Схемотехника интегральных схем. Часть 2. Аналоговые структуры: Методические материалы для выполнения контрольных заданий

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я РФ В о р о не ж ски й г о суда р стве нны й уни ве р си те т Ф и зи че ски й фа культе т Ка фе др а фи зи ки по лупр о во дни ко в и ми кр о эле ктр о ни ки

С Х Е МО Т Е Х Н И К А И Н Т Е Г РА Л Ь Н Ы Х С Х Е М Ч а сть II А на ло г о в ы е структуры

М е то ди че ски е ма те р и а лы для вы по лне ни я ко нтр о льны х за да ни й по кур су «Те о р е ти че ски е о сно вы р а ди о эле ктр о ни ки и ми кр о сх е мо те х ни ки » для студе нто в 4, 5 кур со в спе ци а льно сти 014100 С о ста ви те ли : В .И. Клю ки н, Е.В . Не ве ж и н

В о р о не ж – 2002

2 УДК 621.393 П е ча та е тся по р е ш е ни ю На учно -ме то ди че ско г о со ве та фи зи че ско г о фа культе та В Г У С х е мо те х ни ка и нте г р а льны х сх е м: Ч . 2: А на ло г о вы е стр уктур ы : М е то ди че ски е ма те р и а лы для вы по лне ни я ко нтр о льны х за да ни й по кур су «Те о р е ти че ски е о сно вы р а ди о эле ктр о ни ки и ми кр о сх е мо те х ни ки » для студе нто в 4, 5 кур со в спе ци а льно сти 014100/ С о ст. В .И. Клю ки н, Е.В . Не ве ж и н, В о р о не ж . г о с. ун-т, фи з. фа к., ка ф. фи зи ки по лупр о во дни ко в и ми кр о эле ктр о ни ки . – В о р о не ж , 2002. – М е то ди че ска я р а зр а б о тка со де р ж и тте о р е ти че ски й и спр а во чны й ма те р и а л для вы по лне ни я са мо сто яте льны х пр а кти че ски х за да ни й по а на ли зу и р а сче ту ми кр о эле ктр о нны х устр о й ств в эле ме нтно й б а зе а на ло г о вы х и нте г р а льны х сх е м (ИС ). Да но кр а тко е и зло ж е ни е о сно в те о р и и на пр а вле нны х (си г на льны х ) и не на пр а вле нны х (то по ло г и че ски х ) г р а фо в и и х пр и ме не ни я для о пр е де ле ни я вх о дны х , вы х о дны х и эксплуа та ци о нны х х а р а кте р и сти к пр е ци зи о нны х а на ло г о вы х ИС на о сно ве о пе р а ци о нны х уси ли те ле й (О У). П р и ве де ны ме то ди че ски е ука за ни я по вы по лне ни ю ко нтр о льны х за да ни й и о фо р мле ни ю о тче то в. М е то ди че ски е ма те р и а лы пр е дна зна че ны для пр а кти че ски х за няти й и са мо сто яте льно й р а б о ты студе нто в 5 кур са спе ци а льно сти 014100, а та кж е мо г ут б ы ть и спо льзо ва ны пр и вы по лне ни и кур со вы х и ди пло мны х р а б о т.

3 С о де р ж а ни е В В ЕДЕНИЕ… … … … … … … … … ..

4

1. О С НО В НЫ Е П О Л О Ж ЕНИЯ ТЕО РИИ НА П РА В Л ЕННЫ Х (С ИГ НА Л Ь НЫ Х ) Г РА Ф О В … … … … … … … . 1.1. О б щи е о пр е де ле ни я. Ур а вне ни я и г р а фы … … … … … 1.1.1. П о стр о е ни е но р ма ли зо ва нно г о г р а фа … … … … .. 1.1.2. П о стр о е ни е не но р ма ли зо ва нно г о г р а фа … … … .. 1.2. П р е о б р а зо ва ни я г р а фо в… … … … … .. 1.3. Ре ш е ни е г р а фо в. Ф о р мула М е зо на … … … … … … … … … . 1.4. П о стр о е ни е г р а фо в эле ктр и че ски х це пе й … … … … … … .. 1.4.1. П о стр о е ни е U-г р а фо в о б р а ти мы х це пе й … … … … … 1.4.2. П о стр о е ни е U-г р а фо в це пе й о б ще г о ви да … … … … . 1.5. Ра сче ты эле ктр и че ски х це пе й пр и по мо щи г р а фо в… … ..

5 5 8 9 9 11 15 18 18 19

2. НЕНА П РА В Л ЕНЫ Е (ТО П О Л О Г ИЧ ЕС КИЕ) Г РА Ф Ы И ИХ П РИМ ЕНЕНИЕ… … … … … … . 2.1. О пр е де ле ни я и о сно вна я фо р мула … … … … … … … .. 2.2. М е то ды р а зло ж е ни я о пр е де ли те ля… … … … … … … . 2.2.1. Ра зло ж е ни е о пр е де ли те ля по узлу… … … … … 2.2.2. Ра зло ж е ни е о пр е де ли те ля по путям ме ж ду двумя пр о и зво льно вы б р а нны ми узла ми … … … … … . 2.2.3. С р а вни те льны й а на ли з спо со б о в р а зло ж е ни я… … … … . 2.3. П р и ме не ни е о сно вно й фо р мулы … … … … … .. 2.4. П р и ме р ы со вме стно г о и спо льзо ва ни я си г на льны х и то по ло г и че ски х г р а фо в… … … … … . 3. КО НТРО Л Ь НЫ Е ЗА ДА НИЯ П О ИС П О Л Ь ЗО В А НИЮ С ИГ НА Л Ь НЫ Х И ТО П О Л О Г ИЧ ЕС КИХ Г РА Ф О В П РИ А НА Л ИЗЕ А ИС … … … … … .. 3.1. В ы чи сле ни е пе р е да чси г на льны х г р а фо в… … … … … … . 3.2. О пр е де ле ни е вх о дны х и пе р е да то чны х функци й а на ло г о вы х сх е м… … … … … . 3.3. С о вме стно е пр и ме не ни е С Г и ТГ пр и а на ли зе сло ж ны х сх е м с О С … … … … … … . 4. РЕКО М ЕНДУЕМ А Я Л ИТЕРА ТУРА … … … … … .

23 24 24 24 26 26 27 30

31 32 32 33 36

4 В В ЕДЕНИЕ Те х но ло г и че ски е во змо ж но сти со вр е ме нно й ми кр о эле ктр о ни ки о пр е де ляю т е е клю че вы е по зи ци и в пр о е кти р о ва ни и и пр о и зво дстве эле ктр о нны х устр о й ств, по сто янно р а сш и р яю щи х сво и функци о на льны е во змо ж но сти . О сно вную ма ссу эле ктр о нны х и зде ли й со ста вляю ти нте г р а льны е сх е мы (ИС ), ко то р ы е по х а р а кте р у функци о ни р о ва ни я и спо со б у пр е дста вле ни я и нфо р ма ци и р а зде ляю тся на два о сно вны х кла сса – ци фр о вы е (ло г и че ски е ) и а на ло г о вы е (А ИС ). Те о р и я ло г и че ско г о пр о е кти р о ва ни я ка к на учна я о сно ва сх е мо те х ни ки ци фр о вы х стр уктур р а ссмо тр е на в пе р во й ча сти ме то ди че ски х ма те р и а ло в [1], на сто яща я р а б о та ка са е тся о сно вны х ме то до в а на ли за и р а сче та па р а ме тр о в а на ло г о вы х (ли не й ны х ) ИС , ко то р ы е х о тя и за ни ма ю т ме ньш и й о б ъе м (о ко ло 20%) в о б ще м вы пуске ми кр о сх е м, те м не ме не е ш и р о ко и спо льзую тся в а вто ма ти ке , те ле ме х а ни ке , те х ни ке связи , эле ктр о нны х пр и б о р а х для уси ле ни я, пр е о б р а зо ва ни я и о б р а б о тки си г на ло в, и зме няю щи х ся по за ко ну не пр е р ы вно й функци и [2, 3]. В о тли чи е о тци фр о во й те х ни ки , г де по чти все р е сур сы те х но ло г и и тр а тятся на уве ли че ни е функци о на льно й сло ж но сти а ппа р а тур ы , в сх е мо те х ни ке А ИС е сть и др уг а я це ль – о пти ми за ци я по ка за те ле й ка че ства , та ки х ка к то чно сть, б ы стр о де й стви е , эне р г о по тр е б ле ни е , ста б и льно сть вы х о дны х па р а ме тр о в. Э то пр и во ди тк р яду о тли чи те льны х о со б е нно сте й : • ма кси ма льна я уни ве р са льно сть и функци о на льна я и зб ы то чно сть ИС ; • сх е мо те х ни че ска я и зб ы то чно сть и вза и мно е со г ла со ва ни е ко мпо не нто в; • ни зка я чувстви те льно сть к р а зб р о са м па р а ме тр о в эле ме нто в; • ш и р о ко е пр и ме не ни е о б р а тны х связе й (О С ) для вы по лне ни я ма те ма ти че ски х о пе р а ци й , и зб и р а те льно г о уси ле ни я, ко р р е кци и х а р а кте р и сти к и т.д. За па с по со во купно сти р а ссмо тр е нны х по ка за те ле й по зво ляе ти де а ли зи р о ва ть а на ло г о вы е и ци фр о а на ло г о вы е пр е о б р а зо ва ни я, т.е . све сти и х р е а ли за ци ю к вы по лне ни ю на б о р а «по чти » и де а льны х б а зо вы х функци й (о пе р а ци й ) – уси ле ни я, ср а вне ни я, о г р а ни че ни я, пе р е мно ж е ни я, ча сто тно й фи льтр а ци и , до по лне нно г о эта ло нны ми и сто чни ка ми то ка и на пр яж е ни я. Ука за нны й по дх о д уни фи ци р уе т эле ме нтную б а зу А ИС , в б о льш и нстве случа е в сво дя е е к тр е м о сно вны м «стр о и те льны м» б ло ка м – о пе р а ци о нно му уси ли те лю (О У), ко мпа р а то р у и пе р е мно ж и те лю , ср е ди ко то р ы х на и б о ле е уни ве р са льны м являе тся О У, с по мо щью О С р е а ли зую щи й лю б ую а на ло г о вую функци ю . На и б о ле е эффе кти вны м ср е дство м а на ли за и си нте за ли не й ны х эле ктр и че ски х це пе й являю тся то по ло г и че ски е ме то ды [4, 5]. Изло ж е ни ю о сно в те о р и и на пр а вле нны х (си г на льны х ) и не на пр а вле нны х (то по ло г и че ски х ) г р а фо в ка к ме то ди че ско й б а зы р а сче та и пр о е кти р о ва ни я а на ло г о вы х ми кр о эле ктр о нны х устр о й ств и по свяще на на сто яща я р а зр а б о тка .

5 1. О С НО В НЫ Е П О Л О Ж ЕНИЯ ТЕО РИИ НА П РА В Л ЕННЫ Х (С ИГ НА Л Ь НЫ Х ) Г РА Ф О В В о змо ж ны два по дх о да к и ссле до ва ни ю сво й ств и нте г р а льны х сх е м, ко г да и зве стны и х стр уктур ны е и пр и нци пи а льны е сх е мы : 1) и спо льзо ва ни е а на ли ти че ски х за ко но в те о р и и эле ктр и че ски х це пе й – за ко но в Ки р х г о фа – путе м со ста вле ни я си сте м ур а вне ни й и и х р е ш е ни я с по мо щью о пр е де ли те ле й . Ти пи чны ми пр е дста ви те лями это г о та к на зы ва е мо г о ма тр и чно г о на пр а вле ни я являю тся ме то ды ко нтур ны х то ко в и узло вы х по те нци а ло в. 2) пр е дста вле ни е эле ктр и че ско й сх е мы в ви де не ко то р о г о г е о ме тр и че ско г о экви ва ле нта – г р а фа , вклю ча ю ще г о на пр а вле нны е и ли не на пр а вле нны е о тр е зки пр о и зво льно й дли ны – ве тви –и то чки и х со е ди не ни я и ли о ко нча ни я – узлы . Те о р и я г р а фо в являе тся уче ни е м о б о б щи х то по ло г и че ски х сво й ства х г р а фо в и вы те ка ю щи х и з ни х ме то да х р а сче та . О сно вны ми эле ме нта ми г р а фа являю тся : 1) путь – лю б а я связна я со во купно сть ве тве й ; 2) ко нтур – лю б о й за мкнуты й путь, не пр о х о дящи й два ж ды по о дно й ве тви и не пе р е се ка ю щи й два ж ды о ди н узе л; 3) де р е во – связны й по дг р а ф, со е ди няю щи й все узлы г р а фа и не и ме ю щи й ко нтур о в; 4) р е б р о – ве твь г р а фа , вх о дяща я в де р е во ; 5) х о р да – ве твь г р а фа , не вх о дяща я в де р е во . М е ж ду чи сло м узло в NУ, чи сло м ве тве й N В , чи сло м р е б е р N Р и чи сло м х о р д NХ г р а фа вы по лняю тся сле дую щи е со о тно ш е ни я: NВ = NР + NХ ; NР = N У – 1; NХ = NВ - NУ – 1.

