Лекции по алгебраической топологии

Лекции по алгебраической топологии

Сергей Матвеев

∗ Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования РФ (Челябинское отделение) в качестве учебного пособия для студентов, магистрантов и аспирантов математических специальностей университетов

ВВЕДЕНИЕ Алгебраическая топология изучает геометрические объекты алгебраическими методами. Знакомство с ее основными идеями и результатами чрезвычайно полезно для всех студентов и аспирантов, которые специализируются в различных областях математики и теоретической физики, связанных с топологией, дифференциальной геометрией, алгеброй, математическим анализом и дифференциальными уравнениями. При отборе материала и написании книги автор стремился достичь нескольких целей: – изложить те идеи и результаты, которые составляют костяк алгебраической топологии и допускают красивое, наглядное и логически законченное описание; – сделать книгу самодостаточной, удержавшись при этом в пределах 100 страниц; – сохраняя все достоинства неформального и живого изложения, сделать его логически стройным, хорошо иллюстрированным и строгим с математической точки зрения; – структурировать текст и снабдить его задачами и решениями так, чтобы книга стала как готовым пособием для преподавателя, читающего курс и студента, его слушающего, так и хорошим материалом для самостоятельного изучения.

I

II

Оглавление Введение

I

1 Элементы теории гомологий 1.1 Категории и функторы . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Сведения из геометрии пространства RN . . . . 1.3 Цепные комплексы. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Гомологии симплициального комплекса . . . . . 1.5 Симплициальные отображения . . . . . . . . . . 1.6 Индуцированные гомоморфизмы в гомологиях 1.7 Степень отображения многообразий . . . . . . . 1.8 Применение степени . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Относительные гомологии . . . . . . . . . . . . 1.10 Точная последовательность гомологий . . . . . 1.11 Аксиоматический подход к гомологиям . . . . . 1.12 Сведения из теории абелевых групп . . . . . . . 1.13 Вычисление групп гомологий . . . . . . . . . . 1.14 Клеточные гомологии . . . . . . . . . . . . . . . 1.15 Теорема Лефшеца о неподвижной точке . . . . 1.16 Гомологии с коэффициентами . . . . . . . . . . 1.17 Элементы теории когомологий . . . . . . . . . . 1.18 Двойственность Пуанкаре . . . . . . . . . . . . 2 Элементы теории гомотопий 2.1 Определение фундаментальной группы 2.2 Независимость от базисной точки . . . 2.3 Задания групп . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Вычисление фундаментальной группы 2.5 Задание Виртингера . . . . . . . . . . . III

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 7 11 15 18 23 25 30 42 44 48 50 53 56 60 65 68 74

. . . . .

79 79 82 84 88 93

Оглавление 2.6 2.7 2.8

1

Высшие гомотопические группы . . . . . . . . . . . . . . . 95 Расслоения и точные последовательности . . . . . . . . . . 98 Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Ответы, указания, решения

107

Литература

121

Предметный указатель

122

2

Оглавление

Глава 1 Элементы теории гомологий 1.1

Категории и функторы

Одним из основных разделов алгебраической топологии является теория гомологий, которая представляет собой функтор из категории топологических пространств в категорию последовательностей абелевых групп. Поэтому мы начнем с понятий категории и функтора. Чтобы задать категорию нужно: 1. Задать некоторый класс объектов. Объекты могут иметь произвольную природу. 2. Для каждой упорядоченной пары A, B объектов нужно задать множество морфизмов [A, B] объекта A в объект B. 3. Для каждой упорядоченной тройки A, B, C объектов нужно задать правило, которое каждой паре морфизмов f ∈ [A, B], g ∈ [B, C] сопоставляет третий морфизм, который лежит в [A, C], называется суперпозицией морфизмов f, g и обозначается gf . Другими словами, нужно задать отображение суперпозиции [A, B] × [B, C] → [A, C]. Определение. Заданные класс объектов, множества морфизмов и отображения суперпозиции образуют категорию, если выполняются следующие аксиомы: 3

4

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ (I) Суперпозиция морфизмов должна быть ассоциативной, т. е. для любых морфизмов f ∈ [A, B], g ∈ [B, C], h ∈ [C, D] должно выполняться равенство (hg)f = h(gf ).

(II) Для любого объекта B должен существовать такой морфизм IdB ∈ [B, B], что для любых морфизмов f ∈ [A, B], g ∈ [B, C] выполнены равенства IdB f = f и g IdB = g. Такие ситуации (классы объектов, связанных морфизмами с аксиомами I, II, т. е. категории) естественно возникают в самых различных областях математики. Уже на этом общем уровне можно давать определения и доказывать содержательные теоремы, которые, в силу их общности, имеют самое широкое применение. Мы ограничимся самым кратким введением в теорию категорий. Более подробное изложение можно найти, например, в [2]. Примеры категорий. 1. Категория всех множеств и отображений. Объектами этой категории являются все множества, морфизмами – всевозможные отображения. 2. Категория групп и гомоморфизмов. Объекты – произвольные группы, морфизмы – гомоморфизмы. 3. Категория абелевых групп и гомоморфизмов. Объектами этой категории служат абелевы группы, морфизмами – гомоморфизмы. Нетрудно придумать еще несколько примеров подобного типа: категорию конечно-порожденных групп, категорию колец и другие. 4. Категория топологических пространств и непрерывных отображений. Объекты – произвольные топологические пространства, морфизмы – непрерывные отображения. Во всех приведенных примерах объекты являются множествами, снабженными той или иной структурой, а морфизмы – отображениями множеств. Однако, встречаются и категории других типов.

1.1. КАТЕГОРИИ И ФУНКТОРЫ

5

5. Категория топологических пространств и классов гомотопных отображений. Объектами этой категории являются произвольные топологические пространства, а морфизмами – классы гомотопных отображений (см. определение на стр. 21). Отметим, что в этой категории морфизмы являются не отображениями, а классами гомотопных отображений. Несмотря на то, что морфизмы категории не обязаны быть отображениями, очень удобно записывать их так же, как и отображения: вместо f ∈ [A, B] мы будем писать f : A → B. Определение. Объекты X, Y категории G называются изоморфными, если существуют такие морфизмы f : X → Y и g : Y → X, что f g = IdY и gf = IdX , где IdX , IdY – тождественные морфизмы объектов X и Y . Морфизмы f, g называются изоморфизмами. Пример. Какие множества изоморфны в смысле категории всех множеств? Нетрудно увидеть, что это – равномощные множества, поскольку изоморфизм в этой категории есть не что иное, как просто биекция. Пример. Изоморфизм в категории топологических пространств есть гомеоморфизм, в категории групп – изоморфизм групп. Изоморфизм в категории топологических пространств и классов гомотопных отображений называется гомотопической эквивалентностью. Заслуживает упоминания и изоморфизм в категории гладких многообразий и гладких отображений. Это – диффеоморфизм. Уже из этих примеров видна полезность понятия категории: одно определение, данное на категорном языке, способно заменить много соответствующих определений в конкретных категориях. Аналогичный факт верен и для теорем: если теорема доказана на категорном языке, то она верна во всех конкретных категориях. Это наблюдение дает перспективный метод получения новых результатов. Пусть G1 , G2 – две категории. Предположим, что каждому объекту X первой категории сопоставлен некоторый объект второй категории. Будем обозначать его F (X). Допустим также, что каждому морфизму f : X → Y категории G1 сопоставлен морфизм f∗ : F (X) → F (Y ) категории G2 . Такое сопоставление называется ковариантным функтором из категории G1 в категорию G2 , если выполнены аксиомы:

6

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ 1. Если f – тождественный морфизм, то f∗ – тоже тождественный морфизм. 2. Если суперпозиция f g определена, то (f g)∗ = f∗ g∗ .

Контравариантный функтор F из категории G1 в категорию G2 отличается от ковариантного тем, что каждому морфизму f : X → Y категории G1 сопоставляется морфизм f ∗ : F (Y ) → F (X) категории G2 , действующий в обратную сторону. Разумеется, соответствующим образом меняются обе аксиомы. В частности, равенство (f g)∗ = f∗ g∗ заменяется на равенство (f g)∗ = g ∗ f ∗ . Задача 1. Приведите примеры ковариантных и контравариантных функторов. Теорема 1. Пусть F : G1 → G2 – функтор из категории G1 в категорию G2 . Предположим, что объекты X, Y категории G1 изоморфны. Тогда объекты F (X), F (Y ) категории G2 также изоморфны. Эквивалентная формулировка: если объекты F (X), F (Y ) категории G2 не изоморфны, то объекты X, Y также не изоморфны. Доказательство. Мы ограничимся рассмотрением ковариантного функтора. Пусть f : X → Y, g : Y → X – морфизмы, которые обеспечивают изоморфность объектов X и Y . Это означает, что f g = IdY и gf = IdX . Тогда из определения функтора сразу следует, что f∗ g∗ = IdF (Y ) и g∗ f∗ = IdF (X) , что дает изоморфность объектов F (X) и F (Y ). Теорема 1 имеет фундаментальное значение. Вот стандартный путь ее применения: допустим, что нам нужно выяснить, различны или нет данные пространства X и Y . Возьмем какой-нибудь функтор из категории топологических пространств в какую-нибудь другую категорию, например, в категорию групп, и сравним объекты F (X) и F (Y ). Если они различны, то объекты X и Y также различны. В случае совпадения объектов F (X), F (Y ) про объекты X и Y ничего сказать нельзя. Это замечание объясняет важность теории гомологий, которая является функтором из топологии в алгебру. Задача 2. Пользуясь теоремой 1, докажите, что группы Z4 и Z5 не изоморфны.

1.2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА RN

7

Итак, с помощью функтора F : G1 → G2 задача распознавания (различения) объектов в категории G1 заменяется на аналогичную задачу распознавания объектов в категории G2 . Смысл замены состоит в том, что эта задача в категории G2 может оказаться легче. Следует отметить, что при переходе от категории G1 к категории G2 часть информации об объектах категории G1 , как правило, теряется. Внимательный анализ приведенных аргументов показывает, что “хороший” функтор должен обладать следующими свойствами: 1. Быть легко вычислимым, т. е. вычисление объекта F (X) для данного пространства X не должно вызывать принципиальных затруднений. 2. Нужно, чтобы существовал простой способ выяснения различности или изоморфности объектов F (X) и F (Y ). 3. При переходе от объекта X к объекту F (X) не должно теряться много информации. Гомологические функторы из категории топологических пространств в категорию групп в значительной степени удовлетворяют указанным свойствам. При изучении теории гомологий на эти аспекты следует обратить особое внимание. На самом деле, гомологический функтор сопоставляет пространству не одну группу, а целую последовательность абелевых групп, т. е. является функтором в категорию последовательностей абелевых групп. Вычисление групп гомологий произвольного пространства может оказаться непредсказуемо сложным, поэтому, как правило, ограничиваются какимнибудь не слишком сложным классом пространств. Мы в качестве области определения гомологического функтора возьмем категорию симплициальных комплексов и только вскользь коснемся более общих теорий гомологий.

1.2

Сведения из геометрии пространства RN

Напомним, что базис в числовом пространстве RN – это упорядоченный набор из N линейно независимых векторов.

8

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.1: Правые и один левый базисы в RN Определение. Два базиса в пространстве RN называются эквивалентными, если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому положителен. Задача 3. Докажите, что введенное отношение есть отношение эквивалентности. Как и всякое отношение эквивалентности, отношение эквивалентности на множестве базисов разбивает его на классы эквивалентных базисов. Пример. Как без вычислений узнать, эквивалентны ли два базиса на прямой? На плоскости? В пространстве? Предполагается, что базисы нарисованы. Ответ прост. Два базиса на прямой (т. е. два вектора) эквивалентны, если они сонаправлены. Каждому базису на плоскости можно сопоставить вращение от первого вектора ко второму вдоль меньшего угла. Два базиса эквивалентны, если эти вращения либо оба положительны (т. е. происходят против часовой стрелки), либо оба отрицательны (выполняются по часовой стрелке). Наконец, все базисы в трехмерном пространстве можно разбить на два класса – правые и левые, в зависимости от того, положительным или отрицательным кажется вращение от первого вектора ко второму вдоль меньшего угла, если смотреть с конца третьего вектора. Базисы эквивалентны, если они относятся к одному типу. Для определения типа базиса можно использовать также “правило буравчика” из физики. Задача 4. На рис. 1.1 изображены три правых и один левый базис Найдите его. Определение. Ориентацией пространства RN называется класс эквивалентных базисов.

1.2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА RN

9

Ориентация обычно задается с помощью указания базиса – представителя соответствующего класса. Задача 5. Докажите, что пространство RN имеет ровно две различные ориентации. Удобно договориться, что пространство R0 (точка) имеет две условные ориентации – ориентацию “+” и ориентацию “–”. Определение. Система a0 , a1 , . . . , an , состоящая из n + 1 точки в RN , называется независимой, если эти точки не лежат в одной плоскости размерности n − 1 (или меньше). Следует подчеркнуть, что любая система из n точек лежит в одной плоскости размерности ≤ n − 1. Задача 6. Докажите, что для независимости точек a0 , a1 , . . . , an необходимо и достаточно линейной независимости векторов a0 a1 , a0 a2 , . . . , a0 an . Задача 7. Докажите, что любая подсистема независимой системы точек независима. Определение. Выпуклая оболочка n+1 независимой точки a0 , a1 , . . . , an в RN называется n-мерным симплексом. Точки a0 , a1 , . . . , an называются вершинами симплекса. Из определения следует, что симплексы размерности 0, 1, 2 и 3 суть точки, отрезки, треугольники и тетраэдры, соответственно. Плоскость наименьшей размерности, содержащая данный симплекс, называется его несущей плоскостью. Ее размерность совпадает с размерностью симплекса. Ориентацией симплекса называется ориентация его несущей плоскости. Она задается выбором базиса. Согласно нашей договоренности об ориентациях пространства RN , 0-мерный симплекс, т. е. точка, имеет две ориентации: “+” и “–”. Определение. Гранью симплекса называется выпуклая оболочка подмножества его вершин. Задача 8. Докажите, что грань симплекса является симплексом. Задача 9. Сколько m-мерных граней имеет n-мерных симплекс?

10

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.2: Индуцированная ориентация определяется по правилу ”внутренней нормали”. Двойное индуцирование дает противоположные ориентации Задача 10. Сколько всего граней имеет n-мерный симплекс? Определение. Индуцированная ориентация (n−1)-мерной грани ориентированного n-мерного симплекса определяется следующим образом: ориентирующий базис n-мерного симплекса выбирается так, чтобы его первые n−1 векторов лежали в грани, а последний был направлен внутрь симплекса. Тогда первые n − 1 векторов определяют ориентацию грани. Это правило называется ”правилом внутренней нормали”. См. рис. 1.2 слева. Индуцированные ориентации вершин одномерного симплекса (отрезка) выбираются так, чтобы вектор, который ориентирует отрезок, был направлен из плюса в минус. Если α – ориентация симплекса σ и δ – его грань, то индуцированная ориентация грани δ обозначается α|δ. Теорема 2. (О двойном индуцировании) Пусть (n−2)-мерный симплекс γ является общей гранью (n−1)-мерных граней δ1 , δ2 n-мерного симплекса σ с ориентацией α. Тогда ориентации (α|δ1 )|γ и (α|δ2 )|γ противоположны. Доказательство этой теоремы получается прямым применением определения индуцированной ориентации. Поэтому мы его опускаем, ограничиваясь иллюстрацией на рис. 1.2 справа. Определение. Конечный набор симплексов в RN называется симплициальным комплексом, если каждые его два симплекса либо не имеют общих точек, либо пересекаются по их общей грани.

1.3. ЦЕПНЫЕ КОМПЛЕКСЫ.

11

Можно договориться, что симплексы, не имеющие общих точек, пересекаются по их пустой общей грани. Тогда в приведенном выше определении можно ограничится условием, что любые два симплекса пересекаются по их общей грани. Отметим, что формально нужно различать понятия симплициального комплекса (набора симплексов) и его тела (объединения этих симплексов). Тело комплекса K обозначается |K|. Оно всегда является полиэдром, т. е. может быть представлено в виде объединения выпуклых многогранников в RN . В этой ситуации говорят, что комплекс K триангулирует полиэдр |K| (или является его триангуляцией). Размерность симплициального комплекса K определяется как максимальная размерность входящих в него симплексов. Задача 11. Приведите несколько примеров симплициальных комплексов на плоскости и в пространстве, и пример набора симплексов, не образующих симплициальный комплекс. Определение. Ориентацией симплициального комплекса называется набор ориентаций всех его симплексов, включая их грани. Задача 12. Сколько различных ориентаций имеет треугольник как симплициальный комплекс? Построение групп гомологий симплициального комплекса состоит из двух этапов: сначала симплициальному комплексу сопоставляется так называемый цепной комплекс, потом цепному комплексу сопоставляется его группа гомологий. Методически удобнее начать со второго этапа.

1.3

Цепные комплексы.

Определение. Бесконечная в обе стороны последовательность C абелевых групп и гомоморфизмов ∂n+1

∂

n Cn−1 −→ . . . . . . −→ Cn+1 −→ Cn −→

называется цепным комплексом, если для любого n выполняется условие ∂n ∂n+1 = 0. Уточним, что равенство ∂n ∂n+1 = 0 понимается так: для любого элемента x группы Cn+1 элемент ∂n (∂n+1 (x)) является нейтральным элементом группы Cn−1 . Мы обозначили его нулем, так как группы цепей записываются аддитивно.

12

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Определение. Группа Cn называется группой n-мерных цепей комплекса C. Ядро Ker ∂n ⊂ Cn гомоморфизма ∂n называется группой n-мерных циклов и обозначается через An . Образ Im ∂n+1 ⊂ Cn гомоморфизма ∂n+1 называется группой n-мерных границ комплекса C и обозначается Bn . Задача 13. Приведите пример последовательности групп и гомоморфизмов, которая не является цепным комплексом. Задача 14. Найдите группы циклов и группы границ во всех размерностях для комплекса ∂

2 . . . −→ 0 −→ Z ⊕ Z −→ Z−→0−→ . . . ,

группы цепей которого задаются равенствами C1 = Z, C2 = Z⊕Z, Cn = 0 при n 6= 1, 2, а гомоморфизм ∂2 действует по правилу ∂2 (m, n) = 3m + 3n. Нетрудно доказать, что для любого цепного комплекса группа границ Bn содержится в группе циклов An . Верно и обратное: если Bn ⊂ An для всех n, то данная последовательность групп и гомоморфизмов является цепным комплексом, т. е. ∂n ∂n+1 есть всегда 0. Определение. Факторгруппа An /Bn называется n−мерной группой гомологий комплекса C и обозначается через Hn (C). Задача 15. Вычислить группы гомологий комплекса из задачи 14. Терминология. Элементы группы An называются циклами, группы Bn – границами. Гомоморфизмы ∂n называются граничными. Два цикла a1 , a2 ∈ An называются гомологичными, если их разность a1 −a2 является границей, т. е. лежит в группе Bn . Таким образом, два цикла определяют один тот же элемент группы гомологий тогда и только тогда, когда они гомологичны. Элементы группы гомологий можно интерпретировать как классы гомологичных циклов. Задача 16. Вычислить группы гомологий элементарного комплекса E(m) ∂m+1

∂

m 0−→ . . . , . . . −→ 0 −→ Z −→

группы цепей которого таковы: En (m) =

½

0, n 6= m, Z, n = m.

1.3. ЦЕПНЫЕ КОМПЛЕКСЫ.

13

Задача 17. Вычислить группы гомологий элементарного комплекса D(m, k) ∂m+1

. . . −→ 0 −→ Z −→ Z−→0−→ . . . , группы цепей которого задаются правилом ½ 0, n 6= m, m + 1, Dn (m, k) = Z, n = m, m + 1, а гомоморфизм ∂m+1 есть умножение на целое число k 6= 0. Задача 18. Дайте определение прямой суммы цепных комплексов и докажите, что Hn (C ⊕ C′ ) = Hn (C) ⊕ Hn (C′ ). Определение. Пусть C и C′ – два цепных комплекса. Семейство гомоморфизмов ϕ = {ϕn : Cn → Cn′ , −∞ < n < ∞, } называется цепным отображением, если ϕn ∂n+1 = ∂n+1 ϕn+1 для любого n. Смысл условия ϕn ∂n+1 = ∂n+1 ϕn+1 состоит в том, что все квадраты диаграммы ...

−→

...

−→

∂n+1

∂

n Cn+1 −→ Cn −→ Cn−1 −→ . . . ↓ ϕn+1 ↓ ϕn ↓ ϕn−1

′ Cn+1

∂n+1

−→

Cn′

∂

n −→

′ Cn−1

−→ . . .

должны быть коммутативными. Задача 19. Пусть ϕ : C → C′ – цепное отображение. Докажите, что ϕn (An ) ⊂ A′n и ϕn (Bn ) ⊂ Bn′ , т. е. что ϕ переводит циклы – в циклы и границы – в границы. Теорема 3. Пусть ϕ : C → C′ – цепное отображение цепных комплексов. Тогда для любого целого числа n сопоставление каждому циклу x ∈ Cn цепи ϕn (x) ∈ Cn′ индуцирует корректно определенный гомоморфизм ϕ∗ : Hn (C) → Hn (C′ ). Доказательство. Теорема почти очевидна. Никаких трудностей в доказательстве нет, особенно если читатель справился с задачей 19. Тем не менее, давайте разберемся, как цепное отображение ϕ одного комплекса в другой индуцирует гомоморфизмы ϕ∗ групп гомологий соответствующих размерностей. Здесь мы впервые столкнемся с так называемым

14

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

диаграммным поиском (вольный перевод английского “general nonsense”). Этот метод состоит в наборе более или менее стандартных приемов рассуждений с диаграммами. Лучше всего познакомиться с ними на практике. Мы еще раз изобразим приведенную выше диаграмму, для простоты и удобства убрав индексы у гомоморфизмов. См. рис. 1.3. Появляющиеся в процессе рассуждения элементы будем помещать рядом с соответствующими группами.

Рис. 1.3: Диаграммное доказательство Пусть h – произвольный элемент группы Hn (C). Мы хотим, используя данное цепное отображение ϕ, сопоставить ему вполне определенный элемент h′ = ϕ∗ (h) группы Hn (C′ ). Первый шаг состоит в выборе некоторого цикла x ∈ An ⊂ Cn , представляющего h. Применив к x гомоморфизм ϕ, мы получим некоторый элемент x′ = ϕ(x) группы Cn′ . Докажем, что x′ есть цикл. Действительно, ∂x′ = ∂ϕ(x) = ϕ(∂x) = ϕ(0) = 0 (здесь мы использовали коммутативность квадратов при цепном отображении и тот факт, что x –цикл). Теперь можно определить элемент h′ как класс циклов, содержащий цикл x′ . Докажем, что элемент h′ группы Hn (C′ ) не зависит от произвола в выборе представителя x, допущенного при построении элемента h′ . Пусть x1 – другой представитель и x′1 = ϕ(x1 ) – его образ в Cn′ . Тогда разность x − x1 является границей. Поэтому найдется такой элемент y группы Cn+1 , что ∂y = x − x1 . Опять используя коммутативность квадратов, получаем x′ −x′1 = ϕ(x−x1 ) = ϕ∂(y) = ∂ϕ(y) = ∂y ′ , где y ′ = ϕ(y). Отсюда следует, что элементы x′ и x′1 отличаются на границу, что гарантирует совпадение элементов h и h′ . Задача 20. Опишите категорию цепных комплексов, категорию последовательностей абелевых групп и проверьте, что сопоставление каждому цепному комплексу последовательности его групп гомологий и каждому

1.4. ГОМОЛОГИИ СИМПЛИЦИАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА

15

цепному отображению ϕ цепного комплекса индуцированного отображения ϕ∗ его групп гомологий является функтором из первой категории во вторую.

1.4

Гомологии симплициального комплекса

Пусть K – ориентированный симплициальный комплекс. Мы сопоставим ему цепной комплекс C(K) следующим образом. Элементами группы n-мерных цепей Cn (K) по определению являются формальные линейные комбинации вида m1 σ1 + m2 σ2 + · · · + mk σk , где mi – целые числа, а σ1 , . . . , σk – все n-мерные симплексы. Сложение покоординатное. Разумеется, относительно указанной операции множество Cn (K) является группой. Алгебраически группа Cn (K) есть свободная абелева группа, построенная на n-мерных симплексах, как на образующих. Ее ранг равен числу n-мерных симплексов. Здесь есть небольшая тонкость. Допустим, что n-мерных симплексов в комплексе K нет. Это может случиться тогда, когда n отрицательно или превосходит размерность комплекса K. Тогда и линейных комбинаций нет. Тем не менее, в этом случае мы полагаем Cn (K) = 0. Чтобы определить гомоморфизмы ∂n : Cn (K) → Cn−1 (K), достаточно задать их на образующих, т. е. на симплексах. Пусть σ – n-мерный симплекс комплекса K. Тогда его каждая (n − 1)−мерная грань имеет две ориентации: свою собственную ориентацию, которая задана, поскольку комплекс K ориентирован, и ориентацию, индуцированную ориентацией симплекса σ. По определению полагаем, что X ∂n (σ) = εi δi , δi ∈K

где суммирование ведется по всем симплексам δi размерности n − 1, а числа εi (называемые коэффициентами инцидентности) задаются правилом:

εi =

 

0, если 1, если  −1, если

δi – не грань симплекса σ; δi – грань симплекса σ и две ее ориентации совпадают; δi – грань симплекса σ и две ее ориентации различны.

16

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Геометрический смысл этого правила очень прост. Напомним, что σ обозначает не только ориентированный симплекс, но и отвечающую ему цепь 1 · σ (элемент группы Cn (K)). Давайте договоримся, что тогда цепь −σ = (−1) · σ соответствует тому же симплексу σ, но взятому с противоположной ориентацией. Тогда ∂σ – это не что иное, как граница (край) симплекса σ, причем все входящие в нее (n − 1)-мерные симплексы берутся с индуцированными ориентациями. Теорема 4. Для любого симплициального комплекса K группы Cn (K) и гомоморфизмы ∂n : Cn (K) → Cn−1 (K) образуют цепной комплекс (мы будем обозначать этот комплекс C(K)). Доказательство этой теоремы сразу следует из Теоремы 2 о двойном индуцировании, которую сейчас можно переформулировать так: край края пуст. Фундаментальная важность этого факта, лежащего в основе любой теории гомологий, требует тщательного и всестороннего обдумывания. Определение. Пусть K – ориентированный симплициальный комплекс. Тогда группы гомологий соответствующего цепного комплекса C(K) называются группами гомологий симплициального комплекса K и обозначаются Hn (K). Другими словами, группа Hn (K) есть факторгруппа Ker ∂n /Im ∂n+1 ядра гомоморфизма ∂n по образу гомоморфизма ∂n+1 . Задача 21. Докажите, что группы Hn (K) не зависят от выбора ориентации комплекса K. Можно также доказать, что группы гомологий полиэдра (подмножества RN , которое можно представить в виде симплициального комплекса) не зависят от конкретного способа представления, т. е. от триангуляции. Доказательство этого результата довольно громоздкое, хотя и не содержит принципиальных трудностей. Можно поступить, например, так: 1. Разобраться, почему описанное выше построение групп гомологий работает и для полиэдров, разбитых не только на симплексы, но и на произвольные многогранники.

