Оптимизационные задачи электроэнергетики: Рабочая программа, задание на контрольные работы, методические указания к выполнению контрольных работ

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо-Западный государственный заочный технический университет

Кафедра электроснабжения

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

Рабочая программа Задание на контрольные работы Методические указания к выполнению контрольных работ

Факультет энергетический Направление и специальность подготовки дипломированного специалиста: направление 650900 – электроэнергетика специальность 100400 - электроснабжение (по отраслям) специализация 100401 – электроснабжение промышленных предприятий Направление подготовки бакалавра 551700 - электроэнергетика

Санкт-Петербург 2004

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 621.311. Оптимизационные задачи электроэнергетики: Рабочая программа, задание на контрольные работы, методические указания к выполнению контрольных работ. - СПб.: СЗТУ, 2004. - 24 с. Рабочая программа дисциплины соответствует требованиям государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 650900 – “Электроэнергетика” (специальность 100400 – “Электроснабжение”, специализация 100401 – “Электроснабжение промышленных предприятий”) и направлению подготовки бакалавра 551700 – “Электроэнергетика”. В методическом комплексе рассмотрены постановка, математическая формализация и основные методы решения оптимизационных задач в области проектирования и эксплуатации систем электроснабжения промышленных предприятий.

Рассмотрено на заседании кафедры электроснабжения 14 декабря 2001 года протокол №4. Одобрено методической комиссией энергетического факультета 17 декабря 2001 года протокол №4.

Рецензенты: кафедра электроснабжения (зав. кафедрой Г.З. Зайцев, канд. техн. наук, проф.), М.И. Божков, канд. техн. наук, директор НПЦ АПЭС

© Составитель: В.Н. Костин, канд. техн. наук, доц.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет 2004 2

1. Цели и задачи изучения дисциплины При проектировании и эксплуатации технических систем постоянно приходится решать задачи поиска наилучшего решения из некоторого множества допустимых решений. Такое решение называют оптимальным, процесс поиска такого решения - оптимизацией, а задачи, в которых ищется такое решение - оптимизационными задачами. Формулировка любой технической задачи должна быть переведена на формальный математический язык, т.е. записана с помощью определенных математических выражений. Будущий специалист должен знать основы математического моделирования и уметь составлять математические модели оптимизационных задач. Для конкретной оптимизационной задачи не разрабатывается специальный метод решения. Существуют математические методы, предназначенные для решения любых оптимизационных задач - методы математического программирования. Будущий специалист должен знать эти методы математического программирования и уметь выбрать целесообразный метод для решения конкретной технической задачи. Решение задач небольшой размерности можно выполнить традиционными вычислениями с помощью калькулятора. Решение же реальных задач, размерность которых может быть достаточно большой, возможно лишь с помощью компьютера. Будущий специалист должен знать программное обеспечение современных персональных компьютеров и уметь пользоваться этим обеспечением.

2. Структура дисциплины

3

Решение многокритериальных оптимизационных задач

Решение оптимизационных задач при недетерминированной исходной информации

Решение оптимизационных задач при случайной и исходной информации

Решение оптимизационных задач с целочисленными и дискретными переменными

Решение оптимизационных задач методами нелинейного программирования

Решение транспортных задач электроэнергетики

Решение оптимизационных задач методами линейного программирования

Оптимизационные задачи энергетики

3. Содержание дисциплины (120 часов) 3.1.

Введение в теорию оптимизации [1], с. 4…12, [4], с. 9…29

Основные понятия и определения теории оптимизации. Переменные. Целевая функция. Ограничения, накладываемые на решение задачи. Граничные условия. Критерии оптимизации. Локальный и глобальный экстремумы. Математическая модель. Математическое программирование. Общая характеристика методов оптимизации. Этапы решения оптимизационной задачи. Классические методы определения условных экстремумов функции. Общая характеристика методов линейного, нелинейного, целочисленного и стохастического программирования. Понятие о многокритериальных задачах. 3.2. Линейные оптимизационные задачи [1], с. 13…30; [2], с. 24…27; [4], с. 87…104 Основная задача линейного программирования. Математическая модель. Методы решения задач линейного программирования. Графический метод решения. Алгебраические преобразования систем линейных уравнений. Аналитический метод решения задачи линейного программирования (симплекс-метод). Отыскание допустимого и оптимального решения. 3.3.

