変換群とコボルディズム論 (紀伊國屋数学叢書 2)

紀伊國屋 数学叢書 2

編 集委 員 伊藤 戸 田

清 三   (東京大学教授) 宏  

(京都大学教授)

永 田

雅 宜   (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学教授)

内田

伏一

変 換 群 と コ ボ ル デ ィズ ム 論 紀伊國屋書店

は

じ

め

に

  本書 は 群 作用 を もつ 多 様 体 につ い て コボル デ ィズ ム論 の 立 場 か ら研 究 す る基 本 的方 法 を解 説 した もの で あ る.   Thomに

よ り基 本 理 論 が完 成 され た微 分 可 能 多 様 体 の コボル デ ィズ ム論 は,

種 々の構 造群 を もつ 多 様 体 のコ ボ ル デ ィズ ム論 へ発 展 す る と と もに,コ

ボル デ

ィズ ム とい う概 念が 広 く分 類 問題 に応 用 され 多 く の 成 功 を 収 め た.ConnerFloydに 来,こ

よ って群 作 用 を もつ 多様 体 の研 究 に コボル デ ィズ ム論 が応 用 され て 以

の方面 の研 究 が と くに盛 ん であ る よ うに 思わ れ る.

  本 書 で は,Conner-Floydの

著 書1)以 後 の 成 果 を 中心 に,コ

ボル デ ィズ ム論

的 手 法 の解 説 を試 み た い と思 う.以 下,本 書 の 内容 を 簡 単 に紹 介 しよ う.コ ン パ ク ト群 の不 変 積 分 と表 現,お

よび リー マ ン多 様 体 の 指数 写 像 に つ い て の 知 識

が 必 要 に な るが,こ れ 等 につ いて 必 要 最小 限 の 結 果 を第0章 に ま とめ て述 べ た.   第1章 の前 半 は 群 作用 を もつ 位 相 空 間 お よび 軌 道 空 間 の 基 本的 性 質 に つ い て 述 べ た もの で あ り,後 半 は リイ群Gの 的 概 念 の解 説 で あ る.コ 多 様 体 に対 す るG不

可微 分 作 用 を もつ 多様 体 に つ い て 基礎

ボル デ ィズ ム論的 考察 に お い て 重要 なG不

変 な 管状 近 傍 の存 在 お よび境 界 のG不

変な部分

変 なえ りの 存 在 を

中心 に 述 べ て あ る.   第2章 は,ボ ル デ ィズ ム群Ω*(X)お

よびThom準

同 型写 像

μ:Ω*(X)→H*(X;Z) の基 本 的 性 質 お よび ボル デ ィズ ム特 性 数 に つ い て述 べ てあ る.ホ H*(X;Z)が

ね じれ をも た な い有 限CW複

体Xに

モ ロ ジ ー群

対 して,Ω*加 群 と して の

同型

の 成 り 立 つ こ と が,ス 1)  Conner-Floyd:

ペ ク ト ル 系 列 を 使 わ ずに Differentiable

Periodic

証 明 さ れ て い る.ボ

Maps,

Springer-Verlag

ル デ ィズ ム (1964)

群 に 関す る,よ

り詳 しい結 果 に つ い て はConner-Floydの

  第3章 では,本 書 の主 要 な研 究 対 象 で あ るG同

著 書 を参 照 せ よ.

境 群 の 定 義 が述 べ られ,基

本 的 性 質 が 証 明 され る.最 終 節 に おい て,具 体 的 応 用 例 と して,準 自由S1作 用 の場 合 に つ い て詳 し く解 説 した.第4章

で は,引 き続 き準 自由S1作

い て考 察 し,不 動 点 集 合 の次 元 の 評 価 に関 す るOssaの

用につ

結 果 を紹 介 す る.こ こ

で は,環 準 同 型写 像

が重 要 な 役 割 を果 たす.そ の過 程 で,可 微 分 複 素 ベ ク トル束 ξに 付 属 した射 影 フ ァイバ ー束CP(ξ)の

特 性 類 に つ い て の知 識 が 必 要 とな るの で,こ れ につ い

て も解 説 を 加 え た.   この第4章

まで は,主

と してConner-Floydの

が,次 の 第5章 以 降 に お い て は,tom

Dieckに

手 法 の拡 張 に よる もの であ る よる コホモロ ジー 論 と しての コ

ボル デ ィズ ム論 的 手 法 の解 説 を試 み る.   第5章 で は,ま ず 同変Thomス Dieckの

論 文 に お い ては,普

て,同 変Thomス

ペ ク トラ ムの構 成 が 詳 し く述 べ られ る.tom 遍 主 フ ァ イバ ー束 に 関す るMilnor構

ペ ク トラ ムの 存 在 が保 証 され る と して い るだ け な の で,読

者 の便 宜 を 考 え,Grassmann多 Thomス

様 体上 のGベ

ク トル 束 を用 い て具 体 的に 同変

ペ ク トラム を構 成 した.さ らに コホ モ ロジ ー論 と して の 同変 コボル デ

ィズ ム論 の 基 本 的 性 質 を証 明 し,と Thom同

成 に よっ

くにGベ

型 写 像 につ い て解 説 した.第6章

所 化 と束 化変 換 につ い て のtom

Dieckの

ク トル 束 に 対 す るThom類

と

は 同変 コボル デ ィズ ム論 に お け る局 仕 事 の解 説 であ る.第5章,第6章

は他 の章 か ら殆 ん ど独 立 に,こ の 二 章 だけ を読 む こ とが で き る.   第7章 で は,弱

複 素G多

様 体 の基 本 的性 質が 証 明 され る.弱 複 素 多 様 体 の

概 念 につ い て は,Conner-Floydに

よ って詳 し く解 説 され て い るが,安

ク トル束 を用 い て定 義 され て い るの で,G作 るに は 役 に立た な い.弱

複 素G多

定法ベ

用 を もつ多 様 体 に つ い て 考 察 す

様 体 の 概 念 に つ い ての 十分 な解 説 は 文 献 に

は 見 当 らな いの で,こ れ につ いて,か な り詳 しい解 説 を試 み た つ も りで あ る.

この章 の最 終 節 で は,tom

Dieckに

よ る不 動 点 図 式 の 可換 性 が 証 明 され る.

  第8章 で は,同 変 コボル デ ィズ ム論 の手 法 に よ る成 果 の一 つ と して,弱 複 素 Zq多

様 体 の 不動 点 集 合 の 次 元 の評 価 に 関 す るtom

Dieckの

結 果 を 紹 介 した.

  以 上,本 書 の 内 容 を簡 単 に 紹 介 した が,群 作 用 を もつ 多様 体 に つ い て の コボ ル デ ィズ ム論 的 研 究 は,ま だ 他 に も沢 山 あ る.本 書 で は,不 動 点 集 合 の次 元 を 評 価 す る問題 に 焦 点 を絞 って解 説 した.   与 えられ た ベ ク トル束 の特 性 類 を 計 算す る ことが 随所 で必 要 に な るの で,特 性 類 の 基 本 的性 質 に 関す る解 説 を付 録 と してつ け加 えた.   最 後 に,本 書 の 出版 を おす す め 下 さ った 戸 田 宏教 授 に お 礼 申 し上 げ る と と も に,紀 伊 國 屋書 店 出版 部 の諸 氏 な らび に 校 正 に協 力 いた だ い た阪 大 の 小 宮 克 弘 君 に 感謝 の 意 を表 す る.

1973年12月 著

者

目

次

は じめ に

0  準

備

  0.1  コ ン パ ク ト群 

1

  0.2 測

6

Ⅰ G多

地 線 

様 体

 1.1  G空

間 

9

  1.2  軌 道 空 間   1.3  可 微 分G多

15 様 体 

21

Ⅱ  ボ ル デ ィ ズ ム 群   2.1  ボ ル デ ィ ズ ム 群 とThom準   2.2  ボ ル デ ィ ズ ム 特 性 数 

Ⅲ 

G同

 3.2  自 由G作

用 

ク トル 束 の 同 境 群 

  3.4  準 自 由S1作

Ⅳ 

34 41

境 群

  3.1  G多 様 体 の 同 境 群 

  3.3  Gベ

同 型 写 像 

47 52 60

用 

64

同 型 写 像 

76

不 動 点 集 合

  4.1  Smith準

  4.2  環 準同 型 写 像J 

80

  4.3  CP(ξ)の 特 性 類 

86

 4.4  不 動 点 集 合 の 次 元 

89

Ⅴ  同 変 コ ボ ル デ ィ ズ ム 論   5.1  同 変Thomス

ペ ク トラ ム 

98

  5.2  同 変 コ ボ ル ディ ズ ム 論 

108

  5.3  Thom類

とThom同

119

  5.4  Thom準

同 型 写 像 μ* 

Ⅵ 

型 写 像 

125

局 所 化 と束 化 変 換

  6.1  Thom空

間 の 不 動 点 集 合 

127

  6.2  局 所 化 

132

  6.3  束 化 変 換 

140

Ⅶ 

弱 複 素G多

様体

  7.1  弱 複 素 構 造 

147

  7.2  Pontrjagin-Thom構

成 

  7.3  不 動 点 図 式 

Ⅷ 

弱 複 素Zq多

  8.1 Pn(C)の

155 162

様 体

部 分 多 様 体 とEuler類 

171

  8.2  弱 複 素 多 様 体 の ボ ル デ ィ ズ ム 環U* 

175

  8.3  不 動 点 集 合 

181

付

189

録  ベ ク トル 束 の 特 性 類 

参 考 文 献 

205

索

209

引 

 

0  準

備

  0.1  コ ン パ ク ト群   0.1.1  位 相 空 間 と して コ ン パ クト ハ ウ ス ドル フ空 間 で あ る 位 相 群 を コ ン パ ク ト群 と い う.コ fに

対 し て,あ

ン パ ク ト群G上

の 不 変 積 分 とは,G上

の 任 意 の実 連 続 函 数

る実 数

を 定 め る対 応 で,次 の条 件(ⅰ)-(ⅵ)を   (ⅰ)  任 意 の二 つ の実 連 続 函 数f1,f2に

  (ⅱ)  任 意 の実 連 続函 数fと

対 して

任 意 の実 数cに

  (ⅲ)  負 の値 を とらな い実 連 続 函 数fに

(ⅳ)  す べ て の 元g∈Gに

み た す もので あ る.

対 して

対 して

対 して 恒 等的 にf(g)=1な

  (ⅴ)  任 意 の実連 続 函 数fと

任 意 の元h∈Gに

(ⅵ)  任 意 の実 連 続 函 数fに

対 して

対 して

らば

  不 変 積 分 に 関 し て,次 の定 理 が 良 く知 られ て い る.   定 理0.1  任 意 の コン パ ク ト群 に は不 変 積 分 が存 在 し,し か もそれ は 一意 的 に 定 まる.◇   以 後,こ の節 で は 不変 積 分 を 使 って示 され る若 干 の 良 く知 られ た結 果 を 準 備 す る.   系0.2 

コン パ ク ト群G上

の実 連 続 函数fが

負 の値 を と らず,か つ 恒 等 的

に は 零 で なけ れ ば

が 成 り立 つ.◇   定 理0.3  Aを 数fに

位 相 空 間,Gを

コン パ ク ト群 とす る.G×A上

の実 連 続 函

対 して

に よ っ て 定 義 さ れ るA上

の 実 函 数Fは

  証 明   正 数 ε お よ びAの 連 続 性に よ っ て,aの

点aを

近 傍Uが

連 続 で あ る.

与 え た と き,Gの

存 在 し て,任

コ ン パ ク ト性 とfの

意 の 点b∈Uに

対 して

￨f(g,b)-f(g,a)￨<ε が,す

べ て の 元g∈Gに

対 し て 成 り立 つ よ うに で き る.こ

の とき

(終)   定 理0.4 

Gを

f(g,t)がtに で あ れ ば,函

コン

パ ク ト群,f:G×R→Rを

実 連 続 函 数 と す る.

つ い て 微 分 可 能 で あ り,導 函 数df(g,t)/dtがG×R上 数

も また微 分 可 能で あ って,等 式

連続

が 成 り立 つ.   証 明  平 均 値 の定 理に よ って,任 意 の実 数  <1)を

が 成 り立 つ よ うに で き る.函 よ っ て,実

が,す

に対 して,あ る実数 θ(0<θ

選 んで

数tを

数df(g,t)/dtの

固 定 す る と き,任

べ て の 元g∈Gと￨s￨<δ

意 の正 数

連 続 性 とGの

コ ン パ ク ト性 に

ε に 対 し て 正 数 δ が 存 在 し て,

に 対 し て 成 り立 つ.従

っ て 

の

とき

が,すべ

て の 元g∈Gに

対 し て 成 り立 つ.故

に

すなわち

が 成 り立 つ.(終)   この定 理 と帰納 法 に よ って,次 の 事柄 が 示 され る.   系0.5 

Gを

コンパ ク ト群,fをG×Rn上

gを 任 意 に 固定 す る と き,fがRnに まで のす べ て の偏 導 函 数 がG×Rn上

はr回

の実 連 続 函 数 とす る.Gの

つ い てr回

連 続 微 分 可 能 で あ り,r次

連 続 で あ れ ば,函 数

連 続 微 分 可 能 で あ る.◇

  0.1.2  有限 次 元 ベ ク トル 空 間Vの

一 般 線 型 群 をGL(V)で

表 わ す.GL

元

(V)に

は コン パ ク ト開 位 相 を 与 え て お く.位

準 同型 写 像 Gベ

ρ:G→GL(V)が

相 群Gか

らGL(V)へ

与 え られ た と き,(V,ρ)あ

の連 続

る い は 単 にVを

  Gベ

ク トル 空 間 と い う. ク トル 空 間(V,ρ)の

意 の 二 元u,υ

内 積(,)はGの

任 意 の 元gお

よ びVの

任

に対 し て (ρ(g)u,ρ(g)υ)=(u,υ)

が 成 り立 つ と き,G不

変 で あ る と い う.

  定 理0.6(Weyl)  Gベ

Gを

ク トル 空 間 はG不

  証 明  Vに

コ ン パ ク ト群 とす る.こ

の と き任 意 の有 限 次 元実

変 な 正 値 内 積 を も つ.

勝 手 な 正 値 内 積(,)を

与 え る.こ

は 明 らか に双 線 型 か つ対 称 で あ る. 

のとき

に対 し て

g→(ρ(g)υ,ρ(g)υ) は 正 値 函 数 で あ る か ら,系0.2に

よ って

が成 り立 つ.従

正 値 内積 で あ る.次 にGの

って 〈,〉 はVの

任 意 の 元hに

対 して,不 変 積 分 の性 質 に よ って

す な わ ち,内

積

〈,〉 はG不

変 で あ る.(終)

  コン パ ク ト群 の 表 現 論 に お い て,良 証 明 は,例

え ばC.

Chevalley:

Theory

く知 ら れ て い る 定 理 を 二 つ あ げ て お く. of Lie

Groups,

Princeton,

1946,第

9章 を 見 よ.   定 理0.7  x∈Gに

Gを

対 し て,次

コ ン パ ク ト群 と す る.Gの

閉 部 分 群HとHに

の 条 件 を み た す 有 限 次 元Gベ

属 さ ない 元

ク トル 空 間(V,ρ)と,

ベ ク トルυ

∈Vが

存 在 す る.

  (ⅰ)   (ⅱ)  任 意 の 元y∈Hに   定 理0.8 

Gを

コ ン パ ク ト群 とす る.Gの

ベ ク トル 空間(V,ρ)に 空 間(W,μ)と H,υ

対 し て,ρ(y)υ=υ.◇

対 し て,次

閉 部 分 群Hと

単 射 複 素 線 型 写 像A:V→Wが

∈Vに

存 在 す る.す

対 し て,A(ρ(y)υ)=μ(y)A(υ)が

  定 理0.9 

Gを

有 限 次 元Gベ

有 限 次 元 複 素H

の 条 件 を み た す 有 限 次 元 複 素Gベ

べ て の 元y∈

成 り立 つ.◇

コン パ ク ト リイ 群,HをGの

ク トル 空 間(V,ρ)と

ク トル

閉 部 分 群 とす る.こ

ベ ク トルυ ∈Vが

の と き,

存 在 して

H={x∈G￨ρ(x)υ=υ} が 成 り立 つ.   証 明   Gベ

ク トル 空 間(V,ρ)と

ベ ク トルυ ∈Vに

対 して

Gυ={x∈G￨ρ(x)υ=υ} と 置 く.Gυ

はGの

閉 部 分 群 で あ る.Gの

閉 部 分 群 の 族〓

を 次 の条 件 に よ

っ て 定 義 し よ う.   (ⅰ) K∈〓

な ら ば,H⊂Kが

  (ⅱ)  K∈〓

な らば,有

成 り立 つ.

限 次 元Gベ

ク トル 空 間Vと

ベ ク トルυ

存 在 し て,K=Gυ

が 成 り立 つ.

  こ の と き,Gベ

ク トル 空 間 の 直 和 を 考 え る こ と に よ って,K,K′

〓

に 属 せ ば,K∩K′

り立 つ の で〓 ら,次

に 属 す る こ とが 分 か る.明

は 空 集 合 で は な い.リ

イ群Gの閉

っ て,Zornの

示せ ば 証 明 が 終 る .い

し よ う.こ

の と き,定

が 存 在 す る.故

理0.7に

補 題 に よ っ て,〓

まHに

属 さ な いK0の

よ っ て〓

が と もに

ら か にG∈〓

が成

部 分 群 は リイ群 で あ る か

元 と 連 結 成 分 の 個 数 を 考 え る こ とに よ っ て,〓

納 的 集 合 と な る.従 =Hを

も〓

∈Vが

は 包 含 関係 に 関 し て 帰 は 極 小 元K0を 元xが

の 元K1で 

もつ.K0

存 在 し た と仮 定 をみ た す もの

に

が 成 り立 つ.こ れ はK0が

極 小 元 で あ る こ とに 矛 盾 す る.従

ってK0=Hが

成 り立 つ.(終)

  0.2  測 地 線   0.2.1  Mをm次

元C∞

仮 定 す る).Mの υ),u,υ Uに

各 点pに

∈Tp(M)が

級 可 微 分 多 様 体 とす る(常

に パ ラ コ ン パ ク ト性 を

お け る 接 ベ ク トル 空 間Tp(M)に

正 値 内 積gp(u,

与 え ら れ て い る とす る.(x1,…,xm)をMの

お け る 局 所 座 標 系 と し,Uの

任 意 の 点pに

開集合

おいて

 (1)

と置 く,gij(p)(i,j=1,2,…,m)はU上 値 対 称 行列 で あ る.函 数gijが Mの のC∞

各 点pにTp(M)の

の函 数 で,行 列(gij(p))は

す べ てMの

正 値 内 積gpを

正定

各点 の近傍 でC∞級 で あ る と き, 対 応 させ る対 応g:p→gpをM

級リー マ ン計 量 とい う.リー マン 計量gが

与 え られ た とき,pに

る接 ベ ク トルυ の長 さ‖υ‖を‖υ‖2=gp(υ,υ)によ って定 義 す る.C∞級リ

おけ ー

マ ン計 量 を そ な えた 可 微分 多様 体 の こ とをC∞ 級 リー マ ン 多様 体 とい う.   m次 元C∞ 級 可微 分多 様 体Mに る.T(M)は

自然 な方 法 でC∞

多 様体 に な る.Mの :p→gpが

対 し,接 ベ ク トル束 π:T(M)→Mを 級 可微 分 構 造 を もち,2m次

各 点pにTp(M)の

正値 内積gpを

与 え られ て い る とす る.こ の と きgがC∞

た め に は,T(M)上

元C∞

考え 級可微分

対 応 させ る対 応g

級 リー マ ン計量 で あ る

の函 数υ →‖υ‖2がC∞ 級で あ る こ とが 必 要十 分 で あ る.

任 意 のC∞ 級可 微 分 多 様体 がC∞ 級 リーマ ン計 量 を もつ こ とが 分 か って い る.   以 下 本書 で 取 扱 う多様 体 はす べ てC∞ 微 分 多 様体,C∞

級 可微 分 多様 体 で あ るか ら,C∞

級リー マ ン計 量 を そ れ ぞれ 多様 体,リー

級可

マ ン計 量 とい う こ と

にす る.   m次

元 多様 体Mがリー

開集 合Uに

マ ン計 量gを

お け る局 所 座 標 系 と し,Uの

され た 行 列(gij(p))の (i,j=1,2,…,m)もU上

逆 行 列 の(i,j)成

もつ とす る.(x1,…,xm)をMの 任 意 の点pに 分 をgij(p)で

お い て,(1)で

定義

表 わ せ ば,函 数gij

のC∞ 級 函 数 とな る.そ こでU上

のC∞ 級 函 数

を  (2)

に よ っ て 定 義 す る.こ 系(x1,…,xm)に

のΓij,kをリー

マ ン 多 様 体M上

の リー マ ン 接 続 の 座 標

関 す る成 分 と い う.

  Iを 任 意 の 区 間 と し,α:I→MをC∞

を 曲 線 α(t)の

長 さ と い う.C∞

級 曲 線 と す る.積

級 曲 線 α(t)は

関 し てm個

のC∞

級 函 数x1(t),…,xm(t)を

に 関 し て,二

階 の 連 立 常微 分方 程 式

分値

局 所 座 標 系(x1,…,xm)に 定 め る.す

べ て の局 所 座 標 系

のC∞ 級 微 分 同 相 写像f:M→Mは,す

べての接ベ

 (3)

をみ た す と き,曲 線 α(t)を 測 地 線 とい う.   リーマ ン多様 体M上 ク トルυ ∈T(M)に

対 して,‖f*υ‖=‖υ‖を み た す とき,等

る.こ こに,f*:T(M)→T(M)はfか

ら誘導 され たC∞

像 で あ る.測 地 線 の定 義 式(3)か   定 理0.10 

級 ベ ク トル 束 写

ら簡 単 な計 算 に よ って次 の定 理 を得 る.

リーマ ン多様 体M上

な わ ち,f:M→Mを

長 変 換 と呼 ばれ

の等 長変 換 は 測 地 線 を 測 地 線 に写 す.す

等 長変 換,α(t)を

測 地 線 とす る と き,f(α(t))も

測

地 線 で あ る.◇   m次 m個

元 リー マン 多 様 体Mの

測地 線 は局 所 座 標 系(x1,…,xm)に

の二 階 の連 立 常 微 分 方 程式(3)で

を 導入 す る と,(3)は2m個

定 義 さ れ るが,新

関 して

しい 変数yi=dxi/dt

の 一 階連 立 常 微 分 方 程 式 の系

(3′)

とな る.従 って 常 微 分方 程 式 の解 の存 在 定 理 に よ って次 の結果 が成 り立 つ .  補 題0.11 

(境界 を もた な い)リ ーマ ン多様 体M上

のす べ て の 点pに

対

し て,pの

あ る 近 傍Uと

の 各 接 ベ ク トルυ

あ る正 数 ε が 存 在 し て,各

∈Tq(M)に

対 し て,条

長 さ<ε

∈Mをexpq(υ)と

存 在 す る.◇

の 接ベ ク トル の 全 体 をTq(M)sと

書 く.こ

長 さ<ε

件

を み た す た だ 一 つ の 測地 線αυ:(-2,2)→Mが   以 後,Tq(M)の

点q∈Uと

の とき測 地線

書 き,点

αυ(1)

αυは

αυ(t)=expq(tυ) と 表 わ さ れ る.常

微 分 方 程 式 の 解 の 初 期 値 に 関 す る微 分 可 能性 に よ っ て,零

ク トル(p,0)∈T(M)の

あ る近 傍Vで

ベ

定 義 され た写 像

(q,υ)→expq(υ) はV上

でC∞

級 で あ る.い

まC∞

級 写 像F:V→M×Mを

F(q,υ)=(q,expq(υ)) に よ っ て 定 義 す る.Fの か る.従

ヤ コ ビ 行 列 は,(p,0)に

おい て 正 則 で あ る こ と が 分

っ て 逆 函 数 の 定 理 か ら,Fは(p,0)∈T(M)の

∈M×Mの

あ る近 傍 と,(p,p)

あ る近 傍 と の 微 分 同 相 を 与 え る こ とが 分 か る.故

に 次 の 定 理 が成

り立 つ.   定 理0.12 

(境 界 を も た な い)リ

の 条 件 を み た す 近 傍Wと   (ⅰ)  Wの

ー マン 多 様 体Mの

各 点pに

対 し て,次

正 数 ε が 存 在 す る.

任 意 の 二 点 は 長 さ<ε

のMの

中 のた だ 一 つ の測 地 線 で 結 ば れ

る.

  (ⅱ)  この測 地 線 は 二点 にC∞ て, がq1,q2を き,写 像(q1,q2)→υ   (ⅲ)  各点q∈Wに

級 に従 属 す る.す なわ ちq1,q2∈Wに 結 ぶ長 さ<ε

対し

の測地 線 で あ る と す る と

はC∞ 級 で あ る. 対 して,expq:Tq(M)s→MはWを

合 の上 へ の徴 分 同相 写 像 で あ る.

含 む あ る開 集

Ⅰ G多

  1.1  G空

様

体

間

  1.1.1  Gを

位 相 群,Xを

位 相 空 間 と す る.次

の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

みたす

連 続写 像 ψ:G×X→X を 位 相 空 間X上   (ⅰ)  Gの

のG作

用 と い う.

任 意 の 二 元g,hお

よびXの

任 意 の 点xに対

し て,

ψ(g,ψ(h,x))=ψ(gh,x) が 成 り立 つ.   (ⅱ)  Gの

単 位 元e,お

よ びXの

任 意 の 点xに

対 し て,

ψ(e,x)=x が 成 り立 つ.こ 用

の と き,対(X,ψ)をG空

ψ が は っ き りし て い る と き は,ψ

ψ(g,x)を   G空

単 にg・xと

間(X,ψ)お

間 と い う.前

後 の 関 係 か らG作

を 省 略 し て 単 にXをG空

間 とい い

対 し て,対

与 え られ

書 く. よ び 元g∈Gに

応x→

ψ(g,x)で

る写 像 ψ(g,-):X→X は 常 に 同 相 写 像 で あ る.   Kを

位 相 群Gの

部 分 集 合,AをG空

間Xの

分 集 合K・Aを K・A={g・x￨g∈K,x∈A} に よ っ て 定 義 す る.こ   定 理1.1

の と き 次 の 事 柄 が 成 り立 つ.

部 分 集 合 とす る.Xの

部

  (a) 

AがXの

  (b) 

Kが

開 集 合 で あ れ ば,K・AもXの

開 集 合 で あ る.

コ ン パ ク ト集 合 で,AがXの

閉 集 合 で あ れ ば,K・AもXの

閉 集 合 で あ る.   証 明 

が 成 り立 ち,Aが

る か ら,K・Aも

開 集 合 で あ る.す

開 集 合 で あ れ ばg・Aも

な わ ち(a)が

成 り立 つ.次

開集合であ に

K-1={g-1￨g∈K} と 置 け ば,Xの

部 分 集 合Vに

対 して V∩K・A=φ

が 成 り立 つ た め の 必 要 十 分 条 件 は,G×Xに

おいて

(K-1×V)∩ が 成 り立 つ こ と で あ る.こ 定 す る.K・Aに

こ でKを

ψ-1(A)=φ コ ン パ ク ト集 合,AをXの

属 さ な い 任 意 の 点xに (K-1×x)∩

が 成 り立 つ.す

な わ ちG×Xの

互 い に 交 わ らな い.故

対 して ψ-1(A)=φ

コ ン パ ク ト集 合K-1×xと

に 点xを

閉 集 合 と仮

含 むXの

開 集 合Vが

閉 集 合ψ-1(A)が 存 在 して

(K-1×V)∩ψ-1(A)=φ が 成 り立 つ.従

って V∩K・A=φ

が 成 り立 つ.故   定 理1.2 

にK・AはXの G作

閉 集 合 で あ る.す な わ ち(b)が

用 ψ:G×X→Xは

パ ク ト群 で あ れ ば,ψ

常 に 開 写像 で あ る.と

成 り立 つ.(終) く に,Gが

は 閉 写 像 で あ る.

  証 明   前 半は 定 理1.1(a)に

よ っ て 明 らか で あ る.次

に,連

続写 像

Ψ:G×G×X→G×X を,対 のG作

応(g,h,x)→(hg-1,ψ(g,x))に 用 で あ る.G×Xの

が 成 り立 ち,ψ

部 分 集 合Aに

が 全射 で あ るか ら

よ っ て 定 義 す れ ば,Ψ 対 して

はG×X上

コン

が 成 り立 つ.こ

こで,Gを

コ ン パ ク ト群,AをG×Xの

理1.1(b)に

よ って Ψ(G×A)はG×Xの

閉 集 合 と す れ ば,定

閉 集 合 で あ る.従

って

ψ-1(X-ψ(A)) はG×Xの

開 集 合 と な り,ψ

で あ る.す   G空

が 開 写 像 で あ る か ら,X-ψ(A)はXの

な わ ち ψ(A)はXの

間Xの

い う.G不

閉 集 合 と な る.(終)

部 分 集 合AはG・A⊂Aが

成 り立 つ と き,G不

変 な 部 分 空 間 は そ れ 自身G空

  XをG空

開集 合

間 とす る.点x∈Xに

変である と

間 に な る.

対 し て,集

合

G(x)={g・x￨g∈G} をxの

軌 道 と い う.G(x)={x}の

  XをG空

と き,点xを

間 とす る.点x∈Xに

不 動 点 と い う.

対 して,集

合

Gx={g∈G￨g・x=x} はGの

部 分 群 で あ る.Gxを

部 分 群 に つ い て,次   命 題1.3 

点xに

お け るGの

の 命 題 が 成 り立 つ.証

任 意 の 元g∈G,x∈Xに

等 方 部 分 群 と い う.等

方

明 は 簡 単 で あ る か ら 省 略 す る. 対 して

Ggx=gGxg-1 が 成 り立 つ.従

っ て,点xの

共 役 で あ り,逆

にGxと

軌 道G(x)上 共 役 なGの

の 点 の 等 方 部 分 群 は す べ てGxと

部 分 群 は す べ て 軌 道G(x)上

の点 の等

方 部 分 群 と し て 現 わ れ る.◇   命 題1.4 

ハ ウ ス ドル フ 空 間X上

等 方 部 分 群 はGの   XをG空

のG作

用 に つ い て,Xの

す べ て の点 の

閉 部 分 群 で あ る.◇

間 と す る.Gの

部 分 集 合Kに

対 し て,Xの

部分集合

XK={x∈X￨K⊂Gx} を 集 合Kの う.こ

不 動 点 集 合 と い う.と

くにXGをG空

間Xの

不動 点 集 合 とい

の と き 次 の 命 題 が 成 り立 つ.

  命 題1.5   (a) 

Xが

ハ ウ ス ドル フ空 間 で あ れ ば,XKはXの

閉 集 合 で あ る.

  (b)  す べ て のg∈Gに

対 して gKg-1=K

が成 り立 て ば,XKはG不  X上

のG作

変 で あ る.◇

用 は,

  (ⅰ)  あ る点x∈Xの

軌 道G(x)がX全

体 に一 致 す る とき,推 移 的,

  (ⅱ)  す べ て の点 の 等方 部 分 群 の共 通集 合

が単 位群 の とき,効 果 的,   (ⅲ)  す べ て の点 の 等分 部 分 群 が 単 位群 の とき,自 由,   (ⅳ)  XG=Xの   (ⅴ)  XGに

とき,自 明, 属 さない す べ て の点 の等 方 部分 群 が 単 位 群 の とき,準 自由,

で あ る とい う.   例1  Xを

コンパ ク ト距 離 空間 とす る.X上

て作 用 して い る とす る.Xの す なわ ちXの

に 位 相 群Gが

閉集 合 の全 体 をXと

等 長変 換 と し

す る.A,BをXの

二元

閉集 合 とす る と き,

と定 義 す れ ば,(X,d)は

距 離 空 間 に な る.dを

ハ ウ ス ドル フ 計 量 と い う.写

像 ψ:G×X→X を ψ(g,A)=g・A={g・a￨a∈A} に よ っ て 定 義 す れ ば,ψ   1.1.2  Gを

のG作

用 で あ る.

位 相 群 と し,X,YをG空

像f:X→YをG同 fがG作

はX上

間 とす る.G作

変 な 連 続 写像 また は 単 にG写

用 と 可 換 で あ る と は,す

べ て の 元g∈G,x∈Xに

f(g・x)=g・f(x) が 成 り立 つ こ と で あ る.

用 と可 換 な 連 続 写

像 と い う.た

だ し写 像

対 して

  G写

像f:X→Yと

点x∈Xに

  (1.6) 

対 して Gx⊂Gf(x)

が 成 り立 つ.と

くにfが

単 射 で あ れ ば,す

べ て の 点x∈Xに

対 して

Gx=Gf(x) が 成 り立 つ.   Gを

位 相 群 と し,X,Yを

と も にG空

作 用 が,g∈G,(x,y)∈X×Yに

間 と す る.直

積 空 間X×Y上

のG

対 して g・(x,y)=(g・x,g・y)

に よ っ て 定 義 で き る.こ

のG作

用 を 対 角 線 作 用 と い う.こ

の と き 点(x,y)

の等 方 部分 群 に つ い て   (1.7) 

G(x,y)=Gx∩Gy

が 成 り立 つ.   例2 

Gを

コ ン パ ク ト群,Hを

そ の 閉 部 分 群 とす る.商

写 像 全 体 の 作 る 群Homeo(G/H)に と き,Homeo(G/H)は

間 と な る.G空

HomeoG(G/H)はHomeo(G/H)の 規 化 群 をN(H)で のG同

方,商

間G/HのG同

群N(H)/Hの

の

空 間G/HはG

変 な 同相 写 像 の 全 体

部 分 位 相 群 で あ る.Gに

表 わ す.商

同相

コ ン パ ク ト開 位 相 を 導 入 し て お く.こ

ハ ウ ス ドル フ 空 間 に な る.一

の 左 移 動 に よ っ てG空

空 間G/Hの

元nHに

お け るHの

対 し て,G空

正

間G/H

変 な 同 相 写 像fnが fn(g・H)=gn-1H

に よ っ て 定 義 で き る.こ

の と き,対

応nH→fnに

よ っ て,位

相 群 と して の 同

型 写像 α:N(H)/H→HomeoG(G/H) が 与 え られ る.   1.1.3 

有 限 次 元Gベ

ク トル 空 間(V,ρ)に

対 し て,写

像

ψ:G×V→V を,ψ(g,υ)=ρ(g)υ に こ の よ うに し て,Gベ

に よ っ て 定 め れ ば,ψ

はV上

ク トル 空 間(V,ρ)をG空

のG作

用 で あ る.以

間 とみ る.

後 常

  定 理1.8 

Gを

コ ン パ ク ト群,XをG空

トル 空 間 とす る.任

はG写

意 の 連 続 写 像f:X→Vに

が成 り立 ち,V上

が 成 り立 つ.す て,f*は

対 し て,写

ク

像

対 して,不 変 積 分 の 性 質 に よって

のG作

用 は 線型 だ か ら積 分 と可 換 で あ り,

な わ ち,f*はG作

用 と 可 換 で あ る.一

方,定

理0.3に

よっ

連 続 で あ る.(終)

  定 理1.9(Tietze-Gleason)  ら にXは

Gを

コ ン パ ク ト群,XをG空

正 規 空 間 で あ る と す る.AをXのG不 有 限 次 元Gベ

VはX上

のG写

  証 明   Tietzeの き る.こ

有 限 次 元Gベ

像 で あ る.

  証 明  任 意 の 元h∈Gに

(V,ρ)を

間,(V,ρ)を

間 とす る.さ

変 な 閉 部 分 空 間 と し,

ク トル 空 間 とす る.こ の と き,任 意 のG写

像f:A→

像 に 拡 張 で き る. 拡 張 定 理 に よ っ て,写

像fはX上

の 連 続 写 像Fに

拡張 で

の とき

に よ って 定 義 され る 連 続 写 像F*:X→Vは り,点a∈Aに

対 して

定 理1.8に

よ っ てG写

像であ

が 成 り立 つ.す

な わ ち,F*はfの

拡 張 で あ る.(終)

  1.2  軌 道 空 間   1.2.1  Gを x′=g・xと

位 相 群,XをG空

な る 元g∈Gが

と定 義 し,こ

間 とす る.こ 存 在 す る と き,し

の 同 値 関 係 に よ るXの

に よ る 軌 道 空 間 と い う.等 の 部 分 集 合Uが

の と きXの

二 点x,x′

は

か も そ の と き に 限 り同 値 で あ る

等 化 空 間 をX/Gで

化 写 像 π:X→X/Gは

表 わ し て,XのG

常 に 開 写 像 に な る.(X/G

開 集 合 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は π-1(U)がXの

開集合

で あ る こ と で あ る)   定 理1.10 

Gを

コ ン パ ク ト群,XをG空

ら にXは

ハ ウス

コ ン パ ク ト集 合 の π に よ る逆像 は 常 にXの

コン パ

ドル フ 空 間 で あ る とす る.こ   (a) 

軌 道 空 間X/Gは

  (b) 

等化写像

  (c) 

軌 道 空 間X/Gの

間 と す る.さ

の と き,

ハ ウス ドル フ空 間 で あ る.

π:X→X/Gは

閉 写 像 で あ る.

ク ト集 合 で あ る.   証 明   G作

用 を ψ:G×X→Xと

す る.Xの

が 成 り立 つ も の と す れ ば,Xに

二 点x,yに

対 し て 

おいて

G(x)∩G(y)=φ が 成 り立 つ.す

な わ ち,G(x)とG(y)と

い に 交 わ ら な い コ ン パ ク ト集 合 で あ る.従 G(x)⊂U,  が 成 り立 つ よ う に で き る.さ ク ト集 合G×xを

は ハ ウ ス ドル フ 空 間Xに

お け る互

っ てXの

選 んで

G(y)⊂V,  て,G(x)⊂Uよ

含 む の で,点xを

含 むXの

G×U1⊂ψ-1(U)

開 集 合U,Vを

U∩V=φ り,開

集 合 ψ-1(U)が

開 集 合U1を

選んで

コ ンパ

が 成 り立 つ よ う に で き る.こ

の と きG・U1はXの

開 集 合 で あ って,

G(x)⊂G・U1⊂U が 成 り立 つ.同

様 に,点yを

含 むXの

開 集 合V1を

選 んで

G(y)⊂G・V1⊂V が 成 り立 つ よ うに で き る.こ

の と き π(U1),π(V1)は

互 い に 交 わ ら な いX/G

の 開 集 合 で あ って,

が 成 り立 つ.故

に 軌 道 空 間X/Gは

が 成 り立 つ.次

にAをXの

ハ ウス ドル フ 空 間 で あ る.す

な わ ち(a)

部 分 集 合 とす れ ば G・A=π-1π(A)

が 成 り立 ち,と もXの

くにAをXの

閉 集 合 で あ る.従

(b)が

成 り立 つ.最

π-1(C)の

が 成 り立 つ.こ

って,π(A)はX/Gの

後 にCをX/Gの

開 被 覆 とす る.Cの

合 で あ る か ら,Aの

閉 集 合 と す れ ば,定

理1.1(b)に

よ っ てG・A

閉 集 合 で あ る.す

コ ン パ ク ト集 合 と し,{Uα￨α

任 意 の点xに

有 限 部 分 集 合Axが

対 し て,π-1(x)が

な わ ち ∈A}を

コ ン パ ク ト集

存 在 して

の とき Vx=X/G-π(X-Ux)

は 点xを

含 むX/Gの

開集 合 で あ って π-1(Vx)⊂Ux

が 成 り立 つ.こ Cの

の と き{Vx￨x∈C}は

有 限 個 の 点x1,…,xnを

が 成 り立 つ.Ax1∪

.すな わ ち(c)が

  π が 開 写 像 で あ る こ と,お

… ∪Vxn

って

… ∪AxnはAの

コ ン パ ク ト集 合 で あ る

開 被 覆 で あ るか ら

選 んで C⊂Vx1∪

が 成 り立 つ よ うに で き る.従

コ ンパ ク ト集 合Cの

有 限 部 分 集 合 で あ る.故

に π-1(C)は

成 り立 つ.(終)

よ び 定 理1.10(c)に

よ っ て 次 の 事 柄 が 成 り立

つ.

  系1.11   (a) 

Xが

コ ン パ ク トで あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,X/Gが

コ ン パ ク トで

あ る こ とで あ る.   (b) 

Xが

局 所 コ ン パ ク トで あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,X/Gが

局 所 コン

パ ク トで あ る こ と で あ る .◇   G写

像f:X→Yに

対 し て,次

f:X/G→Y/Gが

と くにfが

存 在 す る.

同 相 写 像 で あ れ ば,fも同

  等 化 写 像 π:X→X/Gの 件

πσ π=π

相 写 像 で あ る.

切 断 と は,連続

を み た す も の で あ る.X/Gの

π￨π-1(U)の   例1 

の 図 式 を可 換 に す るた だ一 つ の 連 続 写 像

Inを

写像

σ:X/G→Xで

部 分 集 合U上

あ っ て,条 の 局 所 切 断 と は,

切 断 の こ と で あ る. 直 交 群O(n)の

恒 等 行 列 と し,G={In,-In}と

の と き,π:Rn→Rn/Gは

π(0)の

す る.n≧2

ど ん な 近 傍 に 対 し て も局 所 切 断 を も た な

い.   1.2.2  Gを

位 相 群,HをGの

の 部 分 集 合Sは

部 分 群 とす る.XをG空

次 の 条 件 を み た す と き,Xに

お け るHス

間 とす る.X ラ イス で あ る とい

う.   (ⅰ)  SはG・Sの   (ⅱ)  H・S=Sが   (ⅲ) 

閉 集 合 で あ る. 成 り立 つ. で あ れ ば,g∈Hが

  (ⅳ)  G・SはXの

成 り立 つ.

開 集 合 で あ る.

  定 義 よ りた だ ち に 次 の 事 柄 が 成 り立 つ.   命 題1.12    (a) 

Sの

G空

間Xに

任 意 の 点xに

お け るHス

ラ イ スSに

対 し て,Gx⊂Hが

対 し て,

成 り立 つ.

  (b) 

f:Y→XをG写

像 とす れ ば,f-1(S)はYに

お け るHス

ライ

ス で あ る.◇   命 題1.13  間 と す る.さ

Gを

コ ン パ ク ト群 と し,HをGの

ら にXは

ス ラ イ ス と す る.こ

部 分 群 とす る.XをG空

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る とす る.SをXに の と き,H(x)→G(x)に

お け るH

よっ て 定 義 され る 自 然 な 写 像

i:S/H→X/G はX/Gの

開 部 分 空 間G・S/Gの

上 へ の 同 相 写 像 で あ る.

  証 明   軌 道 空 間 の 位 相 の 入 れ 方 に よ っ て,iが 写 像 で あ る こ と が わ か る.さ G・S/Gが iが

ら にHス

ラ イ ス の 定 義 に よ っ て,iが

開 集 合 で あ る こ と が わ か る.従

っ て,G・S/Gの

閉 写 像 で あ る こ とを 示 せ ば 証 明 が 終 る.こ

任 意 の 閉 集 合 と し て,G・K/GがG・S/Gの あ る.Hス

ラ イ ス の 条 件(ⅰ)に

あ り,Gが

コ ン パ ク トで あ る か ら,定

の 閉 集 合 に な る.従

っ て,定

連 続 で 集 合G・S/Gの

上へ の 単 射 で,

上 へ の 写 像 と し て,

れ を 示 す た め に は,KをSの

閉 集 合 で あ る こ とを 言 え ば 十 分 で

よ っ て,Sの

閉 集 合KはG・Sの

理1.1(b)に

理1.10(b)に

閉集合で

よ っ て,G・KはG・S

よ っ て,G・K/GはG・S/Gの

閉 集 合 に な る.(終)   XをG空

間 と し,X⊃S∋xと

と き,Sを れ ば,任

点xに

す る.SがXに

お け る ス ラ イ ス と い う.Sが

意 の 元g∈Gに

対 し て,g・Sは

  ス ラ イ ス の 存 在 に つ い て は,次

コ ン パ ク ト リ イ群 と し,Vを

こ の と きVの

任 意 の 点υ

  直 接 証 明 で き る が,次

お け る ス ラ イ ス で あ る.

有 限 次 元Gベ

ク トル 空 間 と す る.

に お け る ス ラ イ ス が 存 在 す る.◇

節 の 定 理1.23に

Gを

正 規 空 間 で あ れ ば,Xの

  証 明   定 理0.9に トルυ

点g・xに

お け る ス ラ イスで あ

お い て,も

っ と一 般 的 な 形 で 証 明 さ

こで は 証 明 を 省 略 す る.

  定 理1.14(Mostow)  Xが

点xに

ラ イス の

の 定 理 が 知 られ て い る.

  補 題   Gを

れ る の で,こ

お け るGxス

で,Gυ=Gxと

よ って,有

コ ン パ ク ト リイ 群,XをG空 任 意 の 点xに 限 次 元Gベ

間 とす る.も

し

お け る ス ラ イ ス が 存 在 す る. ク トル 空 間(V,ρ)とVの

な る も の が 存 在 す る.こ

の と きG写

像f′:G(x)→

ベ ク

Vが f′(g・x)=ρ(g)υ に よ っ て 定 義 で き る.定 f:X→Vに イ スSが

理1.9(Tietze-Gleason)に

拡 張 で き る.上 存 在 す る.さ

に よ っ て,f-1(S)は

の 補 題 に よ っ て,ベ

て,f(x)=υ 点x∈Xに

  注 意   定 理1.14に

よ って

.f′はG写

ク トル υ ∈Vに

か つGυ=Gxで

あ る か ら,命

像

おけるス ラ 題1.12(b)

お け る ス ラ イ ス で あ る.(終)

お い てXが

正 規 空 間 で あ る と 仮 定 し た が,G.D.

Mostowは,  

Equivariant

embeddings

に お い て,Xが

in euclidean

space, Ann.

Math.

65(1957)432-446

完 全 正 則 空 間 で あ れ ば 定 理 が 成 り立 つ こ とを 示 し て い る.

  1.2.3  ス ラ イ ス の 存 在 定 理 か ら,次   定 理1.15 

Gを

の 二 つ の 定 理 を 証 明 し よ う.

コ ン パ ク ト リ イ群,HをGの

Hを

含 み 次 の 条 件 を み た すGの

Uに

含 まれ る な ら ば,元g∈Gが

閉 部 分 群 とす る.こ

開 集 合Uが

存 在 す る.Gの

の と き,

閉 部 分 群Kが

存在 して K⊂gHg-1

が 成 り立 つ.   証 明   定 理0.9に 間 に な る.従

よ っ て,G/Hは

っ て 定 理0.6に

間 に な る.XをG/Hの

あ る 有 限 次 元Gベ

よ っ て,G/HはG不

誘 導 さ れ たX上 Xに

のG作

お い て,点{eH}を

あ る か ら,正 近 傍Nε

続 性 に よ っ て,Gに g∈Vに

用 は,こ

のGの

対 して

ウ ス ドル フ 計 量 に よ っ て,X 左 移 動 に よる作 用 か ら 自然 に

の ハ ウ ス ドル フ計 量 を 不 変 に す る.G空

通 る ス ラ イ ス をSと

数 ε を 十 分 小 さ く とれ ば,距

がG・Sに

変 な計 量 を も った 距 離 空

閉 集 合 の 全 体 とす る.ハ

は 距 離 空 間 に な る(1.1,例1).G/H上

ク トル 空 間 の 部 分 空

離 空 間Xに

含 まれ る よ うに で き る.こ お け る単 位 元eの

す る.G・SはXの

開集合で

お け る 点{eH}の

の 正 数 ε に 対 し て,計

開 近 傍Vが

存 在 し て,す

間

ε 量の連

べ て の元

が 成 り立 つ.こ

の と きG/Hの

閉 集 合Aが A⊂V・H/H

を み た せ ば, d({eH},A)<ε が 成 り立 つ.す

な わ ちA∈XはNε

と す れ ば,Xの

点y=K・H/Hに

KがU=V・Hに G・Sが

の 元 で あ る.い

お け る 等 方 部 分 群GyはKを

含 ま れ る と き,y=K・H/HはNε

成 り立 つ の で,命

まKをGの

題1.3,命

閉 部 分群 含 む.と

の 元 で あ る.従

題1.12(a)に

よ っ て,あ

くに

っ てy∈ る 元g∈G

が 存 在 して K⊂Gy⊂gHg-1 が 成 り立 つ.故

に 開 集 合U=V・Hが

求 め る も の で あ る.(終)

  注 意   こ の 証 明 はMostow,

Ann.

Math.

65(1957),

432-446に

あ る が,Montgomery-Zippin,

Bull.

AMS.

48(1942),

448-452は,リ

と コ ン パ ク ト部 分 群Hに   定 理1.16 

Gを

空 間 と す る.さ 群 がHと

ら にXは

てgHg-1⊂Hで

だ し,構

す べ て の点 の 等 方部 分 フ ァ イ バ ーG/H,構 造 群N(H)/Hは

造群 ファイ

に 右 移 動 に よ っ て 作 用 す る.

