Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике

Министерство образования и науки Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

СОСТАВИТЕЛИ:

Ульяновск 2004

АНКИЛОВ А. В. ГОРЯЧЕВА Н. Я. РАСПУТЬКО Т. Б.

УДК 519.2 (076) ББК 22.161 я7 Д 50 Рецензент – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа УлГПУ М. С. Чунаева. Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: Д 50 типовой расчет по высшей математике / Сост.: А. В. Анкилов, Н. Я. Горячева, Т. Б. Распутько. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 32 с. Настоящий типовой расчет составлен в соответствии с программами математических дисциплин для инженерно-технических специальностей вузов, утвержденных Главным учебно-методическим управлением высшего образования 7 июля 2000 года. Изложена методика выполнения типового расчёта по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», приведены варианты типового расчета и даны образцы решения задач с предварительными пояснениями. Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ.

УДК 519.2 (076) ББК 22.161 я7

Учебное издание Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Типовой расчет по высшей математике Составители: АНКИЛОВ Андрей Владимирович ГОРЯЧЕВА Наталья Яковлевна РАСПУТЬКО Татьяна Борисовна Редактор Н.А. Евдокимова Подписано в печать 10.06.2004. Формат 60 × 84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,87. Тираж 450 экз. Заказ Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32. Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

© Оформление. УлГТУ, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение …………………………………………………………………….. 4 1. Теоретические вопросы ……………………………………………………. 4 2. Теоретические упражнения ………………………………………………... 5 3. Методические рекомендации к решению задач ………………………….. 6 4. Расчетные задания ………………………………………………………….. 20 Библиографический список .……………………………………………….. 32

-3-

ВВЕДЕНИЕ Настоящий типовой расчет (ТР) предлагается студентам 1-го курса для более глубокого самостоятельного изучения темы «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». Студент, выполняющий ТР, должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, решать теоретические упражнения, а также решить задачи одного из вариантов (номер варианта указывается преподавателем). В четвертой части ТР даны методические указания и приведены образцы решения задач типового расчета.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Определение функций двух переменных, ее области определения. Геометрическое истолкование этих понятий. Понятие функции трех переменных. 2. Понятие предела функции двух и трех переменных в точке. Понятие непрерывной функции нескольких переменных. 3. Частные производные функции двух и трех переменных. 4. Определение функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал первого порядка функции двух и трех переменных. 5. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. 6. Частные производные сложной функции нескольких независимых переменных. Полная производная. 7. Дифференцирование неявных функций одной и нескольких независимых переменных. 8. Определение частных производных высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных функции двух переменных. Дифференциал второго порядка функций двух и трех переменных. 9. Формула Тейлора и формула Маклорена для функции двух переменных. 10. Понятие точки экстремума функции двух и трех переменных. 11. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных. 12. Необходимые и достаточные условия экстремума функции трех переменных. 13. Понятие точки условного экстремума функции двух переменных. 14. Необходимые и достаточные условия условного экстремума функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа. 15. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области. Теорема Вейерштрасса.

-4-

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Доказать, что если функция f ( x, y ) непрерывна в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке и по каждой из переменных x и y в отдельности. 2. Доказать утверждение: если функция f ( x, y ) имеет частную производную f x′ ( x, y ) в некоторой окрестности точки M (a, b) , причем существует предел lim f x′ (a + h, b ) = c , то этот предел равен f x′ (a, b ) . h →0

3. Температура Т воздуха в некоторой точке земной поверхности является функцией трех переменных: долготы точки λ, ее широты θ и момента времени t. Указать физический смысл частных производных Tλ′ , Tθ′ , Tt′ . 4. Доказать утверждение: если функция f ( x, y ) удовлетворяет неравенству | f ( x, y ) |< x 2 + y 2 , то она дифференцируема в точке (0,0). 5. Доказать, что функция

f ( x, y ) =

(x

x3 y 6

2

)

, если

x6 + y 2 ≠ 0, и

+y f ( x, y ) = 0 , если x = y = 0 , – разрывна при x = y = 0 , но имеет частные производные в точке (0, 0). ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ что функция удовлетворяет 6. Доказать, z = x ⋅ g⎜ ⎟ + y ⋅ g⎜ ⎟ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ′ + 2 xyz ′xy ′ + y 2 z ′yy ′ = 0. соотношению x 2 z ′xx 7. Доказать, что U ′y = g ( z )U ′x , где U = f (z ) , а z – функция от x и y,

определяемая из уравнения z = x + y ⋅ g (z ) . 8. Доказать, что касательная плоскость к поверхности xyz = a 3 в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем. 9. Сумма нескольких положительных чисел, имеющих данное произведение, оказывается наименьшей тогда и только тогда, когда все эти числа равны между собой. Доказать. 10. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x 2 + y 4 имеет экстремум в точке (0,0). 11. Пользуясь определением, доказать, что функция U = sin 2 ( x + y + z ) имеет экстремум в точке (0,0). 12. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x 2 − y 2 в точке (0,0) экстремума не имеет (причем точка (0,0) является стационарной для функции z). 13. Пользуясь определением, доказать, что функция z = x 2 + y 2 в точке (0,0) имеет экстремум. Доказать, что в точке (0,0) частные производные ∂z ∂x и ∂z ∂y не существуют. -5-

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЗАДАЧА №1. Найти и изобразить на плоскости область определения

x2 + y2 y + arcsin 2 + x . 4 x Решение. Область определение функции z есть пересечение областей определения слагаемых функций. Первая функция: для того, чтобы квадратный корень имел вещественное значение, его подкоренное выражение должно быть ⎛ x2 + y2 ⎞ ⎟ ≥ 0 . Если значение логарифмической неотрицательным, т. е. ln⎜ ⎜ ⎟ 4 ⎝ ⎠ функции неотрицательно, то выражение, стоящее под знаком логарифма, x2 + y2 должно быть больше или равно единице, т. е. ≥ 1 , отсюда x 2 + y 2 ≥ 4 . 4 Это неравенство задает нам множество точек плоскости, лежащих вне окружности с центром в начале координат, радиуса 2, включая и точки данной y y окружности. Вторая функция arcsin 2 определена при − 1 ≤ 2 ≤ 1, x ≠ 0 . x x Следовательно, − x 2 ≤ y ≤ x 2 , x ≠ 0 . Имеем две параболы с вершиной в начале

функции z = ln

координат y = x 2 и y = − x 2 . Поэтому полученное неравенство задает нам часть плоскости, заключенную между этими параболами, включая границы без начала координат. Третья функция определена при x ≥ 0 . Областью определения данной функции является общая часть найденных областей определения слагаемых (рис. 1).

Рис. 1. Область определения функции z(x,y) ЗАДАЧА № 2.1. Найти производные сложной функции

z = ln( xy 2 − 2 x 2 y ) , где x =

u

, y = u ⋅ sin v . v2 Решение. Выполняя действия в соответствии с формулами: zu′ = z ′x xu′ + z ′y yu′ , z v′ = z ′x xv′ + z ′y yv′ ,

-6-

получим:

2 xy − 2 x 2 y 2 − 4 xy 1 zu′ = 2 ⋅ + ⋅ sin v, xy − 2 x 2 y v 2 xy 2 − 2 x 2 y

y 2 − 4 xy ⎛ 2u ⎞ 2 xy − 2 x 2 ⋅⎜− ⎟ + ⋅ u ⋅ cos v . xy 2 − 2 x 2 y ⎝ v 3 ⎠ xy 2 − 2 x 2 y Вместо x и y подставим их выражения через u и v. После несложных преобразований получим: 3 2v 2 sin v(v cos v − sin v ) + 8 sin v − 2v cos v . zu′ = , zv′ = u v sin v v 2 sin v − 2 z v′ =

(

)

ЗАДАЧА № 2.2. Продифференцировать сложную функцию

u = x 3 yz 2 , где x = sin t , y = t , z = t 2 . Решение. Так как u является функцией одной независимой переменной, то речь идет о вычислении обыкновенной производной ut′ . Выполняя действия в соответствии с формулой u ′t = u ′x xt′ + u ′y yt′ + u ′z zt′ , получим: x3 z 2 ut′ = 3 x yz cos t + + 2 x 3 yz 2t . 2 t Вместо x, y и z подставим их в выражения через t: t4 2 4 3 ut′ = 3 sin t cos t ⋅ t ⋅ t + sin t ⋅ + 4 sin 3 t ⋅ t 3 ⋅ t = 0.5t 3 ⋅ t ⋅ sin 2 t (6t cos t + 9 sin t ) . 2 t 2

2

ЗАДАЧА № 3. Найти все частные производные и полные дифференциалы

первого и второго порядка от функции z = (2 x 3 + y 2 ) 2 . Решение. Находим все частные производные 1-го и 2-го порядков: z ′x = 12 x 2 (2 x 3 + y 2 ), z ′y = 4 y (2 x 3 + y 2 ), ′ = 24 x(2 x 3 + y 2 ) + 12 x 2 ⋅ 6 x 2 = 120 x 4 + 24 xy 2 , z ′xx ′ = 24 x 2 y, ′ = 8 x 3 + 12 y 2 . z ′xy z ′yy Находим дифференциалы: dz = z ′x dx + z ′y dy = 12 x 2 (2 x 3 + y 2 )dx + 4 y (2 x 3 + y 2 )dy, ′ dx2 + 2z′xy ′ dxdy + z′yy ′ dy2 = (120x 4 + 24xy2 )dx2 + 48x 2 ydxdy + (8x3 + 12 y 2 )dy2 . d 2 z = z′xx ЗАДАЧА № 4. Доказать, что функция z

y x =e

удовлетворяет соотношению:

2

∂ ⎛ 2 ∂z ⎞ 2 ∂ z = 0. ⎟− y ⎜x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y 2 Решение. Находим производные: y

∂z ⎛ y ⎞ = e x ⎜ − 2 ⎟, ∂x ⎝ x ⎠

y

∂z 1 x = e , ∂y x

-7-

∂2z ∂y 2

=

1 x2

y x e ;

далее получаем y y⎞ y 2 ∂ ⎛ 2 ∂z ⎞ ∂ ⎛⎜ 2 x ⎛ y ⎞ ⎞⎟ ∂ ⎛⎜ ⎛ y⎞ ⎟ x x − ye = e ⎜ ⎟ . x e ⎜− 2 ⎟ = ⎜x ⎟= ⎟ ⎟ ∂x ⎜ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎜ x ⎝x⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Подставляя в левую часть соотношения, получаем: y

y

2

2 ∂ ⎛ 2 ∂z ⎞ 2 ∂ z x ⎛ y ⎞ − y2 1 e x = 0 , = e ⎜x ⎟− y ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y 2 x2 ⎝x⎠ что и требовалось доказать.

