Теоретическая метрология: Задание на курсовую работу, методические указания к выполнению курсовой работы

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра метрологии

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ Задание на курсовую работу Методические указания к выполнению курсовой работы

Факультет

радиоэлектроники

Направление и специальность подготовки дипломированного специалиста: 653800 – стандартизация, сертификация и метрология 190800 – метрология и метрологическое обеспечение Направление подготовки бакалавра 552200 – метрология, стандартизация и сертификация

Санкт – Петербург 2003

Утверждено редакционно-издательским советом университета

Теоретическая метрология: Задание на курсовую работу. Методические указания к выполнению курсовой работы. – СПб.: СЗТУ, 2003, с. - 90

Методические указания содержат типовые задания на курсовую работу, порядок выполнения работы и основные теоретические положения, применяемые при определении результата многократного измерения. Курсовая работа выполняется студентами факультета радиоэлектроники специальности 190800. Методическая разработка соответствует требованиям Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 653800 (специальность 190800 – метрология и метрологическое обеспечение) и направлению подготовки бакалавра 552200. Рассмотрено на заседании кафедры Метрологии 27 января 2003 года, одобрено методической комиссией факультета Радиоэлектроники 06 февраля 2003 года. Р е ц е н з е н т ы : кафедра метрологии СЗТУ (заведующий кафедрой И.Ф. Шишкин, д-р техн. наук, проф.), В.А. Слаев, д-р техн. наук, проф., главный научный сотрудник ФГУП «ВНИИМ им. Д.И. Менделеева». Составитель В.Я. Смирнов, канд. техн. наук.

©

Северо-Западный университет, 2003

государственный

заочный

технический

ВВЕДЕНИЕ В практической деятельности качество результата измерения оценивается как систематической, так и случайной составляющими. При грубых измерениях чаще всего ограничиваются систематическими составляющими, которые могут быть учтены с помощью поправок. А в тех случаях, когда требуется получение высокоточных измерений, необходимо применять не только прецизионные средства измерений, но и учитывать все факторы, влияющие на качество результата измерения, включая и случайные, которые невозможно определить без априорной информации или применения статистической обработки. Появление влияющей на качество результата измерения случайной составляющей связано с проблемой измерения параметров реальных процессов или явлений в реальных условиях. Именно реальность условий и процессов вызывают появление огромного количества объективных и субъективных факторов, оказывающих влияние на качество результата измерения. Изменение температуры, напряжения питания при многократном измерении одной и той же физической величины, сравнительная оценка технологических процессов по их точности, производительности, экономичности и т.д. - все эти, а также множество других явлений, оказывающих влияние на качество результата измерения, носят случайный характер. Соответственно математические модели (в первую очередь, законы распределения вероятности) случайных составляющих, влияющих на качество результата измерения, не являются теоретической абстракцией, а описывают реально существующие физические явления. Так, например, равномерным законом описывается неточность от округления при расчетах, неточность, вызванная трением в стрелочных приборах с креплением подвижной части на кернах и подпятниках; арксинусоидальному закону распределения вероятности подчиняется неточность средств измерения электрических и неэлектрических величин, вызванная влиянием напряжения силовых цепей с частотой 50 и 400 Гц; влияние температуры на качество измерений приборами, работающими в течение всего года на открытом воздухе, имеют двухмодальное распределение и т.д. [1] – [3]. Необходимо учитывать, что вид закона распределения вероятности, определяющего качество результата измерения, имеет и экономическую составляющую многократных измерений (а это важно в современных условиях), так как от него зависит рассеяние всех оценок (стандартного отклонения, асимметрии, эксцесса и т.д.). Т.е. для обеспечения одного и

того же качества измерения при одном законе распределения можно ограничиться достаточно малым количеством экспериментальных данных, тогда как при другом – количество исходных данных должно быть значительно больше. Необходимо знание закона распределения вероятности, определяющего качество результата измерения, и при определении одних параметров закона распределения по его другим параметрам. Так, например, квантильные оценки, т.е. оценки, регламентирующие заданное значение доверительной вероятности, без вида закона распределения вероятности не могут быть выражены через стандартное отклонение. О том, каким образом может влиять недостаточно полное исследование изменений и законов распределения случайной величины, можно видеть из следующего примера. Целую серию катастроф авиационной и космической техники в 1985 – 1986 годы назвали «катастрофическим феноменом 1985 – 1986 г.г» [4]. Катастрофы в Манчестере самолета В-737 в августе 1985 г., японского авиалайнера В-747 (1985 г.), авария ракеты Titan – 34D в августе этого же года, 7 неудачных запусков NASA и Пентагона за первые 8 месяцев 1986 года вызвало волну банкротств страховых компаний, пассажиропоток на авиалиниях значительно сократился. Все это привело к необходимости тщательного расследования причин катастроф. Анализ, проведенный специалистами, показал, что одной из причин катастроф оказалось «неудовлетворительные по точности результаты решения задач статистической идентификации объектов, к надежности и точности которых предъявляются повышенные требования», при этом претензии предъявлялись в основном к статистическим моделям объектов в неисследованных режимах. В процессе анализа установлено, что поведение особо важных с точки зрения точности и надежности объектов при наличии некоторых возникших уже дефектов в процессе эксплуатации (их наличие еще не может вызвать катастрофу) резко изменяет показатели качества результатов измерений, полученных ранее при статистической идентификации подвижных объектов. А человек оказался не подготовлен к такой ситуации ни теоретически, ни практически. Все это в полной мере относится и к одной из причин аварии на Чернобыльской АЭС. Из приведенного примера видно, что при измерениях, к результатам которых предъявляются высокие требования (особенно если ошибка в прогнозе получаемого результата может повлечь за собой большие экономические или человеческие потери), необходимо при анализе качества результата измерения определять не только оценку характеристики положения закона распределения вероятности (среднего арифметического, медианы, моды и т.д.), но и закон распределения этой оценки, а также трансформацию во времени закона распределения

оценки характеристики положения, вызванную влиянием различных факторов с различными статистическими характеристиками. Это, в первую очередь, связано с тем, что при одной и той же доверительной вероятности от закона распределения, характеризующего качество результата измерения, зависят размеры доверительного интервала, который в общем случае определяет возможные границы изменения оценок характеристик положения. И статистическая обработка полученных при измерении экспериментальных данных должна показать, в каких пределах и с какой вероятностью может находиться оценка характеристики положения закона распределения вероятности, с которой идентифицируется значение измеряемой физической величины. Таким образом, цель курсовой работы – определение с помощью многократного измерения наиболее эффективной оценки характеристики положения закона распределения вероятности, идентифицируемой со значением измеряемой безразмерной величины. В процессе выполнения задания студент должен получить практические навыки по статистической обработке экспериментальных данных при многократном измерении, закрепить знания по основным разделам курса «Теоретическая метрология», практически освоить методы анализа экспериментальных данных. В процессе работы для получения наиболее эффективной оценки характеристики положения закона распределения вероятности студент должен выполнить несколько этапов. 1. Обработать массив экспериментальных данных, определив оценки числовых характеристик, и построить гистограмму. 2. Выдвинуть гипотезу о законе распределения вероятности экспериментальных данных (гипотез может быть несколько). При необходимости определить параметры, входящие в аналитическое выражение закона распределения вероятности. 3. Проверить правдоподобие выдвинутой гипотезы (или нескольких гипотез) с помощью нескольких критериев согласия. После проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы (или нескольких гипотез) с помощью критериев согласия для дальнейшего анализа должна остаться одна гипотеза закона распределения вероятности экспериментальных данных. 4. Выбрать характеристику положения закона распределения вероятности, определить ее оценку, закон изменения ее доверительных интервалов и записать результат многократного измерения, представив его в виде оценки характеристики положения, значения которой находятся в рассчитанных доверительных интервалах с заданной вероятностью (результат представить для двух значений доверительной вероятности Р = 0,9 и Р = 0,95).

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1.

ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ

Задание является общим для всех вариантов и формулируется в следующем виде: по данному объему экспериментальных данных определить результат многократного измерения безразмерной величины, представив его в виде некоторой оценки характеристики положения закона распределения вероятности, значения которой определены в доверительных интервалах с заданной вероятностью. Варианты отличаются конкретным массивом экспериментальных данных, объемом и видом закона распределения вероятности экспериментальных данных. Возможные массивы экспериментальных данных представлены в приложении А. Исходные данные для выполнения курсовой работы студент выбирает самостоятельно на основании рекомендаций данного пункта. Вариант определяется по двум последним цифрам шифра студента: по последней цифре выбирается объем экспериментальных данных, а по предпоследней – номер массива данных. Варианты работ приведены в табл. 1. Таблица 1 Цифра шифра студента Объем экспериментальных данных Номер массива экспериментальных данных

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Определяется по последней цифре шифра 200

170

180

150

160

220

190

210

240

230

Определяется по предпоследней цифре шифра X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X0

* Массивы экспериментальных данных приведены в приложении А. Каждый массив имеет 240 отсчетов (24 строки по 10 отсчетов в каждой строке). Чтобы получить необходимый объем экспериментальных данных, студент должен из массива данных выбрать значения отсчетов, записанные в первых no строках, где no равно двум первым значащим цифрам объема экспериментальных данных. Например, если шифр студента 19-268, то ему следует выполнять работу со следующими исходными данными: объем экспериментальных данных (восьмой) - 210 отсчетов, а конкретные значения отсчетов расположены в первых 21 строках массива данных Х6 (no = 21). 1.2.

РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Расчетно - пояснительная записка выполняется на белой бумаге формата 210 x 297 мм2 на одной стороне листа с полями: слева – 30 мм, справа – 10 мм (таблицы разрешается выполнять на листах большого формата). В конце работы приводится перечень использованной литературы с указанием авторов, названия издательства и года издания, а для периодических изданий – также номера тома или выпуска. Титульный лист расчетно – пояснительной записки оформляется по установленным правилам. Записка выполняется аккуратно, листы нумеруются и сшиваются. Кроме данных, приведенных в задании, используются статистические таблицы. Структура расчетно - пояснительной записки должна включать - постановку задачи с исходными экспериментальными данными из соответствующего задания; - алгоритм решения поставленной задачи с необходимыми обоснованиями результатов (выводов) после выполнения каждого пункта; - полученные результаты и выводы.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ 2.1 . ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ Из курса «Теоретической метрологии» известно, что результат многократного измерения, являясь случайной величиной, представляется в виде некоторой оценки характеристики положения закона распределения

вероятности (далее - характеристика положения), значение которой определено в доверительных интервалах с заданной вероятностью. А так как размеры доверительных интервалов зависят от закона распределения вероятности, то для повышения точности целесообразно найти закон распределения вероятности и только после этого рассчитать границы, в которых может находиться оценка характеристики положения с выбранной заданной доверительной вероятностью. С оценкой характеристики положения идентифицируется значение измеряемой величины. Методика определения закона распределения вероятности случайной величины (далее – ЗРВ), который полностью описывается плотностью распределения вероятности и (или) функцией распределения вероятности, базируется на использовании совокупности аналитических и графических методов. Аналитические методы определения формы ЗРВ основаны на вычислении оценок показателей формы распределения: асимметрии, эксцесса, коэффициента формы кривой распределения, контрэксцесса, энтропийного коэффициента. При этом найденные оценки сравниваются с известными табличными значениями показателей, рассчитанными для различных теоретических функций распределения. Опыт показывает, что определить с высокой достоверностью ЗРВ по оценкам показателей формы кривой сложно, так как очень часто одинаковые значения оценок могут принадлежать различным ЗРВ. По этой причине определение возможных форм ЗРВ по оценкам показателей формы кривой следует рассматривать в качестве предварительной оценки формы ЗРВ (одной или нескольких возможных вариантов). Гипотезу о форме ЗРВ, которую следует подвергнуть дальнейшему анализу, можно выдвинуть после построения гистограммы и кумулятивной кривой. А так как гистограмма является более информативной, чем кумулятивная кривая, то при выполнении курсовой работы ее построение обязательно. Необходимо отметить, что форма гистограммы очень часто зависит от количества интервалов, на которые разбивается весь массив выборки, от расположения интервалов относительно характеристики положения (среднего арифметического, медианы и т.д.). Поэтому целесообразно привести в работе несколько (не менее двух) гистограмм, которые могут отличаться друг от друга количеством интервалов или (и) другими параметрами. Студент при выполнении работы должен обосновать необходимость дальнейшего анализа нескольких гистограмм или возможность определения результата измерения по одной гистограмме. Окончательный вывод о том, какая гипотеза о форме ЗРВ должна быть подвергнута дальнейшему анализу, может быть сделан после сравнения

формы ЗРВ, полученной по гистограмме, с возможными формами, определенными по оценкам показателей формы распределения (асимметрия, эксцесс, коэффициент формы кривой распределения, контрэксцесс, энтропийный коэффициент). Если предварительный вывод о возможных формах ЗРВ, полученный по оценкам показателей формы, соответствует выводу о форме ЗРВ, полученному на основании построенной гистограммы, то можно гипотезу о форме ЗРВ принять к дальнейшему анализу. Если же этого соответствия не получается, то необходимо внести изменения в параметры гистограммы (изменить длину интервалов, их количество, сдвинуть середину интервалов), построить новую гистограмму и выдвинуть по ней другую гипотезу о форме ЗРВ. Провести очередное сравнение и добиться соответствия формы гистограммы выводу, сделанному на основании сравнения оценок показателей формы распределения с показателями формы известных теоретических ЗРВ (табличных). После того как гипотеза о форме ЗРВ будет выдвинута, с помощью гистограммы и кумулятивной кривой определяются аналитическое выражение ЗРВ и числовые значения параметров, входящих в аналитическое выражение ЗРВ. Целесообразно гистограммы, полигоны и кумулятивные кривые (экспериментальные кривые), функции плотности и функции распределения вероятности (аппроксимирующие функции) строить в линейном масштабе. Рассчитанные числовые значения параметров, входящих в аналитические выражения аппроксимирующих функций ЗРВ, могут не соответствовать действительному ЗРВ, так как числовые значения, входящие в аналитические выражения, тоже случайны. Поэтому для определения соответствия аналитического выражения ЗРВ экспериментальным данным применяются критерии согласия, которые в общем случае позволяют оценить степень расхождения экспериментальных функций и аппроксимирующих. Следует учесть, что ни один из критериев согласия не дает абсолютно достоверный вывод о степени соответствия экспериментальных и аппроксимирующих функций, описывающих конкретный ЗРВ. Для повышения достоверности при проверке соответствия экспериментальных и аппроксимирующих функций необходимо применить несколько (как минимум два) критериев согласия и только после этого сделать вывод о ЗРВ. В качестве примера в данном пособии степень расхождения экспериментальных и аппроксимирующих функций ЗРВ определяется с использованием критериев согласия Пирсона (χ2), Мозеса (ω2), А.Н. Коломогорова. Студент имеет право применять и иные критерии согласия, описанные в справочной и научной литературе.

После определения ЗРВ необходимо определить результат многократного измерения физической величины, представив его в виде характеристики положения, доверительные интервалы значений которой определены с заданной вероятностью. При этом зависимость параметра t, с помощью которого определяются доверительные границы, от доверительной вероятности для каждого ЗРВ будет разная и располагаться между зависимостью, определенной для нормального ЗРВ, и зависимостью, определенной по неравенству Чебышева (рис. 22 И.Ф. Шишкин “Теоретическая метрология” - М.: Изд. “Стандартов”, 1991). При выполнении работы студент для полученного ЗРВ должен построить зависимость параметра t от доверительной вероятности и определить по этой зависимости пределы, в которых может находиться характеристика положения для двух значений доверительной вероятности: Р = 0,9 и Р = 0,95. Ниже приведено описание этапов расчета. 2.2. ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА При большом количестве экспериментальных данных их простая совокупность является громоздкой, мало наглядной и неудобной для дальнейшей обработки. Для придания ему большей наглядности весь полученный экспериментальный материал целесообразно построить в виде ряда Q1 ≤ Q2≤ Q3…….≤ Qn,

(1)

при этом одновременно определяется количество каждого значения отсчета. Полученный ряд может быть представлен в виде таблицы, а также в виде линейчатой диаграммы. Линейчатая диаграмма определяет зависимость количества каждого значения отсчета от его непосредственного значения [2]. 2.3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

1.Для того чтобы получить информацию о среднем значении массива экспериментальных данных, необходимо определить среднее ∧

арифметическое Q по формуле [5]

∧

Q=

1 n ∑ Qi , n i =1

(2)

где n – количество отсчетов в массиве экспериментальных данных. 2. Для того чтобы оценить рассеяние массива экспериментальных данных относительно среднего арифметического, определяется несмещенная 2

оценка дисперсии [5]

S Q и стандартное отклонение S Q (СТО) по формулам 2

2

∧  1 n   Qi − Q  ; SQ = ∑ n − 1 i =1   2

SQ = + S Q

.

(3)

Известно, что дисперсия выражает мощность рассеяния относительно постоянной составляющей, а стандартное отклонение, имеющее размерность случайной величины, является действующим значением рассеяния случайной величины. 3. Для того чтобы оценить ассиметрию ЗРВ, определяется оценка третьего ∧

µ 3 , характеризующая несимметричность центрального момента распределения. Оценка третьего центрального момента определяется по формуле [5] 3

∧  1 n   µ 3 = ∑  Qi − Q  . n i =1   ∧

(4)

Третий центральный момент и его оценка имеют размерность куба случайной величины, поэтому для относительной характеристики асимметрии применяют безразмерный коэффициент асимметрии

s=

s [5]

µ3 S Q3

.

(5)

Для симметричных распределений ЗРВ относительно математического ожидания

µ3

= 0. Однако в реальности может быть определена только

∧

оценка третьего центрального момента µ 3 , которая, являясь случайной величиной, может приближаться к нулю, но не быть равной ему. В каких ∧

случаях можно считать симметричным ЗРВ, если µ 3 ≈ 0? Для ответа на этот вопрос определяется параметр, характеризующий рассеяние оценки коэффициента асимметрии [6]

σ  s  = ∧

 

6(n − 1) (n + 1)(n + 3) . ∧

(6)

s ≤ 1,5 σ  s  , то можно считать, что ЗРВ

Если выполняется условие

∧

 

∧

∧ s σ  s  , то несимметричностью ЗРВ > 1,5 симметричный, если же   пренебрегать нельзя. 4. Для того чтобы оценить степень заостренности ЗРВ, определяется ∧

оценка четвертого центрального момента µ 4 , характеризующая, с одной стороны, заостренность плотности распределения вероятности, а с другой, - протяженность распределения. Оценка четвертого центрального момента определяется по формуле [5] 4

∧  1 n  µ 4 = ∑  Qi − Q  . n i =1   ∧

(7)

Четвертый центральный момент и его оценка имеют размерность четвертой степени случайной величины, поэтому для удобства чаще применяют относительную величину, которая называется эксцессом ε и определяется по формуле

ε=

где

µ4

DQ2 ,

(8)

DQ - второй центральный момент случайной величины (дисперсия).

