Задачи гидроупругости: Методические указания к курсу ''Гидроупругость''. Раздел 2

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ Методические указания к курсу «Гидроупругость» Раздел 2

для студентов дневного отделения механико-математического факультета

Ростов-на-Дону 2006

Методические указания разработаны профессором кафедры теории упругости и пластичности МГУ В.М.Александровым и доцентом кафедры теоретической гидроаэромеханики РГУ Б.И.Сметаниным.

Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической гидроаэромханики РГУ, протокол № 10 от 3 июня 2006 г.

2

В первой части методических указаний «Задачи гидроупругости» [1] рассмотрена плоская задача о собственных колебаниях упругой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости, а также осесимметричная задача о взаимодействии цилиндрической оболочки конечных размеров с идеальной несжимаемой жидкостью. Данные методические указания содержат исследования двух задач: плоской задачи о вынужденных колебаниях тонкой упругой пластинки в потоке идеальной несжимаемой жидкости и осесимметричной задачи о собственных колебаниях упругой круглой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости. Все указанные задачи рассмотрены в линейной постановке. При построении решений этих задач применен метод интегральных преобразований. При интегрировании дифференциального уравнения изгибных колебаний пластинки использован разработанный авторами метод ортогональных многочленов. Плоская задача о вынужденных колебаниях упругой пластинки в потоке идеальной несжимаемой жидкости

Пусть тонкая упругая пластинка бесконечной длины, постоянной ширины

2a находится в потоке идеальной несжимаемой жидкости. Невозмущенная скорость потока равна U . Будем считать заданными перемещение и угол поворота элемента срединной плоскости пластинки для точек ее передней кромки, при

x = − a , в виде f ( − a, t ) = ay 0 e −iω t , где функция f ( x, t )

∂f ( − a, t ) = y1e −iω t , ∂x

(1)

( x ≤ a ) определяет прогиб срединной плоскости пластинки,

t - время, ω - круговая частота колебаний, i - мнимая единица; y 0 , y1 − const . В

линейной теории изгиба пластинок считается, что f << a; 3

∂f << 1 ∂x

(2)

Вынужденные колебания передней кромки пластинки по закону (1) приводят к периодическому изгибу пластинки, имеющему характер бегущей в направлении потока волны. В результате взаимодействия колеблющейся пластинки с жидкостью возникает сила тяги (упор), направленная против потока. Уравнение, которому должна удовлетворять функция f ( x, t ) , имеет вид [2] D

∂4 f ∂x4

= −ρ0h

∂2 f ∂t 2

+p

y = −0

D=

−p

y = +0

(| x |≤ a )

(3)

E h3 12(1 − ν 2 )

Здесь D - жесткость пластинки при изгибе, E - модуль Юнга, ν -коэффициент Пуассона, ( h << a ),

ρ0 -

плотность

пластинки,

h

-

толщина

пластинки

p = p ( x, y , t ) - гидродинамическое давление.

К граничным условиям (1) следует добавить условия равенства нулю изгибающего момента и поперечной силы на задней кромке пластинки, то-есть при x = a:

∂2 f ∂x 2

=

∂3 f ∂x 3

=0

(4)

Движение жидкости будем считать потенциальным. Обозначим через

ϕ = ϕ ( x, y, t ) потенциал скоростей возмущенного движения жидкости. Тогда компоненты вектора скорости u точек жидкости будут определяться формулами ux =U + Функция

∂ϕ ∂ϕ , uy = ∂x ∂y

(5)

ϕ должна удовлетворять уравнению Лапласа ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + =0 ∂x2 ∂ y2

(6)

Возмущения основного потока, вносимые пластинкой, считаются малыми величинами. Отсюда следует, что 4

∂ϕ , ∂x

∂ϕ << U ∂y

(7)

Условия (7) позволяют линеаризовать интеграл Лагранжа-Коши [3], который принимает вид p = p∞ − ρ

∂ϕ ∂ϕ − ρU ∂x ∂t

(8)

Здесь p - давление на бесконечности. ∞ Условие безотрывного обтекания жидкостью пластинки с учетом (7) имеет вид ∂ϕ ∂f ∂f = +U ∂y ∂t ∂x

( y = 0,

x ≤ a)

(9)

