Определенный интеграл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2005

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

А. А. Зингер, В. А. Зингер, Ю. Н. Сирота

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2005

УДК 517.5 ББК 22.161.8 З63 Зингер А. А.,Зингер В. А.,Сирота Ю. Н. З63 Высшая математика. Определенный интеграл: Учеб.метод. пособие / СПбГУАП. СПб., 2005. 39 с.: ил. Рассмотрено наиболее важное понятие “определенный интеграл” в курсе математического анализа. Данное пособие примыкает к пособию “неопределенный интеграл”, вместе с которым охватывает всю тему “Интегральное исчисление”. Изложение теоретического материала проиллюстрировано примерами. Большое внимание уделено приложениям определенного интеграла. В основу определения определенного интеграла положено понятие первообразной. Такое изложение представляется более продуктивным и существенно облегчает усвоение студентами всех понятий этой темы, в том числе и рассмотрение определенного интеграла как предела интегральных сумм.

Резензенты: кафедра прикладной математики РГПУ; доктор физико-математических наук, профессор В. П. Одинец Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

c

ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения», 2005

1.

Скалярные величины, распределенные по длине

Здесь будут рассмотрены скалярные величины, заданные на прямой, и определены их “величины”, относящиеся к конечному интервалу. Пример 1 Путь, пройденный материальной точкой при прямолинейном движении Решение Если обозначить через S(t) путь, пройденный данной точкой в промежутке времени [t0 , t], двигающейся со скоростью v(t), то S(t) является первообразной для скорости движения v(t) (см. [ 5 ], разд. 1.2.). Выбрав любую первообразную V (t) для v(t), будем, очевидно, иметь: S(t) = V (t) + C, где C – некоторая константа. Поскольку S(t0 ) = 0, то C = −V (t0 ) и S(t) = V (t) − V (t0 ). Таким образом, путь S, пройденный за время от t0 до T , выражается формулой S = V (T ) − V (t0 ), где V (t) – любая первообразная для скорости движения v(t). Пример 2 Площадь криволинейной трапеции Рассматривается площадь S(x) криволинейный трапеции, заключенной между графиком неотрицательной непрерывной на [a, b] функции, осью x и вертикальными прямыми, проходящими через концы отрезка [a, x], x ∈ [a, b]. Решение Ранее (см.[ 5 ] разд. 1.2.) было установлено, то S(x) является первообразной для f (x). Если взять любую первообразную F (x), то S(x) = F (x) + C, где C– некоторая константа, причем

S(a) = 0, так как прямая x = a отсекает трапецию нулевой площади. Поэтому C = −F (a), S(x) = F (x) − F (a). Площадь трапеций, опирающейся на [a, b], равны S(b) = F (b) − F (a). Площадь трапеций, опирающейся на [a, b], равна S(b) = F (b)− F (a). Пример 3 Масса прямолинейного тонкого стержня Определить массу тонкого стержня, расположенного на отрезке [a, b] оси абсцисс, в каждой точке которого задана функция плотности p(x) – линейная плотность распределения массы. Решение Масса m(x), приходящаяся на отрезок [a, x], x ∈ [a, b], является первообразной для p(x) (см.[ 5 ] разд. 1.2.). Аналогично задачам 1 и 2, получаем, что масса m(b) отрезка [a, b] есть m(b) = P (b) − P (a), где P (x) – любая первообразная для плотности p(x). Все три задачи относятся к одной и той же модели: пройденный путь, площадь криволинейной трапеции и масса тонкого стержня являются скалярными величинами, распределенными на отрезке, причем каждая из них вычисляется с помощью первообразной для соответствующей “удельной характеристики” – путь для скорости, площадь под графиком функции для самой функции, масса стержня для линейной плотности. Таким образом, некоторая скалярная величина распределена на отрезке [a, b] и Q(x) – ее “количество”, приходящееся на промежуток [a, x], x ∈ [a, b]. Если q(x) – ее удельная характеристика в точке x, то Q(x) является первообразной для q(x). Если через Q(x) обозначить “количество” случайной величины, приходящейся на [a, b], и взять любую первообразную F (x) для q(x), то Q = F (b) − F (a).

2.

Определение и свойства определенного интеграла

Определение 1 Для f (x), заданной на [a, b], определенным интегралом, отвечающим данной функции и данному промежутку, наZ b

зовем число, обозначаемое посредством f (x) dx, и опредеa ляемое как Z b f (x) dx = F (b) − F (a), (1) a

где F (x) – первообразная для f (x).

b Правую часть (1) обычно обозначают символом F (x) , поZ b b a этому (1) можно переписать в виде f (x) dx = F (x) ; f (x) a

a

называют подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, x – переменная интегрирования, числа a и b – нижним и верхним пределом интегрирования. Это определение также распространяется на случай любого расположения a ≶ b и Z Z b

a

a

f (x) dx = −

f (x) dx.

b

Подчеркнем, что используется любая первообразная для f (x). В самом деле, если Φ(x) другая первообразная, то Φ(x) = F (x) + C и Φ(b) − Φ(a) = F (b) + C − F (a) − C = F (b) − F (a). Z 1 Пример 4 (x − 1)2 dx. Вычислить интеграл 0

Решение Найдем первообразную для (x − 1)2 двумя способами: раскрывая и не раскрывая скобки.

x3 Способ 1. Имеем: F (x) = − x2 + x. 3  3  Z 1 x 1 1 1 2 2 (x − 1) dx = −x +x = −1+1−0= . 3 3 3 0 0

(x − 1)3 Способ 2. F2 (x) = . 3

Z

0

1

1 1 1 3 (x − 1) dx = (x − 1) = . 3 3 0 2

Сопоставив задачу 2 и (1), получим, что площадь криволинейной трапеции, расположенной между осью абсцисс, графиком непрерывной функции f (x) > 0 на [a, b] и вертикальной прямыми x = a, x = b, определяется по формуле Z b S= f (x) dx. (2) a

Рассмотрим теперь свойства определенного интеграла.

2.1. 1.

