Практикум по высшей математике с основами математической статистики: Методические указания для студентов специальности ''Геоэкология и природопользование''

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т Ф а культе т ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и К а фе др а пр и р о до по льзо ва ни я Пр а кти кум по высше й м а те м а ти ке с о сно ва м и м а те м а ти че ско й ста ти сти ки :

Для студе нто в 1-2 кур са дне вно го о тде ле ни я спе ци а льно сте й ге о эко ло ги я и пр и р о до по льзо ва ни е фа культе та ге о гр а фи и и ге о эко ло ги и

Со ста ви те ли Ф е ти со в Ю .М . Уксусо в С.Н.

В о р о не ж 2002

Со ста ви те ли : Ф е ти со в Ю .М ., Уксусо в С.Н. УДК 51.07 В ы сшая м атем ати к ас о сно вам и м атем ати ческ о й стати сти к и : м е то ди че ски е ука за ни я для студе нто в дне вно го о тде ле ни я спе ци а льно сти ге о эко ло ги я и пр и р о до по льзо ва ни е / В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т. Со ст.: Ю .М . Ф е ти со в, С.Н. Уксусо в. – В о р о не ж , 2002 – 48 с.

М е то ди че ски е ука за ни я со де р ж а ткр а тки е те о р е ти че ски е све де ни я по высше й м а те м а ти ке с о сно ва м и м а те м а ти че ско й ста ти сти ки , пр о гр а м м у кур са высше й м а те м а ти ки , р а ссчи та нную на тр и се м е стр а , пр и м е р ыр е ше ни я на и б о ле е ти пи чных за да ч, а та кж е ва р и а нтывсе хла б о р а то р ных и ко нтр о льныхр а б о т. Ил. 4. Би б ли о гр .: 7 на зв.

Пе ча та е тся по р е ше ни ю р е да кци о нно -и зда те льско го со ве та В о р о не ж ско го го суда р стве нно го уни ве р си те та

Ре це нзе нт– ка нд. фи з.-м а т. на ук, до ц. ка ф. ур а вне ни й в ча стных пр о и зво дных В ГУ А .Д. Ба е в.

2

С О Д Е РЖ А НИЕ В ве де ни е … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..3 Пр о гр а м м а 1-го се м е стр а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...4 Л и не йна я а лге б р а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 Пр и м е р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 1… … … … … … … … … … … … … .7 В е кто р на я а лге б р а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...8 Пр и м е р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 2… … … … … … … … … … … … … .9 А на ли ти че ска я ге о м е тр и я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..9 Пр и м е р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 3… … … … … … … … … … … … ...12 М а те м а ти че ски й а на ли з… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 Пр е де лфункци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .12 Пр о и зво дна я функци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...13 Пр и м е р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 4… … … … … … … … … … … … … 16 Пр о гр а м м а 2-го се м е стр а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...17 По лно е и ссле до ва ни е функци и и по стр о е ни е гр а фи ка … … … … … … … … … ...18 До м а шняя ко нтр о льна я р а б о та № 5… … … … … … … … … … … … … … … … … ...20 Не о пр е де ле нный и нте гр а л… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .23 О пр е де ле нный и нте гр а л… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 24 Пр и м е р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 6… … … … … … … … … … … … … 26 Ф ункци и не ско льки х пе р е м е нных… … … … … … … … … … … … … … … … … … 26 Пр и м е р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 7… … … … … … … … … … … … … 30 Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я… … … … … … … … … … … … … … … … … … … .30 Т е о р и я ве р о ятно сте й… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..31 Пр и м е р ный ва р и а нтко нтр о льно й р а б о ты№ 8… … … … … … … … … … … … … 37 Л а б о р а то р ные р а б о тыпо м а те м а ти че ско й ста ти сти ке … … … … … … … … … ...38 Ре гр е сси о нный и ко р р е ляци о нный а на ли з… … … … … … … … … … … … … … ..41 Пр о гр а м м а и то го во го экза м е на … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 45 Л и те р а тур а … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..46

В В Е ДЕ НИЕ Да нные м е то ди че ски е ука за ни я со ста вле ныдля студе нто в 1-го и 2-го кур со в спе ци а льно сти ге о эко ло ги я и пр и р о до по льзо ва ни е . В ысша я м а те м а ти ка и зуча е тся на фа культе те в те че ни е тр е х се м е стр о в. В пе р во м се м е стр е студе нтыпи шутче тыр е ко нтр о льные р а б о ты. В случа е по ло ж и те льных о це но к о ни по луча ютза че тпо со о тве тствующ и м те м а м . В ко нце се м е стр а студе нтысда ютза че т. Для это го о ни о б яза ныо тчи та ть те те м ы, по ко то р ым по луче ныне удо вле тво р и те льные о це нки (пр о пущ е нные ко нтр о льные р а б о ты та кж е не о б хо ди м о о тчи тыва ть). В случа е успе шно го на пи са ни я все хко нтр о льных р а б о т(на удо вле тво р и те льно и выше ) за че твыста вляе тся а вто м а ти че ски . В о вто р о м се м е стр е студе нтыта кж е сда ютза че т. Для сда чи за че та во вто р о м се м е стр е студе нта м не о б хо ди м о успе шно на пи са тьо дну до м а шнюю и две а уди то р ные ко нтр о льные р а б о ты. В м е то ди че ски х ука за ни яхпр и ве де ны30 ва р и а нто в

3

до м а шне й ко нтр о льно й р а б о ты№ 5, ко то р ую студе нтыо б яза нывыпо лни ть во вто р о м се м е стр е . Но м е р ва р и а нта о пр е де ляе тпр е по да ва те ль. В тр е тье м се м е стр е студе нтыи зуча ютте о р и ю ве р о ятно сте й и м а те м а ти че скую ста ти сти ку. В ко нце 3-го се м е стр а студе нтысда юти то го вый экза м е н за ве сь кур с о б уче ни я. В пр о гр а м м у экза м е на во шли на и б о ле е ва ж ные во пр о сыи з все х тр е х се м е стр о в. Пр о гр а м м а экза м е на , а та кж е пр о гр а м м ы1-го и 2-го се м е стр о в пр и ве де ныв м е то ди че ски х ука за ни ях. В да нныхм е то ди че ски х ука за ни ях пр и во дятся та кж е та б ли цыпр о и зво дныхи и нте гр а ло в, о сно вные пр а ви ла ди ффе р е нци р о ва ни я и и нте гр и р о ва ни я и о сно вные све де ни я по те о р и и ве р о ятно сте й и м а те м а ти че ско й ста ти сти ке . По ка ж до й те м е р а зо б р а ныпр и м е р ына и б о ле е ти пи чныхза да ч и пр и ве де ныпр и м е р ные ва р и а нты ко нтр о льныхр а б о т.

Про грам м а1-го сем естра О пр е де ли те ли 2-го , 3-го и n-го по р ядка . Спо со б ыи х вычи сле ни й. Ре ше ни е си сте м ли не йных ур а вне ни й м е то до м К р а м е р а . М е то д Га усса р е ше ни я си сте м ли не йных ур а вне ни й. М а тр и цыи де йстви я на д ни м и . Ра нг м а тр и цы. Ре ше ни е си сте м ли не йных ур а вне ни й с по м о щ ью о б р а тно й м а тр и цы. Де ка р то ва и по ляр на я си сте м ыко о р ди на тна пло ско сти . Де ка р то ва си сте м а ко о р ди на тв пр о стр а нстве . 7. Пр о сте йши е за да чи , р е ша е м ые в де ка р то во й си сте м е ко о р ди на т: о пр е де ле ни е р а ссто яни я м е ж ду двум я то чка м и , де ле ни е о тр е зка в да нно м о тно ше ни и . 8. В е кто р ына пло ско сти и в пр о стр а нстве . Ко о р ди на тыве кто р о в. 9. Пр о сте йши е о пе р а ци и на д ве кто р а м и : ум но ж е ни е ве кто р а на чи сло , сло ж е ни е и вычи та ни е ве кто р о в. 10. Ска ляр но е пр о и зве де ни е ве кто р о в. Дли на ве кто р а . Уго л м е ж ду ве кто р а м и . Усло ви я пе р пе нди куляр но сти и па р а лле льно сти ве кто р о в. Пр о е кци я ве кто р а на ве кто р . 11. В е кто р но е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. 12. См е ша нно е пр о и зве де ни е ве кто р о в и е го пр и ло ж е ни я. 13. Ур а вне ни е ли ни и на пло ско сти . А лге б р а и че ски е ли ни и . 14. Пр ям а я ли ни я на пло ско сти . Ра зли чные ви дыур а вне ни я пр ям о й ли ни и : о б щ е е ур а вне ни е , ур а вне ни е пр ям о й с угло вым ко эффи ци е нто м , ур а вне ни е пр ям о й пр о хо дящ е й че р е з за да нную то чку в за да нно м на пр а вле ни и , ур а вне ни е пр ям о й, пр о хо дящ е й че р е з две за да нные то чки . 15. Уго л м е ж ду двум я пр ям ым и . Ра ссто яни е о тто чки до пр ям о й. 16. К р и вые вто р о го по р ядка : о кр уж но сть, элли пс, ги пе р б о ла , па р а б о ла . 17. Пр е де лчи сло во й по сле до ва те льно сти и функци и . ∞ 0 18. Ра скр ыти е не о пр е де ле нно сте й ви да   ,   , (0 ⋅ ∞ ) и (∞ - ∞ ). ∞ 0 19. Пе р вый и вто р о й за м е ча те льные пр е де лыи сле дстви я и з ни х. 20. Пр и р а щ е ни е а р гум е нта и пр и р а щ е ни е функци и . Не пр е р ывно сть функци и . То чки р а зр ыва . Пр о сте йши е сво йства не пр е р ывных функци й. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

4

21. Пр о и зво дна я функци и . Ге о м е тр и че ски й и фи зи че ски й см ысл пр о и зво дно й. Т а б ли ца пр о и зво дныхи пр а ви ла ди ффе р е нци р о ва ни я. 22. Пр о и зво дна я о б р а тно й, не явно й функци и и функци и , за да нно й па р а м е тр и че ски . 23. Л о га р и фм и че ско е ди ффе р е нци р о ва ни е . 24. Ди ффе р е нци а л функци и и е го пр и м е не ни е к пр и б ли ж е нным вычи сле ни ям . 25. Пр а ви ло Л о пи та ля вычи сле ни я пр е де ло в. Ра скр ыти е не о пр е де ле нно сте й ви да 00 , ∞ 0 и 1∞ .

( ) ( )

( )

26. Пр и и зво дные и ди ффе р е нци а лывысши х по р ядко в. Те о р е м ыФ е р м а и Ро лля. Т е о р е м а Л а гр а нж а . 27. Ф о р м улыТ е йло р а и М а кло р е на .

Ли нейная ал гебра Пр и м е р 1. Ре ши ть си сте м у ли не йных ур а вне ни й: 1) м е то до м К р а м е р а ;  5 x − y + 2 z = −2,  2) м е то до м Га усса .  2 x + 3 y − 4 z = 19,  x + 2 y + 3z = 1.  Ре ше ни е . 1) М е то д К р а м е р а . В ычи сли м гла вный о пр е де ли те ль си сте м ы: 5 −1 2 ∆ = 2 3 − 4 = 5 ⋅ 3 ⋅ 3 + (− 1) ⋅ (− 4 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (− 1) ⋅ 3 − 2 ⋅ (− 4 ) ⋅ 5 = 1 2 3 = 45 + 4 + 8 − 6 + 6 + 40 = 97. Т а к ка к ∆≠0, то си сте м а и м е е те ди нстве нно е р е ше ни е , ко то р о е м о ж но на йти по фо р м ула м К р а м е р а : x=

∆x , ∆

y=

∆y , ∆

z=

∆z , ∆

где ∆x, ∆y, ∆z по луча ются и з о пр е де ли те ля ∆ путе м за м е ны1-го , 2-го и ли 3-го сто лб ца , со о тве тстве нно , на сто лб е ц сво б о дныхчле но в. − 2 −1 2 5 −2 2 5 −1 − 2 ∆x = 19 3 − 4 = 97, ∆y = 2 19 − 4 = 291, ∆z = 2 3 19 = −194. 1

2

3

Т а ки м о б р а зо м , x =

1 97 = 1, 97

y=

1

3

291 = 3, 97

5

1 z=

− 194 = −2 . 97

2

1

М е то д Га усса . За пи ше м си сте м у в м а тр и чно й фо р м е , пе р е ста ви в м е ста м и 1 2 3 1    1-е и 3-е ур а вне ни я:  2 3 − 4 19 .  5 −1 2 − 2    В ычте м и з вто р о го ур а вне ни я пе р во е ур а вне ни е , ум но ж е нно е на 2. Из тр е тье го ур а вне ни я вычте м пе р во е ур а вне ни е , ум но ж е нно е на 5. По лучи м : 1 2 3 1     0 − 1 − 10 17 .  0 − 11 − 13 − 7    1 1 2 3  В ычте м и з тр е тье го ур а вне ни я вто р о е , ум но ж е нно е на 11:  0 − 1 − 10 17  0 0 97 − 194   x + 2 y + 3 z = 1,  y + 10 z = −17, М ы по лучи ли си сте м у:   97 z = −194.  Из по сле дне го ур а вне ни я на хо ди м z = -194 / 97= -2. По дста ви м z во вто р о е ур а вне ни е и на йде м y = -17 + 20 = 3. По дста ви в y и z в пе р во е ур а вне ни е , на йде м x = 1 – 6 + 6 = 1.  x = 1,  О тве т:  y = 3,  z = −2.  Пр и м е р 2. На йти пр о и зве де ни е м а тр и ц AB и BA:

  .  

