جمهورية العراق وزارة التربية املديرية العامة للمناهج
äÉ«°VÉjôdG للصف السادس العلمي
المؤلفون د .رحيـــ...
120 downloads
650 Views
12MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
جمهورية العراق وزارة التربية املديرية العامة للمناهج
äÉ«°VÉjôdG للصف السادس العلمي
المؤلفون د .رحيــــم يــونس كـــــــــرو
د .طـــارق شعبــــان رجب
محمد عبد الغفور الجواهري
منعــم حســين التميـــمـي
يــوسـف شريــــف المعمـــار
جعفر رضا هاشم الزبيـدي
امل�شرف العلمي على الطبع :د.طارق �شعبان رجب احلديثي امل�شرف الفني على الطبـع :حممد �سعدي عزيز العبيـدي
رقم االيداع في دار الكتب والوثائق ببغداد 855لسنة 2010
مقدمة لقد ظهرت في الكثير من دول العالم املتقدم مناهج حديثة في الرياضيات ،وطرائق جديدة لتناولها كانت سبب ًا في حركة ديناميكية ف ّعالة أثرت في العملية التعليمية في املدارس واجلامعات ،وأحدثت فيها تطوير ًا جذرياً ،وعليه أصبح من الضروري أن يلتحق العراق بهذا الركب وان يسارع في العمل لتطوير مناهج التعليم واساليبه وخاصة في الرياضيات التي تلعب دور ًا طليعي ًا في إرساء دعائم احلضارة واملدنية ،فهناك عالقة طردية بني احتياجات التنمية الصناعية والزراعية واملدنية ،والتكنولوجيه واالقتصادية بصفة خاصة وبني مناهج الرياضيات في املؤسسات التعليمية مبختلف مستوياتها . وفي ضوء خطة تطوير املناهج الدراسية عامة ومناهج الرياضيات خاصة مت تأليف هذا الكتاب الذي هو آخر حلقة من سلسلة الرياضيات قبل اجلامعية ،اذ تقع مادة هذا الكتاب في ستة فصول ،تناول الفصل االول االعداد املركبة ،والعمليات عليها وايجاد اجلذور وخواصها ،وحل معادالت من الدرجة الثانية في مجموعة االعداد املركبة ،واالحداثيات القطبية واخير ًا مقياس العدد املركب وسعته وكتابته بداللتيهما. اما الفصل الثاني فقد احتوى على القطوع املخروطية متضمنة القطوع املخروطية (املكافيء ،الناقص، الزائد) واملعادلة القياسية لكل منها في حاالت مختلفة ،واالختالف املركزي لكل قطع مخروطي . واشتمل الفصل الثالث على املشتقات العليا للدوال القابلة لالشتقاق واملعدّ الت الزمنية Related Ratesوالقيم العظمى والصغرى احمللية ونظرية رول ونظرية القيمة املتوسطة والتقريب باستخدامها ،والتقعر والتحدب ورسم بيان بعض كثيرات احلدود واحلدوديات النسبية ،واشتقاق الدوال االسية واللوغارمتية. أما الفصل الرابع فقد احتوى على موضوع التكامل وتطبيقاته ،اذ مت التطرق الى التجزئة املنتظمة ومجموع رميان لكن بصورة مبسطة وعن طريق االمثلة بهدف التوصل الى النظرية االساسية للتفاضل والتكامل. ثم التركيز على ايجاد تكامالت الدوال اجلبرية واللوغارمتية واالسية والدائرية وايجاد املساحة بني منحنيني وبني منحني ومحور السينات وحجوم املجسمات الدورانية واحتوى الفصل اخلامس على موضوع املعادالت التفاضلية والذي اقتصر على املفاهيم اخلاصة باملعادالت التفاضلية (الرتبة ،الدرجة ،احلل). ولم يركز عند حل املعادالت التفاضلية اال على فصل املتغيرات ،واملعادالت املتجانسة. اما الفصل االخير فقد تضمن تكملة ملا درسه الطالب في الصف اخلامس العلمي من مادة الهندسة املجسمة واملتعلقة بالزاوية الزوجية واملستويات املتعامدة ومفاهيم االسقاط العمودي واملبرهنات املتعلقة بهذه املوضوعات كما اشتمل هذا الفصل على مساحات وحجوم بعض املجسمات . وقد روعي في هذا الكتاب وجود قدر كاف من التطبيقات احلياتية والفيزيائية واالمثلة واملسائل والتمرينات املنوعة ،وتوخينا جهد امكاننا ان تترابط موضوعات هذا الكتاب مع كتب الرياضيات للصفوف التي سبقته ومع ما يدرسه الطلبة في دراستهم الالحقة فض ً ال عن مراعاة الفروق الفردية بني الطلبة ،آملني ان نكون قد وفقنا في ذلك كله ،ومرحبني بكل نقد بناء من الطلبة واولياء امورهم او مدرسيهم او من ذوي االختصاص واالهتمام إلثراء الكتاب وتطويره
واهلل ولي التوفيق املؤلفون
1
Complex numbers áÑcôŸG OGóY’G
∫h’G π°üØdG Chapter One
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G ][1-1
اﳊﺎﺟﺔ اﻟﻰ ﺗﻮﺳﻴﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ.
][1-2
اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ.
][1-3
ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ.
][1-4
اﳉﺬور اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ.
][1-5
ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻲ .C
][1-6
اﳉﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ.
][1-7
اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻼﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ.
][1-8
اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ.
][1-9
ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﳝﻮاﭬﺮ. ﺍﳌﺼﻄﻠﺢ ﺍﳉﺰﺀ ﺍﳊﻘﻴﻘﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ R (z):z ﺍﳉﺰﺀ ﺍﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ I (z): z ﺳﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ z ﻣﻘﻴﺎﺱ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ z ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻻﻳﺴﺮ ﺍﻟﻄﺮﻑ ﺍﻻﳝﻦ
4
ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻭ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺔ R(z) = x = r cos θ I (z) = y = r sin θ arg (z) = θ r = ||z|| = mod z LHS RHS
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
] [1-1اﳊﺎﺟﺔ اﻟﻰ ﺗﻮﺳﻴﻊ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ. لقد درسنا في الصفوف السابقة حل املعادلة اخلطية ( ،)Linear Equationوعرفنا انه يوجد حل واحد في مجموعة االعداد احلقيقية الية معادلة خطية. وعند دراستنا للمعادلة التربيعية تبني أنه لنوع معني منها حل في مجموعة االعداد احلقيقية ،ونوع آخر ال يوجد لها حل في هذه املجموعة ،مثل املعادالت )x2 + 4x+ 5 =0( ، ) x2 + 1 = 0(:وكما تعلمت ان املعادالت التربيعية التي يكون ﳑيزها ( )b2 - 4acعدد ًا سالب ًا ال يوجد لها حل في مجموعة االعداد احلقيقية. ان ظهور مثل هذه املعادالت في العديد من التطبيقات الفيزياوية والهندسية ادى الى احلاجة الى توسيع مجموعة االعداد احلقيقية الى مجموعة اوسع منها هي مجموعة االعداد املركبة والتي سوف تكون موضوع دراستنا في هذا الفصل. إننا عندما نريد حل املعادلة ( )x2+1=0أو ( )x2=-1الﳒد عدد ًا حقيقي ًا مربعه يساوي ()-1 لذلك نفترض وجود عدد يساوي −1وهو غير حقيقي ونرمز له بالرمز ( )iويسمى العدد التخيلي
( )Imaginary Numberوهو ليس من االعداد التي تقرن مع العد أو القياس. إن العدد ( )iيحقق اخلواص اجلبرية لالعداد احلقيقية ما عدا خاصية الترتيب ،ولهذا نستطيع حساب قوى ( )iكما في اﻷمثلة اﻵتية:
i2 = -1 i3 = i2. i = -1.i = -i i4 = i2. i2 = )-1( )-1( = 1 i27 = i26.i = )i2(13.i = )-1(13.i = -i i81 = i80.i= )i2(40.i = )-1(40.i = 1.i = i i-7 = )i(-8.i = )i2(-4.i = )-1(-4 . i = i i-15= i-16.i = )i2(-8.i = )-1(-8 . i = i
5
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G وبصورة عامة يكون
حيث i4n+r = ir , n ∈I , r= 0, 1, 2, 3
وهذا يعني انه عند رفع ( )iلعدد صحيح موجب فالناﰋ يكون احد عناصر املجموعة } {- i, i , -1 ,1 حيث نقسم أس ( )iعلى ( )4والباقي هو اﻷس اجلديد الى (.)i
فمث ً ال :
مثال-1 -
i25 = i
i99 = i3 = -i
ﻷن ناﰋ قسمة 25على 4يساوي 6والباقي .1
ﻷن ناﰋ قسمة 99على 4يساوي 24والباقي . 3
اكتب ما يلي في ابسط صورة:
)a( i16 )b( i58 )c( i93 )d( i-13
احلل: )a( i16 = i4 )4( + 0 = i0 = 1 )b( i58 = i4 )14( + 2 = i2 = -1 )c( i93 = i4)23(+1 = i1 = i 1 i16 -13 )d( i = 13 = 13 =i3 = -i i i
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﳝﻜﻨﻨﺎ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﳉﺬﻭﺭ ﻷﻱ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺳﺎﻟﺐ ﺑﺪﻻﻟﺔ ,iﻓﻤﺜ ً ﻼ: −16 = 16 . −1 = 4 ii −25 = 25 . −1 = 5 ii −12 = 12 . −1 = 2 3 ii −15 = 15 . −1 = 15 ii
6
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G وبصورة عامة يكون
if a ≥ 0 then −a = a . −1 = a ii , ∀ a≥0
واﻵن بعد أن تعرفنا على العدد التخيلي ماذا نسمي العدد ( )a+biحيث aعدد حقيقي b ،عدد حقيقي −1 = ii،؟ ]1-1] ∞`jô```©J يقــــال للعــــدد c = a+biحيــث a,bعـــددان حقيقيـان −1 = i i
مـــــركب عــــد ٌد ٌ
( ،)Complex Numberيسمى aجزؤه احلقيقي( ) Real Partويسمى bجزؤه التخيلي ( .)Imaginary Partويرمز الى مجموعة االعداد املركبة بالرمز £ويقال للصيغة a +bi الصيغة العادية أو الصيغة اجلبرية للعدد املركب.
ﺍﻥ ﺍﻱ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ c = a + biﳝﻜﻦ ﺟﻌﻠﻪ ﻣﻨﺎﻇﺮ ًﺍ ﻟﻠﺰﻭﺝ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﺍﳌﺮﺗﺐ ﺍﻟﻮﺣﻴﺪ )(a,b اذ أن b,aعددان حقيقيان ،وبالعكس فالعدد احلقيقي aميكن كتابته بالشكل a+0iأو ( .)a,0وان العدد ) Unit Imaginary Number( iحيث ان i ⇔ )0,1 ( :او . i= 0+1i يقال للعدد )0 , b( ⇔ biعدد تخيلي بحت ( )pure Imaginary Numberويقال للعدد )a , 0( ⇔ a= a+0iإنه عدد حقيقي بحت (. )Pure Real Number فالعدد -2 + 3iعدد مركب ،جزؤه احلقيقي
-2وجزؤه التخيلي 3
عدد مركب ،جزؤه احلقيقي
-2وجزؤه التخيلي 0
والعدد
-2
اما العدد -3i
فهي عدد مركب ،جزؤه احلقيقي 0وجزؤه التخيلي -3
7
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G مثال-2 -
اكتب اﻷعداد اﻵتية على صورة : a+bi d) 1+ −25 4
احلل:
c)−1− −3
b) −100
a)− 5
a) − 5 = −5 + 0 ii −100 = 100 −1 = 10 i = 0 +10 ii
)b
c) −1 − −3 = −1− 3 −1 = −1− 3 i 1+ −25 1 25 −1 1 5 i = + = + i 4 4 4 4 4
)d
مبا ان كل عدد حقيقي aميكن كتابته بالشكل a+ 0iأو ( )a ,0اي ميكن كتابته على صورة عدد مركب جزؤه التخيلي صفر فان هذا يبني أن :
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﳊﻘﻴﻘﻴﺔ ﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ ﺍﳌﺮﻛﺒﺔ ﺍﻱ ﺍﻥ . R ⊂ £
]1-2] ∞`jô```©J اذا كان c1 = a1 + b1i , c2 = a2 + b2i : فﺈنﱠ :
c1 = c2 ⇔ a1 = a2 , b1 = b2
¿É«∏«îàdG ɪgGAõL ihÉ°ùJh ¿É«≤«≤◊G ɪgGAõL ihÉ°ùJ GPG ¿ÉÑcôŸG ¿GOó©dG ihÉ°ùàj …G
.¢ùμ©dÉHh
8
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G . اللتني ﲢققان املعادلة في كل ﳑا يأتيy , x جد قيمة كل من
- 3 -مثال
a( 2x -1 +2i = 1+)y+1(i . b( 3x+4i = 2 +8yi c( )2y+1( - )2x-1(i = -8+ 3i :احلل a( ∵ 2x-1 +2i = 1+)y+1(i ∴ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x =1 2 = y+1 ⇒ y = 2-1 ∴ y=1 b( 3x+4i = 2 + 8yi ∴ 3x = 2 , 4 = 8y ⇒ 4 1 x= 2 , y = 8 = 2 3 c( ∵ )2y+1( - )2x-1(i = -8 + 3i ∴ 2y+1 = - 8 , - )2x -1 ( = 3 ⇒ 2y = -9 , -2x = 2 ⇒ y = −9 , x = -1 2
9
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
] [1-2اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ. k hG ’: áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ⋲∏Y ™ª÷G á«∏ªY : ]1-3] ∞`jô```©J ليكن c2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1iحيث c1, c2 ∈ £ﻓﺎﻥ c1 + c2 = )a1 + a2 ( + )b1 + b2 ( i وكما تعلم أن ) a1 + a2( ∈ R ،)b1 +b2 ( ∈ R :الن مجموعة االعداد احلقيقية مغلقة ﲢت عملية اجلمع . ∴ )a1 + a2 ( + )b1 + b2 ( i ∈ £ اي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة ﲢت عملية اجلمع.
مثال-4 -
احلل :
جد مجموع العددين املركبني في كل ﳑا يأتي :
a)3+ 4 2i,i 5 − 2 2ii b)3, 2 − 5ii c)1−i, i 3ii
a)(3+ 4 2i)+(5 )− 2 2i i i = (3+ 5)+(4 2 −2 2 )ii
= 8+2 2 i
i = (3+ 0i)+(2 i i )b)(3)+(2 − 5i )− 5i
= (3+ 2)+(0 − 5)ii = 5 − 5ii i 3ii = (1−i)+(0 i i c)(1−i)+ )+ 3i = (1+ 0)+(−1+ 3)ii =1+ 2ii
10
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ≈∏Y ™ª÷G á«∏ªY ¢UGƒN تتمتع عملية اجلمع على االعداد املركبة باخلواص اﻵتية: فان:
∀c1, c2, c3 ∈ £
)1( c1 + c2 = c2 + c1 * اخلاصية االبدالية )Commutativity( . )2( c1 + )c2 +c3( = )c1 + c2( +c3 * اخلاصية التجميعية)Associativity( . * النظير اجلمعي)3( ∀ c ∈ £ , c= a+bi ∃ - c ∈ £ )Additive Inverse( . حيث -c = -a-biيسمى ( )-cالنظير اجلمعي للعدد املركب c *العنصر احملايد اجلمعي Additive Identity .يرمز له بالرمز eو ُيعرف )4( e = 0 = 0 + 0i ∈ £ ﳑا سبق نستنتج أن
( ) £ , +هي زمرة ابدالية ()Commutative Group
ﺍﻥ ﻃﺮﺡ ﺃﻱ ﻋﺪﺩ ﻣﺮﻛﺐ ﻣﻦ ﺁﺧﺮ ﻳﺴﺎﻭﻱ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﺍﳌﺮﻛﺐ ﺍﻻﻭﻝ ﻣﻊ ﺍﻟﻨﻈﻴﺮ ﺍﳉﻤﻌﻲ ﻟﻠﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ.
مثال-5 -
جد ناﰋ :
()7-13i( - )9+4i
احلل :
()7-13i( - )9+4i (=)7-13i( + )-9 -4i =)7-9( + )-13 - 4(i = -2 - 17i
11
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G مثال-6 -
حل املعادلة:
حيث x ∈ £
)2-4i( +x=-5+i
احلل :
)2-4i( +x= -5+i ()2-4i(+)-2+4i(+x = )-5+i(+)-2+4i
باضافة النظير اجلمعي للعدد ( )2-4iللطرفني
(∴ x = )-5+i(+)-2+4i = )-5-2(+)1+4(i x = -7+5i : áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ⋲∏Y Üô°†dG á«∏ªY :Ék «fÉK اليجاد عملية ضرب عددين مركبني نقوم بضربهما بصفتهما مقدارين جبريني ونعوض بد ًال من i2العدد ( )-1كما يأتي: اذا كان c1 = a1 +b1i
,
c2 = a2 + b2iﻓﺎﻥ (c1. c2 = )a1+b1i( )a2 + b2i
= a1a2 + + a1 b2i + a2 b1i + b1 b2i2 = a1 a2 + a1 b2i + a2 b1i - b1b2 = )a1a2 - b1b2 (+ )a1 b2 + a2b1(i
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
12
ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ،
k∈R
,
c = a + biﻓﺎﻥ
kc = ka + kbi
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G ]1-4] ∞`jô```©J : فانc1,c2 ∈ £ حيثc2 = a2 + b2i , c1 = a1 + b1i ليكن c1 . c2 = )a1a2 - b1b2( + )a1b2 + a2b1(i ) النa1b2 + a2 b1( ∈ R ) وانa1a2 - b1b2( ∈ R : وكما تعلم مغلق ﲢت عملية الضربR c1 . c2 ∈ £ لذلك فان .أي ان مجموعة االعداد املركبة مغلقة ﲢت عملية الضرب
i i a)(2 − 3i)(3− 5i)
: جد ناﰋ كال ﳑا يأتي
-7 -مثال
b)(3+ 4i) i2 c)i(1+i) i i 5 d)− (4+3i) i 2 2
e)(1+i) i +(1−i) i
2
: احلل a)(2 − 3i)(3− 5i) i i = (6 −15)+ (−10 − 9)ii = −9 −19ii b)(3+ 4i) i 2 = 9 + 24ii +16ii2 = 9 + 24ii −16 = −7 + 24ii (3+4i) i i = (9 - 16) + (12+12) ii = -7 +24ii i 2 = (3+4i)(3+4i) c)i(1+i) i i = i +ii2 = −1+ii
13
ﺃﻭ
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G 5 15 i i d)− (4+3i)=−10− 2 2 )i 2 +(1−i i 2 =(1+2i+i i i2 )+(1−2i+i ) i i2 )e)(1+i = 2ii + ( -2i)i = 0
áÑcôŸG OGóY’G áYƒª› ≈∏Y Üô°†dG á«∏ªY ¢UGƒN تتمتع عملية الضرب على االعداد املركبة باخلواص اﻵتية:
∀c1, c2, c3 ∈ £ * اخلاصية االبدالية )Commutativity( . )1( c1 × c2 = c2 × c1 * اخلاصية التجميعية)Associativity( . )2( c1 × )c2 ×c3( = )c1 × c2( ×c3 * يتوفر العنصر احملايد الضربي ( )Multiplicative Inverseوهو ()3( 1= )1+0i * النظير الضربي ()Multiplicative Inverse 1 1 ) c × =(1+0iبحيث)4(∀c≠)0+0i(,∃ c ∈C , c C C 1
اي ان لكل عدد مركب cعدا الصفر يوجد له نظير ضربي ينتمي الى مجموعة االعداد املركبة. c C اي ان )C-)0+0i( ,×( :زمرة ابدالية اي ان )C, + , ×( :حقل يسمى حقل االعداد املركبة
] [1-3ﻣﺮاﻓــــﻖ اﻟﻌــﺪد اﳌــﺮﻛﺐ Conjugate Number ]1-5] ∞`jô```©J
مرافق العدد املركب c=a+biهو العدد املركب ∀ a, b∈R ، c = a-bi
فمثالً 3+i :هو مرافق العدد 3-iوبالعكس ،وكذلك مرافق ( )iهو ( )-iوبالعكس . وان 5-4iمرافق 5+4iوبالعكس ،وكذلك مرافق العدد 7هو 7وبالعكس.
14
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G :ﻳﺘﻀﺢ ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺍﳌﺮﺍﻓﻖ ﺃﻧﻪ ﻳﺤﻘﻖ ﺍﳋﻮﺍﺹ ﺍﻵﺗﻴﺔ
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
1( c1 ± c2 = c1 ± c2 2( c1 g c2 = c1 g c2 3( c = c 4( c . c = a 2 + b2 فانc = a + bi اذا كان 5( c = c فانc ∈ R اذا كان 6( ⎛ c ⎞ = c : فتحقق منc = 1 + i , c = 3 - 2i اذا كان ⎜ ⎟ 2 1 c c ⎝ ⎠ : فتحقق منc1 = 1 + i , c2 = 3 - 2i اذا كان 1
1
2
2
)1( c1 ± c2 = c1 ± c2
)2( c1 g c2 = c1 g c2
)1( c1 + c2 = (1+ ii) + (3 − 2i) i = (4 −i) i = 4 +ii c1 + c2 = (1+ ii) + (3 − 2i) i i i = 4 +ii = (1−i)+(3+ 2i) ∴ c1 + c2 = c1 + c2
)2( c1 g c2 = (1+i)(3− i 2i) i = 3− 2ii+ 3ii− 2ii2 = 5 + i = 5 − i c1 . c2 = (1+ ii) (3− 2i) i = )1- i( ) 3+2i( = (3+ 2)+ (2 − 3)ii = 5 −ii
∴
c1 g
15
c2 = c1 g c2
-8 -مثال :احلل
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G مثال-9 - احلل:
مثال-10 - احلل:
مثال-11 -
جد النظير الضربي للعدد c = 2 - 2iوضعه بالصيغة العادية للعدد املركب. النظير الضربي للعدد cهو 1 c
1 1 = c 2 − 2ii 1 2 + 2ii 2 + 2ii 2+ 2ii × = = 2 − 2ii 2 + 2ii 4+ 4 8
=
1 1 + i 4 4
=
x − yi 3,−3− 2ii 2i بالصيغة العاد ّية العدد املركب.من . x, y ∈ R للعددقيمة كل مترافقان فجد ضعكان اذا = 1+ 5i 5 + iii
3 − 2ii 3 − 2ii 5 − i = × 3− 5 +2iii = x5++yii 5 − ii i 1− 5i − 2)+−(−3−10)i xi + yi 2==(15 3−15i 2i +10i 2 i = 13 − 13ii 26 25 +1 xi −xiy−=y−7 −17i 7=−17i −7 −17i ∴∴ x =x−17 1 1 = −17 = − i y =y7= 7 2 2
⎞ c اذا كان c2 = 1 + i , c1 = 3 - 2iفتحقق من : =⎟ ⎠ c 1
2
احلل :
16
⎛c ⎜ ⎝c
1
2
⎞ ⎛ c1 ⎞ ⎛ 3 − 2ii ⎟ ⎜=⎟ ⎜ ⎠ ⎝ c2 ⎠ ⎝ 1+ i
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G ⎛ 3 − 2ii 1− i ⎞ ⎛ 3 − 3ii − 2ii + 2ii2 ⎞ =⎜ × ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 1+ ii 1− ii ⎠ ⎝ 1+ 1 ⎠ ⎛ 1− 5ii ⎞ 1 5 1 5 =⎜ ⎟ = − i = + ii ⎝ 2 ⎠ 2 2 2 2
c1 c1 3 − 2ii 3 + 2ii = = i 1− ii c 1+ i 2 c 2
3+ 2ii 1+ ii 3 + 3ii + 2ii + 2ii2 = × = 1+ 1 1− ii 1+ ii = ⎛c ∴⎜ ⎝c
1
2
1+ 5ii 1 5 = + ii 2 2 2
⎞ c ⎟= ⎠ c
1
2
ﺣﻴﺚc2 ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐc1 ﻻﺟﺮﺍﺀ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﻭﻣﻘﺎﻣﻪ ﲟﺮﺍﻓﻖ ﺍﳌﻘﺎﻡc1 ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﻀﺮﺏ ﺑﺴﻂ ﺍﳌﻘﺪﺍﺭc2≠0 c2 :ﻓﻴﻜﻮﻥ c1 c1 c2 = × c2 c2 c2
ً ضع ك :a+bi ال ﳑا يأتي بالصورة a(
1+ ii 1− ii
17
)b(
2 − ii 3+ 4ii
)c(
-12 -مثال
1+ 2ii −2 + ii
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G احلل:
1+ i 1+ ii 1+ i 1+ 2ii + i 2 2ii = × = = = i = 0+i 1− i 1− i 1+ i 2 1+1 2 − i 3 − 4ii 6 − 8ii − 3ii + 4ii 2 = 2 −11ii = 2 − 11 i 2 −i = × = 25 25 25 3+ 4ii 3+ 4ii 3 − 4ii 9 + 16 −5ii = −ii = 0 − i 5
=
2
(a
(b
−2 − i − 4ii − 2ii 1+ 2ii 1+ 2ii −2 − ii = (c = × 4 +1 −2 + i −2 + i −2 − i
ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﳝﻜﻦ ﲢﻠﻴﻞ x2+y2ﺍﻟﻰ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﻋﺪﺩﻳﻦ ﻣﺮﻛﺒﲔ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﻦ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ a+biﻭﺫﻟﻚ : (x2 +y2 = x2 - y2 i2 = )x-yi()x+yi
مثال-13 - احلل:
حلل ك ً ال من العددين 53 ، 10الى حاصل ضرب عاملني من صورة a+biحيث b,a عددين نسبيني . 10 = 1+9 = 1-9i2
= 9-i2
(= )1-3i()1+3i
(= )3-i()3+i
53 = 4 + 49
18
او
✾ 10 = 9 + 1
او
✾ 53 = 49 + 4
= 4 - 49i2
= 49 - 4i2
(= )2-7i()2+7i
(= )7 - 2i ( )7 + 2i
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G (1
J
) øjQɪ
‐1
.1ضع ك ً ال ﳑا يأتي بالصيغة العادية للعدد املركب: (i5 , i6 , i124 , i999 , i4n+1 ∀ n ∈ N, , )2+3i(2 + )12+2i , 12 +ii , , 3+ 4ii , 3 − 4ii ii
)10 + 3i()0 + 6i( , )1+i(4 - )1-i(4
2 + 3ii 1+ 4ii × . , )1+i(3 + )1-i(3 4 +i 1− i
.2جد قيمة كل من y , xاحلقيقيتني اللتني ﲢققان املعادالت اﻵتية: )i + 2i i +1 b( 8ii = (x + 2i)(y d( 2 − i x + 3 − i y = 1 2+i 1+ i i .3اثبت ان :
2
2
) (1− i ) (1+ i + = −2 1+ i 1− i
(b
3
⎞ ⎛ 3+ i i ⎟ ,, ⎜ ,, ⎝ ⎠ 1+ i 2 + 3ii
i )a( y + 5ii = (2x + ii)(x + 2i
⎞ ⎛ 1− i i2 )⎟+ (x + yi )i = (1+ 2i ⎜ (c ⎠ ⎝ 1+ i 8 i 25
=
1
( 2 + i )2
−
1
( 2 − i )2
(a
c( (1− ii)(1− i 2 )(1− i 3 ) = 4 .4حلل ك ً ال من االعداد 29 ،125 ، 41 ، 85الى حاصل ضرب عاملني من الصورة a+ biحيث b, a عددان نسبيان. -5جد قيمة y , xاحلقيقيتني اذا علمت ان 6 3+ i ,مترافقان . 2−i x + yi
19
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
] [1-4اﳉﺬور اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ . لقد تعلمت أنه اذا كان aعدد ًا حقيقي ًا موجب ًا فانه يوجد عددان حقيقيان هما ± aيحقق كل منهما املعادلة x2 = aويسمى ± aاجلذرين التربيعيني للعدد .aأما اذا كان a = 0فان له جذر واحد هو .0 واﻵن سنتناول دراسة اجلذور التربيعية للعدد املركب . مثال-14 - احلل:
جد اجلذور التربيعية للعدد .c = 8 + 6i نفرض ان اجلذر التربيعي للعدد cهو x + yi
⇒ i 2 = 8 + 6ii )∴ (x + yi ⇒ x 2 + 2xyii+ i 2 y2 = 8 + 6ii ⇒ (x 2 − y2 ) + 2xyii = 8 + 6ii
⎫)x 2 − y2 = 8.................(1 ⎪ من تعريف تساوي عددين مركبني ⎬ 3 ⎪)2xy = 6 ⇒ y = .......(2 ⎭ x 2 ⎞⎛ 3 وبالتعويض من املعادلة ( )2في املعادلة ( )1ينتج : ⇒ x2 − ⎜ ⎟ = 8 ⎠⎝x 9 ⇒x − 2 =8 x
بضرب الطرفني في x2ينتج :
2
⇒ x 4 − 8x 2 − 9 = 0 ⇒ (x 2 − 9)(x 2 +1) = 0 2 ( x = −1تهمل الن ) xX ∈ R وبالتعويض في املعادلة ( )2عن قيمة xنحصل على :
x 2 = −1 3 ±3
او x = ±3 or
=y
∴ y = ±1 -3 -1
20
3 1
x y أي أن جذري العدد
cهما
c2 = -3 - iو ∴ c1 = 3 + i -3 -i , 3 + i
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G مثال-15 -
جد اجلذور التربيعية لالعداد 8i, -i ، -17 ، -25 :
احلل:
(a
⇒ c 2 = −25 c = ± −25 = ± 25ii = ±5ii
(b
⇒ c 2 = −17 c = ± −17 ⇒ c = ± 17 ii
نفرض ان ( )x+yiهو اجلذر التربيعي للعدد -i
(c 2 )∴ (x + yi ⇒ i = −ii
)x 2 − y2 = 0.......(1 2xy = −1
وبالتعويض من املعادلة ( )2باملعادلة ( )1ينتج:
بضرب الطرفني في 4x2ينتج :
اما او
1 2
x2 = −
−1 ).........(2 2x
=∴y
1 ⇒=0 4x 2
x2 −
⇒ 4x 4 −1 = 0 (2x 2 −1)(2x 2 +1) = 0
( يهمل الن )x ∈ R
1 ⎞ ⎛ 1 x=± ⎜∴ y = − 2 وبالتعويض في ( )2عن قيمة xﳒد ⎟ : 1 (±)2 ⎜ ±2x ⎟ ⎝ ⎠2 1 1 y =y±=+± 2 2
21
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G 1 1 − 2 2 1 2
1 2
x −
y ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜± − ∴ جذرا العدد -iهما ⎟ii ⎝ 2 ⎠ 2 )∴ (x + yi ⇒ i 2 = 8ii
نفرض ان x+yiهو اجلذر التربيعي للعدد 8i
⇒ x 2 + 2xyii − y2 = 8ii
)x 2 − y2 = 0........................(1 4 )2xy = 8 ⇒ y = ..............(2 x 16 ⇒=0 x2
وبالتعويض من املعادلة ( )2في املعادلة ( )1ينتج :
x2 −
وبضرب الطرفني في x2ينتج: ⇒ x 4 − 16 = 0 ⇒ (x 2 − 4)(x 2 + 4) = 0 x2 = -4
اما او
x 2 = 4 ⇒ x = ±2
( يهمل الن )x ∈ R
وبالتعويض في املعادلة ( )2عن قيمة xينتج:
-2 -2
2 2
x y
∴ جذرا العدد 8iهما (± )2+2i
22
4 = ±2 ±2
=y
(d
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
] [1-5ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ﻓﻲ ) . ( £ تعلمت من املرحلة املتوسطة ان للمعادلة ax2 + bx + c = 0حيث a ≠ 0وان a, b, c ∈ Rحلني −b± b2 − 4ac ميكن ايجادهما بالدستور : =x 2a 2 سالب ًا فانه ال يوجد للمعادلة حلول حقيقية ولكن يوجد وعرفت أنه اذا كان املقدار املميز V= b − 4ac لها حالن في مجموعة االعداد املركبة .
مثال-16 - احلل:
حل املعادلة x2 + 4x + 5 = 0في مجموعة االعداد املركبة. حسب القانون (الدستور):
−b± b2 − 4ac =x 2a )−4 ± 16 − (4)(1)(5 )2(1
=
−4 ± 16 − 20 2
=
−4 ± −4 2
=
−4 ± 2ii 2
=
= −2 ± ii اي ان للمعادلة جذرين هما −2 − i , −2 + ii ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﻣﻦ اﻟﺪﺳﺘﻮر ﻧﻌﻠﻢ ان ﺟﺬري اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻴﺔ ax 2 + bx + c = 0اﻟﺘﻲ ﻣﻌﺎﻣﻼﺗﻬﺎ ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻫﻤﺎ :
−b− b2 − 4ac −b+ b2 − 4ac = x2 = x1 2a 2a وحاصل ضرب اجلذرين هو c : ومجموع اجلذرين هو −b : = x1 . x2 = x1 + x2 a a
23
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G وﳝﻜﻦ اﻻﻓﺎدة ﻣﻦ ﻫﺬه اﳋﻮاص ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ : او ًال :اذا كان x + yiاحد جذري املعادلة ax2+bx+c = 0فان x - yiهو اجلذر اﻵخر لها . ثاني ًا :بقسمة طرفي املعادلة ax2+bx+c = 0على a ≠ 0نحصل على b c 2 x + x + = 0والتي هي عبارة عن: a a ( = 0حاصل ضرب اجلذرين) ( x +مجموع اجلذرين) x2 -
مثال-17 - احلل:
جد املعادلة التربيعية التي جذراها (. ± )2+2i مجموع اجلذرين هو:
حاصل ضرب اجلذرين هو :
)2-2( + )2-2( i = 0 )2+2i()-2-2i( = -)2+2i(2 (= -)4 + 8i + 4i2
∴ املعادلة التربيعية هي :
مثال-18 - احلل :
⇒ x − 0x + (−8i) = 0 x 2 − 8ii = 0 ⇒ x 2 = 8ii 2
كون املعادلة التربيعية التي معامالتها حقيقية وأحد جذريها . 3-4i ﱠ
مبا أن معامالت املعادلة حقيقية وأحد جذريها ∴ اجلذر االخر هو املرافق له وهو مجموع اجلذرين = 6
∴ املعادلة هي :
24
= -8i
3-4i 3+4i
وحاصل ضربهما = 25
x2 - 6x + 25 = 0
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G (1
J
) øjQɪ
‐2
.1حل املعادالت التربيعية اﻵتية وبني اي منها يكون جذراها مترافقني؟ b( z2 − 32z + 3+ i = 0 d( z2 + 2z + ii(2 − ii) = 0 f( z2 - 2z i + 3=0 .2كون املعادلة التربيعية التي جذراها m,Lحيث: 3− ii i2 = b( m ), L = (3− 2i 1+ ii
a( z2 = −12 c( 2z2 − 5z + 13 = 0 e( 4z2 + 25 = 0
L = 1− i
a( m= 1+ 2ii
.3جد اجلذور التربيعية لالعداد املركبة االتية: 4 1− 3 ii
(c
b( 7 + 24ii
a( −8ii
.4ما املعادلة التربيعية ذات املعامالت احلقيقية وأحد جذريها هو: 2 + 3ii 4
(c
b( 5 − ii
a( i
-5اذا كان 3 + iهو احد جذري املعادلة x 2 − ax + (5 + 5i) = 0فما قيمة a؟ وما قيمة اجلذر االخر؟
25
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
] [1-6اﳉﺬور اﻟﺘﻜﻌﻴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻮاﺣﺪ اﻟﺼﺤﻴﺢ. ليكن z3 =1ومنها :
⇒ z3 − 1 = 0 أما ⇒ 2 + z +1) = 0او(z −1)(z either z = 1 or z2 + z +1 = 0
وحلل املعادلة z2 + z +1 = 0نستخدم الدستور : −b± b2 − 4ac =z 2a )−1± 1− (4)(1)(1 )(2)(1
=
−1± −3 2
=
−1 3i = ± i 2 2 اي ان اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح املوجب هي : i i 1 3 1 3 i , − − 1 , − + i 2 2 2 2 ان مربع أي من اجلذرين التخيليني يساوي اجلذر التخيلي االخر وهما مترافقان (ﲢقق من ذلك) فاذا رمزنا الحد اجلذرين التخيليني بالرمز ωفان اجلذر اﻵخر هو . ω 2 ولذلك ميكن كتابة اجلذور التكعيبية للواحد الصحيح على الصورة : 1, ω , ω 2
26
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G وهذه اجلذور ﲢقق اخلواص اﻵتية: 1( 1 + ω + ω 2 = 0 3 2( ω = 1
ومن اخلاصية االولى نحصل على االتي: )3( 1+ ω 2 = - ω
)2( 1+ ω = - ω 2
1( ω + ω 2 = -1
)6( 1= - ω - ω
)5( ω 2 = - 1 - ω
4( ω = - 1 - ω 2
2
7( ω −ω 2 = ± 3 i ومن اخلاصية الثانية ميكن التوصل الى النتائج االتية:
ω 4 = ω 3 . ω = 1. ω = ω 1 1 1 ω3 1 ω3 =ω = 4 = 3= == ω = ω2 ω ω . ωω ω ω −4
ω 5 = ω 3 . ω 2 = 1. ω 2 = ω 2
1 1 1 ω3 = ω = 5 = 3 2 = =ω ω ω .ω 1. ω 2 ω 2 −5
ω 6 = (ω 3 )2 = (1)2 = 1 1 1 = =1 6 ω 1
= ω −6
وباالستمرار على هذا النحو فان قوى ( ) ωالعداد صحيحة تأخذ احدى القيم : 1, ω , ω 2 وتتكرر هذه القيم كلما زادت االسس على التوالي مبقدار (. )3 بمعنى أن : ω 3n+r = ω r
حيث nعدد صحيح
,
r = 0, 1, 2 27
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G ω 33 ، ω -58 ، ω 25 : جد ناﰋ ω 33 = ω 3(11)+0 = ω 0 = 1 ω 25 = ω 3(8 )+1 = ω1 = ω −60 )+2 2 (ω3(−20 )(ω=)1=. 1. = 2ω 2 ω −58 = ω ω 2ω=2 ω
-19 -مثال : احلل
: بمعنى أن
ω ) هو االس اجلديد الى3( ) علىω ( باقي قسمة أ س
: اثبت ان
-20 -مثال
a) ω 7 +ω 5 + 1 = 0 b) (5 + 3ω + 3ω 2 )2 = −4(2 +ω + 2ω 2 )3 = 4 : احلل 3 a) ω 7 +ω 5 + 1 = ω 67. ω +ω . ω 2 +1 5 َ a) ω +ω + 1 = ω 6 . ω +ω 3 . )االولى ω 2 +1(حسب اخلاصية 2 ω +ω +1 = 0 2 = ω +ω +1 = 0
b) (5 + 3ω + 3ω 2 )2 = [ 5 + 3(ω +ω 2 )]
2
= [5 − 3]2 = (2)2 = 4
−4(2 +ω + +22ω ω 22 ))33 −4(2 +ω = −4[2(1+ω 2 )+ω]3
كذلك
= −4[−2ω +ω]3 = −4 [ −ω] 3 = −4(−1) = 4
∴(5 + 3ω + 3ω 2 )2 = −4(2 +ω + 2ω 2 )3 = 4
28
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G مثال-21 -
كون املعادلة التربيعية التي جذراها i ω a( 1− iiω 2 , 1−ωi ﱠ 2 2 , 1−ω 1−ω 2
احلل :
(b
حاصل ضرب اجلذي
(1−iiω 2 ) (1−ωi )i ω = 1−iiω −iiω 2 + i 2ω 3 = 1− ii(ω +ω 2 ) −1×1 =i ∴ املعادلة هي :
(1− iiω 2 ) + (1−ωi )) iω
)= 2 − ii(ω 2 +ω = 2 + ii
x2-)2+i(x+i=0
حاصل ضرب اجلذي 2 2 . 1−ω 1−ω 2
4 1−ω 2 −ω +ω 3 4 3
∴ املعادلة هي :
مجموع اجلذرين
(a
4 =0 3
مجموع اجلذرين
(b
2 2 + 1−ω 1−ω 2
2 − 2ω + 2 − 2ω 2 1−ω 2 −ω +ω 3 ) 4 − 2(ω +ω 2 ) 2 − (ω +ω 2 6 =2 3
=
x2-2x+
29
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G (1
J
) øjQɪ
‐3
.1احسب اجلذور التكعيبية في Cلكل من
b(8
a( 8i
.2اكتب املقادير االتية في ابسط صورة:
1 حيث d( (1+ω 2 )−4 e( ω 9 n+5 , n ∈ N −32 12 ) (1+ω
b( ω −32
(c
a( ω 64
كون املعادلة التربيعية التي جذراها: .3ﱠ a) 1+ω 2 , 1+ω ω2 ω , )b 2 2 −ω 2 −ω 3i −3ω 2 c) 2 , ω i 2 .4اذا كان z + z +1 = 0 :فجد قيمة :
.5اثبت ان :
30
1+ 3z10 + 3z11 1− 3z7 − 3z8 2
ω14 +ω 7 −1 2 b) 10 = ω +ω 5 − 2 3
⎛ 1 ⎞ 1 1 ⎜ )a − = − ⎟ ⎠ ⎝ 2 +ω 2 +ω 2 3
3 3 )d) (1+ω2 + )(1+ω = −2 3 3 2 ( ) ( ) d) 1+ω + 1+ω = −2
)c )c
⎛⎛ 22 ⎞ 22 ⎟⎞ ⎞⎟ ⎛⎛⎜1+ω − 55 ⎞= 18 +ω ⎜⎜1− ⎠⎟ = 18 2 +ω ⎟ ⎜1+ω − ⎝⎝1− ω ⎝⎝ ⎠⎠ ω ⎠ω ω2
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
] [1-7اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﻟﻼﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ.
احملور التخيلي Imaginary axis
Geometric Representation of Complex Numbers. اذا كان ( E2او )R2ميـثل املستــوي االقليـــدي املتعامــــد احملـــورين .فانه باقران كـــل عــدد مركب ( x+yiحيث )x,y ∈ Rبالنقطة ( )x,yفي E2نحصل على تطبيق تقابل من £الى . R2وفي هذا املستوي سنمثل هندسي ًا بعض العمليات اجلبرية البسيطة في اجلمع والطرح في £والتي تقابل هندسي ًا العمليات في ( E2او .)R2 سوف نتناول في هذا البند والبنود الالحقة متثيل بعض العمليات على االعداد املركبة هندسي ًا والتي سنطلق على االشكال التي متثلها اشكال ارجاند نسبة الى العالم ( )J. R . Argand, 1768 - 1822وسمي املستوي باسم العالم االملاني الشهير غاوس ،مبستوي غاوس ( )C.F. Gauss 1777-1855أو بشكل مبسط املستوي املركب ( )Complex Plane y اذ يسمى احملور السيني ( )x-axisباحملـور (P )x,y احلقيقي حيث ميثل عليـــــه اجلــزء احلقيــقي للعــــدد املـــركب امــــا احملـــــــور الصـــادي ( )y - axisفيطلق عليــه اســم احملـــــــــور التخيلي والذي يـمثــل عليــه اجلزء التخيــلي θ للعدد املركب .وبالتالي فان العدد املركب x ُ x + yiميثل هندسي ًا بالنقطة ( )x,yالحﻆ الشكل ()1-1
الشكل ()1-1
لو كان z2 = x2 + y2 i , z1 = x1 + y1 i عــــــددان مركبـــــــان مـمثــــالن بالنـقطتيـن ( p2 )x2 , y2( , p1 )x1, y1فــــان : z1 + z2 = (x1 +x2) + (y1 +y2)i ويـمكــن تـمثيــــــل z1 + z2بالنقطـــــــة ) p3 (x1 + x2 , y1 + y2 مستخدمني الـمعلومات الـمتعلقة باملتجهات. كما في الشكل (: )1- 2 x ⇀uuuv u ⇀ uuv uuuv ⇀
اي ان 0 p1 + 0 p2 = 0 p3
0
Real axis احملور احلقيقي
y (p3)z1+z2 (p2)z2 (p1)z1 0 الشكل ()1-2
31
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
uuuv ان العدد املركب x + yiميكن متثيله باملتجه 0⇀pوعليه يكون جمع عددين مركبني هو جمع متجهني. uuuv ⇀ حول 0نصف دورة ،وعليه اذا اعتبرنا p2ميثل العدد املركب - z2فﺈن p2هي ناﲡة من دوران 0 p2 فﺈن : ( z1 - z2 = z1 +)-z2 والذي يقترن بالنقطة p4حيث
0p1 p4 p2
يشابه متوازي االضالع
0p1 p3 p2كما
في الشكل (.)1-3 y (p3)z1+z2
x
⇀u ⇀uuv u ⇀ uuuv ⇀ uuuv uuuv = p = 0 p − 0 أي أن p2 0 p p 2 1 1 4
(p2)z2
(p1)z1
0
(p4)z1- z2
(p2 )- z2
الشكل ()1-3
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
( )1ليكن kعدد حقيقي ال يساوي الصفر z .عدد مركب فان النقطة التي تمثل kzيمكن الحصول عليها بواسطة االنسحاب (االزاحة) الذي مركزه 0ومسافته الثابت .k ( )2لكل عدد مركب zفان النقطة izيمكن الحصول عليها من دوران ربع دورة عكس عقارب الساعة.
32
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G :مثّل العمليات االتية هندسي ًا في شكل ارجاند a( )3+4i( + )5 + 2i(
b( )6 - 2i( - )2 - 5i(
a( )3 + 4i( + )5 + 2i( = 8 + 6i ⇒ z1 = 3 + 4i z2 = 5 + 2i ⇒ z1+z2=z3 = 8 + 6i ⇒ y
:احلل p1)z1( = p1 )3, 4( p2)z2( = p2)5, 2( p3)z3( = p3 )8, 6( uuuv u⇀ uuv u⇀ uuv ⇀ 0p +0p = 0p
p3)z3( p1)z1( p2)z2(
x
0
2 3 : الحﻆ
1 .وهو مشابه الى جمع المتجهات 0p p p ويكــــــــون u⇀ uuv 1 3 2
op3 متوازي اضالع قـطره هـو
)1-4( الشكل
b( )6 - 2i( - )2 - 5i( = )6 - 2i( + )-2 + 5i( = 4 + 3i z1 = 6 - 2i ⇒ p1)z1( = p1) 6, -2( z2 = -2 + 5i ⇒ p2)z2( = p2)-2, 5( z3 = 4 + 3i ⇒ p3)z3( = p3 )4, 3( y
p2)z2(=
p2)-2, 5(
p3)z3(= p3)4, 3(
)1-5( الشكل
x
0 p1)z1( = p1)6, -2(
33
-22 -مثال
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G (1
J
) øjQɪ
‐4
.1اكتب النظير الجمعي لكل من االعداد اﻵتية ثم مثّل هذه االعداد ونظائرها الجمعية على شكل ارجاند. z4 = i
z3 = 1-i ,
z2 = -1 + 3i ,
z1 = 2 + 3i ,
.2اكتب العدد المرافق لكل من اﻷعداد االتية ثم مثّل االعداد ومرافقاتها على شكل ارجاند. z4 = -2i
z3 = 1 - i ,
z1 = 5 + 3i , z2 = -3 +2i ,
.3اذا كان z = 4 + 2iفوضح على شكل ارجاند ك ً ال من :
.4اذا كان , z1 = 4 - 2i
z2 = 1+ 2iفوضح على شكل ارجاند ك ً ال من: z1 + z2
34
ــ z , z , -z
2z1 , z1 - z2 ,
-3z2 ,
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
] [1-8اﻟﺼﻮرة اﻟﻘﻄﺒﻴﺔ ) (Polarﻟﻠﻌﺪد اﳌﺮﻛﺐ. في البنود السابقة درسنا العدد المركب بصيغته الجبرية z=x +yiوالديكارتية ( z = )x, yوفي هذا البند سندرس صيغة اخرى للعدد المركب تدعى بالصيغة القطبية .وتحويل احدهما الى االخرى . فلو كان لدينا العدد المركب z = x + yiومثّلناه بالنقطة ( p )x,yكما في الشكل ( )1-6فان: ) (r,θهمــا االحـــداثيــان القطبيــان
y
للنقطــــة pحيث 0يـمثـــــل القطب
→ يمثــل الضلــع االبتدائي ،وهذا و ox
)(x,y
يعني أن :
⇀ m = Sxop r = opوان xop = θ θ S uuv uv u ⇀ ⇀ الى op ويكون قياس θمن ox
بأتجـاه عكس عقـارب الساعـة اذا كـان
(P)z r
y
θ
x
x
القيـاس موجـبـاً ،ومـع اتجــاه عقـارب الساعة اذا كـــان القياس سالب ًا وعليــه فأن :
0
الشكل ()1-6
(R)z( = x = r cos θ ....)1 (I)z( = y = r sin θ ....)2 حيث( R)zيرمز للجزء الحقيقي للعدد المركب zبينما ( I )zيرمز للجزء التخيلي للعدد المركبz rيسمى مقياس العدد المركب )Modulus of Complex Number( z
ويرمز =له r = z مقياس x 2 +z وهو عدد حقيقي غير سالب ويقرأ ” “mod zاو y2 حيث r = z = x 2 + y2 ومن العالقتين ( )1و ( )2نحصل على: x x = r z
= cosθ
y y = r z اما θفقياسها يسمى سعة العدد المركب ()Argument of Complex Number = sinθ
واختصار ًا تكتب بالشكل )θ = arg(z
35
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G ﳝﻜﻦ ﺍﻥ ﺗﺎﺧﺬ θﻋﺪﺩ ًﺍ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﺘﻪ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻴﻢ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺨﺘﻠﻒ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﻋﻦ ﺍﻻﺧﺮﻯ ﻟﻌﺪﺩ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻦ ﺍﻟﺪﻭﺭﺍﺕ. فاذا كانت θسعة عدد مركب فان ك ً ال من االعداد θ + 2nπ :حيث nعدد صحيح يكون ايض ًا سعة لنفس العدد المركب.
اما اذا كانت ) θ ∈ [0, 2πالدالة على سعة العدد المركب فيقال لها القيمة االساسية لسعة العدد المركب ( .)principle Value مثال-23 -
zz==1−فجد المقياس والقيمة االساسية لسعة . z اذا كان 1− 3i3i
احلل:
mod z = z = x 2 + y2 = 1+ 3 = 2 x 1 = z 2
نستنتج ان θفي الربع الرابع
مثال-24 -
= cos θ
y − 3 = z 2 π 5π ∴ arg ) z ( = 2π − = 3 3 = sin θ
اذا كان z = -1 - iفجد المقياس والقيمة االساسية لسعة . z
احلل : mod z = z = 1+1 = 2 x −1 = z 2 نستنتج ان θفي الربع الثالث
36
= cos θ
y −1 = z 2 5π π ∴ arg ) z ( = π + = 4 4 = sin θ
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G (1ﺍﻥ ﺳﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ z= 0ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻭﺫﻟﻚ ﻻﻥ ﺍﳌﺘﺠﻪ ﺍﻟﺼﻔﺮﻱ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﺍﲡﺎﻩ. (2ﳑﻜﻦ ﺍﻻﻓﺎﺩﺓ ﻣﻦ ﺍﳌﻘﻴﺎﺱ ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﺴﻌﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﺍﳌﺮﻛﺐ z=x+yiﺑﺼﻮﺭﺓ ﺍﺧﺮﻯ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﺼﻮﺭﺓ ﺍﻟﻘﻄﺒﻴﺔ ) (Polarﻭﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ : Q x = r cosθ , y = r sinθ ) z = (r cos θ + iir sin θ) = r (cos θ + ii sin θ ))z = z ( cos(arg z)+ i sin(arg z او
Q x = r cosθ , y = r sinθ
حيث θ = arg )z( ، r = mod z= zهي سعة العدد المركب z
مثال-25 -
عبر عن كل من االعداد اﻵتية بالصورة القطبية : b) 2 3 − 2ii
a) − 2 + 2ii
احلل : a) let z = −2 + 2ii Q x = r cosθ , y = r sinθ
θتقع في الربع الثاني
∴ الصورة القطبية للعدد المركب zهي :
mod z = z = 4 + 4 = 2 2 −2 1 = cos θ =− 2 2 2 2 1 = sin θ = 2 2 2 ∴ arg ) z ( = π − −π = 3π . 4 4 ) z = r (cos θ + i sin θ 3π ( 3π + ii sin 4 4
z = 2 2(cos
37
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
b)b)let b) letzlet z==−2 z−2 = −2 33−−2i 32ii− 2i
mod z = 12 + 4 = 16 = 4 cos θ = sinθ =
2 3 3 =− 4 2
−2 −1 = 4 2 تقع في الربع الرابعθ
∴ arg ) z ( = 2π −
π 11π = 6 6
z =4 4= (cos
11π 11π + i sin ) 6 6
: هيz ∴ الصورة القطبية للعدد المركب
38
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G :عبر عن كل من االعداد االتية بالصورة القطبية a( 1
b( i
c( -1
-26 -مثال
d( -i : احلل
: الحﻆ االشكال اﻵتية
y
)a(
y
)0,1(
)b(
)1,0( p)z1( = )1,0(= 1+0i
x p)z2( = )0,1(= 0+i mod z2 = 1 π arg z2 = 2
mod z1 = 1 arg z1 = 0 ∴ z = 1 )cos 0 +i sin 0(
∴ z = 1 )cos
π π +i sin ( 2 2 y
y
)c(
)d(
x )-1,0( p)z3( =)-1,0(=-1+0i mod z3 = 1 arg z3 = π 2
∴ z = 1 )cos π +i sin π (
x p)z4( = )0,-1(=0-i )0,-1( mod z4 = 1 3π arg z4 =
2
∴ z = 1 )cos
)1-7( الشكل
39
x
3π 2
+i sin
3π 2
(
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G 1 = (cos 0 + i sin 0) −1 = (cos π + i sin π ) π π i = (cos + i sin ) 2 2 3π 3π −ii = (cos + i sin ) 2 2 i sin0)0) 33==33××11==(cos 3(cos00++i sin
:من املثال السابق نستنتج االتي
: وبتطبيق االستنتاج السابق يمكن أن نضع
−2 = 2 × (−1) = 2(cos π + ii sin π ) π π + ii sin ) 2 2 3π 3π i = 7(cos −7ii = 7 × (−i) + i sin ) 2 2 5ii = 5 × i = 5(cos
.[ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ دﳝﻮاﭬﺮ1-9]
De Moivre’s Theorem z2 = cosφ + i sin φ , z1 = cosθ + i sinθ : يمكن ان تكتب بصورةz2 , z1
بالصيغة القطبيةz1 . z2 واالن سنجد
z1 × z2 = (cosθ + i sinθ )(cosφ + i sinφ) = cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)
= cosθ cosφ + i cosθ sin φ + i sinθ cosφ + i 2 sinθ sin φ = [cosθ cosφ − sinθ sin φ]+ i [cosθ sin φ + sinθ sin φ] = cos(θ + φ)+ i sin(θ + φ) (cosθ + i sinθ)2 = cos θ ++iisin θ ( فان العالقة تصبحφ = θ ) ولو كان cos22θ sin2 2θ :ويمكن برهنتها كما يأتي
= (cosθ + i sinθ)2 = (cos 2 θ + 2ii sinθ cosθ − sin 2 θ) LHS 22 22 == (cos cosθ) cosθ = (cos 2θ)− sin 2θ) + i(2 sinθ cosθ ) (cos 2 θθ -++ sin sin 2 θ)+ θ)+ ii(2 i(2 sinθ sinθ == cos cos 2θ 2θ ++ ii sin sin 2θ 2θ ===RHS= (cos 2θ + i sin 2θ =
.) الى تعميم العالقة والتي سميت بمبرهنة ديمواﭬر1664-1754( وقد توصل العالم ديمواﭬر
40
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G ’
مبرهنة ديمواﭬر
لكل θ ∈ R , n ∈ Nفﺈن
(cosθ + i sinθ)n = cos n θ + i sin n θ
البرهان( :لالطالع فقط)
سنتوصل الى برهان هذه المبرهنة بطريقة االستقراء الرياضي وكما يأتي : )1لنعتبر n =1فان العالقة تصبح: (cosθ + i sinθ)1 = cos1 θ + i sin1 θوهي عبارة صحيحة . )2لنأخذ k≥ 1ونفترض ان العالقة صحيحة لكل . n = k أي ان (cosθ + i sinθ )k = cos k θ + i sin k θصحيحة فرضاً. )3يجب ان نثبت ان العالقة صحيحة عندما n = k + 1 ∴(cosθ )∴(cosθ++i sinθ i sinθk+1 )k = (cosθ + i sinθ)1 (cosθ + i sinθ )k ) = (cosθ + i sinθ)(cos kθ + i sin kθ )= cos(θ + kθ ) + i sin(θ + kθ = cos(k +1)θ + i sin(k +1)θ
وعليه فاذا كانت العالقة صحيحة عند nأي n=k , k≥1فهي كذلك صحيحة عند n = k + 1 وبواسطة االستقراء الرياضي فان المبرهنة تعتبر صحيحة لجميع قيم .n مثال-27 -
احلل:
احسب
3 3 (cos π + i sin π )4 8 8 33 334 = (cos = (cos π +πi+sin = i sin π )π )=4 88 88 3π 3π3π cos + i+sin = cos 3π = = i sin 22 22 )0=+0i(−i 1= −i )+ ii(−i = −ii
41
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G : فانθ ∈ R , n ∈ N بين انه لكل
-28 -مثال
(cosθ − i sinθ)n = cos n θ − i sin n θ : احلل n LHSQ(cosθ = − ii sinθ)n = [ cosθ + (−ii sinθ )]
= [(cosθ + − i sin(−θ)]
n
= [ cos(−θ) + ii sin(−θ)]
n
φ = −θ
تصبح العالقةφ = −θ وبجعل
[ cosφ + i sinφ ] n = [ cosφ + i sin φ ] cos nφ + i sin nφ = = cos n φ + ii sin n φ cos(−nθ) + i sin(−nθ ) = = cos(−n θ)+ i sin(−n θ)
cos nθ − i sin nθ = cos n θ − i sin n θ n
= RHS
الطرف االيسر
الطرف االيمن
) م. هـ. (و :نتيجة ملبرهنة دميواﭬر N فانθ ∈ R , n ∈ Q
لكل
zn = r n (cos n θ + i sin n θ )
(1+i )
11
(1+ i)" let
احسب
-29 -مثال :احلل
z = 1+ i
1 1 π Q mod z = 2 , cosθ = , sinθ = ∴ arg z = 4 2 2
42
π Q mod z = 2Complex ang z = Numbers 4 π π ∴ z = 2(cos + i sin ) 4 4 π π 11 ∴(1+ ii)"11 = ( 2 )"11 (cos + i sin )" 4 4 11 11 11π π 11π + i sin ) ) = 22 22 (cos 4 44 11 3π 3π + i sin ) = 2 2 (cos 4 4 11 1 1 +i ) = 2 2 (− 2 2 1 = 22 55 (i 2(− −1) =132(i + i −1) )
= 2 2 = 2 5 (−1+ii) = 32(−1+ ii)
áÑcôŸG OGóY’G
( cosθ + i sinθ )−1 = [ cos(−θ )+ i sin(−θ )] = (cosθ − i sinθ)
[)cosθ + ii sinθ ]) −n = cos n θ − i sin n θ
3
x ∈ £ حيثx +1 = 0
x3 + 1 = 0 ⇒ x = −1 1 3
∴ x = (cos π + i sin π ) π + 2nπ π + 2nπ ∴ x = cos + i sin 3 3 n = 0,1, 2 حيث
43
:ويمكن تعميم هذه العالقة بالشكل االتي
حل المعادلة
-30 -مثال
:احلل
3
x 3 = cos π + ii sin π
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G π π + i sin 3 3 1 3 i = + 2 2 x = cos π + i sin π = −1+ ii(0)
x = cos
يكونn= 0 بوضع
يكونn= 1
بوضع
x = −1 5π 5π يكونn= 2 بوضع + i sin 3 3 x= 1 − 3 i 2 2 ⎧1 ⎫ ⎨ + 3 i , −1 , 1 − 3 ii⎬ ⎩2 2 2 2 ⎭ : اذن مجموعة الحل للمعادلة هي x = cos
( 3 + ii) cosθ =
3 4
sinθ
1 2
π π arg(z) = 6 6 z = 3+1 = 2 ⎛ 3 π π1 ⎞ 3∴ 13 3، + isinθ 1 1 1⎟ sin zcosθ == 2 ⎜3cos cosθ = sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ =⎝ 4 sinθ cosθ = = =62 ⎠ 6 4 4 24 4 2 22 ⎛ π 2 π⎜ cos + i sin π ⎞⎟ π = 4 z ∴θ = ⎝ arg(z) =⎠ 3 3 6 6 ∴θ =
2 5
: اوجد الصورة القطبية للمقدار
: بالصورة القطبيةz نضعz = 3 + i ليكن
-31 -مثال
:احلل
1
z =2 13 + 11=⎡ 2 π π ⎤5 ∴(z ) 5 = 4 5 ⎢cos + i sin ⎥ ⎛ π⎣ 3 π ⎞ 3⎦ ∴ z = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ 6⎠ π ⎤ ⎡⎝ π6 + 2nπ + 2nπ ⎥ ⎢ π+⎞i sin 3 3 2 5 4 ⎛ cos π = ⎥⎦ ⎢ + i sin ⎟ z = 4 ⎜⎣ 5 5 ⎝ ⎠ 3 3
44
π π arg(z) = Complex 6 6 Numbers áÑcôŸG OGóY’G z = 3+1 = 2 π π 2 ⎛ π⎞ π 2 2 ∴ z = 2 ⎜ cos + i sin ⎟ ⇒ z = 2 (cos + ii sin ) ⎝ 6 6 6⎠ 6 ⎛ π π⎞ z2 = 4 ⎜ cos + i sin ⎟ ⎝ 3 3⎠
∴θ =
1 2 5
1 5
1 5
⎡ π π⎤ ∴(z ) = 4 ⎢cos +ii sin ⎥ ⎣ 3 3⎦ ⎤ ⎡ π π + 2nπ + 2nπ ⎥ ⎢ = 5 4 ⎢cos 3 +ii sin 3 ⎥ ⎣ 5 5 ⎦
n= 0, 1, 2,3,4 2 5
⎛ π π⎞ z = 5 4 ⎜ cos +ii sin ⎟ ⎝ 15 15 ⎠
⎡ 7π 7π ⎤ + i sin ⎥ z = 5 4 ⎢cos ⎣ 15 15 ⎦ 2 5
⎡ 13π 13π ⎤ z = 5 4 ⎢cos + i sin ⎣ 15 15 ⎥⎦ 2 5
2 5
⎡ 19π 19π ⎤ z = 5 4 ⎢cos + i sin ⎣ 15 15 ⎥⎦ 2 5
⎡ 25π 25π ⎤ z = 5 4 ⎢cos + i sin ⎣ 15 15 ⎥⎦ ⎡ 5π 25π ⎤ = 5 4 ⎢cos + i sin ⎥ ⎣ 3 3 ⎦
45
حيث يكونn=0 وبوضع يكونn=1 وبوضع يكونn=2 وبوضع يكونn=3 وبوضع يكونn=4 وبوضع
Complex Numbers áÑcôŸG OGóY’G
.1احسب ما يأتي:
(1
J
) øjQɪ
‐5
c) (1−ii)7 d) ( 3 + ii)9
.2بسط ما يأتي: b) (cosθ + i sinθ )8 (cosθ − i sinθ)4
4
⎡ 5 ⎤ 5 ⎥ a) ⎢cos π + i sin π ⎣ 24 ⎦ 24
⎡ 7 ⎤ 7 ⎥ b) ⎢cos π + i sin π ⎣ 12 ⎦ 12
−3
(cos(cos 2θ +2θ2 + sini sin )2θ)2θ )a) a 3 )+ i3θ (sin33θ (cos(cos 3θ +3θ i sin 5
5
.3بأستخدام مبرهنة ديموافر جد الجذور التربيعية للعدد المركب5 - 5i . .4بأستخدام مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد 27i
.5جد الجذر الرابع للعدد (.)-16 1 6
). (−64i .6اوجد قيم i
46
2
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG
ÊÉãdG π°üØdG Chapter Two
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ][2-1
ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﳌﺨﺮوﻃﻲ.
][2-2
اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ.
][2-3
اﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ.
][2-4
اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ.
][2-5
اﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ.
][2-6
اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ.
][2-7
اﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ.
47
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG اﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ واﻫﻤﻴﺔ دراﺳﺘﻬﺎ: ﻟﻨﺒﺤﺚ او ًﻻ ﻋﻦ وﺟﻮد ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻄﻮع ﻓﻲ اﻟﻜﻮن واﻟﻄﺒﻴﻌﺔ ﺳﻮف ﺗﺮى اﻟﻜﻮاﻛﺐ واﻟﻨﺠﻮم ﺗﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﻣﺪارات اﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺔ ).اي اﻟﻤﺪارات ﺗﺸﺒﻪ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ( وﻓﻲ اﻟﺬرة واﻻﻟﻜﺘﺮون ﻳﻼﺣﻆ اﻟﻤﺨﺘﺼﻮن ﺑﺎن اﻻﻟﻜﻠﺘﺮوﻧﺎت ﺗﺪور ﺣﻮل اﻟﻨﻮاة ﻋﻠﻰ ﻣــﺪارات اﻫﻠﻴﻠﺠﻴﺔ اﻳﻀـــــﺎً ،وﻣــﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت اﻻﺧــﺮى ﻟﻠﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ اﺳﺘﺨﺪاﻣﻬــﺎ ﻓﻲ اﻧﺘﺸــﺎر اﻟﺼــﻮت ﺣﻴﺚ ﻧـــﻼﺣﻈﻬــﺎ ﻓﻲ اﻻت ﺗﻜﺒﻴــﺮ اﻟﺼﻮت اﻟﺤﺪﻳﺜﺔ وﻛﺬﻟﻚ ﺗﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ اﻧﺘﺸﺎر اﻟﻀﻮء ﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺿﻮء اﻟﺴﻴــﺎرة ﻓﻬــﻮ ﻣﺠﺴـــﻢ ﻣﻜﺎﻓﺊ وﺿﻊ ﻓﻲ ﺑﺆرﺗﻪ ﻣﺼﺒـــــﺎﺣ ًﺎ .ﻋﻨﺪﻣــــﺎ ﻳﻨﻄﻠﻖ ﺷﻌــﺎع ﺿــﻮﺋﻲ ﻣﻦ اﻟﻤﺼﺒـﺎح ﻳﻨﻌـﻜﺲ ﻫﺬا اﻟﺸﻌﺎع ﻋﻠﻰ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﻤﺠﺴــﻢ وﺑﺼــﻮرة اﻓﻘﻴﺔ .وﻛﺬﻟﻚ ﺟﻤﻴﻊ اﻻﺷﻌـــﺔ اﻟﻤﻨﻄﻠﻘﺔ ﻣـﻦ اﻟﻤﺼﺒﺎح ﻣﻤﺎ ﻳﺆدي اﻟﻰ اﻧﺎرة اﻟﻄﺮﻳﻖ اﻣﺎم اﻟﺴﻴـﺎرة. وﻣﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت اﻻﺧﺮى ﻧﻼﺣﻈﻬﺎ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺼﻮر اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
48
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻣﺪى اﻫﻤﻴﺔ اﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ اﻟﺘﻲ اﺻﺒﺤﺖ دراﺳﺘﻬﺎ ﻣﺤﻞ اﻫﺘﻤﺎم اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﻴﻦ واﻟﻔﻠﻜﻴﻴﻦ وﻋﻠﻤﺎء اﻟﻔﻀﺎء واﻟﻤﻴﻜﺎﻧﻴﻜﻴﻴﻦ وﻛﺎن ﻟﻠﺤﻀﺎرة اﻟﻌﺮﺑﻴﺔ اﻻﺳﻼﻣﻴﺔ دور ﻫﺎم ﻓﻲ ﻣﻮاﺻﻠﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﺪراﺳﺎت ﺑﻌﺪ اﻃﻼﻋﻬﻢ ﻋﻠﻰ اﻋﻤﺎل اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﻴﻦ اﻻﻏﺮﻳﻖ اﻣﺜﺎل ﻣﻴﻨﺸﻢ ،واﺑﻮﻟﺘﻴﻮس ،وﺑﺎﺑﻮس .وﻣﻦ اﻟﻌﻠﻤﺎء اﻟﻌﺮب اﻟﺬﻳﻦ اﻫﺘﻤﻮا ﺑﺎﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻦ ﻗﺮة واﺑﻮ ﺟﻌﻔﺮ اﻟﺨﺎزن ،واﺑﺎﺳﻬﻞ اﻟﻜﻮﻫﻲ ،واﺑﻦ اﻟﻬﻴﺜﻢ وﻏﻴﺮﻫﻢ ﻛﺜﻴﺮون. ﺳﺒﻖ وﺗﻌﺮﻓﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﺼﻒ اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻋﻠﻰ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻮﻟﺪ اﻟﻘﻄﻮع اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﺔ :اﻟﺪاﺋﺮة -اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ- اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ -اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ .ﺣﻴﺚ ﻳﺘﻢ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻄﻮع ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ وﻛﺎﻻﺗﻲ:
اذا ﻗﻄﻊ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ
✾ ﲟﺴﺘﻮ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﳌﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ وﻳﻮازي اﻟﻘﺎﻋﺪة وﻻ ﻳﺤﻮي رأس اﳌﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﺎن اﳌﻘﻄﻊ ﳝﺜﻞ ﺷﻜ ً ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻳﺴﻤﻰ داﺋﺮة ).(Circle ﻣﻮاز ﻷﺣﺪ ﻣﻮﻟﺪاﺗﻪ ﻓﺄن اﳌﻘﻄﻊ ﳝﺜﻞ ﺷﻜ ً ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ ” . “Parabola ✾ ﲟﺴﺘﻮ ٍ ﻣﻮاز ﻟﻘﺎﻋﺪﺗﻪ وﻻ ﻳﻮازي اﺣﺪ ﻣﻮﻟﺪاﺗﻪ ﻓﺄن اﻟﻘﻄﻊ ﳝﺜﻞ ﺷﻜ ً ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ✾ ﲟﺴﺘﻮ ﻏﻴﺮ ٍ ”ّ.“Ellipse ✾ ﲟﺴﺘﻮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﳌﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ وﻳﻘﻄﻊ ﻣﻮﻟﺪﻳﻦ ﻣﻦ ﻣﻮﻟﺪات اﳌﺨﺮوط اﻟﺪاﺋﺮي اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﺎن اﳌﻘﻄﻊ ﳝﺜﻞ ﺷﻜ ً ﻼ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ”. “Hyperbola ﻻﺣﻆ اﻻﺷﻜﺎل اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻮع اﳌﺨﺮوﻃﻴﺔ :
داﺋﺮة
ﻧﺎﻗﺺ
ﻣﻜﺎﻓﺊ
زاﺋﺪ
اﻟﺸﻜﻞ )(2-1
49
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG
] [2-1اﻟﻘﻄﻊ اﳌﺨﺮوﻃﻲ: ﻟﺘﻜﻦ ) (x1,y1ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي وﻟﻴﻜﻦ ax + by + c = 0ﻣﺴﺘﻘﻴﻤ ًﺎ ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي ﻧﻔﺴﻪ، ﻋﻨﺪﺋﺬ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻛﻞ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺘﻲ ﻧﺴﺒﺔ ُﺑﻌﺪ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (x1, y1اﻟﻰ ﺑﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ax +by +c = 0ﺗﺴﺎوي ﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ ) (eﺗﻜﻮن ﺷﻜﻞ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻳﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ .
ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻧﻼﺣﻆ ان ﻟﻜﻞ ﻗﻄﻊ ﻣﺨﺮوﻃﻲ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﺳﺎﺳﻴﺔ ﻳﺘﻌﻴﻦ ﺑﻬﺎ ﻫﻲ: -1اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ) (x1,y1ﺗﺴﻤﻰ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ ”. “Focus -2اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺜﺎﺑﺖ ax +by +c = 0ﻳﺴﻤﻰ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ ”.“Directrix -3اﻟﻨﺴﺒﺔ ) (eﺗﺴﻤﻰ ﺑﺎﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي ”.“Eccentricity
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
1 1 1
=e <e >e
ﻓﻲ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﳌﻜﺎﻓﺊ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﺍﻟﻨﺎﻗﺺ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﺰﺍﺋﺪ
»«Parabola »«Ellipse »«Hyperbola
] [2-1-1اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ: ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ وذﻟﻚ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: ﻟﺘﻜﻦ ) (x, yﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ ،ﻋﻨﺪﺋــــﺬ اﻟﻤﺴــﺎﻓﺔ ﺑﻴـﻦ ) (x ,yواﻟﺒﺆرة ) (x1 , y1ﻫﻲ :
50
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG (x − x1 )2 + (y − y1 )2
واﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ ) (x , yواﻟﺪﻟﻴﻞ ax +by +c = 0ﻫﻲ :
2
) (x − x1 ) + (y − y1 ax + by + c 2
2 2 ax +aby++bc اي ان وﺑﻤﻮﺟﺐ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ ﻓﺎن اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻫﺎﺗﻴﻦ اﻟﻤﺴﺎﻓﺘﻴﻦ 2ﺗﺴﺎوي )2 (e 2 ) 2 − x ) + (y − y (x 1 1 a +b
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 =e ax 2+ by + c 2 ) (x − x1 ) + (y − y1 =e 2 ax + by + c aby ++2bc2 ax + ⇒ (x − x1 ) + (y − y1 )2 = e . 2 aby ++bc2 ax + 2 ⇒ (x − x1 )2 + (y 2 2 − y1 ) = 2e . 2+ c ) 2 (x 2 − x1 ) + (y 2 − y21 ) ( ax + by (x − x1 ) + (y − y1 ) = e . = e 2 a 2+ b ax + by + c ( ax +aby++bc)2 وﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ 2 (x − x1 ) + (y − y1 )2 = e2 . 2 2 ax + by + c اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ اﻟﻌﺎﻣﺔ وﻫﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ ⇒ (x − x1 )2 + (y − y1 )a2 =+eb. 2 2 a +b اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ 2 )( ax + by + c (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = e2 . a 2 + b2
] [2-2اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊParabola :
اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) M(x , yﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي واﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ُﺑﻌﺪ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ) F(p,0ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺒﺆرة ﺣﻴﺚ P> 0ﻣﺴﺎوﻳ ًﺎ داﺋﻤ ًﺎ ﻟﺒﻌﺪﻫﺎ ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻮم ” “Dﻳﺴﻤﻰ اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻻ y
ﻳﺤﻮي اﻟﺒﺆرة . اي ان
MF = MQﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ ): (2 - 2
وﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﻘﻄــــﺔ ” “Oﺑــــﺮأس اﻟﻘﻄـــﻊ
)M(x,y
)Q(-p,y
اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ”“Vertex وﻳﺴﻤـــﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴـــــﻢ ) (xاﻟﻤــــــــﺎر ﺑﺎﻟﺒﺆرة واﻟﻌﻤﻮد ﻋﻠﻰ اﻟﺪﻟﻴـــــﻞ ﺑﻤﺤـــﻮر
MF اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ.ﺣﻴﺚ ﻻﺣﻆ ان= e =1 MQ
x
)F(p,0
O
اﻟﺸﻜﻞ )(2-2
ﺗﻡ ﺗﺣﻣﻳﻝ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻛﺗﺎﺏ ﻣﻥ ﻣﻧﺗﺩﻳﺎﺕ ﻳﺎ ﺣﺳﻳﻥ -ﻣﻧﺗﺩﻯ ﺍﻟﻁﻠﺑﺔ http://www.yahosein.com/vb
D
51
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ] [2-2-1ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت) (x-axisواﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ
y
y
D
)M(x,y
)M(x,y
)Q (p,y x O
D )Q(-p,y
x )F(-p,0
)F(p,0
x=p
O x = -p
A
B
اﻟﺸﻜﻞ )(2-3
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻲ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ وﺑﻨﺎء ًا ﻋﻠﻰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻳﻤﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻓﻲ اﺑﺴﻂ ﺻﻮرة ﻣﻤﻜﻨﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: ﻟﺘﻜــﻦ اﻟﻨﻘﻄـــﺔ ) F(p,0ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄــﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ واﻟﻤﺴﺘﻘﻴــﻢ Dﻫﻮ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ،واﻟﻨﻘﻄﺔ ) Q(-p,yﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺪﻟﻴﻞ ﺣﻴﺚ MQﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ،Dواﻟﻨﻘﻄﺔ ) M(x,yﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ واﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ) . (0,0ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ) .(A ) (2-3ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ. MF = MQ
52
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ
(x − p)2 + (y − 0)2 = (x + p)2 + (y − y)2 x 2 − 2 px + p2 + y2 = x 2 + 2xp+ p2
x 2 − 2 px + p2 + y2 = x 2 + 2xp+ p2
ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴﻂ y )M(x,y
) اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ( y2 = 4 px , ∀p > 0 )Q(-p,y
وﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ x=-p
x )F(p,0
O
D اﻟﺸﻜﻞ )(2-4
ﻣﺜﺎل - 1-
ﺟﺪ اﻟﺒﺆرة وﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ y2 = 8x
اﳊﻞ y2 = 8x yy22 == 4px ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ 4px 8 ⇒ 4p = 8 ⇒ p = = 2 4 ∴ p= 2 )F ( p, 0) = F (2, 0 ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ x = − p ∴ x = −2
53
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل - 2-
ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اذا ﻋﻠﻢ: أ( ﺑﺆرﺗﻪ ) (3,0واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
ب( ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ 2x - 6 = 0ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ . اﳊﻞ )(p,0) = (3,0
أ(
⇒p=3
)اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ( ∴ y2 = 4px
⇒ y2 = (4) (3) x = 12x y2 = 12x
ب(
2x - 6 = 0
ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ
2x = 6 ⇒ x = 3 )ﺑﻔﻀﻞ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ(
∴ p = 3
ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ y2 = -4px y2 = (-4) (3) x = -12 x ⇒ y2 = -12x ﻣﺜﺎل - 3-
اﳊﻞ
ﺟﺪ ﺑﺆرة وﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ y2 = 4xﺛﻢ أرﺳﻤﻪ:
ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ :
y2 = 4px
⇒ 4p = 4 ⇒ p =1 اﻟﺒﺆرة )F (1, 0
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ x = -1 y2 = 4x ⇒ y = ±2 x
54
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG 2
±2 2
0
1
x
0
±2
y
D
y )(1,2 x
x = -1
)p(1,0 O )(1,-2
اﻟﺸﻜﻞ )(2-5
ﻣﺜﺎل - 4-
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اذا ﻋﻠﻢ ان ﺑﺆرﺗﻪ ) ( 3, 0واﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ.
اﳊﻞ اﻟﺒﺆرة ) ، F ( 3, 0وﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ) M(x,yﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ،واﻟﻨﻘﻄﺔ sr ) Q(− 3, yﻫﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ Mﻋﻠﻰ اﻟﺪﻟﻴﻞ Dوﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ. )ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ(
(x − 3)2 + (y − 0)2 = (x + 3)2 + (y − y)2 (x − 3)2 + y2 = (x + 3)2
y
D x 2 − 2 3x + 3+ y2 = x 2 + 2 3x + 3 )ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴﻂ( y2 = 4 3x )Q(− 3, y )ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ(
)M(x,y
x
) F ( 3, 0
0
اﻟﺸﻜﻞ )(2-6
x=− 3
55
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ] [2-2-2ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات) (y-axisواﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ y
y )F(0,p
)Q(x,p
y=p
D )M(x,y
O
x
x
)M(x,y )F(-p,0
0
)Q(x,-p
B
y = -p
D
A اﻟﺸﻜﻞ )(2-7
ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮي اﻟﺪﻳﻜﺎرﺗﻲ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) F(0,pﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ،واﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ Dدﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ واﻟﻨﻘﻄﺔ) Q(x,-pﻫﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ Mﻋﻠﻰ اﻟﺪﻟﻴﻞ ،واﻟﻨﻘﻄﺔ) M(x,yﻣﻦ ﻧﻘﻂ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ واﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ) (0, 0ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ) A (2-7وﺑﻨﺎء ًا ﻋﻠﻰ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻓﺎن MF = MQ )ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ( ⇒ (x − 0)2 + (y − p)2 = (x − x)2 + (y + p)2 ⇒ x 2 + (y − p)2 = (y + p)2
x 2 + y2 − 2 py + p2 = y2 + 2 py + p2
)ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴﻂ(
x 2 = 2 py + 2 py
اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ
x 2 = 4 py , ∀p > 0
2 ﺣﻴﺚP>0x اﻟﺠﺪول اﻻﺗﻲ ﻳﻤﺜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ =⇔y اﳌﻌــﺎدﻟـــﺔ4 p اﻟﺒﺆرة اﻟﺪﻟﻴﻞ اﶈﻮر ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ ﻧﺤﻮ اﻻﻋﻠﻰ )(0 , p y= -p y- axis x2 = 4py
56
ﻧﺤﻮ اﻻﺳﻔﻞ
y- axis
y=p
)(0 , - p
x2 = - 4py
ﻧﺤﻮ اﻟﻴﻤﲔ
x- axis
x = -p
)(p , 0
y2 = 4px
ﻧﺤﻮ اﻟﻴﺴﺎر
x- axis
x=p
)(-p , 0
y2 = - 4px
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل - 5-
ﺟﺪ اﻟﺒﺆرة وﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ .3x2 - 24y = 0
اﳊﻞ 3x2 - 24y = 0
] ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ )[ (3
x2 = 8y x2 = 4py
ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ
⇒ 4p = 8 ⇒ p=2 وﻣﻦ ﻗﻴﻤﺔ Pﻧﺠﺪ اﻟﺒﺆرة )F (0,2 ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ y = -2 ﻣﺜﺎل - 6-
ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اذا ﻋﻠﻢ ان -: أ( ﺑﺆرﺗﻪ ) (0,5ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ . ب( ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ y = 7ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
اﳊﻞ )أ( F (0,5) ⇒ p =5 اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ )ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ(
x2 = 4py x2 = 20y
اﳊﻞ )ب( y=7 p = 7 )اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ(
x2=- 4py x2 = -28y
57
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل - 7- اﳊﻞ
ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ).(2 , -4) ، (2,4 اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﺗﺎن ﺣﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ. اذن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ
y2 = 4 px , ∀p > 0
ﻧﻌﻮض اﺣﺪى اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ اﻟﻠﺘﻴﻦ ﺗﺤﻘﻘﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ وﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ )(2 ,4
ﻧﻌﻮض ) ( p = 2ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ
16 ⇒ p= 2 8
)⇒ 16 = (4)( p)(2 = 16 = 8 p ⇒ p
⇒ y2 = (4)(2)x
⇒ y2 = 8x
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻣﺜﺎل - 8-
ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻳﻤﺮ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )(3 ,-5
اﳊﻞ
ﻳﻮﺟﺪ اﺣﺘﻤﺎﻟﻴﻦ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻌﺪم ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻣﻮﻗﻊ اﻟﺒﺆرة ﻫﻤﺎ:
او ًﻻ :اﻟﺒﺆرة ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
ﺛﺎﻧﻴﺎً :اﻟﺒﺆرة ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت
x2 = 4py ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ
58
y = -5
y2 = 4px ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ
x=3
p = 5
p = 3
x2 = 4py
)اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ( y2 = - 4px
x2 = 20y
y2 = -12x
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG
] [2-3إﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ : ] [2-3-1اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ ﻳﻮازي أﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻷﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ ورأﺳﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ )(h,k ﻓﻲ اﻟﺒﻨﻮد اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺗﻌﺮﻓﻨﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺘﻴﻦ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ وﻫﻤﺎ: )y2 = 4px .......(1 )x2 = 4py .......(2 اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻻوﻟﻰ :ﻫﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ ﻣﻜﺎﻓﺊ ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ). (0,0 اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ :ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ ﻣﻜﺎﻓﺊ ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ورأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ). (0,0 ﻓﺎذا ﻛﺎن اﻟﺮأس ﻫﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) O (h , kﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺘﻴﻦ ﻫﻤﺎ : )(y - k)2 = 4p(x - h) ...... (3 )(x - h)2 = 4p(y - k) ...... (4 اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ :ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) O (h , kوﻣﺤﻮرﻩ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت .ﻻﺣﻆ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ) (2 - 8اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻟﻤﻜﻮﻧﺎت اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ . y
x
)F (Q, k
x
D
y
y
)(h,k
x
D
)(0,0) F (p,0
h ﻗﺒﻞ اﻻﻧﺴﺤﺎب
ﺑﻌﺪ اﻻﻧﺴﺤﺎب x = - p +hاﻟﺪﻟﻴﻞ
B اﻟﺸﻜﻞ )(2-8
A
x = -p
59
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG اﻧﺴﺤﺎب )O(h,k) ← O (0,0 اﻧﺴﺤﺎب )F(p + h,k) ← F (p,0 اﻧﺴﺤﺎب x = -p + h ← x = -p
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر y = k
ﺣﻴﺚ ) (pﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) (4) ، (3ﻫﻮ اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ وﻳﺴﺎوي اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺮأس O واﻟﺒﺆرة Fوﻳﺴﺎوي اﻟﺒﻌﺪ ﺑﻴﻦ اﻟﺮأس وﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ اي ان P = |Q - h | : وﻳﻤﻜﻦ ان ﺗﻜﻮن ﻓﺘﺤﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﺑﺎﻻﺗﺠﺎﻩ اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ):(2 - 9
)(y - k)2 = -4p(x - h اﻟﺒﺆرة )(Q , k ) = (- p + h , k ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ y
x
y
)F (Q,k) (h,k
x D
اﻟﺸﻜﻞ )(2-9
60
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر
x = p +h y=k
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ]) [2 - 3ﺍﻧﺴﺤﺎﺏ ﺍﶈﺎﻭﺭ( ﺳﻨﻜﺘﻔﻲ ﻓﻘﻂ ﻓﻲ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﺑﺆﺭﺓ ﻭﺭﺃﺱ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﳌﻜﺎﻓﺊ ﻭﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺪﻟﻴﻞ ﻭﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﶈﻮﺭ.
ﻣﺜﺎل - 9-
ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ
)(y + 1)2 = 4(x-2
ﻋﻴﻦ اﻟﺮأس ،اﻟﺒﺆرة ،ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر ،ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ.
اﳊﻞ
ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ. )(y - k)2 = 4p(x - h ⇒ h = 2 , k = -1 )اﻟﺮأس(
)∴ (h , k) = (2 , -1 4p = 4 ⇒ p =1
)اﻟﺒﺆرة(
)∴ F(p + h , k) = F(1 + 2, -1) = F(3, -1 ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر y = k ∴ y = -1 x = -p + h ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ x = -1 + 2 = 1 ⇒ x = 1
61
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺮاﺑﻌﺔ :ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ راﺳﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (h , kوﻣﺤﻮرﻩ ﻳﻮازي اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدي ﻻﺣﻆ اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻟﻤﻜﻮﻧﺎت اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ .ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ). (2 - 10 y
y
اﻧﺴﺤﺎب ) O(h,k) ← O (0,0اﻟﺮاس ﺑﻌﺪ اﻻﻧﺴﺤﺎب
اﻧﺴﺤﺎب ) F( h,iQ) ← F (0 ,pاﻟﺒﺆرة ﺑﻌﺪ اﻻﻧﺴﺤﺎب )F (h,p+k Q=p+k )اﻟﺒﻌﺪ اﻟﺒﺆري( |p = |Q - k
⇒
x
D
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر x = h
)(h,k
)(0,0
x
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ y = k - p
اﻟﺸﻜﻞ )(2-10
y
)(x- h)2 = -4p(y - k اﻟﺒﺆرة
)(h , k- p
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ
y=k+p
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر x = h
y =k+p
D
x
)F(h, k - p
اﻟﺸﻜﻞ )(2-11
62
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل - 10- اﳊﻞ
ﻧﺎﻗﺶ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊy = x2 + 4x : ﻧﻀﻴﻒ 4اﻟﻰ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺣﺘﻰ ﻧﻀﻊ ﺣﺪود xﻓﻲ ﺷﻜﻞ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ ،ﻓﻨﻜﺘﺐ: y + 4 = x2 + 4x + 4 y + 4 = (x+2 )2 ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ: )(x - h)2 = 4p (y - k ﺣﻴﺚ
h = −2 , k = −4 1 4
ﻫﺬا اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻣﻔﺘﻮح اﻟﻰ اﻻﻋﻠﻰ ﻻن
=4p=1 , p
ﻣﻦ اﺟﻞ ﻗﻴﻢ xاﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ وﻟﻘﻴﻢ y ≥ − 4وراﺳﻪ
3 ﻣﻮاز ) v( -2,-4ﺗﻘﻊ اﻟﺒﺆرة ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ 1وﺣﺪة ﻣﻦ رأس اﻟﻘﻄﻊ وﻧﺤﻮ اﻻﻋﻠﻰ ،اي ﻋﻨﺪ ) Ff (−2, −3وان اﻟﺪﻟﻴﻞ ٍ 4 4 1 ﻟﻠﻤﺤﻮر xوﻳﺒﻌﺪ 4 1وﺣﺪة ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮر . xوﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ﻫﻲ . y = −4 4 4 y 4 3 x= -2
2 1 0
x
-1
-2 -1
-3
-4
-5
-2 -3 اﻟﺪﻟﻴﻞ
1 4
-4
F )v(-2,-4
y = −4
اﻟﺸﻜﻞ )(2-12
63
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG (2
J
) øjQɪ
‐1
.1ﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺂﺗﻲ ﺛﻢ ارﺳﻢ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻬﺎ . أ -اﻟﺒﺆرة ) (5 , 0واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
ب -اﻟﺒﺆرة ) (0 ,-4واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ . ج -اﻟﺒﺆرة ) (0, 2واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ.
د -ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ 4y - 3 = 0واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
.2ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺟﺪ اﻟﺒﺆرة واﻟﺮأس وﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻤﺤﻮر واﻟﺪﻟﻴﻞ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻟﻜﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ-: )c)y2 = -4 (x-2 f) x2+ 4x -y = 0
b) 2x + 16y2 = 0 e) y2+4y + 2x =-6
a) x2 = 4y )d) (x - 1)2 = 8(y-1
.3ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) (2 ,-5) ، (-2 , -5واﻟﺮاس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. .4اذا ﻛﺎن دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) (-3 ,4واﻟﺮأس ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ﻋﻠﻤ ًﺎ ان ﺑﺆرﺗﻪ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻷﺣﺪ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ . .5اوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ Aوﺑﺆرة ودﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ Ax2+8y= 0اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ) (1, 2ﺛﻢ أرﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ. .6ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ .ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ أ -اﻟﺒﺆرة ) (7 ,0واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. ب -ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺪﻟﻴﻞ . y = 3واﻟﺮأس ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
64
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG
] [2-4اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
:Ellipse
]2-4] ∞`jô```©J اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻂ ﻓﻲ اﳌﺴﺘﻮي اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻌﺪﻳﻬﺎ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺘﲔ ﺛﺎﺑﺘﺘﲔ )اﻟﺒﺆرﺗﺎن( ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ. ] [2-4-1ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ.
ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )(2 - 13 )P(x,y F1
F2
اﻟﺸﻜﻞ )(2-13
ﺑﺆرﺗﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻫﻤﺎ ) F1 (c, 0
F2 (-c , 0) ,واﻟﻌﺪد اﻟﺜﺎﺑﺖ ﻫﻮ c > 0 , a > 0 , 2a
ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ) ،(Centerوﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺤﻮر اﻟﺒﺆري ) (Focal axisوﻳﻘﻄﻊ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﺗﺴﻤﻴﺎن رأﺳﺎ اﻟﻘﻄﻊ وﺗﺴﻤﻰ ﻗﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺮأﺳﻴﻦ ﺑﺎﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ) (Major axisوﻃﻮﻟﻬﺎ ) (2aاﻳﻀ ًﺎ وﻳﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع ﺑﻌﺪي اي ﻧﻘﻄﺔ ) P(x, yﻣﻦ ﻧﻘﺎط اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻋﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ اي ان:
p F1 + pF2 = 2a
وﺗﺴﻤﻰ اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮد ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
65
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﻊ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﺑﺎﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ ) ( Minor axisوﻃﻮﻟﻬﺎ ) (2bﺣﻴﺚ b>0وﻧﻬﺎﻳﺘﺎﻩ ﺗﺴﻤﻴﺎن y
اﻟﻘﻄﺒﻴﻦ.
) (0,b) p(x ,yﻗﻄﺐ
x
)v1(a,0 رأس
)F1(c,0
)(0,0
)v2(-a,0 )F2(-c,0
رأس
) (0,-bﻗﻄﺐ اﻟﺸﻜﻞ )(2-14
] [2-4-2ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ )(2 - 14
PF1 + PF2 = 2a
∵
pf1+ pf 2
⇒ (x − c)2 + (y − 0)2 + (x + c)2 + (y − 0)2 = 2a ⇒ (x − c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a )ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ(
⇒ (x − c)2 + y2 =+ 2a − (x + c)2 + y2 ⇒ (x − c)2 + y2 += 4a 2 − 4a (x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2
⇒ x 2 − 2cx + c 2 + y2 = 4a 2 − 4a (x + c)2 + y2 + x 2 + 2cx + c 2 + y2 )ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ (4 )ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ( ﺑﺎﻟﺘﺒﺴﻴﻂ
⇒ 4a (x + c)2 + y2 = 4a 2 + 4cx ⇒ a (x + c)2 + y2 = a 2 + cx a 2 [ x 2 + 2cx + c 2 + y2 ] = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y2 = a 4 + 2a 2 cx + c 2 x 2 a 2 x 2 − c 2 x 2 + a 2 y2 = a 4 − a 2 c 2 )x 2 (a 2 − c 2 ) + a 2 y2 = a 2 (a 2 − c 2 ) ..........(1
66
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﺑﻤﺎ ان a> cداﺋﻤ ًﺎ ﻓﺎن a2 - c2 > 0وﺑﻔﺮض ان b2 = a2 -c2ﺣﻴﺚ b> 0 a 2 = b2 + c 2 ﻧﻌﻮض 2ﻓﻲ 1
)⇒ b2 = a 2 − c 2 ...........(2
ﺑﻘﺴﻤﺔ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ a2 b2
⇒ x 2 b2 + a 2 y2 = a 2 b2 x 2 y2 ⇒ 2 + 2 =1 a b
ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. وﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ cﺑﺎﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي . a c أي ان = eوﻳﻜﻮن داﺋﻤ ًﺎ اﻗﻞ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ. a ] [2-4-3ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﺎدات. ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ )(2 - 15
y
ﺑﻨﻔﺲ ﺧﻄﻮات اﻻﺷﺘﻘﺎق اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ )v1 (0,a
ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ:
x 2 y2 + =1 b2 a 2
ﺣﻴﺚ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات واﻟﻤﺮﻛﺰ ﻓﻲ
)F1 (0, c x
)(b,0
)(0,0
)(-b,0
ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. ﻧﻠﺨﺺ ﻣﺎ ﺳﺒﻖ ﺑﺎﻟﺠﺪول اﻵﺗﻲ :
)F2 (0, -c )v1 (0,-a
اﻟﺸﻜﻞ )(2-15
67
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر
ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر
اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
x 2 y2 + =1 اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ b2 a 2 اﻟﺒﺆرﺗﺎن )F1(0,c) , F2(0,-c اﻟﺮأﺳﺎن )V1(0,a) , V2(0,-a
x 2 y2 + =1 )1 a 2 b2 )2) F1(c,0) , F2(-c,0 )3) V1(a, 0) , V2(-a,0 4) c = a 2 − b2 5) a > c , a > b ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ = 6) 2a ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ = 7) 2b اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ = 8) 2c = 9) A= abπ
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ (Area) A 22 ﻣﺤﻴﻂ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ (Perimeter) P 7
=, π
ﺣﻴﺚ ” “eاﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي وﻳﻜﻮن داﺋﻤ ًﺎ اﻗﻞ ﻣﻦ اﻟﻮاﺣﺪ), (e < 1
ﻣﺜﺎل - 11-
a 2 + b2 10) P= 2π 2 c a 2 − b2 = = 11) e a a
ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺟﺪ ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ واﺣﺪاﺛﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ واﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي .
2
y x + =1 25 16 4 3
68
2
)1
= 2) 4x 2 + 3y2
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG اﳊﻞ )(1
x 2 y2 ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ 2 + 2 = 1ﺣﻴﺚ . a > b a b ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ
وﺣﺪة
ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ
وﺣﺪة
⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10 b2 = 16 ⇒ b = 4 ⇒ 2b = 8
c = a 2 − b2 = 25 − 16 = 9 = 3 ∴ c=3 اﻟﺒﺆرﺗﺎن
)∴FF11 (3, 0) , FF22 (−3, 0
)V22(−5, 0 V11(5, 0) , V اﻟﺮأﺳﺎن )اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي( c 3 < 1 = =e a 5 اﳊﻞ )(2
3 ﺑﻀﺮب ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺑـ 4
4 3
= 4x 2 + 3y2
9y2 3x + =1 4 x 2 y2 + 4 =1 1 2
9
ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ
وﺣﺪة
ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ
وﺣﺪة
3
4 2 4 = ⇒ a = ⇒ 2a 9 3 3 1 1 2 = b2 = ⇒ b = ⇒ 2b 3 3 3
= ⇒ a2
4 1 1 1 = − = 9 3 9 3 اﻟﺒﺆرﺗﺎن اﻟﺮأﺳﺎن )اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي(
2 2 c = aa2 =⇒c −−bb2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ FF1 ⎜ 0, 1 ⎟ , FF22 ⎜ 0,− 1 ⎠⎝ 3 ⎝ ⎠3
⎞⎛ 2 ⎛ ⎞2 V ⎟ V22 ⎜ 0,− V11 ⎜ 0, ⎟ , V ⎠⎝ 3 ⎝ ⎠3 <1
1 2
=
1 3 2 3
c = =∴e a
69
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل - 12-
ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ) F2(-3,0) , F1(3,0ورأﺳﺎﻩ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ) V2 (-5,0) , V1 (5,0وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ.
اﳊﻞ
اﻟﺒﺆرﺗﺎن واﻟﺮأﺳﺎن ﻳﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت واﻟﻤﺮﻛﺰ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ: x 2 y2 ∴ 2 + 2 =1 a b ⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9 ⇒ a = 5 ⇒ a 2 = 25 ⇒ c 2 = a 2 − b2 ⇒ b2 = a 2 − c 2 = 25 − 9 = 16
ﻣﺜﺎل - 13-
x 2 y2 + =1 ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ 25 16 ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻳﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮراﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ وﻳﻘﻄﻊ ﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﺟﺰء ًا ﻃﻮﻟﻪ 8وﺣﺪات وﻣﻦ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﺟﺰء ًا ﻃﻮﻟﻪ 12وﺣﺪة ،ﺛﻢ ﺟﺪ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ وﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺘﻪ وﻣﺤﻴﻄﻪ.
اﳊﻞ
2b = 8 ⇒ b = 4 ⇒ b2 = 16
2b=8 y
2a = 12 ⇒ a = 6 ⇒ a 2 = 36 x 2 y2 + =1 16 36 a 2 − b2 b2 = 36 − 16 = 2 5 c = a2 اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ وﺣﺪة ⇒ 2c = 4 5
a b
b
x
a
2a=12
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ A = abπ
22 ⇒A == abπ = )،πوﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ( (6)(4)π = 24π 7 ﻣﺤﻴﻂ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
اﻟﺸﻜﻞ )(2-17
70
a 2 + b2 =∵P Q 2π 2
36 + 16 52 = 2π ⇒ وﺣﺪة = 2π 26 2 2
= 2π ⇒P
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل - 14-
ﻟﺘﻜﻦ kx2 + 4y2 = 36ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ) ( 3 ,0ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ).(k
اﳊﻞ
] [÷ 36 ﻣﻦ اﻟﺒﺆرة )( 3, 0
kx2 + 4y2 = 36 x 2 y2 + =1 36 94 k ⇒ c = 3 ⇒ c2 = 3
x 2 y2 وﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ + 2 =1 2 a b 36 , )b2 = 9 , c2 = 3 .... (1 )⇒ a 2 = ........(1 k 2 =9 b c2 = a2 2 - b22 ...... )(2 )=(1ﻓﻲ2)9 ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ 12 c36= a − b2 ⇒ 3 = a 2 − 9 ⇒ a 2 =(3+ =3 −9 ⇒ k = 3 ∴ a 2k= 12 36 ﻣﺜﺎل - 15- ⇒ 12 = ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻋﻠﻰ وﺑﺆرﺗﺎﻩ اﻻﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﺬي اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﻘﻄﻊ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺟﺪ k 36 وﺣﺪة. ﻳﺴﺎوي )⇒ k =(2 واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ) (6وﺣﺪات ،واﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ = 12 12 k=3 اﳊﻞ 2c = 6 ⇒ c = 3 ][÷2
2a − 2b = 2
)a -= b = 1 ⇒ a = 1+ b .......(1
2 2 2 ∵ c = a −b 9 = (1+ b)2 − b2
∵
9 = 1+ 2b+ b2 − b2 9 = 1+ 2b )b = 4........(2
71
a = 1+ 4 = 5 2
9 = 1+ 2b )b = 4........(2
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG
a = 1+ 4 = 5 a 2 = 25
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
ﻣﺜﺎل - 16-
x 2 y2 + =1 25 16
ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﺣﺪى ﺑﺆﺗﻴﻪ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ , y2 - 12x =0وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺼﻐﻴﺮ ﻳﺴﺎوي ) (10وﺣﺪات .
اﳊﻞ y2 − 12x = 0 y2 = 12x y2 = 4px
)ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ( 4 p = 12 ⇒ p = 3 ﺑﺆرﺗﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻫﻤﺎ FF1 (3, 0) , FF22 (−3, 0) : ⇒ c = 3 ⇒ c2 = 9 2b = 10 b = 5 ⇒ b2 = 25
2 2 ∵ c = a − 25 9 = a 2 − 25
∵
a 2 = 34 ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ
72
x 2 y2 ⇒ + =1 34 25
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل - 17-
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ،ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ : ) F2 (-2,0) , F1(2,0واﻟﻌﺪد اﻟﺜﺎﺑﺖ = 6
اﳊﻞ
∀p(x,ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ: )P y)y ∀p(x,
PF1 1++PF ⇒ pF pF22 = 2a
(zx − 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2 = 6 ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ
(x − 2)2 + y2 = 6 − (x + 2)2 + y2
(x − 2)2 + y2 = 36 −12 (x + 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2 x2 x2 − 4x + 4 + y2 = 36 −12 (x + 2)2 + y2 + x 2 + 4x + 4 + y2 ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 4
12 (x + 2)2 + y2 = 36 + 8x
ﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ
3 (x + 2)2 + y2 = 9 + 2x 9 [ x 2 + 4x + 4 + y2 ] = 81+ 36x + 4x 2 9x 2 + 36x + 36 + 9y2 = 81+ 36x + 4x 2 5x 2 + 9y2 = 81− 36 5x 2 + 9y2 = 45 x 2 y2 ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ + = 1 9 5
] [2-4-4ﻃﺮﻳﻘﺔ رﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ .Graph The Ellipse x 2 y2 ﻟﺘﻜﻦ 2 + 2 = 1ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻟﺮﺳﻢ ﻫﺬا اﻟﻘﻄﻊ : a b .1ﻧﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) V1 (a , 0) , V2(-a,0 .2ﻧﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) M1 (0 , b) , M2(0,-b .3ﻧﺼﻞ ﺑﻴﻦ اﻟﻨﻘﺎط اﻻرﺑﻌﺔ V1 M1 V2 M2ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ ﺑﻤﻨﺤﻨﻲ ﻣﺘﺼﻞ. .4ﻧﻌﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ) F1 (c , 0) , F2(-c,0
73
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG
] [2-5اﻧﺴﺤﺎب اﶈﺎور ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ. ﺗﺒﻴﻨﺎ ان ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﺑﺎﻧﻪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻣﺤﻮري ﺗﻨﺎﻇﺮﻩ ،ﻓﺎذا ﻛﺎن اﻟﻤﺮﻛﺰ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ,c (h,k واﻟﻤﺤﻮران ﻳﻮازﻳﺎن اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻓﻲ اﻻﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﺠﺪﻳﺪة ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: ] [2-5-1اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻻﻛﺒﺮ ﻳﻮازي اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ وﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ). (h, k ﻋﻨﺪ اﻧﺴﺤﺎب ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ) (0,0ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﺑﻤﻘﺪار hﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات وﺑﻤﻘﺪار kﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ،ﺗﺼﺒﺢ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﺑﺎﻟﺼﻮرة 2
اﻻﺗﻴﺔ( y − k ) = 1 : + 2 b
( x − h)2
y
y
a2 )(h,b+k
)V1(a+h,k x
x
)F1(c+h,k
)F2(-c+h,k
)V2(-a+h,k
)(h,-b+k
اﻟﺸﻜﻞ )(2-19
ﻻﺣﻆ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ ) (2 - 19ان اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻃﻮﻟﻪ ) (2aوﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y = k واﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻃﻮﻟﻪ ) (2bوﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x = hاﻣﺎ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﺑﻌﺪ اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻓﺘﺼﺒﺤﺎن
V )F11(c + h, k) , FF22 (−c + h, k Fواﻟﺮأﺳﺎن ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻫﻤﺎ )V11(a + h, k) , VV22 (−a + h, k
74
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ] [2-5-2اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻻﻛﺒﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ).(h, k ﺑﻨﻔﺲ اﻻﺳﻠﻮب اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻻﻛﺒﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (h,kﻳﻤﻜﻦ اﻟﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻻﻛﺒﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (h,kوﻫﻲ: (x − h)2 (y − k)2 + = 1 b2 a2
ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ )(2 - 20
ﺣﻴﺚ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ )F1 (h, c + k) , FF22 (h,−c + k واﻟـــﺮأﺳــــــــــــﺎن )V22 (h,−a + k VV11 (h, a + k) , V واﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻳﻮازي ﻣﺤـﻮر اﻟﺼﺎدات وﻃﻮﻟــﻪ )(2a وﻣﻌﺎدﻟﺘـــﻪ x = hاﻣﺎ اﻟﻤﺤـﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ ﻓﺎﻧﻪ ﻳـﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻃﻮﻟﻪ ) (2bوﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ . y = k
y
y
)V1(h,a+k
)F1(h,c+k x
)(-b+h,k
)(b+h,k )F2(h,-c+k
x
)V2(h,-a+k
اﻟﺸﻜﻞ )(2-20
75
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﺳﻨﻘﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ] [2 - 5ﻋﻠﻰ ﺇﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﻨﺎﻗﺺ ، ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﻭﺍﻟﺒﺆﺭﺗﺎﻥ ﻭﺍﻟﺮﺃﺳﺎﻥ ،ﻭﻃﻮﻝ ﺍﶈﻮﺭﻳﻦ ﻭﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﶈﻮﺭﻳﻦ ﻓﻘﻂ.
ﻣﺜﺎل - 18-
ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ ﺟﺪ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ وﻃﻮل وﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﺛﻢ ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ .e (X − 2)2 (y −1)2 + =1 9 25
اﳊﻞ
ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ.
ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ
)(X − h) (y − k + =1 2 2 b a 2
2
)⇒ (h, k) = (2,1
وﺣﺪة ⇒ a 2 = 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10 وﺣﺪة b2 = 9 ⇒ b = 3 ⇒ 2b = 6
c = a 2 +- b2 ⇒ c = 25 − 9 = 16 = 4 اﻟﺒﺆرﺗﺎن )FF22 (h,−c + k
)FF22 (2,−3
اﻟﺮأﺳﺎن )V22(h,−a + kh V
FF11 (h, c + k) , ,
)FF11 (2, 5
V V11(h, a + k) ,
)V22(2,−4 V V11(2, 6) , V ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻜﺒﻴﺮ ∴ x = 2
ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺼﻐﻴﺮ y = 1 )اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي(
76
c 4 = <1 a 5
=e
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG (2
J
) øjQɪ
‐2
.1ﻋﻴﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ ﺛﻢ ﺟﺪ ﻃﻮل وﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ واﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي ﻟﻠﻘﻄﻮع اﻟﻨﺎﻗﺼﺔ اﻟﻤﺒﻴﻨﺔ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻬﺎ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: b) 9x 2 +13y2 = 117
a) x 2 + 2y2 = 1
(x + 3)2 (y + 2)2 )d + =1 9 25
(x − 4)2 (y +1)2 )c + =1 81 25
f) 25x2+ 9y2 -100x+54y - 44 =0
e) 9x2+16y2 -72x-96y+144 =0
.2ﺟﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: أ .اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ) (5 ,0و ) (-5 ,0وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻜﺒﻴﺮ ﻳﺴﺎوي ) (12وﺣﺪة. ب .اﻟﺒﺆﺗﺎن )0 (0 (±2,وﻳﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻋﻨﺪ . x = ±4 ﻫﻤﺎ), 2
ﺟـ .اﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﺗﺒﻌﺪ ﻋﻦ ﻧﻬﺎﻳﺘﻲ ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻜﺒﻴﺮ ﺑﺎﻟﻌﺪدﻳﻦ 5 ،1وﺣﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ. د .اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي = 1وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻜﺒﻴﺮ ) (16وﺣﺪة ﻃﻮﻟﻴﺔ . 2 ﻫـ .اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﺗﺴﺎوي ) (8وﺣﺪات ،وﻧﺼﻒ ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺼﻐﻴﺮ ﻳﺴﺎوي )(3وﺣﺪة . .3ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اذا ﻋﻠﻢ:
أ .ﺑﺆرﺗﺎﻩ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ) (0,±2ورأﺳﺎﻩ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن ) (0,±3وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
ب.اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ)(6وﺣﺪة واﻟﻌﺪد اﻟﺜﺎﺑﺖ)(10واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. .4ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي 2 ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y + 8x = 0ﻋﻠﻤ ًﺎ ﺑﺎن اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ ﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ )3
. (2 3 ,
77
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG .5ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ).(3 ,4) , (6, 2 .6ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻧﻘﻄﺘﺎ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ x2 + y2 -3x = 16ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻳﻤﺲ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ . y2 = 12x .7ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن اﻟﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻜﺒﻴﺮ ﺿﻌﻒ ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺼﻐﻴﺮ وﻳﻘﻄﻊ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ y2 + 8x = 0ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ اﺣﺪاﺛﻴﻬﺎ اﻟﺴﻴﻨﻲ ﻳﺴﺎوي ). (-2 .8ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ hx 2 + ky2 = 36وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ ﻣﺤﻮرﻳﻪ ﻳﺴﺎوي ) ، (60واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ y2 = 4 3xﻣﺎ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ h,k؟ .9ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ x2 = 24y وﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮﻟﻲ ﻣﺤﻮرﻳﻪ ) (36وﺣﺪة.
78
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG
] [2-6اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ . Hyperbola
]2-6] ∞`jô```©J اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻫﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ﻓﻲ اﳌﺴﺘﻮي اﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﻄﻠﻘﺔ ﻟﻔﺮق ﺑﻌﺪي اي ﻣﻨﻬﺎ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺘﲔ ﺛﺎﺑﺘﺘﲔ )اﻟﺒﺆرﺗﺎن( ﻳﺴﺎوي ﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ . ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )(2 - 22 y
اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ ) F1 (c , 0) , F2(-c,0 اﻟﺮأﺳﺎن ﻫﻤﺎ ) V1 (a , 0) , V2(-a,0 واﻟﻨﻘﻄﺔ ) P(x,yﻧﻘﻄــﺔ ﻣــﻦ ﻧﻘـــﺎط ﻣﻨﺤﻨﻲ
)P(x,y
اﻟﻘﻄــــــﻊ اﻟﺰاﺋــﺪ وﻣـــﻦ اﻟﺘﻌــــﺮﻳﻒ ][2 - 6 x
| PF1 - PF2| = 2a ﺣﻴﺚ 2aﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘــ ًﺎ ﻳﻤﺜـــﻞ ﻃــﻮل اﻟﻤﺤـــﻮر
)(0,b
)F1(c,0
O )v1(a,0
)F2(-c,0
)v2(-a,0
)(0,-b
اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻟﻠﻘﻄــــﻊ اﻟﺰاﺋـــﺪ اﻟــﺬي ﺗﻘــﻊ ﻋﻠﻴــﻪ اﻟﺒــــﺆرﺗﻴــــــﻦ واﻟــــﺮأﺳﻴـــﻦ وﻛــــــﻞ ﻣـــــــﻦ pF1 , pF2ﻳﺴﻤﻴـــــﺎن ﻃـــــــــﻮﻟﻲ ﻧﺼﻔـــــﻲ اﻟﻘﻄﺮﻳــــﻦ اﻟﺒﺆرﻳﻴـﻦ اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﻴـﻦ ﻣـﻦ ﻧﻘﻄــــﺔ ) (pواﻟﻤﺴﺎﻓــــــﺔ F1 F2ﺗﺴﻤــــﻰ ﺑﺎﻟﺒﻌـــــﺪ
اﻟﺸﻜﻞ )(2-22
اﻟﺒﺆري وﻳﺴﺎوي 2cوﻃﻮل اﻟﻤﺤـــﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ او اﻟﺘﺨﻴﻠﻲ ﻫﻮ )) (2bوﻫﻮ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ واﻟﻤﺎر ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ( .
79
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ] [2-6-1ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ ) (2 - 22وﺗﺒﻌ ًﺎ ﻟﺘﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ:
|PF1pF =|-PF−2 pF2a= 2a 2
1
⇒ PF pF11 − PF pF22 = ±2a ⇒ (x − c)2 + y2 − (x + c)2 + y2 = ±2a 2 2 2 ⇒ (x − c)2 + y2 ± = 2a )±2a++ (x(x−+c)c ++y2y
وﺑﺘﺮﺑﻴﻊ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ واﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﻛﻤﺎ ﻣﺮ ﻓﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ: y2 x2 + =1 a 2 a 2 − c2 ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ ) (2 - 22ﻓﺎنc > 0 , a > 0 , c > a : c2 - a2 > 0 وﺑﻔﺮض ان b2 = c2 - a2
وﺑﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ a2 - c2 = b2ﻓﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ: x 2 y2 ⇒ 2 − 2 =1 a b
80
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ] [2-6-2ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ . y )F1(0,c
اذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼـــﺎدات suuur وﻣﺤﻮراﻟﺴﻴﻨﺎت ﻫﻮ اﻟﻌﻤـــﻮد ﻋﻠﻰ F1 F2 ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ)(2 - 23 وﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻧﺠﺪ اﻟﻤﻌﺎدﻟــــــﺔ اﻟﻘﻴــﺎﺳﻴـــــﺔ ﻟﻠﻘـﻄـــــــﻊ اﻟﺰاﺋـــــــــــــــﺪ .