1.4. ГОМОЛОГИИ СИМПЛИЦИАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА

17

Рис. 1.4: Ориентированному симплексу сопоставляется цепь заполняющих его многогранников 2. Доказать, что если разбиение триангулированного полиэдра K на многогранники таково, что каждый симплекс составлен из целых многогранников, то группы гомологий, вычисленные по триангуляции и по разбиению на многогранники, изоморфны. Требуемый изоморфизм проще всего описать на уровне образующих групп цепей исходной триангуляции, т. е. симплексов. Каждому n-мерному симплексу σ комплекса K нужно сопоставить цепь, составленную из входящих в него многогранников. Коэффициенты при многогранниках равны ±1, в зависимости от того, согласованы или нет ориентации многогранника и симплекса. Поэтому граница этой цепи совпадает с границей симплекса, что является геометрической основой изоморфности групп гомологий. См. рис. 1.4. 3. Для двух данных триангуляций одного и того же полиэдра рассмотреть разбиение на многогранники, представляющие собою пересечения симплексов одной триангуляции с симплексами второй. Тогда совпадение групп гомологий будет следовать из предыдущего пункта. Нужно отметить, что можно вычислять группы гомологий не только полиэдров, но и пространств, которые им гомеоморфны. Иногда такие пространства называют топологическими полиэдрами. По определению, топологические полиэдры тоже можно триангулировать, но на криволинейные симплексы (образы настоящих симплексов при гомеоморфизме). Таким образом, чтобы вычислить группы гомологий топологического пространства, нужно выполнить следующие действия: 1. Представить пространство в виде полиэдра и триангулировать его;

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

18

2. Ориентировать полученный симплициальный комплекс; 3. Вычислить группы цепей Cn ; 4. Описать граничные гомоморфизмы ∂n ; 5. Найти группы циклов An ; 6. Найти группы границ Bn ; 7. Найти факторгруппы Hn = An /Bn . Теорема 5. Гомологии точки устроены так: ½ 0, n 6= 0 Hn (∗) = Z, n = 0. Доказательство. Очевидно, так как цепной комплекс для точки, рассматриваемой как нульмерный симплекс, имеет вид −→ 0 −→ Z −→ 0 −→ . . . , где Z есть группа 0-мерных цепей. Задача 22. Найти группы гомологий отрезка и окружности. Задача 23. Найти H2 (S 2 ), H2 (T 2 ), где S 2 – двумерная сфера и T 2 = S 1 × S 1 – двумерный тор. Задача 24. Докажите, что для любого симплициального комплекса K группа H0 (K) есть свободная абелева группа, ранг которой совпадает с числом компонент связности комплекса K.

1.5

Симплициальные отображения

Определение. Отображение одного симплекса в другой называется линейным, если оно переводит вершины в вершины и продолжается до аффинного (т. е. линейного при подходящем выборе системы координат) отображения несущих плоскостей симплексов. Разумеется, линейное отображение может понижать размерность симплекса. Например, он может "схлопываться"на свою грань, см. рис. 1.5.

1.5. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

19

Рис. 1.5: Линейное (слева) и нелинейное (справа) схлопывания симплекса на свою грань Задача 25. Докажите, что линейное отображение симплекса в симплекс полностью определяется образами вершин. Определение. Отображение симплициальных комплексов f : K → L (более точно, отображение f : |K| → |L|) называется симплициальным, если образ каждого симплекса комплекса K является симплексом комплекса L, и если на каждом симплексe комплекса K отображение f линейно. Задача 26. Почему при симплициальном отображении вершины переходят в вершины? Задача 27. Пусть отображение f (0) : K (0) → L(0) переводит множество вершин K (0) комплекса K в множество вершин L(0) комплекса L. Докажите, что f (0) продолжается до симплициального отображения f : K → L тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: если вершины v0 , v1 , . . . , vm лежат в одном симплексе комплекса K, то вершины f (0) (v0 ), f (0) (v1 ), . . . , f (0) (vm ) лежат в одном симплексе комплекса L. Каждое симплициальное отображение f : K → L ориентированных симплициальных комплексов индуцирует отображение ϕ : C(K) → C(L) соответствующих цепных комплексов, которое задается на образующих (т. е. на симплексах) формулой:  0, если dim σ > dim f (σ);  f (σ), если dim σ = dim f (σ) и f|σ сохраняет ориентацию; ϕ(σ) =  −f (σ), если dim σ = dim f (σ) и f|σ обращает ориентацию.

Через f|σ мы обозначили ограничение отображения f на симплекс σ. Поскольку в указанных случаях это ограничение является аффинным изоморфизмом, условия сохранения или изменения ориентации имеют смысл.

20

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.6: Барицентрическое и второе барицентрическое подразделения треугольника Задача 28. Докажите, что ϕ – цепное отображение. Определение. Комплекс K1 называется подразделением комплекса K, если их тела совпадают как подмножества пространства RN , и если каждый симплекс комплекса K1 лежит в некотором симплексе комплекса K. Переход к подразделению обычно осуществляется с помощью разбиения каждого симплекса на более мелкие симплексы так, чтобы эти разбиения были согласованы на гранях. Пример. На рис. 1.6 изображены барицентрическое и второе барицентрическое подразделения треугольника. Задача 29. Докажите, что любой комплекс имеет сколь угодно мелкое подразделение. Теорема 6. (О симплициальной аппроксимации.) Для любого непрерывного отображения f : |K| → |L| тел симплициальных комплексов найдется такое подразделение K1 комплекса K и такое симплициальное отображение g : K1 → L, что g аппроксимирует f в следующем смысле: для любой точки x ∈ |K|, точки f (x) и g(x) лежат в одном симплексе комплeкса L. Термин “аппроксимация” оправдывается следующими обстоятельствами. Eсли подразделение комплeкса L выбрано настолько мелким, что диаметры симплексов не превосходят данного числа ε, то отображение g является ε-аппроксимацией отображения f в метрическом смысле. С другой стороны, заставив каждую точку f (x) равномерно двигаться к точке g(x) по соединяющему их внутри симплекса отрезку, мы получим

1.5. СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

21

Рис. 1.7: Открытые звезды двух вершин, соединенных ребром, пересекаются непрерывную деформацию отображения f в отображение g. Таким образом, g аппроксимирует f в гомотопическом смысле. Приведем точные формулировки. Определение. Отображения f, g : X → Y одного топологического пространства в другое называются гомотопными (обозначение: f ∼ g), если найдется такое непрерывное отображение F : X × I → Y , что F (x, 0) = f (x) F (x, 1) = g(x) для всех x (здесь и дальше I обозначает отрезок [0,1]). Если g – симплициальная аппроксимация отображения f : |K| → |L|, то гомотопию F : |K| × I → |L| между ними можно задать формулой F (x, t) = tg(x) + (1 − t)f (x), которая имеет смысл, поскольку точки f (x), g(x) всегда лежат в одном симплексе. Доказательство теоремы о симплициальной аппроксимации опирается на следующие определения и факты. ◦

Определение. Открытой звездой St (v, K) вершины v в комплексе K называется объединение внутренностей тех симплексов комплекса K, для которых точка v служит вершиной. Если взять объединение замкнутых симплексов, то получится замкнутая звезда St (v, K). Примеры открытых звезд изображены на рис. 1.7. Задача 30. Докажите, что открытая звезда любой вершины v комплекса K является открытым подмножеством тела комплекса.

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

22

Задача 31. Пусть v1 , . . . , vk – вершины комплекса K. Докажите, что пеk ◦ T ресечение St (vi , K) их открытых звезд не пусто тогда и только тогда, i=1

когда на вершины vi натянут симплекс (см. иллюстрацию на рис. 1.7).

Определение. Число δ > 0 называется лебеговым числом покрытия {Uα } метрического пространства X (α пробегает некоторое множество индексов A), если для любого множества Y ⊂ X, диаметр которого не превосходит числа δ, найдется такое α ∈ A, что Y ⊂ Uα . Задача 32. Докажите, что для любого открытого покрытия метрического компакта лебегово число существует. Докажем теперь теорему о симплициальной аппроксимации. Доказательство. Пусть f : |K| → |L| – произвольное непрерывное отображение тел симплициальных комплексов. Для каждой вершины w ком◦

плекса L определим открытое множество Uw = f −1 (St (w, L)) ⊂ K. Тогда семейство подмножеств {Uw }, где w пробегает множество всех вершин комплекса L, является открытым покрытием полиэдра |K|. Пусть δ – лебегово число этого покрытия, и пусть K1 – настолько мелкое подразделение комплекса K, что диаметр звезды каждой вершины комплекса K1 не превосходит δ. Сопоставим каждой вершине v комплекса K1 такую ◦

вершину w комплекса L, что St (v, K1 ) ⊂ Uw , см. рис. 1.8. Вершина w ◦

существует, так как диаметр звезды St (v, K1 ) не превосходит лебегова числа. Если таких вершин несколько, то возьмем одну из них. Это сопоставление определяет отображение g 0 : K10 → L0 вершин комплекса K1 в вершины комплекса L. Докажем, что отображение g 0 обладает следующим свойством: если точки v1 , . . . vk являются вершинами некоторого симплекса комплекса K1 , то их образы w1 = g 0 (v1 ), . . . , wk = g 0 (vk ) также являются вершинами некоторого симплекса комплекса L (некоторые из них могут совпадать). Действительно, так как v1 , . . . vk являются вершинами одного симплекса, то их звезды пересекаются, но тогда пересекаются и звезды вершин w1 , . . . wk комплекса L. Поэтому они тоже являются вершинами одного симплекса. Доказанное свойство гарантирует существование симплициального отображения g : K1 → L, которое продолжает отображение g0 . Разумеется, отображение g аппроксимирует f том смысле, что для любой точки x ∈ |K|, точки f (x) и g(x) лежат в одном симплексе.

1.6. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ГОМОМОРФИЗМЫ В ГОМОЛОГИЯХ 23

Рис. 1.8: Звезда каждой вершины v ∈ K1 содержится в прообразе открытой звезды некоторой вершины w ∈ L Cправедлив относительный вариант теоремы о симплициальной аппроксимации. Теорема 7. (Об относительной симплициальной аппроксимации.) Пусть симплициальные комплексы K, L, их подкомплексы M ⊂ K, N ⊂ L и отображение f : |K| → |L| таковы, что f (|M |) ⊂ |N |. Тогда найдется такое подразделение K1 комплекса K и такое симплициальное отображение g : K1 → L, что для любой точки x ∈ |K|, точки f (x) и g(x) лежат в одном симплексе комплeкса L и для любой точки x ∈ |M |, точки f (x) и g(x) лежат в одном симплексе подкомплeкса N . Задача 33. Докажите относительную теорему о симплициальной аппроксимации.

1.6

Индуцированные гомоморфизмы в гомологиях

Имея теорему о симплициальной аппроксимации и зная, как симплициальное отображение индуцирует гомоморфизмы в гомологиях, нетрудно определить индуцированные гомоморфизмы f∗ : Hn (K) → Hn (L) для произвольного отображения f : |K| → |L|. Определение. Пусть f : P → Q – произвольное отображение полиэдров и g : K → L – любое гомотопное ему симплициальное отображение

24

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.9: Пленка G(a × I) ограничивает разность g∗ (a) − g∗′ (a) триангулирующих их симплициальных комплексов (такое отображение g существует по теореме о симплициальной аппроксимации). Тогда мы определяем гомоморфизмы f∗ : Hn (P ) → Hn (Q) равенствами f∗ = g∗ для всех n. Необходимо убедиться в корректности этого определения, т. е. доказать, что если g ′ : K ′ → L – другая симплициальная аппроксимация отображения f , то g∗ = g∗′ . Идея доказательства такова: из f ∼ g и f ∼ g ′ следует, что g ∼ g ′ , т. е. что существует такое отображение F : P ×I → Q, что F (x, 0) = g(x) и F (x, 1) = g ′ (x). По относительной теореме о симплициальной аппроксимации, примененной к отображению F (которое является симплициальным на верхнем и нижнем основаниях цилиндра P × {0, 1}), его можно заменить на отображение G : P × I → Q, которое для некоторой триангуляции полиэдра P × I является симплициальным и которое переводит P × {0, 1} в g(K) ∪ g ′ (K ′ ). Пусть теперь a – произвольный цикл в K. Мы хотим доказать, что циклы g∗ (a), g∗′ (a) гомологичны, т. е. что их разность является границей некоторой цепи. Геометрическая заготовка такой ограничивающей цепи является образом цилиндра a × I при гомотопии G. Так как ∂(a × I) = ∂a × I ∪ a × ∂I = a × ∂I = a × {0} − a × {1}, то ∂G(a × I) = G∂(a × I) = G(a×{0}−a×{1}) = g∗ (a)−g∗′ (a). Это и означает, что разность g(a)−g ′ (a) является границей, т. е. что циклы g∗ (a) и g∗′ (a) определяют один и тот же элемент в гомологиях. См. рис. 1.9. Приведенная идея позволит лучше понять строгое доказательство (см., например, [11]), в котором, в частности, объясняется, как можно триангулировать прямое произведение K ×I, и почему с алгебраическим

1.7. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ

25

объектом (циклом a) можно обращаться как с геометрическим объектом, умножая его, скажем, на I. Задача 34. Докажите, что суперпозиция отображений индуцирует суперпозицию гомоморфизмов и что тождественное отображение индуцирует тождество в гомологиях. Теорема 8. Пусть f, g : P → Q – гомотопные отображения одного полиэдра в другой. Тогда индуцированные гомоморфизмы f∗ , g∗ : Hn (P ) → Hn (Q) совпадают для всех n. Доказательство теоремы прямо следует из корректности определения индуцированных гомоморфизмов в гомологиях. Действительно, любая симплициальная аппроксимация отображения f одновременно является симплициальной аппроксимацией отображения g, правда, только в гомотопическом смысле, но этого достаточно. Задача 35. Докажите, что из гомотопической эквивалентности полиэдров X и Y следует изоморфность всех их групп гомологий.

1.7

Степень отображения многообразий

Напомним, что топологическое пространство M называется n-мерным многообразием, если любая точка x ∈ M имеет окрестность U , гомеоморфную некоторой области V в пространстве Rn . Любая конкретная окрестность U вместе с конкретным гомеоморфизм ϕ : U → V называется картой многообразия M . На эту карту можно смотреть как на локальную систему координат: в качестве координат точки x ∈ U можно взять координаты ее образа ϕ(x) в Rn . Любая совокупность карт, покрывающих все M , называется атласом. Если области определения U, U ′ двух карт ϕ : U → V и ψ : U ′ → V ′ пересекаются по непустому множеству Z, то определен гомеоморфизм (или функция) перехода ψϕ−1 : ϕ(Z) → ψ(Z), см. рис. 1.10. Чтобы избежать патологических примеров, обычно требуют, чтобы многообразие было хаусдорфовым топологическим пространством со счетной базой. Часто рассматривают многообразия с введенными на них дополнительнымы структурами. Чтобы задать такую структуру, нужно выделить некоторый класс C гомеоморфизмов областей пространства

26

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.10: Функции перехода являются гомеоморфизмами областей в Rn Rn , который должен быть замкнут по отношению к взятию ограничения на меньшие области, взятию обратного гомеоморфизма и взятию суперпозиции в тех случаях, когда она определена. Приведем несколько примеров. 1. Многообразие называется гладким, если оно имеет атлас, все функции перехода которого являются диффеоморфизмами между областями пространства Rn . Гладкие многообразия хороши тем, что к ним можно применять мощный аппарат математического анализа, разработанный для областей в Rn . Например, можно говорить о гладких функциях и гладких отображениях гладких многообразий, об особых и неособых точках, о регулярных и критических значениях. Все эти понятия переносятся со случая Rn на случай произвольного гладкого многообразия с помощью введения локальной системы координат в окрестности рассматриваемой точки. При этом выбор конкретной системы не имеет значения, поскольку при диффеоморфизмах смысл рассматриваемых понятий сохраняется. 2. Многообразие называется кусочно-линейным (или PL-многообразием (от слов piecewise linear), если оно имеет атлас, все функции перехода которого являются кусочно-линейными (т.е. симплициальными в некоторых триангуляциях) гомеоморфизмами между областями пространства Rn . Поскольку области некомпактны, здесь приходится рассматривать их бесконечные триангуляции. Известно, что

1.7. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ

27

замкнутое многообразие является кусочно-линейным тогда и только тогда, когда оно обладает такой триангуляцией, что замкнутая звезда любой вершины кусочно-линейно гомеоморфна стандартному симплексу. 3. Гладкое многообразие называется ориентируемым, если оно имеет атлас, все функции перехода которого сохраняют ориентацию пространства Rn . При этом сохранение ориентации эквивалентно требованию положительности якобиана функций перехода во всех точках. Аналогичным образом определяется ориентирумость кусочно линейного многообразия: для некоторого атласа функции перехода, которые являются симплициальными гомеоморфизмами, сохраняют ориентации всех симплексов старшей размерности. Триангулированное многообразие размерности n ориентируемо тогда и только тогда, его n-мерные симплексы можно ориентировать когерентно, т. е. так, чтобы для любого (n − 1)-мерного симплекса его ориентации, индуцированные ориентациями двух прилегающих к нему n-мерных симплексов, были противоположными. Задача 36. Дайте определения евклидова, гиперболического, комплексноаналитического, конформного и липшицева многообразия (знать смысл этих терминов вовсе не обязательно). Теорема 9. Для любого связного замкнутого триангулированного многообразия M размерности n группа Hn (M ) равна Z, если M ориентируемо, и тривиальна, если нет. n Доказательство. Сумма σ1n +· · ·+σm когерентно ориентированных симплексов старшей размерности является циклом. Поскольку (n+1)-мерных симлексов нет, то и соотношений нет, т. е. мы получаем нетривиальный элемент группы Hn (M ). Все остальные циклы старшей размерности n должны быть кратными циклу σ1n +· · ·+σm , поскольку в любой n-мерной цепи, задающей цикл, коэффициенты при когерентно ориентированных соседних симплексах должны быть одинаковыми. По аналогичной причине отсутствие когерентных ориентаций симплексов гарантирует тривиальность группы Hn (M ) в случае неориентируемого многообразия.

Стоит отметить, что если M несвязно, то Hn (M ) = Z ⊕ · · · ⊕ Z, где число слагаемых Z совпадает с числом ориентируемых компонент многообразия M .

28

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.11: Степень отображения равна разности чисел симплексов, отображающихся на данный симплекс σ ⊂ N с сохранением и, соответственно, изменением ориентации Итак, для любого замкнутого ориентированного многообразия M размерности n группа Hn (M ) изоморфна группе Z. Так как любой гомоморфизм Z → Z есть умножение на целое число, то это позволяет ввести понятие степени отображения. Определение. Пусть f : M → N – некоторое симплициальное отображение одного замкнутого ориентированного триангулированного многообразия размерности n на другое и f∗ : Hn (M ) → Hn (N ) индуцированный гомоморфизм. Тогда целое число f∗ (1) называется степенью отображения f и обозначается deg f . Сразу отметим, что из этого определения и теоремы 8 сразу следует, что степень не меняется при гомотопии отображения. Степень отображения имеет ясный геометрический смысл. Пусть σ – произвольный n-мерный симплекс многообразия N , и пусть σ1 , . . . , σm – все те n-мерные симплексы его полного прообраза, которые данное отображение f переводит на σ с помощью аффинного изоморфизма. Будем считать, что ориентации симплексов σi и σ согласованы с заданными ориентациями многообразий M и N . Сопоставим каждому симплексу σi число 1, если ограничение отображения f на σi сохраняет ориентацию, и −1, если меняет, см. рис. 1.11. Тогда из определения степени отображения легко следует, что она равна сумме поставленных чисел. Разумеется, если отображение f не симплициально, то для вычисления степени его нужно предварительно аппроксимировать симплициальным.

1.7. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ

29

Задача 37. Окружность |z| = 1 отображается на себя с помощью отображения f , задаваемого формулой f (z) = z n . Найдите степень этого отображения. Единственная трудность, которая может возникнуть при решении этой задачи, состоит в переходе в симплициальную категорию: оба экземпляра окружности (область определения и область значений) нужно заменить на сиплициальные комплексы, а отображение f сделать симплициальным, см. решение этой задачи в конце книги. Нельзя ли научиться вычислять степень гладкого отображения гладких многообразий, не выходя за рамки гладкой категории? Можно, и иногда такой подход оказывается удобнее. Напомним, что точка x ∈ M называется особой точкой гладкого отображения f : M → N гладкого многообразия M размерности m на гладкое многообразия N размерности n ≤ m, если для некоторых (и тогда любых) локальных систем координат (x1 , . . . , xm ) в окрестности точки x и (y1 , . . . , yn ) в окрестности точки y = f (x) ранг матрицы Якоби (∂yi /∂xj ) меньше n (т. е. не максимален). Точка y ∈ N называется регулярным значением, если в ее прообразе нет особых точек, и критическим значением, если в ее прообразе особые точки есть. По знаменитой теореме Сарда (см., например, [?]) множество критических значений любого гладкого отображения одного многообразия на другое мал´о. Строгий смысл последнего слова выражается по-разному. Например, говорят, что это множество имеет меру 0 или что оно имеет первую категорию (является объединением счетного семейства нигде не плотных множеств). Нам будет нужно только одно свойство: дополнение к множеству критических значений (т.е. множество регулярных значений) всегда непусто. Пусть f : M → N – гладкое отображение одного замкнутого ориентированного n-мерного многообразия на другое. Выберем его регулярное значение b ∈ N . Тогда из теоремы об обратной функции и соображений компактности следует, что полный прообраз f −1 (b) ⊂ M состоит из конечного числа неособых точек a1 , . . . , as ∈ M . Сопоставим каждой точке ak число εk = 1 или εk = −1, в зависимости от того, какой знак в этой точке имеет определитель матрицы Якоби (∂yi /∂xj ) (этот определитель отличен от нуля, так как матрица Якоби квадратна и имеет ранг n). См. рис. 1.12. P Определение. Число si=1 εi , т.е. разность числа положительных и числа отрицательных точек в прообразе f −1 (b) ⊂ M , называется гладкой

30

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.12: Степень гладкого отображения равна разности числа точек прообраза с положительными и отрицатеотными якобианами степенью отображения f . Разумеется, гладкая степень совпадает со степенью, введенной ранее в терминах индуцированного гомоморфизма в старших гомологиях, см. определение 1.7. На интуитивном уровне справедливость этого факта сомнений не вызывает: достаточно сравнить рисунки 1.11 и 1.12. Его строгое доказательство можно получить путем перехода в категорию кусочно-гладких многообразий и отображений, в которой оба способа вычисления имеют смысл. Из совпадения степеней следует, что гладкие степени гомотопных гладких отображений равны. Приведем полезную геометрическую иллюстрацию этого факта. Пусть f0 , f1 : M → N – два гомотопных отображения одного замкнутого ориентированного n-мерного многообразия на другое, и пусть F : M × I → N – гладкая гомотопия между ними. Выберем регулярное значение b ∈ N отображения F . Из теоремы о неявной функции следует, что его полный прообраз F −1 (b) состоит из гладких дуг с концами на основаниях N × {0, 1} цилиндра N × I и, возможно, нескольких гладких замкнутых дуг внутри него. При этом концы одной дуги имеют одинаковые знаки, если они расположены на разных основаниях цилиндра, и разные, если на одном. См. рис. 1.13. Это и обеспечивает равенство degs (f0 ) = degs (f1 ).

1.8

Применение степени

В этом разделе мы рассмотрим несколько классических примеров применения степени отображения и один новый. Начнем с гомотопической

1.8. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ

31

Рис. 1.13: Сумма чисел на верхнем основании цилиндра M × I равна сумме чисел на нижнем основании

Рис. 1.14: Замкнутый путь в кольце задает отображение окружности на окружность классификации отображений окружности на окружность. Каждое отображение f : S11 → S21 одной окружности в другую можно понимать как параметризованный путь в S21 , который начинается и заканчивается в одной и той точке. При движении по этому пути мы совершаем вокруг окружности некоторое целое число оборотов. Это число совпадает со степенью отображения f , вернее, понятие степень является формализацией интуитивно ясного, но не очень строгого, понятия “общее число оборотов”. Так как кольцо гомотопически эквивалентно окружности, то вместо замкнутых путей в окружности можно рассматривать замкнутые пути в кольце. Задача 38. Какое общее число оборотов вокруг отмеченной точки совершает замкнутый путь, изображенный на рис. 1.14? Теорема 10. Отображения f, g : S 1 → S 1 гомотопны ⇐⇒ deg f = deg g.

32

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.15: Построение гомотопии между отображениями одинаковой степени Доказательство. Часть =⇒ следует из определения степени и теоремы 8 о том, что гомотопные отображения одного полиэдра в другой индуцируют одни и те же гомоморфизмы всех групп гомологий. Пусть степени отображений f, g равны одному и тому же числу n. Будем считать, что отображения гладкие. Построим отображение F : S 1 × I → S 1 следующим образом. 1. На нижнем и верхнем основаниях цилиндра S 1 × {0} и S 1 × {1} отображение F должно совпадать с отображениями f и g. 2. Пусть y0 ∈ S 1 – такое общее регулярное значение отображений f и g, что его полные прообразы x1 , . . . xk ∈ S 1 × {0}, x′1 , . . . x′m ∈ S 1 × {1} на основаниях цилиндра не пусты. Как и выше, все эти точки снабжены числами ±1 так, что суммы этих чисел для точек и нижнего, и верхнего основания равны n. Соединим эти точки непересекающимися дугами в цилиндре так, чтобы каждая дуга с концами на одном основании соединяла точки различных знаков и каждая дуга с концами на различных основаниях соединяла точки одного знака. При этом хотя бы одна дуга второго типа должна присутствовать. 3. Все проведенные дуги мы отобразим в точку y0 , а затем продолжим это отображение до отображения ленточных окрестностей этих дуг в малую дугу ℓ0 ⊂ S 1 так, как это показано на рисунке 1.15. 4. Каждая из оставшихся областей цилиндра гомеоморфна диску, причем ее граничная кривая отображается в дугу ℓ1 ⊂ S 1 , дополнительную к дуге ℓ0 . Поэтому построенное отображение объединения оснований цилиндра и лент можно продолжить до отображения всего цилиндра в

1.8. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ

33

Рис. 1.16: Затягивание петли S 1 . Это и дает искомую гомотопию. Из этой теоремы следует, что любое отображение окружности на себя либо гомотопно постоянному отображению в точку (когда его степень равна нулю), либо n-кратной намотке в положительном или отрицательном направлении, в зависимости от знака степени. В качестве следующего применения понятия степени мы докажем теорему Уитни о регулярно-гомотопической классификации погружений окружности в плоскость. Определение. Гладкое отображение f : S 1 → R2 называется погружением, если оно не имеет особых точек, т.е. если вектор скорости никогда не обращается в 0. Часто такие отображения называются регулярными кривыми. Определение. Погружения f, g : S 1 → R2 называются регулярно гомотопными, если найдется такое гладкое отображение F : S 1 × I → R2 , что F (x, 0) = f (x) F (x, 1) = g(x) для всех x и отображение Ft : S 1 → R2 , заданное формулой Ft (x) = F (x, t), при всех значениях параметра t ∈ I является погружением. Здесь уместно напомнить, что гладкое отображение F бесконечно дифференцируемо. Поэтому вектор скорости отображения Ft непрерывно (и даже гладко) зависит и от параметра t, и от своей начальной точки. Отсюда следует, что гомотопия, изображенная на рис. 1.16, не является регулярной, хотя кривая в каждый момент времени выглядит погружением. Причина в том, что в отмеченной точке вектор скорости обращается в нуль.