(1.1)

Да льне й ш е е со де р ж а ни е р а зде ла связа но с р а ссмо тр е ни е м на пр а вле нны х г р а фо в, и спо льзую щи х пр и чи нно -сле дстве нны е связи ме ж ду эле ктр и че ски ми ве ли чи на ми в р а зли чны х уча стка х сх е мы и пр е дста вляю щи х эле ктр о те х ни че скую тр а кто вку и зве стно г о пр а ви ла Кр а ме р а , пр е дло ж е нную М эзо но м в 1965 г . С и г на льны е г р а фы пр е дста вляю т вы со ко эффе кти вно е ср е дство о пи са ни я по ве де ни я а на ло г о вы х сх е м вви ду н а глядн о с т и (р а спр о стр а не ни я си г на ла ), ги б ко с т и (о пи са ни я си сте м с р а зно р о дны ми – эле ктр и че ски ми , ме х а ни че ски ми , те пло вы ми – эле ме нта ми , уче тО С , де й стви я по ме х , р а сче тчувстви те льно сти к и зме не ни ям па р а ме тр о в лю б ы х эле ме нто в и т. д.), ун и верс а льн о с т и (ди а г р а ммы Ф е й нма на в яде р но й фи зи ке , р е ш е ни е за да чи ко мми во яж е р а , о пр е де ле ни е пр о пускно й спо со б но сти ж /д путе й ) и эко н о м и и в вы чи с лен и ях пр и а на ли зе сло ж ны х си сте м. 1.1.

О б щи е о пр е де ле ни я. Ур а вне ни я и г р а фы

С и г на льны м (на пр а вле нны м) г р а фо м (С Г ) на зы ва е тся ди а г р а мма , пр е дста вляю ща я со во купно сть узло в и со е ди няю щи х и х на пр а вле нны х ве тве й , по ка зы ва ю щи х пе р е да чу си г на ла (во зде й стви я) о то дно г о узла к др уг о му, т. е . функци о на льную за ви си мо сть пр о це ссо в в и ссле дуе мы х це пях . Узла ми в С Г служ а т пе р е ме нны е це пи (то ки и /и ли на пр яж е ни я), ка ж да я ве твь х а р а кте р и зуе тся ве ли -

6 чи но й пе р е да чи о тна ча ла ве тви (пр и чи на ) к е е ко нцу (сле дстви е ). В о б ще м случа е пе р е да ча ве тви aki (р и с. 1.1а ) – о пе р а то р не ли не й ны й , и ме ю щи й р а зме р но сть со пр о ти вле ни я, пр о во ди мо сти и ли б е зр а зме р ны й . В ы де ляю твх о дны е – и сто чни ки , вы х о дны е – сто ки и сме ш а нны е узлы , со де р ж а щи е ка к и сх о дящи е , та к и вх о дящи е ве тви . Исто чни ки являю тся не за ви си мы ми узла ми , сто ки и сме ш а нны е узлы – за ви си мы ми . П о ско льку к о дно му узлу мо ж е т по дх о ди ть не ско лько ве тве й , то в лю б о м за ви си мо м узле xk пе р е ме нна я б уде то пр е де ляться вы р а ж е ни е м N

x k = ∑ a ki x i ,

(k = 1, N),

(1.2)

i =1

г де aki – пе р е да чи вх о дящи х в узе л k ве тве й ; N – чи сло узло в г р а фа . С уще стве нно , что пе р е ме нна я в узле о пр е де ляе тся то лько вх о дящи ми в не г о ве твями (см. пр и ме р о пр е де ле ни я пе р е ме нны х в узла х на р и с. 1.1б ). О б о б ще ни е вы р а ж е ни я (1.2) по ка зы ва е т, что г р а ф экви ва ле нте н си сте ме ур а вне ни й , г де со во купно сть пе р е да чг р а фа aki мо ж но вы р а зи ть ква др а тно й ма тр и це й [A] р а нг а N, в k-ю стр о ку ко то р о й за пи сы ва ю тся пе р е да чи о твсе х узло в к k-му узлу, а в i-ы й сто лб е ц – пе р е да чи о тi-г о узла ко все м о ста льны м. О тсю да , е сли все эле ме нты k-й стр о ки р а вны нулю , то это тузе л являе тся и сто чни ко м, е сли все эле ме нты i-г о сто лб ца р а вны нулю , то это тузе л являе тся сто ко м. О че ви дно , что для по стр о е ни я си г на льно г о г р а фа по за да нно й си сте ме ур а вне ни й до ста то чно о пр е де ли ть со во купно сть е г о пе р е ме нны х (узло в) и со ста ви ть ма тр и цу пе р е да чве тве й [A], пр и че м для о дно й и то й ж е си сте мы ур а вне ни й мо ж но по стр о и ть пр о и зво льно е чи сло р а вно си льны х г р а фо в. На пр и ме р , е сли и ме е тся си сте ма ур а вне ни й

г де

[B]x = f ,

(1.3)

b11 b12 ...b1n  b b ...b  [B] =  11 22 2n  -ма тр и ца ко эффи ци е нто в р а нг а n, ..................    b n1 b n 2 ...b nn  x = [ x 1, x 2 ,..., x n ]t - ве кто р -сто лб е ц не за ви си мы х пе р е ме нны х ; f = [f1, f 2 ,..., f n ]t - ве кто р -сто лб е ц сво б о дны х чле но в, для ко то р о й на до по стр о и ть си г на льны й г р а ф, то о б ы чно пр о це дур а со сто и т и з тр е х о сно вны х эта по в:

7 f

б)

aki

a) xi xk

a x1

xk

h c

e b x3 g

x2

x5

x4 d

= aki xi

 x 2 = ax 1 + ex 3 + fx 4 ;  x = bx ;  3 2   x 4 = gx 2 + cx 3 + hx 4 ;  x 5 = dx 4 Ри с. 1.1. О пр е де ле ни е пе р е ме нны х С Г в за ви си мы х узла х Та б ли ца 1.1

Исх о дна я си сте ма ур а вне ни й

П р е о б р а зо ва ни е к ви ду (1.4) и но р ма ли зо ва нны й гр а ф

П р е о б р а зо ва ни е к ви ду (1.5) и но р ма ли зо ва нны й граф

7 1   x 1 = − 3 x 2 + 3 ;  x = − 5 x + 3 1  2 11 11

x1 = 4x1 + 7 x 2 − 1;  x 2 = 5x1 + 11x 2 − 3

-7/3

3x1 + 7 x 2 = 1;  5x1 + 11x 2 = 3

4

x1

x2

-5/11 1/3

x1

1/11

x2 -b3/b2

x3

-a2/a3 1/c2 f3

-a1/a3

-1 3

1

 с2 1 x 1 = − с x 2 + с f 3 ; 1 2   b3 x 2 = − x 3 ; b2  a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = f1;  a1 a2 1  = − − + f1 x x  3 1 b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0;  a3 a3 a3  c x + c x = f3  1 1 2 2 x1 -c2/c1

x2

5 -1

3

1

12

7

1/a3 f1

x11 = (c1 + 1) x1 + c 2 − f 3 ; x = (b + 1) x + b x ;  2 2 2 3 3   x 3 = a 1 x1 + a 2 x 2 +  + (a 3 + 1) x 3 − f1 1+c1

1+b2 c2

x1

b3 x2

-1 f3

1+a3

x3

a2 a1

-1 f1

8 1) на по ле пр е дпо ла г а е мо г о г р а фа на но сятN = n + m то че к (г де n – чи сло не за ви си мы х пе р е ме нны х (ур а вне ни й си сте мы , m ≤ n – чи сло о тли чны х о тнуля fi), о б р а зую щи х узлы г р а фа , пр и че м пе р е ме нны е fi со о тве тствую т не за ви си мы м узла м; 2) о пр е де ляю тся пе р е да чи ве тве й г р а фа (ма тр и ца [A]), что мо ж е тб ы ть сде ла но двумя о сно вны ми спо со б а ми , пр и во дящи ми ли б о к но р ма ли зо ва нно му, ли б о к не но р ма ли зо ва нно му г р а фа м; 3) в со о тве тстви и с эле ме нта ми [A] узлы со е ди няю тся ме ж ду со б о й на пр а вле нны ми ве твями , о б р а зуя о б щую стр уктур у г р а фа , экви ва ле нтно г о р а ссма тр и ва е мо й си сте ме ур а вне ни й . 1.1.1. П о стр о е ни е но р ма ли зо ва нно г о г р а фа Для по луче ни я но р ма ли зо ва нно г о г р а фа си сте ма (1.3) пр е дста вляе тся в ви де

b13 b12 b1n 1  = − − − − + x 0 x x ... x f1; 1 2 3 n  b11 b11 b11 b11  b 21 b b 1  x1 + 0 − 23 x 3 − ... − 2 n x n + f2; x 2 = − b 22 b 22 b 22 b 22 ,  ...................................................................  b n3 b n1 bn2 1  = − − + + x x x x ... 0 fn n 1 2 3  b b b b  nn nn nn nn о ткуда пе р е да чи ве тве й (эле ме нты ма тр и цы [A])

a ki = −

i ≠ k   ;  i, k = 1, n 

b ki b kk

a k ( n + j) =

1 b kk

a kk = 0;

( j = k ); a k ( n + j)

j≠ k   = 0   j = 1, m 

(1.4)

Ука за нны й по р ядо к о пр е де ле ни я xi (x1 и з пе р во г о ур а вне ни я, x2 – и з вто р о г о и т.д.) не являе тся о б яза те льны м, мо ж но , на пр и ме р , x1 по лучи ть и з тр е тье г о ур а вне ни я, x2 - и з пе р во г о и т.д. Есте стве нно , по луче нны е в эти х случа ях г р а фы б удут р а зли чны ми , но р а вно си льны ми . Кр о ме то г о , по ско льку akk = 0, лю б о й но р ма ли зо ва нны й г р а ф х а р а кте р и зуе тся о тсутстви е м пе те ль.

9 1.1.2. П о стр о е ни е не но р ма ли зо ва нно г о г р а фа Иско мо е по стр о е ни е пр о и зво ди тся пр е о б р а зо ва ни е м си сте мы (1.3) к ви ду

x 1 = ( b11 + 1) x1 + b12 x 2 + ... + b1n x n − f1 ; x = b x + (b x + 1) x + ... + b x − f ;  1 21 1 22 2 2 2n n 2  ................................................................... x 1 = b n1x1 + b n 2 x 2 x 2 + ... + (b nn + 1) x n − f n r r r и ли , в ве кто р но -ма тр и чно й фо р ме , x = [B + 1]x − f , о ткуда пе р е да чи ве тве й С Г о пр е де ляю тся ка к

a ki = b ki a kk = b kk

i ≠ k   ;  i, k = 1, n  + 1;

j≠ k  a k ( n + j) = 0  ;  j = 1, m  a k (n + j) = 0 ( j = k )

(1.5)

П р и ме р ы по стр о е ни я си г на льны х г р а фо в по за да нно й си сте ме ур а вне ни й (та б л.1.1) по ка зы ва ю т, что но р ма ли зо ва нны е г р а фы стр уктур но пр о ще , о дна ко пе р е да чи ве тве й у ни х сло ж не е . Кр о ме то г о , пр и сло ж е ни и г р а фо в удо б не е по льзо ва ться и х не но р ма ли зо ва нно й фо р мо й , т.е . ни о дно му и з спо со б о в не льзя о тда ва ть пр е дпо чте ни е б е з тща те льно г о а на ли за со де р ж а ни я по ста вле нно й за да чи . В ка че стве са мо сто яте льно г о упр а ж не ни я на со ста вле ни е но р ма ли зо ва нно г о и не но р ма ли зо ва нно г о г р а фо в пр е дла г а е тся о дно р о дна я си сте ма ур а вне ни й

 a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0;   b1x1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0;  c x + c x + c x = 0,  1 1 2 2 3 3

(1.6)

в ко то р о й о тсутствую тсво б о дны е чле ны . 1.2.