Транспортные задачи электроэнергетики [1], с. 31…52; [3], с. 31…34

Формулировка транспортной задачи. Особенности линейной математической модели транспортной задачи. Получение допустимого решения. Метод потенциалов при решении транспортной задачи. Применение транспортной задачи для оптимизации схемы электрической сети. Блокировка передачи мощности по линии. Учет ограничений пропускной способности линий. Особенности решения транспортной задачи с промежуточной (транзитной) передачей мощности через узлы. 3.4. Нелинейные оптимизационные задачи [1], с. 53…75; [2], с. 70…75; [4], с. 183…189 Основная задача нелинейного программирования. Математическая модель. Графическая иллюстрация. Методы решения задач линейного программирования. Методы безусловной и условной оптимизации. Градиентные методы. Графическая иллюстрация. Выбор оптимальной длины шага в градиентных методах. Метод скорейшего спуска. Метод

4

покоординатного спуска. Учет ограничений. Метод проектирования градиента. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Применение методов нелинейного программирования в задачах электроэнергетики. Задача оптимального распределения активной мощности в энергосистеме Задача оптимального распределения мощностей компенсирующих устройств в системе электроснабжения 3.5. Оптимизационные задачи с целочисленными и дискретными переменными [1], c. 76…83; [4], с. 156…174; [3], с. 219…221 Задачи целочисленного программирования. Математическая модель. Методы решения целочисленных задач. Задачи дискретного программирования. Использование двоичных переменных. Математическая модель. Методы решения дискретных задач. Решение задач целочисленного и дискретного программирования на персональных компьютерах. 3.6. Оптимизационные задачи при случайной исходной информации [1], c. 84…90; [4], с. 200…215 Задачи со случайной исходной информацией. Некоторые понятия теории вероятностей. Стандартная случайная величина. Математическая модель задачи со случайной исходной информацией (стохастической задачи). Сведение стохастической задачи к детерминированному эквиваленту. 3.7. Оптимизационные задачи при недетерминированной исходной информации [1], c. 91…95 Задачи с недетерминированной исходной информацией. Основные понятия теории игр. Составление платежной матрицы. Основные стратегии выбора решения. Стратегия минимума средних затрат. Миниминная стратегия. Минимаксная стратегия. Стратегия Гурвица. Выбор весового коэффициента. Анализ решений, полученных по различным стратегиям. 3.8. Многокритериальные оптимизационные задачи [1], 96…98; [2], с. 237…260 Оптимизация по нескольким критериям. Определение коэффициентов веса критериев. Метод экспертных оценок. Решение многокритериальных задач с помощью обобщенной целевой функции.

5

Тематический план лекций и практических занятий для студентов очнозаочной формы обучения Темы лекций (28 часов) 1. Основные понятия и определения теории оптимизации. Постановка задачи линейного программирования. Графический метод решения линейной задачи. 2. Аналитический метод решения линейной оптимизационной задачи (симплекс-метод). 3. Транспортная задача в сетевой постановке. Метод потенциалов. Учет транзита мощности через узлы.

Объем, часы 4 4 4

4. Нелинейные оптимизационные задачи. Графическая иллюстрация. Градиентные методы и метод Лагранжа для решения нелинейных оптимизационных задач.

4

5. Основные сведения о целочисленном и дискретном программировании. 6. Оптимизационные задачи при вероятностной и недетерминированной информации. 7. Многокритериальные оптимизационные задачи.

4

Темы практических занятий (12 часов) 1. Решение линейных оптимизационных задач симплексметодом 2. Транспортная задача. Оптимизация схемы электрической сети 3. Задача оптимального распределения мощности компенсирующих устройств.

4 4 Объем, часы 4 4 4

4. Библиографический список 1. В. Н. Костин. : Оптимизационные задачи электроэнергетики: Учеб. пособие. - СПб.: СЗТУ, 2003. 2. Щукин Б.Д., Лыков Ю.Ф. Применение ЭВМ для проектирования систем электроснабжения. - М.: Энергоатомиздат, 1982. 3. Применение числовых вычислительных машин в электроэнергетике/ Под ред. Щербачева О.В. - Л.: Энергия, 1980. 4. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL7.0.СПб.: BHV - СПб, 1997.

6

5. Задание на контрольные работы 5.1. Общие указания В процессе изучения дисциплины студенты выполняют две контрольные работы, включающие в себя решение оптимизационных задач методами математического программирования. Контрольные работы оформляются в отдельной тетради, на обложке которой указываются название дисциплины, номер контрольной работы, специальность, фамилия, инициалы и шифр студента. Текст работ должен быть изложен аккуратно, четко, с обязательным приведением условий задач, исходных данных, необходимых формул, схем, единиц измерения физических величин. При оформлении контрольных работ оставляются поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя. Перед решением каждой задачи необходимо ознакомиться с исходными данными, проработать соответствующий теоретический материал и методические указания к решению задачи. Исходные данные к каждой задаче приведены в соответствии с двумя последними цифрами шифра студента. Студенты допускаются к зачету по дисциплине только после рецензирования и защиты контрольных работ. 5.2. Контрольная работа № 1 Задача 1. От шин 10 кВ главной понизительной подстанции ГПП предприятия через линию W и трансформаторы Т осуществляется электроснабжение цеха с расчетными активной Рр и реактивной Qр нагрузками (рис. 1). Номинальная мощность Sном и коэффициент загрузки kз трансформаторов заданы. Со стороны питания потребляемая цехом реактивная мощность ограничена величиной Qэ. Для выполнения этого ограничения в схеме предусматривается установка источников реактивной мощности (компенсирующих устройств). Эти компенсирующие устройства могут быть подключены как к шинам 10 кВ (Q10), так и к шинам 0,4 кВ (Q04) трансформаторов Т. Определить оптимальное количество N трансформаторов Т по критерию минимума затрат на эти трансформаторы и компенсирующие устройства Q10 и Q04. Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 1. Затраты на единицу мощности трансформаторов и компенсирующих устройств обозначены через zт, z04 и z10.