На вихревой пелене, при y = 0, a < x , должны выполняться условия непрерывности гидродинамического давления и нормальной скорости ∂ϕ ∂y

p y = −0 = p y = +0 ,

y = −0

=

∂ϕ ∂y

y = +0

(10)

При x → −∞ должно выполняться условие отсутствия возмущений перед пластинкой:

ϕ → 0 при

x → −∞ ,

(11)

а при y → ∞ - условие затухания возмущений скоростей точек жидкости ∂ϕ , ∂x

∂ϕ →0 ∂y

(12)

Функции f и ϕ представим в виде

f ( x, t ) = f * (t )e −iω t , ϕ ( x, y, t ) = ϕ * ( x, y )e −iω t

(13)

Из (1) – (13) могут быть получены следующие уравнения, граничные условия и условия на бесконечности для функций f * и ϕ * Df *( 4) ( x) − ρ 0 hω 2 f * ( x) = γ ( x) ( x ≤ a )

5

(14)

γ ( x) = iωρ[ϕ * ( x,−0) − ϕ * ( x,+0)] − ρU ∂ 2ϕ * ∂x 2

f * (− a ) = ay 0 ,

∂ 2ϕ *

+

∂ [ϕ * ( x,−0) − ϕ * ( x,+0)] ∂x =0

∂y 2

f *′ (− a ) = y1 ,

(15)

f *″ (a ) = f *′′′ (a ) = 0

∂ϕ * df = −i ω f * + U * ∂y dx

( y = 0, x ≤ a )

ϕ * ( x,−0) = ϕ * ( x,+0) ( y = 0, a < x)

∂ϕ* ( x,−0) ∂ϕ* ( x,+0) = ∂y ∂y

( y = 0, a < x)

ϕ * → 0 при x → −∞ ∂ϕ * ∂ϕ * , → 0 при ∂x ∂y

(16) (17) (18) (19) (20) (21)

y →∞

Решение уравнения (15) целесообразно строить отдельно в верхней и нижней полуплоскостях. Используя обобщенное интегральное преобразование Фурье с учетом (21), будем иметь [4] 1 2π

ϕ * ( x , y ) = ϕ 1 ( x, y ) = ϕ * ( x , y ) = ϕ 2 ( x, y ) =

∫ A(ξ )e

− ξ y − iξ x

dξ

( y ≥ 0)

(22)

L

1 ξ B(ξ )e ∫ 2π L

y − iξ x

dξ

( y ≤ 0)

(23)

В этих формулах A(ξ ) и B(ξ ) - достаточно произвольные функции, контур интегрирования L в плоскости комплексной переменной ξ необходимо выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие (20). Из условия непрерывности давления и нормальных скоростей при y = 0, x < −a с учетом (17) - (19) вытекают следующие граничные условия для функций ϕ1 и ϕ 2 ∂ϕ j ∂y

= −iω f * + U

df * dx

ϕ1 = ϕ 2

( j = 1,2; y = 0, x ≤ a )

( y = 0,

6

x > a)

(24) (25)

∂ϕ1 ∂ϕ 2 = ∂y ∂y

( y = 0,

(26)

x < ∞)

Из (22) – (26) с использованием свойств интегрального преобразования Фурье может быть получена следующая система уравнений, связывающая функции A(ξ ) и B(ξ ) ⎧ A(ξ ) + B (ξ ) = 0 ⎨ ⎩iρ (ω + Uξ )[B(ξ ) − A(ξ )] = Γ(ξ ),

(27)

где функция Γ(ξ ) дается формулой a

Γ(ξ ) = ∫ γ (η )e iξ η dη

(28)

−a

Решение системы уравнений (27) имеет вид A(ξ ) = −

Γ(ξ ) Γ(ξ ) , B(ξ ) = 2iρ (ω + Uξ ) 2iρ (ω + Uξ )

(29)

Из (23), (28) и (29) найдем 1 ϕ 2 ( x, y ) = 4π iρU

a

∫ γ (η )dη ∫

−a

L

e

iξ (η − x ) + ξ y

ξ +c

dξ

(c =

ω U

)

(30)

Аналогичное представление может быть получено и для функции ϕ 1 ( x, y ) . Из (30) определим ∂ϕ 2 ( x,0) 1 = ∂y 4π iρU K (ζ ) = ∫

a

∫ γ (η ) K (η − x)dη

(31)

