Классическая динамика в неевклидовых пространствах: Сборник статей

СОВРЕМЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА

Главный редактор: В. В. КОЗЛОВ

Научные редакторы серии: А. В. БОРИСОВ,

И. С. МАМАЕВ

Научные консультанты серии: А. АЛБУИ (ФРАНЦИЯ), Ж. ЛАСКАР (ФРАНЦИЯ), Р. МЁКЕЛЬ (США), К. СИМО (ИСПАНИЯ),

Ф. ДИАКУ (КАНАДА), Р. МАКГИХИ (США), А. И. НЕЙШТАДТ (Р ОССИЯ), А. ШЕНСИНЕ (ФРАНЦИЯ)

Ответственный редактор: Л. А. ГАЗИЗУЛЛИНА

Готовятся к печати новые книги серии: Задача Кеплера. Столкновения. Регуляризация Относительные равновесия и периодические решения в небесной механике Резонансы в небесной механике

СОВРЕМЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА

КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Научная редакция: А. В. Борисов, И. С. Мамаев

Москва

Ижевск

2004

УДК 531

Интернет-магазин

http://shop.rcd.ru

• • • •

физика математика биология нефтегазовые технологии

Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №04-01-14040. Классическая динамика в неевклидовых пространствах / Науч. ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 348 стр. В сборнике собраны классические и современные работы по динамике в пространствах постоянной кривизны. Рассмотрены задача Кеплера и ее обобщения, задачи двух и трех тел, вопросы динамики твердого тела в искривленных пространствах. Многие классические работы, принадлежащие В. Киллингу, Г. Либману и др., были малодоступны современному читателю и почти забыты. В этой книге впервые публикуется их перевод. Современные исследования, представленные в книге, сосредоточены на вопросах интегрируемости и стохастичности, обобщения различных результатов классической небесной механики, теории ньютоновского потенциала. Многие результаты публикуются здесь впервые. Книга предназначена для студентов и аспирантов университетов, специалистов по теории динамических систем, будет интересна также историкам науки.

ISBN 5-93972-368-3 c Институт компьютерных исследований, 2004

http://rcd.ru http://ics.org.ru

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.

7

КЛАССИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1

 П. Серре. Новая геометрическая и механическая теория линий двойной кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

 Н. И. Лобачевский. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3

 В. Киллинг. Механика в неевклидовых пространствах . .

23

 Г. Дарбу. Об одной задаче из механики . . . . . . . . . . .

83

 Ф. Клейн. Математическая теория волчка . . . . . . . . .

97

4 5 6

7 8

II. 9

 Г. Либман. О движении под действием центральной силы в неевклидовой геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73  П. Аппель. О законах центральных сил, точка приложения которых описывает кривую второго порядка, каковы бы ни были начальные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89  Э. Шредингер. Метод определения квантовомеханических собственных значений и собственных функций . . . . . . . . . 113

СОВРЕМЕННЫЙ АНАЛИЗ  П. Хиггс. Динамические симметрии в сферической геометрии. I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10  В. В. Козлов. О динамике в пространствах постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 11  В. В. Козлов, А. О. Харин. Задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6

ОГЛАВЛЕНИЕ

12  А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Системы на сфере с избыточным набором интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 13  А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Обобщенная задача двух и четырех ньютоновских центров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 14  С. Т. Садэтов. Интегрируемый гравитационный потенциал в пространстве постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . . 195 15  Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. М. Луценко. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. II. Проблема Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 16  В. В. Козлов. Условия рациональности отношения эллиптических интегралов и большая теорема Понселе . . . . . . . . . 219 17  В. В. Козлов, Ю. Н. Федоров. Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия . . . . . . . . . . 233 18  А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Ограниченная задача двух тел в пространствах постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . . 241 19  А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. А. Килин. Задача двух тел на сфере. Приведение, стохастичность, периодические орбиты . . 263 20  А. А. Килин. Точки либрации ограниченной задачи трех тел в пространствах S 2 и L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 21  С. Л. Зиглин. О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел на сфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 22  С. Л. Зиглин. О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел с потенциалом упругого взаимодействия на сфере . . . . . 311 23  Н. А. Черников. Релятивистская задача Кеплера в пространстве Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 24  В. В. Козлов. Теоремы Ньютона и Айвори о притяжении в пространствах постоянной кривизны . . . . . . . . . . . . . . 341

Предисловие Настоящий сборник новой энциклопедии «Cовременная небесная механика» посвящен развитию и обобщению основных методов и результатов классической небесной механики на пространства постоянной кривизны. В скором времени увидят свет еще три книги из этой серии: «Задача Кеплера. Столкновения. Регуляризация», «Относительные равновесия и периодические решения в небесной механике» и «Резонансы в небесной механике».

Как известно, компактным пространством с постоянной гауссовой кривизной является трехмерная сфера S 3 (иногда называемая также миром Эйнштейна, предложившего рассматривать ее в качестве одной из моделей реального мира), а некомпактным — пространство Лобачевского L 3 . Изучение динамики материальных точек в таких простейших неевклидовых пространствах начали еще создатели неевклидовой геометрии Я. Больяи и Н. И. Лобачевский, которые, исходя из некоторых геометрических аналогий, указали правильный вид (аналог) ньютоновского потенциала гравитационного взаимодействия (для пространства Лобачевского). Более детальное исследование движения тела на S 3 в поле неподвижного ньютоновского центра содержится в книге французского математика П. Серре [23], который показал, что траекторией точки для этого аналога задачи Кеплера на сфере является «эллипс» (т. е. квадрика на некоторой двумерной сфере S 2 ) с фокусом, расположенным в центре притяжения. В дальнейшем этот несложный результат Серре либо переоткрывался, либо считался вполне очевидным в более продвинутых работах немецких геометров и механиков конца девятнадцатого века. Среди них следует указать прежде всего работу [15] известного математика В. Киллинга, который указал аналоги законов Кеплера для S 3 и L3 , доказал интегрируемость аналога эйлеровой задачи двух центров, рассмотрел движение твердого тела. Киллинг изучал также многомерные аналоги соответствующих задач. Другие вопросы неевклидовой механики (например, связанные с развитием общих принципов динамики, аналогом теоремы Бертрана, обобщением

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

теории ньютонового потенциала, применением комплексного анализа) разбирались Р. Липшицем, Э. Шерингом, Г. Либманом, Ф. Клейном. Некоторые элементарные, но наиболее наглядные результаты (включая аналоги законов Кеплера) по движению частицы в пространствах постоянной кривизны были приведены Либманом в его университетском курсе неевклидовой геометрии [17]. Среди работ, завершающих период классических исследований, особого внимания заслуживает исследование П. Аппеля, который, развивая идею гомографических преобразований, показал, что траектории частицы в центральном поле на плоскости и для его аналога на сфере сводятся друг к другу при помощи центральной (гномонической) проекции и некоторого подходящего преобразования времени [10]. При этом преобразовании задачи Кеплера в двух пространствах S 3 и R3 преобразуются друг в друга, что и объясняет большое сходство динамики двух систем. По-видимому, в связи с бурным распространением в начале двадцатого столетия сначала специальной, а затем и общей теории относительности многие из этих исследований оказались почти забыты. Общая теория относительности (ОТО), казалось, разрешила все проблемы, связанные с начатым в сочинениях К. Гаусса и Н. И. Лобачевского проникновением в аналитическую механику и физику идей неевклидовой геометрии. Лишь эпизодически динамика частицы в искривленных пространствах обсуждается, например, у Шредингера [22], который рассмотрел квантовый аналог классической задачи Кеплера на S 3 , считая его полезным для понимания общей процедуры квантования.

В связи с широким развитием новых принципов теории динамических систем, зарождением теории детерминированного хаоса, в восьмидесятых годах двадцатого века снова пробудился интерес к классическим вопросам динамики в искривленных пространствах. В нескольких работах [13, 11, 16, 7, 24] были переоткрыты многие известные классикам результаты. При этом современные результаты были получены в более общей форме. Например, результат Киллинга об интегрируемости аналога эйлеровой задачи двух центров в работе [16] был получен при добавлении в систему дополнительных потенциалов упругого взаимодействия. (Аналогичное добавление потенциала упругой пружины в классическую задачу Эйлера было сделано Лагранжем.) Мы не смогли найти в классической литературе аналогов уравнения Кеплера, они являются достаточно нетривиальными и впервые, видимо, были получены В. В. Козловым в [7].

ПРЕДИСЛОВИЕ

9

Работая над книгой [4], вышедшей в 1998 году, мы не были еще знакомы с работами немецких и французских классиков и изложили свое понимание истории вопроса, которое, как оказалось позже, было далеко от истинного. Во многом это историческое описание повторяется в [8, 5]. Более полная и достоверная картина сложилась после знакомства с работой [12], в которой имеются ссылки на работы немецкой школы, а также в процессе неоднократных бесед с А. Албуи, познакомившего нас с работами Серре и Аппеля [23, 10]. В упомянутой выше книге [4] рассмотрены также более сложные вопросы искривленной небесной механики и динамики твердых тел. В частности, поставлены и изучены общая задача двух тел на S 3 (L3 ) (которая в искривленном случае не сводится к задаче о движении частицы в центральном поле), ограниченная задача двух и трех тел; указаны различные классы частных решений, исследована их устойчивость (в особенности аналогов так называемых точек либрации). В дальнейшем мы также уделяли внимание некоторым проблемам, связанным с развитием небесной механики в искривленных пространствах. Эти новые результаты представлены в настоящем сборнике.

Сборник состоит их двух частей. В первой части собраны наиболее важные и интересные классические исследования. В основном в них рассматривается задача Кеплера и ее обобщения. Вопросы динамики твердого тела в искривленном пространстве разобраны в работах В. Киллинга и Ф. Клейна. За современным изложением этих вопросов мы отсылаем читателя к нашим книгам [4] и [3]. Во второй части мы приводим ряд работ, в которых, как уже указывалось, результаты классиков были переоткрыты (возможно, что это имеет даже исторический интерес: довольно примечательно то, что одни и те же идеи возникают у ученых различных поколений, с разницей почти в сотню лет), а также совсем новые результаты, полученные во многом благодаря стимулирующей работе над этим сборником. Некоторые работы мы не включили в сборник, сообразуясь с требованиями ограничения объема. Прежде всего это относится к ценной работе Н. Е. Жуковского [6], изучавшего движение двумерного тела на поверхности псевдосферы, а также статьям Липшица и Шеринга [18, 19, 20, 21]. Результаты последних исследований либо находятся за рамками общей концепции этого сборника, в котором особое внимание мы уделяем не общим

10

ПРЕДИСЛОВИЕ

динамическим принципам, а конкретным задачам, либо более просто изложены в современных работах, приведенных во второй части. Мы также не включили в сборник работы по интегрируемым биллиардам на поверхностях постоянной кривизны [2, 1, 25, 14], принимая во внимание, что книга выходит в специальной серии «Современная небесная механика». Однако, результаты упомянутых работ также указывают на различные аналогии между евклидовой и неевклидовой динамикой, и мы рекомендуем читателю ознакомиться с ними при более глубоком изучении. Например, Шеринг доказал теорему о притяжении эллипсоида, а также аналог теоремы Айвори, и вывел уравнение Пуассона в n-мерном пространстве постоянной кривизны. В работе В. В. Козлова [8] эти результаты были получены с большей общностью (включая притяжение отрезка). В книге [4], а также в диссертации [9], изложен ряд результатов, связанных с анализом движения частицы в поле двух ньютоновских центров на S 3 (L3 ). Некоторые из этих результатов переписаны, без должного цитирования, в статьях [26, 28], а также в книге [27].

В заключении кратко остановимся на роли исследований динамики в пространствах постоянной кривизны в современной физике и теории динамических систем. Прежде всего нужно отметить, что пространства постоянной кривизны, являясь наиболее простым случаем искривленных пространств, постоянно используются в различных областях современной физики. Еще при создании ОТО А. Эйнштейн предлагал использовать трехмерную сферу как одну из статических моделей реального мира. В силу отсутствия группы преобразований Галилея классическая механика на S 3 (L3 ) обладает существенными отличиями от обычной евклидовой небесной механики. Мы не можем, например, автоматически переносить на искривленные пространства большинство классических результатов небесной механики, тесно связанных с понятием центра масс и выбором соответствующих координатных систем. Кроме того, оказывается, что это является существенным свойством динамики. В качестве простого примера вновь упомянем задачу двух тел и задачу о движении в центральном поле, которые на S 3 (L3 ) не сводятся друг к другу, причем первая является неинтегрируемой и демонстрирует хаотическое поведение, а вторая — регулярна и сохраняет основные интегрируемые черты задачи Кеплера. Обосновывая важность концепции n-мерной динамики, не связанной с фиксированной размерностью пространства, Г. Вейль в своей знаменитой

ПРЕДИСЛОВИЕ

11

книге «Пространство. Время. Материя» [29] заметил, что «полное математическое понимание законов природы может быть достигнуто лишь после такой формулировки законов природы, в которой мы не ограничиваемся определенным числом измерений». Развивая эту мысль для динамики неевклидовых пространств, следует отметить, что более глубокое понимание динамики при наличии кривизны пространства способно привести к новому взгляду на евклидову динамику, так как некоторые факты, кажущиеся нам очевидными с детства, на самом деле являются проявлением особых симметричных свойств евклидова пространства, исчезающих при добавлении кривизны. Следуя ОТО, реальный мир на больших масштабах обладает некоторой кривизной, что приводит к неким замечательным неевклидовым эффектам. Некоторые из этих эффектов могут быть объяснены при помощи классической механики в S 3 (L3 ). Отметим, что несомненным достоинством классической модели (в S 3 (L3 )) является ее простота. Известно, что уже изучение задачи двух тел в ОТО представляет большие трудности, а результаты релятивистской небесной механики по своей полноте и законченности не могут идти ни в какое сравнение с классической евклидовой небесной механикой. В этом сборнике мы представили ту область динамики, которая, с одной стороны, стоит на прочном фундаменте классического понимания, а с другой — может быть использована для объяснения некоторых закономерностей, которые обычно входят в круг идей ОТО (типа смещения перигелия Меркурия и пр.). Здесь мы ни в коем случае не умаляем фундаментальной роли ОТО в современной физике, а скорее указываем на важную роль одной из моделей механики, стоящей между релятивистской и классической моделями и также являющейся предельным случаем ОТО.

Исследования в области классической механики в искривленных пространствах еще далеки от завершения, можно даже сказать, что они только начинаются. Мы надеемся, что этот сборник будет способствовать возрастанию интереса к таким исследованиям, в особенности у молодых ученых. В формировании этого сборника неоценимый вклад внесли беседы с В. В. Козловым и А. Албуи. Мы также искренне благодарим Ларису Газизуллину, замечательно выполнившую редакционную и организаторскую работу, и весь коллектив переводчиков, участвовавших в этом проекте. 17 мая 2004 г.

А. В. Борисов, И. С. Мамаев

12

ПРЕДИСЛОВИЕ

Литература [1] Абдрахманов А. М. Интегрируемые биллиарды. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 1990, №6, c. 28–33. [2] С. В. Болотин. Интегрируемые бильярды Биркгофа. Вестник Моск. унта. Серия. 1, Математика, Механика, 1990, № 2, с. 33–36. [3] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Ижевск: Изд-во РХД, 2001. [4] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во РХД, 1999. [5] Возмищева Т. Г., Ошемков А. А. Топологический анализ задачи двух центров на двухмерной сфере. Мат. сборник, 2002, т. 193, № 8, c. 3–38. [6] Жуковский Н. Е. О движении материальной псевдосферической фигуры по поверхности псевдосферы. Полное собрание сочинений, 1937, т. 1. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, с. 490–535. [7] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. (См. работу 10 этого сборника.) [8] Козлов В. В. Теоремы Ньютона и Айвори о притяжении в пространствах постоянной кривизны. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2000, № 5, c. 43–47. (См. работу 24 этого сборника.) [9] Мамаев И. С. Численные и аналитические методы исследования динамических систем. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, МГУ им. М. В. Ломоносова, 1998. [10] Appell P. Sur les lois de forces centrales faisant d´ecrire a` leur point d’application une conique quelles que soient les conditions initiales. American Journal of Mathematics, 1891, Vol. 1, p. 153–158. (См. работу 6 этого сборника.) [11] Chernikov N. A. The relativistic Kepler problem in the Lobachevsky space. Acta Phys. Polonica B, 1993, Vol. 24, № 5, p. 927–950. (См. работу 23 этого сборника.)

ЛИТЕРАТУРА

13

[12] Dombrowski P., Zitterbarth J. On the planetary motion in the 3-dim standard spaces Mk3 of constant curvature k ∈ R. Demonstratio Math., 1991, Vol. XXIV, №3–4, р. 375–458. [13] Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. J. Phys. A., 1979, Vol. 12, № 3, p. 309–323. (См. работу 9 этого сборника.) [14] Gutkin B., Smilansky U., Gutkin E. Hyperbolic billiards on surfaces of constant curvature. Commun. Math. Phys., 1999, Vol. 208, p. 65–90. [15] Killing W. Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen. J. Reine Angew. Math., 1885, Vol. 98, p. 1–48. (См. работу 3 этого сборника.) [16] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [17] Liebmann H. Nichteuklidische Geometrie. Leipzig: G. J. G o¨ schen’sche Verlagshandlung, 1905. [18] Lipschitz R. Fortgesetzte Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Funktionen von n Differentialen. J. Reine Angew. Math., 1870, Vol. 72, p. 1–56. [19] Lipschitz R. Untersuchung eines Problems der Variationsrechnung, in welcem das Problem der Mechanik enthalten ist. J. Reine Angew. Math., 1872, Vol. 74, p. 116–149. [20] Schering E. Die Schwerkraft im Gaussischen Raume. Nachr. K o¨ nigl. Ges. Wiss. G¨ottingen, 1870, p. 311–321. [21] Schering E. Die Schwerkraft in mehrfach ausgedehnten Gaussischen und Riemannschen R¨aumen. Nachr. Ko¨ nigl. Ges. Wiss. G¨ottingen, 1873, p. 149–159. [22] Schr¨odinger E. A method of determining of quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940, Vol. A45, p. 9–16. Пер. с нем.: Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976, с. 239–247. (См. работу 8 этого сборника.) [23] Serret P. Th´eorie nouvelle g´eom´etrique et m´ecanique des lignes a double courbure. Paris: Mallet-Bachelier, 1860. (См. работу 1 этого сборника.)

14

ПРЕДИСЛОВИЕ

[24] Slawianowski J. Bertrand systems on SO(3, R), SU (2). Bull. de l’Academie Polonica des Sciences, 1980, Vol. XXVIII, №2, p. 83–94. [25] Veselov A. P. Confocal surfaces and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky space. J. Geom. Phys., 1990, Vol. 7, p. 81–107. [26] Vozmischeva T. G. Classification of motions for generalization of the twocenters problem on a sphere. Cel. Mech. Dyn. Astr., 2000, Vol. 77, № 1, p. 37–48. [27] Vozmischeva T. G. Integrable problems of celestial mechanics in spaces of constant curvature. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. [28] Vozmischeva T. G. The Lagrange and two-center problems in the Lobachevsky space. Cel. Mech. Dyn. Astr., 2002, Vol. 84, № 1, p. 65–85. [29] Weyl H. Space-Time-Matter. New York: Dover, 1952. Пер. с англ.: Вейль Г. Пространство. Время. Материя. М.: Янус, 1996.

I Классические исследования

1 Новая геометрическая и механическая теория линий двойной кривизны1 П. Серре (1827–1898)

. . . выразим эту составляющую: данная формула аналогична известной формуле 0 G0 = 2 C 3 , r sin V определяющей закон центральных сил, которые на плоскости могут привести к круговому движению частицы. 126. Третье приложение. Постараемся определить закон параллельных сил G, которые заставляют частицу пробегать сферический эллипс, один из фокусов которого совпадает с полюсом A. Мы уже нашли выражение для радиуса геодезической кривизны сферического эллипса относительно одного из его фокусов A (см. стр. 45, формула II)2 , rg =

2 sin(α + γ) sin(α − γ) k , · 13 = sin 2α sin V sin3 V

1 Из Paul Serret, Th´ eorie nouvelle g´eom´etrique et m´ecanique des lignes a double courbure. Paris: Mallet-Bachelier, 1860: с. 204, § IV «Движение по поверхности сферы» (Du mouvement sur la sph´ere), часть II «Механическая теория линий двойной кривизны» (Th´eorie m´ecanique des lignes a double courbure), глава X «Линии двойной кривизны как траектории движения материальной точки по поверхности» (Des lignes a double courbure consid´er´ees comme trajectoires d’um point mat´eriel en mouvement sur une surface). Перевод с французского В. В. Шуликовской. 2 Здесь и далее номера формул и страниц в тексте перевода соответствуют оригинальному французскому изданию.

18

ПОЛЬ СЕРРЕ

где k обозначает некоторую константу; сравнивая это значение со следующим: 2 C2 rg = C 3 = , 3 G sin p G sin ρ sin3 V полученным из формулы (Y), в котором g заменено на неопределенную G, приходим к выражению искомой силы: 2 1 G= C k sin3 ρ

или G= и

0 C 2 sin 2α · 13 = C3 2 sin(α + γ) sin(α − γ) sin ρ sin ρ

G sin ρ =

C0 , sin2 ρ

(x3 )

(x03 )

где C 0 обозначает некоторую новую константу. 127. Четвертое приложение. Теперь зададимся вопросом, что представляет собой закон параллельных сил, заставляющих . . .

2 Новые начала геометрии с полной теорией параллельных1 Н. И. Лобачевский (1792–1856)

. . . Итак, в доказательстве Бертрана подразумевалось уже α = 0, β = 0, то самое, что надобно было доказывать.

Рис. 6

Подобно тому как Бертран довольствовался сравнением бесконечных плоскостей в углах треугольника, Лежандр хотел обойтись с двуугольниками (biangles), разумея под этим названием бесконечные плоскости между двух перпендикулов. Собственно, доказал он только то, что бесконечная плоскость CABD (рис. 6) между перпендикулами AC, BD к AB равна 1 Из Н. И. Лобачевский, Новые начала геометрии с полной теорией параллельных. Полное собрание сочинений. Сочинения по геометрии. Т. 2, М.-Л.: ГИТТЛ, 1949: с. 158–159. (Впервые «Новые начала . . . » были опубликованы в Ученых записках Казанского университета, III книжка, 1835 г.) Номера рисунков, примечаний и т. д. даны в соответствии с изданием ГИТТЛ.

20

Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ

бесконечной плоскости DEF C, которая происходит из первой с отделением от нее четырехугольника ABEF с помощью перпендикула EF к BD. Это само по себе впрочем ясно; но Лежандр еще выпустил здесь из внимания то, что F E может не встречаться с AC. Чтоб избежать этого небольшого затруднения, стоит только принимать EF перпендикулом из F к BD; но далее каким образом отсюда будет следовать F E = AB и угол EF C = 1 π, 2 уже нельзя более поправить ложное суждение, в котором неосмотрительность Лежандра была так велика, что, не примечая грубой ошибки, почитал он свое доказательство весьма простым и совершенно строгим. В теории параллельных думали принять еще за основание, что в треугольниках углы должны зависеть от содержания сторон 2 . С первого раза такое положение кажется столько же простым, сколько необходимым; но когда вникаем в наши понятия, откуда берет оно свое начало, то принуждены называть его также произвольным, как и все другие, к которым до сих пор прибегали. В природе мы познаем собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения; а потому пространство, само собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой Геометрии. Чтобы пояснить эту мысль, полагаем, как и многие в этом уверены, что силы притягательные слабеют от распространения своего действия по сфере. В употребительной Геометрии величину сферы принимают 4πr 2 для полупоперечника r, от чего сила должна уменьшаться в содержании к квадрату расстояния. В воображаемой Геометрии нашел я поверхность шара π(er − e−r )2 ,

и такой Геометрии, может быть, следуют молекулярные силы, которых за тем все разнообразие будет зависеть от числа e, всегда весьма большого 3 . 2 Такого рода соображения приводил Лежандр в первом издании своих « El´ ´ ements» (1794 г.), Note IV, и в «R´eflexions. . . » (1833 г.). См. том I наст. издания, стр. 64–66. Примером, непосредственно опровергающим его соображения, является геометрия на сфере. 3 Здесь e обозначает число, которое зависит от единицы для измерения расстояния. Если за единицу принять радиус кривизны пространства Лобачевского, то e будет неперовым числом e = 2, 718 . . . Если обозначить величину радиуса кривизны в произвольно принятых единицах длины k, то e = e1/k . Следовательно, e будет числом весьма большим, если k мало. k равно такому расстоянию между концентрическими дугами предельных линий, при котором отношение длин дуг между двумя осями равно неперовому числу e. (См. гл. VIII настоящего сочинения, стр. 295, и








НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ С ПОЛНОЙ

ТЕОРИЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ

21

Впрочем, пусть это чистое предположение только, для подтверждения которого надобно поискать других убедительнее доводов; но в том однако ж нельзя сомневаться, что силы всё производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы. С силами все находится в тесной связи, которую не постигая в сущности, не можем утверждать, будто в отношение разнородных величин между собою должны только входить их содержания. Допуская зависимость от содержания, почему не предполагать и зависимости прямой? Некоторые случаи говорят уже в пользу такого мнения: величина притягательной силы, например, выражается массою, разделенной на квадрат расстояния . . .

статью П. А. Широкова — Краткий очерк основ геометрии Лобачевского в сборнике «Николай Иванович Лобачевский». Изд. АН СССР, 1943, стр. 19–55, § 4.)

3 Механика в неевклидовых пространствах1 В. Киллинг (1847–1923)

Уравнения движения, действительные в трехмерном евклидовом пространстве, могут быть, как известно, перенесены и на пространства, обладающие сколь угодно большим количеством измерений; правомерность подобного переноса может быть непосредственно доказана и чисто геометрическими способами. В связи с этим данная работа наиважнейшей своей задачей ставит выведение из механических принципов таких уравнений движения, которые получаются, если мы откажемся от трехмерности пространства и от аксиомы параллельности. Полученный результат можно выразить следующим образом: определим в некотором (n + 1)-мерном евклидовом пространстве уравнения движения для точек, которые в момент начала движения принадлежат некоторой n-мерной сфере и вынуждены пребывать на ней же в процессе движения; полученные таким образом уравнения истинны и для n-мерного неевклидова пространства: в случае конечного пространства радиус и все координаты должны быть действительными, в случае же пространства Лобачевского радиус и одна координата должны быть чисто мнимыми, а остальные координаты — действительными. Вывод этого результата чрезвычайно прост, и к тому же был для меня существенно облегчен благодаря применению уже использовавшихся в моих прежних работах координат г-на Вейерштрасса, который также настоятельно побуждал меня проделать данную работу. Применимость упомянутых координат основана на том, что установленный нами выше для механики 1 Wilhelm Killing, Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen. J. Reine Angew. Math., 1885, Vol. 98, p. 1–48. Перевод с немецкого А. Р. Логунова.

24

В. КИЛЛИНГ

закон справедлив и для чисто геометрических свойств; таким образом, его истинность для механики следовало ожидать уже изначально, как заключили г-н Липшиц и др., исходя из формы линейного элемента в уравнениях движения. То, что я прежде вывел закон для случая трех измерений, связано со сложностью выражений, которые необходимо использовать, имея дело с большим числом измерений. Общие уравнения движения применимы в ряде отдельных задач, в теории потенциала, и для вычисления движения твердых тел. Думая, что при исследованиях в механике широчайшим образом используется теория параллельных, многие и не предполагают обнаружить в результатах настолько большое совпадение, какое в действительности имеет место. Это сходство ни в коем случае не ограничивается уже названными примерами; возможно, еще сильнее проявляется оно в других разделах — скажем, в гидродинамике. Только те задачи, в которых существенная роль отводится принципу центра тяжести, требуют особого подхода и оказываются за рамками данной работы. Метод же Гамильтона – Якоби, напротив, остается неизменным даже внешне при условии, что каждая функция координат задается вследствие сохраняющегося равенства координат однородным уравнением нулевого порядка. Ни малейших затруднений не вызывает решение задач о движении свободной точки, притягиваемой некоторой неподвижной точкой в соответствии с произвольной функцией от расстояния, или движущейся между двумя неподвижными точками согласно законам, определяемым законами Ньютона, задач о бесконечно малом колебательном движении или о проведении кратчайшей линии на сечении сколь угодно многих софокусных фигурах второго порядка, а также некоторые другие родственные перечисленным задачи. Примеры тех из них, в которых движение всегда происходит в двух- или трехмерных плоскостях, будут приведены мною в первых двух параграфах данной работы. Вероятно, нет нужды подробно останавливаться на теории потенциала. После того, как г-н Кронекер доказал, что для евклидовых пространств закон Ньютона является лишь частным проявлением универсальных аналитических законов, а г-н Шеринг выступил с теоремой об справедливости упомянутых законов для нашего пространства, едва ли можно рассчитывать добавить к теории потенциала что-либо существенное. Однако здесь мне вполне уместным представляется, во-первых, кратко коснуться геометрических основ этой теории, во-вторых, привести несколько основных теорем и, в-третьих, представить простой пример, в котором формулы получены благодаря применению координат Вейерштрасса. Более подробно я остановлюсь на механике твердых тел. Та часть данной области, что относится к трехмерному пространству, уже достаточно

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

25

тщательно изучена г-ном Линдеманом (Math. Ann., т. VII), а механика евклидовых («плоских») пространств исследована г-ном Шефером в его диссертации (Берлин, 1880). Моя работа отличается от обеих вышеназванных значительно более обширным охватом данной области, а от диссертации г-на Шефера еще и тем, что рассматривает в первую очередь риманово пространство. Без преувеличения можно утверждать, что именно в этой области для конечных пространств действительными являются самые красивые и простые законы, и что лишь после того, как эти законы будут полностью осмыслены, окажется возможным постижение законов движения твердых тел в пространствах иных форм. В одном пункте результаты, полученные г-ном Линдеманом, кажутся противоречащими моим собственным. В то время как я выделяю (не рассматривая вращения вокруг прямой оси) лишь один особый тип бесконечно малого движения в трехмерном пространстве — так называемое «самосопряженное» (zu sich reciproke) движение, г-н Линдеман насчитывает четыре типа таковых, причем второй из них возможен в пространстве Лобачевского. Но г-н Линдеман, с одной стороны, не желает ограничиваться действительными типами движения, а с другой стороны, отказывается принимать предложенное дополнительное условие, касающееся совпадения бесконечно малых областей рассматриваемых пространств с евклидовым пространством. Он уходит по пути обобщений несколько дальше, чем я, и рассматривает все проективные трехмерные пространства и возможное в них движение с шестью степенями свободы. Рассмотрение оных — хотя линейный элемент в них зачастую не постулируется — естественнейшим образом примыкает к аналитической трактовке наших пространств. Что же касается использованных в данной работе геометрических теорем, то по крайней мере часть из них ни разу ранее не публиковалась. Я надеюсь, что небольших пояснений, даваемых мною по мере изложения материала, окажется достаточно для понимания; замечу лишь, что основные положения и вывод упомянутых теорем в сокращенном виде недавно мною опубликован («О неевклидовых n-мерных пространствах» 2 ). Ранее я уже пояснял, что плоскостью я называю такую фигуру, с которой совпадает прямая при условии наличия у них двух общих точек.

§ 1. Движение свободной точки в трехмерном пространстве Понятия массы, плотности, скорости и силы никак не зависят от бесконечности прямых и не оказывают никакого влияния на аксиому о парал2 Uber ¨ die Nicht-Euklidischen Raumformen von n Dimensionen. Braunsberg, Huyes Buchhandlung.

26

В. КИЛЛИНГ

лельности бесконечных прямых, а потому не претерпевают в неевклидовых пространствах ни малейших изменений. То же происходит и с инерцией, а единица силы может быть известным образом выражена через единицу времени и единицу массы; теоретически, измерение силы также не представляет особой сложности. Поскольку бесконечно малые области рассматриваемых нами пространств вдобавок ко всему еще и сохраняют те же свойства, что и в геометрии Евклида, можно говорить и об истинности для бесконечно малой области параллелограмма векторов движения и сил. Вновь положив в основу наших изысканий систему координат Вейерштрасса, заменим, однако, буквы t, u, v, w буквами p, x, y, z и обозначим через t время. Производные координат по времени для краткости обозначим через p0 , x0 , y 0 , z 0 ; p00 , . . .. Тогда верны следующие соотношения:  2 2 2 2 2 2  k p + x +y +z = k , (1) k 2 pp0 + xx0 + yy 0 + zz 0 = 0,   2 02 02 02 02 2 00 00 00 00 k p + x + y + z + k pp + xx + yy + zz = 0,

где k 2 — значение величины, обратной величине кривизны. Для скорости v получаем такие три уравнения:  2 v = k 2 p02 + x02 + y 02 + z 02 ,     2 v + k 2 pp00 + xx00 + yy 00 + zz 00 = 0, (2)  2  d(x )  1 2 0 00 0 00 0 00 0 00  =k pp +xx +y y +z z . 2 dt

Если сначала на точку не действуют никакие силы, то данная точка, согласно вышесказанному, должна с постоянной скоростью двигаться по прямой. Следовательно, верны следующие равенства: d2 p dp =M + N p, dt dt2

d2 x = M dx + N x, dt dt2

... 2

Из второго уравнения системы (2) следует равенство N = − v 2 , из третьеk

го — M = 0. Таким образом, уравнения движения точки, на которую не действуют никакие силы, выглядят так: d2 p v 2 p, d2 x = − v 2 x, = − dt2 k2 dt2 k2 где v — постоянная скорость.

d2 y v 2 y, = − dt2 k2

d2 z = − v 2 z, dt2 k2

(3)

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

27

Теперь приложим к покоящейся точке с координатами (p, x, y, z) силу R. Воздействие этой силы на точку представим в виде прямой, движущейся с неизменной в каждую единицу времени скоростью. Координаты точки, которая будет достигнута через промежуток времени dt, приобретут при этом следующий вид: p + P2 dt, x + X dt, y + Y dt, z + Z dt. Из второго k

уравнения системы (1) получаем pP + xX + yY + zZ = 0.

(4)

Далее 2 (5) R2 = P 2 + X 2 + Y 2 + Z 2 . k Так как при t = 0 скорость и первые производные координат по времени обращаются в нуль, то для t = 0, применяя известные преобразования, получаем следующие уравнения движения:

mk 2

d2 p = P, dt2

2

md x = X, dt2

m

d2 y = Y, dt2

2

m d 2z = Z, dt

(6)

здесь m обозначает массу точки. Геометрически величины P, X, Y, Z могут также быть определены иначе. Проведем через точку приложения силы плоскость ε, перпендикулярную вектору силы. Если плоскости x = 0, y = 0, z = 0 пересекают данную плоскость под углами, соответственно, α, β, γ, то X = R cos α, Y = = R cos β, Z = R cos γ. Если же одна из плоскостей ничего не пересекает, то на месте угла в формуле появится величина, равная расстоянию, деленному на k. Если плоскость ε удалена от начальной точки системы координат на расстояние e, то P = kR sin e . Таким образом, величины P, X, Y, Z можно k определить как составляющие силы. Если на покоящуюся точку воздействует не одна, а несколько сил, то их составляющие следует сложить с левой частью равенств (6). По правилу параллелограмма аналогичным образом следует сложить левые части равенств (3) и (6) в том случае, если на движущуюся точку воздействует сила (P, X, Y, Z). Соответственно получаем уравнения движения следующего вида:  2  d2 x = X − mv 2 x,  mk 2 d p = P − mv 2 p,  m  dt2 dt2 k2 (7) 2  2 2 2 d y  mv d z mv   m 2 = Y − 2 y, m 2 = Z − 2 z. dt k dt k

28

В. КИЛЛИНГ

Здесь v представляет скорость (переменную). К уравнениям (4) и (5) согласно последнему уравнению системы (2) добавляется еще одно соотношение: 2 1 m d (v ) = P dp + X dx + Y dy + Z dz . (8) 2 dt dt dt dt dt Если вектор силы R проходит через центр притяжения или отталкивания, то иногда оказывается удобнее использовать уравнения движения в другой форме. Обозначим координаты точки притяжения через p0 , x0 , y0 , z0 , а расстояние от этого центра притяжения до притягиваемой точки — через e; полученные уравнения будут выглядеть следующим образом:  d2 p Rp0    m = − Lp,  2  dt  k sin e   k     2  Rx0   = − Lx, md x  2  dt  k sin e  k (9) 2  d y Ry0   m 2 = − Ly,   dt  k sin e   k     2  Rz 0   md z = − Lz.    dt2 k sin e k

Функцию L определяется из следующих уравнений:    2  dp 1 m d (v ) = R dx + y dy + z dz , 2   k p + x 0 0 0 0   2 dt dt dt dt dt  k sin e   k        

Rk cos e

k

2

mv +

sin e

k

(10)

2

− Lk = 0.

Уравнения (9) и (10) легко могут быть выведены либо непосредственно, либо из (7) и (8). Пример. Движение планет. Для переноса ньютоновского закона притяжения в неевклидово пространство следует исходить не из алгебраической формы, а из геометрических представлений, лежащих в основе этого закона, и вывод строить

МЕХАНИКА

29

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

на соответствующем аналитическом выражении этих представлений. Если представить притягивающую точку как центр множества сферических поверхностей с равномерно распределенной массой, то силы, оказывающие влияние на равные массы, будут изменяться, согласно закону, обратно пропорционально площади сфер. Площадь сферы с радиусом r будет в таком случае равна 4πk 2 sin2 r . Если рассматривать Солнце как неподвижную k точку, окруженную точечными планетами, и не учитывать при этом соответствующего притяжения планет, задача о движении планет может быть поставлена следующим образом. Пусть точка движется под влиянием силы, направленной в сторону неподвижного центра и обратно пропорциональной квадрату синуса деленного на k расстояния между данной точкой и центром. Неподвижную точку положим точкой начала координат; поскольку движение очевидно происходит в одной плоскости, то z = 0. После подстановки равенства x2 + y 2 = q 2 уравнения (9) примут следующий вид: p00 =

µ − pL, q2

x00 = −xL, y 00 = −yL.

Отсюда сразу получаем решения:  0 0  xy − x y = c,  v 2 = 2h + 2µp , q

(α)

где буквами c и p обозначены две постоянные. Если теперь объединить второе уравнение системы (1) и первое уравнение системы (2), то получим k 4 p02 = 2hq 2 + 2µpq − c2 .

(β)

Вычислив из второго уравнения системы (10) значение L, а затем из d2 q

уравнения k 2 p2 + q 2 = k 2 и их первых производных значение 2 = q 00 , мы dt придем к следующим уравнениям: 2 2 qx00 − q 00 x = − c 2x = cµ (px00 − p00 x), q

qy 00 − q 00 y = −

2 c2 y = cµ (py 00 − p00 y). 2 q

30

ния:

В. КИЛЛИНГ a и b дает соотношеРешение этих двух уравнений при постоянных µ µ

µcq = c2 p − ay + bx,

0 = c2 (pq 0 − qp0 )q + ax + by.

Подходящий поворот системы координат может привести к тому, что значение a станет равно нулю. Тогда последние два уравнения будут выглядеть следующим образом: µcq = c2 p + bx, p0 =

(γ)

by . c k 2 2

Уравнения (γ) свидетельствуют о том, что первый закон Кеплера сохраняется без изменений. Используя равенство q = rp, введем вместо величин p и q новую переменную r. Уравнение (β) при этом преобразованию принимает следующий вид: dt = 

2

1 + r2 k

s

r dr .   2 r2 2h − c 2 + 2µr − c2

(δ)

k

dp

При y = 0 производная , равно как и dr , обращается в нуль. Обоdt dt значив соответствующие значения r через r1 и r2 , получаем r1 + r 2 = −

2µ 2

2h − c 2 k

,

r1 r2 = −

c2 2 2h − c 2

,

k

и далее k (r1 + r2 ) µ =− 2 = −k tg 2a , h k k − r 1 r2

где величина 2a равна наибольшей оси конического сечения. Полупериод обращения планеты вокруг Солнца можно теперь вычислить, проинтегрировав уравнение (δ) в интервале от r 1 до r2 . Проведя

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

31

интегрирование, получим уравнение для периода обращения T : πµ T = v s ! u  1 u 2 2 µ µ t (−h) 2 1+ 2 2 1+ 1+ 2 2 h k

или

h k

4π 2 k 3 sin3 a cos a 2

T =

k

k

, () µ иначе говоря, третий закон Кеплера претерпевает в этом случае некоторые изменения. Второй закон Кеплера должен быть преобразован в соответствии с уравнением (α): при увеличении длины радиус-вектора вдвое этот двойной радиус за пределами планеты опишет за одинаковое время области с такой же площадью. Эта теорема — теорема площадей — верна, очевидно, для любого типа свободного движения вокруг неподвижного центра.

§ 2. Движение по поверхности Если точка вынужденно движется по поверхности без трения, то такое движение, как известно, может быть заменено движением под воздействием силы, которая действует в направлении нормали к поверхности, а величина ее определяется тем, что точка во время движения остается на поверхности. Если поверхность описывается уравнением ϕ (p, x, y, z) = 0, то уравнение плоскости, касательной к ней в точке (p, x, y, z), имеет следующие коэффициенты:   1 ∂ϕ − p p ∂ϕ + x ∂ϕ + y ∂ϕ + z ∂ϕ , ∂p ∂x ∂y ∂z k 2 ∂p   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ −x p +x +y +z , ∂x ∂p ∂x ∂y ∂z   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ −y p +x +y +z , ∂y ∂p ∂x ∂y ∂z   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ . −z p +x +y +z ∂z ∂p ∂x ∂y ∂z

Эти четыре величины, таким образом, пропорциональны составляющим силы, которая соответствует заданному условию и должна быть добавлена

32

В. КИЛЛИНГ

к действующим на точку силам согласно параллелограмму сил. Обозначив равнодействующую данных сил через (P, X, Y, Z), получаем следующие уравнения движения:  2  ∂ϕ  2d p  mk = P − k 2 Sp + M ,  2  ∂p  dt      ∂ϕ d2 x    m 2 = X − Sx + M ∂x , dt (11)  d2 y ∂ϕ    , m 2 = Y − Sy + M   ∂y dt      ∂ϕ  d2 z  .  m 2 = Z − Sz + M ∂z dt Скорость v, в свою очередь, может быть вычислена из уравнения (8); далее, если заданное уравнение поверхности ϕ однородно, то k 2 S = v 2 , т. е. вместе с ϕ обращается в нуль и сумма p

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ +x +y +z . ∂p ∂x ∂y ∂z

Чтобы точка оставалась в состоянии покоя, величины

d2 p d2 x d2 y , , , dt2 dt2 dt2

d2 z и S должны быть равны нулю. dt2

Пример. Маятник. Точка, вынужденная оставаться на сферической поверхности, находится под воздействием постоянной силы, действующей в направлении некоторой (действительной или воображаемой) неподвижной точки. Уравнения значительно упростятся, если центр сферы мы определим как точку с координатами (1, 0, 0, 0), а оси y = z = 0 положим проходящими через притягивающую точку, другие две координаты которой могут быть обозначены как p0 и x0 . Постоянно действующую силу обозначим через g, радиус сферы — через l, расстояние от притягивающей точки до центра сферы — через a, а переменное расстояние между притягивающей и движущейся точками — через e. Получим следующие уравнения движения: d2 p g = p0 + Lp + 12 M, 2 dt k k sin e k

g d2 x = x0 + Lx, 2 dt k sin e k

d2 y = Ly, dt2

d2 z = Lz. dt2

МЕХАНИКА

33

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Так как координата p постоянна, первое уравнение мы можем опустить. Остальные три дают нам соотношение v 2 = 2g(h − e), где h — постоянная. Применение здесь теоремы о площади позволяет легко получить квадратуры, которые и являются полным и окончательным решением задачи. Особое значение, однако, имеют бесконечно малые движения, для которых бесконечно малые величины второго порядка x и e можно принять в качестве постоянных. Тогда g sin a k a l e = a − l, x0 = k sin , x = k sin , L = − , k k a−l k sin sin l k

k

причем полученная постоянная величина L дает нам не только значение

2 d2 y : y, но и d z2 : z. Отсюда, как известно, следует, что уравнения 2 dt dt

периодичны, и что период колебания равен v u u k sin l sin a − l u k k u 2π t g . sin a k

Тот же результат может быть получен для плоских колебаний из уравнения для v 2 , если через e и h обозначить амплитуду колебаний, а разность h − e разложить в соответствии с теоремой Тейлора. Изохронность малых колебаний, таким образом, сохраняется и в неевклидовых пространствах.

§ 3. Общие уравнения движения в трехмерном пространстве Полученные нами в первом параграфе уравнения движения могут быть легко распространены на любое количество свободно движущихся точек. Точно так же и для уравнений из второго параграфа следует предположить, что поверхность, на которой должна оставаться точка, сама движется любым заданным образом. Пусть теперь уравнение поверхности ϕ=0 будет однородным по координатам, а коэффициенты содержат время. Тогда получаем еще и равенство mv 2 = k 2 S,

34

В. КИЛЛИНГ

однако данным способом само значение v вычислено быть не может. Предположив, таким образом, что условия взаимодействия движущихся точек могут быть выражены рядом уравнений, включающих в себя координаты данных точек и время, и что эти уравнения описывают представленные в предыдущих параграфах действия, мы получаем уравнения движения, соответствующие уравнениям Лагранжа первого рода. Если уравнения условий имеют вид ϕ = 0, ψ = 0, . . . , (12) то уравнения движения будут следующими:  d2 pi ∂ϕ ∂ψ   mi k 2 2 = P i − k 2 Si p i + M +N +...,   ∂pi ∂pi  dt  ∂ϕ ∂ψ d 2 xi  = X i − k 2 S i xi + M +N +..., m  i  2 ∂x ∂x  dt i i   ................................................ , где уравнения для

(13)

d2 y i d2 z i и аналогичны уравнениям для xi . Величи2 dt dt2

ны Pi , Xi , Yi , Zi здесь представляют собой составляющие равнодействующей всех сил, действующих на точку (pi , . . .); функции же Si , M , N, . . . вычисляются, исходя из условий, заданных уравнениями (12), и условий на величины скорости, причем здесь вновь следует учитывать уравнения (1). Введем теперь виртуальные перемещения δp, δx, δy, δz, для которых помимо r уравнений k 2 pi δpi + xi δxi + yi δyi + zi δzi = 0 справедливы и следующие уравнения:  X  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ δp + δx + δy + δz = 0; ∂p ∂x ∂y ∂z

так из уравнений (13) легко выводим принцип Даламбера: " !   2 X 2 d p d x 2 k m 2 − P δp + m 2 − X δx+ dt dt !   # 2 d2 y d z + m 2 − Y δy + m 2 − Z δz = 0. dt dt

(14)

(15)

(16)

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

35

Для того чтобы получить принцип Гамильтона, определим работу силы для некоторого перемещения как произведение силы и перемещения на косинус угла между ними — точно так же, как и в евклидовой геометрии, — сумма же этих произведений, полученных для всех точек, будет представлять собой общую работу системы. Тогда аналитическое выражение для произведенной некоторой силой работы принимает следующий вид: P δp + Xδx + Y δy + Zδz,

(17)

а общая работа U 0 получается посредством суммирования по всем точкам. Аналогичным образом, запишем выражение для живой силы системы

То есть принцип Гамильтона Z

1 X mv 2 = T. 2

(18)

(δT + U 0 ) dt = 0

(19)

справедлив и здесь, причем с сохранением тех же смысла и применимости, что он имел в евклидовом пространстве. Едва ли следует упоминать о том, что уравнения (13) могут быть также получены из уравнений (16) и (19). Нет необходимости подробнее останавливаться на гауссовом принципе наименьшего действия; достаточно будет сослаться на работу г-на Липшица, опубликованную в этом журнале (т. 82, с. 316). Если существует потенциал U , то есть если U 0 = δU , то для каждой точки верны следующие равенства P = ∂U −k 2 Ep, ∂p

X = ∂U −Ex, ∂x

Y = ∂U −Ey, ∂y

Z = ∂U −Ez, (20) ∂z

где E определяется уравнением (4). Если же U — однородная функция нулевой степени, то E обращается в нуль. Из общих уравнений движения можно получить множество теорем, описывающих различные типы движения в евклидовом пространстве. В качестве примеров назовем теорему о живой силе, теоремы о центре тяжести и теоремы количества движения (правила площадей). Первая из названных теорем остается при переходе в неевклидово пространство совершенно неизменной; теоремы о центре тяжести перестают здесь быть истинными, зато

36

В. КИЛЛИНГ

мы получаем шесть теорем количества движения. На них я остановлюсь несколько подробнее. Эти теоремы основаны на следующих уравнениях: !  X X 2 d2 p d x p 2 −x 2 = pX − xP2 , dt dt k ! (21) X X 2 d2 y d z y 2 −z 2 = (yZ − zY ), . . . dt dt К этим шести уравнениям можно прийти, применив принцип Даламбера и, если это возможно, сдвинув и повернув систему вдоль каждой из координатных осей; в этой связи верна теорема: Если систему можно повернуть вокруг двух пересекающихся прямых, то ее можно повернуть и вокруг любой прямой, проходящей через точку их пересечения; если же помимо того система допускает поворот вокруг еще одной прямой, то ее можно не только повернуть вокруг любой прямой, но и сдвинуть вдоль одной из них. Если система может быть сдвинута вдоль двух лежащих в одной плоскости прямых, то она может быть сдвинута вдоль любой прямой, лежащей в этой плоскости, и эта возможность распространяется и на другие прямые; таким образом, возможность сдвига и поворота является универсальной. Теперь мы можем с легкостью увидеть, сколько теорем количества движения окажутся истинными для данной системы. Что касается их геометрического смысла, то его можно выразить следующим образом: pX − xP2 = R cos a cos ϕ, k k yZ − zY = Rk sin a sin ϕ, k здесь R обозначает величину силы, ϕ — угол между направлением действия силы и осью y = z = 0, а a — «расстояние» между этими направлениями. Отсюда находим значения интегралов левых частей уравнений (21). Выражения в правых частях уравнений (21) не изменятся, если любой из векторов силы окажется насколько угодно сдвинут в направлении, совпадающем с направлением действия силы. Если при этом нам не даны уравнения условий, в системе действуют только внутренние силы, и сила каждого действия внутри системы равна силе противодействия, то правые части уравнений обращаются в нуль, и мы можем получить из уравнений (21) шесть первых интегралов.

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

37

Если в уравнениях (13), (16) и (19) положить координаты равными нулю, то условия равновесия сохраняются в трех различных формах. Нет необходимости обращаться здесь к самим уравнениям; напомню лишь, что признак устойчивости равновесия Дирихле применим и к неевклидовым пространствам, и что условия сохранения равновесия нерастяжимой нити выражаются чрезвычайно простыми уравнениями. Если нить не вынуждена оставаться на некоторой поверхности, то направление действия силы в каждой точке лежит в плоскости, соприкасающейся с кривой.

§ 4. Движение в n-мерных пространствах. Методы Гамильтона–Якоби Поскольку использованные в предыдущих параграфах геометрические понятия совершенно не зависят от количества измерений, то полученные нами результаты мы легко можем распространить и на пространства любой размерности. Таким образом, предположив, что движение происходит в некотором n-мерном пространстве с постоянной римановой кривизной 12 , мы определяем положение каждой точки через n + 1 коордиk нат x0 , x1 , . . . , xn , между которыми имеется следующее отношение: k 2 x20 + x21 + . . . + x2n = k 2 .

(22)

Тогда если X0 , X1 , . . . , Xn суть составляющие действующей на точку (x0 , x1 , . . . , xn ) силы R, получим    X0 x0 + X1 x1 + . . . + Xn xn = 0, (23) X02   R2 = 2 + X12 + . . . + Xn2 . k

Значения X0 , X1 , . . . , Xn соответствуют вышеуказанным условиям; X1 равно произведению R на косинус угла, образуемого двумя плоскостями: n−1-мерной плоскостью, проходящей через точку приложения силы и перпендикулярную направлению вектора силы, и плоскостью x 1 = 0. Величина X0 , в свою очередь, равна kR sin e , где e — расстояние упомянутой k

плоскости от точки (1, 0, 0, . . . , 0). Пусть движущаяся система состоит из r точек, каждая из которых (i) (i) (i) обладает массой m, с координатами x0 , x1 , . . . xn ; кроме того, пусть (i) (i) (i) на эту систему действуют силы X0 , X1 , . . . Xn , а координаты связаны

38

В. КИЛЛИНГ

условиями ϕ = 0, ψ = 0, . . . . Тогда в соответствии с уравнениями (13) первые уравнения Лагранжа будут выглядеть следующим образом:  2 (i)  ∂ψ ∂ϕ (i) (i)  2 d x0  m k = X0 − k 2 Si x0 + M (i) + N (i) + . . . ,  i  2  dt ∂x0 ∂x0          

(i)

mi

d 2 xz dt2

= Xz(i) − k 2 Si x(i) z +M (i = 1, . . . , r;

∂ϕ

(i)

+N

∂ψ

(i)

∂xz ∂xz z = 1, . . . , n)

(24)

+....

Виртуальные перемещения δx0 , . . . , δxn должны удовлетворять не только уравнению (22), но и равенствам ϕ = 0, ψ = 0, . . ., если время в них рассматривать как величину постоянную. Тогда верен принцип Даламбера: ! ! " 2 X d 2 x1 2 d x0 mk − X0 δx0 + m 2 − X1 δx1 + . . . + dt2 dt # ! (25) d 2 xn + m 2 − Xn δxn = 0. dt Определение работы остается неизменным и имеет следующий вид: X (k 2 X0 δx0 + X1 δx1 + . . . + Xn δxn ).

Принцип Гамильтона также ни в коей мере не изменяется. Если потенциал сил равен U , то в соответствии с названным принципом имеем T − U = H,

(26)

общие же координаты выражаем через ряд независимых величин q i , благодаря подстановке которых в уравнения условий последние выполняются тождественно. Тогда T есть функция от qi , и qi0 =

dqi . Произведем подстаdt

новку ∂T0 = pi и выразим H через qi и pi . Тогда гамильтоновы уравнения ∂qi

движения принимают вид: dqi = ∂H , dt ∂pi

dpi = − ∂H . dt ∂qi

(27)

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

39

Нет необходимости доказывать, что методы Гамильтона и Якоби переносимы также и в неевклидовы пространства. Подробнее следует рассмотреть, пожалуй, лишь связь данных методов с координатами Вейерштрасса. То, насколько эти методы оказываются хороши для решения задач и здесь, будет продемонстрировано на нескольких примерах. В основу своего метода последнего множителя Якоби положил то обстоятельство, что множитель некоторой заданной системы дифференциальных уравнений может быть определен перед каждым интегрированием. Множитель равен произвольной постоянной и, следовательно, может быть заменен единицей как при условии, что точки свободны, так и в том случае, когда в основу положены гамильтоновы уравнения (27). Однако когда мы описываем движение в евклидовом пространстве при помощи уравнений Лагранжа первого рода, мы, исходя из условий ϕ = 0 и ψ = 0, находим величины (ϕϕ), (ϕψ), . . . по схеме X  ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ  (ϕψ) = m + + , ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z т. е. множитель системы оказывается равен определителю (ϕϕ) (ϕψ) (ψϕ) (ψψ) ......

... ... ...

(28)

Результаты исследований Якоби, как это неоднократно подчеркивается в его лекциях, могут быть перенесены на евклидово пространство с любым количеством измерений. Наши же общие уравнения движения аналитически могут быть представлены следующим образом. В основе описания евклидова пространства с n + 1 измерениями лежат прямоугольные координаты kx0 , x1 , . . . , xn ; прямоугольные составляющие каждой из действующих здесь сил тогда равны

X0 , X1 , . . . , Xn . Помимо условий ϕ = 0, ψ = 0, . . . k

для координат каждой из точек должно выполняться условие (22), которому мы для краткости придадим следующую форму: Ωi = k 2 .

При этом уравнения движения в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве выглядят точно так же, как уравнения для n-мерного неевклидова пространства, величина кривизны которого равна k 2 . Хотя уравнение (22) и подразумевает, что в выражение Ω = k 2 входит и направление каждой силы, условие это с аналитической точки зрения, не является необходимым,

40

В. КИЛЛИНГ

а обуславливает лишь простейшие значения Si . При чисто аналитическом рассмотрении столь же незначительную роль играет и то обстоятельство, что для пространств Лобачевского величина k 2 отрицательна, а каждый из членов kx0 и

X0 оказывается мнимым. k

Это очевидно предполагает, что множитель системы (27) гамильтоновых уравнений следует приравнять к единице. Однако если исходить из уравнений Лагранжа первого рода, то выражения для (ϕϕ), (ϕψ), . . . , (Ωi Ωi ), (Ωi Ωκ ), (Ωi ϕ), . . . строятся согласно следующей схеме:   X 1  1 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ     (ϕϕ) = m k 2 ∂x0 ∂x0 + ∂x1 ∂x1 + . . . + ∂xn ∂xn ,    X 1  1 ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ  (ϕψ) = (ψϕ) =  m k 2 ∂x0 ∂x0 + ∂x1 ∂x1 + . . . + ∂xn ∂xn ,     ................................................................ (29) Тогда   k2 при i = κ, (Ωi Ωκ ) = mi  0 при i ≷ κ и   1 x(i) ∂ϕ + . . . + x(i) ∂ϕ  . (Ωi ϕ) = m n 0 (i) (i) i ∂x0 ∂xn Таким образом, если сначала движение в неевклидовом пространстве свободно, множитель системы уравнений Лагранжа равен определителям, составленным из величин (Ωi Ωκ ), то есть равен постоянной, которую также нужно приравнять к единице. Если же существуют какие-то другие уравнения условий, то следует предположить, что они должны быть однородны по координатам каждой точки. Тогда каждый определитель (Ω i ϕ), (Ωi ψ) и определители, составленные из (Ωi Ωκ ), (Ωi ϕ), (ϕψ), . . . будут равны, без учета постоянного множителя, определителям, составленным из (ϕϕ), (ϕψ), . . .. С учетом принятой формы функций ϕ, ψ, . . . множитель системы лагранжевых уравнений равен, таким образом, определителю (28), элементы которого построены в соответствии с предписаниями схемы (29).

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

41

Что же касается усовершенствованного Якоби метода Гамильтона, то в лекциях Якоби по механике (с. 167) он был представлен для случая, когда функция силы не содержит времени явно, приблизительно в таком виде: «Выразим функции T и U через определенные выше 2µ-величин q i и pi . Подставим в уравнение 0=α+T −U вместо pi частную производную ∂W , так что это уравнение станет диф∂qi

ференциальным уравнением в частных производных для W . Если известно полное решение этого уравнения, которое кроме аддитивно связанных с W постоянных содержит µ постоянных α1 , . . . , αµ−1 , то уравнения ∂W = β , 1 ∂α1

...,

∂W = β µ−1 , ∂αµ−1

∂W = τ − t ∂α

суть первые интегралы дифференциальных уравнений движения.» В этой форме метод применим и для неевклидовых пространств. Для таких пространств верны также и общие результаты, полученные Якоби, в частности общая теория возмущений. Однако мне представляется важным показать форму дифференциального уравнения при использовании координат Вейерштрасса x0 , x1 , . . . , xn . Вместо прямого разложения этой формы — что не составило бы труда — я использую уравнение, составленное Якоби для случая уравнений условий3 и опубликованное им в первой сопровождавшей его лекции работе (с. 376-379). Это позволит нам сразу же получить искомый результат. «Если функция W для координат всех точек является однородной функцией нулевого порядка, то для системы свободных точек она может быть определена через дифференциальное уравнение: X 1 m

(

1 k2



∂W ∂x0

2

+



∂W ∂x1

2

+...+



∂W ∂xn

2 )

= 2U − 2α.

(30)

Если заданы однородные уравнения условий ϕ = 0, ψ = 0, . . ., то W снова может быть постулирована как однородная функция нулевого поряд3 Т. е.

уравнений связей. — Прим. ред.

42

В. КИЛЛИНГ

ка. Тогда имеем 2 X 1  1  ∂W ∂ϕ ∂ψ + − λ − µ − . . . m k 2 ∂x0 ∂x0 ∂x0  2 ∂ϕ ∂ψ ∂W + −λ −µ −... + ... ∂x1 ∂x1 ∂x1 2   ∂ϕ ∂ψ −µ −... = 2U − 2α, . . . + ∂W − λ ∂xn ∂xn ∂xn где коэффициенты λ, µ, . . . определяются уравнениями λ(ϕϕ) + µ(ϕψ) + . . . = (W ϕ), λ(ψϕ) + µ(ψψ) + . . . = (W ψ), .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .., а (ϕϕ), (ϕψ), . . . имеют вышеуказанные значения.» Первый пример. Кратчайший отрезок прямой на n-мерной поверхности. Пусть некая пространственная фигура определяется r уравнениями, и эти уравнения ϕ = 0, ψ = 0, . . . однородны по координатам. По поверхности данной фигуры движется точка, к которой не прилагается никакого ускорения. Уравнения движения в этом случае можно получить, приравняв к нулю величины X0 , . . . , Xn в уравнениях (24). Те же уравнения получаются и из фундаментальных теорем вариационного исчисления для кратчайших расстояний, и из условий равновесия для фигуры, которую принимает на поверхности фигуры невесомая натянутая нить. Из упомянутых уравнений заключаем: «Если через любую точку поверхности некоторой (n − r)-мерной фигуры провести (r + 1)-мерную плоскость, проходящую через плоскость (r-мерную), нормальную к фигуре, и через плоскость, касательную к фигуре в начальной точке кратчайшего отрезка прямой, то эта новая плоскость пройдет еще и через некоторую третью точку, лежащую бесконечно близко к кратчайшему отрезку, образуя тем самым двухмерную плоскость изгиба кратчайшего отрезка.» Найдем уравнение кратчайшего отрезка для какой угодно криволинейной поверхности второго порядка, то есть для (n − r)-мерной фигуры, в которой пересекаются r софокусных поверхностей второго порядка (квад-

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

43

рик). Уравнения этих поверхностей имеют вид: k 2 x20 x21 x2n + + . . . + = 0, λi − α 1 λi − α n λi + k 2

(i = 1, 2, . . . , r).

Тогда уравнения кратчайшего отрезка выглядят следующим образом: 2 M1 Mr c2 1 d x0 x0 dt2 = − k 2 + λ + k 2 + . . . + λ + k 2 , 1 r 2 1 d x1 = − c 2 + M 1 + . . . + M r , x1 dt2 λ1 − α 1 λr − α 1 k2 ..........................................., 2 1 d xn = − c 2 + M 1 + . . . + M r . xn dt2 λ1 − α n λr − α n k2

Решаем эти уравнения согласно методу, предложенному г-ном Вейерштрассом (Berliner Monatsberichte, 1861, с. 988): f (λ) =

λ + k2 (λ − α1 ) . . . (λ − αn ), k2

ϕ(λ) k 2 x20 x21 x2n = + +... + , 2 λ − α1 λ − αn f (λ) λ+k

k 2 x020 x021 ϕ1 (λ) x02n = + + . . . + . λ − α1 λ − αn f (λ) λ + k2 Поскольку сначала мы рассматриваем λ как независимую от t величину, докажем путем дифференцирования, что выражение 1 dϕ (λ) 2 dt

!2

− ϕ (λ)ϕ1 (λ)

не зависит от t и, таким образом, является функцией только от λ. В качестве таковой она представляет собой функцию 2n-го порядка, которая обращается в нуль при значениях λ, равных −k 2 , α1 , . . . , αn , λ1 , . . . , λr , а, следовательно, также при n − r − 1 значениях λ, равных β 1 , . . . , βn−r−1 .

44

В. КИЛЛИНГ

Соответственно, записываем R(λ) = −

λ + k2 (λ − α1 ) . . . (λ − αn )× k2 × (λ − λ1 ) . . . (λ − λr )(λ − β1 ) . . . (λ − βn−r−1 ),

а в уравнении 1 dϕ (λ) 2 dt

!2

− ϕ (λ)ϕ1 (λ) = c2 R (λ)

производим подстановку 0 2 0 0 1 dϕ (λ) = k x0 x0 + x1 x0 + . . . + xn xn ; 2 2 dt λ − α1 λ − αn λ+k

таким образом, мы можем рассматривать саму величину λ в зависимости от t и присвоить ей n − r значений λr+1 , . . . , λn , для которых ϕ (λ) также обратится в нуль за исключением случаев λ1 , . . . , λr . Кроме того, введем сокращение: g (λ) = (λ − λ1 ) . . . (λ − λr ), что, в соответствии с представленными соображениями, даст нам следующие уравнения: g (λr+1 ) dλr+1 g (λn ) dλn +...+ p = 0, p R (λr+1 ) R (λn )

λr+1 g (λr+1 ) dλr+1 λn g (λn ) dλn +...+ p = 0, p R (λr+1 ) R (λn ) .............................................

λn−r−2 g (λr+1 ) dλr+1 r+1 p

R (λr+1 )

λn−r−1 g (λr+1 ) dλr+1 r+1 p

R (λr+1 )

+...+

+...+

λn−r−2 g (λn ) dλn n = 0, p R (λn )

λn−r−1 g (λn ) dλn n = 2c dt. p R (λn )

Если, в частности, при r = 1 требуется найти кратчайший отрезок прямой на некоторой поверхности второго порядка, то следует выразить

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

45

сначала эллиптические координаты, а затем и координаты x 0 , . . . , xn кратчайшего отрезка простейшим способом через гиперэллиптические функции от n − 1 величин u, u0 , . . . , u(n−2) , первая из которых будет переменной, а остальные постоянными. Цели легко можно достичь и применив метод Якоби. Если через λ z обозначить n корней уравнения k 2 x20 λ+k то

и

2

−

x21 x2n −... − = 0, α1 − λ 1 αn − λ

x20 =

(k 2 + λ1 ) . . . (k 2 + λn ) , (k 2 + α1 ) . . . (k 2 + αn )

x2κ =

k 2 (ακ − λ1 ) . . . (ακ − λn ) (ακ + k )(ακ − α1 ) . . . (ακ − ακ−1 )(ακ − ακ+1 ) . . . (ακ − αn ) 2

4 ds2 =

где

X

Nκ dλ2κ ,

k 2 (λ1 − λκ ) . . . (λn − λκ )

. (k 2 + λκ )(α1 − λκ ) . . . (αn − λκ ) В нашем случае величины λ1 , . . . , λr постоянны; следовательно, в формулу Nκ =

2T = 1 Nr+1 λ02r+1 + . . . + 4 можно подставить ∂T = 1 N λ0 = 4 ν ν ∂λ0ν

1 N λ02 = c2 4 n n ∂W ∂λν

и получить дифференциальное уравнение  2  2 ∂W 1 ∂W 1 c2 = 1 +...+ . 2 Nr+1 ∂λr+1 Nn ∂λn

которое можно разложить, применяя вышеприведенные обозначения, к следующему виду:   f (λν ) ∂W 2 = 1 c2 (λν − β1 ) . . . (λν − βn−r−1 ) при ν = r + 1, . . . , n. 2 g (λν ) ∂λν Дифференцирование W по β и c2 приводит к уже показанным выше уравнениям.

46

В. КИЛЛИНГ

Если мне будет позволено, приведу здесь же решение задачи о построении двумерной проекции квадратичной фигуры на евклидовой плоскости. После разрешения этой задачи построение проекций на плоскость в пространстве той же размерности уже не вызывает трудностей. Поскольку в выражении для линейного элемента все dλ i за исключением dλn−1 и dλn обращаются в нуль, то в соответствии с известным методом мы можем произвести следующую подстановку: v u k 2 (λn−1 − λ1 ) . . . (λn−1 − λn ) a ± bi u t du ± idv = dλ ± 2  (λn−1 + k 2 )(λn−1 − α1 ) . . . (λn−1 − αn ) n−1 v  u  u k 2 (λn − λ1 ) . . . (λn − λn−1 ) . ±it dλ n  (λn + k 2 )(λn − α1 ) . . . (λn − αn )

Здесь u и v суть прямоугольные координаты на плоскости проекции, а из знаков ± следует повсюду выбирать либо верхние, либо нижние варианты. Если λn−1 > λn , то a = √ 2 , а b = 0. Вследствие этого u λn−1 − λn

становится функцией только от λn−1 , а v — только от λn , и получить их не составляет труда. Второй пример. Свободная точка притягивается некоторой неподвижной точкой в соответствии с какой-либо функцией от расстояния. Хотя решение чрезвычайно просто, оно все же достойно нескольких слов. Используя привычные методы, исходят из того, что движение в двухмерной плоскости происходит в соответствии с теоремой о количестве движения. При решении дифференциального уравнения в частных производных вводят полярные координаты (см. уже упоминавшуюся выше работу Якоби, с. 185 и с. 344). Уравнение при этом раскладывается на ряд таких уравнений, которые могут быть решены непосредственно. Пользуясь законом тяготения, о котором говорилось в примере к первому параграфу, положение точки можно очень легко определить через расстояние r между нею и притягивающей точкой и через расстояние % от нее же до любой другой произвольно выбранной точки. Если последняя находится на траектории движущейся точки на расстоянии r 0 от центра притяжения, то дифференцированием уравнения r+% r Z µ s + r0 ctg − 1α W = ds 2 2k 2k r−%

можно получить уравнения движения.

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

47

Третий пример. Пусть точка движется в n-мерном пространстве под действием двух сил, направленных к двум неподвижным центрам и обратно пропорциональных квадрату синуса расстояния, деленного на k. Можно было бы исходить из того, что движущаяся точка всегда остается на той же трехмерной главной поверхности, которая определяется обоими притягивающими центрами и начальным направлением движения самой точки; однако это допущение ничуть не упростило бы решение. Посему мы не будем принимать в расчет первоначального направления движения точки и через прямую, соединяющую центры притяжения, проведем от плоскостей вейерштрассовой системы координат плоскости x 2 = 0, x3 = = 0, . . . , xn = 0, а поверхности xn = 0 придадим положение, симметричное обоим центрам. Положим x2 = s cos ϕ1 , x3 = s sin ϕ1 cos ϕ2 , .................... xn = s sin ϕ1 sin ϕ2 . . . sin ϕn−2 , так что

x22 + x23 + . . . + x2n = s2 ,

k 2 x20 + x21 + s2 = k 2 .

