Эффективное обнаружение детерминированных сигналов: Монография

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò àýðîêîñìè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ

С. Н. Воробьев

ЭФФЕКТИВНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Монография

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2003

УДК 534.8(075) ББК 32.873 В75 Воробьев С. Н. В75 Эффективное обнаружение детерминированных сигналов: Монография / СПбГУАП. СПб., 2003. 139 с.: ил. ISBN 5-8088-0088-9 В монографии использованы нетрадиционные подходы к задаче обнаружения детерминированного сигнала в гауссовом шуме. Интегральное уравнение согласованной фильтрации решается во временной области. В линейном обнаружении выделяется определяющее значение формы сигнала. Эффективное линейное обнаружение прямоугольного сигнала в белом шуме реализуется как резонансная согласованная фильтрация со структурой “колебательный контур – согласованный фильтр’’, в которой дискретный сигнал близок к одному из собственных векторов корреляционной матрицы шума. Показано превосходство резонансной согласованной фильтрации над согласованной фильтрацией. Другая трактовка задачи базируется на правиле минимизации дисперсии нелинейной статистики при гипотезе H0 при разделяющих функциях второго порядка. Получены результаты, выходящие за рамки теории линейного обнаружения. Правило минимизации дисперсии обобщается на случай произвольной нелинейной разделяющей функции. Имитационное моделирование эффективных обнаружителей реализуется на базе решения интегральных уравнений генераторов гауссовых процессов с заданными функциями корреляции или векторных уравнений с заданными матрицами рассеяния. Монография предназначена для научных работников и инженеров, работающих в области прикладной статистики, аспирантов и студентов старших курсов радиотехнических специальностей. Рецензенты: филиал Военного университета противовоздушной обороны (Санкт-Петербург); доктор технических наук профессор С. А. Яковлев

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве научного издания

ISBN 5-8088-0088-9

2

© ©

СПбГУАП, 2003 С. Н. Воробьев, 2003

ВВЕДЕНИЕ Теория обнаружения детерминированного сигнала в аддитивном стационарном гауссовом шуме [1–3] базируется на фундаментальном результате теории проверки статистических гипотез – правиле (критерии) отношения правдоподобия [4]. Монотонно неубывающее отношение правдоподобия Λ(α) в этом случае есть достаточная статистика, задающая линейное обнаружение со статистикой α – линейной функцией входного сигнала. В дискретном случае (входной сигнал X – вектор, значения которого есть отсчеты непрерывного сигнала) статистика формируется как скалярное произведение α = HT X ,

в котором H – весовой вектор, определяемый уравнением BH = S; B – корреляционная матрица шума; S – обнаруживаемый детерминированный сигнал. Вследствие линейности α ∈ Ν ( m, σ ) , математические ожидания m0 = m | H 0 = 0 , m1 = m | H1 = HT S = ST B −1S ; дисперсии σ2 = σ02 = σ12 = HT BH = ST B −1S = m H1.

(1)

Логарифм отношения правдоподобия l (α ) = ln Λ (α ) линейного обнаружения – линейная функция. Линейный обнаружитель реализуется в виде согласованного фильтра или корреляционного приемника [1, 2]. Отношение сигнал-шум на выходе линейного обнаружителя 2 d 2 = m12 / σ2 = ST B −1S = ST0 B0−1S0d вх , 2 2 ; U – амплитуда сигнала; 2 – d вх = U 2 / σш σш дисперсия шума; S = US0 , B = σ2ш B0 . Линейный обнаружитель имеет симметричную относительно побочной диагонали рабочую характеристику D = (F), D,F – вероятности обнаружения и ложной тревоги [1,5] (рис. 1–1). Преимущество одного линейного обнаружителя над другим проявляется в том, что D1 >D во всей области значений вероятности ложной тревоги 0 < F < 1. Это следует из правил обнаружения: правило среднего риска предусмат-

D 2 1

F

Рис. 1. Рабочие характеристики

3

ривает использование матрицы потерь, связанной со средними вероятностями ошибок, а не с вероятностями F и D; правило Неймана–Пирсона, в котором используется заданный уровень вероятности F, справедливо для всех значений F. Крутизна собственной [5] рабочей характеристики согласованной фильтрации ∂D ∂D ∂α = = Λ (α ) ∂F ∂α ∂F

(2)

есть отношение правдоподобия для статистики α [1, 6]. Эффективность обнаружения можно оценить, например, площадью под рабочей характеристикой 1

∫

S = D( F )dF = 0

∞   α − d2   α2  1 1 − Φ    exp  − 2  d α = 2πd −∞   d   2d 

∫

(

)

=Φ d/ 2 , Φ (t ) =

t

∫

(

)

1 exp − x 2 / 2 dx, 2π −∞

являющейся функцией отношения сигнал-шум d2. Функциональная зависимость эффективности от отношения сигнал-шум существует при обнаружении известного сигнала на фоне гауссова шума и по общепринятым правилам [1–5]. Рабочая характеристика рассчитывается независимо от конкретных правил обнаружения. Различным правилам соответствуют различные рабочие точки на характеристике, пересчитываемые одна в другую. Это обстоятельство позволяет использовать правило отношения правдоподобия, описывающегося в пространстве статистики рабочей характеристикой, как обобщенное правило обнаружения детерминированного сигнала в гауссовом шуме. В случае непрерывного сигнала интегральное уравнение согласованной фильтрации [1] T

∫ R (t − τ ) g ( τ ) d τ = s (t ) 0

4

(3)

задает статистику T

G = x (t ) g (t ) dt,

∫ 0

обеспечивающую отношение сигнал-шум T

d = s (t ) g (t ) dt; 2

∫

(4)

0

аналогично (1) σ2 = σ02 = σ12 = d 2 == m | H1.

Эти результаты базируются на интегральном уравнении Фредгольма T

∫ R (t − τ ) ϕk (τ ) d τ = λ k ϕk (t ),

(5)

0

определяющем ортонормированный базис {ϕk (t )}

∞ k =1

разложения стаци-

онарного гауссова процесса x(t) с функцией корреляции R(τ) в обобщенный ряд Фурье. Потенциальная эффективность линейного обнаружения известного сигнала с энергией E часто характеризуется отношением сигнал-шум d 2 = 2E / N0

(6)

для случая белого шума со спектральной плотностью N0/2. Этот результат теории потенциальной помехоустойчивости [7] распространяется на случай частотно-ограниченного белого шума [8] и формулируется для отношения сигнал-шум как следствие теоремы Котельникова 2 d 2 = 2 FTd вх .

Теория линейного обнаружения, оптимального для гауссова шума, считается законченной настолько, что целесообразным полагается исследование только специальных вопросов [3], возникающих, например, при проверке сложных гипотез. Проверка сложных гипотез может реализоваться нелинейными статистиками – линейным или квадратичным детектированием (сигнал с неизвестными фазой, амплитудой, временем прихода) [1–3]. В некоторых случаях, например, при обнаружении 5

мерцающих или движущихся целей [6, 9], применяются специальные (часто на уровне изобретений) процедуры преобразования сигналов, накапливаемых во времени. Теория обнаружения развивается в направлениях разработки специальных, в том числе, нелинейных моделей сигналов. Известна, например, модель сигнала – нелинейная функция сообщения, описывающегося марковским процессом [10]; прием сообщения реализуется нелинейной фильтрацией. Модель нелинейного преобразования гауссова шума использована при решении задачи обнаружения слабого сигнала в негауссовом шуме [3, 11–13]. Эти модели радиотехнических сигналов базируются на тех же фундаментальных правилах, что и линейная: первая – на критериях среднего риска и апостериорной вероятности; вторая, обеспечивающая локальную эффективность при малых значениях отношения сигнал-шум, разработана как следствие аппроксимации отношения правдоподобия. Тем не менее, утверждения о завершенности теории обнаружения представляются преждевременными. В математическом плане обходится проблема уравнения согласованной фильтрации (3). Обычно предлагаются решение в спектральной области [2] или предварительное выбеливание шума [9]. Однако интегральное уравнение Фредгольма первого рода (3) в общем случае может не иметь решения [14], и тогда эти приемы становятся неадекватными. В целом теория интегральных уравнений не нашла необходимого практического отражения в статистической радиотехнике. Работа [15] устарела не только потому, что базируется на единственном методе решения интегрального уравнения [16], но и в связи с развитием вычислительной техники. В монографической литературе не находят достаточного отражения некоторые факты, выходящие за рамки теории потенциальной помехоустойчивости и "энергетического" подхода. К ним следует прежде всего отнести результаты, противоречащие широко распространенным выводам о потенциальной эффективности в форме (6) и оптимальности помехи с равномерным спектром в полосе частот сигнала [8]. В работах [17, 18] ставится задача оптимизации формы обнаруживаемого сигнала при фиксированной его энергии E. Если задать сигнал в виде собственной функции ядра уравнения (5) T

s (t ) = E ϕk (t ) , ES = s 2 (t ) dt = E ,

∫ 0

6

то решение интегрального уравнения (3) T

∫ R (t − τ ) g ( τ ) d τ =

E ϕk (t )

0

находится его приведением к виду (5): g ( t ) = λ k E ϕ k (t ).

(7)

Отношение сигнал-шум (4) на выходе согласованного фильтра становится равным d 2 = E / λk .

(8)

В силу того, что [17] lim k →∞ λ k = 0,

отношение сигнал-шум (8) определяется формой сигнала ϕk(t) и может быть сколь угодно велико при конечной его энергии: lim k →∞ d 2 = ∞.

(9)

В дискретном случае оптимальный сигнал S opt = E U1

(10)

описывается собственным вектором U1 корреляционной матрицы B, соответствующим минимальному собственному значению λmin, что следует из задачи минимизации частного Релея [19] – отношения скалярных произведений η = ( Y, BY ) / ( Y, Y ) = YT BY / YT Y

для произвольных векторов Y: при задании Y = U1 значение ηmin = λmin. Решение уравнения дискретной согласованной фильтрации BG = S opt

записывается аналогично (7) G = E U1 / λ min ;

отношение сигнал-шум с учетом сингулярного разложения корреляционной матрицы [20] 7

B = UΛUT

имеет вид (8) d 2 = GT BG =

E λ 2min

U1T BU1 =

E λ 2min

U1T UΛUT U k =

E λ min

;

(11)

оно определяется формой сигнала, но в отличие от непрерывного случая конечно. Соотношения (10), (11) известны [18, 21], но иногда используются не по прямому назначению, а для других целей, как, например, в [9] – для синтеза режекторного фильтра, инвариантного к форме сигнала. Предел (9) имеет теоретический характер, так как собственные функции с увеличением номера k осциллируют чаще и требуют бóльшей полосы частот. Необходимость бесконечного расширения полосы следует из уравнения (5), которое можно трактовать как свертку сигнала s (t ) = ϕk (t ) с весовой функцией h (t ) = R (t ) . При конечной полосе собственные функции искажаются, и именно полосой частот определяется практически достижимая эффективность обнаружения. Тем не менее, отношение (6), в котором игнорируется фактор полосы частот, считается базовым, тогда как потенциальную эффективность линейного обнаружения следует определять соотношениями (8) и (11). Другой общий результат, подтверждающий зависимость эффективности обнаружения от формы сигнала при фиксированной его энергии, известен как преобразование энергетического подобия [22, 23]: преобразование масштаба (уменьшение длительности), сохраняющее энергию сигнала, в случае окрашенного шума увеличивает отношение сигнал-шум. Как и в предыдущем случае, при расширении полосы частот сигнала возможно увеличение эффективности обнаружения. Определяющее значение частот сигнала для обнаружения полосы соответствует известному результату теории информации о пропорциональности пропускной способности канала в единицу времени полосе частот [24]. В то же время в литературе по статистической радиотехнике условие расширения полосы связывается, как правило, с радиолокационной задачей оценивания времени прихода и частоты [1, 2, 25]. Можно привести еще один пример задачи о гауссовых сигналах, решение которой не вписывается в "энергетические" рамки [26]. Пусть обнаруживаются полностью известный сигнал s(t), 0 ≤ t ≤ T , и сигнал

s1(t) = As(t) со случайной амплитудой A ∈ Ν (m1, σ1 ) в аддитивном ста8

T

ционарном гауссовом шуме n(t). Равенство энергии E = s 2 (t ) dt сиг-

∫

(

)

0

нала s(t) и средней энергии E = M  A2  E = m12 + σ12 E сигнала s1(t)   выполняется при m12 + σ12 =1. Обнаружение полностью известного сигнала реализуется согласованной фильтрацией со статистикой

(

)

2 γ | H 0 ∈ Ν (0, d ) , γ | H1 ∈ Ν d , d , отношение сигнал-шум T

d 2 = s (t ) g (t ) dt.

∫ 0

Для дисперсии статистики обнаружения сигнала s1(t)

(

T

2 2 4 2 γ1 = Ad 2 + n (t ) g (t ) dt; γ1 | H1 ∈ N m1d , d + d σ1

∫ 0

)

выполняется неравенство σ2 | H1 > σ2 | H 0 , определяющее преимущество обнаружения сигнала s 1 (t). Например, пусть m1 = σ1 = 1/ 2 , d 2 = 1; при гипотезе H0 γ = γ1 ∈ Ν (0,1) , при гипотезе H1 γ ∈ Ν (1,1) , γ1 ∈ Ν 1/ 2, 3/ 2 ; значения рабочих характеристик (Dl – вероятность обнаружения согласованного фильтра) приведены в табл. 1. Таблица 1

(

F Dl D1

)

0,0010 0,0179 0,0254

0,0030 0,0402 0,0479

0,0050 0,0572 0,0633

0,0100 0,0923 0,0931

0,0150 0,1210 0,1162

0,5000 0,8413 0,7094

Рабочая характеристика линейного обнаружения D1 асимметрична, имеет преимущество перед симметричной характеристикой линейного обнаружения Dl при малых значениях и уступает ей при больших значениях вероятности ложной тревоги F (рис. 1–2). Подобный результат для сигналов с флюктуирующей амплитудой приведен в [6], однако в литературе по статистической радиотехнике, он не получил обоснования. Известны оптические задачи, в которых линейная теория обнаружения оказывается недостаточной. В работах [27, 28] оптимизируется форма импульсного оптического сигнала ограниченной энергии по критерию отношения сигнал-шум на выходе линейного преобразователя оптического сигнала в электричес9

кий. Периодическое прерывание оптического сигнала (нелинейное преобразование), уменьшающее его мощность, увеличивает отношение сигнал-шум. Повышение эффективности обнаружения оптических сигналов наблюдается также при их масштабных преобразованиях: преобразование энергетического подобия увеличивает отношение сигнал-шум даже в случае белого шума [23, 29, 30]. Неадекватность линейной теории в оптике имеет физическое объяснение [22]: в радиотехнике сигнал приемника пропорционален напряженности электромагнитного поля, тогда как оптические приемники с внешним фотоэффектом, фотосопротивления формируют сигнал, пропорциональный мощности светового потока. Вследствие иной физической природы оптических сигналов теория обнаружения, развитая применительно к радиосигналам, может нуждаться в доработке. Например, преобразование оптического сигнала по иным правилам (с учетом наличия внешнего и внутреннего электрического шума) позволяет повысить отношение сигнал-шум до 20% по сравнению с корреляционным приемом, считающимся оптимальным в подобном электрическом устройстве [31]. Зависимость эффективности от правила обнаружения можно также показать на примере двоичного канала со стираниями, в котором сигналы, попавшие в интервал между двумя критическими уровнями, вызывают отказ от принятия решения [24, 32]. В двоично-симметричном канале (ДСК) минимизируется вероятность ошибки p, и нелинейное правило стираний может увеличить пропускную способность на символ C = 1 + p log p + (1 − p ) log (1 − p ).

Пусть статистика x в ДСК с пассивной паузой при отношении сигнал-шум d 0 = m / σ x | H 0 ∈ Ν (0, σ ) , x | H1 ∈ Ν (m, σ ).

Значения x ∈ ∆ = (b1, b2 ) , b1 = (m–∆)/2, b2 = (m+∆)/2, стираются, так что на интервале ∆ в пространстве статистики отношение правдоподобия можно считать не заданным, и решение не принимается с вероятностью α = Φ (b2 / σ ) − Φ (b1 / σ ) . По нормированным плотностям распределения f ( x | H 0 ) = β f ( x | H 0 ) , f ( x | H1 ) = β f ( x | H1 ) , x ∉ B ,

10

f ( x | H 0 ) = f ( x | H 0 ) = 0, x ∈ B; β = 1/ (1 − α ) ,

рассчитывается рабочая характеристика декодера

{

}

F = β (1 − Φ ( x / σ ) − α ) , D = β 1 − Φ (( x − m ) / σ ) − α , x < b1,

{

}

F = β (1 − Φ ( x / σ )) , D = β 1 − Φ (( x − m ) / σ ) , x ≥ b2 .

Рабочая точка декодера (точка пересечения рабочей характеристики с побочной диагональю (рис. 2)) соответствует значению статистики x = b2 и задает вероятность ошибки при работе со стираниями p = F = 1 − D = βΦ ( −b2 / σ ).

Через эту точку проходит рабочая характеристика декодера без стираний, соответствующая отношению сигнал-шум d>d0, определяемому уравнением βΦ ( −b2 / σ ) = Φ (d / 2 ) , и равному d = 2Φ −1 (βΦ ( −d 0 / 2 − ∆ / 2σ )) = 2Φ −1 (1 − βΦ (d 0 / 2 − ∆ / 2σ )).

На рис. 2 показаны рабочие характеристики декодеров ДСК: без стираний (рис. 2–1, d0 = 1), со стираниями (рис. 2–2, ∆ = m, α = 0,3413), без стираний (рис. 2–3, d = 1,407). D

Pпр

3

C, дв. ед./симв.

2 2

0,8 0,5 1

1 0,2

0

0,5

F

Рис. 2. Рабочие характеристики

0

1

d/m

Рис. 3. Вероятность отказа, пропускная способность, d0 = 1

Зависимость вероятности отказа α и пропускной способности C от ширины зоны стираний ∆ показана на рис. 3. При увеличении интерва11

ла стирания ∆ пропускная способность ДСК растет. При этом увеличивается вероятность отказа, что накладывает на правило стираний практические ограничения, но в смысле правила минимизации вероятности ошибки ограничений нет. Существенно, что к ДСК – декодеру со стираниями неприменимо требование достаточности статистики, являющееся одним из основных в теории проверки гипотез. Достаточность статистики γ = ϕ ( X, θ ) трактуется как свойство содержать всю информацию о параметре θ [4, 33]. Если под информацией понимать некий полный набор данных, то его можно извлечь из всего множества значений статистики −∞ < γ < ∞ . Для обнаружения с ограничениями области значений статистики, как в декодере со стираниями, требование достаточности статистики неадекватно. В последнем примере оптимальной в смысле нелинейного правила становится недостаточная статистика. В монографии предлагаются некоторые нетрадиционные решения классической задачи обнаружения детерминированного сигнала в стационарном гауссовом шуме, более эффективные, чем согласованная фильтрация с отношением сигнал-шум (4) или (6). Они реализуются линейной системой со структурой "колебательный контур – согласованный фильтр" и нелинейными процедурами обнаружения с разделяющими функциями второго порядка. В эффективной линейной системе входной сигнал, маскируемый белым шумом, преобразуется в сигнал, приближающийся по форме к одному из собственных векторов корреляционной матрицы шума на ее выходе. Рассматриваемые нелинейные процедуры соответствуют правилам, отличным от правила отношения правдоподобия. В общем случае они отличаются от классических нелинейных процедур типа квадратичного детектирования и при некоторой модификации минимаксного правила повышают эффективность обнаружения сигналов с неизвестными параметрами. Нетрадиционные для статистической радиотехники нелинейные преобразования сигналов широко применяются в распознавании образов [34–38]. Признаки классифицируемых объектов есть некоторые преобразования входных сигналов, в том числе нелинейные [35, 37]. Размерность пространства признаков рассматривается как меньшая по сравнению с размерностью пространства сигналов, так и бóльшая [37] (неограниченная [36]). Признаки объекта используются как новые сигналы, к которым могут применяться классические процедуры проверки многоальтернативных статистических гипотез [35, 37]. Признаки интерпре12

тируются как элементы метрического пространства [34,38], тогда расстояние между образами (нелинейная функция координат) становится мерой классификации. Функция корреляции, а также ее линейное и нелинейное преобразования (соответственно вторично-разностная функция и бинарно-квантованная вторично-разностная функция) применяются как признаки классификации знаков при построении читающих автоматов [42]. Обнаружение как разделение пространства сигналов на области Ω0 и Ω1 есть частный случай классификации. Таким образом, неклассическое решение задачи обнаружения в гауссовом шуме может существовать как следствие применение неклассического правила. Математическое описание нелинейных преобразований сигнала может становиться сложным, в таких случаях целесообразно имитационное моделирование. В связи с этим в монографии определенное внимание уделено вопросам синтеза генераторов шума. Потенциальная эффективность линейного обнаружения определяется уравнением согласованной фильтрации. В разд. 1 предлагается метод решения неоднородного интегрального уравнения (3). Показано, что сумма повторных функций fi(t) g N (t ) =

N

 N + 1  f i (t ) , 

∑ (−1)  i + 1 i =0

i

(12)

f 0 (t ) = s (t ) , T

f n (t ) = R (t − τ ) f n −1 ( τ ) d τ, n = 1, 2,...,

∫ 0

сходится к решению уравнения g(t) при N → ∞ , если оно существует [39]. Если повторные функции устойчивы: имеют одну и ту же форму, сумма (12) может быть вычислена, т. е. получено точное решение. Конечная сумма (12) является приближенным решением – воспроизводит некоторую правую часть уравнения s• (t ) ≠ s (t ) . Интегральное уравнение [2] ∞

∫ h (t ) h (t + τ ) dt = R (τ ),

(13)

0

описывающее весовую функцию h(t) линейного фильтра, преобразующего белый шум в процесс с функцией корреляции R(τ), есть уравне13

ние линейного генератора полубесконечного стационарного гауссова процесса. Уравнение (13) также может быть решено методом повторных функций. Точное решение получается для функций корреляции, описывающих процессы с дробно-рациональными спектральными функциями первого и второго порядка [40]. Дискретный аналог уравнения (13) – уравнение HHT = BY

задает линейную систему с весовым вектором H, формирующую Y как последовательность чисел yi = HT X i , i = 1, 2,... .

Описание линейной системы оператором [41] лежит в основе другого подхода к генерированию векторов – числовых последовательностей конечной длительности. Вектор

Y = AX имеет корреляционную матрицу BY = AB X AT .

(14)

При неизвестном операторе это соотношение есть дискретный аналог уравнения (13), решение которого записывается 2 −1/ 2 A = B1/ Y BX .

(15)

Оператор (15) задает линейную "перекрашивающую" систему, непрерывный аналог которой описывается уравнением [2] RY ( τ ) =

∞ τ+ν

∫∫

R X (µ ) h ( ν ) h ( τ + ν − µ ) d νd µ.

0 −∞

Генерирование множества реализаций конечной длительности соответствует постановке задач в математической статистике и наряду с полубесконечными реализациями может широко использоваться в имитационном моделировании. Оператор (15) вычисляется с малым уровнем методической погрешности; на него не накладываются ограничения на вид корреляционных связей, что позволяет задавать корреляционные матрицы численно и генерировать произвольные последовательности, в том числе нестационарные. Экспериментальные результаты, 14

приведенные в монографии, выполнены с использованием генераторов как конечных, так и полубесконечных последовательностей. Линейное решение задачи обнаружения прямоугольного сигнала в белом шуме находится с позиций определяющего значение формы сигнала, а не его энергии. Оно реализуется в виде резонансной согласованной фильтрации – линейной системой "последовательный колебательный контур – согласованный фильтр" (разд. 4). Сигнал протяженностью в несколько отсчетов на выходе контура приближается по форме ко второму или третьему собственному вектору корреляционной матрицы шума. В соответствии с (11) при этом достигается предельно достижимое отношение сигнал-шум d л2 = E / λi , i = 2,3,

значительно превышающее отношение сигнал-шум согласованной фильтрации. Это неординарное свойство резонансной согласованной фильтрации расширяет список примеров, показывающих определяющую роль формы сигнала. Нелинейное обнаружение исследуется в направлении применения правил минимизации дисперсии нелинейной статистики γ при гипотезе H0 с ограничениями вида заданных ее математических ожиданий при гипотезах H0 и H1 (далее МДНС-правил). Рассматривается класс нелинейных статистик – функций второго порядка сигнала на выходе контура. Некоторые МДНС-процедуры второго порядка превышают по эффективности согласованную фильтрацию в локальной области значений вероятности ложной тревоги F → 0 и приближаются по эффективности к резонансной согласованной фильтрации. Применение МДНСправил может быть обосновано следующим образом. Преимущество более хорошего обнаружителя, построенного по правилу отношения правдоподобия, в области 0 10 [6]. На практике важен характер рабочей характеристики в области значений F → 0 : обнаружитель с рабочей характеристикой (рис. 1–2), имеющий область локального преимущества в окрестности F = 0, оказался бы лучше согласованного фильтра, несмотря на возможный проигрыш по интегральным критериям или при F > 0,5. Обнаружитель детерминированного сигнала в гауссовом шуме с таким свойствами не может быть син15

тезирован по правилу отношения правдоподобия, приводящему к симметричной рабочей характеристике. Таким образом, повышение эффективности обнаружения может быть достигнуто при условии применения других правил, приводящих к положительной асимметрии рабочей характеристики (рис. 1–2), обеспечивающей локальное преимущество при F → 0 . Необходимое и достаточное условие преимущества одного обнаружителя над другим в области 0 ∂Dl / ∂Fl при F → 0,

(16)

l – индекс линейного обнаружения. Вследствие выражения (2) неравенству (16) в пространстве статистики γ соответствуют неравенства в пространстве отношения правдоподобия Λ ( γ ) > Λ l ( γ ) , γ 01 < γ < γ 02 ; Λ ( γ ) < Λ l ( γ ) , γ 01 > γ > γ 02 .

(17)

Соотношения (17) означают, что нелинейный обнаружитель, более эффективный, чем согласованный фильтр, должен характеризоваться нелинейным логарифмом отношения правдоподобия γ (на рис. 4–1, 2)

l 1 γ01 γ02 2

l ( γ ) = ln Λ ( γ )

Рис. 4. Логарифм отношения правдоподобия

в отличие от согласованного фильтра с линейной функцией l(γ). Следует подчеркнуть, что отношение правдоподобия в пространстве статистики может использоваться для оценивания обнаружителя, но не для его синтеза. Немонотонность функции l(γ) приводит к двухпороговой процедуре проверки гипотез, при которой гипотеза H1 принимается при γ 01 > γ > γ 02 ,

(18)

γ01, γ02 – критические уровни. Пусть статистика γ задается нелинейной функцией γ=

k

∑ aiµ•i i =1

16

(19)

– линейной комбинацией выборочных моментов µ•i входного сигнала, имеющих асимптотически нормальные распределения с дисперсиями порядка n–1 [42–44]: µ•i ∈ Ν (mi , σi ) ,

(

)

mi ≈ µi , σi2 ≈ n −1 µ 2i − 2iµi −1µi +1 − µi2 + i 2µ 2µi2−1 .

Обнаружитель настраивается на нуль – гипотезу (H0). Нелинейность статистики (19) приводит к нарушению равенств (1): при гипотезе H0 мера рассеяния статистики – ее дисперсия σ02 ; при гипотезе H1 наличие сигнала смещает значения выборки X и выборочных моментов µ•i , так что мерой рассеяния статистики становится второй начальный момент m1(2 ) , для краткости обозначаемый σ12 . Неравенство 2 σ02 < m1( ) ,

(20)

приводит к необходимой положительной асимметрии рабочей характеристики. Статистика (19) имеет асимптотически нормальные распределения γ | H 0 ∈ Ν (m0 , σ0 ) , γ | H1 ∈ Ν (m1, σ1 ).