−a

ξ

Lξ + c

e iξζ dξ

(32)

Контур интегрирования L в (32) выберем следующим образом: будем считать, что при Re(ξ ) + c ≥ r (r > 0) он совпадает с действительной осью, а при Re(ξ ) + c ≤ r он проходит по полуокружности l r радиуса r , лежащей в верхней полуплоскости Im ξ > 0 . Учитывая, что при r → 0

7

lim ∫

r →0

lr

ξ ξ +c

[

0

]

e iξ ζ dξ = lim ∫ i c − re iθ exp − i (c − re iθ )ζ dθ = −iπ ce −icζ , r →0

π

получим следующее представление функции K (ζ ) K (ζ ) =

∞

ξ

∫ ξ +ce −∞

iξζ

dξ − i π ce −icζ

Здесь интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Использование формул 3.722 (1,3,5,7) [5] позволяет выразить K (ζ ) через интегральную показательную функцию Ei(iζ c) в виде K (ζ ) =

2i

ζ

+ 2ce −iζc Ei (iζc)

Интегральная показательная функция Ei (iz ) связана с интегральным синусом si (z ) и интегральным косинусом ci(z ) формулой 8.233(1) [5] Ei (iz ) = ci( z ) + i si ( z ) Отсюда, с учетом свойств функций si (z ) и ci (z ) 8.235 [5], легко убедиться, что K (η − x) → 0 при x → −∞ , что свидетельствует о правильном выборе контура интегрирования L в (32). Из (31) и граничного условия (24) получим следующее интегральное уравнение a

∫ γ (η ) K (η − x)dη = 4π iρU

−a

2 ⎛ df *

⎞ − icf * ⎟ ( x ≤ a ) ⎜ ⎝ dx ⎠

(33)

Таким образом, для определения функций f * ( x) и γ (x) получена система дифференциального (14) и интегрального (33) уравнений. В этих уравнениях перейдем к безразмерным величинам по формулам

8

x = ax ′, η = aη ′,

α=

ρ 0 a 2 hU 2 D

~ f * ( x) = af ( x ′), γ ( x) = ρU 2γ~ ( x ′),

, β=

ρ a 3U 2 D

(34) aω − число Струхала , λ = ca = U

Уравнения (14), (33) и граничные условия (16) с использованием формул (34) примут вид ⎧ f ( 4) ( x) − α λ 2 f ( x) = βγ ( x) ( x ≤ 1) ⎪ ⎨1 ⎡ 1 ⎤ ⎛ df ⎞ − iλ F (η − x)⎥ dη = 2π ⎜ − iλ f ⎟ ( x ≤ 1) ⎪ ∫ γ (η ) ⎢ ⎝ dx ⎠ ⎣η − x ⎦ ⎩−1

(35)

F (ζ ) = e −iζ λ Ei(iζ λ ) f (−1) = y 0 ,

f ′(−1) = y1 ,

f ′′(1) = f ′′′(1) = 0

(36)

В формулах (35), (36) и далее при исследовании данной задачи знаки «штрих» и «волна» опущены. Вторую производную от функции f (x) будем искать в следующей форме

(Q′′( x) = (1 − x) P

∞

f ′′( x) = ∑ X nQn′′ ( x)

n

n =1

2

( 4, 0 ) n −1 ( x )

),

(37)

где Pn( 4,0) ( x) - многочлены Якоби, X n - подлежащие определению коэффициен-

ты. Легко видеть, что

Qn′′ (1) = Qn′′′(1) = 0 (n = 1,2,...) ,

(38)

и, следовательно, граничные условия (36) для f ( x) при x = 1 будут выполняться при любых значениях коэффициентов X n . Из (37) найдем

f ( x) =

∞

∑ X n Qn ( x),

n =0

X 0 = 1, Q0 ( x) = y 0 + y1 (1 + x),

Qn ( x) = ∫∫ (1 − x) 2 Pn(−41,0) ( x)dxdx + C n + Dn (1 + x) (n = 1,2,...) Постоянные C n и Dn определим из условий 9

(39)

Qn (−1) = Qn′ (−1) = 0

(40)

Удовлетворение указанным условиям приводит к следующим значениям этих постоянных 1⎛y

1 ⎞ 2 ( 4, 0 ) ⎜ ⎟ C n = − ∫ ∫ (1 + x) Pn −1 (− x)dx dy, Dn = ∫ (1 + x) 2 Pn(−41,0) (− x)dx ⎜ ⎟ 0⎝0 0 ⎠

