифференциальных уравнений,

феноменологические

модели,

имитационные,

логические

соотношения, функциональные, структурные, регрессионные и другие модели, позволяющие связать параметры технических состояний с виброакустическими характеристиками

объекта

[9,10,19].

Представление

реального

объекта

диагностической моделью позволяет облегчить и формализовать решение диагностической задачи. Одним

из

наиболее

распространенных

способов

построения

диагностической модели механического объекта является математическое описание связи между структурными и диагностическими параметрами при помощи дифференциальных (во временной области) или алгебраических (в частотной области) уравнений. Представление механизма в виде динамической системы с n степенями свободы

где [M ] ,

[M ]⋅ [X ] + [K ] ⋅ [X ] + [C ]⋅ [X ] = [G ] ,

(2.1.4)

[K ] , [C ] - симметричные n×m матрицы коэффициентов инерции,

демпфирования и жесткостей; [ X ] и [G ] -

n -мерные

векторы координат и

действующих сил предполагает, что зависимость виброхарактеристик объекта от вида дефекта входит в уравнение в неявном виде. В условиях

24 функционирования возмущающие воздействия и динамические характеристики механизма являются ненаблюдаемыми параметрами, а вид и глубина развития дефекта определяются только по выходным реакциям в местах установки датчиков. При диагностировании линейной многомерной системы с

n

выходами

уравнение

G (t )= ⎪⎨ g (t ),..., g (t )⎪⎬ p ⎪⎭ ⎪⎩ 1 ⎧

⎫

связи

вектора

входных

и вектора выходных сигналов

p

входами и

воздействий

X (t )= ⎧⎨ x (t ),..., x (t )⎫⎬ n ⎭ ⎩ 1

записывают в операторном виде:

X (t )= LG (t ) ,

где

L

– оператор системы. Реакция механизма

контролируемых воздействий от

выходов

линейной

системы

x (t ) j

является

на одном из суперпозицией

p возмущающих сил, выраженных через интеграл Дюамеля: p p ∞ x (t )= ∑ x (t )= ∑ ∫ h (τ )g (t −τ )dτ , j ji ji i j =1 j =1 0

где

(2.1.5)

g (t ) – воздействие на i -м входе; i h (t ) – импульсная переходная ji

(2.1.6)

функция системы, характеризующая

j -го выхода на единичное воздействие, приложенное к i -му входу.

отклик

При некорреляционных воздействиях спектральная плотность мощности

p

S (ω )= ∑ xj

i =1

где

ω S

– круговая частота;

g

i

H (ω ) ji

2

S

g

i

(ω ) – спектр мощности i -го воздействия;

(ω ),

(2.1.7)

25

H (ω ) ij

– комплексная

функция передачи системы, связанная с

импульсной переходной функцией следующим образом:

H (ω )= ∫ h(t )e−iωt dt . 0 В

случае

коррелированных

мощности реакции на

(2.1.8)

воздействий

спектральная

плотность

j -м выходе имеет вид

p p (ω ), S (ω )= ∑ ∑ H (ω )H * (ω )S x jk jl g g j k l k =1l =1 где

H *(ω ) – комплексно-сопряженная функция; S

g g k l

(ω ) – взаимный спектр k -го и l -го воздействий.

Приведенные виброакустических системах,

соотношения процессов

способствуют

в

раскрывают

картину

формирования

многомерных

линейных

механических

правильной

интерпретации

экспериментальных

данных, но ничего не говорят о связи параметров технического состояния виброакустическими характеристиками

u

j

r i

с

. Для того чтобы понять, какие

характеристики виброакустических процессов можно использовать в качестве диагностических признаков, надо смоделировать вид воздействия дефектов на динамическую систему. Влияние

дефекта

на

параметры

динамической

системы

весьма

многообразно. В одних случаях дефект меняет характер возмущения, т.е. изменяющийся параметр технического состояния функцию вынуждающей силы передаточную функцию

G (ω,r ) ;

H (ω,r ) .

r

в неявной форме входит в

в других случаях дефект влияет на

В параметрической системе дефект может

вызывать одновременное изменение возмущающих сил и передаточной функции. Развитие дефекта может привести также к существенному изменению

26 вида оператора

L

динамической системы, когда её поведение следует

описывать с помощью нелинейных уравнений. Например, если рассматривать колебания механизма (в зоне низких частот) как единого целого, то его поведение можно описать одним уравнением:

mx + kx + cx = g (t ).

(2.1.9)

Связь между амплитудой действующей силы и реакцией механизма на частоте возбуждения

ω

описывается амплитудно-частотной характеристикой

обычного гармонического осциллятора, функция передачи которого имеет вид

H ( jω )=

где

ωc2

⎞2

1−⎛⎜ω ω ⎟ c⎠ ⎝

1 + j⎛⎜ω ω ⎞⎟ c ⎠Q ⎝

ωc = c m

– собственная частота;

Q= cm k

– добротность осциллятора.

Структурную

схему

одномерной

,

диагностической

модели

можно

представить в виде двухполюсника, изображенного на рис.2.3.

G (ω , r )

X (ω , r )

H (ω )

Рис.2.3. Структурная схема одномерной диагностической модели механизма

Если исходить из данной диагностической модели, то результат диагностирования значения дисбаланса не должен зависеть от места установки датчика. Амплитуда отклика на частоте вращения ω

вр определяется

значением эксцентриситета

ε ⎛

27 в соответствии с формулой

ε

⎞

X ⎜⎜ω ⎟⎟ = ⎧ ⎝ вр ⎠ ⎪⎡

⎨ ⎢k ⎪⎩⎢⎣

⎛ 2 ⎞⎤ ⎫⎪ ⎜ω m ⎟⎥ −1⎬ ⎜ ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎪⎭

.

При одновременном воздействии нескольких дефектов, проявляющихся в различных частотах, диагностическая модель механизма принимает вид, изображенный на рис.2.4.

G1 (ω , r1 )

G2 (ω. ,.r.2 ) Gl (ω , rl )

H 1 (ω )

X (ω , r1 , r2 ,.., rl )

H 2 (ω ) H l (ω )

Рис.2.4. Обобщенная структурная схема многомерной диагностической модели механизма При одновременном воздействии нескольких дефектов, вызывающих изменение амплитуды колебаний механизма на одной и той же частоте, данная модель непригодна. Для того чтобы различить дефекты, вызывающие коррелированные воздействия на механизм, следует изменить диагностическую модель, обратившись к анализу не непосредственных проявлений дефектов на определенной

частоте

колебаний,

а

к

сопутствующим

явлениям,

проявляющимся в других частотных диапазонах, причем не обязательно сказывающихся

на

энергетических

характеристиках

вибросигнала.

Диагностический признак при этом более информативен, если его размерность >1. В среднечастотном диапазоне от 200-500 Гц до 1-2 кГц, когда колебания механизма можно описать системой дифференциальных уравнений (2.1.4),

28 диагностическая модель приобретает вид, изображенный на рис. 2.4. При некоррелированных

воздействиях

дефектов

и

установке

датчиков

в

непосредственной близости от источника возбуждения диагностическая модель упрощается (рис.2.5).

G1 (ω , r1 ) G2 (ω ,r2 ) ...

Gl (ω ,rl )

H11 (ω )

X 1 (ω , r1 )

H 22 (ω )

X 2 (ω , r2 ) ...

H ll (ω )

X l (ω , rl )

Рис.2.5. Структурная схема многомерной диагностической модели с

l

некоррелированными входами и

l

некоррелированными выходами

При коррелированных воздействиях дефектов диагностическая модель приобретает вид, изображенный на рис.2.6.

G1 (ω , r1 )

H11

H12 G2 (ω ,r2 )

H 22

X 1 (ω , r1 , r2 )

H 21 X 2 (ω , r1 , r2 )

Рис.2.6. Структурная схема двумерной модели при коррелированных воздействиях Выход из этой ситуации тот же, что и в низкочастотной области: поиск характерных диагностических признаков с тем, чтобы привести модель к виду,

29 изображенному на рис.2.5. Есть еще один выход – анализ вибропроцессов в высокочастотной области от 1-2 до 10-20 кГц и выше. Обращение к методам демодуляции вынужденных и собственных колебаний узлов механизма (или измерительной механической системы) дает возможность

сформировать

воспользоваться

характерные

упрощенными

диагностические

диагностическими

признаки

моделями,

и

типа

изображенных на рис.2.4 и 2.5. В том случае, когда влияние дефекта проявляется на свойствах передаточной функции механизма при тех же характеристиках входных воздействий, предполагается, что изменение вида оператора динамической системы (2.1.5) обусловлено изменением матрицы жесткостей. Одним из способов оценки изменения оператора динамического звена является снятие амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) методом синхронного следящего анализа [9,10] виброакустических процессов при плавном подъеме или спуске оборотов механизма. Это дает возможность оценки изменения структурных параметров по изменению амплитуд

H (ω )

и изменению собственных частот

механизма. В тех случаях, когда дефект переводит механическую систему из класса линейных в класс нелинейных, рассмотренные выше динамические модели малоэффективны. Поскольку осуществляется

диагностирование только

по

функционирующих

выходным

параметрам

механизмов

(характеристикам

вибросигнала), то важно отдавать себе отчет в том, что любая динамическая модель механизма является приближенной; её можно использовать лишь для качественного описания связи вектора дефектов

R с вектором диагностических

признаков U , особенно в области частот выше 1-2 кГц, когда механизм нужно рассматривать как систему с распределенными параметрами.

30 2.2. Математическая модель многоэлементного технического объекта При анализе движения деталей, соединенных в кинематические группы, приходится опираться на ряд абстракций и допущений, которые приводят к определённым погрешностям, но в то же время позволяют вскрыть принципиальную сущность этих явлений и облегчают понимание механизма возникновения упруго-демпфированных колебаний. Реальный механизм всегда имеет внутренние степени свободы, связанные с наличием зазоров в кинематических группах. Для диагностирования это обстоятельство является существенным, так как механизм выступает в качестве системы со многими степенями свободы. Точная постановка задачи о движении реального механизма требует составления и решения многомерной системы дифференциальных уравнений, порядок которой равен удвоенному числу степеней свободы механизма [2]. Первым шагом к упрощению задачи будет рассмотрение относительного движения элементов. Силы, действующие на детали со стороны сопряжённых с ней элементов, будем считать заданными. Элементы механизма во время работы совершают сложные движения, но следует отказаться от попытки проследить движение каждого элемента во всей его сложности. Необходимо сосредоточить внимание только на перемещении элементов относительно друг друга по паразитным степеням свободы. Наибольший интерес представляет относительное движение элементов, соединённых в кинематическую схему – многомассовую систему (рис. 2.7).

31

Рис.2.7. Обобщенная схема многомассовой системы Поведение объекта, представленного на рисунке 2.7, описывается системой линейных дифференциальных уравнений (2.2.1) [1,6]

⎧m1 x1 + η1 x1 + c1 x1 − η2 ( x2 − x1 ) − c2 ( x2 − x1 ) = η1w1 + c1w1 , ⎪m x + η ( x − x ) + c ( x − x ) − η ( x − x ) − c (x − x ) = 0, 2 2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 ⎪ 2 2 ⎪⎪mi xi + ηi ( xi − xi −1 ) + ci ( xi − xi −1 ) − ηi +1 ( xi +1 − xi ) − ci +1 ( xi +1 − xi ) = 0, ⎨ ⎪mn −1 xn −1 + ηn −1 ( xn −1 − xn − 2 ) + cn −1 ( xn −1 − xn − 2 ) ⎪ − ηn ( xn − xn −1 ) − cn ( xn − xn −1 ) = 0, ⎪ ⎪⎩mn xn + ηn ( xn − xn −1 ) + cn ( xn − xn −1 ) = 0, i = 3, 4,..., n − 2, (2.2.1)

32 где

m – масса i-го элемента, i η – коэффициент демпфирования, i c –жесткость i-й упругой связи, i W – абсолютное перемещение места установки, x

j

– абсолютное перемещение j-го элемента

( j =1,2,…,n).

При рассмотрении соударений элементов будем исходить из общих положений, позволяющих проследить зависимость между параметрами удара и величиной зазора в кинематической группе, характеризующую техническое состояние узла в соответствии с поставленными задачами исследования. Существенное влияние на моторесурс кинематической схемы оказывает характер взаимодействия сопрягаемых деталей. Силы, действующие между сопряженными

элементами,

можно

подразделить

на

квазистатические

(постоянные или медленно меняющиеся), импульсные и силы трения (демпфированные). Особенность квазистатических взаимодействий заключается в том, что они не несут на себе информацию о техническом состоянии конкретных кинематических пар и в этом плане не представляют практического интереса. Импульсные взаимодействия возникают при соударении элементов. Они отличаются значительной величиной и малой длительностью процесса. В первый

момент

столкновения

элементов

деформация

и

напряжения

локализуются лишь в малом объеме материала, большая часть механизма остаётся в невозмущённом состоянии. Лишь через некоторое время, равное примерно

L C

, возмущение распространится по всему механизму, и в нём

начнётся колебательный процесс, где механизма; механизма.

C

L

– характерный линейный размер

– скорость распространения упругих колебаний в материале

33 В отличие от импульсных и квазистатических взаимодействий, носящих в основном регулярный характер, действие сил трения проявляется в виде последовательности

хаотических

толчков

малой

интенсивности

и

длительности. С трением связаны широкополосные колебания, которые накладываются на регулярный сигнал в виде шумового фона. В связи с тем, что не всегда имеется возможность измерить вибропараметры

конкретного

элемента

механизма

(например,

деталей

поршневой группы в дизеле), появляется необходимость оценки вибрации по виброактивности

другого (например, блока цилиндров), то есть вывести

уравнение, связывающее вибрацию одного элемента с другими.

2.3. Методы расчёта поведения элементов в многомассовых системах 2.3.1. Вывод уравнения, описывающего поведение последнего элемента многомассовой системы Перепишем систему (2.2.1) в виде (2.3.1) [1,6]:

⎫ ⎪ x2 = p2,1x1 + q2,1x1 + p2,2 x2 + q2,2 x2 + p2,3x3 + q2,3x3, ⎪ ⎪ x3 = p3,2 x2 + q3,2 x2 + p3,3x3 + q3,3x3 + p3,4 x4 + q3,4 x4 , ⎪ ⎪ ⎪⎪ xi = pi,i −1xi −1 + qi,i −1xi −1 + pi,i xi + qi,i xi + pi,i +1xi +1 + qi,i +1xi +1, ⎬ ⎪ ⎪ xn−2 = pn−2,n−3xn−3 + qn−2,n−3xn−3 + pn−2,n−2 xn−2 + qn−2,n−2 xn−2 + pn−2,n−1xn−1 + qn−2,n−1xn−1,⎪ ⎪ ⎪ xn−1 = pn−1,n−2 xn−2 + qn−1,n−2 xn−2 + pn−1,n−1xn−1 + qn−1,n−1xn−1 + pn−1,n xn + qn−1,n xn , ⎪ xn = pn,n−1xn−1 + qn,n−1xn−1 + pn,n xn + qn,n xn , ⎪⎭ x1 = p1,1x1 + q1,1x1 + p1,2 x2 + q1,2 x2 + F,

(2.3.1)

34 где

p1,1 = − pi ,i −1 = pi , i = −

η1 + η2 m1

ηi mi

η1 m1

,

η i + ηi + 1 mi

pn , n = − F=

,

η2 mn

c1 + c2 , m1

qi , i −1 =

ci , mi

qi , i = −

,

, qn , n = −

w(1) +

q1,1 = −

p1, 2 =

η2 m1

,

q1, 2 =

c2 , m1

(i = 2,3,..., n ),

ci + ci +1 , mi

(i = 2,3,..., n − 1),

η cn c , pi , i +1 = i +1 , qi , i +1 = i +1 , (i = 2,3,..., n − 1), mn mi mi

c1 w. m1

Продифференцируем обе части последнего уравнения в (2.3.1) и заменим в нем x n −1 соответствующим выражением из предпоследнего уравнения в (2.3.1), получим уравнение

xn( 3 ) + a3,2 xn( 2 ) + a3,1 xn( 1 ) + a3,0 xn = b3,n − 2 xn( 1−)2 + + c3,n − 2 xn − 2 + b3,n −1 xn( 1−)1 + c3,n −1 xn −1 ,

(2.3.2)

где

a3, 2 = − p n , n , a3,1 = − q n , n − p n , n −1 p n −1, n , a3, 0 = − p n , n −1q n −1, n , b3, n − 2 = p n , n −1 p n −1, n − 2 ,

c3, n − 2 = p n , n −1q n −1, n − 2 ,

b3, n −1 = p n , n −1 p n −1, n −1 − q n , n −1 ,

c3, n −1 = p n , n −1q n −1, n −1 .

Продифференцируем обе части уравнения (2.3.2) и заменим в нем и

соответствующими выражениями из системы (2.3.1). x n−2

x n −1

35 Получим

xn(4 ) + a4,3 xn3 + a4, 2 xn(2 ) + a4,1 xn(1) + a4, 0 xn = b4, n − 3 xn(1−)3 + c4, n − 3 xn − 3 + + b4, n − 2 xn(1−)2 + c4, n − 2 xn − 2 + b4, n −1 xn(1−)1 + c4, n −1 xn −1 , (2.3.3) где

a4,3 = a3,2 , a4,2 = a3,1,

a4,1 = a3,0 − b3,n−1 pn−1,n , a4,0 = −b3,n−1qn−1,n ,

b4,n−3 = b3,n−2 pn−2,n−3 ,

c4,n−3 = b3,n−2qn−2,n−3 ,

b4,n−2 = b3,n−2 pn−2,n−2 + b3,n−1 pn−1,n−2 ,

c4,n−2 = b3,n−2qn−2,n−2 + b3,n−1qn−1,n−2 ,

b4,n−1 = b3,n−2 pn−2,n−1 + b3,n−1 pn−1 pn−1,

c4,n−1 = b3,n−2qn−2,n−1 + b3,n−1qn−1,n−1 (2.3.4)

Продолжим этот процесс и далее (то есть выпишем последовательно

xn(5 ) , xn(6 ) ,... xn(n −1) , xn( n ) ), исключая каждый раз вторые производные xn( 2−)1 , xn( 2−)2 ,..., xn( 2−)( i − 2 ) получим в итоге уравнения (2.3.5)

xn( i ) + ai ,i −1 xn( i −1 ) + ai ,i − 2 xn( i − 2 ) + ... + ai ,1 xn( 1 ) + ai ,0 xn = = bi ,n − i +1 xn( 1−)( i +1 ) + ci ,n − i +1 xn − i +1 + ... + bi ,n −1 xn( 1−)1 + ci ,n −1 xn −1 , (i = 5,6,..., n ) (2.3.5)

36 где

ai,i−1 = ai−1,i−2, , ai,2 = ai+1,

ai,1 = ai−1,0 −bi−1,n−1 pn−1,n,

bi,n−i+1 = bi−1,n−i+2 pn−i+2,n−i+1,

ci,n−i+1 = bi−1,n−i+2qn−i+2,n−i+1,

ai,0 = −bi−1,n−1qn−1,n,

bi,n−i+2 = bi−1,n−i+2 pn−i+2,n−i+2 +bi−1,n−i+3 pn−i+3,n−i+2, ci,n−i+2 = bi−1,n−i+2qn−i+2,n−i+2 +bi−1,n−i+3qn−i+3,n−i+2, bi,n−i+3 = bi−1,n−i+2 pn−i+2,n−i+3 +bi−1,n−i+3 pn−i+3,n−i+3 +bi−1,n−i+4 pn−i+4,n−i+3, ci,n−i+3 = bi−1,n−i+2qn−i+2,n−i+3 +bi−1,n−i+3qn−i+3,n−i+3 +bi−1,n−i+4qn−i+4,n−i+3, bi,n−2 = bi−1,n−3 pn−3,n−2 +bi−1,n−2 pn−2,n−2 +bi−1,n−1 pn−1,n−2, ci,n−2 = bi−1,n−3qn−3,n−2 +bi−1,n−2qn−2,n−2 +bi−1,n−1qn−1,n−2, bi,n−1 = bi−1,n−2 pn−2,n−1 +bi−1,n−1 pn−1,n−1,

ci,n−1 = bi−1,n−2qn−2,n−1 +bi−1,n−1qn−1,n−1.

Отметим, что последнее уравнение в системе (2.3.5) имеет вид

(i=n)

xn(n ) + an ,n −1 xn(n −1) + an ,n − 2 xn(n − 2 ) + ... + an ,1 xn(1) + an ,0 x = = bn ,1 x1(1) + cn ,1 x1 + bn ,2 x2(1) + cn ,2 x2 + ... + bn ,n −1 xn(1−)1 + cn ,n −1 xn −1 , (2.3.6)

то есть в его правой части содержатся все координаты x1, x2 ,..., xn . Продолжая этот процесс и далее вплоть до вычисления производной, ⎛⎜ ⎝

x 2n

⎞⎟ ⎠

будем получать уравнения, аналогичные (2.3.5), только добавятся числа с

F. Для (n+1)-й производной элемента xn будет иметь следующий вид:

xn(n +1) + an +1,n xn(n ) + an +1,n −1 xn(n −1) + ... + an +1,1 xn(1) + an +1,0 xn = = bn +1,1 x1(1) + cn +1,1 x1 + ... + bn +1,n −1 xn(1−)1 + cn +1,n −1 xn −1 + bn +1,0 ⋅ F , (2.3.7)

37 где коэффициенты выглядят следующим образом:

an+1,n = an,n−1, an+1,n−1 = an,n−2, an+1,2 = an,1, ,an+1,1 = an,0 −bn,n−1pn−1,n, an+1,0 = −bn,n−1qn−1,n, bn+1,0 = bn,1,

bi,n−i+1 = bi−1,n−i+2 pn−i+2,n−i+1,

ci,n−i+1 = bi−1,n−i+2qn−i+2,n−i+1,

bi,n−i+2 = bi−1,n−i+2 pn−i+2,n−i+2 +bi−1,n−i+3 pn−i+3,n−i+2, ci,n−i+2 = bi−1,n−i+2qn−i+2,n−i+2 +bi−1,n−i+3qn−i+3,n−i+2, bi,n−i+3 = bi−1,n−i+2 pn−i+2,n−i+3 +bi−1,n−i+3 pn−i+3,n−i+3 +bi−1,n−i+4 pn−i+4,n−i+3, ci,n−i+3 = bi−1,n−i+2qn−i+2,n−i+3 +bi−1,n−i+3qn−i+3,n−i+3 +bi−1,n−i+4qn−i+4,n−i+3, bi,n−2 = bi−1,n−3 pn−3,n−2 +bi−1,n−2 pn−2,n−2 +bi−1,n−1pn−1,n−2, ci,n−2 = bi−1,n−3qn−3,n−2 +bi−1,n−2qn−2,n−2 +bi−1,n−1qn−1,n−2, bi,n−1 = bi−1,n−2 pn−2,n−1 +bi−1,n−1pn−1,n−1,

ci,n−1 = bi−1,n−2qn−2,n−1 +bi−1,n−1qn−1,n−1. (2.3.8)

В итоге получим уравнение для 2n-й производной элемента

x . n

x (2 n ) + a2 n ,2 n −1 x (2 n −1) + a2 n ,2 n − 2 x (2 n − 2 ) + ... + a2 n ,1 x + a2 n ,0 x = = b2 n ,1 x1 + c2 n ,1 x1 + b2 n ,2 x2 + ci ,2 x2 + ... + b2 n ,n −1 xn −1 + c2 n ,n −1 xn −1 + + b2 n ,n −1 F (n −1) + b2 n ,n − 2 F (n − 2 ) + b2 n ,n − 3 F (n − 3) + ... + b2 n ,1F + b2 n ,0 F , (2.3.9)

38 где коэффициенты:

a2 n , 2 n −1 = a2 n −1, 2 n − 2 , a2 n , 2 n − 2 = a2 n −1, 2 n − 3 , a2 n ,1 = a2 n −1, 0 − b2 n −1, n −1 pn −1, n ,

,

a2 n , 2 = a2 n −1,1 ,

a2 n , 0 = −b2 n −1, n −1qn −1, n ,

b2 n ,1 = c2 n −1,1 + b2 n −1,1 p1,1 + b2 n −1, 2 p2 ,1 , c2 n ,1 = b2 n −1,1q1,1 + b2 n −1, 2 q2 ,1 , b2 n , 2 = c2 n −1, 2 + b2 n −1,1 p1, 2 + b2 n −1, 2 p2 , 2 + b2 n −1,3 p3, 2 , c2 n , 2 = b2 n −1,1q1, 2 + b2 n −1, 2 q2 , 2 + b2 n −1,3 q3, 2 , b2 n ,3 = c2 n −1,3 + b2 n −1, 2 p2 ,3 + b2 n −1,3 p3,3 + b2 n −1, 4 p4 ,3 , c2 n ,3 = b2 n −1, 2 q2 ,3 + b2 n −1,3 q3,3 + b2 n −1, 4 q4 ,3 , b2 n , n − 2 = c2 n −1, n − 2 + b2 n −1, n − 3 pn − 3, n − 2 + b2 n −1, n − 2 pn − 2 , n − 2 + b2 n −1, n −1 pn −1, n − 2 , c2 n , n − 2 = b2 n −1, n − 3 qn − 3, n − 2 + b2 n −1, n − 2 qn − 2 , n − 2 + b2 n −1, n −1qn −1, n − 2 , b2 n , n −1 = c2 n −1, n −1 + b2 n −1, n − 2 pn − 2 , n −1 + b2 n −1, n −1 pn −1, n −1 , c2 n , n −1 = b2 n −1, n − 2 qn − 2 , n −1 + b2 n −1, n −1qn −1, n −1 , b2 n , n −1 = b2 n −1, n − 2 , b2 n , n − 2 = b2 n −1, n − 3 ,

