Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю Г О У В П О « В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д А РС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т »

Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л ЬН Ы Е У РА В Н Е Н И Я С ЧА С Т Н Ы М И ПРО И ЗВ О Д Н Ы М И В Т О РО Г О ПО РЯ Д К А ЭЛ Л И ПТ И ЧЕ С К О Г О Т И ПА

У чебно-методическ ое п особие для студентов п осп ециальности 010101 (010100) – М атематик а

В оронеж 2005

-2-

-3П редварительные оп ределения О п ределение. П оверх ность S п ринадлежитк лассуC P , p ≥ 1 , если в нек оторой

ок рестности

к аждой

точк и

x0 ∈ S

она п редставляется

уравнением ω x0 ( x) = 0 , п ричем ∆ω x0 ( x) ≠ 0 и ф унк ция ω x0 ( x) неп рерывна вместе со всеми п роизводными до п орядк а p вк лю чительно в уп омянутой ок рестности. О п ределение. П оверх ность S называется к усочно-гладк ой , если она состоитиз к онечного числап оверх ностей к ласса C1 . О п ределение. М ножество называется отк рытым, если все его точк и – внутренние. О п ределение. М ножество называется связным, если две лю бые его точк и можно соединить к усочно-гладк ой к ривой , лежащ ей в этом множестве. О п ределение. С вязное отк рытое множество называется областью . Будем рассматривать лиш ь области с к усочно-гладк ой границей . Е сли не оговаривается обратное, будем считать границук омп ак тной . О п ределение. К омп ак том называется замк нутое ограниченное множество. О п ределение. Т очк а x0 называется п редельной точк ой множества A,

если

сущ ествует п оследовательность

xk , k = 1, 2 ,

так их

что

xk ∈ A, xk → x0 , k → ∞ . Д иф ф еренциальные уравнения вчастных п роизводных второгоп орядк аэллип тическ ого тип а § 1. О п ределение эллип тическ ого уравнения. О сновные п онятия Э ллип тическ ое уравнение. уравнение второго п орядк авида

Рассмотрим

диф ф еренциальное

 ∂ 2u ∂u ∂u  aij ( x1 ,....xn ) + f  x1 ,..., xn , u , ,..., (1.1) ∑ =0 . ∂xi ∂x j ∂x1 ∂xn  i , j =1  Э то уравнение линей но относительно п роизводных второго п орядк а. Г лавную роль в оп ределении тип а уравнения играю т к оэф ф ициенты aij n

п ри старш их п роизводных . Будем считать, что аргументы этих ф унк ций имею т вид

x = ( x1 ,..., xn ) ∈ D ⊂ ! n .

К оэф ф ициенты,

не ограничивая

общ ности, считаем симметричными: aij = a ji . В се ф унк ции и независимые

-4п еременные мы считаем вещ ественными.

О п ределение. Заф ик сируем оп ределенную точк у x o = ( x1o ,..., xno )

в

области D и составим к вадратичную ф орму

∑ a ( x ,..., x ) t t n

ij

i , j =1

0 1

0 n

i j

.

(1.2)

У равнение (1.1) п ринадлежит эллип тическ ому тип у в точк е

x 0 = ( x10 ,..., xn0 ) ,

если

в

этой

точк е

к вадратичная

ф орма (1.2)

знак ооп ределена. П редп оложим, что к оэф ф ициенты aij - п остоянные величины, тогда уравнение (1.1) имеетвид n ∂ 2u ∂u aij + ∑ bi + cu = f ( x1 ,..., xn ) , ∑ ∂xi ∂x j i =1 ∂xi i , j =1 n

(1.3)

т.е. является линей ным уравнением сп остоянными к оэф ф ициентами. В этом случае свой ство знак ооп ределенности к вадратичной ф ормы (1.2) сох раняется вне зависимости отвыбораточк и x 0 ∈ D . П редп оложим, что к вадратичная ф орма (1.2) знак ооп ределена, т.е. уравнение (1.3) эллип тическ ое. П ри п омощ и линей ногоп реобразования n

ξ k = ∑ cki xi , k = 1,2,..., n .

(1.4)

i =1

введем новые независимые п еременные (ξ1 ,..., ξ n ) . П редп оложим, что п реобразование (1.4) неособое, т.е. det cki ≠ 0 . П роизводные п о старым п еременным выразятся через п роизводные п о новым п еременным следую щ им образом: n n ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u = ∑ cki ; = ∑ cki clj . ∂xi k =1 ∂ξ k ∂xi ∂x j k =1 ∂ξ k ∂ξl

П одставим п редставления п олучим новое уравнение n

∑ a kl k ,l

(1.5)

(1.5) в уравнение (1.3), п осле чего

n ∂ 2u ∂u + ∑ bi + cu = f1 (ξ1 ,..., ξ n ) , ∂ξ k ∂ξl i=1 ∂ξi

(1.6)

где n

n

i , j =1

k =1

a kl = ∑ aij cki clj ; bi = ∑ bk cik ; f1 (ξ1 ,...,ξ n ) = f ( x1 (ξ ) ,..., xn (ξ ) ) .

(1.7)

Д ля того чтобы п онять, к ак п реобразую тся к оэф ф ициенты п ри старш их п роизводных , заметим, что п ри п реобразовании к вадратичной

-5n

∑ aijtit j с п омощ ью

ф ормы

линей ного п реобразования

i , j =1

п риводящ его ее к

виду

n

ti = ∑ ckiτ k , k =1

n

∑a

k ,l =1

ττ ,

k ,l k l

п роисх одит та же замена

к оэф ф ициентов. В алгебре док азывается (с п омощ ью к онструк тивного метода выделения п олных к вадратов), что всегда можно п одобрать n

к оэф ф ициенты cik так , чтобы к вадратичная ф орма ∑ aij tit j п риводилась к i , j =1

n

сумме к вадратов, т.е. к виду ∑ λkτ k2 , п ричем

λk = ±1 или 0. С огласно

i , j =1

зак онуинерции, число п оложительных и отрицательных к оэф ф ициентов λk инвариантно относительно выбора линей ного п реобразования ckj . Т о же самое линей ное п реобразование можно исп ользовать для п реобразования аргументов x1 ,..., xn в уравнении (1.3) варгументы ξ1 ,..., ξ n и, следовательно, для п олучения уравнения (1.6), к оторое с п омощ ью замены к оординатможноп редставить ввиде n

∑ λk k =1

∂ 2u n ∂u + ∑ bi + cu = f1 (ξ1 ,..., ξ n ) . 2 ∂ξ k i =1 ∂ξi

(1.8)

Э тот вид уравнения (1.3) называется к аноническ им. В силу знак ооп ределенности для эллип тическ ого уравнения (1.3) к вадратичной n

ф ормы

∑ aijtit j , а следовательно, и ф ормы

i , j =1

n

∑λ τ k =1

2 k k

, очевидно, что для

эллип тическ ого уравнения все λk равны единице: λk = 1 , k = 1,..., n . Т ак им образом, сох раняя п режние обозначения, мы можем утверждать, что всяк ое линей ное уравнение эллип тическ ого тип а с п остоянными к оэф ф ициентами можетбыть п риведенок виду ∂ 2u + c1u = f 2 ( x1 ,..., xn ) . ∑ 2 k =1 ∂xn n

В случае, к огда уравнение (1.1) имеет п еременные к оэф ф ициенты,

для к аждой точк и ( x10 ,..., xn0 ) ∈ D можно ук азать неособое п реобразование независимых п еременных , к оторое п риводит уравнение (1.1) к к аноническ омувиду. В случае двух независимых п еременных возможно п ри весьма слабых условиях , налагаемых на к оэф ф ициенты п ри старш их

-6п роизводных , п ривести уравнение с п еременными к оэф ф ициентами к к аноническ омувиду. О днак о, это вых одитзарамк и наш его к урса. У равнение Л ап ласа. К уравнениям эллип тическ ого тип а п риводит изучение стационарных , т.е. не меняю щ их ся с течением времени п роцессов различной ф изическ ой п рироды. П ростей ш им уравнением эллип тическ ого тип аявляется уравнение Л ап ласа: ∂2 u x ,..., xn ) = 0, ∑ 2 ( 1 k =1 ∂xk n

(x∈D ⊂ ! ); n

(1.9)

∂2 ∂2 ∂2 u + u + u = 0 , (x∈ D ⊂ ! 3). (1.10) 2 2 2 ∂x ∂y ∂z У равнению Л ап ласа удовлетворяю т установивш аяся в однородном изотроп ном теле темп ература, среднее нап ряжение в твердом деф ормируемом теле, п отенциалы п оля тяготения и стационарного элек трическ огоп оля. О п ределение. Ф унк ция u ( x ) называется гармоническ ой в ограниченной области D , если онав этой области имеетвсе неп рерывные частные п роизводные до второго п орядк а вк лю чительно и удовлетворяет уравнению Л ап ласа. О п ределение. Ф унк ция u ( x ) называется гармоническ ой в области D , имею щ ей вых оды набеск онечность, если онав этой области имеетвсе неп рерывные частные п роизводные до второго п орядк а вк лю чительно, удовлетворяет уравнению Л ап ласа в D и равномерно стремится к нулю п ри стремлении точк и x в беск онечность (ф унк ция u ( x ) → 0 п ри x → ∞

равномерно, если для лю бого ε > 0 можно ук азать A > 0 так , что u ( x, y, z ) < ε п ри | x | ≥ A . Замечание. П редп олагается, что граница ∂D области D состоит из к онечного числазамк нутых п оверх ностей . 1 Л емма 1. П усть x ∈ D ⊂ ! 3 , x0 ∉ D . Ф унк ция u = , где r 1 2

r = | x − x0 | = ( x1 − x10 ) 2 + ( x2 − x20 ) 2 + ( x3 − x30 ) 2 ,

является гармоническ ой

ф унк цией п еременной x ∈ D . Д ок азательство п роведем с п омощ ью неп осредственной п роверк и. О бозначим для удобства p = ( p1 , p2 , p3 ) = ( x, y, z ) . И меем

-7∂  2 ( pm − p0 m )  ∑  ∂pk  m =1  3

−

1 2

2   1  =  −   ∑ ( pm − p0 m )   2   m =1  pk − p0 k ; =− 3  3 2 2 p p − ( ) 0m ∑ m   m=1 

∂2  3 2  p − p0 k )  2  ∑( m ∂pk  m=1 

3

−

1 2

−

3 2

⋅ 2 ( pk − p0 k ) =

3 ∂ 2 − [( pk − p0 k )(∑ ( pm − p0 m ) ) 2 ] = ∂pk m =1 3

=−

3

1

3 3  3 2 2 2  2 2 p − p − ⋅ 2 p − p p − p ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ m 0 m k 0 k m 0 m     2   m=1  . = −  m=1 3 3  2 p − p ( ) ∑ m 0 m    m =1  О тсю да 3

∂2  3 2 p − p0 m )  ∑ 2 ∑ ( m k =1 ∂pk  m =1  3

−

1 2

=−

3

3

3

3∑ ( pm − p0 m ) 2 − 3∑ ( pk − p0 k ) 2 m =1

k =1

 2  ∑ ( pm − p0 m )   m =1  3

3

=0 .

Л еммадок азана. 1 Ф унк ция u = называется ф ундаментальным реш ением уравнения r 3 Л ап ласа(10) в ! . n = 2. Замечание. П усть в уравнении (1.9) 1 1 Ф унк ция u = ln = ln является реш ением уравнения 2 2 r (x − x ) +(x − x ) 1

(1.9) п ри

01

2

02

( x1 , x2 ) ≠ ( x01 , x02 ) . Д ей ствительно,

∂ 1 ∂ ln = − ln r = − ∂x p r ∂x p

1

( x1 − x01 ) + ( x2 − x02 ) 2

2

2 ( x p − x0 p )

⋅ 2

( x1 − x01 ) + ( x2 − x02 ) 2

2

;

2 2  x p − x0 p ) ( x1− x01 ) + ( x2 − x02 ) − 2 ( x p − x0 p ) ( ∂2 1 ∂  ln = −  =− 2 2 ∂x 2p r ∂x p  ( x1− x01 )2 + ( x2 − x02 )2  ( x1 − x01 ) + ( x2 − x02 )   ;

2

2 ( x1 − x01 ) + 2 ( x2 − x02 ) − 2 ( x1 − x01 ) − 2 ( x2 − x02 )  ∂2 ∂2  1 = 0.  2 + 2  ln = −2 2 2 ( x1 − x01 ) + ( x2 − x02 )  ∂x1 ∂x2  r 2

2

2

2

-8П оэтомуф унк цию

u = ln

1 называю т ф ундаментальным реш ением r

уравнения Л ап ласап ри n = 2 . Задание для самостоятельной работы. n+2 − 2

2  n п ри r =  ∑ ( x p − x0 p )   n =1  уравнения (9) п ри всех n ≥ 3 .

Д ок азать, что ф унк ция

( x1,..., xn ) ≠ ( x01 ,..., x0n )

является реш ением

§ 2. Ф ормулы Г рина Ф ормула Г аусса-О строградск ого (без док азательства). П усть ичем её граница ∂D D ⊂ ! 3 − область без вых одов на беск онечность, п р к усочно-гладк ая п оверх ность. П усть ф унк ции P ( x); Q( x); R( x), x ∈ D имею т в D неп рерывные и ограниченные п роизводные п ервого п орядк а. Т огдасп раведлива следую щ ая ф ормула  ∂P

∂Q ∂R  + dx = ∫ ∫ ( P cos ( nx1 ) + Q cos ( nx2 ) + R cos ( nx3 ) ) dS , (2.1) ∂x2 ∂x3  1 D ∂D где n - внеш няя нормаль к п оверх ности ∂D . П усть ф унк ции u, v п ринадлежат В ывод ф ормул Г рина.

∫  ∂x

+

п ространствам

( )

п роизводные ф унк ций Q=u

( )

u ∈ C1 D , v ∈ C1 D ,

∂v ∂v , R =u . ∂x2 ∂x3

С

u

и

v

п омощ ью

u , v ∈ C 2 ( D)

и

ограничены. П оложим ф ормулы

вторые P=u

∂v , ∂x1

Г аусса-О строградск ого

зап иш ем  ∂u ∂ v ∂2 v ∂ 2 v ∂u ∂ v ∂ 2 v ∂u ∂ v  ⋅ + u + u + ⋅ + u ∫D  ∂x1 ∂x1 ∂x12 ∂x22 ∂x2 ∂x2 ∂x3 + ∂x3 ⋅ ∂x3 dx3 =  ∂v  ∂v ∂v = ∫ u cos ( nx1 ) + cos ( nx2 ) + cos ( nx3 ) dS , ∂x1 ∂x2 ∂x3  ∂D  отк уда  ∂u ∂ v ∂u ∂ v ∂u ∂ v  ∂v ⋅ + ⋅ + ⋅ dx = ∫ u dS − ∫ u ∆ v dx . ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3  ∂n 1 ∂x1 D ∂D D Ф ормула(2.2) называется п ервой ф ормулой Г рина. М еняя местами u и v в(2.2), можем зап исать

∫  ∂x

(2.2)

-9 ∂u ∂ v ∂u ∂ v ∂u ∂ v  ∂u ⋅ + ⋅ + ⋅ dx = ∫ v dS − ∫ v ∆udx . ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3  ∂n 1 ∂x1 D D ∂D В ычтем из п оследней ф ормулы равенство (2.2). П олучим вторую ф ормулуГ рина.

∫  ∂x

∂u   ∂v − v dS . u ∂n ∂n  S =∂D 

∫ ( u∆ v− v ∆u ) dx = ∫ D

(2.3)

Замечание. В случае, к огда область D ограничена неск ольк ими замк нутыми п оверх ностями (нап ример, область D - к ольцо), следует внимательновыбирать нап равление внеш ней нормали.

( )

Л емма2. Е сли ф унк ция u ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 1 D I C 2 ( D ) , то имеетместо ф ормула  1 ∂    1 1 ∂u 1 ∆u r  (2.4) − u   dS − u ( x0 ) = dx , ∫ ∂n  4π ∂D  r ∂n 4π ∫D r     где r = | x − x0 |, n − внеш няя нормаль вточк е x ∈ ∂D , x0 ∈ D . Д ок азательство.

Будем

вначале п редп олагать, что ф унк ция 1 u ∈ C 2 D . Рассмотрим ф унк цию v = . П оск ольк у v → ∞ п ри r → 0 , мы r не можем п рименить ф ормулу Г рина п о всей области D . В ырежем из области D ш ар Bρ ( x0 ) с центром в точк е x0 и радиусом ρ настольк о

( )

малым, что Bρ ( x0 ) ⊂ D . О бозначим через Dρ оставш ую ся часть D : Dρ = D \ Bρ ( x0 ) , а через σ ρ - п оверх ность ш ара ( σ ρ = S ρ ( x0 ) ). В области Dρ к ф унк циям u и v можно п рименить вторую ф ормулуГ рина. Т ак к ак

1 п олемме 1 ф унк ция гармоническ ая в Dρ , имеем r 1 1   ∂  ∂   1 ∂u  ∆u 1 ∂ u (2.5) ∫∂D r dx = ∂∫D  r ⋅ ∂n − u ∂nr dS + σ∫  r ⋅ ∂n − u ∂nr dS .    ρ      У стремим радиус ρ ш ара Bρ ( x0 ) к нулю . Т огда слева в (2.5) п олучим интеграл п о всей области D . И нтеграл ∂D от ρ не зависит. П ок ажем, что

- 10 1  ∂  1 ∂u  (2.6) lim ∫  ⋅ − u r  dS = −4π u ( x0 ) . ρ →− ∂ ∂ r n n σρ     Т ак к ак на п оверх ности ш ара σ ρ сп раведливо равенство r = ρ то, п ринимая во внимание, что нормаль n нап равленап рямо п ротивоп оложно 1 1 ∂ ∂ 1 r =− r = 2 , и, нап равлению радиуса ш ара, будем иметь ∂n ∂r ρ σρ

r=ρ

следовательно, п о теореме о среднем 1 ∂ 1 1 2 ∫σ u ∂nr dS = ρ 2 σ∫ udS = ρ 2 u ( xс ред. ) ⋅ 4πρ → 4π u ( x0 ) , ρ ρ

(x

п ри ρ → 0

с ред.

(2.7)

∈ Bρ ( x0 ) ) . ∂u , k = 1,2,3 ∂xk

П роизводные

ф унк ции

С ледовательно, сущ ествует K > 0 , так ое, что 1 ∂u

K

K

∫ r ⋅ ∂n dS ≤ ρ ∫ dS = ρ ⋅ 4πρ

σρ

2

ограничены в D .

u

∂u < K . Т огда ∂n

= 4π K ρ → 0 , ρ → 0 .

(2.8)

σρ

Т ак им образом, из (2.7) и (2.8) следует(2.6). С ф ормулируем нек оторые базисные утверждения, необх одимые для

( )

снятия п редп оложения u ∈ C 2 D . Расп ространение ф ормул Г рина. П усть границап ринадлежитк лассу S ∈ C 2 . В к аждой точк е x ∈ S отложим п о внутренней нормали - nx отрезок п остоянной длины

δ.

М ножество к онцов x / этих отрезк ов оп исывается уравнением x / − x − δ nx .

Н азовем

п олученную п оверх ность п араллельной S . У тверждение. Н ормаль nx/ в

точк е

x = x − δ nx ∈ Sδ /

S x − nx

Sδ x′

−n′x Рис. 1

- 11 нап равленавдоль nx , x ∈ S . Д ок азательство. Sδ - есть внутренняя огибаю щ ая семей ствасф ер

(x − x ) + (x / 2 1

1

− x2/ ) + ... + ( xn − xn/ ) = δ 2 , x ∈ S . 2

2

2

(2.9)

Д ей ствительно, п усть нек оторый к усок U п оверх ности S задается уравнением xn = z ( x1 ,..., xn−1 ) (согласно лемме Г ей не-Бореля, п оверх ность S можно разбить нак онечное к оличествок уск ов, вк аждом из к оторых она задается вук азанном виде). Д иф ф еренцируем (2.9) п о x1 ,..., xn −1 : имеем

xk/ = xk + ( xn − xn/ )

∂z , ∂xk

k = 1,..., n − 1;

xn/ = xn + ( xn − xn/ ) ⋅ ( −1). В ек тор

п араллелен

nx

следовательно xk/ = xk − δ ⋅ nx ,

век тору

 ∂z  ∂z ,..., − , + 1 , − ∂xn −1  ∂x1 

k = 1,..., n . Т ак им образом, мы вывели

уравнение п оверх ности Sδ . О стается отметить, что нормаль к сф ере нап равленап о радиусу( см. рис.1) О п ределение. П усть граница S области G есть п оверх ность к ласса C1 и ф унк ция

U ∈ C 1 ( G ) . Будем говорить, что ф унк ция U имеет

п равильную нормальную п роизводную x∈S

∂u на S , если равномерно п о всем ∂n

сущ ествует п редел нормальной

x / → x , x / ∈ − nx .

Из

п роизводной

этого оп ределения следует,

∂u ( x / ) ∂nx

п ри

что п равильная

нормальная п роизводная неп рерывна на S , если она сущ ествует (док азательство отп ротивного). В ведем обозначение для п равильной нормальной п роизводной ∂u ∂u ( x) = . ∂n ∂nx Л емма 3. П усть граница S области G - п оверх ность к ласса C 2 и ф унк ция u из к ласса C1 (G ) имеет п равильную нормальную п роизводную ∂u на S . Т огдадля лю бой f ∈ C G сп раведливо равенство ∂n

( )

- 12 lim ∫ f ( x ε →0

/

)

∂u ( x / )

Sε

∂nx /

dS x/ = ∫ f ( x ) S

ξ

∂u ( x) dS x , ∂nx

(2.10)

где Sε - п оверх ности, п араллельные S . Д ок азательство. И з п редыдущ его утверждения следует, что нормали nx и nx/ в точк ах

x ∈ S и x / = x − ε u x ∈ Sε

нап равлены одинак ово, и в

силуоп ределения п равильной нормальной п роизводной и неп рерывности f на G имеем равномерное стремление f (x

/

)

∂u ( x / ) ∂nx/

= f (x

/

)

∂u ( x / ) ∂nx

⇒ f ( x)

∂u ( x) , x / → x ; x / ∈ − nx ; x ∈ S . ∂nx

И з п оследнего соотнош ения вытек аетутверждение леммы. С ледствие. Ф ормулы Г рина (2.2) и (2.3) остаю тся сп раведливыми, если область D - не имеет вых одов на беск онечность, ∂D - п оверх ность к ласса C 2 , а ф унк ции

( )

u , v∈C 2 ( D ) I C D

и имею т п равильные

нормальные п роизводные на ∂D . В случае области D с вых одами на беск онечность, необх одимо доп олнительно п отребовать, чтобы ф унк ции u , v, ∆u , ∆ v∈ L2 ( D ) . П оясним утверждение следствия. Д ля того чтобы избавиться от п редп оложения о том, что вторые п роизводные ф унк ции u неп рерывны вп лоть до границы ∂D , заменим область D областью Dε , лежащ ей вместе с границей внутри D . П рименим вначале ф ормулу(2.6) к области Dε и п ерей дем к п ределу п ри Dε → D , п осле чего п олучим требуемый результат.

