数学の最先端 21世紀への挑戦〈volume2〉

本 巻 の 収 録 内 容 につ いて

  本 書 は,第 一線 で 活 躍 す る 内外 の 数 学 者 の論 説 を集 め たMathematics limited 2001 and

Beyondの

邦 訳 の 第2巻

で あ る.第1巻

Un

と同 じ く,現 在 動

きつ つ あ る 数 学 を俯瞰 す る こ とが で き る もの と確 信 す る.   本 巻 に 収 録 され て い る6点

の 論 説 に つ い て 簡単 に解 説 し よ う.

  ブ ル ギ ニ ョ ン氏 の 論 説 「数 学 と社 会 の 新 しい 関 係 」 で は,現 代 社 会 の 中 で 数 学 が 果 た して い る役 割 を先 端 科 学 ・技 術 に お け る 具 体 的 な例 に 言 及 しな が ら解 説 して い る.そ

して 数 学 教 育 の あ り方 も,社 会 との 関 わ りの 中で 考 え な

け れ ば な ら な い と主 張 し,こ の た め に は 数 学 者 自 身 が 数 学 の発 展 の 歴 史 と役 割 を積 極 的 に知 る努 力 をす べ きで あ る と提 案 して い る.   コー エ ン氏 の 論 説 「 計 算 の 立 場 か ら見 た 数 論 」 は,ア

ル ゴ リズ ム の観 点 か

ら数論 を見 渡 した も の で あ る.「存 在 す る」 対 象 を具 体 的 に 構 成 す る こ とが ア ル ゴ リ ズ ム の 問 題 で あ り,素 数 あ る い は 合 成 数 の 判 定 法 が 暗 号 理 論 に 関 係 す る こ とか ら も理 解 され る よ うに,ア

ル ゴ リズ ム は 理 論 ・応 用 の 両 方 に ま たが

る 重 要 な話 題 で あ る.こ の 論 説 で も述 べ られ て い る よ う に,数 論 に お け る ア ル ゴ リ ズ ム 理 論 は,楕 円 曲線 の 数 論 的 理 論,算 術 的 代 数 幾 何 学 な どの 現 代 数 学 の 高 度 な 理 論 に つ な が っ て い る.   フ ラ ウエ ンデ ィー ナ ー 氏 とペ ンロ ー ズ氏 の 論 説 「ツ イス ター と一 般 相 対 論 」 で は,一 般 相 対 論 と量 子 力 学 を統 一 的 に扱 う試 み か ら生 まれ た ツ イス タ ー 理 論 につ い て 解 説 して い る.本 論 説 の 著 者 の 一 人 で あ るペ ン ロ ー ズ 氏 は,こ 理 論 の提 唱 者 で あ る.ツ

の

イ ス タ ー 理 論 は,統 一 理 論 そ の もの よ り,微 分 幾 何

学 に応 用 され 発 展 した が,本 論 説 で は 基 礎 的 な ツ イ ス ター 理 論 の 構 成 に 的 を 絞 り,本 来 の 物 理 目標 に合 わせ て 解 説 して い る.

  ヒ ッチ ン氏 の 「 大 域微 分 幾 何 学 」 で は,20世 解 説 して い る.断 面 曲率,体 曲 率 テ ン ソル,ホ

紀 の 幾 何 学 の発 展 を歴 史 的 に

積,直 径 な ど の量 に 関 心 を持 つ 「粗 い幾 何 学 」,

ロ ノ ミー 群 な ど に よ っ て 特 徴 づ け られ る特 別 な ク ラス を扱

う 「特 殊 な幾 何 学 」,ケ ー ラ ー 多様 体 の 大 域 理 論 をモ デ ル とす る 「シ ン プ レ ク テ ィック幾 何 学 」,豊 富 な例 を生 み 出 し,常 に 新 た な動 機 を幾何 学 に与 え て き た 「古 典 的 幾 何 学 」.こ れ ら4種 類 の 幾 何 学 の 発 展 が,文 献 か らの 適 切 な 引 用 に即 して 語 られ て い る.   ジ ョル ゲ ン ソ ン氏 と ラ ン グ氏 の 論 説 「ど こで も熱 核 」 で は,数 論 研 究 者 の 2人 が 出会 った 熱 核 に対 す る 「哲 学 」 が 述 べ られ て い る.ブ ラ ウ ン運動,テ タ関 数,コ

ンパ ク ト群 の 指 標 公 式,交

ー

叉 理 論,指 数 定 理 な ど,本 来 は 熱 伝 導

方 程 式 の 基 本 解 で あ る 熱 核 が 極 め て 多 岐 に渡 る分 野 に登 場 す る こ とは,数 学 の1つ

の 「奇 跡 」 と言 っ て も よ い だ ろ う.

  最 終 章 の 「京 都 大 学 数 理 解 析 研 究 所 イ ン タビ ュ ー」 は,わ

が国唯一の数学

研 究 所 に お け る研 究 活 動 につ い て 紹 介 す る こ と が 目的 で あ る.数 学 者 に は馴 染 み あ る研 究 所 で あ るが,一 般 に は余 り知 られ て い ない よ うだ か ら,そ の 活 動 を こ こで 紹 介 す る こ とに は 意 義 が あ る だ ろ う.編 者 自 身が イ ン タ ビ ュ ア ー と な っ て根 堀 り葉 堀 り質 問 した の だ が,丁 寧 に答 え て くだ さ った 森 正 武 教 授, 斎 藤 恭 司 教 授 の両 氏 に感 謝 した い.

2002年11月

  砂田

利一

本巻の内容 について

 ⅱ

数 学 と社 会 の新 しい関係 J.‐P.ブ

 2

ル ギ ニ ョ ン(Jean

Pierre

Bourguignon)

● 訳:砂 田 利一

計 算 の 立場 か ら見 た数 論 H.コ

ー エ ン(Henri

  30

Cohen)

● 訳:山 本芳 彦

ツイス ター と一般 相 対 論

 74

J.フ ラ ウ エ ン デ ィー ナ ー(Jorg R.ペ

ン ロ ー ズ(Roger

●訳:伊 藤 光弘

Penrose)

Frauendiener)

大 域 微 分 幾 何 学  N.ヒ

ッ チ ン(Nigel

112

Hitchin)

●訳:大 仁 田義裕

どこで も熱 核

  136

J.ジ

ョ ル ゲ ン ソ ン(Jay

S.ラ

ン グ(Serge

Jorgenson)

Lang)

●訳:若 山正 人

京 都 大 学 数 理 解 析 研 究 所 インタビュー 森

正 武(Masatake

斎 藤 恭 司(Kyoji 砂 田 利 一(Toshikazu

あ とが き 索 引

 178

Mori) Saito) Sunada)

  197  

199

Translation Page

of

171,

Mathematics

and

Page

301,

Henri

Page

479,

Jorg

Page

577,

Nigel

Page

655,

Jay

Page

1081,

for

from

the

21st

the

Cohen,

Computational Aspects of

Frauendiener,

Roger

Hitchin,Global Jorgenson,

Lang,

Kyoji

Number

Penrose,Twistors

Differential Serge

Mori,

English

The

Saito

language

edition

Unlimited‐2001

by

Bjorn

Engquist Springer‐Verlag

Springer‐Verlag Right

Relationship

Between

Society Theory and

General

Heat

Kernel

Relativity

Geometry Ubiquitous

interviewed

by

Toshikazu

Sunada,

RIMS

Century

Copyright 〓

All

chapters Bourguignon, A Basis for a New

Masatake

Mathematics edited

selected

Jean‐Pierre

is Reserved

a

company

of

and Beyond and

Wilfried

Schmid

Berlin

Heidelberg

in

BertelsmannSpringer

the

2001 publishing

group

B.エ

ン クウ ィス ト／W.シ

ュ ミット 編

数学 の最 先 端 21世 紀 へ の挑 戦 volume Mathematics

Unlimited

2001

2

and Beyond

●J.‐P.ブ ル ギ ニ ョン ●H .コ ー エ ン ●J.フ

ラ ウ エ ン デ ィー ナ ー ／R.ペ

ンロー ズ

●N.ヒ ●J.ジ

ョル ゲ ン ソ ン／S.ラ

ッチ ン ング

● 京 都 大 学 数 理 解 析 研 究 所 イン タビ ュ ー

数 学 と社 会 の新 しい 関係 A Basis for a New Relationship Between Mathematics and Society J.‐P.ブ

ル ギ ニ ョン

 

●訳 ・砂田 利一(東 北大学)

【 著者紹介】 ジ ャン ・ピエー ル ・ ブル ギ ニョン(Jean

Pierre Bourguignon)

1947年,フ

ラ ンスの リヨンに生 まれ る.

1966年,パ

リの エ コー ル ・ポ リテ クニ ー クで 工学 の 学 位 を

取 得 し,1974年

にパ リ第Ⅶ 大 にて 博士 号 を取 得.1969年

よ りフラ ンス国立科 学研究セ ンター(CNRS)リ

サーチ ・フ ェロー

(現在 は主任 研 究 員)となる.ま た ドイ ツ,日 本,ア メ リカ で しば しば客 員 と して 研 究活 動 を行 な う.1987年

フ ラ ンス 科

学 学士 院 よ りラン ジュ ヴ ァン賞を受賞. 1994年

よ りフ ラン スの 高等 科学 研 究所(IHES)所 長 とな り,

現 在 にい たる. また1990年 年 か ら1998年 Mathematische

か ら1992年

まで フ ラ ンス 数学 会会 長,1994

まで ヨー ロ ッパ 数 学 会 会 長.現 在,論 Annalen編

文誌

集長.

専 門 は大 域解析 学 で,特 に リー  マ ン幾何 学 か ら生ず る 問題, た と え ば アイ ン シ ュタ イ ン計 量 やケ ー ラ ー計 量 に興 味 を 持 つ て いる.ま た物 理学 の数学 的側面,た とえ ば一 般相 対論,デ ィ ラ ック作用 素 を研究 して いる.

パ リ近 郊 にあ る 高 等 科 字 研 究 所(IHES)

 

今 日の 社 会 で は,か

つ て な く広 く数 学 が 使 わ れ て い る.に

の こ とが 社 会 に よ っ て 認 識 さ れ る こ と は 滅 多 に な い .悪 自 身 も そ れ を 認 識 し て い な い.そ る 機 会 に(そ

の 結 果,一

も か か わ ら ず,こ

い こ と に は,数

学者

般 市 民 が 数 学 に 親 しむ 必 要 の あ

れ は 彼 ら が 人 生 上 で 選 択 し な け れ ば な ら な い 事 柄 の 中 で も,極

め て 入 り組 ん だ も の で あ る が),数 の で あ る.今

や,数

学 者 は適 切 に対 応 す る用 意 が で き てい ない

学 と 社 会 の 間 の 新 しい 関 係 を 築 き上 げ る と きが 来 て い る

と い え る.  

し か し,こ

れ は 容 易 な こ と で は な い.な

も の 」 な の か,数

ぜ な ら,数

学 とい う もの が 一体

学 が ど の よ う に 機 能 し発 展 す る か,こ

る 一 般 社 会 の 理 解 不 足 に よ り,数

「 何

の よ う な こ とに対 す

学 の イ メ ー ジ は 歪 め ら れ,数

学 の 役 割 の正

し い 認 識 が 妨 げ ら れ て い る か ら で あ る.  

こ の 論 説 を 書 く必 要 に 差 し迫 ら れ た 理 由 は,数

学 研 究 者 た ち の 内 と外 の 人 々,

特 に 数 学 の 教 師 た ち と 行 っ た 議 論 と そ こ か ら得 ら れ た 洞 察 か ら 派 生 し て い る. 社 会 に お け る 数 学 の 必 要 性 が い か に 大 き い も の で あ る か,ま 引 き 出 す べ き結 果 が 何 で あ る か を,ほ

た こ の事 実 か ら

とん どの 数 学 者 が 理 解 して い な い と強

く感 じ た の で あ る.  

ま ず 始 め に,科

学 の 中 で何 が 数 学 を特 別 な もの に して い る の か と い う こ と

と,現

代 社 会 が 発 展 す る の に なぜ 数 学 が必 要 な の か を分 析 し な けれ ば な らな

い.こ

の た め に は,数

で あ る.こ て,数

学 が も つ イ ンパ ク ト を 言 葉 で 保 証 す る だ け で は 不 充 分

の 目 的 の た め に は,多

種 多 様 な 形 で 数 学 を必 要 と す る 人 々 に よ っ

学 が ど の よ う に 理 解 さ れ て い る の か を 知 ら な け れ ば な ら な い.そ

と は,子

供 の 親,職

業 人,マ

ネ ー ジ ャ ー,教

の人々

師 あ る い は研 究 者 と して の 数 学

者 自 身 で あ る.   数 学 に 対 す る 一 般 的 な 考 え 方 を詳 し く述 べ る た め に,数 の 関 係 を 築 く た め の 基 礎 に つ い て,私

学 と社 会 全 般 の 間

自身 が ど う思 っ て い る か を 明確 にす る

* 本論 説は ,ジ ャン‐ ポール ・ピア教 授か ら招 待 を受 け,1998年9月

に開催 された会議"数 学 に

おけ る新 しい傾 向"に お いて行 った講演 内容 に加 筆 した もので ある.こ の 会議の会議 録は,the Publications Mathematiques of the Centre Universitaire de Lexembourgの1巻 とし て出版 され た. **  筆 者は ,経 済 戦略 と分子 生物学 につい て,そ れぞ れ有益な情報 を提供 して下 さったア イヴァー ・ エ ックラン ド教授 とミカエル ・グロモ フ教授 に対 して感 謝す る.ま た,ジ ョイ リー ン ・ヴェ ン ・ ギ ヨーム さん にも,言 葉の校 訂で助 けて いた だいた こ とに感 謝す る.

必 要 が あ る.数 学 界 の 内 的 組 織 化 につ い て の 詳 細 な 状 況 も,数 学 の 発 展 と教 育 に つ い て の 言 及 と と も に考 察 す る こ と に な る.複 数 の レベ ル で の,数 学 者 側 の 実 際 上 の 関 わ り を抜 きに して は,こ

の 問 題 で の 成 功 は お ぼつ か な い が,

こ の よ う な 「投 資 」 をす る こ と に,数 学 者 の 心 の準 備 が で きて い る の か ど う か は 明 らか で は な い.し 年2000の

か し,一 方 で,世 界 中 の 多 くの 数 学 者 が,世 界 数 学

活 動 に 熱 心 に 関 わ っ て い る こ と は認 め て お か な け れ ば な ら な い だ

ろ う.   数 学 界 に と って は,数 学 の 発 展 に お け る この 新 しい状 況 の 長 期 的 効 果 を見 積 も る こ とが 最 も重 要 な こ とで あ る.こ

の段 階 で,議 論 を オー プ ンに保 つ こ

とが 必 要 で あ り,さ もな け れ ば真 剣 な 主 張 を行 う こ とが 困 難 に な る.憶 測 の 部 分 もあ る が,い

くつ か の 思 い き っ た主 張 も した い.そ

うす る こ とで,こ

の

本 の 精 神 に合 う こ と を望 んで い る.

1  数 学 の 通 常 の 理 解 1.1 

基 礎 教 育 に お け る数 学 の 役 割

  世 界 中 の どこ で も,人 が 数 学 と最 初 に 出会 うの は小 学 校 で あ る.実 際,す べ て の 国 が,児 童 が く ぐ り抜 け ね ば な ら ない 基 礎 訓 練 の1つ

と して 数 学 を位

置 づ け て い る.そ の 形 態 は 国 ご とに 異 な るが,数 の計 算 と基 本 的 な 図 形 は,ど こ で で も教 え られ て い る こ とで あ る.さ

ら に,数 学 は,そ れ 自身 が1つ

の主

題 と考 え られ てい る.こ の よ うな見 方 か ら,数 学 が 社 会 にお い て 「見 え な い」 もの と い う こ と はで きな い.こ

の 点 が 重 大 な こ と な の で あ るが,後

で述べ る

よ う に,こ れ が もた らす 結 果 は単 純 で は な い. ■ 状 況 の 多 様 性   実 際,色

々 な 国 で行 わ れ て い る教 育 につ い て 深 く考 え る ほ

ど,事 態 は 単 純 で な い こ とに気 づ く.す な わ ち,至 る と こ ろ に 数学 とい う も の が 「あ る 」 に もか か わ らず,数

学 が 基 礎 をお く知 的 プ ロ セ ス が常 に完 全 な

形 で 表 に 現 れ る とは 限 ら な い か らで あ る.た 化 の 過 程 は,し

とえ ば,数 学 の核 心 を なす 抽 象

ば しば 機 械 的操 作 の 陰 に 隠 れ て い る.機 械 的操 作 に も価 値 は

あ る が,そ れ は コ イ ンの 片 方 の 面 に過 ぎ ない.研

究 の プ ロ セ ス につ い て も 同

じこ とが 言 え る.   と きに は,数 学 は 人 が機 械 的 に行 う活 動 と して表 れ る こ とが あ る.数 学 者 な ら誰 で も知 っ て い る よ う に,そ の 活 動 とは,問 題 を解 き,あ る い は 問 題 を よ り単 純 な 部 分 に分 解 す る た め の 努 力 で あ る.換 言 す れ ば,数 学 的 環 境 の 中 で 最 小 の技 巧 が 必 要 だ と して も,長 期 的 効 果 を持 つ 習 得 過 程 を保 証 しよ う と す る な ら ば,扱

っ て い る もの 自身 の 意 味 を無 視 す る こ と は で き な い.

■ 計 算 技 術 を超 え た数 学   近 い将 来,学 校 教 育 に お い て 安 価 で 強 力 な 計 算 機 が 広 く使 わ れ る 事 態 が 予想 さ れ,そ の イ ンパ ク トを 正 し く認 識 す る必 要 が あ る.こ の 文 脈 の 下 で,あ

る人 々 は事 態 を誤 解 し,数 学 の 習 得 と基 本 的 な計 算

技 術 を同 一 視 す る 傾 向 が あ る.そ の結 果,小 学 校 レベ ル で 数 学 に触 れ させ る 機 会 は不 必 要 との 意 見 が大 き く広 が りつ つ あ る.こ の よ う な こ とか ら,早 い 年 齢 で 数学 を学 ぶ こ と の重 要性 を理 解 させ る適 切 な理 論 武 装 を して お くこ と は 大 変 重 要 で あ る.こ

の た め に は,数 学 者 が 教 育 学 者 と協 力 して この 問 題 に

立 ち向 か う必 要 が あ る.こ

れ は,数 学 者 と教 育 学 者 の ど ち らが 数 学 教 師 の 教

育 を行 うべ きか とい う,い

くつ か の 国 で 起 きつ つ あ る対 立 の 事 態 とは ま っ た

く逆 の 方 向 で は あ る が.   この よ う な 問 題 で 成 果 を挙 げ る に は,議 論 を よ り広 い文 脈,す

な わ ち,現

代 社 会 が 要 求 す る新 しい 数 学 教 育 に ど う対 処 す れ ば よい か とい う文 脈 に持 ち こ む こ とが 必 要 に思 わ れ る.こ れ は,不 毛 な 議 論 か ら逃 れ る方 法 の1つ る.社 会 か ら の 要 求 は,誰

にで も純 粋 に 認 知 さ れ得 る もの で あ る.他

であ

の こと

も,日 々加 速 的 に進 む 技 術 の発 達 が供 給 す る専 門的 ツ ー ル と リ ン ク して い る. 我 々 は,そ の プ ロセ ス に 適 切 な注 意 を払 う こ とな く,進 む に任 せ るわ け に は い か な い. ■ 一 般 の 人 々 と議 論 す る た め に 必 要 な こ と  この 問 題 は 重 要 で あ る に もか か わ らず,ど

うす べ き か は あ ま り明確 で ない.な ぜ な ら ほ とん ど の場 合,こ

の

よ うな 事 柄 の 決 定 権 は,専 門 家 に委 ね られ て い る わ け で は な く,一 般 の 人 々 を 交 え た 議 論 の 中 に属 す るか らで あ る.こ れ は,す べ て の 布 民 の生 活 に関 わ る こ とだ か ら,ま

っ た く自然 な こ とで あ る.し か し,中 に は この よ うな 議 論

が 極 め て偏 見 に 満 ち た形 に発 展 す る こ と を恐 れ る 者 もい る か も しれ な い.現

状 で は,そ

れ らの 問 題 に対 す る 分 析 が ほ と ん どな い し,広 くア クセ ス 可 能 な

確 固 と した理 論 をベ ー ス に 論 駁 さ れ る こ と も な く,数 学 に つ い て の 多 くの 間 違 っ た 意 見 が広 く社 会 に広 ま っ てい る か らで あ る.   そ の よ う な記 録 を詳 細 に検 討 し,一 般 の 人 々 に傲 慢 な態 度 を取 る こ とな し に,様

々 な興 味 と経 験 を持 つ 数 学 者 を広 い 層 か ら動 員 す る こ とは,極

めて緊

急 な課 題 と思 わ れ る.

1.2 

数学 につ い ての 誤 解

■ 数 学 は,言 語 以 上 の もの で あ る 

「数 学 は 量 を表 現 す る 言 語 で あ る」 とい

う人 た ちが い る.こ の よ うな 意 見 は,我 々 の 同僚 で あ る科 学 者 に よって も発 せ ら れ る.彼

らが そ う思 うの は,数 学 が もつ 言 語 へ の 特 別 な 類似 性 に よる.数

学 者 に 取 っ て,こ

の よ うな 見 方 は ま った く的外 れ と しか い い よ うが な い.数

学 が 単 な る 量 を表 す 言 語 で ない こ とは,数 学 の研 究 活 動 が,概 念 の構 築 をす る こ と,異 な る概 念 の 間 に新 しい リ ン ク を張 る こ と,そ 立 す る 努 力 で あ る こ とか ら も明 らか で あ ろ う.そ

して 新 しい事 実 を確

して場 合 に よ っ て は,か つ

て は 可 能 と思 っ た道 が 袋 小 路 に終 わ る こ と もあ る.   こ の よ うな 広 く信 じ られ てい る数 学 に対 す る誤 解 は,数 学 が 他 の分 野 と ど の よ う に互 い に影 響 しあ い,数 学 が どの よ う にモ デ ル 化 に役 立 つ か を,改 め て 数 学 者 に 考 え こ ませ る こ とに な る.ほ さ れ る.そ

して,は

とん どの モ デ ル は 数 学 の言 葉 で 表 現

っ き り と認 識 され て い る わ け で は な い が,考 察 す べ き現

象 の記 述 に 重 要 な制 限 を生 み 出 す こ と もあ る.   こ の 文 脈 にお け る 数 学 の 介 在 は,有 用 な ア ル フ ァベ ッ トを供 給 す る こ と に 限 られ て い る わ け で は な い.(科 学 者 に よっ て)一 度 モ デ ル が確 立 され た な ら, 数 学 は モ デ ル の 研 究 を引 き継 ぐ こ と に な る.そ と単 純 化 され た枠 組 み の 中で,い ん,モ

して,モ デ ルが もた らす 制 限

くつ か の結 論 を導 くこ とが で きる.も

ちろ

デ ル が 誤 っ た仮 定 を生 じ させ る こ と も た ま に は あ り得 るが.

  我 々 す べ て が 知 っ て い る よ う に,(科 学 者 の)数 学 的知 識 の 不 足 に よ り,モ デ ル の 研 究 が 満 足 す べ き完 成 の レベ ル に行 きつ か な い こ とが あ る.数 学 者 と して は,こ

れ は興 味 あ る挑 戦 を 喚起 す る.な ぜ な ら,モ デ ルが 適 切 に構 築 さ

れ て さ え い れ ば,し

ば しば 問 題 は 興 味 深 い もの に な り,数 学 分 野 へ の新 しい

視 点 の 獲 得 を促 す 機 会 を与 え る こ と に な る か ら だ.ま た,(数 学 者 の)手 許 に あ る数 学 的 結 果 が,完 全 な 解 決 に導 くこ と もあ り得 る.こ の と き,数 学 以 外 の 分 野 にお い て 最 初 に設 定 され た 問題 との 比 較 検 討 が,重 要 な ス テ ップ と な る.そ

して,し ば しば 起 こ る こ とで あ る が,最 初 に設 定 した モ デ ル に対 して,

あ る と き はモ デ ル を複 雑 に す る か,あ

る い は完 全 に モ デ ル を取 りか え る必 要

に迫 られ る こ と もあ る.ど の よ うな 場 合 で も,(科 学 に お け る)数 学 の 介 在 を 単 な る 「言 語 」 と して の 役 割 に 還 元 す る こ と は,数 学 化 の プ ロ セ ス の 記 述 と して は不 適 切 で あ る.こ の 点 を 明 確 にす る た め に は,数 学 的 モ デ ル が 構 築 さ れ 発 展 す る 筋 道 を,教 育 の 中 で どの よ うに学 生 に伝 え る こ とが で きる か を考 え な け れ ば な ら な い. ■ 数 学 は現 在 も 「生 き て い る」  第 二 の 誤 解 は,多

くの人 々 が,数 学 は 「死

ん だ」 学 問 の よ う に思 っ て い る こ とで あ る.素 人 や メ デ ィア か ら発 せ られ る 質 問 の 一 つ は,「す べ て が 既 に分 か っ て い る の に,今 さ ら何 を す る こ とが あ る の か?」

と い う もの で あ る.そ

うで は ない こ と を示 す の に多 くの 例 が あ る に

もか か わ らず,学 生 に対 して さえ 我 々 は例 も示 さ な い で い る.   私 の 意 見 で は,数 学 が ま だ 発 展 の途 中 にあ る こ と,そ

して世 界 中 の 数 千 人

の 数 学 者 が 様 々 な 問 題 で 仕 事 を して い る こ と を,中 学 校 以 前 の な る べ く早 い 段 階 で 生徒 に伝 え る こ とが 重 要 で あ る と考 え る.そ

して,そ の 問題 の い くつ

か は極 め て 重 要 で あ り,た と え普 通 に見 え る 問 題 で も社 会 に対 して 大 き な イ ンパ ク トを与 え る可 能性 が あ る こ と,そ の 中 に は生 徒 の 日常 生 活 に 関 わ る も の もあ り得 る こ と を伝 え るべ きで あ る. ■ 抽 象 化 の役 割   数 学 が 最 も数 学 ら しい の は,現 象 を一 般 化 す る上 で の 抽 象 化 なの で あ る が,「抽 象」 と い う言 葉 が 不 幸 な 形 で 伝 わ っ て い る.   ア ン リ ・ボ ア ンカ レ は数 学 の 定 義 を次 の よ う に与 え た.「数 学 と は,異 もの に 同 じ名 前 を与 え る ア ー トで あ る」.こ の 観 点 か らは,具

なる

象 と抽 象 を対

比 させ るの は意 味 が な い.実 際,複 雑 な 状 況 か ら核 と な る もの を引 き出 す こ と は,も の ご とが どの よ うに 働 い て い る の か を理 解 す る こ とだ か ら で あ る.   我 々 は,こ の プ ロセ ス を 明 確 にす る た め に充 分 な 時 間 を か け な け れ ば な ら

ない.そ

して,数 学 の 基 礎 の 中 で こ の プ ロ セ ス が 果 た す役 割 を強 調 す る必 要

が あ る.こ

こ に こ そ,数 学 と一 般 社 会 の 間 の 関係 に現 在 影 響 を 及 ぼ して い る

何 か 重 要 な もの が あ る と私 は思 うの で あ る.

1.3 

教 育 に 関 して 数 学 が 誤 解 さ れ が ち な 原 因

  学 校 で の 数 学 の勉 強 を語 学 の勉 強 と関 連 づ け る観 点 は,数 学 的 知 識 が 積 み 重 ね に よ っ て 得 られ る と い う事 実 に よ る.積 み 重 ね で あ る と い う こ と は,あ る時 点 で の 理 解 不 足 が,そ か に,物 理,生

物,化

の後 の 理 解 と発 展 を妨 げ る とい う こ とで あ る.確

学 な どの 科 学 分 野 や 歴 史,地 理 な ど の他 の分 野 に比 べ

れ ば,数 学 で は こ の傾 向 は強 い.   も う1つ の 見 地 は,国 に よ って 大 い に 異 な るが,数

学 の成 績 が 学 校 にお け

る選 別 の プ ロセ ス に 果 たす 役 割 で あ る.こ の 点 に 関 して は,フ

ラ ンス に極 端

な例 が あ る.な ぜ な ら フ ラ ンス で は,高 等 教 育 に お け る シ ス テ ム が,い

わゆ

る グ ラ ンゼ コ ー ル*と 大 学 の 二 元 的 な もの に な っ てい て,グ ラ ンゼ コ ー ルへ の 入 学 試 験 で は 数 学 の 比 重 が 大 き くな っ て い る か らで あ る.

1.4 

数 学 の イ メー ジ を変 える た めの 部 分 的 か つ簡 単 な結 論

  一 般 大 衆 が 数 学 に対 して もつ イ メ ー ジ,す

な わ ち メ デ ィア に よ っ て深 く議

論 され ず に 一 人 歩 き して い る イ メー ジ を払 拭 す る に は,広

い意味で我 々の世

界 の 理 解 に 数 学 者 が 貢 献 して い る こ とを は っ き り言 う必 要 が あ る.こ の た め に は,数 学 者 の 側 の 持 続 的 か つ 少 なか らぬ 努 力 が 必 要 で あ ろ う.   この努 力 は,も

し数 学者 が初 等 教 育 の 問 題 に 自 ら コ ミ ッ トしない の な ら,効

果 的 な もの に は な ら な い だ ろ う.こ の 努 力 の か な りの 部 分 は,子 供 に よっ て 数 学 的 思 考 が 培 わ れ る プ ロ セ ス の分 析 に 向 け ら れ る必 要 が あ る し,ま た様 々 な状 況 の 中 で 行 使 さ れ ね ば な ら ない. *  (訳注)邦 訳では高等専門大学ともいい,少 数精鋭のエ リー ト養成機関である.フ ランスでは, 一般の大学 に入るにはバカロレア(大 学入学資格)が あればよく,事 実上の無選抜であるが, グランゼコールに入るには,ま ず専用の準備学級に進学 して試験勉強(通 常2年 間)を し,そ の上で非常に難 しい選抜試験に合格せねばならない.

  この 目標 の た め,他 の 学術 分 野 や グル ー プ との 間 の橋 渡 しが 必 要 で あ る.こ の た め に性 急 で あ っ て は な ら な い し,こ れ らの 問 題 に 関係 す る事 柄 に 明 確 な 立 場 を持 た な け れ ば な ら ない.

2  数 学 と は 一 体 何 な の か?

  こ の 節 で は,科 学 全 般 の 中 で数 学 を特 徴 づ け る問 題 に つ い て 考 え よ う.こ の 問題 につ い て 長 た ら しい哲 学 的 議 論 を行 う こ と もで きる が,こ 的立 場 を取 らず,む

こ で は 学術

しろ 実 際 的立 場 か ら この 問 題 を扱 い た い.

  私 が 見 た とこ ろ,数 学 が どの よ うに 他 の 科 学 に 関係 して い る の か と い う こ と に,ほ

と ん どの 数 学 者 は 注 意 を 向 け な い で い る と思 う.こ の こ とが,他

の

科 学 者 と話 をす る と き,数 学 者 を 困惑 させ,数 学 者 が 必 要 とす る こ と を現 実 化 しよ う とす る と き に,数 学 者 を不 利 な立 場 に 追 い 込 ん で しま う.数 学 者 は, しば しば 自 らの 言 っ て い る こ とが,他

の 分 野 の 科 学 者 に と っ て も当 然 価 値 が

あ る もの と期 待 して い る.数 学 者 の 財 政 的 要 求 が,ほ

とん どの 場 合 に節 度 あ

る も の な らば,一 体 何 が 問 題 な の か?   数 学 者 の 要 求 が 正 当 な もの で あ る こ と を確 信 させ る に は,数 学 者 自身 が,数 学 の 発 展 過程 と い う もの を理 解 して お く こ とが 必 要 で あ る.前 節 で論 じた誤 解 よ り,科 学 者 の 誤 解 は さ ら に高 度 な レベ ル の 誤 解 で あ り,そ れ を解 消 す る に は 多 くの 説 明 が 必 要 に な る.誤 解 を招 く理 由 自 身 は,実 際 の とこ ろ,一 般 の 人 々が 誤 解 す る理 由 とそ ん な に 異 な っ て い るわ けで は な い.こ

こ に,悪 感

情 を招 く重 大 な 誤 解 の原 因 が あ る の で あ る.   特 に言 い た い こ と は,先 天 的 な形 で 互 い に対 立 し合 う問題 の 原 因 を解 消 す る に は,歴

史 的 な見 方 が 有 用 な こ とで あ る.数 学 は,科 学 の歴 史 の 中 で 最 も

古 い もの で あ る とい う こ と に意 を 置 こ う.科 学 と社 会 の 相 互 作 用 は,極

めて

早 い ス ピ ー ドで 変 化 しつ つ あ る.で は,な ぜ 数 学 が 科 学 の 中 で特 別 な の か?

2.1 

言 語 へ の特 別 な 関係

  こ の 問題 を扱 うに は,数 学 が 表 現 され る方 法 の展 開 過 程 につ い て 考 え ね ば

な ら ない.数

学 が 完 全 に形 式 化 され 得 る とい う,か な り よ く受 け 入 れ られ て

い る考 え 方 は,19世

紀 の 末 の 一 般 的 パ ラ ダ イム と して 説 明 され る こ とが 多 い.

しか し,そ れ は全 体 と して哲 学 的 な見 方 で あ り,ほ とん どの 数 学 者 や 教 師 に よっ て 実 際 に 行 わ れ て い る活 動 との 間 に共 通 点 は な い.   我 々 は,こ の 数 学 の発 展 過 程 を,正 確 な言 語 を使 う必 要 性 の 結 果 と見 る.数 学 者 は,彼

らの 使 う語 彙 を 日常 言 語 か ら借 用 す るか ら,そ の 代 価 を 払 わ な け

れ ば な ら な い.す が,学

な わ ち,我 々 は 日常 言 語 か らの借 用 を 「詩 的 」 創 作 と見 る

生 は そ れ を一 種 の 「剽窃 」 と しで 憤 る の で あ る.

  なぜ 我 々が 日常 言 語 を数 学 の私 用 に 供 す る の か,そ ば 困 る こ と に な る の か に つ い て,さ

して な ぜ そ う しな け れ

らな る気 配 りの あ る 説 明 が 必 要 で あ る.

我 々 は 責 任 あ る市 民 の 態 度 で,日 常 言 語 を語 彙 に取 り入 れ る 理 由 を 説 明 しな け れ ば な ら な い.も

しか した ら,数 学 的 文 脈 で 話 を して い る の か,あ

日常 的 文 脈 で 話 を し て い る の か に依 拠 して,我 生 活 」 を 強 い て は い な い だ ろ うか?そ

るいは

々 は 学 生 た ち に 一種 の 「2重

うで あ る の か,な い の か を 判 断 す るの

は 容 易 な こ とで は な い.   充 分 に 制 御 され た言 葉 で 数 学 を表 現 しな けれ ば な ら な い とい う制 約 は,確 か に数 学 を 「言 語 」 とみ な す1つ

の 理 由 で あ る.こ の 問 題 に つ い て もっ と注

意 を払 わ な け れ ば な らな い し,な ぜ そ うな の か とい う こ とを 説 明 しな け れ ば な ら な い.ま と,そ

た,こ

して,形

の よ う な習 慣 に影 響 され な い数 学 的 活 動 もあ る とい う こ

式 化 さ れ た 言 語 に厳 し く制 約 さ れ る こ とが,ハ

ンデ ィ キ ャッ

プ と な り得 る こ と を,明 確 に理 解 して も らわ な け れ ば な ら な い.こ の 制 約 さ れ た 表 現 が 引 き起 こす 特 別 な 困 難 は,進 ん だ レベ ル の 学 生 や 初 学 者 に現 れ る し,若 い研 究 者 が 超 え な け れ ば な ら な い ハ ー ドルの1つ

2.2 

で もあ る.

真 理 との 特 別 な 関 係

  数学 者 の 目指 す ゴー ル は,「真 」 で あ る言 明(命 題)に で あ る.こ れ は何 を意 味 す る の か?こ

「証 明 」 を与 え る こ と

の疑 問 に 答 え る に は,数 学 的 概 念 お よ

び対 象 の 「存 在 」 と 「意 味 」 に つ い て の,純 粋 に哲 学 的 な議 論 に 入 りこ む必 要 が あ る.前

に も述 べ た よ うに,本 論 説 の 目 的 は 実 際 的 観 点 か ら数 学 と社 会

の 関 係 に つ い て論 ず る こ と な の で あ るが,こ

の 問題 の哲 学 的 側 面 を避 け て通

る わ け に は い か な い だ ろ う. ■ プ ラ トン主 義 者 と直観 主 義 者   数 学 者 は,潜 在 的 には 完 全 に形 式 化 さ れ得 る 理 論 を研 究 して い る こ と を認 め て い る.そ の 意 味 は 「数 学 的言 明 は,す べ て 前 提 と して 認 め る公 理 系 か ら演 繹 さ れ る 」 とい う こ とで あ る.実 際,も

し

この 問 題 を社 会 との 数 学 の 関係 の 文 脈 の 中 で 扱 うの な ら,数 学 者 は,現 実 の 問 題 と立 ち向 か う こ と に な る か ら,も っ と哲 学 的 な 展 望 の 中 に 問題 を持 ち こ む 必 要 が あ る.こ れ は,数 学 的 言 明 の 中 に現 実 が あ り得 る の か,そ

して 通 常

の 知 覚 可 能 な現 実 と関 連 す る 数 学 的 現 実 とい う もの が あ り得 る の か とい う問 題 に集 約 され る.   こ の大 き な 問題 に対 す る数 学 者 の 態 度 の スペ ク トラ ム は広 い.い

わゆるプ

ラ トン主 義 者 は,こ の スペ ク トラ ム の 一 方 の端 にい て,数 学 者 は 新 しい テ リ トリ ー と数 学 的 世 界 の 新 しい事 実 を 「 発 見 」 す る もの だ と信 じて い る.ス ペ ク トラ ム の も う一 方 の 端 に い る 直 観 主 義 者 は,制 限 され た共 同 体 の 中 に お い て 意 見 の 一 致 した 前 提 の上 で 数 学 的構 成 は な され る もの で あ り,そ れ は純 粋 に人 間 的 活 動 の結 果 と見 る.す

な わ ち,数 学 は 「発 明 」 され る もの だ と考 え

るの で あ る.   数 学 者 の 大 多 数 が プ ラ トン主 義 者 の 立 場 に近 い こ と は 疑 い な い.数 学 者 は 「ほ とん ど の 時 間 は,「そ れ は そ こ に あ る 」 と思 い なが ら仕 事 を して い る 」 と い っ た の は,ア

ン ドレ ・ヴ ェ イユ で あ る.

■ 数 学 の 「永 遠 性 」  数世 紀 前 に確 立 され た結 果 を,今

日使 う こ と が で き る

と い う こ とは,数 学 と真 理 の 間 の 特 別 な関 係 を示 す 別 の 面 で あ る.こ の 事 実 は,数 学 が 文 明 を超 越 し,イ デ オ ロ ギ ー に依 拠 す る こ とが ほ と ん ど な い とい う こ と を意 味 して い る.そ

して こ の 理 由 に よ り,数 学 の 諸結 果 の 伝 達 が 容 易

に行 わ れ る こ と を可 能 に して い る の で あ る.   も ち ろ ん,こ の こ とは,時 代 と と も に変 化 す る こ とは あ って も,証 明 とい う もの が 数 学 にお い て 果 た して きた役 割 に基 づ い て い る.証 明 の重 要性 を学 生 に 理 解 させ る こ とは,す べ ての 教 育 の レベ ル に お い て 数 学 の 教 師 が 直 面 す る大 き な課 題 で あ る.

  この 数 学 の 「永 遠 性 」 は,数 学 の歴 史 に対 す る特 別 な 義 務 を 数 学 者 に課 す る.そ

して,そ の 歴 史 的 展 開 と進 歩 に つ い て 記 録 さ れ た証 拠 と して,我

々が

行 う教 育 の 中 に 上 手 に取 りこ む必 要 が あ る.過 去 の 偉 大 な 数 学 者 た ち に ア ク セ ス す る こ と に よ り,過 去 に得 られ た 結 果 は 多 くの 学 生 に よ り正 し く吸 収 さ れ る.な ぜ な ら,新 る.こ

しい 概 念 と手 法 は そ の歴 史 の 中で 発 展 して きた か ら で あ

こ に も,「数 学 は死 んで い る 」 とい う,広

く信 じ られ て い る ひ どい 考 え

を払 拭 す る た め の 矯 正 手 段 が あ る.   と ころ で,今

述 べ た方 向 へ の努 力 は,良

的規 模 の努 力 に,よ

質 の 図 書 室 を保 持 す る た め の 世 界

り強 い 支 持 基 盤 を もた らす.今

日で も,数 学 の研 究 に は,

1世 紀 あ る い は そ れ 以 上 に 古 い 文 献 を必 要 とす る こ とが あ る.ど の よ う にそ れ らの デ ー タが 保 存 さ れ よ う と,未 来 で も そ れ は我 々 の 身 近 に あ る こ とが 必 要 な の で あ る.過

去 の デ ー タ を取 り扱 う新 しい手 段 を計 画 す る と き,こ の こ

と は常 に気 に留 め られ て い な け れ ば な ら ない. ■権 威 主 義 に 対 す る矯 正 手 段 と して の数 学   真 理 と数 学 との 関係 が 導 く別 の 結 果 は,次 の よ う な もの で あ り,こ れ は教 育 との 関 連 に お い て指 摘 す る価 値 が あ る.数 学 的 事 柄 を完 全 に理 解 した 学 生 は,彼(あ い は 級 友 に,彼

るい は彼 女)の 先 生 あ る

らが 犯 す か も しれ ない 間違 い や 誤 解 に異 議 を唱 え る こ とが 可

能 に な る.   こ の精 神 的 な経 験 は,学 生 の 批 判 的精 神 と 自主 性 を養 うこ と に な る だ ろ う. もち ろ ん,こ

の こ と は社 会 に お け る 学 校 制 度 の 仕 組 み との 関 連 に お い て 考 え

る必 要 が あ るが.さ

らに,自 然 科 学 を含 む い くつ か の 部 門 も,批 判 的 精 神 を

養 う こ と を主 張 して い る こ と も,心 に留 め て お く必 要 が あ る.実 際,「実 験 」 も 同様 に信 念 の 誤 謬 を 白 日の 下 に晒 す 正 当 な方 法 で あ る.ア

インシュ タイ ン

が 言 っ て い る 「思 考 実 験 」 で は,知 的 道 具 の み が必 要 で あ り,若 い 学 生 で は 手 が 届 か な い よ う な 複 雑 な 装 置 を必 要 と しない.

2.3 

歴 史 を 通 し て み た と き の,数

学 の 信 じが た い 成 功

  数 学 の 歴 史 が,人 類 の 「冒険 」 の 素 晴 ら しい 成功 物 語 の1つ 事 実 を前 に して も,数 学 者 は,自

で あ る とい う

らの 分 野 を語 る こ とに は 消 極 的 で あ る.し

か し,事 実 は次 の 通 りで あ る.  ‐17世

紀 末,「無 限」 に つ い て の 問 題 を扱 う こ とを可 能 にす る精 密 な メ カ

ニ ズ ム が 開発 され た.そ

れ は 解析 学 の誕 生 で あ っ た.

 ‐  日常 的 に経 験 す る空 間 に つ い て の 膨 大 な 証 拠 に もか か わ らず,19世

紀

の 初 期 に は ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 を一 般 化 し,一 般 相 対 論 に道 を 開 く こ とに な る急 進 的 な ア イ デ ィア を提 出 した.  ‐

素 数 とデ ィ オ フ ァ ン トス 方 程 式 に 関 す る 主 要 問 題 が,数

多 くの技 術 的

概 念 的 な達 成 の お 陰 で,次 々 に解 か れ た.  ‐   ラ ン ダム な量 が,精 密 に解 析 さ れ た僅 か な仮 定 の 下 で,適 切 に評 価 さ れ た.   これ らの 知 的 革 命 の 多 くが,社

会 組 織 の 大 き な変 化 の 基 礎 に な っ た.後

ど この 点 につ い て 詳 し く述 べ る つ も りで あ る.我 々 は,こ 分 に了 解 して い ない の で は な い だ ろ うか.そ る か とい う こ と に気 づ か ず に い るほ ど,我 くな っ て い る の で は な い か?な

ほ

の よ うな 事 実 を充

して,数 学 が ど の程 度 進 んで い 々数 学 者 は数 学 の歴 史 と接 触 しな

ぜ 我 々 は そ う内 気 な の か?

3  社 会 と の 新 し い 関 係

  こ の 節 で 述 べ る こ とは,最

も議 論 を よぶ こ と に な る だ ろ う.な ぜ な ら,未

来 に対 す る私 の 見 解 を述 べ る こ とに な る か らで あ る.話 を 始 め る前 に,20世 紀 数 学 が ど の よ う に進 化 して き た か に 目 を向 け る の が適 切 で あ ろ う.こ れ は, 数 学 の コ ミュニ テ ィー が 現 在 あ る よ う に組 織 化 さ れ た 背 景 につ い て考 え 直 す た め で あ り,さ ら に私 が 主 張 す る変 化 と は どの よ う な もの か を理 解 して も ら う た め で あ る.

3.1 

20世

■ 今,誰

紀 の 数 学 と数 学 者

が 数 学 者 なの か,そ

と同 様 に,20世

して 彼 らは ど こ に い る の か  数 学 は,他 の 科 学

紀 に極 め て大 きな 発 展 を遂 げ た.多

くの 新 しい 結 果(そ の い

くつ か は,フ ェル マ ー問 題 の 解 決 の よ うに 素晴 ら しい結 果)が 得 られ たが,真 の変 化 は,そ

れ らが 互 い に 木 目細 か く織 り成 して い る こ と と,数 学 の 並 外 れ

た広 が り及 び分 野 の 分 岐 に こそ あ る.僅 か で は あ る が そ の 例 を挙 げ れ ば,関 数 解 析,代

数 的位 相 幾 何,ブ

ラ ウ ン運 動,エ

して量 子 群 の よ う な新 しい 分 野 で あ る.そ

ル ゴ ー ド理 論,モ

して,20世

デ ル 理 論,そ

紀 の 間 に,数 学 内部 の

そ れ らの小 分 野 の 配 置 は コ ンス タ ン トに変 化 して きた の で あ る.こ の こ とが, 数 学 を 脅 か す の で は な く,刺 激 的 な ダ イ ナ ミズ ム を作 りだ し,分 野 の 統 合 を 促 した.   20世 紀 の 終 わ りに は,年 間 の研 究 論 文 の総 数 は6万 点 で あ っ た.1950代 に は た った5000点

だ った の にで あ る.こ れ は前 世 紀 を通 して 続 い た,数 学 コ

ミュ ニ テ ィー の 増 大 が もた ら した効 果 で あ る こ とは確 か で あ る.こ の事 実 は, 数 学 の 内部 に お け るお 互 い の 仕 事 の 可 視 性 とア クセ ス の 見 地 か ら,さ 問題 を生 み 出 した.コ

らな る

ミュ ニ テ ィー の 結 束 を保 つ た め に数 学 の 諸 分 野 の 間 の

コ ン タ ク トを最 小 限 で も持 ちつ づ け て い くに は ,教 育 活 動 とそ の 上 の レベ ル に お い て 特 別 な努 力 を必 要 とす る.   1900年 のパ リの 数学 者 会 議 には150名 が,20世

程 度 の数 学 者 が 参 加 した に過 ぎな い

紀 の最 後 に ベ ル リ ンで 開 催 され た 数 学 者 会 議 には4000名

が あ っ た.今

の参加 者

日,活 発 に研 究 して い る数 学 者 の数 は,全 世 界 で5万

名 は い る と考 え られ る.こ

の数 の 評 価 に 幅 が あ る の は,企 業 にお い て 研 究 に

勤 しん で い る数 学 者 の 数 を評 価 す る こ とが 困 難 だ か らで あ る.こ 散 的 に で は あ るが,最

か ら7万

近 に な っ て とみ に増 え て い る.ほ

の 数 は,拡

とん どの 場 合,こ

の

よ う な環 境 で研 究 して い る我 々 の 同 僚 た ち は,数 学 者 とい う名 前 を持 た な い こ とが 多 い.さ

ら に,生 物 学 者 の 数 は,70万

を 心 に留 め て お か な け れ ば な ら な い.こ 者 の 数 を見 積 も る こ と は,さ

か ら100万

と言 わ れ て い る こ と

の分 野 と数 学 との 関 わ りか ら,数 学

ら に 困 難 に な ら ざる を得 な い.

■ 公 理 的 手 法 の 有 利 性 と可 能 な不 利 性   もっ と質 的 な文 脈 で は,20世

紀数学

は研 究 と教 育 の両 面 で,公 理 的 手 法 の 一 般 化 とい う もの を経 験 した.   直 接 の 現 実 か ら距 離 を置 くこ とが 許 され る とい う こ と は,数 学 者 が 行 っ て い る こ と を実 生 活 の 問 題 に 関係 させ る 呪 縛 か ら 自由 に す る.対 照 的 に ,こ れ は 人 々 に 数 学 者 が 現 実 の 問 題 か ら逃 避 して い る とい う気 持 ち を抱 か せ る こ と

に も な る.   そ れ に もか か わ らず,も し我 々 が 孤 立 せ ず,他 の 科 学 者,工 学 者,そ して 一 般 の社 会 か らは 学 ぶ べ き もの が何 も な い とか ,何 も言 う こ とが な い とい う ふ う に装 う こ と さえ しな け れ ば,新

し く獲 得 され た 自 由 は 疑 い もな く有 利 な

点 も持 っ て い る.こ の こ とは,学 生 や 学 校 教 師 の 教 育 を行 う と きに,注 意 深 く考 慮 に 入 れ な け れ ば な らな い こ とで あ る.彼

らの 専 攻 科 目の 可 能 な限 り多

くの 面 で,快 適 な気 持 ち に させ る こ とが 必 要 で あ る.特 に,彼

らに 数 学 が ど

の よ う に他 の分 野 と相 互 に関 連 す る の か を理 解 して もら わ な け れ ば な らな い. なぜ な ら,学 校 に お い て彼 らは,複 数 の科 目が 教 え られ る 環 境 の 中 で教 育 を 行 わ な け れ ば な らな い か らだ.他 の 科 目 と外 の 世 界 へ の好 奇 心 を保 ちつ づ け る こ と を 手 助 け す る こ と は,教 育 の 鍵 と な る原 則 の1つ   公 理 的 手 法 は,進

で あ る.

ん だ レベ ル で の 数 学 教 育 に お い て極 め て 大 きい イ ンパ ク

トを有 して い た.そ れ は 学 生 の 広 い グ ル ー プ に迅 速 に教 え る こ と を可 能 に し, この 意 味 で,今 世 紀 の 数 学 事 業 の 発 展 に大 い に 貢 献 した.よ

り低 い レベ ル で

の公 理 的 手 法 に よる 教 育 は,色 々 な形 で 評 価 され て きた.し か し,い の経 験 が 示 す もの が 真 に否 定 的 で あ っ て も,現 状 は,今 に よ っ て,も

3.2 

くつ か

ま さ に検 証 中 の 理 由

は や受 け入 れ可 能 な 状 態 と は い え な い.

強 力 な 計 算 ツ ー ル と数 学 を結 び つ け る こ と

  1970年 代 に は,計 算 の 新 しい 手 段 が 強 力 な コ ン ピュ ー タ の形 で 登 場 した. 最 初 は数 を フ ァ ン タ ス テ ィッ ク に 「む さ ぼ る」 能 力 と して,後

に は予 想 外 の

素 晴 ら しい視 覚 化 を許 す パ ワ ー とい う形 で 登 場 したの で あ る.そ の発 展 は 今 で も衰 え を 見 せ て い ない.   コ ン ピュ ー タ の 出 現 が 数 学 に もた らす イ ンパ ク トは,ど の よ うに 測 れ ば よ い の だ ろ うか.4つ

の 場 合 に分 け て み よ う.

 ‐   コ ン ピ ュ ー タ に よ っ て,巨 大 な デ ー タの 集 ま りを 直 接 扱 う こ とが 可 能 に な る.従 来 は 数 学 的 方 法 が 適 して い な か っ た 問 題 も扱 う こ とが 可 能 に な っ た.そ は,そ

の典 型 的 な 例 が 統 計 的 デ ー タで あ る.こ

こ で 鍵 とな るの

れ ら の デ ー タ の 集 合 か ら,関 係 す る情 報 を い か に 引 き出 す か と

い う こ とで あ る.こ れ は 数 学 的 な 問 題 と い え る.  ‐  有 限 個 の デ ー タの み を扱 う この 新 しい 機械 は,有 限 と無 限 の 間 の 関係, 特 に プ ロ セ ス の収 束 に つ い て 我 々 数 学 者 に再 考 を促 す.非 常 に大 きな 数 を コ ン ピ ュー タに 扱 わせ る こ と に よ り,数 論 や 力 学 系 の よ う な,実 験 に よ っ て考 察 で きる 数 学 分 野 をい くつ か創 生 す る こ とが 考 え られ る. そ の結 果,こ

こで も数 学 者 に ア ク セ ス 可 能 な 分 野 を大 き く広 げ る こ と

に な る.暗 号 理 論 は そ の 例 で あ り,完 全 に数 学 的 な もの で あ る .  ‐  機 械 は,長 時 間単 純 な ア ル ゴ リズ ム を繰 り返 す 能 力 を持 つ.ジ ュ リ ア集 合 や フ ラ ク タ ル は,手 垢 の つ きす ぎ た例 か も しれ ない が,そ

れ らの 魅

力 と美 しさ を適 切 に使 う方 法 を学 ば ね ば な らな い.こ れ らの例 は,我 々 が い くつ か の構 造 に対 して抱 い て い た考 え 方 を変 え させ た.す か つ て は 病 的 と思 っ て い た もの が,実

なわち,

は現 実 の 状 況 を 反 映 す る モ デ ル

と して 自然 科 学 者 に提 供 され た の で あ る.  ‐   コ ン ピュ ー タは,複 雑 な 方 程 式 の 数 値 的 取 り扱 い に新 しい 視 野 を与 え た.そ

の代 表 的 な例 は,天 気 予 報 に関 連 す る流 体 の 方 程 式 で あ る.

  新 しい領 域 を数 学 に開 くこ と,複 雑 さに つ い て の 我 々の 観 点 を変 え る こ と, そ れ らの 問題 を解 くた め に 数 学 者 に 新 しい ツ ー ル を与 え る こ と,こ う い う こ とか ら も,新 も の,あ

しい 計 算 ツ ー ル の イ ンパ ク トに は 甚 大 な も のが あ る.機 械 そ の

る い は そ れ ら を結 ぶ ネ ッ トワー ク に 関連 して 提 起 さ れ る,極 め て深

い 数 学 的 問 題 が あ る こ と は言 う まで もな い .そ れ は 明 らか に数 学 に お け る新 しい 領 域 の1つ

で あ る.か つ て 数 学 者 に 脅 威 と考 え られ てい た もの が,数 学

を活 性 化 し,数 学 が 関係 す る状 況 を広 げ る機 会 を与 え た の で あ る.

3.3 

日常 的 生 活 の 中 に広 が りつ つ あ る数 学 的対 象

  こ こ で,前 世 紀 の 終 わ りに 起 き た変 化 の 中 で最 も重 要 と思 え る様 相 につ い て 語 りた い.す

なわ ち,日 常 生 活 の 中 に 広 が る数 学 的 対 象 につ い て で あ る .

  我 々 が まず 最 初 に 分 析 しな け れ ば な らな い の は,こ の 現 象 が どの よ う に現 代 社 会 が 発 展 す る道 筋 と関 連 して い る の か で あ る.そ れ らの 数 学 的対 象 の 多

くが,経 済 の 最 も ダ イ ナ ミカ ル な成 分 と関 連 して い る.と い うの は,こ の 新 しい 存 在 が,コ

ン ピ ュ ー タに よ って もた ら され る可 能 性 と結 び つ い て い る か

らで あ る.し か し,現 代 社 会 の 他 の 様 相 も,主 要 な役 割 を果 た して い る こ と に注 意 しな け れ ば な ら な い.毎

日の よ う に使 う製 品 の動 作 に も,数 学 的結 果,

しか も最 新 の 結 果 に基 礎 を 置 い て い る もの が 多 い.ほ 学 者 で さえ,そ

と ん どの 場 合,我

々数

の こ と に気 づ か ない で い る.と い うの も,数 学 的 内 容 が 直 接

見 え る訳 で は な い し,ど う数 学 が 使 わ れ て い る か を見 る に は,少

し考 え る 必

要 が あ る か ら だ.   最 も明 白 な例 は,ポ

ケ ッ ト計 算 機 だ ろ う.ど こ に で もあ る コ ン ピュ ー タの

数 学 的 能 力 も印 象 的 な もの で あ る.自 明 で は な い例 と して は,CDプ や テ レ ビ,自 動 車 な どが あ る.そ の よ う な製 品 の 急増 は,高

レイヤ ー

度 な科 学 ・技 術

の お 陰 で,安 価 に 製 造 され る よ う に な っ た か ら で あ る. ■ 工 業 製 品 の 概 念   今 日の社 会 は,「工 業 製 品 」 の 概 念 に よっ て 支 配 され て い る.と

くに,こ れ は我 々の 周 りの 多 くの 「もの 」 や 構 造 が,"well-defined"な

仕 方 で デ ザ イ ン され て い る こ と を意 味 す る.「もの 」 は明 確 に 限 定 され た 仕 事 を果 た さね ば な ら ない.そ

して そ れ らの 存 在 は,ひ

が 存 在 す る と きに の み 許 され る こ とに な る.通 常,様

と え に そ れ ら を扱 う市 場 々 な方 法 で 「もの 」 や

構 造 を 能 率 的 に利 用 す る こ とが 必 要 と され る.こ れ は,以 前 は 純 粋 に ハ ー ド ウ ェ ア の 問 題 と考 え られ て い た数 学 の プ ロ セ ス で あ る.   こ の先 が ま だ あ る.あ る 動 機 に よ って 計 画 さ れ た 期 間 よ り長 く工 業 製 品 を キ ー プす る こ と に興 味 が あ る場 合 に,い

くつ か の 問題 に遭 遇 す る.な ぜ な ら,

特 にハ イテ ク製 品 に言 え る こ と で あ る が,商

品 は 直 ぐに まわ りの 環 境 に合 わ

な くな り,使 用 不 能 に な る か ら だ.こ の 適 合 性 の 問題 は,過

去 の 記 憶 を適 切

な形 で保 存 す る と い う,大 きな ス ケ ー ル の 問 題 を提 起 す る.前

に述 べ た こ と

か ら,こ れ は数 学 者 に と っ て も小 さ な問 題 で は な い.工 業 製 品 の概 念 は,そ れ らの 制 約 され た ラ イ フ ・ス パ ン と関 係 して い る.こ の よ う な面 は,「流 行 」 と い う もの にい き過 ぎた 価 値 が 置 か れ て い る こ と に も現 れ て い る と い え よ う. こ の 「流 行 」 に つ い て は,数 学 は他 の 科 学 に比 べ て そ れ ほ ど影 響 を被 る こ と は な い が,長 期 的 展 望 と長 い 年 月 をか け て確 立 され た事 実 が,浅 脅 か され る よ うな こ とが な い よ うに,気

薄 な理 由 で

をつ け て い な け れ ば な らな い.

  もう1つ の面 は,市 場 に よって 工 業 製 品 が 誘 導 され る仕 方 に 関係 が あ る.こ の 変 化 の 早 い時 代 にお い て も,あ る 製 品 は 市 場 の 動 き とは 無 関係 で あ る .そ れ は,社

会 に う ま く接 合 さ れ た部 分 に,先 天 的 と もい え る 有 意 義 な 目 的 を保

全 す る よ う に発 展 した技 術 革 新 か ら生 ま れ る もの で あ る .そ れ は,社 会 が 組 織 化 す る仕 方 に大 き く しか も急 速 な イ ンパ ク トを もつ.携 帯 電 話 や イ ン タ ー ネ ッ トは,こ

の よ う な状 況 の代 表 的 例 を与 え る.我 々 の 議 論 に こ の よ う な こ

と を持 ち こ む な らば,ス

ケ ー ル を変 え る こ とに よ り,新 しい性 格 の 問題 が 生

ま れ る こ と を意 味 す る.す な わ ち,今 挙 げ た2つ

の例 にお い て ,そ れ らの シ ス テ ム が 基 礎 を置 くネ ッ トワ ー ク を 維 持 す る には ど うす れ ば よ いか とい う問 題 で あ る.こ れ は再 び,そ れ ら の ツ ー ル の 技 術 的 進 歩 に お い て 数 学 が 関 わ る 路 を 開 い て い る の で あ る.こ れ も,数 学 と社 会 の 新 しい 関係 を指 し示 して い る と言 え よ う. ■ コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン社 会 に向 か っ て  コ ミ ュニ ケ ー シ ョン に よ っ て 支 配 さ れ る 社 会 に 突 入 しつ つ あ る と い う考 え は,オ

リ ジ ナ ル な もの で は な い .こ こ

で は,数 学 に関 係 す る観 点 か ら,こ の 変 化 が起 こす 結 果 を考 察 す る .   ま ず 最 初 に,さ

ら な る情 報 が 広 く役 立 て 得 る 状 態 に な る とい う こ とで あ る

(情 報 過 多 を起 こす こ と もあ り得 る).こ の よ う な世 界 を どの よ うに 進 ん で 行 け ば よ い の か を 習 うの は,決

して 容 易 な こ とで は な い.な ぜ な ら,数 量 的 な

こ と に 限 っ て も,入 手 可 能 な 情 報 の ほ と ん ど は適 正 にチ ェッ ク され た わ け で は な い こ とは 明 ら か だ か らだ.も

し,一 般 市 民 に,彼

らの 判 断 の 基 準 に お く

事 実 を管 理 させ よ う とす る な ら,学 校 教 育 の 段 階 で 訓 練 しな けれ ば な らな い . これ は,重 要 な論 拠 を市 民 に触 れ させ る 機 会 と,先 入 観 と必 然 性 を区 別 す る 訓 練 の機 会 を作 る.   コ ミュ ニ ケ ー シ ョ ンへ の この よ うな依 存 に は,「距 離 」 と い う もの を廃 す る 肯 定 的 な面 が あ る が,情 報 の 「質 」 につ い て も考 え る必 要 が あ る.我 々 に は , 偽 造 され た情 報 を 目 や指 な ど を使 う方 法 よ り も容 易 に見 破 る セ ンサ ー が必 要 だ が,す

る と我 々 は,セ

ンサ ー に よ っ て 訂 正 され た 情 報 に依 存 す る よ う に な

る か らで あ る.こ の よ うな装 置 の 開 発 に 貢 献 す る こ と は,大

きな チ ャ レ ンジ で あ る.こ れ は,情 報 源 の 独 立 性 と価 値 の チ ェッ ク に 関係 し,一 種 の 認 証 シ ス テ ム の 開 発 で あ る.

3.4 

我 々 の 周 り の 数 学 を 探 す に は?

  さ て,我 々 の 身 近 に見 る こ との で き る数 学 の 明 白 な例 を挙 げ よ う.た だ し, 次 に挙 げ る リス トは,完 全 な もの で は な い し個 人 的 な見 解 が 入 っ て い る こ と を認 め よ う.   現 代 社 会 で は,そ

の 特 性 と もい え るが,絶

え ず 監 視 と管 理 の 必 要 な 複 雑 系

が い た る とこ ろ に あ る.そ の よ うな メ カ ニ ズ ム を調 整 す る に は,本 学 的 な新 しい知 識 を必 要 とす る.そ

質 的 に数

して,こ の シス テ ム を統 御 す る こ とは,社

会 の 発 展 に重 大 な 影 響 を及 ぼ す こ と に な る. ■ 生 物 シ ス テ ム  生 物 シ ス テ ム は,我 々 が 関 わ らな け れ ば な らな い 複 雑 系 の 多 くの例 を提 供 す る.こ の領 域 は,20世 で もあ っ た.す

な わ ち,DNA構

紀 後 半 に行 われ た1つ の 大 きな 冒 険

造 の よ うな 生 物 組 織 の 基 本 的 機 構 が 発 見 さ

れ た の で あ る.生 物 学 は,今 や 多 くの 異 な る(ま っ た く異 質 とい っ て も よい) 小 分 野 を激 増 させ,そ が っ た.例

の 結 果,数

を挙 げ れ ば,人

学 と相 互 に関 わ る機 会 も注 目す べ き形 で 広

口遺 伝 学 と力 学 系,神 経 生 理 学 と拡 散 反 応 系,薬

品 設 計 と幾 何 学 的 イ メ ー ジ ン グ,そ して成 長 過 程 とパ ター ン形 成 な どで あ る.   最 も新 し く,最 もチ ャ レ ン ジ ング な もの は,分 子 生 物 学 で あ ろ う.こ れ は, 構 造 に 関連 す る主 題 で あ り,こ の意 味 で 従 来 の細 胞 学 的 か つ 巨 視 的 な生 物 学 とは 大 い に 異 な っ て い る.ワ 構 造)や 分 子,ウ

トソ ン‐ク リ ッ クの 相 補 性(DNAの

二 重 らせ ん

ィ ル ス そ して細 菌 の 進 化(そ れ は真 核 生 物 で は ない が)の ダ

イ ナ ミ ック ス の よ う な本 質 的 部 分 は,数 学 者 と物 理 者 に強 く訴 え る注 目す べ き構 造 パ タ ー ン を示 して い る.こ

の種 の 構 造 を扱 え る 洗 練 さ れ た,そ

して 抽

象 的 な 理 論 が 創 造 され る こ とが 期 待 され る.こ の よ うな こ と か ら生 ま れ た ゲ ノ ム科 学 は,と てつ もな い 量 の 情 報 を扱 う こ と を必 要 とす る.1つ の4文

は,DNA

字 か らな る コ ー ドの 長 い 列 の よ う に,離 散 的 な もの で あ り,も う1つ

は,DNAを

操作 す るの には適切 な分子列へ の幾何学 的ア クセスの仕 方の詳

細 な知 識 を必 要 とす る よ う に,幾 何 学 的 な もの で あ る.分 子 的 な レベ ル で の 細 胞 は,我 々 が 遭 遇 す る最 も複 雑 な構 造 を持 つ が,脳

と は違 って,現

在持 っ

て い る知 識 を使 って 詳 細 に研 究 す る こ とが 可 能 で あ る.遺 伝 子 と細 胞 の 機 能 の対 応 を組 み立 て る こ とは,人 類 の未 来 へ の 重 要 な課 題 の1つ

で あ る.関 連

す る 実 験 技 術 と得 られ た情 報 の 組 織 化 は,と

も に洗 練 され た高 度 の 論 理 を必

要 とす る.実 験 計 画 の 設 定 と実験 か ら得 られ る巨 大 な 数 値 的 デ ー タ を適 切 に 構 造 化 す る に は,数 学 の 新 しい 部 門 の 発 展 が 欠 か せ な い よ うに 思 わ れ る.   これ は,た

と え 部 分 的 な解 決 を図 る こ とで さ え,学 際 的 チ ー ム の 長 期 間 に

わ た る結 成 が 必 要 と な る よ うな 込 み 入 っ た 問 題 で あ る.こ

の よ う なチ ー ム に

は 数 学 者 と統 計 学 者 の 参 加 が 不 可 欠 に な る だ ろ う.生 物 学 者 との相 互協 力 は い う まで も な く,計 算 機 科 学 や物 理 そ して化 学 の 研 究 者 も加 わ る こ とが 必 要 とな ろ う. ■ 遠 距 離 通 信 と イ メ ー ジ ・シス テ ム  全 社 会 が 機 能 す る上 で,遠 距 離 通 信 シ ス テ ム は広 大 な イ ンパ ク トを与 え た.し

か し,通 信 を 可 能 に して い る もの に

つ い て 考 え る と き,キ ー ボ ー ドに 数 字 を打 ち こむ こ と を こ とを 除 い て は,通 信 に 数 学 が どの よ う に関 わ る の か を知 る ヒ ン トは ま っ た く見 え て な い.通 信 は チ ッ プ と レ イザ ー(CD-ROMの

よ う に),あ る い は ワ イ ヤ ー だ け で で き る

よ う に見 え る か らで あ る.し か し,実 際 に は,ネ る情 報 の 流 れ に つ い て,そ の 調 整,デ て,こ

ッ トワー ク に よっ て 運 ばれ

ザ イ ン の果 た す 役 割 は大 きい の で あ っ

こ に 数 学 が 入 りこ んで い る の で あ る.

  遠 距 離 通 信 の性 能 は,情 報 を誤 らず に伝 え る 能 力 で 測 られ る.こ の 能 力 は, 誤 り訂 正 コ ー ドに よ り発 揮 され るが,こ の よ う な コ ー ドの構 成 の た め には,洗 練 さ れ た 代 数 的 理 論 の純 粋 数 学 的 知識 が 必 要 で あ る.   遠 距 離 通 信 の 別 の側 面 は,伝 送 され る デ ー タの 質 と構 造 に 関係 が あ る.デ ー タ を送 る た め に 設 計 され た 物 理 的 シ ス テ ム が 与 え られ た と き,ネ の 能 力 を超 え な い よ うに す る ため,イ

ッ トワー ク

メー ジ の よ う な大 き な デ ー タ を圧 縮 す

る 必 要 が 生 じる.圧 縮 と解 凍 の ア ル ゴ リズ ム を 設 計 す る に は イ メ ー ジの 輪 郭 を検 出 す る 自動 的 な シス テ ム が 必 要 と され,そ 問 題 で あ る.そ

れ は も う一 つ の 興 味 をそ そ る

こで は例 え ば ウ ェ ー ブ レ ッ ト理 論 の よ うな 現代 数 学 の 冒 険 的

な 分 野 が 使 わ れ て お り,数 学 界 に重 要 な イ ンパ ク トを与 え て い る.通 信 の 新 しい 標 準 は ウ ェ ー ブ レ ッ ト変 換 を取 り込 ん だ ア ル ゴ リ ズ ム が ベ ー ス に な って い る.   この 理 論 に 関 す る ス トー リー([2])は,あ

る意 味 で,数 学 が社 会 と共 に 発 展

す る 新 しい 関 係 の 模 範 とな る.フ ー リエ 変 換 は,連 続 あ る い は 離 散 的 な 場 合

の ど ち らに つ い て も,理 論,実 た.た

践 の 両 観 点 か ら大 変 重 要 な役 割 を 果 た して き

と え ば,そ

れ は シ グ ナ ル ・プ ロ セ ス とい う工 学 的 方 向 に お け る研 究 の

基 本 的 支 柱 の1つ

で あ る.空 間 と振 動 数 の 局 所 化 に役 立 つ 他 の変 換 の 必 要 性

は,特

に油 田 の 探 査 に 関連 して現 れ る.フ

エ ル フ ・ア キ テ ン,ジ

ラ ンス の 企 業 出 身 の 工 学 者 で あ る

ャ ン ・モ ー リー は,地 学 的 測 量 に 関連 す る逆 問 題 を扱

うた め の 基 礎 と して,初 め て ウ ェ ー ブ レ ッ ト理 論 を実 践 に 移 した.こ の 理 論 の基 礎 的 性 質 の1つ

で あ る ウ ェ ー ブ レ ッ ト関 数 の 多 重 ス ケ ー ル的 性 質 は,そ

の 後 量 子 力 学 の 問 題 を扱 うた め に,理 論 物 理 学 者 で あ る マ ル セ ル ・グ ロス マ ンに よ っ て応 用 され た.こ の 研 究 に 携 わ り始 め,そ

の と き か ら,多

くの 科 学 者 が ウェ ー ブ レ ッ ト解 析

の状 況 は大 い に加 速 した.そ の 中 に は,こ

の 理論 の

多 彩 な 実 践 と理 論 化 の 唱 導 者 で あ る イ ヴ ・マ イ ヤ ー が い る.現 在 で は,関 数 の 正 則 性,ナ

ビエース トー ク ス の 方 程 式 に お け る解 の 特 異 性 の非 存 在,複 雑 系

にお け る 雑 音 の測 定 な ど,多 析 の1部

くの 問 題 の研 究 を派 生 させ,そ

れ 自身 が 数学 解

門 に な っ てい る の で あ る,そ の 急 速 な発 展 は,学 際 的 か つ 完 全 に 国

際 的 な研 究 チ ー ム の枠 内 で 起 こ っ た.あ る もの は工 学 者 と密 接 に 関 わ る研 究 で あ り,あ る もの は学 問 的 な問 題 を 中心 に した もの で あ っ た.注 と は,ス ペ ク トラ ム の 一 方 の端 か ら他 方 の 端 へ の,新 る 早 さ で あ る.こ

目す べ き こ

しい 展 開 の 情 報 が 伝 わ

の よ うな 特 性 は,数 学 の コ ミュ ニ テ ィー の 内 的機 能 につ い

て 考 え る と き,思 い起 こ さ な け れ ば な らな い.   大 域 的位 置 検 索 シス テ ム(GPS)は,小

さ な ブ ラ ッ ク ボ ッ クス を持 つ 人 に,

地 球 上 で の彼 の 居 場 所 を知 らせ る シ ス テ ム で あ る.そ れ は す で に航 海 中 の船 員,グ

ラ イ ダー の 操 縦 士,さ

ら に 多 忙 な車 の 運 転 手 に と って は必 携 な もの で

あ る.こ の 驚 嘆 す べ きシ ス テ ム は,極

め て精 度 の 高 い時 計 を もつ 人 口 衛 星 の

ネ ッ トワー クか ら送 られ る信 号 の 受信 と解 析 を通 して 達 成 され る.こ れ も,設 計 目的 を達 成 す る た め,進

ん だ 数 学 と組 合 わ せ る こ とに よ り製 品 化 され た現

代 的 ツ ー ル の 例 で あ る([1]).将 来 は,さ

ら に数 学 との 関 わ りが 必 要 と な る だ

ろ う.地 球 上 の 位 置 を 見 出 す た め に,人

口衛 星 の 選 択 を最 適 化 す る に は,た

と え ば 離 散 群 の 理論 の 応 用 が必 要 とな る.高 速 道 路 を走 る車 を扱 お う とす る と,10メ

ー トル か ら10セ

ンチ メー トル に精 度 を上 げ る必 要 が あ るが,こ

れ

に は相 対 性 理 論 に よ り説 明 され る効 果 まで 考 慮 に 入 れ な け れ ば な らな い.次 の 段 階 で は,こ

れ は 新 た な挑 戦 とい う こ と に な る が,地 震 を 起 こす 可 能性 の

あ る 大 陸 シ ェ ル の微 小 な 相 対 的 運 動 を見 張 る ため に,こ と に な る だ ろ う.こ れ は,1年

の ス ケ ー ル で1ミ

の シス テ ム を使 う こ

リ メ ー トル の オー ダ ー の 精

度 に 達 す る こ と を意 味 して い る.   デ ー タ伝 送 に 関連 す る 問題 の 別 の側 面 は,セ

キ ュ リテ ィ の保 証 で あ る.多

くの 場 合,色

々 な理 由 に よっ て,伝 送 中 に 情 報 が 秘 密 に保 た れ る こ と の保 証

が 欲 しい.受

け 取 り手 と され る人 と は異 な る 人 間 が コ ー ドを解 読 す る こ とが

で き ない よ う にす る た め に,暗 号 化 は1つ の 解 決 策 と な る.こ わ ゆ るRSAコ

ー ドと い う最 適 な 答 えが,初

こで 再 び,い

め は純 粋 な応 用 に供 され る と は

考 え も しな か っ た素 数 理 論 の研 究 か ら提 供 され る.こ の 背 景 に あ る キ ー と な る事 実 は,数

学 の 普 遍 性 に 関係 して い る.実 際,現 時 点 で,数 学 にお け る最

も複 雑 な ア ル ゴ リズ ム の 問 題 は,大 で あ る.注

目 す べ き こ と は,こ

き な桁 数 を もつ 数 の 素 因 子 を見 出 す こ と

こで も離 散 的 デ ー タ を扱 う必 要 が あ る とい う

こ と で あ る.離 散 数 学 は,数 学 の 一 部 なの で あ る が,多

くの 国 で は,離 散 数

学 に比 べ て実 数 を使 う数 学 が 未 だ 幅 を利 か せ て い る.社 会 か ら の新 しい 要 求 は,数 学 の 既 成 の 概 念 か ら受 け継 が れ た こ の よ うな 階 層 組 織 を改 め て 考 え直 す 機 会 に な る だ ろ う. ■ デ ー タ解 析,統

計,世 論 調 査   デ ー タ収 集 とそ の 解 析 も また,我

機 能 や 方 法 に慣 れ 親 しみ す ぎ たせ い で,裏 分 野 で あ る.今

々がその

に潜 む 数 学 を見 落 とす も う一 つ の

や様 々 な 領 域 にお け る膨 大 な量 の デ ー タが 利 用 で きる よ う に

な っ た.そ の 中 に は,天 体 望 遠 鏡 に よ り収 集 さ れ た 宇 宙 の イ メー ジ の よ うな 科 学 的 な デ ー タ,イ ン タ ー ネ ッ トを モ ニ タ ーす る こ と に よ っ て得 ら れ た技 術 的 デ ー タ,商 業 セ ン ター か らの 市 場 デ ー タ を含 む 金 融 デ ー タ,エ レ ク トロ ン セ フ ァ ロ グ ラ ム に よ っ て 得 ら れ る脳 波 につ い て の 医 学 的 デ ー タ,そ して 日常 生 活 にお け る 店 の 商 品 ラベ ル の よ う な もの に至 る ま で,様

々 の デ ー タが あ る

の で あ る.   実 際,ス ー パ ー マ ー ケ ッ トで は,バ ー コ ー ドが 使 わ れ て い る か ら,我 々 が購 入 した 商 品 の値 段 を レ ジ に打 ち こ むの を見 る こ と は も うな い.店

に と っ て有

益 な こ と は,レ

管 して あ る

ジ に打 ち こ む時 間 の 単 な る節 約 だ け で は な い.保

商 品 の 自動 的 処 理 も,こ の バ ー コー ドで 行 わ れ るの だ.こ

こで も,バ ー コ ー

ドシス テ ム に よ る認 識 が 基 本 と して い る もの は,純 粋 に数 学 的 な もの で あ る.

