Анализ прохождения сигналов через линейные цепи: Пособие к лабораторным работам на ЭВМ по курсам ''Основы радиоэлектроники'', ''Теоретические основы радиотехники''. Часть 2

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

А Н А ЛИ З ПРО ХО Ж Д Е Н И Я СИ ГН А ЛО В ЧЕ РЕ З ЛИ Н Е Й Н Ы Е Ц Е ПИ Пособ ие клаб ораторнымраб отамна ЭВ М по ку рсам “ О снов ы ра д и оэлектрони ки ”, “ Т еорети ч ески е основ ы ра д и отех ни ки ” Часть 2 (специаль ность 013800 «Рад иоф изика и электроника»)

В О РО Н Е Ж 2003

2

У тв ерж д ено нау чно-метод ическим сов етом ф изическог о ф аку ль тета 28.11.2001 протокол№ 4

Состав итель

Парф енов В .И .

Пособ ие под г отов лено на каф ед ре рад иоф изики ф изическог о ф аку ль тета В оронеж ског о г осу д арств енног о у нив ерситета. Рекоменд у ется д ля сту д ентов 2 и 3 ку рсов д нев ног о отд еления и сту д ентов 4 ку рса в ечернег о отд еления специаль ности 013800 - Рад иоф изика и электроника

3

4. Ч А СТ О Т Н Ы Й М ЕТ О Д А Н А ЛИ ЗА ПРО ХО Ж Д ЕН И Я СИ ГН А ЛО В Ч ЕРЕЗЛИ Н ЕЙ Н Ы Е СТ А Ц И О Н А РН Ы Е Ц ЕПИ К ак и сиг налы, линей ные системы (цепи) од нозначно и полность ю мог у т б ыть описаны в частотной об ласти. Д ля этог о в в од ится такое понятие, как частотный коэф ф ициент перед ачи. Пред полож им, что на в ход рассматрив аемой линей ной цепи посту пает г армонический сиг нал .

uâõ (t ) = U m âõ cos(ωt + ϕ âõ ) = R e{U âõ exp( jωt )}

с

комплексной

.

амплиту д ой U âõ = U m âõ exp( jϕ âõ ) . Характерной особ енность ю линей ных цепей яв ляется то, что сиг нал на в ыход е остается г армоническим .

uâ û õ (t ) = R e{U â û õ exp( jωt )} , но, в об щ ем слу чае, с д ру г ой комплексной .

амплиту д ой U в ых = U mв ых exp( jϕ в ых ) . Зав исимость отношения в ыход ной комплексной амплиту д ы к в ход ной от частоты назыв ается частотным коэф ф ициентомперед ачи линей ной цепи .

.

.

K (ω ) = U âû õ / U âõ = U mâû õ exp[ j (ϕ âû õ − ϕ âõ )] / U mâõ = K (ω )exp( jϕ(ω )). (4.1) Зд есь K (ω ) = U mâû õ / U mâõ - мод у ль частотног о коэф ф ициента перед ачи амплиту д но-частотная характеристика (А ЧХ), ϕ(ω ) = ϕ âû õ − ϕ âõ арг у мент частотног о коэф ф ициента перед ачи - ф азочастотная характеристика (Ф ЧХ). Зная частотный коэф ф ициент перед ачи линей ной цепи (4.1), мож но най ти спектраль ну ю плотность сиг нала на в ыход е линей ной цепи .

S âû õ (ω ) в в ид е произв ед ения спектраль ной плотности в ход ног о сиг нала .

S âõ (ω ) на частотный коэф ф ициент перед ачи: .

.

.

(4.2) S âû õ (ω ) = S âõ (ω ) K (ω ). Т ог д а сиг нална в ыход е линей ной цепи, какф у нкция в ремени, запишется в в ид е . 1 ∞. 1 ∞. sâû õ (t ) = ∫ S âû õ (ω )exp( jωt )dω = 2 π ∫ S âõ (ω ) K (ω )exp( jωt )dω. (4.3) 2 π −∞ −∞

В рад иотехнике часто исполь зу ют слож ные системы, отд ель ные зв ень я которых в ключены каскад но, т.е. в ыход ной сиг нал пред ыд у щ ег о зв ена слу ж ит в ход нымсиг наломд ля послед у ющ ег о зв ена. Причеммеж д у этими зв ень ями отсу тств у ет об ратная св язь или св язь через наг ру зку .

4

Послед нее д остиг ается об ычно в ключением меж д у зв ень ями разв языв ающ их у злов (у строй ств сог ласов ания (У С)). Е сли частотный коэф ф ициент перед ачи отд ель ных зв ень ев об означить через .

K n (ω ), n = 1, N , то резу ль тиру ющ ий коэф ф ициент перед ачи в сей системы .

N .

K (ω ) = ∏ K n (ω ).

(4.4)

n =1

При нахож д ении частотног о коэф ф ициента перед ачи исполь зу ют прав ила К ирхг оф а. Перв ое прав ило К ирхг оф а: в в е т в ях ц е п и, с хо дящ ихс я в о дно м узле , N

алге браиче с каяс ум м а м гно в е нныхзначе ний т о ко в рав на нулю: ∑ in (t ) = 0 n =1

(п ри эт о м т о ку im (t ) п рип ис ыв ае т с я знак “п люс ” или “м инус ” в зав ис им о с т и о т е го нап рав ле ния). В торое прав ило К ирхг оф а: в любо м зам кнут о м ко нт уре алге браиче с кая с ум м а м гно в е нныхзначе ний п аде ний нап ряж е ний на е го эле м е нт ахрав на алге браиче с ко й с ум м е м гно в е нныхзначе ний ЭД С ис т о чнико в нап ряж е ний: N

M

n =1

n =1

∑ un (t ) = ∑ e n (t ). П ри о бхо де ко нт ура п аде нию нап ряж е ния um (t )

п рип ис ыв ае т с я знак “п люс ”, е с ли о бхо д ко нт ура п ро изв о дит с я о т “п люс а” к“м инус у”. А ЭД С e m (t ) ис т о чника нап ряж е нияп рип ис ыв ае т с я знак“п люс ”, е с ли о бхо д ко нт ура п ро изв о дит с я о т “м инус а” к“п люс у” ис т о чника ЭД С . Послед ов атель ность шаг ов при опред елении частотног о коэф ф ициента перед ачи: 1. Пред полаг аем, что на в ход е линей ной цепи д ей ств у ет г армонический .

сиг налскомплексной амплиту д ой U âõ . 2. Записыв аем у рав нения, след у ющ ие из прав ил К ирхг оф а, д ля .

.

комплексных амплиту д токов I и напряж ений U , д ей ств у ющ их в цепи. О тметим, что прав ила К ирхг оф а, рассмотренные в ыше, лег ко переписыв аются и д ля комплексных

амплиту д :

N .

1)

∑ I n = 0 , 2)

n =1 N .

M .

.

.

∑U n = ∑ E n , г д е I n - комплексная амплиту д а тока в n-ой в етв и, U n -

n =1

n =1

комплексная

амплиту д а

пад ения .

напряж ения

на

n-ом элементе

в ыд еленног о замкну тог о конту ра, E n - комплексная амплиту д а ЭД С n-г о источника напряж ения в этомконту ре.

5

3. И споль зу ем след у ющ ие соотношения меж д у комплексными амплиту д ами токов и напряж ений д ля различных элементов линей ной цепи: - д ля резистора .

.

UR = IR R,

(4.5)

- д ля емкости .

.

U C = I C / jωC ,

(4.6)

- д ля инд у ктив ности .

.

U L = I L jωL . (4.7) С помощ ь ю этих соотношений и у рав нений , полу ченных из прав ил К ирхг оф а, в ыраж аем комплексные амплиту д ы в ход ног о и в ыход ног о напряж ений (или токов ) д ру г через д ру г а такимоб разом, чтоб ы в итог е в (4.1) осталась ф у нкция, зав исящ ая толь ко от частоты и номиналов элементов , состав ляющ их анализиру ему ю цепь . Эта ф у нкция и б у д ет яв лять ся частотнымкоэф ф ициентомперед ачи. ЗА Д А Н И Я Н А ВЫ ПО ЛН ЕН И Е ЛА Б О РА Т О РН О Й РА Б О Т Ы И ПРИ М ЕРЫ И Х ВЫ ПО ЛН ЕН И Я И споль зу я частотный метод анализа, исслед ов ать прохож д ение сиг нала со спектраль ной плотность ю (4.8) S (ω, ω 0 ) = W 0 ⋅ ( Φ(ω + ω 0 ) − Φ(ω − ω 0 )) через линей ну ю цепь в ид а  рад  W 0 = 1 [в ⋅ сек ] , ω01 = 2000 ,  сек  рад  . ω02 = 3000  сек Постоянная в ремени такой цепи τ = RC принимает значения: τ1 = 6.12 ⋅ 10 −4 , τ 2 = 7.22 ⋅ 10 −4 , τ 3 = 819 . ⋅ 10 −4 , τ 4 = 9.49 ⋅ 10 −4 , τ5 = 17 . ⋅ 10 −3 , τ6 = 213 . ⋅10 −3 , τ 7 = 3.35 ⋅10−3 [сек] . ЗА Д А Н И Е 4.1. Д ля зад анной спектраль ной плотности S (ω, ω0 ) сиг нала в в ести в компь ютер параметры сиг нала W 0 и ω0 j ( j = 1,2 ) и аналитическое в ыраж ение этой спектраль ной плотности в соотв етств ии с (4.8). Пред став ить на г раф ике зав исимость спектраль ной плотности сиг нала S (ω, ω0 ) , как ф у нкцию частоты, д ля д в у х значений ширины спектраль ной плотности ω0 j ( j = 1,2 ) . ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. В в од имв компь ютер исход ные д анные зад ачи:

6

TOL 10

5

W0 ω01

i

1

ω02

2000

j

1

1 .. 2

3000

Д ля построения зав исимости спектраль ной наб ираем:

плотности от частоты

S( ω , ω0 ) W0 . ( Φ ( ω ω0 ) Φ ( ω ω0 ) ) k 0 .. 200 ωk 4000 k . 40 У читыв ая, что в рассматрив аемом примере спектраль ная плотность пред став ляет соб ой д ей ств итель ну ю ф у нкцию, в ыв од им на экран г раф ик этой спектраль ной плотности д ля д в у х значений параметра ω0 : 1.5

S ω , ω0 1 k

1

S ω , ω0 2 0.5 k

0 4000

0

ω

4000

k

ЗА Д А Н И Е 4.2. Рассчитать теоретически частотный коэф ф ициент перед ачи зад анной линей ной цепи. ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Посту паем в соотв етств ии с излож енной ранее метод икой опред еления частотног о коэф ф ициента перед ачи. .

1. О б означаем комплексну ю амплиту д у в ход ног о напряж ения как U в х , .

комплексну ю амплиту д у напряж ения на в ыход е как U âû õ , комплексну ю .

амплиту д у тока в рассматрив аемой цепи как I , комплексну ю амплиту д у .

пад ения напряж ения на резисторе как U R , комплексну ю амплиту д у .

пад ения напряж ения на емкости как U C . 2. Записыв аему рав нение, след у ющ ее из в торог о прав ила К ирхг оф а: .

.

.

U âõ = U R + U C . (4.9) 3. И споль зу я соотношения (4.5), (4.6), переписыв аем у рав нение (4.9) в в ид е . . 1  . 1 + jωRC . U âõ = I  R + =I  jωC  jωC

7

.

.

.