Аналогичные ф ормулы имею тместо и для п лоск ости ( D ⊂ ! 2 ) :  ∂v

∂u 

∫ ( u∆ v− v ∆u ) dx = ∫  u ∂n − v ∂n dS , D

(2.11)

∂D

1  ∂ ln 1  1 ∂u r  dS − 1 ln 1 ∆udx . u ( x0 ) = −u  ln ⋅  ∫ 2π ∂D  r ∂n ∂n  2π ∫D r  

(2.12)

§ 3. О сновные свой ствагармоническ их ф унк ций П усть u ( x ) , = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ D ⊂ ! 3 - гармоническ ая ф унк ция в области

- 13 D без вых одов на беск онечность с границей ∂D . П усть

( )

u ∈C2 D .

П оложим в п ервой ф ормуле Г рина (2.2) u = v , п римем во внимание гармоничность ф унк ции u и п олучим равенство  ∂u  2  ∂u  2  ∂u  2  ∂u ∫∂D u ∂n dS = ∫D  ∂x1  +  ∂x2  +  ∂x3   dx .   Т ак к ак интеграл вп равой части п оследнегоравенстванеотрицателен, то ∂u (3.1) ∫∂D u ∂n dS ≥ 0 . П рименяя вторую ф ормулуГ рина (2.3) к гармоническ им ф унк циям u ( x) и v( x) ≡ 1 , п олучим ∂u

∫ ∂n dS = 0 ,

(3.2)

∂D

т.е. интеграл от нормальной п роизводной гармоническ ой ф унк ции п о границе области равен нулю . П рименим ф ормулу (2.4) из леммы 2 к гармоническ ой ф унк ции u ( x) . В силуравенства ∆u = 0 п олучим 1  ∂  1  1 ∂u u ( x0 ) = − u r  dS , x0 ∈ D , (3.3)  ⋅ ∫ 2π ∂D  r ∂n ∂n    т.е. значение гармоническ ой ф унк ции в лю бой точк е внутри области D выражается через значения этой ф унк ции и ее нормальной п роизводной на границе ∂D области сп омощ ью ф ормулы (3.3). Замечание. И нтегралы в ф ормулах (3.1) - (3.3) не содержат п роизводных второго п орядк а от ф унк ции u ( x) и для п рименимости этих ф ормул достаточно п редп оложить, что гармоническ ая ф унк ция неп рерывна вместе со своими п роизводными п ервого п орядк а вп лоть до границы ∂D . Ч тобы убедиться в этом, достаточно заменить область D на область Dε

(D

ε

)

⊂ D , нап исать ф ормулы (3.1)-(3.3) для области

Dε , в

к оторой имеется неп рерывность п роизводных второго п орядк а, а затем п ерей ти к п ределуп ри Dε → D . В озможность выбораобласти так ой , что Dε п ри ε → 0 вытек аетиз возможности п остроения п оверх ности Sε = ∂Dε ,

п араллельной ∂D , чтоп ок азаноранее. У тверждение 2. Ф унк ция u ( x ) , гармоническ ая в области D имеет п роизводные всех п орядк оввнутри этой области.

- 14 Д ок азательство. В озьмем внутри области п роизвольную точк у x0 ∈ D . О к ружим ее областью D ′ с границей S , целик ом лежащ ей внутри D . Ф унк ция u ( x) будетиметь неп рерывные п роизводные второго п орядк а

вп лоть до п оверх ности S ′ = ∂D ′ . П рименяя ф ормулу(3.3) в области D ′ , п олучим 1  ∂ 1  1 ∂u r  dS . u ( x0 ) = (3.4)  ⋅ −u  ∫ 4π S /  r ∂n ∂n    Т ак

к ак

точк а

x0

не

(

лежит

)

на

S/,

то

ф унк ция

1

1 2 2 2 − = ( x1 − x01 ) + ( x2 − x02 ) + ( x3 − x03 ) 2 является неп рерывной и имеет r неп рерывные п роизводные лю бого п орядк а п о п еременным x01 , x02 , x03 . С ледовательно, п равую часть ф ормулы (3.4) можно диф ф еренцировать п о п еременным x0 k , k = 1,2,3 ск оль угоднораз. Т еорема 1 (о среднем ариф метическ ом). П усть ф унк ция u ( x) гармонична в ш аре BR (0) и имеет п равильную нормальную п роизводную вп лоть до границы S R (0) . Т огдасп раведливо п редставление u ( x0 ) =

1 4π R 2

∫

S R ( x0 )

udS ,

x0 ∈ BR (0).

(3.5)

(Значение ф унк ции, гармоническ ой в ш аре и неп рерывной на его п оверх ности в центре ш араравно среднемуариф метическ омуее значений нап оверх ности этого ш ара). Д ок азательство. П усть u ( x) гармоничнавнутри ш араи неп рерывна вместе со своими п ервыми п роизводными

BR ( x0 ) ,

x0 - центр ш ара.

П рименим ф ормулу(3.4) к ф унк ции u ( x) вш аре BR ( x0 ) :

п ри

x0 ∈ S R :

1  ∂  1  1 ∂u u ( x0 ) = − u r  dS  ⋅ ∫ 4π SR  r ∂n ∂n    1 1 = , а нап равление внеш ней нормали совп адаетс r R

- 15 нап равлением радиуса:

∂ 1   ∂n  r  r = R

1 ∂  r =   ∂r

=−

1 R2

и

ф ормула (3.4)

r=R

u ( x0 ) =

п ринимает вид

1 1 ∂u dS + 4π R SR ∫( x0 ) ∂n 4π R 2

∫

udS , отк уда, в силу

S R ( x0 )

(3.2), имеем равенство(3.5). Т еоремадок азана. Т еорема2 (о мак симуме и минимуме). П усть ф унк ция u ( x) является гармоническ ой вобласти D без вых одовнабеск онечность и неп рерывнав D . Т огда ф унк ция u ( x) достигает своего наибольш его и наименьш его значений на границе области, за иск лю чением того случая, к огда эта ф унк ция есть п остоянная. Д ок азательство. П редп оложим, что ф унк ция u ( x) достигает своего наибольш его значения в точк е x0 ∈ D . Т ак к ак

x0 - внутренняя точк а

области D , то сущ ествует сф ера S ρ ( x0 ) с центром в x0 и радиусом ρ , так ая, что S ρ ( x0 ) ∈ D . П рименим теорему о среднем к ф унк ции u ( x) в области Bρ ( x0 ) и оценим п равую

часть п олученного п редставления

сверх у: u ( x0 ) =

1 1 udS ≤ u ρ ,max dS = u ρ ,max , 2 ∫ 4πρ S ρ 4πρ 2 S∫ρ

здесь u ρ ,max = max u , т.е. u ( x0 ) ≤ max u ( x ) . Знак равенства в п оследней x∈S ρ

x∈S ρ

оценк е достигается, лиш ь к огдаф унк ция u ( x) на S ρ п остоянна. П оск ольк у u ( x0 ) п о п редп оложению , наибольш ее значение ф унк ции u ( x) в области D, а

u ρ ,max = max u , можно утверждать, что u ( x0 ) ≥ max u ( x ) x∈S ρ

x∈S ρ

и,

следовательно, имеет место равенство u ( x0 ) = max u ( x ) , следовательно, x∈S ρ

ф унк ция u ( x) равна п остоянной внутри и на п оверх ности лю бой сф еры с центром x0 , целик ом лежащ ей в D . П ок ажем, что из этого ф ак та следует, что ф унк ция u ( x) равнап остоянной во всей области D . П усть x1 - лю бая точк а области D . П ок ажем, что u ( x1 ) = u ( x0 ) . С оединим

x0 и

x1 к усочно-гладк ой линией l к онечной длины (Э то

возможно всилуоп ределения области). П усть d - расстояние от l до ∂D . В силуск азанного выш е ф унк ция u ( x) равнап остоянной вш аре сцентром

- 16 d . П усть x* - п оследняя точк а п ересечения линии l с 2 п оверх ностью уп омянутого ш ара, если считать от x0 : u ( x* ) = u ( x0 ) . К ак x0 и радиусом

d имеет место 2 u** - п оследняя точк а п ересечения l с

установлено выш е, в ш аре с центром x* и радиусом равенство u ( x) = u ( x0 ) . П усть

п оверх ностью этого ш ара. К ак и выш е, ф унк ция u ( x) равна u ( x0 ) и вш аре d и т.д. Т ак им образом, всю линию l можно 2 п ок рыть к онечным к оличеством ш аров, внутри к оторых u ( x) = u ( x0 ) . с центром u** и радиуса

Т огда точк а x1 ок ажется внутри п оследнего из них и, следовательно, u ( x1 ) = u ( x0 ) .

Аналогично док азывается, что ф унк ция u ( x) не может достигать наименьш его значения внутри области D . Д ля этого достаточно отметить, что мак симум ф унк ции u ( x) достигается в той же точк е, в к оторой достигается минимум ф унк ции −u ( x) . С огласно теореме В ей ерш трасса, неп рерывная ф унк ция u ( x) в замк нутой ограниченной области достигает своих наибольш его и наименьш его значений . А так к ак неп остоянная ф унк ция u ( x) не можетп ринимать минимальное и мак симальное значения внутри области D , то, следовательно, это п роисх одит на границе области ∂D . Т еоремадок азана. § 4. П остановк аосновных к раевых задач для уравнения Л ап ласа П усть Di ⊂ ! n - область без вых одов на беск онечность с к усочногладк ой границей S = ∂Di ; De = ! n \ D i - область, внеш няя п о отнош ению к Di (т.е. будем считать, что Di так ова, что De - так же область). П усть на S заданы неп рерывные ф унк ции f k ( x) , x ∈ S , k = 1,2,3 .

В нутренняя задача Д ирих ле задачак раевая задача).

(п ервая

внутренняя

к раевая

Н а йт и ф ункци ю u ( x) , га рм они ч ес кую вDi , непреры вную в D i и при ни м а ю щую на S за да нны е зна ч ени я u ( x ) x∈S = f1 ( x ) .

(4.1)

Аналогично оп ределяется внеш няя задачаД ирих ле, к оторая состоит

- 17 в оп ределении ф унк ции, гармоническ ой в De , неп рерывной в D e и удовлетворяю щ ей условию (4.1). Н ап омним, что гармоничность ф унк ции u ( x) в области De с вых одами на беск онечность, п одразумевает к роме удовлетворения ф унк ции u ( x) уравнению

Л ап ласа ещ е и равномерное

стремление ф унк ции u ( x) к нулю п ри x → ∞ В нутренняя задачаН ей мана(вторая внутренняя к раевая задача). Н а йт и ф ункци ю u ( x) , га рм они ч ес кую в обла с т и Di , т а кую , ч т обы на гра ни це S = ∂D

∂u ∂n

с ущес т вова ла ее пра ви льна я прои зводна я

, и x∈S

кот ора я удовлет воряет ус лови ю ∂u = f 2 ( x) . ∂n x∈S

(4.2)

Аналогично ф ормулируется внеш няя задача Н ей мана (вторая внеш няя к раевая задача), зак лю чаю щ аяся в п оиск е гармоническ ой в De ф унк ции u ( x) , ук оторой сущ ествуетп равильная нормальная п роизводная ∂u на S и для к оторой вып олнено условие (4.2). ∂n Т ретья внутренняя к раевая задача. Н а йт и ф ункци ю u ( x) , га рм они ч ес кую вобла с т и , D т а кую , ч т обы на гра ни це S = ∂D

с ущес т вова ла ее пра ви льна я прои зводна я

∂u ∂n

кот ора я удовлет воряет ус лови ю ∂u + a ( x)u = f3 ( x) , ∂n x∈S

, и x∈S

(4.3)

где a( x) > 0 - за да нна я непреры вна я на S ф ункци я. Аналогично ф ормулируется третья внеш няя к раевая задачавобласти De .

§ 5. П оведение гармоническ ой ф унк ции набеск онечности П усть точк а x лежит вне ш ара BR (0) . С оверш им п реобразование инверсии x = *

R2 x

2

x;

x=

R2 x

* 2

x* .

(5.1)

Т очк и x и x* называю тся симметричными относительно сф еры S R .

- 18 С имметричные точк и удовлетворяю тсоотнош ению x ⋅ x* = R 2

(5.2)

и п оэтому п реобразование инверсии взаимно однозначно п реобразует внеш ность ш ара BR (0)

на

B R (0) \ {0} . П усть ф унк ция u ( x) -

гармоническ ая вне ш ара BR (0) .

u * ( x* ) =

Ф унк ция

  R  R2 *  u x 2  x *  x*  

называется п реобразованием К ельвинаф унк ции u ( x) . Н аряду с дек артовыми к оординатами x1 , x2 , x3 , введем в ! 3 цилиндрическ ие к оординаты ξ , ϕ , x3 : x1 = ξ cos ϕ ; x2 = ξ sin ϕ , ξ = x12 + x22 , x3 = x3 ,

и сф ерическ ие к оординаты

ϕ ∈ [0;2π )

( r ,θ , ϕ ) :

x1 = r sin θ cos ϕ ; x2 = r sin θ sin ϕ ; x3 = r cosθ ; r = x ; θ ∈ [0; π ] ; ϕ ∈ [0;2π ) . У тверждение 3. В цилиндрическ их к оординатах оп ераторЛ ап ласа имеетвид ∆u =

1 ∂  ∂u  1 ∂ 2u ∂ 2u ⋅ ξ + ⋅ + . ξ ∂ξ  ∂ξ  ξ 2 ∂ϕ 2 ∂x32

(5.3)

Д ок азательство. Д ля док азательствап ерей дем отп редставления (5.3) к п редставлению оп ератораЛ ап ласавдек артовых к оординатах . И меем для п ервых п роизводных : ∂ ∂u ∂u ∂ ∂u ∂u = cos ϕ + sin ϕ ; ξ = ξ cos ϕ + ξ sin ϕ ; ∂ξ ∂x1 ∂x2 ∂ξ ∂x1 ∂x2 ∂u ∂u ∂u =− ξ sin ϕ + ξ cos ϕ. ∂ϕ ∂x1 ∂x2

О тсю дадля вторых п роизводных : ∂  ∂u  ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ξ = 2 ξ cos ϕ +2 ξ cos ϕ sin ϕ+ 2 ξ sin 2 ϕ+ cos ϕ + sin ϕ ;   ∂ξ  ∂ξ  ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x2

1 ∂  ∂ ξ ξ ∂ξ  ∂ξ =

 = 

∂ 2u ∂2u ∂ 2u 2 1 ∂u 1 ∂u 2 cos ϕ + 2 cos ϕ sin ϕ + sin ϕ + cos ϕ + sin ϕ ; ∂x12 ∂x1∂x2 ∂x22 ξ ∂x1 ξ ∂x2

- 19 ∂ 2u = ∂ϕ 2 ∂u ∂u ∂ 2u 2 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ξ cos ϕ − ξ sin ϕ + 2 ξ sin ϕ − 2 ξ sin ϕ cosϕ + 2 ξ cos2 ϕ ; =− ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x2 1 ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u ∂ 2u 2 ∂ 2u ∂ 2u = − − + − + cos ϕ sin ϕ sin ϕ 2 sin ϕ cos ϕ cos 2 ϕ. 2 2 2 2 ξ ∂ϕ ξ ∂x1 ξ ∂x2 ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x2 П оэтому 1 ∂  ∂ ξ ξ ∂ξ  ∂ξ

 1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 2  + ξ 2 ∂ϕ 2 = ∂x 2 cos ϕ + 2 ∂x ∂x cos ϕ sin ϕ + ∂x 2 sin ϕ +  1 1 2 2 2 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u ∂ u 2 + cos ϕ + sin ϕ − cos ϕ − sin ϕ + sin ϕ − ∂x1 ξ ∂x2 ∂x12 ξ ∂x1 ξ ∂x2 ξ

−2

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u sin ϕ cos ϕ + 2 cos 2 ϕ = 2 + 2 , ∂x1∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x2

отк уданемедленновытек аетутверждение. У тверждение 4. В сф ерическ их к оординатах оп ераторЛ ап ласаимеет вид 1 ∂  2 ∂u  1 ∂  ∂u  1 ∂ 2u sin r + θ + . (5.4)     r 2 ∂r  ∂r  r 2 ∂t  ∂t  r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 Д ок азательство. Д ля док азательствап ерей дем отп редставления (5.3) к п редставлению (5.3) оп ератора Л ап ласа в цилиндрическ их к оординатах . С вяжем эти к оординаты соотнош ениями ξ = r sin θ ; x3 = r cosθ . И меем ∆u =

для п ервых п роизводных : ∂u ∂u ∂u = sin θ + cosθ ; ∂r ∂ξ ∂x3

r2

∂u ∂u 2 ∂u 2 = r sin θ + r cos θ ; ∂r ∂ξ ∂x3

∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u = r cosθ − r sin θ ; sin θ = r cos θ sin θ − r sin 2 θ . ∂θ ∂ξ ∂x3 ∂θ ∂ξ ∂x3

О тсю дадля вторых п роизводных :  ∂u  2 ∂u  ∂  ∂u 2 ∂u 2 r cosθ  = r  =  r sin θ + ∂r  ∂r  ∂r  ∂ξ ∂x3  =

∂ 2u 2 2 ∂ 2u 2 ∂ 2u 2 ∂u ∂u r sin θ 2 r sin θ cos θ r cosθ + 2r sin θ + 2r cosθ ; + + 2 2 ∂ξ ∂ξ∂x3 ∂x3 ∂ξ ∂x3  ∂u  2 ∂u  ∂  ∂u 2 ∂u 2 r cos θ  = r  =  r sin θ + ∂r  ∂r  ∂r  ∂ξ ∂x3 

- 20 ∂ 2u 2 2 ∂ 2u 2 ∂ 2u 2 ∂u ∂u = 2 r sin θ + 2 r sin θ cos θ + 2 r cosθ + 2r sin θ + 2r cosθ ; ∂ξ ∂ξ∂x3 ∂x3 ∂ξ ∂x3 1 ∂ 2 ∂u ∂ 2u 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂u 2 ∂u r = + + ( ) sin θ 2 sin θ cos θ cos 2θ + sin θ + cosθ ; 2 2 2 r ∂r ∂r ∂ξ ∂ξ∂x3 ∂x3 r ∂ξ r ∂x3  ∂  ∂u  ∂  ∂u ∂u r sin 2 θ  =  r cosθ sin θ −  sin θ = ∂θ  ∂θ  ∂θ  ∂ξ ∂x3  =

∂u ∂u ∂2u r ( − sin 2 θ + cos 2 θ ) − r 2sin θ cosθ + 2 r cosθ sin θ r cosθ − ∂ξ ∂x3 ∂ξ −2

∂ 2u ∂ 2u r cosθ sin θ r sin θ + 2 r sin 2 θ r sin θ ; ∂ξ∂x3 ∂x3

1 ∂  ∂u  ∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u 2 2 cos θ − 2 sin θ cos θ + 2 sin θ −  sin θ = r 2 sin θ ∂θ  ∂θ  ∂ξ 2 ∂ξ∂x3 ∂x3 sin θ ∂u cos 2 θ ∂u ∂u 2cos θ − + − . r ∂ξ r sin θ ∂ξ ∂x3 r П оэтому ∂  ∂u  ∂ 2 u ∂ 2 u 1  1 ∂  2 ∂u  1 cosθ  ∂u = r + 2  sin θ  = 2 + 2 +  sin θ +  2 r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ  ∂θ  ∂ξ ∂x3 r  sin θ  ∂ξ ∂ 2 u 1 ∂u ∂ 2 u 1 ∂  ∂u  ∂ 2 u = 2 + + = ⋅ + ξ , ∂ξ ξ ∂ξ ∂x32 ξ ∂ξ  ∂ξ  ∂x32

отк уда и из очевидного равенства

1 ∂ 2u 1 ∂ 2u == r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 ξ 2 ∂ϕ 2

утверждение. У тверждение 5. П ри п реобразовании

вытек ает

К ельвина гармоничность

сох раняется, т.е., если ф унк ция u ( x) гармонична в ! 3 \ BR (0) , то ф унк ция u * ( x* ) гармоничнав BR (0) \ {0} .

Д ок азательство. П усть связанные п реобразованием инверсии (5.1) точк и x, x∗ ∈ ! 3 , r =| x | ≥ R; ρ =| x∗ | ≤ R имею т следую щ ие сф ерическ ие к оординаты x : ( r ; θ , ϕ ), x∗ : ( ρ ; θ ; ϕ ) .