, b2 n ,1 = b2 n −1, 0 , b2 n , 0 = b2 n −1,1

Перепишем последнее уравнение в системе (2.3.1) в виде

xn( 2 ) + a2,1 xn(1) + a2,0 xn = b2, n −1 xn(1−)1 + c2, n −1 xn −1 ,

(2.3.10)

где введены следующие обозначения:

a2,1 = − pn , n , a2, 0 = − qn , n , b2, n −1 = pn , n −1 , c2, n −1 = qn , n −1 Найдем числа

z1, z2, …, z2n-2,

(2.3.11)

которые удовлетворяют системе

из (2n-2) линейных уравнений (2.3.12), составленных из уже известных

39 коэффициентов

c2 , n −1 z1 + c3, n −1 z 2 + c4 , n −1 z 3 + ... + c2 n −1, n −1 z 2 n − 2 = − c2 n , n −1 , ⎫ ⎪ b2 , n −1 z1 + b3, n −1 z 2 + b4 , n −1 z 3 + ... + b2 n −1, n −1 z 2 n − 2 = − b2 n , n −1 , ⎪ ⎪ c3, n − 2 z 2 + c4 , n − 2 z3 + ... + c2 n −1, n − 2 z 2 n − 2 = − c2 n , n − 2 , ⎪ b3, n − 2 z 2 + b4 , n − 2 z3 + ... + b2 n −1, n − 2 z 2 n − 2 = − b2 n , n − 2 , ⎪ ⎪ c4 , n − 3 z3 + ... + c2 n −1, n − 3 z 2 n − 2 = − c2 n , n − 3 , ⎬ ⎪ b4 , n − 3 z3 + ... + b2 n −1, n − 3 z 2 n − 2 = − b2 n , n − 3 , ⎪ ⎪ ⎪ cn ,1 z n −1 + cn +1,1 z n + cn + 2 ,1 z n +1 + ... + c2 n −1,1 z 2 n − 2 = − c2 n ,1 , ⎪ bn ,1 z n −1 + bn +1,1 z n + bn + 2 ,1 z n +1 + ... + b2 n −1,1 z 2 n − 2 = − b2 n ,1. ⎪⎭ (2.3.12) Будем считать, что определитель системы (2.3.12) отличен от нуля с2,n-1, с3,n-1, с4,n-1, с5,n-1, …

сn-1,n-1, сn,n-1, сn+1,n-1, … с2n-1,n-1

b2,n-1, b3,n-1, b4,n-1, b5,n-1, … bn-1,n-1, bn,n-1, bn+1,n-1, … b2n-1,n-1 0,

с3,n-2, с4,n-2, с5,n-2, …

0,

b3,n-2, b4,n-2, b5,n-2, … bn-1,n-2, bn,n-2, bn+1,n-2, … b2n-1,n-2

0,

0,

с4,n-3, с5,n-3, …

0,

0,

b4,n-3, b5,n-3, … bn-1,n-3, bn,n-3, bn+1,n-3, … b2n-1,n-3

сn-1,n-2, сn,n-2, сn+1,n-2, … с2n-1,n-2 сn-1,n-3, сn,n-3, сn+1,n-3, … с2n-1,n-3 ≠0

… 0,

0,

0,

0,

0,

сn-1,2,

сn,2,

сn+1,2,

0,

0,

0,

0,

0,

bn-1,2,

bn,2,

bn+1,2, … b2n-1,2

0,

0,

0,

0,

0,

0,

сn,1, сn+1,1, … с2n-1,1

0,

0,

0,

0,

0,

0,

bn,1, bn+1,1, … b2n-1,1

… с2n-1,2

(2.3.13)

40 и, следовательно, система (2.3.12) имеет единственное решение z1,z2,…,z2n-2. Умножив уравнения (2.3.10), (2.3.2), (2.3.3), (2.3.5), (2.3.7), (2.3.9) на z1,

z2,…, z2n-2, 1 и сложив, получим одно линейное дифференциальное уравнение 2n-го порядка относительно координаты xn:

xn( 2 n ) + a2 n −1 xn( 2 n −1 ) + a2 n − 2 xn( 2 n − 2 ) + ... + a1 xn( 1 ) + a0 xn = = bn −1F

(n −1)

+ bn − 2 F

(n − 2 )

+ bn − 3 F

(n − 3)

+ ... + b1F + b0 F ,

(2.3.14)

где введены обозначения:

a2n−1 = a2n,2n−1 + z2n−2 , a2n−2 = a2n,2n−2 + a2n−1,2n−2 z2n−2 + z2n−3 , , a1 = a2n,1 + a2n−1,1 z2n−2 + a2n−2,1 z2n−3 + ... + an+2,1 zn+1 + an+1,1 zn + ... + a2,1 z1 , a0 = a2n,0 + a2n−1,0 z2n−2 + a2n−2,0 z2n−3 + ... + an+2,0 zn+1 + an+1,0 zn + ... + a2,0 z1 , bn−1 = bn,1 , bn−2 = bn+1,1 + bn,1 z2n−2 , bn−3 = bn+2,1 + bn+1,1 z2n−2 + bn,12n−3 , , b1 = b2n−2,1 + b2n−3,1 z2n−2 + b2n−4,1 z2n−3 + b2n−5,1 z2n−4 + ... + bn,1 zn+1 , b0 = b2n−1,1 + b2n−2,1 z2n−2 + b2n−3,1 z2n−3 + b2n−4,1 z2n−4 + ... + bn+1,1 zn+1 + bn,1 zn . (2.3.15) Если заменить величину F соответствующим выражением из (2.3.1), то сможем написать:

xn( 2 n ) + a2 n−1 xn( 2 n−1) + a2 n−2 xn( 2 n−2) + ... + a1 xn(1) + a0 xn = = rnW (n ) + rn−1W (n−1) + rn−2W (n−2 ) + ... + r1W + r0W ,

(2.3.16)

где:

rn =

η1 m1 r1 =

bn −1 , rn −1 =

c1 c η η bn −1 + 1 bn − 2 , rn − 2 = 1 bn − 2 + 1 bn − 3 , m1 m1 m1 m1

c1 η b1 + 1 b0 , m1 m1

r0 =

c1 b0 . m1

(2.3.17)

41 Введя подстановку

x =u + w ,где u – относительное перемещение nn n n

го элемента, получим -1) -2) u (2n) + a2 n−1u (2n + a2 n−2 u (2n + ... + a1u (1) n n n n + a0 u n =

= r2 n w(2 n ) + r2 n−1 w(2 n−1) + r2 n−2 w(2 n−2 ) + ... + r1 w + r0 w, (2.3.18) где положено

r2 n = −1,

r2 n −1 = − a2 n −1 ,

, rn +1 = − an +1 ,

rn = rn − an , rn −1 = rn −1 − an −1 , rn − 2 = rn − 2 − an − 2 , r1 = r1 − a1 ,

,

r0 = r0 − a0 .

Дифференциальное уравнение (2.3.16) описывает изменения абсолютного перемещения последнего элемента

многомассовых систем, зависящих от

абсолютного перемещения места установки, а дифференциальное уравнение (2.3.18) описывает изменения относительного (относительно места установки) перемещения последнего элемента, зависящего от абсолютного перемещения места установки [3,4]. Рассмотрим численный пример, иллюстрирующий данный метод для четырёхмассовой

системы.

Рассмотрим

четырёхмассовую

Вычисления будем проводить при помощи MathCAD Professional.

систему.

42 Пример 1

В целях экономии места в дальнейшем будем опускать промежуточные вычисления.

43 Поведение такой системы описывается следующей системой уравнений:

⎫ ⎪ x2 = p 2,1 x1 + q 2,1 x1 + p 2, 2 x2 + q 2, 2 x2 + p 2,3 x3 + q 2,3 x3 , ⎪ ⎬ x 3 = p 3, 2 x 2 + q 3, 2 x 2 + p 3, 3 x 3 + q 3 , 3 x 3 + p 3, 4 x 4 + q 3, 4 x 4 , ⎪ ⎪ x 4 = p 4 , 3 x 3 + q 4 , 3 x3 + p 4 , 4 x 4 + q 4 , 4 x 4 , ⎭

x1 = p1,1 x1 + q1,1 x1 + p1, 2 x 2 + q1, 2 x 2 + F ,

(П.1-1)

где

p1,1 = − 1,

q1,1 = −1,

p 2, 2 = − 2.5 , q 2, 2 = − 1.25 , p 4,3 = 4 , q 4,3 = 0.1,

p1, 2 = 0.667, q1, 2 = 0.667, p 2,1 = 1, p3, 2 = 3,

q3, 2 = 0.5,

p3, 4 = 4,

q 4, 4 = −0.1,

p 2,3 = 1.5,

q 2,1 = 1,

p 4, 4 = −4, q3,3 = −0.6,

q 2,3 = 0.25, p3,3 = − 7 , q3, 4 = 0.1, F = 0.333W (1) + 0.333W . (П.1-2)

Продифференцировав последнее уравнение в системе (П.1-1) и заменив в

x выражением из системы (П.1-1), получим следующее уравнение: 2 x4( 3) + a3, 2 x4( 2 ) + a3,1 x4(1) + a3, 0 x4 = b3, 2 x2(1) + c3, 2 x2 + b3,3 x3(1) + c3,3 x3 , (П.1-3) где

a3,2=4, a3,1= -15.9, a3,0=-0.4, b3,2= 12,b3,3=-27.9, c3,2= 2,c3,3= -2.4.

Продифференцировав уравнение (П.1-3) и заменив в

x , x выражением 2 3

из

системы (П.1-1), получим следующее уравнение:

x4( 4 ) + a4,3 x4( 3) + a4, 2 x4( 2 ) + a4,1 x4(1) + a4, 0 x4 = = b4,1 x1(1) + c4,1 x1 + b4, 2 x2(1) + c4, 2 x2 + b4,3 x3(1) + c4,3 x3 ,

(П.1-4)

где

a4,3= 4, a4,2=-15.9,a4,1=111.2, a4,0=2.79,b4,1= 12,b4,2=-111.7,b4,3=210.9, c4,1=12, c4,2=-98.7, c4,3=19.74 .

44 Продолжив этот процесс, получим уравнение (П.1-5), а затем (П.1-6).

x4(5) + a5, 4 x4( 4 ) + a5,3 x4(3) + a5, 2 x4( 2 ) + a5,1 x4(1) + a5,0 x4 = = b5,1 x1(1) + c5,1 x1 + b5, 2 x2(1) + c5, 2 x2 + b5,3 x3(1) + c5,3 x3 + b5,0 F , (П.1-5) где

a5,4=4, a5,3= -15.9, a5,2= 111.2, a5,1=-840.81, a5,0=-21.09, b5,1=-111.7, b5,2=294, b5,3=-1.624 × 103, c5,1=-123.7, c5,2=253.075, c5,3=-154.465, b5, 0 = 12.

x4( 6) + a6,5 x4(5) + a6, 4 x4( 4) + a6,3 x4(3) + a6, 2 x4( 2) + a6,1 x4(1) + a6,0 x4 = = b6,1 x1(1) + c6,1 x1 + b6, 2 x2(1) + c6, 2 x2 + b6,3 x3(1) + c6,3 x3 + b6,0 F + b6,1 F , (П.1-6) где

a6,5=4, a6,4=-15.9, a6,3=111.2, a6,2=-840.81, a6,1=6.475 × 103, a6,0=162.411, b6,1=282, b6,2=-5.429 × 103, b6,3=1.166 × 104, c6,1=405.7, c6,2=-1.254 × 103, c6,3=1.048 × 103, b6,0 = -111.7, b6,1 = 12. x4( 7 ) + a7, 6 x4( 6 ) + a7,5 x4(5) + a7, 4 x4( 4) + a7,3 x4(3) + a7, 2 x4( 2 ) + a7,1 x4(1) + a7 , 0 x4 = = b7 ,1 x1(1) + c7,1 x1 + b7, 2 x2(1) + c7, 2 x2 + b7,3 x3(1) + c7 ,3 x3 + b7 , 0 F + b7,1 F + b7, 2 F , (П.1-7) где

a7,6=4, a7,5=-15.9, a7,4=111.2, a7,3=-840.81, a7,2=6.475 × 103, a7,1 = -4.646 × 104, a7,0=-1.166 × 103, b7,1=-5.305 × 103, b7,2=4.747 × 104, b7,3 = -8.868 × 104, c7,1=-5.711 × 103, c7,2=1.28 × 104, c7,3=-8.35 × 103, b7 , 0 = 282, b7 ,1 = -111.7, b7 , 2 = 12 .

45

x4(8) + a8, 7 x4( 7 ) + a8, 6 x4( 6 ) + a8,5 x4( 5) + a8, 4 x4( 4 ) + a8,3 x4(3) + + a8, 2 x4( 2 ) + a8,1 x4(1) + a8, 0 x4 = b8,1 x1(1) + c8,1 x1 + b8, 2 x2(1) + + c8, 2 x2 + b8,3 x3(1) + c8,3 x3 + b8, 0 F + b8,1 F + b8, 2 F + b8,3 F ( 3) , (П.1-8) где

a8,7=4, a8,6=-15.9, a8,5=111.2, a8,4=-840.81, a8,3=6.475 × 103, a8,2=-4.646 × 104, a8,1=3.536 × 105, a8,0=8.868 × 103, b8,1=4.707 × 104, b8,2=-3.755 × 105, b8,3=6.836 × 105, c8,1=5.278 × 104, c8,2=-1.072 × 105, c8,3=6.508 × 104, b8,0 = -5.305 × 103, b8,1 = 282, b8, 2 = -111.7, b8,3 = 12. Перепишем последнее уравнение в системе (П.1-1):

x4( 2 ) + a 2,1 x4(1) + a2, 0 x4 = b2,3 x3(1) + c2,3 x3 ,

a 2,1 = 4, где введены следующие обозначения:

b2,3 = 4,

Находим такие числа z1, z2, z3, z4

(П.1-9)

a 2, 0 = 0.1, c 2 , 3 = 0. 1.

z5, z6 так, чтобы они удовлетворяли

системе (П.1-12):

z1=1.003 × 104, z2=-3.321 × 104, z3=-442.332, z4=-2.268 × 103, z5=-122.588, z6= 42.991. Умножив уравнение (П.1-3), (П.1-4), (П.1-5), (П.1-6),(П.1-7),(П.1-8),(П.1-9) на

1, z6, z5, z4, z3, z2, z1 и

сложив, получим одно уравнение 6-го порядка

относительно координаты х4.

x4(8) +a7 x4(7) +a6x4(6) +...+a1x4(1) +a0x4 = r4W(4) +r3W(3) +r2W(2) +r1W +r0W, (П.1-10)

46 где

a7=46.991, a6= 33.477, a5=-3.331 × 103, a4=-3.627 × 103, a3=-4.222 × 104 ,a2=-3.305 × 104, a1=-1.119 × 104 , a0=-252.908, 3

4

r4 = 4, r3 =138.732, r2 = -1.862 × 10 , r1 =-1.119 × 10 , r0 ==-252.908. В 2.3.1 система (2.2.1) приводится к системе рекуррентных алгебраических уравнений.

Надо отметить, что данный метод хотя и является хорошим

математическим результатом, дающим наиболее достоверный результат, но он трудоёмкий. Поэтому его следует использовать, не для того чтобы им (для различных значений

n

в многомассовых системах) решать, а для того чтобы

убедиться в правильности решений, получаемых другими способами. Поэтому необходимо получить менее трудоёмкие способы, но дающие тот же результат.

2.3.2. Матричное представление для решения системы дифференциальных уравнений, описывающих движения элементов технического объекта, рассматриваемого как многомассовая система Введём оператор

p≡

d , тогда система (2.2.1) перепишется в следующем dt

виде

⎧(S1 + γ 2 ) x1 − γ 2 x 2 = γ1w , ⎪− γ x + (S + γ ) x − γ x = 0, 2 3 2 3 3 ⎪ 2 1 ⎪− γ 2 x 2 + (S3 + γ 4 ) x 3 − γ 4 x 4 = 0, ⎪ ⎨− γ 4 x 3 + (S4 + γ 5 ) x 4 − γ 5 x 5 = 0, ⎪.......................................................... ⎪ ⎪− γ n −1x n −2 + (Sn −1 + γ n ) x n −1 − γ n x n = 0, ⎪⎩ − γ n x n −1 + Sn x n = 0,

(2.3.2.1)

где положено

γ k = η k p + c k , S k = mk p 2 + η k p + c k

( k = 1, 2,3, ..., n ).

(2.3.2.2)

47 Введём в рассмотрение квадратные матрицы (n-k+1)-го порядка

Sk +γk+1

−γk+1

0

0

.........

0

0

0

−γk+1 0

Sk+1 +γk+2 −γk+2

−γk+2 Sk+2 +γk+3

0 −γk+3

......... .........

0 0

0 0

0 0

Ank =

0 0 .......... ... .......... ......

γk+3

0 0 0 Sk+3 +γk+4 ......... .......... ...... .......... ...... ......... .......... ...... .......... .... ......

.......... ... .......... ...... .......... ... .......... ......

.......... ...... .......... ...... ......... .......... ...... .......... .... ...... .......... ...... .......... ...... ......... .......... ...... .......... .... ......

0

0

0

.......... ...... −γn−2

0 0

0 0

0 0

.......... ...... .......... ......

0 0

Sn−2 +γn−1

−γn−1

0

−γn−1 0

Sn−1 +γn −γn

−γn Sn

(2.3.2.3) для k=1, 2, 3, …, n, а также одностолбцовые матрицы

γ 1 ⋅W

х1 Х =

х1 ,

Y=

хт

0 (2.3.2.4)

0

Запишем систему (2.3.2.1) в виде

An1 ⋅ X = Y , тогда

(2.3.2.5)

X = ( An1 ) −1 ⋅ Y .

Для координаты хn можно написать [8]

Δ1n ⋅ xn = γ 1 ⋅ γ 2 ⋅ … ⋅ γ n ⋅ W ,

(2.3.2.6)

48 где

Δ1n = det A1n является многочленом степени 2n относительно оператора

дифференцирования p, а само уравнение

(2.3.2.6)

является линейным

дифференциальным уравнением относительно функции хn(t). Для координаты xn-1 получим

Δ1n ⋅ xn −1 = γ 1 ⋅ γ 2 ⋅ … ⋅ γ n −1 ⋅ S n ⋅ W , а для любой другой координаты xk (k=1, 2, …, n-2) справедливо уравнение

Δ1n ⋅ xk = γ 1 ⋅ γ 2 ⋅ … ⋅ γ k ⋅ Δkn+1 ⋅ W , где

(2.3.2.7)

Δkn+1 = det A kn +1. Заметим, что определитель

формуле:

Δkn

можно находить по рекуррентной

Δkn = (Sk + γ k+1 )Δkn+1 − γ 2k +1Δkn+2 ,

при этом

Δnn = Sn ,

Δkn−1 = Sn −1Sn + γ k Sn − γ 2n .

(2.3.2.8)

Используя данный метод, получили уравнение, описывающее движение любого элемента многомассовой системы. Рассчитав перемещения элементов технической системы, можно установить величину зазора между ними. Известно, что существует определённая зависимость между зазорами и параметрами удара [9]. Следовательно, возможно предсказать поведение элементов (поломку двигателя) при интересующих нас внешних воздействиях. Или, обратная задача, при неизвестных возмущающих воздействиях по поведению элементов двигателя эти внешние воздействия рассчитать с определённой (заданной) точностью. У каждого элемента технической системы можно выделить собственный спектр виброактивности. Динамически контролируя спектр виброактивности пространственно

разнесёнными

датчиками

можно

функционирования элементов технической системы.

оценить

режим

49 Рассмотрим пример. Пример 2. Пусть n=2, тогда

⎛S +γ2 A21 = ⎜⎜ 1 ⎝ −γ2

−γ2 ⎞ ⎛γ W ⎞ ⎟⎟, Y = ⎜⎜ 1 ⎟⎟, A21 S2 ⎠ ⎝ 0 ⎠

( )

X =

1 Δ12

−1

=

1 Δ12

⎛S ⋅ ⎜⎜ 2 ⎝γ 2

γ2

⎞ ⎟, S1 + γ 2 ⎟⎠

⎛γ ⋅ S ⋅W ⎞ ⎟⎟, ⋅ ⎜⎜ 1 2 ⋅ ⋅ W γ γ ⎝ 1 2 ⎠

(П.2-1)

где

Δ12 = A21 = (S1 + γ 2 ) ⋅ S2 −γ 22, γ1 =η1 ⋅ p + c1 , γ 2 =η2 ⋅ p + c2, S1 = m1 ⋅ p2 +η1 ⋅ p + c1, S2 = m2 ⋅ p2 +η2 ⋅ p + c2. При n=3 получим:

0 ⎞ ⎛γ1W ⎞ ⎛ S1 + γ 2 − γ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A31 = ⎜ − γ 2 S2 + γ 3 − γ 3 ⎟, Y = ⎜ 0 ⎟, ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 −γ3 S3 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ S3 (S2 + γ 3 ) − γ 32 γ 2S3 ⎜ − 1 1 A31 = 1 ⋅ ⎜ γ 2S3 S3 (S1 + γ 2 ) Δ3 ⎜ γ 2γ 3 γ 3 (S1 + γ 2 ) ⎝

( )

γ 2γ 3

⎞ ⎟ γ 3 (S1 + γ 2 ) ⎟, (S1 + γ 2 )(S2 + γ 3 ) − γ 22 ⎟⎠

⎛ Δ23 ⋅ γ 1 ⋅ W ⎞ ⎟ 1 ⎜ X = 1 ⋅ ⎜ γ 1 ⋅ γ 2 ⋅ S3 ⋅ W ⎟, Δ3 ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅ W γ γ γ 1 2 3 ⎝ ⎠

(П.2-2)

где

(

)

Δ13 = A31 = (S1 +γ2 ) S2 ⋅ S3 +γ3S3 −γ32 −γ22S3 , γ1 =η1 ⋅ p +c1, γ2 =η2 ⋅ p +c2, Δ32 = S3(S2 +γ3) −γ32, γ3 =η3 ⋅ p +c3, S1 = m1 ⋅ p2 +η1 ⋅ p+c1, S2 = m2 ⋅ p2 +η2 ⋅ p+c2, S3 = m3 ⋅ p2 +η2 ⋅ p+c3.

50 В случае, когда n=4:

0 0 ⎞ ⎛ S1 + γ 2 − γ 2 ⎛ γ 1W ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + − S 0 γ γ γ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 3 3 A41 = ⎜ , Y =⎜ , ⎟ − γ 3 S3 + γ 4 − γ 4 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ − S 0 γ 4 4 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎛ Δ24 ⎞ γ2γ3S4 γ2γ3γ4 Δ34 ⎜ 3 ⎟ 3 γ3S4(S1 +γ2) γ3γ4(S1 +γ2) −1 1 ⎜γ ⋅Δ (S +γ ) ⋅Δ ⎟ A41 = 1 ⋅⎜ 2 4 1 2 4 , ⎟ 2 2 Δ4 γ2γ3S4 γ3S4(S1 +γ2) ((S1 +γ2)(S2 +γ3) −γ2)S4 γ4(S1 +γ2)(S2 +γ3) +γ2 ⎜ ⎟ ⎜γ γ γ γ γ (S +γ ) γ (S +γ )(S +γ ) −γ2 (S +γ )((S +γ )(S +γ ) −γ2 −γ2(S +γ )⎟ ⎝ 234 34 1 2 4 2 3 1 2 2 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2⎠

( )

)

⎛ Δ24 ⋅ γ 1 ⋅ W ⎞ ⎜ 3 ⎟ 1 ⎜ Δ 4 ⋅ γ 2 ⋅W ⎟ X = 1 ⋅⎜ , ⎟ Δ 4 ⎜ γ 2γ 3 S 4 ⋅ γ 1 ⋅ W ⎟ ⎜γ γ γ ⋅ γ ⋅W ⎟ ⎝ 2 3 4 1 ⎠

(П.2-3)

где

Δ14 = A41 = (S1 + γ 2 )Δ24 − γ 22 Δ34 Δ24 = (S 2 + γ 3 )(S 3 + γ 4 )S 4 − γ 32 S 4 − γ 42 (S 2 + γ 3 ) = (S 2 + γ 3 ) ⋅ Δ34 − γ 32 Δ44 Δ34 = (S 3 + γ 4 )S 4 − γ 42 = (S 3 + γ 4 )Δ44 − γ 42

γ 1 = η1 ⋅ p + c1 , γ 3 = η 3 ⋅ p + c3 ,

γ 2 = η 2 ⋅ p + c2 , γ 4 = η 4 ⋅ p + c4 ,

S1 = m1 ⋅ p 2 + η1 ⋅ p + c1 ,

S 2 = m2 ⋅ p 2 + η 2 ⋅ p + c 2 ,

S 3 = m3 ⋅ p 2 + η 3 ⋅ p + c 3 ,

S 4 = m4 ⋅ p 2 + η 4 ⋅ p + c 4 .

51 2.3.3. Рекуррентный вывод уравнения, описывающего движение последнего элемента многомассовой системы

n -массовой системе (2.2.1) еще один элемент коэффициентами демпфирования η n +1 и жесткостью cn +1 .