П р е о б р а зо ва ни е г р а фо в

П р е о б р а зо ва ни е м г р а фа на зы ва е тся пр и ве де ни е е г о к р а вно си льно му г р а фу др уг о й стр уктур ы . О б ы чно пр е о б р а зо ва ни е г р а фа и спо льзую тдля е г о упр о ще ни я и о б ле г че ни я по луче нно г о р е ш е ни я. Г р а ф, не до пуска ю щи й да льне й ш и х упр о ще ни й (т.е . да льне й ш и х и склю че ни й узло в и пе те ль), на зы ва е тся ко не чны м (ти па р и с. 1.1а ), е г о р е ш е ни е о че ви дно . О сно вны е о пе р а ци и пр и упр о ще ни и С Г пр и ве де ны в та б л. 1.2, х о тя о ни не о х ва ты ва ю твсе х во змо ж ны х случа е в. Та к, пр а ви ло 5 мо ж но о б о б щи ть для случа я не ско льки х вх о дящи х ве тве й : для и склю че ни я пе тли с пе р е да че й c пе р е да чи все х вх о дящи х в узе л ве тве й на до р а зде ли ть на (1-c), пе р е да чи и сх о дящи х ве тве й о ста ю тся б е з и зме не ни я. Б о ле е то г о , в р е а льно м г р а фе р е дко встр е ча ю тся «вы де ле нны е » о дно на пр а вле нны е ве тви , пе тли и т.п., та к что для и склю че ни я узло в не о б х о ди мо учи ты ва ть все во змо ж ны е пути пр о х о ж де ни я

10 Та б ли ца 1.2 N 1 2

3

10

4

5

На и ме но ва ни е о пе р а ци и Исклю че ни е сме ш а нно г о узла О б ъе ди не ни е о ди на ко во на пр а вле нны х па р а лле льны х ве тве й Исклю че ни е пр о сто г о (не вх о дяще г о в ко нтур ) узла

Устр а не ни е ко нтур а на пути Исклю че ни е пути

ко нтур а

Исх о дна я стр уктур а

a a b

x1

x4

7

Удли не ни е узла

x1

x2

= (a + b + c) x1

a+b+c x1

x2 x1

c

x2

ab

x 4 = ax1; x 2 = bx 4 + abx1;

bc

x3 b x3

x2

на

bc

(р а стяж е ни е )

a x2

c

d

x6

g

пе р е да ч

a x1

e f x2 b x3

b+c

x2

b

x 2 = ax 1 + cx 2 ; ab x 3 = bx 2 = x1 1− c

x3

x1

x3 b

a

x 3 = bx 2 = abx1 + bcx 3

x2

ab/(1-c)

x2

x1

x 3 = cx 4 = acx1 x 2 = ax1 + cx 3 ;

x3

ab

x1

c b

a

Но р ми р о ва ни е ве тве й

x3

c

x1 x4 8

c

a

За ме на не ско льки х пе те ль в узле о дно й

x1

x2

a

x1 6

x3

x2

x2

x1

x3 x1 x5 x5 d c x4 x5

d

1

a

e

П о ясняю щи е за ме ча ни я

x 2 = ax1;  x 3 = bx 2 = abx1 x 2 = ax1 + bx1 + cx1 =

b

x1 x1

Ко не чна я стр уктур а

x2′

c bcg

x2

be cf

b

x 2 = ax1 + bx 2 + cx 2 = = ax1 + ( b + c) x 2

x6 x 2 = ax 1 + cx 5 ; e x3 x 3 = ex 2 ; x 4 = bx 2 ;

x4

abcd x1 1 x2 1 x3 1 x4 x5

x 6 = dx 2

Но р ми р о ва ни е ве тви с со о тве тствую щи м и зме не ни е м о ста льны х

11 си г на ла о тпр и чи ны к сле дстви ю . О тсю да о б ще е пр а ви ло и склю че ни я пр о и зво льно г о узла : и склю ча ть узе л сле дуе т та к, что б ы по сле это й о пе р а ци и все со ста вляю щи е пр е о б р а зо ва нно г о г р а фа во все х о ста вш и х ся узла х б ы ли та ки ми ж е , ка к в и сх о дно м г р а фе . П р а кти че ски это о зна ча е т, что пе р е ме нна я и склю ча е мо г о узла вы р а ж а е тся че р е з пе р е ме нны е о ста льны х узло в и по дста вляе тся в вы р а ж е ни я для те х узло в, ко то р ы е о тне е за ви сят. П р и ме р ы упр о ще ни я г р а фо в с и спо льзо ва ни е м пр а ви л та б л. 1.2, а та кж е и склю че ни я пр о и зво льно г о узла пр и ве де ны на р и с. 1.2. За да чи для са мо сто яте льны х упр а ж не ни й на р е ш е ни е г р а фо в ме то до м и х упр о ще ни я вме сте с о тве та ми пр и ве де ны в та б л. 1.3. Для пр о сто ты в р а ссма тр и ва е мы х пр и ме р а х вме сто пе р е ме нны х узло в x1, x2, x3… . за пи сы ва ю тся и х по р ядко вы е но ме р а 1,2,3,… . 1.3. Ре ш е ни е г р а фо в. Ф о р мула М эзо на П о д р е ш е ни е м г р а фа по ни ма ю т р е ш е ни е си сте мы ур а вне ни й , со о тве тствую щи х г р а фу. М е то ды р е ш е ни я си сте м ли не й ны х ур а вне ни й х о р о ш о и зве стны , на пр и ме р , пр а ви ло Кр а ме р а , ко г да не и зве стны е вы р а ж а ю тся че р е з ко эффи ци е нты и сво б о дны е чле ны , что в пе р е во де на «язы к г р а фо в» о зна ча е т, что пе р е ме нны е в за ви си мы х узла х за пи сы ва ю тся че р е з пе р е да чи ве тве й и пе р е ме нны е и сто чни ко в. В а ж но й о со б е нно стью те о р и и г р а фо в являе тся во змо ж но сть на х о ж де ни я та ки х р е ш е ни й не по ср е дстве нно , б е з о ста вле ни я ур а вне ни й , пр и че м двумя спо со б а ми – упр о ще ни е м и сх о дно г о г р а фа до тр и ви а льно й фо р мы (р и с. 1.1а ) и ли по фо р муле М эзо на , связа нно й со стр уктур ны ми о со б е нно стями г р а фа . П е р вы й спо со б сла б о фо р ма ли зо ва н, стр а да е т и зли ш не й г р о мо здко стью вы чи сле ни й и мо ж е т и г р а ть ли ш ь вспо мо г а те льную р о ль. Ф о р мула М эзо на для случа я о дно г о и сто чни ка за пи сы ва е тся ка к

G ki г де

x = k = xi

∑ Pik , l • ∆ l l

∆

,

(1.7)

xk – пе р е ме нна я в за ви си мо м узле ; xi – пе р е ме нна я и сто чни ка ; Pik,l –пе р е да ча l-г о пр ямо г о пути о ти сто ка xi к вы б р а нно му узлу xk;

∆ = 1 − ∑ T j + ∑ (T jTm ) * − ∑ (T jTm Tn ) * +... - о пр е де ли те ль г р а фа , в ко то j

j, m

j, m , n

р о м си мво л (*) о зна ча е т, что сумми р ую тся пр о и зве де ни я пе р е да что лько не со пр и ка са ю щи х ся ко нтур о в («ка са ни е » - на ли чи е х о тя б ы о дно г о о б ще г о узла ); Tj – пе р е да чи все х ко нтур о в г р а фа ; ∆l – а лг е б р а и че ско е до по лне ни е – ве ли чи на ∆ для ча сти г р а фа , ка са ю ще й ся l-г о пр ямо г о пути . П р и ме р о пр е де ле ни я пе р е да чи г р а фа по фо р муле (1.7) пр и ве де н на р и с. 1.3.

12 e b

а) 2 a

⇒

c

б)

ab 1− e

3

g

d

1

f

f

4

1 b

1

2

e

bd bc

a

4

2

1

e b 3

2

1

4

G41

G 41 =

 x 4 = cx 3 + dx 5 ;   x = ax + ex + fx =  1 3 4  2  = ax1 + ex 3 + cfx 3 + dfx 5 

c

⇒

d 4 g

5

df

⇒

abc + cg(1 − e) (1 − e)(1 − f )

1

4

f a

1

⇒

d+

e

в)

⇒

⇒

d

⇒

c 3

c

d 4

d a

3

⇒

c

g

f

ab +g 1− e

5

ag 1 − b(e + cf ) 1

a b(e+cf) df ⇒ 1 − b(e + cf ) 1 − b(e + cf )

⇒

e b 3 g

2

⇒ df

cf a

a (bc + e) 1 − bd

1

a

dfg 1 − b(e + cf )

2

⇒

g

G 51

5

1

G 51 =

2

g

5

ag 1 − be − bcf − dfg

1 5 5 Ри с. 1.2. О пр е де ле ни е пе р е да чг р а фо в ме то до м и х упр о ще ни я Та б ли ца 1.3 С тр уктур а г р а фа g h f

N 1

a 2

b3

a 2

2

1

d 5 e6 m e f d c 5 b 3 4 h c4

f 3

1

e

m

a 2

П е р е да ча г р а фа G k1

b3 g

4 d h

5

G 61 =

abcde + ame(1 − cg) 1 − (bf + cg + dh + fghm) + bfdh

G 51 =

adg 1 − ( bf + cgf + defg + h ) + bfh

G 51 =

abcd + agd + ah (1 − e) 1 − (bm + bcf + gf + e) + bme

13 h g

а

x1

с

b

x2

q

x3

f

d x4

m

P1 = abcde; ∆1 = 1; P2 = amde; ∆2 = 1; P1 = ane; ∆3 = 1-q; T1 = bg; T2 = bch; T3 = mb; T 4 = q;

x5

x6

T5 = f;

∆ = 1- (bg + bch + mh + q + f) + (bgq + bgf + qf) –bgfq;

G 61 =

abcde + amde + ane(1 − q) . 1 − (bg + bch + mh + q + f ) + (bgq + bgf + qf ) − bgfq

Ри с. 1.3. О пр е де ле ни е пе р е да чи о ти сто чни ка к сто ку по фо р муле М эзо на Ф о р мула М эзо на (1.7), о тр а ж а ю ща я связь ме ж ду си г на ло м в и ско мо м узле и си г на ло м о дно г о и сто чни ка , до пуска е тсле дую щи е о б о б ще ни я: 1) на пе р е да чи ме ж ду за ви си мы ми узла ми пр и о дно м и сто чни ке

G kj

x x /x G = k = k i = ki = x j x j / x i G ji

∑ Pik , l • ∆ lk l

∑ Pij, l • ∆ lj

,

(1.8)

l

г де

xi – пе р е ме нна я и сто чни ка ; xj, xk – пе р е ме нны е за ви си мы х узло в; Pik,l –пе р е да ча l-г о пр ямо г о пути о тузла i к вы б р а нно му узлу k; Pjk,l –пе р е да ча l-г о пр ямо г о пути о тузла j к вы б р а нно му узлу k; ∆lk, ∆lj – а лг е б р а и че ски е до по лне ни я Pik,l , Pjk,l со о тве тстве нно ; Если узе л-и сто чни к xi со е ди не н то лько с за ви си мы м узло м xj, о тко то р о г о и ще тся пе р е да ча , то для на х о ж де ни я Gkj г р а ф мо ж но упр о сти ть, о тб р о си в все ве тви , вх о дящи е в xj (ко то р ы й пр и это м ста но ви тся и сто чни ко м), и о пр е де лять Gkj и з упр о ще нно г о г р а фа по фо р муле (1.7). П р и ме р та ко г о о пр е де ле ни я пе р е да чи