Свойства определенного интеграла Z

b

Z

b

dx = b − a.

a

2.

a

b d F (x) = F (x) = F (b) − F (a). a

3. Линейность Z b Z b Z b (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx, a a a Z b Z b kf (x) dx = k f (x) dx a

a

следует из свойства линейности первообразной. 4. Интегрирование неравенства: если f (x) 6 g(x) на [a, b], Z b Z b f (x) dx 6 g(x) dx. то a

a

Доказательство Рассмотрим сначала случай f (x) ≡ 0. Тогда надо Z b доказать, что из g(x) > 0 следует g(x) dx > 0. Если a

G(x) – первообразная для g(x), то из ее монотонности Z b получим, что g(x) dx = G(b) − G(a) > 0 при a 6 b. a

В общем случае рассмотрим Z b Z b Z b g(x) dx − f (x) dx = (g(x) − f (x)) dx > 0, a

a

a

откуда получаем требуемое доказательство. Дополнение

Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f (x) на [a, b], a < b, то Z b m(b − a) 6 f (x) dx 6 M (b − a) a

или

Z b 1 f (x) dx 6 M. m6 (b − a) a Величину, стоящую в средней части, обычно называют средним значением функции f (x) на промежутке [a, b].

5. Среднее значение. Теорема 1 (о среднем) Пусть функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b). Тогда в этом промежутке находится точка ε, такая, что Z b f (x) dx = f (ε)(b − a). (3) a

Доказательство Это получится, если применить формулу Лагранжа к правой части (1). Значение f (ε) является средним значением f (x) на [a, b]. Равенство (3) имеет простой геометрический смысл: для f (x) > 0 площадь криволинейной

трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f (ε). 6. Аддитивность: при любом взаимном расположении точек a, b, c на отрезке интегрируемости функции f (x). Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx +

a

Z

b

f (x) dx. c

Действительно, если F (x) обозначает первообразную для Z b f (x), то f (x) dx = F (b) − F (a), a

Z

c

f (x) dx +

a

Z

b c

f (x) dx = F (c) − F (a) + F (b) − F (c) = = F (b) − F (a).

Свойство аддитивности имеет простой геометрический смысл: если криволинейную трапецию, построенную на [a, b], разбить на две части вертикальной прямой, проходящей через точку c с абсциссой c ∈ [a, b], то площадь трапеции равна сумме площадей ее частей, то же и для скалярной величины, распределенной на [a, b]. 7. Интегрирование по частям определенного интеграла: для функций u(x) и v(x), дифференцируемых на [a, b] Z

b a

b Z b u(x) dv(x) = u(x)v(x) − v(x) du(x). a

a

Действительно Z b Z b Z b b d (u(x)v(x)) = u(x) dv(x)+ v(x) du(x) = u(v)b(x) , a

a

откуда и следует требуемое.

Z e Пример 5 Вычислить интеграл ln x dx. 1

a

a

Решение dx , v = x. Получим Положим u = ln x, dv = dx, du = x Z e e Z e e 1 ln x dx = x ln x − x · dx = e − x = e − e + 1 = 1. 1 x 1 1 1

Z Пример 6 Вычислить интеграл

π

ex sin x dx.

0

Решение Положим u = ex , dv = sin s dx, du = ex dx, v = − cos x. Тогда Z π π Z π ex sin x dx = −ex cos x + ex cos x dx = 0 0 0 Z π = −eπ cos π + cos 0 + ex cos x dx. 0

Применим к интегралу в правой части снова метод интегрирования по частям, полагая u = ex , dv = cos x dx, du = ex dx, v = sin x. Z π π Z π ex cos x dx = eπ + 1 + ex sin x − ex sin x dx 0

0

или

2

откуда Z

3.

Z

π 0

0

π

ex sin x dx = eπ + 1,

0

1 ex sin x dx = (eπ + 1). 2

Замена переменной в определенном интеграле

Z b Теорема 2 Рассмотрим f (x) dx, где f (x) непрерывна на [a, b]. Ввеa

дем новую функцию x = ϕ(t), заданную на [α, β] и удовлетворяющую следующим условиям: 1) ϕ(t) и ϕ0 (t) непрерывны на

[α, β], 2) может быть определена сложная функция f (ϕ(t)), 3) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Тогда Z

b

f (x) dx =

a

Z

β

(4)

f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt. α

Доказательство Для проверки можно заметить, что если F (x) является первообразной для f (x), то очевидно F (ϕ(t)) – первообразная для подынтегральной функции в правой части (4), значит Z

β 0

f (ϕ(t))ϕ (t) dx = F (ϕ(β))−F (ϕ(α)) = F (b)−F (a) =

α

Z Пример 7 Вычислить интеграл

4 1

Z

b

f (x) dx. a

x √ dx. 2 + 4x

Решение t2 − 2 t 2 Положим 2 + 4x = t , x = , dx = dt, при a = 1, 4 2 √ √ b = 4, α = 6, β = 18. Получим 4

√

Z

Z Пример 8 Вычислить интеграл

18 2

√

18 x t − 2 t dt 1 2 √ dx = √ = (t − 2) dt = √ 4 2t 8 2 + 4x 1 6 6 √ √ √ √ √  3  √ 18 1 t 3 18 − 18 − 6 + 6 18 3√ = − 2t √ = = = 2. 8 3 4 2 2 6

Z

4 3

3 4

Z

dx . x x2 + 1 √

Решение Ранее находили первообразную при помощи подстановки x = tg t. Положим здесь x = t−1 , dx = −t−2 dt, α = 4/3, β =

3/4. Тогда 4 3

dx √ = − 2 3 x x +1 4 r 4 16 = ln + 1 + = ln 3 9 Z

= ln

Z

4 3 3 4

3 4

Z 4 3 dt t2 dt √ √ = = 2 2 2 4 3 t 1+t 1+t 3 ! 4 ! r r 4 16 3 9 + 1+ − ln + 1+ = 3 9 4 16 + +

5 3 5 4

3 = ln . 2

Замечание 1 Следует обратить внимание на то, что при вычислении определенного интеграла не надо возвращаться к старым переменным, но надо заменить пределы интегрирования.

4.