Критические уровни γ ′0 и γ ′′0 (рис. 5) соответствуют вероятностям ложной тревоги F'Dl и D">Dl, Dl – вероятность обнаружения согласованного фильтра. f D''

H0

H1 D'

m0

m1

Рис. 5. Плотность распределения

Положительная асимметрия рабочей характеристики определяется логарифмом отношения правдоподобия в пространстве статистики l ( γ ) = ln

2 2  σ0 1 σ −σ + 2  1 2 0 γ 2 + 2∆mγ − ∆m 2  , σ1 2σ1  σ0 

(21) 17

имеющим параболическую форму (рис. 4–1). Отношение правдоподобия в пространстве статистики достигает минимума λ min ( γ ) =

в точке γ min = −

{

(

)}

σ0 exp −∆m 2 / 2 σ12 − σ02 , ∆m = m1 − m0 , σ1

∆m1σ02 . Двухпороговая процедура (18) записывается σ12 − σ02 γ min − ∆ γ ≥ γ ≥ γ min + ∆ γ ,

∆γ =

 σ0σ1 σ  ∆m 2 + 2 σ12 − σ02 ln  Λ 0 1  , 2 2 σ1 − σ0 σ0  

(

)

Λ0 – критический уровень отношения правдоподобия Λ(γ). Условие (20) положительной асимметрии рабочей характеристики определяет подход к решению задачи обнаружения: применение некоторого правила из множества МДНС k-правил k-го порядка (k = 1, 2,..., в соответствии с количеством слагаемых в сумме (19)). Сумме (19) в общем случае соответствует множество статистик, дисперсия которых при гипотезе H0 может минимизироваться с фиксированными средними. Синтез МДНС-обнаружителя второго порядка (разд. 2) дает новый результат, позволяющий получить нужную асимметрию рабочей характеристики, – обратную пропорциональность дисперсии статистики при гипотезе H0 четвертой степени отношения сигнал-шум d вх = U / σ . Асимметрия рабочей характеристики существует при неравенстве рассеяний статистики при гипотезах H0 и H1: σ02 < σ12 . Чем сильнее неравенство в смысле усиления положительной асимметрии плотности распределения f ( γ | H1 ) , тем эффективнее может быть МДНС-правило. Поиск решения в локальной области в окрестности F = 0 означает, что общий вид плотности f ( γ | H 0 ) не имеет существенного значения – важно только расположение правой ветви f ( γ | H 0 ) , соответствующей малым значениям вероятности F относительно f ( γ | H1 ) . Точно так же, важна не вся плотность f ( γ | H1 ) , а только ее ветвь при значениях статистики γ ≥ γ 0 . Работа обнаружителя на "хвостах" плотностей (с ограниченной областью значений γ0< γ) определяет избыточность требования достаточности статистики, как в случае декодирования со стирани18

ями. МДНС-правила определяют другой подход к общей оценке статистики: для проверки гипотез применима статистика, для которой существует решение экстремальной задачи о дисперсии при гипотезе H0 с ограничениями вида заданных средних значений при гипотезах H0 и H1. Произвольное МДНС-правило не гарантирует нужного качества обнаружения, но в МДНС-множестве существуют правила, обеспечивающие локальное преимущество над согласованной фильтрацией. МДНС-правила отличаются от ЛНМ-правила (локально наиболее мощного), по которому максимизируется крутизна функции мощности (вероятности обнаружения) при фиксированном уровне значимости [33,45]. Отличия состоят не только в постановке экстремальной задачи, но и в определении локальной области как окрестности нулевого значения сигнала (практический смысл ЛНМ-правила подобен смыслу упомянутого выше правила обнаружения слабых сигналов в негауссовом шуме). При гауссовых сигналах решение по одностороннему ЛНМ-правилу совпадает с решением по правилу Неймана – Пирсона. Геометрические образы МДНС k-статистик – разделяющие функции k-го порядка [34]. Выбор порядка k функций, разделяющих пространство значений сигнала на области Ω0 и Ω1, соответствующие гипотезам H0 и H1, определяет порядок обнаружения. Повышение порядка обнаружения расширяет множество разделяющих функций: обнаружение первого порядка – линейное обнаружение со свойствами (1); обнаружение второго порядка может реализоваться с гиперболическими, эллиптическими, параболическими разделяющими функциями; при k > 2 разделяющая функция описывает соответствующую n-мерную поверхность. Модель сигнала в белом шуме традиционно рассматривается как ориентировочная, хотя, как отмечалось ранее, она неадекватна задаче обнаружения в широкой полосе частот. В разд. 3 показано, что МДНСобнаружение второго порядка в белом шуме менее эффективно, чем согласованная фильтрация: каноническое преобразование разделяющих функций приводит входной сигнал к единственному отсчету, когда оптимальна линейная процедура. Окрашенный шум каноническим преобразованием координат выбеливается, а МДНС-обнаружение с гиперболической РФ приводится к процедуре, минимизирующей дисперсию статистики при гипотезе H0 и максимизирующей вероятность обнаружения в данном классе РФ, т. е. к КМДНФ-обнаружению (разд. 4). Нелинейное обнаружение второго порядка сигнала с двумя отсчетами превосходит согласованную фильт19

рацию. Наиболее эффективно гиперболическое КМДНФ-обнаружение, незначительно уступающее резонансной согласованной фильтрации. Каноническое преобразование n-мерного сигнала (вектора с n отсчетами) позволяет обойти трудности непосредственного расчета рабочей характеристики интегрированием плотностей распределения гиперболической МДНС-статистики – функций плотностей распределения Уишарта (разд. 5). Гиперболическая КМДНФ-статистика – сумма величин с масштабированными χ2-распределениями; РФ – одна из поверхностей двуполостного гиперболоида, ось симметрии которого совпадает с вектором сигнала. При выравнивании масштабов статистика представляется разностью (22) γ = z1 – zm 2 величин z1 и zm, имеющих соответственно χ – распределения с одной и m = n – 1 степенью свободы. Функция правдоподобия преобразованной таким образом выборки не факторизуется, т. е. статистика КМДНСобнаружения не является достаточной. Рабочие характеристики гиперболического КМДНС-обнаружения асимметричны и имеют область локального преимущества над согласованной фильтрацией. Преимущество КМДНС-обнаружения над согласованной фильтрацией по вероятности обнаружения может достигать 20 дБ при отношении сигнал-шум d вх ≤ 1 . Характерные свойства КМДНС-обнаружения распространяются на корреляционное обнаружение (КО) – гиперболическое МДНС-обнаружение (разд. 6). Корреляционное обнаружение достаточно точно моделируется с использованием конечных и полубесконечных реализаций входного сигнала большого объема. Корреляционное обнаружение протяженных сигналов в пределе сводится к проверке гипотез о гауссовом сигнале с различными дисперсиями при гипотезах H0 и H1. Корреляционное обнаружение коротких сигналов проигрывает резонансной согласованной фильтрации 1–2 дБ по вероятности обнаружения. При неизвестном времени прихода сигнала КО приближается по эффективности к КМДНС-обнаружению при отношении сигнал-шум dвх < 0,75 и dвх > 1,50. Дополнительное линейное преобразование статистики КО, приводящее к корреляционно-разностному обнаружению (КРО), нормализует статистику, а также выравнивает эффективность нелинейного КРО и наилучшей линейной процедуры резонансной согласованной фильтрации. 20

Некоторые примеры применения эффективных обнаружителей приведены в разд. 6.6. Так, пропускная способность ДСК увеличивается в 1,5 раза при отношении сигнал-шум на входе dвх = 1. Эффективные обнаружители, имеющие большую крутизну характеристики обнаружения, обеспечивают существенное подавление слабой импульсной помехи. Их использование в оптических системах космических аппаратов может почти на порядок уменьшить число непроизводительно обнаруженных звезд. Решение классической задачи обнаружения сигнала с неизвестными параметрами по модифицированному минимаксному правилу приводится к корреляционному обнаружению. МДНС-правило обнаружения в гауссовом шуме обобщается на случай произвольного нелинейного преобразования сигнала (разд. 7). Обсуждаются общие свойства МДНС-правил и ограничения их применения.

21

1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ И ГЕНЕРИРОВАНИЯ 1.1. Уравнение согласованной фильтрации Потенциальная эффективность (4) линейного обнаружения известного сигнала s(t) в гауссовом стационарном шуме определяется уравнением согласованной фильтрации (3) T

∫ R (t − τ ) g (τ ) d τ = s (t ),

(1.1)

0

в соответствии с классификацией являющимся интегральным уравнением Фредгольма первого рода [14]. В общем случае его решение, если оно существует, неизвестно. Обычно ограничиваются случаем белого шума, когда решение пропорционально сигналу g (t ) = as (t ).

Однако получение решения при возможном его отсутствии в реальном случае окрашенного шума, а также физическая невозможность определяют модель сигнала в белом шуме как неадекватную. Таким образом, уравнение (1.1) представляет не только теоретический, но и практический интерес. Для интегрального уравнения Фредгольма первого рода T

∫ R (t , τ ) g ( τ ) d τ = s (t )

(1.2)

0

с симметричным положительно-определенным ядром R(t,τ) = R(t-τ) и правой частью s (t ) ∈ L2 [0, T ] может быть применен метод последовательных приближений [15, 16]. Можно предложить также другое решение [39], которое в некоторых случаях оказывается точным. Общее решение уравнения (1.2) в соответствии с теоремой Гильберта – Шмидта представляется рядом [14, 46] g (t ) =

22

∞

∑ λkk ek (t ), k =1

s

(1.3)

где λk, ek(t) – собственные значения и собственные функции соответствующего однородного уравнения Фредгольма T

∫ R (t, τ ) ek (τ ) d τ = λ k ek (t ). 0

Частичная сумма ряда (1.3) g M (t ) =

M

∑ gk ek (t ) k =1

является наилучшей в среднем аппроксимацией функции g(t). Пусть вместо коэффициентов gk = sk / λk используются приближе−1 частичной суммой ния gkN = sk / λkN [39]. Если аппроксимировать λ kN степенного ряда, имеющего в окрестности точки λk = 1 вид λ k−1

=

∞

∑

(λ k − 1)i 

 ∞ i di −1  i λ k |λ k =1  = (1 − λ k )  d λk  i =0

i!

i =0

( )

∑

и равномерно сходящегося в области 0 < λk < 2, то g kN = sk

N

∑ (1 − λ k ) . i

(1.4)

i =0

Из билинейного разложения ядра [14] R (t , τ ) =

∞

∑ λ k ek (t ) ek (τ ) k =1

следует, что квадрат его нормы равен TT

B2 =

∫∫

R 2 (t, τ ) dtd τ =

00

∞

∑ λ k2 . k =1

Пусть λ∗k = B −1λ k , тогда B

∗2

2

∞  ∞  = ∫ ∫  ∑ B −1λ k ek (t ) ek ( τ )  dtd τ = ∑ λ∗k2 =1,   k =1  0 0  k =1 TT

23

нормированные собственные значения подчиняются неравенству 1 ≥ λ1∗ ≥ λ∗2 ≥ ... ≥ λ∗k ≥ ... ≥ 0,

(1.5)

и аппроксимация (1.4) корректна. Таким образом, решения уравнений с ненормированным и нормированным ядрами связаны соотношением g (t ) = Bg ∗ (t ) ,

так что неравенство (1.5) далее считается выполняющимся и для λk. Необходимое и достаточное условие сходимости в среднем устанавливается теоремой Фишера–Рисса [14]: если b

∫ ( f n ( x ) − f m ( x ))

lim n,m→∞

2

dx =0, f n ( x ) ∈ L2 [a, b],

a

то fn(x) сходится к f ( x ) ∈ L2 [a, b] в среднем. В работе [39] доказывается следующее утверждение. Если R(t,τ) – симметричное положительно-определенное L2 – ядро, s (t ) ∈ L2 [0, T ] , уравнение (1.2) имеет единственное решение, λ k ≤ 1 , sk – коэффициенты разложения s(t) по системе собственных функций ядра, то частичная сумма g MN (t ) =

M

N

∑ ∑ (1 − λ k ) ek (t ) i

sk

k =0

(1.6)

i =0

сходится в среднем к решению g(t). Пусть P>M, тогда T

(

M

)

I = ∫ g MN (t ) − g PQ (t ) dt =∑ 2

k =1

0

M

−2 ∑

k =1

sk2

Q

N

 sk2  

i =0 j =0

j

∑ (1 − λ k )

i

 i =0

P

∑∑ (1 − λ k ) (1 − λ k ) + ∑ i

N

k =1



Q

∑  j =0

sk2 

2

  −  2

(1 − λ k )

j

  .  

Вследствие равномерной сходимости ряда (1.4) с учетом неравенства (1.5) можно записать

∑ (1 − λ k ) L

i=0

24

i

=

1 − ε L , ε L > 0, lim L→∞ ε L = 0, L = N , Q. λk

Тогда I= +

∑ sk2 (λ k−1 − ε N ) M

k =1 P

∑

k = M +1

(

2

(

sk2 λ k−1 − εQ

− 2 λ k−1 − ε N

) ( 2

= εQ − ε N

)(λ M

)∑ 2

−1 k

) (

− εQ + λ k−1 − εQ P

∑

sk2 +

k =1

k = M +1

(

)  + 2

)

2

sk2 λ k−1 − εQ .

Поскольку T

M

lim M →∞

∑

sk2

k =1

= s 2 (t ) dt < ∞ ,

∫ 0

P

P sk2 sk2 lim M ,P,Q , N →∞ I = lim M ,P→∞ = lim = → − →∞ M P P 1, 2 2 k = M +1 λ k k = M +1 λ k

∑

= lim P→∞

∑

∞ 2 P 2 sk sk sP2 = − lim = 0. →∞ P 2 2 2 λ P k =1 λ k k =1 λ k

∑

∑

Условия теоремы Фишера–Рисса выполняются, следовательно, gMN(t) сходится в среднем к некоторой функции U (t ) ∈ L2 [0, T ] . Подстановка gMN(t) приводит левую часть уравнения к виду T

M

N

k =1

i =0

I1 = ∫ R (t, τ ) g MN ( τ ) d τ = ∑ sk ∑ (1 − λ k ) 0

M

i

(

T

∫ R (t, τ ) ek (τ ) d τ = 0

)

= ∑ sk λ k λ k−1 − ε N ek (t ) , k =1

lim M , N →∞ I1 = lim M →∞

M

∑ sk ek (t ) = s (t ). k =1

Таким образом, функция gMN(t) в пределе обращает уравнение в тождество, принадлежит пространству L2 и по условию является единственным решением уравнения. 25

С помощью функций f Mn (t ) =

M

∑ λ kn sk ek (t ), n = 0,1, ...,

(1.7)

k =1

частичная сумма (1.6) записывается в виде + 1  p p! (1.8)  f Mi (t ) ,  n  = n ! p − n ! , ( )    i =0 причем в силу абсолютной сходимости рядов Фурье сумма (1.8) сходится к g(t) абсолютно (в среднем). При M → ∞ функции (1.7) сходятся к функциям g MN (t ) =

iN

N

∑ (−1)  i + 1

f 0 (t ) = f1 (t ) = =

T ∞

∫∑ k =1

∞ ∞

∑∑ k =1 i =1

∑ sk ek (t ) = s (t ), k =1

T

λ k sk ek (t ) ek ( τ ) ei ( τ ) d τs =

∫ 0

λ k ek (t )ek ( τ )

0

f n (t ) =

∞

T ∞

∞

∑ i =1

∞

λ k ek (t )ek ( τ ) ∑ ∫∑ k =1 i =1

T

si ei ( τ ) d τ = R (t, τ ) s ( τ ) d τ,

∫ 0

λ in −1si ei

0

T

( τ ) d τ = ∫ R (t, τ ) f n−1 ( τ ) d τ, 0

n =1, 2,... . Повторные правые части (повторные функции) уравнения (1.2) – функции fn(t) – позволяют записать его решение в виде предела g (t ) = lim N →∞ g N (t ) = lim N →∞

N

iN

+ 1  f i (t ) , 

∑ (−1)  i + 1 i =0

(1.9)

функция fn(t) – аппроксимация в среднем. В сумме (1.9) повторные функции аналогичны итерированным ядрам Kn(t,s), используемым в ряде Неймана [14] для однородного уравнения Фредгольма b

ϕ (t ) = λ K (t , s ) ϕ ( s ) ds + f (t ),

∫

26

a

решение которого (ряд Неймана) записывается суммой ϕ (t ) = ψ 0 (t ) + ψ1 (t ) + ... + ψ k (t ) + ..., b

b

n ψ 0 (t ) = f (t ) , ψ1 (t ) = λ K1 (t, s ) f ( s ) ds, ψ n (t ) = λ K n (t, s ) f ( s ) ds;

∫

∫

a

a

b

K1 (t, s ) = K (t, s ) , K 2 (t, s ) = K (t, τ ) K1 ( τ, s ) d τ,

∫ a

b

K n (t, s ) = K (t, τ ) K n −1 ( τ, s ) d τ.

∫ a

Уравнение (1.2) описывает согласованную фильтрацию, фильтрацию Винера–Колмогорова (уравнения Винера–Хопфа) и множество физических задач. Пример 1.1 [39]. Линейный преобразователь частоты с весовой функцией h(t) описывался бы уравнением T

∫ cos ϖ1 (t − τ ) h (τ ) d τ = cos ϖ2t

−T

(1.10)

с повторными функциями f 0 (t ) = cos ϖ 2t, f n (t ) = αβn −1 cos ϖ1t, n = 1,2, ..., α=

(1.11)

1 1 sin (ϖ1 − ϖ 2 )T + sin (ϖ1 + ϖ 2 )T , ϖ1 − ϖ 2 ϖ1 + ϖ 2 β=T +

1 sin 2ϖ1T . 2ϖ1

Функция g N (t ) = ( N + 1) cos ϖ 2t + α

N

iN

+ 1  i −1  β cos ϖ1t 

∑ (−1)  i + 1 i =1

27

при N → ∞ предела не имеет, следовательно, в пространстве L2[–T,T] не имеет решений уравнение (1.10), не существует и линейных преобразователей частоты монохроматических колебаний конечной энергии. В то же время дискретный аналог уравнения (1.10) может иметь решение. Так, матрица  1  B = 1/ 2  0 

1/ 2 0   0 1/ 2  −1/ 2 −1 

соответствует заданию косинусоидального ядра уравнения BH = S (1.12) для переменных t, τ на интервале [0, π/2] с шагом π/4. Дискретные линейные фильтры, имеющие весовые функции H = B −1S

( H1T = [0,6425;0,5056;0,0965], HT2 = [1,7071; −1,0000; −0,2929], HT3 = =  0; 2;0 ), формируют из сигнала ST0 = 1;1/ 2;0 отсчеты сигналов с частотами ϖ 2 = 1,3ϖ 1 ( S1T = [1,0000;0,5225; −0,4540] ), ϖ 2 = 2mϖ 1 ( ST3 = [1;1;1] ), ϖ3 = 2ϖ1 ( ST3 = [1;0; −1] ). Уравнение дискретной согласованной фильтрации BG = S подобно уравнению (1.12) имеет решение G = B–1S, если даже соответствующее уравнение (1.1) решения не имеет. Приведенный пример показывает, что решение дискретной задачи может противоречить физическому смыслу ее непрерывного аналога. Дискретизация и использование конечного числа отсчетов, загрубляющие модель, с другой стороны, позволяют в некоторых случаях получать решения, невозможные в более точной непрерывной модели. Конечная сумма (1.9) реализует численное решение уравнения (1.1). Например, использование для вычисления факториала и численного интегрирования процедур GAMMA и TRAPZ (интегрирование по формуле трапеций) системы MATLAB [47] дает достаточно наглядные результаты [48]. Пример 1.2. Ядро уравнения (1.1) – функция корреляции стационарного процесса 28

{

}

R (t − τ ) = exp − (t − τ ) cos {π (t − τ )}, 2

правая часть – прямоугольный сигнал единичной амплитуды. Непосредственная проверка существования решения затруднительна, так как повторные функции не обладают свойством устойчивости. Физическая некорректность задачи очевидна, что и подтверждается следующими результатами. На рис. 1.1 показаны нормированные к своим максимальным значениям решения gN(t) (вычисление (1.9) суммированием N = 10; 20 и 50 слагаемых – кривые 1;2;3), на рис. 1.2 – соответствующая им правая часть уравнения sN(t) (кривая 1 – N = 10; кривая 2 – N = 50) при задании на интервале [0, T], T = π, n = 59 узлов интегрирования. gN 1

0,5

2 3

0

0,2

0,4

0,6

0,8

t/T

0,8

t/T

Рис. 1.1. Численное решение SN 2

1,0 1

0,5

0,2

0,4

0,6

Рис. 1.2. Воспроизводимая правая часть уравнения

Спектральная функция wSN(f) сигнала sN(t), рассчитанная как косинус-преобразование Фурье (кривая 1 на рис. 1.3), отлична от спектральной функции прямоугольного сигнала – имеет протяженный "хвост" небольших отрицательных значений. Тем не менее, косинус-преобразо29

вание Фурье функции wSN(f), воспроизводящее сигнал sN(t), для N = 50 практически совпадает с кривой 2 на рис. 1.2. Передаточная функция wGN(f) (кривая 2 на рис. 1.3) указывает на существование в структуре фильтра резонансного блока с частотой f0. Сглаженный характер численного решения sN(t) соответствует конечной полосе частот линейного фильтра с передаточной функцией wGN(f). w 0,8 1,2

0,4

2

1

0 0

1

2

3

4

5

f/f0

Рис. 1.3. Спектральные функции

Устойчивость вида (1.11) повторных функций позволяет свести уравнение (1.1) к системе алгебраических уравнений и получить точное решение. Пример 1.3 [39]. Уравнение π 2c −

2 2 ∫π cos c (t − τ ) g (cτ ) d τ = cos ct

(1.13)

2c

имеет устойчивые повторные функции: подстановка правой части вместо неизвестной функции g(t) дает

f1 (t ) =

π 2c −

π 2 2 2 ∫π cos c (t − τ )cos cτd τ = 8c (1 + 2cos ct ) 2c

– первую повторную функцию, которая, будучи подставлена в (1.13), произведет f2(t), пропорциональную f1(t). Из (1.9) следует, что решение в общем виде записывается 30

g (t ) = A + B cos2 t.

Подстановка общего решения в (1.13) приводит к равенству

(

)

π 4 A + B + 2 B cos2 ct = 8c cos2 ct,

откуда A = -c/π, B = 4c/π. Обобщение уравнения (1.13) π 2c

c −

∫π cos

2m

c (t − τ ) g (cτ ) d τ = cos2 ct

2c

имеет решение g 2 m (t ) =

(m + 1)(2m − 2 )!!  m + cos 2ct  .   π (2m − 1)!!  m + 1 

Умножение левой части уравнения на нормирующий множитель

µ=

π 2

∫π cos

−

2m

tdt =

(2m − 1)!! π (2m )!!

2

дает решение для белого шума: g ∞ (t ) = lim m→∞ µg 2m (t ) = cos2 ct.

1.2. Уравнение генератора полубесконечного стационарного процесса Интегральное уравнение ∞

∫ h (t ) h (t + τ ) dt = R (τ ),

(1.14)

0

в котором R(τ) – функция корреляции гауссова стационарного процесса, описывает линейную систему с весовой функцией h(t), окрашиваю31

щую белый шум с единичной дисперсией [2]. Такие линейные фильтры используются для генерирования процессов с заданными спектральнокорреляционными свойствами [49,50], т. е. (1.14) является уравнением генератора полубесконечного стационарного процесса. Эта задача имеет фундаментальное значение в имитационном моделировании. Уравнение генератора – уравнение Фредгольма первого рода, и его решение может быть записано в виде (1.9). Повторные функции ∞

f 0 (t ) = R (t ) , f1 (t ) = R (t + τ ) R ( τ ) d τ,

∫ 0

f i (t ) =

∞

∫ fi−1 (t + τ ) fi−1 (τ ) d τ, i = 2,3, ..., 0

в случае задания процесса с дробно-рациональным спектром мощности второго порядка устойчивы, т. е. fi (t ) = ηik f k (t ) , и уравнения сводятся к системе алгебраических уравнений второго порядка. Пример 1.4 [40]. Пусть функция корреляции   α R ( τ ) = e −ατ  cos βτ + sin βτ  , τ ≥ 0. β  

Повторные функции устойчивы: ∞

f1 (t ) = R (t + τ ) R ( τ ) d τ = e −αt ( A1 cos βt + B1 sin βt ),

∫ 0

fi (t ) = e −αt ( Ai cos βt + Bi sin βt ).

Общий вид решения N  i  N + 1 h (t ) = e −αt lim N →∞ ∑ ( −1)   Ai cos βt + i +1  i =0  N  i  N + 1 + lim N →∞ ∑ ( −1)  Bi sin βt  .   i +1  i =0

32

Если пределы A и B существуют, функция h (t ) = e −αt ( A cos βt + B sin βt )

приводит левую часть уравнения к виду

e

−αt

(

)

 2α2 + β2 A2 + β2 B 2 + 2αβAB  cos βt +  4α α 2 + β 2  +

(

)

(

2αAB − β A2 − B 2

(

4 α 2 + β2

)

) sin βt   

Сопоставление с правой частью задает систему уравнений

(

)

β2 A2 − 2αβAB − β2 B 2 = −4α α2 + β2 ,

( 2α

2

)

(

)

+ β2 A2 + 2αβAB + β2 B 2 = 4α α2 + β2 ,

решение которой A = 0, B = ±

(

2 α α2 + β 2 β

)

окончательно определяет

весовую функцию h (t ) = Be −αt sin βt.

(1.15)

Линейный фильтр с такой весовой функцией преобразует белый шум в марковский процесс. Эта модель используется для описания последовательного резонансного контура [2]. Последовательный контур при β > α преобразует белый шум в процесс с функцией корреляции [2]   α R ( τ ) = e −ατ  ch α2 − β2 τ + sh α2 − β2 τ  , τ ≥ 0.   α2 − β2  

Тем же способом нетрудно показать, что весовая функция имеет вид h (t ) = Ae −αt sh α2 − β2 t, A = 2β

γ . γ − β2 2

33

Решения уравнения генератора [40] с другими типовыми функциями корреляции [2]

  α R ( τ ) = e −ατ  cos βτ − sin βτ  , τ ≥ 0 β   (реакция параллельного контура на белый шум),

R ( τ ) = e −ατ cos βτ, τ ≥ 0 (узкополосный шум),

R ( τ ) = ( τ + 1) e −ατ , τ ≥ 0 (реакция последовательного контура при α = ω0 на белый шум ),

R ( τ ) = e −ατ , τ ≥ 0 (реакция интегратора на белый шум) записываются соответственно   α h (t ) = ±2 αe −αt  cos βt ∓ sin βt  , t ≥ 0, β  

(

)

  1 h (t ) = ± 2αe −αt  cos βt ∓ α + α2 + β2 sin βt  , t ≥ 0, β   h (t ) = ± 2

(

α −1 + α

(

))

α + 1 ∓ α − 1 t e −αt , t ≥ 0,

h (t ) = ± 2αe −αt , t ≥ 0. Аналогичные результаты с однополярными слагаемыми получены в [51] без использования теории интегральных уравнений. Методом повторных функций уравнение генератора (1.14) может быть решено приближенно [52]. 1.3. Уравнения генераторов дискретных сигналов Случайный вектор Y ∈ N (0, BY ) полностью описывается корреляционной матрицей BY. Вектор YT = [ y1, y1,…, yn] (последовательность n чисел) может быть получен как отрезок полубесконечной последовательности либо самостоятельно как вектор Y с n-мерным нормальным распределением. Генератор последовательности нормальных чисел мо34

жет задаваться как линейная система, преобразующая в Y некоторый исходный вектор Y ∈ N (0, BY ) . Дискретный аналог уравнения (1.14) – уравнение HHT = BY задает линейную систему с весовым вектором H, формирующую Y как последовательность чисел (1.16) yi = HTXi , i = 1, 2, ..., где Xi – вектор δ-коррелированных чисел (отсчетов дискретного белого шума); X Ti+1 = [ xi 2 , xi 3 ,..., xin , xn +1 ], xn+1 – следующее число из последовательности X полубесконечной протяженности. Такие процессы известны как процессы скользящего среднего [43], процедура (1.16) называется скользящим суммированием [49]. Другой способ генерирования последовательностей конечной длительности базируется на описании линейной системы оператором [41, 53, 54]. Вектор Y = AX имеет матрицу рассеяния (1.17) BY = ABXAT. При неизвестном операторе это соотношение есть дискретный аналог уравнения (1.14). Уравнение (1.17) можно записать в виде 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 T B1/ Y BY = AB X B X A . 2 1/ 2 Тогда B1/ Y = AB X , и оператор линейной системы, преобразующей вектор с BX в вектор с BY (системы, "перекрашивающей" X), есть 2 −1/ 2 A = B1/ Y BX .

(1.18)

Произведению (1.18) равносильно выражение 2 −1/ 2 T A = B1/ Y ΛX UX .

(1.19)

В случае B X = σ2X I матрицы Λ X = σ2X I , UX = I, и операторам (1.18), (1.19) соответствуют 2 A = σ−X1B1/ Y ,

(1.20)

2 A = σ −X1UY Λ1/ Y .

(1.21)

Кроме указанных существуют еще два решения уравнения (1.17): 2 A = UY Λ1/ Y BX ,

(1.22) 35

2 −1/ 2 T A = UY Λ1/ Y ΛX UX .

(1.23)

Одно из этих решений (оператор (1.21)) приводится в [50]. Область применения описанных генераторов векторов [54] – имитационное моделирование, соответствующее основной модели математической статистики: тестирующий массив – множество независимых случайных входных сигналов, принадлежащих одной генеральной совокупности. Достоинства метода: – отсутствие ограничений на вид корреляционных связей, что делает операторы (1.18)–(1.23) универсальными и применимыми в том числе при численном задании корреляционных матриц; – возможность "перекрашивания" шума и генерирования нестационарных последовательностей; – пренебрежимо малый уровень методической погрешности, определяемый погрешностью вычисления собственных векторов и собственных значений корреляционных матриц (в современных математических системах не хуже 10–6). Пример 1.5 [53]. Собственные векторы U и собственные значения Λ матрицы с элементами i+ j

bij = σ2 ( −1)

exp  − 

|i − j |  2 

при n = 5 вычислены методом Якоби с точностью 10–6. Воспроизведение исходной матрицы как произведения UΛUT дает матрицу

 1,0000003 −0,6070006 0,3680002 −0,2230013 0,1350001  −0,6070006 0,9999977 −0,6069999 0,3680000 −0,2229988 ,
B =  0,36800020,6069999 − 0,99999980,60 6 − 9 9 9 0,3679998 8    −0,2230013 0,3680000 −0,6069998 1,0000022 −0,6069996 6 − 80,6069991,0000000  0,13500010,2− 2 2 9 9 8 80,367999  элементы которой отличаются от элементов матрицы B в четвертом десятичном знаке.

36

2. МДНС-ОБНАРУЖЕНИЕ 2.1. Обнаружение второго порядка Пусть на входе системы со структурой, показанной на рис. 2.1, при гипотезе H0: x(t) = n(t); при гипотезе H1: x(t) = n(t) + Us0(t); s0(t) – прямоугольный сигнал с единичной амплитудой; n(t) – белый шум с функцией корреляции Rx(τ) = σ2δ(τ). n(t) x(t)

Y

y(t) h(t)

Z ψ

АЦП

s(t)

H1

γ ×

П

H0

G Рис. 2.1. Структура обнаружителя

На выходе блока линейного преобразования с весовой функцией h(t) при гипотезе H1 сигнал y(t) = φ(x(t)) – сумма стационарного шума и сигнала sy(t), y (t ) ∈ Ν s y , R y ( τ ) , в соответствии с (13) функция корреляции

(

)

∞

R y ( τ ) = σ2 h (t ) h (t + τ ) dt.

∫

(2.1)

0

Дискретный сигнал Y формируется отсчетами сигнала y(t): при гипотезе H0 Y ∈ Ν (0, BY ) ; при гипотезе H1 Y ∈ Ν (SY , BY ) ; Sy – вектор отсчетов сигнала sy(t); By – корреляционная матрица. Размерность n векторов далее трактуется как размерность сигнала. Дискретный сигнал Y (рис. 2.1) подвергается нелинейному преобразованию ψ второго порядка [56,57]
, Z = ψ( X ) = R
– вектор оценок корреляционных моментов где R zk = rˆk =

1 n − k +1

n − k +1

∑ i =1

yi yi + k −1, k = 1, 2,

m≤ ...,n

(2.2)

При гипотезе H0 rˆk – несмещенные оценки корреляционных моментов rk = M [ yi yi + k −1 ] , r1 = σY2 . При гипотезе H1 значения (2.2) – оценки ковариационных (вторых начальных) моментов 37

)

(

µ k = M ( yi + sYi ) yi +k −1 + sY (i + k −1)  = rk + si sY (i + k −1) > rk .   Статистика обнаружения задается как скалярное произведение ˆ, (2.3) γ = GT R

где G – неслучайный вектор. При n = m в (2.2) уравнение статистики n g n −1 ˆ = g1 γ = GT R yk2 + 2 yk yk +1 + ... + g n y1 yn n k =1 n − 1 k =1

∑

∑

(2.4)

есть уравнение поверхности d второго порядка в n-мерных декартовых координатах. ˆ N , γ | H 1 = GT R ˆ N +S ; При гипотезах H0 и H1 статистика γ | H 0 = GT R пусть ее математические ожидания заданы равными m0 = M [γ | H 0 ] = GT R N = 0, m1 = M [γ | H1 ] = GT R S = 1;

(2.5)

ˆ | H 0  ; R – вектор квазикорреляционных моментов деR N = M  R S  терминированного сигнала SY, формально определяемый заменой в (2.3) случайных значений yi на неслучайные sYi. Дисперсия статистики (2.4) при гипотезе H0 и ее второй начальный момент при гипотезе H1 равны σ02 = GT B0G, µ12 = GT B1G,

(2.6)

где B0 – корреляционная матрица оценок (2.3), B1 – ковариационная матрица смещенных оценок. В соответствии с МДНС-правилом вектор G находится из условия минимизации дисперсии σ02 при ограничениях (2.5). Функция Лагранжа [58] F2 = GT B0G + λ 0GT R N + λ1GT R S ;

уравнение ∂F2 / ∂G = 2B0G + λ 0R N + λ1R S = 0

с учетом ограничений определяет минимизирующий вектор [57]

(

)

G = c−1 a00B0−1R S − a01B0−1R N ,

где коэффициенты 2 c = a00a11 − a01 ,

38

(2.7)

a00 = R TN B0−1R N , a01 = R TN B0−1R S , a11 = R TS B0−1R S .