В результате дифференциальное уравнение (30) преобразуется к следующему виду: 2  2  2  2  2  1 ∂W + ∂W + ∂W + 1 ∂W + 1 ∂W + . . . ∂x1 ∂s k 2 ∂x0 s2 ∂ϕ1 s2 sin2 ϕ1 ∂ϕ2  2 1 ∂W ...+ 2 2 = 2U + 2h, 2 ∂ϕ n−2 s sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 которое можно легко разложить на два уравнения: 2  2   2 2% 1 ∂W ∂W ∂W + + = 2U + 2h − 2 , 2 ∂x ∂x ∂s k s 0 1 2  2  1 ∂W ∂W + + . . . = 2%, ∂ϕ1 sin2 ϕ1 ∂ϕ2 где % есть произвольная постоянная. Первое уравнение записано мною в эллиптических координатах, начала которых совпадают с центрами притяжения. Каким образом при этом преобразуется левая часть, показано в

48

В. КИЛЛИНГ

первом примере. В правую часть можно подставить m r U = m ctg r + 1 ctg 1 , k k k k где r и r1 суть расстояния от начал эллиптических координат. Путем простого преобразования можно получить следующее выражение: s s (m + m1 )

U=

k 2 + λ1 (α1 − λ1 ) + (m − m1 ) k2

k 2 + λ2 (α1 − λ2 ) k2

λ1 − λ 2

и найти

2 1 = (k + α2 )(α1 − α2 ) s2 k 2 (λ1 − λ2 ) Вследствие чего получаем



1 1 + λ1 − α 2 α2 − λ 2



.





1 hλ − 1 (m + m ) 1 2 1 2 









W =

dλ1 





2 k 2 + λ1 1 (k + α2 )(α1 − α2 ) + µ (α1 − λ1 ) − % 2 2 k k2 (λ1 − α2 )

k 2 + λ1 (α1 − λ1 )(α2 − λ1 ) k2 

+





1 hλ − 1 (m − m ) 1 2 2 2 









+

dλ2 







2 k 2 + λ2 1 % (k + α2 )(α1 − α2 ) + µ (α − λ ) − 1 2 2 k2 k2 (α2 − λ2 )

k 2 + λ2 (α1 − λ2 )(α2 − λ2 ) k2

+

+ F (ϕ1 , . . . , ϕn−2 ),

где µ — постоянная, а F — функция только от ϕ1 , . . . , ϕn−2 , которая легко получается дальнейшим разложением второго дифференциального уравнения.

§ 5. Распространение закона Ньютона Представим себе в n-мерном пространстве притягивающую точку, которая является центром (n − 1)-мерной сферы. Если масса распределена по этой поверхности неравномерно, то, согласно положениям, на которых основан закон Ньютона, притяжение, осуществляемое центральной точкой, должно быть прямо пропорционально массам и обратно пропорционально площади поверхности. Теперь положим, что площадь поверхности такой

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

49

фигуры с радиусом r равна ω ˜ k n−1 sinn−1 r , где ω ˜ известным образом выk

ражается через n и π. Чтобы распространить закон Ньютона на n-мерное пространство, рассмотрим притяжение, прямо пропорциональное массе и обратно пропорциональное синусу в степени (n − 1) расстояния, деленного на k. Для краткости в данном параграфе часть пространства, ограниченную (n−1)-мерной сферической поверхностью, будем называть шаром, граничную поверхность — сферической поверхностью, а пространство, ограниченное двумя концентрическими (n−1)-мерными сферическими поверхностями — как сферическую оболочку. Аналогичным образом поступим и с эллипсоидом. Согласно установленной Гауссом (Werke, т. V, с. 9) теореме IV, верно следующее: «Обозначив через dS элемент (n − 1)-мерной поверхности S, включающей в себя некоторое односвязное конечное пространство, через P — точку, принадлежащую этому элементу, через M — неподвижную точку в пространстве, через r — расстояние M P , а через u — угол между M P и внутренней нормалью к dS, получим для всей фигуры S интеграл Z dS cos u = 0, или = ω ˜, или = 1 ω ˜, n−1 r n−1 2 k sin k

в зависимости от местонахождения точки M : снаружи фигуры S, внутри нее или на ее поверхности.» Для доказательства опишем вокруг точки M сферическую поверхность с бесконечно малым радиусом ν и проведем прямые из точки M во все точки на границе dS. Поскольку возникший таким образом конус отсекает на сферической поверхности участок ν n−1 dσ, то верно соотношение dS cos u = k n−1 sinn−1 r , dσ k откуда и следует рассматриваемая теорема. Данная теорема приводит к распространению другой доказанной Гауссом теоремы (Werke, т. V, c. 224); такое распространение представлено г-ном Шерингом как третья теорема в его работе «Сила тяжести в многомерных гауссовых и римановых пространствах»4 . Притяжение, осуществляемое бесконечно тонкой однородной сферической оболочкой, для каждой внутренней точки равно нулю, а для каждой 4 Die Schwerkraft in mehrfach ausgedehnten Gaussischen und Riemannschen R¨ aumen, G o¨ ttinger Nachrichten, 1873, S. 154

50

В. КИЛЛИНГ

внешней точки велико настолько, как если бы вся масса была сконцентрирована в центральной точке. Непосредственно отсюда можно найти притяжение, осуществляемое любой однородной сферической оболочкой или шаром в некоторой точке. Если ϕ есть однородная функция второй степени от координат, а Ω имеет вышеуказанный смысл, то соотношениями ϕ + λ2 Ω = 0 k

и

ϕ=0

представленные фигуры должны определяться как подобные концентрические фигуры. Предположим, что в пространстве, заключенном между следующими двумя подобными бесконечно близкими эллипсоидами, масса распределена равномерно: x21 x2n 2 + . . . + α1 αn − x 0 = 0

x21 x2n 2 + . . . + α1 αn − x0 = 2 dτ.

и

Распределенная таким образом масса не производит никакого притяжения ни в одной из внутренних точек. Приведем доказательство, позволяющее получить несколько важных формул для эллипсоида. Плотность в точке x пропорциональна ψ dτ , где ψ есть синус расстояния между касательной плоскостью и центральной точкой, и выводится из формулы 2 2 2 1 = x1 + . . . + xn + x0 . ψ2 α21 α2n k2 Пусть притягивающая точка ξ удалена от точки x на расстояние r, а прямая r образует с нормалью в точке x угол ϕ; тогда x ξ

x ξ

cos ϕ =

x0 ξ0 − α1 11 − . . . − αnnn ψk sin r

.

k

Опишем вокруг точки ξ сферу с бесконечно малым радиусом ν и определим содержащий точку x элемент dS притягивающего тела на сфере как элемент ν n−1 dσ; тогда осуществляемое элементом dS притяжение пропорционально величине dσ dτ = ψ cos ϕ

k sin r dσ dτ

k . x 1 ξ1 x ξ x0 ξ0 − α1 − . . . − αn nn

МЕХАНИКА

51

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Как следует из полярных свойств эллипсоида, это выражение остается неизменным и в том случае, если вместо dS взять такой элемент, граница которого при соединении с ξ дает ту же самую коническую фигуру. Теорема, таким образом, доказана. Сопоставив такие точки на двух софокусных эллипсоидах, согласованных в n − 1 эллиптических координатах, мы подходим к следующей теореме: «Каждый софокусный эллипсоид является эквипотенциальной поверхностью по отношению к некоторому бесконечно тонкому слою, ограниченному какими-либо подобными эллипсоидами.» Форма, которую принимает потенциал для данного закона, и относящиеся к нему важнейшие законы уже представлены в упоминавшейся выше работе г-на Шеринга (G¨ottinger Nachr., 1873, с. 149–159). Функция w n (r) от расстояния r, на которую умножено произведение масс, различна для четных и нечетных n, и, например, для нечетных n имеет следующий вид: ctg r wn (r) =

k

(n − 2)k n−2

n−3 2 X

ν

0

n−5n−3 2ν + 2 2ν + 2 1 ; ... 2ν + 1 2ν + 1 n − 6 n − 4 sin2ν r

(31)

k

для четных же n > 2 она равна

n−3 wn (r) = 3 · 5 . . . 2 4 n−4 cos r +

k

(n − 2)k

n−2

sin r k 2

log



1 ctg r 2k 2k

(n − 2)k n−2

n−4 2 X 0

ν



+

2ν + 3 2ν + 5 n−3n−3 1 . (32) ... 2ν + 2 2ν + 4 n − 4 n − 4 sin2ν r

Отсюда следует потенциальная функция Z V = dm wn (r),

k

(33)

которую, принимая во внимание известные свойства, мы можем представить как однородную функцию нулевой степени от координат x 0 , x1 , . . . , xn и использовать для получения вторых частных дифференциальных коэффициентов первые дифференциальные коэффициенты как функцию минус первой степени от координат (под дифференциальными коэффициентами

52

В. КИЛЛИНГ

имеются в виду частные производные). Тогда имеем следующие составляющие силы: X0 = − ∂V , X1 = − ∂V , . . . , Xn = − ∂V . ∂x0 ∂x1 ∂xn В этом случае, если на каждом бесконечно малом участке пространства содержится лишь бесконечно малая масса, то потенциал и первые производные постоянно изменяются на всем пространстве. Дифференциальное же выражение, полученное согласно вышеприведенным положениям, выглядит следующим образом: 2 2 2 ∆V = 12 ∂ V2 + ∂ V2 + . . . + ∂ V2 = −˜ ω%, (34) k ∂x0 ∂x1 ∂xn где ω ˜ обозначает заданные выше коэффициенты, а % — плотность в точке x. Если масса сосредоточена внутри (n − 1)-мерной фигуры, то сам потенциал остается постоянным, но взятая по нормали производная изменяется, проходя через массивную фигуру на ω ˜ %. Если сосредоточение массы продолжается далее, то потенциал массы становится бесконечным; для (n − 2)-мерной фигуры, к примеру, он возрастает логарифмически. (Эти положения изложены г-ном Шерингом в теоремах V, VI и VII.) Что же касается доказательства, то можно, пожалуй, сначала доказать истинность формулы ∆V = 0 для точки, находящейся снаружи массы; этого можно достичь дифференцированием выражения, находящегося под знаком интеграла. Для общего доказательства формулы ∆V = −˜ ω % и для доказательства остальных теорем следует ограничиться бесконечно малой областью, где будут действительны законы евклидовых пространств. Прочие свойства потенциала основываются на теореме Грина (в работе Шеринга она представлена под номером восемь), которая при использовании принятых нами обозначений будет выглядеть следующим образом:  Z  1 ∂U ∂V + ∂U ∂V + . . . + ∂U ∂V dRn + ∂x1 ∂x1 ∂xn ∂xn k 2 ∂x0 ∂x0 Z Z + U ∆V dRn = U ∂V dRn−1 . (35) ∂N Здесь область пространства Rn односвязно включена в фигуру Rn−1 , дифференцирование функции ∂V направлено по внешней нормали, а ∆V ∂N имеет заданное выше значение; интегрирование производится слева по всей области пространства Rn , а справа — по всей границе Rn−1 . Доказательство данной теоремы, думается, может быть здесь опущено. Однако хотелось бы коротко остановиться на том, что положение, связываемое с этой теоремой Сомовым во втором томе его «Механики» (с. 147

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

53

в немецком издании), имеет место и здесь. Если через U обозначить плотность распределенной по области Rn массы, а через V — потенциал скорости, с которой движется каждая частица, то легко увидеть, что δ dRn = ∆V δt. dRn Таким образом, и левая, и правая части данного выше уравнения представляют собой изменение массы, а именно: первое выражение получается посредством рассмотрения каждого элемента, второе же — определением лишь тех, что находятся на границе входа и выхода. Соответственно свойства потенциала остаются неизменными. Поскольку перенос в высшей степени прост, оказывается достаточно указать те точки, в которых потенциал различен в евклидовых и неевклидовых пространствах. В евклидовых пространствах потенциал и сила на бесконечно большом удалении становятся равными нулю, и разложение в ряд по 1r содержит только положительные степени, для наименьших из которых коэффициенты могут быть указаны непосредственно. В неевклидовых пространствах эти положения теряют силу. В пространствах Лобачевского с нечетным количеством измерений потенциал в бесконечности становится равен массе, помноженной на известную постоянную. Если в некотором n-мерном евклидовом пространстве масса равномерно распределена на бесконечной ν-мерной плоскости, то для отдельной точки закон притяжения тот же, что действует на точку в некотором (n − ν)-мерном евклидовом пространстве. Согласно сделанным предположениям, в неевклидовых пространствах действуют совершенно иные законы притяжения.

§ 6. Бесконечно малое движение твердого тела5 Чтобы при бесконечно малом движении X X dx dxi k2 0 = µ0κ xκ , = µiκ xκ dt dt

(36)

5 Более подробно о движении твердого тела в пространствах постоянной кривизны можно ознакомиться по книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике», РХД, 1998, где приведенные ниже рассуждения В. Киллинга изложены с применением современных методов теории групп и алгебр Ли. Терминология этого раздела сильно устарела, но ее несложно понять, а за различными сложными формулировками легко можно увидеть известные формы линейной алгебры. — Прим. ред.

54

В. КИЛЛИНГ

расстояние между всеми точками оставалось неизменным, должны выполняться следующие условия: µii = 0,

µiκ + µκi = 0.

(37)

Тогда квадрат скорости точки x: 2

% =

x20 (µ210

+ . . . + µn0 ) +

x21

µ201 + µ221 + . . . + µ2n1 k2

!

+ . . .+

+ . . . + 2x0 x1 (µ20 µ21 + . . . + µn0 µn1 ) + . . . +   µ01 µ02 + µ µ + . . . + ... + . . . + 2x1 x2 31 32 k2

(38)

Все точки, обладающие такой скоростью, принадлежат некоторой поверхности второго порядка. Эта поверхность при движении смещается вдоль самой себя. Все фигуры такого рода имеют одни и те же центры и подобны друг другу. Задача установления природы этих фигур идентична задаче о нахождении максимумов и минимумов скорости; обе они ведут к определению простого делителя детерминанта: 



µ210 + . . . + µ2n0 − %2

µ20 µ21 + . . . + µn0 µn1 µ201 %2 µ20 µ21 + . . . + µn0 µn1 + µ221 + . . . + µ2n1 − 2 2 k k D= ... ... µ0n µ01 + µ2n µ21 + . . . µ1n µ10 + µ2n µ20 + . . . k2 























. . . µ10 µn1 + µ20 µ2n + . . . µ01 µ0n ... + µ21 µ2n + . . . k2 . ... ... 2 µ0n %2 ... + µ21n + . . . − 2 k2 k 























(39) Ниже приведен квадрат детерминанта: %i µ01 . . . µ0n µ 10 %i . . . µ k 1n k . ∆ = ... ... ... ... µn0 %i µ1n . . . k

(40)

k

Если теперь последние n горизонтальных рядов умножить на k, то для % = 0 мы получим кососимметрический детерминант. Из известных свойств последнего следует теорема, сформулированная сначала г-ном Жорданом для любых евклидовых пространств (Comptes rendus LXXV с. 1614),

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

55

и впервые доказанная для рассматриваемых нами типов пространства г-ном Бельтрами6 : «В пространстве с четным числом измерений всякое мгновенное движение представляет собой вращение вокруг некоторой точки; при нечетном количестве измерений ни одна точка, в общем и целом, не остается неподвижной, но как только точка становится неподвижной, возникает вращение вокруг прямой.» Эта теорема позволяет сделать важное обобщение, которое можно доказать, используя либо теоремы об обращении в нуль минора в кососимметрическом детерминанте, представленные г-ном Фробениусом, либо геометрически, повторным применением предыдущей теоремы. Это обобщение мы сформулируем в следующем виде: «Фигура, пребывающая в состоянии покоя при движении пространства с четным числом измерений, всегда имеет четное количество измерений: таким образом, как только помимо единственной точки (и диаметрально противоположной ей точки в римановом пространстве), пребывающей в состоянии покоя, появляется вторая неподвижная точка, то и все точки, находящиеся в данной двухмерной плоскости, становятся неподвижны; как только еще одна не принадлежащая такой плоскости точка оказывается неподвижна, то же состояние распространяется и на все остальные точки четырехмерной плоскости и т. д.» «Если пространство имеет нечетное число измерений, то же происходит и со всякой плоскостью, содержащей совокупность всех точек, пребывающих в состоянии покоя при движении; следовательно, в этом случае неподвижность одной точки означает и неподвижность прямой, которой принадлежит эта точка; если в состоянии покоя пребывает еще одна точка вне такой прямой, то и каждая точка данной трехмерной плоскости остается неподвижна и т. д.» Чтобы теперь более подробно рассмотреть движение, характеризуемое уравнениями (36) и (37), займемся сначала случаем, когда n нечетно, k 2 положительно, а значение % = 0 не удовлетворяет уравнению ∆ = 0. Тогда корни ∆ = 0 попарно равны по величине и противоположны по знаку, а уравнение D = 0 имеет только одну пару равных корней. С помощью преобразования системы координат можно изменить уравнение (38), придав ему следующий вид: %2 = a0 (k 2 x20 + x21 ) + a1 (x22 + x23 ) + . . . + a n−1 (x2n−1 + x2n ). 2 6 Darboux et Ho¨ uel Bullet. ser. 1, t. XI, p. 239. С самой работой я, к сожалению, не знаком — только с рефератом в «Успехах математики» (Fortschritten der Mathematik).

56

В. КИЛЛИНГ

Здесь a0 , a1 , . . . суть корни уравнения D = 0. Если эти корни отличны √ друг от друга, то скорость % = ai соответствует фигуре, которая может быть описана однородно по n − 1 координате. Такую фигуру я называю коническим построением с особыми прямыми. Коническая фигура, соответствующая наибольшей и наименьшей скорости, является мнимой до особой прямой и действительной для других корней. Все вышеизложенное позволяет сформулировать следующие теоремы: «В общем случае бесконечно малого движения конечного пространства n+1

с нечетным числом измерений n смещаются вдоль самих себя пря2 мых. Каждая из этих прямых ортогональна остальным и удалена от них на расстояние 1 kπ, и принадлежит, таким образом, их абсолютной полярной 2 фигуре; выбрав любую из таких прямых, можно выбрать вторую произвольную прямую на (n−2)-мерной плоскости, затем третью — на (n−4)-мерной плоскости и т. д. Точки, принадлежащие одной из этих прямых, обладают наибольшей скоростью, точки некоторой другой прямой движутся с наименьшей скоростью; скорость остальных точек ограничена этими пределами. Скорость точек какой-либо из этих промежуточных прямых, совпадает со скоростью точек квадратичного конического построения, для которого данная прямая является двойной. Если каждую точку объединить со всеми точками этой прямой, имеющими ту же скорость, то пространство можно разделить на подобные концентрические фигуры второго порядка; все эти фигуры будут обладать следующей особенностью: их центры будут составлять

n+1 прямых, смещающихся вдоль самих себя.» 2

«Всякое бесконечно малое движение складывается из

n+1 смещений 2

n+1

вдоль прямой (или, соответственно, из вращений вокруг (n − 2)-мер2 ной плоскости); эти прямые могут быть выбраны таким образом, что каждая будет принадлежать абсолютной полярной плоскости остальных.» «Всякое бесконечно малое движение может быть сложено из смещения вдоль прямой и вращения вдоль той же прямой, т. е. для возникновения такого рода движения прямая может быть выбрана

n+1 способами.» 2

Теперь предположим, что уравнение ∆ = 0 имеет только равные корни %2 . Можно было бы ожидать, что это требование приведет нас n+1

к уравнениям условий; но так как само уравнение ∆ = 0 является 2 условием максимума, то эти условия должны раскладываться на еще большее число условий. Я не хочу подробнее останавливаться на условиях, чис-

МЕХАНИКА

57

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

 2 n+1 n2 + 3 произволь−1, и выражать µiκ через ло которых равняется 2 4 но взятых величин. Так как уравнение D = 0 может, собственно, иметь только один корень, и этот корень обращает в нуль все его элементы, то мы получаем ряд условий, которые хотя и не зависят друг от друга, но позволяют легко вывести геометрические свойства рассматриваемого движения. (При желании получить формулы наипростейшим способом следует при выбоµ01 ре конкретных координат сократить все µiκ до , µ23 , µ45 , . . . , µn−1, n , k

и приравнять их друг к другу.) Прямой, связывающей точку x с ееPближайшим положением, принадлежат все точки с координатами αx i + β µiκ xκ , κ

если α и β удовлетворяют условию k 2 α2 + β 2 %2 = k 2 . При замене точки x другой точкой этой прямой связывающие µiκ уравнения указывают на то, что новая прямая совпадает с прежней; таким образом, через каждую точку пространства проходит одна прямая, движущаяся вдоль самой себя. Все эти прямые обладают одним важным свойством, присущим также параллельным прямым евклидова пространства. В то время как в общем случае для двух прямых в некотором конечном пространстве можно найти такие две прямые, которые пересекут их под прямым углом, причем оба эти расстояния будут различными, существует известный метод определения упомянутых расстояний, позволяющий отыскать для любых двух прямых данной системы два одинаковых корня. Однако при этом основания общих перпендикуляров не определяемы, и все прямые, опущенные из некоторой точки одной прямой к другой прямой, перпендикулярны первой прямой и совпадают друг с другом. Это свойство очень легко может быть подтверждено. Перенеся понятия угла и расстояния между двумя прямыми на конечные пространства, можно обозначить меньший из двух найденных общих перпендикуляров как расстояние, а больший, деленный на k, — как угол. Отсюда мы можем также сказать, для каких двух прямых системы расстояние будет равно углу, помноженному на k. Следовательно, тот тип движения, который я хотел бы определить как самосопряженный, можно охарактеризовать следующим образом: «Если уравнение ∆ = 0 имеет только одинаковые корни % 2 , то все точки пространства движутся по прямой с одинаковой скоростью. Через каждую точку пространства проходит прямая, которая смещается вдоль самой себя. При этом (n − 1)-мерная система таких прямых отличается от системы параллельных прямых в евклидовом пространстве тем, что никакие две из них не лежат в одной и той же двухмерной плоскости; в то же время между двумя рассматриваемыми системами имеется и сходство, и заключается оно в том, что между двумя прямыми (n − 1)-мерной си-

58

В. КИЛЛИНГ

стемы на всем их протяжении сохраняется одно и то же расстояние, и что через каждую точку одной прямой проходит такая прямая, которая перпендикулярна обеим прямым системы. Если же через одну из них провести двухмерную плоскость, то угол, под которым эта плоскость повернется вокруг прямой, окажется равным смещению вдоль этой прямой, деленному на k. Через две прямые системы проходит трехмерная плоскость, содержащая бесконечное множество самосопряженно движущихся двухмерных прямых: каждая проходящая через эту плоскость четырехмерная плоскость совершает вокруг самосопряженно движущейся трехмерной плоскости тот же поворот, какой совершает двухмерная плоскость вокруг аналогичным образом движущейся прямой. Множество прямых m системы определяет в общем случае (2m − 1)-мерную плоскость, и каждая проходящая сквозь эти плоскости 2m-мерная плоскость вращается со скоростью отдельных точек, деленной на k.» n+1

Теперь корней уравнения ∆ = 0 в группах по α, β, . . . корней 2 могли бы сравняться между собой, отделившись тем самым от всех прочих корней, причем ни один из этих корней не мог бы оказаться равным нулю. α-кратный корень соответствует скорости, которой обладают все точки, принадлежащие главной (2α−1)-мерной поверхности; через каждую точку этой фигуры проходит самосопряженно движущаяся прямая, и каждые две такие прямые расположены на всем их протяжении на одном и том же расстоянии друг от друга. Точно так же и (2β − 1)-мерная плоскость, принадлежащая абсолютной полярной плоскости первой, (2α − 1)-мерной, главной поверхности, движется со скоростью, которая соответствует β-кратному корню, и движение этой плоскости мы точно так же характеризуем как самосопряженное. То же верно и для всех остальных корней. Для находящейся в состоянии покоя главной поверхности движение в пространствах с четным и нечетным числом измерений отличается только количеством измерений покоящейся поверхности. Так для (n − 2m)-мерной поверхности, пребывающей в состоянии покоя, самосопряженно вращаться будет (2m)-мерная плоскость, касательная к данной поверхности в некоторой неподвижной точке. Всякая содержащаяся в этой плоскости (2m − 1)-мерная сферическая поверхность обладает свойствами риманова пространства, имея, таким образом, по меньшей мере m больших окружностей, движущихся самосопряженно. Если же уравнение ∆ = 0 кроме нулевых корней имеет кратные не обращающиеся в нуль корни, то в каждой точке пребывающей в состоянии покоя поверхности существует такая плоскость с кратным четным числом измерений, где скорость каждой отдельной точки зависит только от расстояния между этой

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

59

точкой и пребывающей в состоянии покоя поверхностью, и где через каждую точку проходит самосопряженно вращающаяся двухмерная плоскость. Следовательно, в общем случае движение пространства с четным количеством измерений состоит в том, что точка остается в покое, и через нее проходят n самосопряженно смещающихся двумерных плоскостей, при2 чем плоскости эти перпендикулярны друг другу. Если движущаяся точка удалена от неподвижной на расстояние r, и скорость ее равна kλ sin r , k

то существует n особых значений λ, наибольшее и наименьшее из ко2 торых принадлежит одной из названных плоскостей. В то время как общие значения λ принадлежат некоторой конической поверхности, вершиной которой является неподвижная точка, для стационарных значений λ такая фигура будет представлять собой двойную двухмерную плоскость. Следовательно, общий случай движения можно рассматривать как совокупность n частных случаев движения вдоль n перпендикулярных друг 2 2 другу и проходящих через одну и ту же точку двухмерных плоскостей: каждый из этих частных случаев описывает не только самосопряженный поворот двухмерной плоскости вокруг неподвижной точки, но и самосопряженное смещение трехмерной плоскости, проходящей через двухмерную плоскость, при этом каждая точка (n − 2)-мерной плоскости, перпендикулярной в точке вращения первой плоскости, остается неподвижной. Если уравнение ∆ = 0 кроме нулевого корня имеет кратные отличные от нуля корни, то существуют плоскости с четным количеством измерений, точка в которых остается неподвижной, и в которых через каждую точку проходит двухмерная самосопряженно вращающаяся плоскость. Представляется уместным подробнее рассмотреть систему таких плоскостей. В то время как в общем случае две двухмерные плоскости, имеющие общую точку, образуют друг с другом два угла, две плоскости, относящиеся к названной системе, в данных условиях дают единственный угол; величина этого угла является постоянной, так как он образован прямой, проведенной через общую точку на одной из двух плоскостей, и проекцией этой прямой на вторую плоскость. Все точки окружности, описанной вокруг общей точки на одной из плоскостей, равноудалены от второй плоскости, и основания перпендикуляров, опущенных из них на вторую плоскость, также составляют окружность. Для рассмотрения различных типов движения, возможных в n-мерном пространстве, существует, например, следующий способ:

60

В. КИЛЛИНГ n+1

«Если ни одна из поверхностей не покоится, то число следу2 ет представить в виде суммы целых чисел всеми возможными способами. Если результатом такого представления становится ряд α, β, . . ., то каждому его члену ставится в соответствие определенное положительное значение %α , %β , . . ., причем эти значения должны быть отличны друг от друга. Тогда скорость %α отвечает всем точкам самосопряженно движущейся (2α − 1)-мерной главной поверхности; все точки самосопряженно движущейся (2β − 1)-мерной главной поверхности будут, соответственно, иметь скорость %β и т. д. Тип движения каждой их таких фигур соответствует описанному выше.» «Если r-мерная главная поверхность пребывает в состоянии покоя, слеn−r

в дует опять-таки всеми возможными способами представить число 2 виде ряда чисел γ, δ, . . . и поставить каждому из них в соответствие особое значение скорости %γ , %δ , . . .. Тогда через каждую точку неподвижной фигуры проходит (2γ)-мерная плоскость, которая не только сама смещается самосопряженно, но и через каждую точку которой проходит самосопряженно движущаяся двухмерная плоскость; прочие значения определяют, соответственно, обладающие теми же свойствами плоскости, имеющие 2δ, . . . измерений.» Заслуживает внимания и следующая теорема: «Самосопряженно движущаяся плоскость с четным числом измерений не может существовать изолированно в пространстве с нечетным количеством измерений; она должна наряду с множеством подобных плоскостей принадлежать некоторой главной поверхности с нечетным количеством измерений, обладающей теми же свойствами. Точно так же все главные поверхности, положение которых при бесконечно малом движении пространства с четным числом измерений продолжает совпадать с исходным положением, могут быть присоединены к некоторому конечному числу таких же плоскостей, каждая из которых опять-таки имеет четное количество измерений.» На пространствах Лобачевского я подробно останавливаться не буду. Имея в виду, что всякое смещение вдоль некоторой ν-мерной плоскости может быть сведено к вращению вокруг ее полярной поверхности, то есть вокруг (n − ν − 1)-мерной плоскости, легко увидеть, каким образом должны быть изменены полученные ранее результаты. До сих пор в процессе доказательства мы пользовались тем, что при положительном k 2 каждый пучок подобных квадратичных поверхностей может быть представлен через n + 1 квадратов. Теперь обратим внимание и на те случаи, когда, согласно

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

61

г-ну Вейерштрассу (Berliner Monatsberichte, май 1868), пучок поверхностей можно представить при отрицательных k 2 . Для того, чтобы углубить характеристику бесконечно малого движения, можно также более тщательно изучить то особое отношение к прямым в пространстве, которое в новейших работах по трехмерному пространству оказывается столь плодотворным. Рассмотрим уравнение: X µiκ xi ξκ = 0,

где величина x задана, а ξ — переменная. Это уравнение описывает плоскости, которые в точке x перпендикулярны направлению движения этой точки. Однако если задать прямую координатами xi ξκ − xκ ξi , то обнаруживается, что любая из удовлетворяющих этому уравнению прямых перпендикулярна направлению движения каждой из принадлежащих им точек. Этот «комплекс прямых» полностью характеризует данное движение; он теснейшим образом связан с теорией сложения движений, а также со степенями свободы, принуждением и т. п. Именно здесь особенно важными оказываются также полярные свойства. Однако мы не будем подробнее останавливаться на этой теории. Теория сил, действующих на твердое тело, не значительно отличается от теории бесконечно малых движений. Допустим, на точки x (α) действуют силы X (α) ; выводя из принципа Даламбера уравнения движения, мы видим, что здесь существует зависимость не только от начального состояния, но и от

n(n + 1) величин: 2

Mκ0 =

X

Xκ x0 −

X0 xκ k2



,

Miκ =

X

(Xi xκ − Xκ xi ).

Эти величины обладают свойствами, обусловленными уравнением (37) для µiκ . Таким образом, для распределения сил в системе и для сложения этих сил действительны те же самые законы, что и для бесконечно малых движений. Работа, совершаемая системой сил M iκ при бесконечно малом движении µiκ , равна X µαβ Mαβ dt.

Отсюда получаем значение Miκ : M01 равно работе, совершенной данной системой сил при смещении тела с единичной скоростью вдоль оси x2 = x3 = . . . = xn = 0.

62

В. КИЛЛИНГ

§ 7. Теория момента инерции Прежде чем продвинуться дальше в исследовании движения твердого тела, остановимся на теории момента инерции. Момент точечной массы относительно некоторой главной поверхности я определяю как умноженное на k 2 произведение квадрата этой массы на синус расстояния до поверхности, деленного на k; далее я утверждаю, что момент системы должен быть равен сумме моментов отдельных точек. Пусть a0 , a1 , . . . , an суть координаты некоторой (n − 1)-мерной плоскости, и истинно равенство: a20 k2

+ a21 + . . . + a2n = 1;

если теперь через % обозначить расстояние от точки x до данной плоскости, то получим % k sin = a0 x0 + a1 x1 + . . . + an xn . k Далее, обозначим через r расстояние между точкой и некоторой (n − l)-мерной плоскостью и проведем через эту плоскость l перпендикулярных друг другу (n−1)-мерных плоскостей, расстояния же между точкой и полученными плоскостями обозначим через % 1 , . . . , %l ; тогда %1 %l sin2 r = sin2 + . . . + sin2 . k k k Умножим обе части полученного уравнения на k 2 m и выполним сложение относительно общей точечной массы; полученная в результате теорема звучит следующим образом: «Момент системы масс для некоторой (n − l)-мерной плоскости равен сумме моментов данной системы для l (n − 1)-мерных плоскостей, которые все без исключения проходят через (n − l)-мерную плоскость и перпендикулярны друг другу. Момент некоторой точки, в частности, равен сумме моментов относительно n(n − 1)-мерных плоскостей, проходящих через данную точку и перпендикулярных друг другу, но в остальном выбранных произвольно.» В свете изложенного представляется вполне уместным рассмотреть моменты инерции на (n − 1)-мерных плоскостях. Пусть точки x (α) обладают массой mα ; тогда момент инерции λ для плоскости a можно выразить следующим образом: X  2 (α) (α) λ= mα a0 x0 + a1 x1 + . . . + an x(α) . (41) n

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

63

Отсюда сразу следует несколько теорем, находящихся в теснейшей взаимосвязи с вышеприведенной; сформулируем их следующим образом: «Если каждая из n + 1 (n − 1)-мерных плоскостей перпендикулярна остальным n плоскостям, то сумма моментов некоторой системы масс относительно этих плоскостей равна общей массе, умноженной на k 2 .» «Момент массы относительно любой плоскости и момент той же массы относительно абсолютной полярной плоскости первой плоскости составляют в сумме общую массу, умноженную на k 2 .» При изменении в уравнении (41) значений a таким образом, что величина λ будет оставаться постоянной, плоскость окажется касательной к некоторой поверхности второго порядка. Та же фигура в случае λ = 0 соответствует мнимому отображению тела по Гессе. При переменной величине λ уравнению (41) соответствует множество софокусных поверхностей. Отсюда сформулируем следующую теорему: «Все (n − 1)-мерные плоскости, в которых данная система масс обладает одинаковым моментом инерции, соприкасаются с (n − 1)-мерными поверхностями второго порядка. Все фигуры, обладающие указанным свойством, образуют множество софокусных поверхностей.» Поскольку момент инерции не зависит от выбора системы координат, поверхность (41) можно связать с главной системой координат и представить в следующей форме: λ = A0 a20 + A1 a21 + . . . + An a2n .

(42)

Отсюда получаем следующие теоремы: «Для n + 1 плоскостей симметрии приведенных квадратичных поверхностей момент инерции принимает некоторые стационарные значения; наибольшее и наименьшее значения относятся каждое только к одной из этих плоскостей, все прочие стационарные значения принадлежат еще и касательным к (n − 2)-мерной поверхности плоскостям.» «В n + 1 центральных точках фигуры (42) масса может быть распределена таким образом, что момент этих n + 1 точечных масс относительно каждой (n − 1)-мерной плоскости и, следовательно, относительно каждой из главных поверхностей равен моменту данного тела.» Последняя теорема может быть развита в сочетании с теоремой г-на Рейе (Schl¨omilchs Zeitschrift, т. X; Journal f¨ur Mathematik, т. 72). Среди (n − 1)-мерных поверхностей, проходящих через одну и ту же точку, существует n таких, для которых момент инерции стационарен. Все эти поверхности расположены перпендикулярно друг другу и образуют плоскости симметрии для всех касательных конических фигур, какие только

64

В. КИЛЛИНГ

возможно построить к точке на поверхности (42). Из всех этих n стационарных моментов два только тогда могут быть равными друг другу, когда точка принадлежит фокальной поверхности множества. В этом случае моменты для всех плоскостей пучка, естественно, также будут равны. Кроме того, моменты могут оказаться и различными — если различны величины k 2 A0 , A1 , . . . , An . Если же рассматривать частный случай k 2 A0 = A1 = 2 = . . . = An = k M , где через M обозначена общая масса, то получаемое

n+1

значение соответствует моменту относительно каждой плоскости. Теория момента инерции относительно точек пространства складывается из всего вышесказанного согласно принципу взаимности. Вследствие этого все точки, для которых система масс обладает одинаковым моментом, принадлежат фигурам второго порядка. Все фигуры такого рода являются подобными и концентрическими. В центре одной из них момент принимает наибольшее значение, в центре другой — наименьшее; момент, соответствующий другой центральной точке, соответствует и всем прочим точкам, принадлежащим данной конической фигуре. Центры этих фигур второго порядка совпадают с центрами вышеназванных фигур; в евклидовом пространстве они выступают в роли центров масс. Мы называем их центрами инерции, а плоскости симметрии фигур второго порядка, соответственно, главными плоскостями инерции в данном пространстве. Для n точек на каждой (n − 1)-мерной плоскости момент инерции принимает свои стационарные значения, если плоскость не является касательной к конической фигуре, принадлежащей пучку подобных фигур. То же действительно и для любой плоскости с меньшим числом измерений. Эллипсоид инерции Пуансо может быть задан различными способами. Пусть дана некоторая r-мерная плоскость, и λ обозначает момент инерции (r + 1)-мерной плоскости, проходящей через данную; тогда из некоторой точки первой плоскости восстанавливается перпендикуляр, принадлежащий (r + 1)-мерной плоскости, и от основания полученного перпендикуляра откладывается такой отрезок a, что величина k sin a обратно проk

порциональна квадратному корню из λ. Такое построение выполняется для всех (r + 1)-мерных плоскостей, проходящих через данную r-мерную плоскость, так что основание перпендикуляра остается неизменным; конечные же точки полученных отрезков перпендикуляров принадлежат в этом случае некоторой поверхности второго порядка. Поскольку доказательства для различных значений r мало отличаются друг от друга, выберем r = 0 и определим тем самым момент инерции для всех прямых, проходящих через одну и ту же точку. Эту точку назначим цен-

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

65

тром координатной системы Вейерштрасса с координатами (1, 0, . . . , 0); через x1 , . . . , xn обозначим такие плоскости, для которых момент инерции принимает стационарные значения. Пусть ai обозначает косинус угла, образованного проходящей через данную точку (n − 1)-мерной плоскостью и плоскостью xi = 0; тогда момент инерции для данной плоскости равен A1 a21 + . . . + An a2n . Для прямой, проходящей через точку сечения и перпендикулярной данной плоскости, момент инерции равен разности моментов, действительных для точки и плоскости, то есть (A1 + . . . + An ) − (A1 a21 + . . . + An a2n ) =

= a21 (A2 + . . . + An ) + a22 (A1 + A3 + . . . + An ) + . . . + a2n (A1 + . . . + An−1 ). Таким образом, если на данной прямой отложить от центра отрезок r, конечная точка его будет определяться выражением xi = ai k sin r , k откуда непосредственно и вытекает теорема. Если отрезки бесконечно малы, то и сами они должны быть обратно пропорциональны квадратному корню из момента инерции. Теория момента инерции имеет смысл и в отношении живой силы, которая в известной степени зависит от положения самосопряженно движущихся главных фигур и от соотношения скоростей, с которыми эти фигуры движутся. Поэтому если задано некоторое движение, то мы, оставляя неизменным условие µαβ , допускаем, что сумма стационарных значений % 2 равна k 2 , то есть X X µ20κ + k 2 µ2iκ = k 2 .

Всякое движение, определяемое таким образом (и, соответственно, всякая система сил такого   рода) может рассматриваться как элемент некотоn(n + 1) рого − 1 -мерного пространства, а работа, совершаемая движе2

нием под влиянием некоторой системы сил, дает нам понятие расстояния. Тогда живая сила направлена точно так же, как момент инерции в подобных концентрических фигурах второго порядка, центры которых движутся известным образом. Смысл такого рассмотрения заключается в том, что общий случай ограниченной подвижности может быть представлен в очень простом виде. Я надеюсь, что приведенных указаний окажется достаточно для всякого, кто знаком с соответствующими исследованиями для n = 3.

66

В. КИЛЛИНГ

§ 8. О конечном движении твердого тела Очевидно, вышеприведенные формулы выиграли бы в простоте, если принять в качестве одной из координат такое значение kx 0 , которое в пространствах Лобачевского должно быть мнимым. Однако я полагаю уместным продолжить операции с действительными величинами, т. е. cos r , k sin r и т. д., при этом значение k 2 может быть и отрицательным. k

k

В дальнейшем мне хотелось бы как можно четче показать, что при k = ∞ наши формулы преобразуются в известные формулы евклидовой геометрии. Таким образом, я и дальше буду придерживаться коэффициента k 2 , хотя я мог бы с тем же успехои воспользоваться и известными формулами ортогональной подстановки. Представим себе две системы координат: одна из них жестко связана с движущимся телом, а вторая — так же жестко закреплена в пространстве; координаты первой системы будем обозначать через ξ, а координаты второй — через x. Тогда верны следующие уравнения: 

k 2 ξ0 = k 2 a00 x0 + a01 x1 + . . . + a0n xn , ξκ = aκ0 x0 + aκ1 x1 + . . . + aκn xn .

(43)

Составим и уравнения связей несмотря на их схожесть с уже известными:  2 2 k a00 + a210 + . . . + a2n0 = k 2 a200 + a201 + . . . + a20n = k 2 ,        a00 a0κ + a10 a1κ + . . . + an0 anκ =    = a00 aκ0 + a01 aκ1 + . . . + a0n aκn = 0, (44) a0i a0κ  + a1i a1κ + . . . + ani anκ =   2  k     a a   = i0 2κ0 + ai1 aκ1 + . . . + ain aκn = δiκ (т. е. 1 или 0). k Сначала докажем, что конечное положение, которого тело достигнет в результате движения какого-либо типа, всегда может быть достигнуто и в результате равномерного движения. В самом деле, доказательство для евклидова пространства, приводимое в диссертации г-на Шефера (Берлин, 1880), действительно также и для пространств с иным числом измерений; кроме того, доказательство можно вывести из работы г-на Розана, опубликованной в восьмидесятом томе этого журнала. Однако я все же приведу два других доказательства.

МЕХАНИКА

67

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Первое, которое я опишу очень кратко, основано на задаче о отыскании точек, координаты которых в конечном положении тела находятся в том же соотношении, что и в момент начала движения. Составим соответствующее выражение: ξi = ωxi ; теперь ω определяется уравнением a01 a0n a − ω ... 00 2 2 k k a10 a − ω . . . a 11 1n = 0. E (ω) = (45) ... . . . . . . . . . an0 an1 . . . ann − ω Полученное уравнение является возвратным. Сначала выделим корни ±1 и определим точки, пары которых не принадлежат обратным корням,

то есть находятся друг от друга на расстоянии, отличном от kπ . Если x и x0 2

суть обратные корни, то каждая точка с координатами ax + a 0 x0 , принадлежащая действительной области при условии 2αα 0 (k 2 x0 x00 + x1 x01 + . . . + + xn x0n ) = k 2 , перемещается в результате движения в точку с координата0

ми αωx + αω x0 , то есть принадлежащую той же прямой. Рассмотрев таким же образом кратные корни, мы легко можем доказать, что в двух положениях (начало и конец движения) известные главные поверхности совпадают, и выстроить на этом дальнейшее доказательство. Еще проще следующее доказательство. Очевидно, что k 2 x0 ξ 0 + x 1 ξ 1 + . . . + x n ξ n = = k 2 a00 x20 + a11 x21 + . . . + ann x2n + (a01 + a10 )x0 x1 + . . . = = k 2 a00 ξ02 + a11 ξ12 + . . . + ann ξn2 + (a01 + a10 )ξ0 ξ1 + . . . Детерминант вида k 2 a00 x20 + a11 x21 + . . . + ann x2n + (a01 + a10 )x0 x1 + . . . − σΩ 1 + ω2

равен квадрату детерминанта E(ω) при подстановке = 2σ. (Для ω получения этого произведения E(ω) следует умножить на детерминант, в котором вместо элементов a0i на k 2 делятся элементы ai0 .) Отсюда следует еще одна теорема: «Все точки, конечное положение которых удалено от начального на заданное расстояние, принадлежат некоторой квадратичной поверхности;

68

В. КИЛЛИНГ

в конечном положении всякая поверхность такого рода совпадает с самою собой в начальном положении. Все такие поверхности принадлежат некоторому пучку подобия; это пучки относятся к тому же типу, что и обладающие указанным свойством пучки, рассмотренные нами для случая бесконечно малого движения.» Теперь перейдем к определению того вида бесконечно малого движения, при котором характеристический пучок идентичен вышеописанному. Пусть при также кратных корнях уравнения E(ω) = 0 самосопряженно движущиеся прямые совпадают, а конические поверхности пучка имеют скорость %, которая соответствует действительному для той же конической % фигуры значению σ согласно отношению σ = cos . Продолжение такого k движения приведет тело в конечное положение. Чтобы получить дифференциальные уравнения движения твердого тела, на которое воздействуют какие-либо силы, разложим компоненты движения по осям, жестко связанным с телом, и составим следующие отношения:

тогда

  a00 da0i + a10 da1i + . . . + an0 dani = µ0i dt,  a0i da0κ + a1i da1κ + . . . + ani danκ = µiκ dt; k2

(46)

µαβ + µβα = 0. Момент инерции есть однородная функция второго порядка от величины µαβ и может быть вычислен умножением обеих частей уравнения (38) на 1 m и суммированием полученных значений для всех точек тела. Если ве2 личины Mαβ имеют указанный в конце шестого параграфа смысл, искомые уравнения можно записать в следующем виде:   X  ∂T d ∂T ∂T 1   + Mκ0 , µiκ − 2 µi0  dt ∂µ =  ∂µi0 ∂µiκ k κ0 i (47)     d ∂T = X µ ∂T − µ ∂T  + Miκ ,  αi ακ dt ∂µiκ ∂µακ ∂µαi α где в суммировании по α участвует и α = 0.7

7 Формализм этих уравнений, известных как уравнения Пуанкаре, развит в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева «Динамика твердого тела», Ижевск, РХД, 2001, где обсуждается также их гамильтонова формулировка, предложенная Н. Г. Четаевым.

МЕХАНИКА

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

69

Вздумай тело освободиться или вздумай определенные уравнения ограничить его подвижность, всегда найдутся линейные независимые друг от друга функции от µ, в которых T может быть представлена в виде суммы квадратов. Рассмотрим сначала случай отсутствия уравнения условия. Выберем главные плоскости инерции к связанным с телом координатным плоскостям. Поскольку живая сила T тогда предстает в виде отношения 2T =

µ201



A A0 + 21 k



 An +...+ A0 + 2 + k + µ212 (A1 + A2 ) + . . . + µ2n−1, n (An−1 + An ), µ20n



то уравнения движения принимают простую форму:  dµ  k 2 A − A1 k 2 Mκ0   κ0 = 2 0 (µ01 µκ1 + µ02 µκ2 + . . . + µ0n µκn ) + 2 ,  dt k A0 + A 1 k A0 + A 1    A − Ai µi0 µκ0 Miκ  dµiκ   = κ . + µ µ + . . . + µ µ i1 κ1 in κn + Aκ + A i Aκ + A i dt k2 (48) Проинтегрировать эти уравнения — даже для случая, когда все величины Mαβ обращаются в нуль, — мне до сих пор не удалось8 . Ряд интегралов находится с большей легкостью, да и при особых значениях отдельных постоянных интегрирования решение представляется достаточно простым. В рамках данной работы я все же не нахожу возможным углубляться в детали такого рода аналитических изысканий, а потому приведу здесь лишь те следствия из полученных уравнений, которые очевидны без дальнейших расчетов. Сразу зададимся вопросом о том, когда же движение является равномерным, то есть каким образом должно быть задано движение, чтобы твердое тело, предоставленное самому себе, продолжало бы двигаться. Такое движение становится возможным при условии, что первые производные величины µαβ при t = 0 обращаются в нуль, поскольку тогда производные более высокого порядка, являющиеся однородными линейными функциями первых производных, также все без исключения обращаются в нуль. Рассматривая случай, когда все главные моменты инерции отличны друг от друга, мы сопоставляем правые части уравнений (48) с уравнением (38), и в результате приходим к следующей формулировке: 8 Здесь В. Киллинг ставит известную проблему об интегрируемости уравнений движения n-мерного твердого тела. Она была решена лишь в XX веке (С. В. Манаков) с использованием представления уравнений движения в форме Лакса (коммутационное представление).

70

В. КИЛЛИНГ

«Для некоторого заданного начального движения твердого тела, все главные моменты инерции которого отличны друг от друга, можно отыскать прямые, движущиеся самосопряженно; если одна из таких прямых проходит через все центры инерции тела, начавшего движение, то данное тело будет продолжать именно этот тип движения до тех пор, пока внешние силы не приведут к его изменению.» Можно сформулировать теорему и иначе: «Могут быть установлены пучки подобных фигур, определяемые начальным положением тела; если центры тяжести тела являются в то же время и центрами этих фигур, тело продолжает начальное движение.» Представляется уместным применить эту теорему к различным типам бесконечно малого движения, описанным в предпоследнем параграфе; в результате мы получаем следующие теоремы: В пространстве с нечетным числом измерений при отсутствии внешних сил равномерное движение твердого тела, обладающего неравными моментами инерции, может продолжаться только в том случае, если кажn+1

дая из самосопряженно движущихся прямых содержит два центра 2 инерции. Если уравнение ∆ = 0 не имеет нулевого корня, однако корни разделяются на группы, схожие с группами α, β, . . . (например, % 2α , %2β , . . .), то плоскость, движущаяся со скоростью %α , должна содержать 2α центров инерции, и точно так же главная фигура, все точки которой обладают скоростью %β , должна содержать 2β таких точек и т. д. Если движение является самосопряженным, то при исчезновении внешних сил оно будет продолжаться равномерно. Если движение равномерно продолжается в пространстве с четным числом измерений, то центр инерции пребывает в состоянии покоя; это условие является также достаточным, но только в том случае, если движение, при котором абсолютная полярная плоскость покоящейся точки движется самосопряженно, само является самосопряженным, или, иными словами, если через каждую точку тела проходит двухмерная плоскость, движущаяся самосопряженно. Чтобы в пространстве с четным количеством измерений продолжалось некое универсальное движение, n движущихся центров инерции должны попарно принадлежать некоторой самосопряженно движущейся прямой. Вообще, если при движении покоящаяся фигура обладает r измерениями, и уравнение ∆ = 0 имеет, кроме того, равные корни % 2 , составляющие группы по γ, δ, . . . корней, то r + 1 центров инерции должны пребывать в состоянии покоя, 2γ центров инерции должны двигаться прямолинейно

МЕХАНИКА

71

В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

со скоростью %γ , а 2δ центров инерции, соответственно, со скоростью % δ и т. д. Заслуживает внимания и то обстоятельство, что хотя самосопряженное движение и является более универсальным типом движения, нежели параллельное смещение в евклидовом пространстве, оно обладает все же всеми характерными свойствами последнего. В равной степени следует обратить внимание и на то, что ни в пространстве Лобачевского, ни в конечных пространствах с четным числом измерений (чуть ниже мы рассмотрим одно исключение из этого правила) не существует движения, которое бы равномерно продолжалось при абсолютно любом положении твердого тела, как это происходит при параллельном смещении в любом евклидовом пространстве или при самосопряженном движении в конечном пространстве с нечетным числом измерений. Если главные моменты инерции раскладываются на равные группы по ε, ζ, . . . корней, то существует некоторая (ε − 1)-мерная плоскость, каждая точка которой является центром инерции и т. д. Тогда в уравнении (48) при обращении в нуль при t = 0 каждой производной

dµi dt 

и при отлич-

ных друг от друга α и β в уравнении (38) коэффициенты тех x α xβ , для которых Aα и Aβ принадлежат одной и той же группе, уже не обращаются в нуль. Таким образом, правую часть уравнения (38) можно разделить на группы, одна из которых будет содержать только ε переменных, вторая — только ζ переменных и т. д. Итак, условие, при выполнении которого становится возможным продолжение движения, состоит в том, что каждой (ε − 1)-мерной главной поверхности, содержащей одни лишь центры инерции, принадлежит ε точек, движущихся прямолинейно. Наконец, в том случае, когда все моменты инерции равны, любое движение твердого тела продолжается до тех пор, пока внешние силы не приведут к его изменению. Теперь, когда рассматриваемый вопрос полностью исчерпан, следует упомянуть о нескольких условиях, при которых любое продолжение движения относится к тому же (линейному) типу движения. В этой связи верна общая теорема: «Если начальное движение тела включает в себя самосопряженное движение плоскости (прямой или точки), симметричное мнимому отображению тела (а значит, и каждой софокусной ему фигуре), то в отсутствие внешних сил продолжение данного движения сохранит свойства, характерные для начального движения.» Таким образом, если в начале движения центр инерции пребывает в состоянии покоя, то движение будет состоять из постоянного вращения вокруг

72

В. КИЛЛИНГ

одной точки; если прямая, соединяющая два центра инерции, при начале движения движется самосопряженно, то в дальнейшем при продолжении движения положение этой прямой будет всегда совпадать с ее начальным положением. С последней теоремой теснейшим образом связано следующее положение. Если сила, воздействующая на тело, удерживает одну из обозначенных плоскостей в положении, совпадающем с ее начальным положением, то в отсутствие внешних сил движение остается в точности таким, каким оно было бы, будь тело свободно, и поставленному условию должно удовлетворять лишь начальное движение. Важнейшим среди различных типов не вполне свободного движения является вращение вокруг некоторой точки. Выберем центр координатной системы Вейерштрасса в точке с координатами (1, 0, . . . , 0) и стационарные плоскости инерции точки к плоскостям x1 , . . . , xn . Теперь рассмотрим движение, определяемое уравнениями (48), если все µ κ0 и Mκ0 принять равным нулю, при этом под Aκ понимаются уже не главные моменты инерции, а стационарные значения, принимаемые ими для проходящих через неподвижную точку плоскостей. Уравнения движения сохраняют прежнюю форму и при любых других воздействиях на тело; изменяются лишь значения µαβ и Mαβ . Браунсберг, январь 1884. Дополнение. Только после окончания работы над этой статьей мне удалось ознакомиться с работой Клиффорда «О свободном движении жесткой системы в n-мерном гомалоиде в отсутствие внешних сил» 9 . Уравнения (48) разработаны в ней уже для движущихся в конечных пространствах тел в отсутствие внешних сил. Однако когда Клиффорд утверждает, что эти уравнения могут быть проинтегрированы в простых ϑ-функциях, он забывает упомянуть о том, что такое решение возможно только при определенных начальных условиях и не обладает универсальным характером. Браунсберг, октябрь 1884.

9 On the free motion under no forces of a rigid system in an n-fold Homaloid (Proc. of the London Math. Soc. VIII. 67).

4 О движении под действием центральной силы в неевклидовой геометрии1 Г. Либман (1874–1939) 1. Теорема Бертрана. В 1873 году Ж. Бертран2 доказал следующую теорему: Существует только два закона притяжения, при которых траектория точки P , движущейся вокруг неподвижной точки O (при условии, что координаты начального положения точки и компоненты ее начальной скорости не пропорциональны3 ), является замкнутой. Бертран построил доказательство следующим образом. Динамическая задача становится чисто аналитической, если применить закон площадей и интеграл живой силы. Пусть функция ψ (z) определена так, что решения дифференциального уравнения  2  ψ(z) = K 2 d z2 + z (1) dϕ будут периодическими функциями от ϕ с периодом 2π. Тогда получаем, что ψ (z) может иметь только два значения A , ψ (z) = (2) 1/m2 −1 z где m = 1 или m = 1 . 2

1 Heinrich Liebmann, Uber ¨ die Zantralbewegung in der nichteuklidische Geometrie. Leipzig Berichte, 1903, Vol. 55, p. 146–153. Перевод с немецкого А. Р. Логунова. 2 J. Bertrand, Th´ eor`eme relatif au mouvement d’un point attir´e vers un centre fixe. Comptes rendus de l’A. des S. LXXVII, 1873, p. 849–853. 3 Данное условие исключает прямолинейные движения и соударения. — Прим. ред.

74

Г. ЛИБМАН

Значению m = 1 соответствует случай, когда сила притяжения прямо 2 пропорциональна расстоянию OP (случай упругого притяжения), а точка P движется по эллипсу, центром которого является точка O, то есть всегда по замкнутой кривой. Значение же m = 1 дает закон притяжения Ньютона; при движении по этому закону кривые траекторий опять-таки замкнуты (если только касательные компоненты скорости не слишком велики в сравнении с силой притяжения). Данная работа посвящена рассмотрению той же задачи для неевклидовой геометрии — как гиперболической (Гаусс, Больяи, Лобачевский), так и сферической (Риман) — и, поскольку оно пока еще не изучено, исследованию движения под действием соответствующих таким пространствам законов притяжения. Исследование показывает, что получаемые результаты во многом совпадают с результатами для евклидовой геометрии. 2. Определение законов притяжения для гиперболической геометрии. Введем на гиперболической плоскости полярные координаты (r, ϕ) и обозначим точку начала координат через O. Тогда интеграл живой силы 4 можно записать следующим образом: 

dr dt

2

2

+ sh r



dϕ dt

2

+ 2V = h.

(3)

Через sh r здесь (и далее, соответственно, ch r, th r, cth r) обозначены гиперболические функции радиус-вектора r = OP . Теперь сформулируем задачу так, чтобы она стала подобна представленному Бертраном случаю для евклидова пространства. Уравнения Лагранжа принимают следующий вид:  2 d2 r − sh r ch r dϕ = − dV = −f (r), dt dr dt2   d sh2 r dϕ = 0. dt dt

(4)

В первом уравнении f (r) — это сила, с которой P притягивается точкой O; из второго следует первый интеграл, соответствующий закону площадей 4 Ср. с § 10 моей работы «Конические сечения и движение планет в неевклидовом пространстве» (Die Kegelschnitte und die Planetenbewegung im nichteuklidischen Raum. Leipzig, Berichte, 1902, S. 393–423).

О

ДВИЖЕНИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ

75

обычной механики:

dϕ = K. dt Теперь при помощи этого интеграла исключим из первого уравнения (4) время t. Получим sh2 r

dr = dr dϕ = dr K = −K d cth r dt dϕ dt dϕ sh r dϕ d2 r = − K 2 d2 cth r ; dt2 sh2 r dϕ2 после этой подстановки первое уравнение (4) принимает вид ! 2 ch r ch r d cth r 1 2 = −f (r). −K · 2 + dϕ2 sh r sh4 r Положим

(40 )

cth r = z 2

sh rf (r) = ψ (z), тогда (4 ) принимает вид 0

ψ (z) = K

2

d2 z + z dϕ2

!

.

(I)

Теперь мы можем сделать вывод: чтобы траектории оказались замкнутыми, величина r (равно как и z) должна быть периодической функцией от ϕ с периодом 2π. Однако это, согласно Бертрану, возможно только тогда, когда ϕ (z) = A или ϕ (z) = Az −3 . Случай ϕ (z) = A дает

f (r) =

A ; sh2 r

sh2 rf (r) = A,   Z 1 . V = f (r) dr = A − th r

При ϕ (z) = Az −3 имеем 3 sh2 rf (r) = A sh3 r , то есть ch r Z A sh r f (r) = ; V = f (r) dr = A th2 r. 2 ch3 r

76

Г. ЛИБМАН

В обоих случаях A должна быть положительной постоянной, так как функция f (r) описывает притягивающую силу. Первый случай приводит нас к движению планет в гиперболической геометрии, которое, действительно, совершенно подобно таковому в евклидовом пространстве. Здесь траекториями также являются только конические сечения, фокус которых находится в точке O.5 Второй случай рассмотрим подробнее. 3. Траектории в случае упругого притяжения в гиперболическом пространстве. Закон притяжения f (r) = A sh r/ ch3 r, преобразуемый на границе перехода к евклидовой геометрии к виду f (r) = Ar, мы назовем «законом упругого притяжения» и при определении движения будем устанавливать только траектории. (Что до времени протекания процесса, то оно определяется затем из закона площадей.) Вновь исключив время t из интеграла живой силы (3), получим !  2 d cth r 1 K2 + A th2 r = h. (30 ) + 2 dϕ sh r Снова произведя подстановку cth r = z,

то есть

1 = cth2 r − 1 = z 2 − 1, sh2 r получим K или



2

dz dϕ

2

2

+z −1

!

+ A2 = h z

(300 )

 h + z − z 1 + 2 + A2 = 0. K K Чтобы перейти отсюда к решению дифференциального уравнения (3 00 ), заметим, что er + e−r z= r > 1, e − e−r z dz dϕ

2



4

2



5 Орбиты такого рода — как я несколько запоздало узнал благодаря г-ну профессору Штекелю — уже неоднократно исследовались, однако, пожалуй, не настолько подробно и без учета вырождений, рассматриваемых мною в уже упоминавшейся моей работе (§§ 9, 3 и 4). См. список литературы, предложенной П. Штекелем в посвященном столетию со дня рождения Я. Больяи юбилейном сборнике Университета Клаузенбурга (1902) «De ea mechanicae analyticae parte, quae ad varietates complurium dimensionum spectat».

О

ДВИЖЕНИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ

77

а следовательно, положительно и h в уравнении (3 00 ), поскольку постоянная A также положительна. Запишем (300 ) в виде    2  2 2 z dz + z 2 − 1 1 + h2 + A2 − 1 1 + h2 = 0, 2 4 dϕ K K K

откуда получим

A −1 4 K2



1 + h2 K

2

< 0.

Оба корня уравнения в переменных z 2   h 4 2 z − z 1 + 2 + A2 = 0, K K а именно:     s 2 z 2 = 1  1 + h2 ± 1 + h2 − 4A2  , 2 K K K

являются, таким образом, действительными и положительными. Следовательно, уравнение (30 ) может быть записано в виде 2  dz z + (z 2 − a2 )(z 2 − b2 ) = 0, dϕ где a2 и b2 — действительные положительные числа. Отсюда интегрированием получим z 2 = a2 cos2 (ϕ − ϕ0 ) + b2 sin2 (ϕ − ϕ0 ),

(5)

где ϕ0 есть постоянная интегрирования. 4. Анализ форм траекторий в случае упругого притяжения в гиперболическом пространстве. Чтобы теперь исследовать образ траекторий, положим для простоты ϕ0 = 0. Поскольку z 2 к тому же всегда больше единицы, то по крайней мере одна из двух величин a 2 и b2 (скажем, b2 ) больше единицы, так как z 2 располагается между a2 и b2 . Рассмотрим траектории, которые получаются из z 2 = a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ, если при фиксированном значении b изменять величину a.

78

Г. ЛИБМАН

Введем координаты Вейерштрасса6 : p = ch r,

x = sh r cos ϕ,

y = sh r sin ϕ;

с учетом значения z (= cth r) уравнение принимает вид p 2 = a 2 x2 + b 2 y 2 , а это означает, что траектория представляет собой коническое сечение 7 . Следует отметить и то, что при a > 1 получаем эллипс 8 , т. е. имеющую центр кривую второго порядка, полностью лежащую в конечной области (z > 1). При a < 1 имеем гиперболу второго рода9, которая при a = 0 переходит в прямую. В самом деле, при a = 0 уравнение принимает вид ch r = b sh r sin ϕ, то есть является линейным и однородным в координатах Вейерштрасса и, таким образом, описывает прямую10 . Это согласуется и с тем, что при a = 0 необходимо (см. уравнение (3)), чтобы нулю была равна и постоянная A. Притягивающая сила, таким образом, становится равной нулю, то есть P должна в этом случае двигаться по прямой. Наконец, при a = 1 получаем равноудаленную линию, средней линией которой является прямая ϕ = 0; уравнение в этом случае принимает вид ch2 r = sh2 r cos2 ϕ + b2 sh2 r sin2 ϕ или то есть

sh2 r sin2 ϕ(b2 − 1) = 1, y = sh r sin ϕ = √ 1 = const. b2 − 1

Еще раз коротко подведем итог: В евклидовой геометрии вследствие упругого притяжения f (r) = Ar (A > 0) возникает движение по эллиптической орбите вокруг центральной точки O (то есть всегда по замкнутой 6 См. W. Killing. Die nichteuklidischen Raumformen in analytischer Behandlung. Leipzig, 1885. С. 19. 7 Там же, с. 37–46. 8 Там же, с. 37–46. 9 Там же, с. 37–46. 10 Там же, с. 20.

О

ДВИЖЕНИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ

79

траектории), тогда как в гиперболической геометрии точка P при соответствующем законе притяжения f (r) = A sh r/ ch3 r хотя и движется по коническому сечению, центр которого находится в точке C, однако такое коническое сечение отнюдь не всегда является эллипсом. Итак, в гиперболической геометрии не существует такого закона притяжения, под воздействием которого всегда возникают замкнутые траектории, вне зависимости от начального положения и начальной скорости. 5. Задача Бертрана в сферической геометрии. Обозначим географическую широту точки, лежащей на сфере единичного радиуса, через r, а долготу — через ϕ; тогда элемент дуги равен ds2 = dr2 + sin2 r dϕ2 , а решение, совершенно параллельное тому, что представлено в разделе 3, — нужно всего лишь заменить все гиперболические функции соответствующими тригонометрическими, — дает оба закона притяжения:   r A tg3 r . f (r) = A2 V = (V = −A ctg r); f (r) = A sin 2 cos3 r sin r

Первый из полученных законов притяжения снова дает движение, соответствующее одному из видов планетного движения 11 ; второй закон дает для определения траекторий следующее дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (300 ): !  2 du + 1 + u2 + A2 = h, K2 (A > 0, h > 0), dϕ u где u = ctg r. Отсюда 

u du dϕ

2

4

+u +u

2



1 − h2 K



+ A2 = 0. K

Запишем (см. (3)) это уравнение в виде 2     2  + A2 − 1 1 − h2 + u2 + 1 1 − h2 = 0, u du 2 4 dϕ K K K 11 См. C. Neumann. Ausdehnung der Kepplerschen Gesetze auf den Fall, daß die Bewegung auf einer Kugel stattfindet (настоящие «Отчеты», № 38, 1886, с. 1, 2). Данные здесь без доказательства теоремы я доказываю в § 8 уже названной выше своей работы.

80

Г. ЛИБМАН

откуда ясно, что

 2 A − 1 1− h < 0. 4 K2 K2 Наконец, уравнение принимает вид  2 du u + (u2 − α)(u2 − β) = 0, dϕ где





α= 1 1− 2   1  β= 1− 2

h K2



h K2



+

−

s s

1 − h2 K

2

1 − h2 K

2



− 4A2  , K  − 4A2  ; K

тогда по крайней мере одна из двух действительных величин α и β должна быть положительной, поскольку положительной величина u2 = α cos2 (ϕ − ϕ0 ) + β sin2 (ϕ − ϕ0 ),

а она находится между α и β. Поскольку при A > 0

то верно и то, что

s 2 h 1 − h > − 4A2 , 1− 2 K2 K K 

1 − h2 K а значит, положительны и α, и β. Следовательно, можно положить α = a2 ,



> 0,

β = b2 ,

причем a и b здесь являются действительными величинами. Введем теперь прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с центром сферы, то есть положим, что x = sin r cos(ϕ − ϕ0 ), y = sin r sin(ϕ − ϕ0 ), z = cos r;

О

ДВИЖЕНИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ

81

тогда уравнение для траектории будет выглядеть так: z 2 = a 2 x2 + b 2 y 2 , причем

x2 + y 2 + z 2 = 1.

Таким образом, траектория точки P , притягиваемой центром O с силой r f (r) = A sin (где r = OP ), cos3 r является эллипсом на сфере с центром O. Итак, в евклидовой геометрии закон упругого притяжения всегда дает замкнутую траекторию, равно как и ньютонов закон притяжения; коль скоро начальная скорость точки P не слишком велика, оба соответствующие закона притяжения (f (r) = A sin r/ cos3 r и f (r) = A/ sin2 r) в сферической геометрии всегда обусловливают возникновение замкнутых траекторий. В гиперболической геометрии (см. разделы 3 и 4) различие в действии законов притяжения (f (r) = A sh r/ ch3 r и f (r) = A/ sh2 r) обусловлено начальными скоростями. Однако во всех трех геометриях траектории представляют собой конические сечения, причем в одном случае центром притяжения является фокус, а в другом — центр. Подписано в печать 26.05.1903.

5 Об одной задаче механики1 Г. Дарбу (1842–1917)

В своем «Мемуаре о некоторых наиболее простых формах, которые могут принимать интегралы дифференциальных уравнений движения материальной точки», опубликованной в 1857 году в лиувиллевском «Журнале чистой и прикладной математики», Жозеф Бертран приступил к изучению одного вопроса из области механики, вопроса, которого никто ранее него не ставил. Он отмечает, что если мы знаем один из интегралов в какойнибудь задаче механики, о которой известно только то, что силы в ней зависят единственно от координат точек приложения, но не зависят от скоростей этих точек, то мы можем выяснить, что это за задача, и определить составляющие силы, воздействующей на каждую точку. Правда, интеграл, который предполагается известным, нельзя выбирать случайно, он должен удовлетворять некоторым условиям. Чтобы найти эти условия, Бертран предполагает, что интеграл имеет некоторую определенную форму, например, является функцией, целой или рациональной по отношению к скоростям. Мы знаем, насколько плодотворной оказалась эта идея и к какому прогрессу привела она, например, в теории геодезических. В своем мемуаре Бертран удовольствовался ее применением к движению материальной точки на плоскости, он последовательно изучал случаи, когда известный по предположению интеграл является целой функцией первой, второй или третьей степени относительно скоростей или же представляет собой дробь, обе части которой имеют первую степень относительно составляющих скорости. 1 Gaston Darboux, Sur un probl´ eme de m´ecanique. Archives N´eerlandaises de Sciences, 1901, Ser. 2, Vol. VI, p. 371–376. Перевод с французского В. В. Шуликовской.

84

ГАСТОН ДАРБУ

В том случае, когда известный по предположению интеграл является целым и имеет вторую степень относительно скоростей, Бертран только намечает решение и сводит его к анализу одного линейного уравнения в частных производных, общий интеграл которого у него не приводится. Именно к этому особому моменту в его исследованиях я хочу вернуться сегодня. Пусть даны дифференциальные уравнения движения d2 x = X, dt2

d2 y = Y, dt2

(1)

где X и Y зависят единственно от x и y; предположим, что данная задача механики имеет один из интегралов вида P x02 + Qx0 y 0 + Ry 02 + Sy 0 + T x0 + K = const, где x0 , y 0 обозначают составляющие скорости, а P , Q, R, S, T , K — произвольные функции от x и y. Бертран легко устанавливает, что если оставить в стороне случай центральной силы, то предыдущий интеграл можно привести к виду a(yx0 − xy 0 )2 + (bx0 + b0 y 0 )(yx0 − xy 0 )+

+ cx02 + c0 y 02 + c1 x0 y 0 + K = const,

(2)

где a, b, b0 , c, c0 , c1 обозначают произвольные константы. Затем предполагая, что у нас есть силовая функция, то есть что X = ∂V , ∂x

Y = ∂V , ∂y

(3)

он показывает, что функция V должна удовлетворять следующему уравнению ! ∂ 2 V − ∂ 2 V (2axy + by + b0 x − c )+ 1 ∂x2 ∂y 2 2 + 2 ∂ V (ay 2 − ax2 + by − b0 x + c − c0 )+ ∂x∂y

+ ∂V (6ay + 3b) + ∂V (−6ax − 3b) = 0, ∂x ∂y то есть линейному уравнению в частных производных второго порядка.

