Сюжетные задачи по математике: Учебно-методическое пособие

АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Л.В. Шелехова

СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано УМО по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 031200 (050708) – педагогика и методика начального образования.

МАЙКОП – 2007

УДК 51 (075.8) ББК 22.1 я 73 Ш 42

Печатается по решению редакционно-издательской комиссии при НМС Адыгейского государственного университета

Рецензенты: Г.Л.Луканкин, член-корреспондент РАО, д.п.н., профессор; Т.Ф.Сергеева, д.п.н., профессор

Ш 42 Л.В.Шелехова Сюжетные задачи по математике /учебно-методическое пособие/: Майкоп, изд-во АГУ, 2007. – 174 с.

В учебно-методическом пособии охарактеризованы понятие «сюжетная задача», её структура и форма; показано использование графической информации в процессе решения сюжетных задач; приведены этапы решения задачи и приёмы их выполнения; рассмотрена роль сюжетных задач в школьном курсе математики и типологии сюжетных задач. Пособие может быть полезно для преподавателей и студентов вузов и средних специальных учебных заведений, учителей и учащихся средних образовательных школ.

© Адыгейский государственный университет © Л.В.Шелехова, 2007

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга предназначена для преподавателей и студентов ВУЗов и средних специальных учебных заведений, учителей и учащихся средних образовательных школ. Данное учебное пособие дополняет раздел «Обучение решению сюжетных задач» основного курса методики преподавания математики. Ознакомление с методикой обучения учащихся решению сюжетных задач является неотъемлемой частью профессиональной подготовки будущих учителей математики, так как сюжетная задача и процесс её решения представляют собой важнейшее средство формирования математических знаний, умений и навыков, развития ребёнка и одной из основной форм учебной деятельности. Пособие состоит из двух глав. В первой главе определено понятие «сюжетная задача», рассмотрены её структура, форма и использование графической информации в процессе решения сюжетных задач; приведены этапы решения задачи и приёмы их выполнения. Во второй главе показана роль сюжетных задач в школьном курсе математики, в которой приводятся функции решения сюжетных задач (обучающая, развивающая, воспитательная) и их типологии сюжетных задач. Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области методики математики для специалистов с высшим образованием.

3

ГЛАВА 1. СЮЖЕТНАЯ ЗАДАЧА И ПРОЦЕСС ЕЕ РЕШЕНИЯ

1.1. Понятие сюжетной задачи В методической литературе существуют различные подходы к определению понятия сюжетной задачи. Приведем некоторые из них: 1. Под тестовыми задачами понимаются математические задачи, в которых входная информация содержит не только математические данные, но еще и некоторый сюжет (фабулу задачи) (Методика преподавания математики, [44], с. 168). 2. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М., [67], с. 43). 3. Под задачей в начальном курсе математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами (Белошистая А.В., [9], с.5). 4. Под текстовыми арифметическими задачами подразумевают задачи, имеющие житейское содержание и решаемые с помощью арифметических действий (Столяр А.А., Дрозд В.А., [43], с. 158). 5. Задача – это система данных и искомых с их свойствами и отношениями и с указанием на необходимость найти искомые (Зайцев Г.Т., [24], с. 9) 6. Математическая задача – это связный рассказ, в который введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие известные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии (Свечников А.А., [58], с. 5). 7. Сюжетной задачей называется требование найти (установить, определить!) какие-нибудь характеристики некоторого объекта по известным другим его характеристикам (Фридман Л.П., [78], с.63). 8. Под сюжетной задачей понимают задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определенных количественных характеристик или значений (Фридман Л.П., [78], с.3). 4

9. Текстовой задачей называется описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значения других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий (Демидова Т.Е., Тонких А.П., [19], с.7). 10. Всякая задача есть требование либо на нахождение какихлибо знаний о явлениях действительности (объектах и процессах) и их характеристиках, которые они имеют в определенных заданных в задаче условиях, либо на получение какого-то искомого практического результата (построить что-то, обеспечить выполнение каких-то условий и тому подобное) (Ильясов И.И., [29], с. 101). 11. Задача представляет собой непустое множество элементов, на котором определено заранее данное отношение (Епишева О.Б., Крупич В.И., [22], с. 54). Мы придерживаемся следующего определения: «Сюжетная задача представляет собой описание некоторого непустого множества элементов, на котором определено заданное отношение с требованием найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последовательность требуемых действий». Непустое множество элементов, о котором идет речь в задаче, называется ее предметной областью. Фридман Л.М. ([78], с. 67, 72) отмечает, что описание элементов предполагает полное и неполное задания в тексте сюжетных задач отдельных значений величины, которыми они характеризуются. Полное словесное задание включает в себя: 1) название величины, значением которой оно является; 2) указание особенностей данного значения, отличающих его от других значений той же величины; 3) размер этого значения в виде именованного числа, если это значение известно. Неполное словесное задание характеризуется следующим: 1) первая часть может быть опущена и лишь подразумеваться; 5

2) вторая часть может быть сокращена до минимума и даже полностью опущена, но взамен будут даны какие-то косвенные указания, например, в виде наименования у числа – размера значения и т.д.; 3) отсутствием в словесном задании значения величины третьей части – его размера в виде именованного числа. По уровню полноты словесного задания величины могут быть: 1) явно заданные - характеристики объектов должны быть конкретными, когда указано значение (числовое или какое-то иное) этой характеристики; 2) неконкретные – характеристики объектов лишь названы, но их значение в задаче не дано; 3) неявно заданные – характеристики объектов, которые в тексте задачи не указываются и обнаруживаются лишь при глубоком анализе описанного в задаче явления. В первом случае соответствующие объекты предметной области считаются известными, а во втором и третьем – неизвестными. Неизвестные, в свою очередь, делятся на искомые (их требуется найти или установить), промежуточные или вспомогательные (нахождение которых не требуется, но они должны быть найдены в процессе поиска искомых) и неопределенные (которые и не требуется, и нельзя найти). Задача предполагает изменение значений величин, характеризующих ее элементы. Каждое такое изменение определяет некоторое состояние рассматриваемого множества или его подмножества, поэтому любую задачу, по мнению В. Лебедева [Москва Сайт archive.1september.ru], можно рассматривать как систему состояний Второй составной частью задачи, как отмечает Фридман Л.М. ([79], с. 95), являются отношения и связи, которыми связаны элементы предметной области. Эти отношения и связи могут быть известными и неизвестными, в том числе, искомыми. Школьная математическая задача, как правило, содержит некоторое множество отношений (между данными, между данными и искомыми, между искомыми). Под отношением Фридман Л.М. ([78], стр. 87) понимает лишь такую связь между значениями величин, которую нельзя расчленить на другие, более простые связи.

6

При этом Фридман Л.М. ([78], с. 77-86) выделяет две группы отношений: К первой группе относятся отношения между значениями одной и той же величины. В ней можно выделить два вида: 1 вид – это отношение частей и целого. Он характеризуется: - операцией сложения нескольких значений величины в одно значение той же величины; - операцией вычитания из целого одной из его частей. 2 вид – отношение сравнения значений одной и той же величины: - отношение равенства между значениями одной и той же величины; - отношение неравенства между двумя значениями одной и той же величины; - отношение разностного сравнения двух значений одной и той же величины (насколько одно значение больше или меньше другого); - отношение кратного сравнения двух значений одной и той же величины (во сколько раз одно значение больше или меньше другого); - процентное отношение или отношение части от целого (какую часть или какой процент составляет одно значение от другого). Вторую группу отношений составляют отношения между значениями различных величин, в том числе: - переход от одной единицы счета или измерения к другой; - разбиение целого на равные части; - зависимость между значениями различных величин. Отношение, выражающее функциональную зависимость между величинами, входящими в условие и требования задачи, и реализованное на ее предметной области, называется основным. Предложение, формализованное основным отношением, реализованным в задаче, называется ситуацией. При этом в каждой задаче имеет место одна или несколько ситуаций. Каждая задача содержит явные и неявные данные и зависимости между величинами. Орехов Ф.А. ([50], с.17) отмечает, что явные данные и зависимости психологически представляют собой сильные раздражители. А неявные данные и зависимости – слабыми раздражителями, поэтому на них порой не обращают внимание. Необходимо в процессе решения задачи не допускать подобной небрежности, так как на первый взгляд, несущественный факт может являться ключом к решению задачи. 7

Итак, для того чтобы рассматривать задачу как систему, нам необходимо определить: 1) элементы задачи; 2) величины, которыми охарактеризованы элементы; сколько и какие величины заданы явно или неявно в тексте задачи; характер каждого значения величины; 3) характер взаимосвязей между элементами; 4) отношения между величинами (одно из которых отражает требование найти какую-либо характеристику элемента, либо установить взаимосвязь между элементами, либо найти последовательность требуемых действий); 5) состояния; 6) ситуации. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба наполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая. За какое время каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?([55], с. 48).

Содержание рассматриваемой задачи содержит три физические величины: V – объем работы, t – время работы, N - производительность (т.е. объем выполняемой работы за 1 час). Последняя величина является постоянной, а две другие – переменные. Кроме того, объем работы и время работы – величины прямо пропорциональные, так как их отношение равно некоторому числу, не равному нулю, а именно числу, выражающему объем работы, выполненный за 1 час. Зависимость между данными величинами выражается формулой V = t ⋅ N . Величины Состояния Наполнение бассейна одновременно двумя трубами

Ситуации

V1 = t1 ⋅ N 1

Наполнение бассейна только второй трубой

8

V

1 труба

V = V1 + V 2

t

V1 = t1 ⋅ N 1

N

=

6

•

=

6

•

1 V2 = t 2 ⋅ N 2

Наполнение бассейна только первой трубой

Элементы

2 труба

1 труба

1

=

•

1

=(

+ 5) •

V2 = t 2 ⋅ N 2 2 труба

1.2. Структура сюжетной задачи В задачах Епишева О.Б. и Крупич В.И. ([22], с. 550 выделяют информационную и внутреннюю структуры. При этом Крупич В.И. ([22, с.162) отмечает, что объективная информация, заключенная в задаче, определяется ее внутренней структурой, а субъективная - ее информационной структурой, т.е. внешним строением задачи. Информационная структура – это данные, искомые и отношения между ними, а также базис (теоретическая основа) решения и способ решения задачи. В процессе анализа текста задачи информационная структура сравнительно легко устанавливается. Как правило, она характеризуется двумя основными компонентами: условием и требованием. В зависимости от определения сюжетной задачи авторами даются различные определения данных понятий. Приведем некоторые из них. Условие – это то, что дано (Артемов А.К., Семенов Т.В., [2],с. 54); – это наличная совокупность объектов, упорядоченных определенными отношениями (Кулюткин Ю.Н., [38], с.18); – это количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними (Стойлова Л.П., [66], с.115); - это зависимости между величинами (словесный материал, указывающий на характер связи между данными и искомыми) (Станкевич В.В.,[64], с. 9); - это данные с их свойствами, отношения между ними, а также отношения между данными и искомыми (Зайцев Г.Т., [24], с. 9); - это числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е. количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними (Демидова Т.Е., Тонких А.П., [19], с.8). В задаче содержатся обычно не одно, а несколько условий, которые называются элементарными (Демидова Т.Е., Тонких А.П., [19], с.8). Требование – это указание на то, что надо искать в данных условиях (Кулюткин Ю.Н., [38], с.18); – это то, к чему нужно стремиться или чего нужно достичь (Артемов А.К., Семенов Т.В., [2],с. 54); 9

- это вопрос задачи, указывающий, что требуется найти в ней (Станкевич В.В., [64], с. 9); - это искомое и указание на необходимость его нахождения (Зайцев Г.Т., [24], с. 9). Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме. В одной задаче их может быть несколько. В зависимости от логического построения условия, Статкевич В.В. ([64], с. 17) выделяет два типа составных задач: 1. Задачи с приведенным условием. В данных задачах сам текст и построение условия подсказывает порядок, последовательность решения простых задач, из которых состоит данная составная задача. К Новому году Наташа купила три вида елочных шаров: 5 шаров первого вида по 10 руб. за один шар; 3 шара второго вида по 17 рублей за 1 шар; и 2 шара третьего вида по 25 рублей за один шар. Сколько Наташа заплатила за всю покупку? 2. Задачи с неприведенным условием. Структура условия этих задач такова, что числовые данные, необходимые для решения простых задач, разъединены; рядом поставлены такие данные, которые не связаны непосредственно друг с другом. Кроме того, иногда связь между данными и искомыми выражена неявно и при изучении условия ее надо еще установить. К Новому году Наташа купила три вида елочных шаров: 5 шаров первого вида, 3 шара второго вида и 2 шара третьего вида. Цена одного шара первого вида 10 рублей, второго - 17 рублей, третьего - 25 рублей. Сколько Наташа заплатила за всю покупку? В зависимости от характера требований, Кулюткин Ю.Н. ([38], с.19), Зайцев Г.Т. ([24], с.13) и Фридман Л.М. ([78], с.97) выделяют пять типов задач: 1. Задачи на распознавание. В качестве искомого в этих задачах выступает один из компонентов системы объектов, при этом предполагается, что этот компонент в наличной системе имеется и что его значение определяется отношениями, которые присущи данной системе. Два индюка - Вот эти два индюка вместе весят двадцать фунтов, - сказал мясник. – Однако фунт мяса индюшонка стоит на два цента дороже, чем фунт мяса крупного индюка. 10

Миссис Смит купила индюшонка за 92 цента, а миссис Браун заплатила 2 доллара 96 центов за большого индюка. Сколько весил каждый индюк?(Сем Лойд,[59], с. 22) 2. Задачи на конструирование. В качестве искомого выступает та или иная система, причем функции, которыми она должна обладать, описываются в требованиях задачи. Составить текст задачи о покупке тетрадей так, чтобы ее решением было следующее числовое выражение: (5 + 30) ⋅ 2 − 6 3. Задачи на доказательство. В качестве искомого в них выступает процедура обоснования истинности некоторого утверждения. Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на один сажень. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, останется некоторый прозор (промежуток). Спрашивается: в каком случае этот прозор будет больше – у земного шара или апельсина?(Игнатьев Е.И., [28], с. 194) 4. Задачи на исследование. В качестве искомого в них выступают: а) связи и зависимости между некоторыми фактами и явлениями, а также внутренние отношения, определяющие качественную природу объектов; б) числовые значения величин исследуемых элементов и выявление закономерности появления данных числовых значений.. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 30% никеля и 70 % меди, второй – 10% меди и 30 % марганца, третий - 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40 % марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание меди может быть в этом сплаве? (Азаров А.В.,[1], с. 180) 5. Задачи на преобразование. В качестве искомого в них выступает процесс преобразования исходного состояния системы в заданное, которое указано в требовании задачи. Исходная задача. Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему имущества, а

1 3

2 оставшегося 3

матери. В случае рождения дочери она должна 11

получить

1 , а мать 3

2 имущества. Вдова завещателя родила 3

близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания? (Игнатьев Е.И.,[28], с. 387-388) Используя двустороннюю редукцию, найдите эквивалентнтную задачу данной, чтобы поиск решения стал более простым. По отношению между условиями и требованиями Стойлова Л.П. ([66], с.116), Артемов А.К., Семенова Т.В. ([2], с. 55), Фридман Л.М. ([76, 77,78], с. 97) различают: Определенные задачи – в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований. В январе завод выполнил 105 % месячного плана, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план?[Азаров А.В., [1], с. 54) Неопределенные задачи – в них условий недостаточно для получения ответа. В январе завод перевыполнил месячный план, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план? Переопределенные задачи – в них имеются лишние условия. В январе завод выполнил 105 % месячного плана, что составило 2340 тон продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил месячный план? Фридман Л.М. ([78], с. 97-98) в переопределенных задачах выделяет следующие два типа: 1) непротиворечивая - в которых лишние условия являются логическим следствием остальных условий, тогда эти условия можно просто отбросить, и останется вполне определенная задача; 2) противоречивая - в которых лишние условия противоречат другим условиям, в этом случае задача является не имеющей решения. Внутренняя структура задачи – это совокупность элементов рассматриваемой системы, связей и видов связей. Внутренняя структура задачи определяет стратегию (ориентировочную основу способа) решения задачи и ее сложность. Стратегия решения, по определению Гуровой Л.Л. ([17], с. 58),это исчерпывающий, полностью разработанный план, выражающий один из возможных способов решения, который человек сформулирует 12

или выбирает из известных ему, чтобы с помощью этого способа решить задачу. При этом Гурова Л.Л. ([17], с. 59) отмечает, что понятие «стратегии» шире, чем понятие «плана» решения, так как она строится на основе обобщенных программ действий, которыми располагает человек. Трудность задачи является психолого-дидактической категорией и представляет собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности, например, таких, как интеллектуальные возможности и интересы учащегося, степень новизны и т.д. Соколов В.Н. ([62]) по трудности выделяет три типа задач: 1. Задачи, выполнение которых состоит в стереотипном воспроизведении заученных действий. 2. Задачи, выполнение которых требует некоторой модификации заученных действий в изменившихся условиях. 3. Задачи, выполнение которых требует поиска новых, еще неизвестных способов действий. Степень трудности задачи первого типа связана с тем, насколько сложным является навык и насколько он прочно освоен. Последний фактор становится основным. Чем более прочны навыки у человека, тем легче они воспроизводятся и тем менее подвергаются дезорганизующему влиянию различных условий и прежде всего эмоций. В задачах второго типа степень трудности связана с количеством и разнородностью элементов, которые необходимо координировать наряду с описанными выше особенностями. Следует заметить, что задачи первого и второго типа, в основном, требуют памяти и прочного навыка алгоритмической деятельности. К задачам третьего типа относятся задачи, требующие творческой активности, эвристического поиска новых, неизвестных схем действий или необычной комбинации известных. При этом сюжетная задача должна правильно отвечать учебным целям, главным образом, через соотношение в ней новизны, ранее усвоенного материала и приемов его применения. Крупич В.И. ([34], с. 110 – 113) дает названия определенным выше типам задач: алгоритмические, полуэвристические и эвристические задачи. 1) Алгоритмические характеризуются тем, что: - новые знания, закономерности, отношения, свойства, необходимые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны; 13

- алгоритм (прием) или последовательность заданных алгоритмов (приемов) решения задачи известны; - теоретическая и практическая основа (база) решения задачи, содержащей функциональное отношение, известна. 2) Полуэвристические предполагают, что: - новые знания, закономерности, отношения, свойства, необходимые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны; - алгоритм (прием) или последовательность заданных алгоритмов (приемов) решения задачи неизвестны; - теоретическая и практическая основа (база) решения задачи, содержащей функциональное отношение, известна. 3) Эвристические подразумевают, что: - новые знания, закономерности, отношения, свойства, необходимые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны; - алгоритм (прием) или последовательность заданных алгоритмов (приемов) решения задачи неизвестны; - теоретическая и практическая основа (база) решения задачи, содержащей функциональное отношение, неизвестна. При этом под алгоритмом Крупич В.И. ([34], с. 110 – 113) понимает точное общепонятное предписание о выполнении в определенной последовательности действий, направленных на достижение указанной цели или на решение любой задачи, принадлежащей некоторому классу. Он отмечает, что прием - понятие более широкое, чем алгоритм, так как оно предусматривает поисковую деятельность обучаемого. Основными компонентами трудности задачи являются степень проблемности и сложность задачи. Степень проблемности задачи определяется информационной структурой. Сложность задачи – это объективная характеристика, не зависящая от субъекта, которая определяется числом элементов, связей и видов связей. Епишева О.Б., Крупич В.И. ([22], с. 57) сложность задачи определяют по формуле явных связей и

l

S = m+ n +l ,

где

m

- число элементов,

n

- число

– число видов связей в структуре задачи. Число

l

– принимает только три значения: 0;1;2, а именно l =0, когда структура задачи состоит лишь из одного элемента (т.е. явные и неявные свя14

зи не имеют места);

l =1, когда

в структуре задачи имеют место ли-

бо одни явные, либо одни неявные связи; l =2, когда в структуре задачи есть явные и неявные связи, т.е. два вида связей. Механизм выявления структуры текстовой задачи позволяет ранжировать их по степени сложности. Однако большинство текстовых задач, как отмечают Епишева О.Б. и Крупич В.И. ([22], с. 61), имеют переменную структуру, т.е. одна и та же задача имеет несколько структур, а значит, и сложностей. Если задача имеет несколько структур, то она имеет несколько способов решения, а если одну структуру, то один способ решения. В зависимости от рассматриваемой системы задач, при ранжировании текстовых задач с переменной структурой принимают во внимание либо наименьшую, либо наибольшую ее сложность. В общем случае можно вычислять среднюю арифметическую сложность задачи, округляя полученный результат с точностью до целых. Расстояние между двумя станциями пассажирский поезд проходит на 45 мин быстрее, чем товарный. Определить это расстояние, если известно, что скорость пассажирского поезда равна 48 км/ч, а скорость товарного – 36 км/ч. (Райхмист Р.Б., [55], с. 48) Содержание рассматриваемой задачи содержит три физические величины: v – скорость,

t

- время,

S

- расстояние. Зависимость ме-

жду этими величинами выражается формулой S = v ⋅ t . В данной задаче описаны две ситуации: - преодоление расстояния между двумя станциями пассажирского поезда; - преодоление расстояния между двумя станциями товарного поезда. Каждая из этих ситуаций является минимальным компонентом задачи, так как, во первых, каждая из них формализуется основным

S = v ⋅ t , во вторых, при их расчлении связь между велиv, t и S разрушается, т. е. основное отношение прекращает

отношением

чинами свое функционирование. Поезда Пассажирский Товарный

Величины U

t

48

х 36

S

х+

45 60

у

?

15

Возможны следующие математические модели данной задачи: 1.

⎧48 х = у, ⎪ 45 ⎞ ⎨ ⎛ ⎪48 х = 36⎜ х + 60 ⎟. ⎠ ⎝ ⎩

Первое уравнение 48 х = у содержит все три компонента основного отношения. Поэтому можно говорить о неявной связи. Уравнение 45 ⎞ ⎛ 48 х = 36⎜ х + ⎟ - получено путем сравнения двух значений выражений 60 ⎠ ⎝

одной и той же величины (пройденный путь), являющихся одним из компонентов основного отношения S = v ⋅ t .Следовательно, между первой и второй ситуациями имеет место явная связь. Сложность задачи: S=2+1+2, так как в ней два элемента, между которыми установлена явная и неявная связи, т.е. в структуре задачи два вида связей. 2. В уравнении 36⎛⎜

у 45 ⎞ + ⎟= у ⎝ 48 60 ⎠

присутствуют все три компонента

основного отношения: скорость движения, время движения и пройденный путь. Данное уравнение получено на основе анализа величин второй ситуации без явного использования соответствующих значений величин первой ситуации, т.е. первая ситуация не имеет явной связи со второй. Между ними как элементами структуры задачи установлена неявная связь – связь порождения. Действительно, выражение велиy требуется для получения вы48 y 45 + ражения величины времени товарного поезда 48 60

чины времени пассажирского поезда

Сложность задачи: S=2+0+1. 3. Уравнение

у у 45 − = 36 48 60

получено путем вычитания двух значе-

ний выражений одной и той же величины (время движения), являющимся одним из компонентов основного отношения S=vt. Следовательно, между первой и второй ситуациями установлена явная связь. Сложность задачи: S=2+1+1 Информационная и внутренняя структуры задачи взаимосвязаны, так как стратегия решения связана с базисом и способом решения задачи. В соответствии с логической структурой Гурова Л.Л. ([17], с. 23) подразделяет задачи на интерполяционные и экстраполяционные. 16

Интерполяционные задачи содержат достаточно информации для их решения. Поэтому требуется лишь заполнить пробелы между имеющимися данными, которые служат для этого достаточно определенными ориентирами. Экстраполяционные задачи содержат информацию только до какого-то предела, за которым поступление информации прекращается, и поиск ответа задачи должен идти в неопределенном направлении (содержат данные, но цели не определены; содержат цели, но данные не определены; не содержат ни данных, ни целей). Под логической правильностью постановки задачи Фридман Л.М. ([76], с. 30 – 34) подразумевает правильность соединения в задаче отдельных ее частей. При этом он формулирует следующие требования к правильным задачам: 1. Все указанные в задаче элементы предметной области должны существовать. 2. Все указанные в задаче отношения должны быть действительно определены для тех элементов предметной области, для которых эти отношения заданы в условии задачи. 3. Область значений каждой из заданных в задаче переменных должна быть не пустой. 4. Все утверждения, заданные в условии задачи, должны быть истинными. 5. Утверждения, заданные в условии задачи, не должны противоречить друг другу. 6 . Если цель задачи состоит в превращении некоторой высказывательной формы в истинное высказывание, то в условии задачи должны быть указаны хотя бы некоторые основания для этого. Логически неправильными задачами называются задачи, которые внутренне противоречивы. Несмотря на то что есть возможность произвести формальное «решение» некоторых подобных задач, принять его нельзя. Так как подобное «решение» не имеет никакого смысла, то ответом к таким задачам может быть только «задача неправильно поставлена» или «решение задачи невозможно». В зависимости от сложности структуры в методической литературе существует два подхода к определению простых и сложных сюжетных задач. В методической литературе наибольшее распространение получил следующий подход: «Каждая задача требует для своего решения некоторого числа действий. Если обозначить данное число через n, 17

где n - натуральное число, то задача, для решения которой требуется n действий, называется задачей в n действий. Задачи в одно действие называются простыми, а в n действий, где n >1, - составными». Такое определение Фридман Л.М. ([78], с. 87) считает неудачным, обосновывая это тем, что: 1) оно исключает из числа простых сюжетных задачи, решение которых не требует выполнения какого-либо арифметического действия, например, задачи, в которых задано соотношение равенства и неравенства; 2) по данному определению возможно установить, задача простая или нет, только после её решения, однако это необходимо знать до её решения; 3) встречаются такие сюжетные задачи, которые можно решить одним арифметическим действием, но вряд ли кто-либо назовет её простой, так как в ней фактически задано несколько соотношений. В связи с этим Фридман Л.М. ([78], c. 87) предлагает следующее определение: если в сюжетной задаче задано одно соотношение между значениями одной и той же величины или разных величин, то такую сюжетную задачу называют простой; если же в сюжетной задаче задано два или больше взаимосвязанных соотношений, то такую задачу называют сложной. При этом Фридман Л.М. ([78], c. 89) отмечает, что от трактовки заданного в задаче соотношения зависит отнесение ее к тому или иному виду. А так как трактовка обусловливается не только характером соотношения, но и тем, как решающий задачу субъект трактует его, нельзя однозначно заранее определить вид задачи. 1.3. Использование графической информации в процессе решения сюжетных задач Наиболее эффективным способом передачи информации в процессе обучения, как известно, является зрительный. Это обусловлено тем, что соотношение зрительной и слуховой информации оценивается как 4:1, то есть 80% (по некоторым работам даже до 95%) всей поступающей в мозг человека информации проходит через зрительный канал, и не более 20% воспринимается посредством слуха, поэтому необходимо максимально использовать графическую форму передачи информации в процессе решения сюжетных задач.. 18

В графической информации можно выделить три ее вида, отличающиеся друг от друга по набору средств выражения: это язык слов в его письменном виде; это символика, то есть система условных обозначений, принятых в науке и технике; это, наконец, изображение в виде рисунков, фотографий и других знаков. Такому делению соответствует следующая типология графической информации. Графическая информация

текст

символика

изображение

Каждый из видов графики, объединенных понятием «графическая информация», может быть, в свою очередь, разделен на более детализированные формы. Возможность представления текста с помощью графической информации позволяет раскрыть новые методические возможности по использованию его как выразительного средства (четкость, контрастность, оперативность, размеры и т.д.). При этом можно выделить следующие формы представления текста прикладной задачи.

Текст полный текст задачи

фрагмент текста задачи

высказывательная модель

Полный текст сюжетной задачи может содержать достаточно много несущественной, излишней информации, которую приходится озвучивать, с одной стороны, чтобы сохранить авторский текст, с другой стороны, чтобы привлечь внимание детей к рассматриваемой задаче. Однако данная информация не всегда дает возможность сосредоточиться учащимся на основных положениях задачи, позволяющих найти ее решение.

19

Для примера рассмотрим задачу Сем Лойда «Сколько лет будет Смиту?». Полный текст задачи

Смит служил клерком в страховой компании и был так напичкан всякого рода датами и цифрами, что мало о чем другом мог говорить или думать. Он всегда торопился домой, чтобы в кругу семьи предложить какую-нибудь статистическую задачу. Особое удовольствие доставляло ему поставить в тупик свою жену, о математических способностях которой он отзывался не без пренебрежения. Однако жене удалось както посрамить своего супруга, а возможно, и вылечить от дурной привычки третировать семью своими задачами. Однажды этот глава семейства хвастливо заявил, что если его дражайшая половина сумеет задать ему такую задачу о датах и возрастах, которую он не сумеет решить за десять минут, то до следующего такого же дня он не предложит больше ни одной задачи. Вероятно, он имел в виду тот же день через год, но разговор происходил 29 февраля 1896 года, так что у жены соблазн заставить мужа замолчать до следующего високосного года был очень велик. Задача, которой супруга сумела сразить своего «головоломного» спутника жизни, выглядела так: - Допустим, Том, что ты был втрое старше меня, когда мы впервые встретились и что мне сейчас столько же лет, сколько тебе было тогда, и что, когда я буду втрое старше, чем сейчас, наш суммарный возраст составит сто лет. Скажи-ка мне, сколько в таком случае тебе будет лет ближайшего 29 февраля?

«Избавиться» от «несущественной» информации можно с помощью фрагмента текста задачи или высказывательной модели. Фрагмент текста – это часть какого-либо полного текста задачи, выбор которой определяется характером урока. Фрагмент текста задачи Допустим, Том, что ты был втрое старше меня, когда мы впервые встретились и что мне сейчас столько же лет, сколько тебе было тогда, и что, когда я буду втрое старше, чем сейчас, наш суммарный возраст составит сто лет. Скажи-ка мне, сколько в таком случае тебе будет лет ближайшего 29 февраля? (Разговор состоялся 29 февраля.)

Высказывательная модель представляет собой систему взаимосвязанных условий и требований.

20

Высказывательная модель Условие задачи Том был втрое старше жены, когда они впервые встретились. Сейчас жене столько же лет, сколько было Тому, когда они впервые встретились. Когда жена будет втрое старше, чем сейчас, суммарный возраст ее и Тома составит сто лет. Требования задачи Сколько Тому будет лет через четыре года?

Большое количество цифровых показателей в сюжетных задачах делает необходимым использование символических знаков как непосредственно в цифровом виде, так и в преобразованном: логических схемах, диаграммах, графиках, таблицах, чертежах.

Символика

логические схемы

чертежи

диаграммы

графики

таблицы

формулы

Логическая схема – одна из важнейших и эффективных форм подачи текста. В логической схеме объекты, входящие в рассматриваемое явление или процесс, обозначаются словами, которые, как правило, заключают в рамку, а связи между этими объектами обозначаются линиями или стрелками. При этом рамка показывает, что данное слово или группа слов является не частью какого-либо текста, а обозначает отдельный объект. Сведения о называемом объекте или уже известны учащимся, или будут им сообщены. Значение логических схем состоит в том, чтобы назвать объекты и показать связи между ними. Графически эти связи в общем виде отмечены стрелками или линиями, подлинное же их раскрытие осуществляет учитель. 21

Использование логической схемы имеет ряд преимуществ по сравнению с чисто речевым изложением содержания текста прикладной задачи. Они состоят в следующем: учащиеся освобождены от необходимости мысленно удерживать в памяти объекты, о которых идет речь; учащиеся наблюдают объекты одновременно и распределенно в пространстве, что приучает детей мыслить структурно; графическая интерпретация связей и отношений между объектами несет в себе известную долю неопределенности, способствующей повышению интереса учащихся к объяснению учителя; логическая схема снимает избыточность в сообщении, непременно возникающую при речевом описании объекта. Процесс преобразования любого текста задачи в логическую схему требует не только отчетливого понимания необходимости такого преобразования в дидактических целях в каждом конкретном случае, но также глубокого проникновения в текст и его составляющие для наиболее целесообразного разъединения предложений (отыскание логических субъектов и признаков) как подготовительного этапа к созданию логической схемы. Фермер получил за год от каждой из 56 коров по 3,4 т молока, от каждой из других 27 коров – по 4,8 т. Сколько сливок получили из всего молока, если из 2 т молока получили 0,32 т сливок? логическая схема Количество молока от 1 коровы 3,4

Число коров в 1 партии 56

Количество молока от 1 коровы 4,8

?

Число коров во 2 партии 27

?

?

Количество полученных сливок 0,32 т

Количество молока 2т

? ? 22

В логической схеме выбраны последовательно зависимые между собой пары данных, а линиями показан ход решения данной задачи. Однако те же данные можно было комбинировать иначе, вследствие чего получили бы иную логическую схему, а, следовательно, и другой способ решения задачи. При формировании умения решать прикладные задачи возможно использование логической схемы в виде графа. Для обучения решению задач с помощью графов желательно использовать нелинованную бумагу, чтобы свободно размещать графы на листе, так как при изображении на клетчатой бумаге дети непроизвольно располагают точки по углам клеточек, что может привести к ошибкам в ходе решения задачи. Жители 5 домов поссорились друг с другом и, чтобы не встречаться у мельниц, решили поделить мельницы так, чтобы каждый ходил к «своей» мельнице по «своей» дорожке. Удастся ли им это сделать?

А

2

Б

1

3

В

Г

4

Д

5

Таблицы используются, когда в задаче имеются несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями. Таблица – модель более абстрактная, чем схематический чертеж, поэтому она предполагает достаточные знания у учащихся по представлению взаимосвязанностей пропорциональных величин, т.к. сама модель этих взаимосвязанностей не показывает. Таб23

лица - перечень чего-то или сведения о чем-то, расположенные в известном порядке по графам.

Две команды лыжников шли навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Первая команда прошла до встречи 18 км, затратив на это 2 часа. Сколько времени была в пути вторая команда, если известно, что она прошла до встречи 36 км.

Скорость 1 команда 2 команда

одинаковая

Время

Расстояние

2ч

18 км

?