Эксцесс распределения для разных законов может иметь значение от ε = 1 для дискретного двузначного и до бесконечности (для распределения Коши). Так как для нормального закона ε = 3, то в некоторых случаях вводится понятие коэффициента эксцесса γ = ε - 3, который для менее протяженных распределений (треугольного, равномерного и т.д.) отрицательный, а для распределений, более протяженных, чем нормальный, γ > 0 и может изменяться до бесконечности. Последнее в расчетах не всегда удобно, поэтому ∧

применяют в расчетах чаще оценку контрэксцесса k , изменяющуюся от 0 до 1 и определяемую по формуле

S Q2

1

∧

k =

=

∧

ε

∧

µ4

.

(9)

5.Для того чтобы оценить интервал неопределенности, в котором находится результат многократного измерения без каких-либо предположений об уровне доверительной вероятности, определяется энтропийный коэффициент [2]

kэ =

∆Э DQ

,

(10)

∞ 1 H (Q ) где ∆ Э = e , H (Q ) = − ∫ p (Q ) ln p (Q ) dQ . К. Шеннон показал, что из 2 −∞

наиболее часто встречающихся распределений максимально возможное значение энтропийного коэффициента k э = 2,066 у нормального закона распределения

вероятности,

минимальное

kэ

=

1,11

–

у

∧

арксинусоидального. Умножив оценку энтропийного коэффициента k э на

S Q , можно определить оценку энтропийного значения интервала неопределенности результата измерения. Оценка энтропийного коэффициента является еще одной числовой характеристикой формы распределения вероятности . По гистограмме эта оценка вычисляется по формуле

dn 10 kэ = 2SQ ∧

−

1 n

m

∑ n j lg n j j =1

,

(11)

где d – ширина столбца гистограммы, n – количество отсчетов в массиве исходных данных, m – число столбцов в гистограмме, nj – число отсчетов в j – м столбце гистограммы (j = 1…….m). В табл. 2 и 3 приведены числовые значения эксцесса, контрэксцесса и энтропийного коэффициента для некоторых ЗРВ [2]. Таблица 2 № п / п 1

Вид распределения 2 P (Q) Q

1 0

- ∆m c

- ∆m

- ∆m

- ∆m

kэ

3

4

5

6

1,8

0,745

1,743

1,9

0,728

1,83

3 ≈ 1,73

∆m

Q

4,15=2,04

Q

2,016

0,704

1,94

0 ∆m c P (Q) 3c

4

κ

0 ∆m c P (Q) 2c

3

ε

P (Q)

3/2 c

2

∆ m / DQ

0

Q ∆m

5,2 ≈ 2,32

2,184

0,677

2,00

1

2

3

4

Окончание табл. 2 5 6

P (Q) 5

6 ≈ 2,45

Q - ∆m

2 ≈ 1,41

≈ 1,11

1,5

0,816

≈ 1,79

1,72

0,752

1,76

2

2,25

0,667

1,88

2 2

∆m 0 P (Q)

Q

7

4 5

∆m 0 P (Q) Q

8 - ∆m

2,02

π

Q

- ∆m

0,645

0 ∆m P (Q)

6 - ∆m

2,4

0

∆m

Таблица 3

№ п/п 1

Вид распределения

ε

κ

kэ

2

3

4

5

458

0,0467

0,085

107,25

0,0966

0,424

25,2

0,199

1,35

1

P( x) =

2

P( x) =

3

1 −4 e 48

Q

1 −3 Q e 12 1 − Q P ( x) = e 4

1 4

2

P( x) =

3

1 −Q e 2

(распределение Лапласа)

P(x) = 5

Окончание табл. 3 4 5

1

6

0,408

1,92

3

0,577

2,066

2

π

e−Q

(распределение Гаусса) 2.4.

ИСКЛЮЧЕНИЕ ИЗ МАССИВА ПРОМАХОВ

При исключении промахов из массива экспериментальных данных следует учесть, что правило «трех сигм» распространяется на результаты измерения, подчиняющиеся нормальному закону распределения [5]. Для других законов распределения можно применить неравенство Чебышева, которое устанавливает нижнюю границу вероятности того, что ни при каком законе распределения вероятности случайное значение результата измерения не отличается от среднего значения более чем на половину доверительного интервала, определяемого по формуле ∧ ∧  1 Р Q − tS Q ≤ Qi ≤ Q + tS Q  ≥ 1 − 2 , (12) t   отсюда могут быть найдены значения t для заданной вероятности

t ≤

1

(13)

∧ ∧  1 − P Q − tS Q ≤ Qi ≤ Q + tS Q   

и границы доверительного интервала ∧

∧

Q − tS Q ≤ Qi ≤ Q + tS Q .

(14)

Однако в указанном виде неравенство Чебышева не позволяет учесть особенности конкретного ЗРВ экспериментальных данных, по этой причине границы доверительной вероятности чрезвычайно широкие (для Р = 0,95 t ≤ 4,47, а для нормального закона распределения вероятности, например, t = 2 при Р = 0,95), что в некоторых случаях может привести к

искажению исходного закона распределения вероятности результата измерения, так как будут учитываться в нем сомнительные отсчеты. Можно уменьшить доверительную вероятность и получить более узкий доверительный интервал, но в этом случае уменьшенное значение доверительной вероятности не должно увеличиваться в дальнейших расчетах, что может создать дополнительные трудности с обработкой данных и представлением результата многократного измерения. Поэтому для учета ЗРВ при определении границ доверительной вероятности целесообразно использовать неравенство, определенное с помощью четвертого центрального момента [7] ∧

∧  ∧ µ Р Q − tS Q ≤ Qi ≤ Q + tS Q  ≥ 1 − 4 4 4 , t SQ  

(15)

∧

где отношение

µ S

4 4 Q

является оценкой эксцесса. Параметр t в этом случае

определяется следующим выражением: ∧

µ4

t≤

(16) ∧  ∧  . S 1 − P Q − tS Q ≤ Qi ≤ Q + tS Q     Доказательство неравенства (15) аналогично доказательству неравенства (12), только здесь единичная функция при доказательстве заменяется не квадратичной функцией (параболой), а функцией четвертой степени. В этом случае получается большее приближение заменяющей функции к единичной. После расчета параметра t для выбранной доверительной вероятности верхняя и нижняя границы предельных значений отсчетов определяются выражениями 4

∧

4 Q

Q− = Q− tS Q ;

∧

Q+ = Q + tS Q .

(17)

Отсчеты Qi < Q_ и Qi > Q+ считаются промахами и должны быть исключены из массива данных. При наличии промахов после их исключения расчеты по п.п. 2.2 – 2.4 необходимо повторить.

2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Определив оценки основных начальных и центральных моментов и показателей формы, можно предварительно определить характер кривой плотности распределения вероятности. Так, например, если оценка асимметрии не близка к нулю (не ∧ ∧ s ≤ 1,5 σ  s  ), то кривую плотности выполняется неравенство   распределения вероятности нельзя считать симметричной, при этом если ∧

µ 3 / S Q3 > 0, то более крутая часть кривой находится слева, если ∧

µ 3 / S Q3 < 0, то более крутая часть кривой находится справа. Степень несимметричности кривой распределения плотности вероятности можно оценивать и по тому, каким образом массив экспериментальных данных накрывается интервалом (Q− − Q+ ) , рассчитанным по форм.(17); если значительная часть левой или правой половины этого интервала накрывает участок значений, экспериментальные данные в котором отсутствуют, то это показывает о наличии существенной несимметричности кривой распределения вероятности. И еще одним показателем несимметричности кривой может быть отличие среднего арифметического от медианы. Чем больше они отличаются друг от друга, тем большая несимметричность кривой распределения вероятности. Медиана может быть определена по формулам (39) – (40). По величине оценки эксцесса можно оценить степень заостренности ∧

∧

кривой распределения плотности вероятности. Если ε =

µ4

≈ 3, то можно S Q4 считать, что закон распределения плотности вероятности вероятнее всего ∧

близок к нормальному. При ε =

∧

µ4

S Q4 >3 кривая имеет более узкую, острую ∧

µ4 ε = и высокую вершину, чем у нормального закона, при S Q4 < 3 – более ∧

широкую, плоскую и низкую. Наличие моды (или нескольких мод) может быть оценено по анализу частостей тех или иных значений экспериментальных данных. Если

экспериментальные данные имеют тенденцию группироваться в какойлибо области значений (или областях значений), то можно говорить о возможности наличия моды (или нескольких мод). Как правило, целесообразно с гистограммой строить линейчатую диаграмму, по которой можно определить наличие моды или нескольких мод. Линейчатая диаграмма определяет зависимость количества одинаковых отсчетов от их значений. Однако следует учитывать, что без построения гистограммы оценить значение той или иной моды невозможно. После анализа возможного характера кривой плотности распределения вероятности и сравнения полученных оценок показателей формы ЗРВ с значениями показателей, приведенными в табл. 2 и 3, делается предварительный вывод о возможных формах ЗРВ (один или несколько возможных вариантов). 2.5.1. Построение гистограммы Для построения гистограммы необходимо выбрать оптимальное число интервалов группирования экспериментальных данных. Необходимость оптимизации числа интервалов связана, в первую очередь, с требованием построения гистограммы, наиболее близкой к действительной кривой плотности распределения вероятности, и исключения промахов при определении закона распределения вероятности экспериментальных данных. Если число интервалов, на которые разбивается вся совокупность экспериментальных данных будет велико, а интервалы соответственно будут малыми, то гистограмма будет отличаться от плавной кривой своей изрезанностью, многими всплесками и впадинами, а некоторые интервалы могут быть пустыми. Если число интервалов будет мало, то могут быть потеряны характерные особенности действительного закона распределения вероятности. Так, например, если сделать один интервал, равный размаху экспериментальных данных, то любое распределение вероятности будет сведено к равномерному закону. Для выполнения задания предлагается два варианта выбора числа интервалов группирования экспериментальных данных: 1) значение числа интервалов находится между минимальным и максимальным числами, которые могут быть определены по формулам [2]

mmin = 0,55 n0,4

mmax = 1,25 n0,4

где n – число отсчетов, 2) число интервалов может быть выбрано из табл. 4 [5]

(18)

Число отсчетов

Таблица 4 Рекомендуемое число интервалов

40 - 100 101 - 500 501 - 1000 1001 - 10000

7 - 9 8 - 12 10 - 16 12 - 22

При выборе конкретного числа интервалов группирования рекомендуется учитывать следующее: 1) если предполагается, что закон распределения плотности вероятности симметричный, с явно выраженной модой, то желательно, чтобы количество интервалов m было нечетным, (так как при четном m и островершинном или двухмодальном симметричном распределении в центре гистограммы оказываются два равных по высоте столбца и середина кривой распределения плотности вероятности принудительно делается более плоской), если же несимметричный закон распределения плотности вероятности, то требования к нечетности количества интервалов не предъявляются; 2) как правило, используются интервалы равной длины; 3) центральный интервал (при нечетном количестве интервалов) желательно располагать в середине размаха экспериментальных данных симметрично относительно середины; 4) если гистограмма оказывается явно двухмодальной, число интервалов может быть увеличено в 1,5 – 2 раза таким образом, чтобы на каждую моду приходилось бы примерно m интервалов; 5) в каждом интервале должно быть не менее 5 отсчетов (выполнение этого требования обязательно при проверке соответствия ЗРВ экспериментальным данным по критерию согласия К. Пирсона); 6) для получения гистограммы, наиболее близкой к реальному закону распределения вероятности, целесообразно построить несколько гистограмм, которые отличались бы друг от друга количеством интервалов (при этом варьирование количества интервалов должно быть в пределах рекомендуемых, например, гистограммы, состоящие из 7, 9, 11 интервалов); из построенных таким образом гистограмм выбирается для дальнейшего анализа гистограмма, которая отвечает максимальному числу признаков, установленных в результате предварительного анализа; 7) для исключения грубых промахов при построении гистограммы целесообразно построить кумулятивную кривую по экспериментальным данным (необходимо учесть, что пропорциональная

зависимость кумулятивной кривой показывает на близость к равномерному закону распределения вероятности; наличие перегибов кумулятивной кривой может свидетельствовать о наличии мод или впадин); 8) если какое-либо значение отсчета попадает на границу интервала группирования, то рекомендуется разделить количество этих отсчетов пополам на два соседних интервала. Гистограмма строится следующим образом: на оси абсцисс откладываются интервалы группирования данных, на которых строятся прямоугольники, площадь которых равна относительному количеству отсчетов, приходящихся на данный интервал, т.е. по оси ординат откладывается величина, равная отношению

N , где N - количество n × ∆Q

отсчетов, попавших в данный интервал, n - количество отсчетов в исходном массиве, ∆Q - длина интервала. Таким образом, в гистограмме площадь прямоугольника равна вероятности попадания отсчета в интервал, который является основанием прямоугольника. Кроме гистограммы целесообразно построить полигон, кумулятивную кривую и линейчатую диаграмму. Значения кумулятивной кривой определяются вероятностью попадания отсчета в интервал от -∞ до рассчитываемого значения, т.е. суммированием вероятностей попадания отсчета во все интервалы, начиная с первого, до рассчитываемого (вероятность рассчитываемого интервала также суммируется). Линейчатая диаграмма представляет собой зависимость количества отсчетов от конкретного значения отсчета. ПРИМЕР. В качестве примера рассмотрим построение гистограммы 240 отсчетов, расположенных в виде статистического ряда, и покажем, насколько велико влияние длины интервала группирования значений ∆Q , а следовательно, и количества интервалов на вид гистограммы. Проверка наличия грубых промахов по методике, описанной в п.2.3, показала, что все отсчеты попадают в интервал

(Q− − Q+ ) ,следовательно, можно считать, что грубых промахов нет. Для данного массива числовые характеристики, определенные по формулам (2) – (5) имеют следующие значения: ∧

среднее арифметическое Q = 4,193333; стандартное отклонение SQ = 0,842812; ∧

оценка коэффициента, характеризующего асимметрию, s = -

0,014773;

∧

оценка эксцесса ε = 1,6902745, ∧

оценка контрэксцесса k = 0,76917. Проверка симметричности распределения по методике, изложенной в

  п. 2.2.3 дает следующие результаты: σ  s  = 0,15648, таким образом ∧

 

∧

∧ 1,5 σ  s  =0,235 > s . На основании чего можно сделать вывод о том, что   несимметричностью ЗРВ можно пренебречь. Если определять количество рекомендуемых интервалов по формулам (18), то получим что минимальное число интервалов 5, а максимальное 11. По табл. 4 рекомендуемое число интервалов от 8 до 12. В качестве примера построим гистограммы для 5 интервалов, 9 и 15 интервалов. Разбивка всех значений статистического ряда на интервалы проводилась в соответствии с перечисленными выше рекомендациями. Статистический ряд и границы интервалов представлены в табл. 5. В графах 3,4, и 5 табл. 5 приведены данные для 5 интервалов группирования экспериментальных данных, в графах 6,7,8 - для 9 интервалов, а в графах 9,10 и 11 – для 15. Интервалы расположены симметрично относительно среднего арифметического, которое при ∧

построении гистограммы для упрощения принято Q ≈ 4,2. Длина интервала в первом случае равна ∆Q = 0,825, во втором - ∆Q = 0,41, а в третьем - ∆ Q = 0,236. Границы интервалов выбирались следующим образом. В соответствии с рекомендациями интервалы выбираются равными по длине (исключая первый и последний интервалы), а их значение можно определить по формуле

∆Q =

Qmax − Qmin , m −1

(19)

где m - количество интервалов, Qmax − Qmin - разность максимальным и минимальным отсчетами исходного массива.

между

Значения ряда

1 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8

Кол. ЗнаотКол. чение счезна- гратов че- ницы в ний ининряда тертервала вале 2 3 4 1 1 3 4 5 4 7 11 12 13 13 10 8 9 8 8 2 4 5 6 4 7 10 12 13 14 10 8 9 8 6 2 2 1

-∞ 2,9625

14

Зна- Кол. чени оте счеN гра- тов n × ∆Q ницы в ининтер- тервала вале 5 6 7 0,0707

-∞ 2,765 2,765 – 3,175

2,9625 3,7875

78

0,394

3,175 – 3,585 3,585 – 3,995

3,7875 4,6125

53

0,2677

3,995 – 4,405 4,405 – 4,815

4,6125 5,4375

5,4375 - +∞

84

11

0,4242

0,0556

4,815 – 5,225

5

20

49

35

25

33

Таблица 5 Кол. Знаотчение N счеN граn × ∆Q ницы тов n × ∆Q в ининтертервала вале 8 9 10 11 0,0508

0,203

0,498

0,356

0,254

0,335

-∞ 2,666

2

0,0353

2,666 – 2,902

12

0,212

11

0,194

23

0,406

36

0,636

17

0,3

16

0,283

11

0,194

10

0,177

17

0,3

39

0,689

18

0,318

17

0,3

5,498 – 5,734

10

0,177

5,734 +∞

1

0,0177

2,902 – 3,138 3,138 – 3,374 3,374 – 3,61 3,61 – 3,846 3,846 – 4,082 4,082 – 4,3184, 318 4,318 – 4,554 4,554 – 4,79 4,79 – 5,026

45

5,225 – 5,635

25

5,635 - +∞

3

0,457

0,254

0,0305

5,026 – 5,262 5,262 – 5,498

Линейчатая диаграмма представленный на рис.1.

для

данного

массива

имеет

вид,

15 отсч.