ме ж ду за ви си мы ми узла ми пр е дста вле н на р и с. 1.4а ,б . 2) на пе р е да чу ме ж ду за ви си мы ми узла ми пр и о тсутстви и и сто чни ко в, ко г да г р а фу со о тве тствуе то дно р о дна я си сте ма ур а вне ни й и о пр е де ле ни е пе р е ме нны х в узла х не и ме тсмы сла (о ни ли б о р а вны нулю , ли б о не о пр е де ле нны ), х о тя пе р е да чи ме ж ду узла ми мо г утб ы ть впо лне о пр е де ле нны ми ве ли чи на ми . П р о це дур а пр е о б р а зо ва ни я о дно р о дно г о С Г для о пр е де ле ни я пе р е да чо тузла xj к о ста льны м пр и ве де на на р и с. 1.5, г де с по мо щью вве де ни я ви р туа льно г о узла -и сто чни ка xi (р и с. 1.5в) с о дни м и сто чни ко м. Та ки м о б р а зо м, пр а ви ло о пр е де ле ни я пе р е да чг р а фо в б е з и сто чни ко в мо ж но сфо р мули р о ва ть сле дую щи м о б р а зо м: для о пр е де ле ни я пе р е да чи Gkj о тузла xj к xk о тб р а сы ва ю твсе вх о дящи е в узе л xj ве тви и на х о дятGkj

14

а)

g a

x1

e b x3

x2

G 52 =

f

d c x4

x5

=h+

h

б)

G 51 abcd + ah(1 − cf ) = = G 21 a (1 − cf )

bcd [по фо р муле (1.8)] 1 − cf

f d

x2

G 52 = h +

c x4

b x3

bcd [по фо р муле (1.7)] 1 − cf

h Ри с. 1.4. О пр е де ле ни е пе р е да чи С Г ме ж ду за ви си мы ми узла ми по фо р мула м М эзо на (1.8) (а ) и (1.7) (б )

а) ⇒

б)

xk

1

⇒

xj

в)

xk

xi

⇒

xj

xk

xj

xm

xm

xm

Ри с. 1.5. П р е о б р а зва ни е С Г пр и о тсутстви и и сто чни ко в для о пр е де ле ни я пе р е да ч ме ж ду за ви си мы ми узла ми

а)

б)

x6 g

x6/x1 a x1

e

d

c

b x2

x5/x1

x3 x5

x4

⇒

x1

g•x6/x1

d

a

b x2

e c x3

f•x5/x 1

Ри с. 1.6. П р и ве де ни е г р а фа с не ско льки ми и сто чни ка ми к г р а фу с о дни м и сто чни ко м

x4

15 с по мо щью фо р мулы М эзо на (1.7); 3) на р е ш е ни е г р а фо в пр и не ско льки х и сто чни ка х , г де во змо ж ны два р а зли чны х по дх о да : - и спо льзо ва ни е пр и нци па супе р по зи ци и для о пр е де ле ни я пе р е ме нны х в узла х , т.е . пр и ме не ни е фо р мулы (1.7) к ка ж до му и сто чни ку в о тде льно сти и сло ж е ни е р е зульта то в

xk = Gkixi + Gkjxj + Gklxl + … + Gknxn, г де xi, xj, xl,… , xn – узлы -и сто чни ки . - пр и ве де ни е С Г с не ско льки ми и сто чни ка ми (р и с. 1.6а ) к г р а фу с о дни м и сто чни ко м (р и с. 1.6б ) с по сле дую щи м и спо льзо ва ни е м фо р мул (1.7), (1.8). Та к, на пр и ме р , для С Г на р и с. 1.4

x6 x + cf 5 x1 x1 . 1 − (bd + ce)

abc + bcg G 41 =

За да ни я для са мо сто яте льны х упр а ж не ни й на пр и ме не ни е фо р мул М эзо на (1.7), (1.8) к о ты ска ни ю пе р е да чг р а фо в пр и ве де ны в та б л. 1.4. 1.4. П о стр о е ни е г р а фо в эле ктр и че ски х це пе й С и г на льны й г р а ф эле ктр и че ско й це пи со де р ж и тв се б е ту ж е и нфо р ма ци ю , что и со о тве тствую ща я си сте ма ур а вне ни й , ко то р а я все г да мо ж е тб ы ть со ста вле на на о сно ве за ко но в Ки р х г о фа . На и б о ле е упо тр е б и те льны ми являю тся ме то ды ко нтур ны х то ко в (и ско мы е пе р е ме нны е – то ки не за ви си мы х ко нтур о в) и узло вы х на пр яж е ни й (и ско мы е пе р е ме нны е – по те нци а лы не за ви си мы х узло в), си сте мы ур а вне ни й для ко то р ы х

r r [ Z] • I = E;

(1.9)

r r [Y] • U = J ,

(1.10)

r r r r I , U - ве кто р -сто лб цы ко нтур ны х то ко в и узло вы х по те нци а ло в;

г де E, J - ве кто р -сто лб цы за да ю щи х на пр яж е ни й и то ко в;

[Z], [Y] – ква др а тны е ма тр и цы со пр о ти вле ни й и пр о во ди мо сте й , пр и во дятк I-г р а фа м и U-г р а фа м со о тве тстве нно . П р и ме р со ста вле ни я ур а вне ни й и по стр о е ни я со о тве тствую щи х г р а фо в для ле стни чно й сх е мы с за да ю щи м и сто чни ко м на пр яж е ни я (р и с. 1.7) пр и ве де н в та б л. 1.5. За ме ти м, что пр и о пи са ни и сх е мы ме то до м ко нтур ны х то ко в все за да ю щи е г е не р а то р ы то ка до лж ны б ы ть пр е о б р а зо ва ны в и сто чни ки на пр яж е ни й (р и с. 1.8а ), а в ме то де узло вы х по те нци а ло в все г е не р а то р ы на пр яж е ни й – в и сто чни ки то ка (р и с. 1.8б ). Если , на пр и ме р , по сле до ва те льно с г е не р а то р о м на пр яж е ни я не вклю че но со пр о ти вле ни е , то в сх е му вво ди тся ви р туа льны й эле ме нт Z, по зво ляю щи й со ве р ш и ть тр е б уе мо е пр е о б р а зо ва ни е (р и с. 1.8в), о дна ко для по луче ни я

16 Та б ли ца 1.4 П е р е да чи о тне за ви си мы х Gki и за ви си мы х Gkj узло в

С тр уктур а си г на льно г о г р а фа

N

f a

1

4

3g

2

d

c

b 2

1

5 q

p a

d

c

b 2

1

abcd + adg ; 1 − (bf + e) + bfe bc + g G 42 = 1− e abq(1 − e) + adfg + acfgq G 51 = ; 1 − (bp + fgcp + e) + bpe gf G 42 = ; 1− e bq(1 − e) + dfg + cfgq G 35 = b(1 − e) + cfg af [b(d + ge) + c(e + dh )] G 61 = ; (1 − gh )(1 − m)(1 − n ) b(d + ge) + c(e + dh) G 42 = (1 − gh )(1 − n ) G 51 =

e

4

3

5

g

f 16

e

a

3

g

2

1

3

m b

n

d

f

h

5

e

c

6

4 e

f a 4

1

b

c

2 m

4

3 g

n

adg + bdfg + cdf (1 − m) ; 1 − (cde + b deg+ m + n ) + mn + cdem (a + bf )g + cf (1 − m) = (a + bf )(1 − n ) − acde

G 51 =

d 5

G 42

17 U2

U1

Z0 I1

Z4

I2

E0

I3

Z1

Z3

Z5

Ри с. 1.7. Л е стни чна я сх е ма с за да ю щи м и сто чни ко м на пр яж е ни я де й стви те льно г о р е ш е ни я в о ко нча те льно м вы р а ж е ни и не о б х о ди мо по ло ж и тьZ = 0 (и р а скр ы ть не о пр е де ле нно сть, е сли о на во зни кне т).

а) I0

Y0

N

⇒

N

⇒

Z0 E0

N

I0 = E0Y0; Y 0 = 1/Z0;

N

E0 = I0Z0; Z0 = 1/Y0;

б) Z0 E0

в) E

N

⇒

I0

Z E

Y0

N

⇒I

Y

N

Ри с. 1.8. П р е о б р а зо ва ни е г е не р а то р о в то ка в и сто чни к на пр яж е ни я (а ) и г е не р а то р а на пр яж е ни я в и сто чни к то ка Ра ссмо тр е нны й ко све нны й ме то д по стр о е ни я си г на льны х г р а фо в, тр е б ую щи й пр е два р и те льно й за пи си си сте мы ур а вне ни й , не та к ж е ла те ле н, ка к пр ямо й , по зво ляю щи й по луча ть С Г не по ср е дстве нно по ви ду сх е мы . На и б о ле е пр о сто пр ямо й ме то д р е а ли зуе тся для це пи , пр е дста ле нно й б ло к-сх е ма ми , ко г да пр и чи нно -сле дстве нны е связи на пути пр о х о ж де ни я си г на ла вы ступа ю тв явно м ви де , в о ста льны х случа ях е г о и спо льзо ва ни е тр е б уе ти зве стно й тр е ни р о вки . П р ямо й ме то д пр и ме ни м для по стр о е ни я ка к I - , та к и U-г р а фо в, о да ко по стр о е ни е U-г р а фа пр о ще и на г лядне е , по ско льку е г о узлы со о тве тствую тузла м эле ктр и че ско й сх е мы , та к что в да льне й ш е м мы о г р а ни чи мся р а ссмо тр е ни е м то лько U-г р а фо в. 1.4.1. П о стр о е ни е U-г р а фо в о б р а ти мы х це пе й

18 П р о це сс пр ямо г о по стр о е ни я U-г р а фа о б р а ти мо й эле ктр и че ско й це пи со сто и т и з двух эта по в: о пр е де ле ни я U-г р а фа па сси вно й ча сти и по дклю че ни я и сто чни ко в (то ка и /и ли на пр яж е ни я). Для по стр о е ни я не но р ма ли зо ва нно г о Uг р а фа па сси вно й це пи не о б х о ди мо : 1) на по ле г р а фа на не сти узлы , со о тве тствую щи е узло вы м по те ци а ла м U1, U2,… ,Un; 2) со е ди ни ть ка ж дую па р у узло в двумя пр о ти во по ло ж но на пр а вле нны ми ве твями с пе р е да ча ми -Yik, г де Yik – вза и мна я пр о во ди мо сть узло в i и k (пр о во ди мо сть эле ме нта , со е ди няю ще г о ука за нны е узлы ). 3) по стр о и ть в узла х г р а фа пе тли с пе р е да ча ми 1+ Yii, г де Yii – со б стве нна я пр о во ди мо сть узла i, р а вна я сумме пр о во ди мо сте й все х эле ме нто в, по дклю че нны х к да нно му узлу. Для по дклю че ни я и сто чни ко в то ка , пр и со е ди не нны х к узла м k, l, m,… сх е мы , на по ле U-г р а фа па сси внно й ча сти на но сят до по лни те льны е узлы , со о тве тствую щи е эти м и сто чни ка м, и со е ди няю ти х с узла ми k, l, m,… ве твями с пе р е да че й –1. Если в сх е ме пр и сутствую ти сто чни ки на пр яж е ни я, то и х ли б о пр е о б р а зую т r в и сто чни ки то ка (см. р и с. 1.8), ли б о и х зна че ни я вво дятв со ста в пе р е ме нны х U и де й ствую тпо о б ы чно й сх е ме для па сси вно й це пи . Для по луче ни я но р ма ли зо ва нно г о U-г р а фа мо ж но и склю чи ть пе тли в не но р ма ли зо ва нно м и ли во спо льзо ва ться сле дую ще й пр о це дур о й : 1) на по ле г р а фа на но сятузлы по те нци а ло в U1, U2,… ,Un и узлы и сто чни ко в