5 3  1  6 0     A =  − 2 0 4 , B =  − 4 4 .  3 −1 6   1 3     Ре ше ни е . 1) Для то го что б ына йти пр о и зве де ни е AB, не о б хо ди м о стр о ки м а тр и цы A ум но ж и тьна сто лб цым а тр и цы B: 5 3  6 0  1     A⋅ B = − 2 0 4  ⋅ − 4 4  =  3 −1 6   1 3      1 ⋅ 0 + 5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3   − 11 29   1 ⋅ 6 + 5 ⋅ (− 4 ) + 3 ⋅ 1     =  − 2 ⋅ 6 + 0 ⋅ (− 4 ) + 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3  =  − 8 12 .  3 ⋅ 6 + (− 1) ⋅ (− 4 ) + 6 ⋅ 1 3 ⋅ 0 + (− 1) ⋅ 4 + 6 ⋅ 3   28 14      6

2) Пр о и зве де ни е BA не сущ е ствуе т, т. к. ко ли че ство сто лб цо в м а тр и цы B не со впа да е тс ко ли че ство м стр о к м а тр и цы A. Пр и м е р 3. На йти о б щ е е р е ше ни е си сте м ыли не йных ур а вне ни й:  2 x + 2 y + z + u + 5v = 6,  4 x + 3 y + 3z − u + 8v = 15,  2 x + y + z + u + 2v = 7.  Ре ше ни е . О б щ е е р е ше ни е си сте м ына йде м м е то до м Га усса , для че го за пи ше м си сте м у в м а тр и чно м ви де :  2 2 1 1 5 6  ΙΙ−2⋅Ι  2 2 1 1 5 6  ΙΙ⋅( −1)  2 2 1 1 5 6  Ι− 2⋅ΙΙ       ↔  0 − 1 1 − 3 − 2 3 ↔  0 1 − 1 3 2 − 3 ↔  4 3 3 − 1 8 15  ΙΙΙ −Ι ΙΙΙ + ΙΙ ΙΙΙ⋅( −1) 2 1 1 1 2 7 0 −1 0 0 − 3 1  0 0 − 1 3 − 1 − 2        2 0 3 − 5 1 12   2 0 0 4 − 2 6 1 0 0 2 −1 3   Ι−3⋅ΙΙΙ   Ι÷2   ↔  0 1 − 1 3 2 − 3  ↔  0 1 0 0 3 − 1 ↔  0 1 0 0 3 − 1. ΙΙ + ΙΙΙ 0 0 1 − 3 1 2  0 0 1 − 3 1 2 0 0 1 − 3 1 2       Ита к, м ыпо лучи ли сле дующ ую си сте м у:  x + 2u − v = 3,   y + 3v = −1, и ли  z − 3u + v = 2, 

 x = 3 − 2u + v,   y = −1 − 3v,  z = 2 + 3u − v . 

В ыб и р а я пр о и зво льно u и v ,м ыпо лучи м б е счи сле нно е м но ж е ство р е ше ни й.  x = 3 − 2u + v,  О тве т:  y = −1 − 3v, - о б щ е е р е ше ни е си сте м ы.  z = 2 + 3u − v 

При м ерны й вари ант к о нтро л ьно й рабо ты № 1 1. Ре ши ть си сте м у ли не йных ур а вне ни й: 1) м е то до м К р а м е р а ; 2) м е то до м  3x + 2 y + 4 z = −5,  Га усса .  2 x − 3 y + z = −7, − 3x + 4 y + 2 z = −1.  2. На йти пр о и зве де ни е м а тр и ц AB и BA: 7

 3  − 4 A= 3   −1

  − 5 0 −1 2  .  , B =  4 3 2 1 −      x + 2 y − 6 z + 2t = 1,  3. На йти о б щ е е р е ше ни е си сте м ы:  2 x + 4 y + z + 3t = −2, − 3 x + 2 y + 6 z − 5t = 3.  0 1 2 4

В ек то рная ал гебра Пр и м е р 4. Да на пи р а м и да ABCD: A( 2; 4;-1 ), B( 3; 2; 0 ), C( 1;-3; 2 ), D( 5;-1; 3 ). На йти : 1) уго л BCD; 2) пло щ а дь гр а ни ABC; 3) о б ъе м пи р а м и ды. Ре ше ни е . 1) На йде м ко о р ди на ты ве кто р о в CB и CD , о б р а зующ и х уго л BCD : a = CB = ( 3 − 1; 2 − (− 3); 0 − 2 ) = ( 2; 5 − 2 ), b = CD = ( 5 − 1; − 1 − (− 3); 3 − 2 ) = ( 4; 2; 1 ). a ⋅b Уго л BCD на йде м по фо р м уле : cos ϕ = , где a ⋅ b -ска ляр но е пр о и зве a ⋅ b де ни е ве кто р о в a и b . Т а ки м о б р а зо м , 2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ 1 8 + 10 − 2 = cos ∠BCD = ≈ 0,65. 2 2 2 2 2 2 4 + 25 + 4 ⋅ 16 + 4 + 1 2 + 5 + (− 2 ) ⋅ 4 + 2 + 1 Сле до ва те льно , ∠BCD = arccos 0,65. 2) Пло щ а дь гр а ни ABC на хо ди м по фо р м уле : 1 S ∆ABC = ⋅ AB × BC , где AB × BC - ве кто р но е пр о и зве де ни е ве кто р о в AB 2 и BC . AB = ( 3 − 2; 2 − 4; 0 − (− 1)) = ( 1; − 2; 1 ). BC = ( 1 − 3; − 3 − 2; 2 − 0 ) = (− 2; − 5; 2 ). i AB × BC = 1

j k −2 1 1 1 1 −2 −2 1 =i⋅ − j⋅ +k⋅ = i − 4 j − 9k . −5 2 −2 2 −2 −5 −2 −5 2

( )

1 1 Сле до ва те льно , S ∆ABC = ⋅ 12 + ( −4) 2 + ( −9) 2 = ⋅ 1 + 16 + 81 ≈ 4,95 е д 2 . 2 2 1 3) О б ъе м пи р а м и ды на хо ди м по фо р м уле : V = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ AD , где 6 AB ⋅ AC ⋅ AD -см е ша нно е пр о и зве де ни е ве кто р о в AB = ( 1; − 2; 1 ), 8

AC = (− 1; − 7; 3 ) и AD = ( 3; − 5; 4 ). 1 −2 1 AB ⋅ AC ⋅ AD = − 1 − 7 3 = −28 − 18 + 5 + 21 − 8 + 15 = −13. ⇒ 3 −5 4

V= −

( )

13 13 3 ед . = 6 6

Пр и м е р 5. Да но : |a |=3; |b |=2; уго л м е ж ду ве кто р а м и a и b р а ве н π/3. На йти уго л ϕ м е ж ду ве кто р а м и 2a − b и a + 3b . Ре ше ни е . 1) На йде м ска ляр но е пр о и зве де ни е (2a − b ; a + 3b ).

(2a − b ; =2 a

2

a + 3b ) = 2a 2 + 6(a ; b ) − (a ; b ) − 3b 2 = 2a 2 + 5(a ; b ) − 3b 2 = 2 π 1 + 5 a ⋅ b ⋅ cos − 3 b = 2 ⋅ 9 + 5 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ − 3 ⋅ 4 = 21. 3 2

2)

2a − b =

(2a − b )

2

=

4a 2 − 4(a ; b ) + b 2 =

4⋅9 − 4⋅3⋅ 2⋅

3)

a + 3b =

(a + 3b )

2

=

a 2 + 6(a ; b ) + 9b 2 =

9 + 6⋅3⋅2⋅

cos ϕ =

1 + 4 = 28. 2

1 + 9 ⋅ 4 = 63. 2

(2a − b ;

21 21 1 a + 3b ) = = = . 2a − b ⋅ a + 3b 28 ⋅ 63 42 2

1 π О тве т: ϕ = arccos = . 2 3

При м ерны й вари ант к о нтро л ьно й рабо ты № 2 1. Да ныве р ши ныпи р а м и ды: A( 2; -3; 5 ); B( 0; 6; -2 ); C( 3; 1; -5 ); D( 2; 1; 1 ). На йти ∠ABC; S∆ABC; Vпи р . 2. До ка за ть, что ве кто р ыa=( 2;-3; 1 ),b=( 3; 2;-4 ) и c=(-1;-5; 3 ) ле ж а тв о дно й пло ско сти (ко м пла на р ны).

А нал и ти ческ ая гео м етри я Пр и м е р 6. Да н тр е уго льни к A( 2; 7 ), B(-5; 7 ), C( 5; 3 ). На йти : 1) ур а вне ни я сто р о н; 2) ур а вне ни е и дли ну м е ди а ныAM; 3) ур а вне ни е и дли ну высо тыBD; 4) ур а вне ни е б и ссе ктр и сыAK; 5) то чку пе р е се че ни я м е ди а ныAM с высо то й BD и уго л м е ж ду ни м и .

9

Ре ше ни е . 1) Ур а вне ни я сто р о н AC и BC на йде м , и спо льзуя ур а вне ни е пр ям о й, пр о хо дящ е й че р е з две то чки : x − x1 y − y1 = . x2 − x1 y2 − y1 x−2 y−7 x−2 y−7 Ур а вне ни е AC : = ; = ; − 4 x + 8 = 3 y − 21. 5−2 3−7 3 −4 Ита к, AC : 4 x + 3 y − 29 = 0. x+5 y−7 = ; 5+5 3−7 Ита к, BC : 2 x + 5 y − 25 = 0. Ур а вне ни е BC :

x+5 y−7 = ; 10 −4

− 2 x − 10 = 5 y − 35.

Ур а вне ни е AB на хо ди тся е щ е пр о щ е . Нуж но то лько за м е ти ть, что вто р а я ко о р ди на та то че к A и B о ди на ко ва и р а вна 7. Сле до ва те льно , ур а вне ни е AB : y = 7 и ли y − 7 = 0. 2) На йде м то чку M – се р е ди ну сто р о ны BC: x +x y +y C = − 5 + 5 = 0, C = 7 + 3 = 5. x = B y = B M M 2 2 2 2 Со ста ви м ур а вне ни е м е ди а ны AM :

x−2 y−7 = ; 0−2 5−7

x−2 y−7 = . −2 −2

Ита к, AM : x − y + 5 = 0. Дли ну м е ди а ны на йде м ка к р а ссто яни е м е ж ду двум я то чка м и : AM =

(x A − xM )2 + (y A − yM )2 =

2 2 + 2 2 = 8 = 2 2 (е д.).

3) О пр е де ли м угло во й ко эффи ци е нт сто р о ны AC. Для это го ур а вне ни е 4 29 4 AC за пи ше м в ви де y = − x + . Сле до ва те льно , k AC = − . 3 3 3 1 3 k BD = − = (усло ви е пе р пе нди куляр но сти пр ям ых BD и AC). k AC 4 Со ста ви м ур а вне ни е высо ты BD, и спо льзуя ур а вне ни е пр ям о й, пр о хо дящ е й че р е з за да нную то чку B и с угло вым ко эффи ци е нто м k: y – y0 = k⋅( x - x0 ). 3 Т о е сть, y − 7 = ⋅ ( x + 5 ), и ли 4 y − 28 = 3x + 15. BD : 3 x − 4 y + 43 = 0. 4

10

Дли ну высо ты BD на йде м ка к р а ссто яни е то чки B до пр ям о й AC по ax0 + by0 + c фо р м уле : d = , где ax+by+c=0 – о б щ е е ур а вне ни е пр ям о й AC, а a2 + b2 (x0; y0) – ко о р ди на тыто чки B. Ита к, − 20 + 21 − 29 4 ⋅ (− 5) + 3 ⋅ 7 − 29 28 BD = = = (е д.). 5 25 4 2 + 32 4) На йде м о сно ва ни е б и ссе ктр и сы(то чку K), и спо льзуя то , что то чка K де ли т о тр е зо к BC на ча сти , пр о по р ци о на льные пр и ле ж а щ и м сто р о на м тр е уго льни ка : BK AB 2 2 2 2 = , где AB = (− 5 − 2 ) + ( 7 − 7 ) = 7, AC = ( 5 − 2 ) + ( 3 − 7 ) = 5 . KC AC Сле до ва те льно ,

BK 7 =λ = . KC 5

Для на хо ж де ни я ко о р ди на тто чки K и спо льзуе м фо р м улыде ле ни я о тр е зка в да нно м о тно ше ни и : 7 x B + λ ⋅ xC − 5 + 5 ⋅ 5 − 25 + 35 10 5 xK = = = = . = 7 + 1+ λ 5 7 12 6 1+ 5 7 y B + λ ⋅ yC 7 + ⋅ 3 35 + 21 56 28 5 = yK = = = = . 7 1+ λ + 5 7 12 6 1+ 5 Со ста ви м ур а вне ни е AK, и спо льзуя ко о р ди на тыто че к A и K: x−2 y−7 x−2 y−7 x−2 y−7 ; ; = = = . 5 28 5 12 28 42 − − − 7 14 − −2 −7 6 6 2 ⋅ ( x − 2 ) = y − 7; 2 x − 4 = y − 7. Ита к, AK: 2 x − y + 3 = 0. 5) На йде м то чку О пе р е се че ни я м е ди а ны AM с высо то й BD, р е ши в си сте м у:  x − y + 5 = 0, − 3x + 3 y − 15 = 0, − y + 28 = 0, y0 = 28, x − 28 + 5 = 0, x0 = 23 .   3 x − 4 y + 43 = 0 , 3 x − 4 y + 43 = 0 ,   Ита к, то чка O и м е е тко о р ди на ты: O( 23; 28 ). Для на хо ж де ни я угла м е ж ду пр ям ым и ли ни ям и BD и AM во спо льзуе м ся фо р м уло й: k −k 3 tgϕ = 2 1 , где k = k BD = , 1 1 + k1 ⋅ k 2 4 k 2 = k AM = 1 (т. к. А М и м е е т ур а вне ни е y = x + 5). 3 4 = Ита к, tgϕ = 3 1 + ⋅1 4 1−

1 4 = 1, 7 7 4

1 ϕ = arctg . 7

11

Пр и м е р 7. На йти ко о р ди на тыфо кусо в и эксце нтр и си те тэлли пса : 4x2+9y2=1. Ре ше ни е . В ка но ни че ско м ви де ур а вне ни е элли пса выгляди тсле дующ и м о б р а x2 y2 зо м : + = 1. Из это го ур а вне ни я ви дно , что б о льша я по луо сь элли пса р а вна 1 1 4 9 1 1 1 1 a= = , а м а ла я по луо сь р а вна b = = . Ра ссто яни е о тце нтр а элли пса до 4 2 9 3 1 1 5 − = . Та ки м о б р а зо м , е го фо кусо в на хо ди м по фо р м уле : c = a 2 − b 2 = 4 9 6   5  5  фо кусыэлли пса и м е ютко о р ди на ты: F1 =  − ; 0 , F2 =  ; 0 . 6 6     Э ксце нтр и си те тэлли пса на йде м по фо р м уле : ε =

c 5 2 5 = ⋅ = ≈ 0,75. a 6 1 3

При м ерны й вари ант к о нтро л ьно й рабо ты № 3 1. Да н тр е уго льни к A( 1; 2 ), B( 4; 6 ), C( 0; 2 ). На йти : 1) ур а вне ни я сто р о н; 2) ур а вне ни е и дли ну м е ди а ны AM; 3) ур а вне ни е и дли ну высо ты BD; 4) ур а вне ни е б и ссе ктр и сы AK; 5) то чку пе р е се че ни я м е ди а ны AM с высо то й BD и уго л м е ж ду ни м и . 2. На йти ко о р ди на тыфо куса и ур а вне ни е ди р е ктр и сыпа р а б о лы y = 2x2+ 6x-5.