2,5 2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 4,3 4,5 4,7 4,9 5,1 5,3 5,5 5,7 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8

Рис. 1 Линейчатая диаграмма Уже на основании рис. 1 можно сделать предварительный вывод о том, что в данном ЗРВ может быть две моды. При этом оценки эксцесса и контрэксцесса свидетельствуют о том, что ЗРВ ближе к равномерному и двухмодальному распределениям (см. табл. 2 и 3), чем к одномодальному. Именно по этой причине в соответствии с рекомендацией 4 для построения гистограмм целесообразно увеличить количество интервалов, например до 15. Ниже по данным, приведенным в табл. 5, построены гистограммы, полигоны и кумулятивные кривые для различных значений интервалов. Гистограмма 1, полигон 1 и график 1 построены по данным граф 3,4,5 табл. 5, гистограмма 2, полигон 2 и график 2 – по данным граф 6,7,8, а гистограмма 3, полигон 3 и график 3 – по данным граф 9,10,11. Оценка энтропийного коэффициента, рассчитанная по формуле (11), ∧

∧

для первой гистограммы имеет значение k э = 1,933, для второй – k э ∧

=

1,804, для третьей – k э = 1,709. Уменьшение оценок энтропийного коэффициента указывает на уменьшение интервала неопределенности, в котором должен находиться результат многократного измерения. Сравнивая полученные оценки числовых характеристик, в том числе и энтропийных коэффициентов с значениями числовых характеристик, приведенными в табл. 2 и 3, можно сделать предварительный вывод о том, что ЗРВ в данном случае отличается от нормального, арксинусоидального, треугольного и др. Можно предположить, что это двухмодальный ЗРВ, второй вариант - закон, состоящий из композиции

двух арксинусоидальных распределений (распределения 7,8 в табл. 2), и третий - трапецеидальный. Дополнительно необходимо остановиться на анализе полученных кумулятивных кривых. Известно, что функция распределения вероятности является интегральной функцией, поэтому все выпуклые части кумулятивной кривой могут обозначать экстремумы гистограммы. Если на первой гистограмме выпуклости заметны слабо, что может означать близость к равномерному или трапецеидальному ЗРВ, то на третьей гистограмме хорошо наблюдаются две выпуклости, которые указывают на двухмодальность ЗРВ. Таким образом, вероятнее всего исходный массив отсчетов представляет собой двухмодальный ЗРВ.

N/n*dQ

Гистограмма 1

Полигон 1

0,45 0,4 0,35

0,45 0,4 0,35

0,3 0,25

0,3 0,25

0,2 0,15

0,2 0,15

0,1 0,05 0

0,1 0,05 0 1

2

3

4

Номера интервалов

5

Вероятность

График 1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1

2

3

4

5

Номера интервалов

N/n*dQ

Гистограмма 2

Полигон 2

0,6

0,6

0,5

0,5

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0

0 1

2

3

4

5

6

7

Номера интервалов

8

9

Вероятность

График 2 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Номера интервалов

N/n*dQ

Гистограмма 3

Полигон 3

0,8

0,8

0,7

0,7

0,6

0,6

0,5

0,5

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Номера интервалов

Вероятность

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

График 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Номера интервалов 2.5.2. Аппроксимация гистограммы и определение аналитического выражения функции плотности распределения вероятности Для определения аналитического выражения аппроксимирующей функции плотности распределения вероятности необходимо сгладить полученный на основе гистограммы полигон распределений, представив его в виде более плавной кривой, после чего сравнить полученную экспериментальную кривую с теоретическими кривыми плотностей распределения вероятности различных законов. Ряд ЗРВ приведены в данном пособии. Другие законы могут быть получены студентом самостоятельно из справочного материала или из перечисленных литературных источников. Так как очень часто по внешнему виду один закон распределения вероятности трудно отличить от другого, а некоторые из них при определенных значениях параметров переходят друг в друга, то после определения аналитического выражения аппроксимирующей функции плотности распределения вероятности следует провести сравнение оценок начальных и центральных моментов, полученных в п. 2.2 (стандартное отклонение, оценки ассиметрии, эксцесса и т.д.), с теоретическими, приведенными в табл. 2, 3 и 6. При подборе аппроксимирующей функции плотности распределения вероятности необходимо учитывать, что

- в некоторых случаях для более точной аппроксимации необходимо применить сумму двух или более функций; - в связи с тем, что некоторые распределения по внешнему виду похожи друг на друга, целесообразно для дальнейшего анализа выбрать не одну аппроксимирующую функцию, а две или более; - аналитические выражения аппроксимирующих функций могут быть представлены в виде уравнений прямых (или суммы прямых), экспонент (суммы экспонент) и других функций. После выбора аналитического выражения аппроксимирующей функции плотности вероятности необходимо определить параметры функции (т.е. коэффициенты, входящие в аналитическое выражение), если вычисленных моментов

Вид функции

1 Одномодальная симметричная островершинная

График функции

2

f(Q)

0

Q

Наименование функции распределения (плотности вероятностей)

Таблица 6 Критериальные значения характеристик распределения Коэффи- Коэффициент циент Контрасимэксцесса эксцесс мет4 µ 4/ SQ -3 рии

3 Симметричная экспоненциальная для значений степени 0,5 0,7 1,0 1,5

4

5

6

0 0 0 0

22 8 3 0,75

0,199 0,304 0,408 0,517

Нормальная

0

0

0,577

f(Q) Одномо дальная симметричная 0

Q

1 Одномодальная симметричная плосковершинная Одномо дальная симметричная

2

3

Окончание табл. 6 4 5 6

f(Q)

Трапецеидальная

0

0– (-1,2)

0,58 – 0,74

Треугольная

0

- 0,6

0,646

0

-1,2

0,745

-1,0 – 1,0

-1,2 – 3

0,4 – 0,74

0

- 1,5

0,816

Q

0

f(Q)

-a

a Q

0

f(Q) Безмодальная

Равномерная -a

0

Одномодальная асиметричная

a Q

f(Q) Ряд Грама – Шарлье

Q

0 Антимодальная симметричная

f(Q) Арксинусоидальная 0

Q

недостаточно. Параметры некоторых функций (например, равномерное распределение вероятности, треугольное, трапецеидальное и т.д.) определяются легко с помощью полученной экспериментальной кривой, другие (например, нормальное распределение, распределение Максвелла,

Релея и т.д.) не требуют дополнительных вычислений, так как полученных значений среднего арифметического и стандартного отклонения достаточно для определения всех констант, входящих в аналитическое выражение функции плотности вероятности. Однако есть более сложные выражения аналитических функций плотности вероятности (например, распределения Накагами, Пирсона, Стъюдента и т.д.), которые требуют нахождения определенного параметра, и вид функции зависит от значения этого параметра. В этом случае может быть рекомендована только процедура вычисления аппроксимирующей функции при различных значениях неизвестного параметра с последующим ее наложением на гистограмму. При выборе параметров необходимо учитывать, что интеграл от аналитического выражения функции плотности вероятности в бесконечных пределах (или в пределах изменения значений экспериментальных данных) должен быть равен единице или близок к ней. Это условие может быть основным и при подборе параметров выражения аппроксимируюшей функции. ПРИМЕР. В приведенном выше примере получены 3 вида гистограмм, при этом можно считать, что 2-я и 3-я гистограммы близки по форме к друг другу и к двухмодальному распределению, а первая – к трапецеидальному. Для дальнейшего анализа в качестве примера рассмотрим гистограммы 1 и 3, с помощью которых построим экспериментальные полигоны распределения и аппроксимирующие кривые плотности распределения вероятности. Для первой гистограммы подберем аппроксимирующую кривую в виде трапецеидального ЗРВ, а для третьй - двухмодальный экспоненциальный. Значения экспериментальной вероятности попадания отсчета в N . интервал в зависимости от Q определяются величиной n × ∆Q Полученные результаты относятся к середине интервала и записываются в таблицу. Если соединить эти значения на гистограмме отрезками прямой, то получаем полигон распределения, построенный вместе с гистограммами. Значения теоретической плотности распределения вероятности получаются по теоретической зависимости, которая должна быть близка по форме к экспериментально полученному полигону и описываться аппроксимирующим аналитическим выражением. 1. Определение аналитического выражения функции плотности распределения вероятности по гистограмме 1. Представим аналитическое выражение аппроксимирующей функции в следующем виде:

Р1 (Q) =

 0 ⋅ ⋅при − ∞ ≤ Q ≤ Q1 аQ − в ⋅ ⋅при ⋅ ⋅Q ≤ Q ≤ Q  1 2   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ≤ с при Q Q Q   2 3 − аQ + g ⋅ ⋅при ⋅ ⋅Q ≤ Q ≤ Q  3 4    0 ⋅ ⋅при ⋅ ⋅Q4 ≤ Q ≤ +∞

(20)

Значения параметров ( а,в,с и g), входящих в аналитическое выражение, можно найти с помощью гистограммы 1. Параметр с определим как среднее арифметическое экспериментального полигона распределения вероятности при Q = 3,375; Q = 4,2; Q = 5,025. Эта величина приблизительно равна с ≈ 0,362. Значения а,в и g находим из условий: 1) при Q = 3,375 значение Р1(Q) = 0,362, 2) при Q = 2,55 и Q = 5,85 значение Р1(Q) равно среднему арифметическому экспериментального полигона распределения вероятности при Q = 2,55 и Q = 5,85 (эта величина равна 0,06315). После расчетов получено, что а = 0,36224, в = 0,86057, g = 2,18226. С помощью найденных параметров а,в,с и g определены значения теоретической плотности распределения вероятности, которые записаны в табл. 7 и представлены в виде графиков на рис. 2. Проверку правильности расчетов целесообразно провести исходя из двух условий: - средние арифметические значения экспериментальной и аппроксимирующей кривых должны быть равны; - площадь под аппроксимирующей кривой должна быть близка к единице. Таблица 7 Средние значения интервалов Q Рэкс(Q)

2,55

3,375

4,2

5,025

5,85

0,0707

0,394

0,2677

0,4242

0,0556

Р1(Q)

0,06315

0,362

0,362

0,362

0,06315

Р2(Q)×∆N

0,0521

0,29865

0,29865 0,29865

0,0521

Вероятность

Рэкс(Q) 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 2,55

3,375

Р1(Q)

4,2

5,025

5,85

Средние значения интервалов

Рис. 2. Экспериментальный полигон распределения и аппроксимирующая функция плотности (для гистограммы 1) 2.Определение аналитического выражения функции плотности распределения вероятности по гистограмме 3. Экспериментальные значения полигона распределения вероятности получаем с помощью табл. 5 соединяя на гистограмме 3 середины интервалов. А теоретическую плотность распределения вероятности Р2(Q) представим в виде суммы двух экспоненциальных функций:

Р2(Q) = А1е

−α1 (Q −Q1 )2

+ А2 е −α 2 (Q −Q2 )

2

(21)

Значения параметров, входящих в функцию Р2(Q), также определяем с помощью экспериментального полигона распределения следующим образом: 1) величины Q1 и Q2 определим из условия равенства положения максимумов мод экспериментального полигона и аппроксимирущей кривой. Первая мода имеет максимальное значение при Q = Q1 = 3,492, а вторая – при Q = Q2 = 4,90; 2) величины А1, А2, α1 и α2 определяем с помощью условий:

- при Q = 3,492 и Q = 4,908 значение Р2(Q) =(Рэкс(Q= 3,492)+ Рэкс(Q=4,908))/2 = 0,6625; - площадь под кривой плотности распределения вероятности должна быть равна приблизительно единице, т.е. функция распределения вероятности, которая, как известно, является интегральной функцией, в интервале от -∞ до +∞ должна быть равна (или близка к) единице. После расчетов получено, что А1 = А2 = 0,6625, а α1 = α2 = 5,5155 . С помощью найденных параметров определены значения теоретической плотности распределения вероятности Р2(Q) для средних значений интервалов, которые записаны в табл. 8 и представлены в виде графиков на рис. 3. Для проверки в третьей строке табл. 8 приведены теоретические значения вероятности попадания отсчета в интервал Р2(Q)×∆N (как известно, для третьей гистограммы ∆N = 0,236). Суммируя полученные значения в третьей строке, можно проверить условие равенства единице площади под аппроксимирующей кривой.

2,784

3,02

3,256

3,492

3,728

3,964

4,2

4,436

4,672

4,908

5,144

5,38

5,616

5,852

0,212

0,194

0,406

0,636

0,300

0,283

0,194

0,177

0,300

0,689

0,318

0,300

0,177

0,0177

0,0417

0,0458 0,193885

0,4872

0,6625

0,4875

0,1987

0,0834

0,1987

0,4875

0,6625

0,4872

0,1938

0,0417

0,0048

0,115

0,1564

0,115

0,0458

0,0197

0,0458

0,115

0,1564

0,115

0,0458

0,0985

0,0011

Р2(Q)×∆N

0,0985

2,548

Р2(Q)

0,0048

Рэкс(Q)

0,0011

Средние значения интервалов Q

0,0353

Таблица 8

Рэкс(Q)

Р2(Q)

0,8

Вероятность

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

2, 54 2, 8 78 4 3, 0 3, 2 25 3, 6 49 3, 2 72 3, 8 96 4 4, 4, 2 43 4, 6 67 4, 2 90 5, 8 14 4 5, 3 5, 8 61 5, 6 85 2

0

Средние значения интервалов

Рис.3. Экспериментальный полигон распределения и аппроксимирующая функция плотности (для гистограммы 3, вариант 1) Из табл. 8 и рис. 3 следует, что отличие в некоторых точках теоретической зависимости от экспериментальной довольно значительное, при этом площадь под аппроксимирующей кривой равна 1,175, т.е. больше единицы. Поэтому рассмотрим еще один вариант аппроксимирующей функции: 1 1 −α1 Q −Q1

Р21(Q) = А1 е

+ А21 е

−α 12 Q −Q2

(22)

Параметры функции Р21(Q) находим с помощью тех же условий, перечисленных выше. В результате расчетов получены следующие результаты А11 = А2 = 0,6625, а α11 = α 2 = 2,65. Расчет значений экспериментального полигона распределения и теоретической плотности распределения вероятности представлены в табл. 9 и на рис. 4. Из рис.4 видно, что последняя аппроксимирующая функция визуально имеет максимальное совпадение с полигоном распределения. При этом 1

1

5,852 0,0177 0,055 0,01

5,616 0,177 0,103 0,02

5,38 0,300 0,194 0,04

5,144 0,318 0,362 0,08

4,908 0,689 0,678 0,16

4,672 0,300 0,383 0,09

4,436 0,177 0,243 0,05

4,2 0,194 0,202 0,04

3,964 0,283 0,243 0,05

3,728 0,300 0,383 0,09

3,492 0,636 0,678 0,16

3,256 0,406 0,362 0,08

3,02 0,194 0,194 0,04

2,784 0,212 0,103

Р2(Q)×∆N

0,02

2,548

Р2(Q)

0,055

Рэкс(Q)

0,01

Средние значения интервалов Q

0,0353

Таблица 9

суммирование третьей строки в табл. 9 дает значение 1,0021, т.е. площадь под аппроксимирующей кривой близка к единице. Р2(Q)

5, 85 2

5, 38

4, 90 8

4, 43 6

3, 96 4

3, 49 2

3, 02

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 2, 54 8

Вероятность

Рэкс(Q)

Средние значения интервалов

Рис. 4. Экспериментальный полигон распределения и аппроксимирующая функция плотности (для гистограммы 3, вариант 2)

2.6.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СООТВЕТСТВИЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ ЗРВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

2.6.1. Основные теоретические положения применения критериев согласия при проверке гипотез Задача проверки правдоподобия гипотез тесно связана с задачей определения закона распределения вероятности случайной величины. При решении такого рода задач исследователь обычно не располагает настолько большим статистическим материалом, чтобы выявляющиеся в нем статистические закономерности были свободны от элементов случайности. Статистический материал может с большей или меньшей степенью согласия подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. По этой причине разработаны различные методы определения согласованности экспериментального и теоретического распределений, так как как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и экспериментальным распределением неизбежны некоторые расхождения. Необходимо решить вопрос, объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранное теоретическое распределение не соответствует (или плохо соответствует) экспериментальному распределению. Для этого существуют критерии согласия, идея применения которых следующая [8]. Допустим, что следует проверить гипотезу H, состоящую в том, что случайная экспериментально определенная величина Х подчиняется некоторому известному закону распределения (т.е. величина Х имеет известную функцию и (или) плотность распределения вероятности). Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, рассмотрим некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического (экспериментального) распределений. Величина U может быть подобрана различными способами: это может быть сумма квадратов отклонений теоретических вероятностей от соответствующих частостей, или сумма тех же квадратов отклонений, но с некоторыми коэффициентами, или же максимальное отклонение экспериментальной функции распределения от теоретической и т.д. При любом способе определения величины U она будет величиной случайной, закон распределения которой зависит от закона распределения Х и от объема выборки. И если гипотеза Н верна, то закон распределения величины U определяется законом распределения величины Х и объемом выборки. Если в конкретном случае величина U приняла определенное значение u, то необходимо определить, можно ли объяснить это случайными причинами

или же это расхождение слишком велико и указывает на наличие существенной разницы между теоретическим и экспериментальным распределениями, что указывает на непригодность гипотезы Н. Сделаем предположение, что гипотеза Н верна, при этом определим теоретически критическую вероятность того, что за счет случайных причин, связанных с недостаточным объемом выборки, мера расхождения U оказывается не меньше (больше или равной), чем наблюденное в эксперименте значение u, т.е. вычислим вероятность события U ≥ u. Если эта вероятность мала, то гипотезу Н следует отвергнуть как малоправдоподобную, если же эта вероятность значительна, следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н. При некоторых способах выбора меры расхождения U закон ее распределения обладает простыми свойствами и при достаточно большом объеме выборки практически не зависит от теоретической функции распределения вероятности величины Х. Именно такие меры расхождения и применяют в математической статистике в качестве критериев согласия. Такими критериями могут быть критерий Колмогорова, К. Пирсона, Мозеса и т.д. (критерий Пирсона применялся студентами в контрольной работе для проверки нормальности закона распределения вероятности). Прежде, чем переходить к рассмотрению вопроса применения критериев согласия, необходимо пояснить некоторые термины, которые используются при статистической проверке гипотез, в частности «уровень значимости» и «число степеней свободы». Уровень значимости определяет критическую вероятность того, что выдвигаемая гипотеза о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому может быть принята. Если вероятность того, что выдвигаемая гипотеза о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому будет больше уровня значимости, то можно считать, что выдвигаемая гипотеза не противоречит экспериментальным данным и может быть использована для определения результата многократного измерения. Если же вероятность того, что выдвигаемая гипотеза о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому будет мала, то гипотеза отвергается, после чего должна быть выдвинута другая гипотеза и проведена проверка ее соотвествия экспериментальным данным. Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать проверяемую гипотезу, когда она верна (т.е. совершить «ошибку первого рода»), но с уменьшением уровня значимости понижается чувствительность критерия, так как расширяется область допустимых значений и увеличивается вероятность совершения «ошибки второго рода», т.е. принятия проверяемой гипотезы, когда она не верна.

Среди уровней значимости широкое применение имеют 5%-ный уровень, при котором величина вероятности q = 0,05. Иногда применяют 1%-ный уровень значимости (q = 0,01), очень редко 0,1%-ный (q = 0,001). Основанием для выбора уровня значимости служит допустимая вероятность совершения ошибки второго рода (т.е. принятия неверной гипотезы). Если известна вероятность того, что выдвигаемая гипотеза о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому может быть отвергнута (Р(х)), то уровень значимости может быть определен по формуле

q(x) = 1 – P(x) .