しか し誰 もそ れ に気 づ か な い.こ の 認識 装 置 の もっ と見 事 なバ ー ジ ョンは,も ち ろ ん,医 療 ス キ ャ ナ ー で あ る.最

も進 ん だ トモ グ ラ フ ィー の バ ー ジ ョ ンは,

有 限 個 の う ま く選 択 され た 方 向 に,信 号 源 か ら放 射 さ れ た信 号 の 強 弱 か ら身体 の 内 部 の3次

元 映 像 を再 構 成 す る こ と を可 能 に す る.も

とす れ ば,こ

れ は 数 学 的 に は積 分 幾 何 学 の 基 本 定 理 に 登 場 す る ラ ドン変 換 の

逆 変 換 と して 説 明 さ れ る.こ

の結 果 と精 巧 化 は,20世

し理 論 的 問 題 に 限 る

紀 数 学 の成 果 で あ る.

も ち ろ ん,こ の 仕 事 を 行 うた め に は,機 械 は 固 体 物 理 が 関係 す る適 切 な 電 子 装 置,そ

して信 号 源 の 制 御(電 磁 気 学 あ るい は そ の他 の 信 号 源 を扱 う物 理 学)

そ して コ ン ピ ュー タ プ ロ グ ラム(つ ま りコ ン ピュ ー タ科 学)を 必 要 とす る.   大 きな デ ー タの 集 合 は,そ の 分 析 と視 覚 化 の た め にす べ て の種 類 の ツ ー ル を必 要 とす る.ま い.こ

た,新

しい タ イ プ の パ タ ー ンが見 極 め られ な け れ ば な らな

の ため に は 新 しい ア ル ゴ リ ズ ム が必 要 とな る だ ろ う.そ

く数 学 的 とい え る よ う な,新

して,疑 い な

しい基 本 的 ア イ デ ィ ア も必 要 とな る は ず で あ る.

  我 々 は 毎 日の よ うに 新 聞 に掲 載 され て い る統 計 デ ー タ を見 る.今 で は,そ

め て 重 要 で あ る.多 数 の デ ー タ を集 め,そ は,人

日の 世 界

れ らの デ ー タが 語 る こ と と語 らな い こ と につ い て 読 み 解 くこ とが 極 れ を扱 う こ とが で き る と い う こ と

に多 くの 好 機 を与 え る とい うこ とで あ る が,一 般 市 民 は デ ー タに よる

誤 魔 化 しを見 分 け る能 力 を 養 わ な け れ ば な らな い.   一 般 の 人 々 が ニ ュー ス メ デ ィ ア に定 期 的 に見 出 す他 の 情 報 は,世 論 調 査 で あ る.我 々 は多 くの 世 論 調 査 の結 果 に晒 され て い る.そ

して,中

には 不 適 切

と しか い い よ うの な い 情 報 が 調 査 か ら引 き出 され て い る と感 じる こ とが 多 い . 世 論 調 査 は,人

々 が意 見 を形 成 し,政 治 家 が 政 策 を決 定 す る た め の プ ロセ ス

に な っ て い る か ら,民 主 主 義 を機 能 させ る た め に は,調 査 結 果 を適 切 に処 理 す る 方 法 を 学 ぶ こ とが 重 要 と な る.ど の よ うに 誤 りの余 地 を評 価 す る か ,そ して どの よ う に世 論 調 査 か ら誤 っ た 結 論 が 導 か れ る の か につ い て知 る こ とは, 欠 か す こ と が で き ない の で あ る.   適 切 で 厳 密 な 数 学 を使 う こ と に よ り,統 計 か ら導 か れ る主 張 が 正 しい の か ど う か をチ ェッ クす る こ とが で きる.こ

の 面 で は ,数 学 を通 した批 判 的 精 神

へ の 貢 献 が 可 能 で あ る し,必 須 の もの に な っ て い る. ■ 自動 機 械 と ロボ ッ ト  多 くの 複 雑 な シ ス テ ム が,コ

ン トロ ー ル ・パ ラ メ ー

ター を使 う こ と に よ って 動 作 す る.そ れ らの研 究 自体 が コ ン トロー ル理 論 と して 育 っ た.飛 行 機 を操 縦 す る 自動 パ イ ロ ッ トシス テ ム は,コ 論 が 役 に立 っ て い る1例

ン トロ ー ル理

で あ る.実 際,日 常 の 中 で,我 々 は常 時 自動 シ ス テ

ム にお 目 に掛 か っ て い る.エ

レベ ー ター,電 話,人

口衛 星,自 動 車 な ど が そ

の例 で あ る.   与 え られ た ネ ッ トワー ク が 設 計 通 りに サ ー ビス を提 供 す る こ と を確 実 に す る 理 論 で あ る ス ケ ジ ュー リ ング理 論 も また,特 定 の 数 学 理 論 に依 存 して い る. ほ と ん どの 輸 送 シス テ ム は,こ の よ うな ネ ッ トワー ク に依 っ て い るの で あ る. 実 際,我 々 が バ ス,電 車,飛 行 機 な ど を待 って い る と き,我 々 を運 ぶ 「道 具 」 に の み 注 意 を 向 け が ちで あ る が,重 要 な事 実(し か し見 え ない 事 実)は,そ らは 全 ネ ッ トワ ー ク の ご く一 部 を なす に過 ぎ ない こ とで あ る.ネ

れ

ッ トワ ー ク

の 機 能 を最 適 化 す る に は,洗 練 さ れ た グ ラ フ理 論 が必 要 で あ り,ネ ッ トワ ー ク に関 す る 問 題 に は,ほ

とん どの 場 合 こ の 理 論 に お け る結 果 を使 う.そ して

そ こで は 多 くの 場 合 そ れ ぞ れ の 特 殊 な 問題 の た め に展 開 さ れ る必 要 の あ っ た 結 果 を用 い て い る.こ れ も また,数 学 的知 識 と社 会 的 需 要 の 間 の 相 互 関係 を 入 り組 ん だ もの にす る代 表 的 事 例 で あ る.   「形状 」 の 最 適 化 問 題 に は,多

くの 数学 が 潜 んで い る.我 々 が 使 う も の は,

しば しば進 ん だ 数 学 を使 う こ と に よ っ て設 計 され た形 状 を もっ て い る.多

く

の場 合,あ る 関数 の極 大 ・極 小 を取 る こ とに よっ て,そ の 形 が 決 定 さ れ る.抵 抗 を最 小 化 し,燃 料 を節 約 す る ため に取 られ る,自 動 車 や 飛 行 機 の 空 気 力 学 的 形 状 の こ と を思 い 出 そ う.低 コス トに よ る 生 産 や 材 料 強 度 の 改 良 な ど,形 状 設 計 に 関 わ る もっ と多 くの 例 を挙 げ る こ とが で きる.興 味 深 い 例 は,車 体 を フ レ ー ム の ど こ の場 所 に繋 げ るの が 最 適 か を判 断 す る問 題 で あ る.適 切 に 接 合 場 所 を選 ぶ こ とに よ り(た とえ ば,車 体 の 基 本 調 和 振 動 の 節 に あ た る 場 所),路

の 凸 凹 が 引 き起 こす 振 動 が 車 の内 部 に伝 わ る の を最 小 化 す る こ とが で

きる.   も う一 つ の 例 も 自動 車 産 業 か らで あ る.そ れ は フ ロ ン トの風 防 ガ ラ ス の 形 に 関 係 が あ る,そ

れ は 通 常 曲 面 で あ る.問 題 の 難 し さは,変 形 を行 う た め に

再 び 熱 を か け て そ の 形 にす る 前,ガ を 決 め な け れ ば な らな い こ とだ.

ラ ス が 溶 けて 平 らな 間 に風 防 ガ ラ ス の 形

■ 金 融 商 品 と保 険   上 で 述 べ た例 の 多 くが,様

々 な 異 な っ た数 学 分 野 に関 係

し,こ の こ と は数 学 と他 の 科 学 との 違 い を 指 し示 して い る.す な わ ち,数 学 と直 接 に 関 係 す る 産 業 セ ク ター は ない の で あ る.   最 近,こ

の 傾 向 は銀 行 業 界 と保 険 業 界 の取 りつ つ あ る 新 しい動 向 に よ り変

化 しつ つ あ る.こ の変 化 に はい くつ か の 理 由 が あ る.そ れ らの 理 由 の1つ

は

既 に述 べ た.巨 大 な デ ー タ を集 め,す ばや く分 析 す る能 力 が それ で あ る.も う 一 つ の 理 由 は ,新 しい 遠 距 離 通 信 の 可 能 性 と,今 日で 世 界 的 金 融 市 場 が 実 際 た だ1つ

で あ る と い う事 実 に リ ンク して い る.こ の こ とは大 きい意 味 を持 つ.

そ して,こ

れ は銀 行 業 務 が 前 に も増 して保 険 シス テ ム の よ う に機 能 し始 め て

い る こ と と関 係 が あ る.こ の 変 化 の 代 表 的 な例 は,派 生 商 品(デ リバ テ ィブ) と選択 売 買 権(オ プ シ ョン)で あ る.こ れ らは,後 で 入 手 可 能 な情 報 に 基 づ き 適 正 に定 義 され た メ カ ニ ズ ム に よ り決 定 さ れ る 価 格 で商 品 を買 う約 束 をす る とい う ア イデ ィ ア で あ る.キ ー とな る点 は,そ の よ うな 取 引 をす る の に伴 う リス ク を評 価 す る とこ ろ にあ る.価 格 が 基 礎 に 置 き,ラ

ン ダム なパ ラ メ ー タ

に依 存 す る指 標 を評 価 す る には,複 雑 な確 率 論 的 モ デ ル を使 わ ね ば な らな い. こ の モ デ ル に 現 れ る確 率 過 程 は,自 然 科 学 で 出 会 う過 程 に関 連 して広 く研 究 さ れ て きた 標 準 的 な範 疇 に は属 さな い こ とが 分 か っ て きた.難 解 で は な い に して も,む

しろ高 度 に 理論 的 な もの と考 え られ て い た確 率 過 程 の 一 般 論 が 関

係 す る の で あ る.   こ の よ う な事 情 に よ り,銀 行 や 保 険 会 社 は数 学 者 を雇 用 す る よ う に な り,数 学 の新 しい 分 野 で あ る 金融 数 学 の誕 生 を促 した.現 在 で は,多

くの 高 等 教 育

機 関 に お い て,金 融 数 学 の た め の特 別 な教 育 が行 わ れ つ つ あ る. ■ 経 済 戦 略   数 学 が,産 業 戦 略 の 手 段 と して使 わ れ て い る こ とは 周 知 の事 実 で あ る.し

か し,数 学 が,経 済 的,社

会 的 構 造 に 深 く影 響 す る よ う な手 順 や

制 度 を立 案 す る こ とに も使 わ れ てい る こ と は,比 較 的 知 られ て い ない.最 初 の こ の よ う な例 は,価 格 設 定 の 問題 で あ ろ う.国 家 専 売 企 業 が公 共 商 品 を生 産 す る と き,い

くらの 価 格 にす る か を問 題 とす る の が価 格 設 定 の 問 題 で あ る.

この 問 題 の 有 名 な例 は,フ ラ ンス にお け る電 力 会 社 が 設 定 す る価 格 で あ る.マ ル セ ル ・ブ ワ トゥー 氏 は 数学 出 身 で,フ 詰 め た 人物 で あ るが,ラ

ラ ンス 電 力 会 社(EDF)の

社 長 に昇 り

ムゼ ー‐ブ ワ トゥー 則 と現 在 よば れ て い る価 格 決 定 シ

ス テ ム を 導 入 した.こ の 方 法 で は,消 費 者 に対 す る価 格 を決 定 す る の に,極 め て 精 巧 な計 算 が 必 要 と され る.   以 来,コ

ス トの 決 定 と税 率 の 設 定(こ れ らは 最 適 制御 理 論 を大 い に 使 う こ

とか ら本 質 的 に数 学 的 で あ る)はEDFに まれ た ア イデ ィア は,異

お け る重 要 な活 動 とな っ た.次 に生

な っ た 消 費 量 に異 な っ た価 格 単 位 で 請 求 す るか,あ

るい は 同 じ消 費 量 に 時 間 ご と に異 な っ た価 格 単 位 で 請 求 す る とい う,い わ ゆ る格 差 価 格 の 考 え方 で あ る.こ れ に も,よ

り一 層 の 数学 的 精 巧 さが 必 要 とな

る.電 気 料 金 請 求 書 に反 映 され る消 費 価 格 は,人 が 想 像 す る よ り,極 め て洗 練 さ れ た 活動 の 産 物 な の で あ る.   専 売 事 業 か ら離 れ れ ば,競 争 価 格 を決 め る条 件 を作 り出 す こ とに 注 意 を 向 け な けれ ば な らな い.こ れ は,市 場 戦 略(マ ー ケ テ ィ ン グ)と よば れ る経 済 学 の 分 野 で あ り,数 学 的緻 密 さ を必 要 とす る もの で あ る.競 争 価 格 に つ い て は, 次 の2つ

の 例 が代 表 的 な もの で あ る.

 ‐   「先 物 市 場 」.こ れ に よ り生 産 者 と消 費 者 は,価 格 の変 動 に備 え る一 種 の保 険 を彼 ら 自身 に か け る こ とが で き る  ‐   「オ ー ク シ ョ ン戦 略 」.こ れ に よ り,情 報 を持 た な い売 り手 が,情 報 を 持 つ 買 い 手 に,競 争 価 格 を設 定 す る こ とが で き る.   「先 物 市 場 」 で は,最 適 制 御 と確 率 解 析 か らの 多 くの概 念 が 役 に 立 っ て い る.た

と え ば,現 在 で は 充 分 に 発 展 して い る市 場 で あ る 天候 派 生 商 品 に注 目

して み る.そ

こで は,ビ ー ル醸 造 業 者 は週 末 の 悪 天 候 に対 して保 険 を掛 け る

こ とが で きる.夏 の 週 末 に天 候 が 悪 け れ ば,ビ ー ル の セ ー ル ス が 落 ち込 む可 能 性 が あ る か らだ.ま

た,金 融 業 者 は,有 価 証 券 の マ ネ ー ジ メ ン トにお け る

目的 の た め に,そ れ らの派 生 商 品 を他 の 商 品 と を組 み 合 わ せ る こ とが で き る. そ れ は,再

び 金融 商 品 の例 と な る.優

良経 営 の 電 気 会 社 が,そ の よ うな 派 生

商 品 を大 量 に扱 っ て い る こ と は,当 然 とこ と と理 解 され る だ ろ う.   他 方,行 動 戦 略 はゲ ー ム 理 論 が 生 み 出 した もの とい え る.産 業 に お い て は, 情 報 の 非 対 称 性 が 常 時 起 こ っ て い る こ とが,こ

の 行 動 戦 略 を可 能 に す る 理 由

で あ る.こ れ に は次 の よ う な例 が あ る.フ ラ ンス 政 府 が2000年 た評 価 で は,第3世

代 携 帯 電 話 の認 可 は 産 業 に とっ て100億

の3月

に行 っ

フ ラ ンの 価 値 が

あ る と した.同 時 期 に,英 国 で もオ ー ク シ ョ ンが行 わ れ,そ れ は2500億

フラ

ン に 匹 敵 す る価 値 で あ っ た.そ 価 を 引 き上 げ た の で あ る.こ トの 評 価 が,一

の結 果,フ

ラ ンス 政 府 は1350億

フ ラ ンに 評

れ は 決 して フ ラ ンス 政 府 の失 点 で は な い.コ ス

般 に い か に困 難 で あ る か,そ

と い う事 実 を単 に表 して い る の で あ る.そ

して 収 益 の予 測 は さ らに難 しい して,情 報 を持 つ 人 々 は,喜 ん で

そ れ を手 放 す よ うな こ と は しな い とい う こ と に も要 因 が あ る.ス タ ン フ ォー ド大 学 出 身 の ボ ブ ・ウ ィル ソ ン,ポ ー ル ・ミル グ ロ ム,ジ

ョン ・ロバ ー ツ らの

仕 事 が 刺 激 と な っ て,精 巧 な オ ー ク シ ョン ・ス キ ー ム が デ ザ イ ン され た.こ の ス キ ー ム に は,入 札 者 に彼 らの 真 の 選 択 を強 い て明 らか に させ る行 動 ル ー ル が 含 まれ て お り,そ の 結 果 均 衡 価 格 に 収 束 す る の で あ る.世 界 の 多 くの 国 で,こ

の種 の オ ー ク シ ョン ・ス キ ー ム が 標 準 的 に な っ て い る.

4  終 わ り に 一 言

  この 論 説 の 目 的 は,社 会 の新 しい 要 求 に適 切 に応 え るた め は,数 学 界 を可 能 な限 り最 良 の 状 況 に置 く こ とが 必 要 で あ り,そ の た め に必 要 な様 々 な変 革 を さ し示 す こ とで あ っ た.

4.1 

挑戦

  この た め に は,い   そ の1つ

くつ か の 努 力 を行 うこ と を意 味 して い る.

は,な ぜ 数 学 は 今 あ る よ うな 学 問 で あ る の か を 上 手 に説 明 しな け

れ ば な らな い.す

な わ ち,数 学 の未 来 の 発 展 が 脅 か され る よ うな,数 学 界 の

大 き な 変 化 を起 こ させ な い こ とで あ る.   他 の い くつ か は,数 学 界 の 内 的 組 織 化 とそ の 優 先 的 活 動 を何 にす る か とい う問 題 と関 係 が あ る.そ れ は 学 校 教 育 へ の 関 わ り,数 学 の イ メ ー ジア ップ,他 の 科 目へ の 配 慮,若 奇 心 な どが,優

い世 代 へ の 興 味 の喚 起,数

先 的 活 動 の 候 補 とな る だ ろ う.

学 外 部 か らの 問 題 に対 す る好

4.2 

挑 戦 を 成 功 さ せ る に は ど う した ら よ い か

  私 の 意 見 で は,最

初 に 取 る べ き ス テ ッ プ は,一

先 し て 数 学 の 重 要 性 を 宣 伝 す る こ と で あ る.我 く の 製 品 は,こ

般 社 会 に 対 し て,さ

々 の 周 りの 数 学 が 関 係 す る 多

の 宣 伝 を 効 果 的 な も の に す る だ ろ う.そ

ど の よ う に 関 係 し て い る か を 示 す こ と は,我

ら に率

れ らの 製 品 に 数 学 が

々 の 義 務 で あ る(し か し,そ

れ

が 容 易 な こ と で な い こ と は 認 め る).   第2は,我

々 が 人 々 に夢 を 与 え る こ と の で き る 機 会 を 多 く作 る こ と で あ る.

数 学 は 今 で も,大

き な 創 造 的 冒 険 で あ り続 け て い る.数

を 目 指 す 中 で,最

も重 要 な も の は,数

学 が 科 学 の1つ

学 の イ メ ー ジ ア ップ で あ り,し

て い る 」 科 学 で あ る と い う こ と を 明 確 に す る こ と だ と,私

か も 「生 き

は 思 う.そ

うす れ

ば 他 の こ と は 後 か ら 自 ず と つ い て く る.   新 し い 挑 戦 が 我 々 を 待 ち う け て い る が,一 (天 才)が 現 れ る こ と は,数

方 で,数

学 に お け る偉 大 な精 神

学 の 歴 史 を 通 して そ う で あ っ た よ う に,今

学 に と っ て 必 要 な こ と で あ る.天

才 を 見 出 す た め に も,数

た ち と の 適 切 な 繋 が り を 保 た ね ば な ら な い.長

で も数

学 者は学校の教 師

期 的 観 点 か ら見 て,こ

の繋 が

りが 新 世 代 に 数 学 が 受 け継 が れ て い くこ と を可 能 に す る唯 一 の チ ャ ン ネ ル で あ る.数

学 の 将 来 は,確

実 に 若 者 の 手 の 中 に あ る の で あ り,現 世 代 の 数 学 者 た

ち が 若 者 に 数 学 の 魅 力 を 伝 え る こ と が で き る か 否 か に か か っ て い る の で あ る.

参 考 文 献

[1] Bone, K., Shang,G.:Linear Wellesley 1997 [2] Hubbard, ematical 1998

B. B.:The Technique

Algebra,

Geodesy

and GPS.

World According to Wavelets:The in the Making. A. K. Peters Ltd,

Cambridge

Press,

Story of a Math Natick,2nd edn.,

計 算 の立 場 か ら見 た数 論 Computational

H.コ

Aspects

of Number

Theory

ー エ ン  

●訳:山 本 芳彦(大 阪大学)

【 著者紹介 】 ア ン リ ・コ ー エ ン(Henri 1947年,フ

Cohen)

ラ ン ス の ヌ イ イ ー に 生 ま れ る.パ

ノ ル マ ル ・シ ュ ペ リ ユ ー ル で 数 学 を 学 び,J.マ P.セ ー ル,D.ザ

ギ エ ら に 学 び,モ

を 取 得 し た.1978年 1981年

ジ ュラー 形式 の研 究で 博士 号

に グ ル ノ ー ブ ル 大 学 教 授 と な り,

よ リ ボ ル ドー 大 学 教 授,現

ラ ン ス 大 学 協 会(IUF)上 1983年

以 来,計

リの エ コ ー ル ・ ル テ ィ ー ネ,J.‐

在 に 至 る.1992年

,フ

級 会 員 に 選 出 さ れ る.

算 の 立 場 か ら見 た 数論 の 研 究 にだ ん だ ん深

く 取 り 組 む よ う に な っ た.そ

の 数 論研 究 の 主 要 ツー ル で ある

計 算 機 代 数 シ ス テ ムPARIの 開 発 者 と し て も 知 ら れ る.主 著 に "A C ourse in Computational Algebraic Number Theory", "Ad vanced Topics in Computational Number Theory" (い ず れ もSpringer‐Verlag刊)が

あ る.

1.  序 論

数論 は最   も古 くか らあ る 数 学 の分 野 の1つ で あ り,最 古 の 文 明 の 中 に も様 々 な 数 論 的 な成 果 を見 出 す こ とが で きる.他

の多 くの 数 学 分 野 と同 様 に,数 論

も数 学 の 主 要 分 野 に隆 盛 した.し か し,数 論 は他 の 数 学 分 野 とは 異 な る い く つ か の 特 質 を持 っ て い る. まず,そ の 結 果 は大 抵   の場 合 に は計 算 に よ っ て簡 単 に 確 か め る こ とが で き る.な ぜ な らば,研 究 の対 象 と な る の は 本 質 的 に は 実 際 の 整 数 また は そ れ を 一 般 的 に した もの だ か らで あ る .次 に,数 論 は数 とい う 自然 に あ る もの を研 究 対 象 と して い る.そ れ 故,数 学 の他 の分 野 は,数 論 にお い て道 具 と な る.そ の 一 方 で,数 論 自身 は とい う と,よ き もの で もあ る.特

りい っそ う 自然 科 学 と して考 え ら れ るべ

に,数 論 は非 常 に実 験 的 な 学 問 で あ る と い う性 質 を持 っ

て い る とい う点 で他 の 自然 科 学 と共 通 して い る.こ の観 点 か ら見 る と,自 然 科 学 者 た ちが 自然 と関 わ り合 う以 上 に,数 論 家 た ち は実 験 を通 して 数 の 本 性 と 関 わ り合 っ て い る と言 え る. 実 験 を す る と い う こ と の  最 も魅 力 的 は 面 は,数 論 家 た ち に 新 しい 予 想 や 新 しい 数 学 的 モ デ ル を明 確 に述 べ る,違

った 言 い 方 を す る と,予 言 をす る,

こ と が 可 能 と な る よ う な種 々 の デ ー タ を生 み 出 す こ と にあ る.お そ ら く,そ れ らの 中 で 最 も有 名 な例 は,楕 円 曲線 のL‐ 関 数 の 中 央 値 に 関 す るBirchと Swinnerton‐Dyer(BSD)の

予 想 で あ ろ う(4.2節

を見 よ).し か も今 な お 多

数 の新 しい 実 例 が 見 つ か り続 け て い る.実 験 は また 数 学 的結 果 や 予 想 の 証 明 の 手 助 け を した り導 い た りす る こ と も で きる.そ れ らは い ろ い ろ な方 法 で 証 明 の 手 助 け と な る.例

えば,ま

ず 最 初 に証 明 され るべ き中 間 的 な結 果 に関 す

る い くつ か の ヒ ン トを 与 え る.ま た,証 "有 限個"の 場 合 のみ が残 って い る と き

明 の 中 で 考 慮 さ れ る べ き場 合 と して ,そ れ ら を強 引 に決 着 させ る た め に使

わ れ る こ と もあ る(""で

く くっ た の は,有 限 個 とい って も大 抵 は 素 朴 な方 法

で は と て も取 り扱 え な い大 きな数 で あ っ て,証 明 を完 結 す る た め に は巧 妙 な 方 法 が 用 い られ る必 要 が あ る とい う こ と を強 調 した い か らで あ る).こ の 例 と して は19四

乗 数 定 理(す べ て の 正 整 数 は19個

を 見 よ))と か,(他

の 四 乗 数 の和 で表 され る([5]

の 数 学 分 野 で は)四 色 問 題 の 証 明(す べ て の 平 面 地 図 は 四

色 で色 分 け す る こ とが 出来 る([3],[52]を 見 よ))や,最

近 の例 で はKeplerの

予 想(キ ャ ノ ン ボ ー ル ・パ ッキ ン グ よ り密 度 の高 い 三次 元 パ ッキ ン グ は存 在 し な い([41]を 見 よ))な どが あ る. 明 らか に,実 験 は また予想 の確   認 を もた らす.例 え ば,Wilesに

よるFermat

の 最 終"定 理"の 証 明 以 前 に は,非 常 に大 きな べ き につ い て まで 成 立 って い る こ とが大 規 模 な実 験 に よ り確 認 さ れ てい た.ま た,最 初 のBSD予 れ て 以 来,そ

想が発表 さ

の 予 想 が 正 しい こ と を確 認 す る た め の 大 量 の 数 値 実 験 が な され

て い る.実 験 は ま た,予 想 の 一般 化 や,本 来 の 定式 化 で は少 し不 明確 で あ っ た 予 想 を修 正 した り,予 想 の反 証 を導 くこ と も あ る.後 者 の例 と して,Mobius 関数 の 値 の和 の大 き さ に 関す るMertensの

予 想 の反 証[49],実

の予 想 が 修 正 され る こ と に な っ た場 合 の例 で もあ る が,とn個 乗 数 の和 はn乗 にn=5の

数 と な ら な い とい うEulerの

場 合 の1つ の 反 例,そ

([37]を 見 よ))の2つ

の後1988年

際 には本来 よ り少 ないn

主 張 の 反 例(最 初 は1967年 にn=4の

場合 の無数の反例

を挙 げ てお こ う.面 白 い こ と に上 で挙 げ た2例

と も,証

明 の 大 半 は 反 例 を 見 つ け る た め の 力 任 せ の 計 算 で は な く,冒 頭 の部 分 は 数 学 的 な 考 察 で あ り,最 後 に の み あ る程 度 の コ ン ピ ュ ー タ計 算 を利 用 して い る と い う こ と を注 意 して お こ う. 実 験 や 大 規 模 な 数値 計 算   を行 うた め に,数 論 家 た ち は2つ の 道 具 を必 要 とす る.1つ

は,も

ち ろ ん,強 力 な コ ン ピュ ー タ で あ る.こ れ

らは ス タ ン ドア ロ ンの ワ ー ク ス テ ー シ ョ ンか,ス る い は大 きなMersenne素

ー パ ー コ ン ピュ ー タか,あ

数 を探 す よ う な非 常 に高 価 な計 算 の た め の 世 界 的

規 模 のPC‐ ネ ッ トワ ー ク で もあ り得 る.し か し,1つ 20∼30年

の異 な った 種 類

注 意 して お くと,こ こ

に起 こっ た す さ ま じい 科 学 技 術 の進 歩 に お い て さ え,普 通 の数 学 者

た ちが 手 に入 れ る こ との で き る計 算 速 度 は"せ いぜ い"数 千 倍 程 度 に に しか な ら な か っ た とい う こ とで あ る.2つ

目 の,そ

して よ り重 要 な必 要 と され る

道 具 は,望 み どお りの 計 算 を実 行 す る た め の 効 率 の い い ア ル ゴ リズ ム で あ り, こ れ こ そ最 近 最 も劇 的 な発 展 を遂 げ た分 野 で あ る.こ れ らの ア ル ゴ リズ ム は い くつ か の コ ン ピュ ー タ代 数 シス テ ム(CAS)と

して結 実 され,容 易 に手 に入

れ る こ とが で き る よ う に な っ て い る. この 稿 の 主 要 目 的 は,(数 論 の 自然   科 学 と して の 観 点 か らの)問 題 の 美 し さ の み な らず,解 法 とア ル ゴ リズ ム の 重 要 性 あ る い は 優 雅 さ の ゆ え に,ま た は 単 に そ れ を生 み 出 す た め に非 常 に多 くの時 間 と計 算 が 投 入 され て き た と い う

理 由 ゆ え に,私 自 身 が 重 要 だ と考 え る い ろ い ろ な数 論 的 問 題 を記 述 す る こ と で あ る.以 下 で は,少

し独 断 的 だが,因 数分 解 と素数 判 定,代 数 的 整 数 論,数

論 的‐ 幾 何 的‐解 析 的 対 応 と数 論 的幾 何 学 の4つ の 節 に分 け た.そ れ らの記 述 の 中 で,そ れ 自 身 が美 しい と思 うゆ え に,ま た はい くつ か の 問 題 に対 して 驚 く べ きあ る い は 簡 単 な解 答 を与 え る と い う こ と ゆ え に,私 に は"珠 玉(Gem)" の よ う な と思 わ れ る い くつ か の 計 算 的数 論 の 結 果 に力 点 を置 い て み よ う.

2.  因 数 分 解 と 素 数 判 定

こ れ は 数 論 の 問題 と して最   古 の もの の1つ

で あ り,ま た,特 に 日常 生 活 に

お い て の 商 業 や他 の 電 子 的 事 務 処 理 の 際 の 安 全 性 の確 保 とい う 問題 へ の 重 要 な具 体 的 応 用 が あ る とい う こ とが わ か っ たRSA暗

号 系 の 導 入 以 来,こ

こ30

年 で驚 異 的 な進 歩 を遂 げ た. 素 数 と は 整 数p〓2で

 あ っ て,2数a〓2とb〓2に

よ っ てp=abの

形 に は表 す こ とが で き な い もの,言 い換 え る と,"既 約"な 数 の こ とで あ る こ とを思 い 出 そ う(注:数1は 素 数 で は な く,単 数 で あ る).逆 に,N〓2が "可 約"の と き ,言 い 換 え る と素 数 で な い と き,Nは 合 成 数 で あ る と言 う. 初 等 整 数 論 の 基 本 定 理 に よ り,ど ん な 正 整 数N〓2もNを 体 のべ き の積 と して,(積

割 る素 数p全  

の順 序 を 除 い て)一 意 的 に

の形 に表 され る.数 学 で は,こ れ とそ っ く りな表 現 が よ く出 て くる:す べ て の 多 項 式 は既 約 多 項 式 の べ きの 積 と して(単 数 倍 を 除 い て)一 意 的 に表 さ れ る, す べ て の 多 様 体 は 既 約 多 様 体 の 和 と して 表 さ れ る,等

々.

初 等 整 数 論 の 基 本 定 理 に結 び つ く実 際 的 問題 と して  は,あ 素 数 か ど うか を判 定 す る こ と,お

よび,も

る数N〓2が

しそ うで ない な ら,そ れ を 素 数 の

積 に 分 解 す る こ と,が あ る.以 下 で わ か る よ う に,こ の 問題 は,本 質 的 に は 17世 紀 のFermat以 る4つ 1. Nが

来 知 られ て い るの で あ るが,次 の そ れ ぞ れ難 し さの 異 な

の 問 題 に分 か れ る. 合 成 数 で あ る こ と を示 す こ と を試 み よ.

2.(1)に

失 敗 した と き に は,Nが

素 数 で あ る こ と を示 せ.

3.(1)に

成 功 した と き に は,Nの

自明 で な い 約数dを

4.Nの

自明 で な い 約 数dが

分 解 す る こ と に よ りNを

見 つ か っ た と き には,dとN/dを

個別 に因数

完 全 に 因数 分解 せ よ.

い くつ か の 注 意 が 必 要 で あ る.ま ず,明 の1つ

見 つ け よ.

らか に4番

目の 問 題 は 因 数 分 解 問題

の 再 帰 的 な解 法 を与 え て い る が,再 帰 ス テ ップ の 個 数 は 非 常 に少 な い

(高 々logNの 解 問 題 は(3)と

オ ー ダ で あ る)の で 本 質 的 に は こ の部 分 は無 視 で きて,因 数分 同等 で あ る と見 な す こ とが で き る.

次 に,定 義 か らす る と,ど

う して(1)と(2)の

 間 に,言 い換 え る と,Nが

合 成 数 で あ る か 素 数 で あ る か を示 す こ と に,違 い が あ る の か とい う こ と は明 白 で は な い.実

際 そ うで あ る こ とは,Fermatの

定 理 に よ る と,た

と えNが

合 成 数 で あ る とわ か っ て も,そ の 自明 で な い 因

数 に 関 して は何 も わ か ら な い の で あ る.も

2.1 

小 定 理 よ り導 か れ る.こ の

っ と詳 し く見 て み よ う.

合 成 数 で あ る こ との 判 定

あ る 数 が 合 成 数 で あ る こ と を示   す(し か し直 接 に 素 数 で あ る こ と を示 す の で は ない)基 本 的 手 段 はFermatの"小"定

理 で あ る:pが

素 数 で,aはpで

割 り切 れ な い とす る と次 が 成 り立 つ

こ の結 果 の証 明 は,有 限 群 に お い て 各 元 の 位 数 はそ の群 の 位 数 の 約 数 で あ る と い う群 論 の 結 果 を既 約 剰 余 類 群(Z/pZ)*に

適 用 す る こ とか らす ぐに 出 て

くる.ま

積 を 考 え る こ と に よ り簡 単 に

た は,1〓k〓p-1に

わ た るakの

示 す こ と もで き る. い ず れ にせ よ,こ   れ か ら直 ち に,次 の 判 定 法 が 得 られ る:も 奇 数 で あ り,か つ〓(mod で この こ と に 関 す る3つ

N)な

らば,Nは

しN〓3が

合 成 数 で あ る.こ

の注 意 を述 べ てお く必 要 が あ る.

こ

注意 1.  こ れ は 合 成 数 で あ る こ と(あ る い は同 じ こ とで あ るが,素 数 で あ る こ と) の 必 要 十 分 条 件 で は な い.例 え ば,341=11.31は

上 の テス トをパ ス す

る が素 数 で は な い.し か し,こ の テス トを パ ス す る よ うな例 外 的 な数 の 個 数 は 非 常 に 少 な く,そ の 意 味 で この テ ス トは 非 常 に有 用 で あ る(さ ら に改 良 で き る.以 下 を見 よ). 2. この 条 件 は 次 の2進 べ き乗 法 に よ り非 常 に効 率 的 に テス トす る こ とが で き る:2N-1mod のO(log

Nを

N)回

計 算 す る に は,大

き さ が 高 々N2の

数 につい て

の 演 算 を行 うだ けで よい .そ の た め,数 千 桁 の 数 に対 し

て 簡単 に判 定 で き る.こ れ は素 数 判 定 の た め の 必 要 十 分 条 件 の1つ る(N-1)!≡-1(mod

N)(Wilsonの

であ

定 理)と は 際 だ っ て対 照 的 で あ

る.し か し残 念 な こ と に この 定 理 は,(N-1)!mod Nを

能 率 的 に計 算

す る方 法 が 知 られ て い な い の で,合 成 数 判 定 に は全 く役 に 立 た な い. 3.  す で に述 べ た よ う に,上 の テ ス トに よ りNが て も,そ れ か らはNの

合 成 数 で あ る こ と を知 っ

非 自明 な 因数 とな り得 る数 につ い て の情 報 は本 質 的 に は 得 ら れ な い(い

Gem1

合 成 数 お よ び素 数 判 定 の テ ス ト へ のFermatの

報 が 得 られ る例 と し て は,[16],Sec tion1.7.3を

定 理 の利 用

本 的 に,合

見 よ).こ

の こ と が,基

成 数 また は 素 数判 定 の テ

ス トが 因 数 分 解 す る こ と よ り も ず っ と 易 しい 理 由 で あ る.そ い こ そRSA暗

く らか の 情

して この違

号 系 の 中心 の 一 側 面 で あ る .

い く つ か の 合 成 数 に つ い て は2N-1≡1(mod N)(さ   aN-1≡1(mod N))が

成 り立 つ の で,こ

最 も 一 般 的 で あ る の は,MillerとRabinに

らに 一 般 的 に は ,

の テ ス トを 強 化 す る 必 要 が あ る . よ る,次

の 命 題 を基 に した もの

で あ る. 命 題1 Nは   は 奇 数)と

奇 素 数 でaはNで

表 し,q≡ammod

た は,0〓t〓s-1か こ の 命 題 は,有

割 り切 れ な い とす る.N-1=2sm(m Nと

お く.こ

つq2t≡-1(mod N)と 限 体Z/NZに

の と き,q≡1(mod N),ま な る 整 数tが

お い て 方 程 式x2=1はx=±1の

存 在す る. み を  解

に持 つ とい う こ と に注 意 す れ ば容 易 に 証 明 で きる. こ の命 題 に よって も判 定 で きな い合 成 数 が まだい   くつ か あ るが,主 要 な 点 は, も しNが

合 成 数 の と き,"偽 証 をす る整 数"a,言

り立 つ よ うな 整 数aの こ と に あ る.こ を 満 た すaを べ よ.も

割 合 は 高 々1/4で

ば,こ の命 題 に よ りNが この 条 件 がaの20個

定 法 が 導 か れ る:1＜a＜N

び,上 の命 題 の 条 件 が 満 た され るか ど うか 調

し,そ の 中 の あ るaが

い が,Nが

あ る とい う こ とを証 明 で きる とい う

れ よ り,次 のRabin‐Miller判 無 作 為 に20個選

い換 え る と,こ の命 題 が 成

満 た さ ない(か ま た はgcd(a,N)＞1)な

ら

合 成 数 で あ る こ とが 証 明 さ れ た こ とに な る.他 方,

の 値 に対 して満 た され る な らば,な に も証 明 して い な

素 数 で あ る とい う こ とは 完 全 に(し か し数 学 的 に で は な い が)確

か で あ る.そ

して素 数 で あ る こ とは 他 の 方 法 で 示 す 必 要 が あ る.実 際,も

各 テ ス トが 独 立 で あ る(実 際 に は そ うで ない が)と 仮 定 す る と,Nが で あ る確 率 は4-20以

し

合成数

下 とい う こ と に な り,こ れ は無 視 で き る ほ ど充 分 小 さ

い 値 で あ る. 上 の判 定   法 につ い て,異

な るaに

対 す る この テ ス トは独 立 で は ない とい う

こ とで何 人 か の 著 者 よ り批 判 の 論 文 が 出 て お り,彼 らは 他 のFermat‐ 型 テ ス トとの 組 み 合 わせ を提 案 して い るが,今

な お,上

の判 定 法 が ほ とん どの 合 成

数 判 定 法 の 基 礎 的 役 割 を果 た して い る.

2.2 

素数判 定

ここ で は,す   で にN〓3が

多 くのRabin‐Millerま

ス した もの と して,お そ ら くNは そ れ を証 明 す る だ け だ.こ

た は同 種 の テス トをパ

素 数 で あ る と確 信 して い る と し よ う.後 は

れ は よ り難 しい問 題 で あ る.し か し,こ の 問 題 は

実 用 的 そ して 理 論 的 ど ち らの面 か ら も完 全 に 解 決 した と考 え られ て お り,こ の こ と は過 去20年

間 に お け る最 もす ば ら しい ア ル ゴ リズ ム の 業 績 の1つ

で

あ る. 試   し割 り法 とか そ れ と よ く似 た方 法 は別 にす る と,20世 の 効 果 的 な い くつ か の 素 数 判 定 テ ス トが 発 見 さ れ た.例 Lehmer法

で は,N-1の

各 素 因数pに

紀 の始め に最初 え ば,Pocklinton-

対 して,〓(mod N)か

つ

〓とな る よ うな整数apを らNは

見 つ け る こ とが で き る な

素 数 で あ る と結 論 で きる.こ の方 法 が 逆 説 的 で奇 妙 に見 え る の は,N

が 素 数 で あ る こ とを示 す た め に は,本 質 的 にN-1の

素 因 数分 解 が 必 要 で あ

り,一 般 的 に は この 方 が ず っ と難 しい とい う こ とで あ る.し か し,あ る種 の Nに

対 して は,こ の 方法 は 非 常 に効 率 的 で あ る.そ れ か ら何 年 に もわ た って

この 方 法 が 改 良 され て,N-1の N+1の,さ

ら には,Nの

一 部 の 素 因数 の み を用 い る方 法,N-1と

円 分 多 項 式 の 素 因子 を組 み 合 わせ る方 法 な どが見

つ か っ た.残 念 な が ら,こ の どれ もが 素 因 数 分 解 の 遅 さ に よ る制 限 を受 け る .  1979年

Gem2 素 数 判 定 へ の 円分 体 の 利 用

に 最 初 の 大 進 展 が あ っ た.ま

ず,L.Adleman,C.Pomerance

and

R.Rumely[2]が,続

H.W.Lenstra は,cを

and

い てH.Cohen,

A.Lenstra[28],[27]が,概

多 項 式 時 間(よ

あ る 正 の 定 数 と してO(log NclogloglogN)の

提 出 した.(注 意:こ は な く,logNに

時 間)の 素 数 判 定 法 を

こで 多 項 式 時 間 とい う の は,も

関 す る 多 項 式 の こ とで あ る.)こ

り詳 し く

ち ろ ん,Nに

関 して で

れ は 全 く実 用 的 な ア ル ゴ

リズ ム と して 最 初 の もの で あ り,こ れ まで の ア ル ゴ リズ ム で は不 可 能 だ った 数 百 桁 の 整 数 が 素 数 で あ る こ と を数 分 で厳 密 に 示 す こ とが 可 能 とな っ た.主 な ア イ デ ア はFermatの

定 理 をい くつ か の 適 当 な 円分 体 の 整 数 環 へ の 同 時 一

般 化 を利 用 す る こ とで,こ

れ らの 一 般 化 され た定 理 に基 づ い た 十 分 多 くの テ

ス トは,素 数 で あ る こ との証 明 に至 る こ と を示 した. 上 の ア ル ゴ リズ ム に よ り,実 際 的 な 素 数 判 定 の 問題   は本 質 的 には 解 決 され た.同 じ程 度 に重 要 なの は,よ り実 際 的 な問 題 の アル ゴ リズ ム の発 展 にお い て, も う少 し抽 象 的 な 数論 的 主 題(具 体 的 に は,代 数 的 整 数 論,円 分 体論,Gauss 和 とJacobi和

の 理 論)か

らの 手 法 が 重 要 な道 具 で あ る とい う こ と を明 らか

に した こ とで あ ろ う.こ の こ と は,そ の 後,素 論 に お け る楕 円 曲 線 の 本 質 的 利 用,ま

数 判 定 や 素 因数 分 解,暗

号理

た,数 体篩(下 を見 よ)に お い て代 数 的

整 数 論 が 再 び 利 用 され た こ と に よ っ て 見 事 に確 証 さ れ た. APRCL法 理 論[9],[48]に

は,最 近 よ く使 わ れ る2種 の 素 数 判 定 法 の1つ  

で,環 のGalois

由 来 す る 手 法 に よ り,い ろ い ろ な 方 法 で 改 良 さ れ た もの で

あ る.   2度 目 の大 進 展 は1985年

で,O.Atkin

and

F.Morain[4]に

よ っ て有 限

体 上 の 楕 円 曲線 の 虚 数 乗 法 に基 づ い た新 しい 素 数 判 定 法 が 開 発 され た.こ ア ル ゴ リ ズ ム は,実 際 的 な 速 さ で は 改 良 され たAPRCLア

の

ル ゴ リズ ム(お そ

ら く最 新 版 よ りは遅 い と思 わ れ る)と 同等 程 度 で あ るが,2つ

の点 で優位 に

立 っ て い る.ま ず何 よ り も,そ れ は 素 数 認 定 証 が発 行 で きる こ とで あ る,言 い換 え る と,た

とえ 素 数 で あ る こ との 判 定 にあ る程 度 の 時 間(例 え ば,数

千

桁 の 巨 大 な 数 に対 し て 数 週 間)が か か っ た と して も,そ の判 定 を確 認 す る 認 定 証 が 短 時 間 に発 行 で き る こ とで あ る.こ

の こ とはAPRCL法

で は(不 可 能

で は ない に して も)非 常 に難 しい. Gem3 素 数 判 定 へ の楕 円 曲線 の 利 用

 重 要性 は少 し落 ち るが,2つ

目の 優 位 な

点 は 平 均 的 に はO(log6N)と

い う(確 率

的)多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム で あ る とい う

こ とに あ る.こ れ は実 際 的 と言 う よ りは哲 学 的 優 位 と言 うべ き もの で あ る.な ぜ な ら,実 際 に はlogNの

べ き とOの

定 数 は 非 常 に大 きい の で,す

べ た よ う に,最 新 の非 多 項 式 時 間APRCLア 式 時 間Atkin‐Morainア

で に述

ル ゴ リズ ム を実 行 す る方 が 多 項

ル ゴ リズ ム で実 行 す る よ り速 い か らで あ る.

理 論 的 な 観 点 か ら さ え も,Atkin‐Morainア

ル ゴ リズ ム は平 均 的  に確 率 的

多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム と い う点 で 満 足 で きな い.確 率 的 な 面 は,純 粋 主 義 者 以 外 に は さほ ど重 要 で は な い.な ぜ な ら最 速 の ア ル ゴ リズ ム の ほ とん どす べ て は事 実 上 確 率 的 だ か らで あ る.そ

うで は な く,た だ平 均 的 に見 て 多 項 式

時 間 で あ る とい う こ との 方 が よ り悩 ま しい の で あ る.な ぜ な ら,(実 際 に 実 行 した 中 に は な くて も)理 論 的 に は,ア ル ゴ リズ ム を繰 り返 す 中 で,非 常 に時 間 の か か る稀 少 の 数Nが

現 れ 得 る か らで あ る.   3度

目 の 純 理 論 的 な 大 進 展 は1992年

Gem4 にL.Adleman

素 数 性 の証 明 へ の 高 次 元 多 様 体

and

よ り な さ れ た.彼

M.D.Huang[1]に

らは 素 数 性 の証 明 の た

の利用 め の 確 率 的 多 項 式 時 間(平 均 的 で は な い,

これ が 重 要 な 点 で あ る)ア ル ゴ リズ ム の 存 在 を示 した.劇 的 で あ る の は,彼 らの 結 果 で は な く,そ れ を証 明 す る た め に使 わ れ た方 法 で あ る.彼

らの 結 果

は 理 論 的観 点 か ら は非 常 に重 要 で あ るが,実

用 的 な観 点 か ら は全 く役 に立 た

な い か らで あ る.彼

曲線 のJacobi多

らは 有 限 体 上 の 種 数2の

様 体 の有理点

の 個 数 に 関 す る奥 深 い 解 析 を用 い た.こ れ は 計 算 的 数論 にお け る 高 次 元 の代

数 多 様 体 の 第2回

目の 出現 で あ る.第1回

目 は,Chudonovsky兄

弟 に より

指 摘 され た,素 因 数 分 解 にそ れが 使 え る 可 能 性[15]で あ る.こ の 可 能 性 は実 際 的 な理 由 か ら見 捨 て られ,そ

してAdleman‐Huangと

違 っ て,理 論 的 な面

に関 して も何 も も た ら さな か った. この 節 の 結 論 と して,素 数 性 の判   定 問題 は実 際 的 観 点 か らは,APRCL法 る い はAtkin‐Morain法 が わ か る.今

あ

の どち らか に よ り,解 決 して い る と考 え て よい こ と

で は,数 千 桁 の数 な ら数 週 間,も

る こ とが で き る.ま た,AdlemannとHuangの

しか す る と数 日,で テ ス トす お か げ で,素 数 性 の判 定 問

題 は 理 論 的 に も解 決 した と考 え られ る.も

ち ろ ん,決 定 論 的 な 多 項 式 時 間 の

素 数 判 定 ア ル ゴ リズ ム はあ るか とい う問 が 残 っ て い る.そ れ につ い て は,(非 実 際 的 な)決 定 論 的 なAPRCL法 した が って,上

の 問 に はyesと

の一 種 が あ り,ほ と ん ど多 項 式 時 間 で あ る. 答 え る こ と もで き るが,得

る こ との で きる結

果 を考 え る と,お そ ら くそ れ ほ ど重 要 な 問 題 で は な い だ ろ う.

2.3 

因数 分 解

い よい よ今 まで   よ りは る か に 難 しい 問題,Nの

因数 分 解 につ い て考 え よ う.

この 段 階 にお い て は,す で に合 成 数 判 定 法 に よ りNが

合 成 数 で あ る こ とは

わ か って い る の だが,す で に何 度 か 述 べ た よ う に,Fermatの で はNの

定 理 な どの 方 法

約 数 に つ い て は 本 質 的 に何 の 情 報 も得 られ な い.ま た,こ

因 数 分 解 とい う言 葉 は,単

にNの

こでの

あ る 自明 で ない 因 数 を見 つ け る こ と を意

味 して い る とい う こ と を思 い 出 そ う.完 全 な因 数 分 解 は これ を繰 り返 し行 う こ とで 得 られ るか らで あ る. 素 数 判 定 と 因数 分 解 の 間  に は重 要 な考 え方 の違 い が あ る こ とに注 意 し よ う. 素 数 判 定 で は,最 終 的 にyesま

た はnoと

い う結 果 を示 す た め に,非 常 に厳

密 に証 明 を行 わ な け れ ば な ら ない.一 方,因

数 分 解 で は 好 きな 方 法 を使 っ て

よ く,例 え ば 普 通 で は 許 され な い 仮 定 を して も よ い.要 見 つ け る こ と な の だ.そ

は 自 明 で な い 因数 を

して 一 度 そ れが 見 つ か る と,ど の よ うに して 見 つ け

た の か は忘 れ 去 っ て よ い.そ れ が 実 際 に 因 数 で あ る こ と は直 ち に確 か め る こ とが で きる の だ か ら.し た が っ て 多 くの 因数 分 解 法 が発 明 さ れ て,そ

して そ

の ほ とん どが 今 もな お 使 わ れ て い る.な ぜ な ら,あ る方 法 で は う ま く行 か な くて も他 の 方 法 で う ま く行 く場 合 が 多 い か ら で あ る(も っ と も,多

くあ る 中

で 最 新 の2方 法 が 他 の もの を不 必 要 に した よ うだ). 初 期 の何 回 か の 試 し割 算 に は ほ とん ど時 間が か   か ら な い.一 般 に,こ れ で の 小 さな 因子 を取 り除 くが,Nを ら試 し割 り法 はO(N1/2)ア

完 全 に分 解 す る わ け で は な い,な ぜ Nな

ル ゴ リズ ム だ か ら.過 去30年

り高 速 な ア ル ゴ リズ ム が 開 発 さ れ て い る.以 下 で2,3の

間 に い くつ か の よ 方 法 につ い て 簡 単 に

紹 介 す る が,そ れ ら は互 い に全 く異 な っ た もの で あ る こ とが わか る で あ ろ う.   今 後 よ く 出 て く る 名 前 のJ.Pollardの Gem5 Pollardの

非 常 に 単 純 な ア イ デ ア に よ り,い ρ 因数 分 解 法 Pollardの

まず 整 数 値 の 多 項 式f(x)を1つ (xk)mod Nで

ρ ア ル ゴ リ ズ ム が 提 案 さ れ た.

選 び,初 期 値 をx0と

し,漸 化 式xk+1=

定 ま る数 列 を考 え る.こ の と き,適 度 な無 作 為 性 の f 仮定の下

に次 が 成 り立 つ:も

しpがNの

pに 関 して周 期 がpl/2のorderの とNの

わゆ る

最 大 公 約 数 はpで

O(p1/2)=O(N1/4)内

最 小 素 因 子 で あ る とす る と,数 列xkは 周 期 性 を持 つ.こ の こ とか ら,x2k-xk

割 り切 れ る こ と が 期 待 で き,し

で,Nの

法

た が っ て,時

間

自明 で な い 約 数 が 見 つ か る だ ろ う.

この 方 法 は 非 常 に簡 単 だ か ら,た っ た数 行 で プ ロ グ ラム が 書 け,比   較 的小 さ なpま

で の 試 し割 り法 に 充 分 対 抗 で き る.そ れ は今 で も試 し割 り法 に よ っ

て比 較 的 小 さな 因 子 を取 り除 い た後 に使 わ れ て い る. この方 法 の1つ の 変 形 で 同 程度 の実 行 時 間 を持 つ  もの にい わ ゆ る カ ンガ ル ー 法 が あ る.2匹

の カ ン ガ ル ー が ま っす ぐに跳 ん で ゆ くと き,各1跳

びの距離

は有 界 だが で た らめ で あ る とす る と,非 常 に 早 く同 じ位 置 と な る とい うの で あ る.詳 細 は 読 者 に任 せ よ う.  も う1つ

のO(N1/4)ア

ル ゴ リズ ム と

Gem6

し てD.Shanksに Shanksのbaby‐step

よ るbaby‐step

giant‐

giant‐

step法[55]が

あ る.Gを

有 限 アーベ ル

群,gをGの

要 素 と し,gのGに

step法

る 位 数 の 計 算 に よ りNの

因 数 が わ か る と 仮 定 す る.こ

step法

通 に 計 算 す る とO(￨G￨)ス

はgの

O(￨G￨)1/2ス

位 数 を,普

テ ッ プ で 計 算 す る.こ

のbaby‐step

お け giant‐

テ ッ プ か か る と こ ろ を,

の ア イ デ ア は(こ れ も ま た 単 純 だ が)gの

べ き をgqま で あ る.次

で 求 め る.こ に,こ

こ で,qは￨G￨の

こ で 得 ら れ たq個

に)並 べ て 表 に す る.最

後 に,さ

平 方 根 に 近 い 整 数(baby‐step)

の 値 を 順 に(少

ら にgの

な く と も順 が わ か る よ う

べ き を上 の表 の ど れ か と一 致 す る

ま で 計 算 す る(giant-step). この 方 法 が  適 用 で き る 群Gの がkNの

虚2次

例 の1つ

に,kを

小 さ い 整 数 と し て,判

別式

種 の 理 論 に よ り,適

当に

体 の イ デ ア ル 類 群 が あ る.Gaussの

選 ん だ 類 の 位 数 の 計 算 か らNの 位 数 は 任 意 の ε ＞0に

因 数 分 解 が で き る.さ

対 し てO(N1/2+ε)で

ら に,こ

れ らの 群 の

あ る こ と よ り,O(N1/4+ε)の

因 数 分 解 法 が 得 ら れ る. この 方 法 は 今 で は   も う 実 際 に は 使 わ れ て い な い が,他 の 要 素 や,も て,今

っ と 一 般 に,群

な お 有 用 で あ る.例

の 状 況 に お い て,群

自 身 の 位 数 をO(￨G￨1/2)時 え ば,こ

間で求める原理 とし

の 方 法 は楕 円 曲線 上 で の 離 散 対 数 の 計 算

に 対 し て は(と び き り よ い と は 言 え な い ま で も)知 ら れ て い る 限 り最 良 の もの で あ る.下

を 見 よ.

さ ら に も う1つ   のO(N1/4+ε)ア た,ShanksのSQUFOFア

ル ゴ リ ズ ム に,今

度 は 実2次

体 に基づい

ル ゴ リ ズ ム が あ る.

  Pollardの

ρ 法 はNの

最 小 素 因子 の大

Gem7

き さ に非 常 に 影 響 さ れ や す い.こ Lenstraの

じ性 質 を持 っ た も う1つ Lenstraの

れ と同

楕 円 曲 線 因数 分 解 法 楕 円 曲 線 法(ECM)が

の ρ 法 に 対 し て,ECM法

の オ ー ダ で あ る.p〓N1/2だ

あ る.期

の重要 な方法 に

待 計 算 時 間 がO(p1/2)のPollard

は期待計算 時間が準指数 関数

か ら,pに

関 す る従 属 性 を無 視 す る な ら次 の

オ ー ダ と な る.

注意 1.  上 で 用 い た 「期 待 」 と い う言 葉 に は次 の2つ の 意 味 が あ る.ま ず,他 の 多 くの よ い ア ル ゴ リズ ム と同 様 に,そ

れ は 確 率 的 ア ル ゴ リ ズ ム で あ る.

だ が さ らに 重 要 な の は,こ の場 合 に は,以 下 で 述 べ る他 の 準 指 数 関 数 ア

ル ゴ リズ ム と 同様 に,そ れ は ほ とん ど正 し くて,き

っ とい くつ か の 自然

な しか し非 常 に 難 しい数 論 的 予想 を用 い れ ば証 明 で きる で あ ろ うけ れ ど, そ こで 述 べ た 計 算 時 間 は厳 密 に は証 明 で きて い な い と い うこ とで あ る. 2.  現 在,ECM法

は,完 全 に分 解 す る た め で な く,比

さい と い っ て も,20と

か25桁

較 的小 さ な 因 数(小

く らい の 大 き さ だが)を 取 り出 す た め に

用 い ら れ て い る.完 全 な 素 因 数 分 解 の た め に は もっ と強 力 なMPQS法 とNFS法

が 使 わ れ る.  今 ま でNの

Gem8 Pollardのp-1因

素 因 子pの

数分解法

た.面 白い こ と に,pの れ る方 法 もあ る.最

も有 名 なの はPollardのp-1法

の 滑 らか さに,言 い 換 え る とp-1が

他 の性 質 に影 響 さ

で あ る.そ れ はp-1

程 々 の 大 き さの 素 因子 の み を持 っ て い

る か ど うか とい う こ とに,左 右 され や す い.代 感 で あ る よ う な版 もあ る.こ

大 き さに 影 響

され や す い い くつ か の 方 法 に つ い て述 べ

わ りにp+1の

滑 ら か さ に敏

れ ら につ い て 注 目す べ き こ と は,p自

さ に よ らな い と い う こ とで あ る(も ち ろ ん,pが

身の大 き

大 き くな れ ばp-1が

滑ら

か で あ る可 能 性 は少 な くな る の で は あ る け れ ど).ECM法 は このp-1法 の 一般 化で ,p-1の 代 わ りにp個 の元 よ りな る有 限 体 上 の 楕 円 曲線 にの っ て い る 点 の 個 数 を用 い る.こ の よ う な楕 円 曲線 は 多 くあ り,ま た,そ れ らの 点 の 個 数 もや は りp個

の オ ー ダ なの で,Nの

因 数 分 解 可 能 の 機 会 が は るか に増

え る こ と に な る.こ の こ とが 上 で 述 べ た期 待 計 算 時 間 の 理 由で あ る. 1980年 のECM法

代 中 程 に 準 指 数 関 数 時 間 の 因 数 分 解 法 と して 発 明 され たLenstra   に つ い て はす で に述 べ た.ず っ と以 前 に,連 分 数 に よ るCFRAC

法 が あ り,歴

史 的 に は この 方 法 の 最 初 の もの で あ る.そ の 方法 は,今 で は 完

全 に新 しい 因数 分 解 法 で あ るPomeranceの Pollardの はECM法

数 体 篩(NFS)法

と

の期 待 計 算 時 間

と同 じ程 度 で あ る が,基 礎 的 な操 作 が よ り単 純 な分 だ け,よ

い.一 方,NFS法

こ こ でcは

複 多 項 式2次 篩(MPQS)法

に取 っ て代 わ られ た.MPQS法

り速

の期 待 計 算 時 間 は

小 さ な定 数 で あ る.こ れ は 漸 近 的 に はMPQS法

よ り速 いが ,基

礎 的 な操 作 に 手 が 掛 か る の で,互 角 以 上 に な る の は,約120桁

以 上 と,か な

り大 き い.

  Gem9

smooth 因 子 基 底 の利 用

基 本 的 な考 え方 は,篩 を使 って elementを

数 の 法Nに さ せ る こ と に あ る.こ (factor base)に

MPQSの

れ らのsmooth

蓄 え る.こ

生 成 す る こ と に よ り多

関す る小 さい 平 方 剰 余 を発 生

elementを

因 数 分 解 して 大 き な 因 子 基 底

れ は ほ とん どの最 新 の 準 指 数 関数 的 アル ゴ リス ム

に お け る き わ め て 重 要 な ア イ デ ア で あ る.

 こ れ らの 剰 余 の 間 に成 り立 つ十 分 多 くの 関係 が見 つ か る と,数100万 変 数 に 関 す る位 数2の 有 限体 上 の 連 立 方程 式 を解 くこ とに よ りNの 解 が で き る.NFS法

Gem10

る が,そ

もの 因数 分

の 考 え方 も同様 で あ

こ で 使 わ れ るsmooth

element

因数分解への代 数体の利 用 や 因 子 基 底 は 代 数 体 の 中 で 作 ら れ る.N

に 合 わ せ た数 体 を使 え る こ とが 計 算 時 間 が よ り低 い オ ー ダ の準 指 数 関数 とな る 主 な 理 由 で あ る が,他

方,代 数 体 の使 用 が 基 礎 的操 作 に時 間 が 掛 か る こ と

を 説 明 して い る. この 節 の 要 約   に当 た り,因 数 分 解 ア ル ゴ リ ズ ム は お お ま か に4つ

の カテ ゴ

リー に分 類 で き る こ とに 注 意 し よ う.

1.  Nの

小 さい 素 因子pの

大 き さに影 響 され る ア ル ゴ リズ ム.例 と して は,試

し割 り法 は もち ろ ん,Pollardの

ρ法 やLenstraの

楕 円 曲線 法(ECM)

が あ る. 2. Nの 素 因子 の 特 殊 な性 質 に 影響 され る ア ル ゴ リズ ム.素 因 子 の 大 き さは あ ま り関 係 しない.こ の よ うな ア ル ゴ リズ ム の例 と して は,ま ずPollard のp-1法

と そ の 変 形 で あ るp+1法

な どが あ る.

3. Nの 素 因子 の性 質 に は あ ま り関係 しない ア ル ゴ リズ ム で,(log Nの)指 数 関数 的 計 算 時 間 を持 つ もの.例 ル類 群 上 のbaby‐step

と して は,Shanksの

giant‐step法,そ

虚2次 体 の イ デ ア

してShanksのSQUFOF法

が

あ る. 4. Nの 素 因子 の 特 別 な性 質 に はあ ま り関係 しな い ア ル ゴ リズ ム で,期 待 計 算 時 間 が 準 指 数 関 数 的,す

な わ ち,あ

る定 数 α と β(α ＜1)に 対 して

の オ ー ダ の時 間 で あ る もの.こ の よ う な ア ル ゴ リズ ム の 例 と して は,連 分 数 法,2次

篩(MPQS)法,最

後 にPollardの

多 くの 変 形 な どが あ る(LenstraのECMも 現 代 の 方 法 だ と50桁

数 体 篩(NFS)法

とそ の

準 指 数 関 数 的 で あ る).

の数 の 因数 分 解 な ら ワー クス テ ー シ ョン上 で1分   以内

で で きる の で,指 数 関 数 的 計算 時 間で あ る 第3番

目の タ イ プ の アル ゴ リズ ム

は,実 際 に は ほ とん ど使 わ れ な い.さ ら に,連 分 数 法 も,そ れ 以外 の 上 で述 べ た 方 法 に 取 っ て代 わ られ て い る.し たが っ て,現 在 の 因 数 分 解 プ ロ グ ラ ム は 次 の よ う に 進 行 す る.ま ず,試 らLenstraのECM法 は,20桁

し割 り法,次

にPollardの

ρ 法 法 で,そ れ か

を使 って 小 さ な素 因 数 を見 つ け て取 り除 く.ECMで

程 度 の 因数 が 見 つ か る こ と も よ くあ る か ら,"小

か な り大 き い こ と に注 意 してお く.こ の後 で,Nの 法 の 変 形,NFS法

の い ず れ か,あ

さい"と い って も

サ イ ズ に応 じて,MPQS

るい は両 方 を試 み る.最 後 の連 立 方 程 式 を

解 く部 分 を 除 く と,必 要 な仕 事 の ほ とん どす べ て は,ネ

ッ トワー ク上 の 数 千

台 の ワー ク ス テ ー シ ョン に分 散 して行 う こ とが で き る. 1つ の 実 例 と して,1999年 分 解[58]が

に お け る 最 初 の512ビ   ッ トRSAキ

ーの因数

あ る.す な わ ち,か な りの ネ ッ トワー ク上 の 努 力 に よ り,155桁

の 数 の 因 数 分 解 が 可 能 とな った.

3.  代 数 的 整 数 論

代 数 体 の研 究 はGaussの2変   に よ りFermatの

数2次 形 式 の 理 論 に始 ま り,主 にKummer

最 終 定 理 や 高 次相 互 法 則 に関 連 した深 い研 究 の 中 で発 展 し,

Dedekind,Hilbertそ

してKroneckerに

よ り現 在 の 形 式 に整 え られ た こ と

は よ く知 られ て い る.数 体 そ れ 自体 が重 要 な研 究 分 野 とな っ て,少 し くな い 名 称 な が ら,代 数 的 整 数 論 と呼 ば れ て い る.そ に 進 化 し,そ の 中 で 最 も美 し く典 型 的 な もの の1つ

しふ さわ

れ は い くつ か の方 向

が類 体 論 で あ る.

そ の 中 に現 れ る 新 しい概 念 の 中 に は次 の よ う な もの が あ る:整 数  環,判 式,単

数,単

数 基 準,イ

体 論 の 中 で は,合

デ ア ル 類 群,素

同類 群(Strahl類

イ デ ア ル分 解,単

群),Strahl類

別

項 化 定 理 な ど,類

体 な ど.こ れ らの概 念 は

代 数 的整 数論 の ご く一 部 を表 す もの で あ る が,数 値 計 算 の面 か ら は,そ れ ら は 多 くの 数 値 計 算 の 核 心 部 分 に あ る.例 え ば,Fermatの

最終定 理 の ような

不 定(デ ィオ フ ァ ン トス)方 程 式 を解 くた め には,あ る特 定 の代 数 体(Fermat の 最 終 定 理 の 場 合 に は 円 分 体)の 整 数 環 や 判 別 式 の計 算 と,イ デ ア ル 類 群 と 単 数 群 の 構 造 の研 究 が 関 係 す る. 1960年 代 には,こ れ ら を計  算 す る仕 事 は,可 能 だ ろ うけ れ ど も,ア ル ゴ リ ズ ム 的観 点 か らは,か な り難 しい で あ ろ う と思 わ れ て い た.け れ ど も,2000 年 に な っ た今 で は,こ れ らの 仕 事 は ボ タ ン を押 せ ば で きる よ う な型 に は まっ た仕 事 と考 え られ てい る.そ れ は コ ン ピ ュ ー タの 速 さが 理 由 で は な くて,そ れ ら を解 くた め に 開発 さ れ た 驚 異 的 な 新 ア ル ゴ リズ ムの 故 で あ る.こ

れ らの

ア ル ゴ リズ ム につ い て 述べ るの が この 節 の 目的 で あ る.一 般 的 な 話 をす る前 に,2次

体 の 場 合 につ い て 一 瞥 して お こ う.こ れ に はD.Shanksの

大 き な貢

献 が あ る.

3.1 

2次 体

2次 体 にお け る 整 数 環,判 で,最

別 式 や 素 イ デ ア ル分 解 の計 算 は 非 常 に 易 しい の

初 に問 題 とな るの は,イ デ ア ル 類 群,単 数 群 とそ れ に関 連 し た単 項 化

問題 で あ る.ま ず 最 も簡 単 な 場 合,虚2次 が(Q自

体 に つ い て 考 え よ う.な ぜ こ の体

身 を 除 い た)す べ て の 数 体 の 中 で最 も簡単 で あ る か とい う と,そ こに

は有 限個 の 単 数(実 際,一 般 に は ±1の み)し か ない か らで あ る.代 数 的 整 数 論 で 主 に 困難 な 部 分 は類 群 と単 数 群 の 複 雑 さに 結 び つ い て い る の で,虚2次 体 の 場 合 に は,難

しい こ とは す べ て 類 群 の み に 集 中 して い る.

2次 体 の イ デ ア ル 類 群 に お い て 計 算 す る に は,Gaussに か,あ

  よ る2元2次

形式

る い は よ り現 代 的 な イ デ ア ル の 言 語 を使 う こ とが で きる が,両 者 は全

く対 等 な の で,以 下 で は 一 般 の数 体 と の比 較 が 容 易 な イ デ ア ル の 言 語 の み を 用 い る.計 算 上 の 決 定 的 な概 念 と して簡 約 イ デ ア ルが あ る.そ れ は 易 しい が 技 術 的 な もの な ので こ こで は述 べ な い.虚2次 て 注 意 す べ きこ とが2つ

体 に お い て,こ の 概 念 に 関 し

あ る.1つ

目 は,各

イ デ ア ル類 に は た だ1つ

の簡約

イ デ ア ル が 含 まれ て い る こ と.2つ

目は,与

え られ た 任 意 の イデ ア ル に対 し

て,そ

の イ デ ア ル 類 に属 す る た だ1つ

の 簡 約 イ デ ア ル を見 つ け る 高 速 な ア ル

ゴ リズ ム が存 在 す る こ とで あ る. イ デ ア ル類 群 の 構 造 を調 べ る   に は,簡 約 イデ ア ル の個 数 を列 挙 して,そ らの 間 に成 り立 つ 関 係 を調 べ れ ば 十 分 で あ る.Dを

その 虚2次 体 の 判 別 式 と

す る と,こ れ ら は イ デ ア ル 類 群 を計 算 す るO(￨D￨1/2+ε)ア る.Gaussは

れ

ル ゴリズム とな

こ の 方 法 で の 手計 算 に よ り,か な り大 き な表 を作 成 す る こ とが

で き た. この  主題 に関 してShanksの

最 初 の貢 献 は上 で 述 べ たbaby-step

法 の 導 入 で,O(￨D￨1/4+ε)ア rank-3を

giant-step

ル ゴ リズ ム を 与 え る.こ の よ うに して,大

持 つ 類 群(最 近 の 記 録 に つ い て は[51]を

見 よ)の よ う な,よ

きな り複 雑

な 構 造 を持 っ た イ デ ア ル類 群 の計 算 が 可 能 とな っ た.す べ て の 指 数 関 数 的 ア ル ゴ リズ ム と 同 じで,こ の 方 法 は 判 別 式 が20か

ら25桁

以 下 の もの に 限 ら

れ る.  1980年 代,HafnerとMcCurleyに

Gem11 類 群 と単 数 群 の 計 算 へ の 因 子 基 底の利用 が,そ

よ

る因 子 基 底 の 導 入 に よ る1つ

の 進展が

あ っ た.因 子 基 底 はMPQS法

の よ うな

因 数 分 解 法 に す で に 広 く用 い ら れ て い た れ ら を 類 群 の 計 算 に 導 入 す る と(推 測 的 に は)準 指 数 関 数 的 な 類 群 ア

ル ゴ リ ズ ム とな る こ と に気 づ い た.し か し因 数 分 解 ア ル ゴ リズ ム と は異 な り, そ の よ うな準 指 数 関 数 的 ア ル ゴ リズ ム を使 うに は代 償 を要 した.そ れ に は一 般 化 され たRiemann仮 実 際,い

説(GRH)を

仮 定 す る こ とが ど う して も必 要 だ っ た.

くつ か の ア ル ゴ リ ズ ム に 対 して は,そ の ア ル ゴ リ ズ ム に 要 す る計 算

時 間 を評 価 す る た め に はGRHが は何 の 影 響 も ない.そ

必 要 で あ る が,そ の 結 果 の 正 しさ につ い て

れ に反 して,類 群 と単 数 群 の計 算 の た め の 準 指 数 関数

的 ア ル ゴ リズ ム にお い て は,そ の 結 果 の 正 しさはGRHの の で あ る.GRHに

正 し さ に依 存 す る

依 存 しな い ア ル ゴ リズ ム は非 常 に遅 い の で,大 規 模 計 算

に対 して,現 在 ほ とん どの 人 はGRH依

 因 子 基 底 の 導 入 に よ りイ デ ア ル類 群 に お Gem12 魔 法 の よ うな単 項 ア ル ゴ リズ ム は 類 群 の構 造 を与 え る.し

存 の ア ル ゴ リズ ム を用 い て い る.

け る多 数 の 関 係 式 の計 算 が で きる よ う に な り,HermiteとSmithの か も,こ の 計 算 に は,わ

正規形 式の計算

ず か なが ら,予 期 さ れ て

い な か っ た が 非 常 に重 要 な,付 加 的 利 益 が あ る.同 に単 項 ア ル ゴ リズ ムが 得 られ る.す

じ関 係 式 を用 い て,容 易

なわ ち,数 体Kに

お い て 単 項(で あ る こ

とが わ か っ て い る)イ デ ア ル〓 が 与 え られ た と き〓=αZK,こ Kの

整 数 環,と

な る α ∈Kを

こ でZKは

見 つ け る.類 群 中で,類 群 そ の もの を決 め る

た め に 十 分 な だ け の,多 数 の 関 係 式 が 計 算 され て い る な ら,こ れ が 可 能 で あ る こ と を示 す の は 易 しい. 生 成 元 α を見 つ け るの   は,本 来 指 数 関 数 的 時 間 で あ るか ら,こ の よ うな単 項 ア ル ゴ リズ ム(一 般 の数 体 で も通 用 す る)の 存 在 が 本 当 に"魔 法 の よ う"で あ る こ と は大 い に強 調 して よい. Hafner‐McCurley法

の 一 種 の 新 しい ものが 導 入 され,因 数分 解 の と き と同

様 に 篩 を利 用 して,非 常 に 大 きい イ デ ア ル類 群 の 構 造 の 計 算 が 可 能 とな った [11].2000年

に お い て は,10進

で80桁

以 上 の 判 別 式 を持 つ 虚2次 体 の イデ

ア ル 類 群 の計 算 が 可 能 で あ る. 次 に,判 別 式D＞0の 述 べ た よ う に,こ 基 本 単 数 ε ＞1に

実2次  

体K=Q(√D)の

場 合 を考 え よ う.す で に

こで は 類 群 と単 数 群 を求 め る 複 合 問 題 と な り,単 数 群 は よ り ±εZと 表 さ れ る.こ

こで も簡 約 イ デ ア ル の 概 念(一

般 の 数 体 につ い て も定 義 され る)が あ るが,虚2次 る の は,単 数 の 存 在 の た め に,各 イ デ アル が あ る こ とで あ る.詳

体 の 場 合 と決 定 的 に異 な

イ デ ア ル類 の 中 に は一 般 に1つ 以 上 の 簡 約

し くは,イ

デ ア ル 類 の1つ

の イデ ア ルか ら同

じ類 の イ デ ア ル へ の,自 然 で は な い が,還 元 ス テ ップ ρ を定 義 す る こ とが で き,そ れ は 次 の性 質 を持 つ. 1.  写 像 ρ は 簡 約 イ デ ア ル 全 体 上 で の 全 単 射 を引 き起 こ す. 2. 2つ の 簡 約 イ デ ア ル 〓 と 〓 が 同 じイ デ ア ル類 に属 す る と き,〓=ρk(〓) とな る よ う な 整 数kが

存 在 す る.

3.  〓 を任 意 の イ デ ア ル とす る と き,ρk(〓)が 簡 約 イ デ ア ル と な る よ う な整 数k(こ

の 上 限 は容 易 に与 え られ る)が 存 在 す る.

簡 約 イ デ ア ル の個 数 は有 限 だ か ら,上 の性 質 よ り各 イデ ア ル類 は,そ 属 す る任 意 の 簡 約 イ デ ア ル 〓 に対 して,簡 約 イ デ ア ル よ り な る1つ クル ρk(〓)か ら な る.こ こで,0〓k〓n-1,nは

の類 に の サイ

サ イ クル の 長 さ(も ち ろ

ん イ デ ア ル 類 に依 存 す る)で あ る. 2元2次

形 式 の 言 葉 で 言 う と,還   元 ス テ ップ ρ は判 別 式Dを

の 連 分 数 展 開 に対 応 して い て,サ

持 つ2次

数

イ ク ル の構 造 は そ れ らの 展 開 が つ ね に最 終

的 に は周 期 的 に な る こ と に対 応 す る.連 分 数 が 周 期 的 に な る前 の段 階 が 非 簡 約 イ デ ア ル に,周 期 が そ の イ デ ア ル 類 に属 す る 簡 約 イ デ ア ル の サ イ クル に対 応 す る. 上の   こ と か ら,Gaussが

した よ う に,類 数 と基 本 単数,言

群,を 求 め る ため のO(D1/2+ε)ア す る ため に,虚2次

い換 え る と単 数

ル ゴ リズ ム を得 る の は易 しい.こ れ を改 良

体 で はbaby‐step

giant‐step法 や 因子 基 底 を 導 入 した.

実2次 体 の 場 合 に は,こ の こ とは,簡 約 イデ ア ルの サ イ クル が 存 在 す る た め, 明 らか に 不 可 能 で あ る. この問題の突破 口を   開 い て,最 終 的 には 実2次 体 の み な らず 一 般 数 体 の イ デ ア ル類 群 お よ び 単 数 群 に対 す る準 指 数 関 数 的 ア ル ゴ リズ ム を もた ら した 決 定 的 な ア イ デ ア,お そ ら くShanksの

最 も 重 要 な も の,が

Gem13 実2次

ア ル ゴ リズ ム に 関 す る ア イ デ アの 中 で

(infrastructure)で

体 の 魔 法 の よ うな下 部

Shanksは

い わゆ る下 部構 造 あ る([56]を

見 よ).

主 サ イ ク ル(単 項 類 に 対 応 す る

構造 も の)が,巡

回 群 に 似 た あ る 内 部 構 造(そ

の た め"下 部 構 造"と い う名 を持 つ)を 持 っ て い て,す べ て の サ イ ク ル は この 主 サ イ ク ル の作 用 す る 軌 道 で あ る と考 え ら れ る こ と を観 察 した.群 らそ の長 さが 同 じで あ るが,サ

の軌道 な

イ ク ルが 異 な れ ば長 さは 一 般 に は異 な る の で,

サ イ クル の サ イズ の 測 り方 を変 え る必 要 が あ る.こ の た め にShanksは 類 に あ る2つ

の イ デ ア ル の 間 の"距 離"を 導 入 した.彼

くい った が,も た.こ

同じ

の与 えた距離 は うま

う少 し改 良 され た ものが 後 にH.W.Lenstraに

よ り導 入 され

れ は 次 の性 質 を持 っ て い る.