36 км

Чертеж – это графическое изображение объектов и их взаимосвязей между собой при помощи геометрических фигур с точным соблюдением масштаба. Чертеж, на котором взаимосвязи и взаимоотношения представляются без точного соблюдения масштаба, называется схематическим. Чертеж прост для восприятия, так как наглядно отображает каждый элемент отношения; обеспечивает целостность восприятия задачи; позволяет увидеть сущность объекта в «чистом» виде, без отвлечения на частные конкретные характеристики; обладает свойствами предметной наглядности, конкретизирует абстрактные отношения; обеспечивает поиск плана решения, что позволяет постоянно соотносить физическое и математическое действия. Формула (лат. formula образ, вид) - комбинация математических знаков, выражающая какое-либо предложение. Формулы лучше записывать таким образом, чтобы при восприятии учебного материала дети видели определенный цветовой фон. Например, все, что касается сложения – красным, вычитания - черным, умножения – зеленым, деления – синим. Такое цветовое решение помогает запомнить формулы и осознать взаимосвязь между компонентами и результатом действия

24

Лида нарисовала 5 домиков, а Вова на 2 домика больше. Сколько всего домиков нарисовал Вова?

Чертеж Лида 5 Вова ?

Схематический чертеж Лида 5 5

2

Вова ?

Диаграмма (от греческого diagramma - изображение, чертеж, рисунок) - это графическое изображение, наглядно показывающее соотношение между сравниваемыми величинами. Диаграммы бывают различных видов: полосовые (ленточные), столбиковые, квадратные, круговые, секторные, фигурные, радиальные, знак Варзара. Диаграммы должны быть свободными от излишних деталей и содержать тот минимум информации, который необходим для решения задачи. 25

Бригада за первую неделю выполнила 27% месячной нормы., за вторую – 25%, за третью на 3% больше, чем в четвертую. В целом за месяц бригада перевыполнила план на пять процентов. Сколько продукции бригада выпустила за каждую неделю месяца, если перевыполнение плана составило 600 кг конфет?

25%

27%

1 неделя 2 неделя

25%

28%

3 неделя 4 неделя

5 % - 600 кг 27 % - у кг

25 % - х кг

28 % - z кг

Г f = {( x; y) ∈ X × Y | y = f ( x)} называют графиком

Множество

функции. Для наглядности его принято изображать на координатной плоскости. При решении конкретных задач накладываются некоторые ограничения на х и у, в частности, они могут рассматриваться не на всем множестве действительных чисел, а на его подмножестве. Лена и Надя нарисовали для выставки несколько рисунков. Надя нарисовала в два раза больше рисунков, чем Лена. Найдите, сколько рисунков нарисовала каждая из девочек, если Лена нарисовала не больше пяти рисунков.

9 8 7

Надя

6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3 Лена

26

4

5

Обозначим через х число картин, нарисованных Леной, а через у – число картин, нарисованных Надей. Заданное в задаче соответствие является функцией вида

у=2х.

Один рабочий может справиться с заданием за 20 дней. Через 10 дней после начала работы ему начинает помогать второй рабочий, который может справиться с этим заданием через 30 дней. Через сколько дней задание будет выполнено?

Геометрический метод. Построим графики выполнения задания каждым рабочим. Отложим на оси Ох время (в днях), на оси Оу – соответствующий объем задания, который будет выполнен рабочим. Это количество будем измерять в частях всего задания: отрезок ОО1 условно обозначает этот объем (при арифметическом решении пишут: «примем все задания за 1») Для удобства проведем еще одну ось времени О1Х1. Отметим на верхней оси точку А (20 дней), тогда отрезок ОА – график выполнения задания первым рабочим. Отметим на оси О1Х1 точку В (10 дней), а на оси ОХ – точку С (30 д. + 10 д. = 40 д.); значит, отрезок ВС – график выполнения задания вторым рабочим. Абсцисса точки пересечения этих графиков (точка М) указывает, через сколько дней после начала работы первого рабочего будет выполнено все задание. Из чертежа видно, что ее значение равно 16. О1

B

A

Y

X1

M

O

0

С 4

8

12

16

20

24

28

32

36

40 Xд

Следующий вид графической информации – изображение, которое включает в себя следующие формы. Изображение рисунок

иллюстрация

27

Рисунок как вид графической информации лишен избыточности, несет минимум необходимых для понимания смысла сведений, поэтому легко воспринимается и запоминается учащимися. Рисунок как вид графической информации может быть в виде предметного или условного рисунка. Пес Шарик из Простоквашино сделал 5 фотографий зайчишки. Две он отправил в редакцию журнала «Мурзилка». Одну оставил себе, а остальные решил при встрече отдать зайке. Сколько фотографий Шарик решил подаВ виде предметного рисунка

для себя для зайца

для журнала

В виде условного рисунка

для журнала

для себя

для зайца

Использование предметного рисунка, по мнению Левенберг Л.Ш. ([40], с. 9), играет важную роль в обогащении чувственного опыта ребенка при формировании соответствующих конкретных представлений. Но неоправданно длительное использование предметного рисунка при обучении решению сюжетных задач может привести к искусственной задержке развития у детей абстрактного мышления. Иллюстрация (от лат. illustratio – освещение, наглядное изображение) – объяснение, истолкование с помощью наглядных примеров или образов. 28

Иллюстрацией обычно называется изображение, служащее пояснением или дополнением к какому-либо тексту.

На выставку привезли пять племенных коров. Три коровы весили на 20 кг больше, чем две другие. Сколько весила каждая из коров, если все вместе они весят 1060 кг?

Воздействие графической информации на учащихся в процессе решения прикладных задач непостоянно. Оно может быть: слабым (фоновым), когда внимание детей целиком привлечено к схеме, диаграмме, графику и т.д., содержание которых является предметом объяснения учителя; средним (контактным), когда имеют место периодические ссылки на ее содержание для подкрепления или пояснения излагаемого материала; сильным (доминантным), когда графически представленная информация является фоном, т.е. находится в зрительном поле слушателей, имеет прямое отношение к излагаемому материалу, но содержательная сторона объекта ими уже усвоена. Как показал опыт нашей работы, графическая информация способствует сознательному овладению изучаемым материалом и развитию познавательного интереса как свойства личности. Кроме этого, технология активного использования графической информации, с одной стороны, приучает учащихся моделировать жизненные ситуации и создает условие для овладения приемами изучения реальности математическими методами, с другой, помогает нейтрализовать противоречие между высоким научно-теоретическим уровнем обучения и его доступностью, между высоким уровнем математической абстракции и неразвитостью абстрактно-понятийного мышления младших школьников.

29

1.4. Форма сюжетной задачи Форма, по определению Гуровой Л.Л. [17], – это способ существования определенной задачи. Она является относительно независимым ее компонентом, так как возможна трансформация одной формы в другую. В качестве примера рассмотрим различные формы одной и той же задачи. Словесно-прозаическая форма представляет собой текст задачи в виде совокупности повествовательных предложений. На практике данная форма сюжетных задач является самой распространенной. Бабушка Надя в деревне живет. Она содержит корову, теленка, поросенка, дюжину кур и два гуся, собаку, щенят и кошку. Сколько всего живет у бабушки Нади щенят, если животных всего двадцать пять? Словесто-поэтическая форма представляет собой текст задачи, изложенный в стихотворной форме. Бабушка Надя в деревне живет, Животных имеет, а счет не ведет. У бабушки Нади корова, теленок, И очень смешной поросенок, Дюжина кур и два сереньких гуся, Собака, щенята и кошка Катуся. Помогите щенят сосчитать, Если животных всего двадцать пять. Иллюстративная форма как способ обучающего взаимодействия применяется учителем в целях создания у учащихся средств наглядности четкого и ясного образа изучаемого явления. Данная форма помогает привести в соответствие все анализаторы и связанные с ними психические процессы обучения, восприятия, представления, в результате чего возникает богатая эмпирическая основа для аналитической мыслительной деятельности учащихся. В качестве иллюстрации используются натуральные или искусственные предметы: макеты, модели, муляжи, произведения изобразительного искусства, символические пособия типа карт, схем, графиков, диаграмм, таблиц.

30

Для рассматриваемой задачи иллюстративная форма, например, может быть представлена следующим образом:

Кур - 12 Собака - 1

Корова - 1 Щенята - ? Теленок - 1

Гусята - 2 Поросенок - 1 Кошка - 1

Всего животных - 25 31

Животные Корова Теленок Поросенок Куры Гуси Собака Щенята Кошка Всего

Количество 1 1 1 12 2 1 ? 1 25

Демонстрационная форма основана на показе в целостности и деталях реальных событий жизни, явлений природы, научных и производственных процессов в целях аналитического рассмотрения. С ее помощью расширяется кругозор, облегчается процесс усвоения знаний. Демонстрационная форма может быть представлена в виде демонстрации фильмов или во время математических экскурсий. Сюжет данной задачи наиболее актуален для сельских школ, ибо учащиеся в повседневной жизни сталкиваются с подобными ситуациями. Для городских школ можно провести «экскурсию», на основе которой учащиеся должны будут составить свои задачи с подобным содержанием, например: Одним и тем же количеством сена можно прокормить 4 коровы в течение 60 дней, а двух лошадей - в точение 36 дней. На сколько дней хватит этого корма для коров и лошадей вместе при той же дневной норме? В саду росло 3 ряда фруктовых деревьев, причем в каждом ряду по 4 дерева. Сколько фруктовых деревьев в этом саду? Из приведенных примеров видно, что форма задачи выражает внутреннюю организацию и взаимодействие элементов задачи как между собой, так и с внешними условиями, поэтому использование трансформации одной формы в другую иногда является необходимым условием успешного поиска, ибо форма может как способствовать решению задачи, так и препятствовать ему.

32

1.5. Этапы решения задачи и приемы их выполнения В работах Гуровой Л.Л. ([17], с. 33), Стойловой Л.П. ([66], с. 117), Фридман Л.М. ([80], с. 35-37) отмечается, что под термином «решение задачи» подразумеваются различные понятия: 1. Ответ на требование задачи. 2. Процесс нахождения способа решения. 3. Осуществление операций, входящих в тот или иной способ решения. В методических пособиях авторы выделяют в процессе решения сюжетных задач разное количество этапов (Артемов А.К. ([3], с. 32), Демидова Т.Е. и Тонких А.П. ([19], с. 22-24), Статкевич В.В. [64], Стойлова Л.П. ([66], с. 120), Фридман Л.М. ([78], с.167), Царева С.Е. ([83], с. 53) и т.д.), в том числе: 1. Восприятие и анализ задачи. 2. Поиск и составление плана решения задачи. 3. Осуществление плана решения. 4. Проверка решения задачи. 5. Формулирование ответа задачи. В реальном процессе решения сюжетной задачи названные этапы не имеют четких границ. В зависимости от уровня математических знаний (соответствующим им умениям и навыкам), опыта и мыслительных умений, проявляющихся в процессе решения, зависит полнота использования приемов организации выполнения каждого из этапов. Восприятие и анализ задачи Фридман Л.М. ([78], с.168) выделяет два направления, по которому может проводиться анализ задачи: а) предметно-содержательный анализ – это декодирование условия задачи в целом, воссоздание той реальной задачной ситуации, моделью которой является данная задача. б) логико-сематический анализ – это анализ текста задачи для установления величин, их значений и соотношений между ними, заданных в тексте задачи, разбиение тем самым текста задачи на отдельные элементарные условия и требования. 33

Для обучения решению сюжетных задач можно выделить следующие приемы восприятия и анализа сюжетной задачи: 1. Правильное чтение и слушание задачи. Восприятие и первичный анализ содержания сюжетной задачи начинается с её чтения и слушания. Качественное выполнение данных действий существенно влияет на степень понимания задачи, а следовательно, и на эффективность дальнейших действий по её решению. Царева С.Е. ([83], с. 53) выделяет следующие требования к чтению и слушанию задачи: а) Правильное прочтение всех слов, всех их сочетаний , интонационное соблюдений знаков препинания. б) Правильная расстановка логических ударений. Логическое ударение оказывает при чтении значительное влияние на понимание задачи, ибо оно подразумевает выделение числовых данных, название отношений. Царева С.Е. ([83], с. 54) отмечает, что особенно важна правильная постановка логического ударения в вопросе задачи, так как выделение в нем различных слов по разному характеризует ситуацию, предшествующую данному вопросу. А это либо помогает понять задачу, либо препятствует такому пониманию. Составьте задачу по данному вопросу: «Через сколько дней на складах муки останется поровну?» Прочтение данного вопроса, например, возможно с двумя различными способами расстановки логического ударения: 1. Через сколько дней на складах муки останется поровну? – Выделение «на складах» подразумевает, что мука находится не только на складах, но и, к примеру, на базах или в магазинах. При этом количество муки на складе находится в каком-то отношении с количеством муки вне склада. 2. Через сколько дней на складах муки останется поровну? – Выделение слова «муки» позволяет предположить, что в задаче говорится не только о муке, но и еще о каких то продуктах. Если прочтение вопроса соответствует характеристике ситуации, то оно способствует лучшему пониманию задачи, в противном случае, может только внести путаницу в рассуждение ученика при решении задачи. 34

Прочитайте вопрос задачи: «Сколько Наташа купила маленьких шоколадок к празднику?», выделите в нем нужное слово, если данный вопрос соответствует условию задачи: а) Наташа купила к празднику 12 шоколадок. Из них 7 больших. б) Наташа купила 12 маленьких шоколадок. 2 из которых - для братишки, а остальные к празднику? в) Наташа купила к празднику рулеты и маленькие шоколадки. Рулетов было три, а шоколадок в 5 раз больше. 2. Представление жизненной ситуации, которая описана в задаче, мысленное участие в ней. Фактически оно осуществляется при чтении или слушании задачи. Однако на этом этапе уделяется внимание вычленению основных количественных и качественных характеристик задачной ситуации. По тексту задачи представить все, о чем говорится, Опиши, что ты представил (нарисуй словесную картинку). Потом можно попросить двух-трех учеников рассказать, что у них получилось. Сопоставляя «картинки», выявляют, насколько они точны и какая лучше отражает содержание задачи, и, следовательно, лучше помогает понять задачу. При решении задачи: «Наташа и Настя наряжали елку игрушками. Наташа повесила на елку 10 шариков. А Настя – 7. Сколько всего шариков повесили девочки на елку?» 1 «картинка»: Две девочки наряжают живую елочку. На елке шарики и гирлянды. У всех предпраздничное настроение. 2 «картинка»: На елке висят 10 красных шариков и 7 синих. Какая «картинка» способствует решению задачи? После выполнения подобных заданий дети начинают понимать, что не всякое представление способствует решению задачи и отделению второстепенных признаков элементов от основных. 3. Постановка специальных вопросов по содержанию задачи и поиск ответов на них. Цель данного приема научить учащихся задавать себе подобные вопросы и отвечать на них самостоятельно, научить сознательно, пользоваться ими при анализе содержания задачи. Вопросы целесообразно использовать после того, как учащиеся подготовлены к поиску решения задачи и их нужно только немного сориентировать до завершения их мысли. 35

Во время соревнований командой было сыграно 6 игр, 4 из которых они выиграли. Сколько игр команда проиграла? Возможны следующие вопросы: - Каким действием будете решать эту задачу? - Почему вы выбрали это действие? - Какие слова задачи указывают на выбор действия? - Команды выиграли больше или меньше игр, чем сыграли всего? - Какое отношение между числами 6 и 4 ты поставишь: больше или меньше? Почему? - Ели отнять от количества сыгранных командой игр количество выигранных игр, что получится? Кульбякина Л.Я. ([37], с. 56- 60) выделяет следующие требования к задаваемым вопросам: они должны: - быть краткими и точными; - задаваться последовательно с постепенным возрастанием сложности; - идти от общего к частному; - быть достаточно емкими для целостного восприятия; - развивать мышление ученика, заставлять его задумываться; они не должны: - повторяться до того, как дети дадут ответ; - задавать один и тот же вопрос в различных формулировках; - требовать от учеников односложных ответов. 4. Моделирование ситуации, описанной в задаче. Моделью называется материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Горстко А.Б. ([14], с. 11-12), Фридман Л.М. ([78], с. 56) выделяют следующие виды моделей, которые возможно использовать для изучения и решения сюжетных задач: 1. Материальные модели – это модели, при которых реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект. 36

2. Вербальные модели (от латинского «verbalis» - устный) - это модели, полученные в результате раздумий, умозаключений и представленные в мысленной или разговорной форме. 3. Знаковые модели – это модели, выраженные специальными знаками, т.е. средствами любого формального языка: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов и т.д., а также включающие совокупность знаков, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и их элементами. С помощью модели в процессе решения сюжетной задачи удается: 1) свести изучение сложного к простому, т. е. сделать ее доступной для тщательного и всестороннего изучения; 2) зафиксировать результат анализа сюжетной задачи, т. е. для организации данного анализа. Процесс построения модели и изучения строения оригинала с помощью построенной модели называется моделированием. Основными задачами процесса моделирования являются выбор модели, наиболее адекватной оригиналу, и перенос результатов исследования на оригинал, что требует от учащихся умения определять проблемы и ставить задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки; выделять главные и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки. Поиск и составление плана решения задачи Любая сюжетная задача предполагает необходимость осознанного поиска соответствующего средства для достижения цели. Под поиском решения задачи Гурова Л.Л. ([17], с. 34) понимает отыскание принципа построения логики решения, в соответствие с чем выполняются те или иные действия, о которых нельзя заранее сказать, приведут ли они к требуемому результату или нет. Можно выделить четыре приема поиска плана решения сюжетных задач: 1. По модели. Приём заключается в выделении элемента, моделирующего искомое, в определении последовательности операций с другими элементами модели или соответствующей последовательности арифметических действий над данными и неизвестными для получения искомого или для составления уравнения. 37

2. С помощью рассуждений «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу» Несмотря на то, что при разборе любой задачи обучающиеся мыслят аналитико-синтетически, в данном процессе в зависимости от возрастных особенностей психики детей и сложности задачи может преобладать одна из его сторон, то есть разбор задачи приобретает определенную направленность. Если разбор задачи ведется в направлении от данных к вопросу, его называют синтетическим методом, а если от вопроса задачи к ее данным – аналитическим. Разбор составной задачи аналитическим методом состоит в том, что к главному вопросу задачи подбирают такие данные из условия, по которым можно на него ответить. Если в условии задачи нет нужных данных или одного из них, то ставят новые вопросы, как его найти. И так до тех пор, пока не дойдут до вопроса, для решения которого уже известны все данные в условии задачи. Потом составляется план. Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке Стоимость одной путевки на море составляет 23 тыс. рублей. Для льготной категории граждан предусмотрена 20% скидка. Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу? Данную задачу можно разобрать следующим образом: 1. Какой вопрос задачи? - Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу? 2. Какие нужно знать данные, чтобы ответить на данный вопрос? – Сколько получила бы фирма, если бы все путевки были оплачены полностью, и сколько получила фирма с данной туристической группы. 3. Известны ли нам эти данные? – Нет 4. Можем ли их найти? – Для этого надо найти сумму, которая будет получена после продажи 15 путевок по полной цене. Однако сколько заплатила данная группа, пока неизвестно. 5. Что для этого надо знать? - Сколько куплено путевок по полной цене и сколько - по льготной. 6. Можно ли найти, сколько человек купили путевки по полной цене? – Да. Надо из 15 вычесть 6. Получим: 9 человек купили путевки по полной цене. 38

7. Какие надо знать данные, что бы найти ту сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по полной цене? – Количество туристов и стоимость полной путевки. Эти данные нам известны. 8. Какие надо знать данные, что бы найти сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по льготной цене? – Количество туристов и стоимость льготной путевки, но нам не известна стоимость льготной путевки. 9. Какие данные необходимо знать, чтобы найти стоимость льготной путевки? – Стоимость полной путевки и на сколько стоимость льготной путевки меньше полной. Название этого метода разбора составной задачи происходит от греческого слова «анализ», что в переводе означает разложение (расчленение) объекта на составные части, поэтому его иногда рассматривают как процесс составления простых задач, который начинается с главного вопроса составной задачи и оканчивается ее данными. 1. В одной из двух туристических групп часть путевок была куплена по льготному тарифу. Группа, купившая путевки по полной стоимости, перечислила рублей, а группа, в которой некоторые путевки были куплены по льготной стоимости, рублей. Сколько туристическая фирма потеряла на введение тарифов по льготной стоимости? 2. Стоимость одной путевки на море 23 тыс. рублей. Сколько надо заплатить туристической фирме, если в группе 15 человек? 3. Сколько надо заплатить за все путевки группы из 15 человек, рублей, а за льготесли за путевки по полной стоимости заплатили ные – рублей? 4. Стоимость одной льготной путевки на море тыс. рублей. Найдите стоимость 6 льготных путевок. 5. Стоимость одной путевки на море - 23 тыс. рублей. Для льготной категории граждан предусмотрена 20% скидка. Сколько стоит льготная путевка? 6. Стоимость одной полной путевки на море - 23 тыс. рублей. Найдите стоимость полной путевки, если в группе человек. 7. Сколько было куплено полных путевок группой, если в ней из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу?

39

Известный американский педагог и математик Д. Пойа ([53], c. 155) в своей книге, посвященной проблемам обучения решению задач, говорил о том, что: «В этом методе есть нечто незаурядное, есть и известная психологическая трудность: приходится стать спиной к цели, уйти от желаемого, а не идти к нему прямой дорогой, приходится работать от конца к началу. После того как мы раскрыли правильную последовательность действий, наши мысли должны следовать в порядке, противоположном действительному решению». При разборе задачи синтетическим методом выделяют в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними определяют, какое неизвестное может быть найдено по этим данным. По вновь полученным числовым значениям и другим известным в задаче данным вновь ищут ответ на вопрос: что можно узнать по этим значениям. И так до ответа на вопрос составной задачи. Потом составляется план. Стоимость одной путевки на море - 23 тыс. рублей. Для льготной категории граждан предусмотрена 20% скидка. Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу? Данную задачу можно разобрать следующим образом: 1. Какие данные необходимо знать, чтобы найти стоимость льготной путевки? – Стоимость полной путевки и на сколько стоимость льготной путевки меньше полной. 2. Какие надо знать данные, чтобы найти сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по льготной цене? – Количество туристов и стоимость льготной путевки. 3. Какие надо знать данные, чтобы найти сумму денег, которую уплатили туристы за путевки по полной цене? – Количество туристов и стоимость полной путевки. 4. Какие данные надо знать, чтобы найти, сколько человек купили путевки по полной цене? – Необходимо знать количество туристов в группе и количество человек из группы, купивших билеты по льготной цене. 5. Какие необходимо знать данные, чтобы найти стоимость всех путевок, купленных группой? – Стоимость полных путевок и стоимость льготных путевок, оплаченных группой.

40

6. Какие нужны данные, чтобы найти, сколько получила бы фирма, если бы все путевки были оплачены полностью? – Количество туристов в группе и стоимость полной путевки. 7. Какой вопрос задачи? - «Сколько всего теряет фирма, если в туристической группе из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу?». Название этого метода разбора задачи происходит от греческого слова «синтез», что в переводе означает соединение (разрозненных частей в одно целое). Разбор составной задачи синтетическим методом есть процесс составления простых задач, который начинается с данных составной задачи и оканчивается главным ее вопросом. 1. Сколько было куплено полных путевок группой, если в ней из 15 человек 6 приобрели путевки по льготному тарифу? 2. Стоимость одной полной путевки на море - 23 тыс. рублей. Найдите стоимость полной путевки, если в группе человек. 3. Стоимость одной путевки на море - 23 тыс. рублей. Для льготной категории граждан предусмотрена 20% скидка. Сколько стоит льготная путевка? 4. Стоимость одной льготной путевки на море тыс. рублей. Найдите стоимость 6 льготных путевок. 5. Сколько надо заплатить за все путевки группы 15 человек, если за путевки по полной стоимости заплатили рублей, а за льготные – рублей? 6. Стоимость одной путевки на море 23 тыс. рублей. Сколько надо заплатить туристической фирме, если в группе 15 человек? 7. В одной из двух туристических групп часть путевок была куплена по льготному тарифу. Группа, купившая путевки по полной стоимости, перечислила рублей, а группа, в которой некоторые путевки были куплены по льготной стоимости, рублей. Сколько туристическая фирма потеряла на введение тарифов по льготной стоимости? Статкевич В.В ([64], с. 83) отмечает, что при выборе данных для составления соответствующей простой задачи и при постановке к ним вопроса нет определенных критериев, позволяющих избежать случайности выбора.

41

Анализ и синтез при разборе задачи аналитико-синтетическим методом находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга. 3. Разбиение текста задачи на смысловые части. Использование данного приёма, по мнению Царевой С.Е. ([83], с. 54), обеспечивает порционное усвоение учащимися содержания задачи. А это способствует как его пониманию, так и запоминанию. Разбиение текста зависит от этапа обучения и от содержания конкретной задачи: Для простых задач возможны два случая разбиения на части: 1. а) начало события; б) действие, которое произошло с некоторыми объектами; в) конечный момент события. В саду росло три куста розы. Потом посадили еще два. Сколько всего кустов роз растет в саду? а) начало события: в саду росло три куста розы; б) действие, которое произошло с некоторыми объектами: посадили еще два куста роз; в) конечный момент события: количество кустов роз, растущих в саду, которое требуется найти. 2. Выделяются описания двух связанных определенным отношением совокупностей предметов, двух значений величины и требование задачи. В первом автобусе 20 мест, а во втором на четыре больше. Сколько мест во втором автобусе? а) часть текста, определяющая первое значение величины: в первом автобусе 20 мест; б) часть текста, определяющая второе значение величины: во втором автобусе на четыре места больше, чем в первом; в) требование задачи: сколько мест во втором автобусе. Для составной задачи разбиение текста может служить основой выделения простых задач, последовательное решение которых и составляет решение данной составной. Данный прием заключается в том, чтобы научить учащихся различать в данной сложной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.

42

Выпускной группе колледжа для завершения коллекции платьев, представляемой на конкурс, необходимо было закупить нитки, ленты и кружево. Если учащиеся группы соберут по 90 рублей, то им на покупку необходимого не хватит 750 р. А если по 100 р., то не хватит 500 р. Недостающие 500 рублей были выделены из внебюджетных средств колледжа. После того как была собрана необходимая сумма, закупили нитки, ленты и кружева. Причем за нитки было уплачено на 300 рублей меньше, чем за ленты, а за кружево - в 5 раз больше, чем за нитки и ленты вместе. Сколько заплатили за кружево? Определим в данной задаче подзадачи, последовательное решение которых позволит получить ответ. 1.Выпускной группе колледжа для завершения коллекции платьев, представляемой на конкурс, необходимо было закупить нитки, ленты и кружево. Если учащиеся группы соберут по 90 рублей, то им на покупку необходимого не хватит 750 р. А если по 100 р., то не хватит 500 р. Найдите количество учащихся в выпускной группе колледжа. 2. Если учащиеся выпускной группы колледжа соберут по 100 р., то на покупку ниток, лент и кружева не хватит 500 р. Недостающие 500 рублей были выделены из внебюджетных средств колледжа. Сколько стоит вся покупка? 3. За нитки было уплачено на 300 рублей меньше, чем за ленты. А за кружево в 5 раз больше, чем за нитки и ленты вместе. Зная сумму всей покупки, определите, сколько заплатили за кружево. За 6 дней мастер делает 18 изделий. Сколько он сделает таких же изделий за 10 дней? 1. За 6 дней мастер делает 18 изделий. Сколько изделий он делает за один день? 2. Мастер за один день делает х деталей. Сколько он сделает таких же изделий за 10 дней? 4. Переформулировка текста задачи: замена данного в нем описания другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные и качественные характеристики, но более явно их выражающими.

43

Её цель заключается в отбрасывании несущественной информации и преобразовании текста задачи в форму, облегчающую поиск пути решения. Одним из способов организации мыслительной деятельности учащихся при выполнении данного приема является эвристическая редукция. Редукция (от латинского reductio – возвращение) – действие, ведущее к уменьшению размеров какого-либо объекта, упрощение его структуры, т.е. сведение сложного к более простому, доступному для анализа или решения ([11], с. 224]. Эвристическая редукция – сведение исходной задачи к вспомогательной или их системе, решение которой более доступно и позволяет возвратиться к успешному и осознанному поиску решения исходной задачи. Вспомогательная задача, по определению Д.Пойа ([52], с.65), – это задача, решение которой более доступно и позволяет перейти к решению исходной задачи. При этом решение исходной задачи представляет собой цель, которой необходимо достигнуть, а решение вспомогательной задачи - средство, при помощи которого достигается данная цель. Д.Пойа ([52], с.67-68) называет задачи эквивалентными, если решение любой из них делает очевидным решение другой, а переход от исходной задачи к эквивалентной называется двусторонней редукцией (или обратимой редукцией). Она представляет собой наиболее желательный способ формулировки вспомогательной задачи. Цепочки эквивалентных вспомогательных задач можно представить следующим образом. Нам нужно решить задачу А; нам не удается ее решить, но удаётся обнаружить, что А эквивалентна другой задаче В. Рассматривая В, мы можем прийти к третьей задаче С, эквивалентной В. Продолжая таким же образом, мы сводим С к D и далее, пока, наконец, не приходим к последней задаче L, решение которой известно или просто. Так как каждая задача эквивалентна предыдущей, то и последняя задача L оказывается эквивалентной исходной задаче А. Таким образом, мы оказались в состоянии вывести решение исходной задачи А из решения задачи L, которая являлась последним звеном в цепочке вспомогательных задач.

44

Одним из приемов получения эквивалентной задачи является перефразировка текста задачи. Он, как отмечает Стойлова Л.П. ([66], с. 122), заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Например, это можно достигнуть в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, замены описания некоторых понятий соответствующими терминами или наоборот. Исходная задача. Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему имущества, а получить

1 3

2 оставшегося 3

матери. В случае рождения дочери она должна

1 , а мать 3

2 имущества. Вдова завещателя родила 3

близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания? (Игнатьев Е.И.,[28], с. 387-388) Эквивалентная задача Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему в два раза больше оставшегося имущества, чем матери. В случае рождения дочери – она должна получить в два раза меньше имущества, чем мать. Вдова завещателя родила близнецов, мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания? Данные примеры показывают, что поиск решения задачи напрямую зависит от ее формулировки, т.е., изменяя формулировку задачи, поиск ее решения можно либо усложнить, либо упростить. Недаром Шумилин А.Т. ([88], с. 51) в своей работе отмечает, что в различных формулировках одна и та же задача представляет различную трудность для решающего. В случае невозможности такого перехода можно пользоваться односторонней редукцией, которая является переходом от менее к более результативной задаче (результативность – параметр, характеризующий степень успешности при решении задачи).

45

В общем виде односторонняя редукция, как показывает Д.Пойа ([52], с.70-71), представляет собой следующую операцию. Пусть А и В – две задачи, содержащие объекты, принадлежащие к одной и той же категории. Условие А будем называть более узким, чем условие В, условие В более широким, чем А, если решение задачи В позволит решить и задачу А, но не наоборот. Переход от задачи А к задаче В или от В к А называется односторонней редукцией. Задача А называется менее результативной, а задача В – более результативной. Результативность задачи определяется следующим. Если бы мы могли решить задачу В, то оказались бы в состоянии получить полное решение задачи А. Если же мы решим А, то, возможно, получим некоторые сведения относительно В, но не будем в состоянии сразу получить ее полное решение. Таким образом, эвристическая редукция представляет собой организацию мыслительной деятельности для сведения исходной задачи к вспомогательной или их системе с применением каких-либо эвристических операций. Какая операция будет полезной и приведет к успеху – это предмет поиска. Полезность вспомогательной задачи, по мнению Д.Пойа ([52], с.66-67), определяется тем, насколько она приближает к решению исходной задачи. Приближение способно носить следующий характер: – Может использоваться метод решения вспомогательной задачи, его идея. Рассматриваемое положение основывается на том, что исходная задача требует привлечения идей, с которыми обучаемый не сталкивался ранее или которые не усвоил в процессе обучения. В данном случае целесообразно попробовать решить более легкую задачу, содержащую те же основные идеи. Такую задачу принято называть косвенно-вспомогательной. Исходная задача. Из пункта А в пункт С вышла грузовая машина со скоростью 35 км/ч. Одновременно с ней в том же направлении из пункта В, отстоящего от А на 150 км, вышла легковая машина со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов легковая машина догонит грузовую? (Райхмист Р.Б., [55], с. 49).

46

Косвенно-вспомогательная задача. Из пункта В в пункт С через пункт А, отстоящий от В на 150 км, вышла легковая машина со скоростью 60 км/ч. Найти расстояние от пункта А до пункта С, если легковая машина находилась в пути 6 ч. – Может использоваться результат вспомогательной задачи в решении основной. Исходя из условия задачи составляют и решают более простую промежуточную задачу, а затем формулируют и решают следующую промежуточную задачу (исходя из условия данной или же опираясь на результаты, полученные при решении предыдущей промежуточной задачи), и поступают так до тех пор, пока решение последней промежуточной задачи не будет ответом на вопрос исходной. Исходная задача. Строятся 3 шестнадцатиэтажных жилых дома. На каждом этаже будет по 20 квартир. Из всех квартир однокомнатных 270, двухкомнатных вдвое больше, остальные трехкомнатные. Сколько трехкомнатных квартир в этих домах? В рассматриваемой задаче Свечников А.А. ([58], с. 61) выделяет две части: 1 часть. Строятся 3 дома по 16 этажей, и на каждом этаже разместится 20 квартир. Сколько всего квартир в данных домах? (В этих домах всего квартир 20 · 16 ·3 = 960). 2 часть. Необходимо найти количество трехкомнатных квартир, зная, что в строящихся домах 960 квартир, из которых 270 однокомнатных, а двухкомнатных в 2 раза больше, остальные – трехкомнатные. В данном случае частичное решение – решение одной из подзадач – в сознании учеников не вырывается из целой (основной) задачи, а выступает как необходимая составная ее часть. В общем случае при сведении задачи к подзадачам, как отмечает Столяр А.А. ([68], с. 183), описание задачи преобразуется в множество описаний подзадач таким образом, что решение всех подзадач обеспечивает решение исходной задачи. Показав на нескольких упражнениях этот прием поиска решения задачи, важно не навязывать его детям, а подтолкнуть их к тому, чтобы они сами искали пути наиболее простого подхода к решению задачи.