В этом случае граничные условия (36) при x = −1 также будут выполняться. Многочлены Qn (x) удовлетворяют условию 1

( 4)

∫ Qn

−1

( x)Qm ( x)dx = Bn δ mn

32 ⎛ ⎞ ; m, n = 1,2,...⎟, ⎜ Bn = 3 + 2n ⎝ ⎠

где δ mn - символы Кронекера. Это условие следует из условия ортогональности многочленов Якоби Pn( 4,0) ( x) 7.391(1) [5] 1

∫ (1 − x)

−1

4

Pn( 4,0) ( x)Pm( 4,0) ( x)dx =

32 δ mn 5 + 2n

Интегральное уравнение (35) с учетом представления (39) запишем в виде 1

∞ ⎡ 1 ⎤ ∫ γ (η ) ⎢η − x − iλ F (η − x)⎥ dη = 2π ∑ X n Ω n ( x) ( x ≤ 1), ⎦ ⎣ n =0 −1 Ω n ( x) = Qn′ ( x) − iλQn ( x)

Тогда в силу линейности рассматриваемого уравнения его решение можно искать в форме ряда с коэффициентами X n

γ ( x) =

∞

∑ X n γ n ( x)

(41)

n=0

Функции γ n ( x) (n = 0,1,2,...) должны при этом определяться из интегральных уравнений 1

⎡ 1

⎤

−1

⎣

⎦

∫ γ n (η ) ⎢η − x − iλF (η − x)⎥ dη = 2π Ω n ( x)

10

( x ≤ 1; n = 0,1,...)

(42)

Для решения интегральных уравнений (42) применен метод ортогональных многочленов [6]. Решение каждого уравнения будем искать в виде

γ n ( x) =

⎛ ⎞ 1− x ⎜ S m ( x) = ⎟, = T ( x ); m 0 , 1 ,... m ⎜ ⎟ + 1 x ⎝ ⎠

∞

∑ Yn m S m ( x )

m =0

(43)

где Yn m - подлежащие определению коэффициенты, Tm (x) - многочлены Чебышева первого рода. В представлении (43) учтено условие Жуковского-Чаплыгина ограниченности решения при x = 1 [3]. Внося γ n (x) в форме (43) в (42), найдем ∞

∞

1

m =1

m =0

−1

− πYn 0 + π (1 − x) ∑ Yn mU m −1 ( x) − iλ ∑ Yn m ∫ S m (η ) F (η − x)dη = 2π Ω n ( x) (44) ( n = 0,1,... ) Здесь U m (x) - многочлены Чебышева второго рода. При получении уравнения (44) использовано значение интеграла ⎧− π

S (η )

1

( m = 0)

m ∫ η − x dη = ⎨π (1 − x)U

⎩

−1

m −1 ( x )

(m = 1,2,...),

которое следует из формулы 7.344(1) [5] Tn (ξ )dξ

1

∫

−1

2

1 − ξ (ξ − x)

= πU n −1 ( x) (n = 1,2,...)

Умножим соотношение (44) почленно на Ψ j ( x) =

1+ x U j ( x) ( j = 0,1,...) и 1− x

проинтегрируем затем по x от -1 до 1. В результате получим z j Yn 0 +

π2 2

Yn, j +1 − iλ

∞

∑ Yn m w m j

m =0

= rn j

(n, j = 0,1,...)

В (45) введены обозначения 1

1 1

−1

−1−1

z j = −π ∫ Ψ j ( x)dx, wm j =

∫ ∫ S m (η )Ψ j ( x) F (η − x)dxdη , 11

(45)

1

rn j = 2π ∫ Ω n ( x) S j ( x)dx −1

После решения системы (45) функции γ n (x) становятся определенными. Дифференциальное уравнение (35) с использованием разложений (39) и (41) запишем в виде

∑ X n [Qn( 4) ( x) − α λ2 Qn ( x) − β γ n ( x)] = α λ2 Q0 ( x) + β γ 0 ( x) ∞

(46)

n =1

( j = 1,2,...) и проинтегриру-

Уравнение (46) умножим почленно на Q j ( x)

ем затем по x от -1 до 1. В результате получим бесконечную линейную алгеб(n = 1,2,...)

