Математический анализ: Методические рекомендации для студентов-заочников. Часть 2

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÂÎËÃÎÃÐÀÄÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÛÕ ÒÅÕÍÎËÎÃÈÉ È ÒÅËÅÊÎÌÌÓÍÈÊÀÖÈÉ

Êàôåäðà èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì è òåõíîëîãèé

Ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî äèñöèïëèíå «Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç» Äëÿ ñòóäåíòîâ-çàî÷íèêîâ ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè» Â 2 ÷àñòÿõ

×àñòü II

Âîëãîãðàä 2002 —1—

Ñîñòàâèòåëü — ñòàðøèé ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì è òåõíîëîãèé ÂîëÃÓ Å.Â. Áîíäàðåâà Ðåöåíçåíòû: êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Å.À. Ìèõàéëîâà (ÂîëÃÓ); êàíä. ïåä. íàóê, äîö. Ì.Â. Ëàðèíà (ÂÃÑÕÀ) Ðåêîìåíäîâàíî ê ïå÷àòè ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì ÂîëÃÓ

Ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî äèñöèïëèíå «Ìàòå àòè÷åñêèé àíàëèç»: Äëÿ ñòóäåíòîâ-çàî÷íèêîâ ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè»:  2 ÷. / Ñîñò. Å.Â. Áîíäàðåâà. — Âîëãîãðàä: Èçä-âî ÂîëÃÓ, 2002. — ×. II. — 44 ñ.  ðàáîòå ïðåäñòàâëåíû ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî èçó÷å èþ êóðñà, à òàêæå äàíû íåêîòîðûå òèïîâûå ïðèìåðû ñ êî åíòàðèÿ è ïî èõ ðåøåíèþ. Ñîäåðæèò âîïðîñû ïðîãðàììû êóðñà, âàðèàíòû êîíòðîëü ûõ çàäàíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî êóðñà çàî÷ îãî îòäåëåíèÿ ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè».

© Ñîñòàâëåíèå. Å.Â. Áîíäàðåâà, 2002 © Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, 2002 —2—

ÐÀÁÎ×Àß ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ ÊÓÐÑÀ «ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ» ÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÏËÀÍ

I. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç

4

4

8

30

II. Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíê-

8

8

16

55

III. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå

6

6

12

60

IV. Ôóíêöèè ìíîãèõ íåçàâèñèìûõ ïåðå-

4

4

8

50

V. Êðàòíûå è êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû

4

4

8

45

VI. ×èñëîâûå è ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû

4

4

8

40

30

30

60

280

Íàçâàíèÿ òåì

Âñåãî

Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ

Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà, ÷

Ëåêöèè

Ðàáîòà ñ ïðåïîäàâàòåëåì, ÷

öèè îäíîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé

ìåííûõ

Âñåãî

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÏÐÎÃÐÀÌÌÛ III. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë 1. Ïåðâîîáðàçíàÿ. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë, åãî ñâîéñòâà. Òàáëèöà îñíîâíûõ ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ. Íåïîñðåäñòâå îå èíòåãðèðîâàíèå. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì è ïîäñòàíîâêîé. 2. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé ïóòå ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòåéøèå äðîáè. Èíòåãðèðîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Èíòåãðèðîâàíèå åêîòîðûõ èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé. Èñïîëüçîâàíèå òàáëèö è òåãðàëîâ. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë 1. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííûõ è òåãðàëîâ. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë êàê ïðåäåë èíòåãðàëü ûõ ñó . Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. 2. Ïðîèçâîäíàÿ èíòåãðàëà ïî âåðõíåìó ïðåäåëó. Ôîð óëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà. —3—

3. Âû÷èñëå èå îïðåäåëå îãî è òåãðàëà: è òåãðèðîâà èå ïî ÷àñòÿ è ïîäñòà îâêîé. Ïðèáëèæå îå âû÷èñëå èå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà: ôîð óëû ïðÿ îóãîëüíèêîâ, òðàïåöèé, ôîðìóëà Ñèìïñîíà. 4. Ïðèëîæåíèå èíòåãðàëîâ ê âû÷èñëåíèþ ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð, äëèí äóã êðèâûõ, îáúåìîâ òåë è ïëîùàäåé ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëå îãî è òåãðàëà. 5. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû c áåñêîíå÷íû è ïðåäåëà è. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé, îñ îâíûå ñâîéñòâà. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòè. Ïðèç àêè ñõîäèìîñòè.

IV. Ôóíêöèè ìíîãèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ 1. Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Îáëàñòü îïðåäåëå èÿ. Ïðåäåë ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü. 2. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå. Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë è åãî ñâÿçü ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Èíâàðèàíòíîñòü ôîð û ïîë îãî äèôôåðåíöèàëà. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü è íîðìàëü ê ïîâåðõ îñòè. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà. 3. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå è ïîëíûå äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. 4. Ýêñòðåìóìû ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ. 5. Óñëîâíûé ýêñòðåìóì, ìåòîä ìíîæèòåëåé Ëàãðà æà

V. Êðàòíûå è êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû 1. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèÿì êðàòíûõ, êðèâîëè åéíûõ è ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ. 2. Äâîéíîé è òðîéíîé èíòåãðàëû, èõ ñâîéñòâà. Âû÷èñëå èå êðàòíûõ èíòåãðàëîâ ïîâòîðíûì èíòåãðèðîâàíèå . 3. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè. Îïðåäåëåíèå ïîâåðõíîñò ûõ è òåãðàëîâ, èõ ñâîéñòâà, ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ. 4. Îïðåäåëåíèå êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà, èõ ñâîéñòâà, ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ.

VI. ×èñëîâûå è ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû 1. ×èñëîâûå ðÿäû. Ñõîäèìîñòü è ñóììà ðÿäà. Íåîáõîäè îå óñëîâèå ñõîäèìîñòè. Äåéñòâèÿ ñ ðÿäàìè. —4—

2. Ìåòîäû èññëåäîâà èÿ ñõîäè îñòè ðÿäîâ. 3. Ôó êöèî àëü ûå ðÿäû. Îáëàñòü ñõîäè îñòè, åòîäû åå îïðåäåëåíèÿ. 4. Ñòåïåííûå ðÿäû. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåí ûå ðÿäû. Ïðèìåíåíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëå èÿõ. 5. Ðÿäû Ôóðüå ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ñèñòå à . Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå. Óñëîâèÿ ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè è ñõîäèìîñòè «â ñðåäíåì». Ïðè å å èå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ Ôóðüå â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëå èÿõ.

ÎÁÙÈÅ ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß Â ñîîòâåòñòâèè ñ ó÷åáíûì ïëàíîì ñòóäåíòû-çàî÷ èêè ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè» âûïîëíÿþò ïî êóðñó àòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÷åòûðå êîíòðîëüíûå ðàáîòû. Íà îáëîæêå òåòðàäè ñëåäóåò óêàçàòü ôàìèëèþ è è èöèàëû ñòóäåíòà è äàòó îòïðàâêè ðàáîòû. Ðåøåíèÿ âñåõ çàäà÷ è ïîÿñíåíèÿ ê íèì äîëæíû áûòü äîñòàòî÷íî ïîäðîáíûìè. Âñå âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäè î çàïèñûâàòü ïîëíîñòüþ. Äëÿ çàìå÷àíèé ïðåïîäàâàòåëÿ íóæíî íà êàæäîé ñòðàíèöå îñòàâëÿòü ïîëÿ. Ñòóäåíò âûïîëíÿåò âàðèàíò, óêàçà ûé ïðåïîäàâàòåëåì; íîìåðà çàäà÷ äëÿ êàæäîãî èç çàäàíèé ñîîòâåòñòâóþò íîìåðó âàðèàíòà. Ïåðåä âûïîëíåíèåì êàæäîé êîíòðîëüíîé ðàáîòû ñòóäå ò äîëæåí èçó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçäåëû ðåêîìåíäóå îé ëèòåðàòóðû; îí òàêæå ìîæåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåøåíèÿ è òèïîâûõ ïðèìåðîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â íàñòîÿùèõ ìåòîäè÷åñêèõ óêàçà èÿõ. Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû 1. Ïèñêóíîâ Í.Ñ. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëü îå èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1973. Ò. I, II. 2. Äàíêî Ï.Å., Ïîïîâ À.Ã. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà â óïðàæ åíèÿõ è çàäà÷àõ. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1974. ×. I, II. 3. Ùèïà÷åâ Â.Ñ. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1985.