I1, I2,… ,In (E1, E2,… ,En); 2) ка ж дую па р у узло в U1, U2,… ,Un со е ди няю тдвумя пр о ти во по ло ж но на пр а вле нны ми ве твями с пе р е да ча ми Yik/ Ykk - о т узла i к узлу k и Yik/ Yii – о т узла k к узлу i, т.е . р а вны ми о тно ш е ни ю вза и мно й пр о во ди мо сти к со б стве нно й пр о во ди мо сти то г о узла , куда на пр а вле на да нна я ве твь; 3) пр и со е ди няю т и сто чни ки то ка ве твями с пе р е да ча ми 1/Ykk, 1/Yll,… ,1/Ymm, г де Ykk, Yll, Ymm –со б стве нны е пр о во ди мо сти узло в, к ко то р ы м по дклю че ны эти и сто чни ки ; и сто чни ки на пр яж е ни я E1, E2,… пр и со е ди няю тве твями с пе р е да ча ми YE1/ Ykk, YE2/ Yll,... , г де YE1, YE2,… - пр о во ди мо сти эле ме нто в, со е ди няю щи х E1, E2,… с о ста льно й эле ктр и че ско й це пью . Ра ссмо тр е нны е пр а ви ла по сто е ни я U-г р а фо в до ста то чно по лно пр о и ллю стр и р о ва ны в та б л. 1.5. 1.4.2. П о стр о е ни е U-г р а фо в це пе й о б ще г о ви да П р ямо й ме то д по стр о е ни я U-г р а фо в це пе й , со де р ж а щи х не о б р а ти мы е эле ме нты , о сно ва н на сло ж е ни и не но р ма ли зо ва нны х г р а фо в о б р а ти мо й ча сти и не о б р а ти мы х эле ме нто в (эле ктр о нны х ла мп, тр а нзи сто р о в, тр а нсфо р ма то р о в), г де U-г р а фы по сле дни х стр о ятся по ви ду и х Y-ма тр и ц и о б ы чно пр и во дятся в спр а во чны х та б ли ца х [5]. П р а ви ло о б р а зо ва ни я сумма р но г о г р а фа со сто и тв со вме ще ни и узло в-пе р е ме нны х , о б щи х для г р а фо в-сла г а е мы х , сло ж е ни и пе р е да чо дно на -

19 пр а вле нны х ве тве й и о б ъе ди не ни и пе те ль, пр и че м пр и сло ж е ни и ка ж до й па р ы пе те ль и з пе р е да чи о б ще й пе тли до лж на вы чи та ться е ди ни ца (р и с. 1.9). П р и на ли чи и не ско льки х не но р ма ли зо ва нны х по дг р а фо в о ни скла ды ва ю тся по сле до ва те льно .

1+Y′ii 1+Y′kk Y′ki i

k

1+Y′′ii

+

Y′ik

1+Y′′kk

Y′′ki i

k Y′′ik

1+Y′ii +Y′′ii 1+Y′kk +Y′′kk

=

Y′ki+Y′′ki k

i Y′ik+Y′′ik

Ри с. 1.9. О б р а зо ва ни е сумма р но г о г р а фа и з по дг р а фо в-сла г а е мы х , и ме ю щи х о б щи е узлы 1.5 Ра сче ты эле ктр и че ски х це пе й пр и по мо щи г р а фо в Ре ш е ни е г р а фа эле ктр и че ско й це пи по зво ляе т о пр е де ли ть пе р е ме нны е в узла х (ко нтур ны е то ки и ли узло вы е на пр яж е ни я), и з ко то р ы х мо ж но на й ти все о ста льны е х а р а кте р и сти ки а на ли зи р уе мо й сх е мы . О дна ко за ча стую и нте р е с пр е дста вляе тне са ми то ки и ли на пр яж е ни я, а и х о тно ш е ни е , т.е . вх о дны е и ли пе р е да то чны е функци и це пи . О ка за ло сь, что эти функци и мо ж но о пр е де лять не по ср е дстве нно че р е з со о тве тствую щи е пе р е да чи си г на льны х г р а фо в. Ф о р мулы для за пи си вх о дно г о со пр о ти вле ни я Zвх и вх о дно й пр о во ди мо сти Yвх двух по лю сни ко в,

ко эффи ци е нты пе р е да чи на пр яж е ни я в р е ж и ме х о ло сто г о х о да K хUх и ко эффи ци е нта пе р е да чи то ка в р е ж и ме ко р о тко г о за мы ка ни я K кI .з. че ты р е х по лю сни ко в че р е з пе р е да чи U- и I-г р а фо в пр и ве де ны в та б л. 1.6. П е р е да то чны е пр о во ди мо сть Yп и со пр о ти вле ни е Zп мо ж но по лучи ть со г ла сно

YП = KU YН; ZП = KI ZН,

(1.11) (1.12)

г де KU, KI – ко эффи ци е нты пе р е да чи на пр яж е ни я и то ка со о тве тстве нно пр и на ли чи и на г р узки Zн = 1/ Yн. П р и ме р по стр о е ни я U-г р а фо в для о пр е де ле ни я вх о дно г о со пр о ти вле ни я ZВ Х па сси вно й RC-це пи 1-г о по р ядка пр е дста вле н на р и с. 1.10, и з ко то р о г о ви дно , что

ZВ Х =

UВ Х R 1 = G10 = =R+ . 1 IВ Х pC 1− 1 + pRC

Не по ср е дстве нно е вы чи сле ни е ZВ Х да е тто тж е р е зульта т.

20 П р и р е а ли за ци и а на ло г о вы х ИС о со б а я р о ль ка к б а зо во му эле ме нту о тво ди тся о пе р а ци о нно му уси ли те лю (О У). С х е мно е о б о зна че ни е , не но р ма ли зо ва нны й и но р ма ли зо ва нны й U-г р а фы и де а льно г о О У (RВ Х →∞, RВ Ы Х →∞, µ→∞) пр и ве де ны на р и с. 1.11. П р и по стр о е ни и г р а фо в а на ло г о вы х устр о й ств на о сно ве О У о ка за ло сь, что U-г р а ф О У мо ж но пр и со е ди нять к о ста льно й (вза и мно й ) ча сти в но р ма ли зо ва нно м ви де (р и с. 1.11в), по ско льку е г о YВ Ы Х →∞, что а вто ма ти че ски уб и р а е твсе вх о дящи е в узе л U3 ве тви (и х пе р е да чи б удут р а вны нулю ), о ста вляя то лько вы х о дны е (о б р а тны е связи ). П р и ме р ы о пр е де ле ни я пе р е да то чны х функци й а на ло г о вы х це пе й на о сно ве О У с по мо щью С Г , р е ко ме ндуе мы е для са мо сто яте льны х упр а ж не ни й , пр и ве де ны в та б ли це 1.7. В за клю че ни е за ме ти м, что пр и о пр е де ле нны х усло ви ях С Г мо ж е т б ы ть и спо льзо ва н для о пр е де ле ни я не то лько функци й це пи , но и др уг и х х а р а кте р и сти к сх е мы . На пр и ме р , е сли стр уктур на я сх е ма устр о й ства с О С со де р ж и т па р а ме тр эле ме нта k то лько в о дно й ве тви г р а фа (р и с. 1.12), то чувстви те льно сть S H k ко эффи ци е нта пе р е да чи H о тно си те льно k, о пр е де ляе мую со о тно ш е ни е м

SH k =

dH / H d (ln H) k dH = = , dk / k d (ln k ) h dk

(1.13)

1  Hk  1 − , Fk  H 

(1.14)

мо ж но вы р а зи ть ка к

SH k =

г де Fk = ∆/∆k – во звр а тна я р а зно сть (г луб и на О С );

Сх е ма Ф ункци я це пи

N

N

UВ Х IВ Х

k

i

IВ Х

k

k

Та б ли ца 1.7

N

UВ Х

UВ Ы Х

k

i IВ Х

N

IВ Ы Х

UВ Х

ZВ Х =

UВ Х = IВ Х

U = G ki

k – узе л, ∈ UВ Х ; i – узе л, ∈ IВ Х .

YВ Х =

IВ Х = UВ Х

= G Iki

k – узе л, ∈ IВ Х ; i – узе л, ∈ U В Х .

K хUх =

UВ Ы Х = UВ Х

U = G ki

K кз U =

IВ Ы Х = IВ Х

= G Iki

k – узе л, ∈ UВ Ы Х ; k – узе л, ∈ IВ Ы Х ; i – узе л, ∈ UВ Х . i – узе л, ∈ IВ Х .

21

а)

б)

в)

1+1/R 1+1/R+pC

R

1 0 -1

C UВ Ы Х

UВ Х IВ Х

IВ Х

1-1/R UВ Х

0

2 UВ Ы Х

R

IВ Х

1 UВ Х

-1/R

2 UВ Ы Х 1 1 + pRС

Ри с. 1.10. С х е ма (а ), не но р ма ли зо ва нны й (б ) и но р ма ли зо ва нны й (в) U-г р а фы па сси вно г о RC-Ф НЧ пе р во г о по р ядка

а)

б) U2

_

U1

+

U2

U3

µ

U1

в)

µ −1 µ

-1

U2

-µ U3

U3

U1

1

µ

Ри с. 1.11. О б о зна че ни е о пе р а ци о нно г о уси ли те ля (а ), е г о не но р ма ли зо ва нны й (б ) и но р ма ли зо ва нны й U-г р а фы

а)

б) b

1

UВ Х

a

2

k

3

UВ Ы Х

1

2

a

3 k

b Ри с. 1.12. С тр уктур на я сх е ма (а ) и си г на льны й г р а ф (б ) це пи с О С о тно си те льно па р а ме тр а k

22 Та б ли ца 1.7 С х е ма

N

Но р ма ли зо ва нны й г р а ф Т Т2

1

R1 2

1

+

UВ Х

1

R2

3

µ→∞

R1 2 2

+

1

R 2

1

+

3 UВ Х

R

4

1

1

5

3 2

+

UВ Х С

3 UВ Ы Х

2 -µ 1

3

1

UВ Ы Х

4

1

Т1 2

µ→∞

UВ Ы Х

Т1 2

R1 3

2 + 1 UВ Х

R2

4 UВ Ы Х

С µ→∞

4

-µ

Т4

Т1

-

1 pRC

-

и де а льны й и нве р ти р ую щи й и нте г р а то р

-µ

K U = G 41 =

1 - и де pRC

а льны й не и нве р ти р ую щи й и нте г р а то р

K U = G 41 = −

Т2 3 -µ 4

Т2 3

1

R2 R1

Т2

T1 = Y1/(Y1+Y2+Y 3); T2 = Y2/(Y 2+pC); T3 = Y2/(Y1+Y 2+Y 3); T4 = pC/(Y+pC)

4

+

3

-µ

+µ T1=Y/(Y+pC); T2=pC/(Y+pC)

1

ли те ль с о тр и ца те льны м уси ле ни е м

K U = G 31 = −

T1=Y/(Y+pC); T2=pC/(Y+pC)

UВ Ы Х µ→∞

3 -

6

Т2 2

3

С

R2 - уси R1

3 уси ли те ль с по ло ж и те льT=Y /(Y +Y ) 2 1 2 +µ ны м уси ле ни е м Т1

С

R3

3

K U = G 31 = −

K U = G 31 = 1 +

Т3

R1 R2

-µ

Т

UВ Х

2

2

T1=Y 1/(Y1+Y2); T2=Y2/(Y 1+Y2)

С

µ→∞

R

UВ Ы Х

R2

µ→∞

UВ Х

1

Ф ункци я це пи

4 +µ

2 Т3 T1=Y/(Y+pC); T2=Y1/(Y1+Y2); T3=Y2/(Y 1+Y2)

1 , pR Э C

R R R Э = R1 + R 2 + 1 2 R3

-

и нте г р а то р с во змо ж но й τЭ → ∞ (R3 → ∞)