1.  ρk(〓)と ρk+1(〓)の 距 離 の1周 期 分 の 和 と して,サ

イ ク ル の 長 さを測 る

と き,そ の 長 さは サ イ クル に よ らず 単 に そ の2次 体 の 単 数 基 準R=logε に等 しい. 2.  ZKを

単 位 イ デ ア ル,〓 と 〓 をZKと

とす る と き,イ デ ア ル の積

同 じ類 に入 っ て い る 簡 約 イデ ア ル

〓 は簡 約 で あ る と は 限 ら ない.ZKか

ら

〓

へ の 距 離 は,ZKか

らそ れ ぞ れ 〓 と 〓へ の 距 離 の和 に小 さな 距 離,こ れ

は 〓 に 同 値 な簡 約 イ デ ア ル を求 め る の に 必 要 な 還 元 ス テ ップ の 数 か ら 容 易 に計 算 で き る,を 加 え た もの で あ る. こ の よ うに して,実2次

体 の 単 項 類 に含 ま   れ る簡 約 イ デ ア ル は ほ ぼ巡 回 群

に近 い 構 造 を も っ て い る と考 え られ る.そ 場 合 の よ う に,baby‐step

の最 も重 要 な結 果 は,虚2次

体の

giant‐step法 や 因子 基 底 を用 い て 必 要 な不 変 量 を

計 算 す る こ とが で きる よ う に な っ た と い う こ とで あ る. 例 え ば,√Dの

よ う な2次 数 の連 分 数 展 開 の 周 期  の 長 さは 一 般 に√Dの

オ ー ダで あ る が,代 わ りに この 連 分 数 展 開 をgiant‐stepと 考 え て基 本 単 数 あ る い は 単 数 基 準 をO(D1/4+ε)ス

テ ップ で 求 め る こ とが で き る.い つ も と 同

様 に 因子 基 準 を使 う と,こ れ はGRHの これ も数 論 に お け る もう1つ

3.2 

仮 定 の 下 に準 指 数 関 数 的 時 間 に な る.

の魔 法 的 ア ル ゴ リズ ム で あ る と思 う.

一般 の 数 体

一 般 の 数 体Kに   つ い て解 くべ き最 初 の 重 要 問 題 は そ の 表 し方 で あ る.通 常 は,Q上

の原 始 元 θ に よ りK=Q(θ)と

項 式T∈Q[X]の1つ

の根 で あ る.最

表 され る.こ

こで,θ は 既 約 多

も一般 的 な表 し方 で は あ る が,こ の 表

し方 に は多 くの 都 合 の 悪 い 点 が あ る こ と を言 って お く. 1.  実 際 に 数 学 で扱 わ れ る次 数 の 高 い 数 体 は,大 抵,よ

り低 い次 数 の 合 成 体

ま た は塔 で あ る.こ の方 法 に よ る表 現 の 方 が ず っ と コ ンパ ク トで あ り,そ して よ り重 要 な こ と だが,よ 2.  あ る 意 味 で"小

り多 くの構 造 を含 ん で い る.

さ い"表 し方 は 定 義 で きる が(下 のPolredを

始 元 に よ る 表 し方 に は標 準 が な い.特

に,こ の 表 し方 で,2つ

見 よ),原 の数体が

同 型 か ど うか を決 め る の は必 ず し も易 しい とは 言 い 難 い. 3.  多 項 式Tの

判 別式 は数 体Kの

判 別 式,Kの

不 変量 で あ る,に 平 方 数 を

掛 け た数 に な っ て い る.残 念 なが ら,こ の平 方 数 は非 常 に大 きい 可 能 性 もあ る の で,Tの

判 別 式 の 因数 分 解 の 必 要 性(少 な く と も,そ の 最 大 平

方 因 子 を見 つ け る こ とは,知

る 限 り,因 数 分 解 と 同 じ程 度 難 しい)に よ

り,原 始 元 に よ る表 し方 を した と き,Kの こ とが しば しば あ る.(1)で

判 別 式 の計 算 が 不 可 能 とな る

述 べ た他 の 表 し方 で は こ の よ う な 欠 陥 の な

い こ とが 多 い. 4.  数 体K=Q(θ)は

既 約 多 項 式T∈Q[X]だ

と を区 別 す る方 法,例

け で な く,θ をTの

他 の根

え ば,複 素 共役 数 やp‐進 共 役 数 を指 定 す る,な

ど

に よ り表 さ れ る. 以 下 で は,Kはn次   の とす る.Kの

の 数 体 で,原 始 元 θ に よ りK=Q(θ)と

表 され る も

不 変 量 を求 め る前 に,自 然 に次 の こ とが 問 題 とな る.も

素 数 α が 十 分 精 密 に 与 え られ た な ら,α がKに

し複

属 す る か ど うか わ か る か?

厳 密 に 言 え ば,有 理 数 は実 数 の 中 に稠 密 に入 っ て い る の だ か ら,こ の 問題 は 意 味 を持 た な い.し か し,ア ル ゴ リズ ム の 実 践 に お い て は,こ の 問 題 は,特 に α が あ る厳 密 な計 算 に 由来 す る(例 え ば,整 数 係 数 多 項 式 の 複 素 数 根)場 合,完 全 に意 味 を持 つ.こ な くと も近 似 的 に,1次

の場 合 に は,複 素 数α,1,θ,...,θn-1がQ上,少 独 立 で あ るか ど うか 決 め る 必 要 が あ る(ひ と た び 従

属 関係 が 見 つ か る と,α が どの よ う な方 法 で与 え られ て い る か を知 っ て い る な ら,そ れ を厳 密 に チ ェッ クす る の は 易 しい). した が って,Q上

の1次 独 立 性 ア ル ゴ リズ  ム,代 数 的 独 立 性 はそ の 特 別 な場

合,が 必 要 とな る.1990年,こ

の仕 事 を実行 す る ため の 驚異 的 な ア ル ゴ リズ ム

がA.Lenstra,H.W.LenstraとL.Lovaszに

ア ル ゴ リズ ム と呼 ば れ て い る.こ の ア ル Gem14 Q上

よ り開 発 さ れ,今 で はLLL

ゴ リ ズ ム の 重 要 性 はい く ら強 調 して も し

の1次 独 立 性 に 関 す る魔 法

の よ うなLLLア

ル ゴ リズ ム

す ぎる こ と は な く,多 くの ア ル ゴ リズ ム 的 数 学 の 部 分,特

に数 論 か ら離 れ た 部 分,

に奥 深 い 影響 を与 え て き た.お そ ら く,そ れ は 過 去20年

に発 見 され た 非 数 値

的 ア ル ゴ リズ ム の 中 で最 も重 要 な も の で あ ろ う.基 本 的 な ア イ デ ア は ユ ー ク リ ッ ド格 子 の 中 の ベ ク トル の対 に 関 してGauss

reductionを

続 ける ことによ

り"小 さ な"ベ ク トル を見 つ け る こ とに あ る.最 終 的 結 果 の格 子 基 底 をLLL‐ 簡 約 基 底 と言 い,こ れ は い くつ か の よい 性 質 を持 って い る.特 の要 素 は 格 子 の0で

に,そ の 最 初

な い ベ ク トル の 中 で最 小 の もの,一 般 に は合 理 的 時 間 内

で は 見 つ か らな い,と 較 べ て もあ ま り大 き くな い.今

の問 題 の 場 合 に は こ の

ア ル ゴ リズ ム は大 変 う ま く機 能 す る.そ の 弱 点 の1つ 過 敏 性 が あ る.し

に数 値 的 誤 差 に対 す る

たが っ て,可 能 な 限 り複 素 数 近 似 の代 わ りに適 当 な根 のp‐

進 近 似 が 使 わ れ る. LLLア

ル ゴ リズ   ム の も う1つ の重 要 な応 用 は,適 当 に小 さい 定義 多項 式 を

見 つ け る こ と で あ る.実 際,1つ な わ ち整 係 数 多 項 式 の根,の

の 数体 を定 義 す る に は 無 限個 の 原 始 元,す

選 び方 が あ る の だ が,そ れ 以 降 の 計 算 の こ とを

考 え る と,問 題 とな る多 項 式 はあ る意 味 で 十 分 小 さい もの で あ る こ とが 不 可 欠 で あ る.こ

れ はLLLア

ル ゴ リズ ム(と 以 下 で 述 べ る2つ の 整 数 基 探 索 ア ル

ゴ リ ズ ム)に よ り容 易 に 行 わ れ,そ れ に対 応 す る ア ル ゴ リズ ム は(多 項 式 還 元 の)Polredア

ル ゴ リ ズ ム と呼 ば れ て きた([18]を 見 よ).

再 び 問 題 の 数体Kに

戻 って,Kの

よ う.上 述 の よ うに,も

しKが

判 別 式 と整 数   基 を求 め る こ とか ら始 め

あ る原 始 元 で 表 さ れ る な ら,定 義 多 項 式T

の 判 別 式 の 因 数 分 解 を しな け れ ば な ら な い が,一 般 に は これ が 計 算 の 中 で い ち ば ん難 しい 部 分 で あ る.こ こ で は,こ の 因数 分 解 はす で に終 わ っ て い る こ とに し よ う.Tは

モニ ック な整 係 数 多 項 式 と して よい.こ の場 合,Z[θ]⊂ZK

か つ 指 数 有 限 で あ る か ら,最 大 整 環 を得 るた め に はZ[θ]を 拡大 す る 必 要 が あ る.現 在,こ

れ を実 行 す る た め に,本 質 的 に,共 にH.Zassenhausに

案 され た2種

の方 法 が 使 わ れ て い る.1つ

ば れ,直 接 的 だ が 途 中 で,Kの

次 数 をnと

目 は,round2ア

よ り提

ル ゴ リ ズ ム と呼

して,最 大n2行

ま た は列 の大 き

な整 数 行 列 を扱 う.こ の ア ル ゴ リズ ム は,(最 初 の 因 数 分 解 を 除 くと)多 項 式 時 間 で は あ る が,次 数 が大 きい 場 合 か な り遅 くな る.2つ

目 は,round4ア

ル ゴ リズ ム と 呼 ば れ,解 説 す る の も,仕 組 み を述 べ る の も,そ 行 す る の も非 常 に複 雑 で あ る.し か し,round2ア 数 が あ る程 度 大 き い場 合 に,は

して 計 算 を実

ル ゴ リズ ム よ り,特 に次

る か に効 率 的 で あ る.Ford

and Roblot[39]

に よ り,適 当 な実 行 環 境 の 下 で は,多 項 式 時 間 で,理 論 にお い て も実 践 にお い て も,round2ア 一 般 の 数 体Kで るKの

ル ゴ リズ ム よ り速 い こ とが 示 され た . 他 に 問題 と な るの は

素 イ デ ア ル をす べ て 見 つ け る こ とで あ る.こ こ で もTは

つ 整 数 係 数 で あ る と仮 定 す る.し る.も T(X)の

  ,普 通 に与 え られ た素 数pの

しp￨f(θ)な 因 数 分 解,こ

ら,pの

たが っ て,[ZK:Z[θ]]=f(θ)は

素 イ デ ア ル分 解 は 位 数pの

れ は容 易 に実 行 で きる,と

上 にあ

モ ニ ッ クか 有 限であ

有 限体 上 の 多項 式

同様 で あ る こ と は よ く知 ら

れ て お りそ して そ れ は容 易 で あ る.も の か つ 小 さいpで き るが,時

の み だ が,こ

しp￨f(θ)な

ら,こ うな るの は有 限個

の と き には 原 始 元 θ を取 り代 え る こ とが で

に は そ の よ うに して もpが

す べ て の 指 数f(θ)を 割 り切 る こ とが

あ る.し た が って,他 の 方 法 を見 つ け な けれ ば な らな い.そ の1つ の 方 法 は, round2法

と似 て い て,Buchmann

and Lenstra[12]に

よ り提 案 され た.適

当 に う ま く実行 す る と,そ れ は実 用 上 十 分 効 率 的 で あ る.も う1つ round4ア

の方 法 は

ル ゴ リズ ム の 考 え 方 に基 づ い た もの で あ り,も っ と効 率 が よい こ

と は確 か で あ る. 以 上 の仕 事 が  済 む と,残 る の は2次 体 の場 合 と 同 じで,イ デ ア ル類 群 と単 数 群 の 計 算,そ

れ と,単 項 化 ア ル ゴ リズ ム を見 つ け る こ とで あ る.幸 い に も,

実2次 体 の 場 合 に使 わ れ る準 指 数 関 数 的 な 方 法 が,一 般 的 な場 合 に も簡 単 に 適 合 させ る こ とが で き る.こ の た め に は,本 質 的 な道 具 で あ っ た距 離 の 概 念 を一 般 化 して,イ デ アル 還 元 の どの 考 え 方 と,還 元 ア ル ゴ リズ ム の どれ が 使 わ れ る の か を詳 し く説 明 す る必 要 が あ る. 実2次 体 の 場 合 には,単 数 群 の 階 数 は1だ   一 般 の 場 合 に は,Kの 単 数 群 の 階 数 をrと

か ら,ス カ ラー 値 の 距 離 だ っ た. お く と,距 離 と して はRrに

を取 る ベ ク トル 値 距 離 を考 え る.こ れ は実2次 へ の す べ て の複 素埋 め 込 み写 像 を用 い て,実2次 の1つ

を用 い た代 わ りにr個

体 の 場 合 の 距 離 を,Kか 体 で は2つ

の埋 め 込 み の 中

の す べ て の 埋 め 込 み を用 い る とい う直 接 的 な仕

方 で 一 般 化 す る こ と に よ り定 義 で きる.こ の 距 離 に 関 す る 問題 は,こ 体Kの 実2次

値 らC

れは数

基 本 体 積 を求 め る もの で,単 数 群 の もの で は ない と い うこ とで あ る. 体 の場 合 に は,そ の 一 方 を知 れ ば 他 方 もわ か るの で,何

も問 題 で は な

か った の で あ るが,一 般 の 数 体 の場 合 に は,も は や 通 用 しな い.こ れ に対 す る 解 決 は複 素 数 値 距 離 を導 入 す る こ とで あ る.実2次 は そ の 実 部 の み(実2次

体 で のShanksの

距離

体 の 場 合 虚 部 は つ ね にπ の 整 数 倍)で あ っ た.こ れ

に よ り,単 数 基 準 だ け で な く,単 数 群 も求 ま る こ とが 容 易 に示 せ る. 簡 約 イ デ アル の 概 念 は 数 体 に対 して 完 全 に 一 般 に定 義 で きる.こ  こ で 主 に 問 題 と な る の は,簡 約 の た め の ア ル ゴ リズ ム が,多 次 元 の連 分 数 ア ル ゴ リ ズ ム と 同様 に,非 常 に複 雑 で か つ 遅 くな る こ とで あ る.し た が って,速

い アル

ゴ リズ ム を使 用 す る こ と に よ っ て得 られ る も う少 し弱 い 意 味 で の 還 元 法 を用 い た方 が よ い と思 わ れ る.こ の こ とはLLL‐ 簡 約 イ デ ア ル を定 義 す る こ と に

よ り な さ れ る.こ

れ に よ り,各

イ デ ア ル は す で に 上 で 述 べ た 魔 法 的 なLLLア

ル ゴ リ ズ ム に よ っ て 簡 約 さ れ,LLL‐

簡 約 イ デ ア ル に な る.

 上 の概 念 と道 具 を用 い る と,実 お よ び Gem15 イデ ア ル の 簡約 化 へ のLLLア

ル

虚 の2次

体 の 場 合 に述 べ た準 指 数 関 数 的

法 を本 質 的 に まね て,一 般 的 な イ デ ア ル

ゴ リズ ム の 利 用

類 群 と単 数 群 ア ル ゴ リズ ム や 単 項 化 ア ル ゴ リズ ム を得 る.2次

体 の場 合 と 同様 で,こ れ はGRHに

依 存 す る(推 測 的

な)準 指 数 関 数 的 ア ル ゴ リズ ム で あ る. イ デ ア ル の 表 し方 に つ い て 一 言.イ  デ ア ル を表 す に は何 通 りか あ る が,主 に3通

りの 異 な る もの が あ る.1つ

はn=[K:Q]個

の 元 よ りな るZ‐基 底 で

表 す 方 法.Z‐ 基 底 と して は,一 意 的 とい う優 位 性 を持 つHermiteの 式 か,あ

標 準形

る い は係 数 が 小 さい とい う優 位 性 を持 つLLL‐ 簡 約 形 式 の い ず れ か

で あ っ て も よい.2つ

目 と して は,適 当 な2元

α と β に よ り αZK+βZK

と表 す 形 式 が あ る,一 方 の 表 現 か ら他 方 へ と書 き換 え る の は 難 し くな い.注 意 して お く と,例 え ば イ デ ア ルの 積 を計 算 す る な ら,一 方 は2項 表 現 で,も う一 方 はZ‐ 基 底 表 現 で 表 してお く と最 も効 率 的 で あ る.3つ 特 有 の場 合 で あ る.そ

目 は素 イデ アル

れ は2項 表 現 の 特 別 な形 で,イ デ ア ル の そ の 素 イデ ア

ル に 関す る付 値 を計 算 しや す い.  1990年 代 初 期 の 重 要 な発 見 の1つ Gem16

一 般 の 数体Kの

相 対 数 体 の計 算 へ の擬 行 列 の 利用 拡 大体L/Kの

整 数 環ZKは

は,

単 項 イ デア

ル整 域 で は ない が,し た が っ てEuclid整 域 で もな いが,ZK‐ 加 群(典 型 的 には 相対

イ デ ア ル)に つ い て上 と全 く類似 の表 し方 が で き,ま たEuclid

ア ル ゴ リズ ム の 相 対 拡 大 版 も存在 す る とい うこ とで あ る.こ れ らの拡 張 は,行 列 の 各 行 にKの

イ デ ア ル を対 応 させ た行 列 で あ る,擬 行 列(pseudo‐matrix)

の概 念 に基 づ い て い る.こ の こ と よ り,絶 対 的 な場 合 に 発 見 され た ア ル ゴ リ ズ ム の ほ とん ど を相 対 的 な場 合 に拡 張 す る の は 難 し くな い.た か も重 要 な例 外 はLLLア に対 す るLLLア

ル ゴ リズ ム の 場 合 で あ る.2000年

だ1つ

現 在,ZK‐

の,し 加群

ル ゴ リズ ム の拡 張 で 満 足 す べ き もの は な い.

数体 に 関 して 他 に も多 くの重 要 な各 種 の ア ル ゴ リズ ム が  あ る.例 の ガ ロ ワ 閉 包 の ガ ロ ワ 群 の 計 算 や,KがQの

え ば,K

ガ ロ ワ 拡 大(そ して 相 対 拡 大

の 場 合 も同 様)で あ る 場 合 のKの る.最 初 の計 算 に は,15次

ガ ロ ワ 自己 同型 の 具 体 的 な 計 算 な ど が あ

まで の 数 体 の ガ ロ ワ群 を計 算 す る ア ル ゴ リズ ム が

存 在 す る.こ れ らの ア ル ゴ リズ ム は実 行 す る に は 全 く苦 痛 的 で,特 い も の で も な い.2番

目 の計 算 につ い て,ガ

に興 味 深

ロ ワ 自己 同 型 を求 め る ため に は

い くつ か の ア ル ゴ リズ ム が あ り,す べ て多 項 式 時 間 で あ る.最 初 の タ イ プ の ア ル ゴ リズ ム は,多 項 式T(X)をK[X]で て い る.第2の

タイ プ はTの

複 素 数 また はp‐進 数 の根 全 体 に関 す るLLLア

ル ゴ リ ズ ム に 基 づ い て い る.3番 Henselリ

3.3 

直 接 因 数 分 解 す る こ と に基 づ い

目 の タ イ プ は適 当 なFrobenius自

己同型の

フ ト に 基 づ く もの で あ る.

類体 論

数 体 に 関す る類 体 論 とは数体 の ア ー ベ ル 拡 大 の 理論 で あ る.こ の理 論 は,理 論 的 観 点 か らは1900年

か ら1930年

に か け て の 多 くの 人 々の 研 究 のお か げ で,

また ア ル ゴ リズ ム の観 点 か ら も,BerlinのM.Pohstグ の著 者 の グル ー プ に よ る1995年

か ら2000年

ル ー プ とBordeaux

の 間 に な さ れ た研 究 の お か げ で,

非 常 に満 足 す べ き状 態 に あ る.こ の 理 論 の アル ゴ リズ ム 的 取 り扱 い に 関 して ま ず 必 要 とな る の は,数 体 の 相 対 拡 大 に 関 す る計 算 が で き る こ とで あ り,こ れ は,す

で に 述 べ た よ う に,擬 行 列 の 概 念 に よ り実 行 可 能 で あ る.数 体 に 関

す る一 般 ガ ロ ワ拡 大 の 理 論 は ま だ断 片 的 な状 態 で,い わ ゆ るLanglandsプ グ ラ ム の 大 きな 部 分 を 占め て い る(1999年,こ 重 要 な段 階 が 達 成 さ れ た:局 所Langlands対 の 場 合 の 大 域Langlands対 数 体Kを

ロ

の プ ロ グ ラ ム に関 して2つ の 応 の 証 明[42],[44],と

関数体

応 の 証 明[46]1).

基 礎 体 とす る.類 体 論 は,明  

らか に完 全 に異 な っ て い る2つ の対

象 の 類 の 間 に,あ る全 単 射 が存 在 す る こ とを証 明 す る.1つ ア ー ベ ル拡 大 体 のK‐ 同 型 類 で あ り,2つ

目は,合

目の対 象 はKの

同類 群 と呼 ば れ るKの

イ

デ ア ル の群 の容 易 に定 義 で き るあ る種 の 同 値 類 で あ る.代 わ りに イ デ ー ル群 の 言 葉 を使 う こ と もで き るが,ア

1 The

correctness

of

this

latter

ル ゴ リズ ムの 目 的 の た め には,Artin,Hasse

proof

正 し さ に つ い て 明 ら か に疑 問 が あ る

is now

apparently

in doubt

.現

在,後

者 の 証 明 の

と高 木 に よる 古 い 言 葉 の 方 が よ りよい([43]を 見 よ).こ の 全 単 射 に つ い て最 も驚 くべ き こ とは,合

同 類 群 の 任 意 の 同 値 類 に対 して そ れ に対 応 す るKの

アー ベ ル拡 大 体 のK‐ 同型 類 を(一 意 的 に)定 義 す る こ とが で き る とい う こ と で あ る(高 木 の 存 在 定 理).こ て お り,事 実,こ

の こ とは ア ル ゴ リズ ム の実 行 にお い て 反 映 され

の ア ー ベ ル 拡 大 を構 成 す る こ とは 全 く困難 で あ る:本 質 的

には 証 明 に した が う以 外 の 方 法 は な い. 計 算 的 類 体 論 の 最 初 の 仕 事 はKの  合 同 イ デ アル 類 群 の 計 算 で あ る.こ れ は次 の2つ

に帰 す る:1つ

目は,有 限(と きに は 有 限 生 成)ア ー ベ ル群 の 完 全

系 列 を取 り扱 う手 段 を 開発 す る こ とで あ り,2つ 対 す る(ZK/m)*の

目 は,Kの

整 イデ ア ルmに

乗 法 的 構 造 の 計 算 で あ る.

最 初 の 問題 は 整 数 行 列 に 関 す るHermiteとSmithの  

標 準 形 計 算 を用 い て

解 く こ とが で きる([19],[17]を 見 よ).主 結 果 は,た と え完 全 系 列 がsplitし て い な くて も,求 め る 群 を計 算 す る の は 易 しい とい う こ とで あ る.2つ 問題 は よ り難 しい.(ZK/m)*の

目の

構 造 を計 算 す る た め に い くつ か の補 助 的方

法 が 与 え られ て い る.お そ ら く最 も難 しい 問 題 は,適 当 なサ イ ズ の 生 成 元 を 得 る こ とで あ る.こ れ ら の 問 題 が 解 か れ る な ら,合 同 イ デ ア ル類 群 を計 算 す る た め の アル ゴ リズ ム は存 在 して い る. 2番 目の 仕 事 は,合

同類 群 と呼 ば れ   る合 同 イ デ ア ル類 群 の 部 分 群 を,言 い

換 え る と,あ る有 限 ア ーベ ル 群 の 部 分 群 を,数 え上 げ る こ と で あ る.な ぜ な ら,類 体 論 に よる と,そ れ ら はKの

ア ー ベ ル 拡 大 の 同 型 類 と1対1に

して い る か ら で あ る.こ の 仕 事 が1930年

代 にG.Birkhoffに

解 か れ て い る こ とは あ ま り知 られ て い な い.彼

対応

よって完全 に

は こ れ らの 部 分 群 に 関 して具

体 的 な数 え 上 げ 手 順 を与 え て い る([8],[13]を 見 よ). こ の よ うに して,計 算 的 類 体 論 で ま だ残 って い る主 要 問題 は,高 木 の 存 在 定 理 に よ って 与 え られ た 合 同類 群 に対 応 す る ア ー ベ ル 拡 大(合 同 類 体 と呼 ば れ て い る)の 同 型 類 を 具 体 的 に計 算 す る こ とで あ る.求 め る拡 大 体 の 相 対 ま た は 絶 対 判 別 式 や 符 号 を計 算 す る の は易 しい[20]が,そ

の定 義 方程 式 を具 体

的 に 計 算 す る の は は る か に難 しい.こ れ に 関 して は 少 な く と も3つ の 知 られ た 方 法 が あ る. 1.  最 初 の方 法 は,全

く一 般 的 に 通 用 す る方 法 で,本 質 的 に 高 木 の証 明 に し

た が う だ け の もの で あ る.要 す る に,ま ず基 礎 体Kに を付 け加 え てKummer理

論(基 礎 体 がn乗

適 当 な1の べ き根

根 を含 む と き指 数nの

ベ ル拡 大 が 簡単 に記 述 で き る)が 適 用 で き る よ う にす る.次

アー

に,こ の 拡

大 さ れ た 基 礎 体 の 上 に適 当 な類 体 を構 成 し,最 後 に,拡 大 さ れ た類 体 を 実 際 に 求 め よ う と して い る類 体 に引 き下 ろ す 必 要 が あ る.こ の 簡単 な 記 述 で は 問 題 の 難 し さは と て も伝 わ ら な い(詳 細 は[17]を 見 よ). 2.

 第2の 方 法 は基 礎体 が総 実 で ある,ま

◆Gem17 類 体 の計 算 に お け るStarkの

予

た は 多 分 た だ1つ の 複 素 素 点 を持 つ, 場 合 に の み 適 用 可 能 で あ る.け れ ど

想 の利用

も,後 の場 合 は まだ す べ ての 詳 細 ま で わ か っ て い る訳 で は な い.そ

の ア イデ ア はH.Starkに

よ る驚 異 的 な

予 想 を利 用 す る.そ れ に よ る と,類 体 に含 まれ る適 当 な 単 数 の 共 役 元 の 数 値 が,あ

る ア ー ベ ルL‐ 関 数 のs=0に

る([53],[33],[17]を

お け る微 係 数 に よ り与 え られ

見 よ).予 想 に 基 づ い て い る け れ ど も,求 め る方 程

式 が 得 られ た な らば そ れ が 正 しい こ と を確 か め る の は 易 しい. 3.  第3の

方 法 は 基 礎 体 が 虚2次 体 の と き にの み適 用 可 能 で あ る,も っ と も

こ れ は上 の方 法 の特 別 な場 合 で,一 切 の 予 想 は不 必 要 で あ る.ア イデ ア は 虚 数 乗 法 論 と楕 円 曲線 の 等 分 点 の理

Gem18 類 体 の 計 算 にお け る 虚 数 乗 法 の

論 を使 う こ とで あ る.こ の 古 い理 論 に よ る と,合 同 イ デ ア ル 類 体 は あ る

利用

モ ジュ ラー 関 数(不 分 岐 の場 合),も っ と一 般 的 に は あ る種 の楕 円 関 数 の 適 当 な値 を用 い て構 成 す る こ とが で き る.直 接 利 用 す る と,得 主 にR.Schertzの

られ る 方程 式 は 非 常 に大 き な係 数 を持 って い る.

仕 事 の お か げ で,こ れ を よ り小 さい係 数 の方 程 式 を生

成 す る効 果 的 な ア ル ゴ リズ ム に 変換 す る こ とが で き る よ う に な っ た([17] を見 よ). Kroneckerの  

青 春 の夢 以 来,多

くの 数 論 家 た ち に 期 待 され て きた こ と は,

上 述 の2つ

の 解 析 的 方 法 を 一 般 の 基 礎 体 に 一 般 化 す る こ と で あ る.そ れ は

Kummer理

論 を用 い る方 法 よ りよ く,そ して よ り効 果 的 で あ る.今 の とこ ろ,

上 で 挙 げ た もの が すべ て で は な い に して も,こ れ は 可 能 と は な って い な い.

3.4 

表 の 作 成 と数 え 上 げ 問 題

今 ま で,与

え られ た 数 体 に 関 して   だ け 問 題 を考 察 して きた.し

の 族 を考 え る と き非 常 に 重 要 な 問 題 が あ る.1つ な族 を構 成 す る こ とで あ る.2つ 厳 密 に,あ

目 は,明

か し,数 体

らか に,そ の よ う

目 の 問題 は,与 え られ た族 に属 す る数 体 を

る い は漸 近 的 に数 え上 げ る こ とで あ る.最 後 に,与

え られ た族 に

対 して,類 群 や 単 数群 の よ う な,そ の 数体 の 不 変 量 の振 る 舞 い を考 察 す る こ とが で き る.こ れ らの 問 題 に つ い て順 に考 察 しよ う. ●数 体 の 族 の構 成 他 の 可 能 性 もあ   る が,誰 に,で

で も数 体 の 表 を,判 別 式 の 絶 対 値 の増 え て ゆ く順

きれ ば 与 え られ た符 号 や(ガ ロ ワ 閉被 の)ガ ロ ワ群 な どの 特 性 をつ け 加

え て,作

りた い と思 う.次 数2の

と き,こ れ は 実 質 的 に平 方 因 子 を持 た ない

整 数 の表 を作 る こ と に な り,問 題 は な い(実 際 には あ り得 ない が,因 数 分 解 に かか る時 間 が 問題 とな る程 の 範 囲 ま で を 除 く).驚 い た こ と に,次 数3に て は,H.DavenportとH.Heilbronnの は1997年

に次 数2の

理論的 な

おい

事 を用 い て,K.Belabas

場 合 と ほ と ん ど 同 じ く らい 易 しい こ と を示 した([6],

[17]を 見 よ).し た が っ て,問 題 は 次 数 が4か

ら始 ま る.本 質 的 に は2つ

の

方 法 が 用 い られ る. 歴 史 的 に は,最 初 の1つ

は 数 の 幾 何 学,と

くにJ.HunterとJ.Martinet

の理 論 に基 づ い て い る.こ れ は 手 間 は か か る が 完 全 な表 を作 る こ との で きる 一般 的 な方 法 で あ る .実 際 的 に は,上 で述 べ た よ う に計 算 にか か る 手 間 が 法 外 な もの と な る ため,次 数 は6ま

た は7ま

で に 限 られ る.例 え ば,次 数9の

体 の 最 小 の 判 別 式 は,お そ ら く,知 ら れ て い な い.手 荒 く言 う と,有 限 個 だ が非 常 に多 数(と きに は 数 十 億)の 候 補 とな る多 項 式 を選 び 出 して,そ の 中 か ら求 め る 数体 を抜 き出 す の で あ る.極 端 に 無 駄 の 多 い 方 法 で あ る が,全 般 的 に通 用 す る た だ1つ 2つ 目 の よ り新 しい,特 体 の 相 対2次

く一

の も の で あ る. に[7]と[21]([17]も  

見 よ)に 始 ま る方 法 で は,数

ま た は3次 拡 大 体 を類 体 論 を用 い て構 成 す る.こ れ は あ る種 の

ガ ロ ワ群 を持 つ拡 大 体 の 構 成 に 限 られ るが,類 体 論 の 中 の 多 くの 定 理 に よ り, と りわ け す べ て の2次 体,す

べ て の非 原 始 的 な6次 拡 大 体,さ

ら に4次 体 を

含 む よ うな8次 体 の す べ て を含 ん で い る([22]と[23]を

見 よ).こ の こ とは 可

能 な数 体 を制 限 す る け れ ど も,こ の 方 法 の 主 要 な利 点 は,数 の 幾 何 学 を用 い た 方 法 よ り もは る か に 速 く効 率 的 で あ る こ とで あ る.な ぜ な ら,求 め る数 体 を探 す の に無 駄 が ない か らで あ る. ● 数 体 の族 の数 え上 げ (ガ ロ ワ 閉被 の)ガ   ロ ワ群 と さ らに お そ ら く符 号 も与 え られ た場 合 につ い て, 与 え られ た 群 と符 号 を持 つ 数 体 の 同 型 類 の 概 数 や,判

別 式 の 絶 対 値 がX以

下 の もの の 個 数 な どが 問題 とな る.こ れ は非 常 に難 し く,大 部 分 は解 け て い な い 問題 で あ る.同 様 な 問 題 が 相 対 拡 大 の 場 合 に もあ る. 次 数2の

と き,答 え は 易 し く,そ れ は〓

 

で あ る.驚

くべ き こ と に,相 対 的 な2次 拡 大 の場 合 に対 応 す る 答 え も非 常 に単 純 で あ る が,証 明 す る の は難 しい([24]を 見 よ).次 数3の い が,非

ガ ロ ワの 場 合 の 結 果(1/3ζ(3)・X)はDavenportとHeilbronnの

定 理[36]の

帰 結 で あ り,証 明 はか な り難 しい.ガ ロ ワの 場 合 は著 者 と協 力 者

た ちの 仕 事[24]に

よ り,非 ガ ロ ワの 場 合 はDatskowsky

よ る さ ら に重 要 な仕 事 に よ っ て,相 対3次 数4の

場 合,ガ

難 しい.そ

の よ うな 結 果 が1999年

と2000年

意 の 次 数nに

上 の 場 合,本

に 著 者 と協 力 者 た ち[25]に

よ

方 法[59]

場 合 に ま で拡 張 で きる べ きで あ るが,

質 的 には な に も知 られ て い ない.予 想 と して は,任

対 し て,次 数nで

の 個 数 は,漸 近 的 にcn･X(cnは

判 別 式 の 絶 対 値 がX以

下 の 数 体 の 同型 類

定 数)と 表 され る.さ

ら に,す べ て の 次 数

の 数 体 の 中 で,判 別 式 の絶 対 値 がX以 X(cは

ガ ロ ワの 場 合 は は る か に

信)に よ り得 ら れ て い る.Yukieの

くらか 困 難 は あ る もの の 次 数5の

次 数 が5以

and Wright[35]に

の 場 合 の 結 果 も知 られ て い る.次

ロ ワの 場 合 は全 く易 しい.他 方,非

り,ま た,WrightとYukie(私 は,い

と き,ガ ロ ワ の場 合 は易 し

下 の もの の 同 型 類 の 個 数 は漸 近 的 に

定 数)で あ る とい う予 想 もあ る.

c･

も し(ガ ロ ワ 閉 被 が)与 え ら れ た ガ ロ ワ群   を持 ち,判 別 式 の 絶 対 値 がX以 下 の 数 体 の 同型 類 の 個 数 の 漸 近 的振 る舞 い の み で な く正 確 な 個 数 に も興 味 を 持 つ な ら,結 局 そ れ らの 数 体 の 表 を作 成 す る こ とに な る.こ れ は上 で 述 べ た 場 合 に は 実 行 され 得 る が,拡 大 が 正 規 の 場 合 に は も っ とは る か に効 率 的 に な され る(詳 細 は[26]を 見 よ).

●数 体 に お け る類 群 と単 数 基 準 の 振 る 舞 い お そ ら く代 数 的 整 数 論 の 中 で 最 も 興 味 が  持 た れ る の は,イ

デ ア ル類 群 と類 数

の 振 る舞 い に つ い て あ ま り よ くわ か っ て い な い と い う こ と だ ろ う.例 え ば 最 も 簡 単 な 場 合 と して,判

別 式D＜0を

理 よ り,類 数 は 任 意 の ε ＞0に

持 つ 虚2次 対 し てD1/2-ε

定 理 は 全 く非 効 果 的(ineffective)で nerの

の 虚2次

あ り,1968年

D.Zagier[40]に

に よ うや く(そ の 前 のHeeg よ っ て,す

で に 知 ら れ て い る類

体 の リ ス トが 完 全 で あ る こ とが 示 さ れ,そ

リ ス トが 続 い た.D.Goldfeldの

仕 事 を 受 け て,1981年

よ り大 発 展 が あ り,虚2次

類 数 の 効 果 的(effective)な

定

よ り速 く増 大 す る.し か し,こ の

仕 事 に 続 い た)H.StarkとA.Bakerに

数1の9個 2の

体 を 考 え よ う.C.L.Siegelの

体 で￨D￨が

の2年

後 に類 数

にB.Gross

and

無 限大 に な る と きの

下 限 が 初 め て 見 つ か っ た(本 質 的 に はlog(￨D￨)). し た が っ てSiegelの

非 効 果 的 な下 限 とは

Gem19

ほ ど遠 い.注 Goldfeld-Gross-Zagierの

意 し て お く と,Gross-Zagier

仕 事

の 基 礎 的 な仕 事 は類 数 へ の 応 用 以 外 に も

ず っ と広 く適 用 され る もの で あ る が,こ

こ で 止 め て お こ う.

実2次 体 の 場 合,事 情 は全 く異 な って い る.類 数 表 を ざっ   と眺 め る と,判 別 式 が 素 数 の もの の 中 で 類 数 が1で

あ る確 率 が 高 い(3/4以

上)よ う に見 え る.

この こ との 証 明 は とて も手 が 届 か ない よ う に思 え る.そ れ ど こ ろか,も 弱 い 次 の結 果 さ え証 明 で きそ う に な い:類 数1の

っと

数 体 の 同型 類 は無 数 に あ る

(例 え ば,判 別 式 が 素 数 の 実2次 体 の 中 か ら取 れ る).  しか し な が ら,1982年

に 著 者 とH.W.

Gem20 Lenstraは2つ

数 体 の類 群 に 関 す る発 見 的 原 理

の 非 常 に簡 単 な 発 見 的 な

原 理 を 立 て て,そ

振 る 舞 い に 関 し て の 統 一 的 な 予 想 に 定 式 化 し た([29]を とJ.Martinetに

こ か ら2次 見 よ).こ

よ り一 般 の 数 体 に 拡 張 さ れ た([30],[31],[32]を

ば こ の 予 想 に よ り,判 別 式 が 素 数 の 実2次 よ る 予 想 で は3/4,が

体 で 類 数 が1の

実 際 に は あ る 特 別 な 無 限 積 に,数

体 の類群 の れ は 後 に著 者 見 よ).例

もの の 割 合,観

え 察に

値 的 に は0.75446...,

に 等 し い こ とが 出 て く る. 上 で 述 べ た よ う に,こ   れ ら の 精 密 化 さ れ た 予 想 の 証 明 は,あ 弱 い 予 想 の 証 明 に し て も,と

るい は もっ と

て も 我 々 の 手 の 届 く と こ ろ に は な い と 思 わ れ る.

4.  数 論 的‐幾 何 的 対 応

と 数 論 的‐解 析 的

関係

こ れ は 厳 密 に は計 算 的 ま た は 数論 的 な主 題 で は ない が,明   類 の対 象 の 間 を 結 ん で い る重 要 な1対1対 張 に 関 す る 要 約,を

応,ま

らか に異 な る種

た は そ れ と同 じ タイ プ の 主

この 節 で与 えて お くこ とは 意 味 深 い こ と だ と思 う.こ の

リス トは私 の個 人 的 な もの で,ま た 異 な っ た リス トを持 つ 他 の 数 学 者 もい る だ ろ う.他 の節 と異 な り,"珠 玉(Gem)"を

挙 げ て い な い.こ

こ に提 示 した

結 果 や 予 想 の ほ と ん どす べ て が 珠 玉 なの だ か ら.

4.1 

数 論 的‐幾 何 的 対 応

私 の 気 に 入 っ て い る 対 応 は次 の よ う な もの で あ る. 1.  リー マ ン面,純 粋 に解 析 的 対 象 と して定 義 され て い る,に 関 す る基 本 定 理 の1つ

は,リ ー マ ン面 に は ま た代 数 的構 造 を与 え る こ とが 可 能 で あ る,と

述 べ て い る.歴 史 的 に は,こ れ は最 初 のGAGA(geometrie geometrie

analytique)タ

algebrique,

イ プ の 定 理 で あ り,も ち ろ ん今 で も きわ め て

重 要 な もの で あ る. 2.  ず っ と最 近 に な っ て,Belyiの

定 理 はA.Weilの

と に よ り,射 影 直 線 の 被 覆 で0,1and∞

昔 の 仕 事 と結 びつ く こ

で 分 岐 す る もの は 数 体 上 定 義

され る代 数 曲線 と 同値 で あ る こ と を示 した.こ の こ と は ガ ロ ワの 逆 問 題, 言 い 換 え る とQの

代 数 的 閉 包 の ガ ロ ワ群 の 構 造,に 関 す る興 味 に改 め て

火 をつ け た. 3. ガ ロ ワ拡 大 の 部 分 拡 大 体 と ガ ロ ワ群 の部 分 群 の 間 の ガ ロ ワ対 応. 4.  1の 原 始n乗

根 を含 む数 体Kの

の 有 限 部 分 群 との 間 のKummer対 5.  数体Kの

指 数nの

ア ー ベ ル拡 大 体 とK*/K*n

応.

ア ー ベ ル拡 大 体 と合 同 類群 の 間 のArtin‐ 高 木 対 応.論

文の証

明 な ど で,数 論 に お け る これ ら3つ の重 要 結 果 を使 う と きに は,多 場 合,"ガ

ロ ワ 理 論 よ り"と か"Kummer理

論 よ り","類

体 論 よ り"と

い う よ う に要 約 され る.同 様 な対 応 が一 般 の 大 域 体 に も,そ ベ ル に もあ る.

くの

して 局 所 レ

6.  保 型 表 現 とガ ロ ワ表 現 の 間 にあ る局 所 的 と大 域 的Langlands対 年 以 来,局

所 の 場 合[42]と

大 域 体 で も関 数 体 上 の 場 合[46]に

応.1999 おい ては

定 理 で あ る が,数 体 上 で は未 だ に予 想 で あ る. 7.  重 さ2の

固 有 モ ジ ュ ラ ー形 式 とQ上

志 村‐Weil対 応 は,1995年 明 さ れ,1999年

定 義 され る楕 円 曲線 の 間 の 谷 山‐

にWilesとTaylor‐Wilesに

よ りほ とん ど証

に[10]で 完 全 に示 さ れ た.

8.  有 限 体 上 の奇 の既 約2次

元 ガ ロ ワ表 現 と原 始 的 尖 点 形 式 の 間 のSerreの

予 想 的対 応. 9.  重 さ1の

固 有 モ ジ ュ ラー 形 式 と(Artin予

複 素 ガ ロ ワ表 現 の 間 のDeligne‐Serre対 10. 固 有 モ ジ ュ ラ ー 形式 と2次 元l進   上 で 共 通 す る の は,す

想 の元 で示 され る)奇 の2次 元 応.

ガ ロ ワ 表 現 の 間 のDeligne対

応.

で に 述 べ た よ う に,そ れ ぞ れ の 対 応 が か な り異 な っ

た 方 法 で 定 義 され る 対 象 を結 び つ け て い る こ とで あ る.

4.2 

数 論 的‐解 析 的

関係

  代 数 的 な対 象 と解 析 的 な対 象 の 間 に あ る 関係 は も う少 し異 な る種 類 の 関 係 で あ る(そ の 中 の い くつ か は もち ろ ん す で に 上 の リ ス トに挙 が っ て い る が). そ の ほ とん どは 予 想 で あ り,す べ てが 魅 力 的 で あ る. 1. この よ うな 関係 の原 型 はDedekindゼ Hecke以

来,ゼ

ー タ関 数 は全 複 素 平 面 へ 解 析 接 続 され(s=1で

位 の 極 を持 つ),あ

の み1

る 関 数 等 式 を満 たす こ とが 知 られ て い る.Dedekind

の 類 数 と単 数 規 準 の公 式 はDedekindゼ と最 初 の0で

ー タ関 数 に結 びつ い た もの で あ る.

ー タ 関数 のs=0に

な い 微 係 数 の 値 と を,類 数,単

の べ き根(さ ら に,代 わ りに点s=1を

数 規 準,Kに

お け る位 数 含 まれ る1

考 え る な ら判 別 式 と符 号 も)と

い う純 代 数 的 な量 を使 って 与 え る.   他 方,Dedekindゼ

ー タ関 数 の 整 数 に お け る 値 は,次

予 想 に よ り推 測 さ れ て い る:こ れ ら の値 を高 次K群 Lichtenbaum予

想,ガ

の3つ

の異 な る

の 言葉 で与 え る

ロ ワ ・コホ モ ロ ジ ー の 言 葉 で 与 え るBloch‐Kato

予 想,ポ

リ対 数 関 数 の 特 殊 値 を用 い て与 え るZagier予

2. これ ら は 直 ち にQ上

が で き る.上 述 のWilesた 線 のL関

想.

定 義 され る楕 円 曲 線 に お け る状 況 と比 較 す る こ と ちの 仕 事 に よ り,1999年

以 来 そ の よ うな 曲

数 は 全 複 素 平 面 へ 解析 接 続 され て 関 数 等 式 を持 つ こ とが 知 られ

て い る.BirchとSwinnerton‐Dyer(BSD)予 に お け る位 数 と そ の 最 初 の0で

想 は このL関

数 のs=1

な い 微 係 数 を,楕 円 曲線 の 純 粋 に 代 数‐

幾 何 的 な 不 変 量(そ れ らは 対 応 す る 数 体 の 不 変 量 の 類 似 で あ る と考 え ら れ て い る)を 用 い て予 言 す る.BSD予 に お け る零 点 の 位 数 が 高 々1の

想 は あ る場 合(本 質 的 に はs=1

場 合)に の み 証 明 され て お り,こ の 場 合 と呼 ば れ る,は 階 数 が0ま

の類 群 に類 似 す る もの,Tate‐Shafarevich群 た は1の

場 合 を 除 くと有 限 で あ る こ とす ら知 られ て い ない こ とは 注 目 に

値 す る. 3.  Artin L関 数 は有 限 ガ ロ ワ群 の表 現 に 自然 に付 随 す る もの で ,Dedekind ゼ ー タ 関 数(こ れ は正 則 表 現 に 付 随 す るArtin

L関

数 で あ る)の 分 解 に

現 れ る.こ れ らの 関数 が 有 理 的 接 続 され 関 数 等 式 を持 つ こ と は,1947年 のBrauer以

来 知 ら れ て い る が,そ

れ らが 正 則(s=1が

性 を除 い て)で あ ろ う とい う重 要 な予 想 が あ る.こ 解 か れ て い る.そ の 中 には,1次 表 現),こ

極 で ある可能

れは特別 な場合 のみ

元 表 現(ま た はそ れ か ら引 き起 こ され る

れ に対 して はDirichlet  L関

数 が 正 則 性 と 同値 だ か ら易 しい , れ は保 型 形 式 か ら来 る場 合(こ れ は よ り深

と ほ とん どの2次

元 表 現,こ

く,Langlandsプ

ロ グ ラム の 一 部 で あ る),さ らに い くつ か の 高 次 元 表 現

が含 まれ て い る.s=0ま 係 数 はStark予

た はs=1に

お け る零 点 の位 数 とそ こで の 微

想 の 主 要 部 で あ り,す で に上 で 見 た よ う に,ア ル ゴ リズ

ムの 実 践 に非 常 に 有 益 で あ る. 4.  い わ ゆ る 岩 澤 の"Main

Conjectures"(MC)もL関

数 の 値 と 数 論 的不

変 量 を結 ぶ とい う一 般 的 枠 の 中 に入 り,そ してFermatの す るKummerの

仕 事 の ず っ と深 い 延 長 で あ る と考 え られ る .本 質 的 に

は,そ れ は複 素L関 ら来 るp進L関

数 のp進

補 間 とZp拡

数 と を結 んで い る.こ

年 にB.MazurとA.Wiles[47]に K.Rubinに

最 終定理 に関

大 に付 随 す る あ る種 の 表 現 か

れ らの 予 想 はQ上

よ り,虚2次

よ り証 明 され た[54].BSD予

想 のp進

の 場 合1984

体 の 場 合1989年

に

類 似 も あ り,こ れ

はMC哲

学 の 一 部 で あ る.数 論 的 対 象 と解 析 的対 象 の 間 の 結 び つ きの 長

期 間 の探 索 を も た らす こ と に な っ た 決 定 的 な 貢 献 の1つ [45]に よ って 導 入 さ れ たEulerシ 中 に は,例 え ば 円 分 単 数,楕 Heegnerま

た はHecke

に現 れ る不 変 量,特

は,Kolyvagin

ス テ ム の 概 念 に よ り与 え られ た.こ の

円単 数 また は モ ジ ュ ラー単 数,Stark単

pointsな

どが 含 まれ て い る.そ

にTate‐Shafarevich群,に

数,

して, BSD予

想

対 す る よ りよ い理 解 を

与 え て い る.

5.  数 論 幾 何 学 5.1 

序

  数 論 幾 何 学 の 最 も基 本 的 問題 の1つ ま た は数 体,の

は,あ

る 体,通

常 は 有 限体,p進

体

上 に 与 え られ た代 数 多 様 体 の有 理 点 集 合 を決 定 す る こ とで あ

る.こ れ は ま だ ご く初 期 の 段 階 に あ る広 大 な 問 題 で あ る.特 に,そ の 中 に は デ ィオ フ ァ ン トス 方程 式(多 項式 で表 され る方 程 式 で そ のす べ て の整 数 ま た は 有 理 数 解 を求 め る こ とが 目的 とな る)の 解 を求 め る こ とが 含 まれ て お り,Y. Matiyasevitchの

否 定 的結 果 以 来,こ

れ を実 行 す る一 般 的 な ア ル ゴ リズ ム は

存 在 し得 な い と い う こ と は よ く知 られ て い る.   そ れ に も関 わ らず,か な り多 くの興 味 深 い ア ル ゴ リズ ム が 開発 され て い る の で,そ

れ ら の い くつ か につ い て 触 れ てみ た い.代

数 曲線 は お そ ら く最 も単

純 な代 数 多 様 体 だ か ら,ほ と ん ど の 関心 は そ れ らに集 中 す る.し か しなが ら, 曲線 上 の 点 を 調 べ る こ と は,本 質 的 に は そ の ヤ コ ビ多 様 体(代 数 群 の 構 造 を 持 つ,通

常,よ

り高 次 元 の 代 数 多 様 体)の 上 の 点 を 調 べ る こ と で あ る こ とが

明 らか に な っ た.こ の 最 後 の話 題 につ い て は議 論 を す る余 地 は ない が,こ

れ

も非 常 に 重 要 で あ る こ と は 明 らか で あ る.   代 数 曲線 は そ の種 数(genus)に で あ る.種 数0の

曲線 は2次

よ り分 類 され る.種 数 は純 位 相 的 な不 変 数

曲線 で あ り,有 理 点 の 存 在 性 に関 して い くつ か

の 問 題 は あ る も の の,あ

ま り興 味 深 い もの と は考 え られ て い ない.Mordell

予 想 に 関 す るFaltingsの

定 理[38]に

よ り,種 数g≧2の

曲線 は任 意 の 数 体

上 で 有 限個 の 点 しか 持 た な い.不 幸 な こ と に,こ の 定 理 は 効 果 的 で な く,し

た が っ て 実 際 に これ らの 点 を見 つ け る の は非 常 に難 しい 問 題 で あ る(下 を見 よ).こ の よ うな こ とか ら,種 数g=1の

場 合 が 特 に興 味 あ る もの に な る.そ

の 定 義 体 上 に少 な くと も1点 を持 って い る種 数1の

曲線 は 楕 円 曲 線 と呼 ば れ

る.そ れ は そ の ヤ コ ビ多 様 体 と同型 で あ っ て,し た が って,代 持 っ て い る.こ の性 質 が,す

数 群 の構 造 を

で に上 で 見 て き た よ う に,因 数 分 解 や 素 数 判 定

に お い て 楕 円 曲線 が 役 に立 つ 主 な理 由 で あ る.し か し,こ こで は楕 円 曲線 を そ れ 自身 の た め に 調 べ よ う.数 論 の 中 で い つ もす る よ う に,ま ず,有 限 体 上 で の状 況 を考 察 す る.こ

の場 合 は 大 抵 全 く簡 単 で あ る.そ れ か ら数 体 上 の考

察 に入 ろ う.

5.2 

有 限 体 上 の 楕 円 曲線

  Eを あ る有 限 体Fq上 に定 義 され た楕 円 曲線 とす る. Hasseの EのFq上 の 点 の個 数NE(Fq)は

定 理 よ り,

〓 ここで〓 の 形 を して い る.有 限 体 上 の楕 円 曲線 に関 す る 主 な 問 題 は,こ の 数NE(Fq) (ま た はaq)を

正 確 に 求 め る こ とで あ る.そ

の た め の 素 朴 な方 法 はEを

定 義 す る 具体 的 な3次 方程 式 を用 い て,方 程 式 上 の 点 の個 数 を数 え上 げ る こ とで あ る.こ れ は い くつ か のLegendre記 のO(〓)ア

ル ゴ リ ズ ム を与 え る.こ

号 の 和 を求 め る こ と に な り,1つ れ ほ ど素 朴 で は な い が,因

類 群 の 文 脈 で す で に述 べ た,Shanksのbaby‐step  法 もあ る.原 理 的 に は,こ の 方 法 は 群Gの け るが,Hasseの O(〓)ア

定 理 よ りGの

数分解 と

giant‐step法 を用 い る 方

位 数 をO(〓)時

位 数 はわ ず かq1/2の

間で見 つ

オ ー ダ とい う こ と か ら

ル ゴ リズ ム が 得 ら れ,素 朴 な方 法 と比 べ て か な りの 改 良 と な っ

て い る.

  1985年

にR.SchoofがNE(Fq)を

計 算 す る た め の多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ

ム を 見 つ け る こ と に よ り大 進 展 が 起 こ っ た .彼 適 当 な 素 数lに

対 す るFrobenius写

の 情 報 を 得 る と こ ろ に あ る.後 の 限 界 を 用 い てaqが

求 ま る.こ

像〓

は,Chinese

の ア ル ゴ リズ ム の ア イ デ ア は の 性 質 を 用 い てaq remainder

modl

theoremとHasse

れ は 多 くの 理 論 的 示 唆 を 含 ん で い る(例

え

ば,法pで

の 平 方 根 を 計 算 す る た め の 決 定 的 多 項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム が 存 在

す る こ と,こ

れ はSchoofの

しか しSchoofに O.Atkinに Lercierと

定 理 以 前 に は 知 ら れ て い な か っ た 結 果 で あ る).

よ り与 え ら れ た ア ル ゴ リ ズ ム は あ ま り 実 用 的 で は な か っ た.

始 ま り, F. Morain,そ

し てN.

Elkies,

J. ‐M. Couveignes,

M.

続 く 多 くの 仕 事 に よ り 元 来 の ア ル ゴ リ ズ ム が 非 常 に 実 用 的 な も の

に 変 え ら れ て,今

で は 非 常 に 大 き なq(1000桁

算 す る こ と が 可 能 で あ る.こ

以 上)に

対 し てNE(Fq)を

の 実 用 的 ア ル ゴ リ ズ ム は,例

き な 素 数 で あ る 場 合 を 考 え る と き と,qが

小 さ な 素 数,例

え ばqが

計

非 常 に大

え ば2,の

大 きな

べ き で あ る 場 合 を 考 え る と き と で は 全 く 異 な っ て い る こ と に 注 意 し よ う.以 上 の よ う に,こ

の 問 題 は 実 際 的 に は 解 決 し た と 考 え ら れ る.

  楕 円 曲線 に 関 す る離 散 対 数 問 題 に対 す Gem 

21

る状 況 は 全 く異 な っ て い る.こ の 問題 は,

楕 円 曲線 に 関 す るSchoofの

多

有 限 体 に対 す る もの の 類 似 で,次

項 式 時 間 ア ル ゴ リズ ム 与 え ら れ て,(Pの

の よう

な もの で あ る:曲 線 上 に2点PとQが

位 数 を法 と して 定 ま る)あ る整 数kに

とな る こ と を知 っ て い る と き,kを

対 してQ=k・P

求 め よ.有 限 体 の 場 合 に は,因 数 分 解 と

同 じ程 度 の 効 率 の,言 い 換 え れ ば 期 待 的準 指 数 関 数 の 実 行 時 間 の,方 法 が あ る.楕 円 曲 線 の 場 合 に は,Shanksのbaby‐step O(〓)法

giant‐step法 また は類 似 の

が,現 在 知 られ て い る最 良 の 方 法 で あ る.こ の こ とは,現 在,離

散 対 数 に 基 づ く楕 円 曲線 暗号 の 有 用 性 が増 加 して い る こ と を説 明 して い る.

5.3 

数 体 上 の 楕 円 曲線

  数 体Kの

上 で 定 義 され る楕 円 曲線Eを

少 な くと も2つ

あ る.1つ

あ る もの)全 体E(K)を

目 はE上

の 有 理 点(Eの

点 で座 標 がKの

具 体 的 に計 算 す る こ とで あ る.Eは

れ らは 群 とな っ て い る.2つ

目の 問 題 は,Eの

持 つ 有 理 点)を 求 め る こ とで あ る.2つ ば種 数1の

考 え よ う.考 察 され るべ き問 題 が 中に

代 数 群 だ か らそ

整 数 点(代 数 的 整 数 を座 標 に

目の 問題 が 意 味 を持 つ た め に は,例 え

曲 線 を定 義 す る あ る 方程 式 に よ り,Eの

明 示 的 な モ デ ル を与 え る

必 要 が あ る.な ぜ な ら,整 数 点 の集 合 は モ デ ル に依 存 す る か ら で あ る.C.

L.

Siegelの

定 理 よ り,整

るFaltingsの  

数 点 の 集 合 は 有 限 集 合 で あ る が , Mordell予

定 理 と 同 様 で,こ

想 に関す

の 定 理 は効 果 的 で は な い .

最 初 の 問 題 を考 え よ う.そ れ は 有 理 点 を 求 め る 問 題 で あ る.MordellとWeil

の 定 理 よ り,有

理 点 群E(K)は

有 限 生 成 で あ る .す

有 限 な 元 全 体 の 作 るtorsion部 はr個

分 群 は 有 限 群 で,自

て い る.ア

Swinnerton‐Dyer予

か し,こ

の 場 合 に はL関

大 抵 不 可 能 で あ る.し

場 合,上

仮 定 の 下 で も,そ

数 の 値)が

ン ピ ュ ー タ に とっ て

正 確 に0に

値 的 に はrの

え ばr≦5)を

計 算 を

,あ

らに る近

等 しい こ とを 示 す の は

正 し い 値(少

な く と もrが

見 つ け た と 確 信 が あ っ て も ,た

と

れ が 証 明 さ れ た わ けで は な い .

  現 在 使 わ れ て い る 一 般 的 な 方 法 は,す 法 を 利 用 す る こ と で あ る.そ

述 のBirchと

析 的 な 方 法 を 使 っ て 階 数rの

れ に 対 し て さ え 大 き な 障 害 が あ り,さ

た が っ て,数

あ ま り大 き く な い と き,例

と呼 ば れ

分 群 の 決 定 は 易 し い.

場 合 で あ るK=Qの

い く つ か の 数 値 的 な 仮 定 を す る 必 要 が あ る:コ 似 的 な 実 数(こ

この 曲線 の 数

決 定 に あ る.

想 を 仮 定 す れ ば,解

試 み る こ と が で き る.し

part)

も ち ろ んEのMordell‐Weil群

に 階 数rの

  す で に 完 全 にopenな

えBSDの

こ で ,rは

ル ゴ リ ズ ム 的 に 言 う と,E(K)のtorsion部

問 題 全 体 は 自 由 部 分,特

位 数

由 部 分(nontorsion

の 生 成 元 に 関 す る 自 由 ア ー ベ ル 群 で あ る.こ

論 的 階 数 と 呼 ば れ る.群E(K)は

な わ ち,E(K)の

で にFermatが

れ は 本 質 的 に は,大

使 っ て い る"降

下"

抵 は も っ と多 く の 方 程 式 を

追 加 す る こ と に よ っ て,考

え て い る デ ィ オ フ ァ ン トス 方 程 式 の 解 の サ イ ズ を

小 さ く す る こ と に あ る.こ

の こ と は,K=Qの

り,他

場 合 に はJ . Cremonaに

の い く つ か の 数 体 の 場 合 に も 他 の 人 々 に よ り,完

れ て い る.Cremonaの

プ ロ グ ラ ム は,現

在 の と こ ろ,

よ

全 に プログラム化 さ Q上

定 義 され る楕 円

曲 線 のMordell‐Weil群

を計 算 す る た め に手 に入 れ る こ との で きる 手 法 の 中

で 最 良 の も の で あ る.し

か し,た

と え 全 く小 さ な 場 合 で も ,Cremonaの

プ ロ

グ ラ ム は 無 条 件 で そ の 群 を見 つ け る こ とは で き な い とい う こ とを 強調 して お こ う.こ

の よ う に,こ

  そ れ で は2番

こ で の 状 況 は あ ま り満 足 で き る 状 態 で は な い

目の 問題,整 数 点 を見 つ け る 問題 に移 ろ う.Siegelの

果 的 で な い に も 関 わ ら ず,こ

の 場 合 は,対

と そ の 後 継 者 た ち に よ る 仕 事,原 に 満 足 で き る 状 況 に あ る.D.

数 係 数 の1次

定理が効

形 式 に 関 す るA

則 的には効果 的な結果の おかげで

Zagier , N. TzanakisとB.

.

.Baker ,は

de Wegerに

るか よ り

始 め ら れ た こ の 方 法 は 楕 円 対 数(本 質 的 に はWeierstrassの〓 を係 数 と す る1次

形 式 を 使 う.以 下 の よ う に 進 む.ま

プ ロ グ ラ ム を 用 い てMordell‐Weil群 述 べ た よ う に,こ

が す む と,後

は 一 直 線 で あ る.Bakerに

し たS.Davidの

ず,例

を 求 め る.明

題 で あ り,今

ら か に ,こ

る.し

か し,再

びLLLア

探 索 が 可 能 と な る.今 ばS‐integral多 る.相

Gem  Bakerの

で は,こ

え ば10,に

成元

え ば101000で

減 っ て し ま い,手

の 驚 異 的 な 方 法 が,よ

含 む,多

度 これ

れ ら の 限 界 はBaker

ル ゴ リ ズ ム の 魔 法 が 適 用 で き て,そ

項 式)を

変 わ ら ず,主

か し,一

よ る限 界 を楕 円 曲線 の 場 合 に一 般 化

常 そ れ は 非 常 に 大 き く て,例

ど い つ で も取 り扱 え る サ イ ズ,例

れが最重 要問

の 任 意 の 整 数 点 のMordell‐Weil生

に 関 す る 座 標 の 限 界 を 見 つ け る こ と は 困 難 で は な い.こ な わ ち,通

え ばCremonaの

れ は 不 満 足 な 状 況 に あ る.し

仕 事 に よ り, E上

タ イ プ で あ る.す

関 数 の 逆 関 数)

あ

の 限界 はほ とん 当 た り次 第 の

り一 般 的 な タ イ プ(例 え

くの状 況 にお い て適 用 さ れ成 功 を収 め て い

な 障 害 と な る の は 初 期 のMordell‐Weil群

  A.Bakerの(通

22

の 計 算 で あ る.

常 の)対 数 係 数 の1次

形 式 に 関 す る仕 事 の 直 後 に,か

限 界 の 縮 小 へ のLLLア

た ち がBaker限

ル ゴ リズ ム の利 用

な りの 人

界 を小 さ くす る ため に あ

る種 の変 形 を用 い る とい う ア イデ ア を持 っ て い た こ と を注 意 して お く.LLLア は2つ

の,と

ル ゴ リズ ムが な い た め に,こ れ が 実 際 に

き に は通 常 の 連 分 数 アル ゴ リズ ム を使 う こ と に よ り3つ の ,対

数 につ い て の み しか 実 行 で き な い.

5.4 

楕 円 曲 線 の表 の作 成

  も う1つ の 重 要 な ア ル ゴ リズ ムの 問 題 に楕 円 曲線 の表 の作 成 が あ る.有 限 体 上 で こ の 仕 事 を行 うの は本 質 的 に 自明 で あ る の で,数 体 上,特 主 な 問題 と な る.A.

Wilesと

にQ上

が

そ れ に 続 く人 た ち([10]を 見 よ)に よ り, Q上

定 義 され る す べ て の 楕 円 曲 線 は モ ジ ュ ラ ー で あ る.こ

れ はXo(N)と

呼ばれ

る 既 知 の 曲線 の ヤ コ ビ多 様 体 の 商 多様 体 と して得 られ る こ と を意 味 して い る . これ は与 え られ た導 手 を持 つ す べ て の楕 円 曲 線 を計 算 す る た め の 効 果 的 な ア ル ゴ リズ ム を与 え る.こ

の計 算 を実 行 す る た め に用 い られ る最 も重 要 な手 段

の1つ

に,B.

MazurとY.

念 が あ る.計

Maninに

算 の 詳 細 は[34]に

項 式 時 間 で あ る に も 関 わ ら ず,非 は,完

よ り導 入 さ れ た,モ

述 べ ら れ て い る.そ

の 計 算 は,原

常 に 重 い も の で,こ

全 な 計 算 は 導 手 が わ ず か6000ま

ジ ュ ラ ー 記 号 の概 理 的には多

れ を書 い て い る時 点 で

で が 済 ん で い て,導

手10000ま

でが

見 込 ま れ て い る.

5.5 

種 数 の 高 い代 数 曲 線 とア ーベ ル多 様 体

  楕 円 曲線 につ い て 上 で 述 べ た ア ル ゴ リ ズ ム の 多 くは ヤ コ ビ多 様 体,さ ら に 一 般 の ア ー ベ ル多 様 体 の 場 合 に まで 一 般 化 で き るが ,実 際 に は そ れ らは 全 く 非 能 率 的 な もの で あ る.   種 数 の 高 い 曲 線 で の 状 況 は もっ と断 片 的 で あ る.Mordell予 Faltingsの

想 に関す る

定 理 か ら見 る と,主 要 問題 は 曲線 の有 理 点 を具 体 的 に決 定 す る こ

と に あ る.い

くつ か の 効 果 的 方 法 が 知 られ て い る.例

Mordell‐Weil階

え ば,ヤ

コ ビ多 様 体 の

数 が そ の 曲線 の種 数 よ り小 さ い と きに は, Chabautyの

的 方 法 に よ りすべ て の 整 数 点 が 計 算 で きる.こ れ はFlynnに

効果

よ り実 行 され て

い る.   特 に 印 象 的 な 例 がJ.‐P.Serreに x4+y4=17上 れ は,Wilesに

よ り証 明 さ れ たFermatの

る よ う に 見 え る.Fermatの 4+y4=1に

よ っ て 問 題 と し て 提 出 さ れ て い る.曲

に 点(士1,±2)and(土2,±1)以

場 合 は,

最 終 定 理 よ りは る か に 単 純 で あ

Fermat自

関 す る定 理 の 一 般 化 で あ り ,無

の 実 りの な い 挑 戦 の あ げ く,こ

線

外 に 有 理 点 が あ る か?こ

身 に よ り証 明 され た方 程 式 数 の 指 数 を 含 ん で い る.多

の 問 題 はV.FlynnとJ.

Wetherellに

x く

よ り証

明 さ れ た ば か り だ.

6. 

結 論: 

21世

紀 へ の 挑 戦

  こ こ で 世 紀 に 向 か っ て(厳 密 に ア ル ゴ リ ズ ム 的 で な い に せ よ)ア ル ゴ リ ズ ム 的 性 格 を持 つ 数 論 的 挑 戦 で 何 が 最 も 重 要 な も の と 考 え ら れ る か に つ い て,こ の 小 文 に 出 て き た 順 に ま と め る.し

た が っ て 重 要 性 の 順 で は な い.

1.  漸 近 的 に(そ し て実 用 的 に)NFSよ

り速 い 因数 分 解 アル ゴ リズ ム を見 つ

け よ.多 項 式 時 間 の 因数 分 解 ア ル ゴ リズ ム が あ っ て い い で は な い か.こ れ は,も 事[57]よ

ち ろ ん,主

に 暗 号 理論 に成 果 を も た らす だ ろ う.P.

Shorの

仕

り,こ の こ とは量 子 コ ン ピ ュ ー タ を用 い る と可 能 と な る こ とが

知 られ て い るが,そ 不 可 能 な の か?こ

の と き には,そ

の よ う な道 具 を使 っ て い っ た い何 が

れ を書 い て い る時 点 で は,実 用 的 な量 子 コ ン ピ ュ ー タ

が い つ か作 ら れ る の か ど うか 誰 も知 らな い. 2.  期 待 実 行 時 間がNFSに

匹敵 す る よ うな,類 群 と単 数 群 ア ル ゴ リズ ム,対

応 す る単項 化 アル ゴ リズ ム も,を 見 つ け よ.最 近 こ の方 向 で の進 展 が あ っ た([11]を 見 よ). 3.  Kroneckerの

青 春 の夢:解

析 的方 法 に よ り,あ の 重 いKummer式

を用 い る こ とな く,数 体 上 のHilbert類

機械

体 お よ び合 同類 体 を計 算 す る ア

ル ゴ リズ ム を見 つ け よ。 こ の方 向 で は,Stark予

想 が,重

要で あるが し

か し不 十 分 な,進 歩 の構城 要 素 とな る. 4.  数体 の相 対 拡 大 に対 して効 率 的 で役 に立 つLLLア 5.  任 意 の 次 数nに

対 して,次 数nで

同 型 類 の 個 数 が 漸 近 的 に,あ

ル ゴ リズ ム を見 つ け よ.

判 別 式 の絶 対 値 がX以

る定 数cnに

よ りcn・Xで

数 を固 定 しな い な ら,こ の 数 は あ る定 数cに

よ りc・Xで

下 の数体 の あ る(そ して 次 あ る)こ と を

示 せ. 6.  虚2次 体 の 類 数 の 効 果 的 な 下 限 が,あ

る α ＞0に 対 して,Daの

形 であ

る こ と を示 せ. 7.  4を 法 と して1と

合 同 で あ る 素 数pで

実2次

体Q(〓)の

類 数 が1と

等 しい もの が 無 数 に あ る こ と を示 せ(ま た は少 な くと も類 数 が1の

数体

の 同型 類 は 無 数 に あ る こ と を示 せ). 8. よ り厳 密 に,そ の よ う な素 数 の 割 合 がCohen‐Lenstraの

発 見的 方法 で

予 見 さ れ た も の と 同 じで あ る こ と を示 せ(も っ と一 般 的 に,こ れ らの 発 見 的 方 法 に よ り予 見 され た 予 想 を証 明 せ よ). 9.  第4節 で触 れ た予 想 的 命 題 を証 明せ よ.特 に,BirchとSwinnerton‐Dyer 予 想 を証 明せ よ.ま たArtin

L関 数 の(s=1の

外 で の)正 則接 続 を示 せ.

10.  楕 円 曲 線 に 関す る離 散 対 数 につ い て 準 指 数 関 数 的 ア ル ゴ リズ ム を見 つ け よ.因 数 分解 に お け る進 歩 は,暗 号 理論 に お い て主 要 な成 果 を生 む だ ろ う.

11. Q上

の 楕 円 曲 線 の,さ

Weil群 は,自

ら に 一 般 的 に 数 体 上 の ア ー ベ ル 多 様 体 の,Mordell

を 計 算 す る 効 果 的 な 方 法 を 見 つ け よ.こ 明 で な いTate‐Shafarevich群

の た め の 基 本 的 な 障 害

の 存 在 の た め,Minkowski‐Hasse

タ イ プ の 局 所‐ 大 域 原 理 が な い こ と で あ る. 12. 種 数 の 高 い 代 数 曲 線 上 の 点 の 有 限 性 に 関 す るFaltingsの

定 理 の効 果 的 版

を 見 つ け よ.

さ らに 先 へ進   む 人 の た め に.こ て い る.因

数 分 解,素

の小 論 は 明 らか に非 専 門 家 の た め に書 か れ

数 の 判 定,代

数 的 数 論 に関 す る こ こ に挙 げ た 資 料 の ほ

と ん ど は 著 者 の 書 い た2巻[16],[17]と[50]に

詳 細 に 展 開 さ れ て い る.数

幾 何 に お け る ア ル ゴ リ ズ ム 的 方 法 に 関 す る 詳 し い 資 料 は[34]と[14]に が,最

論 あ る

近 の 論 文 も 多 く 読 む 必 要 が あ る.

参 考 文 献

[1] L.Adleman and M.Huang:Primality testing and finite fields.Lecture Notes in Math.1512.Springer [2] L.Adleman,C.Pomerance numbers from composite [3] K.Appel Illinois

Abelian 1992

varieties

and R.Rumely:On distinguishing numbers.Ann.Math.117(1983),173‐206

and W.Haken:Every J.Math.21(1977),429‐567

planar

[4] O.Atkin and F.Morain:Elliptic Comp.61(1993),29‐68

map

curves

is four

and

primality

colorable Ⅰ

prime

and Ⅱ.

proving.Math.

[5] R.Balasubramanian,J.‐M.Deshouillers and F.Dress:Probleme de ing pour les bicarres Ⅰ et Ⅱ. C.R.Acad.Sci.Paris 303(1986),85‐88 and 161‐163 [6] K.Belabas:A

fast

algorithm

to compute

cubic

over

War

fields.Math.Comp.66

(1997),1213‐1237 [7] A.‐M.Berge,J.Martinet,and fields with a quadratic

M.Olivier:The computation subfield.Math.Comp.54(1990),869‐884

[8] G.Birkhoff:Subgroups 38(1934‐5),385‐401

of Abelian

[9] W.Bosma and Thesis,Univ.of

M.‐P.van der Amsterdam,1990

of sextic

groups.Proc.Lond.Math.Soc.(2)

Hulst:Primality

proving

with

cyclotomy.

[10]  C.Breuil,B.Conrad,F.Diamond elliptic curves over

and

[ll]  J.Buchmann,M.Jacobson,S.Neis,P.Theobald methods for class group number

theory

[12]  J.Buchmann number

R.Taylor:On

the

modularity

of

Q.Preprint

and

1997.Springer

and fields.J.Th.des

D.Weber:Sieving algebra

computations.In:Algorithmic

H.W.Lenstra:Approximating Nombres Bordeaux(Serie

[13]  L.Butler:Subgroup

and

1999,pp.3‐10

lattices

and

symmetric

rings of integers 2)6(1994),221‐260

functions.Memoirs

in

of

the

A.M.S.539(1994)

[14]  J.Cassels curves bridge

and genus

of

V.Flynn:Prolegomena 2.London Math.Soc.Lecture

Univ.Press

[15]  D.and tion

in

to

a

middlebrow Note

arithmetic 230.Cam

series

of

1996

G.Chudnovsky:Sequences formal groups and

of new

numbers generated and factorization

primality

by addi tests.Adv.

Appl.Math.7(1986).187‐237

[16]  H.Cohen:A

course

printing).GTM

in

[17]  H.Cohen:Advanced 193.Springer

algebraic

number

theory(third

1996

topics

in

computational

number

theory.GTM

2000

[18]  H.Cohen

and

F.Diaz

Sem.Th.Nombres

y

Symb.Comput.To

y and

[21]  H.Cohen,F.Diaz tic number

Diaz:

A

polynomial

Diaz,and Abelian

reduction

algorithm.

2)3(1991),351‐360

M.Olivier:Algorithmic Groups.Proc.2nd

Methods Conference.J.

Magma

forFi

appear.

[20]  H.Cohen,F.Diaz conductors

y

Bordeaux(Serie

[19]  H.Cohen,F.Diaz nitely Generated

(ed.by

computational

138.Springer

Diaz,and

M.Olivier:Computing

ray

class

groups,

discriminants.Math.Comp.67(1998),773‐795

y Diaz,and fields.Algorithmic

W.Bosma)Lecture

M.Olivier:Construction Number Theory Notes

in

of tables of quar Symposium ANTS‐Ⅳ

Comp.Sci.1838.Springer

2000,

pp.257‐268 [22]  H.Cohen,F.Diaz y Diaz,and small discriminant.Algorithmic (J.Buhler,ed.),Lecture

M.Olivier:Imprimitive Number Theory Notes

in

octic Symposium

fields with ANTS

Comp.Sci.1423.Springer

Ⅲ 1998,

pp.372‐380 [23]  H.Cohen,F.Diaz ing

a

quartic

[24]  H.Cohen,F.Diaz des extensions (2000),61‐66

y

Diaz,and

M.Olivier:Tables

of

octic

fields

contain

subfield.Math.Comp.68(1999),1701‐1716

y Diaz,and cycliques de

degre

M.Olivier:Densite premier.C.R.Acad.Sci.Paris

des

discriminants 330

[25]  H.Cohen,F.Diaz nants of number

y Diaz,and fields.In

[26]  H.Cohen,F.Diaz y number fields.Algorithmic by

M.Olivier:On preparation

Diaz,and Number

W.Bosma),Lecture

the

density

M.Olivier:Counting Theory Symposium

Notes

in

of

discrimi

discriminants ANTS‐Ⅳ(ed.

of

Comp.Sci.1838.Springer

2000,

pp.269‐283

[27]  H.Cohen and A.K.Lenstra:Implementation Math.Comp.48(1987),103‐121

[28]  H.Cohen

and

of

H.W.Lenstra:Primality

a

new

testing

primality

and

test.

Jacobi

sums.