ЗАДАЧА № 5.1. Найти первую и вторую производные неявной функции,

заданной уравнением ln(2 x + 3 y ) − 2 x − y 3 = 0. Решение. Производная неявной функции y=y(x), заданной с помощью dy ∂F ∂F уравнения F(x,y)=0, может быть вычислена по формуле при =− dx ∂x ∂y ∂F условии, что ≠ 0 . В данном случае F ( x, y ) = ln(2 x + 3 y ) − 2 x − y 3 = 0. ∂y Находим ∂F ∂x u ∂F ∂y : ∂F ∂F 2 3 = − 2, = − 3y2 . ∂x 2 x + 3 y ∂y 2 x + 3 y Производная неявной функции равна: 2 ∂F −2 ∂y 2 − 4x − 6 y 2x + 3y ∂ x =− =− . (3.1) =− 2 3 ∂F 3 ∂x 2 − − xy y 3 6 9 − 3y ∂y 2x + 3y Производную второго порядка можно найти последовательным дифференцированием последнего соотношения, рассматривая при этом y как функцию от x. Получаем: 2 − 4x − 6 y ⎞ ∂2 y ∂ ⎛ ⎟= ⎜− = 2 2 3 ⎜ ∂x ⎝ 3 − 6 xy − 9 y ⎟⎠ ∂x =−

(−4 − 6 y ′)(3 − 6 xy 2 − 9 y 3 ) − (2 − 4 x − 6 y )(−6 y 2 − 12 xyy ′ − 27 y 2 y ′)

(3 − 6 xy

2

− 9y

)

3 2

.

dy = y ′ из формулы (3.1), dx получим производную второго порядка для функции y: Подставляя в это соотношение выражение для

′ = 12 y′xx

6x + 9 y + 72x 2 y 2 + 108xy3 + 54y 4 + 6 y 2 + 6xy4 + 9 y 5 + 12xy − 16x 2 y − 60xy − 54y 3 − 16x3 y

(3 − 6xy -8-

2

− 9y

)

3 3

.

ЗАДАЧА № 5.2. Найти первые и вторые частные производные неявной

функции, заданной уравнением (3.2) z 2 x − x 2 y + y 2 z + 2 x − y = 0. Решение. Будем дифференцировать по x и по y равенство (3.2), понимая под z неявную функцию двух переменных. Дифференцируем равенство (3.2) по x: (3.3) 2 zz ′x x + z 2 − 2 xy + y 2 z ′x + 2 = 0. 2 xy − z 2 − 2 . Найдем z ′x = 2 xz + y 2 Дифференцируем равенство (3.2) по y: 2 zz ′y x − x 2 + 2 yz + y 2 z ′y − 1 = 0.

(3.4)

x 2 − 2 yz + 1 Найдем z ′y = . 2 xz + y 2 Чтобы найти производные второго порядка, продифференцируем равенство (3.3) сначала по x, потом по y, а равенство (3.4) по y: ′ + 4 zz ′x − 2 y + y 2 z ′xx ′ = 0, (3.5) 2 x( z ′x ) 2 + 2 xz z ′xx

′ + 2 zz ′y − 2 x + 2 yz ′x + y 2 z ′xy ′ = 0, 2 xz ′x z ′y + 2 xz z ′xy

(3.6)

′ + 2 z + 2 yz ′y + y 2 z ′yy ′ + 2 yz ′y = 0. 2 x( z ′y ) 2 + 2 xz z ′yy

(3.7)

Из (3.5), (3.6), (3.7) соответственно найдем: 2 x − 2 yz ′x − 2 zz ′y − 2 xz ′x z ′y 2 y − 4 zz ′x − 2( z ′x )2 x ′ ′ ′ ′ , z xx = z = , xy 2 zx + y 2 2 xz + y 2 ′ = z ′yy

( )2 x − 2 z − 4 yz ′y .

− 2 z ′y

(3.8) (3.9)

2

2 xz + y ′ , z ′yy ′ , z ′xy ′ , Подставляя в (3.8), (3.9) выражения для z ′x и z ′y , получим z ′xx

зависящие от x, y, z: ′ = z ′xx

′ = z′xy

2 y 5 + 6 xz 4 + 12 xz 2 + 4 y 2 z 3 + 8 y 2 z − 8 x 3 y 2 + 16 x 2 y − 8 x

(2 xz + y )

2 3

,

6x3 z 2 + 6x2 y2 z − 2xy4 + 4xyz3 + 6y3z 2 + 4y3 − 2xz2 − 2y2 z − 4x4 y + 4y3 − 4x2 y + 4x

(2xz + y )

2 3

′ = −2 z ′yy

x 5 + 2 x 3 yz + 2 x 3 + x + 4 x 2 z 3 − 3 y 4 z + 2 x 2 y 3 + 2 y 3

(2 xz + y )

2 3

,

.

в окрестности точки M (1, 1) по формуле Тейлора, ограничиваясь членами третьего порядка включительно. Решение. В данном случае формула Тейлора принимает вид df (1, 1) d 2 f (1, 1) d 3 f (1, 1) (3.10) f ( x, y ) = f (1, 1) + + + + R3 , 1! 2! 3! ЗАДАЧА № 6. Разложить функцию z = x

-9-

y

где R3 – дополнительный член формулы Тейлора. 1) Найдем все частные производные функции до 3-го порядка включительно: ′′ = y ( y − 1)x y − 2 , f yy ′′ = x y (ln x )2 , f x′ = yx y −1 , f y′ = x y ln x , f xx ′′ = x y −1 + yx y −1 ln x , f xy

′′′ = y ( y − 1)( y − 2 )x y − 3 , f xxx

′′′ = x y (ln x )3 , f yyy

′′′ = (2 y − 1)x y − 2 + y ( y − 1)x y − 2 ln x , f xyy ′′′ = 2 x y −1 ln x + yx y −1 (ln x )2 . f xxy 2) Вычислим значения функции и ее частных производных в точке М(1, 1): ′′ (1, 1) = 0 , f xy ′′ (1, 1) = 1 , f yy ′′ (1, 1) = 0 , f (1,1) = 1, f x′ (1, 1) = 1, f y′ (1, 1) = 0 , f xx ′′′ (1, 1) = 0 , f xxy ′′′ (1, 1) = 1 , f xyy ′′′ (1, 1) = 0 , f yyy ′′′ (1, 1) = 0 . f xxx 3) Составим дифференциалы функций, участвующие в формуле (3.10) df (1, 1) = f x′ (1, 1)dx + f y′ (1, 1)dy = dx , ′′ (1, 1)dx 2 + 2 f xy ′′ (1, 1)dxdy + f yy ′′ (1, 1)dy 2 = 2dxdy , d 2 f (1, 1) = f xx ′′′ (1, 1)dx 3 + 3 f xxy ′′′ (1, 1)dx 2 dy + 3 f xyy ′′′ (1, 1)dxdy 2 + f yyy ′′′ (1, 1)dy 3 = 3dx 2 dy . d 3 f (1, 1) = f xxx Учитывая, что x0 = y0 = 1, dx = x − x0 = x − 1 , dy = y − y0 = y − 1 , подставим найденные значения в (3.10). Получим: 1 x y = 1 + ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + ( x − 1)2 ( y − 1) + R3 . 2 ЗАДАЧА № 7.1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к

1⎞ ⎛ поверхности z = e xcos y в точке M ⎜1,π , ⎟ . e⎠ ⎝ Решение. Если уравнение поверхности задано в явной форме z = f ( x, y ) , то уравнение касательной плоскости в точке M ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид z − z0 = f x′ ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y′ ( x0 , y0 )( y − y0 ) , а уравнение нормали x − x0 y − y0 z − z0 . = = −1 f x′ ( x0 , y0 ) f y′ ( x0 , y0 ) Найдем частные производные f x′ , f y′ : f x′ = e x cos y cos y ,

f y′ = e x cos y (− x sin y ) .

1 f x′ (1,π ) = − , e f y′ (1,π ) = 0 . Подставляя найденные значения и координаты точки М в уравнения касательной плоскости и нормали, соответственно получим: 1 x −1 z− =− или x + ez − 2 = 0 – уравнение касательной плоскости, e e x −1 y −π z −1 e x −1 y −π z −1 e или = = – уравнение нормали. = = 0 −1 1 0 e −1 e Найдем значения частных производных в точке N (1,π ) :

-10-

ЗАДАЧА № 7.2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к

поверхности x 2 + 2 y 2 − 3 z 2 + xy + yz − 2 xz + 16 = 0 в точке M (1; 2; 3). Решение. Если уравнение поверхности имеет вид F ( x, y, z ) = 0 (т. е. поверхность задана неявно), то уравнение касательной плоскости в точке M ( x0 , y0 , z0 ) есть:

Fx′ ( x0 , y0 , z 0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z 0 )( y − y0 ) + Fz′ ( x0 , y0 , z 0 )( z − z 0 ) = 0 . Уравнение нормали: x − x0 y − y0 z − z0 = . = Fx′ ( x0 , y0 , z0 ) Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) Fz′ ( x0 , y0 , z0 )

Обозначив через F ( x, y, z ) левую часть уравнения поверхности, найдем частные производные и их значения в точке М: Fy′ = 4 y + x + z , Fz′ = −6 z + y − 2 x , Fx′ = 2 x + y − 2 z , Fx′ (1; 2; 3) = −2 , Fy′ (1; 2; 3) = 12 , Fz′ (1; 2; 3) = −18 .