(4)

ОБ

ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МЕХАНИКИ

85

Бертран ограничивается поиском решений, имеющих вид Φ[(x − α)2 + (y − β)2 ], получая таким образом результаты, приводившиеся Эйлером и Лагранжем в связи с задачей о двух неподвижных центрах, которые притягивают материальную точку в соответствии с законом Ньютона. Сейчас я собираюсь показать, что мы можем полностью проинтегрировать уравнение (4). Но для начала я упрощу это уравнение. Для этого сперва заметим, что, отбрасывая частный случай, когда константа a равна нулю, мы всегда можем сместить оси координат так, чтобы привести данный интеграл второго порядка (2) к более простому виду 1 (xy 0 − yx0 )2 + cx02 + c0 y 02 + K = const, 2

(5)

то есть перейти к предположению a = 1, 2

b = b0 = c1 = 0.

Если мы после этого заменим c − c0 на 2c2 , то уравнение (4) станет намного проще ! 2 2 2 ∂ V ∂ V xy − + 2 ∂ V (y 2 − x2 + 2c2 ) + 3y ∂V − 3x ∂V = 0. (6) 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y Прежде чем его интегрировать, составим характеристическое дифференциальное уравнение xy(dy 2 − dx2 ) + dx dy(x2 − y 2 − 2c2 ) = 0.

(7)

Если в этом уравнении взять в качестве новых переменных x 2 и y 2 , то оно превращается в уравнение Клеро. С помощью элементарных преобразований можно понять, что его общий интеграл равен (m + 1)(mx2 − y 2 ) − c2 m = 0, где m обозначает произвольную постоянную. После очень простого изменения в обозначениях можно записать этот интеграл в виде 2 x2 + y = 1, α2 α2 − c 2

(8)

86

ГАСТОН ДАРБУ

где произвольная постоянная теперь обозначается α. Эта новая форма записи делает очевидным тот интересный факт, что характеристические кривые уравнения в частных производных образуют два семейства гомофокальных конических кривых. Итак, взяв за новые переменные α и β параметры гомофокальных эллипсов и гипербол, мы, как известно, получим αβ x= c ,

p y = 1c (α2 − c2 )(c2 − β 2 ),

(9)

и можно будет убедится, что уравнение, которое мы хотим проинтегрировать, примет более простой вид ∂ 2 V + A ∂V + B ∂V = 0, ∂α∂β ∂α ∂β

(10)

где A и B будут определенными функциями от α и β. Мы могли бы вычислить их, проведя не слишком сложную замену переменных. Но чтобы избежать вычислений, заметим, что уравнение для V допускает частные решения 1, 1. x2 + y 2 , x2 y2 Получаем, например, x2 + y 2 = α 2 + β 2 − c 2 , Итак, достаточно написать, что α2 + β 2 и

1 = c2 . x2 α2 β 2 1 — это решения уравнеα2 β 2

ния (10), и мы получим два уравнения, позволяющие найти A и B. Таким образом, оказывается, что уравнение, которому должна удовлетворять функция V , окончательно принимает вид 2 (β 2 − α2 ) ∂ V + 2β ∂V + 2α ∂V = 0, ∂α∂β ∂α ∂β

сразу допускающий интегрирование, которое дает нам V (α2 − β 2 ) = f (α) − Φ(β).

(11)

ОБ

ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МЕХАНИКИ

87

Итак, для V имеем следующее значение V =

f (α) − Φ(β) , α2 − β 2

(12)

приведенное Лиувиллем в его прекрасном «Мемуаре о некоторых частных случаях, когда дифференциальные уравнения движения материальной точки допускают интегрирование», и мы, таким образом, видим непосредственно, что если оставить в стороне частные случаи, опущенные Бертраном, то силовая функция, записанная в этом виде, — единственная, для которой имеется интеграл второй степени относительно скоростей. Лиувилль отметил, что формула (12) включает как частный случай следующее значение V : 0 0 + B0 + Cρ2 , V = A2 + A2 + B r r x y

где A, A0 , B, B 0 , C — константы, r, r 0 , ρ обозначают соответственно расстояния до двух фокусов и до общего центра гомофокальных эллипсов. Это выражение для V соответствует случаю, когда материальная точка подвергается: 1) двум воздействиям, нормальным относительно осей координат и по величине обратным кубу расстояний до этих осей, 2) воздействию со стороны двух неподвижных центров, помещенных в два фокуса и действующих в соответствии с законом Ньютона, 3) воздействию со стороны одного неподвижного центра, помещенного в общий центр гомофокальных фокусов и действующего с силой, пропорциональной расстоянию. Я не знаю, отмечалось ли ранее, что ко всем этим воздействиям можно присоединить два других, исходящих из мнимых фокусов данных эллипсов и также действующих в соответствии с законом Ньютона. Координаты этих двух фокусов задаются формулами x = 0,

y = ±ci.

Если обозначить через r1 , r10 расстояния до этих двух мнимых фокусов, то мы сможем взять в качестве V выражение 0 0 B 0 + B1 + B1 + Cς 2 , + V = A2 + A2 + B r r1 r0 r10 x y

(13)

кстати, это выражение силовой функции будет действительным, при условии, что константы B1 , B10 комплексно сопряжены.

88

ГАСТОН ДАРБУ

Поскольку r = α + β, r0 = α − β,

p

p α2 − c 2 + β 2 − c 2 , p p r10 = α2 − c2 − β 2 − c2 ,

r1 =

выражение (11) для V соответствует следующим значениям p 2 0 2 c + (B + B 0 )α + (B + B 0 ) α2 − c2 + Cα4 , f (α) = − Ac2 − A 1 1 2 2 α α −c p 0 2 2 Φ(β) = − Ac2 − 2A c 2 + (B − B 0 )β + (B1 − B10 ) β 2 − c2 + Cβ 4 β β −c для функций f (α), Φ(β), входящих в общее выражение функции V . Сразу видно, что для комплексно сопряженных B1 и B10 эти функции являются действительными. Париж, 22 сентября, 1901 г.

6 О законах центральных сил, точка приложения которых описывает кривую второго порядка, каковы бы ни были начальные условия1 П. Аппель (1855–1930)

Как известно, центральные силы, зависящие только от положения, и точка приложения которых описывает кривую второго порядка, были определены одновременно у Дарбу и у Альфана2 при ответе на один вопрос, поставленный Бертраном. Не претендуя на то, чтобы добавить нечто существенное к аналитическому решению Альфана и к тому обзору, который Тиссеран поместил в первом томе своей «Небесной механики» 3 , я хочу вкратце указать на метод, которым я пользуюсь на своих лекциях, чтобы по возможности сократить вычисления Альфана. Этот метод представляет собой применение гомографии к механике, теорию которой я уже излагал в данном журнале (1889, № XII). Рассмотрим подвижное тело единичной массы, на которое действует центральная сила F1 , зависящая только от координат (x1 , y1 ) своей точки приложения, указанных относительно прямоугольных осей O 1 x1 , O1 y1 , пересекающихся в центре O1 , через который проходит данная сила. 1 Paul Appell, Sur les lois de forces centrales faisant d´ ecrire a` leur point d’application une conique quelles que soient les conditions initiales. American Journal of Mathematics, 1891, Vol. 13, pp. 153–158. Перевод с французского В. В. Шуликовской. 2 Comptes Rendus, t. 84. 3 Fran¸ cois-Felix Tisserand, Trait´e de M´ecanique c´eleste. Paris, Gauthier-Villars et fils, tome I, 1889; tome II, 1891; tome III, 1894; tome IV, 1896. — Прим. ред.

90

П. АППЕЛЬ

Если обозначить время через t1 , то уравнения движения имеют вид y1 d2 y1 d 2 x1 x1 = F = F1 r , , 1 r 2 2 1 1 dt1 dt1 q r1 = x21 + y12 .

(1)

Интеграл площадей дает нам

x1

dy1 dx − y1 1 = α. dt1 dt1

Теперь сделаем гомографическое преобразование x x = y1 , 1 и положим dt =

y = y1 1

(2)

dt1 ; y12

получаем dx = dt

y

dy1 dx1 −x dt1 dt1

y12

·

dt1 = α, dt

dy dy1 dt1 dy1 = − 12 =− , dt dt dt dt1 y1 1 а затем d2 x = 0, dt2

y12 d2 y d2 y1 dt1 · = − = −F 1 r1 . dt dt2 dt21

(3)

Как показывают эти уравнения, с течением времени t точка (x, y) двигается так, как если бы это было тело, на которое действует сила y3 Y = −F1 r1 1

(4)

все время параллельная оси Oy. Впрочем, эта сила Y зависит от x 1 и y1 , следовательно, вследствие (2), от x и y. Если точка (x 1 , y1 ) описывает кривую второго порядка, то точка (x, y) описывает другую кривую, представляющую собой гомографическое преобразование первой, и наоборот. Итак, мы

О

91

ЗАКОНАХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ

можем ограничиться поиском всех сил, параллельных Y , у которых точка приложения (x, y) описывает кривую второго порядка, каковы бы ни были начальные условия. Но, как сейчас будет показано, эта задача разрешима. Поскольку уравнения движения имеют вид d2 x = 0, dt2

d2 y = Y, dt2

получаем dx = α и дифференциальное уравнение траектории: dt

d2 y = 12 Y, dx2 α

(5)

где Y зависит от x и y. Обозначим через y 0 , y 00 , y 00 , . . . производные y по x и вспомним, что у Альфана дифференциальное уравнение кривой второго порядка имеет вид [(y 00 )−2/3 ]000 = 0. Выражение (5) для y 00 удовлетворяет этому уравнению при любых начальных условиях. Пусть µ обозначает некоторую константу и Y −2/3 = µ−2/3 φ(x, y),

Y = µ[φ(x, y)]−3/2 ,

(6)

тогда мы должны получить [φ(x, y)]000 = 0. Вычисляя производные, видим, что [φ(x, y)]0 = φ00 = φ000 =

∂φ ∂φ 0 + y, ∂x ∂y

2 2 ∂2φ ∂φ 0 ∂ φ 02 ∂ φ + 2y + y 00 , + y 2 2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

3 3 3 ∂3φ 0 ∂ φ 02 ∂ φ 03 ∂ φ + 3y + 3y + y + ∂x3 ∂x2 ∂y ∂x∂y 2 ∂y 3 ! 2 ∂2φ ∂φ 0∂ φ 00 +3y +y + y 000 . 2 ∂x∂y ∂y ∂y

Поскольку µ y = 2 φ−3/2 , α 00

y

000

µ = − 3 2 φ−5/2 2α



∂φ ∂φ + y0 ∂x ∂y



,

92

П. АППЕЛЬ

уравнение φ000 = 0 можно записать в виде # " 3 3 3 ∂3φ 3µ −5/2 ∂φ ∂φ ∂2φ 0 ∂ φ 02 ∂ φ 03 ∂ φ + 3y + 3y +y + φ − + 2φ ∂x∂y ∂x ∂y ∂x3 ∂x2 ∂y ∂x∂y 2 ∂y 3 2α2 "  2 # ∂2φ 3µy 0 −5/2 ∂φ 2φ 2 − + 2φ = 0. ∂y 2α ∂y Это условие должно выполняться, каковы бы ни были начальные условия, поэтому оно должно тождественно выполняться при всех x, y, y 0 и α, потому что в начале движения эти четыре величины произвольны. Итак, ∂3φ = 0, ∂x3 2φ

∂3φ = 0, ∂x2 ∂y

∂2φ ∂φ ∂φ − = 0, ∂x∂y ∂x ∂y

∂3φ ∂3φ = 0, = 0, ∂x∂y 2 ∂y 3  2 ∂2φ ∂φ 2φ 2 − = 0. ∂y ∂y

(7) (8)

Условия (7) говорят о том, что φ — это многочлен второй степени от x и y: φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F. Этот многочлен должен удовлетворять условиям (8), и в зависимости от того, обращается C в нуль или нет, мы будем различать два случая. 1) C ≷ 0. Тогда

∂2φ = 2C; второе из тождеств (8) дает нам ∂y 2

φ = 1 (Bx + Cy + E)2 , C но это выражение удовлетворяет и первому из тождеств (8), в чем можно немедленно убедиться. ∂φ

2) C = 0. Тогда второе из тождеств (8) дает = 0, и φ не зависит от y; ∂y получаем B = C = E = 0, φ = Ax2 + 2Dx + F, и первое из тождеств (8) очевидно выполняется.

О

93

ЗАКОНАХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ

Итак, для параллельных сил, отвечающих на наш вопрос, возможны два закона; в силу (6) эти законы выражаются формулами Y = Y =

µC 3/2 , (Bx + Cy + E)3 µ

(Ax2 + 2Dx + F )3/2

.

Точно также получаем два закона для центральных сил, отвечающих на наш вопрос. По формулам преобразований (2) и (4) x x = y1 , 1

y = y1 , 1

F1 = −

Y r1 , y13

эти законы задаются формулами F1 = − F1 = −

µr1 C 3/2 , (Bx1 + Ey1 + C)3 µr1

(Ax21 + 2Dx1 y1 + F y12 )3/2

.

Именно эти два закона были открыты Дарбу и Альфаном. Примечание. Следующие соображения помогают с легкостью обобщить предыдущие результаты на движение точки на неподвижной сфере. На аналогию между движениями точки на сфере и точки на плоскости было указано уже давно, а именно, это сделал Поль Серре в своей диссертации «О геометрических и механических свойствах линий двойной кривизны». Эту аналогию можно объяснить с помощью преобразования, похожего на изученное нами ранее гомографическое преобразование (American Journal, t. XII, № 1). Это новое преобразование ставит в соответствие каждому движению точки на плоскости под действием силы, зависящей только от положения движущегося тела, движение точки на сфере под действием силы, зависящей только от положения движущегося тела, и наоборот. Зададим сферу (S) радиуса 1 и плоскость (P ), касающуюся этой сферы; произвольной точке M1 на сфере поставим в соответствие проекцию M этой точки на плоскости (P ) вдоль луча, идущего от центра к точке M 1 : это широко известная проекция, которую в теории географических карт называют центральной; она ставит в соответствие всем прямым плоскости (P ) большие круги сферы (S) и наоборот. С аналитической точки зрения, взяв

94

П. АППЕЛЬ

точку касания плоскости (P ) и сферы S в качестве полюса полярной системы координат на плоскости и на сфере и обозначив через ρ и ω полярные координаты точки M на плоскости, а через φ и θ — полярные координаты точки M1 на сфере (φ — широта, а θ — долгота), получим формулы преобразования ρ = tg φ, ω = θ. (9) Если обозначить через T половину живой силы материальной точки единичной массы, движущейся по плоскости (P ), то получим T = 1 (ρ02 + ρ2 ω 02 ), 2

ρ0 =

dρ , dt

ω 0 = dω , dt

и лагранжевы уравнения движения примут вид d2 ρ −ρ dt2



dω dt

2

d dt

= R,



ρ

2 dω

dt



(10)

= Ω,

где R и Ω зависят от ρ и ω. Точно так же, обозначив через T 1 половину живой силы точки на сфере, если эта точка имеет единичную массу и перемещается во времени t1 , получим T1 = 1 (φ02 + sin2 φ · θ02 ), 2

φ0 =

dφ , dt1

θ0 = dθ , dt

а уравнения движения этой точки примут вид d2 φ − sin φ cos φ dt21



dθ dt1

2

= Φ,

d dt1



sin2 φ dθ dt1



= Θ,

(11)

где Φ и Θ зависят от φ и θ. В уравнениях (10), описывающих движение на плоскости, сделаем замену переменных, определенную по формулам (9) для центральной проекции, и зададим между временем t и t 1 соотношение dt1 = cos2 φ · dt. С помощью элементарных вычислений можно показать, что уравнения (10) примут вид (11), где Φ=

R , cos2 φ

Θ=

Ω . cos2 φ

О

ЗАКОНАХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ

95

Итак, каждому движению на плоскости соответствует движение на сфере, и наоборот: траектория одной из точек — это траектория другой точки, преобразованная с помощью центральной проекции. Например, если силы R и Q равны нулю, то точка M описывает на плоскости прямую линию, силы Φ и Θ тоже равны нулю, и точка M1 описывает на сфере геодезическую. Если точка M описывает на плоскости кривую второго порядка, то точка M1 описывает сферическую кривую второго порядка, и наоборот. Чтобы получить все законы для сил, зависящих от положения их точки приложения и заставляющих подвижную точку описывать на сфере сферическую кривую второго порядка, достаточно будет найти на плоскости законы (найденные Дарбу и Альфаном) для сил, которые заставляют свою точку положения описывать кривую второго порядка, а затем применить к ним указанное преобразование. Точно так же можно преобразовать движение точки на плоскости в движение точки на некоторой данной поверхности: это стало бы частным случаем общей задачи, на которую мы, в след за Гурса, указывали в конце предыдущей статьи (American Journal, t. XII, p. 114). По теореме Бельтрами, для того чтобы прямые на плоскости соответствовали геодезическим линиям на поверхности, надо, чтобы эта поверхность имела постоянную кривизну (см. Дарбу, «Лекции по общей теории поверхности» (Le¸cons sur la th´eorie g´en´erale des surfaces), часть III, глава III).

7 Математическая теория волчка Ф. Клейн (1849–1925)

Лекция 31 Во вчерашней лекции мы пришли к заключению, что наши параметры α, β, γ, δ могут быть выражены как частные простых σ-функций времени t и теперь мы обратимся к геометрической интерпретации этих формул. Как я уже обращал ваше внимание, α, β, γ, δ не являются обычными эллиптическими функциями от t, а функциями, которые изменяются на экспоненциальный множитель, когда t увеличивается на период, вследствие чего я назвал их «мультипликативными эллиптическими функциями». Когда t увеличивается на период 2ω1 , они изменяются на мнимый множитель eiψ , а когда t увеличивается на период 2iω2 — на вещественный множитель вида κ. Сначала давайте рассмотрим кривую, описываемую вершиной волчка на неподвижной сфере. Вершина волчка — это точка Z = ∞ подвижной сферы, поэтому, обращаясь к формуле ζ=

αZ + β , γZ + δ

1 Одна из четырех лекций, прочитанных Феликсом Клейном по случаю стопятидесятилетнего юбилея Принстонского университета. Эти лекции составили книгу F. Klein, Mathematical theory of the Top, New York, Charles Scribner’s Sons, 1897. В настоящей лекции автор неоднократно ссылается на лекции 1 и 2; номера страниц даны по русскоязычному изданию: Ф. Клейн, Математическая теория волчка, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

98

Ф. КЛЕЙН

мы получаем уравнение кривой σ(t + ia) λt ζ=α γ = ke σ(t − ω1 + ib) . Подобно α, β, γ, δ, эта величина ζ как функция от t является мультипликативной эллиптической функцией первой степени, содержащей помимо экспоненциального множителя только частное двух простых σ-функций. Это существенное упрощение представления движения, по сравнению с использованными до настоящего времени. Таким образом мы можем применить методы, использованные Эрмитом в своей Applications des fonctions elliptiques2 , опубликованной двадцать лет назад, и начнем мы не с уравнения для ζ в терминах Z, а с уравнений для x + iy, −z, −x + iy в терминах X + iY , −Z, −X + iY (см. стр. 11) и получим для движения вершины волчка (координаты, которой равны 0, 0, 1) уравнение x + iy = −2αβ, которое представляет движение при помощи мультипликативной эллиптичсекой функции второго порядка. Определенная тем самым кривая не является кривой, вычерчиваемой вершиной на неподвижной сфере, а ортогональной проекцией этой кривой на xy-плоскость. Для удобства будем называть кривые, подобные только что рассмотренной, «мультипликативными эллиптическими кривыми», различая при необходимости кривые на сфере и на плоскости и присваивая им степень, соответствующую числу простых σ-частных в выражении, которое определяет их. Таким образом, кривая, вычерчиваемая вершиной волчка на неподвижной сфере, является мультипликативной эллиптической кривой первой степени, ее ортогональная проекция — кривой второй степени. Самым ранним примером такой кривой первой степени является герполодия движения Пуансо (движения тела вокруг своего центра тяжести). То, что герполодия является кривой такого рода, впервые было показано Якоби. 3 Легко получить представление о геометрическом характере кривой, вычерчиваемой вершиной волчка. Для частного случая, когда l − ne 2 = 0, стереографическая проекция кривой имеет форму, указанную на следующем рисунке: 2 Приложение

эллиптических функций (франц.). — Прим. ред. более полного знакомства с мультипликативными эллиптическими кривыми см. диссертацию мисс Винстон: Ueber den Hermiteschen Fall der Lam´eschen Differentialgleichung, G¨ottingen, 1807. 3 Для

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА

99

Рис. 5

Так как мы хотим ограничить значения, принимаемые t, вещественными числами, то мы полагаем e1 нижним пределом интегрирования в интеR du грале t = √ или, что то же самое, предполагаем, что t в предыдущей U

формуле заменено на t0 = t + iω2 . Радиус окружности, отмеченной на рисунке как u = e 1 , является модулем тех точек ζ, для которых t равно 0, 2ω1 , . . . ; для всех этих точек u = e1 . С другой стороны, радиус окружности, отмеченной на рисунке как u = e 2 , равен модулю тех точек ζ, для которых t = ω1 , 3ω1 , . . . . Кривая, показанная на рисунке, вычерчивается стереографической проекцией величины ζ, когда t принимает вещественные значения. Она состоит из бесконечного числа одинаковых дуг, которые касаются внутренней окружности и образуют точки заострения на внешней окружности. Если исходный толчок волчка направлен в сторону (когда l − ne 2 более не равно 0), то эти заострения заменяются петлями или изгибами в виде гребней волны. Очевидно, что любую из этих дуг можно совместить с последующей с помощью одного и того же поворота вокруг начала координат. Преобразование, вызывающее такое вращение, имеет вид ζ 0 = eiψ0 ζ, поэтому смысл мнимого множителя eiψ0 , на который ζ изменяется, когда t увеличивается на вещественный период 2ω1 , совершено очевиден. Мы обнаружим, что поскольку ζ изменяется на вещественный множитель κ, когда t увеличивается на мнимый период 2iω2 , то действие на кривую подобного увеличения t

100

Ф. КЛЕЙН

заключается в преобразовании ее в кривую, аналогичную прежней и расположенную симметрично относительно начала координат. Но перед выполнением более тщательного исследования кривой, вычерчиваемой вершиной волчка, давайте рассмотрим полодию и герполодию движения. На каждой мгновенной оси вращения отложим отрезок от неподвижной точки, равный по направлению и величине угловой скорости вращения вокруг этой оси. Объединение этих отрезков составляет часть одного конуса, если считать их неподвижными в движущемся теле, или другого, если считать их неподвижными в пространстве. Первый конус, или кривая, на которой обрываются его элементы, называется «полодией», а второй «герполодией», и очевидно, что движение тела можно получить качением первого конуса или кривой по второму конусу или кривой. Чтобы получить уравнение полодии, рассмотрим бесконечно малое вращение за время dt вокруг оси, для которой угловые скорости вращения относительно X, Y , Z равны соответственно p, q, r. Ось в данный момент времени неподвижна в пространстве, и мы получаем для вращения любой точки подвижной сферы уравнения: X = +X 0 − rdtY 0 + qdtZ 0 ,

Y = +rdtX 0 + Y 0 − pdtZ 0 , Z = −qdtX 0 + pdtY 0 + Z 0 .

Следовательно, для этого движения кватернионные параметры (см. стр. 8) равны: A0 =

p q dt, B 0 = dt, C 0 = r dt, D0 = 1, 2 2 2

и, поэтому, соответствующие параметры α, β, γ, δ имеют вид α0 = 1 + ir dt, 2 q + ip γ0 = dt, 2

β0 =

− q + ip dt, 2

δ 0 = 1 − ir dt. 2

Если при этом α, β, γ, δ (без «штрихов») являются параметрами преобразования из осей X, Y , Z, неподвижных в теле, в оси x, y, z, неподвижные в пространстве, мы можем получить параметры α + dα, β + dβ, γ + dγ, δ + + dδ преобразования, которое определяет положение тела после бесконечно

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА

101

малого вращения, путем объединения двух подстановок: ζ1 = αζ10 + βζ20 ,

ζ10 = α0 Z1 + β 0 Z1 ,

ζ2 = γζ10 + δζ20

ζ20 = γ 0 Z1 + δ 0 Z1 ,

В результате получим: ζ1 = (αα0 + βγ 0 )Z1 + (αβ 0 + βδ 0 )Z2 , ζ2 = (γα0 + δγ 0 )Z1 + (γβ 0 + δδ 0 )Z2 . Следовательно

откуда

И наконец:

α + dα = αα0 + βγ 0 ,

β + dβ = αβ 0 + βδ 0 ,

γ + dγ = γα0 + δγ 0 ,

δ + dδ = γβ 0 + δδ 0 ,



 q + ip ir dα = α+ β dt, 2 2   − q + ip ir dβ = α − β dt, 2 2   q + ip dγ = ir γ + δ dt, 2 2   − q + ip ir γ − δ dt. dδ = 2 2   dβ dδ p + iq = 2i β −δ , dt dt   −p + iq = 2i α dδ − δ dα , dt dt   dβ r = 2i α dδ − γ . dt dt

Мы не будем останавливаться на выводе соответствующих уравнений для компонентов π, κ, ρ для герполодии. Они отличаются от уравнений, только что полученных для p, q, r, лишь взаимной заменой α и δ и изменением знаков при β и γ. Но я хочу сделать два замечания, связанных с вышеприведенными вычислениями, относительно полезности наших параметров α, β, γ, δ. Одно из

102

Ф. КЛЕЙН

них состоит в том, что две линейные подстановки в терминах этих параметров объединяются парами, а не четверками, что происходит с соответствующими кватернионными подстановками, а второе, что четыре линейных дифференциальных уравнения, которые определяют их в терминах t, p, q, r распадаются на две пары, в одну из которых включаются только α и β, а в другую только γ и δ. Чтобы почувствовать, насколько важным является это преимущество, достаточно сравнить наше обсуждение с обсуждением того же самого вопроса в книге Г. Дарбу Le¸cons sur la th´eorie g´en´erale des surfaces. Возвращаясь к нашему сферическому волчку и подставляя в общие уравнения, которые мы только что получили, значения α, β, γ, δ, которые характеризуют его движение, мы получаем для его полодии и герполодии не уравнения второй степени, что ожидалось исходя из выражений для p + + iq и т. д. в терминах α, β, γ, δ, а намного более простые выражения. Я не могу выписать вычисления, которые приводят к ним, поскольку я не задавал значений констант k1 , λ1 . . . , которые возникают в формулах на стр. 32. Но сами выражения имеют вид 0 σ(t + ω1 − ia − ib) p + iq = k 0 eλ t , r = n; σ(t) π + iκ = k 00 eλ

00

t σ(t

+ ω1 − ia + ib) , σ(t)

ρ = l.

И полодия, и герполодия сферического волчка являются эллиптическими плоскими кривыми первой степени. Дарбу приводит этот результат в своем издании Despeyrous’ Mechanics, получив его с использованием эллиптических интегралов вместо эллиптических функций. Он не называет кривые эллиптическими кривыми первой степени, но кривые имеют тот же тип, что и герполодия движения Пуансо. Следует добавить, что кривые являются кривыми первой степени только в случае сферического волчка. Наша теорема тесно связана с уже упомянутой знаменитой теоремой Якоби о том, что движение волчка может быть представлено состоящим из двух движений Пуансо (или вращений вокруг центра тяжести), поскольку как полодия так и герполодия движения волчка представляют собой герполодии движения Пуансо, так как являются эллиптическими кривыми первой степени. Теорему Якоби можно доказать наиболее простым образом, выразив параметры α, β, γ, δ каждого из движений Пуансо в терминах t, а затем объединив два движения. Я могу закончить эту часть моего обсуждения, заметив напоследок, что изучающие геометрию по Салмону и Клебшу склонны сосредоточивать свое

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА

103

внимание исключительно на алгебраических кривых. Перед нами имеется иллюстрация значения трансцендентных кривых. Только в очень частном случае, когда мультипликативный множитель κ = 1 и ψ 0 соизмеримо с π, изучаемые нами кривые становятся алгебраическими. Подытожим установленные нами заключения: мы доказали, что движение сферического волчка с неподвижной точкой опоры может быть полностью определено геометрически в терминах эллиптических кривых первой степени. Мы также показали, что изменение параметров α, β, γ, δ по времени t можно изобразить кривыми такого же типа. Давайте теперь возобновим исследование кривой, вычерчиваемой вершиной волчка. Параметры α, β, γ, δ и ζ являются эллиптическими функциями переменной t и полный смысл эллиптических функций проясняется только тогда, когда аргумент может принимать комплексные значения. Только тогда, например, становится очевидной двоякопериодичность этих функций. Поэтому существует, так сказать, аналитическая необходимость завершения нашего геометрического исследования движения волчка продолжением его на комплексные значения t. Когда это будет выполнено, я покажу, что совокупность возможных движений волчка на плоскости комплексного времени соответствует свободному движению твердого тела в неевклидовом пространстве, и, тем самым, приведу к определенному результату соображения, которые я представил в завершение своей первой лекции. Наша задача заключается в определении пути, вычерчиваемого точкой ζ, когда точка t описывает произвольный путь на t-плоскости, и, разумеется, необходимо в первую очередь определить образ на ζ-сфере параллелограмма периодов в t-плоскости. Действительно, именно на этом мы должны сосредоточить наше внимание. Однако, вместо непосредственного отыскания этого образа мы обнаружим, что √ нам легче найти образы четырех полулистов римановой поверхности для U, среди которых, напомним, находятся четыре меньших прямоугольника, на которые разделен весь параллелограмм периодов. Сначала давайте воспроизведем (на рис. 6) изображения √ параллелограмма периодов (см. стр. 30) и римановой поверхности для U . Я использовал различные штриховки для всех четырех прямоугольников для того, чтобы иметь возможность легко отличать их различные образы на рисунке, который мы собираемся построить. Напомним, (см. стр. 29), что log α и log γ становятся √ бесконечными соответственно в точках u = −1 и u = +1 одного листа U -поверхности и что log β и log δ становятся бесконечными в соответствующих точках другого листа, остальные функции в каждом случае остаются конечными. На рисунке a и d являются образами

104

Ф. КЛЕЙН

Рис. 6

положительной и отрицательной половин первого из этих листов, а c и b образы положительной и отрицательной половин второго. Наша ζ выражается в терминах u эллиптическим интегралом третьего рода.   Z − √U + i(nu − l) du . log ζ = log α ·√ γ = 2 u −1 U


Мы можем сразу же вывести следующие заключения: d log α γ комdu плексная вдоль отрезков e1 e2 , e3 e∞ вещественной оси u-плоскости, но вещественная вдоль отрезков e2 e3 , e∞ e1 . Следовательно, α γ или ζ движется вдоль мередиана ζ-сферы, когда u движется вдоль вещественной оси от e 2 до e3 или от e∞ до e1 , но, с другой стороны, описывает одну из дуг, которые возникают на изображении вещественного движения вершины волчка, когда u движется по вещественной оси от e1 до e2 , и дугу отличную от прежней когда u движется от e3 до e∞ . Вновь d log( α γ ) обращается в нуль, когда u = e∞ , в первом приблиdu жении как 12 , и принимает конечное значение u

1 , когда u = e (это 2 1 − e22

происходит ввиду условия, которое мы сохраняем здесь, что l − ne 2 = 0),

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА

105

с другой стороны, когда u = e1 или e3 , она становится бесконечной как (u − e1 )−1/2 или (u − e3 )−1/2 . Следовательно кривая, вычерчиваемая точкой ζ, когда точка u движется вдоль вещественной оси от e ∞ через e1 , e2 , e3 до e∞ , имеет углы, равные π, в точках, соответствующих e ∞ и e2 , и углы, равные π , в точках, соответствующих e1 и e3 . 2 √ Я не буду приводить образа U -поверхности на сфере, а приведу стереографическую проекцию этого образа на xy-плоскость из точки ζ = ∞. Если к вышеприведенным объяснениям добавить, что ζ, значение которой в терминах t равно keλt

σ(t + ia) , принимает значения 0 и ∞ соотσ(t − ω1 + ib)

ветственно в точках −1 и +1 контура полулиста или прямоугольника a и остается конечной и отличной от 0 для всех точек на контуре b, то сразу видно, что образы полулистов или прямоугольников a, b приближенно имеют вид указанный на следующем рисунке: два контура, которые мы отметили как e∞ , e1 , e2 , e3 , e∞ являются стереографическими проекциями образов вещественной u-оси — сначала когда эта ось рассматривается как контур положительного полулиста a, затем — когда она рассматривается как контур отрицательного полулиста b. Две дуги e1 e2 аналогичны и симметрично расположены относительно точки ζ = 0. Та, которая лежит слева, возникает на рисунке реального движения вершины волчка (рис. 7). Если мы теперь завершим этот рисунок второй половиной, симметричной с первой половиной относительно горизонтальной оси e 1 e∞ , мы √ получим образ всей U -поверхности или всего параллелограмма периодов √ в t-плоскости (рис. 8). Мы предположили, что в U -поверхности сделан разрез вдоль отрезка e1 e2 e3 вещественной оси. Отметим, что образ дважды покрывает часть плоскости, которая расположена между двумя дугами e1 , e2 , e3 , ζ = ∞, которые лежат слева, два листа соединяются вдоль линии ветвления, которая ведет от e ∞ к ζ = ∞. Из рисунка мы делаем вывод, что e∞ является точкой ветвления для t, а точка ζ = ∞ такой не является, вокруг точки ζ = ∞ нельзя провести контур, который не будет проходить по части не принадлежащей образу плоскости, ограниченной двумя полудугами e1 , e2 , ζ = 0, лежащими слева (см. рис. 8). Все эти заключения можно непосредственно проверить с помощью вычислений. Мы можем описать нашу фигуру как четырехугольник, одна из пар противоположных сторон которого является прямолинейными отрезками, выходящими из точек e2 , проходящими через ζ = ∞, которые, если их провести, пересекались бы в ζ = 0, а другую пару образуют криволинейные дуги e2 e1 e2 .

106

Ф. КЛЕЙН

Рис. 7

Стороны каждой из пар переходят друг в друга подстановкой для ζ, которая соответствует изменению t на один из периодов 2ω 1 , 2iω2 : прямые стороны переходят вращением вокруг ζ = 0, определяемым «эллиптической подстановкой» ζ 0 = eiψ0 ζ, которую мы уже рассмотрели и которую мы отметили на рисунке двусторонне направленными криволинейными стрелками, криволинейные стороны переходят преобразованием, определенным «гиперболической подстановкой» ζ 0 = κζ, вследствие которой они одина-

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА

107

Рис. 8

ковы и симметрично расположены относительно центра гомотетии ζ = 0. На рисунке мы отметили это преобразование двусторонне направленными прямыми стрелками, которые пересекаются в ζ = 0. Таким образом, значение обоих периодов 2ω1 , 2iω2 для кривой, вычерчиваемой вершиной волчка, становится очевидным благодаря нашему рисунку. И действительно, теперь перед нами в первый раз явно представлена причина, по которой кривая, описываемая в вещественном времени, должна быть представлена эллип-

108

Ф. КЛЕЙН

тическими функциями. Она оказывается лишь частью полной кривой или, скорее, области, которая появляется, когда мы используем все поле комплексных чисел, и только в нем возможно представление обоих периодов. Риманова поверхность, определяемая формулой ζ =

β(t) , т. е. кривая, δ(t)

вычерчиваемая противоположным концом оси волчка Z = 0, может быть построена аналогичным образом. Для вещественных t мы имеем формулу ет просто, что

γ(t) β(t) =− , которая означаδ(t) α(t)

α(t) β(t) и являются противоположными концами одного и γ(t) δ(t)

того же диаметра сферы. Для комплексных значений t эта формула должна быть заменена более общей γ(t) β(t) =− . γ(t) α(t) Если теперь мы предположим, что эти две римановы поверхности проецируются обратно на поверхность неподвижной сферы, а точки поверхностей, которые соответствуют одному и тому же значению t, объединяются, то получающаяся в результате система лучей будет представлять собой ∞2 положений, которые оси волчка могут принять в случае общего (неевклидового) движения, которое соответствует произвольному движению t в параллелограмме периодов. Из этих ∞2 «осей» только проходящие через центр сферы будут соответствовать вещественным значениям t. Эти оси соответствуют криволинейной дуге e2 e1 e2 предыдущего рисунка, которая лежит слева. Те оси, которые соответствуют другой криволинейной дуге, пересекаются в другой точке центральной линии (т. е. вертикали проходящей через центр сферы), а именно, в точке, в которую переходит центр при гиперболической подстановке, которую мы уже объяснили. Визуальное представление возможных движений оси волчка в комплексном времени получается построением риβ

сунков для α γ и δ на реальной сфере и соединением прямыми линиями совокупностей соответствующих точек. Двояко бесконечные системы лучей, которые являются элементами полодий и герполодий всех движений, возможных в комплексном времени, могут быть построены подобным образом, и таким образом будет получено полное геометрическое представление движения волчка. Построения являются более сложными, но при их проведении не возникает существенных трудностей.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА

109

Фактически, единственной трудностью во всем этом целом методе обсуждения является то, что все наши обычные концепции механики содержат понятие, что время может изменяться одним единственным образом. Мы настолько приучены считать механические условия, которые соответствуют малым значениям t, так сказать, причиной того, что происходит при б´ольших значениях и изображать изменения конфигурации, следующими одно за другим в определенном порядке при изменении времени, что обнаруживаем утрату механического представления, когда t, предполагаемое комплексным, получает две степени изменения. Чтобы избежать этой трудности, насколько это возможно, мы будем предполагать, что t больше не может меняться в каком угодно направлении параллелограмма периодов, а только в направлении параллельном вещественной оси. Другими словами, в t = t1 + it2 будем считать t2 константой в каждом частном случае, и лишь t1 изменяется. Таким путем, последовательно придавая t2 все возможные значения, мы сможем учесть все возможные значения t, но мы представляем их выстроенными вдоль ∞ 1 параллелей к вещественной оси. С учетом этого, римановы поверхности

α(t) β(t) и γ(t) δ(t)

становятся носителями некоторых систем кривых и система из ∞ 2 осей распределена среди ∞1 линейчатых поверхностей. Таким путем мы разделяем совокупность положений волчка в комплексном времени на бесконечное число простых бесконечных множеств позиций. Эти множества позиций характеризуются не только начальными значениями t, но и значениями констант интегрирования, которые должны быть введены, если набросанные нами здесь вычисления будут фактически проводится. Возможно, ранее следовало указать, что для полной общности получаемых результатов, эти константы также следует полагать комплексными, поскольку сейчас мы действуем в области комплексных чисел. Кроме того, только положив их комплексными, мы получим в наше распоряжение достаточное количество констант, чтобы удовлетворить всем условиям нашей обобщенной задачи движения. До сих пор наши рисунки строились для того, чтобы получить ясное геометрическое представление содержания наших аналитических формул. Но в них наиболее интересно следующее: им можно придать реальный механический смысл, можно найти вещественную механическую систему, движениями которой они порождаются. Я утверждаю, что можно определить конкретную свободную механическую систему, а именно твердое тело свободно движущееся в неевклидовом пространстве под действием конкретных определенных сил, которая в вещественном времени поро-

110

Ф. КЛЕЙН

ждает в точности ту же бесконечность видов движения, которую мы только что описали, и конкретное движение выбирается в соответствии с начальными условиями. Механическая система является обобщенной, но принадлежит к области вещественной динамики. Давайте рассмотрим общую задачу движений твердого тела под действием произвольных сил в неевклидовом пространстве, абсолютом которого является поверхность: x2 + y 2 + z 2 − t2 = 0.

Самое первое исследование движения твердого тела в неевклидовом пространстве было выполнено Клиффордом в 1874, хотя это исследование было опубликовано только после его смерти в его собрании сочинений. Эту же задачу так же исследовал Хит (Heath) в Philosophical Transactions, 1884. Однако, оба эти математика рассматривали случай эллиптической неевклидовой геометрии, а не гиперболической и ограничились получением дифференциальных уравнений задачи4 . Далее я буду использовать аналитические выкладки, поскольку этот метод легче понимают те, кто не слишком опытен в неевлидовой геометрии и сразу же получу дифференциальные уравнения для движения конкретного твердого тела в неевклидовом пространстве совершенно аналогичные уравнениям движения волчка в вещественном времени, но содержащие два набора переменных. Чтобы сразу же получить общий случай, я предполагаю, что параметры φ, ψ, θ и время t являются комплексными и полагаю φ = φ1 + iφ2 , ψ = ψ1 + iψ2 , θ = θ1 + iθ2 , t = t1 + it2 . Эти параметры связаны с T и V , кинетической и потенциальной энергией, хорошо известными уравнениями Лагранжа:     d δT0 d δT0 δφ δθ δ(T − V ) δ(T − V ) = , = , dt δθ dt δφ   d δT0 δψ δ(T − V ) = . dt δψ 4 Более подробный анализ движения твердого тела и систем материальных точек в пространстве постоянной кривизны содержится в книгах А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, Ижевск: изд-во РХД, 1998, и А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Динамика твердого тела, Ижевск: изд-во РХД, 2001. — Прим. ред.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛЧКА

111

В этих уравнениях положим T = T1 + iT2 , V = V1 + iV2 . Поскольку, тогда δT δθ0

= =

δT1 δT + i 02 δθ10 δθ1 δT1 δT1 −i 0 ; δθ10 δθ2

и аналогично δT = δT1 − i δT1 и δT = δT1 − i δT1 ; δφ0 δφ01 δφ02 δψ 0 δψ10 δψ20 и поскольку вследствие наших предположений dt = dt 1 первое из наших уравнений распадается на два уравнения, содержащих лишь вещественные переменные,     δT1 δT1 d d δθ10 δθ20 δ(T1 − V1 ) δ(T1 − V1 ) = , = ; dt1 δθ1 dt1 δθ2 и оставшиеся два уравнения ведут себя аналогично. Таким образом, каждая вещественная задача вновь порождает вещественную задачу, если считать переменные исходной задачи комплексными, при условии, что может изменяться лишь вещественная часть комплексного t, но получившаяся задача движения содержит удвоенное число переменных. Применяя это общее заключение к нашему конкретному вопросу, сразу же получаем, что задача движения в комплексном времени волчка с неподвижной точкой опоры превращается в задачу вещественной динамики, задачу неевклидова движения твердого тела. Это движение имеет шесть степеней свободы вместо трех, соответствующих шести параметрам θ 1 , θ2 , φ1 , φ2 , ψ1 , ψ2 , и его кинетическая и потенциальная энергия равны T 1 и V1 , т. е. вещественным частям комплексных T и V . Но каким является твердое тело и какая сила порождает движение? Мы ограничимся ответом на эти вопросы, не вдаваясь в рассмотрения, входящие в компетенцию неевклидовой геометрии, с помощью которой получаются наши заключения. Уравнение абсолюта имеет вид x2 + y 2 + z 2 − t2 = 0,

112

интеграл

Ф. КЛЕЙН

Z

(ux + vy + wz + ωt)2 dm, (u2 + v 2 + w2 − ω 2 )(x2 + y 2 + z 2 − t2 )

вычисляемый по произвольному телу в соответствующем неевклидовом пространстве называется «вторым моментом» тела относительно плоскости с координатами u, v, w, ω. В нашем частном случае этот интеграл при вычислении равен 1 вне зависимости от значений u, v, w, ω. Вспоминая, что u, v, w, ω являются константами относительно операции интегрирования, мы можем записать результат в виде Au2 + 2Buv + . . . , следовательно = 1. u2 + v 2 + w 2 − ω 2 Поверхность, уравнение которой в тангенциальных координатах имеет вид Au2 + 2Buv + · = 0 называется «нулевой поверхностью». Следовательно, в нашем случае нулевая поверхность совпадает с абсолютом. Сила, порождающая движение, может быть определена следующим образом: на рис. 9 пусть g представляет собой неподвижную ось силы тяжести (проходящую через точку опоры волчка), r — ось волчка, а p — неевклидов перпендикуляр общий к g и r. Тогда угол между g и r определяется по формуле θ = θ1 + iθ2 , где θ1 представляет собой угол между плоскостями gp и rp, а iθ2 в неевклидовой угловой мере равно расстоянию p. Тогда сила представляет собой момент с интенсивностью P sin θ, вещественная часть представляет собой вращающую силу, действующую вокруг p, а мнимая часть представляет собой некоторый толчок вдоль p. В заключение позвольте мне еще раз отметить, что эта неевклидова геометрия не связана ни с какими метафизическими толкованиями, какими бы интересными они не могли быть. Это просто геометрическая теория, которая объединяет вместе некоторые геометрические соРис. 9 отношения в вещественном пространстве наиболее удобным для их изучения образом.

8 Метод определения квантовомеханических собственных значений и собственных функций1 Э. Шредингер (1887–1961)

§ 1. Планковский осциллятор Привлекательная черта метода, который описывается здесь, заключается в том, что этот метод позволяет избежать громоздких преобразований, обращения за помощью к специально разработанным сложным математическим средствам или разложения в степенные ряды. Он дает все собственные функции линейчатого спектра посредством одной вполне элементарной квадратуры. Источником этого метода является хорошо известный способ изучения осциллятора. Его амплитудное уравнение d2 ψ − x2 ψ + λψ = 0 (1.1) dx2 (λ — собственное значение) может быть записано одним из следующих двух способов :    d + x ψ + (λ − 1)ψ = 0, d −x (I) dx dx    (1.2) d +x d − x ψ + (λ + 1)ψ = 0. (II) dx dx 1 Schr¨ odinger E. A method of determining of quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940, Vol. A45, p. 9–16. Пер. с нем.: Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976, с. 239–247.

114

Э. ШРЕДИНГЕР

Если подействовать на одно из этих уравнений вторым из двух дифференциальных операторов первого порядка, которые входят в это уравнение, то для функции, получающейся из ψ применением к ней этого оператора, получается уравнение второго порядка, но с λ + 2 или λ − 2 соответственно вместо λ. Таким образом, оба оператора переводят некоторую собственную функцию, принадлежащую λ — если только они не аннулируют ее — в некоторую собственную функцию, относящуюся к собственным значениям λ + 2 или λ − 2 соответственно. Они не приводят к нарушению непрерывности и не разрушают квадратичную интегрируемость, как это можно показать умножением (I) и (II) на ψdx, интегрированием от −∞ до +∞ и последующим применением однократного интегрирования по частям. Для начала легко найти решение для λ = 1 из (I) : 

 d +x ψ =0 dx

т. е. ψ = e

−

x2 2

.

(1.3)

Можно показать, что все собственные функции получаются из этой одной повторным применением другого оператора, а именно d − x. Таким dx

образом, получаются ряды собственных значений λ = 1, 3, 5, 7, . . . Общий метод состоит в разложении более сложных операторов второго порядка, которые встречаются в других задачах, на два взаимно сопряженных линейных оператора первого порядка. Взаимная сопряженность обеспечивает сохранение квадратичной интегрируемости, которую мы в дальнейшем будем считать само собой разумеющееся.

§ 2. Нерелятивистский атом водорода (кеплеровское движение) После выделения из решения сферических гармоник P l (θ, ψ), соответствующих некоторым целым l, и введения удобных единиц уравнение для радиальной переменной x будет выглядеть следующим образом :   dψ l(l + 1) d2 ψ 2 2 +x − ψ + λ + x ψ = 0; (2.1) dx dx2 x2 x — радиус-вектор r в единицах радиуса первой боровской орбиты; λ — энергия E в ридберговых единицах энергии; таким образом 2 2 x = 4π me r, 2 h

λ=

h2 E. 2π me4 2

(2.2)

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

115

Собираясь исследовать отрицательные собственные значения, положим λ = − 12 , a

(2.3)

при этом принимаем за a положительное значение (−λ) 1/2 . Уравнение (2.1), умноженное на x2 , может быть переписано в одной из следующих двух форм:    d d x x (I) x +a− a x − a + 1 + a ψ + [(a − 1)a − l(l + 1)]ψ = 0, dx dx    d x d x (II) x −a+ a + a + 1 − a ψ + [a(a − 1) − l(l + 1)]ψ = 0. x dx dx (2.4) Они еще недостаточно удобны, потому что не связаны между собой таким образом, чтобы одна из них переводилась в другую обращением порядка операторов и приданием a другого значения. Положим   x (2.5) ψ(x) = f x a , a = y.

Это особое преобразование, потому что оно применяется только к собственным функциям, ведь a означает всегда обратный квадратный корень из собственного значения ψ, взятого с противоположным знаком. Мы будем иногда позволять себе называть f собственной функцией, хотя это — некоторое сокращение, с которым следует обращаться осторожно. Для f мы получим    d d (I) y +a−y y − a + 1 + y f + [(a − 1)a − l(l + 1)]f = 0, dy dy    d d (II) y −a+y y + a + 1 − y f + [a(a + 1) − l(l + 1)]f = 0. dy dy (2.6) Теперь, если вы знаете некоторую собственную функцию f , относящуюся к a (т. е. к собственному значению λ = −1/a2), подставьте ее в (II) и примените к уравнению оператор y d + a + 1 − y. Тогда вы получите для dy

f

(1)

=



 d y +a+1−y f dy

(2.7)

116

Э. ШРЕДИНГЕР

уравнение типа (I) только с a + 1 вместо a. Следовательно, f (1) , если только она не исчезает тождественно, является собственной функцией, которая 1 относится к a + 1, т. е. к собственному значению λ = − . 2 (a + 1)

Меняя роли (I) и (II) вы найдете, что   d (2) f = y − a + 1 + y f, dy если только она не исчезает — это собственная функция, которая относится 1 . к a − 1, т. е. к собственному значению λ = − 2 (a − 1)

Решение, с которого следует начать, легко получается из (I), если положить a = l + 1, т. е. λ = − 1 2 , и (l + 1)



 y d − l + y f = 0, dy

которое дает f = y l e−y .

(2.9)

Исходя из этой собственной функции, вы можете «действовать повышающим образом» посредством процесса (2.7) и получить собственные функции, относящиеся к a = l + 2, l + 3, l + 4, l + 5, l + 6, . . . до бесконечности. Действительно, некоторая функция, которая аннулировалась бы на очередном этапе, никогда уже не смогла бы быть повышена. Возвращаясь от этих f к собственным функциям согласно (2.5) и поступая точно также для каждого значения l = 0, 1, 2, 3, 4, . . ., вы действительно исчерпаете все собственные функции хорошо известного линейчатого спектра. Таким образом, целесообразность метода несомненна, и мы могли бы на этом закончить. Но нам хотелось бы более строго доказать исчерпываемость множества собственных функций. Двигаясь от любой данной собственной функции f (y) «вверх» посредством (2.7) и «вниз» посредством (2.8) повторно и в произвольном порядке, вы будете двигаться по одной и той же «лестнице» собственных значений — до тех пор, пока не остановитесь на нулевом результате. Истинная сущность (2.6) состоит в том, что оба оператора, о которых идет речь, если их применить в любом порядке к некоторой собственной функции, оказываются взаимно обратными, с точностью до постоянного множителя. Более того, если «лестница» заканчивается внизу (т. е. если процесс (2.8)

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

117

ведет к нулю), то рассмотрение (2.6) (I) покажем вам, что предшествующая неисчезающая функция должна совпадать с функцией (2.9), и, таким образом, лестница родственной той, которая была найдена нами. Если мы сможем доказать, что лестница, исходящая из любой собственной функции, должна остановится где-то внизу, то никаких других лестниц быть не может. Умножая теперь (2.1) на x2 ψdx и интегрируя от x = 0 до x = ∞, вы получите интегрированием по частям −

Z∞  0

dψ x dx

2

Z∞ dx + [λx2 − 2x − l(l + 1)]ψ 2 dx = 0.

(2.10)

0

Мы исследуем случай отрицательных λ. При этом второй интеграл должен иметь отрицательное значение, которого не может быть, если не выполняется (−λ)l(l + 1) < 1. (2.11) Теперь, если бы «понижающий» процесс не остановился, мы могли бы (начиная с некоторого решения, о котором кто-нибудь мог бы сказать, что оно ускользает от нас) действовать понижающим образом до тех пор, пока не получили бы a такое, что 0
(2.12)

и таким образом, некоторое собственное значение, для которого вследствие (2.3) −λ > 1.

Это противоречит (2.11), за исключением случая l = 0. Следовательно, понижающий процесс, помимо этого случая, должен остановиться раньше, лестница должна закончиться внизу, и, значит, это наша лестница. Чтобы учесть случай l = 0, обратимся к интегрированию формы (2.4) (I) уравнения (2.1) и вспомним, что оба оператора взаимно сопряжены. Мы не будем иметь дело с неотрицательными λ. По своему существу наш метод непригоден для континуума. Чтобы охватить и этот случай, следует превратить соответствующий сплошной спектр и густо заполненный линейчатый спектр посредством небольшого изменения задачи. Это сделано в § 4 и, вероятно, представляет собой наиболее интересный аспект рассматриваемой здесь проблемы.

118

Э. ШРЕДИНГЕР

§ 3. Обобщенные сферические гармоники Сферическая гармоника на трехмерной гиперсфере является произведением обычной сферической гармоники Pl (θ, ψ) и функции S(χ), зависящей от третьего угла χ, который изменяется, подобно θ, от 0 до π и соответствует, в известном смысле, расстоянию до начала координат (радиусвектор r, деленный на радиус кривизны). Для S(χ) справедливо следующее уравнение:2   d sin2 χ dS − l(l + 1)S + λ sin2 χS = 0, (3.1) dχ dχ l — порядок обычной сферической гармоники и, таким образом, некоторое заданное неотрицательное число. Известно, что λ равно n(n + 2), где n — целое число, равное или большее, чем l. Но для нас это собственное значение, которое должно быть определено. Умножая (3.1) на S dχ и интегрируя от χ = 0 до χ = π, мы заключаем, что λ > l(l + 1)

(3.2)

и, таким образом, конечно, неотрицательное. (Аргументация в основном такая же, как та, которая позволила получить (2.11) из (2.10)). Разложение оператора в (3.1) получается, если положить √ a = 1 + λ, λ = (a − 1)(a + 1). +

Эквивалентные формы записи (3.1) таковы :    (I) sin χ d + a cos χ sin χ d − (a − 1) cos χ S+ dx dχ +((a − 1)a − l(l + 1))S = 0,    d d (II) sin χ − a cos χ sin χ + (a + 1) cos χ S+ dx dχ +(a(a + 1) − l(l + 1))S = 0.

(3.3)

Отсюда можно увидеть, в точности тем же образом, как в предыдущих случаях, что два линейных оператора «повышают» или «опускают» значение a соответственно, определяя таким образом, — если они не приводят к нулю, — некоторую собственную функцию, которая относится к a(a + 2) или 2 E. Schrodinger.

Commentationes Pontif. Acad., 1938, 2, 321, уравнение (2.13).

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

119

к (a − 2)a соответственно. Мы получим некоторую исходную собственную функцию из (I), принимая a=l+1 (3.4) и решая уравнение

что дает



 sin χ d − l cos χ S = 0, dχ S = sinl χ.

(3.5)

Исходя из этой функции, мы «действуем повышающим образом» повторным применением оператора sin χ d + (a + 1) cos χ, dχ

(3.6)

в котором, конечно, a следует увеличивать шаг за шагом соответственно собственному значению собственной функции, на которую мы действуем оператором. Первый применяемый оператор sin χ d + (l + 2) cos χ, dχ второй — sin χ d + (l + 3) cos χ dχ и так далее. Этот «повышающий» процесс никогда не прекращается и дает лестницу собственных функций, относящихся к собственным значениям l(l + 2), (l + 1)(l + 3), (l + 2)(l + 4), . . .

(3.7)

То, что эта процедура единственна, можно убедительно показать следующим рассуждением. Движение по лестнице «вниз», начиная от любой собственной функции, могло бы в том случае, если бы не закончилось, привести к λ = (a − 1)(a + 1),

0 6 a < 1,

(3.8)

которое отрицательно в противоречии с (3.2). Следовательно, лестница должна закончиться и (вследствие (3.3) (I)) должна прерваться на нашей функции (3.5) и, следовательно, должна совпадать с нашей лестницей.

120

Э. ШРЕДИНГЕР

§ 4. Кеплеровское движение на гиперсфере Насколько я знаю, это — новая задача, которую, по-моему, трудно решить каким-либо другим путем. Может показаться безрассудным принимать во внимание ничтожную кривизну Вселенной, имея дело с атомом водорода, потому что влияние даже таких значительно более сильных гравитационных полей, при наличии которых в действительности происходят все наши наблюдения (если система отчета должным образом выбрана), пренебрежимо мало. Но эта задача, вследствие возможности стирания в ее рамках резкой границы между «эллиптическими и гиперболическими орбитами» (классические орбиты здесь все замкнуты) и представления непрерывного спектра посредством густо заполненного линейчатого спектра, имеет весьма интересные черты, допускающие исследование рассмотренным выше методом, который оказывается здесь едва ли более сложным, чем в плоском случае. Правильная форма кулоновского потенциала (отвечающая 1/r для плоского пространства) соответствует, как известно, ctg χ. После расщепления сферической гармоники порядка l мы получим следующее уравнение для той части волновой функции, которая зависит от χ — будет продолжать называть ее S(χ), как в предыдущем параграфе : # "   2 2 l(l + 1) h − 12 d sin2 χ dS + S − e ctg χS − ES = 0, 2 2 2 R dχ dχ 8π mR sin χ sin χ (4.1) где R — радиус постоянной кривизны. Положим 8π 2 mR2 E = λ, 4π 2 me2 R = µ. (4.2) h2 h2 Следовательно,   d sin2 χ dS + (λ sin2 χ + 2µ sin χ cos χ − l(l + 1))S = 0, (4.3) dχ dχ где µ — данная постоянная, а λ — собственное значение, подлежащее определению. Разложение (4.3) следующее :   d (I) sin χ + a cos χ − b sin χ sin χ d − (a − 1) cos χ+ dχ dχ  + b sin χ S + [(a − 1)a − l(l + 1)]S = 0,

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

(II)



121



sin χ d + (a + 1) cos χ− sin χ d − a cos χ + b sin χ dχ dχ  − b sin χ S + [a(a + 1) − l(l + 1)]S = 0, (4.4)

при условии, что

λ = (a − 1)(a + 1) − b2 ,

µ = ab.

(4.5)

Чтобы удовлетворить этому требованию, мы примем за a положительный квадратный корень из s  2 1+λ λ + 1 2 + µ2 + (4.6) a = 2 2 +

и за b

µ b = a. Собственные функции, которые мы ищем, зависят от λ как от своего рода параметра или индекса, но, конечно, от значения, соответствующего µ. Удобно считать их функциями a и b. Нетрудно представить a и b посредством λ и µ с помощью (4.6). Но мы не будем этого делать до тех пор, пока будем использовать ее для получения других собственных функций. Следуя образцу, описанному уже дважды, нетрудно усмотреть, что второй оператор в (II) переводит некоторую собственную функцию, принадлежащую (a, b), в функцию, относящуюся к (a − 1, b). Решение, с которого следует начать, дается посредством   d − (a − 1) cos χ + b sin χ S = 0 с a = l + 1 sin χ dχ и, таким образом,

S = sinl χ · e−bχ .

(4.7)

Применяя второй оператор

sin χ d + (a + 1) cos χ − b sin χ dχ повторно к этой собственной функции, подставляя при этом (в оператор) первый раз a = l +1, затем a = l +2, a = l +3 и т. д., получим последующие собственные решения. С учетом (4.7) они связываются с a = l + 1, l + 2, l + 3, . . . , (l + k) и т. д. до бесконечности, но все с одним и тем же b.

122

Э. ШРЕДИНГЕР

В согласии с (4.6) µ , (4.8) l+k в то время как в соответствии с (4.5) наши функции относятся к собственным значениям µ2 (k = 1, 2, 3, 4, . . .). (4.9) λ = (l + k − 1)(l + k + 1) − (l + k)2 Исчерпываемость вычислительной процедуры может быть показана тем же самым способом, как в § 2 и § 3. Из (4.9) и (4.2), положив l + k = n(= 1, 2, 3 . . .), получаем следующие значения термов в обычных единицах : ! a21 1 En = B − 2 + (n − 1)(n + 1) 2 , (4.10) n R B — постоянная Ридберга, a1 — радиус первой боровской орбиты и R — радиус кривизны Вселенной. Граница между «связанными» и «собственными» состояниями не достаточно резкая. Она будет таковой примерно при n = 10 18 . Густота расположения боровских уровней в верхнем пределе постепенно переходит в густоту, представляющую континуум. Она, конечно, чрезвычайно велика. В наиболее густо заполненной области находится примерно 10 38 уровней на 1 Гц. В том, что оба хорошо известных спектра — спектр кеплеровского движения и спектр гиперсферы — складываются, чтобы образовать спектр кеплеровского движения на гиперсфере, состоит удивительно простое решение вопроса. Если заряд постепенно стремится к нулю, то уровни энергии постепенно передвигаются от отрицательных к положительным и заканчиваются на спектре невозмущенной гиперсферы. Существует, таким образом, непрерывный переход между спектром, соответствующим атому водорода, и спектром гиперсферы без точечного заряда. Иначе обстоит дело в плоском пространстве. Там бесконечный ряд дискретных уровней сгущается все более и более около точки E = 0 до тех пор, пока они, так сказать, не поглощаются этой точкой. Описанный здесь общий метод можно было бы назвать методом сопряженных операторов первого порядка. Я думаю, он дает наиболее непосредственное понимание, доступное в настоящее время, того, как линейчатый спектр зависит от структуры уравнения. b=

Доложено 11 декабря 1939 г.

II Современный анализ

9 Динамические симметрии в сферической геометрии. I1 П. Хиггс

Найдены два потенциала, при которых нерелятивистская частица, движущаяся в сферическом пространстве под действием консервативной центральной силы, описывает замкнутые орбиты. При нулевой кривизне они сводятся к знакомым нам кулоновскому и изотропному осцилляторному потенциалам евклидовой геометрии. Построены соответствующие векторные (для первого) и симметричные тензорные (для последнего) константы движения. Для каждой N -мерной системы построена алгебра скобок Пуассона в классической механике и алгебра коммутаторов в квантовой механике, состоящая из указанных констант движения и компонент углового момента. Доказано, что при надлежащем выборе независимых констант движения, эти скобки Пуассона можно преобразовать в лиевы алгебраические структуры, соответствующие группам симметрии SO(N +1) и SU (N ): гамильтониан каждой системы выражается как функция операторов Казимира групп симметрии. Соответствующие преобразования для квантовомеханической коммутаторной алгебры приведены только для N = 2: соответствующие выражения для гамильтонианов как функций операторов Казимира дают нам энергетические уровни этих двух систем.

1. Введение Хорошо известно [1], что функция Гамильтона нерелятивистской частицы, движущейся в N -мерном евклидовом пространстве под действием 1 Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. J. Phys. A., 1979, Vol. 12, № 3, p. 309–323. Перевод с английского О. Я. Кузьминой.

126

П. ХИГГС

консервативной центральной силы, инвариантна относительно группы Ли большей, чем SO(N ), группы вращения вокруг центра сил, только в двух особых случаях: это задача Кеплера, для которой высшая группа симметрии — SO(N + 1) для ограниченных состояний и SO(N, 1) для рассеивающихся, и задача об изотропном осцилляторе, для которого высшая группа — SU (N ). В классической механике отличительная особенность этих двух систем состоит в том, что все ограниченные орбиты замкнуты [3] — свойство, позволяющее выполнять построение констант движения, задающих ориентацию орбиты на плоскости. В задаче Кеплера этими константами являются декартовы компоненты вектора Рунге – Ленца [10, 12, 16], параллельного главной оси орбиты: в задаче об осцилляторе ими являются декартовы компоненты симметричного тензора второго порядка, который компланарен орбите и имеет те же главные оси [6]. В каждом случае высшая симметрия имеет место при построении алгебры скобок Пуассона для констант движения (включая компоненты углового момента, определяющие плоскость орбиты): если вектор Рунге – Ленца (тензор Фрадкина) нормируется соответствующим образом, эта алгебра имеет структуру алгебры Ли группы SO(N + 1)(SU (N )). Эти высшие симметрии не являются геометрическими (то есть они не могут быть представлены только с помощью отображений конфигурационного пространства); это симметрии в фазовом пространстве, для которых часто используется термин «динамические симметрии». В квантовой механике, где скобки Пуассона заменяются коммутаторами, стандартные методы теории матричных представлений позволяют определить для этих двух систем как спектр гамильтониана, так и вырождение каждого энергетического уровня по отношению к собственным значениям углового момента, которые должны совпадать с теми собственными значениями, которые имеют место для неприводимого представления высшей группы симметрии [2, 7, 5, 14]. В настоящей статье изучаются соответствующие динамические системы, возникающие при замене N -мерной евклидовой геометрии на N -мерную сферическую геометрию. В § 2 показано, что в некоторой системе координат, связанной с некоторой проекцией N -мерной сферы (вложенной в (N + 1)-мерное евклидово пространство) на касательную N -мерную плоскость, замкнутые орбиты появляются при тех же потенциалах, что и в евклидовой геометрии. В § 3 построены соответствующие векторы или тензоры констант движения, а также алгебры скобок Пуассона. В § 4 найдены соответствующие квантовомеханические операторы и алгебры коммутаторов. В оставшейся части статьи внимание сосредоточено на двумерных системах, поскольку они демонстрируют все существенные свойства дина-

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

127

мических симметрий (SO(3) и SU (2)) без тех сложностей, что возникают при N > 2 из-за нетривиальной структуры группы вращения SO(N ). В § 5 гамильтонианы квантовомеханической задачи Кеплера и систем с изотропным осциллятором на 2-сфере выражаются как функции от операторов Казимира SO(3) и SO(2) соответственно. В § 6 показано, как генераторы динамических симметрий этих систем можно использовать (в шредингеровском представлении) для построения волновых функций. § 7 содержит обсуждения и выводы. В следующей статье [11] речь пойдет об обобщении этих результатов для N -мерного пространства и, в частности, будет обсуждаться физически наиболее важная размерность: N = 3. Квантовомеханическая задача Кеплера на трехмерной сфере ранее обсуждалась Шредингером [17], который определил энергетические уровни и их вырождение по угловому моменту при помощи факторизации дифференциального оператора второго порядка в радиальном уравнении Шредингера. Изотропный осциллятор на трехмерной сфере был изучен, под видом «разрешимой нелинейной киральной модели», в [9], где дается решение радиального уравнения Шредингера. Было обнаружено, что вырождение по угловому моменту энергетических уровней, найденное этими авторами, совпадает с вырождением уровней евклидового изотропного осциллятора, что и послужило изначальным мотивом для этого исследования динамических симметрий в сферической геометрии.

2. Классическая динамика на сфере Существует несколько систем координат на сфере, являющихся полезными обобщениями декартовых координат евклидовой геометрии; они соответствуют различным проекциям N -мерной сферы, вложенной в (N + 1)-мерное евклидово пространство, на касательную N -мерную плоскость в выбранном начале координат. Одна из таких систем [9], получается просто посредством связи q02 + qi qi = λ−1 ,

(1)

где λ — кривизна сферы, наложенной на N + 1 декартовы координаты q 0 , qi (i = 1, . . . , N ). N независимых переменных qi являются декартовыми координатами ортогональной проекции сферы: их область изменения представляет собой диск qi qi 6 λ−1 и каждый набор координат {qi } соответствует двум точкам на сфере. По причинам, которые вскоре станут известны, целям этой работы скорее отвечает другая проекция, а именно — гномоническая проекция (на

128

П. ХИГГС

жаргоне картографов), которая является проекцией из центра сферы на касательную плоскость в пространстве вложения. Декартовы координаты этой проекции обозначим xi . Соотношение между двумя проекциями следующее qi = xi (1 + λr2 )−1/2 , где

(2)

r 2 = x i xi . Из уравнений (1) и (2) несложно получить готовую метрику ds2 = (1 + λ r2 )−2 (x.dx/r)2 + (1 + λ r2 )−1 [dx.dx − (x.dx/r)2 ].

(3)

Преимущество этой проекции перед всеми остальными для анализа движения частицы на сфере обусловливается тем, что свободное движение точки (равномерное движение по большому кругу) проецируется на касательную плоскость как прямолинейное, но неравномерное движение. То есть проекция траектории свободной частицы такая же, как в евклидовой геометрии: кривизна влияет только на скорость спроецированного движения. Теперь покажем, что это свойство сохраняется и в присутствии центральной силы, определяемой потенциалом V (r). Функция Лагранжа для нерелятивистского движения частицы единичной массы под действием силы равна 1 s˙ 2 − V , где s˙ 2 определяется уравне2 нием (3). Импульс, сопряженный x имеет вид: p = (1 + λ r2 )−2

˙ x(x.x) 2 ˙ + (1 + λ r2 )−1 (x˙ − x(x.x)/r ), r2

(4)

так что тензор момента импульса равен: Lij = xi pj − xj pi = (1 + λ r2 )−1 (xi x˙ j − xj x˙ i ),

(5)

а гамильтониан: H = (1 + λ r2 ){p2 + λ(x.p)2 } + V (r).