Math.Comp.42(1984),297‐330

[29]  H.Cohen and elds.In:Number

H.W.Lenstra:Heuristics Theory,Noordwijkerhout

Math.1068.Springer

[30]  H.Cohen

on

class groups 1983,Lecture

of

numberfi Notes in

1984,pp.33‐62

and

J.Martinet:Class

groups

of

number

fields:numerical

heuristics.Math.Comp.48(1987),123‐137

[31] 

H.Cohen corps

and de

[32]  H.Cohen are

J.Martinet:Etude

and

not

too

[33]  H.Cohen

J.sMartinet

and

Heuristics

on

class

X.‐F.Roblot:Computing

groupes

de

groups:some

the

fields.Math.Comp.To

[34]  J.Cremona:Algorithms bridge Univ.Press

[35]  B.Datskowsky

classes

des

good

primes

[36]  H.Davenport

for

modular

and

and

class

field

of

real

curves,2nd

edn.Cam

of

discriminants

of

cubic

ex

386(1988),116‐138

H.Heilbronn:On

Proc.Roy.Soc.London

the

density

of

discriminants

of

Math.Soc.1(1969),345‐348,and Ⅱ: 322(1971),405‐420

A4+B4+C4=D4.Math.Comp.51(1988),825‐835

[38]  G.Faltings:Endlichkeitssatze Invent.Math.73(1983),349‐366

[39]  iD.Ford and mplementation

elliptic

D.J.Wright:Density Angew.Math

fields.I:Bull.London

[37]  N.Elkies:On

Hilbert

appear

1997

tensions.J.Reine

fur

X.‐F.Roblot:Paper of the round

[40]  B.Gross and D.Zagier:Heegner Invent.Math.84(1986),225‐320

[41]  T.C.Hales:The

des

Angew.Math.404(1990),39‐76

good.Math.Comp.63(1994),329‐334

quadratic

cubic

heuristique

nombres.J.Reine

Kepler

4

abelsche

Varietaten uber

in preparation algorithm

points

conjecture.Preprint

and

on

derivatives

Zahlkorpern.

the

analysis

of

L‐functions.

and

[42]  M.Harris simple

and Shimura

[43]  H.Hasse: der Theorie

R.Taylor:On varieties.Preprint

the

geometry

Bericht uber neure der algebraischen

Wurzburg

and

cohomology

Untersuchungen und Zahlkorper.Physica‐Verlag,Vienna

of

some

Probleme

aus

1970

[44]  G.Henniart:Une GL(N)sur

un

corps

preuve simple p‐adique.Preprint

[45]  PV.Kolyvagin:Euler rogr.Math.87.Birkhauser,

[46]  L.Lafforgue:Paper conjecture for

des

systems.The

in

preparation fields

on

the

proof

of

Abelian

[47]  B,Mazur and A.Wiles:Class fields vent.Math.76(1984),179‐330

[48]  P.Mihailescu:Recent

developments

put.Simulation

de

Grothendieck 1990,pp.435‐483

Boston

function

conjectures

in

Langlands

pour

Festschrift,vol.Ⅱ,

of

the

global

Langlands

extensions

primality

of

Q.In

proving.Math.Com

49(1999),193‐204

[49]  A.Odlyzko and H.te Riele:Disproof Reine Angew.Math.357(1985)138‐160

[50]  M.Pohst and edn.Cambridge

H.Zassenhaus:Algorithmic Univ.Press,1993

[51]  J.Quer:Corps

quadratiques

the

Mertens

algebraic

de

12.C.R.Acad.Sci.Paris

3‐rang

6

et

conjecture.J.

number

courbes

theory,3rd

elliptiques

de

rang

305(1987),1215‐1218

[52]  N.Robertson,D.Sanders,P.Seymour theorem.J.Comb.Theory

[53]  X.‐F.Roblot:Unites Sci.Paris

of

and R.Thomas:The 70(1997),2‐44

Ser.B

de

Stark

et

corps

de

classes

de

four‐color

Hilbert.C.R.Acad.

323(1996),1165‐1168

[54]  K.Rubin:The"Main quadratic

Conjectures"of

Iwasawa

theory

for

imaginary

fields.Invent.Math.103(1991),25‐68

[55]  SD.Shanks:Class

number,a

ymp.in

Pure

theory

of

factorization,and

genera.Proc.

Maths.20.A.M.S.,Providence,R.I.1969,pp.415‐440

[56]  D.Shanks:The tions.Proc.1972

infrastructure of a real quadratic Number theory conference,Boulder

[57]  P.Shor:Polynomial‐time crete logarithms

on

a quantum

algorithms for computer.SIAM

prime

field

and its applica 1972,pp.217‐224

factorization Journal of

and Computing

dis

26(1997),1484‐1509

[58]  H.te summer

Riele

[59]  D.J.Wright

et

al.:Factorization

of

RSA

512,Internet

announcement,

1999 and

A.Yukie:Prehomogenous

tensions.Invent.Math.110(1992),283‐314

vector

spaces

and

field

ex

ツイスター と一 般 相 対 論 Twistors

J.フ

and

General

Relativity

ラ ウ エ ン デ イー ナ ー/R.ペ

ンロ ーズ

・訳:伊藤 光弘(筑波大学)

【 著者紹介】 エルク ・ フ ラ ウ エ ン デ ィー ナ ー(Jorg 1958年,ド

Frauendiener)

イ ツ のテ ユー ビ ンゲ ンに 生 まれ る.テ ユー ビン

ゲ ン大 学 で 物理 学 と数 学 を学 び,博 士号 を 取 得,ピ ッツ バー グ大 学,オ ックス フ ォー ド大学 の ポス ドクを経 て,マ ックス ・ プ ラ ン ク研 究所 の 宇 宙物 理 研 究 所,重 力 理 論 研 究所,数 学研 究 所 な どで研 究活 動 を行 う.現 在テ ユー ビンゲ ン大学 私講 師. 主 にア イ ンシ ュタイ ンの 一般 相 対性 理論 につ い て研究 してお り,そ の 理論 の一 般的 な数 学的 背景 や ツイ スタ ー理 論 との 関係 につ いて だ けでな く,そ の 数 値解析 的 側面 に も興味 を持 ってい る.最 近 で は,共 形 場理論 に基 づいた一 般相 対論的 な空間 と時 間のシ ュミ レー シ ョンに数値 解析 的 なア プ ロー チを行 ってい る.

ロ ジ ヤ ー ・ペ ン ロ ー ズ(Roger 1931年,イ

Penrose)

ギ リスの エ セ ッ クス に 生 まれ る.家 族 は み な数

学 が得 意 で,兄 の オ リヴ ァー は 数 学者 で あ り,弟 の ジ ョナサ ン(心 理 学 者)は イ ギ リスの チ ェス ・チ ャン ピオ ン に10回 輝 いて い る とい う.ケ ン ブ リ ッジ大 学 でW.V.D.ホ

ッジの も とで

代 数 幾何 学を 学ん だ後,J.ト ッ ドに師 事,1957年

に 同校 で博

士 号を取得,イ ギ リス国内 やアメ リカの各地で研 究活動 を行い. 1964年

に ロ ン ドン大学 バー クベ ック校 準教授 となる.1972年

フ ェロ ー に選 出 され,1973年

には ロ ン ドン王 立 協会

よ リオ ックス フ ォー ド大 学 数 学科 教授.現在 は同 校 名誉

教 授 であ る と同時 に ロ ン ドンの グ レシ ャム校の 幾何 学教 授 であ る.ま た1998年 国科 学学 士院 外国 人会 員.S.ホ ー キ ング とと もに1998年 数 多 くの 受賞 歴が あ り,1994年

よ り米

に受 賞 した ウル フ賞の ほ か,

に は英 国王室 か らナ イ トの称 号を 授与 され てい る.

幾何 学の様 々 な側 面 に興 味を 持 って いる が,特 に非 周 期的 敷き 詰め 問題,一 般相 対性 理 論 や 量子論 の 基礎 の研 究 で知 られ る.ま た意識 の科 学 にも 貢献 している.主 な研 究 業績 にツ イス ター 理論 が ある が,こ れ は アイ ンシ ュタ イン の一 般相 対性 理論 と量 子力 学 とを 結 び つけ る研 究で,彼 が30年 以 上前 に創 始 して研 究 して きた もの であ る.

1.  序

  ツ イ ス ター 理 論 の根 底 に あ る基 本 的 動 機 は,量 子 力 学 の 原 理 と相 対 論 の 時 空 幾 何 学 の 概 念 との 間 に適 切 な統 一 を見 出 す こ と に 向 け られ て い る.と は い え,ツ

イ ス タ ー理 論 が 発 展 す る に つ れ,そ

れ は,こ

の 理 論 の 当初 か らの 基 本

的 願 望 に 直 接 関与 して い た物 理 学 領 域 よ り も,純 粋 数 学 に,よ を見 出 した.純 粋 数 学 的 応 用 分 野 は,主 対4‐ 多 様 体[2],超

複 素 多 様 体[19]の 構 成,ツ

ホ ロ ノ ミー 構 造 の分 類[30],表 し,こ の 小 論 で は,こ

現 論[3]そ

ォ ル多 様 体[28],共

自己 双

形 幾何 学,

して可 積 分 系[29])で あ っ た.し か

の純 粋 数 学研 究 の い ず れ の種 類 につ い て も深 い 議 論 に

立 ち 入 る に は ス ペ ース が 足 りな い.我 に,い

り多 くの 応 用

に微 分 幾 何 学(た と え ば,反

々 が 集 中 し よ う とす る こ とは,代

わり

くつ か の 基 礎 的 な ツ イス ター 理 論 の 構 成 に つ い て で あ る.そ れ は,続

い て起 こ る多 くの 純 粋 数 学 的発 展 の 基 礎 と な る の に加 え て,理 論 の 本 来 の物 理 学 的 狙 い に 直 接 応 じる.我 々 は,ア タ ー 表 現 形 式,す

イ ン シ ュ タ イ ンの 一 般 相 対 論 を ツ イ ス

な わ ち,そ の 理 論 と量 子 力 学 原 理 との 適 切 な統 一 を見 つ け

る た め に意 図 され た必 要不 可 欠 な もの,の 視 野 に も ち込 む プ ロ グ ラ ム に最 も 関 心 が あ る.   しか しな が ら,ツ イ ス ター 理 論 を,使 わ れ て い る こ とば の 普 通 の意 味 で の "量 子 重 力 論"へ の ア プ ロ ーチ と考 え て は な ら な い .量 子 重 力論 は,通 常 は ア イ ン シ ュ タ イ ンの 一般 相対 論 へ の,あ

るい は通 常,よ

を用 い る,超 重 力 論 また は ひ も理 論,M理

論,な

り高 次 元 の 時 空 幾何 学

どの よ う な,ア イ ン シ ュ タ

イ ンの 理論 の あ る修 正 へ の,標 準 的量 子 化 の応 用 と見 な され て い る.他 方,ツ イ ス ター‐プ ロ グ ラ ム に従 え ば,我 々 は よ り公 平 な統 一 に 関 して考 察 しな くて は な ら な くな る.そ

こで は,量 子 力 学 の 法 則 は 少 な く と も一 般 相 対 論 の 法 則

と同 じ く らい に折 り合 う こ とを期 待 さ れ る だ ろ う.さ ら に,ツ イ ス ター 理 論 で は,物

理 的 時 空 の 次 元 は従 来 の4の

ま ま で あ る.

  重 力 的 効 果 が 顕 著 に な る と き,従 来 の量 子 力 学 の ユ ニ タ リ発 展 が,修 正 を 受 け る 必 要 が あ る と信 ず る(議 論 の 余 地 が あ る が)証 拠 だ っ た理 由が 確 か に あ る.量 子 力 学 が 観 測 問 題 で病 い を患 って い る こ と を想 起 しよ う.そ こで は, "測 定"が 量 子 系 上 な され ,問 題 とな る 測 定 に対 応 す る作 用 素 が 何 で あ ろ う と, そ の 固有 ベ ク トル で あ る もう1つ

の状 態 ベ ク トル に よ っ て置 換 され る と見 な

さ れ る と き は,常

にユ ニ タ リ展 開 す る量 子 状 態 ベ ク トル が しば しば捨 て 去 ら

れ な け れ ば な ら な い.こ

の 奇 妙 な不 連 続 的 手 順 は"状 態 ベ ク トル の 収 縮"(あ

るい は"波 動 関 数 の 崩 壊")と い わ れ る.標 準 的連 続 的(ユ ニ タ リ的)量 子 力 学 的 発 展 との,こ の(見 か け 上 の?)矛

盾 を解 決 す る こ と を 目的 とす る学 派 が 数

多 くあ る.そ の うち の あ る 学 派 は,状 態 ベ ク トル の収 縮 が 確 か に 物 理 的 に実 際 に起 こ り得 る現 象 で あ り,そ

して そ れ は 考 察 中 の系 に お い て 重 力 効 果 を取

り入 れ る こ と に よ っ て行 わ れ る ユ ニ タ リ発 展 の 非 線 形 化 に よ っ て 明 ら か に な る,と す る[4],[23],[24],[38],[25].量

子 重 力論 へ の"従 来 の"ア プ ロ ー チ で

は,ユ ニ タ リ的 量 子 力 学 の 法 則 を通 常 不 可 侵 な もの と して 考 え る.そ れ に反 して,ツ イス ター 的見 方(perspective)は,ア

イ ン シ ュ タ イ ンの 一 般 相 対 論 の

基 礎 原 理 と適 度 に 統 一 で き る よ うに,非 線 形 的構 成 要 素 が 量 子 力 学 の 枠 組 み の 中 に 導 入 され る必 要 が あ る こ とを 主 張 す る.こ の よ う に ,現 在 の量 子 力 学 の 従 来 の 線 形 的 手 法 を,現 在 の重 力論 に奴 隷 的 賦 課 と して 要 求 す る代 わ りに, ツ イ ス ター 的 見 方 は,自 然 の 量 子 力 学 的様 相 と一 般 相 対 論 的 様 相 を統 一 して い る と こ ろ の 基 礎 に あ る手 が か りの探 求 にお い て,よ

り間 接 的 な ア プ ロ ー チ

を採 用 す る こ と を我 々 に示 唆 す る.   そ れ で は,こ れ らは ど ん な探 求 の 手 が か りで あ り得 る か?ツ の進 路 を定 め る た め の2つ 則 性―

の 最 も重 要 な もの は,複 素 解 析 性―

イス タ ー理 論 す な わ ち正

と時 空 的 非 局 所 性 で あ る.量 子 的 表 現 形 式 の基 本 的 様 相 の1つ

複 素 ヒル ベ ル ト空 間 に よっ て 記 述 され る とい う こ とで あ る.よ

は,

り具 体 的 に は,

状 態 を線 形 的 に重 ね 合 わ せ る量 子 論 的 基 本 原 理 は,複 素 線 形 性 で あ り,こ の 複 素 線 形 性 が 時 間 発 展 に よっ て 保 存 さ れ る こ とで あ る.こ の よ う に複 素 数 は, 初 期 の段 階 か ら量 子 理 論 に 入 り込 ん で い て,正 則 性―

複 素 線 形 性 を装 って

は,"測 定"が 実 行 さ れ る まで は 間 違 い な く維 持 され る .さ 理 論 の 正 振 動 数 要 請 は,(6節

― らに,量 子 場

で 見 る よ う に)複 素 領 域 上 の 正 則 性 条 件 と して

最 も都 合 よ く言 い 表 さ れ る.相 対 性 理 論 で は,正 則 性 は,(3節

で記述 される

よ う に)天 球 の 相 対 論 的 変 換 と して 最 も直 接 的 に そ の 姿 を現 す .非 局 所 性 に つ い て は,こ れ は"ア イ ン シ ュ タイ ンーポ ドルス キ ー‐ロー ゼ ン"(EPR)現 呼 ば れ る もの と して 表 現 され る,い し得 る"量 子 的 もつ れ"の1つ

象と

くつ か の粒 子 か ら な る量 子 論 の系 に生 起

の 特 徴 で あ る.

  ツ イス タ ー理 論 は ど の よ う に正 則 性 と時 空 非 局 所 性 に 関 わ る の か?ツ

イス

ター 空 間 は,実

際3節

で 示 す よ う に非 局 所 対 応 に よっ て 通 常 の 時 空 に関 係 付

け られ る.ま ず 初 め に,(射 影 的)ツ イ ス ター 空 間 にお い て は1つ の 点 と な る, 時 空 内 の 光 線(ヌ ル測 地線)の 表 現 と して,こ (3節).あ

る特 別 な時 空 点pを

の対 応 を 理 解 す る こ とが で きる

通 る光 線 の 族 はpを

通 る 光 線 の 天 球 で もっ て

ツ イ ス ター 空 間 にお け るpと み なす とい う解 釈 を提 供 す る.そ の 球 面 は ツ イ ス タ ー空 間 にお け る 複 素 射 影 線(リ ー マ ン球)と 考 え られ て い る.こ れ が,ツ イ ス ター 空 間 の 複 素 多様 体 構 造 の最 初 の 表 れ で あ る.ツ イ ス ター 空 間 の複 素 構 造 が よ り完 全 に明 らか に な る の は,光 線 は ス ピ ン を有 す る(こ れ は実 際 の 物 理 的光 子 の 性 質)と して考 え る と きで あ る(4節).厳

密 に は,こ の 直接 的対

応 は,特 殊 相 対 論 の 平 坦 ミ ンコ フス キ ー時 空 にの み 有 効 で あ り,そ して そ の 場 合,ツ

イ ス タ ー対 応 は よ く知 られ て い る ク ラ イ ン対 応 の 現 実 化 と考 え られ

る で あ ろ う.そ こ で は複 素化(コ ンパ ク ト化)ミ ン コ フ ス キ ー 空 間 は 射 影 ツ イ ス ター 空 間 内 の 直線 の ク ラ イ ン表 現 で あ る.   ツ イ ス ター 対 応 の 非 局 所 的性 質 は,ツ

イ ス ター 理 論 が 物 理 的場 を記 述 す る

や り方 に お い て 一 層 重 要 な もの と な る.こ れ は 幾 何 学 的 対 応 に お け る直 接 的 非 局 所 性 とは 異 な る(し か し関 係 は あ る)理 由 に よ り本 質 的 に 非 局 所 的 で あ る.場

の情 報 は 正 則 関 数 に よ って ツ イ ス ター 空 間 で 非 局 所 的 に コー ド化 さ れ

る.そ

して時 空 場 は そ こ か ら周 回積 分 に よ って 求 め られ る.よ

理 解 は,(基 本 的 に は大 域 的 な)層 コ ホモ ロ ジ ー(6節)の 構 造(7節)の

り完 全 な 数学 的

概 念 と,複 素 多 様 体

概 念 を経 由 して な され る.こ の ツ イ ス ター の 非 局 所 性 は,EPR

効 果 の 時 空 的 非 局 所 性 に ま だ 完 全 に は 関 連 づ け られ て い ない が,2つ

の現 象

間 に意 義 あ る 結 びつ きが確 か に あ る とい う こ とは 明 らか な よ う だ.   ツ イ ス タ ー表 現 形 式 に受 け継 が れ た こ の非 局所 性 と複 素(正 則)構 造 は,時 空 か ら ツ イ ス タ ー 空 間 へ 適 当 な翻 訳 が な さ れ る と き,し ば しば場 の 方程 式 の 顕 著 な"蒸 発"に 至 る.こ れ が い か に生 ず る か は6節,7節

で 見 る で あ ろ う.

現 象 と して これ が どれ ほ ど普 遍 的 か は,未 だ 明 らか で な い.し

か し,そ れ が

(マ ク ス ウ ェ ル場 の よ うな)質 量 な し場 や,ア イ ン シュ タイ ンの一 般 相 対 論,粒 子 相 互 作 用 の 非 線 形(ヤ ン‐ミル ズ)ゲ ー ジ 場(7節)の"反

自己 双 対"(左 回 り)

部 を伴 って 生 起 す る こ とは 確 か で あ る.こ れ ら場 の"自 己 双 対"(右 回 り)部 に つ い て,ま た 左 右 部 分 を組 み合 わせ た 場合 に お い て も,こ の"蒸 発"が どの程 度 一 般 的 に非 線 形 場 を伴 い な が ら生 ず る か は 未 だ 明 らか で な い が,重 力 の場

合 に そ うで あ る の は もっ と もで あ る と,最 近 の 有 望 な研 究 が 指 摘 して い る.   これ らの 見 解 に 関連 して,そ

れ が 基 本 的 に カ イ ラ ル で あ る こ と は,ツ

イス

ター 理 論 の 奇 妙 な特 質 で あ っ て,そ の ため(た と えば マ ク ス ウェ ル,ヤ ル ズ,ア

ン‐ミ

イ ン シ ュ タ イ ン の場 の よ う な)質 量 な し場 の 左 回 り部 は ,右 回 り部

とは扱 い が 異 な る.ツ イ ス ター 理 論 の この カ イ ラル性 は,数 学 的 観 点 か らは 奇 異 に 見 え る か も しれ な い.し か し,他 の 物 理 学 的相 互 作 用 に は 明 白 に現 れ てい な い が,自 然 は(弱 い 相 互 作 用 に関 して)そ れ 自身左 右 非 対 称 と して知 ら れ て い る とい う事 実 に 物 理 学 的 意 味 が あ る と期 待 して も よい.初 ル 性 を感 知 す る ツ イ ス タ ー の 記 述 が,左/右

めに カイラ

対称 のマ クス ウェル理論 や アイ

ン シ ュ タ イ ン理 論 と明 らか に関 わ っ て い る とい う こ と は ,ツ イス タ ー理 論 の 幾 分 パ ラ ドッ クス 的 な 特 徴 と い え る.ツ イ ス ター理 論 に お い て,左/右

の物 理

学 的対 称性 は,位 置 と運 動 量 間 の量 子 力 学 的 対 称 性 と幾 分 類似 した 形 で 現 れ, ど ち らの 場 合 も,正 準 共 役 変 数 に移 行 す る.け れ ど も,標 準 的 な 量 子 論 に お い て,位 置 と運 動 量 は 非 常 に異 な っ た物 理 的 役 割 を果 た して い て ,光 子 あ る い は重 力 子 の 左 回 りと右 回 りヘ リ シ テ ィの 非 常 に似 通 っ た役 割 と は著 し く対 照 的 で あ る.し か しなが ら,ツ イ ス ター理 論 の左/右 非対 称 性 は,量 子 重 力 論 の 主 要 な"従 来 の"ア プ ロ ー チ の 基 礎 の1つ

で あ る ア シ ュ テ カ ー 変 数 と も共

通 性 を持 つ[1].   一般 相 対 論 の ツ イ ス ター 的 記 述 は,個 々の 重 力 子 状 態 を 通常 の(線 形)ヒ ル ベ ル ト空 間の 元 と して よ りは ,む しろ基 本 的 には 非線 形 的 実体,す な わ ち あ る 複 素 多 様 体("非 線 形 重 力 子")と して描 写 す る.こ れ に関 して,ツ

イス タ ー理

論 は量 子 力 学 の 標 準 的線 形 表 現 形 式 の 領 域 か ら分 岐 し始 め る .と は い え,今 の と こ ろ,こ の 種 の非 線 形 性 と状 態 ベ ク トル の 収 縮 の た め に必 要 と され る と 思 わ れ る もの との 間 の 明 白 な 関 係 は な い.一 般 相 対 論 の ツ イ ス ター 的 記 述 は ま だ初 期 段 階 で あ り,解 決 を 要 す る顕 著 な 問 題 が 多 数 あ る .   ツ イ ス タ ー理 論 の特 殊 な性 質 の1つ

は,正 規 ロ ー レ ン ツ時 空 指 数 の4次

元

時 空 幾何 学 と非 常 に特 定 的 に 関係 す る とい うこ とで あ る.む ろ ん,ツ イ ス ター 理 論 の 高 次 元 版 や(純 粋 数 学 に非 常 に重 要 な 応 用 を持 つ こ とが わか っ た も の を 含 め て)非 物 理 学 的指 数 を持 つ 版 が あ る け れ ど も,こ れ らは どれ も理 論 の 背 後 に あ る い くつ か の 中心 的 な物 理 的 ア イ デ ィア を犠 牲 に して い る.ツ タ ー 理 論 は い くつ か の 数 理 物 理 学 の分 野(弦 理 論 や 膜 理 論 ,"量 子"群,あ

イス る

い は 非 可 換 幾 何 学)と 共 有 す る 部 分 が あ り,実 際 そ の 理 論 にお け る 最 も最 近 の 活 動 は 主 に 数 学 的部 分 にお い て で あ る が,こ の 理 論 の 物 理 的 な支 え に な っ て い る もの は 普 通 の 相 対 論 の 時 空 幾 何 に特 定 さ れ て い る とい う こ とに よ って そ れ ら他 の分 野 とは 異 な っ て い る.す な わ ち,4次 ン ツ指 数 で,そ

れ は効 果 を生 ず る.さ て,ツ

う に 明 示 的 に 組 み 立 て られ,ど

元 時 空 お よ び標 準 ロー レ

イ ス ター 幾 何 学 的 対 応 が どの よ

の よ う に基 本 的 な量 子 力 学 的 ア イ デ ィア と関

連 す る か を見 る こ とに し よ う.

2.  天 球 と 光 線

  最 も単 純 な 量子 力学 系 は,た とえ ば電 子 ま たは 陽 子 の よ うな ス ピ ン1/2によっ て与 え ら れ る2‐ レベ ル 系 で あ る.こ の 場 合,す べ て の ス ピ ン状 態 は,た っ た 2個 の 状 態,た

と え ば,粒 子 が 上 向 き垂 線 ま た は下 向 き垂 線 の 周 りで 右 回 り

ス ピ ン を し て い る こ と を示 す 状 態〓 ス ピ ン状 態 は,し

と表 され る.こ

の,線 形 的結 合 で あ る.一 般 の

たが って

こで〓

は 同時 に は零 と な る こ と を許 され な い任 意 の複

素 数 で あ る(こ こ で 使 わ れ て い る 幾 分 奇 妙 な記 法 は,後 の 整 合 性 の た め).2 つ の 複 素 数 の 任 意 の 組 合 わせ は,粒 子 が2つ

の複 素 数 の比 で 定 ま る空 間 の 中

の 特 別 な 軸 の 周 りで 右 回 りス ピ ン して い る状 態 を導 く.こ の よ う に して,ベ ク トル 空 間C2よ

りは む しろ斉 次 座 標〓

を持 つ 射 影 空 間P1(C)を

扱う

こ と に な る.   こ れ が ど う現 れ て くる か を見 る た め,量 子 力 学 の 法 則 に よ り,物 理 的 に意 味 が あ るの は ベ ク トル そ の もの で は な く,ベ ク トル の 方 向 の み で あ る こ と を 想 起 し よ う.言 い換 え れ ば,そ れ は,原 点 を通 っ て,物 理 的 に 明確 な 対 象 で あ る状 態 ベ ク トルの 方 向 を持 つ 直 線 全 体 で あ る.し を,そ

れ の(非 零)複 素 数 倍〓

たが っ て,状 態 ベ ク トル

と 同値 で あ る と見 なす.ス

ピ ン1/2の 〓

系 で 実 現 可 能 な 物 理 的 に明 確 な状 態 は,球 面 の 構 造 を持 つ 空 間 を なす.こ で の 文 脈 に お い て,そ と して 生 じる.こ

れ は,共

こで,任

に は 零 で な い 複 素 数 の 対(〓)の

意 の(零 で な い)複 素 数 λ につ い て(〓)は

こ

集まり

対(〓)と

同 値 と み な さ れ る.し

た が っ て,π0'≠0な

(1,〓)な る 形 の 対 と同 値 で あ り(こ こ で〓),一

る対 は す べ て

方 π0'=0な

る 対 は対

(0,1)と 同値 と な る.物 理 的 に明 確 な状 態 は,し た が っ て2つ の 複 素 数 の 比 とい う ラベ ル に よ って 分 類 され る.こ こで ,〓,π0'=0, す な わ ち〓

の 場 合 を示 す もの と して許 容 しな け れ ば な ら な い.〓 は ,

複 素 数 か ら な る ヴェッセ ル(ガ ウス,ア 限〓

〓

ル ガ ン ド)平 面 上全 体 を動 くの で,極

にお い て 到 達 可 能 な単 一 点 を含 む ヴェ ッセ ル平 面 の よ う な空 間 が

現 れ る.比 か ら な る この 空 間 を 表 現 す る 通 常 の 方 法 は,複 素 数 平 面 の 球 面 へ の立 体 射 影,リ

ー マ ン球 を用 い る と い う もの で あ る.そ

れ に よ り,リ ー マ ン

球 は ス ピ ン1/2系 の物 理 的 状 態 の空 間 の モ デ ル を与 え る.こ の具 体 的 表 現 に よ り,一 見 抽 象 的 な 量 子 論 の複 素 振 幅(複 素 数 π0',π1')が,い か に実 際 に 幾 何 的 意 味 を獲 得 す るか が わ か る.ツ

イ ス タ ー理 論 の 複 素 数 構 造 が,量 子 力 学 的

役 割 と と も に 明 白な 幾 何 的 役 割 を持 つ とい う こ とは,実 際 ツ イス タ ー理 論 の 1つ の特 質 で あ る.   複 素 数 比 か ら な る この球 面 は,最 も簡 単 な コ ンパ ク ト複 素 多様 体 で あ る.そ して,同 様 の 基 本 的役 割 を想 定 す る と,重 力 場 の ア イ ン シ ュ タ イ ン理論 に お い て も,こ の よ う な こ とが 自然 に生 じる とい う こ とは ,注 目す べ き事 実 で あ る.天 文 観 測 台 か ら夜 空 を見 上 げ て い る天 文 学 者 を 考 えて み よ う.彼 は,遠 方 の 星 座 か ら彼 の 方 に や っ て くる光 を,あ る特 別 な方 向 に 見 る で あ ろ う.望 遠 鏡 に 降 り注 ぐ光 の あ ら ゆ る 方 向 は,そ の 明 白 な理 由 に よ り,天 球 と呼 ば れ て い る球 面 を な す.こ の 球 面 は 単 に任 意 の 球 面 とい う もの で は な く,そ れ に は,我 々が 天 文 観 測 台 が動 い て い る(太 陽 の周 りを移 動 す る地 球 に従 って ,実 際 動 い て い る)と 想 像 す る と き明 らか に な る あ る重 要 な構 造 が 備 わ っ て い る. そ して,天 文 学 者 に見 え る 星座 は,光 の相 対 光 行 差(aberration)の

効 果 によ

り変 化 す る.こ の 効 果 が 生 じる の は,観 測 者 の あ る一 瞬 の 静 止 の フ レー ム か ら次 の 瞬 間 へ の変 移 が,望 遠 鏡 の 入 射 光 線 の 方 向 に も影 響 を及 ぼ す ロ ー レ ン ツ 変 換 に よ る もの と考 え ら れ る か ら で あ る.こ

の効 果 を天 球 か らそ れ 自 身 へ

の 写 像 とみ な す こ とが で き る.こ の写 像 は,円 を 円 に 移 す の で,角 度 を保 つ. こ の よ う な 写 像 は,共 形 写 像 と呼 ば れ る.と い うの は ,そ れ らが 球 面 の 共 形 構 造 を不 変 に す るか らで あ る.任 意 次 元 の 時 空 にお い て これ は正 しい が ,球 面 の 共 形 構 造 が 複 素 構 造 に一 致 す る の は4次

元 の 場 合 の み で あ る.こ の 構 造

が 観 測 者 の 局 所 光 円錐 の特 徴 で あ るの で,一 般 相 対 論 に お け る どの 観 測 者 の 天 球 も,リ ー マ ン球 で あ る.   しか しな が ら,一 般 相 対 論 にお い て は,非 共 形 的歪 み(distortion)効

果が

あ る(そ れ は ア イ ン シ ュ タ イ ン理 論 にお け る重 力 の 幾 何 学 的明 確 化 で あ る ワイ ル 共 形 曲率 の 存 在 に よ る.ワ

イ ル 曲 率 の 存 在 は 重 力 レ ンズ 現 象 の 観 測 に よっ

て 明 らか に な っ た).よ っ て,あ

る観 測 者 が 実 際 見 て い る天 球 は,本 当 の 漸 近

的"無 限 遠"天 球 の 非 共 形 的歪 み像 で あ る.こ の漸 近 的天 球 も,ま た リー マ ン 球 で あ る.こ は,よ

の 事 実 は,位 相 的 球 面 上 の 複 素構 造 の 一 意 性 に よ る(こ の特 質

り複 雑 な トポ ロ ジ ー を持 つ リー マ ン面 で は成 立 しな い もの).こ

つ の リー マ ン球 の 間 の 関 係 を 表 す 共 形 的 歪 み は,7節

れ ら2

で見 る よ う に,一 般 相

対 論 の ツ イ ス タ ー 的 記 述 で 本 質 的役 割 を果 たす.   特 殊 相 対 論(局 所 的 に は 一 般 相 対 論)に お け る 天 球 の リー マ ン球 構 造 は,ま た 次 の事 実 に も反 映 さ れ る.リ は,メ

ビ ウス 変 換,す

の形 の 変 換,の

ー マ ン球 か らそ れ 自身 の 上 へ の 正 則 写 像 全 体

なわ ち

群 で あ る.こ

こ で α,b,c,dはad-bc=1な

る任 意 の 複 素 数

で あ る.こ の 群 は(奇 跡 的 な の か?)(制 限)ロ ー レ ン ツ変 換 の な す 群 と 同形 で あ る*.

3.  ツ イ ス タ ー の 基 本 的 性 質

  天 球 お よ び 関連 す る 光 線 の 方 向 に つ い て,よ

り詳 細 に議 論 し よ う([39]も

参 照 せ よ).相 対 論 的 時 空 内 の 光 線 は ヌ ル 測 地 線,す * (訳 注)l18:ミ

ン コ フ ス キ ー 空 間Mの

ロ ー レ ン ツ 変 換 と い う.特 と い う.次

に よ りVの

に 恒 等 変 換Iと

ペ ー ジ 注 に よ り,Mは2次

上 の ベ ク トル 空 間V,す detX.こ

線 形 変 換 で ,ミ

な わ ち"可 能 な 限 りま っ

ン コ フス キ ー 計 量 を不 変 にす る も の を

曲 線 で 結 ば れ て い る もの を,制

限 ロ ー レ ン ツ変 換

の なすR

エ ル ミー ト行 列〓

な わ ち ス ピ ノ ー ル の な す 空 間 と線 形 等 長 と な る.こ

の 線 形 等 長 対 応 を用 い る と2次

特 殊 線 形 群SL(C)の

線 形 等 長 変 換,す

ロ ー レ ン ツ 変 換 を 引 き起 こ し,メ

な わ ちMの

制 限 ロ ー レ ン ツ変 換 群 の 群 同 形 が 得 ら れ る.

各 元Aは〓

こ にVの

計量 は ‐

ビウ ス変換群 と

す ぐ"で,か

つ 時 空 計 量 で測 っ て長 さ零 の 接 ベ ク トルpaを

持 つ 曲線,に 沿 っ

て進 む:

(こ こ で は,こ れ か らず っ と,[42]で 詳 し く与 え られ て い る よ う に,抽 象 的添 字 記 法 を用 い る.[42]で と考 え られ,何

は添 字 は 単 に添 え ら れ て い る対 象 の タ イ プ の ラベ ル

らか の 数 値 を と る とは 考 え られ て い な い .)

  本 節 と そ れ に 続 く3つ

の 節 で は,特

殊 相 対 論 に 関 す る 議 論 を す る.7節

で 一 般 相 対 論 の 曲が っ た 時 空 に移 る.こ

こで は,ミ

ン コ フ ス キ ー空 間Mに

焦 点 を当 て る.測 地 線 は 単 に 直 線 で あ り,そ の た め光 線 をパ ラ メー タ 的 に 点 xa=xa0+tpaと

特 定 で き る.こ こ で, paは 未 来 を向 くヌ ル ベ ク トル, tは

任 意 の 実 数,xaとxa0は

光 線 上 の点 の位 置 ベ ク トル で あ り, Mの

れ た原 点 か ら測 られ る もの で あ る.パ で 定 義 し直 す こ とが で きる.そ

任 意 に選 ば

ラ メ ー タtを ア フ ィ ン変 換〓

の 結 果,paはaだ

け ス ケ ー ル を変 え ,直 線

に沿 ってxa0だ け移 動 す る こ と に な る こ とに 注 意 しよ う.一

般 的 な場 合 には ,

この 位 置 移 動 を 用 い て位 置 ベ ク トルxa0を も同 じ くヌ ル ベ ク トル に な る よ う に調 整 で き る.こ れ が 可 能 な の はxa0がpaに は,各

直 交 しな い と きに 限 る .こ れ

ヌ ル 直 線 が 原 点 を通 る ヌ ル 超 平 面 上 に な い 限 り,原 点 の ヌ ル 円錐 と

ち ょ う ど一 度 交 差 す る か らで あ る.こ

う して,こ の よ う な一 般 的 な場 合 に は,

(訳注)

なの で,ア

フ ィ ン変 換 に よ りpaはapaに,

(訳 注)l15‐17:xa0とpaが

よ り,β

xa0はxa0+βpaに

変 わ る.

直 交 し て い な い とす る と

を

  と 選 べ ば よ い. (訳 注)l18:papa=0を 点 と す る3次 超 平 面,す い う.特

満 た す4次

元 の 円 錐 を な す.こ な わ ち 式xapa=0を

にpaは

元 ベ ク トルpa,す

れ を ヌ ル 円 錐 とい う.ヌ 満 た す4次

な わ ち ヌ ル ベ ク トル 全 体 は 原 点 を 頂 ル ベ ク トルpaを

元 ベ ク トルxa全

ヌ ル な の で ,超 平 面 に も含 ま れ る.

法 ベ ク トル と す る

体 のなす 集合 をヌ ル超平面 と

xa0

=waをwawa=0と

し て と る .も

る な ら ば,xa0=waをpaに も,M内

し光 線 が 原 点 を 通 る ヌ ル 超 平 面 上 に あ

直 交 す る よ う に と る.よ

っ て,い

ず れの場合 で

の ヌ ル 直 線 に対 して 表 現

(3.1) を 得 る.こ

こ でwaは

ヌ ル ま た はpaと

直 交 す る.

  さ て,2‐ ス ピ ノ ル 表 現 形 式 に 移 る の が 便 利 で あ る(た よ).す

る と,一

般 的 な 場 合 に は 式(3.1)の2つ

ス ピ ノ ル 等 価 物(counterparts)に

を 得 る1.こ

こ に,aは

と え ば[42,2章]を

見

の ヌ ル ベ ク トル を そ れ ら の2‐

置 き換 え て

実 数 で,後

の 利 便 の た め に 含 め る.光

線 上 の 点 は,す

べて方程 式

を満 たす.光 線 に影 響 を与 えず に,〓 の で,〓は

と〓

の 間 の相 対 的位 相 を 自由 に選 べ る

純 虚 数 で あ る と仮 定 で きる.す る と,〓

とお くこ とが で き,方 程 式

(3.2) を 得 る.waがpaに

直 交 す る 特 別 な 場 合 に は,前

し て,〓 よ っ て,前

と 同 じ く,再

び〓

  こ こ で 学 習 し た こ と は,与

え ら れ た 光 線 に 対 して,こ

こ と が で き る と い う こ と で あ る.こ の 制 約 を 受 け る.さ

1xaとxAA'の よ っ て,成

ら に,方

, xAA'を2×2行

分 の 形 で な さ れ る.

の2つ

意 の0≠

列〓

の 方程 式 が 光線 の あ ら

る ス ピ ノ ル 対(wA,πA')を

見出す

の ス ピ ノ ル は ,条 件〓

程 式(3.2)が(wA

ωA,λ πA')は,任

対応 は

と と とる こ と に

と な る.

ゆ る 点 に 対 して 成 立 す る よ う に,πA'≠0な

の で,対(λ

と 同 じ く〓

と 書 け る.〓

λ ∈Cに

,πA')に

つ いて斉次的 であ る

つ い て 同 一 光 線 を 表 す .終

と と る こ とに

わ り に,こ

の表 現 は ミ ン コ フス キ ー空 間 の 原 点 の 選 び 方 に依 存 す る こ とに 注

意 し て お く.と に 選 ぶ と,同 数 倍)で

い う の は,異

な る 原 点,た

と え ば 位 置 ベ ク トルraの

一 光 線 の 表 現 は,対(〓)(お

与 え ら れ る か ら で あ る.原

よび そ れ の 複 素

点 の 変 更 が,πA'は

の み 変 え る こ と に 注 意 され た い.こ か ら 得 ら れ た も の で,πA'が   ツ イ ス タ ーZaは,原

れ は,も

純 粋(接)ベ

の(1次,2次)ス

ピ ノ ル 部 分 と 呼 ば れ る.ツ

し た が っ て,そ

イ ス タ ー の な す 空 間Tは,4次

の 内 積 は,正

な る ヌ ル ツ イ ス タ ー が 存 在 す る.こ

々 は,以

写 す.複

実,容

易 に証 明

持 つ.よ

って

れ は,単

独 の 実 方 程 式 で あ る.よ

っ てT

元 で あ る.

前 行 った 議 論 を ツ イ ス タ ー の 言 葉 で い い 表 す こ と

イ ス タ ーZaの

ス ピ ノ ル 部 分 が(3.2)を 付 随 的(incident)で

コ フ ス キ ー 空 間 の 各 光 線 に 対 し て,複 ツ イ ス タ ーZaが

写す複

双 対 空 間T*に

定 値 で は な い.事

内 の ヌ ル ツ イ ス タ ー の な す 空 間Nは,実7次

あ る.幾

そ の 複 素 共 役Zaに

式

数(+,+,-,-)を

時 空 点xAA'に

イ ス タ ーZa

の ツ イ ス タ ーZa=(wA,πA')とUa=(λA,ｵA')

で 定 義 す る こ と も で き る.こ

タ ーZaを

πA'は,ツ

ツ イ ス タ ーZaを

の 間 の エ ル ミ ー ト内 積〓(Z,U)を,公

  さ て こ こ で,我

位 置 ベ ク トル wA

記 の変 換 的 特 性 に従 うス ピノ

ピ ノ ルwAと

の 複 素 共 役 写 像 は ツ イ ス タ ー 空 間Tを

さ れ る よ う に,指

ピノ ル

で定義 される

素 共 役 写 像 を 用 い て,2つ

が で き る.ツ

ち ろ ん,wAが

点 の 変 更 に よ っ て,上

し て 定 義 さ れ る.ス

素 共 役 写 像 が 存 在 し,次

そ の ま ま で,ス

ク トル か ら の も の で あ る こ と に よ る.

ル 対(wA,πA')と

元 複 素 ベ ク トル 空 間 で あ る.各

点 を原 点

れ は,光

も ま た 正 しい.始

つ 与 え ら れ た ヌ ル ツ イ ス タ ーZaに

あ る と 呼 ぼ う.す

素 数 ス ケ ー ル を 除 い て,一

存 在 す る こ と を 見 る.こ

分 微 妙 で は あ る が,逆

満 た す な ら ば,ツ

線 の 各 点xAA'に め に,0で

対 し て, xAA'に

る と,ミ

イス ン

意的 なヌル 付随的で

な い π‐ 部 分 を持

対 す る(3.2)の

一般解が

で あ る こ とを示 す の は,や には,原

さ しい練 習 問 題 で あ る.(〓)が

点 を選 ぶ 自由 度 の 利 点 を行 使 して,ス

零 になる とき

ピ ノル に よ るZaの

異 な る表

現 を と り,零 に な らな い よ う にす る こ とが で きる.こ の こ と は,M内

の光線

と非 零 π‐ 部 分 を持 つ ヌ ル ツ イ ス ター の 間 の ス ケ ー ル を 除 い た,1対1対

応が

存 在 す る こ と を示 して い る.π‐部 分 が 零 に な る ヌ ル ツ イ ス タ ー に つ い て は ど うか?そ い.と

れ ら を ミ ンコ フ ス キ ー 空 間 の 光線 と して直 接 解 釈 す る こ と はで きな

は い え,Mの

あ る拡 張,無

限 遠 点 で の光 円 錐 を付 け 加 え る こ と(正 確

な 構 成 に つ い て は[43,9.1‐9.3節]を 見 よ)に よ って 得 られ る,共 形 コ ン パ ク ト化Mが

存 在 す る.こ の拡 張 空 間 に お い て,π‐部 分 が 零 で あ る ヌ ル ツ イス

ター は,無

限 遠 にお い て光 円 錐 を生 成 す る光 線 と して の解 釈 を持 つ.要

約す

の 光 線 とス ケ ー ル を 除 い た ヌ ル ツ イス ター の 間 の1対1対

応が

る と,M内 存 在 す る.

  ツ イ ス ター の ス ケ ー ル は,今 の と こ ろ重 要 な役 割 を も た ない.そ こで,T内 の1次

元 部 分 空 間全 体 の な す 空 間 と して定 義 され る射 影 ツ イ ス タ ー空 間PT,

お よ び ヌ ル ツ イ ス ター の 空 間Nの に お い て,M内

射 影 版PNを

の 各 光 線 に対 してPNの

導 入 す る.す る と,前 の段 落

一 意 的 な点 が 存 在 し,逆 も い え る

と い う こ と を言 明 した こ とに な る.   こ こ で,付 随 的 関係(3.2)の 見 方 に立 ち返 り,Mの 的 なす べ て の ツ イ ス ターZaは

何 か,考

与 え られ た点raに

付随

え て み よ う.付 随 的 関係 は2次

部分

πA'(2次 部 分 は 光 線 の 方 向 を決 め る)に よ っ て ツ イ ス タ ー の1次

部 分wAを

一 意 的 に決 め る の で ,ス ケ ー ル を 除 い て〓

とな る.(ra

が 実 数 な の で)こ れ らの ツ イス ター は必 然 的 に ヌ ル で あ り,与 え られ た点 を 通 る光 線 に対 応 す る.こ こで も,Mの1点 球 で あ る こ とが,再

を通 る光 線 の なす 空 間 が リー マ ン

び 見 出 さ れ る.今 度 は リー マ ン球 は,こ

の節 の 最 初 の段

落 で の 議 論 と 同様 に,す な わ ち,上 の 形 を した ツ イ ス ター か ら な る2次 元 複 素 ベ ク トル 空 間の 原 点 を通 る直 線 の 集 合 と して 生 じる.   固 定 したraに

対 す るT内

に 完 全 に含 まれ るPT内

の この2次

元 部 分 空 間 は,射 影 的 に 見 る とPN

の 直 線 で あ る.と

る か ら で あ る.他 方,PN内

の1つ

い うの は,ツ

イス タ ー が ヌ ル で あ

の 直 線 は,完 全 に ヌ ル ツ イス ター か らな

るT内

の1つ

の2次

ヌ ル 直線 が た だ1つ

元 部 分 空 間 を定 め る.こ れ ら ヌ ル ツ イ ス ター に対 応 す る の点 で 交 差 す る こ と を示 す の は,簡 単 で あ る.再

が 無 限 遠 に な る か も しれ な い場 合 を考 慮 しな け れ ば な ら ない が,し

び,点

か し,こ

れ は容 易 で あ る.   こ の や や 長 い議 論 の 筋 を要 約 す る と,時 空MとPNの が あ る の を 見 出 し た こ と に な る.す な わ ち,M内 の 間 に,そ

してPN内

の 直 線 とM内

間 に2つ の"対 応" の ヌ ル 直線 とPN内

の点

の点 との 間 に で あ る.

  さて こ こ で,ツ イス タ ー理 論 の 一 般 的哲 学 を眺 め て み る こ とに し よ う.与 え ら れ た 時 空 か ら出 発 して,ヌ

ル直 線 を考 え,第1の

(射 影 的)ツ イス ター 空 間 を見 出 し,第2の 番 を 入 れ 替 え て,ツ こで は,第2の

対 応 を用 い て基 本 的 に は

対 応 を発 見 した.し か し,事 実 順

イス タ ー 空 間 か ら出 発 す る こ と も同 じ く可 能 で あ る.そ

対 応 を用 い て,時 空MをPN内

のすべ ての直線 の集合 と し

て 定 義 す る の で あ る.こ の や り方 で は 時 空 の点 を ツ イ ス ター の 言 葉 で 定 義 さ れ る導 出 概 念 とみ な す.こ

こ で は先 決 的 に,ツ イ ス タ ー が よ り基 本 的 な概 念

で あ る と仮 定 す る.こ の 観 点 は,時 空 計 量 そ の もの が,ツ

イス ター概 念 の 言

葉 で 定 義 で きる とい う事 実 に よ っ て確 固 と した もの と な る.と 空 の2点

に対 応 す るPN内

い うの は,時

の2つ の 直 線 を と る と仮 定 しよ う.も し これ ら の

直 線 が 一 般 の 位 置 に あ る な らば,点 につ い て何 も特 別 な こ とは な い.し か し, 直 線 が 交 わ る な らば,そ つ の 点 を結 ぶ,M内

れ らはPN内

の1点

を定 め る.す

な わ ち,時 空 の2

の ヌ ル直 線 を定 め る.こ の よ う に,こ れ ら2点

ベ ク トル は ヌ ル で あ る.こ の 性 質 は,時

空計 量 を,PN内

を結 ぶ

の交 差 す る 直 線 の

概 念 に よ っ て,共 形 因子 を除 い て 定 義 す る の に用 い る こ とが で き る.Mの 共 形 幾 何 学 が,完

全 にPN内

の 付 随 性 の性 質 に よ っ て 決 ま る こ とが わ か る.

  ツ イス タ ー理 論 の威 力 の 多 くは,正 則 性 概 念 の 果 たす 重 要 な役 割 に よ る.こ の こ と は,今

ま で の とこ ろ,明

在 性 の た め に,Tの

らか で は なか っ た.と

い うの は,時 空 点 の 実

奇 数 次 元 部 分 多 様 体 で あ るNに,議

論 を 限 定 した か らで

あ る.し か し,単 に ツ イ ス タ ーが 非 ヌ ル で あ る こ と を許 す こ と に よっ て,議 論 をNか

ら離 せ る か も しれ な い.Nは,余

はTを2つ

の 交 わ りの な い 集 合,正/負

次 元1の

部 分 多様 体 で あ り,そ れ

ノ ル ム の ツ イ ス ター の 空 間T±

割 す る こ と に注 意 し よ う.直 前 で 説 明 した こ と を行 う た め に,PT内 集 合 で あ る時 空CMを

定 義 す る.そ

して そ れ らは 完 全 にPN内

に分

の直線 の にある とい

う と こ ろ ま で 条 件 を 下 げ る こ と に す る.2点

は,対

な ら ば,ヌ

れ は,CMに

ル 分 離 さ れ て い る と 定 義 す る.こ

た こ と に な る.こ ば れ る 複 素4次

の 時 空 は,複

対 し て,

Zaに

随 的 関 係(3.2)は,こ 付 随 的 なCM内

的 複 素 平 面 が 存 在 す る こ と を物 語 っ て い る.そ の 性 質 を も っ て い る.す

い う 意 味 に お い て,完

共形 的計 量 を与 え

と の ミ ン コ フ ス キ ー 空 間Mは,こ

に 実 部 分 多 様 体 と し て 埋 め 込 ま れ る.付

れ,次

線が交差 す る

素 化 ミ ン コ フ ス キ ー 空 間 の コ ン パ ク ト化 と 呼

元 多 様 体 で あ る.も

ら れ た ツ イ ス タ ーZaに

応 す る2直

な わ ち,そ

こ で は,与

の 点zAA'の2次

え 元

の よ う な 平 面 はa‐ 平 面 と 呼 ば

れ の ど の2点

全 に ヌ ル で あ る.ツ

の 中

もヌ ル分 離 され る と

イ ス タ ー(wA,πA')に

対 応 す るa‐

平 面 のパ ラ メ ー タ 記述 は

(3.3) で あ る.こ

こ で,λAは

任 意 の ス ピ ノ ル で あ る.も

な ら ば,対

応 す るa‐ 平 面 は,直

端 と な っ た ヌ ル 直 線 で あ る.し も た な い.そ

線 の 形 でMと か し,Zaが

し て 前 と 同 様 に,各a‐

し,ま

た(構

成 に よ り)PT内

る.後

者 の 対 応 は,通

ラ イ ン 対 応"と

も う1つ

の 集 合 が あ る.こ

れ ら は,本

か ら ス ピ ノ ル 表 現(λA,ｵA')を ら れ る.2つ で,a‐

の 点 が 一 意 的 に対 応 点 が 一 意 的 に対 応 す

い わ れ て い る[26],[27]. の 全 ヌ ル 複 素2‐ 平 面 か ら な る

質 的 に は(3.3)で 値 的 に,付

の ス ピ ノ ル πA',λA 随的関係

持 つ 双 対 ツ イ ス タ ーWaに

のa‐(β‐)平 面 は 一 致 す る か,さ

平 面 と β‐ 平 面 は 共 通 部 分 が な い か,ま

で 交 わ る か の い ず れ か で あ る.

っ た く交 点 を

ェ リ ッ ク ス ・ク ラ イ ンが 議 論 に と り

  a‐平 面 に 加 え て,β‐ 平 面 と 呼 ば れ るCM内

の 役 割 を 入 れ 替 え る こ と に よ り 生 じ る.同

ヌル

の直 線 は 以 前 発

ヌ ル で な け れ ば,ま

平 面 に 対 し てPT内

の 昔,フ

イ ス タ ーZaが

交 差 す る.こ

の 各 直 線 に 対 し てCMの

常1870年

上 げ た こ と に 因 ん で,"ク

し,ツ

も な け れ ば1点

よ って そ れ ら は得 で 交 わ る.一

た は 必 然 的 に ヌ ル な1つ

方

の直線

4.  運 動 量 と 角 運 動 量

  前 節 で 紹 介 した ツ イス ター の 幾 何 学 的 記 述 は,比 例 性 類{〓}だ け が 解 釈 を 許 され る とい う 欠 陥 を も っ て い る.し か し,ツ イ ス ター に意 味 を 与 え る とい う文 脈 か ら,位 相 因 子 を 除 い て これ に対 す る物 理 的 意 味 を与 え る 解 釈 が 存 在 す る.平

坦 ミ ン コ フス キ ー空 間 内 の 物 理 的 系 を考 察 しよ う.そ れ

に4‐運 動 量paと6‐

角 運 動 量Mabを

対 応 づ け る こ とが で きる.Mの

原点 の

移 動 に よ り,角 運 動 量 は,規 則

に 従 っ て 変 化 す る.こ

こ で,raは

新 しい 原 点 の 位 置 ベ ク トル で あ る.

で 定 義 さ れ る パ ウ リ‐ル バ ン ス キ ー ベ ク トル(こ 歪 対 称 に よ り定 義 さ れ,〓0123=1で 系 の 内 在 的 角 運 動 量,す

あ る)は,位

な わ ち ス ピ ン を 測 る.質

記 述 し た い と 仮 定 し よ う.す る.現

こ で レ ビ‐チ ビ タ テ ン ソ ル は, 置 に 依 存 し な い.そ 量 な し粒 子 を,こ

れ は,

の方法 で

る と,4‐ 運 動 量 は 未 来 を 向 く ヌ ル ベ ク トル で あ

実 的 な 質 量 な し粒 子 に 対 して,パ

ウ リ‐ル バ ン ス キ ー ベ ク トル は,4‐ 運

動量

に 比 例 して い な け れ ば な ら な い.こ れ る.量

子 論 で は,sは

こ で,実

数sは

粒 子 の ヘ リ シ テ ィ と呼 ば

離 散 値 だ け と る こ と が 許 さ れ る.再

び ミ ンコ フ ス キ ー

空 間 テ ン ソ ル に 対 す る2‐ ス ピ ノ ル 表 現 形 式 を 用 い る と,〓 こ とが で き る.一 で,MABは

方,Mabは〓

添 字 に つ い て 対 称 で あ る.す

る と,Saとpaの

が 導 か れ,こ

れ よ り あ る ス ピ ノ ルwAに

れ る.Mabが

位 置 に 依 存 し て い る こ と は,原

い に 反 映 さ れ る.す

な わ ち,〓

と書 く の 形 に 書 け る.こ

こ

間 の 比 例 性 か ら,

対 し て〓

と結 論 さ

点 の 変 更 の 下 で のwAの で あ る.こ

振 る舞 の よ う に,

ス ピ ノ ル の 対(ωA,πA')は に 対 し て,πA'の 量 は,位

ツ イ ス タ ーZα

を 定 義 す る.固

定 さ れ たpa,Mab

位 相 の 選 び 方 に だ け 自 由 度 が あ る の で,4‐ 運 動 量 と 角 運 動

相 因 子 を 除 い て,ツ

イ ス タ ー を 定 義 す る.粒

子 の ヘ リ シ テ ィ は,ツ

イ ス タ ー の ノ ル ム に 含 ま れ る:

ヘ リ シ テ ィが0に

な る と き,我 々 は,対 応 す る ヌ ル直 線 が粒 子 の 世 界 線 で あ

る ヌ ル ツ イス ター を持 つ の で,そ の ヌ ル直 線 がpaの

大 き さ に応 じた好 み の パ

ラ メ ー タ ス ケ ー リ ング を具 え て い る とい う事 実 か ら離 れ て,ツ 何 学 的 解 釈 に ほ とん ど戻 る こ と に な る.ヘ リ シ テ ィが0に

イス タ ー の 幾

な ら ない とす れ ば,

ツ イ ス タ ー に 付 随 す る 実 の 点 は な く,粒 子 を世 界 線 上 に局 在 化 す る方 法 が な い こ と に な る.一 方,質

量 を持 つ粒 子 に対 して,方 程 式〓

立 す る よ うに 原 点 を選 ぶ と,世 界 線,重

が成

心 線 が 一 意 的 に定 ま る.質 量 な し粒

子 に対 して,こ の 方 程 式 は 完 全 な ヌ ル超 平 面 を 定 義 す る.こ の 意 味 で,ス ン を持 つ 質 量 な し粒 子 は 局 在 化 で き ない.右(左)回 正(負)の は,い

ピ

りの ス ピ ンを持 つ 粒 子 は

ヘ リ シ テ ィ を持 つ の で,ツ イ ス タ ー空 間 の この2つ

の"半 空 間"T±

ず れ か の カ イ ラ リテ ィ に対 応 す る.

5.  ツ イ ス タ ー 量 子 化

  ヘ リ シ テ ィ0で 質 量 の 無 い 粒 子 の 運 動 は,運 動 方 程 式 に よ っ て,4‐ 運 動 量 paと 初 期 位 置xaか

ら一 意 的 に決 ま る.こ れ ら の 量 は,こ の よ う に粒 子 の位

相 空 間 に対 して 座 標 を与 え る.他 方,運 動 方 程 式 の 各 解 に対 して,位 相 因子 を除 い て 一 意 的 な ツ イ ス ターZα=(ixAA'πA',πA')を で き る.こ も う1つ

対 応 させ る こ とが

の こ と は,時 空 構 造 と ツ イ ス ター 空 間 の 構 造 の 間 に あ る関 連 性 の

の 重 要 な性 質 を示 して い る.す

た め に方 程 式 を 解 く必 要 が あ る が,ツ

な わ ち,時 空 で は解 の 空 間 を見 出 す

イ ス タ ー空 間 で は,解

くべ き方 程 式 は

もは や な い.そ れ らは,文 字 通 り空 間 の構 造 の 中 に"蒸 発"し て し まっ た の で あ る.こ の こ とは,次 の い くつ か の 節 で 詳 し く述 べ る.   さて,我

々 は,ツ

イ ス ターZα が粒 子 の位 相 空 間 の 記 述 を も与 え る と見 る

こ とが で き る.確 か に恒 等 式

が あ る.こ

れ よ り,〓

テ ィ ッ ク 形 式 で あ る.こ の 複 素 共 役Zaと

を持 つ,(本

は,位 の こ と は,次

を 意 味 す る:ツ

相 空間上 の シンプ レク イ ス タ ー 変 数Zaと

そ

を,正 準 ポ ア ソ ン 括 弧

質 的)正 準 的 共 役 変 数 と見 なす こ とが で き る.も ち ろ ん,以 前 の

議 論 は,質 量 な し粒 子 の 記 述 に 制 約 さ れ な い.そ

の代 わ りに,そ れ は配 位 空

間 が ミ ン コ フス キ ー空 間 で あ る ど ん な系 に も適 用 され る.   "第1量 子 化"の 規 則(た と え ば,デ

ィラ ック[6]を 見 よ)に よれ ば,古 典 的

正 準 変 数 ノ を,ポ ア ソ ン括 弧 と対 応 す る交 換 子 が

に よ っ て 関 係 づ け ら れ る よ う に,ヒ 置 き 換 え る.ツ

イ ス タ ー 変 数 に つ い て も,我

ス タ ー 変 数 を 作 用 素Za,Zaで

を選 ぶ.す

ル ベ ル ト空 間 内 の(自 己 随 伴)作 用 素fに 々 は,こ

置 き換 え る."Z‐

の 手 順 に 従 っ て,ツ

描 像"で

は,置

イ

き換 え

る と,作 用 素 の 交 換 子 は

で 与 え られ る.作 用 素 は,半 分 の位 相 空 間 変 数 に の み 依 存 し,そ

して ヒル ベ

ル ト空 間 に属 す る"波 動 関数"に 作 用 す る こ と に な る.し たが っ て,我 々 の 場 合 に は 波 動 関 数fは

複 素 共 役 変 数zaに

を意 味 す る.し か し,こ れ ら の 方 程 式 は,ツ の ど の 成 分 に つ い て も,fに て,ツ

イ ス タ ー の4成

分(Z0,Z1,Z2,Z3)

関 す る コ ー シ ー‐リ ー マ ン方 程 式 で あ る.し

イ ス タ ー 波 動 関 数 はZaに

え ば[48]を

依 存 す るべ きで な い.こ れ は,

つ い て 正 則 で あ る.こ

れ は,量

見 よ)に お け る バ ル グ マ ン 表 現 に 類 似 で は あ る が,ま

たが っ

子 力 学(た

と

っ た く異 な

る.と い うの は,波 動 関数 が 定 義 され る空 間 が 違 っ て い るか らで あ る.バ ル グマ ン描 像 で は,元 の 位 相 空 間 の 本 質 的 に 複 素 化 され た 座 標 を用 い る の に対 して,ツ

イス ター 記 述 で は,空 間 は 正 真 正 銘 複 素 多 様 体 で あ る.

我 々 は,観 測 可 能 量,す

な わ ちヘ リ シ テ ィ2s＝ZαZα

に 注 意 し よ う.そ こ で は,ヘ

リシ テ イ をヘ リシ テ ィ作 用 素

に まで 昇 格 させ な け れ ば な らな い.さ る 波動 関 数,す

を  もっ て い る こ と

な わ ち方 程 式Sf=sfが

て,ヘ

リ シ テ ィ作 用 素 の 固有 状 態 で あ

成 立 す る波 動 関 数 を求 め る こ とが で

きる.Z‐ 描 像 で は,こ れ か ら方 程 式

あ る い は,(h=1と

な る よ う に単位 を選 ん で)同 値 的 に

が 導 か れ る.左 辺 の微 分作 用 素 は オ イ ラー 作 用 素 な の で,こ か る こ とは,純

ヘ リシ テ イ状 態 は 次 数n=-2s-2の

る とい う こ とで あ る.こ の よ う に,ヘ

の 方 程 式 か らわ

斉次正則 関数に対応す

リ シ テ イ0の 状 態 は,次 数-2の

斉次

関 数 に よっ て表 現 され る.他 方,重 力 場 の 場 合 に重 要 で あ るヘ リシ テ ィ±2の 状 態 は,次 数+2と-6の

斉 次 性 に対 応 す る.

この 幾 分 奇 妙 な不 つ り合 い 性 は,Z‐ 描 像 の  言 葉 で の 議 論 を選 ん だ こ とに よっ て 生 じる,ツ

イ ス ター 記 述 固 有 の カ イ ラ リテ ィ に起 因 す る.Z‐ 描 像 を選 ぶ こ

と も同様 に で き る.そ み 依 存 す る.す

こで は,波 動 関 数 が 複 素 共 役 ツ イ ス タ ー変 数Zaに

の

る と,反 正 則 斉 次 関 数 と して 表 現 され る ヘ リ シテ ィ状 態 に つ

い て,類 似 な こ とが 得 られ るで あ ろ う し,類 似 の 不 つ り合 い性 が 見 出 され る で あ ろ う.よ

り"公 明 正 大"な 描 像 を,ツ イ ス ター 空 間 上 の い くつ か の構 造 を

放 棄 せ ず に 見 つ け る こ とは,不 可 能 の よ うで あ る.

6.  質 量 な し 場

ツ イ ス ター 量 子  化 の 前 出 の議 論 は,よ あ る が,純

り形 式 的 レベ ル で 理 解 され るべ きで

ヘ リ シ テ ィ状 態 とツ イ ス ター 空 間上 の 斉 次 関 数 の 間 の対 応 は,よ

り厳 密 にす る こ とが で きる. 量 子 論 で は,質 量 な し粒  子 は,ミ ン コ フス キ ー空 間上 にそ の ヘ リシテ ィに依 存 す る質 量 な し場 の方 程 式 に従 う量子 的場 と して記 述 され る.ヘ リ シテ ィs＝1/2n の 場 の 方 程 式 は,n個

の 添 え字 を持 つ 全 対 称 ス ピ ノ ル φAB…D,〓A'B' …D'に

対 す る方程式

(6.1) (6.2) で あ る.場 の 方 程 式 の1つ

を満 た す こ と,そ

の 帰 結 と して,ど

の場 も平 坦 空 間波 動 方 程 式

して これ が また ヘ リシ テ ィ0の 質 量 な し場 の 方 程 式 で もあ

る とい う こ とで あ る. 質 量 な し粒 子 の 合  理 的 な量 子 場 理 論 の 定 式 化 の た め の本 質 的 な 構 成 要 素 は, 場 を正,負

振 動 数 部 分 へ 分 解 す る こ と で あ る.我 々 は,こ の 分 解 を 場 の フー

リエ 成 分 に よ って 定 式 化 す る こ とが で き る.こ

こで,場

φAB …Dが 正 振 動 数

を持 つ とは,そ れ が 次 の 形 の 平 面 波 に展 開 可 能 の と きを い う:

こ こ で,kα=KAKA'は

未 来 向 きで あ る.こ の よ う に,正 振 動 数 の 場 は"情 報

を最 大 で半 分"持 つ.負 振 動 数 の場 は,同 様 にそ れ らがexp(ikaxa)の な る こ と を要 請 す る こ とに よ り定 義 され る.(6.2)を

項から

満 たす 正 振 動 数 の場 は 正

ヘ リ シ テ ィの 波 動 関数 を記 述 し,負 ヘ リシ テ ィの粒 子 は,(6.1)に

従 う波 動 関

数 を持 つ. 正振 動   数 条件 が,ど の よ うに ツ イス ター概 念 に 関係 す る か を見 るた め に,複 素 ミ ン コ フ ス キ ー 空 間 の言 葉 で,場

に 対 して何 らか の意 味 付 けが で きる か ど

う か調 べ てみ る の が 自然 で あ る.我 々 は,正 振 動 数 の 場 が,時 間 的 か つ 未 来 向 きyaを 持 つ 複 素 変 数za=xa-iyaに

対 して 意 味 を持 つ こ と に気 付 く.理

由 は,虚 数 部 が フ ー リエ 成 分 の 指 数 的 減 衰 に寄 与 す る こ とで あ り,そ れ に よ り場 を表 現 す る積 分 が そ の ま ま存 在 す る た め で あ る.こ の こ とは,正 振 動 数 の 場 が,前 方 チ ュ ー ブCM+,す

な わ ち,過 去 向 きの 時 間 的虚 数部 を持 つZa

す べ て か らな る集 合 の 上 で 正 則 的 で あ る こ とを 意 味 す る.同 様 に,負 振 動 数 の部 分 は,同

じ よ う に 定 義 さ れ る後 方 チ ュ ー ブ に正 則 的 に拡 張 で きる.

前 方 チ ュ ー ブ内 の 点zaに

付 随 す る ツ イス タ ー(ωA,πA')を,次

に考   察 しよ

う.付 随 条 件

に 従 う の で,ZαZα

＞0.し

が 容 易 に わ か る.し

か し,T+内

た が っ て,こ

れ ら ツ イ ス タ ー はT+内

の ツ イ ス タ ー が,前

にあ る こ と

方 チ ュ ー ブ の 中 に完 全 に

含 ま れ る α‐平 面 に 対 応 す る と い う こ と は 正 し く な い(そ れ ら が,後 内 の ど の 点 を も含 ま な い け れ ど も).同 い て も当 て は ま る.こ

の こ と は,次

負 振 動 数 部 分 へ の 分 解 は,ツ こ と に よ り,非 n-2次

ま り,正/

イス タ ー 空 間 の 上 半 分 と下 半 分 と に注 意 を払 う

常 に 自 然 に ツ イ ス タ ー の 言 葉 で 表 現 で き る.

数 の 斉 次 的 ツ イ ス タ ー 関 数f(Zα)とCMの

か つ ス ピ ノ ル πA'に

の 直 線Rで

面 の 位 相 を 持 つCP1で

は ち ょ う どraで

 点raが

形 の ツ イ ス タ ー は,そ

よ っ て パ ラ メ ー タ 化 さ れ る2次

な こ と と して,raをPT内 れ は,球

方 チ ュー ブ

内 の ツ イス ター につ

の こ と を 示 唆 す る で あ ろ う.つ

い る と仮 定 し よ う.(irAA'πA',πA')の

る.こ

様 の 考 察 が,T‐

元 部 分 空 間 を な す.同

値

表 現 さ れ る も の と見 な す こ と が で き あ る ． 実 のraに

対 して,以

の ヌ ル 方 向 か ら な る 球 面 で あ る こ と を 見 た.し

点 に 対 し て も 同 じ こ と が 正 し く,球

与 え られ て の 点 に付 随 し

前 に これ

か し,複

面 は 確 か に 複 素 数 比(πo':π1')の

素の リー マ

ン 球 で あ る. n〓0と

  し,次

の1‐ 形 式 を 考 え る:

こ れ は,ツ イ ス タ ー 関数 を 点raを をn回

表 す 部 分 空 間 に制 限 し,そ れ にス ピ ノ ル π

か け る こ と に よ って 得 られ る.ツ イ ス タ ー 関数 の 斉 次 性 が ス ピ ノ ル に

お け る斉 次 性 とち ょ う どキ ャ ンセ ル す るの で,こ 定 め られ た1‐形 式 で あ る.さ

れ は射 影 直線R上

の適切 に

らに は,こ の1‐形 式 は ツ イ ス タ ー 関 数 が 正 則 で

あ る と こ ろで 閉 で あ る. こ こ で,直 線R上

 の 閉 周 経 路 上 の 積 分 と して 周 回積 分

(6.3)

を考 え よ う[32］.被 積 分 項 が ツ イス ター 関 数 の 特 異 点 を除 い て 閉 なの で,積 分 値 は 周 経 路 の 内部 で の被 積 分 項 の 留 数 に等 しい.raがCM内

で 動 く と,公 式

(6.3)は ス ピノ ル 場 を生 成 す る.そ して 容 易 に証 明 さ れ る よ う に,こ の 場 が, ヘ リ シ テ ィS=n/2〓0の 場 に対 す る質 量 な し場 の方 程 式(6 .2)の 解 と な る. 同様 の 方 法 で,ヘ

リ シテ ィS=-n/2＜0の

場 を定 め る周 回積 分

 

(6.4) を書 き下 す こ とが で きる[22].同 れ て,質

じ議 論 が 上 の よ う に再 び被 積 分 項 に 適 用 さ

量 な し場 の 方 程 式(6.1)は

こ の 表 現 の 自動 的 帰 結 で あ る.

明 らか に,ツ イ ス タ ー 関 数 は,積 分 が 非 零 に な る た め に は 特  異 点 を持 つ 必 要 が あ る.さ

も な い と,周 経 路 は1点

で あ ろ う.事 実,あ

る 意味 で,重

に収 縮 して しま い,場 の 値 は消 滅 す る

要で あるのは ツイス ター関数の特異性 構造

だ けで あ る.正 振 動 数 の場 で 前 方 チ ュ ー ブCM+に に対 して,RをPT+内 は,PT+内

の 任 意 の 直 線 と し て と り得 る .本 質 的 に 見 え る こ と

の 全 直 線Rに

制 限 した と き,ツ イ ス ター 関 数 の 特 異 点 が2つ

分 離 した 集 合 に 分 け られ る と い う こ と で あ る.最 異 点 はPT+内

の2つ

あ り,PT+の

ど の 直 線Rも,AとBに

も単 純 な場 合 に は,fの

の 互 い に 交 わ ら な い 閉 集 合,A,Bと

す る リー マ ン球 上 で は,周 る.す

正 則 的 に 拡 張 で きる もの

交 差 す る.直 線Rの

の 特

して お く,の 中 に そ れ ぞ れ に対 応

回経 路 と と もに そ れ ら を分 離 す る こ と が可 能 で あ

る と,積 分 は適 切 に定 め られ,そ

れ が 表 す場 は 前 方 チ ュー ブ上 で 正 則

で あ り,そ れ ゆ え 正 振 動 数 を持 つ. 全 体 の 状 況 は,よ タ ー 関 数fを

り微 妙 で あ  る こ と が わ か る.種 々 の 理 由 に よ り,ツ

イス 固定 集 合)で 正 則 で あ る と単 純 に 要

領 域PT+-Α-B(A,Bは

請 す る こ と は で き ない.特

に,こ の 記 述 は共 形 不 変 で は ない.周

後 に あ る適 当 な 数 学 的概 念 は,層

回積 分 の 背

コ ホ モ ロ ジ ー で あ り,ツ イ ス タ ー 関 数 を1

次 層 コ ホ モ ロ ジ ー 類 の 代 表 元 と して考 え な け れ ば な ら な い.こ

こ は詳 細 に述

べ る場 で は な い の で,本

回積 分 の 値 を

質 的 考 え を 簡単 に記 述 す る.Rを,周

求 め た い 適 当 な 領 域 内 の 点raに

対 応 す る 直 線 の和 集 合 と し よ う.限 定 の た

め,正 振 動 数 の 場 を 選 ぼ う.す る とR=PT+で =R-BをRの は共 通 部 分U∩Vで

あ り,そ してu=R-A, 被 覆 と し よ う(す な わ ちR=U∪Vで あ る) V .す る と,f 正 則 で あ る.明

らか に ,fに

Ｕ 上 ま た はV上

正則 であ

る関 数 を加 え て も,積 分 の値 は変 わ らな い.と

い うの は,留 数 に寄 与 す る も

の が な い か らで あ る.し た が って,ツ イ ス ター 関 数 をuとv上 を法 と した,u∩v上

の正 則 関 数 と考 え るべ きで あ る.一 般 的議 論 は,単

2つ の 集 合uとvに

制 限 され る の で な く,任 意 個 のパ ッチ{uj}を

きで あ る(事 実,極

限 と して,無

は,重 複ui∩uj(空

集 合 で な けれ ば)上 正 則 な 関 数fij=-fjiの

で置 き換 え られ,3重

を満 た す.こ

数 の 集 ま りfij=hi-fjに

正 則 な 関 数hi,hjに

ら か に 満 た さ れ る.よ

よ っ て 表 現 さ れ る1‐ 関 数 と も 呼 ば れ る コ ホ モ ロ ジ ー 元 が,こ ま りで 分 解 す る こ と に よ り,出 ひ と た び,1‐ 関 数,す

っ て,fijに

の"自

明"な

集

な わ ち 上 で 定 義 し た 同 値 類 に 焦 点 を 当 て る な ら ば,結

る の は,1‐ 関 数 がPT+上

7. 

よる関

現 す る.

関 数 が 一 意 的 に 時 空 場 を 定 義 し,そ

と は ［7],[43],[47]を

数f

集 ま り全 体

そ れ は コサ イ ク ル恒 等 式

れ ぞ れui,uj上

対 し て は,明

に

も含 むべ

限 の被 覆 を も考 慮 す る).こ の 場 合,関

重複ui∩uj∩ukで

れ ら の 条 件 は,そ

論 と し て,各1‐

での正則関数

の場 が 正 振 動 数 の 場 で あ

定 義 さ れ る と き か つ そ の と き に 限 る(よ

り詳 細 な こ

見 よ).

非 線 形 重 力 子

質 量 な し場 を 表 す  周 回 積 分 が 意 味 を 持 つ の は,背 平 坦 の と き の み で あ る.特

に,積

後 に あ る 時 空 が(共

形 的)

分

と

は,平 坦 ミ ン コ フ ス キ ー 背 景 上 伝 播 す る ヘ リ シ テ ィS=±2の

質量 な し場 を

与 え る.そ れ らは,線 形 化 ア イ ン シ ュ タ イ ン真 空 方 程 式 の 解 で あ る[42].そ の よ うな 場 は,通 例 重 力子,す で,重 力 を仲 介 す る 粒 子,の

な わ ち,マ ク ス ウ ェル 理 論 の フ ォ トンの 類 似

量 子 的 記 述 を与 え る もの と見 な され て い る.場

φABCDは,左

回 りの 重 力 子 を表 す.そ れ は,し ば しば 反 自 己双 対 的 場 と して

も言 及 さ れ る.そ れ は,双 対 作 用 の 下 で 対 応 す る摂 動 曲 率 テ ン ソル の挙 動 に 関係 が あ る とい う理 由 に よる([42]を 見 よ).同 様 に,場 対 的 と呼 ば れ,右 +2と

φA'B'C'D'は 自己 双

回 りの 重 力 子 に対 応 す る.こ れ ら の場 は,そ

れ ぞ れ斉 次 性

−6を 持 つ ツ イス ター1‐関 数 か ら得 られ る.

量 子 重 力 論 の 通 常 の 見 方 に よ れ ば,曲 が っ た(古   典 的)時 空 は,凝 集 状 態 と して生 起 され るべ きで あ る.こ の 状 態 とは,状 態 の 無 限 の 量 子 的 和 で あ り,そ の 各 々 は 有 限 個 で は あ る が,制 限 の な い 大 きな個 数 の 重 力 子 を含 む もの で あ る.け れ ど も,そ の よ う な観 点 は,実 際 満 足 の い くもの で は な い.も の 和 を有 限 段 階 の とこ ろ で 切 り離 せ ば,単

し,そ

に有 限個 の 項 の重 ね 合 わ せ を持 つ

こ と に な り,そ の 各 々 は ミ ン コ フス キ ー空 間 内 の線 形 に記 述 され る 有 限 個 の 重 力 子 を だ け 含 む.こ れ らは,背 景 の ミ ン コ フ ス キ ー 空 間 の平 坦 性 を変 え な い.と

い うの は,重 力 子 状 態 を定 義 す る場 が,こ

の 背 景 空 間 上 を線 形 的 に伝

播 す る あ る摂 動 を,そ れ 自体 は そ の ま ま に保 ち,単

に与 え る だ け だ か らで あ

る.完 全 な 無 限 級 数 が 考 慮 され る極 限 に お い て の み,時 空 は"突 然 に"曲 が る の で あ る. したが   って,我

々 の 立 場 は,重 力 子 を ア イ ン シ ュ タイ ン方 程 式 の 摂 動 解 と

して で は な く,代 わ り に(適 当 な正 の 振 動 数 を持 つ)完 全 非線 形 ア イ ン シ ュ タ イ ン方 程 式 の 複 素 解 と して見 な すべ きで あ る,と い う もの で あ る.こ の 意 味 で,各

単 一 の 重 力 子 は 実 際 の 曲率 を 持 つ そ れ 自身 の 量 子 を与 え る.