—5—

ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 2 Òåìà V. Íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. X, § 1—10, 12, 13; [2], ÷. I, ãë. 8, § 1, 2. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîèíòåãðèðîâàòü ôóíêöèþ, íåîáõîäè î èçó÷èòü òàáëèöó îñíîâíûõ èíòåãðàëîâ, ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, à òàêæå îñíîâíûå åòîäû è òåãðèðîâàíèÿ: íåïîñðåäñòâåííîå èíòåãðèðîâàíèå, åòîä çà å û ïåðåìåííîé è èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Ïðè íåïîñðåäñòâåííîì èíòåãðèðîâàíèè ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî èíîãäà íóæíî ïðåäâàðèòåëüíî ïðîèçâåñòè ïðîñòåéøèå òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäûíòåãðàëü îé ôóíêöèè. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè (çàìåíû ïåðåìåííîé) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ââåäåíèå íîâîé ïåðå å îé èíòåãðèðîâàíèÿ äàåò âîçìîæíîñòü ñâåñòè äàííûé è òåãðàë ê òàáëè÷íîìó.  ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì âåñüìà âàæíî ïðàâèëüíî âûáðàòü ìíîæèòåëè u è dv. Îáùèõ ïðàâèë ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ à óêàçàííûå ìíîæèòåëè íåò. Îäíàêî ñóùåñòâóþò íåêîòîðûå ÷àñòíûå óêàçàíèÿ, êîòîðûìè ìîæíî ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ ïðè ýòî ìåòîäå èíòåãðèðîâàíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè ïîäûíòåãðàëü àÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå ïîêàçàòåëü îé èëè òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè íà ìíîãî÷ëåí, òî çà îæèòåëü u ñëåäóåò ïðèíÿòü ìíîãî÷ëåí. Åñëè æå ïîäûíòåãðàëü îå âûðàæåíèå åñòü ïðîèçâåäåíèå ëîãàðèôìè÷åñêîé èëè îáðàòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè è ìíîãî÷ëåíà, òî çà îæèòåëü u ñëåäóåò ïðèíÿòü ëîãàðèôìè÷åñêóþ èëè îáðàò óþ òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ â ç à å àòåëå êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí, ñëåäóåò ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçîâàòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí (âûäåëèòü èç íåãî ïîëíûé êâàäðàò), à çàòåì èñïîëüçîâàòü òàáëè÷íûå èíòåãðàëû. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé âêëþ÷àåò â ñåáÿ: 1) óìåíèå ðàçëîæèòü ðàöèîíàëüíûå äðîáè íà ïðîñòåéøèå: —6—

A , x−a

A Ax + B , , m 2 (x − a ) ax + bx + c

ãäå m — öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íå ìåíüøåå, ÷å 2, à êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí (ôîðìóëà) ax2 + bx + c íå è ååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé; 2) óìåíèå èíòåãðèðîâàòü óêàçàííûå âûøå äðîáè.

Òåìà VI. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. XI, § 1—6; ãë. XII, 1— 5, 7, 8; [2], ÷. I, ãë. 9, § 1, 3, 5, 8. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ñëåäóåò è åòü â âèäó, ÷òî ïëîùàäü S ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ñâåðõó è ñ èçó íåïðåðûâíûìè ëèíèÿìè y = f (x) è y = ϕ(x), ïåðåñåêàþùè èñÿ â òî÷êàõ ñ àáñöèññàìè õ = à è õ = b, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîð óëå b

S = ∫ [ f (x ) − ϕ(x )]dx . a

Ïðè âû÷èñëåíèè ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâîé, óðàâíåíèå êîòîðîé çàäàíî â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, ðåêî å äóåòñÿ èçîáðàçèòü êðèâóþ â ñèñòåìå êîîðäèíàò. Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. ×òî íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äàííîé ôó êöèè f (x) íà äàííîì îòðåçêå [a; b]? 2. Äàéòå îïðåäåëåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. 3. Êàêîâ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî è òåãðàëà îò çàäàííîé ôóíêöèè? 4. Ïåðå÷èñëèòå îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî è òåãðàëà. 5. Íàïèøèòå ôîðìóëó Íüþòîíà — Ëåéáíèöà. 6.  ÷åì ñîñòîèò ñïîñîá ïîäñòàíîâêè äëÿ âû÷èñëå èÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà? 7. Êàê âûãëÿäèò ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿ äëÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà? 8. Êàê âû÷èñëèòü ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîãî ñåêòîðà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ? 9. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû äóãè êðèâîé â äåêàðòîâûõ è â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. —7—

10. Ïðèâåäèòå ôîð óëó äëÿ âû÷èñëå èÿ îáúå à òåëà ñ èçâåñò û è ïëîùàäÿ è åãî ïîïåðå÷ ûõ ñå÷å èé. 11. Íàïèøèòå ôîð óëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúå à òåëà âðàùåíèÿ.

ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 2 Çàäàíèå 1.  çàäà÷àõ 1.1—1.20 íàéòè íåîïðåäåëåí ûå èíòåãðàëû ñïîñîáîì ïîäñòàíîâêè (ìåòîäîì çàìåíû ïåðå å íîé). arctgx 1.1. ∫ 1 + 4 x 2 xdx dx 1.11. ∫ 1 + xx2 ln x − 1 dx 1.2. ∫ 1.12. ∫ x 4 − 3x 3 ⋅ dx x xdx 1.3. ∫ sin x ⋅ cos xdx 1.13. ∫ 2 4x − 3 arcsin 2 xdx 2 x −4 xdx 1.4. ∫ e 1.14. ∫ 1 − x2 2 4 x dx x dx 1.5. ∫ 1.15. ∫ 10 3 4+x x −1 2

1.6.

∫

1 + tg3x 2 3x sin x dx 1.17. ∫ 2 + cos x

sin 2 x dx

3 + sin x x 3 dx 1.7. ∫ 1 + x8 dx 1.8. ∫ x ln x 1.9. 1.10.

2

∫ cos

1.18.

∫ tg5xdx

dx 2 x + 1) 2x e dx 1.20. ∫ 4 + e2x

∫ cos x sin xdx 3

∫

1.16.

1.19.

x 2 dx 1 − x6

∫ x (ln

Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ Ïðèìåð 1. Íàéòè íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë

—8—

∫ (ln x )

3

dx . x

ïîäñòà îâêó t = ln x, òîãäà dt =

Ðåøåíèå. Ïðè å è Èìååì

∫ (ln x )

3

dx . x

dx 1 1 = t 3dt = t 4 + c = (ln x )4 + c . x ∫ 4 4

∫e

Ïðèìåð 2. Íàéòè èíòåãðàë

x 2 +1

x dx .

Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó t = x + 1, òîãäà

dt = 2 xdx : Ïîëó÷àåì

∫e

x 2 +1

x dx = ∫ e t

dt = xdx. 2

1 dt 1 t = e + c = e x +1 + c. 2 2 2 2

Çàäàíèå 2.  çàäà÷àõ 2.1—2.20 íàéòè íåîïðåäåëåí ûå èíòåãðàëû, ïðèìåíÿÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿ .

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

∫ ln xdx ∫ x ln xdx ∫ x cos 2 xdx ∫ x sin 3xdx ∫ xe dx ∫ arctgxdx ∫ x 3 dx ∫ arccos xdx ∫ (2 x − 1)ln xdx ∫ (3x + 1)sin 3x dx

2.11.

3

−x

2.12. 2.13. 2.14.

2

2.15. 2.16.

x

2.17. 2.18. 2.19. 2.20.

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Íàéòè èíòåãðàë

∫ (x + 1)e dx ∫ (2 x + 8)e dx ∫ (2 x − 1)cos 5xdx ∫ arcsin 2 xdx ∫ ln 5xdx ∫ (7x + 1)sin 4 xdx ∫ arctg3xdx ∫ x e dx ∫ x cos 2x dx ∫ x 2 dx x

−5 x

2

x

2

x

2

∫ x ln x dx .

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿ

∫ u dv = u v − ∫ v du . Ïîëàãàåì, u = ln x, dv = x2 dx, òîãäà du = —9—

dx x3 , v = ∫ x 2 dx = . x 3

Ïîëó÷àå

1 x3 x 3 dx x 3 ln x − ∫ x 2 dx = −∫ = 3 3 x 3 3 3 3 3 x x x = ln x − + c = (3 ln x − 1) + c. 3 9 9

2

∫ x ln x dx = ln x

Çàäàíèå 3.  çàäà÷àõ 3.1—3.20 íàéòè íåîïðåäåëå òåãðàëû, èñïîëüçóÿ âûäåëåíèå ïîëíîãî êâàäðàòà.

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

2x + 5 dx + 2x + 5 3x − 1 ∫ x 2 − x + 1 dx 3x − 2 ∫ x 2 + 3x + 1 dx 4x − 1 ∫ x 2 − 4 x + 8 dx 5x + 8 ∫ x 2 + 2 x + 5 dx 3x − 2 ∫ x 2 + 4 x + 8 dx

∫x

3.11.

2

3.7.

∫x

2

3.8.

∫x

2

3.9.

∫x

2

3.10.

∫x

2

3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16.

4x − 3 dx + 10 x + 29 10x + 1 ∫ x 2 − 8x + 20 dx 3x + 7 ∫ x 2 − 16x + 68 dx 5x + 14 ∫ x 2 + 2 x + 17 dx 2 x − 15 ∫ x 2 − 8x + 20 dx 17x + 3 ∫ x 2 − 12x + 40 dx

∫x

7x + 3 dx − 4x + 8

3.17.

∫x

2

9 x + 10 dx − 6 x + 10

3.18.

∫x

2

3x + 10 dx − 8x + 10

3.19.

∫x

2

7x − 3 dx + 6 x + 13

3.20.

∫x

2

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Ïðèìåð. Íàéòè èíòåãðàë

5x + 1

2

11x − 4 dx + 16 x + 65 8x − 5 dx − 2 x + 17 15x − 4 dx + 8x + 32 2x − 5 dx + 8x + 25

∫ x 2 − 4 x + 8 dx .