Добавим к рассмотренной массы

mn +1

с

Обозначив через

xn +1

абсолютное перемещение добавленного

n +1 -ого

элемента, напишем систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение данной системы

m1x1(2) = −(η1 + η2 )x1(1) − (c1 + c2 )x1 + η2 x2(1) + c2 x2 + η1W (1) + c1W ,

⎫ ⎪ m2 x2(2) = η2 x1(1) + c2 x1 − (η2 + η3 )x2(1) − (c2 + c3 )x2 + η3 x3(1) + c3 x3 , ⎪ ⎪ ⎪⎪ (1) (2) (1) mn −1xn −1 = ηn −1xn − 2 + cn −1xn − 2 − (ηn −1 + ηn )xn −1 − (cn −1 + cn )xn −1 + ⎬ ⎪ + ηn xn(1) + cn xn , ⎪ mn xn(2) = ηn xn(1−)1 + cn xn −1 − (ηn + ηn +1 )xn(1) − (cn + cn +1 )xn + ηn +1xn(1+)1 + cn +1xn +1,⎪ ⎪ (2) (1) (1) ⎪⎭ mn +1xn +1 = ηn +1xn + cn +1xn − ηn +1xn +1 − cn +1xn +1, (2.3.3.1) где

mi

ηi

– масса i -ого элемента, – коэффициент демпфирования i -го элемента,

ci – жесткость i -ой упругой связи,

W

xi

– абсолютное перемещение места установки, – абсолютное перемещение i -ого элемента,

xi(κ )

– производная

k -го порядка координаты xi .

52 Если ввести обозначения:

p1,1 = −(η1 + η 2 ) / m1 ,

q1,1 = −(c1 + c 2 ) / m1 ;

p1, 2 = η 2 / m1 ,

q1, 2 = c 2 / m1 ,

pi ,i −1 = η i / mi ,

qi ,i −1 = ci / mi ,

pi ,i +1 = η i +1 / mi ,

qi ,i +1 = ci +1 / mi ,

u = mn +1 / η n +1 ,

v = с n +1 / η n +1

pi ,i = −(η i + η i +1 ) / mi ,

qi ,i = −(ci + ci +1 ) / mi ;

f = p n ,n +1 x n(1+)1 + q n ,n +1 x n +1 ,

F=

η1 m1

W (1) +

(i = 2,3,..., n ),

c1 W; m1

то система (2.4.2.1) может быть записана в виде

x1(2 ) = p1,1 x1(1) + q1,1 x1 + p1, 2 x 2(1) + q1, 2 x 2 + F ,

⎫ ⎪ (2 ) (1) (1) (1) xi = pi ,i −1, xi −1 + qi ,i −1 xi −1 + pi ,i xi + qi ,i xi + pi ,i +1 xi +1 + qi ,i +1 xi +1 ⎪ (i = 2,3,..., n − 1), ⎪⎬ ⎪ x n(2 ) = p n ,n −1, x n(1−)1 + q n ,n −1 x n −1 + p n ,n x n(1) + q n ,n x n + f , ⎪ (2 ) (1) (1) ⎪ ux n +1 + x n +1 + vx n +1 = x n + vx n . ⎭ (2.3.3.2) Если считать, что член

f

в предпоследнем уравнении системы (2.3.3.2)

отсутствует, то система состоящая из первых

n -уравнений

системы (2.3.3.2),

n -массовой системы. Если же провести с первыми n уравнениями системы (2.3.3.2) ту же процедуру (не раскрывая f , а просто дифференцируя 2n − 2 раз), то получим описывает поведение

уравнение

x n(2 n ) + a 2 n −1 x n(2 n −1) + a 2 n − 2 x n(2 n − 2 ) + ... + a1 x n(1) + a 0 x n = = rnW (n ) + rn −1W (n −1) + rn − 2W (n − 2 ) + ... + r1W (1) + r0W + + f ( 2 n − 2 ) + z n f ( 2 n − 3) +

+ z 3 f + z 2 f + z1 f . (2.3.3.3)

53 Таким образом, система (2.3.3.2) будет равносильна системе

xn(2n) + a2n−1 xn(2n−1) + a2n−2 xn(2n−2) + ... + a1 xn(1) + a0 xn =

⎫ ⎪ = rnW (n) + rn−1W (n−1) + rn−2W (n−2) + ... + r1W (1) + r0W +⎪ ⎬ + f (2n−2) + zn f (2n−3) + + z3 f + z2 f + z1 f , ⎪ ⎪ uxn(2+)1 + xn(1+)1 + vxn+1 = xn(1) + vxn . ⎭ (2.3.3.4) Если ввести оператор дифференцирования

p≡

d , dt

то система (2.3.3.4)

будет равносильна системе

(p (

2n )

)

+ a 2 n −1 p (2 n −1) + a 2 n − 2 p (2 n − 2 ) + ... + a1 p + a 0 x n =

⎫ ⎪ = rn p (n ) + rn −1 p (n −1) + ... + r1 p + r0 W + ⎪ ⎬ + ( p 2 n − 2 + z n p 2 n − 3 + + z 3 p 2 + z 2 p + z1 ) f , ⎪ ⎪ = ( p + v )x n , ⎭

(

(up

2

)

+ p + v x n +1

)

(2.3.3.5) Заметим, что уравнения системы (2.3.3.5) позволяют рекуррентно получать уравнения движения уравнению движения

n +1 -вой

массы в

n +1 -массовой

системе по

n -ой массы в n -массовой системе.

Разделив многочлен

p 2 n + a2 n−1 p 2 n−1 + a2 n−2 p 2 n−2 + ... + a1 p + a0 на

(2.3.3.6)

p+ v , сможем написать

(

p 2 n + a2 n−1 p 2 n−1 + a2 n−2 p 2 n−2 + ... + a1 p + a0 = p 2 n−1 + b2 n−2 p 2 n−2 +

+ b2 n−3 p 2 n−3 + ... + b2 p 2 + b1 p + b0 )( p + v ) + r ,

(2.3.3.7) где

b2 n −2 = a 2 n −1 − v, bk = a k +1 − v ⋅ bk +1 , r = a0 − v ⋅ b0 , (k = 0, 1, 2, ..., 2n − 3). (2.3.3.8)

54 Подставив (2.3.3.7) в первое уравнение системы (2.3.3.5) и используя второе уравнение этой системы, получим

(p

2 n −1

(

)

+ b2 n − 2 p 2 n − 2 + b2 n −3 p 2 n −3 + ... + b2 p 2 + b1 p + b0 ) up 2 + p + v ⋅ x n +1 +

(

)

+ r ⋅ x n = rn p (n ) + rn −1 p (n −1) + rn − 2 p (n − 2 ) + ... + r1 p + r0 W +

(up

2

)

+ ( p 2 n − 2 + z n p 2 n −3 +

+ z 3 p 2 + z 2 p + z1 ) f ,

+ p + v x n +1 = ( p + v )x n ,.

(2.3.3.9) Рассмотрим два случая. 1. Если

r ≠ 0 , то, умножив обе части равенства (2.3.3.9) на p+ v и еще раз

воспользовавшись вторым уравнением в (2.3.3.5), получим

(p

2n−1

(

)

+ b2n−2 p2n−2 + b2n−3 p2n−3 + ...+ b2 p2 + b1 p + b0 ) up2 + p + v ( p + v)xn+1 +

(

)

+ r up2 + p + v xn+1 − ( p + v)( p2n−2 + zn p2n−3 + + z3 p2 + z2 p + z1 ) f =

(

)

= rn p(n) + rn−1 p(n−1) + ...+ r1 p + r0 ( p + v)W.

(2.3.3.10) Последнее

уравнение

дифференциальным уравнением описывающим движение

2n+2

2n + 2

линейным

неоднородным

-го порядка относительно

xn +1 ,

n +1-го элемента.

Заметим, что в случае

(up

является

r ≠ 0 уравнение (2.3.3.10) можно записать в виде

+b2n+1 p2n+1 +b2n p2n +b2n−1 p2n−1 +b2n−2 p2n−2 +b2n−3 p2n−3 + +b3 p3 +b2 p2 +b1 p +b0 )xn+1 −

[

(

)

−( p + v)( p2n−2 + zn p2n−3 + + z3 p2 + z2 p + z1) f = rn p(n+1) + v⋅ rn + rn−1 ) p(n) + (v⋅ rn−1 + rn−2 pn+1 +

(

)

+ v⋅ r2 + r1 ) p2 + (v⋅ r1 + r0 p + v⋅ r0 ]W,

(2.3.3.11)

55 где приняты следующие обозначения

b 2 n +1 = u ⋅ b 2 n − 2 + 1 + u ⋅ v ,

b 2 n = u ⋅ b 2 n − 3 + (1 + u ⋅ v )b 2 n − 2 ,

b 2 n − 1 = u ⋅ b 2 n − 4 + (1 + u ⋅ v )b 2 n − 3 + 2 v ⋅ b 2 n − 2 + v 2 ,

b 2 n − 2 = u ⋅ b 2 n − 5 + (1 + u ⋅ v )b 2 n − 4 + 2 v ⋅ b 2 n − 3 + v 2 ⋅ b 2 n − 2 ,

b 2 n − 3 = u ⋅ b 2 n − 6 + (1 + u ⋅ v )b 2 n − 5 + 2 v ⋅ b 2 n − 4 + v 2 ⋅ b 2 n − 3 , b 3 = u ⋅ b 0 + (1 + u ⋅ v )b 1 + 2 v ⋅ b 2 + v 2 ⋅ b 3 , b 2 = (1 + u ⋅ v )b 0 + 2 v ⋅ b 1 + v 2 ⋅ b 2 + r ⋅ u ,

b1 = 2 v ⋅ b 0 + v 2 ⋅ b1 + r ,

b0 = v 2 ⋅ b0 + r ⋅ v. (2.3.3.12)

r =0 (то есть число – v является корнем многочлена (2.3.3.6)), то поведение n +1 -го элемента описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2n +1 -го порядка (2.3.3.9), которое можно 2. Если

записать в виде

(up

2n+1

+ b2n p 2n + b2n−1 p 2n−1 + b2n−2 p 2n−2 + b2n−3 p 2n−3 + b2n−4 p 2n−4 + ...

+ b2 p 2 + b1 p + b0 )xn+1 − ( p + v)( p 2n−2 + zn p 2n−3 +

(

)

+ z3 p 2 + z2 p + z1 ) f +

= rn p(n) + rn−1 p(n−1) + rn−2 p(n−2) + ... + r1 p + r0 W, (2.3.3.13) где

b2 n = u ⋅ b2 n − 2 + 1,

b2 n −1 = u ⋅ b2 n −3 + b2 n − 2 + v,

b2 n − 2 = u ⋅ b2 n − 4 + b2 n −3 + v ⋅ b2 n − 2 ,

b2 n −3 = u ⋅ b2 n −5 + b2 n − 4 + v ⋅ b2 n −3 ,

b2 n − 4 = u ⋅ b2 n −6 + b2 n −5 + v ⋅ b2 n − 4 ,

b2 = u ⋅ b0 + b1 + v ⋅ b2 ,

b1 = b0 + v ⋅ b1 ,

b0 = v ⋅ b0 . (2.3.3.14)

56 Анализируя вывод уравнения (2.3.16) методом из 2.3.1, получен метод, осуществляющий рекуррентный вывод уравнения движения добавляемого к системе элемента. Рассмотрим пример. Пример 3. Рассмотрим трёхмассовую систему. Сначала, используя метод из 2.3.1, найдём уравнение, описывающее поведение последнего элемента. Поведение трёхмассовой системы описывается следующей системой уравнений:

m1 x1(2 ) = −(η1 + η 2 )x1(1) − (c1 + c 2 )x1 + η 2 x 2(1) + c 2 x 2 + η1W (1) + c1W ,⎫ ⎪ m2 x 2(2 ) = η 2 x1(1) + c 2 x1 − (η 2 + η 3 )x 2(1) − (c 2 + c3 )x 2 + η 3 x3(1) + c3 x3 , ⎬ ⎪ m3 x3(2 ) = η 3 x 2(1) + c3 x 2 − η 3 x3(1) − c3 x3 , ⎭ (П.3-1) где

mi

– масса i -ого элемента,

ηi

– коэффициент демпфирования i -го элемента,

ci

– жесткость i -ой упругой связи,

W

– абсолютное перемещение места установки,

xi

– абсолютное перемещение i -ого элемента,

xi(κ )

– производная

k -го порядка координаты xi .

Введём следующие обозначения:

p1,1 =−(η1 +η2) /m1, q1,1 =−(c1 +c2) /m1, p1,2 =η2 /m1, q2,1 =c2 /m2,

q1,2 =c2 /m1, p2,1 =η2 /m2,

p2,2 =−(η2 +η3) /m2, q2,2 =−(c2 +c3) /m2; p2,3 =η3 /m2, q2,3 =c3 /m2,

η c f = p2,3x3(1) +q2,3x3, F= 1 W(1) + 1 W, m1 m1

u=m3 /η3,

v=с3 /η3,

57 тогда система уравнений (П.3-1) может быть записана в виде

x1(2 ) = p1,1 x1(1) + q1,1 x1 + p1, 2 x 2(1) + q1, 2 x 2 + F , ⎫ ⎪⎪ (2 ) (1) (1) x 2 = p 2,1, x1 + q 2,1 x1 + p 2, 2 x 2 + q 2, 2 x 2 + f ,⎬ ⎪ ux3(2 ) + x3(1) + vx3 = x 2(1) + vx 2 . ⎪⎭

(П.3-2)

Продифференцируем предпоследнее уравнение в системе (2) (не раскрывая f) и воспользуемся первым уравнением, тогда получим:

x2(3) = p2,3x1(2) + q2,1x1 + p2,2 x2 + q2,2 x2 + f = p2,1( p1,1x1 − q1,1x1 + p1,2 x2 + q1,2 x2 + F) + + q2,1x1 + p2,2 x2 + q2,2 x2 + f . (П.3-3) Перепишем уравнение (П.3-3) в следующем виде:

x 2(3 ) + a3, 2 x 2(2 ) + a3,1 x 2 + a3,0 x 2 = b3,1 x1 + c3,1 x1 + b3,0 F + f ,

(П.3-4)

где введены следующие обозначения:

a3,2 =−p2,2 , a3,1 =−p2,1 p1,2 −q2,2, a3,0 =−p2,1q1,2, b3,1 = p2,1 p1,1 + q2,1, c3,1 =−p2,1q1,1, b3,0 = p2,1. Аналогично продифференцируем (П.3-4), получим

x2(4) +a3,2x2(3) +a3,1x2 +a3,0x2 = b3,1x1 +c3,1x1 +b3,0F + f = b3,1(p1,1x1 −q1,1x1 + p1,2x2 +q1,2x2 + F) + +c3,1x1 +b3,0F + f , Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x2(4) +a4,3x2(3) +a4,2x2 +a4,1x2 +a4,0x2 =b4,1x1 +c4,1x1 +b4,1F +b4,0F + f ,

(П.3-5)

где введены следующие обозначения:

a4,3 = a3,2,

a4,2 = a3,1,

b4,1 =b3,1 p1,1 +c3,1, c4,1 = −b3,1q1,1,

a4,1 = a3,0 −b3,1 p1,2,

a4,0 = −b3,1q1,2,

b4,1 =b3,0,

b4,0 =b3,1.

Перепишем второе уравнение в системе (П.3-2) в следующем виде:

x 2 + a 2,1 x 2 + a 2, 0 x 2 = b2,1 x1 + c 2,1 x1 + f ,

(П.3-6)

58 где введены следующие обозначения:

a2,1 =−p2,2, a2,0 =−q2,2, b2,1 = p2,1, c2,1 =q2,1. Находим такие числа

z1

и

z2 ,

чтобы они удовлетворяли системе

уравнений (П.3-7):

⎧с 2,1 z1 + c3,1 z 2 = −c 4,1 , ⎨ ⎩b2,1 z1 + b3,1 z 2 = −b4,1 , (П.3-7) Умножим уравнения (П.3-6), (П.3-5) и (П.3-4) на z2 , z1 и 1.

x2(4) + a4,3x2(3) + a4,2 x2 + a4,1x2 + a4,0 x2 = b4,1x1 + c4,1x1 + b4,1F + b4,0F + f ,

x2(3) z2 +a3,2x2(2) z2 +a3,1x2z2 +a3,0x2z2 =b3,1x1z2 +c3,1x1z2 +b3,0Fz2 + fz2, x2 z1 + a2,1x2 z1 + a2,0 x2 z1 = b2,1x1z1 + c2,1x1z1 + fz1 . Затем сложим. В итоге получим одно уравнение вида

x 2(4 ) + a3 x 2(3) + a 2 x 2 + a1 x 2 + a0 x 2 = b1 F + b0 F + f + z 2 f + z1 f , где введены следующие обозначения:

a3 = a4,3 + z2 ,

a2 = a4,2 + a3,2 z2 + z1 ,

a1 = a4,1 + a3,1 z2 + a2,1 z1 ,

a0 = a4,0 + a3,0 z2 + a2,0 z1 ,

b1 = b4,1 ,

b0 = b4,0 + b3,0 z2 .

Заменим

F соответствующим выражением, то есть выражениями F=

η1 m1

W+

η c1 c W , F = 1 W + 1 W. m1 m1 m1

В итоге получим следующее уравнение:

x2(4 ) + a3 x2(3) + a 2 x2(2 ) + a1 x 2(1) + a0 x 2 = r2W + ... + r1W + r0W + f + z 2 f + z1 f , (П.3-8)

59 где приняты следующие обозначения:

r2 = b1

η1

, r1 = b1

m1

c1 c η + b0 1 , r0 = b0 1 . m1 m1 m1

Таким образом, система (П.3-2) будет равносильна системе

x2(4) + a3 x2(3) + a2 x2 + a1x2 + a0 x2 == r2W + r1W + r0W + f + z2 f + z1 f ,⎫ ⎬ ux3 + x3 + vx3 = x3 + vx3. ⎭ (П.3-9)

p≡

Введём оператор дифференцирования

d dt

, тогда система (П.3-9)

примет следующий вид:

( p + a p + a p + a p + a )x = (r p (up + p + v)x = ( p + v)x , 4

3

2

3

2

1

0

2

2

2

3

2

2

)

+ r1 p + r0 W + ( p2 + z2 p + z1 ) f ,⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ (П.3-10)

Разделим

многочлен

p 4 + a 3 p 3 + a 2 p 2 + a1 p + a 0

получим

на

(

p 4 + a 3 p 3 + a 2 p 2 + a1 p + a 0 = p 3 + b2 p 2 +b1 p + b0 )( p + v ) + r ,

p+ v

,

(П.3-11)

где

b0 = a3 − v, b1 = a 2 − vb2 , b2 = a3 − v,

r = a0 − v ⋅ b0 .

Подставив (П.3-11) в первое уравнение системы (П.3-10) и используя второе уравнение этой системы, получим

(p +b p +b p+b )(up + p+v)⋅ x +r⋅ x =(r p +...+r p+r )W+(p +z p+z )f. 3

2

2

2

1

0

2

3

2

2

2

1

0

2

1

(П.3-12)

60 Рассмотрим два случая. 1. Если

r ≠ 0 , то, умножив обе части равенства (П.3-12) на p+ v и еще раз

воспользовавшись вторым уравнением системы (П.3-10), получим

(

)

(

)

p3 +b2 p2 +b1 p +b0 ) up2 + p +v ( p +v)x3 + r up2 + p +v x3 −( p +v)( p3 + z2 p + z1) f =

(

)

= r2 p2 + r1 p + r0 ( p +v)W.

(П.3-13) Последнее

уравнение

дифференциальным

уравнением

является (2n+2)-го

линейным порядка

неоднородным

относительно

x3 ,

описывающим движение третьего элемента. Преобразуем полученное уравнение (П.3-13), для этого вычислим сначала:

(

)

p3 + b2 p2 + b1 p + b0 ) up2 + p + v ( p + v) = p6u + p5 (b2u +1+ uv) + p4 (b1u + b2 (1+ uv) + 2v) + + p3 (b0u + b1(1+ uv) + 2vb2 + v2 ) + p2 (b0 (1+ uv) + 2vb1 + b2v2 ) + p(2vb0 + b1v2 ) + b0v2 .

( p +v)(p3 + z2 p + z1) f = (p +v)( p3 p2,3 + p2(q2,3 + z2 p2,3) + p(z2q2,3 + z1 p2,3) + z1q2,3 )x3 = = (p4 p2,3 + p3(q2,3 + z2 p2,3 + p2,3v) + p2 (z2q2,3 + z1 p2,3 +q2,3 + z2 p2,3) + + p(z1q2,3 + z2q2,3 + z1 p2,3) + z1q2,3v)x3. Таким образом, правая часть уравнения (П.3-13) перепишется в следующем виде:

( p6u + p5 (b2u + 1+ uv) + p 4 (b1u + b2 (1+ uv) + 2v − p2,3 ) + + p3 (b0u + b1 (1+ uv) + 2vb2 + v 2 − q2,3 − z2 p2,3 − p2,3v) + + p 2 (b0 (1 + uv) + 2vb1 + b2v 2 − z2 q2,3 − z1 p2,3 − q2,3 − z2 p2,3 + ru) + + p(2vb0 + b1v 2 − z1q2,3 − z2 q2,3 − z1 p2,3 + r) + b0v 2 − z1q2,3v + rv)x3 .

61 Введём следующие обозначения:

b5 = b2 u + 1 + uv, b4 = b1u + b2 (1 + uv) + 2v − p 2,3 , b3 = b0 u + b1 (1 + uv) + 2vb2 + v 2 − q 2,3 − z 2 p 2,3 − p 2,3 v, b2 = b0 (1 + uv) + 2vb1 + b2 v 2 − z 2 q 2,3 − z1 p 2,3 − q 2,3 − z 2 p 2,3 + ru, b1 = 2vb0 + b1v 2 − z1q 2,3 − z 2 q 2,3 − z1 p 2,3 + r , b0 = b0 v 2 − z1q 2,3 v + rv3 . Таким образом, уравнение (П.3-13) примет следующий окончательный вид:

(up6 + b5 p5 + b4 p4 + b3 p3 + b2 p2 + b1 p + b0 )x3 = = (r2 p3 + (vr2 + r1) p2 + (vr1 + r0 ) p + vr0 )W. (П.3-14) 2. Если r = 0 (то есть число ν – является корнем многочлена (П.3-11)), то поведение

третьего

элемента

описывается

линейным

неоднородным

дифференциальным уравнением пятого порядка, если учесть, что

( p3 + p 2b2 + pb1 + b0 )(up 2 + p + v) = p5u + p 4 (ub2 + 1) + p3 (b1u + b2 + v) + + p 2 (ub0 + b1 + b2v) + p(b0 + b1v) + b0v . То уравнение (П.3-13) примет следующий вид:

( p5u + p4 (b2u +1) + p3 (b1u + b2 + v − p2,3 ) + p2 (b0u + b1 + vb2 − q2,3 − z2 p2,3 ) + + p(b0 + vb1 − z2q2,3 − z1 p2,3 ) + b0v − z1q2,3 )x3 = (r2 p3 + (vr2 + r1) p2 + (vr1 + r0 ) p + vr0 )W.

62 Введём следующие обозначения:

b4 = b2 u + 1, b3 = b1u + b2 + v − p 2,3 , b2 = b0 u + b1 + b2 v − q 2,3 − z 2 p 2,3 , b1 = b1v − z 2 q 2,3 − z1 p 2,3 , b0 = b0 v − z1 q 2,3 . Таким образом, для данного случая уравнение (П.3-13) примет следующий вид:

(up 5 + b4 p 4 + b3 p 3 + b2 p 2 + b1 p + b0 ) x3 = = (r2 p 3 + (vr2 + r1 ) p 2 + (vr1 + r0 ) p + vr0 )W . (П.3-15)

Пример 4. Рассмотрим семимассовую систему. Для семимассовой системы:

⎧m1 x1 ⎪ ⎪m 2 x 2 ⎪m x ⎪ 3 3 ⎪ ⎨m 4 x 4 ⎪ ⎪m 5 x 5 ⎪m x ⎪ 6 6 ⎪⎩m7 x7

= −(η1 + η 2 ) x1(1) − (c1 + c 2 ) x1 + η 2 x 2 + c 2 x 2 + η1W + c1W = η 2 x1 + c 2 x1 − (η 2 + η 3 ) x 2 − (c 2 + c3 ) x 2 + η 3 x3 + c3 x3 = η 3 x 2 + c3 x 2 − (η 3 + η 4 ) x3 − (c3 + c 4 ) x3 + η 4 x 4 + c 4 x 4 = η 4 x3 + c 4 x3 − (η 4 + η 5 ) x 4 − (c 4 + c5 ) x 4 + η 5 x5 + c5 x5 = η 5 x 4 + c5 x 4 − (η 5 + η 6 ) x5 − (c5 + c6 ) x5 + η 6 x6 + c6 x6 = η 6 x5 + c6 x5 − (η 6 + η 7 ) x6 − (c6 + c7 ) x6 + η 7 x 7 + c7 x7 = η 7 x6 + c7 x6 − η 7 x7 − c7 x7 (П.4-1)

63 Перепишем систему (П.4-1) в следующем виде:

⎧ x1 = p1,1 x1 + q1,1 x1 + p1, 2 x2 + q1, 2 x2 + F , ⎪x = p x +q x + p x +q x + p x +q x , 2,1 1 2,1 1 2, 2 2 2, 2 2 2, 3 3 2, 3 3 ⎪ 2 ⎪ x3 = p3, 2 x2 + q3, 2 x2 + p3,3 x3 + q3,3 x3 + p3, 4 x4 + q3, 4 x4 , ⎪ ⎨ x4 = p4,3 x3 + q4,3 x3 + p4, 4 x4 + q4, 4 x4 + p4,5 x5 + q4,5 x5 , ⎪x = p x + q x + p x + q x + p x + q x , 5, 4 4 5, 4 4 5, 5 5 5, 5 5 5, 6 6 5, 6 6 ⎪ 5 ⎪ x6 = p6,5 x5 + q6,5 x5 + p6,6 x6 + q6,6 x6 + f , ⎪x = p x + q x + p x + q x . 7, 6 6 7,6 6 7, 7 7 7, 7 7 ⎩ 7

(П.4-2)

где приняты следующие обозначения:

p11 = − p1,2 =

η1 +η2 m1

η2 m1

p6,6 = −

, q11 = − q1,2 =

,

η6 m6

c +c η +η c1 + c2 , qii = − i i+1 , pii = − i i+1 (i = 2,3,...5), m1 mi mi

c2 , m1

q6,6 = −

,

F=

Рассмотрим

c6 , m6

η1 m1

W+

первые

qi,i−1 =

ci , mi

pi,i−1 =

qi,i+1 =

ci+1 , mi

pi,i+1 =

c1 W, m1

ηi

(i = 2,...,6),

mi

ηi+1

(i = 2,...,5).

mi

f = p6,7 x7 + q6,7 x7 .