こ の立 場 を明 確 にす る ため に,次 の こ とを指 摘 す る.4次

元空  間の リー マ ン

曲率 テ ン ソ ル が2‐ス ピノ ル の 言 葉 で 表 現 され る と き,そ れ の"ト レー ス 自由 部"が 上 で 見 た φABCDと

φA'B'C'D'に

きわ め て類 似 の 記 述 を持 つ こ とが わ

か る.こ の トレー ス 自由 部 は,通 常 ワ イ ル 共 形 テ ン ソル とい わ れ て い る もの で あ り,そ れ は また,時 空 曲率 の 重 力 的 自 由 度 を表 す も の と見 る こ とが で き る か も しれ な い.("ト

レース 部"は,リ

ッチ テ ン ソル を構 成 す る.標 準 的 な ア

イ ン シ ュ タ イ ンの 一 般 相 対 論 に よれ ば,リ

ッチ テ ン ソル は物 質 の エ ネ ル ギ ー

運 動 量 密 度 か ら直 接 決 定 され,自 由 重 力 場 よ りは む しろ重 力 源 を表 現 す る た め に用 い ら れ る.)ワ

イ ル 共 形 テ ン ソル は,反

で 表 さ れ る)と 自己 双 対 部(〓A'B'C'D'で 通 常 の ロ ー レ ン ツ指 数 の 時 空 で は,ワ

自己 双 対 部(ス

ピ ノ ル〓ABCD

表 さ れ る)に 分 か れ る. イ ル 曲 率 の 自己 双 対 部   と反 自己 双 対

部 は互 い に複 素 共 役 で あ る.し た が って,自 己 双 対 部 と反 自己双 対 部 と を別 々 に単 純 に零 とお くこ と は で き ない.他 の4‐空 間 を扱 うの で,自

方,多

くの純 粋 数 学 的 研 究 は 正 値 指 数

己双 対 的 と反 自己 双 対 的空 間 は,独 立 して 関心 を も

た れ る.一 般 相 対 論 で は,こ の よ うな こ とに対 す る関 心 は,主

に重 力 の 量 子

論 か ら来 る.と い うの は,そ こ で は我 々 は,複 素波 動 関 数 に 関 わ り,複 素 時 空 で は ワ イ ル テ ン ソ ルの 自 己 双 対 部 また は反 自己 双 対 部 を別 々 に零 とす る こ と が で き る か らで あ る.こ の よ う な こ と を,線 形 摂 動 の 文 脈 に お い て の み 考 察 す る こ とが,通

常 の 見 方 とな っ て い る.ツ イ ス ター 的見 方 に よ る違 い は,こ

れ ら"波 動 関数"が,非

線 形 実 体 で あ る こ とを許 さ れ る こ とで あ り,そ れ に よ

りそ れ ら は直 接(複 素)ワ イル 曲率 の 自己 双 対 部 と反 自 己双 対 部 に 別 々 に帰 す こ とが で きる. この よ うな   非 線 形 重 力子 の 記 述 の た め の枠 組 み を与 え る可 能 性 が,ツ

イス

ター 理論 の1つ の 成功 で あ る.現 時 点 にお い て ツ イス ター の言 葉 に よる 曲 が っ た 時 空 の完 全 な記 述 が 将 来 へ の道 の 途 上 に あ る と は い え,す で に い くつ か の 注 目す べ き部 分 的 結 果 が あ る.こ

こで の部 分 的 結 果 は,ア

イ ン シ ュ タ イ ン理

論 を ツ イ ス タ ー理 論 の 枠 組 み に組 み 込 む に 十 分 に満 足 す べ き方 法 が 確 か に あ る と い う こ と を示 す よ う に見 え る(最 近 の 結 果 の 多 くに つ い て の 論 評 は[40] を見 よ).こ の 最 近 の 論 文 は,こ の 早 い時 期 に成 し遂 げ られ,ま

の研 究 の 簡 潔 な記 述 を与 え て お り,2000年 だ ど こ に も公 表 さ れ て な い ご く最 近 の 研 究 を

含 ん で い る.こ れ ら の結 果 の 第1は,非

線 形 重 力子 構 成 で あ って ［33],[34],

この 構 成 に よ っ て 一般 自己 双 対 真 空 時 空 を よ り単 純 な ツ イス タ ー 的 操 作 で記 述 す る こ とが 許 さ れ る.こ の 構 成 法 は,問 題 の"明 らか"に 半 分 を 扱 っ て い て,し

ば しば これ は,"レ

ッグ‐ブ レー ク"構 成 法 とい わ れ る が,時

々 よ り困

難 な部 分 は"グ ー グ リ"問 題 とい わ れ て い る.い ず れ の言 葉 も共 に ク リケ ッ ト か ら来 て い て,第1の ル に,第2の

場 合 に は左 回 転 の ス ピ ンで 投 げ られ た ク リケ ッ トボ ー

場 合 で は,実 際 右 回転 ス ピ ンで あ る の に,ま る で左 回 転 ス ピ ン

が か か って い る よ う に投 げ られ た ボ ー ル に起 因 す る.ツ イス タ ー の 言 葉 に翻 訳 す る と,左 回転 は ツ イ ス ター で 表 され るが,右 タ ー記 法 の 代 わ りに,ツ

回 転 に対 して は 双 対 ツ イス

イ ス ター 記 法 をそ の ま ま保 つ こ とを意 味 す る.

以 前 に概 説 した よ う に,ツ

イス ター 理 論 の背 後 にあ る全 体 の 動 機 づ  け によ

れ ば,複 素解 析 的構 造 は,そ れが 一 般 相 対 論 的 ア イ デ ィア と量 子 論 的 ア イ デ ィ

ア を統 一 す る よ う に な る と き,決 定 的役 割 を果 た す は ず で あ る.こ の役 割 こ そ,本

質 的 に非 局 所 的 な特 性 で あ る はず で あ る.さ

の構 成 で 次 数+2の

ら に は,左 回 りの重 力 子

斉 次 ツ イ ス ター1‐関 数 が 適 当 な線 形 化 に お い て現 れ る は

ず で,一 方 右 回 り系 で は次 数-6の

斉 次 関 数 が 線 形 の 状 況 にお い て 寄 与 す る

はず で あ る. 平 坦 ミ  ン コ フ ス キ ー 空 間 は,複 素 多 様 体PT,す

なわちス ケー ルを除い た

ツ イ ス ター の な す 空 間 と関 係 が あ る.曲 が っ た時 空 は平 坦 時 空 の変 形 な の で , 曲 が った 時 空 の ツ イ ス タ ー空 間Tが

標 準 平 坦 ツ イ ス ター 空 間 の あ る種 の 変 形

で あ るべ きで あ る とい うの は,明 らか に 見 え る .事 実,そ れ は,左 回 り非線 形 "レ ッグ‐ブ レ ー ク"構 成 を生 成 す る ツ イス ター 空 間PTの 複 素 構 造 の変 形 で あ る.こ

こ は 詳 細 を与 え る場 で な い け れ ど も(た と え ば[33] ,[44]を 見 よ),一 般 的 ア イ デ ィア を主 題 とす る こ とが で き る. (複 素)多 様 体 が,本 質 的 に は 多様 体 を覆  う開 集 合uiの

集 ま りをパ ッチ ワー

ク して 構 成 さ れ る こ と を想 起 し よ う.こ こで,パ ッチ ワー ク の情 報 は ,重 複 部 uj∩uk上

で 定 義 され る適 当 な 変換 関 数 φjk=φ-1kjに よ っ て 与 え られ る .さ

らに3重

重 複 部 上 の 変 換 関 数 が 従 わ な け れ ば な らな い 整 合 的 関 係 が あ る .こ

の よ う に,複 素 多 様 体 の 構 成 に お け る変 換 関 数 は,前 に 導 入 した ツ イス タ ー 1‐関 数 の 非 線 形 版 を与 え る よ うに 見 え る.さ

ら に加 え て,そ

固 定 され た 空 間 上 で定 義 され る の と違 って,ツ 能 動 的 に働 く.実 際,fij=hi-hjの あ る.す

な わ ち,関 与 す る2つ

れ は,1‐ 関 数 が

イス タ ー空 間 の 構 造 の 変 化 に

形 の"自 明"な1‐ 関 数 の ア ナ ロ ジー が のパ ッチ ワ ー ク の ど ち ら か の 座 標 を単 に ラベ

ル し直 す こ と に対 応 す る変 換 関 数 で あ る . 平 坦 ツ イ ス ター 空 間Tの れ る.無 限 小 的,す

領 域Rの

変形  は,変 換 関 数 の変 更 に よ って な さ

な わ ち線 形 的 な 変 形 を,ま ず 最 初 に 考 え る の が 便 利 で あ

る.そ の よ う な 変 形 は,2つ

のパ ッチui ,ujを

り得 られ る.こ の パ ッチ は,重 複ui∩uj上 特 定 に よ っ て 得 られ る.ベ

ク トル場Vijの

互 い にス ラ イ ドす る こ と に よ

の 正 則 ベ ク トル 場Vij=-Vjiの 集 ま りは,再

び3重

重複部 上の適

合 条 件 の 制 約 を 受 け,し た が っ てあ る コ ホ モ ロ ジー 類 を表 現 す る こ と に な る . 重 複 集 合 上 の 関 数fij(Zα)=fij(WA,πA')で

表 現 され る次 数+2の

関 数 に よ っ て特 徴 づ け られ る左 回 りの 線 形 重 力 子 に対 して,ベ

斉 次1‐ 

ク トル 場 を

に よ っ て 定 義 す る こ と が で き る.明 よ っ て キ ャ ン セ ル さ れ る.こ こ と に 注 意 し よ う.こ

ら か にfijの

の ベ ク トル 場 は,π

の こ と は,各

元 ベ ク トル 空 間SA'へ

は摂 動 に影 響 さ れ な い の で,こ 零 を 除 い て の 射 影)が,無 一 部 を な す よ うに と る.

斉次性 に

につ い て の微 分 を含 まな い

パ ッチ の π‐空 間 が 他 の パ ッ チ の π‐空 間 と

互 い に 同 一 視 で き る こ と を 意 味 す る.い π‐ス ピ ノ ル の2次

斉 次 性 は,〓Bの

い 換 え る と,ツ

イ ス タ ー 空 間Tか

ら

の射影

の射 影(あ るい は,よ

り正 確 に は各 空 間 か ら

限小 変 形 され た ツ イス ター 空 間 の幾 何 学 的構 造 の

本 当 に曲 が っ た 反 自己   双 対 複 素 真 空 時 空Mに レ ッグ‐ブ レー ク ツ イ ス ター 空 間Tに

対 応 す る有 限 に変 形 され た

対 して は ,上 で 述 べ た無 限小 変 形 の べ

き指 数 化 を考 察 しな け れ ば な ら な い.射 影

は,ツ

イス ター 空 間 の幾 何 学 的 構 造 の 一 部 を残 す.さ

の 特 定 の 性 質 に よ っ て,SA'の

ら に,上 の無 限 小 変 形

個 々 の 点 の 上 に横 た わ る2次 元 空 間 が 正 準 面

積 形 式 を持 つ とい う こ と も また保 証 され る.こ れ ら も また,レ 空 間Tの

ッグ‐ブ レー ク

幾 何 学 的 構 造 の 一 部 と み な され る.

こ の特 定 の 幾 何 学 構 造 を言 い 表 す も う1つ   の 方 法 が あ る .す な わ ち,Tが 単純に

で あ りか つ,閉

と い う 意 味 で,正 葉 がSA'の

則2‐ 形 式Tを

持 つ と い う こ と で あ る .こ

個 々 の 点 に 落 ち る2‐ 空 間 と な る,大

の 形 式Tは,そ

の

域 的 に可 積 分 な 葉層 構 造 を定

義 す る. 事 実,レ  

ッ グ ‐ブ レ ー ク 空 間Tは,ま

た 正 則4‐ 体 積 形 式 Φ と 正 則 ベ ク トル

場r(オ

イ ラ ー ベ ク トル 場 と 呼 ば れ る)も

と Φ は,そ

も っ て い る.平

坦 なTの

場 合,T

れ ぞれ

と

の 形 で,そ

してrは,5節

で す で に遭 遇 した オ イ ラ ー斉 次 的 作 用 素

に よ って 与 え ら れ る.rの

積 分 曲線 は,非 射 影 的 ツ イ ス タ ー 空 間T(原 点 を

除 く)か ら射 影 的 空 間PTへ

導 く射 影(T−{0})→PTの

る.同 様 に して,変 形 され たTの 影 的 ツ イ ス タ ー 空 間Tか T→PTの

場 合 に も,rの

ファイバ ーであ 積 分 曲 線 は 曲が っ た 非 射

ら 曲が っ た 射 影 的 ツ イ ス ター 空 間PT『 へ 導 く射 影

フ ァ イバ ー で あ る.

上 記 の 局 所 構 造 は,正 則1‐形   式〓 と3‐形 式〓 し直 す こ と が で きる.こ

の 言 葉 で 幾 分 無 駄 な く表 現

こで お よび

で あ り,今 や オ イ ラ ー ベ ク トル 場rを,任 r(a)Φ

意 の ス カ ラ ーaに

つ い て,da〓=

を意 味 す る

に よ っ て 定 義 で き る.平

坦 ツ イ ス タ ー 空 間Tで

は,こ

れ らの 量 は

お よび

で あ る.曲 が っ た ツ イ ス ター 空 間Tの

場 合 で も,次 の 関係 式

と,も

う一 つ の 条 件

(こ れ は,〓 がrに あ る.こ

関 し て"次

数2の

斉 次 性"を

持 つ こ と を 示 し て い る)と が

こ で,n‐ 形 式 η と2‐ 形 式 の 間 に作 用 す る 双 線 形 作 用 素〓

で定 義 され る.い か に(反 自己 双 対 複 素 真 空)時 空Mを,そ レ ー ク 空 間Tか

ら構 成 す る か?む

イ ブ レー シ ョ ンT→SA'の

れ の レ ッ グーブ

しろ 際 だ っ た こ と に は,Mの

す る)射 影 的 ツ イ ス タ ー空 間PT内 見 な す こ とに な る.こ れ は,3節

の正 則 曲線(リ ー マ ン球)と して 生 じる と で述 べ た 平 坦 ツ イ ス ター対 応 で のCM〓

内 の 点 の ヌ ル 分 離 性 がPTの

表 現 され る と い う事 実 か ら生 じる.Mの

た,Mの

の点

の共 形 幾

対 応 す る射 影 直 線 の 交 差 性 と して 共 形 幾何 学 は,ま さ に 同一 の方 法 に

の 正 則 曲 線 の 交 差 性 に よ って 表 現 され るM内

性 か ら生 じる.ま

ァ

点 が(正 しい 位 相 ク ラ ス に 属

を表 す 射 影 直 線 の 曲 が った 場 合 の ア ナ ロ ジ ー で あ る.こ こで,CM〓

よ っ て,PT内

点 は ,フ

正 則 切 断 面 と して生 じる とい う こ とが わ か る.

よ りあ り き た りの表 現 で は,こ の 構 成 は,Mの

何 学 は,CM〓

は

の 点 の ヌ ル分 離

計 量 幾 何 学 も形 式〓 と〓 か ら得 られ る.

こ の 反 自己 双 対 複 素真 空(す なわ ち リ ッチ平 坦)4‐空 間 洞 の構 成 は,実 際, 完 全 に(M内 論 の,そ

で は少 な くと も局 所 的 に)一 般 的 で あ り,そ れ は ツ イ ス ター 理

して(序 で 触 れ た よ うに)特 に純 粋 数 学 的 応 用 の,後 続 の研 究 の 多 く

の 基 礎 を形 成 す る.し か し,物 理 学 的観 点 か ら は,グ ー グ リ(自 己 双 対 的)情 報 を も組 み 入 れ る方 法 が あ る こ とが 本 質 的 で あ る.こ れ が,上 で 述 べ たTの 構 造 を幾 分 弱 め る こ と に よ っ て,行 わ れ る こ とが 可 能 と な る. 正 則1‐形 式〓 と3‐形 式 〓 を完 全 に 与 え られ る代 わ り に,グ   ー グ リ情 報 が 複 素 多様 体〓 の 構 造 中 に含 まれ る べ き な らば,こ れ らの 形 式 は,比 例 を なす こ と だ け を除 い て与 え られ る.そ れ に応 じて ,3‐ 形 式 〓 に よ って 定 義 さ れ る 1‐葉 層 と1‐形 式〓 に よ っ て定 義 され る3‐葉 層 は,や は り以 前 の よ う に与 え ら れ る.し か し,こ れ らの 形 式 に よっ て与 え られ る ス ケ ー ル 化 はそ うで は な い. Tを,以

前 の よ う に,い

くつ か の 開集 合 の パ ッチul,u2,u3,…

で覆 われて

い て,〓 と〓 は,パ

ッチ か らパ ッチ に移 る と きに,比 例 を なす こ と を除 い て

揃 う必 要 が あ る と想 像 す る.各 パ ッチ に お い て は,こ

れ らの 形 式 が,上

え られ た 関係 式 を満 た す こ と を要 求 す る.加 え て,テ

ン ソル 積

の い ず れ もが,パ

で与

ッチ か らパ ッチ へ 移 る と き一 致 す る の を 要求 す る(特 別 な

役 割 を有 す る 特 殊 なパ ッチ に対 して,Σ され る か も しれ な い が).こ つ(正 規)パ ッチuと

れ は,次

形 式〓 と〓

の 場 合 の これ を弱 め た もの が,要 求

を 意味 す る.つ を持 つu'の

ま り,形 式〓 と〓 を持

間の 重 複 部 分 上 で 成 立 す る 関

係式

を も た な け れ ば な ら な い.こ 関 数 で あ る.さ

こ で,kは

重 複 部 分 で 定 義 され た あ る ス カ ラ ー

らに,方 程 式d〓=-2〓 あ る い は,同

(こ れ はr'=K3r'お

のd〓 は今 や 値 的 に

よ びr'(k-1)=-k-2r'(k)で

準 的 方 法 に よ り,オ

あ る)を 意 味 す る.標

イラー積分 曲線

に 沿 っ て 定 義 さ れ る も の を,パ

ラ メ ー タzの

言 葉 で 記 述 し よ う ． す る と,zは

関 与 す る パ ッ チ で の 平 坦 ツ イ ス タ ー 記 述{Zα}の パ ラ メ ー タ で あ る.こ

で あ り,Fは,各

で あ る.こ

るFに

言 葉 に よ る通 常 の ス ケ ー ル

つい て

オ イ ラ ー 積 分 曲 線 に 沿 っ て 一 定 な も の,す

こ で,f-6は,次

奇 妙 な 方 法 で,グ

こ で,あ

数-6の

な わち

斉 次 ツ イ ス タ ー 関 数 で あ る.こ

の ように

ー グ リ 情 報 を オ イ ラ ー ベ ク トル 場 の ス ケ ー ル 化 の 中 に コ ー

ド化 し た こ と に な る.

 与 え られ た(解 析 的,強 漸 近 的平 坦,真 空)時 空Mか 空 間Tを

ら,こ の ツ イ ス ター

構 成 す る 具体 的 方 法 が あ る ． しか し,こ こで は,そ の 詳 細 は与 え な

い([40],[41]を

参 照).逆 の 方 向 と して,MをTの

大 域 的 構 造 か らそ の 時空

計 量gと

共 に再 構 成 す る 方 法 を知 る必 要 が あ る.こ の 逆 プ ロセ ス の 種 々 の見

地 は,現

時 点 で は,予 想 に と ど ま るが,正

る.Mの

各 点xは,あ

しい 手 順 を強 く指 摘 す る もの もあ

る 一 貫 した 方 法 で,多 様 体 部 分 がT(の

主 要 部 分)に

付 け 加 え られ る よ う な特 殊 な タ イ プ の 手 術 に相 当 して い る ． こ の よ う な各 々 の手 術 に 関 して,次 の よ う な 開集 合 の パ ッチ ワー ク が存 在 す る.開 集 合 の そ れ ぞ れ ほ1‐形 式 ξ(〓と〓 に加 えて)を 含 む.そ

で あ り(こ れ は,d〓=-2〓d〓

と 比 較 さ れ る),そ

を 満 た す も の で あ る.そ

れ ぞ れ 形 式(〓)と(〓)を

パ ッ チuとu'上

前 に 見 た〓=k〓

え て,次

で,以

れは

して こ こで

持つ重複 す る

,〓'=k2〓,d〓'=k-ld〓

に加

の 関係 式

も 持 つ.xで

の 計 量gは,(E.T.Newman[31］

に よ る 奇 妙 な 公 式 の た め,確

か に 自 己 双 対 と 反 自 己 双 対 的 場 合 に 正 し い)

とい う公 式 で 与 え られ る と思 わ れ る.こ こ で α は方 程 式

で 定 義 さ れ る.1‐ 形 式〓

は,xよ

りは む しろ 点x+〓xに

対 す る〓 の 類 似 物

で あ る. 正  しい 手 術 と ξの 選 び方 を定 め る正 確 な 条 件 は,ま い な い.こ

だ完 全 に は 解 決 さ れ て

れ らの 選 び 方 を決 定 す る の に関 与 す る ら しい,好 奇 心 をそ そ る周

回 積 分 表 示 が あ る.そ の よ うな積 分 は,上 で 得 られ たkの 特 殊 な 形 の ため に,

パ ッチ を越 えて 大 域 的 に定 義 され た4‐形 式

を と り,コ

ン パ ク トで 境 界 つ き4‐ 輪 郭(contour)上

境 界 上 の も の に 置 き 換 え て,ツ

イ ス タ ー 関 数f-6の,パ

で の 役 割 を 見 る こ と に し よ う.こ の 点 を 表 現 す る,変 し た,(ξ

歪 み を 考 慮 し て い て,そ こ れ に 似 た 表 現 は,ツ 別 な も の と し て,そ ホ ッ ジ[20]が

こ で,η

はxの

動 す る1‐ 形 式 で あ る.こ

で 定 義 さ れ た)xで

で 積 分 さ れ る.積

分 を3‐

ッチ 間 の 重 複 部 分 上

光 円錐 の 無 限遠 に お け る種 々

れ ら の 積 分 表 示 は,2節

で言及

の 局 所 天 球 と(〓 で 定 義 さ れ た)漸 近 天 球 の 間 の

し て こ の 歪 み を ツ イ ス タ ー 関 数f-6に

関 係 づ け る.

イ ス タ ー 理 論 の 他 領 域 に 関 係 す る と思 わ れ る.最

も特

れ ら は 量 子 場 理 論 の ツ イ ス タ ー 版 の 発 展 の た め に,A.P.

発 展 さ せ た ツ イ ス タ ー 図 式 理 論 に 関 係 す る.こ

れ ら は,す

べ て

進 行 中 の 研 究 で あ る.

8. 

ま と ま り の な い 終 わ り

ツ イ ス タ ー理 論 の 研 究 活 動 の  最 近 の 分 野 の1つ

は,質

量 な し ヘ リ シ テ ィ3/2

場 に介 在 され る ツ イ ス タ ー と真 空 ア イ ン シ ュ タ イ ン方 程 式 と の 間 にあ る 関 連 性 の 現 実 化 に 動 機 づ け ら れ て い る.そ 1.  M上

れ は,次

の2つ

の 事 実 に 基 づ く.

の ヘ リ シ テ ィ3/2の場 の チ ャ ー ジ の 空 間 は ツ イ ス タ ー 空 間Tで

2. ヘ リ シ テ ィ3/2の 場 の 方 程 式 は,ポ 盾 で あ る の は,時

テ ン シ ャ ル の 形 で 書 か れ る と き,無

本 質 的 に は 次 の よ う に し て 生 じ る[35]:M上 双 対 ツ イ ス タ ー に よ る"縮

約"に

的 に 変 換 す る こ と が で き る.こ 己 双 対)な

(電 気 的+i×

の"ヘ

れ ら の 対 象 は,

の ヘ リ シ テ ィsの 質 量 な し場 を,

よ っ て ヘ リ シ テ ィS-1/2の

ヘ リ シ テ ィ+1を

磁 気 的)チ

て 得 ら れ る.そ

矛

空 が リ ッ チ 平 坦 の と き か つ そ の と き に 限 る.

ヘ リ シ テ ィ3/2の場 の ツ イ ス タ ー ・チ ャ ー ジ の 意 味 と は 何 か?こ

と,(自

あ る.

リ シ テ ィ 降 下"手

質量 な し場 に線 形

順 を,3/2場

に適 用 す る

持 っ た マ ッ ク ス ウ ェ ル 場 を 得 る.そ

れ の

ャ ー ジ は 源 の 回 りの 任 意 の 球 面 上 の ガ ウ ス 積 分 に よ っ

の 球 面 と し て は 無 限 遠 球 面 を 選 ぶ こ と が で き る.そ

れ ゆ え,お

の お の の 双 対 ツ イ ス タ ー を 複 素 数 に 線 形 に 対 応 さ せ る よ う な 写 像 を 得 る.ゆ

え に そ れ は ツ イ ス タ ー に よ っ て 介 在 さ れ る.こ 事 実(2)は,質

量 な し ヘ リ シ テ ィ3/2場〓A'B'C'に

係 す る も の で あ る."デ 坦 空 間M内

れ は(1)を

ィ ラ ッ クーフ ィ ア ズ"形

の 任 意 の ヘ リ シ テ ィ3/2場 を,局

説 明 し て い る.

対 す る ポ テ ン シ ャ  ルに関

式 で 書 く と き に[5],[8],[9］,平 所 的 に ス ピ ノ ル 場 σBB'C'の 微 分

(8.1) と し て 書 く こ と が で き る.こ

こ に,ス

ピ ノ ル 場 は,ダ

ッ シ ュ つ きの 添 字 につ

いて対称 かつ場 の方程式

(8.2) を 満 た す も の で あ る.こ が あ る.す

な わ ち,反

の ポ テ ン シ ャ ル に よ る 場 の 記 述 に は"ゲ

ー ジ 自 由 度"

ニ ュ ー トリ ノ方 程 式

を満 た す 場〓A'を 用 い て

とお く と,場 は 変 化 しな い.こ の 構 造 を 曲 が っ た時 空 上 に置 こ う とす る と き に何 が 起 こ るか?方

程 式(8.1)で 定 義 され る よ う に,(B'C'に

つ い て対 称 で,

(8.2)を 満 た す σAB'C'を伴 う)場 は もは や ゲ ー ジ不 変 で は ない が,方 程 式(8.2) は 時 空 が リ ッチ 平 坦 な らば 意味 を持 つ こ とが わ か る. ア イ デ ィ ア は,平 坦 空 間 で そ うで あ る の と同 じ程  度 に リ ッチ平 坦 時 空 上 で も大 き な(8.2)の 解 の 空 間 を考 察 す る こ とで あ っ た し[11],そ

して これ ら場

の"チ ャ ー ジ の 空 間"を 構 成 し よ う とい うこ とで あ っ た.こ れ は,ツ イ ス ター 空 間Tの

リ ッチ 平 坦 時 空へ の 一 般 化 に な る は ず で あ る.そ

多様 体 に な るべ きで,さ

ら に,7節

れ は,4次

元複素

の非 線 形 重 力 子 構 成 に 拡 張 され る こ とに

な れ ば,こ の ツ イス タ ー空 間 は,問 題 の 時 空 の 計 量 構 造 を符 号 化 す る形 で 適 切 に変 形 さ れ な け れ ば な らな い はず で あ る.こ の 種 の ア プ ロ ー チ か ら生 じる 描 像 はヘ リ シテ ィ3/2の場 が,そ れ を複 素 チ ャー ジ 空 間 で 記 述(記 録)さ れ る無 限 遠 へ と運 ん で 行 く時 空 の計 量 や 曲率 を感 じ取 る とい う よ うな もの で あ る. こ れ らの ア イ デ ィア の い くつ か は,[10］,[36],[37]お

よびそ こでの参考  文

献 に記 述 され て い る.し か し,前 節 で述 べ られ た着 想 との 結 び つ き は今 の と

ころ か な り緩 や か で あ り,研 究 の 多 くが ス ケ ッチ した プ ロ グ ラ ム の 詳 細 を選 り抜 く試 み の 前 に佇 ん で い る とい うの が,公 平 な い い 方 で あ る. 終 わ りに,ツ

イ ス ター と ア イ ン シ ュ タイ ン方 程 式 との 間 の,最  

近研 究 され

た も う1つ の 関係 ［14］ に言 及 して お く.こ れ は,局 所 ツ イ ス タ ー と共 形 場 方 程 式 と に 関係 して い る.局 所 ツ イ ス タ ー は,ツ

イス ター 表 現 形 式 を 曲 が っ た

空 間 に拡 張 す る1つ の 方 法 で あ っ た.大 まか な アイ デ ィア は,ミ ンコ フス キ ー 空 間 と 曲 が っ た多 様 体M上

の 各 点 で の ツ イス ター 空 間 との ツ イス ター 対 応

を,点 ご との接 空 間 に ミ ン コ フス キ ー 空 間 の役 割 を引 き受 け させ る こ とに よっ て 局在 化 す る こ とで あ った.こ の 構 成 は,構 造群SU(2,2)を

持 つM上

のベ

ク トル 束 を生 み 出す.次 の よ う に局 所 ツ イ ス タ ー接 続 を一 意 的 に構 成 で き る. そ の 曲 率 は,本 質 的 に は時 空 の ワ イ ル 曲率 か ら決 定 さ れ,そ の 意 味 に お い て,Mの

して 適 切 な 定 義

共 形 構 造 か ら構 成 さ れ る正 規 共 形 カ ル タ ン接 続 に 同 値

で あ る[15］. 共形   場 方 程 式 は,フ

リー ドリ ッ ヒ[16]に よ っ て漸 近 平 坦 時 空 の 漸 近 的構 造

を解 析 す る た め に 組 み 立 て られ た.そ れ ら は,真 空 時 空 の共 形構 造 の 方 程 式 で あ っ て,計 量 に つ い て の 方 程 式,そ

の 接 続 と曲率,そ

と そ の微 分 か らな る.共 形 場 方 程 式 の解 は,本 計 量gab=Ω

質 的 に は そ れ らに よ っ て真 空

−2gabが 決 定 され る と こ ろ の 計 量gabと

共 形 場 方 程 式 は,ミ

して さ ら に共 形 因 子

共 形 因子 Ω か ら な る.

ン コ フス キ ー 空 間 に あ る意 味 で 近 い 時 空 に 対 して,(半)

大 域 的 存 在 を与 え る適 切 に定 義 され た初 期 値 問 題 を 立 て る た め に 用 い ら れ た [17].最 近,そ

れ ら は ア イ ンシ ュ タ イ ン方 程 式 の 大 域 解 を見 出 す た め に数 値

的研 究[12］,[13］,[21]に 応 用 さ れ た. 上 で 述 べ た 関係 性 は,共 形 場 方 程  式 が 局 所 ツ イス ター 束 か ら構 成 さ れ たM 上 の あ る束 の か な りよ い幾 何 学 的性 質 と して い い表 す こ とが で きる とい う事 実,す

な わ ち(局 所 ツ イ ス タ ー接 続 に 関 して)共 形 的 一 定 の 切 断

の 存 在 を許 す べ きで あ る とい う事 実,に 帰 す る.こ こ でDは 接 続 で あ り,上 つ き添 え 字 は 問題 の 束 の 切 断 を表 す.よ

局所 ツ イス タ ー

り一 般 的 な条 件

が,背

景 に あ る 多 様 体 が 真 空 時 空 で あ る こ と も意 味 す る こ とが さ らに 判 明 し

た.こ

こ に切 断xKは

で あ る.そ れ 自体7節

正 準 的 切 断 で,局 所 ツ イ ス ター 束 の 構 成 に伴 っ た もの の"グ ー グ リ"構 成 に深 い 関 連 性 を持 つ こ とが 明 らか

な"ス パ ー リン グ3‐形 式"[46]と 密 接 な関 係 が あ る ら しい とは い え,こ れ らの 方 程 式 の 意 味 す る もの は,未

だ に 幾 分 不 明 瞭 で あ る.そ れ らが 変 分 原 理 か ら

得 られ る とい う事 例 が あ る ． とは い え,こ れ らす べ て に は さ ら に研 究 が 必 要 で あ る.こ

の 文 脈 で 生 じる もう1つ

の疑 問 は,共 形 場 方 程 式 の 助 け に よ り解

析 され て き た空 間 的 無 限ioの 構 造 に 関係 す る ． 時 空 が(滑 らか な)漸 近 的 平 坦 で あ る た め に,"空

間 的 無 限 遠"で の初 期 デ ー タ 曲面 の 共形 構 造 が,あ

るど

ち らか と い う と ミス テ リ ア ス な 条件 を満 たす こ とが 必 要 で あ る よ うに 見 え る ［18].疑 問 点 は,局 所 ツ イス ター 描 像 の 言 葉 で は この 条 件 は どん な意 味 で あ る か,そ

して そ れ が厳 密 な意 味 で の ツ イ ス ター理 論 に つ い て の 何 か を我 々 に

語 る の か,と

い う こ とで あ る.

繰 り返 す が,こ れ らの疑 問 は,ま だ と り扱 われ た こ とが ない もの で あ る.し か し,7節

で の 記 述 と本 節 の そ れ ら との 間 の 顕 著 な結 びつ きが あ るべ きで あ

る と思 え る.漸 近 的 平 坦 時 空 の ツ イ ス タ ー手 法 に よ る完 全 な扱 い は,い 途 中 に あ る.新

しい 大 道 が,確

か に 開か れ て きて は い る.そ

まだ

して,将 来 起 こ

る で あ ろ う こ と を考 え るの は興 味 深 い こ とで あ る ．

9.  結 論 と し て の 注 釈

前 の 諸 節 で,ツ 用 を持 つ,実

イ ス タ  ー理 論 が,数 学 と物 理 学 の多 様 で 異 な る 領 域 で の 応

り豊 か な ア イ デ ィア を提 供 して い る こ と を見 て き た.他 方 で,量

子 物 理 学 と時 空 構 造 の 間 の 関係 に明 瞭 な物 理 学 的 見 方 を与 え て い る とは未 だ い え な い.ツ イ ス ター 理 論 は,あ る重 要 な 点 で,4半

世 紀 近 くの 間 か な り停 滞

して い る(オ リ ジ ナ ル な"非 線 形 重 力 子"の 論 文 が 出 版 され た の が,1976年 で あ る).だ が,一 定 の 進 展 が 実 際 な さ れ,最 近 の"グ ー グ リ問題"で の前 進 が,研 究 の様 相 を か な り押 し広 げ た とい え る. ツ イ ス タ ー哲 学 の 基 礎 的構 成 要 素,最 性 が,か

も注   目 に値 す る正 則 性 と時 空 非 局 所

な りの 数 の 精 妙 か つ 成 果 の あ る 新 しい 数 学 的 意 味 づ け を持 っ た とい

う 意 味 に お い て,十

分 に 正 当 化 さ れ る.し

意 味 づ け に 関 し て の 本 当 の 進 展 は,7節

か し,ツ

イス ター理 論 の 物 理 学 的

で 簡 潔 に 概 観 し た グ ー グ リ 幾 何 学 が,

一 般 的 時 空 の 記 述 に 成 功 を お さ め る 度 合 い に か な り依 存 し て い る

.

確 か に 重 要 な 進 展 が こ れ ら の 線 に 沿 っ て あ り そ う だ と い う こ と,そ   の 進 展 が8節 と は,我

して こ

で述 べ た発 展 に 光 を当 て る とい う多 くの 可 能 性 が あ る とい う こ

々 の 信 念 で あ る.こ

理 論 の 他 領 域,例

の進 展 か ら利 益 が 得 られ る で あ ろ う ツ イ ス タ ー

え ば ツ イ ス タ ー 粒 子 理 論[22],[45],そ

終 わ り で 言 及 さ れ た)ツ

れ と と も に(7節

の

イ ス タ ー 図 式 理 論 も ま た あ る.

ツ イ ス タ ー 理 論 に お い て な さ れ る べ き さ ら に 多 く  の 研 究 が あ る こ と は 明 ら か で あ る.21世

紀 に お い て 興 味 あ る さ ら な る 発 展 が あ る で あ ろ う.

謝 辞  著 者 た ち は,ET.ニ デ ュ ナ ジ ェ ス キ,そ の1人(ロ

ュ ー マ ン,L.J.マ

ソ ン,F.ハ

ド ロ ヴ ィ ッ チ,M.

し て そ の 他 の 数 え 切 れ な い 人 々 と の 議 論 に 感 謝 す る.著

ジ ャ ー ・ペ ン ロ ー ズ)は,PHY93‐96246の

下 の 援 助 に対

者

し,NSF

に 感 謝 す る.

参 考 文 献

[1] A.Ashtekar,New 1988

perspectives in

canonical

gravity,Bibliopolis,Naples,

[2] M.F.Atiyah,N.J．Hitchin,Ⅰ.M.Singer,Self‐duality in four‐dimensional Riemannian geometry.Proc.Roy.Soc.London A362,425‐461(1978) [3] R.J.Baston,M.G.Eastwood,The sity Press,NewYork,1989

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[4] L.Diosi,Models for universal tuations,Phys.Rev.A40,1165‐1174(1989)

reduction

transform,Oxford

of macroscopic

Univer

quantum

[5] P.A.M.Dirac,Relativistic A155,447‐459(1936)

wave

[6] P.A.M.Dirac,The Principles sity Press,Oxford,1996,4th

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デ ィ ラ ッ ク 著,朝 永 辰一 郎,玉 訳,岩 波 書 店,1980年)

equations,Proc.Roy.Soc.London

木 英 彦,木

[7] M.G.Eastwood,R.Penrose,R.O.Wells,Jr.,Cohomology fields,Comm.Math.Phys.78,305‐351(1981)

fluc

庭 二 郎,大

塚 盆 比 古,伊

and

Univer 』P.A .M. 藤大介 共

massless

[8]  M.Fierz,Uber

die

liebigem

relativistische

Theorie

kraftefreier

Teilchen

mit

be

Spin,Helv.Phys.Acta12,3‐37(1939)

[9]  M.Fierz,Uber

den

beliebigem

Drehimpuls

von

Spin,Helv.Phys.Acta

[10]  J.Frauendiener,Another Newsletter

Teilchen

mit

Ruhemasse

null

und

13,45‐60(1940)

view

at the

spin (3/2)equation,Twistor

37,7‐9(1994)

[11]  J.Frauendiener,On

spin(3/2)systems

in

Ricci

flat

space‐times,

J.Math.Phys.36,3012‐3022(1995)

[12]  J.Frauendiener,Numerical problem

for

treatment

the

vacuum

Einstein

of

the

hyperboloidal

equations.Ⅰ.The

initial

conformal

field

value equa

tions,Phys.Rev.D58,064002(1998)

[13]  J.Frauendiener,Numerical

treatment

problem for the vacuum Phys.Rev.D58,064003(1998)

Einstein

of

the

hyperboloidal

equations.Ⅱ.The

[14]  J.Frauendiener,G.A.J．Sparling,Local

initial

evolution

twistors

and the

normal

conformal

value

equations,

conformal

field

equations,J.Math.Phys.41,437‐443(2000)

[15]  H.Friedrich,Twistor

connection

and

connection,

Gen.Rel.Grav.8,303‐312(1997)

[16]  H.Friedrich,The instein's vacuum order

asymptotic field equations

quasilinear

symmetric

characteristic as an initial

hyperbolic

initial value

value problem for E problem for a first

system,Proc.Roy.Soc.London

A378,401‐421(1981)

[17]  H.Friedrich,On

the

existence ofn‐geodesically

plete solutions of Einstein's structure,Comm.Math.Phys.107,587‐609(1986)

[18]  H.Friedrich,Gravitational

field

complete

equations

fields

near

with

space‐like

or

future

smooth

com

asymptotic

and

null

infinity,

J.Geom.Phys.24,83‐163(1998)

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diagram

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The Univ,Press,Oxford

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Geometric

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solution

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[33]  R.Penrose,Nonlinear

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and

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theory,Gen.Rel.Grav.

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[34]  R.Penrose,The

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[35]  R.Penrose,Twistors ogy,edited by

graviton,Gen

[36]  R.Penrose,Twistors

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spin

3/2

3/2

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charges

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and Cosmol

continued,Twistor

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Newsletter

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space‐time

points for

spin

3/2

twistor spaces,

39,1‐5(1995)

gravity's

role in

quantum

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Grav.28,581‐600(1996)

[39]  R.Penrose,Twistor

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rays,Class.Quant.Grav.14,A299‐

A323(1997)

[40]  R.Penrose,The &

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central 10,581‐611(1999)

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twistor

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remarks on of Engelbert

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1999

[42]  R.Penrose,W.Rindler,Spinors versity Press,Cambridge

1984

[43]  R.Penrose,W.Rindler,Spinors versity Press,Cambridge

1986

[44]  R.Penrose,R．S.Ward,Twistors for eneral Relativity and Press,New

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Spacetime,vol.1,Cambridge

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and

Spacetime,vol．2,Cambridge

Uni

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Gravitation,edited

curved space‐time.In G A.Held,vol.2,Plenum

1980

[45]  Z.Perjes,Introduction and

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Nonlinear

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[46]  G.Sparling,Twistors,spinors Univ.Pittsburgh

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[47]  R.S.Ward,R.O.Wells,Jr.,Twistor bridge University Press,Cambridge

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Einstein

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preprint(1984)

Geometry 1990

quantization,Oxford edn.

and

Field

Theory,Cam

University

Press,N

大域微分幾何 学 Global

Differential

N.ヒ

ッ チ ン 

Geometry

●訳:大 仁田 義裕(東 京都立大学)

【 著者紹介】 ナ イ ジ ェ ル ・ヒ ッチ ン(Nigel 1946年,イ

Hitchin)

ギ リスの ダ ー ビー に 生 まれ る.オ ック ス フ ォー

ド大学 ジー ザス校で 学んだ後,同 校で 博士号を取 得 ．マ イケル ・ アテ ィヤ ー と共 同研 究 を行 う．1971年

か ら73年 にか け てプ

リンス トン大 学 にて,そ して73年 か ら74年 に かけてニ ューヨー クの クー ラン ト研究 所 に職 を得 て研究 活動 を し,講 壇 に立 つ. 1974年

にオ ックス フ ォー ド大学 に戻 り,16年

余 り務 めた後.

1990年

に は ウ ォ リッ ク大 学教 授,1994年

には ケ ン ブ リ ッ

ジ 大 学教 授 とな る ．1994年 会 会 長 ．1997年

よ り1996年

まで ロ ン ドン数学

に オ ッ クス フ ォー ド大学 に戻 り,幾 何 学の

サ リヴ ァ ン教授 職 に就 任,現 在 に 至る.2002年

ロ ン ドン数

学会 よ りポ ーヤ賞 受 賞. 主 に.微 分 幾何 学 と代 数 幾何 学 と 理論 物 理 が相 互 に作 用 する 領域 を研 究 して いる が,特 にイ ン ス タ ン トン,モ ノポ ール, 可 積分 系の研究業 績が有名 である ．最 近はミ ラー ・シ ンメ トリー に起 因す る幾 何学 的問 題 に興味 を持 っている.

1.  過 去 と 現 在

この よ うな サ  ー ベ イ は 今 現 在 だ か ら こ そ 書 く こ と が で き る.現 人PhilipLarkin[24]1に

… 未来

在 と は,詩

よ れ ば,

ず っ と遠 い 子 供 の 頃

長 い家並 みの 間や

果 て し な く続 く空 の 下 で 見 た もの

競 い なが ら鳴 る鐘 の 音 に 聞 い た もの ― 空 気 は大 人 の 欲 望 で 薄 く輝 い て い る

あ る 日,そ れ らは 過 去 と も な る 太 っ た の ろ ま な宿 命 に刈 り込 ま れ る谷 間 我 々 は 無 感 動 に もそ れ が 刈 り込 む ま ま に して い る ……

現 在,大

域 微 分 幾 何 学 と い う 分 野 は,大

糧 とす る と と も に,そ 者 会 議 は,こ

変 活 動 的 で あ り,他

の学問分野 を

れ ら に 新 し い 道 具 を 提 供 し て い る.1998年

の国際数学

の 活 動 を 展 望 す る 何 よ り も よ い 機 会 で あ る.微

解 析 学 に 関 す る 分 科 会 に お け る,招

待 講 演 を お お ま か に4つ

分 幾 何 学 と大 域 の グ ル ー プ に分

け る こ とが で き る.

粗 い 幾 何 学(coarse  ‐ 

geometry)

特 殊 な 幾 何 学(special ‐  geometry) シ ン プ レク テ イック幾 何  ‐  学(symplectic

geometry)

古 典 的 幾 何 学(classical

 ‐ 

geometry)

1児 玉 実 用 ・村 田 辰 夫 ・薬 師 寺 虹 一 ・坂 本 完 春 ・杉 野 徹 訳 ,フ 社,1988年.

ィ リ ッ プ ・ラ ー キ ン詩 集,国

文

 これ らは何 を意 味 す る だ ろ う か?「

粗 い(coarse)幾 何 学 」 は,断 面 曲率 お

よ び リ ッチ 曲率 な どで リー マ ン幾 何 学 的 に 粗 く制 限 さ れ た幾 何 学 的 対 象 ― 多 様 体 ― の ク ラス を扱 う試 み で あ る.そ の研 究 領 域 全 体 に,Gromovの ア,特 に距 離 空 間 の 間 のGromov‐Hausdorff距 殊 な 幾何 学 」 は,曲

アイデ

離 の概 念 が 浸 透 して い る.「特

率 テ ン ソル また は ホ ロ ノ ミー 群 の特 殊 な性 質 に よ って 特

徴 付 け られ た特 別 な ク ラス の リー マ ン多 様 体 に関 心 を持 つ.「シ ンプ レ クテ ィッ ク幾 何 学 」 は,二

つ の 方 向 に進 行 して い る.1つ

る ケ ー ラー 幾 何 学 と の比 較 で あ る.も

は,大 域 的 な レベ ル にお け

う1つ は,幾 何 学 に お い て生 ず るあ る

種 の 微 分 方 程 式 を解 くた め に 運 動 量 写 像 定 式 化 を利 用 す る もの で あ る.「古 典 的 幾 何 学 」 は ど うか とい え ば,手 法 は と もか く,そ の 対 象 は100年

前 の国際

数 学 者 会 議 の 出席 者 た ち に も慣 れ 親 し まれ た もの で あ る. だ が,100年

前 に 「大域 的」 とい う概 念 が,ど の よ うに理   解 され て い た か は

よ くわ か ら ない.リ ー マ ン面 や代 数 曲線 の 幾何 学 は 高度 に進 歩 し,我 々 に と っ て今 日,そ れ は大 域 的 な 方 法 を使 う第1の 例 で あ る.に の先 輩 は,調 和 形 式,直 で,我

線 束,コ

もか か わ らず,我 々

ホモ ロ ジ ー に対 す る き ち ん と した 概 念 な し

々 が今 日慣 れ 親 しん で い る結 果 の 大 部 分 を す で に構 築 して い た.我

々

に とっ て は多 様 体 の 概 念 は 基 本 的 で 身近 な もの で あ る.し か し,Riemann以 来 長 い年 月 を経 た1913年

にお い て す ら,HermannWeylは

「リ ーマ ン面 の概

念 」 を 書 く必 要 が あ っ た.実 際 に は,幾 何 学 者 を 大 域 的観 点 の 出発 点 に導 く の に,Einsteinの

一 般 相 対 性 理 論 が 必 要 で あ っ た.

大 域 幾 何 学 は,Einstein理 にお け る発 展 が あ る.第1の

論 の2つ の 側 面 を反  映 して,2つ

の レベ ルの研 究

レベ ル は,座 標 系 で 成 り立 つ 方程 式 を書 け る と

い う こ との必 要 性 で あ った.こ れ は,本 質 的 に は局 所 的 な作 業 で あ る が,大 域 的 な 対 象 を定 義 す る の に 重 要 なス テ ッ プで あ り,新 しい 言 語 と新 しい概 念 を 導 い た.さ

ら に,Einstein理

論 を拡 張 し一般 化 す る企 て は,1920年

代 におい

て リー マ ン幾 何 学 よ り制 限 され な い 微 分 幾 何 学 的 構 造 の 探 究 へ と導 い た.こ れ は,悲 惨 な 第 一 次 世 界 大 戦 後 初 め て行 わ れ た1924年 お け る,と

て も モ ダ ンに み え るE.Cartanの

の 国際数学 者会議 に

寄 稿 か ら明 ら か で あ る.こ の 中

で,大 体 接 続 の ホ ロ ノ ミー と,常 微 分 方 程 式 の 幾何 学 化 を 含 む多 くの 問 題 へ の 応 用 に つ い て議 論 して い る.に れ て い た.第2の

側 面 は,真

もか か わ らず,こ れ は局 所 的 な形 式 で 書 か

に大 域 的 な もの で あ り,そ れ は 相 対 論 的 な 設 定

の 中 で 宇 宙 論 との 関 係 が か な り深 い.宇 タ イ ン 方 程 式 の ど の 解 が 完 備 か?こ は あ ま り な い ． に も か か わ らず,我 る.同

宙 の 大 域 的 構 造 は 何 か?ア

こ1920年

代 に は,言

インシュ

及 され るべ き こ と

々 は そ の 答 え が 到 来 し つ つ あ る の を感 じ

じ 国 際 数 学 者 会 議 に お い て,当

時 の ロ ン ド ン 数 学 会 会 長W.H．Young

が 表 明 し た 視 点 を 見 て み よ う[27].

幾 何 学 に お け る19世

紀 か ら20世

紀 へ の変 遷 は'純 粋 な代 数 幾 何 学 の

終 焉 と解 析 学 者 の 手 腕 に お け る そ の復 興 に よ って 特 色 付 け られ る.一 方, 純 粋 な 幾 何 学 は他 か ら切 り離 され て は 存 在 で きず,ほ と言 っ て も よ い.同 時 に,1次 ら 曲面 へ …,段

こ れ は,我

元 か ら2次

元 へ,あ

と ん ど消 え 失 せ た

る い は む しろ 曲 線 か

階 は移 行 して きた.

々 の 基 準 で は 試 験 的 な 段 階 で あ り,Youngは,そ

れ よ りもジ ョ

ル ダ ン 曲 線 を微 分 幾 何 学 の 中 へ ど の よ う に 許 容 し て い け ば,「 解 析 」 が ,我 が 考 え て い る よ う な,微

々

分 方 程 式 の 技 法 と大 域 幾 何 学 の 問 題 へ 応 用 し た も の

で は な く な る か に つ い て 悩 ん で い た. こ の 後1932年

に な り,de

Rham  ,Cech,HopfやPontryaginに

ロ ジ ー が 実 際 に 国 際 数 学 者 会 議 の 場 に登 場 し ,大 転 換 点 と な っ た.1935年

に は,S.B.Myersは"Riemannian

large"を

書 い た.1936年

のICMに

of spaces

of positive curvature"を

ポ

域 的 方 法 の導 入 の何 らか の manifolds

お い てJ.L.Syngeは,"On 講 演 し,大

よ り,ト

in the

connectivity

域 的 トポ ロ ジ ー に お け る 曲 率 の

大 き な 役 割 を 示 し て い る. お そ ら く,大

域微 分幾   何 学 の 発 展 に お け る 真 に 要 と な る 出 来 事 は ,ホ

ッジ

理 論 の 登 場 で あ る. W.V.D.Hodgeが1941年   1989年

に書 い た原 書

「調 和 積 分 の 理 論 と 応 用 」[20]の

版 に 対 す る 序 文 に お い て,M.F．Atiyahは

調 和 積 分 に関 す るHodgeの

書 物 は,20世

次 の よ う に書 い て い る. 紀 数 学 の 偉 大 な 業 績 の1つ

で あ る.そ れ は 細 部 に お い て も概 観 にお い て も そ の後 ず っ と幾 何 学 を支 配 して い る大 域 的 ア プ ロ ー チ の 基 礎 を な し た.Hodgeの LefschetzやWeylを を 理 解 した.そ さ れ た.そ

の 間 の 数10年

して,Hodge理

め 続 け て い る.

研 究 はす ぐ に,

含 む 時代 の 指 導 者 の 関 心 を ひ き,彼 らは そ の 重 要 性 は 彼 らの 視 点 を補 強 す る た め にの み 費 や

論 は現 代 の研 究 に お い て も中 心 的 な位 置 を 占

自身の成功 の犠牲 者 になる とい うことは,先 駆者の運 命であ る.次 の世 代 が,当 初 の原始 的段 階 を装 飾 し錬磨す る ことによ り,未 来 の学 生た ち は先駆者 の仕事 を 「ほ とん ど明 らか」 と見 る ようになるので ある.こ れ は,子 孫 が偉大 な革新者 に払 う皮 肉な貢物 であ る… Hodgeの

研 究 は,特

にYoungが

発 展 領 域 と認 識 して い た 代 数 曲 面 論 へ の

応 用 に よ っ て駆 り立 て ら れ た.Picard,Lefschetzや で に存在 した が,Hodgeは,我

イ タ リ ア学 派 の研 究 はす

々が 今 日ケ ー ラー 計 量 と呼 ん で い る もの の 微

分 幾何 学 を使 っ て 解 析 的 道 具 を提 供 し,代 数 幾 何 学 を位 相 幾 何 学 に 関係 付 け る著 しい 結 果 を 導 い た.リ

ー マ ンの 曲 線 論 に お い て は,共 形 不 変 性 が多 くの

計 量 的 要 請 を敬 遠 した.カ ギ とな る論 点 は,局 所 的 な 複 素 変 数 の 理 論 をい か に大 域 的 にす る か で あ っ た.し

か し,高 次 元 に お い て は 微 分 幾 何 学 が 優 勢 で

あ る.  第 二 次 世 界 大 戦 後 最 初 とな る1950年

の 国 際 数 学 者 会 議 まで に,「大 域 にお

け る解 析 学 」 とい う主 題 が独 立 して現 れ て い る のが 見 て 取 れ る.こ お け るBochnerとLichnerowiczの

講 演 で は,Hodge理

の会 議 に

論 は群 を 抜 い て い て,

曲率 の 仮 定 が 多 様 体 の べ ッチ 数 に ど ん な 影 響 を与 え る か が 示 され た.Morse もま た,「Calculus of variations in the large」 に つ い て講 演 し,Chernは

ファ

イバ ー束 や特 性 類 に つ い て講 演 して い た. 1954年

に お け る国 際 数 学 者 会 議 の 時期   まで に,大 域 解 析 学 的 方 法 は,ト ポ

ロ ジ ー と複 素 構 造 を 関係 付 け る複 素 多 様 体 の 研 究 にふ ん だ ん に利 用 さ れ た. Riemann‐Rochの

定 理 のHirzebruch版

し,小 平 は,Hodgeが

は,コ ボ ル デ ィズ ム と特 性 類 を もた ら

使 っ て い た タ イ プの ケ ー ラ ー 多様 体 は正 確 に は射 影 多

様 体 で あ る こ と を示 し,ま た,彼 の消 滅 定 理 を確 立 してRiemann‐Rochと

連

携 させ る こ と に よ り,き わ め て一 般 的 な表 現 で与 え られ た射 影 多 様 体 の 代 数 構 造 を よ りよ く解 析 で き る よ う に した ．層 理論 の 導 入 は,Hodge理 しい ア プ ロ ー チ を与 え た.Hodge理 定 的 なAtiyah‐Singer指

論 に裏 打 ち さ れ た この 発 展 は,つ い に決

数 定 理 に至 っ た.1962年

際 数 学 者 会 議 に登 場 した こ の 定 理 に よ っ て,1966年

にお け る ス トック ホ ル ム国 にAtiyahは

賞 を授 与 さ れ た,指 数 定 理 の 到 来 と と も に,複 素 多様 体 と同様,リ 様 体 は,同

じ大 域 的 技 法 と,微 分 幾 何 学,ト

い る研 究対 象 に な っ た.

論 へ の新

フ ィー ル ズ ー マ ン多

ポ ロ ジ ー,解 析 学 を合 わせ て 用

  Hodge理 も,指

論 は,リ

ー マ ン 多 様 体 上 の 大 域 的 な 調 和 形 式 に 関 係 す る.こ

数 定 理 へ の 入 力 材 料 も,多

様 体 の よ うな

さ れ た 線 型 楕 円 型 方 程 式 の 解 で あ る.ヘ 者 会 議 の2つ Yauに

「非 線 型 な 」 対 象 の 上 で 定 義

ル シ ン キ に お け る1978年

の国際数学

の テ ー マ は,「 非 線 形 な 」 方 法 の 来 る べ き 重 要 性 を 示 し た.S.T.

よ る 「The role of partial differential equations

に 関 す る 講 演 は,カ は,適

れ ら

in differential geometry」

ラ ビ予 想 を 証 明 し た 当 時 の 彼 の 成 功 を き わ だ た せ た.こ

れ

当 な ケ ー ラ ー 多 様 体 上 の モ ン ジ ュ‐ア ン ペ ー ル 方 程 式 を 解 く こ と を 含 ん

で お り,微 た.同

分 幾 何 学 的 技 法 の 代 数 幾 何 学 へ の 応 用 の 完 全 に新 しい 領 域 を 開 い

じ会 議 に お い て,R.Penroseは

world」 R4上

に 関 し て 講 演 し,そ

「The complex

こ で は,微

geometry

of the natural

分 幾 何 学 や 物 理 学 か ら の 方 程 式,特

に

の 自 己 双 対 ヤ ン ‐ミ ル ズ 方 程 式 を 解 く た め に 代 数 幾 何 学 そ れ 自 身 が 使 わ

れ た.「Synthetic

geometry

演 と 合 わ せ て,こ

in Riemannian

れ ら3つ

manifolds」

の テ ー マ が,20世

に 関 す るGromovの

講

紀 の 残 りの 大 域 微 分 幾 何 学 の 発

展 の 主 要 な 基 礎 を 整 え た. お そ ら く,こ

れ らの テ  ー マ の 中 で 最 も 成 功 し た 研 究 は,4次

ジ 理 論 的 研 究 で あ る.4次 Donaldsonが

元 多 様 体 の 微 分 トポ ロ ジ ー を 解 明 す る た め にS.K.

反 自 己 双 対 ヤ ン ‐ミ ル ズ 方 程 式 を 使 っ た こ と は,非

基 づ い た 大 域 的 技 法 の 最 も 強 力 な 実 例 を 与 え た.さ た め に は 代 数 幾 何 学,モ 指 数 理 論,滑 (coarse)」 何 学,問

ア プ ロ ー チ,証

体 的例 をつ くる

ジ ュ ラ イ 空 間 の予 言 され た次 元 を見 い 出す た め に は

々 が 分 類 し た4つ

殊 な 幾 何 学(special

geometry),シ

典 的 幾 何 学(classical

粗 い 幾 何 学(Coarse

「粗 い

明 の枠 組 み を与 え る た め に は シ ン プ レ クテ ィック幾

題 の 起 原 と新 し い 視 点 の た め に は 理 論 物 理,が

geometry),古

2. 

ら に,具

線形方程式 に

らか な モ ジ ュ ラ イ空 間 を得 る た め に は方 程 式 を改 変 す る

も う少 し 詳 細 に,我 try),特

元多様体 のゲー

の テ ー マ:粗

使 わ れ て い る.

い 幾 何 学(coarse  geome

ン プ レ ク テ ィッ ク 幾 何 学(symplectic

geometry)を

見 て み よ う.

Geometry)

こ の 分 野 の 特 定 な 一 角 を 取 り上   げ て,そ

の 示 唆 す る と こ ろ を 見 て み よ う.最

も 単 純 な リ ー マ ン 不 変 量 の 一 つ で あ る リ ッ チ 曲 率 は,完

全 な リー マ ン曲率 テ

ン ソ ル を 縮 約 した よ り扱 い や す い対 象 で,ち

ょう ど計 量 テ ン ソル そ れ 自身 の

よ う な対 称 形 式 で あ る:

リ ッチ ・テ ン ソ ル は,大 域 的方 法 の発 展 に お い て歴 史 的 に 重 要 で あ る.Myers の古 い 結 果 は,完 備 リー マ ン多 様 体 の リ ッチ ・テ ン ソ ルが 正 定 値 で 下 に有 界 な らば,多 様 体 は コ ンパ ク トで あ る こ と を示 した.Bochnerは1950年 数 学 者 会 議 の 講 演 にお い て(そ して,Lichnerowiczの に よ く知 られ て い る次 の 結 果 を議 論 した.コ が 正 定 値 な らば,零 よ って 第1ベ

で な い1次

国際

講 演 も ま た),今 日す で

ンパ ク ト多 様 体 上 の リ ッチ 曲率

調 和 形 式 は存 在 しな い,だ か らホ ッ ジ理 論 に

ッチ 数 は消 滅 す る.1978年

のYauに

よ る カ ラ ビ予 想 の 証 明 は,

零 のRicci曲 率 を持 つ リー マ ン多 様 体 の コ ンパ ク トな 例 を初 め て与 え た.リ ッ チ ・テ ンソ ル は,そ

の と き まで に文 献 の 中 に しっか り と留 め られ た.

リ ー マ ン幾 何 学 へ の 「粗 い(coarse)」 ア プ ロー チ は,曲 率,直

径  あ るいは

体 積 に対 す る原 始 的 な評 価 を持 つ 多 様 体 を研 究 して お り,一 般 的 な 増 大 的性 質 また は位 相 的 性 質 を引 き出 す.こ れ らの ア イデ ア の 多 くはM.Gromovに る もの で あ り,彼 の仕 事 に対 す るBergerの

よ

評 論 ［5]は,(こ れ ま で の と こ ろ)

これ に対 す る優 れ た 文 献 で あ る. リ ッチ 曲率 に 関す る典 型 的 な仮   定 は,そ れ が 下 に有 界 で あ る(対 応 す る対 称 行 列 の 固 有 値 が 下 に 有 界 で あ る こ と を意 味 して い る)と す る こ とで あ る.こ れ は粗 い仮 定 で あ るが,特 殊 な リ ーマ ン構 造 に興 味 が あ る 人 た ち に とっ て は, ア イ ンシ ュ タ イ ン条 件Rij=λgijが ら,自 然 に満 た され て い る.Myersの

あ れ ば λは そ の 時必 然 的 に定 数 で あ るか

を持 つ:リ

証 明 は,リ

ッチ 曲率 に対 す る量 的 な面

ッチ 曲率 を下 か ら正 の値 で お さ え る と,多 様 体 の 直 径 に 関 す る評

価 が導 か れ,こ

れ が 有 限 な ら,多 様 体 は コ ンパ ク トで な け れ ば な らな い.こ

の有 界 か ら別 の 評 価 が 与 え られ,そ の最 も明 白 な もの が,体 積 増 大 度 で あ る. 例 え ば,も

し リ ッチ ・テ ン ソル がMn上

体 積 は,高 々rnの

増 大 度 を持 つ.リ

で 非 負 な らば,半 径rの

球Br(x)の

ッチ ・テ ン ソ ル に 関 す る 評 価 は ま た,三

角 不 等 式 に 関 す る よ り詳 細 な 評 価 を も与 え る(Sullivanが

「Gromovが

三角

不 等 式 だ け を使 っ て や る こ とは信 じ られ な い よ う な こ とだ」 と述 べ て い る よ うに ［5]).

  「粗 い 幾 何 学 」 の 結 果 を,ホ が 予 想 し た,T.H.Coldingの

ッ ジ 理 論 の 最 初 の 利 用 と対 照 す る た め,Gromov 次 の 定 理([10]を

定 理1  正 の 定 数 〓=〓(n)＞0が ンパ ク トn次

存 在 し て 次 の 条 件 を 満 た す:も

元 リ ー マ ン 多 様 体 で,そ

お さ え ら れ,b1(M)=nな

こ れ は,次

コ

下か ら

元 トー ラ ス に 位 相 同 型 で あ る.

議 論 を 少 し変 形 さ せ た も の と して 同 じ特 色 を 持 つ:

も し リ ッ チ 曲 率 が 非 負 な ら ば,不 立 つ の はMnが

しMnが

の リ ッ チ 曲 率 は-〓/diam2Mで

ら ば,Mはn次

のBochnerの

見 よ)に 注 目 し よ う.

等 式bl(M)〓nが

成 り立 ち,等

平 坦 トー ラ ス に 等 長 同 型 の 時 に 限 る.し

論 は 大 変 素 朴 で あ る(そ れ は1940年

号が成 り

か し な が ら,こ

の議

代 に お い て は 斬 新 だ っ た の で あ ろ う が).

本 質 的 な 事 実 は,消

滅 定 理 にお け る等 号 に対 して 調 和 形 式 が 平 行 に な る こ と

で あ る.Coldingの

定 理 は,非

常 に ゆ る い 仮 定 を 持 ち,は

る か に 柔 軟 で あ る.

曲 率 の 評 価 か ら 幾 何 学 的 結 論 を 生 み 出 す 本 質 的 な 道 具 は,2つ の 間 のGromov距

離 の 概 念 で あ る.(X,dX),(Y,dY)を2つ

離 空 間,f:X→Y,g:Y→Xを が 存 在 し て,す

の 距 離 空  間

の コ ン パ ク ト距

そ れ ら の 間 の 写 像 と す る.も

べ て のx,y∈Xに

し,〓

＞0

対 し て,

かつ

(Yの

点 に 対 す る 同 様 な 不 等 式 と合 わ せ て)と な る な ら ば,XとYのGromov

Hausdorff距

離 は 高 々 〓で あ る と 言 う.こ

離 自 身dGH(X,Y)を,す 念 は,多

の 時,実

際 のGromov-Hausdorff距

べ て の そ の よ う な 〓の 下 限 と し て 定 め る.こ

数 の 注 目 す べ き結 果,例

え ば[10]を

表 現 す る 言 語 と,獲

の概

得 す る 方法

の 両 方 を与 え る ．

定 理2  Mnを

コ ンパ ク トn次

0が 存 在 して,n次 か つdGH(M,N)＜

多 様 体 を2つ

元 リー マ ン 多 様 体 とす る.こ

元 多 様 体Nnの 〓な ら ば,MとNは

だ け 考 え る よ り,む

の 時,e=e(M)＞

リ ッ チ 曲 率 が-(n-1)に

よ って 下 に有 界

微 分 同 相 で あ る.

し ろ-(n-1)で

下 か ら お さ え ら れ た リ ッ

チ 曲 率 を持 つ 「す べ て の 」 完 備 リー マ ン多様 体 の 測 地 球 の 集 合Xを 上 にGromov‐Hausdorff距

離 を置 こ う.そ の時,Coldingは,体

連 続 関 数 に な る こ と を示 して い る([17]を 見 よ).こ れ は,ま 下 が っ て見 る とい う手 段 の1つ

考 え,X

積 はX上

の

さ に問 題 を一 歩

で あ る:固 定 され た多 様 体 の 上 に腰 を お ろ し

て外 向 きに放 射 して い る 距 離 球 を見 るの で は な く,す べ て の多 様 体 内 の す べ て の 球 の集 合 を考 え る こ と に よ り,よ り大 き な宇 宙 を創 造 す る の で あ る. Gromov‐Hausdorff距

離 は コ ンパ ク ト性 を持 つ の で,特 殊 な計 量,特   にア イ

ン シュ タ イ ン計 量 の モ ジ ュ ラ イ空 間 の 研 究 に こ れ らの 「粗 い」 方 法 を適 用 で きる.ア

イ ン シ ュ タ イ ン計 量 の 列 に対 して,極 限 で は ど ん な性 質 が 保 持 され

る で あ ろ うか知 りた い ．典 型 的 に は,次 元 を評 価 す る こ との で き る あ る 特 異 点 集 合 の 外 で は,特 殊 な タ イ プ の計 量 が 再 び得 られ る. これ らの強 力 な 方 法 は,今 後 さ ら に多 くの 領 域 で確   実 に驚 くべ き結 果 を与 え る で あ ろ う.し か し,次 に ア イ ンシ ュ タ イ ン方 程 式 が そ の 一 部 を形 成 す る 特 殊 な 幾 何 学 を 考 え る こ とへ 進 む こ と に しよ う.

3.  特 殊 な 幾 何 学(Special

Geometry)

ア イ ン シ ュ タイ ンの 相 対 性 理 論  の基 本 的 な真 空 方 程 式 は,

で あ る.こ こ に,Rijは こ とに,25年

ロ ー レ ンツ 時空 の リ ッチ ・テ ン ソ ルで あ る.驚

くべ き

前 で す ら,ユ ー ク リ ッ ド空 間 ま た は その い くつ か の 商 空 間 以外

に こ の性 質 を持 つ完 備 「リー マ ン」 多 様 体 は 知 られ て い なか っ た.だ が,事 態 は急 変 した.最 初 に,一 般 相 対 性 理 論 とヤ ンーミルズ 理 論 両 方 に興 味 を持 つ 物 理 学 者 た ち は,ユ ー ク リ ッ ド的 符 号 数 を よ り真 剣 に 考 え始 め,そ

して,そ

の 単 純 さの あ ま り純 粋 数 学 者 た ち を恥 い らせ る ほ どの い くつ か の実 例 を提 供 し た.特

に,よ

ドTaub‐NUT計

こ こで,α

く知 られ て い る相 対 論 的 な解 を小 さ くひ ね って,ユ 量 を生 み 出 した[18］:

はR3の

開集 合 の 上 の1次 微 分 形 式 で,

ー ク リッ

で あ る.こ れ は,望 み 得 る 限 り最 も具 体 的 な計 量 で あ る:そ れ はR4上 リ ッチ 曲率 を持 つ 完 備 なU(2)-不

変 な非 平 坦 な計 量 を記 述 して い る.物 理 学,

特 に超 対 称 性 に お け る そ の 後 の発 展 に よっ て,リ

ー 群 の4元

数 表 現 か ら,4

次 元 お よ び高 次 元 の そ の よ うな 例 を た く さん 構 成 す る メ カ ニ ズ ム,つ イパ ー ケ ー ラ ー 商 構 成,を

の零

ま りハ

与 え た([19]を 見 よ).

  この 発 展 と 同時 発 生 したYauの

カ ラ ビ予 想 の 証 明 は,自 明 な標 準 束 を持 つ

任 意 の コ ンパ ク ト ・ケ ー ラ ー 多様 体 は零 リ ッチ 曲率 を持 つ ケ ー ラー 計 量 を許 す こ と,実 際,ケ ー ラ ー形 式 で代 表 さ れ る 各 コ ホモ ロ ジ ー類 に対 して 計 量 が 一 つ 存 在 す る こ と を示 した .こ の純 粋 な存 在 定理 が 与 え た コ ンパ ク トな例 は, ど ん な精 密 な局 所 解 析 的記 述 も許 さ な い.少 な く と も ま だ誰 も具 体 的 な例 を 1つ も見 つ け られ ず に い る.   ア イ ン シ ュ タイ ン方 程 式 の解 が 自然 に現 れ る も う1つ ン トン,モ ノ ポ ー ル,ヒ

ッ グス 束,ナ

の源 泉 は,イ

ンス タ

ー ム 方 程 式 の よ う なゲ ー ジ理 論 的 方 程

式 の 解 の モ ジ ュ ラ イ空 間 を考 え る こ とか ら生 じ る.そ の 方程 式 の4元 数 定 式 化 の 結 果 と して,こ 量 を持 つ[19].こ

う した モ ジ ュ ラ イ空 間 は,自 然 な ハ イパ ー ・ケ ー ラ ー計 れ らは,一 般 に は非 コ ンパ ク トで(ト ー ラス 上 の特 異 イ ン

ス タ ン トンか らな る あ るモ ジュ ラ イ 空 間 と して,リ

ッチ 平 坦 な計 量 を もつK3

曲 面 が 自然 に 現 れ る こ とは あ る が),そ れ らの ア イ ン シュ タ イ ン計 量 は,あ る 程 度 ま で は近 づ きが た い もの で あ るが,し え ば,[3]に

か し時 折 具 体 的 に検 出 さ れ る(例

お け る よ う に).

  これ らア イ ンシ ュ タ イ ン方程 式 の ど ち らの ク ラス の解 も,ホ ロ ノ ミ ー の簡 約 と見 る こ とが で き る.向

き付 け られ た リー マ ン多様 体 の レ ビ‐ チ ビ タ接 続 の

ホ ロ ノ ミ ー群 は,通 常 はSO(n)で け で は な い.50年 で,4つ

前 にBergerは

あ る が,任

意 の 部 分 群 に 簡 約 され 得 る わ

可 能 な 部 分 群 の リス トを与 え,こ れ らの 中

の もの が 自動 的 に零 リ ッチ 曲率 を持 つ 計 量 を与 え る:

最 初 の も の は,(現 量 で あ り,2番 た よ う に,コ

在 カ ラ ビ‐ヤ ウ 多 様 体 と呼 ば れ る)リ

目 の も の は,ハ

ッチ 平 坦 な ケ ー ラ ー計

イ パ ー ・ケ ー ラ ー 計 量 で あ る.我

ン パ ク トな 例 は 両 方 と もYauの

方 法 で,非

々が注意 し

コ ン パ ク トな 具 体 例

は種 々 の 手 段 に よ っ て 見 出 さ れ る.長

い 間,7次

元 と8次 元 の 多 様 体 上 の2

つ の 例 外 的 な 例 は,そ れ ぞ れ ど ん な解 析 も寄 せ つ け なか っ たが,R.Bryantと S.Salamonは,非 1996年

コ ンパ ク トで 完 備 な例 を発 見 し,さ ら に注 目す べ き こ と に,

にD.Joyceは

最 後 の2つ

に対 す る非 常 に多 くの コ ンパ ク トな 例 を与

え た[21].   最 も重 要 な こ と と して複 素 領 域 の 外 で新 しい 幾 何 学 を研 究 す る機 会 が こ こ で 得 られ る.例 え ば,あ

る者 は 複 素 多 様 体 の 複 素 部 分 多 様 体,特

線 束 の 断 面 との 関係 の 研 究 に 慣 れ 親 しん で い るが,G2-多 くの 類 似 物 が あ る.こ れ らは3次 のcalibrated部 分 多 様 体 で あ る.ホ 多 様 体 の 中 に も類 似 の4次   理 論 物 理 学 は,D-ブ

様 体 に お い て も全

元 と4次 元 のHarveyとLawsonの ロ ノ ミーSpin(7)を

に因子や直

持 つ8次

意味 で 元 リー マ ン

元 の特 殊 な部 分 多様 体 が あ る.

レ イ ン の理 論 に お い て,こ れ ら特 別 な 部 分 多 様 体,そ

して カ ラ ビ‐ ヤ ウ多 様 体 の パ ー トナ ー で あ る ス ペ シ ャル ・ラ グ ラ ン ジ ュ部 分 多 様 体 も研 究 す る新 しい 理 由 を示 し てい る.し か し,よ い 理 論 は まだ な く,特 に,そ

れ らは み な あ る 自然 な変 分 問 題 に 関 連 して い る に もか か わ らず,よ い

存 在 定 理 は ま だ な い.   しか しな が ら,ひ とた び 存 在 が保 証 さ れ る な らば,モ こ と は意 味 を持 つ.モ

ジ ュ ラ イ を研 究 す る

ジュ ラ イ問 題 は,(通 常,局 所 的 な普 遍 族 に よ って よ り

正 確 に 表 示 され る)微 分 同 相 を法 とす る 固 定 さ れ た 構 造 の す べ て の 変 形 の 空 間 を構 成 す る こ とか ら成 る.大 域 的 に は,こ の 空 間 は,上 で 示 唆 さ れ た よ う に 粗 い(coarse)幾 何 学 的 な 技 法 に対 応 す る が,こ

こ で の すべ て の 特 殊 な構 造

に対 して,局 所 的 に は そ れ も ま た特 殊 な微 分 幾 何 を引 き継 い で い る有 限次 元 モ ジ ュ ラ イ空 間が 存 在 す る.た ぶ ん 最 も良 く研 究 され た場 合 は,カ ラ ビ‐ ヤウ 多 様 体 の 標 準 束 の 自明 化 と合 わ せ た 複 素 構 造 の モ ジ ュ ラ イ 空 間 で あ る.一 見 して 言 え そ う な こ と は,複 素 多 様 体 の 通 常 の変 形 理 論 か ら(変 形 が 障 害 が な い こ とが ひ と た び示 され る な ら ば),モ ジ ュ ライ 空 間 そ れ 自 身 も複 素 多 様 体 に な る とい う こ と だ け で あ る.し か し,も っ と多 くの こ とが 成 り立 つ.モ ラ イ空 間 は,ス ペ シ ャル(擬)ケ ー ラ ー 計 量[16]と つ.こ

こで,「ス ペ シ ャル 」 は 固有 の 意 味 を持 つ.こ

あ る が,単 純 に,n次 正 則 なR2n-群

ジュ

して知 られ て い る もの を持 の構 造 には 多 くの 定 義 が

元 複 素 多 様 体 上 の スペ シ ャル ・ケ ー ラー 計 量 は,3重

作 用 に よ る複 素2n次

元 複 素 多様 体 上 の ハ イ パ ー ・ケ ー ラ ー 計

量 の商 で あ る と言 え る.   も し,上 の 例 が ホ ロ ノ ミー 群 のBergerの

リス トが す べ て の 場 合 実 現 され る

こ と を示 す の に必 要 な リー マ ン多 様 体 を与 え る な らば,Bryant,Chi,Merkulov, Schwachhofer[25]の

累積 的 な 労 作 は,類 似 の 問題 を提 示 す る.彼 らは,リ ー

マ ン的 設 定 か ら離 れ て,零捩 率 の ア フ ィ ン接 続 を考 え,起 こ り得 る ホ ロ ノ ミー 群 の 分 類 を与 え て い る． これ ら は すべ て 局 所 的 な実 現 を もち,そ れ ら の 幾 つ か はペ ンロ ー ズ の ツ イス ター 空 間 の 一 般 化 か ら導 か れ る(数 理 物 理 か らの ア イ デ ア の純 粋 幾 何 学 へ の も う1つ の侵 略 で あ る).し か し大 域 的 に,非 コ ンパ ク ト多様 体 上 に,あ

る い は よ り強 くコ ンパ ク ト多 様 体 上 に,完 備 ア フ ァイ ン接

続 と して こ れ らの ホ ロ ノ ミー 群 の どれ が 実現 され得 る か誰 に わ か る で あ ろ う?   た ぶ ん,こ れ を乗 り越 え る次 の ス テ ップ は,CartanとWeylに

よ る射 影 構

造 や 共 形 構 造 に附 随 した 高 次 の接 続 を考 え る こ とで あ る.ど ん な ホ ロ ノ ミー が存 在 可 能 か?こ

れ は,共 形 的 な場 合 にお い て は,必 ず しも リ ーマ ン ・ホ ロ ノ

ミー の あ る簡 約 と して は 得 ら れ な い ア イ ン シュ タイ ン計 量 の 存 在 に 関係 す る.