  証 明   Hが

コ ン パ ク ト リ イ群Gの あ れ ば,gHg-1=Hが

ラ イ ス とす れ ば,上

る と い う仮 定 か ら,Sの のH作

π:X→X/Gは

も っ た フ ァ イ バ ー束 と な る.た

バ ーG/H上

閉 部 分 群 と す る.XをG

正 規 空 間 で あ る とす る.Xの 化 写像

イ群G

の 定 理 が 成 り立 つ こ と を 証 明 し て い る.

コ ン パ ク ト リ イ群,HをGの

共 役 で あ れ ば,等

N(H)/Hを

SをHス

対 し て も,こ

よる もので

閉 部 分 群 で あ る か ら,元g∈Gに

成 り立 つ こ と を 注 意 し て お こ う.さ

の 注 意 と,各

点 の 等 方 部 分 群 がHと

各 点 の 等 方 部 分 群 はHに

用 は 自 明 で あ る か ら,命

は 同 相 写 像 で あ り,S*はX/Gの

対 し

題1.13に

一 致 す る.す

て

共役であ な わ ちS上

よ っ て,

開 集 合 で あ る.写

像

iS:S*×G/H→X をiS(π(y),gH)=g・y(y∈S)に

よ っ て 定 義 す れ ば,iSはXの

開集 合

G・Sの

上 へ の 単 射 連 続 写 像 で あ り,さ

ら に 定 理1.2に

よ っ て,isはG・Sの

上 へ の 同相 写 像 に な る.

で あ る か ら,isは

等化 写 像

π:X→X/Gが

る こ と を 示 し て い る.次 にTを こ の と き,同

開 集 合S*=π(S)上

他 のHス

で 自明 で あ

ラ イ ス と し, 

とす る.

相写像

は

に よ って定 義 され る連 続写 像

を 誘 導 す る(1.1,例2).従 ラ イスSで

π(S)∋x*と

よ っ て,π-1(x*)の

っ て,軌

  1.3.1 Gを

各 点x*に

対 し てHス

な る も の の 存 在 を 示 せ ば 証 明 が 終 る .命

点xでGx=Hと

に お け る ス ラ イ ス とす れ ば,こ

  1.3  可 微 分G多

道 空 間X/Gの

な る も の が 存 在 す る.い

題1.3に

まSを

点x

れ が 求 め る も の で あ る .(終)

様体

リイ 群,Mを(C∞

級)可

微 分 多 様 体 とす る.写

像

ψ:G×M→M をM上

のG作

ψ をM上

用 とす る.写

の 可 微 分G作

像 ψ が(C∞

用 とい う.こ

多 様 体 とい う.各 元g∈Gに

対 し て,対

級)可

微 分 写像 で あ る と き,作

の と き(M,ψ)を(C∞ 応x→

ψ(g,x)に

級)可

用

微 分G

よ って定 義 さ れ

る写 像 ψ(g,-):M→M は 常 に 微 分 同 相 写像 で あ る.故

に 次 元 の 不 変 性 に よ って,Mの

境 界 ∂MはG

不 変 で あ る.   最 も基 本 的 な 例 は,Rn上

のGL(n,R)の

で 基 本 的 な 例 を 挙 げ て お こ う.

通 常 の 作 用 で あ る.こ

れに次い

  例1  Gを

リイ群,(Rn,ρ)をn次

ρ:G→GL(n,R)は

元Gベ

ク トル空 間 とす る.こ こに,

連 続 準 同型 写像 で あ るが,リ イ群 の間 の連 続 準 同型 写 像

は 必 然 的 に可 微 分 に な る こ とが 知 られ て い る.従 ってRnは 通 して 可微 分G多   例2  Gを

準 同型 写像 ρ を

様体 に な る.

リイ群,HをGの

の とき商 空 間G/Hは,射

閉部 分 群(従

影 π:G→G/Hが

って リイ閉 部 分群)と す る.こ 可微 分 写 像 に な り,点eHの

あ

る近 傍 上 に可 微 分 局所 切 断 が 存 在 す る よ うな,た だ一 つ の可 微 分 構造 を もつ. この と き左 移 動 に よ って定 義 され るG/H上   補 題1.17 

θ:R×M→Mを

作 用 とす る.点x∈Mに

のG作

用 は 可 微 分 作 用 で あ る.

実数 全 体 の作 る加 法群RのM上

の可 微 分

対 し て,可 微 分 曲線σx:R→Mを σx(t)=θ(t,x)

に よ って定 義

す る.こ の とき作用 θ の不動 点集合は, 

とな る点

xの 全体 と一 致 す る.   証 明  t∈Rに

対 して,微 分 同 相 写像

θt:M→Mがθt(x)=θ(t,x)に

よ って定 義 され る.こ の ときs,t∈R,x∈Mに

対 して

σθ(s ,x)(t)=θs(σx(t)) が 成 り立 つ.従

って

 (1)

が 成 り立 つ.さ

て,x∈Mが

tに 対 し て成り 立 ち,従 れ ば,(1)に

が 成 り立 つ.故 作 用θ

よ っ て,す

作 用 θ の 不 動 点 で あ れ ばσx(t)=xが っ て  べ て のs∈Rに

に す べ て のt∈Rに

す べての

とな る.逆に, 

とす

対 して

対 し てσx(t)=xが

成 り立 ち,点xは

の 不 動 点 と な る.(終)

  定 理1.18  任 意 の 点x∈Mに

Gを

コ ン パ ク ト リ イ群,ψ:G×M→Mを 対 し て,αx(g・Gx)=ψ(g,x)で

可 微 分 作 用 とす る. 与え られ る 写 像

αx:G/Gx→M は 単 射G-immersionで

あ る.こ

こ にGxは

点x∈Mに

おけ る等 方 部 分群

上 へ の 単 射G写

像 に な る こ とは 明

で あ る.   証 明   写 像αxが

点xの

ら か で あ り,G/Gxの か る.従

軌 道G(x)の

可 微 分 構 造 を 考 え れ ばαxが

っ てαxの

微 分(αx)*がG/Gxの

と を 示 せ ば 十 分 で あ る.い る.微

まυ

点e・Gxに

をe・Gxに

接 ベ ク トルuで

一径数部分群

おいて単射であ るこ

お け るG/Gxの

分π*:Te(G)→Te・Gx(G/Gx)は

お け るGの

可 微 分 写 像 で あ る こ と も分

接 ベク トル とす

全 射 で あ る か ら,単

π*(u)=υ

位 元e∈Gに

と な る も の が 存 在 す る.こ の と きGの

γ:R→Gで 

と な る も の が(た

だ 一 つ)存

在 す る.

可 微 分 作 用 θ:R×M→Mが θ(t,x)=ψ(γ(t),x)

に よ っ て 定 義 で き る.こ

の と き,x∈Mに

対 し て 補 題1.17に

お け る可 微 分

曲 線σxは

に よ っ て 与 え ら れ る.い

と な る.従

っ て,補

ま(αx)*υ=0と

題1.17に

仮 定 す れ ば,

よ っ て,す

べ て のt∈Rに

対 して

ψ(γ(t),x)=x

が 成 り立 つ.こ

れ は,す

す な わ ち πγ(t)=e・Gxと

と な る.従  系1.19  き,す

っ て(αx)*は Gを

べ て のt∈Rに

な る こ と を 示 し て い る.故

対 し て,軌

と な り,写 像αx:G/Gx→G(x)は Gを

成 り立 つ こ と,

に

単 射 で あ る.(終)

コン パ ク ト リ イ 群,Mを

べ て の 点x∈Mに

  系1.20 

対 し てγ(t)∈Gxが

可 微 分G多 道G(x)はMの

様 体 と す る.こ

の と

可微 分 閉部 分 多 様 体

可 微 分 同 相 写 像 と な る.◇

コン パ ク ト リ イ 群,HをGの

閉 部 分 群 と す る.こ

の と き

G多

様 体G/Hか

ら,あ

る 有 限 次 元Gベ

ク トル 空 間Vへ

のG-embedding

が 存 在 す る.   証 明   定 理0.9に

よ っ て,有

υ が 存 在 し て,Gυ=Hと

限 次 元Gベ

ク トル 空 間Vと,Vの

な る よ うに で き る.こ

ベ ク トル

の と き αυ:G/H→Vが

求め

る も の で あ る.(終)   1.3.2  Mを

可 微 分 多 様 体,ξ=(π:E→M)をM上

ベ ク トル 束 と す る.す Mの

開 被 覆{Uα￨α

な わ ち,ξ ∈A}と,ξ

が 存 在 して, 

はM上

のn次

のn次

元(実)ベ

元 可 微 分(実)

ク トル 束 で あ っ て,

の局 所 自明 性 を与 え る同 相 写像

で あ る とき

は微 分 同相 写 像 とな る もの とす る.こ の と き全 空間Eに

は,各hα

を微 分 同

相 写 像 とす るた だ一 つ の可 微 分構 造 が 定 ま り,π:E→Mは

可微 分 写 像 とな

る.多 様 体Mの

最 も基 本 的 な 可

接 ベ ク トル束 τ(M)=(π:T(M)→M)は

微 分 ベ ク トル束 の 例 で あ る.   い ま,ψ:G×M→M,φ:G×E→Eを

が 可 換(す

な わ ち π がG写

φ(g,υ)で

定 義 され る対応

可 微 分G作

像)で

あ っ て,す

用 とす る.図 式

べ て のg∈Gに

対 し て,υ →

φ(g,-):E→E が ベ ク トル 束 写像(す をG多   例3  う.す

な わ ち 各 フ ァ イ バ ー 上 で 線 型 写 像)で

様 体(M,ψ)上 (M,ψ)を

の 可 微 分(実)Gベ 可 微 分G多

べ て の 元g∈Gに

ク トル 束 と い う.

様 体 とす る.接

対 し て,微

分 同相 写 像

ψ(g,-):M→M

あ る と き,(ξ,φ)

ベ ク トル 束τ(M)を

考 え よ

の 微 分 は 接 ベ ク トル 束τ(M)の と き,写

ベ ク トル 束 写 像 ψ(g,-)*を

誘 導 す る.こ

の

像 ψ*:G×T(M)→T(M)

を ψ*(g,υ)=ψ(g,-)*υ

に よ っ て 定 義 す れ ば,ψ*はT(M)上

作 用 で あ る こ と が 分 か る.従 微 分Gベ

っ て,(τ(M),ψ*)はG多

の 可 微 分G 様 体(M,ψ)上

の可

ク トル 束 で あ る.

  例4 Gを 次 元Hベ

コ ン パ ク ト リイ 群,HをGの ク トル 空 間 とす る.直

閉 部 分 群 とす る.(V,ρ)をn

積G×Vに

同値 関係

(g,υ)∼(gh-1,ρ(h)υ), h∈H を 導 入 し て,そ わ す.射

の 等 化 空 間 をG×HVと

影G→G/Hに

書 く.(g,υ)の

対 し て,点e・Hの

同 値 類 を[g,υ]で

開 近 傍U上

表

の可 微 分局 所 切 断

σ:U→G を 一 つ 与 え て お く.各 元g∈Gに

対 し て,写

像

φg:U×V→G×HV を,φg(u,υ)=[gσ(u),υ]に

よ っ て 定 義 す る.φgはG×HVの

の 同 相 写 像 で あ り,{φg(U×V)￨g∈G}はG×HVの き,G×HVは,各

開集 合 の 上 へ

開 被 覆 で あ る.こ

の と

φgが 中 へ の 微 分 同 相 写 像 と な る よ うな た だ 一 つ の 可 微 分

構 造 を も ち,可

微 分 多 様 体 に な る.こ

の 可 微 分 構 造 は,可

り方 に よ ら な い こ と が 容 易 に 証 明 で き る.さ

ら に,対

微 分 局 所 切 断 σの と

応

(g′,[g,υ])→[g′g,υ] に よ っ て,多

様 体G×HV上

の 可 微 分G作

用 が 定 義 で き る.写

像

π0:G×HV→G/H を

π0([g,υ])=g・Hに

よ っ て 定 義 す れ ば,π0:G×HV→G/Hは

可 微 分Gベ

ク トル 束 に な る.   ξ=(π:E→M)を

多 様 体M上

の 可 微 分 ベ ク トル 束 と す る.Mの

上 の フ ァ イ バ ーExに

正 値 内 積〈,〉xが υ →〈υ,υ〉

に よ って 定義 され るE上

の 実 函 数 が(C∞

与 え られ て い る と す る.対 π(υ)

級)可 微 分 の と き,対 応

各 点x 応

〈,〉:x→

〈,〉x

を ベ ク トル 束 ξ の 可 微 分 リ ー マ ン 計 量 と い う.MをG多 多 様 体M上

の 可 微 分Gベ

が,す

べ て のυ,w∈Ex,g∈Gに

はG不

変 で あ る とい う.

様 体M上

Gを

をG

ク トル 束 と す る. 〈g・υ,g・w〉g・x=〈

  定 理1.21 

様 体 と し,ξ

υ,w〉x

対 し て 成 り立 つ と き,リ

コ ン パ ク ト リ イ群,Mを

の 任 意 の 可 微 分(実)Gベ

可 微 分G多

ク トル 束 はG不

ー マン 計 量 〈,〉

様 体 と す る.G多 変 な 可 微 分 リ ー マン 計

量 を も つ.   証 明   ξ=(π:E→M)を

可 微 分(実)Gベ

分 リー マン 計 量 を もつ が,そ

の 一 つ を(,)と

ク トル 束 とす る.ξ す る.各

は常 に可 微

フ ァ イ バ ーEx(x∈M)

に 新 し い 正 値 内 積 〈,〉xを

に よ っ て 定 義 す る.対

応(g,υ)→(g・

上 の 実 函 数 は(C∞級)可 に よ っ て 定 義 され るE上

υ,g・υ)gπ(υ)に よ っ て 定 義 さ れ るG×E

微 分 で あ る か ら,系0.5に

よ っ て,対 応υ → 〈υ,υ〉π(υ)

の 実 函 数 も 可 微 分 で あ る.従 〈,〉:x→

は ξ上 の 可 微 分 リー マン 計 量 で あ る.任

っ て,対

応

〈,〉x 意 の 元h∈Gに

対 し て,不

変積分の

性 質 に よ って

が 成 り立 つ.従   Gを

リ イ群,(M,ψ)をG多

分 ψ(g,-)*は x)=g・xに

っ て,〈,〉

点x∈Mに

はG不

変 で あ る.(終) 様 体 とす る.任

意 の 元g∈Gに対

お け る 接 ベ ク トル 空 間Tx(M)か

お け る 接 ベ ク トル 空 間Tg・x(M)の

し て,微 ら,点

ψ(g,

上 へ の 実 ベ ク トル 空 間 と し て の

同 型 写 像 を 与 え る.従 元gに

っ て,点x∈Mに

お け る 等 方 部 分 群Gxの

対 し て,ψ(g,-)*はTx(M)の

の 各 元gに,Tx(M)の

自 己 同 型 写 像 で あ る.こ

自 己 同 型 写 像 ψ(g,-)*を

すべての の と きGx

対 応 させ る対応

ρx:Gx→GL(Tx(M)) は 連 続 準 同 型 写 像 で あ る.こ 様 体Mの

点xに

ク トル 空間(Tx(M),ρx)をG多

お け る イ ソ ト ロ ピ ー 表 現 と い う.

  1.3.3  MをG多 にMはG不

の 実Gxベ

様 体,AをMのG不

変 な 閉 部 分 多 様 体 と す る.さ

変 な 可 微 分 リー マ ン 計 量 〈,〉 を もつ も の とす る.Aの

に 対 し て,Ta(A)はTa(M)の 〈,〉 に 関 す るTa(A)の

と す る.Naを

点aに

部 分 ベ ク トル 空 間 と み な せ る,リ 直 交 補 空 間をNaと

お け るAの

部 分 多 様 体Aの

に 関 す る 法 ベ ク トル 束 と い う.ν(A)は あ り,リー

マ ン 計 量 〈,〉 がG不

各 点a

ーマ ン計 量

書 き,

法 ベ ク トル 空 間 と い う.こ

トル 束ν(A)=(π:N(A)→A)をMの

ら

τ(M)￨Aの

の と き,実

ベク

リー マン 計 量 〈,〉

可 微 分 部 分 ベ ク トル 束 で

変 で あ るか ら,ν(A)は

可 微 分Gベ

ク トル

束 に な る.   話 を 簡 単 に す る た め,M,Aは

共 に 境 界 を も た な い も の と し,さ

ら にAは

コン パ ク トで あ る と し よ う.正 数 ε に 対 し て

と置 く.N(A)ε に よ っ て,十

はN(A)のG不

変 な 開 集 合 で あ る.定

分 小 さ い 正 数 ε に 対 し て 可 微 分G写 exp:N(A)ε

がexp(υ)=expπ(υ)(υ)に N(A)の

さ ら に 写 像expの

微 分(exp)*はAの

の 同 型 を 与 え て い る.従 な る.故

っ て,写

像

様 体Aは

の と き,exp￨Aは 各 点aに

像expはAの

に 正 数 δ(δ<ε)が 存 在 して

理0.12

→M

よ っ て 定 義 で き る.多

部 分 多 様 体 と も 考え ら れ,こ

理0.10,定

零 切 断 に よ っ て, 恒 等 写 像 とな る が,

対 し てTa(N(A)ε)とTa(M) 各 点 の近傍 で 局 所 微 分 同 相 と

exp:N(A)δ はMのG不

変 な 開 集合 の上 へ のG同

→M 変 な微 分 同 相 写 像 とな る.こ の とき,

exp:N(A)δ をMに

お け るAのG不

→M

変 な開 管 状 近 傍 とい う.

 注 意  正 数 δ の存 在 は,Aが

コ ンパ ク トで あ る こ と,お よび次 の事 実 に よ

って保 証 され る.   補 題1.22 

Xを 可算 基 を もつ 局所 コン パ ク トハ ウス ドル フ空 間,Yを

ス ドル フ空間 とす る.連 続 写像f:X→Yが ト集 合Aの上

局 所 同 相 で あ り,Xの

で単 射 で あ る とす る.こ の と きfはAを

ハウ

コンパ ク

含 む あ る開集 合 の上

で 同相 写 像 に な る.   証 明   Xの

可 算 基 を〓

とす る.〓

の 部分 族Uを

U={Ui￨Ui∩A=φ}i=1,2,3,…

に よ っ て 定 義 す れ ば,UはX-Aの の 閉 近 傍 で あ り,  べ て の 正 整 数nに

開 被 覆 に な っ て い る,Vi=X-UiはA が 成 り立 つ.い

対 し て,Xの

ま 補 題 が 正 し く な い と す れ ば,す

相 異 な る 二 点xn,ynで,f(xn)=f(yn),

かつ

と な る も の が 存 在 す る.  を もつ こ とか ら,点 {y′n}で  点x′,y′

で あ る こ と,お

列{xn},{yn}の

よ びAが

コ ンパ ク ト近 傍

部 分 列 を と る こ と に よ っ て,点

か つf(x′n)=f(y′n)で

あ り,{x′n},{x′n}が

に 収 束 す る も の が 存 在 す る こ とに な る.こ

列{x′n},

そ れ ぞ れAの

の と きfの

連 続 性に

よ

って f(x′)=f(y′) と な り,fがA上

で 単 射 で あ る か らx′=y′

お い て 局 所 同 相 で は な くな る.こ る コ ン パ ク ト近 傍 上 で 単 射,す   1.3.4  Gを G(x)は

れ は 仮 定 に 矛 盾 す る.従

よ っ て,Mの

にfはx′=y′

に

っ てfはAの

あ

な わ ち 同 相 写 像 に な る.(終)

コ ン パ ク ト リ イ 群,MをG多

系1.19に

とな る.故

様 体 とす る.点x∈Mの

閉 部 分 多 様 体 で あ る.

軌道

  定 理1.23(可

微 分 ス ラ イ ス 定 理)  Gを

もた な い)G多

様 体 とす る.MにG不

て お く.こ

コ ン パ ク ト リ イ群,Mを(境

界を

変 な 可 微 分 リー マン 計 量 を 一 つ 与 え

の リ ー マ ン計 量 に 関 し て,点x∈Mの

軌 道G(x)のMに

る 法 ベ ク トル束ν(G(x))=(π:N(G(x))→G(x))は

おけ

可 微 分Gベ

ク トル 束

と して π0:G×GxNx→G/Gx と 同 値 で あ る.こ

こにNxは

ベ ク トル 空 間 で あ る .さ

点xに

ら に,十

お け るG(x)の

分 小 さい 正数

法 ベ ク トル 空 間 で,Gx

δ に 対 して

[g,υ]→g・expx(υ) で 与 え ら れ る 対 応 は,G×Gx(Nx の 上 へ のG同

,δ)か らMのG(x)を

含 むG不

変な開集合

変 な 微 分 同 相 写 像 で あ り,像expx(Nx,δ)はMに

の ス ラ イ ス に な る.こ

お け る 点x

こに Nx ,δ={υ ∈Nx:‖υ‖<δ}

で あ る.   証 明   自然 な 写 像 θ:G×GxNx→N(G(x)) が θ([g,υ])=ψ(g,-)*υに G作

用 で あ る.こ

ν(G(x))が,ベ

よ っ て 定 義 され る.こ

の と き,θ ク トル 束

はG同

の可 微 分

変 な 微 分 同 相 写 像 で あ り,法

π0:G×GxNx→G/Gxと

て 同 値 で あ る こ と を 示 し て い る.定

こ に ψ はM上

可 微 分Gベ

理 の 後 半 は,G不

ベ ク トル 束

ク トル 束 と し

変 な コン パ ク ト部 分 多

様 体 に 対 す る 開 管 状 近 傍 の 存 在 に よ っ て 証 明 で き る.(終)   次 にG多

様 体 の 不 動 点 集 合 に つ い て 考 え よ う.

  定 理1.24  す る.こ

Gを

コ ン パ ク ト リ イ群,Mを(境

の と き,不

動 点 集 合MGの

界 を も た な い)G多

各 連 結 成 分 はMの(境

様体 と

界 を も た な い)

閉 部 分 多 様 体 で あ る.   証 明   点x∈Mを ル 空 間 と な り,そ

不 動 点 と す れ ば,接 の 不 動 点 集 合Tx(M)Gは

ベ ク トル 空 間Tx(M)はGベ

ク ト

部 分 ベ ク トル 空 間 で あ る.Mに

G不 変 な 可 微 分 リ ー マ ン計 量 を 与 え て お く.定

理1.23(ま

た は 直 接 定 理0.10,

定 理0.12)に

よ っ て,十

分 小 さ い 正 数 ε を と れ ば,指 expx:Tx(M)ε

が 定 義 で き て,expxはTx(M)ε

とMに

の 可 微 分 同 相 を 与 え るG写

が 成 り立 ち,MGの   1.3.5  G多

お け る 点xのG不

像 で あ る.従

各 連 結 成 分 はMの

様 体 のGベ

数写像

→M 変 な 開近 傍 と

って

閉 部 分 多 様 体 と な る.(終)

ク トル 空 間 へ のG同

変 なembeddingに

ついて次

の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理1.25  可 微 分G多

Gを

コ ン パ ク ト リ イ 群,Mを(境

様 体 とす る.こ

なembedding

f:M→Vが

  証 明   MにG不 軌 道G(x)に

の と き,有

限 次 元Gベ

ク トル 空 間VとG同

変

変 な 可 微 分 リー マ ン 計 量 を 一 つ 与 え て お く.点x∈Mの 変 な 開 管状 近 傍 exp:N(G(x))δ

理1.23に

よ っ て,可 θ:G×

が 存 在 す る.系1.20に

→M

微 分 同 相 を 与 え るG写

像

θxNx→N(G(x))

よ っ て,有

限 次 元Gベ

ク トル 空 間WxとG同

embedding ax:G/Gx→Wxが

存 在 す る.ま

Gベ

変 な 単 射 線 型 写 像bx:Nx→W′xが

ク トル 空 間W′xとGx同

こ の と き,写

パ ク ト

存 在 す る.

対 し て,G不

を 考 え る.定

界 を もた な い)コン

た 定 理0.8に

変 な

よ っ て,有

限次 元

存 在 す る.

像

が

に よ っ て 定 義 で き る.hxは

単 射G写

造 の 与 え 方(1.3,例4)に

よ っ て,embeddingで

ち,hxは

同 変 なembeddingで

像 で あ り.多 様 体G×GxNxの

あ る.合

成写像

可 微分 構

あ る こ とが 分 か る.す

なわ

はMのG不 1.9と

変 な 開 集 合 か らVxへ

のG同

変 なembeddingで

あ る.定

よ っ て,G同

変 な 可微 分 写 像

可 微 分 写 像 に よ る 近 似 定 理 お よ び 系0.5に

理

kx:M→Vx が 存 在 し て,exp(N(G(x))δ 点x∈Mに

対 し て,有

/2)の 閉 包 の 上 でkx=hxと 限 次 元Gベ

で き る.す

ク トル 空 間VxとG同

な わ ち,各

変 な 可微 分 写 像

kx:M→Vx お よびMに beddingと

お け る 点xのG不 な る.各

変 な 開 近 傍Oxが

点x∈Mに

対 し て,こ

え た と き,{Ox￨x∈M}はMの Mの

の よ うな 組(Vx,kx

開 被 覆 で あ る.Mが

有 限 個 の 点x1,…,xnが

な る.こ

存 在 し て,kx￨Oxはem ,Ox)を

与

コ ン パ ク トで あ る か ら,

存 在 し て,{Ox1,…,Ox

n}がMの

開被覆 と

の とき

と置 き,写 像f:M→Vを

に よ っ て 定 義 す れ ば,fはG同   G同

変 なembeddingの

変 なembeddingで

あ る.(終)

存 在 に 関 す る 定 理1.25の

応 用 と し て,次

の 定理 を

証 明 し よ う.   定 理1.26 

Gを

コ ン パ ト リ イ 群,Mを

体 と す る.こ の と きMに え るG写

像h:U→

∂M×[0,1)で,各

を み た す も の が 存 在 す る.た   証 明   定 理1.25に embedding

と に よ っ て,G同 在 す る.定

理0.6に

積 に 関 し てVに 写 像exp:N(∂M)δ

点x∈

限 次 元Gベ

存 在 す る.以

も っ た コ ン パ ク トG多

変 な 開 近 傍Uと,微

だ し 区 間[0,1)上

よ っ て,有

f:∂M→Vが

一 視 す る .fをM上

境 界 ∂Mを

お け る ∂MのG不

∂Mに のG作

対 し てh(x)=(x,0) 用 は 自 明 とす る.

ク ト ル 空 間VとG同

後 ∂Mとf(∂M)をfに

の 可 微 分 写 像 に 拡 張 し て,定

理1.9と

変 な 可 微 分 写 像F:M→VでF￨∂M=fと よ っ て,VにG不 お け る ∂Mの →VをVに

変 な よ って 同

系0.5を

使 うこ

な る ものが 存

変 な 正 値 内 積 を 与 え て お く.こ

法 ベ ク トル 束 を

様

分 同相 を与

π:N(∂M)→

お け る ∂MのG不

∂Mと

の内

す る.

変 な 開 管 状 近 傍 と し,

U0=exp(N(∂M)δ) と置 く.こ あ り,合

の と きU′0=F-1(U0)はMに

成G写

お け る ∂MのG不

像

は 可 微 分 レ ト ラ ク シ ョ ンで あ る.一

方,Mに

お け る ∂Mの

の 非 負 値 可 微 分 函 数l:U1→Rで,l-1(0)=∂Mで も つ も の が 存 在 す る.こ こ と に よ っ て,Mに

のlに

対 し て,定

お け る ∂MのG不

理1.9,定

る.い

正則値に

理0.4,系0.5を

変 な あ る 開 近 傍U′1上 あ り,0∈Rを

ら に す べ て のg∈G,x∈U′1に

あ る 開 近 傍U1上

あ り,0∈Rを

分 函 数l′:U′1→Rで,(l′)-1(0)=∂Mで

す る.こ

変 な 開近 傍 で

使 う

の 非 負値 可 微

正 則 値 に も ち,さ

対 し てl′(g・x)=l′(x)を

み た す ものが 存 在

お け る ∂MのG不

変 な 開近 傍 で あ

の と きU′=U′0∩U′1はMに ま

h′(x)=(r(x),l′(x)),  に よ っ て 定 義 され る 可 微 分G写 て の 点x∈

∂Mに

Tx(∂M)×Rは

x∈U′

像h′:U′

→ ∂M×[0,∞)を

対 し てh′(x)=(x,0)で

同 型 写 像 で あ る.従

あ る か ら,補

題1.22に

よ っ て,正

開 近 傍Uが

存 在 し て,制

っ てh′

べ

あ り,微

分(h′)*:Tx(U′)→

は ∂Mの

あ る近 傍 で局 所 同相 で

数aとU′

限h′￨U:U→

考 え よ う.す

に 含 ま れ る ∂MのG不 ∂M×[0,a)が

変 な

微 分 同 相 に な る.そ

こで h:U→

∂M×[0,1)

を h(x)=(r(x),l′(x)/a) に よ っ て 定 義 す れ ば,hはG同   こ の 定 理1.26の ∂MのG不

条 件 を み た す 対(U,h)をG多

様 体Mに

お け る 境 界

変 な えり と い う.

  定 理1.27  のG不

変 な 微 分 同 相 写 像 で あ る.(終)

ハ ウ ス ドル フ空 間B上

変 な 閉 集 合Mが

  (ⅰ)  B-Mはn次

に リイ 群Gが

与 え られ, 元 可 微 分G多

様 体 で あ り,

作 用 し て い る とす る.B

  (ⅱ)  Mは

境 界 を も た な いn-2次

さ らに,Mを

含 むG不

元 可 微 分G多

変 な 開 集 合Uと,G同

様 体 で あ る とす る.

変 な 同相 写 像

Φ:U→M×H2 (た だ し, 

は 自 明 なG作

用 を もつ と す る)が

与 え

られ,   (ⅲ)  Mの

す べ て の 点xに

  (ⅳ)  Φ はU-Mか

対 し て,Φ(x)=Φ(x,0,0)で

らM×(H2-(0,0))の

あ り,

上 へ の 微 分 同相 写 像 で あ る と

す る. こ の と き,B上

に 次 の 条 件 を み た す た だ 一 つ の 可 微 分 構 造 が 存 在 す る.

  (a) 

Bは(境

  (b) 

B-MはBの

  (c) 

MはBの

  証 明   U上

界 を も っ た)n次

元 可 微 分G多

様 体 で あ る.

可 微 分 開 多 様 体 で あ る. 境 界 ∂Bの

可 微 分 部 分 多 様 体 で あ る.

に Φ が 微 分 同 相 に な る よ う に 可 微 分 構 造 を 入 れ る と,条

(ⅳ)に よ っ て,B上

にB-MとUを

可 微 分 開多 様 体 とす るた だ一 つ の 可 微

分 構 造 が 存 在 す る.こ

れ が 求 め る も の で あ る.(終)

  系1.28 

境 界 を も っ た 可 微 分G多

B1×B2は

B1,B2を

境 界 を も っ た 可 微 分G多

境 界 ∂(B1×B2)の

様 体 と す る.こ

の と き,直

∂B1×B2

可 微 分 部 分 多 様 体 に な る.

  証 明  同 相 写 像 τ:[0,∞)×[0,∞)→H2で,τ(0,0)=(0,0)で (0,0)以

外 で 可 微 分 同 相 と な る も の が 存 在 す る の で,定

か ら 結 果 が 得 られ る.(終)

積

様 体 と な り,

B1× ∂B2,  はB1×B2の

件(ⅰ),

あ り,点 理1.26,定

理1.27

Ⅱ   ボ ル デ ィズ ム 群

  2.1  ボ ル デ ィズ ム 群 とThom準

同型 写 像

  2.1.1 

元 可 微 分 多 様 体 とす る.境

Mを

に お い て,接

向 き づ け られ たn次 ベ ク トル 空 間Ta(M)の

の 組(e1,…,en)を

選 ん で,e1,…,en-1がTa(∂M)に

の 法 ベ ク トル で あ る よ うに で き る.こ に よ っ てTa(∂M)の Mの

界 ∂Mの

点a

向 き を 定 め る順 序 づ け ら れ た 接 ベ ク トル 内向 き

の と き 順 序 づ け ら れ た 組(e1,…,en-1)

向 き を 定 め る.こ

向 き か ら 誘 導 さ れ た ∂Mの

属 し,enが

の よ うに し て 定 ま る ∂Mの

向 き と い う.Mが

向 き を,

コ ン パ ク トで あ れ ば,M

の 向 き は基 本 ホモ ロジ ー類

を 定 め る が,誘

導 さ れ た ∂Mの

向 き に つ い て ∂*σ(M)=σ(∂M)が

成 り立 つ.

ここに

は 境 界 準 同 型 写 像 で あ る.Mを

向 き づ け ら れ た 多 様 体 とす る と き,反

き に よ っ て 向 き づ け ら れ た 多 様 体 を-Mで

表 わ す.Mが

対 の向

コ ン パ ク トで あ れ ば,

σ(-M)=-σ(M) が 成 り立 つ.   Mを

向 き づ け られ たn次

分 多 様 体 とす れ ば,各 従 っ てTa(M′)の

元 可 微 分 多 様 体 とす る.M′

点a∈M′

多 様 体 は,こ   位 相 空 間Xと

に 対 し てTa(M′)=Ta(M)が

向 き と し て,Ta(M)の

は 向 きづ け られ た 多 様 体 とな る.以

をMのn次

元部 成 り立 つ.

向 き を 与 え る こ と に よ っ て,M′

後 と くに 断 わ らな い 限 り,同

じ次 元 の 部 分

の よ うに し て 定 ま る 向 きが 与 え ら れ て い る も の とす る. そ の 部 分 空 間Aの

対(X,A)を

固 定 し て お く.対(X,A)

に お け る 向 き づ け ら れ た 特 異n多 ト可 微 分 多 様 体Mと

様 体 と は,向

き づ け ら れ たn次

元 コンパ ク

連続写像 f:(M,∂M)→(X,A)

の 対(M,f)の

こ と で あ る.も

  向 き づ け られ た 特 異n多 相 写 像g:M0→M1が

しA=φ

で あ れ ば,も

ち ろ ん ∂M=φ

様 体(M0,f0)と(M1,f1)は,向

存 在 し て,f0=f1°gを

  向 き づ け ら れ た 特 異n多

元 コ ン パ ク ト 可 微 分 多 様 体Wと

す る と き,零

に 同 境 で あ る と い い,(M,f)∼0と

  (ⅰ)  境 界 ∂Wのn次

きを保 つ 微 分 同

み た す と き,同 型 で あ る と い う.

様 体(M,f)は,次

れ たn+1次

で あ る.

の二 条 件 を み たす 向 きづ け ら 連 続 写 像F:W→Xが

存在

書 く.

元 コ ン パ ク ト部 分 多 様 体M′

が 存 在 して

F(∂W-M′)⊂A と な る.   (ⅱ)  (M′,F￨M′)は(M,f)と

同 型 で あ る.

  向 きづ け ら れ た 特 異n多 し て の)直

様 体(M0,f0)と(M1,f1)に

和(M0∪(-M1),f0∪f1)が

(M1,f1)は

対 し て,(集

合 と

零 に 同 境 で あ る と き,(M0,f0)と

同 境 で あ る と い い,(M0,f0)∼(M1,f1)と

書 く.こ

の関 係 は 同値

関 係 で あ る.   (M,f)の

同 境 類 を[M,f]で

表 わ し,同

境類全体の集合を

Ωn(X,A) で 表 わ す.集

合 と し て の 直 和 を 考 える こ とに よ っ て,Ωn(X,A)に

和

[M1,f1]+[M2,f2]=[M1∪M2,f1∪f2]

が 定 義 で き て,Ωn(X,A)は

可 換 群 と な る.こ -[M

が 成 り立 つ.Ωn(X,A)を う.A=φ

,f]=[-M,f]

位 相 空 間 対(X,A)のn次

の と き Ωn(X,φ)を

単 にΩn(X)と

  連 続 写 像 φ:(X,A)→(Y,B)に

°f]に

の ボ ル デ ィズ ム 群 と い 書 く こ と に す る.

対 し て,自

φ*:Ωn(X,A)→

が,φ*[M,f]=[M,φ

のとき

然 な 準 同 型 写像

Ωn(Y,B)

よ っ て 定 義 で き る.

  対 応(M,f)→(∂M,f￨∂M)に

よ って

が 定 ま り,準 同 型 写 像で あ る こ とが分 か る.  M′ を境 界 を もた な い 向 きづ け られ た コ ン パ ク トm次 f)を 位 相 空 間対(X,A)の →Mを

様 体 とす る.p2:M′

自然 な射 影 とす る と き,(M′ ×M,f°p2)は(X,A)の

た特 異m+n多 f)の

向 きづ け られ た 特 異n多

元 多様 体,対(M,

様 体 で あ る.同 境 類[M′ ×M,f°p2]はM′

×M

向 きづ け られ の 同境 類 と(M,

同境 類 に よ って一 意 に 定 ま る こ とが 証 明で き る.従 って,直 和

は 向 きづ け られ たThom同

境 環 

上 の 次 数 つ き加群 とな る.こ

の

と き,先 に 定 義 した準 同型 写像

は,そ

れ ぞ れ 次 数0,-1の

Ω*準

同 型 写 像 と な る こ と が 分 か る.

  ボ ル デ ィ ズ ム 群 と 準 同 型 写 像 に つ い て,次

の 諸 性 質 が 成 り立 つ.

  (2.1)  一 点 か ら成 る 集 合Pに

型 

  (2.2)  φ:(X,A)→(X,A)が   (2.3)  φ:(X,A)→(X′,A′), 

対 して,同

が 成 り立 つ.

恒 等 写 像 で あ れ ば,φ*も ψ:(X′,A′)→(X″,A″)に

恒 等 写 像 で あ る. 対 し て,

が 成 り立 つ.   (2.4)  任 意 の φ:(X,A)→(Y,B)に

  (2.5)  φ0,φ1:(X,A)→(Y,B)が

対 し て,次

の 図 式 は 可 換 で あ る.

ホ モ トー プ で あ れ ば,φ0*=φ1*が

り立 つ.   (2.6) 

U⊂int Aで

あ れ ば,包

含 写 像e:(X-U,A-U)→(X,A)は,

成

同型写像

を 誘 導 す る.   (2.7)  す べ て の 位 相 空 間 対(X,A)に

対 し て,次

  注 意   上 の 諸 性 質 に よ っ て,{Ω*(X,A),φ*,∂*}は つ で あ る こ とが 分 か る.(2.1)―(2.4)は (2.7)の

一 般 ホ モ ロジ ー論 の 一

定 義 か ら直 接 証 明 で き る が,(2.5)―

証 明 に は ボ ル デ ィ ズ ム 論 特 有 の 手 法 が 用 い ら れ る.詳

Conner-Floyd: 1章 第5節   2.1.2 

の 列 は 完 全 列 で あ る.

Differentiable

Periodic

Maps,

し い 証 明 は,

Springer-Verlag,

1964の

第

を 参 照 せ よ. 位 相 空 間 対(X,A)に

対 し て,自

然 な 準同 型 写 像

μ:Ωn(X,A)→Hn(X,A;Z) が 次 の よ うに し て 定 義 さ れ る.(X,A)の

向 き づ け られ た 特 異n多

様体

f:(M,∂M)→(X,A) に 対 し て,σ(M)∈Hn(M,∂M;Z)を

基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 とす る と き, μ[M,f]=f*σ(M)

と定 義 す る.写 像 μ をThom準

同 型 写 像 とい う.次 の図 式 が 可換 に な る.

 ボ ル デ ィズ ム 論 の 性 質(2.1)―(2.7)に

よ っ て,自

然 な 同型 対 応

が 存 在 して,次 の 図式 が 可換 に な る.

準 同型 写 像

Δ*:Ω*(Dk,Sk-1)→

Ω*(Dk-1,Sk-2)は,次

数-1の

Ω*同

型

写 像 で あ る か ら,kに

つ い て の 帰 納 法 に よ っ て,同

が 成 り立 ち,Ω*(Dk,Sk-1)は[Dk,id]∈

型

Ωk(Dk,Sk-1)を

た だ一 つ の生成 元

とす る 自 由 Ω*加 群 に な る.   XをCW複

体 と し,Xのr切

片 をXrと

が 成 り立 ち,{ekα}をXのk胞

体 の 全 体 と し,ekα の 特 性 写 像 を

とす る と き,Ω*(Xk,Xk-1)は{[Dk,fα]}を   θ:H*(X;Z)→

に よ っ て,次

Ω*(X)を

数0の

書 く.上 の 結 果 に よ っ て,同 型

基 とす る 自 由 Ω*加 群 に な る.

次 数0の

準 同 型 写 像 とす れ ば,対

応

Ω*準 同 型 写 像

が 誘 導 され る.   定 理2.8(Conner-Floyd) 

Xを

を も た な い とす る.θ:H*(X;Z)→ μ°θ=idで

あ れ ば,θ

有 限CW複 Ω*(X)を

体 と し,H*(X;Z)が 次 数0の準

ね じれ

同 型 写 像 と す る.

は Ω*同 型 写 像

を 誘 導す る.   証 明   H*(X;Z)が Z)も

ね じれ を もた な け れば,す べ て のkに 対 して,H*(Xk;

ね じれ を もた ない こ とが 分 か る.帰 納法 に よ っ て,次 数0の 準 同 型 写像

を 構 成 し て,次

の 条 件 を み た す よ うに で き る こ と を 示 そ う.

  (ⅰ)  す べ て のkに   (ⅱ)  複 体Xの

対 し て,μ ° θ(k)=idが

次 元 をnと

  (ⅲ)  す べ て のkに

成 り立 つ.

す る と き,θ(n)=θ

対 し て,次

が 成 り立 つ.

の 図 式 は 可換 で あ る.

た だ し,σ(k)は

μ°σ(k)=idに

  まずk=nの

と き,θ(n)=θ

よ っ て 一 意 に 定 ま る 準 同 型 写 像 とす る . と μ°θ=idに

り立 つ こ と が 容 易 に 証 明 で き る.ま べ て のr,kに

た,条

件(ⅲ)に

が 一 意 に 定 ま る.従

っ て,各kに

よ っ て,r
みたすす

を 構 成 す れ ば 良 い.す

べ て のk>k0に

対 し て,次

Ωγ(Xk)

対 して

θ(k):Hk(Xk)→

Ωk(Xk)

対 し て,θ(k)が

構 成 され て い る も の と し

の 可 換 図 式 を 考 え る.

横 の 二 列 は 完 全 列 で あ り,i1,i2は

全 射 で あ る.Hk(Xk+1)が

従 っ て 自 由 加 群 で あ る か ら,A=image∂2はHk(Xk)の

とす れ ば,Bはi2に

よ っ てHk(Xk+1)と

る θ(k+1)に よ っ て,各a∈Aに

に よ っ て 定 義 す れ ば,θAは

ね じれ を もた ず, 直 和 成 分 で あ る.

同 型 に な る .す

で に 構 成 され て い

対 し て,

が た だ 一 つ の 元 か ら成 る こ とが 分 か る.そ

とす れ ば,i1が

θ(n)=σ(n)°j*が 成

対 して θ(k):Hγ(Xk)→

よ う.k=k0に

よ っ て,j*°

こで θA:A→

準 同 型 写 像 に な る.次

Ωk(Xk)を

に 自 由 加 群Bの

全 射 で μ1が 同 型 写 像 で あ る か ら,各xα

基 を{x

に 対 し てyα ∈ Ωk(Xk)

を選 んで

を み た す よ う に で き る.そ

こ で 準 同 型 写 像 θB:B→

α}

Ωk(Xk)を,θB(xα)=yα

に よ っ て 定 義 す る.さ

ら に θ(k):Hk(Xk)→ θ(k)￨A=θA, 

に よ っ て 定 義 す れ ば,こ をみ たす 準 同型 写像 に 対 し て θ(k)が

Ωk(Xk)を, θ(k)￨B=θB

れ が 求 め る もの で あ る.以

θ(0),θ(1),…,θ(n)=θ

上 で,条

が 求 ま っ た.最

件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ) 後 に,す

べ て のk

Ω*同 型 写 像

を誘 導 す る こ とを 証 明 し よ う.θ(0)*は同型 写 像 で あ るか ら,す べ てのr
よ って,次 の 図式 は可 換 で あ る.

下 の 列 は 完 全 列 で あ り,各H*(Xk),H*(Xk-1)が て,上

の 列 も完 全 列 に な る

る.故

にfive

lemmaに

ね じ れ を もたな い こ とに よ っ

σ(k)*は同 型 で あ り,仮

定 か らθ(k-1)*も 同 型 で あ

よ っ て θ(k)*も同 型 に な る.(終)

  注 意   向 き づ け ら れ た 特 異 多 様 体 に よ っ て,Ω*加

群 Ω*(X,A)が

た の で あ る が,"向

の ボ ル デ ィ ズ ム群

き を 考 え な い"こ

と に よ っ て,別

が 定 義 で き る.こ の ボ ル デ ィ ズ ム 群  り立 つ. 

は,"向

定 義 され

に 対 し て も(2.1)―(2.7)が

き を 考 え な い"Thom同

境 環〓*上

成

の 次 数つ き加

群 と な る.   特 異n多

様 体f:(M,∂M)→(X,A)に

対 し て,

σ(M)2∈Hn(M,∂M;Z2) をZ2係

数 に お け るMの

が,μ[M,f]=f*σ(M)2に

基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 とす る と き,Thom準同

よ っ て 定 義 さ れ る.こ

様 に し て,次

の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理2.9 

Xを

有 限CW複

体 と す る. 

型写像

れ に つ い て も定 理2.8と

同

を μ°θ=id

をみ た す 次 数0の

準 同型 写 像 とす れ ば,θ は〓*同

型写像

を 誘導 す る.◇

  2.2  ボ ル デ ィズ ム 特 性 数   2.2.1 

Mを

境 界 を も た な い コ ン パ ク トn多

様 体 と し,

σ(M)2∈Hn(M;Z2) をMの

基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 とす る. wk(M)∈Hk(M;Z2)

をMのk次Stiefel-Whitney類

とす る.す

べ て の 分 割k1+k2+…+kr=nに

対 し て,MのStiefel-Whitney数 <wk1(M)…wkr(M),σ(M)2>∈Z2 が 定 ま る.こ

こ に<,>はKronecker積

を 表 わ す.

  次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理2.10(Thom)  境 群〓nに

Stiefel-Whitney数   Mを

Mを

境 界 を も た な い コ ン パ ク トn多

お い て[M]=0と

様 体 とす る.同

な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,Mの

す べ ての

が 零 に な る こ とで あ る.◇

境 界 を もた な い 向 きづ け られ た コ ン パ ク トn多

様 体 と し,

σ(M)∈Hn(M;Z) をMの

基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 と す る. pk(M)∈H4k(M;Z)

をMのk次Pontrjagin類

とす る.す

べ て の 整 数 列k1,k2,…,ksに

対 し

て,MのPontrjagin数 ∈Z が 定 ま る.   次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理2.11(Thom,Wall)  n多

様 体 と す る.同

境 群 Ωnに

Mを

境 界 を もた な い 向 きづ け られ た コ ン パ ク ト

お い て[M]=0と

な る た め の 必 要 十 分 条 件 は,

MのPontrjagin数   Mを す る.す

とStiefel-Whitney数

境 界 を もた な い コ ン パ ク トn多

が す べ て 零 に な る こ と で あ る.◇ 様 体 と し,f:M→Xを

べ て の 分 割k+k1+…+kr=nと,す

連 続 写像 と

べ て の コホ モ ロ ジ ー 類

x∈Hk(X;Z2) に 対 し て,Z2の

元 <wk1(M)…wkr(M)f*(x),σ(M)2>

が 定 ま る.こ

れ をf:M→Xの

  定 理2.12 〓n(X)の

元 と し て[M,f]=0で

ィ ズ ムStiefel-Whitney数   証 明  [M,f]=0で →Xが

ボ ル デ ィズ ムStiefel-Whitney数

と い う.

あ れ ば,f:M→Xの

ボル デ

は す べ て 零 に な る. あ れ ば,コ

ン パ ク トn+1多

存 在 し て,(∂B,F￨∂B)=(M,f)が

に よ っ てi*σ(M)2=0で

様 体Bと

成 り立 つ.包

連 続 写 像F:B 含 写 像i:M→B

あ る か ら,

(終)   Mを

境 界 を も た な い 向 き づ け ら れ た コ ン パ ク トn多

を 連 続 写 像 とす る.す

様 体 と し,f:M→X

べ て の 分 割k+4(k1+…+ks)=nと,す

ジ ー 類y∈Hk(X;Z)に

対 し て,整

べ て の コホ モ ロ

数

が 定 ま る.こ   定 理2.13 

れ をf:M→Xの Ωn(X)の

元 と し て[M,f]=0で

デ ィ ズ ムPontrjagin数   証 明   定 理2.12と   次 に 定 理2.13の

す る.こ

の と き,Xの

と い う.