шесть

уравнений

системы

(П.4-2).

Продифференцируем обе части шестого уравнения:

x6 = p6,5 x5 + q6,5 x5 + p6, 6 x6 + q6, 6 x6 + f . Заменим в нем x5 соответствующим выражением из предпоследнего уравнения в (П.4-2), получим уравнение

x6 + x6 (−p6,6 ) + x6 (−q6,6 − p5,6 p6,5 ) + x6 (−q5,6 p6,5 ) = .

.

= x4 ( p6,5 p5,4 ) + x4 (q5,4 p6,5 ) + x5 ( p6,5 p5,5 + q6,5 ) + x5 ( p6,5q5,5 ) + f

64 Перепишем получившееся уравнение в следующем виде:

x6(3) + a3, 2 x6( 2) + a3,1 x6(1) + a3,0 x6 = b3, 4 x 4(1) + c3, 4 x 4 + b3,5 x5(1) + c3,5 x5 , (П.4-3) где приняты следующие обозначения:

a 3, 2 = − p 6 , 6 , a 3,1 = − q 6 , 6 − p 6 ,5 p 5, 6 , a 3, 0 = − p 6 ,5 q 5, 6 , b3, 4 = p 6,5 p 5, 4 , b3,5 = p 6,5 p 5,5 + q 6,5 , c3, 4 = p 6,5 q 5, 4 ,

c 3, 5 = p 6 , 5 q 5 , 5 .

Продифференцируем уравнение (П.4-3), заменим в нем

x4

и

x5

соответствующим выражением из системы (П.4-2), получим уравнение

x6(4) + x6(3) (a3,2 ) + x6(2) (a3,1 ) + x16 (a3,0 − b3,5 p5,6 ) + x6 (−b3,5q5,6 ) + f = = x3(1) (b3,4 p4,3 ) + x3 (b3,4q4,3 ) + x4(1) (b3,4 p4,4 + C3,4 + b3,5 p5,4 ) + x4 (b3,4q4,4 + b3,5q5,4 ) + + x5(1) (b3,4 p4,5 + C3,5 + b3,5 p5,5 ) + x5 (b3,4q4,5 + b3,5q5,5 ). Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x6(4) + a4,3 x6(3) + a4,2 x6(2) + a4,1 x6(1) + a4,0 x6 + = = b4,3 x3(1) + C4,3 x3 + b4,4 x4(1) + C4,4 x4 + b4,5 x5(2) + C4,5 x5(1) + f , (П.4-4) где приняты следующие обозначения:

a 4,3 = a 3, 2 , a 4, 2 = a 3,1 , a 4,1 = a 3, 0 − b3,5 p 5, 6 , a 4, 0 = − a 3,5 q 5, 6 , b4,3 = b3,4 p4,3 , b4,4 = b3,4 p4,4 + b3,5 p5,4 + c3,4 , b4,5 = b3,4 p4,5 + b3,5 p5,5 + c3,5,

c4,3 = b3,4q4,3, c4,4 = b3,4q4,4 +b3,5q5,4 , c4,5 = b3,4q4,5 +b3,5q5,5.

65 Аналогично продифференцируем уравнение (П.4-5), после всех замен, получим

x6(5) + x6(4) (a4,3 ) + x6(3) (a4,2 ) + x6(2) (a4,1) + x6(1) (a4,0 − b4,5 p5,6 ) + x6 (−b4,5q5,6 ) = = x2(1) (b4,3 p3,2 ) + x2 (b4,3q3,2 ) + x3(1) (b4,3 p3,3 + C4,3 + b4,4 p4,3 ) + x3 (b4,3q3,3 + b4,4q4,3 ) + + x4(1) (b4,3 p3,4 + b4,4 p4,4 + b4,5 p5,4 + C4,4 ) + x4 (b4,3q3,4 + b4,4q4,4 + b4,5q5,4 ) + + x5(1) (b4,4 p4,5 + b4,5 p5,5 + C4,5 ) + x5 (b4,4q4,5 + b4,5q5,5 ) + f (3) . Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x65 + a5, 4 x6( 4 ) + a5,3 x6( 3) + a5, 2 x6( 2 ) + a5,1 x6(1) + a5, 0 x6 + = = b5, 2 x 2(1) + C 5, 2 x 2 + b5,3 x3(1) + C 5,3 x3 + b5, 4 x 4(1) + b5,5 x5(1) + C 5,5 x5 + f

( 3)

,

(П.4-5) где приняты следующие обозначения:

a 5, 4 = a 4 , 3 ,

a 5, 3 = a 4 , 2 ,

a5,1 = a 4,0 − b4,5 p5,6 , b5, 2 = b4,3 p3, 2 ,

a5, 2 = a 4,1 , a5, 0 = −b4,5 q5, 6 b5,3 = b4,3 p3,3 + b4, 4 p 4,3 + c 4,3 ,

b5, 4 = b4,3 p3, 4 + b4, 4 p 4, 4 + b4,5 p5, 4 + c 4, 4 , b5,5 = b4, 4 p 4,5 + b4,5 p5,5 + c 4,5

c5, 2 = b4,3 q3, 2 ,

c5,3 = b4,3 q3,3 + b4, 4 q 4,3 ,

c5, 4 = b4,3 q3, 4 + b4, 4 q 4, 4 + +b4,5 q5, 4 ,

c5,5 = b4, 4 q 4,5 + b4,5 p5,5 .

Продифференцируем уравнение (П.4-5), заменим в нем

x2 , x3 , x4 и x5

соответствующим выражением из системы (П.4-2), получим уравнение

x6(6) + a5,4 x6(5) + x6(4) (a5,3 ) + x6(3) (a5,2 ) + x6(2) (a5,1 ) + x6(1) (a5,0 − b5,5 p5,6 ) + x6 (−b5,5q5,6 ) = = x1(1) (b5,2 p2,1 ) + x1 (b5,2q2,1 ) + x2(1) (b5,2 p2,2 + C5,2 + b5,3 p3,2 ) + x2 (b5,2q2,2 + b5,3q3,2 ) + + x3(1) (b5,2 p2,3 + b5,3 p3,3 + C5,3 + b5,4 p4,3 ) + x3 (b5,2q2,3 + b5,3q3,3 + b5,4q4,3 ) + + x4(1) (b5,3 p3,4 + b5,4 p4,4 + C5,4 + b5,5 p5,4 ) + x4 (b5,3q3,4 + b5,4q4,4 + b5,5q5,4 ) + + x5(1) (b5,4 p4,5 + b5,5 p5,5 + C5,5 ) + x5 (b5,4q4,5 + b5,5q5,4 ) + f (4) .

66 Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x6(6) + a6,5 x6(5) + a6,4 x6(4) + a6,3x6(3) + a6,2 x6(2) + a6,1x6(1) + a6,0 x6 = b6,1x1(1) + C6,1x1 + + b6,2 x2(1) + C6,2 x2 + b6,3 x3(1) + C6,3 x3 + b6,4 x4(1) + C6,4 x4 + b6,5 x5(1) + C6,5 x5 + f (4) , (П.4-6) где приняты следующие обозначения:

a6,5 =a5,4, a6,4 =a5,3, a6,3 =a5,2, a6,2 = a5,1, a6,1 = a5,0 −b5,5 p5,6, a6,0 = −b5,5q5,6 b6,1 =b5,2 p2,1,

b6,2 =b5,2 p2,2 +b5,3 p3,2 +c5,2,

b6,4 =b5,3 p3,4 +b5,4 p4,4 +b5,5 p5,4 +c5,4,

b6,3 =b5,2 p2,3 +b5,3 p3,3 +b5,4 p4,3 +c5,3, b6,5 =b5,4 p4,5 +b5,5 p5,5 +c5,5,

c6,1 =b5,2q2,1, c6,2 =b5,2q2,2 +b5,3q3,2,

c6,3 =b5,2q2,3 +b5,3q3,3 +b5,4q4,3,

c6,4 =b5,3q3,4 +b5,4q4,4 +b5,5q5,4,

c6,5 =b5,4q4,5 +b5,5q5,5.

Аналогично продифференцируем уравнение (П.4-6), после всех замен, получим

x6(7) + a6,5 x6(6) + a6,4 x6(5) + x6(4) (a6,3 ) + x6(3) (a6,2 ) + x6(2) (a6,1 ) + x6(1) (a6,0 − b6,5 p5,6 ) + + x6 (−b6,5 q5,6 ) = x1(1) (b6,1 p1,1 + C6,1 + b6,2 p2,1 ) + x1 (b6,1q1,1 + b6,2 q2,1 ) + + x2(1) (b6,1 p1,2 + b6,2 p2,2 + C6,2 + b6,3 p3,2 ) + x2 (b6,1q1,2 + b6,2 q2,2 + b6,3q2,3 ) + + x3(1) (b6,2 p2,3 + b6,3 p3,3 + C6,3 + b6,4 p4,3 ) + x3 (b6,2 q2,3 + b6,3q3,3 + b6,4 q4,3 ) + + x4(1) (b6,3 p3,4 + b6,4 p4,4 + C6,4 + b6,5 p5,4 ) + x4 (b6,3q3,4 + b6,4 q4,4 + b6,5q5,4 ) + + x5(1) (b6,4 p4,5 + b6,5 p5,5 + C6,5 ) + x5 (b6,4 q4,5 + b6,5q5,5 ) + b6,1F + f (5) . Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x6( 7 ) + a 7, 6 x6( 6) + a 7,5 x6(5) + a7, 4 x6( 4) + a7,3 x6(3) + a 7, 2 x6( 2) + a7,1 x6(1) + a7, 0 x6 = = b7,1 x1(1) + C 7,1 x1 + b7, 2 x 2(1) + C 7, 2 x 2 + b7 ,3 x3(1) + C 7,3 x3 + + b7, 4 x 4(1) + C 7, 4 x 4 + b7,5 x5(1) + C 7,5 x7,5 + b7, 0 F + f (5) , (П.4-7)

67 где приняты следующие обозначения:

a 7 , 6 = a 6 ,5 , a 7 ,5 = a 6 , 4 , a 7 , 4 = a 6 ,3 , a 7 ,3 = a 6 , 2 , α 7 , 2 = α 6,1 ,

a 7 ,1 = a 6, 0 − b6,5 p5, 6 , a7 , 0 = −b6.5 q 5, 6 , b7 ,0 = b6,1 ,

b7 ,1 = b6,1 p1,1 + b6, 2 p 2,1 + C 6,1 ,

C 7 ,1 = b6 ,1 q1,1 + b6 , 2 q 2 ,1 ,

b7, 2 = b6,1 p1, 2 + b6, 2 p2, 2 + b6,3 p3, 2 + C6, 2 , C7, 2 = b6,1q1, 2 + b6, 2 q2, 2 + b6,3 q3, 2 , b7,3 = b6, 2 p2,3 + b6,3 p3,3 + b6, 4 p 4,3 + C6,3 , C 7 ,3 = b6, 2 q 2,3 + b6,3 q 3,3 + b6, 4 q 4,3 , b7 , 4 = b6,3 p3, 4 + b6, 4 p 4, 4 + b6,5 p 5, 4 + C 6, 4 , C 7 , 4 = b6,3 q 3, 4 + b6, 4 q 4, 4 + b6,5 q 5, 4 , b7 ,5 = b6, 4 p 4,5 + b6,5 p 5,5 + C 6,5 ,

C 7 ,5 = b6, 4 q 4,5 + b6,5 q5,5 .

Продифференцируем уравнение (П.4-7), после всех замен, получим:

x6(8) + a7,6 x6(7) + a7,5 x6(6) + a7,4 x6(5) + x6(4) (a7,3 ) + x6(3) (a7,2 ) + x6(2) (a7,1) + x6(1) (a7,0 −b7,5 p5,6 ) + + x6 (−b7,5q5,6 ) = x1(1) (b7,1 p1,1 + b7,2 p1,2 + C7,1) + x1 (b7,1q1,1 + b7,2 p2,1) + + x2(1) (b7,1 p1,2 + b7,2 p2,2 + C7,2 + b7,3 p3,2 ) + x2 (b7,1q1,2 + b7,2q2,2 + b7,3q2,3 ) + + x3(1) (b7,2 p2,3 + b7,3 p3,3 + C7,3 + b7,4 p4,3 ) + x3 (b7,2q2,3 + b7,3q3,3 + b7,4q4,3 ) + + x4(1) (b7,3 p3,4 + b7,4 p4,4 + C7,4 + b7,5 p5,4 ) + x4 (b7,3q3,4 + b7,4q4,4 + b7,5q5,4 ) + + x5(1) (b7,4 p4,5 + b7,5 p5,5 + C7,5 ) + x5 (b7,4q4,5 + b7,5q5,5 ) + b7,0 F(1) + f (6) + b7,1F. Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x6(8) + a8,7 x6(7) + a8,6 x6(6) + a8,5 x6(5) + a8,4 x6(4) + a8,3 x6(3) + a8,2 x6(2) + a8,1 x6(1) + a8,0 x6 = = b8,1 x1(1) + C8,1 x1 + b8,2 x2(1) + C8,2 x2 + b8,3 x3(1) + C8,3 x3 + b8,4 x4(1) + + C8,4 x4 + b8,5 x5(1) + C8,5 x7,5 + b8,1 F + b8,0 F + f (6) , (П.4-8)

68 где приняты следующие обозначения:

a8, 7 = a 7 , 6 , a8, 6 = a 7 ,5 , a8,5 = a 7 , 4 , a8, 4 = a 7 ,3 , a8,3 = a 7 , 2 , a8, 2 = a 7 ,1 , a8,1 = a 7 , 0 − b7 ,5 p 5, 6 , a 8, 0 = −b7 , 5 q 5, 7 , b8,0 = b7,1 , b8,1 = b7 , 0 b8,1 = b7 ,1 p1,1 + b7 , 2 p 2,1 + C 7 ,1

C 8,1 = b7 ,1 q1,1 + b7 , 2 q 2,1

b8, 2 = b7 ,1 p1, 2 + b7 , 2 p 2, 2 + C 7 , 2 + b7 ,3 p 3, 2 C8, 2 = b7 ,1 q1, 2 + b7 , 2 q 2, 2 + b7 ,3 q 2,3

b8,3 = b7 , 2 p 2,3 + b7 ,3 p3,3 + C 7 ,3 + b7 , 4 p 4,3 C 8,3 = b7 , 2 q 2 ,3 + b7 ,3 q 3,3 + b7 , 4 q 4,3 b8, 4 = b7 ,3 p3, 4 + b7 , 4 p 4, 4 + C 7 , 4 + b7 ,5 p 5, 4 C 8, 4 = b7 ,3 q 3, 4 + b7 , 4 q 4 , 4 + b7 ,5 q 5, 4

b8,5 = b7 , 4 p 4 ,5 + b7 ,5 p 5,5 + C 7 ,5

C 8,5 = b7 , 4 q 4,5 + b7 ,5 q 5,5

Продифференцируем уравнение (П.4-8), после всех замен, получим

x6(9) + a8,7 x6(8) + a8,6 x6(7) + a8,5 x6(6) + a8,4 x6(5) + x6( 4) (a8,3 ) + x6(3) (a8,2 ) + x6( 2) (a8,1 ) + + x6(1) (a8,0 − b8,5 p5,6 ) + x6 (−b8,5 q5,6 ) = x1(1) (b8,1 p1,1 + b8,2 p1,2 + C8,1 ) + + x1 (b8,1q1,1 + b8,2 p2,1 ) + x2(1) (b8,1 p1,2 + b8,2 p2,2 + C8,2 + b8,3 p3,2 ) + + x2 (b8,1q1,2 + b8,2 q2,2 + b8,3 q3,2 ) + x3(1) (b8,2 p2,3 + b8,3 p3,3 + C8,3 + b8,4 p4,3 ) + + x3 (b8,2 q2,3 + b8,3q3,3 + b8,4 q4,3 ) + x4(1) (b8,3 p3,4 + b8,4 p4,4 + C8,4 + b8,5 p5,4 ) + + x4 (b8,3 q3,4 + b8,4 q4,4 + b8,5 q5,4 ) + x5(1) (b8,4 p4,5 + b8,5 p5,5 + C8,5 ) + + x5 (b8,4 q4,5 + b8,5 q5,5 ) + b8,1 F + b8,1 F ( 2) + b8,0 F (1) + f (7) , Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x6(9 ) + a9,8 x6(8) + a9, 7 x6( 7 ) + a9, 6 x6( 6 ) + a9,5 x6( 5) + a9, 4 x 6( 4) + a9,3 x6(3) + a9, 2 x 6( 2 ) + + a9,1 x 6(1) + a9, 0 x 6 = b9,1 x1(1) + C 9,1 x1 + b9, 2 x 2(1) + C 9, 2 x 2 + b9,3 x3(1) + + C 9,3 x3 + b9, 4 x 4(1) + C 9, 4 x 4 + b9,5 x5(1) + C 9,5 x9,5 + + b9, 2 F ( 2 ) + b9,1 F (1) + b9, 0 F + f

(7)

, (П.4-9)

69 где приняты следующие обозначения:

α 9,8 = α 8, 7 , α 9,7 = α 8,6 , α 9, 6 = α 8,5 , α 9,5 = α 8, 4 , α 9,3 = α 8, 2 , α 9, 2 = α 8,1 , α 9,1 = (α 8, 0 − b8,5 p 5, 6 ) , α 9 , 0 = −b8,5 q 5, 6 , b9, 2

b9,1 = b8,1 p1,1 + b8, 2 p 2,1 + C8,1 ,

= b8,1 , b9,1 = b8,0 , b9 , 0 = b8 ,1 , C 9,1 = b8,1 q1,1 + b8, 2 q 2,1 ,

b9,2 = b8,1 p1,2 + b8,2 p2,2 + C8,2 + b8,3 p3,2 , C9, 2 = b8,1 q1, 2 + b8, 2 q 2, 2 + b8,3 q 2,3 , b9,3 = b8, 2 p 2,3 + b8,3 p3,3 + C8,3 + b8, 4 p 4,3 , C 9 ,3 = b8, 2 q 2 ,3 + b8,3 q 3,3 + b8, 4 q 4 ,3 ,

b9 , 4 = b8,3 p 3, 4 + b8, 4 p 4 , 4 + C 8, 4 + b8,5 p 5, 4 , C 9, 4 = b8,3 q 3, 4 + b8, 4 q 4, 4 + b8,5 q5, 4 ,

b9,5 = b8, 4 p 4,5 + b8,5 p5,5 + C8,5 ,

C 9 ,5 = b8, 4 q 4 ,5 + b8,5 q5,5 .

Продифференцируем уравнение (П.4-9), после всех замен, получим

x6(10) + a9,8 x6(9) + a9,7 x6(8) + a9,6 x6(7) + a9,5 x6(6) + a9,4 x6(5) + x6(4) (a9,3 ) + x6(3) (a9,2 ) + x6(2) (a9,1 ) + + x6(1) (a9,0 − b9,5 p5,6 ) + x6 (−b9,5q5,6 ) = x1(1) (b9,1 p1,1 + C9,1 + b9,2 p1,2 ) + + x1 (b9,1q1,1 + b9,2 p2,1) + x2(1) (b9,1 p1,2 + b9,2 p2,2 + C9,2 + b9,3 p3,2 ) + + x2 (b9,1q1,2 + b9,2q2,2 + b9,3q3,2 ) + x3(1) (b9,2 p2,3 + b9,3 p3,3 + C9,3 + b9,4 p4,3 ) + + x3 (b9,2q2,3 + b9,3q3,3 + b9,4q4,3 ) + x4(1) (b9,3 p3,4 + b9,4 p4,4 + C9,4 + b9,5 p5,4 ) + + x4 (b9,3q3,4 + b9,4q4,4 + b9,5q5,4 ) + x5(1) (b9,4 p4,5 + b9,5 p5,5 + C9,5 ) + + x5 (b9,4q4,5 + b9,5q5,5 ) + b9,2 F (3) + b9,1F (2) + b9,0 F + b9,1F + f (8) . Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x6(10) + a10,9 x6(9) + a10,8 x6(8) + a10,7 x6(7) + a10,6 x6(6) + a10,5 x6(5) + a10,4 x6( 4) + a10,.3 x6(3) + + a10.,2 x6(2) + a10,1 x6(1) + a10,0 x6 = b10,1 x1(1) + C10,1 x1 + b10,2 x2(1) + C10,2 x2 + + b10,3 x3(1) + C10,3 x3 + b10,4 x4(1) + C10,4 x4 + b10,5 x5(1) + C10,5 x5 + + b10,3 F (3) + b10,2 F (2) + b10,1 F (1) + b10,0 F + f (8) . (П.4-10)

70 где приняты следующие обозначения:

α 10,9 = α 9,8 , α 10,8 = α 9, 7 , α 10,7 = α 9, 6 , α 10, 6 = α 9,5 , α 10,5 = α 9, 4 ,

α 10 , 4 = α 9 ,3 , a10 ,3 = a 9 , 2 , α 10, 2 = α 9,1 , α 10 ,1 = (α 9, 0 − b9,5 p 5, 6 ) ,

α 10 ,0 = b9,5 q 5,6 , b10,3 = b9, 2 , b10, 2 = b9,1 , b10,1 = b9, 0 , b10 , 0 = b9 ,1 ,

b10 ,1 = b9,1 p1,1 + b9, 2 p 2,1 + C 9,1 ,

C10,1 = b9,1 q1,1 + b9, 2 q 2,1 ,

b10,2 = b9,1 p1,2 + b9,2 p2,2 + C9,2 + b9,3 p3,2 , C10, 2 = b9,1 q1, 2 + b9, 2 q 2, 2 + b9,3 q3, 2 , b10,3 = b9,2 p2,3 + b9,3 p3,3 + C9,3 + b9,4 p4,3 , C10 ,3 = b9, 2 q 2,3 + b9,3 q 3,3 + b9, 4 q 4,3 , b10,4 = b9,3 p3,4 + b9,4 p4,4 + C9,4 + b9,5 p5,4 , C10, 4 = b9,3 q3, 4 + b9, 4 q 4, 4 + b9,5 q5, 4 , b10,5 = b9, 4 p 4,5 + b9,5 p 5,5 + C 9,5 ,

C10,5 = b9, 4 q 4,5 + b9,5 q 5,5 .

Продифференцируем уравнение (П.4-10), после всех замен, получим

x6(11) +a10,9x6(10) +a10,8x6(9) +a10,7 x6(8) +a10,6x6(7) +a10,5x6(6) +a10,4x6(5) +x6(4) (a10,3)+x6(3) (a10,2 )+x6(2) (a10,1)+ +x6(1) (a10,0 −b10,5 p5,6 )+x6 (−b10,5q5,6 ) = x1(1) (b10,1 p1,1 +C10,1 +b10,2 p1,2 )+ +x1 (b10,1q1,1 +b10,2 p2,1)+x2(1) (b10,1 p1,2 +b10,2 p2,2 +C10,2 +b10,3 p3,2 )+ +x2 (b10,1q1,2 +b10,2q2,2 +b10,3q2,3)+x3(1) (b10,2 p2,3 +b10,3 p3,3 +C10,3 +b10,4 p4,3)+ +x3 (b10,2q2,3 +b10,3q3,3 +b10,4q4,3)+x4(1) (b10,3 p3,4 +b10,4 p4,4 +C10,4 +b10,5 p5,4 )+ +x4 (b10,3q3,4 +b10,4q4,4 +b10,5q5,4 )+x5(1) (b10,4 p4,5 +b10,5 p5,5 +C10,5 )+ +x5 (b10,4q4,5 +b10,5q5,5 )+b10,3F(4) +b10,2F(3) +b10,1F(2) +b10,0F(1) +b10,1F+ f (9) .