(23)

Число степеней свободы распределения должно быть определено при проверке гипотезы о соответствии экспериментального ЗРВ теоретическому по критерию согласия К. Пирсона. Число степеней свободы ( r ) определяет число независимых связей, наложенных на вероятность попадания отсчетов в интервалы, на которые разбита вся экспериментальная совокупность. Примерами таких условий могут быть l

1)

∑p i =1

i

= 1,

(24)

где l – количество интервалов, p i - вероятность попадания отсчета в i –й интервал; это требование (суммарная вероятность равна единице) накладывается во всех случаях; l

2)

∑ ~x p i =1

i

i

= mx ,

(25)

~ где x i - среднее значение отсчета в i-м интервале, m x - теоретическое среднее значение; это равенство регламентирует условие, при котором должны совпадать средние теоретические и экспериментальные значения; l

3)

∑ (~x − m ) i =1

i

x

2

= Dx ,

(26)

где Dx – теоретическая дисперсия, т.е. здесь регламентируется совпадение теоретической и экспериментальной дисперсии. Могут существовать и другие условия, которые налагают ограничения на аппроксимирующие функции. Если применяются эти ограничения, то число степеней свободы равно разности между количеством интервалов, на которые разбита вся совокупность отсчетов, и

количеством ограничительных условий. Если ограничительных условий три, то число степеней свободы

r = l − 3. Теперь рассмотрим критериев согласия.

(27)

основные правила применения некоторых

2.6.2. Критерий согласия Мозеса (ω2 – критерий) Этот критерий согласия, получивший название ω2 (омега-квадрат) основывается на непосредственно экспериментальных (несгруппированных) значениях рассматриваемой величины Q [8]. Пусть гипотеза заключается в том, что величина Q распределена согласно непрерывному закону распределения F(Q), который считается известным. Функция распределения, определенная экспериментально F*(Q), при больших объемах данных и правильной гипотезе, будет равномерно близка к теоретическому закону распределения вероятности F(Q), а отклонение [F * (Q) − F (Q)] будет равномерно мало. В качестве меры, определяющей степень расхождения экспериментальной и теоретической зависимости, рассматривается средний квадрат отклонений по всем возможным значениям аргумента:

ω = 2

∞

2 [ F * ( Q ) − F ( Q ) ] dF (Q ) , ∫

(28)

−∞

при этом dF (Q ) = F ′(Q ) dQ , т.е. предполагается, что функция F(Q) имеет производную при всех значениях аргумента (т.е. плотность распределения вероятности не имеет разрывов и является плавной кривой). Если считать, что экспериментальная совокупность значений величины Q имеет n членов вариационного ряда, функцию F*(Q) представим в виде Fn(Q) = 0

при

Q < Q1,

k n Fn(Q) = k

при

Qk ≤ Q ≤ Qk+1 (k = 1, 2, ….., n – 1),

при

Q ≥ Qn.

Fn(Q) =

(29)

После промежуточных преобразований получаем выражение для вычисления ω2

2

1 k =n  2k − 1 1 2 + − F ( Q ) . ω = ∑ k 2n  12 n 2 n k =1 

(30)

Это равенство показывает, каким образом ω2 зависит от членов вариационного ряда. Точное распределение ω2 очень сложное, но исследования показали, что уже при n > 40 распределение произведения nω2 близко к некоторому предельному распределению, для которого вычислены таблицы. По этим таблицам определены критические значения для величины nω2, которое определяется выражением 2

k =n 2k − 1   1 + − F ( Q ) . nω = ∑ k  2n  12n k =1 

2

(31)

Уровни значимости и критические точки приведены в табл. 10. Таблица 10 Уровни значимости q=P(nω2>zq)100% Критические точки zq Уровни значимости q=P(nω2>zq)100% Критические точки zq

50

40

30

20

10

0,1184

0,1467

0,1843

0,2412

0,3473

5

3

2

1

0,1

0,4614

0,5489

0,6198

0,7435

1,1679

В том случае если полученное значение nω2 меньше критического значения для определенного уровня значимости (как правило, 5%), то выдвинутая гипотеза о законе распределения не противоречит экспериментальным данным. При значениях nω2 > zq выдвинутая гипотеза о законе распределения экспериментальных данных должна быть отвергнута. ПРИМЕР. Рассмотрим примеры применения критерия согласия Мозеса для определения правильности выдвинутой гипотезы распределения вероятности для трех функций, аналитические выражения плотности распределения вероятности которых описываются выражениями (20) – (22). Необходимо обратить внимание на то, что

суммирование должно производиться по всем членам статистического ряда, которых в нашем примере 34 (см. табл. 5). Расчеты производились следующим образом. Экспериментальная функция распределения вероятности определялась суммированием

накопленных частостей и расчетом отношения

2k − 1 , где 2n

k-

суммарное количество отсчетов, равных или меньше данного значения отсчета. Теоретические значения функций распределения вероятности определялись интегрированием аналитических выражений плотностей распределения вероятности (20) – (22). 1. Для трапецеидального закона функция распределения вероятности определялась по следующей формуле: F1 (Q ) =

Q

Q

Q

Q

−∞

Q2

Q3

∫ P (Q )dQ = ∫ (aQ − b)dQ + ∫ cdQ + ∫ (−aQ + g)dQ, 1

−∞

при этом в диапазоне значений отсчетов от Q = - ∞ до Q=3,375 Q

F (Q ) = ' 1

Q

∫ P (Q )dQ = ∫ (aQ − b)dQ , 1

−∞

−∞

в диапазоне значений отсчетов от Q=3,375 до Q=5,025 F (Q ) = '' 1

Q

Q

−∞

3, 375

∫ P (Q )dQ = ∫ (aQ − b)dQ + ∫ cdQ , 1

−∞

в диапазоне значений отсчетов от F1''' (Q ) =

3, 375

Q=5,025 до Q= +∞

Q

3, 375

5 , 025

∞

−∞

−∞

3, 375

5, 025

∫ P1 (Q )dQ =

∫ (aQ − b)dQ +

∫ cdQ +

∫ (−aQ + g)dQ.

Результаты вычислений сведены в табл. 11. В колонке 5 записаны значения экспериментальной функции распределения вероятности, а в колонке 6 – теоретической, вычисленной по вышеприведенным формулам для различных значений экспериментального ряда, записанного в графе 1 табл. 5.

Таблица 11

№ п/п

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Значени я членов вариац. ряда (Qi)

2 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,375 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,025 5,1 5,2

Колво членов вариац. ряда N 3 1 1 3 4 5 4 7 11 12 0 13 13 10 8 9 8 8 2 4 5 6 4 7 10 12 13 14 0 10 8

Сумм. кол-во отсчетов k

4 1 2 5 9 14 18 25 36 48 48 61 74 84 92 101 109 117 119 123 128 134 138 145 155 167 180 194 194 204 212

2

2k − 1 2n

F1 (Qi )

2k −1 F1 (Qi ) − ×N 2n

5 0,002083 0,00625 0,01875 0,035417 0,05625 0,072917 0,102083 0,147917 0,197917 0,197917 0,252083 0,30625 0,347917 0,38125 0,41875 0,452083 0,485417 0,49375 0,510417 0,53125 0,55625 0,572917 0,602083 0,64375 0,69375 0,747917 0,80625 0,80625 0,847917 0,88125

6 0,002775 0,009089 0,019026 0,032585 0,049766 0,07057 0,094996 0,123045 0,154716 0,180846 0,189896 0,226096 0,262296 0,298496 0,334696 0,370896 0,407096 0,443296 0,479496 0,515696 0,551896 0,588096 0,624296 0,660496 0,696696 0,732896 0,769096 0,778146 0,804141 0,835813

7 4,78403E-07 8,06106E-06 2,28197E-07 3,20779E-05 0,000210198 2,20274E-05 0,000351592 0,006804707 0,022395779 0 0,050274438 0,083520628 0,073308986 0,054785796 0,063585674 0,052731065 0,049073015 0,005091212 0,003824351 0,001209635 0,000113744 0,000921649 0,003453818 0,002804285 0,000104147 0,002933066 0,019325876 0 0,019163265 0,016516022

1 31 32 33 34 35 36

2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8

3 9 8 6 2 2 1

4 221 229 235 237 239 240

5 0,91875 0,952083 0,977083 0,985417 0,99375 0,997917

Окончание табл. 11 6 7 0,863863 0,027113047 0,888291 0,032555898 0,909096 0,027733665 0,926279 0,006994575 0,939839 0,005812749 0,949777 0,002317408 2

2k − 1 ( F1 (Qi ) − × N ) = 0,6362 . ∑ 2n k =1 n

2

k =n 1 2k − 1   + ∑  F1 (Qk ) − = 0,63652, что соответствует Параметр nω = 2n  12n k =1 

2

уровню значимости менее 0,02 (см. табл. 10). Проверка соответствия экспериментальных данных двум другим гипотезам о законе распределения вероятности по критерию Мозеса производится аналогично и приведена ниже. 2. Для удобства вычислений функции распределения вероятности выразить через интеграл вероятности F2(Q) ее целесообразно Ф(t)=

1 2π

t

∫e

−

t2 2

dt , значения которого можно найти практически в любом

0

справочнике по математической статистике: Q

Q

−∞

−∞

F2 (Q ) = ∫ P2 (Q)dQ =

∫

( А1е −α1 (Q −Q1 ) + А2 е −α 2 (Q −Q2 ) )dQ = 2

t t π π − 1 1 2 A ⋅ ⋅ e dt = A1 + 2 1 ∫ α2 α1 2π 2π 0 1

2 1

2

t 21

∫e

−

t 22 2

dt 2 ,

0

где t1= 2α 1 (Q − Q1 ) , t2= 2α 2 (Q − Q2 ) , dt1 = dQ 2α1 , dt 2 = dQ 2α 2 , при этом интеграл вероятности для значений -∞ < Q ≤ 3,492 в первом слагаемом и -∞ < Q ≤ 4,908- во втором (отрицательные значения параметров t1 и t2 ) определяется по формуле Ф(-t)=0,5 - Фт(t), а для значений 3,492≤ Q < ∞ в первом слагаемом и 4,908≤ Q < ∞ - во втором (положительные значения параметров t1 и t2 ) - по формуле Ф(t)=0,5 + Фт(t), где Фт(t) – табличное значение интеграла вероятности. Во время расчетов необходимо учитывать, что данная функция распределения вероятности состоит из суммы двух интегралов, каждый из которых имеет максимальное значение ≈ 0,5, а половина каждого

интеграла имеет максимальное значение ≈ 0,25. По этой причине рассчитанные значения функции распределения вероятности необходимо делить на 2. Например, при Q =3,3 (т.е интервал значений Q < Q1) t1 ≈ -0,66, t2 ≈ -5,34. Фт(t1) = 0,2455 , Фт(t2) ≈ 0,5, тогда Ф(-t1) =0,5 - 0,2455 = 0,2545 , Ф(-t2) = 0,5 - 0,5 = 0. Таким образом, теоретическое значение вероятности для данного двухмодального закона распределения при Q = 3,3 будет равно [Ф(-t1) + Ф(-t2)]/2 = 0,12725. Если Q = 4,4, (т.е интервал значений Q > Q1), то t1 ≈ 3, t2 ≈ -1,69. Фт(t1) ≈ 0,49865 , Фт(t2) ≈ 0,4545, тогда Ф(t1) =0,5 + 0,49865 = 0,99865, Ф(-t2) = 0,5 - 0,4545 = 0,0455, а [Ф(t1) + Ф(t2)]/2 = 0,522075. Аналогично проводятся расчеты F2(Qi) для других значений экспериментального ряда (табл. 5,

2k − 1 2n

графа 1). Расчет значений

не представляет сложности.

Результаты всех расчетов сведены в табл. 12. Таблица 12 № п/п

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Значения членов вариац. ряда (Qi) 2 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,375 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

Кол-во членов вариац. ряда N 3 1 1 3 4 5 4 7 11 12 0 13 13 10 8 9 8

Суммар. кол-во отсчет ов

k 4 1 2 5 9 14 18 25 36 48 48 61 74 84 92 101 109

2

2k − 1 2n

F2 (Qi )

2k −1 F2(Qi )− ×N 2n

5 0,002083 0,00625 0,01875 0,035417 0,05625 0,072917 0,102083 0,147917 0,197917 0,197917 0,252083 0,30625 0,347917 0,38125 0,41875 0,452083

6 0,00035 0,000725 0,002075 0,005075 0,01165 0,024725 0,0467 0,08055 0,12725 0,17045 0,18625 0,251275 0,31665 0,374525 0,420925 0,45475

7 3,00444E-06 3,05256E-05 0,000834167 0,003682467 0,0099458 0,009289747 0,021471195 0,049920946 0,059798201 0 0,056342361 0,039289258 0,009776044 0,000361805 4,25756E-05 5,68889E-05

1 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

2 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,025 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8

3 8 2 4 5 6 4 7 10 12 13 14 0 10 8 9 8 6 2 2 1

4 117 119 123 128 134 138 145 155 167 180 194 194 204 212 221 229 235 237 239 240

5 0,485417 0,49375 0,510417 0,53125 0,55625 0,572917 0,602083 0,64375 0,69375 0,747917 0,80625 0,80625 0,847917 0,88125 0,91875 0,952083 0,977083 0,985417 0,99375 0,997917

Окончание табл.12 6 7 0,476675 0,000611334 0,490475 2,14512E-05 0,49975 0,000455111 0,5089 0,002497613 0,522075 0,007007584 0,54345 0,003473138 0,576875 0,00444822 0,622525 0,004505006 0,679675 0,002377267 0,744725 0,000132428 0,809998 0,000196613 0,825875 0 0,86945 0,004636844 0,917 0,0102245 0,9516 0,009712103 0,974225 0,003922027 0,9878 0,000689082 0,99465 0,000170509 0,9978 0,000032805 0,999225 1,71174E-06 2

2k − 1 ( F2 (Qi ) − × N ) = 0,3171 . ∑ 2 n k =1 n

2

k =n 2k − 1  1  + ∑  F1 (Qk ) − Параметр nω = = 0,31745, что 2n  12n k =1  соответствует уровню значимости около 0,1 (табл. 9). Можно сделать первый вывод о том, что по критерию согласия Мозеса распределение по квадратичной экспоненте ближе к экспериментальному распределению, чем трапецеидальное.

2

3. Теперь рассмотрим распределение вероятности, плотность которого описывается суммой двух экспонент. Функция распределения вероятности в этом случае определяется формулой

F (Q ) = 1 2

Q

Q

∫ P (Q )dQ = ∫ 1 2

−∞

−∞

( А11е

−α11 Q −Q1

+ А21 е

−α 12 Q −Q2

)dQ

Интегрирование суммы двух экспонент с математической точки зрения не представляет сложностей. Особенностью является только

необходимость учета абсолютности разностей |Q - Q1| и |Q – Q2|. Результаты вычислений приведены в табл. 13. Таблица 13

№ п/п 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Значения членов вариац. ряда (Qi) 2 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,375 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,025 5,1 5,2

Кол-во членов вариац. ряда N 3 1 1 3 4 5 4 7 11 12 0 13 13 10 8 9 8 8 2 4 5 6 4 7 10 12 13 14 0 10 8

Суммар. кол-во отсчет ов

k 4 1 2 5 9 14 18 25 36 48 48 61 74 84 92 101 109 117 119 123 128 134 138 145 155 167 180 194 194 204 212

2k − 1 2n

F21 (Qi )

2k −1 ×N F (Qi ) − 2n

5 0,002083 0,00625 0,01875 0,035417 0,05625 0,072917 0,102083 0,147917 0,197917 0,197917 0,252083 0,30625 0,347917 0,38125 0,41875 0,452083 0,485417 0,49375 0,510417 0,53125 0,55625 0,572917 0,602083 0,64375 0,69375 0,747917 0,80625 0,80625 0,847917 0,88125

6 0,018465 0,024067 0,03137 0,040889 0,053295 0,069467 0,090545 0,11802 0,15383 0,187654 0,200507 0,261235 0,320031 0,366114 0,40274 0,432495 0,457482 0,479466 0,5 0,520534 0,542518 0,567505 0,59726 0,633886 0,679969 0,738765 0,799493 0,812346 0,84617 0,88198

7 0,000268 0,000317 0,000478 0,00012 4,36E-05 4,76E-05 0,000932 0,009832 0,023323 0 0,034581 0,026342 0,007776 0,001833 0,002307 0,00307 0,006243 0,000408 0,000434 0,000574 0,001131 0,000117 0,000163 0,000973 0,002279 0,001089 0,000639 0 3,05E-05 4,27E-06

2

1 2

1 31 32 33 34 35 36

2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8

3 9 8 6 2 2 1

4 221 229 235 237 239 240

5 0,91875 0,952083 0,977083 0,985417 0,99375 0,997917

Окончание табл. 13 6 7 0,909455 0,000778 0,930533 0,003715 0,946705 0,005537 0,959111 0,001384 0,96863 0,001262 0,975933 0,000483 2

2k − 1 ( F2 (Qi ) − × N ) = 0,13866 . ∑ 2n k =1 n

2

Параметр

k =n 2k − 1  1 + ∑  F1 (Qk ) − nω = = 0,139, что соответствует 2n  12n k =1 

2

уровню значимости около 0,4 (табл. 9). Таким образом, применение критерия согласия Мозеса показало, что наибольшую сходимость с экспериментальными данными дает плотность распределения вероятности, определяемая по формуле (22), а гипотезу о трапецеидальном распределении плотности вероятности (формула 20) целесообразно отвергнуть. 2.6.3. Критерий согласия А.Н. Колмогорова В качестве меры расхождения между теоретическим и экспериментальным распределениями А.Н. Колмогоров рассматривает максимальное значение модуля разности между экспериментальной функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения вероятности [3] * Dmax = max F ( x ) − F ( x )

(32)

при этом, какова бы не была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n вероятность неравенства

D

n

≥λ

(33)

стремится к пределу ∞

Р ( λ) = 1 -

∑ (−1) k e −2k

k = −∞

2 2

λ

.