У чтем, что U â û õ = U R = I R . След ов атель но, в соотв етств ии с опред елением(4.1) частотный коэф ф ициент перед ачи . . . jωτ K (ω, τ ) = U âû õ U âõ = , (4.10) 1 + jωτ г д е τ = R C - постоянная в ремени рассматрив аемой цепи. ЗА Д А Н И Е 4.3. В в ести в компь ютер полу чив шееся аналитическое в ыраж ение д ля частотног о коэф ф ициента перед ачи K (ω, τ ) , а такж е таб лицу значений постоянной в ремени цепи τ n , n = 1,7 . Пред став ить на г раф иках мод у ль коэф ф ициента перед ачи (А ЧХ) и арг у мент коэф ф ициента перед ачи (Ф ЧХ) при трех значениях постоянной в ремени цепи τ1, τ 4 и τ 7 . ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. В в од им в компь ютер аналитическое в ыраж ение д ля частотног о коэф ф ициента перед ачи и таб лицу значений постоянной в ремени рассматрив аемой цепи: n

1 .. 7

K ( ω , τ)

i. ω . τ 1 i. ω . τ

τn 6.12 . 10

4

7.22 . 10

4

8.19 . 10 4 9.49 . 10 4 1.76 . 10

3

2.13 . 10

3

3.35 . 10 3

В ыв од им на экран г раф ики мод у ля (А ЧХ) и ф азы (Ф ЧХ) коэф ф ициента перед ачи д ля трех значений постоянной в ремени τ1, τ 4 и τ 7 :

8 1

K ω , τ1 k K ω , τ4 k

0.5

K ω , τ7 k

0 4000

2000

0

2000

4000

ω k

φK ( ω , τ )

arg ( K ( ω , τ ) )

2

φK ω , τ1 1 k φK ω , τ4 0 k φK ω , τ7 1 k

2 4000 3000

2000

1000

0

1000

2000

3000 4000

ω k

ЗА Д А Н И Е 4.4. В ычислить частоту среза ΩK n рассматрив аемой линей ной цепи д ля различных значений постоянной в ремени τ n , n = 1,7 . Записать полу ченные д анные в таб лицу (Т аб л.4.1), по этим д анным построить в тетрад и зав исимость ΩK = f ( τ ) и сд елать в ыв од о соотношении меж д у постоянной в ремени τ n и частотой среза ΩK n линей ной цепи. О пред елить полосу пропу скания рассматрив аемой цепи. Т аб л.4.1 n 1 2 3 4 5 6 7 τn ΩK n ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Н аиб олее часто на практике исполь зу ют след у ющ ее опред еление частоты среза ΩK линей ной цепи. Под частотой среза понимают частоту , при которой значение мод у ля частотног о коэф ф ициента перед ачи состав ляет 1 / 2 ≈ 0.707 от св оег о

9

максималь ног о значения. Поэтому д ля в ычисления частоты среза ΩK д ля разных n = 1,7 наб ираем: wk

100

Ωk n

root

K wk , τn

1 2

, wk

Ωk n 3 1.63399 . 10 3 1.38504 . 10 3 1.221 . 10 3

1.05374 . 10 568.16801 469.47488 298.50584

Д алее заносим рассчитанные значения ΩK n в Т аб л.4.1 и строим в тетрад и зав исимость ΩK = f ( τ ) . Сд елать в ыв од о соотношении меж д у постоянной в ремени τ и частотой среза ΩK линей ной цепи. И з г раф ика А ЧХ и полу ченной таб лицы заключаем: д ля рассматрив аемой цепи полоса пропу скания занимает интерв ал от ΩK n д о ∞ . ЗА Д А Н И Е 4.5. В ычислить спектраль ну ю плотность сиг нала на в ыход е рассматрив аемой цепи. В ыв ести г раф ики зав исимостей мод у ля и арг у мента спектраль ной плотности в ыход ног о сиг нала от частоты (А ЧС и Ф ЧС) д ля трех значений постоянной в ремени линей ной цепи (n=1,4,7) и д ля сиг налов с д в у мя разными значениями параметра ω0 j ( j = 1,2 ) . О б ъяснить полу ченный резу ль тат. ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. В соотв етств ии с (4.2) д ля в ычисления спектраль ной плотности SK (ω, ω 0, τ ) сиг нала на в ыход е линей ной цепи наб ираем: SK ( ω , ω0 , τ ) S( ω , ω0 ) . K ( ω , τ ) В ыв од им г раф ик мод у ля спектраль ной плотности (А ЧС) при τ1 и τ 7 и ω01 и ω0 2 :

10 1

SK ω , ω0 1 , τ 1 k SK ω , ω0 1 , τ 4 k

0.5

SK ω , ω0 1 , τ 7 k

0 4000

2000

0

ω

2000

4000

2000

4000

2000

3000 4000

k

1

SK ω SK ω SK ω

k

, ω 02 , τ1

k

, ω 02 , τ4

k

, ω 02 , τ7

0.5

0 4000

2000

0

ω

k

А рг у мент спектраль ной плотности (Ф ЧС) в ычисляемкак: φSK ( ω , ω0 , τ ) arg ( SK ( ω , ω0 , τ ) ) 2

φSK ω , ω0 1 , τ 1 k

1

φSK ω , ω0 1 , τ 4 k

0

φSK ω , ω0 1 , τ 7 k

1

2 4000 3000

2000

1000

0

ω

k

1000

11 2

φ SK

ω

φ SK

ω

φ SK

ω

k

, ω 02 , τ1

1

k

, ω 02 , τ4

0

k

, ω 02 , τ7

1

2 4000 3000

2000

1000

0

ω

1000

2000

3000

4000

k

О б ъяснить причину искаж ений А ЧС и Ф ЧС в ыход ног о сиг нала по срав нению с в ход ным сиг налом при различных соотношениях меж д у постоянной в ремени цепи τ и шириной спектра в ход ног о сиг нала ω0 . ЗА Д А Н И Е 4.6. О пред елить , насколь ко у мень шается энерг ия E 2 n, j ( n = 1,7, j = 1,2 ) в ыход ног о сиг нала по срав нению с энерг ией E 1 j в ход ног о сиг нала при различных значениях постоянной в ремени линей ной цепи τ n ( n = 1,7 ) и различных значениях параметра ω0 j ( j = 1,2 ) . ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. К ак изв естно, энерг ия сиг нала мож ет б ыть в ычислена д в у мя способ ами (см. ф орму лы (2.7) и (2.8)). О чев ид но, что в д анном слу чае при анализе в частотной об ласти целесооб разно в осполь зов ать ся ф орму лой (2.8). У читыв ая четность спектраль ной плотности в ход ног о сиг нала S (ω, ω0 ) , а такж е то, что на интерв але от 0 д о ω0 эта ф у нкция постоянна и рав на W0, запишемв ыраж ение д ля энерг ии ω0

1 j 2 E 1 j в ход ног о сиг нала как E 1 j = ∫W 0 dω. Д ля в ычисления энерг ии π 0 E 2 n, j в ыход ног о сиг нала в соотв етств ии с (2.8) и (4.2) мож но записать :

E 2 n, j =

1 ∞ ∫ | S (ω, ω 0 j )K (ω, τ n )|2 dω. 2 π −∞

У читыв ая,

что

спектраль ная

плотность S (ω, ω0 ) в ход ног о сиг нала отлична от ну ля и постоянна толь ко на интерв але [−ω 0; ω 0 ], а такж е четность под ынтег раль ной ф у нкции, наб ираем: ω0j ω0j 1. 1. 2 2 W0 dω E2 n , j W0 . K ω , τn . K ω , τn dω E1 j π 0 π 0 След ов атель но, у мень шение энерг ии сиг нала в резу ль тате прохож д ения через линей ну ю пассив ну ю цепь опред елится отношением E 1 j / E 2 n, j .

12

В ыв од им значения энерг ий сиг нала на в ход е E 1 j и в ыход е E 2 n, j линей ной системы, а такж е отношение E 1 j / E 2 n, j : E1 1 E1 2 E1 j E2 n , 1 E2 n , 2 E2 n , 1 E2 n , 2 636.61977 175.91351 397.33584 3.61894 2.40333 954.92966 211.13044 453.09717 3.01529 2.10756 239.14379 494.65523 2.66208 1.9305 272.39672 541.35788 2.33711 1.76395 402.58999 704.69118 1.58131 1.3551 436.33425 743.38645 1.45902 1.28457 501.44389 815.09942 1.26957 1.17155 И з анализа полу ченных таб лиц сд елать в ыв од о том, как это у мень шение энерг ии зав исит от соотношения меж д у постоянной в ремени цепи τ и шириной спектра в ход ног о сиг нала ω0 . ЗА Д А Н И Е 4.7. И споль зу я полу ченное в ыраж ение д ля частотног о коэф ф ициента перед ачи K (ω, τ ) , най ти теоретически ег о пред ель ные в ыраж ения при ωτ << 1 ( K1(ω, τ )) и при ωτ >> 1 ( K 2(ω, τ )) . О пред елить по их в нешнему в ид у каког о типа преоб разов ания осу щ еств ляет рассматрив аемая цепь в этих у слов иях. И зоб разить мод у ли и | K 2(ω, τ )| при коэф ф ициентов перед ачи | K (ω, τ )|,| K 1(ω, τ )| минималь ном и максималь ном значениях параметра τ . Н ай ти спектраль ные плотности сиг нала на в ыход е линей ной цепи при исполь зов ании полу ченных приб лиж енных в ыраж ений д ля коэф ф ициента перед ачи при ωτ << 1 - SK1(ω, ω 0, τ ) и ωτ >> 1 - SK 2(ω, ω 0 ) . Построить мод у ли спектраль ных плотностей сиг нала на в ыход е цепи при произв оль ных значениях ωτ , а такж е при ωτ >> 1 и ωτ << 1 . Срав нить эти г раф ики и опред елить об ласти значений параметров τ и ω0 , в которых раб отают рассматрив аемые приб лиж ения. ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Полаг ая в в ыраж ении д ля коэф ф ициента перед ачи K (ω, τ ) = jωτ (1 + jωτ ) у слов ие ωτ << 1 в ыполненным, полу чаем (4.11) K (ω, τ ) ≈ K 1(ω, τ ) = jωτ . Е сли ж е в ыполняется у слов ие ωτ >> 1 , то (4.12) K (ω, τ ) ≈ K 2(ω ) = 1. О чев ид но, что коэф ф ициент перед ачи K1(ω, τ ) соотв етств у ет ид еаль ному д иф ф еренциру ющ ему у строй ств у , а коэф ф ициент перед ачи K 2(ω ) пов торителю с ед иничным коэф ф ициентом перед ачи. След ов атель но, рассматрив аемая линей ная система осу щ еств ляет различные

13

преоб разов ания в зав исимости от соотношения меж д у частотой ω и постоянной в ремени цепи τ . В в од имэти ф орму лы в компь ютер: K1 ( ω , τ ) i. ω . τ K2 ( ω ) 1 Строим г раф ики мод у лей коэф ф ициентов перед ачи | K (ω, τ )|,| K 1(ω, τ )| и | K 2(ω )| при минималь ном τ1 и максималь ном τ 7 значениях постоянной в ремени цепи: 1

K1

ω

K ω K1

K2

TOL , τ 1

k

ω

K ω

k

k

TOL , τ 7 TOL , τ 7

k

ω

TOL , τ 1

k

TOL

0.8

0.6

0.4

0.2

0 4000

2000

0

ω

2000

4000

k

Д ля в ычисления спектраль ной плотности сиг нала на в ыход е линей ной цепи при в ыполнении у слов ий ωτ << 1 иωτ >> 1 наб ираем: SK1 ( ω , ω0 , τ ) S( ω , ω0 ) . K1 ( ω , τ ) SK2 ( ω , ω0 ) S( ω , ω0 ) . K2 ( ω ) Строим г раф ики мод у лей спектраль ных плотностей SK (ω, ω0 ), S K1(ω, ω 0, τ ) и SK 2(ω, ω 0 ) при минималь ном τ1 и максималь ном τ 7 значениях постоянной в ремени цепи и д ля д в у х значений параметра ω0 j ( j = 1,2 )

14 2

SK1

ω

k

TOL , ω 0 1 , τ 1 1.5

SK ω SK1

SK2

k

ω

SK ω

TOL , ω 0 1 , τ 1 k

TOL , ω 0 1 , τ 7

k

TOL , ω 0 1 , τ 7

ω

TOL , ω 0 1

k

1

0.5

0 4000

2000

0

ω

2000

4000

2000

4000

k

2

SK1

ω

k

TOL

, ω 02 , τ1 1.5

SK SK1 SK SK2

ω

k

ω ω

TOL

k

TOL

k

ω

TOL

k

TOL

, ω 02 , τ1 , ω 02 , τ7

1

, ω 02 , τ7 , ω 02

0.5

0 4000

2000

0

ω

k

И з срав нения пред став ленных крив ых след у ет, что | SK (ω, ω 0, τ )| и | S K1(ω, ω 0, τ )| сов пад ают толь ко в относитель но неб оль шой окрестности ну лев ой частоты ω . В то ж е в ремя | SK (ω, ω 0, τ )| и | SK 2(ω, ω 0 )| тем б лиж е д ру г к д ру г у , чем б оль ше в еличина произв ед ения ωτ . Т ак, если заф иксиров ать частоту ω , то д ля д остаточног о сов пад ения ф у нкций | S K (ω, ω 0, τ )| и | SK 2(ω, ω 0 )| необ ход имо у в еличив ать постоянну ю в ремени цепи τ . Записать в тетрад и об ласти значений параметров τ и ω0 , в которых раб отают рассматрив аемые приб лиж ения. О т че т о в ып о лне нно й лабо рат о рно й рабо т е до лж е н с о с т о ят ь из дв ухчас т е й: эле кт ро нно й и о т че т а в т е т ради. Эле кт ро нный о т че т до лж е н с о де рж ат ь чис ло в о й, т абличный и граф иче с кий м ат е риалы п о каж до м у п ункт у задания.