(2.8)

Минимальная дисперсия равна 2 σ0min = c −1a00 .

(2.9)

Вектор (2.7) задает обнаружитель, называемый далее корреляционным в соответствии со смыслом соотношений (2.2). Корреляционное обнаружение (КО) получено как решение экстремальной задачи о дисперсии статистики (2.4) с двумя ограничениями. В общем случае математические ожидания статистики

(

)

m0 = GT R N ≠ 0, m1 = GT U 2 R S + R N .

Дисперсия и второй начальный момент (2.6) характеризуют рассеивание статистики при гипотезах H0 и H1. Функция Лагранжа F1 = GT B0G + λU 2GT R S

соответствует минимизации дисперсии статистики при гипотезе H0 с одним ограничением – заданием разности математических ожиданий

(

)

∆m = m1 − m0 = GT U 2 R S + R N − GT R N = U 2GT R S = L.

В этом случае решение имеет вид [56] −1 L B0 R S ; U 2 R TS B0−1R S

(2.10)

T −1 L2 1 L R S B0 R N 2 σ = . , m m L ; = + 0min 1 0 T −1 4 2 T −1 U R S B0 R S U R S B0 R S

(2.11)

G=

m0 =

В отличие от задачи с ограничениями (2.5) допускается совместное смещение математических ожиданий, определяемое значением m0. Корреляционное обнаружение с одним ограничением далее обозначается КО1. Статистика γл линейного обнаружения определяется уравнением дискретной согласованной фильтрации BG л = S и имеет дисперсию σ2л = GTл BG л = ST B −1S.

(2.12) 39

В двумерном случае (n = 2) Y | H 0 ∈ Ν (0, B ) , Y | H1 ∈ Ν (S, B ) , T 2 2 S = [s1, s2 ] ; векторы R S =  sY 1 + sY 2 / 2; sY 1sY 2  , R TN = σ2 [1; ρ] . Корреляционная матрица B0 оценок (2.2) имеет элементы

(

T

(

)

)

b11 = b22 = σ4 1 + ρ2 ,

коэффициенты

b12 = b21 = 2σ4ρ;

(

)

(

)

a00 = 1, a01 = sY21 − 2ρsY 1sY 2 + sY2 2 / 2σ2 1 − ρ2 , , a11 =

(

1

4σ 4 1 − ρ

)

2 2

(

)(

 2  2 2  1 + ρ  sY 1 + sY 2  

)

2

+ 4 sY21sY2 2  − 

)}

(

− 8ρsY 1sY 2 sY21 + sY2 2 ;

(

c = A2 / σ4 1 − ρ2

) , A = sY 1sY 2 − ρ (sY21 + sY2 2 ) / 2 . 2

Вектор (2.7) и дисперсия (2.9) статистики КО равны

(

2 GT = A−1 [−ρ;1], σ0min = σ4 1 − ρ2

)

2

/ A2 .

(2.13)

Значение смещения L при КО1 не принципиально. При L = U2 дис−1 . При s = s = U для 2 персия статистики КО1 (2.11) равна σ0min = a11 Y1 Y2 КО и КО1 −4 −4 2 2 σ0min = (1 + ρ ) d вх , σ0min = d вх / 2. 2

(2.14)

Следует подчеркнуть характерное свойство корреляционного обнаружения – обратную пропорциональность дисперсии статистики при гипотезе H0 четвертой степени отношения сигнал-шум d вх = U / σ . 2.2. Разделяющие функции

(

)

Пусть сигнал X = [ x1, x2 ] , X | H 0 ∈ Ν (0, σI ) , X | H1 ∈ Ν S, σ 2 I , формируемый двумя отсчетами непрерывного входного сигнала x(t), преобразуется в сигнал ZT = [ z1, z2 ] =  x12 , x22  . Значения zi сигнала Z имеют   χ2-распределение с одной степенью свободы с плотностями: при гипотезе H0 T

f0 ( z ) =

40

z 1 exp  −  ;  2 2πz

(2.15)

при гипотезе H1 (плотность нецентрального χ2 – распределения [4,33])

( )

k

zλ 2  z + λ2  ∞ 1 exp  − = f1 ( z ) =  2  k =0 2 2 k k ! Γ  1 + k  2z    2 

∑

(

)

2k

 z + λ2  ∞ λ z  z + λ2  1 1 exp  − exp  − = =   ch λ z , 2  k =0 (2k )! 2  2πz 2πz  

∑

(

(

)

)

λ 2 = λ12 + λ 22 = s12 + s22 / σ2 .

Отношение правдоподобия Λ ( Z ) = f1 ( Z ) / f 0 ( Z ) = T ( Z; S )

есть достаточная статистика  λ 2 + λ 22  T ( Z; S ) = exp  − 1  ch λ1 z1 ch λ 2 z2 2  

(

) (

)

(2.16)

обнаружения сигнала по правилу отношения правдоподобия Λ ( Z ) > c → H1 ,

критический уровень c определяется конкретным критерием. Уравнение линии равных значений отношения правдоподобия (разделяющей функции [34] – функции, разделяющей пространство значений Z на области Ω0 и Ω1 принятия решения в пользу гипотез H0 и H1) Λ(Z) = c записывается (рис. 2.2) z2 =

{

λ 2−1arch

((

(ac / ch (λ

1

) )

))} , 2

z1

2 2 где a = exp λ1 + λ 2 / 2 ; 0 ≤ z1 ≤ A , A = λ i−2 arch 2 ( ac ) . На рис. 2.2: кривая 1 – λ1 =1,5; λ 2 = 1,0; кривая 2 – λ 1 =1,0; λ2=1,5; кривая 3 – λ1 = 1,0; λ2= 3; кривая 4 – λ1 = λ2 =3,0.

z2/σ 8 4 0

Ω1

1 3 4

2 10

20

30

z1/σ

Рис. 2.2. Разделяющие функции

41

Рабочая характеристика (табл. 2.1, Dl – вероятность линейного обнаружения с дисперсией статистики (2.12)): A z2

F = P ( Z ∈ Ω0 ) = 1 − ∫ ∫ f 0 ( z1, z2 ) dz1dz2 = 0 0

A

= 1−

{ (

) }

2 2Φ λ 2−1arch (ac / ch (λ1t1 )) − 1 dt1, 2π ∫0

D = P ( Z ∈ Ω1 ) =

1 2 2π

{

A

∫ {exp (− (t1 − λ1 ) / 2 ) + exp (− (t1 + λ1 ) / 2 )}× 0

}

× Φ (β (t1 ) − λ 2 ) + Φ (β (t1 ) + λ 2 ) dt1. Таблица 2.1 dвх = 1 F D Dl

λ 1 = λ2

0,0003 0,0021 0,0200 0,1286 0,2821 0,3923 0,5763 0,7183 0,0090 0,0325 0,1329 0,3849 0,5761 0,6745 0,8016 0,8793 0,0223 0,0737 0,2612 0,6106 0,7989 0,8730 0,9459 0,9768

Обнаружение нелинейно преобразованного сигнала по правилу отношения правдоподобия в данном случае уступает линейному обнаружению сигнала S в δ-коррелированном (дискретном белом) шуме. Формальная причина этого – переход от линейной статистики с нормальным распределением к χ2-статистике. Этот пример иллюстрирует геометрическую трактовку задачи обнаружения, состоящую в разбиении разделяющей функцией (РФ) пространства значений входного сигнала X на области Ω0 и Ω1, такие, что при X ∈ Ω0 или X ∈ Ω1 принимаются решения соответственно в пользу гипотез H0 или H1. Разделяющие функции в форме кривых или поверхностей второго порядка приведены в [34] для классификации гауссовых выборок при B1 ≠ B 2 X 0 = N 0 , X1 = N1 + S; N ∈ Ν (Mi , Bi ) , i = 1, 2.

Линейное обнаружение детерминированного сигнала в аддитивном стационарном гауссовом шуме – частный случай классифика42

ции (B1 = B2) с линейной РФ, для двумерного сигнала определяющейся уравнением

( s1 − ρs2 ) x1 + ( s2 − ρs1 ) x2 = γ л σ2 (1 − ρ2 ),

(2.17)

в котором s1, s2 – значения сигнала S; σ2, ρ – дисперсия и коэффициент корреляции значений сигнала X; γл – линейная статистика. В общем случае РФ d(X;R) не является линией равных значений отношения правдоподобия и может с ним не быть связанной. Разделяющая функция – геометрический образ векторной статистики; нелинейная РФ равносильна нелинейной статистике, формируемой при нелинейном преобразовании сигнала. Общий вид РФ может назначаться, параметры R должны оптимизировать решение по выбранному правилу. Разделяющая функция, соответствующая статистике (2.4), определяется собственными значениями матрицы C коэффициентов cij произведений аргументов yi и yj в уравнении второго порядка [59–61] n

n

i =1

i≠ j

d ( y, c ) = ∑ cii yi2 + 2∑ cij yi y j + ... .

(2.18)

Если собственные значения λi матрицы C, i = 1, …, n, разнополярны, уравнение РФ dh описывает гиперболоид; если все λi > 0, de – эллипсоид; если одно из собственных значений равно нулю, dp – параболоид. В двумерном случае вектор (2.13) задает статистику

( (

)

)

γ h = GT Z = A−1 −ρ y12 + y22 / 2 + y1 y2 ,

(2.19)

элементы матрицы C равны c11 = c22 = -ρ/2A, c12 = c21 = 1/2A. Собственные значения разнополярны (λ1 = –1–ρ < 0, λ2 = 1–ρ > 0), КО есть МДНС2обнаружение (второго порядка) с гиперболической РФ (гиперболическое обнаружение). Если вектор (2.13) записать в обратном порядке GT = A−1 [1; −ρ],

то собственные значения матрицы C λ1 = 1–ρ > 0, λ2 = 1+ρ > 0 станут соответствовать корреляционному обнаружению с эллиптической РФ (эллиптическому обнаружению). Оптимальным МДНС2-обнаружением, как показано в разд. 2.1, является гиперболическое. В двумерном случае РФ – гипербола, эллипс или парабола 43

d h = ay12 + 2by1 y2 + ay22 = γ h , d e = ay12 + 2by1 y2 + ay22 = γ e , d p = ay12 + by2 = γ p ,

(2.20)

соответствуют статистикам γh, γe – линейным комбинациям выборочной дисперсии и выборочного корреляционного момента

(

)

S 2 = y12 + y22 / 2, S R = y1 y2

(2.21)

или статистике γp – комбинации одномерных моментов второго и первого порядков. Уравнение гиперболической РФ, следующее из (2.19), d h = y12 −

2 2A y1 y2 + y22 = − γh. ρ ρ

(2.22)

Смысл равенств d = αγ в (2.20), (2.22) состоит в том, что статистика и РФ описываются одинаковыми уравнениями: реализация сигнала (точка Yk) принадлежит некоторой кривой dk, расположенной либо внутри, либо вне заданной выпуклой РФ d (в области Ω0 или Ω1). Уравнение (2.18) может быть приведено к каноническому виду поворотом координатных осей "старой" системы O', описывающимся оператором A n = UTγ ,

(2.23)

Uγ – ортогональная матрица собственных векторов (вектор-столбцов) матрицы C [59,60]. Координаты собственных векторов есть их направляющие коэффициенты, что и определяет приведение к канонической форме как описание в "новой" собственной системе координат O: "старые" векторы V' преобразование (2.23) в системе O приводит к виду V = A n V′ = UTγ V′.

(2.24)

Разделяющие функции второго порядка в каноническом виде могут быть записаны следующим образом: dh =

a j x 2j

−

n −1

∑

i =1,i ≠ j

44

n

ai2 xi2

= c; d e = ∑ ai2 xi2 = c; i =1

dp = xj −

n −1

∑

i =1,i ≠ j

ai2 xi2 = c.

(2.25)

Рабочие характеристики МДНС2-обнаружителей рассчитываются как вероятности ложной тревоги F(c) и обнаружения D(c)-функции параметра c.

45

3. МДНС-ОБНАРУЖЕНИЕ В БЕЛОМ ШУМЕ 3.1. Корреляционное обнаружение Если линейное преобразование φ (рис. 2.1) – преобразование тождества Y = X, на входе блока нелинейного преобразования ψ действует сумма δ-коррелированного шума и сигнала ST = U[1, 1,…, 1]:

(

)

(

)

X | H 0 ∈ N 0, σ2 I , X | H1 ∈ N S, σ2 I .

Корреляционная матрица B0 в этом случае – диагональная с элементами b11 = 2σ4 / n; b22 = σ4 / (n − 1); ...; b jj = σ4 / (n − j + 1) при j >2.

Векторы R TN = σ2 [1;0;...;0] , R TS = U 2 [1;1;...;1] , квадратичные формы (2.8) равны a00 =

( )

2 n n 2 4 , a01 = d вх , a11 = U 4 Sp B0−1 = n d вх , 2 2 2

где отношение сигнал-шум d вх = U / σ ; Sp – след матрицы. Вектор GT =

2 [0; g2 ; g3;...; gn ], gi = n − i + 1. n (n − 1)U 2

Статистика КО (2.4) γ=

2 n (n − 1)U 2

n n −i +1

∑ ∑ x j xi+ j−1 i = 2 j =1

(3.1)

имеет дисперсию (2.6) 2 σ0min =

2 −4 d вх . n (n − 1)

В матрице C коэффициентов уравнения (3.1), представленного в форме (2.18), диагональные элементы cii = 0, недиагональные элементы cij = 1/ n ( n − 1)U 2 . Ее собственные значения 46

λ1 = λ 2 = ... = λ n −1 = −1/ n (n − 1)U 2 , λ n = 1/ nU 2

разнополярны и задают каноническую форму РФ (2.25), соответствующую статистике КО (3.1), в виде двуполостного гиперболоида d h = (n − 1) xn2 −

n −1

∑ xi2 = c.

(3.2)

i =1

Прямоугольный сигнал тем же каноническим преобразованием (2.24) приводится к виду STc = U 0;0;...;0; n  ,

(3.3)

т. е. (2.24) становится оператором совмещения вектора сигнала с одной из осей координат. Шум остается δ-коррелированным, дисперсия не изменяется. Каноническое преобразование приводит к тому, что при гипотезах H0 и H1 статистика отличается одним отсчетом xn. В таком случае наиболее эффективно линейное обнаружение с отношением сиг2 , так как возведение статистики в квадрат нал-шум d 2 = U 2 n / σ2 = nd вх не увеличивает ее эффективность (разд. 2.2). В двумерном случае уравнение гиперболической РФ (3.1) имеет вид (рис. 3.1) γ h = y1 y2 = c′. y2 dл

(3.4)

Ω1

dл

U

Ω0

Ω1 0 c

Ω0 0'

c'

U Ω0

Рис. 3.1. Гиперболическая разделяющая функция

y1 x1

2U

x2

Ω0

Рис. 3.2. Каноническая гиперболическая функция

Из двух ветвей гиперболы в качестве разделяющей функции следует использовать одну, так как при этом вероятность ложной тревоги умень47

шается в два раза, вероятность обнаружения уменьшается незначительно. Матрице

1 1 U γ = 1/ 2   −1 1 соответствует оператор (2.23) поворота на 45° по часовой стрелке, как показано на рис. 3.2. Центр кругового рассеивания при гипотезе H1 из точки (U,U) смещается в точку 0, 2U , уравнение (3.4) в каноническом виде записывается

(

)

x12 − x22 = −U 2 . В n-мерном КО разделяющая функция в канонической форме xn =

c2 +

n −1

∑ xi2 / (n − 1) =

c2 + z 2 ,

i =1

задает одну полость гиперболоида. Для КО1 вектор (2.10) GT =

2 [n / 2; n − 1; n − 2;...;1] n 2U 2

формирует статистику 2  n n −1 n  1  1  2  γ2 = 2 2 xi + 2 xi xi +1 + ... +2 x1 xn  = 2 2  xi  .  n U  i =1  n U  i =1 i =1 

∑

∑

∑

(3.5)

Дисперсия (2.11) при L = U 2 2 −4 d вх n2 обратно пропорциональна четвертой степени отношения сигнал-шум. Статистика линейного обнаружения прямоугольного сигнала в δ-коррелированном шуме 2 σ0min =

γл =

U σ2

n

∑ xi i =1

связана со статистикой (3.5) соотношением −4 2 γ 2 = n −2 d вх α = ςγ 2л ,

48

позволяющим вместо γ2 использовать функционально связанную с ней статистику γ ′2 = γ 2 = γ л и, как КО, привести КО1 к линейному обнаружению. Меньшая эффективность нелинейной статистики γ2 подтверждается следующим расчетом. Статистика γ2 имеет χ2-распределение с одной степенью свободы вида (2.15): f (γ2 | H0 ) =

 γ  1 exp  − 2  , 2πςγ 2  2ς 

(

)

k

γ 2λ 2  γ 2 + ςλ 2  ∞ 1 f ( γ 2 | H1 ) = exp  − = ∑ 2ς  k =0 22k k ! Γ  1 + k  ς k 2ςγ 2    2 

(

 γ + ςλ 2  ∞ λ γ 2 / ς 1 = exp  − 2 ∑ 2ς  k =0 2πzςγ 2 (2k )!  =

)

2k

=

 γ + ςλ 2  1 exp  − 2  ch λ γ 2 / ς , 2ς  2πςγ 2 

(

)

λ 2 = 2σ2л – параметр нецентральности. Вероятности ложной тревоги и обнаружения при n = 2, dвх = 1 (табл. 3.1) ∞

F=

∫ f ( γ 2 | H 0 ) d γ 2 =2 (1 − Φ (

))

a /ς ,

a

∞

D=

∫ f ( γ 2 | H1 ) d γ 2 = 2 − Φ (

) (

a/ς −λ −Φ

)

a/ς + λ .

a

Таблица 3.1 F D Dл

0,0047 0,0073 0,0114 0,0285 0,0736 0,1213 0,2059 0,3711 0,0787 0,1022 0,1323 0,2188 0,3546 0,4478 0,5630 0,7089 0,1181 0,1519 0,1943 0,3122 0,4860 0,8611 0,7236 0,8611

49

Dл – вероятность линейного обнаружения. Нелинейная операция возведения линейной статистики в квадрат неэффективна. Параболическая РФ в случае δ-коррелированного шума, маскирующего прямоугольный сигнал, описывает параболоид вращения с осью, проходящей через начало координат и точку S. Пусть используется каноническое преобразование, приводящее, как при КО, сигнал S к виду (3.3). Тогда уравнение параболической РФ может быть записано xn = a

n −1

∑ xi2 . i =1

Подобно КО при гипотезах H0 и H1 статистика отличается одним отсчетом xn | H 0 ∈ Ν (0,1) , xn | H1 ∈ Ν U n ,1 , достаточным для достижения отношения сигнал-шум

(

)

2 d 2 = nd вх

переходом от нелинейного к функционально связанному с ним линейному обнаружению. Гиперболическое обнаружение и параболическое обнаружение в δ-коррелированном шуме уступают линейному, но могут быть приведены к нему в силу функциональной связи статистик. 3.2. Эллиптическое обнаружение Вектор Y (рис. 2.1) имеет нормальное распределение, следовательно, вероятность попадания в эллипсоид заданного объема, подобный эллипсоиду рассеивания, имеющий с последним общий центр, максимальна. Каноническая форма эллиптической РФ (2.25) de =

n

∑

ai2 xi2

=

i =1

n

∑ λi xi2 = c i =1

σi−2

при λ i = задает уравнение эллипсоида [62], подобного эллипсоиду рассеивания с центром в начале координат (гипотеза H0). Статистика γ ′e =

n

∑ xi′2 , i =1

где xi′ = xi / σi ∈ Ν (0,1) – безразмерные нормированные величины, распределена по закону χ2n . Вероятность попадания χ2n -величины в фик50

сированный интервал [α, ∞ ] (при гипотезе H0 – вероятность ложной тревоги) тем меньше, чем меньше ее дисперсия. Таким образом, условие минимума дисперсии σ02 эллиптической статистики при гипотезе H0 эквивалентно условию максимума вероятности попадания в эллипсоид, т. е. эллиптическая процедура оптимальна в смысле МДНС2-обнаружения. Эллиптическая РФ есть эллипсоид рассеивания de =

n

∑ xi2 / σi2 = c. i =1

В общем случае в пространстве Y эллиптическая двумерная РФ (2.20) определяется коэффициентами a = σ −2 , b = −ρσ −2 : (3.6) d e = y12 − 2ρy1 y2 + y22 = 2 Aγ e ; статистика эллиптического обнаружения (3.6), как и гиперболического, –функция выборочных моментов (2.21); эллиптическое обнаружение задается РФ, каноническая форма которой de =

n

∑ ai xi2 = c i =1

отличается от уравнения гиперболоида постоянством знаков слагаемых и описывает эллипсоид. Дисперсия статистики эллиптического обнаружения при s1 = s2 = U −4 2 σ0min = (1 + ρ ) d вх 2

равна дисперсии (2.14) статистики гиперболического обнаружения. В белом шуме эллиптическая РФ (3.6) d e = x12 + x22 = 2U 2 γ e соответствует вектору (2.13), записанному в обратном порядке: GT = U2[1;0]. N-мерное каноническое уравнение эллиптической РФ (2.25) с нормированными аргументами xi = xi /σ, dвх = U de =

n

∑ xi2 = c i =1

описывает сферу и соответствует статистике γe, имеющей χ2-распределение с n степенями свободы и параметром нецентральности λ 2 | H 0 = 0, λ 2 | H1 = nU 2 :

51

f 0 ( x ) = 2 − n / 2 x n / 2−1 exp ( − x / 2 ) / Γ ( n / 2 ) , f1 ( x ) = x

n / 2−1

((

exp − x + λ

2

∞

) / 2) ∑

k =0

( ).

2 − n / 2− 2k λ 2 x

k

k ! Γ (n / 2 + k )

(3.7)

Функция распределения n α n F0 (α ) = F (α | H 0 ) = γ  ,  / Γ   , 2 2 2 F1 (α ) = F (α | H1 ) =

α

∫ f1 ( x ) dx = 0

= e −λ

2

/2

∞

− n / 2− 2k

2k α

∑ k2! Γ (n / 2 λ+ k ) ∫ x n / 2+k −1 exp (− x / 2 ) dx =

k =0

= e −λ

2

0

/2

∞

(3.8)

∑ k !2k Γλ(n / 2 + k ) γ  n2 + k , α2  . 2k

k =0

Неполная гамма-функция с использованием вырожденной гипергеометрической функции Куммера [63] zν 1 F1 ( ν; ν + 1; − z ) ν и соотношений [63, №7.11.4.1, № 7.2.2.1] приводится к виду γ ( ν, z ) =

γ ( ν, z ) = z ν

( −1)k z k , ∑ ν + k ) k! k =0 ( ∞

| z |< ∞,

что позволяет записать функцию (3.8) как вероятность P (α ) = e −U

2

∞

∞

2 k i + k +1

∑∑ (−1) 2k +i+1 U(k +αi + 1)(k !)2 i ! ≈ i

k =0 i =0

  K I 2  ( −1)i αi +1   , α kU 2 k  α ≈ e −U 1 − e −α / 2 + +  2 k 2 k + 1) i =1 2i +1 (k + i + 1) i !   k =1 2 ( k !)  (  

∑

52

∑

(3.9)

обобщающую выражения для функции распределения: F0 (α ) = P (α | U = 0 ) , F1 (α ) = P (α | U ≠ 0 ).

Например, при n = 2 плотность распределения (3.7) с учетом представления модифицированной функции Бесселя I0(x) степенным рядом [63] записывается f 0 ( x ) = exp ( − x / 2 ) / 2,

(

1 f1 ( x ) = exp − x / 2 − U 2 2

(

)

∞

k

1  U 2x  = 2 2  k !   ( ) k =0

)∑

= exp −U 2 exp ( − x / 2 ) I 0

(

)

2U x / 2

(3.10)

– плотность квадрата величины, распределенной по закону Райса [1,62] при расстоянии между центрами круговых рассеиваний h = λ = 2U . Функция распределения Райса табулирована, например, как вероятность попадания в круг радиуса r, смещенный относительно центра кругового рассеивания на расстояние h с шагом по параметрам 0,1 [62, табл. X]. Значения суммы (3.9) равны табличным при U = h / 2 , α = r2. Суммирование в (3.9) не более десятков слагаемых по i и по k обеспечивает погрешность вычислений порядка 10–5. Так, табличное значение вероятности P = 0,2671 (h = r = 1; U = 1/ 2 , α = 1) достигается при I = 3, K = 2; вероятности P = 0,4599 (h = r = 5; U = 5/ 2 , α = 25) – при I = 47, K = 21. Результаты расчета вероятностей F(α) = 1 – F0(α) = e–a/2 и D(α) = 1– –F1(α) по формуле (3.9) приведены в табл. 3.2–3.4. Эллиптическое обнаружение в белом шуме подобное обнаружению сигнала с неизвестной фазой [1,2], менее эффективно, чем согласованная фильтрация. Таблица 3.2 n=2 F De Dl

dвх = 1

0,0001 0,0010 0,0100 0,1000 0,3333 0,5000 0,7500 0,9000 0,0037 0,0195 0,0845 0,3344 0,6243 0,7531 0,8948 0,9513 0,0106 0,0469 0,1809 0,5529 0,8372 0,9213 0,9816 0,9965

53

Таблица 3.3 n=2 F De Dl

dвх = 1,75

0,0001 0,0010 0,0100 0,1000 0,3333 0,5000 0,7500 0,9000 0,0481 0,1411 0,3544 0,7100 0,8972 0,9459 0,9826 0,9945 0,1066 0,2693 0,5592 0,8838 0,9795 0,9933 0,9992 0,9999

Таблица 3.4 n=2 F De Dl

dвх = 2,50

0,0001 0,0010 0,0100 0,1000 0,3333 0,5000 0,7500 0,9000 0,2654 0,4834 0,7440 0,9422 0,9885 0,9954 0,9990 0,9997 0,4270 0,6722 0,8869 0,9879 0,9990 0,9998 1,0000 1,0000

Этому выводу соответствует характер логарифма отношения правдоподобия в пространстве статистики

( )

k   ∞ 2 −2 k λ 2 γ   λ2 + ln  Γ (n / 2 ) le ( γ ) = − , 2 k ! Γ (n / 2 + k )  k =0   

∑

в двумерном случае, как следует из (3.10), равного

(

)

le ( γ ) = −U 2 + ln I 0 U 2 γ , γ e ≥ 0.

(3.11)

Логарифм отношения правдоподобия линейного обнаружения с линейной РФ вида (2.17) записывается ll ( γ ) = −U 2 + 2U γ, − ∞ < γ l < ∞.

(3.12)

Функции (3.11) и (3.12) следует сравнивать при значениях аргумента, соответствующих одной и той же вероятности ложной тревоги F: γ e = −2ln (1 − Φ ( γ l )).

Функция (3.11), записанная в масштабе линейной функции (3.12),

(

)

le ( γ ) = −U 2 + ln I 0 2U − ln (1 − Φ ( γ )) ,

при всех значениях аргумента −∞ < γ < ∞ имеет меньшую крутизну, чем крутизна 2U функции (3.12). Это следует из того, что для (3.11) и (3.12) при γ ≥ 0 : в точке γ = 0 le = ll = −U 2 ; при γ > 0 54

(

)

UI1 U 2 γ ∂le ( γ ) ∂l ( γ ) ; = < 2U = l ∂γ ∂γ 2γ I 0 U 2γ

(

)

l при выравнивании масштабов точка γe= 0 сдвигается в γ = −∞ , 0 что еще уменьшает крутизну функции le(γ). В результате при γ → ∞ ( F → 0 ) l e (γ) < l l (γ) –5 (рис. 3.3, dвх = 1,75), что и определяет в силу неравенства γ –2 –1 0 1 2 (17) преимущество линейного Рис. 3.3. Логарифм отношения обнаружения. правдоподобия Эллиптическое обнаружение равноэффективно с обнаружением сигнала ZT = [z1, z2]= [ x12 , x22 ] (плотности статистики (2.15)) по правилу отношения правдоподобия с векторной статистикой (2.16) или скалярными статистиками γ = x12 + x22 , γ = x12 + x22 (табл. 2.1). При любой размерности сигнала n вероятность попадания в эллипсоид рассеивания фиксированного объема максимальна, следовательно, эллиптическое обнаружение соответствует правилу минимума вероятности ложной тревоги. Это правило, которое можно трактовать как одностороннее правило Неймана – Пирсона, в случае белого шума оказывается менее эффективным, чем правило Неймана – Пирсона, предписывающее максимизацию вероятности обнаружения при заданной вероятности ложной тревоги. МДНС-обнаружение второго порядка в δ-коррелированном шуме с гиперболической, эллиптической и параболической РФ не превосходят по эффективности согласованную фильтрацию.

55

4. МДНС-ОБНАРУЖЕНИЕ В ОКРАШЕННОМ ШУМЕ Обнаружение детерминированного сигнала S в аддитивном окрашенном гауссовом шуме N приводится к обнаружению в δ-коррелированном шуме сигнала Sc введением декоррелирующего (канонического) преобразования входного сигнала – преобразованием к главным осям, или приведением к главным компонентам [4, 34, 62]. Нелинейное обнаружение естественно сравнивать со считающимся наилучшим линейным – согласованной фильтрацией. Однако существуют более эффективные линейные процедуры. 4.1. Резонансная согласованная фильтрация Физическое или прикладное обоснование какой-либо универсальной модели детерминированного сигнала в окрашенном шуме для общей задачи обнаружения затруднительно. Модели непрерывного прямоугольного сигнала в белом шуме соответствует дискретный сигнал ST = [1;1;…,1], маскируемый δ-коррелированным (дискретным белым) шумом с корреляционной матрицей B = σ2I. Собственные векторы и собственные значения матрицы B есть U = I, Λ = σ2I, так что оптимальный сигнал (10) определяется любым вектором Ui: отношение сигнал2 шум (11) равно d max = U 2 / σ2 . Сигнал S =

n

∑ Ui

прямоугольной фор-

i=1

2 мы обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум d max = nU 2 / σ2 , что и может служить обоснованием применения этой модели. В нелинейном обнаружителе (рис. 2.1) используется линейное окрашивающее преобразование фильтром с весовой функцией h(t). На входе блока нелинейного преобразования ψ сигнал описывается вектором Y | H1 = N + SY , Y | H 0 = N с корреляционной матрицей BY. Статистика формируется вектором G:

γ = G T Z = Gψ ( Y ) .