34

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.17: Стандартные погружения окружности Пусть f : S 1 → R2 – погружение. Сопоставим каждой точке x ∈ S 1 конец отложенного от начала координат единичного вектора v(t)/|v(t)|, где v(t) = f ′ (t) – вектор скорости. Мы получим отображение vf : S 1 → S 1 . Оказывается, регулярно-гомотопический класс погружения f полностью определяется степенью отображения vf . Это число называется числом закручивания (writhe number) погружения f и обозначается w(f ). Теорема 11. Теорема Уитни. Для любого целого числа n существует такое погружение f : S 1 → R2 , что w(f ) = n. При этом погружения f, g : S 1 → R2 регулярно гомотопны ⇐⇒ w(f ) = w(g). Доказательство. Справедливость первого утверждения теоремы очевидна из рис. 1.17. На нем изображены погружения с любым числом закручивания n ≥ 0. Назовем их стандартными. Стандартные погружения с отрицательными числами закручивания получаются из положительных погружений обращением направлений обхода. Для n 6= 0 модуль числа n на единицу больше числа петель, а его знак определяется направлением обхода кривой. На рисунке изображена также другая форма стандартного вложения с n 6= 0: это просто n-кратная намотка на стандартную окружность в нужном направлении. Так как при регулярной гомотопии погружения f отображение vf подвергается гомотопии, то часть =⇒ второго утверждения теоремы следует из теоремы 10. Для доказательства импликации ⇐= мы покажем, как любое погружение можно с помощью регулярной гомотопии перевести в одно из стандартных. 1. Пусть f : S 1 → R2 – данное погружение. Сначала мы найдем в нем простую петлю, т.е. участок погруженной окружности, который начинается и заканчивается в одной и той же точке плоскости и не имеет других точек самопересечения. Найти такую петлю легко. Для этого нужно, начиная с некоторой точки, двигаться по кривой до тех пор, пока мы не

1.8. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ

35

Рис. 1.18: Приручение петель

Рис. 1.19: Устранение соседних петель попадем в уже пройденную точку. Эта точка и будет началом искомой петли. См. рис 1.18 слева. 2. Потом с помощью регулярной гомотопии мы, не затягивая петлю до конца, сделаем ее настолько маленькой (почти невидимой), что в дальнейшем на нее можно будет не обращать внимания и оперировать с кривой так, как будто этой петли нет. См. рис 1.18 справа. 3. Выполняя такие операции до тех пор, пока это возможно, мы получим окружность с несколькими маленькими петлями. Эти петли делятся на внутренние и внешние. На рис. 1.19 показано, как с помощью регулярной гомотопии устранить любую пару соседних разносторонних петель. Такими устранениями можно добиться, чтобы все петли лежали с одной стороны. 4. Если все петли внутренние, то мы имеем дело со стандартным погружением. Допустим, что все петли внешние и их число больше единицы. Выделим одну из петель и переместим внутрь нее все оставшиеся петли с помощью регулярной гомотопии, см. рис. 1.20. Затем мы устраня-

36

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.20: Превращение внешних петель во внутренние ем полученную пару соседних разносторонних петель и опять получаем стандартное погружение. 5. В единственном оставшемся случае, когда внешняя петля одна, а внутренних нет, мы имеем стандартное вложение с нулевым числом закручивания (восьмерку). Задача 39. Дайте регулярно-гомотопическую классификацию погружений окружности в сферу S 2 . Докажем теперь основную теорему алгебры о разрешимости полиномиального уравнения. Разумеется, есть много хороших доказательств этой теоремы, но приводимое ниже является, по-видимому, наиболее концептуальным. Теорема 12. Основная теорема алгебры. Любой полином ненулевой степени имеет корень (комплексный или действительный). Доказательство. Пусть P (z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 – данный полином. Представим сферу S 2 в виде расширенной комплексной плоскости C ∪ ∞. Такое представление снабжает сферу структурой комплексного многообразия. Удобнее всего покрыть ее двумя двумя картами: сферой с удаленным южным полюсом и сферу с удаленным северным полюсом. Гомеоморфизмы этих областей на комплексную плоскость Cz с координатой z и комплексную плоскость Cw с координатой w задаются с помощью стереографических проекций ϕ : S 2 \ S → Cz \ {0} и ψ : S 2 \ N → Cw \ {0}. См. рис. 1.21, на котором хорошо видно, почему функция перехода ψϕ−1 : Cz \ {0} → Cw \ {0} задается формулой w = 1/z (при условии, что диаметр сферы равен 1). Определим отображения P, E сферы S 2 = Cz ∪ ∞ на себя правилом P (z) = z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 , E(z) = z n при z 6= ∞ и P (z) = E(z) = ∞ при z = ∞. Докажем, что эти отображения гомотопны. Действительно,

1.8. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ

37

Рис. 1.21: Из подобия треугольников SN C и SAN следует, что |z||w| = 4R2 , где R – радиус сферы, а z и w – комплексные координаты точек A и C, соответственно правило F (z, t) = z n + t(an−1 z n−1 + · · · + a0 ) при z 6= ∞ и F (z, t) = ∞ при z = ∞ и всех t ∈ [0, 1] задает гомотопию между ними, поскольку F (z, 1) = P (z) и F (z, 0) = E(z). На первый взгляд, эта гомотопия может плохо себя вести в окрестности точки z = ∞ (например, быть разрывной). Однако, это затруднение легко устраняется путем перехода к координате w = 1/z. Так как переписанная в координате w формула для гомотопии имеет вид G(w, t) =

wn 1 + t(an−1 wn−1 + · · · + a0 )

,

то при малых w (когда |an−1 wn−1 + · · · + a0 | < 1 и поэтому знаменатель не обращается в 0) гомотопия не только непрерывна, но и дифференцируема. По тем же причинам отображения P и E не только непрерывны, но и голоморфны, т.е. дифференцирумы в комплексном смысле. Сопоставим теперь следующие факты. 1. Степень отображения E равна n. Действительно, прообраз любой точки a 6= 0, ∞ сферы S 2 состоит ровно из n точек (корней n-ой степени из a), причем якобиан в каждой из них положителен. Последнее верно для любой регулярной точки любой голоморфной функции f : C → C. Если эту функцию переписать в действительных координатах как f (x+iy) = u(x, y)+v(x, y)i, то, в силу условий Коши-Римана ux = vy , uy = −vx (так для краткости мы обозначаем

38

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ ¯ ¯ ¯ ux uy ¯ ¯ = u2x + u2y всегда положичастные производные) якобиан ¯¯ vx vy ¯ телен. 2. Поскольку отображение P гомотопно отображению E, то его степень тоже равна n. 3. Наконец, если полином P (z) не имеет корней, то степень определяемого им отображения P равна 0, поскольку прообраз нуля (который является регурным значением) пуст.

Из этих трех фактов следует, что любой многочлен ненулевой степени имеет корень. Полезно отметить, что на самом деле доказано нечто большее: почти для всех правых частей a ∈ C уравнение P (z) = a имеет ровно n корней. Более точно, число различных корней равно n для любого регулярного значения a отображения P . В качестве следующего применения степени мы докажем простую теорему о волосатом шаре. Она утверждает что такой шар нельзя причесать так, чтобы волосы всюду прилегали к нему. Теорема 13. Любое непрерывное касательное векторное поле на сфере S 2 имеет особую точку, т.е. точку, в которой оно обращается в нуль. (См. рис. 1.22 слева, на котором изображены траектории векторного поля с одной особой точкой). Доказательство. Обозначим через r антиподальное отображение сферы на себя, которое каждую точку A ∈ S 2 переводит в диаметрально противоположную точку A′ . Степень этого отображения равна −1, поэтому оно не гомотопно тождественному отображению, степень которого равна 1. Для доказательства теоремы будем рассуждать от противного: допустим, что данное векторное поле не имеет особых точек. Тогда заставим каждую точку A ∈ S 2 равномерно двигаться в противоположную точку A′ по полуокружности той большой окружности, которая проходит через точки A, A′ и касается исходящего из точки A вектора данного поля. При этом из двух возможных полуокружностей нужно выбрать ту, куда показывает вектор поля. См. рис. 1.22 справа. Нетрудно показать, что это правило задает гомотопию между антипоидальным отображением r и тождеством, что невозможно.

1.8. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ

39

Рис. 1.22: Траектории векторного поля с одной особой точкой (слева). Каждая точка A движется к своему антиподу A′ по большой полуокружности (справа). Приведем теперь один новый пример применения степени отображения – решение задачи о числе общих касательных к двум погруженным окружностям. Автор благодарен М. Поляку, который познакомил его с этой задачей и ее красивым решением. Пусть f, g : S 1 → R2 – два погружения окружности, образы которых, являющиеся погруженными замкнутыми кривыми, лежат в непересекающихся полуплоскостях. Сколько они могут иметь общих касательных? Если кривые являются стандартными круглыми окружностями, то ответ очевиден: ровно 4. А сколько есть общих касательных в общем случае, когда, скажем, числа закручивания w(f ), w(g) рассматриваемых кривых произвольны? На первый взгляд, этот вопрос не очень осмыслен, поскольку небольшое возмущение одной из кривых может привести к появлению одной или нескольких общих касательных, см. рис. 1.23. Однако, постановку задачи можно немного поправить так, чтобы она стала корректной. Причина появления новых касательных в случае (A) состоит в наличиии вырожденного (в нашем случае кубического) касания. Чтобы ее устранить, потребуем, чтобы все общие касательные были невырожденными. Это означает, что кривизны обеих кривых во всех точках касания были отличны от нуля, т.е. чтобы касание было квадратичным. В случае (B) трудность полностью устраняется путем учета кратностей касательных. Если прямая касается первой кривой в точках a1 , . . . , ak

40

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.23: Три причины появления или исчезновения общих касательных: кубической касание (A), кратное касание (B), зигзаг (C) и второй в точках b1 , . . . , bl , то ее нужно рассматривать как kl касательных, по одной для каждой пары точек ai , bj . Это вполне естественно, так как ровно столько касательных появляется при небольшом возмущении кривой. Случай (C) сложнее, в нем избавиться от пары новых касательных не удается. Выход состоит в том, чтобы снабдить общие касательные знаками ±1 так, чтобы касательные каждой появляющейся пары имели разные знаки и поэтому сокращались при подсчете. Пусть l – прямая, которая касается кривых f и g точках f (t0 ) и g(τ0 ), соответственно, где t и τ – параметры на двух экземплярах окружности S 1 . Сопоставим точке f (t0 ) знак δ1 = ±1, в зависимости от того, в каком направлении (положительном или отрицательном) вращается вектор скорости v(t) = f ′ (t) при переходе параметра t через значение t = t0 . Знак δ2 точки g(τ0 ) определяется аналогично. Теперь мы готовы определить знак εl общей касательной l: он равен произведению δ1 δ2 . Нетрудно проверить, что общие касательные, появляющиеся в случае (C), имеют разные знаки. Определение. Пусть все общие касательные двух погруженных кривых f, g невырождены, причем n+ из них положительны, n− – отрицательны. Тогда разность n+ − n− называется приведенным числом общих

1.8. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ

41

Рис. 1.24: Сопоставление паре (t, τ ) пары (α, β) касательных и обозначается t(f, g). Теорема 14. Пусть f, g – два погружения окружности в плоскость, образы которых лежат в непересекающихся полуплоскостях и все общие касательные которых невырождены. Тогда t(f, g) = 4w(f )w(g), где w(f ), w(g) – числа закручивания погружений. Доказательство. Пусть f : St1 → R2 , g : Sτ1 → R2 – данные погружения, где t и τ – параметры на окружностях. Через u(t, τ ) мы будем обозначать вектор, идущий из точки f (t) в точку g(τ ). Обозначим также через α(t, τ ), β(t, τ ) измеряемые в положительном направлении углы между вектором u(t, τ ) и векторами скорости vf (t) = f ′ (t) и vg (τ ) = g ′ (τ ), см. рис. 1.24. Разумеется, углы рассматриваются по модулю 2π. Тогда сопоставление паре (t, τ ) пары (α(t, τ ), β(t, τ ) задает отображение Cf g : St1 × Sτ1 → Sα1 × Sβ1 одного тора на другой. Мы утверждаем, что приведенное число t(f, g) общих касательных равно учетверенной степени этого отображения, т.е. числу 4 deg(Cf g ). Доказательство этого утверждения следует из следующих наблюдений. 1. Прямая, проходящая через точки f (t), g(τ ) касается кривых в этих точках тогда и только тогда, когда углы α(t, τ ), β(t, τ ) равны 0 по модулю π, т.е. когда точка (t, τ ) лежит в прообразе одной из точек (0, 0), (0, π), (π, 0), (π, π). 2. Точки (0, 0), (0, π), (π, 0), (π, π) являются регулярными значениями отображения Cf g . Это следует из невырожденности всех общих касательных, поскольку если прямая l касается первой кривой в точке f (t) и второй кривой в точке g(τ ), то αt′ (t, τ ) 6= 0, βτ′ (t, τ ) 6= 0, тогда как ατ′ (t, τ ) = βt′ (t, τ ) = 0. Поэтому определитель αt′ (t, τ )βτ′ (t, τ )

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

42

матрицы Якоби отличен от нуля. Более того, так как знаки производных αt′ (t, τ ), βτ′ (t, τ ) показывают направления вращения касательных векторов, то знак этого определителя совпадает со знаком касательной l. 3. Отсюда следует, что разность m+ − m− числа положительных и числа отрицательных касательных типа (0, 0) совпадает со степенью отображения deg(Cf g ). Аналогичные утверждения верны и для касательных типов (0, π), (π, 0), (π, π). Поэтому t(f, g) = 4 deg(Cf g ). Заметим, что при замене кривых f, g на регулярно гомотопные (разумеется, в процессе регулярной гомотопии кривые не должны пересекаться) отображение Cgf заменяется на гомотопное. Поэтому его степень, а вместе с ним и приведенное число касательных t(f, g) сохраняются. Поэтому для завершения доказательства достаточно убедиться, что она верна для стандартных погружений окружности. Это нетрудно. Например, в случае w(f ) 6= 0, w(g) 6= 0 в качестве стандартных погружений можно взять намотки соответствующей кратности на расположенные вне друг друга стандартные окружности. Тогда каждая из 4 общих касательных к этим окружностям размножается в Cgf касательных к намоткам.

1.9

Относительные гомологии

Последовательность групп гомологий можно сопоставить не только пространству, но и паре пространств, из которых одно является подпространством другого. Гомологии пары пространств (относительные гомологии или гомологии по модулю) тесно связаны с гомологиями каждого из них и поэтому связывают их друг с другом. Определение и свойства относительных гомологий мало отличаются от определения и свойств абсолютных гомологий. Поэтому мы ограничимся краткими комментариями. При этом полезно иметь в виду, что относительные гомологии комплекса (или пространства) по модулю пустого множества совпадают с абсолютными, т. е. группы Hn (K) и Hn (K, ∅) всегда изоморфны. Пусть L – подкомплекс комплекса K. Относительная группа цепей Cn (K, L) пары (K, L) определяется как свободная абелева группа, порожденная симплексами из K \ L. Оператор ∂n : Cn (K, L) → Cn−1 (K, L)

1.9. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ГОМОЛОГИИ

43

Рис. 1.25: Относительная граница цепи σ1 + σ2 + σ3 не совпадает с ее абсолютной границей, поскольку ребра δ1 , δ2 не входят в первую, но входят во вторую задается формулой ∂n (σ) =

X

εi δi ,

δi

где числа εi имеют тот же смысл, что и в абсолютном случае, а суммирование берется по всем тем (n − 1)-мерным симплексам δi комплекса K, которые не лежат в L. См. рис. 1.25. Можно дать и другое описание оператора ∂n . Напомним, что каждая n-мерная цепь комплекса Cn (K, L) является линейной комбинацией n-мерных симплексов комплекса K и поэтому является цепью комплекса Cn (K). Поэтому гомоморфизм ∂n в относительных цепях совпадает с суперпозицией гомоморфизмома ∂n в абсолютных цепях и оператора забывания про те симплексы комплекса K, которые лежат в подкомплексе L. Непосредственно проверяется, что группы относительных цепей и операторы ∂n образуют цепной комплекс C(K, L), который называется относительным цепным комплексом пары (K, L). Его гомологии называются относительными гомологиями пары (K, L). Более подробно, группа циклов An (K, L) по определению есть ядро гомоморфизма ∂n , группа границ Bn (K, L) – образ гомоморфизма ∂n+1 , группа относительных гомологий Hn (K, L) есть факторгруппа An (K, L)/Bn (K, L). Как и в абсолютном случае, любое симплициальное отображение пар f : (K, L) → (K1 , L1 ) (т. е. такое симплициальное отображение f : K → K1 , что f (L) ⊂ L1 ) индуцирует гомоморфизмы f∗ : Hn (K, L) → Hn (K1 , L1 ).

44

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Теорема 15. Пусть комплексы X, Y пересекаются по комплексу Z, который является подкомплексом каждого из них. Тогда вложение i пары (X, Z) в пару (X ∪ Y, Y ) индуцирует изоморфизм в гомологиях. Доказательство. Очевидно, так как цепные комплексы для пар (X, Z), (X ∪ Y, Y ) просто совпадают (они построены на одних и тех же симплексах). Для лучшего понимания относительных гомологий очень полезно продумать вопрос: чем относительные гомологии пары (K, L) отличаются от абсолютных гомологий замыкания разности K \ L.

1.10

Точная последовательность гомологий

Для описания связи абсолютных гомологий пространств и относительных гомологий пары очень полезен язык точных последовательностей. Определение. Последовательность групп и гомоморфизмов ϕn+1

ϕn

. . . −→ An+1 −→ An −→ An−1 −→ . . . называется точной, если ядро каждого следующего гомоморфизма совпадает с образом предыдущего, т. е. если Ker ϕn = Im ϕn+1 для любого n. Из этого определения следует, что всякая бесконечная в обе стороны точная последовательность групп является цепным комплексом. Все группы гомологий этого комплекса тривиальны. Верно и обратное: каждый цепной комплекс с тривиальными группами гомологий является точной последовательностью. Поэтому группы гомологий цепного комплекса являются в некотором смысле мерой его неточности. Разумеется, можно говорить о точности конечной последовательности или последовательности, бесконечной только в одну сторону. При этом никаких условий на ядро самого левого (имеющего наибольший номер) или на образ самого правого (имеющего наименьший номер) гомоморфизма не накладывается Задача 40. Что можно сказать про гомоморфизм ϕ в точной последоваϕ ϕ тельности 0 −→ A −→ B? В точной последовательности A −→ B −→ 0? ϕ В точной последовательности 0 −→ A −→ B −→ 0?

1.10. ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ГОМОЛОГИЙ

45

Задача 41. Объясните, почему из точности последовательности 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 следует, что C = B/A. Аналогично точной последовательности групп определяется точная последовательность цепных комплексов и цепных отображений: требуется, чтобы ее ограничение на каждую размерность давало точную последовательность групп. В частности, короткая последовательность p

i

0 −→ C′ −→ C −→ C′′ −→ 0 цепных комплексов точна тогда и только тогда, когда для каждого n точна короткая последовательность p

i

0 −→ Cn′ −→ Cn −→ Cn′′ −→ 0 их групп цепей. Замечание. В предыдущей последовательности мы опустили индексы у гомоморфизмов in и pn , поскольку они совпадают с номерами их областей определения. В дальнейшем, чтобы упростить обозначения, мы будем делать то же самое. Примеры коротких точных последовательностей цепных комплексов проще всего извлечь из геометрии. Из определения относительного цепного комплекса C(K, L) пары (K, L) симплициальных комплексов сразу следует, что последовательность p

i

0 −→ C(L) −→ C(K) −→ C(K, L) −→ 0, в которой гомоморфизм i индуцирован вложением комплекса L в комплекс K, а гомоморфизм p состоит в забывании про те симплексы комплекса K, которые лежат в L, точна. Теорема 16. Пусть цепные комплексы C, C′ , C′′ связаны короткой точной последовательностью p

i

0 −→ C′ −→ C −→ C′′ −→ 0. Тогда можно так определить связующие гомоморфизмы δ, что имеет место длинная (бесконечная в обе стороны) точная последовательность групп гомологий: i

p∗

δ

∗ Hn (C) −→ Hn (C ′′ ) −→ Hn−1 (C ′ ) −→ . . . . . . . −→ Hn (C ′ ) −→

46

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Доказательство. Чтобы определить гомоморфизмы δ, нарисуем коммутативную диаграмму и применим к ней метод диаграммного поиска. ... ... ... ↓∂ ↓∂ ↓∂ p i ′′ ′ −→ 0 0 −→ Cn+1 −→ Cn+1 −→ Cn+1 ↓∂ ↓∂ ↓∂ p i 0 −→ Cn′ −→ Cn −→ Cn′′ −→ 0 ↓∂ ↓∂ ↓∂ p i ′ ′′ 0 −→ Cn−1 −→ Cn−1 −→ Cn−1 −→ 0 ↓∂ ↓∂ ↓∂ ... ... ... На уровне циклов гомоморфизм δ определяется формулой δ = i−1 ∂p−1 . Понимать эту формулу нужно так: пусть h ∈ Hn (C′′ ). Выберем представляющий его цикл a ∈ An (C′′ ) ⊂ Cn′′ . Так как гомоморфизм p эпиморфен (дальше стоит 0!), то можно найти t ∈ p−1 (a) ∈ Cn . Из коммутативности диаграммы следует, что p∂(t) = ∂p(t) = ∂a = 0, поэтому ∂t ∈ Ker p = Im i. Таким образом, определен элемент x = i−1 ∂(t). Так как i∂(x) = ∂i(x) = ∂ 2 (t) = 0 и i – мономорфизм, то ∂(x) = 0, т. е. x яв¯ ∈ Hn−1 (C′ ). ляется циклом, поэтому он определяет некоторый элемент h ¯ По определению полагаем δ(h) = h. Дальнейшее доказательство мы разобьем на несколько шагов, которые сформулируем в виде задач. Задачи решаются также при помощи диаграммного поиска. ¯ не зависит от выбора элемента Задача 42. Докажите, что элемент h −1 t ∈ p (a). ¯ не зависит от выбора цикла a, Задача 43. Докажите, что элемент h представляющего класс h. Задача 44. Докажите точность длинной последовательности гомологий. Нужно отметить, что определенные в доказательстве теоремы 16 связующие гомоморфизмы функториальны в следующем смысле. Пусть ϕ¯ =

1.10. ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ГОМОЛОГИЙ

47

{ϕ′ , ϕ, ϕ′′ } – такое отображение 0 −→ 0 −→

p

i

C′ −→ C −→ C′′ −→ 0 ↓ ϕ′ ↓ϕ ↓ ϕ′′ D′

i′

−→

D

p′

−→

D′′

−→ 0

одной короткой точной последовательности цепных комплексов в другую, что все квадраты коммутативны. Тогда ϕ′∗ δ = δϕ′′∗ для всех n, где гомоморфизмы ϕ′′∗ : Hn (C′′ ) → Hn (D′′ ) и ϕ′∗ : Hn−1 (C′ ) → Hn−1 (D′ ) индуцированы гомоморфизмами ϕ′′ , ϕ′ . Доказать этот факт можно также с помощью диаграммного поиска. Теорема 17. Для любой пары (K, L) симплициальных комплексов их гомологии и гомологии пары (K, L) связаны длинной точной последовательностью p∗

i

δ

∗ Hn (K) −→ Hn (K, L) −→ Hn−1 (L) −→ . . . . . . . −→ Hn (L) −→

Доказательство. Так как цепные комплексы C(L), C(K), C(K, L) образуют короткую точную последовательность, то теорема 17 является прямым следствием теоремы 16 « Задача 45. Вычислите все группы гомологий n-мерной сферы. » В качестве другого следствия теоремы 16 мы выпишем точную последователь Майера-Виеториса. Пусть K1 , K2 – такие подкомплексы симплициального комплекса K, что K = K1 ∪ K2 . Для m = 1, 2 обозначим через im , jm гомоморфизмы C(K1 ∩ K2 ) → C(Km ) и C(Km ) → C(K), индуцированные вложениями K1 ∩ K2 → Km и Km → K, соответственно. Тогда можно выписать короткую последовательность цепных комплексов i

j

0 −→ C(K1 ∩ K2 ) −→ C(K1 ) ⊕ C(K2 ) −→ C(K1 ∪ K2 ) −→ 0, « где i = i1 ⊕ (−i2 ) и j = j1 + j2 . Другими словами, i(x) = (i1 (x), −i2 (x)) для любой цепи x ∈ Cn (K1 ∩ K2 ) и j(y1 , y2 ) = j1 (y1 ) + j2 (y2 )» для любой цепи (y1 , y2 ) ∈ Cn (K1 ) ⊕ Cn (K2 ).

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

48

Задача 46. Проверьте точность этой последовательности. Теорема 18. Пусть K1 , K2 – такие подкомплексы симплициального комплекса K, что K = K1 ∪ K2 . Тогда существуют такие функториальные гомоморфизмы δ : Hn (K1 ∪ K2 ) → Hn−1 (K1 ∩ K2 ), что гомологии комплексов L = K1 ∩ K2 , K1 , K2 и K связаны длинной точной последовательностью j∗

i

δ

∗ Hn (K1 ) ⊕ Hn (K2 ) −→ Hn (K) −→ Hn−1 (L) −→ . . . . . . . −→ Hn (L) −→

Доказательство. Следует из теоремы 16.

1.11

Аксиоматический подход к гомологиям

Аксиоматическое описание гомологий позволяет сравнительно просто доказывать эквивалентность различных теорий гомологий. Каждая теория гомологий представляет собой функтор H из категории пар полиэдров в категорию последовательностей абелевых групп. Группы, сопоставляемые паре полиэдров (P, Q), называются ее группами гомологий и обозначаются Hn (P, Q). Перечислим аксиомы, накладываемые на гомологический функтор H. I. Аксиома гомотопии. Функтор H должен быть гомотопическим. Это означает, что гомотопные отображения полиэдров должны индуцировать одинаковые гомоморфизмы групп гомологий. II. Аксиома точности. Функтор H должен быть точным. Это означает, что каждой паре полиэдров (P, Q) должна отвечать длинная точная последовательность: i

p∗

δ

∗ Hn (P ) −→ Hn (P, Q) −→ Hn−1 (Q) −→ . . . , . . . −→ Hn (Q) −→

где гомоморфизмы i∗ и p∗ индуцированы вложениями Q в P и пары (P, φ) в (P, Q), а гомоморфизмы δ функториальны по отношению к отображению пар. III. Аксиома вырезания. Пусть полиэдры X, Y пересекаются по подполиэдру Z. Тогда вложение i пары (X, Z) в пару (X ∪ Y, Y ) должно индуцировать изоморфизмы всех групп гомологий. IV. Аксиома размерности. Гомологии точки должны быть устроены так: ½ 0, n 6= 0 Hn (∗) = Z, n = 0.