4.  シ ン プ レ ク テ ィッ ク 幾 何 学(Symplectic 

Geometry)

  大 域 微 分 幾何 学 の技 法 を含 ん で 急 激 に進 歩 して い る研 究 分 野 の一 つ は,シ ン プ レ クテ ィッ ク幾 何 学 で あ る.そ れ 自 身で,シ 単 に 閉 非 退 化2次

ンプ レク テ ィック多 様 体 とは,

微 分 形 式 ω を持 つ 多 様 体M2nで

あ る.こ

れ らの 研 究 は,

始 め か ら本 質 的 に大 域 的 で あ る.リ ー マ ン幾 何 学 の 対 称 形 式gijは,曲 含 む局 所 的 不 変 量 を 持 つ が,ダ

率を

ル ブ ー の 定 理 は,す べ て の シ ン プ レ クテ ィッ

ク多 様 体 は 局 所 的 に は 同 じに 見 え る こ と を告 げ て い る.一 方,大 域 的 な例 を 見 出す こ とは,過 去 にお い て は 常 に代 数 幾 何 学 に至 る よ う に見 え る:任 意 の ケ ー ラー 多 様 体 は シ ンプ レク テ ィックで あ り,ケ ー ラ ー多 様 体 の任 意 の複 素 部 分 多 様 体 は ケ ー ラー で あ る か ら,射 影 空 間 の複 素 部 分 多 様 体― 滑 らか な射 影 多 様 体― の研 究 全 体 は,シ ジ理 論 的 方 法 は,今

ンプ レ クテ ィック幾 何 学 の 中 に包 含 され る.ゲ ー

日4次 元 にお け る 非 ケ ー ラー ・シ ンプ レ クテ ィック 多様 体

の 多 くの 例 を与 え た が,現 在 行 わ れ て い る多 くの研 究 は まだ シ ン プ レ クテ ィッ ク多 様 体 を解 析 す る道 具 と して,代

数幾 何 学 の 組 み立 て の ア ナ ロ ジ ー を探 す

こ と に留 ま っ て い る.こ れ には,2つ

の 帰 結 が あ る:第1に

さ れ る か を 知 る た め の モ デ ル を与 え,第2に

そ れ は何 が 予 測

そ れ は代 数 幾 何 学 の ど こ ま で が

実 際 シ ンプ レ ク テ ィッ クで ど こ まで が 複 素 的 なの か を 示 して い る.   シ ン プ レ ク テ ィッ ク形 式 は そ れ 自体 で は ほ と ん ど何 も で き ない:そ と適 合 す る計 量,ま い,そ

た は 同 値 な こ と と して 概 複 素 構 造Jを

の形式

導 入 し,構 成 を行

して 変 形 に よ っ て不 変 量 が こ れ らの 選 び 方 に独 立 で あ る こ とを示 す 必

要 が あ る.複 素 的 構 成 か らの ア ナ ロ ジ ー の1つ 多 様 体 をブ ロ ー ア ップす る こ とで あ る.も

は,シ

ン プ レ クテ ィック部 分

う1つ は,Gromovに

よるシ ンプ

レ クテ ィック多 様 体 内 の 擬 正 則 曲線(ま た はJ-正 則 曲線)の 概 念 で あ る .す な わ ち,リ

ー マ ン面 か らそ の微 分 がJと

可 換 なMへ

の 写 像 で あ る .こ れ らに

対 す る よ い存 在 定 理 が あ り,そ して そ れ らは 大 変 精 巧 で 強 力 な道 具,量 ホ モ ロ ジー の も と とな っ た.こ れ は,Dubrovinが

子コ

フ ロ ベ ニ ウス 多様 体 とい う

幾 何 学 的 な概 念 に定 式 化 した 微 分 方 程 式 に よ って 支 配 され た精 巧 な 内 部 構 造 を持 つ.解

の展 開 は,「Pnの

多 くあ る か?」

中 のm点

を通 る 次 数dの

有 理 曲線 が どの くらい

とい う よ うな 数 え上 げ 問 題 に対 す る公 式 を与 え る生 成 関 数 を

生 み 出 す.通 常 の コホ モ ロ ジー と異 な り,最 も単 純 な シ ン プ レク テ ィック多様 体 の 量 子 コ ホモ ロ ジ ー で す ら,現 在 未 知 で あ る か,少

な く と も 「既 知 の 」 関

数 と して 知 られ て い な い.   4次 元 にお け るDonaldsonの

ゲ ー ジ理 論 は,シ ン プ レク テ ィック多様 体 に 関

す るい くつ か の制 限 を与 え たが,最 も ドラ マ テ ィック な こ とは,Seiberg‐Witten 方 程 式 の 導 入 で あ り,そ れ は 基 本 的 にSpinc‐構 造 に対 す る デ ィ ラ ッ ク作 用 素 を含 んで い た.ケ ー ラー 多 様 体 に対 して,こ の作 用 素 は,本 質 的 に ∂＋ ∂*作 用 素 で あ り,そ れ は ホ ッジ理 論 を層 コホ モ ロ ジー に関 係 付 け る ので,も っ と一 般 的 な状 況 で リー マ ン等 価 物 と して見 て も驚 くべ き こ とで は な い.驚 こ とは(あ る い は,1990年 時 は そ う だ っ だ),4次

くべ き

代 中盤 にSeiberg‐Witten方 程 式 が 舞 台 に登 場 した

元 多 様 体 に つ い ての 結 果 を与 え る 際 に,デ ィ ラ ッ ク作

用 素 の解 に対 す る比 較 的 単 純 な非 線 形 方 程 式 の 持 つ 威 力 で あ る.C.Taubesの 研 究 に お い て,Seiberg‐Witten方

程 式 とJ-正 則 曲 線 の 存 在 は リ ン ク され た:

も し零 で な い コ ホ モ ロ ジ ー 類a∈H2(M,Z)が 変 量 を 持 つ な ら ば,あ Poincare双 対 で あ る.

非 自 明 なSeiberg‐Witten不

るJ-正 則 曲線 が 存 在 して,そ

の ホ モ ロ ジー 類 はaに

  よ り高 次 元 に対 す るDonaldsonの

最 近 の研 究 は,小 平 が ケ ー ラー 多様 体 で,

その シ ンプ レ クテ ィッ ク形 式 ω が2πH2(M,Z)の

元 を代 表 す る もの は あ る高

次 元 複 素 射 影 空 間 に埋 め込 まれ る こ と を示 す た め に使 っ た 方 法 を ま ね て い る. 小 平 の議 論 は,曲 率 が ω とな る接 続 を持 つ 正 則 直 線 束Lを リー マ ン‐ロ ッホ の 定 理 に よ っ て,充 分 大 き なkに 正 則 断面 を見 出 して,第1に Mか

充 分 多 くの

そ れ らす べ てが 零 に な る点 が な い よ う,そ こで

らPN=P(H0(M,Lk))*へ

大 きなkを

取 り,消 滅 定 理 と

対 して,Lkに

の 自然 な写 像 を与 え,そ

して 第2に,一

取 っ て,こ の 写 像 は埋 め 込 み で あ る とす る も の で あ る.シ

層

ンプ レ

ク テ ィッ ク多 様 体 に対 して も,ユ ニ タ リー接 続 ▽ と

な る ∂-作用 素 す ら持 つ 直線 束 を定 義 す る こ とはで きる.し か し,方 程 式 ∂JS= 0が,何

らか の 解 を持 つ はず で あ る と思 うの は局 所 的 に で さ え期 待 し過 ぎで

あ る.と い うの は,本 質 的 に 複 素 構 造 が積 分 可 能 とな る よ う な積 分 可 能 条 件 が あ る か らで あ る.代

わ りに,漸 近 解 を見 つ け る:す な わ ちLkの

断面の列

Skで

お よ び あ る 適 当 な 予 備 条 件[12],[26]を

満 た す 定 数Cと

δが 存 在 す る もの の

こ と で あ る.   正 則 な 場 合 に は,pNか

らP1へ

の 射 影 は,レ

フ シ ェ ツ 束 を 与 え る:(Bertini

の 定 理 の お か げ で)有 限 個 の 点 を 除 い て 滑 ら か な フ ァ イ バ ー を 持 つ 束 を 与 え る. Sardの

定 理 の 類 似 と し てBertiniの

定 理 を再 解 釈 す る こ と に よ っ て,Donaldson

は シ ン プ レ ク テ ィッ ク な レ フ シ ェ ツ 束 を 作 り出 し て い る.こ 果 で あ る が,4次

元 に お い て は,R.Gompfの

る 適 当 な 束 か ら,フ

れ は一 般 的 な結

構 成 を 精 密 に 補 完 し て い る:あ

ァ イ バ ー が シ ン プ レ ク テ ィッ ク で あ る よ う な1つ

の シ ン

プ レ ク テ ィッ ク 構 造 を 構 成 で き る.   原 理 的 に は,こ

の ア プ ロ ー チ は,シ

ン プ レ クテ ィック 多様 体 の 構 成 を フ ァ

イ バ ー の シ ン プ レ ク テ ィッ ク 微 分 同 相 の 連 結 成 分 か ら な る 群 の 中 の 自 由 群(穴 あ き2次 る.と

元 球 面 の 基 本 群)の 表 現―

は い え,代

わ け で は な い....

そ の 族 の モ ノ ドロ ミ ー 群―

に 「還 元 」 す

数 幾 何 学 で は ど の 問 題 を 解 く た め に も レ フ シ ェ ツ 束 を使 う

  シ ン プ レク テ ィック 幾何 学 の も う1つ の 役 割 は,微 分 幾 何 学 に お い て生 ず る あ る非 線 形 方 程 式 の構 造 を暴 い て 解 法 の 方 針 を示 す こ と に あ る .出 発 点 は, 射 影 多 様 体 上 の複 素 群 の 作 用 に対 す る安 定 性 の 概 念 が,コ る運 動 量 写 像 に 関 係 付 け られ る と い う1970年 影 多 様 体Mと 時,や

ンパ ク ト群 に対 す

代 末 期 の認 識 で あ る.Pnの

そ れ に作 用 して い るGL(n+1,C)の

複 素 部 分 群Gcを

与 えた

は り射 影 的 に な る よ うな商 空 間 を記 述 した い.典 型 的 に は,Gcの

ンパ ク ト性 よ り,集 合論 的 な商 空 間 は ハ ウス ドル フで ない が ,Gcが

射

非コ

コ ンパ ク

ト群G⊆U(n+1)の

複 素 化 で あ る よ う な状 況 にお い て は,次 の こ とが 起 こ

り得 る:Gは

に ケ ー ラー 形 式 ω を保 存 す る の で,Mの

計 量,特

テ ィック変 換 の 群 で あ る． ま っ た く一 般 的 な 条 件 の 下 で,こ 数 の 双 対 に値 を持 つ 運 動 量 写像 μ:M→9*を テ ィッ ク商 μ-1(0)/Gは,再

定 義 し,そ

シンプ レク

れ はGの して,シ

び ケー ラ ー多 様 体 に な る.そ れ は,Gcの

で μ-1(0)に 移 され る点 か ら成 るMの 安 定 点 と呼 ば れ,Mumfordの

リ ー代 ン プ レク 元の下

開部 分 集 合 の 複 素 商 で,こ れ らの 点 は

よ り代 数 的 な 定 義 と一 致 して い る.

  最 初 に こ の視 点 を無 限次 元 的 な状 況 に お い て微 分 幾 何 学 的 な問 題 に応 用 し た の は,AtiyahとBottで

あ っ た[2].シ

ンプ レク テ ィック多 様 体Mは

で は リ ーマ ン面 上 の1つ の複 素ベ ク トル束Eの

,そ こ 接 続 の 空 間で あ り,群Gは ユ

ニ タ リー ゲ ー ジ変 換 の群 ,運 動 量 写像 は 曲 率 で あ る ． シ ン プ レ クテ ィック商 は 平 坦 接 続 の モ ジ ュ ラ イ空 間 に な り,そ して,安 定 点 は複 素 ゲ ー ジ 変換 の 下 で 平 坦 ユ ニ タ リー接 続 と同 値 で あ る よ うなE上

の正 則 構造 で あ る.こ れ は,安

定 束 は 標 準 平 坦 ユ ニ タ リ接 続 を持 つ と い う,NarasimhanとSeshadriの の 自然 な 解 釈 を与 え た が,そ れ に と どま らず,Donaldsonが

定理

最初 の論 文[11]

で 運 動 量 写 像 の ア イ デ ア を使 っ てそ の定 理 の 新 しい 証 明 を与 え る視 点 に つ な が った.こ

の原 理 の ゲ ー ジ変 換群 へ の様 々 な 応 用 が 数 年 以 上 に わ た って 続 き,

安 定 性 の新 しい 概 念,(ケ

ー ラ ー 曲 面 の 反 自 己双 対 ヤ ン‐ミル ズ方 程 式 を含 む)

方 程 式 の新 しい 解 釈,そ

して モ ジュ ラ イ空 間 をパ ラ メ ー タ付 けす る 新 しい 方

法 を与 え て い る.そ れ ぞ れ の 場 合,形 式 論 は2つ 定 性 の1つ

の こ と を成 す:そ れ は,安

の 概 念 が 別 の 概 念 と関係 付 け られ る こ と の 証 明 法 を示 唆 し,ま た

な ぜ モ ジ ュ ラ イ空 間 が シ ンプ レ ク テ ィッ ク構 造(ま た は ケ ー ラー構 造,ま た は ハ イパ ー ・ケ ー ラー 構 造)を 持 つ か を説 明 して い る .   ご く最 近,こ

れ らの ア イ デ ア は,微 分 同相 の 群 に も応 用 さ れ た[13].最

も

単 純 な例 は,シ マ ン面Mへ

ン プ レ ク テ ィッ ク曲 面Sか

の写 像fの

あ る,こ

微 分 同相 な 固 定 さ れ た リー

空 間 に つ い て で あ る.Sの

同相 の群 は 写 像 空 間上 に 作 用 し,そ dhfで

らSと

シ ンプ レ ク テ ィック微 分

して,運 動 量 写 像 は,完 全1次

こに,hfは,f*(volM)=hfω

微 分形式

に よ っ て定 義 され る.

  こ こ で は,我 々 は微 分 同相 の 群 の リー代 数 を,定 数 を法 と した 関 数 と して 考 え る.も

しMの

面 積 がSの

写 像 の零 点 集 合 は,Sか

シ ン プ レ ク テ ィッ ク面 積 と 同 じな ら,運 動 量

らMへ

の シ ン プ レク テ ィッ ク微 分 同相 か ら な る.

  そ の解 が 運 動 量 写 像 の 零 点 集 合 へ の 変 換 を表 す 発 展 方 程 式 は,最 大 値 原 理 が 適 用 可 能 で 一意 的 に解 が存 在 す る 放物 型方 程 式 で あ る.こ の方 法 に よ り,運 動 量 写 像 は,同

じ面 積 を持 つ2つ

の微 分 同 相 な シ ン プ レク テ ィッ ク 曲面 は シ

ン プ レク テ ィック微 分 同相 で あ る とい うMoserの 導 く.Donaldsonは,ハ な,よ

イパ ー ・ケ ー ラ ー4次

よ く知 られ た 定 理 の 証 明 に 元 多 様 体 内 の 極小 曲面 の よ う

り複雑 な例 に この 議 論 を使 って い る.そ の 応 用 は,2点

もの と異 な る:1つ

にお いて先の

は,微 分 同相 の 群 は ゲ ー ジ変 換 群(適 当 な ソ ボ レ フ設 定 に

お い て バ ナ ッハ ・リー群 と な る)と は 異 な る方 法 で 解 析 的 に扱 わ れ な け れ ば な らな い.も

う1つ は,微 分 同相 の 群 の 複 素 化 で あ る よ うな群 を今 日我 々 は 知

らな い と い う こ とで あ る.こ れ は,ど

こで も直 面 す る1つ の 問 題 で あ り,共

形 場 理 論 の基 礎 を支 え る研 究 に お い て 顕 著 で あ る.   も ち ろ ん,シ

ン プ レ ク テ ィッ ク幾 何 学 は多 くの研 究 の前 線 を持 ち,そ

の奇

数 次 元 に対 応 す る 接 触 幾 何 学 もま た今 大 変 活 発 な 学 問 分 野 で あ る.

5.  古 典 的 幾 何 学(Classical

  W.H.Youngは,1924年 比 較 す る 時,次

Geometry)

の 国 際 数 学 者 会議 にお い て,19世

紀 と20世 紀 を

の こ と を注 意 した[27].

20世 紀 の業 績につ いて注 目すべ きことの1つ は,数 学者 に19世 紀初頭 の業績 を見直 させ た こ とであ る.   これ は さほ ど注 目す べ き こ と で は な い か も しれ ない:い くつ か の問 題 は,再 三 再 四我 々 を を魅 了 して 止 ま な い 魅 力 を持 ち,そ 語 で 表 現 され た古 い 結 果 を再 発 見 す る.数10年

して また我 々 は,新

しい言

間 また は 数 世 紀 過 去 の 仕 事 を

「自明 」 とい う カ テ ゴ リーへ ゆ だ ね て,数 学 が 線 形 的 に発 展 して い く と考 え る こ と は誤 りで あ る.微 分 幾何 学 に は,早 い 時 期 か らあ れ や こ れ や と考 え られ た 問 題 が 豊 富 に あ る.主

と して,こ れ らは 曲 線 と 曲面 の 幾 何 学 に 関 わ る.例

え ば,大 域 微 分 幾何 学 に お け る 最 初 の 定 理 の 一 つ は,定 負 曲率 の 完 備 曲面 は R3の

中 に等 長 的 には 埋 め 込 む こ とは で きな い,と い うHilbertの 結 果 で あ る.

  3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間R3ま

た は3次

元 標 準 球 面S3内

の極 小 曲面 あ

る い は ガ ウ ス 曲 率 一 定 ま た は 平 均 曲 率 一 定 曲面 の 研 究 は,長 い 歴 史 を持 つ. DarbouxとEisenhartの

書 物 に は,こ れ ら の 曲 面 の 局 所 的 性 質 を記 述 す る特

殊 な 種 類 の 非 線 型 方 程 式 が 満 載 され て い る.通 例,こ 殊 解,特

れ らの 著 者 た ちは,特

に対 称 性 を持 っ た もの を 与 え る こ と,ま た は,ど

の よ う に して1つ

の解 か らあ る 代 数 的 な手 順 を通 じて 別 な解 を生 成 す る か を示 す こ と に満 足 し て い た.過 去10∼15年

間,こ れ ら特 別 な 方 程 式(お よ び我 々 の傑 出 した先 輩

のペ ー ジ に あ ふ れ る さ らに多 くの もの)は,複 こ とが 認 識 され た.書

数 の 意味 に お い て可 積 分 で あ る

き直 す とそ の 方 程 式 は 見 覚 え の あ る方 程 式 に な り,そ

れ らを 解 くた め の 現 代 的 な ア プ ロ ー チ が,大 域 的 な情 報 を与 え る た め に 適 用 さ れ る.   こ の種 の 問 題 の1つ の 例 に,R3内 研 究 が あ る.あ

る 意 味 で最 も重 要 な大 域 的 な 結 果 は,1958年

の も の で あ っ た.そ れ は,R3に 定 曲面 は,2次

の 平 均 曲率 一 定 曲面― シ ャボ ン玉― の のAlexandrov

埋 め 込 まれ た唯 一 の コ ンパ ク トな 平 均 曲 率 一

元 標 準 球 面 で あ る こ と を証 明 し[1],従

っ て,丸 い シ ャボ ン玉

が あ りふ れ て い る こ と を 申 し分 な く説 明 して い る.よ

り高 い 種 数 の 曲面 が 平

均 曲率 一 定 に は め 込 め る か ど うか の 問題 は 未 解 決 の ま ま で あ っ た.こ の 問 題 は,ト

ー ラス 面 の 場 合 に,1984年

にH.Wenteに

よ っ て解 か れ た.彼 は,一

定 平 均 曲 率 を持 つ は め込 まれ た特 別 な ト― ラス 面 を 見 つ け た.Wenteの は,こ

の 問 題 が 還 元 され るsinh‐Gordon方

に 対 す る 存 在 定 理 に よ っ て い る.Wenteの

程式

存 在 定 理 は,U.Abreschを

そ の ト―

ラ ス 面 の 図 を 描 く た め の 計 算 機 に よ る 解 の 数 値 解 析 を 行 う こ と に 導 い た.彼 曲 率 線 を プ ロ ッ トす る 時 に,1つ し た.こ

れ を1つ

証明

は,

の族 の各 曲率 線 が 平 面 上 に 現 れ る こ と に注 目

の ア プ ロ ー チ(ansatz)と

し て,彼

は偏 微 分 方 程 式 を楕 円 関

数 に よ って解 け る常 微 分 方 程 式 に帰 着 させ,具 体 的 な解 析 的解 を与 え た.皮 肉 に も,WenteはEisenhartの

教 科 書[14]の

式 と しての 再 定 式 化 を見 た.も の 解 析 的 な 解 の19世

中 にそ の 問題 のsinh‐Gordon方

程

し彼 が さ ら に数 ペ ー ジ を読 ん だ な ら,Abresch

紀 版 に 出 くわ した だ ろ う!

  この 教 訓 話 は,世 紀 を経 だ て て仕 事 を して い る そ れ ぞ れ の 数 学 者 の 目標 の 違 い を例 示 して い る:「現 代 的 な」 解 は,適 当 な一 般 的 な ク ラ ス の 関 数 の 中 で 存 在 を与 え る.「古 典 的 な」 解 は,よ

く知 られ て い る 関 数 に よ る具 体 性 を要 求

す る.大 域 微 分 幾 何 学 で仕 事 を して い る ほ とん ど の解 析 学 者 は,古 典 的 な 目 標 をあ き らめ て い る.な ぜ な ら,そ れ は一 般 的 に は到 達 し得 る もの で は な い し,た

とえ も し見 つ け られ て も,そ の 解 の 質 的 な性 質 に必 要 と され る情 報 を

もた ら さな い か も しれ な い か らで あ る.事 実,Wenteの

ト― ラ ス 面 は,(R3

内 の 平均 曲率 一 定 曲 面 の ガ ウ ス 写 像 は,リ ー群SU(2)〓S3に

お け る赤 道 的

2次 元 球 面 へ の調 和 写 像 で あ る)リ ー 群 へ の 調 和 写 像 を研 究 す る とい う よ り一 般 的 な 問題 の 急 激 な発 展 に拍 車 をか け た.そ の 基 礎 とな る理 解 は,1970年 初 頭 のKdV方

程 式 やsine‐Gordon方

代

程式 の研究 に始 まる可積分系 の一般 的

理 論 に そ の 問 題 が適 合 す る とい う こ と で あ っ た.無 限 次 元 シ ン プ レ ク テ ィッ ク幾 何 学,ル ー プ群,R-行

列 や ス ペ ク トラル 曲線 を含 む入 手 可 能 な技 法 の 既

製 品 が あ り,そ の 中 に少 な くと も2次 元 球 面 や2次 題 は埋 め 込 む こ とが で き た.そ

元 ト― ラ ス 面 に 対 す る 問

して,平 均 曲率 一 定 の ト―ラ ス面 に 対 す る最

終 的 な解 答 は,テ ー タ 関数 を使 っ て具 体 的 な形 式 で 表 現 され て い る[6].こ 解 析 に お い て は,そ の非 線 形 方 程 式 は,あ 体 上 の 線 型 フ ロー で 線 型 化 され る:そ

る種 数gの

の

代 数 曲線 の ヤ コ ビ多 様

の 「非 線 形 性 」 が,1つ

の 補 助 的 な多

様 体 の 大 域 幾 何 学 へ 移 し変 え られ て しま っ た.   こ れ は,19世

紀 の 「太 った の ろ ま な 宿 命 」 の1つ

思 う だ ろ う.方 程 式 は,そ 術 もあ っ た.実 際,こ Baker‐Akhiezer関

で あ っ た の か?と

人は

こ にす べ て あ り,テ ー タ関 数 で 上 手 に処 理 す る技

の領 域 に お け る 最 も有 効 な手 段 の1つ

数 で あ る.そ

れ と も我 々 は,そ れ は20世

は,い

わゆ る

紀 のほ とん どに

対 して も一 つ の の ろ ま な 宿 命 で あ る と言 うべ きか?Kricheverは,Bakerの 1897年 の 本 る よ う に:

「Abelian  Functions」[4]の

再 版 へ の は しが きに お い て 述べ て い

力 学,数

理 お よ び 理 論 物 理 を,代 数 幾 何 学 の 応 用 の 「新 しい」 活 動 範 囲

と呼 ぶ こ とが で きる.こ

れ らの 領 域 は,我 々 の 世 紀 の 中 ご ろ に お け る代

数 幾 何 学 に 対 して の み 非 伝 統 的 で あ る.こ の 時 期,す 幾 何 学 の い くぶ ん素 朴 な 言 語 は,Grothendieckの

べ て の古 典 的 代 数

ス キ ー ム の抽 象 的 な言

語 に き っ ぱ り置 き換 わ っ た よ う に 見 え る.

たぶ ん この 仕 事 は,百 年 前 に な され得 た が,し か し,そ の2つ そ ら く離 れ た 世 界 の もの で あ る と認 知 され て い た.コ

の主 題 は,お

ン ピュ ー タ ・グ ラ フ ィッ

クス を使 っ て 目の 前 に これ らの 曲面 を見 られ る とい う満 足 感 も,そ の理 論 の 解 析 学 的 側 面 を推 進 す る大 きな動 機付 け で あ る.そ 年代 の 研 究 へ 導 い た の は,Scott

して,こ の 方 程 式 を1970

Russellの 優 雅 な乗 馬 の 記 述 で な く,KdV方

程 式 に対 して 数 値 的 に観 察 され た ソ リ トンで あ る[15].   古 典 的 微 分 幾 何 学 の 問 題 が も う1組,よ

り最 近 パ ンル ベ 方 程 式 に 附 随 して

現 れ た.前 世 紀 の 変 り 目 に お い て,こ れ らの 方 程 式 の 解― パ ンル ベ 超 越 関 数― は,動

く特 異 点 を持 た ない 解 を持 つ2階

あ っ た.1980年

の 方程 式 の 見 事 な分 類 の 産 物  で

代 の ホ ロ ノ ミ ッ ク量 子 場 に関 す る神 保 と三 輪 の 仕 事 の 中 で ,

これ らの 方 程 式 は,別

の 形 で 現 れ た.そ の 後 そ れ らは 多 様 な幾 何 学 的 な 設 定

に登 場 し始 め た:対 称 性 を持 つ 自己 双 対4次 程 式 の 解 の 中 に,3次

元 多 様 体 の 中 に,ヤ ン‐ミル ズ 方

元 フ ロベ ニ ウ ス多 様 体 の 中 に(特 に,P2の

量子 コホモ

ロ ジー は パ ン ルベ 超 越 関 数 に よ っ て記 述 され る)で あ る ． こ れ ら の方 程 式 は, そ れ らが 等 モ ノ ドロ ミー 変 形 問題 に よ っ て 決定 され る とい う意 味 に お い て可 積 分 で あ る.パ ンル ベⅥ モ ノ ドロ ミー は 単 に2×2行

とい う最 も単 純 な場 合 は,フ 列 の3つ

ック ス系 で あ り,そ の

の 組 に よ っ て 与 え られ る .こ の モ ノ ド

ロ ミー が わ か った か ら と い っ て ,(特 に パ ンル ベ 超 越 関 数 はPainleveの

言葉

で は 「本 質 的 に新 しい 超越 関 数 」 な の で)「 知 られ た」 言 語 で解 を与 え る わ け で は ない.し

か し,そ れ らは解 に対 す る 構 造 を与 え る .BianchiとBonnetの

幾 つ か の 古 典 的 問 題 は,今

や この 生 ま れ変 わ っ た道 具 を使 う こ と よ っ て ア ク

セ ス 可 能 に な っ て い る[7].   こ う し た進 歩 に もか か わ らず,古 典 的 な領 域 の 大 域 的 問 題 は た くさ ん あ り, 特 にS3内

に お け る極 小 曲面 また はR3に

お け るWillmore曲

面 に関 わ る もの

は そ うで あ る.可 積 分 系 的 技 法 は,我 々 に具 体 的 な 解 と面 積 や 体 積 に対 す る 公 式 を与 え る が,H.B.Lawsonが30年

前 に 提 起 した次 の よ うな 単 純 な 問 題

に まだ 答 え られ て い ない:S3内

に埋 め 込 ま れ た唯 一 の極 小 トー ラス 面 は ク リ

フ ォー ド ・ トー ラ ス 面 で あ るか?

6.  未 来

  こ こ で は,現 在 活 気 に満 ち て い る4つ の 研 究 領 域 を取 り上 げ た.し か し, こ れ ら は,我 々 が 谷 で若 葉 を食 べ な が ら太 っ た の ろ ま な宿 命 に知 ら な い ふ り を して い る 間 に,山

々 の 中 の 存 在 物 を さか ん に か き集 め て い る 痩 せ こ け た ヤ

ギ に す ぎな い の だ ろ う か?今

で も生 ま れ る た め に 苦 闘 して い る概 念 が あ り,

我 々は も う十分 高 尚 で あ るか らそ う した概 念 は確 実 に歓 迎 され る は ず で あ る, と結 論 す る こ とは 誤 りで あ ろ う.多 様 体 そ れ 自 身 の ア イデ ア の よ う に,新

し

い ア イ デ ア とい う もの は,吸 収 され る の に は 長 い 時 間 が か か る.な ぜ ,今 我 々 に と っ て こ ん な に 明 らか な こ とな の に,ユ ー ク リ ッ ド空 間 の つ ぎは ぎの 重 な り部 分 を 同 一 視 す る こ と に よ り構 築 され る 空 間 を思 い つ くこ とが そ ん な に困 難 だ っ たの だ ろ う?ユ か?Hodgeで

ー ク リ ッ ド空 間 の 内部 には ない,抽 象 的 な空 間 だ か ら

す ら1941年

に多 様 体 の 定 義― そ れ 自 身 に3ペ

い る― を動 機 付 け る た め に,リ ー マ ン面 に つ い て5ペ 彼 らの 時 代 には,こ

ー ジ を さい て

ー ジ も費 や して い る .

れ は 難 しい 概 念 で あ っ た し,進 歩 は,そ れ が 特 別 な 問 題

に使 わ れ る の が 見 られ,適 て の み 可 能 で あ っ た.我

当 な言 葉 と,基 本 の道 具 を発 展 させ る こ と に よ っ

々が 議 論 した よ う に,2つ

た ア イ デ ア を取 り上 げ させ た:1つ

の事 が 幾 何 学 者 に こ う し

は 一 般 相 対 論 の形 式 を取 っ て の 物 理 学 の

要 求 と例 で あ り,も う1つ は トポ ロ ジ ー の 研 究 に 含 まれ て い る 大域 性 の概 念 で あ る.   今 日似 た よ う な苦 闘 は ど こ に あ る で あ ろ う?お 語 を理 解 す る た め に,あ

そ ら くGrothendieckの

言

る い は量 子 物 理 が 数 学 者 に対 して 提 起 して い る挑 戦

を受 け る た め に,い や そ の 両 方 で仕 事 を して い る幾 何 学 者 にで あ ろ う.   物 理 学 者 が 我 々 に焦 点 を変 え る こ と を強 い なけ れ ば,純 粋 数学 にお け る ゲ ー ジ理 論 の 発 展 は起 こ らな か った ろ う.接 続 を持 つ 主 束 は,1950年 研 究 され て きた が,一 般 には,モ

代 初頭か ら

ジ ュ ラ イ空 間 あ る い は ゲ ー ジ変 換 群 の 下 で

の 同値 類 で は な く,固 定 され た対 象 の 幾 何 学 に 目 が 向 け ら れ た.

  民 主 的 な 視 点 か らす れ ば,特 定 の 主 束 の 幾 何 学 で な く,そ の 自己 同型 で す ら な く,代 わ っ て主 束 の 同値 類 が 研 究 さ れ る べ き で あ る.こ なく 「 亜 群(groupoid)」

れ ら は,群 で は

を形 成 す る.そ して,亜 群 は 最 も単 純 な タイ プ の 「カ

テ ゴ リー(category)」 で あ る.亜 群 の層 に基 づ い た微 分 幾 何 学 的 な対 象 が あ る [8】― あ らゆ る単 純 リー群 は,そ 群 の 層 の構 造 を持 つ.―

の 曲 率 が 不 変3次

微 分 形 式 で あ る よ うな 亜

しか し,こ れ ら は通 例,文 献 に お い て は異 な る装 い

で現 れ る.た ぶ ん 我 々 幾何 学 者 が,「oid」 で終 わ る 言 葉 につ い て用 心 深 くあ る の は も っ と もで あ り,む しろ 入 念 に遠 回 りす る方 を選 ぶ.お う した 対 象 を避 け る.な ぜ な ら ば,こ

そ ら く我 々 は こ

う した対 象 は 我 々の 古 い 親 友 で あ る多

様 体 の よ う な 空 間 で は な い か らで あ る.し か しそ れ で は,我 々 の 先 祖 が100 年 前 に した 同 じ誤 りを す る こ と に な るだ ろ う.   1つ の 安 全 な 手 順 は,具 体 的 な問 題 や 例 に よ って 導 か れ て ゆ くこ とで あ る. 物 理 学 は あ ふ れ る ほ ど に こ れ ら を提 供 して い る.結 か らで は も は や と らえ が たい.量

び 目 理 論 は,1つ

の視点

子 場 理 論 に よっ て 指 摘 され た 不 変 量 を記 述

す る の に1-カ テ ゴ リー や2-カ テ ゴ リー を必 要 とす るの は こ の た め で あ る.そ して,こ こ にKontsevichの Cheen‐Simons理

第1回

ヨ ー ロ ッパ 数 学 者 会 議 に お け る 摂 動 可 能 な

論 に 関す る講 演 が あ る:

この公式(ガ ウスの公式 の,リ ンク数 に対す る単 な る一般化)が,こ んな に遅 く(1988‐89)し か も トポ ロジス トで な く物理学 者に よって発 明 され たこ とはまっ た く奇妙 であ る．   お そ ら く幾 何学 にお け る物 理 学 か らの最 も有 名 で説 得 力 あ る具 体 的 な結 果 は, 5次 の3次 元複 素 射 影 超 曲面 内 の与 え られ た次 数dの 有理 曲線 の 数n(d)に

対す

る公 式 を与 え る ミラ ー対 称 性 の応 用 で あ る[9].例

よび

えば,n(1)=2875お

n(2)=609250は,そ

れ ぞ れ 直線 と2次 曲線 の 数 で あ り,n(3)=317206375

で あ る.こ れ は,2つ

の 物 理 学 の 理 論 の 結 果 を含 ん で い る:1つ

は,n(d)に

対 す る生 成 関 数 を与 え る.も う1つ

で あ る.ミ

ラー 対 称 性 は,2つ

の 面(A‐ 面)

の面(B‐ 面)は,超

幾何 関数

の 超 幾 何 関 数 の 商 で あ る変 数 変 換 の 後,こ

の

2つ が 一 致 す る こ と を語 り,こ う して この 数 が 現 れ る の で あ る.   リー マ ンの仕 事 と,そ れ が もた らす 代 数 曲 線 の 研 究 へ の イ ンパ ク トと を比 較 せ ざ る を得 な い.19世

紀 の半 ば に お い て,JacobiとClebshはRiemannの

テ ー タ 関数 を使 っ て,あ 種 数4の

らゆ る4次

曲線 は28個

の 複 接 線 を持 つ,あ

一 般 曲線 は そ の標 準 埋 め 込 み に お い て120個

る い は,

の3重 接 平 面 を持 つ と

い う数 え上 げ 問題 を解 い た.幾 何 学 的 に ミラ ー対 称 性 を理 解 す る こ とは,テ ー タ 関 数 と現 代 数 学 に お け る そ の 継 承 物 と 同 じ く らい 重 要 な 数 学 に帰 着 す る だ ろ う.そ して,ミ ラー対 称 性 が 今 日 どの よ う に して表 現 され るか?Kontsevich の 定 式 化 に お い て は 「カテ ゴ リ ー」 の 同 値 性 と して で あ る.好 に か か わ らず,カ

テ ゴ リー 的 な 言 語 は21世

む と好 ま ざ る

紀 にお ける将来へ の道 となる こ

と で あ ろ う.

参

考

文

献

[1]  A.D.Alexandrov:Uniqueness Soc.Trans.(Series

theorems 2)21(1958),412‐416

[2]  M.F.Atiyah and R.Bott:The los.Trans.Roy.Soc.London

[3]  M.F.Atiyah

and

Hitchin:The University

[4]  H.F.Baker:Abelian

with

in

geometry

large.

Riemann

and

Amer.Math.

surfaces.Phi

dynamics Jersey

University

a Geometer,Part

the

over

Press,Princeton,New

functions.Cambridge

[5]  M.Berger:Encounter

surfaces

Yang‐Mills equations Ser.A 308(1983),523‐615

N.J.

monopoles.Princeton

for

of

Press,Cambridge

I.Notices

of

magnetic

1988

the

1995

AMS

47,2(2000)

183‐194;Part Ⅱ,47,3(2000)326‐340

[6]  A.I.Bobenko:All

constant

mean

curvature

tori

in R3,S3,H3

in terms

of

theta

functions.Math.Ann.290(1991),209‐245 [7]  A.I.Bobenko

and

faces.SFB

U.Eitner:Painleve

preprint

[8]  J.‐L.Brylinski:Loop Progress in Mathematics [9]  P.Candelas,X.C.de ifolds

as

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No.449,TUB

Berlin

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Differential

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geometric

la Ossa,P.S.Green,L.Parkes:A exactly

soluble

Geometry

of

Sur

2000

pair

superconformal

of

quantization.

Calabi‐Yau

theory.Nucl.Phys.B

man

359(1991),

21‐74 [10] 

T.H.Colding:Spaces tional

Congress

with

Ricci

curvature

bounds.Proceedings

of

the

Interna

of Mathematicians,vol.Ⅱ(Berlin,1998).Doc.Math.1998,Extra

Vol.Ⅱ,299‐308 [11] 

S.K.Donaldson:A

new

proof

of

a theorem

of

Narasimhan

and

Seshadri.J.Diff.

Geom.8(1983),269‐277 [12] 

S.K.Donaldson:Lefschetz the International Congress 1998,Extra Vol.Ⅱ,309‐314

Fibrations

in

Symplectic

Geometry,Proceedings

of Mathematicians,vol.Ⅱ(Berlin,1998).Doc.Math.

of

[13]  S.K.Donaldson:Moment

maps

and

diffeomorphisms.Asian

J.Math.3(1999),

15

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[14]  L.P.Eisenhart:A Dover,New

York

[15]  A.P.Fordy

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treatise 1909

on

the

differential

J.C.Wood(eds.):Harmonic

[16]  D.S.Freed:Special

&

Kahler

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maps

of Mathematics,E23.Vieweg

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Sohn,Braunschweig

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systems.As

1994

manifolds.Comm.Math.Phys.203(1999),31‐52

[17]  S.Gallot:Volumes,courbure Colding

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Ricci

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et Cheeger‐Colding).Seminaire

des

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Bourbaki,vol.1997/98.Asterisque

252

(1998),Exp.No.835,3,7‐32 [18]  S.W.Hawking:Gravitational

instantons.Phys.Lett.A

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Works(Anthony

L.Schwachhofer:Classification

affine

Thwaite,ed.).Faber,

of

irreducible

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connections.Ann.Math.(2)150(1999)77‐149 de

et D.Auroux).Seminaire

sous‐varietes

symplectiques(d'apres

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Bourbaki,vol.1997/98.Asterisque

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torsion‐free [26] 

with

of

1989

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[23]  M.Kontsevich:Feynman

[24]  Philip London

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Vol.Ⅱ,361‐370(electronic)

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Bourbaki,vol.1991/92.

W.H.Young,Some research.Proceedings University of Toronto

characteristic

features

of the International Press,Toronto 1928

of twentieth Mathematical

century

pure

mathematical

Congress,Toronto,1924.

of

どこで も熱核 The

Ubiquitous Heat

Kernel

J.ジ ョル ゲ ンソ ン/S.ラ

 ●訳:若 山 正 人(九 州 大 学)

ング

【 著者紹介】 ジ ェイ ・ジ ョル ゲ ン ソ ン(Jay  1963年

Jorgenson)

に生 ま れ る ．ミ ネ ソ タ大 学卒 業 後,ス タ ン フ ォー ド

大 学 大学 院 に学 び,P,サ

ル ナ ックの指 導の も と博 士論 文 を書

く.プ リン ス トン高 等研 究所 で1年 過 ご した後,エ ール 大 学 に 職 を得 て,サ ー ジ ・ラ ン グ と共 同研 究 を 始 め る.そ の後,オ クラ ホマ大学 に1年 所属 した後,現 在はニ ュー ヨー ク ・シテ ィ ・ カ レ ッ ジで 研 究活 動 を 行 な って い る.主 な 研 究対 象 は 熱核 で あ り,そ の数学 のさまざ まな分野への 応用 に興 味を持 っている ．

サ ー ジ ・ラ ン グ(Serge 1927年,パ

Lang)

リに生 ま れ る.1946年

大学 を卒 業 し,1951年

にカ リフ ォル ニ ア工 科

に プ リン ス トン大 学 で博 士 号 を取 得

した ．プ リン ス トン高等 研 究所 で1年 間過 ご した後,シ カ ゴ大 学で2年 間,コ ロ ン ビア 大学 で15年 間 を過 ご し,1972年 来 エー ル 大 学 教授 で あ る ．1960年

以

ア メ リカ 数学 会 か らコー

ル賞 を受 賞.エ ミー ル ・アル テ ィンの 弟 子 で ある ラ ング は, 代数 学 と数論 か ら出発 した.そ して代数 幾何 学の 研究 に入 り, デ ィ オ フ ァン トス近 似,超 越 数,デ ィオ フ ァン トス 問 題 に 関 連 す る複 素 双 曲 空 間な ど 様 々な 分 野 を渉 猟 し,最 近 で は ジ ョ ル ゲ ン ソ ン との 共 同研 究 で解 析 学,特 にス ペ ク トラル 分 解 を 研究 してい る.そ してそ の研 究も また数 論 とつな が って いる. 邦訳 された著 書に 『 解析 入門』 『 さあ数学 しよ う!ハ ル での 対話 』(と も に岩 波書 店刊)な どが ある.

イス クー

  よ くあ る よ うに,我

々 も数 学 の1つ

し,そ の 方 向 に 進 展 す る に つ れ て,考

の 方 向 か ら熱核 に た ど りつ い た.し か え られ る ほ と ん どす べ て の 方 向 で,熱

核 が 中 心 的 な役 割 を演 じる こ とが わ か っ て き た.そ の 名 が 物 理 と関 係 して い る の は,も

と も とが 熱 との 関係 の 中 で発 見 され た と い う事 実 を示 して い る に

過 ぎ な い.し か し物 理 にお い て さ え,そ の重 要 性 は,熱 分 布 の 数 学 モ デ ル を 与 え る とい う こ と を越 え,高 か ない.―

ま って い る ． だ が,今

そ れ に は あ ま りに遅 す ぎ るの だ―

さ ら この 名 称 の 変 更 は き 熱 核 と呼 ば れ る よ う な核

関 数 が 現 れ る た び に,何 か 物 理 に関 係 す る研 究 をや っ て い る に 違 い ない とい う誤 っ た 印 象 を与 え か ね な い に もか か わ らず,に で あ る.実 際 物 理 に関 係 し て い る こ と もあ れ ば,そ

うで な い こ と もあ る.後(「

拡 散 」)で 我 々 も そ うす

る よ う に,熱 核 に 関 す る有 界 性 や 漸 近 挙 動 の評 価 につ い て の定 理 を述 べ る際, と きに は単 に便 利 で あ る と い うだ け の 理 由 で,物 理 や 熱 分 布 の言 葉 を借 用 す る こ と もあ る.最 近 の 例 につ い て は,卓 越 した 参 考 文 献 表 を備 え た ノ リス の [Nor97]を

参 照 さ れ た い.実

は この 論 文 が 掲 載 され て い るActaの

定 期刊行

物 は,熱 核 に 関 す る2つ の論 文 を 含 ん で お り(も う一 方 は[Bij97]),し れ らは そ の 号 の5分

の3を

占め て い て,ま

か もそ

さ し く熱 核 が 遍 在 して い る とい う

事 実 の 現 れ とい え る.数 学 の い た る と こ ろ で,物 理 に お い て もそ うだ が,ど うや ら,い

くつ もの 具 体 的 な場 面 に お い て支 配 的 な役 割 を果 たす よ う な普 遍

的 な道 具 が 存 在 して い る よ うで あ る.し か もそ れ は とて も単 純 で あ り,力 強 い 特 質 を備 え た も の で あ る.こ の よ う に普 遍 的 な 道 具 が存 在 す る とい う現 象 につ い て,ア

プ リ オ リな(心 理 学 的,哲 学 的,数 学 的 な)説 明 は で き ない.

  人 々 は 各 々,そ の 道 具 が 表 現 され て い る 形 態 の ひ とつ ぐ らい は知 っ て い る か も しれ な い が,我

々 の 経 験 で は,1人

の 人 間 が そ の 道 具 の 普 遍 性 を理 解 し

て い る わ け で は な い と思 われ る.し た が っ て こ こ で扱 う題 材 と して,我 々 は, あ ま り知 ら れ て もお らず 直 接 的 な 関心 も寄 せ られ て い な い 方 向 で の熱 核 の 現 れ の 描 写 に 適 し た もの を 選 ん だ つ も りで あ る.以 下 の よ う な 項 目 の 選 択 が, 人 々 の 関 心 を呼 び,さ の 道 具 が,(少

*  Jorgenson Typaldos.Lang

らに は展 望 を広 げ るの に役 立 つ こ とを 願 っ て い る.こ

な く と も)次 の 数 十 年 にわ た り,数 学 に お い て物 事 を統 一 的 に

gratefully thanksthe

acknowledges

support

Max‐Planck‐Institut

from Bonn

Anthony

for productive

Petrello yearly

visits.

and

Andreas

理 解 す る た め の 一 翼 を担 っ て い く こ と を期 待 して い る.そ

うい う意 味 で,こ

の 道 具 は 大 学 数 学 教 育 の ご く初 期 の段 階 で 紹 介 され る の に ふ さ わ しい もの と 考 え られ て しか るべ きだ ろ う.こ の こ とに つ い て は,[Lan99]の48ペ ら78ペ

ー ジ にか け て の30ペ

  我 々 は 話 を 熱 核 に集 中 させ るべ きで あ る が,こ れ な い こ と につ い て手 短 に述 べ て お こ う.Aを 作 用 素e-tAを

こ で は ひ と まず,後

では触

正 定 値 自己 共 役作 用 素 とす る.

表 す 積 分 核 は 同 伴 熱 核 と呼 ば れ,そ

れ は 有 限 次 元 の 場 合,特

性 多 項 式 の 役 割 を演 じる の で特 性 核 と呼 ん で も よい もの で あ る.ト にお い て,有

ー ジか

ー ジ を参 照 して ほ しい.

ポ ロ ジー

限 ガ ロ ア被 覆 に付 随 す る あ る表 現 空 間 の 間の 射 と して の 自 己 準

同 型 写 像 を考 えて い る 限 り,線 型 代 数 に お け る特 性 多 項 式 とい う観 点 か らは, 数体 のL級

数 に 関す る ア ル テ ィ ン の形 式 的 方 法 が 有 効 で あ る こ とが 知 られ て

い る.[JoL94b]で

は,こ の ア ル テ イ ンの 形 式 的方 法 は,無 限 次 元 で の熱 核 の

類 似 を考 え る場 合 に も有 効 で あ る こ とが示 され て い る.し 付 随 す る1パ

たが っ て,そ

れに

ラ メー タ半 群 は,形 式 的 には 整 数 論 に お け る フ ロ ベ ニ ウス 元 と

同 じ役 割 を演 じる こ とに な る.実 際 に形 式 的 な こ と以 上 の 関係 が あ るか ど う か は 今 の と こ ろ不 明 で あ る.

その道具の定義

  熱 核 は2つ

の 基 本 的 な性 質 を もつ.1つ

は 近 似 の性 質 で,も

う1つ は 偏 微

分 方 程 式 で あ る.正 確 な定 義 を与 え よ う.   あ る性 質 を 満 た す 関数 の 族 を扱 う こ と に す る.そ は,実 際 には 正 の 整 数,ま た は正 の実 数,あ り得 る.話

を 明確 にす る た め に,た

字 付 け られ た 族{Kn}に

の族 の 添 え字 集 合 と して

るい は(0,1)区

間の 実 数 な どが あ

と え ば実 軸 上 の 連 続 関 数 で 正 整 数 で 添 え

つ い て,基 本 的 な 定 義 を与 え よ う.い ま,列{Kn}

が 以 下 の 性 質 を満 た す と きに デ ィ ラ ッ ク列 と呼 ぶ こ と に す る.   DIR1.す

べ て のnに

対 して,Kn〓0.

  DIR3.与

え ら れ た δ ＞0に  DIR2. 関 して

言 い か え れ ば こ れ は,Knの

グ ラ フ の 下 の 領 域 がn→∞

り に 集 中 す る と い う こ と で あ る.ユ

につ れ て 原 点 の周

ー ク リ ッ ド空 間Rp上

に お い て も,こ

定 義 は 本 質 的 な 変 更 な し に 有 効 で あ る こ と が す ぐ に わ か る.実 積 分 は 当 然Rp上

で 行 うべ き で あ る.DIR3で

x∈Rp,x=(x1,…,xp)の(同 を 用 い る こ と に な る.し 関 数f,gの

は,絶

で あ る.合

代 わ り に,

ー ク リ ッ ド ノ ル ム￨x￨

た が っ て,dx=dx1...dxpで

間 の 合 成 積 の 定 義 を 思 い 出 そ う.つ

際DIR2の

対 値￨x￨の

じ 記 号 で 書 か れ る)ユ

あ る.さ

て,2つ

(可 換 な 場 合 に は)群 の 性 質 か ら,1変 K(x,y)=K(x-y)と 上 の 関 数 と す る.こ

と表 さ れ る)を 定 め る.す

で あ る.デ

代 わ り にxy-1と

数 関 数K(x)か

す る こ と で 定 義 で き る.Kを の と き,合

成 積 に よ っ て,Kは

な わ ち,そ

ィ ラ ッ ク数 列{Kn}の

の

ま り

成 積 は ユ ー ク リ ッ ド空 間 や リー 群 の 上 で も と る こ と が で き る.も

考 え て い る 群 が 可 換 群 で な い な ら,x-yの

の

ら2変

し

書 くべ き で あ る. 数 関 数K(x,y)を,

測 度 空 間 の 直 積X×Y 積 分 作 用 素(し ば し ばTK

れは

基 本 的 な近 似 の 性 質 とは,以 下 の よ う に述

べ られ る もの で あ る. ■ 定 理  fは

連 続 で 有 界 で あ る とす る.n→∞

続 で あ る よ う なす べ て の集 合 上 でKn＊fはfに

とす る と きfが 一 様 連 一 様 収 束 す る.

  証 明 につ い て は上 記 の 引 用 文 中 に標 準 的 な もの が 再 現 され て い る.第3の 基 本 公 理 は,{Kn}が

デ ィ ラ ック の デ ル タ 関 数 に近 づ く,と い うふ う に 弱 い

形 で 述 べ ら れ る こ と もあ る[sic].物 理 学 者 が ふ つ う に使 う言 葉 の 乱 用 は別 と して,こ

の 弱 い 言 い 方 は,近 似 が 一 様 で あ る とい う本 質 的 な性 質 を ご まか し

か ね な い の で,我

々 は この 用 語 を用 い な い こ と に し よ う.デ

ィ ラ ック列 は と

き ど き単 位 の 近 似 とい わ れ る こ とが あ る が,そ の 理 由 は 明 ら か で あ ろ う.

  リー マ ン多 様 体X上

の デ ィラ ック列 の定 義 も同 様 の 方 法 で与 え られ る.最

初 の 正 値 性 の 条件 は そ の ま ま で あ る.DIR2の

積 分 の 条 件 は,リ ー マ ン測 度

μ を 用 い る と次 の よ うに 置 き換 え られ る. DIR2'.

第3の

条 件DIR3は,リ

ー マ ン距 離 を

と表 す こ と にす れ ば,次 の よ うに 置 き換 え られ る. DIR3'.与

え ら れ たy∈Xと

δ ＞0に

  関 数 列 を 扱 う代 わ り にt＞0で

つ い て,次

が 成 り 立 つ.

添 え 字 づ け ら れ た 族{Kt}を

上 で 述 べ た3つ

の デ ィ ラ ッ ク の 性 質 は,nをtに

す る こ と で,ま

っ た く 同 じ も の と 考 え る こ とが で き る.

  熱 核 を 特 徴 づ け る も う1つ プ ラ シ ア ン と す る.R1上

で あ る.よ

の 性 質 は,微

はt→0と

分 方 程 式 で あ る.ω

で は,ω=(d/dx)2で

あ り,Rr上

を標 準 的 な ラ で は,

り一般 的 な楕 円 型作 用 素 を 考 え る こ と も で きる が,さ

の よ うな 一 般 性 は 気 に しな くて も よ い.こ は,次

扱 う と き に は,

変 え,DIR3で

しあ た りそ

の と き,ω に付 随 す る熱 作 用 素 と

で 定 義 され る も の で あ る.

リ ー マ ン 多 様 体Xに の 変 数 と す る と き,こ (R+×X)に

お い て,tを

の 作 用 素 は 変 数(t,x)に

作 用 す る.μ

  ω に 付 随 す る 熱 核 と は,2変 K(t,x,y)で,以

時 間 と 呼 ば れ る 正 の 実 数 と し,xをX上 関 す るC∞

級 関数 の なす 空 間

を リ ー マ ン 測 度 と す る. 数 の 組x,y∈Xとt∈R+に

下 の 条 件 を 満 た す も の で あ る.

C∞ 関 す るC∞

関数

HK1(微

  HK2(デ X上

分 方 程 式).ωxで

ω のx変

ィ ラ ッ ク の 条 件).各yに

の 関 数 の 族{Kt,y}は,t→0な

一 意 性 を保 証 す る た め に

  HK3(増 L1(μ)に

大 度 条 件).変 属 す る.さ

,次

数 の み へ の作 用 を表 す と き

対 し てKt,y(x)=K(t,x,y)で るtに

定 まる

対 し て デ ィ ラ ッ ク 族 で あ る.

の 緩 増 大 性 を 仮 定 す る 必 要 が あ る.

数tとyに

対 し て,関

数x→K(t,x,y)は

有 界で

らに

に つ い て も同様 で あ る.   熱 核 の 基 本 的 な性 質 につ い て は,[Ito54],[Yosi53]を 参 照 さ れ た い.チ ャ ベ ル の 本[Cha84]は 有 用 な参 考 文 献 だ が ,彼 は放 物 型 方 程 式 の 解 に 関 す る最 大 値 原 理 に よ る非 自明 な事 実 か ら従 う よ り弱 い 条 件 を用 い て,正

値 性 の証 明

を避 け て通 っ て い る.こ れ ら3つ の 性 質(実 際 に は よ り弱 い 条 件 で)か ら,熱 核 の一 意 性 と(x,y)に   と ころ で,な

関 す る対 称 性 を示 す こ とが で き る.

に しろ(負 定 値 の)ラ プ ラ シ ア ン の よ う な作 用 素 ω も微 分 方

程 式 の 中 に 含 まれ て い るの だ か ら,ど な道 具 と見 な せ な い の か,と つ か の 理 由 が あ る.ラ

う して ラ プ ラ シア ンそ れ 自身 が 基 本 的

い う疑 問が 起 こ るか も しれ ない.そ

れ にはい く

プ ラ シア ンの よ うな偏 微 分 作 用 素 は有 界 作 用 素 で は な

い.そ れ は熱 核 に よっ て 与 え ら れ る よ うな滑 らか な積 分 作 用 素 と比 較 す る と, 連 続 性 に 関 して は よ り微 妙 な性 質 を備 え て い る.そ

れ に ひ きか え,い

ったん

定 義 に あ る基 本 的 な性 質 が 証 明 され て しま え ば,熱 核 に対 す る デ ィ ラ ッ ク形 式 は例 外 的 に 取 り扱 い が 容 易 で あ る.正 値 性 は そ の 点,手

に負 え る もの で は

な い. ■例

 実 軸 上 で,熱 核 は次 の 公 式 で 与 え ら れ る.

 こ こで は,Rの1変

数 の 関 数 と して 熱核 を与 え た.2変

数 関 数 と して は,

と と る.Rp上

で の公 式 は

で あ る.た だ し,x2=x・xはp次

元 空 間 上 の 標 準 的 な 内積 で あ る.こ

れ ら の公 式 は あ る 意味 で 典 型 的 な もの だ と見 な す こ とが で き る. ■ 例

  Gを

半 単 純 リー 群,KをGの

した と き,対 称 空 間X=G/K上 決 定 され た.X上

対 合 の 下 で 固定 され る部 分 群 と の 熱 核 は ガ ン ゴ リ[Gan68]に

よって

の 熱 核 はユ ー ク リ ッ ド空 間 上 の 熱 核 と同 じ よ う な振

る 舞 い を し,複 素 半 単 純 リー群 の よ う な い くつ か の場 合 に は,ユ ー ク リ ッ ド空 間 で の 表 示 と類 似 の 表 示 さえ も って い る.実 際,後 で見 る よ う に,xの

サ イ ズ を測 る セ ミノ ル ム に似 た 振 る舞 い をす るG上

関 数h(x)が

定 義 で きる(以 下 を参 照 され たい).熱 核 はh(x)を

定 義 さ れ る両 側K不

で あ る.た だ し,数 σ0〓0で 構 造 とGの

お く と,

あ り,関 数j(本 質 的 に は ヤ コ ビ ア ン)は,

リ ー環 の可 換 部分 環 に よ る標 準 的 な作 用 に 関 す る リ ー

環 の 半 単 純 分 解 か ら具 体 的 に 決 定 で き る関 数 で あ る.い 分 解G=UAKを

考 え よ う.こ こで,Uは

乗 法 群 の 直 積 と同 型 な可 換 群,Kは ら ば,Uは

解G=KAK(極

ま,Gの

岩澤

ユ ニ ポ テ ン ト群,Aは

正の

コ ンパ ク ト群 で あ る.G=SLnな

対 角 成 分 が1の 上 三 角 行 列 か ら な り,Aは

対 角行 列 が な す群 で,Kは(実 分 群K,Aを

用い て

変 な 関 数gtを 用 い る と,次 の 形 で 書 か れ る.

 こ こ で た と え ば 複 素 の 場 合,p=dimXと

Gの

の"高 さ"

用 い て 関 数h(x)は

正 の 成 分 を もつ

あ る い は 複 素 の)ユ ニ タ リ群 で あ る.部 以 下 の よ うに定 義 で き る.群Gは

極分

座 標)を もつ か ら,x∈Gをx=k1ak2(k1,k2∈K)

と書 くと き,gt(x)=gt(a)が

成 り立 つ.対 角 行 列 の なす ベ ク トル 空 間

の 元Hを

と りa=expHと

形 式,す

書 こ う.こ

の 空 間 は(た

と え ば)ト

レー ス

な わ ち ス カ ラ ー積

を もつ.こ

こ で,対

応 す る ノ ル ム を￨H￨と

と す る の で あ る.h(x)に

関 し,次

書 こ う.こ の と きh(x)=￨H￨

の カ ル タ ン‐ハ リ シ ュ ーチ ャ ン ド ラ 不

等 式 が 成 立 す る.

G=SLn(R)の

と き の 熱 核 の 別 の 構 成 に つ い て は,ソ

を 見 る と よ い.ソ

ー ヤ ー の 構 成 方 法 が 他 の 半 単 純 リー 群 へ どの よ う に

拡 張 さ れ る か は 知 ら れ て い な い.SLnに つ い て は.[JoL 00b]を

■ 例

  Xを

つ い て の一 般 的 な 参 考 文 献 に

参 照 さ れ た い.

コ ンパ ク トリ ー マ ン多 様 体 とす る.{ψk}を,正

シ ア ンの 固 有 値 λkに 対 応 す る 固 有 関 数ψkか とす る.こ

ー ヤ ー[Saw92]

の と き,X上

値 ラプ ラ

らな る 完 備 な正 規 直 交 系

の 熱 核 とは 次 の テ ー タ級 数 に他 な らな い.

 一 般 に

,テ ー タ級 数 とは次 の よ うな級 数 で 定 義 され る もの で あ る.

た だ し,{ak}は

任 意 の 複 素 数 列 で あ り,{λk}は

な 複 素 数 列 と す る.一 の 中 で,我

連 の 研 究[JoL

93a],[JoL

々 は あ る 収 束 条 件 を 満 た し,か

近 展 開 を もつ よ う な,上 合 の 漸 近 展 開 は,元

つ,原

実 部 が無 限 大 にい くよ う 93b],[JoL

94a],[JoL

96]

点 の周 りで あ る種 の 漸

の 意 味 で の テ ー タ級 数 を調 べ た.実

際,こ

の場

々 は ミ ナ ク シ サ ン ダ ラ ム と プ レ ジ ェ ル[MiP49]に

よ っ て 考 案 され て い た 熱 核 の そ れ へ 帰 着 させ る こ とが で きる の で あ る ．

競合 す る核  積 分 核 の 中 に は,熱 核 と同 等 か,あ もの が,い

るい は そ れ 以 上 に重 要 だ と見 な され る

くつ か存 在 す る.実 際,熱 核 に 由 来 す る(熱 核 の"同 型 像"で あ る)

よ う な核 で あ っ て,そ れ に よ っ て すべ て の 状 況 が 整 理 で き る よ う な 有 力 な方 法 が 少 な く と も2つ

あ る.そ れ らの う ち1つ

は 熱 核 の 単 純 な 積 分 変 換 か ら,

も う1つ

は 熱 核 の 変 数 変 換 と複 素 変 数tに 関 す る解 析 接 続 か ら得 られ る.波

動 核,ポ

ア ソ ン核,シ

ュ レデ ィ ン ガ ー核 は ま さ し くこの よ うな 核 で あ る.と

くに,

とす る と,ポ

ア ソ ン核Pは

で あ り,こ のPを

用 い る と波 動 核 はW(w,x,y)=P(iw,x,y)と

らに シ ュ レデ ィ ン ガー 核 はS(t,x,y)=K(it,x,y)で は ポ テ ン シ ャル と呼 ば れ る あ る適 当 な 関 数fを

書 か れ,さ

与 え られ る(た だ し,K 伴 うΔ+fに

対 す る熱 核 で

あ る).   上 の よ うに 熱 核 の 積 分 変 換 と して 波 動 核 を得 る こ とは,確 率 論 で は従 属 操 作 と呼 ば れ て い る.こ の よ うな積 分 変 換 に つ い ての 議 論 や,解 析 接 続 に お け る い くつ か の 新 しい 結 果 に つ い て は,[JoL

99]を 参 照 さ れ た い.熱 核 が もつ

デ ィ ラ ッ ク族 の 性 質(近 似 と正 値 性)と 熱 方 程 式 の解 の 存 在 と一 意性 とい う非 常 に強 い 性 質 に よ っ て,熱 核 が 基 本 的 な 対 象 で あ る こ と,そ

して,熱 核 を通

す こ とに よ り物 事 の 理 解 が 自然 に な され る こ と を,こ こ で 再 び 注 意 して お き た い.

熱核 の さま ざまな現 れ さ て,熱 核 の さ ま ざ ま な現 れ を列 挙 しよ う.

ワ イ エ ル シ ュ トラ ス 近 似

  連 続 な 族{Kt}と 1/n2と

し て の 熱 核 が 与 え ら れ る と,n=1,2,...に

置 く こ と に よ り,R上

の 級 数 列{Kn}を

対 し てt=

定 義 す る こ と が で き る.

ワ イ エ ル シ ュ トラ ス 自身 は,有 界 閉 区 間上 の連 続 関 数fが

多項式 によって一

様 に近 似 され る とい う近 似 定 理 を証 明 す る ため に,級 数 の 形 で の 熱 核 を用 い た.つ ま り,連 続 関 数 をR上 と い う定 理 で あ る.ワ

の コ ンパ ク トな台 を持 つ連 続 関 数 に拡 張 で きる

イエ ル シ ュ トラ ス は,熱 核 との 合 成 積 を考 え る こ とに

よ り次 の 近 似 級 数 を得 てい る.

  この と き各 関 数gnは

整 関 数 とな る.そ

こで,ワ

イ エ ル シ ュ トラス はgnの

べ き級 数 展 開 か ら得 られ る多 項 式 を用 い て 多 項 式 近 似 の証 明 に 決着 をつ け た. 我 々 はP.M.ゴ

ー チ エ の お か げ で,こ

の 辺 りの歴 史 の 断 片 と と も に,シ

ェー

ンベ ル ク が 同 じ方 法 に よ っ て い か に カ ー ル マ ン に よ る ワ イエ ル シ ュ トラス の 定 理 の 拡 張 を証 明 したか を示 す歴 史 の 詳 細 を知 る こ とが で きる[Car 27],[Sch 76].実

際,fがR上

はfをR上

の コ ンパ ク トな 台 を もつ 連 続 関 数 で あ る と き,関 数gn

で一 様 に近 似 して い るの で あ る.単 位 の 分 割 と ε/2n論 法 を用 い

る と,次 が 得 られ る. カ ー ル マ ンの■  定理 関 数gで,R上

 fをR上

連 続,ε を正 の実 数 とす る.こ の と き整

で

と な る もの が 存 在 す る.   シ ェ ー ンベ ル クは カー ル マ ンの 定 理 を,RをRpに,CをCpに

置 き換 えp

次 元 空 間上 の 熱 核 を用 い る こ とに よっ て多 変 数 に拡 張 した.上 で の考 察 は,熱 核 の 近 似 の 性 質 の み で,微 分 方 程 式 に は触 れ て い ない こ とに注 意 して ほ しい.

拡 散 作 用 と確 率

  "熱"と い う言 葉 を(物 理 現 象 を扱 お う と して い るの で は ない が)慣 例 と して 用 い る とい う こ と は,熱 核 の 漸 近 的 な性 質 を拡 散 過 程 と して 見 なす とい う こ とに ほ か な らな い.大 雑 把 に い う と,点yで

の 初 期 値 が 与 え られ た熱 と呼 ば

れ る もの に対 して,時 間tに お け る集 合Sで お い てSの

なか にyが

入 っ て くる確 率)は,積

で 与 え ら れ る こ と に な る.デ 空 間(Rn×R+上

の 熱 の 総 量(あ る い は,時 間tに

ー ヴ ィ ス[Dav

で 定 曲 率-1)上

分

89]の

で は,こ

系5.7.3は,双

曲 型n次

の 拡 散 は 斉 次 で は な い が,有

元 限の

速 度 で 無 限 遠 に 進 む 円 環 の 中 へ 漸 近 的 に 集 ま る こ と を 示 し た も の で あ る.よ り正 確 に 述 べ る た め に,r1＜r2と

と す る.こ

し,双

の と き,r1＜n-1＜r2に

が 成 り立 つ.こ

曲 距 離 をd(x,y)と

環 を

対 して

の 結 果 は ア ン カ ー‐セ ッ テ ィ[AnS

ク ト型 リ ー マ ン対 称 空 間,す

し よ う.円

92]に

よ り,一

な わ ち 前 に 述 べ たX=G/K上

般 の 非 コ ンパ

へ,よ

り精 密 化

さ れ た 形 で 拡 張 さ れ た.   確 率 論 的 な 背 景 を も つ 熱 核 解 析 に つ い て の 文 献 は た く さ ん あ る が,と レ ヴ ゥ ー と ヨ ー ル[ReY

90/94],そ

して ス ニ ツ マ ン[Szn

98]を

く に,

参 照 さ れ た い.

熱核の周期化   ご く初 等 的 な段 階 にお い て さ え,周 期 が2π の 周 期 関 数 と い う意 味 で,円 周 上 で の 熱 核 を求 め る こ とが あ る.そ れ はR上 て 得 られ る.円 周 をSで

の 熱 核 を周 期 化 す る こ と に よ っ

表 す こ とに す る と,周 期 化 と は

の こ とで あ る.KR(t,x+2πn)はxに

つ い て指 数 的 に 減 少 す る の で,こ の級

数 は非 常 に早 く収 束 し,し た が っ て 積 分 記 号 の 下 で の和 や微 分 に つ い て は何 ら心 配 は い ら な い.微 分 方 程 式 はR上 よ い.

と同 じ もの を 円周 上 の もの と考 え れ ば

  周 期 性 か ら,直 ち に 周 期 化 さ れ た 熱 核 を フー リエ 級 数 に 書 き下 す こ とが で きる.項 別 積 分 す る こ とに よ りフ ー リエ 係 数 を得 る こ とが で き,そ

して そ の

結 果 得 られ る フ ー リエ展 開 とは,ま

さ に ポ ア ソ ンの 反 転 公 式

で あ る.こ

の ポ ア ソ ン の 和 公 式 が 得 ら れ る.

こ でx=0と

  上 記 の 公 式 は,と

す る と,次

も に,直 ち に高 次 元 の ユ ー ク リ ッ ド空 間や そ の 空 間 に お

け る格 子 に対 して も一 般 化 され る.代 数 的 整 数 論 で は,こ の よ うな 格 子 と は しば しば イ デ ア ル の こ とで あ り,半 単 純 リー 群 論 で は リー代 数 の半 単 純 分 解 か ら得 られ る 固有 指 標 で 生 成 さ れ る 格 子 で あ る.   周 期 化 は よ り巧 妙 な 文 脈 の 中 で な さ れ る,Xを 体(定 義 か ら,そ れ は単 連 結,完 で あ る),Г

をXの

カ ル タ ン‐ア ダマ ー ル 多 様

備,半 負 定 値 な 曲率 を もつ リー マ ン 多様 体

自 己 同 型 か らな る離 散 群 と し,X=Г

す る.KX(t,x,y)をX上

の 熱 核 とす る.こ こ で,Xに

熱 核 を表 す に は2つ の 変 数x,yが

必 要 と な る.Г

＼Xを

商空 間 と

は群 構 造 が な い の で,

に 関 して 周期 化 しよ う.す

なわ ち

とお く.γ が 自 己 同型 で あ る こ と と,熱 核 の 一 意 性 か ら次 が 得 られ る.

この 関係 式 か ら,周 期 化 は 変 数 の う ち の1つ r＼X上

だ け で行 え ば よい こ とが わか る.

の 熱核 の 性 質 は,定 義 に も どっ て 直 接 確 か め る こ とが で き る.考 え

て い るГ の作 用 が 固 定 点 を もつ 場 合 には,特 異 点 に 関 す る技 術 的 な問 題 に も 対 処 しな くて は な らな い.

コ ン パ ク ト商 空 間  コ ンパ ク トな商 空 間X=Г

＼Xの 場 合 の 扱 い が 最 も容 易 で あ る.コ ンパ ク ト

多 様 体 上 の 熱 核 に 関 す る 一 般 的 な 参 考 文 献 に つ い て は,[Gil [BGV

92]が

＼Xに

対 し,熱

核 の トレ ー ス は 次 で 定 義 さ れ る.

こ の ト レ ー ス に 等 し い フ ー リ エ 展 開 は,テ

め に は,必

74],

あ る.

  コ ン パ ク ト なX=Г

ゴ リ[Gan

74/95],[BGM

68]に

よ っ て 与 え ら れ た.し

ー タ反 転 関係 式 の 一 例 と して ガ ン

か しな が ら テ ー タ反 転 関 係 式 を 得 る た

ず し も ト レ ー ス を と る 必 要 は な い.

 Г が 固 定 点 な し に 作 用 す る と き の コ ン パ ク トな 商 空 間 に 対 し て は,次 う な(テ ー タ 級 数 の)フ

こ こで,ψkは

ー リ エ 展 開,ま

の よ

た は ス ペ ク トル 展 開 が 得 ら れ る.

固 有 値 λkに 対 応 す る-ω のГ-不 変 な固 有 関数 か らな る 正 規 直

交 基 底 で あ る.こ の 展 開 こ そ が,一 般 化 され た形 の ポ ア ソ ンの 反 転 公 式,つ ま りテ ー タ反 転 関係 式 に対 す る 自然 な 設 定 で あ る.

テ ー タ関 係 式 とゼ ー タ変 換

  リ ーマ ンか ら始 ま る古 典 的 な場 合 に お い て は,あ る指 数 α に対 して 成 り立 つ2つ

の テ ー タ級 数 間の テ ー タ反 転 関係 式

の メ リ ン変 換 を とる こ と に よ り,ゼ ー タ 関 数 とそ の 関 数 等 式 が 得 られ る.こ こで,関

数fの

メ リン 変 換Mfと

で 定 義 さ れ る も の で あ る.テ 義 か ら 直 接,以

た だ し,ζ(s)は あ る.

は,積 分

ー タ 級 数 θ(t)=Σake-λktの

メ リ ン 変 換 は,定

下 の よ う に 導 か れ る こ と が わ か る.

デ ィ リ ク レ級 数〓

で あ り,Г(s)は

ガ ンマ 関 数 で

  熱 核 の ス ペ ク トル 分 解(こ そ?)は,テ

ー タ反 転 公 式 の 源 で あ り,し た が っ

て 対 応 す るゼ ー タ関 数 の 関 数 等 式 の 源 で もあ る.   熱 核 の メ リ ン変換 に 対 して,解 析 接 続 は 熱 核 の 原 点 で の 漸 近 展 開 を用 い て 証 明 さ れ る.こ れ は ミナ ク シサ ン ダ ラ ム とプ レ ジ ェル の 研 究[MiP レ イ[See 67]に さ か の ぼ る.[JoL

93]の 中で,こ

49]や シ ー

の 方 法 は よ り多 くの場 合 へ

の応 用 に対 して一 般 化 され,公 理 化 され た形 で 与 え られ て い る.   [JoL 94a]や 一 般 に我 々の 研 究 に お い て は,メ

リン変 換 の代 わ りに 一 般 に 次

で定 義 され る ガ ウ ス 変 換 を採 用 す る.

こ れ は,言

って み れ ば 変 数 変 換 され た ラ プ ラ ス 変 換 で あ り,s→-sな

称 変 換 の下 で 関 数 等 式 を導 く(右 辺 の 表 示 はsに は原 点 で の 漸 近 展 開 がtの で,上

る対

関 す る奇 関数 で あ る).f(t)

負 べ き を もつ テ ー タ 関 数 θ(t)の よ う な もの な の

の積 分 は(た とえ ば,正

のsに

対 して)0の 近 くで は 収 束 し な い か ら,

[JoL 94a]で 説 明 され て い る よ う に正 規 化 され な けれ ば な らな い.し か し,上 の 手 順 は"ゼ ー タ関 数"を 得 る 一般 的 な 方 法 を示 して い る.た とえ ば,コ ク トリ ー マ ン面 の場 合 に こ の よ う な 手 順 を行 え ば,マ

ッ キ ー ン[McK

ンパ

72]に

よ る公 式 で あ る セ ル バ ー グ ゼ ー タ関 数 の対 数 微 分 が得 られ る こ と にな る.こ の よ う な一 般 的 な ア プ ロ ーチ は,熱 核 の"準 同型 像"と して,非 常 に広 い文 脈 の 中 で ゼ ー タ 関 数 を と らえ る た め の 系 統 的 な 方 法 を提 供 す る の で あ る.こ

れ

ら につ い て は[JoL 94b]を 参 照 され た い.

非 コンパ ク ト商空 間   実 際,最

もと っつ きに くい例 は,商Г

＼Xが 体積 は 有 限 で あ る が コ ンパ ク ト

で な く,有 限個 で は あ る が い わ ゆ る カス プ を もつ と きで あ る.つ

ま り,Г ＼X

が 無 限 遠 点 に 通 ず る小 部 分(い ろ い ろ な観 点 か らか な り正 確 に 記 述 で きる も の で は あ る)を も って い る と きで あ る.こ して は,い

の よ う な非 コ ンパ ク ト商 空 間 に 対

わ ゆ る ア イ ゼ ン シ ュ タ イ ン級 数 と呼 ば れ る も の で構城 され る"連

続 ス ペ ク トル"お よび 連 続 パ ラ メ ー タに 依 存 した 項 を フー リエ展 開 に加 え な け れ ば な らな い.こ

う した級 数 の 性 質 を研 究 す る と きの 困 難 さ は,理 論 の 発

達 や応 用 を 目指 す 際 の根 本 的 障 害 に な っ て い る.現 時 点 で 入 手 可 能 な 一 般 的 な参 考 文 献 と して は,[Har

68]や[Lgl

76],[MoW

95]が あ る.我

々 は ア イゼ

ンシ ュ タ イ ン級 数 の 理 論 を,熱 核 を使 っ て ね じる こ と に よ っ て で きる 熱 ア イ ゼ ン シ ュ タ イ ン級 数 を導 入 す る こ とで 再 編 し,簡 略 化 す る こ と を試 み て い る [JoL 00a].   そ れ と同 時 に,GをSLn,Kを

ユ ニ タ リ群,Г をSLn(Z)ま

た はSLn(Z[i])

と した場 合 の 熱 核 の フ ー リエ 展 開 も研 究 中で あ る.SLn(C)の よ り も簡 単 で あ る.実 際,複

素 の 場 合 に は,熱 核 が ユ ー ク リ ッ ド空 間 で の 公

式 と極 め て似 た 形 で あ る 公 式 を もつ の に対 して,SLn(R)の 積 分 表 示 を もつ か,あ

場 合 はSLn(R)

る い は,せ

場 合 に は,単

に

いぜ い ユ ー ク リ ッ ド空 間 の 熱 核 の 変換 像 と

して 表 示 され る こ と く らい しか わ か ら な い.   SLnの

場 合 にお い て考 え る こ とは,熱 核 や そ れ らの ス ペ ク トル展 開 を通 し

て の,系 統 的 な ゼ ー タ 関 数研 究 へ の 新 た な ア プ ロ ー チ の 広 さや 重 要 性 を確 か め る の に十 分 で あ ろ う.上 で 示 唆 した 周 期 化 の手 順 や ス ペ ク トル 展 開 を通 す こ と に よ り,我 々 は,熱 核 が ゼ ー タ関 数 や その 関数 等 式 の 源 泉 で あ る と考 え て い る.   今 ま さ に述 べ た よ う な精 神 で の,リ つ い て は,マ

ッキ ー ンの[McK

ーマ ン面 上 の 熱 核 の 基 本 的 な考 え 方 に

72]や[JoLu

3次 元 多 様 体 に 関 す る類 似 につ い て は,[JoDo   SLnの る.こ

95],[JoLu 97]を 参 照 さ れ た い. 98]が 参 考 に な る.