раическую систему уравнений относительно X n BjX j −

∑ X n (α λ 2 µ j n + βd j n ) = αλ2 µ j 0 + βd j 0 ∞

( j = 1,2,...)

(47)

n =1

Здесь обозначено 1

1

µ jn = ∫ Q j ( x)Qn ( x)dx,

d jn = ∫ Q j ( x)γ n ( x)dx

−1

−1

Суммарное давление q ( x, t ) жидкости на пластинку после нахождения функции γ (x) может быть определено по формуле

{

q ( x, t ) = ρU 2 Re γ ( x)e −iω t

}

( x ≤ 1)

Сила тяги, возникающая при взаимодействии пластинки с жидкостью, имеет две составляющие. Первая из них, T1 , определяется проекцией сил давления на ось x . Формула для определения этой составляющей, осредненной за период колебаний τ = 2π / ω , имеет вид T1 =

∫ ∫ q( x, t ) Re[ f ′( x)e

aτ

τ

1

0 −1

− iω t

]dxdt =

ρU 2 a 2

⎧1 ⎫ Re ⎨ ∫ γ ( x) f ′( x)dx ⎬ ⎩−1 ⎭

Знак «черта» над функцией означает сопряженное значение этой функции. Вторая составляющая, T2 , подсасывающая сила, направлена против потока. Она 12

обусловлена большой скоростью жидкости вблизи передней кромки пластинки и, как следствие, разрежением жидкости. Величина этой составляющей, осредненная за период колебаний, дается формулой [7] T2 =

πρU 2 a 8

lim (1 + x)γ ( x)γ ( x)

x → −1

Решение систем (45) и (47) целесообразно строить методом индукции. При этом, как показывают исследования, эффективность рассматриваемого алгоритма тем выше, чем меньше параметр λ . Так, при λ ≤ 0.2 , достаточно ограничиться решением урезанных систем, составленных из шести уравнений. Собственные колебания круглой упругой пластинки в идеальной несжимаемой жидкости Пусть тонкая круглая упругая пластинка радиуса a постоянной толщины h (h << a ) находится в идеальной несжимаемой жидкости.. Оси цилиндрической системы координат r , θ , z расположим так, чтобы координаты точек срединной плоскости пластинки в недеформированном состоянии удовлетворяли условиям: 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ < 2π , z = 0 . Пластинка при r = a,

0 ≤ θ < 2π скреп-

лена с тонким жестким кольцом радиуса a . Осесимметричная задача о взаимодействии пластинки с жидкостью в линейной постановке сводится к решению следующих уравнений. DΛ r w + ρ 0 h

∂2w ∂t 2

= p z = −0 − p z = +0

(0 ≤ r ≤ a )

(48)

Здесь w = w(r , t ) - прогиб срединной плоскости пластинки, жесткость пластинки D при изгибе определяется формулой (3), ρ 0 - плотность пластинки, t время, p - гидродинамическое давление,

13

Λr =

1 ∂ ⎧ ∂ ⎨r r ∂r ⎩ ∂r

⎡ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞⎤ ⎫ ⎢ r ∂r ⎜ r ∂r ⎟⎥ ⎬ ⎝ ⎠⎦ ⎭ ⎣

Силами, влияющими на изгиб пластинки, являются силы инерции − ρ 0 h

(49) ∂2 f ∂t 2

и

давление жидкости на пластинку p z = −0 − p z = +0 . Граничные условия, обусловленные наличием жесткого кольца, имеют вид w(a, t ) =

∂w(a, t ) =0 ∂r

(50)

Движение жидкости считается потенциальным. Потенциал скоростей точек жидкости функция ϕ удовлетворяет уравнению Лапласа ∂ 2ϕ ∂r 2

1 ∂ϕ ∂ 2ϕ + + =0 r ∂r ∂ z 2

(51)

Интеграл Коши-Лагранжа будем брать в линеаризованной форме p = p∞ − ρ

∂ϕ , ∂t

(52)

где ρ - плотность жидкости, p ∞ - давление на бесконечности. Условие безотрывного обтекания жидкостью пластинки имеет вид ∂ϕ ∂w = (0 ≤ r ≤ a, z = 0) ∂z ∂t

(53)

С удалением от пластинки скорость точек жидкости должна исчезать. Следовательно ∂ϕ ∂ϕ , → 0 при ∂r ∂z

r2 + z2 → ∞

(54)

Функции w и ϕ представим в виде

w(r , z ) = w* (r )e −iω t , ϕ (r , z , t ) = ϕ * (r , z )e −iω t Здесь, как и в случае формул (13), ω - круговая частота, i - мнимая единица.