∞

Необходимо отметить, что выражение

∑ (−1) k e −2k

k = −∞

2 2

λ

определяет

вероятность того, что максимальное значение Dmax, умноженное на n , не будет превосходить заданного числа λ. Значения P (λ), определяющие вероятность того, что Dmax, умноженное на n , будет превосходить заданное число λ, подсчитаны и приведены в табл. 14. Таблица 14 λ

P ( λ)

λ

P ( λ)

λ

P ( λ)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

1,000 1,000 1,000 1,000 0,997 0,964 0,864

0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

0,711 0,544 0,393 0,270 0,178 0,112 0,068

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

0,040 0,022 0,012 0,006 0,003 0,002 0,001

Схема применения критерия А.Н. Колмогорова следующая [3]: строятся или рассчитываются экспериментальная F*(x) и предполагаемая теоретическая F(x) функции распределения и определяется максимум модуля D разности между ними. Целесообразно представить все расчеты в табличном виде. Далее определяется величина λ=D n

(34)

и по табл. 14 находится вероятность P (λ). Значение P (λ) является вероятностью того, что (если величина X действительно распределена по закону F(x)) за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x), будет не меньше, чем фактически наблюденное. При выводах обычно пользуются 5%-ным уровнем значимости, при котором величина вероятности равна P (λ) = 0,05. Если вероятность P(λ) весьма мала, т.е. не более 0,05, то это показывает, что осуществилось маловероятное событие, следовательно, расхождение между наблюденным рядом и гипотетическим распределением надо признать существенным, так как расхождение практически нельзя объяснить чисто случайными отклонениями экспериментальной совокупности от теоретической. Гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную. При сравнительно

больших P (λ) гипотезу можно с оговоркой считать совместимой с экспериментальными данными. Критерий А.Н. Колмогорова своей простотой выгодно отличается от других, поэтому его часто применяют на практике. Однако этот критерий применяется только тогда, когда теоретическое распределение известно полностью, т.е. известен не только вид функции F(x), но и все входящие в нее параметры. Обычно входящие в нее параметры определяются из экспериментальных данных, а не из каких-либо теоретических соображений, поэтому критерий согласия А.Н. Колмогорова дает заведомо завышенные значения вероятности P (λ) . Это может привести к тому, что принимается как правдоподобная гипотеза, в действительности плохо согласующаяся с экспериментальными данными. По этой причине критерий А.Н. Колмогорова рекомендуется дополнять проверкой другими критериями. ПРИМЕР. В качестве примера рассмотрим применение критерия А.Н. Колмогорова для проверки выдвинутых ранее в п. 2.4 трех гипотез о теоретических законах распределения плотности вероятности. Интегральные кривые (функции распределения вероятности) для всех гипотез описываются следующими выражениями:

1) F1 (Q ) =

Q2

Q3

Q4

−∞

Q1

Q2

Q3

Q

Q

−∞ Q

−∞ Q

Q

∫ P (Q )dQ = ∫ (aQ − b)dQ + ∫ cdQ + ∫ (−aQ + g)dQ, 1

2) F2 (Q ) = ∫ P2 (Q )dQ = 3) F2 (Q ) = 1

∫

∫ P (Q )dQ = ∫ 1 2

−∞

( А1е −α1 (Q −Q1 ) + А2 е −α 2 (Q −Q2 ) )dQ , 2

( А11е

−α11 Q −Q1

2

+ А21 е

−α 12 Q −Q2

)dQ .

−∞

Значения этих функций определены при анализе соответствия теоретических законов распределения вероятности экспериментальным данным по критерию согласия Мозеса, поэтому в этом пункте подробного расчета значений теоретических функций распределения вероятности делать не будем. Значения экспериментальной функции распределения вероятности определяются просто: F*(Q) = k/n. Результаты представлены в виде табл. 15.

№ п/ п 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Значения членов вар. ряда (Qi) 2 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

Кол. член. вар. ряда N 3 1 1 3 4 5 4 7 11 12 13 13 10 8 9 8 8 2 4 5 6 4 7 10 12 13 14 10 8 9 8 6

Сум. кол-во отсчетов

k 4 1 2 5 9 14 18 25 36 48 61 74 84 92 101 109 117 119 123 128 134 138 145 155 167 180 194 204 212 221 229 235

Таблица 15 Аппроксимирующие функции распределения вероятности

Экспер. ф-ция распр. вер-ти F*(Q)

F1(Q)

F2 (Q)

5 0,00417 0,00833 0,02083 0,03750 0,05833 0,07500 0,10467 0,15000 0,20000 0,25417 0,30833 0,35000 0,38333 0,42083 0,45417 0,48750 0,49583 0,51250 0,53333 0,55833 0,57500 0,60417 0,64583 0,69583 0,75000 0,80833 0,85000 0,88333 0,92083 0,95417 0,97917

6 0,002775 0,009089 0,019026 0,032585 0,049766 0,07057 0,094996 0,123045 0,154716 0,252083 0,30625 0,347917 0,38125 0,41875 0,370896 0,407096 0,443296 0,479496 0,515696 0,551896 0,588096 0,624296 0,660496 0,696696 0,732896 0,769096 0,804141 0,835813 0,863863 0,888291 0,909096

7 0,00035 0,000725 0,002075 0,005075 0,01165 0,024725 0,0467 0,08055 0,127325 0,18625 0,251275 0,31665 0,374525 0,420925 0,45475 0,476675 0,490475 0,49975 0,5089 0,522075 0,54345 0,576875 0,622525 0,679675 0,744725 0,809998 0,86945 0,917 0,9516 0,974225 0,9878

Dmax

F21(Q) 8 9 0,018465 0,024067 0,03137 0,040889 0,053295 0,069467 0,090545 0,11802 0,15383 0,07267 0,200507 0,05366 0,261235 0,320031 0,366114 0,40274 0,432495 0,08327 0,457482 0,479466 0,5 0,520534 0,542518 0,567505 0,59726 0,633886 0,679969 0,738765 0,799493 0,84617 0,88198 0,909455 0,930533 0,946705

1 32 33 34

2 5,6 5,7 5,8

3 2 2 1

4 237 239 240

Окончание табл. 15 5 6 7 8 9 0,9875 0,926279 0,99465 0,959111 0,99583 0,939839 0,9978 0,96863 1,00000 0,949777 0,999225 0,975933

В 9-ой колонке табл. 15 представлены три значения Dmax, полученные как модуль максимальной разности между значениями экспериментальной функции распределения вероятности (5-ая колонка) и соответствующей аппроксимирующей функции (используемые значения функций распределения вероятности выделены жирным шрифтом). n . Для первой По формуле (34) определяем значение λ = D аппроксимирующей функции (трапецеидальный закон) λ1 = 1,2901, для второй (сумма двух квадратичных экспонент) - λ2 = 1,1259, а для третьей 1 (сумма двух экспонент) - λ 2 = 0,8313. 1 По табл. 14 находим, что P(λ1) ≈ 0,068, P(λ2) ≈ 0,178, P( λ 2 ) ≈ 0,5, таким образом все три гипотезы аппроксимирующих функций можно признать совместимыми с экспериментальными данными по критерию согласия А.Н. Колмогорова. В данном примере наглядно подтверждается тезис о том, что критерий А.Н. Колмогорова дает завышенные результаты. Но и из полученных данных можно сделать вывод о том, что наиболее совместимым с экспериментальными данными является третья аппроксимирующая функция распределения вероятности F21 ( x) . 2.6.4. Критерий согласия К. Пирсона (критерий χ2) Критерий согласия К. Пирсона (хи – квадрат) основан на выборе определенной меры расхождения между теоретическим и экспериментальным распределением значений [1]. Допустим,что вся область изменения величины разбита на l интервалов или групп (∆1, ∆2,…∆i……∆l), которые оформлены в виде ряда. При этом считаем, что p i есть вероятность того, что величина принимает значение, принадлежащее i-му множеству ∆i (теоретическая вероятность), а mi – число значений величины i из общего числа n , попавших в ∆i (получено в результате эксперимента). Тогда должно выполняться условие

p1 + p2 +………..+ pi + ………..+ pl = 1 m1 + m2 + ………+ mi + ……….+ml = n.

Если проверяемая гипотеза верна, то mi представляет частоту появления события, имеющего в каждом из n произведенных испытаний вероятность Рi. Следовательно, можно рассматривать mi как случайную величину, подчиняющуюся биномиальному закону распределения с центром в точке npi и средним квадратическим отклонением σ i = npi (1 − pi ) . Когда n велико, можно считать, что частота распределена асимптотически нормально с теми же параметрами. При правильности выбранной гипотезы можно ожидать, что будут асимптотически нормально распределены также величины

ξi =

mi − np i np i

i = 1,2,.......l ,

а в качестве меры расхождения данных выборки m1,m2, … mi …ml с теоретическими данными np1,np2,…..,npi,…..,npl рассматривается величина l

l

(mi − npi )2

i =1

npi

χ = ∑ξ = ∑ 2

i =1

2 i

.

(35)

Если проверяемая простая гипотеза верна, то критерий χ 2 имеет распределение, стремящееся при n → ∞ к распределению χ 2 . Распределение χ 2 зависит от числа степеней свободы, которое в данном случае определяется как разность между количеством интервалов l и числом независимых условий r (наложенных связей). При проверке гипотезы о законе распределения величины выбирается в уровень значимости q % (обычно от 5 до 10). Пусть χq2 обозначает q% предел для закона χ 2 с ( l - r) степенями свободы, определяемый по таблицам (см. приложение Б). Если гипотеза верна, то при достаточно большом n приближенно будем иметь P ( χ 2 > χ q2 ) =

q . 100

(36)

Определив значение χ 2 по данным выборки, получают одно из двух: или χ 2 > χ q2 , т.е. критерий попадает в критическую область и тогда расхождение экспериментальных данных с теоретическим законом распределения существенно, или имеет место неравенство χ 2 ≤ χ q2 , т.е. расхождение несущественно, а поэтому гипотеза о теоретическом законе распределения вероятности может быть принята. Это правило указывает

на то, что только в q% всех случаев проверки отбрасывается верная гипотеза о теоретическом законе распределения. 2 Для обоснованного применения критерия согласия χ необходимо иметь в виду, что при выводе формулы (35) предполагается, что биномиальное распределение частостей в каждом интервале или группе может быть сведено к нормальному. Но соответствующий предельный переход осуществляется достаточно быстро, только если ни одна из вероятностей pi и q не будут малыми. Отсюда следует, что применение критерия согласия будет обоснованным, если ни одна из частостей в любом интервале не будет мала. Поэтому рекомендуется при применении 2 критерия согласия χ частости крайних интервалов, которые обычно представляют малые значения, объединять между собой, чтобы, как условились, частость объединенного интервала была не меньше 5. 2 Таблица значений χ , соответствующих определенным вероятностям P (χ 2 ) и различным числам степеней свободы ( l - r) для критерия К. Пирсона, дана в приложении Б. ПРИМЕР. Применим критерий К. Пирсона для проверки гипотез о законах распределения в нашем примере для всех трех аппроксимирующих функций. Результаты расчетов будут представлены в виде таблиц. Необходимо учесть, что при применении критерия согласия К. Пирсона под теоретической вероятностью pi понимается вероятность попадания отсчета в заданный интервал, рассчитанная с помощью аппроксимирующей функции. Т.е. при строгом подходе необходимо интегрировать аппроксимирующую функцию плотности распределения вероятности в каждом интервале, на которые разделен весь массив при построении гистограммы: Qпр

Р(Qлев≤ Q ≤ Qпр ) =

Qлев

∫ P(Q)dQ − ∫

−∞

−∞

Qпр

P(Q)dQ =

∫ P(Q)dQ

Qлев

где Qлев и Qпр – соответственно левая и правая границы интервала. К этому следует добавить, если аппроксимирующая функция плотности распределения вероятности имеет точку (несколько точек), в которой производной не существует, то необходимо учитывать особый характер этой точки (этих точек) и расчеты вероятности попадания в данный интервал целесообразно проводить в несколько этапов: рассчитывать вероятности попадания отсчетов в подынтервалы до особой точки и после нее. Сумма вероятностей в подынтервалах будет равна вероятности попадания отсчетов в интервал с особой точкой.

Прежде чем переходить к расчетам, определим число степеней свободы. В гистограмме 1 число интервалов 5, а связей, накладывающих ограничения, две (средние значения полигона распределения и аппроксимирующей функции должны быть равны; суммарная вероятность должна быть равна единице); в гистограмме 3 количество интервалов 15 и накладывалось три ограничения (суммарная вероятность равна единице; средние значения полигона распределения и аппроксимирующей функции должны быть равны; экстремальные значения полигона распределения и аппроксимирующей функции должны быть при одинаковых значениях отсчетов). Таким образом, в первом случае число степеней свободы должно быть r = 3, а во втором - r = 12. 1. Распределение, аппроксимирующая функция которого описывается трапецеидальным законом Если учесть, что аппроксимирующая функция пересекает ось абсцисс при Qн ≈ 2,3757 и Qк ≈ 6,02435 (что определяется довольно просто), то теоретическую вероятность попадания в каждый из пяти интервалов рассчитываем по формулам 3, 375

2 , 9625

P1 =

∫ (aQ − b)dQ ;

P2 =

P4 =

∫ (aQ − b)dQ + ∫ cdQ ;

2 , 9625

2, 3757

5, 025

3, 7875

4, 6125

P3 =

3, 375

5, 4375

∫ cdQ + ∫ (−aQ + b)dQ ;

4, 6125

∫ cdQ ;

3, 7875

6 , 02435

P5 =

5, 025

∫ (−aQ + b)dQ

5, 4375

Результаты вычислений сведены в табл. 16. Таблица 16 № п/п 1 1 2 3 4 5

Значения границ интервалов Qлев

Qпр

2 -∞ 2,9625 3,7875 4,6125 5,4375

3 2,9625 3,7875 4,6125 5,4375 +∞

Кол-во Теоретиотсчетов ческая в интервероятnpi вале ность mi pi 4 5 6 0,062368 14 14,96832 0,267827 78 64,2785 0,29865 53 71,676 0,267833 84 64,2785 0,062376 11 14,96832

(mi −npi )2 npi 7 0,062639 2,929112 4,866245 6,049822 1,052957

χ 2 = 14,96077 , число степеней свободы 5 – 2 = 3.

Из таблицы для распределения χ (приложение Б) находим, что для уровня значимости q = 5% при числе степеней свободы 3 χq2= 7,8, χ 2 >χq2, т.е. гипотеза о законе распределения вероятности не подтверждается по критерию согласия Пирсона. 2. Распределение, состоящее из суммы двух квадратичных экспонент Здесь расчет вероятностей попадания отсчетов в интервал производится по разности функций распределения вероятности, которые определяются аналогично расчетам, приведенным в разделе 2.5.1 (применение критерия согласия Мозеса): 2

Qiпп

Р2i =

∫

( А1е −α1 (Q −Q1 ) + А2 е −α 2 (Q −Q2 ) )dQ = 2

2

Qiлле

π 1 ⋅ ( = A1 α1 2π

π 1 ⋅( - A1 α1 2π

t1iпп

∫e

−

t12 2

1

dt1 +

2π

0

t1iлле

∫

e

t2 −1 2

0

dt1 +

1 2π

t 2 iпп

∫e

−

t 22 2

dt 2 )-

0

t 2 iлле

∫

e

−

t 22 2

dt 2 ),

0

где t1i= 2α 1 (Q − 3,492) , t2i= 2α 2 (Q − 4,908) , при этом интеграл вероятности определяется в соответствии с рекомендациями, перечисленными в п. 2.5.1. В соответствии с этими рекомендациями (количество отсчетов в интервале должно быть не менее пяти) число интервалов уменьшено до тринадцати за счет объединения двух первых и двух последних интервалов (в первом интервале было два отсчета, а в последнем – один). Соответственно уменьшилось до 10 и число степеней свободы. Результаты расчетов приведены в табл. 17. Таблица 17 Значения Теорети Кол-во границ отсчет 2 интервалов ов mi −npi № ческая npi п/п вероят- в интерnpi вале ность Qлев Qпр mi pi

(

1 1 2 3 4 5 6

2 -∞ 2,902 3,138 3,374 3,61 3,846

3 2,902 3,138 3,374 3,61 3,846 4,082

4 0,0125 0,0475 0,11225 0,155505 0,112345 0,04915

5 14 11 23 36 17 16

6 3 11,4 26,94 37,32 26,96 11,8

)

7 40,33333 0,014035 0,576229 0,046772 3,681271 1,498272

1 7 8 9 10 11 12 13

2 4,082 4,318 4,554 4,79 5,026 5,262 5,498

3 4,318 4,554 4,79 5,026 5,262 5,498 +∞

4 0,0215 0,04915 0,112345 0,155505 0,11225 0,0475 0,0125

Окончание табл. 17 6 7 5,16 6,609612 11,8 0,27345 26,96 3,681271 37,32 0,075517 26,94 2,966726 11,4 2,750877 3 21,33333

5 11 10 17 39 18 17 11

χ = Суммируя последнюю графу табл. 17, получаем значение 83,8407, Из таблицы для распределения χ 2 (приложение Б) находим, что для уровня значимости q = 5% при числе степеней свободы 10 (13-3) χq2 = 2 18,3, χ > χq2, т.е. гипотеза о законе распределения вероятности не подтверждается по критерию согласия Пирсона. 2

3. Распределение, состоящее из суммы двух экспонент Расчет вероятностей попадания отсчетов в интервал производится по разности функций распределения вероятности, которые определяются аналогично расчетам, приведенным в разделе 2.5.1 ( применение критерия согласия Мозеса): хпр

∫

P = 1 2i

( А11е

−α11 х − х1

+ А21 е

−α 12 х − х2

)dx

x лев

В диапазоне от -∞ до Q =3,492 значение Р2i1 определяется по формуле Р2i1 =

A11

α

1 1

e

−α11

(Q1 −Q )

+

A21

α

1 2

e

−α 12

(Q2 −Q )

Qпр

, Qлев

в диапазоне от Q =3,492 до Q = 4,908 - по формуле

Р

1 2i

=

A11

α 11

e

−α11 (Q −Q1 )

+

A21

α 21

e

−α 12 (Q2 − Q )

в диапазоне от х = 4,908 до +∞ - по формуле

Qпр

, Q лев

Р

1 2i

=

A11

α 11

e

−α11 (Q −Q1 )

+

A21

α 21

e

−α 12 (Q −Q2 )

Qпр

. Q лев

В расчетах учитываем, что при Q1 = 3,492 и Q2 = 4,908 интеграл меняет знак на противоположный, поэтому интегрирование в интервалах, в которые попадают эти значения, целесообразно осуществлять в три этапа: а) определяется вероятность попадания отсчета в подынтервал от Qлев до Q1 = 3,492 (или Q2 = 4,908 ), б) определяется вероятность попадания отсчета в подынтервал от Q1 = 3,492 до Qпр, (или от Q2 = 4,908 до хпр), в) определяется вероятность попадания отсчета в интервал, как сумма вероятностей попадания отсчета в подынтервалы. Результаты расчетов приведены в табл. 18. Таблица 18 Значения Теорети Кол-во границ отсчет интервалов ов (mi −npi )2 № ческая npi п/п вероят- в интерnpi вале ность Qлев Qпр mi pi 1 2 3 4 5 6 7 1 2,902 0,053578 14 12,86 0,101295 -∞ 2 2,902 3,138 0,04656 11 11,174 0,002718 3 3,138 3,374 0,087019 23 20,885 0,214255 4 3,374 3,61 0,137988 36 33,12 0,250946 5 3,61 3,846 0,091993 17 22,08 1,168058 6 3,846 4,082 0,058516 16 14,044 0,272506 7 4,082 4,318 0,048681 11 11,68 0,039978 8 4,318 4,554 0,058516 10 14,044 1,164344 9 4,554 4,79 0,091993 17 22,08 1,168058 10 4,79 5,026 0,137988 39 33,12 1,045003 11 5,026 5,262 0,087019 18 20,885 0,398441 12 5,262 5,498 0,04656 17 11,174 3,037237 13 5,498 11 12,86 0,268721 + ∞ 0,053579 Суммируя последнюю графу табл. 18, получаем значение

χ 2 = 9,13156.