Решение принимается сравнением статистики γ с критическим уровнем γ0 в блоке П. В работах [56, 57] линейный блок задается в виде последовательного колебательного контура [2] с весовой функцией (1.15) h (t ) = µe −αt sin βt, t ≥ 0, β2 >> α2 .

56

(4.1)

Белый шум n(t) со спектральной плотностью N0/2 преобразуется в нем согласно (2.1) в марковский процесс с функцией корреляции ∞

N R y ( τ ) = 0 h (t ) h (t + τ ) dt = 2

∫ 0

=

σ2n exp

( −α | τ |) (cos βτ + (α / β ) sin β | τ |).

(4.2)

Через интервалы дискретизации ∆ = π/β (полпериода колебаний с круговой частотой β) появляются экстремальные значения сигнала sy(t), рассчитываемого как реакция системы на единичный перепад с коэффициентом U – амплитудой сигнала: s y (t ) = νU 1 − exp ( −αt ) (cos βt + (α / β ) sin βt ) , 0 ≤ t < T ,

(4.3)

s y (t ) = s y (t ) − s y (t − T ) , t ≥ T .

Если в (4.1) параметры задать равными (β2 >> α2)

(

)

α = 1/ 2∆, µ = 2 α α2 + β2 / β ≈ 2π / ∆,

то в (4.2) и (4.3)

(

)

σ2n = βN 0 / 2 = πN 0 / 2∆, ν = 2 αβ / α2 + β2 ≈ 2 / π .

(4.4)

В физически невозможной модели белого шума используется спектральная плотность N0, которую из энергетических соображений следует положить равной нулю. Это противоречие преодолевается в модели частотно-ограниченного белого шума. На выходе наилучшей линейной системы при интенсивности N0 белого шума в полосе круговых частот 0 < ϖ < ϖc или A0 = 2π N0 в полосе 0 < f < F отношение сигнал-шум [8] 2 2 d 2 = 2 FTс d вх ; d вх =

Pс P Eс , = с = Pш A0 F A0 FTc

Tc = n∆; Ec – длительность и энергия сигнала. При ∆ = 1/2F значение спектральной плотности A0 =

Eс 2 d вх FTс

=

2 Ec . 2 nd вх

(4.5) 57

Дисперсия (4.4) с учетом (4.5) равна σ2n =

πN 0 A0 n A0 Eс U2 = = = = . 2 2 2∆ 4∆ 4 Tс 2Tс d вх 2d вх

Отношение сигнал-шум на выходе контура

d ∞2 =

U вых (∞ ) σn2

=

4 ν2U 2 2 ; ξ2 = 2 ν 2 = . = ξ2d вх 2 π σn

(4.6)

Эта оценка контура может быть уточнена в спектральной области. Спектральная функция, соответствующая функции корреляции (4.2) [2]:

(

∞

Sn ( f ) = 4 R ( τ ) cos 2πftdt =

∫ 0

8σ2n α α2 + β2

)

 α + (β + 2πf ) α + (β − 2πf )2     2

2 2

,

при значениях параметров β = π, α = β/4 (рис. 4.1), имеет максимум в точке f 0 = β2 − α2 / 2π . Мощность шума в полосе частот Sn (0, F) F

Pn = σ2 = Sn ( f ) df

∫ 0

0

1

f/f0

2

изменяется следующим образом: при F1 = β/2π и F2 = β/π соответственно σ12 = 0,620σ2n , σ22 = 0,981σ2n ; при 2 2 2 F1 = f0 и F2 = 2f0 : σ1 = 0,981σn , σ2 = 0,978σ2n . Прямоугольный сигнал с амплитудой U и длительностью T описывается спектральной функцией Рис. 4.1. Спектральная функция

S s ( f ) = 2U 2T

sin 2 πTf , π2T 2 f 2

такой, что мощность сигнала ∞

Ps = S s ( f ) df = U 2 .

∫ 0

58

Коэффициент передачи контура по мощности равен Sn(f), следовательно, на выходе ∞

P = S s ( f ) Sn ( f ) df ,

∫ 0

в полосе частот (0, F) F

PF = ∫ S s ( f ) Sn ( f ) df . 0

Значения отношений η = P/Ps, ς = PF/P, d2 = PF/Pn = PF/σ2 приведены в табл. 4.1, 4.2. Таблица 4.1 F = f0

U=1

η

1/10 0,20

1/2 0,83

2 0,72

3 0,71

4 0,67

5 0,66

7 0,64

10 0,63

50 0,61

ς d2

0,59 0,20

0,64 0,91

0,96 1,18

0,92 1,11

0,97 1,11

0,95 1,08

0,97 1,06

0,98 1,06

1,00 1,03

n=T/∆

Таблица 4.2 F = 2f0

n=T/∆

U=1

η

1/10 0,20

1/2 0,83

2 0,72

3 0,71

4 0,67

5 0,66

7 0,64

10 0,63

50 0,61

ς d2

0,98 0,20

0,99 0,84

1,00 0,73

1,00 0,72

1,00 0,68

1,00 0,67

1,00 0,66

1,00 0,64

1,00 0,62

Увеличение коэффициента затухания контура от α = 1/2 до α = π/4 приводит к уменьшению отношения сигнал-шум (4.6). Полоса частот F = f0 близка к оптимальной, увеличение полосы до F = 2f0 уменьшает отношение сигнал-шум за счет роста мощности шума. Ограничение полосы частот незначительно уменьшает мощность сигнала (отношение ς = PF > 0,9 при длительности сигнала два и более отсчетов). Из этих соображений следует, что при введении в структуру обнаружителя (рис. 2.1) фильтра нижних частот с полосой пропускания F ≈ f 0 ≈ β / 2π и соответствующем выборе коэффициента затухания кон2 , а тура линейный блок обеспечит приблизительное равенство d 2 ≈ d вх 59

сигнал на его выходе будет близок к сигналу (4.3). При этом интервал дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова ∆ = 1/ 2 F = π / β = 1.

Значения коэффициентов β = π, α = π/4 соответствуют контуру с малой добротностью; как следует из (4.2), коэффициент корреляции соседних отсчетов равен ρ = –exp(–π/4) = –0,456. Такое задание интервала дискретизации приводит функцию корреляции (4.2) к виду R y ( τ ) = σ2n exp ( −α | τ |).

(4.7)

Векторы NYT = [n1; n2 ; ...; nm ] , SYT = [s1; s2 ; ...; sm ] , описывающие шум и сигнал на входе нелинейного блока (см. рис. 2.1), могут формироваться различными способами, в том числе следующим. Колебательный контур описывается дискретной весовой функцией HT = [h1; h2 ; ...; hk ],

hi – отсчеты функции (4.1), взятые с интервалом ∆. Сигнал на выходе SY = HT S X ,

есть дискретная свертка полного входного сигнала STX = U [1;1; ...;1] . При длительности сигнала T = n∆ и известном времени прихода (совпадении его переднего фронта с узлом дискретизации) SYT = U [s1; s2 ;...; sn ; sn +1; sn + 2 ;...], 2

n

n+1

(4.8) 2

n+2

s1 = 1–ρ, s2 = 1–ρ , sn = 1–ρ ; sn+1 = 1–ρ , sn+2 = ρ –ρ ,... – отсчеты сигнала (4.3). При цифровой обработке одиночного сигнала или сигналов с достаточной скважностью переходные процессы формирования заднего фронта могут не учитываться. Коэффициент µ в (4.1) определяется из условия равенства значений si вектора SY отсчетам сигнала (4.3). Для параметров контура β = π, α = π/4 и узлов отсчетов ti = t1 + (i –1)∆ = t1 + i – 1, t1 = 1/2 коэффициент µ = 2,1562, вектор HT = [1,4559; –0,6638; 0,3027; –0,1380; 0,0629;...] формирует сигнал (4.8) со значениями SYT = U 1 − ρ;1 − ρ2 ;... = U [1,4559; 0,7921; 1,0948; 0,9568;...].  

(4.9)

Далее сигнал SY подвергается согласованной фильтрации. Уравнение дискретной согласованной фильтрации 60

BY V = ϑSY

определяет весовой вектор VT = ϑU σn−2 [2,2940; 2,6761; 2,6761;...; 2,6761; 1,8380],

коэффициент ϑ определяется из условия сохранения энергии сигнала при его обработке пассивным контуром EY = ϑ2SYT SY ∆ = nU 2 ∆ = E X .

Как отмечалось, эффективность линейного обнаружения в окрашенном гауссовом шуме определяется не только энергией, но и формой сигнала. Оптимальный сигнал есть собственный вектор Uk корреляционной матрицы BY  1 ρ  1 BY = σn2  ρ 

ρn −1 ρn −2 

ρ2 ρ














ρn −1   ρn −2  ,
 1 

(4.10)

bij = R ( i − j ∆ ) – корреляционные моменты отсчетов шума – значения экспоненциальной функции (4.7). Согласованная фильтрация сигналасобственного вектора обеспечивает отношение сигнал-шум, обратно пропорциональное собственному значению λk [18–21]. Сравнение отношения сигнал-шум

d л2 = VT BY V,

(4.11)

обеспечиваемое сигналом (4.9), со значениями d k2 = λ k−1 определяет относительную эффективность прямоугольного сигнала по отношению к сигналам Sk = Uk. Усеченный до n первых отсчетов сигнал (4.9) оказывается близким по эффективности к одному из сигналов-собственных векторов, несмотря на различия их форм. Напри2 = 12,4275U 2 / σn2 для сигнала мер, при n = 5 значение d12 = d max S1T = U1T = 5U [0,2389; 0,5077; 0,6084; 0,5077; 0,2389] превышает значение (4.11): d л2 = 10,8659U 2 / σn2 сигналы ST2 = UT2 = 5U [0,4409; 0,5528; 0; –0,5528; –0,4409] и ST3 = UT3 = 5U [0,5639; –0,0883; 0,5903; –0,0883; –0,5639] дают d 22 = 9,9201U 2 / σ2n и d 32 = 6,7630U 2 / σ2n соответственно. Таким образом, прямоугольный сигнал ближе к сигналу ST2 , 61

чем к S1T или к ST3 . В белом шуме структура обнаружителя "колебательный контур – согласованный фильтр" обеспечивает отношение сигнал-шум, в k = d л2 / n = 2,173 раза большее, чем согласованный фильтр. Тот факт, что различные по форме сигналы равной энергии имеют различную эффективность, показывает приоритет формы, а не энергии: переход от S = U1 к S = U3 уменьшает отношение сигнал-шум вдвое; с другой стороны, можно допустить существование сигнала S ≠ U1 , равноэффективного с S = U1. Далее обнаружитель со структурой "колебательный контур – согласованный фильтр" называется резонансным согласованным фильтром, 1 – обнаружение с максимальным отношением сигнал-шум d max = λ −min оптимальным линейным обнаружением. Таблица 4.3 2 d вх =1

n d m2 d л2

κ k

d н2•

d н2••

2 3,676

3 6,655

4 9,574

5 12,43

6 15,24

7 18,01

9 23,51

12 31,67

15 39,78

3,491

5,681

8,350

10,87

13,51

16,12

21,41

29,38

37,37

1,745 1 – –

1,894 1 5,010 4,834

2,088 1 7,797 8,241

2,173 2 11,10 11,33

2,252 2 14,19 14,59

2,303 2 17,41 17,77

2,379 2 23,78 24,21

2,448 2 33,33 33,86

2,491 3 42,76 43,52

2 В табл. 4.3 d m2 = d max = λ1−1 – потенциально достижимое отношение 2 сигнал-шум; d л – отношение сигнал-шум для резонансной согласованной фильтрации; k – номер ближайшего к прямоугольному сигналу собственного вектора. Эффективность линейного обнаружения d m2 и d л2 связана с энергией дискретного сигнала (размерностью n) нелинейно. Резонансная согласованная фильтрация несколько уступает оптимальному линейному обнаружению (проигрыш в отношении сигнал-шум порядка 0, 5 дБ). Представляет интерес сопоставление дискретной резонансной согласованной фильтрации с непрерывной. Уравнение согласованной фильтрации (1.1) с ядром вида (4.2) и правой частью (4.3), показанными на рис. 4.2 – 1 и 4.2 – 2 для дисперсии σ2 = 1 и параметров β = π, 2 α = π/4, n = 5, d вх = 1 (∆ = 1, энергия сигнала Ey = n), приближенно может быть решено методом повторных функций [48]. На рис. 4.3 при-

62

RY

SY 2

3

1

1

3 0

t/T

0

0,5

1,0

1,5

Рис. 4.2. К уравнению согласованной фильтрации

ведено соответствующее решение g(t)/gmax при числе слагаемых в сумме (1.9) N = 100, полученное с использованием той же программы, что и в примере 1.2, при интегрировании по формуле трапеций в 91 узле на интервале 2T, T = n. Воспроизводится сигнал s•y (t ) с энергией Es• = 0,974n (рис. 4.2 – 3) с погрешностью, превышающей значения 0,02 si на краях интервала [0, T], внутри интервала погрешность не превышает 0,01smax . Отношение сигнал-шум (4) на выходе непрерывной системы d н2• (табл. 4.3) ( d н2•• получено на интервале T; энергия сигнала нормировалась к величине Es = T = n) оказывается довольно 2 близким к значениям d л на выходе ее дискретного аналога. g/gmax 0,8

0,4

0

t/T 0,5

1,0

1,5

Рис. 4.3. Решение интегрального уравнения

63

Превосходство резонансной согласованной фильтрации над согласованной фильтрацией является следствием определяющего значения формы сигнала. 4.2. Линейные преобразования сигнала Может возникнуть вопрос о возможности преобразования входного прямоугольного сигнала в оптимальный сигнал соответствующим линейным блоком [65]. Пусть дискретный входной сигнал SX, маскируемый гауссовым шумом с корреляционной матрицей BX, преобразуется линейной системой, описываемой оператором A, в сигнал SY = AS X = E U1Y

с энергией E, U1Y – собственная функция матрицы B Y = AB X AT ; сигнал на входе должен быть равен S X = A −1SY . Матрица BY в виде 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 T BY = B1/ Y BY = AB X B X A

определяет оператор 2 −1/ 2 α α T A = B1/ Y B X , B = UΛ U .

(4.12)

Тогда 2 S X = E B1/X 2 BY−1/ 2 U1Y = E B1/X 2 UY ΛY−1/ 2 UYT U1Y = E λ1−1/ 2 B1/ X U1Y .

Энергия сигнала SX E X = E λ1−1U1TY B X U1Y

должна в η = E X / E = λ1−1U1TY B X U1Y раз превышать энергию E сигнала SY. Например, при BX = σ2I η = σ2λ1−1.

Таким образом, реальный смысл имеет внешнее задание оптимального сигнала. Свойство колебательного контура формировать сигнал, приближающийся к оптимальному без потерь в отношении сигнал-шум, представляется в этом смысле нетривиальным. Линейные преобразования с весовой функцией, отличной от (4.1), могут привести к другим результатам. Например, апериодическое звено (интегрирующая цепь [2]) с весовой функцией h (t ) = µ exp ( −αt ) , t ≥ 0,

64

(4.13)

преобразует белый шум в процесс с функцией корреляции R ( τ ) = σ2 exp ( −ατ ) , σ2 = µ 2 / 2α, τ ≥ 0,

прямоугольный сигнал с амплитудой U – в сигнал s (t ) =

µ U (1 − exp ( −αt )). α

При µ = α = π/4 дисперсия шума равна σ2 = π/4, отношение сигнал-шум d ∞ = s (∞ ) / σ = 2U / π . В дискретном варианте при использовании отсчетов с интервалом ∆ = 1 коэффициент корреляции соседних отсчетов шума ρ = exp ( −π / 4 ) отличается от коэффициента корреляции для колебательного контура только знаком. В этом режиме абсолютные значения отсчетов весовых функций (4.1) и (4.13) (за исключением первого) совпадают, в обоих случаях формируются марковские нормальные процессы. Собственные значения корреляционных матриц шума на выходе колебательного контура и интегрирующей цепи одинаковы, матрицы собственных векторов отличаются только знаками составляющих, т. е. ориентацией корреляционных эллипсоидов. Интегрирующая цепь и последовательный колебательный контур формально равноэффективны. Тем не менее, за счет иной формы сигнала на выходе отношение сигнал-шум, обеспечиваемое структурой "интегрирующая цепь – согласованный фильтр", существенно ниже, чем на выходе резонансного согла2 (табл. 4.4). сованного фильтра, и лишь приближается к величине nd вх Таблица 4.4 2 d вх =1

n d m2 d л2

2 1,705 3,676

3 2,657 6,655

4 3,609 9,574

5 4,560 12,43

6 5,512 15,24

7 6,643 18,01

9 8,366 23,51

12 11,22 31,67

15 14,08 39,78

Колебательный контур может описываться оператором A, формирующим выходной сигнал Y = AX (4.14) в виде последовательности векторов Y1, Y2,..., а не отсчет за отсчетом. Интервал ∆V между формируемыми векторами Xi и Xi+1 задается произвольным; ∆Vmin = ∆; корреляционная матрица BY = ABXAT; сигнал SY = =ASX. Линейное преобразование (4.14) не увеличивает отношение сиг65

нал-шум: на выходе согласованного фильтра с предварительным преобразованием A

( )

dY2 = SYT BY−1SY = STX AT AT

−1

B −X1A −1AS X = STX B −X1S X = d X2 .

Если в окрашенный шум с дисперсией σY2 преобразуется δ-коррелированный шум с B X = σ2X I , то оператор преобразования (4.12) 2 −1 1/ 2 T −1 1/ 2 T A = σ −X1B1/ Y = σ X UΛ U = σY σ X UΛ 0 U ,

(4.15)

Λ0 – матрица собственных значений, соответствующая дисперсии σY2 = 1 . Степень 1/2 матрицы Λ определяет возможность записи оператора (4.15) со значениями ±λ i , i = 1, …, n, т. е. существование 2n равносильных операторов окрашивания (точно так же могут существовать 22n операторов "перекрашивания"). Множеству операторов соответствует множество различных сигналов SY, обеспечивающих одно и то же отношение сигнал-шум d 2 = SYT BY−1SY , в случае прямоугольного сигнала и δ2 . Например, при размерноскоррелированного шума, равное d 2 = nd вх ти сигнала n = 5, σ2X = σY2 = 1 процесс с корреляционной матрицей (4.10), ρ = − exp ( −π / 4 ) , может быть сформирован из δ-коррелированного шума тридцатью двумя способами. Один из операторов вида (4.15) 1/ 2 2 при назначении λ1/ = λi , i ≥ 2 , 1 = − λ1 , λ i

 0,8976  −0,3816 A =  −0,1061   −0,1838  −0,0603

− 0,3816 0,6175 −0,6137 −0,2502 −0,1838

−0,1061 −0,6137 0,4734 −0,6137 −0,1061

−0,1838 −0,0603 −0,2502 −0,1838  −0,6137 −0,1061 .  0,6175 −0,3816 −0,3816 0,8976 

Прямоугольный сигнал при этом преобразовывается в один из сигналов SYT = U [0,8029; 0,5420; 0,6560; 0,5420; 0,8029], SYT = U [0,1658; − 0,8119; − 0,9664; − 0,8119; 0,1658], SYT = U [0,1105; 0,4335; 1,3809; 0,4335; 0,1105],

(4.16) SYT = U [0,5267; 0,9203; 0,2414; 0,9203; 0,5267], 2 имеющих энергию E = 2,3071U ∆ и обеспечивающих отношение сигнал2 . Применение этой процедуры для описания интегрируюшум d 2 = 5d вх 66

щей цепи (формирования процесса с коэффициентом корреляции ρ = exp ( −π / 4 ) ) приводит к тому, что энергия сигнала SY становится больше энергии входного сигнала SX (EY = 10,3693U2∆, EX = 5U2∆). Ограничение для пассивной системы EY = EX уменьшает отношение сигнал-шум до 2 . Как и при описании весовым вектором, интегвеличины d 2 = 2,4131d вх рирующая цепь менее эффективна, чем колебательный контур. Таким образом, эффективность линейного обнаружения дискретного сигнала определяется способом его реализации. Так, отличия сигналов (4.16) и (4.8) предопределяют различную эффективность при одних и тех же корреляционных свойствах шума. Далее линейное обнаружение с описанием преобразования в колебательном контуре оператором (4.14) называется векторным обнаружением. 4.3. Характеристики МДНС2-обнаружения двумерного сигнала Общее решение задачи МДНС2-обнаружения приведено в разд. 2.1. Здесь рассматривается проверка простых гипотез о двумерном сигнале (на входе нелинейного блока два отсчета, взятые через интервал ∆). Каноническое преобразование [62] окрашенного гауссова шума Y x1 = ( y1 + y2 ) / σ 2 (1 + ρ ),

x2 = ( − y1 + y2 ) / σ 2 (1 − ρ )

(4.17)

приводит уравнения гиперболической и эллиптической РФ (2.25) к виду x12 − x22 =

2A γh , σ 1 − ρ2 2

(

x12 + x22 =

)

2A γ 2e , 2 σ 1− ρ 2

(

)

(4.18)

показанному на рис. 4.4. x2

x2

Ω1 de

Ω0

x'2

Ω0

dh sc1

sc1 O0 sc2

x1 O1

O0

ν

sc2

Ω1

O1

Ω1 x1 x'1

Рис. 4.4. Преобразованные разделяющие функции

67

Значения сигнала (4.8) s1 = U(1 – ρ), s2 = U(1 – ρ2) преобразуются в безразмерные sc1 =

(1 − ρ )(2 + ρ ) d , вх 2 (1 + ρ )

sc 2 =

ρ (1 − ρ )

2 (1 − ρ )

d вх ,

d вх =

U , σ

(4.19)

эллиптическое рассеивание приводится к круговому: X | H 0 ∈ Ν (0, I ) , X | H1 ∈ Ν (S c , I );

(4.20)

РФ (4.18) поворачиваются на 45°, расстояние между центрами изменяется от h = 2d вх до hс =| O0O1 |= sc21 + sc22 = d вх

(1 − ρ ) (2 − ρ2 ) / (1 + ρ ).

(4.21)

Отношение квадратов расстояний

(

2 hc2 (1 − ρ ) 2 − ρ η = 2 = 2 (1 + ρ ) h 2

)

(4.22)

имеет смысл коэффициента увеличения отношения сигнал-шум за счет линейного преобразования сигнала по сравнению со случаем белого 2 шума, когда s1 = s2 = s = U. Коэффициент (4.22) равен η = 1 при некор2 2 релированных отсчетах, η < 1 при ρ > 0, η > 1 при ρ < 0. Формально при ρ → −1 расстояние (4.21) hc → ∞ , отношение η2 → ∞ , однако, уменьшение коэффициента корреляции ρ связано с уменьшением параметра затухания γ, т. е. с переходом к колебательному режиму, выходящему за рамки рассматриваемой модели. Если центр рассеивания O1 поворотом системы координат X к системе X' совместить с одной из осей, повернув одновременно гиперболическую РФ (рис. 4.4), то максимизируется вероятность обнаружения при сохранении вероятности ложной тревоги. Такое обнаружение, минимизирующее дисперсию статистики при гипотезе H0 и максимизирующее вероятность обнаружения, далее называется каноническим (КМДНФ-обнаружением). В двумерном случае оператор поворота

U =2 T

68

−1/ 2

2  0  1 1 , Λ =  σ (1 + ρ );  ,  −1 1 σ2 (1 − ρ ) 0; 

(

)

преобразует сигнал SYT = U [s1; s2 ] с энергией E = U 2 s12 + s22 ∆ в сигнал STX = U [s1 + s2 ; − s1 + s2 ] / 2 , энергия которого EX = E; дисперсии σ12 = λ1 = σ2 (1 + ρ ) и σ22 = λ 2 = σ2 (1 − ρ ) декоррелированных составляющих шума соответствуют соотношениям (4.17); произведение σ02 = λ1λ 2 равно определителю корреляционной матрицы  σ2 ρσ2  BY =  2 . σ2  ρσ

Нормировка сигнала SX приводит его к виду (4.19), рассеивание – к виду (4.20). Угол поворота до совмещения вектора Sc со значениями (4.19) с осью OX1 (рис. 4.4) α = arctg ( sc1 / sc 2 ) , матрица поворота  cos α sc−21 Uc =   s s −1 sin α  c 2 c1

(

)

sc21 + sc22 − sc1 cos α    − sin α 

задает в системе X' сигнал (4.21) ST =  d вх 

(1 − ρ ) (2 − ρ2 ) / (1 + ρ );0 . 

В вырожденном случае (ρ = –1) прямоугольный сигнал должен преобразовываться колебательным контуром в последовательность U [2;0;2;0;...] с энергией, превышающей энергию входного сигнала в 2 (1 + n ) / n ≈ 2 раза. В пассивной системе энергия не увеличивается, следовательно, сигнал на выходе контура (пассивная система без потерь) следует нормировать по энергии – его значения умножать на коэффициент ν = E0 / EY = U n∆ / EY < 1,

(4.23)

выравнивающий энергию на входе и выходе. В общем каноническая процедура МДНС-обнаружения с гиперболической РФ задается: – поворотом системы координат Y к системе X собственных векторов, описывающимся линейным преобразованием с оператором (2.23) X = UT Y;

(4.24) 69

– нормировкой S c = Λ −1/ 2S X ,

(4.25)

приводящей корреляционную матрицу к единичной. Дополнительный поворот системы координат X к системе X', совмещающий вектор сигнала с одной из осей, задает КМДНС-обнаружение. В силу ортогональности матрицы собственных векторов [20] корреляционная матрица B X = UT BY U = Λ

диагональная, т. е. преобразование (4.24) – декоррелирующее: вектор Y ∈ Ν (0, BY ) с корреляционной матрицей BY = UΛUT приводится к вектору X ∈ Ν (0, Λ ) . Поворот сохраняет обобщенную дисперсию шума [4] и энергию сигнала E = SYT SY ∆ : det B X = det BY = det Λ, E X = STX S X ∆ = SYT UUT SY ∆ = E.

Эллиптическое обнаружение может быть рассчитано по общей формуле (3.8). В табл. 4.5–4.7 приведены рабочие характеристики, полученные по эквивалентной (3.8) табл. X [62] для значений параметра 2 h = 2,0; 3,5; 5,0 (при d вх = 1 расстояние hc = 2,190 dвх). Вероятности Dl и Dл рассчитаны для согласованной фильтрации и резонансной согласованной фильтрации соответственно. Таблица 4.5 h= 2,0

F De Dл Dl

0,0002 0,0271 0,0413 0,0168

0,0022 0,0953 0,1637 0,0758

0,0111 0,2144 0,3378 0,1913

d = dвх

0,0439 0,3941 0,5641 0,3848

0,1353 0,6035 0,7784 0,6229

0,6065 0,9181 0,9838 0,9539

0,8353 0,9736 0,9978 0,9915

0,9802 0,9973 1,0000 0,9997

Таблица 4.6 h = 3,5 F De Dл Dl

70

0,0001 0,2515 0,3267 0,1006

0,0002 0,3204 0,3935 0,1416

0,0015 0,5171 0,6187 0,3114

d = 1,75 dвх 0,0111 0,7444 0,8372 0,5746

0,1353 0,9546 0,9849 0,9153

0,3247 0,9868 0,9976 0,9783

0,6065 0,9972 0,9998 0,9970

0,8825 0,9996 1,0000 0,9999

Таблица 4.7 h = 5,0

F De Dл Dl

0,0001 0,7906 0,8295 0,4141

0,0002 0,8440 0,8710 0,4952

d = 2,50 dвх

0,0015 0,9356 0,9558 0,7143

0,0022 0,9474 0,9659 0,7543

0,0111 0,9834 0,9914 0,8942

0,0439 0,9959 0,9985 0,9663

0,1353 0,9992 0,9998 0,9926

0,3247 0,9999 1,0000 0,9990

МДНС-обнаружение прямоугольного сигнала с эллиптической РФ имеет преимущество перед согласованной фильтрацией, усиливающееся при увеличении отношения сигнал-шум, но уступает резонансной согласованной фильтрации. Рабочие характеристики гиперболического обнаружения (табл. 4.8–4.10) рассчитаны интегрированием по области Ω1 (рис. 4.4): F =2

∞ dh

∫∫ ν 0

∞  x2  2 Ν (0, I ) dX = Φ ( ν ) + exp  − 1  Φ 2π ν  2 

∫

(

)

x12 − ν2 dx1 − 1;

для МДНС-обнаружения Dh =

∞ dh

∫∫ (

)

ν −dh

(

(

∞

∫ {Φ (a (ν ) − sc′ 2 ) +

)

Ν S′c , I dX = Φ ν − sc′1 − 1 +

+Φ a ( ν ) + sc′ 2

(

 x − s′ 1 c1 exp  − 2  

)}

)

2

ν

  dx1 , a ν = x 2 − ν2 ; 1  2π ( )  

для КМДНС-обнаружения

Dh′ = 2

∞ dh

∫∫ ( ν 0

(

 x − s′ 1 c Ν S′c , I dX = 2 exp  − 2  ν 

)

∞

∫

(

)

)

2

  Φ  

(

x12 − ν2

) dx2π + 1

+Φ ν − sc′ − 1,

где с учетом коэффициента (4.23) сигналы (4.19) S′c = ν1S c задают значение sc′ = ν1 O0O1 = ν1 sc21 + sc22 = 3,2699dвх. 71

Таблица 4.8 d = dвх F Dh' Dh Dл Dl

1,6·10–4 0,0407 0,0374 0,0421 0,0146

0,0009 0,1033 0,0962 0,1071 0,0449

0,0043 0,2145 0,2022 0,2239 0,1125

0,0155 0,3697 0,3524 0,3865 0,2288

0,0446 0,5405 0,5203 0,5671 0,3877

0,1024 0,6882 0,6676 0,7259 0,5581

0,1863 0,7856 0,7659 0,8357 0,6994

0,2500 0,8223 0,8032 0,8838 0,7703

Таблица 4.9 d = 1,75dвх F Dh' Dh Dл Dl

2,4·10–6 0,0927 0,0803 0,0962 0,0179

2,4·10–5 0,2008 0,1787 0,2104 0,0548

1,6·10–4 0,3601 0,3276 0,3724 0,1313

0,0009 0,5458 0,5074 0,5634 0,2625

0,0043 0,7176 0,6799 0,7397 0,4393

0,0155 0,8449 0,8130 0,8671 0,6247

0,0446 0,9214 0,8968 0,9418 0,7809

Таблица 4.10 d = 2,50 dвх

F Dh' Dh Dл Dl

1,4·10–8 0,1812 0,1505 0,1854 0,0211

2,4·10–6 0,5257 0,4695 0,5390 0,1497

2,4·10–5 0,7174 0,6523 0,7245 0,2948

1,6·10–4 0,8461 0,8013 0,8590 0,4762

0,0009 0,9307 0,8999 0,9407 0,6646

0,0043 0,9727 0,9538 0,9795 0,8181

0,0446 0,9962 0,9897 0,9985 0,9668

Гиперболическое обнаружение с одной ветвью гиперболы в качестве РФ существует при вероятности ложной тревоги F ≤ 0,5. Вероятность F > 0,5 может быть достигнута при изменении формы РФ, т. е. при обнаружении другого типа. Контур, реализованный как дискретная система с оператором (4.15), преобразует прямоугольный сигнал ST0 = U [1;1] в один из сигналов SYT = U [0,7376; 0,7376], SYT = U [ − 0,7376; − 0,7376], имеющих энергию E = 1,0881U2∆ и обеспечивающих отношение сигнал-шум на выходе 2 . В табл. 4.8–4.10 Dl – рабочая хараксогласованного фильтра d 2 = 2d вх теристика векторного обнаружения (разд. 4.2). 72

Гиперболическое обнаружение эффективнее эллиптического и в КМДНС-форме незначительно уступает резонансной согласованной фильтрации (менее 0,3 дБ). Параболическое обнаружение можно задать в каноническом пространстве X (после преобразования (4.15)) с круговыми рассеиваниями (4.20) и значениями сигнала (4.19). Дополнительный поворот до совмещения одной из осей, например OX2, с направлением O0O1 приводит ось параболической РФ к оси OX2, а сигнал к виду STp =  s p ;0 , sp = hc (4.21). Параболическая статистика γ p = g1 x12 + g 2 x2

при гипотезах H0 и H1 имеет средние значения m0 = g1, m1 = g1 + g 2 s p .