Определенный интеграл как функция верхнего предела Если рассмотреть

Z

x

f (t) dt, то очевидно, что он как функa

ция от xZесть первообразная для подынтегральной функции, 0 x f (t) dt = f (x), т.е. справедлива теорема Барроу. так что a

Теорема 3 (Барроу) Производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела интегрирования. Замечание 2 Здесь переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы не путать ее с обозначением верхнего предела интегрирования. Величина определенного интеграла, как известно, не зависит от обозначения переменной интегрирования.

5.

Некоторые приложения определенных интегралов

5.1.

Вычисление площадей плоских фигур

Известно, что площадь криволинейной трапеции выражается определенным интегралом. Теперь рассмотрим более общие фигуры. Начнем с криволинейной фигуры, ограниченной графиками двух функций f (x) 6 g(x), заданных на [a, b], и двумя вертикальными прямыми x = a, x = b. y E y = g(x) F

C

y = f (x)

a

D b

x

Рис. 1. Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми

Такие фигуры иногда называют правильными в направлении y. S – площадь Z такой фигуры, выражается, очевидb

(g(x) − f (x)) dx. Здесь легко видеть, но, формулой S = a что искомую площадь можно определить как разность площадей криволинейных трапеций, расположенных полностью над осью абсцисс, чего можно достичь параллельным переносом вдоль оси ординат (рис.1). Пример 9 Вычислить площадь круга радиуса R.

Решение Уравнение окружности x2 + y 2 = R2 . Площадь круга определена площадью фигуры, заключенной между двумя полуокружностями (рис. 2,а) √ y = ± R 2 − x2 , −R 6 x 6 R.

y

а)

y

б)

x2 = 2py M y 2 = 2px

R x

0

A

0

B

2p

x

Рис. 2. Площади а – круга; б – фигуры, ограниченной параболами y 2 = 2px и x2 = 2py

S=

Z

R −R

Z √  √ R2 − x2 − (− R2 − x2 ) dx = 2

R −R

√

R2 − x2 dx.

π π Возьмем x = R sin t, dx = R cos t dt, α = − , β = . 2 2 Z π Z π 2 2 2 2 2 S = 2 R cos t dt = R (1 + cos 2t) dt = − π2

− π2

π π 2 R 2 2 = R 2 t π + sin 2t π = R2 π. 2 −2 −2

Пример 10 Определить площадь фигуры, заключенной между параболами y 2 = 2px и x2 = 2py (рис. 2,б ). Решение √ x2 Обозначим f (x) = , g(x) = 2px. Найдем абсцисси то2p чек пересечения парабол, решив уравнение f (x) = g(x), получим x = 0 и x = 2p.    Z 2p p p 2 3 x3 2p x2 S = 2px − dx = 2p x 2 − = 2p 3 6p 0 0 2 8 4 = · 4p2 − p2 = p2 . 3 6 3

Аналогично можно определить площадь радиально правильной области, расположенной между лучами (в полярной системе координат) ϕ = α, ϕ = β, α < β и двумя линиями r = f (ϕ), r = g(ϕ), f (ϕ) 6 g(ϕ) (рис. 3,а). а) y

∆ϕ

б)

r = g(ϕ)

0

r = f (ϕ) x β αϕ

0

r

Рис. 3. Площадь фигур в полярной системе координат: а – радиально правильной области, расположенной между лучами; б – одного витка архимедовой спирали



1 2 1 2 2 0 2 g (ϕ) − f (ϕ) ∆ϕ, S (ϕ) = g (ϕ) − f (ϕ) , ∆S(ϕ) = 2 2 Z
1 ϕ 2 S(ϕ) = g (v) − f 2 (v) dv, 2 α Z
1 β 2 S= g (ϕ) − f 2 (ϕ) dϕ (5) 2 α

Пример 11 Найти площадь витка архимедовой спирали r = aϕ (рис. 3,б ). Z Решение 1 2π 2 2 a2 ϕ3 2π 4 3 2 Согласно (5), S = a ϕ dϕ = = π a. 2 0 2 3 0 3

Произвольная область может быть разбита на правильные области и тогда ее площадь будет найдена как сумма площадей правильных областей (фигур) S = S1 + S2 (рис. 4).

y S1 S2 x

Рис. 4. Неправильная область S – сумма правильных S1 и S2

Замечание 3 Иногда при вычислении площадей удобно рассматривать фигуры, правильные в направлении x. Тогда Z d S= (p(y) − q(y)) dy. c

Пример 12 Вычислить площадь, заключенную между линиями y = x2 2 x , y = , y = 2x (рис. 5,а). 2

Решение Площадь, определяется как сумма площадей двух правильных фигур: одна из них ограничена двумя параболами x2 и прямой x = 2, вторая – параболой y = , прямой y = 2x и 2 прямой x = 2.   Z 2 Z 4 2 2 x x S = x2 − dx + 2x − dx = 2 2 0 2 x3 2 2 4 x3 4 4 28 = +x − = + 12 − = 4. 6 0 6 2 3 3 2 Пример 13 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x2 2 2 x + y = 8, y = и осью абсцисс, x > 0 (рис. 5,б ). 2

а)

y

B y=

y

б)

x2 2

A(2, 2)

A

y = x2

0

x

0

y=x

Рис. 5. Площади неправильных областей

Решение Фигуру разобьем на две части прямой x = 2. S=

Z

2 0

2

x + 2

Z

√ 2

8

√

8 − x2 dx.

Для вычисления второго √слагаемого произведем в интеграле √ замену x = 8 sin t, dx = 8 cos t dt. Тогда Z π Z π 2 2 x3 2 4 2 S = + 8 cos t dt = + 4 (1 + cos 2t) dt = π π 6 0 3 4 4 π 4 2 2 4 = + π + 2 sin 2t π = + π − 2 = π − . 3 3 3 4

5.2.

Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений

Рассмотрим тело в пространстве, ограниченное некоторой поверхностью и двумя параллельными плоскостями. Выберем на оси, перпендикулярной этим плоскостям, систему координат x так, что данным плоскостям соответствуют x = a, x = b,

(a < b), и точки рассматриваемого тела проектируются на ось на отрезке [a, b]. Пересечем тело плоскостями, перпендикулярными оси и отвечающими x ∈ [a, b], причем площади таких сечений S(x) известны (рис. 6,а). Тогда объем тела V вычисб)

а)

R b

a

S(x) b x

b

H

x

b

x

Рис. 6. Объем тела: а – вращения; б – конуса

ляется по формуле V =

Z

b

S(x) dx.

(6)

a

Вывод этой формулы вполне аналогичен (2). Обозначим через V (x) часть объема, отвечающего отрезку [a, x]. Действуя так же, как ранее ([ 5 ], разд. 5), находим, что V 0 (x) = S(x), откуда и выводится формула (6). Важным частным случаем является формула объема тела вращения. Телом вращения назовем тело, образованное вращением вокруг оси X криволинейной трапеции, находящейся под графиком функции f (x) > 0 на промежутке [a, b], (a < b). В этом случае поперечное сечение есть круг радиуса f (x), его площадь S(x) = πf 2 (x), и объем тела вращения Z b

f 2 (x) dx.

Vт.вр = π

(7)

a

Пример 14 Вычислить объем V кругового конуса с радиусом основания R и высотой H (рис. 6,б ).

Решение Выберем ось конуса за ось x, считая начальной точкой вершину конуса, и используем формулу (7). Уравнение обраR зующей f (x) = x, 0 6 x 6 H, H 2 Z H R πR2 x3 H 1 2 V =π x dx = 2 = πR H. H H 3 3 0 0

Пример 15 Найти объем тела, ограниченного плоскостями x = 1, x = 3, если площадь его поперечного сечения S(x) обратно пропорциональна квадрату расстояния сечения от начала координат, а при x = 2 равна 27.

Решение k k S(x) = 2 , 27 = , k = 108. x 4 Z 3 108 108 3 V = dx = − = −36 + 108 = 72. x2 x 1 1

5.3.

Вычисление длин дуг плоских кривых

Рассмотрим дугу кривой, являющейся графиком y = f (x) на [a, b]. Предполагаем, что f (x) имеет непрерывную производную на (a, b). Обозначим длину дуги, отвечающей промежутку [a, x] через l(x). Приращение ∆l длины дуги, отвечает промежутку x, x + ∆x (можно p считать ∆x > 0). При ∆x → 0 величина ∆l эквивалентна ∆x2 + ∆y 2 (∆y, как и прежде – приращение функции) и значит s p  2 ∆x2 + ∆y 2 dl ∆l ∆y = lim = lim = lim 1+ = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x→0 dx ∆x ∆x p = 1 + (f 0 (x))2. p Таким образом, l(x) есть первообразная для 1 + (f 0 (x))2. Рассуждая далее, как и ранее, находим, что длина l вычисля-

ется по формуле Z bp l= 1 + (f 0 (x))2 dx.

(8)

a

Для удобства запоминания, имея в виду, что dy = f 0 (x) dx, Z bp эту формулу можно записать в виде l = dx2 + dy 2 . Она a

получается внесением dx под знак корня и может рассматриваться как символическая запись. Пример 16 Вычислить длину дуги кривой y = 1 − ln cos x при π 06x6 . 4 Решение Применив формулу (8), получим Z πp Z π  π x  π4 2 4 dx 1 + tg2 x dx = l = = ln tg + = cos x 4 2 0 0 0 3π π 3π = ln tg − ln tg = ln tg . 8 4 8 Пример 17 ex + e−x Вычислить длину дуги кривой y = , 0 6 x 6 1. 2 Решение 0

5.4.

r

e −e (ex − e−x )2 ex + e−x y = , 1+ = , 2 4 2 Z 1 x e + e−x ex − e−x 1 e − e−1 l= dx = . = 2 2 2 0 0 x

−x

Вычисление площади поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, образованную вращением вокруг оси X дуги плоской кривой y = f (x) на [a, b].

y Вычислим площадь Q этой поверхности. Так же, как в предыAb дущих задачах рассмотрим переменBb ную площадь, отвечающую промежутку [a, x] и приращение ∆Q(x), отвеb b x a b чающее промежутку [x x + ∆x]. Счи0 h тая приращение поверхности приблизительно поверхностью усеченного конуса с образующей ∆l и радиусом Рис. 7. Поверхность основания f (x) и f (x + ∆x), полушарового пояса чим ∆Q(x) = π (f (x) + f (x + ∆x)) ∆l, ∆l ∆Q(x) = π (f (x) + f (x + ∆x)) , откуда Q0 (x) = или ∆x ∆x p ∆l 2πf (x) = 2πf (x) 1 + (f 0 (x))2. Отсюда следует, что Q(x) ∆x p является первообразной для 2πf (x) 1 + (f 0 (x))2 и значит Q = Z b p 2πf (x) 1 + (f 0 (x))2 dx или a

Q=

Z

a

b

2πf (x)

p

1 + y 02 dx.

(9)

Пример 18 Найти поверхность шарового слоя для шара радиуса R, если высота шарового слоя h. Решение Поверхность шарового слоя получается при вращении дуги AB, отвечающей промежутку [a, b], где h = b − a. Уравнение этой дуги (при выбранной системе координат) есть y = √ R2 − x2 на [a, b] (рис. 7). Применим формулу (9). Получим p R x y = −√ , 1 + y 02 = √ . R 2 − x2 R 2 − x2 Z b √ R Тогда Q = 2π R2 − x2 √ dx = 2πR(b − a) = 2πRh. 2 2 R −x a 0

5.5.