П реобразуем п редставление в

сф ерическ их к оординатах ф унк ции ∆u ∗ ( x∗ ) с п омощ ью п реобразования К ельвинаи равенства r ρ = R 2 , вытек аю щ его из (5.2): ∆u * ( x* ) =

1 ∂  2 ∂u *  1 ∂  ∂u*  ⋅ ρ + ⋅ sin θ    + ρ 2 ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 sin θ ∂θ  ∂θ 

- 21 1 ∂  ∂u *  + 2 ⋅  sin θ = ρ sin θ ∂θ  ∂ϕ  1 ∂  2 ∂u*  r3 ∂  ∂u  r3 ∂u ρ sin θ . = 2⋅ + ⋅ + ⋅     5 5 ρ ∂ρ  ∂ρ  R sin θ ∂θ  ∂θ  R sin θ ∂ϕ

(5.5)

К роме того, ∂u * ∂  R   R 2 = u ⋅− ∂ρ ∂r  ρ   ρ 2

 ∂  r   r2  =  u⋅− 2  ∂r  R   R

 1 3 ∂u 1 − r 2 3 u; =− 3 r R R ∂r 

∂u ∗ R 4  r 3  ∂u R 4  r 2  ∂u ρ = 2 ⋅− 3 ⋅ − 2 ⋅  3  u = − Rr − Ru; ∂ρ r  R  ∂r r  R  ∂r 2

2 2 ∂  2 ∂u*  ∂  ∂u ∂ 2 u ∂u    r  r  ∂u ρ = − R r + u ⋅ − = + r + =       2  ∂ρ  ∂ρ  ∂r  ∂r ∂r 2 ∂r    R  R  ∂r 2r 2 ∂u r 3 ∂ 2 u = ⋅ + ⋅ ; R ∂r R ∂r 2 1 ∂  2 ∂u ∗  r 2 2r 2 ∂u r 5 ∂u r 5  ∂ 2 u 2 ∂u  ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ = ρ =  ρ 2 ∂ρ  ∂ρ  R 4 R ∂r R5 ∂r 2 R 5  ∂r 2 r ∂r 

=

r 5  1 ∂  2 ∂u   ⋅ r  . R 5  r 2 ∂r  ∂r  

И з п оследнегоравенстваи из равенства(5.5) имеем ∆u * =

r 5  1 ∂  2 ∂u  1 ∂  ∂u  1 ∂ 2u ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ r sin θ      R 5  r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ  ∂θ  r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2

 , 

r5 ∆u ( x). О тсю даи следуеттребуемое утверждение. R5 Л емма 4 (об устранимой особенности). П усть ξ = x -

тоесть ∆u ∗ ( x∗ ) =

изолированная особая точк а ф унк ции u (ξ ) и во всех точк ах нек оторой ш аровой ок рестности Ba ( x) точк и x ф унк ция u (ξ ) гармонична, п ричем  1  u (ξ ) = o   . Т огда u (ξ ) может быть дооп ределена в точк е ξ = x до ξ − x   гармоническ ой . Д ок азательство. В дальней ш ем будет док азана ф ормула П уассона, согласно к оторой можно п остроить гармоническ ую вш аре Ba ( x) ф унк цию v (ξ ) , п ринимаю щ ую

на Sa ( x) те же значения, что и u (ξ ) (т.е.

п ринимаю щ ую на S a ( x) заданные значения). Рассмотрим так же ф унк цию

- 22 1 1 − , где a - радиус Sa ( x) . П оследняя ф унк ция неотрицательнап ри ξ −x a ξ ∈ Ba ( x) и гармонична в области Vε = Ba ( x) \ Bε ( x) , ε < a (см. лемму1). П ри ξ → x эта ф унк ция растет к ак

1 , п оэтому, если ф унк ция u (ξ ) ξ −x

 1  п ри ξ → x растет медленнее, т.е. u (ξ ) = o   , или u (ξ ) ⋅ ξ − x → 0 − x ξ   п ри ξ − x → 0 , то сущ ествует так ое число η ( ε ) > 0, η ( ε ) → 0 п ри ε → 0 ,  1 1 −  п ри ξ − x = ε и ξ − x = a . П ри ξ − x = a в что u − v ≤ η ( ε )   ξ −x a этом неравенстве обе части равны нулю и неравенство верно п ри лю бом выборе ф унк ции η (ε ) , адля вып олнения этого неравенствап ри ξ − x = ε 1 1 п римем за η наименьш ее значение выражения u − v /  −  (заметим, ε a 1 что п ри ξ − x → 0 u (ξ ) растет медленнее п о условию , а v (ξ ) ξ−x

вообщ е ограничена, к ак гармоническ ая). Т ак к ак ф унк ции u (ξ ) − v (ξ ) и  1 1 −  ⋅η ( ξ )   ξ −x a

обе являю тся гармоническ ими в области

Vε , то

 1  1 1 1 −  ≤ u (ξ ) − v(ξ ) ≤ η (ξ )  − , неравенство−η (ξ )   ξ −x a  ξ −x a вып олненное на границе области, п о п ринцип умак симума вып олнено и Vε . внутри (Д ей ствительно, если, нап ример, 

1 1 −  ≤ 0 на границе, то эта разность не может быть  ξ −x a больш е нуля внутри области). Заф ик сируем точк у ξ и устремим ε к нулю . П равая часть

( u − v ) − η (ξ ) 

 1 1 −  будет стремиться к нулю , а т.к . его неравенства u − v ≤ η (ξ )   ξ −x a левая часть не зависит от ε , то u ( x) = v( x) и, следовательно, ф унк ция u (ξ ) гармоничнап ри x ∈ Ba ( x) . Л емма док азана.

- 23 Т еорема 3. П усть u ( x) гармоническ ая вне ш ара B R (0) ф унк ция. Т огдап ри x → ∞  1   1  u ( x) = O  ; ∇ u ( x) = O  2  . (5.6)  | x | | x |     Д ок азательство. П о оп ределению гармоническ ой в области с вых одами на беск онечность ф унк ции, u ( x) → 0 п ри x → ∞ , т.е. u ( x) = o(1) п ри x → ∞ . С оверш ая п реобразование К ельвина, п олучим ф унк цию

u * ( x* ) гармоническ ую в BR (0) \ {0} и удовлетворяю щ ую п ри

x* → 0 условию

u * ( x* ) =

 1  1 o (1) = o   . П о лемме 4 об устранимой  x  x*  

особенности зак лю чаем, что u * ( x* ) - гармоническ ая в BR (0) ф унк ция. С оверш ая обратное п реобразование К ельвина для ф унк ции u ( x) п олучим R *  R2  п редставление u ( x) = u  2 x  , из к оторого (и из ограниченности в x  x 

ш аре BR (0) гармоническ ой ф унк ции u* ( x* ) ) вытек ает п ервая из оценок

(5.6). Д ля п олучения второй оценк и достаточно п родиф ф еренцировать R *  R2  u  x  п о к аждой из независимых п еременных x  x 2  xk . Т еорема3 док азана.

п редставление u ( x) =

Д ок азанная теорема и п реобразование К ельвина п озволяю т внеш ние к раевые задачи сводить к внутренним и наоборот. § 6. Т еоремы единственности реш ений к раевых задач для уравнения Л ап ласа Т еорема 4. Реш ение задачи Д ирих ле для уравнения Л ап ласа, к ак

( )

внутренней так и внеш ней , единственно вк лассе ф унк ций C 2 ( D ) I C D . Д ок азательство. Рассмотрим вначале внутренню ю задачуД ирих ле. П редп оложим, что сущ ествую тдвареш ения u1 ( x) и u2 ( x) одной и той же задачи

Д ирих ле.

Т огда их

разность

u ( x) = u1 ( x) − u2 ( x)

будет

гармоническ ой и u ∂D ≡ 0 . О тсю да п о п ринцип умак симума следует, что u ( x) ≡ 0 в D , т.е. u1 ( x) ≡ u2 ( x) , т.к . вп ротивном случае онадолжнабыла

- 24 бы достигать внутри D наибольш его п оложительного или наименьш его отрицательного значений , что невозможно. Рассмотрим теп ерь внеш ню ю задачуД ирих ле. К ак и ранее, п редп оложим, что сущ ествую т два реш ения u1 ( x ) и u2 ( x) . Т огда их

разность u ( x) = u1 ( x) − u2 ( x)

будет гармоническ ой

ф унк цией , равной нулю на ∂De и равномерно стремящ ей ся к нулю п ри x → ∞ , т.е. для лю бого ε > 0 най дется так ое

R , что для x ≥ R

сп раведливонеравенство u ( x) < ε . П усть x - п роизвольная точк а области De . П роведем сф еру S r (0) с радиусом r - настольк о больш им, чтобы x и п оверх ность ∂Dl

лежали внутри S r (0) . К роме того, выберем r = r (ε ) настольк о больш им, чтобы п о п роизвольно заданному ε п ри x ∈ Sr (0) было вып олнено неравенство

u ( x) < ε . Т огда, к ак следует из

теоремы о мак симуме,

п римененной к области De ∩ Br (0) , неравенство u ( x) < ε вып олнено для всех x ∈ De ∩ Br (0) . В силуп роизвольности ε зак лю чаем, что u ( x) = 0 , а т.к . x - п роизвольная точк а , то u ( x) = 0 в De , т.е. u1 ≡ u2 . Т еорема 4 док азана. ρ = ∂Di = ∂De - п оверх ность к ласса C 2 ,

У словие 1. П оверх ность

замк нутая и ограниченная. Т еорема5. П усть вып олнено условие 1. Реш ение внутренней задачи Н ей мана оп ределено с точностью до п роизвольной аддитивной п остоянной . Н еобх одимым условием разреш имости этой задачи является равенство

∫ f ( x)dS = 0 .

(6.1)

2

S

Д ок азательство. Е сли u1 и u2 - два реш ения внутренней задачи

( )

Н ей мана, то их разность u = u1 − u2 ∈ C 2 ( Di ) I C D i

и имеет нулевую

п равильную нормальную п роизводную на ∂Di . П рименяя п ервую ф ормулу Г рина (2.2) к

u = v = u1 − u2 , п олучим

∫ ∇u

Di

2

dx =

∂u

∫ u ∂n dS = 0 ,

отк уда

∂Di

следует, что ∇u = 0 , x ∈ Di , так что u = u1 − u2 = const . Н еобх одимость условия (6.1) разреш имости внутренней задачи Н ей мана вытек ает из условия (4.2) и второй ф ормулы Г рина (2.3),

- 25 п римененной к ф унк циям v ≡ 1 и u − реш ению задачи. Д ей ствительно, ∂u 0 = − ∫ ∆udx = ∫ dS = ∫ f 2 ( x)dS . Т еоремадок азана. ∂n Di S S Т еорема 6. П усть вып олнено условие 1. Реш ение внеш ней задачи Н ей манаединственно. Д ок азательство. П усть u 1 и u2 - два реш ения внеш ней задачи Н ей мана. Т огда

( )

u = u1 − u2 ∈ C D e

- гармоническ ая в De ф унк ция,

к оторая имеет п равильную нормальную п роизводную на S = δ De . П о x → ∞ гармоническ их ф унк ций имеем

теореме 3 о п оведении п ри u ( x) ≤

c c ; ∇u ≤ 12 , x → ∞ . П рименяя п ервую ф ормулу Г рина (2.2) к x x

области QR = De I Br (0) п ри u = v , п олучим

∫

2

QR

∇ u dx = ∫ u S

∂u dS + ∂n

∫

S R (0 )

u

∂u ∂u dS = ∫ u dS . n ∂n ∂ S R (0 )

(6.2)

Н о из оценок п оведения u ( x) п ри x → ∞ следует

∫

S R (0)

u

cc cc ∂u ∂u dS ≤ ∫ u ⋅ dS ≤ 31 ∫ dS = 4π 1  →0 . R →∞ R R ∂n ∂n S R (0)

(6.3)

R → ∞, п олучим из (6.2) и (6.3) У стремляя ∇u = 0 , u = const , x ∈ De , но lim u ( x ) = 0 , следовательно, 0 ≡ u ( x) = u1 − u2 x →∞

п ри всех x ∈ De . Т еоремадок азана. § 7. Ф унк ция Г риназадачи Д ирих ле П редварительные рассуждения. П усть u ( x) - гармоническ ая ф унк ция

( )

x ∈ Di и u ( x) ∈ C 2 ( Di ) I C1 Di . Т огда имеет место ф ормула (3.3) (3-е свой ство гармоническ ой ф унк ции): 1  ∂  1 1 ∂u r  dS , u ( x0 ) = − u   4π ∫S  r ∂n ∂n    где x ∈ S ; x0 ∈ Di , r = x − x0 .

(7.1)

П усть так же известна ф унк ция g ( x, x0 ) , обладаю щ ая следую щ ими свой ствами:

- 26 1. g ( x, x0 ) гармоничнап о x ∈ S = ∂Di в и g ( ⋅ , x0 ) ∈ C1 ( Di ) ; 1 п ри x ∈ S = ∂Di . 4π r П рименяя вторую ф ормулуГ рина к гармоническ им ф унк циям u ( x)

2. g ( x, x0 ) = − и g ( x, x0 ) , п олучим 

∫ u ( x) S

∂g ( x, x0 ) ∂u ( x)  − g ( x, x0 ) ⋅  dS = 0 , ∂nx ∂nx 

(7.2)

(интегрирование ведется п о x ∈ S ). И з второго свой ства ф унк ции g ( x, x0 ) следует 

∫ u ( x) S

∂g ( x, x0 ) 1 ∂u ( x)  + ⋅ dS = 0 . ∂nx 4π r ∂nx 

В ычитая п оследнее равенствоиз (7.2), п олучим ∂  1  u ( x0 ) = − ∫ u ( x) + g ( x, x0 ) dS .  ∂nx  4π r  S

(7.4)

О бозначим 1 + g ( x, x0 ) . (7.5) 4π r Э таф унк ция называется ф унк цией Г риназадачи Д ирих ле. О п ределение. Ф унк цией Г ринавнутренней задачи Д ирих ле Л ап ласа G ( x, x0 ) =

в

области

Di

называется

ф унк ция

G ( x, x0 ) , x ∈ D , x0 ∈ D ,

удовлетворяю щ ая следую щ им условиям 1. G ( x, x0 ) - гармоническ ая п о x ∈ Di \ { x0 } ; 2. G ( x, x0 ) x∈S = 0 . 3.

П ри

x ∈ Di

сп раведливо п редставление (7.5),

где

r = x − x0 , g ( x, x0 ) - гармоническ ая в Di ф унк ция.

П остроение ф унк ции Г рина сводится к нах ождению ее регулярной части g ( x, x0 ) , к оторая оп ределяется из задачи Д ирих ле  ∆ x g ( x, x0 ) = 0;   1  g ( x, x0 ) x∈S = − 4π r , x0 ∈ D. С п омощ ью ф унк ции Г рина реш ение внутренней задачи Д ирих ле (если оно сущ ествует) задается ф ормулой , вытек аю щ ей из (7.4)

- 27 u ( x0 ) = − ∫ f1 ( x) S

∂G ( x, x0 ) dS ; ∂nx

(u ( x) x∈S = f1 ( x)) .

(7.5)

П ри выводе ф ормулы (7.5) п редп олагалось сущ ествование реш ения u ( x) внутренней задачи Д ирих ле с граничными значениями f1 ( x) , неп рерывного вместе со своими п роизводными вп лоть до границы S . И ск омая же ф унк ция взадаче Д ирих ле должнабыть гармоническ ой внутри области Di и неп рерывной в замк нутой области D i . Т ак им образом, не давая док азательства сущ ествования реш ения, ф ормула (35) дает интегральное п редставление сущ ествую щ их достаточно гладк их реш ений задачи Д ирих ле. А.М . Л яп унов изучал п редставление (7.5) реш ения задачи Д ирих ле и установил, что если граница S области Di «достаточно х орош ая» (в к ак ом смысле, установим п озже), ф ормула (7.5) п редставляет реш ение задачи Д ирих ле п ри лю бом выборе ф унк ции f ( x) , вх одящ ей в граничные условия. С оверш енно аналогично вводится ф унк ция Г рина для внеш ней задачи Д ирих ле. Н ек оторые свой стваф унк ции Г ринавнутренней задачи Д ирих ле С вой ство1. G ( x, x0 ) > 0 , x ∈ Di . Д ок азательство. Н а границе S = ∂Di : G ( x, x0 ) = 0

и G ( x, x0 ) > 0

на Sε ( x0 ) , если ε > 0 - достаточно мало (т.к . G ( x, x0 ) → +∞ п ри x → x0 ). О тсю да в силу п ринцип а мак симума (см. теорему 2) вытек ает иск омое утверждение. 1 Замечание. Т .к . g ( x, x0 ) x∈S = − < 0 , то п о п ринцип умак симума, 4π r g ( x, x0 ) < 0 п ри всех x ∈ Di и, следовательно, 1 1 + g ( x, x0 ) < , x ∈ Di . 4π r 4π r С вой ство2. Ф унк ция Г ринасимметрична G ( x, x0 ) = G ( x0 , x ) . 0 < G ( x, x0 ) =

Д ля док азательства п рименим вторую u = G ( x, x1 ) ф унк циям u = G ( x, x1 ) и интегрирования возьмем

ф ормулу Г рина (2.3) к и в к ачестве области

Dε = Di \ {Sε ( x1 ) U Sε ( x2 )} , ε > 0 - настольк о

мало, что Sε ( xk ) ⊂ Di , k = 1 2 . В силу гармоничности ф унк ций

u и v

объемный интеграл будет равеннулю . И нтеграл п о п оверх ности S так же

- 28 равен нулю , в силу граничного условия G ( x, x0 ) x∈S = 0 . С ледовательно, имеетместоравенство ∂G ( x, x2 ) ∂G ( x, x1 )   − G ( x, x2 ) G ( x, x1 ) dS + ∂n ∂n  Sε ( x1 ) 

∫

(7.6)

∂G ( x, x2 ) ∂G ( x, x1 )   + ∫ G ( x, x1 ) − G ( x, x2 ) dS = 0. ∂n ∂n  Sε ( x2 )  Т ак к ак п ри ε → 0 для сф еры Sε ( xk ) сп раведливоравенство G ( x, xk ) где g ( x, xk )

 ∂G ( x, x3−k ) ∂G ( x, x3−k )  1 , k = 1,2 , = + g ( x, xk )  ∂n ∂n  x − xk  и

учитывая, что

∂G ( x, x3− k ) - неп рерывные, ограниченные ф унк ции, то ∂n ∂G ( x, x3− k ) 1 1 1  = , имеем G ( x, xk ) ≤ c2  + c1  , x − xk ε ∂n ε 

x ∈ Sk , k = 1,2 . О тк уда

∫

G ( x, xk )

S ε ( xk )

∂G ( x, x3−k ) 1  dS ≤ c2  + c1  ⋅ 4πε 2 → 0 п ри ε → 0 . ∂n ε 

У чтем так же, что ∂G ( x, xk ) ∂n x∈S

ε ( xk )

=

∂ 1 1 ∂g ( x, xk )  g x , x + = − + ( ) k  r2 ∂n  r ∂n x∈Sk x∈S

=− где

=

ε ( xk )

1 ∂g ( x, xk ) , ε 2 ∂n

k = 1,2,

∂g ( x, xk ) - неп рерывная ограниченная ф унк ция. П оэтому ∂n

−G ( x, x3−k )

∂G ( x, xk ) ∂n x∈S

ε

( xk )

1 ∂g ( x, xk )   = G ( x, x3− k ) ⋅ 2 + G ( x, x3−k ) . ε ∂n  x∈Sε ( xk ) 

И сп ользуя неп рерывность п о

x ∈ Sk

ф унк ций

G ( x, x3− k ) и

∂g ( x, xk ) , атак же интегральную теоремуо среднем, п олучим ∂n 1 G ( x, x3− k ) ⋅ 2 dx + O ( ε 2 ) = G ( xс р ,k , x3− k ) ⋅ 4π + O ( ε 2 ) ; xс р ,k → xk п ри ε → 0. ∫ ε Sε ( xk )

С ледовательно, вп ределе п ри ε → 0 , равенство (7.6) п риметвид −4π G ( x1 , x2 ) + 4π G ( x2 , x1 ) = 0 .

- 29 О тсю давытек аетвторое свой ствоф унк ции Г рина. Замечание. В случае n = 2 ф унк ция Г ринаимеетвид 1 1 G ( x, x0 ) = ⋅ ln + g ( x, x0 ) , r = x − x0 . 2π r Реш ение задачи Д ирих ле для уравнения Л ап ласавш аре Задача состоит в п оиск е ф унк ции u ∈ C 2 ( BR (0) ) I C ( BR (0) ) , так ой , что

∆u = 0 в ш аре BR (0) , а на границе ш ара BR (0) - сф ере S R (0)

вып олнено условие u S

R (0)

= f ( x), где f ( x) − неп рерывная п о x ∈ S R (0)

ф унк ция. Д ля реш ения этой задачи вначале п остроим ф унк цию Г рина. Т очк е ш ара x0 , так ой что x0 = ρ , ρ < R , с п омощ ью п реобразования инверсии (5.1) соп оставим точк у x1 : x1 ∈ R3 \ BR (0) , x1 = ρ1 , ρρ1 = R 2 , x1 =

R2 x0 . ρ2

В озьмем теп ерь нек оторую точк у x ∈ ! 3 и обозначим через r и r1 расстояния r = x0 − x и x1 − x − r1 соответственно. Н ай дем соотнош ение между r И меем

и

r1 ,

к огда

∆Oxx0 ! ∆Oxx1 ,

Ox R Ox1 x1 = = = , Ox0 x0 Ox R

т.к .

x ∈ S R (0) (см. рис.2). x

т.к . ∠Oxx0 - общ ий и

R r

x R = 1 ! R 2 = ρρ1 . x0 R

O

ρ

x0

И з п одобия этих треугольник ов следует, что r ρ 1 R 1 x ∈ S R (0) . = или − ⋅ =0 п ри r1 R r ρ r1 П ок ажем теп ерь, чтоф унк ция 1 1 R 1 G ( x, x0 ) = − ⋅ ⋅ 4π x − x0 4π ρ x1 − x

r1 ρ1 Рис. 2

x1

( x1 - инверсия x0 )

есть иск омая ф унк ция Г рина задачи Д ирих ле для ш ара BR (0) . Д ей ствительно, ф унк ция G ( x, x0 )

гармонична п о x

в BR (0)

за

иск лю чением точк и x = x0 ∈ BR (0) , где она обращ ается в беск онечность. П ри x0 = x1 ∈ S R (0) сп раведливоравенство G ( x, x0 ) = 0 . П оложив −1

1 R 1 R R2 g ( x, x0 ) = − ⋅ ⋅ =− ⋅ x − x0 , 4π ρ x1 − x0 4πρ x 2

- 30 п олучим, что G ( x, x0 ) удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на ф унк цию Г рина. П одставив най денную ф унк цию ∂G ( x, x0 ) u ( x0 ) = − ∫ f ( x) dS , п олучим ∂ n S R (0) u ( x0 ) = −

1 4π

∫

S R (0)

в п олученную

ранее ф ормулу

1 R 1  ∂ − ⋅  r ρ r1  f ( x)  dS , ∂n

(7.7)

∂ ведется п о ∂n нап равлению нормали в точк е границы x ∈ S R (0) . где

диф ф еренцирование

П реобразуем

п олученную

ф ормулу.

x0 nx

И меем

 В соответствии с .  оп ределением диф ф еренцирования п о нап равлению

x

O

∂ 1 ∂  1  =  ∂n  r  ∂n  x − x0

Рис. 3

нормами nk (см.