Матем ати ческ и й анал и з Предел функ ци и 4 x 2 + 3x − 8 Пр и м е р 8. На йти пр е де л lim . x→∞ 2 x 2 + x 4 + 3x

∞ Ре ше ни е . Для р а скр ыти я не о пр е де ле нно сти ви да   р а зде ли м чи сли те ль ∞ и зна м е на те ль др о б и на ста р шую сте пе нь x (т.е . на x2). По лучи м : 3 8 3 8 4+ − 4+ − 2 x x2 x x2 4 x + 3x − 8 4 ∞ =   = lim = lim = , lim x→∞ 2 x 2 + x 4 + 3 x  ∞  x→∞ 3 x 4 + 3x x→∞ 2 + 1 + 3 2+ x3 x4 3 8 3 та к ка к пр и x → ∞ выр а ж е ни я , и стр е м ятся к нулю. 2 x x x3

12

x3 − 8 Пр и м е р 9. На йти пр е де л lim . x→2 x 2 + 6 x − 4 Ре ше ни е . Пр и по дста но вке вм е сто x чи сла 2 м ы по луча е м не о пр е де ле н0 но сть ви да   . Для р а скр ыти я это й не о пр е де ле нно сти сна ча ла и зб а ви м ся о т 0 и р р а ци о на льно сти в зна м е на те ле др о б и , а за те м р а зло ж и м выр а ж е ни я, стр е м ящ и е ся к нулю, на м но ж и те ли : x 3 − 8 ⋅  x 2 + 6 x + 4  3 x −8 0   = =   = lim lim x→2 x 2 + 6 x − 4  0  x→2  x 2 + 6 x − 4  ⋅  x 2 + 6 x + 4          (x − 2 ) ⋅ x 2 + 2 x + 4 ⋅  x 2 + 6 x + 4  x 3 − 8 ⋅  x 2 + 6 x + 4   =  = = lim lim 2 (x − 2 ) ⋅ (x + 8 ) x→2 x→2 x + 6 x − 16 x 2 + 2 x + 4 ⋅  x 2 + 6 x + 4    = 12 ⋅ 8 = 48 = 9,6. = lim 10 5 (x + 8 ) x→2

)

(

(

)

(

(

)

)

Пр и м е р 10. На йти пр е де л

cos 2 x

. lim 2 x→π  π 2  − x  2 

0 Ре ше ни е . М ы и м е е м де ло с не о пр е де ле нно стью ви да   . 0 π π Пр о и зве де м за м е ну x − = t , то гда x = t + и t → 0. 2 2  π cos 2  t +  2 2 cos x sin 2 t 2 0  sin t   = = = lim = lim   = 1, lim 2  0  tlim 2 2 t → 0 t → 0 t → 0   x→π  π t − t ( ) 2  − x  2  sin t та к ка к lim = 1 (пе р вый за м е ча те льный пр е де л). t →0 t

Про и зво дная функ ци и Пр о и зво дно й функци и y = f (x) в то чке x на зыва е тся пр е де л о тно ше ни я пр и р а щ е ни я функци и к пр и р а щ е ни ю а р гум е нта , ко гда пр и р а щ е ни е а р гум е нта стр е м и тся к нулю: f ′( x ) = lim ∆x→0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) . ∆x 13

Табл и ца про и зво дны х:

( x )′ = 2 1 x .

′ 1. (x n ) = n ⋅ x n−1.

1′ .

′ 2. (a x ) = a x ⋅ ln a.

′ 2′. (e x ) = e x .

′ 3. (log a x ) =

′ 1 3′. (ln x ) = . x

1 . x ⋅ ln a

′ 4. (sin x ) = cos x.

′ 5. (cos x ) = − sin x.

′ 6. (tgx ) =

′ 7. (ctgx ) = −

1 . cos 2 x

′ 8. (arcsin x ) = ′ 10. (arctgx ) =

1 1 − x2 1

1 + x2

.

.

1 . sin 2 x

′ 9. (arccos x ) = − ′ 11. (arcctgx ) = −

1 1 − x2 1 1 + x2

.

.

О сно вны е прави л а ди фференци ро вани я :

1. 2. 3.

(c ⋅ f (x ))′ = c ⋅ f ′(x ). (u(x ) ± v(x ))′ = u′(x ) ± v′(x ). (u (x ) ⋅ v(x ))′ = u′(x ) ⋅ v(x ) + u(x ) ⋅ v′(x ).

′  u (x )  u ′(x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) 4.  .  =  v( x )  v 2 (x ) ′ 5. ( f (ϕ ( x ))) = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ), где u = ϕ ( x ).

cos x 2 Пр и м е р 11. На йти пр о и зво дную функци и y = . arctg 4 x + e x

Ре ше ни е .

′ ′ ( cos x 2 ) ⋅ (arctg 4 x + e x ) − (arctg 4 x + e x ) ⋅ cos x 2 y′ = =

(arctg 4 x + e x )2

14

=

(− sin x 2 )⋅ (x 2 )′ ⋅ (arctg 4x + e x ) −  (arctg 4x )′ + (e x )′  ⋅ cos x 2 (arctg 4 x + e x )2

.

  1 − sin x 2 ⋅ 2 x ⋅ (arctg 4 x + e x ) −  ⋅ 4 + e x  ⋅ cos x 2 2  1 + (4 x )  О тве т: y ′( x ) = . 2 (arctg 4 x + e x ) Пр и м е р 12. На йти пр о и зво дную y′(x) не явно й функци и : xy 2 + sin ( x + y ) − 3 x = 0. Ре ше ни е . Пр о ди ффе р е нци р уе м да нно е р а ве нство по x: 1 ⋅ y 2 + x ⋅ 2 y ⋅ y ′ + cos( x + y ) ⋅ (1 + y ′) − 3 x ⋅ ln 3 = 0.

Ра скр о е м ско б ки : y 2 + 2 xy ⋅ y ′ + cos( x + y ) + y ′ ⋅ cos( x + y ) − 3 x ⋅ ln 3 = 0.

y ′ ⋅ (2 xy + cos( x + y )) = 3 x ⋅ ln 3 − y 2 − cos( x + y ). О тве т:

y′ =

3 x ⋅ ln 3 − y 2 − cos( x + y ) . (2 xy + cos(x + y ))

Пр и м е р 13. На йти пр о и зво дную функци и y = (arcsin x ) . Ре ше ни е . Л о га р и фм и р уя да нно е р а ве нство , по лучи м не явную функци ю: ( ctg 2 x )

ln y = ctg 2 x ⋅ ln(arcsin x ).

Ди ффе р е нци р уе м да нно е р а ве нство по x и на хо ди м y′(x): 1 1 1 1 ⋅ y ′ = − 2 ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x. y sin 2 x arcsin x 1 − x 2

  1 1 1 . ⇒ y ′ = y ⋅  − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin + ⋅ ⋅ ctg 2 x x 2 arcsin x 1 − x 2  sin 2 x  О тве т: y ′ = (arcsin x )

ctg 2 x

  1 1 1 . ⋅  − ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x 2 2 sin 2 x arcsin x 1− x   15

Пр и м е р 14. На йти пр о и зво дную y′(x) функци и , за да нно й па р а м е тр и че ски :  y = 8 ⋅ sin 3 t ,  3  x = 4 ⋅ cos t.

′ y ′(t ) (8 ⋅ sin 3 t ) t 8 ⋅ 3 ⋅ sin 2 t ⋅ cos t 2 ⋅ sin t = Ре ше ни е . y ′( x ) = = =− = −2 ⋅ tgt. 2 x′(t ) (4 ⋅ cos 3 t )′t 4 ⋅ 3 ⋅ cos t ⋅ (− sin t ) cos t  y ′( x ) = −2 ⋅ tgt , О тве т:  3  x = 4 ⋅ cos t. Пр и м е р 15. В ычи сли ть

4

16,6 пр и б ли ж е нно , с по м о щ ью ди ффе р е нци а ла .

Ре ше ни е . Ра ссм о тр и м функци ю y = 4 x . Пусть x0 = 16,

x1 = 16,6.

y0 = y ( x0 ) = 16 = 2. 4

Т о гда ∆x = x1 - x0 = 16,6 − 16 = 0,6. 3

1 − y ′( x0 ) = ⋅ x 4 4

= x =16

1

( )

4 ⋅ 4 16

3

=

1 1 = . 4 ⋅ 8 32

Для на хо ж де ни я y1 = 4 x1 = 4 16,6 во спо льзуе м ся фо р м уло й: y1 ≈ y0 + dy( x0 ), где dy( x0 ) = y ′( x0 ) ⋅ ∆x - ди ффе р е нци а л функци и . Т а ки м о б р а зо м ,

4

16,6 ≈ 2 +

1 ⋅ 0,6 ≈ 2 + 0,019 = 2,019. 32

При м ерны й вари ант к о нтро л ьно й рабо ты № 4 На йти пр е де л функци и :

На йти пр о и зво дную y′(x):

3x 2 + 4 x 4 + 1 , x →∞ 5 x 2 + 3 x − 1 x 2 − 12 − 2 2. lim , x→4 3x + 4 − x sin 3x 3. lim , x →π sin 5 x

1. lim

1.

y = (arccos 4 x − tg 2 2 x ) ⋅ e - x ,

2.

y = (ctg 3 x ) ,

3. в)

3x

x - y + lg

x = 0, y

 y = arcctg t , 4. г)   x = lg(1 + t ). 5. В ычи сли ть пр и б ли ж е нно , с по м о щ ью ди ффе р е нци а ла : 3 27,34 .

4. lim (x − 1) x−2 . 1

x →2

За да нную р а б о ту выста вляе тся две о це нки : о дна по пр е де ла м , др уга я по пр о и зво дным . 16

Про грам м а2-го сем естра 1. По няти е м о но то нно сти функци и . До ста то чные усло ви я во зр а ста ни я и уб ыва ни я функци и . 2. По няти е экстр е м ум а функци и . Не о б хо ди м о е усло ви е экстр е м ум а . 3. До ста то чные усло ви я экстр е м ум а . 4. В ыпукло сть, во гнуто сть гр а фи ка функци и . Т о чки пе р е ги б а . 5. До ста то чные усло ви я выпукло сти , во гнуто сти . Не о б хо ди м о е и до ста то чно е усло ви я пе р е ги б а . 6. А си м пто тыпло ско й кр и во й. На хо ж де ни е ве р ти ка льных, го р и зо нта льныхи на кло нных а си м пто т. 7. По лно е и ссле до ва ни е функци и и по стр о е ни е е е гр а фи ка . 8. Пе р во о б р а зна я функци и . Т е о р е м а о б о б щ е м ви де все хпе р во о б р а зных. По няти е не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 9. Сво йства не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . “Не б е р ущ и е ся” и нте гр а лы. 10. Т а б ли ца и нте гр а ло в. 11. Пр о сте йши е пр и е м ыи нте гр и р о ва ни я. По две де ни е м но ж и те ля по д зна к ди ффе р е нци а ла . 12. За м е на пе р е м е нно й в не о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 13. Инте гр и р о ва ни е по ча стям в не о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 14. Инте гр и р о ва ни е выр а ж е ни й, со де р ж а щ и хква др а тный тр е хчле н в зна м е на те ле . 15. Инте гр и р о ва ни е тр и го но м е тр и че ски х функци й. 16. За да ча о пло щ а ди кр и во ли не йно й тр а пе ци и . 17. О пр е де ле ни е о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 18. О сно вные сво йства о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 19. Связь о пр е де ле нно го и нте гр а ла с не о пр е де ле нным , фо р м ула Ньюто на Л е йб ни ца . 20. За м е на пе р е м е нно й в о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 21. Инте гр и р о ва ни е по ча стям в о пр е де ле нно м и нте гр а ле . 22. В ычи сле ни е пло щ а де й с по м о щ ью о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 23. В ычи сле ни е дли ныдуги пло ско й кр и во й. Ди ффе р е нци а л дуги . 24. В ычи сле ни е о б ъе м а те ла с и зве стным по пе р е чным се че ни е м . 25. О б ъе м те ла вр а щ е ни я. 26. Не со б стве нные и нте гр а лыпе р во го р о да . 27. Не со б стве нные и нте гр а лывто р о го р о да . 28. О пр е де ле ни е функци и не ско льки х пе р е м е нных, е е ге о м е тр и че ски й см ысл. 29. О б ла сть о пр е де ле ни я функци и не ско льки хпе р е м е нных. 30. Л и ни и ур о вня функци и двух пе р е м е нных, и х ге о м е тр и че ски й см ысл. 31. Ч а стные пр о и зво дные пе р во го по р ядка . 32. Пр о и зво дна я по на пр а вле ни ю и гр а ди е нтфункци и не ско льки хпе р е м е нных, и х ге о м е тр и че ски й см ысл. 33. Ди ффе р е нци а л функци и не ско льки х пе р е м е нных и е го пр и м е не ни е к пр и б ли ж е нным вычи сле ни ям . 34. Ч а стные пр о и зво дные высши х по р ядко в. 35. Э кстр е м ум функци и не ско льки х пе р е м е нных. Не о б хо ди м о е усло ви е экстр е м ум а. 36. До ста то чно е усло ви е экстр е м ум а функци и двух пе р е м е нных. 17

37. Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я. О пр е де ле ни е по р ядка ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я, р е ше ни я, о б щ е го р е ше ни я и ча стно го р е ше ни я. 38. За да ча Ко ши . 39. Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . Ур а вне ни я с р а зде ляющ и м и ся пе р е м е нным и . 40. О дно р о дные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . 41. Л и не йные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я пе р во го по р ядка . 42. Пр о сте йши е случа и по ни ж е ни я по р ядка ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я. 43. Л и не йные ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я вто р о го по р ядка с по сто янным и ко эффи ци е нта м и .