1.11. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ГОМОЛОГИЯМ

49

Теорема 19. Симплициальные гомологии Hn (P, Q) удовлетворяют аксиомам I – IV. Доказательство. Следует из теорем 8, 17, 15 и 5. « Для того, чтобы иметь возможность сравнивать функторы, напомним определения естественного преобразования и эквивалентности функторов. Пусть F1 , F2 – два функтора из некоторой категории G1 в категорию G2 . Допустим, что каждому объекту A категории G1 сопоставлен некоторый морфизм ϕA объекта F1 (A) в объект F2 (A) так, что для любого морфизма f : A → B категории G1 справедливо равенство ϕB F1 (f ) = F2 (f )ϕA , т.е. следующая диаграмма коммутативна: F1 (f )

F1 (A) −→ F1 (B) ↓ ϕA ↓ ϕB F2 (f )

F2 (A) −→ F2 (B) В этом случае говорят, что задано естественное преобразование функтора F1 в функтор F2 . Если для любого объекта A категории G1 морфизмы ϕA являются изоморфизмами, то говорят об эквивалентности функторов. Теперь мы готовы сформулировать теорему единственности. Теорема 20. Пусть H : – точный гомотопический функтор из категории пар полиэдров в категорию последовательностей абелевых групп, удовлетворяющий аксиомам вырезания и размерности. Допустим, что существует такое естественное преобразование функтора симплициальных гомологий H в функтор H, что отвечающий точке морфизм ϕ∗ является изоморфимом. Тогда эти функторы эквивалентны. В частности, для любой пары (P, Q) компактных полиэдров группы Hi (P, Q) изоморфны группами Hi (P, Q). » Для лучшей ориентировки приведем грубую схем доказательства теоремы единственности. По аксиоме размерности, группы Hn (∗) и Hn (∗) совпадают. Совместный анализ точных гомологических последовательностей пар (Dn , S n−1 ) и (S n−1 , Dn−1 ), где Dn – n-мерный шар, S n−1 – (n − 1)- мерная сфера (его край), а Dn−1 – (n − 1)-мерный шар внутри нее, « позволяет доказать совпадение функторов H и H на любом симплексе ∆n , его крае ∂∆n и парах вида (∆n , ∂∆n ), см. решение задачи 45.

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

50

Совпадение функторов H и H на всех симплициальных комплексах получается с помощью следующего утверждения, которое называется пятая лемма. Пятая лемма. Пусть коммутативная диаграмма j

i

k

l

k′

l′

A −→ B −→ C −→ D −→ E ↓α ↓β ↓γ ↓δ ↓ε A′

i′

−→

B′

j′

−→ C ′

−→ D′ −→ E ′

абелевых групп и гомоморфизмов такова, что ее верхняя и нижняя строчки точны и гомоморфизмы α, β, δ, ε являются изоморфизмами. Тогда γ – тоже изоморфизм. Задача 47. Докажите это утверждение. Применяя эту лемму к нужным отрезкам длинных точных последовательностей для пары K, L, где симплициальный комплекс L получается из симплициального комплекса удалением внутренности некоторого симплекса ∆n старшей размерности, можно легко доказать, что H(L) = H(L) =⇒ H(K) = H(K). Остается заметить, что любой симплициальный комплекс можно получить из точки последовательным добавлением симплексов. »

1.12

Сведения из теории абелевых групп

Мы начнем с напоминания необходимых сведений из теории конечно порожденных абелевых групп. Обычно такие группы задают с помощью образующих и соотношений. Задание абелевой группы имеет вид ha1 , . . . , an | R1 , . . . , Rm i и состоит из списка образующих a1 , . . . , an и списка соотношений R1 , . . . , Rm . Каждое соотношение Ri представляет собой формальную целочисленную линейную комбинацию образующих: Ri = ki1 a1 + · · · + kin an . Если коэффициенты соотношений записать в виде матрицы, то полученная матрица соотношений (которая имеет m строк и n столбцов) полностью определяет как задание, так и группу. Например, задание ha, b, c | 2a + 3b − c, b + 2c, a + 3b, a + 4b + 2ci задается

1.12. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП своей матрицей:

51



 2 3 −1  0 1 2     1 3 0  1 4 2 Чтобы дать точное описание группы G, представленной заданием ha1 , . . . , an | R1 , . . . , Rm i, мы поступим так. Введем на множестве всех целочисленных линейных комбинаций образующих aj , 1 ≤ j ≤ n, отношение эквивалентности, полагая, что две комбинации эквивалентны, если одну можно получить из другой вычитаниями или добавлениями комбинаций Ri , 1 ≤ i ≤ m. При этом одну и ту же комбинацию Ri разрешается добавлять или вычитать по нескольку раз или не использовать вовсе. Тогда элементами группы G являются классы эквивалентных комбинаций. Разумеется, операция сложения в группе выполняется покоординатно. Чтобы сложить два класса эквивалентности (т. е. два элемента группы), нужно выбрать по одной линейной комбинации из каждого класса, сложить их коэффициенты при соответствующих образующих и взять тот класс эквивалентности, который содержит результат. Задача 48. Докажите, что введенное выше отношение действительно является отношением эквивалентности, что покоординатное сложение определено корректно (т. е. не зависит от выбора представителей) и что оно задает на множестве классов эквивалентности структуру абелевой группы. Читатель, конечно, заметил, что мы описали не что иное, как конструкцию фактора свободной абелевой группы nZ = Z ⊕ · · · ⊕ Z по ее подгруппе, порожденной элементами Ri . Задача 49. Что произойдет с матрицей задания, если одно соотношение заменить на его сумму с другим? (Группа при такой операции не меняется.) Задача 50. Что произойдет с матрицей задания, если какую-нибудь пару ее образующих a, b заменить на новую пару a1 = a + b и b1 = b, сделав соответствующую замену во всех соотношениях? (Группа при такой операции не меняется.) Задача 51. Что произойдет с матрицей задания, если сменить знак соотношения? Образующую a заменить на a1 = −a? Изменить порядок образующих или соотношений?

52

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Результаты этих трех задач показывают, что группа не изменится при следующих элементарных преобразованиях матрицы: добавлении одной строки матрицы к другой, перестановке строк, смене знаков в строке, и аналогичных преобразованиях столбцов. Можно показать, что любая целочисленная матрица A = (aij ), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, приводится указанными преобразованиями к диагональному виду, т. е. к виду, когда не нули стоят только на начальном отрезке диагонали a11 , . . . , akk при некотором k ≤ min(m, n). Проверим это на примере:       1 3 0 0 −3 −1 2 3 −1   0 1  0 1 2  2  2  → → 0 1       1 3 0 → 1 3 0 −3 −1  0 0 1 2 0 1 2 1 4 2 

1  0 →  0 0

3 1 0 0

  1 0 0   0 1 2  →   0 0 5 0 0 0

 0 0   5  0

Отсюда следует, что группа ha, b, c | 2a + 3b − c, b + 2c, a + 3b, a + 4b + 2ci изоморфна группе ha1 , b1 , c1 | a1 , b1 , 5c1 i, т. е. группе Z1 ⊕ Z1 ⊕ Z5 = Z5 , т. к. Z1 = 0. Можно показать также, что любую целочисленную матрицу можно привести элементарными преобразованиями к каноническому диагональному виду, когда все диагональные элементы неотрицательны и каждый диагональный элемент aii делится на все предыдущие диагональные элементы ajj , j < i. Канонический диагональный вид матрицы не зависит от способа приведения (поэтому он и назван каноническим). Для упрощения вычислений полезно иметь в виду следующий простой прием. Допустим, что в матрице появилась строка, которая состоит из всех нулей и ровно одной единицы. Тогда группа не изменится, если из матрицы вычеркнуть “крест”, составленный из этой строки и столбца, пересекающего ее по той клетке, где стоит единица. Аналогичное вычеркивание можно сделать и в случае, когда имеется столбец из нулей и ровно одной единицы. Задача 52. Представьте группу ha, b, c | a + b + c, a − b + 3c, 2a − 4ci в виде прямой суммы циклических.

1.13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ

53

Задача 53. Докажите, что в случае квадратной матрицы соотношений модуль ее определителя равен порядку группы или нулю, если группа бесконечна.

1.13

Вычисление групп гомологий

Мы опишем вычисление групп гомологий свободного цепного комплекса C, который имеет вид ∂n+1

∂

n Cn−1 −→ . . . . . . −→ Cn+1 −→ Cn −→

и все группы цепей которого свободны и конечно порождены. Именно такие комплексы являются комплексами цепей симплициальных комплексов. Мы предполагаем, что в каждой группе цепей выбран базис и что каждый граничный гомоморфизм ∂n : Cn → Cn−1 задан cвоей матрицей An . Матрицы An пишутся по стандартному правилу: берем i-ый базисный вектор группы Cn , применяем к нему граничный гомоморфизм, полученный элемент группы Cn−1 представляем в виде линейной комбинации ее базисных элементов и коэффициенты этой комбинации записываем в i-ый столбец. Таким образом, матрица An имеет rn−1 строк и rn столбцов, где через ri обозначен ранг группы Ci . Давайте посмотрим, что происходит с матрицей An , когда базис группы Cn подвергается одному из следующих элементарных преобразований: 1. Добавление одного вектора к другому; 2. Замена вектора на противоположный; 3. Перестановка векторов. Ответ прост: матрица подвергается аналогичным элементарным преобразованиям над столбцами. Если элементарные преобразования применяются к группе Cn−1 , то матрица An подвергается аналогичным элементарным преобразованиям над строками. Эти наблюдения дают простой способ вычисления n-ой группы гомологий комплекса C. Его суть состоит в одновременном приведении матриц An+1 и An . Шаг 1. Применяя к матрице An элементарные преобразования над строками и столбцами, приводим ее к диагональному виду. При этом

54

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.26: Так как матрица An диагональна, то первые строки матрицы An+1 состоят из нулей каждый раз, когда мы выполняем элементарное преобразование над столбцами матрицы An (оно индуцировано преобразованием базиса группы Cn ), мы должны одновременно выполнить соответствующее преобразование над строками матрицы An+1 (которое индуцировано тем же преобразованием базиса группы Cn ). Правило соответствия таково: если i-ый столбец матрицы An добавляется к j-ому, то нужно j-ую строку матрицы An+1 вычесть из i-ой. При перестановке столбцов матрицы An или смене их знаков эти операции одновременно применяются к строкам матрицы An+1 с теми же номерами. Обозначим через k ранг матрицы An , т. е. длину ее ненулевого начального отрезка диагонали. Так как граничные операторы ∂n+1 , ∂n комплекса C удовлетворяют условию ∂n ∂n+1 = 0, то произведение An An+1 задающих их матриц есть нулевая матрица. Отсюда следует, что первые k строк матрицы An+1 состоят из нулей. См. рис. 1.26, где в черных клетках стоят не нули, в белых – нули, а в серых может стоять и то, и другое. Мы записали комплекс справа налево для того, чтобы матрицы граничных гомоморфизмов стояли в порядке, нужном для их перемножения по правилу “строка на столбец”. Шаг 2. Мы вычеркиваем эти k строк и приводим полученную матрицу A′n+1 к диагональному виду элементарными операциями над строками и столбцами. При этом элементарные операции над строками уже не надо сопровождать аналогичными операциями над столбцами матрицы An , поскольку ее столбцы, отвечающие строкам матрицы A′n , состоят только из нулей. Все диагональные элементы удобно сделать неотрицательными. Шаг 3. Ответ записывается так: Hn (C) = Za11 ⊕ . . . Zakk ⊕ sZ, где

1.13. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ

55

a11 , . . . , akk – ненулевые диагональные элементы матрицы A′n+1 , а s – число ее нулевых строк. Разумеется, слагаемые с aii = 1 можно не писать. Задача 54. Вычислите группы гомологий цепного комплекса, у которого все группы цепей нулевые, кроме групп C0 = 2Z, C1 = 4Z, C2 = 3Z, C3 = Z. Граничные гомоморфизмы ∂1 , ∂2 , ∂3 таковы: ∂3 отображает всю группу C3 в нуль, ∂1 задается (2×4)-матрицей, составленной из строк (1 1 1 1) и (-1 -1 -1 -1), а матрица гомоморфизма ∂2 составлена из строк (1 1 1), (1 -1 -1), (-1 -1 1) и (-1 1 -1). Описанный выше процесс вычисления групп гомологий полезен и с теоретической точки зрения. Напомним, что элементарный цепной комплекс E(m) составлен из нулевых групп и ровно одной группы Z в размерности m (см. задачу 16). Элементарный цепной комплекс D(m, k, k 6= 0, ) имеет две ненулевые группы: в размерности m и в размерности m+1. Обе группы изоморфны группе Z, а граничный гомоморфизм ∂m+1 : Z → Z есть умножение на k. Теорема 21. Любой цепной комплекс, все группы цепей которого свободны, имеют конечные ранги и в отрицательных размерностях тривиальны, изоморфен прямой сумме элементарных комплексов типа E(m) и D(m, k). Доказательство. Описанный выше метод достаточен для приведения матриц Ai всех граничных гомоморфизмов ∂i к диагональному виду. Сначала мы приводим A1 , затем A2 , и т. д. Приведение осуществляется за счет изменения базисов в группах цепей, т. е. за счет выбора других разложений групп цепей в прямые суммы групп Z. Остается заметить, что диагональность всех матриц Ai как раз и означает, что эти разложения определяют разложение комплекса в прямую сумму элементарных комплексов типа E(m) и D(m, k). Для правильного понимания сущности той информации, которую несут в себе группы гомологий данного цепного комплекса C, полезно представить его в виде суммы T ⊕ H, где цепной комплекс T есть сумма элементарных слагаемых типа D(m, k) с k = 1, а H есть сумма элементарных слагаемых типа E(m) и D(m, k) с k 6= 1. Все группы гомологий комплекса T тривиальны, тогда как группы гомологий комплекса H совпадают с группами гомологий комплекса C. Важно другое: комплекс H полностью определяется своими гомологиями. Действительно, для его восстановления достаточно представить данные группы гомологий в виде сумм

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

56

ненулевых циклических групп и заменить каждую циклическую группу на соответствующий элементарный комплекс нужной размерности. Задача 55. Докажите, что любая последовательность H0 , H1 , . . . конечно порожденных абелевых групп реализуется как последовательность групп гомологий некоторого свободного цепного комплекса.

1.14

Клеточные гомологии

Описанный выше способ вычисления групп гомологий довольно эффективен. Во всяком случае, его нетрудно реализовать компьютерной программой. Однако, вручную считать трудно – число симплексов обычно бывает слишком большим. Например, наименьшая триангуляция тора состоит из 14 треугольников. Разумеется, можно не требовать выполнения условия, чтобы каждые два треугольника либо не имели общих точек, либо пересекались ровно по одной вершине или ровно по одному ребру. Тогда тор можно разбить на два треугольника. Описанный выше способ вычисления работает и в случае такой сингулярной триангуляции. Но почему бы не сделать еще один шаг – представить тор в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами и не разбивать квадрат вовсе? Чтобы реализовать эту идею максимально экономного разбиения полиэдра на простые куски, напомним понятие клеточного комплекса. Мы предпочитаем индуктивное определение. Определение. 1. Нульмерный клеточный комплекс – это объединение нескольких точек (вершин). 2. Одномерный клеточный комплекс получается из нульмерного приклеиванием нескольких дуг (одномерных клеток). 3. Двумерный клеточный комплекс получается из 1-мерного приклеиванием нескольких 2-мерных клеток (дисков) по некоторым отображениям их граничных окружностей (см. рис. 1.27). ... 4. n-мерный клеточный комплекс получается из (n − 1)-мерного приклеиванием нескольких n-мерных клеток (шаров размерности n) по некоторым отображениям их граничных сфер.

1.14. КЛЕТОЧНЫЕ ГОМОЛОГИИ

57

Рис. 1.27: Двумерный клеточный комплекс получается из одномерного комплекса (графа) приклеиванием двумерных клеток Если X – клеточный комплекс, то объединение всех клеток размерности ≤ k называется его k-мерным остовом и обозначается X (k) . Чтобы быть уверенными, что данный клеточный комплекс является полиэдром, мы будем всегда предполагать, что все его остовы триангулированы и что приклеивающие отображения всех его клеток симплициальны. Построение клеточных гомологий очень похоже на построение симплициальных. Пусть X – клеточный комплекс. Ориентируем все его клетки и сопоставим ему цепной комплекс C(X). Для каждого n группа n-мерных цепей Cn (X) является свободной абелевой группой, построенной на n-мерных клетках как на образующих. Ее элементами являются формальные линейные комбинации вида k1 a1 +· · ·+km am , где a1 , . . . , am – все n-мерные клетки комплекса X. Чтобы описать граничные гомоморфизмы, нам понадобится понятие коэффициента инцидентности клеток. Определение. Пусть a – (n − 1)-мерная клетка клеточного комплекса X и ϕ : ∂Dn → X (n−1) – приклеивающее отображение n-мерной клетки b. Оно индуцирует отображение ϕ¯ = pϕ : ∂Dn → S n−1 , где отображение p : X (n−1) → S n−1 получено из (n − 1)-мерного остова комплекса X сжатием в точку всего его (n − 2)-мерного остова и всех клеток размерности n−1, кроме клетки a. Тогда коэффициента инцидентности [b : a] клеток a и b равен степени отображения ϕ. ¯ Коэффициент инцидентности имеет простой геометрический смысл. Он показывает, сколько раз граница клетки b проходит по клетке a. Чтобы его подсчитать, нужно в клетке a выбрать (n − 1)-мерный симплекс и посмотреть, сколько (n − 1)-мерных симплексов, лежащих в крае шара Dn , отображаются на него с сохранением, сколько – с изменением

58

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

ориентации. Коэффициент инцидентности равен разности полученных чисел. Отметим, что он является естественным обобщением коэффициента инцидентности симплексов εi (см. стр. 15). Поэтому не удивительно, что граничные гомоморфизмы ∂n : Cn → Cn−1 задаются аналогичными формулами: X ∂n (b) = [b : ai ]ai , ai ∈X

где суммирование берется по всем (n − 1)-мерным клеткам комплекса X. Более того, нетрудно показать (см. [11]), что для любого n справедливо равенство ∂n ∂n+1 = 0, т. е. что так введенные граничные гомоморфизмы ∂n превращают последовательность групп Cn (X) в цепной комплекс. Определение. Группы гомологий цепного комплекса C(X) называются группами гомологий клеточного комплекса X и обозначаются Hn (X). Теорема 22. Для любого полиэдра, представленного в виде клеточного комплекса, его клеточные гомологии совпадают с симплициальными. Доказательство. Можно поступить двумя способами. Первый способ более концептуальный, но довольно громоздкий. Он состоит в формулировке и доказательстве теоремы о клеточной аппроксимации отображений клеточных комплексов, описанию индуцированных гомоморфизмов в гомологиях и проверке того, что полученный функтор из категории полиэдров в категорию последовательностей абелевых групп удовлетворяет аксиомам I – IV. Второй способ прямой. Триангулируем данный клеточный комплекс X и сопоставим каждой его n-мерной клетке цепь, составленную из содержащихся этой клетке n-мерных симплексов. Коэффициент при каждом симплексе равен ±1, в зависимости от того, согласованы или нет ориентации симплекса и клетки. Потом нужно проверить, что полученное таким образом отображение клеточных цепей в симплициальные индуцирует изоморфизмы всех групп гомологий. Описанный в параграфе 1.13 способ вычисления групп гомологий симплициальных комплексов вполне годится и для случая клеточных комплексов. Для удобства читателя мы опишем его несложную модификацию, удобную для вычисления первой группы гомологий клеточного комплекса. Вычисление группы H1 клеточного комплекса.

1.14. КЛЕТОЧНЫЕ ГОМОЛОГИИ

59

Пусть X – клеточный комплекс. Разумеется, группа H1 (X) полностью определяется его двумерным остовом X (2) , который получается из его одномерного остова Γ = X (1) приклеиванием нескольких двумерных клеток. Шаг 1. Выберем в графе Γ максимальное дерево, т. е. подграф графа Γ, который не имеет циклов и содержит все вершины. Оставшиеся ребра ориентируем и обозначим буквами. То же самое можно сделать и по-другому. Ориентируем ребра графа и будем разрезать их по очереди так, чтобы граф оставался связным. При этом каждое следующее разрезанное ребро обозначается новой буквой. Процесс закончится, когда дальнейшие разрезания невозможны. Шаг 2. Составим матрицу, строки которой показывают, сколько раз граничные кривые двумерных клеток проходят по разрезанным ребрам (с учетом направления). Эта матрица и служит матрицей соотношений первой группы гомологий. Шаг 3. Приведем эту матрицу к диагональному виду и выпишем ответ так, как это объяснено в параграфе 1.12. Пример. Пусть двумерный клеточный комплекс X получен из графа, изображенного на рис. 1.28 слева приклеиванием пяти двумерных клеток, граничные кривые которых проходят по ребрам так: { 1 2 3 4 5} (первая кривая), { 1 1 -5 8 -2} (вторая кривая), { 2 6 7 5} (третья кривая), { 3 -6 3 7 8} (четвертая кривая), { 4 -7 4 8 6} (пятая кривая). Один из возможных результатов выполнения первого шага изображен в середине рисунка. Появляющаяся после выполнения второго шага матрица показана справа. Приводя ее к каноническому видуµ(с вычеркиванием ¶ 2 0 ненужных строк и столбцов), мы получим матрицу , что дает 0 6 H1 (X) = Z2 ⊕ Z6 . Задача 56. Вычислите первую группу гомологий бутылки Клейна. Наряду с симплициальными и клеточными гомологиями часто используют гомологии других типов, например, сингулярные. Отличие сингулярных гомологий от симплициальных и клеточных состоит в том, что сопоставление данному пространству цепного комплекса производится другим способом. Группы гомологий получаются такими же. Цепной комплекс в сингулярной теории порожден сингулярными симплексами,

60

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.28: Выбор образующих и выписывание матрицы соотношений первой группы гомологий т. е. отображениями стандартного симплекса в пространство. В невырожденных случаях (когда пространство состоит из бесконечного числа точек), множество сингулярных симплексов бесконечно и часто имеет мощность континуум. Ситуацию спасает требование, что каждая цепь должна быть линейной комбинацией только конечного числа сингулярных симплексов. Аксиомы I-IV для сингулярных гомологий верны, поэтому на классе полиэдров сингулярные гомологии совпадают с симплициальными по теореме 20. Преимущество сингулярных гомологий состоит в том, что они определены для любого пространства. Многие теоремы, сложные в симплициальной теории, в сингулярной становятся простыми. Например, теорема об изоморфности групп гомологий гомеоморфных пространств в сингулярной теории тривиальна. Недостаток сингулярных гомологий состоит в сложности их вычисления и в психологической дискомфортности оперирования с бесконечно порожденными группами.

1.15

Теорема Лефшеца о неподвижной точке

Пусть f : K → K – некоторое симплициальное отображение симплициального комплекса K в себя. Мы будем предполагать, что множество Lf неподвижных точек отображения f является подкомплексом комплекса K. Добиться этого очень легко – достаточно заменить комплекс K на его первое барицентрическое подразделение. Тогда все инвариантные (т. е. переходящие в себя) симплексы нового комплекса будут неподвижными. Оказывается, что индуцированные гомоморфизмы f∗ : Hn (K) → Hn (K) групп гомологий несут в себе существенную информацию о структуре множества Lf .

1.15. ТЕОРЕМА ЛЕФШЕЦА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ

61

Каждый эндоморфизм (гомоморфизм в себя) ϕ : A → A конечно порожденной абелевой группы индуцирует эндоморфизм ϕ′ : Free (A) → Free (A) свободной абелевой группы Free (A) = A/Tor (A), где Tor (A) – периодическая подгруппа группы A, которая состоит из всех элементов конечного порядка. Группу Free (A) можно интерпретировать как свободную часть группы A. Так как группа Free (A) свободна, то она имеет свободный базис a1 , . . . , an , составленный из ее элементов. Поэтому эндоморфизм ϕ′ задается целочисленной квадратной матрицей C = (cij ) порядка n. Матрица C выписывается стандартным образом: ее столбцы составлены из координат образов базисных элементов. Определение. След Tr (ϕ) эндоморфизма ϕ есть след матрицы C, т. е. сумма ее диагональных элементов. Здесь следует подчеркнуть, что при вычислении следа мы полностью игнорируем периодические элементы группы A. След эндоморфизма зависит только от поведения ее свободной части. Задача 57. Докажите, что след эндоморфизма ϕ определен корректно (не зависит от выбора базиса группы Free (A)). Задача 58. Докажите, что след аддитивен в следующем смысле. Пусть ϕ : A1 ⊕ A2 → A1 ⊕ A2 – произвольный эндоморфизм прямой суммы двух конечно порожденных абелевых групп. Тогда Tr (ϕ) = Tr (ϕ1 ) + Tr (ϕ2 ), где для каждого i = 1, 2 эндоморфизм ϕi : Ai → Ai есть суперпозиция вложения Ai → A1 ⊕ A2 и проекции A1 ⊕ A2 → Ai . Пусть C – конечно порожденный цепной комплекс, т. е. цепной комплекс, все группы цепей Cn которого конечно порождены и число ненулевых групп цепей которого конечно. Рассмотрим произвольный цепной эндоморфизм ϕ : C → C, т.е. цепное отображение на себя. Он состоит из семейства эндоморфизмов ϕn : Cn → Cn групп цепей. Разумеется, эти эндоморфизмы должны коммутировать с граничными операторами. Определение. Лефшеца λ(ϕ) эндоморфизма ϕ задается формуP∞ Число n лой λ(ϕ) = −∞ (−1) Tr (ϕn ).

Стоящая в определении альтернированная сумма по размерностям P∞ сильно напоминает эйлерову характеристику χ(K) = −∞ (−1)n sn (K) конечного симплициального комплекса K, где sn (K) обозначает число его n-мерных симплексов. Как показывают формулировки двух следующих задач, это сходство далеко не случайно.

62

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Задача 59. Докажите, что χ(K) равна числу Лефшеца тождественного отображения цепного комплекса C(K) на себя (напомним, что группы цепей цепного комплекса C(K) порождены симплексами комплекса K). Задача 60. Пусть f : K → K – такое симплициальное отображение симлициального комплекса K, что оно тождественно на каждом симплексе, переходящем в себя. Докажите, что тогда число Лефшеца индуцированного цепного отображения f∗ : C(K) → C(K) совпадает с эйлеровой характеристикой множества неподвижных точек отображения f . Напомним, что каждый цепной эндоморфизм ϕ : C → C индуцирует гомоморфизмы (ϕ∗ )n : Hn (C) → Hn (C) его групп гомологий. Определение. Гомологическое P числоn Лефшеца λ(ϕ∗ ) эндоморфизма ϕ задается формулой λ(ϕ∗ ) = ∞ −∞ (−1) Tr ((ϕ∗ )n ).