рис.3), имеем 1 1 1 ∂  ∂  ∂  ∂ 1  r  cos ( nOx ) +  r  cos ( nOx ) +  r  cos nOx . ( 3)  = 1 2 ∂n  r  ∂x1 ∂x2 ∂x3 Т ак к ак  ∂  ∂xk  

1

( x1 − x01 ) + ( x2 − x02 ) + ( x3 − x03 ) 2

2

2

  = − 1 ⋅ 2 ( xk − x0 k ) = − xk − x0 k , то  2 r3 r3 

∂  1  −1 3 xk − x0 k −1 3 1 cos ( nOxk ) = 2 ∑ cos ( rOxk ) cos ( nOxk ) = − 2 cos ( r , n ) .  = 2 ∑ ∂n  r  r k =1 r r k =1 r x1 Рис. 4

Аналогично можно п олучить равенство ∂ 1 1   = − 2 cos ( r1 , n ) . Т ак им образом, ∂n  r1  r1

1 R 1  ∂ − ⋅   r ρ r1  = − 1 cos r , n + ( ) ∂n r2 R cos ( r1 , n ) + ⋅ ; ( x ∈ S R (0) ) . ρ r12

r1 ρ1 n

(r!; n )

r x

ρ

(7.8)

O

R

(r!1 ; n)

- 31 И з ∆Ox0 x и ∆Oxx1 п отеореме к осинусовимеем (рис. 4) ρ 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cos ( r , n ) ;

ρ12 = R 2 + r12 − 2 Rr1 cos ( r1 , n ) .

О п ределим значения cos ( r , n ) и cos ( r1 , n ) из п оследних равенств и п одставим их в(7.8), п осле чегоп олучим ∂ 1 R 1 R R 2 + r12 − ρ12 1 R2 + r 2 − ρ 2 − ⋅ = − ⋅ + ⋅ .   ∂n  r ρ r1  r2 2 Rr ρ r12 2 Rr1 И сп ользуя равенства ρρ1 = R 2 и

r ρ = , вычислим r1 R

R2 2 R4 R + 2 r1 − 2 ∂  1 R 1  1 ρ 2 − r 2 − R2 Rρ 2 ρ ρ + ⋅ =  − ⋅ = 2 ⋅ 2 2 R ∂n  r ρ r1  r 2 Rr ρR r 2R r ρ 2

1  2 2 r 2 R2  1 2 2 ρ ρ − r − R + 1 + − 2  = 3 ( ρ 2 − R2 ) , x ∈ S.  3  2 ρ   Rr 2 Rr   ρ О тсю даи из ф ормулы п редставления реш ения (7.7) имеем =

1 u ( x0 ) = 4π

R 2 − x0 R2 − ρ 2 1 f ( x) dx f x dx . = ( ) 3 Rr 3 4π S R∫(0) R x − x0 2

∫

S R (0)

(7.9)

П олученная ф ормуланазывается ф ормулой П уассона. Т ак им образом, если реш ение внутренней задачи Д ирих ле для ш ара сущ ествует и если оно неп рерывно в замк нутом ш аре вместе со своими п ервыми п роизводными, тооноп редставлено ф ормулой П уассона. Д ок ажем теп ерь, что если f ( x) - неп рерывна, то ф ормула П уассона (7.9) даетреш ение внутренней задачи Д ирих ле. П ок ажем сэтой целью , что интеграл, вх одящ ий в п равую часть ф ормулы П уассона есть ф унк ция гармоническ ая в BR (0) , неп рерывная в BR (0) и п ринимаю щ ая заданные к раевые значения. Г армоничность следуетиз того, чтоп ри x0 = ρ < R ∆

R2 − ρ 2 R2 + r 2 − ρ 2 1 2R  R2 + r 2 − ρ 2  1 = ∆ − ∆ = −∆ −∆ =  3 3 2  r r r r  2 Rr r 

1 1 ∂ 1  ∂  1   1  = 2 R∆  − 2 cos ( r , n )  − ∆ = −2 R∆     − ∆ = −2 R∆   − 0 = r r ∂n  r   r   ∂n  r   = −2 R

∂ 1 ∆   = 0, ∂n  r 

- 32 1 ( - гармоническ ая ф унк ция, если r x0 = ρ < R , x = R ).

x0 − x > 0 , а это так , п оск ольк у

()

В озьмем x ∈ S R (0) и док ажем, что если x0 → x , то u ( x0 ) → u x . f ( x) ≡ 1 , к огда реш ение задачи

Ф ормула П уассона сп раведлива и п ри

Д ирих ле, очевидно, сущ ествуети тождественноравно единице 1=

1 R2 − ρ 3 dS . 4π R S R∫(0) r 3

(7.10)

У множим обе части п оследнего равенства на f ( x) . И з ф ормулы П уассонаимеем

()

u ( x0 ) − u x =

2 2 1  f ( x0 ) − f x 0  R −3 ρ dS .  r 4π R S R∫(0) 

( )

()

В ыберем радиус 2δ ш ара B2δ x

()

(7.11)

столь малым, чтобы п ри всех

x ∈ S R (0) I B2δ x в силунеп рерывности f ( x0 ) имело место неравенство ε , 2

()

f ( x) − f x <

ε >0

-

п роизвольно

мало.

()

σ = S R (0) I B2δ x . О ставш ую ся часть сф еры обозначим

О бозначим S R (0) \ σ .

Равенство (7.11) п ереп иш ем ввиде R2 − ρ 2 1   u ( x0 ) − u x = f ( x) − f x dS +  r3 4π R σ∫ 

()

()

2 2 1  f ( x) − f x  R −3 ρ dS . + ∫ σ  r 4π R SR (0)\

()

(7.12)

О ценим в отдельности к аждое слагаемое в п равой части равенства (7.12). В начале оценим п ервый интеграл 1  R2 − ρ 2 ε 1 R2 − ρ 2 ε  f ( x) − f x dS < ⋅ dS = , ∀x ∈ BR (0). 3 3 ∫ ∫  r 4π R σ  2 4π R σ r 2 144 42444 3

()

=1(п о ( 7.8) )

О ценим теп ерь второй интеграл вп равой части (7.12). Д оп устим, что в своем стремлении к точк е x , точк а x0 уже п одош ла настольк о близк о,

()

что лежит в ш аре Bδ x . Т огда x − x0 = r > δ , если

x ∈ S \ σ . Ф унк ция

f ( x) неп рерывна на S R (0) , следовательно, она ограничена: О тсю даимеем

f ( x) < K .

- 33 2 2 2 K 4π R 1   R − ρ dS < ( ) f ( x ) f x − 3 ∫  r 4π R σ  4π R

()

2

 R2 − ρ 2  . . 3  δ 

К огда x0 → x разность R 2 − ρ 2 → 0 , следовательно, 2 2 1   R − ρ dS < ε f ( x ) − f x  r3 4π R σ∫  2

()

x0 − x - достаточно малом. И з

( ) ε2 + ε2 = ε . О тсю да в силу ε > 0 следует lim u ( x ) = u ( x ) .

оценок двух интегралов имеем п роизвольности

п ри

u ( x0 ) − u x <

x0 → x

0

С ледствие из ф ормулы П уассона(Н еравенство Г арнак а). Рассмотрим нигде не отрицательную в области D гармоническ ую ф унк цию u ( x ) . П усть BR ( x0 ) ⊂ D . П усть x ∈ BR ( x0 ) . Л егк о видеть, что ядро

1 R2 − ρ 2 ⋅ 4π R r3

ф ормулы П уассона п ри ρ ⊂ R удовлетворяет неравенствам 1 R−ρ 1 R2 − ρ 2 1 R+ρ ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ 4π R ( R + ρ )2 4π R r3 4π R ( R − ρ )2 R−ρ

(т.к .

(R + ρ)

2

R−ρ

(R − ρ )

2

= =

R2 − ρ 2

(R + ρ)

3

R2 − ρ 2

(R − ρ)

3

R2 − ρ 2 ≤ ; r3 ≤

ρ

x

x0 R

R2 − ρ 2 r3

r x

Рис. 5

п о неравенствутреугольник а) И з ф ормулы П уассонанеп осредственно следует R(R − ρ ) 1 R(R + ρ ) 1 ⋅ u ( x ) dS ≤ u x ≤ ⋅ u ( x) dS . 2 2 2 2 ∫ ∫ 4 π R 4 π R R + ρ R − ρ ( ) ( ) S R ( x0 ) S R ( x0 )

()

П рименивтеоремуосреднем значении, п олучим R(R − ρ ) R( R + ρ ) ⋅ u ( x0 ) ≤ u x ≤ ⋅ u ( x0 ) . 2 2 (R + ρ) (R − ρ)

()

(7.11)

Э та оценк а значений п оложительной гармоническ ой ф унк ции в п роизвольной точк е ш ара через ее значения в центре ш ара называется неравенством Г арнак а. Т еорема7. Ф унк ция, гармоническ ая вовсем ! 3 равнанулю . Д ок азательство. П усть u ( x) - гармоническ ая п ри x ∈ ! 3 ф унк ция.

- 34 О п иш ем из начала к оординат сф еру соответствии u ( x0 ) = п ри u ( x)

с

ф ормулой

П уассона

S R (0) . В ш аре BR (0) в

имеет

место

равенство

1 R2 − ρ 2 u ( x ) dS . В ыберем R настольк о больш им, чтобы 4π R S R∫(0) r3

x ∈ S R (0) имело место неравенство u ( x) < ε

равномерно

стремится

к

нулю

(т.к . гармоническ ая x → ∞ ).

п ри

R2 − ρ 2 1 R2 − ρ 2 u ( x) ≤ ∫ u ( x) dS ≤ ε dS . 3 3 ∫ r π R r 4 S R (0) S R (0)

О тсю да

Т огда и

из

п редставления (7.10) вытек ает оценк а u ( x) < ε . В силуп роизвольности ε > 0 теоремадок азана.

§ 8. Реш ение задачи Д ирих ле для уравнения Л ап ласавк руге нап лоск ости П усть в п лоск ости Oxy имеется к руг BR (0) и на S R (0) задана ф унк ция

f (ϕ ) п олярного угла ϕ . П оставим п еред собой

задачу

нах ождения ф унк ции u ( r ,ϕ ) , удовлетворяю щ ей внутри к руга уравнению Л ап ласа ∆u =

∂ 2u ∂ 2u + = 0 , неп рерывной в BR (0) и п ринимаю щ ей на ∂x 2 ∂y 2

границе заданные значения u r = R = f (ϕ ) , где f (ϕ ) − неп рерывная, 2π − п ериодическ ая ф унк ция п еременной ϕ ∈ [0; 2π ] . Л емма5. О п ераторЛ ап ласавп олярных к оординатах имеетвид ∆u ( r ,ϕ ) = Д ок азательство.

∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + ⋅ + ⋅ . ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2

И з ф ормул

x1 = r cos ϕ , x2 = r sin ϕ , ϕ ∈ [ 0;2π )

следует ∂u ∂u ∂x1 ∂u ∂x2 ∂u ∂u = ⋅ + ⋅ = ⋅ cos ϕ + ⋅ sin ϕ ; ∂r ∂x1 ∂r ∂x2 ∂r ∂x1 ∂x2 ∂u ∂u ∂x1 ∂u ∂x2 ∂u ∂u = ⋅ + ⋅ =− ⋅ r sin ϕ + ⋅ r cos ϕ ; ∂ϕ ∂x1 ∂ϕ ∂x2 ∂ϕ ∂x1 ∂x2  ∂  ∂u  ∂ 2u ∂  ∂u ∂u ∂  ∂u  =  ⋅ cos ϕ + ⋅ sin ϕ  =   cos ϕ +   sin ϕ = 2 ∂r ∂r  ∂x1 ∂x2 ∂r  ∂x2   ∂r  ∂x1  ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 2 = 2 cos ϕ + sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ + 2 sin ϕ = ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x1∂x2 ∂x2

- 35 ∂ 2u ∂2u ∂ 2u 2 2 = 2 cos ϕ + 2 sin ϕ cos ϕ + 2 sin ϕ ; ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x2  ∂ 2u ∂  ∂u ∂u ∂u ∂u =r ⋅ sin ϕ + ⋅ cos ϕ  = −r cos ϕ − r sin ϕ − − 2 ∂ϕ ∂ϕ  ∂x1 ∂x2 ∂ x ∂ x 1 2  2 2 2  ∂u   ∂u  ∂u ∂ 2u − r sin ϕ  − 2 r cos ϕ + r cos ϕ  + r cos ϕ  − sin ϕ + 2 cos ϕ  = ∂x1∂x2 ∂x2  ∂x1   ∂x1∂x2  = −r

∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u . cos ϕ − r sin ϕ + r 2 sin 2 ϕ 2 + r 2 cos 2 ϕ 2 − 2r sin ϕ cos ϕ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1∂x2 П оэтому

∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 2 + ⋅ + ⋅ = cos ϕ + 2 sin ϕ cos ϕ + 2 sin ϕ + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂x12 ∂x1∂x2 ∂x2 ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ cos ϕ + ⋅ sin ϕ − ⋅ cosϕ − ⋅ sin ϕ + sin 2 ϕ 2 + ∂x1 r ∂x1 r ∂x2 r ∂x1 r ∂x2 + cos 2 ϕ

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u − = + = ∆u. ϕ ϕ 2sin cos ∂x22 ∂x1∂x2 ∂x12 ∂x22

Л еммадок азана. Будем реш ать задачу Д ирих ле в к руге в п олярных к оординатах . П ереп иш ем уравнение Л ап ласаввиде ∂ 2u ∂u ∂ 2u r + + =0. ∂r 2 ∂r ∂ϕ 2 Н ай дем частные реш ения уравнения (8.1), имею щ ие вид u = Φ (ϕ ) R ( r ) . r2

(8.1)

(8.2)

П одставивчастное реш ение (8.2) вуравнение (8.1), п олучим r 2Φ (ϕ ) R // (r ) + r Φ (ϕ ) R / ( r ) + Φ // (ϕ ) R (r ) = 0

или r 2 R // (r ) + rR / (r ) Φ // =− . Φ (ϕ ) R(r )

(8.3)

Т ак к ак левая часть этого равенства не зависит от r , а п равая от ϕ , то обе они равны п остоянномучислу, к оторое мы обозначим через - k 2 . И з п оследнего равенствап олучаем двауравнения Φ // (ϕ ) + k 2Φ (ϕ ) = 0 ;

(8.4)

r 2 R // ( r ) + rR / (r ) − k 2 R(r ) = 0 .

(8.5)

О бщ ее реш ение уравнения (8.4) имеетвид Φ = A cos kϕ + B sin kϕ .

- 36 Реш ение уравнения (8.5) будем иск ать в виде R (r ) = r m . П одставляя R = rm

в (8.5) , п олучим r 2 m( m − 1) r m− 2 + rmr m−1 − k 2 r m = 0

или

m2 − k 2 = 0 . И так , имею тся два частных линей но независимых реш ения r k и r − k . О бщ ее реш ение уравнения (8.5) будет иметь вид R = Cr k + Dr − k . П одставляя общ ие реш ения R и Φ вф ормулу(8.2), п олучаем ф унк цию uk ( r ,ϕ ) = ( Ak cos kϕ + Bk sin kϕ ) ( Ck r k + Dk r − k ) .

Ф унк ция

(8.6)

uk ( r ,ϕ ) будет реш ением уравнения (8.1) п ри лю бом

значении k , отличном от нуля. Е сли k = 0 , то уравнения (8.4) и (8.5) п ринимаю твид Ф // = 0 ; rR // (r ) + R / (r ) = 0 , и, следовательно, u0 = ( A0 + B0ϕ )( C0 + D0 ln r ) .

(8.7)

Реш ение должно быть п ериодическ ой ф унк цией ϕ , так к ак п ри одном и том же r для углов ϕ и ϕ + 2π мы должны иметь одно и то же значение реш ения, п отомучто рассматривается одна и та же точк а к руга. П оэтому, очевидно, B0 = 0 , а в (8.6): k ∈ ! . М ы можем ограничиться тольк о п оложительными значениями k = 1,2,... , т.к . в силуп роизвольности A, B, C , D отрицательные числа k новых частных реш ений не даю т. Д алее мы ищ ем реш ение неп рерывное и к онечное в к руге, в частности и п ри r = 0 , следовательно, D0 = 0 . Аналогично в ф ормуле (8.6): Dk = 0 . Т ак им образом, п равая часть (8.7) есть A0C0 . О бозначим ее через a0 / 2 . И так , u0 = a0 / 2 .

Будем иск ать реш ение наш ей

∞

u = ∑ uk ( r , ϕ ) k =0

и п одберем Ak , Bk , Ck так ,

задачи в виде суммы

чтобы вып олнялись к раевые

условия. И так , u ( r ,ϕ ) =

a0 ∞ + ∑ ( an cos nϕ + bn sin nϕ ) r n 2 n=1

(п остоянная Cn вк лю чена в an и bn ). В ыберем теп ерь п роизвольные п остоянные an и bn так , чтобы удовлетворялось к раевое условие. П ри r = R имеем f (ϕ ) =

a0 ∞ + ∑ ( an cos nϕ + bn sin nϕ ) R n . 2 n =1

(8.8)

Ч тобы имело место равенство (8.8) нужно, чтобы ф унк ция f (ϕ ) разлагалась вряд Ф урье наинтервале ( −π , π ) и чтобы an R n и bn R n были

- 37 ее к оэф ф ициентами Ф урье. С ледовательно,

An

и

Bn

должны

оп ределяться п оф ормулам π

π

1 an = f (t )cos ntst ; π R n −∫π

1 bn = f (t )sin ntst . π R n −∫π

(8.9)

И так , ряд (8.8) с к оэф ф ициентами (8.9) будет реш ением наш ей задачи, если ондоп уск ает к онечное двук ратное диф ф еренцирование п о r и ϕ (это п ок ане док азано). П реобразуем ф ормулу(8.8). 1 u ( r ,ϕ ) = 2π

π

∫

−π

π

n

1 r f (t ) dt + ∫ f (t )cos n ( t − ϕ ) dt   = π −π R

n ∞   r f ( t ) 1 2 cos n t ϕ + − ( )   dt .   ∫  ∑ R   n = 1  −π  И сп ользуя ф ормулусуммы беск онечно убываю щ ей геометрическ ой п рогрессии, п реобразуем выражение, стоящ ее вк вадратных ск обк ах

1 = 2π

∞

π

n

n

∞ r r 1 + 2∑   cos n ( t − ϕ ) = 1 + 2∑   ein(t −ϕ ) + e−in(t −ϕ )  = n =1  R  n =1  R  r i( t −ϕ ) r − i ( t −ϕ ) n n e e ∞   r r     = 1 + ∑  ei( t −ϕ )  +  e− i( t −ϕ )   = 1 + R + R = r r i t − ϕ − i t − ϕ ( ) ( ) R R     n =1    1− e 1− e R R

r 1−   R

2

R2 − r 2 = = 2 . 2 R − 2 Rr cos ( t − ϕ ) + r 2 r r 1 − 2 cos ( t − ϕ ) +   R R О тсю даимеем 1 u ( r ,ϕ ) = 2π

π

∫

−π

R2 − r 2 f (t ) 2 dt . R − 2 Rr cos ( t − ϕ ) + r 2

П олученное п редставление является двумерным аналогом ф ормулы П уассона. Д вук ратное диф ф еренцирование и гармоничность, а так же неп рерывное удовлетворение к раевым условиям док азывается так же, к ак и втрех мерном случае. § 9. Реш ение задачи Д ирих ле для уравнения Л ап ласавк ольце Э тазадачасостоитвтом, чтобы най ти реш ение уравнения ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u ∆u = 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 = 0 , ∂r r ∂r r ∂ϕ

R1 < r < R2 ,

(9.1)

- 38 удовлетворяю щ ее граничным условиям u ( R1 ,ϕ ) = f (ϕ ) ; u ( R2 ,ϕ ) = F (ϕ ) , 0 ≤ ϕ < 2π , где

f (ϕ )

F (ϕ )

и

-

неп рерывные

ф унк ции

п еременной

ϕ ∈ [ 0;2π ] , f (0) = f ( 2π ) ; F (0) = F ( 2π ) .

В начале ищ ем частные реш ения уравнения (9.1), имею щ ие вид u ( r ,ϕ ) = R (r )Φ (ϕ ) . (9.2) Рассмотрим семей ство реш ений вида un ( r ,ϕ ) = Φ n (ϕ ) Rn ( r ) , Φ т (ϕ ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ , n = 0,1,... R0 = C0 + D0 ln r; Rn = Cn r n + Dn r − n . ∞

Ряд u ( r ,ϕ ) = Φ 0 R0 + ∑ Φ т Rn = n =1

∞

= D0 ln r + C0 + ∑ ( Cn r n + Dn r − n ) An cos nϕ + Bn sin nϕ ( Cn r n + Dn r − n )  n =1

является реш ением уравнения (9.1). О бозначим: AnCn = α n ; Dn An = β n ; BnCn = γ n ; Bn Dn = δ n ; D0 = α 0 ; C0 = β 0 . . И з к раевых условий п олучаем уравнения для оп ределения п остоянных α 0 , β 0 , α n , β n , γ n , δ n , n = 1,2,... : ∞

{

}

f (ϕ ) = α 0 ln R1 + β 0 + ∑ (α n R1n + β n R1− n ) cos nϕ + ( γ n R1n + δ n R1− n ) sin nϕ ; n =1 ∞

{

F (ϕ ) = α 0 ln R2 + β 0 + ∑ (α n R + β n R n =1

n 2

−n 2

) cos nϕ + (γ

n

−n 2

R + δnR n 2

) sin nϕ}.

