Дискретная математика. Часть 2

47 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

М инисте р ство о б р а зо ва ния Р о ссийско й Ф е де р а ции

В о р о не ж ский го суда р стве нный униве р сите т

Булга ко ва И.Н., Ф е до те нко Г.Ф .

ДИС КР ЕТНА Я М АТЕМ АТИКА ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОР ИИ ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ Ч а сть 2

У чебное пособие д л я сту д е нто в п о сп ециал ьно сти П рик л ад ная мате матик а и инфо рматик а (010200) П рик л ад ная инфо рматик а в юрисп ру д е нции (351400) М ате матиче ск о е о бе сп е че ние и ад министриро в ание инфо рмацио нныхсисте м (351500)

48 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

В о р о не ж 2004

49 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом ф а ку льт ет а П М М В Г У 16 д ека бря2003 год а , протокол № 3. Бу лга кова И .Н., Ф ед от ен ко Г .Ф . Д искрет н а ям а т ем а т ика . Элем ен т ы т еории. За д а чи и у пра ж н ен ия: У чеб. пособие. — В орон еж : И з-во ВГ У , 2004. — 62 с. Рецен зен т : д . ф .-м . н ., проф ессорка ф ед рыф у н кцион а льн ого а н а лиза и опера т орн ых у ра вн ен ий м а т ем а т ического ф а ку льт ет а ВГ У Сильчен ко Ю .Т.

Д а н н а я ра бот а сод ерж ит кра т кое излож ен ие ку рса лекций по д исциплин е « Д искрет н а ям а т ем а т ика » , чит а ем ом у н а ф а ку льт ет е П М М . П особие сод ерж ит прим еры, д ем он ст риру ю щ ие использова н ие излож ен н ой т еории д ля реш ен ия кон крет н ых за д а ч. За д а чи и прим еры специа льн о под обра н ы по ка ж д ом у ра зд елу ку рса , чт о способст ву ет у своен ию изла га ем ого м а т ериа ла . Д ля за креплен ия м а т ериа ла в кон це па ра гра ф ов привед ен ы за д а чи д ля са м ост оят ельн ого реш ен ия, кот орые могу т быт ь т а кж е использова н ы д ляпровед ен ияпра кт ических за н ят ий. У чебн ое пособие под гот овлен о н а ка ф ед ре м а т ем а т ических м ет од ов исслед ова н ия опера ций ф а ку льт ет а П М М В орон еж ского госу д а рст вен н ого у н иверсит ет а . Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен т ов 1 ку рса д /о и в/о, обу ча ю щ ихся по специа льн ост и « П рикла д н а я м а т ем а т ика и ин ф орма т ика » , а т а к ж е бу д ет полезн а всем , изу ча ю щ им д искрет н у ю м а т ем а т ику .

50 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

С ОДЕР Ж АНИЕ 4.

А лге б р а выска зыва ний

4.1 В ыска зыва н ия. О пера ции н а д в ыска зыва н иям и. Ф орм у лы а лгебры выска зыва н ий. Та блицы ист ин н ост и 4.2 Ра вн осильн ые ф орм у лы. О сн ов н ые ра вн осильн ост и а лгебрыв ыска зыва н ий 4.3 Реш ен ие логических за д а ч с пом ощ ью а лгебры выска зыва н ий 5. Алге б р а Буля 5.1 Бу левы ф у н кции. Ра вен ст во ф у н кций и ра вн осильн ост ь ф орм у л. П рин цип д войст вен н ост и 5.2 Д изъ ю н кт ивн ые и кон ъ ю н кт ивн ые н орм а льн ые ф ормы 5.3 К ла ссиф ика цияД НФ . М ин им иза циябу лев ых ф у н кций 5.4 Соверш ен н ые н орм а льн ые ф орм ы 5.5 П рилож ен ие а лгебры логики Бу ля к релейн о-кон т а кт н ым схем а м 6. П о лино м Ж е га лкина . Лине йные и не лине йные ф ункции 7. Опе р а ция за м ыка ния. Осно вные за м кнутые кла ссы 8. П о лно та систе м б уле вых ф ункций 9. П р е дика ты. Опе р а ции на д пр е дика та м и 10. П р им е не ние ло гики пр е дика то в в м а те м а тике 11. М а ш ина Тью р инга Л ит ера т у ра Сод ерж а н ие

3 10 12

17 22 26 30 36 42 47 51 56 66 71 77 78

51 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Сост а вит ели: Ред а кт ор:

Бу лга кова И рин а Никола евн а Ф ед от ен ко Г а лин а Ф ед оровн а Тихом ирова О .А .

52 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

4. АЛГЕБР А В ЫС КАЗЫВ А НИЙ 4.1 В ыска зыва ния. Опе р а ции на д выска зыва ниям и. Ф о р м улы а лге б р ы выска зыва ний. Та б лицы истинно сти П од выска зыва н ием пон им а ю т лю бое повест вова т ельн ое пред лож ен ие, о кот ором м ож н о ска за т ь, ист ин н о он о или лож н о. В осклица т ельн ое или вопросит ельн ое пред лож ен ия н е являю т ся выска зыва н иям и. Бу д ем обозн а ча т ь выска зыва н ия ла т ин ским и бу ква м и: A, B ,C ,K , a , b , c ,K x , y , z ,K . Л огическое зн а чен ие в ыска зыва н ия « истина» (« л о ж ь» ) обозн а чим циф рой « 1» (циф рой « 0» ). На прим ер, пред лож ен ия: 1. « М осква — ст олица России» — ист ин н ое выска зыва н ие. 2. « Ч исло 3 больш е 6» — лож н ое выска зыва н ие. П ред лож ен ия: 1. « К от орый ча с?» 2. « Д ока ж ит е т еорем у Ф ерм а » . 3. « Д а зд ра вст ву ет м ирн а Зем ле!» н е яв ляю т сявыска зыва н иям и. 1. О пера ция диз ъюнкция (логическое слож ен ие) ∨ — чит а ет ся « или» . П еревод ит сяс ла т ын и ка к « ра зъед ин яю » . Диз ъюнкцией д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A ∨ B , кот орое ист ин н о т огд а и т олько т огд а , когд а ист ин н о либо A , либо B , и лож н о, когд а оба выска зыва н ия A и B лож н ы. 2. О пера ция конъюнкция (логическое у м н ож ен ие) & ( ∧ ) чит а ет ся: « и» . П еревод ит сяс ла т ын и ка к « связыва ю » . Конъюнкцией д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет сявыска зыва н ие A & B , кот орое ист ин н о т огд а и т олько, когд а ист ин н ы од н оврем ен н о A и B , и лож н о, когд а хот ябы од н о из н их лож н о. 3. О пера ция им плика ция (след ова н ия) A → B . Ч ит а ет ся « если A , т о B » (« из A след у ет B » ). И м плика цией д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A → B , кот орое лож н о, когд а A ист ин н о и B лож н о, и ист ин н о во всех ост а льн ых слу ча ях. 4. О пера ция эквива ленция A ↔ B ( A ~ B ). Ч ит а ет ся: « A т огд а и т олько т огд а , когд а B » . Эквива ленцией д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ю т выска зыва н ие A ↔ B , кот орое ист ин н о т огд а и т олько т огд а , когд а A и B од н оврем ен н о ист ин н ы или од н оврем ен н о лож н ы, и лож н о во всех ост а льн ых слу ча ях.

53 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Та блица ист ин н ост и д ляэ т их опера ций т а кова :

54 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A∨ B 0 1 1 1

A&B 0 0 0 1

A→ B 1 1 0 1

A↔ B 1 0 0 1

5. О пера ция от рица ние A (или  A ). Ч ит а ет ся: « н е A » . О т рица нием выска зыва н ия A н а зыва ет сявыска зыва н ие A , кот орое ист ин н о, если A лож н о, и лож н о, если A ист ин н о. Та блица ист ин н ост и д ля A имеет вид :

A

A

0

1

1

0

Ра ссм от рим ещ е т ри логические опера ции, опред еляем ые через осн овн ые логические опера ции. 6. Ш т рих Ш еф фера A  B (чит а ет ся « A н есовм ест н о с B » ): A B = = A & B. Ш т рихом Ш еффера д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A  B , кот орое лож н о только т огд а , когд а оба выска зыва н ия ист ин н ы, и ист ин н о в ост а льн ых слу ча ях. 7. Ст релка Пирса (ш т рих Лука севича ) A ↓ B (чит а ет ся « н и A , н и B » ): A ↓ B = A∨ B . Ст релкой Пирса д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A ↓ B , кот орое ист ин н о т олько т огд а , когд а оба выска зыва н иялож н ы, и лож н о в ост а льн ых слу ча ях. 8. Слож ение «по м одулю два »: A ⊕ B = A ↔ B . Слож ением «по м одулю два » д ву х выска зыва н ий A и B н а зыва ет ся выска зыва н ие A ⊕ B , кот орое лож н о т огд а и т олько тогд а , когд а A и B од н оврем ен н о лож н ы или од н оврем ен н о ист ин н ы, и ист ин н о в ост а льн ых слу ча ях. A⊕ B A B A B A↓ B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0

55 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

О т м ет им , чт о все опера ции, кром е им плика ции, сим м ет ричн ы. И з э т их прост ых (э лем ен т а рн ых) выска зыва н ий ст роят ся сост а в н ые (слож н ые) выска зыва н ия. Ф орм улой а лгебры логики вы ска з ы ва ний н а зыва ет ся всякое сост а вн ое выска зыва н ие, кот орое полу ча ет сяком бин ирова н ием кон ечн ого числа у ка за н н ых выш е осн овн ых опера ций ( ∨ , &,→ , ↔ ,  ). Д ля лю бых ф орму л м ож н о пост роит ь т а блицу ист инност и. Та блицей ист инност и форм улы н а зыва ет ся свод н а я т а блица всех зн а чен ий вход ящ их в н ее выска зыва н ий и соот вет ст ву ю щ их зн а чен ий са м ой ф орм у лы. Та блица сод ерж ит 2 n ст рок, гд е n — число прост ых выска зыва н ий. Ф орм у ла U н а зыва ет ся т ож дест венно ист инной, или т а вт ологией (за писыва ет ся U ≡ 1 ), если д ля всех н а боров зн а чен ий вход ящ их в н ее перем ен н ых (выска зыва н ий) он а прин им а ет зн а чен ие 1 (« ист ин н о» ). Ф орм у ла U н а зыва ет ся т ож дест венно лож ной, или прот иворечием (за писыва ет ся U ≡ 0 ), если д ля всех н а боров зн а чен ий вход ящ их в н ее перем ен н ых (выска зыва н ий) он а прин им а ет зн а чен ие 0 (« лож ь» ). За м ет им , чт о от рица н ие лю бой т а вт ологии ест ь прот иворечие: U ≡ 1 ≡ 0 . В се ост а льн ые ф орм у лы н а зыва ю т сявы полним ы м и.

(

)

Прим ер 1 . След у ю щ ие выска зыва н ия за писа т ь ф орм у ла м и. Сост а вит ь д лян их т а блицы ист ин н ост и. a) Е сли Д ж он у м ен , а Д ж им глу п, т о Д ж он полу ча ет приз. b) Д ж он полу ча ет приз в т ом и т олько т ом слу ча е, если Д ж он у мен или если Д ж им глу п. c) Е сли Д ж им глу п, и Д ж он у н е у д а ет ся полу чит ь приз, т о Д ж он н е у м ен . Реш ение. О бозн а чим прост ые выска зыва н иябу ква м и: A — Д ж он у м ен ; B — Д ж им глу п; C — Д ж он полу ча ет приз. Тогд а сост а вн ые выска зыва н ияза пиш ем в вид е ф орм у л: a) ( A & B ) → C ; b) C ↔ ( A ∨ B ) ; c) (B & C ) → A .

56 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Сост а вим соот вет ст ву ю щ ие им т а блицы ист ин н ост и: a)

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

A&B 0 0 0 0 0 0 1 1

(A&B )→C 1 1 1 1 1 1 0 1

b)

A

B

C

A∨ B

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1

С ↔( A ∨ B ) 1 0 0 1 0 1 0 1

A

B

C

C

B &C

A

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1 0

1 1 1 1 0 0 0 0

c)

( B &C )→ A 1 1 1 1 1 1 0 1

За м ет им , чт о зд есь n = 3 прост ых выска зыва н ий. П оэ т ом у т а блицы ист ин н ост и сод ерж а т 2 n = 8 ст рок. П ривед ем т а блицу перевод а н екот орых (н а иболее ча ст о вст реча ю щ ихся) в ыра ж ен ий ест ест вен н ого языка н а сим волический язык а лгебры логики выска зыва н ий.

57 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Ф орм а вы ска з ы ва ния ест ест венного я з ы ка Не A ; н еверн о, чт о A ; A н е им еет м ест а A и B; A вм ест е с B ; A , н есм от рян а B ; ка к A , т а к и B ; н е т олько A , н о и B ; A , в т о врем яка к B A, но не B ; не B,а A A или B ; A или B или оба A либо B ; н е A , ра зве чт о н е B ; A , ра зве чт о B ; либо н е A , либо н е B ; либо A , либо B ; A или B , н о н е оба либо A , либо B и C ; A , ра зве чт о B и C либо A и B , либо C и D B н еобход имо д ля A ; если A , т о B ; A , зн а чит B ; B , если A ; д ля B д ост а т очн о A ; A т олько, если B ; A влечет B ; A д ост а т очн о д ляB ; д ля A н еобход им о B ; A т олько при у словии, все A ест ь B ; чт о B ; из A след у ет B ; B т огд а , когд а A A э квива лен т н о B ; A т огд а и т олько т огд а , когд а B ; A , если и т олько если B ; A н еобход им о и д ост а т очн о д ляB

Соот вет ст ву ю щ а я ф орм у ла языка а лгебры логики

A AB или A & B AB или A & B A∨ B AB ∨ A B

AB C ∨ A BC AB C D ∨ A B CD

A→ B

A↔ B

ЗАДАЧ И И У П Р АЖ НЕНИЯ 1. П еревед ит е н а язык а лгебры логики след у ю щ ие выска зыва н ия: a) Если свет ит солн це, т о д ля т ого, чт обы н е было д ож д яи д ост а т очн о, чт обыд у л вет ер. b) Неверн о, чт о если д у ет вет ер, т о солн це свет ит т олько т огд а , когд а н ет д ож д я.

58 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Ч т обы погод а была солн ечн ой, д ост а т очн о, чт обы н е было н и вет ра , н и д ож д я. d) Если вет ра н ет , т о д ляд ож д ян еобход им а па сму рн а япогод а . e) Если погод а па см у рн а я и д у ет вет ер, т о д ож д я н ет . Но д ож д ь ид ет . Зн а чит , н ет вет ра . f) Неверн о, чт о если погод а па см у рн а я, т о д ож д ь ид ет т огд а и т олько т огд а , когд а н ет вет ра . g) Если д ля солн ечн ой погод ы н еобход им о от су т ст вие д ож д я, т о д ля т ого, чт обы пош ел д ож д ь, д ост а т очн о, чт обы погод а была па см у рн ой и безвет рен н ой. У ка з а ние: д ля перевод а н а язык а лгебры логики н еобход им о ка ж д ый ра з пред ва рит ельн о выд елит ь э лем ен т а рн ые в ыска зыва н ия. На прим ер: « свет ит солн це» мож н о обозн а чит ь бу квой С, « д у ет вет ер» — бу квой В , « ид ет д ож д ь» –бу квой Д , « погод а па см у рн а я» — бу квой П . c)

2. У ст а н овит е, ист ин н о или лож н о выска зыва н ие: a) 2 ∈ {x | 2 x 3 − 3 x 2 + 1 = 0 , x ∈ R}; b) c) d) e) f) g) h) i)

 x3 −1  -3∈  x | 2 < −2 , x ∈ R  ;  x +2   2n + 1  3∈  |n ∈ N  ;  3n − 2  {1}∈ N ; {1}∈ P ( N ) , гд е P ( N ) — м н ож ест во всех под м н ож ест в м н ож ест ва N ; {1, − 1, 2} ⊂ {x | x 3 + x 2 − x − 1 = 0 , x ∈ Z }; {x | x 3 + x 2 − x − 1 = 0 , x ∈ Z } ⊂ {1, − 1, 2}; {∅} ⊂ {∅}; {∅} ⊂ {∅ ,{∅}} .

3. П у ст ь p и q обозн а ча ю т выска зыва н ия: p — « Я у чу сь в ш коле» , q — « Я лю блю м а т ем а т ику » . П рочт ит е след у ю щ ие выска зыва н ия: e) p & q ; a) p ; b) p ;

f) p & q ;

c) p & q ;

g) p & q ;

d) p & q .

59 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

4. П у ст ь x , x ′ , y , y ′ озн а ча ю т соот вет ст вен н о « 7 — прост ое число» , « 7 — сост а вн ое число» , « 8 — прост ое число» , « 8 — сост а вн ое число» : a) ка кие из пред лож ен ий x & y , x & y′ , x ′ & y , x & y′ ист ин н ы и ка кие лож н ы?; b) т о ж е с за м ен ойкон ъ ю н кций н а д изъю н кцию ; c) т о ж е д ляпред лож ен ий x , y , x ′ , y ′ . 5. П роверит ь, н е сост а вляя т а блиц ист ин н ост и, являю т ся ли след у ю щ ие ф орм у лы т ож д ест вен н о ист ин н ым и: a) p → p ;

b) p ∨ p ;

c) p ∧ p ; e) p → p ;

d) p ↔ p ;

g)

h) p & ( p ↔ p ) ; j) p ↔ p & ( p → p & p ) ;

i) k)

( p ∨ p) → p ; ( p → p) ∨ p ; p ∨ ( p ↔ p );

m) p ↔ p ;

f) p ↔ p ;

l) p → p ; n) ( p ∨ p ) → ( p ∧ p ) .

6. Сост а вит ь т а блицы ист ин н ост и д ляф орм у л: a) x ∨ y ; b) ( x ∨ y ) → ( x ∧ y ∨ x → y ) ; c) ( x ∧ y ) ∨ z ; d) x ∧ y → ( y ∨ x → z ) ; e) g) i) k)

( x → y ) → ( x ∨ y ∧ z ); ( x → (z ∨ y )) ⊕ x ; xyz | ( x ∨ y ) → z ; (( xyz ) ∨ x ∨ y ) ↓ ( z | y )

f) h)

(( x → z ) ↔ y ) ↓ x ; (z |( y ) → z ) → ( x & y ) ; ((x ↓ y ) ↓ z ) ↔ ( x ⊕ y ) ;

j) l) x1 ∨ x 2 ∨ ... ∨ x n → y1 ∧ y2 ∧ ... ∧ yn .

7. У ст а н овит ь, ка кие из след у ю щ их ф орму л являю т ся т ож д ест вен н о ист ин н ым и, т ож д ест вен н о лож н ыми: b) ( x → y ) → ( y → x ) ; a) x ∨ y → x & y ; c) e) g) i)

( x → y) ∨ ( y → x) ; xy ↔ ( x | y ) ; ( x ⊕ y) ↔ ( x ↔ y); ( x → y ) → (( z → y ) → (( x ∨ y ) → z ))

d) x → ( x ∨ y ) ; f) ( x → y ) ↔ ( x ∨ y ) ; h) x ∨ y ↔ ( x ↓ y ) ; j) ( x → y ) ⊕ ( x → z ) .

8. a) И звест н о, чт о им плика ция x → y ист ин н а , а э квива лен т н ост ь x ↔ y лож н а . Ч т о м ож н о ска за т ь о зн а чен ии им плика ции y → x ?

60 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

b) И звест н о, чт о э квива лен т н ост ь x ↔ y ист ин н а . Ч т о м ож н о ска за т ь о зн а чен иях x ↔ y и x ↔ y ? c) И звест н о, чт о x им еет зн а чен ие 1. Ч т о м ож н о ска за т ь о зн а чен иях им плика ции x ∧ y → z ; x → ( y ∨ z ) ? d) И звест н о, чт о x → y им еет зн а чен ие 1. Ч т о м ож н о ска за т ь о зн а чен иях z → ( x → y ) ; x → y → y ; ( x → y ) → z ?

9. На йд ит е логические зн а чен ия x и y , при кот орых выполн яю т ся ра вен ст ва : a) (1 → x ) → y = 0 ; b) x ∨ y = x .

4.2 Р а вно сильные ф о р м улы.

Осно вные р а вно сильно сти а лге б р ы выска зыва ний Д ве ф орм у лы а лгебры логики U 1 и U 2 н а зыва ю т ся ра вносиль ны м и, если он и прин им а ю т од ин а ковые логические зн а чен ия (0 или 1) при од ин а ковых н а бора х зн а чен ий вход ящ их в н их выска зыва н ий (пиш у т U 1 ≡ U 2 ). На прим ер, ф орму лы U 1 = A → B , U 2 = A ∨ B — ра вн осильн ые ф орм у лы: A → B ≡ A ∨ B , т .к. U 1 и U 2 либо од н оврем ен н о 0, либо од н оврем ен н о 1 при лю бом н а боре зн а чен ий выска зыва н ий, вход ящ их в э т и ф орм у лы. A

B

A→B

A

A∨B

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

1 1 0 0

1 1 0 1

И м еет м ест о Теорем а : U 1 ≡ U 2 т огд а и т олько т огд а , когд а ( U 1 ↔ U 2 ) ≡ 1 (до ка за ть!). Ра вн осильн ост ь ф орм у л м ож н о д ока зыва т ь либо с пом ощ ь ю т а блиц ист инност и, либо м ет одом ра вносиль ны х (э квива лен т н ых) преобра з ова ний, использу я осн овн ые ра вн осильн ост и а лгебры логики выска зыва н ий. О сн овн ые ра вн осильн ост и т а кж е прим ен яю т ся д ля упрощ ения форм ул, д ляпривед ен ияф орм у л к за д а н н ом у вид у .

61 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Осно вные р а вно сильно сти а лге б р ы выска зыва ний 1. A ≡ A — за кон д войн ого от рица н ия; 2. A ∨ A ≡ 1 — за кон исклю чен ият рет ьего; 3. A & A ≡ 0 — за кон прот иворечия; 4.

5.

A ∨ A ≡ A  — за кон ид ем пот ен т н ост и; A & A ≡ A A ∨ 0 ≡ A; A ∨ 1 ≡ 1; A & 0 ≡ 0; A & 1 ≡ A ;

6.

A&( B ∨ A ) ≡ A∨ ( B & A ) ≡

7.

A ∨ ( B ∨ C ) ≡ ( A∨ B )∨ C   — за кон а ссоциа т ивн ост и; A & ( B &C ) ≡ ( A & B ) & C

A  — за кон поглощ ен ия; A

8. A & ( B ∨ C ) ≡ ( A & B ) ∨ ( A & C ) — первый д ист рибу т ив н ый за кон ; 9. A ∨ ( B & C ) ≡ ( A ∨ B ) & ( A ∨ C ) — вт оройд ист рибу т ивн ый за кон ; 10.

A ∨ B ≡ A & B   — за кон ы д е М орга н а ; A & B ≡ A ∨ B 

11. A → B ≡ A ∨ B ; 12. A ↔ B ≡ ( A → B ) & ( B → A ) ≡ ( A ∨ B ) & ( B ∨ A ); 13. A ↔ B ≡ ( A & B ) ∨ ( A & B ); 14. A ⊕ B ≡ A ↔ B ; 15. A ↓ B ≡ A ∨ B ; 16. A │ B = A & B .

ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. П роверит ь, спра вед ливы ли след у ю щ ие соот н ош ен ия: a) x & ( y → z ) = ( x & y ) → ( x & z ) ;

b) x ⊕ ( y ∨ z ) = ( x ⊕ y ) ∨ ( x ⊕ z ) ;

62 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

c) x ∨ ( y ↔ z ) = ( x ∨ y ) ↔ ( x ∨ z ) ;

d) x → ( y ↔ z ) = ( x → y ) ↔ ( x → z ) ;

e) x & ( y ⊕ z ) = ( x & y ) ⊕ ( x & z ) ;

f) x & ( y ↔ z ) = ( x & y ) ↔ ( x & z ) ;

g) x → ( y ⊕ z ) = ( x → y ) ⊕ ( x → z ) ;

h) x ⊕ ( y → z ) = ( x ⊕ y ) → ( x ⊕ z ) .