)v1(0,a
x
)(b,0
y2 x 2 وﻫﻲ− 2 = 1 : 2 a b
)(-b,0 )v2(0,-a )F2(0,-c اﻟﺸﻜﻞ )(2-23
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﺍﻻﺧﺘﻼﻑ ﺍﳌﺮﻛﺰﻱ eﻟﻠﻘﻄﻊ ﺍﻟﺰﺍﺋﺪ ﻳﻜﻮﻥ ﺃﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﻭﺍﺣﺪ ﺃﻱ c >1 a
=e
] [2-6-3ﻃﺮﻳﻘﺔ رﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ . Graph The Hyperbola x 2 y2 ﻟﺘﻜﻦ 2 − 2 = 1ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﻄﻊ زاﺋﺪ ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻟﺮﺳﻢ ﻫﺬا اﻟﻘﻄﻊ : a b .1ﻧﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) . (a , 0) , (-a , 0 .2ﻧﻌﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ).(0 ,-b) , (0 , b .3ﻧﻜﻮن ﻣﺴﺘﻄﻴ ً ﻼ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻘﻂ أﺿﻼﻋﻪ ﺗــــﻮازي اﻟﻤﺤﻮرﻳـﻦ ﻛﻤــــﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜـﻞ ).(2 - 24
81
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG y
.4ﻧﺮﺳـــــــﻢ ﻗﻄــــــــﺮي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴــــــــــــﻞ )(0,b
ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ) (2 - 24ﻓﻬﻤﺎ ﻳﻤﺜﻼن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ اﻟﻤﺤﺎذﻳﻴﻦ ﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄــﻊ اﻟﺰاﺋﺪ .
)V1(a,0
x
)V2(-a,0 )(0,-b
اﻟﺸﻜﻞ )(2-24
.5ﻧﻌﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ) F1 (c , 0) , F2(-c,0ﺛﻢ ﻧﺮﺳﻢ ذراﻋﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ).(2 - 25 y
x
)F1(c ,0
)F2(-c,0
اﻟﺸﻜﻞ )(2-25
82
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل -19-
ﻋﻴﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ وﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ واﻟﻤﺮاﻓﻖ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﺛﻢ أرﺳﻤﻪ.
اﳊﻞ
x 2 y2 − =1 64 36
ﺑﺎﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ
22
2
yx xy − 2 =1 2 a b وﺣﺪة ⇒ a 2 = 64 ⇒ a = 8 ⇒ 2a = 16
ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ
وﺣﺪة ⇒ b2 = 36 ⇒ b = 6 ⇒ 2b = 12
ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ
c 2 = a 2 + b2 ⇒ c 2 = 64 + 36 ⇒ c 2 = 100 ⇒ c = 10
رأﺳﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻫﻤﺎ ) V1 (8 , 0) , V2(-8,0 ﻗﻄﺒﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻫﻤﺎ
)y 0 ∴ F1 (10, 0) , F2 (−10,
)(0 ,6) , (0 , -6
)∴V1 (8, 0) , V2 (−8, 0
واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ ) F1 (10 , 0) , F2(-10,0
)(0, 6
x
)F1(10 ,0
اﻟﺸﻜﻞ )(2-26
ﻣﺜﺎل -20-
)V2(-8,0
)V1(8,0
)F2(-10,0 )(0, -6
ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ = 6وﺣﺪات واﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي ﻳﺴﺎوي ) (2واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت.
اﳊﻞ
2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a 2 = 9 c c ∴e= ⇒ 2 = ⇒ c = 6 3 a ∴ c 2 = a 2 + b2 ⇒ 36 = 9 + b2 ⇒ b2 = 36 − 9 ⇒ b2 = 27 x 2 y2 ∴ − ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ = 1 9 27
83
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل -21-
ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻤﺮاﻓﻖ 4وﺣﺪات وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻫﻤﺎ اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن: ) F1 (0, 8 ) , F2 (0,− 8
اﳊﻞ
y2 x 2 ﺑﻤﺎ ان اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﻓﻤﻌﺎدﻟﺘﻪ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ − = 1 a 2 b2
⇒ 2b = 4 ⇒2bb==42 = bb2 ==24= b2 = 4
y
⇒ c= 8 c =c 2 8= 8⇒ c 2 = 8 2 2 2 +cb = a 2 + b2 Q c 2 = aQ
) F1 (0, 8
∴ 8 = a 2∴+84 = a 2 + 4
)(0, 2
a2 = 4 a2 = 4 y2 x 2 y2 x 2 − = 1− = 1 4 4 4 4
x
)(−2, 0
)(2, 0 )(0, −2
) F2 (0, − 8
اﻟﺸﻜﻞ )(2-27
ﻣﺴﺎو اﻟﻰ ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ ﻣﺜﻞ ﻫﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻘﻄﻮع اﻟﺰاﺋﺪة ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻤﺜﺎل ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ٍ
ﻳﺪﻋﻰ ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﻘﺎﺋﻢ او )اﻟﻤﺘﺴﺎوي اﻻﺿﻼع( ﻻن اﻟﻨﻘﺎط اﻻرﺑﻊ ﺗﺸﻜﻞ رؤوس ﻣﺮﺑﻊ وﻓﻴﻪ ﻳﻜﻮن اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي ) (eﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﻗﻴﻤﺘﻪ ) . ( 2
84
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG
] [2-7اﻧﺴﺤﺎب ﻣﺤﺎور اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ : ] [2-7-1ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (h,kوﻣﺤﻮراﻩ ﻳﻮازﻳﺎن اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ. ﻋﻨﺪ اﻧﺴﺤﺎب ﻣﺮﻛﺰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﺑﻤﻘﺪار ) (hﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﺑﻤﻘﺪار ) (kﻣﻦ اﻟﻮﺣﺪات ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ﺗﺼﺒﺢ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ.
(x − h)2 (y − k)2 − =1 2 2 a b
ﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )(2 - 28 y
y
)(h,b+k
x
)F1(h+c,k
)V1(h+a,k
)V2(h-a,k
)F2(h-c,k
x )(h,-b+k
اﻟﺸﻜﻞ )(2-28
ﺣﻴﺚ اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت واﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ
)FF11 (c + h, k) , FF22 (−c + h, k
V11 (a + h, k) , V V واﻟﺮأﺳﺎن ﻫﻤﺎ )V22 (−a + h, k
85
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻳﻤﻜﻦ اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ).(h,k ﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ ﺗﻜﻮن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻫﻲ : وﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )(2 - 29
(y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2
اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ )F11(h,c + k) , FF22(h,−c + k F
y
واﻟﺮأﺳﺎن ﻫﻤﺎ )V 11 (h,a + k) , VV22 (h,−a + k V )F1(h,c+k
)V1(h,a+k x
)(h,k
)V2(h,-a+k
)F2(h,-c+k
اﻟﺸﻜﻞ )(2-29
ﺳﻨﻘﺘﺼﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﻨﺪ ] [2 - 7ﻋﻠﻰ ﺍﻳﺠﺎﺩ ﻣﺮﻛﺰ ﺍﻟﻘﻄﻊ ﺍﻟﺰﺍﺋﺪ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﻭﺑﺆﺭﺗﺎﻩ ﻭﺭﺃﺳﺎﻩ ﻭﻃﻮﻝ ﺍﶈﻮﺭﻳﻦ.
86
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG ﻣﺜﺎل -22-
ﺟﺪ اﺣﺪاﺛﻴﺎ اﻟﻤﺮﻛﺰ واﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ واﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ :
2
=1 اﳊﻞ ﺑﻤﻘﺎرﻧﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ :
ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻴﺎﺳﻴﺔ
ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻃﻮل اﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﺮاﻓﻖ
)(x + 2) (y −1 − 9 4 2
(x + 2)2 (y −1)2 =1 − 9 4 (x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2
ﻧﺠﺪ: − k)2 (x − h)2 (y − =1 a2 b2 وﺣﺪة ⇒ a 2 = 9 ⇒ a = 3 ⇒ 2a = 6 وﺣﺪة ⇒ b2 = 4 ⇒ b = 2 ⇒ 2b = 4 a 2==−2 ⇒9 ⇒h , ka==13 ⇒ 2a = 6 اﻟﻤﺮﻛﺰ ∴(h, )= =4 (−2,1 ⇒⇒ b= 2 2b = 4 )⇒ b2k
⇒ k =c12 = 9 + 4 = 13 ⇒ c = 13 ⇒ + b,2 c 2 =h a=2−2 ∴(h, )F11(ck)+=h,(−2,1 ∴ ﻻن اﻟﻤﺤﻮر اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت )k) , FF2 (−c + h, k 2 2
⇒ c, =F29(−+ 43=−13 ⇒ c = 13 )c =F1a( +3 b− 2,1 )2,1 ⇒ ∴ +13 h,h, )+ h, k F2 2(−a ⇒FFFV111(c )−k)2,1 + k), ,F2,V(−c اﻟﺒﺆرﺗﺎن )h, −k)2,1 1((a 2 (− +13 2
2
2
)3 − ,2,1 ), F2 (− 3 − 2,1 )⇒ FV11((1,1 )V 2 (−5,1
k) , V )V 22 (−a + h, k V 1 (a c + h,13 = ∴ e =1 اﻟﺮأﺳﺎن )V22 (−5,1 V 11 a(1,1) ,3V V
)اﻻﺧﺘﻼف اﻟﻤﺮﻛﺰي( >1
c 13 = a 3
=∴e
87
Conic Sections á«WhôîŸG ´ƒ£≤dG (2
J
) øjQɪ
‐3
b) 16x 2 − 9y = 144
2 ﻟﻠﻘﻄﻮع(x + اﻟﻤﺮﻛﺰي 5)2 واﻻﺧﺘﻼف)(y −1 اﻟﺰاﺋﺪة .1ﻋﻴﻦ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ واﻟﺮأﺳﻴﻦ ﺛﻢ ﺟﺪ ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ )d −2 =1 2 a) 12x 4y2 =6448 b) 16x 2 − 9y2 = 144 362 −−4y a) 12x = 48 b) 16x 2 − 9y = 144 اﻻﺗﻴﺔ : 2 2 2 2 y x2 (x + 5)2 (y −1)2 )y2y+1 )fc ) 2(x )c − x −=4(x 3 −1)2 = 8 d) (x + 5) − (y −1) = 1 c) 3 − 2 = 3 )d 36 − 64 = 1 3 2 .2اﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ ﻓﻲ64 36ﺛﻢ ارﺳﻢ اﻟﻘﻄﻊ : اﻟﺤﺎﻻت اﻻﺗﻴﺔ (y −1)22 (x − 2)22 2 2 )(y −1 اﻻﺻﻞe). − (x − x2)= ±3 اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻋﻨﺪ= 1 ﻣﺤﻮر) f )+1ﻣﻊ2(x )−1 2 − 4(x 2 =8 (±5, )0 ﻧﻘﻄﺔ وﻣﺮﻛﺰﻩ وﻳﺘﻘﺎﻃﻊ )e اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن )f ) 2(x +1) − 4(x −1 أ .اﻟﺒﺆرﺗﺎن ﻫﻤﺎ = 8 4 − 5 =1 4 ﻣﺤﻮراﻩ ﻋﻠﻰ ب .ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ) (12وﺣﺪة وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻤﺮاﻓﻖ ) (10وﺣﺪات 5وﻳﻨﻄﺒﻖ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. ﺟـ .ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻋﻠﻰ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﻤﺮاﻓﻖ 2 2وﺣﺪة واﺧﺘﻼﻓﻪ
اﻟﻤﺮﻛﺰي ﻳﺴﺎوي ).(3 وﺑﺆرﺗﻴﻪ )(2 2(2 0)2 , 0 (−2 (2, (−2 )2 0)2 , 0 (−2 اﻻﺻﻞ 2 .3ﺟﺪ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ )0 وﻳﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮراﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ واﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﻔﺮق ﺑﻴﻦ ﺑﻌﺪي اﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻦ ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻳﺴﺎوي ) (4وﺣﺪات. .4ﻗﻄﻊ زاﺋﺪ ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ) (6وﺣﺪات واﺣﺪى ﺑﺆرﺗﻴﻪ ﻫﻲ ﺑﺆرة اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻳﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ) . (1,−2 5 ) , (1, 2 5ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي رأﺳﻪ ﻧﻘﻄـــﺔ
اﻻﺻﻞ واﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ .
,
.5ﻗﻄﻊ زاﺋﺪ ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ hx2 - ky2 = 90وﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ) (6 2وﺣﺪة وﺑﺆرﺗﺎﻩ ﺗﻨﻄﺒﻘﺎن ﻋﻠﻰ ﺑﺆرﺗﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ 9x2 + 16y2 = 576ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ h , kاﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻﻋﺪاد اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ. .6اﻛﺘﺐ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ اذا ﻋﻠﻤﺖ ان اﺣﺪ راﺳﻴﻪ ﻳﺒﻌﺪ ﻋﻦ اﻟﺒﺆرﺗﻴﻦ ﺑﺎﻟﻌﺪدﻳﻦ 1 , 9وﺣﺪات ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ وﻳﻨﻄﺒﻖ ﻣﺤﻮراﻩ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﻴﻦ.
.7ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻫﻤﺎ ﺑﺆرﺗﺎ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x2 - 3y2 = 12واﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻲ ﻣﺤﻮرﻳﻪ = 5وﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ . .8اﻟﻨﻘﻄﺔ )3 p(6 , L ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﻣﺮﻛﺰﻩ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ وﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ x2-3y2 =12ﺟﺪ ﻛ ً ﻼ ﻣﻦ:
ب .ﻃﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ اﻟﺒﺆري ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻓﻲ اﻟﺠﻬﺔ اﻟﻴﻤﻨﻰ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ .P أ .ﻗﻴﻤﺔ . L 2 2 .9ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ اﻟﺬي ﺑﺆرﺗﺎﻩ ﻫﻤﺎ ﺑﺆرﺗﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﻗﺺ x + y = 1وﻳﻤﺲ دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻄﻊ 9 25 اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ . x2 + 12y = 0
88
1
3
Application of Differentiationπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
ådÉãdG π°üØdG Chapter Three
π°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ][3-1
اﳌﺸﺘﻘﺎت ذات اﻟﺮﺗﺐ اﻟﻌﻠﻴﺎ
][3-2
اﳌﻌﺪﻻت اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ
][3-3
ﻣﺒﺮﻫﻨﺘﺎ رول واﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ
] [3-4اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ] [3-5اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ ] [3-6ﺗﻘﻌﺮ وﲢﺪب اﳌﻨﺤﻨﻴﺎت وﻧﻘﻂ اﻻﻧﻘﻼب ] [3-7اﺧﺘﺒﺎر اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻨﻘﻂ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ
] [3-8رﺳﻢ اﳌﺨﻄﻂ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ] [3-9ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻌﻈﻤﻰ او اﻟﺼﻐﺮى.
89
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
π°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﲤﻬﻴﺪ :ﻟﻘﺪ ﺳﺒﻖ أن ﺗﻌﻠﻤﺖ ﻓﻲ اﻟﺼﻒ اﳋﺎﻣﺲ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻣﺘﻰ ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق وﺗﻌﺮﻓﺖ ﻋﻠﻰ ﻗﻮاﻋﺪ اﻳﺠﺎد ﻣﺸﺘﻘﺎت اﻟﺪوال اﳉﺒﺮﻳﺔ واﻟﺪاﺋﺮﻳﺔ واﻟﺘﻔﺴﻴﺮ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ واﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻲ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺔ وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻨﺘﻨﺎول ﺑﻌﺾ اﳌﻔﺎﻫﻴﻢ اﻻﺧﺮى وﺑﻌﺾ اﺳﺘﻌﻤﺎﻻت وﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ
] [3-1اﳌﺸﺘﻘﺎت ذات اﻟﺮﺗﺐ
اﻟﻌﻠﻴﺎ)(Higher- Order Dedrivatives
إذا ﻛﺎﻧﺖ ) Y = f (xداﻟﺔ ﺗﺘﻮاﻓﺮ ﻓﻴﻬﺎ ﺷﺮوط اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﺎن ﻣﺸﺘﻘﺘﻬﺎ اﻷوﻟﻰ )(First Derivative ﻫﻲ ) yʹ = dy = f ʹ(xوﲤﺜﻞ داﻟﺔ ﺟﺪﻳﺪة dx واﻟﺪاﻟﺔ اﳉﺪﻳﺪة ﻫﺬﻩ إذا ﺗﻮاﻓﺮت ﻓﻴﻬﺎ ﺷﺮوط اﻻﺷﺘﻘﺎق أﻳﻀ ًﺎ ﻓﺈن ﻣﺸﺘﻘﻬﺎ داﻟﺔ ﺟﺪﻳﺪة ﲤﺜﻞ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ 2 ) (Second Derivativeوﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) yʹʹ = d y = f ʹʹ(xوﻫﺬﻩ اﻻﺧﻴﺮة اﻳﻀ ًﺎ داﻟﺔ ﺟﺪﻳﺪة dx 2 ﻓﻲ اﳌﺘﻐﻴﺮx وإذا ﺗﻮاﻓﺮت ﻓﻴﻬﺎ ﺷﺮوط اﻻﺷﺘﻘﺎق ﻓﺈن ﻣﺸﺘﻘﺘﻬﺎ ﺗﺴﻤﻰ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ) :(Third Derivativeوﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ
d3 y )yʹʹʹ = 3 = f ʹʹʹ(x dx
وﻋﻠﻰ ﻫﺬا اﳌﻨﻮال ﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﻣﺸﺘﻘﺎت ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ وﺑﺪء ًا ﻣﻦ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻳﻄﻠﻖ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﻩ اﳌﺸﺘﻘﺎت ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺎت اﻟﻌﻠﻴﺎ )(Higher Derivativesوﺗﻜﺘﺐ اﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ nﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: n ) y(n) = d y = f (n) (xﺣﻴﺚ nﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻮﺟﺐ. dx n
90
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J وﻟﻨﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ رﻣﻮز ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺎت اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ:
),...,f (n) (x f '(x), f ''(x), f '''(x), f (4 ) (x)....,
)y', y'', y''', y(4 ) ,...., y(n
dy d2 y d3 y d 4 y dn y , 2 , 3 , 4 ,..., n dx dx dx dx dx وﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﳌﺸﺘﻘﺎت اﻟﻌﻠﻴﺎ ﻳﺘﻀﺢ ﻟﻨﺎ أن : وأن :
2
⎞ d y d ⎛ dy ⎟ ⎜ = ⎠ dx 2 dx ⎝ dx ⎞ d3 y d ⎛ d2 y ⎜ = ⎟ ,..... ⎠ dx 3 dx ⎝ dx 2
وﻛﻤﺜﺎل ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺎت اﳌﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻧﺄﺧﺬ اﻟﺪاﻟﺔ اﻻﺗﻴﺔ s=f(t ) :ﺣﻴﺚ sﲤﺜﻞ إزاﺣﺔ ﺟﺴﻢ ﻣﺘﺤﺮك ﻋﻨﺪ أي زﻣﻦ،t d2 s ﻓﺎﳌﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ) ds = f ʹ(tﲤﺜﻞ اﻟﺴﺮﻋﺔ اﻟﻠﺤﻈﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ اﳉﺴﻢ ،واﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ʹʹ = f )(t dt dt 2 ﲤﺜﻞ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻟﺴﺮﻋﺔ أي اﻟﺘﻌﺠﻴﻞ) (Accelerationﻟﻠﺠﺴﻢ اﳌﺘﺤﺮك. 3 أﻣﺎ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻟﻺزاﺣﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺰﻣﻦ d s = f ʹʹʹ (t ) ,tﻓﺘﻤﺜﻞ اﳌﻌﺪل اﻟﻠﺤﻈﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﻌﺠﻴﻞ dt 3 وﻣﻦ اﻷﻣﺜﻠﺔ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ ا ُﻷﺧﺮى ،ﺣﺴﺎب درﺟﺔ اﻷﻣﺎن ﻓﻲ ﻧﻈﺎم ﻓﺮاﻣﻞ ﺳﻴﺎرة ﻣﺎ ﻳﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ أﻗﺼﻰ ﺗﺒﺎﻃﺆ )(Decelerationﳝﻜﻦ أن ﲢﺪﺛﻪ اﻟﻔﺮاﻣﻞ)وﻫﻮ ﺗﻌﺠﻴﻞ ﺳﺎﻟﺐ(. وﻋﻨﺪ اﻃﻼق ﺻﺎروخ ﻟﻠﻔﻀﺎء ﻓﺈن راﺋﺪ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺬي ﻓﻲ اﳌﺮﻛﺒﺔ داﺧﻞ اﻟﺼﺎروخ ﻳﺘﻌﺮض ﻟﺘﺄﺛﻴﺮات ﺻﺤﻴﺔ وﻫﺬﻩ اﻟﺘﺄﺛﻴﺮات ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻌﺠﻴﻞ اﻟﺬي ﻳﺘﻌﺮض ﻟﻪ ﻫﺬا اﻟﺮاﺋﺪ . وﺗﺴﺘﻌﻤﻞ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻟﺪراﺳﺔ ﻣﺎ ﻳﺘﻌﺮض ﻟﻪ راﻛﺐ ﻗﻄﺎرات اﻷﻧﻔﺎق.
91
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-1- اﳊﻞ
d4 y إذا ﻛﺎﻧﺖ y= cos 2xﻓﺠﺪ dx 4 dy = −2sin 2x dx d2 y = −(2)2 cos 2x 2 dx d3 y = 23 sin 2x 3 dx
d4 y = 24 cos 2x 4 dx ﻣﺜﺎل-2- اﳊﻞ
2
⎞ d2 y ⎛ dy إذا ﻋﻠﻤﺖ ﺑﺄن y2+x2=1ﻓﺒﺮﻫﻦ ﻋﻠﻰ أن y 2 + ⎜ ⎟ + 1 = 0 : ⎠ dx ⎝ dx
ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﳌﻌﻄﺎة اﺷﺘﻘﺎﻗ ًﺎ ﺿﻤﻨﻴ ًﺎ ،أي ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ x dy :وﻣﻦ ﻗﺴﻤﺔ ﻃﺮﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ 2ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ 2y + 2x = 0 dx
ﺛﻢ ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ x
dy +x=0 dx وﻻﺗﻨﺴﻰ ان اﳊﺪ اﻻول ﻫﻮ ﺣﺎﻟﺔ ﺿﺮب ﻣﺘﻐﻴﺮﻳﻦ d2 y dy dy y 2 + . +1 = 0 dx dx dx
وﺑﻬﺬا ﻳﺘﻢ اﳌﻄﻠﻮب
92
y
d2 y dy 2 y 2 +( ) +1 = 0 dx dx
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J (
1 ) ﺎرﻳﻦ
ﺗﻤ
3-
d2 y : ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ2 ﺟﺪ.1 dx b)e)y = 2 − x , x ≠ −2 2+ x
a) y = 2 − x ,∀x ≤ 2
c) 2xy − 4y + 5 = 0, y ≠ 0, x ≠ 2 : ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲf ʹʹʹ(1) ﺟﺪ.2 a) f (x) =y4= 62−−2xx ,∀x ≤ 32
b) f (x) = x sin π x
c) f (x) =
3 ,x ≠ 2 2−x
(2n+1)π d2 y x ≠ (2n+1)π ∀n ∈ Z, y = tan x إذا ﻛﺎﻧﺖ.3 ﺣﻴﺚ x≠ , ∀n ∈ Z, y = tan 2x = 2y (1+ y2 ) أن,ﻓﺒﺮﻫﻦ 2 dx 2 d2 y + y = 2 cos x ﻓﺒﺮﻫﻦ أنy=x sin x إذا ﻛﺎﻧﺖ.4 dx 2
93
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
] [3-2اﳌﻌﺪﻻت اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ Related Rates إذا وﺟﺪ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﺘﻮﻗﻒ ﻗﻴﻤﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻋﻠﻰ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ ﻳﺴﻤﻰ )ﺑﺎراﻣﺘﺮ( وﻣﺜﺎﻟ ُﻪ اﻟﺰﻣﻦ ﻓﺘﺘﻐﻴﺮ ﻛﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﺗﺒﻌ ًﺎ ﻟﺘﻐﻴﺮﻩ وﺣﻴﺚ أن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻫﻲ ارﺗﺒﺎط ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﻤﻲ اﳌﻌﺪﻻت اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻫﺬﻩ ﺑﺎﳌﻌﺪﻻت اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ واﺣﻴﺎﻧ ًﺎ ﺑﺎﳌﻌﺪﻻت اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ أو اﳌﻌﺪﻻت اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻓﻘﻂ ،ﻓﻤﺜ ً ﻼ اذا ﻛﺎن )y = g(t), x = f (t ﻓﺎﳌﺘﻐﻴﺮان x,yﻣﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ﺗﺎﺑﻌﲔ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﳌﺘﻐﻴﺮ اﳌﺴﺘﻘﻞ ،tﻓﻤﻦ اﳌﻤﻜﻦ رﺑﻂ اﳌﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ﺑﺒﻌﻀﻬﻤﺎ، dy dxواﻟﻨﺎﲡﺎن ﳝﺜﻼن اﳌﻌﺪﻟﲔ وﳝﻜﻦ أن ﳒﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ ﻛﻞ ﻣﻨﻬﻤﺎ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: )= f ʹ(t), = gʹ(t dt dt اﻟﺰﻣﻨﻴﲔ ﻟﺘﻐﻴﺮ ﻛﻞ ﻣﻦ y,x وﻗﺪ ﻳﺘﻮاﻓﺮ اﻟﺮﺑﻂ ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮﻳﻦ ﻓﻲ ﻣﺴﺄﻟﺔ ﻣﺎ ﲟﻌﺎدﻟﺔ وﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺰﻣﻦ tﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﳌﺜﺎل ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ x2+y2-4y+6x=0ﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎد اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ ﻛﻞ ﻣﻦ x,yوﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ: d 2 2 d ⇒ )(x + y − 4y + 6x) = (0 dt dt ﻓﻴﻜﻮن :اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ yﻳﺴﺎوي dy dt
dx dy dy dx + 2y − 4 + 6 =0 dt dt dt dt
2x
dx واﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ xﻳﺴﺎوي dt
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﳊﻞ أي ﺳﺆال ﻳﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﳌﻌﺪﻻت اﳌﺮﺗﺒﻄﺔ ﺣﺎول إﺗﺒﺎع ﻣﺎ ﻳﻠﻲ إن أﻣﻜﻦ:
(1ارﺳﻢ ﻣﺨﻄﻄ ًﺎ ﻟﻠﻤﺴﺄﻟﺔ )أن اﺣﺘﺠﺖ اﻟﻰ ذﻟﻚ(وﺣﺪد اﳌﺘﻐﻴﺮات واﻟﺜﻮاﺑﺖ وﺿﻊ ﻟﻬﺎ اﻟﺮﻣﻮز وﺣﺪد اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ اﻟﺴﺆال. (2ﺣﺎول إﻳﺠﺎد ﻋﻼﻗﺔ أﺧﺮى ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻟﻜﻲ ﺗﻘﻠﻞ ﻣﻦ ﻋﺪد اﳌﺘﻐﻴﺮات. (3ﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ )اﻟﺰﻣﻦ( .t (4ﻋﻮض ﻣﻌﻄﻴﺎت اﻟﺴﺆال ﻣﻦ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﺑﻌﺪ اﻻﺷﺘﻘﺎق. واﻻﻣﺜﻠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﻮﺿﺢ ذﻟﻚ:
94
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-1- ﺧﺰان ﳑﻠﻮء ﺑﺎﳌﺎء ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺘﻮازي ﺳﻄﻮح ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺮﺑﻌﺔ ﻃﻮﻟﻬﺎ 2mﻳﺘﺴﺮب ﻣﻨﻪ اﳌﺎء ﲟﻌﺪل 0.4m3/hﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻧﺨﻔﺎض اﳌﺎء ﻓﻲ اﳋﺰان ﻋﻨﺪ أي زﻣﻦ .t اﳊﻞ ﻟﻴﻜﻦ ﺣﺠﻢ اﳌﺎء ﻓﻲ اﳋﺰان ﻋﻨﺪ أي زﻣﻦ tﻫﻮ )v(t )ﺗﺴﺮب( ⇐ ) dv = −0.4اﻻﺷﺎرة اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﺗﻌﻨﻲ ﻧﻘﺼﺎن(
h
dt
وﻟﻴﻜﻦ ارﺗﻔﺎع اﳌﺎء ﻓﻲ اﳋﺰان ﻋﻨﺪ أي زﻣﻦ ﻫﻮ hواﳌﻄﻠﻮب إﻳﺠﺎد أن اﳌﺎء ﻳﺄﺧﺬ ﺷﻜﻞ ﻣﺘﻮازي ﺳﻄﻮح ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺮﺑﻌﺔ
dh dt
2m
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة = ∴V = Ah , A V=(2)(2)h⇒ V= 4h ⇒ dv = 4 dh dt
dh ⇒ dt
dt
−0.4 = 4
dh ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻧﺨﻔﺎض اﳌﺎء ﻓﻲ اﳋﺰان = −0.1 m / h dt ﻣﺜﺎل-2 -
ﺻﻔﻴﺤﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﻣﻦ اﳌﻌﺪن ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎوي . 96cm2ﻳﺘﻤﺪد ﻃﻮﻟﻬﺎ ﲟﻌﺪل
2cm/sﺑﺤﻴﺚ ﺗﺒﻘﻰ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺛﺎﺑﺘﺔ ،ﺟﺪ ﻣﻌﺪل اﻟﻨﻘﺼﺎن ﻓﻲ ﻋﺮﺿﻬﺎ وذﻟﻚ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﺮﺿﻬﺎ .8cm اﳊﻞ
ﻓﻲ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ ﻣﺎ ﻧﻔﺮض ﻃﻮل اﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = x وﻋﺮض اﳌﺴﺘﻄﻴﻞ= y dx = 2cm/sﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻟﻄﻮل dt
95
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J dy ?= dt
ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﻟﻌﺮض A = xy ∴ 96∴=96 )xy...(1 )= xy...(1
ﻧﺸﺘﻖ ﻃﺮﻓﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ اﻟﻰ t
)∴ 96 = xy...(1
∴ y = 8 ⇒ x = 12 d d )(96) = (xy dt dt dy dx + y. dt dt dy )0 = 12 + 8(2 dt
⇒ 0 = x.
dy −16 −4 = = cm/ ssec dt 12 3
⇒
ﻣﺜﺎل-3 - ﻣﻜﻌﺐ ﺻﻠﺪ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ 8cmﻣﻐﻄﻰ ﺑﻄﺒﻘﺔ ﻣﻦ اﳉﻠﻴﺪ ﺑﺤﻴﺚ ﺷﻜﻠﻪ ﻳﺒﻘﻰ ﻣﻜﻌﺒﺎً، ﻓﺈذا ﺑﺪأ اﳉﻠﻴﺪ ﺑﺎﻟﺬوﺑﺎن ﲟﻌﺪل 6cm3/sﻓﺠﺪ ﻣﻌﺪل اﻟﻨﻘﺼﺎن ﺑﺴﻤﻚ اﳉﻠﻴﺪ ﻓﻲ اﻟﻠﺤﻈﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ ﻫﺬا اﻟﺴﻤﻚ .1cm اﳊﻞ ﻧﻔﺮض ﺳﻤﻚ اﳉﻠﻴﺪ ﻓﻲ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ = xواﳌﻄﻠﻮب ﺣﺴﺎب dxﻋﻨﺪﻣﺎ x=1 dt ﺣﺠﻢ اﳉﻠﻴﺪ = ﺣﺠﻢ اﳌﻜﻌﺐ اﳌﻐﻄﻰ ﺑﺎﳉﻠﻴﺪ -ﺣﺠﻢ اﳌﻜﻌﺐ اﻷﺻﻠﻲ V=(8+2x )3-83ﺣﺠﻢ ﺻﻐﻴﺮ dv dxdx 2 -0 = )(2 )= 3(8 + 2x)(2 dt dtdt وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻌﻄﺎة ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ: dx −6 = 3(8 + (2)(1))2 .2 dt dx s = −0.01cm/ sec dt ∴ﻣﻌﺪل ﻧﻘﺼﺎن ﺳﻤﻚ اﳉﻠﻴﺪ = 0.01cm/s
96
8cm
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-4 -
ﺳﻠﻢ ﻃﻮﻟﻪ 10mﻳﺴﺘﻨﺪ ﻃﺮﻓﻪ اﻷﺳﻔﻞ ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﻴﺔ وﻃﺮﻓﻪ اﻟﻌﻠﻮي ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ،
ﻓﺈذا اﻧﺰﻟﻖ اﻟﻄﺮف اﻷﺳﻔﻞ ﻣﺒﺘﻌﺪ ًا ﻋﻦ اﳊﺎﺋﻂ ﲟﻌﺪل 2m/sﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن اﻟﻄﺮف اﻷﺳﻔﻞ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ 8mﻋﻦ اﳊﺎﺋﻂ ﺟﺪ: (1ﻣﻌﺪل اﻧﺰﻻق اﻟﻄﺮف اﻟﻌﻠﻮي. (2ﺳﺮﻋﺔ ﺗﻐﻴﺮ اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﲔ اﻟﺴﻠﻢ واﻷرض. اﳊﻞ
θ ارض
x x 2 + y2 = 100
∴ x = 8, ⇒ y = 6
)1
= ∴ x = 8, ⇒ y
ﻧﻔﺮض ﻋﻨﺪ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ : dx ⇐= 2 , ﺑﻌﺪ اﻟﻄﺮف اﻻﺳﻔﻞ ﻋﻦ اﳊﺎﺋﻂ= x dt ﺑﻌﺪ اﻟﻄﺮف اﻷﻋﻠﻰ ﻋﻦ اﻷرض =. y ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﲔ اﻟﺴﻠﻢ واﻷرض = ) θﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻳﺔ( ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ :
10m
yﺣﺎﺋﻂ
d 2 2 d dx dy (x + y ) = (100) ⇒ 2x + 2y = 0 dt dt dt dt
وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻌﻠﻮﻣﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ: dy dy −8 ⇒=0 = ﻣﻌﺪل اﻧﺰﻻق اﻟﻄﺮف اﻟﻌﻠﻮي m/ s dt dt 3
)(2)(8)(2)+ (2)(6
97
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J 8 dθ1 dy 11 dy−4 y yy y d⇒dd(d sinθ ) d dyddyy y sinθ sinθ sinθ sinθ ⇒sinθ sinθ sinθ ⇒ ⇒=== = ( ===) = ⇒ cosθ ) () (=== = ⇒ cosθ 10 1010 1010dt dt dtdt dt dt dtdt 10 dt 10 dt 3 10 10 10 10 dt10
)2
x −4 x8 dθ1x dy 11 dy = cosθﻳﻨﺘﺞ) () ( == = 10dt10 10 dt3 وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ 10 1010 dt 10 dy −8 = وﻣﻦ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﻘﻴﻤﺔ x=8وﻋﻦ ﻗﻴﻤﺔ dt 3
ﺳﺮﻋﺔ ﺗﻐﻴﺮ اﻟﺰاوﻳﺔ
ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ: 8 dθ 1 −8 ) () ( = 10 dt 10 3 dθ −1 s ∴ = rad / sec dt 63
ﻣﺜﺎل-5 - ﻣﺮﺷﺢ ﻣﺨﺮوﻃﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ اُﻓﻘﻴﺔ ورأﺳﻪ ﻟﻸﺳﻔﻞ ،ارﺗﻔﺎﻋﻪ ﻳﺴﺎوي 24cmوﻃﻮل ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ 16cmﻳﺼﺐ ﻓﻴﻪ ﺳﺎﺋﻞ ﲟﻌﺪل 5cm3/sﺑﻴﻨﻤﺎ ﻳﺘﺴﺮب ﻣﻨﻪ اﻟﺴﺎﺋﻞ ،1cm3/sﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ ﻋﻤﻖ اﻟﺴﺎﺋﻞ ﻓﻲ اﻟﻠﺤﻈﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ ﻋﻤﻖ اﻟﺴﺎﺋﻞ . 12cm 16 اﳊﻞ ﻧﻔﺮض ﺑﻌﺪي اﻟﺴﺎﺋﻞ )ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ= rواﻻرﺗﻔﺎع= (hﻋﻨﺪ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ ﻧﻔﺮض ﺣﺠﻢ اﻟﺴﺎﺋﻞ ﻋﻨﺪ أﻳﺔ ﳊﻈﺔ )v(t r ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﳌﺠﺎور ﻣﻦ اﺳﺘﻌﻤﺎل tanθأو ﻣﻦ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﺜﻠﺜﲔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ r 8 1 = ⇒r = h h 24 3
= tanθ
1 ⇒ v = πr 2 h 3 2
⎞ 1 ⎛1 1 πh3 = v = π ⎜ h⎟ hﻧﺸﺘﻖ اﻟﻄﺮﻓﲔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺰﻣﻦ t ⎠ 3 ⎝3 27
98
h
θ
24
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J dv 1 2 dh = πh )....(1 dt 9 dt ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ ﺣﺠﻢ اﻟﺴﺎﺋﻞ ﻓﻲ اﳌﺨﺮوط =ﻣﻌﺪل اﻟﺼﺐ -ﻣﻌﺪل اﻟﺘﺴﺮب. dv = 5 − 1 = 4 cm3/s dt وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ) (1ﻳﻨﺘﺞ dh 1 π(12)2 dt 9
=4
dh 1 s = cm/ sec dr 4π ﻣﺜﺎل-6 -
ﻟﺘﻜﻦ Mﻧﻘﻄﺔ ﻣﺘﺤﺮﻛﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ y2=4xﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن ﻣﻌﺪل
اﺑﺘﻌﺎدﻫﺎ ﻋﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ) (7,0ﻳﺴﺎوي ، 0.2unit/sﺟﺪ اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ اﻻﺣﺪاﺛﻲ اﻟﺴﻴﻨﻲ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ M ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن .x=4 اﳊﻞ
ﻟﺘﻜﻦ ) M(x,yوﻟﺘﻜﻦ ) N(7,0وﻟﺘﻜﻦ اﳌﺴﺎﻓﺔ MNﺗﺴﺎوي S S = (x − 7)2 + (y − 0)2 ⇒ S = x 2 −14x + 49 + y2 وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ y2=4xﻳﻨﺘﺞ ⇒ S = x 2 − 10x + 49 8 −10 dx . 10 dt
= 0.2
⇒
ds 2x − 10 dx = . dt 2 x 2 − 10x + 49 dt dx = −1unit / sec dt
⇒
99
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
(
ﺗﻤ
رﻳﻦ )2 ﺎ
3-
.1ﺳﻠﻢ ﻳﺴﺘﻨﺪ ﻃﺮﻓﻪ اﻷﺳﻔﻞ ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﻴﺔ وﻃﺮﻓﻪ اﻷﻋﻠﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻲ ﻓﺎذا أﻧﺰﻟﻖ اﻟﻄﺮف اﻷﺳﻔﻞ ﻣﺒﺘﻌﺪ ًا ﻋﻦ اﳊﺎﺋﻂ ﲟﻌﺪل ، 2m/sﻓﺠﺪ ﻣﻌﺪل اﻧﺰﻻق اﻟﻄﺮف اﻟﻌﻠﻮي ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ ﺑﲔ اﻟﺴﻠﻢ واﻷرض ﺗﺴﺎوي . π 4
.2ﻋﻤﻮد ﻃﻮﻟﻪ 7.2mﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺘﻪ ﻣﺼﺒﺎح ،ﻳﺘﺤﺮك رﺟﻞ ﻃﻮﻟﻪ 1.8mﻣﺒﺘﻌﺪ ًا ﻋﻦ اﻟﻌﻤﻮد وﺑﺴﺮﻋﺔ ، 30m/minﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ ﻃﻮل ﻇﻞ اﻟﺮﺟﻞ. .3ﻟﺘﻜﻦ Mﻧﻘﻄﺔ ﺗﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ ، y=x2ﺟﺪ اﺣﺪاﺛﻴﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ Mﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻷﺑﺘﻌﺎدﻫﺎ ﻋﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (0, 2ﻳﺴﺎوي ﺛﻠﺜﻲ اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ اﻻﺣﺪاﺛﻲ اﻟﺼﺎدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ .M 3
.4ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻌﺪﻧﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻗﻄﻊ ﻧﺎﻗﺺ ﲟﺴﺎﺣﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﺗﺴﺎوي 60πوﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ ،ﻓﺈذا أزداد ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻷﺻﻐﺮ ﲟﻌﺪل 0.2وﺣﺪة ﻃﻮل/دﻗﻴﻘﺔ ،ﻓﺠﺪ ﻣﻌﺪل اﻟﻨﻘﺼﺎن ﻓﻲ ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻷﻛﺒﺮ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻃﻮل ﻣﺤﻮرﻩ اﻷﺻﻐﺮ 12وﺣﺪة ﻃﻮل. .5ﺟﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﺪاﺋﺮة x 2 + y2 + 4x − 8y = 108واﻟﺘﻲ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻳﻜﻮن اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ x ﻳﺴﺎوي اﳌﻌﺪل اﻟﺰﻣﻨﻲ ﻟﺘﻐﻴﺮ yﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺰﻣﻦ . t .6ﻣﺘﻮازي ﺳﻄﻮح ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ أﺑﻌﺎدﻩ ﺗﺘﻐﻴﺮ ﺑﺤﻴﺚ ﺗﺒﻘﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺮﺑﻌﺔ اﻟﺸﻜﻞ ،ﻳﺰداد ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﲟﻌﺪل ، 0.3cm/sوارﺗﻔﺎﻋﻪ ﻳﺘﻨﺎﻗﺺ ﲟﻌﺪل ، 0.5cm/sﺟﺪ ﻣﻌﺪل ﺗﻐﻴﺮ اﳊﺠﻢ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﻟﻘﺎﻋﺪة 4cmواﻻرﺗﻔﺎع . 3cm
100
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
] [3-3ﻣﺒﺮﻫﻨﺘﺎ رول واﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ
Rolleo s and Mean Value Theorems
ﻗﺒﻞ أن ﻧﺘﻌﺮف ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﺒﻨﺪ اﻟﻰ ﻣﺒﺮﻫﻨﺘﻲ رول واﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻧﺬﻛﺮ ﺑﻌﺾ اﻟﺘﻌﺎرﻳﻒ واﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﺘﻲ ﲤﻬﺪ ﻟﻬﺎﺗﲔ اﳌﺒﺮﻫﻨﺘﲔ) :ﻟﻼﻃﻼع(
ﺗﻌﺮﻳﻒ ][3-1 إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ] [a,bﻓﺈن: f(1ﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻋﻨﺪ cﺣﻴﺚ ] c ∈ [a,bاذا وﻓﻘﻂ اذا
) f (c) ≥ f (xﻟﻜﻞ] x ∈ [a ,b
f (2ﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺔ ﺻﻐﺮى ﻋﻨﺪ cﺣﻴﺚ ] c∈ [a,bاذا وﻓﻘﻂ اذا ) f(c)≤f(xﻟﻜﻞ] x∈[a ,b
ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ)(3-1 إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ] [a,bوﻛﺎن :
ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ أو ﺻﻐﺮى ﻋﻨﺪ cﺣﻴﺚ ) c ∈ (a,bوأن ) f ʹ(cﻣﻮﺟﻮدة ﻓﺎن f ʹ(c) = 0
وﺳﻨﻜﺘﻔﻲ ﺑﺘﻮﺿﻴﺢ ﻫﺬﻩ اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ:
X
b
Y
c
a
101
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ cاﳌﺨﺘﻠﻔﺔ ﻋﻦ a,bواﻟﺘﻲ ﺗﺄﺧﺬ ﻋﻨﺪﻫﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ أو ﺻﻐﺮى ﻳﻜﻮن اﳌﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻓﻘﻴ ًﺎ )اي ﻣﻮازي ﶈﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت( واﻻن ﳝﻜﻦ أن ﺗﻔﻜﺮ ﻓﻲ اﺟﺎﺑﺔ ﻟﻠﺴﺆال اﻻﺗﻲ: اذا ﻛﺎن ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻗﻴﻤﺔ ﻋﻈﻤﻰ أو ﻗﻴﻤﺔ ﺻﻐﺮى ﻋﻨﺪ cﺣﻴﺚ ) c ∈ (a,bﻓﻬﻞ ﻳﺸﺘﺮط أن ﻳﻜﻮن f ʹ(c) = 0؟ وﻟﻼﺟﺎﺑﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺴﺆال اﻟﻴﻚ اﳌﺜﺎل اﻻﺗﻲ: ﻣﺜﺎل -1-
ﻟﺘﻜﻦ f : [−1,1] → R, f (x) = x
وﻛﻤﺎ ﺗﻼﺣﻆ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ أدﻧﺎﻩ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ fﲤﺘﻠﻚ اﻋﻈﻢ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ x = 1 ، x = -1 وﲤﺘﻠﻚ اﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻨﺪ x = 0 واﻧﺖ ﺗﻌﻠﻢ ﻣﻦ دراﺳﺘﻚ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ x = 0 اي ان ) f ʹ(0ﻏﻴﺮ ﻣﻮﺟﻮدة .
y
∴ ﻻ ﻳﺸﺘﺮط أن ﻳﻜﻮن f ʹ(c) = 0
x
+1
0
-1
ﺗﻌﺮﻳﻒ3-2 ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﻌﺮوﻓﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻌﺪد . cﻳﻘﺎل ﻋﻦ اﻟﻌﺪد cﺑﺄﻧﻪ ﻋﺪد ﺣﺮج ) (critical numaerاذا ﻛﺎن f ʹ(c) = 0او ان اﻟﺪاﻟﺔ ﻏﻴﺮ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ cوﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ) ( c, f (cﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ﻓﻔﻲ اﳌﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ :
f :[−1,1] → R ∈ f (x) = x
ﺗﻼﺣﻆ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻨﺪ ﺻﻔﺮ ،وان ) f ʹ(0ﻏﻴﺮ ﻣﻮﺟﻮدة ﻟﺬا ﻳﻘﺎل أن اﻟﻌﺪد ”ﺻﻔﺮ“ ﻫﻮ اﻟﻌﺪد اﳊﺮج ﻟﻠﺪاﻟﺔ fوان اﻟﻨﻘﻄﺔ )) (0, f (0ﻫﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ .
102
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول Rolle’s Theorem ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول :ﻟﻘﺪ وﺿﻊ اﻟﻌﺎﻟﻢ اﻟﻔﺮﻧﺴﻲ )ﻣﺘﺸﻞ رول( وﺿﻊ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﻣﺒﺴﻄﺔ ﻹﻳﺠﺎد ﻧﻘﻂ ﲤﺜﻞ ﻧﻘﻄ ًﺎ ﺣﺮﺟﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻌﻄﺎة وﺳﻤﻴﺖ ﻫﺬﻩ اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ ﺑﺎﺳﻤﻪ.
) (3-2ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺭﻭﻝ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ : f (1ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ][a,b (2ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )(a,b f(b)=f(a) (3 ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻗﻴﻤﺔ واﺣﺪة cﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ) (a,bوﲢﻘﻖ f ʹ(c) = 0 : ﻣﺜﺎل-2 -
ﺑﲔ ﻫﻞ أن ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﺗﺘﺤﻘﻖ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ؟ وﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ cاﳌﻤﻜﻨﺔ: ], x ∈ [0,4
a)f(x) =(2-x)2
]b)f(x)=9x+3x2-x3 , x ∈ [-1,1 ], x ∈ [-1,2 ), x ∈ [-4,-1
اﳊﻞ
⎧x2+1 ⎨ =)c)f(x ⎩ -1
]a)f(x) =(2-x)2 , x ∈ [0,4
اﻟﺸﺮط اﻻول :اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ] [0,4ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود. اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻧﻲ :اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ ) (0,4ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود. f(0)=(2-0)2=4 اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻟﺚ: )f(4)=(2-4)2=4 ⇒ f(0)=f(4 ∴اﻟﺪاﻟﺔ ﺿﻤﻦ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻌﻄﺎة ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول.
103
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J )f ʹ(x) = −2(2 − x )f ʹ(c) = −2(2 − c f ʹ(c) = 0 ⇒ −2(2 − c) = 0 ∴c = 2
]b)f(x)=9x+3x2-x3 , x ∈ [-1,1 اﳊﻞ اﻟﺸﺮط اﻻول :اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ] [-1,1ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود. اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻧﻲ :اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ ) (-1,1ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود. f(-1)=-9+3+1=-5 اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻟﺚ: )f(1)=9+3-1=11 ⇒ f (−1) ≠ f (1 ﻻﺗﺘﺤﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻷن اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻟﻢ ﻳﺘﺤﻘﻖ .ﻟﺬا ﻻﳝﻜﻦ إﻳﺠﺎد c
اﳊﻞ اﻟﺸﺮط اﻻول:
2 ⎧⎪ x⎪⎧2 x+1 [−1, +1 x ∈x [∈−1, ]2] 2 )c) f (x )f (x = ⎨ ⎨= ⎪⎩−1 x ∈x [∈−4, [−4, ⎪⎩−1 ]) ] −1−1
ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ = ][-4,2
⎧ lim (x 2 +1) = 2 = L 1 ⎪ x→−1 ⎨ lim (−1) = −1 = L 2 ⎪⎩ x→−1 +
−
اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﺴﻴﺖ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻷن L 1 ≠ L 2ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ][-4,2 ∴ ﻻ ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول
104
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
)(3-3ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﺘﻮﺳﻄﺔ إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ] [a,bوﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ ) (a,bﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﻗﻴﻤﺔ واﺣﺪة cﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ) (a,bوﲢﻘﻖ f ʹ ( c ) = f ( b) − f ( a ) :او b− a
)f (b) − f (a) = f ʹ(c)(b− a
واﳌﺨﻄﻂ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻌﻄﻲ اﻟﺘﻔﺴﻴﺮ اﻟﻬﻨﺪﺳﻲ ﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ:
اﳌﻤﺎس ﻳﻮازي اﻟﻮﺗﺮ ,ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس = )f ʹ(c
y ))B (b,f(b
)f '(c
))A (a,f(a x
ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ اﳌﺎر ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﲔ A,Bﻳﺴﺎوي
b
c
a
0
)Δy f (b) − f (a = Δx b− a
ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ = cاﳌﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻨﺪ ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ = )f ʹ(c ﻟﻜﻦ اﳌﻤﺎس واﻟﻮﺗﺮ ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻟﺬا ﻳﺘﺴﺎوى ﻣﻴﻼﻫﻤﺎ ) f ( b) − f ( a b− a
= )f ʹ (c
105
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﻼﺣﻈـﺔ
أن ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻫﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣﻦ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﻔﻲ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻳﺠﺐ ﺗﻮاﻓﺮ ﺷﺮط ﺛﺎﻟﺚ )f (a) = f (b ﻫﻮ: أي أن اﻟﻮﺗﺮ واﳌﻤﺎس ﻳﻮازﻳﺎن ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت
أي ﻓﺮق اﻟﺼﺎدات = 0ﻟﺬا ﻳﺼﺒﺢ اﳌﻴﻞ = 0ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ f ʹ(c) = 0 :
ﻣﺜﺎل-3 -
ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ أو ﻗﻴﻢ cاﻟﺘﻲ ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : a)a)f f( (xx) )==xx2 2−−6x 6x++4....on.. 4....on.. ] ][ −1,7 , x ∈ [ −1,7 2 b) fb)( xf )(=x ) =25 25 − x−2 ...on.. x ] ] [ −4,0 ∈[ −4,0 , x...on..
اﳊﻞ 2 − 6x + 4....on.. ] ][ −1,7 )a)a f (fx()x=) =x 2x− 6x + 4....on.. , x ∈[ −1,7
اﻟﺸﺮط اﻷول ﻳﺘﺤﻘﻖ :اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود. اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻳﺘﺤﻘﻖ :اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻻﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود. ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ
)f ʹ(x) f=ʹ(x = 2x ⇒ʹ − 62x⇒− 6f )(c) f=ʹ(c 2c = 2c −= 62c − 6 )f (b)−−f f(a (a) f (7) − f (−1) 11− 11 )f (b = = =0 a −ab 7 +1 8 b− ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس = ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ
]0 = 2c − 6 ⇒ c = 3 ∈ [−1, 7
106
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J 2 ∈x = −25 )b) f (b x )f =( x )25 x 2 −...on.. [ −4,0[ −4,0 ] ] ,x ...on..
اﳊﻞ
اﻟﺸﺮط اﻷول )اﻻﺳﺘﻤﺮارﻳﺔ( :
2 ∈ R ∀a ∈ [ −4,0 ] ⇒ f (a) = 25 − a∀a
ﻣﻮﺟﻮدة lim f (x) = lim 25 − x 2 = 25 − a 2 x→a x→a ⇔ lim f (x) = f (a)Q fﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻨﺪ ⇔ lim f (x) = f (a)Q⇔ a x→a x→a ﻟﻜﻦ aﲤﺜﻞ ﻛﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺎﺻﺮ اﳌﺠﺎل ⇔ fﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ][-4 , 0 اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻧﻲ )ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق (: ∀x ∈ [(-4 اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق )−4,0, ]0 اﻟﺸﺮط اﻟﺜﺎﻟﺚ : ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ
−c 25 − c 2
= )⇒ f ʹ (c
−x 25 − x 2
= )f ʹ ( x
f (b) − f (a) f (0) − f (−4) 5 − 3 1 = = = b− a 0+4 4 2 ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ = ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس 1 −c = 2 25 − c 2 ⇒ 25 − c 2 = −2c 2 2 2 ⇒ 25 − c = 4c ⇒ c = ⇒ cc =± m 55 ⇒= 55 ] c = 5 ∉[ −4,0
] c = − 5 ∈[ −4,0
107
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-4 -
اذا ﻛﺎﻧﺖ f : [ 0,b] → R :، f ( x ) = x 3 − 4x 2
2 وﻛﺎﻧﺖ fﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻋﻨﺪ 3
= cﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ . b
اﳊﻞ ⎛ 2 ⎞ 4 16 f ʹ ( x ) = 3x 2 − 8x ⇒ f ʹ ( c ) = 3c 2 − 8c ⇒ f ʹ ⎜ ⎟ = − ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس = −4 ⎝ 3⎠ 3 3 f (b) − f (a) f (b) − f (0) b3 − 4b2 − 0 = = ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ = b2 − 4b b− a b b− 0 ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس = ﻣﻴﻞ اﻟﻮﺗﺮ 2
2 2
2 2 ∴b −4b4b 4 −4b4b − ∴b − ∴b = =2 ⇒⇒ b ⇒2)2()b=−=020 −4 4b ⇒=2b4−2 ⇒b+2 +4− 4=4b=0+0 ⇒4 ⇒(=b(0−b ) ⇒b= b=0 =2⇒2b = 2
اﻟﺘﻘﺮﻳﺐ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ )(Approximation Using Mean Value Theorem ﻣﺜﺎل-5 -
اﺳﺘﺨﺪم ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﻪ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻓﻲ اﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد 26
اﳊﻞ
]f (x) = x,∀x ∈ [25,26
fﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ][25 , 26 fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ) (25 , 26 1
)f ʹ(x =( ʹ f x )1 )f ʹ ( x
2 x 2 x 1 ∴ f ʹ ( c ) =1 ∴ f ʹ (c) = 2 c 2 c
108
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ) f ( 26 ) − f ( 25 26 − 5 1 ⇒ )= f ʹ (c = 1 26 − 25 2 c ) c ∈( 25, 26 )اﺧﺘﺮﻧﺎ 36وﻫﻮ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻌﺪد اﻟﺬي ﻳﻠﻲ (5
< ∴ 25
ﻳﻮﺟﺪ cوإن ) c ∈ ( 25, 26 ﺑﺤﻴﺚ
⇒ ∴ 25 < c < 36
5 < c < 6 ⇒ 10 < 2 c < 12 1 1 < < 0.1 12 2 c 1 < 0.1 < ⇒ 0.083 2 c ⇒
⇒ 0.083 < 26 − 5 < 0.1
⇒ 5.083 < 26 < 5.1
وﻻﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﻪ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ أﻓﻀﻞ ﳒﺪ ﻣﺘﻮﺳﻂ اﻟﻌﺪدﻳﻦ 5.1,5.083
5.083 + 5.1 = 5.0915 ≅ 5.09 2
≈ ∴ 26
ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﳌﺘﻮﺳﻄﺔ
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة وﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ] [a,bوﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ ) (a,bوﻟﻮ اﻋﺘﺒﺮﻧﺎ b − a = h ﻓﺄن b = a + hﺣﻴﺚ h ≠ 0, h ∈Rﻓﺎﻧﻪ ﲟﻮﺟﺐ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ:
)f (a + h) − f (a h
= )f ʹ(c
)⇒ f (a + h) = f (a)+ hf ʹ(c وﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن اﻗﺘﺮاب bﻣﻦ aﻗﺮﺑ ًﺎ ﻛﺎﻓﻴ ًﺎ ﺗﻜﻮن ﻓﻲ ﻫﺬة اﳊﺎﻟﺔ hﺻﻐﻴﺮة وﻳﺼﺒﺢ اﻟﻮﺗﺮ ﺻﻐﻴﺮ ًا وﻧﻬﺎﻳﺘﻴﻪ ﻗﺮﻳﺒﺘﺎن ﻣﻦ aأي أن اﳌﻤﺎس ﻋﻨﺪ cﺳﻴﻜﻮن ﳑﺎﺳ ًﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻗﺮﻳﺒﺔ ﺟﺪ ًا ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺣﻴﺚ x=a وﻟﺬﻟﻚ ﻳﺼﺒﺢ : ) f ( a + h) ≈ f ( a ) + hf ʹ ( a ﻳﻘﺎل ﻟﻠﻤﻘﺪار ) hf ʹ(aاﻟﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ.
109
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-6 -
اذا ﻛﺎن f ( x ) = x 3 + 3x 2 + 4x + 5ﻓﺠﺪ ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ )f (1.001
اﳊﻞ f (1) = 1 + 3 + 4 + 5 = 13 f ʹ ( x ) = 3x 2 + 6x + 4 f ʹ (1) = 3 + 6 + 4 = 13 b =1.001 a=1 h= b-a =0.001
ﻣﺜﺎل-7 -
) f ( a + h) ; f ( a ) + hf ʹ ( a ∴ f (1.001)==f f(1(1) + (0.001 )0.001)) f ʹ (1 ) f(1.001 )= 13 + ( 0.001) (13 = 13.013
ﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ 9.98cmﺟﺪ ﺣﺠﻤﻪ ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ.