— 10 —

ûå è -

Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóå ç à å àòåëü ïîäû òåãðàëü îé äðîáè, âûäåëèâ ïîë ûé êâàäðàò: x2 – 4x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 8 = (x – 2)2 + 2. Ââåäåì ïîäñòàíîâêó t = x – 2, dt = dx. Ïîëó÷èì

5x + 1

5x + 1

∫ x 2 − 4 x + 8 dx = ∫ (x − 2 )2 + 2 2 dx = ∫ =∫

5(t + 2) + 1 5t + 11 5tdt 11dt + = dt = ∫ 2 dt = ∫ 2 t 2 + 22 t + 22 t + 22 ∫ t 2 + 22

[

]

5 11 t 3 5 x−2 2 = ln(t 2 + 4 ) + arctg + c = ln (x − 2 ) + 4 + arctg + c. 2 2 2 2 2 2 Ïðèìå÷àíèå. ×òîáû íàéòè èíòåãðàë

5t dt

∫ t 2 + 4 , èñïîëüçîâàëàñü çà-

ìåíà ïåðåìåííîé z = t 2 + 4. Òîãäà dz = 2t dt. Ïîëó÷èì

5t dt

5

2t dt

(

)

5 dz 5 5 = ln z + c = ln t 2 + 4 + c. z 2 2

∫ t2 + 4 = 2 ∫ t2 + 4 = 2 ∫

Çàäàíèå 4.  çàäà÷àõ 4.1—4.20 íàéòè íåîïðåäåëå ûå è òåãðàëû, ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé à ïðîñòåéøèå. x dx x + 20 dx 4.1. ∫ 4.7. ∫ 3 (x + 1)(x + 2 )(x − 3) x −8 2 x 2 − 3x − 3 3x + 1 dx 4.2. ∫ 4.8. ∫ dx (x − 1)(x2 − 2 x + 5) x(x2 + 1) 2x + 5 7x − 5 dx 4.3. ∫ 3 dx 4.9. ∫ 3 x + 2x (x + x2 − 6x) x dx 3x − 1 dx 4.4. ∫ 3 4.10. ∫ 2 x + 3x x +1 dx 7x − 2 4.11. ∫ 4.5. ∫ dx 2 (x − 3)(x2 + 1) x(x + 1) x3 + 1 dx 4.12. ∫ 4.6. ∫ dx 3 x(x − 1)(x + 2 ) x(x − 1) — 11 —

x+2 dx 3 − x2 − 2 x x +1 dx 4.14. ∫ x(x 2 + 1) 5x + 1 dx ∫ 4.15. (x + 3)(x − 4 )

4.13.

4.16.

4 x2 + x + 1 dx x3 − 1 18x − 6 4.18. ∫ 3 dx x + x2 − 6 x

∫x

x2 + 2 ∫ x(x − 1)(x + 2 ) dx

4.17.

∫

4.19.

∫ (x + 2 )(x

4.20.

∫ (x − 3)(x

x−2 2

x dx 2

+ 5)

dx

+ 10 )

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Ïðèìåð. Íàéòè èíòåãðàë

x dx

∫ (x − 1)(x

2

+ 1)

.

Ðåøåíèå. Ðàçëîæèì ïîäûíòåãðàëüíóþ äðîáü íà ïðîñòåéøèå:

x A Bx + C = + ,î 2 (x + 1)(x + 1) x − 1 x2 + 1 îòñþäà ïîëó÷àåì x = A(x2 + 1) + (Bx +C)(x – 1) = Ax2 + A + Bx2 – Bx +Cx C. Ïðèðàâíèâàåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïå ÿõ x: x2 x1 x0 îòñþäà ïîëó÷àåì A = Òîãäà

0=A+B 1 = –B + C , 0=A–C

1 1 1 , B=− , C= . 2 2 2

1 1  − x+  1 1 xdx 1 dx 1 x − 1 2 2 ∫ (x − 1)(x 2 + 1) = ∫  2 x − 1 + x2 + 1  dx = 2 ∫ x − 1 − 2 ∫ x 2 + 1 =     1 dx 1 xdx 1 dx 1 1 1 = ∫ − + = ln x − 1 − ln x 2 + 1 + arctgx + c. 2 x − 1 2 ∫ x2 + 1 2 ∫ x2 + 1 2 4 2 — 12 —

Çàäàíèå 5.  çàäà÷àõ 5.1—5.10 âû÷èñëèòü ïëîùàäü ôèãóðû, îãðà è÷å óþ óêàçà û è ëè èÿ è:

5.1. y = 4 − x 2 ,

y = x2 + 2

5.2. y = x 3 ,

y = 4x

5.3. y = x 2 ,

y = 3 − 2x

5.4. y = − x,

y = 2x − x2

5.1. y = 4 − x 2 ,

y = x2 + 2

5.2. y = x 3 ,

y = 4x

5.3. y = x 2 ,

y = 3 − 2x

5.4. y = − x,

y = 2x − x2

5.5. y = − x,

y = 2x − x2

5.6. y = x 2 + 4 x,

y= x+4

5.7. y =

1 2 x − 2 x − 5, 4

3 y = − x2 − x + 1 4

5.8. y = 3x 2 − 5x − 1,

y = −x2 + 2x + 1

5.9. y = 2 x 2 + 6 x − 3,

y = x2 + x + 5

5.10. y =

x2 − x + 1, 2

y=−

x2 + 3x + 6 2

 çàäà÷àõ 5.11.—5.20. íàéòè îáúåì òåëà, îáðàçîâà îãî âðàùåíèåì âîêðóã îñè Îõ ôèãóðû, ðàñïîëîæåííîé â ïåðâî êâàäðàòå è îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé, ïðÿìîé è îñüþ Î .

5.11. y = 2 x 2 , 5.12. y =

x2 , 3

5.13. y = 3x 2 ,

y = −3x + 14

5.14. y = 3x 2 , y = −3x + 6

y = −x + 6

5.15. y = x 2 ,

y = −2 x + 5

y = −2 x + 5

5.16. y = 4 x 2 ,

y = −2 x + 2

— 13 —

1 2 x , y = −2 x + 6 4 5.20. y = 2 x 2 , y = − x + 10

x2 , 2 5.22. y = x 2 ,

5.19. y =

5.21. y =

y = −3x + 8 y = −x + 3

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ïðÿ îé ó = ïàðàáîëîé ó = 4 – õ2: y

2è

y=4-x2

õ -3

2 ó=õ –2

Ðåøåíèå. Íàõîäèì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ äàííûõ ëè èé. Äëÿ ýòîãî ïðèðàâíÿåì ïðàâûå ÷àñòè èõ óðàâíåíèé: 2= = 4 – õ2, îòêóäà õ2 + õ – 6 = 0. Ðåøèâ óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì õ1 = –3, õ2 = 2. Ïîýòî ó ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ áóäóò à = –3, b = 2. Òàêèì îáðàçîì, S =

2

∫ [ 4−x

2

− (x − 2 ) ]dx =

−3

2

∫ (6 − x − x )dx = 2

−3

2

= 6x −

x2 x3 8  9  1 1 5 − = 12 − 2 − −  − 18 − + 9  = 7 + 13 = 20 . 2 3 −3 3  2  3 2 6

Çàäàíèå 6.  çàäà÷àõ 6.1—6.10 íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâûìè, çàäàííûìè â ïîëÿðíûõ êîîðäè àòàõ.

6.1. r = 2 cos ϕ, 6.2. r = 8(1 + cos ϕ ), 6.3. r = 2 cos ϕ, 6.4. r = ños2ϕ ,

π 4 π ϕ = 0, ϕ= 2 r = 4 cos ϕ π ϕ = 0, ϕ= 6

ϕ = 0,

— 14 —

ϕ=

6.5. r = 2 + cos ϕ,

ϕ = 0,

6.6. r = 2 sin ϕ,

ϕ = 0,

π  6.7. r = 10 cos ϕ  ϕ − , 4 

ϕ=

6.8. r = 1 − 2 cos ϕ,

ϕ = 0,

6.9. r = 2ϕ,

ϕ = 0,

6.10. r = e ϕ ,

ϕ = 0,

π , 4

π 6 π ϕ= 3 π ϕ= 2 π ϕ= 6 π ϕ= 2 π ϕ= 4 ϕ=

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Íàéòè ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êðèâû è, çàäà íûìè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:

r = 3(1 + sin ϕ ), π ϕ = 0, ϕ = . 4

ö = ð/4

ö=0 0

3

Ðåøåíèå.Çàäàííàÿ ôèãóðà îãðàíè÷åíà äâó ÿ ëó÷à è

ϕ = 0, ϕ =

π è êðèâîé r = 3(1 + sin ϕ ). 4

Åå ïëîùàäü ðàâíà π

14 9 S = ∫ r 2 dϕ = 20 2

π 4

9 ∫0 (1 + sin ϕ ) dϕ = 2 2

π 4

∫ 0

— 15 —

1 − cos 2 ϕ    1 + 2 sin ϕ +  dϕ = 2  

π

9 1 sin 2 ϕ   4 9  3  = ϕ + 2 (− cos ϕ ) +  ϕ −   =  π − 2 + 1. 2 2 2  0 2  8   çàäà÷àõ 6.11—6.20 íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé.