2. И спользу я осн овн ые ра вн осильн ост и, д ока за т ь ра вн осильн ост ь ф орму л U и B, когд а : a) U = x z ∨ xy ∨ xz ; B = z → xy ; b) U = ( x → y ) → ( xy ⊕ ( x ↔ y )) ; B = xy ∨ yx ; c) U = x → ( xy → (( x → y ) → y )z ) ; B = y → ( x → z ) ; B = ( x → y) ∨ z ; d) U = ( x | y → z ) ∨ ( x → z ) ; e) U = ((z ∨ y ) ↓ x ) ↔ xz ; f) U = (( x ∨ y ) ↔ z ) | xyz ;

B = xyz ⊕ yz ⊕ 1 ; B = xyz ⊕ 1 .

3. В ыра зит ь все осн овн ые опера ции: a) через д изъ ю н кцию , кон ъ ю н кцию и от рица н ие; b) через кон ъю н кцию и от рица н ие; c) через д изъю н кцию и от рица н ие; d) через им плика цию и от рица н ие. 4.

a) В ыра зит ь от рица н ие им плика ции через осн овн ые опера ции т а к, чт обыот рица н ияст ояли т олько н а д прост ыми выска зыва н иями. b) В ыра зит ь опера цию д изъю н кциячерез им плика цию .

5. Д ока за т ь, чт о опера ция от рица н ия н е мож ет быт ь выра ж ен а через осн ов н ые опера ции (бин а рн ые) н а д выска зыва н иям и. 6. М а льчик реш ил в воскресен ье за кон чит ь чт ен ие кн иги, сход ит ь в м у зей или в кин о, а если бу д ет хорош а я погод а — пойт и н а реку выку па т ься. В ка ком слу ча е м ож н о ска за т ь, чт о реш ен ие м а льчика н е выполн ен о? В от вет е от рица н ияд олж н ы сод ерж а т ьсялиш ь в прост ых выска зыва н иях.

4.3 Р е ш е ние ло гиче ских за да ч с по м о щ ью а лге б р ы выска зыва ний У словие логической за д а чи за писыва ем в вид е ф орм у лы а лгебры выска зыва н ий, ввод я соот вет ст ву ю щ ие обозн а чен ия д ля прост ых выска зыва н ий, сф орм у лирова н н ых в за д а че. Д а лее с пом ощ ью ра вн осильн ых преобра зова н ий у прощ а ем ф орм у лу (сост а вн ое выска зыва н ие). В резу льт а т е полу ча ем более прост у ю словесн у ю ф орм у лировку у прощ ен н ой ф орм у лы, н а

63 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

осн ова н ии кот орой д а ем от вет н а вопрос за д а чи. Прим ер 1. На вопрос: « К т о из т рех ст у д ен т ов гот овился к э кза м ен у ?» полу чен верн ый от вет — « Е сли гот овилсяИ ва н ов, т о гот овилсяи Сид оров, н о н еверн о, чт о если гот овился П ет ров, т о гот овился и Сид оров» . К т о гот овилсяк э кза м ен у ? Реш ение. О бозн а чим прост ые выска зыва н ия « гот овился к э кза м ен у И ва н ов» (П ет ров, Сид оров) соот вет ст вен н о бу ква м и A (B, C). Тогд а у словие за д а чи м ож н о за писа т ь в в ид е ф орм у лы: ( A → C )& ( B → C ), т .к. сост а вн ые выска зыва н ия ( A → C ) и ( B → C ) (« Е сли гот ов ился И ва н ов, т о гот овился и Сид оров» и « Неверн о, чт о если гот овился П ет ров, т о гот овился и Сид оров» ) выполн яю т ся од н оврем ен н о и поэ т ом у он и д олж н ы быт ь соед ин ен ы логической связкой & (« и» ). В ыполн яя ра вн осильн ые преобра зова н ия, полу чим ( A → C )( B → C ) = ( A ∨ C )( B ∨ C ) = ( A ∨ C )( B & C ) = A B C ∨ BC C = A BC . Теперь чит а ем ф орм у лу : « Не гот овился И ва н ов и н е гот овился Сид оров и гот овилсяП ет ров к э кза м ен у » . О т вет : К э кза м ен у гот овился П ет ров. Прим ер 2. « В ерн у вш ись д ом ой, М егрэ позвон ил н а н а береж н у ю О рф евр. Г оворит М егрэ . Е ст ь н овост и? Д а , ш еф . П ост у пили сообщ ен ия от ин спект оров. Торра н с у ст а н овил, чт о если Ф ра н су а был пьян , т о либо Эт ьен у бийца , либо Ф ра н су а лж ет . Ж у сье счит а ет , чт о или Эт ьен у бийца или Ф ра н су а н е был пьян и у бийст во произош ло после полу н очи. И н спект ор Л ю ка просил перед а т ь В а м , чт о если у бийст во произош ло после полу н очи, т о либо Эт ьен у бийца , либо Ф ра н су а лж ет . За т ем позвон ила … . - В се. Спа сибо. Эт ого д ост а т очн о. – К ом исса рполож ил т ру бку . О н зн а л, чт о т резвый Ф ра н су а н икогд а н е лж ет . Теперь он зн а л все» . К а кой в ывод сд ела л М егрэ ? -

Реш ение. В вед ем след у ю щ ие э лем ен т а рн ые выска зыва н ия: A ≡ {Ф ра нсуа бы л пь я н } , B ≡ {Эт ь ен убийца }, C ≡ {Ф ра нсуа лж ет }, D ≡ {У бийст во произ ош ло после полуночи}. И н спект ора ком исса ра М ергэ у ст а н овили, чт о: A → ( B ∨ C ) ≡ 1,

64 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

B ∨ ( A ∧ D ) ≡ 1, D → ( B ∨ C ) ≡ 1. Ра ссм от рим кон ъ ю н кцию э т их т рех слож н ых выска зыва н ий и у прост им ее: ( A → (B ∨ C )) ∧ (B ∨ (A ∧ D )) ∧ ( D → ( B ∨ C )) ≡ 1. И спользу яф орм у лу u → v = u ∨ v , освобод им сяот им плика ции: (A ∨ B ∨ C ) ∧ (B ∨ (A ∧ D )) ∧ (D ∨ B ∨ C ) ≡ 1. П рим ен им вт орой д ист рибу т ивн ый за кон к первом у и т рет ьем у м н ож ит елям (B ∨ C ∨ A D )(B ∨ A D ) ≡ 1. Ра скрыва я скобки по первом у д ист рибу т ивн ом у за кон у д ва ж д ы и прим ен яяза кон поглощ ен ия u ∨ uv = u , полу чим B ∨ A DC ∨ A DD ≡ 1. Та к ка к A DD = 0 , т о окон ча т ельн о им еем : B ∨ A DC ≡ 1. Та ким обра зом, из пока за н ий ин спект оров след ова ло лиш ь, чт о или Эт ьен у бийца , или од н оврем ен н о им ели м ест о т ри обст оят ельст ва : Ф ра н су а н е был пьян , у бийст во произош ло после полу н очи, Ф ра н су а лга л. Но ком исса ру М ергэ было извест н о, чт о т резвый Ф ра н су а н е лж ет , т .е. чт о A∧C =1 или A ∧ C = 0, и, след ова т ельн о, резу льт а т , выт ека ю щ ий из пока за н ий ин спект оров, B ∨ ( A ∧ D ∧ C ) = 1, при э т ом у словии д а ет B ∨ 0 = 1, т .е. B = 1. О т вет : У бийст во соверш ил Эт ьен . ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. В ш коле, переш ед ш ей н а са м ообслу ж ива н ие, чет ырем ст а рш екла ссн ика м : А н д рееву , К ост ин у , Са вельеву и Д а выд ову пору чили у бра т ь 7-ой, 8-ой, 9-ый и 10-ый кла ссы. П ри проверке ока за лось, чт о 10-й кла сс у бра н плохо. Не у ш ед ш ие д ом ой у чен ики сообщ или о след у ю щ ем : 1) А н д реев: « Я у бира л 9-ый кла сс, а Са вельев — 7-ой» . 2) К ост ин : « Я у бира л 9-ый кла сс, а А н д реев — 8-ой» . 3) Са вельев : « Я у бира л 8-ой кла сс, а К ост ин — 10-ый» . Д а выд ов у ж е у ш ел д ом ой. В д а льн ейш ем выясн илось, чт о ка ж д ый у чен ик в од н ом из д ву х выска зыва н ий говорил пра вд у , а во вт ором лож ь. К а койкла сс у бира л ка ж д ый у чен ик?

65 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

2. П ят ь ш кольн иков из пят и ра зличн ых город ов Брян ской обла ст и прибыли д ляу ча ст ия в обла ст н ой олим пиа д е по ма т ем а т ике. На вопрос: « О т ку д а В ы?» ка ж д ыйд а л от вет : 1) И ва н ов: « Я приеха л из К лин цов, а Д м ит риев — из Новозыбкова » . 2) Сид оров: « Я приеха л из К лин цов, а П ет ров –из Тру бчевска » . 3) П ет ров: « Я приеха л из К лин цов , а Д м ит риев — из Д ят ькова » . 4) Д м ит риев: « Я приеха л из Новозыбкова , а Е ф им ов — из Ж у ковки» . 5) Е ф им ов: « Я приеха л из Ж у ковки, а И ва н ов ж ивет в Д ят ькове» . О т ку д а приеха л ка ж д ый из ш кольн иков, если од н о из у т верж д ен ий верн о, а д ру гое лож н о? 3. Сем ья, сост оящ а я из от ца A, ма т ери B и т рех д очерей C, D, E, ку пила т елевизор. У словились, чт о в первый вечербу д у т см от рет ь перед а чи в т а ком поряд ке: 1) К огд а от ец A см от рит перед а чу , т о м а т ь B д ела ет т о ж е. 2) Д очери D и E, обе или од н а из н их, см от рят перед а чу . 3) И з д ву х член ов сем ьи — м а т ь B и д очь C – см от рят перед а чу од н а и т олько од н а . 4) Д очери C и D или обе см от рят , или обе н е см от рят . 5) Е сли д очь E см от рит перед а чу , т о от ец A и д очь D д ела ю т т о ж е. К т о из член ов сем ьи в э т от вечерсм от рел перед а чу ? 4. На вопрос « К т о из т рех ст у д ен т ов изу ча л м а т ем а т ическу ю логику ?» полу чен верн ый от вет — « Е сли изу ча л первый, т о изу ча л и т рет ий, н о н еверн о, чт о если изу ча л вт орой, т о изу ча л и т рет ий» . К т о изу ча л м а т ем а т ическу ю логику ? 5. О пред елит ь, кт о из чет ырех ст у д ен т ов сд а л э кза м ен , если извест н о: 1) Е сли первый сд а л, т о и вт орой сд а л. 2) Е сли вт орой сд а л, т о т рет ий сд а л или перв ый н е сд а л. 3) Е сли чет верт ый н е сд а л, т о первый сд а л, а т рет ий н е сд а л. 4) Е сли чет верт ый сд а л, т о и первый сд а л. 6. И звест н о след у ю щ ее: если П ет ян е вид ел К олю н а у лице, т о К оля либо ход ил в кин о, либо П ет я ска за л пра вд у ; если К оля н е ход ил в кин о, т о П ет я н е вид ел К олю н а у лице, и К оляска за л пра вд у . Е сли К оля ска за л пра вд у , т о либо он ход ил в кин о, либо П ет ясолга л. В ыясн ит е, ход ил ли К оляв кин о.

66 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

7. Ч ет ыре ст у д ен т ки, им ен а кот орых н а чин а ю т ся бу ква ми A, E, C, P, посещ а ю т ин ст ит у т по очеред и и вед у т общ ий кон спект лекций. Необход им о сост а вит ь гра ф ик посещ ен ия н а ближ а йш у ю н ед елю , у чит ыва я, чт о: 1) П он ед ельн ик — д ен ь са мост оят ельн ой ра бот ы н а ку рсе, и в ин ст ит у т н е ход ит н икт о, а в су ббот у н еобход им о быт ь всем . 2) C и P н е м огу т пойт и н а за н ят ия во вт орн ик в связи с больш ой за гру ж ен н ост ью в пон ед ельн ик. 3) Если C пойд ет в сред у или P — в чет верг, т о Е согла сит ся побыва т ь н а за н ят иях в пят н ицу . 4) Если A н е пойд ет в В У З в чет верг, т о E позволит себе сход ит ь т у д а в сред у . 5) Если A и P бу д у т в ин ст ит у т е в сред у , т о C см ож ет пойт и в пят н ицу . 6) Если P в пят н ицу вм ест о ин ст ит у т а пойд ет н а сва д ьбу под ру ги, т о A прид ет ся сход ит ь в ин ст ит у т во вт орн ик, а C — в чет верг. 8. Ч ет ыре д ру га — А н т он ов (А ), В ехов (В ), Сомов (С), Д еев (Д) реш или провест и ка н ику лы в чет ырех ра зличн ых город а х — М оскве, О д ессе, К иеве и Та ш кен т е. О пред елит е, в ка кой город д олж ен поеха т ь ка ж д ый из н их, если им ею т сяслед у ю щ ие огра н ичен ия: 1) Е сли А н е ед ет в М оскву , т о С н е ед ет в О д ессу . 2) Е сли В н е ед ет н и в М оскву , н и в Та ш кен т , т о А ед ет в М оскву . 3) Е сли С н е ед ет в Та ш кен т , т о В ед ет в К иев. 4) Е сли Д н е ед ет в М оскву , т о В н е ед ет в М оскву . 5) Е сли Д н е ед ет в О д ессу , т о В н е ед ет в М оскву . 9. О д н а ж д ы след ова т елю приш лось од н оврем ен н о д опра ш ива т ь т рех свид ет елей: К лод а , Ж а ка и Д ика . И х пока за н ияпрот иворечили д ру гд ру гу и ка ж д ый из н их обвин ял кого-н ибу д ь во лж и. 1) К лод у т верж д а л, чт о Ж а к лж ет . 2) Ж а к обвин ял во лж и Д ика . 3) Д ик у гова рива л след ова т елян е верит ь н и К лод у , н и Ж а ку . 4) Но след ова т ель быст ро вывел их н а чист у ю вод у , н е за д а в им н и од н ого вопроса . К т о из свид ет елей говорил пра вд у ? 5. А ЛГЕБР А БУ ЛЯ 5.1 Буле вы ф ункции. Р а ве нство ф ункций и р а вно сильно сть ф о р м ул. П р инцип дво йстве нно сти

67 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

П ерем ен н а я x , прин им а ю щ а я д ва зн а чен ия, 0 или 1, н а зыва ет ся булевой перем енной. П у ст ь E = {0, 1} . Тогд а E n = 1 E ×44 E2 × ... E — м н ож ест во у поряд очен н ых 4×4 3 n

ра з

д воичн ых н а боров д лин ы n :

E n = { (α 1 , α 2 ,...,α n ) α i ∈ E , i = 1, 2 , 3, ... , n}.

Г оворят , чт о за д а н а булева функция n перем ен н ых f ( x1 , x 2 , ... , x n ) , если за д а н за кон , по кот ором у ка ж д ому д воичн ом у н а бору n n (α 1 , α 2 ,...,α n ) ∈ E ст а вит ся в соот вет ст вие 0 или 1: f : E → E . Та ким обра зом , обла ст ь опред елен ия бу левой ф у н кции f ( x1 , x 2 , ... , x n ) ест ь D(F ) = E n , м н ож ест во зн а чен ий — R( f ) = E , гд е м ощ -

н ост ь D( f ) = 2 n , R( f ) = 2. Бу лева ф у н кциям ож ет быт ь за д а н а при пом ощ и: 1. описа н ия; 2. т а блицы ист ин н ост и; 3. ф орм у лы а лгебры в ыска зыва н ий; 4. м н ож ест ва ист ин н ост и E f = { f (α 1 , α 2 , ... , α n ) f (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) = 1}; 5. н а бора зн а чен ий; 6. ф у н кцион а льн ой схем ы. Ра ссм от рим прим ер, н а кот ором проиллю ст риру ем у ка за н н ые способыза д а н иябу левых ф у н кций. Прим ер. П у ст ь бу лева ф у н кция f ( x1 , x 2 , x 3 ) прин има ет зн а чен ий 1 н а н а бора х (α 1 , α 2 ,α 3 ) , в кот орых больш ин ст во н у лей, а н а ост а льн ых н а бора х ее зн а чен ие ра вн о 0. О писа н н а я ф у н кция м ож ет быт ь за д а н а с пом ощ ью т а блицы ист ин н ост и (рис. 1): В слу ча е n перем ен н ых бу лева ф у н кция f ( x1 , x 2 ,..., x n ) за д а ет ся т а блицей, сод ерж а щ ей 2 n ст рок, т .к. E n = E

n

= 2 n . В д а льн ейш ем всегд а

бу д ем ра спола га т ь н а боры в т а блице ист ин н ост и т а к, ка к пока за н о н а рис.2.

68 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

x1

x2

x3

f ( x1 , x 2 , x 3 )

x1

x2

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 … 1 1 1

0 0 0 0 … 1 1 1

… … … … … … … … …

x n−1

0 0 1 1 … 0 1 1

Рис. 1

xn

0 1 0 1 … 1 0 1 Рис. 2

f ( x1 , x 2 ,..., x n ) f ( 0 ,0 ,...,0 ,0 ) f ( 0 ,0 ,...,0 ,1 ) f ( 0 ,0 ,...,1,0 ) f ( 0 ,0 ,...,1,1 )

… f ( 1,1,...,0 ,1 ) f ( 1,1,...,1,0 ) f ( 1,1,...,1,1 )

П ри ф иксирова н н ом поряд ке ра сполож ен ия н а боров ( α 1 ,α 2 ,...,α n ) в т а блице ист ин н ост и всяка я бу лева ф у н кция од н озн а чн о за д а ет ся н а бором своих зн а чен ий. В н а ш ем прим ере э т от н а борим еет вид f = ( 111 01 0 0 0 ). За м ет им , чт о м н ож ест во ист ин н ост и E f , за д а ю щ ее ф у н кцию f ( x1 , x 2 ,..., x n ) , пред ст а вляет собой n -м ест ное от нош ение ϕ н а м н ож ест ве E . О н о за д а ет бу леву ф у н кцию по пра вилу : 1, åñ ëè (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) ∈ ϕ f (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) =  0 , åñ ëè (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) ∉ ϕ . И н а оборот , бу лева ф у н кция f ( x1 , x 2 ,..., x n ) од н озн а чн о опред еляет м н ож ест во ист ин н ост и E f = { f (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) f (α 1 ,α 2 , ... ,α n ) = 1}. В слу ча е описа н н ого выш е прим ера E f = {(0 0 0) , (0 0 1), (0 1 0 ), (1 0 0)}. И м еет м ест о Теорем а . В сяка я бу лева ф у н кция пред ст а вим а в вид е ф орму лы а лгебры логики через опера ции ∨ , & и , и э т о пред ст а влен ие т а ково:

f ( x1 , ..., x n ) =

∨ ) (x

( σ 1 ,...,σ m

σ1 1

& x 2σ & ... & x mσ & f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ m , x m +1 , ..., x n )) 2

m

, гд е (σ 1 ,σ 2 ,...,σ m ) — ра зличн ые д воичн ые н а боры зн а чен ий перем ен н ых x1 , ..., x n , 1 ≤ m ≤ n , x iσ = x i , если σ i = 1, i

x iσ = x i , если σ i = 0 , i = 1, ..., m . i

П ривед ен н а я выш е в прим ере ф у н кция f ( x1 , x 2 , x 3 ) пред ст а вим а ф орм у лой:

69 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

f ( x1 , x 2 , x 3 ) = x 10 x 20 x 30 f (0 0 0 ) ∨ x10 x 20 x 31 f (0 01) ∨ x10 x 12 x 30 f (01 0 ) ∨ x10 x 12 x 13 f (0 11) ∨ ∨ x11 x 20 x 30 f (10 0 ) ∨ x11 x 20 x 13 f (1 01) ∨ x11 x 12 x 30 f (11 0 ) ∨ x11 x 12 x 31 f (111) = = x 1 x 2 x 3 ∨ x1 x 2 x 3 ∨ x1 x 2 x 3 ∨ x1 x 2 x 3 .

Та кое пред ст а влен ие н а зыва ет сян орм а льн ой ф орм ой, речь о кот орой пойд ет в след у ю щ их д ву х па ра гра ф а х. В сяка яф орм у ла а лгебры логики ест ь бу лева ф у н кция. Тож д ест вен н о ист ин н а я и т ож д ест вен н о лож н а я ф орм у лы ест ь пост оян н ые ф у н кции. И х м н ож ест ва зн а чен ий соот вет ст вен н о сост оят т олько из ед ин иц или т олько из н у лей. Бу левы ф у н кции вид а

f4 = x & y, f7 = x  y, f8 = x ↓ y, f2 = x , f5 = x → y , f3 = x ∨ y , f6 = x ↔ y , f9 = x ⊕ y н а зыва ю т сяэлем ент а рны м и. Бу левы ф у н кции от n перем ен н ых н а зыва ю т ся ра вны м и, если он и прин им а ю т од ин а ковые зн а чен ия н а соот вет ст в у ю щ их од ин а ков ых н а бора х перем ен н ых, в н их вход ящ их. Ра вн ые ф у н кции реа лизу ю т ся ра вносиль ны м и форм ула м и. На прим ер, f ( x1 , x 2 ) = x1 → x 2 = x1 ∨ x 2 = x1 x 2 ⊕ x1 ⊕ 1. Ра вн осильн ост ь ф орм у л д ока зыва ет ся: 1. С пом ощ ью т а блиц ист ин н ост и; 2. М ет од ом э квива лен т н ых (ра вн осильн ых) преобра зова н ий. Су щ ест ву ет ещ е од ин способд ока за т ельст ва ра вн осильн ост и ф орf1 = x ,

м у л, осн ова н н ый н а прим ен ен ии т а к н а зыва ем ого принципа двойст венност и. Бу лева ф у н кция f ∗ ( x1 ,K , x n ) н а зыва ет сядвойст венной к ф у н кции f ( x1 ,K , x n ) , если f ∗ ( x1 ,K , x n ) = f ( x1 ,K , x n ) . Та к, ф у н кция

f ∗ ( x, y ) = x & y , д войст вен н а к f ( x , y ) = x ∨ y : f ∗ (x , y) = x ∨ y = x & y = x & y .

70 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Принцип двойст венност и. П у ст ь f ( x1 ,K , x m ) , g1 ( x1 ,K , x n ) , … , g m ( x1 ,K , x n ) — бу левы ф у н кции и пу ст ь Φ ( x1 ,K , x n ) = f ( g1 ( x1 ,K , x n ), K , g m ( x1 ,K , x n )) — су перпозиция ф у н кций f , g1 , K , g m . Тогд а д войст вен н а я ф у н кция от су перпозиции ф у н кций ра вн а су перпозиции д войст вен н ых ф у н кций: Φ ∗ ( x1 ,K , x n ) = f ∗ g1∗ ( x1 ,K , x n ), K , g m∗ ( x1 ,K , x n ) .

(

)

И з опред елен ия д войст вен н ой ф у н кции след у ет , чт о две булевы функции ра вны т огда и т оль ко т огда , когда ра вны двойст венны е им функции. И спользу я э т от ф а кт , а т а кж е прин цип д войст вен н ост и, из у ж е извест н ых ра вн осильн ост ей легко полу чит ь н овые. Прим ер. П у ст ь f = x ∨ x y , g = x ∨ y . Д ока за т ь, чт о f = g . Дока з а т ель ст во. П ост роим f ∗ и g ∗ :

f ∗ = f ( x , y ) = x ∨ x y = x ∨ x y = x & xy = x & ( x ∨ y ) = x & ( x ∨ y ) = x & y ;

g ∗ = g( x , y ) = x ∨ y = x & y = x & y .