15

О т че т в т е т ради до лж е н с о де рж ат ь: 1. Те о ре т иче с кий рас че т час т о т но го ко эф ф иц ие нт а п е ре дачи заданно й лине йно й ц е п и в с о о т в е т с т в ии с м е т о дико й, изло ж е нно й в т е о ре т иче с ко й час т и лабо рат о рно й рабо т ы (п .4.2). 2. Таблиц у 4.1 в ычис ле нныхзначе ний час т о т ы с ре за ΩK n , n = 1,7 , а т акж е граф иче с кую зав ис им о с т ь ΩK = f ( τ ) (п .4.4). 3. Рас че т п ре де льных т е о ре т иче с ких ф о рм ул для ко эф ф иц ие нт а п е ре дачи рас с м ат рив ае м о й с ис т е м ы в дв ух крайних с лучаях: ωτ << 1 и ωτ >> 1 (п .4.7). 4. Облас т и час т о т [ω1; ω 2 ] , в ко т о рых м о ж но ис п о льзо в ат ь п риближ е нные в ыраж е ния (4.11) и (4.12) час т о т но го ко эф ф иц ие нт а п е ре дачи п ри м иним ально м τ1 и м аксим ально м τ 7 значе нияхп о с т о янно й в ре м е ни рас с м ат рив ае м о й ц е п и (п .4.7). ЗА Д А Ч И В ыполнить зад ания, сф орму лиров анные в примере, д ля след у ющ их линей ных цепей : . τ = RC, τ1 = 1215 ⋅ 10 −3 , τ 2 = 2.23 ⋅ 10 −3 , 1.

. ⋅ 10 −3 , τ 4 = 5.21 ⋅ 10 −3 , τ5 = 7.46 ⋅ 10 −3 , τ3 = 315 τ 6 = 8.39 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 0.0111 . ⋅ 10 −4 , τ 2 = 9.57 ⋅ 10 −4 , τ = L / R , τ1 = 813

2.

. ⋅ 10 −3 , τ 4 = 2.125 ⋅ 10 −3 , τ 5 = 3.237 ⋅ 10 −3 , τ3 = 105 τ 6 = 4.85 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 5.245 ⋅ 10 −3 τ = L / R , τ1 = 7.985 ⋅ 10 −4 , τ 2 = 8.775 ⋅ 10 −4 ,

3.

τ3 = 9123 . ⋅ 10 −4 , τ 4 = 155 . ⋅ 10 −3 , τ 5 = 2.25 ⋅ 10 −3 , τ 6 = 3.455 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 4.845 ⋅ 10 −3

4.

τ = R1C , ε = R 2 / R1, ε = 0.5, τ1 = 8.585 ⋅ 10 −4 , τ 2 = 9.253 ⋅ 10 −4 , τ 3 = 1652 . ⋅ 10 −3 , τ 4 = 2.255 ⋅ 10 −3 , τ5 = 3.491 ⋅ 10 −3 , τ 6 = 4.335 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 5.012 ⋅ 10 −3 τ = R1C1, ε = R 2C 2 / R1C1, ε = 3.2, τ1 = 3127 . ⋅ 10 −4 ,

5.

. τ 2 = 4.533 ⋅ 10 −4 , τ3 = 5163 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 6.45 ⋅ 10 −4 , τ5 = 7.912 ⋅ 10 −4 , τ 6 = 8.753 ⋅ 10 −4 , τ 7 = 9.095 ⋅ 10 −4

16

τ = R1C1, ε = R 2C 2 / R1C1, ε = 5, τ1 = 7.025 ⋅ 10 −4 ,

6.

τ 2 = 8.226 ⋅ 10 −4 , τ3 = 9.94 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 1709 . ⋅ 10 −3 , τ5 = 2.552 ⋅ 10 −3 , τ 6 = 3.993 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 4.015 ⋅ 10 −3 τ = L 1 / R1, ε = L 2 R1 / L 1R 2 , ε = 0.5, τ1 = 7.243 ⋅ 10 −4 ,

7.

τ 2 = 8.344 ⋅ 10 −4 , τ3 = 9.556 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 1242 . ⋅ 10 −3 , τ5 = 2.698 ⋅ 10 −3 , τ 6 = 3.227 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 4.038 ⋅ 10 −3 . , τ1 = 5.775 ⋅ 10 −3 , τ = L1 / R1, ε = L 2R1 / L1R 2 , ε = 01

8.

. τ2 = 6.094 ⋅10 −3 , τ3 = 7195 ⋅10 −3 , τ4 = 8.227 ⋅10 −3 , τ5 = 9.005 ⋅10 −3 , τ 6 = 0.0195, τ 7 = 0.02015

9.

. ⋅ 10 −4 , τ = R1C , ε = L / R1CR 2 , ε = 10, τ1 = 3125 . ⋅ 10 −4 , τ 2 = 4.921 ⋅ 10 −4 , τ 3 = 5.345 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 6107 . ⋅ 10 −4 , τ 7 = 9.455 ⋅ 10 −4 τ5 = 7.439 ⋅ 10 −4 , τ 6 = 8127

10.

τ = R1C , ε = L / R 2CR1, ε = 3.25, τ1 = 5.984 ⋅ 10 −4 , . ⋅ 10 −4 , τ3 = 7.355 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 8.092 ⋅ 10 −4 , τ 2 = 6129 . ⋅ 10 −3 , τ 7 = 2.955 ⋅ 10 −3 τ5 = 9.157 ⋅ 10 −4 , τ 6 = 1107

11.

. ⋅ 10 −3 , τ = L / R1, ε = CR1R 2 / L , ε = 1, τ1 = 1085 τ 2 = 2.476 ⋅ 10 −3 , τ 3 = 3.265 ⋅ 10 −3 , τ 4 = 4.976 ⋅ 10 −3 , τ5 = 5.568 ⋅ 10 −3 , τ 6 = 6.345 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 7.222 ⋅ 10 −3 τ = L / R1, ε = CR1R 2 / L , ε = 0.15, τ1 = 1767 . ⋅ 10 −3 ,

12.

τ 2 = 2.591 ⋅ 10 −3 , τ 3 = 3.248 ⋅ 10 −3 , τ 4 = 4.587 ⋅ 10 −3 , τ5 = 5104 . ⋅ 10 −3 , τ 6 = 6.396 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 7.853 ⋅ 10 −3

17

5. ВРЕМ ЕН Н О Й М ЕТ О Д А Н А ЛИ ЗА ПРО ХО Ж Д ЕН И Я СИ ГН А ЛО В Ч ЕРЕЗЛИ Н ЕЙ Н Ы Е СТ А Ц И О Н А РН Ы Е Ц ЕПИ К роме рассмотренног о ранее частотног о метод а анализа линей ных цепей , в рав ной мере б ыв ает у д об ен и анализ в о в ременной об ласти. В качеств е в ременной характеристики широко исполь зу ют импу ль сну ю характеристику h(t ) линей ной цепи, которая опред еляется как реакция (отклик) цепи на в ход ной сиг нал в в ид е д ель та-ф у нкции δ(t ) . С ф изической точки зрения импу ль сная характеристика приб лиж енно отоб раж ает реакцию цепи на в ход ной импу ль сный сиг нал произв оль ной ф ормы с ед иничной площ ад ь ю при у слов ии, что д литель ность этог о сиг нала пренеб реж имо мала по срав нению с характерным в ременным масштаб ом цепи. О тметим, что импу ль сная характеристика h(t ) д олж на у д ов летв орять у слов ию ф изической реализу емости, а именно h(t ) = 0 при t < 0 . При этомсиг нал на в ыход е такой линей ной цепи sâû õ (t ) запишется через интег ралсв ертки: sв ых (t ) =

t

t

−∞

−∞

∫ sв х ( τ) h(t − τ)dτ = ∫ sв х (t − τ) h( τ)dτ.

(5.1)

И мпу ль сная характеристика и частотный коэф ф ициент перед ачи .

K (ω) линей ной стационарной цепи св язаны д ру г с д ру г ом парой преоб разов аний Ф у рь е: ∞ . 1 ∞. h(t ) = K ( ω )exp( j ω t ) d ω , K ( ω ) = (5.2) ∫ ∫ h(t )exp( − jωt )dt. 2π −∞ −∞ При нахож д ении импу ль сных характеристик линей ных цепей широко исполь зу ется так назыв аемый операторный метод , заключающ ий ся в переход е от сиг налов в в ид е ф у нкций в ремени к их преоб разов аниям Лапласа. Пред полож им, что в ход ной сиг нал (напряж ение) uâõ (t ) = 0 при t < 0 . Т ог д а преоб разов ание Лапласа от такой ф у нкции ∞

U&в х ( p) = L (uв х (t )) = ∫ uв х (t )exp( − pt )dt, p = σ + jω, σ > 0.

(5.3)

0

Ф у нкцию U&в х ( p) назыв ают изоб раж ением, а uâõ (t ) - ориг иналом. С помощ ь ю об ратног о преоб разов ания Лапласа мож но опред елить ориг инал, зная изоб раж ение: σ + j∞

1 uв х (t ) = L −1 (U&в х ( p)) = U&в х ( p)exp( pt )dp. ∫ 2πj σ − j∞

18

А налог ично (4.5)-(4.7) мож но записать соотношения, св языв ающ ие меж д у соб ой преоб разов ания Лапласа (изоб раж ения) токов и напряж ений на различных у частках цепи: - д ля резистора: & & U&R ( p) = RI& (5.4) R ( p), I R ( p) = U R ( p) R , - д ля емкости: & & U&C ( p) = I& (5.5) C ( p) / pC + uC (t = 0) / p, I C ( p) = C pU C ( p) − uC (t = 0) ,

[

]

- д ля инд у ктив ности: & & & I& L ( p) = U L ( p) pL + iL (t = 0) / p, U L ( p) = L pI L ( p) − iL (t = 0) .

[

]

(5.6)

Зд есь uC (t = 0 ) и iL (t = 0 ) - началь ные значения напряж ения на емкости и тока в инд у ктив ности соотв етств енно. Послед ов атель ность шаг ов при опред елении импу ль сной характеристики линей ной цепи: 1. Пред полаг аем, что на в ход е линей ной цепи д ей ств у ет сиг нал (напряж ение) в в ид е д ель та-импу ль са: uв х (t ) = δ(t ) (U&в х ( p) = 1) . 2. Записыв аему рав нения, след у ющ ие из прав ил К ирхг оф а, в операторной ф орме: 1)

N

∑ I&n ( p) = 0, 2)

n =1

N

∑U&n ( p) =

n =1

M

∑ E&n ( p) , г д е I&n ( p)

- изоб раж ение тока

n =1

в n-ой в етв и, U&n ( p) - изоб раж ение напряж ения на n-ом элементе замкну тог о конту ра, E&n ( p) - изоб раж ение ЭД С n-ог о источника напряж ения в этомконту ре. 3. И споль зу я эти у рав нения и ф орму лы (5.4)-(5.6), наход им изоб раж ение в ыход ног о сиг нала, которое б у д ет сов пад ать сизоб раж ениемимпу ль сной характеристики H&( p) : U&в ых ( p) = H&( p) . 4. Д ля переход а от изоб раж ения импу ль сной характеристики H&( p) к импу ль сной характеристике h(t ) , как ф у нкции в ремени, целесооб разно в осполь зов ать ся таб лицами преоб разов аний Лапласа или ф орму лами Хев исай д а [1]. Н екоторые примеры преоб разов аний Лапласа прив ед ены в таб лице (Т аб л.5.1).