По л но е и ссл едо вани е функ ци и и по стро ени е графи к а С хем ао бщ его и ссл едо вани я функ ци и : 1. На йти о б ла стьо пр е де ле ни я функци и D( y ) . 2. На йти о б ла сть зна че ни й функци и E ( y ) (е сли это во зм о ж но ), то чки пе р е се че ни я гр а фи ка функци и с о сям и ко о р ди на т, уча стки зна ко по сто янства . 3. О пр е де ли ть че тно сть и ли не че тно сть функци и . 4. О пр е де ли тьпе р и о ди чно сть функци и . 5. На йти ве р ти ка льные , на кло нные и ли го р и зо нта льные а си м пто ты. 6. На йти кр и ти че ски е то чки пе р во го р о да . 7. На йти кр и ти че ски е то чки вто р о го р о да . 8. За по лни ть та б ли цу и ссле до ва ни я. 9. По р е зульта та м и ссле до ва ни я по стр о и ть гр а фи к функци и . Пр и м е р 16. Пр о ве сти по лно е и ссле до ва ни е и по стр о и ть гр а фи к функци и x2 − 3 . y= x−2 Ре ше ни е . 1. О б ла сть о пр е де ле ни я D ( y ) = (− ∞; 2 ) ∪ ( 2; + ∞ ). 2. Пусть x = 0, то гда y = 1,5. Пусть y = 0, то гда x = ± 3 . То е сть то чки ( 0; 3/2 ) и ( ± 3 ; 0 ) – являются то чка м и пе р е се че ни я гр а фи ка функци и с о сям и ко о р ди на т. Е сли x ∈ − ∞; − 3 ∪ 3; 2 , то y(x) < 0.

(

(

)

) (

)

Е сли x ∈ − 3; 3 ∪ ( 2; + ∞ ), то y(x) > 0. 3. Ф ункци я о б щ е го ви да , т. е . не являе тся ни че тно й, ни не че тно й. Де йстви те ль2 ( − x) − 3 x2 − 3 но , y (− x ) = =− . То е сть y(-x) ≠ y(x) и y(-x)≠ - y(x). −x−2 x+2 4. Ф ункци я не являе тся пе р и о ди че ско й, та к ка к о на и м е е тто лько о дну то чку р а зр ыва . 5. а ) На йде м ве р ти ка льные а си м пто тыгр а фи ка функци и . В е р ти ка льные а си м пто тыб ыва ютто лько в то чка хр а зр ыва вто р о го р о да . В на ше м случа е по до зр и те льно й являе тся то чка x = 2. На йде м о дно сто р о нни е пр е де лы:

18

x2 − 3  + 1  x2 − 3  + 1  = = ( − ∞ ) , lim =   = (+ ∞ ). x →2 − 0 x − 2 x →2 + 0 x − 2 −0 + 0 Сле до ва те льно , пр ям а я ли ни я x = 2 – являе тся ве р ти ка льно й а си м пто то й. Б) Ур а вне ни я на кло нных(го р и зо нта льных) а си м пто тгр а фи ка функци и б уде м и ска ть в ви де : y=kx+b, где k и b о пр е де ляются по фо р м ула м : y(x ) , b1, 2 = lim ( y( x ) − k ⋅ x ). Если x→+∞ м ына хо ди м пр а вую а си м k1, 2 = lim x→±∞ x→±∞ x пто ту, а е сли x→-∞ - ле вую. Пр и k = 0 и b ≠ ∞ м ы по луча е м го р и зо нта льную а си м пто ту, пр и k ≠ 0 – на кло нную, а пр и k=∞ и ли b=∞ (и ли не сущ е ствуют) – а си м пто та о тсутствуе т. В на ше м случа е 3 1− 2 2 x −3 x −3 ∞ x 2 = 1, = lim 2 =   = lim k1, 2 = k = lim x →∞ ( x − 2 ) ⋅ x x →∞ x − 2 x  ∞  x →∞ 1 − 2 x 3 2− 2 2 2 x −3  2x − 3  ∞  x − 3 − x + 2x x = 2. − 1 ⋅ x  = lim = lim =   = lim b = lim x →∞ x − 2 x →∞ x →∞ x − 2 x →∞ 2 − ∞ 2 x     1− x Т а ки м о б р а зо м , пр ям а я y = x + 2 – являе тся на кло нно й а си м пто то й. 6. На йде м пе р вую пр о и зво дную функци и : ′  x 2 − 3  2 x ⋅ (x − 2 ) − (x 2 − 3) 2 x 2 − 4 x − x 2 + 3 x 2 − 4 x + 3  = y ′ =  . = = (x − 2 )2 (x − 2 )2 (x − 2 )2  x−2  1− 3 9−3 y ′ = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 3. y( x1 ) = = 2, y ( x2 ) = = 6. 1− 2 3−2 Ита к, кр и ти че ски м и то чка м и 1-го р о да являются то чки x = 1 и x = 3. То чка x=2 кр и ти че ско й не являе тся, т. к. о на не пр и на дле ж и то б ла сти о пр е де ле ни я функци и . 7. На йде м вто р ую пр о и зво дную функци и : ′  x 2 − 4 x + 3  (2 x − 4 ) ⋅ ( x − 2 )2 − 2 ⋅ ( x − 2 ) ⋅ (x 2 − 4 x + 3)  = y ′′ =  = 2 4 ( ) ( ) − x − 2 x 2   (2 x − 4 ) ⋅ (x − 2 ) − 2(x 2 − 4 x + 3) = 2 x 2 − 8 x + 8 − 2 x 2 + 8 x − 3 = 2 ≠ 0. = (x − 2)3 (x − 2 )3 (x − 2)3 lim

Кр и ти че ски х то че к вто р о го р о да функци я не и м е е т. 8. Со ста ви м та б ли цу и ссле до ва ни я функци и : x y′(x) y″(x) y(x)

1 ( 1; 2 ) (-∞; 1 ) + 0 В о зр а ста е т, Max Уб ыва е т, выпукла я. y=2. выпукла я.

2 Не сущ . Не сущ . Не сущ .

19

( 2; 3 ) 3 ( 3; ∞) 0 + + + + Уб ыва е т, Min В о зр а ста е т, во гнута я. y=6. во гнута я.

9. Пр стр о и м гр а фи к функци и :

Ри с. 1.

Д о м ашня я к о нтро л ьная рабо та№ 5. Пр о ве сти по лно е и ссле до ва ни е и по стр о и ть гр а фи к сле дующ и хфункци й: 1. a) y =

9 , 2 x −9

b) y = e 2 x − x . 2

2. a) y = x ⋅ ln x, 3. a ) y =

b) y =

x , x−4

b) y = ln(1 + x 2 ).

1

4. a ) y = e x ,

5. a) y = x ⋅ e

b) y =

−

x2 2

,

2x . 2 − x2

4x . 4 + x2

b) y = x 2 +

1 . x2

20

6. a) y =

x2 + 1 , x2 − 1

b) y = x ⋅ e − x .

7. a) y =

1 , x + 2x

b) y = x ⋅ e 2 x−1 .

8. a) y =

x2 − 1 , x2 + 2

b) y = ln( x 2 + 2 x + 2).

9. a) y =

1 − 2x , x −x−2

b) y = ( x + 4) ⋅ e 2 x .

3x , 2x 2 − 1

b) y =

10. a ) y =

2

2

2

x3 − 4 11. a ) y = , 4x2 12. a) y =

ex . x

b) y = x 3 ⋅ e − x .

2 , x + x +1 2

b) y = x − ln x.

 x + 1 13. a) y =   ,  x − 1

b) y = x 2 ⋅ ln x.

14. a ) y = x − ln x,

b) y =

2

15. a) y = e

1 x+2

,

x . (x − 1)2

3x 2 . b) y = 1 + 2x 2 x 3 + 16 . x

16. a) y = ln (2 x 2 + 3),

b) y =

1 17. a) y = x , e −1

4x3 + 5 b) y = . x

2 18. a ) y = x 2 + , x

b) y = x ⋅ e − x .

21

19. a) y =

x 3 + , 3 x

b) y = ( x − 2 ) ⋅ e 3− x .

20. a) y =

8 , x −4

b) y = ln

21. a) y =

2x , x −9

b) y =

22. a ) y =

2x − 1 , (x − 1)2

b) y = ln (x 2 − 4 ).

23. a ) y =

8 , 9 + x2

b) y = x 2 ⋅ e − x .

24. a) y =

4 , 3 + 2x − x 2

b) y = ln

2

2

x 3 − 32 25. a ) y = , x2

1+ x . 1− x

ln x . x

x . x −1

e 2 ( x +1) b) y = . x +1

26. a ) y =

x , 3 − 2x2

b ) y = x ⋅ e −3 x .

27. a) y =

4 , 4 − x2

b) y = x ⋅ e x .

x2 + 1 28. a) y = 2 , x −2

1 29. a ) y = 2 , x − 2x

30. a) y =

3x , x −4 2

b) y = ln (x 2 + 2 x − 2).

b) y = e

1 x −3

.

b) y = ln (x 2 + 5 ).

22

Нео предел енны й и нтеграл Табл и ца и нтеграл о в: x n +1 + C (n ≠ −1), n +1 ax 3. ∫ a x ⋅ dx = + C, ln a 5. ∫ sin x ⋅ dx = − cos x + C , dx 7. ∫ = tgx + C , cos 2 x dx x 9. ∫ = arcsin + C , a a2 − x2 dx 1 a+x 11. ∫ 2 = ⋅ ln + C, 2 a −x 2a a−x 1. ∫ x n ⋅ dx =

2.

∫

dx = ln x + C , x

4. ∫ e x ⋅ dx = e x + C , 6. ∫ cos x ⋅ dx = sin x + C , dx 8. ∫ 2 = −ctgx + C , sin x dx 1 x 10. ∫ 2 = ⋅ arctg + C , 2 a +x a a dx 12. ∫ 2 = ln x + x 2 + a + C. x +a

С во йства нео предел енно го и нтеграл а: 1. 2.

∫α ⋅ f (x )dx = α ⋅ ∫ f (x )dx, ∫ ( f (x ) ± ϕ (x )) ⋅ dx = ∫ f (x )dx ± ∫ ϕ (x )dx. Ф о рм ул а и нтегри ро вани я по частя м :

∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du. x3 ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx. Ре ше ни е . Ум но ж и м и р а зде ли м по дынте гр а льную функци ю на 4 и вне се м м но ж и те ль 4x3 по д зна к ди ффе р е нци а ла : x3 1 4x3 1 dx 4 ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx = 4 ⋅ ∫ cos 2 x 4 ⋅ dx = 4 ⋅ ∫ cos 2 x 4 = Пр и м е р 17. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л

=

1 dt 1 1 ⋅∫ = ⋅ tgt + C = ⋅ tgx 4 + C. 2 4 cos t 4 4 x +1 ⋅ dx. x +4 x + 4 = t . Т о гда

Пр и м е р 18. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л Ре ше ни е . Пр о и зве де м за м е ну пе р е м е нно й

23

∫

∫

x +4=t (t − 4 )2 + 1 ⋅ 2 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt = x +1 2 ⋅ dx = x = (t − 4 ) =∫ t x+4 dx = 2 ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt

− 4t + 17 ) ⋅ (t − 4 ) ⋅ dt t 3 − 4t 2 + 17t − 4t 2 + 16t − 20 = 2⋅∫ ⋅ dt = t t t 3 − 8t 2 + 33t − 20 20   = 2⋅∫ ⋅ dt = 2 ∫  t 2 − 8t + 33 −  ⋅ dt = 2 ⋅ ∫ t 2 ⋅ dt − t t   3 2 dt 2t 16t − 16 ⋅ ∫ t ⋅ dt + 66 ⋅ ∫ dt − 40 ⋅ ∫ = − + 66t − 40 ⋅ ln t + C = 3 2 t 2 ⋅ x + 4 3 16 ⋅ x + 4 2 = − + 66 ⋅ x + 4 − 40 ln x + 4 + C = 3 2 3  2  = ⋅  x 2 + 3 x ⋅ 4 + 3 x ⋅ 16 + 64  + 8 ⋅ x + 8 x + 16 + 66 x + 264 − 3   3 2 − 40 ln x + 4 + C = ⋅ x 2 + 16 x + 138 x − 40 ln x + 4 + C1 , 3 = 2⋅∫

(t

2

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

)

)

(

3

2 О тве т: ⋅ x 2 + 16 x + 138 x − 40 ln 3

(

)

)

x +4 +C.