他 に も,さ ま ざ ま な 群 に対 して こ の研 究 は な され て しか る べ きで あ う した研 究 は よ り複 雑 な代 数 幾 何 や 微 分 幾何 的研 究 の様 相 を呈 す る だ

ろ う.熱 核 か ら生 ず る ゼ ー タ関 数 は,広 範 囲 で 代 数 幾何 や 微 分 幾 何 構 造 の モ ジ ュ ラ イ空 間上 に現 れ る.た 間,カ ラ ビ‐ ヤ ウ多 様 体,ジ

と え ば代 数 幾 何 で は,K3曲

面 の モ ジ ュ ラ イ空

ョル ダ ンの論 文[Jor 1880]に あ る よ うな任 意 の 次

数 の 微 分 形 式 の モ ジ ュ ラ イ 空 間 に お い て な ど で あ る.ま た,よ 文 脈 か ら は,[Liu

り微 分 幾 何 的

96],[Liu 97]に あ る よ う な主 束 の モ ジ ュ ラ イ空 間 な ど にお

い て で あ る.こ の よ う に して,普 遍 被 覆 空 間 上 の フー リエ ・ハ リシ ュ‐チ ャ ン ドラ解 析 や 適 当 な 離 散 部 分 群 に よ る そ の 周 期 化 に 関 連 して,代

数幾何 や微分

幾 何 は と もに前 面 に現 れ て くる こ とに な る だ ろ う.こ の よ う な情 況 は,実 際, よ り幅 広 く解 釈 で き よ う.一 般 的 ア プ ロー チ の 系 統 的発 展 に よ って,特 領 域 に お い て の意 味 の あ る重 要 な洞 察 や,そ

れ に加 え,ば

殊な

らば ら に あ る ゼ ー

タ 関数 を ま とめ る方 法 の全 体 的 な理 解 が 得 ら れ る よ う な,具 体 的 な実 現 が な さ れ る こ と だ ろ う.

モ ジ ュ ラ イ あ るい は フ ァ イバ ー 空 間 にお け る変 分 公 式

最 初 に簡 単 な 例 と して実2次

元 の 複 素 トー ラス か ら考 え よ う．   これ は 円 の

す ぐあ と に 来 る例 で あ る.こ の よ う な トー ラス は,上 半 平 面 上 に あ る変 数〓 を用 い て パ ラ メ ー タ付 け さ れ,Z上1,〓 して得 られ る.実 際,こ

は,そ

の よ う な2次

の とき

元 トー ラ ス で あ る.複

熱 核 を 周 期 化 し た も の で あ り,ト く.ゼ

ー タ 関 数〓

したが って〓 の 中で1を

はR2上

の

ー ラ ス 上 の 熱 核 の ト レ ー ス(trK〓)(t)を

導

素 トー ラ ス の 熱 核K〓

を 次 の 公 式 で 定 義 し よ う.

は正 規 化 さ れ た熱 核 の メ リ ン変 換 で あ る(積 分

差 し引 くこ とで,Re(s)＞0に

化 して い る).〓

に よ り生 成 され る格 子[1,〓]を と お

対 して 積 分 が 収 束 す る よ う に正 規

を次 式 で定 義 され る デ デ キ ン トの エ ー タ 関数 とす る. こ こで

つ ま り,〓

をC上

は トー ラ ス の 判 別 式 で あ る.判

別 式 とい う名 は

トー ラ ス と解 析 的 に 同型 な楕 円 曲 線 の ワ イ エ ル シ ュ トラス 方 程 式 とす

るとき

が 方 程 式 の 右 辺 の 多 項 式 の根 に付 随 す る代 数 的 な 意味 で の 判 別 式 で あ る こ と か ら きて い る.さ て,次 式 は 変 分 公 式(ク ロ ネ ッ カ ー の極 限 公 式)で あ る.

  上 の公 式 は,す べ て の モ ジ ュ ラ イ 問題,つ

ま り代 数 幾 何 的,微

分 幾 何 的対

象 の 極 大 族 に付 随 す る問 題 に お い て浮 か び 上 が っ て くる よ う な,あ

る種 の 変

分 公 式 の 最 も単 純 な 表 出 で あ る.こ こ で 考 え て い る 一 般 的 で 形 式 的 な枠 組 と は,〓

と〓 が エ ル ミー ト空 間 で あ る と き,次 の よ うな 族

であ る

を考 え る こ とで あ る.そ の よ う な〓

上 の"自 然 な"エ ル ミー ト構 造 に付 随 し

て 現 れ る で あ ろ う1つ の 公 式 は以 下 の よ うに 述 べ られ る.   Vを〓

の計 量 に 関 す る"ポ テ ン シ ャル"と す る.上 で のlog Im(〓)をV(〓)

で 置 き換 えて 考 え る.判 別 式 の役 割 をす る〓 こ と か ら関 数〓 の 層,す

はF(〓)に

置 き換 わ る.関 数 の層 は(0,p)型

な わ ち複 素 座 標dz1,…,dznに

き換 え る必 要 が あ る.そ

上 の有 理 型 関 数Fが

関 して 因子dzjの

存在 する の微 分 形 式

み を含 む もの で 置

して,d‐ 作 用 素 を(0,p)形 式 上 の〓 作 用 素 に置 き換

え た ダル ボ ー 複 体 を用 い,ス

ペ ク トル ゼ ー タ関 数 の 一 階 微 分 は次 の 変 形 され

た オ イ ラ ー 特 性 数(ま とめ 上 げ られ たゼ ー タ関 数)と い うべ き

で 置 き換 え る の で あ る.た だ し,〓pは(0,p)形

式 上 に作 用 す る ラ プ ラ シ ア ン

に 対 す る ゼ ー タ関 数 で あ る.こ の と き期 待 され る変 分公 式 は,一 般 的 に次 の よ う な形 を してい る.

  コ ンパ ク トな フ ァイバ ー を含 む よ う な最 も簡単 な場 合 に注 意 され た い.も っ と も,コ

ンパ ク トな双 曲3次 元 多 様 体 は,そ れ らが 離 散 的 な族 を形 成 す る と

い う意味 で 変 形 が効 か ない.し たが っ て,マ ク ミュ レ ンが 指 摘 した よ う に,変 分 公 式 を得 る ため に は,体 積 が有 限 な3次 元 双 曲多 様 体 を考 え る必 要 が あ る だ ろ う.こ れ ら有 限 の 体 積 を持 つ 多様 体 は,デ

ー ン空 間 とい う解 析 的 な複 素

n空 間Cnに

よ っ てパ ラ メ ー タ付 け られ る こ とが 知 ら れ て い る.し か しなが

ら変 分 公 式 の 正 確 な 定 式 化 は こ の 場 合 で さえ 充 分 に研 究 し きれ て い ない.   吉 川 は,主 偏 極 ア ー ベ ル 多 様 体 や あ る種 のK3曲

面 の 族 の場 合 に変 分 公 式

が 成 立 す る こ と を確 か め た[Yosh96],[Yosh98].ジ

ョル ゲ ン ソ ン‐ト ドロ フ は

[JoT95b],[JoT96],[JoT97a]に

お い て,奇 数 次 元 の カ ラ ビーヤ ウ変 数 に 関 す る

ダ ル ボ ー複 体 を用 い て い る.そ

こで は偶 数 次 元 に対 して の 研 究 が,や や 別 の

もの を使 っ て す す め られ て い る.と

くに,K3曲

面 に 関 して,(微 分 形 式 上 の

で は な く)関 数 上 の カ ラ ビ‐ヤ ウ計 量 に対 す る ラ プ ラ シア ンの平 方 を用 い て い る.い

か な る層 を使 い,い

つ どの よ う に して 変 分 公 式 が 得 られ るか につ い て

は,い

まだ 多 くの こ とが 明 らか に さ れ て い な い.

  しか しな が ら,こ の よ う な状 況 の 中で ジ ョルゲ ン ソ ン と ク レー マ ー[JoK98], [JoK99]は,非

常 に一 般 的 な枠 組 み にお い て,熱 核 で は な くグ リ ー ン カ レ ン ト

に 対 す る 変 分 公 式 の 計 算 に成 功 した.算 術 的 リ ー マ ンーロ ッ ホの 定 理(そ れ 自 身,熱 核 に基 づ い て い る.以 下 を参 照 され たい)は お そ ら く,ジ ョル ゲ ン ソ ン‐ ク レー マ ー の 結 果 と変 分 公 式VARの   フ ェ イ は研 究 報 告[Fay92]の

間 の 直 接 的 な つ なが りを与 え る だ ろ う.

中 で,リ

ーマ ン面 の 族 に対 して変 分 公 式 を計

算 し,算 術 的 リー マ ン‐ロ ッホ の 定 理 の 中 に現 れ る もの と類 似 の公 式 を導 い て い る.   空 間〓

は あ る特 殊 な 構 造 を パ ラ メ ー タ付 け す る もの で あ る が,こ

構 造 が もつ 自然 な 退 化 性 の た め に コ ンパ ク トに は な り得 な い.こ 化 構 造 は〓

う した

の よ う な退

の コ ンパ ク ト化 に寄 与 し〓 の さ ま ざ ま な境 界 と見 な され るい ろ

い ろ な 空 間 に よ って パ ラメ トラ イ ズ され る.変 分 公 式 は,付 随 す る ゼ ー タ関 数(正 規 化 され た 熱 核 の メ リ ン変 換)を 通 して,熱 核 を〓 込 む1つ

の 性 質 の 中 に組 み

の 方 法 を示 して い る.こ の 枠 組 で は 熱核 は 別 の 現 れ 方 もす る.す

わ ち,t＞0の

値 を固 定 し,〓 が〓

の境 界 に近 づ く と きのtrK〓(t)の

な

振 る舞

い を考 え て み よ う.こ の と きに は, (〓が〓

の 境 界 へ 近 づ く と き)

と な る 一 般 的 な 現 象 が 現 れ る.上 で 述 べ た参 考 文 献 に お い て,こ

の 現 象 を示

す よ う な明 確 な 例 は ほ ん の わず か で あ る.一 般 的 な定 理 を精 密 に 定 式 化 す る こ とや,K3曲

面 や カ ラ ビ‐ヤ ウ多 様 体,3次

元 双 曲 多 様 体 と い っ た と くに興

味 の あ る場 合 につ い て状 況 を明 らか に す る こ と な どが 今 後 に 残 され た問 題 で あ る.   こ れ ま で見 て き た よ う に,さ

ま ざ ま な場 面 に お い て熱 核 は ス ペ ク トル不 変

量 の 退 化 につ い て の 量 的 な 情 報 を与 え る重 要 な役 割 を果 た して い る.

ジ ー ゲ ル ‐ハ ウ 半 群,メ

タ プ レ テ ィ ッ ク 群 と ミ ュ ラ ー ‐リ ッ チ 半 群

  ロ ジ ャー ・ハ ウ の論 文[How88]か ジ ン[DeB67],[DeB73]を

ら出 発 す る.1次

元 の 場 合 は,ド ブ ロ ー

参 照 され た い.リ オ ン‐ヴ ェル ニ ュ[LiV80]も

また

参 考 に な る.   次 の よ う な複 素 対 称 行 列 の な す ジ ー ゲ ル 空 間〓2nを

た だ し,U,Vは

実n×n対

で あ る.z=(xy)をR2nの

称 行 列 で,Vは

考 え よ う.

正 定 値 で あ り,A,B,D〓Matn(C)

ベ ク ト ル と す る.つ

ま り,x,y〓Rnは

縦 ベ ク ト

ル で あ る.

と書 こ う.ジ

ー ゲ ル ‐ハ ウ の ガ ウ ス 核GSをR2n=Rn×Rn上

と定 義 す る."核"と

い う言 葉 は,TGs(標

の 関 数 と して

準 的 な表 記)と 書 くこ と に な る積 分

合 成 積 作 用 素 を導 く核 関数(積 集 合 上 の 関 数)と い う意 味 で使 われ て い る.上 記 の論 文 中65ペ

ー ジの 公 式(3.2.2a)で,ハ

ウ は,適

当 な 因 子C(S1,S2)を

用 い る こ と に よ り,熱 核 が 合 成 積 に 関 す る方 程 式

を満 た し,作 用 素TGsに る.彼

はGSが

対 して も同様 の 方 程 式 が満 た され る こ と を示 して い

お よび

と す る こ と で,G0sに

対 す る 合 成 積 の 公 式 の 中 で の 定 数 が ±1と

正 規 化 で き(p.78,(11.1)),作 し て い る.さ

ら に,ハ

用 素TG0s=T0GSが

ウ は62ペ

伝 承 だ 」 と 言 っ て い る.と

ージで

い う の も,彼

なる ように

縮 約 作 用 素 で あ る こ と を示

「自 分 の 論 文 は ヴ ェ イ ユ[Wei64]の が 示 し た 事 実"正

規 化 された ジーゲ

ル‐ ハ ウ 作 用 素 の 半 群 の 閉 包 に お け る ユ ニ タ リ作 用 素 た ち の 集 合 が い わ ゆ る メ タ プ レ テ ィッ ク 群(〓16,p.83)を

な す こ と"は シ ェ ー ル[Sha62]と

ヴ ェイユ の 主

な 関 心 事 で あ っ た か ら で あ る.   引 き 続 く ミ ュ ー ラ ー と リ ッ チ に よ る 論 文[MuR90]で ル 空 間 の 元Sに

よ っ て 添 え 字 付 け ら れ たR2n上

シ ア ン の 族{△S},そ

し て,最

照 さ れ た い.(調

ら に,ジ

ーゲ

の計 量 の 族 や 対 応 す る ラプ ラ

終 的 に は ジ ー ゲ ル 空 間 に よ っ て パ ラ メ ー タ付

け ら れ た 対 応 す る 熱 核 の 族{Kt,S}を の 正 規 化(補 題2.3,p.531)を

は,さ

得 る た め に,核GSや

行 っ て い る.詳

整 因 子 を 除 い て,そ

対 応 す る作 用 素

し くは 定 理3.1や

こ で の〓t,Sは

公 式(3.4)を

こ こ でKt,Sと

参

表 され る も

の で あ る.)   よ り 一 般 的 に,カ す で に 述 べ た)に

ル タ ン ‐ア ダ マ ー ル 空 間(そ の 定 義 は 周 期 化 の 議 論 の 際 に

お け る変 動 す る計 量 に 関す る類 似 の 状 況 で の 研 究 が い まだ

に な さ れ ず に 残 っ て い る.い

か な る 場 合 で も,上

で 述 べ た解 析 はモ ジ ュ ラ イ

族 や 変 分 公 式 の 文 脈 で の 話 で あ る.

熱 核 と 指 標 公 式

  コ ン パ ク ト リ ー 群 上 の 熱 核 の 研 究 は,ユ

ー ク リ ッ ド空 間 と そ こ で の 格 子 か

ら 決 ま る 実 トー ラ ス で の 熱 核 の 研 究 に 帰 着 さ れ る.膨

大 な 紙 数 を 要 す る の で,

定 義 や そ れ が ど う な さ れ る か は こ こ で は 復 習 し な い.し の 具 体 的 な 意 味 を 読 者 に 理 解 し て も ら う た め,2,3の を コ ン パ ク トで 単 連 結(連 結)な

か し,な

され る こ と

公 式 を 述 べ て お こ う.G

半 単 純 リ ー 群 と す る.g=TeGを,Gの

元

に よ る 移 動 で 得 ら れ る 左 不 変 な ベ ク トル 場 の な す リ ー 環 の 構 造 か ら 定 ま るG の リ ー 環(原 点 で の 接 空 間)と す る.v,w〓gに

対 し て[v]を

リ ー環 の 積 を用

い て[v]w=[v,w]と

定 義 す る こ とで 引 き起 こ され る正 則 リー表 現 とす る ． キ

リ ン グ形 式 とはg上

の対 称 でG不

変 な双 線 形 形 式 で あ り,こ の 正則 表 現 を用

い て 次 で 定 義 さ れ る もの で あ る.

つ ま り,キ リ ン グ形 式 は こ の表 現 に関 す る トレー ス を用 い て定 義 され て い る. 適 切 に符 号 を考 慮 して,こ の計 量 が 定 義 さ れ,さ 結 果,我

の2次

形 式 をGの

元 で移 動 す る こ とに よ りG上

らに この 計 量 か らG上

の リー マ ン構 造 が 定 ま る.そ の

々 は正 定 値(す な わ ち,固 有 値 が 正 で あ る)ラ プ ラ シ ア ンを得 る こ と

に な る.   コ ンパ ク ト群 上 で,あ

る 種 の 関 数(熱 核 もそ の1つ)は

あ る種 の(適 当 な 意

味 で 定 義 され た)回 転 の 下 で 不 変 で あ り,こ う した 関数 のG上

で の 値 は,g

の 可 換 な部 分 リー 環 に対 応 す る トー ラ ス 上 で完 全 に定 ま る.こ の よ う な 関 数 の ス ペ ク トル分 解 は,リ

ー環 上 の 指 標 か ら な る 正 規 直 交 固有 関 数 完 全 系 の 部

分 集 合 を用 い て 与 え ら れ る.し

た が っ て,熱 核 を 表 す テ ー タ級 数(フ ー リエ

級 数)は コ ン パ ク トリー 群 論 か ら きた 古 典 的 な概 念 とつ な が り,し か も,熱 核 は 適 当 な格 子 に関 す る実 トー ラ ス の そ れ と似 た方 法 で 与 え られ る.と そ の テ ー タ級 数 に お け る係 数 は,リ

くに,

ー理 論 研 究 に お い て ワ イ ル の指 標 公 式 と

して 知 られ て い る もの と直 接 的 に 関 連 付 け られ る方 法 で 記 述 す る こ とが で き る.こ れ につ い て は フェ ガ ン[Feg78b]の(3.4)を

参 照 され たい.フ

ェ ガ ンは

さ ら に ま た,熱 核 に対 す る次 の よ うな 反 転 公 式 も述 べ て い る.[Feg,78b]の 理4.1で

定

あ る.

こ こ で,〓2は

テ ー タ 級 数,〓

は 適 当 な 数,j(x)は

き も の でtに

は 依 存 し な い 関 数 で あ る.そ

れ ゆ え,熱

ル 展 開 は,再

度 テ ー タ 反 転 公 式 を 導 く こ と に な る.

ヤ コ ビ ア ン とい うべ 核 の フ ー リエ ス ペ ク ト

  フ ェ ガ ン は こ の 公 式 を コ ス タ ン トに よ る マ ク ド ナ ル ド[Mac72]の [Kos76]を

導 く た め に 用 い た.与

共 役 類 と し,Cg(x)を(こ 導 さ れ たgの

え ら れ た 元x〓Gに

恒等 式

対 し て,c(x)をxの

れ も ま た 共 役 類 と 呼 ぶ こ と に す る が)共 役 類 か ら誘

自 己 同 型 と す る.フ

ェ ガ ン は あ る 特 別 な 元a〓G(そ

の定義 を

復 習 す るの に は少 々 手 間 の か か る もの で あ る が)に 対 して,aに る あ る境 界 条件,お

依 存 して 決 ま

よび 複 素 化 され た時 間変 数 を もつ 熱 核 が,次

の乗積分解

を もつ こ とを 証 明 した.

こ れ に つ い て は[Feg78a],[Feg78b]を 核 と す る と き,次

見 ら れ た い.さ

ら に,KをG上

の熱

が 成 立 す る.

た だ し,〓(〓)はす で に述 べ た デ デ キ ン トの エ ー タ関数 で あ る.フ ェガ ンは フ ー リエ 変 換 や ポ ア ソ ンの 和 公 式 を用 い て これ らを 証 明 した と言 う.事 実,フ

ェ

ガ ンの 証 明 は,ま ず 半 単 純 リー群 上 の 指 標 理 論 か ら くる よ う な特 殊 な 格 子 を もつユ ー ク リ ッ ド空 間 上 の 熱 核 の ス ペ ク トル分 解 を与 え る こ と に等 しい.議 論 の 仕 方 は,上 で 指 摘 した よ うな 円 や 実 トー ラ ス に対 す る もの と同 じで あ る.   テ ー タ反 転 公 式 が モ ジ ュ ラ ー 関 数 の 理 論 の 中 の モ ジ ュ ラ ー 関 係 式(関 数 が 1/〓 の 下 で ど う変 わ るか)と 同 じ に見 え る こ と,そ の 公 式 の 中 で の モ ジ ュ ラ ー形 式〓

して マ ク ドナ ル 〓− ド

の 出現 は,こ の 類 似 が 決 して偶 発 的 で な

い こ とを示 す もの で あ る こ と に注 意 され た い.し

た が っ て,熱 核 の ス ペ ク ト

ル 分 解 の公 式 は モ ジ ュ ラ ー 関 係 式 で あ り,そ の 意 味 で モ ジ ュ ラー 関数 の 理 論 に通 ず る もの で あ る.   コ ンパ ク トリ ー群 に付 随 す る リー環 の 理論 は,こ れ まで に,そ れ が 無 限次 元 版 の 類 似 を もつ こ とが 示 され て きて い る.そ 的 に始 ま り,そ の後,挙

れ は マ ク ドナ ル ドに よ っ て 衝 撃

げ れ ば き りが ない が,フ

レ ンケ ル,ガ ー ラ ン ド,カ ッ

ツ,グ レエ ム ・シ ー ガ ル と い っ た人 々 が そ の 主題 を発 展 させ て き た.そ こで 発 見 され た恒 等 式 の 多 くは,ヘ ル マ ン ・ワ イル の 指 標 公 式 や ハ リ シ ュ‐チ ャ ン ド ラ,カ

ッツ,キ

リ ロ フ を含 む 人 々 に よっ て 次 々 に発 見 され て きた 他 の指 標 公

式 の 中 に もそ の 源 を有 す る もの で あ る,そ

して そ れ以 後,そ

れ らの 公 式 を無

限次 元(の リー 環)へ 拡 張 す る こ とに努 力 が 払 わ れ た の で あ る.熱 核 が 至 る と こ ろ に あ る とい う こ と を明 らか にす る と い う観 点 か ら は,多 に ま とめ て い る フ レ ン ケ ル の論 文[Fre84]を

す す め た い.gCを

くの こ と を1つ 有 限次 元 複 素

単 純 リ ー環 とす る.こ の と き,gCと

ロ ー ラ ン級 数 環C[z,z−1]と

のテ ンソル

積 を と り,そ の の ち あ る2次 元 ベ ク トル 空 間 を直 和 し,そ こ に適 当 な リー 環 の構 造 を入 れ る こ とに よ って 無 限 次 元 リー 環gCを が っ て,gCは(2次 あ り,時 に は,gCの

元 部 分 を別 にす る と)gCを あ る種 形 式 的 に変 形 した もの で 量 子 化 と呼 ばれ る もの で あ る.フ

さ ま ざ まな 指 標 公 式 を ア フ ァ イ ン リー 環gCの 無 限 次 元 の 場 合 に展 開 した の で あ る.ウ 用 い て,彼

つ くる こ とが で きる.し た

レ ンケ ル は上 で 触 れ た

場 合 へ 拡 張 し,キ リ ロ フ理 論 を

ィ ナ ー測 度(ブ ラ ウ ン運 動)の 理 論 を

は 熱 核 展 開 を導 く無 限 次 元 積 分 を計 算 し,カ ッ ツ に よ っ て以 前 か

ら得 られ て い た 指 標 公 式 を導 い た.フ

レ ンケ ル は,「ポ ア ソ ンの 和 公 式 を用 い

て カ ッ ツの 指 標 公 式 の分 子 と熱 核 との 関係 を示 した.」 と記 して い る.そ こ で 彼 は,「こ の 関係 を う ま く応 用 す る こ とに よ り,コ ス タ ン トの 述 べ た形 で の マ ク ドナ ル ド恒 等 式 の 証 明 も得 た」 の で あ る.彼 が 論 文 の最 後 の 節 で,「こ の論 文 で の ア フ ァ イ ン リー 環 に対 す る キ リ ロ フ指 標 公 式 へ の ア プ ロー チ は,ガ

ウ

ス 過 程 や ウ イナ ー 測 度 の 理論 が 充 分 に発 達 して い た か らこ そ,そ れ を基 に し てで きた の だ.」 と指 摘 して い る こ と も忘 れ て は な ら な い.ウ

イナ ー測 度 は経

路 の 空 間(実 際 にそ れ は無 限次 元 で あ る)上 の 測 度 で あ り,熱 核 はそ れ を 定義 す る 際 に主 要 な 役 割 を演 じて い る.フ

レ ン ケ ル は ま た,熱 核 が 中 心 的 な役 割

を演 じる で あ ろ う と期 待 され る フ ァ イ ンマ ン積 分 との,あ

り得 るべ き究 極 的

な関 係 につ い て も指 摘 して い る.変 形 され た ア フ ァ イ ン リー 環 へ の フ レ ンケ ル の 結 果 の 拡 張 に関 して は,ウ

ェ ン ド[Wen99]が

参 考 に な る.

交叉理論

  こ の話 題 は別 の 長 い 物 語 の 始 ま りで あ る.   代 数 幾 何 の 代 数 的 側 面 は,非 特 異代 数 多 様 体 上 の余 次 元 に あ る2つ の サ イ クル の 交 叉 に対 す る 定 義 を提 供 す る.ア ラ ケ ロ フ は,ま ず 代 数 曲線 を手 始 め に,実 数 体 ま た は複 素 数体 上 で,ア ル キ メ デ ス 素 点 の よ うに"無 限 遠 点"で 同 様 の こ と をす る とい う ア イデ ィア に至 った[Ara74].こ 及 ん で 非 常 に大 き く育 っ て い き,ブ は,複 素 ケ ー ラ ー 多 様 体 上 で,高

ロ ッ ク[Blo84]や

の 芽 は そ の 後30年

に

ベ イ リ ン ソ ン[Bei85]

次 元 サ イ ク ル の"ア ル キ メデ ス的 高 さ の組

み"を

定 義 し た.ジ

レ と ス ー レ[Gis9o]は

そ れ は ボ ス トの 補 足[Bos90]に 義 を 思 い 出 そ う.Aを

よ っ て 一 人 前 の も の と な っ た.さ

コ ン パ ク ト複 素 ケ ー ラ ー 多 様 体X内

p次 元 サ イ ク ル と す る.[GiS90]の 2(n−p−1)次

交 叉 理 論 を 充 分 に 発 達 さ せ た が, て,そ

の定

の複 素解析 的 な

中 で 示 さ れ た よ う に,X−supp(A)上

の(一 意 的 で は な い が)実 微 分 形 式〓Aで,以

の

下 の 条 件 を満 た

す よ う な も の が 存 在 す る こ と が 知 ら れ て い る.   (ⅰ)〓 て,積

で あ る よ う なX上

の す べ て の 微 分 形 式〓

に対 し

分

が 絶 対 収 束 す る(こ れ はL1で   (ⅱ)〓AをA上

あ る 条 件).

の 積 分 に よ って 定 義 さ れ る2p次

Aを〓A=PH(〓A)な

微 分 形 式 上 の 汎 関 数 と し,

る調 和 形式 とす る.こ の と き,微 分 形 式 の 空 間 上 の〓 汎

関 数 と して次 が 成 り立 つ.

い ま,、Bをqサ

イ ク ル と す る.た

だ し,p＋q=n−1で

あ る,こ

の と き,ま

つ わ り数 は 次 で 定 義 さ れ る.

  ブ ル ー ノ ・ハ リス[Har92]は,2つ

の サ イ ク ル の 間 の この ペ ア リ ン グが 熱

核 を用 い て どの よ うに 再 構 成 で き るか を示 した.そ の 定 義 は彼 の 論 文 の 序 文 の 中で 手 短 に,か つ 明確 に ま とめ られ,そ て い る.そ   Xを

れ が ど ん な具 合 に 進 む の か を示 し

こで,出 発 点 と して そ れ を再 現 し よ う.

偶 数 次 元nの

コ ンパ ク ト多様 体 とす る(偶 数 と した の は,マ

号 を避 け,議 論 を簡単 に す る た め で あ る).X×X上

イ ナ ス符

のn次 微 分 形 式Kt(x,y)

と して の 熱 核 の 表 示 を用 い よ う.こ の 装 い にお い て,{〓}を

微 分形 式の 空

間 に作 用 す る正 値 ラ プ ラ シ ア ン に対 す る 固 有 微 分 形 式 か らな る次 の エ ル ミー ト積

に関 す る正 規 直 交 基 底 とす る と き,Ktは

と表 さ れ る.も

ち ろ ん,〓

は〓

の ラ プ ラ シ ア ンの 固 有 値 で あ る.上

数 を熱 核 の フ ー リエ 展 開 と呼 ぶ.〓=0に H(x,y)と

対 す る 項 の 和 は 調 和 核 と呼 ば れ,

表 さ れ る.そ れ は 調和 形 式 の空 間へ の射 影(積 分 作 用 素 の意 味 で の)

に対 す る核 で あ る.こ の 射 影 をPHと   Kt(x,y)とH(x,y)は (n−1)次

の級

表 そ う.

と も にX×X上

形 式(す べ て の微 分 形 式 はC〓

を 満 た す も の が 存 在 す る.A,Bは 次 元p,qがp＋q=n−1を

の 閉n次

で 与 え られ る.こ

の

で あ る)Lt(xy)で,

台 を共 有 し な い 複 素 サ イ ク ル で,そ

満 た す も の と す る.こ

つ わ り 数 の 定 義 は,公

形 式 で あ る.X×X上

の と き,ハ

の複素

リス に よる ま

式

こ で,PHはX×X上

の 積 計 量 に 関 す る 調 和 射 影 で あ る.

ハ リス は ,彼 の ア プ ロ ー チ を用 い る こ とで 交 叉 数 の性 質 をい か に易 し く導 く こ とが で きる か,し

か も そ れ が,ペ

ア リ ン グ を計 算 す る の に も適 した もの で

あ る こ と を示 して い る.   さ らに 彼 は,リ ー マ ン面 上 の 一例 が どの よ う に して,た あ る よ う なB.グ

とえ ば[GrK92]に

ロ ス の 研 究 の 中 の算 術 的 な 応 用 か ら刺 激 さ れ た か を述 べ て

い る.   ビ ン ・ワ ンは,こ の ハ リス[WaH93]と

の 研 究 に 始 ま る ア プ ロ ーチ を,代 数

幾 何 の 方 面 で の 応 用 を提 供 す る た め に推 し進 め た[Wan98],[Wan99].こ

の

研 究 にお け る代 数 幾 何 の核 心 部 分 と熱 核 に 由 来 す る 解 析 の両 方 を含 む方 法 の 組 み 合 わ せ は,非 常 に 強 力 で あ る こ とが 判 って きて い る.ま ず,ワ ウ 多様 体 の 点 か ら交 叉 数 を表 示 す るマ ズ ー ル に よ る予 想,お

ンは チ ョ

よび 上 で 述 べ た

高 さの ペ ア リ ン グ が得 られ る よ うな この 多 様 体 上 の 因子 を見 出 す 可 能 性 を証 明 した.よ

り正 確 に は,射 影 空 間 の 中 で,チ

ョ ウ多様 体 は〓p(X)や〓q(X)

と い っ た よ う に与 え られ た次 数 の サ イ クル の極 大代 数 族 をパ ラ メ ー タ付 け し

て い る.そ

こ で ワ ン は,〓p(X)×q〓(X)上

の 計 量 を も つ 直 線 束 と 断 面sで,

を満 たす もの が 実 際 に存 在 す る こ と を証 明 した の で あ る.

ア ラ ケ ロ フ 理 論 と リ ー マ ン ‐ロ ッ ホ

  曲線 上 の もと もと の リー マ ン‐ロ ッホ定 理 や そ の 後 の 曲面 や 高 次 元 多 様 体 へ の拡 張 は,あ

らか じめ 指 定 され た 集 合 上 に与 え られ た 重 複 度 以 下 の 極 を もつ,

代 数 多 様 体 上 の 有 理 関数 が なす ベ ク トル 空 間 の次 元 を与 え る公 式 で あ る.単 純 で 厳 密 な公 式 を得 る際 の 障 害 は,標 準 ク ラ ス を もつ あ る種 の 双 対 性 か ら来 る もの で あ り,同 時 に ま た,す で に そ れ は あ ま り に も多 くの事 柄 を含 ん で い る.し

たが って,こ

れ以 上 技 術 的 な 話 をす る の は 差 し控 え よ う.

  この と き,さ ま ざ まな 定 理 は,こ の よ うな リー マ ン‐ロ ッホ公 式 や代 数 幾 何 の 枠 組 み で の 交 叉 理 論 を 用 い る こ とで,純 粋 に代 数 的 に証 明 され た.整 数 論 的 文 脈 で も類似 の 結 果 が 予 想 さ れ た.中

で も最 も有 名 な,有 理 数 体 上 の 種 数

が2以 上 の 曲線 の 有 理 点 は高 々有 限 個 であ る,と い うモ ー デ ル予 想 は1921年 まで さ か の ぼ る.も っ と精 密 な取 り扱 い が な され る よ うに な るず っ と以 前 の こ とで あ る.パ

ル シ ンの 重 要 な論 文[Par68]は,幾

何 の場 合 にお い て,さ

ま

ざ ま な不 定 方 程 式 に 関 す る デ ィオ フ ァ ン トス 予 想 と 関連 して い る.す で に述 べ た ア ラ ケ ロ フの 論 文[Ara74]は,幾

何 学 の 理 論 を 整 数 論 的 な枠 組 み の 中 で

ど う展 開 す べ きか とい う点 で独 創 的 な ア イ デ ィア を提 供 した.そ ア と は,含

のア イデ ィ

まれ るす べ て の 直 線 束 に計 量 を入 れ,微 分 幾何 や 解 析 を 含 む こ の

新 しい 文 脈 の 中 で 幾 何 的 な結 果 を定 式 化 す る と い う こ とで あ る(無 限 遠 点 に お け る数 論).フ

ァル テ ィ ン グス が[Fal92」 の 序 文 で述 べ て い る よ う に,「主 な

ア イ デ ィア は,計 量 を 用 い て有 限 素 点 の代 数 的 な性 質 を定 式 化 した 上 で,無 限 遠 点 で の 類 似 を見 つ け よ う とす る試 み で あ る.手 短 に 言 え ば,す べ て の も の に計 量 を賦 与 すべ きで あ る と い う こ とで あ る.1982年 進 歩 が あ っ た.私(フ

ァル テ ィ ング ス)は,算

ロ ッホ の 定 理 が 成 り立 ち,そ れ を使 え ば,た

前 後 に,い

く らか の

術 的 な 曲面 に対 して は リー マ ン‐ と え ば,ホ

ッジ の指 数 定 理 や 標

準 コ ホ モ ロ ジ ー 類 の 平 方〓2の

正 値 性 の よ う な,複

素 曲面 が もつ 性 質 の さ ま

ざ ま な 類 似 物 が 得 ら れ る こ と を 示 し た.」 こ れ ら の ア イ デ ィ ア は,1983年

に

フ ァ ル テ ィ ン グ ス が モ ー デ ル 予 想 を証 明 す る 際 に そ の 力 を発 揮 し た の で あ る.   十 分 に 強 力 な リ ー マ ンーロ ッホ 型 の 定 理 が 与 え ら れ,何 の 高 さ の 上 限 を 得 る こ と は,計 も重 要 な 点 の 一 部 で あ る.も

とか 代 数 方 程 式 の解

量 を 用 い て は じめ て で き る こ と だ と い う こ と ち ろ ん,"十

分 強 力 な"と

い う 意 味 は,個

々 の具

体 的 な 問 題 に 対 処 す る な か で 決 ま る こ と で あ る.   ジ レ と ス ー レ は 第1チ

ャ ー ン類 に 関 して 高 次 元 で の 算 術 的 リ ー マ ン‐ロ ッ ホ

定 理 を 発 展 さ せ た[GiS89],[GiS92].問

題 と な る 解 析 へ の 主 要 な 貢 献 は,ビ

ス ミ ュ ー の 研 究[BiL89],[BiV89],[BGSgo]か

ら生 じた も の で あ る.こ

で 我 々 が 考 慮 し な く て は な ら な い 重 要 な 点 は,ビ 論 の 言 葉 と し て 導 入 さ れ た こ と で あ る.フ 中 で こ う 書 い て い る.「 こ の 方 法 は,確

こ

ス ミュー に よっ て熱 核 が 確 率

ァル テ ィ ン グ ス は 上 記 の 引 用 文 の

率 積 分 を 用 い て い る の で,な

い 人 に と っ て 理 解 は 容 易 で な い .」 講 義 録[Fal92]の

中 で,フ

は 確 率 論 の 言 葉 を 用 い ず に 直 接 熱 核 を 扱 う こ と に よ り,聴 の ア イ デ ィ ア の 理 解 が 容 易 に な る よ う に し,す

じみ の な

ァル テ ィ ン グス

講 者 に 対 し広 くそ

べ て の チ ャ ー ン類 を 含 む 高 次

元 算 術 的 リ ー マ ン ーロ ッ ホ 定 理 の 定 式 化 と 証 明 の 輪 郭 を 与 え た.と

も か く,熱

核 は 算 術 的 リ ー マ ンーロ ッ ホ 定 理 に お い て は 中 心 的 な 力 と し て 現 れ る の で あ る.   ジ ョ ル ゲ ン ソ ン ‐ク ラ マ ー[JoKOO]に 理 論 は,た

よ っ て 示 さ れ た よ う に,ア

と え ば セ ル バ ー グ ゼ ー タ 関 数 の よ う な,さ

特 殊 値 の 理 論 と も 関 連 し て い る.よ

ラケ ロフ

ま ざ ま な ゼ ー タ関 数 の

り 正 確 に 述 べ る た め に,Xを

有限個 の

固 定 点 を も つ よ う な 離 散 部 分 群 に よ る 上 半 平 面 の 商 空 間 と し て 与 え ら れ る, 有 限 個 の カ ス プ を も つ リ ー マ ン 面 と す る.Zを CXを

対 数 微 分Z'/Zのs=1に

セ ル バ ー グ ゼ ー タ 関 数 と し,

お け る 定 数 項 と す る.こ

の と き, CXは,

の 小 さ い 固 有 値 と 短 い 測 地 線 で 記 述 さ れ る よ う な 上 限 を も つ.離 (N)(Nは

平 方 因 子 を も た な い)の

う 主 な 道 具 は,双 の 上 限O(N7/8＋〓)に

と き,上

限 はO(N〓)で

曲 的 熱 核 の ト レ ー ス で あ る.〓(N)の つ い て は,ア

交 叉 次 数 の 研 究 の 副 産 物 と し て,ミ に 得 ら れ て い た も の で あ る.

X

散 部分群が

あ る.証

明 に〓 使

場 合 の よ り弱 い 形 で

ラ ケ ロ フの 正 準 層 の 高 さ の低 い 点 と 自己 ッ シ ェ ル と ウ ル モ[MiU98]に

よ って 以 前

ア テ ィ ヤ ‐パ

  60年 り,ラ

ト ー デ ィ ‐シ ン ガ ー の 指 数 定 理

代 と70年

代 に は,一

般 の 楕 円 型 作 用 素 や フ レ ドホ ル ム 作 用 素 に 始 ま

プ ラ ス 作 用 素 や デ ィ ラ ッ ク作 用 素 の よ う な よ り特 殊 な も の に 連 な る,ベ

ク トル 東 上 の さ ま ざ ま な 作 用 素 の 指 数 に 関 す る 一 連 の 定 理 が 発 見 さ れ た.こ こ で は 次 の3つ

の 基 本 的 な 文 献 を 引 用 し よ う.ア

テ ィ ヤ ーシ ン ガ ー[AtS63]

ア テ ィヤ ‐ パ トー デ ィ‐シ ン ガ ー[APS73],[APS75]で

あ る.こ

,

こ で重 要 な点

は,「 一 般 の 楕 円 型 作 用 素 に 対 す る 指 数 に 関 す る ア テ ィ ヤ ーシ ン ガ ー の 基 本 的 な 研 究 の 後,そ

の 熱 核 に 基 づ く方 法 は,パ

ア テ ィ ヤ ‐ボ ッ ト‐パ トー デ ィ[ABP73]に

トー デ ィ[Pat71],ギ よ っ て,デ

ル キ ー[Gil73],

ィ ラ ック作 用 素 の 特 別 な

場 合 の ア テ ィ ヤ ‐シ ン ガ ー の 指 数 定 理 の 証 明 に 応 用 さ れ た 」([BGV92]の か ら の 引 用)と い.熱

い う 事 実 で あ る.ビ

方 程 式 の 方 法 は,幸

ス ミ ュ ー の 証 明[Bis85]も

運 に も ギ ル キ ー 自 身[Gil73/95]と

ル リ ー ニ ‐ゲ ッ ツ ラ ー ‐ヴ ェ ル ニ ュ[BGV  さ れ 解 説 さ れ て い る.デ

92]に

序文

参 考 に され た ,も

う1冊

はベ

よ っ て と て も わ か り や す く整 備

ュ ス タ マ ー ト[Dui96]も

参 照 さ れ た い.ギ

彼 の 序 文 の 中 で 述 べ て い る よ う に,「 こ の 書 物 で は,ア 定 理 を 熱 方 程 式 の 方 法 を 用 い て 取 り扱 っ て い る.熱

ルキーが

テ イ ヤ ‐シ ン ガ ー の 指 数 方 程 式 は どん な楕 円 型 複

体 の 指 数 に つ い て も局 所 的 な 公 式 を 与 え る も の で あ る.」 こ の よ う に して,熱 核 が 以 前 に 議 論 し た 代 数 幾 何 と は 異 な り,ト

ポ ロ ジ ー や 解 析,そ

して 微 分 幾

何 的 側 面 を 強 調 す る 方 向 で 支 配 的 な 役 割 を 演 じ て い る こ と が わ か る.ま の こ と は,[BGV92]の の 観 点 か ら は,デ

た こ

序 文 の 中 で も 次 の よ う に 簡 潔 に 述 べ ら れ て い る.「 こ ィ ラ ッ ク 作 用 素 に 対 す る 指 数 定 理 と は,デ

の 平 方 の 熱 核 と,付

ィラ ッ ク作 用 素

随 す る熱 核 の チ ャ ー ン指 標 の 間 の 関係 につ い て の 命 題 で

あ る と い え る.」   ご く最 近,リ

ィ ウ は リ ー マ ン 面 や コ ンパ ク ト リ ー 群,そ

して指 数 定 理 に お

け る さ ま ざ ま な 視 座 を ま と め た 議 論 を 重 ね た[Liu96],[Liu97],[Liu99].最 初 の2つ

の 論 文 は,コ

ンパ ク トリー 群 上 の 熱 核 を用 い て の リー マ ン面 上 の 平

坦 束 の モ ジ ュ ラ イ 空 間 の トポ ロ ジ ー の 研 究 で あ る.彼

は,自

分 の方 法 が ア テ ィ

ヤ ‐ボ ッ トの 不 動 点 公 式 や ア テ ィヤ ‐シ ン ガ ー の 指 数 定 理 の 熱 核 に よ る 証 明 と き わ め て よ く似 て い る と指 摘 し て い る.3つ

目 の 論 文 で は,よ

り 一 般 的 に,「 こ

こ で の 興 味 は,熱 核 の 方 法 を使 う こ とで,幾 何 学 や トポ ロ ジ ー,そ

して 有 限

群 論 に お け る 一 見 関係 の な さそ う ない くつ か の 問 題 で さえ 統 一 的 に 扱 え る と い う こ と で あ る」 と述 べ て い る.

熱 核 と ク ラ イ ン群 第1部

  ビ シ ョップ ‐ジ ェ ー ム ス の論 文[BiJ97]か

ら始 め よ う.以 下 は,ピ ー タ ー ・

ジ ョー ンズ に よ る 説 明 で あ る.基 本 的 な 問 題 は,極 限 集 合 の(ハ ウス ドル フ) 次 元 が2と

な る よ う なSL2(C)の

離 散 部 分 群 で あ る クラ イ ン群 の 分 類 で あ る.

極 限 集 合 が 何 を意 味 す る の か を定 義 しよ う.リ ー マ ン球 面S2が 下 でCU{〓}と

立体射影 の

解 析 的 に 同 型 で あ る こ とを 思 い 出 そ う.S2が,R3の

の境 界 で あ る こ と に注 意 され た い.こ の 球 上 で は ポ ア ン カ レ計 量,す 球 上 の 点xで

の 計 量 が ユ ー ク リ ッ ド計 量 の1/(1‐￨x￨2)倍

を用 い る.GL2(C)のB3へ

な わ ち,

で あ る よ うな計 量

のユ ニ タ リ(計 量 を保 存 す る)作 用 で,そ

S2へ の 制 限 が 上 の 同 型 写 像 の 下 でCU{〓}上

球B3

の境 界

の 通 常 の 作 用 で あ る もの が 一

意 的 に存 在 す る.   原 点OBを

球 の 中心 に と る.〓

を有 限生 成 ク ラ イ ン群 とす る.こ の と き極

限 集 合 を 次 で 定 義 す る. の 閉 包.

  Mを

商 多様 体〓 ＼B3と

す る.こ の と き,Mは

有 限 個 の"エ ン ド"(無限 遠

に向 か う断 片)を もつ(ア ル フ ォー ス の有 限性).Mの つ か の エ ン ドの 和 集 合 で あ り,Mの され る.す Vol(〓M)=〓

凸 な 芯〓Mは,い

く

込 み 入 っ た構 造 を もつ 部 分 で あ る と見 な

な わ ち〓 の ハ ウス ドル フ次 元 が2で

あ るため の必 要十分条 件 は

で あ る,と い う定 理 で あ る.そ の証 明 の 中 心 的 要 素 は,以 下

の よ うな 役 割 を担 うM上

の熱 核 で あ る.ま ず 注 意 す る こ と は,体 積 が 無 限

大 なの で 定 数 関 数 はL2で

な い とい う こ とで あ る.〓0を(正

ンのL2‐ ス ペ ク トル の 下 限 とす る.興 味 が あ る の は,〓 あ る場 合 で あ る.こ

の場 合 に は,M上

定 値)ラ プ ラ シ ア

＞0と

なる可能性が

の 熱 核K(t,x,y)は,各x,y〓Mに

つ い て,漸

近 的 に次 の よ う な振 る 舞 い をす る. に対 して

こ の場 合 の 熱 核 は,各y〓Mとt＞0に

対 して 好都 合 な振 る舞 い 方 を し,

実 際 次 の よ うな 極 限 値 が 存 在 す る. につ れ て   あ る技 術 的 な 条件(単 射 半 径 の 下 か らの 評 価)の 下 で,こ る こ との 系 と して,〓 文[BiJ97]に

の極 限値 が 存 在 す

の ルベ ー グ測 度 が 正 で あ る こ とが わ か る.こ れ は,論

お け る本 質 的 な 進 歩 で あ り,そ の鍵 と な っ て い る の は熱 核 の 評

価 で あ る.   幾 何 学 的 に 無 限 で あ る よ う なMに

対 して は,そ

もそ も〓

う な場 合 が 存 在 す る の か とい う基 本 的 な疑 問 が 起 こ る.も

＞0で

ある よ

しそ う だ と した ら,

これ は ア ル フ ォ ース の 基 本 予 想 に 矛 盾 す る の で,ま す ます 興 味 を そ そ られ る.   [BiJ97]で

の考 察 に 加 え て,ク

ラ イ ン群 に 関 す るす べ て の問 題 やM上

の熱

核 の 振 る 舞 い に 関 す る あ らゆ る 問 題 は,以 前 に議 論 した変 分公 式 と ク ラ イ ン 群 に対 す るモ ジ ュ ライ空 間 の枠 組 み の 中 に位 置 づ け られ るべ きで あ ろ う． この よ う に して,熱 核 に よ っ て,[BiJ97]で

見 た よ う に極 限値 が ゼ ロ(積 分 に 対 し

て,通 常 グ リー ン関数 と呼 ば れ る)で あ る こ とに よる 振 る舞 い の 正 規 性 と,変 分 公 式 が 示 して い る よ う な境 界 へ 向 か う と き の退 化 の 振 る舞 い とが,と

もに

検 出 さ れ る で あ ろ う.た だ し,こ の こ とは まだ きち ん とは研 究 され て い な い.

第2部

  こ の 第2部

で は,双

分 群〓「で,Vol(〓

曲 的3次

＼h3)=〓

元 空 間h3上

に作 用 す るPSL2(C)の

離散 部

で あ る よ うな もの につ い て考 え る.た だ し第1

部 とは 逆 に〓 ＼h3は 幾 何 学 的 に 有 限 な場 合 を考 え る.言 い 換 え る と,〓 に は 有 限 個 の 側 面 で 囲 まれ た 基 本 領 域 が 存 在 す る こ と を仮 定 す る.も れ ぞ れ の 面 の ひ ろが りは 無 限 で あ って も よい.d(x,y)を 距 離 とす る.い

ま,[Pats76],[Pats87],[Sul79],[Sul87]で

な パ タ ー ソ ン‐サ リ ヴ ァ ン級 数 に つ い て考 え る.

ち ろ ん,そ

点x,y〓h3の

間の

扱 わ れ た次 の よ う

パ ター ソ ン‐ サ リ ヴ ァ ン は こ の 級 数 がRe(w)＞〓 る.た

だ し,〓 は〓

＼h3上

の(正 値)ラ

で 収 束 す る こ と を 示 して い

プ ラ シ ア ン のL2ス

ペ ク トル の 下 限〓

に 対 し て 次 を 満 た す 値 で あ る.

マ ク ミ ュ ラ ン[McM97]と が〓

カ ナ リ ー‐テ ー ラ ー[CaT99]は,適

の 変 動 に 関 し て 連 続 的 で あ る こ と を 示 し た.こ

当 な 意 味 で,〓

の こ とや他 の 関 連 す る事

柄 を モ ジ ュ ラ イ 空 間 の 枠 組 の 中 に 取 り込 む こ と は い ま だ に で き て い な い.   こ こ で,x,y〓

＼h3に

対 す る 熱 核,す

なわ ち周 期 化 さ れ た 熱 核

に つ い て 考 え よ う.〓 ＼h3上 の ラ プ ラ シ ア ンの 固 有 値〓 を 数 え た い.フ ル ゲ ン ソ ン[FanJ99]で

は,0＜T＜1に

た だ し,積 分 にお い てcはc＞0で のTを

対 し て,次

ァ ン ‐ジ ョ

の 関 係 が 示 さ れ て い る.

あ る とす る(逆 メ リ ン変 換).十 分大 きな 正

考 え る場 合 に は,ア イゼ ン シュ タ イ ン級 数 を もつ 項 を導 入 しな けれ ば な

らな い の で,情 況 は よ り複 雑 に な る.そ の 場 合 に は,[JoL93]や[JoL94a]で の 一 般 的 な 枠 組 が 適 用 で き,特 に ガ ウ ス変 換 を用 い る こ とで 次 式 が 得 られ る.

で あ る と き, 

を 満 た す よ う な 定 数C1,C2＞0が 活 用 さ れ る.[FanJ99]で

は,前

に 対 し て,

存 在 す る.[JoL94a]で 記 の〓 だ け で は な く,ス

の数 え 上 げ理 論 も ペ ク トル 不 変 量 も 連

続 的 に 振 る舞 う こ と を証 明 して い る ．   サ リ ヴ ァ ン‐パ ター ソ ン級 数 の 有 理 型 関 数 と して の解 析 接 続 の 問題 や,ガ ス 変 換 か ら得 られ た上 の級 数 に関 す る 疑 問 も起 こ っ て くる.ア イ ン級 数 は,こ

こで は マ ン ドヴ ァ ロス の 結 果[Man98]が

ウ

イゼ ンシ ュ タ

使 え る よ うな形 で登

場 して くる.

完 全 非 連 結 あ る い は離 散 空 間 に お け る熱 核

  これ まで 触 れ て きた 熱 核 の 現 れ は,無 で の こ とで あ っ た.こ

限 遠 点 す な わ ち実 数 ま た は 複 素 数 上

こで は簡 単 に完 全 非 連 結 空 間 と離 散 空 間 で の 出現 につ

い て 触 れ て お こ う.   まず 第1に,p進

体 の 場 合 が あ る.こ れ につ い て は,す で に シ ャ イ ・ハ ラ

ンに よっ て 定 式 化 され たい くつ か の ア イ デ ィ アが あ る(参 考 文 献 を参 照 され た い).こ れ らや他 の い くつ か の 考 察 か ら,(完 備 な局 所 環 上 の)純 粋 な幾 何 の 場 合 で さ え も,代 数 幾 何 の代 数 的 交 叉 数 を定 義 す る た め の熱 核 の 定 式 化 と類 似 の 定 式 化 が,無

限 遠 点 にお い て ブ ル ー ノ ・ハ リス に よ り提 案 され た の と まっ

た くパ ラ レ ル な 方 法 で 存 在 して しか るべ きで あ る.   [Ha90],[Ha91]の と を越 え て,ど

な か で の シ ャ イ ・ハ ラ ンの ア イ デ ィ アが,上 で 述 べ た こ

こ に,そ

して どの くら い まで 行 きつ くの か は まだ 明 らか で は

な い.   第2に,グ

ラ フ と い う離 散 の 場 合 が あ る.著 者 の 一 人 が 熱 核 が 遍 在 す る と

い う こ と に 関 す る 講 演 を談 話 会 で 行 っ た後 ,ヴ ォ ル カ ー ・プ リー ブ は フ ァ ン ・ R.K.チ

ュ ンに よ る スペ ク トル 的 グ ラ フ理 論[Chu97]と

え て くれ た.こ の 本 の 第10章

い う書 物 に つ い て教

は すべ て熱 核 に割 か れ て い て,し か もそ の 章 は

次 の よ う に始 ま る ．「グ ラ フに 関 す るす べ て の 情 報 は,も

ち ろ ん対 応 す る熱 核

に含 まれ て い る.熱 核 を用 い る際 の力 の主 な源 泉 と な る もの の1つ は,追 加 さ れ た 変 数tの 存 在 で あ る.た と え ば,tが で き た りす る の で あ る....グ

あ る こ とで,極 大 原 理 が 柔 軟 に適 用

ラ フ に関 す る熱 核 は,リ ー マ ン多 様 体 の と きの

熱 核 と ま っ た く同 じよ う に 定 義 され る こ と に注 意 して お こ う」[YauS88/94].   第3に,有

限 群 には,い ろ い ろ な点 で リー群 の場 合 と類 似 の理 論 を もつ だ ろ

う との 理 解 が あ る.し か し,こ の 理 解 は必 ず し も完 全 に正 しい もの で は ない. た とえ ば ロ ジ ャー ・ハ ウ は,か つ て[How88]の

あ る一 部 に み られ る よ うな事

柄 に つ い て の 有 限 群 で 類 似 の こ と を行 った論 文 を書 い た こ とが あ る[How76]. しか し彼 は この論 文 を出版 しなか った.こ れ を改 め て見 直 す こ とに よっ て,ど うい う範 囲 で 有 限 群 に対 し熱 核 が 形 式 化 で き るか,ま

た この 離 散 的 な場 合 に

ミュ ラー ‐リ ッチ の 結 果 の 類 似 が 存 在 す るか ど う か を調 べ る こ と は,価 値 の あ る こ と で あ ろ う.

さいごに

  次 の 数 十 年 に わ た って,互

い に独 立 で ない,少

な くと も2種 類 の 発 展 が 予

感 さ れ る状 況 に あ る.   − 特 有 の 専 門用 語 を で き る だ け排 した系 統 立 っ た 説 明 に よ り,同 時 に い ろ い ろ な 場 面 で 起 こ る す べ て の 現 れ に共 通 す る多 くの 基 本 的 で 重 要 な 熱 核 の 一 般 的 な 性 質 が 引 き出 さ れ る に ちが い な い.い て 普 遍 的 で 基 礎 的 で あ る線 形 代 数 とい え ど も,よ な った の は こ こ20∼30年

まや数学 におい

く整 備 され た もの に

の こ とで あ る.そ れ と同 じ よ うに,多 少 高 い

レ ベ ル で は あ るが,特 別 な 用 途 とは ま っ た く独 立 な 熱 核 を 中 心 と した 一 般 的 で 基 本 的 な分 野 が 現 れ る だ ろ う.し たが って,熱 核 に関 す る この よ うな 事 柄 の 理 解 が 容 易 に な る よ う に系 統 立 て て書 か れ た 書 物 が 早 晩 書 か れ て しか るべ きで あ り,我 々 は それ を望 んで い る.   − 熱 核 が 基 本 的 な道 具 を提 供 す る よ う な,つ 向 へ 深 く推 し進 め,ま

ま り物 事 を1つ の 明確 な方

た,一 見 した だ け で は異 な る 数 学 の 領 域 の 間 に

新 た な 関 係 を 確 立 す る こ と もで き る よ うな,よ

り大 き く優 れ た 定 理 が

証 明 さ れ る で あ ろ う.そ うす れ ば,こ う して 熱 核 を通 した統 一 的 理 解 が 自然 に 得 ら れ る は ず で あ る.

  最 後 に こ の論 文 の 意 図 につ い て 触 れ て お こ う.我 々 は何 を こ こ で扱 うべ き か,ま

た,こ れ まで 熱 核 につ い て 書 か れ た ほ と ん ど の論 文 で 言 及 され て い な

い こ とか ら来 る必 要 性 な ど に鑑 み て,題 材 の選 択 を 限定 的 に行 っ た.し た が っ

て,熱

核 に 関 連 す る 論 文 や 書 物 で あ っ て も こ こ で は 触 れ な か っ た も の も あ る.

た だ し,だ

か ら と い っ て そ れ らが本 稿 で 述 べ られ て い る こ と に比 べ て 重 要 で

な い と 解 釈 し な い で い た だ き た い.

チ ャ ー ル ズ

・シ ュ ワ ル ツ か らの 手 紙

  2000年8月

に,ラ

ン グは バ ー ク レ ーの 物 理 学 者 で あ る チ ャー ル ズ ・シ ュ ワ

ル ツ に上 の 原 稿 の コ ピー を送 った.以 ら れ た 返 事 で あ る.こ

下 の 手 紙 は そ の 後 す ぐ私 の 元 に届 け

の 手 紙 の 中 に は い くつ か の 意 味 で 非 常 に役 立 つ こ と

が 書 か れ て い る こ とが わ か っ た.手 紙 に は,熱 核 が 物 理 学 の 中 で どの よ うに 現 れ て い る か とい う説 明 だ け で な く,数 学 者 や 物 理 学 者 に も有 益 な こ とが 書 か れ て い た.そ こ で は ま た,こ の 原 稿 や 本 が 物 理 と数 学 の さ ま ざ ま な分 野 の 間 の対 話 を 促 す で あ ろ う効 果 に つ い て も 記 さ れ て い る.ま

った く予 定 外 で

あ った に もか か わ らず 手 紙 を載 せ る こ と を許 可 して くれ た チ ャー リー ・シ ュ ワ ル ツ,ま た そ れ に 同 意 して くれ た 編 集 者 に感 謝 した い,J.J.andS.L.

***

2000年9月1日

親 愛 な るサ ー ジ

  先 週 は バ ー ク レ ー で 再 会 で き う れ し か っ た で す.さ こ で も熱 核 」 を 読 ん で み て,物

て,あ

な た の原 稿

「ど

理 学 者 と して 理 解 で き た こ と(ほ と ん ど は こ の

原 稿 の 始 め の 部 分 で す)に つ い て 意 見 を述 べ て み た い と 思 い ま す.   物 理 学 の 基 本 法 則 は,何 か 時 間 発 展 と してX(t)に −AXと

し て 記 述 さ れ ま す.こ

れ は,Aを

対 す る 微 分 方 程 式dX/dt=

線形作 用素 に限る とマクス ウェル

方 程 式 や シ ュ レ デ ィ ン ガ ー 方 程 式 な ど で あ り,Aと

して 非 線 形 作 用 素 も考 え

る 必 要 が あ る場 合 に は ニ ュ ー トンの 運動 法 則 や測 地 線 に対 す る ア イ ン シ ュ タ イ ン 方 程 式 で あ っ た り し ま す.

  あ え て こ こ で 言 うの は控 え させ て も らい ます が,な ぜ 物 理 学 者 た ち が こ の 研 究 法 に こ だ わ る の か とい う心 理 学 的,哲 学 的,歴 史 的,社

会学的 な理由 も

疑 い な く存 在 し ます.   (線 形作 用 素Aに 第3節

対 す る)数 学 的 な解 はX(t)=e−tAX(0)で

あ り,本 文 の

の 中で あ な たが 扱 っ て い る一 般 的 な 熱 核 が これ に 当 た り ます,そ

して,

我 々物 理 学 者 た ち は た い て い,数 学 者 に と っ て悩 み の 種 とな る よ う な,存 在 性,有

界 性,収 束性 な ど とい っ たす べ て の 問題 を,通 常 は 無視 して この 核(プ

ロパ ゲ ー ター)の 多 くの異 な る表 示 を用 い て研 究 を して い ます.   最 近 私 は物 理 学 者 が 線 形 作 用 素Aに

対 して用 い る 多 くの 手 法 を,よ

り広 い

ク ラス の 非 線 形 作 用 素 に広 げ ま し た.こ の こ とに つ い て ち ょっ と触 れ て お き た い と思 い ます.そ の 最 も手 っ取 り早 い や り方 は微 分 方程 式 の解 を次 の よ う に 書 くこ とで す.

こ れ に は と て も よ い"物 た 線 形 作 用 素Aの

理 的 な"解 釈 が あ り ま す.そ

れ に,こ

場 合 に 関 す る 指 数 の 定 義 で あ り,非

れ は よ く知 ら れ

線 形 作 用 素Aに

る 一 般 的 な 定 義 を与 え て い る と い え る で し ょ う。 細 か い と こ ろ はJournal Mathematical

Physicsの

ペ ー ジ か ら と3841ペ

な か の 私 の2つ

の 論 文(Volume

関 す of

38(1997)の484

ー ジ か ら の も の)に 記 さ れ て い ま す.と

こ ろ で,こ

の よ

う な こ と に 興 味 が あ る 数 学 者 は い る の で し ょ う か. チ ャ ー リ ー ・シ ュ ワ ル ツ

***

参

[AnS

考

文

献

92]  

J.‐P.ANKER heat

diffusion

and on

A.SETTI:Asymptotic certain

Riemannian

finite

propagation

manifolds.J.Funct.Anal.103

(1992)50‐61 [ABP73] 

M.ATIYAH,R.BOTT heat

equation

and and

the

index

330;Errata,Invent.Math.28(1975)277‐280

V.K.PATODI:On

the

theorem.Invent.Math.19(1973)279‐  

speed

for

[APS

75] 

M.ATIYAH,V.K.PATODI Riemannian geometry

ard I．SINGER:Spectral I.Math.Proc.Camb.Phil.Soc.77(1975)43‐

asymetry

and

69

[AtS

63] 

M.ATIYAH pact

[Bei

87] 

[BGM

71] 

and

I.SINGER:The

manifolds.Bull.AMS

A.BEILINSON:Height Math.67,AMS 

92] 

pairings

Heidelberg

C.BISHOP

[Bi

85] 

[BiGS

88] 

on

com

algebraic

cycles.Contemp.

and

and

d'une

1971

N.BERLINE,E.GETZLER

Acta

elliptic  operators

and E.MAZET:Le spectre Notes in Mathematics,vol.194.

der

vol.298.Springer,Berlin

97] 

between

M.BERGER,P.GAUDUCHON Variete Riemannienne.Lecture

Operators.Grundlehren

[BiJ

of

1967

Springer,Berlin

[BGV

index 69(1963)422‐433

M.VERGNE:Heat

Kernels

mathematischen

Heidelberg

and

Dirac

Wissenschaften,

1992

P.JONES:Hausdorff

dimension

and

Kleinian

groups.

Math．179(1997)1‐39

J.J.BISMUT:The heat equation

index proofs.Invent

theorem for families Math.83(1986)91‐151

J.M.BISMUT,M.GILLET holomorphic deterrminant

of Dirac

operators:two

and C.SOULE:Analytic bundles Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ.Commun.Math.Phys.115

torsion

and

currents

and

(1988)49‐78,79‐126,301‐351

[BiGS

90] 

J.M.BISMUT,M.GILLET complex immersions.Duke

[BiL

90] 

J,M.BlSMUT metrics.Pub.IHES

[BiV

89] 

J.M.BISMUT analytic

and

and torsion

and C.SOULE:Bott Math.J.60(1990)255‐284

G.LEBEAU:Complex 74(1991)

immersions

E.VASSEROT:The

associated

Chern

asymptotics

with  high

powers

of

and  Quillen

of

the Ray‐Singer

a positive

line

bundle.

Commun.Math.Phys.125(1989)355‐367

[Blo

84] 

S.BLOCH:Height 34(1984)119‐145

[Bos

90] 

J.B.BOST:Green'scurrents Math.J.61(1990)899‐912

[CanT

[Car

[Cha

99] 

27] 

84] 

R.CANARY Kleinian

pairings

for algebraic

and

height

and E.TAYLOR:Hausdorff groups.Geom.Funct.Anal.9,no.2(1999)283‐297

T.CARLEMAN:Sur Phys.20B,no.4(1927)1‐5

un

theoreme

I.CHAVＥL:Eigenvalues

in

de

cycles.J.Pure

pairing

in complex

dimension

97] 

F.CHUNG:Spectral

Graph

tori.Duke

and

limits

of

Weierstrass.Ark．Nat.Astronom．

Riemannian

Geometry.Academic

Theory.CBMS

no.92,1997

1984

[Chu

Appl.Algebra

Press,

[Dav

89] 

E.B.DAVIES:Heat

kernels

Mathematics [DeB

67] 

N.DEBRUIJN:Uncertainty Sympos.on 71

[DeB

73] 

98] 

[Don

88] 

theory.Cambridge

Principles

N.DEBRUIJN:Atheory

and

hyperbolic

in

and

generalized

Weyl

Tract

in

1967,pp.57‐

functions,with

J.JORGENSON:Spectral

applications Archief

asymptotics AMS

index

Analysis.Proc.

York

correspondences.Nieuw

3‐manifolds.Memoir

H.DONNELLY:Local

Fourier

Press,New

of

distribution 21(1973)205‐280

J.DODZIUK ing

spectral

Inequalities.Academic

to Wigner skunde

[DoJ

and

92,1989

theorem

on

vor Wi

degenerat

no.643,1998

for

families.Mich.Math.J.35

(1988)11‐20 [Dui

96] 

J.J.DUISTERMAAT:The for

the

quations [Fa

92] 

heat

spin‐ScS and

Dirac their

99] 

G.FALTINGS:Lectures

C.FAN

and

mension

of

To [Fay

92] 

appear

on

the

[Feg

78a] 

AMS

Arithmetic

J.JORGENSON:Small

point

Nonlinear

formula

Differential E 1996

Riemann

Roch

Theorem.

of

eigenvalues hyperbolic

and

Hausdorff

di

three‐manifolds.Preprint

1999.

Contemp.Math.

J.FAY:Kernel oirs

fixed

in

1992

sequences

in

Lefschetz

Applications,vol.18.Birkhauser,Boston

Ann.Math.Studies,Princeton [FaJ

kernel

operator.Progress

Functions,Analytic

Torsion

and

Moduli

Spaces.Mem

464,1992

H.D.FEGAN:The

heat

equation

on

a compact

Lie

group.Trans.AMS

246(1978)339‐357 [Feg

78b] 

H.D.FEGAN:The

heat

equation

and

modular

forms.J.Diff:Geom.

13(1978)589‐602 [Fr

84] 

I.FRENKEL:Orbital

theory

for

affine

Lie

algebras.Invent.Math.77

(1984)301‐352 [Ga

68] 

R.GANGOLLI:Asymptotic of

[Gil73a] 

certain

P.GILKEY:Curvature for

[Gil73b] 

symmetic

Kahler

behavior spaces.Acta and

of spectra

of

compact

quotients

Dolbeault

complex

Math.121(1968)151‐192

the

eigenvalues

of

the

manifolds.Adv.Math.11(1973)311‐325

P.GILKEY:Curvature

and

eigenvalues

of

the

Laplacian

and

the

for

elliptic

complexes.Adv.Math.10(1973)344‐382 [Gil77] 

P.GILKEY:Lefschetz Partial City Applied

[Gil84] 

Differential

point and

formulas

Mathematics,vol.48.Marcel

Theorem.CRC

Theory,Heat Press,1984,second

heat

equation.In:

Geometry.Proceedings

Conference(1977),ed.C．Byrnes,Lecture

P.GILKEY:Invariance Index

fixed Equations

of the Notes

in

Park

Pure

Dekker,1979,pp.91‐147 Kernels edition

and

the 1995

Atiyah‐Singer

and

[GiS

89] 

H.GILLET and C.SOULE:An C.R.A.S.309(Ⅰ)(1989)929‐932

[GiS

90] 

H.GILLET Math.IHES

[GiS

91] 

H.GILLET

92] 

[GrK

92] 

Riemann‐Roch

and C.SOULE:Arithmetic 72(1990)93‐174

and

genus.Topology [GiS

arithmetic

theorem.

Intersection

C.SOULE:Analytic

torsion

and

Theory．Publ.

the

arithmetic

Todd

30(1991)21‐54

H.GILLET and C.SOULE:An Invent.Math.110(1992)473‐543

arithmetic

Riemann‐Roch

theorem.

central

values

B.GROSS and S.KUDLA:Heights and the triple product L‐functions.Comp.Math.81(1992)143‐209

[Ha

87a] 

SHAI HARAN:On the Amer.J.Math.109(1987)303‐317

[Ha

87b] 

SHAI

HARAN:p‐adic

role

of

the

points

at infinity

L‐functions

for

critical

modular

in Iwasawa

of

theory.

forms.Comp.Math.

62(1987)31‐46

[Ha90] 

SHAI

HARAN:Riesz

potentials

and

explicit

sums

in

arithmetic.In

vent.Math.101(1990)697‐703

[Ha

91] 

SHAI

HARAN:Index

pothesis.London

theory,potential

[Ha

93a] 

SHAI HARAN:Quantizations numbers.Ann.Inst.Fourier

[Ha

93b] 

SHAI Fourier

HARAN:Analytic 43(1993)905‐944

SHAI

HARAN:An

[Ha93c] 

theory,and

Math.Soc.Lecture

Note

and symbolic 43(1993)997‐1053

potential

invitation

to

theory

calculus

over

dyslectic

the

Riemann

hy

Ser.153(1991)257‐270

the

over

the

p‐adic

p‐adics.Ann.Inst.

geometry.J.Algebra

155

(1993)244‐481 [Har

[Harr

68] 

93] 

HARISH‐CHANDRA:Automorphic Forms Lecture Notes in Mathematics,vol.62.Springer,1968

B.HARRIS:Cycle

pairings

and

the

heat

in

Semisimple

Lie

equation.Topology

Groups.

32,no.2

(1993)225‐238 [How

76] 

R.HOWE:Invariant fields with applications

theory and duality to their singular

for classical representation

groups over theory.Unpub

finite

lished

[How

88] 

[HJL97] 

R.HOWE:The 48(1988)61‐132

J.HUNTLEY,J.JORGENSON behavior of counting Riemann

[Ito 53] 

oscillator

S.ITO:The ferentiable

semigroup.AMS

functions

Proc.Symp.Pure

and R.LUNDELIUS:On associated to degenerating

Math.

the

asymptotic hyperbolic

surfaces.J.Funct.Anal.149(1997)58‐82

fundamental manifold.Osaka

solution of the parabolic Math.J.5,no.1(1953)75‐92

equation

in

a dif

[Ito

54] 

S.ITO:The

fundamental

ferentiable

[Jor

1880] 

solution

manifold.Osaka

of

the

parabolic

equation

in

a dif

Math.J.6,no.2(1954)167‐185

C.JORDAN:Memoire

sur

l'equivalence

des

formes.J.Ecole

Poly

technique ⅩLⅧ(1880)112‐150

[JoK

97] 

J.JORGENSON and

[JoK

98] 

00] 

[JoL

93] 

94a] 

on

and

functions

of

in:Duke

the

for special

surfaces.To

S.LANG:Basic

and

degree

of

values

of Selberg

appear

Analysis in

currents

Math.96(1998)335‐

J.KRAMeR:Bounds

Notes

Green's

arithmetic

varieties.Manuscripta

Riemann

and

of

J.

J.KRAMER:Towards

Products.Lecture

J.JORGENSON

products

appear

abelian

J.JORGENSON and 1993

[JoL

and

bundles

J.JORGENSON zeta

J.KRAMER:Star

forms.To

J.JORGENSON line 370

[JoK

and

automorphic

of

Regularized

Series

Mathematics,vol.1564.Springer,

S.LANG:Explicit

Formulas.Lecture

Notes

in

Mathematics,vol.1593.Springer,1994 [JoL

94b] 

J.JORGENSON Reine

[JoL

96] 

and

S.LANG:Artin

formalism

J.JORGENSON

and

S.LANG:Extensions

99] 

J.JORGENSON nels

[JoL

00a] 

and

and Bessel

J.JORGENSON

00b] 

series

S.LANG:Obtaining

function

and

kernel.Preprint [JoL

heat

of analytic

and the theory of regularized harmonic essel series.Math.Ann.306(1996)75‐124

[JoL

and

kernels.J.

Angew.Math.447(1994)165‐200

from

wave

formalism.Preprint

number

theory

Dirichlet

kernels

series

via

heat

to B

ker

1999

S.LANG:Eisenstein

series

twisted

by

the

heat

J.JORGENSON

2000 and

S.LANG:Spherical

Inversion

on

SLn(R).To

appear

[JoLu

95a] 

J.JORGENSON

and

R.LUNDELIUS:Convergence

and the resolvent kernel of finite volume.Quaestiones

[JoLu

95b] 

J.JORGENSON ative ume.Duke

[JoLu

97] 

and

spectral

J.JORGENSON

on

on

hyperbolic

95a] 

J.JORGENSON

the

heat

Riemann

R.LUNDELIUS:Convergence

functions

theorems Riemann

surfaces

kernel surfaces

of

for

rel

finite

vol

Math.J.80(1995)785‐819

and

R.LUNDELIUS:Convergence

spectral function on degenerating nite volume.J.Funct.Anal.149(1997)25‐57

[JoT

of

degenerating hyperbolic Math.18(1995)345‐363

and

Dedekind's eta function es.Lett.(1995)359‐376

of

hyperbolic

Riemann

A.TODOROV:Aconjectured for

algebraic

the

normalized

surfaces

of

analogue polarized

K3

surfaces.Math.R

fi

of

[JoT

95b] 

J.JORGENSON larized algebraic

and K3

A.TODOROV:An surfaces.In:Mirror

ed.D.H.PHONG,L.VINET,and vanced

[JoT

96] 

and

with

for po Geometry,

Studies

in

Ad

10(1999)211‐262

J.JORGENSON de

S.T.YAU,AMS/IP

Mathematics

folds

analytic discriminant Manifolds and

zero

A.TODOROV:Analytic

canonical

discriminants

class.In:Manifolds

Bartolemeis,F.Tircerri

and

and

for

mani

Geometry,eds.P.

E.Vesentini.Symp.Math.36(1996)

223‐260

[JoT

97a] 

J.JORGENSON forms,and

[JoT

97b] 

J.JORGENSON inants of

[JoT

99] 

and Shafarevich's

and 2d

degree

J.JORGENSON

A.TODOROV:Ample conjecture.Submitted

A.TODOROV:Product for square‐free

and

criminants,and

phi

2(1998)249‐264;erratum

76] 

B.KOSTANT:On and generalized

[Lan

99] 

S.LANG:Math berg 1999

[Lgld76] 

[LiV

K3

discrim

surfaces,analytic

dis

207(1999)495‐497

Talks

for

R.LANGLANDS:On

80] 

for

function.Comm.Math.Phys.191,no.

MacDonald's eta‐function exponents.Adv.Math.20(1976)179‐212

Notes

formula,the

Laplacian

Undergraduates.Springer,Berlin

the FunctionalEquations

Series.Lecture delberg

formulae preparation

d.In

A.TODOROV:Enriques

Borcherd's

[Kos

divisors,automorphic for publication

Heidel

Satisfied

by

Eisenstein

in Mathematics,vol.544.Springer,Berlin

Hei

1976

G.LION and Theta

and M.VERGNE:The series.Progress

kernel

[Liu

96] 

K.LＩU:Heat 762

[Liu

97] 

K.LIU:Heat

Weil representation,Maslov in Mathematics,vol.6.Birkhauser,1980

and

kernel

moduli

and

index

space.Math.Res.Lett.3(1996)743‐

moduli

space

Ⅱ.Math.Res.Lett.4(1997)

569‐588

[Liu

99] 

K.LIU:Heat groups.To

[MacD

72] 

kernels,symplectic appear

geometry,moduli

spaces

and

finite

in:Surv.Diff.Geom.

I．G.MACDONALD:Affine

root

systems

and

Dedekind's

eta

function. Invent.Math.15(1972)91‐143

[McK

[McM

72] 

97] 

H.P.MCKEAN:Selberg's mann surface.Comm.Pure

C.MCMULLEN:Hausdorff Strong

[Man

98] 

trace formula as applied Appl.Math.25(1972)225‐246

convergence

dimension of

Kleinian

N.MANDOUVALOS:Relativity on hyperbolic spaces.Trans.AMS

and

groups.Preprint

of

to

confarmal

a compact

Rie

dynamics

1997

the spectrum and 350,no.2(1998)559‐569

discrete

groups

I:

[MiP49] 

S.MINAKSHISUNDARAM

and

eigenfunctions of the Can.J.Math.1(1949)242‐256 [MiU98] 

P.MICHEL

and

A.PLELJEL:Some

Laplace

operator

E.ULLMO:Points

properties on

de

Riemannian

petite

of

the

manifolds.

hauteur

sur

les courbes

Xo(N).Invent.Math.131(1998)645‐674 [MoW

94] 

[MuR

88] 

C.MOEGLIN

and

et Series

d'Eisenstein.Progress

D.MULLER

and

oscillator [MuR

90] 

[Nor97] 

D.MULLER erators

71a] 

[Pat

71b] 

[Pats

76] 

F.RICCI:On

the Angew

Laplace‐Beltrami

operator

J.R.NORRIS:Heat

kernel

Riemannian

asymptotics

V.K.PATODI:An

and

analytic

for

and

Manifolds.Acta

V.K.PATODI:Curvature J.Diff.Geom.5(1971)233‐249

Kahler

on

the

Math.390(1988)193‐207

and F.RICCI:Analysis of second order Heisenberg groups.Invent.Math.101(1990)545‐582

on

theorem

Spectrale

in Mathematics,vol.113.Birkhauser,1994

group.J.Reine

Lipschitz [Pat

J.‐L.WALDSPURGER:Decomposition

the

differential

distance

op

function

in

Math.179(1997)79‐103

the

eigenforms

proof

of

the

of

the

Laplace

operator.