(4.26)

Параболическая РФ показана на рис. 4.5. Дисперсия статистики при гипотезе H0 σ02 = 2g12 + g 22

(4.27)

при ограничении ∆m = m1 – m0 = 1 может быть минимизирована с использованием функции Лагранжа F = 2 g12 + g 22 + λs p g 2 ; ∂F / ∂g1 = 4 g1 = 0,

Ω1

x1

dp

sp c

Ω0

0

x2

∂F / ∂g 2 = 2 g 2 + λs p = 0,

откуда

Рис. 4.5. Параболическая РФ

λ = −2 / s 2p ; GT = [ g1; g 2 ], g1 = 0, g 2 = s −p1.

Средние значения (4.26) равны m0 = 0, m1 = 1, так что параболическое обнаружение в двумерном случае оптимально в смысле МДНС-правила как с одним, так и с двумя ограничениями. Линейная статистика параболического обнаружения γp = x2/sp обеспечива2 = s −p2 и отношение сигнал-шум ет дисперсию (4.27) σ0min 2 d 2 = d вх (1 − ρ )(2 − ρ ) / (1 + ρ ) = 6,5722 d вх2 . Рабочие характеристики ли73

нейного обнаружения с таким отношением сигнал-шум приведены в табл. 4.11–4.14. Параболическое обнаружение превосходит по эффективности согласованную фильтрацию, но как МДНС2-обнаружение наименее эффективно: уступает эллиптическому и гиперболическому. Таблица 4.11 d = dвх F Dp

1,6 ·10–4 0,0009 0,0231 0,0656

0,0043 0,1523

0,0155 0,2891

0,0446 0,4608

0,1024 0,6305

0,1863 0,7610

0,2500 0,8229

Таблица 4.12 d = 1,75dвх F Dp

2,4 ·10–6 0,0383

2,4.10–5 0,1015

1,6 ·10–4 0,2138

0,0009 0,3789

0,0043 0,5692

0,0155 0,7405

0,0446 0,8648

Таблица 4.13 d = 2,50dвх F Dp

1,4 ·10–8 2,4 ·10–6 0,0590 0,2842

2,4 ·10–5 0,4712

1,6 ·10–4 0,6582

0,0009 0,8139

0,0043 0,9155

0,0446 0,9894

Далее рассматривается только МДНС-обнаружение с гиперболической разделяющей функцией.

74

5. МНОГОМЕРНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 5.1. Каноническое гиперболическое обнаружение В пространстве n-мерных коррелированных сигналов статистика гиперболического МДНС-обнаружения (КО) задается уравнением второго порядка (3.1). Совместное распределение произведений xixj в (3.1) – распределение Уишарта [4, 43]. В работе [4] отмечается сложность задачи получения распределений функций от попарных произведений xixj в силу многовариантности пределов интегрирования, что затрудняет непосредственный расчет рабочей характеристики интегрированием плотностей распределения статистики. Численное интегрирование нормальных плотностей по гиперболическим областям Ω0 и Ω1 при размерности сигнала n > 3 слишком громоздко. Принципиальное упрощение задачи может быть достигнуто введением канонических линейных преобразований статистики. Структура преобразований, расширяющая базовую структуру нелинейного обнаружения (рис. 2.1) и реализующая КМДНС-обнаружение, показана на рис. 5.1. Y

X ΛY−1/ 2UYT

АЦП

П H0

ψ

Z'

H1

G

Σ

γh

ZC An

γhk

Z

ˆ R

UTγ

γhc

Рис. 5.1. Структура КМДНС-обнаружителя

Преобразования дискретного сигнала включают следующие операции. 1. Сигнал Y ∈ Ν (SY , BY ) оператором A = ΛY−1/ 2 UYT (оператор поворота UYT дает сигнал V ∈ Ν (MV , BV ) , MV | H 0 = 0 , MV | H1 = UYT SY , BV = ΛY – матрица собственных значений матрицы BY; ΛY−1/ 2 – оператор масштабирования) приводится к сигналу X = ΛY−1/ 2 V = AY, A = ΛY−1/ 2 UYT ,

(5.1) 75

X | H 0 ∈ Ν (0, I ) , X | H1 ∈ Ν (S X , I ) , S X = ASY ;

задача обнаружения сигнала SX в δ-коррелированном шуме аналогична рассмотренной в разд. 3.1, но отличается от нее тем, что составляющие вектора SX различны; энергия E X = SYT AT ASY ∆ = SYT UY ΛY−1UYT SY ∆ = SYT BY−1SY ∆ = d л2 ∆

численно равна отношению сигнал-шум при резонансной согласованной фильтрации (сигнал SY в окрашенном шуме с корреляционной матрицей BY; значение интервала дискретизации можно положить равным ∆ = 1) или согласованной фильтрации сигнала SX (5.1) в белом шуме с корреляционной матрицей BX = I – выбеливание не изменяет эффективность линейного обнаружения [66]; далее при конкретных расчетах коэффициент (4.23) положен равным единице. 2. Отсчеты zi = gi rˆi =

gi n −i +1 xk xk +i −1, i = 1, ..., n, n − i + 1 k =1

∑

сигнала Z формируются как произведения выборочных моментов (2.2) и значений вектора G, минимизирующего дисперсию при гипотезе H0; статистика (2.4) гиперболического обнаружения – сумма значений zi γh =

n

n −1

n −2

∑ zi = n −21 ∑ xk xk +1 + n −32 ∑ xk xk +2 + ... + gn x1xn i =2

g

g

k =1

k =1

(5.2)

имеет вид (3.1) взвешенной суммы попарных произведений значений сигнала X (при белом шуме вектор (2.4) имеет составляющую g1 = 0). 3. Поворотом координат X в пространстве сигнала Z ZC = UTγ X

(5.3)

статистика (5.2) приводится к каноническому виду (2.25) γ hc =

n

∑ i =1

zci = λ n xn2 +

n −1

∑ λi xi2 ; i =1

(5.4)

Uγ – матрица собственных векторов матрицы C коэффициентов cij попарных произведений в общем уравнении (2.18) поверхности второго порядка (5.2); λi – собственные значения матрицы C: λn > 0, λi < 0, i < n; 76

уравнение (3.2) за счет отмеченной ранее различной формы сигналов S и SX отличается от уравнения (5.4) постоянством коэффициентов при i < n; как следует из (5.3), корреляционная матрица вектора X в пространстве Zc B c = UTγ B X U γ = I,

(5.5)

так что в (5.4) zci – независимые χ12 – величины, масштабированные множителями λi; сигнал S c = UTγ S X = UTγ ΛY−1/ 2 UYT SY ;

(5.6)

(5.4) – статистика гиперболического МДНС-обнаружения и одновременно уравнение РФ; главные оси двуполостного гиперболоида (5.4) совпадают с осями координат Zc, вектор сигнала (5.6) в общем случае не совпадает ни с одной из осей. 4. Совместный поворот координат Zc и РФ (5.4) Z′ = A n Z с = DY = A n UTγ ΛY−1/ 2 UYT Y

(5.7)

до совмещения вектора Sc с одной из осей задает гиперболическое КМДНС-обнаружение с минимальной дисперсией статистики при гипотезе H0 и максимальной вероятностью обнаружения при данном виде РФ; Z′ ∈ Ν (S k , I ) ; сигнал Sk, как (3.3), имеет одну ненулевую составляющую, например, n-ю: STk = 0;0;...;0; STc S c  , STc S c = SYT BY−1SY = dY2 ;  

(5.8)

отношение сигнал-шум, достигаемое при согласованной фильтрации в пространствах Zc (5.3) или Z' (5.7) d 2 = STk S k = STc S c = SYT BY−1SY = dY2 = d л2 ,

(5.9)

равно отношению сигнал-шум при согласованной фильтрации исходного сигнала SY – при дискретной резонансной согласованной фильтрации. Эти результаты определяют реальные возможности расчета рабочей характеристики КМДНС-обнаружения: интегрированием либо стандартной нормальной плотности по гиперболической области, либо плотности распределения статистики (5.4). 77

Линейное обнаружение есть обнаружение с линейной РФ-плоскостью, ортогональной одной из осей координат. Рабочая характеристика процедуры резонансной согласованной фильтрации прямоугольного сигнала в белом шуме определяется вероятностями ложной тревоги и обнаружения, равными Fл = 1 − Φ ( γ 0 / σ ) , Dл = 1 − Φ ( γ 0 / σ − d л ) , σ – дисперсия статистики. В гиперболическом обнаружении используется РФ в виде одной из поверхностей двуполостного гиперболоида, ось симметрии которого совпадает (КМДНС-обнаружение) или не совпадает с вектором сигнала Sk (МДНС – обнаружение). КМДНС-обнаружение наиболее эффективно в классе гиперболических РФ. Следует заметить, что равенство отношений сигнал-шум (5.9) не означает равноэффективность КМДНС-обнаружения и резонансной согласованной фильтрации. Более того, следует предположить, что подобно рассмотренному в разд. 2.2 случаю двумерного сигнала статистика с χ2-распределением уступает нормальной. Таким образом, сопоставление эффективности согласованной фильтрации в белом шуме, КМДНС-обнаружения и резонансной согласованной фильтрации может подчеркнуть определяющее значение формы сигнала, а не его энергии. Рабочая характеристика КМДНС-обнаружения рассчитывается следующим образом. В пространстве Z' составляющие статистики (5.4) имеют χ12 -распределения, масштабированные множителями λj. Так же масштабирован сигнал (5.6). Выравнивание масштабов 2

Zн = Λ γ

−1/ 2

Z′

(5.10)

возвращает составляющим вектора Zн единичные значения дисперсии и позволяет статистику (5.4) представить разностью (22) (5.11) γ = z1 − zm 2 величин z1 и zm, имеющих соответственно χ – распределения с одной и m = n – 1 степенями свободы. Аналогичное (5.10) преобразование квадратичной формы приведено в работе [4]. Плотности распределения слагаемых в (5.11) подобно (2.15) записываются f ( z1 H 0 ) =

78

1  z  exp  − 1  ; 2πz1  2

(5.12)

 z + µ2  1 exp  − 1  ch µ z1 . 2  2πz1 

(

f ( z1 ( H1 ) =

)

(5.13)

Последовательность преобразований (5.4), (5.10) сохраняет значения сигнала Sk и, как следует из (5.8) и (5.9), параметр нецентральности равен µ 2 = STk S k = d 2 . Составляющие sm сигнала Sk равны нулю, поэтому при обеих гипотезах сигнал zm описывается χ2m -распределением с плотностью f ( zm H 0 ) = f ( z m H1 ) =

zmm / 2−1  z  exp  − m  . m/2 2 Γ (m / 2 )  2 

Функция распределения статистики (5.11) Fγ (c ) = P {γ ≤ c} есть математическое ожидание условной вероятности P {z1 − zm ≤ c} = P {z1 ≤ zm + c | zm } = P {zm ≥ z1 − c | z1} = m z −c γ , 1  zmm / 2−1 z 2   m 2 exp dz 1 , = − = −   m m/2 2  Γ (m / 2 ) Γ 2 m / 2  ( ) z −c ∞

∫

(5.14)

1

γ(k,x) – неполная гамма-функция. При гипотезе H0 с учетом (5.12): при c ≤ 0 ∞

Fγ (c | H 0 ) = P {zm ≥ z1 + c | z1} f ( z1 | H 0 ) dz1,

∫ 0

∞

1  z  P {zm ≥ z1 + c | z1} = m / 2 zmm / 2−1 exp  − m  dzm = 2 Γ (m / 2 ) z + c  2 

∫

1

m z + c  = 1− γ , 1  / Γ (m / 2 ) , 2  2 Fγ (c | H 0 ) = 1 −

∞

 m x2 − c   x2  2 , exp γ    −  dx; 2  2πΓ (m / 2 ) ∫0  2  2 

(5.15) 79

если k = m/2 – четное, то неполная гамма–функция [63] k −1   γ ( k , z ) =  1 − exp ( − z ) z i / i !  (k − 1)!,   i =0   и функция (5.15) равна

∑

∞

2exp (c / 2 ) k −1 1 i j i  j 2(i − j ) Fγ (c | H 0 ) = − 1 exp − x 2 dx = ( )  j c x i 2π   0 i =0 2 i ! j =0

∑

=

∑

∫

( )

exp (c / 2 ) k −1 1 i i  ( −1) j   Γ  i − j + 1  c j , i 2 2 π i =0 2 i ! j =0  j 

∑

∑

(5.16)

π 1 Γ  n +  = n (2n − 1)!!; 2 2 

при c > 0 Fγ (c | H 0 ) = P1 + P2 ,

P1 = P {z1 ≤ c} , когда с вероятностью единица zm ≥ 0 ( zm ≥ z1 − c ), ∞

P2 = P {zm ≥ z1 − c | z1} f ( z1 | H 0 ) dz1;

∫ c

c

P1 =

∫ 0

P2 =

1 2π

∞

exp ( − z1 / 2 ) 2πz1

dz1 = 2Φ

 z  

∫ exp  − 21  1 − c



( c ) − 1,

γ (m / 2, ( z1 − c ) / 2 )  dz1 ;  Γ (m / 2 )  z1

∞

 m x2 − c   x2  2 exp γ , (5.17)   −  dx. 2  2πΓ (m / 2 ) c  2  2  При гипотезе H1 условная вероятность (5.14) интегрируется с весовой функцией (5.13): при c ≤ 0 Fγ ( c | H 0 ) = 1 −

Fγ (c | H1 ) = 1 −

80

∫

(

2exp −µ 2 / 2

) ∞ η(m, x ) dx,

2πΓ (m / 2 )

∫ 0

(5.18)

 m x2 − c   x2  exp η (m, x ) = γ  ,   −  ch (µx ); 2  2  2 

при c > 0 c

P1 =

∫

((

) ) ch µ z dz = ( 1) 1

exp − z1 + µ 2 / 2

0

=Φ

(

2πz1

) (

c +µ +Φ

)

c − µ − 1,

  m z −c  γ , 1    z +µ   2   dz1 1 2 exp  − 1 ; P2 =  ch µ z1 1 −  m 2  2π c   Γ    z1  2    ∞

(

2

∫

Fγ (c | H1 ) = 1 −

)

(

2exp −µ 2 / 2

)

2πΓ (m / 2 )

∞

∫ η(m, x ) dx.

(5.19)

c

Плотность распределения f γ (c ) = Fγ′ ( c ) :    f γ (c | H 0 ) =    

exp (c / 2 )

∞

exp (c / 2 )

∞

 x2 − c    2πΓ (m / 2 ) 0  2 

∫

m / 2−1

 x2 + c    2  c

2πΓ (m / 2 ) ∫

( )

exp − x 2 dx, c ≤ 0, m / 2−1

( )

exp − x 2 dx, c > 0;

  µ2 − c   exp  − m / 2−1 ∞ 2   x2 − c    exp − x 2 ch (µx ) dx, c ≤ 0,  2πΓ (m / 2 )  2   0 f γ ( c | H1 ) =  2  exp  − µ − c  m / 2−1  ∞  2   x2 + c    exp − x 2 ch (µx ) dx, c > 0.   2 πΓ 2 / 2 m ( ) c  

∫

( )

∫

( )

81

Вероятность ложной тревоги как функция критического уровня γ0 при КМДНС-обнаружении равна F (γ0 ) =

(

)

1 1 − Fγ ( γ 0 | H 0 ) , 2

(5.20)

коэффициент 1/2 соответствует одной ветви гиперболической РФ; вероятность обнаружения, рассчитываемая далее для обеих ветвей РФ, D ( γ 0 ) ≈ 1 − Fγ ( γ 0 | H1 )

(5.21)

дает несколько завышенное значение вероятности обнаружения с погрешностью, уменьшающейся с увеличением критического уровня. Функция правдоподобия −n / 2

L ( Z н ; S k ) = ( 2π )

n   2 exp  − ( z1 − µ ) / 2 − zi2 / 2    i =2  

∑

n

∑

выборки (5.10) с использованием статистики (5.11) γ = z12 − zi2 запиi =2 сывается как произведение −n / 2

L ( Z н ; S k ) = ( 2π )

((

)

) ( )

exp γ − µ 2 / 2 + µz1 exp − z12 ,

( )

(5.22)

в котором сомножитель exp − z12 , не зависящий от параметра µ, – функция не всей выборки Zн. Функция правдоподобия не факторизуется, следовательно, статистика (5.11) КМДНС-обнаружения не является достаточной. 5.2. Гиперболическое обнаружение импульсных сигналов Обнаружение коротких (протяженностью несколько отсчетов) сигналов – типовая задача для импульсных систем. Характерные свойства обнаружения второго порядка в окрашенном шуме проявляются в случае минимальной размерности сигнала n =2 отсчета. Они сохраняются при гиперболическом КМДНС-обнаружении сигналов бóльшей размерности. 1. В трехмерном случае (n =3) выборочные моменты rˆk =

82

1 4−k

4−k

∑ yi yi+k −1, i =1

k = 1,2,3,

при гипотезе H0 имеют корреляционную матрицу b11; b12 ; b13  B0 = σ b21; b22 ; b23  ;   b31; b32 ; b33  4

(

)

(

)

b11 = 8σ4 3/ 4 + ρ2 + ρ4 / 2 / 9, b22 = σ4 1 + 3ρ2 / 2,

(

)

(

)

b33 = σ4 1 + ρ4 , b12 = b21 = 4ρσ2 1 + ρ2 / 2 / 3,

(

)

2 2 b13 = b31 = 2ρ2 σ4 , b23 = b32 = ρσ 1 + ρ ;

ρ – коэффициент корреляции соседних отсчетов. Векторы корреляционных и квазикорреляционных моментов равны R TN = σ2 1; ρ; ρ2  ,  

(

)

R TS =  s12 + s22 + s32 / 3; ( s1s2 + s2 s3 ) / 2; s1s3  .  

Для ρ = -e–π/4, σ2 = 1 и сигнала, нормированного с коэффициентом (4.23) ν = 0,8720, SYT = U [1,2695; 0,6907; 0,9546], R TN = [1,0000; − 0,4559; 0,2079], R TS = U 2 [1,0000; 0,7681; 1,2119],

коэффициенты (2.8) a 00 = 1,4860; a 01 =2,7252 U 2 ; a 11 =14,8363 U 4 ; c= 14,6199U 4 ; вектор (2.7) GT = U −2 [ g1; g 2 ; g3 ] = U −2 [0,1963; 0,5686; 0,3029]

определяет статистику (2.4)

(

)

γ h = g1 y12 + y22 + y32 / 3 + g 2 ( y1 y2 + y2 y3 ) / 2 + g3 y1 y3 ,

(5.23)

в канонической форме (2.25) записываемую в виде 83

d h = y12 / 2,8095 − y22 /13,5750 − y32 /11,6273

уравнения двуполостного гиперболоида. При гипотезе H0 минимальная −4 . Можно отметить, что в содисперсия (2.9) статистики σ02 = 0,1016d вх ответствии с общими свойствами обнаружения второго порядка отсутствие нормировки (4.23) привело бы к почти двукратному уменьшению −4 . дисперсии – до величины σ02 = 0,0588d вх Корреляционная матрица сигнала Y имеет собственные значения

)(

(

)

λ1 = 2σ2 1 − ρ2 / 2 + ρ2 − ρ 8 + ρ2 = 0,4508σ2 ,

(

)

λ 2 = σ2 1 − ρ2 = 0,7921σ2 ,

(

)

(

)

λ 3 = 2σ2 1 − ρ2 / + 2 + ρ 8 + ρ2 + ρ2 = 1,7571σ2

и собственные векторы

(

 2 UTk = [uk1, uk 2 , uk 3 ], uk1 = νk  1 − λ k / σ 

(

)

2

− ρ2  , 

)

uk 2 = νk ρ λ k / σ2 + ρ2 − 1 , uk 3 = νk ρ2λ k / σ2 , k = 1,2,3;

коэффициенты νk определяются из условия нормировки UTk U k = 1 . Матрица собственных векторов матрицы BY, оператор (5.1) и собственные значения матрицы BY 0,4585 0,7071 0,5383  −0,6484  , UY =  0,7613 0 0,4585 −0,7071 0,5383    0,6829  0,6829 1,1338 −0,7945 , 0 A = σ 0,7945  0,4061 −0,4892 0,4061    −1 

λ1 = 0,4508σ2, λ2 = 0,7921 σ2, λ3 = 1,7571 σ2 определяют преобразование сигнала SYT = νU 1 − ρ;1 − ρ2 ;1 − ρ3  в сиг  нал STX = d вх [2,3019; 0,2502; 0,5654]

84

2 с энергией E X = 5,6809d вх ∆ , действующий на фоне шума с корреляци2 T онным вектором R N = σ [1; 0; 0]. Статистика (5.23) преобразуется в статистику вида (5.2) −2 γ h = d вх (0,1839 ( x1x2 + x2 x3 ) + 0,6670 x1x3 )

(5.24)

и приводится к каноническому виду (5.4)

(

−2 γ hc = d вх 0,3782 z32 − 0,0447 z12 − 0,3335z22

)

(5.25)

поворотом (5.3) координат с оператором UTγ , U γ – матрица собственных векторов матрицы C коэффициентов уравнения (5.24) с собственными значениями λ1 = -0,0447σ2, λ2 = -0,3335σ2, λ3 = 0,3782σ2,] 0,0919 0,3335  0 C = 0,0919 0 0,0919  ,  0,3335 0,0919 0    0,2298 −0,7071 0,6687  U γ =  −0,9457 −0,3558 0,3251 .  0,2298 0,7071 0,6687  

Сигнал (5.5) в пространстве ZC STc = d вх [0,4224; − 1,2792; 1,9987]

совместным поворотом координат и РФ приводится к виду (5.8) в пространстве Z': STk = [0;0; µ ], 2 µ = 2,3835dвх, µ 2 = Ek = Ec = STc Sc = STk Sk = 5,6809d вх .

В системе координат Z' уравнение гиперболической РФ имеет канонический вид (5.25) 2 d hk = −0,0447 z1′2 − 0,3335z2′2 + 0,3782 z3′2 = d вх .

(5.26)

Расчет рабочей характеристики гиперболического КМДНС-обнаружения интегрированием трехмерных нормальных плотностей распределе85

ния сигнала по областям, определяемым РФ вида (5.26), требует двумерного численного интегрирования. Нормировка (5.10) статистики (5.25) и приведение ее к виду (5.11) задают плотности распределения f γ (c | H 0 ) , f γ (c | H1 ) при m = 2 (рис.5.2; ν = 1; кривая 1 – f γ (c | H 0 ) ; 2, 3, 4 – f γ (c | H1 ) при отношении сигнал-шум dвх= 0,5; 1,0; 1,5): при c ≤ 0 f γ (c | H 0 ) = f γ ( c | H1 ) =

1 2 2

exp (c / 2 ) ,

 µ 2 − 2с  exp  − ; 4  2 2  1

при c ≥ 0 f γ (c | H 0 ) =

{

1 c exp   1 − Φ 2 2

(

)}

2c ,

 µ 2 − 2c  exp  −  4  µ  µ     f γ ( c | H1 ) =  2 − Φ  2c −  − Φ  2c + . 2 2 2 2     f 1

2 3 4 –5

0

5

γ

10

Рис. 5.2. Плотности распределения

Условная плотность

(

86

)

 f ( Z , µ ) = π −3/ 2 exp − ( z − µ / 2 )2 , γ ≤ 0, н 3  L ( Zн | γ ) =   f ( Z нµ ) / φ ( γ, µ ) , γ ≥ 0,

{

φ ( γ, µ ) = 2 − Φ

(

) (

2γ − µ / 2 − Φ

)}

2γ + µ / 2 ,

записанная как отношение функции правдоподобия вида (5.22) −3/ 2

L ( Z н ; S k ) = ( 2π )

((

) ( )

)

exp γ − µ 2 / 2 + µz3 exp − z32

к плотности f ( γ | H1 ) , зависит от параметра µ, т. е. статистика КМДНС-обнаружения (нормированная статистика (5.25)) не является достаточной. Функция распределения (5.16) – (5.19) при c ≤ 0 Fγ (c | H 0 ) = Fγ (c | H1 ) =

при c ≥ 0 Fγ (c | H 0 ) = 2Φ

( c)+

Fγ (c | H1 ) = Φ +

(

c 1 exp   , 2 2

 µ 2 − 2c  1 exp  − ; 4  2 

(

2 exp (c / 2 ) 1 − Φ

) (

c +µ +Φ

(

2c

)) − 1,

)

c − µ −1+

 µ 2 − 2c   µ  µ    1 − Φ  2c − exp  −   2 − Φ  2c +   . 4  2 2 2    

Оптимальный сигнал имеет форму первого собственного вектора 2 с корреляционной матрицы BY и выравнивается по энергии E = 3d вх T 2 прямоугольным сигналом: S opt = d вх [0,7941; 1,3186; 0,7941]. Отношение сигнал-шум, достигаемое при согласованной фильтрации в шуме с корреляционной матрицей BY оптимального сигнала и сигнала SY (резонансная согласованная фильтрация), равно соответственно 2 2 2 d opt = 6,6545d вх и dY2 = 5,6809d вх (превосходство на 0,7 дБ). Пример с оптимальным сигналом здесь характеризует потенциальные возможности дискретной системы (разд. 4.2). Рабочие характеристики (табл. 5.1–5.5) КМДНС-обнаружения Dh, резонансной согласованной фильтрации Dл и согласованной фильтрации Dl трехмерного сигнала показаны на рис. 5.3. Масштаб нелинейный: F • = 2lg F , D • = 2 − log0,9 D ; кривые 1 и 2 – Dh при dвх= 0,5 и dвх= 1,5; 3 и 4 – Dл; 5 и 6 – Dl. 87

Таблица 5.1 d = 0,50dвх

F Dh Dл Dl

0,0006 0,0302 0,0321 0,0094

0,0019 0,0600 0,0640 0,0216

0,0105 0,1609 0,1736 0,0748

0,0670 0,4066 0,4475 0,2634

0,1464 0,5567 0,6236 0,4263

0,2856 0,7311 0,7882 0,6178

0,4211 0,9011 0,8785 0,7476

0,4961 0,9951 0,9126 0,8041

Таблица 5.2 d = dвх F Dh Dл Dl

0,0006 0,2922 0,3142 0,0687

0,0019 0,4075 0,4384 0,1237

0,0105 0,6189 0,6651 0,2827

0,0670 0,8328 0,8915 0,5922

0,1464 0,8908 0,9537 0,7518

0,2856 0,9338 0,9849 0,8781

0,4211 0,9756 0,9961 0,9515

0,4961 0,9988 0,9968 0,9575

Таблица 5.3 d = 1,5 dвх F Dh Dл Dl

1,5·10–5 0,4481 0,4733 0,0583

7,5·10–5 0,5917 0,6219 0,1167

0,0002 0,6886 0,7207 0,1795

0,0006 0,7791 0,8113 0,2678

0,0104 0,9408 0,9633 0,7130

0,0670 0,9828 0,9954 0,8642

0,1464 0,9894 0,9988 0,9390

Таблица 5.4 d = 2,0dвх

F Dh Dл Dl

5,0·10–6 0,8361 0,8568 0,1744

1,5·10–5 0,8849 0,9032 0,2410

7,5·10–5 0,9396 0,9533 0,3724

0,0002 0,9641 0,9745 0,4796

0,0019 0,9903 0,9950 0,7175

0,0105 0,9982 0,9997 0,9175

0,0670 0,9993 1,0000 0,9753

Таблица 5.5 d = 2,5dвх

F Dh Dл Dl

88

3,3·10–6 0,9860 0,9898 0,4274

5,5·10–6 0,9893 0,9925 0,4718

1,5·10–5 0,9940 0,9974 0,6121

7,5·10–5 0,9978 0,9988 0,7056

0,0004 0,9993 0,9997 0,8316

0,0011 0,9997 0,9999 0,8984

Нелинейность КМДНС-обнару- D 4 жения проявляется в асимметрии ра2 бочей характеристики, а также в ро5 1 сте его преимущества над согласованной фильтрацией с увеличением 0,90 6 отношения сигнал-шум. КМДНСобнаружение приближается по эф- 0,81 фективности к резонансной согласо7 3 ванной фильтрации при небольших значениях вероятности F и увеличе0,10 0 0,01 F нии отношения сигнал-шум. Преимущество КМДНС-обнаружения над реРис. 5.3. Рабочие характеристики зонансной согласованной фильтрацией при значениях вероятности F→0,5 (табл. 5.1, 5.2; рис. 5.3 – 1, 5.3 – 3) объясняется погрешностями формулы (5.21) расчета вероятности Dh. Рабочие характеристики корреляционного обнаружения D, полученные моделированием выборками размером N = 105 с нормирующим коэффициентом ν = 1, приведены в табл. 5.6–5.11 (рис. 5.3–7, 5.3–8). Таблица 5.6 d = 0,50dвх F D Dl