7

Рис. 1.

Параметр Рр, МВт Qр, Мвар Qэ, Мвар kз, о.е. Параметр Sном, кВ.А zт, у.е./кВ.А z04,у.е./квар z10,у.е./квар

Таблица 1 Последняя цифра шифра студента 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 25 30 33 35 18 28 33 26 22 18 20 25 29 30 15 24 25 20 18 8 9 10 11 12 6 10 12 8 7 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 Предпоследняя цифра шифра студента 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 1600 2500 1000 1600 2500 1000 1600 2500 1000 9 10 9 10 9 12 11 12 11 12 11 10 9 8 7 7 8 9 10 11 3 3,5 4 4,5 5 3 3,5 4 4,5 5

Методические указания к решению задачи. При отсутствии компенсирующих устройств на шинах 0,4 кВ (Q04=0) полная расчетная мощность, протекающая через трансформаторы Т, составит Sр =

Рр2 + Qp2 .

(1)

При полной компенсации реактивной мощности на шинах 0,4 кВ (Q04 = Qр) мощность, протекающая через трансформаторы Т, составит

Sр =

Pp2 + (Qp − Q04 ) 2 = Рр

(2)

По величине мощности, протекающей через трансформаторы Т, номинальной мощности трансформаторов Sном и их коэффициенту загрузки kз можно определить максимальное и минимальное количество трансформаторов Nmax = Sр / ( Sном kз);

(3)

Nmin = Pр / ( Sном kз).

(4) 8

Из (2), (3) и (4) следует, что величина мощности компенсирующих устройств на шинах 0,4 кВ, позволяющая уменьшить количество трансформаторов на единицу, составляет Q1 = Qр / ( Nmax – Nmin).

(5)

Для определения оптимального количества необходимо найти минимум целевой функции Z = zт Sном N + z04 Q04 + z10 Q10,

трансформаторов

N

(6)

представляющей собой суммарные затраты на трансформаторы и компенсирующие устройства. Минимум целевой функции (6) ищется при следующих ограничениях: величина мощности компенсирующих устройств на шинах 0,4 кВ не должна превышать расчетную реактивную нагрузку (перекомпенсация не допускается) Q04 < Qр;

(7)

суммарная величина мощности компенсирующих устройств (Q04+ Q10) должна удовлетворять условию, что со стороны питания потребляемая реактивная мощность не должна превышать значения Qэ Qр – (Q10 + Q04) < Qэ;

(8)

искомое количество трансформаторов и искомая мощность компенсирующих устройств Q04, устанавливаемых на шинах 0,4 кВ, связаны соотношением N = Nmax – Q04 / Q1.

(9)

Ограничения (7…9) запишем в виде, где искомые переменные будут в левых частях, а известные величины – в правых Q04 < Qр; Q04 + Q10 > Qр – Qэ;

(11)

N + Q04 /Q1 = Nmax.

9

Для перехода от ограничений неравенств к ограничениям равенствам ведем дополнительные неотрицательные переменные x1 и x2 и запишем систему (11) в виде х1 + Q04 = Qр; х2 – Q04 – Q10 = – Qр + Qэ; N + Q04 /Q1 = Nmax.

(12)

Граничными условиями при решении задачи являются требования неотрицательности всех переменных N > 0, Q04 > 0, Q10 > 0, х1 > 0, х2 > 0.

(13)

Таким образом, математическая модель задачи включает в себя целевую функцию (6), ограничения (12) и граничные условия (13). Целевая функция и ограничения линейны относительно искомых переменных N, Q10 и Q04, поэтому для решения задачи можно использовать симплекс-метод. В системе (12) разделим переменные на базисные (неравные нулю) и свободные (равные нулю). В качестве базисных переменных удобно принять переменные x1, x2 и N. Переменные Q04 и Q10 будут свободными. В соответствии с разделением переменных на базисные и свободные исходное (начальное) решение будет следующим: x1=Qр; x2 = –Qр + Qэ; N =Nmax; Q04 = 0; Q10 = 0; Z= zтSномNmax. (14) Перейдем к табличной форме записи системы ограничений (12) и целевой функции (6) (см. табл.2). Первая строка табл. 2 соответствует первому уравнению системы (12) и базисной переменной х1. Эта базисная переменная при Q04=0 и нулевых коэффициентах при переменных x2, N, Q10 равна величине Qp (х1=Qp). Аналогично во второй и третьей строках базисные переменные соответственно равны х2 = –Qр+ Qэ и N =Nmax. Таким образом, базисные переменные равны коэффициентам последнего столбца табл. 2. x1 1 0 0 0