اﳊﻞ
ﻟﻴﻜﻦ Vﺣﺠﻢ اﳌﻜﻌﺐ اﻟﺬي ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ )( x b = 9.98 a = 10 h = b − a = −0.02
اي ان اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻴﻐﺔ
v ( xx) = L 3
)v(x ] =x L ∈[ 9.98,10 v ( x ) =v L( x3 ) = L 3 2 3 2 ⇒ vʹ (10 ) = 3 (10 ) = 300 ∈(ʹvvx ]x))=[9.98,10 =L3x ( x L ∈[ 9.98,10 L ∈[ 9.98,10 ]] 3 ∈( v 10 ) = 102 =] 1000 = ) vʹ ( x 10 )v=ʹ (10 3 (10 vLʹ 3x ⇒( ʹ=⇒3xv ( x[)29.98,10 ) =)23 (=10300 )2 = 300 2) ≅ 994 = 998cm3 2 vʹ((9.98 ≅ 1000 −0.02 300 (10 ) ((10 3 =) 3x 3 ⇒ v+ v x = 3 = 300 ʹ ) ( ) ) v (10 ) v=(10 ) = 10 1000= 1000 3
3 3 3 1000 ) =) 10 v ( 9.98vv)((10 ≅ 1000 994 998cm 9.98 ≅+1000 + ( −0.02 = 998cm (=−0.02 ) ( 300) (≅300 ) ≅=994 v ( 9.98 ) ≅ 1000 + ( −0.02 ) ( 300 ) ≅ 994 = 998cm3
110
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-8 -
ﻟﺘﻜﻦ f (x) = 3 x 2ﻓﺎذا ﺗﻐﻴﺮت xﻣﻦ 8إﻟﻰ 8.06ﻓﻤﺎ ﻣﻘﺪار اﻟﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ.
اﳊﻞ اﻟﺪاﻟﺔ f : [ 8, 8.06 ] → R , f ( x ) = 3 x 2 : 2
33 x 1 = 0.333 3
=
2
33 8
b =8.06 a= 8= 23
= )f ʹ ( x
h= b-a =0.06
= )f '(a) = f '(8
اﻟﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻲ hf ʹ(8) ≅ (0.06)(0.333) = 0.01998 ﻣﺜﺎل-9 -
ﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺣﺮﻓﻪ : 10cmﻣﻐﻄﻰ ﺑﻄﺒﻘﺔ ﻣﻦ اﳉﻠﻴﺪ ﺑﺴﻤﻚ 0.3cmﺟﺪ ﻛﻤﻴﺔ اﳉﻠﻴﺪ ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ .وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ
اﳊﻞ
ﺣﺠﻢ اﳌﻜﻌﺐ اﻟﻜﺒﻴﺮ -ﺣﺠﻢ اﳌﻜﻌﺐ اﻟﺼﻐﻴﺮ = ﺣﺠﻢ اﳉﻠﻴﺪ v(x) = x 3 − (10)3 vʹ ( x ) = 3x 2 - 0 2
vʹ ( a ) = vʹ (10 ) = ( 3) (10 ) = 300
hvʹ (10 ﺣﺠﻢ اﳉﻠﻴﺪ ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ a ) ≅ ( 0.6 ) ( 300 ) = 180cm3
b =10,6 a= 10 h= b-a = 0.6
111
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل 10
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﺟﺪ وﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ وﻣﻘﺮﺑ ًﺎ ﻟﺜﻼث ﻣﺮاﺗﺐ ﻋﺸﺮﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻻﻗﻞ ﻛ ً ﻼ ﻣﻦ: 3 4 a) 5 ( 0.98 ) + ( 0.98 ) + 3 b) 3 7.8 d) 3 0.12
(0.98 )3 + (0.98 )4 + 3
اﳊﻞ اﻟﺪاﻟﺔ
c) 17 + 4 17
3 5
f (x) = x + x 4 + 3
5
)a
3 −23 f ʹ(x) = x + 4x 3 5 3 5
f (a) = f (1) = 1 + 14 + 3 = 5
ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ:
3 3 ⎛ ⎛3 3⎞ ⎞3 2 2 = )f ʹf(ʹa( a 4( 4)3()1()1) ==4.6 =⎜ ⎜ =⎟ ⎟(1()1x)53 5++(4x 4.6 )) =f ʹf(ʹ1()1f=)ʹ(x ⎝ ⎝5 5⎠ ⎠5 −2
ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺔ : ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن
ff((a )a ++hh )a ) + hfhf( aʹ(a ) ≅≅f f( (a)+ )
b =.98 a= 1 h= b-a = -0.02
112
(−0.02). )ff((0.98 0.98 ) ==f f(1(1)+ ) + ( −0.02 )) . f (f1ʹ)(1
f ( 0.98 ) 1 ) = +5 + ( −0.02) .( 4.6 )f ʹ ( x 2 x) = +5 − 0.092 = 4.908 f ( 0.98 1 ∴ 5f (ʹ 0.98 ( c ) =)3 + (0.98 )4 + 3 ≅ 4.908 2 c
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J b) 3 7.8
اﳊﻞ اﻟﺪاﻟﺔf (x) = 3 x : 1
اﳌﺸﺘﻘﺔ:
3 3 x2
b =7.8 a= 8=23
= )f ʹ ( x
h= b-a = -0.2
اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ :
f (a) = f (8) = 3 8 = 2 1 = 0.083 12
اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺔ:
=
1
2
= )f ʹ (a ) = f ʹ (8
3 8 3
) f ( a + h) ≅ f ( a ) + hf ʹ ( a
وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن :
ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
1 ( 8 ) += ( f−0.2 ( 8 ) ≅) f2ʹ−( 8()0.2 ≅ 2) (−0.083 ( 8 ) )+f(ʹ−0.2 )( 0.2 ) ( 0.083 f ʹ (fx()7.8 ) =f (f7.8 = x= 2 − = 22− 0.0166 1.9834= 1.9834 0.0166 1 3 ∴ f3ʹ (7.8 c ) =≅ 1.9814 7.8 ≅ :1.9814 : 2 c )c
17 + 4 17 اﳊﻞ اﻟﺪاﻟﺔ :ﻟﺘﻜﻦ
1 4
1 2
f ( x) = x + x
اﳌﺸﺘﻘﺔ:
1 −12 1 − 34 f ʹ ( x) = x + x 2 4
b =17 a= 16
ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ :
1 4 4
1 4 2
f (16) = (2 ) + (2 ) = 4 + 2 = 6
b-a = 17-16=1
ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺔ: 3
2
1 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎟ ⎜ = 2−2 + 2−3 = 0.5 ⎜ ⎟ + 0.25 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 2 4
) (
) (
3 4
−
1 + 24 4
) (
1 2
−
1 f ʹ (16 ) = 24 2
) (
113
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J f ʹ(16) = (0.5)(0.5)2 + (0.25)(0.5)3 = (0.5)(0.25)+ (0.25)(0.125) = 0.125 + 0.031 = 0.156 اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
f (fa(+a h+)h≅) ≅f (fa()a+)h+f hʹ (f aʹ ()a )
f (f17(17 ʹ (f16 ) ≅) ≅f (f16(16 ) +)1+f 1(1) ) ) ʹf(ʹ16 (16) f (f17(17 ) ≅) 6≅ +6(+1)(1(0.156 ) ) ) (0.156 4 ≅ 6.156 ∴∴1717 + 4+17 17 ≅ 6.156
d) 3 0.12
اﳊﻞ f (x) = x
1 3
اﻟﺪاﻟﺔ
1 − 23 f ʹ ( x) = x 3
اﳌﺸﺘﻘﺔ
f (0.125) f (x) = (0.5)
(
f ʹ(0.125)
1 3 3
)
ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ
= 0.5 2
−2
1 1 ⎛ 1⎞ 1 2 4 3 − f ʹ ( x ) = ⎡⎣( 0.5 ) ⎤⎦ 3 = ⎜ ⎟ = ( 2) = = 1.333 3 3 ⎝ 2⎠ 3 3 f ( a + b) ≅ f ( a ) + h. f ʹ ( a )
ﺗﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﳌﺸﺘﻘﺔ
: وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﺎﻟﻘﺎﻧﻮن ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
ff ( aa ++hbb) ≅≅f (ff0.12 aa) ) + ( −0.005 ) .(1.333) ( aa) ++) ≅h.h.ff ʹ(ʹ(0.125 ff ( 0.12 ++( −0.005 (0.125 ) ..(1.333 0.12) ≅≅f ff( 0.12 0.125 −0.005 1.333) − 0.006665 ) ≅)0.5 ff ( 0.12 −− 0.006665 0.12) ≅≅f0.5 0.5 0.006665 (0.12 ) ≅ 0.493335 3 ff ( 0.12 0.493335 0.12) ≅≅∴0.493335 0.12 ≅ 0.44935
0.493335 ∴ ∴ 33 0.12 0.12 ≅≅≅0.44935 0.44935 ≅≅ 0.493335 0.493335
b =0.120 a= 0.125 h= b-a = -0.005
114
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J (3
J
) øjQɪ
‐3
.1اوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ cاﻟﺘﻲ ﺗﻌﻴﻨﻬﺎ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻓﻲ ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ : −3, 3 ] [ ∈a) f ( x ) = x − 9x ,x a) 63 + 3 63 ⎤ ⎡1 3 4 2 , 2 )b 1.04 + 3 1.04 , x ∈ ( ) ( ) b) f ( x ) = 2x + ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 3 x a) 63 + 63 1 )c) f ( x ) = ( x − 3) ,x∈ [b 0, (31.04 ] )3 3+ 3 (1.04 )4 c) 3 9 اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ: a) 63 .2ﺟﺪ ﺗﻘﺮﻳﺒ ًﺎ ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ+ 63 a) 63 + 3 63 1 1 3 4 3 )c )d 3 63 4 )a 63 + )b ) 3(1.04 ) + 3 (1.04 ) b) (1.04 ) + 3 (1.04 9 101 3 4 b) (1.04 11 ) 1 ) + 3 (1.04 1 )c d) 3 c) 3 )e 9 101 19 2 c) 3 ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام .3ﻛﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ 6cmﻃﻠﻴﺖ ﺑﻄﻼء ﺳﻤﻜﻪ 0.1cmﺟﺪ11ﻛﻤﻴﺔ اﻟﻄﻼء ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ 19 )d )e )d 101 ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ. 1 2 101 )d .4ﻛﺮة ﺣﺠﻤﻬﺎ ، 84π cm3ﺟﺪ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺑﺼﻮرة 1 اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ. ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ)eﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ 101 1 )e .5ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ارﺗﻔﺎﻋﻪ ﻳﺴﺎوي ﻃﻮل ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻓﺎذا 2ﻛﺎن ارﺗﻔﺎﻋﻪ ﻳﺴﺎوي 2.98cmﻓﺠﺪ 1 ﺣﺠﻤﻪ 2 )e 2 ﺑﺼﻮرة ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ. .6ﺑﲔ أن ﻛﻞ داﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﲢﻘﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ رول ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻌﻄﺎة ازاء ﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ : 3
44
44 4 =4 41− )a f x x )a f x = x − 1 ( ) ( ( ) ( [ −1, [,3−1, )a f x )a = f x x − 1 = , x −1, − 3 ( ) ( ( ) ) ( ) [ )a) f (a x ) f=( (xx) − = 1( )x −, [1−1, ) ,3[1)]−1, ],)[,−1, ] ]]33] 3 33 3 33 3x =3 b)h x = x−−[x, b)h x x,[x, ( ) ( ) []−1,1 [ −1,1 b)h x b)h = x − x, = x −1,1 −1,1 ( ) ( ) [ ]]−−1,1 ]] ] b)h ( b)h = ) x ) =( x − x, x [ −1,1 −xx, 22 =xx)=)2=x x2−2−3x, −[3x, [ −1, [4−1, c)g ==c)g 44 ))c)g [−[2x−1, ]−1, [ −1, c)g((xxc)g x()2 x(− = −x)(3x, 3x, −1, 3x, ( xc)g ]3x, ] ]]44] 4
) ( ] [ xcos =2 2x 2cos cos 0, x)(2x cos +[2[+0, 2cos )=)=++cos [0,[2π )d )xx))d cos fcos cos 2x x, 2π 0, ]] ] )d) ff ((d )f==d xf()fx(=2x 2x 2cos cos +2x 2+ x,cos 0, x, 2π )(d [x,0,]]x,[x,2π ]2π2π
.7اﺧﺘﺒﺮ اﻣﻜﺎﻧﻴﺔ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻌﻄﺎة إزاءﻫﺎ ﻣﻊ ذﻛﺮ اﻟﺴﺒﺐ وإن 22 ﲢﻘﻘﺖ اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻢ cاﳌﻤﻜﻨﺔ. 3 )a) f ( x ) = x3333 − xa 1, [x2−1, ]3x]2 − x + 1, [ −1, 3 f −(xxxxx+ = −1, 22 3− 3+ )a) ff (xxa − +)2−1, 1, −1, 3 )) ==f a −x[x−1, + −1, 3 )a =x(xxf)−−(=xxx) − 3 − x ]+ [ 1, [ −1, ]] 3 22 2 b)h ( x ) = x22 − 4x 5,x2)[ −1, ] 5 ]− 4x + 5, [ −1, 5 b)h++−(5, =+x5, b)h( xxb)h 4x b)h xx) 2+ = 5, x4x −−1, 4x55+[]−1, 5, [5−1, (xx )−−(=4x [−1, ) == xb)h ]] 5 4 ]4( x2)4]= 4 , [ −1, 2 c)g ( x ) = 44 c)g , [ −1, c)g( xx)c)g −1, c)g == (c)g = 22,][ −1,, [2−1, ]] 2 xx+) (2=x,,[) −1, xx ++ 22 x + 2x + 2 x + 2 2 2 ,[−2, ]7 d)B ( x ) = 3333 ( x +d)B 13 )222(,3x[ 0, 2π 2 3 ]( x 2 + = 1 ) ) d)B ( xxd)B d)B + ,1][)0, ,2π ( x( )xx(=++x1)1)=( x,,[+0,(0,1x2π )2π ) ==d)B ] [0,]2π, []0, 2π
115
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
] [3-4اﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻوﻟﻰ. The First Derivative Test For Increasing And Decreasing For a Function áé«àf ان ﻣﻦ اﻟﻨﺘﺎﺋﺞ اﳌﻬﻤﻪ ﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﳌﺘﻮﺳﻄﺔ ﻫﻲ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻻﺗﻴﺔ : ﻟﺘﻜﻦ fﻣﺴﺘﻤﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻐﻠﻘﺔ ] [ a,bوﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ ) ( a,bﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ sin ⎛ Increa ⎞ ⎛⎛Icrea Icrea singg⎞sin ⎞on (ga,b 1)a f )(x > 0, ∀x ∈ a,b ⇒ f ʹ ( ) ⎜ ⎜⎜ a) f ʹ(x) > 0, ∀x ∈( a,b) ⇒ f ))⎟⎠⎟ on ( ⎟a,b ⎝ ⎝⎝ ⎠ ⎠ ﻣﺘﺰاﻳﺪة sin ⎛⎛decrea ⎞⎞⎞ g decrea singg ⎛ Decrea sin )b 2on(⎟(a,b ))a,b b)ffʹʹ((xx))<<0,0,∀x ∀x∈∈((a,b ⇒))a,b ⎜ ⎜⎜ ⇒ ff ⎟⎠⎟on ⎝⎝ ⎠ ⎠ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ⎝ أﻣﺎ ﺑﻘﻴﺔ اﳊﺎﻻت ﻓﺴﻮف ﻻﻧﺘﻄﺮق ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﳌﺮﺣﻠﺔ. ﻣﺜﺎل-1 -
ﻟﺘﻜﻦ . y = f ( x ) = x 2ﺟﺪ ﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ yʹ = 2x y = f ( xy) ʹ==x02 ⇒ xy=ʹ =0 2x
اﳊﻞ اﺷﺎرة yʹ = 2x
yʹ = 0 ⇒ x = 0 ----- --0 +++++++
Q f ʹ ( x ) > 0, ∀x > 0
fﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ }∴ {xx=: 0x > 0 Q f ʹ ( x ) < 0, ∀x < 0
fﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ }∴ {xx=: 0x < 0
116
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-2 -
ﺟﺪ ﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ اﻟﺪاﻟﺘﲔ اﻻﺗﻴﺘﲔ:
)(
b) f ( x ) = 3 x 2
اﳊﻞ
2 3 f x = 9x + 3x − x yʹ = 2x
)a
a) f x = 9x + 3x 2yʹ−=x03 ⇒ x f=ʹ 0x = 9 + 6x − 3x 2
)(
)(
0 = 9 + 6x − 3x 2
0 = −3 x 2 − 2xyʹ−=32x
)
)
(
()
(
0 = − x − 3 xyʹ+1 = 0 ⇒ x x= =0 3, x = −1 ﻧﺨﺘﺒﺮ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ اﻷﻋﺪاد إﺷﺎرة اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﺑﻘﻴﻢ ﻣﺠﺎورة ﻟﻠﻌﺪدﻳﻦ x = 3, x = −1 : اﺷﺎرة ) f ʹ ( x
- -- - - - - -1 + + + + + + + 3 - - - - - - -
x }<, {−1 fﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ }3:ﻓﻲ> }x}: ,x{>x :3x {x : x{<x :−1 ( −1, 3( −1, fﻣﺘﺰاﻳﺪة :ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )) 3
اﳊﻞ
2
33 x )f ʹ ( x
= ) b) f ( x ) = 3 x 2 ⇒ f ʹ ( x
اذن ﻋﺪد ﺣﺮج ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﻪ اذا ﻛﺎﻧﺖ , x = 0اي ∴ x = 0 اﺷﺎرة ) f ʹ ( x
fﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ fﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ
- - - - - - - (0)+ + + + + + +
}{ x : x > 0 }{ x : x < 0 117
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
] [3-5اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ ﻻﺣﻆ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ أدﻧﺎﻩ أن اﻟﺪاﻟﺔ ) y = f ( xﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ) ( a, cﻷن ، f ʹf =( x0) > 0وﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ) ( c, dﻻن f ʹ ( x ) < 0 ﺛﻢ ﺗﺘﺰاﻳﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ). (d,b ﻛﻤﺎ أن f ʹ = 0ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ x=a , x=b , x=c , x=d ﺗﺴﻤﻰ ﻧﻘﻄﺔ )) p ( c, f ( cﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ وإن ) f ( cﻫﻲ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ اﶈﻠﻴﺔ ) (Local Maximamوﺗﺪﻋﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ )) q ( d, f ( dﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ وان ) f ( dﻫﻲ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ )(Local Minimam
اﺷﺎرة )f ʹ(x
b
++++++
d
c
++++++ ----- --
a
(3-3) ∞jô©J ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [ a,bوﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ x=Cاﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ ) ( a,bﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ:
)1) f ʹ ( c ) < 0; ∀x ∈( c,b ) f ʹ ( c ) > 0; ∀x ∈( a, c f ʹ (c) = 0 ﻓﺈن ) f ( cﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ )2) f ʹ ( c ) > 0; ∀x ∈( c,b ) f ʹ ( c ) < 0; ∀x ∈( a, c f ʹ (c) = 0 ﻓﺈن ) f ( cﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ
118
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﻟﻜﻲ ﻧﺨﺘﺒﺮ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﺑﻮاﺳﻄﺔ اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻻوﻟﻰ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻻﺗﻴﺔ:
✾ ﳒﺪ اﻻﻋﺪاد اﳊﺮﺟﺔ وذﻟﻚ ﺑﺤﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ * f ʹ(x) = 0وﻟﻴﻜﻦ x = x1ﻫﻮ أﺣﺪ ﻫﺬﻩ اﻷﻋﺪاد اﳊﺮﺟﺔ إﺷﺎرة= ) f ʹ(xﺑﺠﻮار x = x1ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ إﺷﺎرة ) f ʹ ( xﻣﻮﺟﺒﺔ ∀x < x1 ✾ ﻧﺨﺘﺒﺮ 0 وﺳﺎﻟﺒﺔ ∀x > x1 ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ )) ( x1 , f ( x1ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﺷﺎرة ) f ʹ ( xﺳﺎﻟﺒﺔ ∀x < x1وﻣﻮﺟﺒﺔ ∀x > x1 ﻓﻬﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن )) ( x1 , f ( x1ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ أﻣﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﺷﺎرة ) f ʹ ( xﻻﺗﻐﻴﺮ ﻗﺒﻞ وﺑﻌﺪ x1ﻓﻼ ﻳﻜﻮن ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ وﻻﺻﻐﺮى ﻋﻨﺪ ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ
* .¥É≤à°TÓd á∏HÉ≤dG ∫GhódG ≈∏Y ÉæãëH ‘ öüà≤æ°S
119
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-3 -
ﺟﺪ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ وﺟﻮدﻫﺎ اذا ﻋﻠﻤﺖ أن : 2
)a) f ( x ) = 1 + ( x − 2
2
)b) f ( x ) = 1 − ( x − 2
c) f ( x ) = x 3 − 9x 2 + 24x
اﳊﻞ
2
) a) f ( x ) = 1+ ( x − 2
)⇒ f ʹ ( x) = 2 ( x − 2 when
f ʹ ( x) = 0 ⇒ 2 ( x − 2) = 0 ⇒ x = 2 f (2) = 1+ (2 − 2)2 = 1
اﺷﺎرة )f '(x
----- --2 ++++++ ﺗﻨﺎﻗﺺ
ﺗﺰاﻳﺪ
fﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ }{ x : x > 2 fﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ }{ x : x < 2 ∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ )) ( 2,1) = (( 2 ) , f ( 2ﲤﺜﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ .
) b) f ( x ) = 1− ( x − 2
2
) ⇒ f ʹ ( x ) = −2 ( x − 2
)
when ) b) f ( x ) = 1− ( x − 2 ⇒f ⇒−2 x =x2− 2 = ʹ ( xf)ʹ =x0
(2
) (
fwhen (2) = 1− (2 − 2) = 1
اﺷﺎرة )f '(x
⇒f ʹ ( x+) =+ 0+ = + +x +2 - - - - - -ﺗﻨﺎﻗﺺ
120
ﺗﺰاﻳﺪ
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ }on { x : x < 2 ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ }on { x : x > 2
f f اﻟﻨﻘﻄﺔ= ) ( 2,1ﲤﺜﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ اﶈﻠﻴﺔ )) (( 2 )∴, f ( 2
c) f ( x ) = x 3 − 9x 2 + 24x
⇒ f ʹ ( x ) = 3x 2 − 18x + 24 when f ʹ ( x) = 0 ⇒ 3 x 2 − 6x + 8 = 0
(
)
⇒ 3( x − 4 ) ( x − 2 ) = 0 x=2
,
f (2) = 20
اﺷﺎرة )+ + + + + + f '(x
4
ﺗﺰاﻳﺪ
⇒x=4
f (4) = 16 ,
2
++++++ ----- -ﺗﻨﺎﻗﺺ
ﺗﺰاﻳﺪ
fﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ on { x : x < 2} and }, { x : x > 4 fﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ )(2 ,4
) on ( 2, 4
ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ اﶈﻠﻴﺔ ) (( 2) f ( 2)) = ( 2, 20 ﻧﻘﻄﺔ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ ) (( 4 ) f ( 4 )) = ( 4,16
121
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
] [3-6ﺗﻘﻌﺮ وﲢﺪب اﳌﻨﺤﻨﻴﺎت وﻧﻘﻂ اﻻﻧﻘﻼب y
x
ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻣﻘﻌﺮ واﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﺘﺰاﻳﺪة
)(A
y
x
ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻣﺤﺪب واﳌﺸﺘﻘﺔ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ
)(B
]3-4] ∞jô©J إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ ) (a,bﻓﻴﻘﺎل ﻋﻦ اﻟﺪاﻟﺔ fﺑﺄﻧﻬﺎ ﻣﺤﺪﺑﺔ اذاﻛﺎﻧﺖ ʹ fﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺧﻼل ﺗﻠﻚ اﻟﻔﺘﺮة وﺗﺴﻤﻰ ﻣﻘﻌﺮة اذا ﻛﺎﻧﺖ ʹ fﻣﺘﺰاﻳﺪة ﺧﻼل ﺗﻠﻚ اﻟﻔﺘﺮة.
ﻣﻼﺣﻈـﺔ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﻘﻌﺮ ﻓﻲ ) ⇔ (Concave up) (a,bاﳌﻨﺤﻨﻲ ﻳﻘﻊ ﻓﻮق ﺟﻤﻴﻊ ﳑﺎﺳﺎﺗﻪ ﻓﻲ )(a,b واﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﺤﺪب ﻓﻲ ) ⇔ ( Concave down) (a, bاﳌﻨﺤﻨﻲ ﻳﻘﻊ ﲢﺖ ﺟﻤﻴﻊ ﳑﺎﺳﺎﺗﻪ ﻓﻲ ) (a,bﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻠﲔ) ( A ) ،( B
(3-4) áægÈe اذا ﻛﺎﻧﺖ fﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ ] [a,bوﻟﻬﺎ ﻣﺸﺘﻘﺔ أوﻟﻰ وﺛﺎﻧﻴﺔ ﻋﻠﻰ ) (a,bﻓﺈﻧﻬﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﻘﻌﺮة ﻋﻠﻰ )(a,b اذا ﺣﻘﻘﺖ اﻟﺸﺮط اﻻﺗﻲ : )f ʹʹ ( x ) > 0, ∀ ∈(a,b
ﻟﻜﻞ )f ʹʹ ( x ) > 0, ∀x ∈(a,b
ﺗﻜﻮن ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻋﻠﻰ ) (a,bاذا ﺣﻘﻘﺖ اﻟﺸﺮط اﻻﺗﻲ : ) f ʹʹ ( x ) < 0, ∀x ∈(a,bﻟﻜﻞ )x ∈(a,b f ʹʹ ( x ) < 0, ∀x
122
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-1 -
إدرس ﺗﻘﻌﺮ وﲢﺪب ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺪاﻟﺘﲔ:
a) f ( x ) = x 2 b) f ( x ) = x 3
اﳊﻞ
a) f (x) = x 2 a) f ʹ ( x ) =2x 2x f ʹʹ ( x ) = 2 اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﻘﻌﺮة ﻋﻠﻰ R
⇒ ∴ f ʹʹ ( x ) > 0, ∀x ∈R
3 ⇒ b) f (x) = x
⇒ f ʹ(x) = 3x 2 f ʹʹ(x) = 6x f ʹʹ(x) = 0 ⇒ 6x = 0 ∴x = 0 f (0) = 0
اﺷﺎرة )f ʹʹ(x fﻣﻘﻌﺮﻩ ﻓﻲ}{x:x>0
----- --0 ++++++ ﺗﻘﻌﺮ fﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ}{x:x<0
ﲢﺪب
ﻓﻲ ﻫﺬا اﳌﺜﺎل ) (bﻻﺣﻆ أن اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻓﻲ } {x:x< 0ﻣﺤﺪب وﻓﻲ } {x:x>0ﻣﻘﻌﺮ. 0) = (0, (0, ))f (0 0) = (0, اﳌﻨﺤﻨﻲ(0,ﻣﺤﺪب وﺑﻌﺪﻫﺎ ﻣﻘﻌﺮ. أي ))(0, f0)(0 اﻟﻨﻘﻄﺔ= ﻗﺒﻞ(0, f ))(0 ﺗﺴﻤﻰ ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب )(Point of Inflection
123
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ]3-5] ∞jô©J ﺗﺪﻋﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺘﻐﻴﺮ ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ )ﻣﻦ ﺗﻘﻌﺮ اﻟﻰ ﲢﺪب( أو ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ )ﻣﻦ ﲢﺪب اﻟﻰ ﺗﻘﻌﺮ( ﺑﻨﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻟﻬﺬا اﳌﻨﺤﻨﻲ. ﻣﺜﺎل-2 -
ﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻘﻼب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲf (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 :
اﳊﻞ f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 f ʹ(x) = 6x 2 − 6x − 12 f ʹʹ(x) = 12x − 6
1 2
اﺷﺎرة )f ʹʹ(x
124
= 12x − 6 = 0 ⇒ x 1 11 f( )=− 2 2
1 ----- --2 ++++++ ﺗﻘﻌﺮ
ﻓﻲ ﺟﻮار 1 ﻟﻨﺪرس اﻵن اﺷﺎرة )f ʹʹ(x 2 1 ﻧﻼﺣﻆ ﻋﻦ ﳝﲔ ﺗﻜﻮن ) f ʹʹ(xﻣﻮﺟﺒﺔ 2 وﻋﻦ ﻳﺴﺎر 1 2
f ʹʹ(x) = 0
ﺗﻜﻮن )f ʹʹ(x
ﲢﺪب
=x
⎧ ⎪ ⎨ ﺳﺎﻟﺒﺔ ⎪ ⎩
∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( 1 ,− 11ﻫﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب. 2 2
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-3 -
ﺟﺪ ﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺘﺤﺪب واﻟﺘﻘﻌﺮ وﻧﻘﻂ اﻻﻧﻘﻼب إن وﺟﺪت ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: a) f (x) = 4x 3 − x 4
1 b) f (x) = x + , x ≠ 0 x 4 )c) −h(x )4(x=+4-(x+2 2)4 d) f (x) = 3 − 2x − x 2
e) f (x) = x 4 + 3x 2 − 3 اﳊﻞ a) f (x) = 4x 3 − x 4
)( f ʹʹ ( x ) = 24x −12x
f ʹ x = 12x 2 − 4x3 2
f ʹʹ(x) = 0 ⇒ 0 = 12x 2 − x
)
ﻣﺤﺪﺑﺔ
اﺷﺎرة )f ʹʹ(x
ﻣﻘﻌﺮة
(
x = 0or, x = 2 f (0)=0 , f(2) = 16 )(0,0 ), (2, 16 ﻣﺤﺪﺑﺔ
- - - - - - -0 + + + + + + 2 - - - - - - -
fﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ } { x:x >2و }⎧ { x:x <0 ⎪ ⎨ ∴ ﻧﻘﻄﺘﺎ اﻻﻧﻘﻼب ﻫﻤﺎ (0,0) ,(2,16) : fﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ⎪ (0,2) : ⎩
125
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J b) f x = x + 1 , x ≠ 0 x
)(
اﳊﻞ 1 x2
f ʹ(x) = 1− 2 x3
) f ʹʹ(0ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ اﺷﺎرة )f ʹʹ(x
)(
= f ʹʹ x
----- --0 ++++++ ﻣﻘﻌﺮ
fﻣﺤﺪﺑﺔ ∀x < 0 :ﻓﻲ }{ x:x<0 fﻣﻘﻌﺮة ∀x > 0 :ﻓﻲ }{ x:x >0 ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻷن 0ﻻﻳﻨﺘﻤﻲ ﳌﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ.
ﻣﺤﺪب
4
c) h(x) = 4 − (x + 2)3
اﳊﻞ
hʹ(x) = −4(x + 2)4 3
2
)
(
)(
hʹʹ x = −12 x + 2
⇒ hʹʹ(x) = 0 2
)
(
0 = −12 x + 2 ⇒ x = −2
إﺷﺎرة )h''(x
- - - - - - - -2- - - - - - - -
ﻣﺤﺪﺑﺔ اﻟﺪاﻟﺔ hﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ } { x:x<-2و }{ x:x >-2 ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻋﻨﺪ x= -2ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻋﻠﻰ ﺟﻬﺘﻴﻬﺎ
126
ﻣﺤﺪﺑﺔ
f (−2) = 4 )(−2, 4
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
d) f (x) = 3 − 2x − x 2
اﳊﻞ
)(
)(
⇒ f ʹ x = −2 − 2x ⇒ f ʹʹ x = −2 < 0 f ʹʹ(x) = −2 < 0
∴ fاﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ Rﻟﺬا ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب.
)(
e) f x = x 4 + 3x 2 − 3 اﳊﻞ
)(
)(
ﳉﻤﻴﻊ ﻗﻴﻢ f ʹ x = 4x3 + 6x ⇒ f ʹʹ x = 12x 2 + 6 > 0 ⇒x ∈ R
اﻟﺪاﻟﺔ) f(xﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ .Rﻟﺬا ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب
] [3-7اﺧﺘﺒﺎر اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻨﻘﻂ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﻌﻈﻤﻰ واﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ ﺑﺪ ًﻻ ﻣﻦ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻛﻴﻔﻴﺔ ﺗﻐﻴﺮ اﺷﺎرة ʹ fﻋﻨﺪ اﳌﺮور ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ﺣﻴﺚ f ʹ(x) = 0
ﻓﺎﻧﻪ ﺑﺎﻣﻜﺎﻧﻨﺎ اﺳﺘﺨﺪام اﻻﺧﺘﺒﺎر اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻨﻘﺮر ﻓﻴﻤﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ﲤﺜﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ أو ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ .وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﺧﺘﺒﺎر اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: ) (1اذا ﻛﺎن f ʹ(c) = 0وإن f ʹʹ(c) < 0ﻓﺈن fﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ . x=c ) (2اذا ﻛﺎن f ʹ(c) = 0وإن f ʹʹ(c) > 0ﻓﺈن fﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ .x=c ) (3اذا ﻛﺎﻧﺖ f ʹʹ(c) = 0او ) f ʹʹ(cﻏﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻼ ﻳﺼﺢ ﻫﺬا اﻻﺧﺘﺒﺎر.
127
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-1 -
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﺧﺘﺒﺎر اﳌﺸﺘﻘﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ان أﻣﻜﻦ ،ﺟﺪ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﶈﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪوال اﻵﺗﻴﺔ: c) f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x
a) f x = 6x − 3x 2 −1
)(
4 ,x ≠0 x2
d) f (x) = 4 − (x +1)4
b) f (x) = x −
اﳊﻞ a) f x = 6x − 3x 2 −1
)(
)(
f ʹ x = 6 − 6x f ʹ(x) = 0 0 = 6 − 6x ⇒ x = 1 f ʹʹ x = −6 ⇒ f ʹʹ 1 = −6 < 0
)(
)(
ﲟﺎ أن f ʹ(1) = 0 :و . f ʹʹ(1) < 0اذن ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪx=1 ∴ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ اﶈﻠﻴﺔ ﻫﻲf 1 = 6 − 3 −1 = 2 =:
)(
x≠0
,
b) f x = x − 4 x2 8 f ʹ x = 1+ 3 , x f ʹ(x) = 0
)(
)(
8 8 ⇒xx3 3=+−8x 8 = 0= −2 ⇒ x = −2 ⇒ = −1 ⇒ 3 3 x x 8 f ʹ(x) = 1+ 3 x −24 f ʹʹ(x) = 4 x 24 f ʹʹ −2 = − < 0, 16
0 = 1+
∵
128
) (
∵
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
) )( (
⇐ f ʹf −2ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ اﻟـﻨﻘﻄﺔ x=-2 ﲟﺎ أن f ʹ −2 = 0 :و ⇐ ʹʹ −2= 0< 0 اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ اﶈﻠﻴﺔ ﻫﻲ : = f −2 = −2 −1 = −3
) (
) (
)( f ʹ ( x ) = 3x
∵
c) f x = x3 − 3x 2 − 9x − 6x − 9
2
f ʹ(x) = 0
()
)
)
(
(
0 = 3 x 2 − 2x − 3 ⇔ 0 = 3 x − 3 x +1 x=-1او ⇒ x=3
)(
f ʹʹ x = 6x − 6
ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ
x = 3ﻓﺎن ⇒ f ʹʹ(3) = 18 − 6 = 12 > 0
f (3) = 27 − 27 − 27 = −27 , x=3اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﶈﻠﻴﺔ
) (
) (
ﻓﺎن ⇒ f ʹʹ −1 = −6 − 6 = −12 < 0 ⇒ f وﻋﻨﺪﻣﺎ =−1x== 5-1 ∴ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻫﻲ f(-1)=5 d) f (x) = 4 − (x + 1)4 3
)
)(
(
f ʹ x = −4 x +1 3
f ʹ(x) = 0
)
(
0 = −4 x +1 ⇒ x = −1 2
ﻫﺬﻩ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻻ ﺗﺼﺢ ﻧﻌﻮد اﻟﻰ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺗﻐﻴﺮ اﺷﺎرة ʹ fﺑﺠﻮار x=-1
اﺷﺎرة )f ʹ(x
----- -ﺗﻨﺎﻗﺺ
)
(
)( ) (
f ʹʹ x = −12 x +1 ⇒ f ʹʹ −1 = 0
+ + + + + + -1 ﺗﺰاﻳﺪ
129
∵
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J {x:x<-1} ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲf وﲟﺎ أن {x:x>-1} وﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ
∴ f (−1) = 4 − (−1+ 1)2 = 4 f ( x ) = x2 +
a , x ≠ 0 ﻟﺘﻜﻦ x
-2 -ﻣﺜﺎل
a f x = 2x − ʹ ( ) ﻻﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰf ﺛﻢ ﺑﲔ أن اﻟﺪاﻟﺔx 2، x = 1 ﻋﻠﻤ ًﺎ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻋﻨﺪa ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ .ﻣﺤﻠﻴﺔ 2a f ʹʹ ( x ) = 2 − 3 = 0 a a f ʹ ( x ) = 2x − f2 ʹ ( x ) = 2x − (12 ) a اﳊﻞ 2a axa 2 x f x = 2x − ʹ ʹʹ ( ) ⇒ 2 + 2a 0 ⇒ f (x) = 2 + ,x ≠ 0 3 ff ʹ((xx))==x2x+−x2a x2 2 x 2a f ʹʹ ( x ) = 2 − xf⇒ =a 0= −1 =0 ʹʹ 3 ( x) = 2 − 3 2a a 2a 2 1 ( ) 1 ( ) x( x) )===x22 − +− 2a , x3 ≠==f00ʹʹ0( x ) =2 2 −a 3 = 0 ff ʹʹʹʹ((1) ∴ ) ==x0 + (1) ⇒ 2 + 2a = 0(x1 )3 2f +( x2a 1⇒ x ⇒ 2 + 2a = 0 ⇒ a2 += 2a −1 = 0 ⇒ a = −1 a ⇒⇒ f ʹ (ax )==−1 2x − 2 a1 a x ⇒ a = −1 ∵ ∴ f ( x ) = x 2 +−∴ f ( x ) = x 2 + x2 + a a ax⇒ ∴ f x = x ( ) 2 ∴ f ( x ) = x + a1f ʹ ( x ) = 0 ⇒ a2xx− x 2 = 0 x f ʹ ( x ) = 2x − ⇒ f ʹ ( x ) = 2x ⇒ −+ 2 a xa22⇒3 f ʹ ( x ) = 2x 3x − a ⇒ f ʹ ( x ) = 2x −⇒ 22x 1a= a ⇒ x = 2x 2a xf ʹ+ ⇒ f ʹ ( x) = 0 ⇒ −( x )22==00⇒ 2x − 2 =a0 ⇒2x x− ⇒ xfa3ʹ (ax ) = 0 ⇒ 2x =0 2 ⇒ x = ⇒ f ʹ ( x ) = 0 ⇒ 2x −a−12 = 0 x x a2⇒ x 3 = a ⇒ 2x 3 = −1 a⇒ xx3 3= ⇒⇒ =3 = 2x a a222x 3 = a2a⇒ x23 = 3 3 ⇒ ⇒ 2x = a ⇒ xf ʹʹ=( x ) = 2 + 2 a −1 a a 2 3 3 ⇒x= ⇒x= 3 2 2 2= 3 a2 a ⇒ x ⇒x= 3 2 0 2a 222af2=ʹʹ 6( x>) = 2 f ʹʹ ( x ) = 22 +2a 2=+−6 −>2022a (x)2 ⇒ ,⇒ ∀x f ʹʹ(x) R= 6= >6 0> 0, ∀x ∈∈ RR = 2 − f⇒ f ʹʹf(x) ʹʹ(x)2 f ʹʹ(x)2 f∈ʹʹ(x) , ∀x fʹʹ= (x) ʹʹ(1) 2= −2=−−2 −a3 ⇒ =⇒ 0f ʹʹ(x) a 1 1 1 2a x3 x3 x3 f x = 2 + ʹʹ ( ) − −a f ʹʹ ( x ) = 2(+−1)2 22 2 2a 2 =6>0 2= 6 > 0 =6>0 =6>0 −1 x= 3 ∴ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ 2 ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔf ∴ ﻻﲤﻠﻚ
130
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J 3 2 -3 -ﻣﺜﺎل ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰy = x + ax + bx ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﳌﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔb,a ﻋﲔ ﻗﻴﻤﺘﻲ اﻟﺜﺎﺑﺘﲔ . ﺛﻢ ﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻘﻼب إن وﺟﺪتx = 2 وﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ، x = −1 ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ
y = x 3 + ax 2 + bx dy dy ⇒ = 3x 2 +2ax 2a + b ∴ ]=0 dx dx dy x = −1 ﲟﺎ أن ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ ∴ = 0dy ] = 0 ] dy ∴ 2 dx∴ dx ]=0 3 ( −1) + 2a ( −1) + b = 0 ⇒ 3 − 2a + b = 0.. dx x = −1 x = −1 x2= −1 2 −1 0........... 3 ( −10= ) +32a (1) dy (1) +) +2ab(=−10)⇒ + b3=−02a⇒+3b−=2a + b = 0........... −1 ( 2 () 1 3 ( −1) + 2a ( −1) + b = 0 ⇒ 3 − 2a + b = 0........... ∴ ( )] = 0 dx dy dy x = 2 ﲟﺎ أن ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ ∴ =0 ]=0 ∴ ] dy 2 dx ∴ dx ⇒ 3 ( 2) + 2a ( 2) + b = 0 ⇒ 12 + 4a + b = =0 ] x = 2 x =dx2 2x = 2 2 + 32a( 2( )2)++ 2a b =( 20)⇒ 0........... ⇒ 3 ( 2)0= ( 2) ( 2) + b12 = +0 4a ⇒+ 12b+=4a + b = 0........... ⇒ 2 2)( آﻧﻴ ًﺎ2) ( و1) وﺑﺤﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺘﲔ ⇒ 3 ( 2) + 2a ( 2) + b = 0 ⇒ 12 + 4a + b = 0........... : ﳒﺪ( ان −3 a a== −3,b,b==−6 −6 22 3 ∴∴y y==x 3x 3−− 3x 2x 2−−6x6x 22 dy 2 2 ⇒⇒ dy==3x3x −−3x3x−−6 6 dxdx 22 2 dy y ddy ⇒⇒ 2 ==6x6x−− a3 f ʹ (dx xdx)dx= 2x − 2 3 x 22 2 y d dydy 2a ⇒ 22 ==0 0⇒⇒6x6x − 3 3==0 0 fdxdx =0 ʹʹ (2x ) = 2 − − 3 1) ( 11 ∴ ∴x2x=+=2a = 0 ⇒ 22 ⇒ a = −1 1 −26 a −13 ∴ f ( ∴ f (2x )) = = x82 + = x 4 ⇒ f ʹ ( x ) = 2x −
a x2
⇒131 f ʹ ( x ) = 0 ⇒ 2x −
a =0 x2
1 ----- --2 1⎫ ⎧ ⎨ x : x > ﲢﺪب ⎬ 2⎭ ⎩ 1⎫ ⎧ ⎨ x : x < ⎬ وﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ 2⎭ ⎩
++++++ ﺗﻘﻌﺮ
f ʹʹ(x) اﺷﺎرة
1⎫ ⎧ ⎨ x : x > ⎬ ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲf ﲟﺎ أن 2⎭ ⎩ 1⎫ ⎧ ⎨x : x < ⎬ −26 ⎞ 2 ⎭⎛ 1 −13 ⎩ ∴ ⎜ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب, ⎝ 2 84 ⎟⎠
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-4 - ﻣﻘﻌﺮ ﻓﻲ
اذا ﻛﺎن ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ f ( x ) = ax 3 + bx 2 + c :
} {x : x < 1وﻣﺤﺪب ﻓﻲ }{x : x > 1 ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻢ اﻻﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ . c,b, a
وﳝﺲ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ( y + 9x = 28 ):ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﻞ: ∵اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻷﻧﻬﺎ ﻛﺜﻴﺮة اﳊﺪود ،ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ } { x : x < 1وﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ } { x : x > 1ﻓﻬﻲ ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻋﻨﺪ)( x = 1
)( 3,1
∴ f ʹ ( x ) = 3ax 2 + 2bx f ʹʹ ( x ) = 6ax + 2b f ʹʹ (1) = 0 ⇒ 6a +2b = 0
÷2 )− − − − (1
⇒ʹʹ 0f − 02a + b ==0........... ( −1) + b =3a == )+(1b3 ⇒0 ∴b )−3a (1
dy ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس y + 9x = 28ﻫﻮ = 9−9 dx ) f ʹ ( 3ﻫﻮ ﻣﻴﻞ اﳌﻤﺎس ﳌﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻨﺪ x = 3 f ʹ ( 3) = 27a + 6b - 9=27a+6b
÷3
f ʹʹ (12)) =+ b ⇒0 3 =129a+ +4a2b )− − − −( 2() 2 2a ⇒= 0- + b =−0...........
)
اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( 3,1ﲢﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ + bx 2 + c
132
3
( y = f ( x ) = ax
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
)( 3
)∴1 = 27a + 9b + c ...(3 −−−−−
وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻣﻦ ) (1ﻓﻲ )( 2
ﻳﻨﺘﺞ:
0 ⇒ b=- 3(-1)= 3 ʹʹ (a1)==1-1 ⇒- 3 = 9a + 2 ( −3a ) f وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ) ( 3ﻳﻨﺘﺞ :
1 = −27 + 27 + c ⇒ c = 1
ﻣﺜﺎل-5 - اذا ﻛﺎن ﻟﻠﺪاﻟﺔ f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + cﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﺗﺴﺎوي ،8وﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻋﻨﺪ x = 1ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ . a, c اﳊﻞ: ﻋﻨﺪ x = 1ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ⇒ f ʹʹ (1) = 0 ⇒ f ʹ ( x ) = 3ax 2 + 6x
f ʹʹ(x) = 6ax + 6 ⇒ f ʹʹ(1) = 0 ∴ 0 = 6a + 6 ⇒ a =−1 ⇒ 1
f ( x ) = −x 3 + 3x 2 + c = ⇒⇒f ʹf(ʹx( )x ) =-3x3x2 2++6x6x ⇒ f ʹ ( x) = 0
)f ʹʹʹ (x اﺷﺎرة )( 3
⇒ −3x 2 + 6x = 0 ﺣﺮﺟﺘﺎن −3x ( x − 2) = 0 ⇒ x = 0 , x = 2 - - - - - - -0
+ + + + + +2- - - - - - -
∴ fﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ x = 2 ∴ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ( 2, 8ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ و ﲢﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ :
f ( x ) = −x 3 + 3x 2 + c
1−8 ) +=+c012=⇒4+ c = 4 ∴= ∴ 8 −88f +ʹʹ=(12
133
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
J
(3
) øjQɪ 4 ‐
.1ﻟﺘﻜﻦ f ( x) = ax − 6x + bﺣﻴﺚ ان a ∈ {4,8} ,b ∈ Rﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ aاذا ﻛﺎﻧﺖ : أ( اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﺤﺪﺑﺔ ب( اﻟﺪاﻟﺔ fﻣﻘﻌﺮة ﺟـ( ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ. 3
2
.2اذا ﻛﺎﻧﺖ ) (2,6ﻧﻘﻄﺔ ﺣﺮﺟﺔ ﳌﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ) f ( x) = a − ( x − bﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ a,bوﺑﲔ ﻧﻮع اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ. 4
.3اذا ﻛﺎن g ( x) = 1−12x, f ( x) = ax + bx + cxوﻛﺎن ﻛﻞ ﻣﻦ g,fﻣﺘﻤﺎﺳﺎن ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻘﻼب وﻛﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻫﻲ ) (1 ،-11ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺜﻮاﺑﺖ . a,b,c 3
2
.4اذا ﻛﺎﻧﺖ 6ﲤﺜﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﳌﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﳑﺎس اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼﺑﻪ.
− x3 + c
.5اذا ﻛﺎن f ( x) = ax + bx + cxوﻛﺎﻧﺖ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻫﻲ ) (-1,5ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺜﻮاﺑﺖ . a,b,c 2
.6ﻟﺘﻜﻦ
x≠0
fﻣﻘﻌﺮة ∀x〉1>1وﻣﺤﺪﺑﺔ<1 ∀x〈1
3
،
a x
2
f ( x) = 3xﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ cﺛﻢ ﺟﺪ وﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ
f ( x) = x 2 −
ﺑﺮﻫﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﻻ ﲤﺘﻠﻚ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ. .7اذا ﻛﺎن
134
+ bx 2 − 9x
3
f ( x) = axوﻛﺎن f (−1) = 5 , f ʹ(3) = 0ﻓﺠﺪ ﻗﻴﻤﺔ . a,b
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
] [3-8رﺳﻢ اﳌﺨﻄﻂ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ
Graphing Function
وﻟﻜﻲ ﻧﺮﺳﻢ اﳌﺨﻄﻂ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻌﻄﺎة ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻻﺗﻴﺔ : (1ﻧﺤﺪد أوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ: ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ ﺣﺪودﻳﺔ ) (Polynomialﻓﺈن أوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻬﺎ ﻫﻮ R اﻣﺎ اذا ﻛﺎﻧﺖ ﻧﺴﺒﻴﺔ ) f (x) = g(xﻓﺎن اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻬﺎ ﻫﻮ }R = {x ∈ R : h(x) ≠ 0 )h(x (2ﻧﺒﲔ ﻧﻮع اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﻫﻞ ﻫﻮﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات أم ﻣﻊ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ؟ ) f : A → B (iﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات ⇔ ∀x ∀x∈∈A∃(−X A∃(−X ∈∈f ʹʹ)()1 )) =AA0 ⇒ f (−x) = f (x ) f : A → B (iiﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ⇔
∀x ∀x∈∈A∃(−X A∃(−X ∈∈f ʹʹ)()1 )) =AA0 ⇒ f (−x) = − f (x (3ﻧﺒﲔ إن ﻛﺎن اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻳﻘﻄﻊ اﶈﻮرﻳﻦ أم ﻻ؟ اي ﳒﻌﻞ x=0وﳒﺪ ﻗﻴﻤﺔ أو ﻗﻴﻢ ) yان اﻣﻜﻦ( ﻓﺠﺪ ﺑﺬﻟﻚ ﻧﻘﻂ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات. وﳒﻌﻞ y=0وﳒﺪ ﻗﻴﻤﺔ أو ﻗﻴﻢ ) xان اﻣﻜﻦ( ﻓﺠﺪ ﺑﺬﻟﻚ ﻧﻘﻂ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت (4ﳒﺪ اﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﶈﺎذﻳﺔ ا ُﻻﻓﻘﻴﺔ واﻟﻌﻤﻮدﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ إن وﺟﺪت: ) (iﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ ) y = g(xﳒﻌﻞ h(x)= 0وﳒﺪ ﻗﻴﻢ x )h(x وﻟﺘﻜﻦ x=aﻓﻬﻲ ﲤﺜﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﶈﺎذي اﻟﻌﻤﻮدي )(Vertical Asymptote ) (iiواذا ﻛﺎﻧﺖ ) x = n(yﳒﻌﻞ m(y ) = 0وﳒﺪ ﻗﻴﻢ yوﻟﺘﻜﻦ y= bﻓﻬﻲ ﲤﺜﻞ اﶈﺎذي اﻻﻓﻘﻲ )m(y )(Horizontal Asymptote (5ﳒﺪ ) f ʹʹ(x) , f ʹ(xوﻣﻨﻬﻤﺎ ﳒﺪ ﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺘﺰاﻳﺪ واﻟﺘﻨﺎﻗﺺ واﻟﻨﻘﺎط اﳊﺮﺟﺔ وﻧﻮﻋﻬﺎ وﻣﻨﺎﻃﻖ اﻟﺘﻘﻌﺮ واﻟﺘﺤﺪب وﻧﻘﻂ اﻻﻧﻘﻼب إن وﺟﺪت . (6ﳒﺪ ﻧﻘﻂ اﺿﺎﻓﻴﺔ إن اﺣﺘﺠﻨﺎ اﻟﻰ ذﻟﻚ ﺛﻢ ﻧﺮﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ .
135
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل -1 - اﳊﻞ
ارﺳﻢ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﲟﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ ﻓﻲ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ f(x)=x5 : ) (1اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل = R
) (0,0) (2ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ اﻹﺣﺪاﺛﻴﲔ. ) (3اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻷن: 5
∀x ∈R, ∃ (f−x ʹʹ ()1∈R ) ) = 0 ⇒∍ f ( −x ) = ( −x
= −x 5 )= − f ( x ) (4اﶈﺎذﻳﺎت :ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻧﺴﺒﻴﺔ. f ʹ ( x ) = 5x 4
)(5
→f ʹʹʹ((x1) = 00f ⇒ ) ʹʹ (1x)== 00 ⇒ ( 0,0 اﺷﺎرة )f ʹʹʹ (x fﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ
++++++
++++++ 0
}{ x : x < 0} ، { x : x > 0
) ( 0,0ﻧﻘﻄﺔ ﺣﺮﺟﺔ ﻻ ﲤﺜﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ.