Пр и м е р 19. На йти не о пр е де ле нный и нте гр а л ∫ x ⋅ e 3 x dx . Ре ше ни е . В о спо льзуе м ся фо р м уло й и нте гр и р о ва ни я по ча стям . Для это го о б о зна чи м x че р е з u, а e2xdx че р е з dv:

∫x⋅e

u=x

dv = e 3 x dx

3x

dx =

=

x ⋅ e3 x 1 e3x − ⋅ + C. 3 3 3

3x

1 e du = dx v = ∫ e 3 x dx = ⋅ ∫ e 3 x d (3 x ) = 3 3

x ⋅ e3x 1 = − ⋅ ∫ e 3 x dx = 3 3

О предел енны й и нтеграл 0

Пр и м е р 20. В ычи сли ть о пр е де ле нный и нте гр а л:

24

∫ −4

x ⋅ dx . 1 − 2x

1 − 2x = t 0

Ре ше ни е .

∫

−4

1− t2 1 x= , dx = − dt x ⋅ dx 1− t2 1 31− t2 dt = = − ⋅ = ⋅ dt = 2 ∫3 2t 2 ∫1 t 1 − 2x x = −4 ⇒ t = 9 = 3 x = 0 ⇒ t = 1 =1

 1  1  3 dt 3 = ⋅  ∫ − ∫ t ⋅ dt  = ⋅  ln t 2 1 t 1  2 

3 1

t2 − 2

3

1

 1  = ln 3 − 0 − 9 + 1 = ln 3 − 2.  2 4 4 

Пр и м е р 21. В ычи сли ть о пр е де ле нный и нте гр а л:

π 4

∫0 x ⋅ sin 3x ⋅ dx .

π 4

u = x dv = sin 3xdx π 1 Ре ше ни е . ∫ x ⋅ sin 3 x ⋅ dx = = − ( x ⋅ cos 3x ) 04 + 1 3 du = dx v = − cos 3x 0 3 +

π 4

π π 1 3π 1 2π 1 3π 2π 2 4 = xdx = − + + x + sin −0= + cos 3 cos 0 sin 3 . ∫ 0 30 12 4 9 24 9 4 24 18

Пр и м е р 22. В ычи сли ть пло щ а дь зе м е льно го уча стка , о гр а ни че нно го ли ни ям и : y = −3 x 2 − 5 x + 8, y = x − 1, x = −2. Ре ше ни е . По стр о и м да нные ли ни и в де ка р то во й си сте м е ко о р ди на т:

Ри с. 2.

25

Зе м е льный уча сто к и зо б р а ж е н за штр и хо ва нным . На йде м то чку А пе р е се че ни я па р а б о лыс пр ям о й y = x - 1. Для это го р е ши м си сте м у:  y = −3 x 2 − 5 x + 8,   y = x − 1. x − 1 = −3x 2 − 5 x + 8. ⇒ 3x 2 + 6 x − 9 = 0. ⇒ x 2 + 2 x − 3 = 0. ⇒ x1 = −3, Т а ки м о б р а зо м , x B = −3, x A = 1. Иско м ую пло щ а дь на йде м по фо р м уле :

x2 = 1.

b

S = ∫ ( f 2 ( x ) − f1 (x )) ⋅ dx. a

S=

∫ (− 3x −2 1

2

− 5 x + 8 − ( x − 1)) ⋅ dx =

 3x 3 6 x 2  =  − − + 9 x  2  3 

1

∫ (− 3x −2 1

2

− 6 x + 9 ) ⋅ dx =

= (− x − 3x + 9 x ) 3

1

2

−2

= −1 − 3 + 9 − (8 − 12 − 18) = 27(ед 2 ).

−2

При м ерны й вари ант к о нтро л ьно й рабо ты № 6 1. На йти и нте гр а л: arccos 2 xdx а) ∫ , 1 − x2

∫

(x + 1 )dx,

в) ∫ x sin 2 xdx, x −1 e 4 (x − 2 )dx, г) ∫ x ⋅ ln x ⋅ dx, д) ∫ е ) ∫ cos 3 x ⋅ sin 2 xdx. x +5 1 1 2. С по м о щ ью о пр е де ле нно го и нте гр а ла вычи сли ть пло щ а дь зе м е льно го уча  y = x 2 + 8 x − 7, стка , о гр а ни че нно го ли ни ям и :   y = x + 1. б)

Ф унк ци и неск о л ьк и х перем енны х Пр и м е р 23. На йти о б ла сть о пр е де ле ни я функци и z = x − y + ln ( xy ). Ре ше ни е . Иско м а я о б ла сть о пр е де ле ни я являе тся м но ж е ство м то че к на пло ско x − y ≥ 0 сти XOY, удо вле тво р яющ и х си сте м е не р а ве нств:  . Не р а ве нства x ⋅ y > 0  x − y ≥ 0 и x ⋅ y > 0 м е няютсво й зна к на пр о ти во по ло ж ный (со о тве тстве нно ) пр и пе р е се че ни и сле дующ и х ли ни й: x = y и x = 0, y = 0. Э ти ли ни и р а зб и ва ют пло ско сть XOY на 6 о б ла сте й. По сле до ва те льно по дста вляя пр о и зво льные то чx − y ≥ 0 ки , и з ка ж до й о б ла сти в си сте м у  , уб е ж да е м ся в то м , что о б ъе ди не ни е x ⋅ y > 0 26

о б ла сте й (1) и (4) являе тся о б ла стью о пр е де ле ни я и схо дно й функци и . Пр и че м пр ям а я x = y, за и сключе ни е м то чки ( 0; 0 ), вхо ди тв о б ла сть о пр е де ле ни я, а пр ям ые x = 0, и y = 0 – не т(см . Ри с. 3).

Ри с. 3. x πx + y ⋅ sin + 3 4 y в то чке y 4 М ( 4; 2 ) и пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l = ( 8;−6 ). Ре ше ни е . На йде м ча стные пр о и зво дные Пр и м е р 24. На йти гр а ди е нт функци и z = 3 ln

πx π 3 πy πx ′ 3y 1 1 zx = ⋅ ⋅ + y ⋅ cos ⋅ + 0 = + ⋅ cos , 4 4 2x 4 4 x y 2 x и 2 3  1  3y 1 −3 4 3 πx 3 πx zy = . ⋅ x ⋅  − 2  + sin + 4 ⋅ ⋅ y = − + sin + 4 3 y 4 3 ⋅ 3 y2 x  y 

′

В ычи сли м зна че ни я ча стных пр о и зво дных в то чке М : zx

′ M

zy

′ M

3 π 3 π = + ⋅ cosπ = − ≈ −1,2. 8 2 8 2 3 3 4 3 1 7 = − + sin π + 3 = − + 0 + = − ≈ −1,17. 2 2 3 6 3⋅ 4 27

Т а ки м о б р а зо м , гр а ди е нто м функци и б уде т ве кто р : ′ ′ grad z =  z x ; z x  = (− 1,2; − 1,17 ).  M M  Пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l на йде м по фо р м уле : ∂z grad z ⋅ l = . ∂l l ∂z − 1,2 ⋅ 8 + (− 1,17 ) ⋅ (− 6 ) − 2,58 = = = −0, 258. 10 ∂l 64 + 36

Пр и м е р 25. В ычи сли ть 3 e 0, 09 + 6,95 пр и б ли ж е нно , с по м о щ ью ди ффе р е нци а ла . Ре ше ни е . Ра ссм о тр и м функци ю z = e x + y . Т р е б уе тся вычи сли ть зна че ни е z1 это й функци и в то чке (x1; y1) = ( 0,09; 6,95 ). В м е сто это го вычи сли м зна че ни е z0 функци и z = e x + y в то чке (x0; y0) = ( 0; 7 ), а за те м во спо льзуе м ся сле дующ е й пр и б ли ж е нно й фо р м уло й: z1 ≈ z0 + dz . В это й фо р м уле dz – ди ффе р е нци а л функци и z = z(x; y), вычи сле нный в то чке (x0; y0). Ди ффе р е нци а л dz вычи сляе тся по фо р м уле : dz = z x' ⋅ dx + z 'y ⋅ dy , где z x' , z 'y − че стные пр о и зво дные функци и z = z(x; y),вычи сле нные в то чке (x0; y0), а dx и dy – ди ффе р е нци а лы(пр и р а щ е ни я) не за ви си м ыхпе р е м е нных: dx = x1 – x0, dy = y1 – y0. В на ше м случа е : dx = 0,09 – 0 = 0,09; dy = 6,95 – 7 = – 0,05. z 0 = z ( x0 ; y0 ) = 3 e 0 + 7 = 3 8 = 2. z x' ( x0 ; y0 ) = z y' ( x0 ; y0 ) =

1

3 ⋅ 3 (e x + y )

2

1

3 ⋅ 3 (e x + y )

2

⋅ ex

= (0; 7 )

⋅1

= (0; 7 )

1 1 ⋅ e0 = . 3⋅ 4 12

1 1 = . 3 ⋅ 4 12

1 1 1 ⋅ 0,09 + ⋅ (− 0,05) = ⋅ 0,04 ≈ 0,003. 12 12 12 + 6,95 ≈ 2 + 0,003 = 2,003.

Сле до ва те льно , dz = Ита к,

3

e 0, 09

Пр и м е р 26. На йти все вто р ые ча стные пр о и зво дные функци и z = arctg уб е ди тся в то м , что см е ша нные пр о и зво дные р а вны (z "xy = z "yx ). Ре ше ни е . 1) На йде м ча стные пр о и зво дные пе р во го по р ядка : ' y 1 1  y  1  ' zx = ⋅  = ⋅ y ⋅− 2  = − 2 . 2  2 x + y2  x   y   x x  y 1+   1+   x x

28

y и x

'

1 1 x  y z = ⋅ = 2 . ⋅  = 2  2 2  y x x + y  y   x y 1+   1+   x x 2) На йде м ча стные пр о и зво дные вто р о го по р ядка : 1

' y

)

)

 y  1 ⋅ (x 2 + y 2 ) − 2 yy x2 − y2 y2 − x2  = − = − = . =  − 2 2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y + ( ) ( ) ( ) x + y x + y x + y y 

)

 x  1 ⋅ (x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y2 − x2  = = . =  2 2  (x 2 + y 2 )2 (x 2 + y 2 )2  x + y x

z = (z z = (z

' ' x y

z = (z

' ' y x

" xy

" yx

'

 y  0 − 2 xy 2 xy  =− = . =  − 2 2  2 2 2 2 (x + y ) (x + y 2 )2  x + y x

' ' x x

" xx

'

'

Т а ки м о б р а зо м , z "xy = z "yx . '

 x  0 − 2 yx 2 xy =− z = (z ) =  2  = . 2  2 (x 2 + y 2 )2  x + y  y (x 2 + y 2 ) Пр и м е р 27. На йти экстр е м ум ыфункци и z = 4 x 2 + 3xy + 2 y 2 + x + 9 y + 5 . Ре ше ни е . На йде м ча стные пр о и зво дные пе р во го по р ядка : z x' = 8 x + 3 y + 1 , z 'y = 3x + 4 y + 6 . Пр и р а вняе м по луче нные ча стные пр о и зво дные к нулю. По лучи м си сте м у ур а вне ни й для о пр е де ле ни я то че к, по до зр и те льных на экстр е м ум : 8 x + 3 y = −1 . Ре ши м да нную си сте м у, на пр и м е р м е то до м Кр а м е р а .  3 x + 4 y = − 9  8 3 −1 3 8 −1 ∆= = 32 − 9 = 23, ∆ x = = −4 + 27 = 23, ∆ y = = −72 + 3 = −69. −9 4 3−9 3 4 ∆y ∆ 23 69 Сле до ва те льно , x0 = x = = 1, y0 = = − = −3 . Т а ки м о б р а зо м , то чка ∆ 23 ∆ 23 М (1; -3) – являе тся е ди нстве нно й то чко й, по до зр и те льно й на экстр е м ум . На йде м ча стные пр о и зво дные вто р о го по р ядка : ' ' ' z "xx = (8 x + 3 y + 1)x = 8, z "xy = (8 x + 3 y + 1) y = 3, z "yy = (3x + 4 y + 9 )y = 4 . В то чке М вычи сли м ди скр и м и на нт D по фо р м уле D = AC – B2, где " A = z "xx = 8, B = z xy = 3, C = z "yy = 4. Т о е сть D = 32 – 9 = 23. " yy

' ' y y

M

M

M

Т а к ка к ди скр и м и на нтб о льше нуля, то в то чке М функци я и м е е тэкстр е м ум . А и м е нно м и ни м ум , по ско льку А и С б о льше нуля. Пр и это м z min = z (M ) = 4 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ (− 3) + 2 ⋅ 9 + 1 + 9 ⋅ (− 3) + 5 = 4 − 9 + 18 + 1 − 27 + 5 = −8. 29

При м ерны й вари ант к о нтро л ьно й рабо ты № 7 1. На йти о б ла стьо пр е де ле ни я функци и z = ln( x-y ). 2. На йти ча стные пр о и зво дные функци и z = x3+2xy2+x2y-2 в то чке A(1; 2) и пр о и зво дную по на пр а вле ни ю ве кто р а l, и дущ е м у о тто чки A к то чке B=(2; 1). 3. В ычи сли ть пр и б ли ж е нно , с по м о щ ью ди ффе р е нци а ла ( 0,98 )2⋅( 1,04 )2. 4. На йти все вто р ые ча стные пр о и зво дные функци и z = xy − y 2 . 5. На йти экстр е м ум ыфункци и z = 2x2- y2+xy-2x.