В ид им, чт о f ∗ = g ∗ . След ова т ельн о, f = g , т .е. x ∨ xy = x ∨ y . Д ока зыва ет ся т еорем а , чт о число всех булевы х функций от n пеn рем енны х ра вно 2 2 . Д ейст в ит ельн о, лю ба я бу лева ф у н кция от n перем ен н ых од н озн а чн о за д а ет сястолбцом своих зн а чен ий, д лин а кот орого ра вн а 2 n ст рок, а число ра зличн ых ст олбцов ра вн о числу всех ра зм ещ ен ий с повт орен иям и из 0 и n

n

1 д лин ы 2 n , т .е. A22 = 2 2 , чт о и д ока зыва ет т еорем у . Прим еча ние. За д а н ие бу левой ф у н кции в вид е ф у н кцион а льн ой схем ы бу д ет ра ссм от рен о д а лее. ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. Ра ссм от рет ь ра зличн ые способы за д а н ия бу левой ф у н кции от т рех перем ен н ых, кот ора я: a) прин им а ет зн а чен ие 1 в т ом и т олько в т ом слу ча е, когд а ровн о д ве перем ен н ые ра вн ы н у лю ; b) прин им а ет т а кое ж е зн а чен ие, ка к больш ин ст во (или м ен ьш ест во) перем ен н ых. 2. На йт и м н ож ест во ист ин н ост и E f ф орм у лой:

д ля бу левой ф у н кции f , за д а н н ой

71 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

1) f = xy ⊕ y ⊕ 1;

2) f = ( x ⊕ y ) ↓ x ; 3) f = ( x | y ) | x; 4)

(( x ↓ y ) ↓ z ) ↔ ( x ⊕ y );

5) f = xy → ( x | y ).

8)

7) x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

f 1 0 1 1

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

f 1 0 1 0 0 1 1 0

3. П ред ст а вит ь след у ю щ ие ф у н кции в вид е ф орм у л, если: 1) f = (01); 2) f = (0011); 3) f = (0000); 4) f = (00110101); 5) E f = {(00), (11)}; 6) E f = {(011); (010); (100); (111)};

4. На йт и число бу левых ф у н кций от т рех перем ен н ых, кот орые н а за д а н н ых д ву х н а бора х: a) прин им а ю т зн а чен ие 1; b) прин им а ю т лю бые за д а н н ые зн а чен ия. 5. Д воичн ые н а боры вид а (d 1 ,..., d n ) и (d 1 ,...,d n ) н а зыва ю т ся прот ивополож н ым и. На йт и число бу левых ф у н кций от n перем ен н ых, кот орые н а прот ивополож н ых н а бора х перем ен н ых прин им а ю т : a) прот ивополож н ые зн а чен ия; b) од ин а ковые зн а чен ия. 6. П ост роит ь д войст вен н у ю ф у н кцию д ляф у н кции f , если: 1) f = ( x ∨ y )( x ∨ z )( y ∨ z ); 2) f = (01011100);

72 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

3) f = (( x → y ) → x ).

7. П ост роит ь д войст вен н ые ф у н кции д ля всех э лем ен т а рн ых бу левых ф у н кций.

8. Д ока за т ь или опровергн у т ь ра вен ст во д ву х ф у н кций, использу я прин цип д войст вен н ост и: 1) f = x → ( y ⊕ z ), ϕ = ( x → y ) ⊕ ( x → y ); 2) f = x → ( y → z ); ϕ = ( x → y ) → ( x → y ); 3) f = x ( y ↔ z ); ϕ = xy ↔ xz; 4) f = x ( y ⊕ z ); ϕ = xy ⊕ xz; 5) f = x ⊕ ( y ∨ z ); ϕ = ( x ⊕ y ) ∨ ( x ⊕ z ). 9. Д ока за т ь, чт о f ( x , y ) ≡ 1 ,если: 1) f = ( x → y ) ∨ ( y → x );

(

)

2) f = ( x ⊕ y ) ↔ x ↔ y ;

3) f = xy ↔ ( x | y );

4) f = x ∨ y ↔ ( x ↓ y ). .

5.2 Дизъ ю нктивные и ко нъ ю нк тивные но р м а льные ф о р м ы П у ст ь x - бу лева перем ен н а я. В вед ем обозн а чен ие: x σ = x ⋅ σ ∨ x ⋅ σ , гд е па ра м ет р σ ∈ {0 ,1}. О че x , если σ = 1 вид н о, чт о x σ =  , т .е. x 1 = x , x 0 = x .  x , если σ = 0 Л егко вид ет ь, чт о x σ = 1 т огд а и т олько т огд а , когд а x = σ . П у ст ь x1 , x 2 , ... , x n - бу левы перем ен н ые. О пределение. Ф орм у лы а лгебры логики в ид а : x iσ11 & x σi2 2 & ... & x iσnn и x σi1 1 ∨ x σi 22 ∨ ... ∨ x σi nn ,

гд е i k ∈ {1, 2 , ..., n}, σ k ∈ {0,1}, н а зыва ю т ся соот вет ст вен н о элем ент а рной конъюнкцией (э.к.) и элем ент а рной диз ъюнкцией (э.д.) н а м н ож ест ве бу левых перем ен н ых {x1 , x 2 , ... , x n } .

73 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Ч исло логических м н ож ит елей в э.к. и логических сла га ем ых в э.д., н а зыва ет ся ра н гом э.к. и э.д. соот вет ст вен н о. Счит а ет ся, чт о кон ст а н т а 1 — э.к. н у левого ра н га , кон ст а н т а 0 — э.д. н у левого ра н га Сим вол & в э.к. м ож н о опу ска т ь д лякра т кост и На прим ер, K 1 = x1 x 2 x 3 x 4 — э.к. 4-го ра н га ; D1 = x1 ∨ x 2 ∨ x 3 — э.д. 3-го ра н га . О пределение. Диз ъюнкт ивной норм а ль ной форм ой (ДН Ф ) н а зыва ет ся произвольн а я д изъ ю н кцияра зличн ых э лем ен т а рн ых кон ъ ю н кций, т .е. ф орм у ла вид а D = K 1 ∨ K 2 ∨ ... ∨ K S , гд е K i , i = 1, s — э.к. Ч исло S н а зыва ет ся длиной ДН Ф . В слу ча е S = 0 Д НФ н а зыва ет ся пу ст ой и пола га ет сяра вн ой н у лю . О пределение. Конъюнкт ивной норм а ль ной форм ой (КН Ф ) н а зыва ет ся произвольн а я кон ъ ю н кция ра зличн ых э лем ен т а рн ых д изъю н кций, т .е. ф орм у ла вид а K = D1 & D2 & ... & DS , гд е S — д лин а К НФ , Di , i = 1, s — э.д. И м ею т м ест о след у ю щ ие т еорем ы: Теорем а 1. Д ля ка ж д ой бу левой ф у н кции f ( x1 , x 2 , ... , x n ) , от личн ой от тож д ест вен н ого н у ля, су щ ест ву ет д изъю н кт ивн а я н орм а льн а я ф орм а D т а ка я, чт о f ( x1 , x 2 , ... , x n ) = D . Теорем а 2. Д ля ка ж д ой бу левой ф у н кции f ( x1 , x 2 , ... , x n ) , от личн ой от т ож д ест вен н ой ед ин ицы, су щ ест ву ет кон ъ ю н кт ивн а ян орм а льн а яф орма K т а ка я, чт о f ( x1 , x 2 , ... , x n ) = K . П ред ст а влен ие бу левой ф у н кции в вид е Д НФ и К НФ , вообщ е говоря, н еод н озн а чн о. На прим ер, д ля ф у н кции f ( x , y , z ) = x ∨ z ( x → y ) бу д у т ра вн осильн ые м еж д у собой след у ю щ ие К НФ : K 1 = x z ( x ∨ y ),

(

)

K 2 = x z ( x ∨ y )( y ∨ z ),

K 3 = x z ( x ∨ y )( y ∨ z )( x ∨ z ). Ра ссм от рим д ва способа пост роен ияД НФ и К НФ . Способ 1. (М е то д эк в ив ал е нтных п ре о бразо в аний ). П у ст ь бу лева ф у н кция f ( x1 , x 2 , ... , x n ) за д а н а ф орм у лой. А лгорит м пост роен ия Д НФ и К НФ сост оит в след у ю щ ем :

74 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Ш а г 1.Ф орм у лу преобра зова т ь т а к, чт обы в н ей были т олько опера ции ∨ , & и ; Ш а г 2. Д обит ься с пом ощ ью за кон ов д е М орга н а , чт обы зн а к от рица н ияст оял лиш ь н а д от д ельн ыми перем ен н ым и; Ш а г 3. Ра скрыт ь скобки по 1-м у д ист рибу т ивн ом у за кон у A(B ∨ C ) = AB ∨ AC при пост роен ии Д НФ и по 2-м у д ист рибу т ивн ом у за кон у A ∨ BC = ( A ∨ B )( A ∨ C ) при пост роен ии К НФ . Способ 2. (С исп о л ьзо в ание м табл ицы истинно сти). Ш а г1. П у ст ь ф у н кция f ( x1 , x 2 , ... , x n ) за д а н а т а блицей или н а бором своих зн а чен ий. В оспользова т ься ра злож ен ием ф у н кции по перем ен н ым x1 , x 2 , ... , x n : f ( x1 , x 2 , ... , x n ) =

при пост роен ии Д НФ и f ( x1 , x 2 , ..., x n ) =

∨

(x

( σ 1 ,σ 2 ,...,σ n )

&

( σ 1 ,σ 2 ,...,σ n

(x )

σ1 1

σ1 1

& x 2σ 2 & ... & x σn n & f (σ 1 ,...,σ n ))

∨ x σ2 ∨ ... ∨ x σn ∨ f (σ 1 ,..., σ n )) 2

n

(∗) (∗∗)

при пост роен ии К НФ . Ш а г2. П олу чен н ые ф орм у лы по возм ож н ост и у прост ит ь с пом ощ ью осн овн ых ра вн осильн ост ей а лгебры логики выска зыва н ий. a → b = a ∨ b; a & a = 0 , a ∨ a = 1;

a ↔ b = (a → b )(b → a ) = (a ∨ b )(b ∨ a ) = a b ∨ ab ;

(

)

(

)

a ⊕ b = a ↔ b = a & b ∨ (a & b ) = (a ∨ b ) a ∨ b ; a ⊕ b = a b ∨ ab ;

a ∨ 1 = 1;

a ↓ b = a ∨ b = a b ; ab = ab = a ∨ b ; и т .д.

П р им е р 1. М е то д о м эк в ив ал е нтныхп ре о бразо в аний д л я фу нк ции f ( x , y , z ) = ( x ⊕ y ) → yz

пост роит ь Д НФ и К НФ . Реш ение. П рим ен яя осн ов н ые ра в н осильн ост и и 1-ый д ист рибу т ивн ый за кон , ст роим Д НФ : f ( x , y , z ) = ( x ⊕ y ) → yz = ( x ↔ y ) ∨ yz = ( x → y )( y → x ) ∨ yz = = ( x ∨ y )( y ∨ x ) ∨ yz = x y ∨ xx ∨ yy ∨ xy ∨ yz = = xy ∨ x y ∨ yz .

75 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

П рим ен яя 2-ой д ист рибу т ивн ый за кон в полу чен н ой Д НФ , пост роим К НФ д ляд а н н ой ф у н кции. f ( x, y, z ) = ( xy ∨ x y ) ∨ yz = ( xy ∨ x )( xy ∨ y ) ∨ yz = = ( x ∨ x )( y ∨ x )( x ∨ y )( y ∨ y ) ∨ yz =

= ( y ∨ x )( x ∨ y ) ∨ yz = ( y ∨ x ∨ yz )( x ∨ y ∨ yz ) =

= ( y ∨ x )( x ∨ z ∨ y )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ y ). У чит ыва я, чт о x ∨ y ∨ y = x ∨ 1 = 1 , полу чим д ру гу ю К НФ , ра вн осильн у ю пост роен н ой: f ( x, y , z ) = ( x ∨ y )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ) . Прим ер2. П ост роит ь Д НФ и К НФ д ляф у н кции f = (11 0 10 0 11) . Реш ение. Ст роим т а блицу ист ин н ост и д ля ф у н кции, за висящ ей от т рех перем ен н ых, т .к. д лин а ее д воичн ого н а бора ра вн а 8 = 2 3 (n = 3). П о ф орм у ле (∗) с у чет ом , чт о K& 1 = K , K& 0 = 0 ,им еем f ( x, y , z ) = x 0 y 0 z 0 & 1 ∨ x 0 y 0 z 1 & 1 ∨ x 0 y 1 z 0 & 0 ∨

∨ x 0 y 1z 1 & 1 ∨ x 1 y 0 z 0 & 0 ∨ x 1 y 0 z1 & 0 ∨ x 1 y 1z 0 & 1 ∨ ∨ x1 y 1 z 1 & 1 = x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ xy z ∨ x y z − ÄÍÔ

1

.

У чит ыва я, чт о a b ∨ a c = a (b ∨ c ) , м ож н о полу чит ь д ру гие Д НФ д ля д а н н ой ф у н кции: f = ( x y z ∨ x y z ) ∨ x yz ∨ ( x y z ∨ x y z ) = = x y ( z ∨ z ) ∨ x y z ∨ xy (z ∨ z ) = = x y ∨ x y z ∨ x y − ДН Ф 2 . f = ( x y∨ x y z ) ∨ x y = = x ( y ∨ y z ) ∨ xy =

= x ( y ∨ y )( y ∨ z ) ∨ x y

= x(y ∨ z)∨ x y x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1

f 1 1 0 1 0 0 1 1

= x y ∨ x z ∨ x y − ÄÍÔ

3

.

Ра зла га яд а н н у ю ф у н кцию f по ф орм у ле (**) с у чет ом, чт о D ∨ 1 = 1, D ∨ 0 = D , им еем f ( x, y,z ) = x 0 ∨ y 0 ∨ z0 ∨ 1 x 0 ∨ y 0 ∨ z1 ∨ 1 x 0 ∨ y 1 ∨ z 0 ∨

( ∧ (x

(

)( ∨ 1) = ( x

)(

)(

)(

)(

∧ x0 ∨ y1 ∨ z1 ∨1 x1 ∨ y0 ∨ z0 ∨ 0 x1 ∨ y0 ∨ z1 ∨ 0 x1 ∨ y 1

∨ y1 ∨ z1

1

∨ y 0 ∨ z 1 )( x 0 ∨ y 1 ∨ z 1 )( x 0 ∨ y 1 ∨ z 0

= ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ) − КН Ф 1 .

76 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

У чит ыва я, чт о (a ∨ b )(a ∨ b ) = a ∨ b b = a ∨ 0 = a , полу чим д ру гу ю К НФ , ра вн осильн у ю К НФ 1 : f = ( x ∨ y ∨ z )(( x ∨ y ) ∨ z z ) = ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ) − КН Ф 2 . Неод н озн а чн ост ь н орм а льн ых ф орм очевид н а .

Та ким обра зом, прим ен яя ра зличн ые ра вн осильн ые преобра зова н ия, м ы м ож ем прийт и к ра зличн ым н орм а льн ым ф орм а м , реа лизу ю щ их одну и т у ж е функцию . В связи с э т им возн ика ет возм ож н ост ь выбора более пред почт ит ельн ойреа лиза ции.

ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. П о д а н н ом у н а бору (α 1 ,...,α n ) зн а чен ий перем ен н ых x1 ,..., x n пост роит ь э лем ен т а рн у ю кон ъ ю н кцию , ист ин н у ю т олько д ля э т ого н а бора зн а чен ий перем ен н ых. 2. П о д а н н ом у н а бору (α 1 ,....α n ) зн а чен ий перем ен н ых x1 ,..., x n пост роит ь э лем ен т а рн у ю д изъ ю н кцию , лож н у ю т олько д ля э т ого н а бора зн а чен ий перем ен н ых. 3. Спом ощ ью э квива лен т н ых преобра зова н ий привест и к Д НФ ф орм у лы: 1) ( x ∨ yz )( x ∨ z ); 2) (( x1 ∨ x 2 x 3 x 4 )( x 2 ∨ x 4 ) → x1 x 3 x 4 ) ∨ ( x1 ∨ x 4 );

(

)

3) x ↓ z ~ ( y → z ) ∨ xy; 4) ( x 1 x 2 → x 3 x 4 ) | ( x1 → x 3 ); 5) ( x ∨ ( x ~ y )) → x ∨ y.

4. Спом ощ ью э квива лен т н ых преобра зова н ий привест и к К НФ ф орму лы: 1) x → yz; 2) (( x1 x 2 ⊕ x 3 ) → x 4 ) → x; 3) (( x1 | x 2 ) → x 3 ) ~ x1 x 4 ; 4) (( xyz ~ ( y ∨ z )) y ) ↓ x ;

5)  ( x ~ yz ) → ( x ⊕ ( y → z )). 5. П у ст ь X 1 ,..., X m , U1 ,..., U n - произвольн ые ф орм у лы а лгебры логики. Д ока за т ь след у ю щ ие э кв ива лен т н ост и:

77 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

1) X 1 X 2 ... X m ∨ U 1U 2 ...U n = ∧ ( X i ∨ U j ); i =1,...,m j =1,...,n

2) ( X 1 ∨ X 2 ∨ ... ∨ X m )(U 1 ∨ U 2 ∨ ... ∨ U n ) = ∨ X i U j ; i −1,...,m j =1,...,n

6. С пом ощ ью вт орого д ист рибу т ивн ого за кон а преобра зова т ь Д НФ К НФ :

в

1) xy ∨ yz ∨ xz ; 2) xyz ∨ xyz ∨ xyz; 3) x1 x 2 ∨ x 2 x 3 ∨ x 4 x 3 ∨ x 2 .

5.3 Кла ссиф ика ция ДНФ . М иним иза ция б уле вых ф ункций П роблем а м ин им иза ции бу левых ф у н кций сост оит в т ом , чт обы пост роит ь Д НФ , у кот орой число вхож д ен ий м ин им а льн о по сра вн ен ию со всем и д ру гим и Д НФ , реа лизу ю щ им и бу леву ф у н кцию . О пределение 1. Д НФ ф у н кции f н а зыва ет ся кра т ча йш ей, если он а имеет н а им ен ьш у ю д лин у сред и всех э кв ива лен т н ых ей Д НФ . О пределение 2. Д НФ ф у н кции f н а зыва ет ся м иним а ль ной, если он а им еет н а им ен ьш ее число вхож д ен ий – бу кв x iσ сред и всех э квива лен т н ых Д НФ . i

О бозн а чим через ρ D =

∑ ρ (K ) S

i =1

i

— сум м у ра нгов э.к., вход ящ их в

Д НФ . Ч исло ρ D н а зыва ет ся слож н ост ью Д НФ . Тогд а Д НФ , у кот орой су м м а ра н гов ρ D м ин им а льн а сред и всех ее Д НФ , являет сям ин им а льн ой. Способпост роен иям ин им а льн ой Д НФ д а ет след у ю щ а ят еорем а . Теорем а . С пом ощ ью ра вн осильн ых преобра зова н ий, прим ен яяф орм у лы: 1. П оглощ ен ия K 1 ∨ K 1 K 2 = K 1 ; 1. Склеива н ия XK ∨ X K = K ; 2. Неполн ого склеива н ия XK ∨ X K = XK ∨ XK ∨ K ; 3. О бобщ ен н ого склеива н ия XK 1 ∨ XK 2 = XK 1 ∨ XK 2 ∨ K 1 K 2 , из лю бой Д НФ ф у н кции f мож н о пост роит ь Д НФ , кот ора я а ) либо совпа д а ет с м ин им а льн ой или кра т ча йш ей, б) либо м ин има льн а я(кра т ча йш а я) полу ча ет сяиз н ее у д а лен ием од н ой или н ескольких э лем ен т а рн ых кон ъ ю н кций.

78 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Прим ер 1. Д ля ф у н кции f = (111 011 0 0) пост роит ь н есколько Д НФ . У ка за т ь кра т ча йш у ю и м ин им а льн у ю сред и н их. Реш ение. П ред ва рит ельн о пост роив т а блицу ист ин н ост и д ля f и прим ен яяпреобра зова н ия, полу чим след у ю щ ие Д НФ : D1 = x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z; ρ D = 15; 1

D2 = x y ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z; D3 = x y ∨ x y z ∨ x y ; D4 = x y ∨ x z ∨ x y ; D5 = y ∨ x z ;

ρ D = 11; 2

ρ D = 7; 3

ρ D = 6; 4

ρ D = 3. 5

К ра т ча йш ей Д НФ являет ся D5 . У н ее число логических сла га ем ых, т .е. д лин а S = 2 — н а им ен ьш ее. М ин им а льн ой ДН Ф я вля ет ся D5 , т .к. ρ D = min ρ D = 3 . 1≤ i ≤5

i

О пределение 3. Д НФ ф у н кции f н а зыва ет ся т упиковой, если от бра сыва н ие лю бого ее сла га ем ого или бу квы привод ит к н еэ квива лен т н ой Д НФ . Ту пикова я Д НФ ф у н кции f опред еляет ся н еод н озн а чн о. Сред и т у пиковых Д НФ ф у н кции f всегд а сод ерж ит сяи м ин им а льн а я. П ривед ем а лгорит м пост роения м иним а ль ной ДН Ф д ля ф у н кции f ( x1 , x 2 , ..., x n ) . Ш а г 1. П ост роит ь всевозм ож н ые э.к. из перем ен н ых 1, x1 , x 2 ,..., x n , x1 ,..., x n , x1 x 2 , ..., x i x j , ..., x1 x 2 ...x n . ; Ш а г2. И з пост роен н ых э.к. пост роит ь всевозм ож н ые Д НФ ; Ш а г3. У поряд очит ь м н ож ест во всех полу чен н ых Д НФ н а 2-ом ш а ге в н а пра влен ии возра ст а н иявеличин ρ D ; i

Ш а г 4. Сра вн ит ь т а блицы ист ин н ост и д ля ф у н кции f и д ля Д НФ , д вига ясь по у поряд очен н ом у м н ож ест ву , полу чен н ом у н а 3-ем ш а ге. П ерва я Д НФ , у кот орой т а блица ист ин н ост и бу д ет т а кой, ка к у ф у н кции f , являет сям ин им а льн ой. О пределение 4. И м плика нт ом ф у н кции f н а зыва ет ся э лем ен т а рн а я кон ъ ю н кция K = x iσ & x iσ & ... & x i , σ k ∈ {0,1} , ik ∈ {1, 2 , ..., n} д ля 1

1

σρ

2

ρ

2

всех k = 1, ρ т а ка я, чт о K ∨ f = f . И м плика н т K ф у н кции f н а зыва ет ся прост ым им плика н т ом , если после от бра сыва н ия лю бой бу квы x σi из K полу ча ет ся э лемен т а рн а я кон ъю н кция, н е являю щ а ясяу ж е им плика н т ом ф у н кции f . k

k

79 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

О пределение 5. Сокра щ енной ДН Ф ф у н кции f н а зыва ет ся д изъю н кциявсех прост ых им плика н т ов ф у н кции f . Сокра щ ен н а яД НФ опред еляет сяод н озн а чн о д ляф у н кции f . М е то д по стр о е ния со кр а щ е нно й ДНФ ф ункции f Ш а г1. П ост роит ь Д НФ д ляф у н кции f . Ш а г2. П роизвод ит ь опера цию обобщ ен н ого склеива н ия XK 1 ∨ X K 2 = XK 1 ∨ XK 2 ∨ K 1 K 2 д о т ех пор, пока э т о возм ож н о. Ш а г3. П роизвод ит ь опера цию поглощ ен ия K1 ∨ K 1 K 2 = K 1 . В резу льт а т е приход им к сокра щ ен н ой Д НФ , у чит ыва я, чт о K 1 K 1 = 0 и K1 ∨ K1 = K1 . Прим ер2. П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ д ляф у н кции f = ( x ∨ y )( x ∨ y ∨ z ) . Реш ение. Ра скрыва я скобки по 1-м у д ист рибу т ивн ом у за кон у , полу ча ем Д НФ ; за т ем прим ен яем опера цию поглощ ен ия: f = ( x ∨ y )( x ∨ y ∨ z ) = xx ∨ x y ∨ xy ∨ yy ∨ xz ∨ yz = = xy ∨ ( xy ∨ y ) ∨ xz ∨ yz = ( x y ∨ y ) ∨ yz ∨ xz =

= ( y ∨ yz ) ∨ xz = y ∨ xz – сокра щ ен н а яД НФ .