Несмотря на внешнюю схожесть формул, между определениями числа Лефшеца и гомологического числа Лефшеца есть принципиальное различие: во втором случае мы переходим на уровень гомологий. Тем не менее, эти числа всегда совпадают. Теорема 23. Для любого цепного эндоморфизма ϕ : C → C число Лефшеца λ(ϕ) совпадает с гомологическим числом Лефшеца λ(ϕ∗ ). Доказательство. Будем считать, что комплекс C свободен. В противном случае его можно сфакторизовать по кручению и перейти к свободному комплексу. Так как кручение комплекса никак не влияет на его числа Лефшеца, то эта операция сохраняет оба числа. Из теоремы 21 следует, что цепной комплекс C можно представить в виде C = ⊕j C(j) , где каждый комплекс C(j) есть элементарный комплекс типа P E(m) или D(m, k). Так как след аддитивен (см. задачу 58), то λ(ϕ) = j λ(ϕj ), где каждый эндоморфизм ϕj : C(j) → C(j) есть суперпозиция вложения C(j) → C, данного эндоморфизма ϕ : C → C и проекции C → C(j) . Завершающий шаг доказательства состоит в прямой проверке справедливости заключения теоремы для любого эндоморфизма элементарного цепного комплекса типа E(m) или D(m, k).

Перейдем к геометрии. Пусть f : P → P – некоторое отображение полиэдра P на себя. Оно индуцирует эндоморфизмы (f∗ )n : Hn (P ) → Hn (P ) его групп гомологий.

1.15. ТЕОРЕМА ЛЕФШЕЦА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ

63

Рис. 1.29: Три симметрии стандартной сферы Определение. Лефшеца λ(f ) отображения f задается формуP Число n лой λ(ϕ) = ∞ (−1) Tr ((f∗ )n ). −∞

Разумеется, если для некоторой триангуляции K полиэдра P отображение f симплициально, то и число λ(f∗ ) совпадает с гомологическим числом Лефшеца индуцированного отображения f∗ : C(K) → C(K).

Теорема 24. Пусть Lf – множество неподвижных точек симплициального отображения f : K → K конечного симплициального комплекса K в себя. Тогда χ(Lf ) = λ(f ). Доказательство. Следует из результата задачи 60 и теоремы 23 Пример. Пусть r, r′ , r′′ – три симметрии стандартной двумерной сферы S 2 : относительно центра, диаметральной оси и диаметральной плоскости, см. рис. 1.29. Их числа Лефшеца равны 0, 2 и 0 соответственно (так как r и r′′ обращают ориентацию сферы и поэтому индуцируют умножение на -1 в группе H2 (S 2 ) = Z). Эйлеровы характеристики множеств неподвижных точек этих симметрий (пустое множество, две точки, окружность) также равны 0, 2 и 0, что полностью согласуется с утверждением теоремы. Здесь уместно подчеркнуть небольшую тонкость, связанную с возможными применениями теоремы 24. Дело в том, что в приложениях данное отображение f далеко не всегда симплициально. Разумеется, его можно аппроксимировать симплициальным, но при такой аппроксимации отображение меняется, что может существенно изменить структуру множества неподвижных точек. Тем не менее, следующая теорема Лефшеца хорошо работает в случае произвольных отображений.

64

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Теорема 25. Пусть f : P → P – некоторое отображение компактного полиэдра P в себя. Если λ(f ) 6= 0, то f имеет хотя бы одну неподвижную точку. Доказательство. Пусть ρ – какая-нибудь метрика на полиэдре P . Например, можно взять стандартное расстояние в эвклидовом пространстве RN , содержащем P . Рассуждая от противного, предположим, что неподвижных точек нет. Тогда найдется такое число ε > 0, что для любой точки x ∈ P справедливо неравенство ρ(x, f (x)) > ε. Это следует из компактности полиэдра. Выберем теперь такую триангуляции K полиэдра P , что диаметр каждого ее симплекса меньше ε/2. По теореме о симплициальной аппроксимации (теорема 6) найдется такое подразделение K1 комплекса K и такое симплициальное отображение g : K1 → K, что точки f (x) и g(x) всегда лежат в одном симплексе и поэтому расстояние между ними всегда меньше ε/2. Напомним, что группы гомологий комплексов K1 и K естественным образом изоморфны. Изоморфизм между ними индуцирован цепным отображением α : C(K) → C(K1 ). Оно задается сопоставлением каждому ориентированному симплексу σ n комплекса K n-мерной цепи комплекса K1 , составленной из всех тех когерентно ориентированных n-мерных симплексов комплекса K1 , на которые разбит σ. См. обсуждение аналогичного вопроса на стр. 17. Рассмотрим суперпозицию αg∗ : C(K1 ) → C(K1 ), где цепное отображение g∗ : C(K1 ) → C(K) индуцировано отображением g. По теореме 23, число Лефшеца этой суперпозиции равно ее гомологическому числу Лефшеца, которое, в свою очередь, равно λ(f ). Так как по условию λ(f ) 6= 0, то хотя бы для одной размерности матрица эндоморфизма αg∗ содержит ненулевой диагональный элемент. Отсюда следует, что найдется хотя бы один симплекс δ комплекса K1 , который лежит в симплексе g(δ). Выбрав произвольную точку x ∈ δ, мы получаем ρ(x, g(x)) < ε/2. С другой стороны, так как отображение g является ε/2-аппроксимацией отображения f , неравенство ρ(f (x), g(x)) < ε/2 выполняется для всех точек. Вместе эти два неравенства дают неравенство ρ(x, f (x)) < ε, что противоречит выбору числа ε. Задача 61. Докажите, что любое отображение шара на себя имеет неподвижную точку. Верно ли, что любое отображение компактного ацикличного полиэдра в себя также всегда имеет неподвижную точку? (Полиэдр

1.16. ГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ

65

называется ацикличным , если все его группы гомологий нулевые, кроме группы H0 = Z).

1.16

Гомологии с коэффициентами

Пусть G – произвольная абелева группа. Теория гомологий с коэффициентами в G отличаются от целочисленной теории только аксиомой размерности, в формулировке которой группа Z заменена на группу G: Hn (∗) =

½

0, n 6= 0 G, n = 0.

Построение теории гомологий с коэффициентами в группе G практически не отличается от построения гомологий с целыми коэффициентами (см. параграф 1.4), поэтому мы ограничимся кратким напоминанием. Пусть K – ориентированный симплициальный комплекс. Его группа n-мерных цепей Cn (K; G) состоит из линейных комбинаций вида g1 σ1 + g2 σ2 + · · · + gk σk , где σi – n-мерные симплексы, а коэффициенты gi являются на этот раз не целыми числами, а элементами группы G. Как и раньше, сложение покоординатное, и относительно него множество Cn (K; G) является группой. Граничные гомоморфизмы ∂n : Cn (K; G) → Cn−1 (K; G) задаются на симплексах с коэффициентами формулой ∂n (gσ) =

X

εi gδi ,

δi ∈K

а дальше распространяются по аддитивности. Как и раньше, суммирование ведется по всем симплексам δi размерности n − 1, а εi – коэффициенты инцидентности. Получающаяся последовательность абелевых групп и гомоморфизмов ∂n+1

∂

n Cn−1 (K; G)−→ . . . . . . −→ Cn+1 (K; G) −→ Cn (K; G) −→

удовлетворяет соотношениям ∂n ∂n+1 = 0 и поэтому является цепным комплексом. Мы будем обозначать этот комплекс C(K; G). Его группы гомологий обозначаются Hn (K; G) и называются группами гомологий симплициального комплекса K с коэффициентами в группе G.

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

66

Дальнейшее построение теории гомологий с коэффициентами в группе G ничем не отличается от случая целых коэффициентов. В частности, определения индуцированных гомоморфизмов и относительных гомологий остаются прежними. Длинная точная последовательность пары пространств и точная последовательность Майера-Виеториса, как и все аксиомы (кроме аксиомы размерности), также сохраняются. Гомологии с коэффициентами в различных абелевых группах часто бывают более удобными, чем целочисленные. Например, так как в группе Z2 элементы 1 и -1 совпадают, то нет нужды учитывать ориентации симплексов. Можно рассматривать неориентированные комплексы. В этом случае все определения упрощаются. Например, цикл с коэффициентами Z2 – это такой набор n-мерных симплексов комплекса, что к каждому симплексу размерности n − 1 примыкает четное число симплексов из набора. Если в качестве группы коэффициентов взять некоторое поле F характеристики 0 (например, рациональные или действительные числа), то кручение полностью исчезнет и любая группа гомологий будет иметь вид F ⊕ · · · ⊕ F, т. е. полностью задаваться своим рангом. Возникает естественный вопрос: как связаны группы гомологий с коэффициентами в произвольной абелевой группе G и в группе Z? Ответ дается так называемой формулой универсальных коэффициентов. Теорема 26. Для любого симплициального комплекса K и любого n справедлива формула Hn (K; G) = Hn (K) ⊗ G ⊕ Hn−1 (K) ∗ G. Значок ⊗ обозначает обычное тензорное произведение двух групп. Его можно определить так. Пусть A, B – две абелевы группы. Тогда группа A ⊗ B определяется как абелева группа, порожденная всеми парами вида (a, b), где a ∈ A, b ∈ B, которые подчинены соотношениям билинейности (a1 + a2 , b) = (a1 , b) + (a2 , b) и (a, b1 + b2 ) = (a, b1 ) + (a, b2 ). Тензорное произведение обладает следующими свойствами: 1. A ⊗ B = B ⊗ A; 2. (A1 ⊕ A2 ) ⊗ B = A1 ⊗ B ⊕ A2 ⊗ B; 3. A ⊗ Zm = A/mA, где A/mA обозначает факторгруппу группы A по подгруппе элементов вида ma, a ∈ A. Во всех трех случаях знак равенства означает существование естественного изоморфизма.

1.16. ГОМОЛОГИИ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ

67

Последнее свойство позволяет легко найти тензорное произведение двух циклических групп: Zk ⊗ Zm = Z(k,m) , где (k, m) – наибольший общий делитель чисел k и m. В частности, Z ⊗ Zm = Zm . Вместе с дистрибутивностью (свойство 2) этого вполне достаточно для нахождения тензорного произведения любых конечно порожденных абелевых групп. Появление тензорного произведения в формуле универсальных коэффициентов вполне объяснимо. Действительно, рассмотрение групп цепей с коэффициентами в группе G равносильно тензорному умножению целочисленных групп цепей на G. Другими словами, группы Cn (K) ⊗ G и Cn (K; G) естественным образом изоморфны. Поэтому совсем не удивительно, что группы Hn (K) ⊗ G входят в группы Hn (K; G). Неожиданные “довески” Hn−1 (K) ∗ G появляются из-за того, что группа G может содержать периодические элементы. Периодическое произведение A∗B абелевых групп определяется нескольi ко сложнее тензорного. Напишем точную последовательность 0 → F1 → F0 → A → 0, где абелевы группы F1 , F2 свободны. Такая последовательность (она называется короткой свободной резольвентой группы A) всегда существует. Если ее тензорно умножить на группу B, то инъективность гомоморфизма i теряется – появляется ядро. Это ядро и называется периодическим произведением группы A на группу B. Таким образом, периодическое произведение включается в точную последоваi⊗Id тельность 0 → A ∗ B → F1 ⊗ B → F0 ⊗ B → A ⊗ B → 0. Часть свойств периодического произведения похожа на свойства тензорного произведения: 1. A ∗ B = B ∗ A; 2. (A1 ⊕ A2 ) ∗ B = A1 ∗ B ⊕ A2 ∗ B; 3. A ∗ Zm есть подгруппа тех элементов группы A, которые обращаются в 0 при умножении на m. Однако, появляется и новое свойство: периодическое произведение двух групп A, B зависит только от их периодических подгрупп Tor (A), Tor (B). Более точно, всегда справедливо соотношение A ∗ B = Tor (A) ∗ Tor (B). Поэтому группы Z ∗ Zm и Zk ∗ Z всегда нулевые. Если же циклические группы Zk , Zm конечны (т. е. если k, m 6= 0), то, как и в случае тензорного произведения, Zk ∗ Zm = Z(k,m) . Задача 62. Найдите группу (Z2 ⊕ Z6 ) ∗ (Z ⊗ Z9 ).

68

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Доказательство. (Теоремы 26). Вспомним, что комплекс C(K) можно представить в виде прямой суммы элементарных комплексов типа E(m) и D(m, k) (теорема 21). Поэтому цепной комплекс C(K; G) = C(K) ⊗ G представим в виде суммы комплексов типа E(m) ⊗ G и D(m, k) ⊗ G. При сложении цепных комплексов их группы гомологий складываются. Поэтому для доказательства теоремы достаточно проверить, что гомологии комплексов E(m) ⊗ G и D(m, k) ⊗ G выражаются через гомологии комплексов E(m) и D(m, k) в точноcти по формуле универсальных коэффициентов. Задача 63. Найдите группы гомологий с коэффициентами Z2 для проективного пространства RP 3 . Задача 64. Найдите первые группы гомологий бутылки Клейна с коэффициентами Z, Z2 , Z3 и Q, где Q – группа рациональных чисел.

1.17

Элементы теории когомологий

В отличие от теории гомологий, теория когомологий представляет собой контравариантный функтор. В некотором смысле, эти две теории сопряжены (или двойствены) друг другу. Пусть C – произвольный цепной комплекс ∂n+1

∂

n . . . −→ Cn+1 −→ Cn −→ Cn−1 −→ . . . .

Для каждого n определим группу коцепей C n как группу всех гомоморфизмов группы цепей Cn в Z. Таким образом, каждая n-мерная коцепь представляет собой целочисленный функционал на группе n-мерных цепей. Если x ∈ C n и y ∈ Cn – коцепь и цепь одной и той же размерности, то определено число (x, y), которое равно значению x(y) коцепи x на цепи y. Это позволяет определить кограничные гомоморфизмы δn : C n−1 → C n правилом (δn x, y) = (x, ∂n y), где x ∈ C n−1 и y ∈ Cn . Здесь следует отметить, что для свободного комплекса C каждая его группа цепей Cn всегда изоморфна группе коцепей C n , ибо как цепи, так и коцепи задаются сопоставлением целых чисел свободным образующим групп цепей. В первом случае эти числа играют роль коэффициентов, во втором – значений функционала. Однако, канонического изоморфизма нет.

1.17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИЙ

69

Равенство (δn x, y) = (x, ∂n y) означает, что гомоморфизм δn сопряжен гомоморфизму ∂n . Отсюда следует, что, так как ∂n ∂n+1 = 0, то δn+1 δn = 0. Поэтому группа кограниц B n = Im δn всегда содержится в группе коциклов An = Ker δn+1 . Мы видим, что коцепной комплекс C∗ δ

δn+1

n C n −→ C n+1 −→ . . . . . . −→ C n−1 −→

фактически является цепным, различие только в нумерации групп и гомоморфизмов. Звездочка в обозначении коцепного комплекса поставлена для того, чтобы отличать его от цепного и постоянно напоминать, что группы коцепей сопряжены группам цепей, т. е. первые состоят из аддитивных функционалов на вторых. В этом смысле кограничные гомоморфизмы было бы естественно обозначить ∂n∗ , но мы придерживаемся традиционного обозначения δn . Определение. Факторгруппа An /B n = Ker δn+1 /Im δn называется nмерной группой когомологий комплекса C и обозначается H n (C). Вычисление групп когомологий свободных конечно порожденных цепных комплексов выполняется по той же схеме, что и вычисление групп гомологий. Единственное отличие – группы коцепного комплекса нумеруются в обратном порядке, т. е. кограничные гомоморфизмы действуют с повышением размерности. Матрицы кограничных гомоморфизмов можно вычислить либо непосредственно, либо воспользоваться свойством, что при выборе двойственных базисов они получаются транспонированием матриц граничных гомоморфизмов цепного комплекса. Затем их нужно по очереди привести к диагональному виду так, как это описано в параграфе 1.13. Определение. Пусть K – симплициальный комплекс. Тогда группы когомологий соответствующего цепного комплекса C(K) называются группами когомологий симплициального комплекса K и обозначаются H n (K). Как мы уже отмечали, группы цепей и коцепей симплициального комплекса, рассматриваемые как абстрактные группы, всегда изоморфны. Принципиальное отличие граничного гомоморфизма от кограничного состоит в том, что при граничном гомоморфизме ∂n коэффициенты на n-мерных симплексах спускаются (с подходящими знаками) на их границы и там суммируются, тогда как при кограничном гомоморфизме δn

70

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.30: Граничный и кограничный гомоморфизмы действуют в разные стороны значения на (n − 1)-мерных симплексах суммируются (со знаками) на ограничиваемые ими симплексы размерности n. См. рис. 1.30 Каждое цепное отображение ϕ : C1 → C2 индуцирует гомоморфизмы ∗ ϕ : H n (C2 ) → H n (C1 ) их групп когомологий. Поэтому каждое симплициальное отображение f : K1 → K2 одного симплициального комплекса в другой также индуцирует гомоморфизмы f ∗ : H n (K2 ) → H n (K1 ) их групп когомологий. Эти гомоморфизмы действуют в обратную сторону, поэтому теория когомологий представляет собой контравариантный функтор. Так же, как и в случае гомологий, доказывается, что этот функтор удовлетворяет подходящим образом подправленным аксиомам гомотопии, точности, вырезания и размерности. В частности, длинная точная последовательность когомологий для пары (K, L) симплициальных комплексов имеет вид δ

p∗

i∗

. . . −→ H n−1 (L) −→ H n (K, L) −→ H n (K) −→ H n (L) −→ . . . . Разумеется, группы гомологий и когомологий симплициального комплекса тесно связаны друг с другом. На самом деле, зная одни, можно найти другие. Этот же факт верен для любого конечно порожденного свободного цепного комплекса. Пусть A – конечно порожденная абелева группа. Напомним, что Free (A) и Tor (A) обозначают свободную часть A/Tor (A) и периодическую подгруппу группы A. Группа A всегда изоморфна группе Free (A) ⊕ Tor (A). При этом различных изоморфизмов много, и все они равноправны: оснований для выделения какого-нибудь одного предпочтительного (канонического) изоморфизма нет. Теорема 27. Группы гомологий и когомологий любого конечно порожденного свободного цепного комплекса C связаны соотношениями

1.17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИЙ

71

Free (H n (C)) = Free (Hn (C)) и Tor (H n (C)) = Tor (Hn−1 (C)). Другими словами, группа H n (C) изоморфна группе Free (Hn (C)) ⊕ Tor (Hn−1 (C)). Доказательство. Прямая проверка показывает, что теорема справедлива для элементарных комплексов E(m) и D(m, k). Справедливость теоремы в общем случае следует из аддитивности групп гомологий и когомологий по отношению к прямой сумме цепных комплексов и теоремы 21 о представимости любого свободного цепного комплекса в виде прямой суммы элементарных. Задача 65. Найдите группы когомологий бутылки Клейна двумя способами: исходя из их определения и по теореме 27. Интересно отметить, что в серьезных приложениях когомологии появляются, пожалуй, чаще, чем гомологии. В чем же состоит преимущество когомологий? Одно из объяснений заключается в том, что когомологии гладкого ориентируемого многообразия M с коэффициентами R отражают меру неточности комплекса де Рама дифференциальных форм P∞ наn M . Другое объяснение апеллирует к алгебре: прямая сумма n=0 H (K) всех групп когомологий любого комплекса K обладает естественной структурой кольца. Чтобы ее описать, напомним определение тензорного произведения цепных комплексов. Определение. Пусть X, Y – цепные комплексы. Тогда их тензорным произведением называется цепной комплекс C = X ⊗ Y, который составP X лен из групп цепей Cn = i ⊗ Yj и граничные гомоморфизмы i+j=n которого заданы на элементах a ⊗ b ∈ Xi ⊗ Yj , i + j = n, формулами ∂n (a ⊗ b) = ∂i a ⊗ b + (−1)i a ⊗ ∂j b, которую в упрощенном виде можно записать как ∂(a ⊗ b) = ∂a ⊗ b + (−1)dim a a ⊗ ∂b. Задача 66. Проверьте, что так введенные граничные гомоморфизмы удовлетворяют требованию ∂n ∂n+1 = 0. Тензорное произведение цепных комплексов имеет простой и ясный геометрический смысл: оно соответствует прямому произведению симплициальных комплексов. Пусть K, L – произвольные симплициальные комплексы. Разобъем прямое произведение |K| × |L| на клетки вида σ1 × σ2 , где σ1 ∈ K, σ2 ∈ L – симплексы комплексов. Полученный клеточный комплекс обозначим K × L. Пусть C(K × L) – отвечающий ему цепной комплекс.

72

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Рис. 1.31: Без учета множителя (−1)dim a ориентации отрезков границы квадрата получаются неправильными Теорема 28. Для любых симплициальных комплексов K, L цепные комплексы C(K) ⊗ C(L) и C(K × L) изоморфны. Естественный изоморфизм ϕ : C(K) ⊗ C(L) → C(K × L) между ними можно задать сопоставлениями σ1 ⊗ σ2 → σ1 × σ2 , где σ1 ∈ K, σ2 ∈ L – симплексы и σ1 ⊗ σ2 , σ1 × σ2 рассматриваются как элементы групп цепей. Доказательство. Легко поверяется, что гомоморфизмы групп цепей, задаваемые указанными сопоставлениями, коммутируют с граничными гомоморфизмами и поэтому определяют цепное отображение ϕ комплекса C(K) ⊗ C(L) в комплекс C(K × L). При такой проверке проясняется геометрический смысл множителя (−1)dim a в определении границы элемента a ⊗ b. Без такого множителя правильной границы не получается, см. рис. 1.31. Эпиморфность отображения ϕ очевидна, так как все образущие групп Cn (K × L) лежат в его образе. Его мономорфность легко доказывается с помощью подсчета рангов групп n-мерных цепей комплексов C(K)⊗C(L) и C(K ×L): оба ранга равны числу n-мерных клеток комплекса K × L. Тензорное произведение цепных комплексов, как и тензорное произведение абелевых групп, симметрично и дистрибутивно относительно прямого суммирования, см. стр. 66. Задача 67. Докажите, что для любых цепных комплексов X, Y комплекс (X ⊗ Y)∗ естественным образом изоморфен комплексу X∗ ⊗ Y∗ . Теорема 29. Для любых конечно порожденных свободных цепных комплексов X, Y сопоставление каждым двум циклам a ∈ XkP , b ∈ Ym цепи a⊗ b размерности k+m комплекса X⊗Y задает вложения i : k+m=n Hk (X)⊗ Hm (Y) → Hn (X ⊗ Y).

1.17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИЙ

73

Доказательство. Прямая проверка показывает, что теорема справедлива для элементарных комплексов E(m) и D(m, k). Справедливость теоремы в общем случае следует из теоремы 21 о представимости любого свободного цепного комплекса в виде прямой суммы элементарных. На самом деле, справедлив более точный результат, который носит название “формула Кюннета” и доказывается тем же способом: для любых конечно порожденных свободных цепных комплексов X, Y имеет место точная последовательность X X p i 0→ Hk (X) ⊗ Hm (Y) → Hn (X ⊗ Y) → Hk (X) ∗ Hm (Y) → 0. k+m=n

k+m=n−1

Гомоморфизмы i и p этой последовательности функториальны, т. е. коммутируют с отображениями групп гомологий, индуцированными цепными отображениями комплексов. Более того, последовательность расщепP ляется: существует такой встречный гомоморфизм s : k+m=n−1 Hk (X) ∗ Hm (Y) → Hn (X ⊗ Y), что ps = 1.PОтсюда следует, что группа P Hn (X ⊗ Y) изоморфна прямой сумме групп k+m=n Hk (X)⊗Hm (Y) и k+m=n−1 Hk (X)∗ Hm (Y), но такое разложение уже не функториально. Следующая теорема представляет собой аналог теоремы 29 для когомологий. Теорема 30. Для любых конечно порожденных свободных цепных комплексов X, Y сопоставление каждым двум коциклам a ∈ X k , b ∈ Y m коP k m цепи a⊗b комплекса X⊗Y задает вложение i : k+m=n H (X)⊗H (Y) → H n (X ⊗ Y). Доказательство остается прежним – ведь в сущности коцепные комплексы являются цепными. Различие только в нумерации групп, но оно не влияет на справедливость утверждения теоремы. Разумеется, как и для гомологий, вложение i включается в функториальную расщепляющуюся точную последовательность 0→

X

i

p

H k (X) ⊗ H m (Y) → H n (X ⊗ Y) →

k+m=n

X

H k (X) ∗ H m (Y) → 0,

k+m=n−1

P

P поэтому H n (X⊗Y) = k+m=n H k (X)⊗H m (Y)⊕ k+m=n−1 H k (X)∗H m (Y). Теперь мы готовы определить произведение в когомологиях. Пусть K - симплициальный комплекс и ∆ : |K| → |K| × |K| – диагональное

74

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

отображение, задаваемое формулой ∆(x) = (x, x). Оно индуцирует гомоморфизмы ∆∗ : H n (K × K) → H n (K). Определение. Пусть h1 ∈ H k (K), h2 ∈ H m (K) – элементы групп когомологий симплициального комплекса K. Тогда их ⌣-произведение h1 ⌣ h2 определяется формулой h1 ⌣ h2 = ∆∗ i(h1 ⊗ h2 ). Другими словами, чтобы найти произведение двух элементов групп когомологий, нужно рассмотреть их тензорное произведение как элемент группы когомологий прямого произведения K × K и взять его образ при гомоморфизме ∆∗ , индуцированном диагональным отображением. Однако, явное вычисление произведения в когомологиях представляет собой непростую задачу, хотя принципиальных трудностей нет. Дело в том, что прямое нахождение гомоморфизма ∆∗ требует выписывания симплициальной (или клеточной) аппроксимации диагонали ∆ : K → K × K. Хотя явные формулы такой аппроксимации имеются, но они довольно громоздки.

1.18

Двойственность Пуанкаре

Пусть M – замкнутое ориентируемое многообразие размерности n. Для простоты мы будем предполагать, что M является комбинаторным многообразием. Это означает, что M можно триангулировать так, что замкнутая звезда каждой вершины будет симплициально изоморфна некоторому подразделению стандартного n-мерного симплекса. Эквивалентное определение: M является однородным полиэдром (выражение С.П. Новикова). Это означает, что любую точку x ∈ M можно перевести в любую другую точку y ∈ M с помощью гомеоморфизма M → M , симплициального в некоторых триангуляциях. Выберем какую-нибудь триангуляцию K многообразия M и рассмотрим его двойственное разбиение на клетки. Каждому m-мерному симплексу σ комплекса K мы сопоставляем двойственную клетку Bσ раз′ ′ мерности n − m. Она определяется так: Bσ = ∩m i=0 St (vi , K ), где K – первое барицентрическое подразделение комплекса K, а пересечение взято по всем вершинам vi симплекса σ. В частности, каждой вершине v комплекса K отвечает n-мерный шар Bv = St (v, K ′ ), каждому ребру σ с вершинами v, w – (n − 1)-мерный шар Bσ = Bv ∩ Bw , и так далее. См. рис. 1.32.