(9.3)

У словия, наложенные п ри ф ормулировк е задачи наф унк ции f (ϕ ) и F (ϕ ) , п озволяю т утверждать, что эти ф унк ции разлагаю тся в ряд Ф урье

п о тригонометрическ омубазисунаотрезк е [ −π ; π ] f (ϕ ) =

a0 ∞ A ∞ +∑ ( an cos nϕ +bn sin nϕ ); F (ϕ ) = 0 +∑ ( An cos nϕ +Bn sin nϕ ) , (9.4) 2 n=1 2 n =1

п ричем π

π

1 1 a0 = ∫ f (ϕ ) dϕ ; an = ∫ f (ϕ ) cos nϕ dϕ ; π −π π −π π

π

1 1 A0 = ∫ F (ϕ ) dϕ ; An = ∫ F (ϕ ) cos nϕ dϕ ; π −π π −π

π

1 bn == ∫ f (ϕ ) sin nϕ dϕ ; π −π π

1 Bn == ∫ F (ϕ ) sin nϕ dϕ . π −π

С равнивая ряды (9.3) и (9.4), можем соответствую щ ую системулиней ных уравнений ):

зап исать

(реш ая

- 39 A −a α0 = 0 0 ; R 2ln 2 R1

a ln R2 − A0 ln R1 β0 = 0 ;  R2  2ln    R1 

αn =

An R1− n − an R2− n

; n n  R2   R1    −   R1   R2  a R−n − a R−n B R − n − bn R2− n bn R2− n − Bn R1− n βn = n 2 n n 1 n ; γ n = n 1 n δ . ; = n n n n  R2   R1   R2   R1   R2   R1   R  − R   R  − R   R  − R   1  2  1  2  1  2 П одставляя эти к оэф ф ициенты в ряд (9.3), п олучаем иск омое п редставление ввиде ряда. В оп рос о сх одимости ряда, его п очленной диф ф еренцируемости изучается отдельно методами исследования рядов Ф урье и требует наложения доп олнительных условий наф унк ции f , F . § 10. Т еоремы оп оследовательностях гармоническ их ф унк ций Т еорема 8. П усть

{un ( x)}n=1,2,... D . П усть

D - область без вых одов на беск онечность,

- п оследовательность ф унк ций

{un }

( )

un ∈ C D , гармоническ их в

сх одится равномерно на S = ∂D . Т огда {un } равномерно

сх одится в D и п редельная ф унк ция будетгармоническ ой в D . Д ок азательство. В силу равномерной сх одимости {un } на S , согласно к ритерию К ош и, что un1 − un2 < ε

п о лю бому ε > 0

( x ∈ S ) , если

най дется так ое число N > 0 ,

n1 , n2 ≥ N . Н аосновании теоремы о мак симуме

и минимуме п оследнее неравенство будетиметь место и внутри D . Т огда, согласно п ринцип у К ош и, имеем, что в D un ( x ) → u ( x) , п ричем п редельная ф унк ция

неп рерывнав D . Д ок ажем гармоничность u ( x) в

D . П усть x ∈ D и BR ( x) ⊂ D . Т ак к ак un ( x ) - гармоническ ие ф унк ции

внутри D , то к аждую из этих ф унк ций в BR ( x) можно п редставить с п омощ ью un ( x0 ) =

интеграла

1 R −ρ un ( y ) dS y , r = x0 − y ; ∫ 4π R SR ( x ) r3 2

2

П уассона ρ = x0 − x .

В

силу

док азанной равномерной сх одимости un ( x) в D в п оследнем равенстве можноп ерей ти к п ределуu ( x0 ) =

1 R2 − ρ 2 u ( y ) dS y . 4π R S R∫( x ) r3

- 40 О тсю да следует, что

u ( x) есть гармоническ ая внутри S R ( x)

ф унк ция. В силу п роизвольности выбора центра сф еры x теорема док азана. Т еорема 9. П усть {un } - гармоническ ая в ограниченной области D п оследовательность ф унк ций ,

x∈D

и числовая

un ( x0 ) , x0 ∈ D ф ик сированная точк а, сх одится.

п оследовательность Т огда {un ( x )}

un+1 ( x) ≥ un ( x) ,

сх одится к нек оторой гармоническ ой ф унк ции

u ( x)

равномерново всяк ом множестве D1 , где D1 - область и D1 ⊂ D . Д ок азательство. П о условию теоремы в D :

un+1 ( x ) ≥ un ( x ) . В силу

сх одимости, согласно к ритерию К ош и, {un } в точк е x = x0 п ри лю бом что 0 ≤ un + p ( x0 ) − un ( x0 ) ≤ ε ,

заданном ε > 0 сущ ествует так ое N > 0 ,

x0 ш ар BR ( x0 ) ⊂ D . Т ак к ак

n > N , p > 0 - целые. О п иш ем из точк и un + p ( x ) − u n ( x ) ≥ 0 , x ∈ D , 0 ≤ un + p ( x ) − u n ( x ) ≤ меньш его радиуса

то

R( R + ρ )

(R − ρ) BR −a ( x0 ) 2

по

неравенству

Г арнак а

ε , где x ∈ BR ( x0 ) , ρ = x − x0 . В озьмем ш ар ( a > 0 - достаточно мало). В ш аре BR −a ( x0 )

сп раведливаоценк а R(R + ρ)

ε , x ∈ BR −a ( x0 ) , ( x < ρ ) . a2 О тсю да вытек ает равномерная сх одимость п оследовательности {un ( x)} внутри ш ара BR−a ( x0 ) ⊂ D . В зяв нек оторую точк у x1 ∈ BR−a ( x0 ) , 0 ≤ un + p ( x ) − un ( x ) ≤

мы п олучим равномерную сх одимость п оследовательности {un ( x )} внутри ш ара BR−a ( x1 ) . П родолжая этот п роцесс, мы док ажем равномерную сх одимость {un } во всяк ом замк нутом ш аре, лежащ ем в D . П о лемме Г ей не-Бореля всяк ую замк нутую область D1 ⊂ D мы можем п ок рыть к онечным числом ш аров, лежащ их в D , и это дает нам равномерную сх одимость п оследовательности сх одимости

{un ( x)}

{un ( x)}

в D1 .

И з равномерной

в силу п редыдущ ей теоремы, п редельная ф унк ция

u ( x) будетгармоническ ой внутри D .

- 41 § 11. ЗадачаД ирих ле для уравнения Л ап ласа во внеш ности ш ара П усть на п оверх ности S R (0) ш ара BR (0) задана неп рерывная ф унк ция f ( y ) . Д ок ажем, что реш ение внеш ней задачи Д ирих ле для ш ара п редставимо ф ормулой 1 ρ 2 − R2 u ( x) = f ( y) ds . 4π R SR∫( x ) r3

Д ей ствительно, к ак и п ри док азательстве ф ормулы П уассона, ф унк ция оп ределяемая п редставлением (45), удовлетворяет уравнению Л ап ласа. П ок ажем, что u ( x) → 0 равномерно п ри

(11.1)

y R

ρ

O

x → ∞ . О чевидно, r > ρ − R . В озьмем точк у x (см. рис. 6) настольк о удаленной ρ ρ отцентраш ара, что ρ > 2R , т.е. R < . Т огда r > и 2 2 2 2 8 ρ −R 8 8 a < 3 ; < 3 ( ρ 2 − R2 ) < . 3 3 r ρ r ρ ρ С ледовательно, сп раведливаоценк а u ( x) ≤ из к оторой

вытек ает, что u ( x) → 0

r

BR (0) x Рис. 6

1 2 c ⋅ f ( y ) dS = , y ρ π R SR∫(0) ρ

п ри

x → ∞ . Ч тобы убедиться,

что u ( x) → u ( x* )

п ри

x → x* , x ∈ ! 3 \ BR (0) , x* ∈ S R (0) , зап иш ем интеграл

(11.1) в сф ерическ их к оординатах u ( ρ ,θ , ϕ ) =

R 4π

2π π

∫∫

f (θ / ,ϕ / )

0 0

ρ 2 − R2

(R

2

− 2 R ρ cos γ + ρ

3 2 2

)

sin θ / dθ / dϕ / , (11.2)

γ = ∠xOy , (θ / , ϕ / ) - угловые к оординаты точк и y ∈ S R (0) .

П одвергнем точк у x = ( ρ ,θ ,ϕ ) п реобразованию инверсии, п остроив x1 = ( ρ1 ,θ ,ϕ ) , ρ ⋅ ρ1 = R 2 . И нтеграл(11.2) можно зап исать ввиде

ρ u ( ρ ,θ , ϕ ) = 1 4π

2π π

∫ ∫ f (θ ,ϕ ) /

0 0

R 2 − ρ12

/

(R

2

3 2 2 1

− 2 R ρ1 cos γ + ρ

)

sin θ / dθ / dϕ / , (11.3)

- 42 -

(

)

П ри этом ρ1 < R и точк а x1 = ( ρ1 ,θ ,ϕ ) → x* = R,θ ,ϕ ∈ S R (0) будет x* = ( R,θ ,ϕ ) ∈ S R (0) . В силу

изнутри ш ара BR (0) стремиться к точк е

результата, п олученного для внутренней задачи Д ирих ле вш аре, имеем R 4π

2π π

∫∫ 0 0

f (θ / ,ϕ / )

R 2 − ρ12

(R

2

3 2 2 1

− 2 R ρ1 cos γ + ρ

)

sin θ / dθ / dϕ / → f ( x* ) ,

к огда x1 → x* . П ринимая во внимание, что ρ1 → R (п ри x1 → x* ), можем утверждать, что и п равая часть уравнения (47) стремится к x* , что и требовалось док азать. § 12. П римеры п остроения ф унк ций Г ринаметодом отражения Э тот метод п рименяется для областей , к оторые могут быть «расш ирены» так , что для новых областей ф унк ция Г рина уже п остроена ранее. О собенностью так ого расш ирения является необх одимость ук азания п равила, к оторым связаны значения ф унк ции Г ринав «старых » и «новых » точк ах областей . Э то могут быть симметрии различного вида, инверсии (к ак в случае п остроения ф унк ции Г ринадля ш ара), вращ ения и т.п . П ервым п римером так ого п остроения ф унк ции Г рина является п рименение инверсии для ш ара. П риведем доп олнительные п римеры. 10. П остроим ф унк цию Г риназадачи Д ирих ле для уравнения Л ап ласа в п олуп ространстве ! 3+ = { x

( x1 , x2 ) ∈ ! 2 , x3 > 0} (см. рис. 7). П усть точк а y = ( y1 , y2 , y3 ) лежит в ! 3+ , y3 > 0 . Т очк а y = ( y1 , y2 , − y3 ) т.е. называется симметричной с точк ой

y

y

O

относительно п лоск ости x3 = 0 . Д ок ажем, что для исследуемой задачи ф унк ция Г рина имеет вид 1 1 G ( x, y ) = − . 4π x − y 4π x − y

Рис. 7

x3

x2

x x1

y

П роверим вып олнение трех свой ствф унк ции Г рина. Е сли x ∈ ! 3+ , то ф унк ция

1 гармоничнап о x п ри всех x ≠ y и y ∈ ! 3+ . О чевидно, что x− y

- 43 1 x− y

гармоничнап ри всех x ∈ ! 3+ , так к ак y ∉ ! 3+ . Т ак к ак п ри x3 = 0 1 2

1 2

  2 2 2 2 x − y =  ∑ ( xi − yi ) + ( 0 − y3 )  =  ∑ ( xi − yi ) + ( 0 + y3 )  = G ( x, y ) x =0 = 0 3  j =1   j =1  2

2

, свой ство 2 ф унк ции Г ринавып олнено. Т ретье свой ство вытек аетиз явного 1 вида ф унк ции Г рина и того ф ак та, что g ( x, y ) = − 4π | x − y | гармоническ ая ф унк ция п ри всех x ∈ ! 3+ . 20. П остроим ф унк цию Г рина для п олуш ара x < R , x3 > 0 (см. рис. 8). П усть точк а y лежитв этом п олуш аре,

y∗

x3

y * - инверсия y относительно S R (0), y -

точк а симметричная

относительно

y

п лоск ости x3 = 0 , а точк а y - ее инверсия

y

x

*

относительно сф еры S R (0) . Д ок ажем, что

O y

ф унк ция Г рина задачи Д ирих ле для уравнения Л ап ласа в ук азанном п олуш аре Рис. 8 имеетвид 1 R 1 R G ( x, y ) = − − + . * * 4π x − y 4π y x − y 4π x − y 4π y x − y Аналогично тому,

к ак

мы

y∗

делали п ри п остроении ф унк ции

Г ринав ш аре, зап иш ем теоремуп одобия: для треугольник ов Oxy и Oxy* в случае, если x ∈ S R (0) I ! : 3 +

треугольник ов Ox y

y

R = или x− y x − y* *

и Ox y (учтем, что y = y :

* R x− y = ; для п ары y x− y

y x− y

=

R x− y

*

или

* R x− y = . У читывая ф ак ты п одобия, п ереп иш ем ф унк цию G ( x, y ) в y x− y

виде G ( x, y ) =

1 1 1 1 − − + = 0, 4π x − y 4π x − y 4π x − y 4π x − y

- 44 то есть вып олнено второе свой ство ф унк ции Г рина. В ып олнение п ервого и третьегосвой ствдок азывается так же, к ак для ш араили вп ервом п римере. 30. Ф унк ция Г рина для x3 двугранного угла x2 > 0, x3 > 0, x1 ∈ ! . y

y′

Ч ертеж (см. рис. 9) п остроим в сечении x1 = 0 . В лю бом сечении п араллельном этомусечению п остроения аналогичны. П усть точк а y = ( y1 , y2 , y3 ) лежит в y2 > 0, y3 > 0 и y / -

двугранном угле

Ox1

x2

y/

y Рис. 9

точк а, симметричная y относительно

п лоск ости x1Ox3 , точк а y - симметричнаточк е y относительно п лоск ости *

x1Ox2 , а точк а y симметрична точк е y относительно п лоск ости x1Ox3 .

Д ок ажем, что ф унк ция Г ринаимеетвид 1 1 1 1 G ( x, y ) = − − + . / 4π x − y 4π x − y 4π x − y 4π x − y / В ып олнение свой ств 1 и 3 очевидно. В ып олнение свой ства 2 вытек ает из того, что если x п ринадлежит границе ∂Ω области, п ричем той ее части, к оторая x1Ox2 , лежит на п лоск ости то

x3 y

y′

x

Ox1

x2

/

x − y = x − y / , а x − y = x − y , п оэтому

y/

y Рис. 10

(см. рис. 10) G ( x, y ) x∈∂ΩI п л. x Ox = 1

2

1 1 1 1 − − + =0 4π x − y 4π x − y 4π x − y / 4π x − y / x3

Е сли же x ∈∂Ω I п л. x1Ox3 , то, к ак

y

y′

видноиз рис. 11 ,

x /

x − y/ = x − y ; x − y = x − y ,

Ox1

x2

п оэтому y/

y Рис. 11

- 45 G ( x, y ) x∈∂ΩI п л. x Ox = 1

2

1 1 1 1 − − + =0 . 4π x − y 4π x − y 4π x − y 4π x − y

§ 13. Н ек оторые сведения о к раевых задачах для уравнения П уассона Н аряду с уравнением Л ап ласа, имею щ им нулевую п равую часть, рассмотрим неоднородное уравнение ∆u ( x) = f ( x) , (13.1) к оторое называю т уравнением П уассона. Здесь f ( x) - заданная ф унк ция. Д ля этого уравнения возможно п оставить п ервую , вторую и третью к раевые задачи, точно так же, к ак в случае уравнения Л ап ласа. И з док азательства теорем единственности следует, что к лассы единственности, док азанные для уравнения Л ап ласа, сох раняю тся и для уравнения П уассона (объяс ни т е, поч ем у?). О тметим лиш ь, что в ф ормулировк е теоремы единственности для внутренней задачи Н ей мана вместо сф ормулированного необх одимого условия разреш имости

∫

f 2 ( x)ds = 0 (к оторое, вп рочем, относится не к единственности, а к

S =∂Di

разреш имости), необх одимое условие разреш имости внутренней задачи ∂ Н ей мана для уравнения П уассона ∆u = + f ( x); u = f 2 ( x) имеет ∂n x∈∂Di вид

∫f S

2

( x )ds − ∫ f ( x)dx = 0 .

(13.2)

G

Д ей ствительно, вторая ф ормула Г рина, п римененная к u ( x) − реш ению данной задачи и v( x) ≡ 1 , п ринимает вид

ф унк циям

  ∂u   ∂u + u  ds , ∫D ( u∆v − v∆u ) dx = ∂∫D  v{ ∂ n ∂n   =f 1442443  2  =− ∫ f ( x ) dx D

отк удаследуетравенство(13.2). Зададимся целью научиться сводить реш ение к раевых задач для уравнения П уассона к реш ению соответствую щ их задач для уравнения Л ап ласа. 1 1  L ( x, x0 ) = + ϕ ( x, x0 )  , r = x − x0 , Рассмотрим ф унк цию  4π  r 

- 46 отличаю щ ую ся от введенной выш е ф унк ции Г рина задачи Д ирих ле для уравнения Л ап ласа тем, что от гармоническ ой ф унк ции ϕ ( x, x0 ) мы не требуем вып олнения к раевого условия ϕ ( x, x0 ) x∈∂D = − i

1 . 4π r

область Di . К огда x0 ∈Di

Рассмотрим ограниченную

ф унк ция

L ( x, x0 ) гармоническ ая п о x ∈ Di . В следствие чего из второй ф ормулы

Г ринаследует  ∂u

∂L 

∫ L∆udx = ∫  L ∂n − u ∂n  dS

(u ∈ C

( Di ) I C1 ( Di ) ) .

К огда x0 ∈ Di ,

Di \ Bε ( x0 ) , где

области

,

x0 ∈Di ,

(13.3)

∂Di

Di

2

x

этуф ормулуможно п рименить в

ε > 0 - достаточно мало для того, чтобы

ш арBε ( x0 ) целик ом лежал в Di . П ри этом вместо соотнош ения (13.3) п олучим равенство

∫

L∆udx −

Di \ Bε ( x0 )

П ри

∫

L

Sε ( x0 )

∂u ∂L ∂L   ∂u ds + ∫ u ds = ∫  L − u  ds . ∂n ∂n ∂n ∂n  Sε ( x0 ) ∂Di 

ε → 0 интеграл

∫

L∆udx стремится к несобственному

Di \ Bε ( x0 )

интегралу

∫ L∆udx ,

если п оследний сущ ествует. К ак мы неоднок ратно

Di

оценивали

ранее,

∫

Sε ( x0 )

L

∂u 1 ds ≤ const ∫1ds = 0 ( ε ) → 0 п ри ∂n ε

ε → 0,

п оск ольк у п роизводная неп рерывна и ограничена, а L ( x, x0 ) растет на Sε ( x0 ) к ак x ∈ Sε ( x0 ) Di \ Bε ( x0 ) lim ε →0

∫

Sε ( x0 )

u

1 d d п ри ε → 0 . Ранее мы п ок азывали, что =− п ри ε dn dr (т.к . внеш няя нормаль к части Sε ( x0 ) границы области нап равлена

внутрь

Bε ( x0 )

и

п оэтому

uс р . ∂L ds = lim 1ds = lim uс р . = u( x) ). ε →0 4πε 2 ∫ ε →0 ∂n

У читывая най денные значения п ределов, ок ончательноп олучим ∂L   ∂u (13.4) ∫∂D  L ∂n − u ∂n  ds = D∫ L∆udx + u ( x0 ) , ( x ∈ Di ) . i i

- 47 П редп оложим,

нак онец,

что

точк а

x0 ∈ ∂Di .

П усть

Bε/ ( x0 ) = Di I Bε ( x0 ) , ωε/ = Sε ( x0 ) I Di . П рименим вторую ф ормулуГ рина

вобласти Di \ Bε/ ( x0 ) , где ε > 0 - достаточномало. П олучим ∂L  ∂u ∂u  ∂u  L − u  ds = ∫ L∆udx − ∫ L ds + ∫ u ds . ∂n ∂n  ∂n ∂n ∂Di \ ( ∂Di I Bε ( x0 ) )  Di \ Bε/ ( x0 ) ωε/ ωε/

∫

ε →0 интеграл в левой части этого равенства П ри стремится к несобственномуинтегралуп о ∂Di . Заего значение п римем п редел п равой

части, п ри вычислении к оторого мы можем п рименить все рассуждения уп омянутой леммы 2 затем иск лю чением, что вместо интегралап о Sε ( x0 ) будет ф игурировать интеграл п о ωε/ , так что

∫ 1ds

равен п лощ ади той

ωε/

части сф еры Sε ( x0 ) , к оторая лежитв Di . И меем к ак и ранее ∂u lim ∫ L ds = 0; ε →0 / ∂n ωε

 1  ∂u lim ∫ u ds = u ( x0 ) lim  1ds  . ε →0 / ε →0 4πε 2 ∫/ ∂n   ωε ωε

В ведем вточк е x0 местную дек артовусистемук оординат ξ1ξ 2ξ3 , так что нап равление оси Oξ3 совп адает с внеш ней нормалью и ∂D1 (см. рис. 12). П о п редп оложению гладк ости границы, уравнение границы внутри достаточно малого ш ара Bε ( x0 ) возможно п редставить в виде ξ3 = f (ξ1 , ξ 2 ) . Е сли граница к ласса C1 , то f и

нуль в точк е

(ξ1 ,ξ 2 ) = 0 .

∂f , n = 1, 2 обращ аю тся в ∂ξ n

В следствие этого,

п о оп ределению

диф ф еренцируемой ф унк ции в малой ок рестности точк и x0 имеет место соотнош ение ξ3 = h1ξ1 + h2ξ 2 ,

(13.5)

где величины h1 и h2 обращ аю тся в нуль

п ри

ξ1 , ξ 2 → 0 .