اﺷﺎرة )f ʹʹ(x
----- --0 ++++++
}{ x : x > 0 }{ x : x < 0
fﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ fﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ ∴ ) ( 0,0ﻧﻘﻄﺔ اﻻﻧﻘﻼب
136
ﺗﻘﻌﺮ
ﲢﺪب
f ʹʹ ( x ) = 20x 3 f ʹʹ ( x ) = 0 ⇒ x = 0
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J -2 -32
-1 2 -1 32
1 1
0 0
x y y
)(1 ,1 x
⚈
)(0 ,0
ﻣﺜﺎل -2 - اﳊﻞ
⚈
⚈ )(-1 ,-1
ارﺳﻢ ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ :
y = x 3 − 3x 2 + 4
(1اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل = R )x = 0 ⇒ y = 04 ⇒ (0, 40 (2اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات (3اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ ∀x ∈ R∃(−x) ∈ R ⇒ f (−x) = (−x)3 − 3(−x)2 + 4
)= −x 3 + 3x 2 + 4 ≠ f (x ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﺗﻨﺎﻇﺮ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات او ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ ﻷن )f (−x) ≠ − f (x) , f (x) ≠ f (−x (4اﶈﺎذﻳﺎت ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻧﺴﺒﻴﺔ . (5 )f (x f (x)== x 3 − 3x 2 + 4 ⇒ f ʹ(x) = 3x 2 − 6x )f ʹf(x ʹ(x)== 0 ⇒ 3x 2 − 6x = 0 ⇒ x = 0 , x = 2 )f (0 )f (0)== 4 ⇒ (0, 4
)f ʹʹʹ (x اﺷﺎرة )( 3
+ + + + + +0 - - - - - - - 2 + + + + + +
)f (2 )f (2)== 0 ⇒ (2, 0
137
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
fﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ ﻛﻞ ﻣﻦ }{x : x < 0} , {x : x > 2 fﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة )(0 , 2 ∴) (0, 0ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ (2 , 0) ،ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ .
f ʹʹ(x) = 6x − 6 f ʹʹ(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0 ⇒ x = 1 )f (1) = 2 ⇒ (1, 2
اﺷﺎرة )f ʹʹ(x
----- --1 ++++++ ﺗﻘﻌﺮ
ﲢﺪب
fﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ }{x : x > 1 fﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ }{x : x < 1 ∴) (1, 2ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب. (6اﳉﺪول
-1 0
3 4
1 2
2 0
0 4
y )(0,4
x
138
)(2,0
)(-1,0
x y
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل- 3-
ﺑﺎﻻﺳﺘﻌﺎﻧﺔ ﺑﺎﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ارﺳﻢ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ:
3x − 1 x+1
= )f (x
اﳊﻞ (1اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ x + 1 = 0 ⇒ x = −1 : ∴ اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻫﻮ }R − {−1 (2ﲟﺎ أن 1ﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻜﻦ ) (-1ﻻﻳﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺎﳌﻨﺤﻨﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات وﻏﻴﺮ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﻊ ﻧﻘﻄﺔ اﻻﺻﻞ. (3ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ اﻻﺣﺪاﺛﻴﲔ: 1 1 ⇒ if x = 0 ⇒ y = −1 (∴(0,−1), =x ),0 3 3 3x − 1 1 1 1 (= 0⇒ x∴(0,−1), ⇒ if y = 0 ﻫﻤﺎ ﻧﻘﻄﺘﺎ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ )= ⇒ x = ,0 x+1 3 3 3 (4
اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﶈﺎذي اﻟﺸﺎﻗﻮﻟﻲ
when x + 1 = 0 ⇒ x=-1 3x − 1 = letff (x) = y ⇒ ⇒ x+1 ⇒ yx + y = 3x − 1 ⇒ yx − 3x = −1− y −1− y y−3 اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﶈﺎذي اﻻﻓﻘﻲ when y − 3 = 0 ⇒ y −= 3 = x(y − 3) = −1− y ⇒ x
(5
)(x + 1)(3) − (3x − 1)(1 (x + 1)2 +1 3x + 3 − 3x − 42 = = 2 )(x + 1 (x + 1)2
)f ʹ(x = ʹy
∀x ∈ R − {−1} ، f ʹ(x) > 0 اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ } {x : x > −1} , {x : x < −1وﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﺎط ﺣﺮﺟﺔ. -8 1 −4 −3 ⇒ x = )= 42(x +1 )f ʹʹ(x = ʹy )f ʹ(x y'' == -8 = )−4(x + 1) (1 3 (x + 1)3 −2
139
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ) + 1)−3 (1اﺷﺎرة )f ʹʹ(x ''y = −4(x
+ + + + + +-1 - - - - - -ﺗﻘﻌﺮ
ﲢﺪب
اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ }{x:x<-1 اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ }{x:x>-1
y
y=3
x
x=-1
اﻟﺪاﻟﺔ ﻻﲤﺘﻠﻚ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ﻻن ) (-1ﻻﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﳌﺠﺎل . ﻣﺜﺎل-4 -
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ ﻓﻲ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ارﺳﻢ اﳌﻨﺤﻨﻲ: x2 f (x) = 2 x +1 y
اﳊﻞ (1اوﺳﻊ ﻣﺠﺎل ﻟﻠﺪاﻟﺔ =R (2ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ: X ﻋﻨﺪﻣﺎ x=0ﻓﺈن y=0وﺑﺎﻟﻌﻜﺲ. ∴ ) (0،0ﻧﻘﻄﺔ اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ. (3اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ :
y=1
∴ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
140
1 3
1 3
−
∀x ∈ R,∃ − x ∈ R (−x)2 x2 = )f (−x = )= f (x (−x)2 + 1 x 2 + 1
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
(4اﶈﺎذﻳﺎت : ﻟﺬﻟﻚ ﻻﻳﻮﺟﺪ ﻣﺤﺎذي ﻋﻤﻮدي
x2 + 1 ≠ 0 x 2 2x 2 x2 2 2 + y2 + = yx 2= x 2 =+ y =2 x 2 = y =⇒y yx ⇒ yx ⇒ yx )let= yy=⇒f (x x +x1 + 1 +1 ⇒ x 2 (y − 1) = −y ⇒ x 2 = −y y−1 let y −1 = 0 ⇒ y = 1
∴ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﶈﺎذي اﻻﻓﻘﻲ (5
2x )(x 2 +1)(2x) − x 2 (2x = = )f ʹ(x (x 2 +1)2 (x 2 +1)2 2x )= 0 ⇒ x = 0 ⇒ f (0) = 0 ⇒ (0, 0 f ʹ(x) = 0 ⇒ 2 (x +1)2 ----- --0++++++ )f ʹʹʹ (x اﺷﺎرة )( 3 ﺗﺰاﻳﺪ
) f(xﻣﺘﺰاﻳﺪة ﻓﻲ }{x : x > 0 ) f(xﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ }0{x : x < 0
ﺗﻨﺎﻗﺺ
)(x 2 +1)2 (2) − 2x(2)(x 2 +1)(2x ) (0،0ﻧﻘﻄﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ = )f ʹʹ(x 2 4 )(x +1 2 2x + 2 − 8x 2 2 − 6x 2 1 = = = 0 ⇒ x = ± 3 (x 2 +1)3 (x 2 +1)33 3 1 1 − - - - - - - - 3+ + + + + + 3 - - - - - -اﺷﺎرة )f ʹʹ(x ﲢﺪب
1 ) f (xﻣﺤﺪﺑﺔ ﻓﻲ 1 > }, {x : x } 3 3 1 1 (− , ) f (xﻣﻘﻌﺮة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﳌﻔﺘﻮﺣﺔ ) 3 3
ﲢﺪب
ﺗﻘﻌﺮ
{x : x < −
ﻧﻘﻄﺘﺎ اﻻﻧﻘﻼب ﻫﻤﺎ:
1 1 1 1 1 1 ) = ⇒ ( , ), (− ) , 3 4 3 4 3 4
(f f (±
141
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J (3
) øjQɪ
J
‐5
: أرﺳﻢ ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام ﻣﻌﻠﻮﻣﺎﺗﻚ ﻓﻲ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ 1) f (x) = 10 − 3x − x 2 2) f (x) = x 2 + 4x + 3 3) f (x) = (1− x)3 +1
4) f (x) = 6x − x 3 5) f (x) = 6) f (x) =
1 x
x 1-1
x +1 7) f (x) = (x + 2)(x −1)2
x 2 −1 8) f (x) = 2 x +1 9) f (x) = 2x 2 − x 4 10) f (x) =
6 x2 + 3
142
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
] [3-9ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻴﻢ اﻟﻌﻈﻤﻰ او اﻟﺼﻐﺮى. ﻇﻬﺮت ﻓﻲ اﻟﻘﺮن اﻟﺴﺎﺑﻊ ﻋﺸﺮ اﻟﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ اﻻﺳﺌﻠﺔ دﻓﻌﺖ اﻟﻰ ﺗﻄﻮر ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ وﻣﻦ اﻣﺜﻠﺔ ذﻟﻚ اﳌﺴﺎﺋﻞ اﻟﺘﻲ وردت ﻓﻲ ﺑﺤﻮث اﻟﻔﻴﺰﻳﺎء ﻣﺜﻞ اﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﺗﺼﻠﻪ ﻗﺬﻳﻔﺔ اﻃﻠﻘﺖ ﺑﺰواﻳﺎ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ،او اﻗﺼﻰ ارﺗﻔﺎع ﻳﺼﻠﻪ ﺟﺴﻢ ﻣﻘﺬوف ﺷﺎﻗﻮﻟﻴ ًﺎ اﻟﻰ اﻋﻠﻰ اواﻗﻞ زﻣﻦ وأﻗﻞ ﻛﻠﻔﺔ وﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﻦ اﻟﺼﻨﺎﻋﺎت ﻣﺜﻞ أﻗﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ وأﻛﺒﺮ ﺣﺠﻢ وأﻗﻞ ﻣﺤﻴﻂ ... ،اﻟﺦ . وﳊﻞ ﻫﺬﻩ اﳌﺴﺎﺋﻞ ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻵﺗﻴﺔ : .1ﻧﺮﺳﻢ ﻣﺨﻄﻄ ًﺎ ﻟﻠﻤﺴﺄﻟﺔ )إن اﻣﻜﻦ ( وﻧﻌﲔ ﻋﻠﻴﻪ اﻷﺟﺰاء اﳌﻬﻤﺔ ﻓﻲ اﳌﺴﺄﻟﺔ . ﻧﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺮاد اﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ اﻟﻌﻈﻤﻰ او اﻟﺼﻐﺮى وﻧﺤﺪد ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ﻋﻠﻰ ان ﺗﻜﻮن ﻓﻲ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ. .2ﱢ .3اذا ﻛﺎن اﳌﺠﺎل ﻓﺘﺮة ﻣﻐﻠﻘﺔ ﳒﺪ اﻻﻋﺪاد اﳊﺮﺟﺔ وﻗﻴﻢ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻲ اﻃﺮاف اﻟﻔﺘﺮة وﻓﻲ اﻻﻋﺪاد اﳊﺮﺟﺔ . ﻓﺄ ّﻳﻬﺎ اﻛﺒﺮ ﻫﻲ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ و َأ ّﻳﻬﺎ أﺻﻐﺮ ﻫﻲ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺼﻐﺮى. ﻣﺜﺎل-1 -
ﺟﺪ اﻟﻌﺪد اﻟﺬي اذا اﺿﻴﻒ اﻟﻰ ﻣﺮﺑﻌﻪ ﻳﻜﻮن اﻟﻨﺎﰋ اﺻﻐﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ .
اﳊﻞ ﻟﻴﻜﻦ اﻟﻌﺪد = x ∴ ﻣﺮﺑﻊ اﻟﻌﺪد = x2 وﻟﺘﻜﻦ f(x) = x+x2
f ʹ(x) = 1+ 2x, f ʹʹ(x) = 2 > 0 1 2
∴ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﺻﻐﺮى ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ 1 2 ∴اﻟﻌﺪد ﻫﻮ ⎟⎞ . ⎛⎜− 1 ⎠⎝ 2
f ʹ(x) = 0 ⇒ x = − 1 f ʹʹ(− ) = 2 > 0 2
x=−
143
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-2 - ﺻﻨﻊ ﺻﻨﺪوق ﻣﻔﺘﻮح ﻣﻦ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﺤﺎس ﻣﺮﺑﻌﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻃﻮل ﺿﻠﻌﻬﺎ 12cmوذﻟﻚ ﺑﻘﺺ أرﺑﻌﺔ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻷﺑﻌﺎد ﻣﻦ أرﻛﺎﻧﻬﺎ اﻷرﺑﻌﺔ ﺛﻢ ﺛﻨﻲ اﻷﺟﺰاء اﻟﺒﺎرزة ﻣﻨﻬﺎ .ﻣﺎ ﻫﻮ اﳊﺠﻢ اﻷﻋﻈﻢ ﻟﻬﺬة اﻟﻌﻠﺒﺔ؟ x
x
-x
12 - 2x
12
اﳊﻞ
x
ﻧﻔﺮض ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﳌﺮﺑﻊ اﳌﻘﻄﻮع ﻳﺴﺎوي x cm ∴ أﺑﻌﺎد اﻟﺼﻨﺪوق ﻫﻲ12 − 2x ;12 − 2x; x : اﳊﺠﻢ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب أﺑﻌﺎدﻩ اﻟﺜﻼﺛﺔ:
12 - 2x
) ( ) () () ( (
)
v = v12 = −12 v −= 2x 12−−12 2x− ∗2x 12 2x 12 2x x ∗− x2x ∗ x
( )( ) V = f ( x ) = 144x − 48x + 4x dv dv = f ʹ ( x ) = 144 − 96x +12x ⇒ = 0 ⇒ 0=12(12-8x+x )⇒12(6-x)(2-x)=0 when dx dx 2
V = f x = x 144 − 48x + 4x 4 3
2
2
2
اﻟﻨﻘﻂ اﳊﺮﺟﺔ ⇒ x = 2 , ; x = 6 )f ʹʹʹ (x اﺷﺎرة )( 3
+ + + + + +2 - - - - - - - 6 + + + + + +
ﻻﺣﻆ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ أن 6ﻳﻬﻤﻞ ﻻﻧﻪ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﻘﻮل ﻋﻨﺪ 2ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻟﻠﺤﺠﻢ وﺗﺴﺎوي v = f (2) = 2(12 − 4)2 = 128cm3
144
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J ﻣﺜﺎل-3 - ﺟﺪ ﺑﻌﺪي أﻛﺒﺮ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﲔ ﳝﻜﻦ أن ﻳﻮﺿﻊ داﺧﻞ داﺋﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ 12cm ﺛﻢ ﺑﺮﻫﻦ أن ﻧﺴﺒﺔ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺜﻠﺚ إﻟﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة ﻛﻨﺴﺒﺔ 3 3 4π اﳊﻞ ﻧﻔﺮض ﺑﻌﺪي اﳌﺜﻠﺚ ) 2x , h :اﳌﺘﻐﻴﺮات( ﻟﻨﺠﺪ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮات: 2 ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرسx 2 + h−12 = 144 :
)
2
x + h2 − 24h+144 = 144
(
12 h
x 2 = 24h− h2 x
x = 24h− h2
اﻟﺪاﻟﺔ) :ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺜﻠﺚ(
اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ :
h -12
12
x
1 )A = (b)(h 2 1 A = (2x)(h) = hx 2 A = f h = h 24h− h2
)(
ﻻﺣﻆ اﳌﺠﺎل 0 ≤ h ≤ 24 :وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ أن hﻣﻮﺟﺒﺔ ﻓﻴﻤﻜﻦ ﺗﻮﺣﻴﺪ اﳉﺬر
) A = f (h) = h2 (24h − h2
)(
A = f h = 24h3 − h4 اﳌﺸﺘﻘﺔ
dA 72h2 − 4h3 = )= f ʹ(h dh 2 24h3 − h4
ﳒﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﳊﺮﺟﺔ ﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺴﺎﺣﺔ وﻋﻨﺪﻣﺎ
f ʹ(h) = 0 ⇒ 72h2 − 4h3 = 0
)
(
4h2 18 − h = 0 ⇒ h = 18cm
145
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
)(
اﺷﺎرة f ʹ h
+ + + + + + 18- - - - - - -
وﻣﻦ اﳌﺨﻄﻂ اﳌﺠﺎور ﻧﺘﻌﺮف ﻋﻠﻰ أن ﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻋﻨﺪ اﻟـ h = 18 اﻻرﺗﻔﺎع =h = 18cm ﻃﻮل اﻟﻘﺎﻋﺪة = 2x ( )−182 x = 24h− h2 ⇒ x = 24 ∗18
)
(
)(18) (6 ∗x = 18 24 −18 = 18 3 = 6 3cm
∴ ﻃﻮل اﻟﻘﺎﻋﺪة = b = 2x= 12 3cm ﻣﺲ اﻟﺪاﺋﺮة:
A1 = π r 2
2 2 )A11c= ππ(12 ⇐ cm2 ⇐ 2 rA1π==π1Ar 2 ⇐ 2m π∗12 4412==2144π 21 ∗ π =cm A 1
1 18 = 108 )A2 = bh ⇒ A2 = 6 3(8 180 3cm2 2
ﻣﺲ اﳌﺜﻠﺚ:
A2 108 3 3 3 = = A1 144π 4π
ﻣﺜﺎل-4 -
=
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺜﻠﺚ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة
ﺟﺪ ﺑﻌﺪي أﻛﺒﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﳝﻜﻦ أن ﻳﻮﺿﻊ داﺧﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ 24cmوارﺗﻔﺎﻋﻪ
18cmﺑﺤﻴﺚ أن رأﺳﲔ ﻣﺘﺠﺎورﻳﻦ ﻣﻦ رؤوﺳﻪ ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة واﻟﺮأﺳﲔ اﻟﺒﺎﻗﻴﲔ ﺗﻘﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﺳﺎﻗﻴﻪ . اﳊﻞ -ﻧﻔﺮض ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ ﺑﻌﺪي اﳌﺴﺘﻄﻴﻞx,y cm :
146
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J b 18 - x
a
s
n
18
x r
p
c
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩⎪
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩⎪
y
42
اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮات :اﳌﺜﻠﺜﺎن bns , bcr :ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎن ﻟﺘﺴﺎوي زواﻳﺎﻫﻤﺎ اﳌﺘﻨﺎﻇﺮة ﻟﺬا ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ أﺿﻼﻋﻬﻤﺎ اﳌﺘﻨﺎﻇﺮة وﻛﺬﻟﻚ ارﺗﻔﺎﻋﺎﻫﻤﺎ. ns ba y 18 − x = ⇒ = cr bp 24 18
)
4 24 18 − x ⇒ y = − 18 − x 3 18
(
)
⇐ A = xy
اﻟﺪاﻟﺔ :ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺴﺘﻄﻴﻞ = ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺑﻌﺪﻳﺔ
4 A = x (18 − x).x 3
اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﺑﺪﻻﻟﺔ ﻣﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ: اﻟﺘﺒﺴﻴﻂ ﻗﺒﻞ اﳌﺸﺘﻘﺔ:
ﳒﺪ اﻟﻨﻘﻂ اﳊﺮﺟﺔ:
(
=⇒ y
4 44 f fx f x= xA= =A A18x − x−2 −x 2x 2 18x 18x 3 33
)) )
( ( ( ) )( () (
)
4 18 − 2x 3
(
)(
= fʹ x
f ʹ(x) = 0 ⇒ x = 9
147
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J 4 8 −2 = − 3 3
) (
)(
= f ʹʹ x
8 f ʹʹ 9 = − < 0 3 وﻫﺬا ﻳﻌﻨﻲ ﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻋﻈﻤﻰ ﻣﺤﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ x= 9 cmوﳝﺜﻞ أﺣﺪ اﻟﺒﻌﺪﻳﻦ.
)(
اﻟﺒﻌﺪ اﻵﺧﺮ
4 4 y = f18 ʹ(x)− =x 0 ⇒; xy==9 18 − 9 = 12 cm 3 3
)
)
(
(
ﻣﺜﺎل-5 - ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺤﻴﻄﻲ داﺋﺮة وﻣﺮﺑﻊ ﻳﺴﺎوي 60cmأﺛﺒﺖ أﻧﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺘﻲ اﻟﺸﻜﻠﲔ أﺻﻐﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ﻓﺈن ﻃﻮل ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ﻳﺴﺎوي ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﳌﺮﺑﻊ. اﳊﻞ اﻟﻔﺮﺿﻴﺔ :ﻧﻔﺮض ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة = r cmوﻧﻔﺮض ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﳌﺮﺑﻊ = x cm اﻟﻌﻼﻗﺔ :ﻣﺤﻴﻂ اﳌﺮﺑﻊ +ﻣﺤﻴﻂ اﻟﺪاﺋﺮة = 60 cm
∴60 60 == 4x 4x++2rπ ⇒2πr ⇒ ∴ 1 )r = (30 − 2x π
اﻟﺪاﻟﺔ ﻫﻲ :ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺪاﺋﺮة +ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﺮﺑﻊ 2
2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ 1 1 1 2 x + 30 − 2x A = x 2 + ⎢ 30A−=A 2x x=2 + π 30 − 2x π ⎢ ⎢⎥ ⎥ ⎥ π π ⎣π ⎣ ⎦ ⎣π ⎦ ⎦
) )
اﻟﺘﺤﻮﻳﻞ ﳌﺘﻐﻴﺮ واﺣﺪ :
)
1 900 −120x + 4x 2 π
(
)
ﻧﺸﺘﻖ: π
وﻋﻨﺪﻣﺎ
( (
(
)
)(
A = f x = x2 +
1 −120 + 8x π
(
)(
f ʹ x = 2x +
⊗ 1 )0 = 2x + −120 + 8x ⇒ f2 ʹ=(x xπ=−060 + 4x π
)
(
0=π xπx + 4x − 60 ⇒ 60 = πxπx + 4x
148
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
6060 x(π )+ 4 == 6060 = ⇒⇒x =x cm x(π )+ 4 cm ππ + 4+ 4 11 120 120 ∴∴ r =r = (30 −− ) ) (30 ππ ππ + 4+ 4 3030 cm == r cm ππ + 4+ 4
ﻣﺜﺎل-6 - ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ )(0,4
) و .ﻫـ .م(
∴ x = z2 r
ﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ أو ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﻘﻄﻊ اﻟﺰاﺋﺪ y2 − x 2 = 3ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن أﻗﺮب ﻣﺎ ﳝﻜﻦ
اﳊﻞ ﻧﻔﺮض أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ) p(x,yﻫﻲ ﻣﻦ ﻧﻘﻂ اﳌﻨﺤﻨﻲ y2 − x 2 = 3ﻓﺘﺤﻘﻖ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ . ∴ x2 = y2 _ 3
)... (1
s = (x − 0)2 + (y − 4)2 )∴ s = x 2 + y2 − 8y +16...(2) ... (2
ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻟﺔ 1ﻓﻲ 2ﻳﻨﺘﺞ :
s = f (y) = 2y2 − 8y +13 4y − 8
2 2y2 − 8y +13
= )f ʹ(y
f ʹ(y) = 0 ⇒ 4y − 8 = 0 ⇒ y = 2 Q x 2 = y2 − 3 ∴ x 2 = 4 − 3 = 1 ⇒ x = ±1 ) ⇒ (1, 2), (−1, 2
+ + + + + +-2 - - - - - - -2 + + + + + + )f ʹ ((y اﺷﺎرة )3 ﺻﻐﺮى
ﻋﻈﻤﻰ
149
Applications of Differentiationsπ°VÉØàdG äÉ≤«Ñ£J
(3
J
) øjQɪ 6 ‐
.1ﺟﺪ ﻋﺪدﻳﻦ ﻣﻮﺟﺒﲔ ﻣﺠﻤﻮﻋﻬﻤﺎ 75وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب أﺣﺪﻫﻤﺎ ﻓﻲ ﻣﺮﺑﻊ اﻻﺧﺮ أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ. .2ﺟﺪ ارﺗﻔﺎع اﻛﺒﺮ اﺳﻄﻮاﻧﺔ داﺋﺮﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺗﻮﺿﻊ داﺧﻞ ﻛﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ .3ﺟﺪ ﺑﻌﺪي اﻛﺒﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﻮﺿﻊ داﺧﻞ ﻧﺼﻒ داﺋﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ .4ﺟﺪ اﻛﺒﺮ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﳌﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﲔ ﻃﻮل ﻛﻞ ﻣﻦ ﺳﺎﻗﻴﻪ
2cm
2cm
3cm
.4
.4
.8
.5ﺟﺪ اﻗﻞ ﻣﺤﻴﻂ ﳑﻜﻦ ﻟﻠﻤﺴﺘﻄﻴﻞ اﻟﺬي ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ .16 cm2 .6ﺟﺪ ﺣﺠﻢ اﻛﺒﺮ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ﳝﻜﻦ وﺿﻌﻪ داﺧﻞ ﻛﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ .3 cm .7ﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﳝﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) (6,8واﻟﺬي ﻳﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﶈﻮرﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﺮﺑﻊ اﻻول أﺻﻐﺮ ﻣﺜﻠﺚ. .8ﺟﺪ ﻣﺤﻴﻂ اﻛﺒﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻳﻮﺿﻊ داﺧﻞ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ f ( x) = 12 − xوﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت. 2
.9ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻛﺒﺮ اﺳﻄﻮاﻧﺔ داﺋﺮﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﺗﻮﺿﻊ داﺧﻞ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ارﺗﻔﺎﻋﻪ 8cmوﻃﻮل ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ . 12cm .10ﺟﺪ ﺣﺠﻢ اﻛﺒﺮ ﻣﺨﺮوط داﺋﺮي ﻗﺎﺋﻢ ﻧﺎﰋ ﻣﻦ دوران ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻃﻮل وﺗﺮﻩ 4 3 cmﺣﻮل اﺣﺪ ﺿﻠﻌﻴﻪ اﻟﻘﺎﺋﻤﲔ.
.11ﺣﺎوﻳﺔ اﺳﻄﻮاﻧﻴﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ ﻣﻦ اﻷﻋﻠﻰ ﺳﻌﺘﻬﺎ (125π ) cm3ﺟﺪ أﺑﻌﺎدﻫﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻌﺪن اﳌﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ ﺻﻨﻌﻬﺎ اﻗﻞ ﻣﺎﳝﻜﻦ. .12ﺧﺰان ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺘﻮازي ﺳﻄﻮح ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﺿﻌﻒ ﻋﺮﺿﻬﺎ ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻌـــﺪن اﳌﺴﺘﺨﺪم ﻓﻲ ﺻﻨﺎﻋﺘﻪ 108 cm2ﺟﺪ اﺑﻌﺎد اﳋﺰان ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﺣﺠﻤﻪ اﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﳝﻜﻦ ﻋﻠﻤ ًﺎ ان اﳋﺰان ذو ﻏﻄﺎء ﻛﺎﻣﻞ.
150
4
πeÉμàdG
Integration
™HGôdG π°üØdG Chapter Four Integration πeÉμàdG
][4-1
اﳌﻨﺎﻃﻖ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻴﺎت
][4-2
اﳌﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﻌﻠﻴﺎ واﳌﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﺴﻔﻠﻰ.
][4-3
ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ.
][4-4
اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ -اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ.
][4-5
ﺧﻮاص اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﶈﺪد.
][4-6
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻏﻴﺮ اﶈﺪد.
][4-7
اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ.
][4-8
إﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ.
][4-9
إﻳﺠﺎد ﺣﺠﻢ ﺟﺴﻢ ﻧﺎﺷﻰء ﻣﻦ دوران ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ.
151
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-1اﳌﻨﺎﻃﻖ اﶈﺪدة ﺑـﻤﻨﺤﻨﻴﺎت . Regions Bounded by Curves. ﺗﻌﺮﻓﺖ ﻣﻦ دراﺳﺘﻚ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜﻞ اﻟﺬي ﺗﺮاﻩ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ): (4 - 1
A1
A4
A3
A2
اﻟﺸﻜﻞ )(4-1
ﺣﻴﺚ A1ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ و A2ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺜﻠﺜﺔ و A3ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮف و A4ﻣﻨﻄﻘﺔ داﺋﺮﻳﺔ وﻻﺷﻚ أﻧﻚ ﺗﻌﺮف إﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺎت ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ .
أﻣﺎ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ Aﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ) (4 - 2واﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻀﻠﻌﺔ ﻓﻴﻤﻜﻨﻚ ﺣﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺑﺘﻘﺴﻴﻤﻬﺎ
اﻟﻰ ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺜﻠﺜﺔ .
A1 , A2 , A3 , A4
A1
وﺗﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎوي ﻣﺴﺎﺣﺔ + A1ﻣﺴﺎﺣﺔ + A2ﻣﺴﺎﺣﺔ + A3ﻣﺴﺎﺣﺔ A4
A2
A3 A4
A
اﻟﺸﻜﻞ )(4-2
وﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻧﻔﺴﻬﺎ ﻳﻤﻜﻨﻨﺎ اﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ اي ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﻀﻠﻌﺔ ﺑﻌﺪ أن ﻧﻘﺴﻤﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺜﻠﺜﺔ أو ﻣﺮﺑﻌﺔ أو ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ .... ،
y
اﻣـــﺎ اﻟﻤﻨﻄﻘـــﺔ Aﻓـــﻲ اﻟﺸﻜـــــﻞ )(4 - 3 واﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤـﻰ ﻣﻨﻄﻘــــــﺔ ﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨــــﻲ f
f
وﻫﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋـــﺔ اﻟﻨﻘـــﺎط اﻟﻤﺤـﺼــﻮرة ﺑﻴـــﻦ اﻟﻤﻨﺤﻨــﻲ )ﺑﻴﺎن اﻟــﺪاﻟﺔ (fواﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴــﻦ
A
x = b , x = aوﻣﺤـــﻮر اﻟﺴﻴﻨــﺎت ﻓـﻼ ﻳﻤﻜﻦ ﺗﻘﺴﻴﻤﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﻨﺎﻃـﻖ ﻣﻌﻠـﻮﻣﺔ ﻟﺪﻳــﻚ ﻣﺜﻞ )ﻣﺜﻠﺚ ،ﻣﺮﺑﻊ ،ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ،داﺋﺮة(... ، ﻓﻜﻴﻒ ﻳﻤﻜﻨﻚ ﺣﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ؟
152
x اﻟﺸﻜﻞ )(4-3
b
a
πeÉμàdG
Intrgration y
ﺗﺴﻤﻴﺎت:
y
f
f
A A1
A x
x
Aﻣﻨﻄﻘﺔ ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ
A1اﻛﺒﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ اﳌﻨﻄﻘﺔ A ) A1ﻣﺤﺘﻮاة ﻓﻲ (A
y
ʹA1
A A x
ʹ = A1أ ﺻﻐﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج اﳌﻨﻄﻘﺔ A اﻟﺸﻜﻞ )(4-4
.1ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺃﻱ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﻫﻲ ﻋﺪﺩ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺐ . ﻣﻼﺣﻈـﺔ Aʹ ⊆ Aﻓﺎﻥ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ʹ ≥ Aﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ .A .2ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻻﺣﻆ اﻟﺸﻜﻞ )(4 - 5
اﻟﺸﻜﻞ )(4-5
ʹA
A
153
πeÉμàdG
Intrgration
إﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ : ﻣﺜﺎل -1 -
ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ) A ، (4 - 6ﻫﻲ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺗﺤﺖ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة , fأوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺣﻴﺚ : }A = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ f (x), y = x −1
اﳊﻞ ﻧﺤﺪد داﺧﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ Aاﻛﺒﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ
y
) ( a b c dﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜـــﻮن ﻗﺎﻋـــﺪﺗﻬـــــــــــﺎ
)cʹ(5, 2
ﻣﻦ x=2اﻟﻰ x=5
f
وﻟﺘﻜــــﻦ A1ﺣﻴـــﺚ A1 ⊆ Aوﻋﻠﻴـــــــــــﻪ A1 = ab × ad=(5-2)×1=3 uint2 ﻣﺴﺘﻄﻴﻠـــــﺔ )ʹ (abcʹdوﻟﺘﻜــﻦ ʹ A1ﺣﻴــﺚ
ʹA1
A
ﺗﻜــــــﻮن ﻣﺴـﺎﺣـــــــــﺔ ﻫــــﺬﻩ اﻟﻤﻨﻄﻘـــــــــــﺔ ﻛﺬﻟﻚ ﻧﺤـﺪد ﺧــﺎرج اﻟﻤﻨﻄﻘـــﺔ أﺻﻐـﺮ ﻣﻨﻄﻘـﺔ
ʹd
c x
b
A1 اﻟﺸﻜﻞ )(4-6
ʹ A ⊆ A1ﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﻦ x=2اﻟﻰ x=5ﻓﺘﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ ʹ A1ﺗﺴﺎوي: A1ʹ = ab× axdʹʹ= (5 − 2)× 2 = 6unit 2 ﺑﻤﺎ ان ʹA1 ⊆ A ⊆ A1 ∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ ≥ A1ﻣﺴﺎﺣﺔ ≥ Aﻣﺴﺎﺣﺔ ʹA1 ≥ 3ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ 126 ≥ A
3+ 6 1 ﻓﺘﻜﻮن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ اﻻوﻟﻰ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ Aﺗﺴﺎوي = 4 unit 2 2 2
154
(2,1) d a
πeÉμàdG
Intrgration
ﻻﺣﻆ ﻓﻲ ﺍﳌﺜﺎﻝ 1ﺍﻥ A1ﻫﻲ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ) (adﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻓﻲ ] [2 ,5ﻭﺳﻨﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) (mﺍﻣﺎ ʹ A1ﻓﻬﻲ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻬﺎ ʹ adﻳﺴﺎﻭﻱ ﺍﻛﺒﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﻓﻲ ] [2 ,5ﻭﺳﻨﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ) (Mﻭﻛﻤﺎ ﺗﻌﺮﻓﺖ ﻓﻲ ﻓﺼﻞ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ﻓﺎﻥ)) (mﺍﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ] ( [a,bﻭﻛﺬﻟﻚ )) (Mﺍﻛﺒﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪﺍﻟﺔ ﺍﳌﺴﺘﻤﺮﺓ ﻋﻠﻰ ] ([a,bﻧﺒﺤﺚ ﻋﻨﻬﻤﺎ ﻋﻨﺪ ﺍﺣﺪ ﻃﺮﻓﻲ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ] [a,bﺃﻭ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﳊﺮﺟﺔ ﺍﻥ ﻭﺟﺪﺕ . ﻣﺜﺎل -2 -
}A = {(x, y) :1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ x 2 +1
اوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ . A y
اﳊﻞ
)(4 ,17
A1اﻛﺒﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ )Aﻣﺤﺘﻮاة ﻓﻲ(A
ʹA1
ﻗــﺎﻋﺪﺗﻬـﺎ ﻣﻦ x=1اﻟﻰ x=4وارﺗﻔﺎﻋـﻬـﺎ 2 ﻫﻲ m = A1 = 2 ( 4 - 1) = 6 unit 2
A
ʹ A1اﺻﻐﺮ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج ) Aﺗﺤﺘﻮي (A
)(1 ,2
ﻗــﺎﻋﺪﺗﻬـﺎ اﻳﻀـــــ ًﺎ ﻣﻦ x=1اﻟﻰ x=4وارﺗﻔﺎﻋﻬــــﺎ 17 m = A1ʹ = 17 ( 4 - 1) = 51 unit 2
x
4
ﺑﻤﺎ ان ʹA1 ⊆ A ⊆ A1
A1
1
اﻟﺸﻜﻞ )(4-7
∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ≥ A1ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ≥ Aﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ʹA1 ∴ ≥ 6ﻣﺴﺎﺣﺔ 51 ≥ A
6 + 51 1 )= 28 (unit ﻓﺘﻜﻮن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ Aﺗﺴﺎوي unit2 2 2 2
155
πeÉμàdG
Intrgration
ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺔ ﺑﺪﻗﺔ اﻛﺒﺮ: ﺗﻤﻬﻴﺪ :ﻟﻨﻔﺮض ان ﻣﻊ ﻣﻬﻨﺪ 19000دﻳﻨﺎر ًا وأراد ﺣﺴﺎم ان ﻳﻌﺮف ﻫﺬا اﻟﻤﺒﻠﻎ ﻓﻜﺎن اﻟﺤﻮار اﻻﺗﻲ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ: ﺣﺴﺎم :ﻛﻢ ﻣﻌﻚ ﻣﻦ اﻟﺪﻧﺎﻧﻴﺮ؟ ﻣﻬﻨﺪ :ﻗﺪّ ر اﻟﻤﺒﻠﻎ ﺑﻨﻔﺴﻚ ﻋﻠﻤ ًﺎ ﺑﺄﻧﻪ ﺑﻴﻦ ﻋﺸﺮة آﻻف وﻋﺸﺮﻳﻦ اﻟﻔﺎً. 20000 + 10000 . ﺣﺴﺎم :أﺗﻮﻗﻊ ان ﻳﻜﻮن ﻣﻌﻚ 15000دﻳﻨﺎر ًا أي = 15000 2 ﻣﻬﻨﺪ :اﻗﺘﺮﺑﺖ ﻗﻠﻴ ً أﻟﻤﺢ ﻟﻚ اﻛﺜﺮ ﻓﺎﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﺬي ﻣﻌﻲ ﺑﻴﻦ 20000 ، 15000دﻳﻨﺎر. ﻼ وﻟﻜﻦ ّ 20000 + 15000 ﺣﺴﺎم :اذن ﻓﻲ ﺣﺪود 17500دﻳﻨﺎر اي = 17500 . 2 ﻣﻬﻨﺪ :ﻫﺬﻩ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻛﺜﺮ دﻗﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻻوﻟﻰ ﻻن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ 19000دﻳﻨﺎر .
ﻣﻦ ﻫﺬا اﻟﻤﺜﺎل ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ اﻷﺗﻲ : ﻓﻲ اﻟﻤﺤﺎوﻟﺔ اﻻوﻟﻰ > 10000 :اﻟﻤﺒﻠﻎ > 20000وﻛﺎن اﻟﺨﻄﺄ ﻓﻲ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ اﻻوﻟﻰ: 19000 - 15000 = 4000 ﻓﻲ اﻟﻤﺤﺎوﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ > 15000 :اﻟﻤﺒﻠﻎ > 20000ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ اﻛﺜﺮ دﻗﺔ وﻣﻘﺪار اﻟﺨﻄﺄ: 19000 - 17500 = 1500 اذن ﻛﻠﻤﺎ اﺳﺘﻄﻌﻨﺎ ان ﻧﺠﻌﻞ اﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ اﻟﺤﺪﻳﻦ اﻻﻋﻠﻰ واﻻدﻧﻰ اﻗﻞ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ اﻛﺜﺮ دﻗﺔ ، وﻫﻜﺬا ﻟﺤﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﻨﻄﻘﺔ Aﺑﺪﻗﺔ اﻛﺒﺮ ﻧﺤﺎول ان ﻧﺠﻌﻞ ﻣﻘﺪار ﻫﺬﻩ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺑﻴﻦ ﺣﺪﻳﻦ ﺑﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن اﻟﻔﺮق ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ اﻗﻞ ﻣﺎ ﻳﻤﻜﻦ . واﻟﺤﺪﻳﻦ اﻻﻋﻠﻰ واﻻدﻧﻰ ﻫﻤﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ اﻟﺪاﺧﻠﻴﺔ )اﻟﻤﺤﺘﻮاة ﻓﻲ ،(A وﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج Aواﻻﺷﻜﺎل ) (4 - 10) ،( 4 - 9) ، (4 - 8ﺗﻮﺿﺢ ﻫﺬﻩ اﻟﻔﻜﺮة.
156
πeÉμàdG
Intrgration
y
y
y
ʹA1
f
f A
A1 x
x
Aﻣﻨﻄﻘﺔ ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ f
x
A1اﳌﻨﻄﻘﺔ اﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ A
ʹ A1اﳌﻨﻄﻘﺔ اﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج Aﺧﺎرج ) ʹ A1ﲢﺘﻮي (A
اﻟﺸﻜﻞ )(4-8
ﻻﺣﻆ ان ﻫﻨﺎك ﻓﺮﻗ ًﺎ واﺿﺤ ًﺎ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ A1وﻣﺴﺎﺣﺔ ʹ A1ﺣﻴﺚ ﻣﺴﺎﺣﺔ A1أﺻﻐﺮ ﺑﻜﺜﻴﺮ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ , A اﻣﺎ ﻣﺴﺎﺣﺔ ʹ A1ﻓﻬﻲ اﻛﺒﺮ ﻛﺜﻴﺮ ًا ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ .A y
y
f A2 x
5
y
A1ʹf
f A
A1
A1 3
A1UA2
x
1
5
ʹA2
3
x
1
ﻣﻨﻄﻘﺔ Aﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ f
ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ A
5
ʹA1 3
ʹA1ʹU A2
1
ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج A
اﻟﺸﻜﻞ )(4-9
ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ) (4 - 10ﺗﺠﺰأت اﻟﻘﺎﻋﺪة ] [1 , 5اﻟﻰ أرﺑﻌﺔ ﻓﺘﺮات ﺟﺰﺋﻴﺔ . y
y f
x
A1 A2 A3 A4 1 2 3 4 5 ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ A
x
A 5
4
y
f
3
2
ﻣﻨﻄﻘﺔ Aﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ f
1
x
ʹA2ʹ A3ʹ A4
ʹA1
1 2 3 4 5 ﻣﻨﺎﻃﻖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج A )ﲢﺘﻮي (A
اﻟﺸﻜﻞ )(4-10
157
πeÉμàdG
Intrgration
(1ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ) (4 - 9ﲡﺰﺃﺕ ﺍﻟﻔﺘﺮﺓ ﺍﻟـﻰ ﻓﺘﺮﺗﲔ ﺟﺰﺋﻴﺘﲔ ﻫﻤـــﺎ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ] , [3 ,5] ,[1 ,3ﻓﻲ ﻣﺜﻞ ﻫﺬﻩ ﺍﳊﺎﻟﺔ ﺗﺴﻤﻲ ﺍﻟﺜﻼﺛﻴﺔ ﺍﳌﺮﺗﺒﺔ )(1 ,3 ,5 ﲡﺰﻳﺌ ًﺎ ) (partitionﻟﻠﻔﺘﺮﺓ ] [1 ,5ﻭﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ σﺍﻱ)σ =(1 ,3 ,5 وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ ) (4 - 10ﺗﻜﻮن ) σ = (1 ,2 ,3 ,4 ,5ﺗﺠﺰﻳﺌ ًﺎ ﻟﻠﻔﺘﺮة ]. [1 ,5
ﺣﻴﺚ ان ] [4 ,5] , [3 ,4] ,[2 , 3] ,[1 ,2ﻫﻲ ﻓﺘﺮات ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﺘﺮة ]. [1 ,5
(2
ﺍﻧﻈﺮ ﺍﻟﻰ ﺍﻟﺸﻜﻠﲔ ) (4 - 12) ، (4 - 11ﲡﺪ ﺃﻧﻪ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩﺕ ﻧﻘﺎﻁ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﺍﻟﺘﺠﺰﻱﺀ ﻓﺎﻥ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺎﺕ ﺍﳌﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺩﺍﺧﻞ A ﻭﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺎﺕ ﺍﳌﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎﺭﺝ Aﻳﻘﻞ ﺗﺪﺭﻳﺠﻴ ًﺎ .ﻭﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎﻥ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﳌﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ Aﺗﺼﺒﺢ ﺍﻛﺜﺮ ﺩﻗﺔ. ∴ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ ≥ Aﻣﺴﺎﺣﺔ ≥ Aﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج .A
y
y f
f
x
y
fA1 A2 A3 A4
x
f
A1
A2
x
b
c
A1 a
اﻟﺸﻜﻞ )(4-11
y
y
f
f
x
ʹA1ʹ A2ʹ A3ʹ A4
158
c
y
x
f
ʹA1
ʹA2 b
اﻟﺸﻜﻞ )(4-12
x
a
ʹA1
x
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -3 -
Intrgration
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻻﺗﻴﺔ: }A = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 5 , y0 =≤ xy2≤+ x1}2 − 2
وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ )a) σ 1 = (2, 3, 5
)b) σ 2 = (2, 3, 4, 5 اﳊﻞ
)a) σ 1 = (2, 3, 5 ان ﺗﺠﺰﺋﺔ )σ 1 = (2,3,5 اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ ﺗﺠﺰأت4,اﻟﻰ= (2, 3, ﻳﻌﻨﻲ ان اﻟﻔﺘﺮة ]5) [2 ,5 )b اﻟﻔﺘﺮات σ 2
].[3 ,5] , [2 ,3
m = A1 + A2 = 1× 5 + 2 ×10 = 25unit 2
M = A1ʹ + A2ʹ = 1×10 + 2 × 26 = 62unit 2
ﻛﺬﻟﻚ
ﺑﻤﺎ ان ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ > Aﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج A
25 + 62 1 = ∴ 25 ≤ A ≤ 62 ⇒ A اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ = 43 unit 2 A 2 2 )(5,26
y
ʹA2
)(3,10
ʹA1
A2 A 2 x
5
A1 3
اﻟﺸﻜﻞ )(4-13
)(2,5 2
1
159
πeÉμàdG ان ﺗﺠﺰﺋﺔ ) = (2,3,4,5
2
Intrgration
)a) σ 1 = (2, 3, 5
)b) σ 2 = (2, 3, 4, 5
σﻳﻌﻨﻲ ان اﻟﻔﺘﺮة ] [2 , 5ﺗﺠﺰأت اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮات اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ ][4 ,5],[3 ,4],[2,3
22 2 ∴m ×m==AA11++AA22++AA33==1 ×1 ×+1 +1×14 23unit ×1×225+1 + 1×7710 + 1× 17 = 32unit ∴ +1×14 ==23unit
2 2 2 ∴M ×M ==AA1ʹ1ʹ++AA2ʹ2ʹ++AA3ʹ3ʹ==1 1×710 7+1×14 +1×14 ×+1 23=26 =44unit 44unit ×1 + 1× 17 + 23 ×1 = 53unit ∴ ×!+
m+ M 32 23+ 53 44 1 = = 42 33 unit 2 2 2 2
= ∴A
y
)(5,26
ʹA3 )(4,17
ʹA2
ʹA1
A3 x
5
)(3,10
A2 4
A1 3
)(2,5 2
1
اﻟﺸﻜﻞ )(4-14
ﻛﻤﺎ ﺍﻭﺿﺤﻨﺎ ﺃﻧﻪ ﻛﻠﻤﺎ ﺯﺍﺩﺕ ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻨﻘﺎﻁ ﺍﻟﺘﺠﺰﻳﺌﻴﺔ ﻓﺎﻥ ﺍﻟﻔﺮﻕ ﺑﲔ ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺎﺕ ﺍﳌﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺩﺍﺧﻞ Aﻭﻣﺠﻤﻮﻉ ﻣﺴﺎﺣﺎﺕ ﺍﳌﻨﺎﻃﻖ ﺍﳌﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎﺭﺝ Aﻳﻘﻞ ﺗﺪﺭﻳﺠﻴ ًﺎ. ﻓﻔﻲ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ) (2 ,3 ,5ﻛﺎن اﻟﻔﺮق : وﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﺗﺠﺰﺋﺔ ) (2 ,3 ,4 ,5ﻛﺎن اﻟﻔﺮق :
160
. 62 - 25 = 37
.53 - 32 = 21
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-2اﳌﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﻌﻠﻴﺎ واﳌﺠﺎﻣﻴﻊ اﻟﺴﻔﻠﻰ. ﺗﻌﻠﻤﺖ ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ إﻳﺠﺎد ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ اﻟﺪاﺧﻠﻴﺔ وﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ f : [ a,b] → R
اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ اﻟﺨﺎرﺟﻴﺔ ،وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﺒﻨﺪ ﺳﻮف ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ :
ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ] [a,bوﻧﺠﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت داﺧﻞ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ( Lower Rectangles ) Aﺛﻢ ) ) (Upper Rectanglesﺣﻴﺚ Aاﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺗﺤﺖ
ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت ﺧﺎرج اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ A
اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ .(f ﻻ :ﻧﻔﺮض أن f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a,b] : أو ً ﺣﻴﺚ ) σ = (x0 , x1 , x2 , x3 , x4
ﻓﺘﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ A1اﻟﺘﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ] [x0, x1وارﺗﻔﺎﻋﻬﺎ m1ﺗﺴﺎوي ) m1(x1-x0ﺣﻴﺚ )m1اﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﻟﻔﺘﺮة( .
وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ A2واﻟﺘﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ اﻟﻔﺘــــﺮة ] [x1, x2وارﺗﻔﺎﻋﻬـــــﺎ m2 ﺗﺴﺎوي ) .... m2 (x2 - x1وﻫﻜﺬا
وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ داﺧﻞ Aواﻟﺘﻲ ﺳﻨﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) L (σ , fﺗﺴﺎوي L (σ , f ) = m1(x1 - x0) + m2(x2-x1) + m3(x3-x2) + m4(x4- x3). y
f A4 m4
A3 m3
A2 m2
A1 m1
A2 x
x4 = b
x3
x2
x1
a = x0
اﻟﺸﻜﻞ )(4-15
161
πeÉμàdG
Intrgration
ﻻﺣﻆ ان ≥ L (σ , f ) :ﻣﺴﺎﺣﺔ A
ﻛﺬﻟﻚ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ )(4 - 16
y
f ʹA4 M4
ʹA3 M3
ʹA1
ʹA2
M1
M2
A2 x
x4 = b
x3
x2
x1
a = x0
اﻟﺸﻜﻞ )(4-16
ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ʹ A1اﻟﺘﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ] [x0, x1ﺗﺴﺎوي ) M1(x1-x0ﺣﻴﺚ M1اﻛﺒﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ] [x0,x1وﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ʹ A2اﻟﺘﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ ﻣﺤﺼﻮرة ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ][x1,x2 ﺗﺴﺎوي ) ...... M2 (x2-x1وﻫﻜﺬا ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) U (σ , fﺗﺴﺎوي ﺳﻨﺮﻣﺰ, fﻟﻬﺎ≥ L (σ ﻓﻴﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﺧﺎرج Aﺗﺴﺎوي واﻟﺘﻲ ) U (σ , f ) = M1(x1-x0) + M2(x2-x1) + M3(x3-x2) + M4(x4 - x3). ﻻﺣﻆ أن:
) U (σ , f ) ≥ L (σ , f ﻣﺴﺎﺣﺔU (σ , f ) ≥ L (σ , f ) ≤ UA(σ ) , f ) ≤ U (σ , f
∴ أول ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ Aوﻓﻖ اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ σﺗﺴﺎوي ) . L (σ , f ) +U (σ , f 2
162
πeÉμàdG
ﺛﺎﻧﻴﺎً:
Intrgration
)f (x ﺗﻜﻮن 0 ,∀∀x ∈ [a,b] ، f (x) ≥ 0 اﻟﺸﻜﻞ ) (4 - 17ﻓﺎﻧﻪ ﻣﻦ ﻛﻤﺎ≥ﻓﻲ ﻻﻧﺸﺘﺮط∈ان, ∀x ﻋﻨﺪﻣﺎ ][a,b
اﻟﻤﻤﻜﻦ ان ﻳﻜﻮن ) mاﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ( ﻋﺪد ًا ﺳﺎﻟﺒ ًﺎ أو ﻣﻮﺟﺒ ًﺎ او ﺻﻔﺮ ًا وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎﻧﻪ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﻮﻗﻊ أن ﺗﻜﻮن ) L (σ , fﻋﺪد ًا ﺳﺎﻟﺒ ًﺎ أو ﻣﻮﺟﺒ ًﺎ أو ﺻﻔﺮ ًا .
وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ) ≤ U (σ , fﻋﺪد ﻣﻮﺟﺒ ًﺎ أو ﺳﺎﻟﺒ ًﺎ أو ﺻﻔﺮ ًا وﺑﻤﺎ ان اﻟﻌﺪد اﻟﺴﺎﻟﺐ ﻻ ﻳﻘﻴﺲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻟﻬﺬا ﻓﺎﻧﻨﺎ y
ﻧﺴﻤﻲ:
) L (σ , fاﻟﻤﺠﻤﻮع اﻻﺳﻔﻞ
) U (σ , fاﻟﻤﺠﻤﻮع اﻻﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ )(4-17
f
x
ﻣﺜﺎل -4 -
ﻟﺘﻜﻦ f :[0, 5] → R, f (x) = 5 − 2xواذا ﻛﺎن ) σ =(0 ,1 ,3 ,5ﻓﺎوﺟﺪ اﻟﻤﺠﻤﻮع اﻻﺳﻔﻞ ) L (σ , fواﻟﻤﺠﻤﻮع اﻻﻋﻠﻰ ) U (σ , f
اﳊﻞ (x)L=0−2 ≠ 0 )f (x) = 5 − 2x ⇒ ffʹ(x (x)L اﻛﺒﺮ]bﻗﻴﻤﺔ واﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻋﻨﺪ ﻓﺘﻜﻮن[ ,a ∈ x∀ffʹʹ,(x)L ﻻﻧﻪ0 ≥ 0)0x ∴ ﻻﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﺎط ﺣﺮﺟﺔ واﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻓﻲ ﻣﺠﺎﻟﻬﺎ ( f ﻃﺮﻓﻲ ﻛﻞ ﻓﺘﺮة ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﺘﺮات اﻵﺗﻴﺔ [3,5] ، [1,3] ، [0,1] :
وﻻﻳﺠﺎد ) U (σ , f ) , U (σ , fﻟﻠﺪاﻟﺔ f (x) = 5 − 2xﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ] [0,5إذا ﻛﺎن )σ =(0 ,1 ,3 ,5 ﻧﻌﻤﻞ اﻟﺠﺪول اﻻﺗﻲ:
∑h M
i
i
) =U (σ , f
∑ hm
i
i
) = L (σ , f
)mi = f(a
)mi = f(b
ﻃﻮل اﻟﻔﺘﺮة hi = b - a
h1 = 1-0 =1 m1 = 5-2=3 M 1 = 5 - 0 = 5 L1=(1)(3) =3 U1=(1)(5) =5 h2 = 3-1 =2 m2 = 5-6=-1 M 2 = 5 - 2 = 3 L2=(2)(-1) =-2 U2=(2)(3) =6 h3 = 5-3 =2 m3 = 5-10=-5 M 3 =5-6=-1 L3=(2)(-5) =-10 U3=(2)(-1) =-2 -9 9
اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ ][ a , b ][ 0 , 1 ][ 1 , 3 ][ 3 , 5
163
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -5 -
Intrgration
اذا ﻛﺎﻧﺖ f :[0, 4] → R , f (x) = 3x − x 2 اوﺟﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ ) U (σ , f ) ، L (σ , fﺣﻴﺚ )σ = (0,1, 3, 4
اﳊﻞ
x2 ⇒ f ʹ(x) = 3 − 2x f (x) = 3x − x2 وﻋﻨﺪﻣﺎ
3 أي ان اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺤﺮﺟﺔ ﺗﻮﺟﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ]∈ [1, 3 2
3 ]∈ [1, 3 2
= 3 − 2x = 0 ⇒ x
= 3 − 2x = 0 ⇒ x
, f ) = m1(x1− m3(x3 ∴ ﻃﻮل اﻟﻔﺘﺮة )f(b Mi = f(a)x0) + m2(x2 himi − x1) + h )Mi − x2 miL=(σ i hi = b - a ) = L (σ , f ) =U (σ , f ×(1 )0) + 2 × (0 )+ (1× −4 =3(0)-0=0 )L =(1)(2 =2 =U−4 =(1)(0) =0 h = 1-0 =1 m = 3(1)-1=2=M 1
1
1
f ʹ(x) = 0
1
1
h2 = 3-1 =2 m2 = 3(3)-9=0 M2=3(1)-1=2 L2=(2)(0) =0 U2=(2)(2) =4 3(4)-16=-4 )U3=(1)(0 )=0 − x2 (σ , f ) =MM3=3(3)-9=0 )1(x1− x0)L+3=(1)(-4 )M 2(x2=-4− x1 + M 3(x3 h3 = 4-3 =1 m3 = U L (σ , f ) =-2 U (σ , f ) =4 1 9 = (1× 2) + (2 × ) + (1× 0) = 6 2 4 ﻻﺣﻆ ان ) . L (σ , f ) ≤ U (σ , f
اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺠﺰﺋﻴﺔ ][ a , b ][ 0 , 1 ][ 1 , 3 ][ 3 , 4
أﻳﻀ َﺎUأن≤ ) L (σ , fﻻﺗﻤﺜﻞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﻨﺎﻃﻖ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻠﺔ اﻟﺪاﺧﻠﻴﺔ ﻻن m3ﺳﺎﻟﺒﺔ وﻻﺣﻆ (σ ), f وﺗﺴﺎوي ).( -4
164
‐1
(4
) øjQɪ
J
πeÉμàdG
Intrgration
)a) σ = (1, 2, 4
(1, 2, )let1. f :[−2,1] →b)R σ, =f (x = 3, 5 −4)x اوﺟﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ
) U (σ , f ) , L (σ , f
ﻋﻨﺪﻣﺎ
)a) σ = (−2, 0,1
)b) σ = (−2,−1, 0,1
2. f :[1, 5] →a)R σ let ), f=(x = 6x (1, 2, 4) −2 x 2 let f :[1, 5] → R , f (x) = 6x − x σ 2, = (1, )2, 4, 5 b) σ = (1, )3, 4 ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ Aﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ اذا ﻛﺎن )σ = (1, 2, 4, 5 3. f :[1, 4] → R , f (x) = x 2 + 1 let ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ Aﺗﺤﺖ اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ إذا ﻛﺎن : )a) σ = (1, 2, 4 )b) σ = (1, 2, 3, 4
165
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-3ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ . ﻻﺣﻈﺖ ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ اﻟﺴﺎﺑﻖ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ :
f :[a,b] → R
داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [a,bﻓﺎﻧﻪ وﻓﻘ ًﺎ ﻟﻠﺘﺠﺰﺋﺔ σﻳﻜﻮن ) U (σ , f ) ≥ L (σ , f واﻵن ﻧﺴﺄل اﻟﺴﺆال اﻵﺗﻲ :ﻫﻞ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد kﺑﺤﻴﺚ L (σ , f ) ≤ k ≤ U (σ , f ) : ﻷي ﺗﺠﺰﺋﺔ ﻟﻠﻔﺘﺮة ] [a,b؟ واﻟﺠﻮاب :ﻫﻮ ﻣﺎ ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻴﻪ اﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ : ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ):(4-1
اذا ﻛﺎﻧﺖ f :[a,b] → R :داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [a,bﻓﺎﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد وﺣﻴﺪ k
ﺑﺤﻴﺚ ﻷي ﲡﺰيء σﻟﻠﻔﺘﺮة ] [a,bﻓﺎن ) L (σ , f ) ≤ k ≤ U (σ , f
ﻧﺴﻤﻲ اﻟﻌﺪد kاﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ ] [a,bوﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ f
b
ﻟﻠﺪاﻟﺔ fوﻧﺴﻤﻲ b,aﺣﺪّ ي اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
a
∫
وﻳﻘﺮأ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻣﻦ aاﻟﻰ b
ﻣﻼﺣﻈﺎﺕ
.1اذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ] [a,bﻓﺎن f ≤ U (σ , f ) : وﺗﻜﻮن اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ f
b a
∫
b a
∫
≤ ) L (σ , f
) L (σ , f ) +U (σ , f = 2
y
.2اذا ﻛﺎﻧﺖ f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a,b] : ﻓﺎن f
b
a
∫
f
ﻳﻌﻄﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ Aﺗﺤﺖ
ﻣﻨﺤﻨﻲ fوﻫﻮ ﻋﺪد ﻏﻴﺮ ﺳﺎﻟﺐ .