0,0001 0,0006 0,0014 0,0144 0,0569 0,1350 0,3860 0,7991 0,0025 0,0070 0,0141 0,0735 0,1889 0,3336 0,6226 0,9059 0,0023 0,0087 0,0170 0,0934 0,2373 0,4062 0,7178 0,9559

Таблица 5.7 d = 0,70dвх F D Dl

4·10–5 0,0004 0,0014 0,0057 0,0195 0,0703 0,2350 0,6970 0,0034 0,0193 0,1210 0,0948 0,1957 0,3757 0,6426 0,9244 0,0026 0,0167 0,0707 0,0933 0,1969 0,3970 0,6879 0,9587

Таблица 5.8 d = dвх F D Dl

3·10–5 0,0001 0,0007 0,0045 0,0283 0,1662 0,3874 0,7955 0,0113 0,0497 0,1210 0,2686 0,5142 0,8102 0,9268 0,9906 0,0088 0,0248 0,0707 0,1898 0,4307 0,7772 0,9246 0,9947

89

Таблица 5.9 d = 1,5dвх F D Dl

4·10–5 7·10–5 0,0003 0,0007 0,0028 0,0118 0,0465 0,1121 0,2210 0,3284 0,4617 0,5598 0,7103 0,8427 0,9367 0,9740 0,0786 0,1131 0,2023 0,2740 0,4703 0,6311 0,8207 0,9166

Таблица 5.10 d = 2,0dвх F D Dl

3·10–5 4·10–5 0,0001 0,0006 0,0016 0,0039 0,0253 0,1505 0,6302 0,7728 0,8333 0,9256 0,9559 0,9761 0,9956 0,9997 0,2600 0,2916 0,3994 0,5927 0,6937 0,7894 0,9344 0,9925

Таблица 5.11 d = 2,5dвх F D Dl

5·10–5 7·10–5 0,0001 0,0003 0,0007 0,0050 0,0125 0,0761 0,9833 0,9873 0,9904 0,9954 0,9978 0,9996 0,9999 1,0000 0,6502 0,6992 0,7374 0,8208 0,8744 0,9603 0,9344 0,9981

Погрешности воспроизведения заданных корреляционных свойств шума B демонстрируются матрицей Bˆ оценок корреляционных моментов:  1,0000 −0,4559 0,2079   0,9958 −0,4572 0,2079  B =  −0,4559 1,0000 −0,4559  , Bˆ =  −0,4572 1,0013 −0,4625 .  0,2079 −0,4559 1,0000   0,2098 −0,4625 1,0079     

Корреляционное обнаружение (МДНС-обнаружение) уступает гиперболическому и превосходит согласованную фильтрацию при достаточном отношении сигнал-шум (табл. 5.6, 5.7). Существует локальная область преимущества корреляционного обнаружения при малых значениях вероятности F, расширяющаяся при увеличении отношения сигнал-шум (табл. 5.6–5.8). Таков же характер рабочих характеристик гиперболического МДНС-обнаружения с двумя ветвями РФ, когда в (5.19) отсутствует коэффициент 1/2, а формула (5.20) – точная (табл. 5.12). 90

Таблица 5.12 d = dвх F D Dl

9,4·10–5 0,0039 0,0379 0,1339 0,2929 0,5711 0,8959 0,9859 0,0210 0,1527 0,3989 0,5980 0,7116 0,8283 0,9628 0,9059 0,0056 0,0734 0,2868 0,5416 0,7478 0,9118 0,9947 0,9987

2. Размерность сигнала n = 4 и n = 5 отсчетам. Элементы матрицы B0 равны при n = 4

(

)

b11 = σ4 2 + 3ρ2 + 2ρ4 + ρ6 / 4,

(

)

(

)

b12 = σ4ρ 3 + 2ρ2 + ρ4 / 3, b13 = σ4ρ2 3 + ρ2 / 2, b14 = 2σ4ρ3 ,

(

)

(

)

(

)

b22 = σ4 2 + 11ρ2 + 4ρ4 / 9, b23 = 2σ4ρ 1 + 2ρ2 / 3, b24 = σ4ρ2 1 + ρ2 ,

(

)

(

)

(

)

b44 = σ4 1 + ρ6 , b33 = σ4 1 + ρ2 + 2ρ4 / 2, b34 = σ4ρ 1 + ρ4 ;

при n = 5

(

)

b11 = σ4 10 + 16ρ2 + 12ρ4 + 8ρ6 + 4ρ8 / 25,

(

)

(

)

b12 = σ4ρ 4 + 3ρ2 + 2ρ4 + ρ6 / 5, b13 = σ4ρ2 18 + 8ρ2 + 4ρ4 /15,

(

)

(

)

b14 = 2σ4ρ3 4 + ρ2 / 5, b15 = 2σ4ρ4 , b23 = σ4ρ 3 + 7ρ2 + 2ρ4 / 6,

(

)

(

)

b22 = σ4 1 + 4ρ2 + 2ρ4 + ρ6 / 4, b24 = σ4ρ2 3 + 5ρ2 / 4,

(

)

( ) b34 = σ4ρ (2 + ρ2 + 3ρ4 ) / 3, b35 = σ4ρ2 (1 + ρ4 ) , b45 = σ4ρ (1 + ρ6 ) , b44 = σ4 (1 + ρ2 + 2ρ6 ) / 2, b55 = σ4 (1 + ρ8 ). b25 = σ4ρ3 1 + ρ2 , b33 = σ4 3 + 4ρ2 + 11ρ4 / 9,

Расчеты рабочих характеристик Dh, Dл, Dl (табл. 5.13–5.15, рис. 5.4 для n = 4; табл. 5.16–5.18, рис. 5.5 для n = 5) аналогичны расчетам в трехмерном случае: статистика (2.4) в канонической форме (2.25) описывает уравнение двуполостного гиперболоида, функции распределения статистики рассчитываются по формулам (5.15)–(5.19) с использованием численного интегрирования. 91

Таблица 5.13 n=4 F Dh Dл Dl

0,0002 0,0199 0,0218 0,0045

0,0008 0,0523 0,0578 0,0151

0,0023 0,0968 0,1079 0,0336

d = 0,5dвх 0,0235 0,3043 0,3467 0,1618

0,0908 0,5079 0,6015 0,3686

0,2850 0,7565 0,8472 0,6671

0,4038 0,8932 0,9114 0,7753

0,4593 0,9553 0,9320 0,8154

Таблица 5.14 n=4 F Dh Dл Dl

2,3·10–6 0,0726 0,0803 0,0048

6,5·10–6 0,1076 0,1192 0,0090

d = dвх

1,1·10–5 0,1299 0,1439 0,0123

5,4·10–5 0,2205 0,2442 0,0302

0,0002 0,3031 0,3354 0,0536

0,0023 0,5812 0,6387 0,2031

0,0908 0,9047 0,9678 0,7468

Таблица 5.15 n=4

F Dh Dл Dl

2,3·10–6 0,9485 0,9627 0,2782

3,8·10–6 0,9584 0,9708 0,3164

d = 2,0dвх

6,5·10–6 0,9667 0,9776 0,3577

1,8·10–5 0,9796 0,9937 0,4488

5,4·10–5 0,9882 0,9937 0,5484

0,0002 0,9936 0,9971 0,6515

0,0023 0,9990 0,9998 0,8789

Таблица 5.16 n=5 F Dh Dл Dl

0,0003 0,0449 0,0514 0,0106

0,0009 0,0804 0,0928 0,0230

0,0294 0,3818 0,4605 0,2201

d = 0,5dвх 0,0581 0,4763 0,5868 0,3252

0,1247 0,5862 0,7385 0,4866

0,2074 0,6906 0,8352 0,6188

0,3445 0,8433 0,9178 0,9178

0,4252 0,9265 0,9454 0,8237

Таблица 5.17 n=5

F Dh Dл Dl

92

1,6·10–6 0,1226 0,1398 0,0076

4,5·10–6 0,1708 0,1945 0,0137

1,4·10–5 0,2326 0,2645 0,0242

d = dвх

6,3·10–5 0,3524 0,3990 0,0547

0,0002 0,4489 0,5061 0,0918

0,0028 0,7156 0,7911 0,2964

0,0581 0,9183 0,9778 0,7469

Таблица 5.18 n=5

1,6·10–6 0,9883 0,9938 0,4246

F Dh Dл Dl D•

2,6·10–6 0,9909 0,9955 0,4675

d = 2,0dвх

4,5·10–6 0,9930 0,9967 0,5119

7,6·10–6 0,9947 0,9977 0,5573 D•

4 2

1,4·10–5 0,9960 0,9984 0,6031

5 2 6

8

3 6

3

0

0,01

7

0,90 1

1

0,81

0,0001 0,9989 0,9997 0,7789

4

5

0,90

6,3·10–5 0,9984 0,9996 0,7374

0,10

7

F•

Рис. 5.4. Рабочие характеристики

0,81

9

0

0,01

0,10

F•

Рис. 5.5. Рабочие характеристики

На рис. 5.4 кривые 1 и 2 – Dh при dвх = 0,5 и dвх = 1,5; 3 и 4 – Dл; 5 и 6 – Dl; 7 – D при dвх = 0,5, характеристика D при dвх = 1,5 близка к Dh; 8 – характеристика при двухсторонней разделяющей функции. На рис. 5.5 кривые 1 и 2 – Dh при dвх = 0,5 и dвх = 1,5; 3 и 4 – Dл; 5 и 6 – Dl; 7 – D при dвх = 0,5; для белого шума при dвх = 1,5; 8 – Dh; 9 – D. Сравнение эффективности КМДНС-обнаружения, резонансной согласованной фильтрации и согласованной фильтрации иллюстрируется рис. 5.6, на котором приведены отношения вероятностей обнаружения ς = Dл / Dh и ξ = Dl / Dh в дБ; отношение ξ < 1; масштаб по оси F нелинейный: F • = 2lg F ; кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют значениям отношения сигнал-шум dвх = 0,5;1,0;1,5;2,0. На рис. 5.7 показана зависимость отношений ζ и ξ от значения отношения сигнал-шум: кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют вероятностям ложной тревоги F = 1,6·10–6; 6,2·10–5; 9,2·10–4; 0,0158; 0,1247. Графики функции l = logΛ(γ), рассчитанные для КМДНС-обнаружения (n = 5; 93

кривая 1 – при отношении сигнал-шум dвх = 0,5; 2 – при dвх = 1,0; 3 – при dвх = 1,5; 4 – при dвх = 2,0) приведены на рис. 5.8. ς, ξ, дБ 1 1 3

4 0

1 –10

2 2 0

0,0001

0,001

F•×2,5

0,01

Рис. 5.6. Отношение вероятностей обнаружения, n = 5 ς, ξ, дБ 4

5

3

2

1 4

0

1 3

–10

1

dвх 1,5 0,5 1,0 Рис. 5.7. Отношение вероятностей обнаружения, n = 5 l 4

2 1

2 0 –2 –5

4

3 0

5

Рис. 5.8. Логарифм отношения правдоподобия

94

γ

При малых значениях вероятности ложной тревоги КМДНС-обнаружение проигрывает по вероятности обнаружения резонансной согласованной фильтрации не более 1 дБ; его преимущество над согласованной фильтрацией может достигать 20 дБ при отношении сигнал-шум d вх ≤ 1 . Уменьшение преимущества нелинейного обнаружения второго порядка при dвх < 0,5 объясняется пропорциональностью коэффициента подавления шума четвертой степени отношения сигнал-шум. Увеличение отношения сигнал-шум приводит к выравниванию обнаружителей: при dвх > 3 эффективен любой способ. Логарифм отношения правдоподобия в пространстве статистики подобно кривой 2 на рис. 2, – нелинейная функция, необходимая для существования локального преимущества нелинейного обнаружения над согласованной фильтрацией.

95

6. КОРРЕЛЯЦИОННОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ Корреляционное обнаружение (КО) – МДНС2-обнаружение с двухсторонней гиперболической разделяющей функцией – несколько менее эффективно, чем КМДНС-обнаружение, тем не менее, существенно превосходит согласованную фильтрацию. Расчет рабочих характеристик КО подобен расчету КМДНС-характеристик. Преобразование к главным осям несколько упрощает подынтегральные выражения, однако, и в этом случае необходимо численное интегрирование. Альтернативой расчетов является имитационное моделирование КО, достаточно просто реализуемое в современной вычислительной среде. Приемлемые погрешности результатов достигаются генерированием шума с малыми погрешностями воспроизведения заданных корреляционных свойств. Например, значения функции корреляции R TN при генерировании N= 8 ·104 гауссовых векторов размерностью n = 5 с шагом ∆ = π/4 по методике, приведенной в разд. 3.1, в системе MATLAB воспроизводятся достаточно точно (табл. 6.1). Таблица 6.1 n=5 t/∆ R TN R ∗NT

0 1,0000 0,9994

1 –0,4559 –0,4556

2 0,2079 0,2087

3 –0,0948 –0,0973

4 0,0432 0,0453

Анализ эффективности корреляционной или КМДНС-процедуры при различной размерности сигнала может иметь реальный смысл в некоторых нелинейных задачах, требующих, например, квадратичного детектирования (обнаружение радиосигнала с неизвестной амплитудой, оценивание времени прихода [1]) или квадрирования (оценивание параметра сигнала с неизвестной амплитудой [67]). 6.1. Корреляционное обнаружение протяженных сигналов Полубесконечные реализации шума (разд. 1.2) могут использоваться при увеличении размерности сигнала, когда корреляционные матрицы становятся громоздкими или плохо обусловленными. В работе [56] описано генерирование массива 1280 × (19+n) чисел с функцией корреляции (4.7), ρ = –exp(–1/2), методом гармонического суммирования [68] с базовым датчиком URAND [69] для моделирования КО сигнала с n от96

счетами (N = 25600 чисел при любой размерности n). В табл. 6.2 показаны результаты генерирования для размерности сигналов n = 15. Таблица 6.2 n=15 t/∆ R TN R ∗NT

0 1,000 1,044

1 –0,607 –0,640

2 0,368 0,393

3 5 –0,223 –0,082 –0,240 –0,089

8 0,018 0,017

9 11 –0,011 –0,004 –0,013 0,004

При использовании этого генератора было установлено, что увеличение размерности сигнала приводит к более быстрому уменьшению дисперсии статистики при гипотезе H0, чем при линейном обнаружении: дисперсия σ02 ≈ n −2,56 в пределах значений n = 3–40 [56]. Скользящее суммирование [49] (окрашивание белого шума фильтром с весовой функцией (1.15)) допускает реализацию в виде рекурсивного фильтра второго порядка. Погрешности скользящего суммирования иллюстрируется табл. 6.3 для функции корреляции (4.7), ρ = –exp(–π/4), N = 104 чисел. Таблица 6.3 t/∆ R TN R ∗NT

0 1,000 1,016

1 –0,456 –0,472

2 0,208 0,219

3 –0,095 –0,110

4 0,043 0,053

6 0,010 0,009

8 0,002 0,010

9 –0,001 0,000

В табл. 6.4 приведены значения коэффициента подавления шума d 02 и его оценки dˆ02 , оценки отношения сигнал-шум dˆ12 (при гипотезе H1) 2 при линейном обнаружении при КО и отношения сигнал-шум d max сигнала оптимальной формы (оценки получены моделированием КО с реализацией шума со свойствами из табл. 6.3). Таблица 6.4 n d 02 dˆ02 dˆ 2 1

2 d max

2 2,675 2,521 0,368 3,491

3 9,838 9,382 0,528 5,681

5 7 8 10 15 20 44,205 105,65 146,87 250,06 632,07 1192,1 43,879 103,03 147,93 262,41 634,29 1256,4 0,720 0,791 0,814 0,849 0,901 0,923 10,866 18,770 21,412 24,066 37,370 50,711

Корреляционное обнаружение высокоэффективно при гипотезе H0: ≅ n 2,3 − n 2,4 , однако низкая эффективность при гипотезе H1 приводит к его проигрышу резонансной согласованной фильтрации. Следует отме97 d 02

тить, что при согласованной фильтрации сигнала оптимальной формы 2 d max ≅ n1,53 − n1,25 , что также выше, чем при согласованной фильтрации с отношением сигнал-шум, пропорциональным размерности сигнала (d2 = n). Эти результаты можно обобщить: увеличение размерности сигнала приводит к росту эффективности КО при уменьшении его относительной эффективности по сравнению с согласованной фильтрацией. Например, уменьшается отношение θ = D / Dl | F = const (табл. 6.5, θ – в дБ). Таблица 6.5 F = 10–4

dвх= 0 дБ 3 19 20

n Dh Dл

4 17 19

5 15 16

7 12 13

9 10 11

При неограниченном росте размерности ( n, m → ∞ ) слагаемые в (5.11) zm>>z1, так что приближенно статистика может быть записана (6.1) γ = zm,

(

)

2 2 γ | H 0 ∈ Ν ( m,2m ) , γ | H1 ∈ Ν m + µ ,2m + 4µ .

f

Для приближенного расчета рабочей характеристики плотности распределения можно положить равными (рис. 6.1) γ01

0

γ02

µ2

γ | H 0 ∈ Ν (0,2m ) ,

γ

Рис. 6.1. Плотности распределения

(

)

γ | H1 ∈ Ν µ 2 ,2m + 4µ 2 .

Статистика (6.1) – частный случай статистики (19), неравенство (20) выполняется. Вероятности ложной тревоги и обнаружения при двухпороговой процедуре (18) равны F = 1 − Φ ( γ 02 / σ0 ) + Φ ( γ 01 / σ0 ) ,

((

) ) ((

) )

D = 1 − Φ γ 02 − µ 2 / σ1 + Φ γ 01 − µ 2 / σ1 ,

σ02 = 2m, σ12 = 2m + 4µ 2 .

98

Если в соответствии с правилом Неймана – Пирсона зафиксировать вероятность F и задать критический уровень γ01, то γ 02 = σ0Φ −1 (1 − F + Φ ( γ 01 / σ0 )).

Таким образом, максимизация вероятности D сводится к выбору уровня γ01, удовлетворяющего уравнению ∂D / ∂γ 01 = 0.

С учетом того, что

(6.2)

∂Φ −1 ( x ) 1 = 2π exp  Φ −2 ( x )  , производная ∂x 2 

(

)

2 / 2σ02 , ∂γ 02 / ∂γ 01 = exp Φ −2 (1 − F + Φ ( γ 01 / σ0 )) − γ 01

уравнение (6.2) относительно критического уровня γ01, максимизирующего вероятность обнаружения при заданной вероятности ложной тревоги, записывается

(

) − σ12 γ012 − 2 −σ02 (σ0Φ −1 (1 − F + Φ ( γ 01 / σ0 )) − µ 2 ) = 0.

σ02 σ12Φ −2 (1 − F + Φ ( γ 01 / σ0 )) + σ02 γ 01 − µ 2

2

(6.3)

Численное решение уравнения современными вычислительными средствами возможно с высокой точностью. Например, процедура FZERO системы MATLAB [47] позволяет вычислить корень γˆ 01 с погрешностью воспроизведения значения функции в точке γˆ 01 порядка 10–14 при использовании 32-разрядной ЭВМ. Результаты расчетов для случая µ2 = 2, σ02 = 1 показаны в табл. 6.6 и на рис. 6.2. Таблица 6.6 σ12 = 4 γ01

10–6 10–5 10–4 10–3 0,01 0,10 0,50 0,90 –6,087 –5,599 –5,053 –4,425 –3,664 –2,639 –1,501 –0,824

γ0л D Dl

4,753 4,265 3,719 3,090 2,326 1,286 0,000 –1,282 0,0843 0,1228 0,1952 0,2932 0,4366 0,6460 0,8602 0,9743 0,0029 0,0118 0,0428 0,1370 0,3721 0,7638 0,9772 0,9995

F γ02

4,754

4,265

3,713

3,092

2,331

1,306

0,168

–0,510

99

D, D1 3 4 5

0,5

2 1 0 0,01 0,1 F Рис. 6.2. Рабочие характеристики

На рис. 6.2: D, Dl – вероятности обнаружения для двухпороговой процедуры и согласованной фильтрации; кривые 1 – 2 σ02 = σ12 = 1 ; кривая 2 – σ1 = 2 ; 3 – σ12 = 4 ; 4 – σ12 = 9 , 5 – σ12 = 16 . Рабочая характеристика кривая 1 для равных дисперсий симметрична относительно побочной диагонали, характеристики двухпороговой процедуры имеют положительную асимметрию вида

(кривая 2 на рис. 1). 6.2. Корреляционное обнаружение коротких сигналов Результаты моделирования КО коротких сигналов – имитации проверки простых гипотез с векторным генератором реализаций шума (табл. 6.1) показаны на рис. 6.3, 6.4. D•

D•

3 5

0,5 1

4

3

2

1

2

4

0,9

6

F• 0 0,5 Рис. 6.3. Рабочие характеристики

0 0,1 F• Рис. 6.4. Рабочие характеристики

На рис. 6.3: рабочие характеристики при отношении сигнал-шум dвх= 1 и размерности сигнала n = 2, 3, 4 и 5; кривые 4 и 6 – расчетные для n = 4 и n = 5 (приближенный расчет может служить оценкой сверху). На рис. 6.4: рабочие характеристики при dвх= 1,75 и той же размерности сигнала (кривая 1 – n = 2; 2 – n = 3; 3 – n = 4; 4 – n = 5). При отношении сигнал-шум dвх= 2,50 характер рабочих характеристик сохраняется за исключением того, что при n ≥ 5 гистограммы не пересекаются. 100

На рис. 6.5 точками показаны зна- 4 чения логарифма отношения прав• 2 • доподобия l, полученные по гистог• • раммам статистики при n = 5. Пара0 2 • бола с уравнением l = –4+6γ+18γ имеет смысл масштабной кривой и –2 • здесь проведена для иллюстрации • • •• • нелинейного характера функции l, –4 • • относящейся к тому же типу функ–0,4 –0,2 0 0,2 0,4 γ/σ ций, что и на рис. 4, показывающих Рис. 6.5. Логарифм отношения существование области преимущеправдоподобия ства МДНС2-обнаружения над согласованной фильтрацией. ς•, ξ •, дБ 4

ς•, ξ •, дБ 2

dвх = 0,5

dвх = 1,0

1

1 1

2

2 2

0

0

3 4

3

–10

–10 0,001

0,1

F•

0,001

0,1

F•

Рис. 6.6. Отношение вероятностей обнаружения, n = 5

Дисперсия (2.9) статистики КО при гипотезе H0 равна σ02 =

R TN B0−1R N R TN B0−1R N R TS BT0 R S

−

(

)

2 R TN B0−1R S

= GT B0G.

101

Ее зависимость от отношения сигнал-шум dвх (табл.6.7) иллюстрируется на примере сигнала размерности n =5. Там же приведены расчетные значения дисперсии статистики при гипотезе H1 σ12 = GT B1G,

B1 – ковариационная матрица оценок (2.2) при гипотезе H1, а также экспериментальные значения дисперсий σˆ 02 и σˆ 12 . Таблица 6.7 n=5 dвх σ02

0,100 183,35

0,333 1,491

0,500 0,293

1,000 1,500 2,000 –2 –3 1,835 ·10 3,622 ·10 1,146 ·10–3

σˆ 02

153,15

1,502

0,292

1,827 ·10–2 3,497 ·10–3 1,155 ·10–3

σ12 σˆ 12

217,60 219,33

4,580 4,623

1,663 1,703

0,361 0,365

0,156 0,153

8,678 ·10–2 8,767 ·10–2

Пропорциональность коэффициента подавления шума d 02 = ∆m 2 / σ02 = ( M [γ | H1 ] − M [γ | H 0 ]) / σ02 2

4 – четвертой степени отношения сигнал-шум, следующая величине d вх из общего решения (2.3) – (2.9), подтверждается экспериментально. МДНС2-правило обнаружения приводит к неравенству (20), усиливающемуся ( σ12 >> σ02 ) при увеличении отношения сигнал-шум и обуславливающему асимметрию рабочей характеристики. Дисперсия σ12 есть функция значений сигнала sik , k = 1, ..., 4, ее запись громоздка [56], зависимость от отношения сигнал-шум сложна. Сравнение эффективности КО с согласованной фильтрацией иллюстрируется рис. 6.6, а, б: кривые 1 – отношения ς• = Dл / D • , полученные моделированием КО (выборка N = 105) для отношений сигнал-шум dвх = 0,5 (рис. 6.6, а) и 1,0 (рис. 6.6, б); 2 – отношения ς = D‘ л / Dh для КМДНС-обнаружения (рис. 5.6); 3 – отношения ξ = Dl / Dh ; 4 – отношение ξ• = Dl / D • . При dвх = 1,0 значения ξ и ξ близки. Масштаб по оси F• нелинейный: F • = 2lg F . При dвх = 1,0 преимущество резонансной согласованной фильтрации над КМДНС-обнаружением составляет ≈1 дБ, над КО – увеличивается почти до 2 дБ (F ≈ 2 ·10–4). Расчеты КМДНС выполнены приближенно (формула (5.21)) для двусторонней гиперболической РФ, так что

·

102

это преимущество – следствие поворота вектора сигнала при каноническом преобразовании до совмещения с осью координат. При дальнейшем уменьшении F эффективность КО и КМДНС-обнаружения выравнивается, так как уменьшается значение второй ветви РФ. Полученное преимущество КО над КМДНС-обнаружением при F > 0,015 можно объяснить погрешностями расчета, проявляющимися при больших, не имеющих практического значения, вероятностях F. При dвх = 0,5 характер кривых тот же. Преимущество КМДНС-обнаружения и КО над согласованной фильтрацией достигает 10 дБ при F < 10–4. 6.3. Корреляционное обнаружение сигналов с неизвестным временем прихода Полученные результаты относятся к обнаружению известных сигналов. Один из усложняющих факторов – неизвестное время прихода сигнала. В дискретных системах неизвестным может считаться время в пределах интервала дискретизации ∆. При КО решающий вектор G (2.7) рассчитывается на конкретное время прихода t ∈ ∆, не совпадающее с его истинным значением t0 ∈ ∆. Простой гипотезе H1 соответствует расчет с t/∆ = 1 или t/∆ = 0, что означает совпадение переднего фронта прямоугольного сигнала с узлом дискретизации. При t ≠ t0 рабочие характеристики ухудшаются, их можно трактовать как несобственные по определению несобственных рабочих характеристик как не наилучших [5]. Пусть вектор G задается для случая отношения сигнал-шум на входе 2 d вх = 1 , n = 5. Его значения изменяются в зависимости от расчетного времени прихода t (табл. 6.8). Таблица 6.8 t/∆ 0,25 0,50 0,75 1,00

g1 0,1456 0,1176 0,0997 0,0944

g2 0,4699 0,3827 0,3270 0,3104

g3 0,4149 0,3494 0,3062 0,2932

g4 0,2105 0,1963 0,1826 0,1778

g5 0,0538 0,0655 0,0688 0,0692

Усредненные по t0 вероятности обнаружения D , соответствующие настройке на время прихода t и значениям вероятности ложной тревоги F = 0,002; 0,005; 0,008, приведены в табл. 6.9 – 6.12. В табл. 6.13 приведены соответствующие вероятности обнаружения при согласованной фильтрации сигнала с n = 5 в белом шуме. 103

Таблица 6.9 t/∆ = 0,25

dвх

D D D

0,50 0,119 0,148 0,174

0,75 0,342 0,390 0,433

1,00 0,646 0,689 0,734

1,25 0,881 0,903 0,921

1,50 0,976 0,983 0,991

1,75 0,998 0,999 0,999

Таблица 6.10 t/∆ = 0,50

dвх

D D D

0,50 0,112 0,142 0,172

0,75 0,300 0,369 0,426

1,00 0,625 0,673 0,722

1,25 0,866 0,895 0,916

1,50 0,971 0,979 0,984

1,75 0,996 0,998 0,998

Таблица 6.11 t/∆ = 0,75

dвх

D D D

0,50 0,110 0,140 0,172

0,75 0,343 0,371 0,429

1,00 0,610 0,668 0,724

1,25 0,858 0,890 0,914

1,50 0,962 0,974 0,981

1,75 0,995 0,997 0,998

Таблица 6.12 t/∆ = 1,00

dвх

D D D

0,50 0,102 0,131 0,164

0,75 0,300 0,362 0,417

1,00 0,595 0,652 0,710

1,25 0,846 0,881 0,901

1,50 0,963 0,975 0,982

1,75 0,994 0,997 0,998

Таблица 6.13 dвх D D D

104

0,50 0,0392 0,0724 0,0984

0,75 0,1149 0,1844 0,2321

1,00 0,2604 0,3670 0,4314

1,25 0,4669 0,5868 0,6503

1,50 0,6839 0,7818 0,8277

1,75 0,8497 0,9094 0,9337

Сравнение данных табл. 6.13 с D• предыдущими показывает преимущество КО при известном и 3 неизвестном времени прихода сигнала. При уменьшении веро4,5 ятности ложной тревоги проявля0,9 2 ется тенденция роста эффективности при настройке обнаружи1 теля на время прихода t = 0,25∆. Задание t = 0,25∆, предусматривающее наилучшее решение при неизвестном времени прихода, 0,5 F• 0 таким образом, имеет максиминный характер. Максиминные раРис. 6.7. Рабочие характеристики бочие характеристики (dвх = 1) показаны на рис. 6.7: нумерация кривых соответствует значениям: 1 – t0 = 0,25∆; 2 – t0 = 0,5∆, 3 – t0 = 0,75∆; 4 – t0 = ∆; 5 – собственная характеристика. В среднем для вероятностей F = 0,002; 0,005; 0,008 выигрыш корреляционного обнаружителя, настроенного на t = 0,25∆, по отношению сигнал-шум составляет ≈10 дБ (табл. 6.9, 6.13). Аналогичные расчеты вероятности D , соответствующие настройке на время прихода t и значениям вероятности ложной тревоги F = =0,0016; 0,0049; 0,0088, приведены в табл. 6.14. Таблица 6.14 t/∆ = 1,00

dвх

D D D

0,50 0,0952 0,1664 0,2168

0,75 0,3073 0,4290 0,4984

1,00 0,6138 0,7238 0,7750

1,25 0,8565 0,9112 0,9326

1,50 0,9657 0,9813 0,9866

1,75 0,9947 0,9974 0,9982

Сравнение данных табл. 6.14 и 6.12 показывает, что при неизвестном времени прихода эффективность КО приближается к эффективности КМДНС-обнаружения при отношении сигнал-шум dвх < 0,75 и dвх > 1,50. 105

Таблица 6.15 t/∆ = 1,00

dвх

D D D

0,50 0,1092 0,1945 0,2569

0,75 0,3569 0,4988 0,5812

1,00 0,6874 0,8026 0,8551

1,25 0,9094 0,9553 0,9716

1,50 0,9853 0,9944 0,9970

1,75 0,9987 0,9996 0,9998

Таков же характер резонансной согласованной фильтрации (табл. 6.15), имеющей несколько бóльшую эффективность. 6.4. Линейное преобразование в схеме корреляционного обнаружения Роль линейного преобразования в МДНС-обнаружении можно оценить, исключив линейный блок из структуры обнаружителя (рис. 2.1), что задает обнаружение в δ-коррелированном шуме. Статистике (3.1) соответствует коэффициент подавления шума d 02 = n (n − 1)U 4 / 2σ4 ,