H&( p) 1 1 + ap ap 1 + bp 1 + ap 1 + bp

h(t ) =

L −1

(

)

H&( p) , h(t ) ≥ 0

1 exp( −t / a ) a 1 a   δ(t ) − exp( −t / b)  b b a 1− a / b δ(t ) + exp( −t / b ) b b

Т аб л.5.1

19

1 1 1 (exp( −t / a ) − exp( −t / b )) a− b 1 + ap 1 + bp ap bp a 1 b  δ(t ) +  exp( −t / a ) − exp( −t / b )  1 + ap 1 + bp a − b a b ЗА Д А Н И Я Д ЛЯ ВЫ ПО ЛН ЕН И Я ЛА Б О РА Т О РН О Й РА Б О Т Ы И ПРИ М ЕРЫ И Х ВЫ ПО ЛН ЕН И Я И сслед ов ать прохож д ение сиг нала s(t , τ0 ) через линей ну ю цепь в ид а

Сиг нал s(t , τ0 ) пред став ляет соб ой прямоу г оль ный импу ль с s (t , τ0 ) = s 0(Φ(t ) − Φ(t − τ0 )).

(5.7)

Параметр τ0 принимает д в а значения : τ01 = 2 ⋅ 10 −3 , τ0 2 = 8 ⋅ 10 −3 [cek], s0 = 1[â]. Постоянная в ремени рассматрив аемой линей ной цепи τ = R C принимает след у ющ ие значения: τ1 = 5121 . ⋅ 10 −4 , τ 2 = 7.519 ⋅ 10 −4 , τ3 = 8.9 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 1093 . ⋅ 10 −3 , τ 5 = 3.58 ⋅ 10 −3 , τ 6 = 5.28 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 8.347 ⋅ 10 −3 [cek]. ЗА Д А Н И Е 5.1. Д ля зад анног о сиг нала s(t , τ0 ) в в ести в компь ютер параметры сиг нала s0 и τ0 j , j = 1,2 . В в ести в компь ютер такж е аналитическое в ыраж ение сиг нала s(t , τ0 ) в соотв етств ии с (5.7). Пред став ить на г раф ике сиг нал s(t , τ0 ) д ля д в у х значений параметра τ0 j , j = 1,2 . О пред елить , как в лияет в еличина параметра τ0 на протяж енность сиг нала в о в ремени. ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. В в од имв компь ютер исход ные д анные и зад аемточность расчетов : TOL 10

5

τ01

s0 1 3 2 . 10

i τ02

1 3 8 . 10

j

1 .. 2

s( t , τ0 ) s0 . ( Φ ( t ) Φ ( t τ0 ) ) Д ля построения зав исимостей s (t , τ01 ) и s (t , τ0 2 ) наб ираем:

20

k

0 .. 400

tk

k . 3 . 10

5

1 s t , τ0 1 k s t , τ0 2 0.5 k 0

0

0.005 t

0.01

k

У б еж д аемся, что мень шему значению параметра τ0 соотв етств у ет мень шая протяж енность сиг нала в о в ремени. ЗА Д А Н И Е 5.2. Рассчитать характеристику зад анной линей ной цепи.

теоретически

импу ль сну ю

ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Посту паем в соотв етств ии с излож енной в теоретической части послед ов атель ность ю шаг ов : 1. Полаг аем, что в ход ной сиг нал (напряж ение на в ход е) пред став ляет соб ой д ель та-ф у нкцию, т.е. uâõ (t ) = δ (t ) . Переход им от в ременног о пред став ления к пред став лению сиг налов в операторной ф орме. Д ля этог о об означим: U&в х ( p) и U&в ых ( p) - изоб раж ения напряж ений на в ход е и на в ыход е рассматрив аемой цепи, U&R ( p) и U&C ( p) - изоб раж ения пад ений напряж ений на резисторе R и емкости C, I&(p) изоб раж ение тока в цепи. У читыв ая, что в ход ной сиг нал пред став ляет соб ой д ель та-ф у нкцию, имеем U&в х ( p) = 1 . Т ог д а в соотв етств ии с опред елением импу ль сной характеристики U&в ых ( p) = H&( p) , г д е H&( p) изоб раж ение импу ль сной характеристики цепи. 2. Записыв аем у рав нение в операторной ф орме, след у ющ ее из в торог о прав ила К ирхг оф а: (5.8) U&C ( p) + U&R ( p) = U&в х ( p). 3. И споль зу ем соотношения (5.4), (5.5), полаг ая, что началь ное значение напряж ения на емкости рав но ну лю. Т ог д а (5.8) перепишется в  1  в ид е У чтем, что U&в х ( p) = 1 = I&(p)  + R .  pC  U& ( p) = U& ( p) = I&(p) R = H&( p) . След ов атель но, изоб раж ение тока в ых

R

I&(p) = H&( p) / R .

1   Т ог д а окончатель но имеем 1 = H ( p )1 + . pR C  

В

21

резу ль тате изоб раж ение импу ль сной характеристики рассматрив аемой цепи примет в ид pτ (5.9) H ( p) = , 1 + pτ г д е τ = R C - постоянная в ремени цепи. 4. И мпу ль сну ю характеристику , как ф у нкцию в ремени, наход им исполь зу я прив ед енну ю ранее таб лицу (Т аб л.5.1): 1  t h(t ) = h1(t ) + h2(t ) = δ (t ) − exp  −  , t ≥ 0, (5.10)  τ τ 1  t h1(t ) = δ (t ), h2(t ) = − exp  −  .  τ τ ЗА Д А Н И Е 5.3. В в ести в компь ютер аналитическое в ыраж ение д ля импу ль сной характеристики цепи, а такж е таб лицу значений постоянной в ремени τ n , n = 1,7 . ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. У читыв ая опред еление д ель таф у нкции δ(t ) , в в од имее в компь ютер след у ющ имоб разом: δ( t ) if( t 0 , ∞ , 0 ) Д алее в в од им аналитическое в ыраж ение д ля импу ль сной характеристики h(t ) ≡ h(t , τ ) в соотв етств ии с(5.10) t

δ( t )

h2 ( t , τ )

1.

τ.

Φ( t ) τ h ( t , τ) h1 ( t ) h2 ( t , τ ) В в од им в компь ютер таб лицу в озмож ных значений постоянной в ремени цепи τ n , n = 1,7 : τn n 1 .. 7 h1 ( t )

5.121 . 10

4

7.519 . 10

4

8.9 . 10

4

1.093 . 10

3

3.58 . 10

3

5.28 . 10

3

8.347 . 10

3

e

22

ЗА Д А Н И Е 5.4. И зоб разить на г раф ике импу ль сну ю характеристику h(t , τ ) рассматрив аемой цепи при n = 1 , n = 4 и n = 7 . И змерить д литель ность этой импу ль сной характеристики при n = 1,7 и записать в тетрад и в таб лицу (Т аб л.5.2) значения д литель ностей T hn импу ль сной характеристики цепи:

n T hn

1

2

3

4

5

6

Т аб л.5.2 7

ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. В ыв од им на экран г раф ические зав исимости импу ль сной характеристики цепи от в ремени при трех значениях постоянной в ремени τ n : n = 1 , n = 4 и n = 7 : 0 h t h t h t

k

, τ1

500

k

, τ4

1000

k

, τ7

1500 2000

0

0.001 t

0.002

k

Д ля измерения д литель ности импу ль сной характеристики отнормиру емэту ф у нкцию на св ое максималь ное по мод у лю значение при t > 0 . У чтем, что в рассматрив аемом слу чае при t > 0 импу ль сная характеристика отрицатель на, т.е. h(t , τ ) < 0 , а такж е то, что перв ое слаг аемое h1(t ) в (5.10) не в лияет на д литель ность импу ль сной характеристики. Бу д ем опред елять д литель ность T hn , n = 1,7 по у ров ню 0.01 от максималь ног о значения в торог о слаг аемог о в (5.10). Полаг ая n=1, и у читыв ая в ышесказанное, наб ираем: Hk h2 t k , τ1 th 0.003 h2 th , τ1

0.01 , th Th 1 = 0.00236 max ( H ) Т аким об разом полу чили значение д литель ности T h1 импу ль сной Th 1

root

характеристики при n=1 (т.е. при τ1 = 5121 . ⋅ 10 −4 ). Д алее изменяем значение n=1 в ф орму лах на значение n=2 и аналог ично пред ыд у щ ему слу чаю в ычисляемд литель ность T h2 импу ль сной характеристики h(t , τ 2 ) .

23

Пов торив описанный алг оритм д ля в сех значений n = 1,7 , заполняем таб лицу Т аб л.5.2. У б еж д аемся, что су в еличениемпостоянной в ремени τ n д литель ность импу ль сной характеристики у мень шается. ЗА Д А Н И Е 5.5. И споль зу я най д енну ю импу ль сну ю характеристику h(t , τ ) , най ти частотный коэф ф ициент перед ачи рассматрив аемой цепи .

K (ω ) . Построить г раф ики мод у ля частотног о коэф ф ициента перед ачи (А ЧХ) д ля трех значений постоянной в ремени цепи τ n : n = 1 , n = 4 и n = 7. И з полу ченных г раф ических зав исимостей сд елать в ыв од о характере рассматрив аемой цепи. ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Частотный коэф ф ициент перед ачи .

K (ω ) и импу ль сная характеристика h(t ) линей ной цепи св язаны д ру г с д ру г ом парой преоб разов аний Ф у рь е (5.2). И мпу ль сная характеристика h(t , τ ) рассматрив аемой цепи в соотв етств ии с (5.10) пред став ляется в в ид е су ммы д в у х слаг аемых h1(t ) и h2(t ), перв ое из которых яв ляется д ель та-ф у нкцией . В пакете Mathcad операции с д ель та-ф у нкцией не пред у смотрены. В частности, нет в озмож ности исполь зов ать ф иль тру ющ ее св ой ств о д ель та-ф у нкции. Н апомним, что ф иль тру ющ ее св ой ств о д ель та-ф у нкции заключается в след у ющ ем: c  f ( a ), b < a < c, (5.11) ∫ f ( x )δ( x − a )dx =  , < , > . 0 a b a c  b В се операции с д ель та-ф у нкциями в д анной лаб ораторной раб оте б у д у т св од ить ся к в ычислениям под об ног о типа интег ралов . Поэтому в в ед емв рассмотрение ф у нкцию Sδ ( a , b , c ) if( a < b , 0 , if( a c , 1 , 0 ) ) , (5.12) которая пред став ляет соб ой резу ль тат интег риров ания д ель та-ф у нкции в пред елах от b д о c в соотв етств ии с (5.11). С у четомв в ед енной ф у нкции S δ(a, b, c) ф иль тру ющ ее св ой ств о д ель та-ф у нкции запишется в в ид е c

∫ f (t )δ(t − a)dt =

f (a)S δ( a, b, c).