あ れ ば,f:M→Xの

と ボ ル デ ィズ ムStiefel-Whitney数

ボル

は す べ て 零 に な る.

全 く同 様 に 証 明 で き る.(終) 逆 が 成 り立 つ た め の 一 つ の 十 分 条 件 を 与 え よ う.

  定 理2.14(Conner-Floyd)  じれ を もた ず,Thom準

ボ ル デ ィズ ムPontrjagin数

Xを

有 限CW複

体 とす る.H*(X;Z)が

同 型 写 像 μ:Ω*(X)→H*(X;Z)が 向 き づ け られ た 特 異n多

様 体f:M→Xに

ね

全射 で あ る と 対 し て,

[M,f]=0で

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,f:M→Xの

trjagin数

と,ボ

ル デ ィ ズ ムStiefel-Whitney数

  証 明   定 理2.13に

よ っ て,ボ

Stiefel-Whitney数

は,す

由 加 群Hn(X;Z)の で 表 わ す.す

ボ ル デ ィ ズ ムPon が す べ て零 に な る ことで あ る.

ル デ ィ ズ ムPontrjagin数

と,ボ

ル デ ィズ ム

べ て 同 境 類 の 不 変 量 で あ る こ と が 分 か っ て い る .自

基 を{cn

,i}と

し,Hn(X;Z)に

お け る 双 対 基 を{c*n,i}

な わ ち =δij

が成

り立 つ.μ:Ω*(X)→H*(X;Z)が

Ωn(X)の

元[Mni

.fi]を

全 射 で あ る か ら,各cn

,iに 対 し て,

選 ん で, μ[Mni,fi]=cn,i

と で き る.こ 自由

の と き 定 理2.8に

Ω*加

群 で あ る.従

よ っ て,Ω*(X)は{[Mni,fi]}n

,iを

基 とす る

って

 (1) と一 意 に 表 わ す こ とが で き る.さ 数 と,ボ 分割

てf:M→Xの

ル デ ィ ズ ムStiefel-Whitney数

ω=(k1,…,ks)に

ボ ル デ ィズ ムPontrjagin

が す べ て 零 に な る も の と 仮 定 し よ う.

対 し て, pω(M)=pk1(M)…pks(M)

と置 く.さ す る.こ

て, 

と仮 定 し, 

を み た す 最 大 のmをm0と

の とき

が 成 り 立 つ.す

な わ ち,Vn-m0i0の

す べ て のPontrjagin数

し て,Vn-m0i0の

す べ て のStiefel-Whitney数

も 零 に な る.従

が 零 に な る.同 っ て,定

様 に

理2.11

に よ っ て[Vn-m0i0]=0が f:M→Xの

成 り立 つ.こ

れ はm0の

ボ ル デ ィ ズ ムPontrjagin数

が す べ て 零 に な れ ば,[M,f]=0が   定 理2.14の

Xを

有 限CW複

  2.2.2  定 理2.14,定

  証 明 

示 そ う.そ

体 と し,nを

すべて

の条 件 だ け か ら

の た め 次 の 補 題 を 準 備 す る. 正 整 数 とす る.H*(Xn-1;Z)が

同 型 写 像 μ:Ω*(Xn-1)→H*(Xn-1;Z)が

全射で

換 図式

∂*)-1(0)=∂-1*(0)が

成 り 立 つ.

自 由 加 群Hk(Xn-1;Z)の

る 双 対 基 を{c*k,j}で ら,各ck,jに

様 体f:M→

同型 写 像 μ が 全 射 で あ

は こ の 条 件 は 不 要 で あ る こ と(他

有 限CW複

ね じれ を も た ず,Thom準

に お い て,(μ°

特 異n多

お い て,Thom準

μ の 全 射 な る こ と が 分 か る こ と)を

あ る とす れ ば,可

の と き,Xの

が 零 に な る こ と で あ る.◇

理2.15に

る こ と を 仮 定 し て い る が,実

Xを

同 型 写 像 

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,f:M→Xの

の ボ ル デ ィ ズ ムStiefel-Whitney数

  補 題2.16 

の 定 理 が 証 明 で き る.

体 と し,Thom準

対 して,[M,f]=0で

像

成 り立 つ.(終)

が 全 射 で あ る とす る.こ Xに

に,写

と ボ ル デ ィズ ムStiefel-Whitney数

証 明 と全 く同 様 に し て,次

  定 理2.15 

仮 定 に 矛 盾 す る.故

基 を{ck,j}と

し,Hk(Xn-1;Z)に

表 わ す.μ:Ω*(Xn-1)→H*(Xn-1;Z)が

対 し て,Ωk(Xn-1)の

元[Mkj,fj]を

お け 全 射 で あ るか

選 ん で

μ[Mkj,fj]=ck,j と で き る.こ す る 自由

の と き 定 理2.8に

Ω*加

群 で あ る.従

よ っ て,Ω*(Xn-1)は{[Mkj,fj]}k,jを っ て,x∈(μ°

と表 わ す こ と が で き る が,μ(∂*(x))=0で =0と

な る .さ

て, 

とす れ ば,k0
と仮 定 し,  な る.i:Xn-1→Xnを

∂*)-1(0)に

基 と

対 して

あ る か ら,す べ て のjに

対 し て[V0j]

を み た す 最 大 のkをk0 包 含 写 像 とす れ ば,す

べての

c*k.j(k
対 し てd*k.j∈Hk(Xn;Z)を

選 ん で

i*(d*k.j)=c*k .j と で き る.一

方,完

全 列(2.7)に

よ って

が 成 り立 つ.こ

の と き 定 理2.13に

が 成 り立 つ.す

な わ ちVn-1-k0j0の

に し て,Vn-1-k0j0の

よ って

す べ て のPontrjagin数

す べ て のStiefel-Whitney数

に よ っ て,[Vn-1-k0j0]=0と

な る.こ

が 証 明 され た.∂-1*(0)⊂(μ°

も 零 に な る.故

れ はk0の

(μ° ∂*)-1(0)⊂ ∂*)-1(0)は

が 零 に な る.同

仮 定 に 矛 盾 す る.従

様

に 定 理2.11 って

∂-1*(0) 常 に 成 り立 つ の で,

(μ° ∂*)-1(0)=∂-1*(0) が 証 明 され た.(終)   定 理2.17 

Xを

け れ ば,Thom準

有 限CW複

しH*(X;Z)が

同 型 写 像 μ:Ω*(X)→H*(X;Z)は

  証 明   H*(X;Z)が Z)も

体 と す る.も

ね じれ を もた な け れ ば,す

ね じれ を も た な 全 射 で あ る.

べ て のnに

対 し てH*(Xn;

ね じれ を もた な い こ とが 分 か る.μ:Ω*(X0)→H*(X0;Z)は

全 射 で あ る.故

に μ:Ω*(Xn-1)→H*(Xn-1;Z)が

μ:Ω*(Xn)→H*(Xn;Z)が μ:Ω*(Xn-1)→H*(Xn-1;Z)が

明 らか に

全 射 で あ る と仮 定 し て,

全 射 に な る こ と を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.さ て, 全 射 で あ れ ば,す μ:Ωk(Xn)→Hk(Xn;Z)

べ て のk
対 して

が 全射 に な る こ とは容 易 に証 明 で き る.次 の 可換 図 式 を 考 え よ う.

任 意 の 元x∈Hn(Xn)に

対 し て,

が 成 り立 ち,補

よ っ て,

題2.16に

(μ2∂1)-1(0)=∂-11(0) が 成 り立 っ て い る の で, ∂1μ-11j2(x)=0 が 成 り立 つ.従

っ て,元y∈

Ωn(Xn)が

存在 して

j2(x)=μ1j1(y)=j2μ(y) が 成 り立 つ.Hn(Xn-1)=0で

あ る か ら,j2は

単 射 で あ り,従

って

x=μ(y) が 成 り立 つ.す

なわち μ:Ωn(Xn)→Hn(Xn;Z)

も全 射 に な る.(終)   定 理2.18 

す べ て の 有 限CW複

体Xに

対 し て,Thom準

同型写像

は 常 に 全 射 で あ る.   証 明   補 題2.16,定   注 意   定 理2.17と H*(X;Z)が

定 理2.8に

証 明 と全 く同 様 で あ る.(終) よ っ て,有

ね じれ を も た な け れ ば,Ω*同

が 存 在 す る.同 対 し て,常

理2.17の

様 に,定

に〓*同

が存 在 す る.

型

理2.18と

定 理2.9に

限CW複

体Xに

対 し て,も

型

よ っ て,有

限CW複

体Xに

し

Ⅲ  G同

  3.1  G多

境

群

様 体 の 同 境群

  3.1.1  この節 を通 して コンパ ク ト リイ群Gを Hに

対 して,Hと

共 役 なGの

部 分 群 の全 体 を(H)で

群 の族 〓 は,す べ て の  で あ る とい う.Gの Mの

固 定 し てお く.Gの 表 わ す.Gの

に 対 して 

様 体Mに

す べ て の点 の等 方 部 分群 が 〓 に 属 して い る とき,Mは 閉 部 分群 の許 容 族 〓 と,そ

与 え られ て い る とす る.(境 界 を も った)G多 由で あ り,さ らに 境 界 ∂Mが G多

〓

閉部分

が 成 り立 つ とき許 容 族

閉 部分 群 の許 容 族 〓 と可 微 分G多

多 様体 で あ る とい う.Gの

部 分群

様 体Mに

対 して,

〓 自 由 なG

の 部 分 許容 族 〓 対 して,Mが

が

〓 自

自 由 で あ る とき,Mは(〓,〓)自

由な

様 体 で あ る とい う.

  注 意  Mを(〓,〓)自 的 にMは

様 体 とす る.も し 

境 界 を もた な い 多様 体 に な る.従 って,〓

φ)自 由なG多

自由なG多

で あれ ば 必 然 様体 と(〓,

様 体 とは 区 別 され る.

  い ま,  た)G多

由なG多

をGの

様 体Mに

閉 部 分群 の許 容 族の 列 とす る.(境

対 して,Mが(〓,〓)自

自 由で あ る.ま た,Mが(〓,〓)自

界 をもっ

由 で あれ ば,Mは(〓,〓)

由 で あれ ば,境 界 ∂Mは(〓,φ)自

由 で あ る.   G多

様 体(M,ψ)は,Mが

向 きづ け られ た 多 様 体 で あ り,す べ て の 元g

∈Gに

対 して,微 分 同相 写 像 ψ(g,-):M→M

が 向 きを保 つ とき,向 き づ け られ たG多 様 体(M,ψ)に

対 して,Mと

様 体 とい う.向 きづ け ら れ たG多

反 対 の向 きを も った 多 様体 を-Mで

表 わす と

き,(-M,ψ)も

また 向 き づ け られ たG多

  二 つ の 向 き づ け られ たG多 へ のG同

様 体(M,ψ),(M′,ψ′)はMか

由 な 向 き づ け ら れ たn次

自由 な 向 き づ け ら れ たn+1次

のG不

変 なn次

(ⅱ)を

らM′

変 な 向 き を 保 つ 微 分 同 相 写 像 が 存 在 す る と き,G同

  (〓,〓)自 〓

様 体 で あ る.

元 コ ン パ ク トG多

元 コ ン パ ク トG多

元 コ ン パ ク ト部 分 多 様 体M1が

み た す と き,G多

同 境 で あ る とい い,M∼0と

〓

様 体Wと,境

由 な 向 き づ け ら れ たn次

合 と し て の 直 和(M,ψ)+(-M′,ψ′)が

体 のG同

様 体 とす る.G空

書 く. 由 な 向 きづ け られ たn

由 な 向 き づ け られ たn次

間M×[0,1]は

系1.28に

ら に ∂M×[0,1]は

よ っ て,境

元 コンパ ク ト 界 を もった 可微

型 で あ り,M×1は-MとG 〓

自 由 なG多

様 体 で あ る.従

っ てM

成 り立 つ .

  (対 称 律)G同

境M∼M′

コ ンパ ク トG多

様 体 をWと

  (推 移 律)G同 られ たn+1次 G同

境で

型 類 全 体 の 作 る 集 合 上 の 同 値 関 係 で あ る.

様 体 に な るが,M×0はMとG同

同 型 で あ り,さ

様 体(M,

零 にG同

境 で あ る と い う関 係 は,(〓,〓)自

  証 明   (反 射 律)Mを(〓,〓)自

∼Mが

元 コ ン パ ク トG多

境 で あ る と い い,(M,ψ)∼(M′,ψ′)と

次 元 コ ン パ ク トG多様

分G多

の 条 件(ⅰ),

自 由 で あ る.

ψ),(M′,ψ′)は,集

G多

界 ∂W

由 な 多 様 体 と し て 零 にG

  二 つ の(〓,〓)自

G同

対 し て,

型 で あ る.

  (ⅱ)  ∂W-M1は

  定 理3.1 

様 体Mに

書 く.

  (ⅰ)  MはM1とG同

あ る と き,G同

型 で あ る と い う.

存 在 し て,次

様 体Mは(〓,〓)自

の上

を与 え る 〓

境M∼M′

お よ びM′

元 コ ンパ ク トG多

境 の 定 義 に よ り,-M′

か ら ∂W′ の 中 へ のG同 中 へ のG同

自 由 な 向 き づ け ら れ たn+1次

す れ ば,-WはG同 ∼M″

様 体 を,そ

か ら ∂Wの 型 写 像f′

境M′ を与える 〓 れ ぞ れWお

中 へ のG同

が 存 在 す る.一 方,定 理1.26に

h′:∂W′ ×[0,1)→W′

元

与 え る.

自由 な 向 き づ け よ びW′

型 写 像f,お

型写 像 h:∂W×[0,1)→W, 

∼Mを

と す る. よ びM′ よ っ て,

で,す

べ て の 点x∈

し てh′(x′,0)=x′

∂Wに

対 し てh(x,0)=x,す

べ て の 点x′

を み た す も の が 存 在 す る.こ W+M′

れ ら のG写

∈ ∂W′ に 対

像 に よ っ て,直

和

×(-2,2)+W′

に 次 の 関 係 を 定 義 す る.   (a) 

x∈M′, に

  (b) 

x∈M′, 

対 し て,(x,t)∼h(f(x),t-1), に 対 し て,(x,t)∼h′(f′(x),t-1).

こ れ ら の 同 一 視 に よ っ て 得 ら れ る 等 化G空 よ っ てW″

は 境 界 を も っ た 可 微 分G多

間 をW″

と す れ ば,定

様 体 と な り,G同

理1.27に

境M∼M″

を与

え る.(終)

  (〓,〓)自

由 な 向 き づ け られ た コ ン パ ク トG多

同 境 類 を[M,ψ]ま

た は 単 に[M]で

表 わ し,G同

様 体(M,ψ)の

表 わ すG

境類 全 体 の集 合 を

Ωn(G;〓,〓) で 表 わ す.さ

て, 

で あ れ ば,

が 成 り立 つ か ら,

に よ っ て,集

合 Ωn(G;〓,〓)に

て,Ωn(G;〓,〓)は

加 群 の 構 造 を もつ.零

表 わ すG同

境 類 で あ り,(M,ψ)の

表 わ すG同

境 類 で あ る.す

う.

の と き,加

元 は 零 にG同

表 わ すG同

の和 に よ っ

境 なG多

様体 の

境 類 の 逆 元 は(-M,ψ)の

なわち -[M

が 成 り立 つ.こ

和 を 定 義 す る こ と が で き る.こ

,ψ]=[-M,ψ]

群 Ωn(G;〓,〓)をG多

様 体 のG同

境 群 とい

  3.1.2 

い ま 

をGの

意 し た よ う に,(〓,〓)自 〓)自

由 なG多

由 なG多

様 体 は(〓,〓)自

様 体 は(〓,〓)自

が 定 義 で き る.さ は(〓,φ)自

閉 部 分 群 の 許 容 族 の 列 とす る.先

由 で あ る か ら,自

ら に,(〓,〓)自

由 で あ り,従

由 なG多

って(〓,〓)自

に注

由 で あ り,(〓, 然 な 準 同 型写 像

様 体Mに

対 し て,境

由 で あ る か ら,自

界 ∂M

然 な 準 同型

写像

が ∂*[M]=[∂M]に

よ っ て 定 義 で き る.

  これ ら の 準 同 型 写 像 に つ い て,次   定 理3.2 

Gを

族 の 列 と す る.こ

  証 明   (a) 

の 定 理 が 成 り立 つ.

コ ンパ ク ト リ イ群, 

をGの

閉 部 分群 の許 容

お け る 完 全 性.Mを(〓,〓)自

由な向

の と き 次 の 列 は 完 全 列 で あ る.

Ωn(G;〓,〓)に

き づ け ら れ たn次

元 コ ン パ ク トG多

様 体 と す る と き,〓

自 由 なG多

様体

M×[0,1] はj*i*[M]=0を

与 え る.逆

元 コ ン パ ク トG多 ン パ ク トG多 はWの

∂M1を

も っ た(〓,〓)自 理1.26に

に 含 ま れ るG不

〓

由 なG多

自 由 な 向 き づ け られ たn+1次

境界 様体

よ っ て,∂W-M1

変 なn次

元 コ ン パ ク ト多

が 存 在 し て,∂W-M1-M′

由 な 向 きづ け ら れ たn次

与 え る も の とす る.す

変 な部 分 多様 体

型 で あ り,∂W-M1は

で あ る.定

様 体M′

様 体 と し,Wを

様 体 でj*[M]=0を

境 界 ∂WのG不

M1とG同

にMを(〓,〓)自

が

な わ ちG多

元 コ 様 体M

〓

自 由 なG多

〓)自

様 体 で あ る よ うに で き る.す

由 で あ り,G多

な わ ち,G多

様 体M′

は(〓,

様 体Wは [M]=-i*[M′]

を 与 え る.   (b) Ωn(G;〓,〓)に れ たn次

お け る完 全 性.Mを(〓,〓)自

元 コ ン パ ク トG多

様 体 とす る と き,〓

由 な向 きづ け ら 自 由 なG多

様体

∂M×[0,1] は ∂*j*[M]=0を

与 え る.逆

元 コ ン パ ク トG多

ク トG多

にMを(〓,〓)自

様 体 と し,Wを〓

様 体 で ∂*[M]=0を

らG多

同型 写 像fが は〓

様 体 ∂Wの

自 由 な 向 き づ け られ たn次

元 コ ンパ

与え

る もの とす る.す な わ ちG多 ∂Mか

由 な 向 き づ け ら れ たn次

様体

中へ のG

存 在 し,∂W-f(∂M)

自由 な コンパ ク トG多

様体

で あ る.こ の ときMと-WをG 同 型 写 像fに

よ っ て 張 り合 せ て で き た コ ン パ ク トG多

M′ は(〓,〓)自 〓

自 由 なG多

由 な 向 き づ け られ たn次 様 体M′

れ たn+1次

元 コ ン パ ク トG多

×[0,1]はj*[M′]=[M]を

  (c) Ωn(G;〓,〓)に

様 体 をM′

様 体 で あ り,

与 え る.

お け る 完 全 性.Mを(〓,〓)自

元 コ ン パ クトG多

とす れ ば,

由 な 向 きづ け ら

様 体 とす る と き,Mは

i*∂*[M]=i*[∂M]=0 を 与え る.逆

にMを(〓,〓)自

多 様 体 と し,Wを〓 体 で,i*[M]=0を の とす る.す 体MはWの

由 な 向 き づ け られ たn次

自 由 な 向 き づ け ら れ たn+1次 与 えるも

な わ ちG多

様

境 界 ∂WのG

不 変 な 部 分 多 様 体M1とG同 型 で あ り,∂W-M1は

〓

元 コン パ ク トG

元 コ ン パ ク トG多

様

自 由 なG多

様 体 で あ る.こ

∂*[W]=[∂W]=[M]を

の と き〓

を 単 にΩn(G;〓)と

る.こ

  Lを

Gを

様体

∂W×[0,1]は

与 え る.(終)

  注 意   空 集 合 φ お よ びGの

  系3.3 

自 由 なG多

閉 部 分 群 の 許 容 族〓に

書 く こ と に す る.こ

対 し て,Ωn(G;〓,φ)

の と き,

コ ン パ ク ト リ イ群, 

をGの

閉部 分 群 の 許 容 族 とす

の と き 次 の 列 は 完 全 列 で あ る.

自明 なG作

用 を も った境 界 を も たな い 向 きづ け られ たp次

ク ト多 様 体 と し,Mを(〓,〓)自

由 な 向 きづ け られ たq次

元 コ ンパ

元 コ ンパ ク トG

多様 体 とす れ ば,直 積L×Mは(〓,〓)自

由 な向 きづけ られ たp+q次

コ ンパ ク トG多

境 類 はLの

様 体 に な る.L×MのG同

元

同境 類 とMのG

同境 類 に よ って一 意 に 定 ま る こ とが 証 明 で き る.従 って,直 和

は 向 きづ け られ たThom同 準 同 型 写像i*,j*,∂*は   注 意   以上 のG同

境環Ω*上 す べ てΩ*準

境 環〓*上

を向 きづ け ら れ たG同

  3.2  自 由G作   3.2.1 Gを 自 由G作

定 義 等 に お い て,多

境群〓n(G;〓,〓)が

境 群 に お い て も定 理3.2と

はThom同

同 型 写像 とな る こ とが 分 か る.

境 群Ωn(G;〓,〓)の

を 考 え な い ことに よ って,別 のG同 のG同

の 次 数つ き加 群 とな り,先 に 定 義 した

様体 の 向 き

定 義 で き る.こ

同様 な完 全 列 が存 在す る.直 和

の次 数 つ き加群 とな る.こ れ と区別 す る と き,

境 群 とい う.

用 コ ン パ ク ト リ イ群 と す る.可

用 が 与 え ら れ て い る とす る.定

微 分 多 様 体Mと,M上

理1.10,系1.11に

の可微分 よ っ て,軌

道空

間M/Gは

局 所 コ ンパ ク トハ ウス ドル フ空 間 で あ り,定 理1.16に

化 写像 π:M→M/Gは

主G束

よ って,等

に な る こ とが 分 か る.こ の とき,さ らに 次 の

定 理 が 成 り立 つ.   定 理3.4 Gを

コンパ ク トリ イ群,Mを

G作 用 が 自 由で あ れば,軌 道 空 間M/Gは M→M/Gは

可 微分 主G束

可 微 分G多

様体 とす る.M上

の

可 微 分 多 様体 とな り,等 化 写像 π:

に な る.こ の と きM/Gの

可微 分 構 造 は た だ一 つ

定 ま る.   証 明  G作

用 が 自由 で あ るか ら,各

で あ り,軌 道G(x)はGと 定 す る.Sxを,可

点x∈Mの

等 方 部 分群Gxの は 単 位群

微 分 同相 で あ る.Mが

微 分 ス ラ イスの 存在 定 理1.23に

お け る可微 分 ス ラ イス とす る.こ の と き命 題1.13に

境 界 を もた な い もの と仮 よ って存 在 す る,点xに よ って,

π￨Sx:Sx→M/G は π(x)を 含 む 開集 合 の上 へ の 同相 写 像 で あ る.可 微 分 ス ラ イス の存 在 定 理 に よ って,軌 道 空 間M/Gに

は,各

π￨Sxを 微 分 同相 写像 とす る よ うな 可 微 分

構 造 を入 れ る こ とが で き る.こ の とき定 理1.16の

証 明 と同 様 に して,等 化 写

像 π:M→M/Gが 可 微 分 主G束 に な る こ とが 分 か る.M/G上 の 可微 分 構 造 の 一 意性 は,π:M→M/Gの 可微 分 局 所 切 断 の存 在 に よ って 容 易に 証 明 で き る. Mが

境 界 を もつ 場 合 に は,境

界 ∂MのG不

変 な え りの存 在 定 理1.26を

使

え ば,同 様 に証 明で き る.(終)   G多

様 体 と して の リイ群Gは,単

の 向 き を定 め れ ば,左

位 元eに

お け る接 ベ ク トル 空 間Te(G)

移動 が 向 きを 保 つ よ うにGの

る.以 後,こ の よ うなGの

向 きを 定 め る ことが で き

向 きを 一つ固 定 して お く.さ

向 きを保 つ もの と仮 定 す る.Gが

有 限 群,ア

ーベル 群,連

らにGの

右移動 も

結 群 な どで あれ ば,

この仮 定 は 常 に成 り立 つ.   Mを

向 きづ け られ たG多

体 で あ って,G作

用 はMの

様体 とす る.す な わ ちMが

向 きを 保 つ もの とす る.さ らにM上

は 自由で あ る とす る.点x∈Mにお とき対応(g,y)→g・yに

向 きづ け られ た 多様

け る可 微 分 ス ライ スをSxと

のG作

用

す る.こ の

よ って定 義 され る可 微分 写 像 θx:G×Sx→Mは,

MのG不

変 な開 集 合G・Sxの

よ うにSxの

上 へ の微 分 同相 写 像 で あ る.θxが

向 きを定 め る.Gの

π￨Sx:Sx→M/Gが

右 移 動 が 向 きを保 つ こ と に よ っ て,射

向 き を保 つ よ うにM/Gの

  以 後 常 に,自 由 な可 微 分G作

影

向 き を定 め る ことが で き る.

用 を も った 向 きづ け られ たG多

して,そ の軌 道 空 間M/Gは,こ

向 きを 保つ

様 体Mに

対

の方 法 で 向 きづ け られ た可 微 分 多様 体 と考 え

る.   逆 に可 微 分 主G束p:E→Bが

与え られ た とき,底 空 間Bが

れ た 多様 体 で あ れ ば,全 空 間Eに 同相 写像p′:E/G→Bが   3.2.2  k行n列

よ って誘 導 され る微 分

向 きを 保 つ よ うに で き る.

の 実 行列 全体 の作 る集 合 をE(k,n)で

微 分構 造 を 与 え て お く.  n;k)で

向 きを定 め て,pに

向 きづ け ら

の とき階 数kの

表 わす.E(k,n;k)はE(k,n)の

を 考え る こ とに よ って,E(k,n)上

行 列 全体 の作 る部分 集 合 をE(k, 開 部 分 多 様 体 で あ る.行

に 直 交群O(k)の

る.こ の と きE(k,n;k)はO(k)不

表 わ し,通 常 の 可

列 の積

可 微 分作 用 が 定 義 で き

変 で あ り,E(k,n;k)上

のO(k)作

用

は 自由 で あ る.   Gを

コンバ ク ト リイ群 とす る.直 交 群 へ の 連 続準 同型 写 像(従 って 可微 分 準

同型 写 像)ρ:G→O(k)を が,定 理0.9お ん で,Rkの

与 え る と,Rk上

よび 定理0.6に

の可 微 分G作

用が定義 で き る

よ って,正 整 数kと 準 同型 写像 ρ を 適 当 に選

あ るベ ク トルυに 対 す る等 方部 分 群Gυ

で き る.こ の とき ρ:G→O(k)は

が 単 位 群 とな る よ うに

必然 的 に 単射 に な る.す なわ ち,次 の定 理

を 得 る.   定理3.5 

任 意 の コンパ ク ト リイ群 は,あ

る直交 群 の閉 部分 群 と(リ イ群 と

して)同 型 にな る.◇   い ま,Gを

コンパ ク トリイ群 と し,単 射 可 微 分 準 同型 写 像 ρ:G→O(k)

を 一 つ 固定 して お く.こ の と きE(k,n+k;k)上 が,ρ

が 単射 で あ るか ら,こ

のG作

の可微 分G作

用 は 自由 であ る.従

束 の列 πn:E(k,n+k;k)→E(k,n+k;k)/G

用が定 まる

って,可

微 分 主G

(n=0,1,2,…)を

得 る.包

含写像

in:E(k,n+k;k)→E(k,n+k+1;k) は 可 微 分G写

像 で あ る か ら,軌

道 空 間 に つ い て の単 射 可 微 分写 像

i′n;E(k,n+k;k)/G→E(k,n+k+1;k)/G を 誘 導 す る(実

際,i′nはembeddingで

あ る こ と が 分 か る).

  位 相 空 間E(k,n+k;k),E(k,n+k;k)/Gと 極 限 を,そ 等 化 写像

写 像in,i′nの

れ ぞ れEG=E(k,∞;k),BGと

列 の帰 納 的

す る.EGはG空

間 と な り,

πnの 列 に よ っ て,主G束 π:EG→BG

が 誘 導 さ れ る.全 は 普 遍 主G束   定 理3.6  主G束

空間EG=E(k,∞;k)は

と な る1).従

可 縮 で あ る か ら,π:EG→BG

っ て 次 の 定 理 を 得 る.

コ ン パ ク ト リ イ群Gの

普 遍 主G束

は,可

微 分 主G束

と可 微 分

写 像 の 列 の 帰 納 的 極 限 と し て 構 成 で き る.◇

  3.2.3 〓1を

単 位 群 だ け か ら成 る コ ン パ ク ト リ イ群Gの

こ の と き〓1自

由 なG多

様 体 と は 自 由 なG作

で あ る.π:EG→BGを

存 在 す る.G写

f′:M/G→BGを

定 め る が,f′

ず 一 意 に 定 ま る.従 ク トG多

様体 の こ と

由 なG多

様 体 とす れ

像fは

っ て,Mを(〓1,φ)自

の 元 が 一 意 に 定 ま る.こ

こ にd(G)は

遍 主G束

軌 道 空 間 の間 の 連 続 写 像

の ホ モ ト ピ ー 類 はG写

像fの

と り方 に 依 ら

由 な 向 き づ け ら れ たn次

様 体 とす れ ば,f′:M/G→BGに

す も の と す る.普

用 を も っ たG多

普 遍 主G束,Mを〓1自

ば,G写像f:M→EGが

部 分 群 の 族 と す る.

元 コンパ

よ っ て 表 わ さ れ るΩn-d(G)(BG) リ イ群Gの

の 基 本 的 性 質1)に

多様 体 とし ての 次元 を 表 わ

よ っ て,こ

の対応

M→[f′:M/G→BG] は,対

応

を 誘 導 す る.ボ

1) 

N.

Steenrod:

ル デ ィ ズ ム群,G同

The Topology

境 群にお け る 和 の 定 義 に よ って,p*は

of

Fibre Bundles,§19を

参 照 せ よ.

準

同 型 写像 に な る.こ の とき次 の 定 理 が成 り立 つ.   定 理3.7 

コンパ ク ト リイ群Gに

対 して,Gの

向 きを定 め て,Gの

左右移

動 が と もに 向 きを保 つ よ うにで き る な らば,準 同型 写 像

は,次

数 つ きΩ*加

  証 明   p*がΩ*加

群 と し て の,次

同 型 写像 で あ る.

群 と し て の 準 同 型 写 像 に な る こ と は 明 らか で あ る.p*の

逆 対 応 を 構 成 し よ う.Ω*(BG)の hに

数-d(G)の

よ っ て 誘 導 さ れ たN上

元 を 表 わ す 連 続 写 像h:N→BGに

の 主G束

π:M→Nを

考 え る.定

び 可 微 分 写 像 に よ る 近 似 定 理に よ っ て,π:M→Nは 従 っ て,Mは〓1自

由 な 向 き づ け ら れ たG多

の 同 境 類 にMのG同

対 して, 理3.6お

可 微 分 主G束に

様 体 に な る.こ

境 類 を 対 応 させ る 対 応 が 定 ま る.こ

よ

な る.

の と き,(N,h)

の 対 応 がp*の

逆

対 応 に な る こ と は 明 らか で あ る.(終)   注 意   定 理3.7は が,〓1自

普 遍 主G束

由 な コ ン パ ク トG多

の基 本 的性 質 を 使 って 証 明 され た の で あ る 様 体Mに

対 し て,G写像f:M→EGが

次 の よ うに し て 構 成 し 得 る こ と を 注 意 し て お こ う.M/Gの … ,Ur}で,主G束 可 微 分G写

π:M→M/Gが

各Ui上

を 自 明 化 写 像 と し,{φi}を

分G写

自 明 と な る も の が 存 在 す る.

像 hi:G×Ui→

す る.い

有 限 開 被 覆{U1,

ま,単

π-1(Ui)

開 被 覆{Ui}に

従 属 し た(可

射 可 微 分 準 同 型 写 像 ρ:G→O(k)を一

微 分)単

位の 分割 と

つ 固 定 す る と き,可

微

像 Ai:M→E(k,k)

が,す

べ て のg∈G,x∈Uiに

対 して Ai(hi(g,x))=φi(x)・

す べ て の に 義 で き る.こ

対 し て,Ai(y)は こにφi(x)・ ρ(g)は

行 列 を 表 わ す.さ

ら に 可 微 分G写

行列

ρ(g), 零 行 列,と

ρ(g)の

各 成 分 に 実 数φi(x)を

像f:M→E(k,kr)が,小

f(x)=(A1(x),…,Ar(x)),x∈M

定 め る こ とに よ っ て 定 掛けた

行列 の列

に よ っ て 与 え られ,{φi}が fに

よ るMの

開 被 覆{Ui}に

像 はE(k,kr;k)に

従 属 し た 単 位 の 分 割 で あ る か ら,

含 まれ る.従

っ て 可 微 分G写

像

f:M→E(k,kr;k) を 得 る.   3.2.4  G=S1の こ こ にS1は

場 合に つ い て,Ω*加

絶 対 値1の

群Ω*(G;〓1)の

構 造 を 調 べ よ う.

複 素 数 全 体 の 作 る 乗 法 群 で あ る.S2n+1をCn+1の

単

位 球面

と す る.い

ま,S2n+1上

のS1作

用ψn:S1×S2n+1→S2n+1を

ψn(z,(z0,z1,…,zn))=(zz0,zz1,…,zzn) (z∈S1,(z0,z1,…,zn)∈S2n+1)に 作 用 で あ り,そ 主S1束

よ っ て 定 義 す れ ば,ψnは

の 軌 道 空 間 はn次

元 複 素 射 影 空 間Pn(C)で

πn:S2n+1→Pn(C),(n=0,1,2,…)の

自 由な 可微 分 あ る.対

応す る

帰 納 的極 限 を

π∞:S∞ →P∞(C) とす れ ば,S∞

は 可 縮 で あ る か ら,π ∞:S∞ →P∞(C)は

普 遍 主S1束

に な る.

こ の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理3.8 Ω*加 す る 自 由Ω*加

群Ω*(S1;〓1)は,{[S2n+1,ψn],n=0,1,2,…}を

基 と

群 で あ る.

  証 明   in:Pn(C)→P∞(C)を

自然 な 包 含 写 像 と し, σn∈H2n(Pn(C);Z)

をPn(C)の

基 本 ホ モロ ジ ー類 とす れ ば,H*(P∞(C);Z)は{in*(σn)}n≧0を

基 とす る 自 由 加 群 で あ る.ま

た,Thom準

同型 写 像

μ:Ω*(P∞(C))→H*(P∞(C);Z) に 関 し て,μ[in:Pn(C)→P∞(C)]=in*(σn)が

成 り立 つ.故

に,定 理2.8を

使 っ て,Ω*(P∞(C))は {[in:Pn(C)→P∞(C)],n=0,1,2,…} を 基 とす る 自 由Ω*加 る.(終)

群 と な る.従

っ て 定 理3.7に

よ っ て,求

め る結 果 を 得

  Mを(〓1,φ)自

由 な 向 き づ け ら れ たn次

対 応 す る 主S1束

を π:M→M/S1と

い 向 き づ け られ たn-1次

元 コ ン パ ク トS1多

す る.こ

の と きM/S1は

元 コ ン パ ク ト多 様 体 で あ る.ホ

を,そ

れ ぞ れ の 係 数 環Z,Z2に

た,コ

ホ モ ロジ ー類

を,そ

れ ぞ れ 多 様 体M/S1のk次Stiefel-Whitney類,k次Pontrjagin類

す る.さ

を,そ

境界 を もた な

モ ロジ ー類

基 本 ホ モロ ジ ー 類 とす る.ま

と

らに コ ホ モ ロ ジ ー 類

れ ぞ れ の 係 数 環 に お け る,主S1束

こ の と き,ク

が,す

お け るM/S1の

様 体 と し,

ロ ネ ッ カ ー 積 に よ っ て,整

π:M→M/S1のEuler類

と す る.

数

べ て の 負 で な い 整 数 の 組(k1,…,kr,k)に

対 し て 定 ま る.同

様 にZ2

の元

が,す

べ て の 負 で な い 整 数 の 組(k1,…,ks,k)に

(〓1,φ)自

由 なS1多

様 体Mの

ムStiefel-Whitney数   定 理3.9 

ボ ル デ ィズ ムPontrjagin数,ボ

と い う.こ

Mを(〓1,φ)自

の と き,Ωn(S1;〓1)の

分 条 件 は,S1多

様 体Mの

れ ぞ れ ル ディ ズ

の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

由 な 向 き づ け ら れ たn次

様 体 とす る.こ

Whitney数

対 し て 定 ま る.そ

元 と し て[M]=0で

ボ ル デ ィズ ムPontrjagin数

元 コ ン パ ク トS1多 あ るた め の必 要 十 と ボ ル デ ィ ズ ムStiefel-

が す べ て 零 に な る こ と で あ る.

  証 明   定 理3.7,定

理2.14,お

っ て 容 易 に 証 明 で き る.(終)

よ びP∞(C)の

コホ モ ロジー 環 の構 造 に よ

  3.2.5  定 理3.9の 束 と す る.さ

応 用 例 を 一 つ 挙 げ て お こ う.π:E→Mを

ら に 整 係 数 の コ ホ モ ロ ジ ー 群 に つ い て,同

が 成 り立 つ も の と 仮 定 す る.こ で あ れ ば,底

の と き,Eが

空 間Mは2m+2n+1次

ン パ ク ト多 様 体 に な る.さ

可 微 分 主S1

型

境 界 を もた な い コ ン パ ク ト多 様 体

元 の境 界 を もた な い 向 きづ け 可 能 な コ

ら に,

  補 題3.10   (a) 

Mの

整 係 数 コホ モ ロ ジ ー 環 は,次

の い ず れ か と 環 と し て 同 型 に な る.

  (ⅰ) 

Z[c,x]/(x2,cn+1),deg c=2,deg

  (ⅱ) 

Z[c,y]/(y2,cn+1,k・cm+1,y・cm+1),deg c=2,deg y=2n+1,

こ こ にkは

x=2m+1,

あ る 正 整 数 で あ り,cは

主S1束

π:E→MのEuler類

に 対応

す る.  (b) 

Mの

奇 数 次 のStiefel-Whitney類

  証 明  主S1束

π:E→Mに

対 す るThom-Gysin完

が 成 り立 ち,H2m(M;Z)の 数 定 理 とMに

は す べ て 零 で あ る.

生 成 元 はcmで

対 す るPoincare双

全 列 を 使 っ て,

あ る こ とが 分 か る.従

って普 遍 係

対 定 理 に よ っ て,

H2n+2(M;Z)=0 が 求 ま る.再

びThom-Gysin完

環 の構 造 が 決 ま る.次

全 列 を 使 う こ と に よ っ て,Mの

にVi∈Hi(M;Z2)を,す

コホ モ ロジ ー

べ て の元

α ∈H2m+2n+1-i(M;Z2) に 対 し て,Sqiα=α

∪Viが

成 り立 つ よ うな コ ホ モ ロ ジ ー 類 と す る. V=V0+V1+…+Vi+…

と置 け ば,Wuの

公式 に よ って SqV=w0(M)+w1(M)+…+wk(M)+…

が 成 り立 つ こ とが 知 ら れ て い る.さ MのEuler類 =0が

と す れ ば,cは

成 り立 ち,従

てc∈H2(M;Z2)を

主S1束

π:E→

整 係 数 コ サ イ ク ル に よ っ て 表 わ さ れ る の でSq1c

っ て す べ て のs ,tに

対 して

が 成 り立 つ.故

に コ ホ モ ロ ジ ー 環H*(M;Z2)の

構 造 を 考 え れ ば,す

べての

sに 対 し て, V2s+1=0,V2s=ascs,(as=0ま が 成 り立 つ.従

って

が 成 り立 つ.即

ち,w2k+1(M)=0が

  定 理3.11  す る.整

Eを

た は1)

す べ て のkに

対 し て 成 り立 つ.(終)

境 界 を も た な い 向 きづ け 可 能 な コ ン パ ク ト可 微 分 多 様 体 と

係 数 の コ ホ モ ロ ジ ー 群 に つ い て,同

型

が 成 り立 つ も の と 仮 定 す る.こ

の と き ψ:S1×E→Eを〓1自

作 用 とす れ ば,Ω*(S1;〓1)に

お い て 常 に[E,ψ]=0が

  証 明   S1作

用 ψ に 対 応 す る 主S1束

を π:E→Mと

由 な 可 微 分S1 成 り立 つ. す る.こ

の と き,M

は 奇 数 次 元 の 多 様 体 で あ る か ら,3.2.4に

お い て 定 義 し た ボ ル デ ィ ズ ムPon

trjagin数 は すべ て 零 に な り,補

よ っ て,w2k+1(M)=0が

か ら,ボ

題3.10に

ル デ ィズ ムStiefel-Whitney数

っ て,[E,ψ]=0がΩ*(S1;〓1)に

  3.3  Gベ   3.3.1 

も す べ て 零 に な る.故

成 り立 つ に 定 理3.9に

よ

お い て 成 り立 つ.(終)

ク トル 束 の 同 境 群 コ ン パ ク ト リ イ群Gを

束 とす る.す

固 定 し て お く.(ξ,φ)を

な わ ち 可 微 分 ベ ク トル 束 ξ=(π:E(ξ)→B(ξ))と

用φ:G×E(ξ)→E(ξ)の

対 で あ って,す

べ て のg∈Gに

υ)に よ っ て 定 義 さ れ る 微 分 同 相 写 像φ(g,-):E(ξ)→E(ξ)が 像 で あ る も の とす る.全

空 間E(ξ)が

可 微 分Gベ

ク トル

可 微 分G作 対 し て,υ →φ(g, ベ ク トル 束 写

向 き づ け られ た 多 様 体 で,す

べ ての

g∈Gに

対 し てφ(g,-)がE(ξ)の

向 き を 保 つ と き,(ξ,φ)は

全有向であ

る と い う.   全 空 間E(ξ)が

向 き づ け ら れ て い る こ と と,ξ が ベ ク トル 束 と し て 向 き づ け

られ る こ と と は,意

味 が 違 う こ とに 注 意 せ よ.

  全 有 向 な 可 微 分Gベ き を 与 え たGベ

ク トル 束(ξ,φ)に対

ク トル 束 を(-ξ,φ)で

し て,全

表 わ す.こ

空 間E(ξ)に

反 対 の向

の と き(-ξ,φ)も

また 全

有 向 で あ る.   (ξ,φ),(ξ′,φ′)を 全 有 向 な 可 微 分Gベ し て の 束 写 像f:E(ξ)→E(ξ′)で,全

ク トル 束 とす る.Gベ

空 間 の 向 きを 保 つ 微 分 同相 写 像 とな る

も の が 存 在 す る と き,(ξ,φ)と(ξ′,φ′)と   〓 をGの

閉 部 分 群 の 許 容 族 と し, 

(ξ,φ)は.次

の 条 件(ⅰ),(ⅱ)を

はG同

用 は(H)自

  (ⅱ)  E(ξ)-B(ξ)上

のG作

用 は 

  注 意  Gの

共 役 なGの

ク トル 束

で あ る と い う.

由 で あ る. 自 由 で あ る.

閉 部 分 群 全 体 の 族 を 表 わ し,B(ξ)は

零切断

変 な 部 分 多 様 体 とみ な す.

閉 部 分 群K,Hに

対 し て,あ

と な る こ と を(K)<(H)で 微 分Gベ

微 分Gベ

み た す と き(H,〓)型

のG作

に よ っ てE(ξ)のG不

型 で あ る と い う.

とす る.可

  (ⅰ)  底 空 間B(ξ)上

こ こ に(H)はHと

ク トル 束 と

る 元g∈Gが

表 わ そ う.こ

ク トル 束 とす れ ば,E(ξ)の

存 在 し て 

の と き,(ξ,φ)を(H,〓)型

す べ て の 非 零 ベ ク トルυ

の可 に 対 し て,

(Gυ)<(H) が 成 り立 つ.   可 微 分 ベ ク トル 束 ξ=(π:E→B)に で,全

空 間Eがs+k次

お い て,底

元 多 様 体 で あ る と き,ξ

空 間Bがs次

元多様体

を 次元(s,k)の

可微 分 ベ

ク トル 束 で あ る と い う.   可 微 分Gベ 空 間B(ξ)は (ⅳ)を

ク トル 束(ξ,φ)が,次

元(s,k),全

有 向,(H,〓)型

境 界 を も た な い コ ン パ ク ト多 様 体 で あ る とす る.次

み た す と き,(ξ,φ)は

  (ⅲ)  次 元(s+1,k)の

零 にG同

の 条 件(ⅲ),

境 で あ る と い い,(ξ,φ)∼0と

全 有 向 な(H,〓)型

の 可 微 分Gベ

で,底

書 く.

ク トル 束(η,ψ)

で 底 空 間B(η)がコ

ン パ ク トな る も の が 存 在 す る.

  (ⅳ)  こ の と き 境 界 ∂B(η)上

へ の 制 限 

る と,(∂ η,ψ)は

全 有 向 な(H,〓)型

次 元(s,k)の

で あ る が,(ξ,φ)は(∂

η,ψ)とG同

空 間B(ξ),B(ξ′)が

る と す る.集

有 向 な(H,〓)型

はG同

零 にG同

境 で あ る と き,

境 で あ る と い い,(ξ,φ)∼(ξ′,φ′)と

表 わ すG同

様 体 のG同

と定 義 す る こ とに よ っ て,集

ク ト

と も に 境 界 を もた な い コ ン パ ク ト多 様 体 で あ

の 可 微 分Gベ

で 表 わす.G多

ク トル 束

の 可 微 分Gベ

境 で あ る とい う関 係 は 同 値 関 係 で あ る こ とが 定 理3.1と

明 で き る.(ξ,φ)の

〓)は

全 有 向 な(H,〓)型

合 と し て の 直 和(ξ,φ)+(-ξ′,φ′)が

(ξ,φ)と(ξ′,φ′)と のG同

の 可 微 分Gベ

型 で あ る.

  (ξ,φ),(ξ′,φ′)を 次 元(s,k)の ル 束 で,底

を 考 え

書 く.こ

同 様 に して証

境 類 を[ξ,φ]で

表 わ す.次

元(s,k)の

ク トル 束 のG同

境 類全 体 の集 合 を

全

境 群 の 場 合 と同様 に,集 合 として の 直和 に よ って

合Bks(G;H,〓)に

加 群 の 構 造 を も ち,零にG同

和 が 定 義 で き て,Bks(G;H,

境 な 元 の 表 わ すG同

境 類 が 零 元 で あ り,

また -[ξ ,φ]=[-ξ,φ] が 成 り立 つ.加

群Bks(G;H,〓)をGベ

  (ξ,φ)を 次 元(s,k)の Mを

ク トル 束 のG同

全 有 向 な(H,〓)型

境 界 を もた な い 向 き づ け ら れ たt次

は 次 元(s+t,k)の

な(H,〓)型 同 境 類 はMの 明 で き る.従

の 可 微 分Gベ

和

ク トル 束 と し,

用

よ っ て 定 義 す れ ば,(M× ク トル 束 に な る.こ

同 境 類 と(ξ,φ)のG同 っ て,直

の 可 微 分Gベ

元 コ ン パ ク ト多 様 体 とす る.こ の と き

可 微 分 ベ ク トル 束 で,G作

を,φM(g,m,υ)=(m,φ(g,υ))に

境 群 と い う.

の と き,(M×

ξ,φM)は

全有向

ξ,φM)のG

境 類 に よ って 一 意 に 定 まる ことが 証

は,す

べ て の整 数kに

対 して,向

きづ け られ たThom同

境 環Ω*上

の次 数

つ き加 群 とな る.さ らに,直 和

を次 数nの

もΩ*上

加 群 とす る次 数つ き加 群

の 次 数 つ き 加 群 と な る.

  3.3.2  Gベ

ク トル 束 のG同

境 群Bks(G;H,〓)はG多

様 体 のG同

群 を 考 察 す る た め の 補 助 手 段 と し て 導 入 さ れ た も の で あ る.以

境

下 これ につ い て

説 明 し よ う.   Gを Hを(包

コ ン パ ク ト リ イ 群 とす る.〓 含 関 係 に つ い て の)極

  Mを 

をGの

閉 部 分 群 の 許 容 族 と し,〓

の元

大 元 とす る.