x2 0 1 0 0

N 0 0 1 zтSном

Q04 1 –1 1/Q1 z04

Таблица 2 Q10 0 Qр –1 –Qр + Qэ 0 Nmax z10 –zтSномNmax

Четвертая строка табл. 2 соответствует выражению целевой функции (6). Значение целевой функции находится в правой нижней клетке табл. 2. 10

Следует отметить, что в табличной записи значение целевой функции имеет противоположный знак. В соответствии с исходными данными (табл. 1) Qр > Qэ, поэтому базисная переменная х2 < 0. Исходное решение не является допустимым, поскольку граничные условия (13) не выполняются. Базисную переменную x2 следует перевести в разряд свободных. Соответствующую переменной х2 вторую строку табл. 2 назовем разрешающей. Из этой строки выбираем отрицательные коэффициенты. Это коэффициенты –1 и – 1 в столбцах свободных переменных Q04 и Q10. Возьмем любую из этих переменных, например переменную Q04, и эту переменную будем переводить в разряд базисных. Соответствующий переменной Q04 четвертый столбец табл. 2 назовем разрешающим. Коэффициент, лежащий на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца, назовем разрешающим коэффициентом. Этот коэффициент в табл. 2 выделен цветом. Процесс перевода базисной переменной в разряд свободных и свободной переменной в разряд базисных выполняется по следующим правилам: 1. Все коэффициенты, не принадлежащие разрешающей строке и разрешающему столбцу, пересчитываются по выражению aij' = aij - ajr.ari /arr,

(15)

где aij - коэффициент, лежащий на пересечении i-й строки и j-го столбца; aij' - новое пересчитанное значение коэффициента aij; arr - разрешающий коэффициент; air - коэффициент, лежащий на пересечении i-й строки и разрешающего столбца; arj - коэффициент, лежащий на пересечении разрешающей строки и j-го столбца. 2. Все коэффициенты разрешающей строки делятся на разрешающий коэффициент аrr. Разрешающий коэффициент при этом становится равным единице аrr=1. 3. Все коэффициенты разрешающего столбца, кроме разрешающего коэффициента, заменяются нулями. Пересчету подвергаются все коэффициенты табл. 2, включая коэффициенты последнего столбца, строки целевой функции и значение целевой функции. После пересчета вновь проверяются коэффициенты последнего столбца табл. 2 (кроме значения целевой функции). Если среди этих коэффициентов есть отрицательные (соответствующие базисные переменные будут отрицательные) описанная выше вычислительная процедура (выбор разрешающей строки и столбца и пересчет коэффициентов табл. 2) повторяется. Решение, отвечающее отсутствию отрицательных коэффициентов в последнем столбце, будет допустимым. 11

После получения допустимого решения проверяются коэффициенты строки целевой функции (коэффициенты нижней строки табл. 2 кроме значения целевой функции). Если среди этих коэффициентов есть отрицательные, то берется любой из них, и соответствующий столбец принимается в качестве разрешающего. Далее вычисляются отношения коэффициентов последнего столбца (кроме значения целевой функции) к положительным коэффициентам разрешающего столбца. Строка, соответствующая минимальному из этих отношений, принимается в качестве разрешающей. Выполняется пересчет всех коэффициентов таблицы по правилам 1…3, изложенным выше. После пересчета вновь проверяются коэффициенты строки целевой функции. Решение, отвечающее отсутствию отрицательных коэффициентов в строке целевой функции, будет оптимальным. Более подробно алгоритм симплекс-метода с приведением примеров рассмотрен в [1]. В процессе решения задачи после каждого пересчета коэффициентов таблицы следует записывать текущее решение в виде (14). В оптимальном решении значения переменных N, Q04 и Q10 следует округлить до целых чисел. Задача 2. От ГПП промышленного предприятия, расположенной в узле 1, будет осуществляться электроснабжение цехов, расположенных в узлах 2, 3 и 4 (рис. 2). Требуется найти оптимальную по критерию денежных затрат схему электрической сети. Расчетные мощности всех узлов Si и затраты zij на передачу единицы мощности по линии между узлами i и j приведены в табл. 3. Решение задачи выполнить с учетом транзита мощности через нагрузочные узлы.