14

(55)

Из (48) – (55) могут быть получены следующие уравнения, граничные условия и условия на бесконечности для функций w* и ϕ * DΛ r w* (r ) − ρ 0 hω 2 w* (r ) = iωρ g (r ) (0 ≤ r ≤ a ) g (r ) = ϕ * (r ,−0) − ϕ * (r ,+0) w (a) = w ′ (a) = 0 *

∂ 2ϕ * ∂r

2

(56) (57)

*

1 ∂ϕ * ∂ 2ϕ * + + =0 2 r ∂r ∂z

∂ϕ * = −iω w* ∂z

( z = 0, 0 ≤ r ≤ a )

∂ϕ * ∂ϕ * , → 0 при ∂r ∂ z

r2 + z2 → ∞

(58) (59) (60)

Решение уравнения (58) будем строить отдельно в верхнем и нижнем полупространствах. Используя интегральное преобразование Ханкеля с учетом (60), будем иметь [8] ∞

ϕ * (r , z ) = ϕ1 (r , z ) = ∫ ξA(ξ )e −ξ z J 0 (ξ r )dξ ( z ≥ 0)

(61)

0

∞

ϕ * (r , z ) = ϕ 2 (r , z ) = ∫ ξB (ξ )e ξ z J 0 (ξ r )dξ ( z ≤ 0)

(62)

0

В этих формулах A(ξ ) и B (ξ ) - достаточно произвольные функции, J 0 ( z ) функция Бесселя. Из условия непрерывности давления и нормальных скоростей вытекают следующие граничные условия для функций ϕ 1 и ϕ 2 при z = 0

ϕ 1 = ϕ 2 (a < r < ∞), ∂ϕ 1 ∂ϕ 2 ∂z

=

∂z

(0 ≤ r < ∞ )

(63)

Соотношения (61) - (63) позволяют получить систему уравнений для нахождения функций A(ξ ) и B (ξ )

15

⎧ A(ξ ) + B(ξ ) = 0 ⎨ ⎩ B(ξ ) − A(ξ ) = G (ξ ),

(64)

где функция G (ξ ) дается формулой a

G (ξ ) = ∫ ηg (η ) J 0 (ξη )dη

(65)

0

Решение системы (64) имеет вид 1 1 A(ξ ) = − G (ξ ), B(ξ ) = G (ξ ) 2 2

(66)

Функция ϕ 2 (r , z ) после нахождения B (ξ ) с учетом (65) принимает форму ∞ 1a ϕ 2 (r , z ) = ∫ ηg (η )dη ∫ ξ e ξ z J 0 (ξ r )J 0 (ξη )dξ 20 0

(67)

Аналогичный вид имеет также и функция ϕ 1 (r , z ) . Из (59) и (67) может быть получено следующее интегро-дифференциальное уравнение, связывающее функции g (r ) и w* (r ) , ∞ ) ⎧a ⎫ Λ r ⎨∫ ηg (η )dη ∫ J 0 (ξ r )J 0 (ξη )dξ ⎬ = 2iω w* (r ) (0 ≤ r ≤ a ) 0 ⎩0 ⎭ ) 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎜r ⎟ Λr = r ∂ r ⎜⎝ ∂ r ⎟⎠

(68)

Формула обращения уравнения (68) имеет вид [6] 4iω g (r ) = − πa

∫ r

ξ

dξ

a

2

ξ −r

2

xw* ( x)

∫

2

ξ −x

0

(69)

dx

2

Полученное соотношение (69) позволяет исключить из рассмотрения функцию g (r ) и привести задачу к решению одного интегро-дифференциального однородного уравнения относительно функции w* (r ) 2

DΛ r w* (r ) − ρ 0 hω w* (r ) −

4ω 2 ρ

π

16

a

∫ r

ξ

dξ 2

ξ −r

2

∫

0

xw* ( x) 2

ξ −x

2

dx = 0

(70)