自 由 なn次

元G多

様 体 とす る.こ

の と き,集

合

M(H)={x∈M￨Gx∈(H)} はG不 界 ∂Mと

変 で あ り,Mが  交 わ ら な い.ま

集 合 と な り,さ

自 由 で あ る か ら,M(H)はMの た,Hが〓

の 極 大 元 で あ る か ら,M(H)はMの

ら に 可 微 分 ス ラ イ ス 定 理1.23に

よ っ て,M(H)の

は 境 界 を もた な い 閉 部 分 多 様 体 に な る こ と が 分 か る.M(H)を

で 表 わ し,さ

と置 け ば,M(H)はF0,F1,…,Fnの 元 部 分 多 様 体(ま

のG同

各 連 結成 分 連 結 成 分 の 直和

な る.M上

法 ベ ク トル 束ν(Fs)を の 可 微 分Gベ

様 体 で あ れ ば,ν(Fs)は 型 類 はM上

Fα=s} 直 和 と な り,各FsはG不

た は 空 集 合)と

お け るFsの

n -s)の(H,〓)型 れ たG多

閉

らに Fs=∪{Fα￨dim

て,Mに

境

のG不

のG不

変 な リ ー マ ン計 量 に 関 し

考 え る と,ν(Fs)は

ク トル 束 に な る.さ 全 有 向 なGベ

変 なs次

ら にMが

次 元(s, 向 きづ け ら

ク トル 束 に な る.ま

たν(Fs)

変 な リー マ ン 計 量 の と り方 に 依 らず 一 意 に 定 ま

る こ と も 容 易 に 証 明 で き る.こ

の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理3.12 

Gを

コ ン パ ク ト リ イ群 と す る.〓

し,Hを〓

の極 大 元 とす る.こ

の と き,対

をGの

閉 部 分 群 の 許容 族 と

応

は,次 数 つ き Ω*加 群 の同 型 写像

を 誘 導 す る.   証 明   上の 対 応 に よ っ て,Ω*準 あ る.(ξ,φ)を とす る.ξ

次 元(s,k)の

上 のG不

間 をD(ξ)と たs+k次

誘 導 され る こ と は 明 ら か で

全 有 向 な(H,〓)型

の 可 微 分Gベ

変 な リ ー マ ン計 量 に 関 し て,ξ

す る.こ 元G多

同 型 写 像ν*が

ク トル束

に付 属 した球 体 束 の全 空

の と き,D(ξ)は 

自 由 な 向 き づ け られ

様 体 に な り,対 応 (ξ,φ)→D(ξ)

はν*の

逆 写 像 を 誘 導 す る.(終)

  定 理3.2,系3.3と

定 理3.12に

  定 理3.13 

Gを

し,Hを〓

の 極 大 元 と す る.こ

よ っ て,次

コ ン パ ク ト リ イ群 とす る.〓 の と き,次

こ こ に,j′*=ν*°j*,∂′*=∂*°(ν*)-1で   注 意   (ξ,φ)を 次 元(s,k)の 束 と し,ξ

上 のG不

間 をS(ξ)と

す る.こ

の 定 理 が 成 り立 つ. をGの

閉 部 分群 の許 容 族 と

の 列 は 完 全 列 で あ る.

あ る.◇

全 有 向 な(H,〓)型

変 な リ ー マ ン 計 量 に 関 し て,ξ の と きS(ξ)は 

の 可 微 分Gベ

ク トル

に付 属 した球 面束 の全 空

自 由 な 向 きづ け られ たs+k-1

次 元 多 様 体 に な り,∂′*[ξ,φ]=[S(ξ)]が 成 り 立 つ.

  3.4  準 自 由S1作   3.4.1 

Gを

用

コ ン パ ク ト リイ 群 とす る.〓1を

単 位 群 だ け か ら成 るGの

部分

群 の 族 と し,

とす る.こ

の と き,〓+1自

由 なG多

様 体 とは,準

自 由 なG作

用 を も っ たG

多 様 体 の こ と で あ る.   こ の 節 で は,〓+1自

由 なS1多

Ω*加 群Ω*(S1;〓+1)の

様 体 に つ い て 考 察 し よ う.そ

構 造 を 知 りた い.定

理3.13に

の た め,ま

よ っ て,次

ず

の列 は完 全

列 で あ る.

 (3.14)

Ω*加 群Ω*(S1;〓1)の Bks(S1;S1,〓+1)に   補 題3.15 

構 造 は 定 理3.8に つ い て 調 べ よ う.次

(V,ρ)を

よ っ て 決 定 さ れ て い る の で,加

群

の 補 題 を 準 備 し て お く.

有 限 次 元 実S1ベ

ク トル 空 間 とす る.V上

の線 型変

換J:V→Vを

に よ っ て 定 義 す る.も

し,ρ

に よ っ て 定 ま るV-{0}上

のS1作

用が 自 由 で

あ れ ば,

が 成 り立 つ.  証 明  定 義 か ら,J4はV上

と置 け ば,V+,V-は

の恒 等 変 換 で あ る.従 っ て

と も にVの

と表 わ さ れ る.す

べ て のυ ∈Vに

に よ っ て 定 ま るV-{0}上

のS1作

線 型 部 分 空 間 で あ り,

対 し て,J2(υ)=ρ(-1)・υ

が 成 り立 ち,ρ

用 が 自 由 で あ る と い う仮 定 に よ っ て, V+={0}

が 成 り立 つ.す 故 に,

な わ ち,す

べ て のυ ∈Vに

対 し てJ2(υ)=-υ

が 成 り立 つ.

と定 義す る こ とに よ って,Vは

複 素数 体C上

のベ ク トル 空 間 に な る.S1が

可 換群 で あ り,複 素構 造J:V→Vが

に よ っ て 定 義 さ れ て い る こ と に よ っ て,

が 成 り立 つ.す

な わ ち,(V,J,ρ)はS1の

複 素 表 現 に な る.一

方,S1の

既約

複 素 表 現 は(C1,ρk)

(k=0,±1,±2,…)の

い ず れ か と 同 値 で あ り,こ

用 が 原 点 以 外 で 自 由 に な る の はk=±1の

の 中 でρkの

場 合 だ け で あ る.こ

定 め るS1作 の 事 実 と,V上

の 複 素 構 造Jが

に よ っ て 与 え られ て い る こ とか ら,等

式

が 成 り立 つ.(終)   定 理3.16  わ ち,全

(ξ,φ)を(S1,〓+1)型

空 間E(ξ)の

の 可 微 分 実S1ベ

ク トル 束 と す る.す

す べ て の 零 ベ ク トル の 等 方 部 分 群 はS1で,E(ξ)の

べ て の 非 零 ベ ク トル の 等 方 部 分 群 は 単 位 群 で あ る とす る.こ

の と き,ベ

な す

ク トル

束 写 像J:E(ξ)→E(ξ)を

に よ っ て 定 義 す れ ば,Jは φ は,こ

ベ ク トル 束

の 複 素 構 造 に 関 し て,複

ξ に 複 素 構 造 を 与 え,ξ

上 のS1作

素 数 の ス カ ラ ー 積 と一 致 す る.す

用

なわち

が 成 り立 つ.   証 明   (ξ,φ)が(S1,〓+1)型 の フ ァ イ バ ーEx(ξ)に対

で あ る か ら,S1作

し て,Ex(ξ)を

用φ

は 各 点x∈B(ξ)上

表 現 空 間 とす るS1表

現 を 誘 導 し,

こ のS1表

現 は 補 題3.15の

条 件 を み た す こ と が 分 か る.故

に,補

題3

.15に

よ っ て 求 め る結 果 が 得 られ る.(終)   注 意   定 理3.16に

よ っ て,(S1,〓+1)型

の 可 微 分S1ベ

バ ー 次 元 は 常 に 偶 数 で あ る こ と が 分 か る .従

ク トル 束 の フ ァ イ

って

 (3.17)

が 成 り立 つ.   3.4.2  ζ=(π:E(ζ)→X)をk次 に よ っ て,ζ

元 複 素 ベ ク トル 束 と す る.係

数 体 の制 限

を 実 ベ ク トル 束 と し た も の を ζR=(π:E(ζR)→X)

と書 く こ と に し よ う.点x∈X上

の フ ァ イ バ ーEx(ζ)に

を 複 素 ベ ク トル 空 間 と し て のEx(ζ)の

はEx(ζR)の

基 と す れ ば,

実 ベ ク トル 空 間 とし て の基 に な る.こ の 順 序 づ け られ た 基

に よ っ てEx(ζR)の

向 き を 定 め る と き,複

あ る か ら,Ex(ζR)の に 定 ま る.従   以 後,複

対 し て,e1,…,ek

向 き は,Ex(ζ)の

素 一 般 線 型 群GL(k,C)が 基e1,…,ekの

っ て ζRは 向 き づ け ら れ た2k次

素 ベ ク トル 束

ζ に 対 し て,対

連結で

選 び 方 に 依 らず 一 意

元 実 ベ ク トル 束 に な る.

応 す る 実 ベ ク トル 束 ζRに は,常

に

こ の 標 準 的 な 方 法 に よ っ て 向 き を 与 え る も の とす る.   ξ=(π:E→B)を

可 微 分 実 ベ ク トル 束 と す る.こ

ベ ク トル 束τ(E)は

の と き,全

空 間Eの

自然 な 対 応 に よ っ て,Whitney和 

接 と

同 型 に な る.す

なわ ち

が 成 り立 つ.い

ま,ξ が 向 きづ け られ た ベ ク トル 束 で あ る と仮 定 す る.も し底

空 間Bが 間Eの

向 きづ け られ て い れば,上 向 き を定 め,逆 に 全空 間Eが

の 自然 な 同型 が 向 きを保 つ よ うに,全 向 きづ け られ てい れ ば,上

空

の 自然 な 同

型 が 向 き を保 つ よ うに,底 空 間 の向 き を定 め る もの と約束 し よ う.こ の と き, 次 の定 理 が成 り立 つ.

  定 理3.18 

ζ=(π:E(ζ)→B(ζ))を

微 分 複 素 ベ ク トル 束 と し,ス のS1作

用 を φ とす る.こ

向 き づ け ら れ た 多 様 体B(ζ)上

の可

カ ラ ー 積 に よ っ て 定 義 さ れ るE(ζR)=E(ζ)上 の と き,対

応 ζ→(ζR,φ)は,次

数 つ きΩ*加

群

の 同 型写 像

を 誘 導 す る.   証 明  上 の 対 応 に よ っ て Ω*準 る.(ξ,φ)を 3.16に

全 有 向 な(S1,〓+1)型

よ っ て,ξ

ル 束 に な る.全

は 複 素 構 造Jを

空 間E(ξ)が

底 空 間B(ξ)の はγ*の

同型 写像

γ*が 誘 導 され る こ と は 明 らか で あ

の 可 微 分 実S1ベ も つ.従

ク トル 束 と す る.定

理

って ξ は 向 きづ け られ たベ ク ト

向 き づ け られ て い る の で,上

向 き を 定 め る こ とが で き る.こ

述 の 約 束 に 従 って,

の と き,対

応(ξ,φ)→(ξ,J)

逆 写 像 を 誘 導 す る.(終)

  完 全 列(3.14)と

定 理3.18に

よ っ て,次

の 完 全 列 を 得 る.

 (3.19)

  Mを(〓+1,φ)自 3.16の

注 意 に よ っ て,不

と表 わ され る.こ 合)で

由 な 向 き づ け ら れ たn次

νk(F)Rの

お け るFn-2kの

元 閉 部 分 多 様 体(ま

法 ベ ク トル 束ν(Fn-2k)は,定

元複 素 ベ ク トル 束 に な る.こ 向 き に よ っ てFn-2kの

様 体 と す れ ば,定

理

直和

こ にFn-2kはMのn-2k次

あ る.Mに

よ っ て,k次

動 点 集 合MS1は

元S1多

れ をνk(F)と

向 き が 定 ま る.こ

理3.16に

書 こ う.Mの

の と き,対

た は空 集

向き と

応

M→ν(F)=(ν0(F),ν1(F),…) が 準 同 型 写 像j″*を

誘 導 す る.次

ベ ク トル 束 とす る.ζ 空 間 をS(ζ)と

に ζ を 向 き づ け られ た 多 様 体 上 の 可 微 分 複 素

上 の エ ル ミ ー ト計 量 に 関 し て,ζ

す れ ば,S(ζ)は

か ら 誘 導 さ れ た 自 由S1作

に 付 属 す る球 面 束 の 全

向 き づ け られ た 多 様 体 で,ζ

用 を もつ.対

応

ζ→S(ζ)が

上 の ス カ ラ ー積

準 同 型 写 像∂″*を 誘 導

す る.   定 理3.20 

次 の列 は 分 解 す る短 完全 列 で あ る.

  証 明   定 理3.8に

よ っ て,Ω*加

群Ω*(S1;〓1)は

{[S2n+1,ψn],n=0,1,2,…} を 基 と す る 自 由 Ω*加 群 で あ る こ と が 分 か っ て い る.n次 (C)上 の 例1を

の標準 的 な 複 素 直 線束 参 照 せ よ).対

元 複 素 射 影 空 間Pn

ξnの 共 役 複 素 直 線 束 を ξnと す る(詳

応[S2n+1,ψn]→[ξn]を

し くは 次

Ω*加 群 と し て の 準 同 型 写 像

に拡 張 した もの を

とす れ ば,∂″*°D*=idが   3.4.3  準 自 由S1作   例1 

n次

成 り立 つ.従

っ て 定 理 が 証 明 され た.(終)

用 の 典 型 的 な 例 を あ げ て お こ う.

元 複 素 射 影 空 間Pn(C)上

の 準 自 由S1作

用ψn,k 

が

ψn,k(u,(z0:…:zn))=(z0:…:zk:uzk+1:…:uzn), (u∈S1,(z0:…:zn)∈Pn(C))に

よ っ て 定 義 さ れ る.こ

のS1作

用 ψn,k

の不 動 点集 合は 二 つ の 連 結成 分

か ら 成 る.Pn(C)に Pk(C)上

お け るFi(i=0,1)の複素

の標 準 的 な 複 素直 線 束 を

はS2k+1×Cか

ξkと

法 ベ ク す る.す

ト ル 束 を 求 め よ う.

な わ ちξkの

全 空 間E(ξk)

ら同値 関係 ((u0,…,uk),υ)∼((zu0,…,zuk),zυ),

((u0,…,uk)∈S2k+1,υ ((u0,…,uk),υ)の

∈C,z∈S1)に 同 値 類 を[(u0,…,uk),υ]で

→Pk(C)は π[(u0,…,uk),υ]=(u0:…:uk) で 与え

ら れ,E(ξk)の

複 素構 造 は

よ っ て 定 義 さ れ る 等 化 空 間 で あ り, 表 わ す と き,射

影π:E(ξk)

に よ っ て 定 義 され る.ξkのm個

のWhitney和

m個 をm・ξkで

表 わ そ う.こ の と き 全 空 間E(m・ξk)はS2k+1×Cmか

ら同値 関 係

に よ って定 義 され る等 化空 間 で あ る.さ て

に よ っ て 対 応f0:E((n-k)・

ξk)→Pn(C)が

定 ま る が,f0はPn(C)のF2k0

を 含 む 開 集 合 の 上 へ の 向 き を 保 つ 微 分 同 相 写 像 で あ る.E((n-k)・ カ ラ ー 積 に よ るS1作 f0はS1写

用 を 与 え,Pn(C)上

像 に な る.す

有 向 な(S1,〓+1)型 る.す

値 に な り,F2k0は る.ξkの S2k+1×Cか

な わ ちPn(C)に

のS1ベ

な わ ちPn(C)に

にS1作

用 ψn ,kを

お け るF2k0の

ク トル 束 と し て,E((n-k)・

お け るF2k0の

表 わ す.す

ス

与え る と き,

法 ベ ク トル 束 は,全 ξk)とS1同

型にな

複 素 法 ベ ク トル 束 は(n-k)・ξkと

通 常 の 向 き を も っ たPk(C)と

共 役 複 素 直 線 束 をξkで

ξk)上に

同

向 き を保 って 微 分 同相 に な な わ ち ξkの 全 空 間E(ξk)は

ら同 値 関 係

に よっ て 定 義 さ れ る 等 化 空 間 で あ る.こ ((u0,…,uk),υ)の

こにzはzの

共 役 複 素 数 を 表 わ す.

表 わ す 同値 類 を [(u0,…,uk),υ]t

で 表 わ す と き,E(ξk)の

複素 構 造 は

に よ っ て 定 義 さ れ る.こ

の と き,ξkのm個

E(m・ξk)はS2k+1×Cmか

ら同値 関 係

に よ って定 義 され る等 化 空 間 で あ る.さ て

のWhitney和m・

ξkの 全 空 間

に よ っ て 対 応f1:E((k+1)・ F2(n-k-1)1を f1は

ξn-k-1)→Pn(C)が

含 む 開 集 合 の 上 へ の 微 分 同 相 写 像 で あ る.さ

向 き を 保 ち,kが

偶 数 の と きf1は

E((k+1)・

ξn-k-1)上

用 ψn,kを

与 え る と き,f1はS1写

F2(n-k-1)1の kが

定 ま る が,f1はPn(C)の

奇 数 の と きE((k+1)・

用 を 与 え,Pn(C)上

像 に な る.従

型 に な る.す

のS1ベ

型 に な り,kが

な わ ちPn(C)に

り,kが

奇 数 の と きPn-k-1(C)と

偶 数 の と き-Pn-k-1(C)と

に,完

あ り,kが

全 列(3.19)に

ク トル 束 と し て,

け るF2(n-k-1)1の ξn-k-1と

同 値 に な

向 き を保 って微 分 同 相 に な

向 き を 保 っ て 微 分 同 相 に な る.結

作 用 ψn,kの 不 動 点 集 合 は 向 き を 考 慮 に 入 れ た と き,kが Pn-k-1(C)で

お け る

偶 数 の と き-E

お

複 素 法 ベ ク トル 束 は 底 空 間 の 向 き を 考 え な け れ ば(k+1)・ り,F2(n-k-1)1はkが

にS1作

っ て,Pn(C)に

有 向 な(S1,〓+1)型

ξn-k-1)とS1同

((k+1)・ ξn-k-1)とS1同

奇数 のとき

向 き を 反 対 に す る 写 像 で あ る.

に ス カ ラ ー 積 に よ るS1作

法 ベ ク トル 束 は,全

らにkが

局,S1

奇 数 の と きPk(C)∪

偶 数 の と きPk(C)∪(-Pn-k-1(C))で

あ る.さ

ら

おいて

 (3.21)

が 成 り立 つ.   次 に 例1で   例2Xを

構 成 し た 準 自 由S1作

用 の 一 般 化 を 考 え よ う.

向 き づ け られ た コ ン パ ク ト多 様 体 と す る.ζi(i=0,1)をX上

の 可 微 分 複 素 ベ ク トル 束 と す る.Whitney和  ァ イ バ ー 束 の 全 空 間 を 

に 付 属 した複 素射 影 フ

で 表 わ す.こ

然 に 向 き づ け られ た コ ン パ ク ト多 様 体 と な る.非

の 表 わ す 

の 元 を[u0,u1]と

の と き, 

は 自

零ベ ク トル

す る. 

上 の 準 自 由S1

作用を

に よ っ て 定 義 す る.こ

のS1作

用 の不 動 点集 合 は直 和 CP(ζ0)∪CP(ζ1)

と(向

き を 考 え な い で)微

分 同 相 で あ る.こ

れ ら の 複 素 法 ベ ク トル 束 に つ い て

述 べ る た め に,薪 と し,E(ξ)を

し く複 素 直 線 束 を 導 入 す る.い ξ の 全 空 問 と す る.こ

複 素 直線 束

の ベ ク トル 束

ξ に 対 し てCP(ξ)上

の

ξ を 次 の よ うに 定 義 し よ う.全 空 間E(ξ)を

に よ っ て 定 義 し,p:E(ξ)→CP(ξ)をp([u],α る.さ

ま ξを 可 微 分 複 素 ベ ク ト ル束

ら にE(ξ)の

・u)=[u]に

よ っ て定 義 す

複 素構 造 は

に よ っ て 定 義 す る.さ

て,pi:CP(ζi)→X,(i=0,1)を

素 射 影 フ ァ イ バ ー 束 と し て,CP(ζ0)上

ζiに 付 属 し た 複

の 複 素 ベ ク トル 束

E=Homc(ζ0,p*0ζ1)

を 考 え る.h∈Eと

非 零 ベ ク トルu∈E(ζ0)に

を み た す ベ ク トル υ ∈E(ζ1)が

定 ま る.こ

対 して

の と き,h→[u,υ]に

よ っ て,対

応

が 定 ま る が,f0はCP(ζ0)を あ り,さ CP(ζ0)の

ら にS1写像

含 む 開 集合 の上 へ の 向 きを保 つ 微 分 同 相写 像 で

で あ る.従

っ て,S1多

様 体 

に お け る

複 素 法 ベ ク トル 束 は Homc(ζ0,P*0ζ1)

と底 空 間 の 向 き を 保 っ て 同 値 で あ る.同 束 は,Homc(ζ1,p*1ζ0)の

様 に し て,CP(ζ1)の

複 素 法 ベ ク トル

共 役 複 素 ベ ク トル 束 Homc(ζ1,p*1ζ0)

と 同 値 で あ り,ζ0の

次 元 が 偶 数 の と き は 底 空 問 の 向 き を 保 ち,ζ0の

数 の と き は 底 空 間 の 向 き を 反 対 に す る こ とが 分 か る.従 に おい て  (3.22)

が 成 り立 つ.

っ て,完

次元が奇

全 列(3.19)

  3.4.4 

ξ を 向 き づ け ら れ た コ ン パ ク ト多 様 体 上 の 可 微 分 複 素 ベ ク ト ル 束 と

す る.ζ0=θ1を S1多

自 明 な 複 素 直 線 束 と し,ζ1=ξ

様 体 

を 考 え よ う.こ

に よ っ て,Ω*準

と し て,例2に

の と き,対

お い て考 察 した

応

同 型写 像

が 誘 導 さ れ る.(3.22)に

よ っ て,  j″*CP*[ξ]=[ξ]-[ξ]

 (3.23)

が 成 り立 つ.   定 理3.24 

Ω*準 同型 写 像CP*に

ついて

CP*j″*=id,

 (a) 

 (b)

が成 り立 つ.  証 明  次 の列 を 考 え よ う.

こ の 中 でCP*以

外 の 準 同 型 写 像 は,す

れ て い る も の で あ る.∂ ″*D*=idが

べ て 定理3.20と

成 り立 ち,さ

そ の証 明 の 中に 現 わ

らに

  D*∂ ″*[ξ]=[ξ]

 (3.25)

が 成 り立 つ こ と を 注 意 し て お く.等  (3.26)

式(3.23)と(3.25)に

  j″*CP*+D*∂

が 成 り立 つ.定

理3.20と,等

よ って

″*=id

式(3.26)に

よ って(a)が

成 り立 ち,等

式

D*Ω*(S1;〓1)=Ω*(BU(1))

と,等

式(3.23)に

  系3.27 

よ っ て(b)が

Ω*(S1;〓+1)は

成 り立 つ.(終)

自 由 Ω*加 群 で あ る.

  証 明   定 理2.8と

帰 納 的 極 限 の 性 質 に よ っ て,す

加 群 Ω*(BU(k))は

自 由 Ω*加 群 で あ る.故

べ て のkに

に 定 理3.24(b)に

対 し て,Ω* よ っ て,求

め る 結 果 を 得 る.(終)   3.4.5 

Mを

境 界 を もた な い 向 き づ け ら れ た コ ン パ ク トn次

る.I(M)に

よ っ て,多

の と きI(M)=0で

様 体Mの

指 数 を 表 わ す.す

あ り,n=4kの

ジ ー 群H2k(M)を

と き,実

な わ ち 

数 体Rに

に よ って定 義 す れ ば,φ の対 称 かつ 正則 な 双 線 型形 式 で あ る.φ (正 の項 の数)-(負

をI(M)と

(mod4)

係 数 を もつ コホ モ ロ

考 え,

を,  H2k(M)上

元 多様 体 と す

は 実 ベ ク トル 空 間

を対 角 化 した とき の

の項 の数)

定 義 す る.

  対 応M→I(M)に

よ って,整 数 環Zへ

の環 準 同 型 写像I*:Ω*→Zが

誘

導 され る.   補 題3.28  をM上

Mを

のk次

境 界 を もた な い 向 きづ け ら れ た コンパ ク ト多様 体 と し,ξ

元 可 微 分 複 素 ベ ク トル束 とす れ ば I(M),(k:奇

数)

0,(k:偶

数)

I(CP(ξ))={

が 成 り立 つ.   証 明  複 素 射 影 空 間 に 対 し て,I(Pn(C))=1(n:偶 (n:奇

数)が

成 り立 つ.従

数),I(Pn(C))=0

っ て,Chern-Hirzebruch-Serreの

定 理1)に

よ っ て,

補 題 が 成 り立 つ.(終)   注 意  Leray-Hirschの

定 理2)に

環 と し て の 構 造 が 定 ま る の で,多

よ っ て,H*(CP(ξ))のH*(M)上

す る こ と も で き る.Leray-Hirschの

定 理 に つ い て は,付

  Ω*準 同 型 写 像 εa:Ω*(S1;〓+1)→ る.ま

た,複

っ て,Ω*準 1) 

On

2) 

E.H.

the

Ω*を

素 ベ ク トル 束 ξ に 対 し て,底 同 型 写 像 εb:Ω*(BU(k))→ index

Spanier:

of

a fibered Algebraic

の 多元

様 体 の 指 数 の 定 義 か ら直 接 補 題3.28を

manifold, Topology,

録 に 紹 介 し て あ る.

εa[M,ψ]=[M]に 空 間B(ξ)を

よ って 定 義す

対 応 させ る こ とに よ

Ω*が 誘 導 さ れ る.こ Proc.

Amer.

Math.

McGraw-Hill,1966,

証 明

の とき次 の定 理

Soc.,8(1957),587-596. p.

258を

参 照 せ よ.

が 成 り立 つ.   定 理3.29 

次 の 図 式 は 可 換 で あ る.

  証 明   ξ を 複 素 ベ ク トル 束 と す れ ば,準

同 型 写 像CP*の

定 義 と(3.23)に

よ って

が 成 り立 つ.従

っ て,補

が成 り立 つ.CP*は

題3.28に

よ って

全 射 で あ るか ら,結 局 

が 成 り立 つ.(終)

  この定 理 は 次 の よ うに述 べ る こ とが で き る.(M,ψ)を づ け られ た コンパ ク ト多 様 体M上

の準 自由S1作

境 界 を もた な い 向 き

用 とす る.不 動点 集 合 を 連

結 成 分 の直 和

で 表 わ す とき,各Fα

は一 定 の方法 に よ って 向 きづ け られ た 多 様体 に な る.こ

の とき  (3.30) が 成 り 立 つ.   注 意   等 式(3.30)は,準 つ こ と が 知 ら れ て い る.こ   (a) 

Atiyah-Hirzebruch:

自 由 と は 限 ら な い 任 意 のS1作

用 に つ い て 成 り立

れ に つ い て は Memoires

dedies

a

Georges

Springer-Verlag,1970,17-28.   (b) 

Kawakubo-Raymond:

  (c) 

Hattori-Taniguchi:

に お い て,そ

Invent. J.Math.

Math.15(1972),53-66. Soc.

Japan,24(1972),701-731.

れ ぞ れ 相 異 な る 方 法 に よ っ て 証 明 さ れ て い る.

de

Rham,

Ⅳ 不 動 点 集 合

  4.1  Smith準   4.1.1  Ω*準

を,合

同型 写 像 同型 写像

成

に よ っ て 定 義 す る.(3.25)に d*[ξ]=[ξ]が と し,そ

よ っ て,す

成 り立 つ.複

べ て の 複 素 ベ ク トル 束 ξ に 対 し て,

素 射 影 空 間Pn(C)上

の 標 準 的 な 複 素 直 線 束 を ξn

の 共 役 複 素 直 線 束 を ξnで 表 わ す.Ckを1点

上 のk次

元複 素 ベ ク ト

ル 束 とみ る とき   (4.1) 

d*[Cn+1]=[ξn], 

n=0,1,2,…

が 成 り立 つ.   補 題4.2 

任 意 のS1多

直 積(M×S1)1は,自

様 体Mと

明 なS1作

と の 直 積(M×S1)2と,S1多

標 準 的 なS1作

用 ψ0を も ったS1と

用 を も ったMとS1作

の

用 ψ0を も ったS1

様 体 と し て 微 分 同 相 で あ る.

  証 明   対 応(x,z)→(zx,z)に

よ っ て定 まる微 分 同 相 写像 を

f:(M×S1)1→(M×S1)2 と す る.す

べ て のu∈S1に

が 成 り立 ち,fはS1写   定 理4.3 

対 して

像 と な る.(終)

ξ を 向 き づ け ら れ た コ ン パ ク ト多 様 体M上

の可 微 分 複 素 ベ ク ト

ル束 とす る.M上

の 自明 な複 素 直 線束 を θ1とす る とき,次 式 が 成 り立 つ.

た だ し, 

はS1作

用 を 考 えず に 単 に 向 きづ け られ た コ ンパ ク ト多

様体 とみ る.  証 明  図 式

に お い て,∂*=∂

″*(γ*)-1ν*が成 り立 つ. 

多 様 体 とみ る.二

次 元 単 位 球D2に

て の 直 積 

標 準 的 なS1作

を 表 わ す.同 よ っ て, 

(S1,ψ0)の

が成

型 対 応(γ*)-1ν*に

はS1多

直 積 に よ っ て 代 表 さ れ る の で,補

り立 つ.D*[S1,ψ0]=[ξ0]で

様体 とし

は Ω*(S1;〓+1,〓1) よ っ て 対 応 す る 元 は,

で あ る こ とが 分 か る.従

が 成 り 立 つ. 

表 わ すS1

用 を 与 え,S1多

を 考 え れ ば, 

の 元  (3.23)に

をCP*[ξ]を

って

様体  題4.2に

とS1多

様体

よ っ て,

あ る か ら,

が 成 り立 つ.(終)   系4.4 

す べ て の 非 負 整 数nに

対 して

が 成 り立 つ.   証 明   定 理4.3に

お い てξ=Cn+1と

す れ ば,(4.1)に

得 る.(終)   4.1.2  対 応 

に よ っ て,Ω*準

同型 写 像

よ って 求 め る結 果 を

を定 義 す る.次 に,次 数-2の

を,自

由 Ω*加 群

Ω*準 同型 写 像

Ω*(S1;〓1)の

基 

と置 く こ とに よ っ て 定 義 す る.Δ*をSmith準  定 理4.5 

に 対 し て,

同 型 写 像 と い う.

次 の 図 式 は 可 換 で あ る.

 証 明  ξ を向 きづ け られ た コンパ ク ト多 様 体 上 の 複 素 ベ ク トル束 とす る.

と す る.こ

の と き 系4.4に

が 成 り立 つ.従

よ って

っ て 定 理4.3に

よ って

が 成 り立 つ.∂ ″*d*=∂ ″*であ る か ら

が 成 り立 つ.故

に

が 成 り立 つ.す

な わ ち,Δ*∂ ″*θ*=∂″*が 成 り立 つ.(終)

  定 理3.20,定

理3.29,定

理4.5に

よ っ て,次

  定 理4.6 

Mを

境 界 を も た な い4n次

体 とす る.指

数 

に つ い て,そ

の 不 動 点 集 合 の 次 元 は2n以

  証 明   M上

の 準 自 由S1作

集 合)で k>nで

のす べ て の準 自 上 で あ る.す

用 ψ で,不

お け るF4n-2kの

あ る か ら,F4n-2k上

な わ ち,不

は 定 理3.20に

用

動点集合の

のk-1次

元 閉 部 分 多 様 体(ま 複 素 法 ベ ク トル 束 を νk(F)と 元 複 素 ベ ク トル 束

よ って 完 全 列 で あ る.仮

が 成 り立 つ.従

って

が 成 り立 つ.故

に 準 自 由S1作

が 成 り立 つ.こ

の と き 定 理3.29に

り小 さ く な

に よる不 動点 集 合が

とな る.次 の可換 図式 を考 え る.

横2列

由 可 微 分S1作

動 点 集 合 の 次 元 が2nよ

な わ ち,ψ

こにF4n-2kはMの4n-2k次

あ る.Mに

コン パ ク ト多 様

上 に な る.

る も の が 存 在 し た と仮 定 し よ う.す

と表 わ さ れ る.こ

元 の 向 きづ け られ た

で あ れ ば,M上

あ る 連 結 成 分 の 次 元 が2n以

の 定 理 が 成 り立 つ.

用(V4n-2,φ)が

よ って

定 よ り

存 在 して

たは空 す れ ば,

ζk-1が 存 在 し て

が 成 り立 つ.こ M上

れ は 仮 定 

に 矛 盾 す る.従

の す べ て の 準 自 由S1作

用 に つ い て,そ

っ て, 

で あ れ ば,

の 不 動 点 集 合 の 次 元 は2n以

上

で あ る.(終)

  4.2  環 準 同 型 写 像J   4.2.1 

複 素 ベ ク トル 束

に 対 して

を ξ と η の 直 積 と い う.Ω*加 考 え る こ と に よ っ て,Ω*多   定 理4.7 

群 

は,ベ

元 環 と な る.こ

Ω*多 元 環 

ク トル 束 の 直 積 を

の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

は [ξn],  n=0,1,2,…

を 生 成 元 と す る Ω*上 の 多 項 式 環 で あ る.   証 明  ω=(n1,…,nk)を 

な る整 数 の 組 と す る.こ

よ うな 整 数 の 組 ω の 全 体 を

π(k)で

Pω=Pn1(C)× 上 のk次

の

表 わ す. … ×Pnk(C)

元 複 素 ベ ク トル 束

の分類写像を fω:Pω

と す る.Pω

→BU(k)

の 基 本 ホ モ ロ ジ ー類 を σ(Pω)と す れ ば,fω*(σ(Pω))は

ー群H*(BU(k);Z)の

がH*(BU(k);Z)の

元 で あ る.も

ホ モ ロジ

し

自由加 群 と して の基 で あ る こ とが 証 明で き れ ば,定

理

2.8を

が 成

使 う こ とに よ っ て

り立 つ.コ

ホ モ ロ ジ ー 環H*(BU(k);Z)は

普 遍Chern類c1,…,ckに

よ っ て 生 成 さ れ る 多 項 式 環Z[c1,…,ck]で ω=(n1,…,nk)に

べ て の

合Sk/Sk,ω

換

対 し て,σ(ω)=(nσ(1),…,nσ(k))と Sk,ω={σ

は,す

あ る.置

ω ∈ π(k)に

σ ∈Skと 置 く.こ

整 数 の 組 の と き

∈Sk￨σ(ω)=ω}

対 し て,対

称 群Skの

の 代 表 元 の 系 の 一 つ をR(k,ω)⊂Skと

部 分 群 で あ る.剩 す る.多

余類 の 集

項 式 環

Z[x1,…,xk] に お い て, a1=x1+…+xk,…,ak=x1…xk を 基 本 対 称 式 と す る.こ

の と き,す

べ て の ω=(n1,…,nk)∈

π(k)に

対 し て,

多項 式

は,x1,…,xkに 表 わ され る.す

つ い て 対 称 で あ る か ら 基 本 対 称 式a1,…,akの な わ ち,a1,…,akに

多 項 式 と して

つ い て の 整 数 係 数 の 多 項 式gω

が一 意 に

存 在 して

と表 わ す こ と が で き る.こ

こ で,aiの

代 りに 普 遍Chern類ciを

代 入 し て,

コホ モ ロジ ー類

を 定 義 す る.{sω￨ω

∈ π(k)}はH*(BU(k);Z)の

る こ とが 分 か る.こ

のとき

が 成 り立 つ.従

って

自由加 群 として の 基 で あ

はH*(BU(k);Z)の

自 由加 群 と し て の 基 で あ る こ とが 分 か った.(終)

  4.2.2  Ω*加 群 群 で あ る か ら,任

Ω*(BU(1))は[ξn],n=0,1,2,… 意 の 元[ξ]∈

Ωn(BU(k))に

と一 意 に 表 わ す こ と が で き る.こ す 非 負 整 数r,jに   定 理4.3に

を 基 とす る 自 由 Ω*加

こ に 

対 して

はr+2j=n+2(k+s-1)を

みた

つ い て の 和 を 表 わ す.

よ って

 (4.8)

が 成 り立 つ.系4.4に

よ って

が 成 り立 つ の で,こ

の 式 を(4.8)に

が 成 り立 つ.従

っ て, 

が 成 り立 つ.そ

こで

代 入 して

で あれ ば

と置 い て,同 境 環 Ω*に 係 数 を もつ 巾級 数

を 定 め る.対

応[ξ]→J[ξ]に

を 定 義 す る.こ

こ に Ω*[[t]]はΩ*上

  注 意  [ξ]∈ Ωn(BU(k))に

が 成 り立 つ.さ

よ っ て,(整

ら にn+rが

  Jの 定 義 に よ っ て,す

数 環 上 の)加

群 として の準 同型 写 像

の 巾 級 数 環 を 表 わ す.

対 し て, 

と置 け ば,

奇 数 で あ れ ばar(ξ)=0が べ て の 非 負 整 数sに

対 して

成 り立 つ.

 (4.9)

が 成 り立 つ.定

理4.3に

よ って

が 成 り立 つ の で,[ξ]∈

が 成 り立 つ.故

Ωn(BU(k))に

に[ξ]∈

対 して

Ωn(BU(k))に

対 して

(mod tn+2k+1)

 (4.10) 

が 成 り立 つ.   定 理4.11 

に対 して

(mod tn+1) が 成 り立 つ.   証 明   定 理3.24,(3.23),(4.10)か   定 理4.12 

ら 結 果 が 導 か れ る.(終)

対応

は 環 準 同 型 写 像 で あ る.   証 明  ξ,η を 複 素 ベ ク トル 束 と す る.(3.23)に

よ っ て,S1多

様体

 に 対 して

が 成 り立 つ.d*j″*=0で

あ るか ら

  (ⅰ) が 成 り立 つ.と

くに,ξ=Cm+1と

置 け ば,ξ=ξmで

あ るか ら

  (ⅱ) が 成 り立 つ.さ

ら に,η=Cn+1と

置 け ば,

  (ⅲ) が 成 り立 つ.さ

と置 く.こ

て[ξ]∈

の と き,す

Ωm(BU(p)),[η]∈

べ て のr,sに

Ωn(BU(q))に

対 して

対 し て,

  (ⅳ) が 成 り立 つ.こ

こ に 

=n+2(q+s-1)を (ⅲ),(ⅳ),お

は そ れ ぞ れi+2M=m+2(p+r-1),j+2N

み た す 整 数i,M,j,Nに よ びd*[ζ]=[ζ]に

つ い て の 和 を 表 わ す.(ⅱ),

よ っ て,

  (ⅴ)

  (ⅵ)

が 成 り立 つ.(ⅰ)か

ら(ⅵ)ま

で の等 式 に よ って

  (ⅶ)

が 成 り立 つ.一

方

が 成 り立 つ ので,こ れ 等 を(ⅶ)に

を 得 る.故

代 入 して

に

が 成 り立 つ.(終)   補 題4.13 

す べ て の 非 負 整 数nに

対 して

が 成 り立 つ.  証 明  

と 表 わ され る が,系4.4に

よって

が 成 り立 つ の で,   (ⅰ) が 成 り立 つ.(4.8)と

系4.4に

が 成 り立 つ.故

に

が 成 り立つ.こ

の式 に(ⅰ)を

よって

代 入す れ ば

  (ⅱ) が 成 り立 つ.(ⅱ)に

よ って

が 成 り立 つ.故

に

が 成 り立 つ.巾

級 数 

を も つ.こ

の 事 実 と(ⅰ)に

は Ω*[[t]]に お い て 逆 元

よ っ て 結 果 が 導 か れ る.(終)

  4.3  CP(ξ)の

特 性類

  4.3.1  ξ=(π:E(ξ)→B(ξ))を

可 微 分 複 素 ベ ク トル 束 と し,<,>を

ξ上

の エ ル ミー ト計 量 と す る.

を,そ "フ

れ ぞ れ ξ に 付 属 し た 球 面 束,複

ァ イ バ ー に 沿 っ た"複

は,S(ξ)×E(ξ)の

素 接 ベ ク トル 束 をTξ

っ て,自

は,S(ξ)×E(ξ)の

υ),λ ∈S1に

明 な複 素直 線束

の 全 空 間E(Tξ)

よ っ て 得 ら れ る 等 化 空 間 と同 一 視

θ1と のWhitney和 

の 全 空 間

部 分空 間

か ら 同 値 関 係(u,υ)∼(λu,λ 一 視 で き る .さ す る.ξ

とす る.Tξ

部 分空 間

か ら 同 値 関 係(u,υ)∼(λu,λ で き る.従

素 射 影 フ ァ イ バ ー 束 とす る.CP(ξ)の

て,ξ

υ),λ ∈S1に

をCP(ξ)上

よ っ て 得 られ る 等 化 空 間Eと

同

の 標 準 的 な 複 素 直 線 束(3.4.3,例2)と

の 全空 間は

と表 わ さ れ る.複

素 ベ ク トル 束 ξ か ら,p:CP(ξ)→B(ξ)に

れ た 複 素 ベ ク トル 束 をp*ξ

とす れ ば,そ

と表 わ され る.こ

素 ベ ク トル 束 と し て の 同 型

の と き,複

よ って誘 導 さ

の全 空 間 は

 (4.14)

が 成 り立 つ.実

と置 け ば,φ

際,[u,υ]∈Eに

は 

対 して

か らHomC(ξ,p*ξ)の

上 へ の 複 素 ベ ク トル 束 と し て

の 同 型 写 像 で あ る.   定 理4.15 

(Borel-Hirzebruch)ξ

をn次

元 可 微 分 複 素 ベ ク トル 束 と し,ξ

に 付 属 した 複 素 射 影 フ ァ イ バ ー 束 をp:CP(ξ)→B(ξ)と "フ

ァ イ バ ー に 沿 っ た"複

素 接 ベ ク トル 束Tξ

の 全Chern類

す る.CP(ξ)の は

で あ る.こ

こ に,ci(ξ),ci(ξ)は

そ れ ぞ れ 複 素 ベ ク トル 束

ξ,ξ のi一 次Chern

類 を 表 わ す.   証 明   Chern類

の 自 然 性 とWhitney積

公 式,お

よび(4.14)に

よ っ て,次

の 補 題 を 証 明 す れ ば 十分 で あ る.(終)   補 題4.16  ξ をX上

Xを

のn次

HomC(ζ,ξ)の

パ ラ コ ン パ ク ト位 相 空 間 とす る.ζ 元 複 素 ベ ク トル 束 と す る.こ

全Chern類

をX上

の と きn次

の 複 素 直 線 束, 元 複 素 ベ ク トル 束

は

で あ る.   証 明   ベ ク トル 束 に つ い て の 分 解 定 理 に よ っ て,ξ

が 複 素 直 線 束 のWhitney

和

の 場 合 につ いて 証 明す れ ば 十 分 で あ る.複 で表 わ せば

が 成 り立 つ.

が 成 り立 つ の で,

が 成 り立 つ.(終)

素 直 線束 ζ の 共役 複 素 直 線束 を ζ

 定 理4.17 

ξ をn次

元 複 素 ベ ク トル 束 と し,p:CP(ξ)→B(ξ)を

付 属 した 複 素 射 影 フ ァ イ バー 束 とす る.コ コ ホ モ ロ ジ ー 環H*(B(ξ);Z)上

と,対

の 一 意 性 と,フ

に よ っ て 証 明 で き る.付

ホ モ ロ ジ ー 環H*(CP(ξ);Z)は,

の 多項 式 環 の剰 余 環

応x・ti→p*(x)・(c1(ξ))iに

  証 明   Chern類

ξ に

よ っ て 同 型 に な る. ァ イ バ ー 束 に つ い て のLeray-Hirschの

定理

録 を 参 照 せ よ.(終)

  4.3.2  多 項 式 環Z[x1,…,xk]に

お い て,

a1=x1+…+xk,…,ak=x1…xk を 基 本 対 称 式 とす る.多 か ら,基

項 式xk1+…+xkkはx1,…,xkに

本 対 称 式a1,…,akの

a1,…,akに

つ い て対 称 で あ る

整 数 係 数 多 項 式 と し て 表 わ さ れ る.す な わ ち,

つ い て の 整 数 係 数 多 項 式fkが

一 意 に 存 在 して

fk(a1,…,ak)=xk1+…+xkk と表 わ す こ とが で き る.さ

て,Mを

境 界 を も た な いn次

元 の 向 き づ け られ た

コ ン パ ク ト多 様 体 とす る. pi(M)∈H4i(M;Z) を,Mのi次

のPontrjagin類, σ(M)∈Hn(M;Z)

を,Mの

基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 と す る.整

数s(M)を

(mod 4) に よ っ て 定 義 す る.   ξnをPn(C)上

の 標 準 的 な 複 素 直 線 束(3.4.3,例1)と

役 複 素 直 線 束 とす る.こ   定 理4.18 

の と き 次 の 結 果 が 成 り立 つ.

k>0に

対 し て,n+kが

偶 数 の とき

し,ξnを

ξnの 共

が 成 り立 ち,n+kが

奇 数 の と き, s(CP(ξn×Ck))=0

が 成 り立 つ.   証 明  x=p*c1(ξn),t=c1(ξn×Ck)と CP(ξn×Ck)の

置 け ば,定

接 ベ ク ト ル 束 の 全Pontrjagin類

理4.15を

使

っ て,

は

(1+x2)n+1・(1+t2)k・(1+(x+t)2) と な る.定

理4・17に

よ っ て, tk+i=(-1)itkxi, 

xn+1=0

が 成 り立 ち, =(-1)k

で あ る か ら,求   系4.19 

め る 結 果 を 得 る.(終)

非 負 整 数kに

対 して

(kが 偶 数 の とき) (kが 奇 数 の とき) が 成 り立 つ.   証 明   k=0の 定 理4.18に

と き 明 らか.k>0の

と きPk(C)=CP(ξ0×Ck)で

あ る か ら,

よ っ て 結 果 が 成 り立 つ.(終)

  注 意   Mi(i=1,2)を

境 界 を もた な いni次

多 様 体 と す る.ni>0,(i=1,2)で

元 の 向 き づ け られ た コ ン パ ク ト

あ れ ばs(M1×M2)=0が

成 り立 つ.

  4.4  不 動 点 集 合 の 次 元   4.4.1  対 応M→s(M)に

よ っ て,加

群 として の準 同型 写 像

s:Ω*→Z が 誘 導 され る.係

数 環 を 有 理 数 体Qに

拡 張 す る こ とに よ っ て,Q加

の 準 同型 写 像

に 拡 張 さ れ る.Q上

の 多 元 環 と し て,  [P2n(C)],n=1,2,3,…

は

群 と して

を 生 成 元 系 とす るQ上  の 元xに composableな

の 多 項 式 環 で あ る こ と が 知 られ て い る.こ

対 して,s(x)=0で

元 で あ る こ と が 分 か る.準

に 巾 級 数 環 上 のQ加

あ る た め の 必 要 十 分 条 件 はxがde 同 型 写 像 

を,さ

群 と して の準 同 型写 像

に 自然 に 拡 張す る.   一 方,4.2で

考察 した環 準 同型 写 像

に つ い て も,Q多

元環 と して の準 同型 写 像

に 自然に 拡 張 して お く.  補 題4.20 

す べ て の 

に 対 して

が 成 り立 つ.   証 明   補 題4.13,定

理4.18,系4.19を

使 えば

が 成 り立 つ.(終)   定 理4.21(Ossa)

と置 く.こ

の と き,す

べ て の 正 整 数nに

対 し て,n次

の 行列

は 正 則 で あ る.   証 明   補 題4.20に

よ っ て,行

の と き,

列(aj,k)の

各成 分 に 対 して

ら

が 成 り立 っ て い る.

と 置 け ば,行

列(aj,k)が

正 則 で あ る こ と と,行

同 値 で あ り,さ

らに

が 成 り立 つ.い

ま,不 定 元yに

に よ つ て 定 義 す る.こ

がQ上

のn+1次

の と き,行

列(bj,k)が

つ い て の 多項 式 を

列(bj

,k)が 正 則 で あ る こ と と

元 ベ ク トル 空 間Q[y]/(yn+1)に

と と は 同 値 で あ る.さ

正則 で あ る こ と は

お い て一 次 独 立で あ る こ

て

Bk=(1-y)2k-(1-y)-1, 

(mod yn+1)

が 成 り立 つ の で,

が 一 次 独 立 で あ る こ とを 示す に は,n+1個

がQ[[y]]/(yn+1)に

の元

お い て 一 次 独 立 で あ る こ とを 示 せ ば 十 分 で あ る.こ

れを次

の 補 題 に お い て 示 そ う.(終)   補 題4.22  n+1個

aをa+3>0な

(1-y)-1,  は,yn+1を

る 整 数 とす る.巾

級 数 環Q[[y]]にお

の元 (1-y)a+2i, 

(i=1,2,…,n)

法 と し て 一 次 独 立 で あ る.