пропорциональный четвертой степени отношения сигнал-шум. Если дисперсию σ12 статистики при гипотезе H1 и соответствующий вектор (2.7) отнести к единичной амплитуде сигнала, то при U ≠ 1 GU = U −2G, σ12U = GUT B1U GU = U −4GT BU 1 G, B1U = B0 + U 2 B ∆ , B ∆ = B1 − B0 , амплитуда U безразмерна. Коэффициент подавления шума d 02U = 1/ GUT B0GU = U 4 / GT B0G,

отношение сигнал-шум d12U = 1/ σ12U = U 4 / GT BU 1 G . При гипотезе H1 дисперсия статистики σ12 = σ02 + GT B ∆ G , вектор G =U

−2

(SpB

)

−1 −1 D 0 − d1

=

2σ 4 D, DT = [0; d 2 ;...; d n ], 2 n (n − 1)U

di – диагональные элементы матрицы B0−1 . При n = 5, dвх = 1 вектор GT = [0; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1]. Дисперсия статистики при обеих гипотезах 106

безразмерна: при H0 она пропорциональна отношению σ4/U4, при H1 добавляется слагаемое, пропорциональное σ2/U2. Результаты расчета дисперсий σ02 и σ12 и дисперсии σ2 статистики согласованной фильтрации прямоугольного сигнала с амплитудой U в белом шуме с единичной дисперсией приведены в табл. 6.16. Таблица 6.16 1,0 0,1000 0,1032 0,9000 1,0179 0,2000

U σ02 σˆ 02 σ12 σˆ 12

σ2

1,5 0,0198 0,0204 0,3753 0,4265 0,0889

2,0 0,0062 0,0061 0,2063 0,2333 0,0500

2,5 0,0026 0,0026 0,1367 0,1487 0,0320

3,0 0,0012 0,0012 0,0901 0,1022 0,0222

Характерные свойства МДНС-обна- D• 2 2 7 8 5 ружения (асимметрия σ0 << σ1 , вы6 сокая эффективность при гипотезе 2 2 H0 σ0 << σ , уменьшение эффектив2 2 ности при гипотезе H1 σ0 >> σ ) распространяются на случай δ-корре- 0,9 4 3 лированного шума, что подтвержда2 2 ется экспериментально ( σˆ 0 , σˆ 1 ). 2 1 На рис. 6.8 показаны рабочие характеристики: Dδ – для δ-коррелированного шума при dвх = 0,75; 1,00; 0 0,01 0,1 F• 1,50; 2,25 (кривые 1, 3, 5, 7 соответственно) и Dh – в окрашенном Рис. 6.8. Рабочие характеристики шуме при dвх= 0,50; 0,75; 1,00; 1,50 (кривые 2, 4, 6, 8). Сравнение характеристик показывает, что преобразование входного сигнала последовательным колебательным контуром в первом приближении эквивалентно увеличению отношения сигнал-шум dвх в 1,5 раза, что немного отличается от оценки эффективности линейного преобразования входного сигнала (4.22)

(

(

)

)

(

)

η2 = hc2 / h 2 = SYT B0−1SY / nU 2 ,

дающей для n = 5 значение η = 1,3. В преимущество нелинейного обнаружения второго порядка в окрашенном шуме над согласованной филь107

трацией, оцененное в разд. 6.2 примерно в 10 дБ, таким образом, вклад линейного преобразования составляет 3,5 дБ. В табл. 6.17 приведены значения коэффициента ν = Dh/Dδ, полученные для значения вероятности ложной тревоги F = 0,1. Таблица 6.17 n=5 0,75 3,779

dвх ν, дБ

1,00 2,430

1,25 1,195

1,50 0,446

1,75 0,130

Преимущество корреляционного обнаружения в окрашенном шуме по сравнению с обнаружением в δ-коррелированном шуме уменьшается при увеличении отношения сигнал-шум, что следует из общих свойств рабочей характеристики. Таков же характер зависимости отношения ν от протяженности сигнала n (табл. 6.18). Таблица 6.18 dвх =1 3 3,073

n ν, дБ

F = 0,1 5 2,430

7 1,475

9 0,812

11 0,462

Увеличение эффективности обнаружения в окрашенном шуме составляет суть МДНС-правила, базирующегося на различиях форм корреляционных функций сигнала и шума. В распознавании образов корреляционные свойства как признаки классов известны [35]. 6.5. Корреляционно-разностное обнаружение Дисперсии статистики σ02 , σ12 можно выравнять [56] ведением дополнительных линейных преобразований (рис. 6.9). A

YA +

Y

ИКМ

lS

γA +

γ+

–

γ–

G YB

–

×

ИКМ

×

γB

B lS

G

Рис. 6.9. Модифицированный корреляционный обнаружитель

108

В каналах A и B на входах нелинейных звеньев (ИКМ – измеритель корреляционных моментов по (2.2)) при гипотезах H0 и H1 сигналы  N + lS,  N − lS, YA =  YB =   N + (l + U ) S;  N − (l − U ) S,

S – сигнал с единичной амплитудой, l = αU. Составляющие векторов ˆ A, R ˆ B равны оценок корреляционных моментов R 2l rˆA1 | H 0 = rˆn1 + l 2 rˆS1 + n

n

∑ siui , i =1

n −1

∑

l rˆA2 | H 0 = rˆn 2 + l 2 rˆS 2 + ( si ui +1 + si +1ui ), n − 1 i =1 2l rˆB1 | H 0 = rˆn1 + l 2 rˆS1 − n rˆA1 | H1 = rˆn1 + (l + U ) rˆS1 + 2

n

∑ siui , i =1

2 (l + U ) n si ui n i =1

∑

ˆ A , γ B = GT R ˆ B складываются и вычитаюти т. д. Статистики γ A = GT R ся: γ + = γ A + γ B , γ − = γ A − γ B . Взаимнокорреляционные моменты статистик γA и γB

(

)

T 2 2 T rAB | H 0 = GT B0G − l 2GT B ∆ G, rAB | H1 = G B0G − l − U G B ∆ G,

B ∆ = B1 − B0 .

Дисперсии статистик в каналах σ2A | H 0 = σ2B | H 0 = GT B0G + l 2GT B ∆ G, σ2A | H1 = GT B0G + (l + U ) GT B ∆ G, 2

σ2B | H1 = GT B0G + (l − U ) GT B ∆ G. 2

109

Дисперсии статистик на выходах каналов σ2+ | H 0 = σ 2A | H 0 + σ 2B | H 0 + 2rAB | H 0 = 4GT B0G,

(

)

σ2+ | H1 = 4GT B0G + 4U 2GT B ∆ G = 4GT B0 + U 2 B ∆ G =

(6.4)

= 4GT B ∆ G; σ2− | H 0 = σ 2A | H 0 + σB2 | H 0 − 2rAB | H 0 = 4l 2GT B ∆ G, σ2− | H1 = 4l 2GT B ∆ G. .

Математические ожидания статистик в каналах M [ γ A | H 0 ] = M [ γ B | H 0 ] = GT R N + l 2 GT R S , M [ γ A | H 1 ] = GT R N + ( l + U ) GT R S , 2

(6.5)

M [ γ B | H1 ] = GT R N + ( l − U ) GT R S . 2

1. КО рассчитывается из условий GTRN= 0, GTRS = 1. В этом случае математические ожидания (6.5) равны M [γ A | H 0 ] = M [γ B | H 0 ] = l 2 , M [ γ A | H1 ] = ( l + U ) , 2

M [ γ B | H1 ] = ( l − U ) . 2

Математические ожидания суммы и разности статистик γA и γB

(

)

M [γ + | H 0 ] = 2l 2 , M [γ + | H1 ] = 2 l 2 + U 2 ; M [γ − | H 0 ] = 0, M [γ − | H1 ] = 4lU .

Таким образом, коэффициент подавления и отношение сигнал-шум d 02+ =

110

∆m+2 ∆m+2 U4 U4 2 = = = , d ; + 1 σ2+ | H 0 GT B0G σ2+ | H1 GT B1G

d 02− =

∆m−2 ∆m−2 4U 2 4U 2 2 = = = , d . 1− σ2− | H 0 GT B ∆ G σ2− | H1 GT B ∆ G

(6.6)

Суммирование статистик приводит к равенству коэффициента подавления и отношения сигнал-шум соответствующим значениям для КО. Вычитание статистик приводит к существенным отличиям от КО: – дисперсии (6.4) статистики при обеих гипотезах равны, что свидетельствует о выравнивании ее вероятностных свойств; – разностный КО вследствие (6.6) характеризуется одним параметром d 2 = d 02− = d 02+ – отношением сигнал-шум. Результаты расчета параметров статистик γ– и γ+, а также моделирования с N = 5·104 (as,ex – коэффициенты асимметрии и эксцесса) приведены в табл. 6.19 и 6.20. Таблица 6.19 γ–

dвх 0,54 1,09 1,63

m0 0 0 0

m1 4 4 4

n=5

α=1

mˆ 0 mˆ 1 σ2 5,1579 –0,0045 3,9955 1,2895 –0,0022 3,9978 0,5731 –0,0015 3,9985

as ex σˆ 2 5,1661 –0,0051 –0,0261 1,2916 –0,0051 –0,0261 0,5740 –0,0051 –0,0261

Таблица 6.20 γ+

α=1

n=5 dвх 0,54 1,09 1,63

σ2 | H 0 1,0325 0,0650 0,0128

σ 2 | H1 5,1579 1,2895 0,5731

mˆ 0 2,0017 2,0004 2,0002

m0= 2

mˆ 1 σˆ 2 | H 0 3,9972 1,0394 3,9982 0,0654 4,0002 0,0128

m1 = 4 σˆ 2 | H1 6,1837 1,3542 0,5861

as | H1 20,218 75,619 167,27

В табл. 6.21 показана гистограмма pˆ центрированной статистики γ–, нормированная к размеру выборки N, с шагом σˆ / 2 и соответствующие значения вероятностей p при нормальном распределении. Таблица 6.21 pˆ p

0,0005 0,0049

0,0026 0,0166

0,0170 0,0440

0,0678 0,0919

0,1637 0,1498

0,2514 0,1915

0,2528 0,1915

0,1606 0,1498

Энергия сигналов на входе и выходе колебательного контура не выравнивалась: значения dвх= 0,54; 1,09; 1,63 соответствуют значениям dвх= 111

0,5; 1,0; 1,5, использовавшимся в предыдущих разделах. Гистограммы статистики γ– разностного КО при гипотезах H0 и H1, если использовать одну и ту же реализацию генератора RANDN, отличаются только сдвигом. Статистика γ–, как показывает расчет коэффициентов асимметрии и эксцесса, нормализуется, однако, гипотеза нормальности отвергается по критерию χ2. Отличие от нуля выборочных моментов более высоких порядков (табл. 6.22) µ 2i −1 =

µ 2i =

N

∑

1 γ k2i −1, N σˆ 2i −1 k =1

1 N σˆ 2i

N

∑ γ k2i − (2i − 1)!! k =1

соответствует последнему выводу. Таблица 6.22 3

i µ

–0,0726

4 –0,4065

–1,0928

5 –5,8121

–15,4607

–92,6770

В табл. 6.23 – 6.25 приведены рабочие характеристики D– разностного КО для отношения сигнал-шум dвх=0,54; 1,09; 1,63. Таблица 6.23 dвх= 0,54

F D– Dp Dл

0,0001 0,0296 0,0247 0,0273

0,0005 0,0772 0,0641 0,0683

0,0020 0,1362 0,1326 0,1398

0,0048 0,2067 0,2023 0,2116

0,1031 0,6905 0,6893 0,7008

0,3325 0,9066 0,9074 0,9127

0,6905 0,9884 0,9879 0,9889

0,8112 0,9962 0,9959 0,9962

Таблица 6.24 dвх = 1,09 F D–

2 ·10–5 8 ·10–5 0,0001 0,0002 0,0006 0,0009 0,0022 0,0048 0,2902 0,3922 0,5189 0,5408 0,6412 0,6669 0,7492 0,8272

Dp

0,2777 0,3985 0,4540 0,5011 0,6134 0,6541 0,7466 0,8232

Dл

0,2993 0,4231 0,4792 0,5264 0,6374 0,6771 0,7665 0,8392

112

Таблица 6.25 dвх = 1,63 F D– Dp Dл

2 ·10–5 8 ·10–5 0,0001 0,0002 0,8867 0,9285 0,9643 0,9689 0,8790 0,9335 0,9500 0,9610 0,8969 0,9448 0,9589 0,9682

0,0006 0,9840 0,9802 0,9843

0,0008 0,9854 0,9831 0,9864

0,0011 0,9875 0,9863 0,9892

0,0022 0,9930 0,9924 0,9941

Отличия вероятностей D– и Dл во втором – третьем десятичном знаке определяют практическую равноэффективность разностного КО (корреляционно-разностного нелинейного обнаружения (КРО)) и резонансной согласованной фильтрации. Вероятность Dp рассчитана для нормальной аппроксимации распределения статистики γ– с отношением сигнал-шум d P = mˆ 1 / σˆ , равным при dвх=0,54; 1,09; 1,63 соответственно dp= 1,761; 3,523; 5,284. Отношение сигнал-шум dл резонансной согласованной фильтрации в этих случаях равно dл= 1,791; 3,581; 5,372. Параметр dp может использоваться для расчета приближенной рабочей характеристики как оценки снизу. Реальная рабочая характеристика за счет отрицательного эксцесса плотности распределения статистики γ– (табл. 6.19, 6.21) соответствует параметру dл. 2. Максимизируется разность математических ожиданий статистики по правилу КО1 (разд. 2.1). Подстановка вектора (2.10) в (6.5) и (6.4) определяет математические ожидания статистики, коэффициент подавления и отношение сигнал-шум: M [ γ A | H 0 ] = M [ γ B | H 0 ] = GT R N + L

l2 , U2

 l 2 2l  M [γ AB | H1 ] = GT R N + L  1 + 2 ±  ; U  U  l2  M [γ + | H 0 ] = 2  GT R N + L 2  , U    U 2 + l2  M [ γ + | H1 ] = 2  GT R N + L , U2  

113

M [γ − | H 0 ] = 0, M [γ − | H1 ] =

4l L; U

(6.7)

d 02+ = U 4 R TS B0−1R S ,

(RTS B0−1R S )

2

d12+

=U

4

d12−

=

U 2 R TS B0−1B ∆ B0−1R S + R TS B0−1R S

(RTS B0−1R S )

;

2

d 02−

= 4U

2

R TS B0−1B ∆ B0−1R S

.

(6.8)

Отношение сигнал-шум КРО от заданной разности L математических ожиданий не зависит. Суммирование статистик, как и с применением КО, неэффективно. Параметры КРО рассчитывались по формулам (6.7), (6.8) при l = L=1 для амплитуд сигнала U = 0,5, U = 1,5 (dвх=0,54, dвх=1,63) и L = 0,25 для dвх=1,09 (табл. 6.26). Таблица 6.26 γ–

dвх 0,54 1,09 1,63

m0 0 0 0

α=1

n=5

m1 8,00 1,00 2,67

mˆ 0 mˆ 1 d as ex dˆ 1,7676 –0,0097 7,9903 1,7644 –0,0052 –0,0268 3,5352 –0,0006 0,9994 3,5310 –0,0052 –0,0268 5,3028 –0,0011 2,6656 5,2976 –0,0052 –0,0268

Отношение сигнал-шум d для статистики γ–, как и при линейном обнаружении, пропорционально отношению сигнал-шум dвх. Рабочие характеристики КРО приведены в табл. 6.27 – 6.29. Таблица 6.27 dвх= 1,09 F D– Dp Dл

114

0,0002 0,0521 0,0400 0,0423

0,0005 0,0718 0,0561 0,0591

0,0010 0,0963 0,0905 0,0948

0,0020 0,1393 0,1334 0,1391

0,0040 0,1932 0,1874 0,1945

0,0090 0,2790 0,2739 0,2826

0,1150 0,7162 0,7137 0,7225

0,3377 0,9100 0,9108 0,9149

Таблица 6.28 dвх= 1,09

F D– Dp Dл

2·10–5 6·10–5 0,0001 0,0002 0,3038 0,3831 0,4891 0,5607 0,2822 0,3763 0,4437 0,5065 0,2993 0,3955 0,4635 0,5264

0,0007 0,6597 0,6317 0,6504

0,0010 0,6910 0,6724 0,6903

0,0026 0,7762 0,7701 0,7850

0,0076 0,8682 0,8647 0,8752

Таблица 6.29 dвх= 1,63 F D– Dp Dл

2·10–5 6·10–5 0,0001 0,0002 0,8883 0,9272 0,9690 0,9726 0,8830 0,9267 0,9428 0,9627 0,8969 0,9364 0,9508 0,9683

0,0004 0,9809 0,9741 0,9782

0,0007 0,9852 0,9819 0,9849

0,0009 0,9870 0,9855 0,9880

0,0015 0,9912 0,9902 0,9920

При малых значениях вероятности F, как и в случае с КО, корреляционно-разностное обнаружение не уступает резонансной согласованной фильтрации. Это свойство более четко прослеживается в экспериментах с КО1, что можно объяснить менее жесткими ограничениями на КО1: на КО накладываются два ограничения, на КО1 – одно. Можно отметить также, что за счет погрешностей моделирования не достигается теоретического значения отношения сигнал-шум ( dˆ < d, табл. 6.26; σˆ 2 > σ2, табл. 6.19). Таким образом, результаты моделирования не противоречат выводу о практической равноэффективности нелинейного корреляционно-разностного обнаружения и наилучшей линейной процедуры резонансной согласованной фильтрации, выигрывающей у согласованной фильтрации в белом шуме по вероятности обнаружения 20 дБ на уровне вероятности F=2·10–5 при dвх=1. 6.6. Примеры эффективного обнаружения Повышение эффективности обнаружения импульсных сигналов, маскируемых гауссовым шумом, важно не только для увеличения дальности локационных систем или надежности двоичных систем передачи данных. Крутизна характеристики линейного обнаружения определяет степень подавления слабой импульсной помехи, которая при значительной плотности может оказаться существенной. Нелинейные процедуры оказываются оптимальными при обнаружении сигналов с неизвестными параметрами. 115

1. Преимущество резонансной согласованной фильтрации над согласованной фильтрацией в декодере ДСК показывает табл. 6.30, в которой отражена зависимость пропускной способности на символ от отношения сигнал-шум для случая белого шума. Таблица 6.30 n=5 d Cс.ф Cр.с.ф

0,200 0,023 0,057

0,400 0,088 0,210

0,600 0,187 0,412

0,800 0,308 0,612

1,000 0,438 0,773

1,200 0,564 0,883

1,600 0,773 0,978

2,000 0,902 0,998

2,200 0,940 0,999

2. Случай импульсной помехи характерен, например, для оптических систем космических аппаратов (КА). Оборудование КА может включать системы ориентации, навигации и сближения [70,71]. Линия визирования КА-цели с КА-носителя в задаче сближения (параллельное сближение с нулевой угловой скоростью линии визирования или пропорциональное наведение с угловой скоростью вектора относительной скорости КА, пропорциональной угловой скорости линии визирования [72]) естественно строится и контролируется в оптическом диапазоне. Общей в подобных системах является вторичность функциональной обработки оптических сигналов. Первичная обработка состоит в обнаружении звезд и КА как единого множества космических объектов. Задача последующего анализа – выделение КА на фоне звезд [73]. В оптическом диапазоне КА наблюдается на фоне звездного неба как точечный объект на фоне множества менее и более ярких точечных объектов. Световая обстановка на космической орбите определяется освещенностью от Солнца, равной на плоскости, перпендикулярной его лучам, EC= 137·103 лк и блеском объекта (освещенностью приемника, создаваемой наблюдаемым КА). Блеск m точечного объекта, выражаемый в звездных величинах, связан с освещенностью Em в люксах соотношением (табл. 6.31) [73]: m = 2,5lg

EC E = 2,5 k + k , m ≥ k . Em Em

(6.9) Таблица 6.31

m –1,0 0,0

116

Em 6,98·10–6 2,78·10–6

m 1,0 2,0

Em 1,11·10–6 4,41·10–7

m 3,0 4,0

Em 1,75·10–7 6,98·10–8

m 5,0 6,0

Em 2,78·10–8 1,11·10–8

Увеличение значения m на единицу соответствует уменьшению освещенности в 2,5 раза. Освещенность приемника от точечного объекта с блеском m-й звездной величины в центральной части поля зрения [74,75] ET = Em τ

D 2 d = 0,15 , , ϕ d2

(6.10)

где D – диаметр входного отверстия (объектива); d – диаметр кружка рассеяния; ϕ – угол зрения в градусах; τ – прозрачность оптической системы. Расчетный вид формулы (6.10) ET ≅ 44 Em τD 2ϕ2 ,

где D в мм; ϕ в градусах. Например, освещенность в центре при D = 50 мм, ϕ = 60°, τ = 0,5 равна ET = 2 ·108 Em, освещенность на краях уменьшается приблизительно в два раза. Из табл. 6.31 видно, что даже довольно m m слабые объекты с блеском 5 – 6 могут создавать освещенность ET в единицы лк, т. е. фиксироваться стандартными фотоприемниками: передающими телевизионными трубками, приборами с зарядовой связью [74–77]. Блеск КА в виде шара с радиусом r равен Em = aEC

2 r2 sin φ + ( π − φ) cos φ , 3π R 2 

где a – коэффициент отражения; R – расстояние между КА; φ – угол освещения КА Солнцем. Для КА с r = 1 м, a = 0,1, R = 320 км, φ = 90° –8 блеск Em = 1,8 · 10 лк (в π раз меньше максимального при φ = 0), т. е. такой КА на дальности 320 км наблюдается как звезда с блеском 5m и создает освещенность ET ≅ 5,6 лк при использовании упомянутого объектива. Количество звезд с уменьшением блеска резко возрастает ([73], табл. 6.32). Таблица 6.32 Блеск, m 0,0 1,0 2,0 3,0

Число звезд 4 16 50 100

Блеск, m 4,0 5,0 6,0 7,0

Число звезд 500 1600 4800 15000

117

Космический аппарат с блеском 5m наблюдается на фоне большого количества менее ярких звезд. В поле зрения объектива с ϕ = 60° попадает aϕ = (1 − cos (ϕ / 2 )) / 2 = 0,067

(6.11)

часть сферы, т. е. в среднем порядка 100 звезд, более ярких, чем 5m (звезды по сфере распределены неравномерно, и это число может сильно отличаться в обе стороны). Уменьшение угла зрения, необходимое для уменьшения этого числа, приведет к уменьшению освещенности и к ужесточению требований к точности стабилизации приемника в пространстве. Таким образом, задача обнаружения КА в оптическом диапазоне может формулироваться как задача выделения сигнала на фоне более и менее мощных сигналов одинаковой природы. Измерение мощности сигналов и селекция по признаку принадлежности некоторому интервалу бесперспективно, так как велика вероятность попадания в интервал селекции сигналов от звезд того же блеска. Решению проблемы может способствовать предварительная компенсация звездного фона по признакам, отличным от яркостных. Один из аспектов этой задачи – подавление сигналов от слабых звезд, число которых на порядки больше, чем ярких. Слабые сигналы фиксируются с вероятностью, неприемлемой для работы с объектами обнаружения (например, с D < 0,9), но за счет их количества наблюдения могут "замусориться", что приведет к затратам на дополнительную обработку. Смысл первичного обнаружения – приписывание единицы или нуля элементу изображения в зависимости от того, превышает выходной сигнал обнаружителя критический уровень или нет. Вторичная обработка бинарного изображения имеет целью обнаружение траекторий КА по некоторым признакам связности единиц в последовательности кадров. Непроизводительные затраты вторичной обработки в первом приближении пропорциональны общему числу Nнп единиц, обусловленных звездами с блеском m > m0, m0 – пороговый блеск обнаруживаемого КА. Можно показать, что величина Nнп уменьшается при использовании при первичной обработке резонансного согласованного фильтра или корреляционного обнаружителя по сравнению с применением согласованного фильтра. 118

Данные табл. 6.32 аппроксимируются зависимостью (табл. 6.33) nm = n ( m ) ≈ exp (1,2 ( m + 1)).

Таблица 6.33 m n nm

0 4 3

1 16 11

2 50 37

3 100 122

4 500 403

5 1000 1339

6 4800 4447

7 15000 14765

В поле зрения попадает (здесь и далее имеются в виду средние)

nϕ = aϕ n (m ) dm

∫

m

звезд; aϕ – коэффициент (6.11). При заданных пороговом блеске m0 и вероятности ложной тревоги F0 число непроизводительно обнаруженных звезд nнп =

∫ η(m ) dm = aϕ ∫ n (m ) f (m | F0 ) dm

m >m0

(6.12)

m >m0

определяется условной плотностью f (m | F0 ) =

d D (m | F0 ) , dm

(6.13)

задающей чувствительность первичного обнаружения, D (m | F0 ) – зависимость вероятности обнаружения от блеска. Подобная условная функция отношения сигнал-шум известна как характеристика обнаружения [2]. Для расчета величины (6.12) необходимо пересчитать характеристику обнаружения D ( d | F0 ) в функцию чувствительности D (m | F0 ) . Характеристики обнаружения D1 (кривая 1) согласованного фильтра при F0 = 10–4 и протяженности сигнала n = 5 D1 (d | F0 ) = Φ

(

)

5d − c ,

c = Φ −1 (1 − F0 ) ,

(6.14)

и корреляционного обнаружителя D2 (кривая 2) показаны на рис. 6.10. Эти характеристики соответствуют работе обнаружителей с одинаковыми оптическими системами с углом зрения ϕ. Если угол зрения в системе с 119

D

2

1

3

0,5

0

1

2

3

d

Рис. 6.10. Характеристики обнаружения

корреляционным обнаружителем ϕ1 < ϕ, то ее чувствительность увеличивается, и можно подобрать такое значение ϕ1, что характеристики обнаружения выровняются в смысле достижения вероятности обнаружения, близкой к единице, при одинаковых значениях отношения сигнал-шум d. Характеристику D2 можно аппроксимировать функцией (табл. 6.34, рис. 6.10 – 2) D2• (d | F0 ) = Φ

(

)

5d d − (c − 1,1) .

(6.15) Таблица 6.34

d D2

D2•

0,1 0,3 0,5 0,9 1,2 1,5 1,8 2,0 0,0002 0,0022 0,0183 0,2460 0,6470 0,9274 0,9930 0,9992 0,0054 0,0122 0,0337 0,2389 0,6257 0,9317 0,9973 0,9999

Функция D • (d | F0 ) = Φ

(

5d 1,3 − ( c + 2,5)

)

(6.16)

аппроксимирует характеристику D2 (рис. 6.10 – 3), смещенную на величину ∆d = 1,1. В табл. 6.35 приведены смещенная характеристика D2 и функция (6.16). Таблица 6.35 d D2 D•

120

1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,1 0,0070 0,0852 0,2460 0,5106 0,8650 0,9608 0,9930 0,9992 0,0075 0,0781 0,2379 0,5052 0,8728 0,9722 0,9966 0,9998

Как следует из выражений (6.10) и (6.11), такое смещение соответствует углам зрения ϕ = 60° и ϕ1 = 48°, коэффициент aϕ1 = 0, 0436. Плотности распределения, соответствующие функциям (6.14), (6.15) и (6.16), находятся дифференцированием:

(

5 exp  −5 d − c / 5 2π 

f1 ( d | F0 ) = D1′ (d | F0 ) = f 2• (d | F0 ) =

(

3 5d exp  −5 d 3/ 2 − (c − 1,1) / 5 2 2π 

)

/ 2  , 

(6.17)

)

/ 2  , 

(6.18)

2

(

2

)

2 1,3 5 0,3 d exp  −5 d 1,3 − (c + 2,5) / 5 / 2  . (6.19) 2π   Как следует из (6.9), если объекту с блеском m0 соответствует отношение сигнал-шум d0, то при линейной световой характеристике

f • (d | F0 ) =

m −m0

d (m ) = (2 / 5)

d 0 , d ′ (m ) = (5/ 2 )

m0

ln (2 / 5)(2 / 5) d 0 . m

Функции чувствительности (6.13) находятся заменой аргументов в плотностях (6.17)–(6.19): f1 (m | F0 ) = −d ′ (m ) f1 (d | F0 ) =−

ln (2 / 5)  2 m  m   exp  − (2 / 5) − a1 2πσ1  5  

(

a1 = f 2• (m | F0 ) = −

c d0

2   55

m0

3m0 / 2

f • (m | F0 ) = −

) / 2σ  , 2

(6.20)

2 1

)

(

3m / 2

(

 3m / 2 − a2 exp  − (2 / 5) 

) / 2σ  , 2

(

2 3 d 0−3/ 2 (c − 1,1) / 5, σ2 = 1/ 5d 0 (5/ 2 ) 1,3m

1,3ln(2 / 5)  2    2πσ  5 

1,3m0

=

, σ12 = 1/ 5d 02 (5/ 2 )2m0 ;

3 ln (2 / 5)  2    2 2πσ2  5 

a2 = ( 2 / 5 )

a = (2 / 5)

d =d (m )

(

 1,3m −a exp  − (2 / 5) 

(

3m0

2 2

);

(6.21)

) / 2σ  , 2

2 2,6 d 0−1,3 (c + 2,5) / 5, σ = 1/ 5d 0 (5/ 2 )

2,6m0

2

).