(6)

Симметрия H относительно вращений влечет за собой постоянство величин Lij , так что каждая спроецированная траектория лежит в плоскости Lij xj = 0. В полярных координатах (r, θ) на этой плоскости уравнения сохранения момента импульса и энергии принимают вид (1 + λ r2 )−1 r2 θ˙ = L,

(5a)

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

129

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

где L2 = 1 Lij Lij 2 и

1 [1 + λ r2 )−2 r˙ 2 + 1 + λ r2 )−1 r2 θ˙2 ] + V (r) = E. 2

(6a)

Из последних двух уравнений находим дифференциальное уравнение орбиты 1 L2 [r−4 (dr/dθ)2 + r−2 ] + V (r) = E − 1 L2 . (7) 2 2 Так как величина кривизны присутствует только в части E − 1 λL2 , 2

очевидно, что спроецированные орбиты при заданном V (r) не отличаются от орбит в евклидовой геометрии. В частности, отсюда следует, что орбиты замкнуты только, если V (r) = −µr−1

(задача Кеплера)

(8)

или

V (r) = 1 ω 2 r2 (изотропный осциллятор), (9) 2 где µ и ω постоянные. При помощи угловой координаты χ на сфере, определяемой по формуле λ1/2 r = tg χ, эти потенциалы представляются в форме V = −µλ1/2 ctg χ,

(8a)

V = 1 ω 2 λ−1 tg2 χ. 2

(9a)

В виде (8a) кеплеровский (или кулоновский) потенциал очевидно антисимметричен относительно двух полусфер: если выбрать µ положительным, потенциал имеет притягивающую особенность в начале отсчета χ = 0 (северный полюс) и в такую же отталкивающую особенность в противоположной точке χ = π (южный полюс). Более того, в отличие от евклидового аналога, здесь все орбиты замкнуты, так как сфера компактна — те проекции, которые не замкнуты (гиперболы), соответствуют замкнутым орбитам, пересекающим экватор (χ = 1 π). В пределе λ → 0 получаем как ограни2 ченные, так и не ограниченные евклидовы кеплеровские орбиты (для кулоновского притяжения) из северной полусферы, а также неограниченные орбиты отталкивающего кулоновского центра из южной полусферы.

130

П. ХИГГС

С другой стороны, в виде (9a) потенциал осциллятора очевидно симметричен относительно двух полусфер и сингулярен на экваторе. Таким образом, возможные орбиты заключены в одной или другой из полусфер и имеют одну и ту же форму в них обеих. Как и в евклидовом пространстве, решения уравнения для траектории существует лишь тогда, когда величина ω 2 неотрицательна. Следует отметить, что, вследствие сингулярности на экваторе, в пределе ω → 0 мы имеем скорее движение частицы, которая свободна везде, кроме отражающего барьера на экваторе, чем движение свободной частицы.

3. Константы движения 3.1. Задача Кеплера В евклидовом пространстве вектор Рунге – Ленца, который в каждой точке кеплеровской орбиты параллелен главной оси, имеет следующие декартовы компоненты: Ri = −Lij pj + µ xi /r. (10) Скобки Пуассона с гамильтонианом и друг с другом для них имеют вид {Ri , H} = 0

(11)

{Ri , Rj } = −2HLij .

(12)

Длина вектора задается выражением R2 = µ2 + 2HL2 .

(13)

Не трудно найти обобщение выражения (10), подходящее для сферы. Первое слагаемое Ri , которое сохраняется при движении свободной частицы, получается из генераторов Lij и pj евклидовой группы E(N ). При движении свободной частицы по сфере сохранение импульса заменяется сохранением вектора π = p + λ x(x.dp), (14) компоненты которого пропорциональны соответствующим генераторам геометрической группы симметрии SO(N + 1), представляющим собой компоненты углового момента в пространстве вложения: πi = λ1/2 L0i .

(15)

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

131

Сделав такую же замену в выражении (10), получим требуемое обобщение Ri = −Lij πj + µ xi /r,

(16)

{Ri , Rj } = (−2H + 2λ L2 )Lij ,

(17)

R2 = µ2 + 2HL2 − λ(L2 )2 .

(18)

H = 1 (π 2 + λ L2 ) − µ/r, 2

(19)

из которого следуют обобщения (12) и (13):

Гамильтониан можно записать в виде

так как гамильтониан свободной частицы пропорционален квадратичному оператору Казимира (L0i L0i + L2 ) геометрической группы SO(N + 1). В евклидовом пространстве построение нормированного вектора Рунге – Ленца M , такого, что алгебра скобок Пуассона L ij и Mi имеет структуру алгебры Ли группы SO(N + 1), — тривиальная задача. Исследование выражений (11) и (12) показывает, что вектор M = (−2H)−1/2 R,

(20)

являющийся вещественной динамической переменной для ограниченных орбит (E < 0),2 имеет требуемые скобки Пуассона {Mi , H} = 0,

(21)

{Mi , Mj } = Lij .

(22)

H = − 1 µ2 /C, 2

(23)

Уравнение (13) позволяет записать функцию H через оператор Казимира 3 динамической группы симметрии:

где 2 Для

C = L2 + M 2 . неограниченных орбит (E > 0) взамен строится вектор

0

= (+2H)−1/2

и получается алгебра группы SO(N, 1). 3 Для реализации генераторов SO(N, 1) с помощью динамических переменных L ij и Mi имеется лишь один независимый оператор Казимира, вследствие того, что они удовлетворяют тождествам вида Lij Mk + Ljk Mi + Lki Mj ≡ 0.

132

П. ХИГГС

На сфере появление множителя L2 в скобках Пуассона (17) делает построение вектора M нетривиальной задачей. Из требования, что M является вектором относительно группы SO(N ), представляющим собой константу движения, следует вид выражения M = Rf (L2 , H).

(24)

Скобки Пуассона компонент такого вектора имеют вид {Mi , Mj } = −Lij

∂ M 2 (L2 , H), ∂(L2 )

так что скобки Пуассона (22) могут быть получены, если L2 + M 2 = C(H),

(25)

где C(H) является, пока что, произвольной функцией. Теперь, если вектор M так же, как и R, подходящим образом определен для всех орбит, он должен, как и R, обращаться в ноль, если орбита является круговой. Таким образом, L2 = C(E) должно быть выражением для углового момента круговой орбиты с энергией E, которое можно найти, приняв, что в выражении (18) R2 = 0.4 Поэтому решение уравнения (25) для гамильтониана через оператор Казимира C для всех орбит определяется выражением (18) µ2 + 2HC − λ C 2 = 0. Очевидно, для сферы аналог выражения (23) такой H = 1 λ C − 1 µ2 C −1 , 2 2

(26)

а аналога соотношению, соответствующему SO(N, 1), справедливого для E > 0 в евклидовом пространстве, не существует. 3.2. Изотропный осциллятор В евклидовом пространстве симметричный тензор 5 , главные оси которого те же, что и у орбиты, имеет следующие декартовы компоненты: Sij = pi pj + ω 2 xi xj . 4 Таким

образом, полученное выражение в явном виде имеет вид C(E) = λ−1 [E + (E 2 + λµ2 )1/2 ].

5 Этот

тензор вдвое больше тензора, указанного Фрадкиным [6].

(27)

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

133

Скобки Пуассона с гамильтонианом осциллятора и друг с другом для них имеют вид {Sij , H} = 0 (28) {Sij , Skl } = ω 2 (Lik δjl + Lil δjk + Ljk δil + Ljl δik ).

(29)

I1 = Sii = 2H,

(30)

I2 = Sij Sji − Sii Sjj = 2ω 2 L2 .

(31)

Компоненты выражения (27), очевидно, образуют матрицу ранга два, так что из них можно построить только два независимых скаляра, а именно:

В случае сферы, опять же, все, что необходимо сделать для построения соответствующих констант движения, — это заменить p в компонентах S ij на π: Sij = πi πj + ω 2 xi xj . (32) Скобки Пуассона (29) заменяются на {Sij , Skl } = ω 2 (Lik δjl + Lil δjk + Ljk δil + +Ljl δik ) + λ(Lik Sjl + Lil Sjk + Ljk Sil + Ljl Sik ).

(33)

Выражение (30) заменяется на Sii = 2H − λ L2 ,

(34)

а (31) остается прежним. В евклидовом пространстве алгебра (29) просто приводит к алгебре динамической группы симметрии SU (N ), генераторы которой — L ij и симметричный бесследовый тензор Nij такие, что {Nij , H} = 0,

(35)

{Nij , Nkl } = Lik δjl + Lil δjk + Ljk δil + Ljl δik .

(36)

Nij = ω −1 (Sij − N −1 Skk δij ).

(37)

Очевидно, можно выбрать

Из соотношений (30) и (31) теперь следует выражение Nij Nji = 4(N − 1)H 2 /N ω 2 − 2L2

134

П. ХИГГС

для единственного независимого скаляра, который можно построить из N ij . Следовательно, получим H как функцию от оператора Казимира 6 динамической группы SU (N ): H = ω C 1/2 , (38) где 4(1 − N −1 )C = Nij Nij + Lij Lij .

На сфере построение Nij из Sij нетривиально, вследствие нелинейности выражений для скобок Пуассона (33), но это построение может быть выполнено с помощью метода, сходного с используемым в задаче Кеплера. Так как ранг матрицы Sij равен двум, то наиболее общий симметричный тензор с теми же главными осями, ранг которого также равен двум, имеет вид Tij = f (L2 , H)Sij + g(L2 , H)(Sim Smj − Smm Sij ) = f Sij + ω 2 gLim Lmj . (39) Два соответствующих скаляра таковы J1 = Tii = f I1 + gI2 ,

(40)

  J2 = Tij Tji − Tii Tjj = f 2 − f gI1 − 1 g 2 I2 I2 . 2

(41)

Скобки Пуассона компонент такого тензора имеют вид

{Tij , Tkl } = Lik Ujl + Lil Ujk + Ljk Uil + Ljl Uik , где Uij = δij (ω 2 J2 /I2 ) − Tij ∂ J1 /∂ (L2 ) − Lim Lmj ∂(ω 2 J2 /I2 )/∂(L2 ).

(42)

Таким образом, мы получаем скобки Пуассона (36), если Nij = Tij − N −1 Tkk δij , при условии, что в (39) функции f и g выбираются так, чтобы J1 = A(H)J2 = −2L2 ,

(43)

6 Вновь реализация SU (N ) с помощью динамических переменных L ij и Nij допускает лишь один независимый оператор Казимира при учете алгебраических соотношений между переменными.

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

135

где A(H) пока что является произвольной функцией. Квадратичный оператор Казимира динамической группы SU (N ) задается выражением где

Nij Nij + Lij Lij = 4(1 − N −1 )C(H),

C(H) = 1 [A(H)]2 . (44) 4 Вновь функция A(H) определяется при рассмотрении круговых орбит. Для осциллятора они характеризуются вырождением двух ненулевых собственных значений тензора Sij , которое имеет место, когда I12 + 2I2 = 0. В явном виде данное условие запишется как E = 1 λ L2 + ω(L2 )1/2 . 2 То же условие вырождения для Tij ,

(45)

J12 + 2J2 = 0, в явном виде запишется как 1 [A(E)]2 = L2 . (46) 4 Требованием согласованности соотношений (45) и (46) обусловливается, что функция A(E) такова, что выражение (44) эквивалентно следующему H = 1 λ C + ω C 1/2 . 2 Таково требуемое обобщение евклидова соотношения (38).

(47)

4. Квантовая динамика на сфере Квантовомеханический гамильтониан H0 для свободной частицы на сфере можно получить из ее классического аналога путем замены классического оператора Казимира геометрической группы SO(N + 1) его квантовомеханическим аналогом. Требование симметрии устраняет неопределенности упорядочения, иначе это привело бы к появлению ненаблюдаемых дополнительных констант в H0 . Таким образом, H0 = 1 (π 2 + λ L2 ), 2

136

П. ХИГГС

где классическое выражение для π (14) надо заменить его эрмитовым аналогом π = p + 1 λ{x(x.p) + (p.x)x}. (14a) 2 4.1. Задача Кеплера Легко проверить, что квантовый гамильтониан (19) коммутирует с эрмитовой модификацией Ri = − 1 (Lij πj − πj Lij ) + µ xi /r 2

(16a)

вектора Рунге – Ленца (16). Скобки Пуассона (17) заменяются коммутаторами7 h n oi [Ri , Ri ] = iLij −2H + λ 2L2 + 1 (N − 3)2 , (17a) 4 а длина R теперь определяется как

n o R2 = µ2 + (2H − λ L2 ) L2 + 1 (N − 1)2 − λ L2 . 4

(18a)

H = 1 λ C − 1 µ2 [C + 1 (N + 1)2 ]−1 . 2 2 4

(26a)

Так же, как (17) и (18) влекут соотношение (26) между классическим гамильтонианом и квадратичным оператором Казимира динамической группы SO(N + 1), (17а) и (18а) влекут соотношение между квантовым гамильтонианом и соответствующим квантовым оператором Казимира. В статье [11] будет показано, что это соотношение имеет вид

В данной статье в § 5 этот результат будет доказан для N = 2, когда структура алгебры особенно проста. 4.2. Изотропный осциллятор Аналогично, квантовый гамильтониан H = H0 + 1 ω 2 r 2 2 7 Здесь

и далее используются естественные единицы измерения, для которых 

= 1.

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

137

коммутирует с эрмитовым симметричным тензором Sij = 1 (πi πj + πj πi ) + ω 2 xi xj . 2

(32a)

Компоненты имеют коммутаторы [Sij , Skl ] = i[(ω 2 − 1 λ2 )(Lik δjl + Lil δjk + Ljk δil + Ljl δik )+ 4 + 1 λ(Lik Sjl + Lil Sjk + Ljk Sil + Ljl Sik )+ 2 + 1 λ(Sik Ljl + Sil Ljk + Sjk Lil + Sjl Lik )], 2

(33a)

а образованные из них скаляры имеют вид I1 = Sii = 2H − λ L2 ,

(34)

как и прежде, и I2 = Sij Sji −Sii Sjj = −ω 2 {2L2 +N (N −1)}−λ{2(N −1)H −(N + 1 )λ L2 }. 2 (31a) Вновь также, как (31), (33) и (34) приводят к соотношению (47) между классическим гамильтонианом осциллятора и квадратичным оператором Казимира динамической группы SU (N ), выражения (31а), (33а) и (34) приводят к соотношению H = 1 λ(C + 1 N ) + [(ω 2 + 1 λ2 )(C + 1 N 2 )]1/2 2 2 4 4

(47a)

между квантовым гамильтонианом и соответствующим квантовым оператором Казимира. Это будет доказано для N = 2 в следующем разделе и при любом N в работе [11].

5. Энергетические уровни в двумерных системах В двумерном пространстве угловой момент имеет только одну компоненту L12 , а векторы и симметричные бесследовые тензоры имеют только по две компоненты, которые можно выбрать так, чтобы они были повышающими и понижающими операторами для собственных значений компоненты L12 . Эти особенности делают решение алгебраических задач, связанных с квантовыми системами Кеплера и осциллятором достаточно простым.

138

П. ХИГГС

5.1. Задача Кеплера Коммутаторы углового момента с векторным оператором, имеющие вид [Lij , Rk ] = i(δik Rj − δjk Ri ),

в двумерном пространстве сводятся к виду

[L, R± ] = ± R± , где L = L12 R± = R1 ± iR2 .

Эти коммутаторы обобщаются следующим образом f (L)R± = R± f (L ± 1). Теперь выражения (17а) и (18а) можно записать в виде n  o 1 (R R − R R ) = L −2H + λ 2L2 + 1 , + − − + 2 4   1 (R R + R R ) = µ2 + (2H − λ L2 ) L2 + 1 − λ L2 , + − − + 2 4 так что   R+ R− = F (L − 1 ), R− R+ = F L + 1 , 2 2 где   F (x) = µ2 + 2Hx2 − λx2 x2 − 1 . 4 Пусть нормированный вектор Рунге – Ленца равен

(48)

(49)

M = 1 (Rf (L, H) + f (L, H)R). 2 По условию (22) требуется, чтобы его компоненты имели коммутатор [M+ , M− ] = 2L. Однако, используя выражения (48) и (49), находим h  i2   h  i2   [M+ , M− ] = φ L − 1 F L− 1 − φ L+ 1 F L+ 1 , 2 2 2 2

(51)

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

139

где

  φ L + 1 = 1 (f (L, H) + f (L + 1, H)). 2 2 Сравнивая (50) и (51), получим разностное уравнение, решение которого (φ(x))2 = (A(H) − x2 )/F (x),

где произвольную функцию A(H) можно выразить через оператор Казимира SO(3): C = L2 + M 2 = A(H) − 1 . 4 Таким образом, нормировочный множитель определяется как C(H) + 1 − x2 4 (φ(x)) =  . µ2 + 2Hx2 − λ x2 x2 − 1 2

4

Функция C(H) определяется требованием, чтобы величина φ 2 была положительной8 и знаменатель содержал в себе числитель в виде множителя:   µ2 + (2H − λ C) C + 1 = 0. 4

Таким образом, квантовый аналог классического соотношения (26) имеет вид  −1 H = 1 λC − 1 µ2 C + 1 . (52) 2 2 4 Хорошо известные неприводимые представления SO(3) приводят теперь к следующим энергетическим уровням  −2 , (53) En = 1 λn(n + 1) − 1 µ2 n + 1 2 2 2 где число n целое неотрицательное. 8 Неотрицательность φ2 является следствием требования, чтобы вектор был эрмитовым. Более сильное условие φ2 > 0 является следствием требования, чтобы соотношение между векторами и было несингулярным. Сингулярность, которой следует избегать, имеет место, если матричный элемент соотношения включает в себя собственные состояния L, соответствующие его максимальному собственному значению (заданному C), для которого числитель





функции C +

1 − x2 обращается в нуль. Эти собственные состояния представляют собой 4

квантовомеханические аналоги круговых орбит, которые использовались в § 3 для получения классического соотношения между функциями H и C.

140

П. ХИГГС

Каждому уровню соответствуют собственные значения углового момента l = −n, −n + 1, . . . n. (54) 5.2. Изотропный осциллятор Таким же образом можно проанализировать алгебру двумерного осциллятора. Коммутаторы углового момента с симметричным тензорным оператором можно записать в виде [L, S± ] = ± 2S± , где S± = 1 (S11 − S22 ) ± iS12 . 2 В более общем случае при любой f (L) f (L)S± = S± f (L ± 2).

(55)

Из (31а), (33а) и (34) получим  i h  1 (S S − S S ) = L 2 ω 2 − 1 λ2 + λ(2H − λ L2 ) , + − − + 2 4 h  i 1 (S S + S S ) = 1 (2H − λ L2 )2 + ω 2 (L2 + 1) + λ H − 5 λ L2 , + − − + 2 4 4 так что S+ S− = G(L − 1), S− S+ = G(L + 1), где

G(x) = H 2 − (ω 2 + 1 λ2 + λ H)x2 + 1 λ2 x4 . (56) 4 4 Пусть нормированный бесследовый тензор, который нужно построить, имеет компоненты N± = 1 S± f (L, H) + f (L, H)S± . 2 По условию (36) коммутатор должен иметь вид [N+ N− ] = 4L.

(57)

Но из выражений (55) и (56) получим [N+ N− ] = (φ(L − 1))2 G(L − 1) − φ(L + 1))2 G(L + 1),

(58)

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

141

где φ(L + 1) = 1 {f (L, H) + f (L + 2, H)}. 2 Сравнив выражения (57) и (58) получим разностное уравнение, решение которого (φ(x))2 = (A(H) − x2 )/(G(x)),

где произвольная функция A(H) связана теперь с оператором Казимира SU (2): C = 1 (N+ N− + N− N+ ) + L2 = A(H) − 1. 2 Таким образом, нормировочный множитель задается выражением (φ(x))2 =

C + 1 − x2 .  H 2 − ω 2 + 1 λ 2 + λ H x2 + 1 λ 2 x4 

4

4

Для положительности вновь требуется, чтобы числитель присутствовал в знаменателе в виде множителя, откуда H = 1 λ(C + 1) + 2

h

 i1/2 ω 2 + 1 λ2 (C + 1) . 4

(59)

Так как собственные значения функции C для SU (2) равны n(n + 2), где целое число n неотрицательно, то энергетические уровни имеют вид En = 1 λ(n + 1)2 + (n + 1)ω 0 , 2 где

(60)

 1/2 ω 0 = ω 2 + 1 λ2 . 4

Каждому уровню соответствуют собственные значения углового момента l = −n, −n + 2, . . . n.

6. Волновые функции Волновые функции собственные одновременно для H и L 2 для этих систем можно найти, используя, как и в евклидовом пространстве, вектор R i или тензор Sij в представлении Шредингера для построения рекуррентных

142

П. ХИГГС

соотношений между радиальными функциями. Конечно, угловые собственные функции представляют собой гиперсферические гармоники. Например, поскольку R — это векторный оператор относительно динамической группы SO(N ), ортогональный угловому моменту и коммутирующий с HКеплер , его ненулевые матричные элементы таковы: h n, l ± 1|R|n, li. Так что его можно использовать, чтобы связать радиальные функции при фиксированном значении n и соседних значениях l. В частности, для N = 2 алгебра из § 5.1 допускает явное соотношение между векторным оператором R и нормированным вектором M :   −1 h  . i1/2
2 R+ = M + φ L + 1 = M + λ L + 1 + µ2 C + 1 , 2 2 4   . −1 h   i1/2 R− = M − φ L − 1 = M − λ L − 1 + µ2 C + 1 . 2 2 4 Так как M± являются повышающим и понижающим операторами для L в алгебре SO(3), то получим (при стандартном правиле фаз) 2 . 2 io1/2 n h  |n, l± 1i. (62) R± |n, li = (n∓ l)(n± l+1) λ l± 1 +µ2 n+ 1 2 2

Теперь определения (14а) и (16а) приводят к следующим выражениям для операторов R± в представлении Шредингера, где угловые переменные χ (дополнение до широты) и φ (долгота) выбираются в качестве координат:     ∂ ± i ctg χ ∂ R± = λ1/2 exp(± iφ) ∓i ∂ + 1 +α , (63) ∂χ ∂φ ∂φ 2

где

α = µ/λ1/2 .

(64)

Комбинируя уравнения (62) и (63), получим рекуррентные соотношения для волновых функций Xnl (χ) exp(ilφ): h  i ±l + 1 (d/dx ∓ l ctg χ) = α Xnl = 2 (65) 2 . 2 oi1/2 h n Xn,l± 1 . = (n ∓ l)(n ± l + 1) χ l ± 1 + α2 n + 1 2 2 В частности, условие R+ |n, ni = 0 приводит к дифференциальному уравнению i h
(66) n + 1 (d/dχ − n ctg χ) + α Xnn = 0, 2

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ В

СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

143

которому удовлетворяет собственная функция, соответствующая максимальному значению l. Его решение имеет вид h . i Xnn = an (sin χ)n exp −αχ n + 1 , 2

(67)

где an определяется из нормировки 2π

Zπ 0

|Xnn |2 sin χ dχ = 1.

(68)

Рекуррентные соотношения (65) определяют теперь остальные собственные функции. Выражение для Xnl в замкнутом виде было найдено в [11] для произвольной размерности N . Подобное построение волновых функций Шредингера для двумерного осциллятора можно выполнить, используя соотношения S± = 1 λ N± [{2γ + (C + 1)1/2 }2 − (L ± 1)2 ]1/2 , 2

(69)

 1/2 γ = λ−1 ω 2 + 1 λ2 , 4

(70)

где

между компонентами тензора Фрадкина Sij и нормированного тензора Nij , которые следуют из алгебры § 5.2. Выражая S± в виде операторов Шредингера и учитывая, что 1 N± представляют собой повышающий и понижаю2

щий операторы для 1 L в алгебре SU (2), получим рекуррентные соотно2

шения между волновыми функциями, соответствующими состояниям |nli и |n, l ± 2i. И снова в [11] для этих волновых функций построены выражения в явном виде для любой размерности N .

7. Обсуждение Свойства двух динамических систем, алгебра констант движения которых анализировалась в предыдущих разделах, во многом совпадают со свойствами их более известных евклидовых аналогов. Например, константы движения Ri и Sij представляют собой квадратичные функции генераторов πi и Lij геометрической симметрии SO(N + 1), с зависимостью

144

П. ХИГГС

от координат только нулевой степени. Как раз этого и следовало бы ожидать, основываясь на общем анализе динамических симметрий в евклидовой геометрии, приведенном в [13]. Также следует ожидать, что, как и их евклидовы аналоги, уравнения Гамильтона – Якоби и Шредингера двух систем допускают разделение переменных при помощи некоторых семейств эллиптических систем координат на сфере9 . С одной стороны, такие системы проще, чем их евклидовы аналоги: каждая из них содержит два параметра (радиус кривизны и силовую постоянную), и если величина силовой постоянной стремится к нулю, структура групп симметрии не меняется. Таким образом, в принципе, не трудно связать волновые функции кулоновской системы с волновыми функциями свободной частицы на сфере с помощью унитарного преобразования, тогда как соответствующая евклидова задача усложняется наличием непрерывного спектра гамильтониана. Однако следует заметить, что, как упоминалось в § 2, предел ω → 0 осциллятора относится не к частице на сфере, а к частице, которая движется свободно везде, кроме барьера на экваторе. Соотношение между группой симметрии SU (N ) этой системы и группой симметрии SO(N + 1) полностью свободной частицы рассматривалось ранее в [15] для размерности N = 3. Наконец, стоит отметить, что квантовая осцилляторная система имеет симметрию SU (N ) даже при отрицательных значениях ω 2 при условии, что ω 2 + 1 ~2 λ2 = ω 02 > 0. 4 При ω 0 = 0 алгебра упрощается. В частности, для N = 2 соотношение (69), описывающее нормировку тензора Фрадкина, приобретает более простой вид S± = 1 λ N± [(C + 1)2 − (L ± 1)2 ]1/2 , (71) 2 откуда получаем операторы S± , играющие роль повышающих и понижающих операторов: S± |n, li = 1 λ(n ∓ l)(n ± l + 2)|n, l ± 2i. 2

(72)

Если используются координаты (q1 , q2 ) ортогональной проекции на касательную плоскость в начале координат, а скалярное произведение волновых 9 Полный анализ этого свойства трехмерных евклидовых задач Кеплера можно найти в [8]. Трехмерный евклидов осциллятор обсуждается в [4].

ЛИТЕРАТУРА

145

R функций Шредингера выбрано в виде: ψ1∗ (q)ψ2 (q)d2 q, — где область интегрирования представляет собой круг, на который проецируется сфера, — то уравнение Шредингера системы принимает вид "  # 2 2 1 q ∂ + ∂ q −1 ∂ −λ ψ = (n + 1)2 ψ. (73) i 4 i ∂ qi ∂ qi ∂ qi2 При λ = 1 это уравнение в частных производных, которому удовлетворяют полиномы Цернике степени n, см. [20]10. Уравнение (72) дает соотношения между полиномами Цернике с угловыми зависимостями exp(ilφ) и exp i(l ± 2)φ. При N > 2 собственное значение уравнения Шредингера (73) принимает вид: (n + 1 N )2 : его решения являются полиномами, 2 представляющими собой обобщения на внутренность N -мерной сферы, λqi qi 6 1, круговых полиномов Цернике.

Литература [1] Bacry H., Ruegg H., Souriau J. M. Commun. Math. Phys., 1966, V. 3, p. 323. [2] Baker G., A. Jr. Phys. Rev., 1956, V. 103, p. 1119. [3] Bertand J., C. R. Acad. Sci. Paris, 1873, V. 77. [4] Boyer C. P., Kalnins E. G., Miller W. Jr. J. Math. Phys., 1975, V. 16, p. 512. [5] Fock V. Z. Phys. 1935, V. 98, p.145. [6] Fradkin D. M. Am. J. Phys., 1965, V. 33, p. 207. [7] Jauch J. M., Hill E. L., Phys. Rev., 1940, V. 57, p. 641. [8] Kalnins E. G., Miller W. Jr., Winternitz P. SIAM J. Appl. Math., 1976, V. 30, p. 630. [9] Lakshmanan M., Eswaran K. J. Phys. A: Math. Gen., 1975, V. 8, p. 1658. [10] Laplace P. S. A Treatise of Celestial Mechanics. Dublin, 1827. [11] Leemon H. I. J. Phys. A: Math. Gen., 1979, V. 12, p. 489. 10 Эти

полиномы широко применяются в оптике. Обзор их свойств см. [19].

146

П. ХИГГС

[12] Lenz W. Z. Phys. 1925, V. 24, p.197. [13] Makarov A. A., Smorodinsky Ya. A., Valiev Kh., Winternitz P. Nuovo Cim., 1967, A52, p. 1061. [14] Pauli W. Z. Phys., 1926, V. 36, p. 336. [15] Ravenhall D. G., Sharp R. T., Pardee W. J. Phys. Rev., 1967, V. 164, p. 1950. [16] Runge C. Vektoranalysis, Leipzig, 1919, V. 1, p. 70. [17] Schr¨odinger E. Proc. R. Ir. Acad., 1940, 45A, p. 9. [18] Stehle P., Han M. Y. Phys. Rev., 1967, V. 159, p. 1076. [19] Tango W. J. J. Appl. Phys., 1977, V. 13, p. 327. [20] Zernike F. Physica, 1934, V. 1, p. 689.

10 О динамике в пространствах постоянной кривизны1 В. В. Козлов2

1. Задача о движении заряженной частицы в пространстве Эйнштейна. Пусть M 4 — псевдориманово пространство-время с сигнатурой + − −−, xi (0 6 i 6 3) — локальные координаты, а ds2 = gij dxi dxj — псевдориманова метрика на M 4 . Как известно (см., например [1]), тензор электромагнитного поля Fik в «пустом» пространстве M 4 удовлетворяет уравнениям Максвелла ∂Fji ∂Fkj ∂Fik + = 0, + j k ∂x ∂xi ∂x ∂ (√−gF ik ) = 0. 1 √ −g ∂xk

(1)

Здесь g — определитель матрицы kgij k, F ik = g ip g kq Fpq . Первое уравнение Максвелла (1) эквивалентно условию замкнутости 2-формы. ^ Ω = Fij dxi dxj . 1 Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. институт им. В. А. Стеклова РАН, 117966, Москва, Россия. E-mail: [email protected]. 2 Математический

148

В. В. КОЗЛОВ

Согласно лемме Пуанкаре, эта форма локально точна: Q = dω, где ω = = fi dxi . Ковариантный тензор fi называется 4-потенциалом электромагнитного поля. Пусть m — масса частицы с зарядом e. Как известно, ее траектории в M 4 являются стационарными точками функционала действие Z I[a] = mds + eω. (2) a

Это обстоятельство позволяет получить уравнения движения заряженной частицы в заданном электромагнитном поле. В качестве M 4 возьмем теперь пространство Эйнштейна (см. [1]). С топологической точки зрения M 4 является прямым произведением оси времени R и трехмерной сферы S3 . Метрика ds задается формулой c2 dt2 − R2 (dϑ2 + sin2 ϑ(dϕ2 + sin2 ϕdψ 2 )).

(3)

Здесь c — скорость света; R — радиус сферы; ϑ, ϕ, ψ — сферические координаты на S3 . В пространстве Эйнштейна, как и в пространстве Минковского, существуют нетривиальные стационарные электрические поля. Действительно, положим fi = 0, i > 1, воспользуемся формулами Fij =

∂fj ∂xi

−

∂fi . ∂xj

(4)

Следовательно, отличными от нуля могут быть только компоненты F 0j = = −Fj0 , j > 1. Согласно (4), F0j = −∂f0 /∂xj . Ввиду того что электрическое поле предполагается постоянным, функция f 0 не зависит от координаты x0 = ct. Так коэффициенты g0k , k > 1, метрики (3) равны нулю, то из формулы F ik = g ip g kq Fpq вытекает, что F ik 6= 0 лишь при i = 0 или k = 0. Поскольку g00 = 1, то F 0k = g kq F0q = −g kq

∂f0 . ∂xq

О

ДИНАМИКЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

149

Следовательно, второе уравнение Максвелла (1) принимает следующий вид:   √ kq ∂f0 1 ∂ −√ = 0, k, q > 1. (5) g∗ g g∗ ∂xk ∂xq Здесь g∗ — определитель матрицы kgij k, i, j > 1; ясно, что g∗ = −g. Левая часть уравнения (5), очевидно, равна ∆f0 , где ∆ — оператор Лапласа – Бельтрами стандартной римановой метрики на трехмерной сфере S3 . Следовательно, f0 — гармоническая функция на S3 . Рассмотрим теперь водородоподобный атом в пространстве Эйнштейна: неподвижное массивное ядро создает симметричное электрическое поле, в котором движется заряженная частица — электрон. Ввиду естественного предположения о симметрии электрический потенциал f 0 есть функция от расстояния на сфере S3 . Поместим ядро в один из полюсов сферы, где ϑ = 0. Тогда f0 зависит лишь от угла ϑ. Уравнение Лапласа – Бельтрами (5)   1 ∂ 2 ∂f0 ∆f0 = 2 2 sin ϑ =0 ∂ϑ R sin ϑ ∂ϑ легко решается: f0 = −γ ctg ϑ + α; α, γ = const. (6) Постоянная α, конечно, несущественна. Рассмотрим задачу о движении электрона в упрощенной нерелятивистской постановке, считая, что скорость частицы много меньше скорости света. В этом случае s   2 2 2 mv ds v 2 2 + O v2 , m = mc 1 − 2 = mc − 2 dt c c где v 2 = R2 (ϑ˙ 2 + sin2 ϑ(ϕ˙ 2 + sin2 ϕψ˙ 2 ))

— квадрат скорости заряженной частицы. Пренебрегая отношением v 2 /c2 , действие (2) можно упростить:  Zt2  2 mv I= − ecf0 dt. 2 t1

Таким образом, приходим к классической ньютоновской модели движения в пространстве постоянной кривизны с потенциалом (6). Эта задача была рассмотрена в [2], где показано, что все орбиты заряженной частицы замкнуты. В точной релятивистской постановке орбиты уже не будут замкнутыми из-за смещения перицентров.

150

В. В. КОЗЛОВ

2. Обобщенная задача Бертрана. Результат работы [2] приводит к следующей задаче: найта все потенциалы V , зависящие лишь от расстояния (т. е. от угла ϑ), с замкнутыми орбитами. Оказывается [2], что к функции (6) — аналогу ньютоновского потенциала — надо добавить функцию V = k tg2 ϑ/2,

k = const.

Эта функция является естественным аналогом потенциала Гука. Поскольку в этих случаях орбиты замкнуты, то по теореме Гордона [3] периоды T обращения по орбитам зависят лишь от полной энергии h. Укажем явные формулы для функций T (h), считая для простоты, что масса материальной точки m и радиус сферы R равны единице. Как известно, в евклидовом пространстве период колебаний груза на упругой пружине не зависит от энергии. Для сферы S 3 это уже не так: T = √ 2π . k + 2h

(7)

Потенциал ньютоновского типа (6) имеет две особые точки в противоположных полюсах S3 : ϑ = 0 и ϑ = π. Если γ > 0, то первый полюс будет притягивающим. Зависимость периода от энергии дается формулой [2] v ,s s u uh 2 h h2 + 1 . π + 1 (8) T = √ tγ + γ γ2 γ2 Аналогичную задачу можно рассмотреть и для трехмерного пространства Лобачевского L3 . Реализуем это пространство как гиперболоид в четырехмерном пространстве R4 = {x, y, z, u} x2 + y 2 + z 2 − u2 = −1.

(9)

Метрика является ограничением псевдоевклидовой метрики в R 4 x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 − u˙ 2

(10)

на поверхность (9). Хорошо известно, что тогда (9) будет пространством Лобачевского с кривизной −1. Параметризуем поверхность (9) координатами ϑ, ϕ, ψ: x = sh ϑ sin ϕ sin ψ,

y = sh ϑ sin ϕ cos ψ,

z = sh ϑ cos ϕ,

u = ch ϑ.

О

ДИНАМИКЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

151

Метрика (10) примет следующий вид: ϑ˙ 2 + sh2 ϑ(ϕ˙ 2 + sin2 ϕψ˙ 2 ). Найдем гармонические функции f , зависящие от расстояния до фиксированной точки с координатами x = y = z = 0, u = 1. Разумеется, расстояние следует вычислять в метрике (10). Легко понять, что тогда функция f зависит лишь от координаты ϑ и удовлетворяет уравнению Бельтрами – Лапласа   ∂ −2 2 ∂f sh ϑ sh ϑ = 0. ∂θ ∂ϑ Его решения имеют вид (11) f = −γ ch ϑ + α; α, γ = const. sh ϑ При ϑ = 0 будем иметь особенность ньютоновского типа. Оказывается, если функцию (11) с положительной постоянной γ взять в качестве потенциальной энергии, то все ограниченные орбиты материальной точки в L 3 снова будут замкнутыми. Следуя работе [2], рассмотрим обобщенную задачу Бертрана в пространстве Лобачевского: найти все потенциалы V (ϑ), для которых все ограниченные орбиты материальной точки замкнуты. Массу частицы будем считать равной единице. Разумеется, следует предположить, что ограниченные орбиты существуют. Теорема. Решением обобщенной задачи Бертрана являются две функции V = −γ ctg ϑ, 2

V = k th ϑ/2,

γ > 0,

(12)

k > 0.

(13)

Доказательство проводится по схеме, изложенной в [2] для случая сферы S3 . Справедлива простая Лемма. Если потенциальная энергия зависит лишь от координаты ϑ, то каждая орбита лежит в некоторой двумерной плоскости L 2 ⊂ L3 , проходящей через точку ϑ = 0. Для фиксированной плоскости L2 угловые координаты ϕ, ψ можно выбрать так, чтобы эта плоскость определялась уравнением ψ = const. Итак, имеется система с двумя степенями свободы, лагранжиан которой равен 1 (ϑ˙ 2 + sh2 ϑϕ˙ 2 ) − V (ϑ). 2

152

В. В. КОЗЛОВ

Циклической координате ϕ отвечает интеграл sh2 ϑϕ˙ = c.

(14)

С его помощью можно понизить число степеней свободы, вводя функцию Рауса 2 ˙2 Rc = ϑ − Wc (ϑ), W (ϑ) = V + c 2 . 2 2 sh ϑ Функция Wc называется приведенным потенциалом. Как известно, позиционная координата ϑ удовлетворяет уравнению Рауса dWc ϑ¨ = − . dϑ

(15)

Введем новые переменные r и ρ, полагая r = th ϑ,

ρ = 1/r.

Рассмотрим нетривиальный случай, когда c 6= 0 (иначе будем иметь движение по прямой в L2 , проходящей через точку ϑ = 0). Из (14) вытекает, что тогда ϕ — монотонная функция времени, и поэтому в качестве параметра на орбите можно взять угловую переменную ϕ. Будем искать уравнение орбиты в виде ρ = ρ(ϕ). Обозначая штрихом дифференцирование по ϕ, получим ˙ ρ0 = −ϑ/c, ρ00 = (ρ˙0 )/ϕ˙ = −ϑ¨ sh2 ϑ/c2 . Подставим эти формулы в уравнение (15):

2 ρ00 + ρ = sh 2 ϑ dV . dϑ c

(16)

Введем функцию U , полагая V (ϑ) = U (r),

r = th ϑ.

Тогда уравнение (16) примет вид ρ + ρ = 21 2 U 0 c ρ 00

  1 ρ .

(17)

Его решение задают орбиты частицы в L2 . Оно совпадает с известным уравнением Клеро в задаче о движении в центральном поле по евклидовой

О

ДИНАМИКЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

153

плоскости. Согласно классической теореме Бертрана, ограниченные орбиты будут замкнутыми лишь в двух случаях: U = −γ/r, γ > 0 и U = kr 2 /2, k > 0. Теорема доказана. Если траектории замкнуты, то их период зависит лишь от энергии. Эту зависимость проще всего определить, рассматривая семейство круговых орбит ϑ = const. Так как ϑ˙ = 0, то h = Wc (ϑ).

(18)

Связь расстояния ϑ с постоянной c находится из уравнения dWc = 0. dϑ Для потенциала (13) это соотношение принимает следующий вид: th2 ϑ = √c . k

(19)

Используя (14), найдем формулу для периода T = 2π sh2 ϑ/c. Исключая ϑ и c с помощью формул (18) и (19), получим искомое соотношение, аналогичное (7): T = √ 2π . k − 2h Для потенциала ньютоновского типа (12) получается следующая формула для периода: v ,s s u u h 2 h h2 − 1 . π − 1 (20) T = √ t− γ − γ γ2 γ2 Так как

h = −γ cth ϑ +

c2 , 2 sh2 ϑ

то для ограниченных траекторий h < −γ. Следовательно, в формуле (20) под радикалами стоят положительные выражения.

154

В. В. КОЗЛОВ

3. Законы Кеплера. Рассмотрим для определенности движение частицы в трехмерном пространстве постоянной положительной кривизны, равной 1, под действием потенциальной силы с гармоническим потенциалом (6). Пусть M — притягивающий, а M 0 — отталкивающий центры на S3 ; точки M и M 0 — антиподальные. Как показано в [2], каждая орбита частицы лежит на двумерной сфере S2 ⊂ S3 единичного радиуса, содержащей точки M и M 0 . Это аналог леммы из п. 2. Первый закон Кеплера. Орбиты частицы — квадрики на S 2 , в одном из фокусов которых находится притягивающий центр M . Квадрика — это линия пересечения сферы с конусом второго порядка, вершина которого совпадает с центром сферы. Квадрики на поверхностях постоянной кривизны обладают многими свойствами, характерными для конических сечений на евклидовой плоскости. В частности, можно говорить об их фокусах F1 и F2 : любой луч света, выходящий из F1 , после отражения от квадрики обязательно проходит через точку F 2 (лучи света, разумеется, совпадают с большими кругами на S2 ). Каждая квадрика делит сферу на две части. Поэтому можно считать, что отталкивающий центр M 0 также является фокусом орбиты. Первый обобщенный закон Кеплера установлен в работе [2]. Там же показано, что орбиты обобщенной задачи Гука (движение точки в поле с потенциалом k(tg2 ϑ)/2 также являются квадриками, центры которых совпадают с притягивающим центром M ). В каждый момент времени имеется единственная дуга большого круга, соединяющая центр M и материальную точку m («радиус-вектор» точки m). К сожалению, нельзя утверждать, что площадь на S 2 , заметаемая этой дугой, равномерно растет со временем. Чтобы исправить это положение, введем воображаемую точку m0 , заменяя сферические координаты ϑ, ϕ точки m на 2ϑ, ϕ. Ясно, что точка m0 отстоит от притягивающего центра M на вдвое большем расстоянии. Если угол θ больше π/2, то центры M и M 0 следует поменять ролями. Второй закон Кеплера. Дуга большего круга, соединяющий M и m 0 , в равные промежутки времени заметает на сфере равные площади. Действительно, при смещении точки m0 на бесконечно малый угол dϕ дуга опишет площадь   2ϑ Z dS =  sin τ dτ  dϕ = 2 sin2 ϑdϕ. 0

Остается воспользоваться циклическим интегралом sin 2 ϑϕ˙ = const.

О

155

ДИНАМИКЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Второй закон Кеплера, конечно, справедлив для движения в центральном поле по любой поверхности постоянной кривизны. Пусть F1 , F2 — фокусы квадрики. Через эти точки проходит единственная большая окружность сферы S2 . Квадрика делит эту окружность на две части; длину каждой из этих дуг можно назвать большой осью квадрики. Их сумма равна, конечно, 2π. Третий закон Кеплера. Период обращения по орбите зависит только от ее большой оси. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В [2] получено уравнение проекции орбиты на плоскость, касающуюся сферы S2 в точке M (рисунок): tg ϑ =

p ; 1 + e cos ϕ

2 p = cγ ,

2 e2 = 1 + 2c2 γ



2 h− c 2



.

(21)

Поэтому большая ось a складывается из двух дуг ϑ1 и ϑ2 , причем tg ϑ1 =

p , 1+e

tg ϑ2 =

p 1−e

(22)

(см. рисунок). Следовательно, tg a =

tg ϑ1 + tg ϑ2 2p = . 1 − tg ϑ1 tg ϑ2 1 − e 2 − p2

Воспользовавшись формулами (21), получим tg a = −γ/h.

(23)

С учетом (8) получаем окончательно T = √π γ

r

− tg a +

q q 1 + tg2 a 1 + tg2 a,

(24)

что и требовалось. Отметим, что формула (24) не зависит от того, какая из двух возможных больших осей квадрики выбрана.

156

В. В. КОЗЛОВ

4. Уравнение Кеплера. В случае плоского пространства положение тела на орбите и время связаны знаменитым уравнением Кеплера (25)

u − e sin u = ξ,

где u(ξ) — эксцентрическая (средняя) аномалия, e — эксцентриситет орбиты. Наша задача — получить аналог уравнения (25)для пространства постоянной кривизны. Зададим сферу S2 уравнением x2 + y 2 + z 2 = 1 и предположим, что фокусы F1 = M , F2 орбиты-квадрики расположены в точках с координатами (α, β, 0),

(α, −β, 0),

α2 + β 2 = 1.

Величины α, β нетрудно выразить через постоянные интегрирования. Действительно, расстояние между фокусами равно ϑ∗ = ϑ2 − ϑ1 (см. рисунок). В соответствии с формулами (22) tg ϑ∗ = С другой стороны,

tg ϑ2 − tg ϑ1 2pe = . 1 + tg ϑ1 tg ϑ2 1 − e 2 + p2 cos ϑ∗ = α2 − β 2 ;

(26)

(27)

формулы (26) и (27) устанавливают искомую связь. Далее, квадрики на S2 с фиксированными фокусами F1 = M и F2 можно параметризовать с помощью эллиптических функций Якоби: x = dn(λ, α) sn(µ, β),

y = sn(λ, α) dn(µ, β),

z = cn(λ, α) cn(µ, β). (28) Параметр µ «нумерует» квадрики, а параметр λ будет играть роль эксцентрической аномалии. Параметр µ можно выразить через постоянные интегралов энергии и площадей. Действительно, если a— большая ось орбиты, то cos a = (1 − α2 ) sn2 µ − dn2 µ. Остается воспользоваться формулой (23). Совершим линейное преобразование x0 = αx + βy,

y 0 = −βx + αy,

z 0 = z.

О

ДИНАМИКЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

157

В новых переменных притягивающий центр M будет иметь координаты (1, 0, 0). В соответствии с интегралом площадей y 0 z˙ 0 − y˙ 0 z 0 = c. Или в старых переменных (−βx + αy)z˙ + (β x˙ − αy)z ˙ = c. Подставляя сюда формулы (28), получим уравнение ˙ −E λ˙ sn λ + λ˙ dn λ = ξ,

E=

β 3 sn µ , α dn µ

ξ˙ = −

c = const. α dn µ cn µ

(29)

Хорошо известно (см., например, [4]), что Z Z dn λ − α cn λ . dn λdλ = amλ, sn λdλ = 1 ln 2α dn λ + α cn λ

Полагая ϕ = amλ, уравнение (29) можно переписать в следующем виде: p 1 − α2 sin2 ϕ − α cos ϕ E ϕ− ln p = ξ. (30) 2α 1 − α2 sin2 ϕ + α cos ϕ

Это и есть обобщенное уравнение Кеплера. При малых значениях α оно переходит в уравнение вида (25) ϕ + E cos ϕ = ξ.

Параметр E есть функция от e и p, обращающаяся в нуль при e = 0. Можно показать, что dξ/dϕ > 0, если α > β. Следовательно, в этом случае из уравнения (30) можно однозначно найти ϕ как функцию от времени. Если α > β, то орбиту-квадрику следует параметризовать переменной µ. Примечание. Я. Е. Славяновский в [5] рассмотрел задачу о вращении сферического волчка с изотропным потенциалом (зависящим лишь от угла нутации) и нашел потенциалы, когда все траектории волчка замкнуты. Стандартное двулистное накрытие S3 → SO(3) сводит эту задачу к задаче о движении частицы по пространству положительной кривизны в центральном поле, рассмотренной в [2]. Я. Е. Славяновский нашел аналоги потенциалов Ньютона и Гука. Однако в работе [5] потенциал ньютоновского типа (6) не связываются с гармоническими функциями на S3 и не отмечается возможность обобщения этих результатов на трехмерные пространства отрицательной кривизны. В [6] решена задача о квантовании классических систем, найденных в [5].

158

В. В. КОЗЛОВ

Выражаю признательность А. А. Бурову, обратившему мое внимание на работы [5] и [6]. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №93-013-16244).

Литература [1] Эддингтон А. С. Теория относительности. М.-Л., 1934. [2] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [3] Gordon W. B. On the relation between period and energy in periodic dynamical systems. J. Math. and Mech. 1969, Vol. 19, № 2, p. 111–114. [4] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. М., 1963. [5] Slawianowski J. Bertrand systems on SO(3, R), SU (2). Bull. de l’Academie Polonica des Sciences, 1980, Vol. XXVIII, № 2, p. 83–94. [6] Slawianowski J. J., Slominski J. Quantized Bertrand systems on SO(3, R) and SU (2). Bull. Acad. pol. sci. S´er. sci. math., astron. et phys. 1980. Vol. XXVIII, № 2, p. 99–108.

11 Задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны1 В. В. Козлов2 , А. О. Харин

В этой статье исследуется обобщение задачи о движении частицы в центральном поле на случай пространства постоянной кривизны. Показывается, что орбиты на поверхности постоянной кривизны будут замкнуты в двух случаях: когда потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа – Бельтрами и может рассматриваться как аналог потенциала гравитационного взаимодействия, а также в случае, когда потенциал является обобщением потенциала упругой пружины. Кроме того, обнаружена полная интегрируемость обобщенной задачи двух центров на поверхности постоянной кривизны и показано, что эта интегрируемость сохраняется даже при добавлении упругих «сил».

1. Введение У потенциала гравитационного взаимодействия есть два следующих фундаментальных свойства. С одной стороны, это гармоническая функция в трехмерном пространстве (то есть он удовлетворяет уравнению Лапласа), с другой стороны, только этот потенциал (и потенциал упругой пружины) порождает центральное поле, в котором все ограниченные орбиты замкнуты 1 Valery V. Kozlov, Alexander O. Harin, Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. Перевод с английского В. В. Шуликовской. 2 Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 117966, Москва, Россия. E-mail: [email protected].

160

В. В. КОЗЛОВ И А. О. ХАРИН

(теорема Бертрана, см., например, [5]). Оказывается эти свойства сохраняются даже в более общей ситуации движения в пространстве с постоянной кривизной. Мы договоримся о том, что будем рассматривать движение на трехмерной сфере единичного радиуса. Случай пространства Лобачевского можно изучать аналогично. Пусть материальная частица m единичной массы движется в силовом поле с потенциалом V , зависящим только от расстояния между частицей и некоторой фиксированной точкой M на трехмерной сфере. В этой задаче можно увидеть аналог классической задачи о движении в центральном поле. Пусть ϑ обозначает длину дуги большой окружности, соединяющей точки m и M ; ϑ измеряется в радианах. Тогда V — это функция, зависящая только от угла ϑ. Уравнение Лапласа заменяется на уравнение Лапласа – Бельтрами   ∆V = sin−2 ϑ ∂ sin2 ϑ ∂V = 0. ∂ϑ ∂ϑ Его решение имеет вид

V = −γ cos ϑ + α, sin ϑ

α, γ = const.

(1)

Константа α несущественна. Для большей определенности предположим, что γ > 0. Параметр γ играет роль гравитационной постоянной. Кроме притягивающего центра, находящегося в точке M , у этого поля есть и отталкивающий центр в противоположной ей точке M 0 . Если мы рассмотрим это силовое поле как стационарное поле скоростей жидкости, то величина потока через границу любой замкнутой области, не содержащей ни притягивающего, ни отталкивающего центров, равна нулю. Две сингулярности M и M 0 можно рассматривать как источник и сток. В общей ситуации, когда V представляет собой произвольную функцию от ϑ, траектории частицы m лежат на двумерных сферах, содержащих точки M и M 0 . Действительно, вложим трехмерную сферу S 3 в четырехмерное евклидово пространство. Сила, действующая на точку m, лежит в двумерной плоскости π, проходящей через три точки m, M и M 0 . Рассмотрим трехмерную плоскость Π, содержащую π и плоскость, проходящую через точку m параллельно ее начальной скорости. Поскольку и сила, и начальная скорость принадлежат Π, а уравнения движения инвариантны при отражении относительно плоскости Π, частица m никогда не покинет этой плоскости. Пересечение S 3 с плоскостью Π и будет искомой двумерной сферой.

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ

КРИВИЗНЫ

161

2. Обобщенная задача Бертрана Теперь рассмотрим обобщенную задачу Бертрана: среди всех аналитических потенциалов необходимо найти тот, в поле которого все орбиты частицы m на двумерной сфере замкнуты. В сферических координатах ϑ, ϕ, лагранжиан L задается формулой L = 1 (ϑ˙ 2 + sin2 ϑϕ˙ 2 ) − V (ϑ). 2 Очевидно, что координата ϕ является циклической. Введем константу интеграла углового момента sin2 ϑϕ˙ = C и запишем функцию Рауса: ˙2 RC = ϑ − W C , 2

где WC =

C 2 + V (ϑ). 2 sin2 ϑ

Изменение переменной ϑ описывается уравнением Лагранжа с лагранжианом R ϑ¨ + Wϑ0 = 0. (2) Рассмотрим движение с энергией ϑ˙ 2 + W = h. C 2 Пусть σ — это плоскость, касающаяся сферы в точке M , O — центр сферы, m0 — точка пересечения линии Om и плоскости σ. Положим tg ϑ = r, тогда при 0 < ϑ < π/2 получаем r = |M m0 |. Оказывается, что траектория m0 совпадает с траекторией частицы в центральном поле с потенциалом U (r), где U (tg ϑ) = V (ϑ). Для доказательства этого воспользуемся методом Клеро. Пусть C 6= 0. Тогда координата ϕ изменяется монотонно, и ее можно использовать как новое время. Положим ρ = 1/r = ctg ϑ. Понятно, что ρ˙ = −

ϑ˙ , sin2 ϑ

˙ ρ0 = − ϑ , C

где штрих обозначает производную по ϕ.

¨ 2 ρ00 = − ϑ sin2 ϑ , C

(3)

162

В. В. КОЗЛОВ И А. О. ХАРИН

С учетом тождеств (3) уравнение (2) сводится к уравнению ρ00 + ρ =

1 U 0 ( 1 ), ρ C 2 ρ2

и интеграл энергии можно переписать в виде   C 2 (ρ02 + ρ2 ) + U 1 = h − C 2 . ρ 2 2

(4)

Итак, уравнение орбит имеет тот же вид, как и для частицы на плоскости, движущейся в центральном силовом поле с потенциалом U (r). Единственное отличие состоит в том, что в случае плоскости в правой части интеграла энергии (4) появляется только константа h. По теореме Бертрана орбиты будут замкнуты в двух случаях: γ U1 (r) = − r ,

2 U2 (r) = kr , 2

k, r > 0.

В исходных координатах получаем два потенциала V1 (ϑ) = −γ ctg ϑ,

V2 (ϑ) =

k tg2 ϑ , 2

k, γ > 0,

и при h1 − C12 /2 < 0 преобразование Болина ρ → ρ2 , ϕ → 2ϕ переводит траектории задачи с потенциалом V1 в траектории задачи с потенциалом V2 , где k = −(h1 − C12 /2) и h2 − C22 /2 = γ. Достаточно естественно следует рассматривать V 1 как аналог потенциала гравитационного взаимодействия, а V2 — как аналог потенциала упругой пружины. Отметим, что функция V1 определяется по формуле, совпадающей с формулой (1). В этом случае r = tg ϑ = где 2 p = Cγ ,

e=

p , 1 + e cos(ϕ − ϕ0 ) s

2 1 + 2C2 γ



 2 C . h− 2

При 0 6 e < 1 траектория m0 является эллипсом; в случае e = 1 траекторией m0 будет парабола, причем траектория m касается экватора; при e > 1

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ

КРИВИЗНЫ

163

траекторией m0 будет гипербола, причем траектория m будучи замкнутой, пересекает экватор. Рассмотрим конус, у которого образующая проходит через траекторию m0 . Тогда траектория m — это кривая пересечения конуса и сферы. Этот результат можно рассматривать как аналог первого закона Кеплера. В точности как и в задаче Кеплера, период орбитального движения T зависит только от константы энергии. Действительно, можно вычислить, что T = 1 C

ZT 0

Zπ Zπ dϕ p2 dϑ 2 sin ϑ(t) dt = = sin ϑ(ϕ) dϕ = C dt p2 + (1 + e cos ϕ)2 −π −π v s !−1 s u uh 2 2 h h π t +1 +1 . + =√ γ γ γ2 γ2 2

ЗАМЕЧАНИЕ. По Биркгофу [2], эллипсы — это границы плоских бильярдов с дополнительным интегралом второй степени относительно скоростей. Оказывается, что замкнутые траектории в задаче Кеплера на двумерных плоскостях постоянной кривизны также будут границами интегрируемых бильярдов (см., например, [1]).

3. Задача n тел Изложенные выше рассуждения приводят нас к естественному обобщению задачи нескольких тел: n материальных частиц движутся в трехмерном пространстве постоянной кривизны, а их взаимодействие порождается потенциалом (1). В пределе, когда радиус кривизны стремится к бесконечности, получаем классическую задачу n тел. Особенно интересна задача двух тел. В отличие от плоского случая, ее нельзя свести к задаче Кеплера. По-видимому, в этом случае орбиты скорее всего не будут замкнуты. Это обстоятельство позволяет нам исследовать смещение перигелия в зависимости от кривизны пространства. Изучение частных решений задачи n тел и ее упрощений также представляет большой теоретический интерес. Поскольку в пространстве постоянной кривизны мы имеем шестипараметрическую группу движений, достаточно естественно будет поставить задачу о движении в нем твердого тела (включая движение в идеальной жидкости). Уравнения движения имеют вид уравнений Эйлера – Пуанкаре на алгебре Ли этой группы.

164

В. В. КОЗЛОВ И А. О. ХАРИН

4. Задача двух центров Оказывается, обобщенная задача двух центров также интегрируема. Ее можно решить методом разделения переменных в сфероконической системе координат [4]. Предположим, что центры притяжения расположены в точках с координатами (α, β, 0) и (−α, β, 0); α > 0, β > 0, α2 + β 2 = 1. Пусть x, y, z — декартовы координаты частицы, движущейся по единичной сфере. Определим ξ и η как корни уравнения f (λ2 ) = Понятно, что

2 (λ2 − ξ 2 )(λ2 + η 2 ) y2 x2 + 2 + z2 = 2 . 2 2 λ −α λ +β λ (λ − α2 )(λ2 + β 2 )λ2 2

(5)

0 < ξ 2 < α2 , 0 < η 2 < β 2 . Переменные ξ и η можно рассматривать как криволинейные координаты на сфере. Поскольку 2 y2 x2 + + z2 = 0, 2 2 2 2 ξ −α ξ +β ξ y2 x2 z 2 = 0, + + η 2 − α2 η2 + β 2 η2

x2 + y 2 + z 2 = 1, то отсюда следует, что координатными линиями будут линии пересечения сферы и конусов, имеющих общий фокус. Из уравнения (5) легко найти формулы преобразования координат x2 = resα2 f (λ2 ) = (α2 − ξ 2 )(α2 + η 2 )/α2 ,

y 2 = res−β 2 f (λ2 ) = (β 2 + ξ 2 )(β 2 − η 2 )/β 2 , 2

2

2 2

(6)

2 2

z = res0 f (λ ) = ξ η /α β .

Координаты ξ и η ортогональны. Пусть pξ и pη — канонически сопряженные импульсы. В новых координатах кинетическая энергия T задается выражением " # (α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 ) 2 (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 ) 2 1 T = pξ + pη . 2 ξ2 + η2 ξ2 + η2 Потенциальная энергия V определяется как V = γ+

cos ϑ− γ+ cos ϑ+ sin ϑ− + γ− cos ϑ− sin ϑ+ cos ϑ+ + γ− = , sin ϑ+ sin ϑ− sin ϑ+ cos ϑ−

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ

КРИВИЗНЫ

165

где ϑ± — это углы между радиус-векторами центров притяжения и движущейся частицы, γ± = const. Понятно, что p p cos ϑ± = ±αx + βy = (β 2 + ξ 2 )(β 2 − η 2 ) ± (α2 − ξ 2 )(α2 + η 2 ). Тогда

sin ϑ± = Далее

p

(α2 + η 2 )(β 2 + ξ 2 ) ∓

p (α2 − ξ 2 )(β 2 − η 2 ).

sin ϑ+ sin ϑ− = ξ 2 + η 2 , p cos ϑ+ sin ϑ− = (α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 ) + (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 ), p p sin ϑ+ cos ϑ− = (α2 − ξ 2 )(β 2 + ξ 2 ) − (α2 + η 2 )(β 2 − η 2 ). p

Таким образом

u(ξ) + v(η) , ξ2 + η2 и мы получили разделение переменных. Итак, замечательный результат Эйлера об интегрируемости задачи с двумя центрами справедлив и в пространстве с постоянной ненулевой кривизной. С другой стороны, есть широко известное обобщение результата Эйлера, принадлежащее Лагранжу: если разместить источник упругого притяжения или отталкивания в середине между центрами притяжения, то уравнения движения будут по-прежнему интегрируемыми (см. [3]). Покажем, что эта теорема Лагранжа остается справедливой в пространстве ненулевой кривизны. Для этого поместим источники упругого притяжения или отталкивания в точки с координатами V =

(±1, 0, 0),

(0, ±1, 0),

(0, 0, ±1).

(7)

Тогда к потенциальной энергии придется добавить следующее слагаемое

3

1 X k tg2 ϑ , i i 2

(8)

i=1

где ki = const, ϑi — углы между радиус-векторами точек (7) и частицы. Покажем, что эту задачу можно разрешить с помощью разделения в сфероконических переменных ξ и η.

166

В. В. КОЗЛОВ И А. О. ХАРИН

Действительно, с точностью до несущественной константы функцию (8) можно переписать как a + b + c, x2 y2 z2

a, b, c = const.

Пользуясь формулами преобразования координат (6), мы можем найти выражение для потенциала упругого взаимодействия в сфероконических координатах: bβ 2 cα2 β 2 aα2 + + = (α2 − ξ 2 )(α2 + η 2 ) (β 2 + ξ 2 )(β 2 − η 2 ) ξ 2 η2 " ! ! 1 1 1 1 1 2 2 aα − 2 + bβ − 2 + = 2 ξ + η2 α2 − ξ 2 α + η2 β2 − η2 β + ξ2 !# 1 1 +cα2 β 2 + 2 . ξ2 η Это тождество показывает, что переменные ξ и η снова разделяются.

Литература [1] Абдрахманов А. М. Об интегрируемых ограничивающих отражающих системах. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1990. № 5. C. 85–88. [2] Birkhoff G. D. Dynamical Systems. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 9. 1927. Имеется русский перевод: Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. Ижевск, Изд-во РХД, 1999. [3] Jacobi C. G. J. Vorlesungen uber Dynanik. Berlin. 1884. Имеется русский перевод: Якоби К. Г. Я. Лекции по динамике. Л.-М.: ОНТИ, 1936. [4] Mozer J. Various Aspects of Integrable Hamiltonian Systems. Dynamical Systems, C.I.M.E. Lectures, Bressanone, Italy, Progress in Mathematics. 1978, Vol. 8, p. 273. Имеется русский перевод: Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем. Усп. мат. наук, 1981, т. 36, № 5, с. 109–144. [5] Wintner A. The Analytical Foundations of Celestial Mechanics. Princeton University Press, 1941. Имеется русский перевод: Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Физматгиз, 1967.

12 Системы на сфере с избыточным набором интегралов А. В. Борисов, И. С. Мамаев1

В работе рассмотрены различные обобщения задачи Кеплера на трехмерной сфере S 3 , являющейся компактным пространством постоянной кривизны. Эти обобщения включают в себя добавления сферического аналога магнитного монополя (система Пуанкаре – Аппеля), а также более сложного поля, являющегося обобщением MICZ-системы. Указанные системы являются интегрируемыми и обладают избыточным набором интегралов, связанных с существованием векторного интеграла, являющегося аналогом вектора Лапласа – Рунге – Ленца. Приведена классификация движений и рассмотрен вопрос о траекторном изоморфизме между плоским и искривленным движением. Результаты работы без труда могут быть перенесены на пространство Лобачевского L3 .

1. Задача Кеплера в R3 Рассмотрим задачу Кеплера о движении материальной точки (без ограничения общности, обладающей единичной массой) в ньютоновском поле неподвижного центра с интенсивностью гравитационного взаимодействия γ = const. Уравнения этой задачи в трехмерном евклидовом пространстве R 3 = = {q1 , q2 , q3 } γ q¨i = ∂U , U = −r, r2 = q12 + q22 + q32 , γ = const (1.1) ∂qi 1 Институт компьютерных исследований, Удмуртский государственный университет, Университетская, 1, 426034, Ижевск, Россия. E-mail: [email protected], [email protected].

168

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

обладают, кроме интеграла энергии 3

X H0 = 1 q˙i2 + U 2

(1.2)

M = q × q˙ ,

(1.3)

i=1

и векторного интеграла кинетического момента

еще одним замечательным векторным интегралом, связанным с некоторой скрытой симметрией задачи Кеплера. Этот векторный интеграл называется вектором Лапласа – Рунге – Ленца A = (A1 , A2 , A3 ), из всех центральных потенциалов он существует только для случая ньютоновского потенциала и может быть записан следующим образом γ A = M × q˙ + r q .

(1.4)

Уравнения (1.1) и интегралы (1.2), (1.3), (1.4) после введения импульсов p = = q˙ могут быть записаны в конической форме p˙ =

∂H0 , ∂q

q˙ = −

∂H0 , ∂p

p, q ∈ R3 .

(1.5)

Скобки Пуассона для компонент интегралов M и A имеют вид {Mi , Mj } = εijk Mk ,

{Mi , Aj } = εijk Ak ,

{Ai , Aj } = −2hεijk Mk , (1.6) γ

где h — постоянная интеграла энергии (1.2), h = 1 p 2 − r , εijk — символ Ле2 ви-Чивита. В зависимости от значения h алгебра интегралов (1.6) является либо so(4) (при h < 0), либо so(3, 1) (при h > 0). Отметим, что вследствие (M , A) = 0 вектор A всегда лежит в плоскости орбиты, он также направлен по большой оси эллипса, а его модуль пропорционален эксцентриситету. Существование алгебры интегралов (1.6) соответствует инвариантности относительно нее задачи Кеплера. Инвариантность относительно глобальных групповых преобразований (т. е., например, группы SO(4) для h < 0) изучалась В. А. Фоком [4], Г. Дь¨ердем [12] и Ю. Мозером [19]. В последней работе содержится наиболее общий результат, показывающий, что даже в n-мерном случае после подходящей регуляризации поверхность

СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ С ИЗБЫТОЧНЫМ

НАБОРОМ ИНТЕГРАЛОВ

169

постоянной энергии (при h < 0) топологически эквивалентна касательному расслоению единичных векторов к n-мерной сфере S n . Отметим также, что основным динамическим эффектом, связанным с существованием избыточной алгебры интегралов (1.6), является замкнутость траекторий системы (1.1) в конфигурационном и фазовом пространстве.

2. Система MICZ в R3 . Задача Аппеля Рассмотрим одно обобщение задачи Кеплера, также обладающее аналогом интеграла (1.4). Для этого зададим в фазовом пространстве T ∗ R3 неканоническую скобку Пуассона q {qi , qj } = 0, {qi , pj } = δij , {pi , pk } = −µεijk k3 (2.1) r и гамильтониан 3 X γ µ2 H1 = 1 p2i − r + 2 , γ, µ = const. (2.2) 2 2r i=1

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичную систему (т. е. дифференциальные уравнения движения) можно получить и с помощью стандартной канонической скобки, но при этом в гамильтониане появятся линейные по импульсам слагаемые.

Уравнения (2.1), (2.2) определяют MICZ-систему (McIntosh – Cisneros – Zwanziger), она описывает движение частицы в асимптотическом поле самодуального монополя [11]. Эта система формально изучалась Цванцигером [21], Макинтошем и Цизнеросом [18] без соответствующей физической интерпретации (см. также [10]). Рассмотрим частные случаи системы (2.1), (2.2). Задача Кеплера получается из (2.1), (2.2) при µ = 0. При γ = 0 и при µ = 0 в гамильтониане (2.2), но не в скобке (2.1), мы получаем классическую интегрируемую задачу Пуанкаре о движении частицы в поле магнитного монополя. Как было показано Пуанкаре, в этом случае траектории частицы являются геодезическими кругового конуса. П. Аппель рассмотрел более общую задачу о движении частицы в поле ньютоновского центра и в поле магнитного монополя, расположенных в одной точке [5]. Эта задача получается, если в (2.2) положить µ = 0 (однако, в скобке (2.1) µ 6= 0). В этом случае на развертке кругового конуса траектория описывает конические сечения, а движение подчиняется закону площадей. На самом конусе в общем случае траектории не являются замкнутыми.

170

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Для задач Пуанкаре и Аппеля аналог интеграла A (1.4) отсутствует, но он существует для системы (2.1), (2.2). При этом векторный интеграл кинетического момента M существуют для всех вышеуказанных задач. Действительно [7], векторные функции q M = q ×p +µr,   q 1 A= p p ×M − r |2H1 |

(2.3) (2.4)

образуют алгебру интегралов системы (2.1), (2.2), изоморфную so(4) для H1 < 0 и so(3, 1) для H1 > 0. Траектории снова являются коническими сечениями, а из соотношения (M , q /r) = −µ следует, что они лежат на круговом конусе с углом раствора θ = arccos µ/|M | и с осью симметрии, определяемой вектором M . Различные обобщения интегралов Лапласа – Рунге – Ленца для динамических систем в евклидовом пространстве рассмотрены в [16].

3. Задача Кеплера на трехмерной сфере S 3 (и на пространстве Лобачевского L3 ) Рассмотрим аналог задачи Кеплера в простейших неевклидовых пространствах с постоянной кривизной — трехмерной сфере S 3 и пространстве Лобачевского. Мы более подробно остановимся на случае сферического пространства. Хотя все результаты с необходимыми изменениями можно перенести на пространство Лобачевского. Пусть трехмерная сфера S 3 вложена в четырехмерное евклидово пространство R4 = {q0 , q1 , q2 , q3 } и задана уравнением q02 + q12 + q22 + q32 = R2 ,

(3.1)

где R — радиус сферы. Введем сферические координаты на S 3 q0 = R cos θ, q2 = R sin θ sin ϕ cos ψ,

q1 = R sin θ cos ϕ, q3 = R sin θ sin ϕ sin ψ.