1 6.11. y = x x, 3

0 ≤ x ≤ 12

π π ≤x≤ 3 2 π 0≤x≤ 6 π 0≤ϕ≤ 2 π 0≤ϕ≤ 2 π 0≤ϕ≤ 2 π 0≤ϕ≤ 2 3 ≤ x ≤1 4 π 0≤x≤ 3

6.12. y = ln sin x, 6.13. y = 1 − ln cos x, 6.14. r = a sin ϕ, 6.15. r = a cos ϕ, 6.16. r = 1 − cos ϕ, 6.17. r = 2 (1 + cos ϕ ), 6.18. y = ln x, 6.19. y = ln cos x, 6.20. y =

1 (x + 1) x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 3

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà

π

π

Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé y = 1 + ln sin x, ( ≤ x ≤ ). 3 2 Ðåøåíèå. Äëèíà äóãè êðèâîé, çàäàííîé â äåêàðòîâûõ êîîðb

äèíàòàõ, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå L = ∫ 1 + (y′)

L=∫ π 3

dx .

a

Ó íàñ

π 2

2

2

π

2  cos x  1+   dx = ∫ π  sin x  3

π

2 sin 2 x + cos2 x dx = dx = ∫ sin x π sin x

— 16 —

3

π 2

π

2 dx dx . =∫ x x π x 2 x 2 sin cos 2 tg cos ⋅ 2 2 3 2 2

=∫ π 3

Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó z = tg

L=

1

∫ 1

3

dz = ln z z

1 1 3

x .Òîãäà dz = 2

= ln 1 − ln

1 1 = ln 3 . 2 3

dx 2 cos

2

x 2

è

ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 3 Òåìà VI. Ôóíêöèè ìíîãèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. XIII, § 1—7, 12—15, 17; [2], ÷. I. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïî ýòîé òåìå ñëåäóåò îáðàòèòü â è àíèå íà òî, ÷òî ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîä ûõ òå æå, ÷òî è äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé. Åñëè íåîáõîäèìî íàéòè ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ïåðå å íîé x, òî ïåðåìåííàÿ y ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé, è íàîáîðîò — ïðè íàõîæäåíèè ÷àñòíîé ïðîèçâîä îé ïî ïåðåìåííîé y íà ïåðåìåííóþ x ñëåäóåò ñìîòðåòü êàê íà êî ñòà òó.  çàäà÷àõ íà èññëåäîâàíèå ôóíêöèè Z = f (x; y) íà ýêñòðå ó ñëåäóåò ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèé: 1. Ñíà÷àëà íóæíî íàéòè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè, ò. å. òî÷êè, â êîòîðûõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ðàâíû íóëþ. Äëÿ ýòîãî íàäî àéòè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè Z = f (x; y) è ðåøèòü ñèñòå ó óðàâíåíèé:

    

dz dx dz dy

= 0 = 0

.

Òàêèõ òî÷åê ìîæåò áûòü íåñêîëüêî. Îáîçíà÷è îä ó èç èõ — 17 —

P0 (x0 ; y0 ). 2. Íàéòè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà ôó êöèè

(

)

Z = f (x; y) è âû÷èñëèòü èõ çíà÷åíèÿ â òî÷êå P0 x0 ; y0 . Îáîçíà÷èì

 d 2z  A=  P0 ; 2   dx 

 d 2z  B =   P0 ;  dxdy 

3. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ∆ =

A B B C

 d 2z  C =  2  P0 .  dy  = AC − B 2 .

Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ∆ > 0, òî ôóíêöèÿ Z = f (x; y) â òî÷êå

P0 (x0 ; y0 ) èìååò ìàêñèìóì ïðè À < 0 è ìèíèìóì ïðè À > 0; åñëè

(

)

æå ∆ < 0, òî â òî÷êå P0 x0 ; y0 ýêñòðåìóìà íåò. Íàêî åö, åñëè ∆ = 0, òî âîïðîñ îá ýêñòðåìóìå â ýòîé òî÷êå îñòàåòñÿ îòêðûòûì è òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ. Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ íåñêîëüêèõ ïåðå å ûõ? 2. Äàéòå îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. 3. ×òî íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè åñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ? 4. Êàêîâà ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ? 5. ×òî íàçûâàåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëî ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ? 6. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè? 7. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ è êàêîâà åå ñâÿçü ñ ãðàäèåíòîì ôóíêöèè? 8. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ íà ýêñòðåìóì.

— 18 —

Òåìà VII. Êðàòíûå è êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. XIV, 1—5, 10; ãë. XV, § 1, 2, 4; [2], ÷. 2, ãë. 1, § 1—4, 6; ãë. 2, § 1, 2. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ýòîé òåìå íåîáõîäè î ïðåæäå âñåãî ðàçîáðàòüñÿ â ïðàâèëàõ ïåðåõîäà îò äâîéíîãî è òåãðàëà ïî ïðàâèëüíîé îáëàñòè D ê äâóêðàòíî ó (ïîâòîð îìó) èíòåãðàëó: åñëè D — ïðàâèëüíàÿ îáëàñòü, îãðà è÷å íàÿ â íàïðàâëåíèè îñè Îy ëèíèÿìè y = ϕ 1 (x), y = ϕ 2(x), [a ≤ x ≤ b, ϕ 1(x) ≤ ϕ2(x)], òî b

∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ dx D

a

ϕ2 (x )

b  ϕ (x )  ( ) = f x , y dy ∫ ∫  ∫ f (x, y )dy  dx. a  ϕ (x ) ϕ (x )  2

1

1

Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïåðåõîä â äâîéíî èíòåãðàëå ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì. Èçó÷èòå ìåõàíè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ äâîéíîãî è òåãðàëà. Ïðè èçó÷åíèè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ðàçáåðèòåñü â ñïîñîáå åãî ñâåäåíèÿ ê îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó ïî åêîòîðîìó îòðåçêó. Èçó÷èòå óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî è òåãðàëà îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Êàêàÿ îáëàñòü íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé? 2. Êàê ñâåñòè äâîéíîé èíòåãðàë ïî ïðàâèëüíîé îáëàñòè ê äâóêðàòíîìó? 3. Êàêîâû ïðàâèëà ïåðåõîäà â äâîéíîì èíòåãðàëå ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì? 4. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ îáúåì òåëà ñ ïîìîùüþ äâîé îãî è òåãðàëà? 5. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ ìàññà è öåíòð òÿæåñòè ïëîñêîé ïëàñòèíû ïðè çàäàííîé ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè? 6. Êàêèå çàäà÷è ïðèâîäÿò ê ïîíÿòèþ êðèâîëèíåé îãî è òåãðàëà? 7. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë? 8. Êàê âëèÿåò íà çíà÷åíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà àïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ? 9. Êàêîâû óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî è òåãðàëà îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ? — 19 —

10. Êàêîâà ñâÿçü åçàâèñè îñòè êðèâîëè åé îãî è òåãðàëà îò ïóòè è òåãðèðîâà èÿ è ðàâå ñòâà óëþ êðèâîëè åéíîãî èíòåãðàëà ïî ëþáî ó çà êíóòî ó êîíòóðó?

ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 3 Çàäàíèå 1.  çàäà÷àõ 1.1—1.5 äàíà ôóíêöèÿ Z = f(x; y). Íàéòè:

d 2z dx2

d 2z . dy2 d 2z d 2z 2. Ñìåøàííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå è . dx dy dy dx tg x 1.1. z = y

1. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà

1.2. z = arccos 1.3. z =

x

y x

y

1.4. z = ln 1.5. z = arctg

2

x2 + 4y y x

1.6. Äàíà ôóíêöèÿ z = arcsin

x− y . x+ y

dz dz +y =0 dx dy x y 1.7. Äàíà ôóíêöèÿ z = e . Ïîêàçàòü, ÷òî x

Ïîêàçàòü, ÷òî x

dz dz +y =0 dx dy

1.8. Äàíà ôóíêöèÿ z =

xy . x+y

— 20 —

è

Ïîêàçàòü, ÷òî x

dz dz +y =z dx dy

y . x

1.9. Äàíà ôóíêöèÿ z = x ln Ïîêàçàòü, ÷òî x

dz dz +y =z dx dy

y2 . xy

1.10. Äàíà ôóíêöèÿ z =

Ïîêàçàòü, ÷òî x

2

2 d 2z 2 d z − y =0 dx 2 dy 2

 çàäà÷àõ 1.11—1.20 âû÷èñëèòü ÷àñòíûå ïðîèçâîä ûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ îò çàäàííûõ ôóíêöèé. 1.11. z = 3 sin( x − y ) − 5x y − 7 3

2

3

1.12. z = 8 ln( xy ) + 10 xy − 8x 2

1.13. z = 2e 3 x+ y − 2 x 2 y 2 + 9 y 2

1.14. z = 8 cos (xy ) − 3 x − 12 x y 4

1.15. z = 3

x 2 + y 2 − 5xy3 + 8 y

1.16. z = x sin (xy ) + 8 x y − 7 x 2

(

2

)

1.17. z = 0 ,5 ln x 3 + y 2 − 9 x 3 y + 2 x 1.18. z =

x + 2 y + 3x 4 y − 8 x − 2

1.19. z = 8e

x + y3

(

− 3xy 3 + 7 x − 3

1.20. z = 8 ln x + y 2

2

)− 6 x

2

y 3 + 8x − 1

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Íàéòè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ 3 2 ôóíêöèè z = x y + x sin y . — 21 —

Ðåøåíèå. Íàõîäè ÷àñò óþ ïðîèçâîä óþ

dz . Ïðè ýòî ðàñdx

ñìàòðèâàåì ïåðåìåííóþ y êàê ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó.

dz = 3x 2 y 2 + sin y . dx dz Àíàëîãè÷íî íàõîäèì , ñ÷èòàÿ ïåðåìåííóþ x ïîñòîÿ dy Ïîëó÷àåì