О пределение 6. Д НФ ф у н кции f ( x1 , x 2 ,..., x n ) н а зыва ет ся соверш енной, если он а сост а влен а из попа рн о ра зличн ых э.к. ра нга n , т .е. ф орм у ла вид а : f ( x1 , x 2 , ... , x n ) = ∨ ( x1σ & x σ2 & ... & x σn ) , 1

2

n

f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n )=1

гд е д изъю н кт ивн а ясу м м а берет ся по всем н а бора м (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , н а кот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 1. Я сн о, чт о ф у н кция f ( x1 , x 2 ,..., x n ) от личн а от т ож д ест вен н ого н у ля. В след у ю щ ем па ра гра ф е под робн о ра ссм а т рива ю т ся соверш ен н ые н орм а льн ые ф орм ы и их н а хож д ен ие, им ею щ ие ва ж н ое зн а чен ие в прилож ен иях. ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. Д ля ф у н кции f = (0 0101111) пост роит ь н есколько Д НФ . У ка за т ь кра т ча йш у ю , м ин им а льн у ю . Сред и э.к. опред елит ь, ка кие являю т ся

80 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

a) им плика н т а м и, b) прост ыми им плика н т а м и ( с обосн ова н ием ). П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ . 2. П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ д ля след у ю щ их ф у н кций. К а кова ее д лин а ? 1) f = (a ∨ b ∨ c )(a ∨ b ∨ c )(b ∨ c ) ; 2) f = xy ∨ xz ∨ yz ; 3) f = (111110 0 0 ) ; 4) f = (110 0 0101) . 3. П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ д ля f = x ⊕ y ⊕ z . О пред елит ь ее д лин у . 4. В ыясн ит ь, являю т ся ли т у пиковым и, кра т ча йш им и или м ин им а льн ым и Д НФ след у ю щ ие ф у н кции: 1) f = ab ∨ b ; f = a b p ∨ abc ∨ c p ; 2) f = xy ∨ xz . 5. И з за д а н н ого м н ож ест ва э.к. K выд елит ь: a) им плика н т ы, b) прост ые им плика н т ы ф у н кции f = (01111111) гд е 1) K = {xy , yx , x , xyz} , 2) K = { y , xy , xz , xy , yz , yz }. 6. П ост роит ь сокра щ ен н у ю Д НФ д ля ф у н кции f , за д а н н ой м н ож ест вом ист ин н ост и: E f = {(0 0 0 ),(10 0 ),(101), (110 ), (111)}. 7. В коробке леж а т ш а ры: больш ие и м а лен ькие, кра сн ые и зелен ые, т ем н ые и свет лые. И з коробки н а д о д ост а т ь ш а р, у д овлет воряю щ ий след у ю щ им у словиям : 1) Если ш а рсвет лый, т о он м ож ет быт ь м а лен ьким т олько т огд а , когд а он кра сн ый. 2) Ш а рм ож ет быт ь больш им и свет лым , если он зелен ый. 3) Если ш а рбольш ой, т о д лят ого, чт обыон был зелен ый, д ост а т очн о, чт обыон был т ем н ым . Свест и э т и т ребова н ияк д ву м прост ейш им у словиям. 8. На пра зд н ик было реш ен о пригла сит ь гост ей. В связи с э т им были выска за н ы след у ю щ ие сообра ж ен ия: если м ы пригла сим А н д рея, т о В оло-

81 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

д ю пригла ш а т ь н е н а д о. Но Сереж у м ож н о пригла сит ь т олько т огд а , когд а бу д ет пригла ш ен В олод я. А если м ы пригла сим А н д рея с Волод ей, т о Сереж у пригла сит ь н ельзя. На след у ю щ ий д ен ь было реш ен о, чт о н у ж н о сд ела т ь прот ивополож н ое, т .е. в ка чест ве ин ст ру кции по пригла ш ен ию гост ей взят ь от рица н ие кон ъ ю н кции всего т ого, чт о было ска за н о н а ка н у н е. У прост ит ь н ову ю ин ст ру кцию и свест и ее к прост ейш им у словиям . 9. П о слу ча ю н овоселья сем ья реш ила ку пит ь н овый ш ка ф . В се хот ели, чт обы ш ка ф был либо д у бовый, либо березовый; либо ж елт ый, либо коричн евый; либо свет лый, либо т ем н ый. О т цу д а ли целый ряд реком ен д а ций. 1) М а т ь ска за ла : « Ты м ож еш ь ку пит ь свет лый ш ка ф , если т олько он бу д ет березовым ж елт ого цвет а » . 2) Ба бу ш ка ска за ла : « Е сли ш ка ф бу д ет березовым , т о свет лый т он д олж ен быт ь д ост а т очн ым призн а ком ж елт ой окра ски» . 3) Д ет и ска за ли: « Е сли ш ка ф бу д ет коричн евым , т о д лят ого, чт обыон был т ем н ым , н еобход им о, чт обы он был сд ела н из д у ба » . О т ец сообра зил, чт о э т и реком ен д а ции свод ят сяк д ву м прост ейш им у слов иям . Но он ку пил ш ка ф , кот орый у д овлет ворял т олько од н ом у из э т их у словий. О н пост у пил т а к пот ом у , чт о хот ел, чт обы ш ка ф был свет лым и березовым или т ем н ым , н о ж елт ым . И э т о у слов ие д ейст вит ельн о ока за лось выполн ен н ым . К а кой ш ка ф был ку плен ? У ка з а ние: реш ен ие за д а ч 7-9 свод ит сяк поиску м ин им а льн ой К НФ .

5.4 С о ве р ш е нные но р м а льн ые ф о р м ы П у ст ь f ( x 1 , ..., x n ) — произвольн а ябу лева ф у н кция, за висящ а яот n перем ен н ых. О пределение. Д НФ ф у н кции f ( x 1 , ..., x n ) н а зыва ет ся соверш ен н ой, если он а сост а влен а из попа рн о ра зличн ых э лем ен т а рн ых кон ъю н кций ра н га n , т .е. ф орм у л вид а f ( x1 , ..., x n ) = ∨ ( x1σ & x σ2 & ... & x nσ ), (1) 1

f (σ 1 , ,...,σ n ) =1

2

n

гд е д изъю н кт ивн а я су м ма берет ся по всем н а бора м (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , д ля кот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 1 . Я сн о, чт о э т а ф у н кция f ( x1 , ..., x n ) от личн а от т ож д ест вен н ого н у ля. О пределение. К НФ ф у н кции f ( x 1 , ..., x n ) н а зыва ет ся соверш ен н ой, если он а сост а влен а из попа рн о ра зличн ых э лем ен т а рн ых д изъю н кций ра н га n , т .е. ф орм у л вид а

82 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

f ( x1 , ..., x n ) =

∧

f (σ 1 , ,..., σ n ) = 0

(x

σ1 1

∨ x σ2 ∨ ... ∨ x nσ ) , n

2

(2)

гд е кон ъ ю н кт ивн ое произвед ен ие берет ся по всем н а бора м (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , д лякот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 0 .Я сн о, чт о f ( x 1 ,..., x n ) ≠ 1 Ф орм у лы, ст оящ ие в пра вых ча ст ях ра вен ст в (1) и (2), соот вет ст вен н о н а зыва ю т ся соверш енной норм а ль ной диз ъюнкт ивной и конъюнкт ивной форм а м и (СД НФ и СК НФ ). В от личие от обычн ых ф орм ка ж д ое сла га ем ое СД НФ или ка ж д ый сом н ож ит ель СК НФ сод ерж ит все перем ен н ые x1 ,..., x n в н екот орых « ст епен ях» . Ра ссм от рим д ва способа их пост роен ия. Первы м способом соверш ен н ые н орм а льн ые ф орм ы д ля произвольн ой бу левой ф у н кции м ож н о ст роит ь, исход я из пред ст а влен ий (1)— (2). Д ля э т ого д ост а т очн о пост роит ь т а блицу ист инност и ф у н кции. Д ля пост роен ия СД НФ н у ж н о выд елит ь т е н а боры (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , н а кот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 1 . К а ж д ом у т а ком у н а бору ст а вит ся в соот вет ст вие э лем ен т а рн а я кон ъ ю н кция x1σ & x 2σ & ... & x nσ . Сост а влен н а я из э т их кон ъю н кций д изъ ю н кт ивн а ясу м м а и ест ь иском а яСД НФ . Д ляпост роен ия СК НФ н у ж н о выбра т ь н а боры (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) , д лякот орых f (σ 1 ,σ 2 ,...,σ n ) = 0 . К а ж д ом у т а ком у н а бору ст а вит ся в соот вет ст 1

n

2

вие э лем ен т а рн а я д изъю н кция x1σ ∨ x 2σ ∨ ... ∨ x σn . О бъед ин яя т а кие д изъю н кции в кон ъ ю н кт ив н ое произвед ен ие, полу чим СК НФ . 1

2

n

Прим ер 1. П у ст ь ф у н кция ϕ ( x , y , z ) прин има ет зн а чен ие 1 т огд а и т олько т огд а , когд а больш ин ст во перем ен н ых ра вн о н у лю . П ост роим СД НФ и СК НФ э т ойф у н кции. Реш ение. Ра ссм от рим т а блицу ист ин н ост и за д а н н ой ф у н кции (т а блица 1): Ф у н кция ϕ ( x , y , z ) прин им а ет зн а чен ие 1 н а н а бора х (000), (001), (010), (100). Эт им н а бора м соот вет ст ву ю т э лем ен т а рн ые кон ъ ю н кции x 0 y 0 z 0 , x 0 y 0 z 1 , x 0 y1 z 0 , x 1 y 0 z 0 , кот орые с у чет ом (1) перепиш ем в вид е: x y z , x y z, x y z , x y z . но О кон ча т ельн о им еем СД НФ ф у н кy z ϕ ( x , y , z ) x ции ϕ ( x , y , z ) : м ер н а бора Dc = x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z . 1 0 0 0 1 Д ля пост роен ия СК НФ за м е2 0 0 1 1 т им , чт о ра ссм а т рива ем а я ф у н кция 3 0 1 0 1 прин им а ет зн а чен ие 0 н а н а бора х 4 0 1 1 0 (011), (101), (110) и (111). 5 1 0 0 1 6 1 0 1 0 7 1 1 0 0 8 1 Та блица 1 0 11

83 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

П ост роим соот вет ст ву ю щ ие э т им н а бора м э лем ен т а рн ые д изъ ю н кции: x0 ∨ y1 ∨ z1 , x1 ∨ y0 ∨ z1 , x1 ∨ y1 ∨ z0 , x1 ∨ y1 ∨ z1 , перепиш ем в ст а н д а рт н ой ф орм е: x ∨ y ∨ z , x ∨ y ∨ z , x ∨ y ∨ z , x ∨ y ∨ z. К он ъ ю н кт ивн ое произвед ен ие э т их д изъ ю н кций и ест ь СК НФ за д а н н ойф у н кции: K c = ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ). З а м еча ние. О чен ь ча ст о бу лева ф у н кция за д а ет ся н а бором своих зн а чен ий f (α 1 ,...,α n ) , гд е (α 1 ,...,α n ) ∈ E n , E = {0,1} . П ри э т ом вид н а бора зн а чен ий ф у н кции су щ ест вен н о за висит от т ого, ка к у поряд очен ы н а боры (α 1 ,...,α n ) н а м н ож ест ве E n . На бору (α 1 ,...,α n ) пост а вим в соот вет ст вие н ом ер k = 1 + α 1 ⋅ 2 n −1 + α 2 ⋅ 2 n− 2 + ... + α n −1 ⋅ 2 + α n (3) В н а боре зн а чен ий ф у н кции н а k -м мест е за пиш ем величин у f (α 1 ,...,α n ) . Та к, ф у н кция, ра ссм а т рива ем а я в пред ыд у щ ем прим ере, м ож ет быт ь за писа н а в вид е ϕ ( x , y , z ) = (111 010 0 0) . Прим ер2. П у ст ь f ( x , y , z ) = (011 010 01) . На йт и СД НФ и СК НФ . Реш ение. Ф у н кция f прин им а ет зн а чен ие 1 н а н а бора х с н ом ера м и 2, 3, 5, 8. В осст а н овим по ф орм у ле (3) э т и н а боры: (001), (010), (100), (111). О бъед ин им соот вет ст ву ю щ ие э т им н а бора м э лемен т а рн ые кон ъ ю н кции в СД НФ : Dc = x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z . Зн а чен ие 0 ф у н кция f прин им а ет н а н а бора х с н ом ера м и 1, 4, 6, 7. В ыпиш ем э т и н а боры: (000), (011), (110), (101). К он ъ ю н кция соот вет ст ву ю щ их э т им н а бора м э лем ен т а рн ых д изъю н кций являет ся СК НФ за д а н н ойф у н кции: K c = ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ). Ра ссм от рен н ые прим еры являю т сяиллю ст ра цией к первом у способу пост роен ия СК НФ и СД НФ , осн ова н н ом у н а пред ст а влен иях (1) и (2). П рим ен яет ся он , ка к пра вило, д ля ф у н кций, за д а н н ых т а блицей ист ин н ост и или н а бором зн а чен ий. Е сли ж е ф у н кцияза д а н а а н а лит ически, т .е. при пом ощ и ф орм у лы, т о д ля н ее н у ж н о сн а ча ла пост роит ь т а блицу ист ин н ост и, а за т ем прим ен ят ь описа н н ый м ет од . В т орой способ пост роен ияСД НФ и СК НФ сост оит в э кв ива лен т н ом преобра зова н ии ф орм у лы, реа лизу ю щ ей ф у н кцию , к вид у (1) или (2). К а к у ж е от м еча лось, соверш ен н ые д изъ ю н кт ивн а я или кон ъю н кт ивн а я н орм а льн ые ф орм ы ф у н кции f ( x 1 , ..., x n ) от лича ю т ся от обычн ых т ем , чт о ка ж д ое сла га ем ое СД НФ и ка ж д ый сом н ож ит ель СК НФ сод ерж ит все пе-

84 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

рем ен н ые x1 , ..., x n в н екот орых « ст епен ях» . Эт о свойст во д а ет возмож н ост ь сф орм у лирова т ь след у ю щ ие пра в ила . 1. Д ля полу чен ияСД НФ реа лизу ем ой ф орм у лой ф у н кции f ( x1 , ..., x n ) ≠ 0 н у ж н о пост роит ь Д НФ э т ой ф у н кции (см . п.5.2). За т ем , если ка ка ян ибу д ь кон ъ ю н кция Д НФ н е сод ерж ит перем ен н ой x l , за м ен ит ь ее па рой кон ъю н кций K j K j x l ∨ K j xl .

(4)

За м ен у производ ит ь д о т ех пор, пока ка ж д ое сла га ем ое Д НФ н е бу д ет сод ерж а т ь всех перемен н ых x1 , ..., x n (их от рица н ий или их са м их). 2. Д ля полу чен ия СК НФ реа лизу ем ой ф орму лой ф у н кции f ( x1 , ..., x n ) ≠ 1 н у ж н о пост роит ь К НФ э т ой ф у н кции. За т ем , если ка ка я-н ибу д ь д изъю н кция D j К НФ н е сод ерж ит перем ен н ой x l , за м ен ит ь ее па рой д изъю н кций (D j ∨ x l )(D j ∨ x l ) . (5) За м ен ы (4) и (5) являю т ся э кв ива лен т н ым и, т а к ка к в силу первого д ист рибу т ивн ого за кон а K j x l ∨ K j xl = K j ( x l ∨ xl ) = K j ⋅ 1 = K j , а в силу вт орого д ист рибу т ивн ого за кон а (D j ∨ xl )( D j ∨ xl ) = D j ∨ x l xl = D j ∨ 0 = D j . Прим ер 3. Д ля ф у н кции f ( x , y , z ) = x ∨ z ~ xy пост роит ь СД НФ и СК НФ . Реш ение. Сн а ча ла ст роим н орм а льн ые ф орм ы: D = xy ∨ xz ∨ yz , K = ( x ∨ z )( x ∨ y ). В первом сла га ем ом Д НФ н ед ост а ет перем ен н ой z , во вт ором — перем ен н ой y , в т рет ьем — x . В соот вет ст вии с (4) за пиш ем : D = xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz . У бра в лиш н ие сла га ем ые, н а ход им СД НФ : Dc = xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz . В первом сом н ож ит еле К НФ н е д ост а ет перем ен н ой y , во вт ором — z ; поэ том у в соот вет ст вии с (5) им еем СК НФ : K c = ( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z )( x ∨ y ∨ z ).

ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ

85 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

1. П ост роит ь соверш ен н ые Д НФ и К НФ д ля след у ю щ их ф у н кций (д ля ф у н кций, за д а н н ых ф орм у ла м и, пред ва рит ельн о пост роит ь т а блицы ист ин н ост и): 1) ( x ⊕ y ) → yz; 2) f = (01101100); 3) (( x → y ) ~ z ) | xyz; 4) f = (0100110000110010); 5) ( x → y )( x ⊕ y )( x ~ y )( y | x ). 2. П реобра зова т ь за д а н н ые Д НФ в соверш ен н ые: 1) xy ∨ yz ∨ x y; 2) x1 ∨ x 2 x 3 ∨ x1 x 2 x 4 ; 3) x ∨ x yz ∨ xy; 4) xy ∨ xyz ∨ y ∨ xy ; 5) x1 x 2 ∨ x 2 x 3 ∨ x 3 x1 ; 3. П реобра зова т ь за д а н н ые К НФ в соверш ен н ые: 1) ( x ∨ y )(z ∨ y )z; 2) (u ∨ v )(u ∨ v ∨ w )(u ∨ v ); 4) ( x ∨ y )( x ∨ z ) y; 3) ( x 1 ∨ x 2 )( x 2 ∨ x 3 )( x 3 ∨ x 4 ); 5) ( x 1 ∨ x 2 )( x 1 ∨ x 3 ∨ x 4 ); 4. П ост роит ь СД НФ и СК НФ с помощ ью э квива лен т н ых преобра зова н ий: 1) (( x → y ) ∨ z ) ~ ( x ∨ ( y → z )); 2) ( x 1 ∨ x 2 ) → ( x 3 ∨ x 4 ); 3) (( x ⊕ z ) → y ) ∨ (( x | y ) ∨ y ); 4) ( y ~ z )( z ~ x )( x ∨ y ); 5) ( x 1 | x 2 ) → ( x 3 | x 4 ); 5. П ост роит ь ф орм у лу ф у н кции т рех перем ен н ых, кот ора яприн им а ет зн а чен ие 1 в т ом и т олько в т ом слу ча е, когд а ровн о д ве перемен н ые ра вн ы н у лю . 6. П ост роит ь ф орм у лу ф у н кции т рех перем ен н ых, кот ора я прин им а ет т а кое ж е зн а чен ие, ка к больш ин ст во (или м ен ьш ин ст во) перем ен н ых. 7. Д ока за т ь, чт о ф у н кция от n перемен н ых f ( x1 ... x n ) ≡ 0 т огд а и т олько т огд а , когд а ее СК НФ сод ерж ит 2 n попа рн о н еэ квива лен т н ых э лем ен т а рн ых д изъю н кций. 8. П о СК НФ ф орм у лы U пост роит ь

86 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

1) СД НФ д войст вен н ой ф орм у лы U*; 2) СК НФ ф орм у лы U ; 3) СД НФ ф орм у лы U ; 9. П о СД НФ ф орм у лы U и СД НФ ф орм у лы V пост роит ь 1) СК НФ и СД НФ ф орм у лы U ∨ V ; 2) СК НФ и СД НФ ф орм у лы U ∧ V ; 3) СК НФ и СД НФ ф орм у лы U → V . 10.На йт и д лин у соверш ен н ой Д НФ ф у н кции f ( x1 ,..., x n ) : 1) f ( x 1 ,..., x n ) = x 1 ⊕ x 2 ⊕ ... ⊕ x n ; 2) f ( x1 ,..., x n ) = ( x 1 ∨ x 2 ∨ ... ∨ x n )( x1 ∨ x 2 ∨ ... ∨ x n ); 3) f ( x 1 ,..., x n ) = ( x 1 ∨ x 2 ∨ x 3 )( x1 ∨ x 2 ∨ x 3 ) ⊕ x 4 ⊕ x 5 ⊕ ... ⊕ x n . 11.Сот ру д н ики кон ст ру кт орского бю ро обсу ж д а ли вопрос о пред ст оящ ей ком а н д ировке в М оскву . Были выска за н ы след у ю щ ие су ж д ен ия: 1) Если поед у т И ва н ов и П ет ров, т о н а д о посыла т ь и Сид орова . 2) Сид оров поед ет т олько при у словии, чт о поед ет И ва н ов. Зн а чит , П ет рова посыла т ь н ельзя. 3) На д о посла т ь или И ва н ова или П ет рова . Д ирект орска за л, что м ож н о выполн ит ь т олько од н о из э т их пред лож ен ий. К ого хот ели посла т ь в кома н д ировку сот ру д н ики и кого реш ил посла т ь д ирект ор. 12.В ка ф е приш ли т ри посет ит еля. О н и у зн а ли, чт о н а обед м ож н о за ка за т ь: ха рчо либо борщ , плов либо а зу , сок либо ком пот . О бсу ж д а я м ен ю , ка ж д ый из посет ит елей выска за л свое м н ен ие: 1) Я хочу за ка за т ь сок, если м ы возьм ем а зу либо борщ . 2) Ч т обы я согла сился взят ь борщ и плов, д ост а т очн о за ка за т ь сок. А н а ком пот я согла ш у сь т олько при у словии, чт о бу д ет за ка за н о а зу или ха рчо. 3) Если м ы за ка ж ем сок, т о н а д о взят ь ха рчо и плов, н о яхочу за ка за т ь борщ . Зн а чит , н а д о взят ь а зу и сок. О ф ициа н т н ичего н е пон ял и попросил посет ит елей излож ит ь свои т ребова н ияв более ясн ой ф орм е. П осет ит ели под у м а ли и свели свои т ребова н ияк т рем прост ейш им у словиям . Тогд а оф ициа н т ска за л, чт о из э т их т рех прост ейш их у словий он м ож ет выполн ит ь т олько од н о. К ром е т ого,

87 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

T1

P

Q

T2

он ска за л, чт о обед ы ком плексн ые и поэ т ом у н а д о бра т ь либо а зу , либо борщ и плов. Ч т о за ка за ли посет ит ели и чт о им пред лож ил оф ициа н т ?