Из таблицы для распределения χ (приложение Б) находим, что для уровня значимости q = 5% при числе степеней свободы 10, χq2 = 18,3, 2

χ 2 <χq2,

т.е. гипотеза о законе распределения вероятности подтверждается по критерию согласия Пирсона. Таким образом, для дальнейшего анализа и представления результата измерения можно считать, что исходный массив наилучшим образом описывается двухмодальным законом распределения, плотность распределения вероятности которого определяется выражением: 1 1 −α1 Q −Q1

Р21(Q) = А1 е

+ А21 е

−α 12 Q −Q2

,

(37)

где А11 = А21 = 0,6625, а α 11 = α 12 = 2,65. 2.7.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ

2.7.1. Общие сведения о характеристиках положения закона распределения вероятности и их оценках Необходимо учитывать, что результатом многократного измерения следует считать оценку некоторой характеристики положения закона распределения вероятности и доверительный интервал, в котором может находиться значение этой оценки с заданной вероятностью [5]. При этом, как показывает практика, основная часть материальных и временных ресурсов при измерениях тратится именно на определение характеристики положения, так как с характеристикой положения идентифицируется значение измеряемой величины. А при вероятностном описании неточности результата многократного измерения именно характеристика положения, являясь показателем качества измерения, определяет значение систематической составляющей неточности измерения. Поэтому выбор эффективной оценки характеристики положения, в первую очередь, влечет за собой снижение затрат или повышение точности измерения, а неэффективная оценка характеристики положения может повлечь за собой завышенную оценку границ доверительного интервала, эксцесса, контрэксцесса, и т.п., т.е. всех последующих оценок, кроме энтропийных, которые определяются законом распределения. А из курса «Теоретической метрологии» известно, что наиболее эффективной оценкой является оценка, имеющая минимальное рассеивание из всех возможных несмещенных оценок. Большое внимание выбору наиболее эффективной оценки характеристики положения уделяют авторы в работе [2]. В качестве оценки характеристики положения в работе [2] среднее арифметическое, оценки медианы, центра предлагаются размаха, центра сгибов. Далее указывается, что в симметричном распределении эти оценки совпадают, но их дисперсии разные и зависят от

закона распределения вероятности, которому подчиняется результат измерения. Например, если для распределения Лапласа определить дисперсию рассеяния оценки характеристики положения в виде оценки медианы ∧  D Q M  и сравнить с дисперсией рассеяния в виде среднего   ∧ арифметического D  Q  , то можно увидеть, что определение координаты  

центра медианой в два раза эффективнее, а следовательно, для достижения той же точности результата измерения требуется в два раза меньший объем выборки исходных данных. А для строго ограниченных распределений (равномерного, арксинусоидального, трапецеидального) высокой эффективностью

обладает

оценка

центра

∧

размаха Q p .

Так,

при

∧  равномерном распределении дисперсия D Q р  при n = 80 равна дисперсии   ∧ ∧ D Q  при n = 1200. Т.е, центр размаха Q p в данном случае эффективнее  

∧

среднего арифметического Q в 15 раз. ∧

Известно, что среднее арифметическое значение Q определяется по формуле ∧

Q=

1 n ∑ Qi . n i =1

(38)

Как правило, в качестве оценки центра распределения среднее арифметическое значение применяется для класса распределений, близких к нормальным. ∧

Оценка медианы Q м определяется по формулам ∧

Qм = ∧

1 (Qn / 2 + Qn / 2+1 ) 2

Q м = Q( n +1) / 2

при четном n, при нечетном n.

(39) (40)

Являясь 50% - ным квантилем оценка медианы делит общее количество отсчетов случайной величины пополам (количество отсчетов до оценки медианы и после должно быть одинаковое). Как правило, оценка медианы является наиболее эффективной для симметричных экспоненциальных островершинных распределений. И это естественно, так как в островершинных распределениях отсчеты располагаются более плотно в месте экстремума плотности распределения вероятности. Рекомендуется применение оценки медианы и для несимметричных распределений, так как в этом случае доверительные интервалы в одну и другую сторону от центра распределения будут неодинаковые и для их расчета целесообразно поделить всю площадь, заключенную функцией плотности вероятности, пополам. ∧

Оценка центра размаха Q р определяется в виде полусуммы крайних членов статистического ряда: ∧

Q р = (Q1 + Q n ) / 2 .

(41)

Центр размаха может применяться для ограниченных распределений, близких к равномерному, трапецеидальному, арксинусоидальному. ∧

Оценка центра сгибов Qc чаще всего применяется для двухмодальных симметричных распределений. Эта оценка определяется полусуммой координат 25% - ной и 75% - ной квантилей распределения: ∧

∧

∧

Qc = ( Q 0,25 + Q 0,75)/2

(42)

Применение оценки центра сгибов в качестве оценки характеристики положения для двухмодальных симметричных распределений связано с тем, что наиболее плотно отсчеты располагаются в областях 25% - ной и 75% - ной квантилей, которые принято называть сгибами распределения. Приведенные в данном пункте рекомендации по выбору оценки центра распределения не могут рассматриваться студентом как обязательные, так как эффективность той или иной оценки зависит от конкретных параметров закона распределения вероятности, в частности от эксцесса. Так, например, если сравнить эффективность оценки медианы с эффективностью среднего арифметического для класса некоторых экспоненциальных распределений, то выяснится, что для островершинных распределений с контрэксцессом до значений κ ≈ 0,515 оценка характеристики положения в виде медианы эффективнее, а с

большими значениями контрэксцесса эффективнее оценка в виде среднего арифметического. Иногда в условиях, когда нет еще данных о законе распределения вероятности, в качестве предварительной оценки характеристики положения может применяться округленное значение медианы всех четырех оценок: ∧

∧

∧

∧

∧

Q4 = ( Q + Q м + Qc + Q р )/4

(43)

Если при выполнении курсовой работы студент не сможет найти требуемых рекомендаций для выбора той или иной оценки характеристики положения ни в данном пособии, ни в справочной литературе, он применяет в качестве оценки характеристики положения закона распределения вероятности среднее арифметическое. 2.7.2. Определение оценки характеристики положения Наиболее приемлемая оценка характеристики положения может быть определена двумя способами. 1. Первым способом оценка характеристики положения определяется по минимальному рассеиванию (минимальной дисперсии) оценки при данном количестве измерений. Для перечисленных выше оценок числовых характеристик, которые могут применяться в качестве оценок характеристик положения, рассеивание может быть определено по различным формулам [2]. Известно, что стандартное отклонение среднего арифметического при многократном измерении определяется по формуле

S ∧ = SQ / n , Q

(44).

Дисперсию оценки медианы (50%-ная квантиль эмпирического распределения, т.е. Р = 0,5) можно определить с помощью формулы

P (1 − P ) ∧  D Q p  = 2 ,     ∧  n  p Q p     

(45)

∧ ∧ ∧  где p Q p  - плотность распределения в точке Q p ; Q p - координата 50%  ной квантили. Если подставить Р = 0,5, то дисперсия рассеяния оценки медианы определяется выражением

∧  D Q M  =  

1  ∧ 4n  p Q M  

  

2

.

(46)

Формулу (45) можно применить для расчета дисперсии оценки центра ∧

сгибов Q с     1 1 ∧  ∧   ∧  0,1875   D Q с  = D Q 0, 25  + D Q 0,75  = + 2 2  n   ∧        ∧     p Q 0, 25  p Q   0,75          

Дисперсия оценки центра размаха для распределения

 ∧  3( 4 − π ) S Q D Q p  = , 2n  

(47)

треугольного закона

2

(48)

для равномерного 2

6S Q ∧  D Q p  = ,   (n − 1)(n − 2)

(49)

для арксинусоидального 4  ∧  5π S Q D Q p  = . n4   2

(50)

2. Второй способ состоит в применении метода наибольшего правдоподобия, разработанного английским математиком Р.А. Фишером

[5]. В соответствии с этим методом составляется функция правдоподобия, которая зависит как от независимых случайных величин (значений вариационного ряда), так и от параметра Θ , которым может быть любой параметр, перечисленный в п. 9.

L = f (Q1 , Θ) ⋅ f (Q2 , Θ)......... f (Qi , Θ),........ f (Qn , Θ) .

(51)

Если функция L дифференцируемая (очень важное свойство, например, трапецеидальное распределение не имеет производной в точках перегиба функции плотности распределения вероятности, аналогично и при равномерном распределении вероятности отсутствует производная при Qi = Qmax и Qi = Qmin), то для нахождения оценки наибольшего правдоподобия необходимо решить уравнение

∂L = 0 или ∂Θ

1 ∂L ∂ ln L ⋅ = =0, L ∂Θ ∂Θ

определить параметр Θ и сравнить его с параметрами, определенными по формулам, приведенным в п.9. Ближайший параметр к найденному значению Θ должен быть принят в качестве оценки центра распределения. Ценность применения метода наибольшего правдоподобия (метода Фишера) состоит в том, что с его помощью может быть проведен анализ любой представленной в виде аналитического выражения дифференцируемой функции, характеризующей плотность распределения вероятности. ПРИМЕР.

вероятности, выражением

Теоретическая функция плотности распределения как следует из предыдущего пункта, описывается 1 Р21(Q) = А1 е

−α11 Q −Q1

+ А21 е

−α 12 Q −Q2

,

где А11 = А21 = 0,6625, Q1 = 3,492, Q2 = 4,908, α 11 = α 12 = 2,65. Для анализируемого массива оценки числовых характеристик, определенные по формулам (38) – (42), имеют следующие значения: ∧

среднее арифметическое Q = 4,193333; стандартное отклонение ∧

S Q = 0,842812;

оценка медианы равна Q м = 4,2;

∧

оценка левого сгиба (25% квантиль) при Q лев = 3,492, а оценка правого ∧

сгиба (75% квантиль) – Q пр = 4,908, соответственно оценка центра ∧

сгибов Qс = (4,908+3,492)/2 = 4,2; ∧

оценка центра размаха Q р = (5,8 + 2,5)/2 = 4,15 ∧

оценка коэффициента, характеризующего асимметрию, 0,014773;

s = -

∧

оценка эксцесса

ε

= 1,6902745, ∧

оценка контрэксцесса к = 0,76917. Для сравнения проведем анализ эффективности использования трех оценок числовых характеристик: среднего арифметического, медианы и центра сгибов. Одновременно учитываем, что приведенное в примере распределение плотности вероятности двухмодальное, а для такого распределения рекомендуется применять в качестве характеристики положения центр сгибов. Стандартное отклонение среднего арифметического, определенное по формуле (44) S ∧ = 0,0544. Q

∧

По формуле (45) определяем дисперсию оценки медианы (р( Q М) = 0,203): ∧  D Q M  =  

1  ∧ 4n  p Q M  

  

2

= 0,0253

По формуле (47) определяем дисперсию оценки центра сгибов, при ∧

∧

этом учитываем, что р( Q 0,25) = р( Q 0,75) =0,678:     1 1  ∧  0,1875   + D Q с  = 2 2  = 0,0034.  ∧ n    ∧    p Q 0, 25  p Q 0,75           

Таким образом, среднее квадратическое отклонение оценки медианы ∧  σ равно  Q M  ≈ 0,159, а среднее квадратическое отклонение оценки 



  центра сгибов равно σ  Q с  ∧

= 0,0583, т.е незначительно превышает   стандартное отклонение среднего арифметического. Можно предположить, что, если бы моды были более островершинные, то более эффективной была бы оценка центра сгибов. Таким образом, используем в дальнейшем в качестве оценки характеристики положения среднее арифметическое и его стандартное отклонение. Но прежде чем проводить дальнейший анализ, необходимо отметить следующее. С оценкой характеристики положения идентифицируется значение измеряемой величины. При этом измеряемая величина является неслучайной, а оценка характеристики положения, определенная как оценка любой из перечисленных выше числовых характристик, есть случайная величина, хотя может быть для данного закона распределения вероятности она имеет минимальное среднее квадратическое отклонение. Но какая случайная оценка числовой характеристики для заданного закона распределения вероятности может быть наиболее близкой к значению измеряемой неслучайной величины, однозначно не определено. Одни авторы считают, что в качестве оценки характеристики положения, с которой идентифицируется значение измеренной величины, должна быть оценка моды (так как она характризует максимальную плотность отсчетов), другие – оценка медианы (так как она делит площадь под кривой плотности распределения вероятности пополам), третьи – оценку, имеющую наименьшее рассеяние, и т.д. На практике чаще всего применяется в качестве характеристики положения среднее арифметическое. Поэтому не будут ошибочными действия студента, если после анализа, проведенного в соответствии с требованиями данного пункта, он выберет в качестве характеристики положения закона распределения вероятности среднее арифметическое. 2.7.3. Представление результата измерения Ранее подчеркивалось, что для представления результата измерения необходимо знание оценки характеристики положения и доверительных интервалов, в которых может находиться значение характеристики положения с заданной вероятностью. Задача выбора числовой характеристики, которая должна быть в заданном массиве экспериментальных данных в качестве характеристики положения, решена в п. 2.6.1. Необходимо определить доверительные интервалы, в которых с

заданной вероятностью может находиться значение выбранной оценки характеристики положения. А для этого должно быть определено среднее квадратическое отклонение оценки числовой характеристики, принятой в качестве характеристики положения (обозначим ее σхп), после чего следует рассчитать зависимость от заданной вероятности величины доверительных интервалов (т.е. зависимость P (tσхп) от t), построить эту зависимость Р (t σхп) = f (t) и записать для доверительных вероятностей P = 0,9 и Р = 0,95 доверительные границы, в которых может находиться значение оценки характеристики положения. В том случае, если доверительные интервалы симметричны ∧

относительно оценки характеристики положения Q хп , то результат многократного измерения при конкретном значении доверительной вероятности записывается в виде ∧

∧

Q хп - t σхп ≤ Q ≤ Q хп + t σхп. Если доверительные интервалы несимметричны относительно выбранной оценки характеристики положения, то результат многократного измерения при конкретном значении доверительной вероятности представляется в виде ∧

∧

Q хп – t1σхп ≤ Q ≤ Q хп + t2σхп, где t1 – параметр, определяющий область значений вероятности слева от оценки характеристики положения, а t2 – справа от оценки характеристики положения. ∧

При известных значениях и σхп последовательность определения доверительных интервалов следующая. Вводится обозначение Q хп

∧

∧

Q2 − Q хп Q − Q1 t1 = хп ; t2 = . SQ SQ Из этих выражений определяются Q1 и Q2 :

(52)

∧

Q1 = Q хп − t1 S Q ;

∧

Q2 = Q хп + t 2 S Q .

(53)

Вероятность того, что значение отсчета будет в интервале Q1 ≤ Q ≤ ∧

Q хп , равна ∧ ∧   Р Q1 ≤ Q ≤ Q хп  = F (Q хп ) − F (Q1 ) ,   ∧

а вероятность того, что отсчет будет находиться в интервале Q хп ≤ Q ≤ Q2, ∧ ∧  Р Q хп ≤ Q ≤ Q2  = F (Q2 ) − F (Q хп ) .  

Последние выражения позволяют найти F(Q1) и F(Q2) в зависимости ∧ ∧ ∧   P Q ≤ Q ≤ Q  от значений вероятностей Р Q1 ≤ Q ≤ Q хп  ,  хп 2  и F( Q хп ):     ∧ ∧   F (Q1 ) = F (Q хп ) − Р Q1 ≤ Q ≤ Q хп  ;   ∧ ∧  F (Q2 ) = F (Q хп ) + Р Q хп ≤ Q ≤ Q2  .  

(54) (55)

∧     Задаваясь значениями Р Q1 ≤ Q ≤ Q хп  и P Q хп ≤ Q ≤ Q2  , можно    

∧

определить F (Q1 ) и F (Q2 ) , после чего с помощью исходного выражения функции распределения вероятности определяются Q1, Q2 и значения   параметров t1 и t2 в зависимости от заданных значений Р Q1 ≤ Q ≤ Q хп  и ∧





  P Q хп ≤ Q ≤ Q2  . Если в явном виде не удается определить Q1 и Q2 через   ∧

функцию распределения вероятности, то целесообразно использовать последовательный подбор, вычисляя в явном виде функцию распределения вероятности в зависимости от различных значений Q1 или Q2.