1.18. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПУАНКАРЕ

75

Рис. 1.32: Двойственное разбиение мноогообразия на клетки Теорема 31. Для любого замкнутого ориентируемого комбинаторного многообразия M размерности n и для любого m группы Hm (M ) и H n−m (M ) изоморфны. Доказательство. Пусть ориентированный комплекс K триангулирует многообразие M . Ориентируем M . После этого ориентируем клетки двойственного разбиения так, чтобы добавление к ориентирующему базису каждого симплекса ориентирующего базиса двойственной клетки давало выбранную ориентацию всего многообразия. Пусть Cm (K), C n−m (K) – группы цепей и коцепей дополнительных размерностей. Сопоставим каждому симплексу σ, рассматриваемому как элемент группы Cm (K), аддитивный функционал, который равен 1 на двойственной клетке Bσ и 0 на всех остальных клетках. Из определения двойственного разбиения на клетки следует, что это сопоставление задает изоморфизм ϕm группы Cm (K) на группу C n−m (K). Нетрудно проверить, что такие изоморфизмы согласованы с граничными и кограничными гомоморфизмами, т. е. что все квадраты ϕm

Cm (K) −→ C n−m (K) ↓ ∂m ↓ δn−m ϕm−1 n−m+1 Cm−1 (K) −→ C (K) коммутативны. Отсюда следует, что группы гомологий и когомологий дополнительных размерностей изоморфны. Задача 68. Докажите, что если первая группа гомологий связного замкнутого трехмерного многообразия M тривиальна, то оно является го-

76

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

мологической сферой, т. е. что его гомологии совпадают с гомологиями H0 = H3 = Z, H1 = H2 = 0 стандартной трехмерной сферы. Заметим, что если ориентация многообразия M задана, то изоморфизмы ϕm : Cm (K) → C n−m и индуцируемые ими изоморфизмы γm : Hm (K) → H n−m (K) определяются однозначно. Поэтому ⌣-произведение в когомологиях порождает ⌢-произведение в гомологиях по формуле a ⌢ b = −1 γk+m−n (γk (a) ⌣ γm (b)), где a ∈ Hk (M ), b ∈ Hm (M ) и a ⌢ b ∈ Hk+m−n (M ). Разумеется, ⌢-произведение имеет геометрическую интерпретацию. Мы ограничимся весьма неформальным описанием (юолее подробные изложения см. в [3, 11, 6, 9]). Реализуем элемент a ориентированным симплициальным k-мерным комплексом A ⊂ M . Другими словами, цепь, составленная из взятых с коэффициентами 1 k-мерных симплексов комплекса A должна быть циклом, представляющим a. Аналогично, представим элемент b ориентированным симплициальным комплексом B ⊂ M размерности m. Комплексы A и B можно выбрать так, чтобы они находились в общем положении. Это означает, что для каждых двух открытых симплексов σ p ∈ A, δ r ∈ B, их пересечение σ p ∩ δ r должно быть либо пустым, либо клеткой размерности p + r − n. Тогда A ∩ B является клеточным комплексом. Мы ориентируем его клетки по следующему правилу: если ориентирующий базис клетки σ p ∩ δ r (он состоит из p + r − n векторов) дополнить n − r векторами до ориентирующего базиса симплекса σ p и затем добавить n − p векторов в симплексе δ r , то полученные n векторов должны давать выбранную ориентацию многообразия M . См. рис. 1.33. В этой ситуации можно доказать, что (p + r − n)-мерные клетки комплекса A ∩ B, взятые с коэффициентами 1, образуют цикл, который и задает произведение a ⌢ b ∈ Hk+m−n (M ). Иногда такая интерпретация ⌢-произведения в гомологиях помогает вычислять ⌣-произведение в когомологиях – мы заменяем коциклы на двойственные циклы, рассматриваем их пересечение, и берем двойственный коцикл. Задача 69. Представим тор T = S 1 × S 1 в виде клеточного комплекса с одной вершиной, двумя одномерными клетками m = S 1 × {∗}, ℓ = {∗} × S 1 , и одной двумерной клеткой. Пусть элемент µ ∈ H 1 (T ) задан коциклом, который принимает значения 1 на m и 0 на ℓ. Аналогично, элемент λ ∈ H 1 (T ) отвечает коциклу, принимающему значения 0 на m и 1 на ℓ. Найти µ ⌣ λ ∈ H 2 (T ) = Z.

1.18. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПУАНКАРЕ

77

Рис. 1.33: Как выбрать правильную ориентацию пересечения симплексов: если к набору 1 из p+r −n векторов добавить набор 2 из n−r векторов и затем набор 3 из n − p векторов, то должен получиться ориентирующий базис многообразия.

78

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОЛОГИЙ

Глава 2 Элементы теории гомотопий В этом разделе мы весьма огрубленно расскажем, что такое гомотопические группы. Первая гомотопическая группа (она называется фундаментальной) тесно связана с первой группой гомологий, которая получается из нее коммутированием (факторизацией по коммутанту). Как и группы гомологий, фундаментальная группа функториальна, однако, как правило, несет в себе больше информации о пространстве.

2.1

Определение фундаментальной группы

Пусть имеется топологическое пространство X. Выберем в нем произвольную точку x0 , которую в дальнейшем будем называть базисной. Определение. Петлей в пространстве X с базисной точкой x0 называется такое произвольное непрерывное отображение f : [0, 1] → X, что f (0) = f (1) = x0 . Определение. Две петли f и g называются гомотопными (обозначение: f ∼ g), если существует такое непрерывное отображение F : [0, 1] × I → X, что F (s, 0) = f (s), F (s, 1) = g(s) для любых s ∈ [0, 1] и F (0, t) = F (1, t) = x0 для любых t ∈ I. Другими словами, по сравнению с общим определением гомотопных отображений (см. стр. 21), мы требуем, чтобы гомотопия между петлями была закрепленной в базисной точке. Обозначив через ft , 0 ≤ t ≤ 1, сужение отображения F на слой [0, 1]×t, мы получим непрерывное семейство отображений, соединяющее 79

80

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Рис. 2.1: Две из изображенных петель гомотопны между собой, но не гомотопны третьей f и g. Таким образом, две петли гомотопны, если одну можно продеформировать в другую с помощью непрерывной деформации. Задача 70. Какие из трех изображенных на рисунке 2.1 петель на кольце S 1 × I гомотопны? Легко показать, что отношение гомотопности петель есть отношение эквивалентности. Поэтому оно разбивает множество всех петель Ω1 (X, x0 ) на классы гомотопных петель. Множество этих классов обозначим через π1 (X, x0 ). Оно и представляет собой множество элементов фундаментальной группы. Повторим еще раз: фундаментальная группа как множество совпадает с множеством классов гомотопных петель. Другими словами, каждый элемент фундаментальной группы задается петлей, причем две петли определяют один и тот же элемент фундаментальной группы тогда и только тогда, когда они гомотопны. Введем на множестве π1 (X, x0 ) бинарную операцию, то есть сопоставим каждым двум элементам α, β из π1 (X, x0 ) третий элемент αβ. Для этого для элементов α, β выберем представляющие их петли f, g : [0, 1] → X и рассмотрим петлю h : [0, 1] → X, задаваемую формулой ½ f (2s), 0 ≤ s ≤ 1/2; h(s) = g(2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1. Элемент αβ определяется как класс, содержащий петлю h.

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ

81

Рис. 2.2: Петли (f g)h и f (gh) отличаются только параметризацией Смысл приведенной выше формулы предельно прост: петля h получается из петли f, g последовательным прохождением (с удвоенной скоростью) сначала петли f , потом петли g. Скорость удвоена для того, чтобы петля h была определена на отрезке [0, 1], а не [0, 2]. Задача 71. Докажите, что приведенное определение корректно, то есть элемент αβ не зависит от выбора петель f, g, представляющих элементы α, β. Теперь наша цель состоит в том, чтобы доказать, что относительно введенной операции множество π1 (X, x0 ) является группой. Проверка ассоциативности операции (будем называть ее умножением) состоит в проверке гомотопности петель, символически изображенных на рисунке 2.2. Верхний отрезок изображает петлю k1 = (f g)h, задаваемую формулой  0 ≤ s ≤ 1/4  f (4s), g(4s − 1), 1/4 ≤ s ≤ 1/2 k1 (s) =  h(2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1. Нижний отрезок изображает петлю k2 = f (gh).

Задача 72. Докажите, что петли k1 и k2 гомотопны (задайте гомотопию формулой). Для того, чтобы доказать существование нейтрального элемента, нужно его указать и проверить, что он действительно нейтрален. Задача 73. Проверьте, что постоянная петля (все точки отрезка отображаются в базисную точку) определяет нейтральный элемент в множестве π1 (X, x0 ) относительно операции умножения.

82

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Элемент, обратный данному, получается так: нужно взять петлю, представляющую данный элемент, и пройти ее в обратном направлении. Задача 74. Докажите, что противоположные обходы одной и той же петли определяют элементы множества π1 (X, x0 ), которые обратны друг другу относительно операции умножения. Итак, множество π1 (X, x0 ) относительно введенной операции умножения является группой. Определение. Группа π1 (X, x0 ) называется фундаментальной группой пространства X с базисной точкой x0 .

2.2

Независимость от базисной точки

Определение. Топологическое пространство X называется линейно связным, если каждые две его точки можно соединить непрерывным путем. Это означает, что для любых точек x1 , x2 ∈ X должно существовать такое непрерывное отображение s : [0, 1] → X, что s(0) = x1 и s(1) = x2 . Теорема 32. Если пространство X линейно связно, то для любых точек x1 , x2 ∈ X группы π1 (X, x1 ) и π1 (X, x2 ) изоморфны. Для доказательства выберем путь s, соединяющий точку x1 с точкой x2 и определим отображение ϕ : π1 (X, x1 ) → π1 (X, x2 ) следующим образом: ϕ(α) = [s−1 α es], где α e – петля, представляющая элемент α, а [g] означает класс, содержащий петлю g. Обратное отображение ψ : π1 (X, x2 ) → e −1 ]. π1 (X, x1 ) получается аналогичным образом: ψ(β) = [sβs

Задача 75. Докажите, что отображения ϕ и ψ определены корректно, т. е. не зависят от выбора петель, представляющих данные элементы фундаментальных групп. Задача 76. Докажите, что отображения ϕ и ψ являются изоморфизмами, обратными друг другу.

Результаты этих задач показывают, что группы π1 (X, x1 ) и π1 (X, x2 ) изоморфны. Поэтому иногда мы будем обозначать фундаментальную группу линейно связного пространства X как π1 (X), не указывая конкретной базисной точки. Для пространства, не являющегося линейно

2.2. НЕЗАВИСИМОСТЬ ОТ БАЗИСНОЙ ТОЧКИ

83

связным, фундаментальная группа, вообще говоря, зависит от того, в какой компоненте линейной связности взята точка. Пусть имеется непрерывное отображение f : X → Y одного пространства в другое, сохраняющее базисные точки (т. е. переводящее базисную точку x0 пространства X в базисную точку y0 пространства Y ). Определим отображение f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) следующим образом: f∗ (α) = [f α e] (напомним, что α e обозначает петлю-представитель элемента α, а [f α e] – элемент фундаментальной группы, определяемый петлей fα e). Представить это себе можно так: каждой петле в X сопоставляется та петля в Y , в которую она переходит при отображении f . Нетрудно проверить, что это определение корректно (т. е. что f∗ (α) не зависит от выбора представляющей петли α e) и что выполнены следующие свойства: 1. Отображение f∗ является гомоморфизмом (этот гомоморфизм называется индуцированным); 2. Тождественному отображению пространств сопоставляется тождественный гомоморфизм групп; 3. Суперпозиции отображений пространств отвечает суперпозиции гомоморфизмов групп. Это означает, что сопоставление каждому пространству с отмеченной базисной точкой его фундаментальной группы является функтором из категории пунктированных (т. е. с отмеченной базисной точкой) топологических пространств в категорию групп. Приведем несколько примеров. Легко видеть, что фундаментальная группа пространства, состоящего из одной точки, тривиальна. Докажем, что фундаментальная группа отрезка [0, 1] также тривиальна. Действительно, если f : [0, 1] → [0, 1] – произвольная петля, то формула F (x, t) = t + (1 − t)f (x) определяет гомотопию этой петли в постоянную петлю (в качестве базисной точки отрезка взята точка 1). Это означает, что π1 ([0, 1]) состоит из одного элемента. Задача 77. Докажите, что фундаментальная группа любого выпуклого подмножества евклидова пространства тривиальна. Покажем, что фундаментальная группа окружности изоморфна группе целых чисел Z. Пусть S 1 – единичная окружность на плоскости с

84

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

центром в начале координат. В качестве базисной точки возьмем точку (1, 0). Пусть f : [0, 1] → S 1 – петля. При изменении параметра t от 0 до 1 точка f (t) будет двигаться по окружности и в конечный момент t = 1 вернется в базисную точку. Поэтому общее число совершаемых ею оборотов – целое. Нетрудно видеть, что это число не меняется при деформации (гомотопии) петли. Действительно, при непрерывной деформации петли число оборотов должно изменяться также непрерывно, а так как число оборотов всегда целое, то оно обязано быть постоянным. Задача 78. Докажите, что сопоставление каждой петле числа ее оборотов вокруг начала координат определяет изоморфизм группы π1 (S 1 ) на группу Z.

2.3

Задания групп

Чтобы научиться вычислять фундаментальные группы более сложных пространств, нужно научиться задавать группы. Одним из наиболее распространенных и эффективных способов задания групп является задание с помощью образующих и соотношений. Пусть A – произвольное конечное множество. Будем называть его алфавитом, а его элементы – буквами. Словом в алфавите A будем называть произвольную конечную последовательность символов вида a, a−1 , где a ∈ A. Под длиной слова понимается число входящих в него букв. . Вот несколько примеров слов в алфавите из двух букв: a, b, aa−1 ba, ababbab−1 . Длины этих слов таковы: 1, 1, 4, 7. Задача 79. Сколько различных слов длины 2 можно написать в алфавите из двух букв? Удобно принять следующие соглашения: символ an , где n – натуральное число, обозначает слово aa . . . a} , символ a−n служит сокращенной | {z n

−1 −1 −1 записью слова a | a {z. . . a } , символ 1 применяется для обозначения n пустого слова. Пусть R1 , R2 , . . . , Rn – некоторые слова в алфавите A, состоящем из букв a1 , a2 , . . . , am . Мы опишем конструкцию, которая указанным данным (буквам ai , которые называются образующими, и словам Rj , которые называются определяющими соотношениями) сопоставляет группу

2.3. ЗАДАНИЯ ГРУПП

85

G, обозначаемую так: ha1 , a2 , . . . , am | R1 , R2 , . . . , Rn i. Введем на множестве W всех слов в алфавите A отношение эквивалентности следующим образом: скажем, что слово w1 эквивалентно слову w2 , если от слова w1 можно перейти к слову w2 с помощью конечной последовательности преобразований вида I, I ′ и II: I. Вставка и вычеркивание пары вида ai a−1 i . I ′ . Вставка и вычеркивание пары вида a−1 i ai . II. Выделение и вычеркивание в слове подслова Rj или вставка такого подслова. Задача 80. Докажите, что введенное отношение действительно является отношением эквивалентности. Иногда соотношения записываются не в виде слов, а в виде равенств типа R = 1 или даже в виде равенств типа R = Q, где R, Q – некоторые слова в алфавите из образующих. Во втором случае преобразование II состоит в выделении подслова R и его замене на подслово Q (или наоборот). Разумеется, соотношение R = Q фактически совпадает с соотношением RQ−1 = 1. Задача 81. Пусть A = {a, b}, и пусть множество соотношений состоит из двух соотношений abab−1 = 1 и b2 a−2 = 1. Докажите, что словo a4 эквивалентно пустому слову 1. На множестве W/ ∼ классов эквивалентности введем операцию умноe Здесь α жения, полагая αβ = [e αβ]. e обозначает слово-представителя класe e Другими словами, для того чтоса α, [e αβ] – класс, содержащий слово α eβ. бы перемножить два класса, нужно выбрать для каждого из них представляющее его слово, приписать второе слово к первому справа и взять класс, содержащий полученное слово. Обычным образом доказывается, что что приведенное определение умножения корректно, т. е. не зависит от выбора представителей. Задача 82. Докажите, что множество G = W/ ∼ относительно введенной операции является группой.

86

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Допуская некоторую вольность, можно считать, что группа G как множество состоит из всех слов в алфавите A, причем два слова определяют один и тот же элемент группы тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Задача 83. Докажите, что группа G не изменится, если одно из соотношений Ri заменить на его сопряжение, т. е. на соотношение вида wRi w−1 , где w – некоторое слово в алфавите A. Пусть w – некоторое слово в алфавите A. Скажем, что соотношение w = 1 выводимо из соотношений Ri , 1 ≤ i ≤ n, если слово w определяет единичный элемент в группе ha1 , . . . , am | R1 , . . . , Rn i. Следует отметить, что выведение соотношения из данных соотношений требует изобретательности и удачи. Никакого общего правила здесь не существует. Задача 84. Докажите, что соотношение z 6 = 1 выводимо в группе hx, z | xz 2 xz −1 , zx2 zx−1 i. Задача 85. Докажите, что группа не меняется при применении к ее заданию следующих операций: I Добавление нового соотношения, которое выводимо из соотношений группы; I’ Удаление соотношения, выводимого из остальных; II Добавление новой образующей a и нового соотношения вида a = w, где слово w не содержит образующей a; II’ Удаление образующей a и соотношения a = w при условии, что a не входит ни в w, ни в другие соотношения. Легко доказать, что если задания ha1 , . . . , am | R1 , . . . , Rn i и hb1 , . . . , bk | Q1 , . . . , Ql i определяют изоморфные группы, то от одного задания можно перейти к другому при помощи операций I, I’, II, II’. Однако, поиск конкретной последовательности операций бывает весьма трудным. Более того, доказано, что никакого общего алгоритма распознавания изоморфности групп не существует. Мы приведем два примера распознавания группы, заданной образующими и соотношениями. Под распознаванием группы мы понимаем доказательство ее изоморфности одной из известных групп. Напомним

2.3. ЗАДАНИЯ ГРУПП

87

еще раз, что иногда соотношения удобно записывать в виде w1 = w2 вместо w1 w2 −1 = 1. Например, соотношение xz 2 xz −1 = 1 можно переписать в виде xz 2 x = z, а два соотношения a2 (ab)−3 = 1 и a2 b−3 = 1 – в виде a2 = (ab)3 = b3 . Пример. Распознать группу ha, b, c, d, e | d = e2 , bda = 1, ab−1 c = 1, ac−1 b−1 = 1, de = ci. Решение. Используем первое соотношение d = e2 для удаления образующей d. Получаем задание ha, b, c, e | be2 a = 1, ab−1 c = 1, ac−1 b−1 = 1, e3 = ci. С помощью последнего соотношения c = e3 убираем c: ha, b, e | be2 a = 1, ab−1 e3 = 1, ae−3 b−1 = 1i. С помощью соотношения b = e3 a, эквивалентного соотношению ab−1 e3 = 1, убираем b: ha, e | e3 ae2 a = 1, ae−3 a−1 e−3 = 1i или ha, e | e3 ae2 a = 1, e3 ae3 = ai. Записывая первое соотношение в виде e3 ae3 e−1 a = 1 и заменяя e3 ae3 на a, получаем задание ha, e | ae−1 a = 1, e3 ae3 = ai или ha, e | e = a2 , e3 ae3 = ai. Далее, убирая образующую e с помощью первого соотношения, получаем задание ha | a6 aa6 = ai, т. е. ha | a12 = 1i. Это – циклическая группа порядка 12. Пример. Распознать группу G = ha, b | a3 = b2 = 1, a2 b = bai. Решение. Возьмем произвольное слово w = aα1 bβ1 . . . aαn bβn в алфавите a, b и попытаемся его упростить, пользуясь соотношениями. С помощью первых двух соотношений можно добиться, чтобы все βi были равны 1, а все αi – 1 или 2. Третье соотношение позволяет перегнать все вхождения буквы b в конец слова w. Разумеется, степени букв a при этом меняются. Таким образом, слово w эквивалентно слову вида aα bβ , где α может принимать значения 0,1 или 2, а β – значения 0,1.

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

88

Следовательно, в нашей группе не более 6 элементов. Единственная неабелева группа из 6 элементов есть симметрическая группа S3 , которая состоит из перестановок чисел 1, 2, 3 и произведение одной перестановки на другую получается применением сначала второй подстановки, потом первой. Нетрудно проверить, что при сопоставлении элементу a перестановки (231) и элементу b перестановки (213), соотношения a3 = b2 = 1, a2 b = ba переходят в верные равенства в группе S3 . Поэтому это сопоставление продолжается до гомоморфизма ϕ : G → S3 . Гомоморфизм ϕ – эпиморфизм, так как перестановки (231) и (213) порождают группу S3 . Инъективность гомоморфизма следует из его эпиморфности и того, что в группе S3 всего 6 элементов, а в группе G – не более 6. Таким образом, группа G изоморфна группе S3 . Задача 86. Докажите, что группа G = hx, y | xy 2 x = y, yx2 y = xi изоморфна бинарной группе тетраэдра ha, b | a2 = (ab)3 = b3 , a4 = 1i. Добавление к соотношениям произвольного задания произвольной группы соотношений коммутирования приводит к новой группе, уже абелевой. Эта операция называется коммутированием. Если прокоммутировать изоморфные группы, получим изоморфные группы, хотя обратное не верно. Задача 87. Докажите, что группы ha, b | a2 b3 a−1 b = 1, abab2 = 1i и hx, y | x−1 y 3 xy = 1, x5 yx−2 y −3 = 1i различны.

2.4

Вычисление фундаментальной группы

Под вычислением группы мы понимаем выписывание ее задания. Теорема Ван-Кампена позволяет вычислить фундаментальную группу объединения двух пространств X ∪ Y по известным фундаментальным группам пространств X, Y и Z = X ∩ Y . Теорема 33. Пусть линейно связные клеточные комплексы X, Y пересекаются по их общему связному клеточному подкомплексу Z = X ∩ Y . Тогда задание группы π1 (X ∪ Y ) можно получить так: 1. Выписать образующие групп π1 (X) и π1 (Y ); 2. Выписать соотношения групп π1 (X) и π1 (Y );

2.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ

89

Рис. 2.3: Разбиение сферы S 3 на два полных тора 3. Написать еще серию соотношений – по одному для каждого образующего элемента c группы π1 (Z). Это соотношение выглядит так: ϕ1 (c) = ϕ2 (c), где ϕ1 (c) – выражение элемента c через образующие группы π1 (X), а ϕ2 (c) – его выражение через образующие группы π1 (Y ) Доказательство теоремы Ван-Кампена можно посмотреть, например, в книге [11]. Задача 88. Найти фундаментальную группу восьмерки (букета двух окружностей). Задача 89. Найти фундаментальную группу проективной плоскости В качестве применения теоремы Ван-Кампена докажем, что узел “трилистник” не развязывается – факт, известный каждому из личной практики манипуляций со шнурками. Теорема 34. Замыкание дополнения к стандартному полному тору в сфере S 3 гомеоморфно полному тору. Идея доказательства представлена на рис. 2.3. Вращением круг D относительно оси l получается полный тор V1 . Замыкание V2 его дополнения состоит из дисков, которые параметризуется точками оси l (что вместе с точкой ∞ дает окружность). При этом через каждую точку оси l проходит ровно один такой диск, получающийся вращением “соленоидальной” дуги вокруг оси l. Поэтому V2 – тоже полный тор. Заметим, что меридиан внутреннего тора совпадает с параллелью внешнего, и наоборот.

90

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Рис. 2.4: Трилистник и его расположение на крае стандартного полного тора Теорема 35. Узел “трилистник” (см. рис. 2.4) не развязывается (строго: не существует изотопии пространства R3 , которая переводит трилистник K в стандартную окружность S 1 ⊂ R3 ). Доказательство. Напомним, что дополнительное пространство CK произвольного узла K ⊂ S 3 определяется как CK = S 3 \ Int N (K): сначала мы заменяем узел K на его трубчатую окрестность N (K), которая представляет собой заузленное полноторие, а затем вырезаем ее внутренность. От настоящего дополнения S 3 \ K дополнительное пространство CK отличается только тем, что оно компактно (а это удобно). Если узел K тривиален, то фундаментальная группа его дополнительного пространства (которое гомеоморфно полному тору) является бесконечной циклической группой. Поэтому она коммутативна. Таким образом, для доказательства нетривиальности трилистника достаточно найти фундаментальную группу его дополнительного пространства и доказать, что она не коммутативна. Пусть теперь K – трилистник. Расположим его на общем крае T = V1 ∩ V2 двух полных торов V1 , V2 ⊂ S 3 так, как это показано на рис. 2.4. Тогда Vi′ = Vi ∩ CK , i = 1, 2 – тоже полные торы, получающиеся из торов V1 , V2 вырезанием желобков вдоль узла K. Они пересекаются по кольцу A = T ∩ CK и вместе дают CK . Для вычисления группы π1 (CK ) мы применим теорему Ван-Кампена. 1. Группы π1 (V1′ ) и π1 (V2′ ) являются бесконечными циклическими группами, причем в качестве их образующих vi ∈ π1 (Vi′ ), i = 1, 2, можно взять элементы, задаваемые осевыми окружностями полных торов. Поэтому v1 , v2 порождают группу π1 (CK ).

2.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ

91

2. Группа π1 (A) есть также бесконечная циклическая группа, порожденная элементом a ∈ π1 (A), отвечающим осевой окружности кольца A. 3. Поскольку трилистник обходит два раза параллель тора T и три раза его меридиан (и то же самое относится к осевой окружности кольца A), то l = v12 и l = v23 . Поэтому единственное соотношение между образующими v1 , v2 имеет вид v12 = v23 и π1 (CK ) = hv1 , v2 | v12 = v23 i. Найденное задание группы π1 (CK ) позволяет заключить, что она не коммутативна. Для этого достаточно увидеть, что группа подстановок S3 = ha, b|a3 = b2 = 1, a2 b = bai степени 3 (см. пример на стр. 87) является ее эпиморфным образом. Эпиморфизм задается правилом v1 → a, v2 → b. Пример. Пусть пересечение Z = X ∩ Y двух связных клеточных комплексов состоит из ровно одной точки. В такой ситуации говорят, что комплекс X ∩Y является букетом комплексов X, Y . Тогда группа π1 (X ∪ Y ) имеет вид заданием π1 (X ∪ Y ) = ha1 , . . . , am , b1 , . . . , bp | R1 , . . . , Rn , Q1 , . . . , Qq i, где ha1 , . . . , am | R1 , . . . , Rn i и hb1 , . . . , bp | Q1 , . . . , Qq i – задания групп π1 (X) и π1 (Y ), соответственно. Это означает, что группа π1 (X ∪ Y ) есть свободное произведение групп π1 (X) и π1 (Y ). В частности, если в этом примере комплекс Y является окружностью, то задание группы π1 (X ∪ Y ) получается из задания группы π1 (X) добавлением одного нового образующего элемента. Соотношения остаются прежними. Пример. Пусть клеточный комплекс X1 получается из связного клеточного комплекса X приклеиванием одной двумерной клетки по некоторому отображению ее граничной кривой. Тогда задание группы π1 (X1 ) получается из задания группы π1 (X) добавлением ровно одного соотношения, которое показывает, как граничная кривая приклеиваемой клетки выражается через образующие группы π1 (X).