A x
b اﻟﺸﻜﻞ )(4-19
166
a
πeÉμàdG
Intrgration
.3اذا ﻛـﺎﻧﺖ ∀× ∈ [ a,b] ، f ( x ) ≤ 0ﻓــــﺈن: f ≤0
b a
y
∫
وﻫﺬا ﻻ ﻳــﺪل ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺎﺣــــــــﺔ ،أﻣــﺎ ﻣﺴﺎﺣـــــــﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ Aاﻟﻤﻮﺿﺤﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜــﻞ ) (4 - 20ﻓﻬﻲ ﺗﺴﺎوي f
b a
∫
b
x
a
A
b
= −∫ f a
f
اﻟﺸﻜﻞ )(4-20
.4إن ﻗﻴﻤﺔ f
b a
∫
ﺗﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [a,bوﻋﻠﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ،fواذا ﻛﺎن xرﻣﺰ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ ﻓﻲ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﺈﻧﻪ b
ﻳﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ∫ f ( x) dx : a
=f
ﺣﻴﺚ ﺗﺸﻴﺮ dxاﻟﻰ أن ﺣﺪّ ي اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ b,aﻫﻤﺎ ﻗﻴﻤﺘﺎن ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ . x ﻣﺜﺎل -1 -
b a
∫
2 ﻟﺘﻜﻦ f : [1, 3] → R , f ( x ) = xﺣﻴﺚ f : [1, 3] → R , f ( x ) = x 2
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ). σ = (1 ,2 ,3 x 2 dx
3
1
∫
let f (x) = x 2
اﳊﻞ
fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ][1,3 x ==00 f ʹ(x) = 0 ⇒ 2x أي أن اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺤﺮﺟﺔ ﻋﻨﺪ x = 0وﺑﻤﺎ أن ]0 ∉ [1, 3 )M = f(b 4 9
) m = f(aﻃﻮل اﻟﻔﺘﺮة b - a 1 1 1 4
,
∴ f ʹ(x) = 2x ∴x = 0
اﻟﻔﺘﺮات اﳉﺰﺋﻴﺔ ][a , b ][1 , 2 ][2 , 3
167
πeÉμàdG
L (σ , f Intrgration )) = (1×1) + (1× 4
ﻛﻞL ﻃﺮﻓﻲ(σ =) , f = 1+ )(1×1 ∴أﻋﻈﻢ ﻗﻴﻤﺔ وأﺻﻐﺮ ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﺗﻜﻮن ﻋﻨﺪ ﻃﺮﻓﻲ)4 ]L (σ[, 2,3 )f ) = ،(1×1 )4 ×=+5(1 ×(1ﻣﻦ[1,2]+ ﻋﻨﺪ ﺟﺰﺋﻴﺔ4اي ﻛﻞ ﻓﺘﺮة L (σ , f ) == 1+ )(1×1 )U (σ4 , f )==1+ )(1×44 )= 5+ (1× 9 ×4 =+5(1
)(σ 9 ×, f )== 4(1 ×= 5+U(1 U (σ , f )==1+ )(1×44 )+ 94)= +13(1× 9 5 +13 ∴U ==(σ , f3 )x ×(1 9 = 13 ﺗﻘﺮﻳﺒﺎ+ =94)= +13(1×=9)9 = 4 + ∫1 2 4dx 2 = 4 + 9 = 13
ﻣﺜﺎل -2 - ﻟﺘﻜﻦ f :[2, 5] → R ,ﺣﻴﺚ f :[2, 5] → R , f (x) = 2x − 3 f (x) = 2x − 3 5 أوﺟﺪ ∫ f 2
اﳊﻞ
ﻻﺣﻆ ان
∴ ﻳﻤﻜﻦ اﻳﺠﺎد f
5
2
∫
y
)(5,7
]f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [2, 5
ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ Aوﻫﻲ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮف
)(2,1
A x
2
5
∴ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ 1 = Aﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﻴﻦ اﻟﻤﺘﻮازﻳﻴﻦ × ﻃﻮل اﻻرﺗﻔﺎع. 2 1 11 )[1+ 7](3 ∴ A = [1+ UUnit int222 )7 ] × 3== (8)(3 × 8 × 3==12 12Unit 2 22 اﻟﺸﻜﻞ )(4-21
∴ ∫ f = 12 5
أو ﻳﻤﻜﻦ إﻳﺠﺎد f )L( σ , f
5 2
∫
2
ﺑﺎﻟﻄﺮﻳﻘﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ:
)U( σ , f
)Mi=f(b
)mi=f(a
ﻃﻮل اﻟﻔﺘﺮة hi=b-a
ﻓﺘﺮة اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ][a,b
1
3
1
3
1
][2,3
6
14
3
7
2
][3,5
7
17 2
17 +7 24 ∫ (2x − 3) dx = 2 = 2 = 12 Unit 5
2
168
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -3 -
اﳊﻞ
Intrgration
ﻟﺘﻜﻦ f [1, 5] → R , f (x) = 3أؤﺟﺪ f
5 1
∫
y
ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ ) (4 - 22ﻧﻼﺣﻆ ان اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ Aﻫﻲ
)(5,3
ﻣﻨﻄﻘﺔ ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﺔ ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ = )4 = (5 - 1 وﻋﺮﺿﻬﺎ = 3
)(1,3
A 2 )∴ A = (4)(3 4 × 3 ==1212Unit Unit 2
x
1
5
5
∴ ∫ f = 12
اﻟﺸﻜﻞ )(4-22
1
ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺛﺎﻧﻴﺔ: )U( σ , f
)L( σ , f
)mi=f(a
)Mi=f(b
ﻃﻮل اﻟﻔﺘﺮة hi=b-a
ﻓﺘﺮة اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ][a,b
6
6
3
3
2
][1,3
6
6
3
3
2
][3,5
12
12 12 +12 24 = = 12 Unit 2 2 2
= 3dx
12 15 1
∫
169
πeÉμàdG
Intrgration
3 .1أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ dx x .2ﻟﺘﻜﻦ , f (x) = 3x − 32
3 1
(4
J
) øjQɪ
‐2
ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ). σ = (1, 2, 3
∫
f : [1, 5 ] → R 5
أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ f
∫
1
ﺑﺄﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ) σ = (1, 2, 3, 5ﺛﻢ ﺗﺤﻘﻖ ﻫﻨﺪﺳﻴ ًﺎ
ﺑﺤﺴﺎب ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺗﺤﺖ ﻣﻨﺤﻨﻲ .f .3أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ − 3) dx .4أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ ﺗﻘﺮﻳﺒﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ f
170
2
2 −3
4
∫ (3x 2
∫
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﺠﺰﺋﺔ ). σ = (2, 3, 4
f (x) = -4 ﺣﻴﺚ 4
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-4اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ -اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ: ﻟﻘﺪ ﺗﻌﻠﻤﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﻃﺮﻳﻘﺔ إﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد f
b a
ﺣﻴﺚ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة اﻟﻤﻐﻠﻘﺔ
∫
] [a,bﻛﻤﺎ أوﺟﺪﻧﺎ ﻓﻲ ﺑﻌﺾ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺨﺎﺻﺔ ﻗﻴﻤﺔ دﻗﻴﻘﺔ ﻟﻬﺬا اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد )ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ(. واﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ اﻵﺗﻴﺔ ﺗﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﻓﻲ إﻳﺠﺎد ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺤﺪد .
(4-2): áægÈe اذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [a,bﻓﺎﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ Fﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [a,bﺑﺤﻴﺚ : )F ʹ(x) = f (x) , ∀x ∈ (a,b وﻳﻜﻮن:
) f = F (b) − F ( a
b a
∫
ﺗﺴﻤﻰ Fاﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ (Antiderivative of The Function ) fﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ][a,b ﻓﻤﺜ ً ﻼ :اذا ﻛﺎﻧﺖ
, f (x) = 2x
f : [1, 2 ] → R
ﻓﺎن F : [1, 2 ] → R , F (x) = x 2 ]F ʹ(x) = 2x = f (x) , ∀x ∈ [[1,2 ]a,b وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎن :
)f = F (2) − F (1 = 4 −1 = 3
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
2 1
∫
2 [ F (x)]1 IQƒ°üdÉH ÖàµJ F (2) − F (1) ¿GC ¤G Ò°ûf
171
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -1 -
Intrgration
إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [1,5ﺑﺤﻴﺚ F(x) = 3x2داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f
ﻓﺠﺪ ) ( ∫ f 5
.
1
اﳊﻞ
2 5
5
55
)⎡⎣3(25 )⎤⎦ −=3(1 )⎤⎦ F=(1 3x 75 −= 375= −72 = 372= 72 )= 3(25 )− 3(1 753 − )(Fx)−(1 )∫ f∫(=xfF) =(5)⎡⎣FF−(5 1
1
5
1
11
وﻳﻤﻜﻦ ان ﻧﻜﺘﺐ ذﻟﻚ ﺑﺎﻟﺼﻮرة اﻵﺗﻴﺔ : 5
5 f ( x ) = ⎡⎣F ( x )⎤⎦1 = ⎡⎣3x 2 ⎤⎦ = 75 − 3 = 72 1
ﻣﺜﺎل -2 -
ﻣﺜﺎل -3 -
1
∫
π إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [0,وإن اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻫﻲ : 2 π F (x) = sin x , F :[0, ] → R 2 ﻓﺄوﺟﺪf :
اﳊﻞ
5
π 2 0
∫
⎛⎡π ⎞ π ⎤π25 ⎡ ⎛ π2 ⎤⎞5π )ff (=x )F==⎜[⎣FF⎟(x =1− 72π0 −=sin sin 1 0 = 1− 0 = 1 )−x2)F]⎦f1(0 ( ⎜sin⎦⎟1 −=−F75 = ⎣F=3x (0)−0=3=sin ∫ ⎝2⎠ 0 0 ⎝ 2 ⎠2 2
5π 2 10
∫
FF :[1,3 أﺛﺒﺖ ﻓﻴﻤﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ :[1,3]] → RR , F (x) = x 3 +12 ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔf ( x ) = 3x 2 :
اﳊﻞ
∵ Ff ( x ) = x 3 + 2داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ) Rﻻﻧﻬﺎ داﻟﺔ ﻛﺜﻴﺮة اﻟﺤﺪود( ∴ Fﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ] [1,3وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ ). (1,3
2 ʹ Q F )(x = 3x )= f (x) , ∀x ∈ (1, 3 ∴ Fﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ]. [1,3
172
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -4 -
Intrgration
1 أﺛﺒﺖ أن اﻟﺪاﻟﺔ F : R → R , F (x) = sin 2x :ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ : 2 f : R → R , f (x) = cos 2x ﺛﻢ اوﺟﺪ cos 2x dx
π 4 0
∫
اﳊﻞ Q f (x) = cos 2x , f : R → R ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ Rﻛﻤﺎ ﺗﻌﻠﻤﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﺼﻒ اﻟﺨﺎﻣﺲ اﻟﻌﻠﻤﻲ ﻛﺬﻟﻚ ﻓﺎن : 1 F (x) = sin 2x 2 ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة وﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ R 1 Q F ʹ(x) = (cos 2x)(2) = cos 2x = f (x) , ∀x ∈ R 2 ∴ Fﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f b
)Q ∫ bf = F (b) − F (a )∴ ∫a f = F (b) − F (a a
ﺣﺴﺐ اﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ )(4-2 π 4
⎡1 ⎤ 1 π 1 1 1 cos 2x dx = ⎢ sin 2x⎥ = sin − sin 0 = ×1− 0 = . ⎣2 ⎦x=0 2 2 2 2 2 =x
π 4 0
∫
وﻓﻲ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ ﺟﺪول ﻣﺴﺎﻋﺪ ﻳﺒﻴﻦ اﻟﺪاﻟﺔ fواﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ Fﻓﻲ ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ .وﺑﺈﻣﻜﺎﻧﻚ ﻋﺰﻳﺰي اﻟﻄﺎﻟﺐ أن ﺗﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ذﻟﻚ ﺑﺈﺛﺒﺎت أن : )F ʹ(x) = f (x
173
πeÉμàdG
Intrgration
وﻓﻴﻤﺎ ﻳﻠﻲ ﺟﺪول ﻣﺴﺎﻋﺪ ﻳﺒ ّﻴﻦ اﻟﺪاﻟﺔ fواﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ F اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ) F(x
اﻟﺪاﻟﺔ )f(x
ax
a
xn+1 n+1
, n ≠ −1
axn+1 اﻟﺪاﻟﺔ n+1 اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺎ F
, n ≠ −1 اﻟﺪاﻟﺔ f
])[ f (x
n+1
[ f (x)] . f ʹ(x) , n ≠ −1
1 a
a 1
)tan (ax+b
sec ax csc ax
a 1
)cot (ax+b
a
1 a 1 a
−
1
)sin (ax+b
−
n
ax n
n +1 )cos(ax+b
n
x
−
)sin (ax+b )cos(ax+b )sec2(ax+b )csc2 (ax+b sec ax tan ax csc ax cot ax
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻻﻳﺔ داﻟﺔ fﻛﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول ﻫﻲ F + Cﺣﻴﺚ Cﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ ﺣﻘﻴﻘﻲ .
174
πeÉμàdG
Intrgration
∫ ∫
π 4 0
π
sec 2 x dx = [ tan x ] = tan 4
0
∫
2
π 4
∫
2
π
π
csc 2 x dx = [− cot x ] = − cot 2
π
4
4
∫ ∫
π 3 0
π
π 3 0
π
∫
175
1
2
π
4
اﳊﻞ
sec x tan x dx أوﺟﺪ
-7 - ﻣﺜﺎل
π − sec 0 = 2 − 1 = 1 3
اﳊﻞ
3 1
x 3 dx
ﺟﺪ
⎡ x 4 ⎤ 34 1 81 1 80 3 x dx = ⎢ ⎥ = − = − = = 20 ⎣ 4 ⎦1 4 4 4 4 4 3
اﳊﻞ
π - ﻣﺜﺎلπ [− cot x-6 ] = csc x dx =أوﺟﺪ − cot + cot 2 4 2
∫ 3
-5 - ﻣﺜﺎل
π π + cot = 0 +1 = 1. 2 4
sec x tan x dx = [sec x ]0 = sec 3
sec 2 x أوﺟﺪ
π − tan 0 = 1− 0 = 1. 4 π
π
π 4 0
-8 - ﻣﺜﺎل
اﳊﻞ
πeÉμàdG
Intrgration
:[ ﺧﻮاص اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﶈﺪد4-5] : [ ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖa,b] داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰf .1
b
≥ 0]ﻓﺎن, f ( x ) ≥ 0 ( x)∈dx[a,b ∫ f∀×
:ًاوﻻ
, ∀× ∈ [ a,b] , f ( x ) ≥ 0
a
2
a) ∫2 2x 2 dx ≥ 0 a) ∫ −1x22 dx ≥0 −1 2 x 22dx ≥ 0 a) 2≥ 0 a) ∫∫f∫−1(x) dx2x≥ a) xx2=dx ≥0 0 , ∀x ∈ [−1, 2] −1 −1 = x ≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2] f (x) 2 f3(x) = x 2 ≥ 0 , ∀x ∀x ∈ ∈[−1, [−1,2] 2] (x) ∈ [−1, 2] b) ∫3 ff(x) 3dx==≥xx20 ≥≥00 ,, ∀x ≥ 0 b) ∫ −23dx 3 f−2∫(3x33)3dx = 3 ≥>≥000 , ∀× ∈ [−2, 3] b) b) 3dx −2( 3dx ∫ ≥ 0 >0 b) 3 ) dx c) ∫ x +1 c) ∫ ∫ 2(−23−2 x3 +1) dx > 0 2 3 ( x +1) dx > 0 c) dx c) ∫∫∫f2(x) ((xx+1 ))dx =+1 (x +1)>>>000 , ∀x ∈ [2, 3] c) f (x) 22 = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3] ff(x) (x 0 , ∀x (x)= (x+1) +1)> ∀x ∈ ∈[2, [2,3] 3] f (x) ==(x +1) >>00 ,, ∀x ∈ [2, 3]
a) a) a) : ﻷن :b) ﻷن b) b) c) c) c) :ﻷن
2
∫ xxdxdx≥≥00 ∫∫ x dx ≥ 0 2 2 2 2 −1 2 −1 −1
ً ﻓﻤﺜ :ﻼ
f (x) = x 2 2≥ 0 , ∀x ∈ [−1, 2] ∀x∈∈[−1, [−1,2] 2] (x)==xx2 ≥≥00 ,, ∀x f3f(x) ≥0 ∫ −2333dx 3dx ∫∫3−2−23dx ≥≥00 ∫ 2 3(3(x( x+1+1)))dxdx>>00 x +1 dx > 0 ∫f∫2(x) 2 = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3] (x)==(x (x+1) +1)>>00 ,, ∀x ∀x∈∈[2, [2,3] 3] ff(x)
f 2(x)2 < 0 ﻓﺎنf (x) ≤ 0 , ∀x ∈ [a,b] :[ ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖa,b] داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰf .2 ∫ −1 x dx ≥ 0 :ًﻓﻤﺜﻼ 2 2 2≤ 0 2 (−2)dx a) (−2)dx ≤ 0 a) 2 ) =<≥x0,∀X 2] ∈ [−1, 2] : ∫ ﻻن1 (x) a) ∫∫F1f(X x dx 0≥ 0 ∈, [1,∀x
∫ a)
b
a
−1 3 −1
≥2≤≥ 000 ∈, [−2,−1] b)b)Ff∫(X 3dx ) ≤dxx0,∀X ∀x ∈ [−1, 2] −2 x = ∫ (x)
b)c)
−2
−2 33
( x +1 ≥ )0dx > 0 ∫∫ 3dx dx+1) > 0c.>f0= ,c ∀xf ∈ [2, 3] x +1=)(x ∫ f((x) ∫ ∫ : ﻋﺪد ًا ﺣﻘﻴﻘﻴ ًﺎ ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ ﻓﺎنc −22 3
c)
−1
: ﻻن b) ∫ x dx ≤ 0
2
b
b
a
a
، [a,b] داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰf
f (x) = (x +1) > 0 , ∀x ∈ [2, 3]
5
. ∫ 5f ﻓﺄوﺟﺪ 2
∫
5 2
5
5f = 5 ∫ f = 5 × 8 = 40
∫
5 2
f = 8 اذا ﻛﺎن
:ًﺛﺎﻧﻴﺎ
-9 - ﻣﺜﺎل اﳊﻞ
2
a) ∫ ( f1 + f2 ) = b
a
∫
b a
f1 +
∫
b a
f2
:[ ﻓﺎنa,b] ﻣﺴﺘﻤﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮةf2 , f1 إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺘﺎن
:ًﺛﺎﻟﺜﺎ
[a,b] وﻳﻤﻜﻨﻨﺎ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻫﺬﻩ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﻤﻮع أي ﻋﺪد ﻣﺤﺪد ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ
176
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -10 -
Intrgration
اذا ﻛﺎﻧﺖ f2 = 17 ) − f2
3 1
∫
f1 = 15 ,
3
∫ (f
1
3
,
1
1
∫
ﻓﺄوﺟﺪ ﻛ ً ﻼ ﻣﻦ:
3
) ∫ (f + f 1
2
1
اﳊﻞ f2 = 15 + 17 = 32 f2 = 15 − 17 = −2 ﻣﺜﺎل -11 -
3 1 3 1
∫ ∫−
f1 + f1
3
3 1
∫ =) ∫ (f + f ∫ =) ∫ (f − f 1
2
1
3
3 1
1
2
1
اذا ﻛﺎﻧﺖ f (x) = 3x 2 + 2xﻓﺄوﺟﺪ : ∫ f (X )dx 1 2
اﳊﻞ 2x dx
2 1
∫
(3x 2 + 2x)dx = ∫ 3x 2 dx + 2
2 1
1
∫
= f (x)dx
2 1
∫
3 2 2 2 [x ] +[x ]1 = (8 − 1)+ (4 − 1) = 7 + 3 = 10 1 =
راﺑﻌﺎً:
اذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [a,bوﻛﺎﻧﺖ ) c ∈ (a,bﻓﺎن f :
ﻣﺜﺎل -12 -
اﳊﻞ
اذا ﻛﺎﻧﺖ f = 8
7 3
∫
f =5 ,
3 1
∫
ﻓﺄوﺟﺪ f
7 1
∫
b c
∫
f+
c a
∫
=f
b a
∫
:
7
f + ∫ f = 5 + 8 = 13 3
3 1
∫
=f
7 1
∫
177
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -13 -
اﳊﻞ
ﻟﺘﻜﻦ
Intrgration
| f (x) =| x
اوﺟﺪ f (x)dx
4 −3
∫
fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ] [-3 ,4وﻟﻬﺎ ﻗﺎﻋﺪﺗﺎن ﻫﻤﺎ :
4
0
⎤ ⎡ −x 2 ⎤ ⎡ x2 ⎢ = xdx ⎥ ⎢⎥ + 2 ⎣ ⎦−3 ⎣ 2 ⎦0
4 0
∫
⎧⎪ x , Ax ≥ 0 ⎨ = )f (x ⎪⎩−x , Ax < 0
(−x)dx +
0 −3
= f (x)dx
∫
4 −3
∫
∴
=⎡0 + 9 ⎤ + ⎡16 − 0⎤ = 9 + 16 = 25 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥
2
ﻣﺜﺎل -14 -
2
⎦
⎧2x +1, ∀x ≥ 1 ⎨ = )f (x ﻓﺄوﺟﺪ اذا ﻛﺎﻧﺖ⎩ 3 , ∀x< 1 :
f (x)dx اﳊﻞ
2
2⎦ ⎣ 2
5 0
∫
fﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [0 ,5وذﻟﻚ ﻻﻧﻬﺎ:
ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻨﺪ x = 1
ﻷن:
ﻣﻌﺮﻓﺔ (i) f(1) =2(1)+1=3 ⎧lim(2x +1) = 3 = L 1 (2 x+1)=3=L 1 ⎪ lim x→1 x→1 f (x) = ⎨ lim 3=3=L 2 x→1 3 = 3 = L 2 ⎪lim ⎩ x→1 +
−
)f (x) = f (1
178
⎣
⇒∴ limﻣﻮﺟﻮدة x→1
{
(ii) lim x→1
∵L1=L2
lim f (x) = 3 x→1
∴
πeÉμàdG
Intrgration
ﻛﺬﻟﻚ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ } . { x : x < 1} , { x : x > 1وﺑﻤﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ][0,5 f (x)dx
5 1
1
5
f (x)dx +
∫ 5
1 0
∫
5
= ∴ ∫ f (x)dx 0
1
⎦⎤= ∫ 3dx + ∫ (2x +1)dx = [ 3x] + ⎡⎣ x 2 + x 0 1 1 0
= [ 3− 0 ] + [ 25 + 5 ] − [ 2 ] = 3+ 28 = 31
ﺧﺎﻣﺴﺎً:
a
f =−∫ f b
b a
∫ )b
a) ∫ f = 0
ﻣﺜﻼً:
a
a
3
⎡x ⎤ 9 9 a) ∫ x dx ⇒ ⎢ ⎥ = − = 0 ⎣ 2 ⎦3 2 2 3 3
2
او اﺧﺘﺼﺎر ًا وﺣﺴﺐ اﻟﻘﺎﻋﺪة
3
∫ x dx = 0 3
3
2
b) ∫ 3 x dx = − ∫ 3x 2 dx 2
2
3
3
= − [ x 3 ]2 = −[27] + − [8] = −19
179
πeÉμàdG
Intrgration (4 22
) øjQɪ
J
‐3
22
)dx 3x−−22)dx a)a) ∫∫ −2( (3x
−2 )dx 2x+1 +1)dx b)b) ∫∫ 1( (xx−2 ++2x
4 )dx 4x)dx c)c) ∫∫ 1( (xx4 ++4x
22 (3x )dx d) −3x1]dx ( d)∫∫0∫ [x 2x+1 +1)dx d) ++2x −1
1 20 0
−2 33
1
−1
3 2 −1−1
3 2 3 2x − 4x + 5 x ( (− 13 3 22 ) ) 4xdx 6xg)+1 +1 ++6x f f) )∫∫∫ −2 4x dx ∫ 1 dxdx x2 3 −2 x −1
00 ππ −− 22
e)e) ∫∫
ً اﺣﺴﺐ ﻛ.1 :ﻼ ﻣﻦ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻻﺗﻴﺔ
)dx ( (xx++cos cosxx)dx
ﺣﻴﺚf(x) ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔF أﺛﺒﺖ أن.2
π π F :[0, ] → R , F (x) = sin x + x ﺣﻴﺚF :[0, ] → R , F (x) = si 6 6 π . 6 f ﺛﻢ اﺣﺴﺐf :[0, π ] → R ﺣﻴﺚ , f (x) = 1+ cos x 0 6
∫
4
1
ً أوﺟﺪ ﻛ.3 :ﻼ ﻣﻦ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻻﺗﻴﺔ
a) ∫ (x − 2)(x +1) dx
b) ∫ x +1 dx
x 4 −1 c) ∫ dx x −1
d) x( x + 2)2 dx
2
1
−1
∫
4 1
∫
3 −1
f (x)dx
f (x)dx
ﺟﺪ
ﺟﺪ
⎧⎪2x , ∀x ≥ 3 f (x) = ⎨ ⎩⎪6 , ∀x < 3
⎪⎧ 3x 2 , ∀x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩⎪2x , ∀x < 0
إذا ﻛﺎﻧﺖ.4
إذا ﻛﺎﻧﺖ.5
180
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-6اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻏﻴﺮ اﶈﺪدIndefinite Integral : ﻋﺮﻓﻨﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻞ أﻧﻪ إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [ a, bﻓﺎﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ
ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ Fﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ] [a,bﺑﺤﻴﺚ أنF ʹ(x) = f (x) , ∀x ∈ (a, b) : ﻓﻤﺜ ً ﻼ:
F : [1, 3] → R , F (X ) = X 2ﻫﻲ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f :[1, 3] → R ,. f (x) = 2x وﻟﻜﻦ ﻫﻞ F (x) = x 2داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ وﺣﻴﺪة ﻟﻠﺪاﻟﺔ F ʹ(X ) = 2X؟ وﻗﺒﻞ اﻻﺟﺎﺑﺔ ﻋﻦ ﻫﺬا اﻟﺴﺆال ﻧﺘﺄﻣﻞ اﻟﺪوال اﻵﺗﻴﺔ:
1) F1 :[1, 3] → R , F1 (x) = x 2 +1
1 2
2) F2 :[1, 3] → R , F2 (x) = x 2 +
3) F3 :[1, 3] → R , F3 (x) = x 2 − 2 4) F4 :[1, 3] → R , F4 (x) = x 2 − 5
ﻼ ﻣﻦ F1 ,F2 , F3 , F4ﻟﻬﺎ ﺻﻔﺎت Fﻧﻔﺴﻬﺎ أي ﱠأن ﻛ ً اﻧﻨﺎ ﻧﻼﺣﻆ أن ﻛ ً ﻼ ﻣﻨﻬﺎ: ) (iﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ][1,3 ) (iiﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻠﻰ )(1,3
). F1ʹ(x) = F2ʹ(x) = F3ʹ(x) = F4ʹ(x) = 2x , ∀x ∈ (1, 3) (iii
وﺑﻨﺎء ًا ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻳﻤﻜﻦ اﻟﻘﻮل ﺑﺎن ﻛ ً ﻼ ﻣﻦ F1 ,F2 , F3 , F4 :داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ اﻟﻰ .f أي اﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ اﻛﺜﺮ ﻣﻦ داﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ] [1,3واﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ أي داﻟﺘﻴﻦ ﻣﻘﺎﺑﻠﺘﻴﻦ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f ﻳﺴﺎوي ﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ ﻻﺣﻆ أن:
وﻫﻜﺬا
1 1 = ) F1 (x) − F2 (x) = (x 2 +1) − (x 2 + 2 2 2 2 F1 (x) − F4 (x) = (x +1) − (x − 5) = 6
181
πeÉμàdG
Intrgration
وﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ اذا ﻛﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fاﻟﻤﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ] [a,bداﻟﺔ ﻣﻘﺎﺑﻠﺔ Fﻓﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻋﺪد ﻻﻧﻬﺎﺋﻲ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ
،fﻛﻞ ﻣﻨﻬﺎ ﺗﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة F + C :ﺣﻴﺚ Cﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘ ًﺎ واﻟﻔﺮق ﺑﻴﻦ أي إﺛﻨﺘﻴﻦ ﻣﻨﻬﺎ ﻳﺴﺎوي ﻋﺪد ًا ﺛﺎﺑﺘﺎً.
ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ اﻟﺘﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة F + Cﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺤﺪد ﻟﻠﺪاﻟﺔ fاﻟﻤﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ ] [a,bوﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ∫ fأو ∫ f (x)dxإذا ﻛﺎن رﻣﺰ اﻟﻤﺘﻐﻴﺮ .x ﻛﻤﺎ ﻳﺼﻄﻠﺢ ﻋﻠﻰ ﻛﺘﺎﺑﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺤﺪد ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة : ﻋﺪد ﺛﺎﺑﺖ f (x)dx = F (x)+ C ... ,C ∈ R
ﻣﺜﺎل -1 -
أوﺟﺪ f (x)dx
∫
∫
اذا ﻋﻠﻤﺖ أن:
او f = F + C
∫
)a)a) f f(x (x)==3x 3x2 2++2x 2x+1 +1 b) f (x) = cos x + x−2
c) f (x) = x + sec x tan x
)d)d) f (x f (x)==sin(2x )sin(2x++4)4
اﳊﻞ
182
3x 3 2x 2 2 = (3x + 2x +1)dx + + x + c = x3 + x2 + x + c 3 2 −1 x 1 (cos x + x−2 )dx = sin x + + c = sin x − + c −1 x x2 (x + sec x tan x)dx = + sec x + c 2 −1 sin(2x + 4)dx = cos(2x + 4)+ c 2
∫
)a
∫
)b
∫
)c
∫
)d
πeÉμàdG
Intrgration
a. a)
(x 2 + 3)2 (2x)dx =
∫
∫ [ f (x)]
2
f (x) = x 2 + 3 ∴ f ʹ(x) = 2x
∫ (x2 + 3)2 (2x)dx =
b.
∫ (3x
∫ [ f (x)]
2
1 3 [ f (x)] + c 3 1 = (x 2 + 3)3 + c 3
+ 8x + 5)6 (3x + 4)dx
2
1 2
∫ (3x
2
+ 8x + 5)6 (6x + 8)dx
7
1 1 [ f (x)] ʹ f (x) × + c = (3x 2 + 8x + 5)7 + c f (x)dx = [ ] ∫ 7 14 2 6
∫ sin
4
x cos xdx : ﻧﻔﺮض أن
⇒ ʹ(x)= =cos f (x) f (x)= =sinsinx x→ →f ʹf(x) cosx x ∴ ∫ sin x cos xdx = 4
d.
: ﻧﻔﺮض أن
f (x) = 3x 2 + 8x + 5 ⇒ f ʹ(x) = 6x + 8
1 2
-2 - ﻣﺜﺎل
f ʹ(x)dx =
∴ ∫ (3x 2 + 8x + 5)6 (3x + 4)dx =
c.
: ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ3ﺟﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت [ f (x)] + c f ʹ(x)dx = 3 ﻟﻨﻔﺮض أن
∫ tan
6
∫ [ f (x)]
4
[ f (x)] . f ʹ(x)dx = 5
+c =
1 5 sin x + c 5
x sec 2 xdx : ﻧﻔﺮض أن
f (x) = tan x ⇒ f ʹ(x) = cos sec xx 2
∴ ∫ tan 6 x sec 2 xdx =
183
5
∫ [ f (x)]
6
[ f (x)] f ʹ(x)dx = 7
7
+c =
1 tan 7 x + c 7
اﳊﻞ
πeÉμàdG
Intrgration
á«©«HÎdG á«ã∏ãŸG ∫GhódG πeɵJ 1.
∫ sec θ dθ = tanθ + c
2.
∫ csc
2
θ dθ = − cotθ + c
3.
∫ tan
2
θ dθ =
∫ (sec
4.
∫ cot
2
θ dθ =
∫
2
5. ∫∫sin sin22θθ dθ dθ== ∫∫
2
θ −1)dθ =
∫ sec
2
θ dθ −
∫ dθ = tanθ −θ + c
(csc 2 θ −1)dθ = − cotθ −θ + c
1− cos 1− 11 11 1−cos cos22θ 2θθ dθ == ∫∫dθ dθ dθ−− ∫∫cos cos2θ(2)dθ 2θ(2)dθ 222 22 44
1 1 1 1 2θc + c == =θ −θ- −sin sin 2θ + 2 4 2 4 1+ cos 2θ 1 1 2 dθ = θ + sin 2θ + c 6. ∫ cos θdθ = ∫ 2 2 4
أﻣﺜﻠﺔ
: ﺟﺪ ﺗﻜﺎﻣﻼت ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ 1. ∫ 9 sin 3xdx = 3 ∫ 3sin 3xdx = −3cos 3x + c 2.
∫
3.
∫
1 3
∫
1− sin 2x dx =
∫
x 2 sin x 3 dx =
1 3x 2 sin x 3 dx = − cos x 3 + c 3 sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x dx = ±(sin − cos dx x)2x)dx ∫ (sinx −xcos
x + cos 2 xdx== ± ∫ (sin x − cos x)dx = ±(cos x + sin x)+ c
1 (1− cos 2x)2 1 1 dx = ∫ dx − ∫ 2 cos 2xdx + 4. ∫ sin dx = ∫ 4 4 4 4 1 1 1 1 = ∫ dx − ∫ 2 cos 2xdx + ∫ dx + ∫ 4 cos 4xdx 4 4 8 32 4
=
∫ cos
2
2xdx
1 1 1 1 x − sin 2x + x + sin 4x + c = 3 × − 1 sin 2x + 1 sin 4x + c 4 4 8 32 8 4 32
184
πeÉμàdG
Intrgration
(sin x − cos x)8 +c 5. ∫ (sin x − cos x) (cos x + sin x)dx = 8 7
1+ tan 2 x dx = tan 3 x
6.
∫
7.
∫ cos
3
∫
tan −2 x −1 tan x sec xdx = +c = +c −2 2 tan 2 x 2
−3
∫ cos x(1− sin
xdx =
2
x)dx =
sin 3 x = sin x − +c 3
tan x dx = cos 2 x
8.
∫
9.
∫ sin 6x cos
2
∫
∫ cos xdx − ∫ sin
2
x cos xdx
tan 2 x tan x sec xdx = +c 2 2
3xdx =
∫ (2 sin 3x cos 3x) cos
2
3xdx = 2 ∫ cos 3 32x sin 3xdx
−2 cos 4 3x 1 = × + c = − cos 4 3x + c 4 3 6
10.
∫
cos 4x dx = cos 2x − sin 2x
∫
cos 2 2x − sin 2 2x dx cos 2x − sin 2x
(cos 2x − sin 2x)(cos 2x + sin 2x) 1 1 dx = − sin 2x − cos 2x + c cos 2x − sin 2x 2 2
=
∫
=
∫ ( cos 2x + sin 2 )dx =
1 1 sin 2x − cos 2x + c 2 2
1 1 × − sin 6x + c 2 12 1 12. ∫ cot 2 5xdx = − cos 5x + (x)+ c 5 1 13. ∫ tan 2 7xdx = tan 7x − x + c 7 11. ∫ sin 2 3xdx =
185
Intrgration (4
) øjQɪ
J
‐4
πeÉμàdG
: ﺟﺪ ﺗﻜﺎﻣﻼت ﻛﻞ ﳑﺎ ﻳﻠﻲ ﺿﻤﻦ ﻣﺠﺎل اﻟﺪاﻟﺔ (2x 2 − 3)2 − 9 dx 1. ∫ 2 x 3 cos x dx 3. ∫ 1− sin x x dx (3x 2 + 5)4
5.
∫
7.
∫ sin
9.
∫ (3x
11.
3
6. 8.
xdx
2
(3− 5x)74 3 Ans : dx x −12x + c 2. ∫ 7x 3 1 2 2 : sin x cos x xdx+ sin x + c 4. ∫ csc Ans 2
2
+1) dx
∫ (1+ cos 3x) dx 2
13 13.. ∫ csc 2 x dx
∫ ∫
3
cos 1− xcos 3 x Ans : dx − cos x + c 1− x 3
Ans : −2 sin 1−
14. ∫ tan 2 8x dx
2
8x dx
4 18. ∫ cos 3x dx
∫ sin
3(x + 5
x− x9 5 4 3 ,x >0 dx Ans : ( x ∫ 4Ans3 : x + 2x + x + c 3 x 5 3 2 1 2 Ansdx : x + sin 3x + sin 6x + c 12. ∫ sec 4x 2 3 12
2 16. ∫ cos 2x dx
17.
Ans :
10.
x dx
∫ cot
−(3− 5 4 35
Ans : − csc x
−1 x 2Ans +10x : + 25 dx +c 18(3x 2 + 5)3
2
15.
Ans :
186
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-7اﻟﻠﻮﻏﺎرﰎ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ The Natural Logarithmic درﺳﻨﺎ دوا ًﻻ ﻣﺄﻟﻮﻓﺔ ﻧﻮﻋ ًﺎ ﻣﺎ .ﻓﻜﺜﻴﺮات اﳊﺪود واﻟﺪوال اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ وﻏﻴﺮﻫﺎ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﳉﺒﺮﻳﺔ ﺗﻨﺘﺞ ﻋﻦ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣﺄﻟﻮﻓﺔ ﻓﻲ اﳊﺴﺎب واﳉﺒﺮ ،وﳝﻜﻦ ﻣﻄﺎﺑﻘﺔ ﻗﻴﻢ اﻟﺪوال اﳌﺜﻠﺜﻴﺔ ﺑﺎﺣﺪاﺛﻴﺎت ﻧﻘﻂ ﻋﻠﻰ داﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة .اﻣﺎ اﻻن ﻓﻨﺪرس داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﰎ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﺘﻲ ﺗﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺎب اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺣﺘﻰ ﻓﻲ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ. ]4-1] ∞jô©J ﻳﻌﺮف ﻟﻮﻏﺎرﰎ xاﻟﻄﺒﻴﻌﻲ ،وﻳﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) (ln xﺑﺄﻧﻪ : ﱠ )......... (1
1 dt ; ∀x > 0 t
x
∫
1
= ln x
ﳝﺜﻞ ﻫﺬا اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻟﻜﻞ xاﻛﺒﺮ ﻣﻦ ، 1اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪودة ﻣﻦ اﻻﻋﻠﻰ ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ y = 1وﻣﻦ اﻻﺳﻔﻞ ﺑﺎﶈﻮر ، t t وﻣﻦ اﻟﻴﺴﺎر ﺑﺎﳌﺴﺘﻘﻴﻢ t = 1وﻣﻦ اﻟﻴﻤﲔ ﺑﺎﳌﺴﺘﻘﻴﻢ t = x اي اذا ﻛﺎن ، x = 1ﺗﻄﺎﺑﻖ اﳊﺪان اﻻﳝﻦ واﻻﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣﺔ واﺻﺒﺤﺖ اﳌﺴﺎﺣﺔ ﺻﻔﺮاً. ⎛a ⎞ 1 f = 0 ⎜ ⎟ ∫ ln1 = ∫ dt = 0 1 t ⎝a ⎠ 1
اﻣﺎ اذا ﻛﺎﻧﺖ xاﺻﻐﺮ ﻣﻦ 1واﻛﺒﺮ ﻣﻦ اﻟﺼﻔﺮ ﻓﻌﻨﺪﺋﺬ ﻳﻜﻮن اﳊﺪ اﻻﻳﺴﺮ ﻫﻮ اﳌﺴﺘﻘﻴﻢ ، t = xواﳊﺪ اﻻﳝﻦ ﻫﻮ t=1وﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﳊﺎﻟﺔ ﻳﻜﻮن اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ: 11 1 dt = − ∫ dt x t t
x
∫
1
= ln x
ﻣﺴﺎوﻳﺎ ﻟﻠﻘﻴﻤﺔ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺎﺣﺔ ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﺑﲔ xو . 1 * ﻳﻨﺴﺐ اول اﻛﺘﺸﺎف ﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ اﻟﻰ اﻟﻨﺒﻴﻞ اﻻﺳﻜﺘﻠﻨﺪي John Napier )(1617 - 1550
187
πeÉμàdG
Intrgration
وﻓﻲ ﻛﻞ اﳊﺎﻻت x ،ﻋﺪد ًا ﻣﻮﺟﺒﺎً ،ﻓﺎﻧﻪ ﳝﻜﻦ ﺣﺴﺎب ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﶈﺪد ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ) (1اﻟﻰ اي ﻋﺪد ﻧﺮﻏﺐ ﻓﻴﻪ ﻣﻦ اﻻرﻗﺎم اﻟﻌﺸﺮﻳﺔ ﻛﻤﺎ ﻣﺮ ﺑﻨﺎ ﻓﻲ ﺣﺴﺎب اﳌﺴﺎﺣﺔ ﲢﺖ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳﺐ. وﲟﺎ ان اﻟﺪاﻟﺔ F(x) = ln xﻣﻌﺮﻓﺔ ﺑﺎﻟﺘﻜﺎﻣﻞ x 1 ∫ = )F ( x dt , ∀x > 0 ( ) 1 t 1 ﻓﺎﻧﻪ ﻣﻦ اﳌﺒﺮﻫﻨﺔ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﳊﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ ) (4-4ﻧﻌﻠﻢ ان: x d 1 اي ان: = ) ( ln x dx x
= )F ʹ(x
ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻨﻨﺎ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺻﻴﻐﺔ أﻋـﻢ ﻋﻨـﺪﻣـﺎ ﻳﻜــﻮن ﻟﺪﻳﻨــﺎ ln uﺣﻴﺚ uداﻟﺔ ﻣﻮﺟﺒـــﺔ ﻗﺎﺑﻠـــﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘـــﺎق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ x ﻓﻘﺎﻋﺪة اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺎت ) (Chain Ruleﺗﻌﻄﻴﻨﺎ : 1 du d dd ⇒ d 1dd ln ln =du du ( lnuuu) du ∴ ( lnlnu .. u ===)u lnu dx dxdx u du dx du dx dx d 1 du 1 = )∴ ( ln u ⇒ d ( ln u) = du dx u dx u
ﻣﺜﺎل -1 -
اذا ﻛﺎن y = ln 3x 2 + 4ﻓﺎوﺟﺪ dy dx
)
(
اﳊﻞ
)
(
2 +4 d 3x dx 1 = dy . 2 dx dxdy 3x + 4
6x 3x 2 + 4 1 du d ln u = ان اﻟﺼﻴﻐﺔ du ( ) اﻟﻰ ﺗﻘﻮدﻧﺎ = ln u + c ∫u u
188
وﺑﺸﺮط ان ﺗﻜﻮن uﻣﻮﺟﺒﺔ
=
πeÉμàdG
Intrgration
cosθdθ ﻣﺜﺎل -2 - ﺟﺪ ∫ 1 + sinθ اﳊﻞ
ﻧﻔﺮض
u = 1+ sinθ du = cosθ ⇒ du = cosθdθ dθ cosθdθ du = ln u + c ∫= 1 + sinθ u = ln 1+ sinθ + c
∫∴
] [4-7-1داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﰎ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ. y = ln x
ﻟﺘﻜﻦ ﻟﻮ اﺑﺪﻟﻨﺎ y , xﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻻزواج اﳌﺮﺗﺒﺔ: ﳊﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ داﻟﺔ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺣﻴﺚ وﻳﻜﻮن ﻣﺠﺎل ) = ln −1 ( xﻫﻮ yﻣﺪى ) ln (x
lnln = {=({x,( x, = y)y:)y: =y lnln x, x, }x, >x 0>}0 y = ln −1 ( xyy) == ln ) ln−1−1((xyx))= ln −1 ( x x ∈R
y > 0,
x = ln y,
ﻧﺘﻴﺠﺔ :اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ ) exاﺳﺎس (eﻫﻲ ﻋﻜﺲ داﻟﺔ اﻟﻠﻮﻏﺎرﻳﺘﻢ اﻟﻄﺒﻴﻌﻲ وﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﻮاﺻﻬﺎ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﳊﻘﻴﻘﺔ. ]4-2] áægÈe d x e = ex dx
) (
189
πeÉμàdG
Intrgration x
y=e ∴ x = ln y ⇒
اﻟﺒﺮﻫﺎن
ﻟﺘﻜﻦ
1 dy 1= . ⇒ y dx dy = y = ex dx d u du e = eu . dx dx
وﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ
( )
. d(etan x ) tan x d(tan x) =e . dx dx
⇒
dy x y = e2 tan =ﻓﺠﺪ etan x .sec x dx
ﻟﺘﻜﻦ
-3 - ﻣﺜﺎل اﳊﻞ
dy = etan x .sec 2 x dx
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
u
u
∫ e du = e
+ c : ﺗﻘﻮدﻧﺎ اﻟﻰ ﺻﻴﻐﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞd eu = eu du ان ﺻﻴﻐﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ dx
( )
2
x ∫ xe dx
xx2 2==uu→ →2xdx 2xdx==du du ⇒ 1 1 1 ∴ ∫ ex xdx = ∫ euudu = eu + c = ex + c 2 2 2 2
ﺟﺪ
-4 - ﻣﺜﺎل
اﳊﻞ
: ﻧﻔﺮض ان
2
(4 - 2) ∞jô©J
a u = eu ln a اذن، ﻋﺪدا ﻣﻮﺟﺒ ًﺎa ﻟﻴﻜﻦ u
dauuu du da u du .lnaa d e ===aaeu u.. .ln dx dx dx dx
]4-3] áægÈe
( )
190
πeÉμàdG
Intrgration da u d u ln a = e dx dx
(
u ln a = eu ln a . uu
: اﻟﺒﺮﻫﺎن
)
d .ln a a) (u ln dx
da u du ∴ = a u . .ln a dx dx : ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ x−5 a) y = 322x−5
a) y = 32 x−5 ⇒
− x2
x−5 b) y = 2 22x−5
sin xx c) y = 5 sin
dy = 32 x−5 (2).ln 3 dx = (2 ln 3) e2 x−5
2 dy = 2−x (−2x).ln 2 dx u u da da d d u ln au ln a −x2 = == −2x e eln 2 (e ) dx dx dx dx uu dy dy da dd u lnu5lna a da sin sin xx sinxx sin c) .cos c) yy==55 ⇒ ⇒ ==55 .cos x.ln = ee 5 = x.ln dx dx dx dx dx dx 2
b) y = 2−x ⇒
( ( ) )
(( ))
191
-5 - ﻣﺜﺎل dy =ﺟﺪetan x .sec 2 x dx
اﳊﻞ
Intrgration (4
) øjQɪ
J
‐5
πeÉμàdG
:ﻟﻜﻞ ﳑﺎ ﻳﺄﺗﻲ
a)
y = ln 3x
b)
⎛ x⎞ y = ln ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
c)
y = ln x 2
d)
y = ( ln x )
e)
⎛ 1⎞ y = ln ⎜ ⎟ ⎝ x⎠
f)
y = ln ( 2 − cos x )
g)
y = e−5 x
h)
y = 9e
j)
y = x 2 ex − xex
i)
a) c) e) g)
i)
k)
( )
2
+ 3x+5
−x 4
y = e7
∫
3
0
1 dx x +1
ln 5
∫
ln 3
b)
e2 x dx
1
d)
∫ (1+ e ) e dx x
x
0
∫
4
1
∫ ∫
π 2 π 6 π 2 π 6
x
e dx 2 x cos x dx sin x cot x dx
f) h)
j)
l)
∫
0
ln 2
∫
0
∫ ∫ ∫ ∫
0 π 4
2 1
: ﺟﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻻﺗﻴﺔ- 2
e− x dx
sec 2 x
π − 4
−1
x
3x 2 + 4 dx x 3 + 4x +1
1
1
ﺟﺪ- 1
2
2x dx x2 + 9
4
dy dx
( 2 + tan x ) 3
dx
x −1 dx
x e− ln x dx
192
πeÉμàdG
Intrgration
- 3اﺛﺒﺖ ان: ++111 xxx+ dx ==14 14 =dx 14 dx 33 3 x2 3 x2 2 x2 x
333
44
4 )b 3x −−666 dx dx ==30 30 b)∫∫−2 3x 3x− =dx 30 )b −2 −2
f(x )- 4داﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] 6و [-2ﻓﺎذا ﻛﺎن f (x)dx = 6 6 6
∫∫ [f (x)+ 3] dx = 32 1 −2
ﻓﺠﺪ f (x)dx
1 −2
6 1
∫
27 27 27
)a a)∫∫0 )a
00
وﻛﺎن
∫
π 4
1 (x + - 5ﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ a ∈ Rاذا ﻋﻠﻤﺖ أن ∫ 2 )dx = 2 ∫ sec2 xdx 1 0 a
- 6ﻟﺘﻜﻦ f(x) = x2 +2x+kﺣﻴﺚ ، k ∈ Rداﻟﺔ ﻧﻬﺎﻳﺘﻬﺎ اﻟﺼﻐﺮى ﺗﺴﺎوي ) (-5ﺟﺪ f (x)dx
3
∫ 1
- 7إذا ﻛﺎن ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ f (x) = (x − 3)3 +1ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻘﻼب ) (a,bﺟﺪ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﻘﺪار f ʹʹ(x)dx
a
∫ 0
f ʹ(x)dx −
b
∫ 0
193
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-8إﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﳌﺴﺘﻮﻳﺔ. Plane Area by Definite Integral ] [4-8-1ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﺔ ﺍﶈﺪﺩﺓ ﲟﻨﺤﻨﻲ ﻭﻣﺤﻮﺭ ﺍﻟﺴﻴﻨﺎﺕ The area between the x-axis and the Curve ﻟﺘﻜﻦ ) y = f (xداﻟﺔ ﻣﺴﺘﻤﺮة ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [ a, bوﻟﺘﻜﻦ Aﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺤﺪﻫﺎ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ : x = a, x = b b
اذا ﻛﺎﻧﺖ f (x) > 0ﻓﺎن اﳌﺴﺎﺣﺔ Aﺗﺴﺎوي f (x)dx :
∫
=A
a b
إذا ﻛﺎﻧﺖ f (x) < 0ﻓﺎن اﳌﺴﺎﺣﺔ Aﺗﺴﺎوي A = − ∫ f (x)dx : a
y
اﳌﻨ
ﺤﻨﻲ
x
b
)(x
f =y
a
اﻟﺸﻜﻞ )(4-23
وﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻘﻄﻊ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ) y=f(xﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﻓﻲ x=a ، x=bﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻻﺗﻴﺔ : ﺧﻄﻮات اﻳﺠﺎد اﳌﺴﺎﺣﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ fﲤﺘﻠﻚ ﻗﻴﻢ ﻣﻮﺟﺒﺔ وﻗﻴﻢ ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]:[a,b .1ﳒﺪ اﻟﻨﻘﺎط ﻋﻨﺪﻣﺎ . f(x)=0 .2ﻧﺴﺘﺨﺪم ﻗﻴﻢ xاﻟﺘﻲ ﲡﻌﻞ f=0ﻛﻤﻮﻗﻊ ﻋﻠﻰ ] [a,bﻟﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮات ﺟﺰﺋﻴﺔ ﻣﻦ ]. [a,b .3ﳒﺮي ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻓﺘﺮة ﺟﺰﺋﻴﺔ. .4ﳒﻤﻊ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت ﻓﻲ اﳋﻄﻮة ).(3
194
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -1 -
اﳊﻞ
Intrgration
ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ f ( x ) = x 3 − 4x وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]. [-2,2 اﳋﻄﻮة اﻻوﻟﻰ :ﳒﻌﻞ
f ( x) = 0 3 ∴ x − 4x = 0
x ( x 2 − 4) = 0
44)) == 00 x = 0 orx =x 0= 2ororxxx=x((x2=x−− −2 or44))x((xx=++−2 ∴ x = 0 or, x = 2 or, x = −2 اﳋﻄﻮة اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ :ﻓﺘﺮات اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻫﻲ [0,2] ، [-2,0] : اﳋﻄﻮة اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ : 0
⎡ x 24 ⎤ 2 x − 4x dx = − 2x ⎥ = 0 − [4 − 8] = 4 ) ⎢⎣ 4 ( A1= ∫ −2 ⎦−2 3
2
0
⎡ x 24 ⎤ 2 x − 4x dx = − 2x ⎥ = [ 4 − 8 ] − 0 = −4 ) ⎢⎣ 4 ( A2= ∫ 0 ⎦0 3
2
اﳋﻄﻮة اﻟﺮاﺑﻌﺔ :ﺟﻤﻊ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت وﺣﺪة ﻣﺮﺑﻌﺔ A= |A1|+|A2| ⇒ A = 4 + −4 = 4 + 4 = 8
195
πeÉμàdG
Intrgration y
ﻣﺜﺎل -2 - =y x2
ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﻟﺘﻲ ﻳﺤﺪﻫﺎ ﻣﺨﻄﻂ اﻟﺪاﻟﺔ y = x2 وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎن . x = 1 , x = 3 اﳊﻞ ﻧﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ﺑﺠﻌﻞ .y = 0 ]∴ x 2 = 0 ⇒ x = 0 ∉ [1, 3
x
1
3
∴ ﻻ ﲡﺰﺋﺔ ﻟﻔﺘﺮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ]∵f(x)≥ 0 , x ∈ [1,3
0
اﻟﺸﻜﻞ )(4-24 3
⎡ x 3 ⎤ 27 1 26 = ⎥ ⎢ = x dx = − 3 3 3 3 ⎣ ⎦1 y
وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺜﺎل -3 - ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ f (x) = x 3 − 3x 2 + 2xوﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت.