Окончательно получаем уравнение касательной плоскости: − 2( x − 1) + 12( y − 2) − 18( z − 3) = 0 или x − 6 y + 9 z = 0 , а уравнение нормали: x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 . = = или = = 12 − 18 1 9 −2 −6 ЗАДАЧА № 8. Найти точки экстремума функции двух переменных

z = x 2 + xy + y 2 − 2 x − y. Решение. Необходимое условие экстремума функции двух переменных состоит в следующем: если дифференцируемая функция z = f ( x, y ) достигает экстремума в точке M ( x0 , y0 ) , то в этой точке частные производные первого порядка обращаются в ноль: z ′x ( x0 , y0 ) = 0 , z ′y ( x0 , y0 ) = 0 . Точки, в которых выполняются эти условия, называются стационарными. Найдем стационарные точки функции z. Для этого решим систему: ⎧ z ′x = 2 x + y − 2 = 0, ⎨ ′ ⎩ z y = x + 2 y − 1 = 0. Получим стационарную точку М(1; 0). Применим достаточное условие экстремума функции двух переменных. Пусть M ( x0 , y0 ) – стационарная точка функции z = f ( x, y ) , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки М, тогда все ее вторые частные производные непрерывны в точке М. Введем обозначения: ′ ( x0 , y0 ) , B = z ′yy ′ ( x0 , y0 ), C = z ′xy ′ ( x0 , y0 ), D = AB − C 2 . A = z ′xx Тогда: 1) если D > 0 , то функция z = f ( x, y ) имеет в точке M ( x0 , y0 ) экстремум, а именно – максимум, если A < 0 ( C < 0 ), и минимум, если A > 0 ( C > 0 ); -11-

2) если D < 0 , то экстремума в точке M ( x0 , y0 ) нет; 3) если D = 0 , то требуется дополнительное исследование. ′ (1; 0 ) = 2 , Вычислим вторые производные данной функции: A = z ′xx

′ (1; 0 ) = 2 , C = z ′xy ′ (1; 0 ) = 1 . Найдем D = AB − C 2 = 3 > 0 , и так как A > 0 , B = z ′yy то можно сделать вывод, что в точке М(1; 0) функция z = x 2 + xy + y 2 − 2 x − y имеет минимум. Значение функции в точке минимума равно: z min = −1. ЗАДАЧА №9. Найти точки экстремума функции трех переменных:

y2 z2 2 U =x+ + + ( x > 0, y > 0, z > 0 ). 4x y z Решение. Найдем стационарные точки заданной функции U. Для этого составим систему уравнений: ⎧ y2 ⎪U x′ = 1 − 2 = 0, 4x ⎪ ⎪⎪ 2y z2 ′ − 2 = 0, ⎨U y = 4 x y ⎪ ⎪ 2z 2 − = 0, ⎪U ′z = y z2 ⎪⎩ решая которую получим x0 = 0,5; y0 = 1; z0 = 1 . Находим частные производные

y2 y 2 4 1 2z 2 ′′ = 3 , U ′yy ′′ = − 2 , ′′ = + 3 , U xy ′ = второго порядка: U xx + 3 , U zz 2x y y z 2x 2x 2z ′ = − 2 и вычисляем их значения в стационарной точке M (0,5; 1; 1) : U ′xz′ = 0, U ′yz y ′ = −2. Находим дифференциал ′ = 3 , U ′zz′ = 6 , U xy ′′ = −2, U ′xz′ = 0, U ′yz ′′ = 4 , U ′yy U xx

второго порядка функции U в стационарной точке M (0,5; 1; 1) :

′ dx 2 + U ′yy ′ dy 2 + U ′zz′ dz 2 + 2U ′xy ′ dxdy + 2U ′xz′ dxdz + 2U ′yz ′ dydz = d 2U = U ′xx = 4dx 2 + 3dy 2 + 6dz 2 − 4dxdy − 4dydz. Используем достаточное условие экстремума, состоящее в следующем: Пусть функция U = f ( x, y, z ) определена и имеет непрерывные частные производные 2-го порядка в окрестности точки M ( x0 , y0 , z0 ) , и пусть точка М является

стационарной

точкой

функции

U.

Если

d 2U ( x0 , y0 , z 0 ) > 0

( d 2U ( x0 , y0 , z0 ) < 0 ) при любых значениях dx, dy, dz , не равных нулю одновременно, то точка М является точкой минимума (максимума) функции U; если выражение d 2U ( x0 , y0 , z0 , ) принимает значения разных знаков в зависимости от значений dx, dy, dz , то экстремума в точке М нет. -12-

Критерий Сильвестра: 1) для того чтобы выполнялось неравенство d 2U ( x0 , y0 , z 0 ) > 0 при любых значениях dx, dy, dz , не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно, чтобы: ′′ U xy ′′ U ′′ xz U xx ′′ U xy ′′ U xx ′′ > 0 , ∆ 2 = ′′ U ′yy ′ U ′yz ′ > 0; > 0 , ∆ 3 = U xy Д1 = U xx ′ U ′yy ′ U ′xy ′′ U ′yz ′ U zz ′′ U xz

2) для того чтобы выполнялось неравенство d 2U ( x0 , y0 , z0 ,) < 0 при любых значениях dx, dy, dz , не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно, чтобы: ′′ U xy ′′ U ′′ xz U xx ′′ U xy ′′ U xx ′′ U ′yy ′ U ′yz ′ <0 ′′ < 0 , ∆ 2 = ∆1 = U xx > 0 , ∆ 3 = U xy ′′ U ′yy ′ U xy ′′ U ′yz ′ U ′zz′ U xz (следует помнить, что все производные здесь вычислены в точке M ( x0 , y0 , z0 ) ). В данной задаче 4 −2 0 4 −2 ∆1 = 4 > 0, ∆ 2 = = 8 > 0 , ∆ 3 = − 2 3 − 2 = 32 > 0 . −2 3 0 −2 6

Согласно критерию Сильвестра, d 2U > 0. Значит, точка M (0,5; 1; 1) является точкой минимума функции U. Значение функции в точке минимума равно: U min = 4. ЗАДАЧА № 10.1. Найти точки условного экстремума функции z = x + y − 1 ,

если уравнение связи есть: y 3 − 6 xy + x 3 = 0 . Решение. Согласно методу множителей Лагранжа составляем функцию Лагранжа: L = L( x, y ) = f ( x, y ) + λF ( x, y ) , где z = f ( x, y ) – уравнения функции, F ( x, y ) = 0 – уравнение связи, λ – некоторый параметр, который называется множителем Лагранжа. В данном случае f ( x, y ) = x + y − 1, F ( x, y ) = y 3 − 6 xy + x 3 , поэтому функция Лагранжа имеет вид L = x + y − 1 + λ y 3 − 6 xy + x 3 (λ = const ) . Необходимое условие экстремума состоит в следующем: если дифференцируемая функция z имеет в точке M ( x0 , y0 ) условный экстремум, то

(

)

-13-

L′x ( x0 , y0 ) = 0 , L′y ( x0 , y0 ) = 0 . Составляем систему из уравнений L′x ( x0 , y0 ) = 0 , L′y ( x0 , y0 ) = 0 , F ( x, y ) = 0 :

( (

)

⎧ L′x = 1 + λ − 6 y + 3 x 2 = 0, ⎪⎪ 2 (3.11) ⎨ L′y = 1 + λ 3 y − 6 x = 0, ⎪ 3 3 ⎪⎩ y − 6 xy + x = 0. Из первого уравнения системы выражаем λ , затем из второго уравнения системы выражаем λ и приравниваем полученные значения друг к другу. В 1 1 2 2 = − 6 y + 3 x = 3 y − 6 x или результате получаем: , отсюда − 6 y + 3x 2 3 y 2 − 6 x

(

)

)

6 x − 6 y = 3 y 2 − x 2 или 2( x − y ) = ( y − x )( y + x ) . Рассмотрим два случая: 1) x − y = 0 , тогда x = y подставляем в уравнение связи и получаем:

2 x 3 − 6 x 2 = 0 или 2 x 2 ( x − 3) = 0 и получаем два корня: x1 = 0 , x2 = 3 , тогда y1 = 0 , y 2 = 3 . Значения x1 = y1 = 0 не являются решениями системы (3.11). 1 Значения x2 = y 2 = 3 являются решениями системы (3.11) при λ = − . 9 2) − 2 = y + x, выражаем y через x: y = −2 − x и подставляем в уравнение − (2 + x )3 + 6 x(2 + x ) + x 3 = 0 или связи. Получаем − 8 + 12 x + 6 x 2 + x 3 + 12 x + 6 x 2 + x 3 = 0 , или − 8 = 0 , что неверно. Решений нет. 1 Вывод: система (3.11) имеет единственное решение x = y = 3 , λ = − . 9 Достаточное условие условного экстремума состоит в следующем: пусть функции f ( x, y ) и F ( x, y ) имеют непрерывные частные производные 2-го порядка в окрестности точки M ( x0 , y0 ) , и точка M ( x0 , y0 ) удовлетворяет

(

)

условиям: L′x ( x0 , y0 ) = 0 , L′y ( x0 , y0 ) = 0 , F ( x0 , y0 ) = 0 . Если d 2 L( x0 , y0 ) > 0

( d 2 L( x0 , y0 ) < 0 ) при любых значениях dx, dy , не равных нулю одновременно, и таких, что Fx′ ( x0 , y0 )dx + Fy′ ( x0 , y0 )dy = 0 , то функция z = f ( x, y ) имеет в точке M ( x0 , y0 ) условный минимум (условный максимум); если же d 2 L( x0 , y0 ) принимает значения разных знаков в зависимости от значений dx, dy , то условного экстремума в точке М нет. Критерий Сильвестра: 1) d 2 L > 0 для любых значений dx, dy , не равных нулю одновременно, тогда и только тогда, когда выполняются неравенства: ′′ L′xy ′ Lxx ′ > 0 , ∆2 = > 0. ∆1 = L′xx ′′ L′yy ′ Lxy -14-