71 Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x6(11) + a11,10 x6(10) + a11,.9 x6(9) + a11,8 x6(8) + a11,7 x6(7) + a11,6 x6(6) + a11,.5 x6(5) + a11,4 x6(4) + + a11,3 x6(3) + a11.,2 x6(2) + a11,1 x6(1) + a11,0 x6 = b11,1 x1(1) + C11,1 x1 + b11,2 x2(1) + C11,2 x2 + + b11,3 x3(1) + C11,3 x3 + b11,4 x4(1) + C11,4 x4 + b11,5 x5(1) + C11,5 x5 + + b11,4 F (4) + b11,3 F (3) + b11,2 F (2) + b11,1F (1) + b11,0 F + f (9) , (П.4-11) где приняты следующие обозначения:

α 11,10 = α 10,9 , α 11,9 = α 10,8 , α 11,8 = α 10 , 7 , α 11,7 = α 10 , 6 , α 11, 6 = α 10,5 , α 11,5 = α 10 , 4 , a11, 4 = a10,3 , α 11,3 = α 10, 2 , a11, 2 = a10,1 ,

α 11,1 = (α 10, 0 − b10,5 p5, 6 ) , α 11, 0 = −b10,5 q 5, 6 , b11, 4 = b10,3 , b11,3 = b10, 2 , b11, 2 = b10,1 , b11,1 = b10, 0 , b11, 0 = b10 ,1 , b11,1 = b10,1 p1,1 + b10, 2 p 2,1 + C10,1 ,

C11,1 = b10 ,1 q1,1 + b10 , 2 q 2 ,1 ,

b11,2 = b10,1 p1,2 + b10,2 p2, 2 + C10,2 + b10,3 p3,2 , C11, 2 = b10 ,1 q1, 2 + b10 , 2 q 2 , 2 + b10 ,3 q 2 , 3 ,

b11,3 = b10,2 p2,3 + b10,3 p3,3 + C10,3 + b10,4 p4,3 , C11,3 = b10, 2 q 2,3 + b10 ,3 q 3,3 + b10 , 4 q 4,3 ,

b11,4 = b10,3 p3,4 + b10,4 p4,4 + C10,4 + b10,5 p5,4 , C11,4 = b10,3 q3,4 + b10,4 q4,4 + b10,5 q5,4 ,

b11,5 = b10 , 4 p 4,5 + b10 ,5 p 5,5 + C10 ,5 ,

C11,5 = b10 , 4 q 4,5 + b10 ,5 q 5,5 .

72 Продифференцируем уравнение (П.4-11), после всех замен, получим

x6(12) + a11,10x6(11) + a11,9 x6(10) + a11,8 x6(9) + a11,7 x6(8) + a11,6 x6(7) + a11,5 x6(6) + a11,4 x6(5) + x6(4) (a11,3 ) + + x6(3) (a11,2 ) + x6(2) (a11,1) + x6(1) (a11,0 − b11,5 p5,6 ) + x6 (−b11,5q5,6 ) = = x1(1) (b11,1 p1,1 + C11,1 + b11,2 p1,2 ) + x1 (b11,1q1,1 + b11,2 p2,1) + + x2(1) (b11,1 p1,2 + b11,2 p2,2 + C11,2 + b11,3 p2,3 ) + x2 (b11,1q1,2 + b11,2q2,2 + b11,3q2,3 ) + + x3(1) (b11,2 p2,3 + b11,3 p3,3 + C11,3 + b11,4 p4,3 ) + x3 (b11,2q2,3 + b11,3q3,3 + b11,4q4,3 ) + + x4(1) (b11,3 p3,4 + b11,4 p4,4 + C11,4 + b11,5 p5,4 ) + x4 (b11,3q3,4 + b11,4q4,4 + b11,5q5,4 ) + + x5(1) (b11,4 p4,5 + b11,5 p5,5 + C11,5 ) + x5 (b11,4q4,5 + b11,5q5,5 ) + b11,4 F(5) + + b11,3F(4) + b11,2 F(3) + b11,1F(2) + b11,0 F(1) + b11,1F + f (10) . Перепишем полученное уравнение в следующем виде:

x6(12) + a12,11x6(11) + a12,.10 x6(10) + a12,9 x6(9) + a12,8 x6(8) + a12,7 x6(7) + a12,6 x6(6) + a12,.5 x6(5) + + a12,4 x6(4) + a12,3 x6(3) + a12.,2 x6(2) + a12,1 x6(1) + a12,0 x6 = b12,1 x1(1) + C12,1 x1 + + b12,2 x2(1) + C12,2 x2 + b12,3 x3(1) + C12,3 x3 + b12,4 x4(1) + C12,4 x4 + b12,5 x5(1) + + C12,5 x5 + b12,5 F (5) + b12,4 F (4) + b12,3 F (3) + b12,2 F (2) + b12,1 F (1) + b12,0 F + f (10) , (П.4-12) где приняты следующие обозначения:

α 12 ,11 = α 11,10 , α 12,10 = α 11,9 , α 12,9 = α 11,8 , α 12,8 = α 11, 7 , α 12, 7 = α 11, 6 , α 12,6 = α 11,5 , α 12 , 5 = α 11, 4 , a12 , 4 = a11,3 , α 12,3 = α 11, 2 , a12, 2 = a11.1 ,

α 12 ,1 = α 11, 0 − b11,5 p 5, 6 , α 12, 0 = −b11,5 q 5,6 , b12,5 = b11, 4 , b12, 4 = b11,3 , b12,3 = b11, 2 , b12, 2 = b11,1 , b12,1 = b11, 0 , b12 , 0 = b11,1 , b12,1 = b11,1 p1,1 + b11, 2 p 2,1 + C11,1 , C12 ,1 = b11,1 q1,1 + b11, 2 q 2,1 ,

73

b12,2 = b11,1 p1,2 + b11,2 p2,2 + C11,2 + b11,3 p3,2 , C12, 2 = b11,1q1, 2 + b11, 2 q2, 2 + b11,3 q3, 2

b12,3 = b11,2 p2,3 + b11,3 p3,3 + C11,3 + b11,4 p4,3 , C12,3 = b11, 2 q 2,3 + b11,3 q3,3 + b11, 4 q 4,3 , b12,4 = b11,3 p3,4 + b11,4 p4,4 + C11,4 + b11,5 p5,4 , C12,4 = b11,3q3,4 + b11,4q4,4 + b11,5q5,4 , b12 , 5 = b11, 4 p 4 , 5 + b11, 5 p 5 , 5 + C11, 5 , C12 ,5 = b11, 4 q 4,5 + b11,5 q 5,5 . Перепишите предпоследнее уравнение в следующем виде:

x6( 2) + a 2,1 x6(1) + a 2,0 x6 = b2,5 x5(1) + C 2,5 x5 + f ,

(П.4-13)

где введены следующие обозначения: a 2 ,1 = − p 6 , 6 , a 2 , 0 = − q 6 , 6 , b2, 5 = p 6 ,5 ,

C 2,5 = q 6 ,5 .

Найдём числа

z1 , z 2 .......... , z10 из следующей системы уравнений:

⎧C2,5 z1 + C3,5 z2 + C4,5 z3 + C5,5 z4 + C6,5 z5 + C7,5 z6 + C8,5 z7 + C9.5 z8 + C10,5 z9 + C11,5 z10 = −C12,5 ⎪ b2,5 z1 + b3,5 z2 + b4,5 z3 + b5,5 z4 + b6,5 z5 + b7,5 z6 + b8,5 z7 + b9.5 z8 + b10,5 z9 + b11,5 z10 = −b12,5 ⎪ ⎪ C3,4 z2 + C4,4 z3 + C5,4 z4 + C6,4 z5 + C7,4 z6 + C8,4 z7 + C9,4 z8 + C10,4 z9 + C11,4 z10 = −C12,5 ⎪ b3,4 z2 + b4,4 z3 + b5,4 z4 + b6,4 z5 + b7,4 z6 + b8,4 z7 + b9,4 z8 + b10,4 z9 + b11,4 z10 = −b12,5 ⎪ ⎪⎪ C4,3 z3 + C5,3 z4 + C6,3 z5 + C7,3 z6 + C8,3 z7 + C9,3 z8 + C10,3 z9 + C11,43z10 = −C12,5 ⎨ b4,3 z3 + b5,3 z4 + b6,3 z5 + b7,3 z6 + b8,3 z7 + b9,3 z8 + b10,3 z9 + b11,43z10 = −b12,5 ⎪ ⎪ C5,2 z4 + C6,2 z5 + C7,2 z6 + C8,2 z7 + C9,2 z8 + C10,2 z9 + C11,2 z10 = −C12,5 ⎪ b5,2 z4 + b6,2 z5 + b7,2 z6 + b8,2 z7 + b9,2 z8 + b10,2 z9 + b11,2 z10 = −b12,5 ⎪ ⎪ C6,1z5 + C7,1z6 + C8,1z9 + C9,1z8 + C10,1z9 + C11,1z10 = −C12,5 ⎪ b6,1z5 + b7,1z6 + b8,1z9 + b9,1z8 + b10,1z9 + b11,1z10 = −b12,5 ⎪⎩

74 Умножим

уравнение

(П.4-3)

-

(П.4-13)

соответственно

на

z1 , z 2 .........., z10 и сложив получим

x6(12) + a11x6(11) + a10 x6(10) + a9 x6(9) + a8 x6(8) + a7 x6(7) + a6 x6(6) + a5 x6(5) + a4 x6(4) + + a3 x6() + a2 x6(2) + a1 x6(1) + a0 x0 = b5 F (5) + b4 F (4) + b3 F (3) + b2 F (2) + b1F (1) + b0 F + + z1 f + z2 f (1) + ........z10 f (9) + f (10) , где введем следующие обозначения:

a0 =a12,0 +a11,0z10+a10,0z9 +a9,0z8 +a8,0z7 +a7,0z6 +a6,0z5 +a5,0z4 +a4,0z3 +a3,0z2 +a2,0z1,

a1 =a12,1 +a11,1z10+a10,1z9 +a9,1z8 +a8,1z7 +a7,1z6 +a6,1z5 +a5,1z4 +a4,1z3 +a3,1z2 +a2,1z1, a2 = a12,2 + a11,2 z10 + a10,2 z9 + a9,2 z8 + a8.2 z7 + a7,2 z6 + a6,2 z5 + a5,2 z4 + a4,2 z3 + a3,2 z2 + z1 , a3 = a12,3 + a11,3z10 + a10,3z9 + a9,3z8 + a8,.3z7 + a7,3z6 + a6,3z5 + a5,3z4 + a4,3z3 + z2 ,

a4 = a12,4 + a11,4 z10 + a10,4 z9 + a9,4 z8 + a8,4 z7 + a7,4 z6 + a6,4 z5 + a5,4 z4 + z3 , a5 = a12,5 + a11,5 z10 + a10,5 z9 + a9,5 z8 + a8,5 z7 + a7,5 z6 + a6,5 z5 + z4 , a6 = a12,6 + a11,6 z10 + a10,6 z9 + a9,6 z8 + a8,6 z7 + a7,6 z6 + z5 ,

a7 = a12,7 + a11,7 z10 + a10,7 z9 + a9,7 z8 + a8,7 z7 + z6 , a8 = a12,8 + a11,8 z10 + a10,8 z9 + a9,8 z8 + z7 ,

a9 = a12,9 + a11,9 z10 + a10,9 z9 + z8 , a10 = a12 ,10 + a11,10 z10 + z 9 ,

a11 = a12 ,11 + z10 ,

b0 = b11,1 +b10,1z10 +b9,1z9 +b8,1z8 +b7,1z7 +b6,1z6 , b1 = b10,1 + b9,1z10 + b8,1z9 + b7,1 z8 + b6,1 z7 , b2 = b9,1 + b8,1 z10 + b7 ,1 z 9 + b6,1 z 8 , b3 = b8,1 + b7,1 z10 + b6,1 z 9 , b4 = b7,1 + b6,1 z10 , b5 = b6,1 .

75 Заменим величины F соответствующим выражением:

x6(12) + a11x6(11) + a10x6(10) + a9x6(9) + a8x6(8) +a7 x6(7) + a6x6(6) +a5x6(5) +a4x6(4) + +a3x6() +a2x6(2) +a1x6(1) + a0x0 = r6W(6) + r5W(5) +r4W(4) + r3W(3) + r2W(2) + r1W(1) + r0W + + z1 f + z2 f (1) +........z10 f (9) + f (10) , где

r0 =

r3 =

C η η C C1 b0 , r1 = 1 b1 + 1 b0 , r2 = 1 b2 + 1 b1 , m1 m1 m1 m1 m1 C1 η C η η C η b3 + 1 b2 , r4 = 1 b4 + 1 b3 , r5 = 1 b5 + 1 b4 , r6 = 1 b5 . m1 m1 m1 m1 m1 m1 m1

Введём оператор дифференцирования

p=

d , тогда система (П.4-2) dt

перепишется в следующем виде:

⎧( p12 + a11p11 + a10 p10 + a9 p9 + a8 p8 + a7 p7 + a6 p6 + a5 p5 + a4 p4 + ⎪ ⎪+ a3 p3 + a2 p2 + a1 p1 + a0 )x6 = (r6 p6 + r5 p(5) + r4 p(4) + r3 p(3) + r2 p(2) + r1 p(1) + r0 )W + ⎨ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ⎪+ ( p + p z10 + p z9 + p z8 + p z7 + p z6 + p z5 + p z4 + p z3 + p z2 + p z2 + z1) f ⎪ 2 ⎩(up + p + v)x7 = ( p + v)x6 Разделим многочлен на

( p+ v) :

(

p12 +a11p11 +a2n−2 p10 +...+a1 p +a0 = p11 +b10p10 +b9 p9 +...+b2 p2 +b1 p +b0 )( p +v) +r.

76 Рассмотрим два случая. 1. Пусть

r ≠0 :

( p11 + b10 p10 + b9 p9 + b8 p8 + b7 p7 + b7 p7 + b6 p6 + b5 p5 + b4 p4 + + b3 p3 + b2 p2 + b1 p + b0 )(up2 + p + v)(p + v)x7 + r(up2 + p + v)x7 − − ( p + v)(p10 + p9 z10 + p8 z9 + p7 z8 + p6 z7 + p5 z6 + p4 z5 + p3 z4 + + p2 z3 + p1z2 + p z2 + z1) f = (r6 p(6) + r5 p(5) + r4 p(4) + r3 p(3) + r 2 p(2) + r1 p(1) + r0 )(p + v)W, где приняты следующие обозначения:

r = a 0 − vb0 , b0 = a1 − vb1 , b1 = a 2 − vb2 , b2 = a3 − vb3 ,

b3 = a 4 − vb4 , b4 = a5 − vb5 , b5 = a 6 − vb6 , b6 = a 7 − vb7 ,

b7 = a8 − vb8 , b8 = a9 − vb9 , b9 = a10 − vb10 , b10 = a11 − ν . Перепишем наше уравнение в следующий вид:

( p13 +b12p12 +b121p11 +b10p10 +b9 p9 +b8 p8 +b7 p7 +b7 p7 +b6 p6 +b5 p5 +b4 p4 +b3 p3 + +b2 p2 +b1 p +b0 )x7 −( p10 + p9 z10 + p8z9 + p7 z8 + p6 z7 + p5z6 + p4 z5 + p3z4 + p2 z3 + + p z2 + p z2 + z1) f = (r6 p + r5 p + r4 p + r3 p + r2 p + r1 p + r0 p )W 1

(0)

(5)

(4)

(3)

(2)

(1)

где приняты следующее обозначения:

b13 = b10 u + (uv + 1) ,

b12 = b9 u + (uv + 1)b10 + 2v ,

b11 = b8 u + (uv + 1)b9 + 2vb10 + v 2 ,

b10 = b7u + (uv +1)b8 + 2vb9 + v2b10 ,

b9 = b6 u + (uv + 1)b7 + 2vb8 + v 2 b9 ,

b8 = b5u +(uv+1)b6 + 2vb7 +v2b8 ,

b7 = b4 u + (uv + 1)b5 + 2vb6 + v 2 b7 ,

b4 = b1u + (uv + 1)b2 + 2vb3 + v 2 b4 ,

b3 = b0 u + (uv + 1)b1 + 2vb2 + v 2 b3 ,

b2 = (uv + 1)b0 + 2vb1 + v 2 b2 + ru ,

b1 = 2vb0 + v 2 b1 + r ,

b0 = v 2 b0 + rv .

,

77 2. Если

r =0 , то уравнение будет выглядеть следующим образом:

(up13 + b12 p12 + b11 p11 + b10 p10 + b9 p9 + b8 p8 + b7 p7 + b6 p6 + b5 p5 + b4 p4 + b3 p3 + + b2 p2 + b1 p + b0 )x7 − ( p10 + p9 z10 + p8 z9 + p7 z8 + p6 z7 + p5 z6 + p4 z5 + p3 z4 + p2 z3 + + p1z2 + p z2 + z1 ) f = (r 6 p6 + r 5 p5 + r 4 p4 + r 3 p3 + r 2 p2 + r1 p1 + r 0 p )W, где принимают следующие обозначения:

b0 = b0 v ,

b1 = b0 + b1v ,

b2 = ub0 + b1 + b2 v ,

b3 = ub1 + b2 + b3 v ,

b4 = ub2 + b3 + b4 v ,

b5 = ub3 + b4 + b5 v ,

b6 = ub4 + b5 + b6 v , b7 = ub5 + b6 + b7 v , b8 = ub6 + b7 + b8 v , b9 = ub7 + b8 + b9 v ,

b10 = ub8 + b9 + b10 v , b11 = ub9 + b10 + v ,

b12 = ub10 + 1 . 2.3.4. Метод вывода уравнения движения элементов путём последовательного наращивания многомассовой системы Пусть заданы две системы дифференциальных уравнений, одна из которых описывает поведение n-массовой системы:

⎧m1 x1 + η1 x1 + c1 x1 − η2 (x2 − x1 ) − c2 (x2 − x1 ) = η1w1 + c1w1 , ⎪m x + η (x − x ) + c (x − x ) − η ( x − x ) − c ( x − x ) = 0, 2 2 1 2 2 1 3 3 3 3 3 3 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪mi xi + ηi ( xi − xi −1 ) + ci ( xi − xi −1 ) − ηi +1 ( xi +1 − xi ) − ⎪ ⎨− ci +1 ( xi +1 − xi ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪mn −1 xn −1 + ηn −1 ( xn −1 − xn − 2 ) + cn −1 ( xn −1 − xn − 2 ) − ⎪ ⎪− ηn ( xn − xn −1 ) − cn ( xn − xn −1 ) = 0, ⎪⎩mn xn + ηn ( xn − xn −1 ) + cn (xn − xn −1 ) = 0, (i = 3, 4,..., n − 2),

(2.3.4.1)

78 где

mi

– масса i -го элемента,

ηi – коэффициент демпфирования i -го элемента,

i - го элемента,

ci

– абсолютная жесткость упругой связи

w xi

– абсолютное перемещение места установки, – абсолютное перемещение i -го элемента.

А другая система описывает поведение

(n+1)-массовой системы

⎧m1 x1 + η1 x1 + c1 x1 − η2 ( x2 − x1 ) − c2 ( x2 − x1 ) = η1w1 + c1w1 , ⎪m x + η ( x − x ) + c ( x − x ) − η (x − x ) − c (x − x ) = 0, 2 2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪mn −1 xn −1 + ηn −1 ( xn −1 − xn − 2 ) + cn −1 ( xn −1 − xn − 2 ) − ⎨ − ηn ( xn − xn −1 ) − cn ( xn − xn −1 ) = 0, ⎪ (2.3.4.2) ⎪mn xn + ηn ( xn − xn −1 ) + cn ( xn − xn −1 ) − ⎪ − ηn +1 (x − xn ) − cn +1 (x − xn ) = 0, ⎪ ⎪m x + η (x − x ) + c ( x − x ) = 0, n +1 n n +1 n ⎩ n +1 где

mn +1 – масса (n +1)-го элемента,

ηn +1 – коэффициент демпфирования (n +1)-го элемента, cn +1 – жесткость упругой связи (n+1)-го элемента, x

– абсолютное перемещение

Заметим, что “сверху”

(n +1) -го

уравнений (2.2.1).

(n +1)-го элемента.

(n +1) – массовая система получена в результате добавления элемента к n-массовой системе, описываемой системой

79 Если ввести обозначения

ηn +1 = η, mn +1

cn +1 = c, mn +1

(2.3.4.3)

то последнее уравнение системы (2.3.4.2) можно записать в виде

x + ηx + cx = ηxn + cxn .

(2.3.4.4)

Решение систем (2.3.4.1) и (2.3.4.2) в общем случае может быть сведено к решению

линейных

неоднородных

дифференциальных

уравнений

соответственно 2n -го и 2(n + 1) -го порядков вида [8]:

x (n2 n ) + a 1n x n

( 2 n −1)

+ a n2 x n

(2 n − 2 )

+ … + a n2 n −3 x n

(3 )

+ a n2 n − 2 x n

(2 )

+

+ a n2 n −1 x (n1) + a n2 n x n = b 0n w (n ) + b1n w (n −1) +

(2.3.4.5)

+ b n2 w (n − 2 ) + … + b nn − 2 w (2 ) + b nn −1 w (1) + b nn w ≡ f (t ) ,

x (2 n + 2 ) + a 1n +1 x (2 n +1) + a n2 +1 x (2 n ) + … + a n2 n+1 x (2 ) + + a n2 n+1+1 x (1) + a n2 n+1+ 2 x = b 0n +1 w (n +1) + b1n +1 w (n ) +

(2.3.4.6)

+ b n2 +1 w (n −1) + … + b nn +−11 w (2 ) + b nn +1 w (1) + b nn ++11 w , где

все

коэффициенты

уравнения

(2.3.4.5)

полностью

определяются

величинами mi ,

η i , ci (i =1,2,…,n ) , а коэффициенты уравнения (2.3.4.6) –

величинами mi ,

η i , ci (i =1,2,…,n +1) .

Выпишем теперь систему (2.3.4.4),

2n − 2

2n +1

уравнений, состоящую из уравнения

уравнений, полученных после последовательных

2n − 2

дифференцирований уравнения (2.3.4.4) и ещё двух уравнений, первое из которых получено после дифференцирования

(2n−1)-го уравнения и замены в

80 нем величины

⎛⎜ ⎝

2n ⎞⎟⎠

xn

соответствующим выражением из уравнения (2.3.4.5), а

второе – после дифференцирования 2n-го уравнения и замены в нём величины 2n ⎞⎟⎠ xn соответствующим выражением из уравнения (2.3.4.5). ⎛⎜ ⎝

В результате получим (2.3.4.7):

⎧ x(2) +η x(1) +cx η xn(1) +cxn = ⎪ x(3) +η x(2) +cx(1) η xn(2) +cxn(1) = ⎪ ⎪ (4) (3) (2) (3) (2) x η x cx η x cx + + = + n n ⎪ ⎪ ⎪ x(2n−1) +η x(2n−2) +cx(2n−3) = η xn(2n−2) +cxn(2n−3) ⎪ ⎪ x(2n) +η x(2n−1) +cx(2n−2) = η xn(2n−1) +cxn(2n−2) ⎪ ⎨ (2n+1) (2n) (2n−1) = cxn(2n−1) +η[ −a1nxn(2n−1) −a2nxn(2n−2) −a3nxn(2n−3) −…− ⎪ x +η x +cx ⎪ −a2nn−3xn(3) −a2nn−2xn(2) −a2nn−1xn(1) −a2nnxn + f(t)] ⎪ ⎪ x(2n+2) +ηx(2n+1) +cx(2n) = c−a1nη [ −a1nxn(2n−1) −a2nxn(2n−2) −a3nxn(2n−3) −…− ⎪ −a2nn−3xn(3) −a2nn−2xn(2) −a2nn−1xn(1) −a2nnxn + f(t)] − ⎪ ⎪ n ( 2n−1) n ( 2n−2) n ( 2n−3) − − − η a x η a x η a xn −…− 2 3 n n 4 ⎪ ⎪ −η a2nn−2xn(3) −η a2nn−1xn(2) −η a2nnxn(1) +ηf(1) (t) ⎩

(

)

(2.3.4.7) Заметим теперь, что если уравнения системы (2.3.4.7) умножать соответственно на

a n2n , a n2n -1 , a n2n - 2 , ... , a 3n , a n2 , a1n , 1 и сложить, то

получим

x ( 2 n+ 2) + (a1n + η ) x (2n+1) + (a n2 + ηa1n + c) x (2n) + + (a 3n + ηa n2 + ca1n )x (2n-1) + (a n4 + ηa 3n + ca n2 )x (2n-2) + ... ... + (a n2n-1 + ηa n2n-2 + ca n2n-3 )x (3) + (a n2n + ηa n2n-1 + ca2nn−2 )x (2) + + (ηa n2n + ca n2n-1 )x (1) + ca n2n x = F(t), (2.3.4.8)

81 где положено

F (t ) = cf (t ) + ηf (1) (t ) = ηb0nW ( n +1) + (ηb1n + сb0n )W ( n ) + + (ηb2n + cb1n )W ( n−1) + ... + (ηbnn−1 + cbnn−2 )W ( 2) + + (ηb + cb )W n n

n n −1

(1)

(2.3.4.9)

+ cb W . n n

(1)

( 2 n −1)

( 2)

Полезно отметить, что все коэффициенты перед xn , xn , xn ,..., xn

в

правой части уравнения (2.3.4.8) равны нулю. Кроме того, из сравнения коэффициентов перед x (2.4.3.8) следуют

a1n+1 = a1n +η,

( 2 n +1)

, x ( 2 n ) , x ( 2 n −1) ,..., x ( 2) , x (1) , x в уравнениях (2.4.3.6) и

равенства

a2n+1 = a2n +ηa1n + c, akn+1 = akn +ηakn−1 + cakn−1 ,

a n2n++11 = ηa2nn + ca2nn−1 , a2nn++12 = ca2nn ,

(k = 3,4,...,2n),. (2.3.4.10)

Аналогично

сравниваем

коэффициенты

перед

w ( n +1) , w ( n ) , w ( n −1) ,..., w ( 2) , w (1),w. В правой части уравнения (2.4.3.6) и (2.4.3.9) получим

b0n +1 = ηb0n ,

bkn +1 = ηbkn + cbkn−1 ,

b nn ++11 = cbnn

(k = 1,2,..., n). (2.3.4.11)

Равенства (2.3.4.10) и (2.3.4.11) позволяют для любого n определить коэффициенты в дифференциальном уравнении (2.3.4.6), описывающем движение ''последнего'' тела в (n + 1) -массовой системе, по коэффициентам в дифференциальном уравнении (2.3.4.5), описывающем движение ''последнего'' тела в n-массовой системе. Сравнивая дифференциальные уравнения, описывающие движение

n-го

элемента и (n+1)-го элемента в n-массовой и (n+1)-массовой системах предлагается альтернативный метод, позволяющий произвольно получить

82 коэффициенты в дифференциальном уравнении, описывающем движение последнего элемента в (n+1)-массовой системе, по коэффициентам в дифференциальном

уравнении,

описывающем

движение

предыдущего

элемента. Пример 5. Рассмотрим трехмассовую систему. Пусть

m1=3

η1=1

c1=1

m2=2

η2=3

c2=2

m3=1

η3=4

c3=3

Тогда система дифференциальных уравнений, описывающих поведение 3-х массовой системы, будет выглядеть так:

⎫ ⎪⎪ x2 = p2,1 x1 + q2,1 x1 + p2, 2 x2 + q2, 2 x2 + p2,3 x3 + q2,3 x3 ,⎬ ⎪ x 3 = p 3 , 2 x 2 + q 3 , 2 x 2 + p 3, 3 x 3 + q 3, 3 x 3 , ⎪⎭ x1 = p1,1 x1 + q1,1 x1 + p1, 2 x2 + q1, 2 x2 + F ,

(П.5-1)

где

p1,1 = − 1.333, q1,1 = −1, p2, 2 = − 3.5, q2, 2 = − 2.5 , p3,3 = − 4 , q3,3 = − 3 , p1, 2 = 1 , q1, 2 = 0.667, p2,1 = 1.5, p3, 2 = 4,

q3, 2 = 3,

q2,1 = 1,

p 3, 2 = 4 ,

q 3, 2 = 3 ,

F = 0.333 W (1) + 0.333W . (П.5-2)

Продифференцировав последнее уравнение в системе (П.5-1) и заменив в

x2 выражением из системы (П.5-1), получим следующее уравнение: x3( 3) + a3, 2 x3( 2 ) + a3,1 x3(1) + a3, 0 x3 = b3,1 x1(1) + c3,1 x1 + b3, 2 x2(1) + c3, 2 x2 , (П.5-3) где

a3,2= 4 , a3,1= -5 , a3,0= -6 , b3,1= 6 , b3,2= -11, c3,1= 4 , c3,2= -10 .