R2 R1 K U = G 41 = − = 1 + pRC 1 − pRC = [R 1 = R 2 ] = 1 + pRC 1−

- фа зо вы й ко нтур 1-г о по р ядка

23 ∆ - о пр е де ли те ль г р а фа ; ∆k, H k – о пр е де ли те ль и ко эффи ци е нтпе р е да чи г р а фа пр и k = 0. Ре ш е ни е во пр о са о це ле со о б р а зно сти по стр о е ни я но р ма ли зо ва нно г о и ли не но р ма ли зо ва нно г о г р а фа в о б ще м случа е о ста е тся о ткр ы ты м: но р ми р о ва нны й г р а ф по стр уктур е пр о ще (у не г о не тпе те ль), но вы р а ж е ни я пе р е да чве тве й пр о ще у не но р ма ли зо ва нно г о г р а фа . Кр о ме то г о , о пе р а ци я сло ж е ни я пр о ще р е а ли зуе тся для не но р ма ли зо ва нны х г р а фо в. За ме ти м е ще о дно ва ж но е о б сто яте льство . П р и по стр о е ни и но р ма ли зо ва нно г о г р а фа не во зни ка е тни ка ки х за тр удне ни й , связа нны х с р а зме р но стями узло в и пе р е да чве тве й , по ско льку ка ж до е ур а вне ни е р е ш а е тся о тно си те льно за ви си мо г о узла , ко то р ы й р а ссма тр и ва е тся ка к сле дстви е . С о все м не та к о б сто и тде ло пр и по стр о е ни и не но р ма ли зо ва нно г о г р а фа , ко г да к пр а во й и ле во й ча сти и сх о дно г о ур а вне ни я (1.3) до б а вляе тся ма тр и ца [X], по ско льку, стр о г о г о во р я, до б а влять [X] мо ж но то лько в то м случа е , е сли эле ме нты ма тр и цы ко эффи ци е нто в [B] б е зр а зме р ны , пр и че м и сто чни ки fi и ме ю тр а зме р но сть X. Э то г о мо ж но до сти чь пр е два р и те льно й но р ми р о вко й (1.3) [5], о дна ко о б ы чно по ступа ю тсле дую щи м о б р а зо м: по стр о е ни е не но р ма ли зо ва нно г о г р а фа р а ссма тр и ва ю тка к вспо мо г а те льную (пр и не о б х о ди мо сти ) о пе р а ци ю , а все тр е б уе мы е вы чи сле ни я пр о во дят с но р ма ли зо ва нны ми г р а фа ми , пр о ве р яя со о тве тстви е ме ж ду р а зме р но стями пе р е ме нны х в узла х и пе р е да ча ми ве тве й . 2. НЕНА П РА В Л ЕННЫ Е (ТО П О Л О Г ИЧ ЕС КИЕ) Г РА Ф Ы Ка к уж е упо ми на ло сь, ме то д узло вы х на пр яж е ни й являе тся са мы м р а спр о стр а не нны м ма тр и чны м ме то до м в а на ли зе эле ктр о нны х сх е м . О н по ло ж е н в о сно ву са мы х эффе кти вны х а лг о р и тмо в ко мпью те р но г о мо де ли р о ва ни я х а р а кте р и сти к и нте г р а льны х сх е м. Ег о пр и ме не ни е связа но с фо р ми р о ва ни е м не о пр е де ле нно й ма тр и цы пр о во ди мо сте й сх е мы и по сле дую щи м вы чи сле ни е м е е о пр е де ли те ля и а лг е б р а и че ски х до по лне ни й . На х о ж де ни е о пр е де ли те ля - пр о це сс тр удо е мки й , и это о г р а ни чи ва е тпр и ме не ни е ме то да , о дна ко пр и вле че ни е то по ло г и че ски х по няти й да е т во змо ж но сть зна чи те льно упр о сти ть пр о це дур у а на ли за . С тр уктур а ма тр и цы пр о во ди мо сте й по лно стью о пр е де ляе тся то по ло г и е й , т.е . вза и мны м р а спо ло ж е ни е м и вза и мо связью узло в и ве тве й це пи , и эта то по ло г и я мо ж е тб ы ть пр е дста вле на в ви де не на пр а вле нно г о г р а фа , в ко то р о м ве тви и узлы со о тве тствую т ве твям и узла м и сх о дно й эле ктр и че ско й сх е мы . О пр е де ли те ль ма тр и цы вы р а ж а е тся суммо й пр о и зве де ни й о тде льны х путе й г р а фа , на х о ж де ни е ко то р о й мо ж но стр о г о фо р ма ли зо ва ть. П р и это м о б ъе м вы чи сле ни й зна чи те льно со кр а ща е тся, по ско льку и з это й пр о це дур ы и склю ча ю тся сла г а е мы е , р а вны е по зна че ни ю и пр о ти во по ло ж ны е по зна ку. П р и ме не ни е не на пр а вле нны х г р а фо в о со б е нно эффе кти вно пр и а на ли зе сх е м, со сто ящи х и з двух по лю сны х па сси вны х эле ме нто в. В и ны х случа ях не о б х о ди мы мо де ли эле ме нто в, со де р ж а щи е то лько двух по лю сны е пр о во ди мо сти .

24 2.1. О пр е де ле ни я и о сно вна я фо р мула П р и ме р стр уктур ы не на пр а вле нно г о г р а фа пр и ве де н на р и с. 2.1а , на р и с. 2.1б - е г о де р е вья, на р и с. 2.1в - во змо ж ны е пути ме ж ду узла ми . О сно вно й фо р муло й не на пр а вле нны х г р а фо в являе тся вы р а ж е ни е

I B m, n

=

1 N ∑ Cr ∆ r , ∆ r =1

(2.1)

г де I - то к, пр о те ка ю щи й по не ко то р о й вы б р а нно й ве тви г р а фа , по о тно ш е ни ю к ко то р о й и о пр е де ляе тся вх о дна я и вза и мна я пр о во ди мо сть; B - на пр яж е ни е и ли то к и сто чни ка си г на ла , пр и со е ди не нно г о к узла м m и n; С r - пр о и зве де ни е пр о во ди мо сте й ве тве й пути ме ж ду узла ми m и n, пр о х о дяще г о по вы б р а нно й ве тви ; ∆ - о пр е де ли те ль и сх о дно й сх е мы ; ∆r – о пр е де ли те ль сх е мы , по луче нно й и з и сх о дно й пр и за ко р а чи ва ни и ве тве й вы б р а нно г о пути С . В а ж но о тме ти ть, что пути мо г утвклю ча ть вы б р а нную ве твь в пр о ти во по ло ж ны х на пр а вле ни ях , что до лж но о тр а ж а ться зна ко м сла г а е мо г о . Ч и сло сла г а е мы х в сумме р а вно чи слу все х во змо ж ны х путе й ме ж ду узла ми m и n г р а фа . П р а ва я ча сть по стр уктур е а на ло г и чна фо р муле М эзо на . Ее мо ж но пр и ме нять для о пр е де ле ни я вх о дно й и вза и мно й пр о во ди мо сте й , пе р е да чи по то ку и на пр яж е ни ю и т.д. 2.2. М е то ды р а зло ж е ни я о пр е де ли те ля, и х ср а вни те льны й а на ли з М о ж но по ка за ть, что о пр е де ли те ль г р а фа р а ве н сумме пр о и зве де ни й пр о во ди мо сте й ве тве й все х де р е вье в г р а фа . О дна ко по ско льку пе р е чи сле ни е все х де р е вье в г р а фа за и склю че ни е м тр и ви а льны х случа е в - за да ча не пр о ста я, на х о ж де ни е о пр е де ли те ля о суще ствляе тся о дни м и з двух спо со б о в, о пи са нны х ни ж е . 2.2.1. Ра зло ж е ни е о пр е де ли те ля по узлу П р е дпо ло ж и м, что к не ко то р о му узлу S по дх о дятn ве тве й с пр о во ди мо стями g1, g2,...,gn. О пр е де ли те ль р а скр ы ва е тся по узлу в со о тве тстви и с вы р а ж е ни е м:

∆ = ∑ g i ∆ i + ∑ g i g j∆ ij + ∑ g i g jg k ∆ ijk +... + g i g jg k ...g n ∆ ijk ...n. Зде сь

∑ g i ∆ i = g1∆1 + g 2 ∆ 2 + ... + g n ∆ n ;

25

б)

a)

a

в)

c

b

c

b

a

f d

c

b

a

c

b

a

d

e

e

b

a

f

b

a

f e

Ри с. 2.1. П р и ме р не на пр а вле нно г о г р а фа и е г о со ста вляю щи х 1 a

a) f

c b

1

б)

в)

с

d e

e

c

b

c

b 1

e

b

д)

г)

c

e

e

b

c

1

e b

Ри с. 2.2. Ра зло ж е ни е о пр е де ли те ля по узлу 1

a)

1 f

1 e

a c b

a

d e

б)

4 c

4 b

д)

в)

1 d

f

b 4

f

f

e)

b

4

4

a b c

1 f

c

e

a

c e

1 a

г)

c

e 4

Ри с. 2.3. Ра зло ж е ни е о пр е де ли те ля по со во купно сти путе й ме ж ду двумя узла ми

26

∆k - о пр е де ли те ль, по луча ю щи й ся и з о пр е де ли те ля и сх о дно й сх е мы путе м за ко р а чи ва ни я ве тви gk и и склю че ни я все х о ста льны х ве тве й , по дх о дящи х к узлу S;

∑ g i g j∆ ij = g1g 2 ∆12 + g1g 3∆13 + ... + g 2g 3∆ 23 + ... ;

∆kr - о пр е де ли те ль, по луча ю щи й ся и з о пр е де ли те ля и сх о дно й сх е мы пр и о дно вр е ме нно м за ко р а чи ва ни и ве тве й gk и gr и и склю че ни и и з сх е мы все х о ста льны х ве тве й , по дх о дящи х к узлу S;

∑ g i g jg k ∆ ijk = g1g 2g 3∆123 + g1g 2g 4 ∆124 + ... + g 2g 3∆ 23 + ... ; ∆ij… n - о пр е де ли те ль, по луча ю щи й ся и з о пр е де ли те ля и сх о дно й сх е мы пр и о дно вр е ме нно м за ко р а чи ва ни и ве тве й g1, g2,...,gn и пр и и склю че ни и все х о ста льны х ве тве й , по дх о дящи х к узлу S, по ко то р о му пр о и зво ди тся р а зло ж е ни е . П р и о дно вр е ме нно м за ко р а чи ва ни и все х ве тве й , по дх о дящи х к узлу S, сх е ма не р е дко вы р о ж да е тся в то чку и то г да о пр е де ли те ль р а ве н е ди ни це . 2.2.2. Ра зло ж е ни е о пр е де ли те ля по путям ме ж ду двумя пр о и зво льно вы б р а нны ми узла ми . В ка че стве узло в сле дуе т вы б и р а ть та ки е , о тно си те льно ко то р ы х сх е ма на и б о ле е си мме тр и чна . Э то упр о ща е т р а сче ты . О пр е де ли те ль пр е дста вляе тся вы р а ж е ни е м:

∆ = ∑ Pk ∆ k , г де Pk - пр о и зве де ни е пр о во ди мо сте й k-г о пути ме ж ду вы б р а нны ми узла ми ; ∆k- о пр е де ли те ль, р а ссчи та нны й для сх е мы , по луче нно й и з и сх о дно й пр и за ко р а чи ва ни и ве тве й , пр е дста вляю щи х k-й путь. 2.2.3. С р а вни те льны й а на ли з спо со б о в р а зло ж е ни я Ра ссмо тр и м о б а спо со б а р а зло ж е ни я на ко нкр е тно м пр и ме р е , т.е . на й де м о пр е де ли те ль ∆ для о дно й и то й ж е мо сто во й скр е ще нно й сх е мы , г р а ф ко то р о й пр и ве де н на р и с. 2.2а . 1) С на ча ла на х о ди м о пр е де ли те ль путе м р а зло ж е ни я по узлу 1. К это му узлу по дх о дятве тви a, d, f, по это му

∆ = a∆ a + d∆ d + f∆ f + af∆ af + ad∆ ad + df∆ df + adf ⋅1 .