Рис.2

12

Si, МВ.А 0 S1 15 S2 6 S3 4 S4 5 zij, у.е./МВ.А z12 z13 z14 z23 z24 z34

Таблица Последняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 16 17 18 19 20 21 22 6 4 6 9 6 8 7 4 7 5 5 8 6 6 6 6 7 5 6 7 9 Предпоследняя цифра шифра студента 0 1 2 3 4 5 6 7 1,0 1,0 2,1 1,0 2,2 3,4 1,0 2,2 1,0 2,1 1,0 1,0 1,0 1,0 2,3 3,3 2,2 1,0 1,0 2,1 1,0 2,3 3,3 1,0 1,8 2,4 2,3 1,4 1,0 1,2 1,0 1,0 2,1 1,5 1,0 1,0 2,1 1,0 1,4 1,0 1,0 1,0 1,2 2,3 1,5 1,0 1,0 1,3

3 8 23 6 8 9

9 24 7 9 8

8 1,0 3,4 2,3 1,2 1,0 1,0

9 3,3 2,1 1,0 1,0 1,3 1,0

Методические указания к решению задачи. Поставленная задача относится к классу транспортных задач с транзитом мощности через узлы. Минимизируемая целевая функция в такой задаче имеет вид

Z =

m m

∑∑ zij Sij ; i =1 j=1

i ≠ j,

(1)

где S ij - мощность, протекающая между узлами i и j; m – количество узлов в схеме. Ограничениями в транспортной задаче являются балансы мощности в узлах электрической сети. Для решения задачи строим транспортную квадратную матрицу размерностью m (табл. 4). Справа от матрицы располагаем дополнительный столбец, в котором указывается заданная мощность источника питания Sj, а мощности нагрузочных узлов принимаются равными нулю (столбец источников). Снизу от матрицы располагаем дополнительную строку, в которой указываются заданные мощности нагрузок Si, а мощность источника питания принимается равной нулю (строка нагрузок). Каждая ij клетка матрицы соответствует мощности, передаваемой от узла i к узлу j. Величины этих мощностей будем записывать в левой верхней части каждой клетки транспортной матрицы. В правой нижней части каждой клетки запишем удельные стоимости zij передачи мощности от узла i к узлу j. Следует учесть, что zij = zji. Каждая ii (диагональная) клетка матрицы соответствует транзитной мощности через i–й узел. Удельная стоимость передачи через i–й узел транзитной мощности zii = 0. 13

Таблица 4

V1= 0 0

U1 = 0 0

U2 = -z12 0

U3 = -z13 0

U4 = -z14

V2 = z12 S12 =S2 0 z12 0 z21 0 0 z31 z32 0 z41 z42 S1=0 S2

V3 = z13 S13=S3 z13 0 z23 0 0 0 + z43 S3

V4 = z14 S14=S4 S1=S2+S3+S4 + z14 0 S2 =0 z24 0 S3=0 z34 0 S4=0 0 S4 Z = z12S12 + +z13S13 + +z14S14

Одним из допустимых решений транспортной задачи с одним источником питания является радиальная сеть (рис. 3), для которой выполняются балансы мощности во всех узлах:

S12 + S13 + S14 = S1;

S12=S2;

S13=S3;

S14=S4,

(2)

а транзитные мощности через узлы

S11=0;

S22 =0;

S33 =0; S44 =0.

(2’)

Рис. 3 Соответствующие этому решению значения мощностей занесены в транспортную матрицу (табл. 4). Значение целевой функции, определяемое по выражению (1), составляет

Z = z12S12 + z13S13 + z14S14

(3)

и занесено в правый нижний угол транспортной матрицы (табл. 4). Оптимизацию полученного решения выполним методом потенциалов. Для этого присвоим каждому столбцу транспортной матрицы потенциал Vi, а

14

каждой строке – потенциал Uj. Эти потенциалы таковы, что для каждой базисной переменной (переменной не равной нулю) должно выполнятся условие

zij = Vi + Uj.

(3)

Транзитные переменные Sii, соответствующие диагональным клеткам транспортной матрицы, независимо от того, какие они имеют значения (нулевые или ненулевые), считаются базисными. Для этих переменных также должно выполняться условие (3). Имеем семь базисных переменных S12=S2, S13=S3, S14=S4, S11=0, S22=0, S33=0 и S44=0. Количество неизвестных потенциалов восемь. Для решения системы (3) следует задаться значением одного из потенциалов, например принять U1=0. Тогда остальные потенциалы однозначно определятся из системы уравнений (3). Значения потенциалов указаны в табл. 4. Для всех свободных переменных (недиагональных равных нулю переменных) проверяется условие

zij > Vi + Uj.