47

Зайцев Г.Т. [24] подобный вид приближения называет методом уменьшения числа отношений. Согласно данному методу, необходимо выделить два объекта, связанных между собой некоторым отношением, выполнить над ними определенную операцию, получив в результате новый объект. Таким образам, часть задачи будет решена. Далее аналогично решаем следующую часть задачи. И так до тех пор, пока задача не будет решена полностью. -можно использовать вспомогательные элементы. Эффективную помощь могут оказать и вспомогательные элементы, которые представляют средство сведения исходной задачи к ранее решенной. Вводя соответствующие вспомогательные элементы, мы целенаправленно изменяем ее к виду, который нам знаком, а решение известно. Именно это мы имеем в виду, когда, размышляя о том, как воспользоваться прежней задачей, задаем себе вопрос: не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей. Исходная задача. Старик-араб, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний – треть и младший – девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как быть, братья обратились к шейху, которому удалось разделить верблюдов согласно завещанию. Как он это сделал? (Игнатьев Е.И., [28], с. 282). Вспомогательная задача. Старик-араб, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежавшее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний – треть и младший – девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как быть, братья обратились к шейху. Тот приехал к ним на собственном верблюде, которого прибавил на время к стаду, и разделил верблюдов согласно завещанию. Каким образом шейх догадался до используемого им приема? 48

Вводить вспомогательные элементы надо с предварительным обоснованием логического или эвристического характера. Если они будут появляться внезапно, без всякой мотивировки и задача окажется решенной, вдумчивый учащийся может испытать разочарование. При организации процесса решения текстовой задачи учителю нельзя забывать, что без большого напряжения нельзя надеяться решить серьезную задачу. Но от напряженного сосредоточения внимания на одном предмете у учащихся быстро наступает усталость. Чтобы удержать внимание, предмет, на который оно направлено, должен постоянно меняться. Когда задача не получается, учитель должен варьировать задачу, находить различные формулировки ее, изменять ее до тех пор, пока, наконец, не удастся найти что-нибудь полезное. Неудача может учащихся кое-чему научить, так как в неудачном варианте может быть скрыта хорошая идея, и решающие могут прийти к более удачному варианту. После ряда попыток учащиеся очень часто приходят к доступной вспомогательной задаче. Видоизменение задачи существенно. Этот факт имеет различные объяснения. С одной стороны, например, продвижение в решении задачи проявляется в мобилизации и организации ранее усвоенных знаний, учащиеся вынуждены припомнить ряд необходимых для решения задачи элементов и ввести их в решение задачи, а варьирование задачи помогает им припомнить такие элементы. Это основывается на том, что мы припоминаем при помощи своего рода «действия по связям», называемого «ассоциацией мысли». То, что занимает наши мысли в данный момент, имеет тенденцию вызвать в нашей памяти все, что было связано с ним раньше. Видоизменяя задачу, мы вносим новые моменты и, таким образом, создаем новые связи, новые возможности воскресить в нашей памяти все, что имеет отношение к нашей задаче. Д.Пойа ([52], с.58) выделяет следующие способы варьирования задачи: возвращение к определениям, разложение и составление новых комбинаций, введение вспомогательных элементов, обобщение, специализация и использование аналогии.

49

Осуществление плана решения задачи При осуществлении плана решения сюжетной задачи значимую роль играет запись найденного решения, которая может отличаться методом и способом решения. Г.А. Балл ([6], c. 66) определяет способ решения задачи как систему операций, выполнение которых обеспечивает (или может обеспечить) решение задачи. Если эта система операций находится в распоряжении решающего, то она относится к числу средств решения задачи. Задача, по мнению Царевой С.Е. ([83], с. 90), считается решенной различным способом, если ее решения отличаются отношениями (связями) между данными, данными и неизвестными, данными и искомыми, положенными в основу решения или условиями использования этих отношений, что проявляется через содержание и различие в последовательности операций, выполнение которых приводит к получению ответа на вопрос (к выполнению ее требования). При этом Царева С.Е. ([83], с. 87) отмечает, что различия в способах решения одной и той же задачи обусловлены различиями в планах решения, что предполагает различия в способах выполнения первых двух этапов. Арифметический метод Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. В трех классах 76 учеников. В первом и во втором вместе 51 ученик, а во втором и в третьем 52 ученика. Сколько учеников в каждом классе? 1 способ 1) 76 – 52 = 24 (ученика) в первом классе. 2) 51 – 24 = 27 (учеников) во втором классе. 3) 52 – 27 = 25 (учеников) в третьем классе. 2 способ 1) 76 – 52 = 24 (ученика) в первом классе. 2) 76 – 51 = 25 (учеников) в третьем классе. 3) 24 + 25 = 49 (учеников) в первом и третьем классах. 4) 76 – 49 = 27 (учеников) во втором классе.

50

3 способ 1) 76 – 52 = 24 (ученика) в первом классе. 2) 76 – 51 = 25 (учеников) в третьем классе. 3) 51 – 24 = 27 (учеников) во втором классе. 4 способ 1) 76 – 52 = 24 (ученика) в первом классе. 2) 76 – 51 = 25 (учеников) в третьем классе. 3) 52 – 25 = 27 (учеников) во втором классе. Не существует строгого определения наиболее рационального способа решения, которое можно было бы применить в качестве критерия при оценке того или иного решения прикладной задачи, так как при оценке надо учитывать: 1. Объем знаний, применяемый при решении задачи. Расширение объема знаний у учащихся, как правило, ведет к увеличению количества способов решения задачи, а следовательно, к появлению новых более простых способов решения. 2. Решение задачи подразумевает не только вычисление или построение, но и прежде всего пояснения и обоснования. Может оказаться, что, например, вычисления при одном способе решения проще, чем при другом, но обоснования и построения значительно сложнее. 3. Доступность для учащихся. 4. Время на отыскание данного способа. Формы выполнения решения различаются по способам фиксации решения, которая может быть выполнена как в устной форме, так и в письменной. Мастер за один час работы делает 56 изделий. Сколько изделий он сделал за два дня, если в первый день он работал 6 часов. А во второй - 4? Рассмотрим решение данной задачи, используя различные формы записи решения задачи: 1. Запись решения в виде числового выражения. Запись решения в данной форме осуществляется поэтапно: а) записываются отдельные шаги, приводящие в итоге к числовому выражению; 56 · 6 (штук) – количество изделий, выполненное мастером за первый день. 51

56 · 4 (штук) – количество изделий, сделанное мастером за второй день. 56 · 6 + 56 · 4 (штук) – количество изделий, произведенное мастером за два дня. Пояснения к действиям можно не записывать, а давать их в устной форме. б) находится значение выражения, и запись приобретает вид равенства, в левой части которого - выражение, составленное по условию задачи, а в правой – его значение, которое позволяет сделать вывод о выполнении требования задачи. 56 · 6 + 56 · 4 = 560 (штук) Ответ: 560 штук. 2. Запись решения в виде отдельных действий без пояснения. 1) 56 · 6 = 336 (штук) 2) 56 · 4 = 224 (штук) 3) 336 + 224 = 560 (штук) Ответ: 560 штук. 3. Запись решения в виде отдельных действий с пояснением. 1) 56 · 6 = 336 (штук) – количество изделий, выполненное мастером за первый день. 2) 56 · 4 = 224 (штук) - количество изделий, сделанное мастером за второй день. 3) 336 + 224 = 560 (штук) - количество изделий, произведенное мастером за два дня. Ответ: 560 штук. 4. Запись каждого пункта плана с соответствующими арифметическими действиями. 1) Найдем количество изделий, выполненное мастером за первый день: 56 · 6 = 336 (штук). 2). Найдем количество изделий, сделанное мастером за второй день: 56 · 4 = 224 (штуки) 3) Найдем количество изделий, произведенное мастером за два дня: 336 + 224 = 560 (штук). Ответ: 560 штук.

52

5. Запись решения по действиям с вопросами. 1) Сколько изделий сделал мастер за первый день? 56 · 6 = 336 (штук). 2) Сколько изделий сделано мастером за второй день? 56 · 4 = 224 (штуки) 3) Сколько изделий сделано мастером за два дня? 336 + 224 = 560 (штук) Ответ: 560 штук. Алгебраический метод Решить задачу алгебраическим методом - значит найти ответ на требование задачи, составив и решив одну из алгебраических структур. Расстояние между двумя пристанями моторная лодка проходит на 30 мин медленнее, чем катер. Определить это расстояние, если известно, что скорость катера равна 42 км/ч, а скорость моторной лодки – 36 км/ч. В данной задаче рассматриваются три физические величины: v – скорость, t - время, S - расстояние. Зависимость между которыми выражается формулой S = v ⋅ t . В данной задаче описаны две ситуации: - преодоление расстояния между двумя пристанями катером; - преодоление расстояния между двумя пристанями моторной лодкой. Каждая из этих ситуаций является минимальным компонентом задачи, так как, во первых, каждая из них формализуется основным

S = v ⋅ t , во вторых, при их разбиении связь между велиv, t и S разрушается, т. е. основное отношение прекращает

отношением чинами

свое функционирование. Данную задачу можно решить: 1. Составив систему уравнений с двумя переменными. а) Пусть х – время, затраченное катером для прохождения расстояния между пристанями, тогда х +

30 - время, затраченное моторной 60

лодкой для прохождения данного расстояния.

53

б) Расстояние между пристанями обозначим через у. в) Опираясь на основное отношение

S = v ⋅ t ситуации,

можно

⎧ y = 42 x, записать в виде системы уравнений: ⎪⎨ 30 ⎞ ⎛ ⎪ y = 36⎜ х + 60 ⎟ . ⎠ ⎝ ⎩ ⎧ y = 42 x, ⎪ ⎧ у = 126, ⎧ у = 42 х, ⎧ у = 42 х, 30 ⎞ ⎨ ⎛ ⎪ y = 36⎜ х + 60 ⎟; ⇒ ⎨42 х = 36 х + 18; ⇒ ⎨6 х = 18; ⇒ ⎨ х = 3. ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩

Ответ: расстояние между пристанями 126 км. 2. Составив уравнение с одной переменной. Первый способ а) Пусть у – расстояние между пристанями, тогда

у - время, 42

затраченное катером для прохождения расстояния между пристанями. б) Расстояние между двумя пристанями моторная лодка проходит на 30 мин медленнее, т е.

y 30 + . 42 60

в) Опираясь на основное отношение можно записать в виде уравнения:

S = v ⋅ t , вторую ситуацию

⎛ у 30 ⎞ 36⎜ + ⎟ = у . ⎝ 42 60 ⎠

⎛ у 30 ⎞ 36⎜ + ⎟ = у, ⎝ 42 60 ⎠ 6 у + 18 = у, 7 1 y = 18, 7 y = 126.

Ответ: расстояние между пристанями 126 км. Второй способ. Данную задачу можно решить, составив уравнение с одной переменной. а) Пусть у – расстояние между пристанями, тогда: -

у - время, затраченное моторной лодкой для прохождения 36

данного расстояния; -

у - время, затраченное катером для прохождения расстояния 42

между пристанями. 54

б) Расстояние между двумя пристанями моторная лодка проходит на 30 мин медленнее, чем катер, т.е. у у − = 36 42 7у − 6у = 252 у = 126.

у у 30 − = . 36 42 60

30 , 60 126 , 252

Ответ: расстояние между пристанями 126 км. Демидова Т.Е., Тонких А.П. ([19], с.149 – 150) выделяют следующие этапы в процессе составления уравнения с одним неизвестным по условию сюжетной задачи: 1. Сначала выбирают соотношение, на основании которого будет составлено уравнение. Если задача содержит более двух соотношений, то за основу для составления уравнения надо взять то соотношение, которое устанавливает некоторую связь между всеми неизвестными. 2. Затем выбирают неизвестное, которое обозначают соответствующей буквой. 3. Все неизвестные величины, входящие в выбранное для составления уравнения соотношение, необходимо выразить через выбранное неизвестное, опираясь на остальные соотношения, входящие в задачу, кроме основного. 4.Из указанных выше пунктов непосредственно вытекает составление уравнения как оформление словесной записи при помощи математических символов. Геометрический метод Геометрическим называется метод, при котором поиск решения и само решение задачи выполнено с помощью построения геометрических объектов и измерения соответствующих величин. Геометрический метод решения текстовых задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и др.), а также на свойствах плоских фигур. Решить задачу геометрическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Причем одну и ту же задачу можно решить различными геометрическими способами. 55

Расстояние от города А до города В автобус проехал за 5 часов, а автомобиль за 4 часа. Определите расстояние между городами, если скорость автобуса на 20 км/ч меньше скорости автомобиля. а) Пусть время движения автомобиля (4 часа) изображается отрезком ОТ1, а скорость (ее величина неизвестна) – отрезком ОS1). Тогда площадь прямоугольника OS1O1T1 соответствует расстоянию между городами А и В. б) Пусть время движения автобуса (5 часов) изображается отрезком ОТ2, а скорость (ее величина неизвестна) – отрезком ОS2).

O1

S1

O2

S2

O3

0

T1

T2

в) В этом случае то же расстояние между городами А и В определяется площадью прямоугольника OS2O2T2, равновеликого прямоугольнику OS1O1T1. Прямоугольник OS2O3T1 – общая часть прямоугольников OS1O1T1 и OS2O2T2, поэтому равновеликими будут прямоугольники S2S1O103 и Т1Т2O203. Значит, S2S1 · S2O3 = Т1Т2 · Т1 · O3. Учитывая, что S2S1 = 20 км/ч, S2O3 = 4 ч, Т1Т2 = 1 ч, находим Т103 = (S2S1 · S2O3): Т103 = (20 км/ч · 4 ч): 1ч =80 км/ч. OS1 = 80 км/ч = 100 км/ч, а расстояние между городами равно 100 км/ч · 4 ч = 400 км. Задача Льва Толстого: «Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг, после чего одна половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру; вторая же половина перешла косить второй луг, где к вечеру остался участок, который мог быть скошен одним косцом за день. Сколько косцов было в артели». 56

Рассмотрим решение данной задачи, предложенное И.Депманом ([20], с.126-127). Он предлагает изобразить оба луга следующей фигурой, в которой левый прямоугольник представляет больший луг, а правый, в два раза меньше первого, - меньший луг. 1

/3

1

/3

1

1

/3

/3

Чтобы скосить весь больший луг, вся артель работала первую половину дня, а вторую половину дня работала половина артели. Иными словами, половине артели нужно было бы работать трижды по 1 дня, чтобы скосить больший луг (дневную работу всех косцов счита2

ем одинаковую). Таким образом, половина артели в половину дня ско1 сила большего луга. 3 Меньший луг равен половине большего. Половина артели за вторую половину дня скосила на нем часть, равную одной трети большего луга. К вечеру недокошенной осталась 1 − 1 = 1 часть большего луга. 2

3

6

По условию задачи этот остаток может скосить один косец за день. Вся артель за день скосила весь больший луг и часть меньшего, равную

1 2 , или 3 6

частям большего луга; следовательно, артель за

день скосила всего 1 + 2 = 6 + 2 = 8 частей большего луга. Так как один 6

6

косец за день может скосить

6 6 1 большего 6

луга, то для того, чтобы ско-

сить за день 8 частей большего луга, артель должна состоять из 8 че6

ловек. Графический метод Графическим называется метод, при котором поиск решения и само решение задачи выполнено с помощью построения графиков функций. 57

При использовании данного метода график вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Несмотря на это, ответ может получиться приближенным. В одном бочонке 1 кг меда, в другом – 5 кг. Каждый час в первый доливают 2 кг меда, а во второй – 1 кг. Через сколько часов в бочонках будет одинаковое количество меда? Количество меда, находящегося в каждом бочонке, линейно зависит от времени, так как каждый час в бочонок доливают одинаковое количество меда. Отложим на оси Ох время (в часах), а на Оу количество меда (в килограммах). Построим графики, характеризующие количество меда в каждом бочонке.

YЛ 9 y=х+5

5

y=2х+1

1 0

1

2

3

4

ХЧ

Абсцисса точки их пересечения указывает, через сколько часов в бочонках будет одинаковое количество меда. Из чертежа видно, что ее значение равно 4 ч. Ордината указывает, какое количество меда находится в бочонках. Её значение равно 9 кг. При графическом решении сюжетных задач иногда удобнее пользоваться переменной системой координат, то есть на одном и том же чертеже изображаются несколько различных систем координат для построения заданных в условии задачи зависимостей. Каждая зависимость строится в своей системе координат. Из двух городов, расстояние между которыми 180 км, навстречу друг другу одновременно отправились два мотоциклиста. Через какое время они встретятся, если скорость первого 40 км/ч, а второго - 50 км/ч.? 58

Отложим на оси Ох отрезок АВ, равный 18 единицам масштаба (1 единица масштаба по этой оси соответствует 10 км). Ось Оу примем за ось времени. В данной задаче используется две системы координат: 1.в первой системе началом является точка А и осью абсцисс прямая АВ в направлении от А к В; 2. во второй системе началом служит точка В, а осью абсцисс та же прямая АВ, но в направлении от В к А. у М 2

1

С

D

В х А 40 80 130 180 Первый мотоциклист выехал из А и проезжает за 1 час 40 км, следовательно, график его движения будет проходить через точки А и С. Второй мотоциклист выезжает из В навстречу первому и проезжает за 1 час 50 км., поэтому прямая, проходящая через точки В и D, будет графиком его движения. Точка М (80;2) пересечения этих графиков будет являться точкой их встречи. Значит, мотоциклисты встретились через 2 часа после их выхода на расстоянии 80 км от места выхода первого туриста. Логический метод Решить задачу логическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством логических рассуждений. Формы выполнения решения различаются по способам фиксации решения, которая может быть выполнена в виде: 1. Логической схемы. При использовании логической схемы объекты, входящие в рассматриваемое явление или процесс, обозначаются словами, которые, как правило, заключаются в рамку, а связи между этими объектами 59

обозначаются стрелками или линиями. Однако следует отметить, что при данном методе решения схема может быть как графически обозначенной, так и выраженной в речи, в рассуждении. Из девяти монет, уплаченных купцу за товар, одна оказалась фальшивой (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету. из девяти монет одна фальшивая (более легкая)

положить на две чаши весов по три монеты нет

весы в равновесии?

из более легкой группы монет положить на весы по одной монете на каждую чашу нет

положить на две чаши весов по одной из оставшихся монет

весы в равновесии?

более легкая (фальшивая) монета на чаше, которая выше

да

да

оставшаяся монета фальшивая

фальшивая монета определена?

2. Формул языка алгебры логики. При использовании данной формы записи необходимо содержание задачи перевести в символику алгебры логики. Для этого в содержании задачи выделяют элементарные высказывания, и обозначают заглавными буквами, которые выбирают так, чтобы по ним можно было бы восстановить полный текст составного высказывания. На основе символического языка алгебры логики записать соответствующие формулы и путем их преобразования найти ответ.

60

Наташа пригласила свою подругу приехать к ней в гости. После этого она получила от нее три сообщения: 1) Я приеду в гости, если со мной приедет мама. 2) Чтобы я приехала, необходимо, чтобы меня сопровождал старший брат. 3) Либо приедем мы с братом, либо приедет только мама. Когда приехали гости, оказалось, что только одно сообщение из трех истинно. Кто приехал навестить Наташу? Выделим элементарные высказывания и введем следующие обозначения: 1) В гости приедет подруга – П. 2) В гости приедет мама подруги – М. 3) В гости приедет брат подруги – Б. Переведем на язык алгебры логики высказывания, указанные в условии задачи: ⎧П → М , ⎪ ⇔ ( П → М )( П → Б )( ПБ М ∨ П Б М ) = ( П ∨ М )( П ∨ Б )( ПБ М ∨ П Б М ) = ⎨П → Б, ⎪ ⎩ ПБ М ∨ П Б М ;

= ( П ∨ МБ )( ПБ М ∨ П БМ ) = ( П ∨ МБ ) ПБ М ∨ ( П ∨ МБ ) П БМ = П ПБМ ∨ МБПБ М ∨ П П БМ ∨ ∨ Б П БМ = П БМ . В гости приедет только мама.

3. Последовательности высказываний. Решение задачи оформляется в виде последовательности высказываний, приводящих к формулированию ответа и обосновывающих его правильность. Лучшее средство для спасения при пожаре – перекинутая через блок веревка с большими корзинами по концам. Когда одна корзина опускается, другая поднимается, поместив какой-то предмет в одну из корзин в качестве противовеса; более тяжелый предмет можно затем спустить вниз в другой корзине. … Если одна из корзин пуста, то в другой можно безопасно спустить предмет весом не более 30 футов. Если же обе корзины нагружены, то безопасная разница в весе между ними так же равна 30 футам. Когда однажды ночью в отеле вспыхнул пожар, все постояльцы, за исключением ночного сторожа и его семьи, благополучно спаслись. Последних не удалось разбудить до тех пор, пока все пути к спасению, кроме «корзин», не оказались отрезанными. Сторож весил 90, его жена – 210, собака – 60 и младенец – 30 футов. Каждая корзи61

на достаточно велика, чтобы вместить всех четверых, но никаких дополнительных грузов использовать нельзя – в спуске участвуют только сторож, жена, собака и младенец. Предполагается, что ни собака, ни младенец не могут влезть в корзину или выбраться из нее без посторонней помощи. Каким образом все четверо смогут поскорее спуститься вниз? Сторож, жена, младенец и собака должны спасаться следующим образом: 1) спустить младенца, 2) спустить собаку, поднять младенца, 3) спустить сторожа, поднять младенца, 4) спустить младенца, 5) спустить собаку, поднять младенца, 6) спустить младенца, 7) спустить жену, поднять всех остальных, 8) спустить младенца, 9) спустить собаку, поднять младенца, 10) спустить младенца, 11) спустить сторожа, поднять собаку, 12) спустить собаку, поднять младенца, 13) спустить младенца. (Сем Лойд,[59], с. 232-234, 335). Практический метод Практическим называется метод, при котором поиск решения и само решение задачи выполнено на основе теоретико-множественного истолкования операций над числами. На каждой из четырех картинок изображено по два аиста. Сколько всего изображено аистов на картинках? В задаче идет речь о 4 множествах, в каждом из которых по два элемента.

А1

А2

А3 ?

62

А4

Требуется узнать число элементов в объединении этих четырех множеств. Если n( A1 ) = n( A2 ) = n( A3 ) = n( A4 ) = 2 , то

n( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ) = n( A1 ) + n( A2 ) + n( A3 ) + n( A4 ) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Ответ: восемь журавликов изображено на четырех картинках. Бабушка передала внучке 5 груш, а клубники на две штуки больше. Какое количество клубники бабушка передала внучке? В задаче речь идет о двух множествах: множество груш – А, множество клубники – В. Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е n( A) = 5 . Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на два» означает, что во множестве В элементов столько же, сколько их в А, и еще 2 элемента. А

В1

В\В1 В

Относительно множеств, рассматриваемых в задаче, это означает, что клубничек столько же, сколько груш, и еще 2, т.е. n( A) = n( B1 ) и n( B \ B1 ) = 2 . Следовательно, n(B) = n(B1) + n(B \ B1) = 5 + 2 = 7 .

Ответ: бабушка передала внучке 7 клубничек. Применяя практический метод решения сюжетной задачи, ученики легче улавливают связь между данными условиями и требованием задачи.

63

Проверка решения задачи Проверка – это завершающий этап решения задачи, в результате которого доказывается правильность полученного при выполнении первых трех этапов ответа на вопрос задачи, обосновывается полное и верное выполнение требования задачи. Выделяют следующие способы проверки решения задачи: 1. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи. Проверка решения задачи данным способом основывается на том, что числовые значения искомой величины (величин), полученные в процессе решения, вводятся в текст задачи, после чего выполняются арифметические действия над числовыми значениями величин, входящих в содержание рассматриваемой задачи согласно их связям между собой. Если при этом получаются числа, данные в условии задачи, то делается заключение, что она решена верно. Ценность данного приема, по мнению Царевой С.Е. ([83], с. 106), определяется его неформальностью. Это обусловлено тем, что, с одной стороны, рассуждение всегда ведется по тексту задачи и, следовательно, для различных задач он будет различным, с другой - подобные рассуждения доступны детям, ибо предполагают знания, не превосходящие решаемой задачи, то есть контролирующий характер рассуждения понятен решающим. На праздник купили два вида конфет, заплатив за покупку 400 руб. Цена первого вида конфет равна 60 руб. Какова цена второго вида конфет, если было куплено каждого вида конфет по 2 килограмма. 1) 60 ⋅ 2 = 120 руб. – стоимость первого вида конфет. 2) 400 − 120 = 280 руб. – стоимость второго вида конфет. 3) 280 : 2 = 140 руб. – цена второго вида конфет. Ответ: 140 руб. – цена второго вида конфет. Для проверки решения задачи необходимо: а) Ввести числовое значение искомой величины в текст задачи: «На праздник купили два вида конфет, заплатив за покупку 400 руб. Цена первого вида конфет равна 60 руб. Цена второго вида конфет – 140 руб. Каждого вида конфет было куплено по 2 килограмма». 64

б) Выполнить арифметические действия над числовыми значениями величин, входящих в содержание рассматриваемой задачи, согласно их связям между собой: 1) 60 ⋅ 2 = 120 руб. – стоимость первого вида конфет. 2) 140 ⋅ 2 = 280 руб. – стоимость второго вида конфет. 3) 280 + 120 = 400 руб. – заплатили за всю покупку. Так как в результате получилось числовое значение величины, данное в условии исходной задачи, следовательно, она решена верно. 2. Составление и решение задачи, обратной данной. Рассматриваемый способ предполагает составление обратной задачи по отношению к решенной и ее решение. Если в процессе решения вновь составленной задачи в ответе получается значение величины, которое было задано в условии исходной задачи, то считается, что она решена правильно. Царева С.Е. ([83], с. 117) выделяет в данном приеме следующие этапы: 1. Подставить в текст задачи найденное значение искомого, т.е. вместо вопроса задачи поставить в текст задачи ответ на него; 2. Выбрать новое искомое; 3. Сформулировать новую задачу; 4. Решить составленную задачу; 5. Сравнить полученное число с тем данным прямой задачи, которое было выбрано в качестве искомого задачи; 6. На основе этого сравнения составить соответствующее умозаключение о правильности решения прямой задачи. Катер проплывает за один час по течению реки 50 км, а против – 40 км. Какое расстояние проплывет катер за 3 часа в стоячей воде? 1) (50 + 40) : 2 = 45 км/ч – собственная скорость катера. 2) 45 ⋅ 3 = 135 км – расстояние, которое проплывет катер за три часа. 1. В текст исходной задачи нужно ввести найденное значение искомой величины: «Катер проплывает за один час по течению реки 50 км, а против – 40 км. Катер за 3 часа в стоячей воде проплывает 135 км» 2. Выбрать новое искомое – время, за которое катер проплывет в стоячей воде 135 км.

65

3. Сформулировать новую задачу: «Катер проплывает за один час по течению реки 50 км, а против – 40 км. Сколько понадобится времени катеру, чтобы проплыть 135 км в стоячей воде?» 4. Решить составленную задачу: 1) (50 + 40) : 2 = 45 км/ч – собственная скорость катера. 2) 135 : 45 = 3 часа - время, необходимое катеру. 5. Сравнивая полученное числовое значение искомой величины обратной задачи с данным значением прямой задачи, можно сделать вывод, что они равны, следовательно, прямая задача решена верно. Однако использование данного способа целесообразно в том случае, когда решение обратной задачи более легкое, чем решение проверяемой задачи. Иначе оно требует проверки и потому не может служить средством контроля. 3. Решение задачи различными способами. Проверить решение задачи можно, решив ее различными способами. Если при этом получится один и тот же результат, то задача считается решенной правильно. В процессе обучения решению задач необходимо сформировать привычку проверять полученный ответ на требование задачи, выбрав наиболее рациональный способ, учитывающий ее специфику. Для поездки на экскурсию школа заказала 8 микроавтобусов. В каждом микроавтобусе по 12 мест. На экскурсию едут ученики из двух классов, по 42 ученика в каждом. Всем ли ученикам хватит мест? Если останутся незанятые места в микроавтобусах, то сколько? 1 способ 1) 12 · 8 = 96 - количество всех мест. 2) 42 · 2 = 84 - количество учащихся в двух классах. 3) 96 > 84 – количество мест в микроавтобусах больше, чем число учащихся, которые должны поехать на экскурсию. 4) 96 – 84 = 12 - количество свободных мест в микроавтобусах. 2 способ 1) 12 · 8 = 96 - количество всех мест. 2) 96 – 42 = 54 - количество мест, оставшихся после размещения учащихся одного из классов в микроавтобусах. 3) 54 – 42 = 12 – количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 66

3 способ 1) 42 · 2 = 84 - количество учащихся в двух классах. 2) 84 : 12 = 7 - количество микроавтобусов, необходимых для того, чтобы отвезти всех учащихся на экскурсию. 3) 8 – 7 = 1 – количество лишних микроавтобусов. 4) 1 · 12 = 12 количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 4 способ 1) 12 · 8 = 96 - количество всех мест. 2) 96 : 2 = 48 – количество мест, выделенных для каждого класса. 3) 48 – 42 = 6 - незанятых мест у каждого класса. 4) 6 · 2 = 12 - количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 5 способ 1) 42 : 12 = 3 (ост. 6) – 3 машины будут заняты полностью, а оставшихся 6 учеников посадят в следующую машину. 2) 12 – 6 = 6 - человек из другого класса можно посадить в 4-ю машину. 3) 42 – 6 = 36 – учеников остается посадить в оставшиеся микроавтобусы. 4) 36 : 12 = 3 - еще три микроавтобуса займут ученики другого класса. 5) 4 + 3 = 7 – машин занято. 6) 8 – 7 = 1 – количество лишних микроавтобусов 7) 1 · 12 = 12 количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 6 способ 1) 42 : 12 = 3 (ост. 6) – 3 машины будут заняты полностью, а 6 учеников останутся непосаженными. 2) 42 + 6 = 48 - учеников осталось посадить в микроавтобусы. 3) 48 : 12 = 4 - машины займут оставшиеся учащиеся. 4) 4 + 3 = 7 – машин занято. 5) 8 – 7 = 1 – количество лишних микроавтобусов 6) 1 · 12 = 12 количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах.

67

7 способ 1) 8 : 2 = 4 - машины для каждого класса. 2) 12 · 4 = 48 – мест было запланировано для каждого класса. 3) 48 – 42 = 6 - незанятых мест у каждого класса. 4) 6 · 2 = 12 - количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 8 способ 1) 42 · 2 = 84 - количество учащихся в двух классах 2) 84 : 8 = 10 (ост. 4) 10 учеников в каждом автобусе и 4 ученика пока не посадили, если будут сажать в каждый микроавтобус поровну. 3) 12 – 10 = 2 – по два свободных места осталось в каждой машине. 4) 2 · 8 = 16 – осталось свободных мест после того, как рассадили по 10 учеников в каждую машину. 5) 16 – 4 = 12 количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 9 способ 1) 12 · 8 = 96 - количество всех мест. 2) 96 : 42 = 2 (ост. 12) - можно посадить 2 класса и 12 мест останутся незанятыми. 10 способ 1) 12 : 2 = по 6 мест в машине выделили для каждого класса, если будут рассаживать в каждую машину поровну учеников из одного и другого класса. 2) 42 : 6 = 7 машин займут оба класса. 3) 8 – 7 = 1 – количество лишних микроавтобусов 4) 1 · 12 = 12 количество мест, оставшихся после размещения учащихся в микроавтобусах. 11 способ 1) 12 · 8 = 96 - количество всех мест. 2) 42 · 2 = 84 – количество учащихся в двух классах. 3) 96 : 84 = 1 (ост. 12) - можно посадить 84 человека и 12 мест останутся незанятыми. 4. Решение задачи различными методами. Проверку решения сюжетной задачи можно выполнить, решив ее различными методами. При получении одного и того же результата делается вывод, что задача решена верно. 68

Двум мастерам необходимо сделать 25 изделий. Один мастер делает 2 изделия в час, другой – 3 изделия в час. Через сколько часов они справятся с работой, если будут работать одновременно? Арифметический метод. 1) 2+3 = 5 (штук) – изделий делают оба мастера за один час. 2) 25 : 5 = 5 (часов) – понадобится мастерам на всю работу. Ответ: 5 часов понадобится мастерам на всю работу. Алгебраический метод. В данной задаче рассматриваются три физические величины: Тр– производительность труда, t - время работы, Vр – объем работы. Зависимость между которыми выражается формулой V р = T р ⋅ t . Пусть х – время, которое необходимо мастерам для выполнения заданного объема работы, тогда

25 - количество изделий, выполняеx

мых мастерами за один час. Учитывая, что количество изделий, которое выполняется мастерами за одни час, равно сумме производительностей труда каждого из мастеров 2+3, получим уравнение:

25 = 2 + 3. x

25 = 2 + 3, x 25 = 5, x x = 25 : 5, x = 5.