Физические приложения определенного интеграла

Ранее рассматривали выражение пути, пройденного материальной точкой при прямолинейном движении в виде определенного интеграла от скорости движения, и выражение массы тонкого прямолинейного стержня в виде определенного интеграла от линейной плотности распределения массы. Теперь рассмотрим аналогичным образом работу в поле сил при прямолинейном перемещении точки по преодолению действующей силы. Пусть в некоторой части плоскости задано поле сил и выбран отрезок AB. Если задать ось, проходящую через AB, и выбрать на ней систему координат x так, что точка A имеет координату a, а точка B – координату b, то проекцию силы, приложенной в точке x (a < x < b) отрезка AB, можно обозначить через f (x). Если через A(x) обозначить работу по преодолению силы при перемещении из точки A в точку x, то dA(x) = f (x), и значит A(x) есть первообразная для f (x), и, dx Z b

следовательно, (A(a) = 0), A =

f (x) dx.

a

Замечание 4 Итак, рассмотрены приложения определенного интеграла к вычислению пройденного пути, массы, работы. Во всех случаях получаются сходные результаты: пусть есть интеграл от скорости, масса – от плотности, работа – от силы. Легко видеть, что таким образом можно выразить “количество” произвольной скалярной величины, распределенной по длине как интеграл от ее “удельной характеристики”.

6. 6.1.

Приближенное вычисление определенных интегралов Задача численного интегрирования

На практике при вычислении определенных интегралов приходится сталкиваться со случаями, когда фактическое вычисление первообразной затруднено или попросту невозможно, так как первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, или это выражение слишком громоздко, либо значения подынтегральной функции известны лишь в отдельных точках (к примеру, представляют собой результаты наблюдений, показаний приборов, включающихся в дискретные моменты времени и т.д.) При этом нужно иметь в виду, что на практике точное значение определенного интеграла, как правило, не требуется, но требуется найти приближенное значение с заданной точностью. Таким образом, приходим к задаче: на заданном промежутке [a, b] задается набор значений x1 , x2 , . . . , xk и соответствующих значений функции f (x): yk = f (xk ). x x1 y y1

x2 y2

x3 y3

··· ···

xk yk

Требуется найти по возможности более точное приближенZ b ное значение интеграла f (x) dx и оценить погрешность поa

лученного приближенного значения. Такая задача называется задачей численного интегрирования. На практике промежуток интегрирования разбивается, как правило, равноотстоящими точками.

6.2.

Формулы прямоугольников и трапеций

Для наглядности вернемся к задаче вычисления площади криволинейной трапеции, которая выражается определенным

интегралом. Предположим, что на [a, b] задана непрерывная функция y = f (x) > 0. Z b Рассмотрим площадь S = f (x) dx криволинейной траa

пеции aABb. Выберем какое-нибудь n ∈ N и разобьем [a, b] на b−a n равных частей точками xk = a + hk, где h = , n k = 1, . . . , n − 1. Для единообразия обозначим еще a = x0 , b = xn . Проведем вертикальные прямые x = xk и тем самым разобьем данную трапецию на n полосок ширины h. Площади этих полосок обозначим соответственно ∆Sk . Очевидно, n X S= ∆Sk . В промежутке [xk−1 , xk ] при “достаточно” малом k=1

h f (x) мало меняется и ее можно приближенно считать постоянной, равной, например, yk−1 = f (xk−1 ). Это означает, что k-ю полоску можно приближенно заменить прямоугольником ширины h с высотой yk−1 , так что ∆Sk ≈ yk−1 h. Заменив все полоски соответствующими прямоугольниками, будем иметь (рис. 8,а) S ≈ S− =

n X

yk−1 h = h

k=1

n X

f (xk−1 ).

(10)

k=1

Аналогичным образом можно брать за значения функции ее значение на правом конце (рис. 8,б ) промежутка [xk−1 , xk ]: f (x) ≈ yk = f (xk ). При этом получим S ≈ S+ = h

n X

f (xk ).

(11)

k=1

Эти формулы для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции обычно называют левой и правой формулами прямоугольников. На практике часто еще используются формулы “средних” для которой берутся ор прямоугольников,  динаты yk− 1 = f xk− 1 , где xk− 1 середина отрезка [xk−1 , xk ] 2 2 2 (рис. 8,в).

a)

y Abc

c b

б)

cB b

A

c b c b b c

0 a x1x3

y

x xbn−1

bc bc

в)

B bc

A bc

bc

0 a x1x2

y

bc bc

x xn−1b

bc

Bbc bc

0 a x1x3

bc b c

x xbn−1

Рис. 8. Формулы прямоугольников: а – левая; б – правая; в – средняя

В этом случае получаем приближенную формулу S ≈ Sср = h

n X k=1


f xk− 1 . 2

(12)

Пример 19 Показать, что для возрастающей функции f (x) справедливо S− < Sср < S+ , S− < S < S+ . Решение Действительно, для возрастающей функции для каждого прямоугольника f (xk−1 ) < f xk− 1 ) < f (xk ), откуда сле2 дует первое неравенство. Для доказательства второго неравенства заметим, что для всех ∆Sk справедливы неравенства f (xk−1 )h < ∆Sk < f (xk )h. Просуммировав все неравенства по k от 1 до n, получим второе неравенство. Полученные формулы можно несколько уточнить, если дугу, ограничивающую каждую полоску, заменить стягивающей ее хордой. При этом криволинейные полоски можно приближенно заменить прямолинейными трапециями, так что (рис. 9,а)

y

а)

bc

Abc

rs

c b

c b

bc

c b c b

x

xk−1xk

0

A2k−2 A2k c b A2k−1 rs

Bbc

yk bc

c b

bc

yk−1 rs

y

б)

0

rs

rs

c b bc

x

x2k−2 x2k x2k−1

Рис. 9. Приближенное вычисление интегралов: а – формула трапеций; б – формула Симпсона

∆Sk ≈

yk−1 + yk h, 2 n X (yk−1 + yk )

n−1 X

!

f (x0 ) + f (xn ) + f (xk ) . 2 2 k=1 k=1 (13) Эта приближенная формула для вычисления S называется формулой трапеций. Те же самые формулы можно получить для приближенного вычисления определенного интеграла безотносительно его геометрического смысла. Если воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то Z b n Z xk X f (x) dx = f (x) dx. На основании теоремы о средS ≈ Sтр = h

a

нем

k=1

Z

=h

xk−1

xk

f (x) dx = f (ck )h,

xk−1 < ck < xk .