(4)

При выполнении этого условия допустимое решение будет оптимальным. При невыполнении условия (4), например для свободной переменной S43, эта переменная переводится в разряд базисных. Соответственно одна из базисных переменных должна перейти в разряд свободных. Указанная процедура выполняется следующим образом: поскольку переменная S43 должна стать базисной, увеличиваем эту переменную от нуля в положительную сторону; в клетке 43 ставим знак плюс; для сохранения баланса по столбцу 3 и строке 4 базисные переменные S13 и S44 будем уменьшать; в клетках 13 и 44 ставим знаки минус; для сохранения баланса по строке 1 и столбцу 4 базисную переменную S14 будем увеличивать; в клетке 14 ставим знак плюс; В транспортной матрице получен цикл, показанный в табл. 4 пунктиром. В вершинах цикла, отмеченных знаком плюс, переменные увеличиваются. В вершинах цикла, отмеченных знаком минус, переменные уменьшаются. Увеличение переменной S43 ограничено уменьшением переменной S13 до нулевого значения. При S43 = S13 базисная переменная S13 становится свободной (равной нулю). Увеличение переменной S43 не ограничено уменьшением переменной S44, поскольку все транзитные переменные Sii входят в решение транспортной задачи со знаком минус.

15

После перевода переменной S43 в разряд базисных, а переменной S13 в разряд свободных получается новая транспортная матрица (табл. 5). Этой матрице соответствует новая схема электрической сети (рис. 4). Видно, что свободная переменная S43 вошла в состав базисных переменных (в схеме появилась линия между узлами 4 и 3), а базисная переменная S13 стала свободной (в схеме исчезла линия между узлами 1 и 3). Через узел 4 идет транзитная мощность S44 = S3.

U1 =

0

U2 =

0

U3 =

0

U4 =

0

Таблица 5 V1 = V2 = V3 = V4 = S12 =S2 0 S14=S4+S3 S1=S2+S3+S4 z12 z13 z14 0 0 0 0 S2 =0 z21 0 z23 z24 0 0 0 S3=0 z31 z32 z34 0 0 S43=S3 -S44 =-S3 S4=0 z41 z42 z43 0 S1=0 S2 S3 S4 Z = z12S12 + +z14S14 + +z43S43

Рис. 4 Для новой транспортной матрицы по системе уравнений (3) определяются потенциалы Ui и Vj строк и столбцов и для всех свободных переменных проверяется условие (4). При невыполнении этого условия для какой-либо свободной переменной вся вычислительная процедура повторяется. Выполнение условия (4) для всех свободных переменных указывает на то, что найдено оптимальное решение. Более подробно решение транспортных задач с приведением примеров дается в [1]. В процессе решения задачи после каждого пересчета транспортной матрицы следует записывать текущее решение в виде (2), приводить новую схему электрической сети и вычислять по выражению (1) новое значение целевой функции. 16

5.3. Контрольная работа № 2 Задача 1. Электроснабжение n цехов промышленного предприятия выполнено по радиальной схеме от шин U = 10 кВ ГПП (рис. 5). Заданы реактивные нагрузки цехов Qi и активные сопротивления радиальных линий ri (i = 1, 2, ... n). Требуется оптимально распределить заданную суммарную мощность компенсирующих устройств Qk между цехами. Критерий оптимальности минимум суммарных потерь активной мощности в линиях. Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 6.

Рис. 5

Параметр r1, Ом r2, Ом r3, Ом

0 0,2 0,3 0,1

Параметр Q1, квар Q2, квар Q3, квар Qk, квар

0 2000 1000 3000 4000

Таблица 6 Последняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,7 0,4 0,5 0,5 0,5 0,6 0,6 0,6 0,7 0,7 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,4 0,3 0,2 0,5 Предпоследняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1500 2500 3000 3100 1000 1500 3000 2800 1800 2000 1200 1300 1400 1400 1300 1200 1100 1000 3000 3600 1000 1000 2700 3000 2300 3600 3300 5000 4500 3800 4800 4100 4900 4400 6000 5100

Методические указания к решению задачи. Суммарные потери активной мощности в радиальной схеме от реактивных нагрузок Qi при установке у каждой нагрузки компенсирующего устройства мощностью Qki определяются выражением

∆Р =

1 n (Qi − Qki ) 2 ri . 2 ∑ U i=1

(1)

17

Минимум функции ∆Р ищется при ограничении n

∑ Qki = Qk i =1

или

n

∑ Qki − Qk = 0 . i =1

(2)

Следуя методу Лагранжа, вместо минимума функции (1) при ограничении (2) будем искать минимум функции Лагранжа, которая записывается в виде L=

n 1 n 2 ( Q − Q ) r + λ ( ∑ ∑ Qki − Qk ) , ki i U 2 i=1 i i=1

(3)

где λ - неопределенный множитель Лагранжа. Из курса высшей математики известно, что в точке минимума нелинейной функции ее частные производные по всем переменным равны нулю, т.е.