  証 明  n=1の

と き,有

理数

α・(1-y)-1+β

α,β が 存 在 し て ・(1-y)a+2=0(mod

y2)

い て,

が 成 り立 つ と 仮 定 す れ ば,係

数 を 比 較 し て α=β=0が

(1-y)-1と(1-y)a+2,(α+3>0)はy2を 整 数k>1に

な わ ち

法 と し て 一 次 独 立 で あ る.次

対 し て,n
つ い て 証 明 し よ う.有

成 り立 つ.す

と き 結 果 が 正 し い と 仮 定 し て,n=kの

理 数 αi(i=0,1,…,k)が

に,

と きに

存 在 して

(mod yk+1) が 成 り立 つ と 仮 定 し よ う.1-yを

掛けて

(mod yk+1) が 成 り立 つ.yに

つ い て微 分 す れ ば

(mod yk) が 成 り立 つ.-(1-y)-a-3を

掛けて

(mod yk) が 成 り立 つ.故 に 帰 納 法 の仮 定 に よって α1・(a+3)=0, 

が 成 り 立 ち,a+3>0で

αj+1・(a+2j+3)=0, 

(j=1,…,k-1)

あ るか ら α1=α2=…=αk=0

が 成 り立 つ.こ

れ を も と の 式 に 代 入 し て α0=0を

得 る.従

っ て,n=kの

とき

に も結 果 が 成 り立 つ.(終)   4.4.2 

い ま,P2n(C)上

の0次

元 ベ ク トル 束 を η2nと す る.環 

が

[P2n(C)],n=1,2,3,… を 生 成 元 系 とす るQ上

の 多 項 式 環 で あ るか ら,定

多元環

は, [ξk],(k=0,1,2,…),[η2n],(n=1,2,3,…)

を 生 成 元系 とす るQ上

の多 項 式環 に な る.

理4.7に

よ っ て,Q上

の

J[η2n]=[P2n(C)]t4n, s°J[η2n]=(2n+1)t4n が 成 り立 つ こ とに 注 意 す れ ば,定   定 理4.23(Ossa) 

理4.21に

多 項 式 環 

式 環 

よ っ て 次 の 定 理 が 成 り立 つ. の 生成 元 系 

お よ び,多

の 生 成 元 系 

項

を 選 ん で,

次 の 条 件 を み た す よ うに で き る.   (ⅰ)   (ⅱ) JQ(x)=1, 

  (ⅲ) 

weight

JQ(x(i)j)=zi+3jt4(i+3j), 

(mod

t4(i+3j+1)),

x=0,

weight

と 置 く と き,

は,Q上

の ベ ク トル 空 間 と し てx,x(i)jに

つ い て 

の多項 式 全 体 の

作 る ベ ク トル 空 間 に 一 致 す る.   証 明  υ1,…,υnを  間 と し てυ1,…,υnに

の 元 とす る.Q上

の ベ ク トル 空

よ っ て 生 成 され る 部 分 空 間 を Q{υi,…,υn}

で 表 わ し,Q上

の 多 元 環 と し てυ1,…,υnに

よ っ て 生 成 され る部 分 多 元 環 を

Q(υ1,…,υn) で 表 わ す こ とに し よ う.定 理4.21と て の 

η2nの 定 義 か ら,帰

納 法 に よ っ て,す

に 対 して

 (aj)

を 選 び,   (bj) 

s°JQ(y(i)j)=t4(i+3j), 

を み た す よ う に で き る.x=[ξ0]と 条 件(aj),(bj)か

(mod

t4(i+3j+1))

置 け ば,x∈F0,JQ(x)=1が

ら 帰 納 法 に よ っ て,す

べ て の 

成 り 立 つ. に 対 して

べ

 (cj)

を 選 び,

(mod t4(i+3j+1))

 (dj)

を み た す よ うに で き る こ と を 示 そ う.こ

の と き,条

件(aj),(bj),(cj),(dj)

に よ っ て 定 理 が 成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ る.(b0)に

よ って

s°JQ(y(1)0)=t4+… が 成 り立 つ の で,

と 表 わ さ れ る.そ

こ で,x(1)0=y(1)0と

置 く.次

に

s°JQ(y(2)0)=t8+…, s°JQ(y(3)0)=t12+…

が 成 り立 つ の で,

と 表 わ さ れ る.そ

こ で,x(2)0=y(2)0,x(3)0=y(3)0-α(x(1)0)2と

と表 わ さ れ る こ とが 分 か る.従

っ て,(c0),(d0)が

置 く.こ

成 り立 つ.い

き(cj),(dj)が

成 り立 つ も の と 仮 定 し て,(cn),(dn)が

し よ う.(bn)に

よ って s°JQ(y(1)n)=t4(3n+1)+…

が 成 り立 つ の で,

を 選 ん で,

の とき

まj
と

成 り立 つ こ と を 証 明

を み た す よ う に で き る.x(1)n=y(1)n-uと (an),(dn-1)に

置 け ば,x(1)n∈F2n+1が

成 り立 ち,

よ って

が 成 り立 つ.次

に(bn)に

よ って s°JQ(y(2)n)=t4(3n+2)+…, s°JQ(y(3)n)=t4(3n+3)+…

が 成 り立 つ の で,

を選んで

を み た す よ うに で き る.そ (dn)が

こで,x(2)n=y(2)n-υ,x(3)n=y(3)n-wと

置 け ば(cn),

成 り立 つ こ とが 分 か る.(終)

  系4.24 

環 準 同型 写像

は 単 射 で あ る.   4.4.3  準 自 由S1作 で 表 わ す.も る.こ

用(M,ψ)に

し(M,ψ)が

対 して,不

動 点 集 合 の 次 元 をf(M,ψ)

不 動 点 を も た な け れ ば,f(M,ψ)=-1と

定義す

の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理4.25(Ossa) 

Mを

境 界 を も た な いn次

ト多 様 体 と し,ψ

をM上

の 準 自 由 可 微 分S1作

  (a) 

に お い て, 

であれば

元 の 向 きづ け られ た コンパ ク 用 とす る.こ

の とき

(mod 3) (mod 3) が 成 り立 つ.   (b) 

に お い て,[M]=0で

あ り, 

に お い て 

で あれ ば

(mod 3) (mod 3) が 成 り立つ.  証 明  定 理 の不 等式 の右 辺 の数 値 を(a)の b(n)と

場 合 にa(n),(b)の

場合に

置 く.す な わ ち

(mod 3) (mod 3) (mod 3) (mod 3) と定 義 す る.さ らに

が 成 り立 つ と き,f([ξ])=2jと

が 成 り立 つ.定

理4.11に

定 義 す る.こ

の とき

よ って

J(j″*[M,ψ])=[M]・tn,(mod tn+1) が 成 り立 つ.ま

たj″*は 単 射 で あ る か ら,(a),(b)い

ずれの場合に も

 

が 成 り立 つ.従

っ て,定

理4.25を

証 明 す る に は, 

(mod 4)

 (4.25a)   (4.25b)

 (mod

2)

に 対 して

 (mod

tn)

  (mod

tn+2)

が 成 り立 つ こ とを証 明すれ ば 十 分 で あ る.定 理4.23に

お い て構 成 した 生成 元

系に よ って,[ξ]を

(α(p,i,j,k)∈Q)と

表 わ す.定

理4.23に

よ って

(ⅰ) (ⅱ)

が 成 り立 つ.い

ま(4.25a)の

が 成 り立 ち,従

っ て(ⅱ)に

条 件 を 仮 定 す れ ば,(ⅰ)に

よ っ て, 

が 成 り立 つ.nを3を

して 分 け て 考 え る こ と に よ っ て,  (4.25b)が

  J.M.

が 成 り立 つ.全

法 と

く同 様 に し て

成 り立 つ.(終)

  注 意  環 準 同 型 写 像Jの で あ る が,こ

よ って

性 質 を 使 っ て,定

理4.23,定

理4.25を

導 いたの

の よ う な 考 え 方 は,

Boardman:

On

manifolds

with

involution,

Bull. AMS,

73(1967),

136-138. に お い て 初 め て 示 さ れ た.Boardmanは,こ

の 論 文 に お い て,Z2作

用 の不 動

点 集 合 の 次 元 を 評 価 す る こ と に 成 功 して い る.   こ の4.4節 で あ る.

で 紹 介 した 結 果 は,E.

Ossaが

学 位 論 文 に お い て発表 し た も の

Ⅴ   同 変 コ ボ ル デ ィズ ム論

  5.1  同 変Thomス   5.1.1 

ペ ク トラ ム

こ の 節 を 通 し て,コ

有 限 次 元 複 素Gベ 部 分 空 間(G不

ン パ ク ト リ イ 群Gを

ク トル 空 間 とす る.Bn(V)に 変 と は 限 らな い)全

W∈Bn(V),g∈Gに

一 つ 固 定 し て お く.Vを よっ て,Vのn次

体 の 作 るGrassmann多

元複素

様 体 を 表 わ す.

対 して g・W={g・w￨w∈W}

と 置 く こ とに よ っ て,Bn(V)上

に 可 微 分G作

En(V)={(W,υ)￨W∈Bn(V),υ と置 き,(W,υ)∈En(V),g∈Gに

用 が 定 義 さ れ る.さ

らに

∈W}

対 して g・(W,υ)=(g・W,g・υ)

と置 く こ と に よ っ て,En(V)上

に も 可 微 分G作

用 が 定 義 され る.写

像

π:En(V)→Bn(V) を π(W,υ)=Wに

よ っ て 定 義 す れ ば,π

は 可 微 分G写像

と な り,

π:En(V)→Bn(V) はBn(V)上

のn次

  単 射 線 型G写

元 可 微 分 複 素Gベ

像i:V→V′

ク トル 束 とな る.

に 対 し て,Gベ

ク トル 束 写 像

i*:En(V)→En(V′) が,(W,υ)∈En(V)に

対 して i*(W,υ)=(i(W),i(υ))

と置 く こ と に よ っ て 定 義 され る.V1,V2を る と き,Gベ

ク トル 束 写 像

有 限 次 元 複 素Gベ

ク トル空 間 とす

を,(W1,υ1)∈Em(V1),(W2,υ2)∈En(V2)に

対 して

と置 く こ とに よ っ て 定 義 す る.   i1:V1→V′1,i2:V2→V′2を

単 射 線 型G写

像 とす れ ば,次

の 図 式は 可 換

で あ る.

 (5.1)

  En(V)に

一 点 ∞ を つ け 加 え て コ ン パ ク ト化 したG空

わ し,Gベ

ク トル 束

G空 に

間Mn(V)の

π:En(V)→Bn(V)のThom空

不 動 点 で あ る が,以

∞ を そ の 基 点 と す る.さ

写 像 を 誘 導 す る の で,可

間

後Thom空

て,Gベ

間 をMn(V)で と い う.点

よ っ て,次

∞ は

間 を 考 え る と き に は,常

ク トル 束 写 像 はThom空

換 図 式(5.1)に

表

間 の 間 のG

の 可 換 図 式 が 誘 導 され る.

 (5.2)

こ こにX∧YはXとYの   5.1.2  素Gベ

約 結 を 表 わ す.

ユ ニ タ リ群 へ の 連 続 準 同 型 写 像

ρ:G→U(n)を

与 え れ ばCnは

ク トル 空 間 と な り,標 準 的 な エ ル ミー ト内 積 

変 と な る.さ

はG不

て I(G)={Vα=(Cn(α),ρ

を 複 素Gベ

ク トル 空 間 の 集 合 で,次

  (ⅰ)  各Vα   (ⅱ) Vα

複

α),α ∈A}

の 条 件 を み た す も の と す る.

は 既 約 で あ る.

とVβ

が 複 素Gベ

  (ⅲ)  任 意 の(有

限 次 元)既

ク トル 空 間 と して 同 型 に な る の は α=β

の と

き に 限 る.

  以 後,コ く.I(G)の

ン パ ク ト リ イ群Gに 存 在 は,任

約Gベ

ク トル 空 間 は,あ

対 し て,こ

るVα

の よ うなI(G)を

意 の 有 限 次 元 複 素Gベ

と 同 型 に な る. 一 つ固 定 して お

ク トル 空 間 がG不

変なエル

ミー ト内積 を もつ ことに よ って保 証 され て い る.I(G)を

既 約Gベ

ク トル 空

間 の 完 全系 とい う.   k:A→Zを

非 負整 数値 函 数 で,有 限 個 のAの

とす る.こ の よ うなkに

と置 く.こ

対 して

こにVk(α)α はVα

のk(α)個

Vα 成 分 と呼 ぶ こ と に す る.任 そ れ と 同 型 なV(k)が 空 間Vに

対 し て,そ

元 を 除 い て零 値 で あ る もの

の 直 和 を 表 わ す.Vk(α)α をV(k)の

意 の 有 限 次 元 複 素Gベ

ク トル 空 間 に 対 し て,

一 意 に 存 在 す る こ と が 分 か る.有 の 次 元 を￨V￨で

限次 元 複 素 ベ ク トル

表 わす こ とに すれ ば

が 成 り立 つ.   補 題5.3 

複 素Gベ

AutG(V(k))で

ク トル 空 間V(k)の

表 わ す と き,次

  証 明 iα:Vk(α)α→V(k)を 意 のG同

像 全 体 の 作 る群 を

の 同 型 が 成 り立 つ.

包 含 写 像,pα:V(k)→Vk(α)α

変 自 己 準 同 型 写 像φ:V(k)→V(k)に

を 考 え る.Schurの っ て,自

自 己 同 型G写

補 題 に よ っ て, 

を 射 影 と す る.任

対 し て,G写

像

の と きpβ° φ°iα=0が 成 り立 つ.従

然 な 同型

が 成 り立 つ.さ

てVk(α)α の

ベ ク トル はVα

υk(α))に よ っ て表 わ され る.そ

の ベ ク トルk(α)個

の 順 列(υ1,…,

こで

T=(tij)∈GL(k(α),C) に 対 し て,自

己 同 型 写 像T*:Vk(α)α

に よ っ て 定 義 す れ ば,T*はG同 っ て,自

→Vk(α)α

を

変 で あ る.す

な わ ち,対

然 な 準 同 型 写 像GL(k(α),C)→AutG(Vk(α)α)が

応T→T*に

よ

定 義で き る.こ の 対

応 は 単 射 で あ る が,再

びSchurの

補 題 を 使 う こ とに よ っ て,全

射 であること

が 分 か る.(終)   非 負 整 数 値 函 数k:A→Zで 全 体 をKAで

有 限 個 のAの

表 わ す.k,lをKAの

元 と す る.す

  が 成 り立 つ と き に 限 り,  集 合KAに

半 順 序 を 入 れ る と,KAは

と 非 負 整 数aに

対 し て,す

元 を除 い て零 値 で あ る も の の べ て の α∈Aに

対 して

で あ る と定 義 す る こ とに よ っ て, 有 向 集 合 に な る.さ

べ て の α ∈Aに

らに,KAの

元k,l

対 して

(k+l)(α)=k(α)+l(α), (a・k)(α)=a・k(α) と置 く こ と に よ っ て,新   k,lをKAの

しいKAの

元 とす る. 

元k+l,a・kを が 成 り立 つ と き,単

定 義 しよう. 射 線 型G写

像

i(k,l):V(k)→V(l) をVα

成 分 に つ い て,対

て 定 義 す る.こ l)は,Gベ

応(υ1,…,υk(α))→(υ1,…,υk(α),0,…,0)によ

こにυ1,…,υk(α)はVα

の ベ ク トル で あ る.こ

っ

の と き,i(k,

クト ル 束 写 像 i(k,l)*:En(V(k))→En(V(l))

お よびThom空

間 の 間 のG写

像

M(i(k,l)*):Mn(V(k))→Mn(V(l)) を 誘 導 す る.こ

の とき

は 帰納 的 系 で あ る こ とが 分 か る.そ で 表 わ す.En(G)を

の 帰 納 的 極 限 を,そ れ ぞ れEn(G),Mn(G)

全 空 間 と す るn次

元 複 素Gベ

ク トル 束

π:En(G)→Bn(G) をn次

元 普 遍 複 素Gベ

トル 束En(G)のThom空   5.1.3  k∈KAに

ク トル 束 と い う.ま 間 と い う.

対 し て,G同

型写像

た,Mn(G)を

普 遍 複 素Gベ

ク

をVα

成 分 に関 して,対 応

 に よ っ て 定 義 す る.k,lをKAの

元 と す る. 

が 成 り立 つ と き,次

の図式

は 可 換 で あ る.

 (5.4)

 

KAの

元k,lに

対 して,単 射 線 型G写

像

を 合 成  つ のGベ

に よ って定 義 す る.二 ク トル 束 写像

の 合 成 をa(k,l)=s(k,l)*°a(V(k),V(l))と に よ っ て,次

す る.可

換 図 式(5.1),(5.4)

の 図 式 は 可 換 で あ る.

 (5.5)

た だ し, 

とす る.従

っ て,a(k,l)はGベ

am,n:Em(G)×En(G)→Em+n(G) お よ びThom空

間 の間 のG写

像

M(am,n):Mm(G)∧Mn(G)→Mm+n(G) を 誘 導 す る.   次 の 図 式 を 考 え る.

 (5.6)

ク トル 束 写 像

こ の 図 式 が 基 点 を 保 つG写

像 と し て ホ モ トピ ー 可 換 で あ る こ と を 示 す た め に

若 干 の 準 備 を し よ う.   KAの

元kに

対 し て,単

分 に 関 し て,対

射 線 型G写

像φ(k):V(k)→V(2k)を,Vα

成

応 (υ1,…,υk(α))→(υ1,0,υ2,0,…,υk(α),0)

に よ っ て 定 義 す る.さ

らに 

に 対 し て,線

型G写

像φt(k):V(k)→

V(2k)を φt(k)=(1-t)・i(k,2k)+t・φ(k) に よ っ て 定 義 す る.こ

の と き,す

る こ と が 分 か る.す

な わ ちφt(k)は単

φ(k)の間

べ て の 

射 線 型G写

の ホ モ ト ピ ー を与え て い る.こ

す べ て の 

に 対 し てφt(k)は

単射であ

像 と し て,i(k,2k)と

の ホ モ ト ピ ー に 関 し て,次

の 図 式 は,

に 対 し て 可 換 で あ る.

 (5.7)

た だ し  ら,可

と す る.φt(k)は

換 図 式(5.7)に

単 射 線型G写

よ っ て,Gベ

像 と し て の ホ モ ト ピ ー で あ るか

ク トル 束 写 像 と して の ホ モ ト ピ ー

φt*:En(G)→En(G) お よ びThom空間

の間の 基 点 を 保 つG写

像 と して の ホ モ トピー

M(φt*):Mn(G)→Mn(G) を 誘 導 す る.こ

の と き,φ0*,M(φ0*)は

そ れ ぞ れEn(G),Mn(G)の

恒 等写 像

で あ る.   補 題5.8 

図 式(5.6)に

お い て,基

点 を 保 つG写

像 と し ての ホモ トピー

が 成 り立 つ.  証 明   Gホ

モ ト ピ ーM(φt*)に

よ っ て,Gホ

モ トピー

が成

り立 つ.a(k,l),φ(k)の

定 義 に よ っ て,Gホ

モ トピー

の 成 り立 つ こ とは 容 易 に 分か る.(終)   基 点 を 保 つG写

像 T:Mm(G)∧Mn(G)→Mn(G)∧Mm(G)

を,T(x∧y)=y∧xに

よ っ て 定 義 す る.次

の 図式

 (5.9)

を 考え る.こ

の と き,a(k,l)の

  補 題5.10 

図 式(5.9)に

定 義 に よ っ て 次 の 結 果 が 成 り立 つ. お い て,基

点 を 保 つG写

像 と し て の ホ モ ト ピー

が 成 り立 つ.◇   5.1.4 

Vを

有 限 次 元 複 素Gベ

え て ロ ン パ クト 化 し たG空

ク トル 空 間 とす る.Vに

間 をVcで

表 わ す.こ

一 点∞

の と き,自

を つ け加

然 な対 応 に よ っ

て

Vc=M￨V￨(V) と な る.   k∈KAに

対 し て, ‖k‖=￨V(k)￨

と 表 わ す.k,lをKAの 空間 の 間 のG写

元 で, 

とす る.5.1.2節

に お い て 定 義 し たThom

像 M(i(k,l)*):Mn(V(k))→Mn(V(l))

をn=‖k‖

の 場 合 に つ い て 考 え よ う.Mn(V(l))のl∈KAにつ

的 極 限 がMn(G)で

あ る か ら,写

像M(i(k,l)*)に

写像 i(k):V(k)c→M‖k‖(G)

い て の帰 納 よ っ て,基

点 を 保 つG

が 誘 導 さ れ る.   次 に,k∈KAお

よ び 非 負 整 数nに

対 し て,基

点 を 保 つG写

像

ε=εk,n:V(k)c∧Mn(G)→M‖k‖+n(G) を,合

成ε=M(a‖k‖,n)°(i(k)∧1)に

よ っ て 定 義 す る.す

な わ ち,次

の 図式

が 可 換 に な る.

 (5.11)

 さ て,k,lをKAの

をVα

元 とす る と き,複

素Gベ

ク トル 空 間 と し て の 同 型 写 像

成 分につ い て,対 応

に よ っ て 定 義 す る.こ 同 型 写 像e(k,l)に

こ にui,υjは

す べ てVα

の ベ ク トル で あ る.こ

よ っ て 誘 導 され る 基 点 を 保 つG同

のG

相写像

V(k)e∧V(l)c→V(k+l)c を 同 じ記 号e(k,l)で

表 わ そ う.

  次 の 図 式 を 考 え よ う.

 (5.12)

  補 題5.13 

図 式(5.12)に

お い て,基

点 を 保つG写

像 と して の ホ モ トピ ー

が 成 り立 つ.   証 明   補 題5.8,可

換 図 式(5.11)お

よび 補 題5.3に

よ って容 易 に 証 明 で

き る.(終)   定 義   Thom空

間Mn(G),お

よ び 基 点 を 保 つG写

M(am,n):Mm(G)∧Mn(G)→Mm+n(G),

像

i(k):V(k)c→M‖k‖(G), εk,n:V(k)c∧Mn(G)→M‖k‖+n(G), (k∈KA)の

組 を,コン

パ ク ト リイ 群Gに

対 す る ユ ニ タ リ同 変Thomス

ペ ク

トラ ム と 呼 ぶ.   5.1.5  る.連

π:E→Xを

複 素Gベ

ク トル 束,Vを

続 写 像h:E→VがG同

で あ っ て,各

点x∈X上

変Gauss写

複 素Gベ

ク トル 空 間 と す

像 で あ る とは,hがG写

の フ ァ イ バ ーExに対

し て,制

像

限写像

h￨Ex:Ex→V が 単 射 線 型 写 像 で あ る こ と を 意 味 す る.   有 限 次 元 複 素Gベ

ク トル 空 間Vに

対 し て,対

義 さ れ る写 像hV:En(V)→VはG同   命 題5.14 

応(W,υ)→υ

変Gauss写

π:E→Xをn次

元 複 素Gベ

Gベ

クトル 空 間 とす る.任

意 のG同

Gベ

ク トル 束 写 像φ:E→En(V)で,h=hV°φ

に よ って 定

像 で あ る.

ク トル 束,Vを

変Gauss写

有限 次 元 複 素

像h:E→Vに

対 し て,

をみ た す ものが ただ 一 つ 存

在 す る.   証 明   対 応u→(h(Eπ(u)),h(u))に をφ:E→En(V)と

す れ ば,こ

よ っ て 定 義 され るGベ れ が 求 め る も の で あ る.一

ク トル 束 写 像

意性 に つ い ては 明

らか で あ ろ う.(終)   定 理5.15 

Xを

ル 束 とす れ ば,有 →Vが

コ ン パ ク トG空 限 次 元Gベ

間 とす る.π:E→Xを

ク ト ル 空 間VとG同

複 素Gベ 変Gauss写

ク ト

像h:E

存 在 す る.

  証 明   点x∈Xの ク ト ル 空 間 で あ る.定 射 線 型Gx写

等 方 部 分 群 をGxと 理0.8に

像h0:Ex→Vxが

よ っ て,有

す れ ば,フ 限 次 元Gベ

存 在 す る.そ

ァ イ バ ーExはGxベ ク トル 空 間Vxと

単

こで

h1:E￨G(x)→Vx を,h1(g・υ)=g・h0(υ),g∈G,υ Gauss写

像 で あ る.連

∈Exに

よ っ て 定 義 す れ ば,h1はG同

続 写 像h2:E→Vxで,h1の

バ ー に つ い て 線 型 な る も の が 存 在 す る.h2のGに

拡 張 で あ っ て,各

変 フ ァイ

つ い て の 平 均 を 考え る こ と

に よ って,G写像hx:E→Vxで,h1の

拡 張 で あ り,各

て 線 型 で あ る も の が 存 在 す る.こ 存 在 して,hxはE￨Ux上 に 対 して,こ 空間Xの

の と きG(x)を

のG同

開 被 覆 で あ る か ら,有

∪Uxn=Xと

で き る.こ

含 むG不

変Gauss写

の よ う な(Vx,hx,Ux)を

フ ァイバ ー に つ い 変 な開 集 合Uxが

像 に な っ て いる.各

考 え る.{Ux￨x∈X}は 限 個 の 点x1,…,xnが

点x∈X コンパ ク ト

存 在 し て,Ux1∪

…

の とき

と置 き,h:E→Vを h(u)=(hx1(u),…,hxn(u)) に よ っ て 定 義 す れ ば,hはG同

変Gauss写

  π:En(G)→Bn(G)を5.1.2節 ク トル束 とす る.こ   定 理5.16 

Xを

に お い て 構 成 し たn次

元 普 遍 複 素Gベ

の と き 次 の 定 理 が 成 り立 つ. コ ン パ ク トG空間

ベ ク トル 束 とす れ ば,Cベ に,こ

像 で あ る.(終)

の よ うなGベ

とす る.π:E→Xをn次

元 複 素G

ク トル 束 写 像u:E→En(G)が

存 在 す る.さ

ク トル 束 写 像 た ち は 互 い にGベ

ら

ク トル 束 写 像 と し て,

ホ モ トー プ で あ る.   証 明  定 理5.15に

よ っ て,k∈KAお

V(k)が

っ て,命

存 在 す る.従

→En(V(k))が

て,u=i(k)*φ

よびGベ

変Gauss写

ク トル 束 写 像φ:E と,包

が 求 め るGベ

含 写 像i(k)*:

ク トル束 写 像 で あ コ ン パ ク トで

ク トル 束 写 像φ:E→En(V(k))が

存 在 し

っ て,命

題5.14に

るG同

ら 誘 導 さ れ る こ と が 分 か る .さ

像 とす る.新

像h:E→

ク トル 束 写 像 とす れ ば,Xが

と表 わ せ る こ と が 分 か る.従

hi:E→V(ki),  をG同

よ っ て,Gベ

ク トル 束 写 像u:E→En(G)は,あ

→V(k),k∈KA,か

変Gauss写

を み た す .φ

の 合 成u=i(k)*φ

にu:E→En(G)をGベ

あ る か ら,k∈KAお

のGベ

題5.14に

存 在 し て,h=hV(k)°φ

En(V(k))→En(G)と る.逆

よ びG同

変Gauss写像h:E て

(i=0,1), ki∈KA しいG同

h:E→V(k0+k1)

よ っ て,任

変Gauss写

像

意

を,ベ

ク トルe∈Eと

α ∈Aに

対 し て,h0(e),h1(e)のVα

成 分 が,そ

れ

ぞれ (u1,…,uk0(α)), (υ1,…,υk1(α)),  で あ る と き,h(e)のVα

(ui,υj∈Vα)

成 分が (u1,…,uk0(α),υ1,…,υk1=(α))

と な る も の と し て 定 義 し よ う.こ

こ の と き,h,i0h0,i1h1は

こ で 次 の 図 式 を 考 え る.

共 にG同

変Gauss写

像 で あ る が,G同

写 像 と し て 互 い に ホ モ トー プ で あ る こ とが 分 か る.命 h0,h1に き,次

対 応 す るGベ

よ っ て,h, す る.この

と

側 の 二 つ の 三 角 形 は 可 換 で あ り,左 側 の 二 つ の 三 角

ク トル 束 写 像 と し て ホ モ トピ ー 可 換 で あ る.

す な わ ち,h0に るGベ

ク トル 束 写 像 を そ れ ぞ れφ,φ0,φ1と

の 図 式 に お い て,右

形 はGベ

題5.14に

変Gauss

対 応 す るGベ

ク トル 束 写 像u0=i(k0)*φ0と,h1に対

ク トル 束 写 像u1=i(k1)*φ1と

はGベ

応す

ク トル 束 写 像 と し て ホ モ トー

プ で あ る.(終)

  5.2  同 変コボ ル デ ィズ ム 論   5.2.1  Gを れ て い て,し Xを

コン パ ク ト群 とす る.G空 か もx0がG作

基 点 を も つG空

間Xに

お い て,1点x0が

用 の 不 動 点 で あ る と き,(X,x0)ま

間 と い い,x0を

基 点 と い う.閉

区間I=[0,1]上

指定 さ たは 単に に 自

明 なG作

用 を 与 え る と き,任

意 の 基 点 を も つG空

間(X,x0)に

対 し て,

約錐 CX=X×I/x0×I∪X×0 お よ び,約

懸垂 SX=X×I/x0×I∪X×I

は,対

角 線 作 用 に よ っ て,基

  基 点 を もつG空 f(x0)=y0み ft:X→Yは

点 を もつG空間

間(X,x0),(Y,y0)に た す と き,fを

各tに

に な る. 対 し て,G写

基 点 を 保 つG写

つ い て 基 点 を 保 つG写

像f:X→Yが

像 と い う.ま

た,ホ

像 で あ る と き,基

モ ト ピー

点 を 保 つGホ

モ ト ピー と呼 ば れ る.   基 点 を 保 つG写

像f:X→Yに

対 し て,約

写像柱

Z(f)=X×I∪Y/∼, (x,1)∼f(x),  お よび,約

(x0,t)∼y0

写像 錐 C(f)=X×I∪Y/∼, (x,1)∼f(x), 

は 基 点 を も つG空

間 に な り,fの

(x0,t)∼y0, (x,0)∼y0 約 懸垂

Sf:SX→SY は 基 点 を 保 つG写

像 に な る.以

の 表 わ す 点 を〈x,t〉

後,CX,SX,Z(f),C(f)に

で 示 し,Z(f),C(f)に

お い て,yの

お い て,(x,t) 表 わ す 点 を〈y〉

で 示 す こ と に し よ う.   基 点 を 保 つG写

像f:X→Yに

た だ し,a(f)(y)=〈y〉,j〈y,t〉=〈y,1-t〉 み る と き,b(f):C(f)→SXは

対 し て 次 の 図 式 を 考え る.

で あ り,SX=C(f)/a(f)(Y)と 射 影 で あ る.ま

た,C(a(f))が

位相

和CX

+CYか

ら,〈x,1〉 ∼ 〈f(x),1〉

せ る こ と,お

な る 関 係 に よ っ て 定 義 され る 等 化 空 間 とみ な

よ びSX=CX/Xと

み な せ る こ と に よ っ て, r:C(a(f))→SX

は,r(CY)=*か と き(1)は

つr￨CX:CX→SXは

射 影 で あ る と し て 定 義 さ れ る.こ

可 換 で あ り,(2)に

お い て,基

点 を 保 つGホ

の

モ トピー

hs:C(a(f))→SY を hs〈x,t〉=〈f(x),(1-s)t〉 hs〈y,t〉=〈y,1-st〉 に よ っ て 定 義 す れ ば,h0=Sf°r,h1=j°b(a(f))が   基 点 を もつG空 Gホ

間X,Yに

対 して,Xか

成 り立 つ. らYへ

の 基 点 を 保 つG写像

の

モ トピー類 全体 の集 合 を [X,Y]G0

で 表 わ す.基 す.定

点 を 保 つG写像f:X→YのGホ

値 写 像c:X→YのGホ

モ ト ピ ー 類[c]を,集

と り,[c]=0と

表 わ す.

  こ の と き,次

の 命 題 が 成 り立 つ.

  命 題5.17 

f:X→Yを

モ トピ ー 類 を[f]で

基 点 を 保 つG写

像,Vを

合[X,Y]G0の

基 点 を もつG空

表わ 基点に

間 と

すれば   (a) 

次 の 列 は 基 点 を 保 つ 写 像 の 列 と し て 完 全 列 で あ る.

 (b)  可換 図式

に お い て,α 在 して

∈[V,Y]G0がa(f)*α=0を

み た す と き,β

∈[SV,SX]G0が

存

(Sf)*β=S*α が 成 り立 つ.◇   注 意   良 く知 ら れ て い る よ うに,[SX,V]G0は [c]=0は

単 位 元 と な る.こ

自 然 な 方 法 で 群 の 構 造 を も ち,

の とき

(Sf)*:[SY,V]G0→[SX,V]G0 f*:[SV;X]G0→[SV,Y]G0 は 準 同 型 写 像 と な る.さ

ら に[S(SX),V]G0は

  5.2.2  f:X→Yを(基 G空

間V,(基

任 意 のGホ

点 を 保 つ)G写

点 を 保 つ)任

意 のG写

モ ト ピ ーgt:X→Vに

(基 点 を 保 つ)Gホ

ア ー ベ ル 群 の 構 造 を も つ. 点 を も つ)任 よ び(基

対 し て,g0=h°fが

モ ト ピ ーht:Y→Vが

が 成 り立 つ と す る.こ

像 と す る.(基

像h:Y→V,お

意 の

点 を 保 つ)

成 り立 つ な ら ば,

存 在 し て,

の と き,f:X→Yを(基

点 を 保 つ)Gコ

フ ァイバ ー

写 像 と い う.   命 題5.18 

基 点 を 保 つG写

像f:X→Yに

対 し て,G写

像

a(f):Y→C(f) は 基 点 を 保 つGコ

フ ァ イ バ ー 写 像 で あ る.

  証 明   h:C(f)→Vを

基 点 を 保 つG写

ホ モ ト ピ ー で,g0=h°a(f)が

像,gt:Y→Vを

成 り立 つ も の とす る.こ

基 点 を 保 つG の と き 基 点 を 保 つGホ

モ ト ピ ーht:C(f)→Vを

に よ っ て 定 義 す れ ば,h0=h,    系5.19 

基 点 を 保 つG写

が 成 り立 つ.(終) 像f:X→Yに r:C(a(f))→SX

は 基 点 を 保 つGホ

モ ト ピ ー 同 値 写 像 で あ る.◇

対 し て,G写

像

  命 題5.18の

証 明 と 同 様 に し て,次

  命 題5.20 

基 点 を 保 つGコ

フ ァ イ バ ー 写 像f:X→Yに

包 含 写 像u:CX→C(f)は   系5.21 

の 命 題 が 成 り立 つ.

基 点 を 保 つGコ

基 点 を 保 つGコ

対 し て,自

然 な

フ ァ イ バ ー 写 像 で あ る.◇

フ ァ イ バ ー 写 像f:X→Yに

対 し て,射

影

p:C(f)→C(f)/u(CX)=Y/f(X) は 基 点 を 保 つGホ

モ ト ピ ー 同 値 写 像 で あ る.◇

  基 点 を 保 つG写

像f:X→Yに

対 して,自

然 なG写

像

f:Z(f)→Z(1Y) を f<x,t>=,  に よ っ て 定 義 す る.こ   定 理5.22 

の とき

f:X→Yが

要 十 分 条 件 は,基

f=

基 点 を 保 つGコ

点 を 保 つG写

フ ァ イバ ー写 像 で あ るた め の 必

像q:Z(1Y)→Z(f)で,q°f=1と

な るも

の が 存 在 す る こ と で あ る.   証 明   基 点 を 保 つG写 在 し た とす る.基 gt:X→Vに

像q:Z(1Y)→Z(f)で,q°f=1と

点 を 保 つG写

な る もの が存

像h:Y→Vと,基

対 し て,g0=h°fが

点 を 保 つGホ

モ トピ ー

成 り立 つ と き,k:Z(f)→Vを k<x,t>=g1-t(x) k=h(y)

に よ っ て 定 義 す る.基

点 を 保 つGホ

モ ト ピ ーht:Y→Vを

ht(y)=(k°q) に よ っ て 定 義 す れ ば,h0=h, 

が 成 り立 つ.逆

の証 明は

省 略 す る.(終)   注 意   定 理5.22に で あ れ ば,fは   命 題5.23 

よ っ て,f:X→Yが

基 点 を 保 つGコ

フ ァ イ バ ー写 像

必 然 的 に 単 射 と な る. f:X→Yを

基 点 を 保 つGコ

フ ァ イ バ ー 写 像,Wを

つG空

間 と す る.(ⅰ)Wが

X,Yが

コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ れ ば,写

基点を も

コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る か,(ⅱ) 像

f∧1:X∧W→Y∧W は 基 点 を 保 つGコ

フ ァ イ バ ー 写 像 で あ る.

  証 明   自然 なG写

像i:Z(f∧1)→Z(f)∧Wが,条

(ⅱ)が

成 り立 つ と き 同 相 写 像 と な る.基

→Yに

対 し て,定

考 える.図

理5.22に

件(ⅰ)ま

点 を 保 つGコ

よ っ て 存 在 す るG写

た は

フ ァ イ バ ー 写 像f:X 像q:Z(1Y)→Z(f)を

式

に お い て,(3)は

が 成 り立 つ.故

可 換 で あ る.(4)を

に 定 理5.22に

可 換 に す るG写

よ っ てf∧1は

像 をq′

基 点 を 保 つGコ

とす れ ば,

フ ァ イバ ー

写 像 で あ る こ と が 分 か る.(終)   5.2.3  5.1節 わ ち,Gを

で 構 成 し た ユニ タ リ同 変Thomス

コ ン パ ク ト リ イ 群 と し,Thom空

ペ ク ト ラ ム を 考 え る.す

間Mn(G)お

な

よび 基 点 を 保 つG

写像

(k∈KA)の

組 に つ い て 考 え る.

  基 点 を も つG空

間 と基 点 を 保 つG写

わ す.X,Y∈T0(G),k∈KAに

像 の 作 る カ テ ゴ リ ーをT0(G)で

表

対 して

と定 義す る.基 点 を もつ 集 合 と基 点 を保 つ 写 像 の カテ ゴ リーを Σ0で 表 わ す と き,

は,第

一 成 分 に つ い て 反 変,第

二 成 分 に つ い て 共 変 な フ ァ ン ク タ ー で あ る.

l∈KA,[f]∈u2nG(X;Y)に

の 表 わ すGホ

対 し て,合

成写像

モ トピ ー 類 をe(l)[f]∈u2nG(k+l)(X;Y)で

表 わ す.こ

の と

き,

は,二

つ の フ ァ ン ク タ ー の 間 の 自 然 変 換 で あ り,補 題5.13に

よ って次 の 図 式

は 可 換 に な る.

  さてGの

表 現 空 間V(k)が

自明 成 分 を含 む とき(す な わ ち不 動 点 集 合V(k)G

が 一 次 元 以上 の部 分 空 間で あ る と き),そ の 自明成 分 を 用 い て,u2nG(k)(X;Y) に アー ベ ル群 の構 造 が 定 ま り,

は 準 同 型 写像 に な る.そ こで

と定 義 す れ ば,U2nG(X;Y)は カ テ ゴ リー をAで

ー ベ ル 群 と準 同 型 写 像 の

表わす とき

は 第 一 成 分 に 関 し て 反 変,第   X,X′,Y,Y′

ア ー ベ ル 群 で あ る.ア

二 成 分 に 関 し て 共 変 な フ ァ ン ク タ ー と な る.

を 基 点 を もつG空

を,[f]∈u2rG(k)(X;Y),[f′]∈u2sG(k′)(X′;Y′)に

間 とす る.k,k′

∈KAに

対 して ク ロス積

対 し て,合

成 写 像

のGホ

モ ト ピ ー 類[f]×[f′]を

補 題5.10,(5.11),補

従 っ て,帰

題5.13に

対 応 させ る こ と に よ っ て 定 義 す る.補 よ っ て,次

題5.8,

の 図 式 は 可 換 に な る.

納 的 極 限 を 考 え る こ とに よ っ て,ク

ロス積

が 定 義 で き る.   5.2.4 

次 に,X,Y∈T0(G),k,l∈KAに

を,[f]∈u2nG(k)(X;Y)に

のGホ

対 し て,合

対 し て,自

成 写像

モ ト ピ ー 類 を 対 応 さ せ る こ と に よ っ て 定 義 す る.同

を,[f]∈u2nG(k)(X;V(l)c∧Y)に

然変 換

対 し て,合

成写像

様 に,自

然 変換

のGホ

モ トピ ー 類 を 対 応 さ せ る こ とに よ っ て 定 義 す る.先

と 同 様 に,σ*(l),σ*(l)は

の ク ロス積 の 場 合

帰 納 的 系 と 可 換 で あ る こ とが 分 か り,従

っ て 自然

変換

が 定 義 で き る.帰

納 的 極 限U2nG(X;Y)の

定 義 を 見 れ ば,次

の 命 題 の 成 り立

つ こ とが 分 か る.   命 題5.24 

X,Yを

基 点 を も つG空

間 とす る.任

意 のl∈KAに

対 し て,

自然変 換

は,共   Vを

に 同 型 写 像 で あ る.◇ 有 限 次 元 複 素Gベ

在 し て,VはV(l)と

ク トル 空 間 とす る.こ

の と きl∈KAが

同 型 に な る.i:V→V(l)を

た だ一 つ 存

同 型 写 像 と し て,合

成

写像

を 考 え る.σ*(V),σ*(V)は,補

題5.3に

よ っ て,同

の 選 び 方 に 依 ら な い こ とが 分 か る.σ*(V),σ*(V)をVに

型 写 像i:V→V(l) 関 す る懸 垂 同型 写

像 とい う.   C1に

自 明 なG作

用 を 与 え て お け ば,S(SX)=(C1)c∧Xと

み な す こ とが

で き る.そ

こで,

と 定 義 し,

を恒 等 写像 とす る.次 に,同 型 写 像

を,合

成

に よ って定 義す る.こ の 同型 写 像

を 懸垂 同型 写 像 とい う,基 点 を 保 つG写

像f:X→X′

に対 して,σ*の 定 義

に よ って,次 の 図 式 は 可換 で あ る.

 (5.25)

  Y∈T0(G)を

固 定 し て お く.基

命 題5.17,系5.19に

よ っ て,次

点 を 保 つG写

像f:X→X′

に 対 し て,

の 列 は 完 全 列 で あ る.

そ こで,

を,合

成

に よ っ て 定 義 す れ ば,可

換 図 式(5.25)に

よ っ て,次

の 完 全 列 を 得 る.

 (5.26)

  さ て,包 よ う.こ

含 写 像i:A→Xが

基 点 を 保 つGコ

の と き 系5.21に

よ っ て,射

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 で あ る.そ

を,合

フ ァイバ ー 写像 で あ る と し

影p′:C(i)→X/Aは

基 点 を 保 つG

こ で 自然 変 換

成

に よ っ て 定 義 す れ ば,p:X→X/Aを っ て,次

射 影 と す る と き,完

全 列(5.26)に

よ

の 完 全 列 を 得 る.

 (5.27)

  5.2.5 

Y∈T0(G)を

固 定 し た と き,こ

れ ま で の 考 察 に よ っ て,UnG(-;Y)

は 一 つ の 同 変 コ ホ モ ロ ジ ー 論 を 作 る こ と が 分 か った.こ ユ ニ タ リ同 変 コ ボ ル デ ィズ ム 論 と い い,と UnG(-)と

書 き,ユ

くにY=S0(0次

係 数 を もつ

元 球 面)の

と き,

ニ タ リ 同 変 コ ボ ル デ ィ ズ ム 論 と い う.

  ク ロ ス積 の 存 在 に よ っ て,  な る.す

れ をYに

な わ ちU*G(-)は

は,U*G(S0)上

の 多元 環 に

乗 法 的 コ ホ モ ロ ジ ー 論 に な る.

  注 意   同 変 コ ホ モ ロ ジ ー 論 の 公 理 論 的 取 り扱 い に つ い て は,   T. tom

Dieck:

Lokalisierung aquivarianter Math.

Kohomologie

Theorien,

Zeit. 121(1971),253-262.

を 参 照 せ よ.   G空

間Xと

と書 く.X+は*を

一 点 か ら 成 るG空 基 点 とす るG空

間{*}と

の 位 相 和X∪{*}を

間 と み て,T0(G)に

属 す る.そ

単 にX+ こで

U nG(X)=UnG(X+) と表 わ す こ とに す る.さ

らに,包

含 写 像i:A→XがGコ

フ ァ イバ ー写 像

で あ る と き, UnG(X,A)=UnG(X/A) と表 わ す こ とに す る.こ

の と き 完 全 列(5.27)に

よ っ て,次

の 完 全 列 を 得 る.

  (5 27′)

  注 意   Gが

単 位 群,す

U*(X;Y)と

書 く.

  注 意   U*G(X;Y)に

な わ ちG={e}の

お い て,Yを

場 合 には,U*G(X;Y)を

固 定 す る こ と に よ っ て,ユ

ボ ル デ ィ ズ ム 論 を 定 義 し た の で あ る が,Xを

単に

ニ タ リ同 変 コ

固 定 す る こ とに よ っ て,同

変 ホモ

ロ ジ ー 論 を 定 義 す る こ とが で き る.

  5.3  Thom類

とThom同

型 写像

  5.3.1  乗 法 的 コ ホ モ ロ ジ ー 論 で あ る ユ ニ タ リ同 変 コ ボ ル デ ィズ ム 論U*G(-) に つ い て,さ   Vを

ら に 考 察 を 進 め よ う.

有 限 次 元 複 素Gベ

在 し て,V(k)がVと →V(k)cを

ク トル 空 間 と す る.こ

の と きk∈KAが

同 型 に な る.i:V→V(k)を

同 型 写 像iか

一 意に存

同 型 写 像 と し,i0:Vc

ら誘 導 さ れ る基 点 を 保 つG同

相 写 像 と す る.

i(k):V(k)c→M‖k‖(G) を 基 点 を 保 つG写 像 とす る.合 そ う.こ

成i(k)°i0に

の と き,懸

は,t(V)と

像 で,同

変Thomス

ペ ク ト ラ ム を 定 義 す る際 に 現 わ れ る 写

よ っ て 表 わ さ れ るU2￨V￨G(Vc)の

元 をt(V)で

表 わ

垂 同型 写 像

の ク ロ ス積 に よ っ て 与 え られ る こ と が 分 か る.す

な わ ち,

 (5.28)

が 成 り立 つ.   ξ=(π:E→X)を

コ ン パ ク トG空

間X上

のn次

元 複 素Gベ

ク トル 束

とす る.こ

の と き 定 理5.16に

よ っ て,Gベ

ク トル 束 写 像

u:E→En(G) のGホ

モ ト ピ ー 類 が た だ 一 つ 定 ま る.Gベ

に つ い て の 基 点 を 保 つG写

ク トル 束 写 像uは,Thom空

間

像 M(u):M(ξ)→Mn(G)

のGホ

モ ト ピ ー 類 を 定 め,従

をGベ

ク トル 束 ξ の ユ ニ タ リ同 変 コ ボ ル デ ィズ ム論 に お

う.s:X+→M(ξ)を

をGベ

っ てU2nG(M(ξ))の

零 切 断 か ら 誘 導 され るG写

ク トル 束 ξ のEuler類

  Thom類

元t(ξ)を

定 め る.t(ξ)

け るThom類

とい

像 とす る と き

と い う.

に つ い て 次 の 基 本 的 性 質 が 成 り立 つ.

  定 理5.29   (a)  自然 性.h:η るThom空

→ ξ をGベ

ク トル 束 写 像 と し,hか

間 の 間 の 基 点 を 保 つG写

ら 自然に 誘導 され

像 をM(h):M(η)→M(ξ)と

す る と

き, t(η)=M(h)*t(ξ) が 成 り立 つ.   (b)  乗 法 性.自

然 な 同一 視

の下 で

が 成 り立 つ.   (c) 

正 規 性.有

み た と き,そ

限 次 元Gベ

のThom類

ク トル 空 間Vを

一 点 上 のGベ

ク トル 束 と

は t(V)∈U2￨V￨G(Vc)

で あ る.   証 明   性 質(c)は,t(V)の u:E(ξ)→En(G)をGベ もGベ M(u°h)は

定 義 お よ びThom類

の 定 義 か ら従 う.次

ク トル 束 写 像 と す れ ば,u°h:E(η)→En(G)

ク トル 束 写 像 で あ り,M(u°h)=M(u)°M(h)が そ れ ぞ れt(ξ),t(η)を

表 わす ので

成 り立 っ.M(u),

に

t(η)=M(h)*t(ξ) が 成 り立 つ.最

後 に,u:E(ξ)→En(G),u′:E(ξ′)→En′(G)をGベ

トル 束 写 像 と し て,次

写 像M(an.n′)の

の 図 式 を 考 え る.