Д и фференци ал ьны е уравнени я Пр и м е р 28. Ре ши ть за да чу К о ши : 2

y ′ + 2 xy − x ⋅ e − x = 0;

y (0 ) = 0.

Ре ше ни е . 1) На йде м о б щ е е р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я. Да нно е ур а вне ни е пе р во го по р ядка являе тся ли не йным . Сле до ва те льно , пр о и зве де м сле y ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v′. дующ ую за м е ну пе р е м е нно й: y ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x ), Т о гда 2 2 u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ + 2 x ⋅ u ⋅ v − x ⋅ e − x = 0, и ли u ′ ⋅ v + u ⋅ (v′ + 2 x ⋅ v ) − x ⋅ e − x = 0. По дб е р е м те пе р ь та кую функци ю v(x), что б ы v′+2xv=0. То е сть v(x) б уде м и ска ть ка к р е ше ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я с р а зде ляющ и м и ся пе р е м е нным и: dv dv dv x2 = −2 xv, = −2 x ⋅ dx, ∫ v = −2∫ xdx, ln v = −2 ⋅ 2 + C. dx v 2

Пр и С = 0 по лучи м : ln| v | = -x2. Сле до ва те льно , v = e − x . Пр и та ко м выб о р е функци и v(x) и схо дно е ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е пр и м е т 2 2 ви д: u ′ ⋅ e − x = x ⋅ e − x , и ли u ′( x ) = x. x2 + C . Т а ки м о б р а зо м , Сле до ва те льно , u ( x ) = ∫ x ⋅ dx = 2 2  x2  y( x ) = u (x ) ⋅ v( x ) =  + C  ⋅ e − x .  2  2) Для р е ше ни я за да чи К о ши во спо льзуе м ся на ча льным усло ви е м y(0)=0. x 2 − x2 0 ⋅e . Т о гда C ⋅ e = 0. ⇒ C = 0. ⇒ y ( x ) = 2 2 x2 О тве т: y ( x ) = ⋅ e − x . 2

30

Тео ри я веро я тно стей С л учайны е со бы ти я Пр и м е р 29. На скла д хле б о за во да по ступи ло 20 м е шко в м уки высше го со р та и 10 м е шко в пе р во го со р та . На уда чу б е р уттр и м е шка . К а ко ва ве р о ятно сть то го , что все о ни пе р во го со р та ? Ре ше ни е . Пусть А – и ско м о е со б ыти е . В се го на скла д по ступи ло 20+10=30 м е шко в. Т р и м е шка м о ж но выб р а ть и з 30 чи сло м со че та ни й и з 30 по 3, зна чи т 3 n= С 30 , ср е ди ни хб ла го пр и ятствующ и х случа е в р а вно чи слу со че та ни й и з 10 по 3, зна чи тm= С

3 10

. По кла сси че ско м у о пр е де ле ни ю ве р о ятно сти и м е е м 3

m 6 = P(A)= = C10 . n C 330 203 Пр и м е р 30. Ре б е но к и гр а е тс ше стью б уква м и а зб уки : А , А , Е , К , Р, Т. На йти ве р о ятно сть то го , что о н см о ж е тсло ж и ть случа йно сло во КА РЕ Т А (со б ыти е А ). Ре ше ни е . Ре ше ни е о сло ж няе тся те м , что ср е ди б укв е сть о ди на ко вые – две б уквы "А ". По это м у чи сло все х во зм о ж ных случа е в в да нно м и спыта ни и р а вно чи слу пе р е ста но во к с по вто р е ни ям и и з 6 б укв: n = P6 =

6! = 360 . 1!

Э ти случа и р а вно во зм о ж ны, по па р но не со вм е стны и о б р а зуютпо лную гр уппу со б ыти й, т.е . о б р а зуют схе м у случа е в. Л и шь о ди н случа й б ла го пр и ятствуе т со б ыти ю А . По это м у P ( A) =

1 . 360

Пр и м е р 31. Т а ня и В а ня до го во р и ли сь встр е ча ть Но вый го д в ко м па ни и и з 10 че ло ве к. О ни о б а о че нь хо те ли си де ть р ядо м . К а ко ва ве р о ятно сть и спо лне ни я и х ж е ла ни я, е сли ср е ди и хдр узе й пр и нято м е ста р а спр е де лятьпуте м ж р е б и я? Ре ше ни е . О б о зна чи м че р е з А со б ыти е "и спо лне ни е ж е ла ни я Т а ни и В а ни ". 10 че ло ве к м о гутусе сться за сто л10! р а зным и спо со б а м и . Ско лько ж е и з эти х n = 10! р а вно во зм о ж ных спо со б о в б ла го пр и ятны для Т а ни и В а ни ? Т а ня и В а ня, си дя р ядо м , м о гутза нять 20 р а зных по зи ци й. В то ж е вр е м я во сьм е р ка и х др узе й м о ж е тсе сть за сто л8! р а зным и спо со б а м и , по это м у m = 20 ⋅ 8!. Сле до ва те льно ,

31

P ( A) =

20 ⋅ 8! 2 = . 10! 9

Пр и м е р 32. Гр уппа и з 5 ж е нщ и н и 20 м уж чи н выб и р а е ттр е х де ле га то в. Счи та я, что ка ж дый и з пр и сутствующ и х с о ди на ко во й ве р о ятно стью м о ж е тб ыть выб р а н, на йти ве р о ятно сть то го , что выб е р утдвух ж е нщ и н и о дно го м уж чи ну. Ре ше ни е . О б щ е е чи сло р а вно во зм о ж ных и схо до в и спыта ни я р а вно чи слу спо со б о в, ко то р ым и м о ж но выб р а ть тр е х де ле га то в и з 25 че ло ве к, т.е . n = C253 . По дсчи та е м те пе р ь чи сло б ла го пр и ятствующ и х случа е в, т.е . чи сло случа е в, пр и ко то р ых и м е е т м е сто и нте р е сующ е е на с со б ыти е . М уж чи на -де ле га т м о ж е тб ыть выб р а н два дца тью спо со б а м и . Пр и это м о ста льные два де ле га та до лж ны б ыть ж е нщ и на м и , а выб р а ть двух ж е нщ и н и з пяти м о ж но

C52 . Сле до ва те льно ,

m = 20 ⋅ C52 . По это м у 20 ⋅ C52 2 P ( A) = = . 3 C 25 23 Пр и м е р 33. Стр е ло к пр о и зво ди то ди н выстр е л по м и ше ни . В е р о ятно сть выб и ть 10 о чко в (со б ыти е А ), 9 о чко в (со б ыти е В ), и 8 о чко в (со б ыти е С) р а вны со о тве тстве нно 0,11; 0,23; 0,17. На йти ве р о ятно сть то го , что пр и о дно м выстр е ле стр е ло к выб ье тм е не е 8 о чко в (со б ыти е D). Ре ше ни е . Пе р е йде м к пр о ти во по ло ж но м у со б ыти ю D - пр и о дно м выстр е ле стр е ло к выб ье тне м е не е 8 о чко в. Со б ыти е D на ступа е т, е сли пр о и зо йде тА и ли В , и ли С, т.е . D =А +В +С. Т а к ка к со б ыти я А ,В ,С по па р но не со вм е стны, то , по те о р е м е сло ж е ни я, P( D ) = P(А ) + P(В ) + P(С) = 0,51. О ткуда Р(D) = 1- P( D ) = 1 – 0,51 = 0,49. Пр и м е р 34. О т ко лле кти ва б р и га ды ко то р а я со сто и т и з 6 м уж чи н и 4 ж е нщ и н, на пр о фсо юзную ко нфе р е нци ю выб и р а е тся два че ло ве ка . К а ко ва ве р о ятно сть, что ср е ди выб р а нныххо тя б ыо дна ж е нщ и на (со б ыти е А ). Ре ше ни е . Е сли пр о и зо йдёт со б ыти е А , то о б яза те льно пр о и зо йдёт о дно и з сле дующ и х не со вм е стных со б ыти й: В – “выб р а ным уж чи на и ж е нщ и на ” ; С – “вы32

б р а ны две ж е нщ и ны” . По это м у м о ж но за пи са ть: А = В + С. На йдём ве р о ятно сть со б ыти й В и С. Два че ло ве ка и з 10 м о ж но выб р а ть С210 спо со б а м и . Двух ж е нщ и н и з че тыр ёх м о ж но выб р а ть С24 спо со б а м и . м уж чи ну и ж е нщ и ну м о ж но выб р а ть 6*4 спо со б а м и . Т о гда P(B) = 4 * 6/ С210, P(C) = С210 /С24. Т а к ка к со б ыти я В и С не со вм е стны, то , по те о р е м е сло ж е ни я, P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3. Пр и м е р 35. Из ур ны, в ко то р о й 5 б е лых и 10 че р ных ша р о в, выни м а ютпо др яд два ша р а . На йти ве р о ятно сть то го , что о б а ша р а б е лые (со б ыти е А ). Ре ше ни е . Ра ссм о тр и м со б ыти я: В – пе р вый вынутый ша р б е лый; С – вто р о й вынутый ша р б е лый. Т о гда А = В С. О пытм о ж но пр о ве сти двум я спо со б а м и : 1) с во звр а щ е ни е м : вынутый ша р по сле фи кса ци и цве та во звр а щ а е тся в ур ну. В это м случа е со б ыти я В и С не за ви си м ы: Р(А ) = Р(В ) ⋅ Р(С) = 5/15⋅5/15 = 1/9; 2) б е з во звр а щ е ни я: вынутый ша р о ткла дыва е тся в сто р о ну. В это м случа е со б ыти я В и С за ви си м ы: Р(А ) = Р(В ) ⋅ Р(С/В ) . Для со б ыти я В усло ви я пр е ж ни е , P ( B) =

5 1 = , а для С си туа ци я и зм е ни 15 3

ла сь. Пр о и зо шло В , сле до ва те льно в ур не о ста ло сь 14 ша р о в, ср е ди ко то р ых 4 б е лых. P (C/B ) =

4 2 = . 14 7

Ита к, 1 2 2 P ( A) = ⋅ = . 3 7 21 Пр и м е р 36. Ср е ди 50 эле ктр и че ски х ла м по че к 3 не ста нда р тные . На йти ве р о ятно сть то го , что две взятые о дно вр е м е нно ла м по чки не ста нда р тные . Ре ше ни е . Ра ссм о тр и м со б ыти я: А – пе р ва я ла м по чка не ста нда р тна я, 33

В – вто р а я ла м по чка не ста нда р тна я, С – о б е ла м по чки не ста нда р тные . Я сно , что

С = А ⋅ В . Со б ыти ю А б ла го пр и ятствуют 3 случа я и з 50 во зм о ж ных, т.е .

Р(А ) = 3/50. Е сли со б ыти е А уж е на ступи ло , то со б ыти ю В б ла го пр и ятствуютдва случа я и з 49 во зм о ж ных, т.е . Р(В /А ) = 2/49. Сле до ва те льно , P(C ) = Р ( А ) ⋅ Р ( В / А ) =

3 2 3 ⋅ = . 50 49 1225

Пр и м е р 37. В ко р зи не яб ло ки с че тыр е х де р е вье в о дно го со р та . С пе р во го – 15% все х яб ло к, со вто р о го – 35%, с тр е тье го – 20%, с че тве р то го – 30%. Со зр е вши е яб ло ки со ста вляютсо о тве тстве нно 99%, 97%, 98%, 95%. а ) К а ко ва ве р о ятно сть то го , что на уга д взято е яб ло ко о ка ж е тся спе лым (со б ыти е А ). б ) Пр и усло ви и , что на уга д взято е яб ло ко о ка за ло сь спе лым , вычи сли ть ве р о ятно сть то го , что о но с пе р во го де р е ва . Ре ше ни е . а ) Им е е м 4 ги по те зы: Н 1 – на уга д взято е яб ло ко снято с 1-го де р е ва ; Н 2 – на уга д взято е яб ло ко снято с 2-го де р е ва ; Н 3 – на уга д взято е яб ло ко снято с 3-го де р е ва ; Н 4 – на уга д взято е яб ло ко снято с 4-го де р е ва . Их ве р о ятно сти по усло ви ю: Р(Н 1) = 0,15; Р(Н 2) = 0,35; Р(Н 3) = 0,2; Р(Н 4) = 0,3. Усло вные ве р о ятно сти со б ыти я А : Р(А /Н 1) = 0,99; Р(А /Н 2) = 0,97; Р(А /Н 3) = 0,98; Р(А /Н 4) = 0,95. В е р о ятно сть то го , что на уда чу взято е яб ло ко о ка ж е тся спе лым , на хо ди тся по фо р м уле по лно й ве р о ятно сти : Р(А ) = Р(Н 1) ⋅ Р(А /Н 1) + Р(Н 2) ⋅ Р(А /Н 2) + Р(Н 3) ⋅ Р(А /Н 3) + Р(Н 4) ⋅ Р(А /Н 4) = = 0, 969. б ) Ф о р м ула Ба йе са для на ше го случа я и м е е тви д:

34

Р (Н 1 / А ) =

Р (Н 1 ) ⋅ Р ( А / Н 1 ) = 0,153 . Р (А )

Пр и м е р 38. На йти и нте гр а льную функци ю р а спр е де ле ни я случа йно й ве ли чи ныХ , за да нно й р ядо м р а спр е де ле ни я: Х

1

2

3

Р

0,3

0,2

0,5

и по стр о и ть е е гр а фи к. Ре ше ни е . Пусть х ≤ 1, то гда F(x) = 0, та к ка к со б ыти е Х < х б уде тне во зм о ж ным . Е сли 1< х ≤ 2, то по о пр е де ле ни ю и нте гр а льно й функци и р а спр е де ле ни я и м е е м F(x) = p1 = 0,3. Е сли 2< х ≤ 3, то F(x) = p1 + p2 = 0,5. Е сли х > 3, то F(x) = p1 + p2 + p3 = 1. О ко нча те льно по луча е м 0, если х ≤ 1, 0,3, если 1 < х ≤ 2,  F ( х) =  0,5, если 2 < х ≤ 3, 1, если х > 3. Гр а фи к функци и F(х) и зо б р а ж е н на р и с. 4. F(х) 1

0,5 0,3

0

1

2

х

3 Ри с. 4.