Ответ: 5 часов понадобится мастерам на всю работу. Графический метод Отложим на оси Оу отрезок АВ, равный 25 единицам масштаба (1 единица масштаба по этой оси соответствует 1 детали). Ось Ох примем за ось времени. Построим графики, характеризующие производительность труда каждого из мастеров. Производительность первого мастера характеризуется функцией y = 2 x , второго - y = 25 − 3x . Абсцисса точки их пересечения (точки С) указывает, через сколько часов мастера справятся с указанным объемом работы. Из изображения графиков на координатной плоскости видно, что ее значение равно 5. 69

у 25

В С

10 у=2х

у=25 - 3х

А 5 х Ответ: 5 часов понадобится мастерам на всю работу. 5. Прикидка ответа или установление его границ. Данный метод предполагает на основе предварительного анализа текста до начала решения либо в процессе решения задачи определение границ искомого числа, что позволяет с некоторой степенью точности оценить правильность решения задачи. От пункта А до пункта В велосипедист проехал за 5 часов со скоростью 30 км/ч. На обратный путь он затратил 6 часов. С какой скоростью ехал велосипедист на обратном пути? В процессе анализа содержания задачи на основании того, что велосипедист затратил на тот же путь времени больше, можно отметить: скорость велосипедиста на обратном пути будет меньше 30 км/ч. Такими числами могут быть 29, 28, 27, 26, 25… При предварительной прикидке, относительно расстояния между пунктами А и В можно заметить, что при умножении 30 на 5 получится число, оканчивающееся нулем. Из предполагаемых чисел данному условию подходит 25, т. е. скорость велосипедиста может быть равна 25 км/ч. Следовательно, он проехал расстояние 25 · 6 = 150 (км). Для правильности предположения проведем проверку: разделим 150 на 5, получим, что скорость велосипедиста при движении от А до В равна 30 км/ч, что соответствует условию задачи. В санатории было построено 10 одноэтажных и двухэтажных домиков, причем в каждом домике было комнат поровну. В двухэтажных домиках всего было 24 комнаты, а в одноэтажных – 16 комнат. Сколько построено одноэтажных и двухэтажных домиков отдельно? 70

При анализе содержания задачи можно отметить, с одной стороны, что двухэтажных домиков должно быть больше, чем одноэтажных, а с другой - что число, выражающее: 1) Количество двухэтажных домиков должно быть таким, чтобы число 24 делилось на него без остатка и было меньше 10. В качестве предположения количества двухэтажных домиков можно брать числа 8, 6, 4, 3, 2. 2) Количество одноэтажных домиков должно быть таким, чтобы число 16 делилось на него без остатка. В качестве предположения количества двухэтажных домиков можно брать числа 8, 4, 2. Предположим, что двухэтажных домиков было 8, тогда одноэтажных домиков - 2. Тогда количество комнат в двухэтажных домиках было по 3 в каждом (24 : 8 = 3) и в одноэтажных по 8 в каждом (16 : 2 = 8). Предположение неверно. Предположим, что двухэтажных домиков было 6 , тогда одноэтажных домиков 4. Тогда количество комнат в двухэтажных домиках было по 4 в каждом (24 : 6 = 4). Такое же количество в одноэтажных домиках (16 : 4 = 4). Предположение оказалось верным. Зиновьев П.М. ([26], с. 59-62), отмечает, что данный метод позволяет скорректировать план решения, так как предполагает проведение первоначального анализа основных связей между данными и искомыми и выделение отношений между ними. Итак, в процессе решения задачи, как было уже отмечено, названные этапы не имеют четких границ. Вместе с тем, будущему учителю необходимо понимать, что решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение целенаправленным, а следовательно, более успешным. 1.6. Организация рефлексивного обучения в процессе решения сюжетных задач Рефлексия в обучении, по определению Хуторского А.В. ([82], с. 287),– мыследеятельностный или чувственно-переживаемый процесс осознания субъектом образования своей деятельности. Рефлексия подразумевает исследование уже осуществленной деятельности с целью фиксации ее результатов и повышения ее эффективности в дальнейшем. По ее итогам учащиеся не просто обду71

мывают будущую деятельность, но и выстраивают ее реалистическую структурную основу, следующую из особенностей предыдущей деятельности. Это обуславливает цели рефлексии: вспомнить, выявить и осознать основные компоненты деятельности: ее смысл, типы, способы, проблемы, пути их решения, полученные результаты и т.п. Методика организации рефлексии ученика в процессе решения сюжетных задач, по мнению Хуторского А.В. ([82], с. 288-289), включает в себя следующие этапы: 1. Остановка предметной деятельности, то есть решение сюжетной задачи должно быть завершено или прекращено (если оно вызвало затруднение). 2. Восстановление последовательности выполненных действий. 3. Изучение составленной последовательности действий с точки зрения ее эффективности. 4. Рассмотрение различных условий, характеризующих поставленную задачу, обсуждение возможностей моделирования ее условия или замены имеющейся модели более простой и наглядной. 5. Выявление и формулирование результатов рефлексии: - предметная продукция деятельности: идеи, предположения, закономерности, ответы на вопросы и т.п.; - способы, которые использовались или создавались (изобретались) в ходе деятельности; - гипотезы по отношению к будущей деятельности, например, по качеству и количеству – то-то возрастает так-то. 6. Проверка гипотез на практике в последующей предметной деятельности. При введении элементов рефлексии ученики часто не испытывают потребности в осознании своего развития, поэтому начинать обучение подобной деятельности необходимо уже с младшего школьного возраста. При этом особое внимание уделяется обучению ребят осознанию того, что они делают и что с ними происходит, что нового они узнают, какой опыт они приобрели. Рассмотрим некоторые приемы организации рефлексивной деятельности в процессе решения сюжетных задач. 72

1.Решение задачи различными способами (методами). Решение задач различными способами (методами) позволяет глубже раскрыть взаимосвязь между величинами, входящими в задачу, а следовательно, способствует организации осознания своей деятельности учащимися. Поэтому перед решением какой-либо задачи целесообразно направлять деятельность учащихся на поиск нескольких способов (методов) решения, при условии обязательного их сравнения и выборе рационального. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями А и В плот, пущенный по течению реки, если катер прошел данное расстояние между двумя пристанями по течению реки за 5 часов, а обратный путь - за 7 часов? а) Одно из неизвестных можно заменить каким-либо известным числом. Пусть расстояние между пристанями А и В равно 350 км. Тогда можно найти и все остальные неизвестные. 1) 350 : 5 = 70 (км/ч) – скорость катера по течению. 2) 350 : 7 = 50 (км/ч) – скорость катера против течения. 3) 70 − 50 = 20 (км/ч) - разность между скоростями катера по течению реки и против. 4) 20 : 2 = 10 (км/ч) - скорость течения реки. 5) 350 : 10 = 35 (ч) – проплывет плот от пристани А до пристани В. б) Введем следующие обозначения: путь АВ через S, собственную скорость катера через v , а скорость течения реки через u , искомое время движения через t . Тогда фактическая скорость катера по течению реки равна v + u , а фактическая скорость катера против течения равна v − u . Так как катер 5 часов по течению реки прошел путь S, то получаем уравнение: 5 ⋅ (v + u ) = S (1) . А против течения тот же путь - за 7 часов, следовательно, можно записать еще одно уравнение: 7 ⋅ (v − u ) = S (2). Тот же самый путь плот проплыл со скоростью u за t часов, то есть: u ⋅ t = S (3).

73

Уравнения (1), (2) и (3) образуют систему уравнений относитель-

но

четырех

⎧5(v + u ) = S , неизвестных: ⎪⎨7(v − u ) = S , ⎪u ⋅ t = S . ⎩

S S S ⎧ ⎧ ⎧ ⎪v + u = 5 , ⎪v + u = 5 , ⎪v + u = 5 , ⎪ ⎪ ⎪ S S S ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨u = , ⇒ ⎨u = , ⇒ ⇒ ⎨u = , 35 35 35 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u ⋅ t = S ; ⎪u ⋅ t = S ; ⎪S ⎪ ⎪ ⎪ 35 ⋅ t = S ; ⎩ ⎩ ⎩

S ⎧ ⎪v + u = 5 , ⎪ S ⎪ ⇒ ⎨v − u = , 7 ⎪ ⎪u ⋅ t = S ; ⎪ ⎩

S ⎧ ⎪v + u = 5 , ⎪ S S ⎪ ⇒ ⎨2u = − , 5 7 ⎪ ⎪u ⋅ t = S ; ⎪ ⎩

S ⎧ ⎪v + u = 5 , ⎪ S ⎪ ⇒ ⎨u = , 35 ⎪ ⎪t = 35. ⎪ ⎩

Так как искомым является лишь неизвестное t , то остальные можно неизвестные системы можно не определять. в) Зная, что расстояние АВ катер проплыл по течению реки за 5 ч, а против – за 7 ч, найдем, что в один час катер, идя по течению, про1 1 часть этого расстояния, а против течения - . Тогда разность 5 7 1 1 2 между ними − = есть удвоенная часть расстояния АВ, проплы5 7 35 1 расстояваемая плотом за 1 час. Значит, плот за 1 час проплывает 35

ходит

ния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывает за 35 часов. Если сравнить данные решения, то можно отметить: 1) Наиболее кратким является способ приведения к единице, однако для восприятия учащимися он является наиболее сложным. 2) Наиболее понятным для детей является способ составления системы уравнений, но его можно использовать только после изучения соответствующего алгебраического материала, и он занимает достаточно много времени. Выявление недостатков проведенного решения, поиск лучшего решения и закрепление в памяти учащихся тех приемов и способов, которые были использованы в данном решении, выявление условий возможности применения этих приемов и способов – все это и определяет рефлексивный опыт ребенка.

74

2. Подбор вопросов познавательного характера. Способность к рефлексии формируется и развивается у детей при выполнении действий контроля и оценки. Осознание учащимся смысла и содержания собственных действий становится возможным только тогда, когда он умеет самостоятельно рассказать о своем действии, подробно объяснить, что и для чего он делает. После решения задачи возможен подбор вопросов познавательного характера, вопросов для уточнения связей между величинами, входящими в задачу. Из двух городов, находящихся на расстоянии 520 км, одновременно вышли навстречу друг другу два поезда и встретились через 4 ч. Один поезд шел со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью шел второй поезд? После решения задачи возможны вопросы: - К какому пункту ближе произойдет встреча поездов? - Могли ли поезда встретиться в середине пути? - Какой поезд придет в конечный пункт первым и почему? - Какое расстояние будет между поездами через час после встречи? - Могут ли поезда прибыть в конечный пункт одновременно? В качестве опоры для рефлексивной деятельности помимо вопросов, связанных непосредственно с содержанием и ходом решения задачи, ученикам можно предложить ориентировочные вопросы: 1. Что я понял, чему научился? 2. Какие задания вызвали наибольший интерес и почему? 3. Какие я выполнил задания и какими способами? 4. Какие были основные трудности, и как я их преодолевал? В ходе проведения учебных занятий предлагаемые ученикам рефлексивные вопросы могут быть более приближены к рассматриваемой задаче, например: «Какой способ решения задачи применил Саша?» Чем этот способ отличается от того, который продемонстрировала Неля?» Подобные вопросы способствуют тому, что учащиеся проводят сравнения, делают те или иные умозаключения, учатся обосновывать свои высказывания. Поэтому поиск ответов на поставленные вопросы способствует более глубокому осмыслению решения задачи, формирует гибкость и самостоятельность решения. На выполнение такой работы не требуется слишком много времени, так как оно происходит в устной форме. 75

В некоторых случаях используются ситуации коллективной мыслительной деятельности, когда анализ решения задачи дети проводят в паре, при этом один из учеников становится «контролёром» и требует объяснить каждый шаг решения. 3. Сравнение задач и их решений. При сравнений задач и их решений работа не должна заканчиваться только выявлением «похожего» и «различного». Необходимо сформулировать вывод, в котором бы отражалась цель проводимого сравнения. а) Коля поймал 7 рыб, а Сережа на 2 рыбы больше. Сколько рыб поймал Сережа? Решение: 7 + 2 = 9 (рыб) – поймал Сережа. б) Коля поймал 7 рыб, а это на 2 больше, чем поймал Сережа, Сколько рыб поймал Сережа? Решение: 7 − 2 = 5 (рыб) – поймал Сережа. Сравнение задач и их решений способствует более осознанному выбору действий. Дети осознают, что одно и то же слово, влияющее на выбор действия, один и тот же вопрос не определяют выбор действия и что для этого нужно установить связи между величинами, входящими в задачу, и на их основе выбрать, а затем и выполнить действие. 4. Анализ и установление причин ошибочного решения. Рефлексия, обеспечивающая адаптивность человека к новым условиям деятельности, демонстрирует, что рефлексивная функция возникает и реализуется в любой деятельности, когда возникает какое-либо затруднение. При этом она используется для реконструкции появившегося затруднения и обнаружения его причин. Иными словами, уже признанным стало то, что рефлексия служит совершенствованию различных видов деятельности, которые могут быть поставлены под контроль сознания. Субъект может не только делать, но и знать, как он это делает. Необходимо починить 150 стульев. Один мастер может это сделать за 15 дней, а другой – за 10 дней. За сколько дней выполнят эту работу оба мастера, если будут работать вместе? При решении данной задачи наиболее часто встречающееся ошибочное решение имеет вид: 150 : (15 + 10) = 6 . 76

Рефлексия предполагает, что каждое неверное решение должно быть проанализировано и установлена причина ошибочного решения. Для этого надо предложить детям проверить правильность выбора действий. - Что обозначает число 15? (за 15 дней первый мастер может выполнить всю работу). - Что обозначает число 10? (за 10 дней второй мастер может выполнить всю работу). - Если оба мастера будут работать вместе, то больше или меньше им потребуется времени для выполнения всей работы? - Тогда что означает число 25 (10+15)? После выяснения ошибочности решения записывается верное решение с обоснованием каждого действия. 1) 150:15=10 – рам красит первый мастер за один день. 2) 150:10=15 – рам красит второй мастер за один день. 3) 10+15= 25 – рам красили оба мастера за один день. 4) 150 : 25 = 6 – за 6 дней выполнят всю работу оба мастера, работая вместе. Для выяснения, насколько ребенок осознал данный способ решения, можно предложить следующую задачу. Гостинице необходимо пошить 1500 махровых халатов. Одно ателье может пошить халаты за 15 дней, а другое - за 10 дней. За сколько дней закончат работу эти ателье, работая вместе? Содержание, структура и данные задачи позволяют использовать прием сравнения. Для этого необходимо предложить детям прочитать задачи и выяснить, чем похожи задачи, и в чем их отличие. И на основе выявленных признаков, не решая задачи, установить: одинаковые или различные числа получаются в ответе. При ответе учащиеся объясняют свои предположения. То есть, если числа одинаковые, то почему? А если различные, то в каком отношении будут находиться эти числа, в какой задаче число в ответе будет больше и во сколько раз? Устанавливая сходство и различия, на основе применения необоснованной аналогии (чем больше объем выполненной работы, тем больше потребуется времени для ее выполнения) некоторые учащиеся предполагают, что в ответе второй задачи число будет больше в 10 раз, чем в первой. В этом случае решение первой задачи учащимися было воспринято неправильно. Однако прежде чем вернуться к реше77

нию предыдущей задачи и разобрать последовательность каждого действия, полезно провести с учащимися беседу, в процессе которой попытаться убедить детей, что такого быть не может. Для этого можно использовать следующие вопросы: - Сколько дней потребуется первому ателье, чтобы выполнить всю работу? – И сколько второму? - Если оба ателье будут работать вместе, то больше или меньше им потребуется времени для выполнения всей работы? Работа над второй задачей позволяет исследовать, как она связана с первой задачей. Это позволит лучше осознать свой опыт в решении подобных задач. 5. Решение рефлексивных задач. После получения образовательного продукта или в результате возникшего противоречия проводится рефлексия, на основе которой выявляются новые результаты, выдвигаются новые гипотезы, приобретается новый опыт в решении задач. В этом смысле особое значение имеет рефлексивная задача, которая, по мнению Ольбинского И.Б. ([49], с. 77-78), должна удовлетворять одновременно трем требованиям: 1. Она должна быть новой для ученика, то есть он не должен иметь опыта ее решения. 2. Опыт ученика должен содержать все средства для ее решения. 3. Задача должна содержать потенциал к своему преобразованию, т.е. путем рефлексивного исследования приведет к преобразованию опыта. Использование рефлексивной сюжетной задачи в процессе обучения должно способствовать формированию умения: - выделять различные связи и отношения между компонентами знаний; - обобщать и систематизировать знания; - схематизировать изученные способы решения задач и приемы организации действий; - вырабатывать различные критерии и правила, на основе которых они могут регулировать и осуществлять собственную учебную деятельность;

78

- понимать и проверять себя, свой собственный процесс решения учебных задач, ход рассуждений, степень сформированности определенных умений, результаты учебной деятельности в целом. Моторная лодка прошла расстояние между двумя пристанями А и В по течению реки за 6 часов, а обратный путь она совершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между этими пристанями плот, пущенный по течению реки, если расстояние между пристанями 240 км. 1) 240 : 6 = 40 (км/ч) – скорость лодки по течению 2) 240 : 6 = 30 (км/ч) – скорость лодки против течения Как правило, после выполнения данных двух действий дальнейшее решение задачи вызывает у учащихся затруднение. В данном случае для выявления правильного решения можно предложить учащимся решить следующую задачу, рефлексивное исследование которой должно способствовать выявлению способа решения задачи, вызывающей затруднение: Расстояние между двумя пристанями А и В 240 км. Сколько понадобится времени, чтобы моторная лодка прошла расстояние от пристани А до пристани В и вернулась обратно, если собственная скорость лодки 35 км/ч, а скорость реки 5 км/ч? 1) 35 + 5 = 40 (км/ч) – скорость лодки по течению. 2) 35 − 5 = 30 (км/ч) – скорость лодки против течения. 3) 240 : 40 = 6 (ч) – время, затраченное моторной лодкой на путь от пристани А до пристани В. 4) 240 : 30 = 8 (ч) – время, затраченное моторной лодкой на путь от пристани В до пристани А. 5) 6 + 8 = 14 (ч) – время, затраченное моторной лодкой на путь от пристани А до пристани В и обратно. После решения данной задачи необходимо в процессе рефлексивного исследования подвести учащихся к следующему важному положению: разность между фактической скоростью лодки по течению реки и против течения реки равна удвоенной скорости течения. И тогда решение задачи, вызвавшей затруднение, будет очевидно. Важен психологический подход к организации рефлексии ученика, то есть задача педагога - создать для ученика такие условия, чтобы он захотел говорить о проведенном уроке или своей деятельности. 79

Если ученик публично делать это не хочет, то можно предложить ему форму «тихой» рефлексии: написать или нарисовать свои воспоминания о деятельности. Степанов С.Ю. и Семенов И.Н. [65] отмечают, что организация рефлексивной деятельности зависит от уровня самостоятельности обучаемого, что определяет уровень сложности педагогической деятельности в зависимости от тех рефлексивных процессов, которые осуществляются учащимися: - интеллектуальная рефлексия предполагает, что учащийся индивидуально решает задачу; - личностная рефлексия - это когда задача решается в присутствии преподавателя или более успевающего ученика при выполнении контрольной работы, но без реального общения и взаимодействия с ним в виде помощи в поиске решения; - коммуникативная рефлексия подразумевает, что поиск решения осуществляется в процессе непосредственного общения с другими учениками (например, при групповой дискуссии на факультативных занятиях); - когда этот процесс организуется учителем, то помимо интеллектуального, личностного, коммуникативного типов рефлексий осуществляется также и кооперативная рефлексия. Очевидно, что в первом случае деятельность педагога характеризуется минимальным уровнем сложности, так как ему приходится учитывать специфику лишь одного типа рефлексивных процессов, а в последнем, наоборот, — максимальным. Таким образом, необходимо разрабатывать психолого-педагогические средства как для направленной активизации одного из этих типов рефлексии, так и для культивирования всех их одновременно с тем, чтобы оптимизировать их взаимодействие. При этом необходимо учитывать, что время, отводимое на рефлексивную образовательную деятельность, должно быть сопоставимо с деятельностью по учебному предмету в «чистом» виде, поскольку только в этом случае возможно осознание и формулирование личных образовательных результатов учеников.

80

ГЛАВА 2. РОЛЬ ЗАДАЧ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

2.1. Функции решения сюжетных задач Для понимания роли обучения решению сюжетных задач как средства развития и формирования личности учащихся необходимо рассматривать его как совокупность взаимосвязанных функций: образовательной, развивающей и воспитательной. Ни одна из названных функций не может выступать изолированно от других, но в каждой конкретной задаче можно выделить ведущую функцию и при надлежащей целевой установке добиваться ее реализации в первую очередь. Постановка целей при обучении решению сюжетных задач необходима для проектирования образовательных действий обучающихся и связана с внешним социальным заказом, образовательным стандартом, со спецификой внутренних условий обучения: уровнем развития детей, мотивами их учения, особенностями изучаемого вида задач, имеющимися средствами обучения и т. д. Каждая конкретная сюжетная задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких целей. И эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и значением, которое придает обучающий задаче. Цели могут быть сформулированы на трех уровнях, которые отличаются глубиной проработки материала по обучению решению сюжетных задач. Данные уровни Скок Г.Б. и Лыгина Н.И. ([60], с. 22) предлагают определять для удобства глаголами: иметь представление, знать, уметь. Цели первого уровня (иметь представления + о чем) - иметь представления: - о круге проблем, в ряду которых находятся проблемы и вопросы обучения решению сюжетных задач в процессе преподавания математики; - об обязательных для изучения модулях и разделах, а также возможности выбора «индивидуальной траектории» в процессе обучения решению сюжетных задач; - о существующих методических подходах в обучении решению сюжетных задач;

81

- о современном состоянии научных дисциплин, являющихся основой для обучения решению сюжетных задач, и перспективах их развития в будущем; - об основных сферах применения получаемых знаний в процессе обучения решению сюжетных задач; - об использовании сюжетных задач в качестве средства организации межпредметной интеграции; - о вопросах и проблемах, по каким-либо причинам не рассматриваемых в процессе обучения решению сюжетных задач, но имеющих значение для понимания некоторых аспектов решения или приложения сюжетных задач. Цели второго уровня (знать + что) - знать: - значение сюжетных задач в курсе математики; - понятия, определения, термины (понятийный аппарат), необходимые для обучения решению сюжетных задач; - признаки, параметры, характеристики, свойства элементов, отраженных в содержании сюжетной задачи; - принципы, основы, теории, законы, правила, используемые в процессе обучения решению сюжетных задач; - методы, средства, приемы, алгоритмы, способы решения сюжетных задач и их границы применимости; - типологии сюжетных задач по различным критериям. Цели третьего уровня (деятельность, задаваемая глаголом + объект на который направлена данная деятельность): - оформлять (представлять, описывать, характеризовать) данные, сведения, факты, результаты работы на языке символов (терминов, образов), введенных и используемых в процессе обучения решению сюжетных задач; - высказывать (формулировать, выдвигать) гипотезы о причинах возникновения той или иной ситуации в процессе решения сюжетной задачи, о путях ее развития и последствиях; - планировать деятельность, связанную с обучением решения сюжетных задач; - классифицировать (систематизировать, дифференцировать) факты (явления, объекты, системы, методы, решения и т.д.), выявленные в процессе обучения решению сюжетных задач и самостоятельно формулировать основания для классификации; 82

- рассчитывать (определять, находить, решать, вычислять, оценивать, измерять) признаки (параметры, характеристики, величины, состояния), используя известные модели (методы, способы, приемы, алгоритмы, законы, теории, закономерности) в процессе решения сюжетных задач; - выбирать способы (методы, приемы, алгоритмы, модели, законы, критерии) для решения сюжетных задач; - обобщать (интерпретировать) полученные результаты по заданным или определенным критериям; - контролировать (проверять, осуществлять самоконтроль) до, в ходе и после решения сюжетной задачи; - изменять (дополнять, адаптировать, развивать) методы (алгоритмы, средства, приемы, методики) для решения сюжетных задач определенного типа; - формулировать (ставить, формализовать) проблемы (вопросы, цели), связанные с обучением решению текстовых задач; - прогнозировать (предвидеть, предполагать, моделировать) развитие событий (ситуаций), возникающих в процессе обучения решению сюжетных задач. Реализация обозначенных целей позволяет в процессе обучения решению сюжетных задач одновременно и в неразрывном единстве обогатить личность обучающегося научными знаниями, развить ее интеллектуальные и творческие способности, а также сформировать ее мировоззрение и нравственно-эстетическую культуру. 2.1.1. Обучающая функция Обучающая функция направлена на формирование у школьников системы математических знаний, умений и навыков, позволяющих овладеть умением решать сюжетные задачи. Под умением решать сюжетные задачи Царева С.Е. ([83], с. 35, 42) понимает умение, складывающееся из знаний о задаче и процессе ее решения (об этапах решения, способах их осуществления) и владения способами выполнения каждого из этапов при определенном уровне математических и иных знаний, которые используются при решении.

83

Обучающая функция включает в себя две взаимосвязанные группы дидактических задач, соответствующих двум структурным компонентам умения решать задачи: 1) Задачи, направленные на приобретение знаний; 2) Задачи, направленные на овладение умениями. Научиться решать сюжетные задачи Узнать сведения о задаче и ее структуре об объектах окружающей действительности, их свойствах, способах словесного описания зависимости между величинами и их математическое выражение из каких этапов складывается процесс решения любой задачи назначение каждого этапа

какими методами и приемами можно осуществить каждый этап решения и решения в целом из каких операций состоит каждый из методов, способов, приемов выполнения этапов решения и решение в целом

Научиться конкретизировать назначение и содержание каждого этапа решения данной задачи выбрать способы действий, наиболее эффективные для решения конкретного этапа решения данной задачи выполнять каждую операцию, входящую в способ выполнения любого этапа решения

выполнять всю последовательность операций, составляющих определенный способ осуществления этапа решения

выполнять каждый из этапов решения конкретной задачи наиболее подходящим способом записывать словесно заданные отношения и зависимости на математическом языке, выполнять вычисления и необходимые логические и иные операции проверять правильность каждой операции, входящей в тот или иной прием выполнения этапа решения конкретной задачи, проверять ход и результат всего решения

Таким образом, решая сюжетную задачу, ребенок знакомится с ситуацией, которая в ней описана, с применением математической 84

теории к ее решению, изучает методы решения, теоретические разделы математики, необходимые для решения задач. Все это позволяет ему повысить свое математическое образование. Для того чтобы добиться требуемого результата при постановке указанных задач, необходимо, чтобы использованная система сюжетных задач удовлетворяла следующим требованиям: 1.Сюжетные задачи должны соотвествать темам и разделам изучаемого курса. Каждая сюжетная задача содержит в явном или неявном виде опеделенные математические понятия, поэтому она может быть включена в урок только на некотором этапе изучения этих понятий и их свойств. Таким образом, сюжетную задачу можно использовать и как средство обучения. 2.Содержание сюжетных задач должно обеспечивать доступность выполнения обучающимися той учебной цели, которая ставилась перед выполнением задания. 3.Обеспечение постепенного усложнения условий выполнения осваиваемого спососба дествий или расширения осваиваемых зананий. Это можно продемонстрировать при переходе от менее сложной задачи к более сложной. Обращая внимание обучающихся на то, что одна и та же задача может являться одновременно как частью некоторой задачи, так и самостоятельной задачей, состоящей из других задач, приводит к осознанию того, что часть и целое являются взаимно проникающими противоположностями, что позволяет, по мнению Зайцева Г.Т. [24], сформировать у учащихся представление «о системности математических знаний о том, что предмет математики состоит из отдельных частей, тесно связанных между собой и включающихся друг в друга». 4.Система сюжетных задач должна обеспечивать показ обучающимся границ применимости осваиваемых спососбов и накопление знаний о ситуациях (видах задач), в которых применение того или иного спососба наиболее эффективно и в которых его применение менее эффективно. 5.Система заданий при работе над сюжетными задачами должна быть направлена на установление: - уровней обученности и обучаемости, способности к самостоятельному изучению математики; 85

- уровня математического развития обучающихся сформированности познавательных интересов. Решение сюжетных задач может быть использовано как средство для контроля и оценки учебной деятельности обучающихся. Это обусловлено тем, что характер решения сюжетных задач и выявленных при этом ошибок показывают уровень усвоения и овладения обучающимися учебного материала. 2.1.2. Развивающая функция Развивающая функция сюжетных задач направлена на развитие психических процессов (восприятия, внимания, воображения, памяти, мышления, речи) обучающегося в процессе выполнения заданий. Развитие свойств внимания Факторами, непосредственно определяющими успешность обучения, являются хорошо развитые свойства внимания и его организованность. Например, объему внимания принадлежит ведущая роль при овладении понятийным аппаратом; распределение внимания влияет на грамотность оформления записи, а устойчивость внимания на усвоение нового материала. Внимание, по определению Кузина В.С. ([36], с. 80), - это сосредоточенность, направленность сознания человека на конкретные предметы и явления или их стороны (при отвлечении от всего остального), обеспечивающие их четкое отражение. По активности человека в организации внимания различают три вида внимания: непроизвольное, произвольное и послепроизвольное. Дубровина И.В. ([21],с.144) дает такое определение непроизвольному вниманию: это внимание, которое возникает само по себе, без всяких усилий со стороны человека. Существуют следующие условия организации непроизвольного внимания: 1) Новизна. Любой тип задачи, который ранее был неизвестен учащимся, привносит в обучение новое, ранее не встречающееся и потому интересное для восприятия.

86

2) Интенсивность раздражителя. По мнению Захарюты Н.В. ([25], с. 96) интенсивность – это качественная характеристика ощущения, определяемая силой действующего раздражителя и функциональным состоянием рецептора. В качестве данной причины могут выступать: а) Иллюстрация. Наташа нарисовала три больших и четыре маленьких утенка. Сколько утят нарисовала девочка?

? б) Инсценировка, предшествующая решению задач. К нам в гости пришел Незнайка. Он не может решить задачу. Этот сказочный герой надеется, что вы, ребята, не только поможете ему решить задачу, но и научите решать его другие задачи…. в) Необычность сюжета задачи. В очень древнем китайском манускрипте (более 4000 лет до н.э.) четные числа назывались женственными, а нечетные - мужественными. Попробуйте, употребляя все однозначные числа от 1 до 9 по одному разу и применяя только действия сложения, вычитания, умножения и деления, составить равенство, в котором все женственные числа оказались бы по одну сторону знака равенства, а все мужественные – по другую. 3) Контраст раздражителей (переход от тишины к шуму, от тихой речи к громкой). 4) Ожидание определенных событий или впечатлений. 5) Неожиданность появления событий возможна при использовании: а) контрпримеров. Обучаемым предлагается решить задачи: - Наташа купила 3 открытки, а Света - на одну меньше. Сколько открыток купила Света? - В саду росло 10 яблонь, а груш - на 4 меньше. Сколько груш росло в саду? 87

После решения задач детьми делается вывод, что использование словосочетания «на меньше» указывает на то, что данная задача решается действием вычитания. Чтобы показать ошибочность данного вывода, учителем приводится задача: «Наташа купила 3 открытки, что на 3 меньше, чем купила Света. Сколько открыток купила Света?» б) неожиданный ответ при решении задачи. В качестве примера можно привести решение задачи, опубликованной в хрестоматии по математике (Игнатьев Е.И., [28], с. 194195). Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на один сажень. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, - останется некоторый прозор (промежуток). Спрашивается: в каком случае этот прозор будет больше – у земного шара или апельсина? Пусть окружность экватора равна С саженям, а окружность апельсина – с. Тогда радиус Земли R =

C c , а радиус апельсина r = . 2π 2π

После прибавки к обручам одной сажени окружности их будут равны: Земли – С+1, апельсина – с+1; радиусы же их будут: Земли апельсина -

C +1 , 2π

c +1 . Если из новых радиусов вычтем прежние, то полу2π

чим в обоих случаях одно и то же приращение: C +1 C 1 − = 2π 2π 2π c +1 c 1 − = 2π 2π 2π

для Земли, для апельсина.

Итак, у Земли и у апельсина получится один и тот же прозор в 1 саженей, т.е. примерно в пол-аршина. Этот результат для многих 2π

решающих является неожиданным, ибо кажется, что прозор у апельсина должен быть больше, чем у земли. Рассмотренные условия способствуют привлечению внимания обучаемых и поддержанию его некоторое время. Однако в процессе обучения необходимо поддерживать внимание учащихся длительное 88

время. Для достижения данной цели Груденов Я.И. ([16], с. 33) предлагает следующие условия: посильность выполнения деятельности, наличие соответствующих знаний, умений и навыков. Немов Р.С. ([47], с.207) произвольное внимание определяет как сосредоточенность сознания на объекте с приложением волевых усилий и с заранее поставленной целью. Если обучаемому задача не очень интересна, то от него требуются волевые усилия, чтобы сосредоточиться на ней. Однако если решение задачи становится для ученика интересным, то напряжение ослабевает, а иногда вовсе исчезает. Таким образом, все внимание само по себе сосредоточивается на этой деятельности. В данном случае говорят, что внимание из произвольного превратилось вновь в непроизвольное или послепроизвольное (постпроизвольное). В своей работе мы предлагаем некоторые методические рекомендации по использованию приемов развития свойств внимания у учащихся в процессе решения текстовых задач. 1. Развитие сосредоточенности (концентрации) внимания Под сосредоточенностью Дубровина И.В. ([21], стр.145) понимает свойство внимания, направленное на один объект или одну деятельность при отвлечении от всего остального, что связано с глубоким, действенным интересом к деятельности. Степень или сила сосредоточенности – это концентрация или интенсивность внимания. Однако на уроке невозможно добиться длительной абсолютной концентрации внимания учащихся на одной из деятельностей, оно подвержено периодическим спадам. Для развития данного вида внимания характерны следующие задания: а) корректурные задания. В данных заданиях ребенку предлагается находить и «вычеркивать» лишние данные в переопределенных задачах, лишние действия и т.д. Убери лишние данные в переопределенной задаче: В саду росло 2 куста смородины, 2 яблони и 5 кустов крыжовника. Сколько кустов ягод росло в саду? Внимательно прочти задачу и выбери правильное решение. В вазе было 7 роз, это на 2 больше, чем гвоздик. Сколько всего цветов было в вазе? 89

Вместе с задачей ученик получает карточку, на которой записано два варианта решения, одно из которых неверно: 1) (7 + 2) + 7 = 16 2) (7 – 2) + 7 = 12. Выбор соответствующей записи для каждой задачи и оценка их решения активизирует действие самоконтроля, а также способствует развитию сосредоточенности внимания. Девочка купила 8 конфет, а мальчик – 5 таких же конфет. Какой из вопросов можно поставить к условию задачи: - Сколько всего конфет купили дети? - На сколько меньше конфет купила девочка, чем мальчик? - Сколько стоит одна конфета? б) Задания, требующие выделения признаков предметов и явлений. Даны задачи: а) На одном проводе сидели ласточки, а на другом – 7 воробьев. Сколько всего сидело птиц на проводах? б) На одном проводе сидело 9 ласточек, а на другом 7 воробьев. Сколько всего сидело птиц на проводах? - Чем похожи тексты задач? - Чем отличаются? - Какую задачу ты можешь решить? - Какую не можешь? Почему? Будут ли эти тексты задачами? а) На одной тарелке 3 огурца, а на другой – 4. Сколько помидоров на двух тарелках? б) На клумбе росло 5 тюльпанов и 3 розы. Сколько тюльпанов росло на клумбе? Даны задачи: а) Возле дома росло 7 яблонь и 3 вишни. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома? б) Возле дома росло 7 яблонь, 3 вишни и 2 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома? - Сравни тексты задач. Чем они похожи? - Чем они отличаются? - Можно ли утверждать, что решения этих задач будут одинаковыми?