У ка з а ние: Реш ен ие за д а ч 11— 12 связа н о с привед ен ием ф орм у лы к вид у СД НФ . 5.5 П р ило ж е ние а лге б р ы ло гики к р е ле йно -ко нта ктн ым схе м а м Бу д ем ин т ерпрет ирова т ь ф у н кции а лгебры логики ка к э лект рические цепи, сод ерж а щ ие д в у хпозицион н ые переклю ча т ели. Ра ссм а т рива ем ые зд есь э лект рические цепи являю т ся ча ст н ым слу ча ем т а к н а зыва ем ых релейн о-кон т а кт н ых схем (РК С) (ин огд а их н а зыва ю т переклю ча т ельн ым и схем а м и). П рост ейш а я схем а , сод ерж а щ а я од ин переклю ча т ель P , им еет од ин вход T1 и од ин выход T 2 : И ст ин н ом у выска зыва н ию P , гла сящ ем у : « П ереклю ча т ель P за м кн у т » пост а вим в соот вет ст вие переклю ча т ель P . В э т ом слу ча е схем а пропу ска ет т ок. В ыска зыва н ию P соот вет ст ву ет : « П ереклю ча т ель P ра зом кн у т » и схем а н е провод ит т ок. « 1» (ист ин а ) ин т ерпрет иру ет ся ка к сост оян ие переклю ча т еля « т ок проход ит » , « 0» (лож ь) — « т ок н е проход ит » . Конъюнкции д ву х выска зыва н ий P & Q соот вет ст ву ет схем а с послед ова т ельн ым соед ин ен ием кон т а кт ов: T1 T2 P д ова т ельн ым соед ин ен ием кон т а кт ов:

Диз ъюнкции д ву х выска зыва н ий P ∨ Q соот вет ст ву ет схем а с па ра ллельн ым соед ин ен ием кон т а кт ов:

88 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Та к ка к лю ба я ф у н кция а лгебры логики пред ст а вим а в вид е Д НФ (или К НФ ), т о д ля лю бой бу левой ф у н кции м ож н о сост а вит ь соот вет ст ву ю щ у ю схем у , а ка ж д ой схем е соот вет ст ву ет н екот ора я ф орм у ла а лгебры логики, за д а ю щ а ян еку ю бу леву ф у н кцию .

P T1

T2

Q Две схем ы счит а ю т ся эквива лент ны м и, если через од н у их н их проход ит т ок т огд а и т олько т огд а , когд а он проход ит через д ру гу ю . И з д ву х эквива лент ны х схем бо л е е п ро сто й счит а ет ся т а , кот ора я сод ерж ит м ен ьш ее число кон т а кт ов. Прим ер1. Сост а вит РК Сд ляслед у ю щ ейф у н кции: f ( x , y , z ) = ( x → y ) → ( x ( y ∨ z )). Реш ение. С пом ощ ью ра вн осильн ых преобра зова н ий н а йд ем н орм а льн у ю ф орм у (Д НФ или К НФ ): f ( x , y, z ) = ( x → y ) → x ( y → z ) = ( x ∨ y ) ∨ ( x y ∨ x z ) = x y ∨ x y ∨ x z (Д НФ ). И т а к, им еем РК С: X

Y

X

Y

Z

X

Прим ер2. П ост роит ь РК Сд ляф у н кции f ( x , y , z ) , если f ( 1,1,1 ) = f ( 1,1,0 ) = f ( 0 ,1,1 ) = f ( 0 ,0 ,1 ) = 1 , а ост а льн ые зн а чен ияф у н кции ра вн ы н у лю . Реш ение. Сост а вим СД НФ д ляд а н н ойф у н кции и за т ем у прост им : f ( x , y , z ) = xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz = xy( z ∨ z ) ∨ xz ( y ∨ y ) = xy ∨ xz Тогд а им еем след у ю щ у ю РК С: X

Y

X

Z

89 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Прим ер3. У прост ит ь РК С: Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

Реш ение. Сост а вим по д а н н ой РК С ф орм у лу , за д а ю щ у ю ф у н кцию провод им ост и, и за т ем у прост им ее: yz ∨ x y z ∨ x y z = yz ∨ ( x y z ∨ x y z ) = = yz ∨ yz ( x ∨ x ) = yz ∨ yz = ( y ∨ y )z = z . Тогд а у прощ ен н а ясхем а вид а : Z

ЗАДАЧИ И УП Р АЖ Н ЕН ИЯ 1. П ост роит ь схем ы, реа лизу ю щ ие след у ю щ ие ф у н кции: 1) x→ y 2) x ↔ y 4) x ↓ y 5) x ⊕ y 2. Реа лизова т ь схем а м и след у ю щ ие ф орм у лы: xy ∨ z 1) 6) 7) 2) xy ∨ zu 8) 3) xy ∨ yz ∨ xz x( x ∨ y ) 9) 4) 10) ( x ⊕ y )⊕ x 5) 3. У прост ит ь след у ю щ ие РК С:

э лем ен т а рн ые бу левы 3) x │ y

( x │ y )│ z (x → y)→ z

( x ↓ y )↓ z (x ↔ y )↔ z (x∨ z)→ ( y│ x)

90 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

1)

2)

О т вет : p ∨ q .

О т вет : z ( x ∨ y ) ∨ xy.

3)

4)

О т вет : p ∨ q .

О т вет : b ∨ c .

5)

О т вет : x & y.

91 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

6)

О т вет : p. 7)

О т вет : x ∨ z. 8)

О т вет : a ∨ b( xy ∨ cx ).

92 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

4. Сост а вит ь н есколько РК Сд ляслед у ю щ их ф у н кций: 1) ( x → y ) & ( y → z ) 2) (( x → y ) & ( y → z ) → ( x → z ) 3) ( y ∨ z ) ← xy 4) xy ↔ yz 5) ( x → y ) & ( y → x ) ∨ ( x ∨ y ) 6) ( x ∨ z ) & ( x → y ) 7) x ∨ ( x ∨ y ) & ( y ∨ z ) ∨ y ∨ z 5. И з кон т а кт ов p , q , r сост а вит ь схем у т а к, чт обы он а за м кн у ла сь т огд а и т олько т огд а , когд а за м кн у т ы ка кие-н ибу д ь д ва из т рех кон т а кт ов p, q, r . 6. Требу ет ся, чт обы в больш ом за ле м ож н о было вклю ча т ь или выклю ча т ь свет при помощ и лю бого из чет ырех переклю ча т елей, ра сст а влен н ых н а чет ырех ст ен а х. У ка з а ние: э т о м ож н о осу щ ест вит ь пу т ем кон ст ру ирова н ия схем ы, в кот орой свет вклю ча ет ся, когд а за мкн у т о чет н ое число выклю ча т елей, и выклю ча ет сясвет , когд а ра зом кн у т о н ечет н ое число выклю ча т елей. 7. Д ля гру ппы из т рех человек пост роит ь э лект рическу ю схем у д ля регист ра ции т а йн ого голосова н ияпрост ым больш ин ст вом голосов. Требу ет ся т а к пост роит ь схем у , чт обы ка ж д ый человек, голосу ю щ ий « за » , н а ж им а л кн опку , и н е н а ж им а л, если он голосу ет « прот ив» , и чт обы в слу ча е, если бу д ет больш ин ст во человек голосова т ь « за » , — за гора ла сь ла м почка .

6. П ОЛИНОМ Ж ЕГА ЛКИНА. ЛИНЕЙ НЫЕ И НЕЛИНЕЙ НЫЕ Ф У НКЦИИ Элем ен т а рн а я кон ъ ю н кция н а зыва ет ся м онот онной, если он а н е сод ерж ит от рица т ельн ых перем ен н ых. Полином ом Ж ега лкина или полином ом по м одулю 2 н а зыва ет ся ф орм у ла : P ( x1 , ..., x n ) = K 1 ⊕ K 2 ⊕ K 3 ⊕ ... ⊕ K l , гд е K i (i = 1, ..., l ) — попа рн о ра зличн ые м он от он н ые э лем ен т а рн ые кон ъю н кции, сост а влен н ые из перемен н ых x1 , ..., x n .

93 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

На ибольш ий из ра н гов э лем ен т а рн ых кон ъ ю н кций, вход ящ их в полин ом , н а зыва ет ся ст епень ю э т ого полин ом а . Ч исло l н а зыва ет ся д лин ой полин ом а . П ри l = 0 пола га ем P ( x1 , ..., x n ) = 0 . И м еет м ест о след у ю щ ее у т верж д ен ие. Для ка ж дой булевой функции сущ ест вует , и при эт ом единст венно, предст а вление в виде полином а Ж ега лкина , кот оры й м ож ет бы т ь з а писа н следую щ им обра з ом : P ( x1 , ..., x n ) = ∑ a i ...i x i ... x i . {i1 ,...,i s }∈{1 ,...,n } 1

s

1

s

Ч исло возм ож н ых м он от он н ых кон ъ ю н кций xi ...x i ра вн о количест 1

s

ву под м н ож ест в {i1 ,..., i s } м н ож ест ва {1,2 ,..., n} , т .е. 2 .К оэ ф ф ициен т ы a i ...i n

1

s

прин им а ю т зн а чен ие либо 0, либо 1. О т м ет им д ва способа пост роен ияполин ом а Ж ега лкин а . 1. М ет од неопределенны х коэф фициент ов. П рим ен яет ся в осн овн ом т огд а , когд а бу лева ф у н кция f ( x1 , ..., x n ) за д а н а т а блицей ист ин н ост и или н а бором своих зн а чен ий. П ри пост роен ии полин ом а Ж ега лкин а м ет од ом н еопред елен н ых коэ ф ф ициен т ов: В о-первы х, выписыва ем общ ий вид полин ом а Ж ега лкин а д ля ф у н кцийот n перем ен н ых; В о-вт оры х, исход я из т ого, чт о f ( x1 , ..., x n ) и иском ый полин ом P ( x1 , ..., x n ) н а од ин а ковых н а бора х вход ящ их в н их перем ен н ых прин им а ю т од ин а ковые зн а чен ия, сост а вляем сист ем у 2 n у ра вн ен ий с 2 n н еизвест н ым и a i ...i . 1

s

В -т рет ь их, реш а ем сист ем у , н а йд ен н у ю н а пред ыд у щ ем ш а ге, н а ход им коэ ф ф ициен т ы a i ...i и выписыва ем иском ый полин ом . 1

s

Прим ер 1. П ост роит ь полин ом Ж ега лкин а д ля ф у н кции f ( x , y , z ) = (01110 011). Реш ение. За пиш ем общ ий вид полин ом а Ж ега лкин а д ля ф у н кции, за висящ ей от 3-х перем ен н ых: P ( x , y , z ) = a 0 ⊕ a1 x ⊕ a 2 y ⊕ a 3 z ⊕ a12 xy ⊕ a13 xz ⊕ a 23 zy ⊕ a123 xyz . Сост а вим сист ем у у ра вн ен ий:

94 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

a 0 = 0 ;  a 0 ⊕ a1 = 0 ; a 0 ⊕ a 2 = 1;  a 0 ⊕ a 3 = 1;  a 0 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 23 = 1; a 0 ⊕ a1 ⊕ a 3 ⊕ a13 = 0 ;  a 0 ⊕ a1 ⊕ a 2 ⊕ a12 = 1; a ⊕ a ⊕ a ⊕ a ⊕ a ⊕ a ⊕ a ⊕ a = 1.  0 1 2 3 12 13 23 123 У чит ыва ясвойст ва опера ции « слож ен ие по м од у лю 2» : 1 ⊕ 1 = 0 ; 0 ⊕ 1 = 1; 0 ⊕ 0 = 0 ; 1 ⊕ 0 = 1, н а ход им коэ ф ф ициен т ы полин ома Ж ега лкин а a 2 = a 3 = a 23 = a13 = a123 = 1 a 0 = a1 = a12 = 0 , и выписыва ем полин ом т рет ьейст епен и: P ( x , y , z ) == y ⊕ z ⊕ yz ⊕ xz ⊕ xyz . 2. М ет одэквива лент ны х преобра з ова ний. Эт от м ет од прим ен яет ся в т ом слу ча е, когд а ф у н кция f ( x1 , ..., x n ) за д а н а в вид е ф орм у лы а лгебры логики. Су т ь м ет од а сост оит в том , чт обы, исход я из свойст в логических опера ций, пост роит ь э квива лен т н у ю за д а н н ой ф орм у лу , сод ерж а щ у ю т олько сим волы опера ций логического у м н ож ен ия и слож ен ия по м од у лю 2. П ри э т ом след ова т ь схем е: а ) пост роит ь д .н .ф . д ляза д а н н ой ф орм у лы; б) в полу чен н ой д .н .ф . выра зит ь д изъю н кцию через кон ъю н кцию и от рица н ие: u ∨ v ∨ w = (u v w ); (1) в) в полу чен н ой в пу н кт е б) ф орму ле освобод ит ьсяот от рица н ия, использу яэ квива лен т н ост ь: (2)  u = u ⊕ 1; г) ра скрыт ь скобки в полу чен н ом выра ж ен ии, пользу ясь свойст вом д ист рибу т ивн ост и опера ции ⊕ от н осит ельн о логического у м н ож ен ия u (v ⊕ w ) = uv ⊕ uw ; (3) д ) привест и под обн ые член ы по пра вилу : u ⊕ u = 0. (4)

95 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Прим ер 2. П у ст ь f ( x , y , z ) = ( x → y )( y → z ) . П ост роит ь полин ом Ж ега лкин а , использу ям ет од э квива лен т н ых преобра зова н ий. Реш ение. П ост роим д .н .ф . ( x → y )( y → z ) = ( x ∨ y )( y ∨ z ) = x y ∨ x z ∨ yz . О свобод им сяот зн а ка д изъю н кции ∨ : (1)

(

)

x y ∨ x z ∨ yz =  x y ∧ x z ∧ yz . П рим ен им ф орм у лу (2):  x y ∧ x z ∧ yz = (( x ⊕ 1)( y ⊕ 1) ⊕ 1)(( x ⊕ 1)z ⊕ 1)( yz ⊕ 1) ⊕ 1. П ользу ясь (3), ра скроем скобки в послед н ем выра ж ен ии и привед ем под обн ые, полу чим : ( xy ⊕ x ⊕ y )( xz ⊕ z ⊕ 1)( yz ⊕ 1) ⊕ 1 = yz ⊕ xy ⊕ y ⊕ x ⊕ 1. О писа н н ый в пу н кт а х а ) — д ) способпостроен ия полин ом а Ж ега лкин а прим ен им д лялю бой ф орм у лы. О д н а ко в больш ин ст ве слу ча ев су щ ест ву ет более кра т кие пу т и преобра зова н ияф орм у лы в полин ом Ж ега лкин а . В пред ыд у щ ем прим ере м ож н о пост роит ь полин ом Ж ега лкин а д ля ка ж д ого сомн ож ит еля x → y и y → z , их произвед ен ие и д а ет полин ом Ж ега лкин а д ля f ( x , y , z ) . Д ейст вит ельн о,

(

от ку д а след у ет поэ т ом у

)

u → v = u ∨ v = uv = u(v ⊕ 1) ⊕ 1 = uv ⊕ u ⊕ 1 ,

( x → y )( y → z ) = ( xy ⊕ x ⊕ 1)( yz ⊕ y ⊕ 1) ,

( x → y )( y → z ) = xy ⊕ yz ⊕ y ⊕ x ⊕ 1.

Д ля ф орм у л, сод ерж а щ их сим волы ~ и | при пост роен ии полин ом а Ж ега лкин а , полезн о использова т ь э квива лен т н ост и: u ~ v = u ⊕ v = u ⊕ v ⊕1 , (5) u v = uv = uv ⊕ 1 . (6) Прим ер3. П ост роим полин ом Ж ега лкин а д ляф у н кции f ( x , y , z ) = (( xy ~ z ) ( x ∨ y )). Реш ение. (5 , 6 )

 (( xy ~ z ) ( x ∨ y )) = ( xy ⊕ z ⊕ 1)( xy ⊕ x ⊕ 1) = xyz ⊕ xz ⊕ x ⊕ z ⊕ 1 . Бу лева ф у н кция, кот орой соот вет ст ву ет полин ом Ж ега лкин а первой ст епен и, н а зыва ет сялинейной. Ф у н кции, за д а ва ем ые ф орм у ла м и x ~ y , x ⊕ y, x , x, x ⊕ y⊕ z, являю т ся лин ейн ым и. М н ож ест во всех лин ейн ых бу левых ф у н кций обозн а ча ет ся через L , м н ож ест во лин ейн ых ф у н кций, за висящ их от n перем ен н ых, — через L(n ) . Д ля ка ж д ой ф у н кции f ∈ L(n ) им еет м ест о пред ст а влен ие

96 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

ст а влен ие

f ( x 1 , ..., x n ) = c 0 ⊕ c 1 x 1 ⊕ ... ⊕ c n x n , (7) гд е коэ ф ф ициен т ы ci прин им а ю т зн а чен ия либо 0, либо 1. И з пред ст а влен ия (7) след у ет , чт о число всех лин ейн ых ф у н кций от n перем ен н ых ра вн о 2 n+1 . Д ру гим и слова м и, м ощ н ост ь м н ож ест ва L(n ) ра вн а 2 n+1 . Е сли ф у н кция f ∉ L , т о он а н а зыва ет ся нелинейной. Ст епен ь полин ом а Ж ега лкин а н елин ейн ой ф у н кции н е м ен ьш е 2. Элем ен т а рн ые ф у н кции xy , x ∨ y , x → y , x y являю т сян елин ейн ым и. Спра вед ливо у т верж д ен ие (лем м а о нелинейной функции): Е сли f ( x1 , ..., x n ) н елин ейн а я ф у н кция, т о, под ст а вляя н а м ест а ее перем ен н ых 0, 1, x , y , x , y , м ож н о полу чит ь либо xy , либо xy .

ЗАДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. На йт и число м он от он н ых э лем ен т а рн ых кон ъ ю н кций ра н га r , сост а влен н ых из перем ен н ых x1 , ..., x n . 2. На йт и число полин ом ов Ж ега лкин а ст епен и r н а д мн ож ест вом перем ен н ых x1 , ..., x n . 3. М ет од ом н еопред елен н ых коэ ф ф ициен т ов пост роит ь полин ом Ж ега лкин а д ляслед у ю щ их ф у н кций: 1) 2) 3)

4) ( x ~ y ) ∨ (x ↓ y ) ; 5) xyz → ( x ∨ y ) ; 6) ( x y ) → ( y ⊕ z ).

f = (10 01) ; f = (011010 0 0) ; f = (01110 010 ) ;

4. П ост роит ь полин ом ы Ж ега лкин а д ляэ лем ен т а рн ых бу лев ых ф у н кций. 5. П ри пом ощ и э квива лен т н ых преобра зова н ий пост роит ь полин омы Ж ега лкин а д ляслед у ю щ их ф у н кций: 1) D = xy ∨ yz ∨ x z ; 4) D = x z ∨ xyz ; 5) D = x1 x 2 ∨ x1 x 2 x 3 ∨ x 3 ; 2) D = x1 x 2 ∨ x 2 x 4 ∨ x 3 ; 3) D = xyz ∨ x ∨ z 6) D = xyz ∨ x . ~ ~ ~ 6. На боры α~ = (α~ , ...,α~ ) и β = β , ..., β н а зыва ю т ся сосед н ими, если 1

n

(

1

n

)

он и от лича ю т сят олько од н ой коорд ин а т ой. Д ока за т ь, чт о если ф у н кция f ( x1 , ..., x n ) н а д ву х сосед н их н а бора х прин им а ет прот ивополож н ые зн а чен ия, т о он а лин ейн а я. Верн о ли обра т н ое у т верж д ен ие?

97 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

7. В ыясн ит ь, являет сяли лин ейн ой ф у н кция f : 1) f = x1 x 2 ( x1 ⊕ x 2 ) ; 2) f = ( x ~ y )( y → z ) ~ z ;

3) f = (01 0110 01) ; 4) f = (011010 011010 01 01) .

7. ОП ЕР А ЦИЯ ЗА М ЫКАНИЯ. ОС НОВ НЫЕ ЗАМ КНУ ТЫЕ КЛАС С Ы О бозн а чим м н ож ест во всех бу левых ф у н кций через Б. П у ст ь f ( x1 ,..., x n ) , g1 ( x1 ,..., x m ) , … , g n ( x1 ,..., x m ) - произвольн ые бу левы ф у н кции. Суперпоз ицией э т их ф у н кций н а зыва ет сяф у н кция ϕ ( x1 ,..., x m ) = f ( g1 ( x1 ,..., x m ),..., g n ( x1 ,..., x m )) . Прим ер 1. П у ст ь f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 ~ x 2 ) ⊕ x 3 , g1 ( x , y ) = xy , g 2 ( x , y ) = x , g 3 ( x , y ) = x y , т огд а их су перпозиция ϕ ( x , y ) реа лизу ет ся

ф орм у лой ( xy ~ x ) ⊕ ( x y ) .

П у ст ь М - н екот орое м н ож ест во бу левых ф у н кций: М ⊆ Б . З а м ы ка нием [ М ] мн ож ест ва М н а зыва ет ся совоку пн ост ь всех т ех бу левых ф у н кций, кот орые являю т ся су перпозициям и ф у н кций из м н ож ест ва М . О пера ция полу чен ия м н ож ест ва [ М ] из М н а зыва ет ся опера цией з а м ы ка ния . М н ож ест во М н а зыва ет ся функциона ль но з а м кнут ы м кла ссом (короче, з а м кнут ы м кла ссом ), если [ М ] = М . Та ким обра зом , за м кн у т ый кла сс вм ест е с лю бым и его ф у н кциям и сод ерж ит и все их су перпозиции. Тра д ицион н о выд еляю т пят ь за м кн у т ых кла ссов бу левых ф у н кций: 1.

К л асс L л ине й ныхфу нк ций .

2.

К л асс T0 бу л е в ыхфу нк ций , со храняющ ихк о нстанту 0: T0 = { f ∈ Б | f (0, ...,0 ) = 0}.

98 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Ф у н кции x & y, x ∨ y, x ⊕ y, x являю т ся ф у н кциям и из T0 , т огд а ка к x | y, x ↓ y, x → y, x ~ y, x н е прин а д леж а т T0 . 3.

К л асс T1 бу л е в ыхфу нк ций , со храняющ ихк о нстанту 1: T1 = { f ∈ Б | f (1, ...,1) = 1}.

К а к легко проверит ь, x ∨ y , x & y , x → y , x ~ y , x, 1 – ф у н кции из

T1 , в т о врем яка к x | y, x ↓ y, x ⊕ y, x , 0 н е прин а д леж а т T1 . 4. К л асс S само д в о й ств е нных фу нк ций . Ф у н кция f ( x 1 , ..., x n ) н а зыва ет сяса м одвойст венной, если он а совпа д а ет со своей д войст вен н ой: S = { f ∈ Б | f ( x 1 , ..., x n ) = f ∗ ( x1 , ..., x n )}.

О чевид н о, чт о са м од войст вен н ым и ф у н кциям и бу д у т x, x ; ф у н кции x ∨ y, xy, x → y, x | y н е яв ляю т сяса м од войст вен н ым и. Прим ер2. П ока ж ем , чт о ф у н кция ϕ ( x , y, z ) = xy ∨ xz ∨ yz являет ся са м од войст вен н ой. Д ейст вит ельн о, ϕ ∗ ( x, y , z ) = ( x ∨ y )( x ∨ z )( y ∨ z ) = xyz ∨ xy ∨ xz ∨ yz = = xy (1 ∨ z ) ∨ xz ∨ zy = xy ∨ xz ∨ zy.

Д ляса м од войст вен н ойф у н кции им еет м ест о т ож д ест во f ( x1 , ..., x n ) = f ( x1 , ..., x n ) , т а к чт о н а н а бора х (α 1 , ...,α n ) и (α 1 , ...,α n ) , кот орые м ы бу д ем н а зыва т ь прот ивополож н ым и, са м од войст вен н а я ф у н кция прин им а ет прот ивополож н ые зн а чен ия. Прим ер3. Ф у н кция f 1 ( x , y , z ) = (01101110 ) н е являет сяса м од войст вен н ой, т а к ка к н а прот ивополож н ых н а бора х (000) и (111) он а прин им а ет од н о и т о ж е зн а чен ие 0. Ф у н кция f 2 ( x , y, z ) = (10110010 ) являет ся са м од войст вен н ой, т а к ка к н а ка ж д ой па ре прот ивополож н ых н а боров он а прин им а ет прот ивополож н ые зн а чен ия. Спра вед ливо след у ю щ ее у т верж д ен ие, н а зыва ем ое обычн о лем м ой о неса м одвойст венной функции: Е сли ф у н кция f ( x 1 , ..., x n ) н еса мод войст вен н а я, т о, под ст а вляя н а м ест а ее перем ен н ых x и x , м ож н о полу чит ь кон ст а н т у . 5. К л асс M мо но то нныхфу нк ций .