定 義 に よ り,M(u×u′)とM(an.n′)°(M(u)∧M(u′))と

は 基 点 を 保 つG写 を 表 わ し,後

ク

像 と し て ホ モ トー プ で あ る こ とが 分 か る.前

者 はt(ξ)×t(ξ′)を表

わ す.従

者 はt(ξ× ξ′)

って

が 成 り立 つ.(終)   5.3.2  ξ,η を コ ン パ ク トG空

間X上

の 複 素 ベ ク トル 束,

d:X→X×X を 対角線 写 像 と す る. が成り

立 つ の で,基

が 自 然 に 定 ま り, 

が 成 り立 つ.x∈U*G(M(η))に

て, 

像

対 し

を 対 応 させ る 準 同 型 写像 を

で 表 わ し,複 η を0次

点を保 つG写

素Gベ

元Gベ

ク トル 束

ξ に 対 す るThom準同

ク トル 束 と す れ ば,M(η)=X+が

型 写 像 と い う.と 成 り立 ち,Thom準

くに 同型

写像

を 得 る.   複 素Gベ

ク トル 束 に 対 す るThom準

同 型 写 像 に つ い て,次

の基 本 的 性 質

が 成 り立 つ.   定 理5.30   (a)  自 然 性.ξ,η η′を コ ン パ ク トG空

を コ ン パ ク トG空 間X′

上 の 複 素Gベ

間X上

の 複 素Gベ

ク ト ル 束,ξ′,

ク トル 束 とす る.Gベ

ク トル 束

写像 f:ξ

→ ξ′,  g:η

が 底 空間 の 間 の同 じ写 像f=g:X→X′

→ η′

を 誘導 す る とき,次 の 図 式 は 可 換 で

あ る.

  (b)  乗 法 性.ξ,ξ′,η を コ ン パ ク トG空 す る.こ

間X上

の 複 素Gベ

ク トル 束 と

の とき

が 成 り立 つ.す なわ ち,次 の 図式 は 可 換 で あ る.

  (c)  正 規 性.Xを

コ ン パ ク トG空

間 と し,ξ=(p2:V×X→X)を

間,Vを

自 明 なGベ

有 限 次 元 複 素Gベ ク トル 束 とす れ ば

が成 り立 つ.   証 明  Thom類

性 質(b)は

の 自然 性 と次 の図 式 の 可換 性 に よ り(a)が

次 の 図 式 の可 換 性 よ り従 う.

従 う.

クト ル 空

最 後 に,(5.28)お

よ びThom類

の 正 規 性 に よ っ て(c)が

  定 理5.31 

ξ,η を コ ン パ ク トG空

き,Thom準

同型 写 像

間X上

成 り立 つ.(終)

の 複 素Gベ

ク トル 束 と す る と

は 同 型 写 像 で あ る.   証 明   Xが Gベ 5.14に

コ ン パ ク トG空

ク トル 空 間VとG同 よ っ て,G同

間 で あ るか ら,定 変Gauss写

変Gauss写

理5.15に

よ っ て,有

像h:E(ξ)→Vが

像hに

対 応 す るGベ

限次元

存 在 す る.命 題 ク トル 束 写 像 を

φ:E(ξ)→En(V) と し,φが

誘 導 す る 底 空 間 の 間 のG写

と置 け ば,En(V)⊥

はBn(V)上

が 成 り立 つ.En(V)⊥

か らG写

像を

の 複 素Gベ

φ:X→Bn(V)とす

る.い

ま

ク トル 束 の 全 空 間 と な り,同 型

像 φ に よ って誘導 され るX上

の複 素Gベ

ク トル束 を ξ′とす れ ば,同 型

が 成 り立 つ.従

って,定

同 型 写 像 で あ る.故   5.3.3  Xを

球体 束 をそ れ ぞ れ

なわ ち

よ っ て,ψ(ξ′)°ψ(ξ),ψ(ξ)°ψ(ξ′)は 共 に

に ψ(ξ)は 同 型 写 像 で あ る.(終)

コ ン パ ク トG空

トル 束 とす る.ξ

と す る.す

理5.30に

にG不

間,ξ=(π:E→X)をX上

変 な エ ル ミ ー ト内 積 を 与え,ξ

の 複 素Gベ に 付 属 す る 球 面 束,

ク

と 置 き,π0=π￨S(ξ),π′=π￨D(ξ)と 間EのG不   G写

す る.こ

の と き,S(ξ),D(ξ)はG空

変 な コ ン パ ク ト部 分 空 間 で あ る. 像h:D(ξ)→M(ξ)を

に よって 定義 す れ ば,hは

基点 を保 つG同

を 誘 導す る.以 後,こ のG同

と み な す.包 (5.27)に

s:X→D(ξ)を

相 写 像 に よ って

含 写 像i:S(ξ)→D(ξ)はGコ

よ っ て,次

相 写像

フ ァ イ バー 写 像 で あ る か ら

の 完 全 列 を 得 る.

零 切 断 とす れ ば,sお

よ びπ′ は 共 にGホ

モ トピー 同 値 写

像 で あ り,

は互 い に他 の 逆 写像 で あ る.合 成

を 考 え る と,x∈U*G(X)に

対 して

が 成 り立 つ.こ

複 素Gベ

て,次

こにe(ξ)は

の 列 は 完 全 列 と な る.

ク トル 束 ξ のEuler類

で あ る.従

っ

 (5.32)

た だ し,π0*=ψ(ξ)-1° 完 全 列 を,n次

δ で あ り,ξ

元 複 素Gベ

同 型 写 像 μ*

  5.4.1 

に お い て,ボ

換 の 一 つ で あ るThom準

元 複 素Gベ

ク トル 束 とす る.こ

ク トル 束 ξ に 対 す るGysin完

  5.4  Thom準 第2章

をn次

全 列 と い う.

ル デ ィズ ム 群 か ら特 異 ホ モロ ジ ー 群 へ の 自 然 変

同型 写像

μ に つ い て 考 察 し た.こ

の 節 に お い て は,

ユ ニ タリ コ ボ ル デ ィズ ム 群 か ら特 異 コ ホ モ ロ ジ ー 群 へ の 自 然 変 換 の て,Thom準

の

一つ と し

同型 写 像 μ*:U*(-)→H*(-;Z)

を 定 義 し,そ

の 基 本 的 性 質 を 述 べ よ う.

  特 異 コ ホ モ ロ ジ ー 論 に お い て,n次

元 普 遍 複 素 ベ ク トル 束 のThom類

を

tn∈H2n(MU(n);Z) で 表 わ す.た

だ し,MU(n)=Mn({e})で

  元z∈U*(X)が,連

あ る.

続写像 f:Sk∧X→MU(n)

に よ っ て 代 表 さ れ て い る と し て,次

の 図 式 を 考 え よ う.

こ こに σ*は 懸 垂 同 型 写 像 とす る.こ

の とき元

(σ*)-kf*(tn)∈H*(X;Z) は,z∈U*(X)に

よ っ て 一 意 に 定 ま る こ と が 分 か る.そ

こ で,対

応

z=[f]→(σ*)-kf*(tn) に よ っ て,写 像 μ*:U*(X)→H*(X;Z) を 定 義 す る.こ

の と きU*(X)に

お け る和,積

の 定 義 に よ っ て,μ*は

環準同

型 写 像 で あ る こ と が 分 か る が,μ*は   命 題5.33 Thom準

さ ら に 次 の 性 質 を もつ.

同 型 写 像 μ*:U*(-)→H*(-;Z)は,

  (a) 

環 準 同 型 写 像 で あ る.

  (b) 

自然 変 換 で あ る(す

な わ ち,連

続 写 像 か ら 誘導 さ れ た 準 同 型 写 像 と 可

換 で あ る).   (c) 

懸 垂 準 同 型 写 像 と 可 換 で あ る.

  (d) t(ξ)∈U*(M(ξ))を ム 論 に お け るThom類 る ξのThom類

複 素 ベ ク トル 束

とす る と き,μ*(t(ξ))は,特

  定 理5.34 

異 コホ モ ロジ ー論 に お け

Xを

証 明 と 全 く 同 様 に し て,次

有 限CW複

体 と し,H*(X;Z)が

る.θ:H*(X;Z)→U*(X)を はU*加

を 誘 導 す る.こ

次数0の

の 定 理が 成 り立 つ. ね じれ を も た な い とす

準 同 型 写 像 と す る.も

し μ*°θ=id

群 と して の同 型 写像

こ に 

  注 意   定 理5.34の

と す る.◇ 証 明 に は, 

つ こ と を 使 用 し て い る.こ び 

ニ タ リコ ボ ル デ ィ ズ

で あ る.◇

  定 理2.8(Conner-Floyd)の

で あ れ ば,θ

ξ の,ユ

の 事 実 はMU(n)が2n-1連

Uk(pt)=0(k>0)が

成 り立

結 で あ るこ と,お

が 成 り立 つ こ とに よ っ て 証 明 で き る.

よ

Ⅵ  局所化 と束 化変換

  6.1  Thom空   6.1.1 

間 の 不動 点集 合

こ の 節 を 通 し て コ ン パ ク ト リ イ群Gを

お い て 導 入 し た よ うに,有

限 次 元 複 素Gベ I(G)={Vα,α

で,次

の 三 条 件 を み た す も の,す

一 つ 固 定 し て お く.5.1節

に

ク トル 空 間 の 集 合 ∈A}

な わ ち 既 約Gベ

ク トル 空 間 の 完 全 系 を 考 え

る.   (ⅰ)  各Vα

は 既 約 で あ る.

  (ⅱ)  Vα とVβ

が 複 素Gベ

ク トル 空 間 と し て同 型 に な る の は α=β

の と

き に 限 る.   (ⅲ)  任 意 の(有

限 次 元)既

約 複 素Gベ

ク トル 空 間 は,あ

るVα

と同 型 に

な る.   と くにVα0=C1上

のG作

用 は 自明 で あ る も の と し, A1=A-{α0}

と置 く.非

負 整 数 値 函 数k:A→Zで

も の の 全 体 をKAで   k∈KAに

表 わ す.KA1も

対 し て,有

有 限 個 のAの

元 を除 い て零 値 で あ る

同 様 に 定 義 す る.

限 次 元 複 素Gベ

ク トル 空 間V(k)を5.1節

に おけ る

よ うに

に よ っ て 定 義 す る.さ 間(G不

らにBn(V(k))に

変 と は 限 らな い)全

は 可 微 分G多

よ っ てV(k)のn次

体 の 作 るGrassmann多

様 体 と な っ て い る.

元複 素部 分 空

様 体 を 表 わ す.Bn(V(k))

 k∈KAに

対 して,非 負 整 数‖k‖ を

に よ っ て 定 義 す る.この は,閉

と きG多

様 体Bn(V(k))の

不 動 点 集 合Bn(V(k))G

集合

のm∈KA,‖m‖=nな て,Thom空

る も のに つ い て の 位 相 和 で あ る こ とが 分 か る.従

間Mn(V(k))のG作

で あ る.補 題5.3の

用 につ い て の 不 動 点 集 合Mn(V(k))Gは

証 明を 吟 味 すれ ば,自 然 な 同相 写 像

が 存 在 す る こ とが 分 か る.こ こにCk(α)は

自明なG作

用 を もつ もの とす る.

従 って基 点 を保 つ 自然 な 同 相 写像

が 存 在 す る.   単 位 群{e}に Bn({e})と

対 し て,MU(n)=Mn({e}),EU(n)=En({e}),BU(n)=

書 く と き,同

相 写 像fkに

よ っ て,基

点 を 保つ 自 然 な 同 相 写 像

が 誘 導 され る.   6.1.2 

Gベ

ク トル 束 写 像 ap .q:Ep(G)×Eq(G)→Ep+q(G)

お よ びThom空

間 の 間 の 基 点 を 保 つG写 M(ap

を,と

も に5.1節

像

.q):Mp(G)∧Mq(G)→Mp+q(G)

で 定 義 した 写 像 と し, ap.q:Bp(G)×Bq(G)→Bp+q(G)

を,Gベ

っ

ク トル 束 写 像ap.qか

ら誘 導 され た 底 空 間 の間 のG写像

とす る.

  この とき,先 に 定 義 した同 相 写像Fに

つ い て,次 の図 式 が 可換 に な る こ と

が 分か る.

 (6.1)

こ こ に. 

で あ り,写 像M(a)∧aは

成 分 ご と に,合 成

に よっ て定 義 され る写 像 を 意味 す る.   次 に,包 含 写 像 i1:Bn(Ck)→Bn+1(Ck+1)

を, 

に よ っ て 定 義 す れ ば,次

の図 式 は 可 換 に な る.

 (6.2)

こ こ に,am.n(k,l)は,am.nを BU(m+n)を   従 っ て,い BUで

定 義 す る際 に 現 わ れ る 写像

定 義 す る際 に 現 わ れ る 包 含 写 像 で あ る(5.1節 まBn(Ck)の,i1,i*に

表 わ せ ば,可

よ る,n,kに

換 図 式(5.5),(6.2)に

で あ り,i*は を 参 照 せ よ) .

つ い て の帰 納 的 極 限 を

よ って連 続 写 像

a:BU×BU→BU が 誘 導 され る.aは   さ て,m∈KA1に とみ な し得 るが, 

ベ ク トル 束 のWhitney和 対 し て, 

に よ っ て 誘 導 さ れ る 写 像 で あ る. は 自 然 に 

の 部分 空 間 と して の 和集 合

の 部分空間

を 考 え よ う.こ の と き連 続 写 像

の 制限 と して,連 続 写 像a:B×B→Bが 同 相 写像Fと

  6.1.3  Xを

基 点 を も っ た コ ン パ ク トG空

間 と し,XGを

に よ っ て,U*(S0)上

を 考 え よ う.た

だ し,degυα=2・￨Vα￨と

す る.こ

の とき

の 次 数 つ き多 元 環 に な る.一 方U*G(X)もU*(S0)上

き多 元環 であ るが,U*(S0)上

よる

の 次 数 つ き 多 元 環 に な る.

の 次 数 つ き 多項 式環

の次 数 つ き 多元 環 の間 の 次数0の

を定 義 しよ う.  連 続 写 像

分 へ の 射 影 と す る.ホ

モ トピー 類

に 対 して,不 動 点 集 合 の上 に制 限 した 写像 の ホモ トピー類 を

とす る.こ

そ の不 動 点 集 合

ロ ス 積 とa:B×B→Bに

  整 数 環Z上

をm(∈KA)成

に 定 義 した

同 様 な 可 換 図 式 が 成 り立 つ.

の と きU*(XG;B+)は,ク

Pontrjagin積

はU*(S0)上

た,先

包含 写 像 の 合成 に よ って,連 続写 像

が 誘 導 さ れ(6.1)と

とす る.こ

誘導 され る.ま

の と き,m∈KA,‖m‖=n+‖k‖

に対 して

の次数つ 準 同型 写 像

は,U2m(α0)-2k(α0)(XG;B+)の に よ っ て,高

元 を 表 わ す.Xの

々 有 限 個 のm∈KAを

コ ン パ ク ト 性 とF′

除 い て,[π(m)°F′

°fG]=0が

の定 義

成 り立 つ.

従 っ て,

は,  よ って,対

の 次 数2nの

元 を 表 わ す.対

φ(k)[f]に

応

を 定 義 す る.F′

に 対 し て(6.1)と

同 様 の 可 換 図 式 が 成 り立 つ こ と か ら,対

φ(k)は,[V(k)c∧X,Mn+‖k‖(G)]G0のk∈KAに で あ る.す

応[f]→

な わ ち,図

応

つ い て の帰納 的 系 と 可 換

式

が 可 換 で あ る.故 に,対 応 φ(k)に よ って準 同 型 写像

が 誘 導 され る.奇 数 次数 に つ い ては,Xの

代 りに 懸 垂SXを

考 え る ことに よ

って,同 様 に φ が定 義 で き る.以 上 で,次 数 つ き加 群 と して の次 数0の

準同

型写像

が 定 義 で き た わ け で あ るが,積

の 定 義 を 見 れ ば,φ

がU*(S0)上

の多 元 環 と し

て の 準 同 型 写 像 で あ る こ とが 分 か る.   k∈KA1に はU*G(S0)上

対 し て,V(k)のEuler類e(V(k))∈U*G(S0)を の 多 元 環 で あ り, 

と み る こ とが で き る.こ

の と き,任

考 え る.U*G(X) はA(G)上

意 のx∈U*G(X)に

の多元環

対 して

 (6.3)

が 成 り立 つ.(6.3)は で き る.

φ の 定 義,と

く に 写 像F′

の性 質 に よ って簡 単 に証 明

  6.2  局   6.2.1 

所

化

次 数 つ き 環U*G(S0)の

部 分 集 合S=SGを

SG={e(V(k))￨k∈KA1} に よ っ て 定 義 す る.e(V(k+l))=e(V(k))・e(V(l))が 積 に 関 し て 閉 じ た 集 合 で あ り,さ   基 点 を も っ たG空 環 で あ る が,SGに

間Xに

らに1∈SGが

成 り立 つ.

対 し て,U*G(X)はU*G(S0)上

よ る 局 所 化 をS-1U*G(X)で

つ き 環S-1U*G(S0)上

成 り立 つ の で,SGは

の 次数 つ き多 元

表 わ せ ば,S-1U*G(X)は

の 次 数 つ き 多 元 環 と な る.SGに

次数

よ る局 所 化S-1U*G(X)

の 定 義 を 述 べ て お こ う.   直 積 集 合U*G(X)×SGに

次 の 関 係 を 入 れ る. (x,e(V(k)))∼(x′,e(V(k′)))

で あ る と は,あ

る 元l∈KA1が

存 在 し て,

e(V(k+l))・x′=e(V(k′+l))・x が 成 り立 つ こ と で あ る とす る.こ 同 値 類 をe(V(k))-1・xで ば,通

の 関 係 は 同 値 関 係 で あ る.(x,e(V(k)))の

表 わ す.同

常 の 方 法 に よ っ て,和

値 類 全 体 の 集 合 をS-1U*G(X)で

表わせ

と積 が 定 義 さ れ,

に よ っ て 次 数 を 定 義 す る と き,S-1U*G(X)はS-1U*G(S0)上

の次 数 つ き多 元環

と な る こ とが 分 か る.   局 所 化 は 完 全 列 を 保 つ フ ァ ン ク タ ー で あ る か ら,S-1U*G(-)はT0(G)上 の 同 変 コ ホ モ ロ ジ ー 論 で あ る.   x∈U*G(X)に

対 し て,(x,1)∈U*G(X)×SGが

る こ と に よ っ て,U*G(S0)上

表 わ す 同値 類 を 対 応 さ せ

の 多 元 環 と して の 準 同 型 写 像

が 定 義 で き る.   注 意   局 所 化 の 一般   N.

Bourbaki:

論 に つ い て は

Algebre

commutative,

chap.

1,2,

Hermann,

1961

を 参 照 せ よ.   6.2.2 

基 点 を も った コ ン パ ク トG空

間Xに

対 して,6.1節

で 定 義 した準

同 型 写像

を 考 え よ う.写 像

を

に よ っ て 定 義 す れ ば,(6.3)に

よ っ て,Φ ′は 局 所 化S-1U*G(X)を

の 同 値 関 係 と 矛 盾 し な い こ と が 分 か り,従

定 義 す る際

って 多 元環 と して の準 同型 写像

を 誘 導 す る.   定 理6.4(T. X上

のG作

tom

Dieck) 

基 点 を も っ た コ ン パ ク トG空

間Xに

対 し て,

用 が 自明 で あ れ ば

は 同 型 写 像 で あ る.   証 明  Φ の 逆 写 像 Ψ を 構 成 し よ う.z∈Ut(X;B+)を t=2nと

仮 定 し よ う.こ

の と きzは,あ

f:S2γ

る連 続 写像

∧X→MU(n+r)∧B+

の ホ モ ト ピ ー 類 に よ っ て 代 表 さ れ る.Xが

コ ン パ ク トで あ る か ら,空

定 義 を 振 り返 っ て み る と き,m(α0)=n+rを fの

任 意 に 与 え る.

み た す 元m∈KAが

間Bの

存 在 し て,

像が MU(n+r)∧BU+(m)

に 含 まれ る.一 M‖m‖(G)Gの

方MU(n+r)∧BU+(m)は,自 部 分 空 間 と み る こ とが でき る.従 f:S2γ

は,基

点 を 保 つG写

∧X→MU(n+r)∧BU+(m)

像 f′:S2γ ∧X→M‖m‖(G)

然 な 同 相 写 像f(k)を っ て,連

続 写像

通 し て,

を 定 め る.G写

像f′

は,m∈KAの

選 び 方,お

B+)だ

よ び 連 続 写 像fの

け に 依 っ て 定 ま る こ とが 分 か る.そ

と置 く.t=2n-1の 同様 に

は,[f′]∈U2‖m‖-2rG(X)を

と き に は,Xの

Ψ が 定 義 で き る.こ

が 

表 わ す.こ

のとき

選 び 方 に 依 ら ず,z∈U2n(X; こで

代 りに 懸 垂SXを

の よ うに し て,準

考 え る こ とに よ っ て,

同型 写像

の形 の 元 に対 して定 義 され た わけ で あ るが,次 に

 (6.5)

を み た す よ うに,Ψ

を 

  さ て,準

φ の 定 義 を 振 り返 っ て み れ ば,連

同 型 写像

上 に 拡 張 す る.

f:S2γ に 対 す るG写

続 写像

∧X→MU(n+r)∧BU+(m)

像 f′:S2γ ∧X→M‖m‖(G)

に 対 し て,

が 成 り立 ち,従

って

が 成 り立 つ.故

に(6.3),(6.5)に

 逆に

ΨΦ=idを

よ って ΦΨ=idが

示 す に は,(6.3),(6.5)に

Ψ φ=λ を 示 せ ば 良 い.x∈U*G(X)が,G写

成 り立 つ.

よ っ て,Ψ 像

f:V(k)c∧X→Mn(G),k∈KA に よ っ て 代 表 さ れ て い る も の と し よ う.こ

の と き φ(x)は,

Φλ=λ す な わ ち

に 等 し い.こ

お よび,図

こ で,次

の可 換 図 式

式

を 考 え よ う.た

だ し,i(m),p(m)は

自然 な 包 含 写 像 と射 影 を 表 わ す.Ψ

義 に よ って,

が 成 り立 ち,従

って

が 成 り立 つ.い

ま

と 置 く.こ

の と き, 

が 成 り 立 つ.さ

て,合

で あ り,Ψ(φ(x))=e(V1)-1・[f°(i∧1)] 成

の表 わすU*G(X)の

元 と,合 成

の表 わすU*G(X)の

元 とは 同 じであ るが,後 者 は,合 成

の定

と,基

点 を 保 っ てGホ

が 成 り立 つ.す   6.2.3 

モ トー プ で あ っ て,e(V1)・[f]を

表 わ し て い る.従

って

な わ ち Ψφ=λ が 証 明 され た.(終)

YをG空

間 とす る.Yの

に 対 し て,k∈KA1お

よびG写

任 意 のG不

変 な コ ン パ ク ト部 分 空 間B

像

u:B→V(k)-{0} が 存 在 す る と き,YはSGに

  命 題6.6 

YをG空

吸 収 され る と い う.

間 とす る.Yが

ハ ウス ドル フ空 間 で あれ ば,YがSG

に 吸収 され るた め の 必 要十 分 条 件 は,Yの

各 点 の 軌 道 がSGに

吸収 され る こ と

で あ る.   証 明   定 義 か ら 必 要 条 件 で あ る こ と は 明 ら か で あ る.い がSGに

吸 収 さ れ る と 仮 定 し よ う.BをYのG不

と す る.仮

定 に よ り,Bの

各 点xに

まYの

各点の軌道

変 な コ ン パ ク ト部 分 空 間

対 し て,kx∈KA1とG写

像

ux:G(x)→V(kx)-{0} が 存 在 す る.定

理1.9(Tietze-Gleason)に

よ っ て,uxの拡張

で あ るG写

像

υx:B→V(kx),x∈B が 存 在 す る.こ

の とき Ux=υ-1x(V(kx)-{0})

はBに

お け るxの

の 点x1,…,xnを

開 近 傍 で あ る.Bが 選 んで

  (1)  とで き る.そ

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

B=Ux1∪ こ で,G写

を,u(x)=(υx1(x),…,υxn(x))に

… ∪Uxn

像

よ っ て 定 義 す る.こ k=kx1+…+kxn∈KA1

の と き

限 個 のB

で あ り,(1)に

よ って u(B)⊂V(k)-{0}

が 成 り立 つ.(終)   命 題6.7  はSGに

XをG空

間 とす る.Xが

  証 明   命 題6.6に

よ っ てX-XGの

証 明 す れ ば 良 い.点x∈Xの 空 間 と し てG/Gxと つ.従

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ れ ば,X-XG

吸 収 され る. 各 点 の 軌 道 がSGに

等 方 部 分 群 をGxと

同 相 で あ る.さ

ら に 

っ て,X-XGの

各 点 の 軌 道 がSGに

任 意 の 閉 部 分群H 

に 対 し て,G空

を 示 せ ば 十 分 で あ る.系1.20に

吸 収 され る こ と を

す れ ば,軌

道G(x)はG

で あ れ ば 

が 成 り立

吸 収 さ れ る こ とを 示 す に は,Gの 間G/HがSGに

よ っ て,有

吸 収 され る こ と

限 次 元Gベ

ク ト ル 空 間Vと

G-embedding h:G/H→V が 存 在 す る.Vは

複 素Gベ

と 非 負 整 数nが

一 意 に 存 在 し て,同

が 成 り立 つ.た し,G写

ク トル 空 間 で あ る と し て 良 い.こ

だ しCn上

のG作

の と き,k∈KA

1

型

用 は 自 明 とす る.p:V→V(k)を

射影 と

像 u:G/H→V(k)

をu=p°hに

よ っ て 定 義 す る.あ

と仮 定 す れ ば,h(x)はVの 点xはG空 Hと

間G/Hの

共 役 で あ り, 

で あ る.従

るx∈G/Hに

対 し てu(x)=0が

不 動 点 で あ る.hが 不 動 点 と な る.し

単 射G写

か る にG/Hの

で あ る か ら,G/Hは

成 り立 つ

像 で あ る か ら,

各 点 の 等方 部 分 群 は

不 動 点 を も た な い .こ

れ は 矛盾

って u(G/H)⊂V(k)-{0},k∈KA1

が 成 り立 つ.(終)   定 理6.8 

Xを

基 点x0を

ル フ空 間 で,XG={x0}で

も ったG空 あれ ば

間 とす る.Xが

コ ン パ ク トハ ウ ス ド

S-1U*G(X)=0 が 成 り立 つ.   証 明   任 意 の 元z∈U*G(X)に

対 し て,l∈KA1が

存 在 して,

e(V(l))・z=0 が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.元zを

表 わ すG写

と す る.V(k)×(X-x0)はV(k)c∧XのG不 V(k)×(X-x0)に

像を

変 な 開 部 分 空 間 で あ る が,

一 点 を つ け 加 え て コ ン パ ク ト化 したG空

間 がV(k)c∧X

で あ る こ とに 注 意 し よ う. p2:V(k)×(X-x0)→X-x0 を 射 影 と す る.一

方,Bn(G)を

零 切 断 に よ ってMn(G)のG不

変 な閉 部 分

空 間 と見 れ ば, K=p2(f-1(Bn(G))) は,X-x0に

含 まれ るG不

  (2) 

変 な コ ン パ ク ト部 分 空 間 で あ る.こ

す べ て の 

お よ び υ∈V(k)cに

の とき

対 して,

が 成 り立 つ. さ て,XG={x0}な はSGに

る仮 定 か ら,命

吸 収 され る.す

題6.7に

よ っ て,コ

な わ ち,l∈KA1とG写

ン パ ク トG空

間K

像

u:K→V(l)-{0} が 存 在 す る.定

理1.9(Tietze-Gleason)に

よ っ て,uの

拡 張 で あ るG写

像

u1:X→V(l) が 存 在 す る.そ

こで,基

点 を 保 つG写

像

f′,f″:V(k)c∧X→V(l)c∧Mn(G) を f′(υ∧x)=u1(x)∧f(υ f″(υ ∧x)=0∧f(υ に よ っ て 定 義 す る.u1(X)がV(l)の を 保 つG写

像 と し て,Gホ

モ トー プ

∧x), ∧x)

コ ン パ ク ト部 分 空 間 で あ る か ら,基

点

 (3) が 成 り立 つ.さ

て,u1(K)⊂V(l)-{0}が

成 り立 つ こ と,お

っ て,f′(V(k)c∧X)はV(l)c∧Mn(G)の

よ び(2)に

部 分 空 間0×Bn(G)と

な い.基

点 を も つG空

間 と し て,V(l)c∧Mn(G)-0×Bn(G)は

か ら,基

点 を 保 つG写

像 と し て,Gホ

よ

交 わ ら 可縮 で あ る

モ トー プ

 (4) が 成 り立 つ.他

方,f″

とG写

像

εl.n:V(l)c∧Mn(G)→Mn+‖l‖(G) との合 成 写 像 を 考 え る と   (5) 

[εl,n°f″]=e(V(l))・[f]

が 成 り立 つ.結

局(3),(4),(5)お

よびz=[f]な

る こ とに よ って

e(V(l))・z=0,l∈KA1 が 成 り立 つ.(終)   定 理6.9 

Xを

基 点 を も っ たG空

で あ る とす る.AをXのG不

間 で あ り,コ

ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間

変 な 閉 部 分集 合 で あ って,XG⊂Aを

もの とす る.包 含 写像i:A→Xが

基 点 を 保 つGコ

み たす

フ ァイ バ ー写 像 で あ れ

ば,同 型

が成 り立 つ.  証 明  包 含 写像i:A→Xが

基 点 を 保 つGコ

フ ァイバ ー写 像 で あ るか ら,

次 の列 は 完 全 列 で あ る.  (6) 仮 定 に よ っ て,基 あ っ て,X/Aの

点 を も っ たG空

間X/Aは

不 動 点 は 基 点 だ け で あ る.従

コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 で っ て,定

理6.8に

よ って

S-1U*G(X/A)=0 が 成 り立 ち,完

全 列(6)に

よ っ て,S-1i*は

同 型 写 像 に な る.(終)

  6.3  束 化 変 換   6.3.1  6.1節

この 節 を 通 し て コ ン パ ク ト リイ 群Gを

固 定 し て お く.5.1節

お よび

の 記 号 を そ の ま ま使 用 す る.

  定 理3.6に

よ っ て,普

遍 主G束

は,可

微 分 主G束

π(m):EG(m)→BG(m) の 列 

の 帰 納 的 極 限 と し て 構 成 で き る.さ

で あ る よ うに で き る.こ

の 節 に お い て,こ

ら に 各BG(m)は

コン パ ク ト

の よ うな コ ン パ ク ト主G束

π(m):EG(m)→BG(m) の 列 

と,G束

写像 i(m):EG(m)→EG(m+1)

の 列 

を 固 定 し て お き,そ

の 帰 納 的 極 限 で あ る普 遍 主G束

を

π:EG→BG で 表 わ す.   さ て,ξ=(p:E→X)を

コ ン パ ク トG空

間X上

の 複 素Gベ

ク トル 束

とす る と き p×1:E×EG→X×EG, p×1:E×EG(m)→X×EG(m) は,自

由G作

に よ って,複

を 得 る.さ

用 を も っ た 複 素Gベ 素 ベ ク トル 束

ら に,ベ

を 考 え る と き,複

は,コ

ク トル 束 で あ り,軌

ク トル 束 写 像

素 ベ ク トル 束

ン パ ク ト空 間 上 の 複 素 ベ ク トル 束

道空間を考えること

の列 

の帰 納 的 極 限 で あ る こ とが 分 か る.こ の ベ ク トル束 を

と表 わ す こ と に す る.   コ ンパ ク トG空

間Xに

対 し て,連

続写 像

は,環 準 同型 写像

を誘 導 す る. 

に つ い て の 射影 的 極 限 を

で 表 わ そ う.   この 節 の 目的 は,コ

を 定 義 し,そ

ン パ ク トG空

間Xに

対 し て,準

同型 写像

の 基 本 的 性 質 を 調 べ る こ と で あ る.

 い ま,z∈U*G(X)が,G写

像

に よ っ て 代 表 され て い る と し よ う.さ

て,複

素Gベ

ク トル 束

p:En(V(l))→Bn(V(l)) に 対 し て,複

は,底

素 ベ ク トル 束

空 間 が コ ン パ ク トで あ るか ら,定

が ホ モ ト ピー を 除 い て 一 意 に 定 ま る.従 っ て,基

点 を保 つ 連 続 写像

理5.16に

っ て,Thom空

よ っ て,ベ

ク トル 束 写 像

間を考え る こ とに よ

が ホ モ ト ピ ー を 除 い て 一 意 に 定 ま る.こ

の と き,合

成写像

の ホ モ ト ピ ー 類 は,元

を 定 め る が,l∈KAの   次 に,複

素Gベ

選 び 方 に 依 ら な い 元 で あ る こ と が 分 か る. ク トル 束p:V(k)×X→Xに

を 考 え れ ば,底 空 間 が コ ン パ ク トで あ り,こ

対 し て,複

素 ベ ク トル 束

の 複 素 ベ ク トル 束 のThom空

間は

(V(k)c∧X+∧EG(m)+)/G で あ る こ とが 分 か る.従

っ て,定

理5.31に

よ っ て,Thom同

型写 像

が 存 在す る.そ こで

と置 く.右

辺 がz∈U*G(X)を

う.k′ ∈KAに

対 し て,G写

も ま たz∈U*G(X)を

を 定 義 す る.こ

表 わ すG写

像 の選 び方 に依 らな い ことを示 そ

像

表 わ す が,こ のf′ に 対 し て, 

の と き,Thom同

と同様 に

型 写像

の 定 義に よ っ て

が 成 り立 つ.従

っ て,Thom同

型 写 像 の 乗 法 性(定

理5.30(b))に

よ って

が 成 り立 つ.す

な わ ち, 

は,z∈U*G(X)に

よっ

て 一 意 に 定 ま る こ と が 分 か った.   最 後 に,Thom同

型 写 像 の 自 然 性 に よ っ て,準

同 型 写像

の 下 で,

が 成 り立 つ.従

っ て,列{α(m)(z)}は

を定 め る.以 上 で,次 数0の

が 定 義 さ れ た が,α   6.3.2  Xを

を 束 化 変 換 と い う.

コ ン パ ク トG空

複 素 ベ ク トル 束 

とす る.Thom類

準 同 型写 像

間,ξ

のEuler類

をX上

の 複 素Gベ

ク トル 束 とす る.

を

の 自然 性 に よ って

が 成 り立 つ の で,列 

は

を 定 め る.   束 化 変 換 に つ い て,次   定 理6.10 

(T. tom

の 基 本 的 性 質 が 成 り立 つ. Dieck)

  (a)  自 然 性.h:X→Yを,コ き,次

の 図 式 は 可 換 で あ る.

ン パ ク トG空

間 の 間 のG写

像 とす る と

 (b)  乗 法 性.X,Yを

コ ン パ ク トG空

間 とす る.

を対 角 線 写像 とす る と き,次 の図 式 は 可換 で あ る.

  (c)  正 規 性.ξ を コ ンパ ク トG空

間X上

の複 素Gベク

トル束 とす る と

き,

が 成 り立 つ.   証 明   (a)は (b)は

束 化 変 換 の 定 義 と,Thom同

ク ロ ス 積 の 定 義 と,Thom同

最 後 に(c)に M(ξ)を

型 写 像 の 乗 法 性 等 に よ っ て 証 明 で き る.

つ い て,φ:E(ξ)→En(G)をGベ

零 切 断 か ら誘 導 さ れ るG写

型 写 像 の 自然 性 か ら導 か れ る.

グ トル 束 写 像,s:X+→

像 とす る と き,合

の ホ モ ト ピー 類 がEuler類e(ξ)∈U*G(X)を

成G写

表 わ す.こ

像

の と き,α(e(ξ))は

合成写像

の ホ モ ト ピー 類 に よ っ て 代 表 さ れ る が,こ

の 合 成 写 像 は 

のEuler類

を表 わ して い る.(終)  系6.11 

束 化変 換 

 次 数 つ き環U*(BG)の

は環 準 同 型写 像 で あ る.◇ 部 分 集 合SGを

に よ っ て 定 義 す る.定 コ ン パ ク トG空

が,SGに

理6.10に

間Xに

対 し て,SGに

よ るU*G(X)の

の と き,定

コ ン パ ク トG空

理6.10に

間Xに

  6.3.3  次 章 以 降 に お い て,U*(BG)の

  BS1は

の局 所 化

定 義 と 同 様 に し て 定 義 さ れ る.

の 多 元環 とし ての 準 同型 写 像

も 同 様 に 定 義 で き る.こ

で,G=S1の

成 り立 つ .こ の と き,

よ る 

局 所 化S-1U*G(X)の

さ ら に,U*=U*(pt.)上

  命 題6.12 

ょ っ て,SG=α(SG)が

場 合 に つ い てU*(BG)を 複 素 射 影 空 間 

が 成 り立 つ.Pk(C)上

よ っ て,次

対 し て,次

の 命 題 が 成 り立 つ.

の 図 式 は 可 換 で あ る.

構 造 を 知 る こ と が 重 要 に な る.こ

こ

計 算 し て お こ う. の 帰 納 的 極 限 と 考 え られ る.従

の 標 準 的 な 複 素 直 線 束 を ξkと し,そ

のEuler類

って

を

e(ξk)∈U2(Pk(C)) とす る.5.4節

に お い て 考 察 したThom準

同型 写 像

μ*:U*(Pk(C))→H*(Pk(C);Z) に よ って,μ*(e(ξk))は,特

異 コ ホ モ ロ ジ ー 論 に お け る ξkのEuler類

で あ り,

環 同型 写 像

が,rk(T)=μ*(e(ξk))に 加 群 と して の 同型 写 像

よ っ て 与 え ら れ る.故

に 定 理5.34に

よ っ て,U*

が, 

に よ っ て 与 え られ る.

  定 理6.13 

U*多

元環 として の 同型 写 像

が,Rk(T)=e(ξk)に

よ っ て 与 え られ る.従

っ て,U*多

元環 と して の同 型

が 成 り立 つ.   証 明   対 応RkがU*加

群 と し て の 同 型 写 像 で あ る か ら,多

元 環 として の

同 型 写 像 で あ る こ とを 示 す に は e(ξk)k+1=0 が 成 り立 つ こ と を 示 せ ば 良 い.こ う.k=0の

れ をkに

と き は 明 らか で あ る.い

う.Pn(C)の

ま,e(ξn-1)n=0が

成 り立 つ と 仮 定 し よ

閉 部 分 空 間A,Bを

に よ っ て 定 義 す れ ば,A∪B=Pn(C)で

さ ら に,Aは

つ い て の帰 納 法 に よ って 証 明 し よ

可 縮 で あ り,BはPn-1(C)と

が 成 り立 つ.従

っ て,あ

あ り,次 の 列 は 完 全 列 で あ る.

ホ モ ト ピ ー 同 値 で あ る.故

る 元a∈U*(Pn(C),A),b∈U*(Pn(C),B)に

に

対

し て,

が 成 り立 つ.故

に

が 成 り立 つ.従

っ て,Rnは

ら導 か れ る.(終)

環 同 型 写 像 と な る.後

半 は,Euler類

の 自然 性 か

Ⅶ  弱複素G多

様体

  7.1  弱 複 素 構 造   7.1.1 

こ の 節 を 通 して コ ン パ ク ト リ イ群Gを

E→X)を

実Gベ

ク トル 束 とす る.Gベ

一 つ 固 定 し て お く.ξ=(π:

ク トル 束 写 像

J:E→E は,図

式

を 可 換 に し,J2=-idを こ の と き-Jも   ξ のG不

上 のG不

み た す と き,ξ

ξ のG不

変 な 複 素 構 造 で あ る と い う.

変 な 複 素 構 造 で あ る.

変 な 複 素 構 造J0,J1がGホ

モ トー プ で あ る とは,Gベ

ク トル 束

変な複素構造Jが 存在 して J0=J￨E×0, 

が 成 り立 つ こ とで あ る.た の と き,Jt=J￨E×tと り,Gベ

のG不

だ し,区

J1=J￨E×1 間[0,1]上

す れ ば, 

のG作

用 は 自 明 とす る.こ

は ξ のG不

ク トル 束 写 像 と し て,J0とJ1の

間 のGホ

変 な 複 素構 造 であ

モ ト ピ ー を 与 え て い る.

こ の 逆 も成 り立 つ.   G空

間Xを

固 定 し た と き,Gベ

ク トル 空 間Vに

ク トル 束Vを V=(p1:X×V→X) に よ っ て 定 義 す る.

対 し て,X上

のGベ

  こ の 節 に お い て,Rkは わ す.R2上

常 に 自 明 なG作

の 標 準 的 なG不

用 を も っ たGベ

ク トル 空 間 を 表

変 複 素 構 造I0を

I0(x;a,b)=(x;-b,a),x∈X,(a,b)∈R2 に よ っ て 定 義 す る.  ξi=(πi:Ei→X),(i=0,1)をX上 G不

のGベ

変 な 複 素 構 造 とす る.こ

の と き, 

ク トル 束 と し,Jiを 上 のG不

ξi上 の

変 な 複 素 構 造 

を

に よ っ て 定 義 す る.   ξ=(π:E→X)をGベ は,あ

ク トル 束 とず る.ξ

る 非 負 整 数kに

  J0,J1を のG不

対 す る 

ξ 上 のG不

上 のG不

上 のG不

変 な 複 素 構 造 の こ と で あ る.

変 な 弱 複 素 構 造 とす る.す

変 な 複 素 構 造 と す る.非

変 な弱 複 素 構造 と

な わ ち,Jiを 

負 整 数ni(i=0,1)が

上

存 在 し て,

2n0+k0=2n1+k1=m が 成 り立 ち, 

がGホ

上 のG不

変 な 複 素 構 造 と し て,

モ トー プ で あ る と き,弱

複 素 構 造J0とJ1と

は 同 値 で あ る と い う.

ただ し

で あ り,I0は   Mを

可 微 分G多

れ たG作 にG不

先 に定 義 したR2上

様 体 とす る.Mの

用 に よ って可 微 分Gベ 変 な 弱複 素 構 造Jが

(M,(J))ま

の 標準 的 な 複 素構 造 で あ る.

た は 単 にMを

接 ベ ク トル束 τ(M)は

ク トル 束 に な るが,Gベ

与 え られ た と き,MとJの 弱 複素G多

  この章 の研 究対 象 は,こ の 弱複 素G多

自然に 誘 導 さ

ク トル束 τ(M)上 同値 類(J)の

対

様 体 とい う. 様体 で あ る.ま ず,い

くつか の 命 題

を 準 備 し よ う.   命 題7.1  XをG空

間 と し,ξ,η をX上

のGベ

ク トル束 とす る.Jを

η

上 のG不 る.従

変 な 複 素 構 造 とす る.ht:ξ っ て,ベ

い る.こ

→ η をG同

ク トル 束 写 像 と し て,htは

の と きJt=h-1tJhtは,ξ

型 写 像 の ホ モ トピ ー と す

底 空 間X上

上 のG不

の 恒 等写 像 を誘 導 して

変 な 複 素 構 造 の ホ モ トピ ー で あ

る.◇   ξ=(π:E→X)をGベ とす る.す

ク トル 束 と し,Pを

な わ ち,P:E→EはG同

す も の と す る.こ

の と き,ξ

のG不

ξ 上 のG同

変 な 射 影作 用 素

変 な 束 準 同 型 写 像 で,P2=Pを

みた

変 な 部 分 ベ ク トル 束 ξ0,ξ1を,そ

の全

空間が E(ξ0)=PE, 

E(ξ1)=(1-P)E

で 与 え られ る もの と し て 定 義 す る,こ

の と き,自

然 な 同型

が 成 り立 つ.   命 題7.2 

ξ=(π:E→X)をGベ

複 素 構 造 とす る.Pを

ク トル 束 と し,Jを

ξ 上 のG同

PJP=JP,  が 成 り立 つ も の と す る.こ

変 な射 影 作 用

ξ 上 のG不

変な

素と し,

(す な わ ち,JE(ξ0)⊂E(ξ0)) の と き,

  (a) 

(1-P)JはE(ξ1)=(1-P)E上

  (b) 

Jt=J-tPJ(1-P)は

  (c) 

Jと 

のG不 ξ 上 のG不

変 な 複 素 構 造 で あ る.

変 な 複 素 構 造 の ホ モ トピ ー で あ る. とは,ξ

上 のG不

変 な複 素構 造 と

し て ホ モ トー プ で あ る.   証 明   (a)に

つ い て,

が 成 り立 つ の で,(1-P)JはE(ξ1)上 (a)と

同 様 に,PJP=JPお

の 複 素 構 造 で あ る.(b)に

よ び(1-P)P=0が (Jt)2=-id

が 示 さ れ る.こ

の と き,

つ い て も,

成 り立 つ こ と を 用 い て,

が 成 り立 つ の で,(c)が   7.1.2  XをG空

成 り立 つ.(終) 間 とす る.ξ,η

をX上

のGベ

ク トル 束,

h:ξ → η をGベ

ク トル 束 と し て の 同 型 写 像 とす る.Jを

とす る.す

な わ ち,Jは 

上 のG不

η 上 のG不

変 な 弱複 素 構 造

変 な 複 素 構 造 で あ る.こ

の と き,

同型

に よって,ξ 上 のG不

変 な 弱複 素 構 造 

この弱 複 素構 造 をh*Jで

が 誘 導 され るが,

表 わ そ う.す なわ ち

で あ る.   Mを

可 微 分G多

様 体 と し,Jを

素 構 造 とす る.MにG不

接 ベ ク トル 束 τ(M)上

のG不

変 な弱複

変 な リーマ ン計量 を与 え る こ とに よ って,Gベ

ク

トル束 と して の同 型 写像

が 定 ま る.た

だ し,R1の

正 の 向 きの 単 位 ベ ク トル は τ(M)￨∂Mに

向 きの単 位 法 ベ ク トル に写 され る もの とす る.従 って,h*JはGベ τ(∂M)上 のG不

変 な 弱複 素 構 造 を 定 義す る.M上

量 の選 び方 に 依 らず,弱 複 素構 造h*Jの よ って保 証 され る.さ

らに,h*Jの

のG不

お け る内 ク トル束

変 な リー マ ン計

同値 類 が 定 ま る こ とが,命 題7.1に

同値 類 はJの

同値 類 に よって 一 意 に定 ま

る こ と も容 易 に 証 明 で き る.   従 って,弱 値 類が,上

複 素G多

様体(M,(J))に

の方 法 に よ って 与 え られ るが,こ

対 して,∂M上

弱複 素 構 造(J)か

の 弱複 素 構造 の 同値 類 を,Mの

ら自然 に 誘導 され た 弱 複 素構 造 と呼 び,今

に して,∂Mを

弱複 素G多

様体 とみ る こ とにす る.

  (M,(J))を

弱 複 素G多

様 体 とす る.先 に 定 義 したR2上

構 造I0に

の 弱複 素構 造 の 同

対 して,M上

のG不

変 な 弱複 素 構 造

後 常 に この よ う

の標 準 的 な複 素

の 同 値 類 は,(J)の

代 表 元Jの

選 び 方 に依 らず に定 まる こ とが分 か る.今 後

と表 わ す.   (M,(J)),(M′,(J′))を f:M→M′

と,fか

弱 複素G多

様 体 とす る.G同

ら 誘 導 され たGベ

変 な微 分 同相 写 像

ク トル 束 写 像

df:τ(M)→

τ(M′)

を 考え る. (J)=((df)*J′) が 成 り立 つ と き,fは (M′,(J′))の

弱 複 素 構 造 を 保 つ と い う.弱

間 に 弱 複 素 構 造 を 保 つG同

(M,(J))と(M′,(J′))と

え た と き,(〓,〓)自

様 体 と し てG同

よ び,そ

由 な 弱 複 素G多

様 体(M,(J)),

変 な 微 分 同 相 写 像 が 存 在 す る と き,

は 弱 複 素G多

  注 意   コ ン パ ク ト リイ 群G,お

複 素G多

型 で あ る と い う.

の 閉 部 分 群 の 許 容 族  様 体 のG同

を与

境群

Un(G;〓,〓) が,Ωn(G;〓,〓)の

定 義 と全 く同 様 に し て 定 義 で き る.そ

と 同 様 な 完 全 列 も成 り立 つ が,証

し て,定

明 は 全 く 同 様 に で き る の で,す

理3.2

べ て 省略 す

る.   注 意   (X,A)をG空

間 と,そ

のG不

ン パ ク ト弱 複 素G多

様 体(M,(J))と,G写

変 部 分 空 間 の 対 と す る.n次

元 コ

像

f:(M,∂M)→(X,A) の 組(M,(J),f)を

考え る.こ

の と き,ボ

と全 く 同 様 に し て,弱

複 素G多

様 体 のGボ

ル デ ィ ズ ム 群 Ωn(X,A)の

定義

ル デ ィズ ム 群

UGn(X,A) が 定 義 で き て,同

変 ホ モ ロ ジ ー 論 が 構 成 で き る こ とが 分 か る.単

の 場 合 に は,UGn(X,A)を   (M,(J))を

弱複 素G多

単 にUn(X,A)で 様 体 と す る.Mの

位 群G={e}

表 わ す. 不 動 点 集 合MGの

一 つ の連 結

成 分 をFと

す る.Mにお

う.MにG不

け るFの

法 ベ ク トル 束ν(F)に

ついて 考察 しよ

変 な リー マ ン 計 量 を 与え る こ とに よ っ て,Gベ

ク トル 束 と し

て の同 型

を 得 る.Jを 

上 のG不

に よ って,  る.さ て,全

変 な 複 素構 造 とす れ ば,同 型

上 のG不 空 間 

は 

上 のG作

に一 致 し,J′

ル束 

はG不

誘 導 され

用 に 関す る不 動 点 集 合

変 であ るの で,G不

変部分ベ ク ト

は,複 素 構 造J′ に つ い て も閉 じて い る.す な わ ち

が 成 り立 つ.従 と, 

っ て,命

題7.2に

上 のG不

複 素 構 造J1の

よ っ て,ν(F)上

変 な 複 素 構 造J1と

J′ と は ホ モ トー プ で あ る.こ

の と き,J0の

同 値 類 は,(J)の

  今 後,弱

複 素G多

変 な 複 素 構 造J0

が 自然 に 定 ま り, 

選 び 方,お

よ びMのG不

と の弱 変な

意 に 定 ま る こ とが 分 か る.