Пр и м е р 39. Ди скр е тна я случа йна я ве ли чи на Х за да на за ко но м р а спр е де ле ни я: Х

0

1

2

3

р

0,4

0,1

0,3

0,2

35

На йти м а те м а ти че ско е о ж и да ни е , ди спе р си ю, ср е дне е ква др а ти че ско е о ткло не ни е . Ре ше ни е . Т а к ка к случа йна я ве ли чи на являе тся ди скр е тно й, то для вычи сле 4

ни я М (Х ) во спо льзуе м ся фо р м уло й M ( X ) = ∑ xi ⋅ pi . Им е е м i =1

М (Х ) = 0⋅0,4 + 1⋅0,1 + 2⋅0,3 + 3⋅0,2 = 1,3. На йде м ди спе р си ю D(X). Пр е два р и те льно на йде м м а те м а ти че ско е о ж и да ни е о тХ 2: М (Х 2) = х12 ⋅ р 1 + х22⋅ р 2 + х32⋅ р 3 + х42⋅ р 4 = 02⋅0,4 + 12⋅0,1 + 22⋅0,3 + 32⋅0,2 = 3,1. Да ле е по фо р м уле D( X ) = M (X 2 ) − (M ( X )) по луча е м 2

D(X) = 3,1 –1,32 = 3,1 – 1,69 = 1,41. На йде м ср е дне е ква др а ти че ско е о ткло не ни е . Им е е м σ(Х ) = D( X ) = 1,41 ≈ 1,22 . Пр и м е р 40. Не пр е р ывна я случа йна я ве ли чи на Х за да на функци е й р а спр е де ле ни я пр и x ≤ 0, 0  1 1 F ( x) =  − ⋅ cos x пр и 0 < x ≤ π , 2 2 1 пр и x > π . На йти м а те м а ти че ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю это й случа йно й ве ли чи ны. Ре ше ни е . По о пр е де ле ни ю ди ффе р е нци а льно й функци и ϕ(х) = F′(x). О тсюда пр и x < 0, 0  1 ϕ ( x) =  ⋅ sin x пр и 0 < x < π , 2 0 пр и x > 0. В

то чка х х = 0 и х = π функци я ϕ(х) не ди ффе р е нци р уе м а . По фо р м уле

36

+∞

M ( X ) = ∫ x ⋅ ϕ ( x )dx по луча е м −∞

π

+∞ 1 M ( Х ) = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ sin xdx + ∫ x ⋅ 0dx = 2 0 π −∞ 0

=

π dx = du  1 x = u 1π π sin = ( − ⋅ cos + ⋅ = x x x xdx   0 ∫ cos xdx) = = − sin = cos xdx dv v x 2 ∫0 2  0 

1 1 π π = (− x ⋅ cos x 1π + sin x π0 ) = (−π ⋅ cos π ) = − (−1) = . 2 2 2 2 На хо ди м сна ча ла М (Х 2). Им е е м +∞

+∞ 1 M ( Х ) = ∫ x ⋅ ϕ ( x )dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ sin xdx + ∫ x 2 ⋅ 0dx = 2 0 −∞ −∞ π 2

=

π

0

2

2

2

2 xdx = du  x 2 = u 1π 2 x sin xdx ⋅ =  = ∫ v cos x = − 20 sin xdx dv =  

π π 1 1 2 2 π = (− x ⋅ cos x 0 + ∫ 2 x ⋅ cos xdx) = (π + 2∫ x ⋅ cos xdx) = 2 2 0 0 π dx = du  1 2 x = u π = π + ⋅ − = ( 2 ( x sin x ) 2 sin xdx) =  0 ∫ = = cos xdx dv v sin x 2  0  1 1 = π 2 + cos x π0 = π 2 − 2. 2 2

Да ле е по фо р м уле D( X ) = M (X 2 ) − (M ( X )) по луча е м 2

π2 π2 π2 D( X ) = −2− = − 2. 2 4 4

При м ерны й вари ант к о нтро л ьно й рабо ты № 8 1. Ср е ди студе нто в гр уппы, и з ко то р ых 9 юно ше й, р а зыгр ыва е тся 6 б и ле то в. К а ко ва ве р о ятно сть то го , что ср е ди о б ла да те ле й б и ле то в дво е юно ше й? 2. Бр о са ют два и гр а льных куб и ка . К а ко ва ве р о ятно сть то го , что на пе р во м куб и ке выпа да е тчётно е чи сло о чко в, а на вто р о м – чи сло м е ньше 6? 3. О хо тни к стр е ляе тв ле тящ ую утку до пе р во го по па да ни я, но успе ва е тсде ла ть не б о ле е тр ёх выстр е ло в. Со ста ви ть за ко н р а спр е де ле ни я чи сла выстр е ло в; по лучи ть функци ю р а спр е де ле ни я, вычи сли ть м а те м а ти че ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю, е сли ве р о ятно сть по па да ни я пр и ка ж до м выстр е ле р а вна 0,7. 4. К а ко ва ве р о ятно сть то го , что в се м ье , и м е ющ е й пятьде те й, б уде ттр и де во чки ? В е р о ятно сти р о ж де ни я де во чки и м а льчи ка пр и нятьо ди на ко вым и . 37

5. Не пр е р ывна я случа йна я ве ли чи на Х за да на функци е й р а спр е де ле ни я 0, е сли x < 2  2 F ( x ) = (x − 2 ) , е сли 2 ≤ x ≤ 3 1, е сли x > 3.  Т р е б уе тся: a) на йти пло тно стьр а спр е де ле ни я φ(х); б ) на йти м а те м а ти че ско е о ж и да ни е и ди спе р си ю случа йно й ве ли чи ных; в) по стр о и ть гр а фи ки функци й F(x) и φ(х).

Лабо рато рны е рабо ты по м атем ати ческ о й стати сти к е О цени вани е парам етро в и про верк а ги по тезы о но рм ал ьно м зак о не распредел ени я По выб о р о чным да нным , пр е дста вле нным ни ж е в 25 ва р и а нта х, тр е б уе тся: 1) по стр о и ть и нте р ва льный ва р и а ци о нный р яд р а спр е де ле ни я; 2) вычи сли ть выб о р о чные ха р а кте р и сти ки по ва р и а ци о нно м у р яду: ср е днюю а р и фм е ти че скую ( х ), це нтр а льные м о м е нты (µk, k = 1 ,4) ди спе р си ю (s2), ср е дне е ква др а ти че ско е о ткло не ни е (s), ко эффи ци е нты а си м м е тр и и (As) и эксце сса (Ek), м е ди а ну (Me), м о ду (Mo) и ко эффи ци е нтва р и а ци и (Vs); 3) по стр о и ть ги сто гр а м м у, по ли го н и кум уляту; 4) cде ла ть выво д о фо р м е р яда р а спр е де ле ни я по ви ду ги сто гр а м м ы и по ли го на , а та кж е по зна че ни ям ко эффи ци е нто в As и Ek; 5) р а ссчи та ть пло тно сть и и нте гр а льную функци ю те о р е ти че ско го но р м а льно го р а спр е де ле ни я и по стр о и ть эти кр и вые на гр а фи ка х ги сто гр а м м ыи кум уляты со о тве тстве нно ; 6) пр о ве р и ть ги по те зу о но р м а льно м за ко не р а спр е де ле ни я по кр и те р и ю со гла си я Пи р со на ( χ 2 ).

38

З адача№ 1 (ва р и а нты№ 1–5). В а р и а нты№ 1+i (i=0,1,2,3,4). Ур о ж а йно стьпше ни цы(ц/га ) на по ляхко лхо зо в р а йо на со ста ви ла : 20,4 19,0 19,5 13,7 23,1 27,4 30,1 22,5 23,1 24,1 32,0 24,4

19,5 13,1 19,1 20,5 23,2 33,1 25,4 20,6 25,1 25,3 24,5

14,3 11,5 15,1 23,9 20,1 30,1 29,3 20,5 29,1 26,1 36,5

18,1 32,1 22,1 18,6 21,4 27,3 20,8 27,1 25,7 21,3 20,1

25,7 33,2 21,1 22,5 25,3 23,8 23,1 24,1 25,1 24,0 23,1

30,1 31,5 24,5 26,1 20,5 23,1 21,3 26,1 30,7 21,3 30,4

20,1 32,0 23,7 27,5 21,4 23,0 28,1 20,3 24,0 24,2 21,3

18,4 29,5 13,5 27,9 24,5 26,2 23,4 29,3 21,9 21,0 22,0

13,5 + i 25,1 + i 28,1 22,4 + i 23,5+ i 31,5 28,5 22,1 + i 30,1 28,4 24,3 + i

З адача№ 2 (ва р и а нты№ 6 - 10). В а р и а нты№ 6 +i (i = 0,1,2,3, 4). Пр о и зво ди те льно сть тр уда по пр е дпр и яти ям на 1 р а б о та ющ е го (тыс. р уб ) за не ко то р ый пе р и о д со ста ви ла : 11,70

9,03

13,70

12,31

6,68

5,60

8,06

12,90

7,35

7,76

12,30

5,91

6,23

12,37

11,50

8,69 +1

11,35

13,70

11,11

9,74

12,33

14,75

6,86

12,90

13,90

9,70

12,00

13,56

6,67

12,75

15,33

9,73 + i

11,00

15,30

9,50

11,99

14,40

10,36

13,00

10,60+1

9,75

10,79

14,10

12,05

11,25

15,67

14,67

15,95

15,21

16,00

12,41

9,02

16,20

9,32

8,81

10,11+1

1 3,57

10,32

13,85

13,60

16,60

15,05

12,97

13,60

9,21

17,00

12,80

17,60

10,81

16,95

9,85

10,70 + i

1 4,90

15,95

13,40

16,80

6,96

12,03

12,00

11,50

1 2,90

7,39

16,10

9,35

13,75

8,80

13,01

8,64 +i

11,80

10,48

15,85

11,56

12,56

11,67

12,27

12,07

10,51

12,09

12,31

9,76

39

З адача№ 3 (ва р и а нты№ 11 - 15). В а р и а нты№ 11 + i (i = 0,1, 2,3, 4). Пр о до лж и те льно стьго р е ни я эле ктр о ла м по че к (ч) сле дующ а я: 750

750

756

769

757

767

760

743

745

759 + 2i

750

750

739

751

746

758

750

758

753

747 + 2i

751

762

748

750

752

763

739

744

764

755 + 2i

751

750

733

752

750

763

749

754

745

747 + 2i

762

751

758

766

757

769

739

746

750

753 + 2i

738

735

760

738

747

752

747

750

746

748 + 2i

742

742

758

751

752

762

740

753

758

754 + 2i

737

743

748

747

754

754

750

753

754

760

740

756

741

752

747

749

745

757

755

764

756

764

751

759

754

745

752

755

765

762

З адача№ 4 (ва р и а нты№ 16 - 20). В а р и а нты№ 16 +i (i= 0,1,2,3,4). О пла та тр уда ко лхо зни ко в о дно го и з ко лхо зо в де ньга м и и на тур о й (р уб .) за не ко то р ый пе р и о д вр е м е ни сле дующ а я: 338 348 304 314 326 314 324 304 342 308

336 304 302 338 314 308 320 324 322 321

312 323 336 324 312 312 364 356 362 302

381 310 334 292 362 381 304 366 298 304

302 368 304 298 368 290 340 324 316 322

296 314 292 262 324 322 290 332 298 296

40

360 298 324 338 352 326 318 304 332 322

342 312 331 331 304 316 332 282 342 338

334 322 324 275 302 328 354 330 316 324

322 + i 350 + i 334 + i 324 + i 340 + i 324 + i 314 + i 326 323

З адача№ 5 (ва р и а нты№ 21–25). В а р и а нты№ 21 + i (i = 0, 1, 2, 3, 4). В ысо та кр ыше к тр уб о пр о во дных ве нти ле й (м м ) сле дующ а я:

109,6 106,8 110,3 106,7 104,5 116,6 114,9 113,3 110,4 110,8 112,6 106,9 114,5

108,9 108,6 107,9 110,8 106,3 107,1 104,7 112,6 113,4 109,1 111,4 108,6 106,1

107,3 112,9 107,8 104,1 111,2 104,1 112,0 110,4 111,9 109,6 105,1 109,7 110,0

105,0 109,5 111,8 110,2 111,2 110,8 112,6 109,4 113,5 111,2 107,4 113,3 104,0

106,5 107,3 116,6 107,3 107,2 113,6 111,8 112,9 111,0 110,3 106,9 106,4

113,3 107,6 108,6 108,6 108,6 116,8 109,7 111,3 108,6 109,9 107,8 112,1

109,2 111,6 110,9 108,7 109,4 104,7 105,3 112,1 110,2 109,9 111,0 107,9

110,9 + i 115,7 106,9 + i 110,3 113,4 112,3 115,5 110,8 + i 114,7 108,6 + i 107,3 + i 109,7 + i