2) d 2 L < 0 для любых значений dx, dy , не равных нулю одновременно, тогда и только тогда, когда выполняются неравенства: ′′ L′xy ′ Lxx ′′ < 0 , ∆2 = > 0. ∆1 = Lxx ′′ L′yy ′ Lxy ′ = −6λ , L′yy ′ = 6 yλ . ′ = 6 xλ , L′xy Продолжаем решение задачи. Находим: L′xx 1 Находим дифференциал 2-го порядка функции L в точке М(3; 3) при λ = − : 9 4 ′′ (3, 3)dx 2 + 2 Lxy ′′ (3, 3)dxdy + L′yy ′ (3, 3)dy 2 = −2dx 2 + dxdy − 2dy 2 . d 2 L(3, 3) = Lxx 3 Используем критерий Сильвестра: − 2 2 3 32 = > 0. ∆1 = −2 < 0 , ∆ 2 = 2 3 −2 9 Значит, d 2 L < 0 для любых значений dx, dy, не равных нулю одновременно. Вывод: функция z = x + y − 1 имеет в точке М(3; 3) условный минимум. Значение функции в точке условного минимума есть z min = 5 . 2

2

ЗАДАЧА № 10.2. Найти точки условного экстремума функции z = x − y ,

если уравнение связи есть 2 x + 3 y = 1. Решение. Функция Лагранжа имеет вид L = x 2 − y 2 + λ (2 x + 3 y − 1) . Составляем систему: ⎧ L′x = 2 x + 2λ = 0, ⎪ ⎨ L′y = −2 y + 3λ = 0, ⎪ ⎩2 x + 3 y = 1 и решаем ее. Из первого уравнения системы находим x = −λ , из второго 3λ , подставляем x и y в третье уравнение системы: уравнения находим y = 2 2 2 3 9λ − 2λ + = 1 , откуда λ = , x = − , y = . Находим 5 5 5 2 2 2 ′′ dx + 2 Lxy ′′ dxdy + L′yy ′ dy 2 = 2dx 2 − 2dy 2 . d L = Lxx 2 Дифференцируя уравнение связи, получаем 2dx + 3dy = 0 , откуда dy = − dx . 3 10 Подставляем dy в выражение для d 2 L , получаем: d 2 L = dx 2 > 0 . Значит, 9 2 3 функция z имеет условный минимум при x = − , y = . 5 5

-15-

Замечание. В данном случае переменная y легко выражается через x из 1 − 2x 1 − 2x уравнения связи: y = в уравнение функции ; подставив y = 3 3 z = x 2 − y 2 , мы получаем функцию одной переменной x. Данный простой пример приведен только для иллюстрации метода множителей Лагранжа. На практике уравнение связи F ( x, y ) = 0 задает неявную функцию y переменной x (т. е. обычно из уравнения связи переменную нельзя выразить явно через x – смотри, например, задачу № 10.1). ЗАДАЧА № 11. Найти точки условного экстремума функции U = xyz при

условиях: 2 x + y − z = 4 , x − 3 y + 2 z = 8 . Решение. Имеем функцию трех переменных U = f ( x, y, z ) и два уравнения F1 ( x, y, z ) = 0 , F2 ( x, y, z ) = 0 , где f = xyz , F1 = 2 x + y − z − 4 , связи F2 = x − 3 y + 2 z − 8 . Составляем функцию Лагранжа: L = L( x, y, z ) = f ( x, y, z ) + λ1 F1 ( x, y, z ) + λ2 F2 ( x, y, z ) =

= xyz + λ1 (2 x + y − z − 4 ) + λ2 ( x − 3 y + 2 z − 8) ( λ 1 , λ 2 – множители Лагранжа) и выпишем систему уравнений для определения параметров λ 1 , λ 2 и координат возможных точек экстремума: ⎧ Lx′ = yz + 2λ1 + λ2 = 0, ⎪ L′ = xz + λ − 3λ = 0, 1 2 ⎪ y ⎪ (3.12) ⎨ Lz′ = xy − λ1 + 2λ2 = 0, ⎪2 x + y − z − 4 = 0, ⎪ ⎪⎩ x − 3 y + 2 z − 8 = 0.

Решим систему (3.12). Из 4 и 5 уравнений системы находим: y = 5 x − 16 , тогда z = 7 x − 20 . Из 1 уравнения системы (3.12) выразим λ 2 и подставим во 2 и 3 уравнения системы: xy + 3 yz + 7λ1 = 0 , yx − 2 yz − 5λ1 = 0 . Исключив отсюда λ 1 , получаем 5 xz + 7 xy + yz = 0 . Подставляя в это уравнение y = 5 x − 16 , z = 7 x − 20 , после преобразований будем иметь уравнение: 105 x 2 − 424 x + 320 = 0 , его корни приблизительно равны x1 = 3,033 , x2 = 1,005 . Тогда y1 = −0,835 , y 2 = −10,975 , z1 = 1,231 , z 2 = −12,965 . В результате получили две стационарные M 1 (3,033; − 0,835; 1,231) при λ1 = −0,095, λ2 = 1,219 и точки: M 2 (1,005; − 10,975; − 12,965) при λ1 = −59,122, λ2 = −24,046 . Второй дифференциал функции L = L( x, y, z ) равен: ′′ dx 2 + L′yy ′ dy 2 + Lzz ′′ dz 2 + 2 Lxy ′′ dxdy + 2 Lxz ′′ dxdz + 2 L′yz ′ dydz = d 2 L = Lxx = 2 zdxdy + 2 ydxdz + 2 xdydz. -16-

Дифференциалы dx и dy связаны равенствами: (F1 )′ x dx + (F1 )′ y dy + (F1 )′ z dz = 0 , (F2 )′ x dx + (F2 )′ y dy + (F2 )′ z dz = 0 (здесь все частные производные функций F1 и F2 вычислены в стационарной ⎧2dx + dy − dz = 0, точке). В данном случае: ⎨ ⎩dx − 3dy + 2dz = 0. Отсюда dy = 5dx , dz = 7 dx . Второй дифференциал функции L равен: d 2 L = (10 z + 14 y + 70 x )dx 2 .

1) В точке M 1 (3,033; − 0,835; 1,231) : d 2 L = 212,944dx 2 > 0 . Значит, функция U имеет условный минимум в точке M 1 . 2) В точке M 2 (1,005; − 10,975; − 12,965) : d 2 L = −212,95dx 2 < 0 . Значит, функция U имеет условный максимум в точке M 2 .

ЗАДАЧА № 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 в замкнутой области, ограниченной осью Oy, прямой y=2 и x2 параболой y = (рис. 2). 2 Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные z ′x = 6 x 2 − 6 y и z ′y = −6 x + 6 y равны нулю или не существуют. ⎧6 x 2 − 6 y = 0, Решив систему уравнений ⎨ ⎩− 6 x + 6 y = 0, найдем две точки О(0; 0) и М(1; 1), в которых обе частные производные равны нулю (стационарные точки). Первая из них принадлежит границе области, а вторая лежит внутри области.

Рис. 2. Критические и угловые точки области

На отрезке ОА имеем x=0, поэтому на этом отрезке z = 3y 2 (0 ≤ y ≤ 2 ) есть возрастающая функция одной переменной y: наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка ОА. -17-

На отрезке АВ имеем y=2, поэтому на отрезке АВ функция z = 2 x 3 − 6 x ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 2 = 2 x 3 − 12 x + 12 (0 ≤ x ≤ 2 ) представляет собой функцию одной переменной x: ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на концах отрезка. Находим производную: z ′ = 6 x 2 − 12 . Решаем уравнение z ′ = 0 или 6 x 2 − 12 = 0 и находим x = ± 2 . Внутри отрезка (0 ≤ x ≤ 2 ) имеется лишь одна критическая точка x = 2 ; соответствующей точкой отрезка АВ является точка Q 2 ;2 . Итак, из всех значений функции z на отрезке АВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках A,Q,B.

(

)

2

⎛ x2 ⎞ x2 x2 3 3 + 3⎜⎜ ⎟⎟ , т. е. z = x 4 − x 3 На дуге ОВ параболы y = имеем: z = 2 x − 6 x 2 2 4 ⎝ 2 ⎠ (0 ≤ x ≤ 2 ) . Решаем уравнение z ′ = 3x 3 − 3x 2 = 0 или x 2 (x − 1) = 0 , и находим его корни x=0, x=1. Таким образом, из всех значений функции z на дуге ОВ наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках O(0; 0 ), B(2; 2 ), P(1; 1 / 2 ) . Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 в данной замкнутой области находятся среди ее значений в точках O, A, Q, B, P, M, т. е. среди значений z (0; 0 ) = 0 , z (0; 2 ) = 12 ,

(

)

z 2 ;2 = 12 − 8 2 , z (2; 2 ) = 4 , z (1; 1 / 2 ) = −1 / 4 , z (1; 1) = −1 . Наибольшее значение из них равно 12, а наименьшее значение из них равно –1. Они являются наибольшим и соответственно наименьшим значениями данной функции в данной замкнутой области. ЗАДАЧА № 13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x 2 + 3 y 2 − x в области, ограниченной кривой x 2 + y 2 = 1 ( x 2 + y 2 ≤ 1 ). Решение. Составляем систему уравнений: ⎧ z ′x = 2 x − 1 = 0, ⎨ ′ ⎩ z y = 6 y = 0,

и решаем ее, находим стационарную точку M (0,5; 0) . Убеждаемся в том, что эта точка принадлежит заданной области (стационарные точки, не лежащие в заданной области, следует отбрасывать). Находим стационарные точки функции на границе области. Составляем функцию Лагранжа: L = x 2 + 3 y 2 − x + λ x 2 + y 2 . Используя необходимые условия существования экстремума, получим систему уравнений: ⎧L′ = 2x − 1 + 2λx = 0, ⎪⎪ x ⎨L′y = 6 y + 2λy = 0, ⎪ 2 ⎪⎩x + y 2 = 1.