íîé âåëè÷èíîé:

dz = 2 x 3 y + x cos y . dy Äàëåå, äèôôåðåíöèðóÿ

dz d 2z = 6xy 2 ; ïî x, ïîëó÷àåì 2 dx dx

d2z dz ïî x, ïîëó÷àåì = 6 x 2 y + cos y ; äèôdx dy dx d 2z dz ôåðåíöèðóÿ ïî y, ïîëó÷àåì = 2 x 3 − x sin y . dy dy 2

äèôôåðåíöèðóÿ

Çàäàíèå 2.  çàäà÷àõ 2.1—2.10 ôóíêöèþ z = f (x; y) èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì. 2.1. z = xy − x − 2 y + x + 10 y − 8 2

2

2.2. z = 3x + 3xy + y − 6 x − 2 y + 1 2

2

2.3. z = 3xy − x − 4 y + 4 x + 6 y − 1 2

2

2.4. z = 3x + 3 y + 5xy + 4 x − 7 y + 5 2

2

2.5. z = 3xy − x − 3 y − 6 x + 9 y − 4 2

2

2.6 . z = x + y + 3xy − x − 4 y + 1 2

2

2.7. z = x + y − xy + x + y + 2 2

2

2.8. z = 3x + 3 y + 5xy + x − y + 5 2

2

2.9. z = x + 2 xy − y + 6 x − 10 y + 1 2

2

2.10. z = 4 − 5x − y − 4 xy − 4 x − 2 y 2

2

— 22 —

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Èññëåäîâàòü à ýêñòðå ó ôó êöèþ z = −4 + 6 x − x − xy − y . Ðåøåíèå. Íàõîäèì ñòàöèîíàðíûå òî÷êè çàäàííîé ôó êöèè: 2

2

dz dz = 6 − 2 x − y; = − x − 2 y. dx dy Ðåøàÿ ñèñòåìó

6 − 2 x − y = 0,  − x − 2 y = 0, íàõîäèì x 0 = 4, y 0 = −2 . Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ èìååò òîëüêî îä ó ñòàöè-

îíàðíóþ òî÷êó P0 (4; − 2 ). Íàõîäèì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà è èõ çíà÷åíèÿ â íàéäåííîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êå:

d 2z d 2z d 2z = −2; = −1; = −2. 2 dx dxdy dy 2 ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà íå ñîäåðæàò , î è ïîñòîÿííû â ëþáîé òî÷êå è, â ÷àñòíîñòè, â òî÷êå P0 (4; − 2 ) . Èìååì A = –2, B = –1, C = –2;

∆=

− 2 −1 = 4 − 1 = 3 >0. −1 − 2

Òàê êàê ∆ > 0 è A < 0, òî â òî÷êå P0 (4; − 2 ) äàííàÿ ôó êöèÿ

èìååò ìàêñèìóì zìàêñ = z(4; − 2 ) = − 4 + 24 − 16 + 8 − 4 = 8 .

 çàäà÷àõ 2.11—2.20 íàéòè íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå ç à÷åíèÿ ôóíêöèè Z = f(x; y) â çàäàííîé çàìêíóòîé îáëàñòè. 2.11. z = x2 + y2 – 4xy – 4 â êâàäðàòå 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4. 2.12. z = x2 + 4xy – y2 – 6x – 2y â òðåóãîëüíèêå, îãðà è÷å î îñÿìè êîîðäèíàò Îõ è Îó è ïðÿìîé ó = 4 – õ. 2.13. z = x2 + 2y2 + 4xy + 1 â êâàäðàòå –1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. 2.14. z = x3 + y3 – 3xy â êâàäðàòå 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4.

— 23 —

2.15. z = x2 – 2y2 + 4xy – 6x + 5 â òðåóãîëü èêå, îãðà è÷å î îñÿ è êîîðäè àò Î è Îó è ïðÿ îé x + ó = 3. 2.16. z = 2x3 + 4x2 + y2 – 2xy â îáëàñòè, îãðàíè÷å îé ïàðàáîëîé y = x2, ïðÿìîé y = 4 è îñüþ (x ≥ 0). 2.17. z = x 2 + xy – 3x – y â ïðÿìîóãîëüíèêå 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤3. 2.18. z = x2 – 2xy + 3 â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé y = 4 – x2 è îñüþ Îõ. 2.19. z = x2 + 2xy – y2 – 2x + 2y + 3 â òðåóãîëüíèêå, îãðàíè÷åííîì ïðÿìûìè y = 0, x = 2, y = x + 2. 2.20. z = x2 + y2 – 6x + 4y + 2 â ïðÿìîóãîëüíèêå 0 ≤ x ≤4, –3 ≤ y ≤ 2. Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè z = x2 + 2y2 – 2x – 8y + 5 â çàìêíóòîì òðåóãîëüíèêå ÀÎÂ, îãðàíè÷åííîì îñÿìè êîîðäèíàò è ïðÿìîé x + y – 4 = 0. Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè â çàäàííîé çàìêíóòîé îáëàñòè, íåîáõîäèìî: 1) íàéòè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè îáëàñòè, è âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôó êöèè â ýòèõ òî÷êàõ; èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ýòè òî÷êè å ñëåäóåò; 2) íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó êöèè íà ãðàíèöå îáëàñòè; åñëè ãðàíèöà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ëèíèé, òî èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äëÿ êàæäîãî ó÷àñòêà â îòäåëüíîñòè; 3) ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è óñòàíîâèòü íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â çàäà íîé çàìêíóòîé îáëàñòè. Íàõîäèì ñòàöèîíàðíûå òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè çàäà îé îáëàñòè:

dz dz = 2 x − 2; = 4 y − 8;. dx dy

— 24 —

֌

Ïðèðàâ ÿâ ê óëþ ÷àñò ûå ïðîèçâîä ûå è ðåøèâ ïîëóóþ ñèñòå ó

2 x − 2 = 0,  4 y − 8 = 0,

íàõîäèì ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó P0(1; 2). Ýòà òî÷êà ïðèíàäëåæèò çàäàííîé îáëàñòè. Âû÷èñëè ç à÷åíèå ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå:

z(P0) = z(1;2) = 1 + 8 – 2 – 16 + 5 = –4.

Ãðàíèöà îáëàñòè ñîñòîèò èç îòðåçêà ÎÀ îñè Î , îòðåçêà Πîñè Îó è îòðåçêà ÀÂ. Îïðåäåëèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó êöèè z íà êàæäîì èç ýòèõ òðåõ ó÷àñòêîâ. Íà îòðåçêå ÎÀ y = 0, à 0 ≤ x ≤ 4. Åñëè y = 0, òî z(x) = x2 – x + 5. Íàõîäèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ýòîé ôó êöèè íà îòðåçêå [0; 4]:

dz = 2 x − 2 ; 2 x − 2 = 0 ; x = 1; dx

P1 (1; 0 ); z (P1 ) = z (1; 0 ) = 4 .

Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà ÎÀ, ò. å. â òî÷êàõ O(0; 0) è A(4; 0): z(0) = 5; z(4) = 13. Íà îòðåçêå Πx = 0 è 0 ≤ y ≤ 4. Åñëè x = 0, òî z(y) = 2y2 – 8y + 5. Íàõîäèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó êöèè z îò ïåðåìåííîé y íà îòðåçêå [0; 4]:

dz = 4 y − 8; 4y – 8; y=2; P2 (0 ; 2 ); P2 (0 ; 2 ) . dy

 òî÷êå Î(0; 0) çíà÷åíèå ôóíêöèè óæå áûëî íàéäå î. Âû÷èñëèì çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå Â: z(B) = z(0;4) = 5. Òåïåðü èññëåäóåì îòðåçîê ÀÂ. Óðàâíåíèå ïðÿ îé À è ååò âèä y = 4 – x. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå äëÿ ó â çàäà óþ ôóíêöèþ z, ïîëó÷èì

z= x2 + 2(4 – x)2 – 2x – 8(4 – x) + 5 = 3x2 – 10x + 5. — 25 —

Îïðåäåëè àèáîëüøåå è àè å üøåå ç à÷å èÿ ýòîé ôó êöèè à îòðåçêå [0; 4]:

dz 5 = 6 x − 10; 6 x − 10 = 0; x = ; 3 dx ãäå

5 P3 =  ; 3

7 ; 3

Ð3 — ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà íà îòðåçêå ÀÂ. Âû÷èñëèì çíà÷åíèå ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå: z (P3

)=

10 5 7 z ;  = − . 3 3 3

Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà À íàéäå û ðà åå. Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè z â ñòàöèî àðíîé òî÷êå Ð0 çàäàííîé îáëàñòè, â ñòàöèîíàðíûõ òî÷êàõ à ãðàíèöàõ îáëàñòè Ð1, Ð2, Ð3 è â òî÷êàõ Î, À è Â, çàêëþ÷àå , ÷òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå â çàäàííîé çàìêíóòîé îáëàñòè ôó êöèè z èìååò â òî÷êå À, íàèìåíüøåå çíà÷åíèå — â òî÷êå P0 (1; 2). Èòàê,

zíàèá = z(4; 0) = 13; zíàèì = z(1; 2) = –4. Çàäàíèå 3.  çàäà÷àõ 3.1—3.20 òðåáóåòñÿ: 1. Ïîñòðîèòü íà ïëîñêîñòè õÎó îáëàñòü èíòåãðèðîâà èÿ çàäàííîãî èíòåãðàëà. 2. Èçìåíèòü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è âû÷èñëèòü ïëîùàäü îáëàñòè ïðè çàäàííîì è èçìåíåííîì ïîðÿäêàõ èíòåãðèðîâà èÿ. 2

2 2x

0

x2

3.1. ∫ dx 3

3.2. 3.3.