99 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

~ Г оворят , чт о н а бор α~ = (α 1 , ...,α n ) пред ш ест ву ет н а бору β = ( β 1 , ..., β n ) и ~ пиш у т α~ p β , если α i ≤ β i , i = 1,..., n . Ф у н кция f ( x 1 , ..., x n ) ∈ Б н а зыва ет ~ ~ сям онот онной, если f (α~ ) ≤ f β при α~ p β . Ф у н кции x, 0, 1, x ∨ y, xy являю т ся м он от он н ым и, т огд а ка к

( )

x , x ↓ y , x | y, x → y , x ⊕ y , x ~ y н е прин а д леж а т кла ссу M . Спра вед ливо у т верж д ен ие (лем м а о нем онот онной функции): Е сли f ∉ M , т о, под ст а вляя н а м ест а ее перем ен н ых 0, 1, x , м ож н о полу чит ь ф у н кцию x .

100 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. О босн ова т ь след у ю щ ие свойст ва за м ыка н ия: 1) [ [M ] ] = [M ] ; 2) если M 1 ⊆ M 2 , т о [ M 1 ] ⊆ [M 2 ] ; 3) [ M 1 ∪ M 2 ] ⊇ [ M 1 ] ∪ [M 2 ] ; 4) [∅ ] = ∅ . 2. В сегд а ли н а м н ож ест ве Б бу левых ф у н кций: a) пересечен ие за м кн у т ых кла ссов яв ляет сяза м кн у т ым кла ссом ; b) ра зн ост ь за м кн у т ых кла ссов ест ь за м кн у т ый кла сс; c) д ополн ен ие за м кн у т ого кла сса н е являет ся за м кн у т ым кла ссом ? 3. П ока за т ь, чт о су перпозиция лин ейн ых ф у н кций являет ся лин ейн ой ф у н кцией, т .е. чт о кла сс L за м кн у т , и м ощ н ост ь L(n ) = 2 n+1 , гд е n число перем ен н ых. 4. П ока за т ь, чт о кла ссы T0 и T1 ф у н кций, сохра н яю щ их кон ст а н т у , за м кн у т ы. 5. П ока за т ь, чт о су перпозиция са м од войст вен н ых ф у н кций являет ся са м од войст вен н ой, т .е. [ S ] = S . 6. Д ока за т ь за м кн у т ост ь кла сса м он от он н ых ф у н кций. 7. П ока за т ь, чт о м ощ н ост и м н ож ест в T0 (n ) и T1 (n ) ф у н кций от n перем ен н ых, сохра н яю щ их кон ст а н т ы, совпа д а ю т : T0 (n ) = T1 (n) = 2 2 −1. n

8. П ока за т ь, чт о м ощ н ост ь м н ож ест ва S (n ) са мод войст вен н ых ф у н кций от n перем ен н ых вычисляет сяпо ф орм у ле: S (n ) = 2 2 . n

9. Са м од войст вен н а ли ф у н кция f ? 1) 2) 3) 4) 5)

f f f f f

= (( x → y ) → xz ) → yz ; = ( x ∨ y ∨ z )t ∨ x yz ; = ( x ∨ y )( y ∨ z )(z ∨ x ) ; = (01011110 ) ; = (0001001001100111 ) .

10.И з н еса м од войст вен н ой ф у н кции f с пом ощ ью под ст а н овки н а м ест а перем ен н ых ф у н кций x и x полу чит ь кон ст а н т у :

101 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

1) f = (00111001) ; 2) f = ( x ∨ y ∨ z )t ∨ xyz ; 3) f = ( x ↓ y ) → ( x ⊕ z ); 4) f = xy ∨ xz ∨ yt ∨ z t .

11.В ыясн ит ь, ка ким из м н ож ест в T0 U T1 , T1 \ T0 прин а д леж а т перечислен н ые н иж е ф у н кции: 1) (( x ∨ y ) → ( x | yz )) ↓ (( y ~ z ) → x ); 2) ( xy → z ) | (( x → z ) ↓ ( z ⊕ xy )). 12.Скольким и способа м и м ож н о ра сст а вит ь скобки в выра ж ен ии x1 → x 2 → x 1 → x 2 → x1 , чт обы полу чила сь ф орм у ла , реа лизу ю щ а я ф у н кцию из T0. 13.П од счит а т ь число ф у н кций, за висящ их от перем ен н ых ка ж д ом из след у ю щ их м н ож ест в : 1) T1 I T0 ; 4) L \ (T0 I T1 ); 7) 2) T0 I L; 5) T1 I S ; 8) 3) T1 U L; 6) L I S I T1 ; 9)

x1 , x 2 ,..., x n , в S I T0 I T1 ; T0 U T1 ; ( S \ T0 ) I T1 ;

14.На йт и ф у н кцию f ( x ,..., x ), если: 1) f ( x1 ..., x n ) ∈ T1 \ T0 ; 2) f ( x1 ,..., x n ) ∈ L \ (T1 I S ); 3) f ( x 1 ,..., x n ) ∈ S \ T0 ; 15.К а кие из перечислен н ых н иж е ф у н кций являю т сям он от он н ым и: 1) x → ( x → y ); 2) x → ( y → x ); 3) xy( x ⊕ y ); 4) xy ⊕ yz ⊕ zx ⊕ x; 5) f = (00110111); 6) f = (011001111); 7) f = (0001010101010111); 8) f = (0000000010111111)

102 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

16.Сколько су щ ест ву ет т а ких м он от он н ых ф у н кций f ( x , y , z ) , что f (0,1,1) = f (1,0,1) = 1, f (0,0,1) = 0 ? Сколько т а ких ф у н кций прин а д леж ит м н ож ест ву M \ S ? 17.П ока за т ь, чт о если f ∈ M , т о f * ∈ M . 18.П ока за т ь, чт о за м кн у т ые кла ссы T0 , T1 , S , M , L попа рн о ра зличн ы. 8. П ОЛНОТА С ИС ТЕМ БУ ЛЕВ ЫХ Ф У НКЦИЙ Д ля всякой бу левой ф у н кции су щ ест ву ет пред ст а влен ие в вид е д изъю н кт ивн ой или кон ъ ю н кт ивн ой н орм а льн ых ф орм . О т сю д а след у ет , чт о всяка я ф у н кция f ∈ Б м ож ет быт ь выра ж ен а в вид е ф орм у лы через э лем ен т а рн ые ф у н кции: от рица н ие x , д изъ ю н кцию x ∨ y и кон ъю н кцию x ∧ y . В связи с э т им возн ика ет вопрос: су щ ест ву ю т ли д ру гие сист ем ы бу левых ф у н кций, кот орые обла д а ю т т а ким ж е свойст вом ? О т вет ом н а э т от вопрос являю т сяпривод им ые н иж е пон ят ияи т еорем ы. Сист ем а бу левых ф у н кций F = { f 1 , f 2 , ..., f S , ...} н а зыва ет ся полной, если лю ба я бу лева ф у н кция м ож ет быт ь за писа н а в вид е ф орм у лы через ф у н кции э т ой сист ем ы, д ру гим и слова м и, являет ся су перпозицией ф у н кций из сист ем ы F . И з э т ого опред елен ия след у ет , чт о сист ем а F полн а , если [F ] = F . Ра ссм от рим примеры полн ых сист ем : 1. Сист ем а F = { x , x ∧ y, x ∨ y} пред ст а вляет собой полн у ю сист ем у . 2. Сист ем а F = {x ⊕ y , x & y , 0, 1} т а кж е полн а , т а к ка к лю ба ябу лева ф у н кцияпред ст а вим а в вид е полин ом а Ж ега лкин а ; 3. М н ож ест во Б всех бу лев ых ф у н кций т а кж е обра зу ет полн у ю сист ем у , т а к ка к [Б ] = Б . Я сн о, чт о н е всяка я сист ема являет ся полн ой. На прим ер, сист ем а {x → y, x & y} н е являет сяполн ой. След у ю щ а ят еорем а позволяет свод ит ь вопрос о полн от е од н их сист ем к вопросу о полн от е д ру гих сист ем . Теорем а (о полнот е двух сист ем ): П у ст ь д а н ы д ве сист ем ыф у н кций F = { f 1 , f 2 ,...} и G = {g1 , g 2 ,...} , от н осит ельн о кот орых извест н о, чт о перва я сист ем а полн а в Б и ка ж д а я ее ф у н кция являет ся су перпозицией ф у н кций вт орой сист ем ы. Тогд а вт ора я сист ем а т а кж е являет сяполн ой.

103 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

П ользу ясь э т ой т еорем ой, мож н о д ока за т ь полн от у ещ е ряд а ф у н кцион а льн ых сист ем и т ем са м ым ра сш ирит ь список прим еров полн ых сист ем . 4. Сист ем ы G1 = {x , x ∨ y} и G 2 = {x , x ∧ y} являю т ся полн ым и. И з ра вен ст в x∨ y = x ∧ y и x∧ y= x∨ y след у ет , чт о в ка чест ве сист ем ы F м ож н о использова т ь м н ож ест во ф у н кций в прим ере 1. 5. Сист ем а G = {x | y} полн а , т а к ка к x = x | x; x ∧ y = ( x | y ) | ( x | y ) и в ка чест ве F м ож н о взят ь сист ем у ф у н кций {x , x ∧ y } из примера 4. На м н ож ест ве Б бу левых ф у н кций спра вед лив след у ю щ ий крикла ссы ф у н кции f1 f2 f3 …

T0

T1

S

M

L

т ерий полнот ы . Теорем а Пост а : Сист ем а F = { f 1 , f 2 ,...} полна т огда и т оль ко т огда , когда она целиком не содерж ит ся ни в одном из з а м кнут ы х кла ссов T0 , T1 , S , M , L. Прим енение крит ерия полнот ы Ч т обы исслед ова т ь полн от у сист ем ы ф у н кций F = { f 1 , f 2 ,...}, у д обн о пост роит ь след у ю щ у ю т а блицу , в кот орой ст олько строк, сколько ф у н кций в д а н н ой сист ем е F . В ка ж д у ю клет ку э т ой т а блицы, ст оящ ей н а пересечен ии ст олбца , соот вет ст ву ю щ его од н ом у из кла ссов, и ст роки, соот вет ст ву ю щ ей ф у н кции f i , за н осит сязн а к « +» , если f i прин а д леж ит э т ом у кла ссу , и зн а к « -» в прот ивн ом слу ча е.

104 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

В силу крит ерия П ост а д ля полн от ы сист ем ы F= { f 1 , f 2 ,...} н еобход им о и д ост а т очн о, чт обы хот я бы в од н ой клет ке ка ж д ого ст олбца ст оял зн а к « -» . Сист ем а (м н ож ест во) бу левых ф у н кций н а зыва ет ся ба з исом , если он а полн а и лю ба я ее под сист ем а н е являет ся полн ой н а м н ож ест ве бу левых ф у н кций. 1 y 0 1

y

1 0

2 1 1 1

f1 0 1

x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1

3 z 0 1 0 1 0 1 0 1

xy 0 0 0 0 0 0 1 1

f2 1 1 1 1 1 1 0 1

x

y

x∨ y

f3

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

Д ля выд елен ияба з иса из полн ой сист ем ы ф у н кций F = { f 1 , f 2 , f 3 ,...} н у ж н о у поряд очит ь по числу ф у н кций м н ож ест во под сист ем сист ем ы F: { f 1 }, { f 2 }, ...,{ f 1 , f 2 }, { f1 , f 3 }, ... . и, н а чин а яс первой, исслед ова т ь их н а полн от у . Перва я из полны х в э т ой послед ова т ельн ост и подсист ем бу д ет ба з исом . Прим ер. И сслед ова т ь полн от у сист ем ы ф у н кций F = {y ⊕ 1; x ↓ y; xy → z} и, если он а полн а , выд елит ь из н ее ба зис. Реш ение. П у ст ь f 1 = y ⊕ 1 , f 2 = xy → z , f 3 = x ↓ y . Сост а вим т а блицы ист ин н ост и д ляза д а н н ых ф у н кций: И сслед у ем ф у н кцию f 2 = xy → z н а прин а д леж н ост ь кла сса м T0 , T1 , S , M , L .: f 2 ∉ T0 , т .к. f 2 (0,0 ) = 1; f 2 ∈ T1 , т .к. f 2 (1,1) = 1; f 2 ∉ S 1 , т .к. н а прот ивополож н ых н а бора х (000) и (111) ф у н кция прин им а ет од ин а ковое зн а чен ие, ра вн ое 1. f 2 ∉ M 1 , т .к. ест ь пред ш ест ву ю щ ие н а боры, н а прим ер (000) ≤ (110), н а кот орых f 2 (0,0,0 ) = 1 , f 2 (1,1,0 = 0 ) ,гд е н ера вен ст во 1 ≤ 0 лож н ое,

f 2 ∉ L1 ,т .к. f 2 = xy → z = xy ∨ z = xy ∨ z = xy & z = xy ( z ⊕ 1) = xyz ⊕ xy ⊕ 1. А н а логичн о исслед у ем ф у н кции f 1 и f 3 н а прин а д леж н ост ь кла сса м T0 , T1 , S 1 , M 1 , L1 . За полн им т а блицу

105 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

В ка ж д ом ст олбце т а блицы ст оит зн а к « -» . П оэ т ом у , согла сн о крит ерию П ост а , сист ем а ф у н кций полн а я. Ба зисом являет сяф у н кция f 3 , т .к. под сист ем а { f 3 } - полн а в Б. З а м еча ние 1. Д ля исслед ова н ия полн от ы вовсе н е обяза т ельн о за полн ят ь все клет ки т а блицы. Е сли полу чили, чт о од н а из ф у н кций н е прин а д леж ит ка кому – либо из кла ссов, т о прин а д леж н ост ь ост а льн ых ф у н кций э т ом у кла ссу м ож н о н е исслед ова т ь. З а м еча ние 2. П ри исслед ова н ии полн от ы сист ем ы полезн о использова т ь след у ю щ ее у т верж д ен ие: если н екот ора я сист ем а ф у н кций F сод ерж ит в себе ка к ча ст ь полн у ю сист ем у ф у н кций F1 , F1 ⊂ F , т о сист ема F полн а . На прим ер, ра ссмот рен н а я выш е в примере сист ем а F являет сяполн ой, т .к. сод ерж ит в себе полн у ю под сист ем у {x ↓ y } . З а м еча ние 3. Е сли в од н ом из ст олбцов т а блицы полу чен ы все « +» , т .е. все ф у н кции f i сист ем ы F прин а д леж а т ка ком у -т о кла ссу , т о сист ем а ф у н кций н е являет сяполн ой.

ЗАДАЧ И И У П Р АЖ НЕНИЯ 1. В ыра зит ь с пом ощ ью су перпозиций: 1) « & » и « → » через « ∨ » и « ┐ » ; 2) « &» и « ∨ » через → и « ┐ » ; 3) « ∨ » и « ∧ » через « / » ; 4) « ┐ » через « → » и « 0» ; 5) « ┐ » через « ⊕ » и « 1» ; 6) « ∨ » через « →» ; кла ссы ф у н кции f1 = y ⊕ 1 f 2 = xy → z f3 = x ↓ y

T0

T1

S

M

L

+ — —

+ + —

+ — —

+ — —

+ — —

2. Д ока за т ь, чт о н ельзявыра зит ь с пом ощ ью су перпозиций: 1) « ┐ » через « &» , « ∨ » , « → » и « ~» ; 2) « → » через « &» , и « ∨ » .

106 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

3. Д ока за т ь полн от у след у ю щ их сист ем ф у н кций, использу я т еорем у о полн от е 2 –х сист ем : 1) G = {x → y , x };

{

}

2) G = x ↓ y ; 3) G = {x → y ,0}; 4) G = {x ⊕ y; x ∨ y,1}; 5) G = {x → y , x ~ y , x }; 6) G = {1; x , x ⊕ y}. 4. Д ока за т ь н еполн от у сист ем ф у н кций: 1) φ = {x}; 2) φ = {x & y , x ∨ y, x → y}. 5. И спользу я крит ерий полн от ы, выясн ит ь, являю т ся ли полн ым и след у ю щ ие сист ем ыф у н кций. В полн ых сист ем а х выд елит ь ба зис: 1) F = {x → y , x → ( y ~ z )} ; 2) F = {x | ( y → z ), (( x ⊕ z ) → xy ) ↓ z }; 3) F = { x ∨ y ∨ z → ( x ⊕ y ), x y → z}; 4) F = {(01101001), (10001001), (0001)}; 5) F = {x ⊕ yz , x | x , x 1 x 2 ∨ x 1 x 2 }; 6) F = {(10 ), (1010110111110011)}; 7) F = ( S \ M ) U ( L \ (T0 U T1 )); 8) F = ( M \ (T0 U T1 )) U ( L \ S ); 9) F = ( M \ (T0 I T1 )) U ( L \ S ); 10) F = {( x → z ) ∨ y , ( x | y → x ) ~ z , xy}; 11) F = { x → ( x ⊕ y ), z x y, x ∨ z };

6. П олн а ли сист ем а F = { f1 ( x1 ,..., x 2 ), f 2 ( x1 ..., x 2 )}; если: 1) f 1 ∈ S \ M , f 2 ∉ L U S , f 1 → f 2 = 1; 2) f 1 ∈ T0 U L, f 2 ∉ S , f 1 → f 2 ≡ 1; 3) f 1 ∈ T0 I T1 , f 2 ∈ M \ T1 , f 1 → f 2 ≡ 1.

9. П Р ЕДИКА ТЫ. ОП ЕР АЦИИ НАД П Р ЕДИКА ТАМ И П он ят ие пред ика т а обобщ а ет пон ят ие выска зыва н ия.

107 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

П ред лож ен ие или у т верж д ен ие, сод ерж а щ ее од н о или н есколько перем ен н ых, при под ст а н овке в мест о кот орых кон крет н ых зн а чен ий из н екот орых м н ож ест в м ы полу ча ем выска зыва н ие (ист ин н ое или лож н ое), н а зыва ет ся предика т ом . К оличест во перем ен н ых, от кот орых за висит пред ика т , н а зыва ет сям ест ност ь ю или а рност ь ю . П у ст ь M 1 , M 2 ,K , M n — м н ож ест ва э лем ен т ов произвольн ой природ ы. О пределение 1: n -м ест н ым пред ика т ом н а зыва ет ся ф у н кция P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) , за висящ а яот n перем ен н ых, опред елен н а я н а м н ож ест ве M = M 1 × M 2 × K × M n и прин им а ю щ а я н а э т ом м н ож ест ве зн а чен ие 1(ист ин а ) или 0 (лож ь). На прим ер, P ( x ) = [н а т у ра льн ое число x кра т н о 5] — од н ом ест н ый пред ика т : P (4 ) = 0 , P (15) = 1, P (11) = 0 , P (20 ) = 1. Q( x , y ) = [город x н а ход ит ся н а т еррит ории госу д а рст ва y] — д ву хмест н ый пред ика т : Q ( М осква , Россия ) = 1, Q( Па риж , В енгрия ) = 0 , Q ( Па риж , Ф ра нция ) = 1. Са м о выска зыва н ие счит а ет сян у ль-м ест н ым пред ика т ом . П еремен н ые x1 , x 2 ,K , x n , от кот орых за висит пред ика т , н а зыва ю т ся предм ет ны м и перем енны м и. К он крет н ые зн а чен ияпред м ет н ых перем ен н ых н а зыва ю т сяпред мет н ым и кон ст а н т а м и. М н ож ест во M , н а кот ором за д а н пред ика т , н а зыва ет ся обла ст ь ю определения предика т а . М нож ест во E p ⊂ M , н а кот ором пред ика т прин им а ет т олько ист ин н ые зн а чен ия, н а зыва ет ся м нож ест вом ист инност и пред ика т а P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) : E p = {(a 1 , a 2 ,K , a n ) ∈ M P (a1 , a 2 ,K , a n ) = 1}. Ра злича ю т чет ыре т ипа пред ика т ов: 1. П ред ика т P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) н а зыва ет ся т ож дест венно ист инны м н а м н ож ест ве M = M 1 × M 2 × K × M n , если E p = M , т .е. если н а лю бом

н а боре (a 1 , a 2 ,K , a n ) ∈ M пред ика т прин им а ет зн а чен ие 1 (ист ин а ). 2. П ред ика т P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) н а зыва ет ся т ож дест венно лож ны м н а м н ож ест ве M , если E p = ∅ , т .е. если н а лю бом н а боре зн а чен ий перем ен н ых пред ика т прин им а ет зн а чен ие 0 (лож ь). 3. П ред ика т P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) н а зыва ет ся вы полним ы м , если его м н ож ест во ист ин н ост и E p н е пу ст о: E p ≠ ∅ . 4. П ред ика т P ( x 1 , x 2 ,K , x n ) н а зыва ет сяопроверж им ы м , если его м н ож ест во ист ин н ост и E p н е совпа д а ет с его обла ст ью опред елен ия, т .е. су щ ест ву ю т т а кие н а боры (a 1 , a 2 ,K , a n ) ∈ M , н а кот орых пред ика т прин има ет зн а чен ие 0.

108 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

На пример, P ( x , y ) = [ x + y ≥ 0 , x , y ∈ R ] — т ож д ест вен н о ист ин н ый пред ика т ;

Q ( x 1 , x 2 x 3 ) = [x 12 + x 22 + x 32 < 0 , x i ∈ R , i = 1, 2 , 3] — т ож д ест вен н о лож н ый пред ика т , т .к. E Q = ∅ . — выполн им ый пред ика т , т .к. F ( x ) = [ x + 3 = 1, x ∈ N ] E F = {− 2} ≠ ∅ . Φ( x , y ) = [ x 2 + y 2 > 0 , ( x , y ) ∈ R × R ] — опроверж им ый пред ика т , т .к. E Φ = R × R \ {(0 ,0 )}; E Φ ≠ M . Г оворят , что пред ика т Q( x ) являет ся след ст вием пред ика т а P ( x ) ( P ( x) ⇒ Q( x )) , если E P яв ляет сяпод м н ож ест вом E Q : E P ⊂ E Q . О пределение 2: Д ва пред ика т а P ( x ) и Q ( x ) , опред елен н ые н а од н ом и т ом ж е м н ож ест ве, од н ой и т ой ж е м ест н ост и, н а зыва ю т ся ра вносиль ны м и ( P ( x ) ⇔ Q( x )) , если их м н ож ест ва ист ин н ост и совпа д а ю т : E P = E Q . На пример, P ( x , y ) = [x 2 + y 2 = 1, x , y ∈ Z ] и ра вн осильн ые д ву хм ест н ые E P = E Q = {(0 ,1), (1,0), (− 1,0), (0 ,−1)} .

Q ( x , y ) = [ x + y = 1, x , y ∈ Z ] — пред ика т ы, т .к.