(14)

xk−1

Поскольку данная функция f (x) предполагается непрерывной, то при “малом” h можно в (14) вместо ck взять любое значение из промежутка [xk−1 , xk ], которое окажется удобным по тем или иным причинам (ck фактически найти сложно, да и не нужно). Если при этом взять в (14) вместо f (ck ) значение

функции на левом, правом концах или посредине, то получается соответственно формулы (10),(11) и (12), а если взять полусумму значений на концах, то получится формула трапеций (13). Таким образом, окончательно получается приближенные формулы: Z

b

a b

n−1

b−aX f (x) dx ≈ f (a + hk), n k=0

(15)

n

b−aX f (x) dx ≈ f (a + hk), (16) n k=1 a    Z b n X b−a 1 f a+h k− , (17) f (x) dx ≈ n k=1 2 a " # Z b n−1 X b − a f (a) + f (b) f (x) dx ≈ + f (a + hk) . (18) n 2 a k=1 Z

Можно показать, что при достаточно гладкой f (x) (имеющей вторую производную) точность полученных формул обратно пропорциональна n2 .

6.3.

Формула парабол (Симпсона)

Выберем четные n = 2m (m ∈ N) и разобьем, как и ранее, промежуток [a, b] на n равных частей точками xk = a + nk, где b−a h= , k = 0, . . . , n. При этом вся криволинейная трапеция k разобъется на 2m полосок, которые попарно объединим, так что получится m двойных полосок (рис. 9,б ). Построим параболу второй степени, проходящую через точки A2k−2 Z , A2k−1 , A2k , и для приближенного выражения интеx2k

f (x) dx заменим на этом промежутке f (x) на соот-

грал

x2 k−2

ветствующий квадратный трехчлен (правую часть уравнения параболы). Применяя этот прием для каждой сдвоенной полоски, получим приближенную формулу, которую и называют обычно формулой парабол.

Для упрощения вычислений сделаем параллельный перенос, при котором начало координат переносится в точку (x2k−1, 0). При этом точки A2k−2 , A2k−1 , A2k будут иметь координаты (−h, y2k−2 ), (0, y2k−1 ), (h, y2 ). Если уравнение искомой параболы y = a + bx + cx2 , (19) то условие, что парабола (19) проходит через три данные точки   y2k−2 = a − bh + ch2 y2k−1 = a (20)  y2k = a + bh + ch2 .

Вычислим интеграл для параболы (19) h

2 h (a + bx + cx2 ) dx = 2ah + ch3 = (6a + 2ch2 ). 3 3 −h

Z

Используя систему (20) для нахождения 6a + 2ch2 , имеем 6a + 2ch2 = y2k−2 + 4y2k−1 +Zy2k , и, возвращаясь к первоначальным x2k h обозначения, получим f (x) dx ≈ (y2k−2 + 4y2k−1 + y2k ). 3 x2k−2 И, окончательно, Z

b

f (x) dx =

a

m Z X k=1

x2k

m

hX f (x) dx ≈ (y2k−2 + 4y2k−1 + y2k ). 3 x2k−2 k=1

Формула парабол окончательно приобретает вид "

m X

m X

Z

b

f (x) dx = a

#

b−a f (a) + f (b) + 2 f (a + 2hk) + 4 (a + h(2k − 1)) . 6m k=1 k=1 Полученная формула более сложная по сравнению с формулами (15)–(18), но она имеет большую точность: если f (x) имеет ограниченную четвертую производную, то точность формулы парабол обратно пропорциональна n4 .

Z Пример 20 Вычислить интеграл

2

dx = ln 2 с точностью до 0, 001, x 1 воспользовавшись формулами 1) прямоугольников, 2) трапеций, 3) парабол при n = 10. Решение 1. Составим табл. 1 значений xk− 1 и yk− 1 с четырьмя зна2 2 ками (используя формулу для средних значений). Z 2 10 dx 1 X 1 ≈ yk− 1 = · 6, 9284 = 0, 69284 ≈ 0, 693. 2 x 10 k=1 10 1 2. Составим табл. 2 значений xk и yk для формулы трапеций, по который искомый интеграл ! Z 2 9 X 1 y0 + y10 dx = + yk , x 10 2 1 k=1   Z 2 dx 1 1, 5 = + 6, 1877 = 0, 69377. x 10 2 1

Таблица 1 xk− 1 2 xk− 1 = 1, 05 2 xk− 3 = 1, 15 2 xk− 5 = 1, 25 2 xk− 7 = 1, 35 2 xk− 9 = 1, 45 2 xk− 11 = 1, 55 2 xk− 13 = 1, 65 2 xk− 15 = 1, 75 2 xk− 17 = 1, 85 2 xk− 19 = 1, 95 2 Сумма

Таблица 2

yk− 1 2 yk− 1 = 0, 9542 2 yk− 3 = 0, 8696 2 yk− 5 = 0, 8000 2 yk− 7 = 0, 7407 2 9 yk− = 0, 6897 2 yk− 11 = 0, 6452 2 yk− 13 = 0, 6061 2 yk− 15 = 0, 5714 2 yk− 17 = 0, 5405 2 yk− 19 = 0, 5128 2 6, 9284

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

xk = 1, 1 = 1, 2 = 1, 3 = 1, 4 = 1, 5 = 1, 6 = 1, 7 = 1, 8 = 1, 9

Сумма

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

yk = 0, 9091 = 0, 8333 = 0, 7692 = 0, 7143 = 0, 6667 = 0, 6250 = 0, 5882 = 0, 5556 = 0, 5263

6, 1877

3. Для формулы парабол составим две табл. 3. Таблица 3 x x1 = 1, 1 x3 = 1, 3 x5 = 1, 5 x7 = 1, 7 x9 = 1, 9 Сумма

Z

2 1

y y1 = 0, 9091 y3 = 0, 7692 y5 = 0, 6667 y7 = 0, 5882 y9 = 0, 5263 3, 4595

x2 x4 x6 x8

x = 1, 2 = 1, 4 = 1, 6 = 1, 8

Сумма

y2 y4 y6 y8

y = 0, 8333 = 0, 7143 = 0, 6250 = 0, 5556

2, 7282

dx 1 = (1, 5 + 2 · 2, 7282 + 4 · 3, 4595) = 0, 6931. x 30

В действительности же ln 2 = 0, 69314718 . . .