3.4.

∫ dx

∫ dy

8− x 2

∫ dy

0

8 −3 x

3

3 x −3

0

x 2 −3

3

2 3x

0

2 x2 / 3

∫ dx

∫ dx

3.5.

∫ dy

∫ dy

3.6.

4

3 x

0

3 x2 / 8

7

x −1

1

(x −1)2 / 6

∫ dx ∫ dx

∫ dy ∫ dy x +1

9

∫ dx ∫ dy

3.7. 5

2 x −1

1

(x −1)2 / 4

∫ dx

3.10. 3.11.

x 2 / 9 +1

0

3.8.

3.9.

— 26 —

∫ dy

3.12.

5

(x −1 )/ 2

1

(x −1 )2 / 8

∫ dx

∫ dy

3

2 3x

0

2 x3 / 9

6

2 x−4

0

x 2 / 3− 4

5

5x

0

x2 / 5

∫ dx ∫ dx

∫ dy ∫ dy

∫ dx ∫ dy

3.13.

4

4 x

0

x3 / 8

∫ dx ∫ dy 4

3.14.

4 x

3.15.

2 x −3

0

x 2 / 2 −3

3/ 2

0

x2 / 4

∫ dy

2x

0

x3 / 8

3

4 x/3

0

4 x2 / 9

x /2

∫ dx

3.19.

∫ dx ∫ dy

3.17.

2

6

∫ dy

4

∫ dx ∫ dy 0

4

∫ dx

3.16.

∫ dx

3.18.

3.20.

8

2 x −1

0

x / 2 −1

5

2 x−4

0

2 x 2 / 5− 4

∫ dx ∫ dy ∫ dx

∫ dy

∫ dy

Çàäàíèå 4.  çàäà÷àõ 4.1—4.20 âû÷èñëèòü îáúå òåëà, îãðàíè÷åííîãî çàäàííûìè ïîâåðõíîñòÿìè è ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâîì îêòàíòå. 4.1. x + y + z = 10; 2

2

x 2 + y 2 = 1; y = x; y = 0; z = 0.

4.2. x + y + z =16; x + y = 4. 2

4.3. x

2

2

2

2

+ y 2 = 2;

2 2 4.4. x + y + z = 12;

2

x + y + z = 2; x 2 + y 2 = 4; y =

4.5. x + y + z = 10 ; 2

2

2

4.6. x + y = 2

2

1 ; 2

4.7. z = 8 − x 2 − y 2 ; 2

4.9. x + y

2

z = 0;

x ; y = 0; z = 0. 3

x2 + y2 − 4 = 0 .

x + y + z = 1;

4.8. x + y + z = 36 ; 2

z = 0.

z = 0.

y = 3x ; y = x.

z = 0;

y = x;

= 4; z = 1 + x 2 + y 2 . 9 2 2 4.10. x + y = ; x + y + z = 3; z = 0. 2 2 2 4.11. x + y = 3 ; z = 4 − x 2 − y 2. 2 2 2 2 4.12. x + y = 5 ; z = x + y . 4.13. x 2 + y 2 = 2 ; y 2 + z 2 = 2. 2

2

2 2 4.14. x + y = 18 ;

x + y + z = 6; — 27 —

z = 0.

y = 0.

4.15. x + y + z = 4 ; 2

2

x 2 + y 2 = 2.

2

2 2 4.16. z = 8 − x − y ;

x 2 + y 2 = 3;

y=

3;

y = 0.

1 8

1 x + y + z = ; y = x; y = 0; z = 0 . 2 x 4.18. z = 1 − x2 − y 2 ; y = 3 x; y = ; z = 0. 3 4.17. x + y = ; 2

2

4.19. x 2 + y 2 + z 2 = 4 ; 4.20. x 2 + y 2 = 18;

x 2 + y 2 = 3.

y = x;

y = 0;

z

ðîâ

x+y+z=4

4

z = 0.

Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìå-

Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü îáúåì òåëà, îãðàíè÷å îãî ïîâåðõíîñòÿìè x2 + y2 = 8, x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4 è ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâî îêòàíòå. Ðåøåíèå. Çàäà îå òåëî îãðàíè÷åíî êðóãîâû öèëè äðîì x2 + y2 = 8, êîîðäè àò ûìè ïëîñêîñòÿìè è ïëîñêîñòüþ

x 2+ y2 =8

0

x + y + z = 6;

y

4 x

x + y + z = 4. Îáúåì öèëèíäðè÷åñêîãî òåëà, îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ïîâåðõíîñòüþ z = f(x, y), ñíèçó — ïëîñêîñòüþ z = 0 è ïî áîêà — ïðÿìîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, âûðåçàþùåé à ïëîñêîñòè õÎó îáëàñòü D, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

V = ∫∫ f (x, y ) dx dy. D

 äàííîì ñëó÷àå îáëàñòü D — ýòî ÷àñòü êðóãà ðàäèóñî 8, ðàñïîëîæåííàÿ â ïåðâîì êâàäðàíòå, ïîýòîìó ðàññ àòðèâàå ûé èíòåãðàë óäîáíî âû÷èñëÿòü â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïðè ýòî x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = rd rdϕ . Òàêèì îáðàçîì, π 2

8

V = ∫∫ (4 − x − y )dx dy ∫ d ϕ ∫ (4 − r cos ϕ − r sin ϕ )rdr = D

0

0

— 28 —

π 2

π 2

 r 2 r 3 r3  8 = ∫   4 ⋅ − cos ϕ − sin ϕ   dϕ = 2 3 3 0   0  

∫ 0

  16 2 (cos ϕ + sin ϕ ) dϕ = 16 − 3  

π  2  16 2 16 2 32 2 sin ϕ + =  16 ϕ − cos ϕ  = 8 π − . 3 3 3  0 

Ïðèìåð 2. Íàéòè îáúåì òåëà, îãðàíè÷åííîãî ïîâåðõíîñòÿìè õ 2 + ó 2 = 9; õ 2 + z 2 = 9 è ðàñïîëîæåííîãî â ïåðâîì îêòàíòå. Ðåøåíèå. Çàäàííîå òåëî îãðàíè÷åíî äâóìÿ êðóãîâûìè öèëèíäðàìè. Èñêîìûé îáúåì âûðàæàåòñÿ èíòåãðàëîì

z x2+ z2 = 9 3

x2+ y2 = 9 0 3

V = ∫∫ 9 − x dx dy,

ó

2

3

D

x

ãäå D – ÷åòâåðòü êðóãà ðàäèóñà, ðàâíîãî 3. Òàêèì îáðàçîì, 3

V = ∫ dx 0

9− x 2

∫ 0

 9 − x dy = ∫  9 − x 2  0 3

2

 dy ∫  dx = 0 

9− x 2

3 3   x3  3 27 9 − x 2  2 = 18. dx = ∫ 9 − x 2 dx =  9 x −  = 27 − = ∫ 9 − x  y  3 3 0 0   0 0 

(

)

Çàäàíèå 5.  çàäà÷àõ 5.1—5.10 óñòàíîâèòü íåçàâèñè îñòü îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ è âû÷èñëèòü êðèâîëèíåéíûé è òåãðàë ïî êîíòóðó, ñâÿçûâàþùåìó òî÷êè Ì (1; 2) è N (3; 5). 5.1. 5.2. 5.3.

∫ (x − 2 y )dx − (2 x ∫ (1 + 2 xy )dx + (x 3

2

∫ (x

2

− 5 )dy

+ y )dy

− y )dx − (x − 3 y )dy — 29 —

5.4.

1 

∫ (3 + xy )dx +  2 x

2

 + 2 y  dy 

∫ (5 x − 2 y )dx − (2 x − y )dy 5.6. ∫ (3 x − y )dx − (x + 3 y )dy 5.7. ∫ (4 xy + 3 )dx + (2 x − y )dy 5.5.

2

2

5.8. 5.9. 5.10.

∫ (4 + xy )dx + (x y + 2 y )dy ∫ (2 xy + 8)dx + (x + 2 y )dy 2

2

2

∫ (5 x

2

− 3 y )dx + (y 2 − 3 x )dy

Ðåøèòü çàäàíèÿ 5.11—5.20. 5.11.

∫ (x

5.12.

x ∫ (2 + xy)dx + 

5.13.

∫ (x

5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18.

− y )dx − (x − 2 y )dy 2

2

3

∫ (2 x

 − y  dy ; 

− 2 y )dx − (2 x − 5 )dy − 3 y )dx − (3 x − 4 y )dy

∫ (4 + xy )dx + (x y − 3 y )dy ∫ (3 x − 2 y )dx − (2 x + y )dy 2

2

2

∫ (1 + 2 xy )dx + (x − y )dy ∫ (5 x − 2 y )dx − (2 x − y )dy 2

5.19.

∫ (3 x

5.20.