Результаты расчетов значений t1 и t2 в зависимости от заданных ∧    ∧ Р Q1 ≤ Q ≤ Q хп  и P Q хп ≤ Q ≤ Q2  необходимо представить в     графическом и табличном виде. ПРИМЕР. В примере характеристикой положения является среднее ∧

арифметическое Q = 4,2 (см. пример в п. 2.6.1), стандартное отклонение среднего арифметического S = 0,0544. ∧

Q

Для определения доверительных интервалов можно использовать расчеты, полученные ранее в разделе проверки аналитического выражения закона распределения вероятности с помощью критерия согласия Мозеса. В графе 6 табл. 13 приведены рассчитанные значения функции распределения вероятности для различных интервалов. Построим вспомогательную табл. 19, в которой сведены результаты 1 промежуточных расчетов. Значения F2 (Qi ) получаются обычным интегрированием плотности распределения вероятности: Qi

∫e

1 1

F21 (Qi ) = A

−α11 Q −Q1

Qi

dQ + A

1 2

−∞

∫e

−α 12 Q − Qi

dQ

−∞

Так, например, для Q=3 A11 −α11 ( 3, 492 −Q ) A21 −α 12 ( 4,908 −Q ) 1 F2 (Q = 3) = 1 e + 1e = 0,0678 + 0,0016 = 0,0694 ,

α1

α2

если Q = 4, 3, 492

F (Q = 4) = A 1 2

1 1

∫

e

−α11 (Q−3, 492)

4

dQ + A

1 1

−∞

∫

e

−α11 (Q−3, 492)

3, 492

4

dQ + A ∫ e−α2 (4,908−Q) dQ = 1

1 2

−∞

= 0,25 + 0,18494+ 0,02254= 0,45748. Если же Q = 5, т.е больше 4,908, то 3, 492

F (Q = 5) = A 1 2

1 1

∫

−∞ 5

+A

1 2

e

−α11 (Q −3, 492)

5

dQ + A

1 1

∫

3, 492

e

−α11 ( Q −3, 492)

4,908

dQ + A

1 2

−α ( 4,908−Q ) dQ + ∫e 2 1

−∞

−α ( Q − 4, 908) dQ = 0,25 + 0,2454 + 0,25 + 0,05409 = 0,79949 ∫e 2 1

4,908

Полученные таким образом значения функции распределения вероятности записываем в колонку 3 табл. 19, после чего вычисляем абсолютное

значение вероятности попадания отсчетов в интервал Qi ≤ Q ≤ 4,2 и заполняем 4 - ю колонку Таблица 19

№ п/п

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Значения членов вариац. ряда (Qi) 2 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4

F21 (Qi ) 3 0,018465 0,024067 0,03137 0,040889 0,053295 0,069467 0,090545 0,11802 0,15383 0,200507 0,261235 0,320031 0,366114 0,40274 0,432495 0,457482 0,479466 0,5 0,520534 0,542518 0,567505 0,59726 0,633886 0,679969 0,738765 0,799493 0,84617 0,88198 0,909455 0,930533

P{Qi ≤Q≤ 4,2} = F(Q=4,2) −F(Qi )

4 0,48154 0,47593 0,46863 0,45911 0,44671 0,43053 0,40946 0,38198 0,34617 0,29949 0,23877 0,17997 0,13389 0,09726 0,06751 0,04252 0,02053 0 0,02053 0,04252 0,06751 0,09726 0,13389 0,17997 0,23877 0,29949 0,34617 0,38198 0,40946 0,43053

∧

ti =

Qi −Q SQ

5 -2,016607 -1,897983 -1,779359 -1,660735 -1,542112 -1,423488 -1,304864 -1,18624 -1,067616 -0,948992 -0,830368 -0,711744 -0,59312 -0,474496 -0,355872 -0,237248 -0,118624 0 0,118624 0,237248 0,355872 0,474496 0,59312 0,711744 0,830368 0,948992 1,067616 1,18624 1,304864 1,423488

1 31 32 33 34

2 5,5 5,6 5,7 5,8

3 0,946705 0,959111 0,96863 0,975933

Окончание табл. 19 4 5 0,44671 1,542112 0,45911 1,660735 0,46863 1,779359 0,47593 1,897983

Теперь можно произвести расчет зависимости доверительной вероятности от параметра t, при этом учитываем, что закон распределения вероятности симметричный, поэтому вероятность для одного и того же доверительного интервала удваиваем. Так, например, ∧

для интервала {-0,1 ≤ Q ≤ 0,1}, т.е. Qi - Q = 0,1, значение параметра t = 0,118624 (17-ая и 19-ая строки табл. 19), а вероятность попадания в этот интервал равна 0,02053 × 2 = 0,04106. Если же интервал {-0,5 ≤ Q ≤ 0,5}, ∧

т.е. Qi - Q = 0,5, то параметр t = 0,59312 (13-ая и 23-я строки табл. 19), а вероятность попадания в этот интервал равна 0,13389 × 2 = 0,26778. Значения параметра t и соответствующей вероятности записываем в табл. 20 в порядке возрастания параметра t. В эту же таблицу (колонки 4 и 5) записываем для сравнения значения вероятностей в зависимости от параметра t для нормального закона распределения вероятности и предельный случай, расчитанный по неравенству Чебышева (см. формулу 13 ).

№ п/п

Параметр t

Вероятность

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 0 0,118624 0,237248 0,355872 0,474496 0,59312 0,711744 0,830368 0,948992 1,067616

3 0 0,041067 0,085035 0,13501 0,194521 0,267772 0,359938 0,47753 0,598985 0,692339

Таблица 20 Вероятность Вероятность по по нормальному неравенству закону Чебышева 4 5 0 0,0955 0,190 0,281 0,364 0,452 0,522 0,594 0,658 0,715 0,123

1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 1,18624 1,304864 1,423488 1,542112 1,660735 1,779359 1,897983 2,016607 2,135231 2,253855 2,372479 2,491103 2,609727 2,728351 2,846975 2,965599 3,084223 3,202847 3,321471 3,440095

3 0,763961 0,818909 0,861066 0,893409 0,918223 0,93726 0,951866 0,963071 0,971668 0,978263 0,983324 0,987206 0,990184 0,992469 0,994222 0,995567 0,996599 0,997391 0,997998 0,998464

4 0,763 0,807 0,845 0,877 0,903 0,925 0,943 0,956 0,967 0,976 0,982 0,987 0,9907 0,9935 0,9955 0,9969 0,9973 0,9986 0,9986 0,999

Окончание табл. 20 5 0,289 0,413 0,506 0,579 0,637 0,684 0,722 0,754 0,781 0,803 0,822 0,839 0,853 0,866 0,877 0,886 0,895 0,902 0,909 0,915

Для получения более полной информации о зависимости доверительной вероятности от параметра t табл. 20 продолжена за пределы тех значений отсчетов, которые имеются в исходном задании (выделено жирным шрифтом, для студентов выполнение этих дополнительных расчетов необязательно). Так 25-ая строка соответствует значениям Q = 6,6 и Q = 1,8, а 30-ая строка соответствует значениям Q = 7,1 и Q = 1,3 (этих отсчетов в исходном массиве нет). Графическая зависимость вероятности от параметра t представлена на рис. 5. Теперь можно представить доверительные интервалы, в которых находится значение среднего арифметического, принятого в качестве оценки характеристики положения, с заданной доверительной вероятностью ∧

∧

∧

Q -tS∧ ≤ Q ≤ Q +tS∧ . Q Q

Вер экс

Вер норм

Вер по Чебышеву

1 0,9 0,8 Вероятность

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

0, 23 0 7 0, 25 4 0, 745 71 0, 174 94 1, 899 18 1, 624 42 1, 349 66 1, 074 89 79 2, 8 25 2, 4 49 2, 1 7 2, 28 96 5 3, 6 20 3 3, 44

0

параметр t

Рис. 5. Зависимость доверительной вероятности от параметра t для различных ЗРВ Для доверительной вероятности Р ≈ 0,9 арифметическое находится в интервале

t ≈ 1,54

среднее

∧

4,2 - 1,54 × 0,0544 ≤

Q ≤ 4,2 + 1,54 × 0,0544 или ∧

4,116 ≤ Q ≤ 4,284. Для доверительной вероятности Р = 0,95 измерения находится в интервале

t ≈ 1,9,

результат

∧

4,2 – 1,9 × 0,0544 ≤ Q ≤ 4,2 + 1,9 × 0,0544

или

∧

4,0966 ≤ Q ≤ 4,3034. Для нахождения интервала неопределенности, в котором находится результат измерения, без каких-либо предположений об уровне доверительной вероятности необходимо использовать оценку ∧

энтропийного коэффициента, определяемого по формуле (11) k = 1,709 ∧

∧

∧

Q - k S∧

Q

≤х≤

∧

Q + k S∧

Q

∧

4,107 ≤ Q ≤ 4,293

или

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Основной список

1. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. Для технических приложений. – М.: Наука, 1969.- 512 с. 2. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. – Л.: «Энергоатомиздат», 1991.- 304 с. 3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.: Учебник для вузов. - М.: «Высшая школа», 2001.- 575 с. 4. Левин С.Ф. Погрешности измерений и вычислений как причина «Катастрофического феномена 1985-1986 годов в авиационной и ракетнокосмической технике».// Контрольно-измерительные приборы и системы. 2000, 6, С. 21-24. 5. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология.: Учебник для вузов.- М.: Изд. Стандартов, 1991.- 492 с. 6. Романов В.Н., Комаров В.В. Теория измерений. Анализ и обработка экспериментальных данных.: Учеб. пособие. – СПб: СЗПИ, 1999. – 112 с. 7. Фрумкин В.Д., Рубичев Н.А. Теория вероятностей и статистика в метрологии и измерительной технике. – М.: Машиностроение, 1987. – 168 с. 8. Карасев А.И. Основы математической статистики.: Учеб. пособие. - М.: Росвузиздат, 1962. – 412 с. Дополнительный список

9. Митропольский Л.К. Техника статистических вычислений. – М.: Физматлит, 1961. – 479 с. 10. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 288 с. 11. Теоретическая метрология: Методические указания к курсовой работе/ Составитель Романов В.Н. – Л.: СЗПИ, 1990. – 24 с. 12. Артемьев Б.Г., Голубев С.М. Справочное пособие для работников метрологических служб. Кн. 1. – М.: Изд. Стандартов, 1990. - 652 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ Массивы данных для вариантов курсовых работ

Х1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 5 7 7 2 3 6 4 6 8 9 9 10 8 8 15 13 11 10 7 7 7 9

14 11 12 10 9 9 8 8 3 4 6 10 14 7 7 5 1 3 7 4 12 12 0 2

4 2 2 6 6 9 10 7 5 11 12 9 9 8 8 13 16 10 8 8 9 10 12 14

2 4 1 4 2 6 6 9 9 8 10 8 7 9 11 11 7 8 14 12 2 4 5 5

13 10 10 11 12 11 9 2 3 0 4 5 6 6 10 7 6 7 8 8 14 4 5 5

12 9 14 8 8 4 4 11 13 10 10 7 9 6 3 8 2 1 5 7 6 10 11 6

3 5 5 12 11 10 10 9 9 3 4 6 7 7 9 7 1 7 8 12 8 8 10 11

16 7 7 13 9 9 11 10 12 5 5 0 10 8 8 6 6 4 2 6 5 9 9 8

0 4 2 5 5 7 7 5 5 6 8 8 11 11 12 8 9 9 13 14 2 2 6 1

1 2 5 7 7 3 6 4 4 8 10 12 5 9 9 9 11 13 8 8 7 7 7 8

А

Х2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-0,03 -0,04 0,12 0,17 0,01 -0,05 -0,03 -0,09 0,13 0,06 -0,04 -0,11 0,01 0,15 0,13 0,02 -0,02 0,14 0,03 -0,03 0 -0,1 0,1 -0,02

0,16 0,03 -0,08 0,09 0,15 -0,01 0 -0,02 0,15 0,18 -0,01 -0,03 0,17 -0,02 0,04 -0,05 -0,08 0,11 -0,07 0,11 0,15 0,07 0,18 0,05

0,1 0,14 0,21 -0,05 0,11 -0,09 0,13 -0,08 0 0,1 -0,06 0,03 -0,05 0,1 0,14 0,02 -0,01 -0,02 0,09 0,1 0,09 -0,02 0,12 0,1

-0,06 -0,01 -0,04 0,02 -0,02 0,16 -0,03 0,11 0,05 0,15 0,06 0,09 0,15 0,12 -0,09 0,08 -0,04 0,16 0 0,19 -0,05 0,13 -0,03 0,06

0 0,13 -0,06 0,13 -0,01 -0,04 0,1 -0,06 0,12 -0,09 0,07 -0,04 0,1 -0,05 0,1 0,13 0,02 -0,03 0,13 0,01 0,12 0,1 0,03 0,11

-0,02 -0,1 0,11 0,01 0,17 0,12 0,15 -0,07 -0,04 -0,01 0,14 0,17 -0,07 -0,02 0,11 0,08 -0,06 0,1 0,17 0,09 -0,03 0,05 -0,05 -0,03

0,16 0,08 -0,02 0,05 0,07 0,14 0,18 -0,05 0,02 0,16 0,01 0,02 -0,03 0,09 -0,05 -0,02 0,11 -0,01 0,07 -0,04 0,11 0,04 0 0,16

0,11 -0,09 0,15 0 0,2 0,02 0,06 0 0,15 0,11 -0,05 -0,02 0,15 -0,07 0,03 0,14 0,01 0,15 -0,05 0,03 -0,06 -0,05 -0,09 -0,05

0,02 0,09 0,12 -0,08 0,1 -0,07 0,09 -0,02 0,04 -0,14 0,08 -0,08 0,13 0,02 -0,03 0,1 -0,09 0,09 0,02 -0,02 0,08 0,13 -0,02 0,12

0,14 0,17 -0,01 -0,03 0,15 0,11 0,13 -0,06 -0,03 0,12 0,15 -0,01 0,1 0,19 0,12 -0,02 0,08 0,17 0,07 -0,04 0,03 0,11 0,06 0,17

Х3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2,3 0,6 0,4 2,1 1,6 1,7 0,9 1,9 2,5 2 1,6 0,2 1,89 -0,9 2 2,3 -1,3 2,5 -0,8 2,1 0,3 0,8 1 0,4

0,3 3,1 2,2 3,4 2,5 3,8 2,7 2,2 1,2 1,8 2,1 3,2 -0,2 3,4 0,7 1,7 1,8 1,2 2,9 0,5 2,4 2 1,9 3,6

4,2 1,4 2 1,3 2 2,6 1,8 1,5 3 4 1,3 2,5 2,4 1,1 1,9 3,9 2,2 2 1,7 1,9 1,6 3 2,2 0,7

1,5 1,9 3 1,9 1 1,9 1,2 2,6 1,9 1 1,7 1,9 -0,5 2,1 2,9 1,3 0,9 1,5 2,4 -1,5 2,2 1,7 1,1 2,1

0 2,2 1,2 4,8 2,1 2,3 3,2 1,1 1,4 1,9 2,6 -1 4,5 1,3 1,6 1,8 2,8 2,1 1 2,8 1,8 1,9 2,7 1,8

2,8 1,8 2,6 2,3 1,7 1,4 1,9 2 2,9 0,5 2,2 1,1 0,6 2 2,3 1,2 1,6 1,9 1,3 1,6 2 1,4 1,5 2,4

1,3 3,3 1,4 0,8 2,5 4,1 2,8 2,1 1,8 2,3 1,1 2 1,6 1,7 1,4 1,9 2,6 1,4 2 0,1 2,1 1,8 1,6 1,7

2 0,9 2,7 1,9 1,9 1,5 1,6 1,3 3,1 1,7 1,8 1,7 3,1 1,5 3 2,1 -0,7 3,3 1,8 2,3 3,7 0,6 2,9 2

1,6 2,1 1,9 2,4 0,7 2,2 1,8 2,3 1,6 1,5 2,8 2,1 1,2 1,8 2,2 0,8 2,4 1,6 2,2 1,7 1,8 1,9 1,8 1,9

2,4 1 2,8 2 3 1,8 3,5 1,9 2 2,4 2,2 -0,3 1,9 2,7 1 2 1,7 2,7 1,1 1,9 2,5 2,1 0,9 2,6

Х4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0,27 -0,05 0,11 0,07 0,18 0,41 0,06 0,09 -0,01 0,12 -0,04 0,24 0,02 0,01 0,2 0,1 0,4 0,25 0,35 0,12 0,06 0,26 0,09 0,02

0,04 0,19 0,26 0,44 0,3 0,29 -0,03 0,26 0,14 0,04 0,22 0,15 0,31 0,18 0,38 0,24 0,05 0,18 0,29 0,19 0,14 0,37 0,22 0,32

0,21 0,3 0,06 0,17 0,27 0,33 0,16 0,32 0,39 0,13 0,3 0,37 0,17 0,27 0,16 0,29 0,21 0,07 0,23 0,33 0,27 0,17 0,14 0,28

0,09 0,13 0,37 -0,02 0,13 0,15 0,43 0,25 0,23 0,36 0,16 0,14 0,34 0,25 0,33 0,21 0,03 0,22 0,36 0,24 0,2 0,29 0 0,19

0,33 0,08 0,14 0,22 0,31 0,08 0,1 0 0,35 0,17 0,29 0,01 0,08 0,12 0,28 0,2 0,09 0,16 0,08 0,04 0,28 0,13 0,2 0,34

0,19 0 0,36 0,29 -0,05 0,04 0,07 0,12 0,42 0,09 0,02 0,24 0,32 0,19 0 0,08 0,17 0,39 0,18 0,15 -0,02 0,24 0,07 0,26

0,1 0,28 0,26 0,32 0,25 0,11 0,16 0,05 0,26 0,28 0,11 0,13 0,07 0,03 0,11 0,04 0,26 0,24 0,27 0,11 0,12 0,23 0,08 0,13

0,2 0,23 -0,06 0,02 0,3 0,24 0,4 0,27 0,06 0,23 -0,03 0,33 0,15 0,23 0,35 0,22 0,3 0,19 0,31 0,16 0,17 0,03 0,22 0,05

0,3 0,38 0,18 0,1 0,09 0,37 0,13 0,14 -0,01 0,08 0,22 0,1 0,31 0,3 0,14 0,21 0,01 0,08 0,06 0,2 0,35 0,15 0,28 0,23

0,21 0,19 0,11 0,06 0,23 0,12 0,34 0,05 0,15 0,25 0,07 0,03 0,17 0,06 0,2 0,13 0,15 0,25 0,21 0,1 0,19 0,3 0,18 0,11

Х5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-4,5 -2,5 -2,4 -1,3 -1,7 -0,5 0,0 -0,6 -0,7 -1,5 0,5 0,6 0,8 -3,5 1,2 1,5 1,8 2,5 2,6 3,5 -3,1 -2,2 -2,4 -5,0

0,2 0,6 0,7 0,9 1,4 1,6 1,9 2,3 2,7 3,4 4,6 -2,3 -2,6 -1,4 -1,6 -1,8 -3,6 -0,2 -0,4 -0,8 -2,0 -3,0 -2,0 -1,5

3,6 2,8 2,4 -0,4 0,2 0,3 0,8 -0,9 -0,6 -0,5 1,3 1,7 1,7 -4,8 -3,8 -2,7 -2,2 -1,8 -1,5 -1,2 0,2 0,3 0,6 -0,3

-3,4 -2,4 -2,6 0,1 0,4 0,7 -1,4 -1,5 -1,6 -0,8 1,5 2,4 2,6 3,0 -0,6 -0,1 1,4 1,6 0,4 5,0 -1,0 -0,5 0,5 0,8

-0,7 -0,7 0,2 0,3 -2,8 -2,3 -3,2 -4,2 0,8 1,3 1,2 1,8 -1,7 -1,6 -1,8 -0,6 -0,4 2,2 2,9 3,7 -0,2 1,5 1,6 1,6

4,4 3,9 -2,2 -1,9 -0,6 0,2 -1,7 -1,1 -2,9 -3,7 0,0 0,4 0,7 -0,8 -0,8 1,4 1,7 1,9 2,4 2,7 0,9 -0,1 0,5 -0,9

-4,6 -3,5 -2,7 -1,2 -1,5 -1,7 -1,0 -2,4 -0,5 -0,8 -0,9 0,9 1,5 1,6 1,6 0,4 0,6 2,6 2,8 4,0 2,3 2,5 3,9 -0,4

2,3 2,7 3,2 4,9 -1,8 -1,4 -1,6 -2,5 -2,6 -0,7 -3,3 -0,4 -0,4 0,2 0,4 0,6 1,1 1,8 1,8 0,6 -3,5 1,4 1,8 1,8