x
اﳊﻞ ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت أي ﻋﻨﺪﻣﺎ y = 0
2
2
1
3
∫
=A
1
0
اﻟﺸﻜﻞ )(4-25
∴ x 3 − 3x 2 + 2x = 0 ⇒ x(x −1)(x − 2) = 0 ∴ x = 0, x = 1, x = 2 ∴ ﻓﺘﺮات اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻫﻨﺎ [1,2] ، [0,1] : 2
1
⎡ 2x 4 3 3 2 2 ⎤ ⎡ x 4 ⎤ 3 2 3 2 = − x + x + − x + x A = (x − 3x + 2x)dx + (x − 3x + 2x)dx ∫ =A1 ∫⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 4 4 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 16 116 1 1 = − (0) =+ ( + − =8 + 4) − ( −1+1) = + )= ( −1+1) − (0) + ( A−18==+ (4) −−1+1 )( −1+1 4 4 4 4 4 2 4 4 444 2
196
πeÉμàdG 2
Intrgration 1
21
⎡3x 4 2 3 2 ⎤ ⎡⎡xx44 33 22⎤⎤ ⎡ x 4 ⎤ 3 2 3 2 A = − x ++2x)dx ⎥ x ⎥ += ⎢⎢ −−xx ++xx ⎥⎥ + ⎢ − x + x x − 3x + 2x)dx2 + ∫ =(x⎢ − 3x 4 ⎣ ⎦0 ⎣⎣ 44 ⎦⎦10 ⎣ 4 ⎦1 1 2
1 1 - 111+ 11) 1 11 1 1 16 16 116 16 )=(0 )(−4(+-1 8(−1+1 )+ 4−)8-+=(4 )= ( −1+1) − (0)= +( ( −1+1 =−A82 )+−4 )−+ ( =−1+1 )= ( = −1+1 )=( −1+1 )+ −=(0 )− (0 + ( + (− 8 +− 48 4 4 4 4 44 2 4 44 4 2 44 4 4 |A= |A1|+|A2
1616 16 161 1 31 1 121113 1 1-1112 111 1 1 116 1216 16 16 21 1 1 11 1 111 1 1 11 1 ﻣﺴﺎﺣﺔ )+−1+1 )−+((0 )( −+−−8((0 )8+ +4)+−4)−8(−(+(4 − )−1+1 8−xA )+( 4 )−1+1 =−∫(=((x )=++−1+1 )−1+1 (2x + =−=(3x = )−1+1 ⇒−(+ )=(0 )=−1+1 −x(x )+(0 −(−1)(x )(0 )(0 8(x (− )+−3+2 )4 =8(− +3x وﺣﺪة− )84 )8−1+1 )(+−4 )(−1+1 )−−1+1 )(= −1+1 = ==+ =+= =+= + )∴−1+1 − 3x ==+ )0−1+1 )0(+−+−4 == 2x)dx +=−(−∫+ − 2x)dx 44 4 44 4 4 0 4444 4 4442 244 4 2 4 4 21 4 4 4 4 4 4 44 4 442 4 2 42 2
ﻣﺜﺎل -4 -
ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ f (x) = x 2 −1وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ]. [−2, 3
اﳊﻞ ﳒﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﳌﻨﺤﻨﻲ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت x 2 −1 = 0 ]∴ x = ±1 ∈ [−2, 3
y x=3
∴ ﳒﺰيء ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮات اﳉﺰﺋﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ :
x=-2
][-2,-1] ، [-1,1] ، [1,3
x
A3 3
1 2
A2
A1 -2 -1
اﻟﺸﻜﻞ )(4-26
197
πeÉμàdG
Intrgration 11
: ﳒﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت
33
⎡⎡x1x33 2 ⎤⎤ ⎡⎡xx333 ⎤2⎤ ⎡⎡xx33 ⎤⎤ 22 22 22 22 22 xx⎥⎥ −1)dx ++ ⎢⎢ −−xx⎥⎥ == ++ ++ ++ ++ 66++ A1∴ = ∫ (x −1)dx==+⎢⎢∫ (x−−xx−1)dx ⎥⎥ ++ ⎢⎢+ ∫−−(x 33 ⎣⎣−133 ⎦⎦−2−2 ⎣⎣ 331 ⎦⎦−1−1 ⎣⎣ 33 ⎦⎦11 33 33 33 33 −2 −1
−1 −1
2
−1 1 3 −1 3 1 33 3 −1 1 1 1 2 1 3 3 ⎡ ⎡2 22 x ⎤ x1⎤ ⎡ x2⎡⎤3x 3 ⎤⎡2⎤x ⎡ x243⎤ 2 ⎤ 22 222 2 2 222 2 = 1 +1 + 6 = 9⎡ x13 ⎡ x 3⎤1= ⎡-⎤xـــــــــ 8 x−9⎢⎥x⎥ +=−+⎢xــــــــ x⎥ـــــــــ 6+ +2 − x⎥ −+x+ − x⎢⎥ +==⎢−ــــــــــــ + x⎥+− x=⎥+ =++ +++ 6+ ++ + + +6 + ⎢6⎥⎢ −= ⎢⎥ −++ 3 3 3A1===⎢13=3 ⎢+1 333 ⎣⎦−23⎦−1 ⎣ 33⎣⎦ 3 ⎦−1 ⎣ 3 ⎣ 3⎦3−2 ⎣ ⎦3⎣−2 33 ⎣3⎦13 ⎣ 33 ⎦1 3 ⎦1 33 333 3 3 333 3 −1
1
3
⎡ x23 ⎤ ⎡⎡3xx33 2 ⎤⎤−1 ⎡⎡xx33 ⎤⎤1 2⎡ x 32 ⎤23 22 2 22 2 2 − x⎥ += ⎢⎢∫ (x−−−1)dx xx⎥⎥ ++⎢⎢ −−xx⎥⎥ =+ ⎢ + −+x⎥ += ++ 6 ++ + + 6 + A2=+ =∫ ⎢(x −1)dx ∫ (x −1)dx 3 ⎦−2 ⎣⎣1 33 ⎦⎦−1−2 ⎣⎣ 33 ⎦⎦1−1 3⎣ 3 3 ⎦31 33 3 33 3 −2 −1 ⎣ 3 −1
2
1
−1
−1 −1 1 1 3 3 −1 1 3 13 3 3 3−11 3 3 3⎤3 3⎤13⎤ 3 ⎡ 3⎤ ⎡ x 3⎤ ⎤⎡ x13 ⎡ x13⎤ ⎤2⎡ x⎡ 3x13⎡⎡1xx3⎤3⎤1−1 ⎡⎤-⎤2x⎡−1231x 3 22⎤⎡−1x1⎤3132 ⎡⎡xx⎡23⎤231x 3 2⎤⎡1⎡−1⎡x⎤xx33233⎡⎡⎡xx2x34⎤32⎤−1 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ x 2 2 2 x x 2 x 2 x x 2 2 +222 +22 2 x+ 22 +22− 2 x2 2−=x222 2+ ـــــــــ = −⎢ x⎥ − x+=⎥⎢1 ++1 −⎢ x⎥ + −A6x+= + − x − = x + = = + = − + x − + x + 6 + + + 6 − + x − = + = − + − x + − =x⎥ + = = − x + + x = + + + + 6 + = − x + − x + − x +1 =⎢== − x + − x − x = + + + 6 = − x + + − x = + + 6 + ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 +1 + 6 = 9 9 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎥ 33 333⎥ 3 ⎣ 3⎦−2 ⎦−2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 ⎣ 33 ⎣ 33⎦−1 2 ⎦3−1 ⎣ ⎣3 33⎣⎣333⎦1⎦3−2 ⎣⎦1⎦33⎣−2333 33⎦⎣−23⎦3−13 ⎣⎣ 33⎣3⎦3−1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ 3 3 3 3 3 3 ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣−21 ⎦−21−1 1−2−1 −1 −2 −11 1 −11 1 3
1
3
−1 1 3 3 ⎡ 3 3 33 3 3 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x x x 2 2 2 2 2 x x x 2 2 2 2 2 x+⎥ ∫+(x⎢2 −1)dx − x⎥ =+ ⎢⎢ −−xx⎥⎥ = + ⎢ + − x+⎥ + ⎢ + −6 x+⎥ = + + + + 6 + ∫ (x=2 ⎢⎣−1)dx A−3= 3 3 ⎦−2 1 ⎣ 3 ⎦−1 ⎣⎣ 33 ⎦⎦−21 ⎣33 3 ⎦−13 ⎣3 3 ⎦3 3 3 1 3 3 −1 −11 3 3 3 3 ⎤ ⎡x ⎤ ⎡x ⎤ 1 -111 ] 12 21 ⎡ــــــــــــ 1x 2 20 = 6 + A3= [9 - 3 ] -=[1 =+1 + 6 = 9 1 +1 + 6 ==9⎢ − x⎥ + ⎢ − x⎥ + ⎢ − x⎥ = + 3 33 33 33 ⎣333 3 ⎦−2 ⎣ 3 ⎦−1 ⎣ 3 ⎦1 1
−1
A= |A1|+|A2|+|A3| : ﳒﻤﻊ اﻟﻘﻴﻢ اﳌﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت
3 16 11 31 1ــــــــــــ 1421213 1111 2ــــــــــــ 16 11216 1 ⎤1 111⎡1x13 11 1⎤1 11 121 12 1 ⎡ x16 ⎤ 211616 ⎡1x 316 41 1 1120 16 1 3 0) + ( − 8 + 4) − ( −1+1) = ( = = −1+1) ( + = ( −1+1) = − −1+1) (0) − + (0) − ( (0) − ( + 8 ( + − 4) 8 − + − 8 4) ( + − 4) −1+1) ( − ( −1+1) =x+−⎥4) = +−−1+1) ∴ x − 3x + 2x = 0 ⇒ x(x −1)(x − 2) = 0 = 1 +1 + 6 = 9 ـــــــــ 1 A = (x − 3x + 2x)dx + (x − 3x + 2x)dx −1+1) − (0) + ( − 8 + 4) −∫( −1+1) = = (=+ (−1+1) ==−1+1) (=∫⎢9−1+1) (0) −−(0) +ﻣﺴﺎﺣﺔ −+−8−1+1) 4) −8 + (=+ −4) (⎢=−1+1) (−+=x−1+1) x+⎥−((0) +( ⎢+ 8وﺣﺪة ـــــــــــ ⎥2== =2+ =+ = +=+ 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 3 3 3 3 4 4 444 241⎣ 3 3 ⎦ 4 ⎣ 3 4 ⎦ 4 ⎣43 4 ⎦ 4 434 43 2 0 4 −1
1
3
−2
−1
1
198
πeÉμàdG
Intrgration
ﻣﺜﺎل -5 - ⎤ ⎡ π ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ y = sin xوﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻲ اﻟﻔﺘﺮة ⎦⎥ ⎢⎣− , π 2 ⎤ ⎡ π اﳊﻞ ﳒﺪ ﻧﻘﺎط ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮات ⎥ . ⎢− , π ⎦ ⎣ 2 ∵ sin x = 0 ⇒ x = 0 + n π , n∈ 1 ⎤ ⎡ π ⎥ 0 ∈ ⎢− , π ⎦ ⎣ 2 ⎤ ⎡ π ⎥ π ∈ ⎢− , π ⎦ ⎣ 2 ⎤ ⎡ π ⎥ 2π ∉ ⎢− , π ⎦ ⎣ 2 ⎤ ⎡ π ⎥ −π ∉ ⎢− , π ⎦ ⎣ 2 ⎤ ⎡ π ⎥ −2π ∉ ⎢− , π ⎦ ⎣ 2
∴ ﳒﺰيء ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮات اﳉﺰﺋﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ: y ﻣﻨﺤﻨﻲ اﳉﻴﺐ x
2π
=∴ n = 0 ⇒ x = n = 1 ⇒ x = n = 2 ⇒ x = sin x = 0 ⇒ x = n =-1 ⇒ x = n =-2 ⇒ x
[
0
[π
π
2
−
+1 3π 2
π
A2
π 2
0
π 2
A1
−
−π
3π 2
−2π −
-1
اﻟﺸﻜﻞ )(4-27
199
0
∫
0 0
0
− cos x ] ∫sinsinx xdxdx= [=−[cos x] 0
π − π 2 − 2
0
Intrgration − π − 2
[ ] ∫∫ sin sin xx dx dx == [−− cos cos xx ]
2
π
πeÉμàdG
0 0 π −π −2 2
π = − cos(0)+ cos(− ) π A1= π = − cos(0)+ cos(− ) 2 −π −2 0 2 2 0 = −1− 0 π ∫ sin x dx = [− cos= −x]cos(0)+ π = −1− 0 π − cos(− )) π 2 = − cos(0)+ cos(− − = −1 2 A21= -1+0 = -1 = −1 2 π == π−1− 00 π π −1− = − cos(0)+ cos(− ) [− cos x] sin x dx = ∫ π 0 sin x dx =2 [− cos x]0 == ∫−1 0 −1 π = −1− 0 0 = − cos π + cos 0 π π A2= ∫ sin π cos π + cos 0 dx == [− [− cos cos x] x]00 = − ∫0 sin=xx−1dx = 1+1 0 = 1+1 π π = − cos π + cos =002 − cos π + cos ∫ sin x dx = [− cos= x] 0 =2 A0 2= 1+1=2 == 1+1 +2 ∴ A = −1 1+1 + ∴ A = −1 = − cos=π2+ cos=03 2 =2 =3 = 1+1 A= |A∴ |+|A | 1 A =2 −1 + 2 ∴ A = −1 + 2 == 23 =3 ∴ A = −1 + 2 ⇒ A= 3 وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ
: ﺛﻢ ﳒﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ
=3
-6 - ﻣﺜﺎل
[−π, π ] وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮةy = cos x ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﲟﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﳊﻞ :ﳒﺪ ﻧﻘﺎط ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻊ ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت π n ∈ II cos x = 0 ⇒ x = + nπ , n∈ π 2 ∈ [−π, π ] ∴ n = 0 ⇒ x= 2 π n = -1 ⇒ x= − ∈ [−π, π ] 2 ∴x = n = 1 ⇒ x= 3π ∉ [−π, π ] 2 n = -2 ⇒ x= − 3π ∉ [−π, π ] 2 ﳒﺰيء ﻓﺘﺮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻰ اﻟﻔﺘﺮات اﳉﺰﺋﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ ⎡ π ⎤ ⎡ π π ⎤ ⎡π ⎤ −π ,− ⎢⎣ ⎥ , ⎢− , ⎥ , ⎢ , π ⎥ 2⎦ ⎣ 2 2⎦ ⎣2 ⎦
200
πeÉμàdG
Intrgration y
ﻣﻨﺤﻨﻲ اﳉﻴﺐ ﲤﺎم 3π − 2
−2π
−π
A1
A2 π − 2
π
0
π 2
A3
3π 2
2π
x
(4-28) اﻟﺸﻜﻞ ππ −− 22
ππ −− 22 −π−π
cosxxdx dx==[ [sin sinx]x] ∫∫cos
π − 2
π 2 −π 00 ππ −−−−πππ π− 2π −−π −2222 −π −π2 −π 2 −π
: ﳒﺪ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت ∫ cos x dx = [ sin x] ππ ππ [[−−xcos [−cos sinxxAdx dx cos sin xdx dxxx=]]=[− cosxx] ] ==sin− =∫∫==sin sin− − sin− π = −sin sinππ==−1+ −1+00==−1 −1 − sin− π = −sin ++sin ∫∫ sin x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] ∫∫∫∫cos π π 2 2 2 2 cos x dx ==[ sin sin−x] − sin− π = −sin + sin π = −1+ 0 = −1 00
ππ −− 22
1
0−− 0π−ππππ − − 222−π 2 2
ππ −− −π −π −π 2−π 2−π
−π−π
00 ππ −− 22
−
2 2 ππ πππππ π π π π π 0 2 π π++++sin 2 sin− sin− =x= A== ===− [sin− ]−sin sin− ππππ −sin −1+ −1 = −dx sin− −sin sinπππππ=====−1+ −1+00000=====−1 −1 sin− sin− −sin sin −1+ −1 ==−−cos(0)+ cos(0)+ cos(− cos(− )− )dx [sin sin x] cos(0)+ cos(0)+ )===)x] sin xcos dx =−−cos(− −==cos cos xx− [π πcos(− ∫sin− 1∫− ∫sin− = sin− −sin +sin sin −1+ −1 π ππ − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 π ππ 2 cos x dx x] − −=− [ sin 2 π ππππ∫ 2 2 2 π−1− =2= −1−00 ==−1− −1−00 πππππ− 2 222− π 2 2 ππ πππ 2222 cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] cos x dx = [ sin x] 2ππ −= ∫=∫∫∫−1 = sin − sin− 1+11==22 π = cos(0)+ cos(− sin − sin− =)=1+ π A2== −1 cos x dx =−1[ sin x]−−−−π ==−1 π π ππππ − 2 2 2 2 2 2 2 2 − −π =π sin −22 sin− = 1+ 1 = 2 ππ π π−−− 2222 π 2 2π π= −1− 02 π π ππ sinxx dx dx∫∫==sin [− [−xcos cos x] x] sin xdx dx ==π0π0[− [−cos cos x] x] ∫∫ sin 0x0dx π π = [ sin x] = sin π − sin −1 cos dx = [ sin x] = sin π − sin ==00−−11==−1 cos x π π π π π π ∫ ∫ π π π π−−−−sin− π =====sin = 1+ 1 = 2 sin sin− = 1+ 1 = 2 00 sin sin− = 1+ 1 = 2 sin sin− = 1+ 1 = 2 00 π 2 2 π −1 π −=sin− 1+sin 2 21 = 2= 0 − 1 = −1 [ sin cos x dx =π sin 22222x] 22222 π= − A3= ==−∫−cos π = sin 2 2 cosππ=++=π− cos cos 00ππ++cos −cos cos cos 00 2 πππππ 2 π π π π π π π π π π 2 sin x x] dx cos [[[[sin πππππ−x] cos ==== x] sin −−−−sin sin −1 cos dx [sin sin x]πππππ=====[− =sin sin sin π=====00000−−−−−11111=====−1 −1 cosxxxxxdx dx sin x] sin sin −1 cos dx 0sin ∫=∫=∫∫1+1 1+1 ==∫=1+1 1+1 sin x] sin −1 cos dx π 2 2 2 2 0 ππππ 2222 2 π 2 2= 2222 = 2 = = 2 2 = − cos πاﳌﻄﻠﻘﺔ + cosاﻟﻘﻴﻢ 0 ﳒﺪ ﻣﺠﻤﻮع A= |A2 1|+|A2|+|A3| :ﻟﻠﺘﻜﺎﻣﻼت ++A2A 2==−1 ∴ ∴AA== −1 −1∴∴ −1++22 = 1+1 0
π 2
==33
==33
ππ 22
=2 ∴AA== −1 −1++ 22 + −1 A = −1 + 2 + −1 = =1+3 2 +1 = 4 وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ = 1+ 2 +1 = 4
201
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-8-2ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﻨﻄﻘﺔ ﺍﶈﺪﺩﺓ ﲟﻨﺤﻨﻴﲔ ﺳﺒﻖ وأن درﺳﻨﺎ ﻛﻴﻔﻴﺔ أﻳﺠﺎد اﳌﺴﺎﺣﺔ ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ داﻟﺔ وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻣﺴﺘﻘﻴﻤﲔ واﻵن ﺳﻨﺪرس ﻛﻴﻔﻴﺔ إﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺼﻮر ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻴﲔ : ﻟﺘﻜﻦ ) g(x), f (xداﻟﺘﲔ ﻣﺴﺘﻤﺮﺗﲔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [ a, bﻓﺎن ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ Aاﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻴﲔ ﳒﺪﻫﺎ ﻛﻤﺎ ﻳﺄﺗﻲ: b a (1اذا ﻛﺎن ) f (x) > g (xﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ] [a,bﻓﺎﳌﺴﺎﺣﺔ Aﻫﻲ A = ∫ ∫ [f (x) − g(x)]dx a b b a
(2اذا ﻛﺎﻧﺖ ) f (x) < g (xﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ] [a,bﻓﺎﳌﺴﺎﺣﺔ Aﻫﻲ A = - ∫ ∫ [f (x) − g(x)]dx a b
(3اذا ﺗﻘﺎﻃﻊ اﳌﻨﺤﻨﻴﺎن ﺑﲔ ] [a,bﳒﺪ ﻧﻘﺎط اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ وذﻟﻚ ﺑﺠﻌﻞ ) f (x) = g (xﺛﻢ ﳒﺪ ﻗﻴﻢ xاﻟﺘﻲ ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ) (a,bوﳒﺰﺋﺔ ] [a,bاﻟﻰ ﻓﺘﺮات ﺟﺰﺋﻴﺔ ﺛﻢ ﳒﺪ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﻔﺮق ﺑﲔ اﻟﺪاﻟﺘﲔ ﻓﻲ ﻛﻞ ﻓﺘﺮة ﺟﺰﺋﻴﺔ ﺛﻢ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﳒﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﻄﻠﻖ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت واﻟﺘﻲ ﲤﺜﻞ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﳌﻄﻠﻮﺑﺔ . ﻣﺜﺎل -1 - ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ y = xواﳌﺴﺘﻘﻴﻢ y = x
y x
اﳊﻞ
x
x
=y
ﳒﺪ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﳌﻨﺤﻨﻴﲔx = x :
=y
اﻟﺸﻜﻞ)(4-29 ∴ x = x 2 ⇒ x(x −1) = 0
]∴ x = 0, x = 1 ⇒ x ∈ [0,1 1 1 1 1 ⎤ ⎤⎡ 2⎡ 2 3 3 x 2x⎤2 ⎤ ⎡ 2⎡ 2 1 1 )dx==⎢ ⎢ x xx 3−− ⎥ ⎥ ==⎢ ⎢ −− ⎥ −⎥ −[0[0] =] =11 A ==∫ ∫( ( x x−−x )xdx ⎦ ⎦⎣ 3⎣ 3 2 2 2 2⎦0⎦0 ⎣ 3⎣ 3 2 2 66 0 0 1 1 وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ = 6 6
202
= ∴A
πeÉμàdG
Intrgration
ﻣﺜﺎل -2 - ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ y = x 3واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ y = x اﳊﻞ
y y=x3
A2
-1
0
x
A1
اﻟﺸﻜﻞ )(4-30 ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺘﲔ
x3 = x x 3 − x = 0 ⇒ x(x − 1)(x + 1) = 0 ]x = 0, x = 1, x = −1 ⇒ [−1,0 ] , [0,1 − x)dx
3
1
∫ (x
− x)dx +
0
3
0
∫ (x
= A = A1 + A2
−1
1
1
2
4
00
2
4
⎡x ⎡x ⎤ x ⎤ x ⎥ =⎢ − ⎥ +⎢ − ⎣ 4 2 ⎦ −1 ⎣ 4 2 ⎦ 0 0
-1
11 11 1 11 11 1 11 11 111 1 )==00=−−(0( −−(− )−++( (+−(− −)−(0 )(0 )− (0 وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ = === =++ +=- 44 422 2 44 422 2 44 44 422 2
203
+ cos x ]
πeÉμàdG
Intrgration
-3 - ﻣﺜﺎل cosx ﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻴﲔ وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮةg(x) == sinsix, x, f (x) = cayx g(x) ⎡ π π⎤ ⎢⎣− , ⎥⎦ 2 2 اﳊﻞ sin x = cos x ⇒ tan x = 1 ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﻟﺘﲔ π ⎡ π π⎤ ∈ ⎢− , ⎥ 4 ⎣ 2 2⎦
∴x =
5π ⎡ π π ⎤ ∉ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ 4 ⎡ π π ⎤ ⎡π π ⎤ ⎢⎣− , ⎥⎦ , ⎢⎣ , ⎥⎦ 2 4 4 2
A= |A1|+|A2| π 4
π 2
π 2
π 4
∫ (cos x − sin x)dx + ∫ (cos x − sin x)dxi
∴A =
−
= [sin x + cos x ] π 2
π − 4
= (sin A=
∴ﳒﺰئ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
π 4 π − 2
+ [sin x + cos x ]
π 2 −
π 4
= (sin
π π π π + cos ) − (sin + cos− 4 4 2 2
π π π π π π -π -π + cos ) − (sin + cos− ) + (sin + cos ) − (sin + cos ) 2 2 4 4 4 4 2 2
2 + 1 + 1− 2 == 2.4 0.4 =22.8 2 ++1+ − 1 = 2 2 وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ
204
πeÉμàdG
Intrgration
] [4-8-3ﺍﳌﺴﺎﻓﺔ The Distance ﻣﺴﺘﻮ ﻓﺄن اﳌﺴﺎﻓﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة اﻟﺰﻣﻨﻴﺔ ﻟﺘﻜﻦ ) V(tﺳﺮﻋﺔ ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﻓﻲ ٍ t ] [t1, t2ﻫﻲ : d = ∫ V (t) dt 2
t1
ﺣﻴﺚ dﲤﺜﻞ اﳌﺴﺎﻓﺔ ،اﳌﺴﺎﻓﺔ ﻛﻤﻴﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺠﻬﺔ أﻣﺎ اﻻزاﺣﺔ واﻟﺴﺮﻋﺔ واﻟﺘﻌﺠﻴﻞ ﻓﺎن ﻛ ً ﻼ ﻣﻨﻬﺎ ﻛﻤﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻟﺬا ﻓﺎن اﻻزاﺣﺔ ): (S t 2
∫ V (t) dt
=S
t1
ﻣﺜﺎل -1 - ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ V (t) = 2t − 4 m/ s ﻓﺠﺪ: (aاﳌﺴﺎﻓﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ][1,3 (bاﻻزاﺣﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ][1,3 (cاﳌﺴﺎﻓﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﳋﺎﻣﺴﺔ (dﺑﻌﺪﻩ ﺑﻌﺪ ﻣﻀﻲ ) (4ﺛﻮاﻧﻲ ﻣﻦ ﺑﺪء اﳊﺮﻛﺔ. اﳊﻞ ﻣﻦ اﻟﻮاﺿﺢ أن اﳉﺴﻢ ﻳﻐﻴﺮ اﲡﺎﻫﻪ
)a ]∴ 2t − 4 = 0 ⇒ t = 2 ∈ [1, 3] ⇒ [1, 2] , [ 2, 3
2 3 − 4t ]1 + ⎡⎣t 2 − 4t ]2
2
43
2
2
1
∫ (2t − 4)dt + ∫ (2t − 4)dt = ⎡⎣t
= ∴d
= (4 − 8) − (1− 4) + (9 − 12) − (4 − 8) = 1+ 1 = 2m
205
πeÉμàdG
Intrgration 43
2 43 [16−12]−[1− ]−16]− [ 0 ]4 = =0 0 (2t − 4)dt = [t − ]4t = [9 0 01
1
1
(2t − 4)dt = [t 2 − 4t]54 = [ 25, 20 ] − [16 −16 ] = 5m (2t − 4)dt = [t 2 − 4t]04 = [16 −16]− [ 0 ] = 0
5 4 4 0
∫
= b) ds
∫ ∫
= b) d )c
)d = b) s
ﻣﺜﺎل -2 - ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺘﻌﺠﻴﻞ ﻗﺪرﻩ (18) m / secﻓﺄذا ﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺘﻪ ﻗﺪ أﺻﺒﺤﺖ (82) m / sﺑﻌﺪ ﻣﺮور 4ﺛﻮاﻧﻲ ﻣﻦ ﺑﺪ اﳊﺮﻛﺔ ﺟﺪ: (aاﳌﺴﺎﻓﺔ ﺧﻼل اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ (bﺑﻌﺪﻩ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺪء اﳊﺮﻛﺔ ﺑﻌﺪ ﻣﺮور 3ﺛﻮاﻧﻲ 2
اﳊﻞ
V = ∫ a (t )dt ⇒ v = ∫ 18dt V = 82,t = 4
)a
∴V = 18t + c
∴82 ⇒4)))+++ccc ⇒ccc===10 10 ∴82 == ((18 18×× 44 ⇒ 10 ∴V = 18t +10 ﲟﺎ أن
18t +10 > 0 ⇒ t > 0 3
3
∴d = ∫ (18t +10 ) dt = ⎡⎣9t +10t⎤⎦ = [81+3 30 ] − [36 + 20 ] = 55m 2
3
⎦⎤+10t
0
2
∫ (18t +10) dt = ⎡⎣9t 0
=S
2
2
3
+10t⎤⎦ = [ 81+ 30 ] − [ 0 ] = 111m 0
2
3
∫ (18t +10) dt = ⎡⎣9t 0
= b) S
= [ 81+ 30 ] − [ 0 ] = 111m
206
πeÉμàdG
Intrgration
.1ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ .2ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ .3ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ
y = x3 − x
− 3x 2 − 4
− x2
4
4
(4
J
) øjQɪ
‐5
وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ . x=1 , x=-1
f ( x) = xوﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [−2,3وﻣﺤﻮراﻟﺴﻴﻨﺎت.
f ( x) = xوﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت.
.4ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ y=sin3xوﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة
⎤⎡ π ⎦⎥ ⎢⎣0, 2
π وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] .[0, 2
.5ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﳌﻨﺤﻨﻲ
y = 2cos 2 × −1
.6ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺘﲔ
1 x, y = x − 1 2
.7ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺘﲔ
y = x 2 , y = x 4 − 12
=y
وﻋﻠﻰ اﻟﻔﺘﺮة ] [2,5
.
.8ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺘﲔ
g ( x ) = sin x cos x, f ( x ) = sin x
ﺣﻴﺚ
] x ∈ [0,2π
.9ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺘﲔ
g ( x ) = sin x, f ( x ) = 2sin x + 1
ﺣﻴﺚ
⎤ ⎡ 3π ⎥ x ∈ ⎢0, ⎦⎣ 2
.10ﺟﺪ اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ
y = x 3 + 4x 2 + 3x
وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت.
207
πeÉμàdG .11ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺴﺮﻋﺔ (aاﳌﺴﺎﻓﺔ اﳌﻘﻄﻮﻋﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ] [2, 4 (bاﻻزاﺣﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺘﺮة ][0, 5
Intrgration v (t ) = ( 3t 2 − 6t + 3) m / s
إﺣﺴﺐ:
.12ﺟﺴﻢ ﻳﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺘﻌﺠﻴﻞ ﻗﺪرﻩ ( 4t + 12) m / sوﻛﺎﻧﺖ ﺳﺮﻋﺘﻪ ﺑﻌﺪ ﻣﺮور ) (4ﺛﻮاﻧﻲ ﺗﺴﺎوي 90m / sإﺣﺴﺐ: (aاﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ t=2 (bاﳌﺴﺎﻓﺔ ﺧﻼل اﻟﻔﺘﺮة ][1,2 (cاﻻزاﺣﺔ ﺑﻌﺪ ) (10ﺛﻮاﻧﻲ ﻣﻦ ﺑﺪء اﳊﺮﻛﺔ 2
.13ﺗﺘﺤﺮك ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻜﻮن وﺑﻌﺪ tﺛﺎﻧﻴﺔ ﻣﻦ ﺑﺪء اﳊﺮﻛﺔ أﺻﺒﺤﺖ ﺳﺮﻋﺘﻬﺎ (100t − t ) m / sec 2
أوﺟﺪ اﻟﺰﻣﻦ اﻟﻼزم ﻟﻌﻮدة اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻰ ﻣﻮﺿﻌﻬﺎ اﻻول اﻟﺬي ﺑﺪأت ﻣﻨﻪ ،ﺛﻢ اﺣﺴﺐ اﻟﺘﻌﺠﻴﻞ ﻋﻨﺪﻫﺎ
208
πeÉμàdG
] [4-8اﳊﺠﻮم
Intrgration
اﻟﺪوراﻧﻴﺔVolumes of Revolution :
.1ﳊﺴﺎب ﺣﺠﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ x=aاﻟﻰ x=bﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت
)y = f ( x
اﳌﺴﺘﻤﺮة ﻣﻦ
b
V = π ∫ y2 dx
ﻧﻄﺒﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
a
.2ﳊﺴﺎب ﺣﺠﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ y= aاﻟﻰ y=bﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات
)x = f ( y
اﳌﺴﺘﻤﺮة ﻣﻦ b
V = π ∫ x 2 dy
ﻧﻄﺒﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
a
ﻣﺜﺎل -1 - اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ اﳊﻞ
y =y = x,0x,0 ≤≤ x ≤x 4≤ 4
وﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ،دارت ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺴﻴﻨﺎت ،ﺟﺪ ﺣﺠﻤﻬﺎ. b
∫ π y2 dx
=V
a
2
b
∫ π y dx V = =∫ π∫ yπ dx )( x 2
4
b
=V
a
dx 2 V = ∫b π y dx 4 = π xa 04 dx V = ba∫ π y2 dx ∫0 4 2 4 2 V = ∫a π y2 dx = π= ∫ πx xdx dx ∫ 4 = ∫4 π x dx 0 a 0 =2 ∫ π xdx 4 = 40∫ π x 2 dx 4 ⎤ ⎡ x2 0 4 = ∫0 π x dx = ∫ 4π=xdx ⎦⎥ = ∫4 π xdx ⎡ x 2 ⎤ ⎢⎣π 2 0 0 0 = 40∫ π xdx = ⎢⎣π 2 ⎥⎦ = 28π4 − 0 4 ⎤ ⎡ 0x ⎤ 2 = ⎡∫0 πxxdx ⎥ = ⎢π وﺣﺪة ﻣﻜﻌﺒﺔ = ⎢0π 2 ⎥ 4 = 8π −⎣0 =28π ⎦0 ⎣⎡ x2 ⎦⎤40 = ⎡⎢π x 2 ⎤⎥ = 8π= 8π − 0 = ⎢⎣8π π −2 0⎥⎦0 2 = 8π ⎣ = 8π − 0⎦0 == 8π 8π − 0 = 8π 2
) ( ) (
b
2
) ( ) ( ) (
209
πeÉμàdG ﻣﺜﺎل -2 -
اﳊﻞ
Intrgration
1 1، اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺪدة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ ,1,1≤ ≤y y≤ ≤4 4 yy 4 4 ﺣﺠﻤﻬﺎ π 2 V = π x = dy ∫ ∫ 4 4 y π1 2 1 V = π x = dy ∫ ∫ 4 4 4 y π V = ∫ π x 2 = ∫ 1dy 4 =1[ π ln y]1 =1 [ πy ln y]1 = π ln 4 − 0 1
دارت ﺣﻮل ﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات .ﺟﺪ
= =x x
وﺣﺪة ﻣﻜﻌﺒﺔ
44
4
4
π2 2 4 π4 π 4 V = ∫ Vπ x=V ∫==π∫∫x π=dy x ∫= ∫dy dy = [ π ln y]1 = π ln 4 − 0 = 2π ln 2 y 1 y1 y 1 1 11 = π ln 4 − 0 = 2π ln 2 4 4 4 = [ π ln=y[]π1= ln π y ln y [ ]1 ]1 = 2π ln 2 = = π ln 4 −π=0lnπ4ln−40− 0 = 2π ln=22π = 2π ln 2ln 2 2
ﻣﺜﺎل -3 - أوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﻨﺎﰋ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ x=2ﺣﻮل اﶈﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ. 2
b
0
a
y2 = 8x
V = π ∫ y2 dx = π ∫ 8xdx
اﳊﻞ وﺣﺪة ﻣﻜﻌﺒﺔ
2
2
b
0
a
V = π ∫ y2 dx = π ∫ 8xdx = 4π ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ = 16π 0
2
= 4π ⎡⎣ x 2 ⎤⎦ = 16π 0
ﻣﺜﺎل -4 - اوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﻨﺎﰋ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ x = 0, x = 5ﺣﻮل اﶈﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ. اﳊﻞ
210
b
5
y = 2x 2
V = π ∫ y dx = π ∫ 4x dx b 5 a 0 V = π ∫ y2 dx = π ∫ 4x 4 dx b 5 5 a2 0 4 ⎤ 4π ⎡ 5 = V = π ∫ y dx = π ∫ 4x dx ⎣ x ⎦0 4πa ⎡ 5 ⎤5 5 0 = ⎣ x ⎦0 4π 4π ⎡5 5 ⎤5 = × 625 = 2500π = 4π ⎣ x ⎦0 5 5 وﺣﺪة ﻣﻜﻌﺒﺔ = × 625 = 2500π 4π 5 = × 625 = 2500π 5 4
2
πeÉμàdG
Intrgration
ﻣﺜﺎل -5 - اوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﻨﺎﰋ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ اﻟﺼﺎدي.
y = 4x 2
واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ y=16ﺣﻮل اﶈﻮر
اﳊﻞ
b
v = π ∫ x 2 dy a
16
وﺣﺪة ﻣﻜﻌﺒﺔ
y π π dy = [ y2 ] = [16 × 16 ] = 32π 4 8 8 0
16
∫ v=π 0
ﻣﺜﺎل -6 - اوﺟﺪ ﺣﺠﻢ اﳌﻨﻄﻘﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ ﺣﻮل اﶈﻮر اﻟﺼﺎدي .
1 x
=y
واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ
y = 1, y = 2
اﳊﻞ
وﻣﺤﻮر اﻟﺼﺎدات دورة ﻛﺎﻣﻠﺔ
b
v = π ∫ x 2 dy a
2
وﺣﺪة ﻣﻜﻌﺒﺔ
⎤⎡ −1 ⎡1 ⎤ π 1 dy = π = π − ⎥ ⎢ = ⎦⎥⎢⎣ + 1 y2 y 2 2 ⎣ ⎦1
2
∫ v=π 1
211
πeÉμàdG
Intrgration
(4
J
) øjQɪ
‐6
.1اوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﺪوراﻧﻲ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺪدة ﺑﺎﻟﻘﻄﻊ اﳌﻜﺎﻓﺊ ﺣﻮل اﶈﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ. .2اوﺟﺪ اﳊﺠﻢ اﻟﻨﺎﰋ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ ﻣﻨﺤﻨﻲ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺼﺎدي. .3اﺣﺴﺐ اﳊﺠﻢ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ اﻟﺼﺎدي. .4اﺣﺴﺐ اﳊﺠﻢ اﳌﺘﻮﻟﺪ ﻣﻦ دوران اﳌﺴﺎﺣﺔ اﶈﺼﻮرة ﺑﲔ اﳌﻨﺤﻨﻲ اﶈﻮر اﻟﺴﻴﻨﻲ.
212
y = x2
y = x2 + 1
y2 + x = 1
y2 = x 3
واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﲔ
x = 1, x = 2
واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ y=4ﺣﻮل اﶈﻮر
واﳌﺴﺘﻘﻴﻢ x=0ﺣﻮل اﶈﻮر
واﳌﺴﺘﻘﻴﻤﺎن
x = 0, x = 2
ﺣﻮل
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸG
5
¢ùeÉÿG π°üØdG Chapter Five ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸG
] [5-1ﻣﻘﺪﻣﺔ. ] [5-2ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. ] [5-3اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻣﻦ اﳌﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ. ] [5-4ﻃﺮق ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ.
213
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG
] [5-1ﻣﻘﺪﻣﺔ ﻳﻌﺘﺒﺮ ﻣﻮﺿﻮع اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﻮاﺿﻴﻊ اﻻﺳﺎﺳﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﻴﺔ ﻟﻜﺜﺮة ﻇﻬﻮرﻫﺎ ﻓﻲ اﳌﺴﺎﺋﻞ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ واﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ .ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻨﺘﻄﺮق وﺑﺸﻜﻞ ﻣﺒﺴﻂ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔاﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ وﻛﻴﻔﻴﺔ ﺣﻠﻬﺎ. ]5-1] ∞`jô```©J اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) (Differential Equationﻫﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﲢﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ واﺣﺪة او أﻛﺜﺮ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﳌﺠﻬﻮﻟﺔ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ )اي ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﺎﺑﻊ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ( ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﻣﺜﻼً:
ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴــــــﺔ ﺍﻻﻋﺘﻴﺎﺩﻳﺔ ﻫـــﻲ ﻋﻼﻗـــﺔ ﺑﲔ ﻣﺘﻐـﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘــﻞ ) (independt variableﻭﻟﻴﻜﻦ ) (xﻭﺩﺍﻟﺘﻪ ﻏﻴـــﺮ ﺍﳌﻌﺮﻭﻓــﺔ )(y ) (dependt variabieﻭﺑﻌﺾ ﻣﺸﺘﻘــــــــﺎﺕ ) (yﺑﺎﻟﻨﺴﺒـــــــﺔ ﺍﻟﻰ )(x ﻭﻳــــــﺮﻣـــﺰ ﻟﻬــــﺎ O . D . Eﻭﺍﻟﺘـــــــﻲ ﻫـــــﻲ ﻣﺨﺘﺼـــــﺮ ﺍﻟﻰ )(Ordinary Differential Equation
4) yʹ + x 2 y + x = y
1) dy = 3y − 4x dx
5) ( yʹʹ)3 + 2 yʹ + x 2 ln x = 5
2) x 2 yʹʹ + 5xyʹ − x 3 y = 0
6) y( 4 ) + cos y + x 2 y yʹ = 0 ﻛﻠﻬﺎ ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻻن اﳌﺘﻐﻴﺮ yﻳﻌﺘﻤﺪ ﻓﻘﻂ ﻋﻠﻰ اﳌﺘﻐﻴﺮ X
214
3 d 3) y3 + dy = y − 4 dx dx
Ordinary Differential Equations ]5-2] ∞`jô```©J اﻟﺪرﺟﺔ :ﺗﻌﺮف درﺟﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑﺄﻧﻬﺎ :اﻛﺒﺮ ﻗﻮة )أس( ﻣﺮﻓﻮﻋﺔ ﻟﻪ اﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ . اﳌﺮﺗﺒﺔ او )اﻟﺮﺗﺒﺔ( :ﺗﻌﺮف رﺗﺒﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑﺎﻧﻬﺎ رﺗﺒﺔ اﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ. ﻣﺜﻼً:
ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ
1) dy + x − 7y = 0 dx 2 d 2) y = 5x − 3xy + 7 dx 2
ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ
3) yʹʹʹ + yʹ − y = 0
ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ 4) yʹʹ + 2y( yʹ)3 = 0 ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ
dy = x3 − 5 dx
)5
dy 4 d 3 y 2 d2 y 6) x ( ) + ( 3 ) + 2 2 = 0 dx dx dx 2
ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ
)(4 2 y + cos y + x ﻓﻬﻲ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺮاﺑﻌﺔ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ y yʹ = 0 )7
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﺩﺭﺟﺔ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮﻥ ﺟﺒﺮﻳﺔ ﻓﻲ ﻣﺸﺘﻘﺎﺗﻬﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﺪﺭﺟﺔ ﺍﳉﺒﺮﻳﺔ ﻟﻠﻤﺸﺘﻘﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻋﻠﻰ ﺭﺗﺒﺔ ﺗﻈﻬــﺮ ﻓﻲ ﺍﳌﻌـﺎﺩﻟﺔ .ﻓﻤﺜ ً ﻼ ﺍﳌﻌﺎﺩﻟـﺔ 2 ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ( yʹʹ) = 1+ ( yʹ)2 :
ﻣﻦ ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻻﻥ ﺍﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ ﻓﻴﻬﺎ ʹʹy
2
ﺣﻴﺚ ﳝﻜﻦ ازاﻟﺔ اﳉﺬور او اﻻﺳﺲ اﻟﻜﺴﺮﻳﺔ وﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ( yʹʹ)4 = [1+ ( yʹ)2 ] : وﺑﺬﻟﻚ ﺗﻜﻮن درﺟﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻟﺮاﺑﻌﺔ
215
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG
] [5-2ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ Solution of an Ordinary Differential Equation ان اﻟﻐﺎﻳﺔ ﻣﻦ دراﺳﺔ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻫﻲ ﻛﻴﻔﻴﺔ أﻳﺠﺎد ﺣﻠﻮ ًﻻ ﻟﻬﺎ ،وﻳﺘﻢ ذﻟﻚ ﺑﺄﻳﺠﺎد ﻋﻼﻗﺔ ﺑﲔ اﳌﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﺎﺑﻊ )ﻏﻴﺮ اﳌﺴﺘﻘﻞ ( yواﳌﺘﻐﻴﺮ اﳌﺴﺘﻘﻞ xﺑﺤﻴﺚ ﺗﻜﻮن اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﻻﺷﺘﻘﺎﻗﺎت وان ﲢﻘﻖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ]5-3] ∞`jô```©J ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻫﻮ اﻳﺔ ﻋﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﻣﺘﻐﻴﺮات اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺑﺤﻴﺚ ان ﻫﺬﻩ اﻟﻌﻼﻗﺔ : أ( ﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﺸﺘﻘﺔ ب( ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻓﺘﺮة ﻣﻌﻴﻨﺔ ﺟـ( ﲢﻘﻖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اي ان اﳊﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻫﻮ اي داﻟﺔ ﳌﺠﻬﻮل )اﳌﺘﻐﻴﺮ اﻟﺘﺎﺑﻊ ( ﺑﺪﻻﻟﺔ اﳌﺘﻐﻴﺮ اﳌﺴﺘﻘﻞ ﲢﻘﻖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ. ﻣﺜﺎل -1 - ﺑﲔ ان اﻟﻌﻼﻗﺔ y = x 2 + 3xﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ xyʹ = x 2 + y اﳊﻞ y = x 2 + 3xﳒﺪ ʹ yﻓﻴﻜﻮن: y = x 2 + 3x ... 1 ⇒ yʹ = 2x + 3 ... 2 ﻧﻌﻮض ) (1و ) (2ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ واﻻﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ وﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ : ʹLHS= xy )3x2 += 3x 2x 2 + 3x x 22++(x = )= x(2x + 3 = 2x RHS = x 2 + y = x 2 + x 2 + 3x اذن اﻟﻌﻼﻗﺔ اﳌﻌﻄﺎة ﻫﻲ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻋﻼﻩ
216
= 2x 2 + 3x = LHS
Ordinary Differential Equations
] [5 - 3اﳊﻞ اﳋﺎص واﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ: ان ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻛﻤﺎ اﺳﻠﻔﻨﺎ ﻫﻮ اي ﻋﻼﻗﺔ ﺑﲔ y,xﲢﻘﻖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ،ﻏﻴﺮ ان اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻻي ﻣﺴﺎو ﻟﺮﺗﺒﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ،ﻓﺎذا ﻛﺎﻧﺖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻫﻮ اﳊﻞ اﳌﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﻋﺪد ﻣﻦ اﻟﺜﻮاﺑﺖ اﻻﺧﺘﻴﺎرﻳﺔ ٍ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ وﺟﺐ ان ﻳﻜﻮن ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻌﺎم ﻣﺸﺘﻤ ً ﻼ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري واﺣﺪ ﻫﻮ ﺛﺎﺑﺖ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺬي ﻳﻈﻬﺮ ﻋﻨﺪ اﺟﺮاء ﺧﻄﻮة اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻮﺣﻴﺪة ﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ .اﻣﺎ اذا ﻛﺎﻧﺖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﺟﺐ اﺷﺘﻤﺎل ﺣﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻧﻈﺮ ًا ﻻﺟﺮاء ﺧﻄﻮﺗﻲ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﻫﻜﺬا ... ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﳌﺜﺎل : dy − 5y = 0 dx ﺗﻌﺘﺒﺮ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ وﻳﺤﻘﻘﻬﺎ اﳊﻞ اﳋﺎص y = e5xﻛﻤﺎ ﻳﺒﺪو ﻣﻦ اﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻟﻰ ان ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻌﺎم ﻳﺠﺐ ان ﻳﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري واﺣﺪ ، cﻓﻴﻜﻮن y =ce5x d2 y ﻓﻬﻲ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ وﲢﻘﻘﻬﺎ اﳊﻠﻮل اﳋﺎﺻﺔ : اﻣﺎ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ + y = 0 dx 2 y = sin x, y = cos xﻏﻴﺮ ان ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻌﺎم ﻳﺠﺐ ان ﻳﺸﺘﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﺧﺘﻴﺎرﻳﲔ ،ﻛﺎن ﻳﻜﻮﻧﺎ A,Bوﻳﺼﺒﺢ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻋﻨﺪﺋﺬ ﺑﺎﻟﺼﻮرة y = A sin x + B cos x ﻣﺜﺎل -2 -
اﳊﻞ
اﺛﺒﺖ ان y=x ln x - xاﺣﺪ ﺣﻠﻮل اﳌﻌﺎدﻟﺔ :
dy )= x + y , x > 0....(1 dx
x
ان اﳌﻌﺎدﻟﺔ y = x ln x-xﺧﺎﻟﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﺸﺘﻘﺎت وﻣﻌﺮﻓﺔ ﻓﻲ x >0وﻟﻜﻲ ﻧﺜﺒﺖ اﻧﻬﺎ اﺣﺪ ﺣﻠﻮل اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ) (1ﻧﻘﻮم ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ اﳌﺒﺎﺷﺮ ﻓﻲ )(1 dy 1 )LHS = x = x.(x. + ln x.1−1 dx x = x.( 1 + ln x − 1 ) =xln x
RHS = x + y = x 1 + x ln x − x1 = x.ln x ⇒ LHS = RHS
اذن اﻟﺪاﻟﺔ اﳌﻌﻄﺎة ﻫﻲ اﺣﺪ اﳊﻠﻮل اﳋﺎﺻﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ).(1
217
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG ﻣﺜﺎل -3 - ﺑﲔ ان ، a ∈ R ، ln y2 = x + aﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 2yʹ − y = 0
اﳊﻞ 1 ( yʹ) = 1 y
ln y2 = x + a ⇒ 2 ln y = x + a ⇒ 2 ⇒ 2yʹ = y ⇒ 2yʹ − y = 0
∴ ln y2 = x + aﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻋﻼﻩ
ﻣﺜﺎل -4 - d2 y ﻫﻞ y = x 3 + x − 2ﺣ ً ؟ ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ = 6x 2 dx اﳊﻞ 22 2 dy d 2 ⇒y= x +x−2 = 3x + 1 ⇒ y2 = 6x dx2 dx 33
d2 y ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ = 6x وﻋﻠﻴﻪ y = x 3 + x − 2ﻫﻮ ﺣ ً 2 dx
218
Ordinary Differential Equations ﻣﺜﺎل -5 - ﺑﺮﻫﻦ ان y = 3 cos 2x + 2sin 2xﻫﻮ ﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ . yʹʹ + 4y = 0 اﳊﻞ ∵ y = 3 cos 2x + 2sin 2x ... 1 ∴ yʹ = −6 sin 2x + 4 cos 2x
yʹʹ = −12 cos 2x − 8 sin 2x ... 2 ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ① ② ،ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻻﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻨﺘﺞ:
⇒ ) LHS = (−12 cos 2x − 8 sin 2x ) + 4 ( 3 cos 2x + 2sin 2x اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ −12 cos 2x − 8 sin 2x + 12 cos 2x + 8 sin 2x = 0 = RHS وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎن y = 3 cos 2x + 2sin 2xﻫﻮ ﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻋﻼﻩ. ﻣﺜﺎل -6 - ﻫﻞ y2 = 3x 2 + x 3ﻫﻮ ﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ yyʹʹ + ( yʹ)2 − 3x = 5؟ اﳊﻞ ⇒ ∵ y2 = 3x 2 + x 3 ⇒ 2yyʹ = 6x + 3x 2 2y ( yʹʹ) + yʹ ( 2) yʹ = 6 + 6x ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ 2 2 2 3 ( yʹ3x =)2 =⇒3+yLHS + ( y=ʹy)3−≠=3x ⇒ʹʹ + yyʹʹ + ( yʹy)2yʹʹ=+3+ y3x ( yʹy)y−ʹʹ3x اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ 53x= 3+≠x 5 ≠ RHS وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎن y2 = 3x 2 + x 3ﻟﻴﺲ ﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻋﻼﻩ
219
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG -7 - ﻣﺜﺎل ً ﻫﻮ ﺣy = e2x + e−3x ﺑﲔ ان yʹʹ + yʹ − 6y = 0 ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﳊﻞ 2x2x −3x 2x2x −3x −3x ∵ y y==e2xe2x++e−3x +9e−3x ʹʹ =4e4e −−3e3e ⇒⇒yʹʹy= 9e e−3x⇒⇒yʹy=ʹ =2e2e وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻻﻳﺴﺮ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ LHS= yʹʹ + yʹ − 6y
= ( 4e2x + 9e−3x ) + ( 2e2x − 3e−3x ) − 6 ( e2x + e−3x ) = 4e2x + 9e−3x + 2e2x − 3e−3x − 6e2x − 6e−3x = 0 = اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ =RHS 2x −3x ً ﺣy= e +e ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻋﻼﻩ وﻋﻠﻴﻪ ﻳﻜﻮن
220
Ordinary Differential Equations (5
J
) øjQɪ
‐1
.1ﺑﲔ رﺗﺒﺔ ودرﺟﺔ ﻛﻞ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ:
a) (x 2 − y2 )+ 3xy dy = 0 dx d2 y dy )b + x − 5y = 7 2 dx dx c) ( yʹʹʹ)3 − 2 yʹ + 8y = x 3 + cos x 3 d) ( d y )2 − 2( dy )5 + 3y = 0 dx 3 dx
.2ﺑﺮﻫﻦ ان y = sin xﻫﻮ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ yʹʹ + y = 0 d2 s .3ﺑﺮﻫﻦ ان اﻟﻌﻼﻗﺔ Ss = 8 cos 3t + 6 sin 3tﻫﻲ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ + 9s = 0 dt 2 .4ﻫﻞ ان y = x + 2ﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ yʹʹ + 3yʹ + y = x؟ .5ﻫﻞ y = tan xﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ) yʹʹ = 2y (1+ y2؟ .6ﻫﻞ 2x 2 + y2 = 1ﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ y3 yʹʹ = −2؟ .7ﻫﻞ yx = sin 5xﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ xyʹʹ + 2yʹ + 5yx = 0؟ .8ﺑﲔ ان y = ae− xﻫﻮ ﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ yʹ + y = 0ﺣﻴﺚ a ∈ R .9ﺑﲔ ان c ∈ R , ln y = x 2 + cﻫﻮ ﺣ ً ﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ yʹʹ = 4x 2 y + 2y
221
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG
] [5-3اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ ﻣﻦ اﳌﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ﻣﻘﺪﻣﺔ : ان ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻫﻮ ﻋﻤﻞ ﻣﻌﺎﻛﺲ ﻟﻌﻤﻠﻴﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻞ ،أي ﻳﻘﻮم ﻋﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ،وﻣﻦ اﳌﻌﺮوف اﻧﻪ ﻻ ﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﻋﻜﺲ ﺗﻔﺎﺿﻞ )اﻟﺼﻮرة اﳌﺒﺎﺷﺮة( ﻟﻜﻞ داﻟﺔ .اي ﻻ ﻧﺘﻮﻗﻊ ان ﻳﻜﻮن ﻟﻜﻞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺣﻞ ﻋﺎم ﺑﺪﻻﻟﺔ اﻟﺪوال اﻻوﻟﻴﺔ اﳌﻌﺮوﻓﺔ .وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻟﺘﻲ ﳝﻜﻦ ﺣﻠﻬﺎ ﺗﻘﺴﻢ اﻟﻰ اﻧﻮاع ﻣﺘﻌﺪدة ﺣﺴﺐ ﻃﺮﻳﻘﺔ اﳊﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺣﻠﻬﺎ اﻟﻌﺎم. وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻮف ﻧﺴﺘﻌﺮض اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ ﲟﺘﻐﻴﺮﻳﻦ . y , x وﻣﻊ ان ﻫﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻗﺪ ﺗﺒﺪو ﺑﺴﻴﻄﺔ إﻻ أﻧﻪ ﻟﻴﺲ ﻣﻦ اﳌﻤﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﺣﻞ ﻋﺎم ﻻي ﻣﻨﻬﺎ ﺑﺼﻮرة ﻋﺎﻣﺔ ،وﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﻋﺎﻣﺔ ﻟﻠﺤﻞ .وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺴﻮف ﻧﻘﺴﻢ ﻫﺬﻩ اﳌﻌﺎدﻻت واﻟﺘﻲ ﳝﻜﻦ اﻳﺠﺎد ﺣﻠﻬﺎ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻣﺒﺎﺷﺮة اﻟﻰ ﻋﺪة اﻧﻮاع ،اﻫﻤﻬﺎ : .1اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻔﺼﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ . .2ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻮع اﳌﺘﺠﺎﻧﺲ . .3ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺗﺎﻣﺔ. .4ﻣﻌﺎدﻻت ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ -ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺮﻧﻮﻟﻲ . وﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﺳﻨﻘﺘﺼﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻮﻋﲔ ) ( 1و ) ( 2وﻃﺮاﺋﻖ ﺣﻠﻴﻬﻤﺎ. ﻓﻤﺜ ً ﻼ ﺗﺄﺧﺬ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﺮﺗﺒﺔ اﻻوﻟﻰ واﻟﺪرﺟﺔ اﻻوﻟﻰ اﻟﺸﻜﻠﲔ اﻻﺗﻴﲔ: dy )= F ( x, y dx 2)M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0
)1
M ( x, y) ≠ 0
ﺣﻴﺚ N (x, y) ≠ 0 , M (x, y) ≠ 0 ﻓﺎﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ : ﳝﻜﻦ ان ﺗﻜﺘﺐ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ﺣﻴﺚ ان ﻓﻲ اﻟﺒﻨﺪ اﻟﻼﺣﻖ ﺳﻨﺪرس ﺑﻌﺾ ﻃﺮق ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ.