83 Продифференцировав уравнение (П.5-3) и заменив в x1, x2 выражением из системы (П.5-1), получим следующее уравнение

x3( 4 ) + a4,3 x3(3) + a4, 2 x3( 2 ) + a4,1 x3(1) + a4, 0 x3 = = b4,1 x1(1) + c4,1 x1 + b4, 2 x2(1) + c4, 2 x2 + b4, 0 F , где

(П.5-4)

a4,3=4, a4,2=-5, a4,1=16, a4,0=16.5, b4,1=-20.5, b4,2=34.5, c4,1=-17, c4,2=31.5, b4,0 = 6 . Продифференцировав уравнение (П.5-4) и заменив в x1, x2 выражением

из системы (П.5-1), получим следующее уравнение:

x3( 5) + a5, 4 x3( 4 ) + a5,3 x3( 3) + a5, 2 x3( 2 ) + a5,1 x3(1) + a5, 0 x3 = = b5,1 x1(1) + c5,1 x1 + b5, 2 x2(1) + c5, 2 x2 + b5, 0 F + b5,1 F ,

(П.5-5)

где a5,4=4, a5,3=-5, a5,2=16, a5,1=-52.5, a5,0=-51.75,

b5,1=62.083, b5,2=-109.75, c5,1= 55, c5,2=-99.91 , b5,0 = -20.5, b5,1 = 6. Продолжив этот процесс, получим уравнение (П.5-6).

x3( 6 ) + a6,5 x3( 5) + a6, 4 x3( 4 ) + a6,3 x3( 3) + a6, 2 x3( 2 ) + a6,1 x3(1) + a6, 0 x3 = = b6,1 x1(1) + c6,1 x1 + b6, 2 x2(1) + c6, 2 x2 + b6, 0 F + b6,1 F + b6, 2 F , (П.5-6) где

a6,5=4, a6,4=-5, a6,3=16, a6,2=-52.5, a6,1=167.75, a6,0=164.625, b6,1=-192.403, b6,2=346.292, c6,1=-171.833, c6,2=315.764, b6, 0 = 62.083,

b6,1 = -20.5, b6,2 =6 .

84 Перепишем последнее уравнение в системе (П.5-1):

x3( 2 ) + a 2,1 x3(1) + a 2, 0 x3 = b2, 2 x2(1) + c2, 2 x2 ,

(П.5-7)

где введены следующие обозначения:

a2,1=4 ,a2,0=3 , b2,2= 4, c2,2=3 . Находим такие числа z1, z2, z3, z4 так, чтобы они удовлетворяли системе (П.5-8):

c 2 , 2 z1 + c3, 2 z 2 + c 4 , 2 z 3 + c5 , 2 z 4 = − c6 , 2 ,

⎫ ⎪ b2 , 2 z1 + b3, 2 z 2 + b4 , 2 z 3 + b5 , 2 z 4 = − b6 , 2 , ⎪ ⎬ c3 ,1 z 2 + c 4 ,1 z 3 + c5 ,1 z 4 = − c6 , 2 , ⎪ b3 ,1 z 2 + b4 ,1 z 3 + b5 ,1 z 4 = − b6 , 2 , ⎪⎭ z1=1.833 , z2=4.833 , z3=6.667, z4=4.833.

(П.5-8)

(П.5-9)

Умножив уравнение (П.5-6), (П.5-5), (П.5-4), (П.5-3), (П.5-7) на 1, z4, z3,

z2, z1 и сложив, получим одно уравнение 6-го порядка относительно координаты х3. ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ 3 2 (6) (5) (4) (1) ⎝ ⎠ x3 +a5x3 +a4x3 +...+a1x3 +a0x3 =b3W +b2W⎝ ⎠ +b1W+b0W,

(П.5-10) где

a5=8.833, a4=21, a3=23.333, a2=12.667, a1=3.833, a0= 1, b3=115.431, b2=118.264, b1=3.833, b0=1.

(П.5-11)

Аналогичным методом вычислим коэффициенты уравнения движения второго элемента двухмассовой системы.

m1=3

η1=1

c1=1

m2=2

η2=3

c2=2

Получим

x 2( 4 ) + a 3 x 2( 3) + a 2 x 2( 2 ) + a1 x 2(1) + a 0 x 2 = b2W (2 ) + b1W + b0W , (П.5-12)

85 где a3=2.833, a2=2.5, a1=0.833, a0=0.33, b2=0.5, b1=0.833, b0=0,33. Добавим к данной двухмассовой

модели (сверху) ещё один элемент

такой, что m3=1, η3=4, c3=3. Применив формулы (П.5-10,П.5-11),получим

x 3( 6 ) + a 52 x 3( 5) + a 42 x 3( 4 ) + ... + a12 x 3(1) + a 02 x 3 = b32W (3 ) + b22W (2 ) + b12W + b02W , (П.5-13) где

a52 = 8.833, a42 = 21, a32 = 23.333, a22 =12.667, a12 = 3.833, a02 =1, b32 = 115.431, b22 = 118.264, b12 = 3.833, b02 = 1.

(П.5-14)

Сравнив коэффициенты уравнений (П.5-10) и (П.5-13) видим, что численные значения коэффициентов (П.5-11) и (П.5-14) одинаковые. Таким образом, сравнивая дифференциальные уравнения, описывающие движение

n-го элемента и (n+1)-го элемента в n-массовой и (n+1)-массовой

системах,

предлагается

метод, позволяющий моделировать

поведение

многомассовых систем с целью прогнозирования их технического состояния. А именно данный метод позволяет произвольно получить коэффициенты в дифференциальном уравнении, описывающем движение последнего элемента в

(n+1)-массовой системе, по коэффициентам в дифференциальном уравнении, описывающем движение последнего элемента в n-массовой системе.

86

2.4. Некоторые свойства движения элементов технической системы, рассматриваемой как многомассовая система В процессе преобразования системы (2.2.1) вышеперечисленными способами были получены несколько свойств, которые могут упростить вывод и анализ уравнения движения элементов системы: 1. В результате анализа уравнения, описывающего поведение последнего элемента, получено математическое доказательство очевидного для практиков вывода. А именно доказано, что с бесконечным возрастанием жесткости связи колебания

затухают.

По

результатам

анализа

научно-технической

и

производственно-технической литературы (инструкций, тех. условий

на

дизели) это положение является очевидным, но строго математически не доказанным. 2. Из метода, представленного в 2.3.1, следует, что дифференциальное уравнение, описывающее поведение последнего элемента в n-массовой системе имеет следующий вид:

x (n2 n ) + a 2 n −1 ⋅ x (n2 n −1) + a 2 n − 2 ⋅ x (n2 n − 2 ) + ...+ a 2 ⋅ x (n2 ) + a 1 ⋅ x (n1) + a 0 ⋅ x n = = rn ⋅ w n + rn −1 ⋅ w (n −1) + ...+ r2 ⋅ w (2 ) + r1 ⋅ w (1) + r0 ⋅ w , Тогда в дифференциальном уравнении, описывающем движение n-го элемента массы mn в n-массовой системе, коэффициенты, стоящие при

xn

равны соответственно коэффициентам, стоящим перед

w

⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠

1

и

w,

⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠

1

xn

и

что с

практической точки зрения представляет большой интерес. 3. Относительное перемещение n-го элемента не зависит от постоянной составляющей скорости перемещения места установки.

87 4. Если обозначить относительное перемещение n-й массы через u ( t ) и ввести подстановку x n (t ) = u (t ) + w (t ) , то уравнение, описывающее поведение

последнего элемента в n – массовой системе перепишется в следующем виде:

u (2 n ) + a2 n−1 ⋅ u (2 n−1) + a2 n−2 ⋅ u (2 n−2 ) + ... + a1 ⋅ u (1) + a0 ⋅ u = = r2 n−2 ⋅ a (2 n−2 ) + r2 n−3 ⋅ a (2 n−3 ) + r2 n−4 ⋅ a (2 n−4 ) + ... + r1 ⋅ a (1) + r0 ⋅ a, где a (t ) = w ( 2 ) (t ) -ускорение объекта, а

r2 n−2 = −1, r2 n−3 = −a2 n−1 , r2 n−4 = −a2 n−2 ,..., rn−1 = −an+1 , rn−2 = rn − an , rn−3 = rn−1 − an−1 ,..., r1 = r3 − a3 , r0 = r2 − a2 . Отсюда следует, что правая часть вышеприведённого уравнения содержит лишь ускорение a(t) и ее производные вплоть до порядка 2n-2, причем коэффициенты при

a (2 n −3 ) ,a (2 n − 4 ) ,..., a (n −1)

знаком от коэффициентов соответственно при Обозначим систему

через

решений

u (2 n −1) , u (2 n − 2 ) ,..., u (n +1) .

ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),..., ϕ 2 n (t ) некоторую однородного

отличаются только

фундаментальную

дифференциального

уравнения,

соответствующего уравнению (2.3.16) для t ≥ 0 . Зафиксируем некоторый момент времени α > 0 и обозначим через

ϕ (t ,α )

частное решение

однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.3.16), которое удовлетворяет начальным условиям:

dϕ(t,α) d 2ϕ(t,α) d(2n−2)ϕ(t,α) d(2n−1)ϕ(t,α) = 0, = 0, , = 0, =1. ϕ(α,α) = 0, dt t=α dt2 t=α dt(2n−2) t=α dt(2n−1) t=α Применив формулу Коши, получим явный вид u (t ) .

88 2.5. Доказательство свойств движения элементов технической системы, рассматриваемой как многомассовая система

Доказательство свойства 1. Как следует из 2.3.1 уравнение движения для последнего элемента (с номером n) имеет следующий вид:

mn u n + η n u n + cn u n = − mn a (t ), где

(2.5.1)

mn – масса элемента,

ηn

– вязкость связи,

cn

– жёсткость связи,

un

– относительное перемещение n-го элемента,

a(t ) – внешнее воздействие,

t

– время.

Разделив уравнение (2.5.1) на

mn и введя обозначения

ηn

cn = f n2 Δ2n + 4π 2 , mn

mn

(

= 2Δ n f n ,

)

(2.5.2)

можно записать уравнение (2.5.1) в виде (в дальнейшем индекс n опускается)

u + 2 Δf u + f где

2

(Δ

2

)

+ 4π 2 u = − a(t ),

(2.5.3)

Δ – логарифмический декремент колебаний, а f – собственная частота колебаний. Большинство дефектов элементов дизеля вызывает изменение

механической системы во времени. В уравнении движения дефектного узла более вероятна запись вида

L(u ) ≡ u ′′ + p (t , f ) u ′ + q (t , f ) u = F (t ) ,

(2.5.4)

где f – параметр, принимающий любое положительное значение, а коэффициенты p(t, f), q(t, f) – заданы и непрерывны на промежутке [0, τ] для

89 каждого значения параметра f, причём будем считать, что всюду на промежутке

[0, τ] функция F(t) непрерывна. Для ряда узлов таких, как, например, зубчатая передача, моделирование колебаний без учета изменения жесткости зацепления во времени является принципиально неверным. Зависимость параметров демпфирования

k (t )

и

c(t ) от времени приводит к различным физическим эффектам. Если изменение жесткости c(t ) связано в основном с явлением амплитудной

жесткости

модуляции

вибросигнала,

демпфирования

k (t ) связана

то

зависимость

от

времени

коэффициента

с частотной модуляцией колебаний. И в том, и в

другом случае развитие дефекта вызывает тренд глубины модуляции, то есть увеличение амплитуд комбинационных частот со временем наработки, и не сказывается на амплитудах полигармонического ряда основных частот возбуждения узла. Обозначим через

ϕ1 (t , f ), ϕ 2 (t , f ) нормированную фундаментальную

систему решений однородного уравнения L(u)=0, а через W(t,f) определитель Вронского для этих решений. Тогда частное решение u1(t, f) уравнения L(u)=0, удовлетворяющее начальным условиям

u1 (0, f ) = u 0

∂u1 ∂t

t =0

= u 0′ ,

(2.5.5)

где u 0 и u 0′ - произвольные вещественные числа, может быть представлено в виде

u1 (t , f ) = u 0ϕ1 (t , f ) + u 0′ ϕ 2 (t , f ). Обозначим

через

ϕ (t ,α , f )

решение

уравнения

(2.5.6)

L(u)=0,

удовлетворяющее начальным условиям

u (α , f ) = 0

∂u ∂t

t =α

где α - любая заданная точка из промежутка [0, τ ).

= 1,

(2. 5.7)

90 Составив и решив систему двух уравнений

⎧С1ϕ1 (α , f ) + С 2ϕ 2 (α , f ) = 0 ⎪ ∂ϕ 2 ⎨ C ∂ϕ1 , C 1 + = 1 2 t = α t = α ⎪⎩ ∂t ∂t получим

C1 (α , t ) =

Решение

ϕ (α , f ) − ϕ 2 (α , f ) , C 2 (α , t ) = 1 . W (α , f ) W (α , f )

(2.5.8)

ϕ (t , α , f ) при этом можно представить в виде

ϕ(t,α, f ) = C1 (α, f )ϕ1(t, f ) + C2 (α, f )ϕ2 (t, f ) =

ϕ1 (α, f ) ϕ2 (α, f ) 1 . W(α, f ) ϕ1 (t, f ) ϕ2 (t, f ) (2.5.9)

Согласно методу Коши [1], частное решение u2(t, f) уравнения (2.5.4) с начальными условиями

u 2 (0 , f ) =

∂u 2 ∂t

t =0

=0

(2.5.10)

может быть записано в виде t

u 2 (t , f ) = ∫ ϕ (t ,α , f ) F (α )dα .

(2.5.11)

0

Будем считать, что при любом фиксированном значении t из промежутка

[0,

τ ) имеют место равенства lim ϕ1 (t , f ) = lim ϕ 2 (t , f ) = 0 , f →∞

а функция

ϕ (t ,α , f )

при

f →∞

f →∞

(2.5.12)

стремится к нулю равномерно

относительно α в промежутке [0, t]. Из равенств (2.5.6) и (2.5.12) следует

lim u1 (t , f ) = 0. f →∞

(2.5.13)

91 Учитывая, что функция F( α ) ограничена на промежутке [0, t], а функция

ϕ (t ,α , f )

при f → ∞ стремится к нулю равномерно относительно

α на этом промежутке можно утверждать, что на основании равенства (2.5.10) и теоремы

о предельном переходе под знаком интеграла [1] имеет место

равенство

lim u 2 (t , f ) = 0.

(2.5.14)

f →∞

Так как любое частное решение u(t, f) уравнения (2.5.4) с начальными значениями u 0 ,u 0′ может быть представлено в виде

u (t , f ) = u1 (t , f ) + u 2 (t , f )

(2.5.15)

и принимая во внимание равенства (2.5.13) и (2.5.14), можем написать

lim u (t , f ) = 0.

(2.5.16)

f →∞

Таким

образом,

математически

доказано,

что

с

бесконечным

возрастанием жесткости связи колебания затухают. Пример 6. Рассмотрим уравнение

4 f (t + 1) − 1 2 2 u ′′ + u ′ + 4 f 2 (t + 1) u = A(t + 1) , t +1 2

(П.6-1)

где А – некоторая постоянная. Функции

ϕ1(t, f ) = ( ft + 2tf +1)e (

− f t2+2t

2

) , ϕ (t, f ) = 1 (t 2 + 2t)e− f (t2+2t ) 2 2

(П.6-2)

представляют собой нормированную фундаментальную систему решений соответствующего

однородного

уравнения,

а

определитель

Вронского

записывается в следующем виде:

W (t , f ) = (t + 1) e − 2 f (t

2

+ 2t

).

(П.6-3)

92 Выполнимость условий (2.5.12), а с ними и равенства (2.5.13), легко проверяется непосредственно с помощью равенств (П.6-2). Используя равенства (2.5.9), (П.6-2) и (П.6-3), получим

t 2 −α 2 + 2(t −α ) − f t −α + 2 t −α e ϕ (t, α , f )= 2(α +1) следует, что при f → ∞ функция ϕ (t ,α , f ) стремится ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

откуда

2

2

⎛⎜ ⎝

⎤ ⎞⎟ ⎥ ⎠⎥ ⎦

, (П.6-4) к нулю

равномерно относительно α и, следовательно, равенство (2.5.14) выполнено. Из выполнения равенств (2.5.13) и (2.5.14) следует выполнимость равенства (2.5.16). Заметим, что этот результат может быть получен с помощью функции

u2 (t, f ), явный вид которой находится с помощью равенства (2.5.11). Так как функции (2.5.8) определяются равенствами

C1 (α , f ) = −

(α

2

+ 2α

2(α + 1) e (

)

fα 2 + 2 α f + 1

− f α 2 + 2α

) , C 2 (α , f ) = (α + 1) e − f (α 2 + 2α ) ,

то выражение для частного решения

u 2 (t , f ) = − A

u 2 (t , f ) примет вид

ϕ 1 (t , f ) t

∫ (α

2

(П.6-5)

2

)

+ 2α e f (α

2

+ 2α

) (α + 1) dα +

0

t

+ Aϕ 2 (t , f )∫ (tα + 2αf + 1)e (

f α 2 + 2α

2

(П.6-6)

) (α + 1)dα .

0

Вычислив интегралы, стоящие в правой части равенства, получим

u 2 (t , f ) =

[

(

)

]

A 2 − f (t 2 + 2t ) 1 + ft + 2tf + 1 e , 4f 2

(П.6-7)

93 и, следовательно, равенство (2.5.14), а с ним и равенство (2.5.16) также выполнены. Доказательство свойства 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее поведение последнего элемента в n-массовой системе:

x (n2 n ) + a 2 n −1 ⋅ x (n2 n −1) + a 2 n − 2 ⋅ x (n2 n − 2 ) + ... + a 2 ⋅ x (n2 ) + a 1 ⋅ x (n1) + a 0 ⋅ x n = = rn ⋅ w n + rn −1 ⋅ w (n −1) + ... + r2 ⋅ w (2 ) + r1 ⋅ w (1) + r0 ⋅ w , (2.5.17) Если в такой системе положить w = κt + b , где κ и b – любые постоянные, то совокупность функций

x 1 = x 2 = ... = x n = κt + b,

(2.5.18)

представляет собою решение этой системы. Отсюда следует, что функция x n = κt + b является решением уравнения (2.5.17), если в нем положить w = κt + b

.

Выполнив

эту

подстановку,

получим

тождество

a1κ + a 0 (κt + b ) = r1κ + r0 (κt + b ) , откуда следует, что

a1 = r1 , a 0 = r0 ,

(2.5.19)

таким образом, получим 1) в дифференциальном уравнении, описывающем движение последнего ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠

1

элемента массы mn в n-массовой системе, коэффициенты, стоящие при xn и

xn , равны соответственно

коэффициентам, стоящим перед

w

⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠

1

и

w.

Если обозначить относительное перемещение n-й массы через u ( t ) и ввести подстановку x n (t ) = u (t ) + w (t ) , то, используя равенства (2.5.19), сможем уравнение (2.5.17) записать в виде

u (2 n ) + a 2 n −1 ⋅ u (2 n−1) + a 2 n−2 ⋅ u (2 n −2 ) + ... + a1 ⋅ u (1) + a 0 ⋅ u = = r2 n −2 ⋅ a (2 n−2 ) + r2 n−3 ⋅ a (2 n −3) + r2 n −4 ⋅ a (2 n− 4 ) + ... + r1 ⋅ a (1) + r0 ⋅ a , (2.5.20)

94 где

a (t ) = w ( 2 ) (t ) – ускорение объекта, а

r2n−2 = −1, r2n−3 = −a2n−1, r2n−4 = −a2n−2 ,...,rn−1 = −an+1, rn−2 = rn − an , rn−3 = rn−1 − an−1,...,r1 = r3 − a3 , r0 = r2 − a2 . Отсюда следует, что 2) в правой части уравнения (2.5.20) отсутствует член с w (1) (t ) и, следовательно, относительное перемещение n-го элемента не зависит от постоянной составляющей скорости перемещения места установки; 3) если ускорение a(t) удовлетворяет уравнению

r2 n−2 a (2 n−2 ) + r2 n−3 a (2 n−3) + r2 n−4 a (2 n−4 ) + ... + r1a (1) + r0 a = 0 , (2.5.21) то n-й элемент в относительном движении будет совершать только свободные колебания; 4) правая часть уравнения (2.5.20) содержит лишь ускорение a(t) и ее производные

вплоть

до

порядка

2n-2, причем

коэффициенты

при

a (2 n −3) ,a (2 n − 4 ) ,...,a (n −1) отличаются только знаком от коэффициентов соответственно при Обозначим систему

u (2 n −1) , u (2 n − 2 ) ,..., u (n +1) .

через ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),..., ϕ 2 n (t ) некоторую

решений

однородного

фундаментальную

дифференциального

соответствующего уравнению (2.5.20) для

t ≥0

( )

уравнения,

. Зафиксируем некоторый

момент времени α >0 и обозначим через ϕ t ,α частное решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.5.20), которое удовлетворяет

95 начальным условиям:

ϕ (α ,α ) = 0,

dϕ (t ,α ) = 0, dt t =α

d 2ϕ (t ,α ) = 0, dt 2 t =α

...................................................................., d (2 n−2 )ϕ (t ,α ) = 0, dt (2 n−2 ) t =α

d (2 n−1)ϕ (t ,α ) = 1. dt (2 n−1) t =α

(2.5.22)

Запишем это решение в виде

ϕ (t , α ) = C1 ⋅ ϕ1 (t − α ) + C2 ⋅ ϕ 2 (t − α ) + ... + C2 n ⋅ ϕ 2 n (t − α ), (2.5.23) где постоянные C1 , C 2 ,..., C n удовлетворяют системе 2n-линейных уравнений

C1 ⋅ ϕ1(i ) (0) + C2 ⋅ ϕ 2(i ) (0) + ... + C2 n ⋅ ϕ 2(in) (0) = 0

(i = 0,1,2,3,...,2n − 2),⎫⎪ ⎬ (2.5.24) ⎪⎭ C1 ⋅ ϕ1(2 n −1) (0) + C2 ⋅ ϕ 2(2n −1) (0) + ... + C2 n ⋅ ϕ 2(2nn −1) (0) = 1, Используя метод Коши [1], выпишем частное решение u (t ) уравнения

(2.5.20), удовлетворяющего нулевым начальным условиям

u (0 ) = u (1) (0 ) = u (2 ) (0 ) = ... = u (2 n−1) (0 ) = 0.