7.

Определенный интеграл как предел интегральных сумм

При выводе формул прямоугольников интервал разбивался на равные части и значения функции выбирались на концах или в середине этих частей с целью, главным образом, удобства вычислений. На самом деле, основным является условие, чтобы части были равномерно малыми, а точки внутри каждой части могут выбираться произвольно, и это не должно влиять на точность приближенной формулы. Пусть y = f (x) задана и непрерывна на [a, b]. Выберем некоторое n и разобьем промежуток [a, b] на n частей точками a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. Обозначим ∆xk = xk − xk−1 и ранг разбиения ρ = max{∆x1 , . . . , ∆xn }. На каждой из частей выбираем по точке ξk , т.е. xk−1 6 ξk 6 xk , k = 1, . . . , n. Состаn X вим величину J = f (ξk )∆xk . Эта величина обычно называk=1

ется интегральной суммой. Представим Z

b

f (x) dx =

a

n Z X k=1

Z

b

f (x) dx в виде a

xk

(21)

f (x) dx. xk−1

Применив к каждому интегралу в правой части (21) теорему о среднем, получим Z

a

b

f (x) dx =

n X

f (ck )∆xk ,

xk−1 < ck < xk .

k=1

В силу непрерывности f (x) и для достаточно малых ∆xk функция на каждом частичном промежутке меняется мало, и f (ck ) может быть приближенно заменена на f (ξk ) для любого ξk Z b n X f (x) dx ≈ f (ξk )∆xk = из этого промежутка. Получим a

k=1

J. Причем период такого приближения будет тем выше, чем

меньше ρ. Действительно, используя свойство равномерной непрерывности f (x) (теорема Кантора), можно доказать следующую теорему Кантора. Теорема 4 Пусть y = f (x) задана и непрерывна на [a, b]. Тогда для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что при ρ < δ Z b < ε. f (x) dx − J a

Из этой теоремы следует, что

Z

a

b

f (x) dx = lim J. ρ→0

Исходим из предположения, что непрерывная функция имеет первообразную. И это предположение было положено в основу определения определенного интеграла. При более строгом подходе за определение определенного интеграла от функции y = f (x) в промежутке [a, b] принимается предел интегральных сумм при ρ → 0, если этот предел существует и не зависит ни от выбора разбиения, ни от выбора точек ξ на этом разбиении. Согласно известной теореме Римана, в рассматриваемом случае определенный интеграл существует. Опираясь на этот факт, можно доказать теорему Барроу и как следствие установить существование первообразной непрерывной функции и далее вывести формулу для вычисления определенного интеграла, называемой формулой Ньютона–Лейбница Z b f (x) dx = F (b) − F (a) , где F (x) – любая первообразная подынa

тегральной функции. Эта формулу положена в основу определения определенного интеграла.

8.

Несобственные интегралы

Рассмотрен определенный интеграл и его приложения в предположении, что промежуток интегрирования ограничен, а подынтегральная функция непрерывна. Для многих прило-

жений важным является понятие интеграла без этих ограничений.

8.1.

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (первого рода)

Пусть непрерывная функция y = f (x) задана на [a, ∞). Z ∞ Введем символ f (x) dx. Для начала возьмем пример, поa

ясняющий, как придать смысл этому символу. Пример 21 Для функции y =

1 , заданной на [0, ∞], найти пло1 + x2 щадь под ее графиком на этом промежутке (рис. 10). y 1 В данном случае нельзя y= 1 + x2 найти площадь “бесконечной криволинейной трапе0 ции”, но можно найти плоN x щадь конечной ее части, Рис. 10. Площадь фигуры опирающейся на промежуна полубесконечном ток [0, N ] при любом копромежутке нечном N и посмотреть, что будет происходить Zс этой площадью при неограниченном N dx π увеличении N ; S[0, N ] = = arctg N → при N → ∞. 2 1 + x 2 0 Таким образом, по мере возрастания N площадь S[0, N ] приπ ближается к тем ближе, чем больше N . Следовательно, 2 за площадь этой “бесконечной” трапеции естественно принять π S[0, ∞) = lim S[0, N ] = . Подобным же образом следует постуN →∞ 2 пить в общем случае. Определение 2 Пусть y = f (x) задана и непрерывна на [a, ∞). Определим

символ

Z

+∞

f (x) dx как несобственный интеграл по бесконеч-

a

ному промежутку (первого рода). Z +∞ Несобственный интеграл f (x) dx называется сходящимa Z N ся, если существует конечный предел lim f (x) dx. Этот n→+∞

a

предел принимается за значение несобственного интеграла по бесконечному промежутку: Z +∞ Z N f (x) dx = lim f (x) dx. N →+∞

a

a

В противном случае интеграл называется расходящимся. Согласно определению, Z +∞ f (x) dx = lim (F (N ) − F (a)) = N →+∞

a

= lim F (N ) − F (a),

(22)

N →+∞

где F (x) – любая первообразная для f (x). Естественно обозначить lim F (N ) = F (+∞). Тогда (22) можно записать N →+∞

Z

a

+∞

(23)

f (x) dx = F (+∞) − F (a),

и, таким образом, перенести на несобственный интеграл первого рода определение обычного определенного интеграла. При этом “несобственность” интеграла выражается в том, что это определение выражается через предел: F (∞) = lim F (N ). N →+∞

Из формулы (22) следует, что существование конечного lim F (N ) является необходимым и достаточным условием

N →+∞

сходимости несобственного интеграла первого рода. Z Пример 22 Исследовать сходимость интеграла

1

+∞

dx . xp

Решение По определению Z

+∞

1

dx 1 1 1−p = lim N − , N →∞ 1 − p xp 1−p

(p 6= 1).

При p < 1 этот предел Z +∞равен ∞; при p > 1 этот предел равен dx 0; при p = 1 равен = lim ln N = ∞. N →+∞ x 1 Z +∞ ∞, при p < 1, dx  ∞, при p = 1, т.е. при p 6 1 интеграл Ответ: = p  x 1 0, при p > 1, расходится, а при p > 1 интеграл сходится.