(0 ≤ r ≤ a ) В уравнении (70) введем безразмерные переменные и новые обозначения по формулам ~ (r ′), r = a r ′, ξ = aξ ′, x = a x ′, w* (r ) = hw 4ρ a 1 Dω~ 2 , β Λ r = 4 Λ r′ , ω 2 = = πρ 0 h ρ 0 ha 4 a Уравнение (70) и граничные условия (57) в этом случае преобразуются к виду 2

Λ r w(r ) − ω w(r ) − βω

2

1

∫ r

ξ

dξ

ξ 2 − r2

∫

0

xw( x)

ξ 2 − x2

dx = 0 (0 ≤ r ≤ 1)

w(1) = w′(1) = 0

(71) (72)

В (71), (72) и ниже знаки «штрих» и «волна» опущены. Решение уравнения (71) будем искать в следующем виде w(r ) =

∞

∑ X n Qn (r ) ,

(73)

n =0

где X n - подлежащие определению коэффициенты, Qn (r ) = (1 − r 2 ) 2 H n Pn( 2,0) (2r 2 − 1), H n =

2(2n + 3) (2n + 2)(2n + 4)

,

Pn( 2,0) (r ) - многочлены Якоби. Граничные условия (72) в этом случае будут удовлетворяться при любых значениях коэффициентов X n

(n = 0,1,...) . Можно

показать, что для многочленов Якоби Pn( 2,0) (2r 2 − 1) справедлива формула Λ r [(1 − r 2 ) 2 Pn( 2,0) (2r 2 − 1)] = 16(n + 1) 2 (n + 2) 2 Pn( 2,0) (2r 2 − 1)

(74)

(n = 0,1,...) В этом случае Λ r Q n (r ) = 4(n + 1)(n + 2) 2(2n + 3) Pn( 2,0) (2r 2 − 1)

Из (75) и условия ортогональности многочленов Якоби Pn( 2,0) (r ) (формула 7.391(1) [5]) следует 17

(75)

1

∫ (1 − x)

−1

2

Pn( 2,0) ( x) Pm( 2,0) ( x)dx =

8 δ mn 3 + 2n

(m, n = 0,1,2,...)

1

∫ rQm (r )Λ r Qn (r )dr = δ mn

(76)

0

Здесь δ mn - символы Кронекера. Функцию w(r ) в форме (73) внесем в (71), в результате найдем следующее уравнение 1 ⎧⎪ dξ 2 2 ∑ X n ⎨Λ r Qn (r ) − ω Qn (r ) − βω ∫ 2 2 n =0 ⎪⎩ r ξ −r ∞

ξ

∫

0

⎫⎪ dx ⎬ = 0 2 2 ⎪⎭ ξ −x

xQn ( x)

(77)

Уравнение (77) умножим почленно на rQm (r ) (m = 0,1,2,...) и проинтегрируем по r в пределах от 0 до 1, в результате получим бесконечную линейную систему алгебраических уравнений относительно X n ∞

∞

n =0

n =0

X m − ω 2 ∑ bm n X n − βω 2 ∑ k m n X n = 0 (m = 0,1,...) , 1

bm n = ∫ rQm (r )Qn (r )dr , 0

1

k m n = ∫ rQm (r )dr 0

1

∫ r

dξ 2

ξ −r

ξ

2 ∫

0

(78)

xQn ( x) 2

ξ −x

2

dx

При получении системы уравнений (78) использовано значение интеграла (76). Нетривиальное решение однородной системы (78) существует, если определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю: det δ m n − ω 2 bm n − βω 2 k m n = 0

(79)

Условие (79) является уравнением для определения собственных частот колебаний пластинки. При реализации рассмотренного алгоритма целесообразно использовать метод редукции. В таблицах 1 – 3 даны значения приведенной частоты ω , полученные с использованием программы Maple для урезанной системы (78). Эта программа для конечного порядка M системы точно вычисляет ее коэффициенты и определитель, а корни уравнения (79) находит с заданной точностью. 18

Таблица 1 Значения приведенной частоты при β = 0 M 3 4 5 6 50

ω1

ω2

ω3

ω4

10.22 10.22 10.22 10.22 10.22

39.92 39.77 39.77 39.77 39.77

109.6 91.16 89.20 89.11 89.10

228.7 169.3 159.3 158.2

Рис. 1 В [9] приведены значения первых трех собственных частот для рассматриваемой задачи при β = 0 : ω 1 = 10.21, ω 2 = 39.78, ω 3 = 88.90. Некоторое расхождение этих результатов с приведенными в таблице 1 свидетельствует о том, что полученные в [9] результаты являются менее точными. Таблица 2 Значения приведенной частоты при β = 30 M 2 3 4 5 6