(3.2)

Рассмотрим движение частицы в поле ньютоновского центра, помещенного в один из полюсов θ = 0 трехмерной сферы. Как хорошо известно [17, 13, 2, 14, 15, 20], аналогом ньютоновского потенциала на сфере

3. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА НА

ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

171

S3

является U = −γ ctg θ = −γ

q0 , |q |

q 2 = q12 + q22 + q32 ,

q = (q1 , q2 , q3 ). (3.3)

Напомним, что потенциал (3.3) может быть получен либо из решения уравнения Лапласа – Бельтрами на сфере S 3 (см. ниже (4.8)), инвариантного относительно группы SO(3) и имеющего особенность в полюсе θ = 0, либо при перенесении теоремы Бертрана на сферу [3, 17]. В независимых координатах q = (q1 , q2 , q3 ), лагранжиан рассматриваемой задачи имеет вид L = 1 (q˙ 2 + q0−2 (q , q˙ )2 )2 − U (q ), 2 где q0 предполагается выраженной из (3.1) по формуле q 0 = ± После введения импульсов (q , q˙ ) p = ∂L = q˙ + p q ∂ q˙ R2 − q 2

(3.4) p

R2 − q 2 . (3.5)

уравнения движения можно представить в канонической гамильтоновой форме с гамильтонианом H = 1 p 2 − 1 2 (p, q )2 + V (q ). 2 2R

(3.6)

Они обладают векторным интегралом кинетического момента M = p × q = q˙ × q

(3.7)

(существующим также p для любых «центральных» потенциалов V , зависящих только от |q | = q12 + q2 + q32 ) и аналогом интеграла Лапласа – Рунге – Ленца q (3.8) A = q0 p × M + γR2 . |q | Компоненты векторов Mi и Ri коммутируют следующим образом {Mi , Mj } = −εijk Mk ,

2

{Mi , Aj } = −εijk Ak ,

{Ai Aj } = 2(R h − M 2 )εijk Mk .

(Эта алгебра рассматривалась в нескольких работах [13, 2].)

(3.9)

172

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Функции Казимира нелинейной пуассоновой структуры (3.9) имеют вид F2 = A2 − 2h M 2 + (M 2 )2 (3.10) λ и ее симплектический лист является четырехмерным (ранг структуры (3.9) равен четырем). Здесь λ = 1/R2 — кривизна пространства. Для реальных движений в задаче Кеплера выполняется F1 = (M , A),

F1 = 0,

F2 = γ 2 R 4 .

(3.11)

Компактность симплектического листа (3.11) определяется кривизной пространства λ и значением постоянной энергии: 1. При λ = 0; при h < 0 — компактен, h > 0 — некомпактен. 2. При λ > 0 — всегда компактен. 3. При λ < 0; при h < 0, h2 > γ 2 — лист (3.11) несвязен, одна компонента компактна, а другая — нет; при h > −γ, связен, но некомпактен.

Траектории задачи Кеплера на сфере (и псевдосфере) являются коническими сечениями, обобщение законов Кеплера на этот случай имеются в [3, 14, 8]. В работе [9] выполнен бифуркационный анализ задачи Кеплера на S 3 и L3 , а также построены переменные действие-угол (см. также [1]).

4. Обобщение задач Пуанкаре и Аппеля на S 3 Получим сначала гамильтонову форму уравнений движения частицы под действием обобщенно-потенциальных сил на трехмерной сфере S 3 . Действительно, рассмотрим лагранжиан

L = 1 q˙ + q0−2 (q , q˙ )2 − q˙ , W (q ) − U (q ), 2

(4.1)

где W = W (q ) = (W1 , W2 , W3 ) является векторным потенциалом. Переходя к обобщенным импульсам (q , q˙ ) q, p = ∂L = q˙ − W + p ∂ q˙ R2 − q 2

(4.2)

получим гамильтониан

H = 1 (p + W )2 − 1 2 (p + W , q )2 + U (q ) 2 2R

(4.3)

3. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА НА

ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

S3

173

и каноническую скобку Пуассона ({qi , pj } = δij ). Вследствие различных соображений, удобнее изучать гамильтоновы уравнения в несколько измеe = p + W , которые образуют следующие неканоничененных импульсах p ские скобки Пуассона {e pi , pej } =

∂Wj ∂Wi − = Bij , ∂qj ∂qi

{qi , pej } = δij ,

(4.4)

{qi , qj } = 0,

где B = rot W . Выражение для гамильтониана (4.3) в этом случае упрощается e 2 − 12 (e H = 1p p , q )2 + U (q ). (4.5) 2 R Аналог векторного потенциала магнитного монополя для трехмерной сферы может быть получен следующим образом. Тензор электромагнитного поля в пустом пространстве удовлетворяет уравнениям Максвелла ∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = 0 α, β = 0, 1, 2, 3   1 ∂ (√−gF αβ ) = 0 ∂ , ∂α = √ β ∂xα −g

(4.6)

где kgαβ k — метрика пространства-времени, g = det kgαβ k. Для S 3 метрика пространства-времени в сферических координатах (3.2) имеет вид
dS 2 = c2 dt2 − R2 dθ2 + sin2 θ(dϕ2 + sin2 ϕdψ 2 ) . (4.7)

Пусть латинские буквы i, j, k соответствуют только пространственным индексам, а g∗ обозначает пространственную часть метрики со знаком минус. Решение, аналогичное магнитному монополю в плоском пространстве, будем искать в виде F0i = 0,

√

g∗ F ij = εijk ∂k f.

Из (4.6) находим уравнение для неизвестной функции f
√ ik g∗ g ∂i f = 0, ∂k

174

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

которое совпадает с уравнением Лапласа – Бельтрами. Его решение, инвариантное относительно группы SO(3) (т. е. независящее от ψ, ϕ) удовлетворяет уравнению   1 ∂ sin2 θ ∂f = 0 (4.8) ∂θ sin2 θ ∂θ и имеет вид

f = α ctg θ,

α = const.

(4.9)

ЗАМЕЧАНИЕ. Для пространства Лобачевского L аналогичные рассуждения приводят к функции f = α cth θ, α = const. 3

Векторный потенциал магнитного монополя W находится из соотношения Fij = ∂i Wj −∂j Wi и, например, в сферических координатах (θ, ϕ, ψ) он имеет вид Wθ = 0,

Wϕ = 0,

Wψ = αR cos ϕ.

В переменных q0 , q его можно переписать в виде W =

! q1 q3 q1 q2 0, α , −α , |q | q22 + q32 |q | q22 + q32

(4.10)

а для B = rot W имеем выражение B = − α3 q . |q |

(4.11)

Рассмотрим частицу, движущуюся на S 3 в поле ньютоновского центра и магнитного монополя, помещенных в полюс θ = 0. Это — сферический аналог задачи Аппеля. Гамильтониан задачи имеет вид (4.3) либо (4.5) с W (q ) и U (q ), определенными соответственно формулами (4.10) и (3.3). Гамильтоновы уравнения всегда допускают интеграл кинетического момента q q e×q −α M =p = q˙ × q − α . (4.12) |q | |q |

Для упрощения положим R = 1 и запишем лагранжиан в сферических координатах (3.2)   L = 1 θ˙2 + sin2 θϕ˙ 2 + sin2 θ sin2 ϕψ˙ 2 + α cos ϕψ˙ − U (θ). 2

(4.13)

3. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА НА

ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

175

S3

Направим вектор кинетического момента (4.12) вдоль оси q 1 в пространстве q1 , q2 , q3 , что приводит к инвариантным соотношениям M2 = M3 = 0,

sin2 θψ˙ = cosαϕ = const. 0

ϕ˙ = 0,

(4.14)

Последнее соотношение представляет обобщение второго закона Кеплера — дуга большого круга, соединяющая начало координат с точкой, отстоящей от частицы на двойной угол2θ на инвариантной поверхности в S 3 ,  q задаваемой соотношением M , = const за равные промежутки време|q |

ни заметает равные площади. (Действительно, скорость изменения площади   2θ R dψ dS ˙ записывается в виде sin σ dσ = = 2 sin2 θψ.) dt

dt

0

Используя интеграл энергии E = h с учетом (4.14) получим θ˙ =

p

α2 tg2 ϕ0 Uc (θ) = U (θ) + 1 2 sin2 θ

2(h − Uc (θ)),

(4.15)

и явную квадратуру для траектории

2

sin θ

q

αdθ 2 2 e − α sin ϕ0 2(e h − U) 2

= dψ,

(4.16)

sin θ

e = U cos2 ϕ0 . где e h = h cos2 ϕ20 , U При γ = 0 из (4.16) получается явная квадратура для аналога задачи Пуанкаре, и траектории представляют собой геодезические на инвариантном конусе, определяемым уравнением (M , q /|q |) = const. В аналоге задачи Аппеля, как уже указывалось, траектории представляют собой конические сечения для развертки конуса на плоскость. В общем случае они незамкнуты на конусе, но оказывается, что можно так «подправить» потенциал (3.3), что траектории при наличии монополя всегда будут замкнуты. Эта добавка приводит к обобщению евклидовой MICZ-модели на сферический случай и существованию обобщеного интеграла Лапласа – Рунге – Ленца.

5. Обобщенная MICZ-модель Рассмотрим движение в поле монополя и поле с потенциалом вида µ U (θ) = −γ ctg θ + 1 , 2 sin2 θ

γ, µ = const.

(5.1)

176

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Траектория в этом случае задается квадратурой вида (4.16). Если µ = α2 ,

(5.2)

она имеет вид sin2 θ

r

αdθ

= dψ.

(5.3)

2 2e h + 2e γ ctg θ − α 2

sin θ

Траектория (5.3) является замкнутой и при гномонической проекции получаем коническое сечение tg θ =

p 1 + e cos(ψ − ψ0 )

с фокальным параметром и эксцентриситетом v u u 2 2 α p= , e = t1 + 2 2α 2 2 γ cos ϕ0 γ cos ϕ0

(5.4)

! 2 α h− . 2 cos2 ϕ0

Квадратура для θ˙ (4.15) имеет вид θ˙2 = 2h + 2γ ctg θ −

α2 = cos ϕ0 · sin2 θ 2

= 2h + 2γ ctg θ −

c2 = f (θ, c, h), (5.5) sin2 θ

где c = α2 /cos2 ϕ0 . Построим бифуркационную диаграмму решений нашей задачи на плоскости параметров (c2 , h). Для ее построения воспользуемся тем, что в критических значениях (c∗ , h∗ ), лежащих на бифуркационной кривой, выполняется f (θ0 , c∗ , h∗ ) = f00 (θ0 , c∗ , h∗ ) = 0. В результате получаем две кривые (рис. 1). I. 2h = c2 −

γ2 ; c2

II. c2 = 0.

Кроме того, поскольку c = α2 / cos2 ϕ0 , имеем еще неравенство c2 > α4 . Таким образом, на плоскости интегралов h, c2 (см. рис. 1) область разрешенных значение h, c2 лежит выше прямой c2 = α4 и ниже гиперболы, определяемой кривой I. Если точка на этой плоскости находится, кроме

3. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА НА

ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

S3

177

Рис. 1

того, выше прямой h = 1 c2 , то движение частицы происходит лишь в 2 верхней полуплоскости сферы. В противном случае частица попадает также в противоположную полуплоскость. Несложно получить аналог третьего закона Кеплера, который совпадает с обычным законом для искривленного пространства [14]. Действительно, в силу того, что sin2 θψ˙ = c, имеем sin2 θdψ dt = . c Поэтому T = 1c

Z2π

p2 sin θ(ψ)dψ = c 2

0

Zπ

dψ = p2 + (1 + e cos ψ)2 −π v !−1/2 s u u 2 2 + 1 + h2 · 1 + h2 = √π t h . (5.6) γ γ γ γ

Эта зависимость периода обращения от энергии легко может быть преобразована в зависимость от (угловой) длины большой полуоси r q π − tg a + 1 + tg2 a(1 + tg2 a)−1/2 , T =√ (5.7) γ γ h

где tg a = − .

178

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Как и в задаче Кеплера (на R и S 2 ), замкнутость траекторий тесно связана с существованием скрытой симметрии, т. е. векторного интеграла типа Лапласа – Рунге – Ленца. Для системы (5.1), (5.2) его можно представить в виде e × M + γR2 A = q0 p

q . |q |

(5.8)

Скобки Пуассона компонент вектора A с компонентами интеграла кинетического момента (4.12) следующие: {Mi , Mj } = −εijk Mk , {Mi , Rj } = −εijk Rk ,   1 2 2 2 {Ri , Rj } = 2εijk R h − M + α Mk . 2

(5.9)

Как и ранее, можно указать условия компактности симплектического листа (4.2) в зависимости от кривизны пространства и значения интеграла энергии.

6. Траекторный изоморфизм для систем с центральным потенциалом на S 2 и R2 В случае U = U (r) уравнения (1.1) определяют систему с центральным потенциалом на R3 . Если U = U (θ) для лагранжиана (3.4), то мы имеем систему с центральным потенциалом на S 3 . Эти системы обладают соответственно плоскими R2 и сферическими S 2 инвариантными многообразиями. Оказывается, что эти двумерные системы связаны друг с другом при помощи центральной (гномонической) проекции из центра сферы, которая касается рассматриваемой плоскости в притягивающем центре, и подходящего преобразования времени. Следуя Серре и Аппелю [20, 6] рассмотрим систему на плоскости R 2 , уравнения движения которой можно представить в полярных координатах в виде: ! ! d ∂Tp = R; d ∂Tp = Φ; (6.1) dt ∂ ρ˙ dt ∂ ϕ˙ где Tp — кинетическая энергия точки на плоскости
Tp = 1 ρ˙ 2 + ρ2 ϕ˙ 2 , 2

(6.2)

а R, Φ — некоторые обобщенные силы (вообще говоря, не потенциальные).

3. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА НА

ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

179

S3

Выполним преобразование координат (гномоническую проекцию рис. 2), а также сил и времени по формулам ρ = tg θ,

ϕ = ψ,

dt = cos−2 θdτ

R = cos2 θ Θ,

Φ = cos2 θ Ψ. (6.3) В результате мы получим систему на сфере S 2 , которая имеет вид   d ∂Ts = Θ, dτ ∂θ0 где θ0 =

Рис. 2. Гномоническая проекция

d dτ



∂Ts ∂ψ 0



=Ψ

(6.4)

dψ dTs , ψ0 = , а Ts — кинетическая энергия на сфере dτ dτ


Ts = 1 θ0 + sin2 θψ 02 . 2

(6.5)

Несложно получить следующее

Утверждение. Лагранжева система на плоскости R2 с центральным потенциалом L = 1 (ρ˙ 2 + ρ2 ψ˙ 2 ) + U (ρ) 2 траекторно эквивалентна лагранжевой системе на сфере S 2 с центральным потенциалом вида L = 1 (θ˙2 + sin2 θψ˙ 2 ) + U (tg θ). 2 Для доказательства достаточно заметить, что в формулах (6.1)–(6.5) необходимо в данном случае положить Φ = Ψ = 0, R = − ∂U , ∂ρ

∂ρ Θ = − ∂U = − ∂U · = R2 . ∂θ ∂ρ ∂θ cos θ

Указанные преобразования, как несложно видеть, приводят задачу Кеплера на плоскости к соответствующему аналогу на сфере.

180

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Заметим, что при преобразовании (6.3) потенциальное поле сил может трансформироваться в непотенциальное и наоборот. Если рассматривать обратное преобразование (6.3) как преобразование от сферы к плоскости, необходимо допустить, что ρ может становиться отрицательным, этому соответствует переход траектории на сфере через экватор, при этом на плоскости переменных ρ, ϕ траектория перескакивает из +∞ в −∞. Если вместо переменной ρ = tg θ, рассмотреть переменную ξ = ctg θ, то на плоскости ξ, ϕ траектория в этом случае непрерывна. Несложно также показать, что указанный изоморфизм может быть распространен на указанные в п. 4, 5 обобщенно-потенциальные системы. Заметим также, что преобразование (6.3), примененное к задаче Кеплера на S 2 , может быть использовано для обобщения регуляризации Болина (Леви-Чивита). Можно показать, что на фиксированном уровне энергии система Кеплера сводится к задаче о гармоническом осцилляторе. Другое любопытное свойство системы Кеплера на R 2 , отмеченное Гамильтоном, заключается в том, что годограф скорости движущейся точки представляет собой окружность со смещенным центром. Для задачи Кеплера на S 2 также можно указать аналогичный вектор π=

x˙ , 1 + x˙ 2 /R2

где x = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) — радиус-вектор точки при гномонической проекции (6.3). Годограф вектора π, как несложно показать, представляет собой окружность со смещенным центром. Работа выполнена в рамках программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» (грант №НШ-36.2003.1), при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-05-64367) и фонда CRDF (грант № RU-M1-2583-MO-04). Авторы благодарят Бруно Кордани за присланный экземпляр книги [10].

Литература [1] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во РХД, 1999. [2] Грановский Я. И., Жеданов А. С., Луценко И. М. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор. II. Проблема Кеплера. Теор. и мат. физ., 1992, т. 91, № 2; 3, с. 207–216; 396–410. (См. работу 15 этого сборника.)

ЛИТЕРАТУРА

181

[3] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1994, № 2, c. 28–35. (См. работу 10 этого сборника.) [4] Фок В. А. Атом водорода и неевклидова геометрия. Изв. АН СССР, ОМЕН, 1935, т. 2, с. 169–179. [5] Appell P. Annales scientifical da Academia Polutechtnica, do Porto, V. IV, 1909, см. также Appell P. Traut´e de m´ecanique rationnelle, Paris, Gauthier – Villars, 1909. [6] Appell P. Sur les lois de forces centrales faisant d´ecrire a` leur point d’application une conique quelles que soient les conditions initiales. American Journal of Mathematics. 1891. Vol. 13. P. 153–158. (См. работу 6 этого сборника.) [7] Bates L. Symmetry preserving deformations of the Kepler problem. Rep. Math. Phys., 1988, Vol. 26, p. 413–428. [8] Chernikov N. A. The Kepler problem in the Lobachevsky space and its solution. Acta Phys. Polonica, 1992, Vol. 23, p. 115–119. (См. работу 23 этого сборника.) [9] Cherno¨ıvan V. A., Mamaev I. S. The restricted two-body problem and the Kepler problem in the constant curvature spaces. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, Vol. 4, № 2, p. 112–124. [10] Cordani B. The Kepler Problem, Birkh¨aser, 2003, 440 p. [11] Feher L. G. Dynamical O(4) symmetry in the asymptotic field of a Prasad – Sommerfield monopole. J. Phys. A, 1941, Vol. 19, p. 83–89. [12] Gy¨orgyi G. Kepler’s equations, Fock variables, Bacry’s generators and Dirac brackets. Nuovo Cimento, 1968, Vol. 53A, p. 717–735. [13] Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. J. Phys. A., 1979, Vol. 12, № 3, p. 309–323. (См. работу 9 этого сборника.) [14] Killing W. Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen. J. Reine Angew. Math, 1885, Vol. 98, p. 1–48. (См. работу 3 этого сборника.) [15] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.)

182

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

[16] Leach P. G. L., Fleassas G. P. Generalizations of the Laplace – Runge – Lenz Vector. Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 2003, Vol. 10, № 3, p. 340–423. ¨ [17] Liebmann Н. Uber die Zantalbewegung in der nichteuklidiche Geometrie. Leipzig Ber, 1903, Vol. 55, p. 146–153. (См. работу 4 этого сборника.) [18] McIntosh Н., Cisneros A. Degeneracy in the presence of a magnetic monopole. J. Math. Phys., 1970, Vol. 11, p. 896–916. [19] Moser J. Regularization of Kepler’s problem and the averaging method on a manifold. Comm. Pure Appl. Math., 1970, Vol. 23, p. 609–636. [20] Serret P. Th´eorie nouvelle g´eom´etrique et m´ecanique des lignes a double courbure. Paris, Librave de Mallet – Bachelier, 1860. (См. работу 1 этого сборника.) [21] Zwanziger D. Exactly soluble nonrelativistic model of particles with both electric and magnetic charges. Phys. Rev., 1968, Vol. 176, p. 1480–1488.

13 Обобщенная задача двух и четырех ньютоновских центров А. В. Борисов, И. С. Мамаев1

В работе указаны интегрируемые аналоги на сфере потенциала Дарбу, включающего в себя задачу о движении частицы в поле двух и четырех неподвижных ньютоновских центров на плоскости и их обобщения. Полученные результаты могут быть использованы при построении теории движения спутников в поле сплющенного сфероида в пространствах постоянной кривизны.

1. Классическая задача двух центров и ее обобщения В классической небесной механике хорошо известна задача двух центров, в которой два неподвижных центра с массами m 1 , m2 притягивают некоторую «безмассовую» частицу, движущуюся в их поле, по ньютоновому закону. Интегрируемость этой задачи была показана Эйлером c помощью разделения переменных [14]. Качественный анализ плоской задачи двух центров имеется в книге К. Шарлье [12] (см. также [18]); качественный анализ пространственной задачи двух центров содержится в работе В. М. Алексеева [2]. Отметим также, что еще Лагранж заметил, что задача двух центров остается интегрируемой, если добавить к ней потенциал упругой пружины, которая закреплена в середине отрезка прямой, соединяющей оба центра. Лагранж также рассмотрел предельный случай этой задачи, для которого один из двух центров и его масса устремляются в бесконечность, в пределе получается задача 1 Институт компьютерных исследований, Удмуртский государственный университет, Университетская, 1, 426034, Ижевск, Россия. E-mail: [email protected], [email protected].

184

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

о движении частицы в суперпозиции поля ньютоновского центра (задача Кеплера) и однородного поля. Разделение переменных и качественное исследование этой задачи содержится в книге М. Борна [6] по атомной механике, изучавшего эту задачу в связи с расщеплением спектральных линий атома водорода, помещенного в электрическое поле (эффект Штарка). Один из более общих случаев интегрируемости потенциальной системы на плоскости, обобщающий задачу двух центров, был найден Г. Дарбу (1901) [17] методом разделения переменных. В этой работе Дарбу также получил условия существования для натуральной системы на плоскости дополнительного квадратичного интеграла, которые впоследствии были также указаны Уиттекером [11]. Рассмотрим частицу единичной массы, движущуюся по плоскости R2 = {x, y} в потенциальном поле 0 0 B 0 + B1 + B1 + Cρ2 , V = A2 + A2 + B + r r1 r0 r10 x y

(1.1)

где A, A0 , B, B 0 , B1 , B10 , C = const, причем r, r 0 являются действительными расстояниями частицы m от двух одинаковых действительных центров, p помещенных в точки (−c, 0), (c, 0) на оси абсцисс, r = (x − c)2 + y 2 , p 0 0 2 2 r = (x + c) + y , ρ — расстояние m от центра O, r1 , r1 — «комплексные расстояния» от мнимых центров, помещенных в точки (0, di) и (0, −di), p p r1 = x2 + (y − id)2 , r10 = x2 + (y + id)2 . Для вещественности потенциала (1.1) необходимо, чтобы B 10 было ком0 плексно сопряжено B1 : B1 = B1 . Как показано в [17] если d = c, система (1.1) допускает разделение переменных в эллиптических координатах x = c ch v cos u,

Рис. 1

y = c sh v sin u

и обладает дополнительным первым интегралом, квадратичным по импульсам. Остановимся на частных случаях потенциала (1.1). Один случай системы (1.1), для которого B1 = B10 = 0, был рассмотрен Ж. Лиувиллем (как уже указывалось, еще более частный случай A = A0 = B1 = B10 = 0 был указан Лагранжем).

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ И ЧЕТЫРЕХ НЬЮТОНОВСКИХ ЦЕНТРОВ

185

В работе [1] показано, что задача о движении частицы в поле двух комплексно-сопряженных центров, т. е. для A = A0 = B = B 0 = C = 0 в (1.1), интегрируема в трехмерном пространстве и является хорошим приближением к задаче о движении спутника в поле сплющенного сфероида (например, этот потенциал хорошо аппроксимирует потенциал реальной Земли). В работе И. С. Козлова [9] проинтегрирована в квадратурах и исследована задача о плоском движении частицы в поле четырех неподвижных центров (двух вещественных и двух комплексных). В [9] также предложено несколько интерпретаций этой задачи применительно к реальным вопросам прикладной небесной механики.

2. Задача Кеплера, задача двух центров на сфере и псевдосфере. Исторический комментарий Систематическое обобщение различных задач классической и небесной механики на пространства постоянной кривизны (включающие как трехмерную сферу S 3 , так и псевдосферу — L3 -пространство Лобачевского) содержится в обширной, но, к сожалению, почти забытой работе В. Киллинга [22]. Укажем также, что кроме Киллинга в XIX веке неевклидовой механикой в пространствах постоянной кривизны занимались Р. Липшиц, Ф. Шеринг, Г. Либман. Интересно, что в учебнике Г. Либмана по неевклидовой геометрии [24] целая глава посвящена обобщению ньютонового закона притяжения, исследованию задачи Кеплера и формулировки законов Кеплера на сфере и псевдосфере, тем не менее в XX веке аналогичные результаты вновь и независимо были получены сразу несколькими авторами [23, 15, 20, 8, 26, 21, 25, 16]. Отметим также классическую работу Э. Шредингера [13], в которой он рассматривал квантовый аналог задачи Кеплера в искривленном пространстве, неявно предполагая интегрируемость соответствующей классической задачи. Кстати говоря, аналог закона ньютонового притяжения для L3 был уже известен П. Серре, Я. Больяи и Н. И. Лобачевскому. В. Киллинг в [22] также рассматривал вопросы n-мерной динамики в пространствах постоянной кривизны, включая динамику n-мерного твердого тела. Современный анализ можно найти в [19] (см. также [5]). Обобщение задачи двух центров на пространстве постоянной кривизны также было указано В. Киллингом, проинтегрировавшим эту задачу методом разделения переменных. Независимо эта задача была решена в работе [23],

186

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

где также рассматривается более общая задача, аналогичная добавлению Лагранжем потенциала упругого взаимодействия в задачу двух центров на плоскости. В работах [7, 27] дан бифуркационный анализ задачи двух центров на сфере и плоскости Лобачевского. В книге [5] авторами разобраны вопросы редукции и интегрируемости пространственной задачи двух центров, а также другие интегрируемые и неинтегрируемые задачи искривленной небесной механики (включая ограниченные задачи двух и трех тел, исследование точек либрации, динамику твердого тела). Далее мы приведем явное алгебраическое выражение первого интеграла для обобщенной задачи двух центров, рассмотренной в [22, 23], а также укажем новый аналог задачи четырех ньютоновских центров и n гуковских центров. В работе мы ограничимся анализом двумерной сферы S 2 , хотя все рассуждения без труда могут быть перенесены на псевдосферу L 2 . Некоторые (но не все) результаты обобщаются на случай трехмерной сферы S 3 (псевдосферы L3 ).

3. Обобщение задачи двух центров на S 2 . Дополнительный квадратичный интеграл Мы будем предполагать, что единичная сфера S 2 задана в трехмерном пространстве R3 = {q1 , q2 , q3 } уравнением |q |2 = q12 + q22 + q32 = 1, векторы q = (q1 , q2 , q3 ), p = (p1 , p2 , p3 ) будут обозначать соответствующие избыточные координаты и импульсы. Если ввести вектор углового момента M = p × q , и положить γ = q , то несложно показать [5, 3, 4], что уравнения движения в произвольном потенциале V = V (q ) = V (γ) могут быть представлены как гамильтонова система со скобкой Пуассона, определяемой алгеброй e(3) = so(3) ⊕s R3 : {Mi , Mj } = εijk Mk , {Mi , Mj } = εijk Mk , {γi , γj } = 0 (3.1) и гамильтонианом H = 1 (M , M ) + V (γ). (3.2) 2 Уравнения, задаваемые с помощью (3.1), (3.2), имеют вид ˙ = γ × ∂V , γ˙ = γ × M M ∂γ и совпадают с уравнениями движения шарового волчка в потенциале V (γ) [5, 3]. Скобка (3.1) является вырожденной и обладает двумя функциями Казимира: F1 = (M , γ), F2 = (γ, γ) = 1. Для задачи о движении точки на сфере необходимо F1 = (M , γ) = (p × γ, γ) = 0.

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ И ЧЕТЫРЕХ НЬЮТОНОВСКИХ ЦЕНТРОВ

187

Хорошо известно, что аналогами ньютоновского и гуковского потенциала на S 2 соответственно являются U1 = µ ctg θ, U2 = c tg2 θ, µ, c = const, где угол θ отсчитывается от некоторого фиксированного полюса на сфере [22, 23]. Рассмотрим потенциал (3.3)

V = −µ1 ctg θ1 − µ2 ctg θ2 ,

где µ1 , µ2 — интенсивности ньютоновских центров, θi — углы между радиус-вектором частицы и радиус-вектором i-го центра. Поместим ньютоновские центры в точки r1 = (0, α, β), r2 = (0, −α, β), α2 + β 2 = 1, а также добавим для общности к (3.3) потенциал, трех гуковских центров помещенP ных на взаимноперпендикулярных осях 1 ci /γi2 (ci = const) и дополни2

тельный квадратичный потенциал C(α2 γ22 − β 2 γ32 ) C 6= 0, являющийся частным случаем потенциала Неймана. На уровне (M , γ) = 0 находим две коммутирующие квадратичные по M функции {H, F } = 0 [4, 10]: βγ3 + αγ2 H = 1 M 2 − µ1 p − 2 γ12 + β1 γ22 + α2 γ32 − 2αβγ2 γ3 − µ2 p

γ2 + γ2 + 1 c1 2 2 3 + 2 γ1 γ12 + β1 γ22 + α2 γ32 + 2αβγ2 γ3 βγ3 − αγ2

γ2 + γ2 γ2 + γ2 + 1 c2 1 2 3 + 1 c3 1 2 2 + C(α2 γ22 − β 2 γ32 ), 2 2 γ2 γ3

(3.4)

F = α2 M22 − β 2 M32 + 2αβ(V1 − V2 )− c c c − 12 (β 2 γ22 − α2 γ32 ) − 22 β 2 γ12 + 32 α2 γ12 + 2Cα2 β 2 γ12 , γ1 γ2 γ3 где µ1 , µ2 , α, β, c1 , c2 , c3 , C = const, а функции V1 , V2 определяются выражениями V1 = p V2 = p

µ1 (βγ2 + αγ3 ) γ12

+ β 2 γ22 + α2 γ32 − 2αβγ2 γ3 µ2 (βγ2 − αγ3 )

γ12 + β 2 γ22 + α2 γ32 + 2αβγ2 γ3

, (3.5) .

Функция H является гамильтонианом, а F задает дополнительный квадратичный интеграл. Как отмечено в [5], возможность добавления в задачу двух центров (3.3) одного гуковского центра c/γ32 , помещенного на дуге между

188

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

ньютоновскими центрами, тесно связана с интегрируемостью соответствующей трехмерной задачи (т. е. на S 3 ). Действительно, член c2 , c = const γ3

возникает в трехмерном случае при редукции по Раусу, использующей циклический интеграл, связанный с инвариантностью уравнений относительно вращений (группа SO(2)), в плоскости, перпендикулярной плоскости двух центров. Система (3.4) принадлежит к лиувиллевскому типу и может быть проинтегрирована в сфероконических координатах u 1 , u2 , (0 < u1 < α, 0 < u2 < β), которые определяются соотношениями √ γ1 = u1 u2 /(αβ), q γ2 = (α2 − u1 )(α2 + u2 )/α, (3.6) q γ3 = (β 2 + u1 )(β 2 − u2 )/β. Однако отметим нетривиальность задачи получения интегралов (3.4) именно в алгебраической форме, для решения которой необходимо обращать сфероконическое преобразование. Как нам сообщил А. Албуи, задача двух центров на S 2 (L2 ) при помощи центральной (гномонической) проекции и подходящего преобразования времени может быть преобразована в обычную эйлеровскую задачу двух центров. Однако мы не обладаем доказательством этого факта.

4. Задача четырех ньютоновских центров на сфере S 2 Рассмотрим потенциал на сфере вида: VIm = ξ1 ctg θ1 + ξ2 ctg θ2 = = ξ1 p

µγ1 +iνγ3 (µ2

−

ν 2 )2

− (µγ1 + iνγ3

)2

+ξ2 p

(µ2

µγ1 − iνγ3

, − ν 2 )2 − (µγ1 − iνγ3 )2 (4.1)

где µ2 − ν 2 = 1, ξ1 , ξ2 = const. Этот потенциал соответствует задаче двух центров на сфере, имеющих «комплексные интенсивности» и расположенных на равных удалениях от полюса с комплексно сопряженными расстояниями (рис. 2). Для его действительности необходимо ξ 1 = ξ2 . Как и в евклидовом случае потенциал (4.1) может рассматриваться как некоторая аппроксимация задачи о движении частицы в поле сплющенного сфероида в искривленном пространстве.

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ И ЧЕТЫРЕХ НЬЮТОНОВСКИХ ЦЕНТРОВ

189

Система с потенциалом (4.1) также разделяется в сфероконических координатах (3.6), при условии µ=

β , 1 − α2

ν=

αβ . 1 − α2

(4.2)

В координатах (3.6) разделяется также потенциал V + VIm , который (при ci = 0) соответствует задаче четырех неподвижных центров — двух мнимых и двух вещественных, расположенных в двух взаимноперпендикулярных плоскостях, проходящих через полюс (см. рис. 2), при Рис. 2 этом, как и в случае плоскости, при фиксированном расстоянии между вещественными центрами расстояние между комплексными центрами также не является произвольным, а определено однозначно с помощью (4.2). Легко показать, что потенциалы:  X ci /γi2 , VN = C(α2 γ22 − β 2 γ32 ), ci , C = const. (4.3) VG = 1 2

могут быть (интегрируемым образом) добавлены в задачу четырех центров и приводят к более общей системе, разделимой в координатах (3.6). Приведем явный вид потенциалов V, VIm , VG , VN в переменных (3.6), p p (µ1 + µ2 ) (α2 − u1 )(β 2 + u1 ) + (µ1 − µ2 ) (α2 + u2 )(β 2 − u2 ) V = , u1 + u 2 p p (ξ1 + ξ2 ) u2 (β 2 − u2 ) + i(ξ1 − ξ2 ) u1 (β 2 + u1 ) VIm = , u1 + u 2 2 −1 2 −1 1 = β 2 (β − u2 ) − (β + u1 ) , u1 + u 2 γ12 2 −1 2 −1 1 = α2 (α − u1 ) − (α + u2 ) , u1 + u 2 γ22 −1 −1 1 = αβ u1 + u2 , u1 + u 2 γ32

VN = C

u21 − u22 . u1 + u 2

190

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Несложно показать, что при предельном переходе к евклидовой плоскости (R → ∞) суммарный потенциал V + VIm + VG + VN переходит в потенциал Дарбу (1.1). Отметим, что этот потенциал, или даже V + V Im , уже не может быть обобщен до соответствующего интегрируемого потенциала для трехмерной задачи (в S 3 ), вследствие отсутствия циклического интеграла, хотя каждый из потенциалов V и VIm по отдельности допускает такое обобщение.

Рис. 3

5. Задача n гуковских центров на сфере Укажем еще один интегрируемый вариант задачи о движении материальной точки в поле гуковских потенциалов c i /(γ, ri )2 , ci = const при котором гуковские центры притяжения ri , i = 1, 2, . . . , n, помещены не по взаимно ортогональным осям, а произвольно располагаются на одном экваторе [10] (рис. 3). Гамильтониан и дополнительный интеграл при (M , γ) = 0 имеют вид n

X ci + U (γ3 ) H =1M 2 + 1 2 2 (ri , γ)2 i=1

F

=M32

+ (1 −

γ32 )

n X i=1

ci

(ri , γ)2

(5.1)

.

В выражении (5.1) присутствует произвольная функция U (γ 3 ), которая обозначает добавление произвольного «центрального» поля, центр которого

ЛИТЕРАТУРА

191

расположен на перпендикуляре к плоскости гуковских потенциалов (рис. 3). В частности, на полюс можно поместить еще один гуковский центр. Из этого следует (см. [4]), что интегрируема также пространственная задача о движении точки на трехмерной сфере S 3 под действием n гуковских центров, расположенных на экваторе. Отметим, что евклидов аналог рассматриваемой задачи тривиален — разделение возможно уже в декартовых координатах (получается n линейных осцилляторов). При этом расположение гуковских центров на плоскости R2 произвольно. В криволинейной ситуации, уже на двухмерной сфере, задача о движении в поле трех произвольно расположенных гуковских центров не является интегрируемой. Это показывают численные эксперименты, демонстрирующие хаотическое поведение. Квадратичный интеграл F в (5.1) связан с разделением задачи в сферических координатах (θ, ϕ). Действительно, гамильтониан H можно записать следующим образом: ! n 2 p ci ϕ 1 1X H= + p2θ + + U (θ) = 2 2 2 2 2 sin θ i=1 sin θ cos (ϕ − ϕi ) " # n X ci 1 1 2 2 = pθ + pϕ + + U (θ), (5.2) 2 cos2 (ϕ − ϕi ) sin2 θ i=1 где θ, ϕ — координаты движущейся материальной точки, а ϕ i задает положение i-го гуковского центра на экваторе (рис. 3). Выражение в квадратных скобках представляет собой дополнительный интеграл движения (5.1). Спустя полгода после сдачи в печать этой работы, в издательство поступила статья С. Т. Садэтова, который независимо получил даже более общие результаты по интегрируемости задачи шести центров на S 2 (где к четырем указанным нами центрам добавлены два новых мнимых центра). Эта статья также публикуется в этом сборнике (с. 195). Авторы благодарят А. Албуи и В. В. Козлова за полезные обсуждения. Работа выполнена в рамках программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» (грант №НШ-36.2003.1), при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-05-64367) и фонда CRDF (грант № RU-M1-2583-MO-04).

Литература [1] Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Т. Обобщенная задача двух неподвижных центров и ее применение в теории движения искусственных спутников Земли. Астрон. ж., 1963, т. 40, № 2, с. 363–372.

192

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

[2] Алексеев В. М. Обобщенная пространственная задача двух неподвижных центров. Классификация движений. Бюллетень ИТА, 1665, т. X, № 4 (117), с. 241–271. [3] Богоявленский О. И. Интегрируемые случаи динамики твердого тела и интегрируемые системы на сферах S n . Изв. АН СССР, сер. мат., 1985, т. 49, № 5, с. 899–915. [4] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Ижевск: Изд-во РХД, 2001. [5] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во РХД, 1999. [6] Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков, ОНТИ-НКТП, 1934. Пер. с нем. Born M. Vorlesungen u¨ ber Atommechanik. Berlin, Springer, 1925. [7] Возмищева Т. Г., Ошемков А. А. Топологический анализ задачи двух центров на двухмерной сфере. Мат. сборник, 2002, т. 193, № 8, c. 3–38. [8] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1994, № 2, c. 28–35. (См. работу 10 этого сборника.) [9] Козлов И. С. Задача четырех неподвижных центров и ее приложения к теории движения небесных тел. Астрон. ж., 1974, т. 51, вып. 1, с. 191–198. [10] Мамаев И. С. Две интегрируемые системы на двухмерной сфере. Доклады РАН, 2003, т. 389, № 3, c. 338–340. [11] Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Москва-Ижевск: НИЦ «РХД», 1999. [12] Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. Пер. с нем. Charlier C. L. Die Mechanik des Himmels. Walter de Gruyter & Co. 1927. [13] Шредингер Э. Метод определения квантовомеханических собственных значений и собственных функций. Избранные труды. Классики науки. М.: Наука, 1976. Пер. с англ. A method of determining of quantummechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940, Vol. 46A, p. 9–16. (См. работу 8 этого сборника.)

ЛИТЕРАТУРА

193

[14] Якоби К. Г. Я. Лекции по динамике. М.: ОНТИ, 1936, 271 с. Пер. с нем. Jaсobi C. J. Vorlesungen u¨ ber Dynamik, Aufl. 2, Berlin, G. Reimer, 1884, 3008. [15] Chernikov N. A. The Kepler problem in the Lobachevsky space and its solution. Acta Phys. Polonica, 1992, Vol. 23, p. 115–119. [16] Chernikov N. A. The relativistic Kepler problem in the Lobachevsky space. Acta Physica Polonica B, 1992, vol. 24, № 5, p. 927–950. (См. работу 23 этого сборника.) [17] Darboux G. Sur un probl´eme de m´ecanique. Archives N´eerlandaises de Sciences. 1901, Ser. 2, Vol. VI, p. 371–376. [18] Deprit A. Le probl´eme des deux centers fixes. Bull. Nath. Belg., 1962, Vol. 142, № 1, p. 12–45. [19] Dombrowski P., Zitterbarth J. On the planetary motion in the 3-dim standard spaces Mk3 of constant curvature k ∈ R. Demonstratio Math., 1991, Vol. XXIV, № 3–4, р. 375–458. [20] Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. J. Phys. A., 1979, Vol. 12, № 3, p. 309–323. (См. работу 9 этого сборника.) [21] Ikeda M., Katayama N. On generalization of Bertrand’s theorem to spaces of constant curvature. Tensor N. S., 1982, Vol. 38, p. 37–40. [22] Killing W. Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen. J. Reine Angew. Math, 1885, Vol. 98, p. 1–48. (См. работу 3 этого сборника.) [23] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Cel. Mech. and Dyn. Astr., 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [24] Liebmann Н. Nichteuklidische Geometrie. Leipzig: G. J. G o¨ schen’sche Verlagshandlung, 1905. [25] Slawianowski J. Bertrand systems on so(3, R), su(2). Bull. de l’Academie Polonica des Sciences, 1980, Vol. XXVIII, № 2, p. 83–94. [26] Velpry С. Kepler Laws and Gravitation in non-Euclidean (classical) Mechanics. Heavy ion physics, 2000, Vol. 11, № 1–2, p. 131–146. [27] Vozmischeva T. G. Classification of motions for generalization of the two center problem on a sphere. Cel. Mech. and Dyn. Astr., 2000, Vol. 77, p. 37–48.

14 Интегрируемый гравитационный потенциал в пространстве постоянной кривизны С. Т. Садэтов1

В работе [3] показано, что задача Килинга [2] двух центров на сфере S 2 , лежащих в главной плоскости, может быть обобщена добавлением двух «мнимых» центров, лежащих во взаимно-перпендикулярной плоскости. Автором настоящей работы независимо получено обобщение этого результата. При этом добавляются еще два «мнимых» центра в главной плоскости, перпендикулярной двум другим. Все центры возникают как 12 особых точек некоторой комплексной кривой на комплексификации сферы. Эта кривая — носитель дивизора ветвления сфероконических координат. 1. Сферо-конические координаты Пусть c1 < c2 < c3 . Рассмотрим систему уравнений 3 X i=1

yi2 = 0, ci − λ

3 X

yi2 = 1,

i=1

y ∈ R3 .

(1)

Ее корни определяют сферо-конические координаты c 1 6 λ1 6 c2 6 λ2 6 c3 3 P на сфере S 2 , определяемой уравнением yi2 = 1, см. [5, 6, 7]. i=1

1 Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, 344010, Ростов-на-Дону, Россия. E-mail: [email protected].

196

С. Т. САДЭТОВ

Тогда yi2 =

(ci − λ1 )(ci − λ2 ) , (ci − cj )(ci − ck )

i 6= j 6= k 6= i.

(2)

Используя уравнение Гамильтона – Якоби для лагранжиана L = ( y˙ 2 − − V (y))|T S 2 , можно показать, что необходимым и достаточным условием разделения переменных в сфероконических координатах является представление потенциала в виде Штеккеля – Якоби: V (λ1 , λ2 ) =

W1 (λ1 ) − W2 (λ2 ) . λ1 − λ 2

(4)

Определение 1. Потенциал V (y), удовлетворяющий условию (4), называется разделяющимся в сферо-конических координатах (1) на сфере S 2 . 2. Обобщение потенциала Дарбу Рассмотрим евклидово пространство R 4 с координатами y1 , . . . , y4 и 4 P скалярным произведением hx, yi = xi yi , содержащее R3 как гиперi=1

плоскость y4 = 0. Пусть S = {y ∈ R4 | 3

комплексификации CS 3 сферы S 3 положим

4 P

i=1

yi2 = 1}. Для точки F на

θF = arccoshF , yi.

(5) 3

В случае, если точка F вещественна, координата θ F на S совпадает с угловой длиной дуги геодезической между точками F и y. Пусть s = (s1 , s2 , s3 ), si = ±1, и s cj − c i sj , k 6= i, j, i 6= j, (6) Gij = −sj cj − c k где радикал в (6) берется либо положительным, либо с положительной мнимой частью. Определим 12 (с учетом различных комбинаций знаков s i ) точек на S 2 Gs1 = (0, Gs122 , Gs133 ),

Gs2 = (Gs211 , 0, Gs233 ),

Gs3 = (Gs311 , Gs322 , 0) ∈ CS 2 , (7) в координатах (y1 , y2 , y3 ). Легко проверить, что Gsi , i = 1, 2, 3 являются 6-ю парами особых точек носителя дивизора ветвления сферо-конических координат на CS 2 , в том числе Gs2 — четыре вещественные фокальные точки.

ИНТЕГРИРУЕМЫЙ ГРАВИТАЦИОННЫЙ

ПОТЕНЦИАЛ

197

Теорема. Разделяющийся «гравитационный» потенциал на S 2 может быть выбран в виде суммы 6 пар слагаемых 3

XX V =1 msi ctg θGsi . 2 i=1

(8)

s

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеют место представления потенциалов ctg θGsi , i = 1, 2, 3 в виде (4): p (λ1 −c2 )(λ1 −c3 )+s2 (λ2 −c2 )(λ2 −c3 ) ctg θGs1 |S 2 = p , = i(λ1 −λ2 ) 1−hGs1 , yi2 (9) p p s s1 (λ1 −c1 )(λ1 −c3 )+s3 (λ2 −c1 )(λ2 −c3 ) hG2 , yi ctg θGs2 |S 2 = p , = s 2 i(λ1 −λ2 ) 1−hG2 , yi hGs1 , yi

s3

p

(10) p p (λ1 −c1 )(λ1 −c2 )+s1 (λ2 −c1 )(λ2 −c2 ) ctg θGs3 |S 2 = , i(λ1 −λ2 ) (11) где в формуле (10) для y ∈ S 2 и (λ1 , λ2 ) ∈ [c1 , cp ] × [c , c ] выбирают2 2 3 ся вещественная положительная ветвь у радикала 1p− hGs2 , yi2 и чисто мнимая с положительной мнимой частью у радикалов (λ1 − c1 )(λ1 − c3 ) p и (λ2 − c1 )(λ2 − c3 ). Правильный выбор однозначных ветвей над прямоугольником (λ1 , λ2 ) ∈ [c1 , c2 ] × [c2 , c3 ] в равенствах (9) и (11) многозначных алгебраических функций требует отдельного исследования. Первое равенство в соотношениях (9)–(11) вытекает из определения угла (5). Ввиду Gs2 ∈ R3 , второе равенство в формуле (10) установлено в [2, 4]. Подставим в среднее выражение формулы (10) зависимость y i от λ1 , λ2 в силу (2) и зависимость Gs2 от c1 , c2 , c3 в силу (6). Получим тождество двух четырехзначных алгебраических функций от переменных λ1 , λ2 , c1 , c2 , c3 ∈ C. Это тождество остается тождеством четырехзначных алгебраических функций и после циклической перестановки c 1 , c2 , c3 при неизменных λ1 , λ2 . Циклическая перестановка c1 , c2 , c3 отвечает циклической перестановке y1 , y2 , y3 в силу (2) и циклической перестановке Gs1 , Gs2 , Gs3 с циклической перестановкой s1 , s2 , s3 в силу (6), (7). Следовательно, из представления (10) вытекают представления (9) и (11). s2 hGs3 , yi = p s 2 1−hG3 , yi

198

С. Т. САДЭТОВ

Предложение 1. Потенциал (8), рассматриваемый на сфере S 3 , удовлетворяет уравнению Лапласа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В [2, 4] установлено, что потенциал ctg θGs2 удовлетворяет уравнению Лапласа. Но уравнение Лапласа на CS 3 инвариантно относительно стандартного действия группы Ли O(4, C) на CS 3 : y ∈ CS 3 ,

y → Ay,

A ∈ O(4, C).

Индуцируемое действие на линейных формах имеет вид: hF , yi → → hA−1∗ F , yi, F ∈ CS 3 . Но CS 3 является орбитой относительно действия группы Ли O(4, C): F → A−1∗ F , см. [8]. Следовательно, найдется элемент A ∈ O(4, C), переводящий Gs2 в Gs1 . Поэтому из выполнения уравнения Лапласа для

hG2 , i



1 − hG2 , i2

вытекает выполнение уравнения Лапласа



для преобразованной функции

hG1 , i



1 − hG1 , i2

.



Так как θ−F = π − θF , ctg θ−F = − ctg θF , не ограничивая общности, можно предположить, что при s = −t выполнено m si = −mti . Положим s2 = (s1 , −s2 , s3 ). Предложение 2. Для вещественности V необходимо положить ms2 ∈ R,

2

ms1 = −ms1 ,

2

ms3 = ms3 ,

(12)

где черта обозначает комплексное сопряжение. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 2 Пусть ms1 = a + ib, ms1 = a(2) + ib(2) , где a, b, a(2) , b(2) ∈ R. В формуле (9) выполнено: p p (λ1 − c2 )(λ1 − c3 ) ∈ R, (λ2 − c2 )(λ2 − c3 ) ∈ iR.

Из вещественности слагаемого в 2V , пропорционального, соответственно, p p (λ1 − c2 )(λ1 − c3 ), (λ2 − c2 )(λ2 − c3 ), вытекает 2

ms1 ctg θGs1 + ms1 ctg θGs 2 ∈ R. 1

То есть,

p (λ1 − c2 )(λ1 − c3 ) + s2 (λ2 − c2 )(λ2 − c3 ))+ p p + (a(2) + ib(2) )i−1 (s3 (λ1 − c2 )(λ1 − c3 ) − s2 (λ2 − c2 )(λ2 − c3 ))] = 0. Im[(a + ib)i−1 (s3

p

2

Следовательно, a + a(2) = 0, b − b(2) = 0. То есть, выполнено ms1 = −ms1 .

ЛИТЕРАТУРА

199

2

Пусть ms3 = a + ib, ms3 = a2 + ib2 , где a, b, a(2) , b(2) ∈ R. В формуле (11) выполнено: p p (λ1 − c1 )(λ1 − c2 ) ∈ iR, (λ2 − c1 )(λ2 − c2 ) ∈ R.

Из вещественности слагаемого в 2V , пропорционального, соответственно, p p (λ1 − c1 )(λ1 − c2 ), (λ2 − c1 )(λ2 − c2 ), вытекает 2

ms3 ctg θGs3 + ms3 ctg θGs2 ∈ R. 3

То есть, p

p (λ1 − c1 )(λ1 − c2 ) + s1 (λ2 − c1 )(λ2 − c2 ))+ p p +(a(2) + ib(2) )i−1 (−s2 (λ1 − c1 )(λ1 − c2 ) + s1 (λ2 − c1 )(λ2 − c2 ))] = 0. Im[(a + ib)i−1 (s2

2

Следовательно, a + a(2) = 0, b − b(2) = 0. То есть, ms3 = ms3 . 3. Обобщение потенциала Киллинга

Рассмотрим потенциал каждой четверки особенностей по отдельности X X Vi , Vi = 1 msi ctg θGsi , V = 2 i

s

но на S 3 . Их интегрируемость вытекает из наличия группы симметрии O(2, R) при вращении вокруг плоскости yi = y4 = 0 и разделения в тех же сфероконических координатах дополнительного слагаемого Рауса, имеющего вид центра упругого взаимодействия, см. [4, 1, 2].

Литература [1] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: изд-во РХД, 1999, 464 стр. [2] Killing W. Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen. J. Reine Angew. Math, 1885, Vol. 98, p. 1–48. Пер. с нем. В Киллинг. Механика в неевклидовых пространствах. (См. в этом сборнике.) (См. работу 3 этого сборника.) [3] Борисов А. В., Мамаев И. С. Обобщенная задача двух и четырех ньютоновских центров. (См. работу 13 этого сборника.)

200

С. Т. САДЭТОВ

[4] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 54, 1992, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [5] Neumann J. De problemate quado mechanico, quad ad priman integralium ultraellipticorum classem revocatur. J. Reine Angew. Math., 1859, V. 56, p. 46–63. [6] Moser J. // Gukenheimer J., Moser J., Sheldon E. Newhouse «Dynamical systems». — C.I.M.E. Lectures, Bressanone, Itali, 1978, Progress in Mathematics: 8. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем. УМН, 1981, т. 36, в. 5, с. 109–151. [7] Козлов В. В., Федоров Ю. Н. Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия. Матем. заметки, 1994, т. 56, в. 3, с. 74–79. (См. работу 17 этого сборника.) [8] Винберг Э. Б., Попов В. Л. II. Теория инвариантов. Соврем. пробл. матем. Фунд. направления, 1989, 55, с. 137–314.

15 Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. II. Проблема Кеплера1 Я. И. Грановский2 , А. С. Жеданов3 , И. М. Луценко4 1. Введение В 1940 году Шредингер [1] рассмотрел задачу Кеплера в пространстве постоянной положительной кривизны, нашел спектр связанных состояний и показал, что кратность возрождения уровня остается такой же, как и в «плоском» мире, т. е. имеет полное вырождение: и по азимутальному, и по орбитальному квантовым числам. Ко времени появления работы Шредингера уже была хорошо изучена природа кулоновского вырождения, обусловленная повышенной (так называемой «скрытой») симметрией задачи Кеплера. Эта симметрия может быть сделана «явной», если — следуя В. А. Фоку [2] — записать уравнения Шредингера в импульсном представлении. Позже Бергман [2] показал, что известные интегралы движения — момент L и вектор Рунге – Ленца A — реализуют в этом пространстве алгебру O(4), если E < 0, или O(3, 1), если E > 0. Природа кулоновского вырождения в «кривом» мире оставалась нераскрытой, поскольку не удавалось построить обобщение вектора Рунге – Ленца в искривленном пространстве. Лишь в 1979 году авторы работ [3, 4] сумели это сделать. Оказалось, что векторы L, A в этом случае не образуют алгебру Ли из-за нелинейного вида коммутаторов между компонентами 1 ТМФ,

1992, Т. 91, № 3, с. 396–400. физики горного дела НАНУ, 83114, Донецк, Украина. E-mail: [email protected]. 3 Донецкий физико-технический институт НАНУ, 83114, Донецк, Украина. E-mail: [email protected]. 4 SISSA, via Beirut 2-4, 34000, Trieste, Italy. E-mail: [email protected] 2 Институт

202

Я. И. ГРАНОВСКИЙ, А. С. ЖЕДАНОВ, И. М. ЛУЦЕНКО

вектора A. И все же белорусским авторам [4] удалось, используя эти коммутационные соотношения, получить спектр и кратность вырождения методом, аналогичным тому, который применялся Паули к кулоновской задаче еще на заре создания квантовой механики [5]. Позже в работах [6] были найдены в явном виде волновые функции кулоновской задачи в параболических координатах в пространстве отрицательной кривизны. Основой для этого послужила построенная там же классификация всех систем координат, допускающих разделение переменных в уравнении Шредингера для пространств постоянной кривизны. Несмотря на очевидные успехи, достигнутые в изучении проблемы случайного вырождения задачи Кеплера в «кривом» мире, остается открытым ряд вопросов, на решении которых мы сосредоточимся в данной работе. 1. Алгебра, составленная из компонент векторов L и A, является избыточной уже в плоском мире. Действительно, как показано в [7], достаточно построить коммутаторную алгебру, стартуя только от двух операторов: квадрата момента L2 и одной из компонент вектора Рунге – Ленца A. В плоском мире эта алгебра оказывается квадратичной алгеброй Хана QH(3) и дает полное описание состояний (вырожденного) уровня энергии. Ниже будет показано, что аналогичная ситуация имеет место в искривленном пространстве: алгебра, построенная на указанной паре операторов, остается квадратичной, хотя и несколько более сложной структуры (так называемая алгебра Рака QR(3)). 2. В плоском пространстве коэффициенты пересвязки волновых функций в сферической и параболической системах координат оказываются коэффициентами Клебша – Гордона группы O(3) (см [8]). В пространстве же постоянной отрицательной кривизны, где также существуют две аналогичной системы координат, коэффициенты пересвязки до сих пор не были найдены. В данной работе мы находим эти коэффициенты алгебраическим способом на основе алгебры Рака. Они выражаются через полиномы Рака – Вильсона, т. е. 6j-символы с нецелыми j. Попутно выясняется причина того, что в пространстве положительной кривизны параболические координаты отсутствуют. 3. Мы показываем, что динамической алгеброй, генерирующей спектр, также является квадратичная алгебра — алгебра Якоби QJ(3). Эта найденная нами алгебра позволяет чисто алгебраически найти волновые функции в сферической системе координат и является в этом смысле истинно динамической алгеброй. Заметим, что в работе [3] гамильтониан кулоновской задачи в искривленном пространстве выражался (довольно гро-

КВАДРАТИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ДИНАМИКА

В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

203

моздким образом) через оператор Казимира алгебры O(4) и таким путем находился спектр (но не волновые функции). Однако динамическая алгебра, содержащая гамильтониан среди генераторов, в указанных работах не была найдена. 4. Если в плоском пространстве добавить к потенциалу Кулона взаимодействие вида r −2 sin−2 θ, то получится так называемый потенциал Хартмана, для которого вырождение снимается не полностью. Причина этого «остаточного» вырождения была вскрыта в работе [7]: квадратичная алгебра Хана QH(3) продолжает оставаться алгеброй скрытой симметрии при переходе от кулоновского потенциала к потенциалу Хартмана, изменяются лишь значения структурных констант алгебры. Мы покажем, что аналогичное явление имеет место в искривленном мире, добавка осесимметричного возмущения не разрушает скрытую симметрию квадратичной алгебры Рака. Квадратичные алгебры впервые были введены в обиход математической физики Скляниным [9]. Однако вплоть до последнего времени эти алгебры использовались лишь в довольно экзотических моделях статистической физики и теории поля и не находили применения в задачах квантовой механики. Мы продемонстрировали эффективность квадратичных алгебр в работах [7, 10], где алгебра Хана выступает в качестве скрытой симметрии, и в [11], где алгебра Якоби является динамической алгеброй, порождающей совокупность точно решаемых одномерных потенциалов. Данная работа является продолжением работы [12], в которой рассматривалась задача о движении осциллятора в пространстве постоянной кривизны. Удивительным образом оказывается, что в обоих случаях алгеброй скрытой симметрии служит алгебра Рака, а алгеброй, порождающей спектр — алгебра Якоби. Различными оказываются лишь значения структурных параметров этих алгебр, точнее, их связь с характеристиками рассматриваемой физической системы.

2. Общие соотношения Напомним основные соотношения квантовой динамики в трехмерном пространстве постоянной кривизны [3, 12]. Мы рассматриваем его как сферу или гиперболоид (в зависимости от знака кривизны) в четырехмерном евклидовом пространстве с координатами q0 , q1 , q2 , q3 . Основное внимание мы уделим случаю отрицательной кривизны (делая необходимые замечания для противоположного варианта), когда q02 − q2 = R2 ,

(2.1)

204

Я. И. ГРАНОВСКИЙ, А. С. ЖЕДАНОВ, И. М. ЛУЦЕНКО

здесь R обозначает радиус кривизны. Удобно ввести сферические координаты, которые имеют вид q0 = R ch χ, q1 = R sh χ cos θ, q2 = R sh χ sin θ sin ϕ, q3 = R sh χ sin θ cos ϕ.

(2.2)

При положительной кривизне в формулах (2.2) необходимо заменить гиперболические функции, содержащие χ, на соответствующие тригонометрические. Тензор момента Mαβ записывается в виде Mαβ = −i(gαγ q γ ∂β − gβγ q γ ∂α ),

(2.3)

где gαγ — метрический тензор (в данном случае псевдоевклидовой сигнатуры + − −−). Трехмерные векторы буста π и момента L записываются в виде π i = M0i , Mik = eiks Ls

(2.4) (2.5)

(латинские индексы, как обычно, пробегают значения 1, 2, 3). При R → ∞ вектор момента L сохраняет свой вид, а буст переходит в вектор импульса: π → Rp. Гамильтониан свободного движения в пространстве постоянной кривизны записывается в виде −H0 = ~2 Mαβ M αβ /4µR2 = ~2 (L2 − π 2 )/2µR2

(2.6)

(в пространстве положительной кривизны внутри скобок знак плюс). Гамильтониан с кулоновским потенциалом записывается в виде Hc = H0 − e2 /r,

(2.7)

где r = Rq/q0 = nR th χ (мы будем рассматривать только поле притяжения e2 > 0). В сферических координатах гамильтониан Hc можно записать в виде Hc = −(~2 /2R2 µ)[sh−2 χ∂χ sh2 χ∂χ − L2 / sh2 χ + 2ν cth χ] = (~2 /µR2 )H, ν = µe2 R/~2 = R/RБ .

(2.8)

КВАДРАТИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ДИНАМИКА

В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

205

Квадрат момента имеет такую же форму, что и в плоском пространстве: L2 = − sin−1 θ(∂θ sin θ∂θ − m2 / sin θ)

(2.9)

(m — азимутальное квантовое число). Предельный переход к плоскому пространству осуществляется следующим образом: R → ∞, χ → 0, но Rχ → r, где r — радиальная переменная в евклидовом трехмерном пространстве (которое в дальнейшем для краткости будем называть плоским).

3. Алгебра симметрии Операторы, коммутирующие с гамильтонианом Hc , были найдены в работах [3, 4]. Один из этих интегралов очевиден — это момент L. Другой — аналог вектора Рунге – Ленца A = (L × π − π × L)/2 + νq/|q|

(3.1)

(это выражение не зависит от знака кривизны пространства). Коммутационные соотношения между L и A имеют следующий вид: [Am , An ] = −2iemns Ls (H + L2 ), [Lm , An ] = iemns As , [Lm , Ln ] = iemns Ls

(3.2а) (3.2б) (3.2в)

(в пространстве положительной кривизны знак внутри скобок отрицательный). Одновременно с коммутационными соотношениями (3.2) выполняются два условия связи

2

C1 = L · A = A · L = 0,

C2 = A − (L2 + 1)(L2 + 1 + 2H) − ν 2 + 1 = 0.

(3.3)

Слагаемое L2 в коммутационном соотношении (3.2а) приводит к тому, что операторы L и A не образуют конечной алгебры Ли. В случае плоского пространства этот член исчезает, и мы получаем на уровне H = ε алгебру Ли, изоморфную O(4) при E < 0 или O(3, 1) при E > 0. Таким образом, коммутационные соотношения (3.2) определяют некоторую нелинейную коммутаторную алгебру с шестью образующими L и A. Алгебра (3.2) является кубической, а соотношения (3.3) задают значения

206

Я. И. ГРАНОВСКИЙ, А. С. ЖЕДАНОВ, И. М. ЛУЦЕНКО

операторов Казимира этой алгебры. Понятие об алгебрах с нелинейными коммутационными соотношениями было введено Скляниным в работах [9], причем Склянин рассматривал алгебры с квадратичной нелинейностью в правых частях коммутаторов, такие алгебры были названы впоследствии квадратичными. Авторы работ [3, 6], отправляясь от нелинейных коммутационных соотношений (3.2), сумели построить их конечномерное представление и найти спектр и кратность вырождения уровня. Таким образом, алгебры с нелинейными коммутационными соотношениями нашли применение в физике за четыре года до появления пионерских работ Склянина. В подходе авторов [3, 6] используется чересчур громоздкая алгебраическая конструкция — шесть операторов с двумя условиями связи. Мы покажем, что на самом деле вся существенная информация содержится в алгебре с тремя образующими и одним оператором Казимира. Эта квадратичная алгебра позволяет воспроизвести не только все результаты работ [3, 6], но и получить существенно новый — найти коэффициенты пересвязки между сферическим и параболическим базисами. Отметим, что ранее аналогичный подход был применен нами к обычной кулоновской проблеме в плоском пространстве [7], полученная там квадратичная алгебра также позволяла находить все существенные характеристики системы и сохраняла свою структуру при переходе к потенциалу Хартмана. Итак, выберем два оператора K1 = L 2 ,

K2 = A 2

(3.4)

и образуем третий K3 = −i(L × A − A × L)z . (3.5) Нетрудно проверить, что тройка операторов K 1 , K2 , K3 при коммутировании замыкается в рамках квадратичной алгебры [K1 , K2 ] = K3 , A2 K22

BK12

[K2 , K3 ] = + + C 1 K1 + G 1 , [K3 , K1 ] = A2 {K1 , K2 }

(3.6а) (3.6б) (3.6в)

(фигурные скобки { . . . } всюду в дальнейшем обозначают антикоммутатор). Значения структурных констант алгебры таковы (при этом мы существенно использовали соотношения (3.3)): A2 = −2,

B = ∓6,

C1 = 8ε ∓ 4(m2 − 1), 2

2

G1 = 2v − 4ε(m − 1)

(3.7)

КВАДРАТИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ДИНАМИКА

В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

207

(верхний из двойных знаков отвечает положительной кривизне, а нижний — отрицательной). В выражениях (3.7) параметр ε обозначает собственное значение гамильтониана H, а параметр m — собственное значение оператора L z . Оба эти оператора коммутируют со всеми тремя Ks , и поэтому представление алгебры (3.6) задано на пространстве с фиксированными квантовыми числами ε и m. Квадратичная алгебра с коммутационными соотношениями (3.6) имеет оператор Казимира Q = A2 {K22 , K1 } + 2K13 / + K32 + (C1 − BA2 /3)K12 + A22 K22 + 2G1 K1 , (3.8) который в данной реализации (3.4) принимает значения Q = 4m2 v 2 ,

(3.9)

не зависящее от знака кривизны пространства. Алгебра с коммутационными соотношениями (3.6) имеет представление, в котором оператор K1 диагонален (3.10а)

K1 ψ p = λ p ψ p , а оператор K2 трехдиагонален

(3.10б)

K2 ψp = ap+1 ψp+1 + ap ψp−1 + bp ψp

(здесь p — дискретная переменная с шагом единица, нумерующая состояния). С помощью соотношений (3.6) и оператора Казимира (3.8) можно найти явно все матричные элементы представления, т. е. λ p , ap , bp . Отсылая за подробностями расчета к работам [12, 13, 14], выпишем эти матричные элементы: a2p

2

= (p −

λp = p(p + 2 p1 )(p2 − p22 )(p2

1), −

bp = 0, 2 p3 )(p2 − p24 )/p2 (4p2

− 1).

Значения характеристик корней pk таковы: r p p1 = 0, p2 = |m|, p3,4 = 1 − ε ∓ (1/2 − ε)2 − v 2 , 2

(3.11)

(3.12)

Интервал применения параметра p определяется из условия a 2p > 0, необходимого для эрмитовости оператора K2 . Поскольку параметр p имеет

208

Я. И. ГРАНОВСКИЙ, А. С. ЖЕДАНОВ, И. М. ЛУЦЕНКО

смысл момента (см. формулу для λp ), его наименьшее значение должно совпадать с |m|, т. е. равняться p2 . Наибольшее же значение , т. е. p3 , зависит от величины энергии ε. В случае ε< 1 −v (3.13) 2 корни p3 , p4 вещественны и p2 6 p 6 p3 − 1.

(3.14)

Из (3.14) немедленно получается, что представление конечномерно и его размерность N равна N = p3 − p2 ,

N = 1, 2, . . .

(3.15)

Это условие квантует энергию: ε = −(n2 − 1 + v 2 /n2 )/2

(3.16)

p √ (здесь n = |m| + N — главное квантовое число, nmax = v = R/RБ ). Если же (3.17) ε > 1 − v, 2 то корни p3 и p4 становятся комплексно-сопряженными, представление — бесконечномерным p2 6 p < ∞, (3.18) а энергетический спектр — непрерывным. Этот случай должен быть рассмотрен отдельно. Построить аналогичное представление с диагональным K 2 невозможно, этому препятствует несимметрия коммутаторов (3.6б) и (3.6в). Вследствие этого отсутствует система координат, в которой возможно было бы разделение переменных с диагонализацией A2 (этот факт отмечен в [6] без алгебраической интерпретации). Модифицируем исходную алгебру (3.6) так, чтобы стало возможным диагонализовать не только оператор K1 , но и K2 . Для этого заметим, что алгебра остается квадратичной и после замены K1 → K1 , K2 → K2 + γK1 , где γ — некоторый числовой параметр. Итак, мы определяем операторы T1 = L 2 ,

T2 = A2 + γL2

(3.19)

КВАДРАТИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ДИНАМИКА

В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

209

и подбираем γ так, чтобы коммутаторы [T2 , T3 ] и [T3 , T1 ] стали однотипны: [T1 , T2 ] = T3 , [T2 , T3 ] = A1 {T1 , T2 } + A2 T22 + DT2 + C1 T1 + G1 ,

[T3 , T1 ] = A2 {T1 , T2 } +

A1 T12

(3.20)

+ DT1 − C2 T2 + G2 .

Нетрудно проверить, что для этого необходимо положить √ γ = ∓1

(3.21)

и тогда A1 = 4,

A2 = −2,

C1 = 8ε − 4(1 − m2 ),

G1 = 2v 2 − 4ε(m2 − 1),

D = C2 = G2 = 0.

(3.22)

Алгебра с коммутационными соотношениями (3.20) представляет собой квадратичную алгебру Рака QR(3) [13]. Она обладает свойством дуальности, в ней можно диагонализировать как оператор T 1 , так и T2 . Заметим, однако, что при положительной кривизне коэффициент γ оказывается чисто мнимым и оператор T2 становится нормированным, т. е. он, равно как и вся изложенная процедура, теряет физический смысл. В случае же пространства отрицательной кривизны оператор T2 = A 2 + L 2

(3.23)

эрмитов и диагонален в параболических координатах (ср. [6]). Следовательно, теперь наряду с базисом ψp , в котором диагонален T1 , может быть построен дуальный базис ϕs , в котором диагонален T2 : T2 ϕ s = µ s ϕ s ,

T1 ϕs = αs+1 ϕs+1 + αa ϕs−1 + βs ϕs .

(3.24)

Для получения характеристических корней s k в этом базисе необходимо знать значение оператора Казимира алгебры QR(3), выражение для которого имеет вид [12, 13] Q = A1 {T12 , T2 } + A2 {T22 , T1 } + (C1 + A21 )T12 +

+ (C2 + A22 )T22 + T32 + (D + A1 A2 ){T1 , T2 }+ + (DA1 + 2G1 )T1 + (DA2 + 2G2 )T2 .

В используемой реализации операторов Q + 4m2 v 2 .