(5.13)

b

Н а основ ании (5.2) и (5.13) частотный коэф ф ициент перед ачи K&(ω) ≡ K&(ω, n) в пакете Mathcad мож ет б ыть пред став лен в в ид е Th n K(ω,n) Sδ ( 0 , ∞ , ∞ ) . exp ( i . ω . 0 ) h2 t , τn . exp ( i . ω . t ) dt 0 В послед нем в ыраж ении пред елы интег риров ания в ыб раны рав ными 0 и T hn , т.к. ф у нкция h2(t , τ n ) = 0 при t < 0 и h2(t , τ n ) ≈ 0 при t > T hn . Д ля построения А ЧХ рассматрив аемой цепи при n = 1 , n = 4 и n = 7 наб ираем:

24

m

ωm

0 .. 30

m . 100

1500

1 K ω K ω K ω

m m m

,1 ,4

0.5

,7

0

1500 1000

500

0 ω

500

1000

1500

m

По в ид у А ЧХ сд елать в ыв од о характере осу щ еств ляемых преоб разов аний этой цепь ю в частотной об ласти. ЗА Д А Н И Е 5.6. В ычислить частоту среза рассматрив аемой цепи д ля разных значений постоянной в ремени τ n , n = 1,7 . В ычислить и записать в таб лицу (Т аб л.5.3) в тетрад и значения след у ющ их параметров : T hn д литель ность импу ль сной характеристики, ΩK n - частота среза, B n = ΩK nT hn - произв ед ение частоты среза на д литель ность импу ль сной характеристики.

n 1 2 3 4 5 6 T hn ΩK n Bn Показать и об ъяснить постоянств о в еличин B n д ля разных n. ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я.

У чтем, что мод у ль .

Т аб л.5.3. 7

частотног о

коэф ф ициента перед ачи в рассматрив аемых у слов иях | K (ω )| ≤ 1 и то, что частота среза опред еляется по у ров ню 1 / 2 ≈ 0.707 от максималь ног о значения этог о мод у ля. Т ог д а наб ираем: 1 Ω 100 Ωk n root K ( Ω , n ) ,Ω 2 В ыв од им значения частоты среза ΩK n и параметра B n = ΩK nT hn д ля разных значений n = 1,7 :

25

Ωk n

Ωk n . Th n

Bn

1.91468 . 10

3

1.3039 . 10

3

Bn 4.51864 4.51149 4.51681 4.51185 4.51628 4.51422 4.51536

3

1.10166 . 10 896.98771 273.87997 185.6939 117.46504

Заносим эти значения в Т аб л.5.3. Н а основ ании д анных Т аб л.5.3 у б ед ить ся, что чеммень ше д литель ность импу ль сной характеристики, тем б оль ше полоса пропу скания цепи, которая д ля рассматрив аемой цепи занимает частотный интерв ал [Ωk n ; ∞) . По этой причине произв ед ение д литель ности импу ль сной характеристики на частоту среза есть в еличина д ля д анной цепи практически постоянная. ЗА Д А Н И Е 5.7. И споль зу я най д енну ю импу ль сну ю характеристику рассматрив аемой цепи, опред елить сиг нал на в ыход е цепи. Пред став ить на од ном г раф ике зав исимости в ход ног о s(t , τ0 ) и в ыход ног о sh(t , τ, τ0 ) сиг налов от в ремени при j=1 и трех значений постоянной в ремени цепи τ n при n=1, n = 4 и n = 7 . Н а в тором г раф ике пред став ить аналог ичные зав исимости при j=2. Сд елать в ыв од ы о степени искаж ений в ход ног о сиг нала при прохож д ении через анализиру ему ю цепь при различных соотношениях меж д у д литель ность ю в ход ног о импу ль сног о сиг нала τ0 и постоянной в ремени цепи τ . ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Сиг нал sh(t, τ, τ0) на в ыход е линей ной цепи с импу ль сной характеристикой h(t ) (5.10) опред елится интег ралом св ертки (5.1). И споль зу я в ыраж ение (5.7) д ля в ход ног о сиг нала s(t, τ0) , на основ ании (5.1) записыв аем sh(t, τ, τ0) =

t

∫ s( x , τ0) h(t − x )dx =

−∞

 1  t − x  = s0∫ [ Φ( x ) − Φ( x − τ0) ]δ(t − x ) − exp  −  dx =   τ τ  0 t

t

s0 t  t − x = s0∫ [ Φ( x ) − Φ( x − τ0)]δ(t − x )dx − ∫ [Φ( x ) − Φ( x − τ0) ]exp  −  dx .   τ τ 0 0 У читыв ая в перв ом интег рале ф иль тру ющ ее св ой ств о д ель та-ф у нкции и опред еление (5.12), полу чим

26

s0  t − x Φ( x ) − Φ( x − τ0)]exp  −  dx . [ ∫  τ0 τ  В в од импослед нее в ыраж ение в компь ютер: sh(t, τ, τ0) = S δ(0,0, t ) s(t, τ0) −

t

sh ( t , τ , τ0 )

Sδ ( 0 , 0 , t ) . s( t , τ0 ) ... t s0 . t x + ( Φ ( x τ0 ) Φ ( x ) ) . exp dx τ τ 0 В ыв од им на перв ом г раф ике в ход ной s(t , τ0 ) и в ыход ной sh(t , τ, τ0 ) сиг налы при j=1 ( τ01 = 2 ⋅ 10 −3 ) и трех значений постоянной в ремени цепи τn : n = 1, n = 4 и n = 7: 1 s t , τ01 k 0.5 sh t , τ1 , τ01 k sh t , τ4 , τ01 k sh t , τ7 , τ01 k

0

0.5

1 0

0.002 t

0.004

k

Н а в тором г раф ике в ыв од им аналог ичные зав исимости при j=2 ( τ0 2 = 8 ⋅ 10 −3 ):

27

1.2

1

s t , τ02 k 0.5 sh t , τ1 , τ02 k sh t , τ4 , τ02 k sh t , τ7 , τ02 k 1.2

0

0.5

1 0

0.002

0.004

0

0.006 t

k

0.008

0.01 0.012 0.012

Срав нив эти зав исимости, сд елать в ыв од ы о степени искаж ений в ход ног о сиг нала при прохож д ении через анализиру ему ю цепь при различных соотношениях меж д у д литель ность ю в ход ног о сиг нала и постоянной в ремени цепи.

О т че т о в ып о лне нно й лабо рат о рно й рабо т е до лж е н с о с т о ят ь из дв ух час т е й: эле кт ро нно й и о т че т а в т е т ради. Эле кт ро нный о т че т до лж е н с о де рж ат ь чис ло в о й, т абличный и граф иче с кий м ат е риалы п о каж до м у п ункт у заданий. О т че т в т е т ради до лж е н с о де рж ат ь: 1. Те о ре т иче с кий рас че т им п ульс но й характ е рис т ики заданно й лине йно й ц е п и в с о о т в е т с т в ии с м е т о дико й, изло ж е нно й в т е о ре т иче с ко й час т и лабо рат о рно й рабо т ы (п .5.2). 2. Таблиц у 5.2 в ычис ле нных значе ний длит е льно с т и T hn ( n = 1,7 ) им п ульс но й характ е рис т ики ц е п и (п .5.4). 3. Таблиц у 5.3 в ычис ле нныхзначе ний T hn ,ΩK n и B n ( n = 1,7 ) (п .5.6).

28

ЗА Д А Ч И В ыполнить зад ания, сф орму лиров анные в примере, д ля линей ных цепей , прив ед енных в лаб ораторной раб оте № 4, и д ля след у ющ их значений параметров этих цепей :

1.

2.

3.

τ1 = 4.22 ⋅ 10 −4 , τ 2 = 5.76 ⋅ 10 −4 , τ 3 = 7.66 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 9.06 ⋅10 −4 , . ⋅ 10 −3 , τ 6 = 3.75 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 5.25 ⋅10 −3 . τ5 = 119 τ1 = 2.25 ⋅10 −4 , τ2 = 4.37 ⋅10 −4 , τ3 = 613 . ⋅10 −4 , τ 4 = 7.46 ⋅10 −4 , τ 5 = 14 . ⋅10 −3 , τ6 = 4.55 ⋅10 −3 , τ 7 = 7.61 ⋅10 −3 .

τ1 = 4.36 ⋅ 10 −4 , τ 2 = 6.6 ⋅ 10−4 , τ3 = 7.25 ⋅ 10−4 , τ4 = 9.44 ⋅ 10 −4 , τ5 = 1.78 ⋅ 10 −3 , τ6 = 3.91 ⋅10 −3 , τ 7 = 6.55 ⋅ 10−3 .

τ = 412 . ⋅10 −4 , τ2 = 6.25 ⋅10 −4 , τ 3 = 8.39 ⋅10 −4 , τ4 = 2.02 ⋅10 −3 , 4. 1 τ5 = 3.57 ⋅10 −3 , τ 6 = 4.31 ⋅10 −3 , τ 7 = 6.31 ⋅10 −3 , ε = 0.4.

5.

6.

7.

τ1 = 4.23 ⋅10 −4 , τ 2 = 6.23 ⋅10 −4 , τ 3 = 8.58 ⋅10 −4 , τ4 = 1.44 ⋅10 −3 , τ5 = 2.95 ⋅10 −3 , τ 6 = 4.02 ⋅10 −3 , τ 7 = 5.28 ⋅10 −3 , ε = 015 . .

τ1 = 124 . ⋅ 10 −3 , τ 2 = 169 . ⋅10 −3 , τ3 = 217 . ⋅ 10−3 , τ 4 = 2.9 ⋅ 10 −3 , τ5 = 515 . ⋅ 10 −3 , τ6 = 6.55 ⋅10 −3 , τ 7 = 7.21 ⋅ 10 −3 , ε = 45. . ⋅10 −4 , τ 2 = 159 . ⋅ 10 −4 , τ 3 = 2.03 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 2.6 ⋅ 10 −4 , τ5 = 5.39 ⋅10 −4 , τ1 = 115 τ6 = 7.03 ⋅ 10−4 , τ 7 = 9.32 ⋅10 −4 , ε = 3.

τ = 119 . ⋅10 −3 , τ 2 = 155 . ⋅10 −3 , τ3 = 192 . ⋅10 −3 , τ 4 = 2.23 ⋅10 −3 , τ 5 = 4.08 ⋅10 −3 , 8. 1 τ6 = 5.83 ⋅10 −3 , τ 7 = 6.2 ⋅10 −3 , ε = 100.

9.

τ1 = 5.57 ⋅ 10−4 , τ2 = 6.09 ⋅ 10 −4 , τ3 = 7.51 ⋅ 10 −4 , τ 4 = 9.27 ⋅ 10 −4 , τ5 = 181 . ⋅10 −3 , τ6 = 2.71 ⋅ 10−3 , τ 7 = 3.025 ⋅ 10 −3 , ε = 0.75.

10.

τ1 = 6.33 ⋅ 10−4 , τ2 = 7.77 ⋅10 −4 , τ 3 = 915 . ⋅ 10 −4 , τ4 = 186 . ⋅ 10 −3 , τ5 = 3.06 ⋅10 −3 , τ 6 = 5.27 ⋅ 10 −3 , τ 7 = 6.35 ⋅ 10−3 , ε = 25.

29

11.

12.

τ1 = 5.95 ⋅ 10−4 , τ 2 = 7.24 ⋅ 10 −4 , τ3 = 8.5 ⋅ 10−4 , τ4 = 108 . ⋅10 −3 , τ5 = 3.51 ⋅ 10−3 , τ 6 = 5.22 ⋅ 10−3 , τ 7 = 7.75 ⋅10 −3 , ε = 75. . ⋅10 −4 , τ 2 = 2.58 ⋅ 10−4 , τ3 = 3.01 ⋅ 10 −4 , τ4 = 3.77 ⋅ 10 −4 , τ1 = 113 τ5 = 4.08 ⋅ 10−4 , τ6 = 4.59 ⋅ 10−4 , τ 7 = 5.03 ⋅10 −4 , ε = 10.