92

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Рис. 2.5: Простой пример вычисления фундаментальной группы Эти два примера приводят к простому способу выписывания задания фундаментальной группы клеточного комплекса. Этот способ весьма близок к способу вычисления первой группы гомологий, описанному на стр. 58. Вычисление фундаментальной группы клеточного комплекса. Пусть X – связный клеточный комплекс. Его фундаментальная группа π1 (X) полностью определяется двумерным остовом X (2) , который получается из одномерного остова Γ = X (1) приклеиванием нескольких двумерных клеток. Шаг 1. Выберем в графе Γ максимальное дерево, т. е. подграф графа Γ, который не имеет циклов и содержит все вершины графа Γ. Оставшиеся ребра ориентируем и обозначим буквами. Эти буквы и есть образующие группы π1 (X). Шаг 2. Для каждой двумерной клетки напишем по слову, которое показывает, как граничная окружность клетки проходит по обозначенным ребрам. Эти слова составляют множество соотношений группы π1 (X). Пример. Пусть клеточный комплекс K получается из графа на рис. 2.5. приклеиванием двух клеток размерности 2 по указанным отображениям окружности. Применение алгоритма показывает, что π(K) = ha, b, c | ab−1 , cb−1 i = Z, Задача 90. Представьте бутылку Клейна в виде клеточного комплекса и вычислите ее фундаментальную группу. Задача 91. Вычислите фундаментальную группу поверхности кренделя рода 2.

2.5. ЗАДАНИЕ ВИРТИНГЕРА

93

Задача 92. Докажите, что для любой группы G с конечным числом образующих и соотношений существует пространство X с фундаментальной группой G. Схожесть способов вычисления первой группы гомологий и фундаментальной группы далеко не случайна. Нетрудно показать, что первая группа гомологий изоморфна прокоммутированной фундаментальной группе. Действительно, при вычислении группы гомологий мы делаем в точности то же самое, что и при вычислении фундаментальной группы, но игнорируем порядок, в котором граничные кривые проходят по помеченным ребрам. Это равносильно коммутированию.

2.5

Задание Виртингера

Рассмотренный в предыдущем разделе способ вычисления фундаментальной группы дополнительного пространства трилистника работает и в для других торических узлов (т. е. узлов, которые размещаются на крае стандартного полного тора в S 3 ). В этом разделе мы опишем другой способ, который применим уже ко всем узлам. Полученные с помощью него задания называются заданиями Виртингера. Пусть узел K задан своей проекцией в R2 , которая, как это принято в теории узлов, разорвана в двойных точках для указания, какой из участков диаграммы проходит выше. Разорванная проекция называется диаграммой узла. Топологически она представляет собой набор непересекающихся дуг. Ориентируем эти дуги так, чтобы вместе они давали одну из двух возможных ориентаций узла, и обозначим их буквами. Эти буквы будут образующими задания Виртингера. Потом для каждой двойной точки напишем соотношение вида xyx−1 = z, где x обозначает дугу, идущую сверху, y – дугу, примыкающую к ней справа, а z – дугу, примыкающую слева. См. рис. 2.6 слева. Ориентации дуг y и z для выписывания этого соотношения значения не имеют. Полученное задание называется заданием Виртингера. Пример. Задание Виртингера, выписанное для стандартной диаграммы трилистника (см. рис. 2.6 справа) имеет вид ha, b, c | aba−1 = c, bcb−1 = a, cac−1 = bi. Покажем, что оно задает фундаментальную группу дополнительного пространства трилистника, найденную при доказательстве теоремы 35. Каждое из трех соотношений этого задания выводится из

94

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Рис. 2.6: Задание Виртингера остальных двух. Поэтому одно соотношение можно отбросить. Это – общий факт, верный для всех заданий Виртингера. Отбросим третье соотношение и используем второе для выражения образующей c через образующие a, b. Мы получим задание ha, b | baba−1 b−1 = ai, эквивалентное заданию ha, b | aba = babi. Последнее задание заменой v1 = aba, v2 = ab сводится к заданию hv1 , v2 | v12 = v23 i, полученному в доказательстве теоремы 35. Таким образом, задание Виртингера, выписанное для трилистника, определяет фундаментальную группу его дополнения. Оказывается, этот факт носит общий характер. Теорема 36. Задание Виртингера, выписанное по любой диаграмме любого узла K, определяет фундаментальную группу его дополнительного пространства. Доказательство. Обозначим через K ′ узел, диаграмма которого получается из данной диаграммы узла K сменой типов всех двойных точек, см. рис. 2.7. Тогда K ′ получается из узла K зеркальным отражением относительно плоскости. Так как фундаментальные группы π1 (CK ), π1 (CK ′ ) их дополнительных пространств изоморфны, то достаточно доказать, что задание Виртингера, выписанное по данной диаграмме узла K, определяет группу π1 (CK ′ ). Изобразим данную диаграмму узла K на сфере S (крае шара B 3 ⊂ S 3 ) и приклеим к B 3 полоски (туннели) вдоль ее дуг, по одной полоске для каждой дуги. Каждая полоска представляет собой прямоугольник, приклеиваемый к шару по двум противоположным сторонам, поэтому приклеивание полоски к шару приводит к появлению нового образующего элемента фундаментальной группы. Таким образом, фунда-

2.6. ВЫСШИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

95

ментальная группа шара с приклеенными полосками свободна, причем образующие соответствуют дугам диаграммы. Теперь в окрестности каждой двойной точки приклеим двумерную клетку так, как это показано на рис. 2.7 справа: она соединяет торцы

Рис. 2.7: Приклеивание полосок и клеток к шару моделирует как пространство CK ′ , так и задание Виртингера группы π1 (CK ) двух туннелей и дважды проходит по потолку третьего туннеля. Приклеивание такой клетки приводит к появлению соотношения xyx−1 z −1 = 1, которое фактически совпадает с соотношением Виртингера xyx−1 = z. В результате мы построим полиэдр P , который обладает двумя свойствами: 1. Группа π1 (P ) имеет задание, совпадающее с заданием Виртингера для данной проекции узла K; 2. Группы π1 (P ) и π1 (CK ′ ) изоморфны. Первое свойство справедливо по построению, второе легко следует из того, что дополнение полиэдра P в сфере S 3 состоит из трубчатой окрестности узла K ′ и двух открытых трехмерных шаров. Так как π1 (CK ) = π1 (CK ′ ), то задание Виртингера данной диаграммы узла K задает фундаментальную группу его дополнения.

2.6

Высшие гомотопические группы

Высшие гомотопические группы πn (X, x0 ) определяются так же, как и фундаментальная группа. Отличие состоит в том, что вместо петель рассматриваются сфероиды.

96

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Рис. 2.8: Сфероид в X можно рассматривать как отображение сферы Определение. Сфероидом размерности n в пространстве X с базисной точкой x0 называется такое непрерывное отображение f : I n → X, что f (∂I n ) = x0 . Мы назвали отображение куба сфероидом, так как край куба переходит в точку и поэтому это отображение пропускается через отображение в сферу. См. рис. 2.8. Как и в случае петель, гомотопия сфероидов должна быть закреплена, т. е. край куба должен всегда отображаться в базисную точку. Введем на множестве πn (X, x0 ) классов гомотопных сфероидов бинарную операцию (конечно, с помощью представителей). Как будет видно ниже, при n > 1 эта операция коммутативна. Поэтому она называется сложением. Пусть f1 , f2 : I n → X – два сфероида, представляющие два данных элемента α1 , α2 ∈ πn (X, x0 ). Выберем внутри куба I n две уменьшенные в несколько раз с помощью гомотетий h1 : I n → I1n , h2 : I n → I2n копии I1n , I2n стандартного куба I n . Кубы I1n , I2n не должны иметь общих точек. Тогда сфероид g : I n → X, представляющий сумму α1 + α2 , определяется так (см. рис. 2.9):  x ∈ I1n ;  f1 h−1 1 (x), если −1 f2 h2 (x), если x ∈ I2n ; g(x) =  x0 , если x 6∈ I1n ∪ I2n

Гомотопия сфероида f + g в сфероид g + f , доказывающая коммутативность введенной операции, показана на рис. 2.10. В любой момент этой гомотопии образ суммы сфероидов остается одним и тем же, однако отображение куба I n в X непрерывно деформируется. Это происходит за счет того, что меньшие кубы I1n , I2n меняются внутри куба I n местами так, что при этом они никогда не пересекают друг друга.

2.6. ВЫСШИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

97

Рис. 2.9: При сложении сфероидов заштрихованная область переходит в базисную точку

Рис. 2.10: Сложение сфероидов коммутативно Задача 93. Докажите, что относительно введенной операции множество πn (X, x0 ) является группой. Вычисление высших гомотопических групп, несмотря на их коммутативность, является весьма трудной задачей. Общего способа нахождения образующих нет. При этом гомотопические группы компактных полиэдров часто бывают бесконечно порожденными. Одно из объяснений этого явления состоит в том, что фундаментальная группа π1 (X, x0 ) действует на всех высших гомотопических группах πn (X, x0 ). Это означает, что группы πn (X, x0 ) являются модулями над группой π1 (X, x0 ). Проще всего действие фундаментальной группы можно описать так. Сначала мы, сжимая половину сферы S n в отрезок, мы отображаем ее на букет другой сферы и отрезка. Затем отображаем этот букет в X, отправляя отрезок и сферу в X так, как это предписывают данные элементы α ∈ π1 (X, x0 ) и β ∈ πn (X, x0 ). Полученное отображение сферы S n в X как раз и задает результат действия α(β) элемента α на элементе β, см. рис. 2.11. Задача 94. Докажите, что для любого элемента α ∈ π1 (X, x0 ) левый сдвиг τα : πn (X, x0 ) → πn (X, x0 ) является изоморфизмом.

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

98

Рис. 2.11: Действие фундаментальной группы на группе πn (X) Если в описанной выше конструкции действия взять не петлю, а произвольный путь, соединяющий базисную точку x0 с другой точкой x1 ∈ X, то мы получим изоморфизм группы πn (X, x0 ) на группу πn (X, x1 ). Поэтому для линейно связного пространства X группа πn (X, x0 ) не зависит от выбора базисной точки и мы имеем право писать просто πn (X). Один из немногих случаев, когда вычисление гомотопической группы несложно, дается теоремой Гуревича. Так как Hn (I n , ∂I n ) = Hn (S n ) = Z, то любому сфероиду f : I n → X можно сопоставить элемент αf = f∗ (1) группы Hn (X). Задача 95. Докажите, что сопоставление f 7→ αf задает гомоморфизм группы πn (X) в группу Hn (X) (этот гомоморфизм называется гомоморфизмом Гуревича). Теорема 37. Пусть односвязный полиэдр X таков, что для всех k, 1 ≤ k < n группы Hk (X) тривиальны. Тогда гомоморфизм Гуревича πn (X) → Hn (X) является изоморфизмом. Доказательство можно найти в книгах [9, 10, 8]. Задача 96. Докажите, что πn (X × Y ) = πn (X) ⊕ πn (Y ).

2.7

Расслоения и точные последовательности

Определение. Расслоением называется произвольное непрерывное отображение p : E → B одного топологического пространства на другое. При этом E, B и p называется соответственно пространством, базой и проекцией расслоения.

2.7. РАССЛОЕНИЯ И ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

99

Рис. 2.12: Разбиение пространства расслоения на слои Смысл замены слов “отображение на” на “расслоение” состоит в акцентировании внимания на том, как пространство E разбито на слои – прообразы точек при проекции p. Пример расслоения изображен на рис. 2.12. В этом примере пространство расслоение разбито на слои четырех типов: точка, отрезок, два отрезка и точка и отрезок. Расслоения образуют категорию, в которой под морфизмами понимаются отображения пространств расслоений, которые слои переводят в слои. Поэтому расcлоения p1 : E1 → B1 и p2 : E2 → B2 изоморфны, если существуют такие гомеоморфизмы f : E1 → E2 , g : B1 → B2 , что p2 f = gp1 . Расслоение p : B × F → F , проекция которого задана правилом p(b, f ) = b, как и любое изоморфное ему расслоение, называются тривиальными. Определение. Расслоение p : E → B называется локально тривиальным, если для любой точки x ∈ B найдется такая открытая окрестность U ∋ x, что ограничение pU : EU → U проекции p на прообраз EU = p−1 (U ) ⊂ E является тривиальным расслоением. Другими словами, расслоение локально тривиально, если локально (т. е. на прообразе некоторой окрестности каждой точки базы) оно является прямым произведением. Разумеется, все слои локально тривиального расслоения над связной базой гомеоморфны. Определение. Будем говорить, что отображение f˜: P → E полиэдра P в пространство расслоения p : E → B является поднятием отображения f : P → B, если pf˜ = f . Расслоение обладает свойством поднятия гомотопии, если для любого полиэдра P , любой гомотопии ft : P → B, 0 ≤ t ≤ 1, и любого поднятия f˜0 начального отображения f0 найдется согласованное с ним поднятие f˜t : P → E всей гомотопии.

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

100

Задача 97. Докажите, что тривиальное расслоение p : B × F → B обладает следующим относительным свойством поднятия гомотопии. Пусть заданы не только гомотопия ft : P → B и поднятие f˜0 в начальный момент, но и согласованное с ними поднятие g˜t : Q → E ограничения гомотопии ft на некоторый подполиэдр Q ⊂ P . Тогда поднятие gt продолжается до некоторого поднятия f˜t : P → E. Раскладывая данную гомотопию ft : P → B в суперпозицию малых деформаций и пользуясь результатом задачи 97, можно доказать, что любое локально тривиальное расслоение обладает свойством поднятия гомотопии. Пусть p : E → B – локально тривиальное расслоение со связным пространством расслоения. Выберем базисные точки x0 ∈ B и y0 ∈ B так, что p(x0 ) = y0 . Обозначим через F слой, содержащий точку x0 . Тогда вложение i : F → E и проекция p : E → B индуцируют гомоморфизмы i∗ : πn (F, x0 ) → πn (E, x0 ) и p∗ : πn (E, x0 ) → πn (B, y0 ). Теорема 38. Для каждого n > 1 можно определить такие гомоморфизмы δ : πn (B, y0 ) → πn−1 (F, x0 ), что последовательность i

p∗

δ

∗ πn (E) −→ πn (B) −→ πn−1 (F ) −→ . . . −→ π1 (B) . . . −→ πn (F ) −→

является точной (для краткости базисные точки опущены). Доказательство. Мы ограничимся определением гомоморфизмов δ, оставив проверку точности последовательности в качестве задачи. Пусть α – произвольный элемент группы πn (B). Тогда представляющий его сфероид s : I n → B можно рассмотреть как гомотопию ft : I n−1 → B, допускающую поднятие f˜0 (x) ≡ x0 в начальный момент. Здесь через t мы обозначили последнюю координату пространства Rn , в котором лежит куб I n . Так как расслоение локально тривиально, то существует поднятие s˜ : I n → F . Его ограничение на край ∂I n куба I n является (n−1)-мерным сфероидом в F , который и задает искомый элемент δ(α). Задача 98. Докажите точность выписанной выше последовательности гомотопических групп и гомоморфизмов. Пример. Из задачи 78 мы знаем, что π1 (S 1 ) = Z. Докажем, что все высшие гомотопические группы окружности S 1 тривиальны. Для этого рассмотрим расслоение p : R1 → S 1 , проекция которого задана формулой p(x) = exp(xi) (здесь окружность S 1 отождествлена с множеством комплексных чисел, модуль которых равен 1). Это – локально

2.7. РАССЛОЕНИЯ И ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

101

тривиальное расслоение с дискретным слоем, который можно обозначить Z. Так как πn (R1 ) = πn−1 (Z) = 0 при всех n > 1, то отрезок p∗ δ πn (R1 ) −→ πn (S 1 ) −→ πn−1 (Z) точной последовательности расслоения обеспечивает тривиальность групп πn (S 1 ) при всех n > 1. Напомним, что группа π1 (S 2 ) тривиальна и что π2 (S 2 ) = Z по теореме 37. По аналогии с вышеприведенным примером было бы естественным ожидать, что все гомотопические группы сферы S 2 , начиная с третьей, тривиальны. Однако, мир устроен сложнее. Теорема 39. π3 (S 2 ) = Z. Доказательство. Суть доказательства состоит в построении локально тривиального расcлоения p : S 3 → S 2 и выписывании соответствующей точной последовательности. Мы построим такое расслоение двумя способами. Первый способ состоит в следующем. Представим сферу S 3 в виде S 3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2 = 1} и зададим на ней свободное действие окружности S 1 = {w ∈ C : |w| = 1} правилом (z1 , z2 ) → (wz1 , wz2 ). Нетрудно проверить, что факторпространство по этому действию гомеоморфно сфере S 2 и что отображение факторизации является локально тривиальным расслоением. Второй, более наглядный способ основан на представлении сферы 3 S в виде объединения двух полных торов с общим краем так, что при склейке этих полных торов меридиан одного отождествляется с параллелью другого, и наоборот. См. теорему 34. Каждый из этих полных торов расслоен на окружности (параллели типа (0,1)). Однако, эти расслоения не согласованы на общем крае торов. Чтобы получить согласованные расслоения, мы разобъем полные торы на окружности типа (1,1), которые не меняются при одновременной замене меридиана на параллель и параллели на меридиан. Множество таких окружностей внутри каждого полного тора параметризуется точками его меридионального диска. Поэтому факторпространство есть объединение двух дисков с общим краем, т. е. двумерная сфера. Заключительная часть доказательства теоремы состоит в выписывании отрезка π3 (S 1 ) → π3 (S 3 ) → π3 (S 2 ) → π2 (S 1 ) точной последовательности расслоения. Так как π3 (S 1 ) = π2 (S 1 ) = 0, то π3 (S 2 ) = π3 (S 3 ) = Z.

102

2.8

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Накрытия

Определение. Расслоение p : E → B со связным пространством расслоения и связной базой называется накрытием, если его слой дискретен (дискретность слоя означает, что он состоит из отдельных изолированных точек, т. е. что каждая точка является открытым множеством). Пример накрытия приведен на стр. 100. Так как накрытие является локально тривиальным расслоением, то для него можно написать точную последовательность гомотопических групп. Так как слой дискретен, то все его гомотопические группы πi тривиальны (кроме случая i = 0, когда π0 является множеством, которое можно отождествить с самим слоем). Задача 99. Докажите, что индуцированные проекцией накрытия p : E → B гомоморфизмы p∗ : πi (E) → πi (B) при i > 1 являются изоморфизмами, а гомоморфизм p∗ : π1 (E) → π1 (B) инъективен. Как и все локально тривиальные расслоения, накрытия обладают свойством поднятия гомотопии. Оказывается, для накрытий это свойство можно существенно усилить: поднятие гомотопии единственно (если, конечно, поднятие в начальный момент задано). Теорема 40. Пусть p : E → B – накрытие и f˜t , f˜t′ : P → E – такие поднятия гомотопии ft : P → B, что f˜t ≡ f˜t′ при t = 0. Тогда f˜t ≡ f˜t′ при всех t. Доказательство. Если P состоит из всего одной точки a, то совпадение поднятий получается с помощью обычного открыто-замкнутого рассуждения. Обозначим через A множество таких точек t ∈ I, что f˜(a)t = f˜′ (a)t . Это множество замкнуто, так как проекция p непрерывна. С другой стороны, оно открыто, так как проекция является локальным гомеоморфизмом, , т.е. становится гомеоморфизмом при ограничении на подходящую окрестность каждой точки. Так как A 6= ∅ и отрезок связен, то A = I. В случае произвольного полиэдра (и даже произвольного топологического пространства, не обязательно полиэдра) утверждение теоремы получается очевидным образом: для любой точки a ∈ P пути f˜(a)t и f˜′ (a)t совпадают, поскольку они совпадают в начальный момент.

2.8. НАКРЫТИЯ

103

Пусть B – произвольный полиэдр с базисной точкой x0 . Каждому накрытию p : E → B с базисной точкой x˜0 ∈ p−1 (x0 ) можно сопоставить подгруппу H = p∗ (π1 (E, x˜0 )) группы G = π1 (B, x0 ). Как мы уже знаем, эта подгруппа изоморфна группе π1 (E, x˜0 ). Замена базисной точки x˜0 на другую точку x˜′0 ∈ p−1 (x0 ) дает подгруппу, сопряженную подгруппе H. Определение. Накрытия p : E → B и p′ : E ′ → B над одной и той же базой называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм h : E → E ′ , что p = hp′ (это условие означает, что каждый слой первого накрытия отображается в слой второго накрытия, расположенный над той же точкой). Задача 100. Докажите, что два накрытия над одной и той же базой эквивалентны тогда и только тогда, когда отвечающие им подгруппы сопряжены. Эта задача показывает, что накрытия над данной базой параметризуются подгруппами фундаментальной группы базы, рассматриваемыми с точностью до сопряжения. Для полной классификации накрытий над данной базой нам не хватает только теоремы реализации. Вот она. Теорема 41. Для каждой подгруппы H фундаментальной группы G связного полиэдра B найдется такое накрытие p : E → B, что p∗ (π1 (E)) = H. Доказательство. Пусть K – комплекс, триангулирующий базу. Сопоставим каждому симплексу σ ∈ K множество {σα }, состоящим из его копий. Эти копии параметризованы всевозможными путями в B, соединяющими базисную точку x0 ∈ B c барицентром симплекса σ. При этом два пути α, α′ определяют одну и ту же копию тогда и только тогда, когда петля α′ α−1 представляет некоторый элемент группы H. Объединение всех множеств {σα } обозначим E ′ . Теперь мы склеим симплексы из множества E ′ в пространство накрытия E по следующему правилу: симплекс δβ ∈ E ′ является гранью симплекса σα ∈ E ′ тогда и только тогда, когда симплекс δ ∈ K является гранью симплекса σ ∈ K и петля, составленная из пути α, отрезка, идущего по σ из его барицентра в барицентр симплекса δ, и пути β −1 , задает элемент данной подгруппы H. Нетрудно проверить, что проекция p : E → B, отображающая каждую копию σα симплекса σ на него самого, является проекцией искомого накрытия.

104

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Рис. 2.13: Регулярное (слева) и нерегулярное накрытия над восьмеркой Вывод таков: классы эквивалентности накрытий над данной базой B с фундаментальной группой G классифицируются подгруппами фундаментальной группы базы, рассматриваемыми с точностью до сопряженности. Задача 101. Найдите все накрытия окружности. Задача 102. Пусть подгруппа H группы G = π1 (B, x0 ) отвечает накрытию p : E → B. Докажите, что кратность накрытия p равна индексу подгруппы H. Определение. Накрытие называется регулярным, если отвечающая ему подгруппа фундаментальной группы базы нормальна. Имеется простой критерий: накрытие регулярно тогда и только тогда, когда из того, что петля в базе поднимается до петли с началом в одной точке следует, что она поднимается до петли с началом в любой другой точке того же слоя. Примеры регулярного и нерегулярного накрытий восьмерки изображены на рис. 2.13. Задача 103. Пусть нормальная подгруппа H группы G = π1 (B, x0 ) отвечает регулярному накрытию p : E → B. Докажите, что сопоставление каждой ориентированной петле в B с концами в x0 концевой точки ее поднятия, начинающегося в точке x˜0 ∈ p−1 (x0 ), определяет биекцию факторгруппы G/H на слой накрытия над точкой x0 . В заключение приведем небольшой неформальный словарь перевода топологических терминов в алгебраические, составленный на основе теории накрытий.

2.8. НАКРЫТИЯ Пространство Отображение Накрытие Эквивалентность накрытий Регулярное накрытие Индекс подгруппы Слой регулярного накрытия

105 Группа Гомоморфизм Подгруппа Сопряженность подгрупп Нормальная подгруппа Кратность накрытия Факторгруппа

Иногда перевод проблемы с топологического языка на алгебраический или наоборот сильно упрощает решение. Например, понимание алгебраического доказательства теоремы о том, что подгруппа свободной группы всегда свободна, требует некоторых усилий, тогда как топологическая переформулировка теоремы (пространство любого накрытия над букетом окружностей является одномерным клеточным комплексом) вполне очевидна. Задача 104. Может ли свободная группа с двумя образующими содержать подгруппу индекса 3, которая изоморфна свободной группе с четырьмя образующими?

106

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Ответы, указания, решения Задача 1 (Решение). Сопоставление каждой группе G множества ее элементов задает функтор из категории групп в категорию множеств. Функторы подобного типа называются функторами забывания. В нашем примере мы забываем про групповую структуру, т. е. про операцию в группе. Разумеется, функтор забывания ковариантен. Стандартный пример контравариантного функтора получается сопоставлением каждому (скажем, конечномерному) линейному пространству L его сопряженного пространства L∗ , т. е. линейного пространства заданных на L функционалов. При этом каждому линейному отображению f : L1 → L2 сопоставляется сопряженное отображение f ∗ : L∗2 → L∗1 . Оно задается правилом f ∗ (ξ)(x) = ξ(f (x)), где x ∈ L1 и ξ ∈ L∗2 . Задача 2 (Решение). Разумеется, группы различны, поскольку одна состоит из 4, другая из 5 элементов. Причем же здесь теорема 1? Да ведь мы именно ее и использовали! Функтор забывания сопоставляет группам Z4 , Z5 различные (неравномощные) множества. Поэтому группы также различны. Задача 3 (Указание). Можно использовать следующие свойства определителей: определитель |E| единичной матрицы равен 1, если |A| > 0, то |A−1 | > 0, |AB| = |A||B|. Задача 4 (Ответ). Крайний правый базис. Задача 5 (Указание). Выберите два неэквивалентных базиса и докажите, что определитель матрицы перехода от любого третьего базиса к одному из них положителен. Задача 6 (Решение). Определение линейной независимости векторов можно сформулировать так: n исходящих из одной точки векторов 107

108

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

линейно независимы тогда и только тогда, когда они не лежат в одной (n − 1)-мерной плоскости. Поэтому независимость точек a0 , a1 , . . . , an эквивалентна линейно независимости векторов a0 a1 , a0 a2 , . . . , a0 an . Задача 7 (Указание). Воспользоваться предыдущей задачей и свойствами линейной независимости векторов. Задача 8 (Указание). Воспользоваться предыдущей задачей. m+1 Задача 9 (Ответ). Cn+1 =

(n+1)! . (m+1)!(n−m)!