A( x , y ) = [ x 2 + y 2 ≤ 1, x , y ∈ R ] являет ся след ст вием П ред ика т пред ика т а B ( x , y ) = [ x + y ≤ 1, x , y ∈ R ] , т .к. E B ⊂ E A (см . рис.) Y 1

-1

1

-1

X

109 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

И з опред елен ий след у ет , чт о ка ж д ый т ож д ест вен н о ист ин н ый пред ика т являет ся выполн им ым , н о н е являет ся опроверж им ым , т огд а ка к ка ж д ый т ож д ест вен н о лож н ый пред ика т являет ся опроверж им ым , н о н е являет ся выполн им ым . В ыполн им ый пред ика т н е обяза т ельн о являет ся т ож д ест вен н о ист ин н ым . О проверж им ый пред ика т н е обяза т ельн о являет сят ож д ест вен н о лож н ым . За м ет им , чт о от н ош ен ие ра вн осильн ост и д ву х пред ика т ов являет ся от н ош ен ием э квива лен т н ост и. П ереход от пред ика т а P ( x ) к ра в н осильн ом у ем у пред ика т у Q( x ) н а зыва ет ся ра вносиль ны м преобра з ова нием первого. У ра в н ен ия и сист ем ы у ра вн ен ий, н ера вен ст ва и сист ем ы н ера вен ст в, прочие м а т ем а т ические объект ы пред ст а вляю т собой пред ика т ы. П ри их реш ен ии м ы прод елыва ем ра вн осильн ые преобра зова н ия н а д н им и, целью кот орых являет ся поиск м н ож ест ва ист ин н ост и д а н н ого исход н ого пред ика т а . И м еет м ест о у т верж д ен ие: Д ва пред ика т а , им ею щ ие од н у обла ст ь опред елен ия, ра вн осильн ы т огд а и т олько т огд а , когд а од ин из н их являет сяслед ст вием д ру гого: P ⇔ Q т огд а и т олько т огд а , когд а P ⇒ Q и Q ⇒ P . Та к ка к пред ика т ы могу т прин им а т ь д ва зн а чен ия1 или 0, т о к н им прим ен им ы все логические опера ции а лгебры выска зыва н ий. В резу льт а т е полу ча ем н овые пред ика т ы. На пример, конъюнкцией д ву х пред ика т ов P ( x ) и Q( x ) н а зыва ет ся н овый пред ика т P ( x ) & Q ( x ) , кот орый прин им а ет зн а чен ие 1 при т ех и т олько т ех кон крет н ых зн а чен иях x ∈ M , при кот орых ка ж д ый из пред ика т ов P ( x ) и Q( x ) прин им а ет зн а чен ие 1, и прин им а ет зн а чен ие 0 во всех ост а льн ых слу ча ях. ( P & Q )(a1 , a 2 ,K , a n ) = P (a1 , a 2 ,K , a n ) & Q(a1 , a 2 ,K , a n ) . О чевид н о, E P &Q = E P I E Q . А н а логичн о опред еляю т ся опера ции ∨ (д изъю н кция), → (им плика ция), ↔ (э квива лен ция),  (от рица н ие) и т .д . Л егко вид ет ь, чт о 1. E P ∨ Q = E P U E Q ; ~ 2. E P = E P = M \ E P ; ~ 3. E P → Q = E P U E Q ;

110 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

( )

) (

) ( )

)

~ ~ ~ ~ 4. E P ↔Q = (E P →Q ) I (E q → P ) = E P U E Q I E Q U E P = E P I E Q U ~ ~ ~ ~ U E Q I E Q U U E P I E P U (E Q I E P ) = E P I E Q U ( E P I E Q ) , ~ ~ т .к. E Q I E Q = ∅ и E P I E P = ∅ .

(

)

(

(

111 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Я сн о, чт о при выполн ен ии логических опера ций н а д пред ика т а м и к н им прим ен им ы осн овн ые ра в н осильн ост и а лгебры логики выска зыва н ий. Прим ер1. П у ст ь д а н ы од н ом ест н ые пред ика т ы: P ( x ) =[ x — чет н ое число] и Q( x ) =[число x кра т н о 3], опред елен н ые н а м н ож ест ве н а т у ра льн ых чисел N . На йт и м н ож ест во ист ин н ост и пред ика т ов: 1. P ( x ) & Q ( x ) ; 2. P ( x ) ∨ Q( x ) ; 3. P ( x ) ; 4. P ( x ) → Q ( x ) . Реш ение: И м еем E P = {2 , 4 , 6 , K , 2n , K}; E Q = {3 , 6 , 9 , K , 3n , K}. Тогд а 1. E P &Q = {6 , 12 , 18 , K , 6n ,K} ; 2. E P ∨ Q = {2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , K , 2n , 3n ,K} ; 3. E P = {1, 3, 5 , K , 2 n − 1,K} ; 4. E P → Q = {1, 3, 5 , K , 2 n − 1,K} U {3 , 6 , 9 , K ,3n ,K}. И м ею т м ест о след у ю щ ие т еорем ы: 1. ( P & Q ) ≡ 1 ⇔ P ≡ 1 и Q ≡ 1; 2. ( P ∨ Q ) ≡ 0 ⇔ P ≡ 0 и Q ≡ 0 ; 3. ( P → Q ) ≡ 0 ⇔ P ≡ 1 и Q ≡ 0 ; 4. P ≡ 1 ⇔ P ≡ 0 ; 5. ( P → Q ) ≡ 1 ⇔ ( P ⇒ Q ) . Счит а ет ся, чт о опера ция  связыва ет сильн ее, чем &, а опера ция & связыва ет сильн ее, чем ∨ . О пера ция ∨ сильн ее, чем → ; опера ция → сильн ее, чем ↔ . В вед ен ие скобок н а ру ш а ет прин ят ый поряд ок выполн ен ияопера ций. Ниж е привед ен ы н екот орые ра вн осильн ост и: 1. ( P → Q ) ⇔ ( P ∨ Q ) ; 2. ( P ↔ Q ) ⇔ ( P → Q) & (Q → P ) ; 3.

( P & Q ) ⇔ ( P ∨ Q ).

К ром е перечислен н ых выш е опера ций введ ен ы ещ е д ве опера ции связыва н ия ква н т оров, прису щ и т олько пред ика т а м : ква н т ор общ н ост и ∀ и ква н т ор су щ ест вова н ия ∃ . Эт и д ве опера ции н е им ею т а н а логов сред и опера цийн а д выска зыва н иям и.

112 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

П у ст ь P ( x ) — одном ест ны й предика т , опред елен н ый н а м н ож ест ве M . О пределение 3: Ква нт ором общ ност и предика т а P ( x ) н а зыва ет ся вы ска з ы ва ние ∀x P ( x ) (чит а ет ся: д ля всякого x P ( x ) ист ин н о), кот орое ист ин н о, когд а пред ика т P ( x ) т ож д ест вен н о ист ин н ый, и лож н о в прот ивн ом слу ча е, т .е. 1, если P ( x ) ≡ 1; ∀x P ( x ) =  0 , если P ( x ) − опроврж им ы й предика т . П ерем ен н у ю x в пред ика т е P ( x ) н а зыва ю т свободной, т . к. ей м ож н о прид а ва т ь ра зличн ые кон крет н ые зн а чен ия из м н ож ест ва M . В выска зыва н ии ∀x P ( x ) перем ен н у ю x н а зыва ю т свя з а нной ква н т ором общ н ост и ∀ . О пределение 4: Ква нт ором сущ ест вова ния предика т а P ( x ) н а зыва ет сявы ска з ы ва ние ∃x P ( x ) (чит а ет ся: су щ ест ву ет x , при кот ором P ( x ) ист ин н о), кот орое ист ин н о, если су щ ест в у ет хот ябы од ин э лем ен т x ∈ M , д лякот орого P ( x ) ист ин н о, и лож н о в прот ивн ом слу ча е, т .е. 1, если P ( x ) − вы полним ы й предика т ; ∃x P ( x ) =  0 , если P ( x ) ≡ 0. В в ыска зыва н ии ∃x P ( x ) перем ен н а я x связа н а ква н т ором су щ ест вова н ия ∃ . За м ет им , чт о сим волы ∀ и ∃ происход ят от первых бу кв а н глийских слов « All» (все) и « Exist» (су щ ест вова т ь). П риме р 2. П усть P ( x ) = [ x ≥ 3] , о пр е де ле нный на

м но ж е стве на тур а льных чисе л ние ∀x P( x ) ло ж но , выска зыва ние

. То гда выска зыва ∃x P ( x ) истинно . N

1   Прим ер 3. Д а н ы пред ика т ы P ( x ) =  x 2 + x + > 0 , x ∈ R  и 2   2 Q ( x ) = [ x − 5 x + 6 = 0 , x ∈ R ] , опред елен н ые н а м н ож ест ве д ейст вит ельн ых чисел. У ст а н овит ь, ка кие из след у ю щ их выска зыва н ий ист ин н ы, а ка кие лож н ы: 1. ∀x P ( x ) 3. ∀x Q( x ) 2. ∃x P ( x ) 4. ∃x Q( x ) 2

1  1 1 Реш ение. Т.к. ква д ра т н ый т рехчлен x + x+ =x +  + >0 2  2 4 при всех x ∈ R , т о выска зыва н ия ∀x P ( x ) и ∃x P ( x ) ист ин н ы. Т.к. у ра вн ен ие x 2 − 5 x + 6 = 0 им еет д ва д ейст вит ельн ых корн я x1 = 2 и x 2 = 3 , т о пред ика т Q( x ) прин им а ет зн а чен ие 1 т олько при x = 2 2

113 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

и при x = 3 , а зн а чен ие 0 в ост а льн ых слу ча ях. П оэ т ом у в ыска зыва н ие ∀x Q( x ) лож н о, выска зыва н ие ∃ x Q ( x ) ист ин н о.

Е сли од н ом ест н ый пред ика т P ( x ) за д а н н а кон ечн ом м н ож ест ве M = {a 1 , a 2 ,K , a n }, т о н ет ру д н о вид ет ь, чт о 1. ∀x P ( x ) = P (a 1 ) & P (a 2 ) & K & P (a n ) ; 2. ∃x P ( x ) = P (a1 ) ∨ P (a 2 ) ∨ K ∨ P (a n ) , т .е. ква н т орн ые опера ции обобщ а ю т опера ции & и ∨ н а слу ча й бескон ечн ых м н ож ест в. Счит а ет ся, чт о ква н т оры « связыва ю т » сильн ее, чем опера ции логики выска зыва н ий. И м ею т мест о форм улы свя з и ква нт оров: ∀x P ( x ) = ∃ x P ( x ) и ∃ x P ( x ) = ∀x P ( x ) , кот орые ш ироко использу ю т ся при ра вн осильн ых преобра зова н иях в логике пред ика т ов. Д ока ж ем первое ра вен ст во: пу ст ь ∀x P ( x ) = 0 ⇔ ∀x P ( x ) = 1 ⇔ P ( x ) ≡ 1 ⇔ P ( x ) ≡ 0 ⇔ ∃x P ( x ) = 0 . В т орое ра вен ст во д ока зыва ет сяа н а логичн о. К ва н т орн ые опера ции прим ен яю т сяи к м н огомест н ым пред ика т а м . На прим ер, прим ен яя ква н т оробщ н ост и по перем ен н ой x к д ву хм ест н ом у пред ика т у P ( x , y ) = [ x + y > 0 , x , y ∈ R ] полу ча ем од н омест н ый пред ика т , за висящ ий от перем ен н ой y : ∀x P ( x , y ) = Φ( y );

Φ(1) = ∀x P ( x,1) = ∀x [ x + 1 > 0] = 1 (ист ина ),

Φ(− 1) = ∀x P ( x, −1) = ∀x [ x − 1 > 0] = 0 ( лож ь ). К пред ика т у Φ ( y ) мож н о прим ен ит ь ква н т орн ые опера ции по перем ен н ой y . В резу льт а т е полу чим выска зыва н ие: ∀y Φ( y ) = ∀y(∀x P ( x , y )) или ∃y Φ( y ) = ∃y(∀x P ( x , y )) . За м ет им , чт о перест а н овка лю бых ква н т оров м ест а м и, вообщ е говоря, измен яет логическое зн а чен ие выска зыва н ия. Прим ер 4. П ока за т ь, чт о выска зыва н ия ∀x ∃y P ( x , y ) и ∃y ∀x P ( x , y ) им ею т ра зличн ые логические зн а чен ия, гд е д ву хм ест н ый пред ика т P ( x , y ) = [ x < y ] опред елен н а м н ож ест ве M = N × N . Реш ен ие: В ыска зыва н ие ∀x ∃y P ( x , y ) озн а ча ет у т верж д ен ие, чт о д лялю бого н а т у ра льн ого числа x н а йд ет сян а т у ра льн ое число y , больш ее числа x . Эт о выска зыва н ие ист ин н о. В ыска зыва н ие ∃y ∀x P ( x , y ) озн а ча -

114 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

ет , чт о су щ ест ву ет н а т у ра льн ое число y , кот орое больш е лю бого н а т у ра льн ого числа x . Эт о выска зыва н ие, очевид н о, лож н о.

115 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. Сред и след у ю щ их пред лож ен ий выд елит е пред ика т ы, д ля ка ж д ого из пред ика т ов у ка ж ит е од н у из возм ож н ых обла ст ей опред елен ияи в соот вет ст вии с н ей м н ож ест во ист ин н ост и: 1) Л у н а ест ь спу т н ик В ен еры; 2) П ла н ет ы x и y прин а д леж а т Солн ечн ой сист ем е; 3) 5 + 5 70 − 6 10 > 150 ; 4) x 2 + 3 x + 2 = 0 ; 5) x 4 − 3 x + 8 ; 6) Л ю бое прост ое число p н е им еет д елит елей, от личн ых от себя и 1; 7) На т у ра льн о число n н е м ен ьш е 1; 8) Треу гольн ик ABC ра вен т реу гольн ику A1 B1 C 1 ; 9) x 2 + 2 x + 1 > 0 ;

1 ; cos 2 x 11) ln x < sin x .

10) 1 + tg 2 x =

2. Д а н ы пред ика т ы P ( x ) : « x 2 − 4 = 0 » и Q( x ) : « 3 x − 2 < 17 » . На йт и м н ож ест ва ист ин н ост и э т их пред ика т ов, если их обла ст ь опред елен ияест ь: 1) R ; 2) N . 3. Бу д у т ли след у ю щ ие пред ика т ы ра вн осильн ы или од ин из н их являет ся след ст вием д ру гого? (П ред м ет н ые перем ен н ые в пред ика т а х прин а д леж а т R) 1) x ⋅ y = 15 и xy = 15 ; 2) lg ab = 1 и lg a + lg b = 1 ; 1 3) sin 2 x + cos 2 x = 1 и tg 2 x + 1 = ; cos 2 x 4) 2 log2 x = y и y = x ; 5) x 2 ≤ 0 и 2 = cos x ; 6) x + y = z и ( x + y )( x − y ) = − zy ; 7) x 3 + y 3 = 0 и x 2 − y 2 = 0 . x

116 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

4. На йт и м н ож ест ва ист ин н ост и пред ика т ов: x 2 + 3x + 2 2) x 2 − 1 = −3; 1) 2 ; x + 4x + 3 x 2 − 5x + 6  x 2 − 13 x + 40 ≥ 0 4) 2 < 0. 3)  2 ; x − 2 x − 3 x x 2 + − 30 < 0  5. На м н ож ест ве M = {1, 2 , 3,K , 20} за д а н ы пред ика т ы: A( x ) : « x н е д елит сян а 5» ; B ( x ) : « x — чет н ое число» ; C ( x ) : « x — число прост ое» ; D( x ) : « x кра т н о 3» . На йд ит е м н ож ест во ист ин н ост и след у ю щ их пред ика т ов: 1) A( x ) & B( x ); 2) C ( x ) & B( x ); 3) C ( x ) & D( x ); 4) B ( x ) & D( x ); 5) B ( x ) & D ( x ); 6) A( x ) & D ( x ); 8) A( x ) & B( x ) & D( x ); 7) B ( x ) & D ( x ); 9) A( x ) ∨ B( x ); 10) B ( x ) ∨ C ( x ); 11) C ( x ) ∨ D( x ); 12) B ( x ) ∨ D( x ); 13) B ( x ) ∨ D( x ); 14) B ( x ) ∨ D ( x ); 15) A( x ) ∨ B( x ) ∨ D( x ); 16) C ( x ) → A( x ); 18) A( x ) → B ( x ); 17) D( x ) → C ( x ); 19) ( A( x ) & C ( x )) → D ( x ); 20) ( A( x ) & D( x )) → C ( x ). 6. У ст а н овит ь, ка кие из след у ю щ их в ыска зыва н ий ист ин н ы, а ка кие лож н ы, при у словии, чт о обла ст ь опред елен ияпред ика т ов совпа д а ет с R . 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

∃ x ( x + 5 = x + 3); 1   ∃ x  x 2 − x + = 0 ; 2   2 ∀ x ( x + x + 1 > 0); ∀ x ( x 2 − 5 x + 1 ≥ 0 ); ∃ x (( x 2 − 5 x + 1 ≥ 0) & ( x 2 − 2 x + 1 > 0)); ∃ x (( x 2 − 5 x + 1 ≥ 0 ) & ( x 2 − 6 x + 8 ≤ 0)); ∀ x (( x 2 − 6 x + 8 ≥ 0) ∨ ( x 2 − 6 x + 8 < 0 )); ∃ x (( x ∈ {2 , 5}) → ( x 2 − 6 x + 8 = 0 ));

117 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

9) ∀ x (( x ∈ {3 , 5}) → ( x 2 − 6 x + 8 < 0 )). 7. За писа т ь пред ика т ы, полу чен н ые в резу льт а т е логических опера ций н а д

EQ

EP

EQ

Рис.1

EQ

EP

ER

EP Рис.7

EQ

Рис.2

EQ

Рис.4

EQ

EP

Рис.3

EP

EQ

Рис.5

EQ

EP

ER

EP

Рис.6

EQ

ER

EP

EP

Рис.8

Рис.9

пред ика т а м и P ( x ) , Q( x ) и R( x ) , м н ож ест ва ист ин н ост и кот орых ( E ) за ш т рихова н ы н а след у ю щ их рису н ка х: 8. П ривед ит е прим еры т а ких зн а чен ий a , д ля кот орых д а н н ое выска зыва н ие: а ) ист ин н о; б) лож н о (обла ст ь опред елен ия пред ика т ов совпа д а ет с R ). 1) ∃ x < 0 ( x 2 + ax + a = 0 ); 2) ∀ x ∈ [0 ,1]( x 2 + x + a < 0 ); 3) ∀ x > 7 ( x 2 + ax + 1 > 0 ); 4) ∃ x ∈ [a , a + 1] ( x 2 − x − 2 < 0 ).

118 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

9. И зобра зит е н а д иа гра м м а х Эйлера -Вен н а м н ож ест ва ист ин н ост и д ля след у ю щ их пред ика т ов : 1) P ( x ) & Q ( x ); 2) P ( x ) ↔ Q ( x ); 3) ( P ( x ) → Q ( x )) ∨ R ( x ) & Q ( x ); 4) P ( x ) → (Q( x ) ∨ Q ( x )); 5) P ( x ) & Q ( x ) → R ( x ).

10.И зобра зит е н а коорд ин а т н ой плоскост и м н ож ест ва ист ин н ост и пред ика т ов: 1) ( x > 2 ) & ( x < y ); 2) ( x ≤ y ) ∨ ( x ≤ 1); 3) ( x ≥ 3) → ( y < 5); 4) (( x > 2 ) & ( y ≥ 1)) & (( x < −1) ∨ ( y < −2 )); 5) (( x > 2) ∨ ( y > 1)) & (( x < −1) ∨ ( y < −2)). 10. П Р ИМ ЕНЕНИЕ ЛОГИКИ П Р ЕДИКАТОВ В М А ТЕМ АТИКЕ 1. П рим ен ен ие языка пред ика т ов д ля за писи м а т ем а т ических пред лож ен ий, опред елен ий, т еорем . У д обн о и ком па кт н о с пом ощ ью сим волов языка пред ика т ов перед а ва т ь см ысл выска зыва н ий. Прим ер 1. За писа т ь н а языке пред ика т ов опред елен ие пред ела числовой послед ова т ельн ост и: lim x n = a . n→ ∞

Реш ение. За пись « число a ест ь пред ел {x n } » : ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N [n ≥ n0 ⇒ x n − a < ε ] озн а ча ет , чт о д ля лю бого числа ε > 0 н а йд ет ся (су щ ест ву ет ) т а кой н ом ер n 0 , н а чин а я с кот орого, т .е. д ля всех n ≥ n 0 , выполн яет ся н ера вен ст во xn − a < ε .

2. П ост роен ие прот ивополож н ого у т верж д ен ия A д ля н екот орого м а т ем а т ического у т верж д ен ия A, использу я ра вн осильн ые преобра зова н ия. Прим ер 2. И м еет м ест о у т верж д ен ие A о н епрерыв н ост и ф у н кции f ( x ) в т очке x 0 : ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x [ x − x 0 < δ ⇒ f ( x ) − f ( x 0 ) < ε ] . Д а т ь прот ивополож н ое у т верж д ен ие A . Реш ение.

119 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

lim f ( x ) ≠ f ( x 0 ) ⇔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x [ x − x 0 < δ ⇒ f ( x ) − f ( x 0 ) < ε ] ≡ x→ x0

≡ ∃ ε > 0 ∀δ > 0 ∃x [ x − x 0 < δ & f ( x ) − f ( x 0 ) ≥ ε ]. П ост роен ие от рица н ий н еобход им о при д ока за т ельст ве от прот ивн ого: P→Q≡Q → P. 3. М н огие т еорем ы ф орм у лиру ю т ся в в ид е у словн ого пред лож ен ия: « Е сли лю бой э лемен т x ∈ M обла д а ет свойст вом P ( x ) , т о он обла д а ет свойст вом Q( x ) » , т .е. (*) ∀x ∈ M [P ( x ) → Q( x )] . О чевид н о, чт о если т еорем а (*) н еверн а , т о бу д ет ист ин н ым у т верж д ен ие ∀x ∈ M [P ( x ) → Q ( x )] ≡ ∃ x ∈ M P ( x ) & Q ( x ) . П оэ т ом у д ля д ока за т ельст ва н еспра вед ливост и т еорем ы (*) н у ж н о у ка за т ь хот ябы од ин э лем ен т из м н ож ест ва M , при кот ором у слов ие P ( x ) ист ин н о, а зн а чен ие Q ( x ) лож н о. Д ру гим и слова м и, н у ж н о привест и кон т рприм ер.

[

]

4. П рям а я, обра т н а я и прот ивополож н а я т еорем ы. Необход им ые и д ост а т очн ые у словия.

О п ре д ел ение. Те о р е м ы ∀x ∈ M [P ( x ) → Q( x )] и ∀x ∈ M [Q ( x ) → P ( x )] (**) н а зыва ю т сявз а им но обра т ны м и, т . к. у словие P ( x ) од н ой т еоремы являет ся за клю чен ием вт орой, а у словие Q( x ) вт орой т еорем ы являет ся за клю чен ием первой. П ри э т ом од н а из н их н а зыва ет ся пря м ой т еорем ой, д ру га я— обра т ной.

О п ре д ел ение. Те о р е м ы ∀x ∈ M [P ( x ) → Q( x )] и ∀x ∈ M [P ( x ) → Q ( x )] н а зыва ю т ся вза им н о прот ивополож н ыми. В н их у словие P ( x ) и за клю чен ие Q( x ) од н ой являю т ся от рица н ием соот вет ст ву ю щ его у словия P ( x ) и за клю чен ия Q ( x ) д ру гой. За м ет им , чт о т еоремы ∀x ∈ M [P ( x ) → Q( x )] и ∀x ∈ M [Q ( x ) → P ( x )] всегд а ра вн осильн ы. На э т ом осн овыва ет ся м ет од д ока за т ельст ва от прот ивн ого.