∂L 2 = − 2 ri (Qi − Qki ) + λ = 0 ; i = 1, 2, … n; ∂Qki U n ∂L = (∑ Qki − Qk ) = 0. ∂λ i=1

(4)

Решение системы линейных уравнений (4) даст искомые значения переменных Qki. Суммарные потери активной мощности в электрической сети рассчитываются по выражению (1). Задача 2. Схема электроснабжения цеха выполнена магистральным шинопроводом, проложенным от шин U = 0,4 кВ цеховой трансформаторной подстанции ТП (рис. 6). Вдоль шинопровода расположены нагрузки, реактивные мощности которых равны Qi, а активные сопротивления участков между точками подключения нагрузок составляют ri (i = 1, 2, ... n). Требуется оптимально разместить на шинопроводе заданную суммарную мощность компенсирующих устройств Qk. Критерий оптимальности - минимум суммарных потерь активной мощности в шинопроводе. Решить задачу для двух случаев: заданная мощность компенсирующих устройств Qk распределена вдоль шинопровода в точках подключения нагрузок;

18

заданная мощность компенсирующих устройств Qk сосредоточена в одной точке шинопровода. Исходные данные для решения задачи приведены в табл. 7.

Рис. 6

Параметр r1, Ом.10-3 r2, Ом.10-3 r3, Ом.10-3

0 2 3 3

Параметр Q1, квар Q2, квар Q3, квар Qk, квар

0 200 100 300 400

Таблица 7 Последняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 3 4 4 5 5 6 7 4 5 5 5 6 6 6 7 7 2 3 4 5 5 4 3 2 5 Предпоследняя цифра шифра студента 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 300 400 300 300 400 300 400 300 300 200 100 200 300 200 400 200 400 200 100 200 300 200 300 200 400 300 400 400 500 500 500 600 600 700 700

Методические указания к решению задачи. 1. Рассмотрим случай, когда заданная мощность компенсирующих устройств Qk распределена вдоль шинопровода в точках подключения нагрузок (рис. 7).

Рис. 7 Потери активной мощности в магистральной схеме при установке у каждой i-й нагрузки компенсирующего устройства мощностью Qki определяются выражением

19

∆Р=

n n n n n n 1 2 2 [ r ( Q − Q ) + r ( Q − Q ) + ... + r ( Q − Qki ) 2 + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 2 2 i i ki i ki i U i i i=2 i=2 i =1 i=1

+…+ rn (Qn − Qkn ) 2 ] .

(1)

Минимум функции ∆Р ищется при ограничении n

∑ Qki − Qk = 0 .

(2)

i =1

Запишем функцию Лагранжа L=

n n n n n n 1 2 2 [ r ( Q − Q ) + r ( Q − Q ) + ... + r ( Q − Qki ) 2 + ∑ ∑ ∑ 1 ∑ 2 ∑ 2 i ki i ki i ∑ i U i=1 i =1 i=2 i=2 i i n

+…+ rn (Qn − Qkn ) 2 ] +λ (∑ Qki − Qk ) . i=1

(3)

Вычислим частные производные от функции Лагранжа по переменным Qki и λ и приравняем их к нулю n n ∂L 2 = − 2 r1 (∑ Qi − ∑ Qki ) + λ = 0 ; ∂Qk1 U i=1 i =1 n n n n ∂L 2 = − 2 [r1 (∑ Qi − ∑ Qki ) + r2 ( ∑ Qi − ∑ Qki )] + λ = 0 ; ∂Qk2 U i =1 i=1 i=2 i=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n n n ∂L 2 = − 2 [r1 (∑ Qi − ∑ Qki ) + r2 ( ∑ Qi - ∑ Qki ) + ... ∂Qkn U i=1 i =1 i=2 i=2 n

n

i

i

... + ri (∑ Qi - ∑ Qki ) + ... + rn (Qn - Qkn )] + λ = 0. n ∂L = (∑ Qki − Qk ) = 0. ∂λ i=1

(4)

Решение системы линейных уравнений (4) даст искомые значения мощностей компенсирующих устройств Qki (i = 1, 2, ... n), размещенных вдоль шинопровода. Суммарные потери активной мощности в шинопроводе рассчитывются по выражению (1).

20

2. Рассмотрим случай, когда заданная мощность компенсирующих устройств Qk должна быть сосредоточена в одной точке шинопровода (рис. 8).

Рис. 8 Имеется n возможных вариантов подключения компенсирующего устройства мощностью Qk. Это точки 1, 2, ... i ... n. Следует выбрать один вариант, обеспечивающий минимальные потери мощности в шинопроводе. Такая задача относится к задачам дискретного программирования. Однако для небольшого количества возможных вариантов можно применить метод простого перебора вариантов. В этом случае компенсирующее устройство мощностью Qk поочередно подключается к каждой i-ой точке магистрального шинопровода (i = 1, 2, ... n). В каждом i-ом случае рассчитываются потоки реактивных мощностей на участках шинопровода и определяются суммарные потери активной мощности в шинопроводе ∆Рi. В частности, при подключении компенсирующего устройства мощностью Qk в точке i (рис. 8) потери активной мощности в шинопроводе составят ∆P =

n n 1 2 2 [ r ( Q − Q ) + r ( 1 ∑ i 2 ∑ Qi − Qk ) + ... 2 k U i=1 i=2 n

... + ri (∑ Qi − Qk ) 2 + ... + rn −1 i

n

∑ Qi2 + rn Qn2 ] .

i =n -1

(5)

После выполнения расчетов выбирается точка шинопровода, при подключении в которой компенсирующего устройства мощностью Qk потери активной мощности в шинопроводе будут минимальными.