222
dy = 3xyﻣﺜ ً ﻼ dx x + y
(3xy) dx = ( x + y) dy (3xy).dx - (x+y).dy=0 )M = 3xy , N = x(x+y +y
Ordinary Differential Equations
] [5-4ﻃﺮق ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ او ًﻻ :اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻲ ﺗﻨﻔﺼﻞ ﻣﺘﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ Separation of Variables ﻓﻲ ﻫﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت وﻛﻤﺎ ﻳﻈﻬﺮ ﻣﻦ اﺳﻤﻬﺎ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ان ﻧﻌﺰل ﻛﻞ اﳊﺪود اﻟﺘﻲ ﲢﺘﻮي ﻋﻠﻰ xﻓﻘﻂ ﻣﻊ dxﻓﻲ ﺟﺎﻧﺐ واﳊﺪود اﻟﺘﻲ ﲢﺘﻮي ﻋﻠﻰ yﻓﻘﻂ ﻣﻊ dyﻓﻲ اﳉﺎﻧﺐ اﻻﺧﺮ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ: ① f(x).dx = g(y)dy ... ﺛﻢ ﻧﻜﺎﻣﻞ ﻃﺮﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ) (1ﻓﻴﻜﻮن f (x)dx + c
ﺣﻴﺚ cﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري )(Arbitrary Constant ﻣﺜﺎل -1 -
∫ = ∫ g(y)dy
dy ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ = 2x + 5 dx
اﳊﻞ dy = 2x + 5 ⇒ dy = ( 2x + 5 ) dx dx ∫ dy = ∫ (2x + 5)dx ⇒ y = x2 + 5x + c ﻣﺜﺎل -2 - اﳊﻞ
ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ dy x −1 = dx y ﳒﻌﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺎﻟﺼﻮرة g(y)dy = f (x)dx اي: ﺑﺎﺧﺬ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ :
ydy = (x −1)dx
∫ ydy = ∫ ( x −1)dx
1 2 1 2 y = x − x+c 2 2 1 2 2 2 y = x − 2x + 2c ⇒ y = ±(x − 2x + 2c) 2 1 2
) = ±(x − 2x + c1 )ﻟﻜﻮن cﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري ﻓﺎن 2cﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري اﻳﻀ ًﺎ اﺳﻤﻴﻨﺎﻩ (c1 2
223
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG -3 - ﻣﺜﺎل ππ y ≠y (2n+ 1) 1) , cos ≠y 0≠ 0 ﺣﻴﺚdy = sin x cos 2 ydx cos2y dx ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ≠ (2n+ , cos 22 اﳊﻞ g(y)dy = f (x)dx ﳒﻌﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ 1 dx dy = sin xdx cos 2 y
:اي
sec 2 ydy = sin xdx dx ⇒
∫ sec
2
ydy =
dx ∫ sin xdx
ﺑﺎﺧﺬ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
tan y = − cos x + c ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎريc ﺣﻴﺚ -4 - ﻣﺜﺎل x= 2 , y= 9 ﻋﻨﺪﻣﺎyʹ − x y = 0 اوﺟﺪ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 1
1
اﳊﻞ
dy dy − xy 2 = 0 ⇒ = xy 2 yʹ − x y = 0 ⇒ dx dx 1 1 1 1 1 1 − − −dy − dy 1 1 2 2 =⇒ 0 ∫⇒ −=xy =xdx 0 =⇒=2 2 y =y= = xy x2 2x+2 +c c y2 ʹdy −=x=xdx y⇒ y y2 dy dydy xdx =∫2 ∫xdx ∫y ydx dx 2 2 ﻳﻨﺘﺞx= 2 , y= 9 ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ 1 2 2 9 = (2) + c ⇒ 6 = 2 + c ⇒ c = 4 2 ∴ اﳊﻞ ﻫﻮ 1 1 2 y = x 2 + 4 ⇒ y = ( x 2 + 2)2 2 4
224
Ordinary Differential Equations -5 - ﻣﺜﺎل x=0 ﻋﻨﺪﻣﺎy=0 ﺣﻴﺚ
dy 2 x+y ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ =e dx اﳊﻞ
dy 2 x y = e .e ⇒ e− y dy = e2 x dx dx 1 − ∫ e− y (−1)dy = ∫ e2 x (2)dx 2 1 ﻳﻨﺘﺞx = 0 , y = 0 ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ −e− y = e2x + c y = 0, x = 0 2 1 1 3 ⇒ −e−0 = e0 + c ⇒ −1 = + c ⇒ c = − 2 2 2 : اذن اﳊﻞ ﻫﻮ 1 3 1 −e− y = e2 x − ⇒ e− y = (3− e2 x ) 2 2 2 1 3 − e2x = ey 2 ey =
2 3 − ex
⇒ y = ln
2 3 − e2x
: ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ ﻳﻨﺘﺞln وﺑﺄﺧﺬ (x +1)
dy dx =2 ⇒ y x +1
dy = 2y : ﺟﺪ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ dx
-6 - ﻣﺜﺎل اﳊﻞ
ln y = ln(x +1)2 + c ⇒ ln y = ln ((x +1)2 .ec ) ⇒ y = ec (x +1)2
y = c1 (x+1)2
225
. ﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎريc1= ec ﺣﻴﺚ
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG (5
) øjQɪ
J
‐2
: ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻓﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات- 1 a) yʹ cos 3 x = sin x c)
dy = (x +1)(y −1) dx
e) yyʹ = 4 (1+ y2 )3 g) yʹ = 2ex y3 ,
a) y=2ex
dy x 3 + y3 = b) dy + dx xy xy2 y, x = 10, y = 2 x 3 = 3x x = 0, y = yʹ =dx 2e y , 2 d) (y2 + 4y −1) yʹ = x 2 − 2x + 3 f) ex dx − y3 dy = 0
x = 0, y =
(b) y = 3x
1 2
(c) y = Aex + Bex yʹʹ(1− x)+ yʹx − y = 0
ً اﺛﺒﺖ ان ﻛ- 2 : ﻼ ﻣﻦ ﺛﺎﺑﺘﺎنB , A ﺣﻴﺚ : ﻫﻮ ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ
dy 2 xy + y = 1− y2 a) dx
: ﺟﺪ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ- 3 dy b) sin x cos y + cos x sin y = 0 dx
c) x cos 2 y dx + tan y dy = 0
d) tan 2 y dy = sin 3 x dx
e)
dy = cos 2 x cos 2 y dx
g) e
x+2 y
+ yʹ = 0
f)
dy cos x = 2 y dx 3y + e
2 d y h) − 4x = 0 dx 2
226
Ordinary Differential Equations ﺛﺎﻧﻴﺎً :اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ Homogeneous Differential Equation ﻗﺪ ﺗﻜﻮن اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻟﻴﺴﺖ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻔﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻓﻴﻬﺎ وﻟﻜﻦ ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﻓﻲ اﻟﻮﻗﺖ ﻧﻔﺴﻪ ﺑﺼﻮرة ﻣﻌﻴﻨﺔ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ ﲢﻮﻳﻠﻬﺎ اﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﻔﺼﻞ وذﻟﻚ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺤﻮﻳﻼت ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺑﻌﺾ اﻟﺘﺤﻮﻳﻼت وﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﻟﺼﻮر اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﳌﺘﺠﺎﻧﺴﺔ وﻫﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻲ ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة dy y ) (= f dx x ⎞⎛ y ⎟ ⎜ dy 4 4 dyﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻻﺗﻴﺔ⎝ x ⎠ : 3 ﻓﻤﺜ ً (x + y ) = x ﻼ اﳌﻌﺎدﻟﺔ y : = 4 dx dx ⎞⎛ y ⎟ ⎜ 1+ وذﻟﻚ ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ x4 ⎠⎝x ﻣﺜﺎل -1 - ﺑﲔ اي اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻵﺗﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ؟ ) (1اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ
dy x 3 + y3 = dx 3x 2 y
ﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﺒﺴﻂ واﳌﻘﺎم ﻋﻠﻰ x 3 ≠ 0ﻳﻨﺘﺞ
∴ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ
y 3 x 3 y3 1+ ( + ) 3 3 dy dy x x x = ⇒ = y dx 3x 2 y dx ) (3 x x3
) (2اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 2xyyʹ − y2 + 2x 2 = 0 ﺑﻘﺴﻤﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ x 2 ≠ 0ﻳﻨﺘﺞ:
∴ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ
2xy x2 y2 yʹ − 2 + 2 2 = 0 x2 x x y y 2( ) yʹ − ( )2 + 2 = 0 x x
dy x2 − y = yʹ = 3 ) (3اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ dx x ⎞⎛ y dy ﻫﺬﻩ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻻﻧﻪ ﻻﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﺑﺎﻟﺼﻮرة = f ⎜ ⎟ : ⎠⎝x dx
227
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG á°ùfÉéàŸG ádOÉ©ŸG πM á≤jôW اذا ﻛﺎﻧﺖ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻟﻐﺮض ﺣﻠﻬﺎ ﻧﺘﺒﻊ اﳋﻄﻮات اﻻﺗﻴﺔ: y ⎞⎛ y dy ﺛﻢ ﻧﻌﻮض vﻋﻦ= (1ﻧﻜﺘﺒﻬﺎ ﺑﺎﻟﺼﻮرة ⎟ ⎜ = f ⎠⎝x x dx
= vاو y = vxﺣﻴﺚ vﻣﺘﻐﻴﺮ ﺟﺪﻳﺪ وﻫﻮ داﻟﺔ ﻟـ x
(2ﻧﺸﺘﻖ y = vxﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ xﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ y dy dv ⇒ = v ⇒ y = vx = x + v ... 2 x dx dx (3ﺑﺎﻟﺮﺑﻂ ﺑﲔ 1و 2ﻳﻨﺘﺞ dv dv x + v = f (v) ⇒ x = f (v) − v dx dx dv dx = f (v) − v x
(4ﺑﻌﺪ ﻓﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ dx (5ﺑﺄﺧﺬ ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﻄﺮﻓﲔ + c x
∫
dv = f (v) − v
∫
ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﺑﺪﻻﻟﺔ v , x
(6ﻧﻌﻮض ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﻋﻦ v = yﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺪﻻﻟﺔ اﳌﺘﻐﻴﺮﻳﻦ .y, x x ﻣﺜﺎل -1 - ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ
3y2 − x 2 = ʹy 2xy
اﳊﻞ ﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﺒﺴﻂ واﳌﻘﺎم ﺑﺎﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ ﻋﻠﻰ x2ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ : y 3( )2 −1 dy = x )...(1 اي ان اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ y dx ) (2 x ﺑﻮﺿﻊ v = yﺗﺼﺒﺢ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ) (1ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ 2 dy 3v −1 x = )... 2(2 dx 2v dy dv ⇒ y = vx )= x + v ...(3 dx dx ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ ) (3ﻓﻲ ) (2ﻳﻨﺘﺞ
228
Ordinary Differential Equations dv 3v2 −1 dv 3v2 −1 x +v= ⇒x = −v 2v 2v dx dx dv v2 −1 x = 2v dx
:ﺑﻔﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻳﻨﺘﺞ
1 2v dx = 2 dv x v −1 1
∫ x dx = ∫ v
2v 2 dv ⇒ ln x = ln v −1 + ln c 2 −1
,c > 0
ln x = ln c(v2 −1) ⇒ x = ±c(v2 −1) ⎡ y⎡2y⎡2y2⎤ ⎤ ⎤ yy y x 3x 3x 3 ∵ v v= =v =⇒⇒x⇒x= =x± ± c ⎢= ⇒ c ⎢c2 ⎢−1−1 c= =c 2= ⎥−1 ⎥⇒ ⎥c⇒ y y−2y−x2 2− xx x x 2x 2 ⎣ x⎣ x⎣2x 2⎦ ⎦ ⎦
-2 - ﻣﺜﺎل
2xyyʹ − y2 + x 2 = 0 ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﳊﻞ 2
ﺗﺼﺒﺢ اﳌﻌﺎدﻟﺔx 2 ≠ 0 ﺑﻘﺴﻤﺔ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ
⎛ y⎞ y 2 yʹ − ⎜ ⎟ + 1 = 0 ⎝x⎠ x y v2 −1 2 ∵ v = ⇒ 2vyʹ − v +1 = 0 ⇒ yʹ = 2v x dy dv y = vx ⇒ = x + v ...(2) dx dx dv v2 − 1 x +v= 2v dx
229
...(1)
: (1) ( ﻓﻲ2) ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻣﻦ
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG dv v2 − 1 dv −1− v2 x = −v⇒ x = 2v 2v dx dx −1 2v dx = ∫ x ∫ 1+ v2 dv ⇒ − ln x = ln 1+ v2 + ln c
ln x(1+ v2) = ln c−1
1 ±x(1+ v2 ) = c2 1 ⇒ c=± c=± 2 x(1+ v )
11 x ⇒ c = ± y2 x 2 + y2 x(1+ 2 ) x (3x − y) yʹ = x + y
y x+ y x ⇒ yʹ = yʹ = y 3x − y 3− x dy 1+ v ∴ = ...(1) dx 3− v 1+
∵v = ∴
-3 - ﻣﺜﺎل
x ≠ 0 ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ
y dy dv ⇒ y = xv ⇒ = x +v x dx dx
d 1+ v x dv + v = dx 3− v
ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ
اﳊﻞ
...(2)
:( ﻳﻨﺘﺞ2) ( ﻓﻲ1) ﻧﻌﻮض ﻣﻦ
dv 1+ v dv v2 − 2v+1 dv (v −1)2 x = −v⇒ x = ⇒x = 3− v 3− v dx 3− v dx dx − [(v −1) − 2 ] 1 3− v 1 dx = dv ⇒ dx = dv x (v −1)2 (v −1)2 x 1 −1 2 2 v −1+ + cc ∫ x dx = ∫ (v −1) dv + ∫ (v −1)2 dv ⇒ ln x = − ln v −1 − v 2−1 y 2 ln x = − ln −1 − +c y x −1 x −2x ln y − x = +c y− x
230
Ordinary Differential Equations
ﻣﺜﺎل -4 -
dy ﺟﺪ اﳊﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ = x 2 + y2 dx
2x 2
dy x 2 + y2 اﳊﻞ = اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﳝﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة اﻻﺗﻴﺔ K(1) : 2 2x dx وﻓﻲ ﻫﺬﻩ اﳌﻌﺎدﻟﺔ ﳝﻜﻦ اﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ان ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﺒﺴﻂ واﳌﻘﺎم ﻓﻲ اﻟﻄﺮف اﻻﳝﻦ ﻫﻮ داﻟﺔ ﻣﺘﺠﺎﻧﺴﺔ وﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﺬﻟﻚ ﻧﻌﻮض ﻋﻦ y = vx :وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺎن : dv x 2 + x 2 v2 dy dv ) (1ﻳﻨﺘﺞ= v+ x )= v+ x K(2 ﻧﻌﻮض ﻣﻦ ) (2ﻓﻲ 2x 2 dx dx dx dv x 2 + x 2 v2 ) x 2 (1+ v2 = v+ x = 2x 2 dx 2x 2 ) dv 1+ vx2 2 (1+ v2 ⇒x = = −v 2 2x 2 dx dv 1+ - 2v+ v2 = x 2 dx dv 2x = (v −1)2 dx dv 1 dx ﻓﺒﻔﺼﻞ اﳌﺘﻐﻴﺮات ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻻﺗﻲ: = . 2 )(v −1 2 x وﺑﺎﺧﺬ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻟﻠﻄﺮﻓﲔ ﳒﺪ ان −1 1 ʹ= ln x + c v −1 2 2 ﺣﻴﺚ ʹ cﺛﺎﺑﺖ اﺧﺘﻴﺎري اي ان : v = 1− ʹln x + 2c وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻋﻦ v = yوﺑﻮﺿﻊ ʹ c = 2 cﻓﻲ اﳌﻌﺎدﻟﺔ اﻻﺧﻴﺮة ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ : x 2x =y= x ln x + c
231
ájOÉ«àY’G á«∏°VÉØàdG ä’OÉ©ŸGG (5 1. yʹ = y + e x
y x
J
) øjQɪ 3 ‐
ﺣﻞ ﻛﻼ ﻣﻦ اﳌﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ اﻻﺗﻴﺔ
2. (y2 − xy)dx + x 2 dy = 0 3. (x + 2y)dx + (2x + 3y)dy = 0 2 2 dy + y x 4. = dx 2xy
5. (y2 − x 2 )dx + xydy = 0 6. x 2 ydx = (x 3 + y3 )dy 7. x(
dy y − tan ) = y dx x
232
6
Space Geometry á«FÉ°†dG á°Sóæ¡dG
¢SOÉ°ùdG π°üØdG Chapter Six Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
][6-1 ][6-2 ][6-3 ][6-4 ][6-5
ﲤﻬﻴﺪ اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺰوﺟﻴﺔ واﳌﺴﺘﻮﻳﺎت اﳌﺘﻌﺎﻣﺪة. اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﲔ ﺛﻼﺛﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت. اﻻﺳﻘﺎط اﻟﻌﻤﻮدي اﳌﺠﺴﻤﺎت
233
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
] [6-1ﲤﻬﻴﺪ. ﺳبق وان ﻋﻠمنا أن ﻛ ً ﻼ ﻣﻦ اﳌستﻘﻴم واﳌستوي ﻣﺠموﻋة ﻏﻴﺮ ﻣنتﻬﻴة ﻣﻦ النﻘﻂ وأن ﻛﻞ ﻧﻘﻄتﲔ تعﻴنان ﻣستﻘﻴم ًا واﺣد ًا وواﺣد ًا فﻘﻂ وﻛﻞ ثﻼث ﻧﻘﻂ لﻴسﺖ ﻋﻠى اﺳتﻘاﻣة واﺣدة تعﲔ ﻣستوي ًا واﺣد ًا فﻘﻂ ،وﻛﻞ اربعة ﻧﻘﻂ ال تﻘﻊ في ﻣستو واﺣد تعﲔ فﻀاء. اي أن اﳌستﻘﻴم يحتوي ﻋﻠى ﻧﻘﻄتﲔ ﻋﻠى اقﻞ تﻘديﺮ ،واﳌستوي يحتوي ﻋﻠى ثﻼث ﻧﻘﻂ ﻋﻠى اقﻞ تﻘديﺮ ال يحتويﻬا ﻣستﻘﻴم واﺣد ،والﻔﺮاغ يحتوي ﻋﻠى ﻋﻠى اربﻊ ﻧﻘﻂ ﻋﻠى اقﻞ تﻘديﺮ لﻴسﺖ ﺟمﻴعﻬا في ﻣستو واﺣد. ﻛما تعﺮفنا في الﺼﻒ اﳋاﻣﺲ العﻠمي ﻋﻠى ﻋﻼقات بﲔ اﳌستﻘﻴمات واﳌستويات وبﺮﻫنا بعﺾ اﳌبﺮﻫنات التي ﳝكﻦ االفادة ﻣنﻬا في ﻣبﺮﻫنات ﺟديدة ﺳتتعﺮف ﻋﻠﻴﻬا في ﻫﺬا الﻔﺼﻞ. ولكي تتمكﻦ ﻣﻦ التواﺻﻞ ﻣعنا وتتعﺮف ﻋﻠى ﻋﻼقات ﺟديدة بﲔ اﳌستﻘﻴمات واﳌستويات، واﳌستويات واﳌستويات وتكتسب ﻣﻔاﻫﻴم ﺟديدة وتبﺮﻫﻦ ﻣبﺮﻫنات اﺧﺮىﻣا ﻋﻠﻴﻚ اال الﺮﺟوع الى ﻣﺮاﺟعة ﻣا درﺳتﻪ في ﻫﺬا اﳌوﺿوع في السنة السابﻘة.
234
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
Space Geometry
] [6-2اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺰوﺟﻴﺔ واﳌﺴﺘﻮﻳﺎت اﳌﺘﻌﺎﻣﺪة. ]6-1] ∞`jô```©J الﺰاوية الﺰوﺟﻴة :اﲢاد ﻧﺼﻔي ﻣستويﲔ لﻬما ﺣافة ) (Edgeﻣﺸتﺮﻛة. تسمى اﳊافﻪ اﳌﺸتﺮﻛﻪ بـ ) ﺣﺮف االﺰاوية الﺰوﺟﻴة (Edge of Dihedralويسمى ﻛﻞ ﻣﻦ ﻧﺼﻔي اﳌستويﲔ بـ )وﺟﻪ الﺰاوية الﺰوﺟﻴة( ﻛما فى الﺸكﻞ )(6-1 A X A Y
A
X B
B
Y
Y
B
X
الﺸكﻞ )(6-1
ﺣﻴﺚ ABﻫو ﺣﺮف الﺰاوية الﺰوﺟﻴة و ) (Xو ) (Yﻫما وﺟﻬاﻫا ويعبﺮ ﻋﻦ الﺰاوية الﺰوﺟﻴة بالتعبﻴﺮ(X) -A B - (Y) : وقد يعبﺮ ﻋنﻬا بحﺮف الﺰواية الﺰوﺟﻴة ان لم يكﻦ ﻣﺸتﺮﻛ ًا ﻣﻊ زاوية اﺧﺮى. ﻣﺜﻼً: الﺰاوية الﺰوﺟﻴة Y )(X) - A B - (Z A
)(X) - A B - (Y )(Y) - A B - (Z
X
Z
B الﺸكﻞ )(6-2
وال ﳝكﻦ ان تكتب الﺰواية الﺰوﺟﻴة بﺸكﻞ A Bفي ﻫﺬا اﳌﺜال ﻷن اﳊﺮف ABﻣﺸتﺮك في اﻛﺜﺮ ﻣﻦ زاوية زوﺟﻴة.
235
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG ﻣﻼﺣﻈـﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮﻥ ﺍﺭﺑﻊ ﻧﻘﺎﻁ ﻟﻴﺴﺖ ﻓﻲ ﻣﺴﺘ ٍﻮ ﻭﺍﺣﺪ ،ﻧﻜﺘﺐ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺔ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ A - B C - Dﺍﻭ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺔ ﺍﻟﺰﻭﺟﻴﺔ ﺑﲔ ﺍﳌﺴﺘﻮﻳﲔ ) . (ABC) , (DBCﻛﻤﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ )(6-3 A
D
B
C الﺸكﻞ )(6-3
B á«LhõdG ájGhõdG ¢SÉ≤Jh :»J’Écﻧﺄﺧﺬ ﻧﻘﻄة Dﻋﻠى اﳊافة اﳌﺸتﺮﻛة ABوﻧﺮﺳم ﻣﻦ Dالعمود D Cفي ) (Xوالعمود D Eفي ) (Yﻋﻠى اﳊﺮف ABفﻴكون قﻴاس الﺰاوية الﺰوﺟﻴة بﲔ اﳌستويﲔ ﻫو قﻴاس الﺰاوية
C D Eوتسمى الﺰواية C D Eالﺰاوية العائدة لﻠﺰاوية الﺰوﺟﻴة) .ﻛما في الﺸكﻞ
)((6-4 X
Y A
E
D B الﺸكﻞ )(6-4
بعبارة اﺧﺮى لدينا الﺰاوية الﺰوﺟﻴة )(X) - A B - (Y
236
C
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
Space Geometry
ولدينا )D C ⊂ (X) , D E ⊂ (Y DC⊥AB,DE⊥AB ∴CDE
ﻫي الﺰاوية العائدة لﻠﺰاوية الﺰوﺟﻴة A Bاو )(X) - AB -(Y
]6-2] ∞`jô```©J الﺰواية اﳌستوية العائدة لﺰاوية زوﺟﻴة :ﻫي الﺰاوية التي ﺿﻠعاﻫا ﻋموديان ﻋﻠى ﺣﺮف الﺰاوية الﺰوﺟﻴة ﻣﻦ ﻧﻘﻄة تنتمي الﻴﻪ وﻛﻞ ﻣنﻬما في أﺣد وﺟﻬي الﺰاوية الﺰوﺟﻴة أو ﻫي اﲢاد ﺷعاﻋﲔ ﻋموديﲔ ﻋﻠى ﺣﺮف الﺰاوية الﺰوﺟﻴة ﻣﻦ ﻧﻘﻄة تنتمي الﻴﻪ وﻛﻞ ﻣنﻬما في اﺣد وﺟﻬي الﺰاوية الﺰوﺟﻴة B êÉàæà°SG øμÁ á«LhõdGh IóFÉ©dG ÚàjhGõdG ∞jô©J øeh »J’G
(1قﻴاس زاوية ﻋائدة لﺰاوية زوﺟﻴة ثابﺖ
(2قﻴاس الﺰاوية الﺰوﺟﻴة يساوي قﻴاس الﺰاوية العائدة لﻬا وبالعكﺲ. ]6-3] ∞`jô```©J اذا ﻛاﻧﺖ الﺰاوية الﺰوﺟﻴة قائمة فان اﳌستويﲔ ﻣتعاﻣدان وبالعكﺲ
قﻴاس (X) ⊥ (Y) ⇔ (X) - A B - (Y) = 90°
X
Y A
الﺸكﻞ )(6-5
B
237
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG ﻣبﺮﻫنة ):(7 اذا تعاﻣد ﻣستويان فاﳌستﻘﻴم اﳌﺮﺳوم في اﺣدﻫما والعمودي ﻋﻠى ﻣستﻘﻴم التﻘاﻃﻊ يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى اﳌستوي اﻵﺧﺮ :¬fG …G اذا ﻛان ) (X ) ⊥ (Y
Y
(X )∩ (Y ) = AB
E
في D فان ) CD ⊥ (X :äÉ«£©ŸG
A
X
CD ⊂ (Y ), CD ⊥ AB
C D B
(X (Y(Y), (X(X (Y(Y), ⊂= ) AB, CD (YAB ⊥), CD ⊥ ) (X ), (X ), ∩))(X=(Y AB, ⊂(Y ), CD (X(Y ⊥) ⊥ )(Y ∩)), (X ∩) ∩)(Y ∩)), (X ∩) ) =(YCD AB, CD ⊂(Y ⊥ ), CD في ﻧﻘﻄة AB⊥ AB D
:¬JÉÑKG ܃∏£ŸG
) CD ⊥ (X
:¿ÉgÈdG في ) (Xﻧﺮﺳم DE ⊥ AB
)في اﳌستوي الواﺣد ﳝكﻦ رﺳم ﻣستﻘﻴم وﺣﻴد ﻋمودي ﻋﻠى ﻣستﻘﻴم فﻴﻪ ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ﻣعﻠوﻣة(
CD ⊂ (Y ), CD ⊥ AB
)ﻣعﻄى(
∴ CDE ∴
⊥ ) ) (Xتعﺮيﻒ الﺰاوية العائدة( - (Y ﻋائدة لﻠﺰاوية الﺰوﺟﻴة )AB) - (Y
CDE = 90°
∴ CD ⊥ DE ∴ ) CD ⊥ (X
m
)قﻴاس الﺰاوية الﺰوﺟﻴة يساوي قﻴاس الﺰاوية العائدة لﻬا وبالعكﺲ(
)اذا ﻛان قﻴاس الﺰاوية بﲔ ﻣستﻘﻴمﲔ 90°فان اﳌستﻘﻴمﲔ ﻣتعاﻣدان وبالعكﺲ( )اﳌستﻘﻴم العمودي ﻋﻠى ﻣستﻘﻴمﲔ ﻣتﻘاﻃعﲔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄة تﻘاﻃعﻬما يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى ﻣستويﻬما( Ω . `g . h
238
) Y ) ⊥ (X
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
Space Geometry
ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ):(7 ﺍﺫﺍ ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎﻥ ﻓﺎﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ ﺍﺣﺪﻫﻤﺎ ﻋﻤﻮﺩﻳ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻵﺧﺮ ﻳﻜﻮﻥ ﻣﺤﺘﻮﻯ ﻓﻴﻪ. :¬fG …G
Y
C
A E
D
X
B D A
E
Y
C B
CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y
) CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y ) ⊥ (X
) CD ⊂ (Y ) ⇐ CD ⊥ (X ), C ∈ (Y ), (Y ) ⊥ (X
ﻣبﺮﻫنة ):(8
X
ﻣستو ﻣار ﲟستﻘﻴم ﻋمودي ﻋﻠى ﻛﻞ ﻣستو آﺧﺮ يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى ذلﻚ اﳌستوي ٍ ٍ يتعاﻣد اﳌستويان اذا اﺣتوى اﺣدﻫما ﻋﻠى ﻣستﻘﻴم ﻋمودي ﻋﻠى اﻵﺧﺮ أو :¬fG …G ⎧ ) X (⊥⊥(XB)A ⎧ AB X ( (Y ⊥⊥ ))Y ) ( (X ⇒) ⎨ ⎨ ) (Y ) ⊥ (X ⎩ ) Y(⊂⊂(YB)A ⎩ AB :äÉ«£©ªdG
) AB ⊥ (X ) AB ⊂ (Y
239
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
:¬JÉÑKG ܃∏£ªdG
) (Y ) ⊥ (X
:¿ÉgôÑdG
لﻴكﻦ ) (X )∩ (Y ) = CDيتﻘاﻃﻊ المستويان بﺨﻂ ﻣستﻘﻴم( )ﻣستﻘﻴم التﻘاﻃﻊ يحتوي النﻘاط المﺸتﺮﻛة(
B ∈ CD في ) (Xﻧﺮﺳم ) BE ⊥ CDفي المستوي الواﺣد يوﺟد ﻣستﻘﻴم وﺣﻴد ﻋمودي ﻋﻠى ﻣستﻘﻴم فﻴﻪ ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ﻣعﻠوﻣة( ∴ ) AB ⊥ (X
)ﻣعﻄى(
∴ ) ∴ AB ⊥ CD, BEالمستﻘﻴم العمودي ﻋﻠى ﻣستوي يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى ﺟمﻴﻊ المستﻘﻴمات المحتواة في المستوي والمارة ﻣﻦ أثﺮه( )ﻣعﻄى( ∴ ) AB ⊂ (Y ∴ ABE = 90° ∴ ABE
ﻋائدة لﻠﺰاوية الﺰوﺟﻴة ) CDتعﺮيﻒ الﺰاوية العائدة( )الن ( AB ⊥ BE
m
∴ قﻴاس الﺰاوية الﺰوﺟﻴة (Y ) − CD − (X ) = 90°
)قﻴاس الﺰاوية الﺰوﺟﻴة يساوي قﻴاس الﺰاوية العائدة لﻬا وبالعكﺲ(
∴) (Y ) ⊥ (X
)اذا ﻛان قﻴاس الﺰاوية الﺰوﺟﻴة ْ 90فان المستويﻴﻦ ﻣتعاﻣدان وبالعكﺲ( Ω . `g . h
ﻣبﺮﻫنة ):(9 ﻣستو وﺣﻴد ﻋمودي ﻋﻠى اﳌستوي اﳌعﻠوم. ﻋﻠىﻣستو ﻣعﻠوم يوﺟد ﻣﻦ ﻣستﻘﻴم ﻏﻴﺮ ﻋمودي ٍ ٍ :¬fG …G
A
ABﻏﻴﺮ ﻋمودي ﻋﻠى )(X
Y
فﻴوﺟد ﻣستوي وﺣﻴد يحتوي AB
B
وﻋمودي ﻋﻠى )(X :äÉ«£©ªdG ABﻏﻴﺮ ﻋمودي ﻋﻠى )(X
240
C Z X
:¬JÉÑKG ܃∏£ªdG
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
Space Geometry
ﻣستو وﺣﻴد يحوي ABوﻋمودي ﻋﻠى )(X ايﺠاد ٍ :¿ÉgôÑdG
ﻣستو ﻣعﻠوم ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ال تنتمي ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ) (Aﻧﺮﺳم ) ) AC ⊥ (Xيوﺟد ﻣستﻘﻴم وﺣﻴد ﻋمودي ﻋﻠى ٍ الﻴﻪ( ∵ AB , ACﻣتﻘاﻃعان ﻣستو وﺣﻴد يحويﻬما( ﻣستو وﺣﻴد ﻣﺜﻞ ) (Yيحويﻬما )لكﻞ ﻣستﻘﻴمﻴﻦ ﻣتﻘاﻃعﻴﻦ يوﺟد ∴ يوﺟد ٍ ٍ ∴ ) (Y ) ⊥ (X
)ﻣبﺮﻫنة (8
:á«fGóMƒdG áægôÑdh لﻴكﻦ ) (Zﻣستوي اﺧﺮ يحوي ABوﻋمودي ﻋﻠى )(X ∵ ) ) AC ⊥ (Xبالبﺮﻫان( ∴) ) AC ⊂ (Zﻧتﻴﺠة ﻣبﺮﻫنة (7
ﻣستو وﺣﻴد يحويﻬما( ∴) ) (Y ) = (Zلكﻞ ﻣستﻘﻴمﻴﻦ ﻣتﻘاﻃعﻴﻦ يوﺟد ٍ
Ω . `g . h
Ω . `g . h
ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻣﺒﺮﻫﻨﺔ ):(9
ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻋﻤﻮﺩﻳ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘ ٍﻮ ﺛﺎﻟﺚ ﻓﺎﻥ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻥ ﻋﻤﻮﺩﻳ ًﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮﻱ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ.
:äÉ«£©ªdG
A
(X )∩ (Y ) = AB
X
Y
) (X ), (Y ) ⊥ (Z
:¬JÉÑKG ܃∏£ªdG ) AB ⊥ (Z
B
:¿ÉgôÑdG ان لم يكﻦ ABﻋمودي ًا ﻋﻠى )(Z لما وﺟد اﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﻣستوي يحوي ABوﻋمودي ﻋﻠى )) (Zﻣبﺮﻫنة (9 Z
∴) AB ⊥ (Z
Ω . `g . h
ﻧﺸـــﺎﻁ :ﺗﻮﺟﺪ ﻃﺮﻕ ﺍﺧﺮﻯ ﻟﺒﺮﻫﺎﻥ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺒﺮﻫﻨﺔ ،ﺣﺎﻭﻝ ﺫﻟﻚ.
241
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG D
ﻣﺜال -1 -
A = 30°
5 cm
في ABC BD ⊥ (ABC ) , m
AB = 10 cm , BD = 5cm ﺟد قﻴاس الﺰاوية الﺰوﺟﻴة D − AC − B :äÉ«£©ŸG
30 0
10 c
m
E
B
, AB =10 cm, BD = 5 cm :¬JÉÑKG ܃∏£ŸG
BAC = 30°
A
C BD ⊥ (ABC ), m
ايﺠاد قﻴاس الﺰاوية الﺰوﺟﻴة D − AC − B
:¿ÉgÈdG في اﳌستوي ) (ABCﻧﺮﺳم BE ⊥ ACفي ﻧﻘﻄة ) Eفي اﳌستوي الواﺣد يوﺟد ﻣستﻘﻴم وﺣﻴد ﻋمودي ﻋﻠى آﺧﺮ ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ﻣعﻠوﻣة( ∴ )ﻣعﻄى( ) BD ⊥ (ABC ∴ ) DE ⊥ ACﻣبﺮﻫنة االﻋمدة الﺜﻼثﻪ( ﻋائدة لﻠﺰاوية الﺰوﺟﻴة ) ACتعﺮيﻒ الﺰاوية العائدة( ⇐ DE B ) DB ⊥ BEاﳌستﻘﻴم العمودي ﻋﻠى ﻣستوي يكون ﻋموديا ﻋﻠى ﺟمﻴﻊ اﳌستﻘﻴمات اﶈتواة في اﳌستوي واﳌارة ﻣﻦ اثﺮه( ⇐ DBE في
BE A
في ⇐ DBE
قائم الﺰاوية في B الﻘائم الﺰاوية في E BE 1 BE = Sin30° = ⇒ ⇒ BE = 5cm BA 2 10 الﻘائم الﺰاوية في :B
5 BE D = = 1 5
tan
m ∴ قﻴاس BE D = 45° الﺰاوية − AC ∴ قﻴاس − B 45°الﺰاوية الﺰوﺟﻴة ﻫو قﻴاس الﺰاوية العائدة الﺰوﺟﻴة)= D − AC − B = 45° = Dقﻴاس لﻬا وبالعكﺲ(
242
Ω . `g . h
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG ﻣﺜال -2 -
Space Geometry
F D
لﻴكﻦ ABCﻣﺜﻠﺜ ًا ولﻴكﻦ AF ⊥ AF ⊥ (ABC )) (ABC BD ⊥ BD ⊥ CF CF BE CD ⊥ BE ⊥ CA CD
E
A
C
:¿G øgôH
) BE ⊥ (CAF E D ⊥ CF
B
: äÉ«£©ŸG
AF ⊥ (ABC ), BE ⊥ CA, BD ⊥ CF
:¬JÉÑKG ܃∏£ŸG ) DE ⊥ CF , BE ⊥ (CAF :¿ÉgÈdG ∵ ) ) AF ⊥ (ABCﻣعﻄى(
∴) ) (CAF ) ⊥ (ABCﻣبﺮﻫنة : 8يتعاﻣد اﳌستويان اذا اﺣتوى اﺣدﻫما ﻋﻠى ﻣستﻘﻴم ﻋمودي ﻋﻠى اﻵﺧﺮ (
∵
BE ⊥ CA
)ﻣعﻄى(
∴) ) BE ⊥ (CAFﻣبﺮﻫنة :7اذا تعاﻣد ﻣستويان فاﳌستﻘﻴم اﳌﺮﺳوم في اﺣدﻫما والعمودي ﻋﻠى ﻣستﻘﻴم التﻘاﻃﻊ يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى اﻵﺧﺮ ( ∵
BD ⊥ CF
∴ E D ⊥ CF
)ﻣعﻄى( )ﻧتﻴﺠة ﻣبﺮﻫنة االﻋمدة الﺜﻼثة( Ω . `g . h
243
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG ﻣﺜال -3 - ) (Y ), (Xﻣستويان ﻣتعاﻣدان
A
) AB ⊂ (X BC , BDﻋموديان ﻋﻠى AB
Z
ويﻘﻄعان ) (Yفي C,Dﻋﻠى التﺮتﻴب :¿G øgôH ) CD ⊥ (X
X B
D
C
: äÉ«£©ŸG
Y
إن ) BC ,BD ، AB ⊂ (X ) ، (X ) ⊥ (Yﻋموديﲔ ﻋﻠى ABويﻘﻄعان ) (Yفي C,Dﻋﻠى التﺮتﻴب :¬JÉÑKG ܃∏£ŸG ) CD ⊥ (X : ¿ÉgÈdG لﻴكﻦ ) (Zﻣستوي اﳌستﻘﻴمﲔ اﳌتﻘاﻃعﲔ ) BC ,BDلكﻞ ﻣستﻘﻴمﲔ ﻣتﻘاﻃعﲔ يوﺟد ﻣستوي ًا وﺣﻴد ًا يحويﻬما ( ﲟا ان ) AB ⊥ BC , BDﻣعﻄى (
) ∴ AB ⊥ (Z ) ∴ AB ⊥ (Z
)اﳌستﻘﻴم العمودي ﻋﻠى ﻣستﻘﻴمﲔ ﻣتﻘاﻃعﲔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄة تﻘاﻃعﻬما يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى ﻣستويﻬما( ∴ ) ) AB ⊂ (Xﻣعﻄى(
∴ ) ) (X ) ⊥ (Zيتعاﻣد اﳌستويان اذا اﺣتوى اﺣدﻫما ﻋﻠى ﻣستﻘﻴم ﻋمودي ﻋﻠى اﻵﺧﺮ( ∴ ) ) (X ) ⊥ (Yﻣعﻄى( وﳌا ﻛان ) (Z )∩ (Y ) = CDالﻧﻪ ﻣحتوى في ﻛﻞ ﻣنﻬما (
∴ ) ∴CD ⊥ (X ﻣستو ثالﺚ فان ﻣستﻘﻴم تﻘاﻃعﻬما يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى )اذا ﻛان ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣستويﲔ ﻣتﻘاﻃعﲔ ﻋمودي ًا ﻋﻠى ٍ اﳌستوي الﺜالﺚ(
244
Ω . `g . h
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
‐1
(6
J
) øjQɪ
Space Geometry
.1بﺮﻫﻦ ان ﻣستوي الﺰاوية اﳌستوية العائدة لﺰاوية زوﺟﻴة يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى ﺣﺮفﻬا. ﻣستو آﺧﺮ فان اﳌستويﲔ ﻣتعاﻣدان . .2بﺮﻫﻦ اﻧﻪ اذا وازى ﻣستﻘﻴم ﻣستوي ًا وﻛان ﻋمودي ًا ﻋﻠى ٍ .3بﺮﻫﻦ ان اﳌستوي العمودي ﻋﻠى اﺣد ﻣستويﲔ ﻣتوازيﲔ يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى اﻵﺧﺮ ايﻀ ًا . A,B,C,D .4اربﻊ ﻧﻘاط لﻴسﺖ في ﻣستو واﺣد بحﻴﺚ E ∈ BC , AB = ACفاذا ﻛاﻧﺖ ٍ ﻋائدة لﻠﺰاوية الﺰوﺟﻴة A- BC - Dبﺮﻫﻦ ان .CD = BD AED .5بﺮﻫﻦ اﻧﻪ اذا وازى ﻛﻞ ﻣﻦ ﻣستﻘﻴمﲔ ﻣتﻘاﻃعﲔ ﻣستوي ًا ﻣعﻠوﻣ ًا وﻛاﻧا ﻋموديﲔ ﻋﻠى ﻣستويﲔ ﻣتﻘاﻃعﲔ فان ﻣستﻘﻴم تﻘاﻃﻊ اﳌستويﲔ اﳌتﻘاﻃعﲔ يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى اﳌستوي اﳌعﻠوم . .6دائﺮة قﻄﺮﻫا AC ، ABﻋمودي ﻋﻠى ﻣستويﻬا D ،ﻧﻘﻄة تنتمي لﻠدائﺮة .بﺮﻫﻦ ان )(CDA ﻋمودي ﻋﻠى ).(CDB
245
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
ﻣﺴﺘﻮ ) (6-3اﻻﺳﻘﺎط اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ٍ The Orthogonal Projection on a Plane :ƒà°ùeﻫو أثﺮ العمود اﳌﺮﺳوم ﻣﻦ تﻠﻚ النﻘﻄة ﻋﻠى اﳌستوي. ⋲∏Y á£≤f §≤°ùe (1 m
:…ƒà°ùe ⋲∏Y §≤f áYƒª› §≤°ùe (2لتكﻦ Lﻣﺠموﻋة ﻣﻦ ﻧﻘاط في الﻔﺮاغ فان ﻣسﻘﻄﻬا ﻫو ﻣﺠموﻋة ﻛﻞ اثار االﻋمدة اﳌﺮﺳوﻣة ﻣﻦ ﻧﻘاﻃﻪ ﻋﻠى اﳌستوي . :Ωƒ∏©e ƒà°ùeﻫو قﻄعة اﳌستﻘﻴم اﶈددة بﺄثﺮي ⋲∏Y ájOƒªY ÒZ º«≤à°ùe á©£b §≤°ùe (3 m العموديﻦ اﳌﺮﺳوﻣﲔ ﻣﻦ ﻧﻬايتي الﻘﻄعة ﻋﻠى اﳌستوي اﳌعﻠوم B
لﻴكﻦ ABﻏﻴﺮ ﻋمودي ﻋﻠى ) (Xولﻴكﻦ
) ⇐ AC ⊥ (Xﻣسﻘﻂ Aﻋﻠى ) (Xﻫو C
A
) ⇐ BD ⊥ (Xﻣسﻘﻂ Bﻋﻠى ) (XﻫوD ∴ ﻣسﻘﻂ ABﻋﻠى ) (Xﻫو CD D ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﺍﺫﺍ ﻛﺎﻥ ) (X
C
X
AB
ﻓﺎﻥ AB = CD :ƒà°ùeﻫو اﳌستﻘﻴم ﻏﻴﺮ العمودي ﻋﻠى اﳌستوي وقاﻃﻊ لﻪ ⋲∏Y( Inclined Line) πFÉŸG º«≤à°ùŸG (4 m
:( Angle of Inclination) π«ŸG ájhGR (5ﻫي الﺰاوية اﶈددة باﳌائﻞ وﻣسﻘﻄﻪ ﻋﻠى اﳌستوي. لﻴكﻦ ABﻣائ ً ﻼ ﻋﻠى ) (Xفي B ولﻴكﻦ ) AC ⊥ (Xفي C
246
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
Space Geometry
∴ Cﻣسﻘﻂ Aﻋﻠى ) (Xﺣﻴﺚ ) A ∉ (X
A
ﻛﺬلﻚ Bﻣسﻘﻂ ﻧﻔسﻬا ﺣﻴﺚ ) B ∈ (X ⇐ BCﻣسﻘﻂ ABﻋﻠى )(X اي ان 0 < θ < 90° )θ ∈ (0, 90°
θ
C
§≤°ùŸG ∫ƒW (6
B
X
ﻣستو = ﻃول اﳌائﻞ × ﺟﻴب ﲤام زاوية اﳌﻴﻞ. ﻃول ﻣسﻘﻂ قﻄعة ﻣستﻘﻴم ﻋﻠى ٍ
فعندﻣا تكون ABﻣائ ً ﻼ ﻋﻠى ) (Xوزاوية ﻣﻴﻠﻪ θوﻣسﻘﻄﻪ BCفان BC = AB cosθ
(X) ⋲∏Y (Inclined Plane)πFÉe …ƒà°ùe §≤°ùe (7 ﻣستو ﻣعﻠوم ﻫو قﻴاس الﺰاوية اﳌستوية العائدة لﻠﺰاوية الﺰوﺟﻴة بﻴنﻬما ﻣستو ﻋﻠى زاوية ﻣﻴﻞ ٍ ٍ ﻣساﺣة ﻣسﻘﻂ ﻣنﻄﻘة ﻣائﻠة ﻋﻠى ﻣستو ﻣعﻠوم = ﻣساﺣة اﳌنﻄﻘة اﳌائﻠة × ﺟﻴب ﲤام زاوية اﳌﻴﻞ ٍ لتكﻦ Aﻣساﺣة اﳌنﻄﻘة اﳌائﻠة Aʹ ،ﻣساﺣة اﳌسﻘﻂ θ ،قﻴاس زاوية اﳌﻴﻞ ⇐ Aʹ = A.cosθ ﻣﺜال -4 - ﺍﺫﺍ ﻭﺍﺯﻯ ﺍﺣﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻗﺎﺋﻤﺔ ﻣﺴﺘﻮﻳ ًﺎ ﻣﻌﻠﻮﻣ ًﺎ ﻓﺎﻥ ﻣﺴﻘﻄﻲ ﺿﻠﻌﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﳌﺴﺘﻮﻱ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﺍﻥ. :äÉ«£©ŸG ABC
قائمة في B
) ، AB / /(X
B A
Y
ʹ AʹBﻫو ﻣسﻘﻂ ABﻋﻠى )(X
Z
ʹ B ʹCﻫو ﻣسﻘﻂ BCﻋﻠى )(X : ¬JÉÑKG ܃∏£ŸG ʹ AʹB ʹ ⊥ B ʹC
ﹶA
ﹶB
C
ﹶC
X
247
: ¿ÉgÈdG
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
ʹ AʹBﻣسﻘﻂ AB ʹ B ʹCﻣسﻘﻂ BC
⎧ ⎨ ⎩
ﻣعﻄى
ﻣستو ﻣعﻠوم ﻫو الﻘﻄعة اﶈددة بﺄثﺮي العموديﻦ ⇐ ) ) C C ʹ, B B ʹ, AAʹ ⊥ (Xﻣسﻘﻂ قﻄعة ﻣستﻘﻴم ﻋﻠى ٍ اﳌﺮﺳوﻣﲔ ﻋﻠى اﳌستوي ﻣﻦ ﻃﺮفي الﻘﻄعة اﳌستﻘﻴمة (.
ﻣستو واﺣد ﻣتوازيان ( ʹ ) B B ʹ / /C C ʹ ، AAʹ / /B Bاﳌستﻘﻴمان العموديان ﻋﻠى ٍ
باﳌستﻘﻴمﲔ اﳌتوازيﲔ ʹ AAʹ ، B Bﻧعﲔ )⎧ (Y ﻣستو وﺣﻴد يحتويﻬما) ⎨ )لكﻞ ﻣستﻘﻴمﲔ ﻣتوازيﲔ يوﺟد ٍ باﳌستﻘﻴمﲔ اﳌتوازيﲔ ʹ B B ʹ ، C Cﻧعﲔ )⎩ (Z لكﻦ ) AB / /(X
)ﻣعﻄى (
ʹ (Y )∩ (X ) = AʹB
)يتﻘاﻃﻊ اﳌستويان بﺨﻂ ﻣستﻘﻴم (
⇐ ʹ AB / / AʹB
)اذا وازى ﻣستﻘﻴم ﻣستوي ًا ﻣعﻠوﻣ ًا فاﻧﻪ يوازي ﺟمﻴﻊ اﳌستﻘﻴمات الناﲡة ﻣﻦ تﻘاﻃﻊ ﻫﺬا اﳌستوي واﳌستويات التي ﲢوي اﳌستﻘﻴم (
ﻛﺬلﻚ ʹ B B ʹ ⊥ AʹB
)اﳌستﻘﻴم العمودي ﻋﻠى ﻣستوي يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى ﺟمﻴﻊ اﳌستﻘﻴمات اﳌﺮﺳوﻣة ﻣﻦ أثﺮه ﺿمﻦ ذلﻚ اﳌستوي (
ʹ AB ⊥ B B
) في اﳌستوي الواﺣد :اﳌستﻘﻴم العمودي ﻋﻠى اﺣد ﻣستﻘﻴمﲔ ﻣتوازيﲔ يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى اﻵﺧﺮ(
لكﻦ
AB ⊥ BC
) AB ⊥ (Z
)الن ABC = 90°
Mﻣعﻄى (
) اﳌستﻘﻴم العمودي ﻋﻠى ﻣستﻘﻴمﻦ ﻣتﻘاﻃعﲔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄة تﻘاﻃعﻬما يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى ﻣستويﻬما (
⇐ ) AʹB ʹ ⊥ (Z
)اﳌستوي العمودي ﻋﻠى اﺣد ﻣستﻘﻴمﲔ ﻣتوازيﲔ يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى اﻵﺧﺮ(
∴ʹ AʹB ʹ ⊥ B ʹC
)اﳌستﻘﻴم العمودي ﻋﻠى ﻣستوي يكون ﻋمودي ًا ﻋﻠى ﺟمﻴﻊ اﳌستﻘﻴمات اﳌﺮﺳوﻣة ﻣﻦ أثﺮه ﺿمﻦ ذلﻚ اﳌستوي ( Ω . `g . h
248
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG ﻣﺜال -5 -
Space Geometry A
ABCﻣﺜﻠﺚ BC ⊂ (X ) ، والﺰاوية الﺰوﺟﻴة بﲔ ﻣستوي اﳌﺜﻠﺚ
13
ABCواﳌستوي )(X قﻴاﺳﻬا 60°فاذا ﻛان
13
ﺟد ﻣسﻘﻂ اﳌﺜﻠﺚ ) (ABCﻋﻠى )(X ثم ﺟد ﻣساﺣة ﻣسﻘﻂ ABC
E
D
ﻋﻠى )(X
10
AB = AC = 13cm, BC = 10cm
B
C
: äÉ«£©ŸG ) ABC, BC ⊂ (X
X
قﻴاس (ABC ) − BC − (X ) = 60° AB = AC = 13, BC = 10 :¬JÉÑKG ܃∏£ŸG ايﺠاد ﻣسﻘﻂ ABC
ﻋﻠى ) (Xوايﺠاد ﻣساﺣة ﻣسﻘﻂ ABC
ﻋﻠى )(X
: ¿ÉgÈdG
⊥ (Xفي)D (X AD) ⊥ (X ﻧﺮﺳم⊥ )AD AD
) ﳝكﻦ رﺳم ﻋمود ﻋﻠى ﻣستوي ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ﻣعﻠوﻣة (
∴ CDﻣسﻘﻂ AC ⎧ ⎪ BDﻣسﻘﻂ AB ⎨ BCﻣسﻘﻂ ﻧﻔسﻪ ﻋﻠى )⎪ (X ⎩ ∴ BCD
ﻣسﻘﻂ ABC
)ﻣسﻘﻂ قﻄعة ﻣستﻘﻴم ﻋﻠى ﻣستو ﻣعﻠوم ﻫو الﻘﻄعة اﶈددة بﺄثﺮي العموديﻦ اﳌﺮﺳوﻣﲔ ﻋﻠى اﳌستوي ﻣﻦ ﻃﺮفي الﻘﻄعة اﳌستﻘﻴمة ( ﻋﻠى )(X
في ) (ABCﻧﺮﺳم BC ⊥ AEفي ) Eفي اﳌستوي الواﺣد ﳝكﻦ رﺳم ﻣستﻘﻴم ﻋمود ﻋﻠى آﺧﺮ ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ﻣعﻠوﻣة ( وﲟا أن AC = AB
)ﻣعﻄى(
∴ ) E C = BE = 5cmالعمود النازل ﻣﻦ راس ﻣﺜﻠﺚ ﻣتساوي الساقﲔ ﻋﻠى الﻘاﻋدة ينﺼﻔﻬا (
249
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG ∴ E D ⊥ BC ∴ DEA ﻋائدة لﻠﺰوﺟﻴة BC
)ﻧتﻴﺠة ﻣبﺮﻫنة االﻋمدة الﺜﻼثة( )تعﺮيﻒ الﺰاوية العائدة (
)ﻣعﻄى( BC =BC 60°= 60° الﺰوﺟﻴة= BC لكﻦ قﻴاس الﺰاوية 60° في AEB
الﻘائم في : E
في AED
الﻘائم في D
AE = 169 − 25 = 144 = 12cm ED 1 ED = ⇒ ⇒ E D = 6cm 12 2 12 AE
= cos 60°
1 1 ﻣساﺣة اﳌﺜﻠﺚ BCD = ×10 × 6== 30cm BCD ×10 ×2 6 = 30cm2 2 2 Ω . `g . h ﻣﻼﺣﻈـﺔ
ﻟﻮ ﻃﻠﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﳌﺴﻘﻂ ﻓﻘﻂ ﻓﻴﻤﻜﻦ ﺍﻳﺠﺎﺩﻩ ﻛﺎﻵﺗﻲ: ﻣﺴﺎﺣﺔ = BCDﻣﺴﺎﺣﺔ cos 60° × ABC 1 1 = × (12× 10 × ) = 30cm2 2 2 ﻭ .ﻫـ .ﻡ
250
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
‐2
(6
J
) øjQɪ
Space Geometry
.1بﺮﻫﻦ أن ﻃول قﻄعة اﳌستﻘﻴم اﳌوازي ﳌستو ﻣعﻠوم يساوي ﻃول ﻣسﻘﻄﻪ ﻋﻠى اﳌستوي اﳌعﻠوم ويوازيﻪ. .2بﺮﻫﻦ أﻧﻪ إذا قﻄﻊ ﻣستويان ﻣتوازيان ﲟستﻘﻴم فان ﻣﻴﻠﻪ ﻋﻠى أﺣدﻫما يساوي ﻣﻴﻠﻪ ﻋﻠى اﻵﺧﺮ . .3بﺮﻫﻦ ﻋﻠى أن لﻠمستﻘﻴمات اﳌتوازية اﳌائﻠة ﻋﻠى ﻣستو اﳌﻴﻞ ﻧﻔسﻪ .4بﺮﻫﻦ ﻋﻠى أﻧﻪ إذا رﺳم ﻣائﻼن ﻣﺨتﻠﻔان في الﻄول ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ال تنتمي الى ﻣستو ﻣعﻠوم فان أﻃولﻬما تكون زاوية ﻣﻴﻠﻪ ﻋﻠى اﳌستوي أﺻغﺮ ﻣﻦ زاوية ﻣﻴﻞ اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻴﻪ. .5بﺮﻫﻦ ﻋﻠى أﻧﻪ إذا رﺳم ﻣائﻼن ﻣﻦ ﻧﻘﻄة ﻣا الى ﻣستو فﺄﺻغﺮﻫما ﻣﻴ ً ﻼ ﻫو االﻃول . ﻣستو اﺻغﺮ ﻣﻦ الﺰاوية اﶈﺼورة بﲔ اﳌستﻘﻴم ﻧﻔسﻪ .6بﺮﻫﻦ ﻋﻠى أن زاوية اﳌﻴﻞ بﲔ اﳌستﻘﻴم وﻣسﻘﻄﻪ ﻋﻠى ٍ واي ﻣستﻘﻴم آﺧﺮ ﻣﺮﺳوم ﻣﻦ ﻣوقعﻪ ﺿمﻦ ذلﻚ اﳌستوي.
251
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
] [6-4اﳌﺠﺴﻤﺎت )(Solid ﺳبق لﻠﻄالب دراﺳة اﳌﺠسمات في اﳌﺮﺣﻠة اﳌتوﺳﻄة وﻧﻠﺨﺺ فﻴما يﻠي قواﻧﲔ اﳊﺠوم واﳌساﺣات اﳉاﻧبﻴة والكﻠﻴة لبعﺾ اﳌﺠسمات ﻋﻠم ًا ان اﳊديﺚ ﻋﻦ ﺣﺠم ﻣﺠسم ﻧﻘﺼد بﻪ ﺣﺠم اﳌنﻄﻘة في الﻔﺮاغ )الﻔﻀاء( الواقعة داﺧﻞ اﳌﺠسم. (Right Prism) ºFÉ≤dG (Qƒ°ûæŸG) Qƒ°TƒŸG (1 الﺮﺳم Diagram
اﳊﺠم Volume
ﻣساﺣة الﻘاﻋدة × االرتﻔاع
اﳌساﺣة اﳉاﻧبﻴة Lateral Area
ﻣﺠموع ﻣساﺣات االوﺟﻪ اﳉاﻧبﻴة = ﻣحﻴﻂ الﻘاﻋدة × االرتﻔاع
اﳌساﺣة الكﻠﻴة Total Area
اﳌساﺣة اﳉاﻧبﻴة +ﻣساﺣة قاﻋدتﲔ
252
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
Space Geometry
(ParallelPiped) (äÓ«£à°ùŸG …RGƒàe) á∏«£à°ùŸG 샣°ùdG …RGƒàe (2
Z
الﺮﺳم Diagram
Y X
V= x y z L.A = 2(x + y)z T.A = 2(x + y)z + 2xy
اﳊﺠم Volume اﳌساﺣة اﳉاﻧبﻴة Lateral Area اﳌساﺣة الكﻠﻴة Total Area (Cube) Ö©μŸG (3
X
الﺮﺳم Diagram
X X V = x3 L.A = 4x 2 T.A = 4x 6x23
253
اﳊﺠم Volume اﳌساﺣة اﳉاﻧبﻴة Lateral Area اﳌساﺣة الكﻠﻴة Total Area
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG (Right Circular Cylinder) áªFÉ≤dG ájôFGódG áfGƒ£°S’G (4 الﺮﺳم Diagram
h r 2 V=π r h
L .A = 2πrh T .A = 2πrh+ 2πr 2
اﳊﺠم Volume اﳌساﺣة اﳉاﻧبﻴة Lateral Area اﳌساﺣة الكﻠﻴة Total Area (Pyramid) Ωô¡dG (5 الﺮﺳم Diagram
ارتﻔاع ﺟاﻧبي
h b
ﻣساﺣة الﻘاﻋدة: b االرتﻔاع: h L.A =
V=
1 bh 3
1 (ﻃول االرتﻔاع اﳉاﻧبي × )ﻣحﻴﻂ الﻘاﻋدة 2
T.A = ﻣساﺣة الﻘاﻋدة+ اﳌساﺣة اﳉاﻧبﻴة
اﳊﺠم Volume اﳌساﺣة اﳉاﻧبﻴة Lateral Area اﳌساﺣة الكﻠﻴة Total Area
254
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
Space Geometry
(Right Circular Cone) ºFÉ≤dG …ôFGódG •hôîŸG (6 الﺮﺳم Diagram
l h r
V=
1 2 πr h 3
اﳊﺠم Volume
L.A= πr l
اﳌساﺣة اﳉاﻧبﻴة Lateral Area
T.A= πr l + πr 2
اﳌساﺣة الكﻠﻴة Total Area (Sphere) IôμdG (7 الﺮﺳم Diagram
r
4 V= πr 3 3 4πr 2 = دوائﺮ ﻋﻈﻴمة4 ﻣساﺣة ﺳﻄﺢ الكﺮة = ﻣساﺣة S = 4πr 2
255
اﳊﺠم Volume ﻣساﺣة ﺳﻄﺢ الكﺮة
Space Geometry á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
ﻣﻼﺣﻈـﺔ
X
(1ﺫﻭ ﺍﻟﻮﺟﻮﻩ ﺍﻻﺭﺑﻌﺔ ﺍﳌﻨﺘﻈﻢ :ﻫﺮﻡ ﺛﻼﺛﻲ ﻗﺎﺋﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﺍﻭﺟﻬﻪ ﺍﻻﺭﺑﻌﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﺍﻻﺿﻼﻉ ﻭﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺔ (2ﺍﺫﺍ ﻗﻄﻊ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﲟﺴﺘﻮﻱ ﻣﺎﺭ ﻣﻦ ﺍﺣﺪ ﻣﻮﻟﺪﺍﺗﻪ ﻓﺎﻥ ﺍﳌﻘﻄﻊ ﻣﺜﻠﺚ ﻭﻳﻜﻮﻥ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﻓﻲ ﺍﳌﺨﺮﻭﻁ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﻱ ﺍﻟﻘﺎﺋﻢ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ
A A
X B
C
B C
ﻣﺨﺮوط دائﺮي ﻣائﻞ ⇐ AC ≠ AB
256
ﻣﺨﺮوط دائﺮي قائم ⇐ AC = AB
á«FÉ°†ØdG á°Sóæ¡dG
‐3
(6
J
) øjQɪ
Space Geometry
.1اذا ﻛاﻧﺖ اﳌساﺣة الكﻠﻴة ﳌتوازي اﳌستﻄﻴﻼت = 724cm2وﻣساﺣة قاﻋدتﻪ = 132cm2وﻣساﺣة اﺣد اوﺟﻬﻪ اﳉاﻧبﻴة = 110cm2ﺟد ابعاده وﺣﺠمﻪ. .2اﺳﻄواﻧة دائﺮية قائمة ﻣساﺣتﻬا اﳉاﻧبﻴة 400πcm2وﺣﺠمﻬا 2000πcm3اوﺟد ارتﻔاﻋﻬا وﻧﺼﻒ قﻄﺮ قاﻋدتﻬا. .3اوﺟد ﺣﺠم اﳌادة اﳌﺼنوع ﻣنﻬا اﻧبوب اﺳﻄواﻧي ﻃولﻪ 100cmوقﻄﺮه اﳋارﺟي = 8cmوﺳمﻚ اﳌادة اﳌﺼنوع ﻣنﻬا = 1cm .4بﺮﻫﻦ ﻋﻠى ان ﺣﺠم ذي الوﺟوه االربعة اﳌنتﻈم والﺬي ﻃول ﺣﺮفﻪ = lﻫو
3
2l 12
وﺣدة ﻣكعبة.
ﻣستو فﻘﻄﻊ قاﻋدتﻪ بﻘﻄعة ﻣستﻘﻴم تبعد ﻋﻦ ﻣﺮﻛﺰ الﻘاﻋدة ﲟﻘدار 8cm ﻣﺮ بﺮأﺳﻪ ٍ .5ﻣﺨﺮوط دائﺮي قائم ّ فاذا ﻛاﻧﺖ ﻣساﺣة اﳌﻘﻄﻊ = 102cm2وارتﻔاع اﳌﺨﺮوط = 15cmاﺣسب: (3ﻣساﺣتﻪ الكﻠﻴة (2ﻣساﺣتﻪ اﳉاﻧبﻴة (1ﺣﺠمﻪ .6ﻛﺮة ﻧﺼﻒ قﻄﺮﻫا 10cmقﻄعﻬا ﻣستو ﻋﻠى بعد 4cmﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰﻫا .ﺟد ﻣساﺣة اﳌﻘﻄﻊ اﳊادث. .7اذا ﻋﻠمﺖ اﻧﻪ ﳝكﻦ رﺳم ﻛﺮة ﺧارج ذي الوﺟوه االربعة اﳌنتﻈم. بﺮﻫﻦ ان ﻧﺼﻒ قﻄﺮ الكﺮة = 3االرتﻔاع. 4
257
مت بحمده تعالى
رقم االيداع في دار الكتب والوثائق ببغداد 855لسنة 2010
258