(3.25)

210

Я. И. ГРАНОВСКИЙ, А. С. ЖЕДАНОВ, И. М. ЛУЦЕНКО

Действуя уже описанным методом, получаем матричные элементы µs = −A1 s(s + 1)/2 − C1 /2A1 = −2s(s + 1) − ε − (m2 − 1)/2, α2s = (s2 − s21 )(s2 − s22 )(s2 − s23 )(s2 − s24 )/16s2 (4s2 − 1)

(3.26)

и характеристические корни алгебры в этом представлении s1 = (m + n − v/n)/2, s3 = (n − m + v/n)/2,

s2 = (m − n + v/n)/2, s4 = (m + n + v/n)/2.

(3.27)

Итак, мы описали конечномерные представления алгебры QR(3), являющейся алгеброй скрытой симметрии системы. Важно подчеркнуть, что эта алгебра обладает свойством дуальности, т. е. исходя из одних только коммутационных соотношений можно найти спектр и матричные элементы как оператора T1 , так и T2 . Мы воспользуемся этим обстоятельством в следующем разделе для нахождения коэффициентов пересвязки.

4. Коэффициенты пересвязки В предыдущем разделе мы показали, что в пространстве с постоянной отрицательной кривизной операторы T1 = L2 и T2 = A2 + L2 образуют квадратичную алгебру Рака QR(3). В [13] показано, что коэффициенты пересвязки собственных функций операторов T 1 и T2 в алгебре QR(3) выражаются через полиномы Вильсона-Рака. Воспроизведем кратко ход рассуждений. Пусть, как и прежде, ψp — базис, в котором диагонален оператор T1 с собственным значением λp , а ϕp — базис, в котором диагонален оператор T2 с собственным значением µs . Для матричного элемента hϕs |ψp i = hs|pi перекрытия волновых функций ψp и ϕs имеет место формула, вытекающая из (3.10б), µs hs|pi = ap+1 hs|p + 1i + ap hs|p − 1i + bp hs|pi.

(4.1)

Вследствие однородности этого уравнения удобно выделить из hs|pi так называемый «вакуумный» множитель hs|p2 i: hs|pi = hs|p2 iRk ,

k = p − p2 .

(4.2)

Из этого определения ясно, что R0 = 1, а соотношение (4.1) связывает три последовательные величины Rk−1 , Rk и Rk+1 . По отношению к µs , эти величины являются полиномами.

КВАДРАТИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ДИНАМИКА

В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

211

Сравнивая матричные коэффициенты ap и bp алгебры QR(3), входящие в (4.1), с известными коэффициентами рекуррентных соотношений для полиномов Вильсона – Рака от дискретного аргумента [15], заключаем, что они совпадают. «Вакуумный» элемент hs|p2 i входит в условие ортогональности этих полиномов: X w(s)Rk (µs )Rk (µs ) = δkk , (4.3) s

определяя собою их вес w(s) = |hs|p2 i|2 . Полиномы Вильсона – Рака явно выражаются через гипергеометрическую функцию 4 F3 от единичного аргумента: " # −k1 s2 − s1 γ1 γ2 Rk (µs ) = Ck 4 F3 (4.4) 1 , δ1 δ2 δ3 где Ck — нормировочный множитель, а параметры гипергеометрической функции равны γ1 = k + 2m + 1, γ2 = s − s2 + m + 1 − n − v/n, δ1 = m + 1, δ2 = m + 1 − n, δ3 = m + 1 − v/n.

(4.5)

Весовая («вакуумная») амплитуда hs|p2 i может быть найдена алгебраическим путем или непосредственно из явного вида весовой функции полиномов Вильсона – Рака. Мы не будем останавливаться на этом вопросе. Таким образом, используя конечномерное представление алгебры Рака, мы нашли коэффициенты пересвязки базисов ψp и ϕp с точностью до нормировочного множителя Ck . Впрочем, значения модуля |Ck | может быть найдено из условия ортонормированности полиномов Вильсона – Рака, так что остается лишь произвол в выборе фазы, который не имеет физического значения. Дадим теперь физическую интерпретацию полученным результатам. Мы уже указывали, что оператор T1 диагонален в сферических координатах (см. (2.9)). Оператор же T2 диагонален в «параболических» координатах пространства постоянной отрицательной кривизны. Этот факт был установлен в работах [6], авторы которых нашли волновые функции в этих координатах и спектр оператора T2 . Естественно, что он совпадает с выражением (3.26), полученным алгебраически. Это отвечает на один из вопросов, оставшихся нерешенными в этих работах. Формулы же (4.1)–(4.3) содержат алгебраический вывод коэффициентов пересвязки волновых функций кулоновской задачи в сферическом и «параболитческом» базисах. Традиционный путь нахождения таких коэффициентов потребовал бы довольно

212

Я. И. ГРАНОВСКИЙ, А. С. ЖЕДАНОВ, И. М. ЛУЦЕНКО

громоздких вычислений в пространстве отрицательной кривизны. Именно по этой причине они не были получены ранее. Отметим, что в плоском пространстве, когда R → ∞(v → ∞), параметры γ2 и δ3 совпадают, 4 F3 (1) → 3 F2 (1) и полиномы Вильсона – Рака переходят в полиномы Хана, которые входят в коэффициенты пересвязки сферического и параболического базиса для кулоновской задачи в плоском пространстве [16] (фактически это попросту иная запись коэффициентов Клебша – Гордана [8]). В этом же пределе алгебра QR(3) переходит в квадратичную же алгебру Хана QH(3). Более подробно об алгебре QH(3) как алгебре симметрии кулоновской проблемы в плоском пространстве см. в [7]. Таким образом, мы рассмотрели случай дискретного спектра в пространстве отрицательной кривизны. Ему отвечает конечномерное представление алгебры QR(3) и полиномы Вильсона – Рака непрерывного аргумента. Этот случай будет рассмотрен отдельно.

5. Динамическая алгебра В предыдущих разделах мы построили алгебру симметрии заданного энергетического уровня задачи Кеплера в пространстве постоянной отрицательной кривизны. Эта алгебра — квадратичная алгебра Рака QR(3) — позволила найти спектр, кратность вырождения уровня и коэффициенты пересвязки между сферическим и параболическим базисами. Между тем, кроме алгебры симметрии уровня (которую в физике часто называют алгеброй скрытой симметрии) необходимо еще найти так называемую динамическую алгебру или алгебру, порождающую спектр (spectrum generating algebra). Под последней обычно понимают алгебру Ли, одним из генераторов которой служит гамильтониан (см., например, [17]). С ее помощью, используя лестничные свойства генераторов алгебры Ли, можно построить спектр и волновые функции гамильтониана, отправляясь от основного состояния. Для кулоновской задачи в плоском пространстве подобная программа была реализована в нескольких работах (см. [18]): динамическая алгебра оказалось алгеброй Ли O(2, 1). Попытки построить аналогичную динамическую алгебру в искривленном пространстве оказались безуспешными: гамильтониан не может совпадать с генератором какой-либо алгебры Ли. Авторам работ [3] удалось лишь выразить (довольно громоздким образом) гамильтониан задачи через оператор Казимира алгебры O(4). В настоящем разделе мы покажем, что на самом деле динамической алгеброй кулоновской задачи является квадратичная алгебра и притом более простая, чем QR(3), — так называемая алгебра Якоби QJ(3).

КВАДРАТИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ДИНАМИКА

В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

213

Введем следующие операторы: N1 = (exp(−2χ) − 1)(H − W )/2, N1 = exp(2χ),

(5.1а) (5.1б)

где H — гамильтониан (2.8), W — параметр. Поскольку квадрат момента L 2 коммутирует с операторами N1 , N2 , мы можем считать фиксированным значение орбитального квантового числа l. Нетрудно проверить, что коммутаторы операторов (5.1) замыкаются в рамках квадратичной алгебры: (5.2а)

[N1 , N2 ] = N3 , AN22

[N2 , N3 ] = + DN2 , [N3 , N1 ] = A{N1 , N2 } + DN1 + C2 N2 + G2

(5.2б) (5.2в)

со структурными константами A = −2,

D = 2,

C2 = 2(v + W ),

G2 = −2(W + L2 ).

(5.3)

Как видно из сравнения (5.2) и (3.20), полученная алгебра есть вырожденный случай алгебры QR(3) (A1 = C1 = G1 = 0). Алгебра такой структуры изучалась нами ранее в [11], это алгебра Якоби QJ(3). Пользуясь (3.25), нетрудно подсчитать значение оператора Казимира алгебры QJ(3) в реализации (5.1): Q = 2(v − W ).

(5.4)

Введем базис ωq , в котором диагонален оператор N1 : N1 ω q = p q ω q .

(5.5)

В алгебре Якоби спектр pq может быть как дискретным, так и непрерывным [11]. Ограничимся случаем дискретного спектра, когда имеет место равенство pq = q(q + 1) + (v + W )/2. (5.6) оператор N2 имеет трехдиагональный вид N2 ωq = Aq+1 ωq+1 + Aq ωq−1 + Bq ωq

(5.7)

с матричными элементами A2q =

(q 2 − q12 )(q 2 − q22 ) 4q 2 (4q 2 − 1)

,

Bq = [1 + q1 q2 /q(q + 1)]/2.

(5.8)

214

Я. И. ГРАНОВСКИЙ, А. С. ЖЕДАНОВ, И. М. ЛУЦЕНКО

Используя значения структурных параметров алгебры QJ(3), находим корни q1 , q2 : √ q1,2 = [∓(2l + 1) − 2v + 1 − 2W ]/2. (5.9)

Спектральный параметр q может меняться от q2 до точки ветвления элемента Aq , равной −1/2: q = q 2 + nr ,

nr = 0, 1, 2, . . .

(5.10)

Собственные значения H, как видно из (5.1а), могут быть найдены из условия pq = 0: (q2 + nr )(q2 + nr + 1) + (v + W )/2 = 0. Это дает выражение для энергетического уровня W = −(n2 − 1 + v 2 /n2 )/2 (n = nr + l + 1),

(5.11)

совпадающее с (3.16). Динамическую алгебру Якоби можно использовать не только для нахождения спектра энергии, но и для получения волновых функций в координатном представлении. Ограничимся выводом волновой функции основного состояния. Заметим для этого, что наряду с формулой (5.7) имеет место аналогичное соотношение для оператора N3 N3 ωq = Aq+1 (pq+1 − pq )ωq+1 − Aq (pq − pq−1 )ωq−1 ,

(5.12)

полученное с помощью коммутатора (5.2а). Из (5.7) и (5.12) следует −[N3 + (pq − pq+1 )(N2 − Bq )]ωq = Aq (pq−1 − pq+1 )ωq−1 ,

(5.13)

т. е. оператор в квадратных скобках — назовем его N (−) — играет роль понижающего оператора: он уменьшает квантовое число q (или n r ) на единицу. В основном (nr = 0) состоянии q = q2 и Aq2 = 0, т. е. N (−) ϕ0 = 0. Учитывая, что

получаем

pq − pq+1 = −2(q + 1) = −l − 2 + v/n, −Bq (pq − pq+1 ) = q + 1 + q1 q2 /q = −l − v/n, N2 = exp(2χ), N3 = 2 exp(2χ) + [exp(2χ) − 1]∂χ ,

[exp(2χ) − 1]ϕ00 + [(−l + v/n) exp(2χ) − (l + v/n)]ϕ0 = 0.

(5.14)

КВАДРАТИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ И ДИНАМИКА

В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

215

решение имеет вид ϕ0 = C exp(−vχ /n)(sh χ)0 , (5.15) обобщающий известное поведение r l в плоском мире. Так же строится повышающий оператор N (+) и с его помощью вся лестница состояний. Впрочем, и без вычислений ясно, что в результате ϕ 0 приобретет множителем полном Якоби от exp(2χ).

6. Заключение В настоящей работе мы рассмотрели симметрийные аспекты проблемы Кеплера в пространстве постоянной отрицательной кривизны и построили алгебру симметрии уровня и динамическую алгебру, порождающую спектр. Обе эти алгебры оказались квадратичными алгебрами известной структуры: соответственно алгебра Рака QR(3) и алгебра Якоби QJ(3). Вся информация о свойствах системы была получена алгебраически без решения уравнения Шредингера и явного использования волновых функциях. В прочем, динамическая алгебра позволяет при желании построить эти волновые функции. Особо хотелось бы отметить возможность алгебраического получения коэффициентов пересвязки волновых функций сферического и параболического базисов, так как непосредственное вычисление этих коэффициентов с помощью волновых функций в явном виде чрезвычайно затруднительно. Интересно, что в аналогичной задаче — осциллятор в пространстве постоянной кривизны [12] — как алгебра симметрии уровня, так и динамическая алгебра оказываются такими же, что и в кулоновской задаче. Мы не знаем, в чем природа этого удивительного совпадения. Стоит отдельно подчеркнуть ту полезную роль, которую сыграли квадратичные алгебры в задаче о пересвязках в различных системах координат как для осциллятора, так и для кулоновской проблемы. По-видимому, квадратичные алгебры указанной нами структуры могут разрешить ряд неясных проблем, имеющихся в общей теории разделения переменных [19]. Отметим одно простое обобщение кулоновской задачи, сохраняющее структуру алгебры симметрии. Мы имеем ввиду аналог потенциала Хартмана в искривленном пространстве. Напомним (см. [7]), что в плоском пространстве потенциалом Хартмана называется кулоновский потенциал с анизотропным осесимметрическим добавком: Ux = −e2 /r + β/r2 sin2 θ. (6.1) Потенциал Хартмана (он применяется в квантовой химии при описании кольцеобразных молекул) обладает остаточным «скрытым» вырождением, природа которого была выяснена в [7]: интегралы, коммутирующие

216

Я. И. ГРАНОВСКИЙ, А. С. ЖЕДАНОВ, И. М. ЛУЦЕНКО

с гамильтонианом Хартмана, образуют квадратичную алгебру Хана QH(3), которая объясняет все, казавшиеся ранее загадочными, свойства этого потенциала. В пространстве постоянной отрицательной кривизны аналогом гамильтониана Хартмана является Hx = Hc + β/ sh2 χ sin2 θ,

(6.2)

где Hc — кулоновский гамильтониан (2.8). Нетрудно построить алгебру симметрии этого гамильтониана. Для это2 2 го следует только в явной p записи оператора L и A2 + L заменить всюду 2 параметр |m| на M = 2β + m . Записанные таким образом операторы коммутируют с гамильтонианом (6.2). Более того, алгебра симметрии уровня сохраняет свой вид, т. е. остается алгеброй Рака QR(3). Сохраняют силу и все следствия из наличия такой алгебры. В частности, коэффициенты пересвязки между сферическим и параболическим базисами по-прежнему выражаются через полиномы Вильсона – Рака. Следует также иметь ввиду, что и в классической механике кулоновской задачи сохраняется структура как алгебры симметрии уровня QR(3), так и динамической алгебры QJ(3), порождающей спектр; следует лишь заменить коммутаторы на скобки Пуассона. Вопрос о физической интерпретации получаемых при этом «классических» квадратичных алгебр требует отдельного рассмотрения. Укажем теперь на проблемы, которые остаются нерешенными. Во-первых, для проблемы Кеплера в искривленном мире не найдено фоковская интерпретация симметрии как свободного движения в соответствующем импульсном пространстве. Дело в том, что само понятие импульсного пространства в случае искривленного координатного пространства требует корректного определения. Во-вторых, не рассмотрена проблема рассеяния и не получен аналог формулы Резерфорда в искривленном пространстве. При этом опять таки необходимо корректно определить, что такое рассеяние в пространстве отрицательной кривизны. Кстати, и в пространстве положительной кривизны вопрос требует тщательного рассмотрения.

Литература [1] Schr¨odinger E. A method of determining of quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940, Vol. A45, p. 9–16. Пер. с нем.: Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976, с. 239–247. (См. работу 8 этого сборника.)

ЛИТЕРАТУРА

217

[2] Фок В. А. // Z. Phys. 1935. Bd. 98. S. 145–154. Bargmann V. // Z. Phys. 1936. Bd. 99. S. 576–582. [3] Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. J. Phys. A., 1979, Vol. 12, № 3, p. 309–323. (См. работу 9 этого сборника.) [4] Курочкин Ю. А., Отчик В. С. // ДАН БССР. 1979. Т. 23. № 11. C. 987–990. [5] Pauli W. // Z. Phys. 1926. Bd. 36. S. 336–363. [6] Богуш А. А., Отчик В. С., Редьков В. М. // Весцi АН БССР. 1983. № 3. C. 56–62. Отчик В. С., Редьков В. М. Препринт № 298. Минск: Ин-т физики АН БСССР. 1983. [7] Granovskii Ya. I., Zhedanov A. S., Lutzenko I. M. // J. Phys. A. 1991. V. 24. № 16. P. 3887–3894. [8] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука, 1989. [9] Склянин Е. К. // Функц. анализ и его приложения. 1982. Т. 16. № 4. C. 27–34; 1983. Т. 17. № 4. C. 34–48. [10] Gal’bert O. F., Granovskii Ya. I., Zhedanov A. S. // Phys. Lett. A. 1991. V. 153. № 4, 5. P. 177–180. [11] Грановский Я. И., Жеданов А. С., Луценко И. М. // ЖЭТФ. 1991. Т. 99. B. 2. C. 369–377. [12] Грановский Я. И., Жеданов А. С., Луценко И. М. // ЖЭТФ. 1992. Т. 91. № 2. C. 207–216. [13] Грановский Я. И., Жеданов А. С. Препринт ДонФТИ 89-7. Донецк: ДонФТИ. 1989. [14] Грановский Я. И., Жеданов А. С. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. B. 10. C. 49–54. [15] Wilson J. // SIAM J. Math. Anal. 1980. V. 11. № 4. P. 690–701. [16] Суслов С. К. // ЯФ. 1984. Т. 40. B. 1. C. 126–132. [17] Переломов А. М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987. [18] Зайцев Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики. М.: Наука, 1974. [19] Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

16 Условия рациональности отношения эллиптических интегралов и большая теорема Понселе1 В. В. Козлов2

1. Введение Пусть Φ(z) = (z−a)(z−b)(z−c) — многочлен третьей степени, причем вещественные числа a, b, c связаны неравенством a < b < c < 0. Рассмотрим отношение эллиптических интегралов

2Γ =

R0

dz Φ(z) 

c

Rb



a

.

(1)

dz Φ(z)

Ясно, что Γ — функция от a, b, c. Так как Z∞ c

то Γ < 1 .

dz = p Φ(z)

Zb

a

p

dz , Φ(z)

(2)

2

1 Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 1, Математика, Механика, 2003, № 4, c. 6–13. институт им. В. А. Стеклова РАН, 117966, Москва, Россия. E-mail: [email protected]. 2 Математический

220

В. В. КОЗЛОВ p

Теорема 1. Пусть Γ = q — несократимая правильная дробь. Тогда числа u = ac , v = c удовлетворяют диофантову уравнению F (u, v) = 0. b

Вид этого уравнения определяется лишь знаменателем q, причем степень многочлена F не превосходит четно.

(q 2 − 1) q2 , если q нечетно, и − 1, если q 4 4

В частности, если отношение Γ рационально, то корни многочлена Φ удовлетворяют однородному диофантову уравнению. Например, пусть числа a, b и Γ рациональные. Тогда c — алгебраическое число. ПРИМЕР. При q = 3 F (u, v) = (u − v)2 + 2(u + v) − 3. Степень этого многочлена равна

(q 2 − 1) = 2. 4

Ниже будет указан алгоритм, позволяющий конструктивно получать диофантовы уравнения F = 0 для всех q > 3. Рассмотрим предельный частный случай, когда a = b (точнее, когда a → b). Тогда (как легко проверить) Z0 c

dz → 2 arctg p √ c−a Φ(z) Zb

a

Пусть Γ = π1 arctg

r

r

−c , c−a

dz → π . p √ c−a Φ(z)

−c рационально. Тогда отношение ac должно быть c−a

r

p −c = алгебраическим числом. Действительно, если Γ = q , то r = c−a   πp πp = tg q . Из элементарной геометрии хорошо известно, что tg q удо-

влетворяет алгебраическому уравнению (одному и тому же для всех p) с целыми коэффициентами, содержащему лишь четные степени. Но тогда r 2 (а также отношение ac ) будет алгебраическим числом.

УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛЬНОСТИ

ОТНОШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

221

Теорему 1 можно переформулировать в несколько ином виде. Пусть

F (k, φ) =

Zφ 0

p

dξ 1 − k 2 sin2 ξ

,

0 < k < 1,

— неполный эллиптический интеграл I рода с модулем k, K(k) = F (k, π ). 2

Теорема 2. Пусть отношение

K(k, φ) рационально. Тогда числа 2K

k 2 sin2 φ и sin2 φ удовлетворяют диофантову уравнению.

Следствие. Пусть φ = π , π или π и F ∈ Q. Тогда модуль k будет 6

4

3

2K

алгебраическим числом.

Например, трансцендентная функция, обратная к функции F (k, π ) k 7→

4

2K(k)

,

в рациональных точках принимает алгебраические значения. Доказательство теоремы 2 основано на приведении эллиптического интеграла I рода Z dx p (1 − x2 )(1 − k 2 x2 ) подстановкой x = √1 к интегралу z

−1 2

Z

dz , p Φ(z)

Φ(z) = z(z − l)(z − k 2 )

из (1). Нас интересует отношение интегралов

2Λ =

∞ R



æ−2 ∞ R 1



dz Φ(z) dz Φ(z)

,

æ = sin φ.

222

В. В. КОЗЛОВ

Ввиду (2) оно равно

1−

æR−2 1

kR2 0





dz Φ(z)

,

dz Φ(z)

следовательно, Λ = 1 − Γ. Так как 0 < Γ < 1 , то 0 < Λ < 1 (и наоборот). 2 2 2 Если Λ ∈ Q, то Γ также представляется правильной дробью и, согласно тео-

2 реме 1, числа − 1−2 , k−2 , 1− 1−2 удовлетворяют однородному диофантову

æ

æ

æ

уравнению. Что и требовалось. В свою очередь теорема 2 является следствием сложения эллиптичеp ских функций. Действительно, пусть F = q . Тогда sn(qF ) = sn(2Kp) = 2K

= 0. С другой стороны, sin φ = sn F . Используя формулы сложения эллиптических функций Якоби sn, cn и dn, можно получить рекуррентные формулы, выражающие sn mz через sn z. Анализ этих формул приводит в итоге к диофантову уравнению, связывающему числа k 2 sin2 φ и sin2 φ. Мы дадим другое доказательство теоремы 1, основанное на свойстве полной интегрируемости некоторой динамический системы, имеющей отношение к большой теореме Понселе.

2. Доказательство теоремы 1 (по Понселе и Кэли) Рассмотрим движение частицы по инерции в области евклидовой плоскости R2 = {x, y}, ограниченной эллипсом 2 x2 + y = 1, a b

a > b.

(1)

Предполагается, что удары о границу являются абсолютно упругими: угол падения равен углу отражения. Эта динамическая система, называемая эллиптическим биллиардом, вполне интегрируемая: имеются два независимых первых интеграла (закона сохранения) x2 + y 2

и

2 ˙ − xy) ˙ 2 x2 + y − (xy . a b ab

Точка обозначает производную по времени.

(2)

УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛЬНОСТИ

ОТНОШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

223

Как в каждой вполне интегрируемой системе, здесь также можно перейти к переменным действие–угол. Проще всего это можно сделать с помощью эллиптических координат Якоби, в которых уравнения движения разделяются [1]. Переход к эллиптически координатам λ 1 , λ2 осуществляется по формулам x2 = y2 =

(a + λ1 )(a + λ2 ) , a−b (b + λ1 )(b + λ2 ) . b−a

Координатные линии λk = const составляют конфокальные семейства эллипсов и гипербол. Как показано в [2], переменные λ1 и λ2 удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям: λ˙ k =

p ± 4 Φ(λk ) , (λ1 − λ2 )

k = 1, 2;

Φ(z) = (z + a)(z + b)(hz + c), где h — полная энергия движения частицы (половина значения первого интеграла (2)), а c — константа, которая является некоторой комбинацией значений интегралов (2). Без ущерба для общности можно положить h = 1. Переменные λ1 и λ2 изменяются в интервалах, где φ(λk ) > 0. Возможны два основных случая: 1) −b < −c < 0, 2) −a < −c < −b. В первом из них во втором

−a 6 λ2 6 −b,

−c 6 λ1 6 0,

−a 6 λ2 6 −c,

−b 6 λ1 6 0.

В этих предположениях частица движется в криволинейных областях, ограниченных софокусными кониками (в случае 1 — эллипсами, а в случае 2 — эллипсом и гиперболой; подробности см. в [2]). В случае 1, который будет рассматриваться, софокусная коника является эллипсом λ 1 = −c

224

В. В. КОЗЛОВ

и траектория после отражения от границы (λ1 = 0) касается этого эллипса («малая теорема Понселе»). Перейдем от переменных λ1 , λ2 к новым угловым переменным ψ1 , ψ2 mod 2π по формулам ψ1 = τπ 1

Zλ1

−c

ψ2 = π 2τ2

Zλ2

−a

τ1 =

Z0

−c

dz , p Φ(z)

dz , p ± Φ(z) ±

dz , p Φ(z)

τ2 =

−b Z

−a

(3)

dz ; p Φ(z)

знаки ± перед радикалами выбираются в зависимости от направления изменения координат λk . В новых переменных ψk mod 2π уравнения (3) принимают следующий вид: ωk ψ˙ k = , k = 1, 2, f1 − f 2 2π где ω1 = 4π τ1 , ω2 = τ2 , а fk — 2π-периодические функции от ψk , получающиеся в результате обращения эллиптических интегралов (3). Коэффициент 1 во второй формуле (3) учитывает то обстоятельство, что только 2

после двукратного полного колебания координаты λ 2 в интервале [−a, −b] частица оказывается в прежнем положении на евклидовой плоскости. Двумерные торы T2 = {ψ1 , ψ2 mod 2π} — это «лиувиллевы» торы, которые высекают поверхности уровня законов сохранения (2) в фазовом пространстве эллиптического биллиарда как динамической системы. В переменных ψk интегральные траектории на торе выпрямляются, и число ω вращения Пуанкаре Γ = ω21 становится равным отношению эллиптических интегралов R0 dz 

−c τ1 ω2 ω1 = 2τ2 = −b R

−a



Φ(z)

dz Φ(z)

.

(4)

УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛЬНОСТИ

ОТНОШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

225

Если это отношение рационально, то все траектории на торе замкнуты. Поскольку положение софокусного эллипса, которого касаются прямолинейные отрезки траектории частицы, определяются постоянными интегралов (2), то отсюда сразу же выводится «большая теорема Понселе» в интерпретации Шаля [3] (обсуждение этого круга вопросов см. в [4, 5]). p Важно отметить следующее. Если Γ = q , где p и q взаимно просты, то, прежде чем замкнуться, частица ровно q раз ударится об эллипс (1). В этом случае координата λ1 сделает q полных колебаний по отрезку [−c, 0]. Воспользуемся теперь известным условие Кэли, которое является критерием существования n-угольника, описанного около коники K 2 и вписанного в конику K1 . Пусть (Az, z) = 0 и (Bz, z) = 0 — проективные уравнения коник K1 и K2 соответственно. Тогда условия Кэли имеют вид (см. [3, 6]) c2 c3 . . . cs+1 c4 . . . cs+2 c3 = 0, если n = 2s + 1, ... . . . . . . . . . c c2s s+1 cs+2 . . . c3 c4 . . . cs+1 c5 . . . cs+2 c4 = 0, если n = 2s, ... . . . . . . . . . c c ... c s+1

s+2

2s−1

p где det(λA + B) = c0 + c1 λ + c2 λ2 + . . . Уравнение эллипса λ1 = −c (которого касается траектория частицы) в декартовых координатах имеет вид 2 x2 + y = 1. (5) a−c b−c Поэтому проективные уравнения коник (1) и (5) задаются матрицами   1 0 0 a   1 0 , A= 0  

0

1  (a − c)

 B= 

0

0

b

0 −1 0

1 (b − c)

0

0



  . 0  −1

226

В. В. КОЗЛОВ

Следовательно, числа ck , k > 0, из условия Кэли определяются из разложения     1 2 1 1 λ λ −(1 + λ) + +a a−c b−c b p в ряд по степеням λ. Коэффициенты −(a − c)(b − c)ck — многочлены от-

(b − c) (a − c) и с рациональными коэффициентами степени a b Поэтому условия Кэли переходят в диофантовы уравнения для чисел ac и

носительно

k.

c. b

Замечания 1) Известные доказательства условий Кэли используют (прямо или косвенно) абелеву группу сдвигов на кубической кривой. Эта групповая структура порождает теоремы сложения для эллиптических функций. 2) В работах [7, 8] получены модифицированные условия Кэли для замкнутых n-звенных траекторий эллиптических биллиардов. Они также имеют алгебраический характер и допускают естественное обобщение на многомерный случай.

3. Теорема Понселе в пространствах постоянной кривизны Большая теорема Понселе (в интерпретации Шаля) справедлива и в nмерном евклидовом пространстве: если есть замкнутая траектория внутри эллипсоида, касающаяся n − 1 заданных конфокальных квадрик в R n , то таких траекторий на самом деле бесконечно много [9]. Однако имеется (даже более естественное) обобщение теоремы Понселе на поверхности постоянной кривизны. Для определенности рассмотри двумерную сферу S единичного радиуса x2 + y 2 + z 2 = 1. (1) Коникой на S назовем пересечение (1) с конусом (Au, u) = 0,

u = (x, y, z)T .

(2)

Прямые на S — это ее большие круги. Пусть имеются две непересекающиеся коники K1 и K2 на S. Справедлива «большая теорема Понселе»: если имеется замкнутый n-угольник, вписанный в K1 и описанный около K2 , то

УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛЬНОСТИ

ОТНОШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

227

таких n-угольников бесконечно много (в действительности через каждую точку K1 и K2 проходит один из таких n-угольников). Простое доказательство использует проектирование сферы S на плоскость P из центра сферы (рис. 1). При таком проектировании коники K1 и K2 на сфере перейдут в e1 и K e 2 на плоскости, а большие круги на S — в прямые на P . коники K

Рис. 1.

Пусть (2) — уравнение конуса, пересекающегося со сферой S (1) по конике K1 . Пусть (Bu, u) = 0 (3) — конус, задающий другую конику K2 . Ясно, что (2) и (3) — проективные e1 и K e 2 на плоскости P . Поэтому условие существования уравнения коник K замкнутого вписанного и описанного n-угольника имеет вид упомянутого выше условия Кэли. Плоскость Лобачевского L с кривизной −1 можно реализовать как поверхность в R3 = {x, y, z}, заданную уравнением x2 + y 2 − z 2 = −1,

(4)

228

В. В. КОЗЛОВ

а риманова метрика на L определяется как ограничение псевдоевклидовой метрики dx2 +dy 2 −dz 2 на поверхность (4). Легко проверить, что геодезические на L — это сечения поверхности (4) плоскостями, проходящими через начало координат. Кониками на L назовем пересечения поверхности (4) конусами вида (2) и (3). После этих замечаний становится очевидной справедливость «большой теоремы Понселе» в пространстве Лобачевского. Для софокусных коник условие Кэли можно представить как условие рациональности отношения эллиптических интегралов некоторого специального вида. Чтобы показать это, введем на сфере (1) ортогональные сфероконические координаты λ1 и λ2 по формулам (a + λ1 )(a + λ2 ) , a (b + λ1 )(b + λ2 ) y2 = , b λ λ z2 = 1 2 . ab

x2 =

(5)

Здесь a > 0, b < 0 и a − b = 1. При фиксированных значениях a, b линии λ1 , λ2 =√const задают семейства софокусных коник с фокусами в точ√ ках (± a, ± b, 0). Эти коники совпадают с пересечениями конусов 2 2 x2 + y + z = 0, a + λk b + λk λk

k = 1, 2,

(6)

и сферы (1). Из (5) легко получить формулу для кинетической энергии частицы единичной массы " # (λ2 − λ1 )λ˙ 21 (λ2 − λ1 )λ˙ 22 x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 1 = − . 2 8 λ1 (λ1 + a)(λ2 + b) λ2 (λ1 + a)(λ2 + b) Переходя к каноническим координатам, получим явное выражение для функции Гамильтона: " # λ1 (λ1 + a)(λ1 + b) 2 λ2 (λ2 + a)(λ2 + b) 2 1 H= p1 − p2 . 8 λ2 − λ 1 λ2 − λ 1 Видно, что переменные разделяются: уравнения допускают два независимых первых интеграла λk (λk + a)(λk + b)p2k = −hλk − c,

k = 1, 2.

(7)

УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛЬНОСТИ

ОТНОШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

229

Здесь h = H , c — постоянная интегрирования. Без ущерба для общности 8 положим b = 1. С учетом (7) уравнения Гамильтона λ˙ k = ∂H примут вид уравнений ∂pk

(с точностью до несущественного постоянного множителя) p Ψ(λ1 ) λ˙ 1 = , λ2 − λ 1

λ˙ 2 =

p

Ψ(λ2 ) , λ2 − λ 1

где Ψ(z) = −(z + a)(z + b)(z + c). В предположении c > 0 график этого многочлена изображен на рис 2.

Рис. 2.

Пусть переменная λ1 изменяется в интервале [0, −b], а λ2 — в интервале [−a, −c]. Значение λ2 = −c отвечает «внутренней» конике K2 , которой касаются дуги больших кругов. Выделим «внешнюю» софокусную конику λ2 = −d(d > c), которую обозначим K1 : движущаяся по инерции частица упруго отражается от K1 . Числа вращения на лиувиллевых торах вполне интегрируемой биллиардной системы равны отношениям эллиптических интегралов

2Γ =

−c R

dz Ψ(z) 

−d

2

−b R 0



.

(8)

dz Ψ(z)

Множитель 1 появляется по тем же причинам, что и в формуле (4). 2

230

В. В. КОЗЛОВ

С другой стороны, проективные уравнения коник K 1 и K2 суть 2

и

x2 + y − z 2 = 0 c a−c b−c 2

x2 + y − z 2 = 0 a−d b−d d

соответственно (см. (6)). Применяя теорему Кэли, получим следующее утверждение. Теорема 3. Если отношение Γ рационально, то числа a−d , a−c

b−d , b−c

d c

(9)

удовлетворяют однородному диофантову уравнению. В заключение сделаем несколько замечаний. 1) Интегрируемые биллиарды внутри коник и их возмущения на поверхностях постоянной кривизны изучались в работах [10, 11, 12]. 1 , приходим к тождеству 2) Полагая z = x Z Z dz = − 1 dx , √ Ψ(z) Φ(x) −abc     где Φ(x) = 1 + a1 1 + 1 1 + 1c ; напомним, что abc < 0. Тогда b

отношение интегралов (8) будет иметь вид (1), но с несколько иным расположением чисел {0, a, b, c}. Однако в этом случае теорема 1 дает тот же результат о свойствах чисел (9).

3) Как уже отмечалось, условия Кэли для многомерных квадрик обобщены в работах [7, 8]. Это дает возможность получить алгебраические условия полной рациональной зависимости гиперэллиптических интегралов определенного вида. 4) Результат работы [9] о многомерном аналоге большой теоремы Понселе легко распространяется на многомерные пространства постоянной кривизны. Только здесь речь уже должна идти о геодезических, которые касаются заданных софокусных квадрик (ср. с [10]).

ЛИТЕРАТУРА

231

Автор благодарит Ю. П. Соловьева за полезные обсуждения. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 02-01-01059 и 01-01-22004), INTAS (00-221) и гранта поддержки ведущих научных школ (НШ-136.2003.1).

Литература [1] Якоби К. Лекции по математике. М.-Л.: Гостехиздат, 1936. [2] Козлов В. В., Трещев Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991. [3] Берже М. Геометрия. М.: Мир, 1984. [4] Веселов А. П. Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы. Функц. анализ и его прилож., 1988, т. 2, вып. 2, с. 1–13. [5] Chang S.-J., Friedberg R. Elliptical billiards and Poncelet’s theorem. J. Math. Phys., 1988, Vol. 29, № 7, p. 1537–1550. [6] Lebesgue H. Les Coniques. Paris: Gauthier-Villars, 1942. [7] Dragovic V., Radnovic M. Conditions of Cayley’s type for ellipsoidal billiard. J. Math. Phys. 1998, Vol. 39, № 1, p. 355–362. [8] Dragovic V., Radnovic M. On periodical trajectories of the billiard systems within an ellipsoid in Rd and generalized Cayley’s condition. J. Math. Phys., 1998, Vol. 39, № 11, p. 5866–5869. [9] Crespi B., Chang D.-J., Shi K.-J. Elliptical billiard systems and the full Poncelet’s theorem in n dimension J. Math. Phys., 1993, Vol. 34, № 6, p. 2242–2256. [10] Veselov A. P. Confocal surfaces and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky spaces. J. Geom. Phys., 1990, Vol. 7, № 6, p. 81–107. [11] Абдрахманов А. М. Интегрируемые биллиарды. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика, Механика, 1990, № 6, с. 28–33. [12] Jovanovic B. Integrable perturbations of billiards on constant curvature surfaces. Phys. Lett. A, 1977, Vol. 231, № 5–6, p. 353–358.

17 Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия1 В. В. Козлов2, Ю. Н. Федоров3

1. Классический пример системы, решаемой методом разделения переменных с использованием эллиптических сферических координат (elliptische Kugel coordinaten), — это задача Неймана о движении точки по n-мерной сфере S n − {(x, x) = 1},

x = (x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ Rn+1

(1)

в силовом поле с потенциальной энергией

V = 1 (Ax, x), 2

(2)

где A : Rn+1 → Rn+1 — симметрический линейный оператор. Доказательство этого факта можно найти, например, в статье Ю. Мозера [1]. Систему Неймана иногда называют (анизотропным) гармоническим осциллятором на сфере [2]. Это название, по-видимому, связывается с тем фактом, что в отсутствии связи (1) система 1 Вестн.

x¨ = −∂V /∂x

Моск. ун-та. Сер. 1, Математика, Механика, 1994, № 3, c. 74–79. институт им. В. А. Стеклова РАН, 117966, Москва, Россия. E-mail: [email protected]. 3 1. Кафедра математики и механики, МГУ им. М. В. Ломоносова, 119899, Россия. E-mail: [email protected]. 2. Departamento de Matem`atica Aplicada I, Universitat Politecnica de Catalunya, Barcelona, E-08028 Spain. E-mail: [email protected]. 2 Математический

234

В. В. КОЗЛОВ, Ю. Н. ФЕДОРОВ

с положительно определенным потенциалом (2) распадается на несколько несвязанных гармонических осцилляторов. На самом же деле, как будет видно из дальнейшего, аналогом потенциала Гука на сфере является функция вида V (x) = αi /x2i , αi = const, i = 0, 1, . . . , n. (3) Чтобы разобраться в этом, рассмотрим случай n = 3. В работе [3] изучалось движение точки по S 3 в потенциальном поле, когда потенциал зависит только от расстояния до некоторого центра в S 3 . При этом была решена задача Бертрана: найти все потенциалы, для которых почти все орбиты замкнуты. В качестве расстояния можно принять угловую координату θ на большом круге, отсчитываемую от притягивающего (отталкивающего) центра. Оказывается, как и в пространстве нулевой кривизны, задача Бертрана на S 3 имеет всего два решения: V = α ctg θ,

V =

β 2 tg θ; 2

α, β = const.

(4)

Первое из них — аналог ньютоновского потенциала. Как отмечено в [4], эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа – Бельтрами на S 3 . Второе решение является аналогом потенциала упругой пружины. Эта функция имеет вид сингулярности на экваторе θ = π/2. В [4] получены также аналогичные результаты для пространства Лобачевского L 3 , а в работе [5] дан детальный анализ орбит (в частности, выведены аналоги классических законов Кеплера для потенциала ньютоновского типа). Отметим, что орбиты на nмерной сфере в «центральном» поле с потенциалами (4) замкнуты для всех значений n, однако потенциал ньютоновского типа является гармонической функцией на S n только при n = 3. Легко сообразить, что если указанный центр упругого притяжения или отталкивания поместить в одну из точек (±1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, ±1),

(5)

то, с точностью до несущественной аддитивной постоянной, потенциал силового поля будет иметь вид (3). При n = 2 интегрируемость системы с данным потенциалом установлена в работе [4] как частный случай более общего интегрируемого обобщения классической задачи Эйлера – Лагранжа двух неподвижных центров. По аналогии с потенциалом (2) системы Неймана, рассмотрим теперь движение по S n в поле с потенциалом n X αi W (x) = 1 2 2 x i=0 i

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ НА

СФЕРЕ С ПОТЕНЦИАЛАМИ

235

(n + 1 центр упругого притяжения или отталкивания в точках (5)). Из уравнений Лагранжа со множителем λ x ¨i =

αi + λxi , x3i

i = 0, 1, . . . , n,

(6)

и из связи (1) находим λ = −(x, ˙ x) ˙ − 2W (x). Таким образом, в отличие от задачи Неймана, множитель λ есть постоянная величина — удвоенная полная энергия системы со знаком минус, и система на S n распадается на n + 1 несвязанных осцилляторов, то есть тривиально интегрируется в квадратурах. Действительно, каждое из уравнений (6) имеет соответствующий первый интеграл x˙ 2i − λx2i + αi /x2i = hi , откуда

h = const,

h0 + h1 + . . . + hn = −2λ,

q d (x2 ) = 2 λx4 + h x2 − α . i i i i dt i

Если оба корня µ1 < µ2 из полинома λy 2 + hi y − αi положительны, то √ √ координата xi изменяется между µ1 и µ2 , если положителен только ко√ √ рень µ2 , то − µ2 6 xi 6 µ2 . Во втором случае точка на Sn пересекает экватор xi = 0, и в момент пересечения скорость x˙ i обращается в бесконечность. Если α1 > 0, . . . , αn+1 > 0, то решение уравнений (6) есть периоди√ ческие функции без сингулярностей с одним и тем же периодом 2π/ −λ, зависящим лишь от полной энергии. Тем самым, как и в случае только одного центра упругого взаимодействия, любые траектории рассматриваемой системы являются замкнутыми кривыми. В общем случае данные уравнения на 2n-мерном фазовом пространстве T S n имеют n(n + 1) квадратичных интегралов Mij = (x˙ i xj − x˙ j xi )2 + xi

αj x2j

+ xj

αi , x2i

i, j = 0, 1, . . . , n,

из которых, как и при движении по инерции, 2n − 1 являются независимыми.

236

В. В. КОЗЛОВ, Ю. Н. ФЕДОРОВ

2. Известно, что некоторые классические задачи о движении точки остаются интегрируемыми при добавлении потенциала упругого взаимодействия. Например, задача Якоби о свободном движении точки по эллипсоиду в R3 ([6]) остается интегрируемой, если центр упругого притяжения (отталкивания) поместить в центр эллипсоида. Покажем, что аналог этой обобщенной системы на n-мерной сфере также является интегрируемой системой. Именно, рассмотрим движение точки в поле с потенциалом W (x) по (n − 1)-мерной поверхности — пересечение сферы (1) и конуса 

x20 /a0 + . . . + x2n /an ,

a0 < a 1 < . . . < a n .

Последний можно включить в семейство конфокальных конусов с параметром s x2n x20 +...+ = 0. (7) a0 − s an − s Каждой фиксированной точке на S n соответствует n корней s = u1 , . . . , un уравнения (7), которые и являются ее эллиптическими сферическими координатами. При этом x2i =

(ai − u1 ) . . . (ai − un ) Q , (ai − aj )

i = 0, 1, . . . , n.

(8)

j6=i

Положим теперь un = 0. тогда координаты u1 , . . . , un−1 будут задавать положение точки на обобщенном эллипсоиде ⊂ S n . С учетом (8), потенциал W (x) и кинетическая энергия T = (x, ˙ x)/2 ˙ в этих координатах примут вид Q αi (ai − aj ) n n n−1 X X X j6=i βi 1 W (x) = = , n−1 (a − u ) . . . (a − a )a Q a (a i 1 i n−1 i i i − uk ) i=0 k=1 (uk − ul ) i=0 

βi = α i

Y j6=i

T =1 2

n−1 X k=1

uk

l6=k

(ai − aj ),

n−1 Q l6=k

(uk − ul )

Φ(uk )

u˙ 2k ,

Φ(uk ) = (uk − a0 )(uk − a1 ) · · · (uk − an ).

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ НА

237

СФЕРЕ С ПОТЕНЦИАЛАМИ

Согласно теореме Штеккеля (см., например, [7]), система с гамильтонианом T (u, u) ˙ + W (u) интегрируется в квадратурах путем разделения переменных. Действительно, используя данную теорему можно показать, что система обладает семейством квадратичных интегралов I(κ) = 

 uk  ×  

n−1 X k=1

n−1 Q l6=k

(uk − ul )

Φ(uk )

(κ − u1 ) . . . (κ − un−1 ) × κ − uk

u˙ 2k

+

1 n−1 Q l6=k

(uk − ul )

n X i=0



  βi , ai (ai − uk )  

которое является полиномом степени n − 2 по параметру κ. Зафиксируем константы интегралов, полагая I(κ) = (κ − c1 ) . . . (κ − cn−2 ), Отсюда, приравнивая κ = uk , находим " #2 n−1 Q (uk − ul ) uk l6=k

u˙ 2k +

Φ(uk )

c1 , . . . , cn−2 = const.

n X i=0

βi = ai (ai − uk )

= (uk − c1 ) . . . (uk − cn−2 ), или u˙ k = uk "

p

R(uk )

n−1 Q l6=k

,

(uk − ul )

R(uk ) = uk Φ(uk ) (uk − c1 ) . . . (uk − cn−2 ) +

n X i=0

# β1 . ai (ai − uk )

Очевидно, что R(uk ) есть полином степени 2n. Полученные выражения приводят к системе n − 1 уравнений ukn−1 dun−1 uk1 du1 +...+ p = εk dt, p R(u1 ) R(un−1 )

k = 1, . . . , n − 1,

238

В. В. КОЗЛОВ, Ю. Н. ФЕДОРОВ

где ε1 = . . . = εn−2 = 0, εn−1 = 1. Отсюда, после замены времени dt = = u1 . . . un−1 dτ , получаем уравнения Абеля для гиперэллиптических интегралов первого рода Z un−1 Z u1 uk−1 du + . . . + uk−1 du = δ τ + ∆ , p p k k u0 u0 R(u) R(u) k = 1, . . . , n − 1, δ1 = 1, δ2 = . . . = δn−1 = 0, ∆1 , . . . , ∆n−1 , u0 = const.

(9)

Применяя процедуру обращения уравнений (9) (см. например, [8]), симметрические функции от эллиптических координат и, следовательно, декартовы координаты x0 , x1 , . . . , xn могут быть выражены в тэта-функциях нового времени τ , ассоциированных с гиперэллиптической римановой поверхностью w 2 = R(u). 3. Аналогичные результаты справедливы и для пространства постоянной отрицательной кривизны. Сферу (1) надо заменить гиперболоидом L n −x20 + x21 + . . . + x2n = −1 в (n + 1)-мерном псевдоевклидовом пространстве с метрикой −dx20 + dx21 + . . . + dx2n . В качестве потенциальной энергии снова примем функцию W (x). Также как и в случае сферы S n , каждое слагаемое в W является аналогом потенциала упругой пружины (см. [4]). Для пространства Лобачевского Ln уравнения Лагранжа (6) принимают вид α α x ¨0 = −λx0 + 3i , x ¨k = λxk + 3i , 1 6 k 6 n. (10) x0 xk Так как потенциальная энергия W — однородная функция по x степени однородности −2, то множитель λ равен удвоенной полной энергии T +W = h (напомним, что для сферы λ = −h). Таким образом, в уравнениях (10) снова λ = const, что позволяет проинтегрировать их в элементарных функциях. Также как и для сферы S n , данные уравнения допускают 2n − 1 независимых интегралов, квадратичных по скоростям. Можно показать, что задача о движении по (n − 1)-мерному «эллипсоиду» в Ln останется вполне интегрируемой при добавлении поля упругих сил, центры которых расположены в аналогах точек (5). Разделение переменных производится по схеме, изложенной в п. 2.

ЛИТЕРАТУРА

239

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 93-013-16244).

Литература [1] Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем. УМН, т. 36, № 5, с. 109–151. [2] Veselov A. P. Confocal Surfaces and Integrable Billiards on the Sphere and in the Lobachevsky Space. Preprint. Forschungsinstitute fur Mathematik. ETH Zurich. [3] Slavyanovski J. Bertrand systems on SO(3, R) and SU (2). Bull. L’Acad. Polonaise Sci., 1920, V. XXVIII. № 2, p. 83–94. [4] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [5] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. (См. работу 10 этого сборника.) [6] Якоби К. Лекции по динамике. М.-Л.: Гостехиздат, 1936. [7] Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М. Л.: Гостехиздат, 1937. [8] Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. УМН, т. 32, № 2, с. 11–80.

18 Ограниченная задача двух тел в пространствах постоянной кривизны1 А. В. Борисов, И. С. Мамаев2

В работе выполнен бифуркационный анализ задачи Кеплера на S 3 и L3 и построен аналог переменных Делоне. Рассмотрена задача о движении точечной массы в поле движущегося по геодезической ньютоновского центра на S 2 и L2 (ограниченная задача двух тел). При помощи теории возмущений вычислено смещение перигелия при малой кривизне, а также выполнено численное исследование при помощи аналогии этой задачи с динамикой твердого тела.

1. Постановка задачи Рассмотрим уравнения динамики точки единичной массы, движущейся на трехмерной сфере S 3 или в пространстве Лобачевского L3 (псевдосфере). Параметризуем сферу S 3 (псевдосферу L3 ), используя избыточные координаты четырехмерного евклидова пространства R 4 (пространства Минковского M 4 ) со связью

(1.1) Φ(q) = 1 gµν q µ q ν ± R2 = 1 hq, qi ± R2 = 0, 2 2 где g = diag(1, 1, 1, 1) (g = diag(−1, 1, 1, 1)) — соответствующая метрика. Здесь и далее верхний знак соответствует сфере, а нижний знак — псевдосфере. Метрика соответствующего пространства h·, ·i индуцирует метрику сферы на S 3 и метрику Лобачевского на псевдосфере L3 .

1 Работа представляет собой расширенный и переработанный вариант статьи [14], а также избранных разделов книги [3]. 2 Институт компьютерных исследований, Удмуртский государственный университет, Университетская, 1, 426034, Ижевск, Россия. E-mail: [email protected], [email protected].

242

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Движение частицы в избыточных координатах в потенциале U (q) описывается с лагранжианом 

= 1 gµν q˙µ q˙ν − U (q) 2 со связью (1.1). Используя гамильтонов формализм систем со связями [1], получаем гамильтониан ! hp, qi2 1 = hp, pi − + U (q). (1.2) 2 hq, qi 

Уравнения движения q˙ = ∂H , p˙ = − ∂H в переменных q, p являются ∂p ∂q каноническими. Задача двух тел на S 3 (L3 ). Рассмотрим задачу двух тел (точечных масс) в искривленных пространствах S 3 (L3 ), движущихся в поле некоторого потенциала U (q1 , q2 ) (q1 , q2 — координаты точек на S 3 (L3 )). В частном случае потенциальная энергия U зависит от взаимного расстояния между двумя точками, измеренного вдоль геодезической линии. В отличие от плоского случая в искривленном пространстве не существует такой системы координат (связанной с центром масс), в которой задачу двух тел можно свести к задаче о движении частицы в поле неподвижного притягивающего центра (т. е. в случае ньютоновского взаимодействия к задаче Кеплера). Аналог задачи Кеплера в S 3 (L3 ) является интегрируемым [9, 3, 15]. Обобщение всех законов Кеплера на случай пространств постоянной кривизны дано в [9]. Оказывается, что задача двух тел, взаимодействие которых аналогично ньютоновскому, не является интегрируемой в S 3 и L3 . В избыточных канонических переменных qa , pa (a = 1, 2 — индексы для частиц массы ma ) мы можем представить гамильтониан системы в виде 

=

2 1 hp1 , p1 ihq1 , q1 i − hp1 , q1 i + 2m1 hq1 , q1 i

+

2 1 hp2 , p2 ihq2 , q2 i − hp2 , q2 i + U (q , q ). (1.3) 1 2 2m2 hq2 , q2 i

Инвариантные многообразия. Исследование пространственной задачи двух тел является довольно сложным, поэтому естественно рассмотреть инвариантные подмногообразия системы и подробным образом изучить динамику на них по аналогии с плоским случаем. Исследование системы на инвариантном многообразии (например, ее неинтегрируемости и

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 243

стохастичности) позволяет сделать соответствующие выводы для всего фазового пространства на физическом уровне строгости. Тем не менее, исследование пространственного случая представляет собой пока нерешенную проблему. Если в задаче n тел на R3 инвариантные многообразия являются плоскостями, то в задаче n тел в искривленном пространстве эти многообразия являются сферами S 2 (псевдосферами L2 ). Трехпараметрическое множество таких многообразий проходит через каждую точку пространства [3]. Ограниченная задача двух тел. В евклидовом пространстве R 3 в задаче двух тел можно выполнить предельный переход, при котором масса одного из двух тел (центра притяжения) стремится к бесконечности, а энергия взаимодействия остается конечной. Предельной задачей является задача Кеплера, поскольку существует инерциальная система координат, связанная с «массивной» частицей. Рассматривая подобный предельный переход на S 3 (L3 ), мы получаем, что центр притяжения движется свободно по большому кругу сферы (по геодезической), а вторая частица (точечная масса) движется в поле центра притяжения и не влияет на его движение. Если мы воспользуемся системой координат, связанной с первой частицей, то мы получим задачу о частице, движущейся под влиянием неподвижного центра и гироскопических сил. Лагранжиан для этой системы имеет вид X X = 1 q˙2 + 1 Bµν q˙µ qν + 1 Bµα qα Bµβ qβ − V (q ), (1.4) 2 2 2 

µ, ν

µ, α, β

где B = ||Bµν || является матрицей угловой скорости системы координат. В данном случае B ∈ so(4) (т. е. кососимметрическая матрица) для S 3 и B ∈ so(3, 1) для L3 .

2. Бифуркационный анализ задачи Кеплера в искривленных пространствах Рассмотрим частицу, движущуюся в потенциале ньютоновского типа на сфере S 3 (псевдосфере L3 ). В сферических координатах q0 = R cos θ, q1 = = R sin θ cos ϕ, q2 = R sin θ sin ϕ cos ψ, q3 = R sin θ sin ϕ sin ψ гамильтониан имеет следующую форму: !! p2ψ γ 1 1 2 2 (2.1) = pθ + pϕ + − ctg θ. 2 2 2 R 2mR sin θ sin ϕ 

244

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

В системе (2.1) переменные разделяются и выполняются следующие соотношения:

E= 1 2 2mR

α2ψ

α2ϕ = p2ϕ +

αψ = pψ = const,

p2θ

+

α2ϕ 2

sin θ

!

sin2 ϕ −

= const,

γ ctg θ, R

(2.2) (2.3)

где αψ — проекция трехмерного вектора момента M = mq × q˙ (q = = (q1 , q2 , q3 )) на ось q1 , α2ϕ — квадрат момента M 2 , E — постоянная энергии. Легко проверить, что вектор M является интегралом движения. (Для плоскости Лобачевского все тригонометрические функции от θ необходимо замененить на гиперболические функции.) Исследуем перестройки области возможного движения (в дальнейшем ОВД) в зависимости от постоянной энергии E и постоянной момента α ϕ . Произведем в (2.3) замену переменных r = R tg θ (r = R th θ), тогда ОВД при фиксированных E и αϕ определяются неравенством α2ϕ 2m



1 ± 1 r2 R2



γ − r 6 E.

(2.4)

Таким образом, построение бифуркационных диаграмм сводится к исследованию квадратного уравнения

где e h=E±

α2ϕ 2mR2

e hr2 + γr −

α2ϕ = 0, 2m

(2.5)

. Бифуркационное множество (то есть множество зна-

чений (E, αϕ ), при которых область возможного движения меняет свой топологический тип) состоит из кривых (см. рис. 1) γ1 : E = ±

α2ϕ 2mR

, 2

γ2 : E =

α2ϕ mγ 2 ± . 2α2ϕ 2mR2

Если оба корня r1 и r2 уравнения (2.5) — комплексные (область I на рисунках), то движение невозможно. Если оба корня — вещественные и положительные (область II), то допустимые значения r определяются неравенствами r1 6 r 6 r2 . Это соответствует движению в кольце θ1 6 θ 6 θ2 ,

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 245

Рис. 1. Бифуркационные диаграммы задачи Кеплера

причем для S 2 0 < θ1 , θ2 < π . Если меньший из корней (r1 ) — отрица2 телен (область III), то для реальных движений на плоскости Лобачевского r2 6 r, а на сфере r2 6 r, r 6 r1 , поскольку значениям θ от π до π 2

соответствуют отрицательные r. Это означает, что на L 2 движение происходит во внешности круга θ 6 θ2 , а на S 2 — в кольце θ1 6 θ 6 θ2 , но теперь 0 < θ1 < π , π < θ2 < π. 2 2

Отметим, что в случае сферы S 3 подобная классификация отчасти условна, поскольку все движения на сфере ограничены вследствие компактности, а время полного оборота по орбите всегда конечно. Также отметим, что «искривленные» задачи Кеплера траекторно изоморфны своему плоскому аналогу, как было показано еще Серре (см. [12]).

246

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

3. Переменные действие-угол и аналог элементов Делоне Используя разделяющие переменные, определим переменные действия по формулам I I I Iψ = 1 pψ dψ, Iϕ = 1 pϕ dϕ, Iθ = 1 pθ dθ, (3.1) 2π 2π 2π где интеграл берется по полному циклу изменения координат. Так как pψ = const, то для первого из интегралов (3.1) получаем I ψ = = pψ = αψ . Кинетическая энергия в сферических координатах на S 3 имеет ˙ а в координатах на сфере S 2 , в которой лежит вид T = 1 (pθ θ˙ + pϕ ϕ˙ + pψ ψ), 2

орбита, T = 1 (pθ θ˙ + αϕ ν), ˙ где ν — истинная аномалия (т. е. обычный по2 лярный угол). Приравнивая эти два выражения, получаем p ϕ dϕ = αϕ dν − − Iψ dψ. Координаты ν и ψ за один оборот по орбите изменяются на 2π, поэтому после интегрирования получим (3.2)

Iϕ = α ϕ − I ψ .

Для вычисления третьего интеграла (3.1) произведем замену переменных r = R tg θ (r = R th θ) и воспользуемся уравнением орбиты r(ν) [9, 15] p r= , (3.3) 1 + e cos ν s 2

2

αϕ 2αϕ e где p = mγ — параметр орбиты, e = 1 + h — эксцентриситет. Нахоmγ 2 дим p Zr2 p (r − r1 )(r2 − r) −2me h Iθ = dr, (3.4) π r(1 ± r2 /R2 ) r1

p p где r1 = ,r = . 1+e 2 1−e

Интегрируя, получаем ! p p q 2 + R2 + r 2 + R2 r r r √ 1 2 2 1 3 Iθ = − 2me h r   − r1 r2 , для S , p 2 (r22 + R2 )(r12 + R2 ) + R2 + r1 r2

p   p √ − 2me h p (R + r1 )(R + r2 ) − (R − r1 )(R − r2 ) − 2 r1 r2 , для L3 . Iθ = 2 (3.5)

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 247

γ

α2ϕ

h

2mh

Учитывая (3.2) и соотношения r1 + r2 = − , r1 r2 = − 

выражение для гамильтониана



, найдем явное



=−

(Iθ + Iϕ + Iψ )2 mγ 2 ± . 2(Iθ + Iϕ + Iψ )2 2mR2

(3.6)

Как и в случае евклидова пространства R3 гамильтониан зависит только от суммы Iθ +Iϕ +Iψ , то есть частоты ωi = ∂H , i = θ, ϕ, ψ, соответству∂Ii

ющие переменным Iθ , Iϕ , Iψ , совпадают. Это случай полного вырождения — все трехмерные торы Луивилля – Арнольда расслоены на одномерные. Отметим, что по сравнению со случаем пространства R 3 [10], в (3.6) входят дополнительные члены, пропорциональные 12 . R

Введем новые переменные L, G, H, l, g, h (аналог переменных Пуанкаре) L = I θ + Iϕ + Iψ , G = I ϕ + Iψ , H = Iψ , (3.7) l = ωθ , g = ω ϕ − ωθ , h = ωψ − ωϕ . В этих переменных гамильтониан запишется в виде 

=−

2 mγ 2 ± L 2. 2 2L 2mR

Из (3.8) и (3.7) получаем s mγ L= , p − E/γ + E 2 /γ 2 ± 1/R2

G = αϕ ,

(3.8)

H = αψ .

Из (3.8) следует, что все переменные Делоне, кроме l, являются интегралами движения. Угол l является аналогом средней аномалии ζ и меняется равномерно с течением времени l = ζ = 2π (t − τ ). Здесь τ — момент T

прохождения точки через перицентр, T — период обращения по орбите, зависящий только от постоянной энергии E (см. [15, 9]. v u p r u ± E/γ ± E 2 /γ 2 ± 1/R2 m t . T =π γR E 2 /γ 2 ± 1/R2

248

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Постоянная энергии E выражается  длину большой оси ор через угловую γ γ биты a по формуле E = − . E=− R tg a

R th a

Переменные Делоне могут быть выражены через параметры орбиты, аналогично плоскому случаю [10, 6]. Выберем угловые константы g, h таким образом, чтобы они были образом параметра перицентра и долготы восходящего узла при гномонической проекции. Обозначим их через ω и Ω. Введем аналог наклонения орбиты ı как угол между осью q 1 и вектором M . Выразим переменные L, G, H, l, g, h через элементы орбиты p, e, ı, τ , ω, Ω s   l = ζ, L = mγR tg a , 2 (3.9) √ G = mγp, g = ω, √ H = mγp cos ı, h = Ω. r   В случае пространства Лобачевского L = mγR th a . 2

4. Смещение перигелия Одним из экспериментов, подтверждающих общую теорию относительности, является наблюдение смещения перигелия Меркурия [11]. Это смещение связано с искривлением пространства вблизи гравитирующего тела. Покажем, что в ньютоновской механике в искривленном пространстве кеплеровская орбита также прецессирует, хотя и по другим законам. В качестве модельной, рассмотрим ограниченную задачу двух тел, которая не является интегрируемой, но при малой скорости движения тяжелого тела допускает анализ по теории возмущений. Здесь мы не претендуем на новое физическое обоснование смещения перигелия, которое теперь уже классически дается общей теорией относительности (ОТО), но только укажем, что некоторые факты практической небесной механики допускают и другие интерпретации (наряду с несферичностью планет, рефракцией атмосферы и пр.). Одной из таких интерпретаций является добавление кривизны в классическую ньютоновскую механику. Рассмотрим ограниченную задачу двух тел на S 2 (L2 ), которые полагаем стандартно вложенными в R 3 (M3 ): {q = (x, y, z)|hq , q i = x2 + + y 2 ± z 2 = ±R2 }. Пусть центр притяжения движется по геодезической в плоскости xz. В инерциальной системе координат, жестко связанной с центром притяжения, который поместим в северный полюс сферы (псевдосфе-

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 249

ры) e3 = (0, 0, 1), лагранжиан точечной массы (точки с массой, полагаемой равной 1) имеет вид 

he3 , q i = 1 hq˙ , q˙ i + γ p + hq˙ , Bq i + 1 hBq , Bq i. 2 2 R2 ∓ he3 , q i2

(4.1)

Здесь B — матрица угловой скорости системы отсчета   0 0 w B =  0 0 0. ∓w 0 0

Для анализа по теории возмущений полагаем, что характерный размер области, в которой движется точечная масса, мал по сравнению с радиусом кривизны пространства R, а угловая скорость движения центра притяжения мала по сравнению с частотой вращения точечной массы по кеплеровской орбите. Выберем в качестве координат на сфере (псевдосфере) длину r = = R tg θ (r = R tg θ) и азимутальный угол ϕ и представим (4.1) в виде ! 2 γ r2 ϕ˙ 2 1 r ˙ r2 r˙ w w2 r2 sin2 ϕ. + = + 2 + cos ϕ ∓     r 2 2 2 2 2 2 2 2 R 1± r 2 1± r 2 1± r 2 1± r 2 

R

R

R

R

(4.2) Здесь w = v , v — линейная скорость движения неинерциальной системы R

координат. При R → ∞ задача сводится к плоской задаче Кеплера. Линейные по скоростям слагаемые в (4.2) имеют порядок 12 и не R

могут быть опущены. Для исследования эволюции формы орбиты, соответствующей невозмущенной задаче Кеплера, представим уравнения движения системы (4.2) в переменных p, ω, e, ϕ. Здесь e — эксцентриситет, ω — долгота перицентра орбиты, ϕ — азимутальный угол, p — параметр орбиты, связанный с энергией E невозмущенной задачи Кеплера по формуле E=−

p 1 − e2 ± . 2p 2R2

(4.3)

Новые переменные выражаются через координаты и скорости по формулам (здесь и далее полагаем γ = 1) r=

p , 1 + e cos(ϕ − ω)

r2 2

1 ± r2 R

r˙ =

e sin(ϕ − ω) , √ p

r2 ϕ˙ 2

1± r2 R

=

√

p. (4.4)

250

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

Здесь и ниже для сокращения записи мы не подставляем громоздкое выражение r через p, e, ω, ϕ. Используя канонические переменные r, ϕ, p r , pϕ , находим скобки Пуассона для p, e, ω, ϕ {p, e} = − 4w R

pr2 2 1 ± r2

sin ϕ sin(ϕ − ω);

R

√ {p, ω} = −2 p + 4w R

pr2 2 1 ± r2

sin ϕ cos(ϕ − ω);

R

p2

1 − e2 + 2 pr R {e, ω} = + 4w   sin ϕ; √ 2 R e p r e 1± 2 √

(4.5)

R

{p, ϕ} = −2 p; {e, ϕ} = −

2 cos(ϕ − ω) + e + e cos2 (ϕ − ω) ; √ p

{ω, ϕ} = −

sin(ϕ − ω)(2 + e cos(ϕ − ω)) , √ e p

и гамильтониан имеет вид 

=−

2 2 p 1 − e2 w2 r sin ϕ . ± ± 2 2p 2 2R2 1 ± r2

(4.6)

R

Из (4.5) и (4.6) следует, что при R → ∞ переменные p, e, ω — медленные, а ϕ — быстрая. Для определения векового изменения параметров орбиты при R  r отбросим слагаемые порядка выше 12 и усредним уравнеR

ния движения по периоду невозмущенного движения. Усреднение по периоду эквивалентно в данном случае усреднению по ϕ с весовой функ2π R цией 1 f (ϕ)ρ(ϕ)dϕ, где весовая функция определяется производной ϕ˙ 2π

0

из (4.4) по формуле ρ = 1 . ϕ˙

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 251

Получим следующую систему: 2ep7/2 p˙ = ∓ v2 R (1 − e2 )5/2 p5/2 e˙ = ± v2 R (1 − e2 )3/2

p5/2 ω˙ = ∓ v2 R (1 − e2 )5/2

! √ e p sin ω cos ω 5 cos ω + v , 2 1 − e2 ! √ e p sin ω cos ω 5 cos ω + v , 2 1 − e2    √ 1 − 2e2 5 cos2 ω . sin ω + v p 2 − e 2

(4.7)

Уравнения (4.7) допускают интеграл −

1 − e2 = C, 2p

(4.8)

соответствующий отсутствию векового изменения энергии невозмущенной системы (4.3) в данном приближении (теорема Лапласа). Фазовый портрет системы (4.7) на поверхности интеграла (4.8) зависит от параметра b = √v , его проекция на плоскость (ω, e) при различных b C

приведена на рис. 2. Параметр b имеет смысл отношения скорости движения притягивающего центра к характерной скорости движения точечной массы по кеплеровской орбите. Из (4.2) следует, что от знака кривизны вид траекторий не зависит, а меняется лишь направление движения по ним (от величины кривизны зависит лишь скорость движения по траекториям). Как видно из приведенных рисунков, скорость смещения перигелия зависит от эксцентриситета орбиты и ее расположения по отношению к направлению движения центра притяжения. При малых b существуют две периодические устойчивые орбиты с ненулевым эксцентриситетом, большая ось которых перпендикулярна направлению движения притягивающего центра. Направление движения точечной массы вдоль одной из орбит совпа  в перигелии π . Направление дает с направлением движения центра притяжения ω = 2   3π движения точечной массы по другой орбите ω = в перигелии является 2 противоположным направлению движения центра притяжения. С увеличением параметра b устойчивая орбита с ω = 3π теряет свою устойчивость, 2 и для достаточно больших b пропадает также устойчивая орбита с ω = = π. 2

252

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

b = 0.1

b = 1.26

b = 1.27

b = 25

Рис. 2. Фазовые портреты усредненной системы

На рисунках также представлены проекции фазового портрета неусредненной системы на плоскость (ω, e). При этом наблюдаются малые колебания (для переменных ω, e) вблизи траекторий усредненной системы (см. рис. 3). Напомним, что стандартное объяснение смещения перигелия при помощи решения Шварцшильда [11] приводит к скорости смещения, не зависящей от ориентации орбиты ω. В нашей постановке это не так, всегда существуют орбиты, перигелий которых практически не смещается, а меняется лишь их эксцентриситет. Более того, существуют неподвижные точки фазового портрета, соответствующие сохранившимся периодическим орбитам. Отметим также, что для метрики Шварцшильда, граничные условия которой соответствуют пространству постоянной кривизны, и для уравнений ограниченной задачи, записанных на основе ОТО, скорость смещения перигелия также будет зависеть от ω, e (см. [13]).