ω1

ω2

ω3

ω4

2.129 2.129 2.129 2.129 2.129

13.34 12.55 12.52 12.52 12.52

41.56 35.10 34.49 34.46

99.72 74.23 70.24

Рис. 2 Таблица 3 Значения приведенной частоты при β = 60 M 2 3 4 5 6

ω1

ω2

ω3

ω4

1.522 1.522 1.522 1.522 1.522

9.674 9.108 9.087 9.087 9.087

30.54 25.81 25.37 25.35

74.21 55.26 52.31

Рис. 3

19

Приведенные результаты численных расчетов показывают, что в рассмотренном диапазоне изменения параметра β для получения первых трех (наименьших по величине) собственных частот с достаточной для практического использования точностью можно ограничиться решением урезанной системы (78), составленной из шести уравнений. Собственные частоты колебаний пластинки в вакууме ( β = 0 ) больше соответствующих собственных частот колебаний пластинки, помещенной в жидкость. Увеличение плотности жидкости ведет к уменьшению собственных частот колебаний пластинки. Приводим программу вычисления собственных частот ω по формуле (79) для использования в пакете Maple > restart: > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> M:=6: > beta:=60: > with(orthopoly): > H:=(n)->sqrt(2*(2*n+3))/(2*n+2)/(2*n+4): > Q:=(n,r)->(1-r^2)^2*H(n)*P(n,2,0,2*r^2-1): > b:=(m,n)->int(r*Q(m,r)*Q(n,r),r=0..1): > delta:=(m,n)->if(m=n) then 1 else 0 end: > f1:=(n,xi)->int(x*Q(n,x)/sqrt(xi^2-x^2),x=0..xi): > f2:=(n,r)->int(f1(n,xi)/sqrt(xi^2-r^2),xi=r..1): > k:=(m,n)->int(r*Q(m,r)*f2(n,r),r=0..1): > F:=(m,n)->delta(m,n)-omega^2*b(m-1,n-1)-beta*omega^2*k(m-1,n-1): > A:=matrix(M,M,F): > fsolve(det(A),omega,omega=0..60); 1.521797731 , 9.086601383 , 25.34898509 , 52.30721455

20

Упражнение 1 Вывести формулы (8) и (52) из интеграла Лагранжа-Коши [3] ∂ϕ u 2 p + + = χ (t ) ∂t 2 ρ

(u

2

)

= ux2 + uy2 ,

(80)

использовав представленные компоненты вектора скорости (5) и условие (7). В (80) χ (t ) - функция, подлежащая определению. Упражнение 2 Вывести формулу (9), исходя из граничного условия при y=0 d [ y − f ( x, t ) ] = 0 dt и используя соотношения (5) и (7). Упражнение 3 Получить общее решение уравнения Лапласа в форме (22) и (23), используя обобщенное интегральное преобразование Фурье. Упражнение 4 Показать, что если контур интегрирования L в интеграле (32) будет обходить полюс ξ = −c снизу, в полуплоскости Imξ < 0 , то условие (20) выполняться не будет. Упражнение 5 Получить общее решение уравнения Лапласа в форме (61) и (62), используя интегральное преобразование Ханкеля. Упражнение 6 Используя свойства многочленов Якоби Pn( 2,0) ( x) , доказать соотношение (74).

21

Литература 1 Александров В.М., Сметанин Б.И. Задачи гидроупругости. Методические указания для студентов механико-математического факультета.- Ростов-наДону: УПЛ РГУ, 2003. - 18 с. 2 Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Физматгиз, 1963. – 636 с. 3 Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1973. - 848 с. 4 Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 280 с. 5 Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с. 6 Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. – М.: Наука, 1993. – 224 с. 7 Беляев В.В., Грунтфест Р.А. Волновой движитель как пропульсивная система. Известия СКНЦ ВШ, сер. естественных наук, 1974, № 4, с. 18-23. 8 Снеддон И. Преобразования Фурье. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. – 660 с. 9 Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле.-М.: Наука, 1967. - 444 с.

22