21

6. Тестовые вопросы 1. Сформулируйте понятия: оптимизация и оптимальное решение. 2. Что такое математическая формализация задачи? 3. Перечислите основные критерии оптимизации, применяемые в задачах энергетики. 4. Дайте понятие линейной и нелинейной зависимостей между переменными. 5. Определите основные понятия математической модели: целевая функция, ограничения, граничные условия. 6. Запишите линейную математическую модель оптимизационной задачи. 7. Назовите основные методы решения линейных оптимизационных задач и основные этапы этих методов. 8. Дайте графическую иллюстрацию целевой функции, ограничения и граничного условия в задаче линейного программирования. 9. Что представляет собой область допустимых решений в задаче линейного программирования? 10. Определите понятия: базисная и свободная переменная? 11. Опишите процедуру алгебраических преобразований системы линейных уравнений. 12. Как осуществляется выбор разрешающего столбца и разрешающей строки при поиске допустимого решения симплекс-методом? 13. Как осуществляется выбор разрешающего столбца и разрешающей строки при поиске оптимального решения симплекс-методом? 14. Сформулируйте условие допустимого решения в симплекс- методе. 15. Сформулируйте условие оптимального решения в симплекс- методе. 16. Дайте формулировку транспортной задачи. 17. Запишите математическую модель транспортной задачи. 18. Каковы особенности ограничений в транспортной задаче? 19. Сформулируйте принцип отыскания допустимого решения в транспортной задаче. 20. Каково условие допустимого решения в транспортной задаче? 21. Каково условие оптимального решения в транспортной задаче? 22. Поясните понятие транзита мощности через узел. 23. Какова стоимость передачи транзитной мощности через узел? 24. Что такое цикл пересчета транспортной матрицы? 25. Приведите примеры задач энергетики, решаемых методами линейного программирования. 26. Запишите в общем виде математическую модель задачи нелинейного программирования. 27. Назовите основные методы решения нелинейных оптимизационных задач. 28. Дайте графическую иллюстрацию целевой функции в задаче нелинейного программирования.

22

29. Дайте графическую иллюстрацию ограничений в задаче нелинейного программирования. 30. Дайте понятие линий равного уровня целевой функции. 31. Сформулируйте понятие градиента целевой функции. Пояснить физический смысл градиента. 32. Поясните суть градиентных методов решения нелинейных задач. 33. Поясните понятия: безусловный и условный экстремумы нелинейной функции. 34. Как ищется безусловный экстремум нелинейной функции? 35. Поясните суть метода неопределенных множителей Лагранжа. 36. Приведите примеры задач энергетики, решаемых методами нелинейного программирования. 37. Приведите примеры задач энергетики, решаемых методами целочисленного и дискретного программирования. 38. Приведите примеры задач энергетики, решаемых методами стохастического программирования. 39. Приведите примеры многокритериальных оптимизационных задач. 40. Поясните понятия: целочисленная, двоичная, дискретная переменная. 41. Какие переменные обязательно сопровождают решение дискретной задачи? 42. Из n возможных вариантов в оптимальное решение входит m вариантов. Приведите типичное для такой дискретной задачи ограничение. 43. Сформулируйте причины и приведите примеры случайной исходной информации. 44. Каким методом решаются задачи при случайной исходной информации? 45. Каковы математическое ожидание и среднеквадратичное (стандартное) отклонение стандартной случайной величины? 46. Запишите выражение, связывающее случайную величину S и стандартную случайную величину η. 47. Назовите основные стратегии выбора решения в задаче с исходной недетерминированной информацией 48. Поясните суть метода экспертных оценок. 49. Запишите обобщенную целевую функцию многокритериальной задачи. 50. Поясните понятие: нормированное значение целевой функции.

23

Содержание 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Стр.

Цели и задачи изучения дисциплины ….……………………… 3 Структура дисциплины..…………………………………………3 Содержание дисциплины………………………………………...4 Библиографический список …………………………….……….7 Задание на контрольные работы ………………………………. .7 Тестовые вопросы ……………………………………………….21

Редактор Сводный темплан 2002 г. Лицензия ЛР №020308 от14.02.97 ----------------------------------------------------------------------------------------------Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Б.кн.-журн.

П.л.

РТП РИО СЗТУ.

Б.л.

Тираж Заказ ----------------------------------------------------------------------------------------------Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско - полиграфической ассоциации вузов Санкт-Петербурга 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5

24