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 253

b = 0.5

b = 0.9

b = 1.2

b = 1.5

Рис. 3. Фазовые портреты неусредненной системы

254

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

5. Численный анализ ограниченной задачи двух тел Вернемся к ограниченной задаче двух тел на сфере S 2 в общем случае. Введем новые переменные M , γ, используя отображение T ∗ R3 → e(3), определенное по формулам q γ = , M = γ × p. (5.1) R Канонические скобки Пуассона {qi , pj } = δij в этом случае переходят в скобку Ли – Пуассона, соответствующую алгебре e(3). Уравнения движения имеют форму ˙ =M ×∂ + γ × ∂ , γ˙ = γ × ∂ , (5.2) M ∂M ∂γ ∂M где гамильтониан имеет вид γ3 = 1 M 2 + (M , w ) + U (γ), U (γ) = − p . (5.3) 2 2 γ1 + γ22 Эти уравнения [2] имеют два интеграла движения: интеграл площади (M , γ) = C и геометрический интеграл (γ, γ) = 1. В нашем случае C = = 0. Отметим, что эта система похожа на систему, описывающую движение сферического волчка в потенциале U (γ) и в поле гироскопических сил. При w = 0 эта задача является интегрируемой (задача Кеплера на S 2 ), а эволюция системы допускает простую геометрическую интерпретацию: переменная M3 = const, а годограф на плоскости (M1 , M2 ) представляет собой окружность, сдвинутую относительно начала координат (кстати, в плоской задаче Кеплера аналогичное замечание принадлежит Гамильтону). Для интегрирования системы при w 6= 0 по тереме Луивилля – Арнольда необходим еще один дополнительный интеграл. В общем случае, согласно приводимым ниже численным расчетам, дополнительный интеграл отсутствует (см. также [3, 14]). Численное исследование задачи основано на построении отображения Пуанкаре. Для построения отображения Пуанкаре воспользуемся аналогией с движением твердого тела и выберем канонические переменные Андуайе (L, G, l, g) [2] M  2 , L = M3 , l = arctg M1 ! − γ 3 G = M12 + M22 + M32 , g = arccos p . 1 − M32 /(M12 + M22 + M32 ) 







ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 255

Гамильтониан в этих переменных имеет вид √ p G2 − L2 cos g = 1 G2 + w G2 − L2 cos l + p . 2 G2 sin2 g + L2 cos2 g Уравнения движения являются каноническими l˙ = ∂ , L˙ = − ∂ , g˙ = ∂ , G˙ = − ∂ . ∂L ∂l ∂G ∂g 









(5.4)

Для удобства выберем переменные L и l в качестве координат отобраG

жения Пуанкаре (аналогично работе [2]). Их область определения является компактной: l mod 2π, L 6 1. Выберем плоскость g = π в качестве 2 G секущей плоскости. С помощью непосредственной подстановки в (5.4) мы можем проверить, что ˙ ˙ ˙ ˙ L(−L, −l, G, g) = −L(L, l, G, g), l(−L, −l, G, g) = −l(L, l, G, g), ˙ ˙ G(−L, −l, G, g) = G(L, l, G, g), g(−L, ˙ −l, G, g) = g(L, ˙ l, G, g).

Следовательно, каждой траектории C1 с начальными условиями (L0 , l0 , G0 , g0 ) соответствует аналогичная траектория C2 с начальными условиями (−L0 , −l0 , G0 , g0 ), и каждой точке (L, l, G, g) траектории C1 соответствует (−L, −l, G, g), принадлежащая траектории C 2 . Согласно этому наблюдению, отображение Пуанкаре (для данной секущей плоскости) обладает центральной симметрией. Фазовые портреты для различных значений энергии E и параметра w представлены на рис. 4. На рисунках хорошо заметно увеличение стохастического слоя с увеличением общей энергии E. Неподвижные точки на рис. 4 соответствуют периодическим траекториям частицы. После выхода книги [3] и работы [14] по нашему предложению С. Л. Зиглин смог доказать отсутствие дополнительного мероморфного интеграла для потенциалов, являющихся аналогами ньютоновского и гуковского взаимодействия [7, 8].

6. Области Хилла и относительные равновесия Используя уравнения движения (5.2), интеграл энергии (5.3) ограниченной задачи можно представить в форме 1 q˙ 2 + U (θ, ϕ) = ε = const, ∗ 2R2 γ = E2 + 1 , U∗ = 1 sin2 θ sin2 ϕ − µ ctg θ, µ = 2 > 0, 2 2 w w где θ, ϕ — сферические координаты на S 2 . 

256

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

E = 1, w = 0.1

E = 3, w = 0.1

E = 10, w = 0.1 Рис. 4. Отображение Пуанкаре при различных значениях энергии и w 6= 0

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 257

При фиксированном значении энергии E (соответственно постоянной ) движение происходит в области сферы S 2 , определяемой неравенством − U∗ (θ, ϕ) > 0, (6.1) которую по аналогии с классической ограниченной задачей трех тел [1] будем называть областью Хилла ограниченной задачи двух тел на сфере. Вид областей Хилла при фиксированных параметрах системы определяется особенностями и критическими точками приведенного потенциала U∗ (θ, ϕ). Особенности U∗ лежат в полюсах сферы, и вследствие µ > 0 область Хилла всегда непуста, так как −µ ctg θ −−−→ ∞ и, следовательно, 



θ→0

вблизи θ = 0 неравенство выполнено. Каждой критической точке функции U∗ (θ, ϕ) соответствует положение равновесия частицы (во вращающейся вместе с притягивающим центром системе координат), которое обычно называют относительным равновесием. При этом (как будет показано ниже) в неподвижной системе координат притягивающий центр движется по большому кругу, а частица — по параллельной ему окружности, оставаясь с ним на одном меридиане. Решая систему уравнений, определяющую положение критических точек µ ∂U∗ ∂U∗ = sin θ cos θ sin2 ϕ + = sin2 θ sin ϕ cos ϕ, (6.2) = 0, 2 ∂θ ∂ϕ sin θ находим, что √

3 3 , то имеется четыре критические точки, 16 расположенные парами на меридианах ϕ = π и ϕ = 3 π, а их широ2 2 ты π < θ1 < θ2 < π определяются уравнением 2

1◦ ) если 0 < µ < µ∗ =

1 sin 2θ + µ = 0; 2 sin2 θ 2◦ ) если µ > µ∗ , то функция U∗ (θ, ϕ) не имеет точек.     критических 3π π , θ2 и , θ2 являются Несложно показать, что критические точки  2   2  седловыми точками функции U∗ , а точки π , θ1 и 3π , θ1 — строгими 2 2 максимумами. На рис. 5, 6 показаны области Хилла для случаев 1 ◦ и 2◦ . На рис. 5 видно, что неподвижные точки расположены в полусфере, противоположной притягивающему центру. Исследуем устойчивость найденных неподвижных точек (относительных равновесий) в линейном приближении.

258

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

= −0.5 





= −0.2 

=0

= 0.5 

= 0.525 

= 0.7

Рис. 5. Вид областей Хилла (указаны серым цветом) в случае 1◦ при µ = 0.25 < µ∗ и w = 2.0

Пусть (ϕi , θj ), i, j = 1, 2, — соответствующая неподвижная точка, где ϕ i = = π , 3 π, θj = θ1 , θ2 . Согласно (6.2) постоянную µ в этом случае удобно 2 2 параметризовать дополнительной широтой неподвижной точки µ = − cos θj sin3 θj .

(6.3)

ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА



ДВУХ ТЕЛ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 259

= −0.5





= 0.5

= 0.8

Рис. 6. Вид областей Хилла (указаны серым цветом) в случае 2◦ при µ = 0.6 > µ∗ и w = 2.0

 h Поскольку для притягивающего центра µ > 0, в данном случае θ j ∈ π , 0 , 2

причем π < θ1 < θ∗ , соответствует максимуму приведенного потенциа2 ла U∗ , а θ∗ < θ2 < π соответствует седловой точке. Здесь θ∗ — значение θ, в котором µ (6.3) достигает максимального значения µ = µ ∗ =

√ 3 3 . 16

Введем канонические импульсы pθ , pϕ , соответствующие сферическим углам. В неподвижных точках они принимают следующие значения: p θ = = 0, pϕ = ±w cos θj sin θj . Разложим гамильтониан (5.3) в окрестности неподвижной точки до второй степени, используя следующие канонические переменные:

pθ = X,

pϕ = ±w cos θj sin θj + Y,

ϕ = ϕi + y,

θ = θj + x,

260

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

находим H = H0 + 1 2

2 X + Y2 sin θj 2

+ 1 w2 cos2 θj 2

!

+w

x2 + y 2 sin2 θj

yX − !

cos2 θj sin2 θj

+ ...,

xY

!

+

H0 = const,

j = 1, 2.

Собственные числа соответствующей линеаризованной системы равны v v u u u 1 − cos θj − 2 cos2 θj u 1 + cos θj − 2 cos2 θj t λ1,2 = ±w , λ3,4 = ±wt , 1 − cos θj 1 + cos θj j = 1, 2.

(6.4) Анализируя подкоренные выражения в (6.4), получаем, что для обоих случаев θ = θ1 и θ = θ2 : λ3,4 всегда вещественны, а λ1,2 — вещественные для θ = θ1 и чисто мнимые для θ = θ2 . Отсюда заключаем, что относительные равновесия в ограниченной задаче двух тел на сфере всегда неустойчивы. Заметим  также,  что  наличие  пары чисто мнимых собственных значений для точек π , θ2 и 3 π, θ2 приводит к тому, что по теореме о централь2 2 ном многообразии вблизи них существует неустойчивое (гиперболическое) периодическое решение. Вид этих решений при продолжении по энергии приведен на рис. 7. Работа выполнена в рамках программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» (грант №НШ-36.2003.1), при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-05-64367) и фонда CRDF (грант № RU-M1-2583-MO-04).

Литература [1] Арнольд В. И, Козлов В. В, Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Т. 3. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985. [2] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Ижевск: изд-во РХД, 2001, 384 c.

ЛИТЕРАТУРА

261

Рис. 7. Вид периодических решений, рождающихся из седловой точки на развертке сферы (показана часть сферы в сферических координатах). Показана граница области Хилла (см. рис. 5 при = 0.5) для критического значения энергии E = 0 при w = 2, γ = 1. Соответствующие значения энергии, отвечающие этим орбитам, равны E = 0.0009, 0.01, 0.027, 0.355, 1.0, 1.024 

[3] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во РХД, 1999. [4] Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков-Киев: ОНТИ, 1934. [5] Гребенников Е. И. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986. [6] Демин В. Г., Косенко И. И., Красильников П. С., Фурта С. Д. Избранные задачи небесной механики. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 210 стр. [7] Зиглин С. Л. О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел на сфере. Доклады РАН, 2001, Т. 379, № 4, с. 477–478. (См. работу 21 этого сборника.) [8] Зиглин С. Л. О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел с потенциалом упругого взаимодействия на сфере. Доклады РАН, 2003, Т. 391, № 1, с. 51–52. (См. работу 22 этого сборника.)

262

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ

[9] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. (См. работу 10 этого сборника.) [10] Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. [11] Эддингтон А. С. Теория относительности. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1943. [12] Appell P. Sur les lois de forces centrales faisant d´ecrire a` leur point d’application une conique quelles que soient les conditions initiales. American Journal of Mathematics, 1891, Vol. 1, p. 153–158. (См. работу 6 этого сборника.) [13] Chernikov N. A. The relativistic Kepler problem in the Lobachevsky space. Acta Phys. Polonica B, 1993, Vol. 24, № 5, p. 927–950. (См. работу 23 этого сборника.) [14] Cherno¨ıvan V. A., Mamaev I. S. The restricted two-body problem and the Kepler problem in the constant curvature spaces. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, Vol. 4, № 2, p. 112–124. [15] Killing W. Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen. J. Reine Angew. Math., 1885, Vol. 98, p. 1–48. (См. работу 3 этого сборника.)

19 Задача двух тел на сфере. Приведение, стохастичность, периодические орбиты А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. А. Килин1

В работе рассматривается задача о движении двух материальных точек на сфере, взаимодействующих друг с другом с потенциалом, зависящим от расстояния между ними. Особо подробно рассмотрен случай, когда потенциал является аналогом ньютоновского. Выполнено понижение порядка этой системы к двум степеням свободы и указан ряд замечательных периодических орбит; обсуждаются вопросы неинтегрируемости и стохастизации движения.

1. Введение и исторические комментарии Анализ движения материальных частиц и твердых тел в пространствах постоянной кривизны (двумерной и трехмерной сферах, плоскости и пространстве Лобачевского) восходит к классическим работам Серре, Киллинга, Липшица, Либмана, Шеринга и др., выполненным в XIX веке. Одной из наиболее полных работ, в которой излагаются основные классические результаты, является работа В. Киллинга [13]. В ней рассмотрена задача о движении частицы в «центральном поле», являющемся аналогом ньютоновского поля для искривленного пространства (аналог задачи Кеплера), обобщение эйлеровской задачи двух центров, многомерные аналоги этих 1 Институт компьютерных исследований, Удмуртский государственный университет, Университетская, 1, 426034, Ижевск, Россия. E-mail: [email protected], [email protected], [email protected].

264

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

задач. Также выведены и частично изучены уравнения движения твердого тела в этих пространствах и обсуждаются вопросы теории ньютоновского потенциала. Более чем через столетие вопросы о динамике в пространствах постоянной кривизны снова вызвали интерес и привели к целой серии работ, обзор которых имеется в [2] (см. также предисловие к этому сборнику). Отметим только, что в этих работах часть результатов классиков была получена снова и независимо. Одной из важных отличительных черт искривленных пространств является отсутствие трансляционной (галилеевой) инвариантности, приводящее к отсутствию интегралов центра инерции и несуществованию соответствующей барицентрической системы координат, что существенно изменяет некоторые динамические факты классической небесной механики. Например, задача двух тел, рассматриваемая на двумерной (трехмерной) сферах S 2 (S 3 ) или на плоскости (пространстве) Лобачевского L 2 (L3 ) уже не будет сводиться к соответствующей задаче о движении в центральном поле (аналогу задачи Кеплера) и, вообще говоря, как показано далее, не является интегрируемой. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая двумерной сферы S 2 , хотя результаты можно перенести на L2 и их многомерные обобщения. Прежде всего отметим, что задача Кеплера о движении в центральном поле на сфере является интегрируемой, а траектории представляют собой эллипсы, причем фокус находится в их центре. Аналог ньютоновского потенциала на сфере, видимо, впервые указан Серре в [17] (1860 г.), для плоскости Лобачевского — самим Лобачевским и Больяи, обобщение теоремы Бертрана для искривленного пространства имеется у Либмана (1903 г.). Аналоги законов Кеплера для S n , Ln имеются в нескольких работах, основной из которых является цитированная выше работа В. Киллинга. Среди современных работ, в которых с разных сторон рассматривается задача Кеплера, укажем на [7, 15, 2, 14]. Итак, аналогом ньютоновского потенциала на S 2 (L2 ) является функция U = −γ ctg θ (U = −γ cth θ), (1.1) где θ — долгота, отсчитываемая от полюса, в котором находится гравитирующий центр, γ — гравитационная постоянная. Потенциал (1.1) может быть получен как центрально-симметричное решение уравнений Лапласа – Бельтрами для S 3 (L3 ) или выведен из аналога теоремы Бертрана для S 2 (L2 ) [7]. Укажем также на поставленную в книге [2] ограниченную задачу двух тел на сфере (или L2 ), для которой одно из тел равномерно описывает большой круг на сфере (т. е. совершает свободное движение по геодези-

ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

265

ческой), а другое движется в его поле (описываемом потенциалом (1.1)) и никак не влияет на первое. В работе [15] (и в книге [2]) имеется также численный анализ отображения Пуанкаре этой задачи, стохастические траектории которой свидетельствуют о ее неинтегрируемости, а также методом усреднения исследуется смещение перигелия, вызванное кривизной пространства. В работе [5] для ограниченной задачи доказано отсутствие дополнительного мероморфного аналитического интеграла.

2. Редукция задачи двух тел на сфере S 2 Общая (неограниченная) задача двух тел на S 2 (L2 ) изучалась с точки зрения редукции в работе [18], где рассматриваются также вопросы квантования. Общий метод редукции, предложенный в [18] и основанный на достаточно формальных, но имеющих глубокую дифференциально-геометрическую природу рассуждениях, восходящих к Э. Картану и развитых Дж. Марсденом и А. Вейнстейном, к сожалению, не всегда способен привести к аналитически наиболее красивым и замкнутым выражениям, к которым стремились классики небесной механики (например, при редукции задачи трех тел). В данной работе для редукции неограниченной задачи двух тел на сфере мы используем редукцию Бура [4] пространственной задачи трех тел. В некотором смысле даже можно сказать, что необходимая нам редукция является ее частным случаем (аналогичным образом можно использовать редукцию Радо [4]). Взаимосвязь между указанными задачами основана на известном замечании Якоби, что при помощи введения барицентрических координат, осуществляющих приведение к центру инерции, классическая задача трех тел может быть сведена к задаче о движении двух материальных точек в неподвижном пространстве Oxyz с потенциалом, который зависит от их расстояния до неподвижного центра O и от угла между их радиусвекторами. Такая приведенная система обладает (векторным) интегралом кинетического момента, а редукция Бура, состоит в эффективном понижении порядка с его помощью (исключение узла). При этом исключаются еще две степени свободы. Для нашей задачи на сфере расстояния r 1 , r2 двух точек до центра являются фиксированными, поэтому в редуцированной системе Бура надо просто заменить r1 = r2 = R, r˙1 = r˙2 = 0 (R — радиус сферы). Указанная редукция справедлива для потенциала притягивающих точек, зависящего произвольным образом от расстояния между ними (в современной литературе [1] иногда называемой задачей Е. И. Кугушева).

266

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

Рис. 1

Приведем более подробные вычисления. Пусть Oxyz — неподвижная система координат, Oξηζ — подвижная система координат, плоскость Oηξ которой проходит через материальные точки с массами m 1 и m2 , а ось η получается пересечением плоскостей (ηξ) и (xy) — линия узлов (см. рис. 1). Положение материальных точек будем описывать координатами θ 1 , θ2 , которые являются угловыми полярными координатами в плоскости Oηξ, и ϕ, ψ, характеризующими положение репера Oξηζ по отношению Oxyz. Как несложно видеть, все эти переменные тождественны углам Эйлера в динамике твердого тела (эта аналогия замечена Дж. Сильвестером). Выражения декартовых координат через введенные переменные имеют вид xi = −R(cos ϕ cos ψ sin θi + sin ψ cos θi ), yi = −R(cos ϕ sin ψ sin θi − cos ψ cos θi ), i = 1, 2, (2.1) zi = R sin θi sin ϕ, где R — радиус сферы. При помощи (2.1) функция Лагранжа системы может быть представлена в виде 2 = R m1 (θ˙1 + ψ˙ cos ϕ)2 + m2 (θ˙2 + ψ˙ cos ϕ)2 + J ϕ˙ 2 + 2  + R sin2 ϕψ˙ 2 − 2Lϕ˙ ψ˙ sin ϕ) − U (θ1 − θ2 ) , (2.2) 

ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

267

где J = m1 sin2 θ1 + m2 sin2 θ2 , K = m1 cos2 θ1 + m2 cos2 θ2 , L = m1 sin θ1 cos θ1 + m2 sin θ2 cos θ2 . Пусть ось Oz совпадает с направлением вектора кинетического момента с величиной |M | = c. Лагранжевы уравнения с лагранжианом (2.2) допускают интеграл ∂ = Mz = c = const (2.3) ∂ ψ˙ и инвариантные соотношения 





∂ = Mη = 0, ∂ ϕ˙

∂ = Mz×η ψ˙ = 0. ∂ϕ

(2.4)

Действительно, ˙ M˙ η = Mz×η ψ,

˙ M˙ z×η = −Mη ψ,

где величины Mz , Mη , Mz×η представляют собой проекции кинетического момента M на соответствующие оси [4] (см. рис. 1). В явном виде инвариантное многообразие, задаваемое соотношениями (2.3), (2.4), определяется уравнениями ψ˙ =

cJ , m1 m2 R2 sin2 (θ1 − θ2 ) cos ϕ =

ϕ˙ =

cL sin ϕ , m1 m2 R2 sin2 (θ1 − θ2 )

m1 θ˙1 + m2 θ˙2

c/R2 − (m1 + m2 )ψ˙

(2.5)

.

Из (2.3) следует, что переменная ψ является циклической и мы можем понизить порядок на одну степень свободы, кроме того на инвариантном многообразии (2.4) переменная ϕ также является циклической и на нем можно выполнить понижение порядка по Раусу еще на одну степень свободы. Соответствующая функция Рауса равна 







−

=

2

− ∂ ψ˙ − ∂ ϕ˙ = R (m1 θ˙12 + m2 θ˙22 ) − 2 ∂ ϕ˙ ∂ ψ˙

R2 J(m1 θ˙1 +m2 θ˙2 )2 2

2(J(m1 +m2 )−m1 m2 sin (θ1 −θ2 ))

−

c2 J −U (θ1 −θ2 ). 2m1 m2 R sin2 (θ1 −θ2 ) (2.6) 2

268

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

При помощи преобразования Лежандра mi R2 J(m1 θ˙1 + m2 θ˙2 ) pi = ∂ = mi R2 θ˙i − , J(m1 + m2 ) − m1 m2 sin2 (θ1 − θ2 ) ∂ θ˙i 

i = 1, 2 (2.7)

получим гамильтонову форму уравнений движения с гамильтонианом 

  p2 p22 1 J 1 2 2 + + (c − (p + p ) ) + U (θ1 − θ2 ). 1 2 2R2 m1 m2 m1 m2 sin2 (θ1 − θ2 ) (2.8) Это и есть приведенная система с двумя степенями свободы. Абсолютное движение (т. е. динамика тел в неподвижной системе координат) получается с помощью двух дополнительных квадратур, определяемых соотношениями (2.5). =

ЗАМЕЧАНИЕ. На многообразии (2.5) область значений новых переменных p1 p1 + p 2 и p2 ограничена третьим уравнением (2.5), которое принимает вид cos ϕ = . c

Таким образом, фазовое пространство приведенной системы параметризуется каноническими переменными θ1 , θ2 , p1 , p2 . Угловые переменные θ1 , θ2 mod 2π определяют некоторый двумерный тор (конфигурационное пространство приведенной системы), а сопряженные им импульсы p1 , p2 определены в некоторой полосе на плоскости, задаваемой соотношением |p1 + p2 | = | cos ϕ| 6 |c|. Кроме того необходимо отождествить точки фазового пространства с координатами (θ1 , θ2 , p1 , p2 )

и (π − θ1 , π − θ2 , −p1 , −p2 ).

(2.9)

Действительно, согласно (2.1), одному и тому же расположению тел на сфере соответствует два различных набора координат (θ 1 , θ2 , ϕ, ψ) и (π − θ1 , π − θ2 , π − ϕ1 , π + ψ), при этом соответственно для скоростей имеем (π − θ1 )˙ = −θ˙1 , (π − θ2 )˙ = −θ˙2 , и с помощью (2.7) получаем (2.9). Интересно было бы дать более геометрическое описание приведенного фазового пространства. Гамильтониан (2.8) является однородной, но не положительно определенной квадратичной функцией по импульсам. Вследствие того что система (2.8) не является натуральной, к ней сложно применить хорошо развитые методы топологического и качественного анализа (см. [6]).

ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

269

3. Частные решения и диаграмма Смейла задачи двух тел на S 2 Рассмотрим сначала обычную задачу n тел, потенциал взаимодействия U между которыми зависит от их взаимных расстояний. Определим так называемые твердотельные движения задачи n тел как частные решения, для которых взаимные расстояния между телами остаются постоянными, и стационарные конфигурации (относительные равновесия), как частные решения задачи n тел, при которых все тела вращаются равномерно с одной и той же угловой скоростью вокруг оси, проходящей через вектор M . Очевидно, что все стационарные конфигурации являются твердотельными движениями, но в общем случае обратное неверно. 3.1. Стационарные конфигурации и диаграмма Смейла Стационарные конфигурации в общей задаче n тел S 2 могут быть получены как критические точки приведенного потенциала. Справедливо следующее Предложение 1. Стационарные конфигурации (относительные равновесия) задачи n тел определяются критическими точками приведенного (эффективного) потенциала 2 U∗ = U − 1 ω 2 I = U − M , 2 2I

(3.1)

где ω — угловая скорость вращения конфигурации, I — суммарный момент инерции системы относительно оси вращения, M 2 — квадрат полного кинетического момента системы тел в неподвижном пространстве. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем лагранжиан в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ω вокруг оси z в сферических координатах 

X X =1 mi R2 (θ˙i2 + sin2 θi ϕ˙ 2i ) + ω mi ϕ˙ i R2 sin2 θi − U + 1 ω 2 I, (3.2) 2 2 P где I = mi R2 sin2 θi суммарный момент инерции относительно оси z (i нумерует частицы). Записывая уравнения движения с функцией Лагранжа (3.2) и учитывая, что для искомого (стационарного) решения θ˙i = ϕ˙ i = 0, получаем условия

270

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

для относительных равновесий в форме     1 ∂ U − 1 ω 2 I = 0, ∂ 2 U − ω I = 0, 2 2 ∂θi ∂ϕi

i = 1, . . . , n.

(3.3) Для окончательного доказательства осталось записать момент импульса искомой стационарной конфигурации в неподвижной системе координат: X X Mx = My = 0, Mz = mi Ri2 sin2 θi ϕ˙ i = ω mi R2 sin2 θi = Iω.

Дадим теперь полное описание относительных равновесий задачи двух тел на S 2 в случае потенциала, обобщающего гравитационное притяжение. Согласно предложению 1, необходимо отыскать критические точки приведенного потенциала
U∗ = −æR2 m1 m2 ctg θ12 − 1 ω 2 R2 m1 sin2 θ1 + m2 sin2 θ2 , 2 где θ12 — угол между телами на сфере, æ — постоянная гравитационного взаимодействия. Можно показать, что для относительных равновесий двух тел на S 2 справедливы следующие два несложных наблюдения.

1) Все время движения тела находятся на большом круге, проходящем через ось вращения. 2) В случае æ > 0 (притяжения) тела располагаются на большом круге по разные стороны от оси вращения. Действительно, выражая косинус угла между материальными точками по формуле ξ = cos θ12 = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 cos(ϕ1 − ϕ2 ), находим, что æR2 m1 m2 ∂U∗ ∂U sin θ1 sin θ2 sin(ϕ1 − ϕ2 ) = 0. =− ∗ = ∂ϕ1 ∂ϕ2 (1 − ξ 2 )3/2 Откуда получаем, что либо ϕ1 = ϕ2 , либо ϕ2 = ϕ1 + π. Анализируя урав∂U

∗ нения = 0 для ϕ1 = ϕ2 , можно показать, что они не имеют общего ∂θi решения.

ЗАДАЧА

271

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

Таким образом, для поиска стационарных конфигураций необходимо определить критические точки функции U∗ = −æR2 m1 m2 ctg(θ1 + θ2 ) − 1 ω 2 R2 (m1 sin2 θ1 + m2 sin2 θ2 ) 2 где θ1 и θ2 — углы, отсчитываемые от оси вращения (рис. 2), они определяются уравнениями ω 2 sin θ1 cos θ1 −

æm2 2

sin (θ1 + θ2 )

= 0,

ω 2 sin θ2 cos θ2 −

æm1 2

sin (θ1 + θ2 )

= 0. (3.4)

Рис. 2

Отсюда мы находим уравнение, обобщающее «правило рычага» на плоскости, которое связывает углы θ1 и θ2 m1 sin 2θ1 = m2 sin 2θ2 .

(3.5)

С помощью соотношений (3.4) и (3.5) можно показать, что в случае æ > 0, либо одновременно θ1 , θ2 < π/2, либо одновременно θ1 , θ2 > π/2. Очевидно, что второй случай сводится к первому отражением относительно экваториальной плоскости, поэтому будем полагать, что 0 < θ 1 , θ2 < π . 2

(3.6)

272

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

Если положить m1 < m2 , то в интервале (3.6) уравнение имеет два корня     m m (1) (2) θ2 = 1 arcsin m1 sin 2θ1 , θ2 = π − 1 arcsin m1 sin 2θ1 , (3.7) 2 2 2 2 2 (1)

(2)

причем θ2 < θ1 , a θ2 > θ1 . (1) Первое решение θ2 описывает конфигурацию, для которой более тяжелое тело движется по окружности меньшего радиуса. При предельном переходе R → ∞ это решение переходит в обычную стационарную конфигурацию задачи двух тел на плоскости. (2) Для второго решения θ2 более тяжелое тело движется по окружности меньшего радиуса, это решение не имеет аналога в плоской задаче двух тел. Построим бифуркационную диаграмму (см. [11]) задачи двух тел на S 2 , на плоскости интегралов (c2 = M 2 /R4 , E = h/R2 ), где h — интеграл энергии (рис. 3). В случае m1 6= m2 получаем две кривые, соответствующие решениям (3.7) (см. рис. 3а), если m1 = m2 , то кривые сливаются в некоторой точке P (рис. 3b), в этом случае также согласно (3.7) либо θ 1 = θ2 , либо θ1 + θ2 = π/2. Здесь мы также приводим бифуркационную диаграмму задачи двух тел на сфере с потенциалом, который, в отличие от гравитационного, не имеет особенностей (см. рис. 4). Для него в работе [1] выполнен геометрический (топологический) анализ интегральных многообразий M 2 = const, h = = const и поверхности уровня интеграла энергии приведенной системы. Отметим, что в связи с наличием сингулярностей в полюсах для гравитационного потенциала (1.1) прямое перенесение результатов работы [1] на этот случай невозможно и в полной мере топологический анализ трехмерных изоэнергетических многообразий, по-видимому, не был проведен.

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма задачи двух тел с гравитационным потенциалом U = −æm1 m2 ctg θ

ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

273

Рис. 4. Бифуркационная диаграмма задачи двух тел на сфере с потенциалом U = = æm1 m2 (1 − cos θ)

3.2. Частное решение в случае равных масс В задаче n тел на плоскости имеется частное решение (коллинеарная конфигурация), в котором все тела движутся по эллипсам, оставаясь во все время движения на одной и той же прямой. Впервые его для задачи трех тел указал Эйлер, а для случая n тел — Мультон [16]. В работе [16] доказано также, что число таких коллинеарных решений, получающихся при различных перестановках масс, равно n! . Покажем, что в случае сферы 2 аналогичных (пульсирующих) решений в общем случае не существует. Предложение 2. Для задачи двух тел (n тел) на S 2 в случае, если mi 6= mj , не существуют решения, отличные от стационарных конфигураций, для которых все тела остаются на одном и том же большом круге, проходящем через ось вращения. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Oz является осью вращения. Запишем уравнения движения в сферических координатах mi θ¨i = mi sin θi cos θi ϕ˙ 2i − ∂U ∂θi n X
d m sin2 θ ϕ˙ = − ∂U = Uξ0ij sin θi sin θj sin(ϕi − ϕj ). i i i dt ∂ϕi j6=1, j6=1

где ξij = cos θi cos θj + cos θi sin θj cos(ϕi − ϕj ).

(3.8)

274

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

Если тела все время лежат на одной геодезической, проходящей через ось вращения, то либо ϕi = ϕj , либо ϕj = ϕi + π, и кроме того ˙ ϕ˙ i = ϕ˙ j = ψ,

i, j = 1, . . . , n.

Таким образом, согласно (3.8) должны выполняться соотношения mi sin2 θi ψ˙ = mi c2i ,

(3.9)

ci = const

Следовательно, все углы θi должны выражаться через постоянные ci и ˙ одну единственную функцию λ2 (t) = 1/ψ(t) (3.10)

ζi = sin θi = ci λ(t). Дифференцируя и подставляя в первое из уравнений (3.8) получим ! q 2 ˙2 mi c i λ λ c i −3 ¨+ = m c λ 1 − c2i λ2 − ∂U λ p i i ∂θi 1 − c2i λ2 1 − c i λ2

(3.11)

p ∂ζ где ∂U = ∂U i = 1 − c2i λ2 ∂U . Искомое решение существует, если ∂θi

∂ζi ∂θi

∂ζi

в уравнении (3.11) удается исключить зависимость от номера тела i. При условии λ˙ 6≡ 0 этого можно добиться, если положить, что ϑi — критические точки приведенного потенциала (3.1) и все ci равны между собой, т. е. ∂U = ω 2 m sin θ cos θ , i i i ∂θi

ci = c = const.

(3.12)

Тогда с учетом соотношений (3.10) и (3.11) получаем противоречивые равенства mi sin 2θi = ±mj sin 2θj и sin θi = ± sin θj ,

которые не могут одновременно удовлетворяться при m i 6= mj . Рассмотрим подробнее случай равных масс в задаче двух тел m 1 = = m2 = 1, при этом ϕ2 = ϕ1 + π и θ1 = θ2 = θ, используя непосредственно уравнения (3.8), (3.9), для этого частного решения находим ψ˙ = ϕ˙ 1 = ϕ˙ 2 =

c sin2 θ

θ¨ = sin θ cos θψ˙ 2 −

æ , sin2 2θ

c = const. (3.13)

ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

275

Эти уравнения описывают движение частицы на сфере в поле притягивающего центра с потенциалом U = − 1 æ ctg 2θ. 2 Для этого потенциала траектории являются незамкнутыми, что также демонстрирует отличие искривленного пространства от плоского. В последнем, как известно, траектории частиц вследствие однородности представляют собой эллипсы с фокусом в центре масс. Тем не менее, траектории на сфере замыкаются в некоторой вращающейся системе координат, и, более того, можно так подобрать скорость вращения, что обе частицы будут двигаться по одной и той же кривой (такое движение называется относительной хореографией [10, 12], см. рис. 6 B1 , B2 , B3 ). 3.3. Твердотельные движения в задаче 2-х тел Если в плоском пространстве R 3 рассматривать движение в неподвижной системе координат, то относительным равновесиям задачи двух тел (n тел) в системе центра масс в общем случае (когда скорость центра масс не равна нулю) соответствуют простейшие твердотельные решения. В этом случае сохраняются взаимные расстояния между телами, а тела двигаются по замкнутым кривым, смещаясь в направлении движения центра масс. Покажем, что в искривленном пространстве (точнее на S 2 ), в задаче двух тел в связи с отсутствием понятия центра масс все твердотельные решения исчерпываются стационарными конфигурациями (3.4), (3.7), рассмотренными выше, таким образом соответствующее семейство имеет меньше свободных параметров по сравнению с плоским пространством. Теорема. Все твердотельные частные решения в задаче двух тел на S 2 с потенциалом взаимодействия, зависящим лишь от взаимного расстояния, являются стационарными конфигурациями. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Идея доказательства состоит в последовательном дифференцировании инвариантного соотношения (x , y ) = cos θ0 = const,

(3.14)

где x , y — радиус-векторы тел на S 2 с R3 , и нахождении максимального инвариантного многообразия, содержащего данные движения.

276

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

Выполним редукцию системы на уровень интеграла момента M в алгебраической форме. Для переменных M = m1 x˙ × x + m2 y˙ × y ,

L = µ(x˙ × x − y˙ × y ),

m1 m2 где µ = , имеем девять уравнений m1 + m 2

L˙ = Uξ0 x × y

x˙ =

1 x × M + m1 x × L, m1 + m 2 1

y˙ =

1 y × M − m1 y × L m1 + m 2 1

(3.15)

где U (ξ) — потенциальная энергия взаимодействия, выраженная через косинус угла между телами ξ = (x , y ). В эти уравнения вектор M входит как параметр. Вследствие ортогональности векторов ( x˙ , x ) = (y˙ , y ) = 0 и геометрических ограничений выполнены соотношения x 2 = y 2 = 1; (3.16) m2 m1 (x , M ) + (x , L) = 0, (y , M ) − (y , L) = 0. m1 + m 2 m1 + m 2 Интеграл энергии принимает в этом случае вид E = 1 L2 + U (ξ) = const. 2µ Дифференцируя, в силу системы (3.15), условие (3.11) неизменности расстояния между частицами (x , y ) = const с учетом интегралов (3.16), получим следующие соотношения (x , y × L) = 0,

1 2 0 2 µ L(x , y ) + U (ξ)(x × y ) + m (x , M )(y , M ) = 0,

(3.17)

(x , M × L) = 0.

Из второго и четвертого уравнений (3.17) следует, что векторы x , y , M и L лежат в одной плоскости. Выразим M , L через x , y по формулам M =

(M , x ) − cos θ0 (M , y )

L=

2

sin θ0

(L, x ) − cos θ0 (L, y ) sin2 θ0

x+

(M , y ) − cos θ0 (M , x )

x+

(L, y ) − cos θ0 (L, x )

sin2 θ0

sin2 θ0

y, (3.18)

y,

ЗАДАЧА

277

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

после подстановки в (3.15) и (3.17), получим соотношение (M , x ) = const, (M , y ) = const. Таким образом, частицы должны вращаться по окружностям вокруг некоторой оси, определяемой вектором M , оставаясь в одной плоскости с этой осью. 3.4. Случай M = 0 и задача двух тел на окружности. Столкновения В задаче двух тел на сфере (с произвольным потенциалом, зависящим лишь от взаимного расстояния) случай, когда суммарный момент равен нулю M = 0, является выделенным. Покажем, что в этом случае два тела двигаются по большому кругу, который сохраняет свое положение в неподвижной системе координат. Действительно, запишем уравнения (3.15) при M = 0 x˙ = m1 x × L, 1

y˙ = − m1 y × L,

L˙ = Uξ0 x × y ,

2

(3.19)

при этом соотношения (3.16) примут вид (3.20)

(x , L) = (y , L) = 0.

Продифференцируем с помощью (3.19) нормаль к плоскости частиц n =

x ×y , находим, что с учетом соотношений (3.20) n˙ ≡ 0. Таким |x × y |

образом, плоскость натянутая на радиус-векторы частиц, неподвижна, а сами частицы движутся по большому кругу.

ЗАМЕЧАНИЕ. На плоскости, в задаче двух тел, если момент равен нулю, то тела двигаются по одной прямой, неподвижной в системе центра масс (который движется равномерно и прямолинейно).

В связи с тем, что при нулевом моменте M = 0, задача двух тел на сфере сводится к системе на окружности, рассмотрим последнюю задачу подробнее (при произвольном M ) и покажем, что в этом случае имеется система центра масс, в которой динамика тел не зависит от величины M . Запишем функцию Лагранжа с помощью новых переменных ψ=

m1 θ 1 + m 2 θ 2 , m1 + m 2

(3.21)

θ = θ 1 − θ2 ,

где θ1 , θ2 — углы, определяющие положение тел на окружности; имеем 

= 1 (m1 + m2 )ψ˙ 2 + 1 µθ˙2 − U (θ), 2 2

µ=

m1 m2 . m1 + m 2

278

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

Отсюда следует, что «угол центра масс» ψ изменяется равномерно со временем |M | ψ˙ = 2 = const. (3.22) R (m1 + m2 ) В тоже время зависимость угла θ от времени дается квадратурой Zθ

θ0

p

dθ 2µ−1 (h

1

− U (θ))

= t − t0 ,

(3.23)

где θ0 , t0 , h1 — некоторые константы. Для обобщенного ньютоновского потенциала U (θ) = −æm 1 m2 ctg θ получаем, что тела сталкиваются за конечное время. Если в момент соударения t0 = 0, то зависимость угла от времени может быть представлена в виде рядов Пюизо (V. A. Puiseux) ∞ X

θ(t) = t2/3

cn tn/3 ,

(3.24)

n=0

причем c0 6= 0, а коэффициенты cn с нечетными номерами равны нулю (c2n+1 = 0), то есть θ(t) четная функция времени, и, следовательно, после столкновения тела упруго отражаются друг на друга (для соответствующей регуляризованной системы). ЗАМЕЧАНИЕ 1. Доказательство (3.24) основано на анализе квадратуры (3.23) вблизи θ = 0; вводя новую переменную x = tg θ, представим (3.23) в форме (при t0 = 0) x 

0

√ xdx = ζ, √ (1 + x2 ) 1 + ax



2æ(m1 + m2 )t,

ζ=

h a = æm 1m . 1 2

Разлагая подынтегральную функцию в ряд Тейлора, получим следующие уравнения (в рядах) определяющие x(t): ∞ 

u3

gn u2n = ζ,

u2 = x.

n=0

где gn константы, зависящие от a. Исключая отсюда u находим ∞ 

x(ζ) = ζ 2/3

bn ζ 2n/3 . n=0

ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

279

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Интересно было бы обобщить на рассматриваемую задачу известные классические результаты Зигеля о нулевой мере столкновительных траекторий (т. е. указать многообразия столкновений). Пока мы не можем привести достаточно убедительных доводов в справедливости этого факта. Любопытно отметить, что проведенные нами численные эксперименты скорее демонстрируют обратное — после некоторого конечного (и небольшого) промежутка времени почти все траектории стремятся к соударению. При этом вычисления становятся невозможными даже при использовании различных регуляризаций. Разумеется, в таком тонком вопросе, как мера столкновительных траекторий, результаты компьютерных экспериментов не представляются достаточно убедительными и не являются доказательными. Отметим также давно обсуждаемый вопрос [2, 14] о возможности перенесения результатов Зундмана (т. е. решения в степенных рядах) для задач двух и трех тел в искривленном пространстве. К сожалению, ответ на этот вопрос не получен и скорее всего является отрицательным.

4. Сечение Пуанкаре. Численный анализ 4.1. Поверхность сечения. Хаос Для численного анализа системы построим сечение Пуанкаре приведенной системы (2.8) следующим образом. Двумерную поверхность сечения трехмерного уровня энергии = E зададим соотношением p 2 = const. В отличие от случая полутора степеней свободы (или простейших двухстепенных систем), указанные поверхности устроены достаточно сложно, и при проекции их на какую-либо плоскость (например, p 1 , θ1 ) возникают особенности; чтобы их избежать, будем изображать эти поверхности в трехмерном пространстве переменных (θ1 , p1 , θ2 ). Примеры поверхностей сечений p2 = 0 приведены на рис. 5, их тип зависит от того, к какой области на бифуркационной диаграмме (рис. 3) принадлежат постоянные интегралов c, E. Фазовый поток системы (2.8) задает на этих поверхностях точечное отображение Пуанкаре. Примеры отображений Пуанкаре для случая равных масс при некоторых c, E приведены на рис. 5. На рис. 5 для упрощения численных расчетов отождествление (10) не выполнено, поэтому, вообще говоря, точки с координатами (θ1 , θ2 , p1 ) и (π − θ1 , π − θ2 , −p1 ) необходимо склеить. При больших энергиях на отображениях хорошо видны хаотические движения (рис. 5d, f, l), препятствующие существованию дополнительного аналитического интеграла системы (2.8). 

ЗАМЕЧАНИЕ. Несуществование дополнительного аналитического интеграла для (2.8) можно также доказать методами Пуанкаре [8], анализируя вековое множество возмущенной задачи и соответствующее ему количество невырожденных периодических орбит. Для этого можно частично воспользоваться разложениями

280

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

Рис. 5. Сечения уровня энергии (a, c, e, g, k) и соответствующие отображения Пуанкаре (b, d, f, h, l), построенные при различных значениях интегралов E и c.

ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

281

Рис. 5. (Продолжение.) Сечения уровня энергии (a, c, e, g, k) и соответствующие отображения Пуанкаре (b, d, f, h, l), построенные при различных значениях интегралов E и c. возмущающей функции в [8], необходимыми для доказательства неинтегрируемости классической задачи трех тел.

4.2. Периодические решения и хореографии В классической небесной механике важную роль играют периодические орбиты в системе центра масс, их изучению посвящено множество работ [9]. Недавно был указан новый класс периодических решений в задаче n тел равной массы, так называемые (относительные) хореографии, когда тела движутся друг за другом (во вращающейся системе координат) по одной и той же кривой со сдвигом по времени T /n [10]. Аналогичную роль в задаче двух тел на сфере играют периодические решения приведенной системы (2.8). Простейшее периодические решение, задаваемое аналитически, было указано выше (3.13). Кроме него имеются

282

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

Рис. 6. Относительные хореографии задачи двух тел равной массы (m1 = m2 = 1) на сфере при c = 1, R = 1.

ЛИТЕРАТУРА

283

аналогичные решения, которые, тем не менее, не задаются аналитическими соотношениями. Для их анализа удобным инструментом оказывается отображение Пуанкаре, построенное выше. Простейшим периодическим решениям соответствуют неподвижные точки отображения наименьшего порядка (см. рис. 5). Эти решения отвечают хореографическим движениям тел (тела движутся по одной кривой) в некоторой вращающейся системе координат [3, 12, 10]. Проекции таких хореографий на плоскость, перпендикулярную оси вращения для периодических решений наименьшего периода, представлены на рисунке 6. Рисунки A 1 –A6 и B1 –B3 соответствуют двум различным устойчивым, а рисунки C1 –C2 — неустойчивому периодическому решению приведенной системы при различных энергиях. Рисунки B1 , B2 , B3 , соответствуют аналитическому решению (3.13). ЗАМЕЧАНИЕ. Методами работ [3, 12] можно показать, что вообще говоря, в этой системе при фиксированном c имеется счетное множество значений энергий E, при которых тела образуют абсолютную хореографию, т. е. движутся по замкнутой кривой в неподвижном пространстве. ЗАМЕЧАНИЕ. При различных массах тел m1 6= m2 хореографии разрушаются так, что каждое тело движется по своей замкнутой кривой (во вращающийся системе координат).

Работа выполнена в рамках программы «Государственная поддержка ведущих научных школ» (грант №НШ-36.2003.1), при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-05-64367) и фонда CRDF (грант № RU-M1-2583-MO-04).

Литература [1] Александров И. В. Топологический анализ гамильтоновой системы с некоммутативным полным набором интегралов. Вестн. МГУ, ср. мат. мех., 1990, № 3, с. 13–18. [2] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во РХД, 1999. [3] Борисов А. В., Мамаев И. С., Килин А. А. Абсолютные и относительные хореографии в задаче о движении точечных вихрей на плоскости. Доклады РАН, 2004 (в печати). [4] Воронец П. В. Преобразования уравнений динамики с помощью линейных интегралов (с приложением к задаче о трех телах), Киев, Университет Св. Владимира, 1906, 180 с.

284

А. В. БОРИСОВ, И. С. МАМАЕВ, А. А. КИЛИН

[5] Зиглин С. Л. О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел на сфере. Доклады РАН, 2001, т. 379, № 4, c. 477–478. (См. работу 21 этого сборника.) [6] Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. — Ижевск: изд-во РХД, 2000. [7] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. (См. работу 10 этого сборника.) [8] Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн. Избранные труды, т. 1, М.: Наука, 1971. Пер. с франц.: Poincar´e H. Le m´ethodes nouvelles de la m´ecanique c´elesta. Paris, Gauthier-Villars, 1892. [9] Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. — М.: Наука, 1982. [10] Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. [11] Смейл С. Топология и механика. УМН, т. 27, 1972, № 2, с. 77–133. [12] Borisov A. V, Mamaev I. S., Kilin A. A. Absolute and relative choreographies in the problem of point vortices moving on a plane. Reg. & Chaot. Dyn., 2004, V. 9, № 2, p. 101–111. [13] Killing W. Die Mechanik in den Nicht-Euklidischen Raumformen. J. Reine Angew. Math., 1885, Vol. 98, p. 1–48. (См. работу 3 этого сборника.) [14] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [15] Mamaev I. S., Cherno¨ıvan V. A. The restricted two-body problem and the Kepler problem in the constant curvature spaces. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, V. 4, № 2, p. 112–124. [16] Moulton F. R. The straight line solutions of the problem of N bodies, Ann. Math., II, 1910, ser. 12, p. 1–17. [17] Serret P. Th´eorie nouvelle g´eom´etrique et m´ecanique des lignes a double courbure. Paris: Mallet-Bachelier, 1860. (См. работу 1 этого сборника.) [18] Shchepetilov A. V. Reduction of the two-body problem with central interaction on simply connected spaces of constant sectional curvature. J. Phys., A, 1998, p. 6279–6291.

20 Точки либрации ограниченной задачи трех тел в пространствах S 2 и L2 А. А. Килин1

В данной статье2 рассматривается ограниченная задача трех тел на сфере S 2 и плоскости Лобачевского L2 . Найдены точки либрации в ограниченной задаче трех тел, исследуется зависимость их положения от параметров системы, построены области существования точек либрации в пространстве параметров. На основе исследования областей Хилла производится качественный анализ устойчивости некоторых точек либрации.

1. Частные решения задачи двух тел Рассмотрим задачу двух тел в пространствах постоянной кривизны S 3 (L3 ), движущихся в некотором потенциальном поле U (q 1 , q2 ) (q1 , q2 — координаты точек на S 3 (L3 )). В частном случае, потенциальная энергия U зависит от взаимного расстояния (измеряемого вдоль геодезической ) между двумя точками. Рассматриваемый ниже потенциал, являющийся обобщением ньютоновского потенциала для пространства S 3 (L3 ), может быть получен из решения уравнения Лапласа – Бельтрами для искривленного пространства [1, 2]. Для S 3 потенциал имеет вид V = γ ctg(α), где α — угловое расстояние между телами. Для L3 — V = γ cth(α), где α теперь «гиперболическое» угловое расстояние, определяемое формулой hq 1 , q2 i = = ch(α). 1 Институт компьютерных исследований, Университетская 1, 426034, Ижевск, Россия. E-mail: [email protected] 2 Настоящая статья представляет собой переработанный вариант работы A. A. Kilin, Libration points in spaces S 2 and L2 . Reg. & Chaot. Dyn., 1999, V. 4, № 1, pp. 91–103.

286

А. А. КИЛИН

В отличие от плоского случая, в искривленном пространстве не существует такой системы отсчета (связанной с центром инерции), в которой задача двух тел приводится к задаче о движении частицы в поле неподвижного притягивающего центра. Данная задача, видимо, уже не является интегрируемой [3]. Непосредственное изучение пространственной задачи двух тел довольно сложно, поэтому естественным является нахождение инвариантных подмногообразий системы и изучение динамики на них. Если в задаче n тел на R3 инвариантными многообразиями являются плоскости, то для задачи n тел в искривленном пространстве это — сферы S 2 (псевдосферы L2 ) [1]. Частные решения задачи двух тел на S 2 и L2 Рассмотрим семейство частных решений задачи двух тел на S 2 (L2 ), которые являются аналогами относительных равновесий в задаче n тел на плоскости [4]. Данные частные решения представляют собой вращения двух тел вокруг общей оси. При этом оба тела лежат в одной плоскости с осью вращения, но по разные стороны от нее (рис. 1).

Рис. 1

Запишем лагранжиан системы двух тел во вращающейся системе координат L=

2 X mi i=1

2

hq˙ i + ω × qi , q˙ i + ω × qi i + γm1 m2 ctg α,

(1.1)

где qi — радиус-вектор i-го тела в избыточных декартовых координатах,

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

287

mi — его масса, ω = (0, 0, ω) — угловая скорость вращения системы координат, γ — гравитационная постоянная, а α — угловое расстояние между телами. Относительные равновесия (стационарные конфигурации) можно найти как критические точки эффективного потенциала. В сферических координатах эффективный потенциал имеет вид Uef f = − 1 (m1 sin2 θ1 + m2 sin2 θ2 )ω 2 R2 − m1 m2 γ ctg α. 2 После дифференцирования Uef f получим систему уравнений  m  sin θ1 cos θ1 ω 2 R2 − γ 22 = 0,   sin α m sin θ2 cos θ2 ω 2 R2 − γ 21 = 0,   sin α  θ1 + θ2 = α,

(1.2)

(1.3)

решая которую, при фиксированных массах тел и расстоянии α между ними, можно найти положения тел θ1 , θ2 и угловую скорость, с которой должны вращаться тела, чтобы остаться на заданном расстоянии. Заметим, что при любых параметрах системы тела находятся в верхней полусфере, то есть θ1 < π/2 и θ2 < π/2. Кроме того, при α < π/2 более массивное тело (например, m1 ) движется по меньшему радиусу и при m уменьшении отношения m21 стремится к северному полюсу. При уменьшении кривизны эта конфигурация переходит в обычное круговое движение двух тел на плоскости. При больших взаимных расстояниях (α > π/2) более массивное тело движется по бо´ льшей орбите и при уменьшении отm ношения m12 стремится к движению по геодезической (в данном случае по экватору). Данный тип движения не имеет аналогов в плоском случае. Проиллюстрируем данный факт на примере случая, когда массы тел отличаются мало. Пусть m1 = m, m2 = m + δm, тогда из системы (1.3) в первом порядке по δm получим θ1 = α + δθ, 2

θ2 = α − δθ,

2 tg α δm δθ = . 4 m

(1.4)

Таким образом, действительно, при α < π/2 выполняется δθ > 0, и массивное тело движется к оси вращения, а при α > π/2 выполняется δθ < 0, и массивное тело движется к экватору. Относительные равновесия для задачи двух тел в пространстве L 2 рассматриваются аналогично. Уравнения для определения параметров орбиты

288

А. А. КИЛИН

в этом случае совпадают с (1.3) с точностью до замены тригонометрических функций на гиперболические:  m  sh θ1 ch θ1 ω 2 R2 − γ 22 = 0,   sh α m1 2 2 = 0, sh θ ch θ ω R − γ 2 2 2   sh α  θ1 + θ2 = α.

(1.5)

Заметим, что при движении в L2 присутствует только первый тип движения, аналогичный плоскому случаю (когда более массивное тело движется по меньшему радиусу), и переходящий в него при устремлении кривизны к нулю. Ограниченная задача двух тел В евклидовом пространстве R3 существует предельный переход в задаче двух тел, при котором масса одного из тел стремится к бесконечности, а энергия взаимодействия остается конечной. При этом предельной задачей является задача Кеплера, так как существует инерциальная система отсчета, связанная с центром масс, который совпадает с частицей, масса которой увеличилась. Рассмотрим аналогичный предельный переход на S 2 . В случае S 2 при предельном переходе массивное тело движется свободно (по геодезической), а легкая частица движется в поле первой. При этом вследствие отсутствия центра масс и инерциальной системы отсчета, данная задача к задаче Кеплера уже не сводится. Рассмотрим стационарные конфигурации системы, которые являются особыми точками эффективного потенциала в системе координат, в которой массивное тело покоится: Ueff (q) = − 1 (ω × q) + U (q) = 2 2

2 2 = − ω R (cos2 θ + sin2 θ cos2 ϕ) − γ ctg θ, (1.6) 2

где принято ω = (0, ω, 0) q = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ), а массивное тело лежит на оси Oz.

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

289

Особые точки потенциала (1.6) задаются системой уравнений ϕ = 0, ω2 = −

2γ , R sin α sin 2α 2

(1.7)

2

где α = |θ| — расстояние между телами. Из уравнений (1.7) видно, что все решения лежат в области α > π/2, то есть являются конфигурациями второго типа, и получаются из (1.3) предельным переходом при устремлении одной из масс к нулю. Устойчивость частных решений задачи двух тел Рассмотрим устойчивость частных решений задачи двух тел в линейном приближении. Запишем гамильтониан в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ω, в локальных сферических координатах: H=

2 X i=1

p2θi 2mi R2

+

p2ϕi 2mi R2 sin2 (θi )

− pϕi ω + U.

(1.8)

Положив в уравнениях движения для гамильтониана (1.8) θi = θi0 + δθi , pθi = p0θi + δpθi ,

ϕi = ϕ0i + δϕi , pϕi = p0ϕi + δpϕi ,

(1.9)

получим уравнения в вариациях Пуанкаре δ θ˙i = δ ϕ˙ i = δ p˙ θi =

δ p˙ ϕi

δpθi mi R 2

,

δpϕi 2

2

mi R sin θi 2pϕi cos θi mi R2 sin3 θi

−

2pϕi cos θi mi R2 sin3 θi

δpϕi −

δθi ,

p2ϕi mi R2 sin4 θi

(1 + 2 cos2 θi )δθi +

α (2δ − 1)δθ , + γm1 m2 2 cos ij j 3 sin α sin θ1 sin θ2 = −γm1 m2 (2δij − 1)δϕj . sin3 α

(1.10)

290

А. А. КИЛИН

Рис. 2

Рассмотрим устойчивость частных решений в зависимости от параметров (m2 /m1 , α). В силу того, что частные решения задачи двух тел для приведеной системы с гамильтонианом (1.8) являются положениями равновесия, уравнения (1.10) будут являться линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение этой системы — уравнение четвертого порядка oтносительно λ 2 . Для того чтобы решение было устойчиво в линейном приближении необходимо, чтобы все корни λ характеристического уравнения были чисто мнимыми, или, что то же самое, все корни относительно x = λ 2 были вещественны и отрицательны. Два корня λ характеристического уравнения системы (1.10) тождественно равны нулю. Исключив эти корни, получим уравнение третьей степени по x = λ2 . На рисунке 2 приведены области на плоскости (m 2 /m1 , α) с различным типом решений характеристического уравнения. В области III система

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

291

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

Рис. 3. «Тяжелая» частица находится в точке с координатами ϕ = 0, θ = π/2

имеет хотя бы одно собственное значение с положительной вещественной частью и является неустойчивой уже в линейном приближении. В областях I и II все собственные числа λ являются чисто мнимыми. Однако, как было сказано выше, два собственных числа равны нулю, поэтому нельзя сказать об устойчивости используя линейное приближение. Рассмотрим теперь устойчивость частных решений ограниченной задачи двух тел. На рисунке 3 представлены области Хилла для данной задачи. Точки 1 и 2 являются седлами потенциальной энергии U ef f (1.6), а точки 3 и 4 ее максимумами. При увеличении кривизны (при заданном ω) точки 1, 3 и 2, 4 сливаются попарно и исчезают в точках 5 (ϕ = π, θ = π ) и 6 (ϕ = π, 6

θ = 5π ). На рисунке 2 ограниченной задаче двух тел соответствует ось 6

m2 /m1 = 0. Причем при α ∈ [π/2, 2π/3] частному решению ограниченной задачи двух тел соответствует максимум эффективного потенциала (хотя и в линейном приближении в этом случае отсутствуют экспоненциально растущие решения), а при α ∈ [2π/3, π] — седловая точка. Таким образом, все стационарные конфигурации в ограниченной задаче двух тел являются неустойчивыми. Хотя линейное приближение не может дать полного ответа на вопрос об устойчивости частных решений задачи двух тел, с помощью него мы можем заключить, что по крайней мере в областях I и II отсутствует экспоненциаль-

292

А. А. КИЛИН

ная неустойчивость, и, следовательно, возможна постановка ограниченной задачи трех тел. Выше было показано, что в пространствах постоянной кривизны существуют частные решения задачи двух тел, для которых остается постоянным расстояние между телами. Это позволяет рассмотреть ограниченную задачу трех тел в искривленном пространстве.

2. Ограниченная задача трех тел По аналогии с евклидовым пространством рассмотрим систему трех взаимодействующих частиц на S 2 и L2 , из которых одна настолько легка, что не влияет на движение двух остальных. Пусть эти две частицы вращаются равномерно вокруг фиксированной оси на постоянном расстоянии (см. п. 1). Тогда движение легкой частицы во вращающейся системе отсчета описывается автономной системой с функцией Лагранжа ˙ qi ˙ + hq, ˙ ω × qi + 1 hω × q, ω × qi − U (q), L = 1 hq, 2 2

(2.1)

здесь h·, ·i — скалярное произведение в евклидовом пространстве E 3 и пространстве Минковского M3 . Потенциальная энергия U (q) двух ньютоновских центров имеет вид U = γm1 ctg α1 + γm2 ctg α2

на S 2 ,

U = γm1 cth α1 + γm2 cth α2

на L2 ,

где m1 , m2 — массы притягивающих тел, а α1 , α2 — углы между ними и легкой частицей. Направим ось Oz вдоль угловой скорости ω, а неподвижные центры поместим в точки q1 (sin θ1 , 0, sin θ1 ),

q2 (sin θ2 , 0, sin θ2 )

на S 2 ,

q1 (sh θ1 , 0, ch θ1 ),

q2 (sh θ2 , 0, ch θ2 )

на L2 .

Параметры θ1 , θ2 , ω при фиксированном взаимном расстоянии α и массах точек m1 , m2 могут быть определены из уравнений (1.3) для S 2 , либо из (1.5) для L2 . Положение равновесия легкой частицы во вращающей системе отсчета являются критическими точками приведенного потенциала U∗ = U − 1 hω × q, ω × qi, 2

(2.2)

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

293

и называются точками либрации. В сферических (псевдосферических) координатах выражение (2.2) для приведенного потенциала принимает вид U∗ = −γ

X i

на сфере S 2 , и U∗ = −γ

X i

mi (cos θi cos θ + sin θi sin θ cos ϕ) − 1 R2 ω 2 sin2 θ
2 2 1/2 1 − (cos θi cos θ + sin θi sin θ cos ϕ) (2.3) mi (ch θi ch θ + sh θi sh θ cos ϕ) 1 2 2 2
1/2 − 2 R ω sh θ 2 (ch θi ch θ + sh θi sh θ cos ϕ) − 1

(2.4)

на плоскости Лобачевского. В плоском случае существует пять точек либрации. Три из них L 1 , L2 , L3 , расположенные на одной прямой с неподвижными центрами (тяжелыми частицами), были открыты Эйлером [5] и называются коллинеарными. Две другие L4 , L5 — треугольные, находятся на равных расстояниях от притягивающих центров и были найдены Лагранжем [6]. Подробное описание точек либрации и их устойчивости в различных постановках можно найти в книге А. П. Маркеева [7]. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Лагранж также указал частные решения в неограниченной задаче трех тел, при которых тела движутся по эллипсам, оставаясь все время в вершинах равностороннего треугольника. Эйлер же указал соответствующие коллинеарные решения. Нахождение и анализ подобных решений в искривленном пространстве представляют гораздо более сложную задачу и до сих пор не выполнены.

По аналогии с плоским пространством критические точки функций (2.3), (2.4) можно разделить на 2 типа: a) Коллинеарные критические точки — обобщение эйлеровских точек либраций. Они расположены в плоскости двух неподвижных центров и вектора ω. b) Неколлинеарные критические точки — обобщение лагранжевых точек либрации, которые в случае плоскости расположены на равных расстояниях от притягивающих центров. Коллинеарные точки либрации на сфере S 2 Зафиксируем начало отсчета азимутального угла ϕ от меридиана, расположенного в плоскости, проходящей через притягивающие центры.

294

А. А. КИЛИН

В этом случае для коллинеарных точек либрации ϕ = 0, π. Из симметрии ∂U∗ задачи следует, что = 0, поэтому для нахождения широты точек ∂ϕ ϕ=0,π либрации необходимо найти критические точки функции f (θ) = U∗

ϕ=0,π

=−

2 X i=1

γmi ctg |θ − θi | − 1 R2 ω 2 sin2 θ. 2

Выполняя дифференцирование, находим, что критическим точкам соответствуют корни уравнения 1 R2 ω 2 sin θ cos θ = γ X m sin(θ − θi ) , (2.5) i sin3 (θ − θi ) 2 i

где θ ∈ (−π; π). Уравнение (2.5) может иметь 2, 4 или 6 корней (в зависимости от параметров). Схематично их положение на сфере показано на рис. 4. Выбором масштаба, приняв длину дуги между притягиваюРис. 4. щими телами за единицу, можно положить R = 1 (α — угол между притягивающими телами в радианах). Тем са= α мым мы ограничиваем область изменения параметров до прямоугольника {m2 /m1 ∈ [0, 1], α ∈ [0, π]}. Рассмотрим отдельно случаи α < π/2 и α > π/2, которым (см. п. 1) соответствуют различные типы движений.

1. α < π/2. При малых α существует шесть точек либрации — L 1 , L01 , L2 , L02 , L3 , L03 . Причем при устремлении α к нулю (R → ∞), точки L 1 , L2 и L3 стремятся к нулю пропорционально α и переходят в эйлеровские точки либрации. Точка L01 уходит на южный полюс так же пропорционально α, а точки L02 и L03 стремятся к экватору пропорционально α3 . На рис. 5 приведена зависимость положений точек либрации от α при m2 /m1 = 0,2. Как видно из рисунка, 6 точек либрации существуют в интервале α от 0 до α∗1 . При α = α∗1 точки L2 и L02 сливаются и исчезают. Таким образом, в промежутке α ∈ (α∗1 , α∗2 ) существует 4 точки либрации. В точке α∗2 происходит исчезновение второй пары точек либрации и при α ∈ (α∗2 , α∗3 ) существуют только 2 эйлеровских точки либрации. В точке α∗3 вновь образуется пара точек L3 , L03 и затем вплоть до α = π/2 существует 4 точки либрации. Кривые α∗1 (m2 /m1 ), α∗2 (m2 /m1 ) и α∗3 (m2 /m1 ),

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

295

Рис. 5

Рис. 6

ограничивающие области с равными количествами точек либрации, представлены на рис. 6. Здесь в области I существует 6, в областях II, IV — 4, а в области III — 2 точки либрации. 2. α > π/2. При α, большем π/2, но меньшем, чем некоторое критическое значение α∗4 (m2 /m1 ), кроме двух «центральных» точек либрации (L1 , L01 ) в системе наблюдаются еще две точки либрации L 2 и L02 .

296

А. А. КИЛИН

Рис. 7

Рис. 8

При α, большем, чем α∗5 (m2 /m1 ), возникает еще одна пара точек L001 и L000 1 (см. рис. 4). Зависимость положений точек либрации от α в промежутке (π/2, π) показана на рис. 7. Критическое значение α ∗4 может быть, в

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

297

зависимости от отношения масс, как меньше, так и больше чем α ∗5 , что видно из рис. 8. Кривые α∗4 (m2 /m1 ) и α∗5 (m2 /m1 ) на этом рисунке ограничивают области равного количества точек либрации. В областях II, IV существует 4 точки либрации, а в областях I, III — 2 и 6 соответственно. Неколлинеарные точки либрации на сфере S 2 Неколлинеарные точки либрации определяются системой уравнений: ω2 R2 cos θ = γ 2 X i=1

cos θ =

2 X i=1

mi

mi

cos θi , sin3 αi

sin θi = 0, sin3 αi

(2.6)

cos α2 sin θ1 − cos α1 sin θ2 , sin α

где αi — угловое расстояние между легкой частицей и i-м телом. При m 1 = = m2 система (2.6) имеет решение, для которого α1 = α2 6= α, в общем же случае при m1 6= m2 угловые расстояния подчиняются только неравенству треугольника, которое в данном случае выглядит следующим образом |α − α2 | < α1 < α + α2 при α + α2 < π, |α − α2 | < α1 < 2π − (α + α2 ) при α + α2 > π.

(2.7)

Правая часть первого уравнения системы (2.6) всегда больше нуля. Отсюда следует, что все лагранжевы точки всегда лежат в верхней полусфере. Кроме того, в силу симметрии задачи каждой точке L соответствует парная точка L0 , симметричная ей относительно плоскости, в которой лежат притягивающие тела и ось вращения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь одной полусферы ϕ ∈ [0, π]. На рис. 9 изображены кривые на развертке сферы, по которым движутся точки либрации при увеличении α. Одинаковыми цифрами отмечены точки либрации, соответствующие одинаковым значениям α, причем α1 < α2 < α3 < α4 < π/2 < α5 < α6 При малых значениях α существует одна точка либрации близкая к северному полюсу. Затем при увеличении α в точке α = α ∗∗ 1 рождается две точки либрации (точки под номером 2 на рис. 9), одна из которых сразу уходит на главный меридиан и при α = α∗∗ 2 сливается с эйлеровской точкой либрации, меняя при этом ее характер с седловой точки функции U на минимум. При некотором критическом значении отношения масс точка α ∗∗ 2 пропадает, и лагранжева точка либрации рождается прямо из эйлеровской.

298

А. А. КИЛИН

Рис. 9

Рис. 10

После этого две оставшиеся лагранжевы точки либрации движутся по кривой I и при α = α∗∗ 3 сливаются и исчезают. Значениям α > π/2 на рис. 9 соответствует кривая II. При некотором критическом значении α = α∗∗ 4 в системе рождается пара лагранжевых точек либрации. Одна из которых при увеличении α стремится к главному 3 меридиану и при α = α∗∗ 5 сливается с центральной эйлеровской точкой . При дальнейшем увеличении α оставшаяся точка либрации двигается к экватору. На рис. 10 изображены графики критических значений α в зависимости от отношения масс, которые делят пространство параметров на области 3 Здесь мы рассматриваем одну полусферу, поэтому следует учитывать, что на самом деле происходит слияние не двух, а трех точек — двух лагранжевых и одной эйлеровской.

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

299

равных количеств точек либрации. Так, в областях IV и V лагранжевых точек либрации нет, в областях I и VII — одна точка либрации, в областях III и VI — две, а в области II — три точки либрации. Точки либрации на плоскости Лобачевского Для плоскости Лобачевского L2 в уравнениях (2.5) и (2.6) следует заменить тригонометрические функции гиперболическими. Анализ полученых таким образом уравнений показывает, что при всех значениях параметров существует 3 эйлеровские и 2 лагранжевы точки либрации, которые при R → ∞ переходят в классические точки либрации. Наличие кривизны пространства в данном случае приводит лишь к смещению положений точек либрации относительно их положения на плоскости. Качественное же изменение картины в случае S 2 является следствием ее компактности. Лагранжевы точки либрации в случае равных масс 2. Случай S 2 . Рассмотрим отдельно случай, когда массы притягивающих тел равны. При этом, в силу дополнительной симметрии, анализ поведения точек либрации можно провести аналитически. Положив m1 = m2 и, как следствие, |θ1 | = |θ2 | получим, что α1 = = α2 = α0 . Таким образом, система (2.6) сводится к уравнению cos α0 sin3 α0 = C,

(2.8)

где C = sin α cos2 α — константа, зависящая от α. Функция в левой части 2 √ 3 3 уравнения (2.8) имеет максимум при α0 = π/3 со значением C ∗ = . 16 3

Таким образом существует три возможности:

1) C(α) > C ∗ — лагранжевы точки отсутствуют; 2) C(α) = C ∗ — одна лагранжева точка; 3) C(α) < C ∗ — две лагранжевы точки (как и выше рассматриваем одну полусферу). Очевидно, при достаточно малых α выполнено третье условие, и существует две точки Лагранжа. Устремляя в уравнении (2.8) α → 0 (R → ∞), для двух его решений получим (1)

α0 → α,

(2)

α0 → π/2.