∫ (4xy + 3)dx +  2x

2

− y )dx − (x + + 2 y )dy



2

3  − y2  dy 2 

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Âû÷èñëèì êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë

(

)

3  I = ∫ x 2 + 3 xy dx +  x 2 + y  dy 2 

ïî êîíòóðó, ñîåäèíÿþùåìó òî÷êè Ì (1; 1) è N (2; 3), ïðåäâàðèòåëüíî óáåäèâøèñü â íåçàâèñèìîñòè åãî îò ïóòè èíòåãðèðîâà èÿ. — 30 —

 äà î ñëó÷àå âûïîë å î óñëîâèå åçàâèñè îñòè êðèâîëè åé îãî è òåãðàëà îò ïóòè è òåãðèðîâà èÿ

dP dQ = , dy dx ãäå P = x 2 + 3xy ,

Q=

Äåéñòâèòåëüíî,

3 2 x + y. 2

dP = 3x, dy

dQ = 3 x. dx

Âûáåðåì â êà÷åñòâå êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ íàèáîëåå ïðîñòîé êîíòóð, ñâÿçûâàþùèé òî÷êè Ì è N, íàïðè åð, ëî à óþ, çâåíüÿ êîòîðîé ïàðàëëåëüíû îñÿì êîîðäèíàò: y 3

N

x=2

M 1 y=1

0

1

2

x

Èìååì íà ïåðâîì ó÷àñòêå y = 1, dy = 0, 1 ≤ x ≤ 2; íà âòîðîì ó÷àñòêå x = 2, dx = 0, 1 ≤ y ≤ 2. Òàêèì îáðàçîì,

∫ (x 2

I=

1

2

)

 x 3 3x 2  2  y2  3 5  + 6y +  = 22 . + 3 x dx + ∫ (6 + y )dy = +    2  1  2  1 6  3 1 3

ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 4 Òåìà 1. ×èñëîâûå è ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. 16, § 1—3, 6—8, 13, 17, 19—21; ãë. 17, § 1—6; [2], ÷. II, ãë. 3, § 1—6, 8. — 31 —

Ïðåæäå ÷å ïðèñòóïèòü ê ðåøå èþ çàäà÷ ýòîé òå û, åîáõîäè î èçó÷èòü ïðèç àêè ñõîäè îñòè äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ: íåîáõîäè ûé ïðèçíàê ñõîäè îñòè ðÿäà; îñíîâíûå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ; äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè, îñ îâà íûå íà ñðàâíåíèè ðÿäîâ; ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Äàëà áåðà; è òåãðàëüíûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè Êîøè; ïðèçíàê Ëåéá èöà. Äàëåå ñëåäóåò èçó÷èòü ïîíÿòèÿ àáñîëþòíîé è óñëîâíîé ñõîäè îñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, à òàêæå ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà.  çàäà÷àõ íà ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëå îãî è òåãðàëà ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôó êöèè â ðÿä ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôó êöèé â ñòåïåííûå ðÿäû: 1) e x = 1 +

1 1 1 x + x2 + K + xn + K; 1! 2! n!

(− ∞ < x < ∞);

2) sin x = x −

1 3 1 5 1 n −1 x + x − K + (− 1) x 2 n−1 + K; (2 n − 1)! 3! 5!

3) cos x = 1 −

1 2 1 4 1 n −1 x + x − K + (− 1) x 2 n + K; (2n)! 2! 4!

1 2

1 3

4) ln(1+ x) = x − x + x −K+ (−1) 2

3

n+1

1 n x + K; n

(−∞ < x < ∞ );

(− ∞ < x < ∞ );

(−1 < x < 1 ).

Ïðè èçó÷åíèè ðÿäîâ Ôóðüå îáðàòèòå âíèìàíèå à ñïîñîáû ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè, çàäàííûõ íà îòðåçêå [0; e]. Åñëè ýòó ôóíêöèþ ïðîäîëæèòü íà îòðåçîê [–å; 0] ÷åò û îáðàçîì, òî ïîëó÷åííîå ïðè ýòîì ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå áóäåò ñîäåðæàòü ëèøü êîñèíóñû êðàòíûõ äóã è áóäåò ïðåäñòàâëÿòü äà íóþ ôóíêöèþ íà çàäàííîì îòðåçêå [0; å]. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàþò, åñëè òðåáóåòñÿ ïðåäñòàâèòü ôóíêöèþ, çàäàííóþ à îòðåçêå [0; å], òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì, ñîäåðæàùè ëèøü ñè óñû êðàòíûõ äóã. Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Êàêîé ðÿä íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ (ðàñõîäÿùè ñÿ)? 2. Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäè îñòè ðÿäà. 3. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ çíàêîïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ. — 32 —

4.  ÷å ñîñòîèò ïðèç àê Äàëà áåðà? 5. Äëÿ êàêèõ ðÿäîâ ïðè å ÿåòñÿ ïðèç àê Ëåéá èöà?  ÷å åãî ñóùíîñòü? 6. Êàê íàéòè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà? 7. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ïî÷ëåííîì äèôôåðå öèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà. 8. Êàê âû÷èñëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ìàêëîðå à äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè? 9. Íàïèøèòå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ìàêëîðåíà ôó êöèé

e x , sin x, cos x, arctg x , arcsin x, (1 + x ) . n

10. Êàê èñïîëüçóþòñÿ ñòåïåííûå ðÿäû â ïðèáëèæå ÷èñëåíèÿõ?

ûõ âû-

ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 4 Çàäàíèå 1.  çàäà÷àõ 1.1—1.10 èññëåäîâàòü ñõîäè îñòü ðÿäîâ, ïîëüçóÿñü ïðèçíàêîì Äàëàìáåðà.

2n n5

∞

1.1.

∑

1.2.

∑ (n + 1)!

1.3.

∑

1.4.

∑

n =1

1.7.

∑

3nn ! nn

1.8.

∑ (n + 1 )!

n =1

n n n !

1.9.

∑ (2 n − 1)5

∞

n =1

∞

∑

(n + 1 )

n 2

1.10.

n!

n =1

n =1

2

n 2

2 n (n + 1) 5n n =1 ∞

n =1

∞

1.5.

∑

3n

∞

2

∞

1.6.

∞

n3

n =1

n

∞

n =1

n

3n

∞

∑ (n + 1)(n + 2 ) n =1

 çàäà÷àõ 1.11—1.20 èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ðÿäîâ, ïîëüçóÿñü èíòåãðàëüíûì ïðèçíàêîì ñõîäèìîñòè Êîøè. ∞

1.11.

1 3 n + 1)[ln(n + 1)]

∞

∑( n=1

1.12.

— 33 —

∑

n =1

n en

n 2

1

∞

1.17. 1.18.

∑

2

1.19.

∑

1 4n − 3

1.20.

∑

1.13. 1.14.

∑ 1 + 4n

1.15.

∑

1.16.

∑

n =1

1

∞

n =1

∞

n =1

2

n

∞

n =1

1

∞

∑n(n +1)

∑ 2 n (2 n + 1)

e

n

n=1 ∞

n =1

∞

n =1

1 3n + 1

1 (n + 1 ) n

∞

1

n =1

n 1 + n2

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà ∞

5n Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä ∑ . n =1 n (n + 1)

Ðåøåíèå. Îáùèé ÷ëåí ðÿäà

un =

5n , n (n + 1)

5n +1 . (n + 1)(n + 2) Ïðèìåíÿåì ïðèçíàê Äàëàìáåðà è âû÷èñëÿå

òîãäà un +1 =

d = lim

n→ ∞

ïðåäåë:

⋅ n (n + 1) u n +1 5 5n = lim = lim = 5. n n → ∞ (n + 1 )(n + 2 ) ⋅ 5 n→∞ n + 2 un n +1

Òàê êàê d > 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ. ∞

an xn ∑ bn k n . n =1 Íàïèñàòü ïåðâûå ÷åòûðå ÷ëåíà ðÿäà, íàéòè èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ðÿäà è âûÿñíèòü âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà à êî öàõ èíòåðâàëà. Çíà÷åíèÿ à, b è k äàíû. Çàäàíèå 2.  çàäà÷àõ 2.1—2.20 äàí ñòåïåííîé ðÿä

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

a = 2, b = 3, a = 3, b = 4, a = 4, b = 3, a = 5, b = 6, a = 3, b = 7,

k = 4; k = 5; k = 3; k = 2; k = 3; — 34 —

2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.

a = 6, b = 5, a = 5, b = 2, a = 2, b = 3, a = 3, b = 5, a = 2, b = 7,

k = 3; k = 4; k = 5; k = 6; k = 3;

2.11. a = 7, b = 5, k = 4; 2.12. a = 5, b = 7, k = 4; 2.13. a = 3, b = 8, k = 5; 2.14. a = 4, b = 7, k = 3; 2.15. a = 2, b = 5, k = 3; Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà

2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20.

a = 4, a = 6, a = 5, a = 8, a = 9,

b = 5, k = 3; b = 7, k = 4; b = 8, k = 2; b = 3, k = 4; b = 2, k = 5.