Задача 10 (Ответ). 2n+1 , включая пустую грань. Задача 11 (Ответ). В качестве примера симплициального комплекса можно взять треугольник или объединение двух треугольников, пересекающихся по их общему ребру. В обоих случаях вместе с треугольником берутся все его ребра и вершины. Два треугольника на плоскости, которые имеют общую внутреннюю точку, но не совпадают, не образуют симплициального комплекса, даже если к ним добавить все их ребра и вершины. Задача 12 (Ответ). 27 , так как каждая из 7 непустых граней имеет по две ориентации. Задача 13 (Ответ). Можно взять любую последовательность групп и гомоморфизмов, в которую входят два соседних изоморфизма нетривиальных групп. Задача 14 (Ответ). Группа циклов A2 изоморфна группе Z и порождена элементом (1,-1), группа A1 совпадает с группой C1 = Z, а все остальные группы циклов нулевые. Все группы границ также нулевые, кроме группы B1 , которая порождена элементом 3 группы Z и изоморфна ей. Задача 15 (Ответ). H1 (C) = Z3 , H2 (C) = Z, а все остальные группы гомологий нулевые. Задача 16 (Ответ). Hm (E(m)) = Z, все остальные группы гомологий нулевые. Задача 17 (Ответ). Hm (D(m, k)) = Zk , все остальные группы гомологий нулевые.

2.8. НАКРЫТИЯ

109

Задача 18 (Указание). При взятии прямой суммы цепных комплексов все группы складываются: как группы цепей, циклов, границ, так и группы гомологий. Задача 19 (Указание). Используйте коммутативность квадратов. Задача 20 (Указание). Морфизмами категории цепных комплексов являются, конечно, цепные отображения, а морфизмами категории последовательностей абелевых групп – последовательности гомоморфизмов между соответствующими группами. Разумеется, тождественному отображению цепного комплекса на себя отвечает тождественный морфизм групп гомологий, а свойство (ϕψ)∗ = ϕ∗ ψ∗ выполнено потому, что оно выполнено уже на уровне цепей-представителей классов гомологий. Задача 21 (Указание). Пусть K1 , K2 – две копии данного комплекса K, снабженные различными ориентациями. Сопоставим каждому симплексу σ ∈ Cn (K1 ) цепь ±σ ∈ Cn (K2 ), где знак выбирается в зависимости от того, совпадают или нет две ориентации симплекса σ. Для решения задачи достаточно доказать, что такое сопоставление задает изоморфизм между комплексами C(K1 ) и C(K2 ). Задача 22 (Ответ и указание). Все группы гомологий отрезка I и окружности S 1 тривиальны, кроме групп H0 (I) = H0 (S 1 ) = Z и H1 (S 1 ) = Z. Для решения задачи нужно и отрезок, и окружность представит в виде симплициального комплекса. Например, окружность можно представить в виде треугольника (вернее, его края). Задача 23 (Ответ). H2 (S 2 ) = H2 (T 2 ) = Z, см. теорему 9. Задача 24 (Решение). Поскольку симплексов отрицательной размерности нет, группа циклов A0 (K) совпадает со всей группой цепей. При этом любые две вершины, соединенные ребром, дают гомологичные циклы. Выбрав в каждой компоненте связности по одной вершине, мы получим систему свободных образующих группы H0 . Задача 25 (Указание). Проще всего использовать барицентрические координаты: каждую точку v0 , . . . , vn P P x симплекса σ с вершинами можно записать в виде x = ni=0 λi vi , где λi ≥ 0 и ni=0 λi = 1. Физический смысл этой записи Pn таков: если в вершины симплекса поместить массы λi , то точка x = i=0 λi vi будет центром масс полученной системы

110

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

масс. Отображение, заданное вершинах, Pна Pn продолжается до отображеn ния всего симплекса так: f ( i=0 λi vi ) = i=0 λi f (vi ).

Задача 26 (Ответ). Потому что каждая вершина является симплексом (размерности 0).

Задача 27 (Указание). Для построения продолжения нужно использовать барицентрические координаты на симплексах, см. указание к задача 25. Задача 28 (Указание). Тонкий момент состоит в проверке равенства ϕ∂ = ∂ϕ для симплекса σ размерности n, схлопывающегося на симплекс δ размерности n − 1. В этом случае ровно две грани симплекса отображаются на δ, причем одна с сохранением, другая с обращением ориентации, см. рис. 1.5. Задача 29 (Решение). Мелкость подразделения измеряется максимальным диаметром его симплексов или, эквивалентно, максимальной длиной его ребер. Разумеется, длина ребра берется в стандартной метрике евклидова пространства RN , в котором лежит данный комплекс. Выполнение барицентрического подразделения уменьшает диаметр каждого ребра ровно в два раза. Поэтому за счет многократного барицентрического подразделения диаметр можно сделать сколь угодно малым. Задача 30 (Решение). Рассмотрим функцию s : St (v, K) → R, сопоставляющую каждой точке x каждого симплекса σ ⊂ St (v, K) ту ее барицентрическую координату, которая отвечает вершине v. Эта функция непрерывна на замкнутой звезде. Остается заметить, что открытая звезда выделяется нестрогим неравенством s < 1. Задача 31 (Решение). Если на вершины v1 , . . . , vk натянут симплекс, то его внутренность содержится в открытой звезде каждой вершины. Поэтому звезды пересекаются. С другой стороны, если звезды вершин пересекаются, то симплекс, содержащий внутреннюю точку пересечения, содержит все эти вершины. Задача 32 (Указание). Рассуждая от противного, нетрудно построить две такие последовательности точек xn , x′n ∈ |K|, что для каждого n точки xn , x′n не лежат в одном элементе покрытия, но ρ(xn , x′n ) ≤ 1/n.

2.8. НАКРЫТИЯ

111

По соображениям компактности можно считать, что обе последовательности сходятся к некторой точке x0 ∈ |K|, которая лежит в некотором элементе покрытия вместе со всеми достаточно близкими точками. Это противоречит выбору последовательностей xn , x′n ∈ |K|. Задача 33 (Указание). Приведенное выше доказательство абсолютной теоремы симплициальной аппроксимации проходит без всяких изменений. Единственный дополнительный аргумент, который может здесь понадобиться, состоит в следующем. Если вершина v комплекса K1 (подразделенного комплекса K) лежит в M , то вершина w = g(v) обязана ◦

лежать в N , иначе включение St (v, K1 ) ⊂ Uw было бы невозможным. Задача 34 (Решение). Для симплициальных отображений утверждения очевидны, а в общем случае можно применить теорему о симплициальной аппроксимации. Задача 35 (Указание). Можно применить теорему 1. Задача 36 (Ответ). Многообразие называется евклидовым, гиперболическим, комплексно-аналитическим, конформным или липшицевым, если оно имеет такой атлас, что все его функции перехода являются движениями евклидова пространства, гиперболического пространства, комплексно-аналитическими, конформными или липшицевыми преобразованиями. Задача 37 (Решение). Окружность является не настоящим, а топологическим полиэдром. Для вычисления степени удобно заменить ее на настоящий (прямолинейный) полиэдр двумя способами: на правильный вписанный в нее 3n-угольник и на правильный вписанный треугольник, см. рис. 2.14. Отождествление окружности с каждым из этих многоугольников можно осуществить проекцией по радиусам. Тогда симплициальная аппроксимация отображения f , рассматриваемого как отображение 3n-угольника в треугольник, устроена так: на вершинах 3n-угольника она совпадает с отображением f , а стороны 3n-угольника отображает на стороны треугольника линейно. Совершенно очевидно, что тогда прообраз любого ориентированного ребра (стороны) треугольника состоит из ровно n когерентно ориентированных сторон 3n-угольника. Поэтому deg f = n. Задача 38 (Решение). Общее число оборотов совпадает со степе-

112

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Рис. 2.14: Степень 3-кратной намотки окружности на окружность равна 3

Рис. 2.15: Отмеченная регулярная точка на внешней окружности кольца имеет 3 положительных и 2 отрицательных прообраза нью отображения f : S 1 → S 1 , индуцированного центральной проекцией данного пути на внешнюю окружность кольца. Эта степень равна разности числа положительных и числа отрицательных прообразов любой регулярной точки. Если регулярную точку выбратьтак, как это показано на рис. 2.15, то эти числа равны 3 и 2. Поэтому степень равна 1. Задача 39 (Ответ). Есть ровно два класса регулярно-гомотопных погружений. В качестве их представителей можно взять стандартную окружность и восьмерку. Задача 40 (Ответ). ϕ есть мономорфизм, эпиморфизм и изоморфизм, соответственно. Задача 41 (Указание). Это – известная в алгебре теорема о гомоморфизмах: факторизация группы по ядру гомоморфизма дает его образ.

2.8. НАКРЫТИЯ

113

Задачи 42-44 (Указание). Все три задачи решаются с помощью диаграммного поиска. Задача 45 (Решение). Докажем, что Hk (S n ) = 0 при k 6= 0, n и Hk (S n ) = Z при k = 0, n. Для этого выпишем точные гомологические последовательности пар (S n , Dn ) и (Dn , S n−1 ) , где Dn – n-мерный шар, вложенный в сферу S n , а S n−1 – сфера размерности (n − 1) (его край): (pk )∗

(ik )∗

(ik−1 )∗

δ

k Hk−1 (Dn ) −→ Hk−1 (S n ) → → Hk (Dn ) −→ Hk (S n ) −→ Hk (S n , Dn ) −→

(pk )∗

(ik−1 )∗

δ

k → Hk (Dn ) −→ Hk (Dn , S n−1 ) −→ Hk−1 (S n−1 ) −→ Hk−1 (Dn )→

Так как шар Dn гомотопически эквивалентен точке, то Hi (Dn ) = 0 при i 6= 0 и H0 (Dn ) = Z. Поэтому при k > 1 гомоморфизм (pk )∗ первой последовательности и гомоморфизм δk второй последовательности являются изоморфизмами. Теперь примем во внимание, что гомоморфизмы (i0 )∗ и первой и второй последовательности имеют тривиальные ядра, кроме гомоморфизма (i0 )∗ : H0 (S 0 ) = Z ⊕ Z → H0 (D1 ) = Z, ядро которого изоморфно группе Z. Так как группы Hk (S n , Dn ) и Hk (Dn , S n−1 ) изоморфны по теореме 15, то отсюда следует, что Hk (S n ) = Hk−1 (S n−1 ) = · · · = H1 (S n−k+1 ) = H1 (Dn−k+1 , S n−k = 0 при всех k ≤ n, а последняя группа есть 0 при 0 < k < n и Z при 0 < k = n. Равенства Hk (S n ) = 0 при k > n получаются аналогичным образом: Hk (S n ) = Hk−n (S 0 ) = 0. Задача 46 (Указание). Убедитесь, что точность последовательности i

j

0 −→ Cn (K1 ∩ K2 ) −→ Cn (K1 ) ⊕ Cn (K2 ) −→ Cn (K1 ∪ K2 ) −→ 0 очевидна. Задача 48 (Указание). Описан частный случай построения факторгруппы. Задача 49 (Ответ). Одна строка добавится к другой. Задача 50 (Ответ). Один столбец вычтется из другого. Задача 51 (Ответ). Все элементы одной строки сменят знаки, все элементы одного столбца сменят знаки, переставятся столбцы или строки.

114

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ Задача 52 (Ответ). Z2 ⊕ Z8 .

Задача 53 (Решение). При элементарных операциях над строками и столбцами модуль определителя матрицы не меняется. Поэтому достаточно проверить справедливость утверждения для диагональной матрицы. Задача 54 (Ответ). H0 = Z, H1 = Z2 ⊕ Z2 , H2 = 0, H3 = Z. Все остальные группы гомологий нулевые. Стоит отметить, что цепной комплекс, рассмотренный в этой задаче, отвечает разбиению на клетки замкнутого ориентируемого трехмерного многообразия, получающегося факторизацией сферы S 3 по линейному действию группы { ±1, ±i, ±j, ±k} из 8 единиц кватернионов. Поэтому его гомологии совпадают с гомологиями этого многообразия. Задача 55 (Указание). Такой комплекс можно легко составить из элементарных. Задача 56 (Решение). Представим бутылку Клейна в виде клеточного комплекса из одной вершины, двух ребер-петель 1, 2, и одной двумерной клетки, граничная кривая которой проходит по ребрам как {1 2 -1 2}. Получающаяся матрица соотношений (2, 0) состоит из одной строки и задает группу H1 = Z ⊕ Z2 . Задача 57 (Указание). Это – стандартный факт из линейной алгебры. Дело в том, что след является одним из коэффициентов характеристического многочлена линейного оператора и поэтому не зависит от выбора базиса. Задача 58 (Решение). Выберем базис в группе Free (A1 ⊕ A2 ) = Free (A1 ) ⊕ Free A2 так, чтобы первые элементы составляли базис группы Free (A1 ), а остальные – базис группы Free (A2 ). Тогда в левом верхнем углу матрицы эндоморфизма ϕ стоит не что иное, как матрица эндоморфизма ϕ1 , а в правом нижнем – матрица эндоморфизма ϕ2 . Диагонали этих угловых матриц составляют диагональ всей матрицы, поэтому их следы суммируются. Задача 59 (Решение). Очевидно, так как каждому симплексу отвечает единица на диагонали матрицы эндоморфизма в соответствующей

2.8. НАКРЫТИЯ

115

размерности. Задача 60 (Решение). См. решение предыдущей задачи. Задача 61 (Указание). В обоих случаях гомологическое число Лефшеца равно 1, поэтому неподвижная точка всегда есть. Задача 62 (Ответ). Z3 . Задача 63 (Ответ). H0 = H1 = H2 = H3 = Z2 , все остальные группы нулевые. Задача 64 (Ответ). Z ⊕ Z2 , Z2 ⊕ Z2 , Z3 , Q. Задача 65 (Ответ). H0 = H1 = Z, H2 = Z2 . Задача 66 (Решение). ∂∂(a ⊗ b) = ∂(∂a ⊗ b + (−1)dima a ⊗ ∂b) = (−1)dima−1 ∂a ⊗ ∂b + (−1)dima ∂a ⊗ ∂b = 0. В предпоследнем равенстве мы воспользовались тем, что ∂∂a = ∂∂b = 0. Задача 67 (Указание). Сначала докажите аналогичное равенство (C ⊗ D)∗ = C ∗ ⊗ D∗ для любых абелевых групп C, D. Задача 68 (Указание). Для доказательства тривиальности группы H2 (M ) можно воспользоваться изоморфизмами Free (H2 ) = Free (H 2 ) = Free (H1 ) = 0 и Tor (H2 ) = Tor (H 3 ) = Tor (H0 ) = 0, которые получаются применением теоремы 27 и двойственности Пуанкаре. Задача 69 (Ответ). µ ⌢ λ = ±1, в зависимости от выбора ориентации тора. Задача 70 (Ответ). 1 и 3. Задача 71 (Решение). Если ft , gt : [0, 1] → X – гомотопии от петли f0 к петле f1 и от петли g0 к петле g1 , то гомотопия между их произведениями задается формулой ½ ft (2s), 0 ≤ s ≤ 1/2; ht (s) = gt (2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1. Задача 72 (Указание). Воспользуйтесь рисунком 2.2. Задача 73 (Решение). Формула

116

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

ht (s) =

½

2 f ( t+1 s), 0 ≤ s ≤ t+1 ; 2 t+1 ≤s≤1 s0 , 2

задает гомотопию между петлей f и ее произведением на постоянную петлю. Задача 74 (Указание). Опишем гомотопию ht : [0, 1] → X, которая деформирует произведение данной петли на обратную в постоянную петлю. Получающаяся в каждый промежуточный момент t этой деформации петля ведет себя так: при 0 ≤ s ≤ t мы идем по данной петле, потом стоим на месте, и при 1 − t ≤ s ≤ 1 идем по данной петле в обратную сторону, т. е. движемся по обратной петле. Задача 75 (Указание). См. решение задачи 71. Задача 76 (Указание). При проверке как гомоморфности отображений ϕ, ψ, так и их обратности друг другу нужно использовать гомотопность путей ss−1 и s−1 s постоянным путям. Задача 77 (Указание). Выпуклость данного подмножества позволяет применить тот же прием, что и в доказательстве тривиальности фундаментальной группы отрезка. Задача 78 (Указание). Единственная трудность состоит в доказательстве того, что петля, совершающая 0 оборотов, гомотопна постоянной петле. Одно из многих возможных доказательств опирается на теорему о симплициальной аппроксимации. Сначала нужно представить окружность в виде, скажем, треугольника и аппроксимировать данную петлю [0, 1] → S 1 симплициальной. Затем нужно шаг за шагом устранять ситуации, когда точка петли проходит сторону треугольника в одном и затем сразу же в обратном направлении. После выполнения всех таких устранений автоматически получится постоянная петля. Задача 79 (Ответ). 16. Задача 80 (Указание). Рефлексивность и транзитивность очевидны, а симметричность следует из обратимости всех операций. Задача 81 (Указание). Из первого соотношения следует, что слова ab и ba−1 эквивалентны. Поэтому a2 b = a ab = aba−1 = ba−1 a−1 = ba−2 . С другой стороны, слова a2 b и ba2 также эквивалентны, поскольку каждое

2.8. НАКРЫТИЯ

117

из них одной подстановкой сводится к слову b3 . Поэтому слово ba−2 эквивалентно слову ba2 , откуда следует эквивалентность слова a4 пустому слову. Задача 82 (Указание). Ассоциативность умножения следует из ассоциативности умножения слов, нейтральным элементом служит пустое слово, а обратный элемент получается записыванием данного слова справа налево и обращением знаков всех показателей степеней. Задача 83 (Решение). Очевидно, так как операцию вставки подслова wRi w−1 можно реализовать последовательной вставкой подслов ww−1 и Ri . Задача 84 (Решение). Так как x2 = zx2 z zx2 z = zx xz 2 x xz = zxzxz, то x3 = zxzxzx. Аналогично, z 2 = xzxzx и z 3 = zxzxzx, откуда следует, что x3 = z 3 . С другой стороны, x = zx2 z = xz 2 x x2 z = xz 2 x3 z. Поэтому z 2 x3 z = 1 3 3 и z x = 1. Полученные равенства x3 = z 3 и z 3 x3 = 1 дают требуемое. Задача 85 (Указание). Пусть задания групп G и G′ связаны одним из указанных преобразований. Тогда изоморфизм между группами задается сопоставлением каждой образующей группы G соответствующей образующей группы G′ . При этом образующая a, участвующая в преобразованиях II, II’, не учитывается. Разумеется, нужно проверить, что при таком сопоставлении соотношения одной группы переходят в верные равенства, т.е. в выводимые соотношения другой. Задача 86 (Указание). Легко проверить, что при сопоставлении x → b−1 a−1 , y → b−1 соотношения xy 2 x = y, yx2 y = x переходят в верные равенства. Поэтому указанное сопоставление задает гомоморфизм группы G в бинарную группу тетраэдра. При проверке того, что обратное сопоставление a → x−1 y, b → y −1 задает гомоморфизм бинарной группы тетраэдра в группу G удобно использовать задачу 84. Задача 87 (Указание). В разделе 1.12 рассказано, как можно распознавать абелевы группы. В нашем случае не только группы ha, b | a + 4b, 2a + 3bi и hx, y | 4y, 3x − 2yi, но и их порядки различны. Задача 88 (Ответ). Свободная группа с двумя образующими. Задача 89 (Ответ). Z2 .

118

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Задача 90 (Ответ). Бутылку Клейна можно представить как прямоугольник ABCD, стороны которого склеены по правилу AB → BC, CD → DA. Этому представлению отвечает задание ha, b | a2 b2 i. −1 −1 −1 Задача 91 (Ответ). ha1 , b1 , a2 , b2 | a1 b1 a−1 1 b1 , a2 b2 a2 b2 i.

Задача 92 (Указание). Пространство (точнее, клеточный комплекс) X можно получить из букета окружностей (помеченных образующими группы) приклеиванием двумерных клеток так, как показывают ее соотношения. Задача 93 (Указание). Ассоциативность операции очевидна, нейтральным элементом служит отображение всего куба в базисную точку, а обратный сфероид получается из данного сфероида с помощью симметрии куба относительно гиперплоскости. Задача 94 (Указание). Проверьте, что суперпозиции τα−1 τα и τα τα−1 являются тождествами. Задача 95 (Указание). Корректность определения отображения Гуревича следует из того, что гомотопные отображения пространств индуцируют одинаковые гомоморфизмы групп гомологий. Его гомоморфность прямо следует из определения сложения в группе πn (X). Задача 96 (Указание). Воспользуйтесь тем, что любое отображение f : I n → X × Y однозначно определяется двумя отображениями p1 f : I n → X и p2 f : I n → Y , где p1 , p2 – проекции прямого произведения. Задача 97 (Указание). Так как расслоение тривиально, то все поднятия гомотопии ft : P → B полностью определяются отображениями полиэдра P × I в базу (см. указание к предыдущей задаче). Поэтому для доказательства относительного свойства поднятия достаточно воспользоваться существованием ретракции P × I → P ∪ (Q × I). Задача 98 (Указание). Используйте метод диаграммного поиска. Задача 99 (Указание). Выпишите точную последовательность накрытия и воспользуйтесь тем, что группы πi тривиальны при i ≥ 1. Задача 100 (Указание). Если накрытия эквивалентны и данный гомеоморфизм между их пространствами переводит базисную точку в базисную точку, то отвечающие этим накрытиям подгруппы просто сов-

2.8. НАКРЫТИЯ

119

падают. Если же подгруппы для двух данных накрытий совпадают, то гомеоморфизм h : E → E ′ между их пространствами строится так. Каждую точку x ∈ E мы соединяем некоторым путем s˜t : I → E с базисной точкой x0 ∈ E. Затем поднимаем проекцию st = pst этого пути в пространство E ′ до пути s′t , начинающегося в базисной точке x′0 . Конец этого пути и есть h(x). Как уже отмечалось раньше, сопряженность подгрупп появляется из-за других возможных выборов базисных точек. Задача 101 (Ответ). n-кратные намотки окружности на окружность (n > 0), и бесконечная намотка прямой на окружность (см. пример накрытия на стр. 100). Задача 102 (Указание). Из определения подгруппы H следует, что поднятие петли, которая начинается в точке x˜0 ∈ p−1 (x0 ), заканчивается в той же точке тогда и только тогда, когда эта петля представляет элемент группы H. Поэтому для любых g ∈ G и h ∈ H элементам g и hg отвечает одна и та же точка слоя. Это дает корректно определенное отображение ϕ : G/H = {Hg, g ∈ G} → F . По той же причине это отображение инъективно. Сюръективность очевидна: каждая точка x˜′ ∈ F соответствует проекции пути, идущему из точки x˜ ∈ F в точку x˜′ ∈ F . Задача 103 (Указание). Воспользуйтесь решением предыдущей задачи. Задача 104 (Указание). Положительный ответ изображен на рис. 2.13 справа. Фундаментальная группа пространства накрытия (“длинной восьмерки”) является свободной группой с 4 образующими и лежит как подгруппа индекса 3 в фундаментальной группе базы (настоящей восьмерки), которая тоже свободна и имеет две образующие.

120

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Литература [1] Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко, Введение в топологию, М., 1980. [2] И. Букур, А. Деляну, Введение в теорию категорий и функторов, М., 1972. [3] А. Дольд, Лекции по алгебраической топологии, М., 1976. [4] Ч. Косневски, Начальный курс алгебраической топологии, М., 1983. [5] В. Магнус,А. Каррас, Д. Солитэр Комбинаторная теория групп, М., 1974. [6] У. Масси, Теория гомологий и когомологий. М., 1981. [7] У. Масси, Дж. Столлингс Алгебраическая топология, М., 1977. [8] Р. Свитцер, Алгебраическая топология – гомотопии и гомологии, М., Наука, 1985. [9] Э. Спеньер, Алгебраическая топология, М., 1971. [10] Д. Б. Фукс, А. Т. Фоменко, В. Л. Гутенмахер, Гомотопическая топология, Изд-во МГУ, 1969. [11] П. Хилтон, С. Уайли, Теория гомологий, М., 1969.

121

Предметный указатель ацикличный полиэдр, 63 база расслоения, 96 барицентрические координаты, 106 букет, 89 вершина симплекса, 9 выводимость, 84

диаграммный поиск, 13 диффеоморфизм, 5 длина слова, 82 звезда, 20 изоморфные объекты, 5 расслоения, 96

гладкое многообразие, 25 гомологии клеточные, 56 симплициальные, 16 сингулярные, 58 гомологичные циклы, 12 гомоморфизм Гуревича, 95 гомотопическая эквивалентность, 5 гомотопные петли, 77 гомотопные отображения, 20 граница цепи, 12 грань симплекса, 9 группа гомологий, 16, 56, 58 когомологий, 67 кограниц, 67 коцепей, 66 коциклов, 67 группа гомологий, 12

категория, 3 клеточный комплекс, 55 ковариантный функтор, 5 комплекс клеточный, 55 конечно порожденный, 60 симплициальный, 10 цепной, 11 контравариантный функтор, 5 коэффициент инцидентности клеток, 56 симплексов, 15 кусочно линейное многообразие, 26 лебегово число, 21 локальная система координат, 24 локальный гомеоморфизм, 100 максимальное дерево, 89 многообразие, 24 морфизм категории, 3

двойственное разбиение, 72 122

Предметный указатель накрытие, 99 регулярное, 101 независимые точки, 8 несущая плоскость, 9 образующие группы, 49, 82 объект категории, 3 однородный полиэдр, 72 определяющие соотношения, 83 ориентация комплекса, 11 пространства RN , 8 ориентируемое многообразие, 26 остов клеточного комплекса, 55 периодическая подгруппа, 59 периодическое произведение, 65 петля, 77 погружение, 32 поднятие гомотопии, 97 отображения, 97 подразделение, 19 полиэдр, 10, 16 топологический, 17 проекция расслоения, 96 пространство расслоения, 96 пространство узла, 87 размерность комплекса, 10 расслоение, 96 локально тривиальное, 97 тривиальное, 96 регулярная гомотопия, 32 кривая, 32

123 свободная абелева группа, 50 связность, 80 симплекс, 9 симплекса вершина, 9 грань, 9 несущая плоскость, 9 ориентация, 9 симплициальное отображение, 18 симплициальный комплекс, 10 сингулярная триангуляция, 55 сингулярные гомологии, 58 сингулярный симплекс, 58 след эндоморфизма, 59 слой расслоения, 96 соотношения группы, 49 суперпозиция морфизмов, 3 сфероид, 93 тело симплициального комплекса, 10 тензорное произведение групп, 64 цепных комплексов, 69 теорема Лефшеца, 62 топологический полиэдр, 17 торический узел, 90 триангуляция, 10 узел торический, 90 фундаментальная группа, 80 функтор забывания, 103 ковариантный, 5 контравариантный, 5 функториальность гомоморфизма, 45

124 цепное отображение, 13 цепной комплекс, 11 цепь, 11 цикл, 12 число Лефшеца гомологическое, 60 отображения, 61 эндоморфизма, 60 эйлерова характеристика, 60 эквивалентность базисов, 7 накрытий, 100 слов, 83

Предметный указатель