(6.22) 121

η 200

Число непроизводительно обнаруженных звезд рассчитывается после подстановки (6.20) – (6.22) в (6.12). Подынтегральные выражения (6.12) для случая d0 = 2, m0 = 5: кривая 1 – функция (6.20); кривая 2 – (6.21), aϕ = 0,067; кривая 3 – (6.22), aϕ1 = =0,0436 показа-

2 1

100 3

7

6

0

m

Рис. 6.11. Подынтегральные функции

ны на рис. 6.11. Значения n1, n• и n2• – количества непроизводительно обнаруженных звезд при использовании согласованного фильтра и корреляционного обнаружителя в системах с углами зрения ϕ1 = 48° и ϕ = 60° приведены в табл. 6.36. Таблица 6.36 m0 n1 n• n2•

3,5 19,4 2,45 41,6

4,0 35,3 4,46 75,3

4,5 64,1 8,12 136

5,0 116 14,8 246

5,5 211 27,0 443

6,0 384 49,0 799

6,5 698 89,5 1436

7,0 1266 163 2576

В системах с одинаковыми углами зрения (n1, n2• ) за счет бóльшей чувствительности корреляционный обнаружитель выделит в 2 раза бóльшее число звезд, чем согласованный фильтр. В системе с несколько уменьшенным углом зрения корреляционный обнаружитель уменьшает число непроизводительно обнаруженных звезд в 7 раз. 3. Оптимальное обнаружение сигнала с неизвестными параметрами реализуется нелинейными процедурами. Отношение правдоподобия для узкополосного сигнала

{

}

s (t ) = A Re F (t − τ ) exp j (ω (t − τ ) + ϕ )

с комплексной огибающей F(t) и неизвестными амплитудой A, временем прихода τ и фазой несущей частоты ϕ в белом шуме со спектральной плотностью N, усредненное по фазе, имеет вид [1]  A2  A Λ ( A, τ ) = exp  − E ( τ ) I 0  RFV ( τ )  ,   2N  N

122

(6.23)

E (τ ) =

T

∫ F (t − τ ) 0

RFV ( τ ) =

2

dt – энергия сигнала в интервале наблюдения T;

T

∫ F (t − τ )V (t ) dt

– функция сигнала F(t) и входного сигнала

0

v (t ) = ReV (t ) e jϖt ; F (t ) – комплексно-сопряженная функция; I0(x) – модифицированная функция Бесселя. Минимаксная стратегия в общем случае предписывает считать амплитуду сигнала малой величиной, что лишает оптимальный по критерию Неймана–Пирсона обнаружитель реального смысла [1]. Если же рассмотреть случай работы в ограниченном канале дальности [9], может быть получен иной результат. В канале дальности ∆L = Lmax – Lmin величина ∆L задается равной нескольким сотням метров, так что амплитуда может считаться равномерно распределенной в интервале ∆A. Отношение (6.23), усредненное по амплитуде, записывается Λ (τ ) =

1 ∆A

 A2  A exp  − E ( τ ) I 0  RFV ( τ )  dA.   2N  N ∆A

∫

(6.24)

При нормировке E(τ) = 1, Amax/N=1, RFV(t) ≤ 1, соответствующей отношению сигнал-шум порядка единицы, зависимость отношения (6.24) от значений RFV(τ) слабо связана с величиной интервала ∆A и почти линейна в диапазоне 0 ≤ RFV(τ) ≤ 1: например, для минимальных значений Amin = 0,5Amax и Amin=0,7Amax функция Λ(τ) ≈ 0,75+0,09RFV(τ), Λ(τ) ≈ 0,80 + 0,07RFV(τ). При этом статистика обнаружения определяется функцией RFV ( τ ) =

T

∫ F (t − τ )V (t ) dt ,

(6.25)

0

с точностью до коэффициента описывающей зависимость корреляционного момента входного и обнаруживаемого сигналов на выходе линейного детектора от времени прихода τ. Операции детектирования (демодуляции) и интегрирования здесь перестановочны, поэтому статистика может задаваться как некоторая функция корреляционного момента широкополосных входного и информационного сигналов x(t) и s(t). Если рассматривать s(t) как опорный полностью известный для данного канала дальности сигнал, то последняя процедура описывает сигнал на выходе корреляционного приемника [2]. 123

C учетом первых двух членов разложений в ряды Тейлора сомножителей подынтегрального выражения в (6.24) статистика обнаружения сигнала с малой амплитудой в [1] получена как усреднение функции 2 RFV ( τ ) по времени прихода. Требующееся для этого квадратичное детектирование вовсе подавляет слабый сигнал, что и определяет вывод о бесперспективности такой процедуры [1]. Следует отметить, что свойство приблизительной линейности (6.24) как функции RFV(τ) сохраняется в более широком диапазоне значений отношения сигнал-шум (при E(τ) >> 1, Amax/N >>1), так что этот вывод скорее свидетельствует о бесперспективности минимаксного правила при неизвестных параметрах мощности сигнала. Прямоугольный сигнал s(t) на выходе колебательного контура (рис. 2.1) с весовой функцией (4.1) принимает вид (4.3) такой, что s y ( t ) ≈ s ( t ).

Пусть колебательный контур, по отношению сигнал-шум проигрывающий согласованному фильтру порядка 10% при обработке прямоугольного сигнала [2], подключен к корреляционному приемнику. Тогда корреляционная функция (функция временной связи [79]), формируемая корреляционным приемником, T

T

0

0

1 1 RSS ( τ ) = s y (t ) s y (t − τ ) dt ≈ s y (t ) s (t − τ ) dt = RSY ( τ ) , T −τ T −τ

∫

∫

и функцию RSY(τ), аналогичную (6.25), можно заменить квазикорреляционной функцией сигнала sY(t) RSS ( τ ) =

T

1 s y (t ) s y (t − τ ) dt. T −τ

∫

(6.26)

0

Некоторое преимущество замены для дискретного случая, исследуемого в предыдущих разделах, иллюстрируются табл. 6.37. Таблица 6.37 n=5 τ/T RSS RSY

124

0,0 1,1802 1,0639

d=1 0,2 1,0109 0,9658

E=1 0,4 1,1561 1,0238

0,6 1,1004 0,9882

0,8 1,4846 1,0197

При случайном времени прихода значения (6.25) случайны, и в соответствии с минимаксным правилом их следует усреднить для равномерно распределенных значений τ. С другой стороны, по мере поступления дискретного сигнала отсчет за отсчетом наступает положение, когда τ ≈ 0, и корреляционный момент (6.25) максимален: T

RFV max ≈ s 2 (t ) dt = ES .

∫ 0

Процедура обнаружения при τ ≈ 0 соответствует согласованной фильтрации сигнала с неизвестной в интервале ∆A амплитудой. Если длительность сигнала Tc равна протяженности интервала наблюдения T в канале дальности, время прихода с интервалом дискретизации ∆ изменяется от τmax ≈ Tc до τ ≈ 0, и шаг за шагом формируется функция (6.26). Эта процедура в структуре корреляционного обнаружителя (рис. 2.1) реализуется в блоке измерения корреляционных моментов (ИКМ). Корреляционное обнаружение эффективнее согласованной фильтрации в интервале значений ∆A, обеспечивающих отношение сигнал-шум d ≥ –6 дБ (до 10 дБ по вероятности обнаружения при вероятности ложной тревоги F < 10 –4, разд. 6.2). Как показано в разд. 6.3, максиминная настройка корреляционного обнаружителя сохраняет его высокую эффективность при неизвестном времени прихода в интервале ∆.

125

7. НЕЛИНЕЙНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ В общем случае разделяющая функция может описываться произвольным нелинейным уравнением. МДНС-правило может быть с некоторыми ограничениями распространено на синтез обнаружителя и в общем случае. Пусть сигнал на входе при гипотезах H0 и H1 n (t ) , x (t ) =  n (t ) + s (t ).

Гипотезы H0 и H1 простые, сигнал s(t) детерминированный, широкополосный; стационарный шум n(t) гауссов, белый. Общая структура обнаружителя не отличается от рассмотренной структуры, приведенной на рис. 2.1, где ψ – произвольное нелинейное преобразование. Обработка непрерывного сигнала x(t) включает его линейное преобразование y(t) = ϕ(x(t)), окрашивающее шум. При гипотезах H0 и H1 АЦП формирует сигналы X = N и X = N+S, которые в результате нелинейного преобразования трансформируются в сигналы Z. Статистика при гипотезах H0 и H1 GT Z0 , γ= Y G Z1,

(7.1)

имеет дисперсию σ2γ

GT B0G, = T G B1G,

B0 = M  Z0 ZT0  – корреляционная матрица сигнала Z0 = Z | H 0 ,   B1 = M  Z1Z1T  – ковариационная матрица сигнала Z1 = Z | H1 . Вслед  ствие B0 ≠ B1 дисперсии статистики при H0 и H1 не равны, и задача минимизации дисперсии формулируется относительно σ02 = σ2 | H 0 при ограничениях – фиксированных средних значениях статистики GT M [Z0 ] = GT Q N = 0, M [γ ] =  T T G M [Z1 ] = G Q NS = 1.

126

(7.2)

Вектор, минимизирующий дисперсию σ02 ,

(

)

G = c −1 a00B0−1Q NS − a10B0−1Q N , a00 = QTN B0−1Q N , a01 = QTN B0−1Q NS , a10 = QTNS B0−1Q N , 2 a11 = QTNS B0−1Q NS , c = a00a11 − a10 ;

дисперсия 2 σ02 = σ0min = c −1a00 .

(7.3)

Нелинейная статистика обнаружения γ = GT Z

(7.4)

при неопределенном преобразовании ψ абстрактна, тем не менее, и в общем виде можно задать некоторые условия ее существования и определить ее характерные свойства. 1. В теории проверки гипотез формулируются требования достаточности статистики и одномодальности ее непрерывных распределений, задающих непрерывные и монотонные отношения правдоподобия, при которых правило Неймана–Пирсона – равномерно наиболее мощное правило проверки простой гипотезы H0: U = 0 против сложной альтернативы H1: U > 0 или U < 0 [4]. Непрерывность распределений статистики в соответствии с теоремой о полноте класса байесовских решений определяет также возможность применения байесовского правила [80]. МДНС-правила применимы при менее жестких ограничениях. Нелинейное преобразование ψ должно обеспечивать существование дисперсии σ02 и ее функциональную зависимость от вектора G, выбором которого дисперсия минимизируется. Функциональная зависимость существует по определению (7.4), следовательно, преобразование ψ должно удовлетворять общим условиям существования решения экстремальной задачи для гладких функций с ограничениями типа равенств (ограничения (7.2), например, M[Z] при корреляционном обнаружении, могут не быть выпуклыми). Дополнительные условия интегрируемости плотностей распределения статистики при обеих гипотезах равносильны условиям существования вероятностей ошибок первого и второго рода, т. е. рабочей характеристики. 127

К недопустимому по признаку минимизации дисперсии относится, например, бинарное квантование сигнала Y = N + S с постоянной амплитудой U  −1, yi ≤ 0, zi = ψ ( yi ) =  1, yi > 0, i = 1,..., n.

В этом случае вектор GT = g[1;1;…,1] формирует статистику (7.4) со средними значениями m0 = M [γ | H 0 ] = 0, m1 = M [γ | H1 ] = n (2 P − 1) ,

P = Ф(U/σ). Нормировка g = 1/m1 обеспечивает выполнение ограничений (7.2), которые в свою очередь полностью определяют решение. 2. Преобразование ψ должно обеспечивать неравенство дисперсий σ02 < σ12 , необходимое для достижения асимметрии рабочей характеристики, обеспечивающей существование области локального преимущества нелинейного обнаружения над согласованной фильтрацией в окрестности F = 0. Вследствие B0 ≠ B1 и постановки задачи минимизации дисперсии σ02 неравенство дисперсий представляется обеспеченным. Однако введение этого условия необходимо, потому что асимметрия рабочей характеристики не является обязательным следствием нелинейного преобразования. Пусть, например, имеется скалярная статистика y | H 0 ∈ Ρ ( y ) , y | H1 ∈ Ρ ( y − m ) , P(y) – некоторое распределение с симметричной плотностью, при гипотезах H0 и H1 отличающейся математическими ожиданиями: m | H 0 = 0 , m | H1 = m . Статистика y преобразуется в статистику z по правилу: z = 0 при y ≤ m/2, z = m при y > m/2. Дисперсии статистики при обеих гипотезах равны. Рабочая характеристика DZ(F) обнаружения вырождается в три точки, соответствующие вероятностям ложной тревоги F = 0, F = 0,5 и F = 1, принадлежащие симметричной характеристике DY(F). 3. Необходимое и достаточное условие существования области локального преимущества обнаружения O1 с преобразованием ψ1 над обнаружением O2 с ψ2 в окрестности F → 0 есть условие превосходства крутизны рабочей характеристики O1 ∂D1 / ∂F > ∂D2 / ∂F в окрестности точки F = 0. 4. Равенство нулю среднего значения статистики (7.2) при H0 не является необходимым, но позволяет ввести понятие аддитивности преобразования ψ в среднем: 128

M [ψ( N + S)] = M [Z0 ] + M [ψ(S1 )] = M [ψ(S1 )] = Q NS1, S1 = ζ(S, µ( N)) , µ(N) – функция моментов шума. Нелинейное преобразование, аддитивное в среднем, эквивалентно независимому преобразованию сигнала S1, отличного от заданного сигнала S, и шума N. Например, корреляционное преобразование (2.3) аддитивно в среднем. 5. При гипотезах H0 и H1 преобразование ψ не может иметь характер подобия, т. е. Q NS ≠ ρQ N ,

в противном случае коэффициент c в (7.3) равен нулю. Например, недопустимо преобразование скалярного сигнала z0 = cos(n), z1 = cos(n+s), так как тогда qN = 1, qNS = cos(s) = ρqN, c = 0. 6. Отношение 2 d 02 = ( M [ γ | H1 ] − M [ γ | H 0 ]) / σ02 = a11 − a10 / a00 , 2

(7.5)

имеет смысл коэффициента подавления шума. Пусть после нелинейного преобразования амплитуда сигнала U становится равной Uν. Дисперсия статистики при H0 записывается σ02 = bU −2 ν ,

b – коэффициент пропорциональности. Показатель ν есть порядок преобразования. Пропорциональность коэффициента подавления шума (7.5) 2 ν – отношению сигнал-шум на входе в величине U2ν, т. е. величине d вх степени, равной удвоенному порядку нелинейного преобразования, – новый результат (линейное обнаружение обеспечивает пропорциональ2 ). ность величине d вх 7. Линейное обнаружение имеет первый порядок. Оно отличается аддитивностью Q NS = Q N + Q S

и равенством B0 = B1, т. е. равенством дисперсий статистики при обеих гипотезах. Решение задачи минимизации дисперсии при фиксированных средних статистики в линейном случае определяется соотношениями (7.1) – (7.4), в которых QNS заменяется на QS. Если преобразование – тож2 дество, то QS = S, QN = N, и отношение сигнал-шум d2 = STB–1S – a10 / a00 2 формально меньше, чем для согласованного фильтра на величину a10 / a00 , 129

при M[N] = 0 теряющую смысл. Задача с одним ограничением имеет решение

(

G = ST B −1S

)

−1

B −1S,

(7.6)

с точностью до коэффициента совпадающее с решением для согласованной фильтрации и обеспечивающее отношение сигнал-шум (1). 8. Аналогично трансформируется задача синтеза обнаружителя в случае нелинейного преобразования ψ нечетного порядка, например, zi = sin(yi), когда среднее значение статистики при H0 равно нулю при любом векторе G. Решающий вектор имеет вид (7.6)

(

G = QTNS B0−1Q NS

)

−1

B0−1Q NS .

Обнаружение с преобразованием четного порядка инвариантно к полярности сигнала. Обнаружение с преобразованием нечетного порядка допускает двустороннюю альтернативу H1: U ≠ 0. Так, обнаружитель третьего порядка с z1 =

n

∑

n −1

∑

1 1 yi3 , z2 = yi yi +1 ,..., zn = y1 yn2 допусn i =1 n − 1 i =1

кает разнополярный сигнал с амплитудой –U и U. 9. Пусть при гипотезе H0 n(t) ∈ N(0, Rn(τ)) – стационарный процесс с функцией корреляции Rn(τ), при гипотезе H1 добавляется сигнал s(t) ∈ N(0, RS(τ)) – также стационарный процесс с функцией корреляции RS(τ). Структура нелинейного обнаружителя стохастического сигнала s(t) отличается от структуры, приведенной на рис. 2.1, отсутствием блока линейного преобразования. Задача нелинейного обнаружения стохастического сигнала с минимальной дисперсией статистики при гипотезе H0 имеет решение, полученное для детерминированного сигнала, с тем уточнением, что амплитуда сигнала U получает смысл мгновенного значения случайного процесса s(t), а вектор RS в (2.7), (2.8) становится вектором корреляционных моментов. Если процессы n(t) и s(t) взаимно некоррелированы, их нелинейное преобразование аддитивно в среднем.

130

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В монографии исследуется обнаружение детерминированного сигнала в гауссовом шуме по правилам, отличным от правил Неймана–Пирсона и отношения правдоподобия. Потенциальная эффективность линейного обнаружения сигнала с ограниченной энергией определяется его формой и может быть сколь угодно высока при соответствующей полосе частот. Практическое значение формы непрерывного или дискретного сигнала определяется ее близостью к k-й собственной функции однородного интегрального уравнения Фредгольма или к k-му собственному вектору корреляционной матрицы аддитивного гауссова шума. Преобразование прямоугольного сигнала, маскируемого белым шумом, в колебательном контуре и дискретизация во времени приводит к тому, что он приближается по форме к одному из собственных векторов, соответствующих собственному значению λk << σ2. Последующая дискретная согласованная фильтрация (резонансная согласованная фильтрация) повышает эффективность линейного обнаружения по сравнению с классической согласованной фильтрацией: отношение сигнал-шум увеличивается от 3,5 до 4 дБ при длительности сигнала 5 – 15 отсчетов, что меньше потенциально дос2 тижимого для дискретных сигналов значения d max = λ1−1 соответственно на 1,2 дБ и 0,5 дБ. Резонансный согласованный фильтр – наиболее эффективный линейный обнаружитель. Линейная теория обнаружения предусматривает использование практически избыточной достаточной статистики. Преимущество более эффективного линейного обнаружителя O1 над менее эффективным O2 проявляется на всем множестве значений вероятности ложной тревоги 0< F <1. В то же время реальный смысл имеют только значения рабочей характеристики D(F) в области F → 0 . Существование локальной области Ω преимущества Ο1′ над Ο′2 вблизи F = 0 означает превосходство первого обнаружителя несмотря на возможное преимущество второго при F ∈ Ω . Область Ω может существовать при положительной асимметрии рабочей характеристики, достигаемой нелинейными преобразованиями сигнала. Необходимое и достаточное условие существования Ω есть превосходство крутизны рабочей характеристики Dн′ ( F ) в окрестности точки F = 0. По смыслу Ω – статистики не являются достаточными. В монографии исследуются МДНС-правила обнаружения, предписывающие минимизацию дисперсии σ02 нелинейной статистики при 131

гипотезе H0 с фиксированными ее средними значениями при гипотезах H0 и H1, обеспечивающих существование области Ω. МДНС-обнаружение второго порядка может быть реализовано с использованием гиперболической, эллиптической и параболической разделяющих функций. Наиболее эффективна гиперболическая разделяющая функция, реализующая корреляционное обнаружение. Преобразование гиперболической разделяющей функции к нормированной канонической форме приводит к КМДНС-обнаружению с минимальной дисперсией статистики при гипотезе H0 и максимальной вероятностью обнаружения. При малых значениях вероятности ложной тревоги КМДНС-обнаружение проигрывает по вероятности обнаружения резонансной согласованной фильтрации порядка 1 дБ; его преимущество над согласованной фильтрацией может достигать 20 дБ при отношении сигнал-шум dвх ≤1. Корреляционное обнаружение k-го порядка (со статистикой – линейной функцией выборочных моментов k-го порядка) приводит к результату, выходящему за рамки теории линейного обнаружения: дисперсия статистики σ02 обратно пропорциональна отношению сигнал-шум на входе dвх в степени 2k. Условия достаточности и непрерывности статистики, а также одномодальности ее распределений, формулируемые для правила отношения правдоподобия, для МДСН-статистик упрощаются до условия существования решения экстремальной задачи о дисперсии статистики, менее жесткого, чем в выпуклом анализе. Применение эффективных линейных обнаружителей может увеличить пропускную способность ДСК в 1,5 раза, обеспечить существенное подавление слабой импульсной помехи. Нелинейное корреляционное обнаружение эффективно при неизвестных параметрах сигнала. Метод решения неоднородного интегрального уравнения Фредгольма, доведенный до алгоритма, и базирующееся на нем генерирование гауссова процесса, а также генерирование дискретных гауссовых процессов с заданными матрицами рассеяния могут представить самостоятельный интерес.

132

Библиографический список 1. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. М.: ИИЛ, 1964. 430 с. 2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио, 1966. 3. Теория обнаружения сигналов/ Под ред. П. А. Бакута. М.: Радио и связь, 1985. 440 с. 4. Кендалл М., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1974. 899 с. 5. Иган Дж. Теория обнаружения сигналов и анализ рабочих характеристик. М.: Наука, 1984. 216 с. 6. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. М.: Сов. радио, 1960. 447 с. 7. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956. 150 с. 8. Харкевич А. А. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965. 275 с. 9. Бакулев П. А., Степин В. М. Методы и устройства селекции движущихся целей. М.: Радио и связь, 1986. 286 с. 10. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. 704 с. 11. Антонов О. Е. Оптимальное обнаружение сигналов в негауссовых помехах. Обнаружение полностью известного сигнала// Радиотехника и электроника. 1967. № 4. С. 579–587. 12. Валеев В. Г., Сосулин Ю. Г. Обнаружение слабых когерентных сигналов в коррелированных негауссовых помехах// Радиотехника и электроника. 1969. № 2. С. 230–238. 13. Валеев В. Г. Помехоустойчивость типовых каналов обнаружения при коррелированных негауссовых помехах// Радиотехника и электроника. 1974. № 8. С. 1638–1645. 14. Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1970. 134 с. 15. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения. Методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 291 с. 16. Фридман В. М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода// Успехи математических наук. 1956.Т. 11. Вып. 1. 17. Нестерук В. Ф. К теории приема сигналов при коррелированных помехах// Радиотехника. 1962. № 6. С. 19–24. 133

18. Нестерук В. Ф. О влиянии формы сигнала на его обнаружение при нормальных коррелированных помехах// Радиотехника и электроника. 1963. № 8. С. 1319–1325. 19. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 351 с. 20. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с. 21. Нестерук В. Ф. Влияние формы сигналов на помехоустойчивость их приема на фоне коррелированных помех при ограничении пиковых значений// Радиотехника и электроника. 1971. № 11. С. 2098–2105. 22. Хайтун Ф. И. Об увеличении дальности передачи импульсных сигналов заданной энергии при помехах произвольного спектра// Радиотехника и электроника. 1961. № 5. С. 815–818. 23. Лебедько Е. Г., Порфирьев Л. Ф., Хайтун Ф. И. Теория и расчет импульсных и цифровых оптико-электронных систем. Л.: Машиностроение, 1985. 191 с. 24. Фано Р. Передача информации. М.: Мир, 1965. 438 с. 25. Вакман Д. Е. Сложные сигналы и принцип неопределенности в радиолокации. М.: Сов. радио, 1965. 304 с. 26. Воробьев С. Н., Каменецкая Н. В. Об эффективности статистик обнаружения сигналов// Пути повышения боевых возможностей и эффективности применения радиоэлектронной техники в ПВО: Тематич. науч. сб./ СПВУРЭ ПВО. СПб., 1998. № 6. С. 76–79. 27. Баталов Ю. В., Нестерук В. Ф. Расчет оптимальной формы модуляции потока светового излучателя// Оптика и спектроскопия, 1968. Вып. 5. С. 773–775. 28. Баталов Ю. В., Нестерук В. Ф. Оптимальная форма оптического сигнала при ограничении пиковой мощности// Оптика и спектроскопия. 1968. Вып. 6. С. 1012–1015. 29. Джонс Р. Пороговая энергия, воспринимаемая приемником излучения// Зарубежная радиоэлектроника. 1961. № 4. С. 26–32. 30. Хайтун Ф. И. Об увеличении дальности передачи импульсных световых сигналов при наличии помех// Оптико-механическая промышленность. 1960. № 6. С. 22–26. 31. Трифонов М. И., Козлов В. П. Неформальный учет внутренних шумов приемника в задаче выделения известных оптических сигналов на фоне случайных помех// Оптика и спектроскопия. 1989. Вып. 5. С. 1165–1171. 32. Евсеев Г. С., Колесник В. Д., Крук Е. А. Надежная передача и хранение информации в ЭВМ/ ЛИАП. Л., 1988. 90 с. 134

33. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1985. 248 с. 34. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. 511 с. 35. Шибанов Г. П. Распознавание в системах автоконтроля. М.: Машиностроение, 1974. 424 с. 36. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1–3. М.: Сов. радио, 1974–1976. 37. Фомин Я. А., Тарловский Г. Р. Статистическая теория распознавания образов. М.: Радио и связь, 1986. 264 с. 38. Фор А. Восприятие и распознавание образов. М.: Радио и связь, 1986. 271 с. 39. Воробьев С. Н. Метод решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода// Прикладная математика и механика, 1980. Вып. 3. С. 581–587. 40. Воробьев С. Н., Каменецкая Н. В., Чернявский Е. А. Интегральное уравнение формирования процесса с заданной функцией корреляции // Статистические измерения и применение микромашинных средств в измерениях: Тез. докл. II Всесоюз. симп. Рига, 1984. С. 22–26. 41. Воробьев С. Н., Каменецкая Н. В. Универсальные генераторы процесса с заданными матрицами рассеивания для моделирования задач математической статистики// Проблемы совершенствования радиоэлектронной техники ПВО: Тематич. науч. сб. / СПВУРЭ ПВО. СПб., 1996. Вып. 4. С. 81–85. 42. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. 255 с. 43. Королюк В. С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640 с. 44. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М.: ГИФМЛ, 1958. 333 с. 45. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979. 452 с. 46. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1971. 301 с. 47. Потемкин В. Г. Система MATLAB: Справ. пособие. М.: Диалог– МИФИ, 1997. 350 с. 48. Воробьев С. Н. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода EQINT1. M.: ФАП ВШ. Рег. № 50200000066, 2000. 49. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971. 326 с. 135

50. Полляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971. 400 с. 51. Левин Б. Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь, 1981. 312 с. 52. Воробьев С. Н. Интегральное уравнение генератора стационарного нормального процесса с заданной функцией корреляции EQGEN. M.: ФАП ВШ. Рег. № 50200000065, 2000. 53. Воробьев С. Н., Гарбар А. Н. Генерирование псевдослучайных последовательностей с заданными матрицами рассеяния. Деп. в ВИНИТИ. М., 1996. № 61–В96. 54. Воробьев С. Н., Гарбар А. Н. О линейных формирующих преобразованиях дискретных сигналов. Деп. в ВИНИТИ. М., 1997. № 2094– В97. 55. Воробьев С. Н. Генератор реализаций стационарного нормального процесса с заданной корреляционной матрицей GENVECT. M.: ФАП ВШ. Рег. № 50200000064, 2000. 56. Воробьев С. Н. Корреляционное обнаружение импульсных сигналов. Деп. в НИИЭИР. М., 1989. № 3–8695. 57. Воробьев С. Н. Нелинейное обнаружение детерминированного сигнала// Радиотехника. 1989. № 7. С. 62–65. 58. Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989. 151 с. 59. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 647 с. 60. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1975. 831 с. 61. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986. 544 с. 62. Абезгауз Г. Г. и др. Справочник по вероятностным расчетам. М.: Воениздат, 1970. 536 с. 63. Прудников А. П. и др. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1984. 750 с. 64. Прудников А. П. и др. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. 800 с. 65. Воробьев С. Н. Информационные характеристики векторных статистик проверки гипотез. Деп. в ВИНИТИ. М., 1996. № 62–В96. 66. Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1984. 320 с. 136

67. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио, 1978. 296 с. 68. Воробьев С. Н. Методы генерирования однородных гауссовых последовательностей с заданными корреляционными свойствами суммированием. Деп. в НИИЭИР. М.,1988. № 3–8516. 69. Форсайт Дж. и др. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 284 с. 70. Бесекерский В. А., Иванов В. А., Самотокин Б. Б. Орбитальное гирокомпасирование. СПб.: Политехника, 1993. 251 с. 71. Авдуевский В. С., Успенский Г. Р. Космическая индустрия. М.: Машиностроение, 1989. 415 с. 72. Кубасов В. Н., Данков Г. Ю., Яблонько Ю. П. Методы сближения на орбите. М.: Машиностроение, 1985. 183 с. 73. Николаев А. Г. и др. Основы проектирования космических секстантов. М.: Машиностроение, 1978. 216 с. 74. Забелина И. А. Расчет видимости звезд в центральной части поля зрения оптических приборов// Оптико–механическая промышленность, 1973. № 2. С. 21–24. 75. Изнар А. Н., Павлов А. В., Федоров Б. Ф. Оптико-электронные приборы космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1972. 368 с. 76. Пресс Ф. П. Формирователи видеосигнала на приборах с зарядовой связью. М.: Радио и связь,1981. 261 с. 77. Носов Ю. Р., Шилин В. А. Основы физики приборов с зарядовой связью. М.: Наука, 1986. 318 с. 78. Железнов Н. А. Спектрально–корреляционный аппарат нестационарных сигналов/ ЛИАП. Л., 1980. 95 с. 79. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. М.: Сов. радио, 1962. 831 с.

137

Оглавление Введение ................................................................................................... 1. Линейные системы обнаружения и генерирования ........................ 1.1. Уравнение согласованной фильтрации .................................... 1.2. Уравнение генератора полубесконечного стационарного процесса ....................................................................................... 1.3. Уравнения генераторов дискретных сигналов ........................ 2. МДНС-обнаружение ........................................................................... 2.1. Обнаружение второго порядка .................................................. 2.2. Разделяющие функции ............................................................... 3. МДНС-обнаружение в белом шуме .................................................. 3.1. Корреляционное обнаружение .................................................. 3.2. Эллиптическое обнаружение ..................................................... 4. МДНС-обнаружение в окрашенном шуме ....................................... 4.1. Резонансная согласованная фильтрация .................................. 4.2. Линейные преобразования сигнала .......................................... 4.3. Характеристики МДНС2-обнаружения двумерного сигнала ......................................................................................... 5. Многомерное обнаружение второго порядка .................................. 5.1. Каноническое гиперболическое обнаружение ........................ 5.2. Гиперболическое обнаружение импульсных сигналов ........... 6. Корреляционное обнаружение .......................................................... 6.1. Корреляционное обнаружение протяженных сигналов ......... 6.2. Корреляционное обнаружение коротких сигналов ................. 6.3. Корреляционное обнаружение сигналов с неизвестным временем прихода ....................................................................... 6.4. Линейное преобразование в схеме корреляционного обнаружения ........................................................................................ 6.5. Корреляционно-разностное обнаружение ............................... 6.6. Примеры эффективного обнаружения ..................................... 7. Нелинейное обнаружение .................................................................. Заключение ............................................................................................... Библиографический список ...................................................................

138

3 22 22 31 34 37 37 40 46 46 50 56 56 64 67 75 75 82 96 96 100 103 106 108 115 126 131 133

Научное издание

Воробьев Станислав Николаевич

ЭФФЕКТИВНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ Монография

Редактор В. П. Зуева Компьютерная верстка А. Н. Колешко Сдано в набор 25.03.03. Подписано к печати 15.05.03. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 8,07. Усл. кр.-отт. 8,22. Уч. -изд. л. 8,5. Тираж 150 экз. Заказ № 178 Редакционно-издательский отдел Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки Отдел оперативной полиграфии СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67

139