(

-18-

)

Решим полученную систему. Из 2-го уравнения следует, что либо y = 0 , либо λ = −3 . Если y = 0 , то, подставляя это значение в третье уравнение системы, получим x = 1 или x = −1 , то есть будем иметь две точки M 1 (1; 0 ) и M 2 (− 1; 0 ) . Если λ = −3 то x = −0,25 (из 1-го уравнения). Тогда из 3-го ⎛ 1 15 ⎞ 15 ⎟ и уравнения y = ± , то есть получим еще две точки M 3 ⎜⎜ − ; ⎟ 4 4 4 ⎝ ⎠

⎛ 1 15 ⎞ ⎟⎟ . Найдем значения функции во всех полученных точках: M 4 ⎜⎜ − ; − 4 4 ⎠ ⎝ z 0 = f (0,5; 0 ) = −0,25 , z1 = f (1; 0 ) = 0 , z 2 = f (− 1; 0 ) = 2 , ⎛ 1 15 ⎞ ⎛ 1 15 ⎞ ⎟ = 3,125 , z 4 = f ⎜ − ; − ⎟ = 3,125 . z3 = f ⎜⎜ − ; ⎟ ⎜ 4 ⎟ 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Наибольшее значение функции равно: zнаиб. = 3,125 , наименьшее значение функции равно: z наим = −0,25 . ЗАДАЧА № 14. Из прямоугольного листа жести шириной а изготовить желоб

призматической формы, чтобы его поперечное сечение имело наибольшую площадь. Решение. Пусть АВСD – лист жести, а = AD. Обозначим через x = AЕ , тогда FD = x , EF = a − 2 x (рис. 3). Из листа жести изготовили желоб с поперечным сечением ADFE (рис. 4), тогда нижнее основание желоба равно EF = a − 2 x , боковая сторона равна FD = x . Сечение желоба представляет собой равнобокую трапецию, следует найти ее верхнее основание и высоту. Обозначим через α величину угла: α = ∠ADF . Из точки F опускаем перпендикуляр FG на сторону AD, из треугольника GDF находим GD = xcosα , GF = x sin α – высота трапеции, отсюда AD = EF + 2GD = a − 2 x + 2 x cosα − верхнее основание трапеции. Обозначим через z площадь трапеции ADFE.

A E

B

x

A

a − 2x

F D

α

G

α

D x

x

C Рис. 3. Лист жести 2

E

F

Рис. 4. Поперечное сечение желоба 2

Тогда z = axsinα − 2 x sin α + x sin α cosα . Имеем функцию двух переменных, требуется найти наибольшее значение функции z в области 0 < α < π / 2 , 0 < x < a / 2 , имеем систему для нахождения стационарных точек функции: ⎧⎪ z ′x = a sin α − 4 x sin α + 2 x sin α cos α = 0, ⎨ ⎪⎩ zα′ = ax cos α − 2 x 2 cos α + x 2 cos 2α = 0. -19-

По условию задачи x ≠ 0, sin α ≠ 0 , поэтому система уравнений принимает вид

⎧a − 4 x + 2 x cosα = 0, ⎨ ⎩a cosα − 2 x cosα + x cos 2α = 0. 1 a Решая систему, находим: cosα = , x = . По условию данной задачи 2 3 максимум функции z существует, следовательно, максимальное значение a функции будет при α = 60o , x = . 3

4. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ЗАДАЧА № 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции x 1 z = ln + 1.2 1.1 z = y − x 2 + x − y 2 y x− y x y + z= 1.3 z = x + y + 3 − x 2 − y 2 1.4 x− y x+ y 1 x2 + y 2 z = x2 + y2 − 4 + 1.6 1.5 z = arccos x+ y 9 1 2 2 9 = − − + z x y z = y sin x 1.7 1.8 x2 + y2 − 1 1.9

z= x− y

1.10

1.11 z = − x + − y + x 2 + y 2 − 1 1.13 z = x + 1.15 z = 1.17 z =

2

2

x + y − 25

(x − 1)sin y

(

4x − y

ln 1 − x 2 − y 2

1.19 z = arcsin 1.21 z =

1

1.12 1.14 1.16

)

x y + arcsin 2 3

x2 + y 2 + 2x x2 + y 2 − 2x

1.18 1.20 1.22

-20-

x2 y2 z = 1− − + −x 9 4 y z = arcsin x z=

(x − 1)( y + 2) +

16 − x 2 − y 2

x2 y2 z = 1− + + 16 − x 2 9 4 ⎞ ⎛ x2 y2 z = ln⎜⎜ − − 1⎟⎟ 4 ⎠ ⎝ 9 9 z = ln 2 + 1− x x + y2 z = arcsin

x y2

+ arcsin (1 − y )

(

1.23 z = y (2 − y ) + ln 4 − x 2

2

)

1.24

2

1.25 z = x − 10 x + y − 2 y + 10

1.26

(

)

z = ln x − y 2 + 1 − x 2 − y 2

z = y 2 − x + 4x − y 2 + + xy − 4 + 8 − xy

ЗАДАЧА № 2. Найти производные сложной функции 2.1 U = x 2 y 3 z , где x = t , y = t 2 , z = sin t , где x = u cos v, y = u sin v , 2.2 z = x 2 − y 2 , 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

z = x 2 + xy + y 2 ,

где x = cos t , y = sin t ,

1 t , z = cos(2t + 4 x 2 − y ) , где x = , y = t ln t где x = u cos v, y = u sin v , z = x 2 y − xy 2 , z = e xy ln( x + y ) , x +1 , z = arctg y xz + 1 U = y2 + , cos z z = x ⋅ y ⋅ arctg( xy ) ,

Окончание

U t′ = ? zu′ = ?, zv′ = ? zt′ = ?, dz = ? zt′ = ?, dz = ? zu′ = ?, z v′ = ?

где x = t 3 , y = 1 − t 2 ,

zt′ = ?, dz = ?

где x = t 5 − t , y = e1+ 2t ,

zt′ = ?, dz = ?

t где x = t + v, y = , z = tv , v где x = t 2 + 1, y = t 3 ,

U t′ = ?, U v′ = ? zt′ = ?, dz = ?

zu′ = ?, zv′ = ? где x = u 2 + v 3 , y = u 2 − v 2 , u z = x ⋅ sin y + y ⋅ cos x , где x = , y = uv , zu′ = ?, zv′ = ? v u где x = arcsin , y = v 2 − u 2 , z = ln v , U u′ = ?, U v′ = ? U = x2 y3z 4 , v 2 где u = x + y + z , v = x 2 − y 2 + 3z , U x′ = ?, U ′y = ?, U ′z = ? U =u v , zu′ = ?, zv′ = ? z = e xy 1 − y , где x = u ⋅ sin v, y = u 2 ,

2.10 z = x y + y x , 2.11 2.12 2.13 2.14

3

2.15 z = y x + x 2 ,

где x = 2t + 3, y = t cos 2t ,

zt′ = ?, dz = ?

2.16 U = xyz 2 ,

где x = 2t 2 + 4, y = ln 2 t , z = tgt ,

U t′ = ?, dU = ?

2.17 z = u − v ,

x где u = sin , v = y

z ′x = ?, z ′y = ?

2.18 z = e uv − u 3 , 2.19 z = v ⋅ arctgu , 2.20 z =

u , v2

x , y

где u = cos( xy ), v = x 5 − 7 y ,

z ′x = ?, z ′y = ?

где u = ln x 2 − y 3 , v = x y ,

z ′x = ?, z ′y = ?

(

где u =

)

2y , v = x2 − 3y , x+ y -21-

z′x = ?, z ′y = ?, dz = ?

Окончание

z ′x = ?, z ′y = ?

2.21 z = u v − uv ,

где u = y x , v = y ⋅ cos x ,

2.22 z = u 2 ln v ,

где u =

y 2.23 z = arctg , x yz 2.24 U = , x

где x = e 2t , y = ln(5t + 7 ) ,

zt′ = ?, dz = ?

где x = e 4t , y = ln t , z = cos 2 t ,

U t′ = ?, dU = ?

2

3

z ′x = ?, z ′y = ?,

y , v = x2 + y4 , x

dz = ?

1

2.25 U = sin 3 (4 x − 8 y + 9 z ) , где x = v 2 − u 3 , y = v ⋅ arctgu , z = e u , U u′ = ?, U v′ = ? 1

2.26 U = y 2 tg 2 x + x 2 tg 2 y + z 6 ,

где x = e , y = ln(2t + 1), z 3t

2 =t7 ,

U t′ = ?

ЗАДАЧА № 3. Найти все частные производные и дифференциалы первого и второго порядков от заданной функции x y y⎞ ⎛ 2 2 2 2 3.1 z = x y − xy + 3 , 3.2 z = ln x + y , 3.3 z = xy − , 3.4 z = ⎜ ⎟ , x ⎝5⎠

(

xe xy , 3.5 z = y

3.17 3.21

3.25

3.6 z = y ln sin ( x − y ) , 3.7 z = x , y

2x − 3y , 3.8 z = x 2 + y 3 4 , x− y

(

)

x

+ x sin 2 y , 3.11 z = ln tg y , 3.12 z = arctg xy , y x 1 arcsin y z= , 3.15 z = (sin y)cosx , 3.16 z = x 2 + 2y3 , 3.14 5 z = x cos(3 y − 5), x 2 3 3.19 z = y x + , 3.20 z = x 2 y +7 , z = x − 3 sin 2 y , 3.18 z = x y , y 2 x sin x x − , 3.24 z = , 3.22 z = cos 2 y + x 5 , 3.23 z = y z=e , x− y cos 3 y ⎛ x ⎞ −x 3.26 z = tg⎜⎜ ⎟⎟ + e . z = ln x 2 + y , ⎝ y⎠

3.9 z = y x + 3 3.13

)

(

3.10 z =

2

)