6. ПРЕО Б РА ЗО ВА Н И Е СТ А Ц И О Н А РН Ы Х СЛУ Ч А Й Н Ы Х ПРО Ц ЕССО В ЛИ Н ЕЙ Н Ы М И Ц ЕПЯМ И С ПО СТ О ЯН Н Ы М И ПА РА М ЕТ РА М И 6.1. К орреляци онна я теори я ста ци она рны х слу ч а йны х п роцессов Полное в в ероятностном смысле описание слу чай ных процессов основ ыв ается на исполь зов ании мног омерных плотностей в ероятностей . О д нако в о мног их слу чаях в озмож ен у прощ енный под ход , основ анный на исполь зов ании моментных ф у нкций не в ыше в торог о поряд ка (так назыв аемая корреляционная теория слу чай ных процессов ). Е сли слу чай ный процесс яв ляется стационарным, по край ней мере в широком смысле, то ег о д в у мерный централь ный момент в торог о поряд ка (корреляционная ф у нкция) K (t1, t 2 ) зав исит от разности τ =| t1 − t 2 | , т.е. K (t1, t 2 ) = K ( τ ) = K ( − τ ) . К орреляционная ф у нкция K (t1, t 2 ) характеризу ет степень линей ной статистической св язи тех слу чай ных в еличин, которые

30

наб люд аются при t = t1 и t = t 2 . Д ля стационарног о слу чай ног о процесса корреляционная ф у нкция K ( τ ) св язана парой преоб разов аний Ф у рь е стак назыв аемой спектраль ной плотность ю мощ ности W (ω ) (теорема В инераХинчина): ∞ 1 ∞ W (ω ) = ∫ K ( τ )exp( − jωτ )dτ, K ( τ ) = (6.1) ∫W (ω )exp( jωτ )dω. 2 π −∞ −∞

У читыв ая, что корреляционная ф у нкция K ( τ ) яв ляется четной ф у нкцией , из (6.1) след у ет, что и спектраль ная плотность мощ ности такж е яв ляется четной ф у нкцией . След ов атель но, ф орму лы (6.1) мож но переписать в в ид е ∞ 1∞ W (ω ) = 2 ∫ K ( τ )cos(ωτ )dτ, K ( τ ) = ∫W (ω )cos(ωτ )dω. (6.2) π0 0

Д ля оценки “скорости изменения” реализаций слу чай ног о процесса в о в ремени часто исполь зу ют такие параметры, как интерв ал корреляции τ k и эф ф ектив ная ширина спектра ∆Ω : ∞

∞

τ k = ∫ K ( τ )dτ K (0 ), ∆Ω = 2 ∫W (ω )dω W (0 ). 0

(6.3)

0

Причем, очев ид но, τ k ∆Ω = π . И нтерв ал корреляции τ k характеризу ет минималь ный промеж у ток в ремени меж д у отсчетами слу чай ног о процесса, при котором мож но считать эти отсчеты приб лиж енно некоррелиров анными. И споль зу я спектраль ну ю плотность мощ ности, лег ко мож но най ти сред нюю мощ ность слу чай ног о процесса 1∞ Psr = K (0 ) = ∫W (ω )dω, (6.4) π0 а такж е сред нюю мощ ность , сосред оточенну ю в полосе частот от ω1 ≥ 0 д о ω2 > 0 : 1 ω2 P 12 = ∫W (ω )dω. πω

(6.5)

1

Е сли стационарный слу чай ный процессскорреляционной ф у нкцией K âõ ( τ ) и спектраль ной плотность ю мощ ности W âõ (ω ) в озд ей ств у ет на в ход линей ной стационарной цепи с частотнымкоэф ф ициентомперед ачи K&(ω) , то сиг нал на в ыход е такж е б у д ет яв лять ся стационарным слу чай ным процессом с корреляционной ф у нкцией K â û õ (τ ) и спектраль ной плотность ю мощ ности W â û õ (ω ) в ид а 1∞ K в ых ( τ) = ∫ W в х (ω)| K&(ω)|2 cos(ωτ)dω; W в ых (ω ) = W в х (ω )| K&(ω)|2 . (6.6) π0

6.2. Согла сов а нны й ф и ль тр

31

Сог ласов анный ф иль тр - линей ный ф иль тр, на в ыход е которог о полу чается максималь но в озмож ное пиков ое значение отношения сиг нал/шу м при приеме полность ю изв естног о сиг нала s(t ) на ф оне г ау ссов ског о б елог о шу ма n(t ). О б означим S&(ω ) - спектраль ная плотность д етерминиров анног о в ход ног о сиг нала s(t ), N 0 - од носторонняя спектраль ная плотность г ау ссов ског о б елог о шу ма n(t ). Т ог д а на в ыход е линей ног о ф иль тра сиг нал мож ет б ыть пред став лен в в ид е су ммы д в у х слаг аемых y s (t ) и y n (t ) , перв ое из которых яв ляется откликом линей ной цепи на д етерминиров анный сиг нал, а в торое - откликомэтой цепи на г ау ссов ский б елый шу м. Т ог д а сог ласов анный ф иль тр, который максимизиру ет отношение максималь ног о значения в ыход ног о д етерминиров анног о сиг нала к сред некв ад ратическому значению в ыход ног о слу чай ног о процесса, д олж ен иметь частотный коэф ф ициент перед ачи K&c (ω) и импу ль сну ю характеристику hc (t ), од нозначно св язанные со статистическими характеристиками в ход ног о сиг нала и шу ма след у ющ им об разом: K&c (ω) = cS&* (ω)exp( − jωT0 ), hc (t ) = cs(T0 − t ). (6.7) Зд есь c - некоторая постоянная, характеризу ющ ая у силение ф иль тра, T0 момент в ремени, соотв етств у ющ ий наиб оль шему отношению пиков ог о значения сиг нала к сред некв ад ратическому значению помехи на в ыход е ф иль тра. О б ычно под T0 понимается момент в ремени, соотв етств у ющ ий концу в ход ног о импу ль сног о сиг нала или д литель ность интерв ала наб люд ения. И з (6.7) след у ет, что А ЧХ и Ф ЧХ сог ласов анног о ф иль тра | K&c (ω)| = K c (ω) = c| S&(ω)|, arg K&c (ω) = ϕ c (ω) = −(ϕ s (ω) + ωT0 ), (6.8) г д е ϕ s (ω ) - Ф ЧС в ход ног о сиг нала s(t ). След ов атель но, А ЧХ сог ласов анног о ф иль тра пропорциональ на А ЧС в ход ног о сиг нала | S&(ω )| (А ЧХ “сог ласов ана” со спектром сиг нала), а Ф ЧХ рав на су мме Ф ЧС в ход ног о сиг нала, в зятог о с об ратным знаком, и ф азов ог о спектра зад ерж ки −ωT0 . О тметим, что максималь ное значение д етерминиров анног о сиг нала y s (t ) на в ыход е сог ласов анног о ф иль тра не зав исит от ф ормы в ход ног о сиг нала s(t ) и численно рав но энерг ии в ход ног о сиг нала. ЗА Д А Н И Я Н А ВЫ ПО ЛН ЕН И Е ЛА Б О РА Т О РН О Й РА Б О Т Ы И ПРИ М ЕРЫ И Х ВЫ ПО ЛН ЕН И Я

32

1. Проанализиров ать статистические характеристики стационарных слу чай ных процессов на в ход е и в ыход е линей ной цепи, если спектраль ная плотность мощ ности в ход ног о сиг нала имеет в ид W 0α 3 W (ω, α) = , W 0 = 1[в 2сек] , α1 = 1050, α 2 = 1235, α 3 = 1395, 2 2 3 / 2 (α + ω ) (6.9) α 4 = 1415, α 5 = 1550, α 6 = 1620, α 7 = 1705 [ рад / сек], а линей ная цепь пред став ляет соб ой CR-цепь (с постоянной в ремени τs = RC ) в ид а τ s1 = 10 − 2 [се к] τ s 2 = 10 − 3 [се к]

2. И сслед ов ать прохож д ение д етерминиров анног о сиг нала s(t ) через сог ласов анный ф иль тр, если сиг налзад ан в ыраж ением s0 s(t ) ≡ s(t, t 0) = , s0 = 2[в ] , t 01 = 10 −3 , t 02 = 2 ⋅10 −3 , t 03 = 3 ⋅ 10 −3 , 1 + cosh(t / t 0) − 3 (6.10) t 04 = 4 ⋅ 10 , t 05 = 5 ⋅10 −3 , t 06 = 6 ⋅10 −3 , t 0 7 = 7 ⋅10 −3 [сек]. 6.1. К орреляци онна я теори я ста ци она рны х слу ч а йны х п роцессов ЗА Д А Н И Е 6.1. Д ля зад анной спектраль ной плотности мощ ности стационарног о слу чай ног о сиг нала W (ω, α) в в ести в компь ютер параметр W0

и таб лицу

значений

параметров

α j ( j = 1,7) ,

опред еляющ их

протяж енность спектраль ной плотности мощ ности сиг нала в частотной об ласти. В в ести аналитическое в ыраж ение спектраль ной плотности мощ ности в соотв етств ии с (6.9). Построить г раф ик спектраль ной плотности мощ ности сиг нала д ля трех значений параметра α при j =1, j = 4 и j = 7. В ычислить значения сред них мощ ностей Psr анализиру емог о слу чай ног о сиг нала при разных значениях α j ( j = 1,7) . О пред елить зав исимость сред ней в еличины параметра α .

мощ ности слу чай ног о сиг нала от

ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. В в од им в компь ютер исход ные д анные зад ачи TOL 10

5

W0

1

j

1 .. 7

i

1

33

αj 1050 1235 1395 1415 1550 1620 1705

W (ω ,α)

α

W0 . α

2

3

ω

2 1.5

Д ля построения г раф ика спектраль ной плотности мощ ности W (ω, α j ) , как ф у нкции частоты, наб ираем: k 0 .. 100 ωk 5000 k . 100 В ыв од им на экран г раф ик W (ω, α j ) д ля трех значений параметра j при j =1, j = 4 и j = 7: 1 W ω ,α1 k W ω , α 4 0.5 k W ω ,α7 k 0

4000

2000

0 ω

2000

4000

k

Сред няя мощ ность стационарног о слу чай ног о сиг нала опред еляется в соотв етств ии с в ыраж ением (6.4). О д нако, т.к. спектраль ная плотность мощ ности сиг нала W (ω, α) имеет по оси частот б есконечну ю протяж енность , осу щ еств ить точное интег риров ание в (6.4) в б есконечных пред елах (0 < ω < ∞ ) численными метод ами нев озмож но. Поэтому при в ычислении сред ней мощ ности Psrj заменим в ерхний б есконечный пред ел интег риров ания в (6.4) на конечный Ω j . Причем в еличину параметра Ω j в ыб ерем, исход я из след у ющ ег о количеств енног о критерия приб лиж ения. Параметр Ω j в ыб ираем, исход я из у слов ия, что значение спектраль ной плотности мощ ности W (Ω j , α j ) в 100 раз мень ше максималь ног о значения спектраль ной плотности мощ ности W (0, α j ) . Т акимоб разом, д ля в ычисления Ω j ( j = 1,7 ) наб ираем

34

w

Ωj

5000

root

W

w , αj

Ωj

0.01 , w

4.75924

. 10 3

5.59694

. 10 3

6.32196

. 10 3

6.41213

. 10 3

7.02524

. 10 3

7.34194

. 10 3

7.72544

. 10 3

Т ог д а в соотв етств ии с (6.4) в ыв од им значения сред ней мощ ности слу чай ног о сиг нала д ля в сех j = 1,7 : 1.

Psr j

π

Ωj W ω , αj

dω

Psr j

0

326.37661 383.87841 433.61135 439.82654 481.79307 503.54965 529.96497

Д ля тог о чтоб ы опред елить , как зав исит сред няя мощ ность слу чай ног о сиг нала Psr от параметра α , построимг раф ик Psr(α j ) : 600

500 Psr

j 400

300

1000 1100

1200

1300

1400 α

1500

1600

1700 1800

j

И з прив ед енног о рису нка след у ет, что меж д у сред ней мощ ность ю слу чай ног о сиг нала и шириной ег о спектра Ω j (в еличина которог о зав исит от параметра α j ) су щ еств у ет линей ная зав исимость . ЗА Д А Н И Е 6.2. В ычислить корреляционну ю ф у нкцию K ( τ, j) анализиру емог о стационарног о слу чай ног о сиг нала при j = 1,7 и изоб разить на г раф ике зав исимость коэф ф ициента корреляции R ( τ, j) = K ( τ, j) K (0, j) от τ д ля трех значений параметра j: j = 1, j = 4 и j = 7. И з анализа построенных г раф иков ф у нкций W (ω, α j ) и K ( τ, j) сд елать в ыв од о зав исимости меж д у шириной спектраль ной плотности

35

мощ ности слу чай ног о сиг нала и д литель ность ю ег о корреляционной ф у нкции. В ычислить значение корреляционной ф у нкции в точке τ = 0 и показать , что оно сов пад ает со сред ней мощ ность ю анализиру емог о стационарног о слу чай ног о сиг нала. В ычислить д олю сред ней мощ ности анализиру емог о слу чай ног о сиг нала, заключенну ю в полосе частот ω ∈[ω1; ω2] , г д е ω1 = 500, ω2 = 1000 [рад /сек]. ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. К орреляционная ф у нкция и спектраль ная плотность мощ ности стационарног о слу чай ног о сиг нала св язаны д ру г с д ру г ом парой преоб разов аний Ф у рь е. И сход я из (6.2) и у читыв ая, что W (ω, α j ) ≈ 0 при ω > Ω j , записыв аем 1.