(2.5.25)

Это решение имеет вид

[

t

u (t ) = ∫ ϕ (t , α ) r2 n−2 ⋅ a (2 n−2 ) (α ) + r2 n−3 ⋅ a (2 n−3) (α ) + 0

+ r2 n−4 ⋅ a

(2 n−4 )

(α ) + ... + r1 ⋅ a (α ) + r0 ⋅ a(α )]dα . (1)

(2.5.26)

Выполняя 2(n-1) раз интегрирование по частям, вводя последовательно обозначения

rp = r2 n−2 ⋅ a (2 n−3− p ) (0) + r2 n−3 ⋅ a (2 n−4− p ) (0) + ... + rp+1 ⋅ a(0)

( p = 0,1,2,...,2n − 3)

(2.5.27)

96 и учитывая, что ϕ (α1) (t , α ) = −ϕ (t1) (t , α ) получим

[

u (t ) = − r0 ⋅ ϕ (t ,0 ) + r1 ⋅ ϕ t(1) (t ,0) + ... + r2 n−3 ⋅ ϕ t t

+ ∫ [r0 ⋅ ϕ (t , α ) + r1 ⋅ ϕ t 0

+ r2 n−2 ⋅ ϕ t

(2 n−2 )

(1)

( 2 n −3 )

(t ,0)] +

(t , α ) + r2 ⋅ ϕt (2 ) (t , α ) + ... +

(2.5.28)

(t , α )]⋅ a(α )dα .

То есть такое выражение для u (t ) , которое не содержит под знаком интеграла производных ускорения a (t ) . Рассмотрим подробнее случай, когда характеристическое уравнение уравнения (2.5.4) имеет простые корни (случай кратных

корней

рассматривается

аналогично):

λ1 , λ2 , λ3 ,..., λ2 s и (2n-2s) – комплексных

2s

–

вещественных

σ1 ±w1 ⋅i,σ2 ±w2 ⋅i,...,σ2n−2s ±w2n−2s ⋅i.

Возьмем в качестве фундаментальной системы ϕ1 (t ), ϕ 2 (t ),..., ϕ 2 n (t ) 2s функций

e λ1⋅t , e λ2 ⋅t ,..., e λ2 s ⋅t . и

(2.5.29)

q = (n − s ) пар функций eσ1t sin W1t , eσ 2t sin W2t ,..., eσ 2 n−2 st sin W2n−2 s t , ⎫⎪ ⎬ eσ1t cosW1t , eσ 2t cosW2t ,...., eσ 2 n−2 S t cosW2 n−2 S t.⎪⎭

(2.5.30)

( )

Функция ϕ t ,α при этом будет иметь вид 2s

ϕ(t,α ) = ∑Ci ⋅ eλ ⋅(t−α ) + i

ι =1

+

2n−2s

∑eσi⋅(t−α ) [Ai ⋅ sinWi (t − α ) + Bi ⋅ cosWi (t − α )], ι =1

(2.5.31)

97

Ai

где коэффициенты

и

означают соответствующие коэффициенты C i

Bi

в

сумме (2.5.23). Вычисляя производные

( )

ϕt(1) (t , α ), ϕt(2 ) (t , α ),...,ϕt(2 n−2 ) (t , α ) и подставляя

их вместе с ϕ t ,α в (2.5.28), получим

u (t ) = P1e

λ1t

t

+ P1 ∫ e

λ1 (t −α )

a (α )dα +P2 e

0

+ P2 s e

λ2 s t

λ2 t

t

+ P2 ∫ e λ2 (t −α ) a (α )dα + 0

t

+ P2 s ∫ e λ2 s (t −α ) a (α )dα +e σ 1t [M 1 ⋅ sin w1t + N 1 ⋅ cos w1t ] + 0

t

+ ∫ e σ 1 (t −α ) [M 1 ⋅ sin w1 (t − α ) + N 1 ⋅ cos w1 (t − α )]a (α )dα + 0

+ e σ 2t [M 2 ⋅ sin w2 t + N 2 ⋅ cos w2 t ] + t

+ ∫ e σ 2 (t −α ) [M 2 ⋅ sin w2 (t − α ) + N 2 ⋅ cos w2 (t − α )]a (α )dα + 0

+ e σ 2 n − 2 s t [M 2 n − 2 s ⋅ sin w2 n − 2 s t + N 2 n − 2 s ⋅ cos w2 n − 2 s t ] +

t

+ ∫ e σ 2 n − 2 s (t −α ) [M 2 n − 2 s ⋅ sin w2 n − 2 s (t − α ) + N 2 n − 2 s ⋅ cos w2 n − 2 s (t − α )]a (α )dα , 0

(2.5.32) где

Ai1 = σi Ai −Wi Bi ,

B1i = σi Bi −Wi Ai ,

Aik = σi Aik−1 −Wi Bik−1, Bik = σi Bik−1 −Wi Aik−1, 2n−3

2n−3

(i =1,2,3,...,2n − 2s). (k = 2,3,...,2n − 2s). 2n−3

2n−3

P1 = −∑C1 ⋅ rp ⋅ λ , , P2s = −∑C2s ⋅ rp ⋅ λ , M1 = ∑rp ⋅ A , ,M2n−2s = ∑rp ⋅ A2pn−2s , p 1

p=0

2n−3

p 2s

p=0

2n−3

N1 = ∑rp ⋅ B , , N2n−2s = ∑rp ⋅ B p=0

2n−2

p 1

p=0

2n−2

p 2n−2s

M1 = ∑rp ⋅ A , , M2n−2s = ∑rp ⋅ A p=0

p 1

p=0

,

p 2n−2s

p=0

p 1

2n−2

2n−2

P1 = ∑C1 ⋅ rp ⋅ λ , , P2s = ∑C2s ⋅ rp ⋅ λ2ps , p 1

p=0

,

p=0

2n−2

p=0

2n−2

N1 = ∑rp ⋅ B , , N2n−2s = ∑rp ⋅ B2pn−2s . p=0

p 1

p=0

(2.5.33)

98 Из равенства (2.5.32) следует вывод: 5) Если характеристическое уравнение

λ2n + a2 n−1 ⋅ λ2n−1 + a 2n−2 ⋅ λ2n−2 + ... + a1 ⋅ λ + a0 = 0 (2.5.34) дифференциального уравнения движения последнего (имеющего номер n) элемента n-массовой системы имеет 2s простых вещественных корней

λ1 , λ2 , λ3 ,..., λ2 s

(2.5.35)

и 2n-2s простых комплексных корней

σ 1 ± w1 ⋅ i, σ 2 ± w2 ⋅ i,..., σ 2 n−2 s ± w2 n−2 s ⋅ i,

(2.5.36)

то под действием ускорения a (t ) места установки из состояния покоя, движение

n-го элемента

представляет

собой

сумму

(сложение)

2s

апериодических и 2n-2s колебательных движений, соответствующих корням (2.5.35) и (2.5.36) соответственно. Причем каждое движение представляет собой сумму свободного и вынужденного движений, так что амплитуды свободных движений являются линейными формами начального значения ускорения a (t ) и ее производных a (0 ), a (1) (0 ),..., a (2 n −3) (0 ) , с коэффициентами, зависящими от параметров n-массовой системы, а частотами колебательных движений являются коэффициенты мнимых частей комплексных корней (2.5.36).

99

3. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 3.1. Имитационное моделирование систем Функциональные характеристики технических систем определяются в результате моделирования процесса их взаимодействия. Исходной для построения математической модели объекта, например ПО, является его структура. Примеры разнообразных подвижных объектов позволяют построить обобщенную концептуальную модель взаимодействия ПО двух сторон А (авиационная) и N (наземная) в виде, изображенном на рис. 3.1. [13,14]. Графически одна сторона является зеркальным отображением другой относительно линии Q, которая является некоторым информационным объектом. Признаки этого объекта характеризуют как ПО проявляется в окружающей среде, то есть содержат информацию для работы имеющихся обнаружителей. Этот рисунок может рассматриваться как модель структуры двух групп взаимодействующих ПО. Например, со стороны А – это группа авиационных ракетных комплексов во главе с ведущим, а со стороны N – батарея самоходных ЗРАК, управляемая командирской машиной, т.е. здесь отображены с каждой из сторон по несколько подвижных объектов. Концептуальная модель любого из них представляет собой совокупность средств управления (U), каждое из которых связано со своим обнаружителем

(Z), средствами воздействия (V) на окружающую среду (Q) и носителем всех этих средств (N).

100

KF

U

Z KL

V U

Z

V

N

A

V U

Z

N

V

V

N

V

Q

V

N

V

U

V

Z

N V

N

V

U

Z N

V

U

Z

Рис. 3.1. Обобщенная концептуальная модель взаимодействия ПО двух сторон А (авиационная) и N (наземная) Такое представление является исходным для создания математической модели функционирования системы ПО, при этом согласно теории управления можно считать, что одна сторона через свои средства воздействия управляет состоянием

другой,

обнаружители.

а

главная

обратная

связь

осуществляется

через

101 Не останавливаясь на рассмотрении известных методов математического моделирования [14] отметим, что для оценки альтернативных вариантов КУ обычно используется метод имитационного моделирования – универсальный метод, не имеющий ограничений ни по сложности воспроизводимых явлений, ни по точности получаемых результатов, и с успехом использующийся как для анализа, так и для синтеза сложных систем. Но, как плату за свою универсальность, метод требует больших затрат ресурсов. Этим методом с использованием логических и кусочно-разностных уравнений воспроизводятся процессы функционирования всех блоков модели с соблюдением их логической и временной последовательности. Одно такое воспроизведение (один прогон модели) называют реализацией. В силу того, что некоторые элементы модели являются случайными величинами (например, внешние условия функционирования или даже структура системы), по одной реализации процесса нельзя судить об истинных значениях изучаемых факторов. Многократный прогон модели с последующей статистической обработкой результатов для получения средних значений или математических ожиданий искомых величин называется статистическим имитационным моделированием (экспериментом). Существует

несколько

способов

организации

статистического

моделирования, каждый из которых можно представить в виде алгоритма: моделирование по принципу приращения времени (рис.3.2,а), моделирование по принципу особых состояний (рис.3.2,б) и логико-вероятностное моделирование (рис.3.2,в). Каждый алгоритм состоит из операторов, которые обозначены как:

Н1 – ввод исходных данных (обычно выполняется вручную); Н2 – формирование начальных условий для очередной реализации;

С –

формирование случайных событий и величин; Т – приращение времени (t:= t +

∆t); М1... Mc – воспроизведение подмоделей системы ПО; Q – определение подмодели, к которой надо перейти для расчета ближайшего состояния системы ПО; Р – определение очередного момента изменения состояния; L1,

102 H1

H1

H1

H2

H2

H2

C

C

C

T

B

M1

Q М1

MC Нет

R

P

Да

Нет

Мс R

A

A

L(E)

L(E)

O Да

D a

Нет

O Да

D б

Да

L1

Нет

Lm R

Да

Нет

D в

Рис. 3.2. Алгоритм организации статистического моделирования: а) по принципу приращения времени; б) по принципу особых состояний; в) логико-вероятностное моделирование

Lm – подмодели перехода в особые состояния; R – анализ окончания очередной реализации; А –текущая статистическая обработка; L(E) – проверка достижения заданного количества реализаций nз или заданной статистической точности εз; О – анализ окончания моделирования; D – документирование. При всех способах организации моделирования сначала вручную вводятся исходные данные для всего процесса моделирования, затем автоматически формируются для очередной реализации начальные условия, а также случайные события и случайные величины. При моделировании по принципу приращения времени на каждом шаге ∆t воспроизводятся все

103 подмодели каждого подвижного объекта и определяется окончание очередной реализации (например, по факту уничтожения всех выпущенных ракет или по окончанию заданного времени операции). Если реализация не закончилась, то для следующего момента времени снова формируются случайные величины и события, воспроизводятся все подмодели процесса взаимодействия ПО и опять проверяется конец реализации. Здесь важную роль играет выбор шага моделирования. При малом шаге процесс будет очень длительным, а при большом шаге может быть пропущено какое-либо событие. Так, на рис.3.3 показаны два последовательных (с шагом ∆t) положения самонаводящейся ракеты (R). При ограниченной дальности обнаружения головки самонаведения цель (С) может быть пропущена из-за непопадания в угол зрения (УЗ). *С R УЗ

∆t

Рис. 3.3. Два последовательных (с шагом ∆t) положения самонаводящейся ракеты (R) При окончании реализации производится текущая статистическая обработка результатов, которая не требует хранения в памяти данных предыдущих реализаций. После этого проверяется, достигнута ли заданная статистическая точность результатов (ε ≤ εз) или произведено ли заданное количество реализаций (n ≥nз). При невыполнении указанных условий моделирование

продолжается,

а

при

выполнении

–

производится

документирование полученных результатов. При моделировании по принципу особых состояний определяется та подмодель, при воспроизведении которой наступит ближайшее по времени особое состояние (момент обнаружения, пуск ракеты, постановка ложной цели,

104 уничтожение ракеты или уничтожение ПО и тому подобное). Далее в соответствии с вычисленным моментом времени определяются координаты всех других объектов, после чего ищется новая подмодель, которая раньше других придет в особое состояние. По окончании реализации производится все то же самое, что и при моделировании по приращению времени. Общее время моделирования еще больше уменьшается при логиковероятностном моделировании за счет того, что, определив очередной момент изменения состояния системы противодействующих ПО (оператор В), рассчитывается наибольшая вероятность перехода в это состояние (оператор

Р). Таким образом, после окончания одного прогона, по существу, без проведения такой, как в первых двух случаях, статистической обработки сразу получают искомые вероятностные оценки. Однако как второй, так и третий способы, сокращая затраты машинного времени, не на много сокращают общее время моделирования, так как требуют глубокого

анализа

процесса

противодействия

подвижных

объектов

и

составления подмоделей L1…Lm, не менее сложных, чем подмодели М1... Мc. Поэтому

чаще

моделирование

других по

используется

принципу

статистическое

приращения

времени,

имитационное отражающее

функционирование системы ПО. Даже один прогон имитационной модели в этом случае может дать немало информации и о правильности созданной модели, и о поведении системы ПО. Не останавливаясь подробно на известных способах построения имитационных моделей, отметим, что при концептуальном проектировании сначала модели процесса функционирования системы задаются в обобщенной (системной) форме. Для этого нередко используется их множественное представление

[14],

но

чаще

и

с

большим

успехом

применяется

информационная форма задания моделей. В этом случае любой компонент системы (физический блок, процесс, алгоритм) представляются как черный ящик с заданным типом объекта и типом его размещения в пространстве, а также известными входами и выходами в

105 виде формуляров обмена. Например, модель движения носителя (М.N) может быть представлена в виде

Т.N &Т.RN М.N = F.NU -------------> F.NI & F.QU, где Т.N – тип носителя, содержащий сведения о параметрах носителя; а Т.RN – тип его размещения в пространстве (начальные координаты), F.NU и F.NI – управляющий и информирующий формуляры носителя соответственно; F.QU – формуляр, содержащий информацию о носителе как об объекте внешней среды. Алгоритм целераспределения может быть задан в виде

Т.CR М.СR = F.R & F.S & F.CI & F.O -------> F.CU1 & ....& F.CUm, где Т.CR – тип алгоритма целераспределения; F.R – формуляр ранжирования;

F.S – формуляр с результатами обобщения состояния собственных средств воздействия на окружающую среду; F.СI – управляющий формуляр от вышестоящего уровня; F.O – формуляр оператора F.CU1,...,F.CUm – выходные формуляры алгоритма целераспределения. Для

получения

оценок

искомых

величин

определяется

само

преобразование, то есть модель, которая реализуется программно и в качестве модуля включается в моделирующую программу (программную реализацию схемы рис. 3.2,а). Имитационные модели строятся обычно не для каждого альтернативного варианта системы, а разрабатывается одна общая модель, позволяющая изменением некоторых ее параметров или логических условий учесть разнообразие альтернативных

вариантов. В

результате

статистического

106 моделирования

определяются

функционирования,

лишь

соответствующие

частные целям

показатели нижнего

качества

уровня.

Их

агрегирование – это особая задача, обычно решаемая позже. На основании изложенного можно представить систему имитационного моделирования процесса функционирования разнообразных ПО в виде рис.3.4, где для каждой из двух сторон (А и N) предусмотрены базы знаний (БЗ).

A

Т.Х […]

БЗ F.X […]

П

ИИ

БМ

Исполнительная система

F.X […] N

T.MX[.]

БЗ Т.KRX

Т.Х […]

T.KX[…]

БЗ

БЗ T.MX[.]

Рис. 3.4. Система имитационного моделирования процесса функционирования разнообразных ПО Одна (Т.КХ [...]) содержит описание структуры и состава подвижного объекта Х, а другая (Т.МХ [...]) содержит модели функционирования его обнаружителей, носителей и средств воздействия, а также алгоритмы средств управления). Система моделирования помимо этого включает в себя статическую базу данных Т.Х [...] с характеристиками всех устройств ПО и динамическую базу данных (F.X [...]), содержащую все формуляры. Кроме этого, схема содержит базу процедур моделирования БМ и интеллектуальный

107 интерфейс ИИ для взаимодействия с пользователем П. База БМ включает в себя такие процедуры, как: – ввод и корректировку баз знаний; – ввод и корректировку баз данных; – формирование исходных данных; – воспроизведение модели процесса взаимодействия ПО; – выбор и расчет интегральных критериев на основе полученных показателей; – справки (в том числе контекстные) по ПО и по процессу моделирования.

3.2. Обработка результатов моделирования При моделировании ПО исследователь получает обширную информацию о состоянии системы в различные моменты времени. Эта информация является исходным материалом для определения статистических оценок искомых числовых характеристик случайных величин и процессов по ограниченному числу реализаций n. Для каждой из характеристик можно найти несколько статистических оценок. При обработке результатов моделирования стремятся выбрать такие оценки, которые были бы в некотором смысле наилучшими. Обычно от оценки требуют, чтобы она была состоятельной, т.е. при увеличении количества реализаций

она

стремилась

бы

к

истинному

значению

числовой

характеристики. Кроме того, желательно, чтобы оценка была несмещенной, т.е. ее математическое ожидание должно быть равно величине оцениваемой числовой характеристики. Выполнение этого требования гарантирует , что оценка не будет иметь систематической ошибки. Наконец, оценка должна быть эффективной, то есть иметь по сравнению с другими наименьшую дисперсию.

108 При исследовании сложных систем наибольший интерес среди числовых характеристик случайных величин и процессов представляют: математическое ожидание, дисперсия и корреляционные моменты. Несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания M[x] случайной величины X является среднее арифметическое значение этой

n

величины:

M [X] = 1/n Σ Xi, 1

(3.2.1)

где Xi – значение случайной величины в i-й реализации. Оценка M[X] является эффективной, если случайная величина подчинена нормальному закону. Для других законов распределения это не всегда справедливо. Несмещенной состоятельной оценкой дисперсии D[X] служит величина

n D[X] = 1/(n– 1) Σ (Xi– M[X])2. 1 Оценка D[X] не является эффективной, но в случае нормального распределения

X она асимптотически эффективна, то есть отношение ее дисперсии к минимально возможной стремится к 1 при увеличении числа реализаций. Если в результате моделирования наблюдают наступление какого-либо события, то в качестве несмещенной состоятельной оценки вероятности такого события может быть принята частота его появления p = m/n (m – число благоприятных исходов, а в качестве несмещенной состоятельной оценки дисперсии – величина D =p(1 –p). Несмещенную оценку корреляционного момента двух случайных величин X и Y обычно вычисляют

109 по формуле

n K [X,Y] = 1/(n– 1) Σ (Xi– M[X]) (Yi– M[Y]). 1 Приведенные соотношения могут применяться при любом распределении случайных величин. При большом количестве реализаций исследуемой системы объем информации о ее состояниях оказывается настолько значительным, что вызывает определенные трудности запоминания, обработки и последующего анализа даже с использованием современной вычислительной техники. Поэтому

стремятся

к

использованию

таких

форм

оценок

искомых

характеристик, которые могли бы формироваться постепенно по ходу моделирования без запоминания всей информации о состоянии системы, т.е. посредством текущей статистической обработки данных. Например, при вычислении статистической оценки математического ожидания случайной величины Х вместо формулы (3.2.1) удобно воспользоваться рекуррентной формулой

n M [Xn] = 1/n Σ [(n–1) M [Xn–1] +Xn ],

(3.2.2)

1 где M [Xn–1] и M [Xn] – статистические оценки математического ожидания случайной величины Х соответственно после проведения (n–1) и n реализаций исследуемого процесса. При использовании этой формулы уже не требуется хранить в памяти значения случайных величин, полученные во всех реализациях, а достаточно помнить лишь последнюю статистическую оценку

M[X].

110 3.3. Достоверность и осуществимость статистического моделирования При обработке результатов ограниченного числа реализаций на практике встает задача не только определения подходящих значений неизвестных математического

ожидания,

дисперсии

или

среднего

квадратического

отклонения, но и ориентировочной оценки их точности и надежности. Допустимая погрешность при замене числовой характеристики МХ ее статистической

оценкой

М[Х] определяется как среднеквадратическое

отклонение:

σ {М[Х]} =SQRT(m {QRT(M[X] –MX )}). В общем случае здесь получаются довольно громоздкие выражения, которые значительно упрощаются для конкретных распределений. Так, для нормального закона с параметрами m и σ погрешности равны: –для среднего значения σ{M[X]} = σ / n ; 2

–для статистической дисперсии – σ{ D[X]} = σ

2/

(n −1) ;

–для среднего квадратического отклонения – σ{ σ [X]} = σ /

2n

Интерес может представлять и другой вопрос. С какой вероятностью можно утверждать, что допускаемая при замене МХ на M[X] ошибка не превзойдет величины ε. Эту вероятность называют доверительной и обозначают α:

α = Р (| M[X] –МХ | < ε.

(3.3.1)

Это вероятность того, что истинное значение МХ будет заключено в пределах от МХ –ε до МХ +ε. Эти границы называются доверительными, а интервал МХ ±ε – доверительным интервалом. Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность – его надежность (достоверность).

111 Пусть нас интересует точность оценки математического ожидания МХ с помощью среднего значения М[X] (3.2.1) для некоторой выходной величины Х. В сложных системах выходные величины зависят от целого ряда случайных факторов и поэтому в силу центральной предельной теоремы

имеют

распределения, близкие к нормальному. Однако параметры распределения m и σ величины Х заранее неизвестны и, следовательно, нельзя непосредственно по (3.3.1) найти доверительную вероятность в виде

α = Р ( | М[Х] – МХ | < ε).

(3.3.2)

Поэтому вместо величины М[Х] вводится в рассмотрение величина Т:

Т =(| М[Х] – МХ)/S[X],

(3.3.3)

где S[X] = D[ X ] / n . В математической статистике доказывается, что случайная величина Т подчинена закону распределения Стьюдента Sn(t), который не зависит от параметров m и σ величины Х, а зависит только от числа наблюдений n и от аргумента t. Вероятность попадания величины Т на участок (–tα, +tα), где tα – произвольное положительное число, определяется как +tα

+tα

Р(|Т| < tα) = ∫ Sn(t )dt = 2 ∫ Sn(t )dt . –tα 0 Сравнивая левую часть с выражением для α из (3.3.2), видим, что если положить

ε = tα S[X],

(3.3.4)

+tα

то

α =2

∫ Sn(t )dt . 0

(3.3.5)

112 Доверительная вероятность α – есть функция двух аргументов (tα и n) и может быть протабулирована. Значения tα, удовлетворяющие равенству (3.3.5), сведены в табл. 3.1. Таблица 3.1

n

10

20

30

40

60

120

∞

α 0,8 1,372 1,325 1,310 1,303 1,696 1,289 1,282 0,9 1,812 1,725 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645 0,95

2,23

2,09

2,04

2,02

2,00

1,980 1,960

0,99

3,17

2,84

2,75

2,70

2,66

2,62

2,58

0,999

4,59

3,85

3,65

3,55

3,46

3,37

3,29

Задаваясь α, можно определить доверительный интервал при небольшом количестве реализаций n. Для этого вычисляют М[Х], находят S[Х] по формуле (3.3.3), а по табл. 3.1 – величину tα, затем вычисляют ε по выражению (3.3.4) и, наконец, определяют М[Х] ±ε. Заметим, что такая таблица или более подробные таблицы для t – распределения

Стьюдента,

приводимые

в

справочниках,

могут

быть

использованы лишь при небольшой точности (ε >5 %). Подставляя в (3.3.4) значение S[X] из (3.3.3), получим

ε = tα S[X] = tα D[ x] / n , 2

2

2

2

2

откуда для случайных величин n = tα D[X]/ε = tα σ[X] /ε , а для случайных событий

n = tα2 D / ε2 = tα2 p (1–p)/ε2,

(3.3.6)

113 то есть количество реализаций оказывается обратно пропорционально квадрату точности. Величина tα при n>120 может быть взята из табл. 3.1 по заданному α при n =∞ (допускаемая при этом ошибка незначительна). Число реализаций n для случайных событий с разными вероятностями

(р) их появления при доверительной вероятности α =0,95 и соответственно tα=1,96, полученное по формуле (3.3.6), сведено в табл. 3.2. Обычно при моделировании величина р заранее неизвестна. Поэтому сначала получают небольшое количество реализаций (n0 =50…100), по ним определяют р0 и, полагая р=р0, уточняют n. Аналогично определяют количество реализаций, необходимых для оценки дисперсий и корреляционных моментов. Таблица 3.2

Вероятность

Точность,

%

5

2

1

0,1

0,9

140

900

3600

0,2

0,8

250

1500

6200

0,3

0,7

330

2100

8400

0,4

0,6

380

2300

9400

390

2400

9800

0,5

Метод статистического моделирования, как следует из табл.3.2, требует большого количества реализаций, а следовательно, и больших затрат времени. Попробуем оценить это время на следующем простом примере. Пусть требуется произвести оценку десяти (с=10) альтернативных вариантов комплекса управления по пяти показателям качества (к=5) при использовании ПО в десяти тактических ситуациях (d=10) с точностью ε=2 %. Для построения любого показателя качества в функции параметра или

114 ситуации требуется, как минимум, три точки (s=3). Минимальное количество реализаций в одной точке при этом составит (см. табл. 3.2) n=900. Если осуществлять перебор всех вариантов, то общее количество реализаций N определится как

N =c·k·d·s·n =10·5·10·3·900 =1 350 000. Пусть время протекания процесса взаимодействия ПО в реальных условиях составляет tр=1 мин, а имеющаяся ЭВМ позволяет воспроизводить процесс взаимодействия в ускоренном масштабе времени (mt=5). Тогда, пренебрегая затратами времени на управление периодизацией, формирование случайных величин и событий, статистическую обработку и другое (3.3.5), время машинного эксперимента Т составит

Т =N· tр/ mt =1350000·(1/5) =270000 мин.=4500 ч. Если проводить моделирование по 8 часов каждый рабочий день, то на это потребуется больше года, что явно неприемлемо ни для какой проектной задачи. Возможных путей сокращения времени статистического моделирования не так уж много и они состоят в следующем: 1. Увеличение производительности используемой ЭВМ (это скорее теоретический путь, вряд ли ради Вашей задачи руководство пойдет на большие расходы). 2. Использование одних и тех же последовательностей случайных воздействий при сравнении вариантов КУ и оценка вероятностей случайных событий, далеких от 0,5 (см. табл. 3.2). 3. Рациональная организация моделирования с использованием методов планирования эксперимента и специальных выборочных процедур [14].