90

в) Упражнения, основанные на принципе точного воспроизведения какого-либо образца. Для развития внимания важны такие задания, которые специально нацеливают обучающихся на анализ своих действий, обнаружение и исправление различных погрешностей в их выполнении, на сопоставление своих действий с образцами, представленными в полном или схематичном, конкретном или обобщенном виде. Выделяя образец действия, обучающиеся периодически возвращаются к образцу, сопоставляя с ним свои действия, анализируя их, корректируют как сами действия, так и представление о них. Образец может быть представлен как во внешнем, так и во внутреннем плане: это может быть памятка, содержащая запись последовательности действий при решении текстовой задачи, или запечатленный памятью образ действия учителя. «Памятка» может быть представлена в виде алгоритма умственных действий, что побуждает обучающихся выполнять все операции в определенной последовательности и усвоить образец рассуждения. Например: Рассуждаю так: 1. Мне известно… 2. Надо узнать… 3. Рисую и объясняю… 4. Подумаю, надо объединять или удалять… 5. Объясняю решение… 6. Решаю… 7. Отвечаю на вопрос задачи… Пункты 4-7 соответствуют основным операциям, а позже в памятке появляется и пункт 8 «Проверяю…» 2. Увеличение объема внимания и кратковременной памяти Объем внимания, по определению Немова Р.С. ([47], с.206), - это такая его характеристика, которая определяется количеством информации, одновременно способной сохраняться в сфере повышенного внимания человека. Увеличение объема внимания можно достичь путем укрупнения информационных единиц и объединения их в комплексы. Этому способствуют упражнения, основанные на запоминании числа элементов и рассматриваемых величин в тексте задачи, при условии, что текст читается один раз. По мере овладения упражнением число элементов необходимо увеличивать. 91

Повторить текст задачи: 1. В книге 95 страниц. Миша прочитал 35 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать? 2. В книге 95 страниц. Миша прочитал 35 страниц. Сколько дней потребуется Мише, чтобы дочитать книгу, если оставшуюся часть книги он будет читать по 15 страниц ежедневно? 3. В первой книге 95 страниц, а во второй 90 страниц. Миша прочитал 35 страниц первой книги. Сколько дней потребуется Мише, чтобы дочитать первую и прочитать вторую книгу, если он будет читать по 15 страниц ежедневно? 4. В первой книге 95 страниц, во второй 90 страниц, а в третьей книге – 150 страниц. Миша прочитал 35 страниц первой книги. Сколько дней потребуется Мише, чтобы дочитать первую книгу и прочитать вторую и третью книги, если он будет читать по 15 страниц ежедневно? 3. Тренировка распределения внимания Р.С.Немов ([47], с. 205) считает, что распределение внимания – это способность рассредоточить внимание на значительном пространстве, параллельно выполнять несколько видов деятельности или совершать несколько различных действий. Однако распределение внимания между разными видами деятельности не подразумевает выполнение одновременно двух различных деятельностей обучающихся. Такое ощущение создается за счет способности человека быстро переключаться с одного вида деятельности на другой, при этом он возвращается к продолжению прерванного до того, как наступит забывание. Это обусловлено тем, что память на прерванные действия способна сохраняться в течение определенного времени, и на протяжении этого периода обучающийся может возвратиться к продолжению прерванной деятельности. Основной принцип упражнений: обучающемуся предлагается одновременное выполнение двух разнонаправленных заданий. Например, решение текстовой задачи и устный счет, решение двух текстовых задач одновременно (одну решают вместе с классом, а другую самостоятельно). Наиболее целесообразно в данном случае рассмотрение взаимообратных задач.

92

Исходная задача: Сережа прочел книгу за три дня. В первый день Сережа прочитал 20 страниц, во второй – в 2 раза больше, чем в первый день. В третий день он прочитал на 5 страниц меньше, чем во второй. Сколько страниц Сережа прочитал в третий день? Решение: 1) 20 · 2 = 40 2) 40 – 5 = 35 Обратная задача: Сережа прочел книгу за три дня. В третий день он прочел 35 страниц, что на 5 меньше, чем во второй день. А в первый - в два раза меньше, чем во второй. Сколько страниц Сережа прочел в первый день. Решение: 1) 35 + 5 = 40 2) 40 : 2 = 20 На примере данных задач можно показать, что одно и то же число, понятие, величина входят в несколько различных связей, и это приводит к тому, что восприятие их осуществляется каждый раз все быстрее и легче. Уходит времени меньше, чем на решение новой задачи, так как числовые данные и сюжет задачи остаются прежними, производятся лишь логические операции по переосмыслению роли чисел. Например, в нашей задаче 40 находится как произведение (20 · 2 = 40) и является результатом увеличения числа в несколько раз, а в обратной задаче - как сумма (35 + 5 = 40) и является увеличением числа на несколько единиц. 4. Развитие навыка переключения внимания По определению Р.С.Немова ([47], с. 205), переключаемость внимания понимается как его перевод с одного объекта на другой, с одного вида деятельности на иной. Данное свойство проявляется в скорости, с которой обучающийся может переводить свое внимание с одного объекта на другой. При этом подобный перевод может быть: а) непроизвольным – обучающийся невольно переводит свое внимание на что-либо такое, что его случайно заинтересовало; б) произвольным - обучающийся сознательно, усилием воли заставляет себя сосредоточиться на каком-нибудь объекте, пусть и не очень интересном. 93

Одновременное решение двух задач: Букет был из красных и белых Букет был из красных и бероз. Красных роз было на три лых роз. Белых роз было 6, больше, чем белых. Сколько что больше на 3, чем красбыло красных роз в вазе, если ных роз. Сколько было красбыло 6 белых роз? ных роз в вазе? Сколько было белых роз? Было 6 белых роз Было 6 белых роз Сколько было красных роз? Красных роз было на три боль- Красных роз было на три ше, чем белых. меньше, чем белых. В данном случае необходимо обратить внимание учащихся на то, что «больше на» не всегда означает увеличение числа на несколько единиц. 6+3=9 (штук) 6-3=3 (штуки)

Для развития свойства переключения внимания обучающимся можно предложить выполнение корректурных заданий с чередованием обоснования «вычеркивания». Магазин продал в первый день 14 ящиков винограда, а во второй день - 18 таких же ящиков. Во второй день было продано на 32 кг винограда больше, чем в первый. Сколько килограммов винограда было продано в первый день и сколько во второй? (Используется сочетание индивидуальной и коллективной формы организации работы учащихся). - Найдите среди записей на доске те выражения, которые, исходя из условия задачи, имеют определенный смысл и те, которые не имеют: 32:18 32:14 18-14 32·(18-14) 32·18 32·14 18+14 32:(18-14) - Какие выражения можно стереть с доски? Почему? - Что обозначает каждое из оставшихся на доске выражений? - Можно ли сказать, что выражения 32:(18-14) – решение задачи? Почему? - Что надо сделать? Почему? - Сколько надо выполнить всего действий, чтобы найти ответ на вопрос задачи? - Какое из них определить труднее всего? Почему? 94

- Как вы думаете, сумеете ли вы самостоятельно определить, каким будет второе действие, если вам попадется похожая задача? 5. Устойчивость внимания Устойчивость внимания, как отмечает Р.С.Немов ([47], с. 204), проявляется в способности в течение длительного времени сохранять состояние внимания на каком-либо объекте, предмете деятельности, не отвлекаясь и не ослабляя внимания. Устойчивость внимания может определяться следующими причинами: а) связанными с индивидуальными физиологическими особенностями человека, в частности, со свойствами его нервной системы, общим состоянием организма в данный момент времени; б) характеризующими психические состояния (возбужденность, заторможенность и т.п.); в) соотносящиеся с мотивацией (наличием или отсутствием интереса к предмету деятельности, его значимостью для личности); г) связанные с внешними обстоятельствами осуществления деятельности. Развитие памяти В жизни и деятельности человека память имеет важное значение, так как познание действительности без участия памяти невозможно. Это обусловлено тем, что формирование любого навыка, умения немыслимо без закрепления в памяти отдельных способов действий и их направленности. Память, по определению Кузина В.С. ([36], с. 172), - это отражение прошлого опыта человека. Осмысленное запоминание основано на понимании содержания, сущности закрепляемого материала, на раскрытии смысловых, логических связей, которые существуют между его частями. Для облегчения понимания изучаемого материала и процесса его запоминания применяют ряд специальных приемов: I. Прием смысловой группировки материала. Данный прием предполагает: 1) разбиение на части запоминаемого материала; 2) выделение в каждой части наиболее главного и существенного; 95

3) установление взаимного расположения частей, составляющих целое; 4) соединение всех частей в единое целое. Таким образом, прием смысловой группировки материала определяет собой активную работу мысли на всех этапах запоминания. Это обусловлено тем, что в начале осмысливается основное, общее содержание. Затем детально анализируется весь материал, который делится в соответствии с результатами этого анализа на смысловые группы, части. Определяются основные мысли, главное содержание каждой части, каждой группы, на основе чего раскрывается сущность каждого звена материала. Далее устанавливается связь между выделенными частями и осознается их логическая последовательность. Использования данного приема возможно при запоминании текста задачи. Для этого необходимо, прежде всего, разбить текст задачи на части. Определить, правильно ли произведено разбиение простой задачи на части: 1) «Саша поймал утром 4 рыбки. А вечером еще 3. Сколько всего рыбок за день поймал Саша?» а) начало события - Саша поймал утром 4 рыбки; б) действие, которое произошло с некоторыми объектами - вечером Саша еще поймал 3 рыбки; в) конечный момент события – количество пойманных рыбок Сашей за день, которое требуется найти. 2) «На первом участке росло 16 кустов смородины, это на 2 куста больше, чем на втором участке. Сколько кустов смородины росло на втором участке?» а) часть текста, определяющая первое значение величины, – на первом участке росло 16 кустов смородины; б) часть текста, определяющая второе значение величины, – на втором участке росло на 2 куста смородины больше, чем на первом. в) требование задачи – сколько кустов смородины росло на втором участке? Для более эффективного использования приемов смысловой группировки необходимо: 1. Продумать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения; 96

2. Рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить; 3. Помогать детям словесно формулировать свои наблюдения с помощью наводящих вопросов, уточнять и корректировать те формулировки, которые они предлагают. Прочитайте задачи и скажите, какая задача «лишняя» и почему? а) Садовод продал 65 кг слив, и у него еще осталось 30 кг. На сколько килограммов слив больше он продал, чем осталось? б) В первый день садовод продал 75 кг слив, а во второй – на 12 кг меньше. Сколько всего килограммов слив продал садовод? в) Наташа купила в первый день 7 марок. А во второй – на 2 марки меньше. Сколько марок купила девочка за два дня? При выполнении такого рода заданий менее сильные ученики ориентируются на внешние признаки. Например, при ответе на первую серию задач они могут ответить, что в обеих задачах говориться о садоводе. А более сильные ученики могут установить сходство и различие между математическими объектами. Сравни решение трех задач и скажи, какая задача «лишняя». а) У Миши – 6 книг, а у Веры на 2 книги меньше. Сколько книг у Веры? б) Длина минутной стрелки настенных часов 9 см, а часовая стрелка на 2 см короче. Определи длину часовой стрелки. в) Максиму 8 лет. Сестра на 2 года старше его. Сколько лет сестре? Как надо изменить содержание «лишней» задачи, чтобы она соответствовала общему признаку? II. Прием схематизации. Под данным приемом подразумевается изображение или описание чего-либо в основных чертах. По данной логической схеме составьте текст задачи 3 ящика с яблоками

4 ящика с яблоками

2 ящика с грушами

3 ящика с грушами

?

? ?

97

III. Прием аналогии заключается в установлении сходства, подобия между явлениями, предметами, понятиями, образами. Используя данный прием, необходимо иметь в виду следующее: 1. Аналогия основывается на сравнении. Поэтому успех ее применения зависит от того, насколько обучающиеся умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними; 2. Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, а второй сравнивается с ним по каким-либо признакам. Отсюда применение приема аналогии способствует повторению изученного и систематизации знаний и умений. 3. Для организации школьников на использование аналогии необходимо в доступной форме разъяснить суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, изучив известный способ действий и данное новое задание. 4. Для правильного вывода по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации, на что необходимо сориентировать учащихся. В противном случае вывод может быть неверным. Составь задачу с аналогичной фабулой: «За 7 дней хозяйка израсходовала 6 кг картофеля. Сколько картофеля надо на 30 дней при той же норме расхода в день?» Составь задачу с другой фабулой, в основе которой будет аналогичная математическая модель: «Во дворе играли 5 девочек и 7 мальчиков. Для игры в волейбол они разделились поровну на две команды. Сколько детей было в каждой команде?» Некоторые умозаключения делаются по аналогии, в основе которой лежит предположение о сходстве двух объектов в определенных признаках. Однако любое суждение, выполненное по аналогии, требует проверки. Возможно ли использовать прием аналогии относительно предложенных групп сюжетных задач? 1) а. На сколько марок у Наташи больше, чем у Миши, если у Наташи их 40, а у Миши - 32? б. На сколько марок у Миши меньше, чем у Наташи, если у Наташи их 40, а у Миши - 32? 98

2) а. На сколько процентов перевыполнил норму токарь, если он сделал 40 изделий вместо положенных 32? б. На сколько процентов не выполнена норма токарем, если он сделал 32 изделия вместо положенных 40? Возможны следующие рассуждения: если 40 больше 32 на 25%, значит, и 32 меньше 40 на 25%. Необходимо разъяснить учащимся их ошибку. Разность, действительно, в обоих случаях одна и та же – 8. Но в первом случае мы ее относим к числу 32, принимаемому за 100%, а во втором случае – к числу 40, принимаемому за 100%. 8 от 40 составляет 20%. Итак, 40 больше 32 на 25%, в то время как 32 меньше 40 на 20%. Возможно ли использовать прием аналогии относительно предложенных сюжетных задач? а. Допустим, ежемесячный заработок увеличился на 30%. На сколько процентов возрастет покупательная способность? б. Пусть ежемесячный заработок изменен, но цены на товары снижены на 30%. На сколько процентов повысилась покупательная способность? Если же заработок остается неизменным, но понижаются цены на товары на 30%, то покупательная способность поднимается не на 30%, как многие думают, а больше. В самом деле, если, скажем, на 1 рубль можно купить 1 предмет стоимостью в 1 рубль, то после снижения его до 70 копеек. На 1 рубль можно купить

10 предмета, то есть на 7

3 предмета больше, а это примерно 43%. 7

IV. Прием ассоциаций. Кузин В.С. отмечает ([36], стр. 172), что образование и закрепление временных связей в коре головного мозга с последующим их оживлением (актуализацией) является физиологической основой памяти. Временные нервные связи, которые обычно называются ассоциациями, являются отражением реальных связей предметов и явлений действительности. Различают простые и сложные ассоциации. В свою очередь, простые ассоциации делятся на три вида ассоциаций: по смежности, по сходству, по контрасту.

99

Ассоциации по смежности проявляются во взаимосвязи объектов или явлений, находящихся рядом в пространстве или следующих по времени друг за другом. Запоминание и воспоминание одного из них ведет к воспоминанию и запоминанию других, расположенных рядом или следующих за первым. Чтобы решить третью задачу, необходимо установить связь между нею и первыми задачами, которые должны быть решены ранее: а) В школьной мастерской отремонтировали 40 парт, а столов - в 5 раз меньше, чем парт. Сколько всего отремонтировали парт и столов? б) В школьной мастерской за 3 дня отремонтировали все поломанные парты. За первый день отремонтировали 14 парт, за второй – на 3 меньше, чем в первый, а в третий - на 1 больше, чем в первый. Сколько всего отремонтировали парт? в) Перед учебным годом в школьную мастерскую поступили на ремонт столы и парты. В школьной мастерской за 3 дня отремонтировали все поломанные парты. За первый день отремонтировали 14 парт, за второй – на 3 меньше, чем в первый, а в третий на 1 больше, чем в первый. Столов было отремонтировано в 5 раз меньше, чем парт. Сколько всего отремонтировали парт и столов? Ассоциации по сходству проявляются в установлении связи между объектами или явлениями, имеющими сходство. Например, воспоминание одного из объектов вызывает в памяти другие, имеющие сходные черты. Прежде чем решить какую-либо задачу, ученик всегда старается вспомнить задачи, подобные данной. И только после этого приступает к решению. Предположим, были решены следующие задачи: а) Число школьников, успешно написавших контрольную работу, заключено в пределах от 96,8 до 97,2 % от общего числа школьников. Определите минимальное число школьников, которое может быть в классе. б) Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Какой процент свежих грибов? в) Сберкасса начисляет ежегодно 13 % от суммы вклада. Через сколько лет внесенная сумма удвоится? 100

После этого учащимся предлагается самостоятельно решить следующую задачу: «В заметке о конкурсе сказано, что процент талантливых детей, принявших участие в конкурсе, заключен в пределах от 95,6 до 97,3 % от общего числа школьников. Определите минимальное число школьников, которое может быть в классе». После прочтения данной задачи и установив сходство с первой, решенной задачей и, вспомнив ее решение, можно решить предложенную задачу. Ассоциация по контрасту проявляется в установлении связей между прямо противоположными предметами, явлениями. Воспоминание и запоминание одного из них ведет к воспоминанию и запоминанию другого, противоположного первому. Для использования данного вида ассоциации необходимо рассматривать пары задач, что бы выявить различия между ними и в дальнейшем использовать это при решении задач. Задачи, позволяющие выявить влияния слов «больше» и «меньше» на решение задачи. а) У Наташи есть 7 марок, что на 3 марки больше, чем у Насти. Сколько марок у Насти? б) У Наташи было 7 марок, что на 3 марки меньше, чем у Насти. Сколько марок у Насти? в) У Наташи 7 марок, а у Насти на 3 марки меньше, чем у Наташи. Сколько марок у Насти? Сложные ассоциации, как отмечает Кузин В.С ([36], стр. 172), представляют собой установление причинно-следственных связей, отражают наиболее важные, существенные связи между предметами и явлениями. Эффективность запоминания и сохранения в памяти какого-либо предмета, текста или явления зависит от особенностей их построения или организации, которые обычно выявляет человек в процессе запоминания. Именно организующая мыслительная деятельность и эмоциональные проявления, сопровождающие восприятие, лежат в основе запоминания материала и его последующего воспроизведения.

101

Развитие воображения Для воображения характерно то, что знание еще не оформилось в логическую категорию, тогда как своеобразное соотношение всеобщего и идентичного на чувственном опыте уже произведено. Благодаря этому в самом акте созерцания отдельный факт открывается в своем универсальном ракурсе, обнаруживая свой целостнообразующий по отношению к определенной ситуации смысл. Воображение не является ни произвольным наделением объекта любыми свойствами, ни простой комбинаторикой элементов прошлого опыта. Один из парадоксов воображения состоит в том, что предметное целое воспроизводится им с самого начала адекватно, фактически безошибочно. Ведущим механизмом воображения служит перенос какого либо свойства объекта. Воображение, по определению Кузина В.С. ([36], стр. 225), - это психический процесс создания нового в форме образа, представления или идеи. Воображение может быть: 1) Воссоздающим - это предполагает: 1) создание образа предмета по его описанию; 2) умение определять и изображать подразумеваемые состояния объектов, прямо не указанные в описании, но закономерно из них следующие; 3) умения понимать условность некоторых объектов, их свойств и состояний. Составь сюжетную задачу о продаже ткани двух видов, решение которой соответствовало бы числовому выражению (2 + 3) ⋅ 450 . Например: «В магазине для пошива бального платья купили ткань двух цветов: синей - 2 метра; голубой -3. Сколько заплатили за всю покупку, если цена ткани составляет 450 рублей за метр». Развитию воссоздающего воображения способствует применение схем, рисунков, само осознание текста задачи и мысленное представление ее содержания. Воссоздавая, человек наполняет знаковую систему имеющимися в его распоряжении знаниями. По логической схеме запишите условие задачи: 12 кг яблок в 1 ящике

3 ящика с яблоками

В 1 пакете 2 кг яблок

всего х кг яблок

Сколько пакетов надо, что бы расфасовать все яблоки?

102

Исследования психологов свидетельствуют, что качество воссоздания того, что заключено в знаковой системе, зависит от ряда причин: от характера и содержания исходной информации, суммы и качества знаний, установки (ее наличия или отсутствия) и т. д. По мере усвоения сведений об объектах и условиях их происхождения многие новые комбинации образов приобретают обоснования и логическую аргументацию. Стремление обучающихся указывать условия происхождения и построения каких-либо предметов – важная психологическая предпосылка развития у них творческого воображения. 2) Творческим - это предполагает создание новых образов, требующих отбора материалов, в соответствии с замыслом. Составьте сюжетную задачу, к которой могла бы подойти данная иллюстрация. Например: «Сережа за 30 минут прочитал 12 страниц книги. Сколько ему понадобится времени, что бы прочесть всю книгу, в которой 240 страниц, при условии, что он будет читать с той же скоростью?»

Составь задачу, решение которой соответствовало бы числовому выражению (2 + (2 + 1)) ⋅ 450 . Например: «К празднику Маша купила два пакетика конфет, а Наташа на один пакет больше, чем Маша. В каждом пакетике было по 450 г. Сколько граммов конфет купили девочки к празднику?» Творческое воображение (продуктивное) – создание нового, оригинального образа, идеи. В данном случае слово «новый» имеет субъективный смысл, то есть новое для данного человека, оно может повторять существующее, но об этом человек не знает. Он открывает это для себя как оригинальное, неповторимое и считает это неизвестным для других (аналогично с пониманием детского творчества). Создание образов воображения осуществляется с помощью следующих способов: 1. Способ агглютинации (лат. agglutinatio - склеивание), т. е. “склеивание” различных частей; слияние одного образа с другим, дополнение одного образа чертами другого. 103

Придумайте пару простых задач, в которых число, полученное в ответе на вопрос первой задачи, является одним из данных во второй задаче, например: а) У девочки было 3 кролика, а у мальчика на 2 кролика больше. Сколько кроликов у мальчика? б) У девочки было 3 кролика, а у мальчика 5 кроликов. Сколько было кроликов у них вместе? Из двух простых задач составьте одну составную. 1. Белка, запасая на зиму грибы, принесла в дупло 2 белых гриба и 4 подосиновика. Сколько всего грибов она принесла в дупло? 2. Белка припасла на зиму 6 грибов, 2 из которых съел, не дожидаясь зимы, прожорливый бельчонок. Сколько грибов осталось в дупле? Учителю необходимо рассмотреть с учащимися оба текста простых задач и установить, чем они похожи и в чем их отличие. Отметить, что ответ первой задачи выступает данным во второй задаче. Затем объединить оба сюжета в одном тексте, получая, таким образом, составную задачу. Составная задача: «Белка, запасая на зиму грибы, принесла в дупло 2 белых гриба и 4 подосиновика, 2 из которых съел, не дожидаясь зимы, прожорливый бельчонок. Сколько грибов осталось в дупле?» 2. Способ гиперболизации. Это чрезмерное увеличение или уменьшение характеристик элементов задачи. Данные в задачах взяты на сайте http://subscribe.ru/archive/rest.brain.pochem 1. Рост знаменитого библейского великана Голиафа, побеждённого Давидом, по некоторым данным, составлял 290 см. Впрочем, по другим источникам - всего 208 см. Документально зафиксированный рекорд роста принадлежит американцу Роберту Уодлоу, умершему в 1940 г. в возрасте 22 лет, - 272 см. Рекорд среди женщин - 247 см - поставила китаянка Сэн Чуньлинь, прожившая 17 лет и умершая в 1982 г. Во сколько рост дюймовочки отличается от роста «великанов» (1 дюйм равен примерно 25,4 мм)? 2. Самый поразительный случай нарушения гормонального обмена - это история жизни австрийца Адама Райнера (1899-1950). В возрасте 21 года он имел рост 118 см. С какого-то момента он начал 104

быстро расти и в последний год жизни вырос до 237 см. Быстрый рост так изнурил его, что он не мог подняться с постели. Это единственный в мире случай, когда один и тот же человек был и карликом, и великаном. На сколько увеличился рост Адама? 3. Способ схематизации. Немалую роль в воображении играет усмотрение существенного сходства между более или менее отличающимися друг от друга предметами или явлениями. В этом случае отдельные представления сливаются, а различия сглаживаются. Отчетливо прорабатываются основные черты сходства. Творческое воображение протекает как анализ и синтез накопленных человеком знаний, а следовательно, открытие на этой основе новых. При этом элементы, на основе которых строится новый образ, занимают иное положение, и место по сравнению с тем, которое они занимали ранее. Сравнить тексты задач. Чем они похожи? Чем они отличаются? Составьте новую задачу, которая бы сохранила существенное сходство с исходными задачами и отличалась бы от них выявленным признаком. а) 1. У Коли было 5 значков, у Пети 4. Сколько было значков у них вместе? 2. У Коли 5 значков, у Пети 4. На сколько значков у Коли больше, чем у Пети?. б) 1. Во дворе играли 2 мальчика, а девочек на 3 больше. Сколько девочек играло во дворе? 2. Вова нашел 7 грибов, а Денис нашел на 3 гриба больше. Сколько грибов нашел Денис? 3. На одной полке стояло 5 кружек, а на другой на 4 кружки больше. Сколько кружек стояло на второй полке? 4. Способ типизации. Для него характерно выделение существенного, повторяющегося в однородных в каком-то отношении фактах и воплощении их в конкретном образе. Придумайте задачи, похожие на эту, но с другим содержанием. Марина нарисовала тюльпаны. 4 тюльпана она раскрасила, а 5 тюльпанов ей еще осталось раскрасить. Сколько она нарисовала тюльпанов? 105

В зависимости от ряда факторов (что в задаче дано, что должно быть получено, какие условия при этом должны быть соблюдены?) процессы воображения несколько отличаются друг от друга. При этом они могут быть разделены на два типа: конвергентного и дивергентного воображения. Если задача предполагает один определенный («единственно правильный») ответ, то она стимулирует воображение конвергентного типа. Мальчик сделал для новогодней елки 3 звезды, а хлопушек в 2 раза больше. Сколько хлопушек сделал мальчик? Решение: 3 + 3 = 6 (хлопушек) Если же требуется предложить как можно больше однородных объектов, различных способов достижения цели – это воображение дивергентного типа. Купили игрушки: машинку за 5 рублей, барана за 3 рубля и ружье за 4 рубля. Сколько стоят все эти игрушки? 1-й способ 2-й способ 3-й способ 1) 5 + 3 = 8 (р.), 1) 5 + 4 = 9 (р.), 1) 3 + 4 = 7 (р.), 2) 8 + 4 = 12 (р.). 2) 9 + 3 = 12 (р.). 2) 7 + 5 = 12 (р.). Ответ: все эти игрушки стоят 12 рублей. 5. Способ акцентирования. В создаваемом образе какая-то часть, деталь выделяется, особо подчеркивается. Измените условие или вопрос задачи с недостающими данными так, чтобы можно было решить эту задачу. У Маши было 3 хомячка, а черепашек на 2 меньше. Сколько животных было у Маши? Продолжить задачу по заданному сюжету. «У Маши было две монеты: одна 10 руб., а другая 5 руб. Сколько рублей было у девочки?» – следует попросить детей продолжить самим. При этом можно указать им сюжет, сказав, что девочка что-то купила. После обсуждения нескольких предложенных детьми задач учитель выберет одну, наиболее удачную, и предложит детям записать ее решение. По данному вопросу составить задачу. «Сколько грибов у мальчиков?» Например, задача: «Сережа собрал 5 грибов, а Ваня на три больше. Сколько грибов у мальчиков?» 106

6. Способ аналогии. Приемом создания творческих образов также является аналогия. Ее сущность состоит в том, что строится образ, в чем-то похожий на реально существующий. Необходимо составить задачу, содержание которой отражало бы реальную ситуацию из жизни. Например, Тоня пошла в магазин и купила конфеты и печенье. Это заданный сюжет, по которому можно составить следующую задачу: «Тоня пошла в магазин и купила 2 кг печенья, 3 кг конфет. Сколько печенья и конфет купила Тоня?» Таким образом, с помощью приведенных выше заданий показано, как происходит развитие воображения учащихся при решении текстовых задач. Развитие мышления Мышление — процесс моделирования неслучайных отношений окружающего мира на основе аксиоматических положений. [54]. В современной психологии типологии мышления рассматриваются с различных позиций: Первый способ. Различают следующие виды мышления: словесно-логическое, наглядно-образное, наглядно-действенное. а. Словесно-логическое мышление характеризуется использованием понятий, логических конструкций и функционирует на базе языковых средств. б. Наглядно-образное мышление связано с представлением ситуаций и изменений в них. С его помощью наиболее полно воссоздается все многообразие различных фактических характеристик предмета. в. Наглядно-действенное мышление характеризуется тем, что решение задачи осуществляется с помощью реального, физического преобразования ситуации, опробования свойств объектов. Второй способ. Можно выделить два типа мышления – теоретический и практический. Основаниями этой типологии являются а) способы образования используемых в мышлении понятий (способы формирования средств мышления); б) предметы и в) задачи, на которые преимущественно направлены мышление и интересы человека а. Теоретическое мышление – вид мышления, основанный на выделении и анализе основного исходного противоречия исследуемой ситуации или решаемой задачи. Поиск средства разрешения противо107

речия приводит к формированию способа действия, последний позволяет решать целые классы задач. Теоретическое мышление основано на анализе внутренних характеристик изучаемых явлений, позволяет мысленно изменять объект исследования и тем самым наиболее полно изучить его, вскрыв внутренние характеристики и отношения. б. Практическое мышление предназначено для подготовки физического преобразования действительности: постановка цели, создание плана, проекта, схемы. При этом решение проблем осуществляется во внешней практической деятельности. В отличие от теоретического мышления здесь не ставится задача выработки новых методологических средств, которые можно переносить в принципиально иные ситуации. Третий способ. Относительно длительности отводимого времени и четкости в разграничении этапов различают следующие типы мышления: аналитическое и интуитивное. а. Аналитическое мышление развернуто во времени, имеет четко выраженные этапы, в значительной степени представлено в сознании самого мыслящего человека. б. Интуитивное мышление характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко выраженных этапов, является минимально осознанным. Четвертый способ. Относительно степени новизны получаемого в процессе мыслительной деятельности продукта по отношению к знаниям субъекта различают следующие типы мышления: продуктивное и репродуктивное. Мыслительная деятельность людей совершается при помощи мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации. Сравнение – это сопоставление предметов и явлений с целью найти сходство и различие между ними. Познание любого объекта и явления начинается с того, что мы его отличаем от всех других объектов и устанавливаем сходство его с родственными объектами. Получение правильного вывода в результате сравнения зависит от соблюдения ряда необходимых условий: 1) сравнивать следует только однородные понятия, которые отражают однородные объекты или явления действительности; 108

2) сравнивать предметы надо по таким признакам, которые имеют существенное значение. В процессе обучения часто используют понятие элементарного сравнения, под которым понимают сравнение одного объекта с какимнибудь другим по какому-либо одному свойству, удовлетворяющему требованиям сравнения, в структуре которого можно выделить следующие составляющие: - объект, который подвергают сравнению; - объект, с которым сравнивают первый объект; - основание сравнения – свойство, по которому сравнивают объекты; - вывод из сравнения. Использование сравнения возможно в следующих заданиях: Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Можно ли утверждать, что решения этих двух задач будут одинаковыми? а) Возле дома росло 7 яблонь и 3 вишни. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома? б) Возле дома росло 7 яблонь ,3 вишни и 2 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома? Сравни два текста и выяви их сходство и различие: а) Лена высушила 18 кленовых листьев, а дубовых в 3 раза меньше. У Лены было 6 сухих дубовых листа. б) Лена высушила 18 кленовых листьев, а дубовых в 3 раза меньше. Сколько дубовых листьев высушила Лена? При анализе данных текстов обучающиеся подмечают, что в одном и другом случаях описываются одинаковые ситуации. Но в первом известно, сколько кленовых и сколько дубовых листьев, а во втором неизвестно, сколько дубовых листьев высушила Лена. Сравни решения и выбери правильное: «У Сережи было 5 монет по 10 копеек. А у Володи одна монета в 50 копеек. Сколько было денег у мальчиков?» а) 10 . 5 + 50;

б) 10 . 5 – 50.

Статкевич В.В. ([64], стр. 128) указывает, что использование приема сравнения при решении группы сюжетных задач или выборе элементов содержания сюжетной задачи обеспечивает одновремен-

109

ное осмысленное усвоение двух противоположных понятий и помогает детям различать близкие и сходные между собой понятия. Чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить? Какую нет? Почему? а) На одном проводе сидели ласточки, а на другом - 7 воробьев. Сколько всего птиц сидело на проводах? б) На одном проводе сидело 9 ласточек, а на другом - 7 воробьев. Сколько всего птиц сидело на проводах? Выбери выражение, которое является решением задачи: «На велогонках стартовало 70 спортсменов. На 1 этапе с трассы сошли 4 велосипедиста, на 2 – 6. Сколько спортсменов пришло к финишу?» а) 6 + 4; б) 6 – 4; в) 70 – 6; г) 70 – 6 – 4; д) 70 – 4 – 6; е)70 – 4. На какие вопросы можно ответить, используя условие задачи: «От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, потом еще 4 дм». а) Сколько всего дециметров проволоки отрезали? б) На сколько дм меньше отрезали в первый раз, чем во второй? в) На сколько дм проволока стала короче? г) Сколько дециметров проволоки осталось? Подбери условия к данному вопросу и реши задачу: «Сколько всего детей занимается в студии?» а) В студии 30 детей, из них 16 мальчиков. б) В студии 8 мальчиков и 20 девочек. в) В студии 8 мальчиков, а девочек на 2 больше. г) В студии 8 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Выбери данные, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на поставленный в ней вопрос: «На аэродроме было 75 самолетов. Сколько самолетов осталось?» а) Утром прилетело 10 самолетов, а вечером 30. б) Улетело на 20 самолетов больше, чем было. в) Улетело сначала 30 самолетов, а потом 20. Что нужно изменить в текстах задач, чтобы выражение 9 – 6 было решением каждой? а) На двух скамейках сидели 6 девочек. На 1-ой – 9 девочек. Сколько девочек сидело на 2-ой скамейке? б) В саду росло 9 кустов красной смородины, а черной на 6 больше. Сколько кустов черной смородины в саду? 110

в) В гараже стояло 9 легковых машин и 6 грузовых. Сколько всего машин стояло в гараже? Познавательная ценность процесса сравнения заключается не только и не столько в установлении отношения тождества и различия между сравниваемыми объектами, сколько в характеристике одного из сравниваемых объектов относительно другого. Только благодаря этому обстоятельству сравнение из свойства психики отождествлять и различать внешние предметы превращается в логическое средство познания, которое обладает эвристической значимостью. Такое исследование носит эвристический характер на определенном этапе обучения, так как в его процессе сравнение может навести на некоторые закономерные свойства. Увидеть проявления этих сравниваемых закономерностей, момент зарождения гипотезы, ее развитие и обоснование – это значит реализовать эвристический поиск, в котором существенную эвристическую роль сыграло сравнение. Анализ – это мыслительное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нем отдельных частей, признаков и свойств. Анализ начинается с предварительного общего ознакомления с объектом исследования и затем переходит в более детальное анализирование. В процессе решения сюжетной задачи, по мнению Пойа Д. ([52], с. 90) можно выделить следующие его структурные компоненты: - В процессе анализа ребенок устанавливает предметную область задачи, все ее элементы, выявляет и устанавливает характер каждого элемента: является ли он постоянным или переменным, известным или неизвестным? - Далее ученик вычленяет из задачи все отношения, которыми связаны элементы предметной области, выясняет характер этих отношений. - Центральной частью анализа является установление оператора и требования задачи. Как правило, оператор задачи в ее условии непосредственно не указан или указан неполно, свернуто, и поэтому его полное выявление связано с некоторыми трудностями. В процессе обучения иногда возникает необходимость не только проанализировать какую-либо задачу или ее решение, но и выделить 111

для более углубленного изучения одну из частей ее содержания или один из этапов ее решения, отвлекаясь на время от всех остальных. Вычлени из предложенной составной сюжетной задачи простые и реши их: «На одной клумбе 15 цветов, а на другой в два раза больше. Сорвали с этих клумб 20 цветов. Сколько осталось цветов на клумбах?» На сколько задач можно разбить следующую сюжетную задачу: “На одной полке стояло 16 книг, а на другой в 2 раза больше. С этих полок убрали 22 книги. Сколько книг осталось на полках? Синтез – это мысленное соединение отдельных элементов, частей и признаков в единое целое. Анализ и синтез неразрывно связаны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания: анализируем мы всегда то, что синтетически целое, а синтезируем то, что аналитически расчленено. Из двух простых задач составьте одну сложную: 1) а. В магазине продавалось 48 кукол, а мягких игрушек в три раза меньше. Сколько мягких игрушек продавалось в магазине? б. В магазине продавалось 48 кукол и 16 мягких игрушек. Сколько всего кукол и мягких игрушек продавалось в магазине? 2) а. С одной пасеки собрали 36 кг меда, а с другой 27 кг. Сколько килограммов меда собрали с двух пасек? б. Собрали 63 кг меда, весь мед разлили в бидоны по 7 кг каждый. Сколько понадобилось бидонов? В мыслительной деятельности человека анализ и синтез всегда взаимообусловлены, ибо, с одной стороны, анализируется то, что включает в себя нечто общее, с другой стороны, синтез предполагает анализ, так как прежде чем объединить какие-либо части в единое целое, их необходимо получить в результате анализа. Из предложенных предложений составьте сюжетную задачу: «Сколько килограммов огурцов засолила хозяйка? В одном доме проживают 324 человека, а в другом на 151 человек меньше. Хозяйка засолила 6 банок огурцов по 5 кг в каждой банке. Хозяйка засолила 30 кг огурцов и 45 кг помидоров. Сколько килограммов овощей засолила хозяйка? Сколько человек проживает в другом доме?»