様 体 に 対 し て,そ

方 法 に よ っ て 弱 複 素 多 様 体 と 考 え,そ て 複 素Gベ

のG不

ホ モ ト ピ ー 類 お よ び τ(F)上

代 表 元Jの

リー マ ン 計 量 の 選 び 方 に 依 らず,一

の 不 動 点 集 合 の 連 結 成 分 は,常 の 法 ベ ク トル 束 も,常

に上 の

に 上 の方 法 に よっ

ク トル 束 と 考 え る こ と に し よ う.

  7.1.3  (M,(JM)),(N,(JN))を dim

弱 複 素G多 M≡dim

と 仮 定 す る.f:M→NをG同 ν(f)上

変 な 複 素構 造J′=h*Jが

のG不

N 

様 体 と す る.い (mod

変 なembeddingと

変 な 複 素 構 造Jが,適

ま

2) す る と き,法 ベ ク トル 束

正 な 複 素 構 造 で あ る と は,Gベ

クト

ル束 と しての 同型

に よ っ て 誘 導 さ れ た  複 素 構 造   定 理7

上 のG不

変 な 弱 複 素 構 造h*JNが,弱

と 同 値 で あ る こ と と 定 義 す る.

.3  (M,(JM)),(N,(JN))を

弱 複 素G多

様 体 と し,Mはコ

ンパ ク

トで あ る とす る.f:M→NをG同 ベ ク トル 束ν(f)の ル 空 間Vと,複

変 なembeddingと

す る.J0,J1を

適 正 な 複 素 構 造 で あ る とす れ ば,有 素Gベ

限 次 元複 素Gベ

法 ク ト

ク トル 束 と し て の 同 型

が 存在 す る.  証 明   仮 定 に よ り,(JM)の 複 素Gベ

代 表 元JMお

よび(JN)の

代 表 元JNを

選 ん で,

ク トル束 と して の 同型

が 成 り立 つ よ う に で き る.Mが 有 限 次 元 複 素Gベ

が 存 在 す る.こ

コ ン パ ク トで あ るか ら,定

ク トル 空 間Vお

の と き,複

素Gベ

よ びG同

理5.15に

変Gauss写

よ っ て,

像

ク トル 束 と し て の 同 型

が 成 り立 つ.(終)   こ こ で 弱 複 素G多

様 体 の 直 積 の 弱 複 素構 造 に つ い て 考 察 し て お こ う.

  (M,(JM)),(N,(JN))を

弱 複 素G多

様 体 とす る.Gベ

τ(M×N)=τ(M)×

ク トル 束 と し て

τ(N)

で あ るか ら.自 然 な 同型

が 存 在 す る.JM,JNを

そ れ ぞ れ 

上 のG不

変な複素

構 造 とす る と き,h*(JM×JN)は 

上 のG不

で あ り,そ

よ って一 意 に 定 ま る こ と

が 分 か る.い

の 同 値 類(h*(JM×JN))は(JM),(JN)に

変 な 複 素 構造

ま m=dim

と す る と き,M×N上

M, 

n=dim

の 弱 複 素 構 造 と して,同

N 値類

(-1)mn(h*(JM×JN)) を 選 ぶ こ と に す る.今

後,弱

複 素G多

様 体 の 直 積 に は,常

に 上 の方 法 に よ っ

て 弱 複 素 構 造 を 定 め る も の とす る.   定 理7.4 

(M,(JM)),(N,(JN))を

弱 複 素G多

トで あ る と す る.f:M→NをG同

変 なembeddingと

dim M≡dim で あ る とす れ ば,有

様 体 と し,Mは

N 

限 次 元 複 素Gベ

(mod

コンパ ク

し,

2)

ク トル 空 間Wが

存 在 し て,G同

変な

embedding f′:M→W×N を,f′(x)=(0,f(x))に

よ っ て 定 義 す る と き,法

ベ ク トル 束ν(f′)が

適正

な 複 素 構 造 を も つ よ う に で き る.   証 明  JMを  のG不

変 な 複 素 構 造,JNを 

変 な 複 素 構 造 で あ る と仮 定 で き る.い

と 定 義 す る.Mが 素Gベ

上 のG不

コ ン パ ク トで あ る か ら,定

ク トル 空 間Wと,M上

の 複 素Gベ

ま,複

素Gベ

理5.15に

上 ク トル 束 ξ,η を

よ っ て,有

限 次元 複

ク トル 束 ξ′,お よび 複 素Gベ

ク トル 束 と し て の 同 型

が 存 在 す る.こ

の と き,Gベ

ク トル 束 と して の 同 型

が 成 り立 つ.こ の 同型 を 通 して,複 素Gベ るG不

ク トル束 

変 な複 素 構 造 をν(f′)に 与 え る.次 に,こ

であ る ことを 示 そ う.同 型

か ら誘 導 され

の複 素 構 造 が 適 正 な もの

が 成 り立 ち,W×Nの ら,上

弱 複 素 構 造 が 

に 与 え たν(f′)の

複 素 構 造 は 適 正 な も の で あ る こ と が 分 か る.(終)

  7.2  Pontrjagin-Thom構   7.2.1  Xを

成

弱 複 素G多

様 体 と す る.こ

ボ ル デ ィ ズ ム群UG*(X)と,第5章 ィ ズ ム群U*G(X)と   補 題7.5  す る.こ

に よ っ て 定 義 され て い る こ と か

の 節 で は,弱

複 素G多

様 体 のG

に お い て 定 義 し た ユ ニ タ リ同 変コ ボ ル デ

の 関 係 を 調 べ よ う.

M,Nを

の と き,可

コ ン パ ク トG多 微 分G写

様 体 と し,f0:M→NをG写

像f1:M→Nと,Gホ

像 と

モ ト ピ ーft:M→N

が 存 在 す る.   証 明   定 理1.25に embedding

よ っ て,有

h:N→Wが

存 在 す る.EをWに

開 管 状 近 傍 と し,π:E→Nを さ ら にWにG不 がEに

可 微 分G写

変 な 正 値 内 積 を 定 め,正

含 ま れ る よ うに し て お く.さ

写像h1:M→Wを と 任 意 の  うに で き る.新

ク トル 空 間WとG同

変な

お け るh(N)のG不

変な

像 で,π°h=idな

る も の と す る.

数 ε を 選 ん で,h(N)のε

て,G作

用 を 無 視 し て,h°f0と

結 ぶ ホ モ ト ピ ーht:M→Wを

構 成 し て,Mの

に 対 し て,ht(x)がh(f0(x))の

近傍 可微分 各 点x

ε近 傍 に 属 す る よ

しい ホ モ ト ピ ーh*tを

に よ っ て 定 め れ ば,h*tはG同 0.4に

限 次 元Gベ

よ っ て 可 微 分 写像 で あ る.さ

変 で あ り,h*0=h°f0を らに,Mの

各 点xと

み た し,h*1は 任 意 のtに

定理 対 し て,

h*t(x)∈E が 成 り立 つ.こ   さ て,Xをn次

の と き,ft(x)=π(h*t(x))が 元 コ ン パ ク ト弱 複 素G多

求 め る ホモ ト ピ ー で あ る.(終) 様 体 と し,境

界 を もた な い もの

と す る.Gボ

ル デ ィ ズ ム群UGn-k(X)の

体MとG写

像f:M→Xの

元 α が,コ

対(M,f)に

う.こ

の と き,補

題7.5に

い.定

理1.25に

よ っ て,有

ン パ ク ト弱 複 素G多

様

よ っ て 表 わ され て い る と し よ

よ っ て,fは

可 微 分G写

限 次 元 複 素Gベ

像 で あ ると仮 定 して 良

ク トル 空 間VとG同

変 な

embedding h:M→V が 存 在 す る.ま

ずk=2tの

場 合 に つ い て 考 え よ う.こ

の とき

f′:M→V×X を,f′(x)=(h(x),f(x))に で あ る.こ

よ って 定 義 す れ ば,f′

の と き,定

存 在 し て,G同

理7.4に

よ っ て,有

もG同

限 次 元 複 素Gベ

変 なembedding ク トル 空 間Wが

変 なembedding f″:M→W×V×X

を,f″(x)=(0,h(x),f(x))に

よ っ て 定 義 す る と き,法

が 適 正 な 複 素 構 造 を もつ よ うに で き る.そ

ベ ク トル 束 ν(f″)

こ で,

u:E(ν(f″))→Et+￨V￨+￨W￨(G) を,普遍複

素Gベクト

ル 束 へ の 複 素Gベクトル束

とす る.一 方,複 素 法 ベ ク トル 束ν(f″)にG不 ν(f″)に

変 な エ ル ミー ト計 量 を 与 え,

付 属 す る 球 体 束 の 全 空 間D(ν(f″))をW×V×XのG不

分 空 間 と み な そ う.こ

と 同 一 視 で き る.さ 空 間 は(W×V)c∧X+で

が,int D(ν(f″))上

は,同

と し て の ベクト ル 束 写 像

変 な部

の と き,

て,W×V×Xに

一 点 を つ け 加 え て コ ン パ ク ト化 したG

あ る か ら,上

の 同 一 視 に よ っ て,射

で 同 相 写 像 で あ る よ うに 定 義 で き る.こ

変 コ ボ ル デ ィ ズ ム群U2tG(X)の

元D(α)を

に 依 っ て 定 ま る 元 で あ る こ と が 分 か る.証

影

の と き,合

成

表 わ す.D(α)は,α

明 は 読 者 に 委 ね る.次

にk=2t-1

のみ

の と き,G同

変 なembedding

f′:M→V×R×X を,f′(x)=(h(x),0,f(x))に トル 空 間Wに

よ っ て 定 義 し,適

対 し て,G同

当 な 有 限 次 元 複 素Gベ

ク

変 なembedding

f″:M→W×V×R×X を,f″(x)=(0,h(x),0,f(x))に

よ っ て 定 義 す る と き,法 ベ ク トル 束ν(f″)

が 適 正 な 複 素 構 造 を も つ よ うに で き る.従 あ るG写

っ て,k=2tの

場 合 と 同 様 に し て,

像

(W×V×R)c∧X+→Mt+￨V￨+￨W￨(G) が 定 ま り,U2t-1G(X)の

元D(α)を

コ ン パ ク ト弱 複 素G多 す べ て の 整 数kに

様 体Xに

対 し て,対

表 わ す.結

局,境

界 を も た な い,n次

対 し て,Pontrjagin-Thom構

元

成 に よ っ て,

応

D:UGn-k(X)→UkG(X) が 定 ま る.Dは

準 同 型 写 像 で あ る こ とが 分 か る.

  ク ロ ス 積 と 準 同 型 写像Dの   定 理7.6 

X,Yを

間 に 次 の 関 係 が 成 り立 つ.証

明 は 読 者 に 委 ね る.

境 界 を も た な い コ ン パ ク ト弱 複 素G多

様 体 とす れ ば,

次 の 図 式 は 可 換 で あ る.

  7.2.2 G多

様 体 に 対 し て は,一

準 同 型 写 像Dは,同

型 写 像 と は 限 ら な い こ と を 注 意 し て お こ う.こ

と くに 単 位 群G={e}の   定 理7.7(Thom-Atiyah双 多 様 体 とす る.こ

般 に 横 断 正 則 性 定 理 が 成 り立 た な い の で, の 節 で は,

場 合 に つ い て 考 察 す る. 対 定 理)  Xを

の と き,Pontrjagin-Thom構

境 界 を も た な い コ ン パ ク ト弱 複 素 成 に よ る準 同 型 写 像

D:U*(X)→U*(X) は 同 型 写像 で あ る.   証 明   Dの

逆 写 像T:U*(X)→U*(X)を

構 成 し よ う.β

∈U*(X)が,

連続写像 h:Sk∧X+→MU(t) に よ っ て 表わ され て い る とす る.Sk∧X+はRk×Xに ン パ ク ト化 した 空 間 で あ る.横

一 点 をつ け加 えて コ

断 正 則 性 定 理 に よ っ て,hと

ホ モ トー プ な 写 像

h1:Sk∧X+→MU(t) で, h1￨h-1(MU(t)-{∞}) がBU(t)上

で 横 断 正則 な 可 微 分 写 像 で あ る も の が 存 在 す る.こ

の と き,

M=h-11(BU(t)) は,Rk×Xの

境 界 を も た な い コ ン パ ク ト部 分 多 様 体 で あ り,包

含写 像

i:M→Rk×X の 法 ベ ク トル 束

ν(i)は,写

像 h1￨M:M→BU(t)

か ら 誘 導 され る 複 素 構 造 を も つ.こ て,法

ベ ク トル 束ν(i)の

の 弱 複 素 多 様 体Mと,合

の対(M,f)が

の と き,多

成

元 をT(β)と

依 って定 ま る ことが 分 か る.T=D-1で

で き る.Pn(C)に

β のみ に

あ る こ との証 明は 読 者 に委 ね る.(終)

対 す るThom-Atiyah双

数 

す れ ば,T(β)は

通 常 の複 素構 造 に よ って 弱複 素 多 様 体 とみ る こ とが

に つ い て 考 察 し よ う.U*(Pn(C))の る.整

弱複 素 構 造 を 与 え

複 素 構 造 が 適 正 な 複 素 構 造 で あ る よ うに で き る.こ

表 わ すU*(X)の

  複 素 射影 空 間Pn(C)は

様 体Mに

対 同型 写 像

構 造 は 定 理6.13に

よ っ て 決 定 され て い

に 対 し て,embedding i:Pk(C)→Pn(C)

を,対

応(u0:…:uk)→(u0:…:uk:0:…:0)に

(Pk(C),i)はU2k(Pn(C))の 立 つ.

元 を 表 わ す.こ

よ っ て 定 義 す れ ば, れ に つ い て,次

の定 理 が 成 り

  定 理7.8 

Thom-Atiyah双

対 同 型写 像

に よ っ て,

が 成 り立 つ.こ

こに,ξnはPn(C)上

の 標 準 的 な 複 素 直 線 束 を 表 わ す.

  証 明   embedding i:Pk(C)→Pn(C)の

と 同 型 で あ り,Thom空

が 成 り立 つ.こ

で あ る.従

間について

こに

っ て,D[Pk(C),i]は,合

に よ っ て 代 表 さ れ る こ と が 分 か る.さ を,対

複 素 法 ベ ク トル 束 は

成

て,embedding j:Pn(C)→P2n-k(C)

応 (z0:…:zn)→(0:…:0:z0:…:zn)

に よ っ て 定 義 す れ ば,次

そ し て,合

成M(u2)°

の 可 換 図 式 を 得 る.

π2°jは 

のEuler類

を 表 わ し て い る.従

っ て,

が 成 り立 つ.(終)   7.2.3  再 び 一 般 の コ ン パ ク ト リ イ群Gに   G空

間Xに

つ い て 考 察 す る.

対 して,Pontrjagin-Thom構

成 を 用 い て,準

同型 写 像

i:UGn(X)→U-nG(S0;X+) を 定 義 し よ う.α G写

∈UGn(X)が,コ

像f:M→Xの

ン パ ク トn次

対(M,f)に

→Vが る.こ

限 次 元 複 素Gベ

存 在 し て,法

場 合 に つ い て は 証 明 を 読 者 に 委 ね る).

ク トル 空 間VとG同

ベ ク トル 束

ν(h)が

れ に つ い て,Pontrjagin-Thom構

を 得 る.こ

の と き,合

は,5.3節

変 なembedding

h:M

適正 な複 素構 造 を も つ よ うに で き

成 に よ っ て,G写

像

成

が 表 わ すU-nG(S0;X+)の ま る こ と が 分 か る.た

様 体Mと

よ っ て 表 わ さ れ て い る と す る.n=2tの

場 合に つ い て 考 え よ う(n=2t-1の こ の と き,有

元 弱 複 素G多

元 をi(α)と だ し,G写

に お い て,Thom同

す れ ば,i(α)は

α の み に よ って定

像

型 写 像 を 定 義 す る際 に 現 わ れ た 対 角 線 写像 の 特

別 の 場 合 に 当 る も の で あ る.   こ の 準 同 型 写 像iは,二 が 一 点 か ら成 るG空 を 弱 複 素G多

つ の 同 変 ホ モ ロ ジ ー 論 の 間 の 自然 変 換 で あ るが,X

間 で あ っ て も,同

型 写 像 と は 限 ら な い.実

様 体 と み る と き,i=Dが

  定 理7.9(Conner-Floyd)単

際,X={pt}

成 り立 つ.

位 群G={e}に

対 し て,自

然変換

i:Un(X)→U-n(S0;X+) は,任

意 のCW複

  証 明   X={pt}に

体Xに

対 し て 常 に 同 型 写 像 で あ る.

対 し て,i=Dが

成 り立 つ こ と,お

よ び 定 理7.7に

よっ

て,X={pt}に

対 して,iは

任 意 の有 限CW複

同 型写 像 で あ る.従 って,通 常 の 方法 に よ って,

体 に対 し て,iは

同 型 写 像 に な る.任 意 のCW複

限 部 分 複 体 の 帰納 的 極 限 と考 え る ことに よ って,す

べ て のCW複

体を有 体について

iが 同型 写 像 に な る.(終)   こ こで,次 の 図式 に つ い て 考え よ う.

 (7.10)

た だ し,UG*=UG*(pt),α 写 像,ε

はG作

  定 理7.11 

は 束 化 変 換,i*は

包 含 写 像 か ら 誘導 さ れ た 準 同 型

用 を 忘 れ る こ とに よ っ て 定 義 さ れ る 準同 型 写 像 で あ る. 任 意 の コン パ クト

イ 群Gに

対 し て,図

式(7.10)は

可換 で あ

る.   証 明   Mをn次

元 コ ン パ ク ト弱 複 素G多

合 を 考 え よ う.有 限 次 元 複 素Gベ M→Vを

様 体 とす る.ま

ク トル 空 間VとG同

選 ん で,法 ベ ク トル 束ν(h)が

変 なembedding

場 h:

適 正 な 複 素 構 造 を もつ よ うに で き る.

こ の と き,Pontrjagin-Thom構

成 に よ っ て,G写

が 与 え られ るが,こ

がD[M]を

のG写像

ず,n=2tの

像

表 わ して い る.束 化 変換 の定 義 に

戻 って,次 の 可換 図式 を 考 え よ う.

こ こに,BG(m),α(m)等

は6.3節

わ れ た も の で あ り,ψVはThom同 i*1,i*2は,Vを

ベ ク トル 束

に お い て,束

化変 換

型 写 像,σ2￨V￨は

α を 定 義 す る際 に 現

懸 垂 同 型 写 像,さ

らに,

の 一 つ の フ ァ イ バ ー とみ る こ と に よ っ て 定 義 さ れ る 写 像 と す る.こ αV( m)D[M]は,写

の と き,

像

に よ っ て 表 わ さ れ る.た

だ し,

は 複 素 ベ ク トル束 写 像 で あ る.こ こで,次 の可換 図 式 を考 え る.

こ こ に,ベ

は,Gベ

ク トル 束 写 像

ク トル束ν(h)のG作

が 表 わ すU*の

用 を 無 視 して得 られ た もの で あ る.合 成

元 は,Dε[M]で

が 成 り立 つ.n=2t-1の

あ る.従

って

と き の 証 明 は 読 者 に 委 ね る.(終)

  7.3  不 動 点 図 式   7.3.1  Mを

コ ン パ ク ト弱 複 素G多 dim

で あ る と仮 定 して お く.定 ク トル 空 間VとG同

様 体 とす る.

M≡0 

理1.25と

(mod 定 理7.4に

変 なembedding M⊂Vが

νM.Vが 適 正 な 複 素 構 造 を も つ よ うに で き る.一 (の 各 連 結 成 分)は7.1節 多 様 体 と な り,embedding

2) よ って,有

存 在 し て,法 方Mの

に お い て 考 察 し た よ うに,標 F⊂Mの

限 次 元 複 素Gベ ベ ク トル 束

不 動 点 集 合F=MG 準 的 な 方 法 で,弱

法 ベ ク トル 束νF,Mは

複 素Gベ

複素 ク トル

束 と な る.さ

と,G不

て

変 な 部 分 空 間 の 直 和 に 分 解 す る と き,embedding

embedding

F⊂V0が

F⊂V0に

誘 導 さ れ る.定

M⊂Vに

理7.4をG={e}の場

よ っ て,

合 に つ い て,

適 用 す る こ と に よ っ て,有 限 次 元 複 素 ベ ク トル 空 間U0が

存 在 し て,

合成

の法 ベ ク トル束  なG作

が 適正 な複 素 構 造 を もつ よ うにで き る.U0を

用 を もつ複 素Gベ

ク トル 空 間 とみ る と き,G同

自明

変 なembedding

の 法 ベ ク トル 束

は,νM,Vお   実Gベ

よびU0の

複 素 構 造 か ら定 ま る適正 な複 素 構 造 を もつ.

ク トル束 と して の 同型

に お い て,Gベ

ク トル 束 

は 一方 に お い てνF ,Mお

よび 

の 複 素構 造 か ら定 まる適 正 な 複 素 構造 を もち,他 方 に お い て 

の 複 素構 造 か ら定 ま る適 正 な 複 素 構造 を もつ.故 限 次 元Gベ

ク トル空 間Uが

に,定

存 在 して,複 素Gベ

が 成 り立 つ.こ

こで, 

と し て,G同

を 考 え る と,複

素Gベ

が 成 り立 つ.こ

の 結 果 を ま とめ て お こ う.

ク トル 束 と し て の 同 型

理7.3に

お よび

よ って,有

ク トル 束 と しての 同 型

変 なembedding

  補 題7.12 Mを

コ ン パ ク ト弱 複 素G多 dim M≡0 

と仮 定 す れ ば,有 M⊂Wが

限 次 元 複 素Gベ

存 在 し て,法

(mod

2)

ク トル 空 間Wと,G同

ベ ク トル 束νM.Wお

の 法 ベ ク トル 束νF,WGが

様 体 と す る.

よ び,embedding

と も に 適 正 な 複 素 構 造 を も ち,さ

変 なembedding F=MG⊂WG らに 複 素Gベ

ク

トル 束 と し て の 同 型

が 成 り立 つ よ うに で き る.◇   補 題7.12に Gベ

お い て,自

明 なG作

ク トル 束 が 現 わ れ た が,こ

  コ ン パ ク ト リ イ群Gに

用 を も った コ ン パ ク トG空

間上 の複 素

れ に つ い て 次 の 補 題 を 準 備 し て お こ う.

対 し て,複

素 既 約Gベ

I(G)={Vα￨α

ク トル 空 間 の 完 全 系

∈A}

を 考 え る.   補 題7.131)  の 複 素Gベ

Xを

自 明 なG作

用 を も った コ ン パ ク トG空

ク トル 束 とす れ ば,複

素Gベ

間,EをX上

ク トル 束 と し て の 同 型

が 成 り立 つ.◇   さ て,補

題7.12に

に お い て,νF.WGは

おけ る同型

自 明 なG作

W/WGと

は 自 明 なG作

よ っ て,同

型

用 を もつGベ

ク ト ル 束 で あ り,νF,Mと

用 を も つ 直 和 成 分 を も た な い.従

っ て 補 題7.13に

 (7.14) が 成 り 立 つ.   7.3.2  1)  M.F.

コ ン パ ク ト リ イ 群Gを Atiyah:

K-theory,

固 定 し,I(G)={Vα￨α∈A}を Proposition

1.6.2を

参 照 せ よ.

複 素既 約

Gベ

ク トル 空 間 の 完 全 系 と す る.α0∈Aに

も つ も の と し,A1=A-{α0}と A1)上

対 して,Vα0は

す る.KAお

の 非 負 整 数 値 函 数 で,有

を 表 わ す.m∈KA1,n∈KAに

よ びKA1に

限 個 のAの

自 明 なG作

用 を

よ っ て,A(ま

たは

元 を除 いて零 値 で あ る もの の全 体

対 して

と置 く.   Mを

コ ンパ ク ト弱 複 素G多

様 体 とし,そ

の不 動 点 集 合F=MGを

連結成

分 の和

に 分 解 す る.こ F⊂Mの

の と き,各Fλ(λ

法 ベ ク トル 束νF,Mは

に よ っ て,複

素Gベ

∈Λ)は

弱 複 素 多 様 体 で あ り,embedding

複 素Gベ

ク トル 束 に な っ て い る.補

ク トル 束 と し て の 同 型

が 成 り立つ.F=MGで

あ る か ら,νF,Mは

自 明 なG作

用 を もつ直 和成 分 を

も た な い の で, Nλ,α0=0,  が 成 り立 つ.い

ま,λ ∈Λ mλ(α)=dim

に よ っ て 定 義 す る.m∈KA1に

(λ∈Λ)

に 対 し て,mλ∈KA1を Nλ ,α (複 素 ベ ク トル 束 と し ての 次 元) 対 して

と置 け ば,同 型

が 成 り立 ち,さ

題7.13

らに dim M=dim F(m)+2‖m‖, 

(m∈KA1)

が 成 り立 つ.

を射 影 とす る とき,連 続 写 像

を,写

像

が,複

素 ベ ク トル 束Nm,αの

分 類 写像 で あ る よ うに 定 義 す る.こ

の と き,対

応

に よ って,準 同型 写 像

が 誘 導 され る.   7.3.3  整 数環Z上

お よび, 

の次 数 つ き多項 式環

の部分空間

を 考 え よ う.準 同型 写 像

を,各m∈KA1に対

し て 定 義 し よ う. 

ン パ ク ト弱 複 素 多 様 体Xと,X上

の 複 素 ベ ク トル 束 の 組

(Em,α)α∈A1,  dim か ら成 る 対(X,(Em,α)α∈A1)に な る 各α

∈A1に

Em,α=m(α)

よ っ て 表 わ さ れ る.こ

対 し て,Em,α

の 複 素 ベ ク トル 束E′α と,ベ

の元xは,コ

に 対 す るGauss写

ク トル 束 と して の 同 型

の と き, 

像 の 存 在 に よ っ て,X上

と

が 存 在 す る.m(α)=0の

と きE′α=0と

す れ ば,対

(X,(E′α)α∈A1) はUt(B)の

元yを

定 め る.yはxの

み に よ っ て 定 ま る こ と が 分 か る.こ

の と き,

と 定 義 す る.こ

の ω(m),(m∈KA1,)に

よ っ て,準

同型 写 像

が 誘 導 さ れ る.   6.1節

に お い て,準

同型 写像

を 定 義 し た の で あ る が,一

方 で 定 理7.9に

よ っ て,自

然変 換

i:Un(B)→U-n(S0;B+) は 同 型 写 像 で あ る こ と が 分 か っ て い る.従

っ て,準

同 型 写像

が次 の図 式 を 可換 に す る よ うに定 義 でき る.

  以 上 の 準 備 の 下 に,次   定 理7.15(T.

tom

の 定 理 が 成 り立 つ. Dieck) 

コ ン パ ク トリ イ群Gに

対 し て,次

の 図式は

可 換 で あ る.

  証 明  Mを

コ ン パ ク ト弱 複 素G多

様 体 とす る.dim

合 に つ い て, φ1D[M]=ω*ν*[M]

M≡0(mod

2)の

場

を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.補 間WとG同

変 なembedding

embedding も ち,複

題7.12に M⊂Wが

F=MG⊂WGの 素Gベ

よ っ て,有

限 次 元 複 素Gベ

存 在 し て,法

法 ベ ク トル束νF,WGが

ク トル 空

ベ ク トル 束νM,Wと,

と もに 適正 な複 素 構 造 を

ク トル 束 と し て の 同 型

 (1) が 成 り立 つ よ うに で き る.νM,Wに

対 す るGベ

u:E(νM,W)→En(G), 

ク トル 束 写像 を

2n=2￨W￨-dim

M

とす る と き,Pontrjagin-Thom構

成 に よ っ て,G写

を 得 る.こ

表 わ し て い る.このG写

のG写

像 はD[M]を

上 に 制 限 し て み よ う.そ で 考 え よ う.7.3.2節

の た め,ま

ずGベ

像

像 を不 動 点集 合 の

ク トル 束 写 像uをνM,W￨Fの

にお け る よ うに

と 分 割 し て お く と き,補

題7.13に

よ っ て,複

素Gベ

ク トル 束 と し て の 同 型

 (2)

が 成 り立 つ.こ

の と き, u0:Em

,α0→EU(s), s=dim

を 複 素 ベ ク トル 束 写 像 と し,写

を,F(m)上 て,(7.14)に

像

の 複 素 ベ ク トル 束 の 組(Em,α)α よ って,複

Em,α0

∈A1に 対 す る 分 類 写 像 と す る.さ

素 ベ ク トル 束 と し て の 同 型

が 成 り立 つ ので,写 像

は,embedding

上

F⊂WGの

法 ベ ク トル束νF,WGに

対 し て,Pontrjagin-Thom

構 成 に よ って得 られ る写 像

と 同 一 視 で き る.こ

の と き,合

成

を 考 え る.φ の 定 義 を振 りか え って み る と

の 成 り立つこ

と が 分 か る.こ

は,embedding F(m)⊂WGに る 写 像 で あ る か ら,同

こ に 

とす る.一

対 し てPontrjagin-Thom構

方,合

成

成 に よ って 得 られ

型

を 考 え る こ とに よ って,  (3)

が 成 り立 つ.写 像

は,F(m)上

の 複 素 ベ ク トル 束 の 組(Em,α)α∈A1に

ら,[F(m),h(m)]は,対(F(m),(Em

,α)α∈A1)によ っ て表 わ さ れ て い る と 考 え て

良 い.こ

こに,Em,α

F⊂Mの

複 素 法 ベ ク トル 束νF ,Mに

と 置 く と き,同  (4)

型(1)に

対 す る 分 類 写 像 で あ った か

は(2)に

よ っ て 与 え ら れ て い る.一

方,embedding

対 して

よ っ て,各m∈KA1,α∈A1に

対 し て,同

型

が 成 り立 つ.さ

て,ν*[M]は

に よ っ て表 わ され,ω*の

定 義 を 振 りかえ っ て み れ ば,(4)に

 (5)

が 成 り立 つ.(3),(5)に

よ っ て,等

式

φ1D[M]=ω*ν*[M]

が 成 り立 つ.(終)

よ って

Ⅷ 

 8.1  Pn(C)の

弱複素Zq多 様体

部分 多様 体 とEuler類

 8.1.1  複 素 射 影空 間Pn(C)上 意 の正 の 整 数qに

の 標 準 的 な 複 素直 線 束 を ξnで 表 わす.任

対 して,Pn(C)の

に よ って 定 義 す る.と

くに,対

複 素 部分 多 様 体Mn-1(q)を

応

(z0:…:zn-1)→(z0:…:zn-1:-(z0+…+zn-1)) に よ っ て,複

素構 造 を保 つ微 分 同相 写 像 f:Pn-1(C)→Mn-1(1)

を 得 る.包

含 写 像Mn-1(q)⊂Pn(C)をhqで

⊂Pn(C)をiで

表 わ し,包

表 わ そ う.複 素 法 ベ ク トル 束 に つ い て,

が 成 り立 っ て い る の で,  (8.1)

が 成 り立 つ.   ξnのq個

の テ ン ソル積 を 

で表 わ す.可

微分写像

fq:Pn(C)→Pn(C) を,対

応 (z0:…:zn)→(zq0:…:zqn)

に よ っ て 定 義 す れ ば,複

素 ベ ク トル 束 と し て の 同 型

 (8.2)

が成 り立 つ.fqはMn-1(1)上

横 断正 則 で あ って, fq1(Mn-1(1))=Mn-1(q)

含 写 像Pn-1(C)

が 成 り立 つ.従

っ て,(8.1),(8.2)に

素 法 ベ ク トル 束

ν(hq)に

よ っ て,hq:Mn-1(q)⊂Pn(C)の

複

対 し て,

 (8.3)

が 成 り立 つ.   さ て,対(Mn-1(q),hq)はU2n-2(Pn(C))の

元 を 表 わ す が,こ

れ に つ い て,

次 の 補 題 が 成 り立 つ.   補 題8.4 

Thom-Atiyah双

対 同型 写 像

の下 で,等 式

が 成 り立 つ.   証 明   ま ず,U*(Pn(C))の

元 と して [Mn-1(1),h1]=[Pn-1(C),i]

が 成 り立 つ こ と,お

よ び 定 理7.8に

よっ て

e(ξn)=D[Pn-1(C),i] が 成 り立 つ こ と を 注 意 し て お こ う.こ

こ で,Pontrjagin-Thom構

可 換 図 式 を 考 え よ う.

こ の と き, [M(u1)°

で あ る.従

π1]=D[Mn-1(1),h1]=e(ξn)

っ て,

が 成 り立 つ.(終)   8.1.2  帰 納 的 極 限

上 の標 準 的 な 複素 直 線 束 を ξ∞ で表 わす.

成 に よる次 の

と 置 く と き,定

理6.13に

よ っ て,U*上

の 多元 環 とし て の同 型

 (8.5)

が 成 り立 ち,こ

の 同 型 に よ る 同 一 視 の 下 で,T=e(ξ

  こ こで,P∞(C)×P∞(C)上

と置 くと き,U*上

が 成 り立 つ.こ

∞)が 成 り立 つ.

の 復 素 直 線 束 

を 考 え よ う.

の 多 元環 と して の同 型

こ に, 

と す る.こ

の と き,

 (8.6)

と表 わ され る.  連 続 写 像

を,t(x,y)=(y,x),i1(x)=(x,*),i2(x)=(*,x)に

が 成 り立 つ の で,(8.6)の

よ っ て 定 義 す れ ば,

巾 級 数 に つ い て,

 (8.7)

が 成 り立 つ.   注 意   (8.6)の で き る が,こ

巾 級 数 に よ っ て,コ

の形 式 群 が 定 義

れ に つ い て は 触 れ な い こ とに す る.

  い ま,ζ1,ζ2を

コ ン パ ク ト空 間X上

自 然 性 と,(8.6),(8.7)に

が,U2(X)に

ボ ル デ ィ ズ ム環U*上

よ っ て,等

の 複 素 直 線 束 と す る と き,Euler類 式

お い て 成 り立 つ こ とが 分 か る.と

くに,

の

 (8.8)

と表 わ す こ と が で き て,   (8.9) 

a(q)0=q

が 成 り立 つ.  巾 級 数Eq(T)∈U*[[T]]を  (8.10)

に よ って定 義 す る.す な わ ち  (8.11)

が 成 り立 つ.さ

ら に,巾

級 数E(a,b)∈U*[[T]]を E(a,b)=Ea(T・Eb(T))

に よ っ て 定 義 し よ う.こ

のとき

 (8.12)

が 成 り立 つ.と

くに,

が 成 り立 つ の で  (8.13)

が 成 り立 つ.E(a,b)の

定 義 に よ っ て,

E(a,b)=a+(Tに

つ い て 一 次 以 上 の 項)

と表 わ され る こ と を 注 意 し て お こ う.   8.1.3  ふ た た び,(8.8)に

の 係 数aqi∈U-2iに 境 界 を も た な い,2i次   (8.14)  が 成 り立 つ.こ

お い て 定 義 した 巾 級 数

つ い て 考 え よ う.Thom-Atiyahの 元 コ ン パ ク ト弱 複 素 多 様 体Li(q)が a(q)i=D[Li(q)], 

の 多 様 体Li(q)と,先

双 対 定 理 に よ って, 存 在 し て,

[L0(q)]=q に 定 義 し た 多 様 体Mi(q)の

関係につ

い て 調 べ よ う.   定 理8.15 

す べ て の 正 の 整 数n,qに

対 し て,ボ ル デ ィ ズ ム 群U2nに

お い て,

が 成 り立 つ.   証 明   U*(P∞(C))に

お け る 等 式(8.8),

を 考 え よ う.包 含 写 像i:Pn+1(C)→P∞(C)が

誘 導 す る準 同型 写 像

i*:U*(P∞(C))→U*(Pn+1(C)) に よ っ て,

が 成 り 立 つ の で,e(ξn+1)n+2=0と

合 せ て

 (1)

が 成 り立 つ.Thom-Atiyahの

と,定

理7.6,補

題8.4,お

双 対 同型 写 像

よ び(8.14)に

よ っ て,U*(Pn+1(C))に

お い て,

 (2)

が 成 り立 つ.従

っ て,U*=U*(pt)に

おいて

が 成 り立 つ.(終)

  8.2  弱 複 素 多 様 体 の ボ ル デ ィズ ム環U*   8.2.1 

こ れ ま で の 議 論 は,す

べ て,ボ

知 ら な く と も 良 か っ た の で あ る が,今 に な っ て く る.こ   (M,(J))を と き, 

ル デ ィズ ム 環U*の

具 体 的 な構 造 を

後 の 議 論 に お い て は,U*の

構 造 が 問題

れ に つ い て 知 られ て い る 結 果 を 述 べ て お こ う.

弱 複 素 多 様 体 と す る.Jを  は,こ

の 複 素 構造Jに っ て,Rkに

上 の 複 素 構 造 とす る よ っ て 向 き づ け られ た ベ ク トル 束

に な る(3.4節

参 照).従

標 準 的 な 向 き を 与 え て お け ば,接

ル 束 τ(M)が

向 きづ け ら れ た ベ ク トル 束 に な る.こ

ベ ク ト

の 接 ベ ク トル 束 の 向 き は,

弱 複 素構 造Jの

同値 類(J)の

多 様 体(M,(J))は

み に依 って 定 まる ことが分 か る.故 に,弱 複 素

常 に 向 きづ け られ た多 様 体 に な って い る.と

境 界 を もたな い コ ンパ ク トn次

元 弱複 素 多 様 体 で あれ ば,Mの

くに,Mが 向 きに よ って,

ホ モ ロジ ー群 の基 本類 σ(M)∈Hn(M;Z)

が定 ま る.  一 方

も,弱

,複

素 ベ ク トル 束 

複 素 構 造Jの

の 全Chern類

同 値 類 の み に 依 っ て 定 ま る の で,こ

れを単に

c(M)=1+c1(M)+c2(M)+… で 表 わ す こ と に す る.非

負 整 数 の 組 ω=(i1,…,ir)に

対 し て,整

数

cω(M)=〈ci1(M)…cir(M),σ(M)〉 を 弱 複 素 多 様 体MのChern数 ィ ズ ム 不 変 量 で あ る(定   さ て,多

と い う.各 理2.12参

ω に 対 し て,cω(M)は

ボル デ

照).

項 式 環Z[x1,…,xk]に

お い て,

a1=x1+…+xk,…,ak=x1…xk を 基 本 対 称 式 とす る.多 項 式 xk1+…+xkk は,x1,…,xkに し て 表 わ さ れ る.す

つ い て 対 称 で あ るか ら,基 な わ ち,a1,…,akに

本 対 称 式a1,…,akの

多項 式 と

つ い て の 整 数 係 数 多 項 式skが

一意

に定 ま り sk(a1,…,ak)=xk1+…+xkk と表 わ す こ とが で き る.さ

て,(M,(J))を

元 弱 複 素 多 様 体 と す る とき,整

境 界 を も た な い コ ン パ ク トn次

数s(M)を

(mod  2)

に よ っ て 定 義 す る.   定 理8.16(Milnor) 

弱 複 素 多 様 体 の ボ ル デ ィズ ム環U*に

つ い て,次

数

つ き環 と しての 同型

が 成 り立 つ.さ

ら に,コ

ン パ ク ト2n次

元 弱 複 素 多 様 体Mの

表 わす ボル デ ィ

ズ ム 類 が 生 成 元 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,   (ⅰ)  s(M)=±1,(ど

ん な 素 数pに

  (ⅱ)  s(M)=±p,(あ

る素 数pに

対 し て もn≠ps-1の

と き)

対 し てn=ps-1,s>0の

と き)

が 成 り立 つ こ と で あ る.◇   注 意   この定 理 の証 明に つ い て は  

R. Stong:

Notes

on

Cobordism

Theory,

p.128

を 参 照 せ よ.   8.2.2  Xを

境 界 を も た な い,向

し,ζ

の 複 索 直 線 束 と す る.f:X→Pm(C)をPm-1(C)上

をX上

き づ け ら れ た コンパ ク トn次

則 な 可 微 分 写 像 と し,Y=f-1(Pm-1(C))と 次 元 閉 部 分 多 様 体 で あ る.さ fに

す る.Yは

ら に ζ がPm(C)上

よ る 誘 導 束 と 同 値 で あ る 場 合,YをXに

元 多様 体 と で横断正

向 き づ け ら れ たn-2

の 標 準 的 な 複 素 直 線 束 ξmの お け る ζ のdualと

い う.

  次 の 結 果 が 成 り立 つ.   補 題8.17 

YをXに

お け る ζ のdualと

す る と き,任

意 の元

x∈H*(X;Z) に 対 し て, 〈i*(x),σ(Y)〉=〈x・c1(ζ),σ(X)〉 が 成 り立 つ.こ

こ に,c1(ζ)は

  証 明   embedding 成 り立 つ の で,次

i:Y→Xの

復 素 直 線 束 ζ のChern類

を 表 わ す.

法 ベ ク トル 束 を ν と す る と き, 

の 二 つ の 可 換 図 式 に よ っ て 証 明 で き る.

が

(1)

(2)

こ こ に,ψ ν,ψζ はThom同

型 写 像 で あ り,写 像

s:(X,X-intD(ν))→(D(ζ),S(ζ)) は,ζ

がX-Y上

自 明 束 で あ る こ と に よ っ て 定 義 で き る一 つ の 切 断 で あ る. (終)

  さ て,Pm(C)×Pn(C)の

に よ っ て 定 義 す る.こ のdualで

複 素 部 分 多 様 体Hm.nを

の と き,Hm.nはPm(C)×Pn(C)に

お け る 

あ る.

  補 題8.18  (a)

 (b) が 成 り立 つ.   証 明   (a)は 算 で き る.計   定 理8.19 

直 接 に 計 算 で き る.(b)は

補 題8.17を

使 うこ とに よ って計

算 は 読 者 に 委 ね る.(終) 弱 複 素 多 様 体 の ボ ル デ ィ ズ ム環U*は,ボ

に よって生 成 され る.   証 明  任 意 の素 数pに

対 して,U*/p・U*が

ル デ ィズ ム類

に よ って 生 成 され る こ とを 証 明す れ ば 十 分 で あ るが,こ の 事実 は,  の と き,

 (mod

p2)

 の と き,  (mod

p)の

と き,

 (mod

が 成 り立 つ こ と,お   8.2.3 

 (mod

p),a>1の

よび 定 理8.16に

こ こ で,8.1節

 (mod

p2)

p)

と き,

 (mod

p)

よ っ て 保 証 さ れ る.(終)

に お い て 定 義 し た 弱 複 素 多 様 体Mn(q),Ln(q)に

い て 考 察 し よ う.Mn(q)⊂Pn+1(C)は 

のdualで

を 適 用 す る こ と に よ っ て,Mm(q)の

す べ て のChern数

あ る か ら,補 ≡0(mod

つ 題8.17

q),か

つ

s(Mn(q))=q(n+2-qn) な る こ とが 分 か る.定

理8.15に

の す べ て のChern数

≡0(mod

  (8.20) 

よ っ て,nに q)か

つ い て の 帰 納 法 に よ っ て,Ln(q)

つ

s(Ln(q))=q(1-qn)

な る こ とが 分 か る.   補 題8.21 

pを

任 意 の 素 数 と す る.こ

 (a) 

の と き,

 (b) 

の と き,

の と き,

が 成 り立 つ.   証 明   定 理8.16,(8.20),お

よ びLn(p)の

な る こ と に よ っ て 証 明 で き る.証   補 題8.22 pを

非 負 整 数 とす る.先

が 成 り立 つ.

で あ る か ら,補

と き,

題8.21に

p)

に 定 義 した 巾級 数

つ い て,

E(p,pn)≡(D[Lp-1(p)])pnTpn(p-1)+(高

  証 明   n=0の

≡0(mod

明 は 読 者 に 委 ね る.(終)

任 意 の 素 数,nを

E(p,pn)∈U*[[T]]に

す べ て のChern数

よ っ て,

次 の 項),(mod

p)

E(p,1)≡D[Lp-1(p)]Tp-1+高

が 成 り立 つ.す

な わ ち,n=0の

で 結 果 が 正 し い と す る.こ

次 の 項(mod

p)

と き は 結 果 が 正 し い.い

の と き,(8.13)に

まn=k-1の

とき ま

よ って

高 次 の 項(mod 高 次 の 項(mod

p)

p)

が 成 り立 つ.故 に

高 次 の 項(mod 高 次 の 項(mod が 成 り立 つ.す   補 題8.23 

な わ ち,n=kの pを

p)

p)

と き に も 結 果 が 正 し い.(終)

任 意 の 素 数 と す る. 

お よ び 

(mod

p)に

対 し

て

が 成 り 立 つ.   証 明   (8.12),(8.13)に

が 成 り立 つ.Tに

よ っ て,

つ い て の 巾 級 数E(p,pj)の

巾 級 数E(p,pj)はU*[[T]]の  (mod

p)で

が 成 り立 つ.従

常 数 項 は 素 数pで

素 元 で あ る.一

方,E(s,pi)の

あ る か ら,

っ て, 

に 対 して

 (1)

な る こ と を 示 せ ば 十 分 で あ る.補   が,す

題8.21,補

題8.22に

高 次 の 項(mod べ て の 

に 対 し て 成 り立 つ の で(1)が

よ っ て,

p) 証 明 で き る.(終)

あ る か ら, 常数項は

  8.3  不 動 点 集 合   8.3.1  正 の 整 数qを

ここに, 

一 つ 固 定 し て お く.次

の 可 換 図 式 を 考 え よ う.

は,複 素 直 線 束 

に 付 属 した 球 面 束 を表 わ

す.

で あ っ た が,い

ま

と置 く こ とが で き る.  

Gysin完

i*nが

全 列 を 考 え る こ と に よ っ て,次

の 可 換 図 式 を 得 る.

全 射 で あ るか ら image

が 成 り 立 つ.一

π*n⊂image

j*n

方,

高 次 の項 が 成 り立 つ の で, image が 成 り立 つ.結

j*n

局,

  (8.24)  が 成 り 立 つ.故

π*n⊃image

image に,

π*n=image

j*n

に対 して,次 の 同 型,お

よび 可換 図式 が 成 り立 つ.

 (8.25)

  8.3.2  局 所 化 準 同 型 写 像(6.3.2節

参 照)

λ:U*(BZq)→S-1U*(BZq) に つ い て 考 察 し よ う.   補 題8.26 

pを

素 数,rを

正 の 整 数 と し,q=prと

す る.こ

の と き,

に 対 し て,

 (a) 

(λ°π*)-1(0)=E(p,pr-1)・U*[[T]]

が 成 り立 つ.  (b) 

に 対 し て, i*(λ-1(0))=p・U*

が 成 り立 つ.   証 明  U*(BZq)の

部 分 集 合Sを,

と 定 義 す る と き,S-1U*(BZq)はU*(BZq)をSに あ る.ま

よ って局 所 化 した もの で

ず,

が 成 り立 ち,従

って

 (1) 

が 成 り立 つ.逆

(λ°π*)-1(0)⊃E(p,pr-1)・U*[[T]]

に, 

に 対 し て, λπ*(x)=0

が 成 り立 つ と仮 定 す れ ば,整

が 存 在 して,

数列

が 成 り立 つ.故

に,(8.25)に

よ っ て,y∈U*[[T]]が

存 在 して

 (2) が 成 り立 つ.こ

で あ る.さ

こに

て,E(p,pr-1)はU*[[T]]の

0<m<prに

素 元 で あ り,補

題8.23に

よ っ て,

対 して

が 成 り立 つ.故

に,(2)に

よ って x∈E(p,pr-1)・U*[[T]]

が 成 り立 ち,従

って

 (3) 

(λ°π*)-1(0)⊂E(p,pr-1)・U*[[T]]

が 成 り 立 つ.(1),(3)に

よって (λ°π*)-1(0)=E(p,pr-1)・U*[[T]]

が 成 り立 つ.次

に

π*,i*が

全 射 で あ るか ら

が 成 り立 つ.(終)   8.3.3  pを

素 数,rを

正 の 整 数 と し,q=prと

す る.こ

の と き,弱 複 素Zq

多 様 体 の 不 動 点 集 合 の 次 元 に つ い て 考 え よ う.   G=Zqに

対 し て,既

約 複 素Gベ

V0=(C1,ρ0),  のq個

で あ る.た

だ し,Gの

ク トル 空 間 の 完 全 系 は

V1=(C1,ρ1),…,Vq-1=(C1,ρq-1) 生 成 元 をgと

す る と き,

が 成 り立 つ もの と す る.   補 題8.27 

と す る.こ

の と き,複

素 多 様 体Hm,n

上 に,複 素 構造 を保 ち,不 動 点 集 合 の 次元 

で あ る よ うな,Zq作

用が存在

す る.   証 明  整数 

を

を 満 足す る よ うに 定 め る.整 数列

を, a0+a1+…+aq-1=m+1, b0+b1+…+bq-1=n+1

を 満 足す る よ うに 定 め る.こ の とき

が 成 り立 つ.こ

こ で,複

に よ っ て 定 義 す る.た さ ら に,VをVの

は,複

素Zqベ

だ し,aiViはViのai回 共 役Zqベ

素 構 造 を 保 つZq作

あ る.こ

のZq多

で あ る.ま

ク トル 空 間V,Wを

ク トル 空 間 とす る.こ

用 を 許 し,Hm.nは,こ

様 体Hm.nの

ず,m=aqか

直 和 を 表 わ す も の とす る.