115 4. Огрубление (упрощение) модели системы. Это ведет в отличие от предыдущих к неизбежному уменьшению точности, но дает заметный выигрыш во времени как за счет изменения масштаба времени, так и за счет сокращения числа реализаций. Каждый из этих путей имеет свои недостатки и нельзя заранее отдать предпочтение какому-либо из них, но наибольший интерес представляют методы рациональной организации процесса моделирования, как не требующие перехода к новым средствам и не влекущие за собой изменение самой модели систем. 3.4. Сравнение и выбор альтернативных вариантов систем Сравнение

систем

и

выбор

одной

из

них

наиболее

просто

осуществляются при наличии одного критерия Q(S), которым оценивается каждая из множества систем S. При этом сравнивая 2 системы S1, S2 ∈ S относительно цели А, устанавливают одно из 4 соотношений: А 1) S1

S – сильное предпочтение, А

2) S1

S2 – слабое предпочтение, А

3) S1 ≈ S2 – эквивалентность, А 4) S1 ∞ S2 – несравнимость, возникающая при невыполнении 1, 2 и 3 условий или из-за особых свойств S1 и S2, процесс сравнения которых теряет смысл. В первом случае исходят из того, система S1 предпочтительнее системы

S2 относительно цели А тогда и только тогда (<==>), когда критерий качества системы S1 больше (меньше) критерия качества системы S2. Это может быть записано в виде А

116

S1 S2 <===> Q (S1) {R} Q (S2), R = > , < . (Отношение R со значением "больше" используется, если критерии максимизируются, а со значением "меньше" – если минимизируются). При наличии нескольких критериев всегда возникает проблема выбора системы. Эта проблема (проблема многокритериальности) решается тремя путями. 1. Сведение множества критериев к одному частному: – согласованием критериев (выбирается любой критерий из нескольких, если их производные имеют одинаковый знак, что само по себе является чрезвычайно редким обстоятельством); – выбором одного наиболее важного критерия с наложением ограничений на другие (это требует экспертного ранжирования критериев по степени их важности или предпочтительности); – выбором одного критерия путем отбрасывания других без всяких условий, что также требует их предварительного ранжирования. 2.

Построение интегрального критерия.

3. Использование всего множества критериев для выбора альтернативы. Первый путь сведения множества критериев к одному представляется достаточно ясным из изложенного, второй путь был рассмотрен ранее. В третьем случае (когда не удается свести все критерии к одному, а к этому стремятся всегда) приходится решать многокритериальную задачу. Когда существует множество критериев, то, естественно, хочется выбрать такую альтернативу, оценки которой были бы максимальными по всем критериям. Заметим, что, выигрывая в каком-то одном критерии, мы почти всегда проигрываем в другом (в силу их противоречивости). Но можно ли, изменяя значения критериев, подобрать (найти) неулучшаемую альтернативу? Для ответа на этот вопрос воспользуемся графической интерпретацией двухмерного критериального пространства (рис.3.5,а), где в осях двух критериев Q1 и Q2 точками и звездочками изображены альтернативы [17].

117 Неулучшаемой

альтернативой,

очевидно,

является

такая,

которая

расположена выше и правее других. (Заметим, что здесь случай неулучшаемой альтернативы понимается как невозможность найти другую альтернативу, у которой хотя бы один из показателей

был бы

лучше.) Проверить

неулучшаемость альтернативы можно, проведя из данной точки лучи параллельно положительному направлению осей и убедившись, что в образованном углу других альтернатив нет. Итак, в ситуации рис. 3.5,a существует единственная неулучшаемая альтернатива. Однако рис. 3.5,б уже показывает, что таких альтернатив может быть несколько, а на рис. 3.5,в приведен случай, когда все альтернативы являются неулучшаемыми. Типичным является вариант, в котором число неулучшаемых альтернатив меньше (часто значительно) числа исходных вариантов.

Q1

Q1

Q1 S1*

S1 * S1* ·

S2*

S2*

·

·

S3* S3*

·

S4*

· Q2 а

S5* Q2

б

Q2 в

Рис.3.5. Ситуации неулучшаемых альтернатив Образованное множество неулучшаемых альтернатив часто называют множеством Парето (по фамилии итальянского экономиста), или переговорным множеством, а сам процесс нахождения множества – паретооптимизацией. Точки, не принадлежащие множеству Парето, не претендуют на то, чтобы считаться лучшей альтернативой. Выделение переговорного множества – это

118 первый шаг в сравнении альтернатив. Можно ограничиться этим и считать лучшими все те альтернативы, которые попали в множество Парето. Однако в большинстве практических задач требуется в итоге выбрать только одну альтернативу. Для такого выбора наиболее распространенными являются следующие приемы [13,14]. 1. Альтернативы сравнивают по некоторому дополнительному, ранее не учитывавшемуся свойству, имеющему физический характер или являющемуся просто математическим приемом таким, как, например, равноудаленность. Такой равноудаленной от всех других или, как говорят, срединной точкой на рис. 3.5,в является альтернатива S3. 2. Множество Парето поступает на экспертную оценку, по результатам которой на основе баллов, ранжирования или других приемов выделяется единственная альтернатива. 3. Выбор альтернатив из множества Парето по одному критерию, используя те же методы выбора этого единственного критерия, как в случае исходного множества критериев (см. ранее). 4. Сравнение альтернатив из множества Парето с использованием интегрального критерия. 5. Применение к множеству Парето метода попарного сравнения или известных методов векторной оптимизации. 6. Выбор в качестве единственной любой альтернативы из множества Парето (такое необоснованное решение всегда мало привлекательно). Эти количественные математические приемы выбора альтернатив эффективны лишь при сильных предпочтениях ЛПР. При слабых же предпочтениях

(при

плохой

различимости

альтернатив)

или

при

их

эквивалентности ЛПР приходится полагаться на личную интуицию и опыт или советы экспертов.

119 3.5. Методы и условия принятия проектных решений Выбор критерия, структуры или альтернативы на основе признания их наилучшими является актом принятия решения. Вообще, широко известны следующие методы принятия различных решений. 1. Автоматически. В большинстве случаев повседневной жизни люди вообще не принимают решений сознательно или намеренно. Такие действия производятся непроизвольно, на базе инстинктов и рефлексов. В качестве примеров можно назвать отдергивание руки от горячего, вращение головой при переходе улицы, а при проектировании – это выбор метода расчета, выбор элементной базы и т. п. 2. Метод проб и ошибок стоит по частоте применения на втором месте. Его успех зависит от скорости обучения, а в конечном счете от памяти. Ему в основном обязана эволюция человечества. При современной вычислительной технике этот метод также может быть использован при выборе наилучших последствий случайных решений. 3. Произвольное решение (волюнтаризм) – наиболее отвратительный вид решений, тем более если он подкрепляется хитростью, наглостью или силой. В других случаях он просто необходим для избежания хаоса или преодоления неверия в возможность выхода из создавшегося положения (для этого всегда лучше хоть что-нибудь делать, чем ничего не делать). Таким видом решений нередко пользуются воинские командиры и лидеры различных групп (в том числе и проектных), полагаясь на свою интуицию и предшествующий опыт. 4. На основе обращения к этическим системам. Вообще, мораль и этика применительно к технике необходимы для создания нормы для суждения: «хороши ли данные цели в каком-либо разумном смысле». Этические учения могут давать и весьма практические руководящие принципы для принятия технических решений. Например, основная заповедь стоицизма: «нельзя желать невозможного» – в технике сильно сдерживает необоснованные желания, заставляет смириться и не тратить попусту усилий на пока невозможное. Не

120 трудно видеть, и к каким благим последствиям ведет использование библейской заповеди христианской религии «не укради» идею, изобретение ближнего своего. 5. На основе обращения к авторитету, в качестве которого могут выступать справочник, персона, закон и др. Применение этого метода может означать уклонение от ответственности или умственную лень; обращение к авторитету может быть и разумным актом, когда мы советуемся со специалистом или сверяемся со справочником (учебником); наконец, метод может

стать

просто

необходим,

когда

сверяются

с

требованиями

государственных стандартов или других законов, дабы избежать их нарушения. 6. На основе групповых предпочтений (голосования). Такое решение может означать перекладывание ответственности с отдельного лица на коллектив, что особенно отвратительно, когда агитация в пользу того или иного решения ведется нечестно и грязными методами (“грязные избирательные технологии”). Но этот метод может оказаться и полезным при принятии решений в технике, когда учитываются опыт и знания многих специалистов (как говорится, одна голова хорошо, а две лучше). 7. На основе теории решений. Этому методу отдается предпочтение, хотя хорошее решение может быть принято случайно на основе любого из вышеуказанных методов. Это означает, что не только теория позволяет

принять хорошее решение; но «она дает правила обоснованного поведения и концептуально важна благодаря взгляду» [14] на акт принятия решений. В теории решений вводится понятие возможных состояний окружающей среды, которые называют состояниями природы, а альтернативы называют стратегиями. Множество состояний природы Х бесконечно, но при оценке исходов ограничиваются лишь небольшим числом типовых состояний. Множество альтернативных вариантов, или множество Парето S, также ограничено. Предполагаемые исходы той или иной стратегии при том или ином состоянии природы образуют матрицу исходов, или платежную матрицу (табл. 3.3).

121 Таблица 3.3

S

В

общем

X X1

X2

S1

G11

G12

…

G1

S2

G21

G22

…

G2

…

…

…

Gij

…

Sn

Gn1

Gn2

…

Gn

случае

каждая

Xm

стратегия

оценивается

несколькими

показателями качества. В теории решений в качестве исхода всегда выбирается один обобщенный критерий качества G. Он и, следовательно, само решение по *

выбору стратегии (S ) в конечном счете зависят как от имеющихся альтернатив и предпочтений ЛПР, то есть условий S, на которые влияет человек, так и от внешних условий Х, не зависящих от ЛПР: S

*Æ

G = F(S, X).

В зависимости от степени знания возможных состояний природы (условий будущей работы системы) различают и несколько условий принятия решений по выбору альтернатив: 1) условия определенности (возможно всего одно состояние природы, и оно известно); 2) условия риска (известны все возможные состояния природы и известны вероятности реализации каждого из них); 3) условия неопределенности (известны все возможные состояния природы, но неизвестны вероятности реализации каждого из них); 4) условия неосведомленности (неизвестны возможные состояния природы). Считается [14], хотя и с некоторыми оговорками, что наиболее просто решения принимаются в условиях определенности. Поэтому при принятии решений проводится предварительная работа, направленная на понижение

122 степени неопределенности, то есть позволяющая в результате специальных исследований последовательно переходить от условий неосведомленности в сторону определенности. Заметим, что принятие решений в условиях неосведомленности теоретически не рассматривается, так как в этом случае может быть принято лишь волюнтаристское, ни на чем не основанное решение.

3.6. Принятие решений в условиях определенности и риска Решения в условиях определенности

В условиях определенности, которые в реальной жизни встречаются крайне редко, решения могут приниматься на основе одного критерия или с использованием множества критериев. Наиболее просто решения принимаются в случае одного критерия, но даже здесь встречаются определенные трудности [14,18]. Так, часто в качестве обобщенного критерия используется прибыль как разность (Пр) или как отношение (По) между выгодами (В) и затратами (З):

Пр=В–З или По=В/З. При этом возможны варианты, когда выгоды и затраты являются переменными и когда только выгоды или только затраты являются переменными (различающимися при переходе от одной стратегии к другой). Первый случай является наиболее общим. Поэтому его и рассмотрим. Пусть известны В и З для некоторых систем S1 и S2. При этом обычно считается, что большие затраты – это плохо, а большая выгода – хорошо. Например:

S1: В=20, З=10 ---> Пр =10, По =2; S2: В=12, З=2 ---> Пр =10, По =6. Чистая выгода в виде разности в обоих случаях одинакова (Пр=10), и поэтому нельзя отдать предпочтение ни одной из стратегий. По критерию прибыли в виде отношения стратегия S2 явно предпочтительнее стратегии S1 (6

123 против 2). Если это означает, что система S1 может приносить стабильную прибыль при достаточно длительном периоде ее использования, а система S2 может принести прибыль за короткий промежуток времени при сравнительно малых затратах, то критерий прибыли уже является недостаточным для принятия решения. Здесь надо рассматривать другие цели существования и развития фирмы, производящей системы S. Решения в условиях риска

Рассмотрим пример платежной матрицы в виде прибыли или другого интегрального критерия для двух вариантов системы и двух состояний окружающей среды (табл. 3.4 и 3.5). Таблица 3.4

S

Таблица 3.5

X

S

X1

X2

S1

50

100

S2

48

96

X X1

X2

S1

50

96

S2

48

100

Из табл. 3.4 видно, что система S1 лучше системы S2, так как при любом состоянии природы исходы по стратегии S1 всегда выше (как говорят, стратегия S1 доминирует). Если поменять исходы стратегий при втором состоянии природы (табл. 3.5), то нельзя сказать, какая система лучше (при одном состоянии природы лучше первая система, при другом – вторая). Основанием для выбора стратегий в этой ситуации может быть максимизация ожидаемой чистой выгоды, соответствующей некоторой стратегии. Она представляет собой средневзвешенную сумму тех прибылей, которые могут дать все исходы по данной стратегии, причем весом каждого исхода будет вероятность (Р) его реализации (вероятность реализации того или иного

124 состояния природы). Тогда некий суммарный выигрыш по каждой стратегии определится выражением

W (S) = Q (S, X1)⋅P1 + Q (S, X2)⋅P2. Для случая, представленного в табл. 3.5, когда состояния природы равновероятны, получим: для S1:

W1 = 50⋅0.5 + 96⋅0.5 = 73,

для S2:

W2 = 48⋅0.5 + 100⋅0,5 = 74.

Поскольку W2 > W1, то система S2 лучше, чем система S1.

3.7. Принятие решений в условиях неопределенности В

условиях

неопределенности

применяется

несколько

способов

(критериев) принятия решений [14]. Рассмотрим наиболее употребительные из них на численном примере матрицы исходов (табл. 3.6). 1. Минимаксный критерий (критерий Лапласа)

Таблица 3.6

Q =min max Q (S, X) = 50 –>S1 S X 2.Максиминный критерий

(критерий

Вальда):

Q = max min Q (S, X) =20 –>S2 S X 3. Максимаксный критерий:

Х S

Х1

Х2

Х3

S1

30

60

10

S2

80

20

40

S3

15

30

100

Q = max max Q (S, X) = 100 –>S3

S X Этот критерий выбора соответствует стратегии очень азартного игрока, который

всегда

выбирает

решение,

соответствующее

максимальному

выигрышу, несмотря на малую его вероятность. Критерий не находит практического применения при решении инженерных задач. 4. Миниминный критерий выбора – никогда не используется, хотя формально имеет право на существование.

125 В этом случае

Q = min min Q (S, X) = 10 –>S1. S

Х

5. Компромиссный критерий выбора (критерий Гурвица):

Q = max {α max+ (1 – α) min} Q (S, Х). S X X Коэффициент α, называемый коэффициентом оптимизма-пессимизма, принимает значения от 0 до 1. При α=0 получаем максиминный критерий выбора, а при α=1 – максимаксный критерий выбора. Обычно используют промежуточные значения α, например, α=0.6. Выбором этого коэффициента достигается некоторая компромиссная (промежуточная) стратегия выбора. 6. Критерий сожаления (критерий Сэвиджа) Сожаление – это состояние разочарования тем, что не удалось получить максимальной

выгоды,

которая

могла

бы

быть

получена,

если

бы

реализованное состояние природы было известно заранее. Вводят понятие функции риска К(S, X), которая при Х-м состоянии природы вычисляется как

К(S, X) = max Q (S, X) – Q (S, X). S Это означает, что исходную платежную матрицу

Таблица 3.7

S

(см. табл. 3.6) надо перестроить в виде табл. 3.7. Затем к ней надо применить минимаксную стратегию выбора:

К = min max K (S, X) =30 ->S2 S

X

Х X1

X2

X3

S1

50

0

90

S2

0

30

60

S

65

20

0

Недостаток данного критерия состоит в том, что добавление еще одной стратегии меняет оценку предыдущих. Так, если к трем стратегиям в табл. 3.6 добавим еще одну (табл. 3.8) и перестроим ее в матрицу сожалений (табл. 3.9),

126 то по ней в соответствии с критерием Сэвиджа выберем уже стратегию S3, а не прежнюю S2. Заметим, что выбор критерия очень субъективен. Нет правила по выбору критериев. Все зависит от лица, принимающего решение. Поэтому так велика роль главного конструктора той или иной системы, поскольку он принимает все важнейшие решения. Здесь могут быть предложены лишь 2 рекомендации: 1) выбираемая альтернатива должна быть лучшей по нескольким критериям; 2) опыт реального проектирования говорит, что надо проявлять разумный пессимизм (наибольшие гарантии дают критерии Вальда и Гурвица).

127

Библиографический список 1. Афанасьева О.В. Некоторые свойства движения многомассовых систем: Труды 7-й международной конференции KDS – 98, Польша, Щецин, В.S.M.,Т.1, 1998. –С.165-174. 2. Афанасьева О.В. Моделирование элементов многомассовых систем на примере

ДВС:

Труды

международной

научно-практической

конференции ''Системный анализ в проектировании и управлении''. – СПб.: СПбГТУ, 2001. –С. 378-382. 3. Афанасьева О.В., Ерицян Э.Г. Метод рекуррентного вывода уравнения движения последнего элемента в многомассовой модели технического объекта:

Труды

студентов

и

Международной

аспирантов

научно-практич.

“Анализ

и

конференции

прогнозирование

систем

управления”. –СПб.: СЗТУ, 2001.–С.23-29. 4. Афанасьева технического

О.В.,

Комиссаров

объекта:

Труды

П.В.

Модель

оценки

Международной

состояния

научно-практич.

конференции студентов и аспирантов “Анализ и прогнозирование систем управления”.–СПб.: СЗТУ, 2001.–С.14-22. 5. Афанасьева О.В., Огурцов И.Я., Потапенко А.А. Труды международной научно-практической конференции ''Анализ и прогнозирование систем управления''. –СПб.: СЗПИ, 2000. –С. 33-40. 6. Афанасьева О.В., Потапенко А.А. Определение и распознавание проблемных ситуаций при управлении N–массной системой //В научнотехн. журнале “Искуственный интеллект” 2’ 99. Крым, Кацивели, 1999. –С. 431-438. 7. Афанасьева О.В., Романова Н. Г. Матричное представление и вывод решения

системы

дифференциальных

уравнений,

описывающих

движения элементов судового двигателя: Труды международной научно-практической конференции студентов и аспирантов « Анализ и прогнозирование систем управления». – СПб.: СЗТУ, 2002. –С.148-156.

128 8. Афанасьева

О.В.,

Сарвин

А.А.

Диагностирование

технического

состояния многомассовых систем //В книге: Доклады юбилейной научно-технической конференции студентов, аспирантов и сотрудников института ''Высшая математика, физика, информатика и системы управления''. –СПб.: СЗПИ, 2000. –С. 113-118. 9. Безюков О.К., Афанасьева О.В., Вибродиагностирование судовых дизелей

с

международной

использованием

динамических

научно-практической

моделей:

конференции

Труды

студентов

и

аспирантов «Анализ и прогнозирование систем управления». –СПб.: СЗТУ, 2002. –С.24-34. 10. Безюков О.К., Тузов Л.В., Афанасьева О.В., Расчётная схема судового дизеля, как многомассовой системы: Труды Российско-польской конференции «Анализ, прогнозирование и управление в сложных системах». –СПб.: СЗТУ, 2004. –С.128-135. 11. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Иванцов И.Б. Информационная микроэкономика. Ч.1. Методы анализа и прогнозирования. –СПб.: Нордмед-Издат, 1997. –160с. 12. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Монастырский М.Л. Теоретические основы информационно-статистического анализа сложных систем. – СПб.: Лань, 1997. –320с. 13. Лямкин А.А. Методы и средства исследования сложных систем: Учеб. пособие.–Л.: Изд-во ЛЭТИ, 1978. 14. Лямкин А.А., Первухин Д.А., Афанасьева О.В. Концептуальное проектирование комплексов управления подвижными объектами как сложными техническими системами: Учеб. пособие.–СПб.:СЗТУ, 2004. –173с. 15. Михалевич В.С., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. –М.: Наука, 1982.

129 16. Норенков

И.П.

Введение

в

автоматизированное

проектирование

технических устройств и систем: Учеб пособие для втузов. –М.: Высш. шк., 1980. 17. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика.–М.: Наука.–Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 18. Теория выбора и принятия решений: Учеб. пособие для вузов /И. М. Макаров, Т. М. Виноградская, А. А. Рубчинский, В. В. Соколов. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 19. Явленский К.Н., Явленский А.К. Вибродиагностика и прогнозирование качества систем. –Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение, 1983. – 239 с. 20. Afanasieva

О.V. Definition and discernment of problem situations at

engineering diagnostics of condition of a mechanical system. International Journal ''INFORMATION THEORIES & APPLICATIONS''/ Volume VIII // Foi-commerce, Sofia, 2000. – С. 56-61.

130

Предметный указатель А, Б алгоритм целерасределения – 105 В, Г воздействия импульсные – 32 квазистатические – 33 Д, Е, Ж, З диагностический модель двумерная – 28 модель одномерная – 27, 28 сигнал – 19 динамическая модель механизма – 20, 21 И имитационные модели – 105

К, Л концептуальное проектирование – 5 критерии компромиссный – 125 максимаксный – 124 максиминный – 124 минимаксный – 124 миниминный – 124 сожаления – 125

автоматический – 119 произвольного решения – 119 на основе обращения групповых предпочтений – 120 к авторитету – 120 к этическим системам – 119, 120 многокритериальность – 116 множество Парето – 117, 118 моделирование – 101 по принципу особых состояний – 103 по принципу приращения – 102 модели объекта проектирования – 16 О оценка – 107 П, Р платежная матрица – 120 проектирование концептуальное – 5 техническое – 5 проектная операция – 12 производство – 6 процедурные математические модели – 15 С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ статистическое имитационное моделирование – 101 стратегии – 120 Э, Ю, Я

М, Н матрицы исходов – 120 метод проб и ошибок – 119

эксперимент – 101 эксплуатация – 7

131

Оглавление Предисловие................................................................................................................. 3 Введение ....................................................................................................................... 4 1. ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ .......................... 5 1.1. Этапы жизненного цикла технических систем и их содержание ................ 5 1.2. Процесс проектирования систем..................................................................... 7 1.3. Обобщенная схема проектирования ............................................................. 12 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ....................... 17 2.1 Диагностические модели ................................................................................ 21 2.2. Математическая модель многоэлементного технического объекта.......... 30 2.3. Методы расчёта поведения элементов в многомассовых системах .......... 33 2.3.1.

Вывод уравнения, описывающего поведение

последнего элемента

многомассовой системы ........................................................................................ 33 2.3.2. Матричное представление для решения системы дифференциальных уравнений, описывающих движения элементов технического объекта, рассматриваемого как многомассовая система ................................................. 46 2.3.3. Рекуррентный вывод уравнения, описывающего движение последнего элемента многомассовой системы ....................................................................... 51 2.3.4. Метод вывода уравнения движения элементов путём последовательного наращивания многомассовой системы ................................................................ 77 2.4. Некоторые свойства движения элементов технической системы, рассматриваемой как многомассовая система.................................................... 86 2.5. Доказательство свойств движения элементов технической системы, рассматриваемой как многомассовая система.................................................... 88 3. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ .................................... 99 3.1. Имитационное моделирование систем ......................................................... 99 3.2. Обработка результатов моделирования...................................................... 107 3.3. Достоверность и осуществимость статистического моделирования ...... 110 3.4. Сравнение и выбор альтернативных вариантов систем ........................... 115

132 3.5. Методы и условия принятия проектных решений .................................... 119 3.6. Принятие решений в условиях определенности и риска.......................... 122 3.7. Принятие решений в условиях неопределенности.................................... 124 Библиографический список.................................................................................... 127 Предметный указатель............................................................................................ 130 Оглавление ............................................................................................................... 131