∞

Íàéòè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà

∑ (n + 1)7n 1

xn .

n =1

Îïðåäåëèòü õàðàêòåð ñõîäèìîñòè ðÿäà íà êîíöàõ è òåðâàëà ñõîäèìîñòè. Ðåøåíèå. Çàïèøåì çàäàííûé ðÿä ñëåäóþùè îáðàçî :

1 1 1 1 x+ x2 + K + xn + +K (n + 1)7 n (n + 2 )7 n+1 2 ⋅7 3 ⋅ 72 Îáùèé ÷ëåí ðÿäà u =

1 xn. (n + 1)7 n

Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðÿäà íà àáñîëþòíóþ ñõîäè îñòü ïðè åíèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà: d = lim

n→∞

(un +1 ) un

= lim

n →∞

(n + 1) x n +1 7 n 7 n +1 (n + 2 ) x n

= lim

n→∞

1 n +1 x= 7 n+2

1 1+ 1 1 1 n = x ⋅ lim = x . 2 7 n →∞ 7 7 1+ n

1 x < 1, òî åñòü ïðè –7 < x < 7 èñõîä7 íûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Âûÿñíèì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà íà êîíöàõ è òåðâàëà ñõîäèìîñòè, òî åñòü â òî÷êàõ x = –7, x = 7. Ïðè x = 7 çàäà íûé ðÿä ïðèíèìàåò âèä Òàêèì îáðàçîì, ïðè

∞

∞ ∞ 1 1 n n n ( ) ( ) − = − = 7 1 7 ∑ (n + 1)7n ∑ (n + 1)7n ∑ n =1 n =1 n =1

(− 1) n

1 . n +1

Ýòî ÷èñëîâîé çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä. Åãî îáùèé ÷ëå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ìîíîòîííî óáûâàåò è ñòðå èòñÿ ê óëþ — 35 —

ïðè n → ∞. Òàêè îáðàçî , îáà óñëîâèÿ ïðèç àêà Ëåéá è à âûïîë å û, è ðÿä ñõîäèòñÿ (óñëîâ î), ò. å. òî÷êà = 7 ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ñõîäè îñòè çàäàííîãî ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïðè õ = 7 èñõîäíûé ðÿä ïðèíèìàåò âèä

1 1 1 1 1 1 ∑ (n +1)7 (− 7) = ∑ n + 1 = 2 + 3 + 4 + ... + n +1 + ... ∞

n

n

n=1

∞

n=1

Ýòî ÷èñëîâîé çíàêîïîëîæèòåëüíûé ðÿä, êîòîðûé, î÷åâèäíî, ðàñõîäèòñÿ (ñðàâíèòå åãî ñ ãàðìîíè÷åñêè ðÿäî ). Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà õ = 7 íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ñõîäè îñòè çàäàííîãî ñòåïåííîãî ðÿäà. Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòü ñõîäèìîñòè èñõîäíîãî ñòåïå îãî ðÿäà –7 < x < 7. Âíå ýòîãî èíòåðâàëà ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Çàäàíèå 3.  çàäà÷àõ 3.1—3.20 òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ñ òî÷íîñòüþ äî 0,001 ïóòåì ïðåäâàðèòåëü îãî ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ðÿä è ïî÷ëå îãî èíòåãðèðîâàíèÿ ýòîãî ðÿäà. 3.1.

∫ 0

2 3.7. ∫ x cos xdx 0

xdx

1 2

∫

3.2.

1

sin x dx 3 x

1

1+ x3

0

1

3.3.

3.4.

∫x

x sin

3.10.

∫ xe

−

x

dx

∫

(1 + x ) 3

0 3 1 2

dx

0

ln (1 + x 2 ) dx 3.6. ∫ x2 0

3.11.

∫

3.12.

∫e

12

0

1

0

— 36 —

xdx

0

12 2

xe − x dx

0

1 4

3.5.

3.9.

0

∫

)

x dx

0

1

∫ x cos xdx −1

∫ x ln (1 +

1 4

3.8.

4

xdx 1+ x4

− 0 ,1 x 3

dx

2

dx

12

∫

3.13.

(1 + x )

∫ 0

1 2

∫

3.15.

0

13

3.16.

∫ 0

1+ x

3

∫ 0

sin 4 x dx x

12

xdx

1 4

3.14.

1 4

3.17.

4 3

0 4

3.18.

2

arctg x dx x

∫ x cos

2 xdx

0

arctgx 2 dx 3.19. ∫ x 0 12

ln (1 + x 2 ) dx 3.20. ∫ x 0 12

sin 3 x dx x

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Âû÷èñëèòü ñ òî÷íîñòü äî 0,001 èíòåãðàë:

1 2

∫x e

2 −x2

dx ïóòå

0

ïðåäâàðèòåëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä è ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ýòîãî ðÿäà. Ðåøåíèå.  ðàçëîæåíèè ôóíêöèè åõ â ñòåïåííîé ðÿä

1 1 1 x + x 2 + ... + x n + ... 1! 2! n! çàìåíèì õ íà –õ2. Òîãäà ïîëó÷èì ex = 1 +

2

e−x = 1+

1 (− x2 )+ 1 (− x2 )2 + ...+ 1 (− x2 )n + ... 1! 2! n!

Óìíîæàÿ ýòîò ðÿä ïî÷ëåííî íà õ2, áóäåì è åòü

x 2e−x = x 2 − 2

Ñëåäîâàòåëüíî, 1 2

∫x 0

2

e

−x2

dx =

1 2

∫ 0

1 4 1 6 1 8 x + x − x + ..... 1! 2! 3!

  2 1 4 1 6 1 8  x − 1 ! x + 2 ! x − 3 ! x + K  dx =  

 x3 1 x5  1 x7 = − + −K 2! 7  3 1! 5 

1 2

=

0

— 37 —

1 1 1 − + −K 24 160 1792

Ïîëó÷å ûé ç àêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿ ïðèç àêà Ëåéá èöà. Òðåòèé ÷ëå ýòîãî ðÿäà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå åíüøå 0,001, ïîýòî ó äëÿ îáåñïå÷å èÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè íóæíî ïðîñóììèðîâàòü ïåðâûå äâà ÷ëå à ðÿäà. Èòàê, 1 2

∫x e

2 −x2

0

dx ≈

1 1 − = 0,048 . 24 160

Çàäàíèå 4.  çàäà÷àõ 4.1—4.20 ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) ðÿä Ôóðüå ïî êîñèíóñàì íà îòðåçêå [0; p].

π +x 2

4.1. f (x ) = x − 2

4.10. f (x ) =

4.2. f (x ) = 1 − 2 x

4.11. f (x ) = 3 x + 1

4.3. f (x ) = 3 x

4.12. f (x ) = − π +

4.4. f (x ) = 2 x + 1 4.5. f (x ) = 1 − x

4.14. f (x ) = 7 x − 1

1 x 4 4.13. f (x ) = − 2 x + 3

4.6. f (x ) = − x − 1

4.15. f (x ) = π x + 2

4.7. f (x ) = 2 x − 1

4.16. f (x ) = π x + 1

4.8. f (x ) = π − x

4.17. f (x ) = x −

4.9. f (x ) = π − 2 x

4.18. f (x ) =

Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà Ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f(x)= f (x ) =

π 2

π − 2x 2

π 1 − x â ðÿä Ôóðüå ïî 2 2

êîñèíóñàì íà îòðåçêå [0; π]. Ðåøåíèå. Òàê êàê ïî óñëîâèþ ðÿä äîëæåí ñîäåðæàòü òîëüêî êîñèíóñû êðàòíûõ äóã, òî ñëåäóåò ïðîäîëæèòü çàäàí óþ ôó êöèþ íà îòðåçîê [−π, 0]. ÷åòíûì îáðàçîì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ôóðüå ïðè å ÿå ôîðìóëû — 38 —

2π ∫ f (x )dx, π0 2π a0 = ∫ f (x )cos nx dx, π0 a0 =

Îòñþäà

(n = 1,2,K). π

x2  2 π π 1  2π a0 = ∫  − x  dx =  x −  = 0, π0 4 2  π4 2 0 π 2 π 1  an = ∫  − x  cos nx dx, (n = 1,2,K). π0 4 2  Ïîñëåäíèé èíòåãðàë âû÷èñëÿåì ìåòîäîì èíòåãðèðîâà èÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëàãàÿ u = π − 2 x , dv = cos nxdx . Îòñþäà 1 du = −2dx , v = cos nxdx = sin nx. n Ñëåäîâàòåëüíî,

∫

an = =

1  sin nx  ( (π − 2 x ) n 2π  1  2   − cos nx  2π  n2 

)

π

=− 0

π

+ 0

 2π sin nxdx  = ∫ π0 

1 (1 − cos nπ )= n2π

0, åñëè n − ÷åòíîå, 1  = 2 ( 1 − cos nπ) =  2 nπ  n 2 π , åñëè n − íå÷åòíîå . Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå ðàçëîæåíèå èìååò âèä:

π 1 2 cos 3x cos 5 x  − x =  cos x + + + K . π 4 2 32 52 

— 39 —

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎ×Àß ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ ÊÓÐÑÀ «ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ» ........................................... 3 ÎÁÙÈÅ ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß ............................... 5 ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 2 ................................................ 6 ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 2 ................................................. 8 ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 3 ............................................. 17 ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 3 ............................................... 20 ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 4 .............................................. 31 ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 4 ............................................... 33

— 40 —

— 41 —

— 42 —

— 43 —

Ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî äèñöèïëèíå «Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç» Äëÿ ñòóäåíòîâ-çàî÷íèêîâ ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè» Â 2 ÷àñòÿõ ×àñòü II

Ñîñòàâèòåëü Áîíäàðåâà Åëåíà Âëàäèìèðîâíà

Ãëàâíûé ðåäàêòîð À.Â. Øåñòàêîâà Ðåäàêòîð Í.Â. Ãîðåâà Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Å.À. Ìàëü÷åíêî

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 26.11.02. Ôîðìàò 60½84/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ãàðíèòóðà Òàéìñ. Óñë. ïå÷. ë. 2,56. Ó÷.-èçä. ë. 2,75. Òèðàæ 50 ýêç. Çàêàç . Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. 400062, Âîëãîãðàä, óë. 2-ÿ Ïðîäîëüíàÿ, 30. — 44 —