112

Абстракция – это мысленное выделение существенных свойств и признаков предметов или явлений при одновременном отвлечении от несущественных признаков и свойств. В процессе познания возникает необходимость не только проанализировать какой-либо объект, но и выделить для более углубленного его изучения какой-либо один признак, одно свойство, одну часть, отвлекаясь (абстрагируясь) на время от всех остальных, не принимая их во внимание. Запишите краткую запись и сделайте схематический рисунок к данной сюжетной задаче: «На одной полке 11 книг, а на другой 8 книг. Сколько всего книг на этих полках?» Краткая запись: На 1 полке – 11 книг ? На 2 полке – 8 книг Схематический рисунок к данной задаче: ?

Составьте задачи, в основе которых лежит аналогичная модель, например: 1. В хоре пели 11 мальчиков и 8 девочек. Сколько всего детей пело в хоре? 2. Саша нашел 11 белых грибов и 8 лисичек. Сколько всего грибов нашел Саша? 3. Вера нарисовала 11 красных роз и 8 желтых. Сколько всего роз нарисовала Вера? Выделенный в процессе абстрагирования признак предмета мыслится независимо от других признаков и становится самостоятельным объектом мышления. Обобщение – мысленное объединение предметов и явлений в группы по тем общим и существенным признакам, которые выделяются в процессе абстрагирования. В зависимости от направления хода мысли при обучении математике используются в основном два приема обобщения: 1) В первом случае обучающиеся сопоставляют заданные объекты, вычленяют и формулируют самостоятельно их общие, заранее неопределенные, существенные признаки, отвлекаясь (абстрагируясь) от несущественных и объединяют объекты по этим признакам (обобщают). 113

Установление сходства и различия между данными задачами: 1. В одной тарелке 5 яблок, а в другой 4 яблока. Сколько яблок в двух тарелках? 2. В одной вазе лежало 7 яблок, а в другой 3 яблока. Сколько яблок лежало в двух вазах? 3. На одной полке стояло 4 книги, а на другой 2 книги. Сколько книг стояло на двух полках? Чем похожи задачи? Составьте задачу, подобную данным. 1) На одной пристани было 5 кораблей, а на другой на 2 меньше. Сколько кораблей на другой пристани? 2) У Пети было 7 кубинских марок, а российских – на 2 меньше. Сколько российских марок у Пети? Какая задача лишняя? 1. На одной тарелке 9 пирожков, 2 пирожка съели. Сколько пирожков осталось на тарелке? 2. У Саши было 7 марок. 2 марки он подарил другу. Сколько марок осталось у Саши? 3. В одной вазе было 6 цветов, а в другой на 2 больше. Сколько цветов было во второй вазе? Разбей задачи на 2 группы: 1. У Оли было 7 кукол, а у Маши на 3 меньше. Сколько кукол у Маши? 2. В одной вазе 9 цветов, а в другой на 4 меньше. Сколько цветов во 2 вазе? 3. На одной клумбе росло 5 кустов роз, а на другой 3 куста. Сколько всего кустов роз росло на обеих клумбах? 4. На одной полке стояло 5 книг, а на другой 4. Сколько всего книг стояло на двух полках? 2) При втором приеме обучающиеся заранее знают, какие общие признаки надо выявить, поэтому из заданных объектов они выделяют те, которые обладают данными признаками, и объединяют выбранные объекты согласно им. Разбейте задачи на 2 группы, согласно арифметическому действию, лежащему в основе решения задачи: 1. У Кати было 3 яблока, а у Оли 5. Сколько всего яблок было у девочек? 2. В одной пачке лежало 5 фломастеров, а в другой 8. Сколько всего фломастеров лежало в двух пачках? 114

3. В пруду плавало 9 уток, 4 уплыли. Сколько осталось уток? В зависимости от организации процесса обобщения различают два типа – эмпирическое и теоретическое: 1. Эмпирическое обобщение предполагает получение знаний в результате индуктивных рассуждений (умозаключений). Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо: а) продумывать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения; б) рассматривать как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить; в) варьировать виды частных объектов, т.е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, примеры, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность; г) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения с помощью наводящих вопросов, уточнять и корректировать те формулировки, которые они предлагают. Сравните предложенные сюжетные задачи и выделите общую закономерность в них: 1. Ваня нашел 10 грибов, а Петя - 8. Сколько грибов нашли оба мальчика? 2. У Наташи было 8 марок. Она купила еще 2 марки. Сколько марок у нее стало? 3. Турист прошел пешком 20 км и проехал на автобусе 50 км. Какой путь проделал турист? Возможны следующие вопросы: 1. Сколько величин рассматривается в каждой из задач? 2. Сколькими значениями задана каждая из величин? 3. Если отвлечься от предметных особенностей данных задач, то по какой схеме они образованы? 4. По какой формуле они решаются? 2. Теоретическое обобщение осуществляется путем анализа данных о каком-либо одном объекте или ситуации с целью выявления существенных внутренних связей. Эти связи сразу фиксируются абстрактно (теоретически) и становятся той основой, на которой в дальнейшем выполняются частные (конкретные) действия.

115

В клетке сидели 5 серых и 3 белых кролика. Сколько кроликов сидело в клетке? В данной задаче рассматривается три значения одной величины (количество кроликов). Первые два значения известны, а третье – искомое. Если отвлечься от предметных особенностей данной задачи, то она образована по следующей схеме: «даны а и b. Сколько всего?». Подобные задачи решаются сложением: а + b. Эффективно вводить в качестве обобщения решение задач в общем виде с использованием букв для обозначения заданных и искомых величин после решения ряда задач с конкретными числами. Конкретизация – это мысленный переход от общего к единичному, которое соответствует этому общему. Она может выступать в двух формах: 1) как мысленный переход от общего к единичному, частному; 2) как восхождение от абстрактно-общего к конкретно-частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактнообщего: как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием. Решите задачу: «В первом классе а учеников, а во втором б учеников. Сколько всего учеников в двух классах?» при условии, что а = 20, б = 25, с = 45. В учебном процессе конкретизация имеет большое значение: она связывает наши теоретические знания с жизнью, с практикой и помогает правильно понять действительность. Отсутствие конкретизации приводит к формализму знаний, которые остаются голыми и бесполезными абстракциями, оторванными от жизни. 2.1.3. Воспитательная функция Воспитательная функция сюжетных задач направлена на формирование у школьников мировоззрения, познавательного интереса и навыков учебного труда, нравственных качеств личности человека. Воспитывающими факторами в процессе обучения решению сюжетных задач являются: содержание образования, система методов преподавания, характер общения учителя и школьников, психологический климат в классе, взаимодействие участников процесса обучения, стиль руководства учителем познавательной деятельностью учеников. 116

Приступая к решению сюжетной задачи, мы сначала знакомимся с ее фабулой, поэтому важно, чтобы содержание задачи вызывало живой интерес. Этого можно добиться только тогда, когда текст задачи обращен и к уму, и к эмоциям решающего, вызывая чувство причастности к решению тех или иных проблем, стоящих как перед каждым человеком в отдельности, так и перед всем обществом. При этом формирование и развитие познавательного интереса и воспитательное воздействие осуществляются не только через отраженный в содержании сюжет, но и непроизвольно, через подтекст, явно не отраженный в задаче. Содержание сюжетной задачи – это информационная система, в которой в заданной форме определены структурные элементы, связь между ними, а также известные и неизвестные элементы структурных объектов. В содержании отражены, во-первых, процессы и явления окружающей нас действительности, не связанные с деятельностью человека, и, во-вторых, общественное бытие, которое характеризуется формами общественных отношений и результатами деятельности человека. Для организации целенаправленной воспитательной работы в процессе обучения решению сюжетных задач можно использовать следующую типологию сюжетных задач по содержанию: 1. Задачи, содержание которых отражает процессы и явления, происходящие в природе и не связанные с деятельностью человека. 2. Задачи, содержание которых отражает общественное бытие, характеризующееся основными формами общественных отношений: - производственные; - политические; - общественно-правовые; - брачно-семейные; - коммуникативные; - религиозные. При построении учебного процесса с использованием сюжетных задач нельзя забывать слова Сухомлинского В.А. ([69], с. 32) о том, что «влияние слов будет эффективнее, если воспитанники не подумают, что вы решили что-то им рассказать специально для того, чтобы их воспитывать». 117

1.Задачи, содержание которых отражает процессы и явления, происходящие в природе и не связанные с деятельностью человека. Любому человеку присуще интуитивное стремление к близости с природой. Особенно дорога ему природа родного края. Известный писатель Василий Белов в книге «Лад» пишет: «Родная природа, как и родная мать, существует только в единственном числе: все чудеса и красоты мира не могут заменить какой-нибудь невзрачный пригорок с речной излучиной, где растет береза или верба». Живая и неживая природа живет и развивается по своим сложным законам, которые открываются нам в процессе познания. Одновременно с этим открываются и особенности красоты природы: прелести ее пейзажей, восходов и закатов, разных времен года, эстетическое в живом мире. Отношение к природе – это сплав знаний, чувств и действий. Это слитное образование, и сформировать его можно только усилиями всех учебных предметов. На занятиях по математике это осуществляется через сюжетные задачи, содержание которых отражает процессы и явления, происходящие в природе и не связанные с деятельностью человека. Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода? - Сколько часов в сутках? - В условии задачи дано 72 часа. Сколько это суток? - Какое время суток будет через 72часа? - Может ли быть солнечная погода ночью? Научные знания необходимо преподносить так, чтобы не нарушалась гармония эмоционального и интеллектуального восприятия окружающего нас мира. При подборе сюжетных задач мы должны стремиться к тому, чтобы избегать посредственности, серости и скуки. Например, можно использовать следующие задачи: Когда цапля стоит на одной ноге, то ее масса равна З кг. Какой будет масса цапли, если она встанет на две ноги? У пчелки глаз столько, сколько у тебя, да еще столько, да пол столько. Сколько глаз у пчелки? Человек неотделим от природы. И от того, каково будет отношение каждого из нас к окружающему нас миру, зависит и наше будущее. На занятиях по математике вопросы взаимодействия человека (обще118

ства) с природой находят отражение в прикладных задачах, используемых для раскрытия вопросов заботы и благоустройства среды обитания, рационального природоиспользования, восстановления и приумножения природных богатств. Лес площадью 1 га поглощает за один час 24 кг углекислого газа. Сколько углекислого газа переработает лес площадью 5 га за 4 часа? Небольшой хвойный лес отфильтровывает за год 35 т пыли, а такой же лиственный лес 70 т . Во сколько раз меньше пыли отфильтровывает за год хвойный лес, чем лиственный? Какие деревья лучше сажать в городе? Можжевельник в сутки выделяет 30 кг ароматных веществ (фитонцидов), убивающих бактерии, а береза – 2 кг. Во сколько раз больше фитонцидов в сутки выделяет можжевельник, чем береза? Один вяз за сезон (с мая по сентябрь) усваивает из воздуха 120 г сернистого газа, самого распространенного и ядовитого загрязнителя природы. Вяз живет 400 лет. Сколько сернистого газа уничтожает вяз за всю свою жизнь? Каждый житель Земли расходует в год количество бумаги, которое получается не менее чем из трех хвойных деревьев. Сколько хвойных деревьев в год необходимо вырубить для вашей семьи? Один гектар леса выделяет ежедневно 28 т кислорода, а вырубается каждый год 12 миллионов га леса. Сколько тонн кислорода недополучает Земля в год? Человеку в сутки необходимо около 17 кг чистого воздуха. Сколько килограммов чистого воздуха человек потребляет в год? Содержание подобных сюжетных задач позволяет передать детям умение видеть и ценить красоту природы, замечать в ней мир удивительного «творчества» и формировать у учащихся целостное представление о мире, о взаимосвязях, существующих в природе. Все, что осознано человеком, становится для него близким и дорогим, и он стремится узнать об этом как можно больше. 3. а) Задачи, содержание которых отражает общественное бытие, характеризующееся основными формами общественных отношений. - Производственные. 119

Реализовать мысль Макаренко А.С. [41], что «у нас каждому человеку предстоит в жизни обязательно участвовать в общем государственном хозяйстве, и чем лучше он будет подготовлен к этому делу, тем больше он принесет пользы и всему обществу, и самому себе», можно, используя сюжетные задачи, содержание которых отражает производственные отношения. Никто не будет спорить с тем, что труд, отвечающий общественным целям, облагораживает и одухотворяет жизнь человека. Однако надо не только знать, но и осознавать это. Каждый человек подсознательно концентрирует свое внимание на том, что он считает красивым, и старается осознать, в чем же заключается сущность этой красоты. В понятие «красота труда» входят понятия о красоте того, кто трудится, о красоте трудового процесса и о красоте продукта труда. Представление о целесообразности и гармонии труда в единстве со всем процессом создания продукта составляет важнейший аспект восприятия тружеником красоты создаваемой им вещи. Ясное представление цели своего труда как в отношении содержания и формы продукта, так и в отношении его дальнейшего использования делает трудовую деятельность подлинно человеческой. Уникальность и красота леса бесспорна. И все же нам приходится вырубать деревья для удовлетворения своих потребностей. Чтобы хоть немного уменьшить вырубку леса необходимо собирать макулатуру. Ученики первых классов собрали 250 кг макулатуры, вторых – на 40 кг меньше, чем учащиеся первых классов. Сколько килограмм макулатуры собрали учащиеся третьих классов, если всего было собрано 620 кг? - Каким делом занимались учащиеся начальной школы? - Почему они взялись за это дело? - Почему лес надо беречь? Другой существенной стороной красоты труда является его созидательный характер. Человеку свойственна потребность в реализации своих сил и возможностей. Материальный труд, прежде всего, является одной из форм такой реализации, в той или иной степени доступной каждому. Преимущества материального труда в этом плане ни с чем 120

не сравнимы, поскольку результаты его очевидны, осязаемы и приближены к нам во времени. В 1586 г. выдающийся мастер Андрей Чохов отлил знаменитую царь-пушку весом 40 т (2400 пудов), которая могла стрелять каменными ядрами весом в 50 раз меньше веса самой пушки. Какова масса каменного ядра? (Если вспомнить привычное изображение царь-пушки, то лафет и ядра чугунные. Они были отлиты в XIX в. как декоративные). Найдите диаметр и длину ствола царь-пушки, если известно, что диаметр в 6 раз меньше длины ствола, а сумма их величин равна 6 м 23 см. Разного рода труд требует от человека разной совокупности способностей и умений, почти нет видов труда, которые были бы ориентированы на их минимум, так как без усилий навряд ли можно добиться чего-либо в жизни. У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил: «Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24 коп». Три раза проходил лодырь мост, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько же денег было у лодыря? (Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. , [46], с. 28). Любой труд обращен к уму, сердцу, специальным навыкам человека и может быть усовершенствован им. В процессе творческого труда человек совершенствует и самого себя, добиваясь гармонии своих сил и способностей. Мастер за 8 часов расписал 32 ложки под хохлому, а ученик 9 ложек. С каждой расписанной ложкой производительность труда у ученика увеличивается на 0.05%. Сколько ложек надо расписать ученику, чтобы достичь производительности мастера. Очень тесно связано эстетическое наслаждение трудом с чувством коллективизма, участия в общем деле, что проявляется в осознании значимости общего дела, в чувстве единения с другими людьми, в постепенно возникающем удовольствии от слаженной, ритмичной и плодотворной работы вместе со всеми.

121

Четыре плотника у некоего гостя (купца) нанялись двор ставити. И говорит первый плотник так: «Только бы мне одному тот двор ставити, я бы его поставил един годом». А другой молвил: «Я бы поставил его в два года». А третий молвил: «Я бы его поставил в три года», а четвертый так рек: «Я бы его поставил в четыре года». Все те четыре плотника начали тот двор ставити вместе. Скольки долго они ставили, сочти. (Математические рукописи XVII в.) (Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. , [46] , с. 27). Работая в коллективе, каждый человек совершенствуется профессионально, ибо именно через общение мы воспринимаем опыт других людей. Сюжетные задачи, в содержании которых рассматриваются производственные отношения, позволяют без всяких нравоучений объяснить детям, что только своим собственным трудом можно добиться уважения окружающих тебя людей. Ведь навряд ли кто-нибудь хорошо будет отзываться о портном, испортившем костюм, или о пекаре, если хлеб, который он испек, невкусен. Не важно, в какой сфере деятельности занят тот или иной человек, главное - чтобы то, что он делает, приносило пользу и радость другим людям. А учеба - это тот же труд, результаты которого могут как радовать, так и огорчать. - Политические. Политические отношения в своей совокупности образуют политическую подсистему общества. В нее входит государство как основное звено, а также политические институты и организации, выполняющие определенные функции. В их числе политические партии, профсоюзы, молодежные и иные объединения граждан. На 13.06.01 зарегистрировано 9 депутатских объединений Государственной Думы. Из них фракций в 2 раза больше, чем депутатских групп. Сколько фракций зарегистрировано в Государственной Думе? Наименьшее количество депутатов во фракции Либеральнодемократической партии России (ЛДПР). Во фракции Единства – в 6 раз больше, чем в ЛДПР. Больше всего депутатов во фракции Коммунистической партии РФ. Их на три человека больше, чем во фракции Единство. Сколько депутатов в каждой партии, если всего в трех фракциях 185 человек? 122

Общественные классы и организации стремятся обеспечить свои интересы, используя государственные рычаги. На базе их коренных интересов формируются цели и определяются задачи, которые лежат в основе государственной политики, поэтому от их деятельности зависит условие жизни остальных людей. А так как чиновников, стоящих у власти, т.е. президента, губернаторов, депутатов и т. д. выбираем мы сами, то условия нашей жизни зависят от нас. С 18 лет каждый дееспособный гражданин нашей страны имеет право участвовать в голосовании. В выборах в Республиканский совет депутатов на избирательном участке № 9 приняло участие 997 человек. Из них 597 человек пожилого возраста, 302 – избиратели среднего возраста, а остальные юноши и девушки, достигшие восемнадцатилетнего возраста. Сколько юношей и девушек приняло участие в голосовании? Что можно сказать о количестве молодежи, принявшей участие в голосовании относительно количества избирателей среднего и пожилого возраста? Как вы думаете, почему сложилась такая ситуация? Чтобы дети лучше осознали сущность выборной системы, можно использовать в задачах данные, не только отвечающие нашему времени. Например, можно использовать следующую задачу Сем Ллойда ([59], с. 105) Вот простая, но любопытная головоломка, явившаяся следствием недавних выборов, где за четырех кандидатов было подано 5219 голосов. Победитель определил своих соперников соответственно на 22, 30 и 73 голоса, и все же ни один из претендентов не знал, как подсчитать точно число голосов, полученных каждым. Не смогли бы вы рекомендовать простое правило, позволяющее получить нужную информацию? - Общественно-правовые. Права человека – это естественные возможности индивида, обеспечивающие его жизнь, человеческое достоинство и свободу деятельности во всех сферах общественной жизни В России признана необходимость придерживаться в данной области общепризнанных международных стандартов, которые закреплены в следующих актах: Всеобщая декларация прав человека, принятая в 1948 г.; Европейская конвенция о защите прав и основных сво123

бод человека, которую приняли два года спустя; Международные пакты о гражданских, политических, экономических, социальных и культурных правах, принятых на 16 лет позже, чем Европейская конвенция. Подтверждением этому служит Декларация прав человека и гражданина, принятая на 35 лет позже, чем Международные пакты. В каком году она была принята? Особое место в системе законодательства занимает Конституция. В отличие от всех законодательных актов, Конституция имеет учредительный характер: ее нормы являются первичными. В Конституции РФ, вступившей в силу 23 февраля 1996 г., 9 глав, в которых 137 статей. В главах 1 и 5 («Основы конституционного строя» и «Федеральное собрание») одинаковое количество статей, причем их общее количество в 8 раз больше, чем количество статей в 9 главе («Конституционные поправки и пересмотр Конституции»). В 9 главе статей в 2 раза меньше, чем в 6 главе («Правительство РФ») и в 12 раз меньше, чем во 2 главе («Права и свободы человека и гражданина). В 7 и 8 главах («Судебная власть» и «Местное самоуправление») одинаковое количество статей, причем в каждой из них на 3 меньше, чем в 1 главе. В третьей главе («Федеральное устройство») на 1 статью меньше, а в 4 главе («Президент РФ») на 2 статьи меньше, чем в 1 главе. Сколько статей в каждой главе Конституции РФ? Право – это совокупность социальных норм и отношений, на страже которых стоит государство и входящие в него правоохранительные органы. Право не может существовать без особого аппарата, призванного принуждать людей к соблюдению установленных государством юридических норм. Однако право держится не только на принуждении и устрашении, но и на правосознании граждан. В последнее включается, во-первых, уровень знания людей о функционирующей в стране системе прав и, во-вторых, их отношение к этой системе. В целом правосознание определяется как совокупность представлений, взглядов, идей, эмоций, в которых выражается отношение социальных групп и человека к существующей системе права, законности, правосудию. Когда капитан Джон Смит, уважаемый и богатый гражданин, умер в Глочестере в 1803 году, оказалось, что весь свой нажитый на контрабанде и торговле рабами капитал он оставил 9 наследникам: 124

сыну, его жене и ребенку, а также дочери, ее мужу и ребенку, а также побочному сыну, у которого были жена и ребенок. Капитан указал в завещании, чтобы каждый муж получил больше своей жены, а каждая жена – больше своего ребенка. В каждом из этих шести случаев разность сумм должна быть одинаковой. Другими словами, сумма, которую получал каждый муж, превосходила сумму его жены на такую же величину, на какую сумма, полученная каждой женой, превосходила сумму, полученную ее ребенком. Все завещанные деньги были в однодолларовых купюрах. Каждый получил свою долю в пакете, содержащем запечатанные конверты, причем в каждом конверте было столько долларовых купюр, сколько конвертов находилось в пакете. В завещании также говорилось, что «Мери и Сара вместе получают столько же, сколько вместе получают Том и Билл, а Нед, Билл и Мери получают вместе на 299 долларов больше Хэнка. Учитывая денежные затруднения семейства Джонсов, они вместе получают на одну треть больше Браунсов» …исходя из данных, содержащихся в завещании, любители головоломок непременно определяет фамилию каждого наследника и сумму, которую он получил. (Сем Ллойда, [59], с. 105). -Брачно-семейные. Для ребенка семья – это прежде всего близкие ему люди, которые любят его и которых любит он. В этом случае неуместны какиелибо наставления, ибо ребенок воспринимает их через призму взаимоотношений, которые царят в семье, и наши самые лучшие побуждения могут иметь обратный эффект. В содержании задач можно отразить семейный уклад: традиции, обряды, взаимоотношения между родственниками и т.д. Рассказывают, что четверо мужчин отправились со своими возлюбленными на загородную прогулку, но неожиданно у них на пути оказалась река. У берега молодые люди обнаружили лодку, однако она вмещала только двоих. Посреди реки имеется небольшой островок. Все мужчины в компании были страшно ревнивы, и никто из них не соглашался, чтобы его будущая невеста хоть ненадолго осталась один на один с другим мужчиной (или мужчинами), если только его самого не будет рядом. 125

Никто из мужчин не должен был также садиться в лодку один, если какая-либо другая девушка, кроме его невесты, осталась на берегу или на острове. Это условие наводит на мысль, что девушкам тоже ревности было не занимать, и они явно опасались за своих возлюбленных. Ну, как бы там ни было, а задача состоит в том, чтобы найти самый быстрый способ переправить все четыре пары на другой берег реки. Как это сделать? (Cм Лойда, [59], c. 5]. Один старый денежный мешок сделал достоянием гласности, что он даст в приданое за каждой из своих дочерей столько золота, сколько весит она сама. Так что, в мгновение ока у каждой из девиц появился подходящий поклонник. Все дочери вышли замуж в один и тот же день, а прежде чем взвеситься, отведали очень тяжелого свадебного торта, отчего радостно забились сердца их суженых. Все вместе невесты весили 396 фунтов, однако Нелли весила на 10 фунтов больше, чем Китти, а Минни весила на 10 фунтов больше, чем Нелли. Один из женихов, Джен Браун, весил ровно столько же, сколько его невеста, тогда как Вильям Джонс весил в полтора, а Чарльз Робинсон – в два раза больше своих невест. Вместе женихи и невесты весили 1000 фунтов. Назовите имя и фамилию каждой из девушек после того, как они вышли замуж. (Сем Лойда, [59], с. 45). - Что вы можете сказать о взаимоотношениях между невестами и женихами? - Что вы думаете о браке по расчету? - Какие свадебные традиции или обычаи, связанные со свадебным обрядом, вы знаете? Во время недавней экспедиции к Северному полюсу один из членов группы попытался по пути умыкнуть на одном из островов невесту. Все местные жители спят там в мешках из медвежьих шкур, и существует обычай, согласно которому влюбленный парень должен пробраться ночью и утащить мешок с невестой. В данном случае влюбленному пришлось преодолеть изрядное расстояние, но он шел туда со скоростью 5 миль в час, а возвращался со своей ношей со скоростью 3 мили в час, затратив на все путешествие ровно 7 часов. Когда наш влюбленный открыл мешок, чтобы похвастаться перед товарищами своей добычей, то оказалось, что похитил … дедушку своей избранницы. 126

Эта история, без сомнения, сильно преувеличена, но не могли бы наши читатели сказать, какое расстояние преодолел незадачливый исследователь Арктики во время этого памятного путешествия? - Как вы думаете, существуют ли подобные обычаи в наше время? Если «да», то расскажите о них. (Сем Ллойда, [59], с. 230). У фермера Смита и его жены 15 детей родились с интервалом в один год. Покахонт, старший ребенок, считает, что она в 8 раз старше Капитана Джена – младшего, самого юного из детей. Сколько лет мисс Покахонт? (Сем Ллойда, [59], с. 162). Вот одна небольшая и довольно странная задача о родственных отношениях, которая имеет любопытный ответ. Дядя Ройбен навестил в большом городе свою сестру Мэри Энн. Гуляя вместе по одной из улиц, они подошли к скромному отелю. - Прежде, чем мы пойдем дальше, - сказал Ройбен своей сестре, - я должен заглянуть сюда, чтобы справиться о здоровье моего больного племянника, который живет в этом отеле. - Хорошо, - ответила Мери Энн, - поскольку у меня нет больного племянника, я сейчас пойду домой, а потом, после полудня, мы продолжим нашу прогулку. Каковы родственные отношения Мери Энн и загадочного племянника? [Сем Ллойда, [59], с. 35]. Мать для троих своих сыновей оставила утром тарелку слив, а сама ушла на работу. Первым проснулся старший из сыновей. Увидев на столе сливы, он съел третью часть слив и ушел. Вторым проснулся средний. Думая, что его братья еще не ели слив, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позднее всех встал младший. Увидев сливы, он решил, что его братья еще не ели их, а потому съел лишь третью часть лежавших на тарелке слив, после чего на тарелке осталось 8 слив. Сколько всего слив было вначале? (Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С., [46], с. 27). Задача № 31. Три брата собрали в саду некоторое количество слив и решили съесть их утром за завтраком. Брат, проснувшийся первым, сосчитал сливы, одну из них положил в карман, чтобы съесть ее потом, а третью часть оставшихся съел. Проснувшийся вторым, поступил точно так же: одну сливу положил в карман, а треть оставшихся слив съел. Точно так же поступил и третий из них. Потом, когда они 127

собрались вместе, оставшиеся сливы разделили между собой поровну, выбросив предварительно одну сливу, начавшую портиться. Какое наименьшее возможное число слив могли собрать братья? (Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. , [46], с. 27). Что можно сказать о взаимоотношениях братьев в данных задачах? - Коммуникативные. Вне общества человек существовать не может, однако он никогда не поглощался обществом. Развиваясь как общественное существо, человек в то же время индивидуализируется, приобретает относительную самостоятельность по отношению к социуму. Основой взаимоотношений между людьми является потребность в общении, это одна из главных человеческих потребностей, которая с развитием ребенка претерпевает глубокие изменения как по форме, так и по своему содержанию. Это обусловлено тем, что в процессе общения осуществляется не только взаимный обмен чувствами и мыслями, идеями и переживаниями, но и их формирование. Именно в общении, прямом или косвенном, непосредственном или опосредованном, мы усваиваем те духовные богатства, которые созданы другими людьми, приобщаемся к ним и вместе с тем привносим в них то, что уже успели осознать сами. В связи с этим возникает объективная возможность несовпадения интересов одного человека с интересами других людей и общества в целом. В поиске нужного решения человек мысленно перебирает различные варианты возможных действий, руководствуясь накопленным опытом. Чтобы выбор был сделан правильно, необходимы знания, позволяющие найти выход из той или иной ситуации. В приобретении подобных знаний могут помочь следующие задачи. Вот одно небольшое затруднение, которое в минуту разрешит хорошая хозяйка, но которое может поставить в тупик математика. Смит, Джонс и Браун были большими друзьями. После того как умерла жена Брауна, хозяйство стала вести его племянница. Смит, также овдовев, жил со своей дочерью. Когда Дженс женился, то они с женой предложили жить всем вместе. Каждый член этого нового коллектива (мужчина и женщина) должен был ежемесячно первого числа вносить по 25 долларов на расходы; оставшуюся же по истечении сумму они делили поровну. 128

В первый месяц расходы составили 92 доллара. После раздела остатка каждый получил по четному числу долларов. Сколько денег получил каждый из членов коллектива и почему? (Сем Ллойда, [59], с. 112). Компания отправилась на большой ежегодный пикник. В каждом экипаже находилось одинаковое число пассажиров. На полпути вышли из строя 10 экипажей, так что в каждый оставшийся экипаж пришлось пересесть по одному лишнему пассажиру. На обратном пути из строя вышло еще 15 экипажей; теперь в каждом экипаже ехало на 3 пассажира больше, чем их было, когда компания поутру тронулась в путь. Сколько человек участвовало в ежегодном пикнике? (Сем Ллойда, [59], с. 121). Бидди была очень чувствительна ко всему, что касалось ее возраста. В последние сорок лет на все вопросы, касающиеся срока ее пребывания на грешной земле, она неизменно отвечала следующими строками: Трижды семь и семью пять Ты к моим годам прибавь. Это так же превзойдет Шестью девять и четыре, Как превысит в этом мире Дважды сложенный мой год Два десятка в свой черед. Эти незатейливые стишки, без сомнения, говорили правду, когда Бидди прочитала их в первый раз. Но не могли бы вы сказать, сколько лет Бидди в настоящее время? (Сем Ллойда, [59], с. 156). Честный Джон любил повторять: Нет ничего, касающегося молока, чего бы я не знал. Но вот однажды он был поставлен в тупик двумя леди, которые попросили его налить им по две кварты молока в пяти- и четырехквартовые кастрюли. У Джона же были только два полных бидона молока по 10 галлонов в каждом. Каким образом ему все же удалось отлить каждой леди по две кварты молока? Следует заметить, что для того чтобы отлить нужные две кварты молока, пользуясь только двумя кастрюлями и двумя бидонами, не требуется ничего, кроме сообразительности. (Сем Ллойда, [59], с. 152).