のZq作

用 に 関 して 不 変 で

不 動 点 集 合Hm.nZqは,

つn=bqの

と き に つ い て 考 え る.こ

と な り,

が 成 り立 つ.i≠jの

の とき

a0=…=aq-2=a, 

aq-1=a+1,

b0=…=bq-2=b, 

bq-1=b+1

と き,

dim(P(aiVi)×P(bjVj))=2((ai-1)+(bj-1))

の と き, 

で あ り,ま

た

が 成 り立 つ の で,

が 成 り立 つ.つ き, 

ぎ に,m>aqま

た はn>bqの

と な り,す べ て のi,jに

と き に つ い て 考 え よ う.こ

のと

対 し て,

が 成 り立 つ の で,

が 成 り立 つ.(終)   8.3.4  pを

素 数,rを

正 の 整 数 と し,q=prと

す る.G=Zqに

対 して,次

の 写 像 を 考 え る.

こ こ に,ε

はG作

集 合 の 次 元  元 の,上

用 を 無 視 す る こ と に よ っ て 定 義 さ れ る写 像 で あ る.不 で あ る よ うな,弱

複 素G多

の 写 像 に よ る 像 の 全 体 は,U*/p・U*の

に よ っ て 生 成 さ れ るU*/p・U*の

部分 環 を

F(Zq,k)⊂U*/p・U* で 表 わ そ う.他

方,U*の

部分 群

に よ っ て 生 成 さ れ るU*/p・U*の

部分 環 を

動点

様 体 に よ っ て 表 わ さ れ るUG*の 部 分 群 を 作 る が,こ

の部 分 群

U(r)⊂U*/p・U* で 表 わ そ う.こ

の と き,次

  定 理8.28(T.

tom

の 定 理 が 成 り立 つ.

Dieck) 

pを

素 数,rを

正 の 整 数 と し,q=prと

す る.

こ の と き,   (a) 

す べ て の 

に 対 し て,U*/p・U*の

部分 環 と して

F(Zq,k)=U((k+1)q-1) が 成 り立 つ.   (b) 

Mを

U*/p・U*に

コ ン パ ク ト弱 複 素Zq多 お い てindecomposableで

様 体 とす る.ε[M]の

表 わ す 元 が,

あ る とす れ ば,

が 成 り立 つ.   証 明  (a)に

つ い て,定

理8.19,補

題8.27に

よ っ て,

U((k+1)q-1)⊂F(Zq,k) が 成 り立 つ.逆

向 き の 包 含 関 係 を 示 す た め に,次

こ こ に,G=Zqで

で あ る.ま

らに

た, 

た 写 像 は,す よ って,こ

あ り,さ

で あ る.こ

べ て 環 準 同 型 写 像 で あ り,定 の 図 式 は 可 換 に な る.さ

ら に,定

に 対 し て,

の と き,上

理6.4,命 理7.11に

ε=D-1°i*° α°D が 成 り立 つ. 

の 図 式 を 考 え よ う.

の図 式 に 現わ れ

題6.12,定 よ っ て,

理7.15に

に よ って生 成 され る,整 数環Z上

とす る.こ

の部 分 多 元 環 を

の と き,環Fkは(k+1)q-1個

環 と 同 型 で あ る こ とが 分 か る.さ

の 不 定 元 を も っ たZ上 て,定

理8.19,補

題8.27に

の多 項 式

よ っ て,

j=1,2,…,(k+1)q-1 に 対 し て,コ

ン パ ク ト 弱 複 素Zq多

様 体Mjを

選 ん で,次

の条 件 を み たす よ

うに で き る.   (ⅰ)  dim Mj=2j,   (ⅱ)  φ1D[Mj]∈Fk,   (ⅲ)  ε[Mj]は 一 方 ,補

多 項 式 環U*の

題8.26(b)に

生 成 元 で あ る.

よ っ て,次

の図 式 を 可 換 に す る環 準 同型 写像

β が定

ま る.

い ま, 

の 部 分 環Dkを, Dk=Fk∩

φ1U*G

に よ っ て 定 義 す れ ば, α(Dk)⊂image が 成 り立 つ こ とを 注 意 し て お こ う.さ

λ

て,コ

ン パ ク ト弱 複 素Zq多

様 体Mが

存 在 し て,   (1) 

ε[M]∈F(Zq,k)-U((k+1)q-1)

が 成 り立 つ も の と 仮 定 し よ う.こ

の と き,

φ1D[M]∈Dk が 成 り立 つ.さ

て,Fkが(k+1)q-1個

と 同 型 で あ る か ら,そ

の 部 分 環Dkは,Z上

の 不 定 元 を も ったZ上

の 多項 式 環

の 超 越 次 数 が 高 々(k+1)q-1

で あ る.し

か る に,Dkに

は 既 に 代 数 的 に 独 立 な(k+1)q-1個

の元

φ1D[Mj],(j=1,2,…,(k+1)q-1) が 存 在 す る の で,(k+1)q個

の元

φ1D[M];φ1D[Mj],(j=1,2,…(k+1)q-1) は,代

数 的 に 独 立 で は な い.従

は,U*/p・U*に

お い て,代

て,

っ て,(k+1)q個

の元

数 的 に 独 立 で は な い.す

な わ ち,U*/p・U*に

お い

ε[M];ε[Mj],(j=1,2,…,(k+1)q-1) の 表 わ す(k+1)q個

の 元 は,代

対 す る仮 定(1)に

数 的 に 独 立 で は な い.一

よ っ て,U*/p・U*に

方,Zq多

様 体Mに

お い て,

ε[M];ε[Mj],(j=1,2,…,(k+1)q-1) の 表 お す(k+1)q個

の 元 は,代

数 的 に 独 立 に な っ て い る.こ

れは矛盾であ る

か ら, F(Zq,k)⊂U((k+1)q-1) が 成 り立 つ.以

上 で(a)の

証 明 が 終 った.次

に,Mを

コ ン パ ク ト弱 複 素Zq

多様体で

が 成 り立 つ も の とす る.ε[M]の posableで

あ れ ば,(a)の

が 成 り立 つ.従

が 成 り立 つ.(終)

って

表 わ す 元 がU*/p・U*に

結 果 に よ っ て,

お い て,indecom

付

  A-1.1 

録   ベ ク トル束 の 特性 類

フ ァ イ バ ー 束 に 対 す るLeray-Hirschの

Poincare-Lefschetzの  中 岡 稔:位

定 理 お よび 多様 体 に 対す る

双 対 定 理 に つ い て 述 べ て お こ う.例 相 幾 何 学(ホ

モ ロ ジ ー 論),共

えば

立 講座

に 詳 し い 証 明 が 載 っ て い る.   位 相 空 間E,B,Fお

よび 連 続 写 像p:E→Bに

つ と き,(E,p,B,F)を

対 し て 次 の 条 件 が 成 り立

フ ァ イ バ ー 束 と い う.Bの

開 被 覆{Uα,α

∈ Λ}お

よび 同相 写 像 φα:Uα ×F→p-1(Uα) の 族(α

∈ Λ)が 存 在 し て, pφ α(b,y)=b,(b∈Uα,y∈F)

が 成 り立 つ.こ い い,{Uα,φ

の と き,E,p,B,Fを

全 空 間,射

影,底

空 間,フ

ァ イバ ー と

α,α ∈ Λ}を 局 所 座 標 系 と い う.

  さ らに(E,E0),(F,F0)を 続 写 像 と す る と き,次

位 相 空 間 対,Bを

位 相 空 間,p:E→Bを

連

の 条 件 が 成 り立 て ば, ((E,E0),p,B,(F,F0))

を フ ァ イ バ ー 束 対 と い う.Bの

の 族(α

開 被 覆{Uα,α

∈ Λ}お

よび 同 相写 像

∈ Λ)が 存 在 し て, pφ α(b,y)=b,(b∈Uα,y∈F)

が 成 り 立 つ.各

点b∈Bに

対 し て,Eb=p-1(b),E0b=p-1(b)∩E0と jb:(Eb,E0b)→(E,E0)

を 包 含 写 像 と す る.

お き,

  定 理A-1(Leray-Hirsch)  し,ホ

((E,E0),p,B,(F,F0))を

モ ロ ジ ー群H*(F,F0)は

と 仮 定 す る.さ

ら に 次 数0の

フ ァイバ ー束対 と

次 数 つ き加 群 と して有 限 生 成 かつ 自由で あ る 準 同型 写 像

θ:H*(F,F0)→H*(E,E0) で,各

点b∈Bに

対 し て, j*b° θ:H*(F,F0)→H*(Eb,E0b)

は 同 型 写 像 で あ る よ う な もの が 存 在 す る と 仮 定 す る.こ

の と き,次

数 つ き加 群

の 同型

が

に よ っ て 誘 導 され る.◇   定 理A-2 

Xを

コ ン パ ク トで,向

きづ け られ たn次

元 多 様 体 と し,

σ(X)∈Hn(X,∂X) を 基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 と す る.こ

の と き,同

型

  (ⅰ)   (ⅱ) が 成 り立 つ.◇   こ の 定 理 をLefschetzの careの

双 対 定 理 と い い,と

くに ∂X=φ

の 場 合 をPoin

双 対 定 理 と い う.

  定 理A-3 

射 影 空 間 の コ ホ モ ロ ジ ー 環 に つ い て,次

の(ⅰ),(ⅱ)が

立 つ.

  (ⅰ) こ こに α の 次 数 は1.   (ⅱ) こ こ に β の 次 数 は2.

 証 明   (ⅰ)の 証 明 も同 様 で あ るか ら,(ⅱ)の

み を証 明 し よ う.Pk(C)の

成 り

基 本 ホモ ロジ ー類 をωkで 表 わ す.包 含 写 像

に関 して,同 型

が 成 り立 って い る.コ

ホ モロ ジ ー 類

β∈H2(Pn(C);Z)を〈

よ っ て 定 義 す る と き,k=1,2,…,nに

対 して

βk=β∪ はH2k(Pn(C);Z)の

…∪ β  (k個)

生 成 元 で あ る こ とが 次 の よ うに し て 示 さ れ る か ら,(ⅱ)

の 前 半 が 成 り立 つ.k=1に

対 し て は β の 定 義 に よ り明 らか で あ る.い

に 対 し て 成 り立 つ と 仮 定 し よ う 

で あ るが,仮

っ て,〈βk,ik*ωk〉=±1が

の 生 成 元 で あ る.よ

っ て,帰

まk-1

この と き

定 に よ り,i*kβk-1∩ωkはH2(Pk(C);Z)の

が 成 り立 つ.従

β,i1*ω1〉=1に

生 成 元 で あ るか ら

成 り立 ち,βkはH2k(Pn(C);Z)

納 法 に よ り求 め る 結 果 が 示 され た.包

し て, 

含 写像 に関

で あ る か ら,後

半 は前 半

よ り直 ち に 得 られ る.(終)   注 意   Pn(C)の   A-1.2 

自 然 な 向 き の 定 義 に よ っ て,〈βn,ωn〉=1が

フ ァ イ バ ー 束(E,p,B,F)に

に 対 し てp-1(b)にC上 座 標 系{Uα,φα,α∈Λ}に

お い てF=Cnで

後,Rま

る局 所

関 して

用 い る こ と に よ っ て,同 た はCをKで

あ り,各 点b∈B

の ベ ク トル 空 間 の 構 造 が 与 え られ て い て,あ

が 成 り立 つ と き,ξ=(E,p,B)をn次 にRを

成 り立 つ.

元 複 素 ベ ク トル 束 と い う.Cの 様 にn次

代 り

元 実 ベ ク トル 束 が 定 義 で き る.以

表 わ す こ と に す る.

  ξ=(E,p,B),ξ′=(E′,p′,B′)をn次

元 ベ ク トル 束 とす る.f:E→E′,

f:B→B′

成 り立つ も の と す る.各 点b∈B

を 連 続 写 像 と し,p′°f=f°pが

に 対 し て,fがp-1(b)か で あ る と き,fを あ り,fが

らp′-1(f(b))へ

ξ か ら ξ′へ の ベ ク トル 束 写 像と い う.と

恒 等 写 像 で あ る と き,fを

型 写 像 が 存 在 す る と き,ξ

束 同 型 写 像という.ξ

くにB=B′

元 ベク トル 束 と し,g:B′ 元 ベ ク トル 束g*ξ=(E′,p′,B′)を

→Bを

で

か ら ξ′へ の 束 同

は ξ′に 同 型 で あ る と い い, 

  ξ=(E,p,B)をn次 この と き,n次

の ベ ク トル 空 間 と しての同 型 写 像

で 表 わ す. 連 続 写 像 と す る.

次 の よ う に 定 義 し,gに

よ

る 誘 導 ベ ク トル 束 と い う.

で,p′-1(b′)に

お け る ベ ク トル 空 間 の 構 造 は

に よ っ て 与 え られ る.さ fはg*ξ   m次

ら に,f:E′

→Eをf(b′,e)=eで

か ら ξ へ の ベ ク トル 束 写 像 で あ り,p°f=g°p′ 元 ベ ク トル 束 ξ=(E,p,B)と,n次

に 対 し,p×p′:E×E′

→B×B′

定 義 す る と き, が 成り 立 つ.

元 ベ ク トル 束 ξ′=(E′,p′,B′)

を 考 え,各

点(b,b′)∈B×B′

に 対 し て,

(p×p′)-1(b,b′)=p-1(b)×p′-1(b′) の ベ ク トル 空 間 の 構 造 はp-1(b)とp′-1(b′)の

は 自 然 にm+n次

元 ベ ク トル 束 に な る.ξ× ξ′を ξ と ξ′の 直 積 と い う.

  ξ=(E,p,B),ξ′=(E′,p′,B)は 束,n次

同 一 の 底 空 間B上

元 ベ ク トル 束 と す る.こ

の と き,B上

 を 次 の よ うに 定 義 し,ξ

で,各

点b∈Bに

直 和 で あ る と す る と き,

のm次

のm+n次

元 ベ ク トル 元 ベ ク トル 束

と ξ′のWhitney和

対 し て, p″-1(b)=p-1(b)×p′-1(b)

の ベ ク トル 空間 の 構 造 は,p-1(b)とp′-1(b)の を 対 角 線 写 像 と す る と き,同

型

直 和 とす る.d:B→B×B

と い う.

が 成 り立 つ.   m次

元 ベ ク トル 束

に 対 し て,mn次 し,ξ

ξ=(E,p,B)と,n次

元 ベ ク トル 束 ξ′=(E′,p′,B′)

元 ベ ク トル 束 

を 次 の よ うに 定 義

と ξ′の 外 部 テ ン ソ ル 積 と い う.各

点(b,b′)∈B×B′

に 対 し て,ベ

ク トル 空 間 の テ ン ソ ル 積 を 考 え て

と す る.次

にE″

の 位 相 を 定 義 し よ う.{Uα,φα,α∈Λ},{Vβ,ψ

を ξ,ξ′の 局 所 座 標 系 と す る. 

β,β ∈Λ′}

と み な し て,写

像

を

に よ っ て 定 義 す れ ば,φα.β は 全 単 射 で あ る こ とが 分 か る.す β∈Λ′ に 対 し て,p″-1(Uα

×Vβ)がE″

あ る とす る こ と に よ っ て,E″   ξ,ξ′は同 一の 底 空 間B上 と す る.d:B→B×Bを

B)を

α ∈Λ,

の 開 集 合 で あ り,φα.βが 同 相 写 像 で

の 位 相 が 定 ま る. のm次

元 ベ ク トル 束,n次

元 ベ ク トル 束 で あ る

対 角 線 写 像 と す る と き,誘 導 ベ ク トル 束 

を ξ と ξ′の テ ン ソ ル 積 と い い,    n次

べての

元 ベ ク トル 束 ξ=(E,p,B)に 次 の よ うに 定 義 し,ξ

で 表 わ す. 対 し て,n次

元 ベ ク トル 束 ξ*=(E*,p*,

の 双 対 ベ ク トル 束 と い う.各

点b∈Bに

対 し て,

ベ ク トル 空 間 と して p*-1(b)=HomK(p-1(b),K) と す る.E*の

位 相 に つ い て は,外

部 テ ン ソル 積 の 場 合 と 同 様 に 自 然 に 定 義 す

る.   ξ=(E,p,B)をn次 p-1(b)はn次

元 複 素 ベ ク トル 束 とす る.各 元 複 素 ベ ク トル 空 間 で あ るか ら,R⊂Cに

実 ベ ク トル 空 間 と考 え ら れ る.従 っ て,ξ を2n次

点b∈Bに

対 し て,

よ っ て,2n次

元

元 実 ベ ク トル 束 と み な す こ と

が で き る.こ

れ を ξ の 実 化 とい い,ξRで

  n次 元 実 ベ ク トル 束 ξ=(E,p,B)に

表 わ す. 対 し て,Whitney和 

を 考 え る. E′={(e1,e2)∈E×E￨p(e1)=p(e2)} で あ る か ら,J:E′

→E′

をJ(e1,e2)=(-e2,e1)に

 

の 複 素 構 造 で あ る.す

な わ ち, 

が,こ

れ を ξ の 複 素 化 と い い,ξCで

よ っ て 定 義 す れ ば,Jは はn次

元 複 素 ベ ク トル 束 に な る

表 わ す.

  実 ベ ク トル 束 ξの 底 空 間 が パ ラ コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ れ ば,同

型

 (A-4)

が 成 り立 ち,複 で あ れ ば,同

素 ベ ク トル 束 ξ の 底 空 間が パ ラ コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間

型

 (A-5)

が 成 り立 つ.   A-2.1 

複 素 ベ ク トル 束 に 対 す るChern類

ル フ 底 空 間B上

のn次

元

の 公 理 系 を み た す も の で あ る.

自 然 性.ξ=(E,p,B),ξ′=(E′,p′,B′)をn次

ル 束 と し,f:E→E′ fか

ラ コ ン パ ク トハ ウ ス ド

元 複 素 ベ ク トル 束 ξ に 対 し て,H*(B;Z)の

を 定 め る対 応 で あ っ て,次   (公 理1) 

と は,パ

元複素ベ ク ト

を ξ か ら ξ′へ の ベ ク トル 束 写像 とす る.こ

ら定 ま る底 空 間 の 連 続 写 像f:B→B′

の と き,

に対 して

ci(ξ)=f*ci(ξ′) が 成 り立 つ.   (公 理2)  と す る と き,

が 成 り立 つ.

Whitney積

公 式.ξ,ξ′

を 同 一 の 底 空 間B上

の 複 素 ベ ク トル 束

  (公 理3) 

正 規 性.P1(C)上

の標 準 的 な 直 線束

ξ1(3.4.3節,例1)に

対

して 〈c1(ξ1),ω1〉=1 が 成 り立 つ.こ

こ にω1はP1(C)の

基 本 ホ モ ロ ジ ー 類 を 表 わ す.

  注 意  Pn(C)上

の 標 準 的 な 直 線 束 を 

P1(C)→Pn(C)に

関 し て, 

とす る.包

が 成 り立 つ の で,公

理1と

含 写 像jn: 公 理3に

よっ

て 〈c1(ξn),jn*ω1〉=1 が 成 り立 ち,  る か ら,公

が 一 意 に 定 ま る.ξ∞ は 普 遍 複 素 直 線 束 で あ

理1と

公 理3に

Chern類c1(ξ)が

よ っ て,す

べ て の 複 素 直 線 束 ξに 対 し て,1次

の

一意 に 定 ま る こ とが 分 か る.

  ξ=(E,p,B)をn次

元 複 素 ベ ク トル 束 と す る.ξ

バ ー 束 を π:CP(ξ)→Bと

に付 属 した 射影 フ ァ イ

し,ξ=(E(ξ),q,CP(ξ))を

束 と す る(3.4.3節,例2).こ

の と き,定

標 準 的 な複 素直 線

理A-1に

よ っ て,

π*:H*(B;Z)→H*(CP(ξ);Z) は 単 射 で あ り,H*(CP(ξ);Z)は,1,c1(ξ),…,c1(ξ)n-1を H*(B;Z)加

群 で あ る こ と が 分 か る.従

っ て,等

基 とす る 自由 式

 (A-6)

を み た す 元xi(ξ)∈H2i(B;Z)が さ らにCP(ξ)上

一意に 定 ま る.た

のn-1次

元 複 素ベ ク トル 束

だ しx0(ξ)=1と

η が 存 在 し て,同

す る.

型

 (A-7)

が 成 り立 つ.と   補 題A-8 

く に,n=1の

と き 

ξ=(E,p,B)をn次

で あ る こ と を 注 意 し て お く. 元 複 素 ベ ク トル 束 と し,Bは

ク トハ ウ ス ドル フ空 間 で あ る とす る.こ トハ ウ ス ドル フ空 間B1と

連 続 写 像g:B1→Bが

  (ⅰ)  g*:H*(B;Z)→H*(B1;Z)は   (ⅱ)  誘 導 束g*ξ

はn個

パ ラ コンパ

の と き 次 の 条 件 を み た す パ ラ コ ンパ ク 存 在 す る. 単 射 で あ る.

の 複 素 直 線 束 のWhitney和

に 同 型 で あ る.

  証 明   定 理A-1と   補 題A-9 

同 型(A-7)に

よ る.証

ξ,η を 同 一 の 底 空 間B上

複 素 ベ ク トル 束 とす る.等

式(A-6)に

明 は 読 者 に 委 ね る.(終)

のm次

元 複 素 ベ ク トル 束,n次

元

よ っ て 定 ま る コホ モ ロ ジ ー 類 に つ い て,

等式

が 成 り立 つ.  証明 

の開 集 合U(ξ),U(η)を

に よって 定 義す れ ば  (1)

が 成 り立 つ.次 の 可換 図式 を 考 え よ う.

こ こにi1,i2は

包 含 写 像,π,π1,π2は

射 影 で あ り,k1,k2は

る ホ モ ト ピー 同 値 写 像 で あ る.

標 準 的 な直 線 束 の 定 義に よ って,同 型  (2)

が 成 り立 つ. 

に よ っ て定 義 す る.こ

の 元y1,y2を

のとき

次 式 で定 義 され

 (3)

が 成 り立 ち,さ

ら に(2)に

が 成 り立 つ.k1,k2が

よ っ て,

ホ モ ト ピ ー 同 値 写 像 で あ るか ら i*1(y1)=0, i*2(y2)=0

が 成 り立 つ.コ

ホ モ ロ ジー完 全 列

を 考 え る こ とに よ っ て, j*1(x1)=y1, j*2(x2)=y2 を み た す 元x1,x2が

が 成 り立 つ.従

存 在 す る.こ

の と き(1)に

っ て,(3)と(A-6)に

よ っ て,等

よ っ て,

式

が 成 り立 つ.(終)   定 理A-10 

Chern類

  証 明   等 式(A-6)に

は 一 意 に 存 在 す る. よ っ て 定 ま るコ ホ モ ロ ジ ー 類 x(ξ)=1+x1(ξ)+x2(ξ)+…

は 公 理1,公 x(ξ)は

理3を

満 足 し,補

ξ のChern類

で あ る.一

の 一 意 性 に よ っ て,Chern類   A-2.2  お こ う.   定 理A-11

テ ン ソル 積,双

題A-9に 方,補

よ っ て 公 理2も 題A-8と

満 足 す る.従

っ て,

直 線束 に 対 す るChern類

の 一 意 性 が 証 明 で き る.(終) 対 ベ ク トル 束 に 対 す るChern類

につ い て考 察 して

 

(ⅰ)  ξ,η を 同一 の底 空 間 上 の複 素 直 線 束 とす れ ば,

が 成 り立 つ.   (ⅱ)  複 素 ベ ク トル 束 ζ に 対 し て,ζ*を

双 対 ベ ク トル 束 と す る と き

ci(ζ*)=(-1)ici(ζ)

が 成 り立 つ.   証 明   (ⅰ)は8.1.2節

の 等 式(8.6),(8.7)の

で き る の で 省 略 す る.と

証 明 と全 く同 様 に し て 証 明

くに 複 素 直 線 束 ξ の 双 対 直 線 束 ξ*に 対 し て, c1(ξ*)=-c1(ξ)

が 成 り立 つ.次

に(ⅱ)を

証 明 し よ う.ζ=(E,p,B)をn次

束 とす れ ば,補

題A-8に

よ っ て,連

複 素 直 線 束 ζ(1),…,ζ(n)が

続 写 像g:B1→Bと,B1上

存 在 し て,

g*:H*(B;Z)→H*(B1;Z) は 単 射 で あ り,同 型

が 成 り立 つ.こ

の と き,同

型

が 成 り立 つ の で,

が 成 り立 つ.g*は

単 射 で あ るか ら,等 式 ci(ζ*)=(-1)ici(ζ)

が 成 り立 つ.(終)

元 複 素ベ ク トル のn個

の

  補 題A-12 

ζ=(E,p,B)を

次 元 実 ベ ク トル 束 と し,ζCを

パ ラ コン パ ク トハ ウ ス ドル フ空 間B上

のn

複 素 化 とす れ ば 2c2i+1(ζC)=0

が 成 り立 つ.   証 明   (A-4)に

よ っ て, 

が 成 り立 つ の で,定

理A-11に

よって

が 成 り立 つ.(終)   ζ=(E,p,B)を ル 束 と し,ζCを

パ ラ コン パ ク トハ ウ ス ドル フ空 間B上 複 素 化 とす る.コ

のn次

元実ベ ク ト

ホ モ ロジ ー類

を,実

ベ ク トル 束 ζ のi次Pontrjagin類

を,ζ

の 全Pontrjagin類

と い い,

と い う.

  定 理A-13   (ⅰ)  ζ,ζ′ を 同 一 の 底 空間 を も つm次

元 実 ベ ク トル 束,n次

元実ベ ク ト

ル 束 と す れ ば,

が 成 り立 つ.   (ⅱ)  ξ,ξ′ を 同 一 の 底 空 間 を も つm次 ク トル 束 とす れ ば,

が 成 り立 つ.   証 明   (ⅰ)に

つ い て.

元 複 素 ベ ク トル 束,n次

元複素ベ

が 成 り立 つ の で,補

が 成 り立 つ.(ⅱ)に

題A-12に

よ って

つ い て.複

が 成 り立 つ の で,定

素 ベ ク トル 束 ξ に 対 し て,(A-5)に

理A-11(ⅱ)を

よ っ て,

用いて c2i+1((ξR)C)=0

が 示 さ れ る.従

っ て,(ⅰ)の

計 算 と 同様に し て

が 成 り立 つ.(終)   A-2.3 

概 複 素 多 様 体MのChern類ci(M)∈H2i(M;Z)と

接 ベ ク トル 束τMのChern類

は,複

素

の こ と で あ り,可 微 分 多 様 体 のPontrjagin類

pi(M)∈H4i(M;Z)とは,接

ベ ク トル 束

τMのPontrjagin類

の こ とで あ

る.   定 理A-14 

複 素 射 影 空 間Pn(C)に

つ い て,

 

(ⅰ) 

c(Pn(C))=(1+β)n+1,

 

(ⅱ) 

p(Pn(C))=(1+β2)n+1

が 成 り立 つ.こ   証 明   (ⅰ)を の 全 空 間 は,位

か ら,同

こ に β=c1(ξn)で

証 明 す れ ば 十 分 で あ る.Pn(C)の

値 関 係(u,υ)∼(λu,λυ),λ 方,標

∈C,￨λ￨=1に

準 的 直 線 束 ξnのn+1個

よ って 定 義 され る商 空 間 のWhitney和

の全空間

相空間

か ら,同

値 関 係(u,υ)∼(λu,λυ),λ

間 と 同 一 視 で き るE,E′ 同型

複 素 接 ベ ク トル 束τPn(C)

相空間

と 同 一 視 で き る.一 は,位

あ る.

∈C,￨λ￨=1に

を 比 較 す る こ とに よ っ て,複

よ っ て 定 義 さ れる 商 空 素 ベ ク トル束 と して の

n+1個 が 成 り立 つ.こ

こ にC1はPn(C)上

の 自 明 直 線 束 を 表 わ す.故

にWhitney

積 公 式 に よ って c(Pn(C))=(1+c1(ξn))n+1

が 成 り立 つ.(終)   A-3.1  て,実

複 素 射 影 空 間Pn(C)上

射 影 空 間Pn(R)上

の標 準 的 複 素直 線 束

ξnの 定 義 と 同 様 に し

の 標 準 的 実 直 線 束 ξRnが 次 の よ う に 定 義 さ れ る .ξRn

の 全 空 間E(ξRn)は,Sn×Rか

ら,同

値関係

(u,υ)∼(-u,-υ),u∈Sn,υ

∈R

に よ っ て 定 義 さ れ る 商 空 間 で あ り,(u,υ)の

同 値 類 を[u,υ]で

射 影p:E(ξRn→Pn(R)は,p([u,υ])=[u]で

与 え ら れ,ベ

表 わ す と き, ク トル 束 の 構 造

は t1[u,υ1]+t2[u,υ2]=[u,t1υ1+t2υ2],t1,t2∈R に よ っ て 定 義 さ れ る も の で あ る.   実 ベ ク トル 束 に 対 す るStiefel-Whitney類 ル フ底 空 間B上

のn次

を 定 め る 対 応 で あ っ て,次   (公 理1′)  束 と し,f:E→E′

と は,パ

ラ コ ンパ ク トハ ウス ド

元 実 ベ ク トル 束 ζ に 対 し て,H*(B;Z2)の

元

の 公 理 系 を み た す も の で あ る.

自然 性.ζ=(E,p,B),ζ′=(E′,p′,B′)をn次

元 実 ベ ク トル

を ζ か ら ζ′へ の ベ ク トル 束 写 像 とす る.こ

か ら定 ま る 底 空 間 の 連 続 写 像f:B→B′

の と き,f

に対 して

wi(ζ)=f*wi(ζ′) が 成 り立 つ.   (公 理2′)  Whitney積 す る と き,

公 式.ζ,ζ′ を 同 一 の 底 空 間B上

の 実 ベ ク トル 束 と

が 成 り立 つ.   (公 理3′)  正規 性.P1(R)上

の 標準 的 な直 線束 ξR1に対 して,

が 成 り立 つ.   定 理A-15 

Stiefel-Whitney類

  証 明   Chern類

は 一 意 に 存 在 す る.

の 存 在 と一 意 性 の 証 明 と 全 く 同 様 に で き る.(終)

  可 微 分 多 様 体MのStiefel-Whitney類wi(M)∈Hi(M;Z2)と ク トル 束 τMのStiefel-Whitney類   定 理A-16 

は,接

ベ

の こ と で あ る.

実 射 影 空 間Pn(R)に

対 し て,

が成 り立 つ.   証 明  定 理A-14の   補題A-17 

証 明 と全 く同様 に で きる.(終)

Pn(C)上

が 成 り立 つ 

の標 準 的 な複 素 直線 束 ξnと 実 化 ξnRに 対 して,

こ こに,ρ2*:H*(-;Z)→H*(-;Z2)は,係

全 射 ρ2:Z→Z2に

数環 の

よ っ て 誘 導 さ れ る 準 同 型 写 像 を 表 わ す.

  証 明   Pn(C),P2n+1(R)は,と 影 π:P2n+1(R)→Pn(C)に

も にS2n+1の 対 し て,同

等 化 空 間 で あ るが,自

然な射

型

が成 り立 つ.故 に

す な わ ち, 

が 成 り立 つ. 

は 生 成 元 で あ る か ら,ρ2*c1(ξn)=w2(ξnR)が   定 理A-18  ξ と,そ

で あ り,ρ2*c1(ξn) 成 り立 つ.(終)

パ ラ コ ン パ ク トハ ウ ス ドル フ 空 間 上 のn次

元 複 素 ベ ク トル 束

の 実 化 ξRに 対 し て

が 成 り立 つ.   証 明  補 題A-8,補

題A-17,お

よ びWhitney積

公 式 か ら容 易 に 導 か れ る.

証 明 は 読 者 に 委 ね る.(終)  

A-3.2 

可 微 分 多 様 体 のStiefel-Whitney類

説 明 し よ う.こ

の た め,Steenrodの

に 関 す るWuの

公式 につ い て

平方作用素

Sqi:Hq(X;Z2)→Hq+i(X;Z2) の 性 質 を 述 べ て お こ う.詳   N.

Steenrod-D.

し い 解 説 に つ い て は,

Epstein:

Cohomology 50,

Operations,

Ann.

Math.

Studies

Princeton(1962)

を 参 照 せ よ.平

方 作 用 素 は 次 の 性 質 を も つ.

  (ⅰ) 

Sqiは

準 同 型 写 像 で あ る.

  (ⅱ) 

Sqiは

連 続 写 像 に 関 し て 自 然 で あ る.

  (ⅲ) 

Sq0=恒

  (ⅳ) 

α ∈Hq(X;Z2)に対

  (ⅴ) 

α ∈Hq(X;Z2)で,i>qの

  (ⅵ) 

α ∈H*(X;Z2),β

等 写 像. し て,Sqq(α)=α2. と き,Sqi(α)=0. ∈H*(Y;Z2)に

対 し て,H*(X×Y;Z2)に

お

い て,

  Mを

コ ン パ ク トn次

元 可 微 分 多 様 体 で,∂M=φ

で あ る とす る.Poincare

の 双 対 定 理 に よ っ て,

を み た す 元 υj∈Hj(M;Z2)が一意に   定 理A-19(Wu) 

Mを

存 在 す る.υjをMのWu類

コ ン パ ク トn次

る と す る.MのStiefel-Whitney類

が 成 り 立 つ.こ

元 可 微 分 多 様 体 で,∂M=φ

に つ い て,

こ に,υjはMのWu類

で あ る.◇

  証 明 に つ い て は,   J. Milnor: を 参 照 せ よ.

Lectures

on

Characteristic

Classes(1957)

と い う. で あ

  以上,特 性 類に つ い て の簡 単 な解 説 を試 み た が,さ 記 のMilnorの

らに詳 し く知 るに は,上

講 義 録 また は,

中岡 稔:位 相 幾 何学(ホ を読 む ことを おす す め す る.

モ ロジー 論),共

立 講座

参

考

文

献

本 書 の 執 筆 に あ た っ て 参 考 に し た 書 物 お よ び 関 連 論 文 の 主 な も の を 挙 げ て お こ う. [1] 

M.F.Atiyah:Bordism and

cobordism,Proc.Cambridge

Phil.Soc.57(1961),

200-208. [2]  [3] 

M.F.Atiyah:K-Theory,Benjamin(1967). M.F.Atiyah-F.Hirzebruch:Spin-manifolds and logy

and

Related

Topics,Memoires

group dedies

a Georges

actions,"Essays on Topo

de Rham"Springer-Verlag(1970),

18-28. [4] 

J.M.Boardman:On

[5] 

A.Borel-F.Hirzebruch:Characteristic

manifolds

with

involution,Bull.AMS,73(1967),136-138. classes and

homogeneous spaces Ⅰ,Ⅱ,Amer.J.

Math.80(1958),458-538;81(1959),315-382. [6] 

R.Bott:Lectures

[7] 

N.Bourbaki:Algebre Commutative,Chap.1,2,Hermann(1961).

on

K(X),Benjamin(1969).

[8] 

G.E.Bredon:Introduction

[9] 

T.Brocker-T.tom

to Compact Transformation

Groups,Academic

Dieck:Kobordismentheorie,Lecture

Notes

Press(1972).

in Math.178,Sprin

ger-Verlag(1970). [10] 

S.S.Chern-F.Hirzebruch-J.P.Serre:On

the index

of a fibred

manifold,Proc.

AMS,8(1957),587-596. [11] 

C.Chevalley:Theory

[12] 

P.E.Conner:The

of Lie Groups,Princeton bordism

class of

University

a bundle

Press(1946).

space,Michigan

Math.J.14(1967),

289-303. [13] 

P.E.Conner:Seminar

on Periodic Maps,Lecture

Notes

in

Math.46,Springer-

Verlag(1967). [14] 

P.E.Conner-E.E.Floyd:Periodic

maps which preserve

a

complex

structure,Bull.

AMS,70(1964),574-579. [15] 

P.E.Conner-E.E.Floyd:Differentiable

[16] 

P.E.Conner-E.E.Floyd:Torsion

[17] 

P.E.Conner-E.E.Floyd:Maps

[18] 

P.E.Conner-E.E.Floyd:The Relation of Cobordism to K-Theories,Lecture in

[19] 

Periodic in of odd

Maps,Springer-Verlag(1964).

SU-bordism,Mem.AMS,60(1966). period,Ann.Math.84(1966),132-156.

Math.28,Springer-Verlag(1966).

A.Hattori-H.Taniguchi:Smooth (1972),701-731.

S1-action

and

bordism,J.Math.Soc.Japan,24

Notes

[20] 

F.Hirzebruch:Topological

[21] 

D.Husemoller:Fibre

[22] 

K.Kawakubo-F. Raymond:The

Methods

in Algebraic

Geometry,

Springer-Verlag(1966).

Bundles, McGraw-Hill(1966). index

tric interpretations of the σ(∞,(S1,

of manifolds with

M))invariant

of Atiyah

toral actions and

Singer,

and

Invent.

geome Math.

15(1972),53-66. [23] 

K.Kawakubo-F.Uchida:On

the index of a semi-free S1-action,

J.Math.Soc.Japan,

23(1971),351-355. [24] 

松 島 与 三:多

[25] 

J.Milnor:Lectures

様 体 入 門,裳

[26] 

J.Milnor:On the cobordism ring Ω*and

on

華 房(1965).

Characteristic

Classes,Princeton a complex

University(1957). analog,Part

1,Amer.J.Math.

82{1960),505-521. [27] 

J.Milnor:Asurvey

[28] 

J.Milnor:Morse

of cobordism

[29] 

D.Montgomery-L.Zippin:Topological

[30] 

G.D.Mostow:Equivariant

theory,L'Enseignement

Theory,Ann,Math.Studies

Math.8(1962),16-23.

51,Princeton(1963). Transformation

embeddings

in euclidean

Groups,Wiley(1955).

space,Ann.Math.65(1957),

432-446. [31] 

中 岡 稔:位

[32] 

E.Ossa:CobOrdismentheorie von fixpunktfreien und semifreien S1-Mannigfaltigkeiten,

相 幾 何 学(ホ

モ ロ ジ ー 論),共

立 講 座(1970).

学 位 論 文(1969). [33] 

E.Ossa:Fixpunktfreie

[34] 

H.Ozeki-F.Uchida:Principal

S1-Aktionen,Math.Ann.186(1970),45-52. circle actions

on a product of spheres Osaka J.Math.

9(1972),379-390. [35] 

R.S.Palais:The classification of G-spaces,Mem.AMS,36(1960).

[36] 

L.Pontrjagin:Topological

[37] 

E.H.Spanier:Algebraic

[38] 

N.E.Steenrod:The

[39] 

N.E.Steenrod-D.Epstein:Cohomology

Groups,Princeton

University

Press(1946).

Topology,McGraw-Hill(1966), Topology

ofFibre

Bundles,Princeton

University

Press(1951).

Operations,Ann.Math.Studies

ceton(1962). [40] 

R.E.Stong:Notes on Cobordism Theory,Princeton

Math.Notes(1968).

[41] 

R.E.Stong:Bordism and involutions,Ann.Math.90(1969),47-74.

[42] 

R.Thom:Quelques proprietes globales des varietes differentiables,Comment.Math. Helv.28(1954),17-86.

[43] 

T.tom

Dieck:Bordism

of G-manifolds

and

integrality

theorems,Topology,9(1970);

345-358. [44] 

T.tom

Dieck:Lokalisierung aquivarianter Kohomologie-Theorien,Math.Zeit.121

50,Prin

(1971),253-262. [45] 

T.tom

Dieck:Periodische Abbildungen

unitarer

Mannigfaltigkeiten,Math.Zeit.

126(1972),275-295. [46] 

F.Uchida:Cobordism

groups

of semi-free

S1-and

S3-actions,Osaka

J.Math.7(1970),

345-351. [47] 

F.Uchida:Periodic

maps

and

circle actions,J.Math.Soc.Japan,24(1972),255-

267. [48] 

C.T.C.Wall:Determination

of the cobordism

 コ ボ ル デ ィ ズ ム 論 に 関 す る 詳 し い 文 献 表 が[40]に

ring,Ann.Math.72(1960),292-311.

あ る.変

換 群 に 関 し て は[8]に

詳

Edition,Lecture

in

し い 文 献 表 が あ る.

参 考 文 献 の 追 加

[49] 

P.E.Conner:Differentiable

Periodic

Maps,Second

Notes

Math.738,Springer-Verlag(1979). [50] 

J.W.Milnor-J.D.Stasheff:Characterisric 76,Princeton

[51] 

川 久 保 勝 夫:変

  文 献[49]は[15]の ま た[51]は

Classes,Annals

of

Math.Studies

Univ.Press(1974). 換 群 論,岩

波 書 店(1987).

改 訂 版 で あ る.[50]は

講 義 録[25]を

変 換 群 論 に 関 す る 本 格 的 入 門 書 で あ る.

単 行 本 に し た も の で あ る.

索

ア

行

イ ソ トロ ピー表 現  Wu類

 

27

  61

  132

許容族

  47

効果的

カ

行

開 管状 近 傍

  28

像

指数

 106

用

―G多

様体

―Gベ

ク トル束

―

を 保 つGホ

―

を もつG空

 24  29

像

  109

モ トピー 間

  109

 108

  15

基 本 ホモ ロ ジー類 既約Gベ

空間

―

写像

―

多様体

―

同型

―

同境

―

同境 群

―

同変

―同

空間

 34

ク トル の空 間 の完 全 系  100

吸収 され る

  136

1

行

  74

―作用

 21

 11

―

  12

  9

― コ フ ァ イ バ ー写像

 21

ス ライ ス定 理  108 を 保 つG写

  116,117

G

―G作

基点 ―

  98

  114

サ

―

―

様体

コ ン パーク ト群 

可微分

軌道

局所化

ク ロス積

  58,120

Gauss写

  64

懸 垂 同 型 写像

え り   32 Euler類

球面束

Grassmann多

203

(H,〓)型

引

 9   12  21  48 ,61,151   48 ,62   49 ,62,151   12

変Gauss写

―

不変

―

ベ ク トル 空 間

―

ベ ク トル 束

実化 自明

  194   12

 111

像

 106

  4 ,11,26  4  24

―

成 分 を 含む

弱 複素 構 造

  114

dual  同型

  148

同境

弱 複素G多 様体   148 ― のG同 境群   151 ― 自由

のGボ

ル デ ィズ ム群

〓 ― (〓,〓)― 準 ―

 47  12

 12

Stiefel-Whitney ―

数

 41

―

類

 201

同型 写 像

ス ラ イス ― 切断

148

  11 対定理

―Gysin完

全列

―

空間

―

準 同 型写像

  17

 59 ,125  37 ,121,125

スペ ク トラ ム

―

類

 106

  120

ハ

行

 17

 143  7

束 同型 写像

 12

フ ァイ バ ー

 69

 20,189

―

束   20 ,189

―

束対

―

に 沿 った複 素 接 ベ ク トル 束 

  189

86

 192

タ

対 角線 作用

ハ ウス ドル フ計 量 標 準 的 な複 素 直 線束

 61

束 化変 換

行

 13

Chern

複素 化 

194

復素 構 造

 66

G不

変な ―

G不

変な弱 ―

適正な ―

  147   148

  152

―

数

 176

複素 射 影 フ ァ イバ ー束

―

類

 194

不動点

直積

 157

 99,101

―

  78

 29

局所 ―

測地 線

等方部分群

  17

定理

全有向

同値(弱 複 素溝 造 の)   151

―Atiyah双

  47

Smith準

  35,192  35

Thom

  12

推移 的

177

―

 80,192

適 正 な複 素構 造 テ ン ソル積 外部 ―

  152

 193  193

普遍 ― ―

 71,86

 11 集合

  11

主G束

  55

複 素Gベ

ク トル束

 101

不 変積 分

―Pontrjagin数

 1

平 方作 用 素

マ

可 微 分―

   

191

接―

 

6

双 対―

 

複 素―

   

向 きづ け られ た ―G多 様体 

193

―G同境

191

―

 

写像

―

のG同

ヤ

192

境群  

―

積公式 

―

和

62

―

類 

 35

行

誘 導 され た ― 弱 複 素 構造 ―

194 ,201

  192 対定理 

向き

  150

 34

ユ ニ タ リ同 変 ―

190

コボ ル デ ィズ ム論

―Thomス

Pontrjagin 数

  52

特 異 多様 体

  192

Whitney

―

群

47

27

―

Poincare双

行

24

実―

誘 導―

42 ,58

  203

ベ ク トル 束

法―

 

 118

ペ ク トラム

  41 199

ラ

行

ボ ル デ ィズ ム ―群

 35 ,151

―Stiefel-Whitney数

リーマ ン計量  

42,58

Leray-Hirschの

 6,26 定理

  190

 106

著 内

田

者 伏

一

1938年仙台市に生まれ る.1963年東北 大 学大学院修士 課程 を修 了後,東 北大学理 学部助手 ・教育学 部講師,大 阪大学理学 部講師 ・助教授を経 て,現 在 は山形大学 理学部教授. 専攻一位相幾何学.

変 換 群 と コボ ル デ ィズ ム 論 1974年7月15日 1990年1月31日

   

第1刷

発行

第2刷

発行

発行所

 株式 会社 

紀伊 國屋 書店

東 京 都 新 宿 区 新 宿3の17の7 電 話  03(354)0131(代表) 振 替口 座 東 京9-125575

出版 部

C Fuichi Printed

Uchida 1974 in Japan

定 価 は外 装 に表 示 して あ り ます

東 京 都 世 田 谷 区 桜 丘5の38の1 電話  03(439)0125(代 表) 郵 便 番号156

印

刷   加 藤文 明 社

製

本  三

水

舎

紀 伊 國 屋 数 学 叢 書 に つ い て

  数 学 を学 ぶ に は い ろ い ろ の段 階が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よ って 自学 自習 す る こ とが最 も重 要 で あ り,単 に講 義 を聞 くとい うよ うな 受 動 的 な勉 強 だ け で は,は なは だ 不 十 分 で あ る.   み ず か ら学 ぶ た め に 現在 い ろ い ろ な 数 学書 が 出版 され てい る.し

か

し,数 学 の進 歩 は極 め て基 礎 的 な 考 え方 に 対 して さえ 常 に影 響 を与 え て お り,従 っ て どの よ うな 段 階 の 勉 強 で あ って も,常 に新 しい 考 え 方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ の た め に は,数 学 の 過 去 と将 来 とを結 ぶ 視 点 か ら書 か れ た 書 物 が数 多 く出版 され る こ と が 望 ま しい.即 ち,新 しい 視 点 と古 典 的 な 視 点 と を見 く らべ,基 本 的 な こ と を も将 来 の 発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明 す る とい う立場 で書 かれ た書 物 が 要 望 され てい る.   本 叢 書 は この よ うな要 望 に応 え て企 画 され た もの で あ っ て,各 巻 が 大 学 理 工学 系 の 専 門 課程 の学 生 ま た は大 学 院 学 生 が そ れ ぞ れ の 分 野 での 話 題,対 象 に つ い て入 門 の段 階 か ら あ る程 度 の 深 さ まで 勉 学 す るた め の伴 侶 とな る こ とを 目指 して い る.こ のた めに 我 々は 各 巻 の 話 題 の 選 択 に つ い て,十 分配 慮 し,現 代 数 学 の発 展 に と って 重 要 で あ り,ま た既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が 置 か れ てい な い もの を選 び,各 分 野 の 第 一線 で 活躍 して お られ る数 学 者 に執 筆 をお 願 い し てい る.   学 生 諸 君 お よび 数 学同 好 の 方 々が,こ の 叢 書 に よっ て数 学 の種 々 の分 野 に お け る基 本 的 な 考 え 方 を理 解 し,ま た 基 礎的 な知 識 を会 得 す る こ と を期 待 す る と と もに,更 に 現 代数 学 の最 先端 へ 向か お うとす る場 合 の 基 礎 と もな る こ と を望 み た い.