Регресси о нны й и к о ррел я ци о нны й анал и з В а р и а нтыза да ч 1 - 25 с ука за ни е м р е зульта ти вно го у и фа кто р ных х1, х2 пр и зна ко в да ныв та б л. 1. По выб о р о чным да нным , пр е дста вле нным в та б л. 2, и ссле до ва ть на о сно ве ли не йно й р е гр е сси о нно й м о де ли за ви си м о сть о дно го и з р е зульта ти вных пр и зна ко в о т по ка за те ле й пр о и зво дстве нно -хо зяйстве нно й де яте льно сти пр е дпр и яти й м а ши но стр о е ни я. Для это го тр е б уе тся: 1) на йти о це нку ур а вне ни я р е гр е сси и ви да

41

 b0    ~ y = b0 + b1 x1 + b2 x2 , т.е . ве кто р b =  b1  ; b   2 2) пр о ве р и ть зна чи м о сть ур а вне ни я р е гр е сси и пр и α = 0,05 и ли α = 0,01; 3) пр о ве р и ть зна чи м о сть о тде льныхко эффи ци е нто в р е гр е сси и β0, β1, β2; 4) по стр о и ть и нте р ва льные о це нки для зна чи м ых ко эффи ци е нто в р е гр е сси и пр и γ = 1 - α; 5) пр и не о б хо ди м о сти пе р е йти к а лго р и тм у по ша го во го р е гр е сси о нно го а на ли за , о тб р о си в о ди н и з не зна чи м ыхко эффи ци е нто в р е гр е сси и ; 6) по стр о и ть м а тр и цыпа р ныхи ча стныхко эффи ци е нто в ко р р е ляци и ; 7) на йти м но ж е стве нные ко эффи ци е нтыко р р е ляци и и де те р м и на ци и ; 8) пр о ве р и ть зна чи м о сть ча стных и м но ж е стве нных ко эффи ци е нто в ко р р е ляци и ; 9) по стр о и ть и нте р ва льные о це нки ча стныхко эффи ци е нто в ко р р е ляци и ; 10) пр о ве сти со де р ж а те льный эко но м и че ски й а на ли з по луче нных р е зульта то в. Т а б ли ца 1. В а р и а нтыза да ч для са м о сто яте льно й р а б о тыпо р е гр е сси о нно м у и ко р р е ляци о нно м у а на ли зу Но м е р ва - Ре зульта ти в- Ф а кто р ные р и а нта ный пр и зна к пр и зна ки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Y1 Y2 Y2 Y2 Y2 Y1 Y2 Y2 Y1 Y2 Y2 Y2 Y2

Но м е р ва - Ре зульта ти в- Ф а кто р ные р и а нта ный пр и зна к пр и зна ки

X1, X3 X1, X5 X1, X7 X1, X11 X1, X10 X3, X4 X3, X11 X11, X15 X3, X5 X11, X16 X1, X6 X1, X12 X1, X2

14 I5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

42

Y3 Y2 Y3 Y3 Y3 Y3 Y1 Y1 Y2 Y2 Y3 Y3

X1, X14 X5, X9 X8, X10 X7, X14 X3, X6 X1, X14 X2, X6 X3, X7 X5, X8 X9, X10 X4, X11 X1, X12

О б о зна че ни я и на и м е но ва ни я по ка за те ле й: Y1 – пр о и зво ди те льно сть тр уда , тыс. р уб ./че л.; Y2 – и нде кс сни ж е ни я се б е сто и м о сти пр о дукци и ; Y3 – р е нта б е льно сть, %; X1 – тр удо е м ко сть е ди ни цыпр о дукци и , че л.-ч; Х 2 – уде льный ве с р а б о чи х в со ста ве пр о м ышле нно -пр о и зво дстве нно го пе р со на ла ; Х 3 – уде льный ве с по купных и зде ли й; Х 4 – ко эффи ци е нтсм е нно сти о б о р удо ва ни я, см е н; X5 – пр е м и и и во зна гр а ж де ни я на о дно го р а б о тни ка ППП, тыс. р уб .; X6 – уде льный ве с по те р ь о тб р а ка , %; X7 – фо ндо о тда ча а кти вно й ча сти О ПФ , р уб ./р уб .; Х 8 – ср е дне го до ва я чи сле нно сть пр о м ышле нно -пр о и зво дстве нно го пе р со на ла , че л.; Х 9 – ср е дне го до ва я сто и м о сть о сно вных пр о и зво дстве нныхфо ндо в, м лн. р уб .; Х 10 – ср е дне го до во й фо нд за р а б о тно й пла тыпр о м ышле нно -пр о и зво дстве нно го пе р со на ла , тыс. р уб .; X11 – фо ндо во о р уж е нно сть тр уда , тыс. р уб ./че л.; X12 – о б о р а чи ва е м о сть но р м и р уе м ых о б о р о тныхср е дств, дн.; X13 – о б о р а чи ва е м о сть не но р м и р уе м ых о б о р о тных ср е дств, дн.; Х 14 – не пр о и зво ди те льные р а схо ды, тыс. р уб .

43

Та б ли ца П. 2.2 Т а б ли ца 2.

Но м е р пр е дпр и яти я

Зна че ни е по ка за те ле й пр о и зво дстве нно -хо зяйстве нно й де яте льно сти м а ши но стр о и те льных пр е дпр и яти й

Y1

Y2

Y3

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

X14

l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9,4 9,9 9,1 5,5 6,6 4,3 7,4 6,6 5,5 9,4 5,7 5,2 10,0 6,7 9,4

62,0 53,1 56,5 30,1 18,1 13,6 89,8 76,6 32,3 199,6 90,8 82,1 !< 76,2 37,1 51,6

10,6 9,1 23,4 9,7 9,1 5,4 9,9 19,1 6,6 14,2 8,0 17,5 17,2 12,9 13,2

0,23 0,43 0,26 0,43 0,38 0,42 0,30 0,37 0,34 0,23 0,41 0,41 0,22 0,31 0,24

0,62 0,76 0,71 0,74 0,72 0,68 0,77 0,77 0,72 0,79 0,71 0,79 0,76 0,79 0,70

0,40 0,19 0,44 0,25 0,02 0,06 0,15 0,24 0,11 0,47 0,20 0,24 0,54 0,29 0,56

1,35 1,39 1,27 1,10 1,23 1,39 1,38 1,35 1,24 1,40 1,28 1,33 1,22 1,35 1,20

0,88 0,57 1,70 0,84 1,04 0,66 0,86 1,27 0,68 0,86 0,45 0,74 1,03 0,96 0,98

0,15 0,34 0,09 0,05 0,48 0,41 0,62 0,50 1,20 0,21 0,66 0,74 0,32 0,39 0,28

1,91 1,68 1,89 1,02 0,88 0,62 1,09 1,32 0,68 2,30 1,43 1,82 2,62 1,24 2,03

7394 11586 7801 6371 4210 3557 14148 15118 6462 24628 1948 18963 9185 6391 6555

39,53 40,41 37,02 41,08 42,39 37,39 101,78 81,32 59,92; 107,34 80,83 59,42 36,96 37,21 32,87

14257 22661 14903 12973 6920 5736 26705 28025 11049 45893 36813 33956 17016 11688 12243

5,35 3,90 4,88 5,65 8,85 8,52 7,19 5,38 9,27 4,36 4,16 3,13 4,02 5,82 5,01

173,9 162,3 101,2 177,8 93,2 126,7 91,8 70,6 97,2 80,3 128,5 94,7 85,3 85,3 116,6

11,88 12,60 8,28 17,28 13,32 17,28 9,72 8,64 9,00 14,76 10,44 14,76 20,52 7,92 18,72

28,13 17,55 19,52 18,13 21,21 22,97 16,38 16,66 20,09 15,98 22,76 15,41 19,35 14,63 22,62

45

Про грам м аи то го во го эк зам енапо вы сшей м атем ати к е с о сно вам и м атем ати ческ о й стати сти к и 1. По няти е м а тр и цы. О пр е де ли те ли . Де йстви я на д м а тр и ца м и . Ра нг м а тр и цы. Си сте м ыли не йныхур а вне ни й. М а тр и чна я за пи сь си сте м ы. 2. Де ка р то ва пр ям о уго льна я си сте м а ко о р ди на т. Пр о сте йши е за да чи , р е ша е м ые в де ка р то во й си сте м е ко о р ди на т: о пр е де ле ни е р а ссто яни я м е ж ду двум я то чка м и пло ско сти , де ле ни е о тр е зка в да нно м о тно ше ни и . 3. Пр ям а я ли ни я на пло ско сти . О б щ е е ур а вне ни е . Ур а вне ни е пр ям о й ли ни и с угло вым ко эффи ци е нто м . Ур а вне ни е пр ям о й, пр о хо дящ е й че р е з за да нную то чку в за да нно м на пр а вле ни и . Ур а вне ни е пр ям о й, пр о хо дящ е й че р е з две за да нные то чки . 4. К р и вые вто р о го по р ядка : о кр уж но сть, элли пс, ги пе р б о ла , па р а б о ла . 5. В е ли чи ныска ляр ные и ве кто р ные . Сум м а ве кто р о в, ум но ж е ни е ве кто р а на чи сло . Пр о е кци и ве кто р а на ко о р ди на тные о си . Ска ляр но е пр о и зве де ни е ве кто р о в. 6. Дли на ве кто р а . Уго л м е ж ду ве кто р а м и . Де йстви я на д ве кто р а м и , за да нным и в ко о р ди на тно й фо р м е . Усло ви я пе р пе нди куляр но сти и па р а лле льно сти ве кто р о в. 7. Пр и р а щ е ни е а р гум е нта и пр и р а щ е ни е функци и . Не пр е р ывно сть функци и . То чки р а зр ыва . Пр о сте йши е сво йства не пр е р ывных функци й. 8. О пр е де ле ни е пр о и зво дно й. Ге о м е тр и че ски й и фи зи че ски й см ыслпр о и зво дно й. 9. Пр о и зво дные и ди ффе р е нци а лывысши х по р ядко в. Т е о р е м ыФ е р м а и Ро лля. Т е о р е м а Л а гр а нж а . 10. По р ядо к и ссле до ва ни я функци й пр и по стр о е ни и гр а фи ко в. 11. О пр е де ле ни е пе р во о б р а зно й и не о пр е де ле нно го и нте гр а ла , сво йства не о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 12. О пр е де ле нный и нте гр а л. О пр е де ле нный и нте гр а лка к пр е де ли нте гр а льно й сум м ы. Связь о пр е де ле нно го и нте гр а ла с не о пр е де ле нным , фо р м ула Ньюто на Л е йб ни ца . Сво йства о пр е де ле нно го и нте гр а ла . 13. Пр и ло ж е ни я о пр е де ле нно го и нте гр а ла . В ычи сле ни е пло щ а де й, о б ъе м о в. Дли на дуги , ди ффе р е нци а л дуги . 14. Ф ункци и не ско льки х пе р е м е нных. Пр е де лфункци и . Не пр е р ывно сть. Ч а стные пр о и зво дные пе р во го и высши хпо р ядко в. 15. О пр е де ле ни е ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я 1-го по р ядка . О б щ е е и ча стно е р е ше ни е , и хге о м е тр и че ско е пр е дста вле ни е . 16. Случа йные ве ли чи ны. За ко ныр а спр е де ле ни я случа йных ве ли чи н. Пр и м е р ы р а спр е де ле ни я: б и но м и а льно е и но р м а льно е . 17. О сно вные ха р а кте р и сти ки р а спр е де ле ни я случа йных ве ли чи н: м а те м а ти че ско е о ж и да ни е и ди спе р си я. За ко н б о льши х чи се л. 18. По няти е о пр о ве р ке ста ти сти че ски х ги по те з. Э ле м е нтыли не йно го р е гр е сси о нно го а на ли за . 19. К о р р е ляци я. Л и не йна я и не ли не йна я ко р р е ляци я. Ко эффи ци е нтко р р е ляци и . М но ж е стве нна я ко р р е ляци я.

45

ЛИТЕ РА ТУ РА 1. К удр явце в В .А . Кр а тки й кур с высше й м а те м а ти ки / В .А . К удр явце в, Б.П. Де м и до ви ч. – М .: Ф и зм а тги з, 1978. – 623 с. 2. М и но р ски й В .П. Сб о р ни к за да ч по высше й м а те м а ти ке : Уче б . по со б и е для втузо в / В .П. М и но р ски й. – 13-е и зд. – М .: На ука , 1987. – 352 с. 3. Ш и па че в В .С. О сно вывысше й м а те м а ти ки : Уче б . по со б и е для втузо в / В .С. Ш и па че в; По д р е д. А .Н. Т и хо но ва . – 2-е и зд., сте р е о ти п. – М .: В ысш. шк., 1994. – 352 с. 4. Ш и па че в В .С. Сб о р ни к за да ч по высше й м а те м а ти ке : Уче б . по со б и е / В .С. Ш и па че в. – М .: В ысш. шк., 1994. – 192 с. 5. Гм ур м а н В .Е. Т е о р и я ве р о ятно сте й и м а те м а ти че ска я ста ти сти ка / В .Е. Гм ур м а н. – М .: В ысш. шк., 1998. – 479 с. 6. Гм ур м а н В .Е. Руко во дство к р е ше ни ю за да ч по те о р и и ве р о ятно сти и м а те м а ти че ско й ста ти сти ке . – М .: В ысш. шк., 1998. – 400 с. 7. Ф е ти со в Ю .М . Т е о р и я ве р о ятно сте й и м а те м а ти че ска я ста ти сти ка для ге о гр а фо в и ге о эко ло го в: Уче б но е по со б и е / Ю .М . Ф е ти со в. – В о р о не ж , 2001. – 124 с.

Со ста ви те ли : до ц. Ф е ти со в Ю р и й М и ха йло ви ч, ст. пр е п. Уксусо в Се р ге й Ни ко ла е ви ч. Ре да кто р : Буни на Т.Д.

46