∆a на х о ди м для по дг р а фа р и с. 2.2б , ко то р ы й по луче н и з и сх о дно г о за ко р а чи ва ни е м ве тви a и и склю че ни е м ве тве й d и f. Ег о ве ли чи ну мо ж но о пр е де ли ть, пр и ме няя р а ссма тр и ва е мы й спо со б и ли пр е дста ви в ка к сумму пр о во ди мо сте й все х во з-

27 мо ж ны х де р е вье в : ∆a = ce + cb + be. Для о пр е де ле ни я ∆j служ и тр и с. 2.2в и для о пр е де ле ни я ∆f –р и с. 2.2г ; и з ко то р ы х сле дуе т ∆d = ∆f = ∆a. Да ле е , в со о тве тстви и с р и с. 2.2д

∆ad = b + c; ∆af = b + e; ∆df = c + e. Та ки м о б р а зо м,

∆ = (a + d + f)(ce + cb + be) + ad(b + c) + af(b + e) + df(c + e) + adf. 2) Те пе р ь на х о ди м о пр е де ли те ль р а зло ж е ни е м по путям ме ж ду узла ми 1 и 4. На р и с 2.3б – 2.3е по ка за ны пять во змо ж ны х путе й ме ж ду узла ми 1 и 4 и со о тве тствую щи е и м по дг р а фы для на х о ж де ни я ∆k. П е р е да ча пе р во г о пути по ве твям a и e р а вна пр о и зве де ни ю пр о во ди мо сте й ве тве й это г о пути : P = ae. П р и за ко р а чи ва ни и ве тве й a и e по дг р а ф б уде тпр е дста влять со б о й па р а лле льно е со е ди не ни е ве тве й f, c, b. С ле до ва те льно , ∆1 = f + c + b. В то р о й путь по ве твям f, b (р и с. 2.3в): P2 = fb; ∆2 = a +e + c. Тр е ти й путь по ве тви d (р и с. 2.3г ): P3 = d; ∆3 = (a + e)c + (a + e)(f + b) + c(f + b). Ч е тве р ты й путь по ве твям a, c, b (р и с. 2.3д) P4 = acb, ∆4 = 1 (та к ка к пр и за ко р а чи ва ни и ве тве й a, c, b г р а ф вы р о ж да е тся в то чку). П яты й путь по ве твям f, c, e (р и с. 2.3е ) P5 = fce, ∆5 = 1. Та ки м о б р а зо м,

∆ = ae(f + c + b) + fb(a + e + c) + d[(a + e)c + (a + e)(f + b) + (f + b)c] + + acb + fce р е зульта тсо впа да е тс пе р во на ча льны м по дсче то м. 2.3. П р и ме не ни е о сно вно й фо р мулы О б о зна чи м че р е з m и n узлы г р а фа , к ко то р ы м пр и со е ди няе тся ве твь, со де р ж а ща я и сто чни к си г на ла . П о ла г а е м, что о н пр е дста вляе тсо б о й и сто чни к на пр яж е ни я и ли и сто чни к то ка . Если и сто чни ко в си г на ла б о льш е , сле дуе т пр и ме ни ть пр и нци п супе р по зи ци и , р а ссчи та в р е а кци ю сх е мы на ка ж до е во зб уж де ни е в о тде льно сти . В ка че стве то ка I в чи сли те ле ле во й ча сти фо р мулы (2.1) б е р утто к вы х о дно й ве тви . Для о пр е де ле ни я зна ка С r сле дуе тпр о и зво льно вы б р а ть по ло ж и те льно е на пр а вле ни е то ка вы х о дно й ве тви и о б о зна чи ть е г о стр е лко й . П р и пр о х о ж де ни и ве тви в со о тве тстви и с на пр а вле ни е м стр е лки , сла г а е мо е учи ты ва е тся со зна ко м плю с, в пр о ти во по ло ж но м случа е - со зна ко м ми нус. П р и на х о ж де ни и о пр е де ли те ля сх е мы сле дуе т учи ты ва ть внутр е нне е со пр о ти вле ни е и сто чни ка си г на ла . П р и и сто чни ке на пр яж е ни я то чки m и n за ко р а чи ва ю тся (внутр е нне е со пр о ти вле ни е и сто чни ка р а вно нулю ), для и сто чни ка то ка о пр е де ли те ль р а ссчи ты ва е тся пр и р а зо р ва нны х то чка m и n.

28 Ра ссмо тр и м не ско лько пр и ме р о в на пр и ме не ни е фо р мулы (2.1). П р и ме р 1. На й де м вза и мную пр о во ди мо сть ве тви с и сто чни ко м на пр яж е ни я EВ Х для ве тви с пр о во ди мо стью e (р и с. 2.4а ). За по ло ж и те льно е вы б и р а е м на пр а вле ни е , ука за нно е стр е лко й . Ита к, со г ла сно (2.1) и ме е м

Ie ∑ Cr ∆ r . = EВ Х ∆ В г р а фе е сть два пути ме ж ду узла ми m и n, ко то р ы е пр о х о дятче р е з ве твь e. П е р вы й ука за н на р и с. 2.4б – С 1 = aeb. П р и за ко р а чи ва ни и путе й a, e, b г р а ф вы р о ж да е тся в то чку, по это му ∆1 = 1. В то р о й путь С 2 пр о х о ди тпо ве твям d, e, c (р и с. 2.4в), С 2 = -dec и ∆2 = 1. Для на х о ж де ни я о пр е де ли те ля все й сх е мы за ко р а чи ва е м узлы m и n, по луча е м г р а ф р и с. 2.4г . П о ско льку пр и па р а лле льно м со е ди не ни и пр о во ди мо сти скла ды ва ю тся, пе р е х о ди м к г р а фу р и с. 2.4д. Г р а ф не сло ж ны й , о пр е де ли те ль мо ж но на й ти пе р е чи сле ни е м де р е вье в: ∆ = e(a + b + c + d) + (a + c)(b + d) . Та ки м о б р а зо м,

IВ Ы Х C ∆ + C2 ∆ 2 acb − dec = 1 1 = . EВ Х ∆ e(a + b + d) + (a + c)(b + d ) Для на х о ж де ни я ко эффи ци е нта пе р е да чи по на пр яж е ни ю до ста то чно по луче нно е вы р а ж е ни е р а зде ли ть на пр о во ди мо сть ве тви e, по ско льку вы х о дно е на пр яж е ни е р а вно о тно ш е ни ю вы х о дно г о то ка к пр о во ди мо сти вы х о дно й ве тви :

UВ Ы Х ab − dc = EВ Х e(a + b + c + d) + (a + c)(b + d)

П р и ме р 2 О пр е де ли м вх о дную пр о во ди мо сть сх е мы р и с. 2.5а . Для е е вы чи сле ни я до лж ны б ы ть учте ны все во змо ж ны е пути ме ж ду узла ми m и n. П о лучи м че ты р е сла г а е мы х в со о тве тстви и с р и с. 2.5б - 2.5д. В се сла г а е мы е чи сли те ля б е р утся по ло ж и те льны ми , по ско льку на пр а вле ни я все х че ты р е х путе й взяты в ви де пр о до лж е ни я по ча со во й стр е лке на пр а вле ни я вх о дно г о то ка . На р и с. 2.5е пр е дста вле н г р а ф для на х о ж де ни я о пр е де ли те ля. Та ки м о б р а зо м,

IВ Х ab(d + c + e) + de(a + c + b) + dcb ⋅1 + ace ⋅1 = . EВ Х (a + b)(d + e) + (a + b)c + (d + e)c

П р и ме р 3. О пр е де ли м ко эффи ци е нтпе р е да чи по на пр яж е ни ю пе р е кр ы то г о RC-мо ста (р и с. 2.6а ). В ы х о дно е на пр яж е ни е и зме р яе тся о тно си те льно "зе мли ", ко то р а я не связа на о тде льно й ве твью с вы х о дны м узло м. Для пр и ме не ни я о сно вно й фо р мулы мо ж но вве сти эту ве твь и в ко не чно м вы р а ж е ни и пр и р а внять нулю е е пр о во ди мо сть. Та ка я пр о це дур а пр и во ди тк вы р а ж е ни ю

29 m a f EВ Х

m

б)

d e

c n b

в)

m a e

г)

n

a c

b

д)

n

a+с e

e

d

b

d e

c

b+d

Ри с.2.4. Иллю стр а ци я вы чи сле ни я вза и мно й пр о во ди мо сти m

a)

б) d

a

в)

m

г)

m

d

a

d

c EВ Х

b n

c e

n

m

д)

b

e

b n

n

е)

a

d+e

a+b c

c e

n Ри с. 2.5. П о сле до ва те льно сть р а сче та вх о дно й пр о во ди мо сти a

C1

a)

b R2 C2

R1 a

б)

c d

в) b

EВ Х с

b

c d

г)

a

b+d

a

с

b+d

с

1

Ри с. 2.6. Иллю стр а ци я р а сче та ко эффи ци е нта пе р е да чи пе р е кр ы то г о RC-мо ста

30

U pq B mn

=

1 N ∑ Cr ∆ r , ∆ r =1

г де Upq - на пр яж е ни е ме ж ду узла ми p и q, все во змо ж ны е пути вклю ча ю тузлы p и q б е з уче та пр о во ди мо сти ме ж ду ни ми , а о пр е де ли те ли р а ссчи ты ва ю тся о б ы чны м о б р а зо м. Ита к, суще ствуе тдва пути о ти сто чни ка си г на ла к вы х о дно му узлу, о ни пр е дста вле ны на р и с. 2.6б и р и с. 2.6в вме сте с по дг р а фа ми для о пр е де ле ни я ∆r. На р и с. 2.6г пе р е чи сле ны все де р е вья и сх о дно г о г р а фа . Та ки м о б р а зо м, р е зульта тмо ж но пр е дста ви ть та к:

U 30 a (b + с + в) + bc pC1 (G1 + G 2 + pC 2 ) + G1G 2 = = = EВ Х (a + c)(b + d) + ac (pC1 + G 2 )(G1 + pC 2 ) + pC1G 2 =

p 2 C1C 2 R 1R 2 + pC1 (R 1 + R 2 ) + 1 p 2 C1C 2 R 1R 2 + p(C1R 1 + C 2 R 2 + C 2 R 1 ) + 1

.

2.4. П р и ме р ы со вме стно г о и спо льзо ва ни я си г на льны х и то по ло г и че ски х г р а фо в пр и а на ли зе А ИС Если пр и ме не ни е си г на льны х г р а фо в эффе кти вно для сх е м с пр е о б ла да ни е м б уфе р ны х а кти вны х эле ме нто в (уси ли те ле й на пр яж е ни я), и спо льзо ва ни е не на пр а вле нны х г р а фо в о пр а вда но для а на ли за це пе й , со де р ж а щи х , в о сно вно м, двух по лю сни ки , то для сх е м, со сто ящи х и з па сси вно й це пи с о дни м-двумя уси ли те лями , це ле со о б р а зе н сме ш а нны й спо со б а на ли за . На р и с. 2.7а пр и ве де на о б о б ще нна я сх е ма а кти вно г о фи льтр а с уси ли те ле м на пр яж е ни я. Ее си г на льны й г р а ф пр и ве де н на р и с. 2.7б , пр и это м Т21 - пе р е да ча о тузла 1 к узлу 2, Т32 - пе р е да ча о т 3 к 2. О б ща я функци я пе р е да чи , е сте стве нно , р а вна

H ( p) =

UВ Ы Х kT21 (p) = . UВ Х 1 − kT32 (p)

Для на х о ж де ни я ве ли чи н Т21 и Т32 да ле е и спо льзуе м не на пр а вле нны е г р а фы .

а)

б)

1 RC

2

K

3

T32

1

2 T21

3 K

Ри с. 2.7. А кти вны й фи льтр и е г о на пр а вле нны й г р а ф

31

а)

б) R1

UВ Ы

R2

R1

Х

R2

K С EВ Х

в)

С

1

R1

С

С

2

1

С

2

1

г)

R2

д) a

С

2

c

c b

d

d

b a

Ри с. 2.8. П р и ме р р а сче та функци и пе р е да чи П р и нци пи а льна я сх е ма RC-фи льтр а вто р о г о по р ядка пр и ве де на на р и с. 2.8а . С х е ма для вы чи сле ни я Т21 - на р и с. 2.8б (о тме ти м, что е мко сть С 1 за зе мле на , по ско льку вы х о дно е со пр о ти вле ни е уси ли те ля р а вно 0). Для о пр е де ле ни я Т32 нуж на сх е ма , пр е дста вле нна я на р и с. 2.8в (р е зи сто р R1 за зе мле н, т.к. внутр е нне е со пр о ти вле ни е и сто чни ка си г на ла р а вно 0). Г р а фы сх е м о ди на ко вы (р и с. 2.8г ), путь о ди н ac, о пр е де ли те ль на х о ди м, учи ты ва я, что и сто чни к си г на ла в о б о и х случа ях являе тся и сто чни ко м на пр яж е ни я с нуле вы м внутр е нни м со пр о ти вле ни е м. Г р а ф для вы чи сле ни я о пр е де ли те ля пр и ве де н на р и с. 2.8д. Име е м:

T21 =

ac bc ; T32 = . (a + b )(c + d) + cd (a + b)(c + d) + cd

О ста ло сь по дста ви ть зна че ни я пр о во ди мо сте й . В р е зульта те по луча е м функци ю пе р е да чи в ви де

H(p) =

1 p 2 R 1R 2 C1C 2 + p[C 2 (R 1 + R 2 ) + C1R 1 (1 − k )] + 1

.