129

Моя история касается одного случая, о котором рассказал Айк Рид, совладелец компании «Джонсон энд Рид», занимающийся сбытом лошадей. Во время своего последнего президентского срока генерал Грант, вернувшись с послеобеденной прогулки, рассказал полковнику Шедвигу, что по пути его обогнала коляска мясника, которая мчалась так быстро, что по сравнению с ней экипаж самого президента, казалось, стоял на месте. Генерал Грант хотел узнать, кому принадлежит лошадь и можно ли ее приобрести. Лошадь быстро нашли и купили у одного ничего не подозревавшего немца за половину той суммы, которую он мог бы получить, зная, что его покупателем является сам президент США. Лошадь была светлой масти и полюбилась Гранту, который нарек ее Батчер Бой. И вот несколько лет спустя после катастрофы на Уолл-стрите, расстроившей финансы семьи Грантов, Батчер Бой вместе с лошадью, которая ходила с ним в паре, были проданы с молотка компанией «Джонсон энд Рид» за 493,68 доллара. Мистер Рид сказал, что он мог бы получить за коня вдвое больше, если бы намекнул, кто был его владельцем, но Грант категорически запретил упоминать об этом. - Тем не менее, - сказал Рид, - вы получили 2% прибыли, ибо заработали 12% на Батчер Бое и 10% потеряли на второй лошади. - Я думаю, кто-нибудь сумеет это подсчитать, - ответил генерал; но его смех явно свидетельствовал о том, что он разбирается в цифрах. Я предлагаю любителям головоломок определить, сколько генерал Грант получил за каждую лошадь, если он на одной из них потерял 10%, на другой заработал 12 %, а на всей операции получил 2 %. (Сем Ллойда, [59], с. 153). - Национально-этнические Использование прикладных задач, содержание которых отражает национально-этнические отношения, способствует развитию у ребенка национального самосознания. Необходимо подобрать прикладные задачи таким образом, чтобы развитие национального самосознания народов как духовной основы их самоопределения, вело не к отчуждению и вражде, а к укреплению их диалектического единства. В октябре – декабре 1996 г. были проведены исследования проблем национальной школы в трех республиках региона – Адыгее, Кабардино-Балкарии и Карачаево-Черкесии. Исследование предпола130

гало анализ не только документальной базы школ, но и изучение общественного мнения учителей и родителей по проблемам национальной школы. Всего было опрошено 878 человек. Из них учащихся на 219 человек больше, а учителей на 79 человек меньше, чем родителей. Какое количество учащихся было опрошено? Все три субэтнические группы являются титульными для своих республик. По переписи 1989 г. кабардинцы насчитывали более 360 тыс. (48,9% населения республики), адыгейцы – 95,5 тыс. (22,1% населения республики), а черкесы – 40 тыс. (9,7% от населения республики). Сколько человек проживает в каждой из республик? Рассчитайте количество опрошенных учащихся, родителей и учителей по каждой республике отдельно, если известно, что квотная выборка была сделана с учетом пропорций этноса по республикам. Кабардинцы как субэтническая группа чувствуют себя более уверенно и защищенно, их сознание менее тяготеет к политизации. Данную позицию подтверждают ответы респондентов на вопрос об этническом единстве абазин, адыгейцев, кабардинцев, черкесов, шапсугов. Так, единство данных субэтнических групп осознается 55,6% опрошенных школьников кабардинцев, 64,3% - среди их родителей и 60% - среди учителей, в то время как по двум другим республикам эти показатели соответственно составили: 81,5%, 93,2% и 83,3%.Какое общее количество человек осознают единство данных субэтнических групп? Бережное отношение к своему прошлому, стремление органично вписать его в современность и тщательно продуманное его использование в процессе обучения не имеет ничего общего с самоизоляцией и с ущемлением прав других народов. Только тогда, когда будет осознание национальных особенностей друг друга и понимание, что все исторически обусловлено, мы будем более терпимы. И кто знает, может, те межнациональные конфликты, которые постоянно возникают в современной России, никогда не возникнут в будущем. Свое желание посещать дополнительные занятия в группе для углубленного изучения культуры своего народа выразили почти 70% учащихся по массиву (при этом для кабардинцев этот показатель меньше, чем для адыгейцев и черкесов – 66,5% и 77,3% соответственно). Какое количество учащихся в каждой республике выразили свое желание посещать дополнительные занятия? 131

По мнению родителей, основной поток этнокультурной информации передается детям семьей и ближайшими родственниками. На это указали 71,7% родителей в КБР, при этом третья часть из них обратила внимание на то, что, помимо родителей, к этому процессу причастны еще книги и телевидение; и только3,5% респондентов указали на роль школы. Примерно те же данные и по двум другим республикам: здесь 88,6% респондентов-родителей считают семейный круг основным средством трансляции экономической информации и только 4,6% опрошенных выделили функцию школы в этом соотношении. Определите количество респондентов, ответивших положительно на каждый из пунктов. Более трети опрошенных родителей в КБР и более половины опрошенных родителей в КЧР и РА считают необходимым ориентировать школы на углубленное изучение истории и культуры адыгского этноса. Какое количество родителей во всех трех республиках считают необходимым углубленное изучение истории и культуры адыгского этноса? - религиозные Как и любая форма общественного сознания, религия является одним из видов духовного воспроизводства действительности, включая и самого человека. Религия выполняет ряд функций: регулятивную, социальную и мировоззренческую. Регулятивное воздействие религии на сознание и поведение верующих осуществляется с помощью совокупности норм и ценностей, предписаний и запретов. Задачу о монахинях из монастыря Монте-Маладетта можно встретить почти во всех старых сборниках головоломок, но она очень примитивна. Я помню, что в свое время ее ответ просто разочаровал меня. Говорили об испанском происхождении этой головоломки, якобы она основана на историческом эпизоде. Недавно мне в руки попал сборник старых испанских сказаний, в одном из которых я нашел краткое упоминание о монастыре Монте-Маладетта, расположенном в горном массиве Пиренеев, носящем то же название. Речь там шла о захвате этой части страны французами, которые, в конце концов, были изгнаны.

132

Прямое отношение к головоломке имела, однако, та часть текста, где говорилось: «Многих монахинь франки увели с собой, видно, отсюда и пошла известная задача о монахинях монастыря Монте-Маладетта». Поскольку никаких письменных свидетельств о головоломке не сохранилось, а ее популярный вариант весьма сомнителен из-за двойственности решения, я беру на себя смелость представить ее в форме, сохраняющей дух задачи, но свободной от неоднозначности решения. Монастырь представлял собой квадратное трехэтажное здание с шестью окнами на каждой стороне верхних этажей. Ясно, что на каждом из верхних этажей было по 8 комнат, что вполне согласуется со старой историей. По преданию, верхние этажи использовались под кельи. В кельях самого верхнего этажа кроватей было больше, чем в кельях второго этажа, так что на нем и монахинь помещалось вдвое больше. Мать-настоятельница следила за тем, чтобы каждая келья непременно была занята. Причем, на третьем этаже должно жить вдвое больше монахинь, чем на втором, а в шести комнатах, выходящих на каждую из четырех сторон здания, их должно проживать ровно по 11. Задача относится только к двум верхним этажам, нижний этаж занимала трапезная. Ну, так вот, после отступления французских войск через ближайшее ущелье обнаружилось, что исчезло 9 самых молодых и хорошеньких монахинь. Очевидно, их во всех смыслах пленили французские солдаты. Однако дабы не огорчать случившимся мать-настоятельницу, монахини скрыли потерю, по-новому переселившись в своих кельях. Монахини умудрились расселиться таким образом, что во время своего ежевечернего обхода мать-настоятельница не заметила никаких изменений: все кельи были заняты, на каждой стороне проживало по 11 монахинь, и на третьем этаже монахинь было вдвое больше, чем на втором. И все же 9 монахинь отсутствовало! Сколько монахинь проживало в монастыре, и как они размещались по кельям? Изюминка задачи содержится в парадоксальных условиях, которым на первый взгляд удовлетворить невозможно. Тем не менее, головоломка вполне поддается решению. (Сем Ллойда, [59], с. 122). Под социальными функциями религии понимают различные способы ее действия в обществе.

133

В глубокой древности славяне устраивали ранней весной праздники, на которых происходило традиционное «кормление» многочисленных божеств и могущественных духов-предков. Им предлагали то, что имели сами хозяева: творог, яйца, копченый окорок и изделия из муки. Сколькими способами можно составить подношение, состоящее из трех видов продуктов? Из множества чистейших цветков лотоса третья часть была принесена в дар Шиве, пятая – Вишну, шестая часть – Солнцу. Одну четвертую часть всех цветков получил Бахвани, а оставшиеся шесть цветков были даны высокочтимому учителю. Скажи, сколько было цветков лотоса? (Индусская задача). (Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С., [46], с. 83). Используя тот факт, что каждый конкретный элемент той или иной культуры, каждый исторический факт воспринимается последующими поколениями по-своему, т. к. на их сознание воздействует иная социокультурная среда, можно добиться того, что математическое образование будет выполнять функцию не только трансляции знаний, но и, прежде всего, способствовать развитию творческого восприятия прошлого и настоящего. А это, в свою очередь, позволит создать у учащихся определенные ценностные установки, которые во многом определяют направленность человеческой деятельности. Таким образом, реализуется не только мировоззренческая, но и аксиологическая функция математического образования. От организации процесса обучения решению сюжетных задач зависит, насколько воспитательная функция будет реализована при формировании у обучающихся трудолюбия, усидчивости, внимательности, сосредоточенности и насколько она будет проявляться в формировании и развитии познавательного интереса. Достичь положительных результатов в развитии познавательного интереса можно лишь тогда, когда учащиеся всесторонне осмысливают изучаемый материал, когда усваиваемые выводы и обобщения являются результатом их собственных мыслительных усилий и положительных эмоциональных переживаний. Разумеется, добиться этого в одночасье нельзя, то есть этому предшествует постепенная, кропотливая работа, которая должна способствовать тому, чтобы занимательность возбудила любопытство, а любопытство перешло в любознательность и пробудило интерес к предмету. Бабанский Ю.К. [4] от134

мечает, что интерес во всех его видах и на всех этапах развития характеризуется, по крайней мере, тремя обязательными моментами: 1. Положительной эмоцией по отношению к деятельности; 2. Наличием познавательной стороны этой эмоции; 3. Наличием непосредственного мотива, идущего от самой деятельности. Из этой характеристики основных элементов познавательного интереса следует, что в процессе обучения важно обеспечить возникновение положительных эмоций по отношению к учебной деятельности, ее содержанию, формам и методам осуществления, то есть применить целую серию психологических приемов, которые Бабанский Ю.К. ([4]c. 83)называет психологическими эффектами возбуждения интереса к учебно-познавательной деятельности: 1. Эффект новизны содержания урока, тесной связи его с жизнью, с новейшими достижениями науки и техники; 2. Эффект занимательности, увлекательности содержания, форм и методов изложения темы, занимательные факты, опыты; 3. Эффект познавательного спора, конфликта во время усвоения учебного материала, столкновения мнений, разных точек зрения ученых на вопрос, мнения самих учеников и пр.; 4. Эффект удивления школьников парадоксальными опытами, столкновение житейских и научных представлений, неожиданность описываемых явлений. Такие ученые, как Шампова Т.И. [85], помимо этих эффектов, выделяет следующие: 5. Эффект художественности, яркости, эмоциональности речи учителя; 6. Эффект эмоционально-нравственных переживаний. Для того чтобы в полной мере реализовать в процессе обучения данную серию психологических приемов педагогики, необходимо максимально задействовать все возможности, которые предоставляет нам обучение решению сюжетных задач. 1. Использование задач, в содержании которых отражены интересы ученика, лежащие не только в русле учения. На первом этапе развития познавательного интереса, как подмечает Бабанский Ю.К. [4], неоценимое значение имеет опора на инте135

ресы ученика, не лежащие в русле учения, то есть на некоторые сильные стороны ученика в данный момент. а) Опыт показывает, что можно, опираясь на интересы школьников, через наглядно-художественные образы заинтересовать их содержанием сюжетной задачи и тем самым сподвигнуть их к разрешению данной задачи. Идеально сложенное человеческое тело, можно сказать, всецело построено на принципе золотого деления. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела придется как раз на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет этой пропорции мужская фигура, и художники давно знают, что, вопреки общему мнению, мужчины красивее сложены, нежели женщины. На любой античной статуе можно проверить этот своеобразный закон.

"Золотое сечение" - деление отрезка на две части таким образом, что большая его часть а относится к меньшей b так, как весь отрезок относится к а.

Используя приведенные рисунки, выясните, какие отношения отвечают «золотому сечению», а какие нет.

136

б) Если интересы школьников отражают литературнохудожественные образы, то есть в классе есть учащиеся, которые интересуются поэзией, причем не только ее изучением, но и сами пытаются писать стихи, можно предложить им в стихотворной форме изложить, или подобрать пройденный материал, используемый при обучении решению сюжетных задач или сочинить задание для своих одноклассников. Подобные поручения с успехом были опробированы Я.Ш. Герценштейном. Под его руководством, например, были написаны стихи «Нуль» М.Б.Шихманом в 1937 году и «Теорема Виета» Асей Гуревич в 1945 году. На основе сюжета одной из известных индийских задач можно написать, например, подобное стихотворение: На праздник в почтении к богам И на радость великому старцу Сплетен на зависть врагам Венок из цветов, уподобленных солнцу! Согласно легенд и завета, Венец тот один мог украсить Лотос - дитя благодатного лета. Одна треть того венца Для Шивы - бога и творца. В знак того, что Сурью почитая, Отводилась часть одна шестая. Чтоб у Вишны в немилость не впасть, Вплели цветов одну пятую часть. Бахвани в молитвах своих вознесли, И четвертую часть цветов принесли. В честь старца 6 цветов вплели И сей венок в храм мудрости внесли. Но сколько ж цветов в венок священный Вплели в тот день благословенный? Если же учащиеся не обладают поэтическим талантом, то они могут проявить себя в сочинении «рассказов» или «сказок», которые представляют собой систему сюжетных задач, составленных по содержанию какого-либо литературного произведения. «Сказки» или «рассказы», написанные учениками под руководством учителя, могут служить для создания и поддержания эмоционального настроения 137

учащимися на уроках. Они пробуждают интерес к эмоциональному материалу, помогают учащимся лучше осознать и запомнить его. Так как учащимся данная работа интересна, они относятся к ней добросовестно, проявляя чудеса изобретательности и творчества. И вследствие этого получают не только хорошие отметки, но и признание своих способностей со стороны учителя и одноклассников. А это, в свою очередь, вызывает желание учиться, развивать уровень своих способностей, приводит к стремлению участвовать в творческом процессе всего класса. В качестве примера можно привести сказку «Молодильные яблоки»: В некотором царстве, в некотором государстве жил царь, у которого было три сына: Иван, Федот и Петр. Состарился царь и задумал возвратить себе молодость. А молодость можно возвратить только при помощи молодильных яблок, которые росли в садах Кощея Бессмертного. 1. И сказал царь сыновьям, что дает им в дорогу три четверти от общего числа своих лошадей и три четверти одной лошади. Сколько лошадей получили братья? 2. Все три лошади съедают вместе 1/3 всего запаса братьев. Первая лошадь съедает 1/12 часть. Вторая - в 2 раза меньше. Сколько съедает третья? 3. И пошли братья куда глаза глядят, искать молодильные яблоки. Навстречу им Баба-Яга: «Знаю я дорогу в Кощеево царство: случалось ходить туда. Всего, что было, не помню, но шла я четыре дня и четыре ночи. Первый день и ночь – прямой дорогой на север. Так прошла я треть пути. Потом повернула на запад, пробиралась сутки лесом и прошла вдвое меньше. На третьи сутки шла лесом, уже на юг, вышла на ровную дорогу, ведущую на восток. Прошла по ней сутки 100 верст и попала в Кощеево царство. Вы ходоки такие же резвые, как и я. Глядишь, на пятые сутки будете в Кощеевом царстве». – Нет, – отвечает Иван-царевич, – если все так, как ты говоришь, то уже завтра мы будем в Кощеевом царстве. Прав ли он? Сколько верст прошла Баба-яга, и сколько намерены пройти братья?

138

4. И пошли они в Кощеево царство, которое населяло бесчисленное количество нечисти. Однако ко двору Кощея были допущены только самые мерзкие из них. И поинтересовались братья, сколько же их было? И ответил Кощей: «Если бы моих слуг было столько, сколько теперь, да полстолька, да четверть столько, да еще один из вас, тогда их будет ровно сто». Сколько слуг допущено ко двору Кощея? 5. Передав дары от отца, попросили они молодильное яблоко. – Что ж, – ответил Кощей, – дам я вам то, что вы просите. Однако сорвать его вы должны будете сами. Поблагодарив Кощея, братья спустились в сад, и увидели, что охраняет яблоню Змей Горыныч. Какова длина Змея Горыныча, если длина его была 40м и еще половина его длины? 6. Выхватив мечи, отрубили братья равное количество голов у Змея Горыныча. Сколько отрубили они голов, если к головам Змея Горыныча прибавить 5, отнять 7, результат разделить на 2 и умножить на 10, то получится 50? Сколько отрубил голов каждый из братьев? 7. И сорвал Иван молодильное яблоко. После этого отправились братья в свое царство, предполагая каждый день проходить треть всего пути и таким образом через три дня прийти домой. В первый день они прошли треть пути, во второй день они ошиблись в расчетах и прошли не треть пути, а треть остатка, на следующий день они сделали ту же ошибку. В результате им осталось пройти 52км. Сколько километров от Кощеева царства до дома? Великий пир устроил царь-отец по прибытию своих сыновей. И сказал тогда царь: «Вижу, что достойную смену вырастил я себе и могу спокойно передать царствование им. Поэтому молодильное яблоко я отдаю Всей Руси. Пусть будет она вечно молодой!» И в том, и другом случае это будет способствовать формированию умения воплощать в художественный образ свои мысли, чувства, переживания и применять имеющиеся знания, приводить примеры по изученной теме. Ученик не просто учится, а понимает, что его увлекает в процессе учебы, осознает необходимость научного познания. Увлеченность наукой становится чертой его личности.

139

Подобная деятельность является не только эффективным средством возбуждения увлеченности математикой, но и способствует расширению литературно-художественного кругозора учащихся. Тем самым осуществляется, пусть и скромный, вклад математики в решение общей воспитательной задачи подъема духовной, и, в частности, гуманитарной культуры детей. 2. Постановка задачи от лица литературного героя. К решению данной проблемы можно подойти иначе – при помощи включения в урок литературных героев. С одной стороны, это то, чем занимаются учащиеся на каждом уроке, с другой, данная деятельность преподносится в яркой и интересной форме, а следовательно, способствует повышению познавательной активности учащихся. (Гостиная в доме 221-б на Бейкер-стрит. Шерлок Холмс сидит за столиком, просматривая газету. Входит миссис Хадсон. На подносе у нее кофейник, чашечка для кофе и сахарница.) Миссис Хадсон: Ваш кофе, Холмс. (В это время входит Ватсон). Холмс: Что новенького в «Таймс», Ватсон? Ватсон: Холмс, то, что я вошел, вы могли услышать, но то, что у меня в руках «Таймс»?!! Холмс: Это элементарно, Ватсон. Мой новый дедуктивный метод позволяет мне видеть спиной. Ватсон: Да?!! Холмс, Вы конечно слышали про парапсихологию... Миссис Хадсон: Ватсон, он видит вас в отражении кофейника. (Все смеются). Холмс: Так, что же новенького в «Таймс»? Ватсон: Мистер Джемс М. Додд обвинил мистера Стрекера в мошенничестве. По-видимому, назревает скандал. Холмс: В чем дело? Ватсон: Мистер Стрекер предложил мистеру Долду удвоить его выигрыш, разумеется, за определенное вознаграждение, а именно 8 шиллингов. Для этого мистер Додд должен сыграть в рулетку, поставив на то число, которое ему укажет мистер Стрекер. Через три подобных сеанса у мистера Додда не осталось даже цента. Но скандал, разумеется, разгорелся не из-за денег, а из-за того, что они оба обвинили друг друга во лжи, что для истинного джентльмена весьма оскорби140

тельно. Мистер Додд утверждает, что у него было 15 шиллингов; а Мистер Стрекер - что у мистера Додда не было и 5 шиллингов. Холмс: Они оба говорят неправду. Ватсон: Как? Хотелось бы отметить, что прежде чем новая информация будет усвоена, она должна найти свое место в памяти учащегося. В процессе восприятия поступающие сведения связываются и согласовываются с уже имеющимся запасом знаний. И если поступившая информация не противоречит старым представлениям и не повторяет их, она укладывается в памяти как новое знание. Это происходит автоматически на уровне ассоциативного мышления. Поэтому целесообразно, чтобы Ватсон представил два способа решения этой задачи: вопервых, арифметический, отождествляющийся со «старыми» знаниями, и, во-вторых, алгебраический, который для учащихся будет ассоциироваться с «новыми» знаниями. Подобный подход позволяет формировать опыт альтернативного мышления, основанного на собственном, постоянно действующем алгоритме восприятия новой информации. В этом случае мы можем говорить об обновлении уже усвоенных знаний как о стимуле познавательного интереса. Холмс: Это элементарно, Ватсон. I способ. Если приступить к решению данной задачи с конца, приняв во внимание, что после третьего сеанса игры у мистера Додда оказалось ровно 8 шиллингов, которые он должен был отдать, то выходит, что перед последней игрой у него было 4 шиллинга. Но эти 4 шиллинга у него получились после того, как он отдал 8 шиллингов; значит, у него было 12 шиллингов. Следовательно, вторую игру он начал с 6 шиллингами, и эти 6 шиллингов у него получились после того, как он в первый раз сыграл в рулетку и отдал 8 шиллингов. Выходит, всего после первой игры у него было 14 шиллингов. Отсюда ясно, что перед тем, как первый раз сыграть, мистер Додд имел 7 шиллингов. II способ. Однако, Ватсон, эту задачу можно решить и другим способом. Для этого нам понадобится построить знаковую математическую модель данной реальной ситуации.

141

Пусть Х шиллингов – сумма денег, которая была у мистера Додда, тогда после первой игры у него будет – 2 x − 8 , после второй игры –

(

2x − 8 ) ⋅ 2 − 8 ,

после третьей игры – (( 2 x − 8) ⋅ 2 − 8) ⋅ 2 − 8 . И если учесть, что после третьей игры у него ничего не осталось,

то получим уравнение: (( 2 x − 8) ⋅ 2 − 8) ⋅ 2 − 8 = 0 .

Это уравнение – математическая модель в данной ситуации. Решением данного уравнения будет: x = 7 . Итак, у мистера Додда было 7 шиллингов. Ватсон: Это еще раз подтверждает, что на чужой совет надо иметь еще и свой ум. Холмс: Вы хотели сказать, Ватсон, что не только ум, но и знание математики. Ватсон: Неужто это так просто? Холмс: Не хочу вас разочаровывать, но это именно так. Все сводится к решению линейного уравнения. Причем подобные ситуации можно встретить на каждом шагу. Ватсон: В таком случае, Холмс, приведите еще хотя бы один пример. Холмс: Ну! Это может сделать даже миссис Хадсон. Миссис Хадсон: Ватсон, скажите, если бы к вашей с Холмсом оплате за проживание прибавить еще столько же, то я имела бы 24 шиллинга. Так вот, сколько вы мне должны заплатить за неделю, если учесть, что вы с Холмсом платите одинаково? Ватсон: Сколько? Для решения данной задачи можно использовать метод У.У.Сойера, который включает в себя четыре стадии: слова, рисунки, упрощение, стенографию. В процессе подобного решения учащиеся производят вычисления без помощи каких-либо правил, руководствуясь только собственным мышлением. Миссис Хадсон: Ватсон, представим ту сумму, которую вы должны заплатить, как некоторое количество монет в мешочке.

142

Схема решения задачи методом У.У.Сойера Слова

Рисунки

Упрощения

Стенография

Сумма, которую должен заплатить Ватсон

х

Сумма, которую должен заплатить Холмс

х

Сумма, которую должны заплатить Холмс и Ватсон за неделю Если к оплате Холмса и Ватсона прибавить еще столько же, то получится 24

Сумма, которую должен заплатить Ватсон

2

4

2х

=24 =6

4х=24

х=6

Использование подобного метода решения задач, на наш взгляд, способствует развитию способности абстрагирования, обобщения, рациональности мышления и развитию логического мышления. Итак, Ватсон, вы должны за эту неделю 6 шиллингов. (В комнату влетает Лестрейд.) Миссис Хадсон: Холмс, к вам инспектор. Лестрейд: Здравствуйте. Ватсон: Здравствуйте, Лестрейд. Как я вижу, вы в прекрасном настроении. Лестрейд: Да! Сегодня я подводил итоги и мне удалось поставить на место этого выскочку Тобиаса Грегсона. Лично мною было раскрыто 98 довольно запутанных преступлений. Холмс: И каких же?

143

Лестрейд: Из них 2 связаны с именем Мориарти, 12 убийств и... Черт, забыл. Помню только, краж было в 3 раза больше, чем преступлений, связанных с мошенничеством. Но сколько их было, не помню. Ватсон: Не отчаивайтесь, Лестрейд. Думаю, что Холмс вычислит недостающие числа. Холмс: Обозначим за х преступления, связанные с мошенничеством. Тогда краж - 8 x . Получим уравнение: x + 8 x + 2 + 12 = 98 , решением которого будет: x = 21 . В результате получили 21 преступление, связанных с мошенничеством, и 63 кражи. Лестрейд: Да, это я и хотел сказать. А помните, как я ловко раскусил этого мистера Кручини - предсказателя судеб) Холмс: Да… Хотя один из его трюков достоин внимания. Все: Что? Холмс: Задумайте число, прибавьте к нему 5, от результата отнимите 2 и прибавьте 7. Скажите Ваш результат. (отгадав несколько чисел, Холмс объясняет принцип решения) Пусть x - задуманное Вами число, тогда получим уравнение:

(( x + 5) − 2 + 7 = x + 10 . От полученного вами результата необходимо отнять число 10, чтобы получить задуманное число. Если все предложенные задачи были решены несколькими способами, то необходимо в конце занятий при помощи серии вопросов подвести учащихся к тому факту, что нет четкого разграничения между арифметикой и алгеброй. Как подтверждение этому, можно привести слова В.Ф.Кагана, которые были написаны им в сочинении «Что такое алгебра?» (Одесса, 1910): «Математика, вся вообще, представляет собой одно неразрывное целое, различные части которого многообразны, с различных сторон связаны одна с другой. Точно разграничить здесь невозможно; в частности, нельзя провести демаркационной линии, которая совершенно строго отделяла бы алгебру от арифметики…». 3. Использование дидактических игр. При обучении решению задач необходимо использовать такую деятельность, которая бы способствовала сближению детей, раскрытию их внутреннего мира, приближению к знаниям не только через ра144

зум, а через чувства и эмоции, так как в зависимости от того, вызывает учебная деятельность эмоционально-нравственные переживания у обучающегося или нет, зависит работа его памяти. Если предмет учения вызывает у ребенка положительные эмоции и основанный на них познавательный интерес, то запоминание происходит как бы само собой, без особых усилий, а все то, что не затрагивает чувств, быстро забывается. Только там, где рациональное и эмоциональное, где разум и чувства образуют единое целое, осуществляется научное понимание жизни. Без игры нет детской жизни, и именно игра больше, чем какаялибо другая деятельность, способствует развитию творческих способностей ребенка. Это обусловлено тем, что эмоциональный подъем увеличивает физические возможности, и в результате этого ученик справляется с трудностями, с которыми в другом состоянии он бы не справился или не захотел справиться. Иначе говоря, придавая учению форму игры, дети легче преодолевают трудности, облегчают себе то волевое усилие, которое необходимо для владения материалом, для приготовления уроков. Игровые элементы, вводимые в урок, оживляют процесс осмысления материала, делая его более занимательным, интересным, вызывают стремление проявить догадку, отправляют школьника в поиск правильного ответа. Приведем в качестве примера следующую игру на разгадывание математических «фокусов». Учитель предлагает одному из учащихся номер дома, в котором он живет, умножить на 4, к результату прибавить 7, полученное число умножить на 25, прибавить к полученному произведению его возраст (целое число лет) и число 125. После того как ученик произносит полученное число, учитель называет номер дома, в котором живет ученик, и сколько ему лет. Остальным учащимся предлагается подумать над тем, как учителю это удалось. В процессе выполнения подобных заданий эмоциональное напряжение обучающихся может меняться от неуверенности, досады изза ряда неудачных проб до радости от успеха. И даже самая скромная «победа» ребенка способствует развитию у него веры в свои силы и интереса к творческим упражнениям. Воспитание данных свойств ха145

рактера очень важно, так как именно на их основе развивается творчество, стремление к научному познанию и, наконец, познавательный интерес как свойство личности. В игровой деятельности обучающихся отражается опыт и культура, потребности и мотивы каждого, поэтому в процессе игры появляется возможность индивидуально-целеноправленного воздействия на каждого ребенка путем постепенного усложнения социальнонравственного содержания игр и их организации. При этом необходимо учитывать, что разнообразие математических теорий и их приложений требует от ребенка способностей разного характера. Например, уметь сохранить свою точку зрения, отстаивать свою позицию, свое понимание путей, ведущих к решению проблемы. Это существенный фактор формирования индивидуально неповторимой личности и подлинно творческого человека. Чтобы обнаружить, какие именно способности учащихся и на каком уровне развития они находятся, необходимо в процессе обучения использовать самые разнообразные игры, например: КВН, математический бой, деловые игры, разного вида викторины, «волейбол», «хоккей». В качестве примера можно предложить методическую разработку игры «звездные войны»: Перед началом урока класс разбивают на три группы. Можно это сделать по рядам или, если учащихся в классе мало, посадить каждую группу вокруг одного стола. Внимание всех экипажей! К вам обращается ЦУП. Сегодня мы проводим боевые учения. В распоряжении каждого экипажа находятся 6 истребителей. Тот экипаж, который быстрее справится с заданием, уничтожает у противника по 1-му истребителю. Разумеется, выигрывает тот экипаж, который к концу учений сохранит превосходство в боевой технике. В качестве наблюдателей к вам направляются сотрудники ЦУП. Первый экипаж – полковник Дениэл Абинер. Второй экипаж – генерал-полковник Джон Питер Гордон. Третий экипаж – генерал майор Уорен Блонден. В качестве «наблюдателей» можно привлечь как учащихся этого же класса, так и учащихся старших классов. Заранее наблюдатели должны быть ознакомлены с заданием и его решением. Как только у 146

одной из команд появляется правильный ответ, «наблюдатель» сообщает о прекращении «боевой операции», после чего представитель выигравшего экипажа выходит к доске и объясняет решение для всего класса. 1. Внимание! Внимание всем! На станцию поступило сообщение – в квадрате 215 обнаружены корабли противника. Их численность составляет 3/4 от общего количества и еще три фланговых корабля. Каково число истребителей противника? 2. Всем экипажам полная боевая готовность! Произвести срочный вылет истребителей навстречу противнику. Через какое время встретятся истребители, если известно, что данное расстояние наши истребители пролетают за 7 часов, а истребители враждебной стороны за 8 часов? 3. Для того чтобы пройти через данный лабиринт, вам необходимо найти код. Послушайте внимательно, как это сделать. Лабиринт имеет один единственный правильный путь. Вам необходимо его найти. На каждом пути лабиринта встречаются цифры. Их необходимо выписать. Следовательно, ваш путь будет состоять из цепочки цифр, например, 1, 6, 7, 3 и т.д. После этого вам необходимо будет решить примеры под номерами 1, 6, 7, 3, и т.д. И если вы сложите ответы решенных вами примеров, то получите необходимый вам код. Примеры: 1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

11. 12. 13. 14. 15. 16.

147

Схема лабиринта 4. Сколько произведено выстрелов каждым экипажем, если из9

12

16

11

8

15

2

5 4

6

13

10

14 7

1 3

вестно, что произведено всего 360 выстрелов? Второй экипаж произвел выстрелов в 2 раза больше, чем первый, а третий – в 3 раза больше, чем первый. 5. За сколько минут все три экипажа справятся с противником, если известно, что первый экипаж справился с заданием за 1 час, второй – за 2 часа, третий – за 3 часа? В конце урока подводится итог. Победившему экипажу можно поставить оценки – «отлично». Далее ставится акцент на те темы, которые были повторены, выясняется, что вызвало затруднение и что необходимо повторить. 4. Создание проблемных ситуаций Неоспоримым фактом является то, что воспитательная работа дает наибольший эффект тогда, когда учащиеся не замечают, что их воспитывают. На основе этого принципа построено практически все проблемное обучение. Для создания проблемных ситуаций мало сформулировать проблему, надо, чтобы эта проблема заинтересовала ученика и возбудила потребность к ее решению. Разумеется, главным в создании интереса должна быть математическая сторона дела, однако нельзя забывать, что надлежащее словесное оформление играет немаловажную роль. Поэтому использование в прикладной направленности математики в данном случае, как в никаком другом, будет оправдана. На уроках для создания проблемной ситуации можно использовать следующие задачи или аналогичные им. 148

Древние римляне ничего (или почти ничего) не сделали для развития математических наук. Они более известны в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из дошедших до нас задач. Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 32 оставленного имущества, а 31 -матери. В случае же рождения дочери она должна получить

1 , а мать - 32 имущества. Вдова завещателя родила близнецов, 3

мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы выполнить условия завещания? Старик-араб, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний - треть и младший – девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как быть, братья обратились к шейху. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как это он сделал? Использование прикладной направленности не должно ограничиваться только словесным оформлением. Во-первых, оно должно пронизывать весь ход решения данной проблемы, так как любое творческое решение означает преодоление противоречий. Причем речь идет не только об общем противоречии, состоящем в том, что решение требует знаний, которыми ученик еще не располагает, а о противоречии в содержании знаний, которые вначале кажутся совершенно несовместимыми. Во-вторых, отражать реально-исторический подход, ибо привлечение исторического материала для поиска решения проблемы дает знание реальных путей выхода из подобных ситуаций, позволяет раскрыть перед учащимися диалектический путь развития математики как науки. Все это в совокупности позволяет простому любопытству перерасти в познавательную активность.