И звест н о, чт о если E p ⊂ E Q , т о пред ика т Q( x ) ест ь следст вие пре-

д ика т а P ( x ) : P ( x ) ⇒ Q( x ) . О т сю д а след у ет , чт о пред ика т P ( x ) → Q( x ) являет ся ист инны м д ля ∀x ∈ M . П ри э т ом пред ика т P ( x ) н а зыва ю т дос-

120 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

т а т очны м условием д ля Q ( x ) , а пред ика т Q ( x ) — необходим ы м условием д ляпред ика т а P ( x ) . Е сли E p = E Q , т о P ( x ) ⇔ Q( x ) , т .е. э т и пред ика т ы ра вн осильн ы. В э т ом слу ча е вза им н о обра т н ые т еорем ы (**) ист ин н ы при ∀x ∈ M . У словие P ( x ) являет ся н еобход им ым и д ост а т очн ым д ля Q( x ) . А н а логичн о, у слов ие Q( x ) являет сян еобход им ым и д ост а т очн ым д ля P ( x ) . Прим ер 3. За писа т ь н а языке пред ика т ов ф орм у лировку т еорем ы о н еобход им ом призн а ке сход имост и числового ряд а

∞

∑a n =1

n

; lim a n = 0. n →∞

Реш ение. П у ст ь P ( x ) — свойст во x быт ь сход ящ имся ряд ом , гд е M = {x} — м н ож ест во всех числовых ряд ов; Q( x ) — общ ий член a n → 0 при n → ∞ . Тогд а ф орм у ла ∀x ( P ( x ) → Q( x )) ест ь за пись ф орм у лировки д а н н ой т еорем ы.

121 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. За пиш ит е н а языке логики пред ика т ов опред елен ия: 1) Линейно упоря доченного м нож ест ва (у поряд очен н ое м н ож ест во н а зыва ет ся лин ейн ым , если д ля лю бых э лем ен т ов э т ого м н ож ест ва x и y либо x = y , либо x < y , либо x > y ); 2) О гра ниченной функции (ф у н кция f ( x ) н а зыва ет ся огра н ичен н ой н а м н ож ест ве M , если су щ ест ву ет т а кое н еот рица т ельн ое число L , чт о д лявсех x ∈ M спра вед ливо н ера вен ст во f ( x ) ≤ L ); 3) Ч ет ной функции (ф у н кция f н а зыва ет ся чет н ой, если обла ст ь ее опред елен ия сим м ет ричн а от н осит ельн о н а ча ла коорд ин а т и д ля ка ж д ого x из обла ст и опред елен ия спра вед ливо ра вен ст во f (− x ) = f ( x ) ); 4) Периодической функции (ф у н кция f н а зыва ет ся период ической, если су щ ест ву ет т а кое число T ≠ 0 , чт о при лю бом x из обла ст и опред елен ия f э лем ен т ы x − T и x + T т а кж е прин а д леж а т э т ой обла ст и, и при э т ом выполн ен о ра вен ст во f ( x ± T ) = f ( x ) ); 5) В оз ра ст а ющ ей функции на м нож ест ве M (ф у н кция f н а зыва ет ся возра ст а ю щ ей н а м н ож ест ве M , если д ля лю бых чисел x 1 и x 2 , прин а д леж а щ их м н ож ест ву M , из н ера вен ст ва x1 < x 2 след у ет н ера вен ст во f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ). 2. П ользу ясь полу чен н ым и в пред ыд у щ ем у пра ж н ен ии ф орм у ла м и, от вет ьт е н а след у ю щ ие вопросы. Ч т о зн а чит : 1) У поряд очен н ое м н ож ест во н е являет сялин ейн ым ? 2) Ф у н кциян е являет сяогра н ичен н ой? 3) Ф у н кциян е являет сячет н ой? 4) Ф у н кциян е являет сяпериод ической? 5) Ф у н кциян е являет ся возра ст а ю щ ей н а м н ож ест ве M ? 3. Д ока за т ь н еспра вед ливост ь у т верж д ен ий: 1) « Е сли ф у н кция н епрерывн а в т очке x 0 , т о он а и д иф ф ерен циру ем а в э т ой т очке» ; 2) « Е сли пред ел n -го член а числового ряд а ра вен н у лю , т о ряд сход ит ся» ;

122 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

3) « Е сли в чет ыреху гольн ике д иа гон а ли ра вн ы, т о чет ыреху гольн ик являет сяпрям оу гольн иком » ; 4) « Е сли ф у н кция ин т егриру ем а н а

[a , b] , т о он а

5) « Е сли ф у н кция ин т егриру ем а н а

[a , b] , т о

н ем » ; н ем » ;

н епрерывн а н а

он а мон от он н а н а

6) « Е сли числова я послед ова т ельн ост ь имеет пред ел, т о он а мон от он н а » ; 7) « Е сли числова я послед ова т ельн ост ь огра н ичен а , т о он а им еет пред ел» ; 8) « Е сли ф орм у ла логики пред ика т ов выполн им а , т о он а общ езн а чим а » ; 9) « Е сли д иф ф ерен циру ем а я ф у н кция y = f ( x ) им еет в т очке x 0 перву ю производ н у ю , ра в н у ю н у лю ( y ′( x 0 ) = 0 ) , т о точка x 0 — т очка э кст рему м а ф у н кции» ; 10) « Е сли д иф ф ерен циру ем а я ф у н кция y = f ( x ) им еет в т очке x 0 вт ору ю производ н у ю , ра вн у ю н у лю ( y ′′( x 0 ) = 0) , т о т очка x 0 — т очка перегиба гра ф ика ф у н кции» ; 4. Д ля ка ж д ого из след у ю щ их у словий выясн ит е, являет ся ли он о н еобход им ым или яв ляет ся ли он о д ост а точн ым д ля т ого, чтобы выполн ялось н ера вен ст во x 2 − 2 x − 8 ≤ 0 : a) x = 0 ;

b) x ≥ − 3 ;

c) x > −2 ;

d) x ≥ −1 и x ≤ 3 ;

e) x ≥ −1 и x < 10 ;

f) − 2 ≤ x ≤ 10 .

5. В след у ю щ их пред лож ен иях вм ест о м н огот очия пост а вьт е слова «необходим о, но недост а т очно» или «дост а т очно, но не необходим о» или ж е «не необходим о и недост а т очно», а гд е возм ож н о «необходим о и дост а т очно» т а к, чтобы полу чилось ист ин н ое у т верж д ен ие: 1) Д лят ого чт обы чет ыреху гольн ик был прям оу гольн ым … , чт обыд лин ы его д иа гон а лей были ра вн ы. 2) Д лят ого чт обы x 2 − 5 x + 6 = 0 … , чт обы x = 3 . 3) Д ля т ого чт обы су м ма чет н ого числа н а т у ра льн ых чисел была чет н ым числом , … , чт обыка ж д ое сла га ем ое было чет н ым . 4) Д ля т ого чт обы ф у н кция f ( x ) была ин т егриру ем а н а от резке [a , b ] , … , чт обы f ( x ) была огра н ичен а .

123 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

5) Д ля т ого чт обы ф у н кция f ( x ) была ин т егриру ем а н а от резке [a , b] , … , чт обы f ( x) была н епрерывн а н а [a , b] .

6) Д ля т ого чт обы окру ж н ост ь м ож н о было вписа т ь в чет ыреху гольн ик, … , чт обы су м м ы д лин его прот ивополож н ых ст орон были ра вн ы. 7) Д ля т ого чт обы мн ож ест во A было счет н ым , … , чт обы его э лем ен т ы м ож н о было за писа т ь в в ид е н у м ерова н н ой послед ова т ельн ост и. 8) Д ля т ого чт обы числова я послед ова т ельн ост ь им ела пред ел, … , чт обы он а была огра н ичен н ой. 9) Д ля т ого чт обы числова я послед ова т ельн ост и им ела пред ел, … , чт обы он а была м он от он н ой и огра н ичен н ой. 6. Сф орм у лиру йт е: 1) Необход им ый и д ост а т очн ый призн а к па ра ллелогра м м а . 2) Необход им ый, н о н ед ост а т очн ый призн а к па ра ллелогра м м а . 3) Д ост а т очн ый, н о н еобход им ый призн а к па ра ллелогра м м а . 4) Необход им ое, н о н ед ост а т очн ое у словие т ого, чт обы у ра вн ен ие sin x = a им ело реш ен ие. 5) Д ост а т очн ое, н о н е н еобход им ое у словие д лят ого, чтобы у ра вн ен ие sin x = a им ело реш ен ие. 6) Д ост а т очн ое, н о н е н еобход им ое у словие д лят ого, чтобы у ра вн ен ие x 2 + px + q = 0 имело вещ ест вен н ые корн и. 7. П а па ска за л д ет ям : « Е сли м ыс м а м ой поед ем лет ом в д ом от д ыха , т о вы все поед ет е в д ет ский ла герь» . В ш коле д ет ей спросили, ку д а он и поед у т лет ом . П ет я от вет ил: « Е сли м ы поед ем в ла герь, т о род ит ели поед у т в д ом от д ыха » . Г а ля ска за ла : « Е сли па па с м а м ой н е поед у т в д ом от д ыха , т о м ы н е поед ем в ла герь» . « Нет , н е т а к, — вм еш а лся К оля.— Е сли м ы н е поед ем в ла герь, т о кт о-т о из род ит елей н е поед ет в д ом от д ыха » . Ч ей от вет ра вн осилен т ом у , чт о ска за ли род ит ели?

11. М А Ш И НА ТЬЮ РИ НГ А М а ш ина Ть юринга — эт о м а т ем а т ическа я м одель идеа лиз ирова нной цифровой вы числит ель ной м а ш ины . И д ея т а кой м а ш ин ы, пред -

124 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

лож ен н а я а н глийским м а т ем а т иком А .Тью рин гом в т рид ца т ых год а х XX века , связа н а с его попыт кой д а т ь т очн ое м а т ем а т ическое опред елен ие пон ят ияа лгорит м а . М а ш ин а Тью рин га (М Т) сост оит из чет ырех ча ст ей: лен т ы, счит ыва ю щ ей головки, у ст ройст ва у пра влен ияи вн у т рен н ей па м ят и. 1. Лент а (вн еш н яя па м ят ь М Т) — бескон ечн а я в обе ст орон ы полоска , ра збит а я н а ячейки (ра в н ые клет ки). В ка ж д у ю ячейку в д искрет н ый м ом ен т врем ен и м ож ет быт ь за писа н т олько од ин сим вол (бу ква ) из внеш него а лфа вит а A = {Λ , a1 , a 2 ,K , a n −1 }, n ≥ 2 . П у ст а я ячейка обозн а ча ет ся сим волом Λ . В э т ом а лф а вит е A в в ид е слова (кон ечн ого у поряд очен н ого н а бора сим волов) код иру ет ся т а ин ф орм а ция, кот ора я под а ет сяв М Т. М а ш ин а перера ба т ыва ет ин ф орм а цию , под а н н у ю в в ид е слова , в н овое слово. 2. Счит ы ва ю щ а я головка (н екий счит ыва ю щ ий э лем ен т ) перем ещ а ет ся вд оль лен т ы т а к, чт о в ка ж д ый мом ен т врем ен и он а обозрева ет ровн о од н у ячейку лен т ы. Г оловка м ож ет счит ы ва т ь сод ерж им ое ячейки и з а писы ва т ь в н ее н ов ый сим вол из а лф а вит а A . В од н ом т а кт е ра бот ы он а м ож ет сд вига т ься т олько н а од н у ячейку в пра во ( П ), влево ( Л ) или ост а ва т ься н а м ест е ( Н ). О бозн а чим м н ож ест во перем ещ ен ий (сд вига ) головки D = {П , Л , Н } . 3. Па м я т ь м а ш ин ы пред ст а вляет собой н екот орое кон ечн ое м н ож ест во вн у т рен н их сост оян ий Q = {q0 , q1 , q 2 , K , q m −1 }, m ≥ 1. Бу д ем счит а т ь, чт о м ощ н ост ь Q ≥ 2 . Д ва сост оян ия м а ш ин ы им ею т особое н а зн а чен ие: q1 — н а ча льн ое вн у т рен н ее сост оян ие, q0 — за клю чит ельн ое вн у т рен н ее сост оян ие (ст оп-сост оян ие). М а ш ин а ра бот а ет во врем ен и, кот орое счит а ет сяд искрет н ым и его м ом ен т ыза н у м ерова н ы: 1, 2, 3, … . В ка ж д ый м ом ен т врем ен и М Т ха ра кт еризу ет ся полож ен ием головки и вн у т рен н им сост оян ием . На прим ер, под ячейкой, н а д кот орой н а ход ит сяголовка , у ка зыва ет сявн у т рен н ее сост оян ие м а ш ин ы.

↓ Λ

a2

a1

Λ

a2

a3

Λ

q1 4. У ст ройст во упра вления (У У ) в ка ж д ый м ом ен т врем ен и t в за висим ост и от вн у т рен н его сост оян ия м а ш ин ы и счит ыва ю щ его в э т от момен т сим вола н а лен т е, н а д кот орым н а ход ит ся головка , выполн яет след у ю щ ие д ейст вия: a) « счит ыва ет » сим вол a i — за м ен яет н а н овый сим вол a j (м ож ет быт ь

a j = a i );

125 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

b) перем ещ а ет головку в од н ом из н а пра влен ий: П , Л , Н ; c) изм ен яет им ею щ ееся в момен т t вн у т рен н ее сост оян ие ql н а н овое сост оян ие q s , в кот ором бу д ет м а ш ин а в послед у ю щ ий м омен т врем ен и t + 1 (м ож ет быт ь q l = q s ). Та кие д ейст вияУ У н а зыва ет сяком а ндой, кот ора яза писыва ет сят а к: ql ai → a j D qs , (*) гд е a i , a j ∈ A , q l , q s ∈ Q ,

D = {П , Л , Н }, l ≠ 0 .

В левой ча ст и ком а н д ы(*) н икогд а н е вст реча ет ся q0 . Та к ка к м н ож ест ва A и Q кон ечн ы, т о ком а н д вид а (*), в кот орых левые ча ст и попа рн о ра зличн ы, кон ечн ое число. Совокупност ь всех ком а нд н а зыва ет ся програ м м ой М Т. М а ксим а льн ое число кома н д в програ м м е ра вн о (n +1) ⋅ m , гд е n = A , m = Q . Счит а ет ся, чт о за клю чит ельн ое сост оян ие q0 м ож ет ст оят ь т олько в пра вой ча ст и ком а н д ы, н а ча льн ое сост оян ие q1 — т олько в левой ча ст и ком а н д ы. Е сли левые ча ст и д ву х ком а н д совпа д а ю т , т о с н еобход им ост ью совпа д а ю т и пра вые ча ст и ком а н д . Выполн ен ие од н ой ком а н д ы н а зыва ю т ш а гом . Я сн о, чт о ра бот а М Т полн ост ью опред еляет сяее програ м м ой. За д а н н ое слово н а лен т е с н а ча льн ым сост оян ием q1 и полож ен ие головки н а д перв ым сим волом н а зыва ет ся на ча ль ной конфигура цией. Г оворят , чт о М Т прим еним а к слову на ча ль ной конфигура ции, если при ра бот е н а д э т им словом через кон ечн ое число ш а гов выполн яет ся ком а н д а , сод ерж а щ а я в пра вой ча ст и за клю чит ельн ое сост оян ие q 0 , и ра бот а н а д э т им словом прекра щ а ет ся. То, чт о полу чилось при э т ом н а лен т е, вм ест е с сост оян ием q 0 и полож ен ием голов ки н а зыва ю т з а ключит ель ной конфигура цией. В прот ивн ом слу ча е говорят , чт о М Т н е прим ен им а к слову н а ча льн ой кон ф игу ра ции. Прим ер 1. П ост роит ь м а ш ин у Тью рин га , кот ора я в а лф а вит е A = {a ,b , Λ} слово " abb" преобра зу ет в слово " bba" . Реш ение. Сост а вим програ м м у М Т: q1 a → Λ П q2

q 2 b → b П q2 q 2 Λ → a Н q0

В р е зульта те р а б о ты М Т на д сло во м дую щ ие ш а ги:

Λ

↓ a

b

b

Λ

" abb"

— 1-й ш а г

б удутсле -

126 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

(н а ча льн а якон ф игу ра ция)

q1

Λ

Λ

Λ

Λ

↓ b q2

b

Λ

— 2-й ш а г

b

↓ b q2

Λ

— 3-й ш а г

b

↓ Λ q2

— 4-й ш а г

b

↓ a q0

b

b

— 5-й ш а г (за клю чит ельн а я кон ф игу ра ция)

Ра бот а М Т за кон чен а . Ра бот у М Т м ож н о описа т ь след у ю щ им обра зом : он а за пом ин а ет 1-ю бу кву исход н ого слова (или при э т ом ст ира ет его); головка д виж ет ся впра во д о первой пу ст ой клет ки, в кот ору ю и за писыва ет ся перва я бу ква исход н ого слова . З а м еча ние. Ч а ст о програ м м у М Т за писыва ю т в д ру гой, более ком па кт н ой ф орм е в вид е т а блицы. На прим ер, програ м м а прим ера 1 м ож ет выгляд ет ь след у ю щ им обра зом : a b Λ q1 Λ П q2 q2 b П q2 a Н q0 Прим ер 2. П ост роит ь ма ш ин у Тью рин га , вычисляю щ у ю числову ю ф у н кцию S ( x ) = x + 1, x ∈ N . Реш ение. П у ст ь вн еш н им а лф а вит ом д а н н ой М Т являет ся м н ож ест во A = {Λ , 1} . Ч исло x ∈ N н а лен т е м а ш ин ы за писыва т ь в вид е н а бора из x ед ин иц:

127 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

Λ

↓ 1 q1

1

…

1

1

1

Λ

П рогра м м а М Т выгляд ит след у ю щ им обра зом : q1 1 → 1 П q1 , q1 Λ → 1 Н q0 , согла сн о кот орой д лялю бой н а ча льн ой кон ф игу ра ции, когд а счит ыва ю щ а я головка обозрева ет од н у из ед ин иц, в ка ж д ый м ом ен т э т а ед ин ица ост а ет ся н а м ест е, и головка сд вига ет ся впра во н а од н у ячейку . Эт от процесс прод олж а ет сяд о т ех пор, пока головка н е выйд ет н а пу ст у ю ячейку . Тогд а в пу ст у ю ячейку за писыва ет ся ед ин ица , головка ост а ет ся н а м ест е. М а ш ин а перейд ет в сост оян ие q0 . М ож н о пока за т ь, чт о все а риф мет ические ф у н кции н а т у ра льн ого а ргу м ен т а в ычислим ы по Тью рин гу . На прим ер, ра бот а М Т в а лф а вит е {Λ , 1} при вычислен ии числовой ф у н кции f ( x , y ) = x + y м ож н о описа т ь след у ю щ ей програ м м ой

Λ 1

q1

q2

q3

q4

1 П q2 1 П q1

Λ Л q3 1 П q2

Λ Л q4

Λ Л q0

гд е лю бое н а т у ра льн ое число m код иру ет сян а бором из m + 1 ед ин иц; э т от н а бор обозн а ча ет ся через 1m +1 . Та к , 0 ~ 1, 1 ~ 11, 2 ~ 111 = 13 , 3 ~ 1111 = 14 и т .д . Ч ислова я ф у н кция f ( x1 , x 2 , ..., x n ) н а зыва ет ся вычислим ой по Тью рин гу , если су щ ест ву ет М Т т а ка я, чт о д ля лю бых m1 , m 2 , ..., m n если при x1 = m1 , x 2 = m2 , ..., x n = mn им еем f (m1 , m 2 , ..., mn ) = m , э т а м а ш ин а прим ен им а к слову 1m1 +1 & 1m2 +1 & ... & 1m1 +1 (**) и в за клю чит ельн ой кон ф игу ра ции н а н екот ором у ча ст ке лен т ы бу д ет за писа н о слово 1m +1 , а ост а льн ые ячейки ока ж у т ся пу ст ым и. Е сли зн а чен ие ф у н кции f (m1 , m 2 , ..., m n ) н е опред елен о, э т а М Т н е прим ен им а к слову (**).

128 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

ЗА ДАЧ И И У П Р А Ж НЕНИЯ 1. В ыясн ит ь, прим ен им а ли М Т, за д а ва ем а япрогра м м ой в а лф а вит е {0, 1} 0 1 q1 0 П q2 1 П q1 q2 0 П q3 1 Л q1 q3 0 Н q0 1 Л q2 к слову P : 1) 2)

P = 13 0 2 12 ; P = 13 0 13 ;

3) P = 10 [01] 1. Е сли прим ен им а , т о н а йт и резу льт а т прим ен ен ияМ Т к слову P . О т вет : В слу ча ях 1), 3) — М Т прим ен им а , 2) — М Т н е прим ен им а . 2

2. П о за д а н н ой М Т и н а ча льн ой кон ф игу ра ции K 1 н а йт и за клю чит ельн у ю кон ф игу ра цию . MT1 MT2 0 1 0 1 q1 0 Н q0 1 П q2 q1 0 Н q0 0 П q2 q2 1 Л q0 0 П q3 q2 0 П q1 1 Л q2 2 3 q3 1 Л q1 0 П q1 1) K 1 = 1 q1 1 0 1 ; 1) K 1 = 1q1 15 ; 2) K 1 = 1q1 14 . 2) K 1 = q1 13 01 ; 3) K 1 = 10 q1 14 . О т вет : 1) 12 0 2 1 q 0 0 1 ; 2) [10] 0 q 0 12 . 2

3. П ост роит ь М Т, кот ора я прим ен има ко всем слова м в а лф а вит е {Λ , a , b} и д ела ет след у ю щ ее: лю бое слово x1 x 2 K x n , гд е x i = a или x i = b ,

(i = 1, n ), преобра зу ет в слово

x 2 x 3 K x n x1 . У ка з а ние: В н а ча льн ойкон ф игу ра ции

Λ

↓ x1 q1

x2

…

…

xn

Λ

129 О пера ция з а м ы ка ния . О сновны е з а м кнут ы е кла ссы . __________________________________________________________________________________________

за м ен ит ь сим вол x1 н а Λ и, д вига ясь впра во д о первой пу ст ой ячейки, вписа т ь в н ее сим вол x1 . Та к ка к в а лф а вит е всего д ва сим вола a и b , т о введ ит е д ва сост оян ия: q 2 вписыва ет сим вол a , если x i = a ; q 3 вписыва ет сим вол b , если x i = b . 4. П ост роит ь М Т, вычисляю щ у ю нуль -функцию O( x ) = 0 в а лф а в ит е {Λ ,1} . У ка з а ние: В зят ь мн ож ест во Q = {q 0 , q1 }, под ст а вит ь вм ест о всех ед ин иц сим вол Λ , а когд а вст рет ит сясим вол Λ , т о пост а в ит ь сим вол 1. 5. Реа лизова т ь н а М Т а лгорит м вычислен ия ф у н кции f (n ) = n + 2 , гд е n∈ N . У ка з а ние: В зят ь м н ож ест во сост оян ий Q = {q 0 , q1 , q 2 } . Ч исло n н а лен т е М Т за писыва ет ся в д есят ичн ой сист ем е счислен ия. Сост оян ие q1 за мен яет послед н ю ю циф ру числа n , если э т а циф ра м ен ьш е 8, циф рой, н а д ве ед ин ицы больш ей, и переход ит в ст оп-сост оян ие. Е сли послед н яя циф ра числа n ра вн а 8, т о ее за м ен ит ь н а 0 и перейт и в лево в сост оян ие q 2 . Сост оян ие q 2 д оба вляет к след у ю щ ем у ра зряд у 1. Е сли ж е послед н яя циф ра числа n ра вн а 9, т о ее за мен ит ь н а 1 и перейт и влево в сост оян ие q 2 . 6. В ычисляет ли М Т в а лф а вит е {1, Λ} 1) с програ м м ой q1 q2 q3 1 Л q2 Λ П q0 Λ Н q0 Λ 1 1 Н q3 Λ Л q3 1, если x = 0 , ф у н кцию sign x =  0 , если x ≠ 0. 2) с програ м м ой q1 q2 q3 q4 Λ Л q2 Λ П q0 Λ П q4 Λ П q4 Λ 1 1 Л q3 Λ Л q3 1 Н q0 0 , если x = 0 , ф у н кцию sign x =  1, если x ≠ 0. 7. П ост роит ь М Т, кот ора явычисляет ф у н кцию : 1) f ( x , y ) = x ⋅ y ; 2) f ( x ) = x 2 ; 3) ф у н кцию в ыбора а ргу м ен т а J 2(3 ) ( x1 , x 2 , x 3 ) = x 2 .