ЗАДАЧА №4. доказать, что функция z = f ( x, y ) удовлетворяет данному соотношению xy 2 − cos (2 x + y ) ′ − y 2 z ′yy ′ =0 ′ = z ′xx ′ , 4 z ′yy 4.1 z = e , x z ′xx 4.2 z = e y 2 2 ′ + z ′yy ′ = 0 4.4 z = , x 2 z ′xx ′ + 2 xyz ′xy ′ + y 2 z ′yy ′ =0 4.3 z = ln x + y + 2 y + 1 , z ′xx x 2⎞ 2 ⎛ x ∂ ⎛ 2 ∂z ⎞ 2∂ z ⎜ ′ = z ′y z ′xx ′ ⎟⎟ = 0 , x − ⎜⎜ y 4.5 z = 4.6 z = arctg x + y 3 ⎟, z ′x z ′xy 2 ⎜ ⎟ y ∂ y ∂ y ∂x ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

(

)

-22-

Окончание

y y ′ − y 2 z ′yy ′ =0 , x 2 z ′xx x 2 sin ( x − y ) ∂ ⎛ 2 ∂z ⎞ 2∂ z , ⎜x 4.10 z = ⎟=x x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y 2

2 ′ = z ′xx ′ 4.7 z = sin ( y − 3 x ), 9 z ′yy

4.8

x ′ + z ′yy ′ =0 4.9 z = arctg , z ′xx y

(

2 ′ = z ′y z ′xx ′ 4.11 z = ln ( x + sin y ), z ′x z ′xy

)

2 2 ′ + z ′yy ′ =0 4.12 z = ln x + y , z ′xx

′ 4.13 z = ln ( x − t ) + ( x + t ) , ztt′′ = z ′xx 3

2

z=

4.14 z

y

x+3y 2 =e 2 2

4.16 z = x y ,

4.15 z = xy + xye x , x 2 z ′′ = y 2 z ′′ xx yy

,

′ = z ′y z ′xx ′ z ′x z ′xy

′ = z ′yx ′ z ′xy

y y2 ′ ′ + 2xyz′xy ′ + y2 z′yy ′ = 0 4.18 z = arctg ( x − t ) + x + t , ztt′′ = z ′xx 4.17 z = x ln + , x2 z′xx x x 2 ⎞ x2 y2 2⎛ ⎜ ⎟ ′ ′ ′ ′ ′ ′ z = cos x + , z z = z z ′ + yz ′xy ′ = 2 z ′x , xz ′xx 4.20 z = 4.19 x xy y xx 3⎟ ⎜ x + y y ⎝ ⎠ x ′ = z ′yx ′ ′ , z ′xy 4.22 z = sin 2 x cos 4t , ztt′′ = 4 z ′xx 4.21 z = arccos y 1 ⎞2

⎛ 4.23 z = ln( xy ) + ⎜ y ⎟ , x 2 z ′′ = y 2 z ′′ xx yy ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ′ = z ′y z ′xx ′ 4.25 z = ln ( x + ln cos y ), z ′x z ′xy 3

4.24 z =

1 x + tg 2 y

′ = z ′y z ′xx ′ , z ′x z ′xy

(

)

2 4.26 z = ln ( x − 1) + y 2 ,

′ + z ′yy ′ =0 z ′xx

ЗАДАЧА № 5. Найти первые и вторые производные неявной функции 5.2 z 3 + 3x 2 z = 2 xy , 5.3 e xz + 2 yz = x 2 + y 2 , 5.1 xe y + ye x = 2 , 5.4 x2 − 2y2 + z2 − 4x + 2z = 5, 5.5 x 2 y − y 2 z + xe z = 0 ,

5.6 cos2 x + cos2 y + cos2 z = 1,

5.7 xe 2 y − y ln x − 8 = 0 , 5.8 x + y + z = e − x − y − z , 5.9 e y + x 2 e − y − 2 x = 0 , y xy = 0 , 5.11 ln x 2 + y 2 = arctg , 5.12 z = x + yarctgz , 5.10 z ln ( x + z ) − x 2 5.13 x 2 ln y − y 2 ln x = 0 , 5.14 x 2 + y 2 + z 2 = sin z , 5.15 1 + xy − ch ( x + 2 y ) = 0 ,

(

)

(

)

⎛z⎞ x = ln⎜⎜ ⎟⎟ , 5.17 sin x 2 y + y 2 + 3x = 1, 5.18 z ⎝ y⎠ 5.20 y + z + x y 2 5.19 x 2 y 4 − 3 y 3 + 6 x 5 y 2 − 3 y = 0 , 1 5.21 xz 5 + y 3 z − x 3 = 0 , 5.22 tg ( x + y ) = , 5.23 y ⎛ y⎞ 5.25 x3 y 2 − xy5 + 5x + y = 0 , 5.26 5.24 sin ⎜ ⎟ = xy , ⎝x⎠ 5.16

(

-23-

xy = yx ,

)

+ z 2 = 3x , x − yz + e z = 0 , xyz + z 3 = 12 .

ЗАДАЧА № 6. Разложить функцию по формуле Тейлора в точке М, ограничиваясь членами второго порядка включительно 1 , M (2; − 3) , 6.1 z = 6.2 z = x + y , M (5; − 1) , x− y 6.4 z = e x + y , M (2; − 1) , 6.3 z = ln ( x − 2 y ), M (3; 1) , x z = arccos , M (1; 2 ) , y cos y , M (0; 0 ) , 6.7 z = cos x sin x ⎛π π ⎞ , M⎜ ; ⎟, 6.9 z = sin y ⎝4 4⎠ 6.11 z = ln x 3 + y 2 , M (1; 0 ) ,

6.5

(

6.6

⎛π π ⎞ z = sin x sin y, M ⎜ ; ⎟ , ⎝4 4⎠

6.8

z = y x , M (1; 1) ,

6.10 z = e xy , M (1; 0 ) ,

)

6.12 z = x + 7 y , M (2; 1) .

Разложить по формуле Маклорена до членов третьего порядка включительно 6.15 z = e x shy , 6.14 z = e x cos y , 6.13 z = e y cos x , 6.17 z = e x sin y , 6.18 z = e y sin x , 6.16 z = e x ln(1 + y ) , 6.19 z = sin xshy ,

6.21 z = e y ln(1 + 2 y ) .

6.20 z = cos x cos y ,

Разложить по формуле Тейлора в точке М функцию z = f ( x, y ) 6.23 z = xy 2 , M (− 4; 2 ) , 6.22 z = x 3 + 2 y 3 − xy, M (3; − 1) , 6.24 z = 2 x 2 + 4 xy + 3 y 2 , M (1; − 5) , 6.25 z = x 3 − 2 y 3 + 3 xy, M (2; 1) , 6.26 z = − x 2 + 2 xy + 3 y 2 − 6 x − 2 y − 4, M (− 2; 1) . ЗАДАЧА № 7. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к заданной поверхности в указанной точке 7.2 z = xy + x − y, M (1; 2; 1) , 7.1 z = x 2 + 3xy + y 2 , M (1; 2; 11) , 7.3 7.5 7.7 7.9

z = xy + y 2 − 2 x, M (2; 1; − 1) ,

7.4

z = x 2 + y 2 − x + y, M (− 2; 2; 12 ) , 7.6 z = 2 x 2 + 2 xy − y 2 , M (1; 3; − 1) , z = xy, M (1; 1; 1),

7.8

z = y 2 − xy − x 2 , M (− 4; 5; 29 ) , z = x 2 + y 2 − x − y, M (1; − 3; 12 ) , z = x 2 − y 2 , M (2; 1; 3) ,

7.10 z = x 2 − 2 xy + y 2 − x + 2 y, M (1; 1; 1) ,

7.11 z = x 3 + y 3 + 3, M (1; 1; 5),

7.12 z = 1 + x 2 + y 2 , M (1; 1; 3) ,

7.13 z = x 2 + 3xy − y 2 , M (1; 3; 1) ,

7.14 x 2 + y 2 − z 2 = −1, M (2; 2; 3) ,

7.15 xy 2 + z 3 = 12, M (1; 2; 2 ) , ⎛π π 1 ⎞ 7.17 z = sin x cos y, M ⎜ ; ; ⎟ , ⎝ 4 4 2⎠

7.16 z = ln x 2 + y 2 , M (1; 0; 0 ),

(

)

7.18 x 2 y + 2 x + z 3 = 5, M (1; 2; 1),

-24-

Окончание

x − y 2 , M (2; − 1; 1) , 2 7.21 3 xyz − z 3 = 8, M (0; 2; − 2 ) ,

⎛ y⎞ 7.20 z = sin ⎜ ⎟, M (1; π ; 0 ) , ⎝x⎠ 7.22 z = xy + 2 x − y, M (2; 2; 6 ) ,

7.23 z = 3 y 2 − 9 xy + y, M (1; 3; 3) ,

7.24 x 4 + y 4 + z 4 = 3, M (1; 1; 1) ,

7.19 z =

2

7.25 x 3 + y 3 + z 3 + xyz = 6, M (1; 2; − 1) , 7.26 x 2 − xy − 8 x + z 3 = 2, M (2; − 3; 2 ) . ЗАДАЧА № 8. Найти точки экстремума функции двух переменных 8.1 z = x 5 + x 3 y 2 + x 2 y 3 + y 5 − x − y , 8.2 z = x5 + 2x3 y2 + 2x2 y3 + y5 −15x −15y , 8.3 8.5 8.7 8.9

z = x5 + y5 + 4x3 y2 + 4x2 y3 − 25x − 25y , 4 5 z = 5x3 y 2 + x5 + 5x2 y3 + y5 − 30x − 30y , 8.6 z = 3 xy + + , x y 5 6 6 5 z = 4 xy + + , 8.8 z = 5 xy + + , x y x y 1 7 8 9 z = xy + + , 8.10 z = xy + + , x y x y

z = x5 + 3x3 y2 + 3x2 y3 + y5 − 20x − 20y ,

8.11 z = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 − 6 x − 6 y ,

8.4

8.12 z = x 3 + 2x 2 y + 2xy 2 + y 3 − 9x − 9 y ,

8.13 z = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 − 24x − 24 y , 8.14 z = 2x 3 + 2 y 3 + x 2 y + xy 2 − 9 x − 9 y , 8.15 z = 2x3 + 3x2 y + 3xy2 + 2 y3 − 5x − 5 y , 8.16 z = 2 x 3 y + 2 xy 3 + 3 x 2 y 2 + 14 x + 14 y , 8.17 z = 4x3 y + 4xy3 + 6x 2 y 2 − 28x − 28y , 8.18 z = 6 x 3 y + 6 xy 3 + 9 x 2 y 2 − 42 x − 42 y , 8.19 z = 8x3 y + 8xy3 + 12x2 y 2 + 56x + 56y , 8.20 z = 2 x 4 + 2 y 4 − 64 x − 64 y , 8.21 z = −3 x 4 − 3 y 4 + 12 x + 12 y ,

8.22 z = x 2 + y 3 − 8 ln x − 81 ln y ,

8.23 z = x 2 + y 3 − 32 ln x − 24 ln y , 7 9 8.25 z = 3 xy + + , x y

8.24 z = x 3 + y 3 − 3 ln x − 54 ln y , 8.26 z = 5 x + 6 y − ln x − 12 ln y .