149

5. Использование сюжетных задач, демонстрирующих возможности математики при изучении окружающей действительности. Факты, сущность которых необходимо объяснить обучающимся, не всегда могут быть восприняты в классе, поэтому необходима их демонстрация в реально окружающей нас действительности. Это связано с самой сущностью ребенка, ибо «для детского ума, как и для ума первобытного человека, близко и конкретно то, что может быть немедленно пущено в ход для удовлетворения жизненных потребностей. По времени мы прежде всего действующие, а не познающие существа». ([50]. 83). Следовательно, для ребенка наиболее близки и понятны те знания, которыми он может апеллировать в своей деятельности. Только расширяя его жизненный кругозор, можно рассчитывать на то, что он поймет и оценит роль абстракции в процессе познания. С этой точки зрения уроки-экскурсии приносят неоценимый вклад в развитие познавательного интереса, однако прежде чем ее организовать, необходимо провести подготовительную работу, которая помогла бы разобраться учащимся в рассматриваемом явлении. Начать изучение можно с исторического аспекта. В XIV в. любую одежду называли порты, а мастеров, шивших эту одежду — портными. После XVI в. портных, в зависимости от того, какую одежду они шили, именовали по-разному — сарафанниками, кафтанниками, шубниками, шапочниками и т.д. В 1638 г. в Москве работало на 14 кафтанников меньше, чем шубников. Сермяжников — в 2 раза больше, чем кафтанников. Сколько мастеров каждой из перечисленных профессий работало в Москве в 1638 г., если известно, что шубников было на 9 больше, чем сермяжников. Представление о том, что средний московский обыватель не мог себе позволить дорогой и красивой одежды, не совсем верно. Заработки квалифицированных мастеров позволяли им приобретать праздничные наряды красивого кроя и немалой стоимости. Носили их десятки лет (мода не так часто менялась), передавая из поколения в поколение. Сохранилась запись 1686 г. о вызове в суд Кадашевца Киричени Поруцкого, обокравшего семью Сеньки Карташева. Мы можем судить о благосостоянии мастера С.М.Карташева по списку украденного в его доме. В частности, здесь фигурирует “шуба теплая, по лисе крыта сук150

ном кармазинным с пуговицы серебряные, кругом опушена пухом бобровым”, “полукафтанье камчатое красное пуговицы серебряные золоченые...” В кармане Сенькиной шубы было 511 золотых, 30 золотников жемчугу, да перстень золотой с яхонтом”. Пропавшее у Сеньки полукафтанье стоило на 15 руб. дешевле шубы, а перстень — на 12 руб. меньше полукафтанья. Сколько стоила каждая пропавшая вещь, если шуба и полукафтанье стоили на 27 руб. дороже перстня. У матери Семена пропала “шуба шерстяная холодная рудожелтая, пуговицы серебряные ...”, “шуба теплая киндячная на заступах с пухом бобровым ...”, да “треух теплый камчатый зеленый, подбитый соболем” ...” Пропавшая теплая шуба стоила на 5 руб. дешевле “холодной” шубы, а цена треуха составляла 0,5 стоимости холодной шубы. Сколько стоила каждая вещь, если теплая шуба стоила на 10 руб. дешевле двух остальных вещей? Непривычно много среди имущества головных уборов. Объясняется это тем, что ходить с непокрытой головой считалось неприличным. Мужчины дома носили маленькую шапочку наподобие тюбетейки, поверх которой на улице надевали шапку. Замужние женщины ни дома, ни вне его без головного убора не показывались. До сих пор существует слово “опростоволоситься” — попасть в неудобное положение. Среди украшений жены были: “Кокошник жемчужный атласный красный”, “подзатыльник жемчужен на банберене”, который прикрывал уложенные на затылке волосы. Украденные кокошник и подзатыльник стоили одинаково, из пяти перстней каждый стоил на 22 руб. дешевле кокошника, а сережки стоили 0,5 от стоимости всех перстней. Сколько стоил кокошник, если 5 перстней и сережки стоили на 11 руб. дороже кокошника и подзатыльника? После рассмотрения исторических данных, лежащих в основе материала, изучаемого в процессе экскурсии, необходимо переключиться на современные данные, которые непосредственно могут пригодиться в жизни каждого человека.

151

Используя материал сайта «Ателье на Ленинском» [http://poshiv.by.ru/about.html], можно подготовить детей к использованию полученных математических знаний на уроках в повседневной жизни. «Ателье на Ленинском» начало свою работу в 2001г. Оригинальность, современные решения, добротность и доступные цены отличительные черты работы данного ателье, что, несомненно, позволило им найти и занять свое место на рынке. Индивидуальный подход к клиенту, комфорт в костюме, учет вкуса и пожеланий клиента - кредо «Ателье на Ленинском». Специалисты изготавливают одежду с учетом современных технологий, используют широкий выбор отечественных и импортных тканей, принимают заказы как на женскую, так и на мужскую одежду разнообразных моделей; предлагают услуги по пошиву пальто, костюмов, жакетов, юбок, блузок, эксклюзивных вечерних и свадебных платьев. Используя данные прейскуранта, составьте задачи, в содержании которых отражалась бы стоимость конкретно заказанного изделия. Прейскурант на пошив женской одежды: юбка

550

блузка

650

Платье (с воротником и рукавами)

700

жакет

800

жилет

400

брюки

700

халат

от 500

шорты

от 400

Усложняющие элементы: Изделие на подкладке

20% к стоимости изделия

складки(2шт.)

50

кокетка

50

манжеты

50

шлица

50

рельефы, подрезы

80

152

отрезное по талии

50

карманы накладные (2 шт.)

100

карманы прорезные с клапаном, с листочкой (2шт.) 200 хлястик

50

Шлевки (1 шт.)

10

отделочная строчка

50

другие декоративные детали (рюша, сборка, разрезы, и т.д.) 50 Первоначальная стоимость пошива платья составляет 700 рублей. Какова будет стоимость платья, если оно отрезное по талии и в его покрое использованы отделочная строчка и рюша. Первоначальная стоимость пошива блузки составляет 650 рублей. Какова будет стоимость блузки, если в ее покрое использованы рельефы, отделочная строчка и сборка. Первоначальная стоимость пошива жакета составляет 800 рублей. Какова будет стоимость жакета, если в его покрое использованы отделочная строчка и рюша, карманы подрезные с листочкой. При этом жакет должен быть сшит на подкладке. Прейскурант на пошив мужской одежды: брюки без подкладки

750

брюки с подкладкой

850

жилет

630

пиджак

1950

мужской костюм

3400

Что выгодней заказать для пошива мужской одежды: костюм или отдельно брюки, жилет и пиджак?

153

6. Использование «учебных поручений» . Для развития и поддержания познавательного интереса целесообразно ввести в учебную деятельность учащихся отдельные поручения, которые выполняются при непосредственной поддержке учителя. Задание дается на неделю, разъясняется в индивидуальной беседе на перемене или после уроков, а затем также в индивидуальном порядке необходимо проконсультировать ученика и помочь ему подготовиться к ответу перед классом. Для этого отводится несколько минут в конце или в начале урока. Если ученик отвечает содержательно, его надо похвалить. Если выступления слабые, сбивчивые, отрицательной характеристики не дается; отмечается только то, что задание было новое, необычное и что в следующий раз получится лучше. Нельзя забывать, как ранима психика тех, кому трудно учиться. Нельзя выставлять их на всенародное осмеяние. Но, конечно, разбирать ошибки школьников следует. При этом также следует щадить самолюбие детей, внушая им веру в собственные силы. Поэтому отметки за выполнения таких поручений не ставятся. В зависимости от уровня сложности можно выделить следующие поручения: 1. Ученик по предложению учителя выбирает в ранее пройденном материале те разделы, которые ему нравятся, и готовит выступление. Мотивируется это задание тем, что в классе будет проводиться повторение, и учителю нужна помощь. Поручение побуждает учащегося по-новому взглянуть на учебный материал и выбрать именно то, что отвечает его потребностям. В зависимости от того, какие разделы были охвачены учащимися, можно судить о результатах работы учителя. 2. Учитель просит ученика решить несколько занимательных задачек (головоломок) или ответить на занимательные вопросы по предмету. При подготовке данных заданий необходимо учитывать индивидуальные особенности каждого ребенка, соответствующие уровню его развития. Рачинский С.А. [9] в своей педагогической деятельности с успехом использовал этот прием и, в частности, писал о нем в 1900 году следующее: «Что же касается до ребят, то они моему умению нисколько не удивлялись, а настойчиво требовали, чтобы я каждому из них задал задачу отдельную. В этом они были совершенно правы, ибо каждому доставалась задача в точности ему посильная, которую решить было и полезно, и лестно. Злодеи приходили в неопи154

суемое оживление и решали задачи с быстротою изумительной… польза от таких упражнений была несомненной». Порой обучающиеся в силу недостатка знаний и опыта не всегда в состоянии оценить теоретическую ценность и значимость полученных знаний, но зато они всегда охотно откликаются на возможность использовать знания в своей практической деятельности, поэтому знания, предлагаемые обучающимся, должны носить преимущественно прикладной характер. 3. Обучающийся должен сам подобрать интересные задачи (вопросы, примеры) для предъявления их товарищам, причем предложить другим он имеет право только тот материал, который сам предварительно осилил. Эта просьба мотивируется тем, что учитель готовит внеклассное мероприятие и ему нужно подобрать интересный материал. Таким образом, ученик оказывается в роли помощника учителя. Учитель помогает учащемуся на этот раз советами, где искать. Это заставляет учащегося просмотреть большое количество сборников, материалов для внеклассной работы, испытать свои силы в самостоятельном решении. В этом случае он прилагает усилия не потому, что это задание учителя, а потому, что ему хочется поразить одноклассников. Результаты данной работы целесообразней всего представить в виде математической газеты или провести урок в виде устного журнала. Именно такая форма работы позволяет учащимся сравнить подготовленный ими материал с материалом одноклассника, свой уровень выступления с уровнем выступления остальных. С одной стороны, это всегда влечет за собой возникновение у школьников следующих мотивов: «Смогу ли я?», «Я не хуже», «Я сделаю лучше». С другой стороны, способствует развитию важнейшей составляющей структуры личности – трезвой самокритичности. Если она отсутствует, никогда не будет гарантии, что, попадая в самые разные социальные ситуации, ребенок сумеет поступить по совести, а, проявляя себя как профессионал, объективно оценит результаты своего труда. 4. Обучающийся должен сам придумать интересное задание для класса. При выполнении его наблюдаются разные уровни самостоятельности. Одни учащиеся довольствуются тем, что несколько перефразируют условия задачи или вопроса, найденные в какой-либо книге, другие действительно придумывают свои задачи и вопросы. На155

блюдения показывают, что даже самые пассивные, инертные ученики не остаются равнодушными после выполнения такого поручения, поскольку оно повышает их самооценку, вселяет веру в возможность преодолеть трудности. 5. Помимо перечисленных выше поручений, Бабанский Ю.К. предлагает задание с опорой на многообразные формы общественнополезного труда: изготовление приборов, макетов, наглядных пособий и т.д. Опыт показал, что уже после выполнения третьего поручения замечается повышение активности обучающихся, они становятся более внимательными на уроках. Замечалось также, что выступления учащихся перед классом активизировали других школьников. Некоторые из них тоже начинали искать дополнительные источники информации, приносить в школу книги, журналы, обращаться за консультацией к учителю, придумывать интересные задания. Специфическая особенность применения этих приемов для воспитания познавательных интересов заключается в том, что они должны помочь пережить ученику радость успеха, почувствовать веру в свои силы в преодолении встречающихся трудностей. Именно в этом и заключается процесс эмоциональной окраски познавательных потребностей и превращение их в интересы. Поэтому нет более верного средства для возбуждения интереса к учению, как оказание каждому ученику действенной помощи в овладении знаниями и создании такой ситуации, в которой он мог бы пережить радость в связи с достигнутыми успехами. Все многообразие предложенных нами путей повышения познавательной активности можно отразить также в математических спектаклях, вечерах или неделях математики. Чем больше учащихся будет вовлечено в подобную работу, тем она будет интересней. Ведь каждый ученик – это индивидуальность, и, следовательно, он привнесет что-то свое, неповторимое. Именно с этих позиций необходимо подходить к каждому ученику, акцентируя внимание окружающих на том лучшем, что несет в себе ребенок, чтобы не только окружающие, но и, в первую очередь, сам ребенок осознал, что он - личность и ему есть, чем гордиться. Для этого он должен испытать радость успеха. Никогда не надо навязывать ребятам своих решений. Они сами всегда придумают что-то особенное, близкое и интересное им, что-то, 156

что никогда не придет в голову взрослым. Поэтому рождение сценария вечера, спектакля или недели математики может стать само по себе праздником, радостью творчества. Именно в такой работе ребенок, чувствуя себя раскрепощенным, проявляет чудеса изобретательности и творчества. Самая главная задача состоит в том, чтобы не помешать, не погасить ту искорку, которая зажглась в ребенке. Следовательно, для реализации воспитательной функции обучения учителю недостаточно знать об объективном характере связи обучения и воспитания. Чтобы оказывать формирующее воздействие на учащихся в обучении, учитель должен, во-первых, анализировать и отбирать учебный материал с точки зрения его воспитательного потенциала, во-вторых, так строить процесс обучения и общения, чтобы можно было стимулировать личностное восприятие учебной информации учениками, вызывать их активное оценочное отношение к изучаемому, формировать их интересы, потребности, гуманистическую направленность. 2.2. Типология сюжетных задач Сюжетная задача представляет собой изолированный объект деятельности, занимающий определенное место в общей системе задач и учебной дисциплине в целом. Это обуславливает необходимость характеризовать конкретную задачу и, тем самым, определить ее место во взаимосвязанной системе учебного материала. Типология текстовых задач бывает естественной, искусственной и вспомогательной. В основе естественной типологии находится существенный признак, определяемый природой задачи.

157

Естественная типология сюжетных задач

По структуре

1

В зависимости от логического построения условия

1. С приведенным условием; 2. С неприведенным условием. В зависимости от характера требований 1. На распознавание; 2. На конструирование; 3. На исследование; 4. На доказательство; 5. На преобразование. По отношению между условиями и требованиями

1. Определенные; 2. Неопределенные; 3. Переопределенные. По логической структуре 1. Интерполяционные; 2. Экстраполяционные. В зависимости от сложности структуры 1. Простые (типологии Фридмана Л.М., Моро М.И. и Пышкало А.М., Бантовой М.А. и Бельтюковой Г.А., Дрозда В.А., Свечникова А.А.,Эрдниева П.М.) 2. Составные. В зависимости от логической правильности постановки задачи 1. Логически правильными; 2. Логически неправильными.

158

По содержанию

2

1. Задачи, содержание которых отражает процессы и явления, происходящие в природе и не связанные с деятельностью человека; 2. Задачи, содержание которых отражает общественное бытие, характеризующееся: а) основными формами общественных отношений: - производственные; - политические; - брачно-семейные; - общественно-правовые; - религиозные; - национально-этнические; - коммуникативные. б) результатами деятельности человека.

По методу решения безотносительно к используемому учебному материалу

3

1. Арифметический; 2. Алгебраический; 3. Геометрический; 4. Графический; 5. Логический; 6. Практический.

По определенному учебному материалу, лежащему в основе решения

159

В основе искусственной типологии лежит признак задачи, имеющий практическое значение в локальной области поиска. Искусственная типология сюжетных задач

1

По степени трудности 1. Требующие воспроизведения заученных действий; 2. Требующие некоторой модификации заученных действий; 3. Требующие поиска новых, еще неизвестных способов действий.

2 По форме

1. Словесно-поэтическая; 2. Словесно-прозаическая; 3. Иллюстративная; 4. Демонстрационная.

160

По назначению

3 1. 2. 3. 4.

Тренировочные; Творческие; Обучающие; Контролирующие.

По смысловому значению понятия «решения»

4

1. Решение как объект; 2. Решение как процесс. По используемой графической информации

В зависимости от полноты текста

5

1. С использованием полного текста задачи; 2. С использованием фрагмента текстовой задачи; 3. Высказывательная модель текста задачи.

По применяемой символике в тексте задачи с использованием:

1. Логических схем; 2. Графиков; 3. Чертежей; 4. Таблиц; 5. Диаграмм; 6. Формул.

В зависимости от функционального назначения изображения с использованием:

1. Иллюстрации; 2. Рисунка.

Вспомогательная типология служит для нахождения задачи в каком-то из определённых типов сюжетных задач. Например, если рассматривать сюжетные задачи в зависимости от сложности структуры как компонент естественной типологии, то представление в отдельности каждой из типологий простых задач будет являться вспомо161

гательной типологией. Рассмотрим некоторые из типологий простых задач.

162

Типология простых задач (Моро М.И., Пышкало А.М.) (Бантова М.А., Бельтюкова Г.В.) I группа

Задачи на усвоение конкретного смысла каждого из арифметических действий

II группа Задачи на нахождение неизвестных компонентов

Нахождение суммы двух чисел

Нахождение первого слагаемого по известным сумме и первому слагаемому

Нахождение остатка

Нахождение первого слагаемого по известным сумме и второму слагае-

Нахождение суммы одинаковых слагаемых (произведение)

Нахождение уменьшаемого по известным вычитаемому и разности

Деление на равные части

Нахождение вычитаемого по известным уменьшаемому и разности

Деление по содержанию

Нахождение второго множителя по известным произведению и первому множителю Нахождение первого множителя по известным произведению и второму множителю

Нахождение делимого по известным делителю и частному Нахождение делимого по известным делимому и частному

III группа Задачи, раскрывающие понятие разности и кратного отношения Задачи, связанные с понятием «разности»

Задачи, связанные с понятием кратного отношения

Увеличение числа на несколько единиц (прямая форма)

Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (1 вид)

Увеличение числа на несколько единиц (косвенная форма)

Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (1 вид) Разностное сравнение чисел или нахождение разности двух чисел (2 вид) Уменьшение числа на несколько единиц (косвенная форма) Уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма)

Кратное сравнение чисел или нахождение кратного отношения двух чисел (2 вид) Увеличение числа в несколько раз (прямая форма) Увеличение числа в несколько раз (косвенная форма) Уменьшение числа в несколько раз (прямая форма)

Уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма)

Типология простых задач (Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П)

I группа Задачи на сложение и вычитание 1 цикл задачи на нахождение суммы и неизвестного слагаемого

2 цикл задачи на нахождение разности, уменьшаемого и вычитаемого

3 цикл задачи на увеличение, уменьшение числа на несколько единиц и на разностное сравнение чисел

II группа Задачи на умножение и деление 1 цикл а), б) умножение при постоянном множенном и деление по содержанию (совместно); в) деление на равные

2 цикл а), б) уменьшение и увеличение числа в несколько раз (совместно); в) кратное сравнение.

в) решение задачи: «Какую часть составляет число от другой?».

части. Нахождение суммы чисел

Нахождение первого слагаемого

Нахождение второго слагаемого

2

Нахождение разности

Нахождение уменьшаемого

Нахождение вычитаемого

3 цикл а), б) нахождение одной части числа и числа по величине одной его части (совместно);

3 б) Нахождение числа по части

в) «Какую часть составляет одно число от другого?»

а) нахождение части (прямая задача)

2 а) Увеличение числа в несколько раз (прямая задача)

в) кратное сравнение

б) уменьшение числа в несколько раз

1 а) Умножение (повторение равных слагаемых) (прямая задача)

б) деление по содержанию

в)

деление на равные части

Типология простых задач (Фридман Л.М.) I группа Простые задачи соотношений частей и целого

II группа Простые задачи соотношений сравнения значений одной и той же величины

Соединение частей в целое – задачи на соединение

Соотношения равенства между двумя значениями одной и той же величины

Вычитание из целого одной из его частей – задачи на вычитание

Соотношения неравенства между двумя значениями одной и той же величины Соотношения разностного сравнения двух значений одной и той же величины Соотношения кратного сравнения двух значений одной и той же величины Соотношения нахождения части (процентов) от целого

III группа Простые задачи соотношений между значениями разных величин

Соотношение перехода от одной единицы счета или измерения к другой

Соотношения разбиения целого на равные части

Соотношение зависимости между значениями разных величин Задачи на движение: а) на встречное движение; б) на сближение. Задачи на покупку и продажу Задачи на совместную работу

3

Типология простых задач (Дрозд В.Л.) I группа задачи на сложение и вычитание

II группа задачи на умножение и деление

задачи, раскрывающие смысл операции сложения

задачи, раскрывающие смысл операции умножения

задачи, раскрывающие смысл операции вычитания

задачи, раскрывающие смысл между операциями сложения и вычитания

задачи, раскрывающие смысл отношений «увеличить на (несколько единиц)» и «уменьшить на (несколько единиц)»

задачи, раскрывающие смысл отношений «больше на» (задачи на сравнение чисел с помощью вычитания, т.е. на разностное сравнение)

задачи, раскрывающие смысл операции деления

задачи, раскрывающие связь между умножением и делением

задачи, раскрывающие смысл отношений «увеличить в несколько раз» и «уменьшить в несколько раз»

задачи, раскрывающие смысл отношений «больше в…раз» и меньше в… раз» (задачи на кратное сравнение)

Определение места задачи в общей системе задач, то есть ее типология, с одной стороны, облегчает работу учителя при подборе материала к уроку или внеклассному мероприятию, с другой стороны, позволяет ребенку, сопоставляя сюжетную задачу с конкретным учебным материалом, быстрее найти способ ее решения.

ЛИТЕРАТУРА

1.

2.

3. 4. 5. 6. 7.

8. 9. 10.

11. 12. 13.

2

Азаров, А.И. Текстовые задачи: пособие для учащихся / А.И. Азаров, С.А. Барвенов, В.С. Федосенко. – Минcк: ТетраСистемс, 2002. – 208 с. Артемов, А.К. Введение в частные методики обучения: учеб. Пособие / А.К. Артемов, Т.В. Семенова. – Пенза: Пенз. политехн. инт, 1982. – 76 с. Артемов, А.К. Формирование обобщенных умений решать задачи //Начальная школа. - 1992. - № 2. – С. 25-31. Бабанский. Ю.К. Оптимизация процесса обучения. – М.: Ростов н/Д, 1972. – 290 с. Балл, Г.А. О системе основных понятий теории задач // Теория задач и способы их решения. – Киев: ИК, 1974. – С. 57-68. Балл, Г.А. О психологическом содержании понятия «задача» // Вопросы психологии. - 1970. – № 6. – С. 17-22. Бантова, М.А. Методика преподавания в начальных классах: учеб. пособие для учащихся школ. отд-ний пед. уч-щ (спец. №2001) /под ред. М.А. Бантовой. – 3-е изд., испр. / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. – М.: Просвещение, 1984. - 335 с. Басагова, Р.Б. Познавательная деятельность ученика в ходе решения задач // Начальная школа. - 2002. – № 3. – С. 50-51. Белошистая, А.В. Обучение решению задач в начальной школе: кн. для учителя. – М.: Русское слово, 2003. – 288 с. Богус, В. А. Развитие познавательного интереса учащихся начальных классов в процессе решения прикладных задач через использование графической информации / В. А.Богус, Л.В. Шелехова //Некоторые вопросы современной методики преподавания математики в школе. – Майкоп: Аякс, 2002. – С. 83-91. Большая Советская энциклопедия. Т. 36. - М.: Гос. науч. изд-во «БСЭ», 1955. - 672 с. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе / под ред. А.И. Маркушевича. - М.: Учпедгиз, 1949. - 472 с. Герченова, В.Е. Текстовая задача как средство формирования математических понятий и представлений у младших школьников: дис. … канд. пед. Наук / В.Е. Герченова. – М., 1989. – 159 с. – Библиогр.: с. 147-159.

14. Горстко, А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. – М.: Знание, 1991. – 112 с. 15. Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы /М.И.Грабарь, К.А. Краснянская. – М. Педагогика, 1977. – 136 с. 16. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М.: Просвещение, 1990. - 224 с. 17. Гурова, Л.Л. Психологический анализ решения задач. - Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1976. – 329 с. 18. Давыдов, В.В. Проблемы развивающего обучения: опыт теоретического и экспериментального психологического исследования /В.В. Давыдов. – М.: Педагогика, 1986. – 240 с. 19. Демидова, Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач: учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений /Т.Е.Демидова, А.П.Тонких. – М.: Академия, 2002. – 288 с. 20. Депман, И.Я. Рассказы о решении задач. – Л.: Детская литература, 1964. – 152 с. 21. Дубровина, И.В. Психология / И.В. Дубровина, Е.Е. Данилова, А.М. Прихожан. – М.: Академия, 1999. – 464 с. 22. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике: формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителя / О.Б. Епишева, В.И. Крупич. – М.: Просвещение, 1990. – 128 с. 23. Загородних, К.А. Формирование приемов учебной деятельности учащихся 4-5 классов при обучении решению текстовых задач: дис. … канд. пед. Наук / К.А. Загородних. – М., 1988. – 208 с. – Библиогр.: с. 158-172. 24. Зайцев, Г.Т. Теоретические основы обучения решению задач в начальных классах: учеб. пособие. – Ленинград, 1983. - 98 с. 25. Захарюта, Н.В. Тематический словарь по курсу «Детская психология» с основами «Психологии человека» / Н.В. Захарюта. - Армавир, 1998. - 120 с. 26. Зиновьев, П.М. Решение задач методом предположения / П.М. Зиновьев // Начальная школа. – 2003. – № 10. – С. 59 – 62. 27. Зыкова, В.И. Формирование практических умений на уроках геометрии / В.И. Зыкова. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1955. – 200 с.

3

28. Игнатьев, Е.В. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: кн. для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии: в 3 кн. /Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. изд-во, 1995. – 616 с. 29. Ильясов, И.И. Система эвристических приемов решения задач /И.И. Ильясов. – М.: Изд-во Рос. открытого ун-та, 1992. – 135 с. 30. Карпенко, Л.А. Краткий психологический словарь [Электронный ресурс] / Л.А. Карпенко, А.В. Петровский, М.Г. Ярошевский. – 1998. - Режим доступа: http://encikl.by.ru 31. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике: Ч. I // Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. – М.: Просвещение, 1977. – 110 с. 32. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике: Ч. II // Обучение математики через задачи и обучение решению задач. – М.: Просвещение, 1977. – 144 с. 33. Кордемский, Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку: пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1958. – 116 с. 34. Крупич, В.И. Теоретические основы обучения решению школьников математических задач: дис. … д-ра. пед. наук / В.И. Крупич. – М., 1992. – 395 с. – Библиогр.: с. 370-395. 35. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников. – М.: Просвещение, 1986. – 431 с. 36. Кузин, В.С. Психология: учебник. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: АГАР, 1999. – 304 с. 37. Кульбякина, Л.Я. Работа над простой задачей на этапе ее решения // Начальная школа. – 2002. – № 10. – С. 57 – 60. 38. Кулюткин, Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений /Ю.Н.Кулюткин. – М.: Педагогика,1970. – 232 с. 39. Лавриненко, Т.А. Как научить детей решать задачи: метод. рекомендации для учителей начальных классов / Т.А. Лавриненко. – Саратов: Лицей, 2000. – 64 с. 40. Левенберг, Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. Из опыта работы / под ред. М.И. Моро. – М.: Просвещение, 1978. – 126 с. 41. Макаренко, А.С. Лекции о воспитании детей. – Минск, 1978. - 175 с.

4

42. Менчинская, Н.А. Психология применения знаний к решению учебных задач // Психология применения знаний к решению учебных задач. – М.: Высшая школа, 1958. – 416 с. 43. Методика начального обучения математики: учеб. пособие для пед. ин-тов / В.Л. Дрозд, А.Т. Катасонова, Л.А. Латотин и др.; под общей ред. А.А. Столяра и В.Л. Дрозда. – М.: Вышэйш. шк., 1988. – 254 с. 44. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Калинина и др.; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с. 45. Моро, М.И. Методика обучения математике в 1-3 классах: пособие для учителя / М.И. Моро, А.М. Пышкало. - М.: Просвещение, 1975. – 336 с. 46. Нагибин, Ф.Ф. Математическая шкатулка: пособие для учащихся 48 кл. сред. шк. – 5-е изд. /Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с. 47. Немов, Р.С. Психология: учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений: в 3 кн. Кн. 1: Общие основы психологии. – 4-е изд. – М.: ВЛАДОС, 2002. –– 688 с. 48. Обществознание в вопросах и ответах. Пособие-репетитор /под. ред. проф. О.С. Белокрыловой. – 3-е, изм. и доп. – Ростов н/Д: Феникс, 2000. – 448 с. 49. Ольбинский, И.Б. Рефлексивное исследование математической задачи. Народное образование в XXI веке// Доклады международной юбилейной научно-практической конференции в Московском педагогическом университете (Москва, 6-7 июня 2001 г.). – М.: Прометей МПГУ, 2002. - С. 77 – 81. 50. Орехов, Ф.А. Решение задач методом составления уравнений: пособие для учителей восьмилетней школы. – М.: Просвещение, 1971. – 159 с. 51. Педагогическое наследие русского зарубежья: 20-е годы: кн. для учителя/ сост. и авт. вступ. ст. П.В. Алескеев. – М.: Просвещение,1993. – 320 с. 52. Пойа, Д. Как решать задачу: пособие для учителя // Д. Пойа; пер. с англ. под ред. Ю.М. Гайдука. – М.: Учпедгиз, 1959. – 207 с. 5

53. Пойа, Д. Математическое открытие: пособие для учителя: пер. с англ. / Д. Пойа. – М.: Наука, 1976. – 448 с. 54. Психологический словарь [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://psi.webzone.ru 55. Райхмист, Р.Б. Задачник по математике для поступающих во ВТУЗЫ (с решениями и ответами): учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 254 с. 56. Сазанова, Т.А. Электронная хрестоматия по методике преподавания математики [Электронный ресурс] / Т.А. Сазанова, А.Г. Дубов. – Режим доступа: http://fmi.asf.ru/library/mpm/index.html 57. Сафонова, Л.А. Обучение учащихся 1-8 классов решению текстовых задач в условиях преемственности изучения математики: дис. … канд. пед. наук / Л.А. Сафонова; Моск. гос. пед. ун-т. – Саранск, 2000. – 207 с. – Библиогр.: с. 189-207. 58. Свечников, А.А. Решение математических задач в 1-3 классах: пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1976. – 160 с. 59. Сем Ллойд. Математическая мозаика / сост. и ред. М. Гарнер; пер. с англ. Ю.Н. Сударева. – М.: Рипол, 1995, - 352 с. 60. Скок, Г.Б. Как спроектировать учебный процесс по курсу: учеб. пособие / Г.Б. Скок, Н.И. Лыгина. – 2-е изд. – М.: Педагогическое общество России, 2003. – 96 с. 61. Слепкань, З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: метод. пособие. – Киев: Рад. шк., 1983. – 192 с. 62. Соколов В.Н. Педагогическая эвристика / В.Н. Соколов. – М.: Просвещение, 1995. - 340 с. 63. Социально-этнические проблемы России и Северного Кавказа на исходе XX века. – Ростов н/Д: Изд-во Рост. гос. пед. ун-та, 1998. – 368 с. 64. Статкевич, В.В. О начальном обучении решению задач /В.В. Статкевич. – Минск: Народна асвета, 1970. - 208 с. 65. Степанов, С.Ю. Психология рефлексии: проблемы и исследования/ С.Ю.Степанов, И.Н. Семенов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://psychiatry.ru/library/ill/ss.html 66. Стойлова, Л.П. Математика: учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений. - 2-е изд., испр. – М.: Академия, 1997. – 484 с.

6

67. Стойлова, Л.П. Основы начального курса математики: учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений. - 2-е изд., испр. /Л.П.Стойлова, А.М. Пышкало. – М.: Просвещение, 1988. – 484 с. 68. Столяр, А.А. Педагогика математики: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – Минск: Высшая школа, 1986. – 414 с. 69. Сухомлинский, В.А. Методика воспитания коллектива / В.А. Сухомлинский. – М.: Просвещение, 1981. – 192 с. 70. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах: пособие для студентов фак. подгот. учителей нач. классов заоч. отд-ния / под ред. Н.Б. Истоминой. – М.; Воронеж: Изд-во Ин-т практ. психол.: НПО «МОДЭК», 1996. – 224 с. 71. Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 96 с. 72. Тихомирова, Л.Ф. Развитие интеллектуальных способностей школьников / Л.Ф. Тихомирова. – Ярославль: Академия развития, 1996. – 240 с. 73. Тихонов, А.Н. Рассказы о прикладной математике / А.Н. Тихонов, Д.П. Костмаров. - М.: Просвещение, 1979. – 145 с. 74. Тонких, А.П. Геометрический метод решения текстовых задач в курсе математики факультативов подготовки учителей начальных классов / А.П.Тонких, Т.Е. Демидова // Начальная школа. – 2000. – №5. – С. 100-105. 75. Философия. Ч. II. Основные проблемы философии / под ред. В.И.Кирилова. – М.: Юрист, 1997. – 320 с. 76. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи: пособие для учащихся. – 2-е изд., перераб. и доп. / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. – М.: Просвещение, 1984. - 175 с. 77. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - М.: «педагогика», 1977. – 208 с. 78. Фридман, Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика: учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. – М.: Школьная пресса, 2002. – 208 с. 79. Фридман, Л.М. Психология детей и подростков. Справочник для детей и воспитателей. – М.: Из-во института Психотерапии, 2003. – 480 с.

7

80. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. - М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. – 224 с. 81. Хинчин, А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики [Электронный ресурс] / А.Я. Хинчин. – Режим доступа: http://www.ibmh.msk.su/vivovoco/vv/school/KHINCHIN.HTM 82. Хуторской А.В. Современная дидактика: учеб. для вузов / А.В. Хуторской. – СПб.: Питер, 2001. – 544 с. 83. Царева С.Е. Обучение решению текстовых задач, ориентированное на формирование учебной деятельности младших школьников. – Новосибирск: Изд-во НГПУ, 1998. – 136 с. 84. Шадрина И.В. Использование графических схем при работе над текстовой задачей // Начальная школа. – 1995. - №3. – С. 39-60. 85. Шамова Т.И. Активизация учения школьников / Т.И. Шамова. – М.: Педагогика, 1982. – 280 с. 86. Шелехова Л.В. О методике использования прикладных задач в целях нравственного воспитания учащихся: Некоторые вопросы современной методики преподавания математики в школе / Л.В. Шелехова, В.А. .Богус. – Майкоп: Аякс, 2002. – С. 67-82. 87. Шелехова Л.В. Типология прикладных задач // Педагоги о науке и образовании: сб. ст. – Майкоп: Аякс, 2001. 88. Шумилин А.Т. Проблемы теории творчества: монография. – М.: Высш. шк., 1989. - 143 с. 89. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе: Из опыта обучения методом укрупненных упражнений / П.М. Эрдниев. – М.: Просвещение, 1978. – 304 с. 90. Эрдниев П.М.Теория и методика обучения математике в начальной школе: Педагогическая наука – реформа школы / П.М. Эрдниев, Б.М. Эрдниев. – М.: Педагогика, 1988. – 208 с.

8

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие …………………………………………………………... Глава 1. Сюжетная задача и процесс её решения 1.1. Понятие сюжетной задачи ……………………………………... 1.2. Структура сюжетной задачи……………………………………. 1.3. Использование графической информации в процессе решения сюжетных задач………………………………………. 1.4. Форма сюжетной задачи………………………………………… 1.5. Этапы решения задачи и приёмы их выполнения………….. 1.6. Организация рефлексивного обучения в процессе решения сюжетных задач……………………………………………... Глава 2. Роль задач в школьном курсе математики 2.1. Функции решения сюжетных задач…………………………… 2.1.1. Обучающая функция………………………………………….. 2.1.2. Развивающая функция……………………………………….. 2.1.3. Воспитательная функция……………………………………... 2.2. Типология сюжетных задач……………………………………..

3

4 9 18 30 33 71

81 83 86 116 157

Литература……………………………………………………………… 166

9

Шелехова Людмила Валерьевна

СЮЖЕТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Учебно-методическое пособие

Сдано в набор 29.12.2005 г. Подписано в печать 26.01.2007 г. Бумага типографская № 1. Гарнитура Arial. Формат бумаги 60х84/16. Заказ № 008. Тираж 100 экз.

Участок оперативной полиграфии и множительных работ Адыгейского государственного университета: г.Майкоп, ул.Первомайская, 208.

10

11

12