На несобственные интегралы переносятся все основные понятия и свойства определенного интеграла (кроме теоремы о среднем). Z b Соответственным образом определяется понятие f (x) dx. −∞

Если y Z= f (x) задана и непрерывна на (−∞, +∞), то можно Z +∞ +∞ ввести f (x) dx, определяя его посредством f (x) dx = −∞ −∞ Z c Z +∞ f (x) dx + f (x) dx, при каком-либо конечном c. При −∞ Z c +∞ этом f (x) dx называется сходящимся, если сходятся оба −∞

интеграла Z +∞ в правой части. Аналогично (23) выводится формула f (x) dx = F (+∞)−F (−∞), где F (+∞) = lim F (N ), −∞

F (−∞) =

N →+∞

lim F (N ), причем одновременно существование

N →−∞

конечных F (±∞) является необходимым о достаточным услоZ +∞ вием сходимости интеграла f (x) dx. −∞

8.2.

Несобственные интегралы от неограниченных функций (второго рода)

Рассмотрим теперь функцию y = f (x), заданную в конечном промежутке (a, b), но неограниченную в нем. Более определенно: пусть функция ограничена в любом промежутке [a, b − ε], 0 < ε < b − a, но lim f (x) = ∞. ε→0

Z b Определение 3 Рассмотрим символ f (x) dx и назовем его несобственa

ным интегралом от неограниченной функции. Если существует Z b−ε

конечный предел lim

f (x) dx, то несобственный интеграл a Z b от неограниченной функции f (x) dx называется сходящимε→0

a

ся, и этот предел принимается за величину несобственного интеграла от неограниченной функции. В противном случае интеграл называется расходящимся. Согласно определению, Z b f (x) dx = lim (F (b − ε) − F (a)) = lim F (b − ε) − F (a), a

ε→0

ε→0

где F (x) – любая первообразная для f (x), 0 < ε < b − a. Если обозначить lim F (b − ε) = F (b), то получим, как и ранее, ε→0 Z b f (x) dx = F (b)−F (a), т.е. и на этот интеграл можно перенеa

сти определение обычного определенного интеграла. Очевидно, что условие существования конечного предела lim F (b − ε) ε→0 является необходимым и достаточным условием сходимости несобственного интеграла от неограниченной функции. Z Пример 23 Вычислить интеграл

1 0

dx √ . 1 − x2

Решение 1 Функция y = √ непрерывна и ограничена в любом 2 1−x промежутке [0, 1 − ε], 0 < ε Z< 1, а при x = 1 Zобращается в бесконечность. Для 0 < 1 1−ε dx π dx √ √ ε<1 = lim = lim arcsin(1 − ε) = . 2 1 − x2 ε→0 0 1 − x2 ε→0 0 Если функция ограничена в промежутке [a, b], но обращается в бесконечность вZточке x = a, тоZ несобственный интеграл b

b

определяется, как lim

ε→0

f (x) dx =

a+ε

f (x) dx.

a

Если функция обращается в бесконечность в некоторой внутренней точке из промежутка [a, b], a < c < b, то Z

b

f (x) dx = a

Z

c

f (x) dx + a

Z

b

f (x) dx.

(24)

c

Если оба интеграла, стоящие в правой части (24) сходятся, то и интеграл в промежутке [a, b] сходится. На несобственные интегралы второго рода также распространяются свойства определенного интеграла. Z Пример 24 Вычислить интеграл

1 0

dx . xq

Решение Положим x = t−1 , dx = −t−2 dt. При x = 0 t = ∞, а при Z 1 Z ∞ dx dt x = 1 t = 1. Если q 6= 1, то = . Этот интеграл q 2−q x t 0 1 сходится при 2− q > 1 или при q < 1Zи расходится при 2− q < 1 1 dx или q > 1. При q = 1 имеем (ε > 0) = lim ln ε = −∞, т.е. ε→0 x 0 интеграл также расходится. Этот интеграл может быть вычислен непосредственно че1 рез первообразную для q . Это решение иллюстрирует тот x факт, что несобственный интеграл от неограниченной функции при помощи простой замены переменной может быть пре-

образован в несобственный интеграл по бесконечному промежутку и обратно.

Библиографический список 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1975. Т.1. 2. Кремер Н. Ш. и др. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 2000. 3. Виленкин Н. Я., Мордкович А. Г. Производная и интеграл. М.: Просвещение, 1976. 4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб.: Лань, 1997. 5. Зингер А. А, Зингер В. А., Сирота Ю. Н. Неопределенный интеграл / СПбГУАП. СПБ., 2005.

Оглавление 1. Скалярные величины, распределенные по длине

3

2. Определение и свойства определенного интеграла 5 2.1. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . 6 3. Замена переменной в определенном интеграле

9

4. Определенный интеграл как функция верхнего предела 11 5. Некоторые приложения определенных интегралов 5.1. Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . 5.2. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Вычисление длин дуг плоских кривых . . . . . . 5.4. Вычисление площади поверхности вращения . . . 5.5. Физические приложения определенного интеграла 6. Приближенное вычисление определенных интегралов 6.1. Задача численного интегрирования . . . . . . . . 6.2. Формулы прямоугольников и трапеций . . . . . . 6.3. Формула парабол (Симпсона) . . . . . . . . . . .

12 12 16 18 19 21 22 22 22 26

7. Определенный интеграл как предел интегральных сумм 30 8. Несобственные интегралы 31 8.1. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (первого рода) . . . . . . . . . . . . . . . 32 8.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (второго рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Библиографический список

37

Учебное издание Зингер Абрам Аронович Зингер Виктор Абрамович Сирота Юрий Наумович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-методическое пособие

Редактор А. В. Семенчук Подписано к печати 1.07.04. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 2,0. Усл.кр-отт. 1,98. Тираж 300 экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Отпечатано с авторского оригинал-макета СПбГУАП 190000, Санкт-Петербург, ул. Б.Морская, 67