сф ерическ ие к оординаты

В ведем

ωε′

( r ,θ , ϕ ) ,

п оложив ξ1 = r sin θ cos ϕ ; ξ 2 = r sin θ sin ϕ ; ξ3 = r cos θ . П одставив эти соотнош ения в(13.5), п олучим

O = x0 ξ3

ε

∂Di

θ′ θ

ξ1Oξ2 Рис. 12

- 48 cosθ = h1 sin θ cos ϕ + h2 sin θ sin ϕ ≡ h ( r, θ , ϕ ) ,

где h - ф унк ция, ограниченная и обращ аю щ аяся в нуль одновременно с r , а θ - угловая к оордината точк и на Di . В осп ользовавш ись этим соотнош ением, п ридем к следую щ емуравенству 1 1 ds = 2 ∫ 4πε ω / 4πε 2 ε

=

1 4π

2π

∫ 0

2π

π

∫ dϕ ∫ ε /

0

2

sin θ / dθ / =

0

π 1 dϕ /  − cos θ /  = +  2 0  

где H ( ε ) ≡

1 4π

2π

/ ∫ cos θ dϕ = 0

2π

∫ h ( ε ,θ , ϕ ) d ϕ /

/

2π

1 1 + ∫ h ( ε , θ , ϕ / ) dϕ / = + H ( ε ) , 2 0 2

→ 0 п ри ε → 0 . В следствие этого

0

lim ∫ u ε →0

ωε/

 1  u ( x0 ) ∂u = , ds = lim  ds u x 1 ( )  ε →0 4πε 2 ∫/ ∂n 2   ωε

что п риведетнаск соотнош ению u ( x0 ) ∂L   ∂u − = ∆ + L u ds L udx . ∫  ∂n ∂n  D∫ 2 ∂Di  i

О бъединяя ф ормулы

(13.3),

(13.4),

(13.6),

(13.6) п олученные п ри

x0 ∈ Di ; x0 ∈ ! 3 \ D i ; x0 ∈ ∂Di , п олучим

 0 , если x0 ∈ R3 \ D i ;  ∂L  1  ∂u ∫∂D  L ∂n − u ∂n  ds = D∫ L∆udx +  2 u ( x0 ) , если x0 ∈∂Di ;  i i u ( x0 ) , если x0 ∈ Di .  Е сли u ( x) является гармоническ ой в Di , то

(13.7)

 0 , если x0 ∈ R3 \ D i ;  ∂L  1  ∂u (13.8) ∫∂D  L ∂n − u ∂n  ds =  2 u ( x0 ) , если x0 ∈∂Di ;  i если x0 ∈ Di . u ( x0 ) ,  С оотнош ение (13.9) называю т основной ф ормулой теории гармоническ их ф унк ций . О но п ереносится и на области с вых одом на беск онечность. П усть De - область с вых одами на беск онечность и с к омп ак тной границей ∂De , ∂De ⊂ Br (0) .

а

De* = De I Br (0), r > 0 - достаточно велик о, так что

П рименим основную

ф ормулу теории гармоническ их

- 49 ф унк ций (13.8) вобласти De* , п ридем к ф ормуле, левая часть к оторой будет отличаться от левой части основной ф ормулы тем, что в ней добавляется ∂L   ∂u интеграл ∫  L − u  ds . П ри стремлении r → ∞ в силутеоремы 3 о ∂n ∂n  Sr (0)  п оведении гармоническ ой ф унк ции п ри r → ∞ , L и u убывает к ак

1 ,а r

1 1 ∂u ∂L и - к ак 2 , т.е. все п одынтегральное выражение, к ак 3 . П ерех одя r r ∂n ∂n к п ределу п ри r → ∞ , снова п олучим ту же основную ф ормулу теории гармоническ их ф унк ций , т.к . очевидно ∂L  1  ∂u lim ∫  L − u  ds ≤ 4π r 2 , const 3 → 0 , r → ∞ . r →0 r ∂n ∂n  S r (0)  § 14. П редставление реш ения задачи Д ирих ле для уравнения П уассоначерез ф унк цию Г рина Рассмотрим задачуД ирих ле для уравнения П уассона ∆u = f ; x ∈ Di , u = ψ ; x ∈∂Di .

(14.1) (14.2)

П редп оложим, что G (ξ , x ) - ф унк ция Г рина задачи Д ирих ле для уравнения Л ап ласа в области Di . Н ап омним, что ф унк ция G (ξ , x ) п редставимаввиде G (ξ , x ) =

1 + ϕ (ξ , x ) , 4π r ϕ (ξ , x ) ξ ∈∂D = − i

П одставим

L (ξ , x ) = G (ξ , x )

∆ξ ϕ = 0,

ξ , x ∈ Di ;

1 , x ∈ Di . 4π r в основную

(14.3) (14.4)

ф ормулу теории

гармоническ их ф унк ций (13.8), п олучим u ( x) = − ∫ fGdx + Di

 1 ∂u ∂ϕ (ξ , x )   ∂  1   ∂u ⋅ − u + ϕ ξ , x − u ( )     ds =   {   ∫∂D  4π r ∂n =ψ ∂n  4π r    ∂ n ∂ n   i 

   1 ∂G   ∂u = − ∫ fGdx + ∫   + ϕ  −ψ  ds , 4 π r n n ∂ ∂    Di ∂Di  1424  =0 на ∂D3  i   И так ,

- 50 u ( x) = − ∫ fGdx − Di

∫ψ

∂Di

∂G ds . ∂n

(14.5)

∂G сущ ествую т, то эта ∂n ф ормула дает реш ение задачи Д ирих ле для уравнения П уассона. Т ем самым реш ение задачи Д ирих ле для уравнения П уассона сможет быть заменено разыск анием ф унк ции G (ξ , x ) , соответствую щ ей уравнению Е сли ф унк ция Г рина и ее п роизводная

Л ап ласа, т.е. задачи, рассмотренной нами ранее. П олученный результат неп осредственно расп ространяется на внеш ню ю задачуД ирих ле для уравнения Л ап ласа ∆u = 0 . Э то вытек аетиз совп адения основных ф ормул теории гармоническ их ф унк ций для ограниченной и неограниченной областей . Ч то же к асается внеш ней задачи Д ирих ле для уравнения П уассона, то п роведение рассуждений , аналогичных п роведенным для внутренней задачи, требует обобщ ения ф ормулы (13.7) для негармоническ их ф унк ций , из к оторой была п олучена основная ф ормула теории гармоническ их ф унк ций . П оследнее возможно, если п овторить п роведенные выш е рассуждения для основной ф ормулы, следовательно, достаточно, чтобы реш ение уравнения П уассона удовлетворяло набеск онечности неравенствам u <

∆ ; 2

∂u ∆ < 2 , ∂xi r

i = 1, 2,3 ,

r ≥ r0 ,

(14.7)

п ри доп олнительном условии, что интеграл ∫ fLdx имеетсмысл. В самом Di

деле, для обобщ ения этой ф ормулы достаточно п ровести те же рассуждения, что и ранее для основной ф ормулы. Н еравенства(14.7) носят название условий регулярности на беск онечности. И так , реш ения рассматриваемого к ласса внеш ней задачи Д ирих ле для уравнения П уассона, регулярные на беск онечности, п ри условии, что интеграл

∫ fGdx

имеет

смысл,

так же

п редставимы

в

виде

Dl

u ( x) = − ∫ fGdx − Dl

сущ ествует.

∫ψ

∂Dl

∂G ds , если тольк о соответствую щ ая ф унк ция Г рина ∂n

- 51 § 15. П редставление реш ения третьей к раевой задачи для уравнения П уассонасп омощ ью ф унк ции Г рина Рассмотрим задачу ∆u = f ,

x ∈ Di ;

(15.1)

∂u + β u = ψ , x ∈∂Di . ∂n В осп ользуемся тождеством ∂u ∂L  ∂u   ∂L  L + βu  − u + β L ≡ L −u , ∂n ∂n  ∂n   ∂n  введем для к ратности оп ераторное обозначение P =

(15.2)

d + β и п реобразуем dn

ф ормулу(13.8) к виду u ( x) =

∫ ( LPu − uPL ) ds − ∫ L∆udx ,

∂D

x ∈ Di .

(15.3)

D

1 + ϕ (ξ , x ) , где ∆ξ ϕ = 0 , ξi ∈ Di и Pξ G ∂D = 0 , i 4π r т.е. G (ξ , x ) - ф унк ция Г рина третьей к раевой задачи. Д ля этого ф унк ция П усть G (ξ , x ) =

ϕ (ξ , x )

должнабыть реш ением граничной задачи 1 1 ∆ξ ϕ = 0 , ξ , x ∈ Di ; Pξ ϕ = − Pξ , ξ ∈∂Di , x ∈ Di . 4π r П одставим в (15.3) значения величин ∆u = f и Pu = ψ и, п оложив L = G , п олучим интегральное п редставление реш ения рассматриваемой задачи u ( x) =

∫ Gψ ds − ∫ fGdx ,

∂Di

если x ∈ Di .

(15.4)

Di

П ерей дем к задаче Н ей мана du = ψ , x ∈ ∂Di . (15.5) dn П роведя те же рассуждения, что и для смеш анной задачи, п ридем к выводу, что реш ение задачи Н ей мана выражалось бы ф ормулой (15.4), если бы ф унк ция ϕ (ξ , x ) былареш ением граничной задачи ∆u = f , x ∈ Di ;

∆ξ ϕ = 0 , ξ , x ∈ Di ;

∂ϕ 1 ∂ 1 =− ⋅ ⋅   , ξ ∈ ∂Di , x ∈ Di . ∂n 4π ∂n  r 

- 52 Н о так ой ф унк ции нет. В самом деле, п оложив в основной ф ормуле 1 теории гармоническ их ф унк ций (13.8): u = 1, L (ξ , x ) = , най дем, что 4π r ∂  1  ∂ϕ (ξ ) 1 ∂ 1 − , ξ ∈ ∂Di , следовательно, , н о − ds = 1  =   4π∂n  r  ∂n 4π ∂∫Di ∂n  r  ∂ϕ ds = 1 , ∂ n ∂Di

∫

х отя,

∂ϕ

согласно (3.2), интеграл

∫ ∂n ds = 0 .

Т ак

к ак

∂D

∂u = ψ , x ∈ ∂D , то не ∂n сущ ествует и ф унк ции L (ξ , x ) , имею щ ей нормальную п роизводную , не сущ ествует реш ения задачи ∆u = f ; x ∈ D ;

равную нулю на границе ограниченной области. Т ем не менее, может 1 сущ ествовать ф унк ция L (ξ , x ) = + ϕ (ξ , x ) , нормальная п роизводная 4π r к оторой на границе области п остоянна и к оторая в связи с этим может играть роль, аналогичную роли ф унк ции Г ринатретьей к раевой задачи для уравнения П уассона. Ч тобы най ти эту ф унк цию , изменим граничное ∂ϕ 1 1 d 1 условие в задаче для оп ределения ϕ , п оложив =− − ⋅  , ∂n п л.∂Di 4π dn  r  ξ ∈ ∂Di , x ∈ Di . Л егк о видеть, что соотнош ение

dϕ ds = 0 теп ерь dn ∂Di

∫

вып олнено и, следовательно, ф унк ция ϕ можетсущ ествовать. О п ределивс 1 1 ее п омощ ью ф унк цию Г рина G (ξ , x ) = ⋅ + ϕ (ξ , x ) , най дем, что 4π r dG 1 =− , ξ ∈ ∂Di , x ∈ Di . П одставиввф ормулу(13.8) (п ри x ∈ Di ) dnξ пл.∂Di du = ψ , п олучим dn 1 u ( x) = ∫ Gψ ds + uds − ∫ fGdx , пл.∂Di ∂∫Di ∂Di Di

значения L = G , ∆u = f и

И нтеграл

x ∈ Di .

(15.6)

1 uds в (15.6) п редставляетсобой среднее значение пл.∂Di ∂∫Di

неизвестной ф унк ции

u на границе ∂Di , к оторое, вообщ е говоря,

неизвестно. О днак о, к ак мы знаем, реш ения внутренней задачи Н ей мана оп ределены лиш ь с точностью до п остоянного слагаемого, п одбором

- 53 к оторого среднее значение реш ения на границе может быть сделано лю бым. С ледовательно, рассматриваемый интеграл должен рассматриваться к ак п роизвольная п остоянная. Т ак им образом, най дя реш ение ϕ задачи ∆ξ ϕ = 0 , x, ξ ∈∂Di ; п л.∂Di =

dϕ 1 1 d 1 =− − ⋅   , x ∈ Di , ξ ∈∂Di ; dnξ пл.∂Di 4π dnξ  r 

∫ 1ds и оп ределив п о ф ормуле G (ξ , x ) =

∂Di

1 + ϕ (ξ , x ) ф унк цию 4π r

Г ринаэтой задачи, можноп оф ормуле u ( x) =

∫ Gψ ds − ∫ fGdx

∂Di

(15.7)

Di

оп ределить то из реш ений внутренней задачи Н ей мана, среднее значение к оторого нап оверх ности ∂Di равно нулю . В се остальные реш ения задачи Н ей мана могут быть п олучены п рибавлением к этому реш ению п роизвольной п остоянной . В отнош ении расп ространения ф ормулы (15.7) на внеш ние третью к раевую задачуи задачуН ей мана, сп раведливы те же рассуждения, что и для п ервой к раевой задачи: навнеш ние задачи для уравнения Л ап ласаона расп ространяется неп осредственно, а для уравнения П уассона - п ри условии

сх одимости интеграла ∫ fGdx . П ри этом dl

внеш няя задача Н ей мана к ак их -либо особенностей п о сравнению с ∂u ds = 0 не внеш ней смеш анной задачей не имеет, так к ак условие ∫ ∂n ∂Dl расп ространяется наф унк ции, гармоническ ие внеограниченной области. Ф изическ ий смыслф унк ции Г рина Ф унк ция Г ринаимеетп ростой ф изическ ий смысл п отенциала, создаваемого точечными источник ами. П оясним это на п римере п оля точечного элек трическ ого заряда. П о зак ону К улона в п устом п ространстве п отенциал u (ξ ) п оля единичного точечного заряда, расп оложенного в точк е

D

ξ x

x , равен

n Рис. 13

- 54 1 1 = . П редп оложим, однак о, что этот заряд расп оложен в 4π r 4π x − ξ п олости внутри заземленного п роводник а (см. рис. 13). П ри этом на границе п олости будут индуцированы заряды, п отенциал ϕ к оторых так ов, что их п оле в области D′ = ! 3 \ D должно к омп енсировать п оле точечного заряда, так к ак п отенциал заземленного п роводник а равен нулю . В следствие этого, п отенциал на границе п олости должен 1 удовлетворять граничному условию ϕ=− . О тсю да видно, что 4π r 1 п отенциал п олного п оля в п олости имеет вид + ϕ и п редставляет 4π r ф унк цию Г рина задачи Д ирих ле, п оставленной для образованной п олостью области. § 16. Т еория п отенциала Рассмотрим область D , п усть x, x0 ∈ D , r = x − x0 , S = ∂D . О п ределение. В ыражения ρ ( x) dx; r D

(16.1)

ρ ( x) ds; r

(16.2)

v ( x0 ) = ∫

u ( x0 ) = ∫ S

w ( x0 ) = ∫ µ ( x)

(

) ds,

cos xx0 , n r2

S

(16.3)

называю тся объемным п отенциалом, п отенциалом п ростого п оля, п отенциалом двой ного слоя, соответственно. Ф унк ция ρ называется п лотностью , аф унк ция µ называется п лотностью момента. Ф изическ ий смыслп отенциалов С осредоточенный в точк е x ∈ D заряд q создает в точк е энергетическ ое п оле с нап ряженностью

E = kq

r r3

( r = x − x0 ) .

x0 Д ля

п ростоты далее будем считать k = 1 . Л егк о видеть, что E = grad u ( x0 ) , где u ( x0 ) = qr −1 + const .

Ф унк ция

u ( x)

называется п отенциалом

точечного заряда q . О бычно п ринято считать u ( x0 )  →0 . x0 →∞

П ри

наличии

неск ольк их

п оля

const = 0 , чтобы

точечных

зарядов их

- 55 п отенциалы ск ладываю тся, следовательно, п отенциалы, создаваемые неп рерывно расп ределенными зарядами, нах одятся в виде п редела суммы, т.е. ввиде интеграла. Е сли заряд расп ределен с объемной п лотностью ρ ( x ) в области D , то создаваемый им п отенциал оп ределяется ф ормулой (16.1), если заряд расп ределен п о п оверх ности S с п оверх ностной п лотностью ρ ( x ) , то создаваемый им п отенциалоп ределяется ф ормулой (16.2). Д ва точечных заряда q и −q , ось дип оля

расп оложенных нарасстоянии h п ри малом h , составляю т так называемое дип оль (см. рис. 14). В еличина p = qh называется моментом дип оля ( p = ql век тором момента). П усть h → 0 , но п ри этом q меняю тся так , что p = const . О п ределим п отенциал u ( x0 ) дип оля к ак

x0

r′

q l

h

x

−q

r

ϕ

r′′

Рис. 14

1 1 1 ∂  − / 1  1 r // = p ⋅  r  = p cos ϕ ,где ϕ = ! u ( x0 ) = lim q  / − //  = lim p r xxo , l . h →0 ∂l r  h →0 h r2 r П усть теп ерь дана ориентированная п оверх ность S . П усть на S расп ределен дип оль с п лотностью момента µ ( x ) , п ричем п ри к аждом x ∈ S нап равление оси дип оля l п араллельно нормалям к S n ,

l !n.

П отенциал, создаваемый дип олем, оп ределяется ф ормулой (16.3), где r нап равлено от x к

x0 ,

n - внутренняя нормаль в точк е

x∈D .

Рассматриваемое расп ределение дип оля может нами п ониматься, к ак п редел п ри h → 0 двух наложенных на S расп ределений зарядов с 1 1 п лотностью µ ( x ) и − µ ( x ) на расстоянии h (п о нормалям к S ). В h h дальней ш ем будем считать, что r = x0 x (наоборот) и n - внеш няя нормаль к S. § 17. Н есобственные интегралы, зависящ ие отп араметра И зложим нек оторые п оложения теории несобственных интегралов, зависящ их отп араметра. 1. Рассмотрим интеграл

- 56 v ( x0 ) = ∫ f ( x, x0 ) dx ,

(17.1)

D

( x0 , x ) ∈ D 2 / {( x0 , x0 )} . В

где f ( x0 , x ) - неп рерывная ф унк ция п еременных

f ( x0 , x ) терп ит разрыв. Е сли п ри этом сп раведлива оценк а

точк е x = x0 f ( x0 , x ) ≤

c x − x0

α

, 0 < α < 3 , то рассматриваемый

интеграл сх одится

абсолю тно. О п ределение. И нтеграл (17.2) называется равномерно сх одящ имся в точк е x0* , если для лю бого ε > 0 сущ ествует δ ( ε ) > 0 так ое, что имеет место неравенство

∫ f ( x , x ) dx < ε , для лю бой 0

точк и x0 : x0* − x0 < δ ( ε )

Dδ

и для лю бой области Dδ , содержащ ей x0* и имею щ ей диаметрd ≤ δ ( ε ) . Т еорема 10. Равномерно сх одящ ий ся в точк е x0* ∈ D интеграл (17.1) есть ф унк ция x0 ∈ D , неп рерывная вточк е x0* . Д ок азательство.

ε >0

В озьмем п роизвольное

Dδ : x0* ∈ Dδ согласно оп ределению

и выделим

равномерной сх одимости интеграла

(17.1) вточк е x0* . П редставим интеграл(17.1) ввиде v ( x0 ) =

∫ f ( x , x ) dx + ∫ f ( x , x ) dx ≡ v ( x ) + v ( x ) . 0

Dδ

Т огда

0

1

0

2

0

D \ Dδ

v ( x0 ) − v ( x0* ) ≤ v1 ( x0 ) + v1 ( x0* ) + v 2 ( x0 ) − v 2 ( x02 ) . П усть

x0 ∈ Dδ . Т огда, в силуравномерной сх одимости интеграла (17.1) в точк е

ε ε ; v1 ( x0* ) ≤ и, следовательно, 4 4 ε v ( x0 ) − v ( x0* ) ≤ + v 2 ( x0 ) − v 2 ( x02 ) . (17.2) 2 В интеграле v 2 ( x0 ) интегрирование соверш ается п о D \ Dδ , а

x0* , имеем v1 ( x0 ) ≤

x0* ∈ Dδ , п оэтому v 2 ( x0 ) неп рерывна в точк е x0* ок рестности. С ледовательно, для всех ε v 2 ( x0 ) − v 2 ( x02 ) < , 2

отсю да

и

v ( x0 ) − v ( x02 ) < ε . Т еоремадок азана.

из

и нек оторой

ее

x0 , достаточно близк их к

x0* :

(17.2)

п олучаем

оценк у

- 57 П усть

S - замк нутая п оверх ность и f ( x0 , x ) неп рерывна п ри

x ∈ S , x0 ∈ ! 3 \ { x} , ап ри x0 → x : f ( x0 , x ) → ∞ . Т огдаинтеграл u ( x0 ) = ∫ f ( x0 , x ) dS x

(17.3)

S

является неп рерывной ф унк цией x0 , к огда x0 ∈S . Е сли x0 ∈ S , то f ( x0 , x ) , к ак ф унк ция x0 , неп рерывна на S , за иск лю чением случая x = x0 . И ск лю чим точк у x0 вместе с нек оторой малой ок рестностью

σn ⊂ S

диаметра ρ n . Н а оставш ей ся п оверх ности S \ σ n : f ( x0 , x ) неп рерывна и ограничена, п оэтому сущ ествуетинтеграл

∫ f ( x , x ) ds 0

x

.

(17.4)

S \σ n

Е сли п ри п роизвольном стягивании области σ n к точк е x0 интеграл (17.4) стремится к оп ределенномук онечномуп ределу, не зависящ емуот выбора областей σ n , то этот п редел и называю т несобственным интегралом отф унк ции f ( x0 , x ) п о п оверх ности S

∫ f ( x , x ) dS 0

x

S

= lim

σ n →0

∫ f ( x , x ) dS ; 0

x

x0 ∈ S .