K ( τ, j)

Ωj W ω , αj . cos ( ω . τ ) dω

π

0 В ыв од им на экран зав исимость коэф ф ициента R ( τ, j) = K ( τ, j) K (0, j) от τ д ля трех значений параметра j: n

τn

0 .. 100

5 . 10

3

n . 10

4

R ( τ, j)

корреляции K ( τ, j) K ( 0 , j)

1 R τ ,1 n R τ , 4 0.5 n R τ ,7 n 0

0.006 0.004

0.002

0 τ

0.002

0.004 0.006

n

Срав нив ая г раф ики W (ω, α j ) и R ( τ, j) д ля разных значений параметра j, у б еж д аемся, что чемшире спектраль ная плотность мощ ности сиг нала, тем у ж е ег о корреляционная ф у нкция. В ычисляеми в ыв од имна экран таб лицу значений корреляционной ф у нкции K (0, j) при τ = 0:

36

K ( 0 , j) 326.37661 383.87841 433.61135 439.82654 481.79307 503.54965 529.96497

Срав нив ая значения K (0, j) с Psrj д ля разных j, у б еж д аемся в их ид ентичности, что сог ласу ется с(6.4). Д ля в ычисления д оли сред ней мощ ности, заключенной в зад анной полосе частот ω ∈[ω1; ω2] , в начале опред елим, какая мощ ность P12 j сосред оточена в этой полосе частот. В соотв етств ии с (6.5) д ля расчета мощ ности, заключенной в полосе частот от ω1 д о ω2 , наб ираем ω2 1. W ω , αj dω ω1 500 ω2 1000 P12 j π ω1 Т ог д а д оля сред ней мощ ности, заключенная в зад анной полосе частот ω ∈[ω1; ω2] , опред елится какотношение P12 j к Psrj : P12 j Psr j 0.26597 0.26013 0.25111 0.24984 0.24078 0.2359 0.22991

ЗА Д А Н И Е 6.3. Д ля зад анной линей ной цепи рассчитать частотный коэф ф ициент перед ачи. В в ести в компь ютер полу ченное аналитическое в ыраж ение д ля частотног о коэф ф ициента перед ачи K (ω, τs) и построить г раф ик мод у ля | K (ω, τs)| д ля д в у х значений постоянной в ремени цепи τs1 = 10 −2 и τs2 = 10−3 . ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Расчет частотног о коэф ф ициента перед ачи осу щ еств ляется аналог ично тому , как это б ыло показано в лаб ораторной раб оте 4 (см. зад ание 4.2 и пример ег о в ыполнения). К оэф ф ициент перед ачи рассматрив аемой цепи имеет в ид (4.10). В в од имв компь ютер аналитическое в ыраж ение д ля частотног о коэф ф ициента перед ачи и таб лицу значений постоянной в ремени цепи τsm , m =12: ,

37

i . ω . τs

K ( ω , τs )

i . ω . τs

1

m

τs m

1 .. 2

10 10

2 3

В ыв од им на экран г раф ик мод у ля коэф ф ициента перед ачи (А ЧХ) д ля д в у х значений постоянной в ремени цепи τs1 и τs2 : 1

K

ω

K

ω

k

, τs1

k

, τs2

0.5

0

6000

4000

2000

0 ω

2000

4000

6000

k

ЗА Д А Н И Е 6.4. В ычислить спектраль ну ю плотность мощ ности сиг нала на в ыход е анализиру емой цепи и построить г раф ик спектраль ной плотности мощ ности в ход ног о и в ыход ног о сиг налов д ля минималь ног о и максималь ног о значений параметра α ( α1 и α 7 ) и д ля д в у х значений постоянной в ремени цепи τs ( τs1 и τs2 ). По прив ед енным г раф ическим зав исимостям сд елать в ыв од ы о характере и степени искаж ений спектраль ной плотности мощ ности сиг нала на в ыход е такой цепи. ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Спектраль ная плотность мощ ности W K (ω, α, τs) сиг нала на в ыход е анализиру емой цепи опред еляется в соотв етств ии сф орму лой (6.6): 2 WK ( ω , α , τs ) W ( ω , α ) . ( K ( ω , τs ) ) В ыв од имг раф ики спектраль ной плотности мощ ности в ход ног о W (ω, α) и в ыход ног о W K (ω, α, τs) сиг налов д ля минималь ног о α1 и максималь ног о α 7 значений параметра α в ход ног о сиг нала. Причем на перв ом г раф ике пред став ляем спектраль ну ю плотность мощ ности в ыход ног о сиг нала при τ = τs1 : 1 WK

ω

WK

ω

W

ω

W

ω

k

, α 1 , τs1

0.8

k

, α 7 , τs1

0.6

k

,α 1

0.4

k

,α 7

0.2 0

4000

2000

0 ω

k

2000

4000

38

Н а в тором г раф ике изоб раж аем спектраль ну ю плотность мощ ности в ыход ног о сиг нала при τ = τs2 : 1 WK

ω

WK

ω

W

ω

W

ω

k

, α 1 , τs2

0.8

k

, α 7 , τs2

0.6

k

,α1

0.4

k

,α7

0.2 0

4000

2000

0 ω

2000

4000

k

И з анализа прив ед енных зав исимостей сд елать соотв етств у ющ ие в ыв од ы. 6.2. Согла сов а нны й ф и ль тр ЗА Д А Н И Е 6.5. Д ля зад анног о сиг нала s(t, t 0) в в ести в компь ютер параметра t 0 j ( j = 1,7 ), опред еляющ их протяж енность сиг нала по оси в ремени. В в ести аналитическое в ыраж ение сиг нала в соотв етств ии с(6.10). Пред став ить на г раф ике зав исимость сиг нала s(t, t 0) , как ф у нкцию в ремени, д ля трех значений параметра t0 : t01 , t04 и t07 . ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. В в од им в компь ютер исход ные д анные зад ачи: S0 S0 2 s( t , t0 ) t 1 cosh t0 параметр сиг нала s0 и таб лицу значений

t0 j 10

3

2 . 10

3

3 . 10

3

4 . 10

3

5 . 10

3

6 . 10

3

7 . 10

3

Д ля построения зав исимостей s(t, t 01 ), s(t, t 04 ) и s(t, t 07 ) наб ираем:

39

tk

k . 10

3

5 . 10

2

1 s t , t0 1 k s t , t0 4 0.5 k s t , t0 7 k 0

0.04

0.02

0 t

0.02

0.04

k

У б еж д аемся, что мень шимзначениям t 0 j ( j = 1,7 ) соотв етств у ет мень шая протяж енность сиг нала в о в ремени. ЗА Д А Н И Е 6.6. В ычислить значения энерг ии Es j сиг нала s(t, t 0 j ) д ля зад анных значений t 0 j ( j = 1,7 ). Записать в тетрад и в таб лицу (Т аб л.6.1) значения моментов окончания сиг нала T 0 j и энерг ий сиг нала Es j ( j = 1,7 ).

j T0j

1

2

3

4

5

6

Т аб л.6.1 7

Es j ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. Энерг ию сиг нала б у д емопред елять в соотв етств ии с ф орму лой (2.7). У чтем, что сиг нал s(t, t 0) имеет по оси в ремени б есконечну ю протяж енность и, след ов атель но, осу щ еств ить интег риров ание в (2.7) в б есконечных пред елах численными метод ами нев озмож но. Поэтому д ля в ычисления энерг ии посту паем аналог ично тому , как это б ыло сд елано в лаб ораторной раб оте 2 (см. зад ание 2.1 и пример ег о в ыполнения). А именно, у читыв ая четность и монотонный характер сиг нала s(t, t 0 j ) , наход им такое значение момента в ремени T = T 0 j , при котором д оля энерг ии сиг нала на интерв але [T / 2;T ] состав ляет малу ю часть ε = T OL энерг ии сиг нала, в ычисленну ю на интерв але [0;T ]. Н аб ираем t2 2 . E1 ( t1 , t2 , t0 ) 2 s( t , t0 ) dt T t0 1 t1

40

E1 T0 j

root

T 2

, T , t0 j TOL , T

E1 0 , T , t0 j

T0 j 0.01278 0.02591 0.03881 0.06492 0.10092 0.14491 0.19691

След ов атель но, энерг ия сиг нала s(t, t 0 j ) д ля разных j = 1,7 опред еляется как T0 j Es j

2.

s t , t0 j 0

2

dt

Es j 0.00267 0.00533 0.008 0.01067 0.01333 0.016 0.01867

Заносимв ычисленные значения T 0 j и Es j в Т аб л.6.1. ЗА Д А Н И Е 6.7. О пред елить импу ль сну ю характеристику ф иль тра, сог ласов анног о с зад анным сиг налом s(t, t 0) (6.10). В в ести в компь ютер аналитическое в ыраж ение импу ль сной характеристики сог ласов анног о ф иль тра. И споль зу я полу ченное в ыраж ение, опред елить сиг нал на в ыход е сог ласов анног о ф иль тра ys(t, j) , если на в ход в озд ей ств у ет сиг нал s(t, t 0 j ) . Построить г раф ические зав исимости сиг нала ys(t, j) , как ф у нкцию в ремени, д ля разных значений параметра j = 1,7 . И змерить и записать в тетрад и в таб лицу (Т аб л.6.2) значения полож ений T j и в еличин Y j наиб оль ших максиму мов в ыход ног о сиг нала д ля j = 1,7 . Срав нить таб лицы Т аб л.6.1 и Т аб л.6.2. Сд елать соотв етств у ющ ие в ыв од ы. Т аб л.6.2 j 1 2 3 4 5 6 7 Tj Yj ПРИ М ЕР ВЫ ПО ЛН ЕН И Я. И мпу ль сная характеристика сог ласов анног о ф иль тра в соотв етств ии (6.7) опред еляется ф ормой

41

в ход ног о сиг нала s(t, t 0) . Параметр T 0 в (6.7) об ычно в ыб ирается рав ным моменту окончания в ход ног о сиг нала. В нашем слу чае значения T 0 записаны в Т аб л.6.1. К онстанту с в (6.7) полож им рав ной ед инице. След ов атель но, импу ль сная характеристика сог ласов анног о ф иль тра опред елится в ыраж ением: h( t , j) s T0 j t , t0 j Д етерминиров анная состав ляющ ая сиг нала на в ыход е сог ласов анног о ф иль тра ys(t, j) в соотв етств ии синтег раломсв ертки (5.1) опред елится как: t ys( t , j ) s τ , t0 j . h ( t τ , j ) dτ T0 j В ыв од имна экран зав исимости ys(t, j) д ля разных j = 1,7 при t ≥ 0 : tk

k . 3 . 10

3

0.02 ys

t

ys

t

ys

t

ys

t

ys

t

ys

t

ys

t

k k k k k k k

,1 ,2

0.015

,3 ,4

0.01

,5 ,6

0.005

,7

0

0

0.05

0.1

0.15 t

0.2

0.25

0.3

k

С помощ ь ю процед у ры считыв ания коорд инат точек г раф ика наход им точку на г раф ике, соотв етств у ющ у ю максималь ному значению сиг нала ys(t,1) . При этом в окне оси X б у д ет в ыв ед ено значение T1 , соотв етств у ющ ее полож ению, а в окне оси Y - значение Y1 , соотв етств у ющ ее максималь ному значению в ыход ног о сиг нала при j = 1. Записыв аем эти значения в Т аб л.6.2. А налог ично с помощ ь ю у казанной процед у ры опред еляем и осталь ные значения T j и Y j при j = 2,7 . Заполняем Т аб л.6.2. Срав нив ая в торые и треть и строки Т аб л.6.1 и Т аб л.6.2, д елаем в ыв од о примерном сов пад ении значений T 0 j и T j , а такж е Es j и Y j . След ов атель но, максималь ное значение сиг нала на в ыход е сог ласов анног о ф иль тра сов пад ает с энерг ией