300

А. А. КИЛИН

Рис. 11

Таким образом, одна точка в пределе становится классической точкой Лагранжа, а вторая при этом стремится к экватору. На рис. 11 показана зависимость положения точек либрации от α. При увеличении α от нуля до α ∗1 две лагранжевы точки сближаются и в конце концов сливаются. Таким образом, в промежутке α ∈ (α∗1 , α∗2 ) нет ни одной лагранжевой точки либрации. В точке α = α∗2 рождается пара новых точек либрации, одна из которых при увеличении α уходит на северный полюс и при α = α ∗3 сливается с эйлеровской точкой либрации. При дальнейшем увеличении α до π оставшаяся точка либрации стремится к экватору. Первые два критических значения α можно получить из уравнения sin3 α cos2 α = C ∗ . (2.9) 2 Третье же критическое значение получается путем подстановки граничного условия для неравенства треугольника α = 2α0 в уравнение (2.8). 3. Случай L2 . Для пространства L2 в случае равенства масс аналог системы (2.6) сводится к уравнению ch α0 sh3 α0 = C,

(2.10)

где C = sh α ch α — константа, зависящая от α. Однако, в отличие от сфе2 3

2

рического случая, уравнение (2.10) имеет при любых α лишь один корень, причем это решение α0 (α) всегда меньше α. При малых α α0 → α, а при больших α0 → α − 1 ln 2. На рис. 12 показана зависимость (α − α0 ) от α. 4

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

301

Рис. 12

2.1. Малое отклонение от случая равных масс 1. Случай S 2 . Рассмотрим поведение точек либрации при малом отклонении от равенства масс притягивающих тел. Положим m 1 = m, m2 = = m + δm и αi = α0 + δαi . Подставив эти соотношения в систему (2.6) с учетом (2.8) и (1.4), в первом порядке по δm m получим α1 = α0 + δα0 , α2 = α0 − δα0 ,

sin2 α tg α0

δα0 =

2

6 cos α

(2.11) δm . m

Так как α0 < π/2, то при α < π/2, очевидно, δα0 > 0 для любого α0 . Следовательно, при увеличении массы одного из тел лагранжевы точки смещаются к более массивному телу. При α > π/2 — наоборот, лагранжевы точки смещаются к более легкому телу (δα0 < 0). 2. Случай L2 . Для L2 , выполнив аналогичное разложение по δm m, получим выражение для δα0 α1 = α0 + δα0 , α2 = α0 − δα0 ,

sh2 α th α0 2

(2.12)

δm . m 6 ch α В данном случае δα0 < 0 для любых параметров, таким образом точка либрации всегда будет смещаться к более легкому телу. δα0 = −

302

А. А. КИЛИН

Рис. 13 Таблица 1. Количество точек либрации в областях, приведенных на рис. 13 N области

Коллинеарные

Неколлинеарные

N области

Коллинеарные

Неколлинеарные

I II III IV V VI VII VIII IX

6 6 6 4 4 2 4 2 4

2 6 4 4 2 4 4 0 0

X XI XII XIII XIV XV XVI XVII

4 4 4 6 4 2 2 2

0 4 2 2 2 2 4 0

2.2. Области Хилла. Устойчивость точек либрации Во вращающей системе координат для ограниченной задачи трех тел на S 2 уравнения движения допускают интеграл Якоби v 2 + U (q) = h = const, ∗ 2 где U∗ — приведенный потенциал. При фиксированном значении h движение частицы происходит в области {q ∈ S 2 | h − U∗ (q) > 0}, которая называется областью Хилла (или областью возможного движения) [4]. На рисунке 13 изображена полная бифуркационная диаграмма для точек либрации на S 2 . Под бифуркационной диаграммой в данном случае мы понимаем кривые на плоскости параметров, ограничивающие области равных количеств точек либрации. Заметим, что такая бифуркационная

ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

303

Рис. 14

диаграмма не учитывает изменение типа устойчивости точек без изменения их числа. В таблице 1 приведены количества коллинеарных и неколлинеарных точек либрации в каждой из областей на рис. 13. Приведем здесь области Хилла лишь для некоторых из этих областей, представляющих наибольший интерес как случаи существования устойчивых точек либрации. На рисунках 14, 15 и 16 представлены области Хилла на S 2 при значениях параметров, соответствующих областям I, III, IV на рис. 13 соответственно. Мелкие детали диаграмм вынесены на отдельные рисунки. Точки 1–5 на всех рисунках являются аналогами классических точек Лагранжа и Эйлера и переходят в них при устремлении кривизны к нулю. Точки 6, 7 и 10 — новые коллинеарные точки, а 8 и 9 — новые лагранжевы точки. В области I (рис. 13) точка 6 является минимумом потенциальной энергии, точки 4 и 5 — ее максимумами, а все остальные — точками седлового типа. При переходе границы между областями I и II рождаются еще 2 пары лагранжевых точек либрации, что однако не сказывается на устойчивости остальных точек. При переходе через границу II–III одна из вновь образовавшихся пар лагранжевых точек сливается с эйлеровской точкой и меняет ее тип на минимум эффективного потенциала. Таким образом, в области III существует две устойчивые точки 6 и 7. Далее, при переходе границы III–IV эйлеровские точки 2 и 6 сливаются и исчезают, и в области IV остается одна устойчивая эйлеровская точка либрации. Таким образом, наличие кривизны приводит к тому, что появляются новые эйлеровские точки либрации, которые при определенных параметрах, в частности в областях I, III и IV (рис. 13), являются устойчивыми.

304

А. А. КИЛИН

Рис. 15

Рис. 16

Автор благодарит А. В. Борисова и И. С. Мамаева за постановку задачи и полезные обсуждения в ходе работы над статьей.

Литература [1] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.)

ЛИТЕРАТУРА

305

[2] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. (См. работу 10 этого сборника.) [3] Мамаев И. С. Численные и аналитические методы исследования динамических систем на алгебрах Ли. Канд. дисс. Ижевск, 1998. [4] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. В кн. Совр. Пробл. мат. Фундаментальные направления, Т. 3, М.: ВИНИТИ, 1985. [5] Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentum. Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. 1767. T. 11. P. 144–151. [6] Lagrange J. L. Eassais sur le probleme des trois corps. Paris. 1772. [7] Маркеев А. П. Точки либрации в астрономии и космодинамике. М.: Наука, 1978

21 О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел на сфере1 С. Л. Зиглин2

Ограниченная задача двух тел на сфере единичного радиуса описывается гамильтоновой системой с двумя степенями свободы с гамильтонианом ! p2ϕ 1 2 H= pθ + + ω(pθ cos ϕ − pϕ sin ϕ ctg θ) + α ctg θ 2 sin2 θ (ср. [1–3]). Здесь θ, ϕ — сферические координаты в подвижной системе координат, связанной с телом ненулевой массы, p θ , pϕ — сопряженные им импульсы, ω — угловая скорость движения тела ненулевой массы, α — постоянная тяготения. Будем рассматривать систему с гамильтонианом H в комплексифицированном фазовом пространстве M 4 — прямом произведении комплексифицированной окружности SC1 с координатой θ (mod 2π) и выколотыми точками 0, π, комплексифицированной окружности S C1 с координатой ϕ и двух комплексных прямых C1 с координатами pθ и pϕ . При α = 0 или ω = 0 рассматриваемая система имеет дополнительный, т. е. функционально независимый от гамильтониана, аналитический первый интеграл. При α 6= 0, ω 6= 0, как показывают численные расчеты [3], такой первый интеграл, по-видимому, не существует. Основной результат настоящей работы составляет следующая теорема, доказывающая это предположение. 1 Доклады

2 Институт

Академии наук, 2001, т. 379, № 4, с. 477–478. радиотехники и электроники РАН, Моховая, 11, 101999, Москва, Россия.

308

С. Л. ЗИГЛИН

Теорема. При α 6= 0, ω 6= 0 система с гамильтонианом H не имеет в фазовом пространстве M дополнительного мероморфного первого интеграла. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Гамильтониан H инвариантен относительно инволютивного симплектического диффеоморфизма J : M → M, J : (θ, ϕ, pθ , pϕ ) 7→ (θ + π, ϕ, pθ , pϕ ). Индуцированная гамильтонова система на фактор-многообразии M = = M/J имеет однопараметрическое семейство фазовых кривых Γ(k), k ∈ R, не являющихся положениями равновесия и задаваемых уравнениями: ϕ = pϕ = 0, 1 p2 − α ctg θ = k, 2 2 где p = pθ + ω, k = h + ω , h — постоянная гамильтониана.

2

На фазовой кривой Γ(k) имеем: 1 ctg θ = α p1 =

p



 1 p2 − k , 2

2(k + αi),

4 Y p=− 1 (p − pj ), 4α

p2 = −p1 ,

j=1

p3 = p 1 ,

p4 = p 2 .

Принимая p в качестве координаты на фазовой кривой Γ(k), получаем, что последняя является комплексной плоскостью C с выколотыми точками pj , j = 1, 2, 3, 4. Обозначая для сокращения записи dϕ через ϕ, dp ϕ — через pϕ , а производную по p — через штрих, запишем приведенную систему уравнений в вариациях вдоль фазовой кривой Γ(k), т. е. ограничение системы уравнений в нормальных вариациях вдоль этой фазовой кривой на нулевую поверхность уровня ее первого интеграла dH (ср. [4]), в виде: ϕ0 = 2ωϕ

pϕ p2 − 2k − α, 4 Q (p − pj )

j=1

p0ϕ

p−ω p2 − 2k = −4αωϕ − 2ωpϕ . 4 4 Q Q (p − pj ) (p − pj ) j=1

j=1

(1)

О

НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ НА СФЕРЕ

309

  ϕ

Вводя обозначения x = pϕ p, y = x , перепишем (1) в виде фуксовой системы 4 X Aj y, (2) y0 = p − pj j=0

где p0 = 0,

A0 =

1 0 −α 0 1

!

,

Aj =

rj = ω , 2pj



rj aj

aj ∈ C,

0 −rj 4 X



,

j = 1, 2, 3, 4,

Aj = 0.

j=1

Очевидно, все решения системы (2) голоморфны в точке p 0 . В окрестности точки pj , j = 1, 2, 3, 4, система (2) имеет два линейно ± j ± независимых решения вида y = (p − pj )±r  f (p), где f — голоморфные

вектор-функции, f ± (pj ) 6= 0, f − (pj )|| 0 . 1 Предположим, что система с гамильтонианом H имеет на многообразии M дополнительный мероморфный первый интеграл. Тогда, согласно лемме п. 1.5 из [4], индуцированная гамильтонова система на фактормногообразии M также имеет дополнительный мероморфный первый интеграл. Так как собственные значения преобразований под действием системы (2) при обходе точек pj , j = 1, 2, 3, 4, не равны корням из единицы, то по теореме 2 из [4] собственные векторы этих преобразований совпадают. Отсюда следует, что система (2) имеет два линейно независимых решения вида 4 Y y= (p − pj )qj f (p), (3) j=1

где qj = ±rj , f — целая вектор-функция. Отсюда и из системы (2) следует, что в окрестности бесконечно удаленной точки все решения этой системы разлагаются в ряды Лорана y=

1 X

yj pj ,

j=−∞

Введем обозначение s =

4 P

yj ∈ C 2 .

(4)

qj . Из (3), (4) следует, что

j=1

s ∈ Z.

(5)

310

С. Л. ЗИГЛИН

Выберем параметр k фазовой кривой Γ(k) так, чтобы число 4 Re r 1 не было целым. Тогда из (5) следует, что s = 0, откуда   ap + b f= , a, b, c, d ∈ C. ct + d Выберем одно из двух линейно независимых решений системы (2) вида (3) так, чтобы не менее чем для двух значений j, j = 1, 2, 3, 4, выполнялось равенство qj = −rj . Тогда для этих значений j имеем apj + b = 0, следовательно, a = b = 0, откуда ϕ ≡ 0, x ≡ 0, т. е. y ≡ 0, что неверно. Теорема доказана. Автор благодарен А. В. Борисову за предложенную задачу и В. В. Козлову за ценные обсуждения.

Литература [1] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. [2] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [3] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: изд-во РХД, 1999, 464 с. [4] Зиглин С. Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновых системах. Функц. анализ и его прил, 1982, т. 16, № 3, с. 30–41.

22 О неинтегрируемости ограниченной задачи двух тел с потенциалом упругого взаимодействия на сфере1 С. Л. Зиглин2

Ограниченная задача двух тел с потенциалом упругого взаимодействия на сфере единичного радиуса описывается гамильтоновой системой с двумя степенями свободы с гамильтонианом ! 2 p φ H = 1 p2θ + + ω(pθ cos φ − pφ sin φ ctg θ) + γ tg2 θ 2 sin2 θ (ср. [1–5]). Здесь θ, φ — сферические координаты в подвижной системе координат, связанной с телом ненулевой массы, p θ , pφ — сопряженные им импульсы, ω — угловая скорость движения тела ненулевой массы, γ — постоянная. Будем рассматривать систему с гамильтонианом H в комплексифицированном фазовом пространстве M 4 — прямом произведении комплекси1 фицированной окружности SC с координатой θ (mod 2π) и выколотыми nπ 1 , где n — целое, комплексифицированной окружности S C с коточками 2

ординатой φ и двух комплексных прямых C 1 с координатами pθ и pφ . При γ = 0 и при ω = 0 рассматриваемая система имеет дополнительный, т. е. функционально независимый от гамильтониана, аналитический первый интеграл. 1 Доклады

2 Институт

Академии наук, 2003, т. 391, № 1, с. 51–52. радиотехники и электроники РАН, Моховая, 11, 101999, Москва, Россия.

312

С. Л. ЗИГЛИН

ЗАМЕЧАНИЕ. Обобщение последнего факта на случай трех неподвижных центров на сфере, находящихся в вершинах равностороннего прямоугольного сферического треугольника см. [2].

В настоящей работе доказывается √ Теорема. Если γ 6= 0, x = √ω — иррационально и 1 + x2 — нецелое, 2γ

то система с гамильтонианом H не имеет в фазовом пространстве M дополнительного мероморфного первого интеграла. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Гамильтониан H инвариантен относительно инволютивного симплектического диффеоморфизма J : M → M, J : (θ, φ, pθ , pφ ) 7→ (θ + π, φ, pθ , pφ ). Индуцированная гамильтонова система на фактор-многообразии M = = M/J имеет фазовую кривую Γ, не являющуюся положением равновесия и задаваемую соотношениями p φ = pφ = 0, pθ + ω = −2γ tg θ 6= 0.

Принимая z = ctg θ в качестве координаты на фазовой кривой Γ и обозначая, для сокращения записи, dφ через φ, dp φ — через pφ , а производную по z — через штрих, запишем приведенную систему уравнений в вариациях вдоль Γ, т. е. ограничение системы уравнений в нормальных вариациях вдоль этой фазовой кривой на нулевую поверхность уровня ее первого интеграла dH (ср. [6]), в виде  z 0  (−ωzφ + (1 + z 2 )pφ ),  φ = −√  −2γ(1 + z 2 )  ! ! √ (1) −2γ  z 0   . − ω φ + ωzp p = − ω √ φ  φ z −2γ(1 + z 2 )

Очевидно, эта система имеет три особых точки z = ±i, ∞, и собственные значения преобразований под действием этой системы при обходе точек z = ±i равны exp(±π i x). Найдем собственные значения преобразований под действием этой системы при обходе точки z = ∞. Для этого перепишем ее в виде φ00 + a(z)φ0 + b(z)φ = 0,

(2)

ЛИТЕРАТУРА

313

где a a(z) = z0 ,

ωz 2 b(z) = 2γ(1 + z 2 )2 a0 = −1,

√

−2γ z −ω

!

=

b0 +O z2



1 z3



,

2

b0 = − ω . 2γ

Определяющее уравнение в точке z = ∞ [7] r(r − 1) + a0 r + b0 = 0

√ имеет корни r = 1 ± 1 + x2 , следовательно собственные значения преобразования √ под действием уравнения (2) при обходе этой точки равны exp(±2πi 1 + x2 ). Предположим, что система с гамильтонианом H имеет дополнительный мероморфный первый интеграл. Тогда, согласно лемме п. 1.5 из [6], индуцированная система на многообразии M также имеет дополнительный (т. е. функционально независимый от H) мероморфный первый интеграл. Так как, согласно условиям теоремы, собственные значения преобразований под действием системы (1) при обходе точек z = ±i не равны корням из единицы, то из теоремы 2 из [6] следует, что группа мондромии этой системы коммутативна. Отсюда имеем p ± 1 + x2 = x ± x + n, 2 2 где n — целое, что, как следует из условия теоремы, ни при одном выборе знаков невозможно. Теорема доказана. Автор благодарен А. В. Борисову за предложенную задачу и академику В. В. Козлову за ценные обсуждения.

Литература [1] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [2] Козлов В. В., Федоров Ю. Н. Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия. Матем. зам., 1994, т. 56, № 3, с. 74–79. (См. работу 17 этого сборника.)

314

С. Л. ЗИГЛИН

[3] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. [4] Козлов В. В. Теоремы Ньютона и Айвори о притяжении в пространствах постоянной кривизны. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2000, № 5, c. 43–47. [5] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: изд-во РХД, 1999, 464 с. [6] Зиглин С. Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновых системах. Функц. анализ и его прил, 1982, т. 16, № 3, с. 30–41. [7] Голубев В. В. Аналитическая теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 436 с.

23 Релятивистская задача Кеплера в пространстве Лобачевского1 Н. А. Черников2

Сформулированы уравнения гравитации в пространстве Лобачевского. Решена задача о гравитационном поле точечной массы в пространстве Лобачевского. Для ньютоновского (нерелятивистского) случая задача была поставлена и решена самим Лобачевским. В релятивистском случае необходимо сначала найти адекватные уравнения для метрики, описывающей гравитационное поле, а затем решить их. Эти уравнения найдены автором на основе разработанной им теории с двумя афинными связностями; одна из них называется кристоффелевой, а другая — фоновой. Последняя дается уравнениями движения свободной материальной частицы в пространстве Лобачевского. Она независима от скорости света c. Стационарная сферически симметричная метрика, найденная в работе, зависит от отношения гравитационного радиуса γM c−2 массы M к постоянной Лобачевского k для видимой вселенной. В пределе k → −∞ она переходит в хорошо известную метрику Шварцшильда. Мировая линия планеты представляет собой геодезическую в этой метрике. Релятивистская задача Кеплера в пространстве Лобачевского сводится к нелинейному дифференциальному уравнению. Лобачевский, создатель неевклидовой геометрии, работал не только в геометрии. Не сомневаясь в непротиворечивости новой геометрии и будучи убежден в ее верности, он поставил вопрос о подтверждении геометрии наблюдаемой вселенной с помощью астрономических наблюдений. Дополнив 1 Nikolai A. Chernikov, The relativistic Kepler problem in the Lobachevsky space. Acta Phys. Polonica B, 1993, Vol. 24, № 5, p. 927–950. Перевод с английского Л. Г. Московченко. 2 Объединенный институт ядерных исследований, Лаборатория теоретической физики, 141980, Дубна, Россия. E-mail: [email protected].

316

Н. А. ЧЕРНИКОВ

данные о параллаксах звезд своими собственными наблюдениями, он выяснил, что константа k, характерная для неевклидовой геометрии, больше расстояния от Земли до ближайших звезд. [1, с. 207–210]. Этот неудовлетворительный результат не помешал ему, однако, поставить вопрос о том, какие изменения произойдут в механике после применения в ней новой геометрии. [1, с. 261]. Второй вопрос неизбежно следовал из первого, поскольку небесные тела стали рассматриваться в рамках неевклидовой геометрии. Но, применив новую геометрию в небесной механике, Лобачевский пошел дальше и поставил вопрос о том, какие изменения это должно вызвать в законе тяготения Ньютона. Он сам ответил на этот вопрос, получив фундаментальное решение уравнения Пуассона в неевклидовом пространстве [2, с. 158–160]. Это была абсолютно новая задача, и мысль Лобачевского о том, что « . . . нельзя сомневаться, что силы всё производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы . . . когда верно, что силы зависят от расстояния, то линии могут быть также в зависимости с углами» [2, с. 159], выводит нас далеко за пределы механики Ньютона и теории гравитации. Более того, эта мысль ведет далеко за пределы теорий Эйнштейна. В нашей предыдущей статье [3] была решена нерелятивистская задача Кеплера в пространстве Лобачевского. В настоящей работе излагается новый подход к теории гравитации, основанный на геометрии Лобачевского. Мы начинаем с элементарного изложения дифференциальной геометрии Лобачевского и в заключение приходим к точному решению задачи Шварцшильда в пространстве Лобачевского, а также рассматриваем геодезические линии в найденной метрике. Этот последний результат позволяет нам сформулировать релятивистскую задачу Кеплера. Первое декабря нынешнего года — 200-я годовщина со дня рождения Н. И. Лобачевского. Автор представляет эту статью, так же как и предыдущую, во имя празднования этого знаменательного дня.

1. Введение в теорию Лобачевского Геометрия Лобачевского полностью определяется метрикой dl2 = Lαβ dxα dxβ ,

(1)

которая в сферических координатах ρ, θ, ϕ принимает вид dl2 = dρ2 + r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ),

(2)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

317

ρ r = k sh . k

(3)

где

Прямые линии в пространстве Лобачевского являются геодезическими, если афинная связность задается компонентами 1 ασ Lα µν = L (∂µ Lσν + ∂ν Lσµ − ∂σ Lµν ), 2

(4)

где Lασ — контравариантный метрический тензор, определяемый через метрический тензор Lαβ и единичный аффинор δβα из условия Lασ Lσβ = δβα .

(5)

∂µ — частная производная по координате xµ . Геодезические определяются из системы уравнений d dxα + Lα dxµ dxν = 0, µν dl dl dl dl

α ∈ {1, 2, 3}.

(6)

Интересно, что компоненты (4) помнят всю информацию о метрике (1), из которой они были получены. Действительно, они составляют тензор α α α σ α σ Lα µνβ = ∂µ Lνβ − ∂ν Lµβ + Lµσ Lνβ − Lνσ Lµβ ,

(7)

α α −2 Lα . µνβ = (Lµβ δν − Lνβ δµ )k

(8)

Lµβ = 1 k 2 Lα µαβ . 2

(9)

который равен Следовательно,

Это нетривиальный результат, так как в пределе k→∞

(10)

компоненты (4) многое забывают о предельной метрике Eαβ dxα dxβ = lim Lαβ dxα dxβ . k→∞

(11)

В этом случае предельный тензор α α α α σ α σ Eµνβ = ∂µ Eνβ − ∂ν Eµβ + Eµσ Eνβ − Eνσ Eµβ

(12)

318

Н. А. ЧЕРНИКОВ

составленный, как и (7), из компонент предельной связности α Eµν = 1 E ασ (∂µ Eσν + ∂ν Eσµ − ∂σ Eµν ), (13) 2 равен нулю. Следовательно, можно найти такие координаты y, в которых связность (13) можно представить как α ∂ 2 yσ α . Eµν = ∂xσ ∂y ∂xµ ∂xν

(14)

В системе координат y компоненты метрического тензора E αβ не зависят от координат. Это, по-видимому, все, что мы можем сказать о метрике (11), если известны компоненты связности с нулевым тензором кривизны (12). Можно добавить, однако, что метрика (11) определяет геометрию Евклида и в сферических координатах она принимает вид Eαβ dxα dxβ = dρ2 + ρ2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ).

(15)

Между тем, связность (14) является инвариантом относительно афинной подстановки y σ = Aσγ ybγ + B σ (16) и определяет только афинную геометрию, а не гораздо более богатую евклидову геометрию.

2. Геометрия Лобачевского и группа Лоренца Четыре функции сферических координат ρ, θ и ϕ ρ ρ y = k sh sin θ sin ϕ, x = k sh sin θ cos ϕ, k k (1) ρ ρ z = k sh cos θ, u = k ch k k определяют трехмерную поверхность в четырехмерном центроаффинном пространстве с декартовыми координатами x, y, z и u. Эта поверхность представляет собой гиперболоид k 2 u2 − x 2 − y 2 − z 2 = k 2 ,

(2)

для которого u > 0. В декартовых координатах u определяется уравнением s x2 + y 2 + z 2 u= 1+ . (3) k2

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

319

Мы получили взаимно однозначное (или, как его сейчас называют, биективное) отображение пространства Лобачевского на поверхность (3). Дифференцируя функции (3) и (1), получим dx2 + dy 2 + dz 2 = dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ) k 2 du = rdρ,

dr = udρ.

(4)

Таким образом, находим, что в координатах x, y и z метрика Лобачевского (2) равна dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 − k 2 du2 , (5)

где du — дифференциал функции (3), такой что

(k 2 + x2 + y 2 + z 2 )k 2 du2 = (xdx + ydy + zdz)2 .

(6)

Следовательно, внутренняя геометрия поверхности (3) в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве с метрикой (5) совпадает с геометрией Лобачевского. Тогда, изометрические преобразования пространства Лобачевского определяются как линейные преобразования координат x, y, z и u, сохраняющие квадратичную форму в левой части уравнения (2) и не изменяющие знака координаты u. По определению Пуанкаре, преобразования такого типа формируют группу Лоренца. Таким образом, группа Лоренца изоморфна группе изометрий в пространстве Лобачевского. Согласно (5) и (6) компоненты метрического тензора пространства Лобачевского в координатах x, y и z равны Lαβ = cαβ − k −2 u−2 xα xβ ,

(7)

где cαβ — константы (в данном случае равные 1 при α = β и 0 при α 6= β), xα = cασ xσ .

(8)

1 (∂ L + ∂ L − ∂ L ) = −k −2 u−2 x L . ν σµ σ µν σ µν 2 µ σν

(9)

Следовательно,

Компоненты контравариантного метрического тензора в этих координатах равны Lαβ = cαβ + k −2 xα xβ , (10) где cασ cσβ = δβα . Таким образом, Lασ xσ = u2 xα .

(11)

320

Н. А. ЧЕРНИКОВ

Следовательно,

−2 α Lα x Lµν . µν = −k

(12)

Простой вид компонент (7) и (12) позволяет легко доказать равенство (8). Согласно (6) и (12) в координатах x, y и z прямые линии в пространстве Лобачевского определяются из решения системы уравнений d dxα − k −2 xα L dxµ dxν = 0, µν dl dl dl dl

α ∈ 1, 2, 3.

(13)

Вычисляя вторую производную функции (3), получаем d du − k −2 uL dxµ dxν = 0. µν dl dl dl dl

(14)

Наконец, обозначим через r = {x, y, z, u}

(15)

вектор в четырехмерном центроаффинном пространстве, в котором поверхность (3) является пространством Лобачевского. Квадратичная форма (5) обозначается как (dr, dr). В этих обозначениях поверхность (3) определяется условием (r, r) = −k 2 , u > 0, (16) и уравнения (13) и (14) записываются в виде   d dr − k −2 r dr , dr = 0. dl dl dl dl

(17)

Отсюда следует, что прямая линия в пространстве Лобачевского лежит на пересечении поверхности (3) с двумерной плоскостью центроаффинного пространства, проходящей через центр r = 0.

3. Пространство скоростей в специальной теории относительности В четырехмерном пространстве-времени специальной теории относительности скорость материальной точки может быть представлена пучком времениподобных параллельных прямых. Совокупность всех таких пучков представляет собой трехмерное пространство скоростей. В этом пространстве реализуется абсолютная геометрия, основанная на всех постулатах Евклида, за исключением пятого.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

321

В случае преобразований Лоренца мы приходим к пространству скоростей Лобачевского, полагая при этом, что константа k равна скорости света c, а расстояние ρ равно скорости движения частицы s. Тогда величины (1) представляют собой компоненты 4-скорости частицы. Компоненты обычной скорости частицы в данном случае равны v1 = c th sc sin θ cos ϕ, v2 = c th sc sin θ sin ϕ,

(1)

v3 = c th sc cos θ. Для преобразований Галилея c = ∞, и пространство скоростей является евклидовым. Вместо поверхности (3) в этом случае появляется гиперплоскость u = 1. Что касается группы Галилея, она изоморфна группе изометрий евклидова пространства. Таким образом, скорость света в пространстве скоростей играет роль постоянной Лобачевского. Это есть сущность специальной теории относительности. Интересно, что длина окружности в пространстве Лобачевского есть импульс частицы; а площадь круга — ее энергия. Поскольку частицы, движущиеся со скоростями, намного превосходящими скорость света c, можно наблюдать в космических лучах и получать на ускорителях, в физике высоких энергий не обойтись без геометрии Лобачевского.

4. Теория гравитации Ньютона в пространстве Лобачевского Функция Лагранжа материальной точки, на которую действует только сила гравитации с потенциалом U , равна µ ν Λ = 1 Lµν dx dx − U. 2 dt dt

Следовательно, уравнения движения Лагранжа есть   d L dxν − 1 (∂ L ) dxµ dxν + ∂ U = 0, αν α 2 α µν dt dt dt dt т. е.

d dxα + Lα dxµ dxν + Lαν ∂ U = 0. ν µν dt dt dt dt

(1)

(2)

(3)

322

Н. А. ЧЕРНИКОВ

Здесь, следуя Ньютону, мы ввели абсолютное стационарное (неподвижное) пространство Лобачевского и, опять же следуя Ньютону, абсолютное время t, что является отрицанием евклидова постулата о параллельных линиях в наблюдаемой вселенной. В этом случае принцип специальной теории относительности становится неверным, хотя принцип кинематической относительности сохраняется. В пространстве-времени S×T с координатами x1 , x2 , x3 , x4 , где x4 = t, абсолютное время имеет вид Θ = dt. Записывая это выражение как Θ = θα dxα ,

(4)

мы вводим поле контравариантных векторов с компонентами θ1 = 0,

θ2 = 0,

θ3 = 0,

(5)

θ4 = 1

и факторизованную метрику θab = dxa dxb = ΘΘ.

(6)

Факторизованный временной тензор, определяемый этой метрикой, равен (7)

θab = θa θb .

Введение геометрии Лобачевского определяет в S × T контравариантный метрический тензор hab , компоненты которого равны hαβ = Lαβ , Так как

hα4 = 0,

h4β = 0,

h44 = 1.

hab θb = 0,

(8) (9)

временной тензор и ковариантный метрический тензор связаны условием θas hsb = 0.

(10)

Уравнения движения (3) определяют в S × T аффинную связность. Действительно, они могут быть записаны в виде уравнений геодезических d dxα + Γa dxm dxn = 0 mn ds ds ds ds

(11)

с помощью подстановки s = At + B, где A и B — константы. Отсюда находим α Γα µν = Lµν ,

αν Γα 44 = L ∂ν U,

Γα µ4 = 0,

Γα 4ν = 0,

Γ4mn = 0.

(12)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

323

Следовательно, мировая линия материальной точки в гравитационном поле U является геодезической линией в мире S × T относительно аффинной связности (12). По существу, мировая линия материальной точки, на которую не действуют никакие силы, есть геодезическая линия относительно аффинной ˘ a , определяемыми из (12) для U = const. связности с компонентами Γ mn Таким образом, мы имеем две связности одновременно. ˘ для каждого тензорЕсли имеют место две связности (скажем, Γ и Γ), ˘ ного поля должны быть составлены две ковариантные производные ∇ и ∇. Для ковариантного и контравариантного векторного поля полагают, что

Разность

∇m T a = ∂m T a + Γamn T n , ˘ m T a = ∂m T a + Γ ˘ amn T n , ∇

∇m Tn = ∂m Tn − Γamn Ta , ˘ m Tn = ∂ m Tn − Γ ˘ amn Ta . ∇

(13)

a ˘ a − Γa Pmn =Γ mn mn

(14)

a Pmn = −θm θn has ∂s U.

(15)

a Smn = Γamn − Γanm

(16)

a Rmnb = ∂m Γanb − ∂n Γamb + Γams Γsnb − Γans Γsmb .

(17)

называется аффинным тензором деформаций. В данном случае аффинный тензор деформаций равен Для каждой аффинной связности Γ можно определить тензор кручения и тензор кривизны Очевидно, что

a a Smn + Snm = 0,

a a Rmnb + Rnmb = 0.

(18)

Все рассматриваемые здесь аффинные связности (например, (12)), удовлетворяют условию Γamn = Γanm , (19) таким образом, их тензор кручения равен нулю, а тензор кривизны удовлетворяет алгебраическому тождеству a a a Rmnb + Rbmn + Rnbm =0

(20)

и дифференциальному тождеству a a a ∇k Rmnb + ∇n Rkmb + ∇m Rnkb = 0.

(21)

324

Н. А. ЧЕРНИКОВ

Кроме того, мы рассматриваем только равноаффинные связности. Для них свертка тензора кривизны s Rmn = Rsmn (22) симметрична, т. е. (23)

Rmn = Rnm . Другая свертка тензора кривизны равна нулю: s Rmns = 0.

(24)

В случае (12) тензор кривизны равен α Rµνβ = Lα µνβ ,

α Rµ4β = 0,

α = 0, Rµν4

α ν Rµ44 = ∂µ U α + Lα µν U ,

где

4 Rmnb = 0,

U α = Lασ ∂σ U,

(25)

(26)

а свертка тензора кривизны с учетом (8) и (9) равна Rµν = −2k −2 Lµν , где

R44 = ∆U,

Rµ4 = 0,

∆ = Lµν (∂µ ∂ν − Lσµν ∂σ ).

R4ν = 0,

(27) (28)

Заметим, что гравитационный потенциал U есть скалярная функция в пространстве Лобачевского с метрикой (1), U α — вектор в этом пространстве, α Rµ44 — ковариантная производная вектора U α , порождаемая связностью (4), α Rµνβ — тензор кривизны (7) для связности (4) и ∆ — дифференциальный оператор Лапласа, порождаемый метрикой (1). Теперь давайте вспомним о связности, получающейся из (12) для U = ˘ a . Мы будем назвать ее фоновой. Тензор кри= const, и обозначенной Γ mn ˘ ˘a визны фоновой связности R mnb и свертка тензора Rmn следуют из (25) и (27) для U = const. Следовательно, ˘ mn = θm θn ∆U. Rmn − R (29) Очевидно, что уравнение

˘ mn = 4πγMmn , Rmn − R

(30)

где Mmn — тензор массы, равный Mmn = ρθm θn ,

(31)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

325

и ρ — массовая плотность, эквивалентно уравнению Пуассона ∆U = 4πγρ

(32)

в пространстве Лобачевского. Заметим, что γ — это гравитационная постоянная Ньютона. Масса, заключенная в некоторой области в пространстве Лобачевского, равна интегралу ZZZ √ m= ρ Ldx1 dx2 dx3 (33)

по области, где L является определителем матрицы {L µν }. Интересно заметить, что уравнение гравитации (30) включает свертку ˘ mn фоновой связности Γ ˘ a . В пределе (10) уравнетензора кривизны R mn ние (30) переходит в Rmn = 4πγMmn , (34) где ничто уже не напоминает о фоновой связности. Суть в том, что в пре˘ mn равна нулю. В действительности, деле (10) свертка тензора кривизны R a ˘ полный тензор кривизны Rmnb также равен нулю в этом пределе.

5. Фундаментальное решение уравнения Пуассона в пространстве Лобачевского На сфере радиуса ρ при малых значениях ρ/k можно приближенно использовать евклидову геометрию. Плотность массы M , находящейся в начале координат x, y, z (см. 1), равна ρ = M δ(x)δ(y)δ(z),

(1)

где δ(x) — дельта-функция Дирака, как и в координатах √

1 L= u

(2)

в начале координат u = 1. Решение, удовлетворяющее уравнению Пуассона ∆U = 4πγM δ(x)δ(y)δ(z)

(3)

lim U = 0,

(4)

и условию ρ→∞

называется фундаментальным решением.

326

Н. А. ЧЕРНИКОВ

Лобачевский показал [2, с. 159], что «притягивающая сила» направлена к центру и обратно пропорциональна площади сферы; кроме того, если радиус сферы равен ρ, ее площадь равна 4πr 2 , где величина r равна (3). Следовательно, в сферических координатах фундаментальное решение имеет следующие частные производные: ∂U = Ar−2 , ∂ρ

∂U = 0, ∂θ

∂U = 0, ∂ϕ

(5)

где A — некоторая константа. Интегрируя (5), получаем ρ U = − A cth + B, k k

(6)

где B — константа интегрирования. Из условия (4) следует, что B = A. В малой окрестности источника данная функция переходит в ньютоновский потенциал U = −γM ρ−1 , A = γM . Следовательно,   γM ρ U= 1 − cth . (7) k k Заметим, что вне источника фундаментальное решение удовлетворяет уравнению Лапласа ∆U = 0. (8) В соответствии с (28) √ ∆U = √1 ∂µ ( LLµν ∂ν U ). L

(9)

В сферических координатах оператор (28) равен ∆ = 12 ∂ r2 ∂ + 12 r ∂ρ ∂ρ r

1 ∂ sin θ ∂ + 1 ∂2 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ2

!

.

(10)

6. Теория гравитации с двумя связностями В теории гравитации Эйнштейна основным геометрическим объектом является контравариантная метрика g ab ∂a ∂b ,

(1)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

327

определенная в пространстве-времени X. Она принадлежит к нормальному гиперболическому типу. В окрестности любой точки x ∈ X можно выбрать координаты x1 = x, x2 = y, x3 = z, x4 = t (2) таким образом, чтобы в точке z квадратичная форма (1) стала равна g ab ∂a ∂b = ∂1 ∂1 + ∂2 ∂2 + ∂3 ∂3 − c−2 ∂4 ∂4 ,

(3)

где c — скорость света. Как и в специальной теории относительности, скорость света c является постоянной Лобачевского в пространстве скоростей. Однако, в общем случае не следует говорить о пространстве скоростей частицы в данной точке x ∈ X. Тензор времени в теории Эйнштейна равен θab = −c−2 gab .

(4)

Он связан с контравариантным метрическим тензором условием θas g sb = −c−2 δab .

(5)

Другой геометрический объект, производный из контравариантной метрики (1), — тензор объема dV = εabmn dxa ∧ dxb ∧ dxm ∧ dxn ,

(6)

√ ε1234 = c−1 −g,

(7)

Γamn = 1 g as (∂m gsn + ∂n gsm − ∂s gmn ), 2

(8)

где

и g — определитель матрицы (gab ). Третий геометрический объект, производный из контравариантной метрики (1) — аффинная связность Кристоффеля

через которую можно определить тензор Римана – Кристоффеля (17), тензор Риччи (22), а затем скаляр Гильберта R = g ab Rab

(9)

Gmn = Rmn − 1 Rgmn . 2

(10)

и тензор Эйнштейна

328

Н. А. ЧЕРНИКОВ

Последний вместе с тензором массы Mmn входит в уравнения гравитации Gmn = 8πγMmn ,

(11)

которые преобразуются в Rmn где



 1 = 8πγ Mmn − M θmn , 2 M = −c2 g ab Mab .

(12) (13)

Как известно, Гильберт вывел уравнения (10) независимо от Эйнштейна, взяв вариацию Z δH =

Gmn δg mn dV

(14)

Z

(15)

интеграла

H=

RdV.

Хотя интеграл Гильберта независим от выбора координат, он не содержит никакой информации об энергии гравитационного поля. Поэтому Эйнштейн заменил его интегралом Z E = LdV, (16) где

L = g mn (Γamb Γban − Γasa Γsmn ),

(17)

δE = δH.

(18)

удовлетворяющим необходимому условию

Интеграл Эйнштейна (16) зависит от выбора координат и этим он невыгодно отличается от интеграла Гильберта (13), но он содержит информацию об энергии гравитационного поля. С помощью этого интеграла Эйнштейн определил так называемый псевдотензор энергии гравитационного поля, который, как и производящий интеграл, зависит от выбора координат, что находится в противоречии с требованием формулировать законы Природы независимыми от выбора системы координат. Этот вопрос является главным в дискуссии, продолжающейся уже семьдесят лет. Введение псевдотензора энергии не может быть оправдано и с точки зрения тензорного анализа, если только не ввести еще один объект — фоно˘ , независимую от контравариантного метривую аффинную связность Γamn ческого тензора g ab . Введя эту связность, заменим интеграл Эйнштейна (16)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

интегралом I= где a Pmn

Z

LdV,

329

(19)

˘ = g mn (P a P b − P a P s ), L mb an sa mn

(20)

˘ ˘ nm ), Smn = Rmn − 1 (R +R 2 mn

(22)

S = g ab Sab .

(23)

и — аффинный тензор деформаций (14). Вариация интеграла (19) при фиксированной фоновой связности равна  Z  Smn − 1 Sgmn δg mn dV, (21) δI = 2

где

(Здесь предполагается, что фоновая связность симметрична, но не обязательно равноаффинна.) Таким образом, уравнения гравитации (11) и, соответственно, (12) заменяются на Smn − 1 Sgmn = 8πγMmn , 2

(24)

  Smn = 8πγ Mmn − 1 M θmn . 2

(25)

или, что то же самое,

Как можно видеть, уравнения (11) сохраняются при условии, что ˘ mn + R ˘ nm = 0. R

(26)

Однако, чтобы вернуться к описанию Эйнштейна, фоновая связность должна удовлетворять более сильному условию, чем (26). На самом деле канонический тензор энергии гравитационного поля, получаемый из лагранжиана (20), совпадает с псевдотензором Эйнштейна при условии, что в данной системе координат выполняется следующее равенство:

и, следовательно,

˘ = 0, Γamn

(27)

a ˘ mnb = 0. R

(28)

И обратно, если условие (28) выполняется, можно найти такую систему координат, в которой координатное равенство (27) верно.

330

Н. А. ЧЕРНИКОВ

Таким образом, развитая здесь теория гравитации с двумя аффинными связностями, включает теорию Эйнштейна как частный случай при условии (27). Полагая, что действие источников гравитационного поля не зависит от выбора фоновой связности, получаем равенство ∇s g sm Mmn = 0.

(29)

Поэтому из уравнения (24) получаем следствие ˘ mn + R ˘ nm − g ab R ˘ ab gmn ) = 0. ∇s g sm (R

(30)

Интересно, что левая сторона последнего равенства может быть преобразована в ˘ s − Ps )[g sm (R ˘ mn + R ˘ nm )] − g ab ∇n R ˘ ab , (∇ (31)

где

a Ps = Psa .

(32)

Следовательно, если фоновая связность удовлетворяет условию ˘ s (R ˘ mn + R ˘ nm ) = 0, ∇

(33)

то, согласно (30), уравнение (24) приводит к

где

˘mn + R ˘ nm )Φm = 0, (R

(34)

a ˘ s − Ps )g sa = g mn Pmn Φa = ( ∇ .

(35)

Следствие (34) представляет большой интерес в связи с рассуждением о гармонических координатах, так как условие гармоничности может быть записано как Φa = 0. (36) Следовательно, вектор Φa будем называть вектором ангармоничности.

7. Выбор фоновой связности При отсутствии гравитации полагаем, что ˘ amn . Γamn = Γ

(1)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

331

Это тривиальное решение уравнений гравитации (25). Действительно, в этом случае всюду на данном множестве тензор массы должен быть равен нулю и, следовательно, эти уравнения принимают форму (2)

Smn = 0.

Условие (1) означает, что фоновая связность может быть представлена в том же виде, что и связность Кристоффеля. Эта связность с необходимостью должна быть равноаффинной. Следовательно, уравнение (2) должно принять вид ˘ mn . Rmn = R (3) Теория, изложенная в главе 6, не налагает никаких других условий на фоновую связность и допускает большую свободу в ее выборе. Воспользуемся этой свободой и предположим, что в отсутствии гравитации метрика принимает вид gab dxa dxb = Lαβ dxα dxβ − c2 dt2 ,

(4)

где компоненты Lαβ не зависят от координаты x4 = t и образуют метрику (1). Следовательно, фоновая связь предполагается равной связности Кристоффеля, определяемой метрикой (4), и мы находим, что она равна

˘α Γ µ4

˘ α = Lα , Γ ˘ α = 0, Γ µν µν 44 α ˘ ˘ 4mn = 0. = 0, Γ4ν = 0, Γ

(5)

Интересно, что скорость света c не входит в выражение фоновой связности несмотря на то, что она неявно входит в метрику (4). Таким образом, фоновая связность (5) совпадает со связностью, выбранной ранее, т. е. со связностью (12) при U = const. Соответственно, тензор кривизны фоновой связности равен тензору (25) при U = const, т. е. ˘ 4 = 0, R ˘ a = 0, R ˘ a = 0, R ˘ a = 0, R mnb 4nb m4b mn4 ˘ α = Lα = (Lµβ δ α − Lνβ δ α )k −2 . R µνβ µνβ ν µ

(6)

Свертка тензора кривизны фоновой связности равна тензору (27) при U = = const, т. е. ˘ µν = −2k −2 Lµν , R

˘ 44 = 0, R

˘ µ4 = 0, R

˘ 4ν = 0. R

(7)

332

Н. А. ЧЕРНИКОВ

Знаменательно, что ковариантная производная тензорного поля (6) при фоновой связности (5) равна нулю: ˘ sR ˘ mnb = 0. ∇

(8)

Следовательно, условие (33) выполняется и мы получаем следствие (34), которое в данном случае означает Lµν Φν = 0.

(9)

Так как определитель матрицы (Lµν ) не равен нулю, три из четырех условий гармоничности (36) Φα = 0 (10) следуют из уравнений гравитации (25).

8. Решение задачи Шварцшильда в пространстве Лобачевского Решим уравнения R4n = 0,

Rm4 = 0,

Rµν = −2k −2 Lµν

(1)

в предположении, что gab dxa dxb = F 2 dρ2 + H 2 dΩ2 − V 2 dt2 ,

(2)

dΩ2 = dθ2 + sin2 θdϕ2 ,

(3)

где

и функции V , F , H зависят только от координаты ρ. В этом случае ненулевые компоненты связности (8) равны Γ441 = V −1 dV = Γ414 , dρ Γ111 = F −1 dF , dρ

Γ144 = F −2 V dV , dρ

Γ122 = −F −2 H dH , dρ

Γ133 = Γ122 sin2 θ;

Γ212 = H −1 dH = Γ221 , dρ

Γ233 = − sin θ cos θ;

Γ313 = H −1 dH = Γ331 , dρ

Γ323 = ctg θ = Γ332 .

(4)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

333

В тех же координатах ненулевые компоненты фоновой связности равны ˘ 1 = −k sh ρ ch ρ , Γ 22 k k ρ 2 −1 ˘ 221 , ˘ 12 = k cth = Γ Γ k ˘ 331 , ˘ 313 = k −1 cth ρ = Γ Γ k

˘1 = Γ ˘ 1 sin2 θ; Γ 33 22 ˘ 233 = − sin θ cos θ; Γ

(5)

˘ 323 = ctg θ = Γ ˘ 332 . Γ

Отсюда получаем вектор ангармоничности     2 2ρ d V H 1 1 − kF V sh , Φ = F k V F H 2 dρ Φ1 = 0, Φ3 = 0, Φ4 = 0.

(6)

Согласно (10) их уравнений (1) следует равенство Φ 1 = 0, которое эквивалентно равенству d (F −1 V H 2 ) = F V k sh 2ρ . (7) dρ k В пределе (10) уравнение (7) переходит в хорошо известное условие гармоничности ([4, ур. (58.07)]). В этом случае все недиагональные компоненты тензора R mn равны нулю, а диагональные компоненты удовлетворяют условию R33 = R22 sin2 θ.

(8)

Следовательно, из уравнений (1) остаются только три следующих: R44 = 0,

R11 = −2k −2 ,

R22 = −2 sh2

2ρ . k

(9)

Имеем тогда   dV H d R44 = F H V , dρ F dρ   R22 = 1 − 1 d V H dH , V F dρ F dρ −1

−2

1 H(R + V −2 F 2 R ) = dH 1 d(F V ) − d2 H . 11 44 2 dρ V F dρ dρ2

(10)

334

Н. А. ЧЕРНИКОВ

В соответствии с (9) и (10) получаем следующие уравнения: d2 H − H = dH 1 d(F V ) , dρ V F dρ dρ2 k2   2 d H dV = 0, dρ F dρ   d V H dH = F V ch 2ρ . F dρ dρ k

(11) (12) (13)

Прежде чем решать эти уравнения, докажем, что они приводят к условию гармоничности (7). Рассмотрим ковариантную дивергенцию ∇b Gba = ∂b Gba − Γsba Gbs + Γbbs Gsa

(14)

Gba = Ras g sb − 1 Rδab , 2

(15)

тензора Эйнштейна

которая, как известно, равна нулю. В рассматриваемом случае тензор (15) является диагональным и не зависит от углов и от времени. Тогда, первая компонента контравариантного вектора (14) равна d G1 + Γ b G1 − Γ 1 G1 − Γ 2 G2 − Γ 3 G3 − Γ 4 G4 . b1 1 11 1 21 2 31 3 41 4 dρ 1

(16)

Так как в рассматриваемом случае Γ331 = Γ221 , G33 = G22 , то ∇b Gb1 = d G11 + 2Γ221 (G11 − G22 ) + Γ441 (G11 − G44 ). dρ

(17)

Тогда, учитывая следующие соотношения G11 = B − A, где

G22 = A + C,

G44 = A + B,

A = H −1 F −2 [H 00 − H 0 (F V )−1 (F V )0 ],

B = V −1 F −1 H −2 (V HF −1 H 0 )0 − H −2 , C =V

и соотношения

−1

H

−2

2

(H F

Γ221 = H −1 H 0 ,

−1

(18)

(19)

0 0

V ),

Γ441 = V −1 V 0

(20)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

335

для связности, можно легко видеть, что выражение ∇b Gb1 = (B − A)0 + 2H −1 H 0 (B − 2A − C) − 2V −1 V 0 A

(21)

равно нулю, какими бы ни были функции F , H, V . Если эти функции удовлетворяют уравнениям гравитации (11), (12) и (13), то A = F −2 k −2 ,

B = 2H −2 sh2

ρ , k

C = 0.

Подставляя эти выражения в (21), получим   2ρ ∇b Gb1 = 2k −2 H −2 F −1 V −1 kF V sh − (F −1 V H 2 )0 . k

(22)

(23)

Так как мы доказали, что (21) равно нулю, мы также доказали следствие (7). Решение системы уравнений (11), (12), (13) удовлетворяет условию F V = C,

(24)

где C = const. Действительно, из уравнения (12) следует, что H 2 dV = BF, dρ где B = const. Подставляя сюда условие (24), получаем   d 1 V 2 = BCH −2 . dρ 2

(25)

(26)

Подставляя условие (24) в (11), получаем уравнение d2 H − H = 0, dρ2 k2

(27)

общее решение которого есть H = P k sh

ρ + ρb , k

(28)

где P и ρb — постоянные интегрирования. Подставляя это решение в (26), получим 1 V 2 = N − BCP −2 k −1 cth ρ + ρb, (29) 2 k где N — еще одна постоянная интегрирования.

336

Н. А. ЧЕРНИКОВ

Нам необходимо рассмотреть только уравнение (13), но вместо этого мы можем рассмотреть сумму    2ρ d (F V )−1 d 1 V 2 H 2 = F V ch (30) dρ dρ 2 k уравнений (12) и (13), что более удобно. Подставляя сюда условие (24), получим следующее уравнение:   d2 1 V 2 H 2 = C 2 ch 2ρ . (31) k dρ2 2 Из (28) и (29) следует, что   1 V 2 H 2 = N P 2 k sh ρ + ρb − BC ch ρ + ρb k sh ρ + ρb. 2 k k k

Дифференцируя эту функцию, получим ее производные  0 1 V 2 H 2 = N P 2 k sh 2 (ρ + ρb) − BC ch 2 (ρ + ρb), 2 k k  00 1 V 2H 2 = 2N P 2 ch 2 (ρ + ρb) − 2BCk −1 sh 2 (ρ + ρb). 2 k k

(32)

(33)

Сравнивая этот результат с уравнением (31), находим, что константы интегрирования должны удовлетворять следующим условиям: 2b ρ 2b ρ − 2BCk −1 sh = C 2, k k 2b ρ 2b ρ 2N P 2 sh − 2BCk −1 ch = 0. k k 2N P 2 ch

(34)

Отсюда находим 2B = Ck sh

2b ρ , k

2N P 2 = C 2 ch

2b ρ . k

(35)

Подставляя эти выражения в (32), получаем V 2 H 2 = C 2 k 2 sh

ρ + ρb ρ − ρb sh . k k

(36)

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО

337

Откуда с учетом (28) получим sh 2

2

V =C P

−2

ρ−ρ k 

ρ+ρ sh k

(37)

,



а затем с учетом (24) получим sh 2

F =P

2

ρ+ρ k 

ρ−ρ sh k

(38)

.



Интересно подтвердить, что условие гармоничности (7) выполняется. Действительно, в соответствии с (24) это означает, что

и, согласно (36)

d (V 2 H 2 ) = C 2 k sh 2ρ , dρ k

(39)

  2ρ 2b ρ 1 2 2 − ch . V H = C k ch 2 k k

(40)

2

2

Следовательно, условие (39) выполняется. Таким образом, метрика (2), удовлетворяющая уравнениям (1) имеет вид P 2 k 2 {Ξ−1 dξ 2 + sh2 (ξ + α)dΩ2 } − C 2 P −2 Ξdt2 , (41)

где

Ξ=

sh(ξ − α) , sh(ξ + α)

ξ=

ρ , k

α=

ρb . k

(42)

На больших расстояниях от источника, т. е. при больших значениях ξ, она должна асимптотически приближаться к метрике (4), более точно к метрике k 2 {dξ 2 + sh2 ξdΩ2 } − c2 dt2 .

(43)

Откуда следует, что C = c,

P = exp{−α}.

(44)

Остается пояснить чему равен параметр α. Мы находим его из условия о том, что при больших значениях ξ связность (4) должна стремиться к связности (12). Другими словами, все компоненты связности (4) должны

338

Н. А. ЧЕРНИКОВ

стремиться к фоновой связности (5), за исключением компоненты Γ 144 , которая должна стремиться не к нулю, а к U 0 , т. е. Γ144 → U 0 = γM (k sh ξ)−2 .

(45)

Заметим, что эта компонента включает в себя ту самую «притягивающую силу», о которой Лобачевский писал в 1835 году. Это условие может быть выполнено как F −1 F 0 = −H −1 H 0 = 1 [cth(ξ + α) − cth(ξ − α)], 2k H −1 H = k −1 cth(ξ + α), HH 0 = kP 2 sh(ξ + α) ch(ξ − α),

(46)

sh 2α . V V 0 = 1 kc2 2 [kP sh(ξ + α)]2

Сравнивая (45) с (46), получаем, что 1 sh 2α = γM . 2 kc2

(47)

Так как гравитационный радиус γM c−2 намного меньше постоянной k, мы можем приближенно положить α=

γM , kc2

P = 1.

(48)

9. Задача Кеплера в пространстве Лобачевского Рассмотрим теперь релятивистскую задачу Кеплера в пространстве Лобачевского. Принимая во внимание сферическую симметрию задачи, без потери общности можем принять θ = π. (1) 2 Интегралы углового момента и энергии уравнений движения планеты в случае (2) имеют вид dϕ H2 = µ, dτ  2 V dt = ε, c dτ

(2) (3)

ЛИТЕРАТУРА

где τ — собственное время планеты. Уравнение  2  2  2 dρ dϕ dt 2 2 2 V −F −H = c2 dτ dτ dτ определяет производную

339

(4)

dρ . Учитывая уравнения (3) и (4), а также условие dτ

F V = c, получим уравнение  2  2 µV dρ 2 2 2 =ε c −V . Hc dτ

(5)

Подставляя (2) в (5), получим дифференциальное уравнение для траектории ρ = ρ(ϕ) в виде  2  2 µV H dρ 2 2 4 2 4 2 =ε c H −V H − µ . (6) c dϕ Подставляя (28) и (37) в (6), получим наконец µ

2



dρ dϕ

2

= ε2 c2 P 4 k 4 sh4 − c2 P 2 k 4 sh

ρ + ρb − k

ρ − ρb 3 ρ + ρb ρ − ρb ρ + ρb sh − µ2 k 2 sh sh . (7) k k k k

В пределе (10) уравнение (7) переходит в хорошо известное уравнение [4, ур. (58.32)].

Литература [1] Н. И. Лобачевский. О началах геометрии. Полное собрание сочинений. Т. 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1946, с. 185–261. [2] Н. И. Лобачевский. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных. Полное собрание сочинений. Т. 2. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949, с. 147–454. (См. работу 2 этого сборника.) [3] N. A. Chernikov. The Kepler problem in the Lobachevsky space and its solution. Acta Phys. Pol., B, 1992, Vol. 23, p. 115–122. [4] В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. М: Гостехиздат, 1955.

24 Теоремы Ньютона и Айвори о притяжении в пространствах постоянной кривизны1 В. В. Козлов2 Посвящается памяти В. Г. Демина

1. Классические теоремы Ньютона и Айвори. Как установил Ньютон, однородная сфера не притягивает внутренних точек, а внешние точки притягиваются как бы одной материальной точкой, которая помещена в центр сферы и масса которой равна массе сферы. Считается установленным, что Ньютон нашел доказательство этой замечательной теоремы лишь за год до публикации своих Рrinсiрiа. Поучительное обсуждение хода рассуждений самого Ньютона, а также других подходов доказательства теоремы о притяжении сферы можно найти в [1, 2]. Из теоремы о сфере сразу выводится, что однородный шар притягивает точки внешней области так же, как если бы его масса была сосредоточена в центре, а сила притяжения внутренних точек линейно зависит от расстояния до центра (по закону Гука). Хорошо известно, что поверхности уровня гравитационного потенциала однородного стержня — конфокальное семейство эллипсоидов вращения, фокусы которых совпадают с концами отрезка (см., например, [3]). Этот результат был обобщен Айвори. 1 Вестн.

Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2000, № 5, c. 43–47. институт им. В. А. Стеклова РАН, 117966, Москва, Россия. E-mail: [email protected]. 2 Математический

342

В. В. КОЗЛОВ

Рассматривается бесконечно тонкий однородный слой, заключенный между двумя подобными концентрическими эллипсоидами. Он называется эллиптическим слоем. Оказывается, гравитационный потенциал внутри эллиптического слоя постоянен (теорема Ньютона, обобщающая теорему о притяжении сфер), а поверхности уровня потенциала во внешней области суть софокусные ему эллипсоиды (теорема Айвори). Доказательство см., например, в [3]. Эллиптический слой проще представить себе как эллипсоид с, вообще говоря, непостоянной гомеоидной плотностью dσ/|∇f |, где dσ — элемент площади эллипсоида,∇f — градиент квадратичной формы, задающей форму эллипсоида [4]. Гомеоидная плотность сферы и отрезка, очевидно постоянна. 2. Гравитация в пространствах постоянной кривизны. Заменим евклидово пространство E3 пространством постоянной кривизны S 3 (трехмерная сфера в E 4 ) или L3 (пространство Лобачевского). Это однородные пространства: как и на E 3 , на них действуют шестимерные группы изометрий. Свойство однородности позволяет определить аналог ньютоновского потенциала: это решения уравнения Лапласа – Бельтрами на S 3 или L3 соответственно, зависящие лишь от расстояния между точками. Первые шаги по развитию теории притяжения в L 3 были сделаны самим Лобачевским (см. [5]). Явная формула для ньютоновского потенциала в S3 была получена впервые, по-видимому, Шредингером для целей квантовой механики [6]: V = −γ ctg ϑ,

γ = const > 0.

(1)

Здесь ϑ, 0 6 ϑ 6 π, угол между радиус-векторами гравитирующих точек на S3 . Отметим, что кроме точки ϑ = 0 потенциал (1) имеет особенность в антиподальной точке ϑ = π: если исходная точка притягивает (γ > 0), то антиподальная отталкивает с той же интенсивностью. Если надо подчеркнуть, что гравитационное поле создается материальной точкой массы m, то в выражении для потенциала (1) надо добавить множитель m; при этом γ следует интерпретировать как гравитационную постоянную. Ниже (для удобства записи) постоянный множитель −γ опущен. В работах [7–9] с разной общностью была решена задача Бертрана для пространств постоянной кривизны — найти потенциалы, порождающие центральные силовые поля, в которых все ограниченные орбиты замкнуты. Кроме ньютоновского гармонического потенциала надо добавить еще

ТЕОРЕМЫ НЬЮТОНА

И

АЙВОРИ

343

потенциал упругого взаимодействия. Для S 3 потенциал Гука имеет вид V = κ tg2 ϑ , 2

κ = const.

(2)

В работах [5, 7–10] содержатся начала небесной механики в пространствах постоянной кривизны. Дальнейшие результаты в этом направлении можно найти в [11]. В настоящей работе основные теоремы теории ньютоновского потенциала в E3 переносятся (с некоторыми оговорками) на пространства постоянной кривизны. Для определенности рассматривается случай сферы — пространства с нетривиальной топологией. Для пространства Лобачевского тригонометрические функции заменяются гиперболическими. Рассмотрим трехмерную сферу единичного  4 P радиуса в четырехмерном евклидовом пространстве S 3 = x2i = 1 . 3. Притяжение сфер.

1

Введем сферические координаты 0 6 ϑ 6 π, 0 6 ϕ 6 π, ψ mod 2π по формулам x1 = sin ϑ sin ϕ sin ψ, x3 = sin ϑ cos ϕ,

x2 = sin ϑ sin ϕ cos ψ, x4 = cos ϑ.

Метрика на S3 имеет вид ds2 = dϑ2 + sin2 ϑ(dϕ2 + sin2 ϕdψ 2 ), а определитель матрицы коэффициентов этой квадратичной формы равен g = = sin4 ϑ sin2 ϕ. Рассмотрим на S3 двумерную сферу S2 = {ϑ = ϑ0 , 0 < ϑ0 6 π/2}

и изучим ее притяжение в предположении однородности распределения массы. Следует иметь в виду, что на S 3 имеется еще одна сфера S2− = = {ϑ = π −ϑ0 }, конгруэнтная S2 , точки которой производят отталкивающее действие. Трехмерная сфера S 3 делится двумерными сферами S2 и S2− на три связные области. Элемент площади S2 равен √ dσ = gdϕdψ = sin2 ϑ0 sin ϕdϕdψ, а ее полная площадь равна X

=

Zπ Z2π 0

0

dσ = 4π sin2 ϑ0 .

344

В. В. КОЗЛОВ

Введем плотность распределения массы ρ = M/

P , где M — масса S2 .

Теорема 1. Потенциал притяжения сферы S 2 равен M ctg ϑ, если ϑ0 < ϑ < π − ϑ0 , и M ctg ϑ0 , если 0 6 ϑ < ϑ0 и π − ϑ0 < ϑ 6 π. Таким образом, сфера не притягивает точки, лежащие «внутри» S 2 и а «внешние» точки притягиваются точно так же, как если бы сферу S 2 заменить одной точкой в центре S 2 , а ее массу положить равной массе всей сферы. S2− ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ввиду симметрии достаточно вычислить потенциал в точке с координатами x1 = x2 = 0,

x3 = sin ϑ,

x4 = cos ϑ.

Он равен интегралу V =ρ

Zπ Z2π 0

0

√ ctg ϑe gdϕdψ,

где cos ϑe = sin ϑ0 sin θ cos ϑ+cos ϑ0 cos ϑ. Нахождение потенциала сводится к вычислению интеграла V =M 2

Zπ 0

Он равен M

hp

cos ϑe sin ϕdϕ . sin ϑe

1 − cos2 (ϑ + ϑ0 ) −

i p 1 − cos2 (ϑ − ϑ0 )

2 sin ϑ0 sin ϑ

.

(3)

Пусть ϑ0 < ϑ < π − ϑ0 (ϑ0 6 π/2). Тогда ϑ − ϑ0 > 0 и ϑ < ϑ + ϑ0 < π. Следовательно, согласно (3) V = M [sin(ϑ + ϑ0 ) − sin(ϑ − ϑ0 )]/(2 sin ϑ0 sin ϑ) = M ctg ϑ. Пусть теперь ϑ < ϑ0 6 π/2. Тогда ϑ − ϑ0 < 0 и ϑ + ϑ0 < π Следовательно, V = M [sin(ϑ + ϑ0 ) + sin(ϑ − ϑ0 )]/(2 sin ϑ0 sin ϑ) = M ctg ϑ0 = const. Что и требовалось.

ТЕОРЕМЫ НЬЮТОНА

И

АЙВОРИ

345

Из теоремы 1 сразу выводится теорема о притяжении однородного шара, ограниченного сферой ϑ = ϑ0 < π/2: внешние точки (ϑ0 6 ϑ 6 π − − ϑ0 ) притягиваются так же, как если бы его масса была сосредоточена в центре. Потенциал внутри шара единичной плотности определяется как π(2ϑ − sin 2ϑ) cos ϑ/ sin ϑ, что отличается от гуковского потенциала (2). Лишь при малых ϑ получаем потенциал упругого взаимодействия 4πϑ 2 /3 + + o(ϑ2 ). 4. Притяжение отрезка. В случае евклидова пространства, эта задача, по существу, является плоской: в любой плоскости, содержащей гравитирующий отрезок, линии уровня потенциала будут семейством эллипсов с фокусами в концах отрезка. Для пространства постоянной кривизны ситуация аналогичная. В случае S 3 роль плоскости играет двумерная сфера единичного радиуса. Итак, на двумерной сфере x2 + y 2 + z 2 = 1

(4)

рассмотрим отрезок — дугу большого круга с концами в точках F 1 = = (α, β, 0) и F2 (α, −β, 0). Разумеется, α2 + β 2 = 1. Чтобы выбор дуги был однозначным, будем считать, что она содержит точку с координатами (1, 0, 0). Эта дуга допускает параметризацию x = sin ϕ,

y = cos ϕ,

z = 0;

π −ϕ e 6 ϕ 6 π + ϕ, e 2 2

где cos ϕ e = α, sin ϕ e = β. В точке с координатами x, y, z значение потенциала (с точностью до постоянного множителя) равно π/2+ Z ϕ 

V =

π/2−ϕ 

e cos ϑdϕ , sin ϑe

(5)

где cos ϑe = x sin ϕ + y cos ϕ. Аналогом конфокального семейства эллипсов является семейство овалов, которое получается пересечением конусов 2 2 c 2 x2 + c y + z 2 = 0 2 2 c −α c + β2 2

(6)

со сферой (4); c — параметр (см., например, [12]). Когда c → 0, то эти овалы стремятся к исходному отрезку. По аналогии с евклидовым случаем

346

В. В. КОЗЛОВ

их можно назвать сферическими кониками, или просто кониками. Они обладают многими свойствами, характерными для обычных плоских коник. Например, их можно определить как совокупность точек, сумма расстояний (измеряемых по дугам больших кругов) от которых до фокусов F 1 и F2 постоянна [13]. Теорема 2. Линии уровня потенциала дуги большего круга на S 2 — семейство софокусных коник с фокусами на концах дуги. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО основано на прямых вычислениях. Интеграл (5) равен p βx − αy + 1 − (αx + βy)2 . ln p − (βx + αy) + 1 − (αx − βy)2

Приравнивая выражения под логарифмом 1/k, k = const, можно получить уравнение конуса (k 2 − 1)2 z 2 = 8k 2 (β 2 x2 + α2 y 2 ) + 4k(k 2 + 1)2 (β 2 x2 − α2 y 2 ).

(7)

Пересечение конуса (7) со сферой (4) дает семейство замкнутых кривых. Будет ли оно семейством софокусных коник? Уравнения конусов (6) и (7) тождественны, если c2 = λβ 2 , α − c2 2

где λ=

8k 2 + 4k(k 2 + 1)2 , (k 2 − 1)2

c2 = −µα2 , β + c2 2

µ=

8k 2 − 4k(k 2 + 1)2 (k 2 − 1)2

(8)

(9)

Соотношения (8) дают одно и то же значение с тогда и только тогда, когда λ+µ+λµ = 0. Однако справедливость последнего тождества легко вытекает из (9). Что и требовалось. 5. Притяжение квадрик. Пусть A — симметричный оператор в евклидовом пространстве E4 , I — тождественный оператор. Оператор (A − − λI)−1 (A — резольвента, λ — спектральный параметр) тоже симметрический и определяет пучок квадратичных форм f (x) = ((A − λI)−1 x, x). Приравнивая к нулю эти формы, получим семейство конусов, которые пересекаются со сферой g(x) = (x, x) = 1 по двумерным поверхностям.

ЛИТЕРАТУРА

347

Эти поверхности можно назвать конфокальными квадриками. Например, разделив уравнение (6) на c2 , получим уравнение вида f (x) = 0, где A = = diag(−α2 , β 2 , 0), λ2 = c2 . На квадриках можно ввести гомеоидную плотность dσ/W 2 , где dσ — элемент площади квадрики поверхности в mE 4 , а W2 — евклидов объем параллелепипеда, построенного на градиентах функции f и g как на векторах. Теорема 3. Пусть k — квадрика на S 3 с гомеоидной плотностью массы, а k− — антиподальная квадрика. Потенциал, создаваемый k, постоянен в двух шаровидных областях на mS 3 , ограниченных квадриками k и k− , а поверхности уровня этого потенциала в дополнительной области являются семейством квадрик, конфокальных с k. Это аналог теоремы Ньютона – Айвори. Он доказывается прямым вычислением с использованием сфероконических координат. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект №99-01-01096) и программы «Университеты России» (проект №5581).

Литература [1] Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Наука, 1990. [2] Арнольд В. И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. М.: Наука, 1989. [3] Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1952. [4] Арнольд В. И. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: ФАЗИС, 1997. [5] Chernikov N. A. The Kepler problem in the Lobachevsky space and its solutions. Acta phys. pol. 1992, Vol. 23, p. 115–124. [6] Schr¨odinger E. A method of determining of quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions. Proceedings of the Royal Irish Academy, 1940, Vol. A45, p. 9–16. Пер. с нем.: Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976, с. 239–247. (См. работу 8 этого сборника.) [7] Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. J. Phys. A., 1979, Vol. 12, № 3, p. 309–323. (См. работу 9 этого сборника.)

348

В. В. КОЗЛОВ

[8] Slawianowski J. Bertrand systems on SO(3, R), SU (2). Bull. de l’Academie Polonica des Sciences, 1980, Vol. XXVIII, № 2, p. 83–94. [9] Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler’s problem in constant curvature spaces. Celestial Mech. and Dynamical Astronomy, 1992, Vol. 54, p. 393–399. (См. работу 11 этого сборника.) [10] Козлов В. В. О динамике в пространствах постоянной кривизны. Вестник Моск. ун-та. Cер. 1, Математика. Механика, 1994, № 2, c. 28–35. (См. работу 10 этого сборника.) [11] Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд. дом «Удмуртский Университет», 1999. [12] Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы математической физики. T. I. M.: ИЛ, 1958. [13] Берже М. Геометрия. Т. II. М.: Мир, 1984.

КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В НЕЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Научные редакторы А. В. Борисов, И. С. Мамаев Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков Корректор Л. А. Газизуллина Подписано в печать 03.05.2007. Формат 60 × 841/16 . Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,23. Уч. изд. л. 21,78. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №220. АНО «Институт компьютерных исследований» 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00. http://rcd.ru E-mail: [email protected]