(17.5)

S \σ n

И нтеграл (17.5) называется абсолю тно сх одящ имся, если сх одится интеграл ∫ f ( x0 , x ) dS x . Е сли п оследний интеграл сх одится, то сх одится и S

интеграл(17.5). О п ределение. И нтеграл (17.3) называю т равномерно сх одящ имся в точк е x0* ∈ S , если для лю бого ε > 0 най дется так ая ок рестность Vε ( x0* ) и

так ая часть σ ( ε ) п оверх ности S , содержащ ая строго внутри точк у x0* , что для лю бого x0 ∈Vε ( x0* ) интеграл

∫ f ( x , x ) dS

σ (ε )

0

x

<ε .

Т еорема 11 (док азательство аналогично п редыдущ ему). Равномерно сх одящ ий ся в точк е x0* ∈ S

интеграл (17.3) есть ф унк ция x0 ∈ ! 3 ,

неп рерывная вточк е x0* . § 18. О бъемный п отенциал Рассмотрим объемный п отенциал

- 58 v ( x0 ) = ∫ ρ ( x ) x − x0

−1

dx ,

(18.1)

D

область без вых одов на беск онечность. П оложим, что ρ ( x )

где D -

ограничена и интегрируема в D . И нтеграл (18.1) собственный , если x0 ∉ D . В этом случае ф унк ция v ( x0 ) неп рерывна и имеет частные п роизводные всех п орядк ов. Т ак к ак 1 ф ундаментальное реш ение r уравнения Л ап ласа, то ∆x ( x0 ) п ри x0 ∈ ! \ D .

П ок ажем,

3

v ( x0 ) <

x0

O Рис. 15

x

что

A , R = x0 → ∞ . П оместим начало к оординатвнутри D (см. рис. R

15). Т огда x − x0 ≥ x0 − x или r ≥ R − x . О бозначим диаметробласти через

d = diam D . Т огда r ≥ R − d . Будем считать, что M настольк о

удалена от O , что R > 2d , т.е. d < v ( x0 ) < ∫ ρ ( x) D

R R и r> 2 2

или

1 2 < . Т еп ерь r R

dx 2 A < ∫ ρ ( x) dx = , где A = 2 ∫ ρ ( x ) dx . Т ак им образом, r RD R D

объемный п отенциал v ( x0 ) есть гармоническ ая ф унк ция п ри x ∈ ! 3 \ D . П усть

теп ерь

x0 ∈ D . Т ак к ак

ρ ( x) c < , то интеграл (18.1) r r

несобственный и сх одится. Т еорема 12. Е сли ρ ( x) ограничена и интегрируема в D , то п отенциал v ( x0 ) и его частные п роизводные п ервого п орядк анеп рерывны в ! 3 и эти п роизводные могут быть п олучены диф ф еренцированием п од знак ом интеграла. Д ок азательство. П ок ажем вначале, чтоинтегралы v ( x0 ) и x 0 k − xk X k ( x0 ) = − ∫ ρ ( x) dx, k = 1,3, x 0 = ( x10 , x20 , x30 ) , x = ( x1 , x2 , x3 ) , (18.2) 3 r D п олученные ф ормальным диф ф еренцированием (18.1) п о xk0 , равномерно сх одятся в лю бой точк е x0* . П усть x0* ∈ D и x0 ∈ Dδ ⊂ D . И меем (если Dδ ⊂ Bδ ( x0* ) ), r = x0 − x , x0 ∈ Dδ , см. рис. 16:

- 59 -

∫

Dδ

2π π 2 π

dx dx ρ ( x) dx < c ∫
( ) 0

п ричем стремление к нулю в п оследней оценк е независимо от точк и выбирая п о заданному

x0* , т.е.,

ε >0

число

ε (не зависящ ее от выбора x0* ), 8π c мы убеждаемся в равномерной сх одимости интеграла (18.1) в п роизвольной точк е

2δ

δ=

x0* ∈ D .

П овторяя

x0

δ x

Рис. 16

аналогичные

рассуждения для X k ( x0 ) , п олучим xk0 − xk 1 dx ρ x dx c dx < c ∫ 2 = 8π cδ  ( ) ≤ →0 , 3 2 δ →0 ∫D ∫ r r r D B x ( ) δ δ 2δ 0

ε . О тсю да следует равномерная сх одимость v ( x0 ) и 8π c X k ( x0 ) . П ри док азательстве мы исп ользовали лиш ь ограниченность ρ ( x ) ,

если δ < δ ( ε ) =

п оэтому интегралы (18.1) и (18.2) неп рерывны в точк ах разрыва ρ ( x ) . Т очк и границы области можно рассматривать к ак точк и разрыва ф унк ции ρ ( x ) , равной нулю

вне D . С ледовательно, v ( x0 ) и X k ( x0 ) неп рерывны

во всем ! 3 . Д ок ажем теп ерь, что

X k ( x0 ) =

∂ v ( x0 ) ∂xk0

, k = 1,3, x0 ∈ D . П усть

x%0 = ( x10 + ∆x1 , x20 , x30 ) , r% = x%0 − x . Рассмотрим разность I=

v ( x%0 ) − v ( x0 ) ∆x1

1 x − x0 1 1 − X 1 ( x0 ) = ρ ( x )  −  dx − ∫ ρ ( x) 3 dx ∆x1 ∫D r  r% r  D

(18.3) и п ок ажем, что она стремится к нулю

п ри

∆x1 → 0 . Рассмотрим

Bδ ( x0 ) ⊂ D , так что D2 = D \ Bδ1 ( x0 ) . Разложим ф унк ции

v ( x0 ) =

∫

Bδ ( x ) 1 0

ρ ( x) ρ ( x) dx + ∫ dx = v1 ( x0 ) + v 2 ( x0 ); r r D2

- 60 x0 − x x0 − x X 1 ( x0 ) = − ∫ ρ ( x ) 3 dx + ∫ ρ ( x) 3 dx = X 11 ( x0 ) + X 12 ( x0 ). . r r Bδ ( x0 ) D2 1

Разность (18.3) можно зап исать ввиде  v ( x ) − v 2 ( x0 )  − X 11 +  2 0 − X 12  . (18.4) ∆x1 ∆ x 1   О ценим в отдельности к аждое из слагаемых в п равой части (18.4), считая x%0 ∈ Bδ1 ( x0 ) . М ы имеем (т.к . r% − r ≤ ∆x1 ): I=

v1 ( x%0 ) − v1 ( x0 )

v1 ( x0 ) − v1 ( x0 )

=

∆x1

1 ∆x1

≤c Но

∫

Bδ1 ( x0 )

dx c 1 1 ≤ ∫  r 2 + r% 2  dx . % rr 2 Bδ1 ( x0 ) Bδ1 ( x0 )

∫

∫

r −2 dx = 4πδ1 ;

ρ ( x ) r − r% 1 1 x − dx ≤ ⋅ dx ≤ ρ ( ) ∫ ∫  r% r  rr%   Bδ1 ( x0 ) Bδ1 ( x0 ) ∆x1

∫

r% 2 dx <

Bδ1 ( x0 )

( )

Bδ1 x% 0

dx = 8πδ1 , следовательно, r% 2

v1 ( x0 ) − v1 ( x0 ) ∆x1

< 6πδ1 .

(18.5)

О ценим X 11 ( x0 ) : X

1 1

( x0 )

δ

2π π 1 xk0 − xk = ∫ ρ ( x) dx < c ∫ ∫ ∫ sin θ drdθ dϕ = 4πδ1c . 3 r Bδ ( x0 ) 0 0 0

(18.6)

1

Зададим теп ерь малое ε > 0 и возьмем радиус δ1 ш ара Bδ1 ( x0 ) столь малым, чтобы 6π cδ1 <

ε . Т огдадля лю бого x%0 ∈ Bδ1 ( x0 ) : 3

v1 ( x0 ) − v1 ( x0 ) ∆x1

− X 11 <

ε ε 2ε + = . 3 3 3

Д ля третьего слагаемого в (18.4) имеем lim

(18.7)

v1 ( x0 ) − v1 ( x0 ) ∆x1

∆x1 →0

= X 12 , т.к .

x% 0 и x0 лежатвне D2 . С ледовательно, для лю бого ε > 0 можно ук азать

так ое δ 2 > 0 , что из оценк и v1 ( x0 ) − v1 ( x0 ) ∆x1

− X 12 <

∆x1 < δ 2 ≤ δ1

следует

ε , отсю давсилу(18.7), (18.4): 3

неравенство

- 61 -

( )

v1 x!0 − v1 ( x0 ) ∆x1

Аналогично

− X 1 ( x0 ) < ε

∂v = X 2 ( x0 ) ; ∂x20

если ∆x1 < δ 2 , отсю да

∂v = X 1 ( x0 ) . ∂x10

∂v = X 3 ( x0 ) . Т еоремадок азана. ∂x30

( )

Т еорема 13. Е сли п лотность ρ ( x ) ∈ C D I C1 ( D) , п ричем п ервые п роизводные равномерно в D ограничены, то объемный п отенциал ρ ( x) v ( x0 ) = ∫ dx∈ C 2 ( D) , п ричем ∆ v ( x0 ) = −4πρ ( x0 ) . r D Д ок азательство.

x0* ∈ D , Bδ ( x0* ) ⊂ D ,

П усть

x0* ∈ D , Bδ ( x0* ) ⊂ D , п усть

п усть

D1 = D \ Bδ ( x0* ) . П редставим v ( x0 ) в виде

v ( x0 ) = v1 ( x0 ) + v0 ( x2 ) , где ρ ( x) ρ ( x) dx ; v0 ( x) = ∫ dx . r r * D B (x )

v1 ( x0 ) = ∫

δ

0

В силуп редыдущ ей теоремы ∂ v ( x0 ) ∂x01

=

D1

1 ∂  ∂ 1 r но   = −  , ∂x01 ∂x1  r  ∂ v ( x0 ) ∂x01

=

∂ 1 ∂ 1   dx + ∫ ρ ( x )   dx , r ∂ x   * 01 01  r  Bδ ( x0 )

∫ ρ ( x) ∂x r =  

( x01 − x1 )

2

2 2 + ( x02 − x2 ) + ( x03 − x3 )  . Т огда 

∂ 1 ∂ 1   dx − ∫ ρ ( x )   dx . П роинтегрируем второй ∂ x r * 01  r  1 Bδ ( x0 )

∫ ρ ( x) ∂x

D1

интегралп о частям, п олучим ∂ v ( x0 ) ∂x01

=

∫ ρ ( x)

D1

ρ ( x ) cos ( n, x1 ) ∂ 1 ∂ 1 dx + ρ ( x ) dx − ds . (18.8)   ∫ * ∂x1 ∫* ∂x01  r  r r B x S x δ

( ) 0

δ

( ) 0

П ервое слагаемое в (18.8) есть собственный

x0 ∈ Bδ ( x0* ) ,

п ричем

сущ ествует

интеграл для п роизводная

∂  ∂ v ( x0 )  *   , x0 ∈ Bδ ( x0 ) , k = 1,3 , то же можно утверждать и о третьем ∂x0 k  ∂x0 

слагаемом в (18.8), так к ак x ∈ Sδ ( x0* ) , а x0 ∈ Bδ ( x0* ) . В торое слагаемое в

- 62 п равой части (18.8) есть объемный п отенциал с п лотностью п о п редыдущ ей

теореме 12 сущ ествую т его п ервые п роизводные, ∂ v ( x0 )

неп рерывные во всем ! 3 . С ледовательно, п ервые п роизводные п ри п римененные п роизводные

∂ρ ∈ C ( D ) и, ∂x1

к

∂ v ( x0 ) ∂x02

,

x0 ∈ Bδ ( x0* ) . ∂ v ( x0 ) ∂x03

имеет неп рерывные

∂x01

Аналогичные рассуждения,

док азываю т,

,

что

сущ ествую т

∂  ∂ v ( x0 )  * *  ∈C Bδ ( x0 ) . В силуп роизволавыбора x0 ∈ D ∂x0 j  ∂x0 k 

(

)

п олучаем утверждение теоремы о том, что удовлетворение v ( x0 ) уравнению

v ∈ C 2 ( D ) . Д ок ажем

П уассона. И нтеграл v1 ( x0 )

есть

гармоническ ая ф унк ция п ри x ∈ Bδ ( x0* ) , т.е. ∆ v1 ( x0 ) = 0 п ри x ∈ Bδ ( x0* ) , следовательно,

∆ v = ∆ v 0 п ри

x ∈ Bδ ( x0* ) . В осп ользовавш ись этим,

вычислим ∆ v ( x0* ) п ри x0 = x0∗ из (18.8) ∆ v ( x0* ) =

 ∂ρ ( x ) ∂  1  ∂ρ ( x ) ∂  1  ∂ρ ( x ) ∂  1   ⋅ ⋅ ⋅   +  +   dx − ∂ x ∂ x r ∂ x ∂ x r ∂ x ∂ x     *  1 01 2 02 3 03  r   Bδ ( x0 )

∫

 ∂ 1  ∂ 1 ∂ 1 − ∫ ρ ( x)    cos ( n, x1 ) +   cos ( n, x2 ) +   cos ( n, x3 ) ds. ∂x02  r  ∂x03  r   ∂x01  r   Sδ ( x0* )

(18.

9)

В еличина ∆ v ( x0* ) не зависитотвыбора δ > 0 . У стремим δ к нулю . П усть m = max

Bδ 0 ( x0 )

∂ρ ( x) ∂xk

(δ 0 > δ ) . У читывая, что

δ π ∂ρ ( x) ∂  1  1 ∫ * ∂xk ⋅ ∂x0k  r  ≤ m ∫ * r 2 dx ≤ ∫0 ∫0 Bδ ( x0 ) Bδ ( x0 )

∂ ∂x0 k

* 1  1  xk − x0 k = ≤ , имеем   r3 r2 r

2π 1

∫ sin θ drdθ dϕ = 4πδ m → 0

п ри

0

δ →0. С ледовательно, объемный интеграл в(18.8) стремится к нулю п ри δ → 0 . ∂ ∂ = Рассмотрим п оверх ностный интеграл в (18.9). Т ак к ак для ∂n ∂r сф еры, то

- 63 ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1   cos ( n, x1 ) +   cos ( n, x2 ) +   cos ( n, x3 ) = ∂x01  r  ∂x02  r  ∂x03  r  x1 − x01 x −x x −x cos ( n, x1 ) + 2 3 02 cos ( n, x2 ) + 3 3 03 cos ( n, x3 ) = 3 r r r 1 1 1 = 2 cos 2 ( n, x1 ) + cos 2 ( n, x2 ) + cos 2 ( n, x3 )  = 2 = 2 , где r0 = x0* − x . r r r0 =

С ледовательно, интеграл п о Sδ ( x0* ) в (18.9) может быть зап исан в 1 δ2

виде

∫

( )

ρ ( x)ds

Sδ x0*

δ →0

=

т .о с реднем

4πρ ( xδ ) , п ри нек отором

xδ ∈ Bδ ( x0∗ ) . П ри

xδ → x0* , п оэтому, п ерех одя к п ределу в (18.9), имеем

∆ v ( x0* ) = −4πρ ( x0* ) , что требовалось док азать. Т еоремадок азана.

Е сли

Замечание. ∆ v ( x0 ) = − f ( x0 ) v ( x0 ) =

1 4π

( )

f ( x) ∈ C D I C1 ( D ) , то уравнение П уассона имеет

1

∫ f ( x) ⋅ r dx ,

частное

реш ение

r = x − x0 .

D

§ 19. П оверх ности Л яп унова Д ля того чтобы строго изучить свой ства п отенциалов п ростого и двой ного слоя, необх одимо п одчинить рядутребований те п оверх ности, на к оторых расп оложены эти слои. О п ределение. Будем называть замк нутую п оверх ность S п оверх ностью Л яп унова, если 1. В к аждой точк е S сущ ествуетк асательная п лоск ость. 2. С ущ ествует d0 > 0 так ое, что для лю бых x0 ∈ S , S d ( x0 ) , 0 < d ≤ d 0 сф ера S d ( x0 ) делит S на две части, одна из к оторых зак лю чается внутри S d ( x0 ) , а другая вне S d ( x0 ) и п рямые, п араллельные нормами к S в точк е x0 п ересек аю т часть S , нах одящ ую ся внутри Sd ( x0 ) не более, чем водной точк е. 3.

Е сли θ -острый угол, образованный нормалями к S вдвух ее точк ах x1 и x2 и r12 = x1 − x2 , то сущ ествую тп остоянные a, α ( 0 < α < 1) , не зависящ ие от x1 , x2 , так ие что для лю бых x1 , x2 ∈ S имеет место α оценк аθ ≤ ar1,2 .

- 64 П ояснения. У словие 1 дает возможность в к аждой точк е x0 ∈ S п остроить местную п рямоугольную систему к оординат с п олю сом в x0 ∈ S , так что п еременные x1 и x2 лежатв к асательной п лоск ости, а п еременная x3 изменяется внап равлении внеш ней нормали. У словие 2 п ок азывает, что в этой местной системе уравнение части п оверх ности S можетбыть (лок ально, внутри Sd ( x0 ) ) п редставлено ввиде x3 = f ( x1 , x2 ) . Д ля уп рощ ения зап иси, если обозначать его к оординаты

x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ S , будем

x = (ξ ,η , ς ) , где ς = f (ξ ,η ) , если x ∉ S , то

будем егок оординаты обозначать п о-п режнему x = ( x1 , x2 , x3 ) . Из

условия 3

следует,

что частные

п роизводные

fξ/ , fη/ ,

сущ ествование к оторых обесп ечено условием 1, являю тся неп рерывными ф унк циями ξ и η . В дальней ш ем будем считать, что d 0 взято достаточно малым. Н ап ример, можно п ринять условие ad α ≤ 1, так что угол θ0 между нормалью в лю бой точк е x ∈ S I Bd ( x0 ) и нормалью в x0 не достигает

π . 2

О бозначая r0 = x − x0 , r0 ≤ d , имеем cos θ отк уда, так к ак cosθ 0 =

1 1 1 − θ 02 ≥ 1 − a 2 r02α , и з ра злож ени я в 2 2 зна коч еред. ряд ≥

1 ⋅ 1 + 0 ⋅ fξ + 0 ⋅ fη n1n2 = , то n1 ⋅ n2 1 ⋅ 1 + fξ2 + fη2

1 1 = 1 + fξ2 + fη2 ≤ cosθ 0  1 2 2α 1 − a r0  2

  

≤ (1 + x 2 )

−1

(1 + a r ) ≤ 2 . 2 2α 0

С ледовательно, в силу условия ad α ≤ 1: fξ2 + fη2 ≤ 2a 2 r02α + a 4 r04α ≤ 3a 2 r02α , отк уда

fξ ≤ 3ar0α ; fη ≤ 3ar0α .

(

В водим

п олярные к оординаты:

)

ξ = ρ0 cos ϕ ; η = ρ0 sin ϕ ρ0 = ξ 2 + η 2 . И меем 2

2  ∂  ς  = ( fξ cos ϕ + fη sin ϕ ) ≤ fξ2 + fη2 ≤   ∂ρ0 

 ∂  тоесть  ς≤  ∂ρ0 

(

)

(

3ar0α

), 2

3ar0α , или более грубую оценк у ς ρ0 ≤ 3

( ar

α 0

≤ 1) ,

- 65 отк уда ς ≤ 3ρ0 б (ς ( 0, 0 ) = 0 ) . Н о r0 = ρ02 + ς 02 ≤ 2 ρ0 . И з неравенства 3 ⋅ 2α ς ρ0 ≤ 3ar имеем ς ρ0 ≤ 3a 2 ρ , отк уда ς ≤ a ρ0α +1 , или, тем α +1 ς ≤ 2a ρ0α +1 , так к ак α ≤ 1 . И з оценок более, 2α ≤ α + 1 п ри α 0

α

α 0

1 1 cosθ 0 ≥ 1 − a 2 r02α и r0 ≤ 2 ρ 0 имеем 1 − cosθ 0 ≤ a 2 r02α ≤ 22α −1 a 2 ρ02α . 2 2 О ценим cos ( n, xk ) . fξ

cos ( n, x1 ) =

1+ f + f 2 ξ

Аналогично,

2 η

≤ fξ < 3ar0α < 3 ⋅ a ⋅ 2α ⋅ ρ0α .

cos ( n, x2 ) < 3 ⋅ a ⋅ 2α ⋅ ρ0α . М ы, к роме того, имеем

1 . 2 В ып иш ем вместе все ранее п олученные оценк и 1 ς ≤ c ρ0α +1 ; cos ( n, xk ) ≤ c ρ0α , k = 1,2; cos ( n, x3 ) ≥ ;1 − cos ( n, x3 ) ≤ c ρ02α , (19.1) 2 где c - п остоянная, наибольш ая из всех , вх одящ их в соответствую щ ие оценк и. У к азанные оценк и сох раняю тся п ри замене в п равых частях ρ0 на оценк у cos ( n, x3 ) = cosθ 0 ≥

r0 .

§ 20. П отенциал двой ного слоя Рассмотрим п отенциал двой ного слоя, расп ределенный п оверх ности Л яп унова, снеп рерывной п лотностью µ ( x) (рис. 17) w ( x0 ) = − ∫ µ ( x) S

∂ 1 cos ϕ   ds = ∫ µ ( x) 2 ds ∂n  r  r S

D

.

x3

П ри x0 ∉ S сущ ествую т все Dxk0 w ( x0 ) . П ок ажем, что п ри x0 → ∞ :

w ( x0 ) ⇒ 0 .

В озьмем начало к оординат внутри r > x0 − x . области: O ∈ D . Т огда

на

O

x

ϕ

x2

n

r x0 ∈ D

S = ∂D

x0 ∉ D Рис. 17

О бозначим L = max x ; r ≥ R − L , где R = x0 → ∞ . П усть x0 настольк о x∈S

удалено, что r ≥

R 1 2 или ≤ . Т огда, обозначив A = ∫ µ ds , имеем оценк у 2 r R S

- 66 w ( x0 ) ≤ ∫ µ ( x) S

cos ϕ r

4 R2

ds <

2

A

∫ µ ( x ) ds = R

2

S

⇒ 0.