Riemann‐Roch‐Hirzebruch

manifolds.J.Diff.Geom.5(1971)251‐283

S.J.PATTERSON:The

limit

set of

a Fuchsian

group.Acta

Math.136

(1976)241‐273 [Pats

87] 

S.J.PATTERSON:Lectures

on

groups.In:Analytical ed.D.Epstein.Cambridge

[ReY

90/94] 

D.REVUZ

and

and

M.YOR:Continuous

tion.Springer,1990.Second [Saw

92] 

measures

heat

limit

Martingales edition

P.SAWYER:The

on

sets

of

Kleinian

GeometricalAspects ofHyperbolic University Press,1987,pp.281‐323

equation

and

Spaces,

Brownian

Mo

1994

on

the

spaces

of

positive

by

entire

definite

ma

trices.Can.J.Math.44,no.3(1992)624‐651

[Sch

76] 

S.SCNEINBERG:Uniform Analyse

[See

67] 

62] 

functions.J.

29(1976)16‐19

R.T.SEELEY:Complex Symp.Pure

[Sha

approximation

Mathematique

powers

of

an

elliptic

free

boson

operator.AMS

Proc.

Math.10(1967)288‐307

D.SHALE:Linear

symmetries

of

fields.Trans.Amer.

Math.Soc.103(1962)149‐167

[Sul79] 

D.SULLIVAN:The bolic

[Sul87] 

density

motions.Publ.Math.IHES

D.SULLIVAN:Related

of

infinity

of

a discrete

group

of

hyper

50(1979)171‐202

aspects

of positivity

in Riemannian

geometry.

J.Diff.Geom.25(1987)327‐351 [Szn

98] 

A.‐S.SZNITMAN:Brownian Springer,1998

Motion,Obstacles

and

Random

Media.

[WaH

93] 

B.WANG ing

and

B.HARRIS:Archimedean

cycles.International

[Wan

98] 

B.WANG:Asymptotics Math.120(1998)229‐249

[Wan

99] 

B.WANG:Mazur's appear

[Wei

1885] 

height

Math.Research

of

the

incidence

Archimedean

height

structure

for

of

intersect

4(1993)107‐111

pairing.Amer.J.

projective

varieties(Ⅰ).To

in:Comp.Math.

K.WEIERSTRASS:Uber nter

die

willkurlicher

Funktionen

analytische einer

A.WELL:Sur

and

certains

groupes

Darstellbarkeit

reellen

Akad.Wiss.Berlin(1885)633‐639

[Weil64] 

pairing

Notices

sogenan

Veranderlichen.Sitz.‐Ber.

789‐805

d'operateurs

unitaires.Acta

Math.111

(1964)143‐211 [Wen

99] 

R.WENDT:Weyl's and

[YauS

88/94] 

orbital

S.T.YAU tions

character theory and

Beijing

96] 

for

manifolds

non‐connected

Lie

lie algebras.Preprint

R.SCHOEN:Differential

Geornetry.Science

version);International

groups

1999 Publica

Press,Cambridge,

version)

K.YOSHIKAWA:On Kahler

affine

1988(Chinese

Mass.1994(English

[Yosh

formula

for twisted

the with

residue

conical

of

the

spectral

zeta

functions

of

singularities.J.Diff.Georn.43,no.2

(1996)410‐457 [Yosh

[Yosi

98] 

53] 

K.YOSHIKAWA:Discriminant Preprint Nagoya University,1998

K.YOSIDA:On aRiemannian

the

fundamental

manifold.Osaka

of

theta

divisors

solution

of

and

Quillen

the parabolic

Math.J.5,no.l(1953)65‐74

metrics.

equation

in

京 都 大 学 数理 解 析研 究 所 インタビュー RIMS

for the 21st

Century

森 正 武/斎 藤 恭 司   聞 き手:砂 田 利 一  ●構成:編集部

【 著者紹介】 森 正 武(Masatake 1937年,東 1967年

Mori)

京 に生 ま れ る ．東京 大 学 で 応 用物 理 学 を学 び,

に博 士号 を 取 得 した.東 京 大 学,京 都 大 学数 理 解析

研究 所,筑 波 大学,再 び東 京大 学 を経 て,1998年

か ら3年 間

京都大学数 理解析研究 所長を務 める.現 在,東 京 電機大学教授 ． 1998年

度 日 本応 用 数 理学 会 会長,専 門 は 関数 論 を使 った数

値解析 ．

斎 藤 恭 司(Kyoji 1944年,東

Saito)

京 に 生 まれ る.東 京 大 学 で数 学 を学 び,1971

年 に ドイ ツの ゲ ッテ ィ ンゲ ン大 学 で 博 士号 を取 得 した 後,東 京大学 を経 て,1979年 1987年

よ り京都 大学 数理 解析 研究 所 に移 り,

よ り教授 とな る ．1996年

か ら2年 間,同 研 究所 長.

専 門は周期積分 や不連続群 のモ ジュライ空 間等の複 素解析幾何 ．

砂 田 利 一(Toshikazu 1948年,東

Sunada)

京 に生 ま れ る,東 京 工業 大 学 で 数学 を 学 び,東

京大 学 で1974年

に 修 士号,1977年

屋大学,東 京大学 を経 て,1993年

に博 士 号 を取 得.名 古

よ り東北大学 教授.専 門 は,

スペ ク トル幾 何 学,力 学 系,グ ラ フ理 論 な ど.1987年 彌永 賞受 賞 ,1997年 よ り5年 間,雑 誌 「数学 の楽 しみ 』(日 本 評 論社)を 志賀浩 二,上 野 健 爾と とも に編 集 ．

は じ め に

  京 都 大 学 数 理 解 析 研 究 所(The 略 称RIMS)は,1963年

Institute for Mathematical

Sciences,

に 数 理 科 学 振 興 を 目 的 とす る 全 国 共 同 利 用 研 究 所 と

し て 設 立 さ れ ま した.以 ら,国

Research

来 約40年

際 的 な 研 究 所 へ,そ

の 年 月 を 経 て,数

理 研 は国 内 の一 研 究所 か

し て 国 際 的 な 数 学 研 究 の 拠 点 へ と成 長 を 遂 げ て き

ま し た.   世 界 数 学 年 記 念 企 画"Mathematics

Unlimited

世 紀 を 担 う 世 界 の 数 学 研 究 所 の 中 か ら,京 数 学 研 究 所,ド

図1:写

大 数 理 研,ア

メ リカ の バ ー ク レー

の イ ン タ ビ ュ ー は,本

所 長 の 斎 藤 恭 司 氏 に 対 し,砂

は,21

を と り あ げ,各 書企 画時の所長 森

田 利 一 が 行 な っ た も の で す1.

真 の 建 物 は 京 都 大 学 の北 部 キ ャ ンパ ス に位 置 して い る数 理 解 析 研 究 所.4階

建 て で,総

1こ

and Beyond"で

イ ツ の オ ー バ ー ヴ ォ ル フ ァ ッハ 研 究 所 の3つ

地 で イ ン タ ビ ュ ー を 行 い ま し た.こ 正 武 氏 と,前

2001

面 積 は3,914m2で

の イ ン タ ビ ュ ー は2000年5月18日

Mathematics   れ ま し た.こ

Editorialに

あ る.

に 京 大 数 理 研 で 日本 語 で 行 な わ れ

よ っ て 英 訳 さ れ"Mathematics

の 日 本 語 版 は,そ

Unlimited

2001and

の 英 文 原 稿 を も と に 構 成 さ れ て い ま す.

,Springer‐Verlag Beyond"に

発 表 さ

1.  数 理 研 で 研 究 さ れ る の は,ど

ん な 数 学?

  砂 田:数 理研 は数 理 解析 研 究 所 とい うのが 正 式 名称 で す ね.英 語 で はResearch Institutefor Mathematical

Sciencesと

い い ます.こ

れは設立 当初 には応用 分

野 に 強 調 を お い て い た とい う こ とで し ょ うか?   森:『 京 都 大 学 百 年 史 』 や 「数 理 科 学 ニ ュ ー ス」 の よ うな 史 料 を 見 ます と, 当 初 は 純 粋 数 学 だ け で な く,数 学 と数 学 を取 り囲 む諸 科 学 を カ バ ー す る研 究 所 を考 え て い た よ うで す.研 究 所 設 立 の 企 画 を した 人 々の 名簿 を見 ます と,純 粋 数 学 者 だ け で な く応 用 数 学,あ

る い は,当 時 は 黎 明 期 で す け れ ど も,コ

ン

ピ ュ ー タ関 係 の 人 や 物 理 の 人 もか な り設 立 準 備 の 段 階 で 構 想 を練 る メ ンバ ー に入 っ て お られ ま した.で す か ら,設 立 時 に純 粋 数 学 だ け の もの で な く,そ の 周 辺 をか な り含 ん だ よ う な もの を 考 えて い た こ と は確 か で す ね.   そ の 後 の経 過 を 見 て み ます と,私 個 人 と して は,日 本 の 数 学 の コ ミュ ニ テ ィ が全 体 と して ど うで あ っ た か は別 と して,数 理 研 と して は 初 期 の構 想 は む し ろ か な りそ の ま まず うっ と引 き継 い で 来 て い る ん で は な い か と思 い ます.実 際,現 在 も,純 粋 数 学 だ けで な く,応 用 数学,コ

ン ピュ ー タ ・サ イ エ ンス,物

理 の研 究 者 が 結 構 バ ラ ンス よ くい る ん で は な い で し ょ うか.私

の よ うに,最

も応 用 数 学 寄 りの 者 が 現 在 所 長 をつ とめ て い るの で す か ら,設 立 の 趣 旨 は ま だ十 分 に生 か され て い る ん で は な いで し ょ うか.   砂 田:い

ま ち ょ う ど,い わ ゆ る で す け れ ど も,「純 粋 数 学 」 と 「応 用 数 学 」

とい う名 称 が 出 て き ま した け れ ど も,そ れ ぞ れ 価 値 観 は 独 立 した も のが あ る し,そ の 価 値 観 を大 事 に して研 究 して ゆ くっ て い うこ とは非 常 に重 要 で す.一 方 で そ の 連 携 プ レ ー っ て い う ん で す か ね.そ しょ うか.あ

うい う よ うな こ とは 今 あ る の で

る い は そ うい う連 携 プ レ ー と い う よ りは,や

っ ぱ り個 々の 研 究

者 の個 人 の 活 動 の 方 に重 きが お か れ てい るの か,そ の へ ん は ど うで し ょうか?   森:私 の 印 象 で は,例 え ば1年

に70く

らい あ る研 究 集 会 の うち,い

くつ か

は意 図 的 に そ う い う連 携 プ レー を 目指 して い る もの も あ り ます け れ ど も,特 に両 者 が 一 緒 に な っ て 何 か を企 画 す る とい う こ と よ りは,む

しろ個 人 的 に た

ま た ま研 究 集 会 に 出 席 した 人 が 話 題 の 中 の 応 用 に 関 心 を もつ,あ

るいはた ま

た ま談 話 会 で 応 用 の 方 の 人 の 話 を聞 い て 自分 の 分 野 に 関 係 が あ る,と い う よ う な こ とで,両

者 で 連 携 が 自然 に生 ず る とい う こ とが 多 い の で は な い か と思

い ます. 斎 藤:私  

自身 は あ ま り,純 粋 か 応 用 か とい う二 分 的 な 考 え方 は して い ませ

ん.制 度 的 な連 携 が あ る とい う よ りは,む

しろ,森 先 生 の言 わ れ る よ う に,同

じ研 究 所 内 に多 元 的 に諸 分 野 が 共 存 す る こ とに よ り,相 互 に刺 激 に な っ て い る の だ と思 い ます.そ

の 良 い 例 が 理 論 的 な コ ンピ ュ ー タ ・サ イ エ ン スの 研 究

で す.数 理 研 で コ ン ピュ ー タ ・サ イエ ンス を研 究 して い る の は,数 学 的 基 礎 を持 つ 人 た ちで,そ

の こ とが 彼 等 の 研 究 を強 い もの に して い る と思 う し,ま

た彼 等 を 日本 国 内 で も世 界 で も独 自 な もの に して い る と思 い ます ね. 砂 田:少

しま た方 向 を変 え た 質 問 に な る と思 い ます け ど も,数 理 研 が1963

年 に設 立 され た と き,ど こ か モ デ ル に な っ た研 究 所 は あ っ た の で し ょ うか? 森:間

接 的 に 聞 い た 話 で す け れ ど も,数 理 研 設 立 構 想 の 一 番 初 期 の段 階 に

全 体 の イニ シ ア チ ブ を と っ て お ら れ た 彌 永 昌 吉 先 生 が お っ し ゃって お られ た 話 で は,数 理 研 の モ デ ル と して 当 時想 定 さ れ て い たの は,日 本 の 国立 の研 究 所 と して は,基 礎 物 理 学 研 究 所 と東 京 大 学 物 性 研 究 所,そ

して,数

理科学の

研 究 所 と して は プ リ ンス トン高 等 研 究 所 と フラ ンス の 高 等 科 学 研 究 所(IHES) だ っ た そ う で す. 一 方 ,設 立 構  想 が す す ん で,何 年 か が た っ た頃 に は,設 立 準 備 をす る委 員 会 の メ ンバ ー の 中 に は,ニ ュ ー ヨ ー クの ク ー ラ ン ト研 究 所 をモ デ ル に して い た 人 もい た よ うで す.結 果 的 に 数 理 研 は,研 究 対 象 の守 備 範 囲 も クー ラ ン ト研 究 所 に似 て い ます し,大 学 の 敷 地 内 に あ る とい う点 も,ク ー ラ ン ト研 究 所 と 共 通 して い ます. 斎 藤:た しか に数 理研 は 制 度 的 に は 全 国(国 内)共 同利 用 研 究 所 と して1963 年 に 発 足 しま した.そ れ以 来,実 体 は変 化 して きた と思 い ます ね.例 え ば,佐 藤 幹 夫 先 生 等 に よる代 数 解 析 学 な ど の よ う な特 色 あ る数 学 が,色

々 と生 まれ

て き ま した.す る と,そ れ らの 研 究 に 関連 して,新 た な共 同研 究 や 交 流 も次 々 と生 ま れ て きま す.他 方,数

学 は 元 来 国 際 的 な学 問 で す の で,そ の 共 同研 究

や 交 流 は 国 内 的 な もの に留 ま り得 ませ ん.10年

前 か ら,こ の よ うな 国 際 共 同

研 究 を 積 極 的 に 支援 す る 「プ ロ ジ ェ ク ト研 究 計 画 」 とい うプ ロ グ ラ ム を毎 年 テ ーマ をか か げ て 行 な っ て い ます.こ

の よ う に して,数 理 研 は制 度 上 は 国 内

共 同利 用研 究 所 なの で す が,内 容 的 に は独 自の 変 化 を とげ て 国 際 共 同研 究 所 と して の 性 格 も持 つ よ うに 脱 皮 して き た と思 い ます.

表1:1996‐2002年

 砂 田:個

度 に 実 行 さ れ た 共 同研 究 集 会 等 の 数 と参 加 者 数.

々 の研 究 所 員 が 研 究 活 動 を行 な う場 と して の 性 格 と,全 国 の 研 究

者 が 研 究 集 会 等 の た め に 共 同 利 用 す る 場 と して の性 格 の 二 つ を両 立 させ るの は大 変 で し ょ うね. 森:数

理研 で は個 々 の所 員 の 活 動 に 加 え て,全 国 的 な共 同 研 究 や 国際 的 な

共 同研 究 を企 画 した り支援 す る こ とが あ ります.一 年 に 開 か れ る ワー ク シ ョッ プの 数 は毎 年 約70ほ

どで す が,参 加 す る研 究 者 の 総 数 は のべ4000に

もの ぼ

ります.数 理研 の 研 究 者 が こ う した 活動 か ら刺 激 を受 け て い るの は確 か で す. 最 近 で は,国 際 的 な 共 同 研 究 が ます ます 盛 ん に な っ て きて い ます ね. 斎藤:異 な る2つ の性 格 の 両 立 につ い て で す が,数 学 の研 究 に とっ   て,研 究 者 間 の 相 互 作 用 は一 つ の 重 要 な 要 素 だ と思 い ます.し か し,そ れ を い つ ど こ で,ど

の よ う に行 な うか は,完 全 に個 々 の研 究 者 に ゆ だ ね ら れ て い ます .数

理 研 の研 究 員 が 次 年 度 の研 究 集 会等 の 計 画 作 定 等 の 制 度 運 営 上 の 役 割 を は た す こ とは 当 然 の仕 事 で す が,そ くか,つ

の 人 が,個 別 の 研 究 集 会 等 に ど う 関 わ っ て ゆ

ま り出席 した り討 論 を した りす る の か ど う か は,当 然 な が ら,個 々

の ケ ー ス に よ りま す.私

は,多 少 楽 観 的 か も しれ ませ ん が,こ

れ まで こ の 二

つ の性 格 は相 互 に よ い 刺 激 とな って 成 功 して き た と思 い ます . 砂 田:さ

て,数 学 科 出 身 で情 報 関 係 に い か れ る方,あ

るい  は他 の 分 野 に い

か れ る 方 は結 構 多 い で す よ ね.そ れ は数 学 の ス ペ ク トラ ム の 広 さ を表 して る よ うな 気 も し ます.そ

こ で,も

う1つ 肝 心 な こ とは ,こ れ も もう是 非 の 問 題

図2:左

か ら,斎

で は な くて,い

藤,森,砂

田.2000年5月18日,数

理 研 の セ ミ ナ ー 室 に て.

ろ ん な 強 力 な分 野 の 人 た ち が この 研 究 所 に集 ま っ て い る とい

うこ と,非 常 に強 く感 じ るん で す け ど も,一 方 で な ん か,研 究 所 と して 全 て の 分 野 を網 羅 す る必 要 とか,そ

うい う こ とは感 じて い らっ しゃ い ます か?

ま た,強 力 な ス ク ー ル っ て い うか な,そ

うい う もの 作 ろ う とか 考 え て い ら っ

しゃ る の で し ょ うか? 斎 藤:数

理研 は比   較 的 小 さな研 究 所 で す が,そ

的 な数 学 者 が 集 ま って い る よ う に思 い ます.そ

れ で も多 様 な 分 野 か ら独 創

れ に して も,こ の よ う な一 つ

の研 究 所 で,現 代 の 数 学 の全 体 を カバ ー す る の は まず 不 可 能 と思 い ます .ま た,逆

に 大 き な研 究所 を作 っ て,分 野 を 固 定 して全 て の 数 学 を百 科 全 書 的 に

収 め る こ とが 適 当 とは 思 わ な い し,現 実 的 と も思 い ませ ん. 数 学 は死 ん だ学 問 で は な く,常 に 流 動 的 で,動 を支 えて い る の は 人 で す.ど ん な 分 野 で あ れ,独 げ て い る 人 を,我

いてい  ます.そ

して,そ れ

創 的 で独 自の研 究 成 果 をあ

々 は受 け 入 れ て い る こ と を強 調 した い で す.分 野 の バ ラ ン

ス が とれ て い る か と い う 問題 は,も

ち ろ ん 重 要 な こ とで す が ,数 理 研 の よ う

な研 究 所 に と って は,今 申 し上 げ た こ とが まず 一 番 に大 切 で し ょ う.し か し, こ の 点 過 去 に判 断 を誤 った研 究 所 や大 学 は ,数 学 の 分 野 だけ で な く,他 の分 野 に お い て も,世 界 中 で もい ろ い ろあ りま した.だ か ら選 択 に は ,い つ も決 断 と

表2:1991年

か ら始 め られ た プ ロ ジ ェ ク ト研 究 の タ イ トル お よ び,そ れ ぞ れ の 年 の参

加 者 数.

責 任 が 伴 い ます し,ま た,見識 が 要 求 され る と思 い ます.難 しい 事 で す が …. 一方で   ,数 学 の 変 革 は 常 に 中 心 部 か ら起 き る と は 限 り ませ ん.あ ま り活 発 に研 究 され て は い な か っ た分 野,あ

まつ さえ,も

う終 わ っ た と思 わ れ て い た

分 野 か ら起 きる こ と もあ り ます.た

とえ ば私 が 学 生 だ った 頃 に は,も

う一 変

数 の 関 数 論 や微 分 幾 何 学 な ど は 死 ん だ 分 野 だ と先 生 た ち か ら言 わ れ ま した. θ関 数 に は黴 が 生 え て い る と言 わ れ ま した ． しか し今 日の 数 学 者 た ち の 多 く は,タ イ ヒ ミュ ラー 空 間 や ク ラ イ ン群,複 素 力 学 系 の 理論,モ

デ ュ ラ イ空 間 や

ゲ ー ジ理 論 な ど に か か わ る 幾 何 な ど,最 近 の 大 きな 進 展 と活発 な研 究 活 動 を 目の あ た りに して い る の で,当 時 の 先 生 た ち の 言 葉 に は賛 成 し ない で し ょ う. 砂 田:で は 数 理 研 の 所 員 を採 用 す る と き,バ ラ ンス と して何 か 考 慮 して  い る こ とは あ ります か?

 森:分

野 は と もか くと して,出 身 大 学 に 関 して は 片 寄 っ て い る とす れ ば そ

れ は結 果 で す.い

ま は片 寄 って い る か も しれ ませ ん け れ ど も,ま た そ の うち

変 わ っ て くる か も しれ ませ ん.私

と して は む し ろ そ の こ と に は こ だ わ ら な い

方 が よい の で は な い か と思 って い ます. 砂 田:あ

と女 性 の 研 究 者 とい うこ   とで は ど うで し ょ う?

斎 藤:残

念 な が ら,現 在 は 居 ませ ん ね.

 

2.  良 い 環 境 が 良 い 数 学 を 作 る

砂 田:ま た ち ょっ と一 つ 方 向 を換 え  ます け れ ど も,た とえ ば オー バ ー ヴ ォル フ ァッハ 数 学 研 究 所 は,ド

イ ツ の 「黒 い森 」 で す か ,シ ュ ヴ ァ ル ツ バ ル トの

ま っ た だ 中 に あ る,山 の 中の 研 究 所 で,そ せ ん.そ

の まわ りに は ほ と ん ど何 もあ り ま

して フ ラ ン ス の 高 等 科 学研 究 所(IHES)は

れ ど も,パ

非 常 に静 寂 な と こ ろ だ け

リ とい う都 会 をす ぐそ ば に控 え た 魅 力 あ る 場 所 に あ ります.こ の

数 理 研 が あ る の は 京 都 で す が,そ

の点 どの よ うな 利 点 が あ る と感 じて お られ

ます か? 森:や  

は り京 都 とい う美 しい 古 都 に あ る と い う こ と,そ の 事 実 は非 常 に 重

要 で す ね.東 京 に あ っ た らこ れ ほ ど外 国 の 研 究 者 は 集 ま らな い の で は な い で し ょ うか.訪 れ た方 の ほ とん どは 京 都 が 好 きだ とお っ しゃ られ ます し,も う 一 度 数 理 研 に 来 た い とお っ し ゃっ て くだ さ る 方 も非 常 に多 い で す . 斎 藤:数

学 者 は どの よ う な環 境 で仕 事 を す る の で し ょう か.数   学 は人 間 の

知 的 活 動 の 中 で も最 も基 本 的 な もの の 一 つ で あ る こ と を考 え る と,私 は,京 都 が1000年 接,ま

余 りの 人 間 の 活 動 の 集 積 を持 って い る とい う こ とが,数 学 者 に直

た 間 接 に 影 響 す る よ う に思 い ます.例

見 て,単

え ば,数 学 者 は 京 都 で お 祭 りを

に 「あ あ 面 白か っ た」(あ る い は 「 面 白 くな か っ た」)と 思 うだ け か

も しれ ませ ん.に

もか か わ らず,そ の お 祭 りに集 約 され た 人 間 の 活 動 は ,何

らか の か た ち で,見 た 者 に影響 を及 ぼ さず に は い な い よ うに 思 い ます. 砂 田:そ

れ は大 事 な こ とで す よね.や

き も,や っ ぱ り印 象 に 残 るの は,も

っ ぱ り我 々 が 他 の 研 究 所 を訪   ねた と

ち ろ ん そ の 中 の研 究 っ て こ とは もち ろ ん

大 事 だ け れ ど,そ の研 究 所 の あ る 町 や 風 景 で す ね.や

っぱ り京 都 で あ る っ て

図3:世

界 遺 産 で あ る 銀 閣 寺(1482年

こ と は大 きい.た

だ,僕

建 立).数 理 研 か ら徒 歩10分

の 場 所 に あ る.

は研 究 所 の イ ン フ ラ ス トラ クチ ャ ー と繋 が る か もわ

か らな い け れ ど,数 理 研 の 建 物 自身 は ち ょっ とこ ぢ ん ま り して て,本

当は も

う ち ょっ と大 き くて もい い ん じ ゃ ない か と思 う ん だ け れ ど も,あ る 意 味 で そ うい う,も う ち ょっ と魅 力 を 出 す た め に は ど うな れ ば い い か とい う よ う な,そ う い う こ とで は ど うで し ょ う? 森:建 物 が 狭 い とい う こ とは   われ わ れ も痛 切 に 感 じて い て,概 算 要 求 で 毎 年 要 求 して い ます.し か し,京 都 大 学 全 体 の膨 張 の速 さが 早 くて,し か もキ ャ ンパ ス そ の もの の面 積 が 限 られ て い る もの で す か ら,建 物 を増 や す こ と に 関

して は 大 学 全 体 と して も難 問 を か か えて い る わ け です.近 学 研 究 科 が 京 都 市 の 西 の 方 に移 転 し ます の で,そ

い 将 来,大

きな 工

の 後 は 全 般 的 に も う少 し再

配 置 で 工 夫 を す れ ば 余 裕 が 出 て くる の で は な い か と期 待 して い ます.数 理 研 の 面 積 不 足 は 深 刻 な 問題 で す か ら,早 急 に解 決 しな け れ ば な ら な い と思 って い ます. 斎 藤:森   先 生 が 言 わ れ る よ うに,数 理研 の 建 物 に関 して は,も っ とゆ った り と した 空 間 が 必 要 と思 い ます.数 学 の 共 同研 究 所 に と っ て コ ミュ ニ ケ ー シ ョ ン の場 は 非 常 に重 要 で す か ら.現 在 の 数 理 研 の 建 物 が,そ て い る と は い え ませ ん.数 学 に とっ て,新

しい 考 え,ア

の必 要に充分応 え イデ ア の ヒ ン トは い

つ どこ にあ る か 分 か り ませ ん.研 究 者 が 互 い に 話 の で きる 場 が,大

はゆ った

り と した コ モ ン ル ー ム か ら,小 は小 さな デ ィス カ ッシ ョ ン ル ー ム に い た る ま で,も

っ と必 要 です.国

の 基 準 か ら見 る と,そ れ は贅 沢 な の か も しれ ませ ん

が,実

はそ れ は 贅 沢 なの で は な く,逆 に研 究 活 動 に必 要 な 要 素 な の だ とい う

風 に 考 え方 が 変 わ っ て ほ しい と思 い ます ね. 砂 田:数 理 研 以 外 に 日本 に数 学 の研 究 所   を設 立 す る必 要 につ い て,ど 考 え で し ょ うか?も

うお

し,新 研 究 所 を構 想 す る場 合 に は,何 か し ら性 格 の 違

い や棲 み 分 け が 必 要 に な る と思 い ます か? 森:国 が,可

内 に ま た別 の 種 類 の 研 究 所 を作   る こ とは,も

ち ろ ん大 事 な こ とで す

能 性 と して は,数 理 研 と同 じ よ う な研 究 所 が も う1つ あ る の も ま た よ

い の で は な い で し ょ うか.そ

こ で競 争 が 生 じて,日 本 の 数 学 の研 究 が ます ま

す 良 い 方 向 に 進 む の で は な い か と思 うの で す が. 斎 藤:僕

も同 じ意 見 で す.研 究 所 も複 数 で   きて,数 理 研 は数 理研 の 特 長 を

出 し,新 研 究 所 は新 研 究 所 の特 長 を出 し,互 い に切 磋 琢 磨 す る こ と は数 学 の 発 展 に と っ て も数 理 研 の 発 展 に とっ て も 良 い こ と です ね.

3.  海 外 の 数 学 者 た ち と 数 理 研

砂 田:国

際 的 な共 同研 究 所 と して  の 現 状 は ど う な の で し ょ うか?制

度上

困難 な 点 も多 い と思 い ます が. 森:数

理 研 に きて 共 同 研 究   を や りたい とい う外 国 人 研 究 者 は,ア

ジアだけ

で な く欧 米 に も大 勢 い ます.し か もそ の よ うな希 望 者 は数 理 研 の 規 模 を超 え て 多 い の で,建 物 と宿 泊 施 設 の増 強 を含 め て,受

け入 れ態 勢 の 充 実 が 強 く望

ま れ ます.し か し,こ の 厳 しい 現 状 の 中 で,数 理 研 の ス タ ッフ は 極 め て 活 発 に 国 際 共 同研 究 を行 な っ て い る と思 い ます.そ

れ は,そ

うす る こ とが,自

分

の研 究 活 動 に大 き くプ ラ ス に な っ て い る と 各 人 が 思 っ て い る か らで し ょ う. 研 究 所 の 役 割 分 担 につ い て で す が,国

内 で 国際 共 同 研 究 活 動 を行 な え る研  

究 所 は 現 在 数 理 研 ひ とつ しか あ りませ ん.単 独 の研 究 所 と して我 々 は努 力 し て い る つ も りで,数 理 科 学 の研 究 所 に 所 属 す る研 究 者 と しての 役 割 は果 た し て い る と 自負 して い ます. 砂 田:ア

ジ ア に あ る研   究 所 と して,ア

るべ き と考 え て い ます か?ア し ょう か?数

ジ ア諸 国 と数 理研 との 関係 は ど うあ

ジ ア か らの 留 学 生 な どは 受 け入 れ て い る の で

理 研 だ け で は解 決 で きな い 問 題 だ と思 い ます け れ ど も.

森:そ れ に 関 して,た ま た まで す け れ ど も,今 年 の3月 て,韓

国 のKIASとSeoul

に私 が ソ ウ  ルへ 行 っ

National Universityの 数 学 教 室 の2機

関 と交 流 協

定 を結 ん で き ま した.目 的 は研 究 者 の 交 流 が 一 番 大 きな こ とで,そ

の 他 に刊

行 物 の 交換 な どが あ り ます.最 近 の 韓 国 で は,欧 米 で研 究 活動 を 行 な っ た若 手 の研 究 者 が どん ど ん帰 国 して 活 発 に研 究 活 動 を行 な っ て い る よ うで,そ 囲気 が 非 常 に 強 く感 じ られ ま した.私

の雰

自 身 は,隣 国 で あ る韓 国 を は じめ 近 隣

諸 国 との 交 流 を今 後 は強 め て い きた い と考 え て い ます.中

国 に 関 して は,以

前 か ら個 人 レベ ル で 活 発 な 交 流 が あ ります. 斎 藤:日 本 とそ の 近 隣 諸 国 との 交 流 は今   後 更 に 大 切 に な っ て ゆ く と思 い ま す.偶 然 です が,私 は先 週 まで約2週

間 ほ どベ トナ ム に 滞在 して き ま した.こ

れ は 昨 年 か ら始 まっ た,日 本 とベ トナ ム の 数 学 交 流 プ ロ グ ラ ム に 基 く もの で す.私

自 身,大 学 時 代 の 数 学 科 の 同 級 生 にベ トナ ム 人 の フ ィ ン ・ム イ さ ん が

居 た こ とや ドイ ツ留 学 中 にベ トナ ム 人 数 学 者 の レ ・デ ュ ン ・ トラ ン さ ん と知 り合 っ た こ と もあ っ て,4半 ン タ ク トして き ま した.た

世 紀 以 上 に わ た り,ベ

トナ ム の 数 学 者 た ち と コ

とえ 社 会 制 度 が 異 な っ て も数 学 は 同 じで す .し か

し,社 会 が 異 な れ ば,当 然 数 学 をめ ぐる 環 境 も異 な ります,多

くの 制 約 や 困

難 をか か え な が ら,そ して,大 変 な労 苦 を され なが ら,自 ら数 学 を研 究 す る 一方 ,数 学 や 若 い 数 学 者 を育 て て い こ う と い う,強 い意 志 を抱 い た これ 等 の 友 人 に接 し,私 は深 い尊 敬 を抱 き ます し,頭 の 下 が る思 い が します.

こ れ は な に もベ トナ ム 人 に限 ら な い こ とで す が,僕 は,数 学 に興 味 を持 ち, 数 学 を や りた い 人 々 が い る 限 り,ど こ の 国 の 人 と も交 流 を続 け て ゆ きた い と 思 い ます.そ れ を制 度 で 裏 付 け る事 も必 要 で し ょ うが,又

あ ま り制 度 が先 行

して も….

4.  開 か れ た 研 究 所 に

砂 田:研 究 所 って い うの   は,あ

る意 味 で そ の 字 義 通 り研 究 をす る場 所 で す

け れ ど も,や は り社 会 に 対 して で す ね,何 か し ら 自分 た ち の や って い る こ と を説 明 す る とか,啓 蒙 して ゆ く とか,そ い る よ う な気 が しま す.そ

うい う活 動 も昨 今 特 に必 要 に な っ て

うい う方 面 で 何 か 研 究 所 で 活 動 さ れ て い る とい う

こ とは あ ります か? 森:行 第1週

事 と して   や っ て い る の は,夏 の 公 開講 座 で す.こ に や って い ます けれ ど も,申

し込 み 者 も多 くて,数

れ は毎 年,8月

の

学の啓蒙活動 には

大 い に 寄 与 して い る ん で は な い か と思 っ て い ます.研 究 所 の ス タ ッフが 毎 年 3人 講 師 に な り ま して,1週 て,3人

間 の 間,毎

日 を午 前1コ

マ と午 後2コ

マ に分 け

の 講 師 が 月 曜 か ら金 曜 まで 連 続 講 義 をや る と い う よ う に して い ます.

砂 田:出 席 者 は だ い た い どん な感 じの 人 達 が 多 い ん で し ょ う? 森:出

席 者 は 大 学 生,高

校 の 先 生,そ

れ か ら結 構 な お 年 寄   りもい れ ば 中 高

生 もい ます.主 婦 や 会 社 員 の 方 もい ます. 砂 田:そ の 講 座 の 目 的 は,数 学 者 が   自分 の 専 門,あ

る い は そ の 専 門 の まわ

りの 数 学 を,な ん か 説 明 して わ か っ て も ら うた め な の か,あ

るい は も うち ょっ

と広 い 意 味 で,数 学 は私 た ち の社 会,あ る い は 人類 に役 に 立 つ とい う立 場 で, そ う い う こ とを 説 明 し よ う とい う こ とな ん で し ょ うか? 斎 藤:そ

の 問 に答 え る前 に,我 々 人 間 は なぜ 数 学   を研 究 す る の か,と

いう

問 い が あ り,そ れ に対 し,二 つ 典 型 的 な 答 えが あ る と思 い ます.一 つ は,数 学 は現 代 の 科 学 及 び技 術,そ あ る とい う考 え 方.そ

して,も

して産 業 社 会 を支 え て い る基 礎 と して不 可 欠 で う一 つ は,文 化 な い し芸 術 活 動 と して 数 学 が

存 在 す る と い う考 え方 で す.両 者 は 両 極 端 に ス プ リ ッ ト して い る よ うに 見 え ます.僕

は そ の 両 者 を結 ぶ 一 つ の 答 え,即

ち,人 間 の 根 源 的 要 求 と して の 数

学 が あ る よ う に思 い ます.世 界 を 認 識 し,深

く理 解 した い とい う人 間の 根 源

的 要 求 の 中 で,数 学 は重 要 な 一 角 を荷 っ て い る と思 い ます.も

ちろ んその中

に は 科 学 技 術 上 の役 割 も あ れ ば 文 化 上 の 役 割 もあ る と思 い ます.数 理 解 析 研 究 所 も,そ れ ら の 要 求 に応 え る必 要 が あ る し,ま た,自

ら そ の 要 求 に導 か れ

て研 究 を す す め て い る の だ と思 い ます. 公 開講座 への参加 者は森先生 の言  わ れ た よ うに 多 様 です.私

に は,そ

の参

加 者 中 に,何 事 か 一 歩 深 く(数 学 的 に)理 解 した とい う,そ の こ と 自体 に喜 び を 見 出 して い る 人達 が 結 構 多 数 い る とい う こ とは,非 常 に 示唆 的 で あ り,ま た,大 切 な こ と に思 え ます.

5.  若 い 世 代 を 育 て る た め に

砂 田:研 究 所 の 主 た る 目的 の 一  つ に,若 手研 究 者 を 育 て る とい う大 事 な部 分 もあ る と思 い ます.個

々 の個 人 の仕 事 が い か に大 きい もの で あ っ て も,そ

れ を 受 け 継 ぐ,あ る い は直 接 的 に受 け 継 が な くて も,そ の独 創 的 な研 究 と い う大 きい 枠 ご と に受 け継 ぐ人 を育 て な けれ ば,や

っ ぱ りい け な い.そ れ につ

い て は ど う お 考 えで し ょ うか? 森:そ れ につ い て は,数 理 研 は,も ち ろ ん研 究所 で は あ ります け れ ど も,伝 統 的 に な ん らか の 形 で 大 学 院 生 を育 て る と い う こ とを シス テ ム と して や っ て き て お り,実 際 現 在 も大 学 院 生 が い ます.た

だ し,最 近 の い わ ゆ る大 学 院 化

に対 応 して どの 大 学 で も大 学 院 生 の 数 が 非 常 に 増 え ま した け れ ど も,数 理 研 は ど ち らか とい う と む しろ そ れ を抑 え て,少

数 精 鋭 で 優 秀 な 若 手 を育 て て い

こ う,と い う こ とを 強 く意 図 して い ます.そ の よ うな 態 度 に対 して は実 際 に は あ る程 度 外 か らの 批 判 もあ ります が. そ れ か ら,研 究 所 だ け で は な くて学   部 も含 め て 一 般 に,最 近 は助 手 の ポ ス トを振 り替 え て 教 授,助 教 授 に す る(upshiftす

る)こ

い ます け れ ど も,数 理 研 は そ れ を一 切 や らず に,や

とが 普 通 に行 な わ れ て

は り助 手 とい う もの が 若

手 研 究 者 に と っ て 非 常 に重 要 な ポ ス トで あ る とい う こ とを ス タ ッフ の皆 が 共 通 して 認 識 して い ます.し た が っ て,助 手 を上 位 の ポ ス トに振 り替 え る よ う な こ とは 今 ま で して い ま せ ん し,1年

前 に大 部 門化 が 実 現 した と き に も教 授

や 助 教 授 は 増 や さず,新

た に助 手 だ け3と

い うポ ス トを増 や す こ とが で き ま

した.そ の く らい わ れ わ れ と して は助 手 な い しは 若 手 研 究 者 の 重 要 性 を認 識 して,そ の ポ ス トを守 っ て い こ う と して い る わ け で す. 砂 田:数 理 研 は 京 都 大 学 の 附置 研 究 所 で す が,理 学   部 との 関 係,特

に教 育

に つ い て は密 接 な 関 係 をお 持 ち で し ょう か? 斎 藤:数 理研 は 理 学 研 究 科 と協 力 講 座 と して 大 学 院 を共 有 して い ます が,理 学 部 とは 制 度 上 は 関 わ っ て い ませ ん.む

しろ,個

々 の研 究 者 の レベ ル で,年

度 毎 に併 任 あ る い は兼 担 と い う形 で,講 義 を 行 な うこ とが 毎 年 多 少 あ り ます が,私 は,数

学 の 後 進 の 育 成 に は,大 学 院 の み な らず,学 部 に お け る教 育 は

非 常 に大 切 と思 い ま す.ま

た,そ の 中 で,数

べ き役 割 は い ろ い ろ あ る と思 い ます.そ 必 要 と思 い ます.他 方,そ

理 研 の 果 たせ る,ま た,果

たす

の た め に は両 者 の もっ と密 な連 携 が

うい う制 度 的 な 話 で は な く,単 に考 え ご とに ふ け

りな が ら キ ャ ンパ ス を歩 い て い る数 学 者 が 居 る とい う こ と 自体 が,何 事 か を 成 し遂 げ よ う と思 っ て い る学 生 に対 し間接 的 に影 響 を 与 え る こ と もあ る と思 い ます. 砂 田:学  

力 低 下 の 問 題 と結 び つ くか も しれ ませ ん が,若

れ につ い て は,ど

い人 たちの数学離

うお 考 え で す か?

森:日 本 の 数 学 離 れ は深 刻 だ と思   って い ます.小 学 校,中 学校 と先 へ 進 んで い くと き,数 学 を本 当 に理 解 す る に は 各 人 か な り努 力 が 必 要 な んで す ね.そ れ は高 校 に な っ て も大 学 に な っ て も同 じで す.と

ころ が い わ ゆ る ゆ と りを重

視 す る あ ま り,努 力 を して何 か をや ろ う とす る こ と を軽 視 す る 習 慣 が 小 さ い 頃 か らつ い て きて し ま っ て い る.そ の た め に,数 学 を先 へ 進 ん で 勉 強 しよ う と努 力 す る 子 供 や 若 者 が 減 って しま っ た. したが っ て,数

学 離 れ は 数 学 の 当事 者   の 責 任 とい う よ りは,む

教 育 と子 供 の 育 て 方 全 般 の 問 題 で,そ

しろ 日本 の

れ を解 決 し ない とな か な か元 へ は戻 ら

な い の で は な い で し ょ うか. 斎 藤:た

しか に 戦 後 半 世   紀 を経 て,冷 戦 も終 了 した世 界 にあ っ て,数 学 の

お か れ て い る環 境 は変 わ っ て きて い る よ うに 見 え ます.か

つ て は,科 学 とい

う こ とで 受 け て きた 予 算 の 援 助 は も はや 自動 的 な もの で は あ り ませ ん.何

に

そ れ が役 立 つ の か 説 明 を求 め られ て い ま す.人 々 に と っ て 科 学 は か つ て ほ ど challengingで

もattractiveで もな い よ う にみ え ます ． この よ う な変 化 が,若

図4:「

上 毛 か る た」 に あ る 関孝 和(1642?‐1708)の

絵 札(〓

群 馬 文 化 協 会).

い 人 達 や 子 供 達 の 選 択 に 影 響 を与 え て い る の は事 実 と思 い ます .し か し一 方 ひ るが え っ て み る と,私 が 先 に述 べ た 人 間 の根 源 的 要 求 と して の数 学 の 役 割 は,こ

の よ う に社 会 環 境 や 制 度 が 変 化 した に もか か わ らず,変

い ます.例 ン,オ

っ て な い と思

え ば,現 在 我 々 の行 な って い る 数 学 の 源 流 を生 み 出 した ニ ュ ー ト

イ ラ ー や ガ ウ ス とい う人 々,あ る い は 日本 で は 関 孝 和 や 建 部 賢 弘 とい

う人 々 とそ の 時 代 の こ と を 考 え て み る と します.も

ち ろ ん,現 代 の 大 学 制 度

もな け れ ば,お か れ て い る研 究 環 境 も社 会 的 役 割 等,皆 彼 等 を通 して 流 れ る学 問 は現 在 数学 と呼 ば れ,我

相 異 な って い ます が,

々 に ひ きつ が れ て きて い る

の で す. 同  じ よ うに,今 後 も,大 学 制 度 や 社 会 に お け る数 学 の 役 割 は変 化 して ゆ く か も しれ ませ ん が,も

っ と根 源 的 な と こ ろ で の 数 学 の役 割 は 変 わ らな い と思

い ます.僕 は 今 後 と も,数 学 にchallengeす ます.だ

か ら,そ

る若 い 人 達 は 生 まれ 続 け る と思 い

うい う人 達 を どの よ うに 発 掘 し,育 て て い くの か.そ れ は

単 に数 理 研 の み な らず,数 学 界 全 体 の 重 要 な 課 題 と思 い ます ね. 砂 田:こ れ に 直接 関係 あ る 問題 な の か ど うか,わ か らな い です   が,あ る い は も う森 先 生 の お っ しゃった よ う に,も う,社 会 全 体 や 政 治 の 問 題 が 関 わ って き

て い る こ とで,我

々個 人,あ

る い は研 究 所,大

学 レベ ル で何 か,そ

こ で努 力

して も な か な か う ま くゆ か な い か も しれ ませ ん け ど も,一 方 で た と え ば,こ れ は 是 非 は 別 と して で す ね,日 本 だ と戦 後,湯 川 秀 樹 さん が ノー ベ ル賞 を も ら っ た り,そ れ か ら小 平 邦 彦 さん が フ ィー ル ズ賞 を も ら っ た り,そ う い う こ とで,そ

の と き に,あ

る意 味 一 次 的 な ブ ー ム なの か も しれ な い け ど,結 構 物

理 や 数 学 に 対 す る 関 心 が 高 ま りま した.そ れ で 子 供 の 中 に は そ うい う こ と に 憧 れ て,自 分 も物 理 学 者 に な ろ う,数 学 者 に な ろ う と い う,そ うい う人 も結 構 い る と思 い ます.そ 究 して て,ど

うい う意 味 で で す ね,何 か,個

う い う立 派 な こ と を や って るの か とい う こ とを,や

か の形 で 宣 伝 す る,そ か.た

々の 研 究 者 が,何

を研

っ ぱ り何 ら

う い う方 法 は 大 き な賞 の受 賞 以 外 に もあ るの で し ょう

と え ば,こ の 研 究 所 で 行 な わ れ て い る研 究 で,数 学 者 の 世 界 で は 非 常

に有 名 な研 究 が い くつ も あ る ん だ け れ ど も,そ れ を も う ち ょっ と何 か 一 般 の 人 に もわ か りや す い 形 で,そ

れ は高 校 生 あ る い は もち ょっ と手 前 の レベ ル か

も しれ ない し,あ る い は 高 校 の先 生 の レベ ル か も しれ な い け ど も,そ う い う レベ ル で 説 明 す る こ とは,必

要 と感 じて お ら れ ます か?ま

あ 可 能 か ど うか っ

て い う こ とが 先 か も しれ ませ ん が. 森:湯

川 さん の 場 合 は,中

い に もか か わ らず,あ

間子   の 理 論 が世 間 一 般 に理 解 され た わ け で もな

れ が 非 常 に 刺 激 に な っ て,物 理 をや ろ う,数 学 を や ろ

う とい う若 い 人 が 増 え た わ け で す ね.数 学 の研 究 者,特

に純粋 数学の研究 者

が 自分 の 仕 事 を世 間 の 人 に分 か りや す く説 明 す る こ とは 非 常 に 難 しい と思 い ま す が,湯

川 さ んの と きの よ う に世 間 の ム ー ドを盛 り上 げ る う まい ア イ デ ア

が あ れ ばぜ ひ教 え て欲 しい もの で す.

6.  21世

紀 への メ ッセ ー ジ

砂 田:そ

うい う意 味 で 数 理 研 の1つ

の 役 割 っ て い う んで す か ね,数

理研 だ

け じゃ な くて,日 本 全 体 っ て い うこ とで も独 立 行 政 法 人 化 とか い ろ い ろ問 題 に な っ て い ます け れ ど も,数 理 研 が 将 来 果 た すべ き役 割 に つ い て は ど うお 考 えで し ょ うか?ま 森:独

た,数 学 者 個 人 と して の抱 負 な どお 聞 か せ くだ さい.

立 行 政 法 人 化 の 問題 は わ れ わ れ に と って 深 刻 です が,数 学 に  ど うい

うふ う に 影 響 が 出 て くる か まだ よ くわ か りませ ん.し

か し,数 学 の 研 究 そ の

もの が 独 立 行 政 法 人 化 の 影 響 で衰 退 す る よ う な こ とが あ って は な らない の で , 京 都 大 学 とい う大 き な母 体 の な か で,な

るべ く深 刻 な 影 響 を受 け ない 形 で 対

処 で きれ ば い い と思 って い ます. 斎 藤:制

度 と して の研 究 所   を考 え る と,数 理研 は こ れ か ら もい ろ い ろ変 化

し て ゆ く し,ま た変 革 を要 求 さ れ る と思 い ます.そ の 中 で ,我 々 は,数 学 に 対 す る根 源 的 要 求 と,そ れ に対 す る責 任 を負 っ て い る こ と を見 失 わ な い よ う に して ゆ か ね ば な らな い よ う に思 い ます.ま

た,そ の 為 に は ,何 が 必 要 な の

か常 に数 学 を よ り広 い立 場 か ら見 直 して ゆ く必 要 も あ る か と思 い ます .私 は, 目 に 見 え る 成 果 を 短 期 的 に挙 げ る こ とを 要 求 す る よ う な現 在 の 社 会 の流 れ に 反 して で も,若 い研 究 者 が,根

本 的 な問 題 に 専 念 で き る研 究 環 境 を維 持 す る

責 任 を感 じて い ま す. 個 人 的 に は 私 は数   学 者 と して は 幾 何 学 に 興 味 が あ ります.も は 数 学 の 中 で,ご

く一 部 で は あ り ます が,2,3思

ち ろ ん,そ れ

い つ く問 題 を挙 げ て み ます.

‐  String理 論 は 異 な る 幾 何 学 を双 対 性 の 下 に結 びつ け る問 題 提 起 を して い ま  す.現 在 研 究 が 進 め られ て い る 部 分 的 解 答 にす ら,異 る幾 何 間の 従 来 思 い も よ ら な か っ た 新 しい 関連 が 見 つ か っ て い ま す.そ の 全 面 的 理 解 の た め に は,空

間概 念 の 変 革 等,幾 何 学 の 全 般 的 見 直 しが 進 むか も しれ ませ ん.僕

自 身 は そ の 端 くれ を荷 な っ て い る の み で す が,全 体 と して ど う発 展 して ゆ くの か 非 常 に興 味 を も って 見 守 っ て い ま す. ‐  私 に は ,例 え ば ホ モ トピー 等 の よ う に,標 数0で

見慣 れ た世 界 が,正 標 数

の 世 界 と(場 合 に よ っ て は 不 可 避 的 に)不 可 分 で あ る とい う こ とは ,驚 き を超 え て,驚 異 で す.新 しい 世代 の 幾 何 学 者 達 は ,正 標 数 の 世 界 を も,彼 等 の 自然 な 直 感 に と りこ ん で ゆ くの で し ょう か. ‐  コ ン ピュ ー タに よる 膨 大 な計 算 能 力 が これ まで 見 る こ との で きな か っ た"現 象"を 視 覚 化 させ て き ま した.こ の こ との 現 実 的 意 味 合 い は お ろ そ か に で き な い もの が あ り ます.他 方 そ の 結 果,一

部 の 数 学 者 の 間 に は 数 学 にお け る

証 明 の 役 割 を 減 じる 意 見 も出 て い ます.し か し,僕 に は,そ れ 等 コ ン ピュ ー タ に よ り示 され た"現 象"が,realな

の かpseudoな

もの で な い の か 区 別 が

つ き ま せ ん.数

学 に と っ て 証 明 は 健 康 の 基 本 で あ り,そ

学 は 成 り立 ち 得 な い よ う に 思 い ま す が.そ 持 っ て 「実 数(近

似)と

れ な く し て は,数

う な る と,改

め て新 た な意 味 を

は 何 な の か 」,「計 算 可 能 と は ど う い う こ と か 」,「超

越 性 と は 何 な の か 」 等 の 計 算 可 能 と不 可 能 の 間 に あ る 問 い が 浮 上 し て く る の で は な い で し ょ う か."有 あ る に せ よ,何

限 的 で あ る"人 間 に と っ て の 数 学 は"近 似 的"で

ら か の 有 限 プ ロ セ ス に よ り,答

え を 出 す こ とが 求 め られ る

の で す か ら.

森:将 は,コ

来 の   こ と で す が,応

用 の 立 場 か ら 言 い ま す と,今

ン ピ ュ ー タ の 発 展 と も 相 ま っ て,よ

い う こ と で,ポ

り高 く,よ

ジ テ ィ ブ な テ ー マ が た く さ ん 世 の 中 に あ り,そ

若 い 人 達 も魅 力 を感 じて,応 と こ ろ が,こ

り 大 き く,よ

ま で の20世

用 を や り,そ

れ か ら は む し ろ,環

紀 に

り速 く と

れに向 かって

れ を 支 え る 数 学 を や っ て き ま し た.

境 問題 とか 核 廃 棄 物 の 処 理 問題 とか い っ た

か な り厳 し い 問 題 を 数 学 が 応 用 数 学 の 立 場 か ら支 援 し な く て は な ら な く な る で し ょ う.と

す る と,若

い 人 達 に も 今 ま で と 違 っ て,そ

う い う厳 しい 問 題 に

取 り組 ん で も ら わ な く て は な ら な い と い う 面 が 強 く 出 て 来 る ん で は な い か と 思 い ま す.そ

う い う 意 味 で,こ

れ か ら の21世

魅 力 を 感 じ さ せ る と い う こ と は,大 要 と す る こ と に な る と 思 わ れ ま す.数 ど も,そ

7. 

紀 に は,若

い 人 達 に応 用 数 学 に

切 な こ と で す け れ ど も,か 理 研 に も,特

な り努 力 を 必

に 応 用 に 関 して で す け れ

の 影 響 は 出 て く る ん で は な い か と 思 い ま す.

エ ピ ロ ー グ

斎 藤:最

近,京   都 画 壇 の 故 安 田 画 伯 の 絵 が 数 理 研 に 寄 付 さ れ ま し た.安

画 伯 は,特

に ド ン ・キ ホ ー テ の 絵 で 有 名 な 方 で す.ド

ン ・キ ホ ー テ な ら 数 理

研 に 似 合 う の で は な い か と 思 っ て 飾 っ て い ま す. 砂 田:え?ど

う し て?

 

斎 藤:数

学 者 に は ド  ン ・キ ホ ー テ み た い な 人,よ

砂 田:な

る ほ ど.

斎 藤:人

間には  ハ ム レ ッ ト型 と か,フ

田

く い ま す か ら(笑).  

ァ ウ ス ト型 も あ り ま す ね.

図5:数

理 研 に飾 られ て い る ドン ・キ ホ ー テ の 絵 「 モ ンセ ラ ー トの 誓 い」(画:安

  森:フ

ァ ウ ス ト型 っ て い う の は?

斎 藤:ド

イ ツ の 民 話 に 出 て く  る フ ァ ウ ス トっ て い う の は,よ

る よ う に,世

く知 ら れ て い

界 の こ と を 何 で も 全 て 知 りた く て 悪 魔 と 契 約 し て 魂 を 売 り,若

さ を 手 に 入 れ る.そ

し て 彼 は 望 ん で い た こ と を す べ て 愉 し む の で す が,最

に は 契 約 が 切 れ て,フ 砂 田:そ

田謙)

後

ァ ウ ス トは 悪 魔 に 魂 を と ら れ て し ま う.

れ は ち ょっ と,数

は 少 な い ん じ ゃ な い か な あ,そ

  こ ま で は.じ

ゃあ

ハ ム レ ッ ト型 っ て い う の は? 斎 藤:"Tbbe,ornotto 砂 田:う

ー ん.個

  be‐that 人 的 に は,私

is the question." は ド ン ・キ ホ ー テ 型 が い い な.人

も し れ な い け れ ど も. 森:21世

紀 の 数  学 者 は,ど

ん な タ イ プ に な る の で し ょ う ね.

は笑 うか

あ とが き

 監 修 者 の恩 師 で あ る 志 賀 浩 二 氏 に よれ ば,学 問 に は 「進 化」 す る もの と 「深 化 」 す る もの の2種

類 が あ る と い う.数 学 は後 者 に 属 す.そ れ は,数 学 の 歴

史 を振 り返 れ ば容 易 に 分 か る こ と だ.例

を挙 げ よ う.タ ー レス に始 ま りユ ー

ク リ ッ ドに よ り完 成 され た 古代 ギ リシ ャの 幾何 学 は,空 間 の 「等 質 ・等 方 性 」 (合 同 の公 理)と

「平 坦 性 」(平 行 線 の公 理)を 大 前 提 と して い る.し か し,既

に ユ ー ク リ ッ ドの 時 代 か ら,数 学 者 は 「等 質 ・等 方 性 」 が 「平 坦 性 」 を導 く の で は な い か と疑 い,実 て き た.そ

に2000年

以 上 に 及 ぶ 「証 明」 の 試 行 錯 誤 が な され

して つ い に ガ ウス に よ り,「平 坦 性 」 は 「等 質 ・等 方 性 」 とは 独 立

で あ る こ とが 宣 言 され,「平 坦 」 で な い 空 間(非 ユ ー ク リ ッ ド空 間)が 数 学 的 実 在 と して 認 識 さ れ た の で あ る.実 は,合 同 の 公 理 を 「 等 質 ・等 方 性 」,平 行 線 の 公 理 を 「平 坦 性 」 と読 み 替 え る こ と自 身 が,数 学 が 到 達 した 「深 さ」 を 言 い 表 して い る.さ

ら に ガ ウス と リー マ ン に よ り,「平 坦 」 か らの ズ レは 曲率

とい う量 で 表 され る こ とが 示 さ れ,20世

紀 に は,曲 率 は空 間 の大 域 的位 相 構

造 を 規 定 す る こ とが 分 か っ て き た.現 代 幾 何 学 の 勃 興 で あ る.そ れ だ け で は な い.非 ユ ー ク リ ッ ド空 間(平 面)は,ポ

ア ン カ レ,ク ラ イ ン,ワ

イル の 仕

事 を 通 して数 論,代 数 幾何 学 に 関 連 す る こ と に な り,ワ イ ル ズ に よ る フ ェ ル マ ー 予 想 の 証 明 に も繋 が っ た.さ

ら に は,21世

紀 に残 さ れ た最 大 の 未 解 決 問

題 で あ る リー マ ン予 想 に も深 い 関 係 が あ る.こ の 古 代 数 学 か ら現 代 数 学 へ の 道 筋 は,空 間 の 理 解 と数 の 理 解 の 「深 ま り」 の 過 程 で あ り,人 類 の 「精 神 活 動 」 の 発 展 ・深 化 を象 徴 す る事 柄 な の で あ る.そ

して,そ の 山 発 点 で あ っ た

古 代 ギ リシ ャの 幾 何 学 は,現 在 で もそ の 輝 き を失 っ て は い な い.我 は,こ の こ と を誇 りに思 う.

々数学者

 本 書 に取 り上 げ た論 説 で 扱 わ れ る 話 題 も,す べ て 人 間精 神 の 「深 化 」 を物 語 って い る.「数」 と 「形 」 と 「関 数 」 の 世界 に潜 む美 しい 「構 造 」 を見 出す 努 力 は,古 くな っ た もの を捨 て 去 っ て い く 「 進 化 」 とは 全 く異 な る道 程 で あ る こ とが,本

書 を読 み 進 め る こ とに よ り理 解 さ れ る だ ろ う.過 去 の 数 学 は 「博 物

館 」 に収 め られ る 遺 物 で は な く,常 に装 い を新 た に し て,研 究 の 現 場 に 登 場 す るの で あ る.し か も,伝 統 的 な数 学 的対 象 や概 念 の み な らず,数 学 の 「外 」 で 育 ま れ た 概 念 を 取 りこ む こ と に よ っ て,数 学 の 「世 界 」 は これ か ら さ ら な る 「深 化 」 を遂 げ よ う と して い る.本 書 の 日本 語 版 監 修 者 と して,数 学 とい うユ ニ ー ク な学 問 を読 者 に 知 ら しめ る こ とが で きる喜 び と と も に,監 修 者 自 身 が 本 書 収 録 の 論 説 を読 む こ と に よ り,「義 務 」 とい う感 覚 を超 え て,こ の 素 晴 ら しい 数 学 に対 す る気 持 ち を新 た に して い る こ とを 告 白 し よ う.

砂田

利一

索

引

◆ 欧 文 先 頭

de

Abresch,U.,128

DNA,19

Rham,G.,115

Alexandrov,128

Donaldson,S.K.,117

APRCL法,37‐39

Dubrovin,124

Atiyah,M.F.,115 Atiyah‐Singer指

数 定 理,116

ECM,41,43 Einstein,114

baby‐step

giant‐step法,40,43,46,

Eisenhart,128

48,49,64,65 Baker‐Akhiezer関

数,129

Faltingsの

定 理,63,66,68,70

Berger,M.,118,121

Fcrmatの

最 終 定 理,32

BirchとSwinnerton‐Dyer(BSD)

Fermatの

小 定 理,34

予 想,31,62,66,69 Bloch‐Kato予

想,62

G2,121

Bochner,S.,116

Gz‐

Bott,R.,126

genus,63

多 様 体,122

Bryant,R.,122,123

Gompf,R.,125 GRH,46,49,53

calibrated部

分 多 様 体,122

GromoV‐Hausdorff距

Cartan,E.,114

Gromov,M.,114

Cech,115

Grothendieck,130

Chern,S.‐S.,116 Hafner‐McCurley法,47

Chi,123 classical coarse

Harish‐Chandra,157

geometry,113

Hasseの

geometry,113

Cremonaの

プ ロ グ ラ ム,66

Hodge,W.V.D.,115 Hopf,H.,115

Darboux,128 Deligne‐Serre対

定 理,64

Hirzebruch,F,E.P.,116

Colding,T.H.,119

応,61

IHES,181,185

離,119

Joyce，D.,122

Siegelの

J‐ 正 則 曲 線,124

sinh‐Gordon方

定 理,66 程 式,128

SLn,150 K3曲

SLn(R),143

面,150

KdV方

程 式,129

SLn(Z),150

Kontsevich,M.,132

special

Kostant,B.,156

Spin(7),121

geometry,113

SQUFOFア

Krichever,129 Kroneckerの

青 春 の 夢,56,69

ル ゴ リ ズ ム,41

SQUFOF法,43

Kummer対

応,60

String理

Kummer理

論,56

Sullivan,118

論,194

symplectic Langlands対

応,54,61

geometry,113

Synge,J.L.,115

Larkin,Philip.,113 Lawson,H.B.,130

Taubes,C.,124

Lichnerowicz,116 Lichtenbaum予 LLLア

想,61

ル ゴ リ ズ ム,50,51,53,67,69

LLL‐

簡 約

イ デ ア ル,53

LLL‐

簡 約 基 底,50

Weil,A.,60 Wente,H.,128 Weyl,Hermann.,114 Wiles,A.,32 Willmore曲

面,130

Merkulov,123 Morse.M.,116

Yau,S.T.,117

MPQS法,42‐44,46

Young,W.H.,115

Myers,S.B.;115

Zagier予

想,62

NFS法,42‐44,69

PARI,30

◆和文 ア イ ゼ ン シ ュ タ イ ン 級 数,149

Penrose,R.,117

ア イ ン シ ュ タ イ ン 計 量,120

Pocklinton‐Lehmer法,36

ア イ ン シ ュ タ イ ン の 一 般 相 対 論,77

Pollardのp‐1法,42,43

ア テ イ ヤ ‐シ ン ガ ー の 指 数 定 理,163

Pollardの

ρ ア ル ゴ リ ズ ム,40

ア テ ィ ヤ ‐ボ ッ トの 不 動 点 公 式,163

Pollardの

ρ 法,41,43,44

Painleve,P.,130

pseudo‐matrix,53 p進

ア フ ァ イ ン リ ー 環,158 粗 い 幾 何 学,113 ア ラ ケ ロ フ 理 論,161

Pontryagin,L.S.,115

ア ル ゴ リ ス ム,16

体,167

ア ル テ ィ ン の 形 式 的 方 法,138 Rabin‐Miller判

定 法,36

ア ル フ ォ ー ス の 基 本 予 想,165

round2ア

ル ゴ リ ズ ム,51

ア ル フ ォ ー ス の 有 限 性,164

round4ア

ル ゴ リ ズ ム,51

暗 号 理 論,16 安 定 性,126

Salamon,S.,122

1‐関 数,95

Schwachhofer,123 Seiberg‐Witten方 Serreの

対 応,61

程 式,124

(1次,2次)ス ピ ノ ル 部 分,84 位 置 ベ ク ト ル,84

一 般 化 さ れ たRiemann仮

説(GRH)

,

ガ ン マ 関 数,148

46 一般相 対論

,97 イ デ ア ル の 間 の 距 離,48

擬 行 列,53,54

イ デ ア ル 類 群,44，45

基 礎 物 理 学 研 究 所,181

イ メ ー ジ ・シ ス テ ム,20

極 小 曲 面,130

彌 永 昌 吉,181

基 礎 教 育,4

局 所 ツ イ ス タ ー,106

岩 澤 健 吉,62,142

極 分 解,142

岩 澤 のMain

虚 数 乗 法,56

Conjectures(MC),62

岩 澤 分 解,142

キ リ ロ フ 理 論,158

因 子 基 底,46,48,49

キ リ ン グ 形 式,156

イ ン ス タ ン ト ン,112,121

ギ ル キ ー,163 銀 閣 寺,186

ウ イ ナ ー 測 度,158

近 似 の 性 質,139

ヴ ェ イ ユ,11,155

金 融 商 品,25

ウ ェ ー ブ レ ッ ト変 換,20 グ ー グ リ,101 遠 距 離 通 信 シ ス テ ム,20

ク ラ イ ン群,164,184 ク ラ イ ン対 応,87

オ イ ラ ー,192

ク ラ イ ン表 現,77

オ イ ラ ー 特 性 数,152

グ ラ フ 理 論,24

応 用 数 学,180

グ ラ ン ゼ コ ー ル,8

オ ー ク シ ョ ン 戦 略,26

ク ー ラ ン ト研 究 所,181

オ ー バ ー ヴ ォ ル フ ァ ッ ハ 数 学 研 究 所,

ク ロ ネ ッ カ ー の 極 限 公 式,151

185

グ ロ モ フ,3

概 多 項 式 時 間,37 ガ ウ ス,192

経 済 戦 略,25

ガ ウ ス 変 換,149,166

形 状,24

拡 散 過 程,145

ゲ ー ジ 変 換,126

確 率 的 多 項 式 時 間,38

ゲ ー ム 理 論,26

確 率 論 的 モ デ ル,25

言 語,6

過 去 向 き,92

原 始 元,49‐52

計 算 技 術,5

カ ス プ,149 可 積 分 系,112,129 カ ッ ツ,157 加 藤 和 也,62

公 開 講 座,189 効 果 的,59

下 部 構 造,48

降 下 法,66 工 業 製 品,17

カ ラ ビ ‐ヤ ウ 多 様 体,121,150

交 叉 理 論,158

カ ラ ビ 予 想,117,121

高 次 元 サ イ ク ル,158

カ ル タ ン‐ア ダ マ ー ル 多 様 体,147

合 成 積,139

カ ー ル マ ン の 定 理,145

高 等 科 学 研 究 所(IHES),181,185

ガ ロ ワ 対 応,60

合 同 類 群,54,55,60

ガ ロ ワ の 逆 問 題,60

後 方 チ ュ ー ブ,93

カ ン ガ ル ー 法,40 還 元 ス テ ッ プ,47‐49

公 理 的 手 法,14 コ サ イ ク ル 恒 等 式,95

関 数 等 式,148

コ ス タ ン ト,156

小 平 邦 彦,116,125,193

ス ペ ク トラ ル 曲 線,129

古 典 的 幾 何 学,113 コ ミ ュ ニ ケ ー シ ョ ン,18

ス ペ ク トラ ル 分 解,136

固 有 指 標,147 コ ン ツ ェ ビ ッ チ,132,133

ス ペ ク トル ゼ ー タ 関 数,152

コ ン ピ ュ ー タ,15

ス ペ ク トル 不 変 量,154

コ ン ピ ュ ー タ ・サ イ エ ン ス,180,181,

ス ペ ク トル 分 解,149

197

ス ペ ク トル 幾 何 学,178 ス ペ ク トル 展 開,148

ス ペ シ ャ ル(擬)ケ

ー ラ ー 計 量,122

ス ペ シ ャ ル ・ラ グ ラ ン ジ ュ 部 分 多 様 体, ザ ギ エ,30,59,62.66

122

先 物 市 場,26 佐 藤 幹 夫,181

正 規 化 さ れ た 熱 核 の メ リ ン 変 換,151

算 術 的 リ ー マ ン ‐ロ ッ ホ の 定 理,153

正 準 的 共 役 変 数,90 正 準 ポ ア ソ ン 括 弧,90

時 空M,103

整 数 点,65,66,68 正 則 表 現,156

時 空 計 量g,103 時 空 的 非 局 所 性,76 ジ ー ゲ ル 空 間,154

生 物 シ ス テ ム,19

ジ ー ゲ ル ‐ハ ウ の ガ ウ ス 核,154

ゼ ー タ 関 数,148,151

自 己 双 対,96

セ ー ル,30

自 己 双 対(右 次 数nの

回 り)部,77

斉 次 正 則 関 数,91

質 量 な し場,91

関 孝 和,192

セ ル バ ー グ ゼ ー タ 関 数,149,162 選 択 売 買 権,25 前 方 チ ュ ー ブ,92

質 量 な し粒 子,88 自 動 幾械,23

双 曲 型n次

自 動 制 御 理 論,24 シ ャ イ ・ハ ラ ン,167

層 コ ホ モ ロ ジ ー,77,94

元 空 間,146

射 影 ツ イ ス タ ー 空 間PT,85

測 地 線,162

双 対 ツ イ ス タ ーWa,87

周 期 化,146 周 期 積 分,178

大 域 的 位 置 検 索 シ ス テ ム(GPS),21

従 属 操 作,144

対 称 空 間,142

重 力 子,95

楕 円 曲 線,64,65,67‐69

種 数,63,68,70

楕 円 山 線 に 関 す る 離 散 対 数 問 題,65

シ ュ レ デ ィ ン ガ ー 核,144

楕 円 曲 線 法(ECM),41,43

準 指 数 関 数,41

楕 円 型 作 用 素,140

純 粋 数 学,20,131,180

楕 円 対 数,67

上 毛 か る た,192

高 木 の 存 在 定 理,55

初 等 整 数 論 の 基 本 定 理,33

建 部 賢 弘,192

シ ン プ レ ク テ ィッ ク 幾 何 学,113,123

多 項 式 時 間,37 谷 山 ‐志 村 ‐Weil対

神 保 道 夫,130 『数 学 の た の し み 』,178 数 体篩 法,42,44 ス ケ ジ ュ ー リ ン グ 理 論,24

応,61

試 し 割 り法,36,40,43,44 ダ ル ボ ー 複 体,152 単 項 ア ル ゴ リ ズ ム,47

ス ピ ノ ル,83

チ ャ ー ン 類,162

ス ピ ノ ル 対(〓),83

抽 象 化,7

ス ピ ン,79

超 越 数,136

調 和 形 式,160

ハ イ パ ー ・ケ ー ラ ー 計 量,121

調 和 写 像,129

ハ ウ,154

直 観 主 義 者,11

ハ ウ ス ドル フ 次 元,164

ツ イ ス タ ーZa,84

派 生 商 品,25 パ タ ー ソ ン ‐サ リ ヴ ァ ン級 数,165

ツ イ ス タ ー 空 間,77 ツ イ ス タ ー 対 応,77

波 動 核,144 パ ト ー デ ィ,163

ツ イ ス タ ー 量 子 化,91

ハ リ シ ュ‐チ ャ ン ド ラ,157

デ ィ オ フ ァ ン トス 近 似,136

ハ リ ス ,159 反 自 己 双 対 ヤ ン ‐ミ ル ズ 方 程 式,117

デ ィ オ フ ァ ン トス 問 題,136

反 自 己 双 対 的 場,96

デ ィ オ フ ァ ン トス 予 想,161

反 自 己 双 対(左

デ ィ ラ ッ ク 作 用 素,163

半 単 純 リ ー 群,142 パ ン ル ベ 超 越 関 数,130

デ ィ ラ ッ ク 列,138

回 り)部,77

デ ー タ,15 デ ー タ 解 析,22

非 効 果 的,59

テ ー タ 級 数,143,156

非 コ ンパ ク ト型 リ ー マ ン対 称 空 間,146

テ ー タ 反 転 関 係 式,148 デ デ キ ン トの エ ー タ 関 数,151 デ ル タ 関 数,139 天 球,80

批 判 的 精 神,12 フ ァ イ ン マ ン 積 分,158 フ ァ ル テ イ ン グ ス,161 フ ィ ン ・ム イ,188 フ ェ ガ ン,156

東 京 大 学 物 性 研 究 所,181 統 計,22 同 伴 熱 核,138 等 分 点,56 特 殊 相 対 論,82 特 殊 な 幾 何 学,113 独 立 行 政 法 人 化,193 トモ グ ラ フ ィ ー,23

フ ェ ル マ ー の 最 終 定 理,32 複 素 解 析 性,76 複 素 化 ミン コ フ ス キ ー 空 間 の コ ンパ ク ト化,87 複 素 構 造 の 変 形,98 複 素 射 影 線(リ

ー マ ン 球),77

複 素 振 幅,80 複 素 数 値 距 離,52 複 素 多 様 体,77

2次 篩 法,42‐44 ニ ュ ー ト ン ,192

複 素 ト ー ラ ス,151 複 素 半 単 純 リ ー 群,142

認 証 シ ス テ ム,18

付 随 的(incident),84 プ ラ ト ン 主 義 者,11

ヌ ル 円 錐,82

フ ー リ エ 級 数,147

ヌ ル 超 平 面,82

フ ー リ エ ・ハ リ シ ュ ‐チ ャ ン ド ラ 解 析,

ヌ ル ツ イ ス タ ー,84

150

ヌ ル 分 離 性,101

プ リ ン ス ト ン 高 等 研 究 所,136,181

ヌ ル ベ ク トル,82

プ レ ジ ェ ル,143

熱 ア イ ゼ ン シ ュ タ イ ン 級 数,150 熱 核,137,140

不 連 続 群,178 プ ロ ジ ェ ク ト研 究 計 画,181

熱 核 の ト レ ー ス,148

ブ ロ ッ ク,158

フ レ ン ケ ル,157

熱 作 用 素,140

フ ロ ベ ニ ウ ス 多 様 体,124

ネ ッ ト ワ ー ク,24

分 子 生 物 学,19

平 均 曲 率 一 定 曲 面,128

吉 川 謙 一,153

平 坦 ミ ン コ フ ス キ ー 時 空,77 ベ イ リ ン ソ ン,158

吉 田 耕 作,141,177

ベ ク トル,79

4‐運 動 量pa,88

世 論 調 査,22

ベ ク トル 値 距 離,52 ベ ク トル の 方 向,79

ラ ド ン 変 換,23

ヘ リ シ テ ィ,88

ラ プ ラ シ ア ン,140

変 分 公 式,151

ラ ム ゼ ー ‐ブ ワ ト ゥ ー 則,25

ポ ア ソ ン 核,144 ポ ア ソ ン の 和 公 式,147 ポ ア ン カ レ,7 ポ ア ン カ レ計 量,164 ホ ー キ ン グ,74

リ ー 環(リ

ー 代 数),126,142

力 学 系,178 リ ー 群,121,129,139 離 散 部 分 群,150 立 体 射 影,80

保 険,25

リ ッ チ テ ン ソ ル,96

ホ ロ ノ ミ ー,121

リ ー マ ン 球,80 マ ク ス ウ ェ ル 場,77

リ ー マ ン 球 面,164

マ ク ドナ ル ドの 恒 等 式,156

リ ー マ ン 曲 率 テ ン ソ ル,96

マ ズ ー ル に よ る 予 想,160

リ ー マ ン 対 称 空 間,146 リ ー マ ン 多 様 体,140

ミ ナ ク シ サ ン ダ ラ ム,143 未 来 を 向 く,88 ミ ラ ー ・シ ン メ ト リ ー,112 ミ ラ ー 対 称 性,132

リ ー マ ン 面,60 量 子 コ ホ モ ロ ジ ー,124

類 体 論,54,55,57 ル ー プ 群,129

三 輪 哲 二,130 ミ ン コ フ ス キ ー 空 間,77

レ ッ グ ‐ブ レ ー ク 空 間T,99 メ タ プ レ テ イッ ク 群,154,155

レ ・デ ュ ン ・ ト ラ ン,188

メ リ ン 変 換,148

連 続 ス ペ ク トル,149 連 分 数 法,44

モ ジ ュ ラ ー,67 モ ジ ュ ラ イ 空 間,150 モ ジ ュ ラ ー 関 係 式,157 モ デ ル,6

ロ ー レ ン ツ 時 空,120

モ ー デ ル 予 想,161 モ ノ ポ ー ル,112,121 ヤ コ ビ 多 様 体,63,64,67,68 (ヤ ン‐ミ ル ズ)ゲ

6‐角 運 動 量Mab,88 ロ ボ ッ ト,23

ー ジ 場,77

ロ ー レ ン ツ 変 換,80

ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス 近 似,144 ワ イ ル 共 形 曲 率,81 ワ イ ル 共 形 テ ン ソ ル,96

有 理 点,65,68

ワ イ ル ズ,32

湯 川 秀 樹,193 ユ ニ タ リ 群,142

若 手 研 究 者,190

ユ ニ タ リ 的 量 子 力 学,76

和 算,192

ワ イ ル の 指 標 公 式,156

編 B.エ

者 ン ク ウ ィス ト(Bjorn

W.シ

Engquist)

Princeton University,USA Royal Instituteof Technology(KTH),Sweden

Harvard

ュ ミ ッ ト(Wilfried

Schmid)

University,USA

日本 語 版 監 修 者 砂田

利 一(東

著

者

北 大 学 大 学 院 理 学 研 究 科 教 授)

J.‐P.ブ ル ギ ニ ョ ン(Jean‐Pierre H.コ ー エ ン(Henri Cohen)

Bourguignon)

J.フ ラ ウ エ ン デ ィ ー ナ ー(JorgFrauendiener) R.ペ

ン ロー ズ(Roger

N.ヒ

ッチ ン(Nigel

Penrose) Hitchin)

J.ジ ョル ゲ ン ソ ン(Jay S.ラ ン グ(Serge 森

Jorgenson)

Lang)

正 武(Masatake

Mori)

斎藤

恭 司(Kyoji

砂田

利 一(Toshikazu

Saito)

訳

者

Sunada)

砂田

利 一(東

北 大 学 大 学 院 理 学 研 究 科 教 授)

山本

芳 彦(大

阪 大 学 大 学 院 理 学 研 究 科 教 授)

伊藤

光 弘(筑

波 大 学 数 学 系 教 授)

大 仁 田 義 裕(東

京 都 立 大 学 理 学 研 究 科 教 授)

若山

州 大 学 大 学 院 数 理 学 研 究 院 教 授)

正 人(九

数 学 の 最 先 端  21世 紀 へ の 挑 戦volume2 Mathematics Unlimited 2001 and 発

行  2002年12月17日

編

者  B.エ

ン ク ウ ィス ト,W.シ

Beyond 

定 価(本 体2,200円

＋ 税)

ュ ミッ ト

日本 語 版 監 修 者  砂 田

利一

発

行

者  平 野

皓正

発

行

所

印

刷

所  日経 印 刷 株 式 会 社 〈検印省略〉許可なしに転載,複製することを禁じます.落丁本,乱丁本はお取り替えします.

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ISBN

4‐431‐70963‐0

〓2002

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