-3,2 -2,8 -2,4 -1,2 -1,4 -4,2 -0,8 -0,6 -0,6 -0,2 -1,5 0,7 1,2 1,4 1,4 2,6 2,6 0,2 0,4 3,7 -0,6 -1,2 -1,6 -1,7

3,1 4,2 2,2 2,9 1,3 1,3 1,9 0,1 0,3 0,8 -3,3 -2,6 -2,5 -1,8 -1,7 -1,6 -0,7 -0,7 -0,4 0,6 2,1 2,9 3,5 4,5

Х6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

-0,8 -0,4 0,0 0,1 0,4 0,4 0,8 0,8 0,9 0,9 1,2 1,2 1,1 1,3 1,5 1,6 1,7 2,0 2,0 2,4 0,24 0,38 0,42

2,8 2,5 1,5 1,6 0,7 0,8 -0,5 -0,1 0,0 0,3 0,4 0,5 0,85 0,9 1,1 1,2 2,1 1,9 1,3 1,3 0,82 0,84 0,72

-1,0 -0,1 0,1 0,3 0,5 1,95 2,05 2,3 1,65 1,75 1,45 0,75 -0,3 0,8 0,9 0,9 1,25 1,25 1,15 1,35 1,29 1,34 1,42

-0,15 0,15 0,35 0,45 -0,45 0,65 0,7 0,8 0,85 -0,7 1,18 1,2 1,27 1,32 1,98 2,15 1,75 2,45 1,55 1,65 0,36 0,44 -0,18

-0,55 0,6 0,8 0,8 0,9 0,3 0,0 1,1 1,2 1,2 1,2 1,6 1,6 1,8 -0,1 1,9 2,0 2,35 0,4 3,0 0,66 -0,06 0,08

0,3 0,3 0,4 0,7 0,7 -0,18 0,16 -0,48 1,7 1,78 1,34 1,9 2,1 1,15 1,15 1,2 0,8 0,8 2,55 -0,85 -0,52 1,45 1,62

2,85 2,48 -0,4 0,0 0,05 0,45 0,45 0,85 0,85 0,9 0,9 1,05 1,2 1,88 2,06 1,62 1,54 1,44 1,25 1,35 0,8 0,94 -0,44

-0,75 1,86 2,08 -0,55 -0,1 -0,15 0,68 0,92 2,44 1,44 1,65 1,76 0,46 0,57 0,65 0,84 1,08 1,26 1,38 1,24 1,82 2,04 2,54

0,44 0,48 0,54 0,64 0,8 0,8 0,94 1,1 1,2 1,2 1,28 -0,18 0,08 1,6 1,6 -0,35 1,92 2,05 2,52 3,0 2,17 2,52 2,84

-0,3 -0,1 0,0 -1,0 0,36 0,24 0,62 0,72 0,76 0,87 `1,1 1,2 1,24 1,36 1,52 1,85 2,06 1,63 1,66 2,42 1,32 1,24 1,12

24

Х7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1,22

1 0,34 0,3 0,19 0,32 0,28 0,35 0,19 0,29 0,31 0,14 0,26 0,33 0,27 0,31 0,36 0,16 0,22 0,15 0,33 0,22

0,9

1,74

0,16

2

3

4

0,23 0,16 0,35 0,18 0,14 0,24 0,33 0,15 0,3 0,28 0,2 0,3 0,19 0,15 0,3 0,29 0,35 0,18 0,31 0,24

0,36 0,27 0,15 0,26 0,34 0,2 0,25 0,18 0,36 0,16 0,33 0,17 0,31 0,23 0,18 0,15 0,17 0,25 0,27 0,34

0,17 0,21 0,31 0,29 0,22 0,32 0,3 0,28 0,17 0,23 0,29 0,22 0,21 0,32 0,19 0,31 0,28 0,32 0,19 0,29

0,86

1,64

5

6

0,2 0,33 0,17 0,18 0,25 0,13 0,23 0,33 0,21 0,32 0,19 0,35 0,15 0,2 0,24 0,34 0,18 0,2 0,17 0,33

0,31 0,23 0,3 0,27 0,36 0,27 0,31 0,16 0,15 0,3 0,24 0,18 0,16 0,27 0,18 0,14 0,16 0,21 0,36 0,15

1,94

1,36

7

8

0,22 0,34 0,2 0,17 0,21 0,29 0,17 0,24 0,35 0,2 0,28 0,23 0,34 0,15 0,31 0,32 0,3 0,26 0,18 0,28

0,28 0,14 0,31 0,32 0,3 0,19 0,35 0,22 0,25 0,18 0,32 0,26 0,14 0,29 0,17 0,13 0,27 0,22 0,25 0,35

1,16

-0,82

9

10

0,18 0,32 0,22 0,19 0,18 0,14 0,26 0,3 0,19 0,31 0,21 0,16 0,3 0,22 0,35 0,23 0,15 0,29 0,3 0,18

0,35 0,15 0,24 0,33 0,16 0,28 0,2 0,34 0,18 0,29 0,17 0,36 0,19 0,25 0,21 0,3 0,31 0,33 0,19 0,21

21 22 23 24

0,32 0,29 0,15 0,35

Х8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,2 0,14 0,31 0,18

0,3 0,17 0,27 0,26

0,23 0,35 0,16 0,33

0,26 0,18 0,3 0,17

0,31 0,2 0,15 0,32

0,19 0,33 0,19 0,13

0,17 0,3 0,34 0,16 0,25 0,22 0,29 0,13 0,32 0,31 0,35 0,2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4,4 0,6 -3,9 2 1,3 -1,6 3 0,1 0,9 6,9 3,2 -0,3 4,3 0,8 4,7 2 7,1 1,9

-2,2 2,9 2,5 1 2,2 4,1 1,7 3,7 2 -2,4 1,2 7,5 -1,4 2,7 1 -0,4 3,7 0,5

6,1 1,8 -0,1 2,6 -0,7 1,8 -4 1,4 3,6 4,6 0 3,4 0,24 -0,5 4,5 6,5 0,3 5,6

1,1 -1,7 3,4 1,5 2,1 2,7 4,9 4 -0,2 2,7 5,5 0,7 2,3 2 1,7 3,5 2 1,2

7,7 4,2 0,2 3,9 5,2 0,4 1,9 1,6 6,2 1,5 -4,2 4,2 0,2 5,7 -3,5 1,4 -0,8 3,2

0,9 1,9 3,2 1,1 1,6 2,9 2,4 -0,9 2,1 2,8 8,2 1,9 3,1 1,8 2,6 2,1 4,4 1,1

2,8 1,2 1,7 5,1 3,5 0,5 1,3 6 -3,6 0,4 3,3 -1,0 1,1 3,7 2,5 0,4 1,9 3

1,7 -0,8 0,1 0,7 -0,1 3,1 4,5 1,7 4,7 1 1,6 3,9 5 1,4 -2 4 0 -4,3

8 2,4 3 -2,7 2,3 -1,8 0,9 -0,3 2,5 0,3 4,1 1,4 -0,6 2,8 2,9 1,5 2,6 5,9

-3,8 2,1 -0,5 3,3 4,3 2,2 2 1,5 1,9 5,4 -3 3,8 2 1,8 0,6 3,6 -1,5 1,9

19 20 21 22 23 24

6,3 2 1,8 1,4 1,9 -1,1

0,9 8,3 3,8 2,4 -1,9 1

1,8 -0,6 -3,3 8,5 2,1 1,7

3,7 2,9 2,5 1,1 0,1 0,8

-2,1 7,3 0,7 1,8 4 2,5

5,2 0,2 2,2 2,8 -3,2 -1,2

1,5 3,3 1,2 -0,3 1,5 5,8

4,6 1,3 3,1 2,3 2,4 0,5

-0,4 6,6 -1,3 1,7 -0,7 2,9

1,8 0,8 2 3,5 -4,6 -0,2

Х9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,05 0,15 0,25 0,25 0,35 0,34 0,36 0,45 0,45 0,45 0,55 0,55 0,65 0,65 0,75 0,75

0,73 0,74 0,78 0,63 0,66 0,67 0,52 0,54 0,59 0,12 0,18 0,24 0,26 0,27 0,32 0,38

0,53 0,56 0,56 0,33 0,35 0,37 0,22 0,28 0,62 0,64 0,69 0,73 0,77 0,42 0,44 0,48

0,14 0,16 0,23 0,27 0,74 0,76 0,84 0,86 0,54 0,55 0,56 0,43 0,45 0,47 0,34 0,34

0,85 0,85 0,75 0,75 0,95 0,65 0,65 0,55 0,55 0,55 0,35 0,34 0,36 0,25 0,25 0,45

0,13 0,17 0,17 0,25 0,26 0,34 0,36 0,41 0,45 0,54 0,49 0,53 0,58 0,62 0,65 0,68

0,04 0,16 0,16 0,94 0,22 0,28 0,33 0,35 0,37 0,42 0,44 0,48 0,53 0,56 0,56 0,62

0,11 0,19 0,19 0,27 0,34 0,34 0,37 0,43 0,45 0,47 0,54 0,55 0,56 0,64 0,65 0,66

1,0 0,58 0,85 0,75 0,75 0,65 0,65 0,55 0,55 0,55 0,45 0,45 0,45 0,35 0,34 0,36

0,12 0,18 0,18 0,26 0,27 0,32 0,38 0,44 0,45 0,46 0,52 0,54 0,59 0,63 0,65 0,67

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0,85 0,85 0,95 0,55 0,05 0,16 0,16 0,28

17 18 19 20 21 22 23 24

Х10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 0,3 0,21 -0,06 0,23 0,02 0,28 0,18 0,22 0,4 0,19 0,05 0,24 0,43

0,44 0,45 0,46 0,88 0,13 0,17 0,17 0,27

2 0,25 0,29 0,31 0,08 0,15 0,21 0,37 0,14 0,16 0,33 0,23 0,11 0,25

0,04 0,16 0,82 0,96 0,33 0,35 0,37 0,42

3 -0,03 0,06 0,2 0,26 0,19 0,3 0,12 0,23 0,2 0,13 0,3 0,27 0,52

0,37 0,64 0,65 0,66 0,34 0,33 0,38 0,43

0,45 0,45 0,15 0,05 0,44 0,48 0,53 0,56

4 0,31 0,15 0,24 0,27 0,09 0,24 0,13 0,11 0,1 0,07 0,22 0,17 0,07

0,72 0,75 0,78 0,87 0,45 0,47 0,54 0,55

0,64 0,69 0,73 0,77 0,56 0,62 0,64 0,69

5

6

0,19 0,04 0,37 0,21 0,28 0,29 0,22 0,03 0,25 0,09 0,16 0,27 0,23

0,09 0,13 0,16 0,14 0,32 0,1 0,33 0,17 0,08 0,18 0,31 0,2 0,35

0,74 0,76 0,84 0,86 0,56 0,64 0,65 0,66

7 0,17 0,22 0,12 0,06 0,19 0,35 0,24 0,38 0,21 0,34 0,26 0,14 0,32

0,25 0,25 0,15 0,0 0,72 0,77 0,82 0,95

0,73 0,78 0,74 0,88 0,74 0,76 0,84 0,86

8

9

0,28 0,36 0,26 0,23 0,27 0,18 0,31 0,15 0,32 0,04 0,29 0,37 0,16

0 0,2 0,34 0,11 0,33 0,07 0,25 0,41 0,23 0,13 0,21 0,1 0,15

10 0,18 0,32 0,3 0,38 0,12 0,22 0,05 0,19 0,36 0,28 0,06 0,4 0,2

-0,02 0,2 0,44 0,35 0,45 0,37 0,39 0,23 0,43 0,2 0,41

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0,17 0 0,1 0,26 0,22 0,25 0,47 -0,04 0,37 0,14 0,27

0,42 0,19 0,01 0,39 0,11 0,5 0,2 0,35 0,16 0,21 0,06

0,12 0,26 0,14 0,21 0,16 0,46 0,18 -0,08 0,13 0,01 0,24

0,03 0,36 0,17 0,09 0,24 0,06 0,4 0,19 0,3 0,11 0,09

0,25 0,18 0,33 0,25 0,31 0,22 0,17 0,04 0,1 0,22 0,12

ПРИЛОЖЕНИЕ

0,3 -0,01 0,05 0,29 0,12 0,42 0,33 0,26 -0,01 0,32 0,29

0,23 0,13 0,22 0,44 0,28 0,21 0,14 0,34 0,18 0,38 0,19

0,24 0,02 0,08 0,14 0,49 0,15 0,03 0,2 0,08 0,05 0,28

0,01 0,39 -0,05 0,43 0,24 -0,1 0,11 -0,03 0,36 0,31 0

Б

Значения верхнего q% предела χ q2 в зависимости от вероятности

P( χ 〉 χ ) = 2

2 q

∞

1 n

n Г ( )2 2 2

∫x

k −1 2

−x 2

e dx

χ q2

и числа k степеней свободы χ 2 - распределения Число степеней свободы k 1 2 3 4 5 6

2 2 Вероятность P( χ 〉 χ q )

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,70

0,50

0,30

0,00016 0,02 0,115 0,30 0,55 0,87

0,0006 0,04 0,185 0,43 0,75 1,13

0,0039 0,103 0,352 0,71 1,14 1,63

0,016 0,211 0,584 1,06 1,61 2,2

0,064 0,446 1,005 1,65 2,34 3,07

0,148 0,713 1,424 2,19 3,0 3,83

0,455 1,386 2,366 3,36 4,35 5,35

1,07 2,41 3,66 4,9 6,1 7,2

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Число степеней свобод ы k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1,24 1,65 2,09 2,56 3,1 3,6 4,1 4,7 5,2 5,8 6,4 7,0 7,6 8,3 8,9 9,5 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0

1,56 2,03 2,53 3,06 3,6 4,2 4,8 5,4 6,0 6,6 7,3 7,9 8,6 9,2 9,9 10.6 11,3 12,0 12,7 13,4 14,1 14,8 15,6 16,3

2,17 2,73 3,32 3,94 4,6 5,2 5,9 6,6 7,3 8,0 8,7 9,4 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5

2,83 3,49 4,17 4,86 5,6 6,3 7,0 7,8 8,5 9,3 10,1 10,9 11,7 12,4 13,2 14,0 14,8 15,7 16,5 17,3 18,1 18,9 19,8 20,6

3,82 4,59 5,38 6,18 7,0 7,8 8,6 9,5 10,3 11,2 12,0 12,9 13,7 14,6 15,4 16,3 17,2 18,1 18,9 19,8 20,7 21,6 22,5 23,4

4,67 5,53 6,39 7,27 8,1 9,0 9,9 10,8 11,7 12,6 13,5 14,4 15,4 16,3 17,2 18,1 19,0 19,9 20,9 21,8 22,7 23,6 24,6 25,5

6,35 7,34 8,34 9,34 10,3 11,3 12,3 13,3 14,3 15,3 16,3 17,3 18,3 19,3 20,3 21,3 22,3 23,3 24,3 25,3 26,3 27,3 28,3 29,3

8,4 9,5 10,7 11,8 12,9 14,0 15,1 16,2 17,3 18,4 19,5 20,6 21,7 22,8 23,9 24,9 26,0 27,1 28,1 29,3 30,3 31,4 32,5 33,5

2 2 Вероятность P( χ 〉 χ q )

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,005

0,002

0,001

1,64 3,22 4,64 6,0 7,3 8,6 9,8 11,0 12,2 13,4 14,6

2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10,6 12,0 13,4 14,7 16,0 17,3

3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7

5,4 7,8 9,8 11,7 13,4 15,0 16,6 18,2 19,7 21,2 22,6

6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7

7,9 11,6 12,8 14,9 16,3 18,6 20,3 21,9 23,6 25,2 26,8

9,5 12,4 14,8 16,9 18,9 20,7 22,6 24,3 26,1 27,7 29,4

10,83 13,8 16,3 18,5 20,5 22,5 24,3 26,1 27,9 29,6 31,3

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

15,8 17,0 18,2 19,3 20,5 21,6 22,8 23,9 25,0 26,2 27,3 28,4 29,6 30,7 31,8 32,9 34,0 35,1 36,3

18,5 19,8 21,1 22,3 23,5 24,8 26,0 27,2 28,4 29,6 30,8 32,0 33,2 34,4 35,6 36,7 37,9 39,1 40,3

21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8

24,1 25,5 26,9 28,3 29,6 31,0 32,3 33,7 35,0 36,3 37,7 39,0 40,3 41,6 42,9 44,1 45,4 46,7 48,0

26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9

28,3 29,8 31 32,5 34 35,5 37 38,5 40 41,5 42,5 44 45,5 47 48 49,5 51 52,5 54

31 32,5 34 35,5 37 38,5 40 41,5 43 44,5 46 47,5 48,5 50 51,5 53 54,5 56 57,5

32,9 34,5 36,1 37,7 39,2 40,8 42,3 43,8 45,3 46,8 48,3 49,7 51,2 52,6 54,1 55,5 56,9 58,3 59,7

СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………………..3 1. Общие положения………….…………………….… 7 1.1.Тематика курсовых работ……………………... 7 1.2.Расчетная часть………………………………... 8 2. Порядок выполнения расчетов……………………. 8 2.1.Основные этапы выполнения работы…………. 8 2.2.Построение статистического ряда……………..11 2.3.Определение оценок числовых характеристик…………………………………………. 11 2.4.Исключение из массива промахов…………... 17 2.5.Определение закона распределения вероятности экспериментальных данных ……………..19 2.5.1. Построение гистограммы……………………….. 20 2.5.2. Аппроксимация гистограммы и определение аналитического выражения функции плотности распределения вероятности…………………………… 29 2.6.Определение соответствия аналитического выражения ЗРВ экспериментальным данным…………38 2.6.1. Основные теоретические положения применения критериев согласия при проверке гипотез…………..... 38 2.6.2. Критерий согласия Мозеса (ω2 – критерий)…... 41 2.6.3. Критерий согласия А.Н. Колмогорова……..……49 2.6.4. Критерий согласия К. Пирсона ( критерий χ2)….53 2.7.Определение результата измерения………………...60 2.7.1. Общие сведения о характеристиках положения закона распределения вероятности и их оценках……...60 2.7.2. Определение эффективной оценки характеристики положения …………….……………….63 2.7.2. Представление результата измерения……..…… 67 Библиографический список ……………….……………76 Приложение А ………………………………………….77 Приложение Б ………………………………………… 87

Смирнов Виктор Яковлевич

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ Задание на курсовую работу Методические указания к выполнению курсовой работы

Редактор И.Н. Садчикова Сводный тематический план 2003 г. Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97

Подписано в печать Б.Кн.-журн.

П.л. Тираж

Формат 60*84 1/16 Б.л.

РТП РИО СЗТУ Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации вузов СанктПетербурга 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, д.5