ЗАДАЧА № 9. Найти точки экстремума функции трех переменных y 2 2z 2 1 y 2 8z 2 2 ( ) U = x + + + , z > 0 , U = x + + + , 9.1 9.2 x y z x y z 9.3 9.5

x2 2z 2 4 U =y+ + − , (z > 0) , y x z z y 2x 1 U= + + + , ( y > 0) , 2 x z y

9.4

16 z 2 2 x 2 2 U =y+ + − , y z x

(x > 0 ) ,

9.6

16 y 2 2 x 2 8 U =z+ + + , z y x

(x > 0),

9.7

U = x 2 + y 2 + z 2 + yz + xz − 3 x − 3 y − 4 z ,

9.8

U = x 2 + y 2 + z 2 − xz − yz + xz − 3 x + y − 4 z , -25-

(z > 0) ,

Окончание

xy yz − − xz − 4 x − 12 y − 2 z , 2 3 9.10 U = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 − 162 ln x − 288 ln y − 72 ln z , 9.9

U = x2 + y2 + z 2 +

9.11 U = x 2 + y 2 + 4 z 2 + xy − 8 z + 3 y , 9.12 U = x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 2 xy + 2 y − 4 z , 13y z2 2z − 2 z , 9.14 U = x 2 + 4 y 2 + − 2 xy − 6 y − , 5 9 9 9.15 U = x 4 + y 4 + z 4 + 2 x 3 + x 2 + 4 y + 4 z , 2 2 2 9.13 U = 3x + 3 y + z − 5xy +

9.16 U = x 4 + y 4 + z 4 − 2 x 3 + x 2 + 4 y − 4 z , y 9.17 U = x 4 + y 4 + z 4 + 2 x 3 − 2 x 2 − + 4 z , 2 y z 9.18 U = x 4 + y 4 + z 4 − 2 x 3 − 2 x 2 + + , 2 2 x+ y+z , ( x > 0, y > 0, z > 0 ) , 9.19 U = 4 xyz − 4 x+ y+z , ( x > 0, y > 0, z > 0 ) , 9.20 U = 5 xyz − 5 1 1 U = 3 3 3 + 3( x + y + z ) , 9.22 9.21 U = 2 2 2 + 2( x + y + z ) , x y z x y z x y 16 x+ y+z , ( x > 0, y > 0, z > 0 ), 9.24 U = + + + z , 9.23 U = 6 xyz − y z x 6 x y 1 y 5x 1 z U= + + + . 9.26 9.25 U = + + + z , y z x x z y 5 ЗАДАЧА № 10. Найти точки условного экстремума функции z = f ( x, y ) , если указано уравнение связи F ( x, y ) = 0 x 2y = 1, 10.1 z = −7 x 2 + 8 y 2 + 3 xy + 7.8 x − 35.4 y , если + 5 5 3x 2 y + = 1, если 10.2 z = 3 x 2 − 5 y 2 − 6 xy − 12 x + 14 y , 10 5 xy 41 y если − 5 x + 6 y = 1 , − x− , 10.3 z = 5 x 2 + 6 y 2 + 2 2 2 если 3 x + 21y = 1 , 10.4 z = x + 7 y , 10.5 10.6

1 7 + , x y 1 4 z=3 + , x 3 y z=

если 5 x + 35 y = 1 , если 8 x + 32 y = 1 ,

-26-

Продолжение

10.7

z = x 3 y 7 + 3 ln x + 7 ln y ,

10.8

z=

10.9 10.10 10.11 10.12 10.13

z=

7

x ln x ln y + − , 2 7 y

3

y

− 2 ln x +

3 10.16 z = x −

y3 ⋅ 7

10.21 10.22

если x 2 + y 2 = 1, ( x > 0, y < 0) , если x 2 + 2 y 4 = 3, ( x > 0, y > 0) , 3

1 y ⋅ 9 y7

4 y⋅3

y

y 1

10.23 z = 5

6x y − = 1, 5 5

если x 2 + y 2 = 1, ( x < 0, y < 0) ,

,

если x 2 + 3 y 4 = 4, ( x > 0, y > 0 ) ,

,

если x 2 +

1 4 6 y = , ( x > 0, y > 0 ) , 5 5

если x 2 + 16 y 2 = 17, ( x > 0, y > 0 ) ,

,

1 , + x 8y2 ⋅ y 1 3 z= 3+ 8, x 2y 25 z = 8 x5 − , 3 4 6 y 22 7 z= x + y11 , 7 7 z = x5 + y 7 , 10 7 1 z = − 5 x4 + , 5 y7 6

10.17 z = 4

10.20

если

если x 2 + y 2 = 1, ( x < 0, y > 0) ,

1

9 5 10.15 z = −8 x +

10.19

ln y , 3

x2 xy x y z= + − , 5 6 6 5 xy z= − 3x − 3 y , 2 xy x y z=− + − , 3 7 7 4 1 , z=3 + 5 x y ⋅3 y

7 10.14 z = −4 x +

10.18

3x 7 y + = 1, 10 10 7x 2 y если − = 1, 5 5 если

если 4 x 2 + 5 y 2 = 9 , если x 2 + 4 y 2 = 5, ( x > 0, y > 0) , если x 2 + 5 y 2 = 6 , если x 3 +

1 3 3 y = , ( x > 0, y > 0) , 2 2

если x 3 + 2 y 3 = 3, ( x > 0, y > 0 ) , если 2 x 3 + 3 y 3 = 5, ( x > 0, y > 0) ,

8 1 + , x y4 ⋅ 5 y4

если 2 x 2 + 3 y 4 = 5, ( x > 0, y > 0 ) ,

-27-

Окончание

53 2 1 x + , 7 y⋅3 y 75 3 1 10.25 z = − 3 x + 5 3 , y⋅ y 6 1 10.26 z = 5 + 24 , x y

если 5 x 2 + 7 y 4 = 12, ( x > 0, y > 0 ) ,

10.24 z = −

если 7 x 2 + 4 y 4 = 11, ( x > 0, y > 0 ) , если 5 x 2 + 2 y 4 = 7, ( x > 0, y > 0 ) .

ЗАДАЧА № 11. Доказать, что точка M ( x0 , y0 , z0 ) является точкой условного экстремума функции U = f ( x, y, z ) , если даны уравнения связи F1 ( x, y, z ) = 0 , F2 ( x, y, z ) = 0 2x + y + 2z = 6 , x + 2 y + 2z = 7 , M (1; 2; 1), 11.1 U = xyz , если 3x + y + 3z = 9 , x + 3 y + 3 z = 13 , M (1; 3; 1) , 11.2 U = xyz , если 4 x + y + 4 z = 12 , x + 4 y + 4 z = 21, M (1; 4; 1), 11.3 U = xyz , если ⎛ 2 ⎞ 2x + 3y + 2z = 6 , 9 x + 6 y + 6 z = 19 , M ⎜1; ; 1⎟ , 11.4 U = xyz , если ⎝ 3 ⎠ ⎛ 1 ⎞ − x + 5 y − z = −3 , 25 x − 5 y − 5 z = 21 , M ⎜1;− ;1⎟ , 11.5 U = xyz , если ⎝ 5 ⎠ − 2 x + y − 2 z = −6 , x − 2 y − 2 z = 3 , M (1; − 2; 1) , 11.6 U = xyz , если 5⎞ ⎛ 4x + 2 y + 6z = 7 , 3 x + 9 y + 6 z = −1 , M ⎜1;−1; ⎟ , 11.7 U = xyz , если 6⎠ ⎝ 5⎞ ⎛ 4 x − 2 y − 4 z = 11 , 2x + 4 y − 4z = 3 , M ⎜1;−1;− ⎟ , 11.8 U = xyz , если 4⎠ ⎝ 23 ⎞ ⎛ 4 x + 20 y + 8 z = −39 , 40 x + 16 y + 8 z = 1 , M ⎜1;−1;− ⎟ , 11.9 U = xyz , если 8⎠ ⎝ 3⎞ ⎛ 20 x + 4 y + 8 z = 13 , 8x + 16 y + 40z = −23, M ⎜1;−1;− ⎟ , 11.10 U = xyz , если 8⎠ ⎝ x + 2 y + 2z = 9 , M (1; 2; 2 ) , 11.11 U = x 2 + y 2 + z 2 , 2 x + y + 2 z = 8 , x + 3 y + 3 z = 19 , M (1; 3; 3) , 11.12 U = x 2 + y 2 + z 2 , 3 x + y + 3 z = 15 , 11.13 U = x 2 + y 2 + z 2 , 2 x + 4 y + 2 z = 5 ,