3. КО НТРО Л Ь НЫ Е ЗА ДА НИЯ П О ИС П О Л Ь ЗО В А НИЮ С ИГ НА Л Ь НЫ Х И ТО П О Л О Г ИЧ ЕС КИХ Г РА Ф О В П РИ А НА Л ИЗЕ А ИС За да ни я по пр а кти че ско му и спо льзо ва ни ю ме то до в те о р и и г р а фо в для а на ли за и р а сче та х а р а кте р и сти к а на ло г о вы х ИС вклю ча ю тче ты р е о сно вны х р а зде ла , ка са ю щи х ся вы чи сле ни я пе р е да чС Г о тне за ви си мы х и за ви си мы х узло в, о пр е де -

32

ле ни я вх о дны х и пе р е да то чны х функци й а на ло г о вы х устр о й ств с а кти вны ми эле ме нта ми , а та кж е со вме стно г о и спо льзо ва ни я си г на льны х и то по ло г и че ски х г р а фо в пр и а на ли зе сло ж ны х си сте м с О С . 3.1 В ы чи сле ни е пе р е да чси г на льны х г р а фо в О пр е де ли ть пе р е да чи Gk1 и Glj, г де k, l, j – за ви си мы е узлы , си г на льны х г р а фо в (та б л. 3.1). В а р и а нты за да ю тся на б о р о м чи се л (N = 1,2,… 6; k,l,j = 2,3,… 6; l<j). Для уско р е ни я вы чи сле ни й (пр и не о б х о ди мо сти ) и спо льзо ва ть пр а ви ло Де зо е р а : пр и на х о ж де ни и пе р е да чи о тузла -и сто чни ка x1 к узлу xk все ве тви , не ка са ю щи е ся путе й о тx1 к xk, а та кж е ко нтур ы , ко то р ы е ка са ю тся эти х путе й , мо г ут б ы ть о тб р о ш е ны ; мо ди фи ка ци я это г о пр а ви ла для пе р е да чо тза ви си мо г о узла xj, связа нно г о то лько с узло м x1, пр и ве де на на р и с. 1.4. 3.2. О пр е де ле ни е вх о дны х и пе р е да то чны х функци й а на ло г о вы х сх е м на О У 3.2.1. П о стр о е ни е м и р е ш е ни е м U-г р а фа на й ти вх о дно е со пр о ти вле ни е ZВ Х пр и ве де нны х сх е м (та б л. 3.2) и х а р а кте р и х по ле зно г о пр и ме не ни я. Но ме р ва р и а нта со о тве тствуе тно ме р у сх е мы mn (m, n = 1, 2, 3). Та б ли ца 3.1 С тр уктур на я сх е ма г р а фа

N

1 1

2

С тр уктур на я сх е ма г р а фа

p

1 e

5

e

f 2 a

n

f g c d b 4 3 m

a

N

4

3

2

2

3

6

a

b

g

f 1 3

2 a

4 6

5

m 2 a

1

e

c m

d p

h

3 b f

h 5

4

3 b

d

h

f

1

6

4

h n 5 d

4 c

5 c

b

m g

g

n e

6

f 2

1 6

a m

e 3 e b g

n 5 c g

6 d

n 4 6 c d 5

33

3.2.2. В ы чи сле ни е м со о тве тствую щи х пе р е да чси г на льно г о г р а фа о пр е де ли ть пе р е да то чны е функци и на пр яж е ни я KU = UВ Ы Х /UВ Х а на ло г о вы х сх е м на о сно ве О У (та б л. 3.3) и по ясни ть по луче нны е вы р а ж е ни я. Но ме р сх е мы mn (m = 1,… ; n = 1, 2) со о тве тствую тно ме р у ва р и а нта .

3.3. С о вме стно е пр и ме не ни е С Г и ТГ пр и а на ли зе сло ж ны х сх е м с О С

Если а на ло г о во е устр о й ство со де р ж и тне б о льш о е чи сло а кти вны х эле ме нто в и сло ж ную вза и мную ча сть, то для е г о а на ли за це ле со о б р а зно и спо льзо ва ть сме ш а нны й ме то д, ко г да б ло чна я стр уктур а це пи пр е дста вляе тся си г на льны м г р а фо м, а пе р е да то чны е функци и со ста вляю щи х па сси вны х б ло ко в о пр е де ляю тся че р е з то по ло г и че ски е г р а фы . На пр и ме р , для стр уктур но й сх е мы с о дни м уси ли те ле м (р и с. 2.7а ), си г на льны й г р а ф ко то р о й и ме е т ви д р и с. 2.7б , пе р е да то чную функци ю на пр яж е ни я мо ж но за пи са ть ка к

KU =

UВ Ы Х kT21 = , UВ Х 1 − kT23

(3.1)

г де Т21 – функци я пе р е да чи по на пр яж е ни ю па сси вно й це пи T о тузла 1 к узлу 2 пр и за зе мле нно м узле 3; Т32 - а на ло г и чна я пе р е да ча о тузла 3 к узлу 2 пр и за зе мле ни и узла 1. k –ко эффи ци е нтуси ле ни я уси ли те ля. За ме ти м, что и з вто р о г о за ко на Ки р х г о фа для узло вы х на пр яж е ни й U1, U2, U3 мо ж но по лучи ть

Т21 + Т32 = 1,

(3.2)

т.е . по луче нны е и з T це пи с пе р е да ча ми Т31 и Т32 являю тся до по лняю щи ми . 3.3.1. С ме ш а нны м ме то до м о пр е де ли ть пе р е да то чную функци ю на пр яж е ни я KU а на ло г о вы х сх е м на о сно ве О У (та б л. 3.4); но ме р а ва р и а нто в со о тве тствую тзна че ни ям mn (mn = 1, 2). 3.3.2. П о стр о е ни е м и р е ш е ни е м си г на льно г о U-г р а фа все й це пи пр о ве р и ть р е зульта ты , по луче нны е в п. 3.3.1.

34

Та б ли ца 3.2 n=1

m

n=2

+

IВ Х

n=3 R2

+

IВ Х R1

Z UВ Х

1

UВ Х

R

34

2

R2

С

UВ Х

+

R

RС М

IВ Х

R

R

UВ Х

IВ Х

+ _

IВ Х

_ R1

R

UВ Х

+

R1

R1

+ _

_

C

UВ Х

R

Z

R0 R0

_ RС М

C

IВ Х

R

+ R0

3

C

R

IВ Х UВ Х

UВ Х

R1

IВ Х

Z1

_ C1

UВ Х

+ _

Z2

_ +

Z3

Z4 ZН

35

1

2 С /2

С /2 R

1

-_

С

2

R4 UВ Х

-_

R3 UВ Х R5

R1 4

UВ Х

R2

UВ Ы Х 2

С1

R

UВ Ы Х 3

R′′

5

R1

UВ Х

UВ Х

r

R2

+ -_ R1

С1

+

R5

r

R4 UВ Ы Х

С2 R6 R5

U В Х R3 R′′

-

С2

R4

R2

+_

+ R2

R UВ Ы Х

+ -

С

UВ Х

R′

_

UВ Ы Х r

-

R0

R3 С1

С

+

-_

UВ Ы Х

- R0 +

3

R3

_++

R′

R′

r

R2

С2

R

С2

-_

UВ Ы Х 1 R6

UВ Ы Х

С

+

UВ Х

UВ Ы Х

С1

+

С1

R

-_

UВ Ы Х 2

R1

-_

3

R2

R4

+ R′

С2

-_

UВ Ы Х 1

R2

С

R

R

R3

UВ Ы Х R4

R1 С1

С2

-

UВ Х

R/2

R

UВ Х

R1

С1 UВ Ы Х

R1

-

С2 UВ Ы Х 2

UВ Ы Х 1

Та б ли ца 3.3

36

n=1 R′

m

UВ Х 1 R3

R′′

+

R2 С1

n=2

С2

R′ UВ Ы Х

UВ Х

µ→∞ UВ Ы Х

µ→∞ R1

R4

UВ Х 2

R5 R6

R′

R′′

С1

+

µ→∞

R1

+

R2

R1

R′′

С1

С2

С3

R3

R4 С4

R′′

R′ R1

UВ Х UВ Ы Х

R4

С1

R2 С2

+

µ→∞ UВ Ы Х

R2 С2

R5

С3

Та б ли ца 3.4 4. РЕКО М ЕНДУЕМ А Я Л ИТЕРА ТУРА 1. С х е мо те х ни ка и нте г р а льны х сх е м: М е то д. ма те р и а лы для вы по лне ни я ко нтр о льны х за да ни й по кур су «М и кр о сх е мо те х ни ка »/С о ст. В .И.Клю ки н, Е.В .Не ве ж и н. – В о р о не ж : В Г У, 1999. – Ч . I: Ц и фр о вы е стр уктур ы . - 30 с. 2. А ле ксе нко А .Г ., Ш а г ур и н И.И. М и кр о сх е мо те х ни ка : Уче б . по со б и е для вузо в. – М .: Ра ди о и связь, 1990. – 496 с. 3. А г а х а нян Т.М . Инте г р а льны е ми кр о сх е мы : Уче б . по со б и е для вузо в. – М .: Э не р г о а то и зда т, 1983. – 464 с. 4. Б е ссо но в Л .А . Те о р е ти че ски е о сно вы эле ктр о те х ни ки . - М .: Г а р да р и ки , 1999. – 638 с. 5. Г ур е ви чИ.В . О сно вы р а сче то в р а ди о те х ни че ски х це пе й (ли не й ны е це пи пр и г а р мо ни че ски х во зде й стви ях ). – М .: С вязь, 1975. – 368 с. 6. Ти тце У., Ш е нк К. П о лупр о во дни ко ва я сх е мо те х ни ка : С пр а во чно е р уко во дство . – М .: М и р , 1982. – 512 с. 7. Г р е б е н А .Б . П р о е кти р о ва ни е а на ло г о вы х и нте г р а льны х сх е м. – М .: Э не р г и я, 1976. – 256 с.

37

8. Х о р о ви ц П ., Х и лл У. Искусство сх е мо те х ни ки : В 2-х т.: П е р . с а нг л. – М .: М и р , 1986. –Т.1. 598 с; Т.2. 590 с. 9. А ле ксе нко А .Г ., Ко ло мб е т Е.А ., С та р о дуб Г .И. П р и ме не ни е пр е ци зи о нны х а на ло г о вы х ми кр о сх е м. – М .: Ра ди о и связь, 1985. – 256 с. 10. С пр а во чни к по р а сче ту и пр о е кти р о ва ни ю ARC-сх е м/ П о д р е д.А .А . Л а ннэ. – М .: Ра ди о и связь, 1984. – 368 с. 11. Б о нда р е вски й М .А ., Ко сы р б а со в А .А ., М а льце в П .П . Инте г р а льны е ми кр о сх е мы : В за и мо за ме няе мо сть и а на ло г и : С пр а во чни к. – М .: Э не р г о а то ми зда т, 1991. – 272 с. 12. Инте г р а льны е ми кр о сх е мы : С пр а во чни к/ П о д р е д. Б .В .Та р а б р и на . – Э не р г о а то ми зда т, 1985. – 528 с.

С о ста ви те ли : Клю ки н В ла ди ми р Ива но ви ч Не ве ж и н Евг е ни й В а си лье ви ч Ре да кто р : Ти х о ми р о ва О . А .