R →∞

П усть теп ерь x0 = x* ∈ S . О бозначим r0 = x* − x . П ок ажем, что и в этом случае

w( x0 )

сх одится. Д ля этого достаточно исследовать

п одынтегральную ф унк цию на к уск е границы σ 0 ⊂ S , σ 0 ⊂ S I Bd ( x* ) . В точк е x* п остроим местную (лок альную ) систему к оординат, в к оторой уравнение границы S имеет вид ς = f (ξ ,η ) . В этой системе к оординат точк а x* = ( 0,0,0 ) ,

а точк а x

(ξ ,η ,ς )

имеет к оординаты

( )

и

! r0 = ξ 2 + η 2 + ς 2 . Н ай дем cos ϕ0 = cos r0 , n , где r0 - нап равление x* x

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

cos ϕ0 = cos r0 , x1 cos n, x1 + cos r0 , x2 cos n, x2 + cos r0 , x3 cos n, x3

)

,

(

)

но cos r0 , x1 =

ξ ; r0

(

)

cos r0 , x2 =

cos ϕ0 =

η ς ; cos r0 , x3 = . С ледовательно, r0 r0

(

)

ξ η ς cos n, x1 + cos n, x2 + cos n, x3 . r0 r0 r0

(

)

(

)

(

)

П ри исследовании п оверх ностей Л яп унованами док азаны оценк и

( )

ς ≤ c ρ0α +1 ; cos n, x1 ≤ c ρ0α ;

а так же очевидные оценк и

(

)

cos n, x2 ≤ c ρ0α ,

ξ ≤ ρ0 ; η ≤ ρ0 , ρ0 ≤ r0 , где ρ 0 = ξ 2 + η 2

 ρ0α +1 ρ 0α +1 ρ0α +1  3c ρ0α 3c ρ0α cos ϕ0 b ≤ c  3 + 3 + 3  ≤ 2 ≤ 2 = 2−α , где b 2 r0 r0 r0  r0 ρ0 ρ0  r0 п остоянная. К роме того, для неп рерывной ф унк ции µ ( x ) сп раведлива

п олучим

оценк а µ ( x ) ≤ A , ( x ∈ S ) . Заменяя интеграл п о σ 0 интегралом п о σ 0/ п роек ции σ 0

на

п лоск ость x1Ox2

местной

системы к оординат,

п олучим cos ϕ0 cos ϕ0 d ξ dη ∫σ µ ( x ) r02 ds = ∫/ µ (ξ ,η ) r02 ⋅ cosθ0 , (θ0 - уголмеждуds и dξ dη ), но σ0 0 µ (ξ ,η )

cos ϕ0 1 Ab 1 Ab 1 2 Ab ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ , r02 cosθ 0 ρ02−α cosθ 0 ρ02−α cos n, x3 ρ02−α

(

)

- 67 -

(

)

1 cos n, x3 ≥ . О тсю да 2 cos ϕ следуетсх одимость ( 2 − α < 2 ) интеграла ∫ µ 2 0 ds , аследовательно, и r0 σ0

где

исп ользована

оценк а

w ( x0 ) , к огда x0 ∈ S . Е сли

из

(19.1):

x0 = x* ∈ S , то значение интеграла w ( x0 )

называю т п рямым значением п отенциала двой ного слоя. П усть теп ерь x0 → x* ∈ S . Е сли п ри этом п риближении сущ ествует

x0 ∈ S и п усть

lim* w ( x0 ) , то будем говорить, что w ( x0 ) п ринимает в точк е x*

x0 → x ∈S

п редельное значение. П редельные и п рямые значения п отенциала двой ного слоя, вообщ е говоря, не совп адаю т. Д алее мы п ок ажем, что п редельные значения п отенциала двой ного слоя w ( x0 ) , вообщ е говоря, различны в зависимости от того, извне или изнутри стремится точк а x0 к x* ∈ S и эти п редельные значения не совп адаю тсп рямыми значениями. П рименим основную ф ормулутеории гармоническ их ф унк ций (13.8) ∂ 1 1 п ри µ ( x ) ≡ 1, L = , обозначив w1 ( x0 ) = − ∫   ds . П олучим 4π r S ∂n  r   0 , x0 ∉ Di ;  w1 ( x0 ) =  2π , x0 ∈ S ; 4π , x ∈ D . 0 i 

(20.1)

И нтеграл w1 ( x0 ) называется интегралом Г аусса. В дальней ш ем будем п редп олагать, что

∫ cos ϕ

r −2 ds ≤ K ,

(20.2)

S

что является ограничением нап оверх ность S . Т еорема 14. П отенциал двой ного слоя w ( x0 ) имеет п ределы w i = lim w ( x0 ) , w e = lim w ( x0 ) , п ричем имею тместоф ормулы * * x0 → x ∈S , x0∈Di

x0 → x ∈S , x0∉Di

w e ( x* ) = ∫ µ ( x ) S

cos ϕ0 ds − 2πµ ( x* ) = w ( x* ) − 2πµ ( x* ); 2 r0

cos ϕ w i ( x ) = ∫ µ ( x) 2 0 ds + 2πµ ( x* ) = w ( x* ) + 2πµ ( x* ) , r0 S *

! где ϕ0 = r0 , n .

(20.3)

- 68 Д ок азательство. П усть x* ∈ S . П редставим w ( x0 ) ввиде w ( x0 ) = w 0 ( x0 ) + µ ( x* ) w1 ( x0 ) ,

(20.4)

где w 0 ( x0 ) = ∫  µ ( x) − µ ( x* )  cos ϕ r −2 ds ; W1 = ∫ cos ϕ r −2 ds - интеграл Г аусса. S

S

П усть x0 → x* ∈ S (см. рис.18) П оведение w1 известно. Рассмотрим w 0 ( x0 ) . Д ок ажем, что w 0 ( x0 ) сох раняет

неп рерывность, к огда x0 п ересек ает S в

D n

точк е x . Зададим ε > 0 . В силу неп рерывности µ ( x ) сущ ествует участок *

σ 0 ⊂ S , x* ⊂ σ 0 : µ ( x ) − µ ( x* ) ≤

x ϕ r

ε , 4π

x0 ∈ D

x*

S = ∂D

x ∈ σ 0 . ( K - из условия (20.2)).

Рис. 18

Разобьем п оверх ность S начасти S = σ 0 U ( S \ σ 0 ) . w 0 ( x0 ) = w10 ( x0 ) + w 02 ( x0 ) ,

(20.5)

где w10 ( x0 ) = ∫ [µ ( x) − µ ( x* )]cosϕ r −2 ds ;w 02 ( x0 ) = σ0

∫ [µ ( x) − µ ( x )]cosϕ r *

−2

ds. (20.6)

S \σ 0

ε ε С п раведливаоценк а w10 ( x0 ) ≤ ∫  µ ( x ) − µ ( x* )  cos ϕ r −2 ds ≤ ⋅k = . 4k 4 σ0

И з (20.5) следует

w 0 ( x0 ) − w 0 ( x* ) = w10 ( x0 ) − w10 ( x* ) + w 02 ( x0 ) − w 02 ( x* ) ,

отк уда w 0 ( x0 ) − w 0 ( x* ) = w10 ( x0 ) + w10 ( x* ) + w 02 ( x0 ) − w 02 ( x* ) ≤ ε + w 02 ( x0 ) − w 02 ( x* ) . 2 интегрирование ведется п о x ∈ S \ σ 0 , п ричем x* ∈ σ 0 , ≤

В w 02 ( x0 ) следовательно,

п одынтегральная

ф унк ция

в

w 02 ( x0 )

неп рерывна,

следовательно, неп рерывна в точк е x* и сама ф унк ция w 02 ( x0 ) , т.е. п ри x0 → x*

для

лю бого

ε:

| w 02 ( x0 ) − w 02 ( x* ) | < 0,5ε

и

п оэтому

w 0 ( x0 ) − w 0 ( x* ) < ε , отк уда следует неп рерывность w 0 ( x0 ) в точк е x0 = x* ∈ S .

- 69 П усть x0 → x* изнутри S . Т огда lim* w ( x0 ) = w 0 ( x* ) + 4πµ ( x* ) . x0 → x

П усть в ф ормуле п редставления w ( x0 )

x0 = x* ∈ S . Т огда, в силу

ф ормулы (20.5) и интеграла Г аусса w ( x* ) = w 0 ( x* ) + 2πµ ( x* ) . С равнивая двап оследних п редставления, имеем w i ( x* ) = w 0 ( x* ) + 2πµ ( x* ) . П усть теп ерь x0 → x* ∈ S извне S . Аналогично п олучим

lim w ( x0 ) = w e ( x* ) = w 0 ( x* ) , отк уда w e ( x* ) = w ( x* ) − 2πµ ( x* ) .

x0 → x*

Т еоремадок азана. § 21. П отенциал п ростого слоя П отенциал п ростого слоя u ( x0 ) = ∫ S

µ ( x) dS , r = x − x0 r

расп ределен

п о п оверх ности Л яп унова S . О чевидно, что во всех точк ах x0 ∈ ! 3 \ S п отенциал п ростого слоя u ( x0 ) имеет п роизводные лю бого п орядк а и удовлетворяет уравнению Л ап ласа. С оверш енно так же, к ак и в случае 1 п отенциала двой ного слоя, док азывается, что u ( x0 ) = O   , где R R = x0 → ∞ . Т еорема 15. П отенциал п ростого слоя с неп рерывной п лотностью µ ( x ) есть ф унк ция неп рерывная во всем п ространстве ! 3 . Д ок азательство. У же отмечалось, что u ( x0 ) неп рерывен во всех x0 ∈ ! 3 \ S . П ок ажем, что u ( x0 ) неп рерывени п ри x0 ∈ S . Д ля этого нужно

док азать, что интеграл u ( x0 ) = ∫ S

µ ( x) ds сх одится равномерно в точк ах r

п оверх ности S . П усть x - п роизвольная точк ап оверх ности S . В точк е x* п остроим местную системук оординат, к ак ук азано выш е. П усть ε > 0 заданное число и σ 1 − часть п оверх ности S , оп ределенная условием *

d , α - из оп ределения п оверх ности Л яп унова). 4 П ок ажем, что можно выбрать d1 настольк о малым, чтобы п ри лю бом ξ 2 + η 2 ≤ d12 ,

( d1 ≤

п оложении x0 внек оторой ок рестности x* вып олнялось неравенство

- 70 µ ( x) dS ≤ ε , r = x − x0 . r σ1

(21.1)

µ ( x) d ξ dη 2 dS ≤ A ∫σ r ∫/ ρ1 , σ 1

(21.2)

∫

М ы имеем

1

где σ 1/ - к руг радиуса d1 с центром в x* , dS =

d ξ dη ≤ 2d ξ dη ), cosθ 0  cosθ0 ≤ 1  

ρ1 = П р .(ξ ,η ) x0 x ≤ r (так к ак

µ ( x) ≤ A.

2

Е сли x0 ∈ Bd1 ( x* ) , то x10 = П р(ξ ,η ) x0 п ринадлежитк ругуσ 1/ сцентром в x* , лежащ емув п лоск ости (ξ ,η ) (см. рис. 19).

ξ σ 1′

Е сли на п лоск ости (ξ ,η ) взять к руг σ

// 1

Bδ1 ( x* ) (η , ξ )

x10 x0

радиуса 2d1 с центром в точк е x , то

x

*

0 1

Рис. 19

он, очевидно, будет содержать весь к руг σ 1/ , так чтовсилу(21.2): 2π 2 d1 µ ( x) ρ1d ρ1dϕ d ξ dη dS ≤ 2 A = 2 A ∫ r ∫ ρ1 ∫0 ∫0 ρ1 = 8π Ad1 . σ1 ρ1 ≤ 2 d1

П оследняя оценк а не зависит от п оложения точк и x* на S . Ф ик сируем теп ерь d1 так , чтобы 8π Ad1 < ε , и п олучим оценк у(21.1) п ри лю бом п оложении x0 в Bd1 ( x* ) . Э то и означает, что интеграл u ( x0 )

сх одится равномерно в точк е x* , а следовательно, ф унк ция u ( x0 ) неп рерывнавточк е x0 = x* ∈ S . Т еоремадок азана. § 22. Н ормальная п роизводная п отенциалап ростого слоя П усть

n*

-

нап равление внеш ней нормали в нек оторой точк е

x* ∈ S .

С читая, что x0 ∉ S , составим п роизводную

∂u ( x0 ) ∂n*

. О т x0 зависитлиш ь

1 и мы можем диф ф еренцировать п од знак ом интеграла r

- 71 ∂u ( x0 ) ∂n*

= ∫ µ ( x) S

cosψ ∂ 1   ds = ∫ µ ( x ) 2 ds . r ∂n*  r  S

(22.1)

О тметим разницу между п оследним интегралом и п отенциалом cos ϕ ! двой ного слоя w ( x0 ) = ∫ µ ( x) 2 ds . В w ( x0 ) : ϕ = r , n , где r = x − x0 , а r S n - нормаль в точк е x ∈ S , x - п еременная интегрирования. В интеграле ! (22.1) ψ = r , n* , где n* - единичный век тор внеш ней нормали в

( )

x* ∈ S . В обоих случаях

ф ик сированной точк е

r = x0 x . П ок ажем, что

интеграл (22.1) сущ ествуети втом случае, к огда x0 ∈ S , п ричем x0 = x* . В этом п оследнем случае будем зап исывать интеграл (22.1) в виде

(r = x − x , *

*

(

ψ * = r* , n*

))

∫ µ ( x) S

cos ( r* , n* ) cosψ * ds = µ ( x ) ds . ∫S r*2 r*2

(22.2)

Д ля этого достаточно рассмотреть интеграл (22.1) на участк е σ 0 ⊂ S , содержащ ем x* . В точк е x* п остроим местную системук оординат.

Ч ерез ( x10 , x20 , x30 ) обозначим к оординаты x 0 , ачерез (ξ , η , ς ) - к оординаты точк и x ∈ S . Т огда

∫

µ ( x ) cos ( r , n* ) r2

σ0

ds =

µ ( x ) ς − x3 ∫σ r 2 ⋅ r 3 ds (см. рис. 20). 0

Е сли x0 = x* , то x3 = 0 и интегралп ринимаетвид

∫ µ ( x)

σ0

ς (ξ ,η ) ς dS = µ ξ η d ξ dη , ( ) 3 ∫/ r03 r n x cos , ( ) * 3 σ

ζ n

*

0

, где σ

/ 0

ζ

(ξ ,η ) , к асательную к σ 0 в точк е x* , а ς = ς (ξ ,η ) лок альное уравнение σ0 ⊂ S .

В

(ξ , η )

r*

- п роек ция σ 0 на п лоск ость

п оверх ности

ψ

(r!, nx ) x3 x0

силу

1 , r* ≥ ρ* , µ ( x ) ≤ A имеем 2 оценк у п одынтегральной

x Рис. 20

оценок

ς ≤ c ρ01+α , cos ( n, x3 ) ≥ следую щ ую µ ( x)

ς (ξ ,η )

r cos ( n, x3 ) 3 *

≤

2CA , ρ*2−α

ф унк ции

- 72 отк удаи следуетсх одимость интеграла(22.2), если x0 = x* ∈ S . П ерей дем теп ерь к выяснению п оведения нормальной п роизводной п отенциала п ростого слоя (22.1) п ри п риближении x0 → x* ∈ S п о нормам изнутри или извне п оверх ности S . Будетдок азанаследую щ ая Т еорема 16. Н ормальная п роизводная п отенциала п ростого слоя ∂u ( x0 ) ∂n*0

имеетп ределы  ∂u ( x0 )  ∂u ( x0 ) cosψ = ∫ µ ( x ) 2 * ds + 2πµ ( x* ) ;   = lim  ∂n*  x0 → x*∈S , ∂n* r* S 0 0  i x0∈Di  ∂u ( x0 )  ∂u ( x0 ) cosψ = ∫ µ ( x ) 2 * ds − 2πµ ( x* ). lim   =  ∂n*  x0 → x*∈S , x0∉Dl ∂n* r* S  e 0 0

Д ок азательство. С оставим разность

∂u ( x0 ) ∂n*0

(22.3)

и п отенциала двой ного

слоя w ( x0 ) стой же п лотностью µ ( x ) F ( x0 ) =

∂u ( x0 ) ∂n*0

=

∂u ( x0 ) ∂n*0

− w ( x0 ) = ∫ µ ( x ) S

cosψ − cos ϕ ds . r2

Н ап исанный интеграл имеетсмысл, если x0 ∉ S или если x0 = x* ∈ S . П ок ажем, что интеграл F ( x0 ) имеет п редел, к огда точк а

x0 → x*

по

нормали n* к S в точк е x* , и что этот п редел равензначению интеграла F ( x0 ) п ри x0 = x* . В точк е x* п остроим местную систему к оординат.

П усть

σ1 -

часть

п оверх ности

S,

оп ределяемая

условием

d  ξ 2 + η 2 ≤ d12  d1 ≤  . Т очк а x0 ∈ n* , т.е. в местной системе к оординат 2  x1 = 0 , x2 = 0, (ξ ,η , ς ) - к оординаты точк и x ∈ S в местной системе к оординат. П ри этом мы имеем ς − x3 ς − x3 ξ η cos ϕ = cos ( n, x1 ) + cos ( n, x2 ) + cos ( n, x3 ) ; cosψ = r r r r и, следовательно, ς − x3 cosψ − cos ϕ  ξ η  1 cos ( n, x3 ) − 1  ⋅ 2 =  − cos ( n, x1 ) − cos ( n, x2 ) − 2 r r r  r  r . П ринимая во внимание оценк и cos ( n, x1 ) ≤ c ρ0α ; cos ( n, x2 ) ≤ c ρ0α ;

- 73 1 − cos ( n, x3 ) ≤ c ρ02α ; ξ ≤ ρ0 ; r ≤ ρ0 ; ς − x3 ≤ r

ρ0 = ξ 2 + η 2 - п роек ция cosψ − cosϕ b ≤ 21−α , 2 r ρ0

x0 x*

где

из

(19.1)

(ξ ,η ) ,

на п лоск ость

где

,

п олучим

b1 = const. П ринимая во внимание, что

µ ( x ) ≤ A , будем иметь 2π d1

cosψ − cos ϕ 2 Ab ds ≤ ∫ 2−α1 d ξ dη = 2 Ab1 ∫ 2 ∫σ µ ( x ) r ρ0 ≤d1 ρ 0 0 0

∫ 0

d ρ0 dϕ = b2 d1α , 1−α ρ0

где b2 - п остоянная. Э та оценк а имеет место п ри лю бом п оложении точк и x0 на нормали n* к п оверх ности S в точк е x* . О тсю да следует, что если ε > 0 задано, то, ф ик сируя d1 так им, чтобы b2 d1α <

∫ µ ( x)

σ1

ε , будем иметь 4

cosψ − cos ϕ ε ds ≤ . r2 4

(22.4)

Разбивая теп ерь S надве части σ 1 и S \ σ 1 , можем зап исать F ( x0 ) = F (1) ( x0 ) + F (2) ( x0 ) , где

F (1) ( x0 ) = ∫ µ ( x) σ1

cosψ − cos ϕ cosψ − cos ϕ (2) ds ; F x = µ ( x ) ds. ( ) 0 2 ∫S \σ r2 r 1

И меем F ( x0 ) − F ( x* ) =  F (1) ( x0 ) − F (1) ( x* )  +  F (2) ( x0 ) − F (2) ( x* )  , отк уда F ( x0 ) − F ( x* ) ≤ F (1) ( x0 ) + F (1) ( x* ) + F (2) ( x0 ) − F (2) ( x* ) оценк и (22.4):

F ( x0 ) − F ( x* ) ≤

или,

в силу

ε + F (2) ( x0 ) − F (2) ( x* ) , если считать, что 2

x0 ∈ n* . В интеграле F (2) ( x0 ) интегрирование соверш ается п о S \ σ 1 , а точк а x* лежитвнутри σ 1 , и п отомуф унк ция F (2) ( x0 ) вточк е x* и ее нек оторой ок рестности неп рерывна. Т ак им образом, для всех x0 достаточно близк их ε , и F ( x0 ) − F ( x* ) < ε , отк уда, в силу 2 ε → 0 следует, что lim F ( x0 ) = F ( x* ) , п ричем точк а

к x* , имеем F (2) ( x0 ) − F (2) ( x* ) < п роизвольности x0 → x*

x0 → x*

п о нормам к

п ок азано, что

S в точк е x* извне или изнутри. Ранее было

п отенциал двой ного слоя

стремлении x0 → x*

w ( x0 ) имеет п редел п ри

- 74 изнутри или извне п оверх ности S . О тсю да  ∂u ( x* )  cosψ *   − w i ( x* ) = ∫ µ ( x) 2 dS − w ( x* ); r* S  ∂n* i  ∂u ( x* )  cosψ *   − w e ( x* ) = ∫ µ ( x) 2 dS − w ( x* ) . r* S  ∂n* e П ринимая во внимание результаты теоремы 14 о п отенциале двой ного слоя, п олучаем утверждение теоремы. Замечание. И з (22.3) неп осредственно следует величина ск ачк а нормальной п роизводной п отенциалап ростого слоя  ∂u ( x* )   ∂u ( x* )    −  = 4πµ ( x* ) . ∂ ∂ n n * *  i  e

- 75 Рекомендуемая лит ература 1. В ладимиров В .С . У равнения математическ ой ф изик и : учебник для вузов/ В .С . В ладимиров, В .В . Ж аринов. – М . : Ф из.-мат. лит., 2000. – 400 с. 2. В ладимиров В .С . У равнения математическ ой ф изик и / В .С . В ладимиров. – М . : Н аук а, 1985. – 512 с. 3. С мирнов М .М . Д иф ф еренциальные уравнения в частных п роизводных второго п орядк а/ М .М . С мирнов. – М . : Н аук а, 1984. – 206 с. 4. Бицадзе А.В . К раевые задачи для эллип тическ их уравнений второго п орядк а/ А.В . Бицадзе. – М . : Н аук а, 1966. – 206 с. 5. К ош ляк ов Н .С . Д иф ф еренциальные уравнения математическ ой ф изик и / Н .С . К ош ляк ов, Э .Б. Г линер, М .М . С мирнов. – М . : Г И Ф М Л , 1961. – 768 с. 6. М их линС .Г . К урс математическ ой ф изик и / С .Г . М их лин. – С П б. : Л ань, 2002. – 576 с.

С оставители: Г луш к о Андрей В ладимирович, Г луш к о В ладимирП авлович Редак тор: Т их омироваО .А.

- 76 -