в ход ног о сиг нала, а

42

полож ение этог о максималь ног о значения сов пад ает с моментом конца в ход ног о сиг нала. О т че т о в ып о лне нно й лабо рат о рно й рабо т е до лж е н с о с т о ят ь из дв ух час т е й: эле кт ро нно й и о т че т а в т е т ради. Эле кт ро нный о т че т до лж е н с о де рж ат ь чис ло в о й, т абличный и граф иче с кий м ат е риалы п о каж до м у п ункт у задания. О т че т в т е т ради до лж е н с о де рж ат ь: 1. Таблиц у 6.1 в ычис ле нных значе ний длит е льно с т е й T 0 j и эне ргий Es j в хо дно го с игнала (п .6.6). 2. Таблиц у 6.2 значе ний п о ло ж е ний T j и м аксим альных значе ний Y j с игнала на в ыхо де с о глас о в анно го ф ильт ра (п .6.7). ЗА Д А Ч И В ыполнить зад ания, сф орму лиров анные в примере, д ля след у ющ их типов спектраль ных плотностей мощ ности слу чай ных сиг налов W (ω) и д етерминиров анных сиг налов s(t ) :

[

1. W (ω) = W 0 ⋅ exp −(ω α )

2

] , W 0 = 1, α = 2010, α 1

2

= 2150, α 3 = 2275,

α 4 = 2320, α 5 = 2490, α 6 = 2545, α 7 = 2635.

s(t ) =

s0(1 + β|t |)

(1 + cosh(t / t 0))

2

, s0 = 2, β = 0.93, t 01 = 3.4 ⋅ 10−3 , t 02 = 5.2 ⋅ 10−3 ,

t 03 = 7.7 ⋅ 10 −3 , t 04 = 9.5 ⋅10 −3 , t 05 = 0,012, t 06 = 0.017, t 07 = 0.02. 2. W (ω) = W 0α 2 (α 2 + ω 2 ) −1 , W 0 = 1, α1 = 755, α 2 = 840, α 3 = 960, α 4 = 1030, α 5 = 1106, α 6 = 1245, α 7 = 1300.

s(t ) =

s0(1 + β|t |) , s0 = 2, β = 123 . , t 01 = 14 . ⋅10−3, t 02 = 2.2 ⋅10−3, 1 + cosh(t / t 0)

t 03 = 3.7 ⋅10−3, t 04 = 5.5 ⋅10−3, t 05 = 6.7 ⋅10−3, t 06 = 7.6 ⋅10−3, t 07 = 8.55 ⋅10−3. W 0α 4 3. W (ω) = , W 0 = 1, α1 = 1050, α 2 = 1140, α 3 = 1260, 2 2 2 (α + ω ) α 4 = 1330, α 5 = 1405, α 6 = 1525, α 7 = 1610.

s(t ) = s0 exp ( −|t |/t 0), s0 = 1, t 01 = 5.4 ⋅ 10 −3 , t 02 = 7.2 ⋅10 −3 , t 03 = 8.7 ⋅ 10 −3 ,

t 04 = 9.5 ⋅ 10 −3 , t 05 = 0.017, t 06 = 0.021, t 0 7 = 0.0255. W0 4. W (ω) = , W 0 = 1, α1 = 835, α 2 = 970, α 3 = 1025, cosh(ω / α) α 4 = 1140, α 5 = 1235, α 6 = 1390, α 7 = 1420.

43

s(t ) =

s0

(

)

2 1 + (t / t 0) 2

, s0 = 1, t 01 = 6.4 ⋅ 10 −3 , t 02 = 8.2 ⋅ 10 − 3 , t 03 = 9.3 ⋅ 10 − 3 ,

t 04 = 0.012, t 05 = 0.0195, t 06 = 0.029, t 0 7 = 0.0345.

(

5. W (ω) = W 0α 6 α 2 + ω 2

) −3 ,

W 0 = 1, α1 = 1920, α 2 = 2035, α 3 = 2195,

α 4 = 2215, α 5 = 2350, α 6 = 2420, α 7 = 2555.

s(t ) = s0(1−|tanh(t / t 0)|), s0 = 1, t 01 = 8.5 ⋅ 10 −3 , t 02 = 9.4 ⋅ 10 −3 , t 03 = 0.011,

t 04 = 0.019, t 05 = 0.024, t 06 = 0.035, t 07 = 0.04.  ω2 + α2  . , α1 = 1920, α 2 = 2035, α 3 = 2185, 6. W (ω) = W 0 cosh −1   , W 0 = 154  α2  α 4 = 2225, α 5 = 2340, α 6 = 2425, α 7 = 2505.

s0 , s0 = 1, t 01 = 4.5 ⋅10 −3 , t 02 = 6.65 ⋅10 −3 , t 03 = 7.25 ⋅ 10 −3 , 1+|sinh(t / t 0)| t 04 = 8 ⋅ 10−3 , t 05 = 9.8 ⋅ 10−3 , t 06 = 0.0155, t 07 = 0.021. s(t ) =

 2α 2 + ω 2  7. W (ω) = W 0 ⋅ ln  . , α1 = 650, α 2 = 715, α 3 = 840,  , W 0 = 144  α2 + ω2  α 4 = 930, α 5 = 1070, α 6 = 1145, α 7 = 1200.

s(t ) =

s0 1 + (sinh(t / t 0))

2

, s0 = 1, t 01 = 51 . ⋅10 −3 , t 02 = 6.5 ⋅ 10 −3 , t 03 = 7.5 ⋅ 10 −3 ,

t 04 = 8.5 ⋅10 −3 , t 05 = 9.5 ⋅10 −3 , t 06 = 0.015, t 07 = 0.023. W0 , W 0 = 1, α1 = 1250, α 2 = 1365, α 3 = 1475, 1+|sinh(ω / α)| α 4 = 1580, α 5 = 1695, α 6 = 1720, α 7 = 1835.

8. W (ω) =

s(t ) =

(

s0 1 + βt 2

)

1 + exp(|t |/t 0)

, s0 = 2, β = 0.79, t 01 = 5.9 ⋅10 −3 , t 02 = 6.35 ⋅10 −3 ,

t 03 = 7.55 ⋅ 10 −3 , t 04 = 8.8 ⋅10 −3 , t 05 = 9.3 ⋅10 −3 , t 06 = 0.0125, t 07 = 0.0205.

(

9. W (ω) = W 0 1 + (cosh(ω / α))2

) −1/2,

W 0 = 141 . , α1 = 1095, α 2 = 1120,

α 3 = 1270, α 4 = 1355, α 5 = 1405, α 6 = 1570, α 7 = 1655.

s(t ) = s0(1+|sinh(t / t 0)|)

−1/2

, s0 = 1, t 01 = 2.5 ⋅ 10−3 , t 02 = 3.6 ⋅ 10−3 ,

t 03 = 4.25 ⋅ 10−3 , t 04 = 6.5 ⋅ 10−3 , t 05 = 8.3 ⋅ 10 −3 , t 06 = 9 ⋅10 −3 , t 07 = 0.01. 10. W (ω) = W 0 ⋅ exp[ −| ω|/ α ] , W 0 = 1, α1 = 1070, α 2 = 1175, α 3 = 1235, α 4 = 1345, α 5 = 1485, α 6 = 1550, α 7 = 1670.

44

(

s(t ) = s0 1 + (cosh(t / t 0))2

. , ) −1/2, s0 = 141

t 01 = 5.85 ⋅ 10 −3 , t 02 = 6.2 ⋅ 10 −3 ,

t 03 = 7.5 ⋅10 −3 , t 04 = 81 . ⋅ 10 −3 , t 05 = 9.45 ⋅10 −3 , t 06 = 0.0106, t 07 = 0.0128.

((

)

)

11. W (ω) = W 0 ⋅ ln −3 2α 2 + ω 2 α 2 , W 0 = 0.33, α1 = 750, α 2 = 850, α 3 = 955, α 4 = 1050, α 5 = 1150, α 6 = 1255, α 7 = 1355. 2s0 , s0 = 2, a = 31 . , t 01 = 6.5 ⋅10 −3 , t 02 = 7.9 ⋅ 10 −3 , s(t ) = 0 0 − / / t t t t 2+a +a t 03 = 8.35 ⋅ 10 −3 , t 04 = 9.45 ⋅10 −3 , t 05 = 0.0125, t 06 = 0.019, t 07 = 0.0225.

12. W (ω) = W 0 ⋅ (1−|tanh(ω / α)|) , W 0 = 1, α1 = 1435, α 2 = 1550, α 3 = 1625, α 4 = 1770, α 5 = 1835, α 6 = 1990, α 7 = 2045. s(t ) =

s0 , s0 = 2, a = 2.93, t 01 = 7 ⋅10 −3 , t 02 = 8.2 ⋅10 −3 , t / t 0 − t / t 0 −a | 2 +| a

t 03 = 9.55 ⋅ 10 −3 , t 04 = 0.0105, t 05 = 0.0155, t 06 = 0.019, t 07 = 0.0235.

ЛИ Т ЕРА Т У РА 1. Гоноров ский И .С. Рад иотехнические цепи и сиг налы / И .С.Гоноров ский , М .П.Д емин. - М .: Рад ио и св язь , 1994. - 588 с. 2. Баскаков С.И . Рад иотехнические цепи и сиг налы / С.И .Баскаков . - М .: В ысшая школа, 2000. - 462 с. 3. Сиб ерт У .М . Ц епи, сиг налы, системы / У .М .Сиб ерт. - М .: М ир, 1988. Ч.I - 336 с., Ч.II - 359 с. 4. Попов В .П. О снов ы теории цепей / В .П.Попов . - М .: В ысшая школа, 2000. - 574 с. 5. Зинов ь ев А .Л. В в ед ение в теорию сиг налов и цепей / А .Л.Зинов ь ев , Л.И .Ф илиппов . - М .: В ысшая школа, 1975. - 387 с. 6. К ремер И .Я . Зад ачи и примеры по теоретическим основ ам рад иотехники / И .Я .К ремер, А .М .В ороб ь ев , И .Ф .Стру ков . - В оронеж : В ГУ , 1988. - 192 с. 7. Рад иотехнические цепи и сиг налы. Примеры и зад ачи / Под ред . И .С.Гоноров ског о. - М .: Рад ио и св язь , 1989. - 248 с. 8. Баскаков С.И . Рад иотехнические цепи и сиг налы. Ру ков од ств о к решению зад ач / С.И .Баскаков . - М .: В ысшая школа, 1987. - 208 с. 9. Горяинов В .Г. Статистическая рад иотехника. Примеры и зад ачи / В .Г.Горяинов , А .Г.Ж у рав лев , В .И .Т ихонов . - М .: Сов .рад ио, 1980. - 543 с. СО Д ЕРЖ А Н И Е 4. Частотный метод анализа прохож д ения сиг налов через линей ные 3 стационарные цепи ........................................................... 5. В ременной метод анализа прохож д ения сиг налов через линей ные 16 стационарные цепи ............................................................

45

6. Преоб разов ание стационарных слу чай ных процессов линей ными 28 цепями спостоянными параметрами............................. 6.1. К орреляционная теория стационарных слу чай ных процессов . 6.2. Сог ласов анный ф иль тр................................................................ Литерату ра...........................................................................................

Состав итель

Ред актор

Парф енов В лад имир И в анов ич

Т ихомиров а О .А .

28 29 43