2x + y + z = 3,

11.14 U = x 2 + y 2 + z 2 , 3 x + 9 y + 3 z = 7 ,

9 x + 3 y + 3 z = 11 ,

11.15 U = x 2 + y 2 + z 2 , 4 x + 16 y + 4 z = 9 ,

8x + 2 y + 2 z = 9 ,

11.16 U = x 2 + y 2 + z 2 , 4 x + y + 4 z = 24 ,

x + 4 y + 4 z = 33 ,

-28-

⎛ 1 1⎞ M ⎜1; ; ⎟ , ⎝ 2 2⎠ ⎛ 1 1⎞ M ⎜1; ; ⎟ , ⎝ 3 3⎠ ⎛ 1 1⎞ M ⎜1; ; ⎟ , ⎝ 4 4⎠ M (1; 4; 4 ) ,

Окончание

2

11.17 U = xy + z , если

x + y − 2z = 4 ,

11.18 U = xy + z 2 , если 2 x + y − 3 z = 6 , x 3z + y+ = 0, 11.19 U = xy + z 2 , если 2 2 x 3z + y− = 3, 11.20 U = xy + z 2 , если 2 2 11.21 U = xy + z 2 , если − 2 x + y + z = −2 , x 5 z 13 + y+ = , 11.22 U = xy + yz + xz , 2 6 6 11.23 U = xy + yz + xz , x + 2 y − z = −1 , 2z 4 =− , 11.24 U = xy + yz + xz , x + y − 3 3 5x 5z 1 + y+ = , 11.25 U = xy + yz + xz , 2 6 6 11.26 U = xy + yz + xz , 2 x + y + 2 z = 7 ,

x − 2 y + z = −2 ,

M (1; 1; − 1) ,

x − 3 y + 2 z = −4 ,

M (1; 1; − 1) ,

3y z + = 2, 2 2 3y z x− + = −1 , 2 2 x + y − 2z = 4 ,

M (1; 1; − 1) ,

5y z 5 + = , 6 2 6 2 x − y + z = −1 , 2y 1 x− +z= , 3 3 5 y 5 z 29 x+ + = , 6 2 6 x + 2 y + 2z = 9 ,

M (− 1; 1; 2 ) ,

x+

x+

M (1; 1; − 1) ,

M (1; 1; − 1) ,

M (− 1; 1; 2 ) , M (− 1; 1; 2 ) ,

M (− 1; 1; 2 ) , M (1; 3; 1) ,

ЗАДАЧА № 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f ( x, y ) в области, ограниченной указанными кривыми x = 0, y = 0, 2 x + 3 y − 12 = 0 , 12.1 z = x 2 − xy + y 2 − 4 x , x = 1, y = 1, x + y = 1 , 12.2 z = x 2 + 3 y 2 + x − y , 12.3

z = x 3 + y 3 − 3 xy ,

x = 0, x = 2, y = 0, y = 2 ,

12.4

z = x 2 − 2 y 2 + 4 xy − 6 x − 1 , z = xy − 2 x − y ,

x = 0, y = 0, x + y = 3 ,

x2 z= − xy , 2 z = 2 x + y − xy ,

z = x 2 + 2 xy − 4 x + 8 y ,

x2 , y = 3, 3 x = 0, x = 4, y = 0, y = 4 , x = 0, x = 1, y = 0, y = 2 ,

z = x 2 + y 2 − xy + x + y ,

x = 0, y = 0, x + y = −3 ,

12.5 12.6 12.7 12.8 12.9

12.10 z = x 3 + 8 y 3 − 6 xy + 1 , 12.11 z = e xy , 1 1 12.12 z = + , x y

x = 0, x = 3, y = 0, y = 4 , y=

y = 1, y = −1, x = 0, x = 2 , x = −1, y = −1, x + y = 1 , x = 1, y = 1, x + y = 4 ,

12.13 z = x 2 + 3 y 2 − x + 18 y − 4 ,

x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 ,

12.14 z = x 2 + 3 y 2 − x − 18 y − 4 ,

x = 0, x = y, y = 4 , -29-

Окончание 2

2

x y + = 1, 3 4

xy x y xy − − , 2 6 8 12.16 z = x − y 2 ( x − 1)2 / 3 ,

x = 0, y = 0,

12.17 z = x 3 + y 3 − 6 xy ,

x = 0, x = 2, y = −1, y = 2 ,

12.18 z = x 2 y (4 − x − y ) ,

x = 0, y = 0, x + y = 6 ,

12.19 z = sin x + sin y + sin ( x + y ) ,

x = 0, x =

12.15 z =

(

)

x = 2, x = y 2 ,

π

, y = 0, y =

π

12.20 z = x 2 + y 2 + xy − x − y ,

2 2 x = 0, y = 0, x + y = 3 ,

12.21 z = sin x + sin y + cos( x + y ) ,

x = 0, x =

,

3π 3π , , y = 0, y = 2 2 x = 0, x = π , y = 0, y = π , x = 0, x = π , y = 0, y = π , x = 0, y = 0, x + y = 1 ,

12.22 z = cos x cos y cos( x + y ) , 12.23 z = sin x sin y sin ( x + y ) , 12.24 z = x 2 y (5 − 2 x − 3 y ) , xy x 2 y 12.25 z = − − xy 2 , 3 5 12.26 z = x 2 y − 5 x 3 y − 9 x 2 y 2 ,

x = 0, y = 0,

x y + = 1, 2 8

x = 0, y = 0, y = ( x − 1)2 .

ЗАДАЧА № 13. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области, ограниченной замкнутой кривой (внутри кривой) 13.1 z = xy , 13.3 z = e − x

2

x + y = 1, 2

− y2

(2 x

2

x2 + y 2 = 1,

z=x + y ,

13.6

z = x4 + y4 ,

(x − 2 )2 + (y − 2 )2 = 9 ,

x2 y2 + = 1, 4 9 x2 y2 + = 1, 2 9

x2 + y 2 = 4 ,

(x − 1)2 + ( y − 1)2 = 1 ,

13.8 z = 1 − x 2 − y 2 , 3 13.9 z = x 2 + y 2 , 2 13.10 z = 6 x 3 + 6 y 3 ,

)

x 3 + y 3 = 3xy, ( x ≥ 0, y ≥ 0) , x 3 + y 3 = 3 xy, ( x ≥ 0, y ≥ 0 ) ,

13.11 z = 3 x + 3 y , 13.12 z = 4 x + 4 y ,

3

)

13.7 z = x 2 + y 2 ,

(

13.2

3

2 2 + 3 y 2 , x + y = 4 , 13.4 z = 1 − x2 − y2 ,

13.5 z = x 2 y ,

x4 + y 4 = 2 ,

20 3 5 2 10 5 2 x ⋅ x + y⋅ y , 17 7 36 7 3 2 18 2 13.15 z = x ⋅ x + y ⋅ 3 y , 23 5

13.14 z =

2

x 3 + y 3 = 3xy, ( x ≥ 0, y ≥ 0) , 13.13 z = 6 x − 6 y , x6 + y 6 = 2 , x4 + y 2 = 2 , x16 + y 8 = 2 , -30-

Окончание

48 10 3 24 2 3 x ⋅ x+ y ⋅ y, 31 7 20 3 5 4 10 5 4 x ⋅ x + y⋅ y , 13.17 z = 19 9 140 10 7 2 70 7 2 x ⋅ x + y⋅ y , 13.18 z = 79 9 88 12 11 9 44 11 9 x x + y , 13.19 z = 47 3 13.16 z =

13.20 z = x 2 + y 2 , 13.21 z = 2 x 2 + 3 y 2 , 13.22 z = 2 x 2 + 6 y 2 , 13.23 z = 6 x 2 − 7 y 2 , 13.24 z = 5 x 2 − 10 y 2 , 13.25 z = xy 3 ,

x2 + y 2 = 4 ,

x16 + y 8 = 2 , x4 + y 2 = 2 ,

x 20 + y10 = 2 , x 24 + y12 = 2 ,

(x (x (x (x (x

2

+ y2

2

+ y2

2

+ y2

2

+ y2

2

+ y2

) ) ) ) )

2 2 2 2 2

( = 2(x = 2(x = 2(x = 2(x

) ), ), ), ),

= 2 x2 − y2 , 2

− y2

2

− y2

2

− y2

2

− y2

13.26 z = x 3 + 3y 3 ,

x2 + 9 y2 = 1.

ЗАДАЧА № 14. 14.1. Изготовить из жести прямоугольную коробку (без крышки) данной емкости V с наименьшими затратами материала. 14.2. В шар диаметра d вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 14.3. Найти размеры цилиндрического сосуда наибольшей вместимости с поверхностью S. 14.4. Поверхность прямоугольного параллелепипеда равна Q. Найти размеры параллелепипеда наибольшего объема. 14.5. Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда равна а. Найти размеры параллелепипеда наибольшего объема. 14.6. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема при условии, что длина его диагонали равна d. 14.7. Найти конус вращения объема V с наименьшей полной поверхностью. 14.8. В шар диаметра d вписать цилиндр с наименьшей полной поверхностью. 14.9. Из всех прямоугольных параллелепипедов с полной поверхностью S, найти тот, который имеет наибольший объем. 14.10. Определить размеры конуса наибольшего объема, при условии, что его боковая поверхность равна S. 14.11. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение. -31-

14.12. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, площадь которого наибольшая. 14.13. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найти наибольший по площади. 14.14. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр, которого имеет наименьшее значение. 14.15. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая. 14.16. Представить число a > 0 в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была наименьшей. 14.17. Найти треугольник данного периметра 2р, который при вращении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема. 14.18. Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящика с заданной толщиной стенок d и емкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала. 14.19. Из всех треугольников с одинаковым основанием и одним и тем же углом при вершине найти наибольший по площади. 14.20. Шатер имеет форму цилиндра, завершенного сверху прямым круговым конусом. При данной полной поверхности шатра определить его измерение так, чтобы объем был наибольшим. 14.21. Определить наружные размеры котла цилиндрической формы с заданной толщиной стенок d и емкостью V так, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала. 14.22. Определить размеры конуса наименьшей боковой поверхности при условии, что его объем равен V. 14.23. В шар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 14.24. В данный прямой круговой конус вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 14.25. Нужно построить конический шатер наибольшего объема из данного количества материала S. Каковы должны быть его размеры? 14.26. При каких размерах открытого прямоугольного ящика с заданным объемом V = 32 м 2 его поверхность наименьшей?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Запорожец, Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г. И. Запорожец. – М.: Высшая школа, 1966. – 460 с. 2. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1978. – Т.1. 3. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов.– М.: Наука, 1974. – Т.1.– 480 с. -32-